ENSEÑAR ▸ Módulo 3 ▸ Multiplicación y división con fracciones
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros
2 Suma y resta con fracciones
3 Multiplicación y división con fracciones
4
Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales
5 Suma y multiplicación con área y volumen
6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
Antes de este módulo
Módulo 4 de 4.o grado
En el módulo 4 de 4.° grado, la clase descompone una fracción no unitaria como una suma de fracciones unitarias y, luego, escribe la suma como un producto de un número entero por una fracción unitaria. Resuelven problemas verbales que incluyen la multiplicación de una fracción por un número entero y expresan las respuestas como fracciones y números mixtos.
Contenido general
Multiplicación y división con fracciones
Tema A
Multiplicación de un número entero por una fracción
La clase amplía su comprensión sobre las fracciones de partes de un entero (p. ej., 1 tercio de una figura) a partes de un conjunto o un número (p. ej., 1 tercio de un grupo de 12 elementos). Hallan fracciones de un conjunto y, luego, hacen una transición a hallar una fracción de un número entero. Aprenden que hallar una fracción de un número entero significa que están hallando el producto de una fracción y un número entero. Aplican este aprendizaje a la conversión de unidades de medida del sistema inglés.
Tema B
Multiplicación de fracciones
La clase usa modelos de área y rectas numéricas para multiplicar fracciones por fracciones unitarias y, luego, fracciones por fracciones. A lo largo del tema, razonan acerca del valor de los productos al considerar si los factores involucrados son mayores que 1 o menores que 1.
Tema C
División con fracciones unitarias y números enteros
La clase usa diagramas de cinta y rectas numéricas para dividir un número entero entre una fracción unitaria y para dividir una fracción unitaria entre un número entero. Resuelven problemas verbales que incluyen la multiplicación de fracciones y la división de números enteros y fracciones, y explican la relación entre la multiplicación y la división.
Después de este módulo
Módulo 5 de 5.o grado
En el módulo 5, sus estudiantes aprenden a hallar el área de rectángulos cuyos lados tienen longitudes que son fracciones. También se usa el contexto de área para mostrar cómo multiplicar números mixtos.
Módulo 2 de 6.o grado
En 6.° grado, la clase amplía su comprensión sobre la división relacionada con fracciones a la división de fracciones en general.
Tema D
Problemas de varios pasos con fracciones
La clase aplica su aprendizaje anterior sobre todas las operaciones con fracciones para comparar y evaluar expresiones que contienen signos de agrupación. Crean y resuelven problemas verbales relacionados con fracciones y escriben ecuaciones con paréntesis para resolver problemas verbales de muchos pasos. ?
dinero restante en palomitas de maíz. Le quedan $10. ¿Cuánto
dinero tenía Toby al principio? Toby gasta de su dinero en entradas de cine. Gasta del 2 5 1 3
Entradas de cine $10 Palomitas de maíz
Toby tenía $25 al principio. 1 × 10 × 5 = 25 2
Contenido
Multiplicación y división con fracciones
¿Por qué?
7
Criterios de logro académico: Contenido general . . . . . 10
Tema A
Multiplicación de un número entero por una fracción
Lección 1 . . .
Hallar fracciones de un conjunto con matrices
Lección 2
Interpretar fracciones como divisiones para hallar fracciones de un conjunto con diagramas de cinta y rectas numéricas
Lección 3 .
Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
Lección 4 .
Multiplicar un número entero por una fracción
Lección 5 .
Convertir unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades más pequeñas
Lección 6 . . .
Convertir unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades más grandes
Tema B
Multiplicación de fracciones
Lección 7 . . .
Multiplicar fracciones menores que 1 por fracciones unitarias de manera pictórica
15
18
36
Lección 8 . .
Multiplicar fracciones menores que 1 de manera pictórica
Lección 9 .
Multiplicar fracciones por fracciones unitarias haciendo problemas más simples
Lección 10 .
Multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones
Lección 11
Multiplicar fracciones
Tema C
54
72
90
División con fracciones unitarias y números enteros
Lección 12 .
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos
Lección 13 .
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo
152
172
110
129
132
Lección 14
Dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero
Lección 15
Dividir entre números enteros y fracciones unitarias
Lección 16
Razonar acerca del tamaño de los cocientes de números enteros y fracciones unitarias y los cocientes de fracciones unitarias y números enteros
192
210
Lección 17
Resolver problemas verbales sobre fracciones mediante la multiplicación y la división
Tema D
Problemas de varios pasos con fracciones
Lección 18
Comparar y evaluar expresiones con paréntesis
Lección 19
Crear y resolver problemas verbales de un paso relacionados con fracciones
Lección 20
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones y escribir ecuaciones con paréntesis
Lección 21
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones
Lección 22
Evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados (opcional)
Recursos Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias . . .
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado .
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Multiplicación y división con fracciones
¿Por qué son importantes en este módulo las medidas y las interpretaciones partitivas de la división?
Cuando la clase empieza a trabajar con la división en 3.er grado, aprende a interpretar el problema según el contexto. Para 12 ÷ 3 = 4, el cociente 4 puede significar el tamaño de cada grupo (p. ej., 4 canicas en 3 bolsas) o puede significar el número de grupos (p. ej., 4 bolsas, cada una con 3 canicas). Estas interpretaciones se repasan en el módulo 1 de 5.° grado, cuando la clase divide números enteros de varios dígitos. Comprender estas interpretaciones es importante para sus estudiantes porque les sirve como ayuda para entender los números en los problemas y les brinda apoyo para que razonen acerca de si las respuestas son correctas.
Cuando la clase empieza a dividir con fracciones en este módulo, comprender el significado de los números en la ecuación de división les ayuda a entender el problema y a relacionar la ecuación de división con la multiplicación. Como el cociente siempre es menor que el dividendo cuando se divide entre números enteros mayores que 1, a menudo las y los estudiantes necesitan apoyo con las divisiones entre fracciones menores que 1 porque el cociente es mayor que el dividendo. Este módulo tiene como objetivo fijar en contexto la división con fracciones unitarias. Por lo tanto, pueden razonar acerca del tamaño del cociente y el dividendo e interpretar una ecuación usando preguntas como: ¿cuántos tercios hay en 2? ¿2 es 1 _ 3 de qué número? ¿ 1 _ 3 es 2 grupos de qué cantidad?
Tenga en cuenta que la clase no debe clasificar problemas como medidas o división partitiva, sino interpretar el significado del divisor y el cociente dentro del problema.
¿Por qué se aprende a multiplicar y dividir con fracciones antes de hacerlo con números decimales?
La clase ha trabajado conceptualmente con fracciones por más tiempo que con números decimales. Al empezar kindergarten, representan fracciones de manera informal como partes de un entero (figuras) e identifican las partes iguales. En 3.er grado, el concepto de fracción se formaliza y, en 4.° grado, comienzan a trabajar en las operaciones con fracciones.
Las unidades fraccionarias de décimos y centésimos no se introducen como decimales hasta 4.° grado. Como los décimos y los centésimos son unidades de valor posicional y unidades fraccionarias, la clase usa lo que sabe sobre las fracciones para apoyar el desarrollo conceptual con decimales. Por esta razón, aprenden a multiplicar y dividir con fracciones antes de hacerlo con decimales.
En 5.° grado, se espera que la clase use paréntesis, corchetes y llaves en expresiones numéricas y que pueda evaluar expresiones que incluyan estos signos de agrupación. En la lección 22, se amplía la comprensión de la clase sobre cómo evaluar expresiones con signos de agrupación al mostrar expresiones que tienen signos de agrupación anidados. La clase lee una expresión e identifica las expresiones entre signos de agrupación como un número. Por ejemplo, en la ecuación que se muestra, leen la expresión del lado izquierdo del signo igual como 4,628 veces otro número. Luego, leen la expresión dentro de los corchetes como un número más otro número. Continúan leyendo la expresión hasta que hallan una expresión que pueda evaluarse (es decir, 3 ÷ 5) porque no es parte de otro número. Esta ampliación natural de las expectativas para 5.° grado brinda una oportunidad para que la clase practique las destrezas adquiridas recientemente sobre la suma, la resta, la multiplicación y la división con fracciones y números enteros de varios dígitos. Aprenden que estas expresiones, en apariencia complicadas, son formas diferentes de representar números. Algunas de las expresiones más complicadas con las que trabaja la clase se pueden evaluar fácilmente, lo que podría ayudarles a aceptar problemas difíciles en el futuro.
Criterios de logro académico: Contenido general
Multiplicación y división con fracciones
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los catorce CLA que se indican.
5.Mód3.CLA1
Escriben expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis.
5.OA.A.1
5.Mód3.CLA2
Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis.
5.OA.A.1
5.Mód3.CLA3
Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen fracciones.
5.OA.A.2
5.Mód3.CLA4
Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye fracciones.
5.Mód3.CLA5
Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros.
5.Mód3.CLA6
Multiplican números enteros o fracciones por fracciones.
5.NF.B.4
5.Mód3.CLA7
Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción.
5.Mód3.CLA8
Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros.
5.Mód3.CLA9
Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. 5.NF.B.5, 5.NF.B.5.b
5.Mód3.CLA10
Resuelven problemas del mundo real sobre la multiplicación de fracciones.
5.NF.B.4.a
5.NF.B.6
5.Mód3.CLA11
Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero.
5.NF.B.7.a
5.Mód3.CLA12
5.NF.B.5, 5.NF.B.5.a
Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias.
5.NF.B.7.b
5.OA.A.2
5.Mód3.CLA13
Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
5.NF.B.7.c
5.Mód3.CLA14
Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas para resolver problemas.
5.MD.A.1
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 3 de 5.° grado se codifica como 5.Mód3.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.7.c Resuelven problemas del mundo real relacionados a la división de fracciones unitarias entre números enteros distintos al cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias, por ejemplo, utilizan modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, ¿cuánto chocolate tendrá cada persona si 3 personas comparten 1 2 libra de chocolate en partes iguales?¿Cuántas porciones de 1 3 de taza hay en 2 tazas de pasas?
Parcialmente competente
Identifican expresiones numéricas que se pueden usar para resolver problemas verbales de un solo paso que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. ¿Cuántos galones de jugo hay en cada vaso?
¿Qué expresión se puede usar para resolver este problema?
Competente
Resuelven problemas verbales de un solo paso que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. ¿Cuántos galones de jugo hay en cada vaso?
Altamente competente
Resuelven problemas verbales de varios pasos que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. Luego, toma 1 de los vasos y lo reparte, en partes iguales, entre sus 3 hijos e hijas.
¿Cuántos galones de jugo recibe cada hijo o hija del Sr. Pérez?
Indicadores
Tema A
Multiplicación de un número entero por una fracción
En el tema A, la clase usa su comprensión de las fracciones como división para hallar fracciones de un conjunto y para multiplicar números enteros por fracciones.
La clase comienza usando matrices para hallar fracciones de un conjunto y, luego, usa rectas numéricas y diagramas de cinta para hallar fracciones de conjuntos. Descubren que saber la fracción unitaria de un conjunto puede ayudarles a hallar otras fracciones del conjunto cuando el denominador y el número entero del conjunto permanecen iguales. Por ejemplo, si saben cuánto es 1 5 de 10, entonces hallar 3 5 de 10 es más fácil, porque 3 5 de 10 es 3 veces 1 5 de 10.
A continuación, la clase hace conexiones entre hallar una fracción de un entero y multiplicar un número entero por una fracción (es decir, 3 5 de 10 tiene el mismo valor que 3 5 × 10). La clase continúa usando las rectas numéricas y los diagramas de cinta para hallar productos de fracciones y números enteros. Cuando la clase comienza a multiplicar números enteros por una fracción mayor que 1, recurre a los diagramas de cinta porque pueden ser más eficientes para hallar productos más grandes. Descubren que multiplicar un número entero por una fracción menor que 1 da como resultado un producto menor que el número entero, y que multiplicar un número entero por una fracción mayor que 1 da como resultado un producto mayor que el número entero.
Usan su comprensión acerca de multiplicar fracciones y números enteros para convertir entre unidades del sistema inglés. Primero, convierten unidades más grandes a unidades más pequeñas y, luego, convierten unidades más pequeñas a unidades más grandes. Con respecto a las unidades del sistema inglés, a partir del Tema A del módulo 3, la clase hace una transición importante en el uso de las abreviaturas de las unidades de longitud “pies” y “pulgadas” y las unidades de capacidad “cuartos de galón”, “tazas” y “onzas líquidas”. En este módulo, sus estudiantes comienzan a usar las abreviaturas convencionales, que son las que usarán en grados superiores.
En el tema B, la clase usa su conocimiento sobre multiplicar un número entero por una fracción para multiplicar dos fracciones.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Hallar fracciones de un conjunto con matrices
Lección 2
Interpretar fracciones como divisiones para hallar fracciones de un conjunto con diagramas de cinta y rectas numéricas 4
1 6 de 18 es 3 .
3 6 de 18 es 9 .
Puedo usar una matriz para representar un número entero y, luego, dividir la matriz en grupos iguales para hallar una fracción de un conjunto.
Cuando hallo una fracción de un conjunto, puedo usar rectas numéricas o diagramas de cinta para representar el problema. Puedo usar lo que sé acerca de hallar una fracción unitaria de un número entero para hallar otras fracciones de un número entero.
Lección 3
Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1 × ?
Sé que puedo usar la multiplicación para hallar una fracción de un número entero. Puedo multiplicar un número entero por una fracción usando rectas numéricas y diagramas de cinta.
Lección 4
Multiplicar un número entero por una fracción ?
Puedo multiplicar números enteros por fracciones menores que 1 y por fracciones mayores que 1 usando diagramas de cinta.
Lección 5
Convertir unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades más pequeñas
Lección 6
Convertir unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades más grandes
in = 11
Puedo usar lo que sé acerca de cómo multiplicar fracciones para convertir unidades de medida más grandes a unidades de medida más pequeñas. Puedo usar diagramas de cinta para comprender la relación entre las unidades. Puedo dibujar diagramas de cinta para resolver problemas del mundo real.
Puedo multiplicar una fracción por un número entero para convertir unidades más pequeñas a unidades más grandes. Puedo usar diagramas de cinta para comprender la relación entre las unidades.
Hallar fracciones de un conjunto con matrices
1. Usa la matriz para hallar 4 5 de 15 Haz líneas o dibuja recuadros para mostrar tu trabajo.
Vistazo a la lección
La clase divide matrices en grupos iguales para hallar una fracción unitaria de un conjunto. Usan lo que saben acerca del número de objetos en una unidad para hallar fracciones no unitarias de un conjunto. En esta lección se presenta el verbo académico demostrar.
Pregunta clave
• ¿Es útil usar una matriz para hallar una fracción de un conjunto? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
4 5 de 15 es 12
2. Yuna lee 20 libros durante el verano. 3 4 de los libros que lee son de ficción. ¿Cuántos libros de ficción lee Yuna?
1 4 de 20 es 5
5 × 3 = 15
3 4 de 20 es 15
Yuna lee 15 libros de ficción.
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Dividir un conjunto
• Resolver un problema del mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• computadora o dispositivo*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• cubos de un centímetro (12)
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
Prepare 12 cubos de un centímetro de un color para cada estudiante.
Fluidez
Contar de un medio en un medio con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un medio en un medio.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de un medio en un medio. Empiecen diciendo 0 medios. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de un medio en un medio hasta 10 2 . Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Nota para la enseñanza
Elija señales que le resulten cómodas, como pulgares hacia arriba, pulgares hacia abajo o la mano abierta. Muestre la señal y haga gestos según se necesite para cada conteo. El objetivo es mantener la claridad y la precisión para que la clase cuente al unísono. Evite decir los números con la clase; en su lugar, escuche para detectar errores y dudas.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación
La clase escribe ecuaciones con fracciones unitarias para representar un diagrama de cinta como preparación para multiplicar un número entero por una fracción.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de 1 2 .
