¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
Al pintor suizo Paul Klee le interesaba usar el color para expresar las emociones. En esta obra creó una cuadrícula, o matriz, de 35 cuadrados de colores organizados en 5 filas y 7 columnas. Aprenderemos cómo una matriz nos ayuda a comprender una figura más grande. Lo haremos observando las figuras más pequeñas en el interior. Aprender más sobre las matrices nos ayudará a identificar patrones y estructuras, que es una habilidad importante para la multiplicación y la división.
En la portada
Farbtafel “qu 1,” 1930
Paul Klee, Swiss, 1879–1940
Pastel on paste paint on paper, mounted on cardboard Kunstmuseum Basel, Basel, Switzerland
Multiplicación y división con unidades de 2, 3, 4, 5 y 10
Conceptos de valor posicional mediante el uso de medidas del sistema métrico
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
Multiplicación y área
5 Fracciones como números
6
Geometría, medición y datos
Antes de este módulo
Módulos 3 y 6 de 2.o grado
En el módulo 3 de 2.o grado, la clase reconoce y dibuja figuras bidimensionales basándose en atributos como el número de lados y ángulos y la presencia de lados paralelos o ángulos rectos. Usan atributos para describir, con lenguaje preciso, las diferencias entre las figuras.
En el módulo 6 de 2.o grado, la clase compone y descompone matrices rectangulares de hasta 5 filas y 5 columnas de cuadrados, tanto de forma concreta como pictórica. Describen las matrices en forma unitaria y escriben ecuaciones de suma repetida para hallar el total.
Contenido general
Multiplicación y área
Tema A
Fundamentos para la comprensión del área
La clase amplía su comprensión de los polígonos para reconocer el área como un atributo. Cubren polígonos con fichas de unidades cuadradas y cuentan cada cuadrado o cuentan salteado para hallar el área de cada polígono. A medida que se avanza en el tema, pasan a representar el área de forma pictórica en papel cuadriculado. Miden las longitudes de los lados de rectángulos con una regla y relacionan cada medida con el número de fichas cuadradas que componen esa longitud del lado.
Tema B
Conceptos de la medición del área
La clase formaliza el uso de la multiplicación para determinar el área de un rectángulo. Completan cuadrículas para mostrar las filas y las columnas de cuadrados dentro de una matriz rectangular y conectan el número de filas y columnas con las longitudes de los lados. Hacen una transición a usar modelos de área y relacionan las longitudes de los lados con el área escribiendo ecuaciones de multiplicación.
4 unidades
3 unidades
4 × 3 = 12 o 3 × 4 = 12
Área: 12 unidades cuadradas
Tema C
Aplicar las propiedades de las operaciones al área
La clase aplica las estrategias de multiplicación de los módulos 1 y 3 para hallar el área de rectángulos. Componen rectángulos más grandes a partir de rectángulos más pequeños y descomponen rectángulos más grandes en rectángulos más pequeños. Usan las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para multiplicar las longitudes de los lados y hallar todas las posibles longitudes de los lados de rectángulos con un área dada.
La clase aplica los conceptos y las estrategias de área para resolver diferentes problemas matemáticos y del mundo real. Componen y descomponen figuras rectilíneas para hallar el área, utilizando los atributos de los rectángulos para hallar las longitudes de los lados desconocidas cuando sea necesario. Consideran si sus respuestas relacionadas con el área son razonables en situaciones del mundo real y usan diagramas de puntos para analizar datos de mediciones basados en el área.
+ 9 + 15 = 34
Área: 34 metros cuadrados ados
Después de este módulo
Módulo 2 de 4.o grado
En el módulo 2 de 4.o grado, la clase formaliza la multiplicación como fórmula para hallar el área de un rectángulo cuando se dan las longitudes de los lados. Aplican la fórmula para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Los modelos de área se utilizan para representar problemas de multiplicación y de división, productos parciales y cocientes.
Contenido
Multiplicación y área
¿Por qué?
6
Criterios de logro académico: Contenido general . . . . . . 8
Tema A
Fundamentos para la comprensión del área
Lección 1 .
Explorar los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios
Lección 2
Reconocer el área como un atributo de los polígonos
Lección 3
Cubrir los polígonos con fichas cuadradas para hallar sus áreas
Lección 4 .
Componer rectángulos para comparar las áreas
Lección 5
Relacionar las longitudes de los lados con el número de fichas cuadradas que cubren un lado
Tema B
Conceptos de la medición del área
Lección 6 .
Cubrir los rectángulos con fichas cuadradas para formar matrices y relacionar las longitudes de los lados con el área
Lección 7
Dibujar filas y columnas para completar una matriz rectangular y determinar su área
11
Lección 8
Determinar el área de un rectángulo usando las longitudes de los lados
Lección 9
Multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo
Tema C
14
32
46
60
Aplicar las propiedades de las operaciones al área
Lección 10
Componer rectángulos grandes y razonar sobre sus áreas
Lección 11
Descomponer para hallar el área total de un rectángulo
Lección 12
Hallar todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada
Tema D
Aplicaciones del área
93
Lección 13
Aplicar la comprensión del área a situaciones del mundo real
Lección 14
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
110
Lección 15
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando rectángulos
Lección 16 . . . .
Resolver problemas matemáticos históricos relacionados con el área
Lección 17 .
Aplicar los conceptos de área a un contexto del mundo real
Lección 18 .
Hallar el área de figuras y representar los datos del área en un diagrama de puntos
Lección 19
258
274
288
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
308
Aplicar los conceptos de área para completar una tarea de varias partes
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Multiplicación y área
¿Por qué en el tema A se limitan los tipos de polígonos y los conceptos geométricos que se enseñan?
En el módulo 4, se pide a cada estudiante que aplique sus conocimientos previos de geometría para hallar el área de rectángulos. Durante las primeras lecciones del tema A, se repasan los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios, a la vez que se crea una oportunidad para presentar el atributo del área. Sus estudiantes cubren cuadrados, rectángulos y trapecios con fichas de cuadrados unitarios para hallar sus áreas. Estos polígonos se incluyen en las lecciones para mejorar la comprensión de cada estudiante acerca de la división y las partes iguales a fin de medir el área usando la unidad fraccionaria que conocen, los medios. En el módulo 6, se incluyen otras figuras bidimensionales y sus atributos.
¿Por qué se define un trapecio como un cuadrilátero con al menos 1 par de lados paralelos en lugar de definirlo como un cuadrilátero con exactamente 1 par de lados paralelos?
El término trapecio puede tener dos significados diferentes.
• Definición exclusiva: Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente 1 par de lados paralelos.
• Definición inclusiva: Un trapecio es un cuadrilátero con al menos 1 par de lados paralelos.
Ambas definiciones son legítimas y, en 3.er grado, ninguna de las dos conlleva una ventaja significativa. La definición inclusiva se elige principalmente por las ventajas que brinda en los grados posteriores y por la coherencia con la mayoría de los libros de texto de geometría de los colegios secundarios. Una consecuencia positiva de usar la definición inclusiva es que implica que los trapecios y los paralelogramos tienen una relación parecida a la relación que tienen los rectángulos y los cuadrados: en cada caso, la primera categoría siempre incluye la segunda.
¿Cómo se formaliza la relación entre la multiplicación y el área?
En los temas A y B, sus estudiantes experimentan una progresión de lo concreto a lo pictórico y a lo abstracto a medida que adquieren una comprensión conceptual profunda del área. Hacen una transición de cubrir con fichas cuadradas de forma concreta a cubrir con fichas cuadradas de forma pictórica, haciendo filas y columnas y, luego, hacen una transición a usar modelos de área que solo tienen las longitudes de los lados rotuladas. Usan la lógica de la repetición y observan la relación del área con las filas y columnas de los rectángulos y con las longitudes de los lados de los rectángulos. Las estrategias para hallar el área progresan de contar cada ficha a contar salteado por filas o columnas y a multiplicar las longitudes de los lados. Adquirida la comprensión conceptual, sus estudiantes hacen una transición hacia el razonamiento de procesos y expresan que el producto de las longitudes de los lados es igual al área del rectángulo. Durante el módulo, progresan al usar la multiplicación como una estrategia eficiente para hallar el área. En 4.o grado, nombran la fórmula del área de manera específica y la aplican.
¿Cuál es el enfoque de la lección 19, que incluye una tarea de varias partes?
La lección 19 del módulo 4 es la segunda de tres lecciones que incluyen una tarea de varias partes en 3.er grado. Cada una de estas lecciones brinda una oportunidad para que sus estudiantes apliquen sus conocimientos y se centren en el trabajo principal del grado. Las lecciones con tareas incluyen problemas interrelacionados que requieren que cada estudiante reúna información de una gráfica o de un texto que no forma parte del problema propiamente dicho. Los problemas de la lección 19 requieren que sus estudiantes apliquen lo que saben acerca del área y las longitudes de los lados de los rectángulos para determinar cuál es la información relevante. Cada estudiante aplica sus soluciones para responder las preguntas que plantean los problemas.
Criterios de logro académico: Contenido general
Multiplicación y área
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas del tema y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los ocho CLA que se indican.
3.Mód4.CLA1
Reconocen que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud y relacionan la longitud de los lados con el número de fichas cuadradas.
3.Mód4.CLA2
Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas.
3.MD.C.5
3.G.A.1
3.MD.C.5
3.Mód4.CLA5
Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos.
3.MD.C.5.a
3.MD.C.5.b
3.Mód4.CLA6
Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos.
3.Mód4.CLA3
Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas.
3.Mód4.CLA4
Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados.
3.MD.C.6
3.MD.C.7.a
3.MD.C.7.b
3.MD.C.7.c
3.Mód4.CLA7
Calculan las áreas de figuras compuestas.
3.Mód4.CLA8
Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas.
3.MD.C.7.d
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
3.MD.C.7.d
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 4 de 3.er grado se codifica como 3.Mód4.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Texto del CLA
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.a Hallan el área de un rectángulo cuyas longitudes laterales son números enteros al rellenarla con unidades cuadradas, y demuestran que el área que resulta es igual a la que se encontraría al multiplicar las longitudes laterales.
Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros.
Completa la matriz. Luego, cuenta salteado para hallar el área del rectángulo.
Cada cuadrado representa 1 centímetro cuadrado.
centímetros cuadrados
Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados.
Parte A
Completa la matriz. Luego, cuenta salteado para hallar el área del rectángulo.
Cada cuadrado representa 1 centímetro cuadrado.
centímetros cuadrados
Parte B
Rotula las longitudes de los lados. Luego, escribe una ecuación para mostrar el área del rectángulo. Halla el área.
Ecuación: × = Área: centímetros cuadrados
Parte C
¿El área que hallaste en la parte A coincide con el área que hallaste en la parte B? Explica.
Explican la relación entre una matriz rectangular y un modelo de área.
Explica cómo una matriz puede ayudarte a hallar el área del rectángulo que se muestra.
7 unidades
4 unidades
Estándar relacionado
Indicadores del CLA
Tema A Fundamentos para la comprensión del área
En el tema A, la clase amplía su comprensión de los atributos de figuras bidimensionales para incluir el atributo de área, es decir, la cantidad de espacio plano que ocupa una figura.
Sus estudiantes comienzan por identificar atributos de los polígonos, con especial énfasis en los atributos que definen a los cuadrados, los rectángulos y los trapecios. Prestan particular atención al atributo que establece que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud, cuya comprensión es útil para reconocer la relación entre las longitudes de los lados de un rectángulo y su área.
A lo largo del tema A, sus estudiantes cuentan salteado y de unidad en unidad para determinar el número de cuadrados que componen el área. Las representaciones progresan de lo concreto a lo pictórico y a lo abstracto. Cubren el área de un polígono dado con fichas cuadradas y triangulares (mitades de cuadrados) sin espacios ni superposiciones. Luego, hacen una transición a las representaciones pictóricas, trazando el contorno de las fichas y sombreando cuadrados para representar las fichas. Por último, hacen la transición a las representaciones abstractas. Miden las longitudes de los lados de rectángulos con una regla, dibujan una cuadrícula, miden la cuadrícula para verificar las longitudes de los lados y, luego, usan la cuadrícula como ayuda para determinar el área.
En el tema B, sus estudiantes relacionan las longitudes de los lados de matrices rectangulares con el área y, finalmente, multiplican las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Explorar los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios
Puedo clasificar polígonos según diferentes atributos, incluido el número de lados. Los cuadrados, los rectángulos y los trapecios son cuadriláteros, es decir, polígonos con cuatro lados. Otros atributos posibles de los cuadriláteros incluyen ángulos rectos, pares de lados paralelos y lados de la misma longitud.
Lección 2
Reconocer el área como un atributo de los polígonos
Cubrir una figura con cuadrados o partes de cuadrados muestra el área de la figura. Cuando se cubre una figura con fichas cuadradas, es importante que no queden espacios ni superposiciones. Varios polígonos que tienen la misma forma pueden tener áreas diferentes, y varios polígonos que tienen formas diferentes pueden tener la misma área.
Lección 3
Cubrir los polígonos con fichas cuadradas para hallar sus áreas
Puedo cubrir polígonos usando cuadrados y, luego, trazar líneas para mostrar los cuadrados. Al reorganizar las fichas cuadradas para crear otros polígonos, se forman figuras diferentes que tienen la misma área que la figura original.
Lección 4
Componer rectángulos para comparar las áreas
Lección 5
Relacionar las longitudes de los lados con el número de fichas cuadradas que cubren un lado
El tamaño de la unidad de medida afecta el área. Puedo nombrar unidades de forma precisa. Las pulgadas cuadradas son más grandes que los centímetros cuadrados. Un polígono con un área de 10 pulgadas cuadradas es más grande que un polígono con un área de 10 centímetros cuadrados. Puedo dibujar rectángulos en papel cuadriculado para mostrar sus áreas.
El número de fichas cuadradas a lo largo de un lado de un rectángulo es el mismo número que la longitud del lado del rectángulo (cuando las fichas y la medición usan la misma unidad de longitud). Puedo medir los lados de un rectángulo usando una regla para hallar sus longitudes. En vez de usar fichas cuadradas para dibujar un rectángulo en papel cuadriculado, puedo usar una regla para dibujar una cuadrícula dentro del rectángulo después de medir sus lados.
Atributo
Explorar los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios
Vistazo a la lección
La clase explora los atributos de los polígonos, específicamente de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios. Identifican cuadriláteros que tienen atributos particulares y usan los atributos para describir las relaciones entre los cuadriláteros y dentro del conjunto de los cuadriláteros.
Preguntas clave
• ¿Cuáles son los atributos de un rectángulo?
• ¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados opuestos de un rectángulo?
Criterio de logro académico
3.Mód4.CLA1 Reconocen que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud y relacionan la longitud de los lados con el número de fichas cuadradas. (3.G.A.1)
Letra(s) de polígono(s)
4 lados A, B, C, E, F, G
Al menos 1 par de lados paralelos A, B, C, E, F, G
2 pares de lados paralelos A, B, C, E
Lados opuestos de la misma longitud A, B, C, E
Los 4 lados de la misma longitud A, E
4 ángulos rectos A, B
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Atributos de los polígonos
• Atributos de los rectángulos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Polígonos para clasificar (en la edición para la enseñanza)
• regla
• marcadores fluorescentes de 2 colores
• tarjeta de índice
• proyector*
• computadora o dispositivo para la enseñanza*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• Polígonos para clasificar (en el libro para estudiantes)
• tijeras
• marcadores fluorescentes de 2 colores
• tarjeta de índice
• regla
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
*Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
• Recorte 1 set de polígonos de las hojas extraíbles de Polígonos para clasificar, para usted.
• Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Polígonos para clasificar de los libros para estudiantes y recortar las figuras geométricas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
• Considere proporcionar un sobre en el que cada estudiante pueda guardar los polígonos para usarlos en las lecciones 2 y 3.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta el 1,000
La clase halla el valor de una suma o diferencia desconocida y hace una estimación para evaluar si la respuesta es razonable con el fin de adquirir fluidez con las destrezas del módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 469 + 228 = m.
Hallen el valor de m. Muestren su trabajo.
Muestre el valor de m.
Ahora, comprueben si su respuesta es razonable. Escriban una ecuación que muestre una suma estimada y cómo redondearon los dos números.
Muestre la ecuación de ejemplo con los valores redondeados.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Cuando la secuencia cambia a resta, utilice el siguiente planteamiento: Escriban una ecuación que muestre una diferencia estimada y cómo redondearon los dos números.
Nota para la enseñanza
Se muestran ejemplos de estimaciones, pero deben aceptarse todas las estimaciones que sean válidas. Por ejemplo, en lugar de redondear 469 + 228 a 500 + 200, sus estudiantes pueden usar alguna de las siguientes ecuaciones:
470 + 230 = 700
470 + 200 = 670
500 + 230 = 730
Anímeles a pensar con flexibilidad acerca de cómo deciden redondear los números en cada problema. Sus estudiantes pueden elegir redondear cada número a un valor posicional diferente.
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de siete en siete y de nueve en nueve y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de siete en siete, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 35.
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme 45.
(Muestran 45 con los dedos usando el método matemático).
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 45 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 45 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de nueve en nueve, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 45.
Nota para la enseñanza
Controle el ritmo del conteo con el ritmo de sus dedos. Recuerde prestar atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, ajuste el ritmo o la secuencia de los números.
Presentar
La clase identifica los atributos de los polígonos.
Muestre la imagen con ejemplos correctos y ejemplos erróneos de polígonos.
Cuando observamos algo, lo miramos con detenimiento y prestamos atención a detalles que pueden ser importantes.
Invite a sus estudiantes a observar los dibujos.
¿Qué observan en los dibujos del grupo A?
Algunos tienen aberturas, otros tienen lados que parecen sobresalir, y otros tienen curvas.
¿Qué dibujo del grupo A tiene nombre?
El círculo
Grupo AGrupo B
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.
¿Y los otros dibujos del grupo A? ¿Por qué no tienen nombre?
Los dibujos de la parte de arriba se parecen a un triángulo y un rectángulo, pero no pueden serlo porque los lados no se unen.
Los dibujos de la parte de abajo parecen un cuadrado y un rectángulo, pero tienen líneas que sobresalen en algunos de los lados.
Algunos de los dibujos son una combinación de líneas rectas y curvas; por eso, no tienen nombre.
¿Qué observan en los dibujos del grupo B?
No tienen aberturas, todos los lados son rectos y no tienen partes que sobresalen.
Todas estas características se llaman atributos. Nos ayudan a agrupar los dibujos.
¿Cómo denominamos a las figuras cerradas con lados rectos que no se superponen?
Polígonos
¿Cuáles de los dibujos de la imagen son polígonos?
Todos los dibujos del grupo B
Señale cada dibujo del grupo A y pregunte por qué no es un polígono.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a determinar cuáles son los atributos de algunos polígonos de cuatro lados.
Aprender
Atributos de los polígonos
Materiales: M) Polígonos para clasificar, regla, marcadores fluorescentes, tarjeta de índice; E) Polígonos para clasificar, tijeras, marcadores fluorescentes, tarjeta de índice, regla
La clase identifica y nombra polígonos con atributos dados.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Polígonos para clasificar de sus libros y recorten los polígonos. Mientras recortan, pídales que observen los polígonos y comenten, en parejas, lo que observan.
Invite a las parejas a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las maneras en que pueden agrupar los polígonos.
Podemos agruparlos según su forma. Por ejemplo, podemos colocar todos los cuadrados juntos. Podemos agruparlos por el número de lados que tienen.
Pida a las parejas que hallen todos los polígonos con cuatro lados y los coloquen en una fila.
¿Qué nombre les damos a los polígonos con cuatro lados?
Cuadriláteros
Nota para la enseñanza
La clase conoce el vocabulario de esta lección (p. ej., polígono, cuadrilátero, paralelo y ángulo recto) desde 2.o grado. Sin embargo, dada la especificidad de las palabras y el tiempo transcurrido desde que sus estudiantes trabajaron con ellas en 2.o grado, puede ser apropiado enseñar el vocabulario como si fuera nuevo. Considere la posibilidad de crear un afiche de referencia con los términos y apoyos visuales para que sus estudiantes consulten según sea necesario a lo largo del tema.
Nota para la enseñanza
Puede referirse a las figuras de la actividad Atributos de los polígonos llamándolas tanto polígonos como figuras. Un polígono es una figura cerrada con lados rectos que no se superponen ni se cruzan.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar a sus estudiantes los polígonos ya recortados para reducir la demanda de motricidad fina de la tarea de recortar.
¿Qué observan acerca de los cuadriláteros?
No se ven iguales. Algunos son cuadrados y rectángulos, pero otros tienen formas inusuales.
Tienen cuatro ángulos. Algunos ángulos son ángulos rectos y otros, no.
Los polígonos se ven diferentes, pero comparten los atributos de tener cuatro lados y cuatro ángulos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Indíqueles que completen la primera fila de la tabla.
1. Usa tus cuadriláteros para completar la siguiente tabla.
Atributo Cuadrilátero(s) Dibujo de 1 cuadrilátero
4 lados A , B , C , E , F, K , M, N, O E
Al menos 1 par de lados paralelos A , B , C , E , F, K , M, N N
Al menos 1 ángulo recto A , B , C , E , K , M, O M
2 pares de lados paralelos A , B , C , E , F, K A
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El término agrupar se usa en esta lección de una manera diferente a su uso en los módulos anteriores en los que sus estudiantes agrupaban unidades semejantes, como 10 decenas para formar 100 o 3 cincos para formar 15. En esta lección, agrupar no se refiere a formar grupos de unidades que son exactamente iguales, sino a clasificar polígonos según uno o más atributos en común.
Antes de indicar a las parejas de estudiantes que hallen y agrupen los cuadriláteros, considere representar junto con la clase el término agrupar con el significado de clasificar. Para ello, clasifique y agrupe a sus estudiantes según el color de sus camisetas o algún otro atributo del que haya variedad.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere relacionar la frase al menos con un contexto que sea conocido para la clase, como la estatura mínima para subir a una montaña rusa. Un letrero indica que deben medir al menos 42 pulgadas de alto para subir a una montaña rusa. ¿Eso significa que solo podemos subir a la montaña rusa si medimos 42 pulgadas de alto?
Atributo Cuadrilátero(s) Dibujo de 1 cuadrilátero
Lados opuestos de la misma longitud A , B , C , E , F, K F
Diferenciación: Apoyo
Considere usar una regla para representar cómo trazar lados paralelos. Pregunte a sus estudiantes si las líneas siguen siendo paralelas cuando están inclinadas. ¿Importa la longitud de las líneas para determinar si son paralelas?
4 ángulos rectos A , B , C , E , K C
Los 4 lados de la misma longitud B , E E
Guíe a sus estudiantes para que completen la tabla usando los cuadriláteros con la siguiente secuencia posible.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: al menos 1 par de lados paralelos. Sostenga una regla horizontalmente y deslice el dedo por el lado superior y el lado inferior.
Piensen en los lados paralelos como los lados de esta regla. Imaginen que estas dos líneas no tienen fin. ¿Creen que alguna vez se cruzarán? ¿Por qué?
No, no se cruzarán porque son rectas y van en el mismo sentido todo el tiempo.
Gire la regla para que quede vertical y pregunte si los lados siguen siendo paralelos. Luego, incline la regla y vuelva a preguntar.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando agrupa cuadriláteros y hace comentarios sobre ellos según sus atributos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos describir esta figura usando sus atributos?
• ¿Es correcto y preciso decir que dos lados que no se tocan son paralelos?
¿Qué podemos agregar o cambiar para decirlo con más precisión?
Pida a sus estudiantes que hallen el polígono A.
Observen los lados largos del cuadrilátero. Los lados largos están uno frente al otro; entonces, los llamamos lados opuestos. ¿Los lados opuestos son paralelos? ¿Cómo lo saben?
Sí, son paralelos. Si imaginamos que no tienen fin, no se cruzarán.
Represente cómo usar un marcador fluorescente para trazar uno de los pares de lados paralelos del polígono A. Pida a las parejas que examinen el otro par de lados opuestos para comprobar si son paralelos. Luego, pídales que resalten el otro par de lados paralelos con un color diferente.
Pida a sus estudiantes que hallen el polígono O.
Observen los lados opuestos del polígono O.
Usen dos dedos para trazar un par de lados opuestos. Imaginen que los lados no tienen fin. ¿Se cruzarán en algún momento?
¿Cómo lo saben?
Sí. Si continuaran, se cruzarían. Si sigo las líneas que forman los lados y deslizo los dedos más allá de la figura, puedo ver dónde se cruzarían.
¿Y el otro par de lados opuestos? ¿Son paralelos?
No, también se cruzarán.
El polígono O no tiene ningún par de lados paralelos.
Pida a sus estudiantes que hallen y resalten los pares de lados opuestos que sean paralelos en los cuadriláteros restantes. Si una figura tiene 2 pares de lados paralelos, deben usar un color diferente para cada par, de modo que ambos sean visibles.
Los trapecios son cuadriláteros que tienen al menos 1 par de lados paralelos. Si los trapecios deben tener al menos 1 par de lados opuestos paralelos, ¿pueden tener más de 1 par?
Sí. Al menos uno significa uno o más.
Pida a sus estudiantes que hallen y agrupen los trapecios y completen la segunda fila de la tabla.
Nota para la enseñanza
El término trapecio tiene dos significados diferentes.
• Definición exclusiva: Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos.
• Definición inclusiva: Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.
La definición inclusiva se utiliza en todos los grados. Por lo tanto, se considera que un paralelogramo también es un trapecio.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: Al menos 1 ángulo recto.
¿Cómo se ve un ángulo recto en una figura?
Como una esquina cuadrada
Muestre una tarjeta de índice y haga las siguientes preguntas.
Observen la tarjeta de índice. ¿Ven los ángulos rectos en esta tarjeta de índice?
Sí. Cada una de las cuatro esquinas de la tarjeta es un ángulo recto.
¿Cómo podemos usar una tarjeta como herramienta para decidir si una esquina de un polígono es un ángulo recto?
Podemos colocar una esquina de la tarjeta en la esquina del polígono y comprobar si coincide.
Represente cómo usar la tarjeta de índice para medir el ángulo de un polígono. Pida a las parejas que hallen y agrupen los cuadriláteros que tienen al menos 1 ángulo recto y completen la tercera fila de la tabla.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: 2 pares de lados paralelos.
¿En qué se diferencia este atributo del otro atributo que se refiere a los lados paralelos?
Para este atributo, necesitamos 2 pares de lados paralelos. Para el otro atributo, podíamos tener 1 o 2 pares de lados paralelos.
Pida a las parejas que hallen y agrupen los cuadriláteros que tienen 2 pares de lados paralelos y completen la cuarta fila de la tabla.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: Lados opuestos de la misma longitud.
¿Qué herramienta podemos usar para decidir si los lados opuestos tienen la misma longitud? Una regla
Pida a las parejas que agrupen los cuadriláteros que tengan lados opuestos de la misma longitud y completen la quinta fila de la tabla.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: 4 ángulos rectos. Pida a las parejas que agrupen los cuadriláteros y completen la sexta fila de la tabla.
¿Cómo podemos llamar a un cuadrilátero que tiene 4 ángulos rectos?
Rectángulo
Los polígonos B y E son cuadrados.
¿Por qué están en el mismo grupo que los rectángulos?
También tienen 4 ángulos rectos.
Los cuadrados también son rectángulos.
Lean a coro el siguiente atributo en la tabla: los 4 lados de la misma longitud.
Pida a las parejas que agrupen los cuadriláteros y completen la tabla.
Los cuadrados, los polígonos B y E, también están en este grupo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si todos los cuadriláteros que tienen 4 lados de la misma longitud son cuadrados.
No, los cuadrados tienen 4 lados de la misma longitud, pero también tienen 4 ángulos rectos.
Algunos cuadriláteros tienen 4 lados de la misma longitud, pero no 4 ángulos rectos.
Atributos de los rectángulos
Materiales: M) Polígonos para clasificar; E) Polígonos para clasificar, regla
La clase identifica los atributos de los rectángulos, con especial énfasis en la igualdad de longitud de los lados opuestos.
Muestre los rectángulos A, B, C, E y K. Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo las letras A, B, C, E y K cada vez que aparezcan en la tabla.
¿Qué observan? ¿En qué se parecen estos cuadriláteros?
Todos tienen 4 lados, 2 pares de lados paralelos, 4 ángulos rectos y lados opuestos de la misma longitud.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los nombres que pueden usarse para describir cada uno de estos cuadriláteros.
¿Qué nombre podemos usar que describa estos cinco cuadriláteros, pero no los otros cuadriláteros que recortamos? ¿Por qué?
Podemos usar el nombre rectángulo. Estos cinco cuadriláteros tienen todos los atributos de los rectángulos, pero los otros polígonos que recortamos, no.
¿En qué se diferencian los polígonos B y E de los polígonos A, C y K?
Los polígonos B y E tienen 4 lados de la misma longitud, pero A, C y K, no.
¿Qué nombre podemos usar para describir los polígonos B y E?
Cuadrado
Señale los polígonos B y E.
Estos cinco polígonos son rectángulos, y estos dos también son cuadrados. Los cuadrados también son rectángulos.
Muestre el siguiente enunciado: Si sabemos la longitud de un lado de un rectángulo, también sabemos la longitud del lado opuesto.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si están de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado y por qué. Anime a sus estudiantes a usar sus polígonos y reglas según sea necesario para explorar y explicar su razonamiento.
Estoy de acuerdo. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud; entonces, si medimos un lado, el lado que está enfrente tiene la misma longitud.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la utilidad de esta información.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Explorar los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios
Guíe una conversación para resumir los atributos de los cuadrados, los rectángulos y los trapecios.
¿Cómo saben si una figura es un polígono?
Los polígonos son figuras cerradas que tienen lados rectos que no se superponen.
¿Cuáles son los atributos de un rectángulo?
Los rectángulos son polígonos, entonces, son figuras cerradas con lados rectos que no se superponen. Son cuadriláteros con 2 pares de lados paralelos, 4 ángulos rectos y lados opuestos de la misma longitud.
¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados opuestos de un rectángulo?
Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
3. ¿Cuál de los polígonos es un cuadrado? ¿Cómo lo sabes?
El polígono E es un cuadrado. Tiene 4 lados de la misma longitud y 4 ángulos rectos.
Los polígonos son figuras cerradas con lados rectos que no se superponen. A B C
1. Encierra en un círculo todos los polígonos que son cuadriláteros.
2. Usa las letras de los cuadriláteros para completar la tabla. El primero ya está empezado como ejemplo.
Atributo Cuadrilátero(s)
Al menos 1 par de lados paralelos C, B , E , F
2 pares de lados paralelos B, E
Al menos 1 ángulo recto B, E, F 4 ángulos rectos B, E
Lados opuestos de la misma longitud B, E
Los 4 lados de la misma longitud E
4. Iván dice que el polígono F es un rectángulo. ¿Estás de acuerdo con Iván? ¿Por qué?
No estoy de acuerdo con Iván. El polígono F no es un rectángulo porque no tiene 2 pares de lados paralelos, los lados opuestos no tienen la misma longitud y no tiene 4 ángulos rectos.
5. ¿Qué atributos son iguales en los cuadrados y los rectángulos?
Los cuadrados y los rectángulos tienen 4 lados, 2 pares de lados paralelos, 4 ángulos rectos y 2 pares de lados opuestos de la misma longitud.
EUREKA
6. Mía dice: “Todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados”. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué?
Sí, estoy de acuerdo con Mía. Todos los cuadrados tienen los mismos atributos que los rectángulos, pero no todos los rectángulos tienen los mismos atributos que los cuadrados. Un cuadrado tiene 4 lados de la misma longitud, pero un rectángulo puede no tener los 4 lados de la misma longitud.
7. Liz decora un marco rectangular con botones que son todos del mismo tamaño.
A lo largo de la parte superior del marco caben 10 botones sin espacios ni superposiciones.
¿Cuántos botones caben a lo largo de la parte inferior del marco? ¿Cómo lo sabes?
A lo largo de la parte inferior del marco caben 10 botones porque, en un rectángulo, los lados opuestos tienen la misma longitud.
Reconocer el área como un atributo de los polígonos
Vistazo a la lección
La clase cubre polígonos usando cuadrados y mitades de cuadrados para hallar el área. Observan que polígonos que tienen la misma forma pueden tener áreas diferentes, y polígonos que tienen formas diferentes pueden tener la misma área. En esta lección se formalizan los términos área y unidades cuadradas.
Preguntas clave
• ¿Qué es el área?
• ¿Por qué se mide el área en unidades cuadradas?
Criterios de logro académico
1. La figura A mide 12 unidades cuadradas.
2. La figura B mide 13 unidades cuadradas.
3. La figura C mide 12 unidades cuadradas.
4. Mía dice que las figuras A, B y C tienen diferentes áreas porque se ven diferentes. ¿Está en lo correcto? Explica.
Mía no está en lo correcto. Las figuras A y C tienen 12 fichas cuadradas cada una; entonces, tienen la misma área.
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas. (3.MD.C.5, 3.MD.C.5.a, 3.MD.C.5.b)
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
Nombre
Halla el área de las figuras. Cada representa 1 unidad cuadrada. Figura A Figura B Figura C
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Área y unidades cuadradas
• Misma figura, diferente área
• Diferente figura, misma área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• fichas cuadradas de una pulgada (11, en la edición para la enseñanza)
• papel de color (11 hojas)
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• polígonos recortados
• tijeras
Estudiantes
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• polígonos recortados
• tijeras
Preparación de la lección
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Fichas cuadradas de una pulgada en papel de color. Recorte 20 fichas cuadradas por estudiante y 20 para usted. En esta lección se necesitan fichas cuadradas tanto de papel como de plástico.
• Considere proporcionar un sobre en el que cada estudiante pueda guardar las fichas de papel para usarlas en la lección 3.
• Reúna los polígonos que recortaron de las hojas extraíbles de Polígonos para clasificar en la lección 1.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta el 1,000
La clase halla el valor de una suma o diferencia desconocida y hace una estimación para evaluar si la respuesta es razonable con el fin de adquirir fluidez con las destrezas del módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 288 + 436 = f.
Hallen el valor de f. Muestren su trabajo.
Muestre el valor de f.
Ahora, comprueben si su respuesta es razonable. Escriban una ecuación que muestre una suma estimada y cómo redondearon los dos números.
Muestre la ecuación de ejemplo con los valores redondeados.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis y de ocho en ocho y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de seis en seis, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 30.
Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Presentar
La clase dibuja cuadriláteros según atributos dados.
Forme parejas de estudiantes. En cada pareja, designe quién actuará como estudiante A y quién actuará como estudiante B. Indíqueles que se sienten espalda con espalda. Pida a cada estudiante A que dibuje un cuadrilátero en su pizarra blanca.
Estudiantes A, describan su cuadrilátero a su pareja de trabajo usando solo sus atributos. No nombren el cuadrilátero.
Estudiantes B, usen la descripción para dibujar el mismo cuadrilátero en sus pizarras blancas. No miren el dibujo de su pareja hasta que yo se los indique.
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Luego, pídales que comparen los dibujos.
Diferenciación: Apoyo
Es posible que parte de la clase necesite apoyo para describir su cuadrilátero con lenguaje matemático preciso. Considere indicar a sus estudiantes que consulten el afiche de referencia, si se elaboró uno en la lección 1, o mostrar términos y frases de referencia (p. ej., ángulos rectos, lados opuestos, lados paralelos).
Considere proveer a las parejas una hoja de cuadriláteros y sus atributos. Quienes actúan como estudiantes A eligen un cuadrilátero de la hoja y se lo describen a su pareja de trabajo usando los atributos. Quienes actúan como estudiantes B dibujan el cuadrilátero.
Considere guiar una conversación acerca de cómo se relacionan los atributos de las dos figuras usando las siguientes preguntas:
• ¿Qué observan?
• ¿Qué atributos se encuentran en los dos dibujos (p. ej., pares de lados paralelos, número de ángulos rectos, lados opuestos de la misma longitud)?
• Si rotan o giran su dibujo, ¿se parece más al de su pareja? ¿Qué podrían cambiar en su dibujo para que se parezca más al de su pareja?
• ¿Hay otros atributos que se parecen, como el tamaño?
Pida a las parejas que intercambien los roles y completen nuevamente la actividad, incluida la conversación.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, examinaremos otro atributo de las figuras: la cantidad de espacio en su interior.
Aprender
35
Área y unidades cuadradas
Materiales: M/E) Fichas cuadradas de papel, fichas cuadradas de plástico, polígonos, tijeras
La clase cubre una figura usando cuadrados de 1 pulgada para hallar su área en unidades cuadradas.
Vamos a colocar nuestras fichas una encima de otra para asegurarnos de que todas tienen el mismo tamaño y la misma forma.
Demuestre cómo apilar algunas fichas de plástico y de papel para confirmar que todas tienen el mismo tamaño.
Pida a sus estudiantes que busquen los polígonos A y C.
Conversen en parejas acerca de qué polígono, A o C, creen que ocupa más espacio.
Prepárense para explicar su respuesta.
Creo que el polígono A ocupa más espacio porque es más largo que el polígono C.
Creo que el polígono C ocupa más espacio porque es más alto y más ancho que el polígono A.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona fichas cuadradas de papel, de plástico o de ambos tipos para cubrir los polígonos. Quienes usen fichas de plástico necesitarán modificar su elección (es decir, cambiarlas por fichas de papel y cortarlas a la mitad) para cubrir los polígonos que incluyan triángulos de mitades de cuadrados.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Por qué eligieron usar este tipo de ficha cuadrada? ¿Les funcionó?
• ¿Pueden hacer algún cambio a las fichas cuadradas de papel que les sirva de ayuda para cubrir este polígono?
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para cubrir los polígonos A y C usando las fichas cuadradas de plástico y de papel. Represente el método incorrecto y el método correcto de cubrir con fichas cuadradas mientras da la siguiente instrucción.
Asegúrense de que las fichas cuadradas no tengan espacios entre ellas, no se superpongan y no sobresalgan de los lados de los polígonos.
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y asegúrese de que estén cubriendo los polígonos de manera correcta. Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Qué observan acerca del número de cuadrados que se necesitan para cubrir los polígonos A y C?
Se necesitan 6 cuadrados para cubrir cada figura.
¿Los cuadrados que usaron para cubrir los polígonos A y C tienen el mismo tamaño?
Sí, todos los cuadrados tienen el mismo tamaño.
¿Qué podemos decir acerca de la cantidad de espacio que ocupan los polígonos A y C?
Los polígonos A y C ocupan la misma cantidad de espacio.
La cantidad de espacio plano que ocupa una figura se denomina área. Como los polígonos A y C ocupan la misma cantidad de espacio, tienen la misma área. Sus áreas son iguales.
Pida a sus estudiantes que busquen los polígonos F y G. Pídales que se reúnan y conversen en parejas para predecir qué polígono ocupa más espacio y por qué.
Indique a la clase que trabaje en parejas para cubrir los polígonos F y G usando las fichas cuadradas de papel y de plástico.
DUA: Acción y expresión
Considere brindar opciones alternativas y soportes como los siguientes para apoyar a sus estudiantes con la manipulación de las fichas cuadradas:
• Asigne roles dentro de las parejas de manera que una persona dé las instrucciones y la otra manipule las fichas.
• Anime a sus estudiantes a sostener las fichas en su lugar con una mano mientras colocan las fichas restantes con la otra mano.
• Permita a sus estudiantes que peguen las fichas de papel con pegamento para evitar que se muevan innecesariamente.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proveer un apoyo visual para el término nuevo área invitando a sus estudiantes a sombrear suavemente el interior de uno o más polígonos y escribir área dentro del espacio sombreado.
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y asegúrese de que estén cubriendo los polígonos de manera correcta. Observe cómo manipulan las medias unidades cuadradas. Dé tiempo a las parejas para que intenten hallar una solución. Cuando todas las parejas hayan resuelto el problema, o cuando el esfuerzo de quienes aún no lo resolvieron ya no sea productivo, elija a una pareja que haya doblado o cortado, a mano o usando tijeras, los cuadrados de papel a la mitad para cubrir los triángulos con mitades de cuadrados. Pídales que compartan su estrategia por medio de preguntas y planteamientos como los siguientes.
Describan cómo cubrieron las figuras.
Las fichas no podían sobresalir de la figura al cubrirla, entonces, no pudimos usar cuadrados enteros para esas partes. La única forma que se nos ocurrió fue usar la mitad de un cuadrado. No podemos usar la mitad de un cuadrado de plástico, entonces, doblamos un cuadrado de papel a la mitad.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono F?
2 cuadrados enteros y 2 mitades de cuadrados
¿Cuál es el área del polígono F usando solo cuadrados enteros?
2 mitades de cuadrados forman 1 cuadrado entero, entonces, podemos decir que 3 cuadrados.
Represente cómo componer 2 mitades de cuadrados para formar un cuadrado entero.
Escriba el siguiente enunciado: El área del polígono F es 3 unidades cuadradas.
El área del polígono F es 3 unidades cuadradas . ¿Por qué creen que las llamamos unidades cuadradas?
Las unidades que usamos para medir son cuadrados, entonces, son unidades cuadradas.
Así como usamos pulgadas para medir la longitud y litros para medir el volumen líquido, usamos cuadrados para medir el área. Los cuadrados son las unidades; entonces, decimos unidades cuadradas.
Pida a sus estudiantes que escriban 3 unidades cuadradas en la parte de atrás del polígono F.
Indíqueles que tracen líneas en el polígono F para mostrar donde se juntan los cuadrados.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono G?
1 cuadrado entero y 2 mitades de cuadrados, o 2 cuadrados
Escriba el siguiente enunciado: El área del polígono G es 2 unidades cuadradas.
Pida a sus estudiantes que escriban 2 unidades cuadradas en la parte de atrás del polígono G.
Indíqueles que tracen líneas en el polígono G para mostrar donde se juntan los cuadrados.
3 unidades cuadradas
2 unidades cuadradas
Considere repetir el proceso de trazar líneas donde se juntan los cuadrados y escribir el área en unidades cuadradas para los polígonos A y C.
Pida a sus estudiantes que busquen los polígonos N y O. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo cambiaría su estrategia si tuvieran que medir el área de los polígonos N y O. Sus estudiantes no deben medir el área, solo razonar acerca de cómo la hallarían.
Podríamos recortar un cuadrado en trozos pequeños para llenar el espacio.
Podemos medir el área de una figura cerrada llenando la figura con partes de cuadrados.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué las figuras pueden tener la misma área, pero verse diferentes.
Misma figura, diferente área
La clase determina que polígonos que tienen la misma forma pueden tener áreas diferentes.
Pida a sus estudiantes que busquen los polígonos B y E.