Escriban una ecuación de suma repetida para representar el diagrama de cinta. Escriban la suma como una fracción.
Muestre la ecuación de suma.
Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Escriban el producto como una fracción.
Muestre la ecuación de multiplicación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar una fracción como división
La clase escribe una fracción como una expresión de división y, cuando es posible, como un número entero, como preparación para hallar fracciones de un conjunto con matrices.
Muestre 1 2 = ÷ .
Escriban la fracción como una expresión de división. Luego, si es posible, expresen el cociente como un número entero.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Cubos
La clase usa cubos de un centímetro para hallar unidades fraccionarias de un conjunto.
Distribuya 12 cubos a cada estudiante y pídales que usen las pizarras blancas.
Muestre el problema.
El Sr. Pérez tiene 12 huevos. Usa 1 3 de los huevos para hacer un pastel. ¿Cuántos huevos usa el Sr. Pérez para hacer el pastel?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observaron sobre el problema y qué les pide hallar el problema.
Pida a sus estudiantes que usen los cubos para resolver el problema. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Dé a sus estudiantes la oportunidad de hacer un esfuerzo productivo. Puede que no hallen la respuesta.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos matrices para hallar partes fraccionarias de conjuntos de objetos.
Nota para la enseñanza
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme grupos pequeños de cuatro, uniendo dos parejas de estudiantes.
Aprender
Dividir un conjunto
La clase divide matrices para representar una fracción de un conjunto.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(a) de sus libros.
¿Qué observan acerca de la matriz?
Hay 12 círculos en la matriz.
Hay 4 columnas de 3 círculos.
Hay 3 filas de 4 círculos.
Sabemos que 1 _ 3 significa 1 parte del entero cuando se divide en 3 partes iguales.
¿Cómo podemos usar la matriz para demostrar o mostrar eso?
Podemos dividir la matriz en 3 grupos iguales.
Divida la matriz y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora tenemos 3 grupos iguales. Observemos los grupos.
Señale uno de los grupos y haga las siguientes preguntas.
¿Cuántos círculos hay en cada grupo?
4
Cada grupo de 4 es 1 tercio del total. Entonces, ¿cuánto es 1 _ 3 de 12?
4 35
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En este segmento se presenta el verbo académico demostrar. Considere expresar el significado de otra manera usando el término en un contexto de conversación conocido para sus estudiantes.
Por ejemplo, pueden demostrar que saben el abecedario diciendo A, B, C…
Vuelvan a pensar en el Sr. Pérez y su pastel. ¿Cómo pueden representar con los cubos para mostrar 1 _ 3 de 12?
Podemos construir una matriz con 3 filas de 4 cubos. Cada fila mostraría 1 3 .
¿Podrían usar una matriz con 4 filas de 3 cubos como modelo? ¿Por qué?
Sí, porque esa matriz también muestra 12 huevos.
¿Dónde verían 3 grupos iguales en la matriz con 4 filas de 3 cubos?
Las 3 columnas son los 3 grupos iguales. Cada columna es 1 grupo, así que cada columna es 1 3 .
Pida a la clase que registre la respuesta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(b). Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar lo que saben acerca de 1 3 de 12 para hallar 2 3 de 12.
Como 1 3 de 12 es 4, 2 3 de 12 es 4 + 4 u 8.
Como 1 3 de 12 es 4, 2 3 de 12 es 2 × 4 u 8.
2 3 es el doble de 1 3 , así que la respuesta es el doble de 4, que es 8.
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Si seguimos este patrón ¿cuánto es 3 _ 3 de 12? ¿Por qué?
3 3 de 12 es 12 porque 3 3 equivale a 1 entero y el conjunto entero es 12 círculos.
Como 1 3 de 12 es 4, 3 3 de 12 es 3 × 4 o 12.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 y 3.
Usa la matriz para hallar el valor. Haz líneas para mostrar tu trabajo.
2. a. 1 6 de 18 es 3 . c. 5 6 de 18 es 15 . b. 3 6 de 18 es 9 .
3. a. 1 5 de 15 es 3 c 4 5 de 15 es 12
Diferenciación: Desafío
Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, presente los siguientes problemas:
1.
2 5 de 15 es 6
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar cada valor. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Dónde observan sextos en esta matriz? ¿Dónde observan quintos?
• ¿Cómo pueden dividir la matriz para mostrar sextos? ¿Y para mostrar quintos?
• ¿Cómo pueden usar 1 6 de 18 para hallar 3 6 de 18?
• ¿Cómo pueden usar 1 5 de 15 para hallar 4 5 de 15?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar las matrices para hallar los valores.
2.
a. ¿Qué fracción de 18 es 6?
b. ¿Qué fracción de 18 es 12?
¿Qué fracción de 15 es 9?
Resolver un problema del mundo real
La clase resuelve un problema del mundo real que involucra hallar una unidad fraccionaria de un conjunto.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4(a). Lea el problema a coro con la clase.
4. Hay 20 personas en un autobús. 3 5 de esas personas son adultas. El resto son niñas y niños.
a. ¿Cuántas personas adultas hay en el autobús?
3 5 de 20 es 12.
Hay 12 personas adultas en el autobús.
b. ¿Qué fracción de las personas que hay en el autobús son niñas y niños?
1 3 5 = 2 5
2 5 de las personas que hay en el autobús son niñas y niños.
c. ¿Cuántas de las personas que hay en el autobús son niñas y niños?
2 5 de 20 es 8
8 de las personas que hay en el autobús son niñas y niños.
¿Cuántas personas hay en el autobús en total?
20
¿Qué se pide en la pregunta?
Pregunta el número de personas adultas que hay en el autobús.
¿Qué fracción de las personas en el autobús son adultas?
3 _ 5
¿La respuesta será más de 1 2 persona en el autobús o menos de 1 2 ? ¿Cómo lo saben?
La respuesta será más de 1 2 persona en el autobús, porque 3 5 es más que 1 2 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando reconoce que puede hallar una fracción no unitaria de un conjunto multiplicando o sumando repetidamente una fracción unitaria de un conjunto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observaron cuando hallaron 1 6 , 3 6 y 5 6 de 18?
• ¿ 3 6 de un conjunto es siempre 3 veces 1 6 del mismo conjunto? Expliquen.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar cubos a sus estudiantes para usar mientras representan el problema.
¿La respuesta será mayor que 20 o menor que 20? ¿Cómo lo saben?
La respuesta será menor que 20 porque 20 es el total y estamos hallando una parte del total.
Estamos hallando 3 5 de 20. Como 3 5 es menor que 1, nuestra respuesta será menor que 20.
¿Qué podemos dibujar como ayuda para resolver el problema?
Podemos dibujar una matriz de 20.
Dibuje una matriz de 5 por 4 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En cuántos grupos iguales debemos dividir la matriz? ¿Por qué?
Tenemos que formar 5 grupos iguales porque estamos hallando 3 5 de 20.
Tenemos que dividir nuestra matriz en 5 grupos iguales porque estamos hallando quintos.
¿Cómo podemos dividir la matriz para mostrar 5 grupos iguales?
Podemos hacer líneas entre cada fila porque hay 5 filas y cada fila tiene el mismo número de círculos.
Haga líneas entre cada fila.
¿Cuántos círculos hay en cada grupo?
4
¿Qué fracción del total representa cada grupo?
1
5
Entonces, ¿cuánto es 1 _ 5 de 20?
4
¿Cómo podemos usar 1 5 de 20 para hallar 3 5 de 20?
Como 1 5 de 20 es 4 y necesito 3 5 de 20, puedo sumar 4 tres veces y hallar que 4 + 4 + 4 = 12.
Sé que cada grupo es 4. Tengo que hallar 3 grupos, así que puedo hallar 3 × 4 y obtener 12.
Pida a la clase que registre la respuesta.
Pídales que vayan al problema 4(b). Lea el problema a coro con la clase.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo resolver el problema.
Sabemos que el número total de personas en el autobús representa un entero, o 5 5 . Podemos descomponer 5 5 en 3 5 y 2 5 .
Sabemos que el número total de personas en el autobús representa un entero, o 1. Entonces, podemos restar 3 5 de 1 y 1 − 3 5 = 2 5 .
Pida a la clase que registre la respuesta.
Pídales que vayan al problema 4(c). Lea el problema a coro con la clase.
¿Cómo podemos resolver la parte (c)?
Sabemos que 1 5 de 20 es 4, así que podemos hallar 2 × 4 y obtener 2 5 de 20, que es 8.
Sabemos que hay 20 personas en total en el autobús, entonces podemos restar 12 de 20 para hallar el número de niñas y niños en el autobús, porque hay 12 personas adultas en el autobús. 20 − 12 = 8.
Pida a la clase que registre la respuesta.
Examinen de nuevo el problema 4(a). Dibujamos una matriz de 5 por 4 como ayuda para resolver el problema. ¿Podríamos haber dibujado y dividido la matriz de forma diferente?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si podrían haber dibujado una matriz diferente para resolver el problema.
Dibuje una matriz de 2 por 10.
¿Esta matriz muestra 20 círculos? Sí.
¿Cómo podemos dividir esta matriz para resolver el problema?
Podemos dibujar líneas verticales cada 4 círculos para dividir la matriz en 5 partes iguales.
Podemos dividir la matriz en 5 grupos iguales de 4 círculos.
Cuando hallan una fracción de un número, pueden dibujar su matriz de la forma que quieran. Solo recuerden pensar acerca del denominador cuando deciden en cuántos grupos dividirán la matriz.
Divida la matriz y dibuje recuadros alrededor de los grupos como se muestra.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo esta representación puede ayudarles a resolver el problema.
Podemos dividir la matriz o dibujar recuadros para agrupar nuestros círculos de cualquier forma mientras los grupos sean iguales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema.
5. Julie tiene 16 globos. 3 8 de los globos de Julie son azules. ¿Cuántos de los globos de Julie no son azules?
Ejemplo:
3 8 de 16 es 6.
16 − 6 = 10
10 de los globos de Julie no son azules.
Son azules No son azules
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Habrá más de 16 o menos de 16 globos que no son azules? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué representa 3 8 en el problema?
• ¿Qué fracción de los globos no es azul?
• ¿Cómo dibujarán su matriz? ¿Por qué?
• ¿Cómo dividirán su matriz? ¿Por qué?
• ¿Cómo puede ayudarles hallar 1 8 de 16 para hallar el número de globos que no es azul?
Cuando sus estudiantes terminen, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo resolvieron el problema.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para empezar el problema 5 o para completarlo, haga preguntas como las siguientes:
• ¿Qué intentaron hasta ahora?
• ¿Qué saben acerca de este problema?
• ¿Cuántos globos tiene Julie en total?
Continúe con el mismo tipo de preguntas que se brindaron con el problema 4.
La clase puede beneficiarse de trasladar la pregunta al comienzo del problema. Por ejemplo, presente el problema como: ¿Cuántos globos de los que tiene Julie no son azules?
Julie tiene 16 globos. 3 8 de los globos de Julie son azules.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar fracciones de un conjunto con matrices
Guíe una conversación de toda la clase sobre hallar partes fraccionarias de un conjunto usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Es útil usar una matriz para hallar una fracción de un conjunto? ¿Por qué?
Sí. Puedes dividir una matriz en grupos iguales para hallar una unidad. Luego, puedes usar la suma repetida o la multiplicación para hallar cuántos hay en más de una unidad.
Muestre la expresión 3 4 de 12 y el ejemplo de trabajo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si ambas matrices
muestran 3 4 de 12.
¿Qué observan sobre las matrices de Sara y Toby?
Ambas muestran 12 círculos.
Ambas muestran 9 círculos sombreados.
Método de Sara Método de Toby
Nota para la enseñanza
Es probable que parte de la clase halle una fracción de un conjunto tomando una fracción de cada grupo del conjunto. Por ejemplo, para hallar 1 3 de 12, sus estudiantes pueden dividir el conjunto en 4 grupos iguales y sombrear 1 de 3 en cada grupo para obtener 4. Valide esto como una manera aceptable de hallar una fracción de un conjunto. Sus estudiantes aprenden métodos adicionales para hallar una fracción de un número en las siguientes lecciones.
Sara dividió su matriz en 4 partes iguales y Toby dividió su matriz en 3 partes iguales. Toby dividió su matriz en grupos de 4 y sombreó 3 4 de cada grupo.
¿Ambas matrices muestran 3 _ 4 de 12? ¿Por qué?
Sí, porque ambas muestran que 3 4 de 12 es 9.
¿Cómo mostró Sara 3 4 de 12?
Sara hizo una matriz con 3 filas de 4 círculos. Luego, la dividió y le quedaron 4 grupos iguales y sombreó 3 de esos 4 grupos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de cómo mostró Toby 3 4 de 12.
Toby también hizo una matriz con 3 filas de 4 círculos. La dividió en 3 grupos iguales.
En cada grupo, sombreó 3 de 4 círculos.
En lugar de mostrar 3 4 de 12, mostró 3 4 de 4. Mostró eso tres veces porque hay 3 cuatros en 12.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
Puede que sus estudiantes no comprendan cómo halló Toby 3 __ 4 de 12. Dé tiempo para que sus estudiantes continúen preguntándose eso, ya que el concepto se explora con mayor detalle en una lección posterior.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
la matriz para
las partes (a) a (e). Halla el valor. Si lo necesitas, haz líneas o dibuja recuadros para mostrar tu trabajo.
10. ¿Cómo te ayuda saber cuánto es 1 9 de 27 para hallar 4 9 de 27?
Sé que 4 9 es 4 grupos de 1 9 . Entonces, si sé cuánto es 1 9 de 27, multiplico la respuesta por 4 para hallar 4 9 de 27
Completa el enunciado para hallar el valor.
11. 3 7 de 14
Como 1 7 de 14 es 2 entonces, 3 7 de 14 es 3 × 2, o 6
12. 5 7 de 28
Como 1 7 de 28 es 4 entonces, 5 7 de 28 es 5 × 4 o 20
13. 7 8 de 32
Como 1 8 de 32 es 4 entonces, 7 8 de 32 es 7 × 4 o 28
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
14. Hay 25 estudiantes en la clase de la maestra Baker. 1 5 de sus estudiantes traen el almuerzo de casa. El resto de sus estudiantes reciben el almuerzo escolar. ¿Qué cantidad de estudiantes trae el almuerzo de casa?
a. ¿La respuesta debe ser mayor o menor que 1 2 de la clase? Explica.
La respuesta debe ser menor que 1 2 de la clase porque 1 5 es menor que 1 2
b. ¿Qué cantidad de estudiantes trae el almuerzo de casa?
1 5 de 25 es 5
5 estudiantes traen el almuerzo de casa.
c. ¿Qué fracción de sus estudiantes reciben el almuerzo escolar?
1 − 1 5 = 4 5
4 5 de sus estudiantes reciben el almuerzo escolar.
d. ¿Qué cantidad de estudiantes reciben el almuerzo escolar?
4 5 de 25 es 20
20 estudiantes reciben el almuerzo escolar.
Interpretar fracciones como divisiones para hallar fracciones de un conjunto con diagramas de cinta y rectas numéricas
Vistazo a la lección
cada valor. Muestra tu trabajo con un diagrama de cinta.
1. 1 5 de 5 es 1 .
5 unidades = 5
1 unidad = 5 5 = 1
2.
5 unidades = 25
1 unidad = 25 5 = 5
4 unidades = 4 × 5 = 20
3.
3 unidades = 16
unidad
unidades
La clase comienza utilizando rectas numéricas para hallar fracciones de un conjunto y se da cuenta de que no siempre es eficiente usar una recta numérica. A medida que aumenta el número total de objetos en un conjunto, la clase pasa de usar rectas numéricas a usar diagramas de cinta para hallar una fracción del conjunto.
Preguntas clave
• ¿Por qué son útiles las rectas numéricas y los diagramas de cinta para hallar una fracción de un conjunto?
• ¿Cómo puede ayudarles lo que ya saben sobre las fracciones como expresiones de división para hallar fracciones de un conjunto?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Hallar una fracción unitaria de un número entero usando una recta numérica
• Hallar una fracción no unitaria de un número entero usando una recta numérica
• Hallar una fracción de un número entero usando un diagrama de cinta
• Resolver un problema del mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un medio en un medio con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un medio en un medio y con la expresión de fracciones mayores que 1 como números enteros o mixtos.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de un medio en un medio. Hoy, expresaremos las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de un medio en un medio hasta el 5. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por números enteros, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Nota para la enseñanza
Preste atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, ajuste el ritmo o la secuencia de los números.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación
La clase escribe ecuaciones con fracciones no unitarias para representar un diagrama de cinta como preparación para multiplicar un número entero por una fracción.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de 2 3 .
Escriban una ecuación de suma repetida para representar el diagrama de cinta. Escriban la suma como una fracción.
Muestre la ecuación de suma.
Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta. Escriban el producto como una fracción.
Muestre la ecuación de multiplicación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar una fracción como división
La clase escribe una fracción como una expresión de división y un número entero o mixto como preparación para hallar fracciones de un conjunto con diagramas de cinta y rectas numéricas.
Muestre 2 2 = ÷ = .
Escriban la fracción como una expresión de división. Luego, expresen el cociente como un número entero o mixto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase razona acerca de qué tipo de modelo es más eficiente para hallar una fracción de un conjunto.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Fracción de un conjunto. Presente el siguiente problema.
El Sr. Evans tiene 48 lápices. 5 8 de los lápices están afilados. ¿Cuántos lápices están afilados?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían resolver el problema. La clase puede sugerir dibujar una matriz como hicieron en la lección anterior.
Podemos dibujar una matriz para representar el problema.
Cree una matriz.
Una vez que muestre la matriz, haga las siguientes preguntas.
¿Qué observan sobre la matriz?
Llevó mucho tiempo crear todos los círculos.
Los círculos están organizados en una matriz de 2 por 24.
¿Podríamos haber creado una matriz diferente?
Podríamos haber creado una matriz de 6 por 8.
Podríamos haber creado una matriz de 12 por 4.
Podríamos haber creado diferentes matrices, siempre que la matriz muestre un total de 48 círculos.
¿Cómo podemos usar la matriz que se muestra para hallar 5 _ 8 de 48?
Podemos dividir la matriz en 8 grupos iguales.
Cree segmentos.
¿Qué observan acerca de los grupos?
Hay 8 grupos con 6 círculos en cada grupo. 5
Nota para la enseñanza
Los círculos de la matriz se muestran intencionalmente uno a la vez en la actividad digital interactiva para que sus estudiantes puedan darse cuenta de que dibujar una matriz no siempre es un método eficiente para hallar fracciones de un conjunto.
Cree un diagrama de cinta.
¿Qué observan ahora acerca del modelo?
Hay recuadros alrededor de cada uno de los grupos.
El número total de círculos está rotulado.
¿Cómo podemos hallar 5 _ 8 usando este modelo?
Podemos contar el número de círculos en 5 grupos.
Podemos multiplicar 6 por 5.
¿Este modelo se parece a algún otro modelo que conocen?
Se parece a un diagrama de cinta.
Oculte los círculos e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué podrían usar un diagrama de cinta en lugar de una matriz para hallar una fracción de un número entero.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para hacer una transición.
Hoy usaremos diagramas de cinta y rectas numéricas para hallar partes fraccionarias de un conjunto.
Aprender
Hallar una fracción unitaria de un número entero usando una recta numérica
La clase halla una fracción unitaria de un número entero usando una recta numérica.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema a coro con la clase.
Usa la recta numérica para hallar el valor.
1. 1 5 de 3 es 3
¿Por qué creen que se muestra una recta numérica y no una matriz?
Podríamos dibujar una matriz que tuviera 3 círculos, pero no podemos dividir 3 círculos en 5 grupos iguales.
No todos los problemas pueden representarse con una matriz. Veamos si podemos usar una recta numérica para hallar 1 5 de 3. ¿Qué observan sobre la recta numérica?
Muestra intervalos de 1 del 0 al 3.
Está dividida en quintos.
Sabemos que 1 _ 5 significa 1 parte del entero cuando el entero se divide en 5 partes iguales.
Observemos parte de nuestra recta numérica: el intervalo de 0 a 1.
Resalte el primer quinto en el intervalo de 0 a 1.
La recta numérica muestra 1 5 de 1. Ahora, resaltemos 1 _ 5 de cada uno de los otros intervalos, el de 1 a 2 y el de 2 a 3.
Resalte el primer quinto en el intervalo de 1 a 2 y en el intervalo de 2 a 3.
01 2
Hemos hallado 1 _ 5 de cada intervalo de 1, de 0 a 3. Para hallar 1 _ 5 de 3, podemos componer esos quintos.
Escriba 1 5 + 1 5 + 1 5 .
¿Cuánto es 1 5 + 1 5 + 1 5 ? 3 _ 5
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
¿En qué se parece el ejemplo de hallar una fracción de un número entero usando una recta numérica a hallar una fracción de un número entero usando matrices? ¿En qué se diferencia? Se parecen porque tenemos que dividir el conjunto o la recta numérica en grupos iguales. La diferencia es que, cuando usamos una matriz, dibujamos y dividimos círculos. Cuando usamos una recta numérica, dividimos cada intervalo de 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si hallar una fracción de 1 es útil para hallar una fracción de cualquier número entero y por qué.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Fracción de un entero en una recta numérica sirve como apoyo para componer las partes de cada intervalo de 1 y, así, hallar la fracción del entero.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Hallar una fracción no unitaria de un número entero usando una recta numérica
La clase halla una fracción no unitaria de un número entero usando una recta numérica.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Use la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé a la clase 2 minutos de tiempo para pensar en silencio para que hallen el valor y registren su razonamiento. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Seleccione trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Usa la recta numérica para hallar el valor.
2. 2 5 de 4 es 8 5
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas. Muestre los siguientes ejemplos de trabajo si la clase no los presenta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y las diferencias entre los métodos.
Ambos métodos muestran el razonamiento usando una recta numérica.
Un método muestra cómo hallar 1 5 de 4 sombreando 1 quinto de cada intervalo de 1. El modelo muestra 1 5 de 4 es 4 5 y 2 5 es el doble de 1 5 , así que sumaron 4 5 dos veces y obtuvieron 8 5 .
Un método muestra cómo hallar 2 5 de 4 sombreando 2 quintos del intervalo de 1. Entonces, 2 5 de 4 es 8 5 .
Hallar una fracción de un número entero usando un diagrama de cinta
La clase halla una fracción de un número entero usando un diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo pueden hallar el valor.
Halla el valor.
3. 3 5 de 35 es 21 .
¿Sería útil utilizar una matriz o una recta numérica para hallar el valor? ¿Por qué?
No. Llevaría mucho tiempo dibujar 35 círculos para la matriz o dibujar una recta numérica hasta el 35.
No. No es eficiente dibujar una matriz o una recta numérica para números grandes.
Sí. Me resulta más fácil ver cuántos hay en cada grupo cuando dibujo una matriz.
Sí, porque me gusta usar rectas numéricas. Puede no ser la forma más eficiente para hallar el valor. Sé que puedo hallar el valor correcto dibujando y dividiendo una recta numérica.
¿Qué otro modelo podríamos usar para hallar el valor?
Podríamos usar un diagrama de cinta.
Queremos hallar 3 5 de 35. Dibujemos un diagrama de cinta para representar el número entero.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En cuántas unidades debemos dividir el diagrama? ¿Cómo lo saben?
Debemos dividir el diagrama en 5 unidades porque necesitamos quintos.
Divida el diagrama de cinta en 5 partes iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Escriba 5 unidades = 35 junto al diagrama de cinta.
¿Qué estamos tratando de hallar?
3 5 de 35
¿Dónde debemos dibujar un signo de interrogación en nuestro modelo? ¿Por qué?
Debemos dibujarlo debajo de 3 de las 5 unidades porque tenemos que hallar 3 5 .
Escriba un signo de interrogación debajo de 3 unidades.
Si pensamos en que 5 unidades son equivalentes a 35, ¿cómo podemos hallar el valor de 1 unidad?
Podemos dividir 35 entre 5.
Escriba 1 unidad = 35 5 debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 35 ÷ 5?
7
Pídales que escriban = 7.
¿Hallamos la respuesta al problema? ¿Cómo lo saben?
No. Hallamos que 1 unidad equivale a 7, pero tenemos que hallar a cuánto equivalen 3 unidades.
No. Hallamos 1 5 de 35, tenemos que hallar 3 5 de 35.
DUA: Participación
Recuerde a sus estudiantes el trabajo que hicieron en lecciones anteriores cuando igualaron una fracción con una expresión de división.
Sus estudiantes pueden beneficiarse de un contexto para razonar acerca del valor de 3 5 de 35. Considere usar un contexto que sea conocido para la clase.
¿Cómo podemos hallar 3 5 de 35?
Podemos hallar 7 + 7 + 7.
Podemos multiplicar 3 y 7 porque cada unidad es igual a 7 y necesitamos el valor de 3 unidades.
¿Cuánto es 3 _ 5 de 35?
21
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Cuando hallamos 3 5 de 35, ¿podríamos haber evaluado 35 5 + 35 5 + 35 5 ? ¿Habrían evaluado esa expresión para resolver el problema?
Podríamos haber evaluado esa expresión para resolver el problema porque tiene el mismo valor que 7 + 7 + 7.
No habría evaluado esa expresión para resolver el problema porque sé que 35 5 = 7, y es más fácil usar el número entero 7.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron el diagrama de cinta para hallar el valor.
Resolver un problema del mundo real
La clase resuelve un problema del mundo real que involucra hallar una fracción de un número entero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pida a sus estudiantes que lean el problema y trabajen en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el contexto del problema, active los conocimientos previos mostrando una fotografía de una colcha.
4. Blake tiene 19 yardas de tela. Usa 1 3 de la tela para hacer una colcha. ¿Cuántas yardas de tela usa
Blake para la colcha? 19 ? 19 ÷ 3 = 19 3 = 6 1 3
Blake usa 6 1 3 yardas de tela para la colcha.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿La respuesta será mayor que 19 o menor que 19? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué pueden dibujar para resolver el problema?
• ¿Qué representa el diagrama entero?
• ¿Cuántas partes iguales hay en sus diagramas? ¿Por qué?
• ¿Cómo dividirían para hallar el número de yardas necesarias para 1 colcha?
Cuando sus estudiantes hayan terminado, reúna a la clase y conversen sobre la solución.
¿Cuántas yardas de tela es 1 3 de 19 yardas? 19 3 de yarda 6 1 3 yardas
¿Tiene sentido que la respuesta sea menor que 19? ¿Por qué?
Tiene sentido porque Blake usó 1 3 de la tela. 1 3 es menor que 1, así que la respuesta debe ser menor que el número total de yardas de tela.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando decide cómo representar y resolver un problema del mundo real que pide hallar una fracción de un número entero y cómo evaluar si su respuesta es razonable.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué pueden dibujar para entender mejor este problema del mundo real?
• ¿Cómo representaron en sus diagramas las ideas clave de este problema del mundo real?
• ¿Cómo podrían hacer un problema más simple para estimar una respuesta?
¿Y si hubieran tenido que hallar cuántas yardas de tela le quedan a Blake? ¿Cómo resolverían el problema?
Si Blake usa 1 3 de tela, le quedan 2 3 . Entonces, podríamos hallar 6 1 3 + 6 1 3 y obtener 12 2 3 .
Podríamos restar 6 1 3 de 17 para hallar el número de yardas de tela que le quedan.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar un diagrama de cinta para resolver un problema del mundo real que involucra hallar una fracción de un entero.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Interpretar fracciones como divisiones para hallar fracciones de un conjunto con diagramas de cinta y rectas numéricas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo pueden ser útiles los diagramas de cinta y las rectas numéricas para hallar una fracción de un conjunto usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Por qué es útil usar una recta numérica para los problemas 1 a 4 del Grupo de problemas? Los números enteros en los problemas 1 a 4 son números pequeños, así que es más fácil dibujar una recta numérica para hallar la fracción del número entero.
¿Por qué es útil usar un diagrama de cinta para los problemas 5 a 8 del Grupo de problemas? Los números enteros en los problemas 5 a 8 son números grandes. No es eficiente dibujar una recta numérica para esos números porque tendríamos que empezar en 0, incluir todos los números enteros y dividir cada intervalo de 1.
¿Por qué son útiles las rectas numéricas y los diagramas de cinta para hallar una fracción de un número entero?
Tanto las rectas numéricas como los diagramas de cinta nos ayudan a ver la relación entre la fracción y el número entero. Cuanto más pequeña es la fracción, más pequeño es el resultado. Cuanto más grande es la fracción, más grande es el resultado.
Las rectas numéricas y los diagramas de cinta nos ayudan a separar el problema en partes más simples. En una recta numérica, podemos sombrear para mostrar una fracción de cada intervalo de 1 y, luego, sumar las fracciones. En un diagrama de cinta, podemos hallar el valor de una unidad usando la división y, luego, sumando el número de unidades que queremos para hallar la respuesta.
¿Cómo puede ayudarles lo que ya saben sobre las fracciones como expresiones de división para hallar fracciones de un número entero? ¿Dónde les ayudó esto en el Grupo de problemas?
En el problema 9, sé que 1 7 de 28 significa 28 7 , que es 4, así que podría hallar 2 7 de 28 al duplicar 4.
En el problema 14, sé que 1 3 de 8 es equivalente a 8 ÷ 3. Puedo interpretar 8 ÷ 3 como 8 3 .
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa
Halla el valor. Cuando sea posible, escribe la respuesta como un número entero. 9. 2 7 de 28 es 8
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
15. En una panadería, se hacen 36 galletas. 7 9 de las galletas tienen chispas de chocolate. ¿Cuántas galletas tienen chispas de chocolate?
7 9 de 36 es 28 28 galletas tienen chispas de chocolate.
16. Una banda tiene 56 integrantes. 3 7 tocan instrumentos de metal. ¿Qué cantidad de integrantes tocan un instrumento de metal?
3 7 de 56 es 24. 24 integrantes tocan un instrumento de metal.
Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
Vistazo a la lección
La clase analiza la relación entre hallar una fracción de un conjunto y multiplicar fracciones y números enteros. Se dan cuenta de que, al hallar una fracción de un número entero, están multiplicando. Multiplican números enteros y fracciones usando rectas numéricas, diagramas de cinta y ecuaciones.
Preguntas clave
• ¿Qué significa multiplicar un número entero por una fracción?
• ¿Qué observan acerca del producto cuando multiplican un número entero diferente de cero por una fracción menor que 1?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA6 Multiplican números enteros o fracciones por fracciones. (5.NF.B.4)
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Interpretar hallar una fracción de un número entero como multiplicación
• Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
• Seleccionar un método
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar fracciones por números enteros (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar fracciones por números enteros
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar fracciones por números enteros
La clase determina la suma o el producto como preparación para multiplicar un número entero por una fracción.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe la suma o el producto. Usa un número entero o un número mixto cuando sea posible.
1.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos progresaron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 10?
• ¿Cómo se comparan los problemas 11 a 14 entre sí? ¿Y los problemas 15 a 18? ¿Y los problemas 19 a 22?
Nota
para la enseñanza
Cuente hacia delante de un tercio en un tercio desde el 0 hasta el 3, expresando como números enteros o números mixtos cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un medio en un medio desde el 5 hasta el 0, expresando como números enteros o números mixtos cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase considera si una fracción de un conjunto puede hallarse usando la multiplicación.
Muestre la imagen de la matriz y del diagrama de cinta e invite a sus estudiantes a analizar los modelos.
¿Qué observan?
Observo que hay 35 objetos en la matriz y 35 es el total del diagrama de cinta.