¿Qué figuras son los polígonos B y E?
Los dos son cuadrados.
Nota para la enseñanza
A medida que sus estudiantes desarrollan la comprensión del área como atributo, la atención se centra en contar las unidades cuadradas necesarias para cubrir la figura sin espacios ni superposiciones. Si bien es posible que sus estudiantes reconozcan que el área de un rectángulo se puede hallar multiplicando la longitud de los lados, esto no se enseñará formalmente hasta el tema B.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para predecir qué cuadrado ocupa más espacio y por qué.
Indíqueles que trabajen en parejas para cubrir los polígonos B y E usando las fichas cuadradas de plástico y de papel. Dé tiempo para que trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y supervise que estén cubriendo las figuras de manera correcta.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono B?
9
¿Cuál es el área del polígono B en unidades cuadradas?
9 unidades cuadradas
Repita las preguntas para el polígono E.
Presente el siguiente enunciado: Polígonos que tienen la misma forma tienen diferentes áreas.
Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Anime a sus estudiantes a usar ejemplos de sus sets de polígonos para apoyar su razonamiento.
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos correctos y ejemplos erróneos para apoyar sus afirmaciones. Guíe a la clase para llegar a la siguiente conclusión: el enunciado es verdadero a veces, porque el mismo tipo de polígono puede tener diferentes tamaños y, por lo tanto, tener diferentes áreas.
Piensen en los cuadriláteros que dibujaron en parejas al inicio de la lección. Las figuras se veían parecidas, pero el espacio en su interior podía ser diferente. El área es el atributo que describe la cantidad de espacio dentro de una figura. Polígonos que tienen la misma forma pueden tener áreas diferentes.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a un grupo de estudiantes que usen sus fichas cuadradas para construir cuadrados con el fin de demostrar cómo el área de figuras que tienen la misma forma puede ser diferente.
Desafíe a sus estudiantes a describir el patrón y predecir cómo sería el área de la sexta figura si el patrón continuara.
Diferente figura, misma área
La clase determina que polígonos que tienen formas diferentes pueden tener la misma área.
Pida a sus estudiantes que busquen los polígonos I y D. Pídales que se reúnan y conversen en parejas para predecir qué polígono ocupa más espacio y por qué.
Indíqueles que trabajen en parejas para cubrir los polígonos I y D usando las fichas cuadradas de plástico o de papel. Dé tiempo para que trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y supervise que estén cubriendo los polígonos de manera correcta.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono D?
5
¿Cuál es el área del polígono D en unidades cuadradas?
5 unidades cuadradas
Repita las preguntas para el polígono I.
Presente el siguiente enunciado: Polígonos que tienen formas diferentes tienen la misma área.
Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Anime a sus estudiantes a usar ejemplos de sus sets de polígonos para apoyar su razonamiento.
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos correctos y ejemplos erróneos para apoyar sus afirmaciones. Guíe a la clase para llegar a la siguiente conclusión: el enunciado es verdadero a veces, porque figuras diferentes pueden ocupar la misma cantidad de espacio.
El área mide la cantidad de espacio plano que ocupa una figura. Una misma cantidad de espacio plano puede dividirse y organizarse en diferentes formas, lo que significa que figuras diferentes pueden tener la misma área. El área es un atributo de las figuras, como lo son el número de lados y el número de ángulos.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen para resumir lo que saben ahora acerca del área. Preste atención a la precisión de sus definiciones, al énfasis en las unidades cuadradas y a que mencionen que las figuras deben cubrirse sin espacios ni superposiciones. Sus estudiantes deben reconocer que todas las figuras tienen área.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Reconocer el área como un atributo de los polígonos
Guíe una conversación acerca del área como un atributo de los polígonos.
¿Qué es el área?
El área es la cantidad de espacio plano que ocupa una figura.
¿Por qué se mide el área en unidades cuadradas?
Cuando medimos el área, llenamos el espacio dentro de la figura con cuadrados o partes de cuadrados.
Muestre el siguiente enunciado: Los rectángulos son las únicas figuras que tienen área.
Pregunte a sus estudiantes si están de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado y por qué.
No estoy de acuerdo. Otras figuras también ocupan espacio. Hallamos el área de algunas figuras que no son rectángulos.
¿Cómo es posible que polígonos diferentes tengan la misma área?
La misma cantidad de espacio plano puede tener una forma diferente, pero, aun así, ocupar la misma cantidad de espacio.
La misma cantidad de espacio plano puede reorganizarse para formar diferentes figuras.
No importa cómo se organice, la cantidad de espacio no cambia.
¿Es posible que polígonos que tienen la misma forma tengan áreas diferentes? Expliquen.
Sí. Polígonos que tienen la misma forma, pero son de tamaños diferentes, tendrán áreas diferentes.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa fichas cuadradas de papel para cubrir las figuras. Traza líneas para mostrar donde se juntan las fichas.
Luego, escribe el área de cada figura en unidades cuadradas.
1.
6 unidades cuadradas 2.
3 unidades cuadradas 4.
6 unidades cuadradas
5. Casey usa unidades cuadradas para hallar el área de un rectángulo. Hace un dibujo para mostrar su trabajo.
a. ¿Cuántos cuadrados usa Casey para cubrir el rectángulo?
Casey usa 12 cuadrados.
b. ¿Cuál es el área del rectángulo en unidades cuadradas? Explica cómo hallaste la respuesta.
El área del rectángulo es 12 unidades cuadradas. Lo sé porque necesité 12 cuadrados para cubrir el rectángulo sin espacios ni superposiciones.
6. Cada representa 1 unidad cuadrada.
Rectángulo A Rectángulo B Rectángulo C
a. ¿Cuál de los rectángulos tiene el área más grande?
El rectángulo A tiene el área más grande.
b. Explica cómo hallaste qué rectángulo tiene el área más grande.
Hallé qué rectángulo tiene el área más grande contando las unidades cuadradas en cada rectángulo. Luego, comparé el número de unidades cuadradas en cada rectángulo.
El rectángulo A tiene la mayor cantidad de unidades cuadradas; entonces, tiene el área más grande.
5 unidades cuadradas
Cubrir los polígonos con fichas cuadradas para hallar sus áreas
Usa cuadrados para cubrir la figura. Traza líneas para mostrar donde se juntan los cuadrados. Luego, halla el área de la figura.
1.
Área: 7 unidades cuadradas
2. Usa cuadrados para formar una figura diferente con la misma área que la figura del problema 1. Dibuja tu figura.
Ejemplo:
Vistazo a la lección
La clase cubre polígonos con fichas cuadradas para medir el área y usa las fichas para formar diferentes polígonos con la misma área. Dibujan representaciones para mostrar el área de un polígono.
Preguntas clave
• ¿Cómo pueden usar fichas para medir el área?
• ¿Cómo pueden tener la misma área figuras que se ven diferentes?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas. (3.MD.C.5, 3.MD.C.5.a, 3.MD.C.5.b)
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Diferente figura, misma área
• Componer unidades cuadradas para formar una nueva figura
• Analizar un dibujo
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• polígonos recortados
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• fichas cuadradas de papel de 1 pulgada (20)
Estudiantes
• Práctica veloz: Sumar o restar hasta el 1,000 (en el libro para estudiantes)
• polígonos recortados
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• fichas cuadradas de papel de 1 pulgada (20)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Reúna los polígonos que recortaron de las hojas extraíbles de Polígonos para clasificar en la lección 1.
• Reúna las fichas de papel que recortaron de la hoja extraíble de Fichas cuadradas de una pulgada en la lección 2.
Fluidez
Práctica veloz: Sumar o restar hasta el 1,000
EUREKA MATH2 3
Materiales: E) Práctica veloz: Sumar o restar hasta el 1,000
M4 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar o restar hasta el 1,000
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la suma y la resta hasta el 1,000.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 340 + 240 = 580
2. 580 340 = 240
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo pueden usar el problema 1 para resolver los problemas 2 a 4?
• ¿Qué observan acerca de los problemas 6 a 10?
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de seis en seis desde el 60 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase aplica los atributos de los polígonos para describir diferentes figuras que tienen la misma área.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo?
Muestre la imagen de las cuatro figuras e invite a sus estudiantes a analizarlas.
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que enfaticen el razonamiento sobre los atributos de los polígonos.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Considere hacer las siguientes preguntas para guiar una conversación.
¿Cómo les ayuda pensar en una figura que describa un elemento, pero no los otros, para identificar cuál no pertenece?
La figura de la parte de arriba a la izquierda no pertenece porque es la única figura que es un cuadrado.
La figura de la parte de arriba a la derecha no pertenece porque no es un cuadrilátero.
¿Cómo les ayuda pensar en los atributos para identificar cuál no pertenece?
La figura de la parte de abajo a la izquierda no pertenece porque todas las otras figuras tienen únicamente ángulos rectos.
La figura de la parte de arriba a la izquierda no pertenece porque tiene 2 pares de lados de la misma longitud.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar una lista de atributos, parecida a las usadas para clasificar polígonos en la tabla de la lección 1, junto con los nombres de las figuras que tienen esos atributos. Esto servirá de apoyo para que sus estudiantes determinen y expliquen por qué las figuras no pertenecen.
Piensen en las estrategias que podrían usar para hallar el área de cada figura. ¿Hay una que sea diferente a las otras?
La figura de la parte de abajo a la izquierda no pertenece porque hay que combinar 2 mitades de cuadrados para hallar el área.
¿Qué tienen en común las cuatro figuras?
Son polígonos con un área de 4 unidades cuadradas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos el área de polígonos y formaremos diferentes figuras que tengan la misma área.
Aprender
Diferente figura, misma área
Materiales: M) Polígonos, fichas cuadradas de papel, fichas cuadradas de plástico
La clase determina que figuras diferentes pueden tener la misma área.
Pida a sus estudiantes que busquen el polígono H.
Indíqueles que trabajen en parejas para cubrir el polígono H usando las fichas cuadradas de plástico o de papel. Dé tiempo para que trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y asegúrese de que estén cubriendo el polígono de manera correcta.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono H?
6
¿Cuál es el área del polígono H en unidades cuadradas?
6 unidades cuadradas 35
Pida a sus estudiantes que tracen líneas en el polígono H para mostrar donde se juntan los cuadrados y que escriban 6 unidades cuadradas en la parte de atrás del polígono.
¿Qué otras figuras de nuestro set de polígonos tienen un área de 6 unidades cuadradas?
Dé tiempo para que sus estudiantes hallen los polígonos A y C.
Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Qué figuras son los polígonos A y C?
Rectángulos
¿El polígono H es un rectángulo?
No.
H 6 unidades cuadradas
¿Por qué el polígono H tiene la misma área que los polígonos A y C, si es una figura diferente?
Ocupan la misma cantidad de espacio plano, entonces, tienen la misma área.
Las 6 unidades cuadradas simplemente están organizadas de modo tal que forman una figura diferente. Las figuras no tienen que verse iguales para tener la misma área.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué las figuras pueden verse diferentes, pero tener la misma área.
Componer unidades cuadradas para formar una nueva figura
La clase halla el área de una figura y compone una figura diferente con la misma área.
Pida a sus estudiantes que busquen el polígono L.
Pídales que se reúnan y conversen en parejas para hallar el área del polígono L.
¿Cuántos cuadrados se necesitan para cubrir el polígono L?
10
¿Cuál es el área del polígono L en unidades cuadradas?
10 unidades cuadradas
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere registrar en un afiche de referencia las respuestas de sus estudiantes acerca de por qué las figuras pueden verse diferentes, pero tener la misma área. Use diferentes colores, dibujos rotulados y líneas punteadas y entrecortadas como ayuda para destacar las ideas clave.
A lo largo del tema, permita que sus estudiantes consulten el afiche y revisen su razonamiento inicial. Es posible que quieran aclararlo, ampliarlo o mostrar conexiones con otras ideas.
Pida a sus estudiantes que tracen líneas en el polígono L para mostrar donde se juntan los cuadrados y que escriban 10 unidades cuadradas en la parte de atrás del polígono.
L 10 unidades cuadradas
Indíqueles que usen 10 cuadrados para formar una figura diferente con un área de 10 unidades cuadradas. Dé tiempo para que las parejas trabajen. Recorra el salón de clases y supervise que las fichas no tengan espacios entre ellas ni estén superpuestas. Las fichas deben estar conectadas por sus lados, no por sus esquinas.
¿Cómo se compara el área de sus figuras con el área del polígono L? ¿Cómo lo saben?
Tienen la misma área. Usé 10 cuadrados para cada figura.
Pida a sus estudiantes que dibujen sus figuras en las pizarras blancas individuales y tracen líneas para mostrar donde se juntan los cuadrados.
Considere repetir la secuencia para que hallen el área del polígono J y para que compongan y dibujen una figura diferente con la misma área.
Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a elegir otros polígonos del set y componer diferentes figuras con la misma área.
Pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de sus estrategias para componer figuras con un área dada.
DUA: Acción y expresión
Represente cómo hacer un dibujo de una figura trazando los bordes de las fichas para formar el contorno. Como alternativa a hacer un dibujo de la nueva figura, considere ofrecer a sus estudiantes la opción de representarla pegando las fichas de papel a una hoja.
Sombrear cuadrados en papel cuadriculado se reserva para cuando sus estudiantes hallen el área en una cuadrícula en la lección 4.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a un grupo de estudiantes que creen figuras con un área específica usando una combinación de mitades de cuadrados y cuadrados enteros, o usando solo mitades de cuadrados. Comente las estrategias de sus estudiantes y amplíe el razonamiento de la clase por medio de preguntas que incentiven el razonamiento matemático como las siguientes:
• Construyan una figura con un área de 10 unidades cuadradas usando más mitades de cuadrados que cuadrados enteros. ¿Cómo hallaron cuántas mitades de cuadrados usar? ¿Todas las combinaciones de cuadrados enteros y mitades de cuadrados para formar 10 tienen un número par de mitades de cuadrados? ¿Por qué?
• Construyan una figura con un área de 10 unidades cuadradas usando solo mitades de cuadrados. ¿Cuántas mitades de cuadrados forman 1 unidad cuadrada? ¿Cuántas mitades de cuadrados forman 10 unidades cuadradas?
Analizar un dibujo
La clase identifica y corrige errores en un dibujo de una figura.
Muestre la imagen de la figura cubierta con fichas cuadradas y el dibujo.
Esta es la figura que Casey creó con la misma área que el polígono J y el dibujo que hizo de su figura.
¿Cuál es el área de la figura de Casey?
8 unidades cuadradas
Dé a sus estudiantes 1 minuto para que observen el dibujo y lo comparen con las fichas.
¿Qué observan sobre el dibujo? ¿Qué errores cometió Casey?
Los cuadrados no tienen todos el mismo tamaño.
Las piezas no están alineadas correctamente. Las esquinas no se juntan en los lugares correctos y el cuadrado de la parte de abajo está superpuesto con los que están arriba.
Pida a sus estudiantes que hagan un dibujo correcto de la figura de Casey en sus pizarras blancas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué es importante para hacer un dibujo preciso.
Las fichas no pueden superponerse y no debe haber espacios entre ellas.
Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a componer y dibujar sus propias figuras. Si es necesario, pueden trazar los cuadrados para crear el dibujo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando comenta los errores en el ejemplo de trabajo y, luego, dibuja su versión corregida.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Con qué partes del dibujo de Casey están en desacuerdo? ¿Por qué?
• ¿Qué cambios le harían al dibujo de Casey para que sea más preciso?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Cubrir los polígonos con fichas cuadradas para hallar sus áreas
Guíe una conversación acerca de cubrir con fichas cuadradas para medir el área.
¿Cómo pueden usar fichas para medir el área?
Podemos colocar fichas cuadradas del mismo tamaño una al lado de la otra sin espacios para medir el área. Luego, contamos el número de unidades cuadradas que usamos.
Sabemos que 2 mitades forman 1 entero; entonces, podemos usar cuadrados enteros o mitades de cuadrados para cubrir las figuras. El número total de unidades cuadradas usadas es el área.
Muestre la imagen de las figuras con un área de 10 unidades cuadradas y haga las siguientes preguntas.
¿Cuál de las figuras parece tener el área más grande?
La figura apilada que parece una pirámide al revés.
La figura de la izquierda que parece un 6.
Contemos para hallar el área de cada figura.
¿Cómo pueden tener la misma área figuras que se ven diferentes?
El número total de fichas cuadradas representa el área. Podemos organizar las fichas cuadradas de manera diferente, pero aún tenemos el mismo número de fichas.
Muestre Farbtafel, 1930, de Paul Klee.
Esta pintura se llama Farbtafel. El artista que la pintó se llama Paul Klee. En sus pinturas, usaba colores para mostrar emociones.
Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte:
• ¿Qué observan en la pintura?
• ¿Qué se preguntan?
Guíe a sus estudiantes para que reflexionen acerca de la pintura en función de sus experiencias con matrices y con cubrir polígonos con fichas.
¿En qué se parece la pintura a las matrices que hemos usado? ¿En qué se diferencia?
Hay 5 filas y 7 columnas.
Es diferente porque los cuadrados de la primera columna son más pequeños que los otros, y los cuadrados de la última columna son más grandes que los otros.
Las figuras parecen cuadrados, pero no son exactamente cuadrados. Algunas de las líneas no son rectas y no todos los lados tienen la misma longitud.
¿En qué se parece la pintura a cubrir un polígono con fichas cuadradas? ¿En qué se diferencia?
Se llenó el espacio con figuras que son casi cuadrados.
Creo que veo espacios. Hay pequeños espacios negros entre algunos de los cuadrados.
Los cuadrados que son muy grandes crean superposiciones.
Si hay tiempo suficiente, use las siguientes preguntas para que la clase profundice la exploración de la obra de arte:
• El artista quería mostrar emoción. ¿En qué emociones les hace pensar la pintura?
• ¿Qué observan acerca de los colores de los cuadrados? ¿Ven algún patrón en los colores?
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
ANúmero de respuestas correctas: Completa las ecuaciones. 1.
6. Usa cuadrados para formar una figura diferente con la misma área que la figura del problema 5. Dibuja tu figura.
Ejemplo:
7. Usa cuadrados para cubrir la figura. Traza líneas para mostrar donde se juntan los cuadrados. Luego, halla el área de la figura.
9. Oka usa cuadrados para hallar el área de un rectángulo. ¿Qué errores comete Oka?
Área: 7 unidades cuadradas
8. Usa cuadrados para formar una figura diferente con la misma área que la figura del problema 7. Dibuja tu figura.
Ejemplo:
Oka deja espacios y superposiciones entre los cuadrados.
10. Robin e Iván usan cuadrados para formar figuras. Iván dice: “Mi figura tiene un área más grande que la figura de Robin”. ¿Estás de acuerdo con Iván? ¿Por qué?
Figura de Robin Figura de Iván
No, no estoy de acuerdo con Iván. Su figura no tiene un área más grande que la figura de Robin, porque las figuras tienen la misma área, 14 unidades cuadradas.
Componer rectángulos para comparar las áreas
Vistazo a la lección
La clase construye rectángulos usando cuadrados de diferentes tamaños y observa que unidades diferentes cubren cantidades de espacio diferentes. Definen y miden pulgadas cuadradas y centímetros cuadrados y usan estas unidades para describir y comparar áreas de rectángulos. En esta lección se formalizan los términos longitud del lado, pulgada cuadrada y centímetro cuadrado.
es 1 centímetro cuadrado. Cada es 1 pulgada cuadrada.
¿Las figuras de cada par tienen la misma área? Explica.
1. Figura A Figura B
Las figuras no tienen la misma área. La figura A tiene un área de 2 centímetros cuadrados, y la figura B tiene un área de 2 pulgadas cuadradas.
2. Figura C Figura D
Preguntas clave
• ¿Qué es una pulgada cuadrada y qué es un centímetro cuadrado?
• ¿Por qué es importante nombrar con precisión las unidades para medir el área?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas.
(3.MD.C.5, 3.MD.C.5.a, 3.MD.C.5.b)
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
Las figuras tienen la misma área. Cada una tiene un área de 16 centímetros cuadrados.
EUREKA MATH
Nombre
Cada
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Nombrar con precisión las unidades cuadradas
• Unidades precisas en papel cuadriculado
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (24)
• fichas cuadradas de un centímetro (24)
• regla
• Cuadrículas en pulgadas y en centímetros (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (24)
• fichas cuadradas de un centímetro (24)
• regla
• Cuadrículas en pulgadas y en centímetros (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Cuadrículas en pulgadas y en centímetros del libro para estudiantes con antelación o si las retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Polígonos y atributos
La clase dibuja un polígono con un atributo dado y halla otros polígonos con el mismo atributo para desarrollar la comprensión de los polígonos y sus atributos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el atributo: 4 lados.
Dibujen un polígono con 4 lados.
Muestre los 3 polígonos rotulados con letras.
¿Cuál o cuáles de los polígonos tienen 4 lados? Escriban la letra o las letras.
Muestre los polígonos A y C encerrados en un círculo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Atributo: Al menos 1 par de lados paralelos
D F E
Atributo: 2 pares de lados paralelos L M K
Atributo: 4 lados A C B
Atributo: Lados opuestos de la misma longitud
Atributo: 4 lados de la misma longitud
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de siete en siete y de nueve en nueve y practicar una estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 7. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 79 × 77 × 7
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de nueve en nueve, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 45.
Presentar
Materiales: M/E) Fichas cuadradas de una pulgada, fichas cuadradas de un centímetro
La clase construye rectángulos usando cuadrados de una pulgada y de un centímetro para hallar y comparar áreas.
Pida a sus estudiantes que construyan un rectángulo usando 10 fichas cuadradas de una pulgada.
Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Busque ejemplos de trabajo que muestren 1 fila de 10 y 2 filas de 5.
Muestre la imagen de los dos rectángulos posibles.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas.
¿Las dos figuras son rectángulos? ¿Cómo lo saben?
Sé que las dos figuras son rectángulos porque tienen 4 lados, y los lados opuestos tienen la misma longitud.
También tienen 4 ángulos rectos.
¿Estos rectángulos tienen la misma área? ¿Cómo lo saben?
Sí, el área de cada uno es 10 unidades cuadradas. Conté las fichas cuadradas.
Repita el proceso con las fichas cuadradas de un centímetro.
Muestre la imagen de los cuatro rectángulos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las siguientes preguntas.
Amy dice que el área de los rectángulos formados por fichas cuadradas de un centímetro es diferente del área de los rectángulos formados por fichas cuadradas de una pulgada. Iván dice que, como todos los rectángulos están formados por 10 fichas cuadradas, deben tener la misma área.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando distingue entre diferentes unidades cuadradas y reconoce cómo se relaciona la elección de la unidad con el área de la figura.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta al medir las áreas de estos rectángulos?
• ¿Es correcto y preciso decir que el área de este rectángulo es 10? ¿Qué podemos decir para expresar esto con más precisión?
¿Las áreas son iguales o diferentes?
Son diferentes. Las unidades son de tamaños diferentes; entonces, las áreas son diferentes.
¿Qué podríamos hacer con nuestras fichas cuadradas para mostrar que las áreas son diferentes?
Podríamos mostrar que las fichas de una pulgada cubren más espacio plano; entonces, tienen un área más grande. Podríamos colocar los rectángulos formados por fichas cuadradas de un centímetro sobre los rectángulos formados por fichas cuadradas de una pulgada para comparar los tamaños.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo creen que podrían describir las áreas de las figuras.
Los cuadrados son de tamaños diferentes; entonces, necesitamos nombrar las unidades cuadradas con mayor precisión.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, nombraremos con precisión las unidades para describir y comparar las áreas de rectángulos.
Aprender
Nombrar con precisión las unidades cuadradas
Materiales: M/E) Fichas cuadradas de una pulgada, regla, fichas cuadradas de un centímetro
La clase mide y clasifica unidades de fichas cuadradas en pulgadas cuadradas o centímetros cuadrados.
Muestre una de las fichas cuadradas de una pulgada.
Examinemos las fichas cuadradas con atención para ver si podemos describir sus áreas con más precisión que usando solo el término unidad cuadrada.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para medir las longitudes de los lados de una de las fichas cuadradas usando el lado de la regla que mide en pulgadas.
Nota para la enseñanza
Un concepto erróneo común es que sus estudiantes crean que, como todos los rectángulos están formados por 10 fichas cuadradas, todos tienen la misma área. Considere darles tiempo para que coloquen la matriz de fichas cuadradas de un centímetro sobre la matriz de fichas cuadradas de una pulgada y comparen la cantidad de espacio que cubre cada matriz.
¿Qué observan acerca de la longitud del lado, o la longitud de cada lado?
Cada lado mide 1 pulgada.
Cuando todos los lados de un rectángulo son iguales, ¿cuál es el nombre de la figura?
Cuadrado
Dado que cada lado del cuadrado mide 1 pulgada, llamamos pulgada cuadrada al área de cada uno de estos cuadrados.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué el área de cada cuadrado se denomina pulgada cuadrada.
Es como una unidad cuadrada, pero todos los lados miden 1 pulgada de largo en lugar de 1 unidad de largo.
Todos los lados miden 1 pulgada de largo, entonces, el área es una pulgada cuadrada.
Muestre una de las fichas cuadradas de un centímetro. Repita el proceso de explorar y nombrar el área del cuadrado cubierta por una ficha cuadrada como centímetro cuadrado.
Construya y muestre dos rectángulos de 1 por 10, uno con fichas cuadradas de una pulgada y el otro con fichas cuadradas de un centímetro. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para explicar si las áreas de estos dos rectángulos son iguales usando los nombres precisos de las unidades.
Las áreas de los rectángulos no son iguales. El rectángulo construido con fichas cuadradas de una pulgada tiene un área de 10 pulgadas cuadradas. El rectángulo construido con fichas cuadradas de un centímetro tiene un área de 10 centímetros cuadrados. Son de diferentes tamaños.
Muestre los rectángulos de 2 por 5 construidos con fichas cuadradas de una pulgada y fichas cuadradas de un centímetro.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar el área de los rectángulos. Anímeles a usar los nombres precisos de cada unidad cuadrada durante la conversación.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere apoyar a sus estudiantes en el uso del término longitud del lado dibujando una ficha cuadrada y rotulando uno de los lados como Longitud del lado: 1 pulgada.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere hacer un afiche para definir pulgada cuadrada y centímetro cuadrado Incluya una imagen rotulada de cada uno, como la siguiente.
Unidades precisas en papel cuadriculado
Materiales: M/E) Cuadrículas en pulgadas y en centímetros, fichas cuadradas de una pulgada, fichas cuadradas de un centímetro
La clase construye y traza rectángulos con un área dada, en papel cuadriculado.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Cuadrículas en pulgadas y en centímetros de sus libros y usen la hoja que contiene ambos tamaños de cuadrículas.
Indíqueles que, en la cuadrícula en pulgadas de la parte superior de la hoja, coloquen una ficha de una pulgada sobre un cuadrado de la cuadrícula. Considere guiar una conversación acerca de cómo se relaciona la cuadrícula en pulgadas con las fichas cuadradas de una pulgada.
¿Qué les indican las fichas cuadradas acerca del tamaño de los cuadrados de la cuadrícula?
Los cuadrados tienen el mismo tamaño que las fichas.
Cada cuadrado tiene un área de 1 pulgada cuadrada. La longitud de cada lado es 1 pulgada.
Invite a sus estudiantes a usar 12 fichas cuadradas de una pulgada para construir un rectángulo, alineando las fichas cuadradas con las líneas de la cuadrícula a medida que lo construyen. Luego, pídales que tracen el contorno del rectángulo en la cuadrícula, quiten las fichas y sombreen el rectángulo. Como alternativa, es posible que a sus estudiantes les resulte más fácil sombrear el rectángulo primero y, luego, trazar el contorno.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las siguientes preguntas.
¿Cuál es el área de su rectángulo?
12 pulgadas cuadradas
Comparen su rectángulo con el rectángulo de su pareja de trabajo. ¿Son iguales? ¿En qué se diferencian?
Sí, son iguales. Tanto mi pareja de trabajo como yo hicimos una matriz con 2 filas de 6.
No, se ven diferentes. Las longitudes de los lados de mi rectángulo son 3 pulgadas y 4 pulgadas, y las longitudes de los lados del rectángulo de mi pareja de trabajo son 6 pulgadas y 2 pulgadas.
¿El área de su rectángulo y el de su pareja de trabajo es la misma? ¿Por qué?
Sí, es la misma. Usamos 12 fichas cuadradas de una pulgada para construir cada rectángulo; entonces, los dos rectángulos tienen un área de 12 pulgadas cuadradas.
Repita el proceso con 12 fichas cuadradas de un centímetro usando la cuadrícula en centímetros que se encuentra en la parte inferior de la hoja.
Elija y muestre dos rectángulos diferentes que hayan creado sus estudiantes en el papel cuadriculado en centímetros. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los rectángulos que formaron usando fichas cuadradas de una pulgada tienen la misma área que los rectángulos que formaron usando fichas cuadradas de un centímetro. Anime a sus estudiantes a usar centímetros cuadrados y pulgadas cuadradas en la explicación.
Si hay tiempo suficiente, pídales que sombreen, tracen el contorno y comparen rectángulos con un área de 24 unidades cuadradas en las cuadrículas en centímetros y en pulgadas. Anímeles a que construyan diferentes rectángulos, por ejemplo, de 2 por 12, 3 por 8 y 4 por 6.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo nombrar las unidades con precisión sirve de ayuda para describir el área de los rectángulos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Participación
A medida que sus estudiantes construyen otros rectángulos con áreas de 24 unidades cuadradas, considere brindarles una retroalimentación orientada al dominio. Céntrese en las estrategias que sus estudiantes utilizan para probar diferentes longitudes de los lados y en que se den cuenta cuando hayan duplicado un rectángulo que ya hicieron antes.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Componer rectángulos para comparar las áreas
Guíe una conversación acerca de la importancia de nombrar las unidades con precisión y de cómo nombrarlas con precisión.
Pida a sus estudiantes que observen los rectángulos que dibujaron en los problemas 5 y 6 del Grupo de problemas.
¿En qué se parecen los rectángulos? ¿En qué se diferencian?
Los dos rectángulos están compuestos por 10 cuadrados. Las longitudes de los lados están formadas por 2 cuadrados y 5 cuadrados cada una.
El primer rectángulo está dibujado en pulgadas y el segundo rectángulo está dibujado en centímetros. Entonces, el área del primer rectángulo es 10 pulgadas cuadradas, que es más grande que 10 centímetros cuadrados.
¿Cómo explicarían cuánto ocupa el área de 1 pulgada cuadrada? ¿Y la de 1 centímetro cuadrado?
Una pulgada cuadrada es el área cubierta por un cuadrado con lados de 1 pulgada. 1 centímetro cuadrado es el área cubierta por un cuadrado con lados de 1 centímetro.
Es una unidad de área más pequeña que 1 pulgada cuadrada.
¿Por qué es importante nombrar con precisión las unidades para describir el área?
Nombrar las unidades con precisión sirve de ayuda para saber cuál es el tamaño del rectángulo. Dos rectángulos pueden estar formados por el mismo número de unidades cuadradas, pero, si las unidades son de tamaños diferentes, las áreas serán diferentes.
DUA: Acción y expresión
Considere hacer las siguientes preguntas para guiar una conversación que ayude a sus estudiantes a autoevaluarse:
• ¿Qué hicimos hoy que les ayudó a comprender cómo describir con precisión el área de un rectángulo?
• ¿Qué fue confuso o difícil de comprender?
• ¿Qué conexiones observan entre el trabajo de hoy y otros conceptos matemáticos?
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
el área de cada rectángulo. Encierra en un círculo las unidades correctas.
5. Sombrea cuadrados para formar un rectángulo con un área de 10 pulgadas cuadradas.
Ejemplo:
Nombre
Halla
6. Sombrea cuadrados para formar un rectángulo con un área de 10 centímetros cuadrados.
Ejemplo:
7. Amy dice que los rectángulos que formó en los problemas 5 y 6 tienen la misma área. ¿Estás de acuerdo con Amy? ¿Por qué?
No, no estoy de acuerdo con Amy, porque los dos rectángulos tienen 10 cuadrados, pero las unidades son diferentes. El rectángulo del problema 5 tiene un área más grande que el rectángulo del problema 6 porque está formado por pulgadas cuadradas, que son más grandes que los centímetros cuadrados.
Área: 6 centímetros cuadrados 2.
Relacionar las longitudes de los lados con el número de fichas cuadradas que cubren un lado
Vistazo a la lección
La clase mide las longitudes de los lados de fichas cuadradas y las relaciona con las unidades de longitud. Construyen rectángulos usando fichas cuadradas y los trazan en una cuadrícula. Luego, retiran la cuadrícula y dibujan por su cuenta para confirmar el área del rectángulo.
Preguntas clave
• ¿Cómo se relaciona la longitud de un lado de un rectángulo con las fichas que forman ese lado?
• ¿En qué se diferencian las unidades que se usan para medir el área de las unidades que se usan para medir la longitud?
• ¿Por qué es útil saber que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud?
Criterios de logro académico
Área: 5 pulgadas cuadradas 3.
3.Mód4.CLA1 Reconocen que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud y relacionan la longitud de los lados con el número de fichas cuadradas. (3.MD.C.5)
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas. (3.MD.C.5, 3.MD.C.5.a, 3.MD.C.5.b)
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
EUREKA MATH
Nombre
Mide y rotula las longitudes de los lados de cada rectángulo. Luego, halla el área.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Medir las longitudes de los lados de un rectángulo
• Rotular las longitudes de los lados de un rectángulo
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• regla
• fichas cuadradas de un centímetro (30)
• Cuadrícula en pulgadas (en la edición para la enseñanza)
• Cuadrícula en centímetros (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (20)
• regla
• fichas cuadradas de un centímetro (30)
• Cuadrícula en pulgadas (en el libro para estudiantes)
• Cuadrícula en centímetros (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Cuadrícula en pulgadas y Cuadrícula en centímetros del libro para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas individuales con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Polígonos y atributos
La clase dibuja un polígono con un atributo dado y halla otros polígonos con el mismo atributo para desarrollar la comprensión de los polígonos y sus atributos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el atributo: 4 lados.
Dibujen un polígono con 4 lados.
Muestre los 3 polígonos rotulados con letras.
¿Cuál o cuáles de los polígonos tienen 4 lados? Escriban la letra o las letras.
Muestre los polígonos A y B encerrados en un círculo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Atributo: Al menos 1 par de lados paralelos
Atributo: 2 pares de lados paralelos L K M
Atributo: 4 lados
B A
Atributo: Lados opuestos de la misma longitud
Atributo: 4 lados de la misma longitud
Contar
de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 6 u 8 para adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 6. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 69 × 67 × 6
Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Presentar
Materiales: E) Fichas cuadradas de una pulgada, regla, fichas cuadradas de un centímetro
La clase explora la relación entre las medidas de longitud y los números de fichas cuadradas y de cubos.
Muestre la imagen de la ficha cuadrada y la regla. Dé tiempo para que sus estudiantes analicen la imagen y, luego, haga las siguientes preguntas.
¿Es esta una forma precisa de medir la longitud del lado de la ficha cuadrada de un centímetro?
No.
¿Cómo podemos medir correctamente la longitud del lado?
Podemos colocar la ficha para comenzar en el 0.
¿Qué necesitamos hacer para corregir el error?
Necesitamos mover la ficha de manera que el borde esté sobre la marca del 0.
Use una secuencia similar para las otras tres imágenes de las fichas cuadradas y las reglas.
Invite a sus estudiantes a colocar una ficha cuadrada de una pulgada al inicio del lado en pulgadas de una regla. Indíqueles que alineen el borde izquierdo de la ficha con la marca de graduación del 0.
Sabemos que la longitud de 1 lado de la ficha cuadrada de una pulgada es 1 pulgada.
¿Cuál creen que es la longitud de 2 fichas cuadradas? 5
Pida a sus estudiantes que coloquen otra ficha cuadrada de una pulgada a lo largo del lado en pulgadas de la regla y comprueben su predicción. Indíqueles que agreguen más fichas cuadradas de una pulgada a lo largo del lado de la regla y observen las medidas.
¿Qué observaron acerca del número de fichas cuadradas de una pulgada y la longitud en pulgadas en la regla?
El número de fichas cuadradas era el mismo que la longitud en pulgadas de las fichas cuadradas.
Invite a sus estudiantes a usar fichas cuadradas de un centímetro y el lado en centímetros de la regla para observar si la misma relación es verdadera. Pídales que prueben con diferentes números de fichas cuadradas de un centímetro.
¿Qué observaron acerca del número de fichas cuadradas de un centímetro y la longitud en centímetros en la regla?
La misma relación era verdadera. El número de fichas cuadradas era el mismo que el número de centímetros.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre el número de fichas cuadradas de una pulgada o de un centímetro y la longitud de sus lados.
El número de fichas cuadradas me indica la longitud del lado. Cuando tenía 6 fichas cuadradas de una pulgada alineadas, la longitud del lado era 6 pulgadas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos acerca de las fichas cuadradas y la longitud de sus lados para hallar el área de rectángulos.
Aprender
Medir las longitudes de los lados de un rectángulo
Materiales: M/E) Fichas cuadradas de una pulgada, regla, fichas cuadradas de un centímetro
La clase relaciona la longitud de los lados de las fichas cuadradas con la longitud de los lados de un rectángulo.
Pida a sus estudiantes que coloquen 4 fichas cuadradas de una pulgada al inicio del lado en pulgadas de la regla. Use una secuencia como la siguiente para ayudarles a aclarar la diferencia entre longitud, área y las unidades que se usan para medir cada una.
Cuando usamos la regla para medir la longitud de estas fichas cuadradas, ¿qué unidad usamos? ¿Cuál es la longitud?
Usamos pulgadas. La longitud es 4 pulgadas.
Invite a sus estudiantes a mostrar la longitud de 4 pulgadas deslizando un dedo a lo largo de la longitud.
Estas fichas cuadradas también forman un rectángulo. ¿Qué unidad usaríamos para medir el área de este rectángulo? ¿Cuál es el área del rectángulo?
Usamos pulgadas cuadradas. El área del rectángulo es 4 pulgadas cuadradas.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es la diferencia entre las unidades que se usan para medir la longitud y las unidades que se usan para medir el área.
Usamos pulgadas o centímetros para medir la longitud. Es como medir el largo de una línea o el lado de las fichas cuadradas.
Usamos pulgadas cuadradas o centímetros cuadrados para medir el área. Medimos la cantidad de espacio plano cubierto por un rectángulo o cubierto por las fichas cuadradas.
DUA: Representación
Considere destacar la relación entre las unidades que se usan para medir la longitud y las unidades que se usan para medir el área. Agregue la información al afiche que creó en la lección 4 para definir cada unidad de medida. Organice la información de manera tal que muestre las relaciones.
Midamos las longitudes de los lados de otro rectángulo.
Invite a sus estudiantes a usar fichas cuadradas de una pulgada para mostrar 5 filas de 3. Luego, pídales que usen una regla para medir la longitud del lado más corto del rectángulo.
¿Cuántas fichas cuadradas de una pulgada hay en el lado más corto?
3 fichas cuadradas
¿Cuál es la longitud del lado más corto en pulgadas?
3 pulgadas
¿Qué observan acerca del número de fichas cuadradas en el lado más corto y la longitud del lado más corto?
Son iguales. Mide 3 pulgadas de largo y hay 3 fichas cuadradas.
Repita el proceso con el lado más largo del rectángulo.
Indique a sus estudiantes que construyan un rectángulo nuevo con 4 filas de 7 fichas cuadradas de un centímetro. Luego, use una secuencia similar para medir cada lado en centímetros.
¿Cuántas fichas cuadradas de un centímetro hay en el lado más largo?
¿Cuál es la longitud del lado más largo en centímetros?
¿Qué observan?
Repita el proceso con el lado más corto del rectángulo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relaciona la longitud de un lado de un rectángulo con el número de fichas cuadradas en ese lado.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando observa, a través de una serie de ejemplos, que el número de fichas cuadradas a lo largo de un lado de un rectángulo está relacionado con la longitud del lado.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrón observan cuando comparan la longitud de un lado de un rectángulo con el número de fichas cuadradas en ese lado?
• ¿El número de fichas cuadradas a lo largo de un lado siempre indica la longitud del lado? Expliquen.
Rotular las longitudes de los lados de un rectángulo
Materiales: M/E) Cuadrícula en pulgadas, Cuadrícula en centímetros
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Cuadrícula en pulgadas y Cuadrícula en centímetros de sus libros y las inserten en sus pizarras blancas.
Dígales que quiere hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de 5 pulgadas y 4 pulgadas. Coloque 5 fichas cuadradas de una pulgada de un color para formar un lado del rectángulo y 4 fichas cuadradas de otro color para formar el otro lado. Demuestre cómo construir el rectángulo de manera incorrecta mientras sus estudiantes observan.
Pregunte si el rectángulo que está construyendo tendrá longitudes de los lados de 5 pulgadas y 4 pulgadas. Si sus estudiantes no advierten el error inmediatamente, use una regla para medir las longitudes de los lados a fin de que observen y describan el error. Guíe una conversación breve acerca de cómo construir el rectángulo correctamente.
Luego, invite a sus estudiantes a usar fichas cuadradas de una pulgada para construir un rectángulo con longitudes de los lados de 5 pulgadas y 4 pulgadas sobre la cuadrícula en pulgadas, alineando las fichas y los cuadrados de la cuadrícula. Dé tiempo para trabajar.
Pídales que tracen el contorno del rectángulo en la cuadrícula y quiten las fichas cuadradas.
Muestre el rectángulo. Señale el lado de 5 pulgadas y haga las siguientes preguntas.
¿Cuántas fichas cuadradas usaron para formar este lado?
¿Cuántas pulgadas creen que mide de largo este lado?
Guíe a sus estudiantes para que, con una regla, midan y rotulen la longitud del lado como 5 pulg.
¿Creen que necesitamos rotular el lado opuesto también? ¿Por qué?
No. Es un rectángulo, y sus lados opuestos tienen la misma longitud. Ya sabemos que ese lado mide 5 pulgadas de largo.
DUA: Acción y expresión
Considere brindar apoyo a sus estudiantes mientras planean cómo construir el rectángulo con longitudes de los lados de 5 pulgadas y 4 pulgadas. Antes de que comiencen, pídales que se detengan y visualicen cómo se verá el rectángulo y, luego, piensen en cuántas fichas cuadradas necesitarán para formar un lado de 5 pulgadas y un lado de 4 pulgadas. Dígales que se tomen tiempo para pensar y planear antes de comenzar la tarea.