Observo que la matriz se divide en 5 grupos y el diagrama de cinta está dividido en 5 partes.
¿Dónde pueden hallar la respuesta a 1 _ 5 de 35 en cada modelo? ¿Cuál es la respuesta?
Puedo hallar la respuesta, 7, en la matriz porque es el número de objetos en 1 grupo.
Puedo hallar la respuesta, 7, en el diagrama de cinta cuando pienso en el valor de 1 parte. 1 parte en el diagrama de cinta es 35 ÷ 5, o 7.
¿Dónde pueden hallar la respuesta a 2 _ 5 de 35 en cada modelo? ¿Cuál es la respuesta?
Puedo hallar la respuesta, 14, en la matriz porque es el número de objetos en 2 grupos.
Puedo hallar la respuesta, 14, en el diagrama de cinta porque cada parte del diagrama es 7, así que 2 partes es 14.
¿Dónde pueden hallar la respuesta a 3 5 de 35 en cada modelo? ¿Cuál es la respuesta?
Puedo hallar la respuesta, 21, en la matriz porque es el número de objetos en 3 grupos.
Puedo hallar la respuesta, 21, en el diagrama de cinta porque cada parte del diagrama es 7, así que 3 partes es 21.
Cada vez que hallamos una fracción de un conjunto, o un número entero, pensamos cuánto es cada grupo. ¿Cómo podemos hallar el número de forma eficiente si hay muchos grupos?
Por ejemplo, ¿qué hacemos si tenemos que hallar 125 grupos de 7?
Multiplicaría 7 y 125.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si pueden multiplicar cuando hallan una fracción del conjunto.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy aprenderemos cómo interpretar una fracción de un conjunto y a multiplicar fracciones y números enteros.
Aprender
Interpretar hallar una fracción de un número entero como multiplicación
La clase halla una fracción de un número entero multiplicando el número entero por la fracción.
Escriba 1 6 de 4 es .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar 1 6 de 4. Confirme que podrían hallar el valor usando una recta numérica o un diagrama de cinta.
Practiquemos hallar 1 _ 6 de 4 usando una recta numérica. Si queremos hallar 1 _ 6 de 4 usando una recta numérica, ¿qué debemos dibujar primero? ¿Por qué?
Debemos dibujar una recta numérica que muestre números enteros del 0 al 4 porque estamos intentando hallar una fracción de 4.
Dibuje y rotule una recta numérica y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En cuántas partes iguales debemos dividir cada intervalo de 1? ¿Por qué?
Necesitamos dividir cada intervalo de número entero en 6 unidades porque queremos hallar 1 6 de 4.
Divida la recta numérica en sextos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a hallar 1 6 de 4 usando la recta numérica.
Muestre un trabajo de sus estudiantes.
¿Cómo hallaron 1 _ 6 de 4?
0 1 2 3
Sombreé 1 6 de cada intervalo de 1 y, luego, compuse todos los sextos.
¿Qué expresión de suma representa hallar 1 _ 6 de 4 cuando se usa una recta numérica?
1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6
Sumamos repetidamente 1 6 cuando hallamos 1 6 de 4. ¿Cuál es otra forma de mostrar la suma repetida?
La suma repetida se puede mostrar con la multiplicación.
¿Cuánto es 1 _ 6 de 4? 4 _ 6
¿Cuánto es 4 × 1 6 ?
4 6
Observen las respuestas a 1 _ 6 de 4 y 4 × 1 _ 6 . ¿En qué les hace pensar eso acerca de 1 _ 6 de 4 y 4 × 1 _ 6 ?
1 6 de 4 y 4 × 1 6 son equivalentes porque ambas son iguales a 4 6 .
DUA: Acción y expresión
Considere preparar ejemplos típicos de trabajo de recta numérica para la expresión 1 6 × 4 y el trabajo de diagrama de cinta para la expresión 2 3 × 6.
Muestre los ejemplos típicos después de que la clase complete los problemas. Sus estudiantes pueden consultar estos ejemplos cuando seleccionen sus propios métodos. En los ejemplos típicos, separe el trabajo en partes para mostrar el razonamiento, como en el siguiente ejemplo.
Primero, dibuje una recta numérica para mostrar el entero.
A continuación, divida cada intervalo de número entero para mostrar las unidades fraccionarias.
Resalte la unidad fraccionaria en cada número entero.
Ahora, componga para hallar la fracción del entero.
Parece que cuando hallamos una fracción de un número estamos multiplicando. Exploremos esta idea en detalle con otro problema.
Piensen en 5 _ 6 de 4. ¿Estiman que la respuesta es mayor o menor que 4? ¿Por qué?
Estimo que la respuesta es menor que 4 porque estamos hallando una fracción, o parte, de 4.
Estimo que la respuesta es menor que 4. Como 5 6 es menor que 1 y 1 × 4 = 4, multiplicar 4 por un número menor que 1 da como resultado un producto menor que 4.
Como hallar una fracción de un número significa que estamos multiplicando, ¿qué expresión de multiplicación podemos escribir para representar 5 _ 6 de 4?
5 6 × 4
Dibuje un diagrama de cinta que represente 5 6 de 4 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Estimamos que la respuesta sería menor que 4. ¿Es así? ¿Cómo lo saben?
Sí. 20 6 = 3 2 6 , así que la respuesta es menor que 4.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Hallamos 5 _ 6 de 4 con 5 × 4 _ 6 . Antes, dijimos que 5 _ 6 de 4 se podría representar con 5 _ 6 × 4.
¿Es 5 _ 6 × 4 = 5 × 4 _ 6 ? Analicen el diagrama de cinta para determinar si el enunciado es verdadero.
5 6 × 4 = 5 × 4 6 porque ambas expresiones son iguales a 20 6 .
Sé que 5 6 × 4 = 5 6 + 5 6 + 5 6 + 5 6 = 20 6 . En el diagrama de cinta, 1 unidad es 4 6 , y hallamos el valor de
5 unidades, que es 5 × 4 6 , o 20 6 . Entonces, 5 6 × 4 = 5 × 4 6 .
Escriba 5 6 de 4 es 5 partes cuando 4 se divide en 6 partes iguales.
¿Qué representan 5 partes?
Representan las 5 unidades del diagrama de cinta de las que queremos conocer el valor.
5 también es el numerador de la fracción en la expresión 5 _ 6 de 4.
¿Qué representa el 4?
Representa el diagrama de cinta entero. Representa el número entero en la expresión. ?
¿Qué representan 6 partes iguales?
Representan el número de unidades en las que se divide 4.
Representa la parte fraccionaria de cada unidad.
6 es el denominador de la fracción en la expresión.
6 es el denominador de la respuesta.
Señale 20 6 .
20 6 es 5 partes cuando 4 se divide en 6 partes iguales. Entonces 20 6 es 5 6 de 4.
Empezamos este problema pensando en que cuando hallamos una fracción de un número, estamos multiplicando. También representamos 5 _ 6 de 4 con 5 _ 6 × 4 pero terminamos con 5 × 4 _ 6 .
¿Sigue siendo correcta nuestra conclusión? Cuando hallamos una fracción de un número, ¿estamos multiplicando?
Sí, nuestra conclusión es correcta. Estamos multiplicando, pero no la expresión que creíamos que multiplicaríamos.
Para hallar 5 6 de 4, sabemos que podemos usar la expresión de multiplicación 5 6 × 4. Podemos interpretar esta expresión como hallar el valor de 5 partes cuando 4 se divide en 6 partes iguales.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que hallar una fracción de un número entero es multiplicación.
Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
La clase usa un diagrama de cinta para multiplicar un número entero por una fracción.
Escriba 2 3 × 6 = .
Describan qué significa 2 _ 3 × 6.
Significa que tenemos que hallar 2 3 de 6.
¿El producto es mayor o menor que 6? ¿Cómo lo saben?
El producto es menor que 6 porque 6 × 1 = 6 y estamos multiplicando 6 por un factor que es menor que 1.
El producto es menor que 6 porque 3 3 de 6 es 6 y 2 3 es menor que 3 3 .
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el producto. La clase podría mostrar su trabajo usando un diagrama de cinta o una recta numérica.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, muestre el siguiente ejemplo de trabajo.
Pida a la clase que se reúna y converse acerca de cómo se compara su trabajo con el trabajo que se muestra.
Muestre el diagrama de cinta con diferentes ecuaciones.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relaciona este trabajo con el diagrama de cinta.
Sombree o señale el diagrama de cinta cuando sus estudiantes compartan las relaciones que hallaron.
2 3 es 2 unidades de 1 3 o 2 × 1 3 .
Reagruparon el paréntesis alrededor de 1 3 × 6 porque querían hallar 1 3 de 6, como en el diagrama de cinta cuando hallamos el valor de 1 unidad.
Mostraron 2 × (1 3 × 6) para hallar el valor de 2 unidades.
6 3 representa 1 unidad, así que 2 × 6 3 es 2 unidades.
Expresaron 6 3 como 2 para hallar 2 × 2.
Esta persona mostró 2 3 como 2 × 1 3 en sus ecuaciones. ¿Por qué creen que lo hizo?
Creo que quería mostrar cómo halló una fracción unitaria de 6. Cuando dibujamos un diagrama de cinta, primero hallamos 1 3 de 6. Sé que 1 3 de 6 es 1 3 × 6.
¿Es útil hallar primero una fracción unitaria de un número entero? ¿Por qué?
Es útil porque si sabemos el valor de 1 unidad, podemos multiplicar por el número de grupos que necesitamos. Si el numerador es 2, entonces podemos multiplicar el valor de 1 unidad por 2.
Confirme que la clase puede hallar una fracción unitaria de un número entero usando una recta numérica, un diagrama de cinta o ecuaciones.
¿Expresaron 6 3 como 2 para multiplicar? ¿O multiplicaron de una forma diferente?
Expresé 6 3 como 2 porque sé que 6 3 = 2.
No expresé con otro nombre en primer lugar. Pensé en cómo 2 grupos de 6 3 es 12 3 . Sé que 12 3 es 4, así que expresé con otro nombre después de saber la respuesta final.
Reconozca que cualquier enfoque es válido. Anime a sus estudiantes a prestar atención cuando están expresando con otro nombre y por qué.
Diferenciación: Apoyo
Las fracciones unitarias son conocidas de grados anteriores. Si es necesario, muestre a sus estudiantes ejemplos y contraejemplos de fracciones unitarias. Luego, pregunte qué observan.
Fracciones unitarias: 1 3 , 1 8 , 1 15
Fracciones no unitarias: 2 3 , 5 8 , 13 15
Una fracción unitaria es exactamente 1 de una unidad fraccionaria específica.
Seleccionar un método
La clase elige un método para multiplicar una fracción y un número entero.
Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
Presente el siguiente problema: 4 5 × 12 = .
Dé 3 minutos a sus estudiantes para hallar el producto en grupo. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.
Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.
Dibujamos un diagrama de cinta para representar 12. Teníamos que hallar quintos, así que dividimos el diagrama de cinta en 5 unidades iguales. Sabíamos que 5 unidades equivalen a 12, así que 1 unidad es igual a 12 5 . Como teníamos que hallar 4 5 , multiplicamos 12 5 × 4 y obtuvimos 48 5 .
Sabemos que 4 5 × 12 significa 4 partes cuando 12 se divide en 5 partes iguales, así que reescribimos
4 5 × 12 como 4 × 12 5 , que es 48 5 .
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con los siguientes problemas:
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre diagramas de cinta, rectas numéricas y ecuaciones para hallar el producto de una fracción y un número entero.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de modelo o método podría servir para resolver este problema?
• ¿Por qué eligieron usar ese modelo? ¿Funcionó bien?
• Su trabajo muestra que la respuesta es 48 5 ¿Eso parece razonable?
Apoyo para
la comprensión del
lenguaje
Considere apoyar las respuestas de sus estudiantes con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar las conclusiones del grupo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
Guíe una conversación de toda la clase acerca de multiplicar números enteros por fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué observan acerca del producto cuando multiplican un número entero diferente de cero por una fracción menor que 1?
El producto es menor que el número entero.
¿Por qué tenemos que decir un número entero distinto de cero cuando describimos el producto de un número entero y una fracción menor que 1?
Porque el producto de cero y otro número es cero. Entonces si el número entero es cero, el producto es igual al número entero.
¿Qué significa multiplicar un número entero por una fracción?
Cuando multiplicas un número entero por una fracción, significa que estás hallando una parte fraccionaria del número entero.
Significa que divides el número entero en partes iguales y, luego, cuentas algunas de las partes.
Por ejemplo, 3 4 × 12 significa que estás hallando 3 partes cuando 12 se divide en 4 partes iguales.
Escriba 1 5 × 18.
¿El valor de esta expresión es mayor o menor que 18? ¿Cómo lo saben?
Es menor que 18. Sé que 1 5 × 18 significa 1 5 de 18 y 1 5 es menor que 1, así que 1 5 × 18 es menor que 18.
Es menor que 18. Estamos multiplicando 18 y una fracción menor que 1, así que la respuesta es menor que 18.
Diferenciación: Desafío
Para quienes necesiten un desafío adicional, considere presentar los siguientes problemas durante o después de la rutina Cabezas numeradas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento.
Sin multiplicar, comparen los productos 1 _ 5 × 18 y 4 _ 5 × 18. Expliquen su razonamiento.
4 5 × 18 es mayor que 1 5 × 18 porque 4 5 es mayor que 1 5 .
Ambos productos son menores que 18 porque 18 se multiplica por un factor menor que 1. Sé que
4 5 está cerca de 1, así que el producto está cerca de 18 y como 1 5 es menor que 4 5 , el producto será menor.
1 5 de 18 significa que estamos quitando una fracción más pequeña de 18 que 4 5 , entonces, 1 5 × 18 es menor que 4 5 × 18.
Boleto de salida
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Número de respuestas correctas:
Progreso:
Usa la recta numérica para hallar el producto. Luego, escribe una oración de suma repetida para comprobar tu trabajo. Cuando sea posible, escribe la respuesta como un número entero.
Completa los espacios. Luego, completa la ecuación para hallar el producto.
iguales.
Multiplica. Cuando sea posible, escribe la respuesta como un número entero.
3. Usa el diagrama de cinta para completar los espacios. Luego, completa la ecuación para hallar el producto. Cuando sea posible, escribe la respuesta como un número entero.
5 6 × 18 = 15
3 4 × 12 = 9
14. La medida del ∠A es 120°. La medida del ∠B es 2 3 de la medida del ∠A. ¿Cuál es la medida del ∠B?
La medida del ∠B es 80°
15. En el parque de camas elásticas, se vendieron 84 boletos. 5 7 de los boletos que se vendieron son para niños y niñas. ¿Cuántos de los boletos que se vendieron son para niños y niñas? 60 de los boletos que se vendieron son para niños y niñas.
16. Blake halló correctamente 3 4 × 36 = 27. Se sorprendió de que su respuesta fuera menor que 36 ya que creía que la multiplicación daba como resultado un número mayor que ambos factores. Explica por qué la respuesta de Blake fue menor que 36.
La respuesta de Blake fue menor que 36 porque multiplicó 36 por una fracción menor que 1
Esto significa que estaba hallando una parte, o 3 4 , de 36
EUREKA MATH
Muestra
Multiplicar un número entero por una fracción
Vistazo a la lección
La clase selecciona un método para hallar el producto de una fracción menor que 1 y un número entero. Razonan acerca de cómo usar lo que saben sobre una fracción unitaria por un número entero para hallar el producto de una fracción mayor que 1 y un número entero. La clase resuelve problemas del mundo real que involucran multiplicar fracciones y números enteros.
Pregunta clave
• Cuando multiplicamos una fracción por un número entero diferente de cero, ¿por qué algunas veces el producto es mayor que el número entero?