Nota para la enseñanza
Es más fácil usar unidades abreviadas al rotular las longitudes de los lados porque ocupan menos espacio.
Sus estudiantes las han visto anteriormente en 2.o grado, pero es posible que necesiten un recordatorio de que pulgada se abrevia pulg y centímetro se abrevia cm.
Use una secuencia similar para medir y rotular el lado de 4 pulgadas del rectángulo. Pida a sus estudiantes que hallen el área del rectángulo.
¿Cuál es el área del rectángulo? ¿Cómo lo saben?
20 pulgadas cuadradas; conté todas las fichas cuadradas de una pulgada.
20 pulgadas cuadradas; conté salteado las fichas en las filas.
Pida a sus estudiantes que retiren las cuadrículas de sus pizarras blancas de modo tal que se vea solo el contorno del rectángulo.
¿Cambiaron el área y las longitudes de los lados del rectángulo?
Siguen siendo las mismas. No cambiamos el rectángulo.
Invite a sus estudiantes a medir las longitudes de los lados del rectángulo con una regla para comprobar que no hayan cambiado.
¿Podemos usar una regla para dibujar nuestra propia cuadrícula? Vamos a intentarlo. De esta manera, podemos asegurarnos de que el área sigue siendo 20 pulgadas cuadradas.
Indique a sus estudiantes cómo hacer pequeñas marcas de graduación en cada pulgada a lo largo de los dos lados de 5 pulgadas. Use una regla para trazar líneas que conecten las marcas de graduación. Repita el proceso con los lados de 4 pulgadas. Antes de borrar el rectángulo, cuente salteado los cuadrados de la cuadrícula usando las filas y las columnas para confirmar que todavía hay 20 pulgadas cuadradas.
Invite a sus estudiantes a insertar la hoja extraíble de Cuadrícula en centímetros en sus pizarras blancas.
Indíqueles que usen fichas cuadradas de un centímetro sobre la cuadrícula para construir un rectángulo con longitudes de los lados de 8 centímetros y 10 centímetros, alineando las fichas con los cuadrados de la cuadrícula.
Cuando sus estudiantes se den cuenta de que no tienen fichas suficientes para construir el rectángulo, diga lo siguiente.
No tenemos suficientes fichas cuadradas de un centímetro para construir este rectángulo.
¿Qué podemos hacer?
Podemos contar los cuadrados de la cuadrícula y dibujar el rectángulo.
Nota para la enseñanza
Es posible que parte de la clase crea que las fichas cuadradas son necesarias para medir el área. No brindar a sus estudiantes suficientes fichas cuadradas de un centímetro para que construyan el rectángulo de 8 centímetros por 10 centímetros crea la oportunidad de ampliar sus destrezas de razonamiento. Para hallar el área sin usar fichas cuadradas, necesitan adaptar y mejorar su estrategia, así como aplicar la comprensión para determinar otra manera de hallar el área del rectángulo.
Pida a sus estudiantes que dibujen el rectángulo y, luego, midan y rotulen las longitudes de los lados. Comenten brevemente de qué manera saber que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud puede servir de ayuda cuando dibujan y rotulan rectángulos. Invite a sus estudiantes a hallar el área y, luego, a retirar la cuadrícula de sus pizarras blancas. Pídales que dibujen su propia cuadrícula para comprobar el área.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia fue más eficiente para hallar el área: usar las fichas cuadradas o la cuadrícula.
Hicimos dos rectángulos diferentes. Las longitudes de los lados de uno eran 5 pulgadas y 4 pulgadas, con un área de 20 pulgadas cuadradas. Las longitudes de los lados del otro rectángulo eran 8 centímetros y 10 centímetros, con un área de 80 centímetros cuadrados.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las siguientes preguntas.
¿Qué representan los rótulos en las longitudes de los lados?
La longitud del lado en centímetros o en pulgadas
Los rótulos representan el número de fichas cuadradas e indican la unidad que se usa para medir.
¿De qué manera las longitudes de los lados sirven de ayuda para hallar el área del rectángulo?
Puedo contar salteado usando las longitudes de los lados en lugar de construir el rectángulo con fichas y contar cada una de ellas.
Podríamos multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área del rectángulo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Relacionar las longitudes de los lados con el número de fichas cuadradas que cubren un lado
Guíe una conversación para resumir lo que aprendieron sus estudiantes acerca de las unidades, las longitudes de los lados y el área.
¿Cómo se relaciona la longitud de un lado de un rectángulo con las fichas que forman ese lado?
La longitud del lado en pulgadas es la misma que el número de fichas cuadradas de una pulgada. La longitud del lado en centímetros es la misma que el número de fichas cuadradas de un centímetro.
¿Por qué es útil saber que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud?
Saber que los lados opuestos tienen la misma longitud significa que solo tenemos que medir 2 lados del rectángulo para saber las longitudes de los 4 lados.
¿En qué se diferencian las unidades que se usan para medir el área de las unidades que se usan para medir la longitud?
Las unidades que miden el área son unidades cuadradas. Ayudan a describir la cantidad de espacio cubierto.
Las unidades que miden la longitud son como una línea recta. Ayudan a describir la longitud de 1 lado de una figura.
¿Cuáles son las diferentes maneras que saben para hallar el área de un rectángulo?
Puedo llenar el rectángulo con fichas cuadradas y contarlas.
Puedo medir y dibujar una cuadrícula dentro del rectángulo, y contar salteado.
Podría multiplicar 2 lados del rectángulo para hallar el área.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Luke usa fichas cuadradas de un centímetro para formar un rectángulo.
7 cm
3 cm
a. Usa una regla para medir las longitudes de los lados del rectángulo. Rotula las longitudes de los lados.
b. Halla el área del rectángulo. Incluye las unidades.
Área: 21 centímetros cuadrados
2. Usa una regla para medir las longitudes de los lados del rectángulo en pulgadas.
Haz una marca de graduación en cada pulgada. Conecta las marcas de graduación para mostrar las pulgadas cuadradas.
Luego, halla el área. Incluye las unidades.
Área: 8 pulgadas cuadradas
4 pulg
2 pulg
3. Usa una regla para medir las longitudes de los lados del rectángulo en centímetros.
Haz una marca de graduación en cada centímetro. Conecta las marcas de graduación para mostrar los centímetros cuadrados.
Luego, halla el área. Incluye las unidades. 4 cm 4 cm
Área: 16 centímetros cuadrados
4. El rectángulo está formado por centímetros cuadrados. Pablo dice que la longitud del lado del rectángulo es 8 centímetros. Deepa dice que la longitud del lado es 4 centímetros. ¿Quién está en lo correcto? ¿Cómo lo sabes?
Usa las longitudes de los lados conocidas para rotular las longitudes de los lados desconocidas de cada rectángulo. El rectángulo B es un cuadrado. 5.
3 centímetros
4 centímetros centímetros
Rectángulo A 4 3 centímetros 6.
Rectángulo B 2 pulgadas 2 pulgadas 2
2 pulgadas pulgadas
Tanto Pablo como Deepa están en lo correcto, porque el rectángulo tiene dos longitudes de los lados diferentes. La longitud del lado superior es 8 centímetros, y la longitud del otro lado es 4 centímetros.
7. Ray dice: “Medí la longitud de los cuatro lados de un rectángulo y obtuve 4 pulgadas, 3 pulgadas, 2 pulgadas y 3 pulgadas”.
¿Ray cometió un error? Explica cómo lo sabes.
Sí, Ray cometió un error. Lo sé porque los lados opuestos de los rectángulos son iguales. Si hubiera medido correctamente, solo habría dos longitudes diferentes, no tres.
GRUPO DE PROBLEMAS
Tema B
Conceptos de la medición del área
En el tema B, la clase desarrolla la comprensión del área usando representaciones y estrategias más abstractas que las fichas concretas y el conteo de cuadrados unitarios que usaron en el tema A. El uso de la multiplicación para hallar el área de rectángulos se desarrolla y afianza a medida que avanza el tema B.
Al comienzo del tema B, sus estudiantes dibujan para completar una matriz parcialmente completada. Después de completarla, cuentan salteado usando las filas o las columnas para hallar el área del rectángulo. Descubren que pueden hallar el área de un rectángulo usando las longitudes de los lados de una matriz incompleta o usando las longitudes de cualquiera de las filas o las columnas del rectángulo. Establecen conexiones con los conceptos de multiplicación de los módulos 1 y 3 cuando completan matrices y cuentan salteado, y comienzan a escribir ecuaciones de multiplicación para representar y hallar el área de rectángulos.
Una vez que sus estudiantes han afianzado su comprensión de que la longitud y el ancho son componentes esenciales para hallar el área de rectángulos, hacen la transición al uso de modelos de área. Los modelos de área requieren dibujar menos que las matrices, especialmente en el caso de longitudes de los lados con números más grandes, y ofrecen la ventaja de representar rectángulos que se miden usando unidades grandes que son difíciles de dibujar a tamaño real. Dado que ya no dependen de una cuadrícula de cuadrados unitarios para contar, sus estudiantes usan la multiplicación como una estrategia eficiente e importante para hallar el área de un rectángulo. La fórmula para hallar el área se presenta formalmente en 4.o grado.
En el tema C, sus estudiantes afianzan su comprensión de la conexión entre el área y la multiplicación al aplicar las propiedades de las operaciones para hallar el área de rectángulos.
Progresión de las lecciones
Lección 6
Cubrir los rectángulos con fichas cuadradas para formar matrices y relacionar las longitudes de los lados con el área
cm 6 cm
Cuando cubro las longitudes de los lados de un rectángulo con fichas cuadradas y, luego, mido las longitudes de los lados con una regla usando la misma unidad, veo que el número de unidades y el número de fichas es el mismo. Puedo contar salteado usando las filas o las columnas de la matriz para hallar el área del rectángulo.
Lección 7
Dibujar filas y columnas para completar una matriz rectangular y determinar su área
Lección 8
Determinar el área de un rectángulo usando las longitudes de los lados
Cuando no puedo ver la matriz completa, puedo usar lo que sé para dibujar el resto de las fichas cuadradas. Cuando sé cuáles son las longitudes de una fila y una columna, tengo suficiente información para hallar el área del rectángulo. Cuando las medidas no tienen una unidad específica, como pulgadas o centímetros, rotulo el área en unidades cuadradas.
Un modelo de área muestra la longitud y el ancho de un rectángulo sin una matriz de cuadrados dentro del rectángulo. Puedo escribir una ecuación de multiplicación que relacione las longitudes de los lados con el área del rectángulo.
Cama
Alfombra Escritorio
Cómoda
Lección 9
Multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo
5 cm 9 cm
Una manera de hallar el área de un rectángulo es multiplicar la longitud y el ancho. Es como llenar una matriz con todas las unidades cuadradas necesarias para cubrir el rectángulo. Cuando sé cuál es la longitud de uno de los lados y el área del rectángulo, puedo usar una ecuación de factor desconocido para hallar la otra longitud del lado.
Cubrir los rectángulos con fichas cuadradas para formar matrices y relacionar las longitudes de los lados con el área
Vistazo a la lección
La clase marca fichas cuadradas en papel cuadriculado y dibuja sus propias cuadrículas para formar rectángulos, contar los cuadrados y hallar el área. Se les anima a elegir un método de conteo eficiente, como el conteo salteado. A lo largo de la lección, relacionan las longitudes de los lados con el número de filas o columnas en el rectángulo.
Preguntas clave
• ¿Cómo se relacionan las filas y las columnas de una matriz con las longitudes de los lados y el área de un rectángulo?
• ¿Cómo podemos contar de manera eficiente para hallar el área de un rectángulo?
Criterios de logro académico
a. Usa una regla para hallar la longitud del lado desconocida.
b. Dibuja las fichas cuadradas que faltan en el rectángulo.
c. Escribe una ecuación para mostrar cómo hallar el área del rectángulo.
7 × 4 = 28
d. Área: 28 centímetros cuadrados
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados. (3.MD.C.7.a)
Nombre
Usa
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Cubrir con fichas cuadradas y contar salteado
• Dibujar y contar salteado
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• Tarjetas de Emparejar la hora (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (18)
• regla
Estudiantes
• sobre con Tarjetas de Emparejar la hora (1 por pareja de estudiantes)
• notas adhesivas (5 por pareja de estudiantes)
• fichas cuadradas de colores de plástico de 1 pulgada (18)
• Contornos de rectángulos (en el libro para estudiantes)
• regla
Preparación de la lección
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de Emparejar la hora del libro para estudiantes. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos como para tener 1 juego por pareja de estudiantes.
• Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Contornos de rectángulos del libro para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Emparejar: La hora
Materiales: E) Tarjetas de Emparejar la hora, notas adhesivas
La clase empareja una imagen con la hora que se muestra en un reloj analógico y escribe la hora usando a. m. o p. m. para practicar el trabajo de 2.o grado con la hora.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas y cinco notas adhesivas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen tarjetas que muestran una hora con una imagen correspondiente. Tengan en cuenta si es a. m. o p. m. al decidir.
• Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra.
• Usen una nota adhesiva para registrar la hora que se muestra en cada reloj y agreguen a. m. o p. m. Colóquenla junto a las tarjetas emparejadas.
• Continúen hasta que todas las tarjetas estén emparejadas.
12:00 p. m.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anímeles a compartir su razonamiento con sus parejas de trabajo.
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por múltiplos de 10
La clase multiplica un número de un dígito por un múltiplo de 10 en formas unitaria y estándar para adquirir fluidez con la destreza del módulo 3.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 7 o 9 para adquirir fluidez en el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 7. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 79 × 77 × 7
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de nueve en nueve, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 45.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Presentar
5
La clase razona sobre cómo hallar una medida exacta de área.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Intentemos cubrir un rectángulo.
¿Ocupa espacio el rectángulo? ¿Tiene área?
Sí. Ocupa espacio plano.
Debemos hallar el área del rectángulo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían usar los círculos para hallar el área del rectángulo.
Podríamos cubrir el rectángulo con círculos hasta que no queden espacios vacíos.
Podríamos hacer una matriz de círculos dentro del rectángulo.
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando usa la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir a lo largo de la lección con el fin de justificar las estrategias que usa para hallar el área de un rectángulo. Particularmente en la sección Presentar, se usa la definición de área para explicar por qué cubrir el área de un rectángulo con círculos no sirve para medir su área.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su razonamiento?
• ¿Por qué no sirve usar círculos para cubrir el área de un rectángulo? Convenzan a su pareja de trabajo.
Cubra el rectángulo con círculos, dejando que algunos se extiendan por fuera de los bordes del rectángulo. Superponga círculos para cubrir todos los espacios vacíos.
¿El área total de los círculos representa el área del rectángulo?
No. Algunos círculos están superpuestos, y partes de otros están fuera de los bordes del rectángulo.
¿Esta forma de usar los círculos nos ayudará a medir el área del rectángulo? ¿Por qué?
No. Todos los círculos se superponen, entonces, no podemos contar cuántos círculos enteros cubren el área.
Intentemos usar los círculos sin que se superpongan.
Demuestre cómo hacer una matriz de círculos dentro del rectángulo. Pregunte a sus estudiantes cuántos círculos hay en la matriz.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-
Compartir para analizar si el área de los círculos es una representación exacta del área del rectángulo.
No podemos usar círculos para hallar el área del rectángulo porque hay espacios vacíos entre los círculos. No cubren todo el espacio dentro del rectángulo.
¿Cómo podríamos usar los cuadrados para hallar el área del rectángulo?
Podríamos intentar hacer una matriz de cuadrados dentro del rectángulo.
Diferenciación: Apoyo
Parte de sus estudiantes puede beneficiarse de una experiencia táctil con la que comparar el uso de círculos y cuadrados para hallar el área de un rectángulo. Considere brindar apoyo proporcionándoles materiales didácticos para mostrar las semejanzas y diferencias entre los dos intentos de hallar el área.
Coloque cuadrados dentro del rectángulo, uno a la vez, dejando espacios entre ellos y superponiéndolos intencionalmente.
¿Qué debemos recordar cuando usamos cuadrados para hallar una medida de área exacta?
Debemos colocar los cuadrados dentro del rectángulo sin que haya espacios ni superposiciones.
Ajuste los cuadrados en la matriz de manera que no haya espacios ni superposiciones. Pregunte a sus estudiantes cuántos cuadrados se usaron para hacer la matriz.
¿Cómo se compara hallar el área de esta matriz con hallar el área de una matriz con 6 cuadrados que tiene espacios y superposiciones?
No podíamos saber el área con seguridad cuando había espacios y superposiciones en la matriz. Solo podíamos estimar que el área era aproximadamente 6 unidades cuadradas.
Ahora que no hay espacios ni superposiciones, podemos hallar el área exacta del rectángulo. El área es 6 unidades cuadradas.
¿En qué se parece y en qué se diferencia esto a intentar hallar el área del rectángulo usando círculos del mismo tamaño?
En las dos figuras cabían 2 filas de 3, pero solo los cuadrados cubrían completamente el espacio dentro del rectángulo.
Aunque usamos el mismo número de cuadrados y de círculos para cubrir el rectángulo, los círculos no cubrían el área completa del rectángulo, mientras que los cuadrados, sí.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, haremos matrices rectangulares usando fichas cuadradas de una pulgada.
Relacionaremos las longitudes de los lados con los números de filas y columnas y hallaremos el área de los rectángulos.
Aprender
Cubrir con fichas cuadradas y contar salteado
Materiales: M/E) Fichas cuadradas
La clase usa fichas cuadradas de una pulgada para cubrir las longitudes de los lados de un rectángulo y hallar su área.
Muestre la imagen del rectángulo con longitudes de los lados de 2 pulgadas y 6 pulgadas, con el lado de 6 pulgadas sin rotular.
¿Qué sabemos sobre este rectángulo?
El lado mide 2 pulgadas de largo.
¿Cómo podemos comenzar a construir este rectángulo usando fichas cuadradas de una pulgada?
Hagamos una columna de 2 fichas.
Pida a sus estudiantes que muestren una columna de 2 fichas cuadradas de una pulgada sobre sus pizarras blancas.
Dígales que la longitud del lado superior es 6 pulgadas. Invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo seguir construyendo el rectángulo. Proporcione tiempo para que completen el rectángulo.
¿Cómo supieron de qué manera completar el resto del rectángulo?
La longitud del lado de arriba es 6 pulgadas, entonces, hay 6 fichas cuadradas en esa fila. La otra fila tiene la misma longitud, entonces, también colocamos 6 fichas cuadradas en esa fila.
Pida a sus estudiantes que dibujen el contorno del rectángulo y rotulen las longitudes de los lados, dejando las fichas en su lugar. Luego, pídales que cuenten las fichas y hallen el área en pulgadas cuadradas.
¿Cómo contaron las fichas cuadradas de una pulgada y hallaron el área de este rectángulo?
Conté cada ficha y obtuve 12 pulgadas cuadradas.
Conté de dos en dos 6 veces.
Nota para la enseñanza
El objetivo de esta lección es que sus estudiantes vean la conexión entre las longitudes de los lados y el número de filas y columnas en un rectángulo. La intención no es que simplemente multipliquen la longitud y el ancho de un rectángulo para hallar su área. En su lugar, deberían darse cuenta de que hay diferentes maneras de hallar el área de un rectángulo y que pueden usar cualquiera de las siguientes estrategias:
• Contar cada ficha en el rectángulo
• Contar salteado usando el número de fichas en cada fila
• Contar salteado usando el número de fichas en cada columna
• Multiplicar el número de fichas en cada fila por el número de filas
Pida a sus estudiantes que quiten las fichas y borren sus pizarras blancas. Invíteles a usar fichas cuadradas para construir un rectángulo con longitudes de los lados de 4 pulgadas y 5 pulgadas y, luego, a dibujar y rotular los lados del rectángulo dejando las fichas en su lugar. Pídales que trabajen en parejas para hallar el área del rectángulo usando una estrategia de conteo.
¿Intentaron usar una estrategia de conteo diferente esta vez?
¿Cómo contaron los cuadrados para hallar el área?
Conté 4 filas de 5 fichas cuadradas: 5, 10, 15, 20. El área es 20 pulgadas cuadradas.
Sé que 2 filas de 5 es 10, entonces, conté de 10 en 10 dos veces.
pulg
pulg
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo las longitudes de los lados ayudan a contar salteado para hallar el área.
Una longitud del lado me indica cuántas fichas hay en cada fila. La otra longitud del lado me indica cuántas filas hay. Puedo contar salteado usando la longitud o el ancho.
Dibujar y contar salteado
Materiales: E) Contornos de rectángulos, fichas cuadradas, regla
La clase usa las longitudes de los lados para dibujar un rectángulo y hallar el área.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Contornos de rectángulos de sus libros y que las inserten en sus pizarras blancas.
¿Qué podemos usar para hallar el área de los rectángulos?
Podemos usar una regla para medir la longitud de cada lado. Podemos cubrir los rectángulos con cuadrados de una pulgada.
Invite a sus estudiantes a medir la longitud del lado superior del rectángulo A con una regla y, luego, a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cuántas fichas cuadradas de una pulgada caben en la fila superior. Luego, guíe a sus estudiantes mientras colocan 3 fichas cuadradas a lo largo de la parte superior del rectángulo y las dibujan. Pídales que rotulen el lado como 3 pulg.
pulg
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Cuando sus estudiantes expliquen cómo contaron las fichas para hallar el área del rectángulo, anímeles a usar gestos para mostrar cómo lo hicieron. Cada estudiante puede señalar las fichas para mostrar que contó los cuadrados individualmente o deslizar el dedo a lo largo del rectángulo para indicar que contó usando filas de 6. Busque y fomente las estrategias eficientes y precisas, como contar las filas y columnas en vez de contar cuadrados al azar o usar patrones de conteo con los que podrían contar un cuadrado dos veces. Demuestre cómo usar gestos y estrategias precisas y eficientes según sea necesario.
DUA: Acción y expresión
Considere ofrecer la opción de que dibujen en la cuadrícula en pulgadas de la lección 5 si trazar las líneas de la cuadrícula supone un desafío para la motricidad fina de sus estudiantes.
pulg
Repita el proceso para medir la otra longitud del lado con 6 fichas.
¿Cuántas filas de 3 se necesitarán para completar el rectángulo?
6 filas de 3
Pida a sus estudiantes que tracen líneas para completar una cuadrícula de 6 por 3. Luego, pídales que cuenten salteado de seis en seis o de tres en tres para hallar el área del rectángulo.
Este rectángulo me recuerda a una matriz de multiplicación.
¿Qué ecuación de multiplicación describe el número total de pulgadas cuadradas en el rectángulo?
6 × 3 = 18
Registre la ecuación y el área del rectángulo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relacionan las longitudes de los lados del rectángulo con la ecuación.
Las longitudes de los lados son los factores de la ecuación.
El área del rectángulo es el producto.
pulg 3 pulg
DUA: Representación
Considere usar un código de colores para resaltar la relación entre las longitudes de los lados del rectángulo y la ecuación. Muestre un modelo terminado para que sus estudiantes puedan consultarlo mientras completan el rectángulo B.
Pida a sus estudiantes que, en parejas, dibujen una cuadrícula en el rectángulo B, ya sea dibujando fichas cuadradas de una pulgada o midiendo y dibujando con una regla; elijan una estrategia para hallar el área del rectángulo y escriban una ecuación de multiplicación relacionada. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Pídales que compartan sus estrategias para hallar la solución con todo el grupo.
Conté los cuadrados uno a la vez.
Conté de tres en tres 5 veces.
Conté de cinco en cinco 3 veces.
Sé que hay 3 filas de 5 y que 3 × 5 = 15.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se usaron las longitudes de los lados en cada una de las diferentes estrategias.
Si hay tiempo suficiente, use una secuencia similar para hallar el área del rectángulo C.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Cubrir los rectángulos con fichas cuadradas para formar matrices y relacionar las longitudes de los lados con el área
Guíe una conversación sobre cómo hallar el área de un rectángulo.
¿Cómo contaron las fichas cuadradas de una pulgada de manera eficiente para hallar el área de los rectángulos?
Conté salteado de seis en seis.
Conté salteado de cuatro en cuatro.
Muestre las imágenes del rectángulo B completado y del rectángulo de Shen del Grupo de problemas.
Observen el rectángulo B y el rectángulo de Shen del Grupo de problemas. ¿Qué observan acerca de los lados, las filas y las columnas de los rectángulos?
Área: 18 centímetros cuadrados
ángulo de Shen
Área: 24 centímetros cuadrados
Los lados de arriba y de abajo tienen la misma longitud. Los rectángulos tienen el mismo número de columnas, pero diferente número de filas.
El rectángulo de Shen tiene 1 fila más que el rectángulo B.
¿Por qué el rectángulo de Shen tiene un área diferente a la del rectángulo B?
Hay una fila de 6 cuadrados más, entonces, el área del rectángulo de Shen es 6 centímetros cuadrados más grande que el área del rectángulo B.
¿Cómo se relacionan las filas y las columnas de una matriz con las longitudes de los lados y el área de un rectángulo?
Las longitudes de los lados son como filas y columnas dentro de los rectángulos. El rectángulo B tiene 3 filas de 6, que es 18, entonces, su área es 18 centímetros cuadrados. El rectángulo de Shen tiene 4 filas de 6, que es 24, entonces, su área es 24 centímetros cuadrados.
A veces, el número de fichas cuadradas de una fila es la longitud del rectángulo y el número de fichas cuadradas de una columna es el ancho.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa una regla para dibujar las fichas cuadradas que faltan.
1. Rectángulo A
Escribe una ecuación para mostrar cómo hallar el área.
3. Rectángulo A
Rectángulo B
5. Usa el rectángulo C para resolver las partes (a) a (c).
a. Usa una regla para hallar la longitud del lado desconocida.
b. Dibuja las fichas cuadradas que faltan.
c. Escribe una ecuación para mostrar cómo hallar el área del rectángulo C. Luego, escribe el área.
Rectángulo C
6. Usa el rectángulo D para resolver las partes (a) a (c). 5 cm cm 3
7. Shen y Jayla hacen, por separado, un rectángulo con un área de 24 centímetros cuadrados.
a. Rotula la longitud del lado desconocida de cada rectángulo.
Rectángulo de Shen
de Jayla
b. Explica por qué los rectángulos de Shen y Jayla tienen la misma área, pero diferentes longitudes de los lados.
Los rectángulos de Shen y Jayla tienen la misma área. Al multiplicar las longitudes de los lados de sus rectángulos, ambas operaciones son iguales a 24: 4 × 6 = 24 y 3 × 8 = 24
Aunque las longitudes de los lados son diferentes, el área es la misma.
Dibujar filas y columnas para completar una matriz rectangular y determinar su área
Vistazo a la lección
El piso de baldosas de Deepa tiene una alfombra. ¿Cuántas baldosas cuadradas hay en el piso, incluidas las que están bajo la alfombra?
Hay 8 filas y 10 columnas de baldosas; entonces, hay 80 baldosas cuadradas en el piso.
La clase usa sus conocimientos sobre las filas y las columnas para completar una matriz incompleta y hallar el área del rectángulo relacionado. Se dan cuenta de que solo necesitan información sobre una fila completa y una columna completa. En esta lección se formaliza el término cuadrado unitario.
Pregunta clave
• ¿Qué información necesitan de una matriz para hallar el área del rectángulo relacionado?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados. (3.MD.C.7.a)
EUREKA
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Completar una matriz
• Completar la primera fila y la primera columna
• Baldosas en una habitación
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Matrices incompletas (en la edición para la enseñanza)
• regla
Estudiantes
• Matrices incompletas (en el libro para estudiantes)
• regla
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Matrices incompletas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por múltiplos de 10
La clase multiplica un número de un dígito por un múltiplo de 10 para adquirir fluidez con la destreza del módulo 3.
Muestre 2 × 30 = .
Copien la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 6 u 8 para adquirir fluidez en el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 6. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 69 × 67 × 6
Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Presentar
La clase examina una matriz con algunas unidades cuadradas cubiertas y razona sobre cómo hallar su área.
Muestre la imagen de la cuadrícula. Diga que el señor Endo derramó pintura en un piso de baldosas y pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar cómo describir el número de filas y columnas en la matriz que forman las baldosas.
Hay 7 filas de 6 baldosas.
¿Cómo saben que hay 7 filas de 6 baldosas, si no se ven todas las baldosas?
En la fila de arriba se ven casi todas las baldosas. Puedo imaginar dónde se encuentran las líneas debajo de la pintura y sé que forman 6 cuadrados. También puedo imaginar las líneas en la última columna.
Si hay 6 baldosas en la primera fila, hay 6 baldosas en todas las filas, porque el piso es un rectángulo.
¿Cuántas baldosas tiene el piso en total? Expliquen cómo lo saben.
Hay 42 baldosas. Conté salteado de seis en seis 7 veces.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, observaremos matrices en las que no se ven todas las unidades cuadradas que hay en ellas e identificaremos diferentes maneras de hallar el área del rectángulo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando desarrolla una estrategia para hallar el número total de cuadrados unitarios en una matriz incompleta o parcialmente cubierta.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué pueden descubrir sobre las filas de la matriz cuando observan la primera columna?
• ¿Qué información necesitan para hallar el número total de baldosas? ¿Necesitan ver todas las baldosas de la matriz?
Aprender
Completar una matriz
Materiales: M/E) Matrices incompletas, regla
La clase completa una matriz para hallar el área.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Matrices incompletas de sus libros y observen la matriz 1. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan.
La matriz está incompleta. Observen la primera fila. Le faltan algunos cuadrados al final. ¿Hay algo en la segunda fila que nos ayudaría a calcular el resto de la fila de arriba?
La segunda fila tiene un cuadrado que no se ve en la fila de arriba. Además, parece que podría haber otro cuadrado al final.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la primera fila completada podría ayudarles a hallar cuántos cuadrados debería haber en el resto de las filas.
Todas las filas deberían ser iguales. Hay 6 cuadrados en cada fila.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar un apoyo visual que acompañe la presentación de los cuadrados unitarios. Un cuadrado unitario es un cuadrado con lados que miden 1 unidad. Una unidad cuadrada es una unidad de medida que describe el espacio dentro de un cuadrado unitario.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el borde recto de una regla para completar la matriz.
Ahora, debemos rotular las longitudes de los lados. Usen la regla para medir las longitudes de los lados. ¿Los cuadrados son cuadrados de una pulgada o cuadrados de un centímetro?
Ninguno de los dos. Son más grandes que los cuadrados de un centímetro, pero más pequeños que los cuadrados de una pulgada.
Cuando no sabemos la unidad de longitud específica, podemos llamarla simplemente unidad. Entonces, en vez de llamarlo cuadrado de una pulgada o cuadrado de un centímetro, lo llamamos cuadrado unitario. Es lo mismo que cuando decimos unidades cuadradas en vez de pulgadas cuadradas cuando no sabemos cuál es la unidad de medida del cuadrado.
¿Cómo deberíamos rotular la longitud de cada lado del cuadrado unitario?
Podemos rotularla en unidades.
¿Cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo?
4 unidades y 6 unidades
Pida a sus estudiantes que rotulen las longitudes de los lados y hallen el área del rectángulo en unidades cuadradas.
6 unidades
4 unidades
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para hallar una ecuación de multiplicación que se relacione con el rectángulo.
4 × 6 = 24 se relaciona con el rectángulo porque hay 4 filas de 6 cuadrados.
Diferenciación: Apoyo
Para desarrollar con más profundidad la comprensión de cada estudiante acerca de qué es un cuadrado unitario, considere proporcionar materiales didácticos cuadrados que no midan una unidad estándar. Permita que sus estudiantes creen matrices con materiales del mundo real, como notas adhesivas, servilletas, papel de origami, fichas cuadradas de juegos de mesa o dulces cuadrados.
Completar la primera fila y la primera columna
La clase halla el área de un rectángulo completando la primera fila y la primera columna de una matriz.
Pida a sus estudiantes que vayan a la matriz 2 de Matrices incompletas.
Gabe dice que puede hallar el área del rectángulo sin dibujar todos los cuadrados unitarios.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál podría ser la estrategia de Gabe.
9 unidades 9 unidades
Pida a sus estudiantes que usen la estrategia que identificaron para hallar el área del rectángulo. Pídales que rotulen los lados del rectángulo en unidades. Recorra el salón de clases e identifique a quienes estén completando solo la primera fila y la primera columna de cuadrados unitarios. Invite a un par de estudiantes que hayan completado solo 1 fila y 1 columna para que compartan su estrategia con la clase.
¿Cómo hallaste el área de la matriz?
Terminé la primera fila y la primera columna de cuadrados. Sabía que si había 9 unidades en un lado, esa era la cantidad de filas de 9. El área del rectángulo es 81 unidades cuadradas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué solo necesitan saber cuál es el número de cuadrados de la primera fila y de la primera columna para hallar el área del rectángulo.
Todas las filas y las columnas son iguales, entonces, si contamos salteado usando la cantidad de cuadrados que hay en cada fila o cada columna, obtendremos el número total de cuadrados unitarios de la matriz. Si sabemos cuántos cuadrados unitarios hay, entonces, sabemos cuál es el área. Es el mismo número.
Diferenciación: Desafío
Considere extender el razonamiento de sus estudiantes para hallar el área de matrices más complejas, como la siguiente.
Pida a sus estudiantes que registren cada paso que usaron para hallar el área de las matrices y que compartan sus estrategias con la clase.
Baldosas en una habitación
La clase aplica estrategias para hallar las áreas de matrices incompletas y así hallar el número de baldosas en una habitación.
Muestre la imagen del plano de planta.
Explique a sus estudiantes que este es un dormitorio con piso de baldosas cuadradas. Los muebles y una alfombra cubren algunas de las baldosas. Cada cuadrado representa 1 unidad cuadrada.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan y hallar el número de filas y columnas en la cuadrícula.
¿Cuántas columnas hay? ¿Cómo lo saben?
Hay 10 columnas. Sé que la cama mide 6 columnas de largo porque puedo ver las baldosas debajo, y veo 4 columnas junto a la cama. Imagino que completo esas líneas para formar los cuadrados unitarios.
¿Cuántas filas hay? ¿Cómo lo saben?
Hay 8 filas. Hay 2 filas arriba de la alfombra y 2 filas debajo de la alfombra. La alfombra mide 4 filas, y 2 + 2 + 4 = 8.
¿Cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo?
10 unidades y 8 unidades
¿Cuántas baldosas tiene el piso?
80 baldosas
¿Cuál es el área del piso en unidades cuadradas?
80 unidades cuadradas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las maneras en que pueden calcular cuántas unidades cuadradas hay en una matriz incompleta.
DUA: Acción y expresión
A fin de ayudar a sus estudiantes a crear estrategias para hallar el número de filas y columnas en una matriz incompleta, haga un razonamiento en voz alta. Mientras sus estudiantes trabajan en el Grupo de problemas, considere darles oportunidades para que razonen en voz alta. Anime a sus estudiantes a explicar su razonamiento. Use preguntas como guía según sea necesario.
Cama
Alfombra
Escritorio
Cómoda
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dibujar filas y columnas para completar una matriz rectangular y determinar su área
Muestre los trabajos de Zara y de Casey.
Guíe una conversación sobre las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Zara y el de Casey.
Trabajo de Zara Trabajo de Casey
¿Cómo hallaron Zara y Casey el número de cuadrados unitarios en la matriz? ¿Por qué creen que lo hicieron de esa manera?
Las dos contaron salteado de siete en siete. La parte de arriba del rectángulo mide 7 unidades, entonces, cada fila tiene 7 cuadrados unitarios.
¿Qué tiene de diferente el rectángulo de Casey?
Solo dibujó la primera fila y la primera columna.
¿Tenía Casey suficiente información en la matriz para hallar el área del rectángulo?
Sí. Sabía cuál era el número de cuadrados de una fila y de una columna. Eso le bastaba para saber cómo contar salteado y hallar el área del rectángulo.
Cada cuadrado unitario representa 1 unidad cuadrada de área. ¿Cuál es el área de cada rectángulo?
21 unidades cuadradas
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
En los problemas 1 a 4, cada representa 1 centímetro cuadrado. Usa una herramienta de borde recto para completar las matrices. Luego, rotula las longitudes de los lados y halla el área del rectángulo.
Área: 40 cm cuad.
5. El maestro Endo dibuja un plano de su salón de clases. ¿Cuál es el área del salón de clases del maestro Endo?
Cada representa 1 unidad cuadrada. El área del salón de clases del maestro Endo es 54 unidades cuadradas.
6. El piso de baldosas de la sala de estar de Carla tiene una alfombra. ¿Cuál es el área del piso de baldosas?
Cada representa 1 unidad cuadrada.
El área del piso de baldosas es 72 unidades cuadradas.
7. Adam usa cuadrados unitarios para cubrir un rectángulo. ¿Cuántos cuadrados unitarios más necesita Adam para terminar de cubrir el rectángulo sin espacios ni superposiciones?
necesita 30 cuadrados unitarios más.
Adam
Ecuación: 6 × 7 = 42
Área: 42 unidades cuadradas
Determinar el área de un rectángulo usando las longitudes de los lados
Vistazo a la lección
La clase usa un modelo de área y halla el área de rectángulos multiplicando las longitudes de los lados. Relacionan modelos de área con matrices y comentan la importancia de rotular. En esta lección se formaliza el término modelo de área.
Preguntas clave
• ¿Por qué es importante rotular las unidades en un modelo de área?
• ¿Cómo hallan el área de un rectángulo?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados. (3.MD.C.7.a)
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
Nombre
Rotula
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Dibujar un modelo de área
• Rotular unidades
• Interpretar y rotular un modelo de área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Cuadrícula mixta (en la edición para la enseñanza)
• regla
• regla de un metro
• notas adhesivas cuadradas, bloc
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10 (en el libro para estudiantes)
• Cuadrícula mixta (en el libro para estudiantes)
• regla
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Prepare una Cuadrícula mixta en una pizarra blanca individual para el maestro o maestra.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrícula mixta de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10
EUREKA MATH2
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10
3 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por múltiplos de 10
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la multiplicación de números de un solo dígito por múltiplos de 10.
Práctica
veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 2 × 4 = 8
2. 2 × 40 = 80
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” y marquen la respuesta si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” y marquen la respuesta si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 7 o 9 para adquirir fluidez en el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 a 6?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 7 a 12? ¿Cómo se comparan con los problemas 19 a 22?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de siete en siete desde el 0 hasta el 70 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de siete en siete desde el 70 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 7. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 79 × 77 × 7
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 9. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 99 × 97 × 9
Presentar
Materiales: M) Cuadrícula mixta, regla
La clase considera cómo hallar el área de un rectángulo con y sin papel cuadriculado.
Coloque la Cuadrícula mixta en una pizarra blanca y, luego, dibuje y rotule un rectángulo de 3 cm por 4 cm. Muestre el dibujo a sus estudiantes.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera la cuadrícula puede servir de ayuda para hallar el área del rectángulo.
Podemos contar las filas y las columnas de cuadrados unitarios.
¿Cuál es el área del rectángulo?
12 centímetros cuadrados
Escriba el siguiente enunciado: El área es 12 centímetros cuadrados.
Retire la Cuadrícula mixta, de modo que quede el rectángulo rotulado sobre el fondo en blanco.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar el área del rectángulo sin el papel cuadriculado.
Puedo imaginar la cuadrícula en el interior. Habría 3 filas de 4, que es 12 centímetros cuadrados.
Podemos medir las longitudes de los lados con una regla y contar salteado.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos el área de un rectángulo que no tiene dibujada una matriz dentro.
Aprender
Dibujar un modelo de área
Materiales: M/E) Cuadrícula mixta
La clase usa diferentes longitudes de los lados para dibujar un rectángulo con un área dada.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Cuadrícula mixta de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir a fin de analizar posibles longitudes de los lados para un rectángulo con un área de 12 centímetros cuadrados. Recorra el salón de clases y, si es necesario, anime a sus estudiantes a considerar los factores que tienen un producto de 12.
1 cm y 12 cm, 12 cm y 1 cm
4 cm y 3 cm, 3 cm y 4 cm
6 cm y 2 cm, 2 cm y 6 cm
Pida a sus estudiantes que dibujen un rectángulo de 4 cm por 3 cm en su cuadrícula en centímetros. Pídales que rotulen las longitudes de los lados y escriban una ecuación de multiplicación para representar el área. Luego, pídales que retiren el papel cuadriculado sin borrar el rectángulo. Usarán este rectángulo en el siguiente segmento.
Este dibujo de un rectángulo con sus lados rotulados y sin líneas de cuadrícula dentro se llama modelo de área.
Muestre algunos modelos de área diferentes dibujados por estudiantes. Para cada rectángulo, comente cómo supo cada estudiante que el área es 12 centímetros cuadrados.
Muestre los rectángulos de 4 por 3.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Cuando presente el término modelo de área, considere proporcionar a sus estudiantes un apoyo visual rotulado de una matriz y un modelo de área relacionados. Este ejemplo muestra la diferencia entre una matriz y un modelo de área.
de área
El término rectángulo se refiere al tipo de figura. En el contexto de los problemas de área en este módulo, un rectángulo con una cuadrícula suele llamarse matriz, y un rectángulo sin una cuadrícula suele llamarse modelo de área
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.
Observen el rectángulo con la matriz cuadriculada. ¿Cuál de los modelos de área representa correctamente lo que muestra la matriz? Expliquen.
El primer modelo de área es el mejor. Vemos 3 cuadrados de 1 centímetro a lo largo de la parte de arriba de la matriz, entonces, la parte de arriba debería estar rotulada como 3 centímetros, no 4 centímetros.
El primer modelo de área representa la matriz correctamente. No tiene sentido que el lado más largo del rectángulo esté rotulado como 3 centímetros, porque 3 es menor que 4.
¿Qué ecuación de multiplicación describe cómo hallar el área del rectángulo usando las longitudes de los lados?
4 × 3 = 12 o 3 × 4 = 12
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre un modelo de área y una matriz.
Pida a sus estudiantes que levanten las pizarras blancas y las roten hacia un lado.
Cuando rotaron el rectángulo, ¿qué cambió? ¿Qué permaneció igual?
Las longitudes de los lados siguieron siendo las mismas. Solo que, ahora, están en lugares diferentes.
El área todavía es la misma. No cambió el tamaño del rectángulo.
Muestre la imagen de los rectángulos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben que las áreas de estos dos rectángulos son iguales.
Es como la propiedad conmutativa de la multiplicación. 2 × 6 = 12 y 6 × 2 = 12.
Sabemos que, cuando cambiamos el orden de los factores, eso no cambia el producto. Es como rotar la matriz.
Nota para la enseñanza
Una vez que hayan quitado las líneas de la matriz, recurra a la experiencia que tienen sus estudiantes de cubrir un rectángulo con cuadrados para hallar el área. Pídales que recuerden que las longitudes de los lados están relacionadas con las filas y las columnas de la matriz. Es probable que sus estudiantes vean que la multiplicación puede servir de ayuda para hallar el número total de fichas cuadradas en la matriz. Mantenga el énfasis en la relación entre las longitudes de los lados y el área en lugar de enseñar la fórmula longitud × ancho = área
Rotular unidades
Materiales: M) Regla de un metro, regla, notas adhesivas; E) Cuadrícula mixta
La clase usa unidades de diferentes tamaños para entender la importancia de rotular las unidades.
Pida a sus estudiantes que coloquen nuevamente la hoja extraíble de Cuadrícula mixta en sus pizarras blancas, asegurándose de que el rectángulo de 12 centímetros cuadrados sigue dibujado en la cuadrícula en centímetros. Invíteles a usar la cuadrícula en pulgadas de la parte superior de la hoja para dibujar y rotular un rectángulo de 4 pulgadas por 3 pulgadas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los rectángulos en centímetros y en pulgadas?
Los dos están formados por 12 cuadrados unitarios.
Las áreas son diferentes porque los rectángulos están formados por unidades diferentes.
El rectángulo de 12 pulgadas cuadradas es más grande que el rectángulo de 12 centímetros cuadrados.
Retiremos el papel cuadriculado. ¿Qué nos indican las longitudes de los lados acerca de los rectángulos?
Nos indican la longitud de cada lado, en pulgadas o en centímetros.
Nos ayudan a comprender el tamaño de las unidades que se usaron para medir.
Use la siguiente secuencia para ayudar a sus estudiantes a considerar por qué rotular las unidades en un modelo de área es importante.
Use una regla de un metro para dibujar un cuadrado con un área de 1 metro cuadrado.
En este cuadrado, la longitud de cada lado es 1 metro. ¿Cuál es el área del cuadrado?
¿Qué unidades podrían usar?
El área es 1 metro cuadrado, así como el área de un cuadrado de 1 centímetro es 1 centímetro cuadrado y el área de un cuadrado de 1 pulgada es 1 pulgada cuadrada. Podría usar metros cuadrados como las unidades, de la misma manera que las pulgadas cuadradas o los centímetros cuadrados. El área es 1 metro cuadrado.
Si dibujaran un rectángulo con un área de 12 metros cuadrados, ¿tendría un área mayor o menor que la de los rectángulos que dibujaron?
Mucho mayor
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando considera cómo la elección de la unidad afecta los tamaños y las áreas relativas de los rectángulos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Es correcto decir que todos los rectángulos formados por 12 cuadrados tienen la misma área? ¿Qué podemos agregar o cambiar para decir esto con más precisión?
• ¿Qué detalles son importantes al momento de escribir el área de un rectángulo?
DUA: Representación
Considere crear apoyos visuales para resaltar la importancia de rotular las unidades y el tamaño relativo de diferentes unidades. Por ejemplo, recorte 1 metro cuadrado, 1 pie cuadrado y 1 centímetro cuadrado de papel afiche (o similar). Rotule los cuadrados y déjelos a la vista para que sus estudiantes puedan consultarlos durante la lección. Otra alternativa es crear cada apoyo visual pegando cinta adhesiva en el piso.
Use la regla para dibujar un cuadrado con un área de 1 pie cuadrado.
En este cuadrado, la longitud de cada lado es 1 pie. ¿Cuál es el área del cuadrado?
¿Qué unidades podrían usar?
1 pie cuadrado
Si dibujaran un rectángulo con un área de 12 pies cuadrados, ¿tendría un área mayor o menor que la de los otros rectángulos que dibujaron? ¿Y que un rectángulo de 12 metros cuadrados?
Un rectángulo de 12 pies cuadrados ocuparía más espacio que 12 pulgadas cuadradas.
Un rectángulo de 12 pies cuadrados ocuparía menos espacio que 12 metros cuadrados.
Muestre un bloc de notas adhesivas cuadradas.
¿Cómo sería el área de un rectángulo formado por 12 notas adhesivas cuadradas en comparación con las áreas de los otros rectángulos?
Ese rectángulo tendría un área más grande que los que dibujamos.
El área sería menor que 12 pies cuadrados y 12 metros cuadrados.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué es importante rotular las unidades cuando se dibujan modelos de área.
Cuando usamos un modelo de área, no hay cuadrícula. No sabemos cuál es el tamaño de las unidades, a menos que estén rotuladas.
Las unidades pueden tener diferentes tamaños. Los rótulos nos ayudan a comprender qué tan grandes o pequeñas son las medidas.
Interpretar y rotular un modelo de área
Materiales: E) Regla
La clase rotula las longitudes de los lados y halla el área de un rectángulo.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
Este modelo de área está en el centro de la cuadrícula, y las longitudes de los lados no están rotuladas. Veamos si podemos usar la cuadrícula como ayuda para rotular las longitudes de los lados del rectángulo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la cuadrícula podría servir de ayuda para hallar las longitudes de los lados.
Diferenciación: Apoyo
Considere dar a cada estudiante tiempo para que manipule diferentes fichas cuadradas. Proporcione fichas cuadradas medidas en diferentes unidades, como centímetros, pulgadas, pies y metros. Use papel de estraza para hacer las fichas más grandes. Permita que sus estudiantes comparen las diferencias de tamaño superponiendo cuadrados de diferentes unidades. Inicie una conversación preguntando cuándo tiene sentido usar cada una de las diferentes unidades para medir el área.
Nota para la enseñanza
En la lección 7, sus estudiantes hallan el área de una cuadrícula entera con una parte oculta. En esta lección, progresan a hallar el área usando un modelo de área en vez de una matriz, pero las imágenes son parecidas a las que vieron en la lección 7. El modelo está sobre una cuadrícula, lo que sirve como apoyo para que sus estudiantes relacionen las longitudes de los lados con el número de unidades cuadradas. Considere iniciar una conversación sobre las diferencias entre esta actividad y las actividades anteriores.
1. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo. Escribe una ecuación de multiplicación relacionada y halla el área.
2 cm
4 × 2 = 8
El área es 8 centímetros cuadrados.
4 cm
Pida a sus estudiantes que usen la regla para medir la longitud del lado de un cuadrado en la cuadrícula y hallar qué unidades se usan.
¿Qué tamaño de cuadrado unitario muestra esta cuadrícula?
Centímetro cuadrado
¿Qué unidad usaríamos para medir las longitudes de los lados del rectángulo?
Centímetros
Invite a sus estudiantes a medir y rotular las longitudes de los lados del rectángulo.
No hay cuadrados de un centímetro dibujados dentro del rectángulo. ¿Cómo podemos hallar el área?
Podemos dibujar la matriz o la cuadrícula.
Podemos contar salteado de dos en dos 4 veces.
Podemos multiplicar las longitudes de los lados.
¿Qué ecuación de multiplicación podemos usar para hallar el área?
4 × 2 = 8 o 2 × 4 = 8
¿Cuál es el área del rectángulo?
8 centímetros cuadrados
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para completar los problemas 2 y 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué información necesitan en un modelo de área para hallar el área del rectángulo.
2. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo. Escribe una ecuación de multiplicación relacionada y halla el área.
Nota para la enseñanza
No se incluyen unidades en las ecuaciones de este segmento de manera intencional. El énfasis debe estar puesto en que sus estudiantes reconozcan que la longitud y el ancho del rectángulo se relacionan con el número de cuadrados unitarios en cada lado de la matriz del rectángulo. El producto de las longitudes de los lados, sin unidades, es el número total de cuadrados unitarios de la matriz del rectángulo.
3 × 6 = 18
El área es 18 centímetros cuadrados.
3. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo. Escribe una ecuación de multiplicación relacionada y halla el área.
5 cm
5 cm
5 × 5 = 25
El área es 25 centímetros cuadrados.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Determinar el área de un rectángulo usando las longitudes de los lados
Guíe una conversación acerca de cómo usar las longitudes de los lados de un modelo de área para hallar el área de un rectángulo.
¿Por qué es importante rotular las unidades en un modelo de área?
Las diferentes unidades representan diferentes tamaños. La unidad nos ayuda a comprender el tamaño del rectángulo que representa el modelo de área.
¿Cómo hallan el área de un rectángulo?
Podemos multiplicar las dos longitudes diferentes de los lados del rectángulo.
Podemos dibujar una matriz dentro del rectángulo o buscar líneas de la cuadrícula alrededor del rectángulo para contar los cuadrados unitarios.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo durante la sección
Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen sobre lo aprendido usando los siguientes planteamientos:
• Cuando hallé el área de un rectángulo usando el modelo de área, aprendí a .
• Al usar un modelo de área, aprendí que es importante porque .
• Mi estrategia para hallar el área ha cambiado porque ahora sé que puedo
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
4. Gabe dibuja un rectángulo con longitudes de los lados de 2 centímetros y 8 centímetros. ¿Rotuló las longitudes de los lados correctamente? ¿Cómo lo sabes?
Halla el número total de cuadrados unitarios en cada matriz.
Usa la matriz para rotular las longitudes de los lados del modelo de área.
Escribe una ecuación que describa el área del modelo de área.
No, Gabe no rotuló las longitudes de los lados correctamente. El lado más corto debería estar rotulado como 2 centímetros y el lado más largo debería estar rotulado como 8 centímetros.
5. Rotula las longitudes de los lados de cada rectángulo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Escribe una ecuación para hallar el área de cada rectángulo en el problema 5.
6. Rectángulo A
Ecuación: 4 × 6 = 24
Área: 24 unidades cuadradas
8. Rectángulo C
Ecuación: 6 × 7 = 42
Área: 42 unidades cuadradas
10. Rectángulo E
Ecuación: 5 × 4 = 20
Área: 20 unidades cuadradas
7. Rectángulo B
Ecuación: 2 × 9 = 18
Área: 18 unidades cuadradas
9. Rectángulo D
Ecuación: 8 × 3 = 24
Área: 24 unidades cuadradas
11. Liz dibuja un rectángulo con un área de 48 pulgadas cuadradas. Pablo dibuja un rectángulo con un área de 48 centímetros cuadrados. ¿Qué rectángulo ocupa un área mayor? ¿Cómo lo sabes?
El rectángulo de Liz ocupa un área mayor porque está formado por pulgadas cuadradas.
Pablo formó su rectángulo con centímetros cuadrados. Las pulgadas cuadradas son más grandes que los centímetros cuadrados.
Multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo
1. Escribe una ecuación de multiplicación para hallar el área del rectángulo.
3 pulgadas
9 pulgadas
3 × 9 = 27
Área: 27 pulgadas cuadradas
2. Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para hallar la longitud del lado desconocida del rectángulo.
Área: 54 pulgadas cuadradas
6 pulgadas m pulgadas
6 × m = 54
54 ÷ 6 = m
La longitud del lado desconocida del rectángulo es 9 pulgadas.
Vistazo a la lección
La clase usa modelos de matriz incompletos y, luego, modelos de área para hallar el área de un rectángulo multiplicando las longitudes de los lados. Usan el área de un rectángulo y la longitud de uno de los lados para hallar la longitud del lado desconocida. En esta lección se formalizan los términos longitud y ancho.
Preguntas clave
• ¿Qué necesitan saber para hallar el área de un rectángulo?
• ¿Cómo se relaciona la multiplicación con las longitudes de los lados de un rectángulo y su área?
Criterio de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Contar salteado para hallar el área
• Relacionar las longitudes de los lados con el área
• Usar las longitudes de los lados para hallar el área
• Hallar la longitud del lado desconocida
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• Tarjetas de Emparejar la hora (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Estudiantes
• sobre con Tarjetas de Emparejar la hora (1 por pareja de estudiantes)
• notas adhesivas (5 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de Emparejar la hora del libro para estudiantes. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos para tener 1 juego por pareja de estudiantes.
• Identifique o prepare un espacio en el salón de clases o cerca de él, como una alfombra rectangular o un sector del piso marcado con cinta adhesiva, que sea un rectángulo con longitudes de los lados de 7 pies y 10 pies. Permita que sus estudiantes accedan a este espacio durante la lección.
Fluidez
Emparejar: La hora
Materiales: E) Tarjetas de Emparejar la hora, notas adhesivas
La clase empareja una imagen con la hora que se muestra en un reloj analógico y escribe la hora usando a. m. y p. m. para practicar el trabajo de 2.o grado con la hora.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas y cinco notas adhesivas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen tarjetas que muestran una hora con una imagen correspondiente. Tengan en cuenta si es a. m. o p. m. al decidir.
• Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra.
• Usen una nota adhesiva para registrar la hora que se muestra en cada reloj y agreguen a. m. o p. m. Colóquenla junto a las tarjetas emparejadas.
• Continúen hasta que todas las tarjetas estén emparejadas.
3:55 p. m.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anímeles a compartir su razonamiento con sus parejas de trabajo.
Contar de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 6 u 8 para adquirir fluidez en el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 6. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 69 × 67 × 6
Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Presentar
La clase identifica una variedad de estrategias para hallar el área de una figura.
Proporcione a sus estudiantes 30 segundos para que se reúnan y conversen en parejas y resuman lo que saben sobre el área.
¿Qué es el área?
La cantidad de espacio plano que ocupa una figura
Un atributo de una figura
Muestre la imagen de las figuras e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuáles de las figuras tienen área y cómo lo saben.
Muestre el siguiente enunciado: Para hallar el área de una figura, se multiplican las longitudes de los lados.
Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Pídales que proporcionen ejemplos correctos y ejemplos erróneos de la imagen y de otras figuras para apoyar sus afirmaciones.
Finalmente, guíe a la clase para llegar a la conclusión de que el enunciado es verdadero a veces, porque se pueden multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de algunas figuras (p. ej., las figuras A, E y F), pero no de otras (p. ej., las figuras B, C, D y G). Explique que, para las figuras cuyas áreas pueden hallarse multiplicando las longitudes de los lados, hay otras estrategias que también podrían funcionar y ser más eficientes, como contar todos los cuadrados unitarios y contar salteado.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos las longitudes de los lados para hallar el área.
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes hallen el área de las figuras C y G. Estas figuras se incluyen para mostrar que otras figuras bidimensionales tienen área y, así, evitar que sus estudiantes generalicen que el área siempre se puede hallar multiplicando las longitudes de los lados. Si preguntan cómo hallar el área de figuras como la C y la G, anímeles a que piensen en la estrategia que usaron para hallar el área del triángulo D, cuando cortaron una unidad cuadrada en dos, y en cómo esa estrategia podría usarse para hallar el área de otras figuras.
Aprender
Contar salteado para hallar el área
La clase determina las longitudes de los lados de un rectángulo mediante el conteo salteado, dibuja el rectángulo y halla su área.
Muestre la imagen de los conteos salteados de Eva y de James.
Eva y James cuentan salteado cuadrados unitarios para hallar el área del mismo rectángulo. Eva cuenta 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. James cuenta 7, 14, 21.
Eva: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
James: 7, 14, 21 21
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podría verse ese rectángulo. Dé tiempo para que las parejas trabajen. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y escuche sus razonamientos.
¿Cuáles son las longitudes de los lados? ¿Cómo lo saben?
Eva contó de tres en tres, entonces, sabemos que un lado mide 3 unidades. James contó de siete en siete, entonces, sabemos que el otro lado mide 7 unidades.
¿Cuál es el área del rectángulo? ¿Cómo lo saben?
Tanto Eva como James contaron hasta el 21, entonces, sé que el área es 21 unidades cuadradas.
Multiplicamos 3 y 7 para obtener 21.
¿Qué unidades deberíamos usar para las longitudes de los lados y el área? ¿Cómo lo saben?
El problema no nos da una unidad específica, como centímetros o pulgadas, entonces, podemos usar simplemente unidades para describir las longitudes y unidades cuadradas para describir el área.
Muestre la imagen del rectángulo de 3 por 7 en el que faltan cuadrados y pregunte si esa imagen puede representar el rectángulo.
Sí. Si se completaran los cuadrados que faltan, se vería que Eva contó salteado usando las columnas y James contó salteado usando las filas.
DUA: Representación
Considere proporcionar la información en otro formato para apoyar la interpretación del elemento visual. Antes de hacer preguntas sobre la matriz, brinde una descripción oral como la siguiente: Este modelo de matriz no está completo; no muestra todas las unidades cuadradas del rectángulo. Nos muestra el número de cuadrados en una fila y en una columna.
Relacionar las longitudes de los lados con el área
La clase identifica la longitud y el ancho de un rectángulo a partir de un modelo de matriz incompleto y multiplica las longitudes de los lados para hallar el área del rectángulo.
Muestre la imagen del rectángulo de 4 por 7 en el que faltan algunos cuadrados.
¿Cuántas filas hay en esta matriz incompleta?
4
¿Cuántas unidades cuadradas hay en cada fila?
7
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si es necesario completar la matriz para hallar el área del rectángulo.
No, no es necesario porque sabemos las longitudes de los lados.
¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados del rectángulo con el área?
Si se multiplican las longitudes de los lados, el producto es el área.
¿Pueden multiplicar las longitudes de dos lados cualesquiera para hallar el área?
No, se debe multiplicar la longitud del lado que muestra el número de filas por la longitud del lado que muestra el número de cuadrados en cada fila.
Puede resultar confuso llamar a todos los lados del rectángulo longitudes de los lados.
Podemos usar los términos longitud y ancho para distinguir entre una y otra longitud del lado.
Deslice el dedo a lo largo de la parte superior (es decir, la longitud) y el lado (es decir, el ancho) del rectángulo.
Para este rectángulo, llamemos a esta longitud del lado longitud y a la otra longitud del lado, ancho.
Deslice el dedo por el lado del rectángulo.
¿Cuál es el ancho de este rectángulo?
4 unidades
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un apoyo visual para ayudar a sus estudiantes a usar los términos longitud y ancho adecuadamente. Aunque son términos que ya conocen, en esta lección se usan más formalmente. Longitud Ancho
Deslice el dedo por la parte superior del rectángulo.
¿Cuál es la longitud de este rectángulo?
7 unidades
Podemos multiplicar la longitud y el ancho del rectángulo para hallar su área. ¿Qué ecuación de multiplicación podemos usar para hallar el área de este rectángulo?
4 × 7 = 28
¿Cuál es el área del rectángulo?
28 unidades cuadradas
Completemos la cuadrícula para comprobar nuestra respuesta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron la longitud y el ancho del rectángulo para hallar su área.
Use una secuencia similar para hallar el área del rectángulo de 6 por 5 y el de 6 por 9.
Nota para la enseñanza
Los términos longitud y ancho, por lo general, se usan para indicar el lado más largo y más corto de un rectángulo, respectivamente. Sin embargo, es posible reemplazar uno por otro. Por ejemplo, en algunos contextos, la longitud puede corresponder a la altura o al número en cada fila y puede ser la más pequeña de las dos dimensiones. La orientación en la que se dibuja el rectángulo puede influir en qué dimensión se considera como el ancho. Cuando no hay un contexto dado, ambos términos son correctos para cualquiera de las dimensiones. Anime a sus estudiantes a usarlos de manera indistinta.
Al intercambiar estos términos, sus estudiantes se preparan para usar la palabra por para identificar y describir rectángulos. Considere describir un rectángulo como 4 por 7, en lugar de, por ejemplo, 4 pies de ancho y 7 pies de largo, a medida que sus estudiantes se familiaricen con el uso indistinto de los términos longitud y ancho.
Usar las longitudes de los lados para hallar el área
La clase multiplica las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo.
Muestre la imagen del rectángulo de 6 por 8.
¿Qué observan sobre este rectángulo?
Sabemos las longitudes de los lados, pero no hay una cuadrícula en su interior.
Es un modelo de área.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para determinar si hay suficiente información para hallar el área del rectángulo.
Pida a sus estudiantes que identifiquen estrategias que podrían usar para hallar el área del rectángulo. Entre ellas, podrían mencionar dibujar la cuadrícula, contar salteado las filas o las columnas y multiplicar las longitudes de los lados.
Pida a sus estudiantes que elijan una estrategia y hallen el área del rectángulo.
¿Cuál es el área del rectángulo?
48 centímetros cuadrados
Muestre la imagen del rectángulo de 5 por 9 y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación de multiplicación para hallar su área. Invite a que alguien comparta su ecuación de multiplicación y el área.
Pida a sus estudiantes que vayan a un lugar, en el salón de clases o cerca de él, donde haya un espacio (una alfombra, por ejemplo) de aproximadamente 10 pies de ancho por 7 pies de largo. Si no tuviera ese espacio disponible, pídales que imaginen un rectángulo de 10 pies de ancho y 7 pies de largo. Por ejemplo, podrían pensar en 3 puertas de salones de clases, una al lado de la otra, o en una pizarra y el espacio de pared que queda debajo de ella.
Este rectángulo mide 10 pies de ancho y 7 pies de largo. Podemos decir que su ancho es 10 pies y su longitud es 7 pies. ¿Un rectángulo tan grande tiene área?
Sí. Ocupa espacio plano.
No podemos dibujar un modelo de matriz en pies cuadrados en papel porque nuestro papel es demasiado pequeño. Podemos representar este rectángulo con un modelo de área y usar ese modelo para hallar el área.
Muestre la imagen del rectángulo de 10 por 7. Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación de multiplicación y hallen el área del rectángulo.
¿Qué unidad se usa para medir la longitud y el ancho de este rectángulo?
Pies
¿Qué unidad se usa para medir el área de este rectángulo?
Pies cuadrados
¿Cuál es el área de este rectángulo?
70 pies cuadrados
Muestre la imagen de los rectángulos A y B.
¿Qué observan acerca de estos rectángulos?
Los rectángulos tienen el mismo tamaño y las mismas longitudes de los lados, pero las longitudes de los lados están cambiadas.
En el rectángulo B, el lado de 10 pies es más corto que el lado de 7 pies.
¿Qué dibujo es una representación más exacta del rectángulo? ¿Por qué?
10 pies
Rectángulo A
7 pies
7 pies
Rectángulo B 10 pies
7 pies 10 pies
El rectángulo A es más exacto, porque la longitud del lado corto y la longitud del lado largo coinciden con la forma en que está dibujado.
No es necesario que dibujemos rectángulos de tamaño real o que coincidan exactamente con las medidas del problema, pero debemos asegurarnos de que nuestros modelos de área sean representaciones correctas del problema.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo dibujar un modelo de área preciso.
Hallar la longitud del lado desconocida
La clase usa el área de un rectángulo y la longitud de un lado para hallar la longitud del lado desconocida.
Muestre la imagen del rectángulo con un área de 36 pulgadas cuadradas.
Jayla hace un rectángulo de 36 pulgadas cuadradas. Traza el contorno del rectángulo y, luego, quita la mayoría de los cuadrados de una pulgada. ¿Cuál es la longitud del rectángulo de Jayla?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar la longitud del lado desconocida.
pulg
Área: 36 pulg cuad.
pulg
Podríamos dibujar más columnas de cuadrados hasta tener 36 cuadrados.
Podríamos contar salteado de cuatro en cuatro hasta el 36.
Podríamos escribir una ecuación de factor desconocido o una ecuación de división.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar la longitud del lado desconocida con la estrategia que elijan. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan. Observe las estrategias que usan. Elija a parejas que hayan escrito una ecuación de factor desconocido y una ecuación de división e invítelas a que compartan su razonamiento.
¿Cuál es el valor de m?
9
¿Cuál es la longitud del rectángulo de Jayla?
9 pulgadas
Muestre la imagen del rectángulo con un área de 32 centímetros cuadrados. Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación de factor desconocido o una ecuación de división y hallen la longitud del lado desconocida. Recorra el salón de clases mientras trabajan y brinde apoyo cuando escriben la ecuación.
Observe quiénes escriben una ecuación de factor desconocido y quiénes escriben una ecuación de división.
4 × m = 36
36 ÷ 4 = m
Área: 32 cm cuad.
4 cm h cm
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige una estrategia para hallar la longitud del lado desconocida.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué estrategia sería la más eficiente para hallar la longitud del lado desconocida? ¿Por qué?
• ¿Por qué eligieron dibujar todos los cuadrados unitarios? ¿Funcionó bien esa estrategia?
Pida a un grupo de estudiantes que compartan sus ecuaciones y la longitud del lado desconocida. Asegúrese de que compartan tanto una ecuación de multiplicación como una de división.
Use una secuencia similar para hallar la longitud del lado desconocida del rectángulo con un área de 49 pies cuadrados y una longitud del lado conocida de 7 pies.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar la longitud del lado desconocida cuando saben el área de un rectángulo y la longitud de un lado.
Grupo de problemas
m pies
Área: 49 pies cuad.
7 pies
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de un rectángulo
Guíe una conversación sobre el uso de la multiplicación para hallar el área de los rectángulos.
¿Cuáles son algunas estrategias que pueden usar para hallar el área?
Podemos completar una cuadrícula y contar los cuadrados unitarios. Podemos juntar partes de los cuadrados unitarios, si fuera necesario.
Podemos contar salteado las filas o las columnas, o la longitud y el ancho.
Podemos multiplicar la longitud y el ancho de un rectángulo.
¿Qué necesitan saber para hallar el área de un rectángulo?
Las longitudes de los lados
La longitud y el ancho del rectángulo
¿Qué pueden hallar si saben el área y la longitud de un rectángulo?
El ancho
¿Qué pueden hallar si saben el área y el ancho de un rectángulo?
La longitud
¿Cómo se relaciona la multiplicación con las longitudes de los lados de un rectángulo y su área?
Las longitudes de los lados muestran cuántos cuadrados hay en cada lado. Multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área es como rellenar una cuadrícula para ver todos los cuadrados unitarios que forman el rectángulo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe una ecuación de multiplicación para hallar el área de cada rectángulo.
1. 7 pies
4 pies
4 × 7 = 28
Área: 28 pies cuad.
2. 7 pies
8 pies
8 × 7 = 56
Área: 56 pies cuad.
3. 6 pies
6 pies
6 × 6 = 36
Área: 36 pies cuad.
Escribe una ecuación para hallar la longitud del lado desconocida de cada rectángulo. Luego, usa tu ecuación para completar los espacios.
4. Área: 40 pies cuad.
r pies
8 pies
longitud del lado desconocida es 5 pies.
5. Área: 27 pies cuad.
9 pies
d pies
6. Área: 42 pies cuad. w pies 7 pies
La longitud del lado desconocida es 3 pies.
La longitud del lado desconocida es 6 pies.
7. La maestra Wong pide a sus estudiantes que hallen la longitud del lado desconocida del rectángulo. k pulg
4 pulg
¿Dio la maestra Wong suficiente información para hallar la longitud del lado desconocida?
¿Cómo lo sabes?
No, no dio suficiente información. También necesita decir cuál es el área del rectángulo.
8. Ray mide una pared que tiene un ancho de 8 pies y una longitud de 12 pies.
¿Qué rectángulo representa mejor la pared que mide Ray? Explica tu respuesta.
Rectángulo A Rectángulo B
12 pies 12 pies 8 pies 8 pies
El rectángulo B representa mejor la pared que mide Ray. La longitud del lado rotulada como 8 pies en el rectángulo A no es lo suficientemente larga en comparación con la longitud del lado rotulada como 12 pies.
9. El piso del dormitorio rectangular de Pablo tiene una longitud de 9 pies y un ancho de 8 pies.
¿Cuál es el área del piso?
El área del piso es 72 pies cuadrados.
9 × 8 = 72
10. Jayla compra una alfombra rectangular. La alfombra tiene un área de 48 pies cuadrados.
El ancho de la alfombra es 6 pies. ¿Cuál es la longitud de la alfombra?
48 ÷ 6 = 8
La longitud de la alfombra es 8 pies.
Tema C Aplicar las propiedades de las operaciones al área
En el tema C, sus estudiantes hallan el área de rectángulos aplicando estrategias de multiplicación que usan las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los módulos 1 y 3.
Hallan el área de rectángulos más grandes visualizando rectángulos más pequeños en su interior que representan operaciones de multiplicación conocidas. Componen rectángulos más pequeños para formar un rectángulo más grande o descomponen un rectángulo más grande para formar rectángulos más pequeños. En ambos casos, aplican la propiedad distributiva para hallar el área.
Sus estudiantes usan representaciones concretas y pictóricas antes de usar ecuaciones para hallar todos los rectángulos posibles con un área específica. Trabajan con fichas cuadradas y dibujos de matrices como ayuda para identificar las longitudes de los lados de los rectángulos que tienen el área especificada. Luego, escriben ecuaciones de multiplicación para identificar factores que tienen el producto especificado. Descomponen factores usando las propiedades de las operaciones para crear nuevas ecuaciones con el mismo producto.
En el tema D, sus estudiantes usan la composición y la descomposición de rectángulos para resolver problemas de área, incluyendo hallar el área de polígonos no rectangulares que se componen de rectángulos.
Progresión de las lecciones
Lección 10
Componer rectángulos grandes y razonar sobre sus áreas
Lección 11
Descomponer para hallar el área total de un rectángulo
Cuando compongo un rectángulo más grande a partir de rectángulos más pequeños, puedo hallar el área del rectángulo más grande sumando las áreas de los rectángulos más pequeños. Los vínculos numéricos me ayudan a mostrar mi razonamiento.
Puedo usar la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo más grande descomponiéndolo en rectángulos más pequeños con longitudes de los lados que sé multiplicar. La suma de las áreas de los rectángulos más pequeños es igual al área del rectángulo más grande.
Lección 12
Hallar todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada
Diferentes rectángulos pueden tener la misma área. Puedo demostrarlo formando un rectángulo con fichas cuadradas y moviendo las fichas para crear nuevos rectángulos. Puedo escribir una expresión de multiplicación que represente el área de un rectángulo y pensar en los factores de diferentes maneras. Luego, puedo usar las propiedades asociativa y conmutativa para hallar otros rectángulos con la misma área. Otra estrategia que puedo usar es pensar en operaciones de multiplicación que tienen el mismo producto.
Componer rectángulos grandes y razonar sobre sus áreas
Vistazo a la lección
Adam usa fichas cuadradas para formar los dos rectángulos que se muestran. Luego, rotula las longitudes de los lados del rectángulo A.
6 unidades
3 unidades
6 unidades 6 unidades
Rectángulo A
a. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo B.
b. Escribe ecuaciones para hallar las áreas de los rectángulos.
Rectángulo B
Rectángulo A Rectángulo B
Ecuación: 6 × 6 = 36 Ecuación: 6 × 3 = 18
Área del rectángulo A: 36 unidades cuadradas Área del rectángulo B: 18 unidades cuadradas
c. Adam junta los rectángulos A y B para formar un rectángulo más grande. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande? Explica cómo lo sabes.
El área del rectángulo más grande es 54 unidades cuadradas. Los rectángulos A y B juntos forman un rectángulo que mide 6 unidades por 9 unidades.
6 × 9 = (6 × 6) + (6 × 3) = 36 + 18 = 54
La clase halla el área de un rectángulo grande componiendo las áreas de rectángulos más pequeños dentro del rectángulo grande. Dibujan y sombrean rectángulos en cuadrículas para definir los rectángulos más pequeños y usan vínculos numéricos para representar las relaciones entre las áreas.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos hallar el área de un rectángulo más grande usando rectángulos más pequeños?
• ¿De qué manera resulta útil la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo grande?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos. (3.MD.C.7.c)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
3.Mód4.CLA8 Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Componer el área de dos rectángulos
• Componer áreas para resolver un problema verbal
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Cuadrícula en centímetros (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrícula en centímetros de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Leer las escalas de medición
La clase lee una escala de medición para determinar el peso de un objeto en gramos con el fin de adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre la imagen del ave sobre la balanza de plato.
Lean la balanza. ¿Cuál es el peso del ave en gramos?
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
400 gramos
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
gramos
Contar de seis en seis y de nueve en nueve con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 6 o 9 con el fin de adquirir fluidez con el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 6. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 69 × 67 × 6
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 9. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 99 × 97 × 9
Contar salteado usando gramos y kilogramos en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando unidades de 500 gramos y relaciona los gramos con los kilogramos para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar usando unidades de 500 gramos desde 0 gramos hasta 3,000 gramos. La primera medida que dicen es 0 gramos. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 gramos, 500 gramos, 1,000 gramos…, 3,000 gramos
Ahora, cuenten hacia atrás usando unidades de 500 gramos, desde 3,000 gramos hasta 0 gramos. La primera medida que dicen es 3,000 gramos. ¿Comenzamos?
Señale cada medida en la recta numérica mientras la clase cuenta.
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante y hacia atrás usando unidades de 500 gramos. Esta vez, expresen cada 1,000 gramos como un número de kilogramos. La primera medida que dicen es 0 kilogramos. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
La clase desarrolla estrategias para hallar el área de un rectángulo grande que se muestra como un modelo de matriz.
Muestre la imagen de los dos rectángulos. Presente el problema:
Las clases de 3.er grado están creando un mural. La clase del maestro Endo hace una matriz de mosaicos rojos y la clase de la maestra Wong hace una matriz con mosaicos azules. Juntan las matrices para formar un rectángulo grande. ¿Cómo pueden hallar el área del rectángulo grande?
Guíe a sus estudiantes para que hallen y rotulen la longitud y el ancho de cada rectángulo. Luego, siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé unos minutos de tiempo para que sus estudiantes piensen en silencio y consideren qué estrategia usarían para hallar el área del rectángulo. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema a la clase, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Si es posible, elija trabajos que incluyan métodos menos eficientes, como contar todos los cuadrados, y métodos más eficientes, como componer los rectángulos más pequeños para formar un rectángulo grande y multiplicar.
Podríamos sumar los rectángulos rojo y azul.
El área del rectángulo rojo es 50 unidades cuadradas. El área del rectángulo azul es 40 unidades cuadradas. 50 + 40 = 90; entonces, el rectángulo grande tiene un área de 90 unidades cuadradas.
Considere guiar una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos el área de rectángulos grandes usando estrategias eficientes.
Aprender
Componer el área de dos rectángulos
Materiales: E) Cuadrícula en centímetros
La clase compone las áreas de dos rectángulos más pequeños para hallar el área de un rectángulo grande.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Cuadrícula en centímetros de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Muestre la imagen del rectángulo de 4 por 16. 35
Las clases del maestro Davis y la maestra Smith también crean un mural. Juntan sus matrices para formar un rectángulo grande.
Invite a sus estudiantes a dibujar el rectángulo, rotular las longitudes de los lados 4 cm y 16 cm, y sombrear 4 filas de 10.
Pensemos en las matrices de mosaicos verdes y de mosaicos blancos. ¿Qué forma tiene la matriz de mosaicos verdes? ¿Qué forma tiene la matriz de mosaicos blancos?
Las dos son rectángulos.
¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo sombreado que representa los mosaicos verdes en su cuadrícula?
10 centímetros y 4 centímetros
Invite a sus estudiantes a rotular la longitud del lado del rectángulo sombreado 10 cm.
¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo sin sombrear que representa los mosaicos blancos?
6 centímetros y 4 centímetros
Invite a sus estudiantes a rotular el lado del rectángulo sin sombrear 6 cm.
¿Cómo podemos hallar el área de cada rectángulo?
Podemos multiplicar las longitudes de los lados.
Pida a sus estudiantes que escriban ecuaciones de multiplicación para hallar el área de los rectángulos más pequeños.
¿Cuál es la ecuación para el área del rectángulo sombreado? ¿Y para el rectángulo sin sombrear?
4 × 10 = 40
4 × 6 = 24
¿Cuál es el área del rectángulo sombreado? ¿Y la del rectángulo sin sombrear?
40 centímetros cuadrados
24 centímetros cuadrados
¿Cómo podemos usar las áreas de los rectángulos más pequeños para hallar el área del rectángulo grande?
Podemos sumar las áreas más pequeñas.
Haga un vínculo numérico con las áreas de los rectángulos más pequeños como las partes.
Combinemos las áreas de los rectángulos más pequeños para hallar el área del rectángulo más grande.
¿Cuál es el área del rectángulo más grande?
64 centímetros cuadrados
Escriba 64 en el vínculo numérico.
¿Cuántos mosaicos hay en el mural del maestro Davis y la maestra Smith?
Hay 64 mosaicos en el mural.
Use una secuencia similar para hallar el área de un rectángulo de 6 cm por 16 cm y de uno de 8 cm por 12 cm.
Nota para la enseñanza
Considere permitir que cada estudiante elija cómo sombrear el rectángulo grande para crear rectángulos más pequeños. Otras posibilidades para el rectángulo de 6 cm por 16 cm incluyen crear 2 rectángulos de 8 columnas cada uno y crear 3 rectángulos, por ejemplo, sombreando 10 columnas, 5 columnas y 1 columna. Anime a sus estudiantes a considerar la eficiencia al momento de decidir.
¿Les recuerda esta estrategia a otra que hayamos usado anteriormente?
Es como la estrategia de separar y distribuir.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo usar dos rectángulos más pequeños para hallar el área de un rectángulo grande y cuáles son las semejanzas y diferencias entre esta estrategia y la estrategia de separar y distribuir para multiplicar.
Es la misma estrategia, pero ahora estamos hallando el área, no el número de objetos en una matriz.
Podemos separar una matriz grande en matrices más pequeñas para que nos sea más fácil hallar el área.
Componer áreas para resolver un problema verbal
La clase compone las áreas de dos rectángulos más pequeños para resolver un problema verbal.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros y léalo a coro con la clase. Invíteles a trabajar en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Liz y Ray hacen un pícnic. Juntan mantas para sentarse sobre ellas.
La manta rectangular de Liz mide 5 pies de largo y 7 pies de ancho.
La manta de Ray es un rectángulo con una longitud de 8 pies y un ancho de 7 pies.
a. Sombrea el rectángulo para mostrar la manta de Liz.
pies
pies
pies representa 1 pie cuadrado.
b. Rotula la longitud y el ancho del rectángulo sombreado y del rectángulo sin sombrear.
pies
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Como apoyo para dar contexto a este problema, muestre imágenes de personas sentadas en mantas en un pícnic o considere cambiar el contexto por otro que resulte más conocido para sus estudiantes.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando halla y combina las áreas de rectángulos más pequeños con el fin de hallar el área de un rectángulo más grande.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cuál es la relación entre los rectángulos más pequeños y el rectángulo más grande? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el área del rectángulo más grande?
• ¿En qué se parece hallar el área del rectángulo más grande a algún problema de multiplicación que hayan resuelto anteriormente?
c. ¿Cuál es el área de la manta de Liz?
35 pies cuadrados
d. ¿Cuál es el área de la manta de Ray?
56 pies cuadrados
e. ¿Cuál es el área total de las mantas de Liz y Ray?
91 pies cuadrados
Guíe una conversación sobre cómo sus estudiantes hallaron las áreas de los dos rectángulos. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de cómo saben que el área total es 91 pies cuadrados.
Podemos combinar las áreas de los rectángulos más pequeños para hallar el área del rectángulo más grande.
Usamos la estrategia de separar y distribuir. 10 sietes + 3 sietes = 70 + 21 y 70 + 21 = 91.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Componer rectángulos grandes y razonar sobre sus áreas
Guíe una conversación acerca de componer las áreas de rectángulos más pequeños para hallar el área de un rectángulo más grande.
¿Cómo podemos hallar el área de un rectángulo más grande usando rectángulos más pequeños?
Podemos hallar el área de cada uno de los rectángulos más pequeños y sumarlas para hallar el área del rectángulo más grande.
DUA: Participación
Considere normalizar los errores proporcionando una retroalimentación orientada al dominio mientras sus estudiantes trabajan en parejas y comentan sus estrategias. Cuando cometan errores, ayúdeles a identificar lo que hicieron correctamente y dónde se equivocaron. Pregunte qué aprendieron del error que puede ayudarles a hallar una estrategia diferente para resolver este problema. Pídales también que reflexionen acerca de cómo pueden aplicar lo que aprendieron a futuros problemas. Para fomentar la perseverancia, anime a sus estudiantes a compartir con sus pares lo que aprendieron de sus errores.
¿De qué manera resulta útil la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo grande?
Para mí es más fácil multiplicar con números más pequeños y, luego, sumar, en vez de multiplicar usando un número grande.
Muestre la imagen del rectángulo de 6 cm por 16 cm y haga la siguiente pregunta.
¿Creen que esta estrategia funcionaría si usáramos más de dos rectángulos pequeños para formar el rectángulo más grande? ¿Por qué?
Sí. También hallaríamos el área de cada uno de los rectángulos pequeños y, luego, las sumaríamos para hallar el área del rectángulo más grande.
Podemos juntar tantos rectángulos como sean necesarios para formar el rectángulo más grande. Es como cuando usamos la estrategia de separar y distribuir. Podemos separar la matriz en muchas partes para obtener operaciones que nos sabemos.
Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que hallen el área de los rectángulos más pequeños para determinar el área del rectángulo más grande. Confirme que sus respuestas coinciden con la que hallaron en la sección Aprender, cuando determinaron el área del rectángulo de 6 cm por 16 cm.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
c. Iván junta los rectángulos A y B para formar un rectángulo más grande.
Completa el vínculo numérico para mostrar la relación entre las áreas de los rectángulos más pequeños y el área del rectángulo más grande.
1. Iván usa unidades cuadradas para formar dos rectángulos.
a. Rotula la longitud y el ancho de cada rectángulo.
Rectángulo ARectángulo B
6 unidades
4 unidades 4 unidades 8 unidades
Cada representa 1 unidad cuadrada.
b. Halla el área de cada rectángulo.
Área del rectángulo A: 24 unidades cuadradas
d. Explica cómo hallaste el área del nuevo rectángulo más grande.
Hallé el área del nuevo rectángulo más grande sumando las áreas de los rectángulos más pequeños.
Área del rectángulo B: 32 unidades cuadradas
2. Deepa pinta una pared de su dormitorio.
El rectángulo sombreado representa la parte de la pared que Deepa ya ha pintado.
El rectángulo sin sombrear representa la parte de la pared que Deepa aún debe pintar.
a. Rotula la longitud y el ancho del rectángulo sombreado y del rectángulo sin sombrear. 7 unidades 7 unidades 10 unidades 3 unidades
Cada representa 1 unidad cuadrada.
b. ¿Cuál es el área de la pared que Deepa ya ha pintado?
7 × 10 = 70
El área de la pared que Deepa ha pintado es 70 unidades cuadradas.
c. ¿Cuál es el área de la pared que Deepa aún debe pintar?
7 × 3 = 21
El área de la pared que Deepa aún debe pintar es 21 unidades cuadradas.
d. ¿Cuál es el área total de la pared? ¿Cómo lo sabes?
70 + 21 = 91
El área total de la pared es 91 unidades cuadradas. Sumé las áreas del rectángulo sombreado y del rectángulo sin sombrear.