2. 7 5 × 15 = 21
3. ¿Qué expresión da como resultado un producto mayor que 4? Explica cómo lo sabes. 3 4 × 4 5 4 × 4 5 4 × 4 es mayor que 4 porque 5 4 es mayor que 1. Cuando multiplicas 4 por cualquier número mayor que 1, el producto es mayor que 4
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
• Multiplicar un número entero por una fracción mayor que 1
• Resolver problemas del mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Tarjetas de expresiones de multiplicación (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las Tarjetas de expresiones de multiplicación de los libros para estudiantes y recortarlas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de dos dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos por medio del algoritmo convencional.
Muestre 22 × 31 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 1,344 32 × 42 = 1,175 47 × 25 =
Contar de un tercio en un tercio con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un tercio en un tercio.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de un tercio en un tercio. Empiecen diciendo 0 tercios. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de un tercio en un tercio hasta 15 3 . Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Multiplicar un número entero por una fracción unitaria
La clase visualiza una matriz dividida en 2 o 3 grupos iguales para hallar una fracción unitaria de un conjunto y desarrollar fluidez con la multiplicación de un número entero por una fracción.
Muestre el enunciado y la matriz.
¿Cómo podrían dividir la matriz para hallar 1 2 de 4? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
Podríamos dibujar una línea horizontal entre las dos filas. Podríamos dibujar una línea vertical entre las dos columnas.
Muestre la matriz dividida.
¿Cuánto es 1 _ 2 de 4? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
2
Muestre la respuesta. de 4 es 1 2 . 2
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Tarjetas de expresiones de multiplicación, tijeras
La clase ordena expresiones del menor valor al mayor valor razonando acerca de los productos.
Pida a sus estudiantes que retiren las Tarjetas de expresiones de multiplicación de sus libros y recorten las tarjetas. Pida a la clase que separe las tarjetas para que puedan ver cada expresión.
¿Qué observan?
Cada tarjeta tiene una expresión de multiplicación.
Cada expresión de multiplicación tiene una fracción como primer factor.
La mayoría de las fracciones son menores que 1. Una fracción es mayor que 1.
Cada expresión tiene el factor 4.
Invite a la clase a ordenar las expresiones del menor valor al mayor valor. Pida a la clase que razone sin multiplicar. Anímeles a usar la interpretación de lecciones previas y a que piensen en cada expresión como una parte fraccionaria de un número entero.
Pida a sus estudiantes que comparen el orden de sus trabajos con otros trabajos. Luego, pídales que dejen las tarjetas a un lado en el orden que eligieron. Sus estudiantes vuelven a ver el orden durante la lección y se les anima a confirmar o corregir su razonamiento.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy multiplicaremos fracciones y números enteros.
Aprender
Multiplicar un número entero por una fracción menor que 1
La clase elige un método para hallar el producto de una fracción menor que 1 y un número entero.
Escriba 3 4 × 7 = e invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el producto.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿La respuesta es mayor que 7 o menor que 7? ¿Por qué?
• ¿Pueden dibujar algo que les ayude a hallar el producto? ¿Qué pueden dibujar?
• ¿Cómo pueden usar lo que comprenden acerca de 1 4 × 7 para hallar el producto?
Elija a dos estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones que hay entre los métodos.
Diferenciación: Apoyo
Considere pedir que completen en parejas la actividad de ordenar. Luego, pídales que comparen el orden de su trabajo con el de otras parejas de estudiantes.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas.
Si la clase no produce ejemplos de trabajo como los siguientes, use estos ejemplos para demostrar otras formas de hallar 3 4 × 7.
Recta numérica (método de Noah)
¿Cómo usaste una recta numérica para hallar 3 _ 4 × 7?
Sabía que tenía que hallar una fracción de 7, así que dibujé una recta numérica que muestra del 0 al 7. Como quería
hallar 3 4 , dividí cada intervalo de 1 en cuartos. Luego, hallé 3 4 de cada intervalo de número entero y los compuse para hallar 3 4 del total.
3 4 + 3 4 + 3 4 + 3 4 + 3 4 + 3 4 + 3 4 = 21 4
Diagrama de cinta (método de Sara)
¿Cómo usaste un diagrama de cinta para hallar 3 _ 4 × 7?
Sabía que tenía que hallar una fracción de 7, así que dibujé un diagrama de cinta para representar 7. Como quería hallar cuartos, dividí el diagrama en 4 partes iguales. Sabía que 4 unidades = 7, entonces
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar comienzos de oración para apoyar a sus estudiantes mientras comparten su trabajo.
• Sabía que tenía que hallar una fracción de , así que dibujé .
1 unidad = 7 4 . Como 1 unidad = 7 4 , eso significa que 3 unidades = 3 × 7 4 , que es igual a 21 4 .
Ecuaciones (método de Riley)
¿Cómo usaste ecuaciones para hallar 3 _ 4 × 7?
Sabía que 3 4 = 3 × 1 4 . Quería usar una fracción unitaria porque eso me ayuda a pensar sobre 1 4 de 7, que es 7 4 . Para hallar 3 4 de 7, sabía que podía multiplicar por 3 y 3 × 7 4 = 21 4 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar sus trabajos con el de los ejemplos que se muestran.
Escriba 3 × 7 4 = 3 × 7 4 .
¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?
La primera expresión muestra 3 grupos de 7 4 , que coincide con el trabajo de Riley y Sara.
La segunda expresión muestra una fracción.
La unidad fraccionaria en ambas expresiones es cuartos.
Me pregunto si 3 4 de 7 y 3 × 7 4 se pueden escribir como 3 × 7 4 .
Me pregunto si 3 × 7 4 tiene el mismo valor que 3 4 de 7 y 3 × 7 4 .
Sabemos que 3 __ 4 de 7 se puede hallar usando 3 _ 4 × 7. Y aprendimos a interpretar 3 _ 4 × 7 como 3 × 7 _ 4 en una lección anterior. ¿Qué expresión de suma repetida podemos escribir para 3 × 7 _ 4 ?
7 4 + 7 4 + 7 4
Agregue una tercera fila al trabajo de Riley para mostrar la expresión de suma repetida.
7 4 + 7 4 + 7 4 = 21 4 y 3 × 7 4 = 21 4 . La respuesta es la misma para ambas.
La expresión 3 × 7 ____ 4 es equivalente a hallar 3 grupos de 7 cuartos, que es lo que muestra la expresión de suma repetida. Entonces, las expresiones 3 _ 4 × 7, 3 × 7 _ 4 y 3 × 7 ____ 4 tienen todas el mismo valor.
Riley podría haber incluido ese paso en su trabajo.
Diferenciación: Apoyo
Considere resaltar las tres expresiones en el trabajo para enfatizar que tienen el mismo valor.
Señale 3 × 7 4 = 3 × 7 4 .
¿Cómo nos ayuda escribir 3 × 7 4 como 3 × 7 ____ 4 ?
3 × 7 4 nos recuerda que estamos formando 3 grupos de 7 cuartos, así que la unidad fraccionaria será cuartos.
Sé que una fracción es el numerador dividido entre el denominador. 3 × 7 me indica el numerador, y el denominador es 4. Si tuviera sentido expresar la respuesta como un número mixto, dividiría el numerador entre 4.
¿Lo registrarían de esa manera si estuviéramos evaluando 3 × 8 _ 4 ? ¿Por qué?
Sí, porque 3 × 8 4 = 3 × 8 4 .
Lo haría porque 3 × 8 4 = 24 4 , y sé que 24 ÷ 4 = 6.
No lo haría porque preferiría pensar en 8 4 como 2, así que haría 3 × 2 = 6.
Invite a la clase a volver a ver las Tarjetas de expresiones de multiplicación que ordenaron antes. Anime a sus estudiantes a confirmar su razonamiento o a hacer correcciones en el orden según el nuevo aprendizaje.
Multiplicar un número entero por una fracción mayor que 1
La clase usa un diagrama de cinta para hallar el producto de una fracción mayor que 1 y un número entero.
Escriba la expresión 4 4 × 7 y dibuje un diagrama de cinta.
¿El diagrama de cinta representa la expresión 4 _ 4 × 7?
¿Cómo lo saben?
Sí. El diagrama de cinta representa la expresión porque estamos hallando una fracción de 7 y está dividida en 4 partes iguales.
Diferenciación: Desafío
Si la clase está preparada para un desafío, considere hacer la siguiente pregunta:
¿Cuándo registrarían a × b __ c como a × b c ?
Escriba la expresión 5 4 × 7 e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diferencia esta expresión de otras que vieron en la sección Aprender.
La fracción es mayor que 1 y las otras fracciones que vimos eran menores que 1. ?
¿Multiplicar por una fracción mayor que 1 cambia algo sobre cómo representamos el problema? ¿Por qué?
Igual podríamos representar el problema con un diagrama de cinta. Pero 5 4 significa que debemos dividir 7 en 4 partes iguales y, luego, tomar 5 de ellas.
Para hallar 5 _ 4 de 7, tenemos que tomar 5 partes cuando 7 se divide en 4 partes iguales.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden tomar 5 partes cuando solo hay 4 partes y cómo pueden modificar el diagrama de cinta para representar 5 4 de 7.
Una forma de representar 5 4 de 7 es agregar otra parte al diagrama de cinta.
Agregue otra parte al modelo y rotule las 5 partes con un signo de interrogación.
¿Cómo podemos usar este diagrama de cinta para hallar el valor de 5 _ 4 de 7?
Sabemos que 1 4 de 7 es 7 4 y 5 4 de 7 es 5 veces esa cantidad, entonces podemos hallar 5 × 7 4 .
Dibuje el diagrama de cinta. ?
¿Piensan que podríamos representar 5 4 de 7 con una recta numérica? ¿Por qué?
No, no creo que podamos usar una recta numérica. Cada parte del diagrama de cinta puede tener cualquier valor. Y en tanto sepamos que son partes iguales, podemos entender el valor de cada parte. También podemos dividir un intervalo de 1 en una recta numérica en cualquier número de partes, pero no podemos dividirla en 5 4 partes porque eso es mayor que 1.
Continuemos pensando acerca de usar un diagrama de cinta para representar 5 _ 4 de 7. Podríamos dibujar dos diagramas, cada uno con un valor de 7. Podemos dividir cada diagrama en 4 partes iguales y rotular 5 de las partes con un signo de interrogación para representar 5 4 de 7.
¿Cómo podemos usar este diagrama de cinta para hallar el valor de 5 4 de 7?
Podemos ver que 4 4 es igual a 7. Como estamos hallando 5 4 de 7, tenemos que sumar el valor de una parte más. 1 4 de 7 es 7 4 , entonces, para hallar 5 4 de 7, debemos sumar 7 y 7 4 .
Pida a sus estudiantes que hallen 5 4 × 7. Anímeles a hallar el producto usando el método que prefieran. Recorra el salón de clases y busque estudiantes que usen las siguientes ecuaciones para registrar su razonamiento.
Exploremos dos formas diferentes en las que pueden haber hallado el valor de 5 _ 4 × 7.
Muestre el trabajo de sus estudiantes o use los siguientes ejemplos.
Ambos métodos dieron como resultado el mismo producto. ¿Qué método prefieren? ¿Por qué?
Prefiero el método de la derecha porque puedo hallar 4 4 × 7 mentalmente y, luego, sumar un 7 4 más.
Prefiero el método de la izquierda porque preferiría multiplicar un número entero y una fracción.
¿Cuánto es 5 _ 4 de 7?
5 4 de 7 es 8 3 4 .
8 3 4 es mayor que 7. ¿Tiene sentido que 5 _ 4 × 7 sea mayor que 7? ¿Por qué?
Sí. 4 4 × 7 = 7, así que tiene sentido que 5 4 × 7 sea mayor que 7 porque 5 4 es mayor que 4 4 .
DUA: Acción y expresión
Mientras sus estudiantes analizan dos formas de hallar la respuesta, considere hacer preguntas adicionales para que reflexionen acerca de los dos métodos.
• ¿Pueden explicar los pasos que siguió esta persona para hallar la respuesta?
• ¿Tienen otra forma de hallar la respuesta? Expliquen.
Sí, tiene sentido porque 5 4 es mayor que 1. Cuando multiplicas 7 por un número mayor que 1, obtienes un producto mayor que 7.
Invite a la clase a volver a ver las Tarjetas de expresiones de multiplicación que ordenaron antes.
Anime a sus estudiantes a confirmar su razonamiento o a hacer correcciones en el orden según el nuevo aprendizaje.
Resolver problemas del mundo real
La clase resuelve un problema del mundo real que involucra multiplicar un número entero por una fracción.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo resolverían el problema.
¿Qué observan acerca de este problema?
Scott gastó 3 4 de su dinero en revistas de historietas.
Gastó $9 en revistas de historietas.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Scott gastó 3 4 de su dinero en revistas de historietas. Gastó $9 en revistas de historietas. ¿Cuánto
dinero tenía Scott antes de comprar las revistas de historietas?
3 4 × 12 = 9
Scott tenía $12 antes de comprar las revistas de historietas.
Dibujemos un diagrama de cinta para representar el problema. Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar la cantidad total de dinero y rotular con un signo de interrogación porque es lo que se nos pide hallar. ¿Cómo podemos mostrar cuánto costaron las revistas de historietas?
Podemos dividir el diagrama en 4 partes iguales y rotular 3 de ellas $9.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando lee e interpreta problemas del mundo real y halla la respuesta multiplicando un número entero por una fracción mayor que 1
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué se pide en el problema?
• ¿Sus respuestas tienen sentido para este problema del mundo real?
Nota para la enseñanza
En el problema 1, se presenta una dificultad nueva al pedir a sus estudiantes que hallen un factor desconocido. Aunque sus estudiantes conocen los problemas de factor desconocido de grados anteriores, esta es la primera vez que un problema de factor desconocido involucra una fracción. El maestro o la maestra debe brindar una guía para afrontar esta dificultad. El problema 2 es menos complejo y sus estudiantes pueden completar el problema de forma independiente o en parejas.
Considere diferenciar el trabajo según la clase o según cada estudiante, asignando uno de los dos problemas. Si se omite el problema 1, considere omitir los problemas 15 a 18 del Grupo de problemas porque también son problemas de factor desconocido.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En qué se diferencia este diagrama de cinta de los otros diagramas de cinta que dibujamos hoy?
El valor desconocido es el número entero del que estamos buscando una fracción. Conocemos la fracción 3 4 y conocemos el producto 9.
Estamos intentando hallar 3 _ 4 de qué número es equivalente a 9.
¿Tenemos suficiente información para hallar el valor de 1 unidad?
Sí. Sabemos que 3 unidades = 9, así que podemos decir que 1 unidad = 9 3 o 3.
¿Cómo podemos hallar la cantidad de dinero que tenía Scott antes de comprar las revistas de historietas?
Sabemos que 1 unidad = 3, así que podemos multiplicar 3 por 4.
¿Cuánto dinero tenía Scott antes de comprar las revistas de historietas?
$12
¿Cuál es una ecuación que coincide con la historia? ¿Cómo lo saben?
La ecuación 3 4 × 12 = 9 coincide con la historia. Sabemos que estamos hallando 3 4 de un número
y que 3 4 del número es 9. Hallamos que 3 4 de 12 es 9, así que el factor desconocido es 12.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Pida a la clase que complete el problema 2 de forma independiente o en parejas. Recorra el salón de clases y proporcione ayuda según sea necesario con las siguientes preguntas:
• ¿Qué nos dice el problema?
• ¿Qué nos pide hallar el problema?
• ¿Qué expresión de multiplicación podemos usar para representar el problema?
• ¿La respuesta es mayor que 60° o menor que 60°? ¿Por qué?
• ¿Qué podemos dibujar para ayudarnos a resolver el problema?
2. Tyler dibujó el ángulo que se muestra. Kayla dibuja un ángulo con una medida que es 8 5 de la medida del ángulo de Tyler. ¿Cuál es la medida del ángulo de Kayla?
8 5 × 60 = 8 × 60 5 = 8 × 12 = 96
La medida del ángulo de Kayla es 96°.