3. El Sr. López quiere comprar dos alfombras para el piso de su sala de estar.
El área del piso de la sala de estar del Sr. López es 100 pies cuadrados.
¿Cabrán las dos alfombras en la sala de estar del Sr. López, sin espacios ni superposiciones?
¿Cómo lo sabes?
6 pies 9 pies 6 pies 9 pies
No, las alfombras no cabrán sin espacios ni superposiciones. El área de cada alfombra es 54 pies cuadrados. El área total que cubren las dos alfombras es 108 pies cuadrados, que es más grande que 100 pies cuadrados.
EUREKA MATH
Descomponer para hallar el área total de un rectángulo
Rotula las longitudes de los lados de la parte sombreada y de la parte sin sombrear de este rectángulo.
Luego, usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el área del rectángulo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
× 13 = 9 × ( 10 + 3 )
(9 × 10 ) + (9 × 3 )
90 + 27
Área: 117 unidades cuadradas
Vistazo a la lección
La clase descompone un rectángulo grande en dos rectángulos más pequeños. Usan la estrategia de separar y distribuir para hallar el área del rectángulo grande.
Preguntas clave
• ¿De qué manera resulta útil la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo?
• ¿Cómo deciden qué longitud del lado descomponer y cómo separarla en partes?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos. (3.MD.C.7.c)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Separar filas para hallar el área
• Separar columnas para hallar el área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Leer la escala de medición
La clase lee una escala de medición para determinar la cantidad de un líquido en mililitros con el fin de adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre la imagen del vaso de precipitado.
Lean la escala. ¿Cuánto líquido hay en el vaso de precipitado?
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
400 mililitros
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar salteado usando mililitros y litros en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando unidades de 500 mililitros y relaciona los mililitros con los litros para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar usando unidades de 500 mililitros desde 0 mililitros hasta 3,000 mililitros. La primera medida que dicen es 0 mililitros.
¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, cuenten hacia atrás usando unidades de 500 mililitros, desde 3,000 mililitros hasta 0 mililitros. La primera medida que dicen es 3,000 mililitros. ¿Comenzamos?
Señale cada medida en la recta numérica mientras la clase cuenta.
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante y hacia atrás usando unidades de 500 mililitros. Esta vez, expresen cada 1,000 mililitros como un número de litros. La primera medida que dicen es 0 litros. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 litros, 500 mililitros, 1 litro…, 3 litros
3 litros, 2,500 mililitros, 2 litros…, 0 litros
Contar de ocho en ocho y de siete en siete con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 7 u 8 con el fin de adquirir fluidez con el uso de la propiedad distributiva como estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Ahora, contemos de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 7. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 79 × 77 × 7
Presentar
La clase razona sobre cómo separar una matriz en partes.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro matrices e invite a la clase a estudiar cada una.
Dé a la clase unos minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de separar el rectángulo en partes para hallar su área.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Preguntas de ejemplo:
¿Qué atributo comparten las cuatro matrices?
Todas son rectángulos de 6 por 12.
Todas tienen la misma área, 72 unidades cuadradas.
¿De qué manera les ayuda pensar en cómo están sombreadas las matrices a identificar cuál no pertenece al grupo?
El rectángulo sombreado de azul no pertenece al grupo porque se separaron las columnas en vez de las filas.
El rectángulo sombreado de verde no pertenece al grupo porque está dividido de manera que se forma una operación con cinco.
El rectángulo sombreado de rojo no pertenece al grupo porque está dividido de manera que se forma una operación con diez.
¿En qué se parecen los rectángulos sombreados de azul y amarillo? ¿En qué se diferencian?
Tanto la cuadrícula azul como la amarilla muestran una longitud que es una operación con números repetidos. En la azul se separan las columnas, en la amarilla, las filas.
¿De qué manera les ayuda pensar en cómo separarían en partes las matrices a identificar cuál no pertenece al grupo?
El rectángulo sombreado de amarillo no pertenece al grupo. No me sé el producto de 3 × 12.
El rectángulo sombreado de verde no pertenece al grupo. Me resulta difícil calcular 5 × 12 mentalmente con rapidez.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, separaremos rectángulos grandes en rectángulos más pequeños y usaremos operaciones conocidas para hallar el área.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes comparten, considere pedirles que vayan a la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación como apoyo para hacer preguntas a sus pares que sean aclaratorias y que sirvan para establecer conexiones.
Aprender
Separar filas para hallar el área
La clase separa las filas en una matriz rectangular para hallar el área.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea el problema a coro con la clase. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de posibles estrategias para hallar el área del rectángulo.
1. El Sr. López está comprando baldosas cuadradas para el piso rectangular de su comedor.
El piso mide 12 pies de largo y 6 pies de ancho. Cada baldosa mide 1 pie cuadrado.
¿Cuántas baldosas debería comprar el Sr. López para cubrir el área total del piso?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando aplica su comprensión del área para crear modelos de matrices y escribir expresiones con el fin de representar y resolver problemas en contexto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué modelo pueden dibujar que les ayude a comprender mejor el problema?
• ¿Qué expresión pueden escribir para representar el número de baldosas que debería comprar el Sr. López?
12 × 6 = (10 + 2) × 6
= (10 × 6) + (2 × 6) = 60 + 12
Área: 72 pies cuadrados
El Sr. López debería comprar 72 baldosas.
¿Cómo podemos hallar el área del rectángulo que representa el piso del comedor?
Podríamos contar salteado, pero llevaría mucho tiempo contar salteado de seis en seis 12 veces.
Podríamos multiplicar las longitudes de los lados, pero los números son grandes.
Escriba 12 × 6 = .
¿Cómo podemos reescribir 12 × 6 con operaciones que sean conocidas?
Podemos dividir 12 en partes más pequeñas, de la misma manera en que podemos dividir el rectángulo en rectángulos más pequeños.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para explicar cómo separar el rectángulo grande en otros más pequeños. Mientras sus estudiantes comparten, comente qué combinaciones de rectángulos más pequeños tienen longitudes de los lados que pueden multiplicar mentalmente.
Podemos separar 6 en 5 y 1, pero eso nos deja 12 como la longitud. Me resulta difícil hallar 12 × 5 mentalmente.
Podemos separar 12 en 10 y 2. Sabemos cómo hallar 10 × 6 y 2 × 6.
Descompongamos, o separemos, el rectángulo en dos rectángulos más pequeños: un rectángulo de 10 por 6 y un rectángulo de 2 por 6.
Pida a sus estudiantes que usen un lápiz para sombrear un rectángulo de 10 por 6 y que rotulen las longitudes de los lados del rectángulo sombreado y del rectángulo sin sombrear.
¿Qué estrategia de multiplicación estamos usando para hallar el producto?
Separar y distribuir
¿Cómo separamos el rectángulo en partes? ¿Qué escribimos para mostrar eso?
Separamos 12 en 10 y 2. Para mostrarlo, reemplazamos 12 con (10 + 2).
Nota para la enseñanza
Hay varias maneras de descomponer el rectángulo. Inicialmente se anima a cada estudiante a separar el número del 11 al 19 en una operación con diez y otra operación porque ya conocen las operaciones con diez desde el módulo 1 y saben contar salteado de diez en diez desde grados anteriores.
Este enfoque también refuerza el trabajo realizado en grados anteriores, cuando sus estudiantes aplican su comprensión del sistema en base diez y adquieren fluidez con la descripción de los números del 11 al 19 como operaciones de 10+.
El Grupo de problemas proporciona una oportunidad para trabajar con menos soporte en la que cada estudiante elige una combinación de rectángulos pequeños que le resulta eficiente.
Escriba (10 + 2) × 6 para completar la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué hacemos ahora?
Distribuimos el 6 y mostramos las operaciones más pequeñas.
Escriba = (10 × 6) + (2 × 6) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 10 × 6? ¿Cuánto es 2 × 6?
Escriba = 60 + 12 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es el área del rectángulo?
72 pies cuadrados
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar el producto usando otro método, como el conteo salteado, y acerca de qué método les resulta más eficiente.
Pida a sus estudiantes que escriban el área.
¿El área es la respuesta al problema?
Es casi la respuesta. El área es 72 pies cuadrados; entonces, el Sr. López necesita comprar 72 baldosas.
Invite a sus estudiantes a escribir un enunciado con la solución.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre el rectángulo del problema 1 y el rectángulo del problema 2. Brinde apoyo para que reconozcan que el rectángulo del problema 2 ya está dividido y sombreado, pero le faltan los rótulos de las longitudes de los lados y se proporciona una ecuación. Para completar el problema 2, considere usar una secuencia similar a la usada en el problema 1.
2. Rotula las longitudes de los lados de la parte sombreada y de la parte sin sombrear de este rectángulo. Luego, usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el área del rectángulo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué creen que se separó en partes el 13 en lugar del 7.
Separar columnas para hallar el área
La clase separa las columnas en una matriz rectangular para hallar el área.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y lea el problema a coro con la clase. Invite a la clase a dibujar un rectángulo en la cuadrícula para representar el problema.
3. La Sra. Smith compra baldosas cuadradas para un patio rectangular. El patio mide 12 unidades de largo y 8 unidades de ancho. ¿Cuál es el área del patio?
8 × 12 = 8 × (10 + 2)
= (8 × 10) + (8 × 2)
= 80 + 16 = 96
El área del patio es 96 unidades cuadradas.
¿Qué expresión de multiplicación puede ayudarnos a hallar el área del rectángulo que representa el patio?
Escriba 8 × 12.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para explicar cómo separar el rectángulo en otros más pequeños. Mientras sus estudiantes comparten, comente qué combinaciones de rectángulos más pequeños tienen longitudes de los lados que saben multiplicar.
Podemos separar 8 en 4 y 4, pero, luego, debemos hallar 4 × 12, y no sabemos hacerlo.
Podemos separar 12 en 10 y 2. Sabemos cómo hallar 8 × 10 y 8 × 2.
Pida a sus estudiantes que usen un lápiz para sombrear un rectángulo de 10 por 8 y, luego, que rotulen las longitudes de los lados del rectángulo sombreado y del rectángulo sin sombrear.
2 8
¿Qué podemos escribir para mostrar cómo separamos el rectángulo en partes?
Podemos reemplazar 12 con (10 + 2) porque separamos 12 en 10 y 2.
Escriba = 8 × (10 + 2) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Indique a sus estudiantes que completen el trabajo de la ecuación y hallen el área.
¿Cuál es el área del rectángulo?
96 unidades cuadradas
¿Cuál es el área del patio?
96 unidades cuadradas
Invite a sus estudiantes a escribir un enunciado con la solución.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Lea el problema a coro con la clase y dé tiempo para que sus estudiantes trabajen. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario.
DUA: Acción y expresión
Considere pedir a cada estudiante que analice su propio progreso mientras completa el problema 4. Proporcione preguntas como las siguientes para apoyar a sus estudiantes mientras planean, analizan y evalúan su propio trabajo.
Elaborar un plan
• ¿En qué se parece este problema a otros problemas que ya resolvimos?
• ¿Cómo resolvimos problemas parecidos?
Analizar
• ¿Están funcionando sus estrategias?
• ¿Hay algo que puedan hacer de otra manera?
Evaluar
• ¿Qué funcionó bien?
• ¿Qué harían de otra manera la próxima vez?
4. Dibuja un rectángulo de 5 por 15 y halla el área usando la estrategia de separar y distribuir.
Separamos en partes el factor que nos dará operaciones que ya sabemos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es más eficiente separar en partes el 15 en lugar del 5.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Descomponer para hallar el área total de un rectángulo
Guíe una conversación sobre cómo separar un rectángulo grande en otros más pequeños para hallar el área del rectángulo grande.
¿De qué manera resulta útil la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo?
Podemos separar un rectángulo grande en rectángulos más pequeños con longitudes de los lados que forman operaciones que nos sabemos.
¿Cómo deciden qué longitud del lado descomponer y cómo separarla en partes?
Busco operaciones que me sé.
Intento descomponer la longitud del lado más larga para obtener números más pequeños con los que multiplicar.
En parejas, hagan una lista que incluya todas las maneras posibles en que podrían usar la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de un rectángulo de 7 por 18. De todas las posibilidades que encontraron, ¿cuál usarían? ¿Por qué?
Podríamos usar 7 × (10 + 8) o (5 + 2) × 18.
Usaría 7 × (8 + 10) porque puedo hacer todos esos cálculos mentalmente.
Diferenciación: Apoyo
Considere brindar a sus estudiantes la oportunidad de completar ecuaciones de multiplicación básicas antes de trabajar en el Grupo de problemas.
¿Podríamos descomponer el rectángulo en más de 2 partes? ¿Cómo se vería eso?
Sí. Podríamos separar 18 en 10, 5 y 3 para obtener 70 + 35 + 21.
Sí. Podría separar 7 en 5 y 2 y separar 18 en 10 y 8 para formar 4 rectángulos pequeños con operaciones que me sé. Luego, podría hallar el área de cada uno de los 4 rectángulos y sumarlas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Rotula las longitudes de los lados de la parte sombreada y de la parte sin sombrear de cada rectángulo.
Luego, usa la estrategia de separar y distribuir para hallar sus áreas.
5. Luke cubre los pisos de su cocina y su comedor con baldosas cuadradas.
Cada representa una baldosa, que es 1 pie cuadrado.
Comedor
¿Cuál es el área total que cubren las baldosas nuevas?
El área total que cubren las baldosas nuevas es 90 pies cuadrados.
6. Sombrea el rectángulo para separarlo en dos rectángulos más pequeños. Luego, halla el área total del rectángulo grande.
Ejemplo:
Cada representa 1 unidad cuadrada.
El área total del rectángulo grande es 64 unidades cuadradas.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Cocina
5 pulgadas
Hallar todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada
Vistazo a la lección
6 pulgadas
a. Halla el área del rectángulo de Carla.
30 pulgadas cuadradas
b. Halla otros dos rectángulos que tengan la misma área que el rectángulo de Carla, pero con diferentes longitudes de los lados. Haz un boceto de los nuevos rectángulos y rotula las longitudes de los lados.
Ejemplo:
5 × 6 = 5 × (2 × 3)
= (5 × 2) × 3
= 10 × 3
10 pulgadas
3 pulgadas
5 × 6 = 5 × (2 × 3)
= 5 × (3 × 2)
= (5 × 3) × 2
= 15 × 2
15 pulgadas
2 pulgadas
La clase halla posibles pares de longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada. Aplican las propiedades conmutativa y asociativa a expresiones de multiplicación que representan el área del rectángulo para generar nuevas expresiones. Comprueban estratégicamente para ver si hallaron todas las posibles longitudes de los lados (en números enteros) de un rectángulo con un área dada.
Preguntas clave
• ¿Cómo sabemos que hallamos todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada?
• ¿Qué estrategias son útiles para determinar si hallamos todos los posibles pares de longitudes de los lados para un área dada?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados. (3.MD.C.7.a)
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
EUREKA MATH
Nombre
Carla dibuja el rectángulo que se muestra.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Rectángulos con un área de 24 centímetros cuadrados
• Rectángulos con otras áreas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cubos interconectables de 1 cm (24)
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 6 (en el libro para estudiantes)
• cubos interconectables de 1 cm (24)
• Cuadrícula en centímetros (en el libro para estudiantes)
• papel de rotafolio (1 hoja por grupo de estudiantes)
• paquete de marcadores (1 por grupo de estudiantes)
• tijeras (1 por grupo de estudiantes)
• notas adhesivas (1 por grupo de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Cuadrícula en centímetros de los libros para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas individuales con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
• Prepare una hoja de papel de rotafolio, unas tijeras, un paquete de marcadores y una nota adhesiva por cada grupo de tres estudiantes.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 6
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 6
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la multiplicación y la división con el 6.
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 2 × 6 = 12
2. 12 ÷ 6 = 2
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. 10
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 a 6?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 18?
• ¿Qué estrategia podrían usar para los problemas 23 y 24?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de nueve en nueve desde el 90 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
Materiales: E) Cubos
La clase construye varios rectángulos con la misma área.
Pida a sus estudiantes que formen un rectángulo usando los 24 cubos. Dé tiempo para que trabajen y para que observen las diferentes longitudes de los lados de los rectángulos que forman.
Invite a alguien de la clase a compartir su rectángulo y a describir las longitudes de los lados. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba si formaron un rectángulo con las mismas longitudes de los lados, sin importar su orientación.
¿Cuál es el área del rectángulo?
24 centímetros cuadrados
Continúen compartiendo hasta mostrar todas las combinaciones posibles (es decir, 1 cm por 24 cm, 2 cm por 12 cm, 3 cm por 8 cm y 4 cm por 6 cm).
¿Todos los rectángulos tienen la misma área? Expliquen.
Sí. Todos están formados por 24 cubos.
Sí. Todos se ven diferentes, pero ocupan la misma cantidad de espacio plano.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos diferentes rectángulos que tienen la misma área.
Aprender
Rectángulos con un área de 24 centímetros cuadrados
Materiales: M) Cubos; E) Cuadrícula en centímetros
La clase usa las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación para identificar todos los rectángulos con un área de 24 centímetros cuadrados.
Muestre un rectángulo de 8 cm por 3 cm. Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Cuadrícula en centímetros de sus libros y las inserten en sus pizarras blancas individuales. Pídales que tracen el contorno de un rectángulo de 8 por 3 en la esquina superior izquierda de la cuadrícula y que lo sombreen.
Este rectángulo representa uno de los rectángulos que parte de la clase construyó con sus cubos. ¿Qué expresión de multiplicación representa el área de este rectángulo?
8 × 3
Anteriormente, usamos cubos para hallar diferentes rectángulos con la misma área. Veamos cómo se ve esto con ecuaciones.
Escriba 8 × 3 = (2 × 4) × 3.
¿Cómo representa (2 × 4) × 3 el área del rectángulo?
Reemplazó el 8 con 2 × 4. Se separa el 8 en 2 cuatros.
¿Cómo cambiaría la expresión si cambiáramos la forma en que agrupamos los números moviendo los paréntesis?
Escriba = 2 × (4 × 3).
¿Cómo podemos expresar 4 × 3 con otro nombre?
Escriba = 2 × 12.
DUA: Acción y expresión
Considere ofrecer opciones alternativas para crear los rectángulos. Por ejemplo, permita que cada estudiante forme rectángulos con cubos sobre la cuadrícula en vez de dibujarlos en el papel cuadriculado.
¿Qué rectángulo representa esta nueva expresión de multiplicación?
Un rectángulo de 2 cm por 12 cm
Pida a sus estudiantes que dibujen un rectángulo de 2 cm por 12 cm en su cuadrícula y hallen el área.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué un rectángulo de 2 cm por 12 cm y uno de 8 cm por 3 cm tienen la misma área.
Figuras que son diferentes pueden tener la misma área. Como 2 × 12 = 24 y 8 × 3 = 24, los dos
rectángulos tienen un área de 24 centímetros cuadrados.
Deje a la vista el trabajo que escribieron. Señale la ecuación 8 × 3 = (2 × 4) × 3 mientras dice lo siguiente:
Usemos la propiedad conmutativa para cambiar el orden de los factores 2 y 4 en nuestra expresión original. ¿Cuál es la nueva expresión?
Escriba 8 × 3 = (4 × 2) × 3 mientras dice lo siguiente:
¿Puede esta expresión proporcionarnos longitudes de los lados para un nuevo rectángulo?
No, (4 × 2) × 3 es otra manera de representar 8 × 3.
¿Cómo quedaría esta expresión si movemos los paréntesis?
Escriba = 4 × (2 × 3).
¿Cómo podemos expresar 2 × 3 con otro nombre?
Escriba = 4 × 6. Pida a sus estudiantes que dibujen un rectángulo de 4 cm por 6 cm en su cuadrícula y hallen el área.
Hacer un rectángulo de 4 cm por 6 cm es otra manera de hacer un rectángulo con un área de 24 centímetros cuadrados.
Señale 4 × (2 × 3).
Cambiemos el orden del 2 y el 3 en nuestra expresión. ¿Cuál es la nueva expresión?
Escriba 8 × 3 = 4 × (3 × 2).
¿Puede esta expresión proporcionarnos longitudes de los lados para un nuevo rectángulo?
No, 4 × (3 × 2) es otra manera de representar 4 × 6.
¿Cómo quedaría esta expresión si movemos los paréntesis?
Escriba = (4 × 3) × 2.
¿Cómo podemos expresar 4 × 3 con otro nombre?
Escriba = 12 × 2.
¿Puede esta expresión proporcionarnos longitudes de los lados para un nuevo rectángulo?
No, ya tenemos 12 y 2.
Hallamos las expresiones que representan rectángulos con un área de 24 centímetros cuadrados y los dibujamos. Hasta ahora, tenemos los siguientes rectángulos: 8 cm por 3 cm, 2 cm por 12 cm y 4 cm por 6 cm. ¿Hemos mencionado todos los posibles rectángulos con un área de 24 centímetros cuadrados?
No. Podríamos hacer un rectángulo con longitudes de los lados de 1 cm y 24 cm.
¿Podríamos haber usado ecuaciones para hallar este rectángulo también? ¿Cómo?
Sí. 8 × 3 = (1 × 8) × 3 = 1 × (8 × 3) = 1 × 24
Sí. Sabemos que 1 multiplicado por cualquier número es igual a sí mismo; entonces, 8 × 3 = 24 también puede escribirse como 1 × 24 = 24.
Pida a sus estudiantes que dibujen un rectángulo de 1 cm por 24 cm. Si no tienen espacio en la cuadrícula, sugiera que dibujen un modelo de área debajo de la cuadrícula.
Pensemos nuevamente en las longitudes de los lados. ¿Tenemos una longitud del lado de 1?
Sí.
¿Tenemos una longitud del lado de 2?
Sí.
¿Tenemos una longitud del lado de 3?
Sí.
Pida a sus estudiantes que observen, en parejas, las longitudes de los lados restantes y determinen si alguno de los números del 4 al 10 debería estar en la lista de longitudes de los lados. Si fuera necesario, cada estudiante puede usar sus cubos para intentar formar un rectángulo con la longitud del lado dada.
¿Qué números entre el 4 y el 10 no están incluidos como longitudes de los lados?
5, 7, 9 y 10
¿Por qué no están incluidos?
No pueden ser longitudes de los lados porque ninguna operación de las tablas del cinco, siete, nueve o diez da como resultado 24.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes sugieran longitudes de los lados fraccionarias para los rectángulos. En ese caso, explíqueles que, para esta exploración, solo trabajarán con rectángulos formados por unidades cuadradas enteras.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando razona y comenta por qué determinadas longitudes de los lados son imposibles para un rectángulo con un área de 24 unidades cuadradas (y longitudes de los lados en números enteros).
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Es verdadero que 5 unidades no puede ser una longitud del lado de un rectángulo con un área de 24 unidades cuadradas?
¿Cómo lo saben?
• ¿Por qué solo necesitamos comprobar los números del 1 al 10? Convenzan a la clase.
¿Podría funcionar cualquier número de dos dígitos multiplicado por otro número de dos dígitos?
No, serían demasiado grandes. Como 10 × 10 = 100, los productos de las longitudes de los lados serían todos mayores que 24.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que hallaron todas las posibles longitudes de los lados para un rectángulo con un área de 24 centímetros cuadrados.
Rectángulos con otras áreas
Materiales: E) Papel de rotafolio, marcadores, tijeras, nota adhesiva
La clase crea un afiche donde se muestran las posibles longitudes de los lados de rectángulos con un área dada.
Divida a sus estudiantes en grupos de 3. Proporcione a cada grupo una hoja de papel de rotafolio, un paquete de marcadores, unas tijeras y una nota adhesiva.
Asigne a cada grupo una de las siguientes áreas: 48 centímetros cuadrados, 60 centímetros cuadrados o 96 centímetros cuadrados.
Con su grupo, hagan un afiche en el que muestren todos los rectángulos posibles con el área que se les asignó. Su afiche debe incluir una matriz rotulada o un modelo de área y una ecuación para cada rectángulo. En la parte de arriba del afiche, escriban el área que les asignaron.
Dé a los grupos tiempo para trabajar y recorra el salón de clases para ofrecer apoyo según sea necesario. Preste atención a que los grupos usen las propiedades conmutativa y asociativa. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Cuáles son las longitudes de los lados de este rectángulo? ¿Cómo hallaron este par de longitudes de los lados?
Diferenciación: Desafío
Considere asignar áreas que sean números impares, como 45 centímetros cuadrados o 75 centímetros cuadrados. Invite a sus estudiantes a hallar todos los rectángulos posibles. Pídales que identifiquen su estrategia y la comparen con la estrategia que usaron para hallar todos los rectángulos posibles con áreas que son números pares. 48 centímetros cuadrados os
Nota para la enseñanza
Se incluyen tres copias de papel cuadriculado en centímetros en el libro para estudiantes a fin de que cada estudiante pueda recortarlas para los modelos de matriz. También pueden usar hojas de papel cuadriculado que hayan sobrado de lecciones anteriores.
• ¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados de este rectángulo con las de ese rectángulo?
• ¿Hallaron todas las posibles longitudes de los lados para un rectángulo con el área que les asignaron? ¿Cómo lo saben?
Pida a sus estudiantes que intercambien sus hojas con otro grupo que tenga un área diferente.
Mientras observan el afiche del otro grupo, piensen en los números del 1 al 10. Decidan si el afiche muestra todas las posibles longitudes de los lados para los rectángulos con el área asignada.
Pida a sus estudiantes que coloquen una marca de verificación en una nota adhesiva y que la peguen en el afiche si piensan que muestra todos los rectángulos posibles. Si creen que falta algún rectángulo, pídales que escriban las longitudes de los lados que creen que faltan en una nota adhesiva y la peguen en el afiche.
Dé tiempo a los grupos para que estudien el afiche asignado.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las longitudes de los lados de los rectángulos y la relación con sus áreas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen y comenten una vez que los grupos hayan completado sus afiches. Podrían considerar preguntas como las siguientes:
• ¿Observo patrones en la estrategia que usé hoy? ¿Esos patrones aparecen siempre?
• ¿Me resulta cómodo usar esta estrategia? ¿Cuándo podría ser un buen momento para volver a usar esta estrategia?
• ¿Mostré claramente mi razonamiento? ¿Qué podría hacer la próxima vez para mejorar mi afiche?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada
Guíe una conversación acerca de cómo hallar de manera estratégica todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada.
¿Cómo sabemos que hallamos todas las posibles longitudes de los lados de un rectángulo con un área dada?
Podemos probar con todos los números del 1 al 10 que podrían ser una longitud del lado.
¿Qué estrategias son útiles para determinar si hallamos todos los posibles pares de longitudes de los lados para un área dada?
Podemos pensar en cada posible longitud del lado y ver si funciona.
Podemos usar una expresión con 3 factores y mover los paréntesis y los números para hallar combinaciones nuevas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Número de respuestas correctas: Completa las ecuaciones.
1. Gabe usa cuadrados unitarios para formar un rectángulo con un área de 36 unidades cuadradas, como se muestra. 3 12
a. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo de Gabe.
b. Gabe forma más rectángulos que tienen, cada uno, un área de 36 unidades cuadradas.
Mueve los paréntesis para hallar las longitudes de los lados de cada rectángulo.
Luego, rotula las longitudes de los lados de cada uno.
3 × 12 = 3 × (3 × 4)
= (3 × 3) × 4
= 9 × 4 = 36 9 4
3 × 12 = 3 × (2 × 6)
= (3 × 2) × 6
c. ¿Hay otras longitudes de los lados posibles para un rectángulo con un área de 36 unidades cuadradas? ¿Cómo lo sabes?
Sí, un rectángulo con longitudes de los lados de 1 y 36 tendría un área de 36 unidades cuadradas porque 1 × 36 = 36
2. La maestra Smith mide las longitudes de los lados de la alfombra de su salón de clases. Se muestran los resultados.
9 pies
8 pies
= 6 × 6 = 36 6 6 3 × 12 = 3 × (6 × 2)
= (3 × 6) × 2
= 18 × 2 = 36 18 2
a. Halla el área de la alfombra del salón de clases de la maestra Smith.
8 × 9 = 72
Área: 72 pies cuadrados
b. La alfombra del salón de clases del maestro López tiene la misma área que la alfombra del salón de clases de la maestra Smith.
Mueve los paréntesis para hallar las longitudes de los lados de la alfombra del maestro López.
Luego, rotula las longitudes de los lados en el rectángulo para representar las longitudes de los lados de la alfombra del maestro López.
8 × 9 = (4 × 2) × 9
= 4 × (2 × 9)
= 4 × 18 = 72 18 pies
4 pies
EUREKA MATH2
3. Ray dibuja el rectángulo que se muestra. 8 pulgadas 6 pulgadas
a. Halla el área del rectángulo de Ray.
6 × 8 = 48
Área: 48 pulgadas cuadradas
b. Halla otros dos rectángulos con diferentes longitudes de los lados que tengan la misma área que el rectángulo de Ray.
Haz un boceto de los nuevos rectángulos y rotula las longitudes de los lados.
Ejemplo:
pies
3 pies 4 pies
4. Carla sabe que un rectángulo con longitudes de los lados de 6 unidades y 10 unidades tiene un área de 60 unidades cuadradas.
Carla intenta hallar diferentes longitudes de los lados para un rectángulo que también tenga un área de 60 unidades cuadradas.
6 × 10 = ( 3 × 2 ) × 10
= ( 3 × 2 ) × 10
= 6 × 10 = 60
a. ¿El trabajo de Carla muestra un rectángulo con longitudes de los lados diferentes de las del rectángulo inicial? ¿Cómo lo sabes?
No, su trabajo muestra las mismas longitudes de los lados, 6 y 10. Sé que son las mismas longitudes de los lados porque no movió los paréntesis y su trabajo muestra que multiplicó 6 y 10.
b. Halla otro par de longitudes de los lados para el rectángulo de Carla. Asegúrate de que el área sea 60 unidades cuadradas.
Ejemplo:
6 × 10 = (3 × 2) × 10
= 3 × (2 × 10)
= 3 × 20
Las longitudes de los lados que hallé son 3 unidades y 20 unidades.
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
Tema D Aplicaciones del área
En el tema D, sus estudiantes aplican su comprensión de los conceptos y las estrategias del área para resolver problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas.
El tema comienza con problemas de uno y dos pasos que involucran objetos rectangulares del mundo real. Cada estudiante determina que el contexto de un problema es el área y, luego, representa y resuelve el problema usando modelos y estrategias conocidos.
Luego, sus estudiantes hacen una transición a hallar el área de figuras compuestas formadas por rectángulos, primero con cuadrículas y, luego, sin ellas. Se presentan dos estrategias clave para hallar el área de estas figuras:
• sumar las áreas de rectángulos más pequeños que, juntos, forman la figura entera, y
• restar el área de uno o más rectángulos más pequeños del área de un rectángulo más grande que cubre la figura entera.
Algunos problemas incluyen el paso inicial de hallar longitudes de los lados desconocidas en la figura antes de hallar el área. Se anima a cada estudiante a elegir la estrategia que mejor entienda para cada problema.
Los problemas históricos y del mundo real proporcionan un contexto para que sus estudiantes apliquen el razonamiento relacionado con el área. Aplican las estrategias de descomposición que aprendieron previamente a un problema matemático histórico que incluye hallar el área de las partes iguales de un cuadrado. Estas experiencias refuerzan la comprensión del área y anticipan el razonamiento fraccionario como preparación para el módulo 5, a la vez que proporcionan el valor agregado de relacionar el aprendizaje de la clase con una práctica histórica significativa.
Sus estudiantes aplican las destrezas de representación gráfica de experiencias previas para organizar las áreas de un conjunto de figuras a modo de datos de mediciones en tablas y diagramas de puntos. Analizan los diagramas de puntos en busca de patrones y responden preguntas acerca de los datos.
Sus estudiantes evalúan si las soluciones a problemas de área relacionados con planos de planta de habitaciones son razonables. Consideran aspectos tales como la función de una habitación y los muebles que podría contener cuando examinan planos existentes y dibujan planos nuevos que cumplen con los criterios dados.
En el módulo 5, sus estudiantes aplican su experiencia con la descomposición y composición de áreas de figuras para dividir enteros en partes iguales.
Progresión de las lecciones
Lección
13
Aplicar la comprensión del área a situaciones del mundo real
Lección
14
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
Lección 15
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando rectángulos
8 pies
8 × 30 = 8 × (3 × 10)
= (8 × 3) × 10 = 240 30 pies
El área total de las ventanas es 24 0 pies cuadrados.
Puedo usar diferentes estrategias para resolver problemas que involucran hallar el área o las longitudes de los lados de figuras rectangulares. Dibujar una matriz o un modelo de área puede ayudarme a ver cómo se relacionan las longitudes de los lados y el área.
Puedo hallar el área de una figura formada por rectángulos descomponiéndola en esos rectángulos y sumando sus áreas.
También puedo trazar líneas para formar un rectángulo más grande alrededor de la figura, hallar el área del rectángulo grande y restar el área de la parte que queda fuera de la figura.
Área: ea: 10 pulgadas cuadradas
Para hallar el área de una figura formada por rectángulos, a veces, necesito hallar las longitudes de los lados desconocidas. Puedo usar los atributos de un rectángulo para hallarlas. Elijo una estrategia para hallar el área a partir de lo que veo en la figura y las longitudes de los lados que conozco.
Lección 16
Resolver problemas matemáticos históricos relacionados con el área
Lección 17
Aplicar los conceptos de área a un contexto del mundo real
Lección 18
Hallar el área de figuras y representar los datos del área en un diagrama de puntos
Título:
Cuando un cuadrado está dividido en partes iguales, puedo usar el área del cuadrado como ayuda para hallar el área de las partes. En la antigua Babilonia, se resolvían este tipo de problemas.
Los planos de planta se usan en el diseño de casas. En el plano de planta, se representan la longitud, el ancho y el área de cada habitación. Puedo usar la longitud, el ancho y el área para crear el plano de una casa.
0101 11213141516
Área (centímetros cuadrados)
Puedo usar un diagrama de puntos para organizar y representar datos acerca del área de distintas figuras. Después de organizar los datos, puedo usar el diagrama de puntos para responder preguntas acerca de las figuras y sus áreas.
Lección 19
Aplicar los conceptos de área para completar una tarea de varias partes
Cada representa 1 pie cuadrado
12 × 7 = 84
Alfombra A: 9 × 12 = 108
Alfombra B: 5 × 8 = 40
Alfombra C: 8 × 10 = 80
Puedo resolver diferentes problemas acerca de la misma situación usando la información dada y las soluciones de problemas que ya resolví. Para resolver un problema acerca de cuánto espacio ocupa un objeto rectangular, puedo pensar si usar el área del objeto o la longitud de sus lados me ayudará a resolverlo.
13
Aplicar la comprensión del área a situaciones del mundo real
1. Una pintura tiene un área de 63 pulgadas cuadradas. La longitud de un lado es 9 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del otro lado? a 9 pulg
9 × a = 63 a = 7
La longitud del otro lado es 7 pulgadas.
2. Las longitudes de los lados de la alfombra de Oka son 4 pies y 16 pies.
Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el área total de la alfombra de Oka. 4 10 6 4 × 16 = 4 × (10 + 6)
= (4 × 10) + (4 × 6) = 40 + 24 = 64
El área de la alfombra de Oka es 64 pies cuadrados.
Vistazo a la lección
La clase selecciona estrategias para representar y resolver problemas verbales de área usando dibujos y ecuaciones. Después de trabajar de forma independiente para resolver los problemas, comparten su trabajo para comparar y relacionar las diferentes representaciones y estrategias.
Preguntas clave
• ¿Cómo sabemos que un problema verbal es sobre el área?
• ¿Qué modelos son útiles para representar problemas que involucran área?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos. (3.MD.C.7.c)
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 5 min
Aprender 40 min
• Usar el área para resolver un problema verbal
• Resolver un problema verbal de un paso relacionado con el área
• Problema de un paso: Compartir, comparar y conectar
• Resolver un problema verbal de dos pasos relacionado con el área
• Problema de dos pasos: Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Polígonos y atributos
La clase halla polígonos con un atributo dado para desarrollar la comprensión de los polígonos y sus atributos del tema A.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Muestre los 3 polígonos rotulados con letras.
¿Cuántos de estos polígonos tienen 4 lados?
2
¿Cuáles de los polígonos tienen 4 lados? Digan las letras.
A y C
Muestre los polígonos A y C encerrados en un círculo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: D F E
Atributo: Al menos 1 par de lados paralelos
Atributo: 2 pares de lados paralelos
Atributo: Lados opuestos de la misma longitud
Atributo: 4 lados A C B
Atributo: 4 lados de la misma longitud
Contar de seis en seis con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis del módulo 3.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre).
Contemos de seis en seis. Empiecen diciendo 30. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
Continúen contando de seis en seis hasta el 60. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Presentar
La clase resuelve un problema verbal de área con una longitud del lado desconocida.
Muestre el problema:
Amy coloca bloques cuadrados en una matriz para formar un rectángulo.
Usa 42 bloques, y el rectángulo mide 6 bloques de ancho. ¿Cuánto mide el rectángulo de largo?
Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 2 minutos para que cada estudiante piense en silencio y resuelva el problema. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a la clase que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre estrategias para hallar la longitud del lado desconocida.
Dibujé una matriz con filas de 6 hasta tener 42 cuadrados. Conté 7 cuadrados de longitud.
Escribí una ecuación de factor desconocido y conté salteado de seis en seis 7 veces para obtener 42.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a que haga preguntas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre el área para resolver problemas verbales. 5
Aprender
Usar el área para resolver un problema verbal
La clase razona acerca de un problema verbal de área y lo resuelve.
Muestre el problema:
Ray está pintando una pared rectangular de un dormitorio. La pared mide 8 pies de ancho y 14 pies de largo.
Tiene pintura suficiente para 100 pies cuadrados. ¿Tiene suficiente para pintar toda la pared?
Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé unos minutos para que cada estudiante piense en silencio y resuelva el problema. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a la clase que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre estrategias para descomponer el lado largo del rectángulo a fin de hallar el área.
Separé el lado largo en 10 pies y 4 pies. 8 × 10 = 80; 8 × 4 = 32; 80 + 32 = 112
Vi el lado largo como 2 sietes. 8 × 7 = 56; 56 + 56 = 112
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a que haga preguntas.
¿Puede Ray pintar la pared entera? Expliquen cómo lo saben.
No. El área de la pared es 112 pies cuadrados. Ray solo tiene pintura suficiente para 100 pies cuadrados.
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema a la clase, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Resolver un problema verbal de un paso relacionado con el área
La clase razona acerca de un problema verbal de un paso relacionado con el área, lo representa y lo resuelve.
Muestre el problema:
Mía está comprando una alfombra para el piso rectangular de su dormitorio. El piso mide 7 pies de ancho y 15 pies de largo. ¿Cuántos pies cuadrados de alfombra necesita Mía?
Pida a sus estudiantes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe (LDE) para resolver el problema. Permítales elegir sus propias estrategias para hallar la solución.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el uso de diferentes estrategias de multiplicación para hallar el área, como el conteo salteado, separar y distribuir, y la propiedad asociativa.
Los ejemplos de trabajo demuestran el uso de la estrategia de separar y distribuir y el uso de la propiedad asociativa para multiplicar las longitudes de los lados.
Separar y distribuir
Mía necesita 105 pies cuadrados de alfombra. es .
Propiedad asociativa
Mía necesita 105 pies cuadrados de alfombra
Problema de un paso: Compartir, comparar
y conectar
La clase comparte las soluciones del problema de la alfombra de Mía y razona acerca de las conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de una determinada manera los trabajos que se compartieron con toda la clase desde las estrategias más conocidas, como la propiedad distributiva, hasta las menos conocidas, como la propiedad asociativa.
Nota para la enseñanza
El ejemplo de trabajo y el razonamiento de la clase muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento de sus estudiantes. Considere decir lo siguiente para presentar el ejemplo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige la estrategia que mejor entiende para hallar la solución.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de imagen sería útil?
• ¿Qué estrategia sería la más eficiente para hallar 7 × 15? ¿Por qué?
• ¿Por qué eligieron utilizar esta estrategia? ¿Funcionó bien?
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema y la estrategia que eligió para resolverlo. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.
Separar y distribuir (método de David)
¿Qué dibujó David?
Dibujó un rectángulo y rotuló la longitud del lado corto 7 y la longitud del lado largo 10 y 5.
¿Qué estrategia usó David?
David usó la estrategia de separar y distribuir. Separó el lado largo en 10 y 5.
David, ¿por qué decidiste separar en partes el lado largo del rectángulo?
70 + 35
105
Necesitaba hallar 7 × 15, pero no sabía cómo multiplicar por 15, entonces, separé la longitud en partes para formar operaciones de multiplicación que me sé.
¿Cuál es el área del rectángulo? ¿Cómo lo sabes?
El área del rectángulo es 105 pies cuadrados. Lo sé porque 7 × 15 = 105 y la habitación está medida en pies.
¿La solución de David es razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí. 10 × 15 = 150; entonces, 7 × 15 es menos que 150.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de David.
Propiedad asociativa (método de Oka)
¿Qué dibujó Oka?
Dibujó un rectángulo y rotuló la longitud del lado corto 7 y la longitud del lado largo 5, 5 y 5.
¿Qué estrategia usó Oka?
Descompuso 15 en 3 cincos. Escribió una ecuación de multiplicación con 3 factores y movió los paréntesis para hacer un problema diferente.
Mía necesita 105 pies cuadrados de alfombra. .
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Como apoyo para que sus estudiantes compartan su razonamiento de forma detallada y usando lenguaje académico, razone en voz alta una estrategia para hallar la solución.
Considere también exhibir esquemas de oración que sus estudiantes puedan usar de referencia hasta que sientan más seguridad para compartir su razonamiento de forma que el resto de la clase pueda seguir su secuencia de resolución. Los esquemas de oración podrían incluir lo siguiente:
• Primero, dibujé para representar el problema.
• Mi estrategia para hallar el área fue
• Escribí la ecuación porque .
• Mi estrategia es parecida a/diferente de la estrategia de porque .
Oka, ¿por qué decidiste escribir una ecuación con 3 factores y mover los paréntesis?
No sé multiplicar por 15, pero 15 es lo mismo que 3 cincos. Moví los paréntesis para obtener 5 × 7, que sé que es 35.
¿Cuál es el área del rectángulo? ¿Cómo lo sabes?
El área del rectángulo es 105 pies cuadrados. Lo sé porque 35 + 35 + 35 = 105 y la habitación está medida en pies.
¿La solución de Oka es razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí. 7 × 10 = 70; entonces, 7 × 15 es más que 70, pero menos que 140.
¿En qué se parecen los razonamientos de David y de Oka?
Tanto David como Oka separaron una de las longitudes de los lados en partes para formar operaciones de multiplicación más fáciles.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Oka.
Resolver un problema verbal de dos pasos relacionado con el área
La clase razona acerca de un problema verbal de dos pasos relacionado con el área, lo representa y lo resuelve.
Muestre el problema:
Iván lava la cara exterior de 5 ventanas rectangulares. Cada ventana mide 6 pies de ancho y 8 pies de alto.
¿Cuál es el área total de las ventanas que lava Iván?
Pida a sus estudiantes que usen el proceso LDE para resolver el problema. Permítales elegir sus propias estrategias para hallar la solución.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo hallar áreas grandes.
DUA: Participación
Considere adaptar el problema a fin de que sea más relevante para sus estudiantes. Por ejemplo, identifique objetos en la escuela o la comunidad que tengan las dimensiones y las cantidades del problema y, luego, cambie el problema para que refleje el contexto más relevante. Al seleccionar un contexto diferente, las unidades de medida pueden cambiar, pero la cantidad 5 y las dimensiones 6 por 8 deben ser las mismas para mantener la complejidad del problema.
Los ejemplos de trabajo demuestran el uso de la multiplicación seguida de la suma y el uso de la suma seguida de la multiplicación.
Multiplicar y, luego, sumar
6 pies
8 pies
8 pies 8 pies 8 pies 8 pies
6 pies 6 pies 6 pies 6 pies
8 × 6 = 48
50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 250 250 - 10 = 240
El área total de las ventanas es 24 0 pies cuadrados.
El área total de las ventanas es 24 0 pies cuadrados.
Problema de dos pasos: Compartir, comparar y conectar
La clase comparte las soluciones del problema de las ventanas de Iván y razona acerca de las conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de una determinada manera los trabajos que se compartieron con toda la clase desde las estrategias que hacen énfasis en la suma hasta las estrategias que hacen énfasis en la multiplicación.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema y la estrategia que eligió para resolverlo. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.
Multiplicar y, luego, sumar (método de Gabe)
¿Qué dibujó Gabe?
Dibujó 5 rectángulos, cada uno con longitudes de los lados de 8 pies y 6 pies.
¿Qué estrategia usó Gabe?
Halló el área de 1 rectángulo y, luego, sumó las áreas de 5 rectángulos.
Gabe, ¿por qué decidiste multiplicar y, luego, sumar?
Sé que 8 × 6 = 48, entonces, primero escribí esa ecuación. 48 está cerca de 50, entonces, sumé 50 cinco veces y resté 10 porque sobraban 2 de cada 50.
El área total de las ventanas es 24 0 pies cuadrados.
El área total de las ventanas es 240 pies cuadrados. Lo sé porque 1 ventana mide 48 pies cuadrados y, cuando sumamos 5 ventanas juntas, obtenemos 240 pies cuadrados.
¿La solución de Gabe es razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí. Cada ventana mide un poco menos que 50 pies cuadrados, y 5 × 50 = 250; entonces, el total es menos que 250 pies cuadrados.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Gabe.
Componer y, luego, multiplicar (método de Jayla)
¿Qué dibujó Jayla?
Dibujó un rectángulo grande colocando juntos
5 rectángulos con longitudes de los lados de 8 pies y 6 pies.
¿Qué estrategia usó Jayla?
Sumó el ancho de los rectángulos pequeños y así observó que el rectángulo grande mide 30 pies de ancho. Luego, multiplicó la longitud y el ancho del rectángulo grande.
Jayla, ¿por qué decidiste combinar los rectángulos en un rectángulo grande?
Pensé que sería eficiente sumar números pequeños y, luego, multiplicar.
El área total de las ventanas es 24 0 pies cuadrados.
¿Cuál es el área total de las ventanas? ¿Cómo lo sabes?
El área total de las ventanas es 240 pies cuadrados. Lo sé porque 8 × 30 = 240 y las ventanas están medidas en pies.
¿La solución de Jayla es razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí. 10 × 30 = 300; entonces, 8 × 30 es menos que 300.
¿En qué se parecen los razonamientos de Gabe y de Jayla?
Tanto Gabe como Jayla usaron la suma y la multiplicación para hallar el área total.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Jayla.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar la comprensión del área a situaciones del mundo real
Guíe una conversación acerca de representar y resolver problemas verbales de área.
¿Cómo sabemos que un problema verbal es sobre el área?
El problema es sobre el área si trata de cubrir un espacio plano, como un piso o una pared.
El problema es sobre el área si pregunta acerca de pies cuadrados.
¿Qué modelos son útiles para representar problemas que involucran área? ¿De qué manera son útiles?
Las matrices y los modelos de área son útiles porque nos permiten ver cómo se relacionan las longitudes de los lados de un rectángulo.
Muchas de las estrategias que usamos hoy involucran la multiplicación. ¿Por qué la multiplicación fue útil para resolver estos problemas?
Los problemas eran sobre el área de rectángulos, y multiplicar las longitudes de los lados es una manera de hallar el área de un rectángulo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Zara cuelga dos cuadros en la pared de su sala de estar. El cuadro 2 es un cuadrado.
8 pulgadas
2. James corta un rectángulo de papel de regalo. El rectángulo tiene un área de 72 pulgadas cuadradas.
La longitud del rectángulo es 9 pulgadas. ¿Cuál es el ancho del rectángulo?
El ancho del rectángulo es 8 pulgadas.
Cuadro 2
10 pulgadas
Cuadro 1 6 pulgadas
Halla el área de la pared que cubre cada cuadro.
Área que cubre el cuadro 1: 80 pulgadas cuadradas
Área que cubre el cuadro 2: 36 pulgadas cuadradas
a. ¿Cuál es el área total de la pared que cubren los cuadros 1 y 2?
116 pulgadas cuadradas
b. Zara cuelga otro cuadro, el cuadro 3, en la pared.
Cubre la misma área que el cuadro 2, pero tiene diferentes longitudes de los lados.
¿Cuáles podrían ser las longitudes de los lados del cuadro 3? Halla una respuesta posible.
Dibuja y rotula un rectángulo para representar el cuadro 3, usando las longitudes de los lados que elegiste.
Ejemplo:
6 × 6 = (3 × 2) × 6
= 3 × (2 × 6)
= 3 × 12
12 pulgadas
3 pulgadas
3. Robin planta un jardín rectangular. El jardín tiene un ancho de 6 pies y una longitud de 14 pies.
Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el área total del jardín de Robin.
El área total del jardín de Robin es 84 pies cuadrados.
4. La pizarra rectangular del salón de clases de la maestra Díaz mide 5 pies de ancho y 13 pies de largo.
La maestra Díaz quiere cubrir la pizarra con papel.
Cada rollo de papel cubre 60 pies cuadrados.
¿Cuántos rollos de papel necesita la maestra Díaz? Explica tu respuesta.
La maestra Díaz necesita 2 rollos de papel porque el área de la pizarra es 65 pies cuadrados, y un rollo de papel solo cubre 60 pies cuadrados.
EUREKA MATH
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
Eva y Gabe hallan el área de la figura. A continuación, se muestra su trabajo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Método de Eva
× 10 = 40
4 × 6 = 24
40 + 24 = 64
El área es 64 unidades cuadradas.
Explica por qué los dos trabajos son correctos.
80 − 16 = 64
El área es 64 unidades cuadradas.
Eva halló el área de cada rectángulo sombreado. Luego, sumó esas áreas para hallar el área total de la figura sombreada.
Gabe creó un rectángulo más grande. Halló el área del rectángulo más grande y el área del rectángulo sin sombrear. Luego, restó el área del rectángulo sin sombrear del área del rectángulo más grande para hallar el área de la figura sombreada.
Tanto Eva como Gabe están en lo correcto. Los dos eligieron métodos correctos que les ayudaron a hallar el área correcta.
Vistazo a la lección
La clase halla el área de una figura compuesta hallando y sumando las áreas de rectángulos dentro de la figura. Luego, exploran otras estrategias, como hallar el área de un rectángulo más grande y restar el área que no es parte de la figura.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar las áreas de los rectángulos para hallar el área de una figura más grande?
• ¿Cómo podemos usar el área de un rectángulo más grande para hallar el área de una figura más pequeña?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Sombrear y sumar para hallar el área
• Restar de un área más grande
• Estrategias para hallar el área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• marcadores fluorescentes (2)
Estudiantes
• lápices de colores, paquete
• tijeras
Preparación de la lección
Reúna marcadores fluorescentes de dos colores diferentes.
Fluidez
Respuesta a coro: Polígonos y atributos
La clase halla polígonos con un atributo dado para desarrollar la comprensión de los polígonos y sus atributos del tema A.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Muestre los 3 polígonos rotulados con letras.
¿Cuántos de estos polígonos tienen 4 lados?
2
¿Cuáles de los polígonos tienen 4 lados? Digan las letras.
A y B
Muestre los polígonos A y B encerrados en un círculo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Atributo: Al menos 1 par de lados paralelos
Atributo: 2 pares de lados paralelos
F E
L
Atributo: 4 lados
Atributo: Lados opuestos de la misma longitud
Atributo: 4 lados de la misma longitud
Contar de ocho en ocho con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de ocho en ocho del módulo 3.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre).
Contemos de ocho en ocho. Empiecen diciendo 40. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
Continúen contando de ocho en ocho hasta el 80. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la división y la multiplicación
La clase completa una ecuación de división usando una ecuación de multiplicación relacionada para adquirir fluidez con la estrategia del módulo 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 24 ÷ 6 = .
Escriban una ecuación de multiplicación relacionada que les ayude a completar la ecuación de división.
Muestre la ecuación de ejemplo: 6 × 4 = 24.
Muestre la ecuación de división completada. 24 ÷ 6 = 4 6 × 4 = 24
Escriban la ecuación de división y complétenla.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase usa las áreas de dos rectángulos para hallar el área de figuras compuestas relacionadas.
Muestre la imagen de las figuras A, B y C.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan en las tres figuras.
¿En qué se parecen estas figuras? ¿En qué se diferencian?
Cada figura está formada por el mismo rectángulo y el mismo cuadrado.
El rectángulo y el cuadrado están en diferentes posiciones en cada figura.
Hallen el área de cada figura. ¿Qué observan?
El área de las figuras es la misma, 10 unidades cuadradas.
¿Cómo hallaron el área de cada figura?
Vi que el área del rectángulo verde es 6 unidades cuadradas. El área del cuadrado morado es 4 unidades cuadradas. Sumé 6 y 4 para hallar el área total de cada figura porque los dos rectángulos están en todas las figuras, solo que en diferentes posiciones.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos acerca de hallar el área de los rectángulos para hallar el área de figuras formadas por rectángulos. 5
Figura AFigura BFigura C
Aprender
Sombrear y sumar para hallar el área
Materiales: E) Lápices de colores
La clase halla el área de una figura compuesta separándola en rectángulos más pequeños.
Muestre la imagen de las figuras C y D.
Recién hallamos el área de la figura C. ¿Cómo usamos las áreas de los dos rectángulos para hallar el área total?
Hallamos las áreas de los rectángulos y, luego, las sumamos.
Registre una ecuación de suma y el área de la figura C.
¿En qué se parece la figura D a la figura C?
La figura D es la misma figura, pero está sombreada de una manera diferente.
4 + 6 = 10
Área de la figura C: 10 unidades cuadradas
8 + 2 = 10
Área de la figura D: 10 unidades cuadradas
La figura D es la misma figura. Los colores muestran que el área se halló de una manera diferente. ¿Qué ecuación de suma muestra cómo se halló el área?
8 + 2 = 10
Registre la ecuación de suma y el área de la figura D.
Diferenciación: Apoyo
Al escribir la ecuación, considere usar el mismo código de colores que usó para sombrear los rectángulos. Esta pista visual servirá de ayuda para que sus estudiantes relacionen el modelo con una ecuación abstracta.
4 + 6 = 10 8 + 2 = 10
Figura D
Figura C
Figura D
Figura C
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las multiplicaciones que usaron para hallar las áreas de los rectángulos sombreados más pequeños y cómo podrían registrar lo que hicieron.
Escriba (2 × 2) + (3 × 2) y 4 + (3 × 2).
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar de qué manera las expresiones representan el área de la figura C.
El rectángulo pequeño mide 2 por 2 y el rectángulo grande mide 3 por 2; entonces, la primera expresión muestra que se suma el área del rectángulo pequeño al área del rectángulo grande. El rectángulo morado está formado por 4 cuadrados. Podemos sumar 4 al rectángulo verde, que tiene 3 filas de 2.
Escriba (2 × 4) + (1 × 2) y (2 × 4) + 2. Repita el proceso de invitar a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar de qué manera las expresiones se relacionan con el área de la figura D.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué observan acerca de las áreas de las dos figuras.
Las áreas de las figuras son iguales. La cantidad total de unidades cuadradas en cada figura es la misma.
El contorno de las figuras es el mismo. Solo hay dos rectángulos diferentes sombreados dentro de cada figura.
A veces, para hallar el área de una figura más complicada, puede ser útil separar la figura en rectángulos. A veces, podemos descomponer la figura en rectángulos de más de una manera.
Pida a sus estudiantes que completen en parejas el problema 1 en sus libros. Anime a las parejas a considerar diferentes maneras de descomponer la figura. Invíteles a que elijan una manera de sombrear los rectángulos y que hallen el área.
1. Descompón la figura geométrica. Sombrea cada rectángulo con un color diferente.
Halla el área de la figura y escribe una ecuación para mostrar tu razonamiento.
Ejemplo:
Área: 27 unidades cuadradas
(6 × 3) + (3 × 3) = 27
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que muestren diferentes maneras de separar la figura en partes.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó que se turnen para compartir sus soluciones. Guíe una conversación de toda la clase acerca de los diferentes métodos usando preguntas como las siguientes.
¿En qué se diferencian las maneras en que están sombreadas las figuras?
Parte de la clase sombreó un cuadrado y un rectángulo, y parte de la clase sombreó tres cuadrados.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar a sus estudiantes materiales didácticos para descomponer las figuras, en vez de pedirles que sombreen las cuadrículas. Por ejemplo, pueden usar fichas cuadradas para separar y juntar los rectángulos más pequeños, formar la figura compuesta y hallar el área manipulando objetos concretos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando halla el área de figuras compuestas usando las propiedades de las operaciones y modelos pictóricos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indican los colores de su imagen acerca de cómo hallar el área?
• ¿De qué manera su expresión representa su imagen?
¿En qué se parecen las maneras en que están sombreadas las figuras?
Parte de la clase halló áreas de 18 unidades cuadradas y 9 unidades cuadradas, solo que en diferentes lugares.
Parte de la clase halló tres cuadrados, todos con un área de 9 unidades cuadradas.
Toda la clase halló un área total de 27 unidades cuadradas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar rectángulos dentro de una figura puede ser útil para hallar el área de esa figura.
Restar de un área más grande
La clase halla el área de una figura compuesta restando el área de un rectángulo más pequeño del área de un rectángulo más grande.
Invite a sus estudiantes a observar la figura del problema 2.
¿Cómo podrían descomponer esta figura para hallar el área?
Podría descomponerla en tres rectángulos.
Podría formar dos rectángulos largos a lo largo de las partes de arriba y de abajo y un rectángulo más pequeño en el centro.
Podría formar un rectángulo largo sobre un lado y dos rectángulos más pequeños del otro lado.
Dé tiempo para que cada estudiante descomponga la figura. Luego, invite a sus estudiantes a hallar el área.
2. Descompón la figura sombreada como ayuda para hallar su área.
Halla el área de la figura y escribe una ecuación para mostrar tu razonamiento.
Ejemplo:
(2 × 6) + (2 × 3) + (2 × 6) = 30
El área es 30 unidades cuadradas.
¿En que se diferenció hallar el área de la figura del problema 2 de hallar el área de las figuras anteriores?
Tuvimos que hallar y sumar las áreas de tres rectángulos en vez de dos.
Pensemos en una manera diferente de hallar el área de la figura, usando menos pasos.
Invite a sus estudiantes a usar un lápiz de color para trazar el contorno del rectángulo que rodea la figura.
¿Cuál es el área de este rectángulo entero?
36 unidades cuadradas
¿Dónde ven un área que podríamos quitar de modo que nos quede solo el área de la figura sombreada?
El rectángulo sin sombrear
Diferenciación: Apoyo
Es posible que quienes tengan dificultades para visualizar la resta se beneficien de una representación más concreta. Considere dibujar la figura en papel cuadriculado y dar tijeras a sus estudiantes para que recorten el rectángulo más pequeño.
Pida a sus estudiantes que cubran con los dedos el rectángulo de 2 por 3 sin sombrear.
¿Cuál es el área del rectángulo que cubrieron?
6 unidades cuadradas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar el área del rectángulo entero y el área del rectángulo pequeño para hallar el área de la figura sombreada.
Pídales que representen la siguiente secuencia trazando y cubriendo los rectángulos con los dedos cuando sea apropiado. Registre las ecuaciones mientras hace las siguientes preguntas.
Vamos a registrar nuestro razonamiento. ¿Qué expresión usamos para hallar el área del rectángulo grande?
(6 × 6)
Luego, restamos el área del rectángulo más pequeño. ¿Cómo lo hicimos?
(6 × 6) − (2 × 3)
¿Cuál es el área de la figura restante?
36 − 6 = 30
El área de la figura restante es 30 unidades cuadradas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la resta les ayudó a hallar el área de la figura sombreada.
Estrategias para hallar el área
Materiales: M) Marcadores fluorescentes; E) Lápices de colores, tijeras
La clase halla el área de una figura compuesta usando una estrategia de su preferencia.
Pida a sus estudiantes que vayan a la figura del problema 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven rectángulos cuyas áreas podrían sumar o restar para hallar el área sombreada.
Diferenciación: Apoyo
Considere mostrar cada estrategia para hallar el área de la figura usando vínculos numéricos como ayuda para que sus estudiantes vean las relaciones de parte-total entre ellos.
Ejemplo:
2 pies 4 pies 4 pies
2 pies 3 pies 7 pies
(4 × 7) − (4 × 2) = 20
El área es 20 pies cuadrados.
La estrategia con la menor cantidad de pasos que usamos para hallar un área fue hallar el área de un rectángulo más grande y, luego, restar el área del rectángulo más pequeño.
¿Cómo podemos usar esa estrategia con esta figura?
Restando el área del rectángulo más pequeño sin sombrear que está en la esquina de abajo a la izquierda.
Las longitudes de los lados no están rotuladas en la esquina de abajo. Las longitudes de los lados serían útiles si queremos usar la estrategia de restar un rectángulo más pequeño de un rectángulo más grande para hallar el área de esta figura. Veamos cómo podemos hallar esas longitudes de los lados.
3. Halla el área de la figura.
Proyecte la figura y use la siguiente secuencia para usar un código de colores y rotular las longitudes de los lados mientras sus estudiantes hacen lo mismo.
Dibujemos líneas punteadas para extender la figura y formar un rectángulo más grande.
Resalte los lados superior e inferior del rectángulo.
¿Qué sabemos acerca de los lados opuestos de un rectángulo?
Son iguales. Tienen la misma longitud.
¿Cuál es la parte desconocida de la longitud del lado de abajo? ¿Cómo lo saben?
3 pies
4 pies
2 pies
La parte desconocida mide 2 pies. Puedo imaginar un rectángulo. La longitud de la parte desconocida es igual a la longitud del lado opuesto.
El lado de arriba del rectángulo mide 4 pies; entonces, el lado de abajo del rectángulo mide 4 pies. Eso significa que la parte desconocida mide 2 pies.
Resalte los lados izquierdo y derecho del rectángulo con un color diferente.
¿Cómo podemos rotular la parte desconocida del lado izquierdo? ¿Cómo lo saben?
La parte desconocida mide 4 pies. Puedo imaginar un rectángulo. La longitud del lado izquierdo será igual a la longitud del lado derecho.
¿Cómo podemos usar la cuadrícula para comprobar nuestro trabajo?
Hay 2 unidades a lo largo de la parte de arriba del rectángulo más pequeño sin sombrear y 4 unidades en el lado. Eso coincide con las longitudes que rotulamos.
4 pies
3 pies
7 pies
Nota para la enseñanza
En esta lección se muestran líneas de cuadrícula dentro de las figuras intencionalmente, como apoyo para que sus estudiantes puedan hallar el área. A su vez, anime a sus estudiantes a reconocer y usar las longitudes de los lados para hallar el área. En la lección 15 no se muestran líneas de cuadrícula dentro de las figuras.
2 pies
7 pies
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el área de la figura sombreada usando dos estrategias. Recorra el salón de clases mientras trabajan y anime a cada estudiante a sombrear, dibujar o recortar, según sea necesario, para comprender cómo es cada uno de los diferentes rectángulos y a registrar su razonamiento con las ecuaciones correspondientes.
Seleccione dos o tres ejemplos de trabajo que incluyan al menos una estrategia de suma y una de resta.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes comparten su trabajo, considere permitirles que usen la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación como soporte para el vocabulario de su explicación.
Anime a quienes estén escuchando a usar la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación como apoyo para intentar comprender el razonamiento de quien está hablando.
Invite a sus estudiantes a que se turnen para compartir los trabajos seleccionados. Haga preguntas para destacar que, si bien cada estudiante usó las áreas de los rectángulos de forma diferente, igualmente hallaron la misma área total.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia prefirieron usar para hallar el área de las figuras.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando cuadrículas
Muestre la figura del problema 4 del Grupo de problemas.
Invite a sus estudiantes a compartir las diferentes maneras en que descompusieron la figura en los rectángulos G y H.
Expliquen por qué hay más de una manera de hallar el área de esta figura del problema 4. Los rectángulos más pequeños siempre crean la misma figura cuando se juntan. El área de la figura sigue siendo la misma.
¿Cómo usaron las áreas de los rectángulos para hallar el área de la figura?
Sumé las áreas de los rectángulos G y H para hallar el área total de la figura.
¿Hay alguna manera en que podríamos haber usado el área de un rectángulo más grande para hallar el área de la figura?
Podríamos haber creado un rectángulo más grande, hallado el área del rectángulo más grande y el área del rectángulo más pequeño sin sombrear y, luego, restado el área del rectángulo sin sombrear del área del rectángulo más grande.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Traza una línea en cada figura para mostrar cómo separarla en dos rectángulos.
Rotula el ancho y la longitud de cada rectángulo. La primera figura ya está separada como ejemplo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Luego, completa los espacios para mostrar el área de la figura.
+ 9 = 21 Área: 21 unidades cuadradas
+ 20 =
Área: 28 unidades cuadradas
5. Adam tiene un trozo de tela rectangular que mide 6 pies de ancho y 7 pies de largo.
Recorta un cuadrado que mide 3 pies de ancho.
¿Cuál es el área de la tela que sobra?
a. Área del trozo original de tela: 42 pies cuadrados
b. Área recortada: 9 pies cuadrados
c. 42 − 9 = 33
d. Área de la tela que sobra: 33 pies cuadrados
6. El piso de la oficina del Sr. Endo mide 10 pies de ancho y 9 pies de largo. Coloca una alfombra nueva que mide 6 pies de ancho y 5 pies de largo.
¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
a. Área del piso de la oficina: 90 pies cuadrados
b. Área de la alfombra: 30 pies cuadrados
c. 90 − 30 = 60
d. Área del piso que la alfombra no cubre: 60 pies cuadrados
7. Mía, David y Carla juntan sus 3 rectángulos para formar una nueva figura. 3 pulg
b. David halla el área de una manera diferente. Ve un rectángulo grande al que le falta una parte.
David halla el área del rectángulo grande. Luego, resta el área de la parte que falta.
Usa la estrategia de David para hallar el área de la nueva figura.
pulg
a. Mía halla el área de la nueva figura sumando las áreas de los 3 rectángulos.
Usa la estrategia de Mía para hallar el área de la nueva figura.
16 + 15 + 10 = 41
Área: 41 pulgadas cuadradas
Área del rectángulo grande: 56 pulgadas cuadradas
Área de la parte que falta: 15 pulgadas cuadradas
56 − 15 = 41
Área de la nueva figura: 41 pulgadas cuadradas
EUREKA MATH2
EUREKA MATH
Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando rectángulos
Vistazo a la lección
El piso del pasillo de la Sra. Díaz mide 4 pies de ancho y 10 pies de largo. La Sra. Díaz coloca una alfombra que mide 2 pies de ancho y 8 pies de largo.
¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
8 pies
10 pies 2 pies 4 pies
10 × 4 = 40
8 × 2 = 16
40 − 16 = 24
El área del piso que la alfombra no cubre es 24 pies cuadrados.
Se presenta a la clase una figura compuesta sin cuadrícula. Usan los atributos de los rectángulos para hallar el área de una figura sombreada. Dibujan un modelo y resuelven un problema verbal de área para ver la resta como una estrategia eficiente.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del área de los rectángulos para hallar el área de otras figuras?
• ¿Cómo seleccionamos una estrategia para hallar el área de figuras?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
3.Mód4.CLA8 Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Hallar longitudes de los lados desconocidas
• Elegir una estrategia
• Problema verbal de área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Rotular figuras (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Rotular figuras de los libros para estudiantes e insertarlas en las pizarras blancas individuales con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Hallar el área
La clase halla el área de un rectángulo en unidades cuadradas para adquirir fluidez con la destreza del tema A.
Muestre el rectángulo que tiene un área de 6 unidades cuadradas.
Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo?
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
6 unidades cuadradas
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
6 unidades cuadradas
4 unidades cuadradas
9 unidades cuadradas
10 unidades cuadradas
12 unidades cuadradas
16 unidades cuadradas
Contar de siete en siete con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de siete en siete.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre).
Contemos de siete en siete. Empiecen diciendo 35. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
Continúen contando de siete en siete hasta el 70. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la división y la multiplicación
La clase completa una ecuación de división usando una ecuación de multiplicación relacionada para adquirir fluidez con la estrategia del módulo 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 30 ÷ 6 = .
Escriban una ecuación de multiplicación relacionada que les ayude a completar la ecuación de división.
Muestre la ecuación de ejemplo: 6 × 5 = 30.
Escriban la ecuación de división y complétenla.
Muestre la ecuación de división completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Rotular figuras
La clase relaciona figuras compuestas con y sin una cuadrícula en su interior.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Rotular figuras de sus libros y las inserten en sus pizarras blancas.
Pídales que tracen el contorno de las figuras A y B, rotulen las longitudes de los lados en centímetros y usen las áreas de los rectángulos dentro de las figuras para hallar el área total de cada figura. Recorra el salón de clases mientras trabajan y busque estudiantes que estén dividiendo la figura B de diferentes maneras.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Rotular figuras de sus pizarras blancas y dejen el contorno de las figuras A y B y su trabajo.
Área: ea: 36 centímetros os cuadrados ados
¿Cambiaron las figuras?
No. La cuadrícula ya no está, pero las figuras son las mismas.
No. Todavía podemos ver rectángulos.
¿Usaron la misma estrategia para hallar el área de la figura A y el área de la figura B?
No. Sumé el área de dos rectángulos para la figura A y sumé el área de tres rectángulos para la figura B.
Invite a dos estudiantes que hayan dividido la figura B de maneras diferentes a compartir su trabajo con la clase.
14 + 18 + 12 = 44
Área: ea: 44 cm cuad.
7 cm
Las figuras están divididas, o separadas en partes, de maneras diferentes, pero el área es la misma. ¿Por qué?
Las áreas de los rectángulos más pequeños son diferentes, pero tienen la misma área total cuando se suman.
Las áreas totales de las figuras son iguales porque cada estudiante halló el área de la misma figura.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían hallar el área de las figuras si no tuvieran la cuadrícula.
Podríamos usar una regla para medir las longitudes de los lados.
Las longitudes de los lados ya están rotuladas. Podría usar las longitudes de los lados para hallar el área de los rectángulos y, luego, sumar esas áreas para hallar el área de la figura más grande.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos acerca de los rectángulos para hallar el área de figuras.
Aprender
Hallar longitudes de los lados desconocidas
La clase usa los atributos de los rectángulos para hallar las longitudes de los lados desconocidas de una figura.
Muestre la imagen de la figura C con el ejemplo de trabajo.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar cómo Eva halló el área de la figura sombreada.
Observar y preguntarse
Esta es la estrategia que usó Eva para hallar el área de la figura sombreada.
¿Qué observan sobre su trabajo?
¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Las longitudes de los lados del rectángulo sin sombrear están rotuladas 1 pulgada y 2 pulgadas. Me pregunto cómo lo supo.
Halló 12 − 2. Me pregunto de dónde obtuvo esos números.
Dice que el área sombreada es 10 pulgadas cuadradas. Me pregunto si podemos comprobar si está en lo correcto.
Organizar
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué pasos siguió Eva a fin de hallar el área y explicar cómo lo saben.
Eva halló las longitudes de los lados y el área de un rectángulo más grande alrededor de la figura sombreada. Lo sé porque rotuló la parte de arriba del rectángulo más grande y escribió 12, que es 4 × 3, en su ecuación.
Halló las longitudes de los lados y el área del rectángulo sin sombrear. Lo sé porque rotuló las longitudes de los lados del rectángulo sin sombrear y escribió 2 en su ecuación.
Restó el área del rectángulo sin sombrear del área del rectángulo más grande para hallar el área sombreada. Lo sé porque escribió una ecuación de resta.
Guíe la conversación para enfocarse en hallar las longitudes de los lados desconocidas y anime a sus estudiantes a hacer conexiones que les permitan usar el área de rectángulos para hallar el área de otras figuras.
Mostrar
Enfoquémonos en el modo en que Eva halló las longitudes de los lados desconocidas. ¿Dónde ven eso en su trabajo?
Rotuló 1 pulgada en el lado de un rectángulo. Sabía que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud.
La longitud del lado opuesto es 4 pulgadas; entonces, sabe que la longitud total es 4 pulgadas. Como un lado ya está rotulado 2 pulgadas, la longitud desconocida debe ser 2 pulgadas.
1 + 1 + 2 = 4.
Rotuló 3 pulgadas el lado opuesto al lado rotulado 2 pulgadas y 1 pulgada porque 2 + 1 = 3.
Sintetizar
¿De qué manera calcular las longitudes de los lados ayuda a Eva a hallar el área de la figura sombreada?
Puede hallar el área del rectángulo más grande y, luego, restar el área del rectángulo más pequeño sin sombrear.
Comprender
¿Por qué hallar las longitudes de los lados desconocidas es útil cuando se usa el área de rectángulos para hallar el área de otras figuras?
Rotular las longitudes de los lados ayuda a ver los diferentes rectángulos dentro de una figura. Luego, se puede hallar y usar el área de esos rectángulos para hallar el área de la figura.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del modo en que Eva usó lo que sabe acerca de los atributos de los rectángulos para hallar el área de la figura sombreada.
DUA: Representación
Considere resaltar las relaciones importantes entre los lados en un modelo de área. Use colores para trazar el contorno del rectángulo exterior y del rectángulo más pequeño y apoyar a sus estudiantes con el uso de una estrategia de resta.
Para ayudar a sus estudiantes a hallar las longitudes de los lados desconocidas, resalte los lados opuestos, las partes conocidas y las partes desconocidas con colores.
Elegir una estrategia
La clase elige una estrategia de su preferencia para hallar el área de una figura sombreada.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
1. Halla el área de la figura.
40 − 6 = 34
Área: 34 metros cuadrados
Invite a cada estudiante a elegir una estrategia y hallar el área de la figura sombreada. Recorra el salón de clases mientras trabajan y anímeles a rotular todas las longitudes de los lados desconocidas que usarán en su estrategia.
Seleccione dos ejemplos de trabajo, uno en el que se hayan sumado las áreas de rectángulos más pequeños y otro en el que se haya restado el área de un rectángulo más pequeño del área de un rectángulo más grande.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
A medida que sus estudiantes comparten su trabajo, considere animar a quien esté compartiendo a que use los planteamientos de la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación. Asimismo, considere animar a quienes estén escuchando a que usen las secciones Preguntar por el razonamiento o Decirlo otra vez para comprender mejor lo que se está compartiendo.
10 + 9 + 15 = 34
Área: 34 metros cuadrados
40 6 = 34
Área: 34 metros cuadrados
Invite a sus estudiantes a que se turnen para compartir sus trabajos. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas como las siguientes para destacar la manera en que las áreas de diferentes rectángulos formaron parte de sus estrategias:
• ¿Dónde están los rectángulos que usaste para hallar el área de la figura sombreada?
• ¿Cómo sabías las longitudes de los lados de cada rectángulo?
• ¿Qué hiciste con las áreas de esos rectángulos? ¿Por qué?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando descompone una figura compuesta en rectángulos para hallar las longitudes de los lados desconocidas y el área de la figura compuesta.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan las longitudes de los lados desconocidas con las longitudes de los lados conocidas? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar las longitudes de los lados desconocidas?
• ¿De qué otra forma pueden pensar en la figura sombreada como ayuda para hallar su área?
Problema verbal de área
La clase aplica su comprensión de los conceptos de área para resolver un problema verbal de área.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
2. El tablero de anuncios de una escuela mide 5 pies de largo y 3 pies de ancho.
Sobre él, hay un anuncio que mide 3 pies de largo y 2 pies de ancho.
¿Cuántos pies cuadrados de espacio quedan en el tablero de anuncios?
5 × 3 = 15
3 × 2 = 6
15 − 6 = 9
Quedan 9 pies cuadrados de espacio en el tablero de anuncios.
Permita que sus estudiantes dibujen y rotulen el rectángulo que representa el anuncio en cualquier lugar dentro del rectángulo más grande. Pídales que sombreen el espacio restante.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué les muestran sus dibujos sobre cómo hallar el área del resto del tablero de anuncios.
Podemos dividir el espacio restante en rectángulos, hallar sus áreas y sumarlas.
Podemos restar el área del anuncio del área del tablero de anuncios.
Pida a sus estudiantes que resuelvan el problema. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo. Elija trabajos que incluyan dibujos del anuncio ubicado en diferentes posiciones en el tablero de anuncios y diferentes estrategias para hallar la solución.
Nota para la enseñanza
Quienes prefieren descomponer una figura sombreada en rectángulos y sumar las áreas también pueden probar dicha estrategia en este problema. Si no colocan el anuncio en una esquina del tablero de anuncios, es posible que tengan dificultades para hallar las longitudes de los lados desconocidas. Haga preguntas para ayudarles a observar la utilidad y eficiencia de restar el área del anuncio sin importar dónde esté ubicado.
Los ejemplos de trabajo muestran el anuncio ubicado en una esquina del tablero de anuncios y en el centro.
15 6 = 9
Área: ea: 9 pies cuadrados
ea: 9 pies cuadrados
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó que se turnen para compartir sus soluciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los dibujos y las ecuaciones representan el problema.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de las semejanzas y diferencias entre los dibujos y las estrategias.
Veo 15 − 6 = 9 un par de veces. Muestra que se resta el área del anuncio del área del tablero de anuncios. Las áreas del tablero de anuncios y del anuncio siguen siendo las mismas, sin importar dónde están.
Un grupo de estudiantes dividió el espacio sombreado en rectángulos y sumó las áreas de cada rectángulo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué fue más eficiente para hallar el área: sumar o restar.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Razonar para hallar el área de figuras compuestas utilizando rectángulos
Reúna a la clase y pida que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca del área de las figuras de los problemas 1 y 2.
¿Cómo usaron lo que saben acerca de los rectángulos para hallar las longitudes de los lados desconocidas?
Sé que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud.
Busqué rectángulos y, luego, usé lo que sabía acerca de la longitud de un lado como ayuda para hallar la longitud del lado opuesto.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del área de los rectángulos para hallar el área de otras figuras?
Si podemos dividir una figura más grande en rectángulos, podemos hallar las áreas de los rectángulos y sumarlas.
A veces, podemos pensar en un rectángulo más grande y, luego, restar el área de un rectángulo más pequeño para hallar el área de una figura.
¿Cómo decidieron si iban a sumar o restar las áreas de rectángulos para hallar el área de la figura?
En el problema 1, sumé las áreas de dos rectángulos dentro de la figura. Eso me resultó más rápido porque prefiero sumar.
En el problema 2, resté el área del rectángulo sin sombrear de la parte de arriba porque era un solo paso. Si hubiera sumado las áreas de los rectángulos en el interior de la figura, habría tenido que sumar tres áreas diferentes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
× 4 =
3 × 5 = 15 32 + 15 = 47
Área: 47 centímetros cuadrados
pies 3 pies 5 pies
Área: 34 pies cuadrados
× 7 = 49 3 × 5 = 15
− 15 = 34
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
4. Amy tiene un rectángulo de papel que mide 8 pulgadas de ancho y 9 pulgadas de largo.
Amy recorta un cuadrado que tiene un ancho de 4 pulgadas.
¿Cuál es el área del resto de la figura?
− 16 = 56
El área del resto de la figura es 56 pulgadas cuadradas.
Área: 33 pulgadas cuadradas
EUREKA MATH2
EUREKA MATH2
Nombre
Halla el área de las figuras sombreadas. Muestra tu estrategia.
5. James cuelga un afiche rectangular que mide 3 pies de ancho y 4 pies de largo en una pared.
La pared mide 8 pies de ancho y 10 pies de largo.
¿Cuál es el área de la pared que el afiche no cubre?
10 pies 8 pies 4 pies 3 pies
80 − 12 = 68
El área de la pared que el afiche no cubre es 68 pies cuadrados.
6. El piso rectangular del rincón de lectura mide 10 pies de largo y 6 pies de ancho.
La maestra Smith coloca una alfombra rectangular con un área de 24 pies cuadrados.
a. ¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
60 − 24 = 36
El área del piso que la alfombra no cubre es 36 pies cuadrados.
b. ¿Cuáles podrían ser la longitud y el ancho de la alfombra? ¿Cómo lo sabes?
La longitud de la alfombra podría ser 6 pies y el ancho podría ser 4 pies porque 6 × 4 = 24
Resolver problemas matemáticos históricos relacionados con el área
Vistazo a la lección
Halla el área de la parte sombreada. Usa palabras y una ecuación para explicar tu trabajo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
El área de la parte sombreada es 2 unidades cuadradas.
El área del cuadrado interior es la mitad del área del cuadrado exterior. Hallé 16 ÷ 2 = 8. Luego, vi que hay cuatro cuadrados dentro del cuadrado interior que tienen la misma área, entonces, hallé 8 ÷ 4 = 2
La clase aplica su comprensión del área para resolver problemas de matemáticas de la antigua Babilonia que involucran figuras dentro de una figura más grande. Hallan el área de estas figuras usando las relaciones entre las partes de las figuras que observan.
Preguntas clave
• ¿Qué tipo de problemas de área se resolvían en la antigua Babilonia?
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del área para hallar el área de una parte de una figura más grande?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas.
(3.MD.C.5, 3.MD.C.5.a, 3.MD.C.5.b)
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Área de cuatro partes iguales
• Área de un cuadrado dentro de un cuadrado
• Descomponer un área conocida en partes iguales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Cuadrículas de área (en la edición para la enseñanza)
• regla
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math® (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• Cuadrículas de área (en el libro para estudiantes)
• tijeras
• regla
Preparación de la lección
• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de esta lección.
• Recorte 1 juego de cuadrículas de las hojas extraíbles de Cuadrículas de área para usted.
• Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Cuadrículas de área de los libros para estudiantes y recortar las cuadrículas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Hallar el área
La clase halla el área de una figura compuesta en unidades cuadradas para adquirir fluidez con la destreza del tema A.
Muestre la figura que tiene un área de 8 unidades cuadradas.
Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área de la figura?
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 9 con el fin de adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Vamos a contar de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 9. ¿Comenzamos? (Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 99 × 97 × 9
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice ecuaciones de multiplicación relacionadas para adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 3) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
6 ×
3
Estudiantes A y B: “18”
Estudiante A: “ 6 × 3 = 18”
Estudiante B: “3 × 6 = 18”
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta. Quienes participan como estudiantes B dicen la ecuación de multiplicación relacionada cambiando el orden de los factores.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Presentar
5
La clase analiza problemas de matemáticas representados en una imagen histórica.
Muestre las imágenes de las tablillas babilónicas e invite a sus estudiantes a comentar lo que observan y se preguntan. Considere registrar sus preguntas para volver a revisarlas en la sección Concluir.
Observo que hay tres imágenes de cuadrados con otras figuras en su interior. Me pregunto qué significan las imágenes.
Observo que los cuadrados están descompuestos en cuadrados y triángulos. Me pregunto por qué están únicamente esas figuras.
Observo que hay marcas debajo de las imágenes. Algunas marcas se ven parecidas. Me pregunto qué significan las marcas.
Esta imagen muestra tablillas hechas de arcilla que se usaban como libros de matemáticas en la antigua Babilonia. El pueblo babilónico vivió hace más de 3,000 años en lo que hoy es el territorio de Iraq. En esa época, no tenían papel para escribir, entonces, en su lugar, grababan la escritura y los dibujos en tablillas hechas de arcilla.
Los cuadrados de la parte de arriba representan los problemas de matemáticas, y las marcas de la parte de abajo son las instrucciones, escritas en el idioma que se usaba en la antigua Babilonia.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cuáles creen que podrían haber sido las preguntas en los problemas.
¿Cuánto miden los lados de los triángulos?
¿Cuál es el área de cada una de las figuras en las imágenes?
Las imágenes representan problemas de área. ¿Qué necesitan saber acerca de las figuras en las imágenes para resolver los problemas de área?
Necesitamos saber las longitudes de los lados. Necesitamos una cuadrícula.
Las matemáticas en el pasado
El recurso Las matemáticas en el pasado contiene más información acerca de problemas de área babilónicos. El enfoque de esta lección es descomponer figuras para hallar el área usando problemas de tablillas de la antigua Babilonia.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
El pueblo babilónico se dedicaba a la agricultura, y estas imágenes representan problemas de área relacionados con la agricultura. Hoy, examinaremos estos problemas de área antiguos y hallaremos las respuestas.
Aprender
Área de cuatro partes iguales
Materiales: M) Cuadrículas de área, regla; E) Cuadrículas de área, tijeras, regla
La clase descompone un cuadrado en partes iguales y halla el área de las partes.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Cuadrículas de área de sus libros y recorten las cuadrículas. Cuando sus estudiantes hayan terminado de recortar, muestre la imagen del cuadrado delineado con rojo que tiene una X en su interior.
En las tablillas babilónicas, los cuadrados representaban campos que medían aproximadamente 60 metros de largo.