Reúna a la clase para conversar sobre su trabajo.
¿Cuál es la medida del ángulo de Kayla? ¿Cómo lo saben?
Es 96°. Hallé 8 5 de 60, que es 96.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la respuesta es razonable.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
60°
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar un número entero por una fracción
Guíe una conversación de toda la clase acerca de multiplicar un número entero por una fracción usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre las siguientes expresiones.
3 5 × 19
7 5 × 19
¿Qué expresión da como resultado un producto mayor que 19? ¿Cómo lo saben?
7 5 × 19 es mayor que 19. Sabemos que 5 5 × 19 = 19 y estamos hallando más que 5 5 de 19, así que la respuesta es mayor que 19.
7 5 × 19 es mayor que 19 porque estamos multiplicando 19 por una fracción mayor que 1.
¿Cuándo el producto de una fracción y un número entero diferente de cero es mayor que el número entero? ¿Por qué?
Cuando la fracción es mayor que 1, el producto es mayor que el número entero, siempre que el número entero sea distinto de cero. El producto es mayor que el número entero porque una fracción mayor que 1 significa multiplicar el número entero por más de 1 y 1 por el número entero es igual al mismo número. Entonces, más de 1 por el número entero es más que el número entero.
Invite a sus estudiantes a volver a ver sus Tarjetas de expresiones de multiplicación para hacer las últimas correcciones. Luego, comparta el orden correcto.
Considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿De cuál de las expresiones supieron el valor inmediatamente? ¿Con qué tarjetas necesitaron más tiempo para pensar?
• Si saben que 1 5 × 4 = 4 5 , ¿qué otros productos parecidos podrían hallar?
• ¿Cómo les ayuda saber el producto de una fracción unitaria y un número entero para hallar el producto de otra fracción con el mismo denominador y el mismo número entero?
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa la recta numérica para representar la multiplicación. Luego, escribe una oración de suma repetida para hallar el producto. 1.
iguales.
Usa el diagrama de cinta para completar el enunciado. Luego, halla el producto.
3. 1 4 × 5 es 1 parte cuando 5 se divide en 4 partes iguales.
Completa el enunciado. Luego, halla el producto.
7 5 × 12 es 7 partes cuando 12 se divide en 5 partes iguales.
Multiplica.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
17. El Sr. Evans hace 10 pintas de salsa. 3 4 de las pintas de salsa son picantes. ¿Cuántas pintas de salsa son picantes?
3 4 × 10 = 7 1 2
71 2 pintas de salsa son picantes.
15. 2 3 de un número es 24 ¿Cuál es ese número? Muestra tu trabajo.
2 unidades = 24
1 unidad = 24 2 = 12
3 unidades = 3 × 12 = 36
El número es 36
16. Sara dibujó el ángulo que se muestra. Riley dibuja un ángulo que es 11 5 de la medida del ángulo de Sara.
a. ¿La medida del ángulo de Riley es mayor o menor que la medida del ángulo de Sara? ¿Cómo lo sabes?
La medida del ángulo de Riley es mayor que la medida del ángulo de Sara porque el ángulo de Riley es 11 5 de la medida del ángulo de Sara, y 11 5 es mayor que 1
b. ¿Cuál es la medida del ángulo de Riley?
La medida del ángulo de Riley es 99°. ? 24 45°
18. A Lisa se le rompen 2 5 de sus lápices de colores mientras trabaja en un proyecto de arte. Se le rompen 20 de los lápices. ¿Cuántos lápices de colores tenía Lisa cuando comenzó el proyecto?
2 5 de ? es 20
Lisa comenzó el proyecto con 50 lápices de colores.
1.
Convertir unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades más pequeñas
Vistazo a la lección
La clase aplica sus conocimientos previos sobre la multiplicación que involucra fracciones para convertir unidades de medida más grandes del sistema inglés grandes a unidades del sistema inglés más pequeñas. Estiman antes de convertir y, luego, evalúan si sus respuestas son razonables. La clase descubre que para convertir unidades más grandes a unidades más pequeñas se necesita multiplicar una fracción y un número entero.
Preguntas clave
• ¿Podemos usar la multiplicación para convertir unidades de medida más grandes a unidades más pequeñas? ¿Por qué?
3
5
• ¿Cuál es la relación entre multiplicar un número entero por una fracción y convertir unidades de medida más grandes a unidades más pequeñas?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
5.Mód3.CLA14 Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas para resolver problemas. (5.MD.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar para convertir unidades
• Conversiones en el mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro
o maestra
• Hoja de referencia de Matemáticas de 5.° grado (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Hoja de referencia de Matemáticas de 5.° grado (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Guarde la Hoja de referencia de Matemáticas de 5.° grado para usarla en futuras lecciones.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de dos dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos por medio del algoritmo convencional.
Muestre 15 × 23 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de un tercio en un tercio con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un tercio en un tercio y con la expresión de fracciones mayores que 1 como números enteros o mixtos.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de un tercio en un tercio. Hoy, expresaremos las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de un tercio en un tercio hasta el 5. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por números enteros, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Multiplicar un número entero por una fracción unitaria
La clase visualiza una matriz dividida en 2, 3 o 4 grupos iguales para hallar una fracción unitaria de un conjunto y desarrollar fluidez con la multiplicación de un número entero por una fracción.
Muestre el enunciado y la matriz.
¿Cómo podrían dividir la matriz para hallar 1 2 de 8?
Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
Podríamos dibujar una línea horizontal entre las dos filas.
Podríamos dibujar una línea vertical en el medio para que haya 4 círculos de cada lado de la línea.
Muestre la matriz dividida.
¿Cuánto es 1 _ 2 de 8? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
4
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase compara dos unidades de medida diferentes.
Presente el siguiente problema y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática:
¿Preferirían jugar al basquetbol durante 3 10 de hora o 1,080 segundos? ¿Por qué?
Dé a la clase 1 minuto de tiempo para pensar en silencio y decidir. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. 5
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
Prefería jugar al basquetbol durante 3 10 de hora porque creo que es menos tiempo y no me gusta jugar al basquetbol.
Preferiría jugar al basquetbol durante 1,080 segundos porque creo que es más tiempo. El basquetbol es mi deporte preferido, así que quisiera jugar tanto tiempo como sea posible.
¿Qué observan acerca de las unidades?
Hay dos unidades diferentes: horas y segundos.
¿Cuál es la unidad más grande?
Horas
Para comparar unidades de medida con precisión, necesitamos convertir, o expresar con otro nombre, para que las unidades de medida sean iguales. Convirtamos las horas a segundos.
¿Cuántos segundos hay en 1 hora? ¿Cómo lo saben?
Hay 3,600 segundos en 1 hora porque hay 60 segundos en 1 minuto y 60 minutos en 1 hora. 60 × 60 = 3,600
Hay 3,600 segundos en 1 hora, pero queremos saber el número de segundos en 3 10 de hora. ¿Qué podríamos hacer?
Queremos hallar 3 10 de 3,600. 3 __ 10 × 3,600
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar 3 10 de 3,600. Quizá deba recordar a sus estudiantes que piensen en cómo pueden hacer un problema más simple. Pueden hallar 3 10 de 3,600 al evaluar 3 × 3,600 10 y obtener 3 × 360 = 1,080.
¿Cuántos segundos hay en 3 __ 10 de hora? 1,080
¿Qué observan?
3 10 de hora y 1,080 segundos son la misma cantidad de tiempo.
¿Por qué 1,080 segundos parecía más tiempo?
Porque 1,080 es un número mucho más grande que 3 10 .
¿Cómo puede ser que 1,080 segundos y 3 __ 10 de hora representen la misma cantidad de tiempo?
Los segundos son pequeños, así que hay muchos segundos en un número de horas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la multiplicación para convertir unidades de medida más grandes a unidades más pequeñas.
Aprender
35
Multiplicar para convertir unidades
Materiales: M/E) Hoja de referencia de Matemáticas de 5.° grado
La clase multiplica un número entero por una fracción para convertir unidades de medida más grandes a unidades más pequeñas.
Escriba 1 6 de pie = pulgadas.
¿Qué observan?
Tenemos un número de pies que equivale a un número de pulgadas.
El número de pies es una fracción menor que 1.
El número desconocido es el número de pulgadas igual a 1 6 de pie.
Convirtamos 1 6 de pie a pulgadas. ¿Cómo escriben 1 6 de pie como una expresión de multiplicación?
1 _ 6 × 1 pie
Registre 1 6 × 1 pie.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere asignar tiempo para que la clase practique las abreviaturas de las unidades del sistema inglés, especialmente las de longitud y capacidad. Hasta 4.o grado inclusive, sus estudiantes no usaban ninguna abreviatura para pie y usaban abreviaturas no estándares para las pulgadas, los cuartos de galón, las tazas y las onzas líquidas. Estas abreviaturas no estándares se utilizan para evitar la dificultad adicional de abreviaturas que no coinciden con el nombre de la unidad. En 5.o grado, sin embargo, sus estudiantes hacen la transición a las abreviaturas del sistema inglés que se presentan en los grados superiores (ft, in, qt, c y fl oz, respectivamente).
Cuando aparezcan por primera vez las abreviaturas en los ejercicios, muestre a sus estudiantes una medida con las unidades abreviadas. Represente cómo decir y escribir la medida y, luego, invite a la clase a decirla y escribirla. Enfatice que, al igual que las abreviaturas que usaban antes, estas no marcan singular ni plural, sino que esa información está dada por el número de la medida. Por ejemplo, escriba 1 ft. Diga 1 pie y escriba 1 pie. Pida a la clase que haga lo mismo. Repita el proceso con 2 ft. Haga lo mismo con 1 in y 2 in. A medida que sea necesario, haga esta introducción también con las abreviaturas de las unidades de capacidad.
Considere crear un afiche para que sus estudiantes consulten durante la clase:
pies ⇒ ft (antes: pie o pies) pulgadas ⇒ in (antes: pulg)
cuartos de galón ⇒ qt (antes: ct)
tazas ⇒ c (antes: tz)
onzas líquidas ⇒ fl oz (antes: oz líq)
Muestre el diagrama de cinta con 1 pie descompuesto en 12 partes iguales.
1 pie
1 pulgada
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que comprenden del diagrama de cinta.
1 pie = 12 pulgadas
1 pie es más largo que 1 pulgada. 1 pulgada es más corta que 1 pie.
¿El número de pulgadas que equivale a 1 _ 6 de pie es mayor o menor que 12 pulgadas?
¿Cómo lo saben?
El número de pulgadas es menor que 12 pulgadas porque 1 6 de pie es menor que 1 pie y 1 pie = 12 pulgadas.
Si observamos nuestro diagrama de cinta, vemos que 1 pie es 12 veces tan largo como una pulgada. ¿Cómo saben eso al mirar el diagrama de cinta?
Hay 12 pulgadas en 1 pie, así que 1 pie es 12 veces tan largo como 1 pulgada. El diagrama de cinta está dividido en 12 partes iguales.
¿Qué creen que significa esto sobre el número de pulgadas igual a 1 6 de pie?
El número de pulgadas es 12 veces 1 6 .
Registre 1 6 × 1 pie = 1 6 × 12 pulgadas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas
acerca de si 1 6 × 1 pie = 1 6 × 12 pulgadas es una ecuación verdadera y cómo lo saben.
Pida a sus estudiantes que continúen trabajando de forma independiente hasta que hallen cuántas pulgadas hay en 1 6 de pie.
Cuando hallaron 1 _ 6 × 12 pulgadas, ¿qué observaron?
Estamos hallando 1 6 de 12.
¿Cómo hallaron 1 6 de 12?
Pensé en 1 parte cuando 12 se divide en 6 partes iguales.
Nota para la enseñanza
En el primer segmento de la sección Aprender, se usan diagramas de cinta para mostrar cómo es la equivalencia entre las unidades de medida más pequeñas y 1 de las unidades de medida más grandes. Más adelante en la lección, la clase usa diagramas de cinta como parte del proceso Lee-Dibuja-Escribe. Los diagramas de cinta tienen muchas utilidades y se pueden usar de forma flexible para entender los problemas, para resolverlos o para hacer ambas cosas. Considere resaltar los diferentes usos de los diagramas de cinta con sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Cuando muestren su trabajo, es probable que una parte de sus estudiantes use las unidades de manera consistente en cada ecuación.
1 6 × 1 ft = 1 6 × 12 in = 1 × 12 6 in = 12 6 in = 2 in
Es probable que otra parte de sus estudiantes obtenga la ecuación de conversión para, luego, simplemente multiplicar y recontextualizar al final.
1 6 × 1 ft = 1 6 × 12 in = 1 × 12 6 = 1 × 2 = 2
1 6 ft = 2 in
Cualquiera de las estrategias es aceptable. Puede animar el uso de una u otra, según las necesidades de sus estudiantes.
Pensé en 1 × 12 6 , que es 1 × 2. Luego, multipliqué. 1 × 2 = 2
¿2 pulgadas es una respuesta razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí, 2 pulgadas es una respuesta razonable porque estimamos que 1 6 de 1 pie es menor que 12 pulgadas, y nuestra respuesta de 2 pulgadas es menor que 12 pulgadas.
Sí, 2 es 12 veces 1 6 . El número de pulgadas debe ser 12 veces el número de pies.
Complete la ecuación 1 6 de pie = 2 pulgadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Comparta que, en este problema, el número de libras es igual al número de onzas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que comprenden del diagrama de cinta.
1 libra = 16 onzas
1 libra es mayor que 1 onza. 1 onza es menor que 1 libra.
1 libra es 16 veces 1 onza.
Convierte.
1 onza
DUA: Representación
Ayude a sus estudiantes a ver que 1 6 de 12 es 2 al dividir el diagrama de cinta en sextos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes no necesitan memorizar ninguna conversión de esta lección. Por el contrario, el enfoque de esta lección está centrado en la aplicación de multiplicar un número entero por una fracción.
Según sea necesario, diga a sus estudiantes las unidades equivalentes, muestre la equivalencia con un diagrama de cinta o pida que usen la hoja de referencia.
¿Cómo pueden convertir 2 _ 3 de libra a onzas? ¿Cómo lo saben?
¿El número de onzas que equivale a 2 3 de libra es mayor o menor que 16? ¿Por qué?
El número de onzas es menor que 16 porque 2 3 de libra es menor que 1 libra.
Si hallas 2 3 × 16, el producto es menor que 16 porque estamos multiplicando por un número menor que 1.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para determinar el valor de 2 3 de 16 onzas. La clase puede dejar su respuesta como una fracción mayor que 1 o expresarla como un número mixto.
Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Dé a sus estudiantes 2 minutos para trabajar antes de pedirles que compartan su respuesta con todo el grupo.
Observé que hay quienes tienen 32 3 de onza y quienes tienen 10 2 _ 3 onzas como respuesta.
¿Ambas son correctas? ¿Cómo lo saben?
Sí, ambas respuestas son correctas. 10 2 3 = 32 3
Si estuvieran pesando un objeto en una balanza, ¿preferirían ver 10 2 3 onzas o 32 __ 3 de onza?
¿Por qué?
Preferiría ver 10 2 3 onzas porque generalmente no representamos medidas con fracciones mayores que 1.
¿Cómo podemos saber si estas respuestas son razonables? ¿10 2 3 onzas es razonable?
¿Cómo lo saben?
Podemos comparar las respuestas con 16 onzas. Como convertimos una fracción de una libra a onzas, las respuestas deberían ser menores que 16.
¿Es más fácil comparar con 10 2 3 o con 32 __ 3 ? ¿Por qué?
Es más fácil comparar con 10 2 3 porque puedo ver que 10 2 3 es menor que 16. Podría hacer la comparación con 32 3 , pero pensaría en 32 3 como un número mixto.
Pida a la clase que se asegure de completar la ecuación 2 3 lb = 10 2 3 oz.