Pida a sus estudiantes que tomen una de las cuadrículas.
Usaremos los cuadrados de papel para representar los cuadrados babilónicos.
Indique a sus estudiantes que doblen la cuadrícula como ayuda para dividir el papel a fin de que se parezca al cuadrado babilónico. Pídales que tracen con un lápiz las líneas de doblez que coinciden con las líneas del cuadrado babilónico para que sean más visibles. Dé tiempo para que trabajen y, luego, haga las siguientes preguntas.
¿Qué observan?
Los triángulos tienen el mismo tamaño.
Hay 4 partes iguales.
¿Cuáles son las longitudes de los lados del cuadrado?
4 unidades
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el contexto de esta lección, proporcione contexto mostrando una imagen de un campo grande que esté dividido visualmente con cercas o cultivos de diferentes colores.
Diferenciación: Desafío
Considere proporcionar a sus estudiantes cuadrados de 4 pulgadas sin cuadrículas y pedirles que completen la actividad sin la ayuda de cuadrículas.
¿Cuál es el área del cuadrado?
16 unidades cuadradas
La imagen de la tablilla babilónica representa un campo dividido en 4 campos iguales más pequeños. Vamos a hallar el área de uno de los campos más pequeños.
Pida a sus estudiantes que sombreen sus cuadrículas para representar uno de los campos más pequeños y, luego, que trabajen en parejas para hallar el área de la parte de la cuadrícula que representa un campo más pequeño. Recorra el salón de clases mientras trabajan y observe las estrategias que usan para hallar el área. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Si es posible, seleccione a parejas que hayan contado los cuadrados de la cuadrícula y parejas que hayan dividido el área del cuadrado entre 4.
Cuando hayan terminado, reúna a la clase e invite a las parejas seleccionadas a compartir sus estrategias. Asegúrese de que compartan primero estrategias como contar los cuadrados de la cuadrícula y, luego, estrategias que incluyan dividir el área del cuadrado grande.
¿Cómo hallaron el área de uno de los campos más pequeños?
Contamos los cuadrados de uno de los triángulos. Hay 2 cuadrados enteros y 4 mitades de cuadrados que, en total, son 4 cuadrados.
Hallamos 16 ÷ 4 = 4 porque el área del cuadrado es 16 unidades cuadradas y el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
¿Cuál es el área de uno de los campos más pequeños?
4 unidades cuadradas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar sus estrategias con las otras estrategias compartidas.
DUA: Acción y expresión
Como alternativa a pedir a sus estudiantes que tracen líneas y sombreen la cuadrícula, considere proporcionarles una cuadrícula que ya tenga la imagen.
Como apoyo para que sus estudiantes se enfoquen en la parte del cuadrado cuya área están hallando, puede permitirles recortar esa figura del cuadrado. Además, eso permitirá que sus estudiantes apilen las piezas recortadas para verificar que tienen el mismo tamaño.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes compusieron dos mitades de cuadrados para formar un cuadrado entero en la lección 1. Es posible que necesiten apoyo cuando componen pares de mitades de cuadrados para formar varios cuadrados enteros.
Área de un cuadrado dentro de un cuadrado
Materiales: M/E) Cuadrículas de área, regla
La clase halla el área de una parte de una figura compuesta.
Muestre la imagen del cuadrado delineado con rojo que tiene un cuadrado en su interior.
Esta imagen muestra otra forma de dividir el campo grande.
Señale un lado del cuadrado exterior de la imagen.
El dibujo no está rotulado, entonces, no lo sabemos con certeza, pero ¿creen que es razonable afirmar que los lados del cuadrado exterior están divididos en partes iguales? ¿Por qué sí o por qué no?
Sí, parece que las partes son iguales.
Pida a sus estudiantes que doblen la segunda Cuadrícula de área de modo que se parezca al cuadrado babilónico. Pídales que tracen las líneas de doblez que coinciden con las líneas del cuadrado babilónico para que sean más visibles. Dé tiempo para que trabajen y, luego, haga la siguiente pregunta.
¿Qué observan?
La figura del medio es un cuadrado.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas (MP1) cuando se encuentra con un tipo nuevo de problema (hallar el área de una parte sombreada de una figura más grande) y busca puntos de partida para resolverlo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué pueden deducir acerca del área de la parte sombreada a partir de la observación del área del cuadrado entero?
• ¿Cuáles son algunas estrategias que pueden probar como punto de partida para hallar el área?
Los triángulos pueden doblarse sobre el cuadrado del medio y cubrirlo por completo.
Considere invitar a un grupo de estudiantes a verificar que la figura es un cuadrado. Pídales que midan los lados del cuadrado interior con una regla para comprobar que tienen la misma longitud y que usen la esquina de un trozo de papel para comprobar que los ángulos son rectos.
Pregúnteles qué representa el cuadrado interior y, de ser necesario, aclare que representa un campo agrícola. Pídales que sombreen el cuadrado interior y que, luego, hallen el área del campo.
Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y observe las estrategias que usan para hallar el área del campo agrícola. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Si es posible, seleccione a parejas que hayan contado los cuadrados de la cuadrícula y parejas que hayan dividido el área del cuadrado exterior entre 2.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes cometan el error de llegar a la conclusión de que el cuadrado interior tiene un área de 4 unidades cuadradas porque creen que la longitud del lado es 2 unidades. Anime a sus estudiantes a usar la regla para medir las longitudes de los lados del cuadrado interior y comprobar que los lados miden más de 2 unidades. No espere que midan la longitud de manera precisa.
Cuando hayan terminado, reúna a la clase e invite a las parejas seleccionadas a compartir sus estrategias. Asegúrese de que compartan primero estrategias como contar los cuadrados en la cuadrícula y, luego, estrategias que incluyan dividir el área del cuadrado grande.
¿Cómo hallaron el área del cuadrado interior?
Contamos los cuadrados en la cuadrícula. Hay 4 cuadrados enteros y 8 mitades de cuadrados que, en total, son 8 cuadrados.
Los triángulos pueden doblarse sobre el cuadrado del medio y cubrirlo por completo, por eso, supimos que el área del cuadrado interior era la mitad del área del cuadrado entero. Entonces, hallamos 16 ÷ 2 = 8.
¿Cuál es el área del campo agrícola?
8 unidades cuadradas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es razonable afirmar que el cuadrado interior y el cuadrado exterior se juntan en la mitad de los lados del cuadrado exterior.
A veces, las expertas y los expertos en matemáticas tienen que hacer estimaciones acerca de la información de los problemas para poder resolverlos. Cuando hacemos eso, necesitamos dejar en claro qué información es dada y qué información le agregamos a la situación.
Descomponer un área conocida en partes iguales
La clase descompone un área conocida en partes más pequeñas para hallar un área desconocida.
Muestre la imagen del cuadrado delineado con rojo que tiene ocho triángulos en su interior.
Esta imagen muestra otra forma de dividir el campo grande.
¿Es razonable decir que los lados del cuadrado exterior están divididos en partes iguales en esta imagen?
Sí.
Pida a sus estudiantes que doblen la tercera Cuadrícula de área de modo que se parezca al cuadrado babilónico. Pídales que tracen las líneas de doblez que coinciden con las del cuadrado babilónico para que sean más visibles. Dé tiempo para que trabajen y, luego, haga la siguiente pregunta.
¿Qué observan?
Es como la última imagen, pero el cuadrado del medio está dividido en 4 triángulos.
Cada parte de la imagen representa un campo agrícola.
Pida a sus estudiantes que sombreen sus cuadrículas de modo que representen un campo agrícola. Invite a las parejas a conversar acerca de cómo se dividió el campo grande y a hallar el área de un campo agrícola. Recorra el salón de clases mientras trabajan y observe las estrategias que usan para hallar el área. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Si es posible, seleccione a parejas que hayan dividido el área del cuadrado grande entre 8 y parejas que hayan dividido el área del cuadrado interior del problema anterior entre 4.
Cuando hayan terminado, reúna a la clase e invite a las parejas seleccionadas a compartir sus estrategias. Asegúrese de que compartan primero las estrategias que involucran dividir el área del cuadrado grande y, luego, las estrategias en las que dividen el área del cuadrado interior.
¿Cómo hallaron el área de uno de los campos agrícolas?
Observamos que hay 8 triángulos iguales dentro del cuadrado entero, entonces, dividimos el área del cuadrado entero entre 8. Entonces, 16 ÷ 8 = 2.
Observamos que el cuadrado interior está dividido en 4 partes iguales, entonces, dividimos el área del cuadrado interior entre 4. 8 ÷ 4 = 2.
¿Cuál es el área de un campo agrícola?
2 unidades cuadradas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las maneras de hallar el área de una figura dentro de una figura más grande.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas matemáticos históricos relacionados con el área
Si registró las preguntas de sus estudiantes durante la sección Presentar, vuelva a revisarlas para buscar cuáles puede abordar en este punto y cuáles debe considerar para exploraciones adicionales. Luego, guíe una conversación acerca de cómo hallar el área de figuras dentro de figuras compuestas.
¿Qué tipo de problemas de área se resolvían en la antigua Babilonia?
Se dividían campos para la agricultura entre las personas que trabajaban los campos y se hallaba el área de cada campo.
¿Qué hacen las expertas y los expertos en matemáticas cuando no tienen toda la información que necesitan para resolver un problema?
Hacen suposiciones razonables acerca de la información que falta.
Explican qué información está dada en el problema y qué información le agregan al problema.
¿Cómo podemos hallar el área de una parte de una figura más grande?
Podemos contar cuadrados en una cuadrícula.
Podemos pensar en cómo el área de la parte está relacionada con el área del entero.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
4. James usa tela azul y tela naranja para hacer un cuadrado de colcha. Cada representa 1 unidad cuadrada.
Halla el área de la parte sombreada. Usa palabras y al menos una ecuación para explicar tu trabajo.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Figura Área
1. 4 × 4 = 16
16 ÷ 2 = 8
Área: 8 unidades cuadradas
Hallé el área total y la dividí entre 2 porque la figura sombreada ocupa la mitad del espacio del cuadrado.
2. 4 × 4 = 16
16 ÷ 8 = 2
Área: 2 unidades cuadradas
Hallé el área total y la dividí entre 8 porque hay 8 triángulos del mismo tamaño.
3. 4 × 4 = 16
16 ÷ 4 = 4
Área: 4 unidades cuadradas
Cuando junto dos de los triángulos más pequeños sin sombrear, es la misma área que la del triángulo sombreado. Eso forma 4 figuras que tienen la misma área, entonces, hallé el área total del cuadrado y la dividí entre 4.
a. ¿Cuál es el área del cuadrado de colcha?
16 unidades cuadradas
b. ¿Cuál es el área que cubre la tela azul?
8 unidades cuadradas
c. Escribe una ecuación de división para mostrar la relación entre el área del cuadrado de colcha y el área que cubre la tela azul.
16 ÷ 2 = 8
EUREKA MATH2
Nombre
d. James dice: “El área que cubre la tela naranja es igual al área que cubre la tela azul”. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
Sí. El área total es 16 unidades cuadradas, y el área que cubre la tela azul es 8 unidades cuadradas. El resto del área, la que cubre la tela naranja, es 8 unidades cuadradas porque 16 − 8 = 8
e. James cose 3 cuadrados de colcha como se muestra abajo. ¿Cuál es el área total que cubre la tela naranja?
3 × 8 = 24
24 unidades cuadradas
Aplicar los conceptos de área a un contexto del mundo real
La clase identifica las características de un plano de planta. Crean planos de planta para diseñar la casa de sus sueños y observan cómo el resto de la clase usa el área en sus diseños de plano de planta.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos hallar el área de un espacio dado?
• ¿Cómo se muestra el área en los planos de planta?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Nombre
Pablo dibuja un plano de planta de su dormitorio. Halla el área que cubre cada objeto.
Escritorio
Mesa Cama
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Diseñar la casa de sus sueños
• Visualizar planos de planta
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Cuadrícula de plano de planta (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math® (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• lápices de colores, paquete
• Cuadrícula de plano de planta (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrícula de plano de planta de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Hallar el área
La clase halla el área de una figura en unidades cuadradas para adquirir fluidez con la destreza del tema A.
Muestre la figura que tiene un área de 6 unidades cuadradas.
Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área de la figura sombreada?
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 8 con el fin de adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Vamos a contar de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 8. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 89 × 87 × 8
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice ecuaciones de multiplicación relacionadas para adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 3) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
6 ×
3
Estudiantes A y B: “18”
Estudiante A: “ 6 × 3 = 18”
Estudiante B: “3 × 6 = 18”
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta. Quienes participan como estudiantes B dicen la ecuación de multiplicación relacionada cambiando el orden de los factores.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Presentar
La clase analiza un plano de planta e identifica las características clave.
Muestre el plano de planta de una casa.
Este es el plano de planta de una casa. ¿Por qué creen que se llama plano de planta?
Es como el plan de una casa. Muestra las habitaciones que hay.
Parece que solo muestra el piso de las habitaciones.
¿Qué pueden decirme acerca de esta casa observando este plano de planta?
Tiene 2 dormitorios y 1 cuarto de baño.
En el medio hay un pasillo abierto.
Los 2 dormitorios están en un extremo de la casa.
Juntos, la sala de estar y el comedor cubren un área grande.
¿Cuál creen que es la diferencia entre las líneas continuas y las líneas punteadas?
Las líneas continuas muestran las paredes. Las líneas punteadas representan dónde termina una habitación, pero sin una pared.
Las líneas punteadas muestran movimiento, como el umbral de una puerta.
¿Dónde ven el área de cada habitación?
Dormitorio 162 pies cuad.
Cuarto de baño
54 pies cuad.
Dormitorio
186 pies cuad.
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para esta conversación acerca del plano de planta. Puede usarse para guiar la conversación y apoyar a sus estudiantes con contexto adicional para el plano de planta.
Clóset 36 pies cuad.
Cocina 108 pies cuad.
Sala de estar 147 pies cuad.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Comedor
126 pies cuad.
El área está rotulada en pies cuadrados cerca del nombre de cada habitación.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, crearán un plano de planta y hallarán el área de cada habitación.
Como parte de la presentación del plano de planta, considere aclarar qué es un plano de planta. Incluya características clave como las siguientes:
• Es una vista del piso desde arriba.
• Solo incluye el contorno de cada espacio que tiene un área. Puede incluir algo que ocupa espacio en el piso (p. ej., muebles), pero no incluye detalles pequeños, como los objetos que cuelgan de las paredes o el techo.
• Comúnmente lo usan las personas involucradas en la construcción o la planificación del diseño de una casa.
Aprender
Diseñar la casa de sus sueños
Materiales: M) Cuadrícula de plano de planta; E) Cuadrícula de plano de planta, lápices de colores
La clase diseña el plano de planta para la casa de sus sueños.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Cuadrícula de plano de planta de sus libros.
Dígales que la tarea consiste en crear el plano de planta de la casa de sus sueños y que la cuadrícula representa el piso del interior de la casa. Explique el propósito de usar la cuadrícula con un enunciado como el siguiente.
Un plano de planta muestra las longitudes de los lados y las áreas de las habitaciones de un piso de una construcción. Hay diferentes maneras de crear planos de planta. Dibujaremos nuestro plano de planta en una cuadrícula como ayuda para mostrar el área de cada espacio. Primero, necesitamos establecer qué unidades de medida tiene sentido usar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué unidad de medida sería razonable que represente cada cuadrado.
¿Creen que cada cuadrado representa 1 centímetro cuadrado de su casa? ¿Por qué?
No. Si cada cuadrado fuera solo 1 centímetro cuadrado, la casa sería demasiado pequeña.
¿Creen que cada cuadrado representa 1 milla cuadrada? ¿Por qué?
No. Las millas cuadradas son demasiado grandes. Medimos las ciudades en millas cuadradas, no las casas.
¿Qué unidad sería razonable?
Pies cuadrados, yardas cuadradas o metros cuadrados
Vamos a establecer que cada cuadrado representa 1 pie cuadrado de área. Eso es lo que generalmente se usa en los planos de planta de casas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las habitaciones que deberían incluir en la casa de sus sueños.
Las habitaciones en el plano de planta representan el tamaño de las habitaciones en la vida real. Queremos asegurarnos de que nuestro diseño tenga sentido. Veamos algunos ejemplos.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes no conozcan el concepto de la casa de sus sueños. Deles la oportunidad de pensar acerca de qué puede incluir la casa de los sueños de una persona. ¿Qué habitaciones suelen incluir todas las casas? ¿Qué habitaciones especiales podrían incluir? Como ayuda para que se les ocurran ideas, anime a cada estudiante a pensar en lo que le gusta hacer, lo que cree que le gustaría hacer y el tipo de espacios que necesitaría para hacer cada cosa.
Muestre el plano de planta dividido en solo cuatro habitaciones. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de planos de planta poco realistas.
Imaginen esta casa en la vida real. ¿Les parece un diseño realista? ¿Por qué?
No. Todas las habitaciones tienen el mismo tamaño. La mayoría de las casas tienen habitaciones de tamaños y formas diferentes.
No. No veo puertas ni pasillos. No sé cómo alguien llega de una habitación a otra.
Muestre el plano de planta dividido en varias habitaciones pequeñas y una habitación grande.
Observemos un diseño con puertas, pasillos y habitaciones de tamaños y formas diferentes. ¿Les parece realista este diseño? ¿Por qué?
No. Una habitación ocupa la mayor parte del espacio. Por lo general, en las casas no hay una habitación como esa.
No. Las otras habitaciones son demasiado pequeñas.
Guíe una conversación en la que sus estudiantes razonen acerca de longitudes y anchos de habitaciones que sean realistas. Para ello, comenten el tamaño de algunos objetos típicos que se encuentran en diferentes habitaciones. Considere usar objetos del salón de clases como puntos de referencia. Por ejemplo, use la longitud de una pizarra blanca, una mesa o algún otro objeto grande como ayuda para que sus estudiantes piensen en qué tan grande debería ser una habitación para que quepan muebles con comodidad.
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio
20 pies cuad
Dormitorio 24 0 pies cuad. Cuarto de baño 24 0 pies cuad. Cocina cina
Diferenciación: Apoyo
Es posible que sus estudiantes necesiten apoyo para razonar acerca del tamaño de diferentes tipos de habitaciones. Para apoyar la visualización y la elección de tamaños para las habitaciones que tengan sentido, considere proporcionar a sus estudiantes reglas y reglas de una yarda para que hagan aproximaciones. Asimismo, considere delimitar con cinta algunas secciones del salón de clases (p. ej., un rectángulo de 4 pies por 5 pies). Pregunte a sus estudiantes si es suficiente espacio para una habitación determinada, como una cocina o un dormitorio. Pídales que hagan una lista de objetos que deberían caber en una habitación para apoyar su razonamiento acerca del tamaño. Sala de juegos
Muestre una copia de la hoja extraíble de Cuadrícula de plano de planta y pida a sus estudiantes que usen las pautas para sus diseños y la tabla del problema 1.
Haga un razonamiento en voz alta para determinar el tamaño de una habitación, dibujar las longitudes de los lados, hallar el área y registrar la información en la tabla.
Quiero incluir una habitación para hacer proyectos de arte. En la tabla, nombraré la habitación sala de arte.
Necesito suficiente espacio para una mesa que mide 5 pies de largo y estantes de 3 pies de ancho para los artículos de arte. ¿Qué longitudes de los lados pueden ser razonables para la habitación?
Tal vez 8 pies y 10 pies
¿Cómo puedo dibujar en la cuadrícula para mostrar una habitación cuyas longitudes de los lados sean 8 pies y 10 pies?
Puede trazar una línea a lo largo de 8 cuadrados y 10 cuadrados.
¿Cuál es el área de la habitación?
80 pies cuadrados
Observen mientras escribo la longitud, el ancho y el área en la tabla.
Diga a sus estudiantes que quiere agregar un espacio de lectura a la habitación. Agregue a la sala de arte un rectángulo más pequeño con lados de 3 pies y 4 pies. Demuestre cómo escribir la longitud y el ancho en la tabla.
Mi habitación ya no es un rectángulo. ¿Cómo puedo hallar el área total de la habitación?
Puede hallar el área de los dos rectángulos que forman la habitación y sumarlas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes habitaciones que podrían incluir. No es necesario que los tipos de habitación sean realistas. Sus estudiantes pueden tener ideas creativas para las habitaciones; por ejemplo, una habitación para hacer burbujas o una habitación con una cama elástica.
Pídales que consulten las pautas y responda todas sus preguntas antes de comenzar la actividad.
DUA: Acción y expresión
Considere dejar a la vista un plano de planta, como el que se muestra a continuación, para que sus estudiantes lo consulten a modo de ejemplo. Incluya recordatorios como los siguientes:
• Incluir solo el contorno de cada espacio que tiene un área
• No incluir detalles pequeños, como cosas que cuelgan de las paredes o el techo
• Usar líneas continuas para mostrar las paredes
• Usar líneas punteadas para mostrar dónde terminan las habitaciones que no están separadas por paredes
• Usar líneas diagonales para mostrar las puertas por las que se entra a cada habitación
Comedor 126 pies cuad. Cocina 108 pies cuad Sala de estar 147 pies cuad.
1. Usa la Cuadrícula de plano de planta para representar el área de tu casa.
Dibuja un plano de planta de la casa de tus sueños dentro de la cuadrícula.
Incluye los siguientes detalles:
Todas las líneas deben seguir la cuadrícula. No uses líneas diagonales.
Al menos una habitación debe tener un área menor que 80 pies cuadrados.
Al menos una habitación debe tener un área mayor que 80 pies cuadrados.
Todas las habitaciones deben estar en un mismo nivel. No hay escaleras.
Incluye pasillos.
Incluye puertas.
Elige al menos 4 habitaciones para incluir en tu casa. Rotula cada habitación con su nombre, la longitud y el ancho en pies, y el área en pies cuadrados.
✓Nombre de la habitación Longitud (pies) Ancho (pies)
Dormitorio 1
Dormitorio 2
Cuarto de baño
Cocina
Comedor
Sala de estar
Área (pies cuadrados)
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando representa el plano de planta de la casa de sus sueños como áreas en una cuadrícula. Pasa una y otra vez por cada etapa del proceso de representación cuando considera su visión, las restricciones dadas en el problema y su modelo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Cómo representaron las ideas clave de la lista de pautas en sus dibujos?
• ¿Qué operación matemática pueden escribir como ayuda para comprender cómo crear una habitación que tenga un área mayor que 80 pies cuadrados?
Dé tiempo para que sus estudiantes trabajen. Recorra el salón de clases y haga preguntas como las siguientes para que consideren la función del área en sus planos:
• ¿Qué espacio recorrerán para ir de una habitación a otra en su casa?
• ¿Por qué decidieron que esta habitación tenga un área más grande? ¿Y un área más pequeña?
• ¿Cómo se compara el área de esta habitación con el área de otra habitación? ¿Por qué lo planearon de esa manera?
Si hay tiempo suficiente, permita a sus estudiantes colorear sus planos de planta con lápices de colores.
Visualizar planos de planta
La clase examina diferentes estrategias para construir planos de planta y compara dichas estrategias con las propias.
Pida a sus estudiantes que dejen su plano de planta donde el resto de la clase pueda verlo y se preparen para un paseo por la galería. Forme parejas de estudiantes y dígales que examinarán uno o dos planos de planta. Dé instrucciones sobre cómo deben rotar por el salón de clases (p. ej., esperar una señal para pasar a otro plano de planta o desplazarse en el sentido de las manecillas del reloj por el salón de clases).
Pida a sus estudiantes que verifiquen que las áreas sean precisas cuando miren cada plano de planta. Considere dejar a la vista preguntas como las siguientes para que las parejas reflexionen al estudiar el trabajo de sus pares:
• ¿Tiene sentido el tamaño de cada habitación? ¿Cómo lo saben?
• ¿Hay habitaciones que tengan la misma área, pero diferente forma? ¿Cómo es eso posible?
• ¿Hay habitaciones que tengan longitudes de los lados desconocidas? ¿Cómo pueden hallar las longitudes de los lados desconocidas?
• ¿Cómo se podrían separar en partes las habitaciones más grandes de modo que sea más fácil hallar su área?
Dé tiempo para que los grupos observen los planos de planta.
Reúna a la clase e invite a cada estudiante a compartir sus observaciones acerca de cómo se usó el área de diferentes formas en los planos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Mientras sus estudiantes hallan las áreas de las habitaciones, anímeles a usar las diferentes estrategias que han aprendido.
Si la habitación es grande, anímeles a usar la estrategia de separar y distribuir.
Si la habitación tiene una forma inusual, anímeles a descomponer la figura en rectángulos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar a las parejas notas adhesivas para que dejen retroalimentación en los planos de planta que visitan durante el paseo por la galería. Muestre comienzos de oración como los siguientes:
• Me gustó mucho tu plano de planta porque .
• Hiciste un gran trabajo al
• Algo que aprendí fue .
• ¿Consideraste ?
• Me confundió .
• Piensa en sumar .
• Algo que quizás quieras cambiar es .
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar los conceptos de área a un contexto del mundo real
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca del área en los planos de planta.
En el problema 2 del Grupo de problemas, crearon un diseño para un espacio ecológico.
¿Cómo pensaron acerca del área entre los componentes mientras planeaban sus diseños?
Tuve que dejar espacio entre los objetos de manera que hubiera lugar para caminar.
No quería que el espacio se sintiera muy lleno, entonces, dejé más área libre en el medio.
Intenté dejar áreas iguales entre los objetos.
¿Cómo se muestra el área en los planos de planta?
Muestran el espacio que cubren los objetos.
Muestran las paredes, las longitudes de los lados y el área de las habitaciones.
Pueden tener las áreas rotuladas.
Muestran el espacio entre objetos.
¿Cuáles son otros ejemplos del mundo real de cómo usamos el área?
Colocar una alfombra u otro revestimiento
Hacer jardinería o distribuir grava, tierra o grama
Comprar papel tapiz, envoltura plástica, papel de aluminio o pintura
¿Cómo podemos hallar el área de un espacio dado?
Si la figura es un rectángulo, podemos multiplicar las longitudes de los lados.
Podemos separar la figura en rectángulos y hallar el área de cada rectángulo.
Podemos contar los cuadrados unitarios en la cuadrícula.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Eva dibuja un plano de planta de su dormitorio. Halla el área que cubre cada objeto.
2. La clase del maestro Endo crea un diseño para un espacio ecológico en su escuela. Halla el área de los objetos que planean incluir. Todos los objetos son rectangulares.
Objeto Longitud Ancho Área
Banco 2 unidades 5 unidades 10 unidades cuadradas
Estación de reciclaje 4 unidades 6 unidades 24 unidades cuadradas
Contenedor de compostaje 9 unidades 3 unidades 27 unidades cuadradas
Patio de pícnic 8 unidades 8 unidades 64 unidades cuadradas
Crea un diseño de un espacio ecológico basado en la información de la tabla. Sombrea la cuadrícula para mostrar los objetos.
Usa la longitud, el ancho y el área correctos para cada objeto. Luego, rotula cada objeto con su nombre.
Ejemplo:
Contenedor de compostaje
Patio de pícnic Jardín
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Estación de reciclaje
EUREKA MATH
Cama
Great Minds
Hallar el área de figuras y representar los datos del área en un diagrama de puntos
Robin forma algunos rectángulos usando unidades cuadradas. Robin usa un diagrama de puntos para mostrar los datos.
Área de los rectángulos 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Área (unidades cuadradas)
a. ¿Cuántos rectángulos formó Robin?
b. ¿Cuántos de los rectángulos de Robin tienen un área menor que 22 unidades cuadradas?
c. Robin usa unidades cuadradas para formar otro rectángulo. El nuevo rectángulo tiene una longitud de 9 unidades y un ancho de 3 unidades. Marca el área del nuevo rectángulo en el diagrama de puntos.
Vistazo a la lección
La clase halla las áreas de rectángulos y otras figuras, organiza los datos en una tabla y marca los datos en un diagrama de puntos. Razonan y responden preguntas acerca de los datos.
Preguntas clave
• ¿Por qué es importante la precisión al hacer un diagrama de puntos?
• ¿Cómo nos ayuda a comprender los datos organizarlos en un diagrama de puntos?
Criterios
de logro académico
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas. (3.MD.C.6)
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Marcar las áreas de rectángulos
• Marcar las áreas de figuras
• Otras áreas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula (en la edición para la enseñanza)
• Áreas para diagramas de puntos (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 8 (en el libro para estudiantes)
• Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula (en el libro para estudiantes)
• Áreas para diagramas de puntos (en el libro para estudiantes)
• regla
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 8
MATH2
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 8
Práctica veloz ▸ Multiplicar por y dividir entre 8
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la multiplicación y la división con el 8.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 2 × 8 = 16
2. 16 ÷ 8 = 2
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 a 6?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 18?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de seis en seis desde el 0 hasta el 60 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de tres en tres desde el 30 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase analiza los componentes de un diagrama de puntos completado y lo interpreta.
Muestre una imagen del diagrama de puntos Áreas de las ventanas de una casa.
Guíe una conversación usando preguntas como las siguientes.
¿Qué información nos muestra el diagrama de puntos?
Es sobre las áreas de las ventanas de una casa.
Las áreas miden entre 6 pies cuadrados y 20 pies cuadrados.
¿Cuántas ventanas se midieron en total?
Se midieron 15 ventanas.
¿Cómo hallaron el número total de ventanas?
Á rea de las ve ntanas de una casa
Área (pies cuadrados)
Cada X representa 1 ventana; entonces, conté el número de X en el diagrama de puntos.
¿Cuál es el área de la ventana más pequeña?
6 pies cuadrados
¿Cuál es el área de la ventana más grande?
20 pies cuadrados
¿Cuál es el área más frecuente, o más común, de las ventanas? ¿Cómo lo saben?
12 pies cuadrados. Lo sé porque tiene 4 X. Eso es más que cualquier otra área.
¿Cuántas ventanas tienen un área mayor que 14 pies cuadrados?
6 ventanas
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos las áreas de rectángulos y organizaremos los datos en un diagrama de puntos.
DUA: Representación
Sus estudiantes crearon diagramas de puntos con datos de longitudes en números enteros en 2.° grado. Considere mostrar un diagrama de puntos a modo de ejemplo para activar los conocimientos previos a fin de anticipar el trabajo en los próximos módulos de 3.er grado. Identifique y rotule cada característica, incluyendo el título, el rótulo, los números y las barras diagonales que representan que algunos números se saltearon.
En esta lección se brinda un contexto para que sus estudiantes continúen practicando cómo medir el área.
Aprender
Marcar las áreas de rectángulos
Materiales: M) Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula, Áreas para diagramas de puntos; E) Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula, Áreas para diagramas de puntos, regla
La clase halla las áreas de rectángulos y las marca en un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.
Muestre los rectángulos A a D.
Rectángulo A
Área: 12 cm cuad
Rectángulo B
Área: 14 cm cuad.
Rectángulo D
Rectángulo C
Área: 12 cm cuad.
Área: 16 cm cuad.
Quiero organizar estos datos para que sea más fácil estudiarlos y responder preguntas acerca de ellos. Veamos cómo podemos organizar los datos en una tabla.
¿Cuál es el área del rectángulo A?
Registremos una A en la primera columna de la tabla y un 12 en la segunda columna. ¿Por qué no es necesario escribir centímetros cuadrados después del 12?
El encabezamiento en la parte de arriba de la columna indica la unidad de todas las áreas de la columna.
Pida a sus estudiantes que completen la tabla, registrando el área del rectángulo A y, luego, las áreas de los rectángulos B, C y D.
Muestre una imagen del Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula. Demuestre de forma interactiva cómo marcar las áreas de los rectángulos A a D en el diagrama de puntos con las siguientes preguntas.
¿Dónde deberíamos marcar la X que representa el rectángulo A?
Figura Área (cm cuad.)
Marque la X que representa el rectángulo A en el diagrama de puntos a medida que sus estudiantes hacen lo mismo.
Pídales que usen la cuadrícula al marcar las áreas como ayuda para asegurarse de que las X sean del mismo tamaño y estén bien alineadas. Coloque las X donde se cruzan, o intersecan, las líneas de la cuadrícula, en vez de en los espacios, a fin de que las X estén alineadas con las marcas de graduación de la recta numérica.
¿Dónde deberíamos marcar la X que representa el rectángulo B?
¿Qué observan acerca de las ubicaciones de la X que representa el rectángulo B y la X que representa el rectángulo A?
Están una al lado de la otra a lo largo de la misma línea de la cuadrícula.
Repita el proceso para marcar los rectángulos C y D y comenten cómo se relaciona cada X con las otras X del diagrama de puntos. Lleve la cuenta de los rectángulos que se han marcado haciendo una marca de verificación en cada uno en la tabla.
Pida a sus estudiantes que vayan a los rectángulos E a H en las hojas de Áreas para diagramas de puntos en sus libros.
010111213141516
Área (centímetros cuadrados)
¿Qué tienen de diferente los rectángulos E a H?
Las áreas no están dadas.
Antes de poder marcar las áreas de estos rectángulos, necesitamos hallarlas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las estrategias que pueden usar a fin de hallar el área de cada rectángulo.
Podemos contar los cuadrados unitarios.
Podemos usar las longitudes de los lados.
Podemos medir las longitudes de los lados con una regla si no están rotuladas.
Título:
Figura Área (cm cuad.)
¿Podemos usar la misma estrategia para todos los rectángulos? Por ejemplo, ¿podemos contar los cuadrados unitarios en el rectángulo G?
No, primero tendríamos que medir y dibujar los cuadrados unitarios.
¿Por qué algunas estrategias funcionan para hallar el área de algunos rectángulos, pero no de otros?
Si una estrategia funciona o no depende de la información que tenemos acerca del rectángulo.
Necesitamos elegir una estrategia eficiente para la información que tenemos.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar las áreas de los rectángulos E a H. Pídales que completen la tabla y marquen el área de cada rectángulo en el diagrama de puntos. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Si es necesario, ayúdeles a alinear las X y a llevar la cuenta de qué rectángulos han sido marcados.
Muestre un diagrama de puntos que esté completado, pero le falte el título.
Pida a sus estudiantes que escriban el título del diagrama de puntos, Área de los rectángulos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el título describe la información marcada.
Pida a sus estudiantes que usen el diagrama de puntos para responder las siguientes preguntas.
¿Cuál es el área de los rectángulos más frecuente, o más común?
¿Cuántos rectángulos tienen un área de al menos 14 centímetros cuadrados? Es decir, rectángulos que tengan un área igual a o mayor que 14 centímetros cuadrados.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Señale los datos representados en el diagrama de puntos como ayuda cuando haga preguntas a la clase. Por ejemplo, cuando pregunte cuántos rectángulos tienen un área de 14 pies cuadrados o más, señale el 14 en la recta numérica y deslice el dedo a lo largo de los números mayores que 14. 0101 11213141516
Área (centímetros cuadrados)
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si la tabla o el diagrama de puntos fue más útil para responder las preguntas.
Puedo ver fácilmente cuántos rectángulos tienen la misma área en el diagrama de puntos. Me resulta más difícil llevar la cuenta de las áreas en la tabla.
En el diagrama de puntos, podemos ver cuál es el área más común y cuál es la menos común.
Título:
Marcar las áreas de figuras
La clase halla y marca de forma independiente las áreas de figuras en un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que borren el Diagrama de puntos en blanco con cuadrícula y que hallen las figuras J a R en las hojas de Áreas para diagramas de puntos en sus libros.
Vamos a marcar el área de estas figuras en un diagrama de puntos.
Invite la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo completarán el diagrama de puntos.
Indíqueles que completen el diagrama de puntos en parejas. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Pídales que usen estrategias eficientes para hallar el área de las figuras y que presten atención a la precisión (p. ej., que usen las líneas de la cuadrícula y que hagan todas las X del mismo tamaño) al marcar las X en el diagrama de puntos.
Muestre un diagrama de puntos completado.
¿Qué observan acerca de los datos?
La mayoría de las áreas son de 14 centímetros cuadrados o 16 centímetros cuadrados.
Hay más figuras con un área de 14 centímetros cuadrados.
Hay 1 figura con un área de 11 centímetros cuadrados.
¿Cuántas figuras tienen un área mayor que 14 centímetros cuadrados?
4 figuras
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué información obtuvieron de los datos al observar el diagrama de puntos en lugar de las imágenes de las figuras.
Título:
de las figuras
0101 11213141516
Área (centímetros cuadrados)
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando tiene cuidado con los detalles de su diagrama de puntos. Por ejemplo, se asegura de que las X estén alineadas con la cuadrícula y sean aproximadamente del mismo tamaño.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• Cuando dibujan las X, ¿qué necesitan hacer con mayor precisión? ¿Por qué?
• ¿Es correcto y exacto decir que “Área” es el título de nuestra gráfica? ¿Qué podemos cambiar para lograr un título más preciso?
Otras áreas
La clase razona acerca de dónde marcar los datos de números que no son enteros en un diagrama de puntos.
Muestre la imagen de la figura que tiene la mitad de un cuadrado en la parte superior derecha.
Pida a sus estudiantes que hallen el área de la figura. Permítales razonar acerca del tamaño del medio cuadrado unitario.
Escuché que alguien dijo que el área de esta figura es mayor que 13 unidades cuadradas, pero menor que 14 unidades cuadradas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar dónde marcar una X que represente el área de esta figura en el diagrama de puntos.
Estaría entre el 13 y el 14, porque el área es 13 cuadrados unitarios y 1 mitad.
Muestre la imagen de la figura que tiene la mitad de un cuadrado en la parte inferior derecha y repita el proceso para marcar el área en el diagrama de puntos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo trabajaron de manera eficiente y organizada al marcar los datos de área.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Las áreas que no son números enteros son un vistazo previo al módulo siguiente, donde se presentan las fracciones. En este caso, no es necesario usar la notación formal de las fracciones.
Use la experiencia de sus estudiantes del inicio del módulo y los grados previos para que entiendan el cuadrado unitario parcial. Deberían ver que el cuadrado unitario parcial hace que el área sea mayor que el número de cuadrados unitarios enteros, pero suma menos de un cuadrado unitario más. Sus estudiantes pueden describir el área como 13 cuadrados unitarios y 1 mitad. De ser así, asegúrese de que el uso del lenguaje fraccionario sea correcto.
Ayúdeles a observar que la posición del área en la recta numérica está entre los dos números enteros en el diagrama de puntos. Sus estudiantes formalizarán este concepto y esta notación en el siguiente módulo.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar el área de figuras y representar los datos del área en un diagrama de puntos
Muestre la imagen del diagrama de puntos Área de los afiches.
David necesita algo de ayuda para comprender cómo corregir su diagrama de puntos. ¿En qué se diferencia este diagrama de puntos de los diagramas de puntos que creamos y observamos hoy?
Las X comienzan en diferentes posiciones. Algunas comienzan sobre la línea, otras comienzan desde más arriba.
Algunas X se superponen.
Algunas X son más grandes que otras.
¿Por qué es difícil leer el diagrama de puntos?
Las X que están sobre 2 pies cuadrados son grandes. Hacen que parezca que 2 pies cuadrados es el área más frecuente, pero el área más frecuente es 3 pies cuadrados.
Las pilas de 2 X deberían ser de la misma altura, pero las X que están sobre 5 pies cuadrados comienzan sobre la línea en vez de comenzar desde más arriba; entonces, las pilas no se ven de igual altura.
¿Qué necesita hacer David para corregir su diagrama de puntos? ¿Por qué es importante que sea preciso?
Es necesario que las X sean del mismo tamaño y comiencen desde la misma altura.
Es necesario que las X estén espaciadas de manera uniforme y no se superpongan.
Si no es preciso, es difícil distinguir qué áreas fueron las más comunes y las menos comunes.
Cuando se crea un diagrama de puntos de forma precisa, está bien organizado. ¿Cómo nos ayuda a comprender los datos organizarlos en un diagrama de puntos?
Podemos ver cuántos rectángulos tienen un área determinada o cuál es el área más común.
Podemos ver fácilmente cuál es el área más pequeña, cuál es la más grande, cuál es la más común y cuáles son la mayoría de las medidas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
ANúmero de respuestas correctas: Completa las ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
6.
BCompleta las ecuaciones.
Progreso:
1. Pablo halla el área de algunos rectángulos en pulgadas cuadradas. Hace un diagrama de puntos para mostrar los datos.
Área (pulgadas cuadradas) Área de los rectángulos
a. ¿El área de cuántos rectángulos halló Pablo? 16
b. ¿Cuántos de los rectángulos de Pablo tienen un área menor que o igual a 30 pulgadas cuadradas?
5
c. ¿Cuántos de los rectángulos de Pablo tienen un área de al menos 32 pulgadas cuadradas? 11
d. ¿Cuál es el área más frecuente? ¿Cómo lo sabes? El área más frecuente es 32 pulgadas cuadradas. Lo sé porque tiene la mayor cantidad de X en el diagrama de puntos.
e. Pablo usa pulgadas cuadradas para formar otro rectángulo. El nuevo rectángulo tiene una longitud de 7 pulgadas y un ancho de 6 pulgadas. ¿Cómo debería cambiar Pablo su diagrama de puntos si quisiera marcar el área de este nuevo rectángulo? Pablo necesitaría que el diagrama de puntos llegue hasta 42, porque el área del nuevo rectángulo es 42 pulgadas cuadradas.
2. La clase de la maestra Díaz forma figuras usando unidades cuadradas. La maestra Díaz registra el área de cada figura.
EUREKA MATH2
Nombre
a. Usa los datos para crear un diagrama de puntos.
f. Liz está ausente el día que la clase forma las figuras. Liz forma una figura al día siguiente. ¿En qué parte del diagrama de puntos marcaría Liz el área de su figura? ¿Por qué?
× × × Área de las figuras de la clase de la maestra Díaz
Título: 15 16 17 20 21 18 19 22 23 24
Área (unidades cuadradas)
b. ¿Cuántas figuras tienen un área de al menos 20 unidades cuadradas?
c. ¿Cuántas figuras tienen un área menor que 18 unidades cuadradas?
d. ¿Cuál es el área más frecuente? ¿Cómo lo sabes?
El área más frecuente es 21 unidades cuadradas. Lo sé porque tiene la mayor cantidad de X en el diagrama de puntos.
e. Jayla dice que 5 figuras tienen un área que es más grande que el área de su figura. ¿Cómo se muestra esa información en el diagrama de puntos?
La figura de Jayla tiene un área de 20 unidades cuadradas. Si observo las áreas que son más grandes que 20 unidades cuadradas, veo 5 X.
Cada representa 1 unidad cuadrada.