Diferenciación: Apoyo
Considere mostrar imágenes u objetos de la vida real para apoyar la comprensión de las unidades usadas en los problemas.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas usando el diagrama de cinta o la hoja de referencia para determinar cuántas onzas líquidas hay en 1 taza. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Dé a sus estudiantes 2 o 3 minutos para trabajar antes de pedirles que compartan su respuesta con todo el grupo.
2. 7 4 c = 14 fl oz
1 taza
1 onza líquida
7 _ 4 × 1 c = 7 _ 4 × 8 fl oz
= 7 × 8 4 fl oz = 7 × 2 fl oz = 14 fl oz
¿Cuántas onzas líquidas equivalen a 7 4 de taza? ¿Qué expresión de multiplicación usaron?
Hallé que 7 4 de taza = 14 onzas líquidas cuando usé la expresión 7 4 × 8 fl oz.
¿En qué se diferencia este ejemplo de otros ejemplos anteriores?
Multiplicamos por una fracción que es mayor que 1.
¿Cómo afectó el producto? ¿Por qué?
El producto es mayor que 8 onzas líquidas. Hay 8 onzas líquidas en 1 taza y 7 4 de taza es mayor que 1 taza.
El producto es mayor que 8 onzas líquidas. Multiplicamos 8 onzas líquidas por una fracción mayor que 1, lo que significa que el producto es mayor que 8.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué pueden usar la multiplicación para convertir una unidad más grande a una unidad más pequeña.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando convierte unidades del sistema inglés y se asegura de estar usando la abreviatura y el factor de conversión correctos y de que su respuesta tiene sentido.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué significa la abreviatura fl oz en la ecuación del problema 2?
• Cuando convierten unidades de medida, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
• ¿Dónde es común cometer errores al convertir unidades de medida?
Conversiones en el mundo real
La clase aplica su comprensión sobre convertir unidades a situaciones del mundo real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que lean el problema de forma independiente. Lea las primeras dos oraciones del problema a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
3. El Sr. Sharma pasa 3 8 del día en el trabajo. Pasa el resto del día en casa. ¿Cuántas horas pasa en casa?
5 _ 8 de día = 5 _ 8 × 1 día
= 5 _ 8 × 24 horas
= 5 × 24 8 de hora
= 5 × 3 horas
= 15 horas
El Sr. Sharma pasa 15 horas en casa.
¿Qué información conocemos?
1 día, o 24 horas
En el trabajo En casa ?
El Sr. Sharma pasa 3 8 del día en el trabajo y el resto del día en casa.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar el total: 1 día. Luego, podemos dividir el diagrama en 8 partes iguales.
¿Qué rótulos podemos agregar a nuestro diagrama de cinta según lo que sabemos?
Podemos rotular el total con 1 día. Podemos rotular 3 de las partes En el trabajo. Podemos rotular las 5 partes restantes En casa.
Dibuje el diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Lea el resto del problema con la clase.
¿Qué nos pide la pregunta que hallemos? ¿Dónde podemos poner el signo de interrogación en nuestro modelo?
Tenemos que hallar cuántas horas pasa el Sr. Sharma en casa. Podemos poner el signo de interrogación debajo de la parte que representa el tiempo en casa.
Escriba un signo de interrogación debajo del rótulo En casa. Pida a la clase que haga lo mismo.
¿Qué observan acerca de la unidad de medida en nuestro diagrama de cinta y la unidad de medida en la pregunta?
El diagrama de cinta representa 1 día. Se nos pregunta por las horas.
¿Cómo podemos mostrar 1 día como horas en nuestro modelo?
Con el rótulo 1 día, o 24 horas.
¿Qué pueden concluir sobre el diagrama de cinta hasta ahora?
Sé que las 8 partes en el diagrama equivalen a un total de 1 día, que es igual a 24 horas.
Sé que 1 parte es 1 8 × 24 o 24 8 .
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema.
¿Cuántas horas pasa el Sr. Sharma en casa?
El Sr. Sharma pasa 15 horas en casa.
¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Nuestra respuesta es razonable porque nuestro diagrama de cinta muestra que el valor es menor que 24 horas. También es mayor que la mitad de 24, porque 5 de 8 partes es mayor que la mitad de las partes del diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pida a sus estudiantes que completen el problema en parejas. Comparta que 1 milla = 1,760 yardas. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Dé a sus estudiantes 3 o 4 minutos para trabajar antes de pedirles que compartan sus respuestas con todo el grupo.
4. Ryan participa en una carrera de 2 millas. Corre 1 3 10 millas y camina el resto de la distancia.
¿Cuántas yardas camina Ryan?
2 − 1 3 10 = 7 10
7 10 de milla = 7 10 × 1 milla
= 7 10 × 1,760 yardas
= 7 × 1,760 10 de yarda
= 7 × 176 yardas
= 1,232 yardas
Ryan camina 1,232 yardas.
2 millas
? 1 millas 3 10
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta: ¿Por qué el número de yardas que caminó Ryan, 1,232, es mayor que el número de millas que corrió, 1 3 10 , aunque Ryan corrió la mayor parte de la carrera?
El número que representa la parte de la carrera que caminó Ryan es mayor que el número que representa la parte que corrió porque las cantidades están en unidades diferentes.
1 3 10 millas convertidas a yardas es mayor que 1,232 yardas.
Las yardas son unidades más pequeñas que las millas, así que para representar una distancia dada se necesitan más yardas que millas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Acepte todas las respuestas equivalentes en el Grupo de problemas. Anime a sus estudiantes a expresar las respuestas como números mixtos cuando corresponda, pero las fracciones mayores que 1 también son respuestas aceptables.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Convertir unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades más pequeñas
Guíe una conversación de toda la clase acerca de convertir unidades de medida más grandes a unidades de medida más pequeñas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué tienen en común las conversiones de unidades de medida que hicimos hoy?
Las conversiones que hicimos tenían unidades como libras, onzas y yardas. No había metros, gramos ni litros.
Convertimos unidades de medida más grandes a unidades de medida más pequeñas.
¿Qué operación había en todas nuestras ecuaciones cuando necesitamos convertir de una unidad de medida más grande a una más pequeña?
La multiplicación
¿Cómo podemos usar la multiplicación para convertir unidades de medida más grandes a unidades más pequeñas?
Podemos escribir expresiones de multiplicación que muestren la cantidad de la unidad más grande y de la unidad más pequeña. Luego, podemos escribir una ecuación usando esas expresiones y hallar una fracción de un número entero usando la multiplicación.
Escriba 3 4 yd = 3 4 × 1 yd = 3 4 × 3 ft = 9 4 ft.
Comparen 9 _ 4 y 3 _ 4 . ¿Cuál es más grande?
9 4 es mayor que 3 4 .
¿Tiene sentido que el número de pies en 3 _ 4 de yarda sea mayor que 3 _ 4 ? ¿Por qué?
Sí. Tiene sentido porque los pies son más cortos que las yardas, así que se necesitan más pies para abarcar la misma longitud.
¿Cómo se compara el producto 3 _ 4 × 3, o 9 _ 4 , con 3?
9 4 es menor que 3.
Nota para la enseñanza
Comparar el tamaño del producto con el tamaño de cada factor se continúa en este tema y en el siguiente. La conversión de unidades del sistema inglés permite una exploración de este concepto dentro de un contexto específico.
¿Tiene sentido que el producto 3 4 × 3 sea menor que 3? ¿Por qué?
Sí. Tiene sentido porque 3 4 es menor que 4 4 y 4 4 × 3 = 3. Entonces, 3 4 × 3 es menor que 3.
Es razonable porque estamos hallando una fracción de 3.
Muestre las siguientes ecuaciones. Invite a la clase a analizarlas.
¿Qué observan acerca del factor resaltado en cada ecuación?
Cada factor resaltado equivale a una de las unidades de medida más grandes.
Cada factor resaltado es mayor que 1.
¿Por qué cada factor resaltado es mayor que 1? ¿Qué nos dice esto sobre convertir unidades de medida más grandes a unidades de medida más pequeñas?
Como estamos convirtiendo unidades de medida más grandes a unidades de medida más pequeñas, se necesitan más unidades de medida más pequeñas para igualar la cantidad de unidades de medida más grandes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Convierte cada medida. 1 pie 1 yarda
1 pulgada
8. Tyler compra 3 4 de yarda de listón para un proyecto. ¿Cuántos pies de listón compra Tyler?
Tyler compra 2 1 4 pies de listón.
Convierte cada medida. 1 onza 1 libra
13. Una hamburguesa pesa 1 4 de libra. ¿Cuántas onzas pesa la hamburguesa?
La hamburguesa pesa 4 onzas.
Convierte cada medida.
cuarto de galón
cuarto de galón
20. La Sra. Chan necesita 1 8 de galón de leche. La tienda solo vende cuartos de galón de leche. La Sra. Chan compra 1 cuarto de galón de leche. ¿Tiene suficiente leche? ¿Cómo lo sabes?
Sí, la Sra. Chan tiene suficiente leche. Necesita 1 8 de galón de leche, que es equivalente a 4 8 de cuarto de galón de leche. Compró 1 cuarto de galón de leche, que es más que 4 8 de cuarto de galón de leche.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
21. Toby compra 3 galones de jugo. Usa 2 3 8 galones para preparar ponche. ¿Cuántos cuartos de galón de jugo le quedan?
3 − 2 3 8 = 5 8
5 8 gal = 2 4 8 qt
A Toby le quedan 2 4 8 cuartos de galón de jugo.
22. Julie compra una madera que mide 12 pies de largo. Corta la madera en 8 partes iguales. ¿Cuántas pulgadas de largo mide cada trozo de madera?
Convertir unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades más grandes
Vistazo a la lección
Convierte cada medida. Usa los diagramas de cinta o la hoja de referencia si lo necesitas.
1. 25 cuartos de galón = 6 1 4 galones
1 galón
1 cuarto de galón
25 × 1 cuarto de galón = 25 × 1 4 de galón
= 25 4 de galón
= 6 1 4 galones
2. Riley compra 12 onzas de almendras. ¿Cuántas libras de almendras compra Riley?
1 onza 1 libra
12 oz = 12 × 1 onza
= 12 × 1 16 de libra
= 12 16 de libra
Riley compra 12 16 de libra de almendras.
La clase usa la multiplicación para convertir unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades de medida más grandes del sistema inglés. Analizan la relación entre el tamaño de las unidades para generar ecuaciones que les ayuden a convertir de una unidad a otra. Estiman antes de multiplicar y, luego, evalúan si sus respuestas son razonables. La clase resuelve problemas del mundo real que involucran la conversión de unidades.
Preguntas clave
• ¿Podemos usar la multiplicación para convertir unidades de medida más pequeñas a unidades más grandes? ¿Por qué?
• ¿De qué manera les ayuda su comprensión sobre la multiplicación a convertir unidades de medida?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
5.Mód3.CLA14 Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas para resolver problemas. (5.MD.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar para convertir unidades
• Conversiones en el mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel (2 hojas)
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Prepare dos afiches en papel. Rotule un afiche División para convertir, y otro afiche Multiplicación para convertir. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de dos dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos por medio del algoritmo convencional.
Muestre 31 × 68 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de un cuarto en un cuarto con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un cuarto en un cuarto.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de un cuarto en un cuarto. Empiecen diciendo 2 cuartos. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de un cuarto en un cuarto hasta 16 4 . Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Multiplicar un número entero por una fracción unitaria
La clase visualiza una matriz dividida en 3, 4 o 5 grupos iguales para hallar una fracción unitaria de un conjunto y desarrollar fluidez con la multiplicación de un número entero por una fracción.
Muestre el enunciado y la matriz.
¿Cómo podrían dividir la matriz para hallar 1 3 de 3? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
Podrías dibujar líneas verticales entre cada círculo.
Muestre la matriz dividida.
¿Cuánto es 1 3 de 3? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: M) Afiches
5
La clase se pregunta y conversa acerca de convertir unidades de medida más pequeñas a unidades de medida más grandes.
Escriba 132 in = ft.
¿Qué observan?
Tenemos un número de pulgadas igual a un número de pies.
Sabemos el número de pulgadas, pero no sabemos el número de pies.
Las pulgadas son más pequeñas que los pies. En otras lecciones, empezamos con la unidad de medida más grande.
Invite a la clase a pensar acerca de cómo convertirían 132 pulgadas a pies.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches colgados en el salón de clases: División para convertir y Multiplicación para convertir.
Invite a la clase a pararse junto al afiche que mejor describe su razonamiento acerca de cómo convertir 132 pulgadas a pies.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron.
A continuación, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación.
Respuestas de ejemplo:
Usaría la división porque queremos un número más pequeño de pies que de pulgadas.
Usaría la división porque sé que 132 ÷ 12 = 11, entonces 132 pulgadas = 11 pies.
Pensaría en operaciones de multiplicación que sé que involucran el 12 porque un pie es 12 veces una pulgada. Sé que 12 × 11 = 132, entonces 132 pulgadas deben equivaler a 11 pies.
Pídales que vuelvan a sentarse. No confirme ninguna forma de convertir las unidades. En cambio, permita que el debate permanezca abierto hasta que el aprendizaje de la lección les confirme cómo pueden convertir unidades más pequeñas a unidades más grandes.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy convertiremos unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades más grandes.
Aprender
Multiplicar para convertir unidades
La clase multiplica para convertir unidades de medida más pequeñas a unidades más grandes.
Muestre la ecuación y el diagrama de cinta.
132 in = ft
¿Qué nos muestra el diagrama de cinta acerca de la relación entre 1 pie y 1 pulgada?
1 pie es más largo que 1 pulgada.
1 pie es 12 veces 1 pulgada.
1 pulgada es más corta que 1 pie.
Continuemos analizando la relación entre 1 pulgada y 1 pie.
Resalte la parte rotulada 1 pulgada.
¿Cuántas pulgadas hay en 1 pie?
12 pulgadas = 1 pie
Escriba 12 pulgadas = 1 pie.
¿Qué fracción de un pie es igual a 1 pulgada?
1 pulgada = 1 12 de pie
Escriba 1 pulgada = 1 12 de pie.
¿Qué tienen en común estas dos ecuaciones?
Muestran dos longitudes iguales.
El número de pies es menor que el número de pulgadas para la misma longitud.
El número de pulgadas es 12 veces el número de pies en cada ecuación.
El número de pies es 1 12 del número de pulgadas en cada ecuación.
En cada ecuación podemos ver que el número de pies es 1 12 del número de pulgadas. ¿Qué es verdadero acerca del número de pies equivalente a 132 pulgadas?
El número de pies es 1 12 veces el número de pulgadas.
Como el número de pies es 1 __ 12 veces el número de pulgadas, ¿el número de pies es mayor o menor que el número de pulgadas? ¿Por qué?
El número de pies es menor que el número de pulgadas porque 1 12 es menor que 1.
¿Por qué tiene sentido que un número más pequeño de pies sea igual a la longitud de un número más grande de pulgadas?
Tiene sentido porque un pie es más largo que una pulgada, así que necesitas menos pies para igualar la misma longitud en pulgadas.
Registre 132 × 1 in = 132 × 1 12 ft.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué esta es una ecuación verdadera.
1 pulgada equivale a 1 12 de pie. Entonces, la ecuación muestra 132 veces la misma longitud.
1 pulgada y 1 12 de pie tienen la misma longitud, así que estamos multiplicando la misma longitud por 132.
Pida a sus estudiantes que continúen trabajando hasta que hallen el número de pies que equivalen a 132 pulgadas.
Nota para la enseñanza
En general, la palabra veces o la frase veces una cantidad no se usan en comparaciones multiplicativas con fracciones. En su lugar, se usa con frecuencia la palabra de o la frase de una cantidad. Dado que puede tratarse de la primera experiencia de la clase con esta diferencia en el uso del lenguaje, haga énfasis en este uso cada vez que aparezca una comparación multiplicativa con una fracción. Remarque, por ejemplo, que no se dice 1 __ 12 veces una cantidad, sino 1 __ 12 de una cantidad.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Brinde esquemas de oración a sus estudiantes para ayudarles a expresar la relación entre la unidad más pequeña y la unidad más grande.