Liz marcaría el área de su figura entre 21 unidades cuadradas y 22 unidades cuadradas. Su figura está formada por 21 cuadrados unitarios y parte de otro cuadrado unitario.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
ectángulo
igura
igura
igura
igura
Área: 11 cm cuad .
Área: 14 cm cuad.
Título:
cuadrados)
Área (centímetros
Figura Área (cm cuad.)
Aplicar los conceptos de área para completar una tarea de varias partes
Iván quiere colocar un sendero de baldosas alrededor de su piscina. El área sombreada muestra el sendero.
20 pies
16 pies
10 pies 8 pies
a. ¿Cuántos pies cuadrados de baldosas necesita Iván?
20 × 10 = 200
16 × 8 = (10 × 8) + (6 × 8) = 80 + 48 = 128
200 − 128 = 72
Iván necesita 72 pies cuadrados de baldosas.
b. Iván tiene 50 pies cuadrados de baldosas. Cada caja de baldosas cubre 10 pies cuadrados. ¿Cuántas cajas de baldosas necesita comprar Iván para cubrir el resto del sendero? ¿Cómo lo sabes?
72 − 50 = 22
22 = 10 + 10 + 2
Iván necesita comprar 3 cajas de baldosas. Dos cajas no son suficientes para completar el sendero. Necesita parte de una tercera caja.
Vistazo a la lección
La clase resuelve problemas del mundo real que involucran la longitud, el ancho y el área de rectángulos. Determinan qué información es relevante para el problema, incluyendo cuándo hallar el área y cuándo usar las longitudes de los lados.
Preguntas clave
• ¿Cuándo usamos el área para resolver un problema que involucra rectángulos? ¿Cuándo usamos las longitudes de los lados para resolver un problema que involucra rectángulos?
• ¿Por qué la solución de un problema verbal a veces puede ser diferente del número que hallamos usando ecuaciones?
Criterios de logro académico
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos. (3.MD.C.7.b)
3.Mód4.CLA8 Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas. (3.MD.C.7.d)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Acomodar un rectángulo dentro de otro rectángulo
• Descomponer el área
• Compartir, comparar y conectar
• Organizar rectángulos en un rectángulo más grande
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la división y la multiplicación
La clase completa una ecuación de división usando una ecuación de multiplicación relacionada para adquirir fluidez con la estrategia del módulo 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 36 ÷ 6 = .
Escriban una ecuación de multiplicación relacionada que les ayude a completar la ecuación de división.
Muestre la ecuación de ejemplo: 6 × 6 = 36.
Escriban la ecuación de división y complétenla.
Muestre la ecuación de división completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
36 ÷ 6 = 6 6 × 6 = 36
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, 8 × 6 = 48 es una ecuación de multiplicación relacionada que ayudaría a completar la ecuación de división 48 ÷ 6 = .
Respuesta a coro: Hallar el área
La clase halla el área de un rectángulo en unidades cuadradas como preparación para aplicar los conceptos de área cuando completan una tarea de varias partes.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el rectángulo cubierto con fichas cuadradas que tiene un área de 20 unidades cuadradas.
Cada cuadrado representa 1 unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo cubierto con fichas cuadradas?
20 unidades cuadradas
Muestre la respuesta: 20 unidades cuadradas.
Muestre el rectángulo sombreado.
¿Cuál es el área del rectángulo sombreado?
6 unidades cuadradas
Muestre la respuesta: 6 unidades cuadradas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
16 unidades cuadradas
unidades cuadradas
6 unidades cuadradas
20 unidades cuadradas
12 unidades cuadradas 28 unidades cuadradas
30 unidades cuadradas
24
Presentar
La clase usa el área de un rectángulo para resolver un problema del mundo real.
Pida a sus estudiantes que vayan al plano de planta en sus libros y lea las primeras dos oraciones a coro con la clase.
Dé 1 minuto para que sus estudiantes analicen el plano de planta.
¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?
Los muebles cubren algunos de los cuadrados de la cuadrícula. Me pregunto qué tan grande es la habitación.
Los muebles están contra las paredes. Hay un espacio vacío en el centro de la habitación.
Me pregunto si muestra todo lo que pondrá en la habitación.
El plano de planta no muestra lo que está en las paredes, como las ventanas y las puertas.
Me pregunto qué hay en las paredes.
Lea el problema 1 a coro con la clase.
Amy quiere hacer cambios en su sala de estar. Amy dibuja un plano de planta de su sala de estar en papel cuadriculado.
Cada representa 1 pie cuadrado.
Chimenea
Sofá Mesa Mesa
Librero
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Amy quiere colocar baldosas en el piso de la sala de estar. Cada baldosa tiene un área de 1 pie cuadrado. Amy compra 230 baldosas.
El área de la sala de estar es 240 pies cuadrados, pero la chimenea ocupa 12 pies cuadrados, entonces, Amy solo necesita 228 baldosas. Compró 230 baldosas. Tiene suficientes.
Hallé el área de la habitación multiplicando 12 por 10 y, luego, duplicando el producto para hallar 12 × 20. Luego, resté el área del piso que está cubierta por la chimenea, porque Amy no necesita colocar baldosas debajo de ella.
¿Qué es lo que sabemos?
Amy compra 230 baldosas que tienen un área de 1 pie cuadrado cada una.
¿Qué información desconocemos?
Desconocemos si Amy tiene suficientes baldosas para cubrir el piso.
¿El problema nos da toda la información necesaria para resolverlo? ¿Qué más necesitamos saber?
No. Necesitamos saber el área de la habitación.
¿Qué podemos usar como ayuda para hallar el área de la habitación?
Podemos usar la cuadrícula del plano de planta como ayuda para hallar el área.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando determina qué información es relevante al resolver un problema del mundo real que involucra la longitud, el ancho y el área de rectángulos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué información o datos son necesarios para averiguar cuántas baldosas necesita Amy para el piso de su sala de estar?
• ¿Cuál es su plan para resolver el problema?
Guíe a sus estudiantes para que digan que las baldosas deben cubrir la habitación entera, incluyendo el espacio debajo de los muebles, pero no debajo de la chimenea, haciendo las siguientes preguntas.
Pensemos en qué parte de la habitación irían las baldosas. ¿Colocaríamos baldosas debajo del sofá? ¿Por qué?
Sí. El sofá y los otros muebles se pueden mover a diferentes puntos de la habitación, entonces, necesitamos cubrir todo el piso. No queremos dejar espacios del piso sin cubrir.
¿Colocaríamos baldosas debajo de la chimenea? ¿Por qué?
No. La chimenea no se puede mover. No necesitaríamos colocar baldosas debajo de ella.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema 1. Recorra el salón de clases mientras trabajan y escuche las conversaciones.
Elija a dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a las parejas de estudiantes a registrar su razonamiento y compartirlo con todo el grupo. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre el uso de diferentes estrategias para hallar el área.
Cada fila tiene 20 cuadrados. Contamos salteado de 20 en 20 doce veces y, luego, restamos los 12 pies cuadrados del piso que cubre la chimenea. El área es 228 pies cuadrados. Amy necesita 228 baldosas; entonces, compró suficientes.
La habitación mide 20 pies de largo y 12 pies de ancho. Dibujamos un modelo de área y separamos el lado largo en 10 y 10. Luego, hallamos 2 × (12 × 10) = 240. Contamos salteado de 2 en 2 para hallar el área que cubre la chimenea y restamos 12 de 240. 240 − 12 = 228; entonces, el área es 228 pies cuadrados. Amy compró suficientes baldosas.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre la longitud, el ancho y el área de los rectángulos para resolver problemas.
Aprender
Acomodar un rectángulo dentro de otro rectángulo
La clase usa la longitud y el ancho de rectángulos para resolver un problema del mundo real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase. Indíqueles que trabajen en parejas para resolverlo. Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su razonamiento con la clase.
Elija ejemplos de trabajo de sus estudiantes que consideren y que no consideren que los límites de la alfombra deben caber entre el sofá y el librero de modo que no quede parte de la alfombra bajo los muebles ni más allá de los extremos del librero.
2. Amy quiere una alfombra que quepa entre el sofá y el librero.
La alfombra no debe quedar bajo ninguno de los muebles ni llegar más allá de los extremos del librero.
¿Qué alfombra debería comprar Amy? ¿Por qué?
Amy debería comprar la alfombra B, porque hay 7 pies entre el sofá y el librero. La alfombra B es la única que tiene una longitud del lado menor que 7 pies.
Guíe una conversación de toda la clase invitando a las parejas a registrar su razonamiento y compartirlo con todo el grupo. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que considere que los límites de la alfombra deben caber entre el sofá y el librero de modo que no quede parte de la alfombra bajo ninguno de los muebles ni más allá de los extremos del librero.
El espacio entre el sofá y el librero es 7 pies. La única alfombra que tiene un lado que mide menos de 7 pies es la alfombra B. Las otras alfombras son demasiado grandes para caber en el espacio. Amy debería comprar la alfombra B.
Considere presentar el siguiente razonamiento en el que se selecciona de manera incorrecta la alfombra C.
Escuché a alguien decir que Amy puede comprar la alfombra B o la alfombra C.
El espacio entre el librero y el sofá forma un rectángulo que mide 12 pies de largo y 7 pies de ancho. 12 × 7 = 84, entonces, una alfombra que tiene un área de 84 pies cuadrados o menos cabrá en ese espacio.
La alfombra A es demasiado grande. La alfombra B cabrá. La alfombra C también cabrá. Entonces, Amy puede comprar la alfombra B o la alfombra C.
Guíe una conversación acerca del error de elegir la alfombra C. Para ello, invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para que identifiquen el error.
12 × 7 = 84
Alfombra A: 9 × 12 = 108
Alfombra B: 5 × 8 = 40
Alfombra C: 8 × 10 = 80
Las áreas del espacio y las alfombras no son importantes en este problema. Hallar el área de cada alfombra no nos indica qué alfombra cabrá.
La longitud y el ancho de la alfombra deben caber en la longitud y el ancho del espacio.
La alfombra C es demasiado larga, entonces, no cabrá.
La alfombra C es demasiado larga. La alfombra B es la única que tiene una longitud y un ancho que cabrán en el espacio entre el sofá y el librero de modo que no quede parte de la alfombra bajo ninguno de los muebles ni más allá de los extremos del librero.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué, en este problema, las longitudes de los lados del rectángulo eran más importantes que el área.
Nota para la enseñanza
Mientras recorre el salón de clases, considere pedir a sus estudiantes que dibujen en el plano de planta la alfombra que seleccionaron. Dibujar la alfombra podría ayudarles a identificar y corregir errores. Por ejemplo, quienes hayan seleccionado incorrectamente la alfombra C por considerar el área en vez de la longitud y el ancho, observarán que la alfombra no cabe entre el sofá y el librero.
Considere invitar a quienes hayan cometido un error a describir al resto de la clase su estrategia, el error y cómo lo corrigieron.
Diferenciación: Desafío
Considere presentar el plano de planta sin la cuadrícula y preguntar a sus estudiantes cómo hallar el espacio disponible para la alfombra sin la cuadrícula.
Chimenea
Sofá Mesa Mesa
Descomponer el área
La clase descompone el área para resolver un problema del mundo real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y lea el problema a coro con la clase. Pídales que trabajen en parejas para resolver el problema.
3. Amy quiere colocar baldosas de piedra en el frente de la chimenea. Hace un dibujo de la pared y la chimenea.
4 pies 6 pies 4 pies 2 pies
Cada caja de baldosas de piedra cubre 10 pies cuadrados. ¿Cuántas cajas de baldosas de piedra necesita comprar Amy?
4 × 6 = 24; 2 × 4 = 8, 24 − 8 = 16
Amy necesita comprar 2 cajas de baldosas de piedra. Le sobrarán baldosas, pero 1 caja no es suficiente para cubrir todo el frente de la chimenea.
Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que usen diferentes estrategias para hallar el área total cubierta por las baldosas de piedra.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el contexto de este problema, brinde información acerca de cómo cubrir el frente de una chimenea con baldosas. Para ello, muestre a la clase imágenes de chimeneas que tengan baldosas a su alrededor.
Los ejemplos de trabajo demuestran dos estrategias posibles: sumar para hallar el área y restar para hallar el área.
Descomponer para hallar el área y, luego, sumar
16 pies cuadrados
1 caja de baldosas de piedra cubre as cu 10 pies cuadrados. s. 10 + 10 = 20
2 cajas de baldosas de piedra cubren 20 pies cuadrados. Amy necesita comprar esit 2 cajasjas.
Multiplicar y restar para hallar el área y, luego, descomponer
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte las soluciones del problema 3 y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a las parejas que seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de una determinada manera los trabajos que se compartieron con toda la clase desde las estrategias pictóricas hasta las estrategias abstractas.
A medida que cada pareja comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre la estrategia que usaron para resolver el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.
Descomponer para hallar el área y, luego, sumar (método de Carla y Jayla)
Carla y Jayla, háblennos de su dibujo. Dibujamos la chimenea y la descompusimos en rectángulos.
¿Quién puede explicar cómo Carla y Jayla hallaron el área total?
Hallaron el área de cada uno de los rectángulos pequeños y, luego, las sumaron para obtener 16 pies cuadrados.
¿Cuántas cajas de baldosas de piedra necesita Amy? ¿Cómo muestra eso la estrategia de Carla y Jayla?
16 pies cuadrados
1 caja de baldosas de piedra cubre as cu 10 pies cuadrados. s.
10 + 10 = 20
2 cajas de baldosas de piedra cubren 20 pies cuadrados. Amy necesita comprar esit rar 2 cajasjas.
Amy necesita 2 cajas de baldosas de piedra. 1 caja no es suficiente. 2 cajas es más de lo que necesita, pero necesita parte de la segunda caja. Carla y Jayla usaron ecuaciones para mostrar que el área es 16 pies cuadrados y que 2 cajas cubren 20 pies cuadrados.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Carla y Jayla.
Pídales que se reúnan y conversen acerca de por qué, en este problema, el área del rectángulo era importante.
Multiplicar y restar para hallar el área y, luego, descomponer (método de Gabe y Casey)
Gabe y Casey, cuéntennos sobre su estrategia.
Multiplicamos para hallar el área de la chimenea entera y el área de la parte que no cubrirán las baldosas de piedra. Luego, restamos para hallar el área de la parte que cubrirán las baldosas de piedra. Pensamos en cuántas cajas de baldosas de piedra se necesitarían para cubrir el área alrededor de la chimenea.
¿Cuál es el área de la parte de la chimenea que estará cubierta por baldosas de piedra? ¿Dónde ven el área en el trabajo de Gabe y Casey?
16 pies cuadrados. 16 es la respuesta en la ecuación 24 − 8 = 16 y es el total en el vínculo numérico.
¿Por qué Gabe y Casey descompusieron 16 en una parte de 10 y una parte de 6?
Cada caja de baldosas de piedra cubre 10 pies cuadrados, entonces, necesitan saber cuántas decenas hay en 16. Hay 1 decena en 16 y sobran 6.
¿De qué modo se muestra la solución del problema en el vínculo numérico?
necesita comprar r 2 cajas.
El total está dividido en dos partes, 10 y 6, entonces, necesita 2 cajas de baldosas de piedra.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Gabe y Casey.
Organizar rectángulos en un rectángulo más grande
La clase hace suposiciones para resolver un problema del mundo real que involucra el área.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y lea el problema a coro con la clase. Asegúrese de que sus estudiantes observen que la leyenda es diferente de las leyendas de los problemas anteriores. Guíe una conversación breve acerca de qué necesitarían considerar para organizar los
cuadros de otra manera. Anime a sus estudiantes a que piensen en cuadros que hayan visto colgados en paredes y a que lleguen a un acuerdo con su pareja de trabajo respecto de preguntas como las siguientes:
• ¿Suele ser importante la orientación de un cuadro o podemos rotarlos?
• ¿Debería haber espacio entre los cuadros o pueden estar pegados, uno junto al otro?
• ¿Debería haber espacio entre la parte superior de los cuadros y el techo y entre la parte inferior de los cuadros y los muebles o pueden estar tocando el techo o los muebles?
Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema 4. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a dos o tres parejas para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
4. Amy cuelga cuadros en una sección de la pared sobre la chimenea.
Cuadro C
Cuadro A Cuadro B
Cuadro D
Cada representa 1 pulgada cuadrada.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar una copia adicional de la pared de Amy para que sus estudiantes recorten los cuadros A a D. Luego, pueden colocar los cuadros sobre la cuadrícula vacía, ordenados de diferentes maneras, antes de dibujarlos.
Considere proporcionarles lápices de colores como apoyo para crear un código de colores de los cuadros en la cuadrícula, según la distribución dada en el problema 4.
Usa la cuadrícula para mostrar una manera diferente en que Amy puede colgar los cuadros.
Ejemplo:
Cuadro D
Cuadro A
Cuadro B
Cuadro C
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a las parejas de estudiantes a mostrar sus dibujos y compartir sus razonamientos con todo el grupo. Registre los razonamientos. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre cómo las parejas aplicaron los criterios que determinaron que eran importantes para resolver el problema.
Queríamos dejar más espacio vacío a los lados de la pared, entonces, pusimos el cuadro A sobre el cuadro C y el cuadro D sobre el cuadro B. La sección de la pared mide 38 pulgadas de ancho. Para que los cuadros estén uno al lado del otro, con una distancia de 2 pulgadas entre ellos, se necesita un espacio de 24 pulgadas de ancho. 38 − 24 = 14, entonces, dejamos 7 pulgadas de espacio vacío a cada lado de la cuadrícula.
No queríamos rotar los cuadros y queríamos colgarlos en orden del más alto al más bajo. Caben con 1 pulgada de espacio entre ellos.
Decidimos que podíamos colgar de costado los cuadros A y C, entonces, los rotamos. Movimos el cuadro D hacia arriba de modo que las partes de arriba y de abajo de los cuadros C y D quedaran alineadas con el cuadro B.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué, en este problema, las longitudes de los lados de los rectángulos eran más importantes que las áreas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar los conceptos de área para completar una tarea de varias partes
Reúna a la clase y guíe una conversación acerca de cómo aplicar los conceptos de área para resolver problemas.
¿Cuándo usamos el área para resolver un problema que involucra rectángulos? ¿Cuándo usamos las longitudes de los lados para resolver un problema que involucra rectángulos?
Cuando el problema trata de cuánto espacio ocupa el rectángulo, probablemente el área sea importante.
Cuando el problema trata de cómo cabe el rectángulo en un espacio determinado, probablemente las longitudes de los lados sean importantes.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1(a) y 1(b) del Grupo de problemas. Indíqueles que comparen las soluciones de las ecuaciones con las soluciones de los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes puedan autoevaluar su progreso al responder las siguientes preguntas:
• ¿Probaron estrategias nuevas? ¿Qué les parecieron?
• ¿Necesitaron apoyo en algún momento durante la lección de hoy? ¿Cómo lo manejaron?
¿Por qué la solución de un problema verbal a veces puede ser diferente del número que hallamos usando ecuaciones?
A veces, la pregunta del problema verbal es diferente de lo que representan las ecuaciones. En el problema 1(b), la pregunta era acerca de cajas de baldosas, pero la ecuación era solo sobre las baldosas, no las cajas.
A veces, la respuesta de la ecuación no tiene sentido en la vida real. En el problema 1(b), sabía que Luke necesitaba 16 baldosas más, pero el problema decía que las baldosas solo venían en cajas de 10, no de 16 o 6.
¿Cómo se relacionan los problemas de hoy con otros problemas que han resuelto anteriormente? ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?
Los problemas son parecidos a otros problemas que hemos resuelto porque usé la longitud, el ancho y el área de rectángulos para hallar las respuestas. Los problemas son diferentes de otros problemas que hemos resuelto porque tuve que pensar en qué representaba el rectángulo en una situación de la vida real.
¿Qué estrategias usaron que ya conocían?
Dibujé matrices como ayuda para ver el rectángulo.
Usé estrategias de multiplicación para hallar algunas de las respuestas.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver los problemas 1 y 2.
1. Luke dibuja un plano de planta de su dormitorio en papel cuadriculado.
a. Luke quiere colocar baldosas en el piso del dormitorio. Cada baldosa tiene un área de 1 pie cuadrado. ¿Cuántas baldosas necesita Luke?
14 × 9 = (10 + 4) × 9 = 126
Luke necesita 126 baldosas.
b. Luke tiene 110 baldosas.
Cada representa 1 pie cuadrado
Cada caja de baldosas cubre 10 pies cuadrados. ¿Cuántas cajas de baldosas necesita comprar Luke para cubrir el resto del piso? ¿Cómo lo sabes?
126 − 110 = 16
16 = 10 + 6
Luke necesita comprar 2 cajas de baldosas. Una caja no es suficiente. Necesita parte de una segunda caja.
2. Luke quiere pintar una pared. Para ello, mide la pared.
8 pies
14 pies
Luke compra 2 latas de pintura. Cada lata de pintura cubre 100 pies cuadrados. Entonces, pinta la pared. ¿Cuántos pies cuadrados más de pared podría cubrir Luke con la pintura que le queda?
14 × 8 = (10 + 4) × 8 = 112
200 − 112 = 88
Luke podría pintar 88 pies cuadrados más.
GRUPO DE PROBLEMAS
Nombre
3. Usa la cuadrícula para mostrar una manera diferente en que Luke puede colocar los muebles.
Cada representa 1 pie cuadrado
4. Luke quiere colgar un afiche en la pared sobre su cama. ¿Qué afiche debería comprar Luke? ¿Por qué?
pies
pies Pared
Luke debería comprar el afiche B. El afiche A no cabe al lado de la ventana porque es muy ancho.
Ejemplo:
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Razonan usando las figuras geométricas y sus atributos.
3.G.A.1 Comprenden que las figuras geométricas en diferentes categorías (por ejemplo, rombos, rectángulos y otros) pueden compartir atributos (por ejemplo, tener cuatro lados), y que los atributos compartidos pueden definir una categoría más amplia (por ejemplo, cuadriláteros). Reconocen los rombos, los rectángulos, y los cuadrados como ejemplos de cuadriláteros, y dibujan ejemplos de cuadriláteros que no pertenecen a ninguna de estas sub-categorías.
Medición geométrica: comprenden conceptos de área y relacionan el área con la multiplicación y la suma.
3.MD.C.5 Reconocen el área como un atributo de las figuras planas, y comprenden los conceptos de medición del área.
a. Un cuadrado cuyos lados miden 1 unidad, se dice que tiene “una unidad cuadrada” de área y puede utilizarse para medir el área.
b. Una figura plana que se puede cubrir sin espacios ni superposiciones por n unidades cuadradas se dice tener un área de n unidades cuadradas.
3.MD.C.6 Miden áreas al contar unidades cuadradas (centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas).
3.MD.C.7 Relacionan el área con las operaciones de multiplicación y suma.
a. Hallan el área de un rectángulo cuyas longitudes laterales son números enteros al rellenarla con unidades cuadradas, y demuestran que el área que resulta es igual a la que se encontraría al multiplicar las longitudes laterales.
b. Multiplican longitudes laterales para encontrar el área de rectángulos cuyas longitudes laterales son números enteros dentro del contexto de resolver problemas matemáticos y del mundo real, y representan productos de números enteros como áreas rectangulares en razonamiento matemático.
c. Utilizan fichas cuadradas para demostrar concretamente que el área de un rectángulo cuyas longitudes laterales son números enteros a y b + c, es la suma de a × b y a × c. Utilizan modelos de área para representar la propiedad distributiva en el razonamiento matemático.
d. Reconocen que las áreas se pueden sumar. Hallan áreas de figuras rectilíneas al descomponerlas en rectángulos no superpuestos y al sumar las áreas de las partes no superpuestas, aplican esta técnica para resolver problemas del mundo real.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
3.Mód4.CLA1 Reconocen que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud y relacionan la longitud de los lados con el número de fichas cuadradas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS
3.G.A.1 Comprenden que las figuras geométricas en diferentes categorías ( por ejemplo, rombos, rectángulos y otros ) pueden compartir atributos ( por ejemplo, tener cuatro lados ) , y que los atributos compartidos pueden definir una categoría más amplia (por ejemplo, cuadriláteros). Reconocen los rombos, los rectángulos, y los cuadrados como ejemplos de cuadriláteros, y dibujan ejemplos de cuadriláteros que no pertenecen a ninguna de estas sub-categorías.
3.MD.C.5 Reconocen el área como un atributo de las figuras planas, y comprenden los conceptos de medición del área.
Reconocen que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud.
Usa las longitudes de los lados conocidas para rotular las longitudes de los lados desconocidas del rectángulo.
Relacionan la longitud de los lados de rectángulos con el número de fichas cuadradas.
Casey usa fichas cuadradas de un centímetro para hallar las longitudes de los lados de un rectángulo. Se muestra parte de su modelo. Rotula las longitudes de los lados del rectángulo. cm
3.Mód4.CLA2 Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS
3.MD.C.5 Reconocen el área como un atributo de las figuras planas, y comprenden los conceptos de medición del área.
3.MD.C.5.a Un cuadrado cuyos lados miden 1 unidad, se dice que tiene “una unidad cuadrada” de área y puede utilizarse para medir el área.
3.MD.C.5.b Una figura plana que se puede cubrir sin espacios ni superposiciones por n unidades cuadradas se dice tener un área de n unidades cuadradas.
Parcialmente competente
Reconocen que el área de una figura plana puede hallarse cubriendo la figura con cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones.
¿Qué figura muestra cómo medir correctamente el área del rectángulo?
representa 1 unidad cuadrada.
Competente
Reconocen que el área se puede medir usando cuadrados unitarios y que una figura plana cubierta con n cuadrados unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un área de n unidades cuadradas.
¿Qué figuras tienen un área de 9 unidades cuadradas?
representa 1 unidad cuadrada.
Selecciona las dos respuestas correctas.
Altamente competente
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
3.Mód4.CLA3 Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.6 Miden áreas al contar unidades cuadradas (centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas).
Miden áreas de figuras rectilíneas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas.
¿Cuál es el área de la figura sombreada?
Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 metro cuadrado.
Miden áreas contando cuadrados unitarios, incluidos centímetros cuadrados, metros cuadrados, pulgadas cuadradas, pies cuadrados y unidades improvisadas.
¿Cuál es el área de la figura sombreada?
Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 pie cuadrado.
Crean figuras con la misma área y comparan áreas de figuras.
Parte A
¿Cuál es el área de la figura sombreada?
Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 pulgada cuadrada.
pies cuadrados
metros cuadrados
pulgadas cuadradas
Parte B
Dibuja una figura diferente que tenga la misma área que la figura de la parte A.
Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 pulgada cuadrada.
Parte C
Oka dice que el rectángulo que se muestra tiene la misma área que la figura de la parte A. ¿Está en lo correcto? Explica.
Cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 pie cuadrado.
4 pies
2 pies
3.Mód4.CLA4 Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.a Hallan el área de un rectángulo cuyas longitudes laterales son números enteros al rellenarla con unidades cuadradas, y demuestran que el área que resulta es igual a la que se encontraría al multiplicar las longitudes laterales.
Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros.
Completa la matriz. Luego, cuenta salteado para hallar el área del rectángulo.
Cada cuadrado representa 1 centímetro cuadrado.
Hallan, con la ayuda de fichas cuadradas, el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros y demuestran que el área es igual al producto de las longitudes de los lados.
Parte A
Completa la matriz. Luego, cuenta salteado para hallar el área del rectángulo.
Cada cuadrado representa 1 centímetro cuadrado.
Explican la relación entre una matriz rectangular y un modelo de área.
Explica cómo una matriz puede ayudarte a hallar el área del rectángulo que se muestra.
7 unidades
4 unidades
centímetros cuadrados
centímetros cuadrados
Parte B
Rotula las longitudes de los lados. Luego, escribe una ecuación para mostrar el área del rectángulo. Halla el área.
Ecuación: × =
Área: centímetros cuadrados
Parte C
¿El área que hallaste en la parte A coincide con el área que hallaste en la parte B? Explica.
3.Mód4.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.b Multiplican longitudes laterales para encontrar el área de rectángulos cuyas longitudes laterales son números enteros dentro del contexto de resolver problemas matemáticos y del mundo real, y representan productos de números enteros como áreas rectangulares en razonamiento matemático.
Parcialmente competente Competente
Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos dado un modelo pictórico que incluye una matriz.
Carla quiere cubrir el piso de su clóset con alfombra. El clóset rectangular mide 4 pies por 8 pies. ¿Cuál es el área del piso? pies cuadrados
Resuelven problemas matemáticos y del mundo real relacionados con áreas de rectángulos, con o sin un modelo de área.
Carla quiere cubrir el piso de su clóset con alfombra. El clóset rectangular mide 4 pies por 8 pies. ¿Cuál es el área del piso?
8 pies 4 pies pies cuadrados
Altamente competente
3.Mód4.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.c Utilizan fichas cuadradas para demostrar concretamente que el área de un rectángulo cuyas longitudes laterales son números enteros a y b + c, es la suma de a × b y a × c. Utilizan modelos de área para representar la propiedad distributiva en el razonamiento matemático.
Aplican la propiedad distributiva para identificar expresiones equivalentes del área de un rectángulo.
¿Qué expresiones puedes usar para hallar el área del rectángulo?
Cada cuadrado representa 1 unidad cuadrada.
Selecciona las dos respuestas correctas.
Aplican la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos.
Sombrea el rectángulo para dividirlo en dos rectángulos más pequeños. Luego, completa las ecuaciones para hallar el área total del rectángulo grande. Cada cuadrado representa 1 unidad cuadrada.
Explican cómo usar la propiedad distributiva para hallar el área de rectángulos.
Dibuja un modelo y explica cómo puedes usar la expresión (10 × 5) + (2 × 5) para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de 12 unidades y 5 unidades.
A. 4 × 11
B. 4 × 5 × 6
C. 4 × (5 + 6)
D. (4 × 5) × (4 × 6)
4 × = 4 × ( + )
= (4 × ) + (4 × ) = +
Área:
3.Mód4.CLA7 Calculan las áreas de figuras compuestas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.d Reconocen que las áreas se pueden sumar. Hallan áreas de figuras rectilíneas al descomponerlas en rectángulos no superpuestos y al sumar las áreas de las partes no superpuestas, aplican esta técnica para resolver problemas del mundo real.
Parcialmente competente
Descomponen figuras compuestas en rectángulos que no se superponen y rotulan cada una de las longitudes de los lados.
Traza una línea para mostrar cómo descomponer la figura en dos rectángulos. Luego, rotula las longitudes de los lados de cada rectángulo.
Competente
Calculan las áreas de figuras compuestas.
Halla el área de la figura.
2 pulg 2 pulg
3 pulg 8 pulg 5 pulg
Área:
Altamente competente
3.Mód4.CLA8 Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.MD.C.7.d Reconocen que las áreas se pueden sumar. Hallan áreas de figuras rectilíneas al descomponerlas en rectángulos no superpuestos y al sumar las áreas de las partes no superpuestas, aplican esta técnica para resolver problemas del mundo real.
Parcialmente competente
Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas dado un modelo pictórico que incluye una matriz.
El piso del comedor del Sr. Davis mide 8 pies de ancho y 10 pies de largo. El Sr. Davis coloca una alfombra que mide 4 pies de ancho y 6 pies de largo. ¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
Cada cuadrado representa 1 pie cuadrado.
Competente
Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas dado un modelo pictórico sin una matriz.
El piso del comedor del Sr. Davis mide 8 pies de ancho y 10 pies de largo. El Sr. Davis coloca una alfombra que mide 4 pies de ancho y 6 pies de largo. ¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
Altamente competente
Resuelven problemas verbales que involucran áreas de figuras compuestas sin un modelo pictórico.
El piso del comedor del Sr. Davis mide 8 pies de ancho y 10 pies de largo. El Sr. Davis coloca una alfombra que mide 4 pies de ancho y 6 pies de largo. ¿Cuál es el área del piso que la alfombra no cubre?
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 4 de 3.er grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
ancho
El ancho de un rectángulo es cualquiera de las dos longitudes diferentes de sus lados (generalmente, la más corta). La longitud del otro lado se llama longitud. (Lección 9)
área
El área de una figura geométrica es la cantidad de espacio plano que ocupa. (Lección 2)
centímetro cuadrado
El centímetro cuadrado es una unidad para medir el área. Se define 1 centímetro cuadrado como el área de un cuadrado cuyas longitudes de los lados miden 1 centímetro. (Lección 4)
cuadrado unitario
Un cuadrado unitario es un cuadrado cuyas longitudes de los lados miden 1 unidad. (Lección 7)
longitud
La longitud de un rectángulo es cualquiera de las dos longitudes diferentes de sus lados (generalmente, la más larga). La longitud del otro lado se llama ancho. (Lección 9)
longitud del lado
La longitud del lado es la longitud de uno de los lados de un polígono. (Lección 4)
modelo de área
Un modelo de área es un rectángulo que representa un espacio plano, o área. (Lección 8)
Los modelos de área no muestran una cuadrícula dentro del rectángulo. Las matrices, sí.
pulgada cuadrada
La pulgada cuadrada es una unidad para medir el área. Se define 1 pulgada cuadrada como el área de un cuadrado cuyas longitudes de los lados miden 1 pulgada. (Lección 4)
unidad cuadrada
La unidad cuadrada es una unidad para medir el área. Se define 1 unidad cuadrada de área como el área de un cuadrado cuyas longitudes de los lados miden 1 unidad. (Lección 2)
Conocido
ángulo recto atributo
cuadrado cuadrilátero
diagrama de puntos matriz
paralelo, paralela
polígono rectángulo separar y distribuir trapecio
Verbos académicos
En el módulo 4 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 3.er grado.
Las matemáticas en el pasado
¿Eureka Math tiene 4,000 años de antigüedad?
¿En la antigua Babilonia ya descomponían rectángulos y cuadrados en triángulos?
¿Hallaban las áreas de rectángulos y cuadrados dentro de figuras rectilíneas más grandes?
¿Usaban diagramas para ilustrar sus cálculos?
En un museo de Gran Bretaña hay una tablilla babilónica de arcilla que data de alrededor de 1900 a 1600 a. e. c. Muestre a sus estudiantes este dibujo de una parte de la tablilla. Pregúnteles qué piensan que son las tres figuras. Pregúnteles si esto parece una hoja de un libro de Eureka Math de 4,000 años de antigüedad.
La imagen muestra tres de los cuarenta problemas de geometría que contiene esta tablilla babilónica. Los problemas tratan de las áreas que se forman al descomponer cuadrados en cuadrados más pequeños
o triángulos. ¿Se parece esto un poco a lo que sus estudiantes están aprendiendo en este módulo? Debería.
Debajo de cada figura hay un recuadro que contiene… ¿qué son esas marcas extrañas? Es posible que parte de la clase suponga que es escritura babilónica.
Sí, es escritura babilónica. Son las instrucciones que indican qué calcular en las figuras. La escritura se denomina cuneiforme. Las marcas cuneiformes se hacían presionando sobre arcilla húmeda con un estilete de junco afilado en forma de cuña. No había tinta. Las marcas sobrevivieron al paso del tiempo porque la arcilla se secaba u horneaba hasta que quedaba dura como un ladrillo.
Las instrucciones están escritas en idioma acadio antiguo. Escondido en el laberinto de las marcas cuneiformes se repite varias veces el símbolo numérico , que representa 1, pero es muy difícil de distinguir. Más adelante encontrará las traducciones.
Las tres figuras son cuadrados que tienen otros cuadrados y triángulos dibujados en su interior. Originalmente, se estableció que todos los cuadrados exteriores tienen las mismas dimensiones: sus lados miden 1 cable de longitud. ¿Cuánto mide un cable babilónico? Aproximadamente 60 metros; alrededor de la mitad de la longitud de un campo de futbol americano. ¡Estos cuadrados son enormes! Si bien se usaban problemas de este estilo para practicar las matemáticas, el área se calculaba principalmente para medir campos. Es probable que estos cuadrados representaran parcelas de tierra.
Y un dato más: el pueblo babilónico no dejó muestras de cómo resolver ninguno de los problemas de esta tablilla. Es como tener tarea sin una hoja de respuestas. ¡Pero sus estudiantes pueden resolverlos!
Por el momento, haremos algunos cambios a los problemas babilónicos para adaptarlos a nuestra clase moderna. Diremos que estas figuras contienen un cuadrado con una longitud del lado de 4 pulgadas, por lo que sus áreas son iguales a 16 pulgadas cuadradas.
Comenzaremos con la figura de la derecha: la X grande dentro del recuadro.
La escritura babilónica dice lo siguiente:
Dentro [del cuadrado] dibujé 4 cuñas. ¿Cuáles son sus áreas? 1
La palabra babilónica traducida como “cuñas” significa triángulos.
Es posible que sus estudiantes observen que el cuadrado se descompone en 4 áreas iguales de 4 pulgadas cuadradas cada una. No es necesario que sepan cómo hallar el área de una cuña, solo les basta con saber que 4 cuñas forman un cuadrado entero.
La siguiente es la figura del medio.
La escritura babilónica dice lo siguiente:
Dentro [del cuadrado] dibujé un segundo cuadrado [que] toca el cuadrado exterior… ¿Cuál es su área? 2
Pida a sus estudiantes que descompongan el cuadrado interior trazando líneas que conecten las esquinas opuestas.
Esto puede ayudarles a ver que el área que deben identificar es la mitad del área del cuadrado exterior, o sea que mide 8 pulgadas cuadradas.
2
1 Traducido de Eleanor Robson, The Mathematics of Egypt, 95.
Traducido de Robson, The Mathematics of Egypt, 93.
Por último, aquí está la figura de la izquierda.
La escritura babilónica dice lo siguiente:
Dentro [del cuadrado] dibujé 8 cuñas. ¿Cuáles son sus áreas? 3
Pida a sus estudiantes que observen que esta figura muestra una forma de descomponer la figura del último problema.
La descomposición también es útil en este caso, pero tiene un objetivo diferente: calcular el área de cada una de las 8 cuñas.
El área de cada cuña es 2 pulgadas cuadradas.
En dos de estos problemas babilónicos, el del medio y el de la izquierda, debemos suponer que el cuadrado interior toca el cuadrado exterior en los puntos medios de los lados. La descripción babilónica no lo dice, pero los problemas serían demasiado difíciles si ese no fuera el caso. ¡Esos son problemas para otro día!
No es verdad que Eureka Math tenga 4,000 años de antigüedad. ¡Pero hemos visto que algunas matemáticas muy antiguas son bastante modernas!
3 Traducido de Robson, The Mathematics of Egypt, 94.
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
600 cubos interconectables de 1 cm
2 fichas cuadradas de colores de plástico, set de 400
750 fichas cuadradas de un centímetro
25 lápices
24 lápices de colores, paquete de 8
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
25 marcadores de borrado en seco
25 marcadores fluorescentes, paquete de 2 colores
8 marcadores, paquete de 8
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
140 notas adhesivas
11 papel de color, hojas
8 papel de rotafolio, hojas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
1 regla de un metro de madera
25 reglas en pulgadas y métricas
74 sobres
25 tarjetas de índice
12 tarjetas numéricas de Eureka Math®, set de 12
25 tijeras
Obras
citadas
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, and Linda Levi. Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in Elementary School. Portsmouth, NH: Heinemann, 2003.
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, Nicholas C. Johnson, Angela C. Turrou, and Anita A. Wager. Young Children’s Mathematics: Cognitively Guided Instruction in Early Childhood Education. Portsmouth, NH: Heinemann, 2017.
CAST. Universal Design for Learning Guidelines version 2.2. Retrieved from http://udlguidelines.cast.org, 2018. (all)
Clements, Douglas H. and Julie Sarama. Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach. New York: Routledge, 2014.
Common Core Standards Writing Team. Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics. Tucson, AZ: Institute for Mathematics and Education, University of Arizona, 2011–2015. https://www.math.arizona.edu/~ime/progressions/.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: A Teacher’s Guide. Portland, ME: Stenhouse, 2016.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: Playing with Shapes. Watertown, MA: Charlesbridge, 2019.
Empson, Susan B. and Linda Levi. Extending Children’s Mathematics: Fractions and Decimals. Portsmouth, NH: Heinemann, 2011.
Flynn, Mike. Beyond Answers: Exploring Mathematical Practices with Young Children. Portsmouth, NH: Stenhouse, 2017.
Fosnot, Catherine Twomey, and Maarten Dolk. Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Portsmouth, NH: Heinemann, 2001.
Franke, Megan L., Elham Kazemi, and Angela Chan Turrou. Choral Counting and Counting Collections: Transforming the PreK-5 Math Classroom. Portsmouth, NH: Stenhouse, 2018.
Hattie, John, Douglas Fisher, and Nancy Frey. Visible Learning for Mathematics, Grades K–12: What Works Best to Optimize Student Learning. Thousand Oaks, CA: Corwin Mathematics, 2017.
Huinker, DeAnn and Victoria Bill. Taking Action: Implementing Effective Mathematics Teaching Practices. Kindergarten–Grade 5, edited by Margaret Smith. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2017.
Kelemanik, Grace, Amy Lucenta, Susan Janssen Creighton, and Magdalene Lampert. Routines for Reasoning: Fostering the Mathematical Practices in All Students. Portsmouth, NH: Heinemann, 2016.
Ma, Liping. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. New York, NY: Routledge, 2010.
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Parker, Thomas and Scott Baldridge. Elementary Mathematics for Teachers. Okemos, MI: Sefton-Ash, 2004.
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Van de Walle, John A., Karen S. Karp, LouAnn H. Lovin, and Jennifer M. Bay-Williams. Teaching Student-Centered Mathematics: Developmentally Appropriate Instruction for Grades 3–5, 3rd ed. New York: Pearson, 2018.
Van de Walle, John A. Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Pearson, 2004.
Zwiers, Jeff, Jack Dieckmann, Sara Rutherford-Quach, Vinci Daro, Renae Skarin, Steven Weiss, and James Malamut. Principles for the Design of Mathematics Curricula: Promoting Language and Content Development. Retrieved from Stanford University, UL/SCALE website: http://ell.stanford.edu/content/mathematics -resources-additional-resources, 2017.
Créditos
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Exponencialmente mejor
Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.
Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.
Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más!
Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
Al pintor suizo Paul Klee le interesaba usar el color para expresar las emociones. En esta obra creó una cuadrícula, o matriz, de 35 cuadrados de colores organizados en 5 filas y 7 columnas. Aprenderemos cómo una matriz nos ayuda a comprender una figura más grande. Lo haremos observando las figuras más pequeñas en el interior. Aprender más sobre las matrices nos ayudará a identificar patrones y estructuras, que es una habilidad importante para la multiplicación y la división.
En la portada
Farbtafel “qu 1,” 1930
Paul Klee, Swiss, 1879–1940
Pastel on paste paint on paper, mounted on cardboard