• Hay pulgadas en 1 pie.
• 1 pie es veces 1 pulgada.
• 1 pulgada equivale a pie.
• 1 pulgada es veces 1 pie.
• Hay onzas en 1 libra.
• 1 libra es veces 1 onza.
• 1 onza equivale a libra.
• 1 onza es veces 1 libra.
Muestre un ejemplo de trabajo parecido al siguiente. Considere que parte de la clase podría mostrar unidades en la primera línea de trabajo para comprender la conversión, quitar las unidades cuando trabajen de forma numérica y, luego, incluirlas en el enunciado de respuesta, como se muestra en el siguiente ejemplo de trabajo. Habrá quienes incluyan las unidades en cada línea de trabajo. Ambas formas son aceptables mientras sean consistentes.
¿En qué se parecen convertir pulgadas a pies y convertir pies a pulgadas? ¿En qué se diferencian?
Convertir pulgadas a pies es diferente a convertir pies a pulgadas porque empezamos con unidades de medida más pequeñas y las convertimos a unidades de medida más grandes.
Convertir pulgadas a pies es diferente a convertir pies a pulgadas porque multiplicamos por una fracción menor que 1. Cuando convertimos pies a pulgadas, multiplicamos por un número mayor que 1.
Convertir pulgadas a pies se parece a convertir pies a pulgadas porque usamos la multiplicación.
Convertir pulgadas a pies se parece a convertir pies a pulgadas porque en ambos casos expresamos una unidad como la otra. La longitud es la misma.
En la sección Presentar, usamos Tomar una postura para indicar la operación que usaríamos para convertir pulgadas a pies. ¿Qué operación es correcta? ¿Por qué?
Ambas son correctas. Puedes multiplicar o dividir.
DUA: Representación
A medida que sus estudiantes trabajan, considere registrar las ecuaciones de ejemplo en un afiche de referencia para que puedan consultarlo.
Convertir de más pequeña a más grande
Convertir de más grande a más pequeña
Puedes dividir 132 entre 12, como vimos en nuestro trabajo cuando teníamos la fracción 132 12 . Sé que las fracciones pueden escribirse como expresiones de división, así que podríamos haber dividido.
Puedes multiplicar 132 y 1 12 porque el número de pies es 1 12 veces el número de pulgadas.
Confirme que sus estudiantes ven una división cuando convierten unidades que involucran fracciones porque las fracciones pueden escribirse como expresiones de división. Sin embargo, anime a sus estudiantes a continuar con la práctica de convertir unidades de medida más pequeñas a unidades de medida más grandes usando la multiplicación.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar este aprendizaje con su razonamiento durante la sección Presentar. ¿Usaron la operación que esperaban cuando convirtieron pulgadas a pies? ¿Qué les pareció nuevo, sorprendente o esperado?
Conversiones en el mundo real
La clase aplica su comprensión sobre convertir unidades de medida en situaciones del mundo real.
Reproduzca el video Confusión en la conversión que muestra al Sr. Pérez midiendo el ancho de su ventana en pulgadas con una expresión de confusión cuando debe poner en pies la medida de las nuevas ventanas en el formulario de pedidos.
¿Por qué parece confundido el Sr. Pérez?
El Sr. Pérez midió en pulgadas, pero en el formulario se piden las medidas en pies.
¿Qué debe hacer el Sr. Pérez?
Debe convertir el número de pulgadas a pies para asegurarse de pedir el tamaño correcto.
Estimemos. ¿El número de pies será mayor o menor que 30? ¿Por qué?
El número de pies será menor que 30 porque los pies son más largos que las pulgadas.
¿Habrá un número entero de pies equivalente a 30 pulgadas? ¿Por qué?
No habrá un número entero de pies porque 2 pies = 24 pulgadas y 3 pies = 36 pulgadas.
No, porque 30 no es un múltiplo de 12.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando multiplica por una fracción menor que 1 para convertir unidades de medida más pequeñas a unidades de medida más grandes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan las pulgadas y los pies? ¿Cómo puede ayudarles eso a resolver el problema?
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 y 2? ¿Cómo puede ayudarles eso a resolver el problema 2?
¿Aproximadamente cuántos pies equivalen a 30 pulgadas?
Aproximadamente 2 pies
Entre 2 y 3 pies
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para convertir 30 pulgadas a pies. Recorra el salón de clases para identificar ejemplos de trabajo para compartir. Si sus estudiantes no tienen un trabajo parecido, comparta lo siguiente:
Observen que esta persona expresó 30 __ 12 ft como 2 1 _ 2 ft. ¿Es 2 1 _ 2 ft correcto?
Sí, 30 12 equivale a 2 1 2 porque 30 ÷ 12 = 2 6 12 y 6 12 puede expresarse como 1 2 .
¿2 1 _ 2 pies es una respuesta razonable según nuestra estimación?
Sí, porque estimamos que el número de pies sería menor que 30.
Sí, porque estimamos que el número de pies estaría entre 2 y 3.
¿Debería el Sr. Pérez escribir 30 12 de pie o 2 1 2 pies en el formulario de pedidos? ¿Por qué?
30 12 de pie puede ser difícil de visualizar o reconocer con facilidad, así que sería mejor escribir la medida como un número mixto.
Diferenciación: Apoyo
Ayude a sus estudiantes a ver la relación entre pulgadas y pies pidiéndoles que usen reglas de 12 pulgadas para formar 30 pulgadas. Considere tapar las 6 pulgadas restantes con un pedazo de cinta o papel.
Esta representación concreta ayuda a sus estudiantes a ver 2 1 2 pies como 30 pulgadas y a comprender por qué se necesitan menos pies que pulgadas para cubrir la misma longitud.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lean a coro el problema.
1. Un restaurante tiene 56 onzas de tomates. ¿Cuántas libras de tomates tiene el restaurante? 1 onza
El restaurante tiene 3 1 2 libras de tomates.
¿Qué se pide en el problema?
Tenemos que convertir 56 onzas a libras.
Muestre el diagrama de cinta. Señale la parte rotulada 1 onza.
¿Qué ecuación representa la cantidad de onzas que hay en 1 libra? 16 onzas = 1 libra 1 onza
¿Qué ecuación representa qué fracción de una libra es 1 onza?
1 onza = 1 16 de libra
¿Qué tienen en común estas dos ecuaciones?
Muestran pesos equivalentes.
El número de libras es menor que el número de onzas para el mismo peso.
El número de onzas es 16 veces el número de libras en cada ecuación.
El número de libras es 1 16 del número de onzas en cada ecuación.
En cada ecuación podemos ver que el número de libras es 1 16 del número de onzas. ¿Qué es verdadero acerca de que el número de libras equivale a 56 onzas?
El número de libras es 1 16 veces el número de onzas.
Como el número de libras es 1 16 veces el número de onzas, ¿el número de libras es mayor o menor que el número de onzas? ¿Por qué?
El número de libras es menor que el número de onzas porque 1 16 es menor que 1.
¿Por qué tiene sentido que un número menor de libras pese lo mismo que un número mayor de onzas?
Tiene sentido porque una libra es más pesada que una onza, así que necesitas menos libras para igualar el peso en onzas.
¿A cuántas libras equivalen aproximadamente 56 onzas? ¿Cómo lo saben?
56 onzas son aproximadamente 3 libras porque sé que 16 × 3 = 48.
56 onzas está entre 3 y 4 libras porque 16 × 3 = 48 y 16 × 4 = 64.
Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para convertir 56 onzas a libras.
¿Qué ecuación puede ayudarnos a convertir 56 onzas a libras?
56 × 1 oz = 56 × 1 __ 16 lb
Nota para la enseñanza
Es probable que haya estudiantes que prefieran no escribir una ecuación con expresiones de multiplicación y que, en su lugar, quieran usar 56 ÷ 16 para convertir 56 onzas a libras. Anime a sus estudiantes a escribir la ecuación con expresiones de multiplicación para que puedan practicar cómo usar la multiplicación para convertir unidades. La multiplicación resalta la equivalencia entre dos medidas diferentes, como 1 oz = 1 16 lb, y por eso permite que sus estudiantes vean con claridad y practiquen cómo hallar medidas equivalentes. Es probable que descubran que es más fácil evitar errores si usan este método y, con las expresiones de multiplicación ya escritas, pueden interpretar la multiplicación de un número entero y una fracción como una expresión de división más adelante, en cualquier momento de su trabajo.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para terminar de convertir 56 onzas a libras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si sus respuestas son razonables y cómo lo saben.
Luego, pida a las parejas que completen los problemas 2 y 3. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo, según sea necesario, con las siguientes preguntas:
• ¿Qué unidades de medida están convirtiendo?
• ¿Empezaron con una unidad de medida más grande o más pequeña?
• ¿Cómo pueden usar el diagrama de cinta para escribir la ecuación de multiplicación que usan para convertir?
• ¿Cuál fue su estimación? ¿Cómo estimaron?
• ¿Es razonable su respuesta? ¿Por qué?
2. Una familia que planea unas vacaciones quiere alquilar una cabaña por 35 días. La cabaña solo puede alquilarse por semana. ¿Por cuántas semanas debe la familia alquilar la cabaña?
1 día 1 semana
La familia debe alquilar la cabaña por 5 semanas.
Diferenciación: Apoyo
Considere resaltar unidades equivalentes en las ecuaciones para cada problema.
Problema 2: Esto les recuerda que 1 día = 1 7 de semana.
35 días = 35 × 1 día = 35 × de semana
35 7 1 7 = de semana
Problema 3: Esto les recuerda que 1 pinta = 1 __ 8 de galón.
3. Se necesitan 2 pintas de leche para preparar una receta. ¿Cuántos galones de leche se necesitan para la receta?
pinta
Se necesitan 2 8 de galón de leche para la receta.
Invite a sus estudiantes a compartir las soluciones con el resto de la clase.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere reescribir el problema 2 para que el número de días no sea equivalente a un número entero de semanas. Por ejemplo, 38 días = 5 3 7 semanas. Si la familia tiene que alquilar por semana, esto significa que necesitan alquilar por 6 semanas.
Considere reescribir el problema 3 de modo que deban convertir dos veces cuando usen la hoja de referencia. Por ejemplo, se necesitan 4 tazas de leche para una receta. ¿Cuántos galones de leche se necesitan para la receta?
En esta instancia, sus estudiantes deben considerar cuántas tazas hay en 1 pinta y, luego, cuántas tazas hay en 1 galón.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Convertir unidades de medida más pequeñas del sistema inglés a unidades más grandes
Guíe una conversación de toda la clase acerca de convertir unidades de medida más pequeñas a unidades de medida más grandes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre 48 oz = 48 × 1 16 lb = 48 16 lb = 3 lb.
Comparen 3 y 48.
3 es menor que 48.
¿Tiene sentido que las medidas sean equivalentes considerando que el número 3 que representa libras es menor que el número 48 que representa onzas? ¿Por qué?
Sí. Tiene sentido porque una libra es más pesada que una onza, así que debe haber menos libras para igualar el peso.
Sí, porque 1 onza = 1 16 de libra, entonces 48 onzas es 48 × 1 16 de libra. 1 16 es menor que 1, entonces 48 × 1 16 es menor que 48.
¿Cómo se compara el producto de 48 × 1 __ 16 , o 3, con 1 __ 16 ?
3 es mayor que 1 16 .
¿Tiene sentido que el producto de 48 × 1 __ 16 sea mayor que 1 __ 16 ? ¿Por qué?
Sí, porque 48 es mayor que 1, entonces 48 × 1 16 es mayor que 1 16 .
¿Podemos usar la multiplicación para convertir unidades de medida más pequeñas a unidades más grandes? ¿Por qué?
Sí. Podemos usar la relación entre las unidades pequeñas y las grandes para escribir una ecuación y multiplicar para hallar la cantidad de unidades grandes.
Muestre la siguiente tabla.
Convertir de más pequeña a más grandeConvertir de más grande a más pequeña
48 × 1 oz = 48 × 1 16 lb = 48 16 lb = 3 lb
48 oz = 3 lb 3 × 1 lb = 3 × 16 oz = 48 oz 3 lb = 48 oz
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿En qué se diferencia el segundo factor de la segunda expresión en estas conversiones?
Cuando convertimos de unidades más pequeñas a más grandes, el segundo factor es una fracción menor que 1.
Cuando convertimos de unidades más grandes a más pequeñas, el segundo factor es un número mayor que 1.
Considerando lo que entendieron sobre la multiplicación y convertir unidades, ¿por qué funciona esto? Den un ejemplo para apoyar su razonamiento.
Las libras son más pesadas que las onzas, así que se necesitan menos libras para igualar el peso.
Podemos multiplicar por una fracción menor que 1 para hallar el número de libras.
Las onzas son más livianas que las libras, así que se necesitan más onzas para igualar el peso.
Podemos multiplicar por un número mayor que 1 para hallar el número de libras.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
9. Leo comete un error al convertir 11 pulgadas a pies. Considera el trabajo de
11 in = 11 x 1 in = 11 x 12 ft = 132 ft
a. ¿Cuál es el error que comete Leo?
Leo multiplicó por 12 pies en lugar de multiplicar por 1 12 de pie.
b. ¿Cómo puede usar Leo una estimación para comprobar si su respuesta es razonable?
Leo puede pensar que 11 pulgadas es menos que 1 pie porque hay 12 pulgadas en 1 pie. Eso lo ayudaría a ver que su respuesta de 132 pies no es razonable.
c. Muestra a Leo cómo convertir correctamente 11 pulgadas a pies.
11 in = 11 × 1 in = 11 × 1 12 ft = 11 12 ft
Convierte cada medida.
8. Una serpiente mide 30 pulgadas de largo. ¿Cuántos pies de largo mide la serpiente? La serpiente mide 2 1 2 pies de largo.
14. Sasha envía por correo un paquete que pesa 54 onzas. ¿Cuántas libras pesa el paquete?
El paquete pesa 3 6 16 libras.
Convierte cada medida. 1 cuarto de galón
taza
pinta
21. Yuna prepara 15 tazas de limonada. ¿Cuántas pintas de limonada prepara?
Yuna prepara 7 1 2 pintas de limonada.
Tema B
Multiplicación de fracciones
En el tema B, la clase utiliza su comprensión de la multiplicación de un número entero por una fracción para multiplicar dos fracciones.
Sus estudiantes comienzan multiplicando una fracción menor que 1 por una fracción unitaria. Usan rectas numéricas y modelos de área como ayuda para hallar los productos. Continúan usando estos modelos mientras multiplican fracciones no unitarias por fracciones menores que 1. Exploran la relación entre el tamaño del producto y el tamaño de los factores.
Cuando sus estudiantes se encuentran con un producto que involucra dos fracciones, usan lo que saben acerca de la multiplicación con fracciones unitarias y fracciones menores que 1 para hacer un problema más simple. Aplican métodos como el uso de productos conocidos y el lenguaje de unidades para multiplicar. Con el método del producto conocido, sus estudiantes expresan fracciones como el producto de un número entero y una fracción unitaria. Multiplicar con fracciones unitarias puede resultar más simple que multiplicar con fracciones porque pueden identificar la unidad fraccionaria del producto y, luego, multiplicar ese número por un número entero.
Por ejemplo, para hallar el producto de 1 4 × 3 5 , sus estudiantes expresan 3 5 como 1 5 × 3. Luego, hallan ( 1 4 × 1 5 ) × 3 = 1 20 × 3 = 3 20 . Cuando usan el método del lenguaje de unidades, sus estudiantes analizan expresiones de multiplicación para ver si la unidad fraccionaria de un factor está relacionada con el numerador del otro factor. Por ejemplo, interpretan 1 3 × 3 4 como 1 3 de 3 cuartos y, luego, reconocen que 1 3 de 3 es 1, por lo que 1 3 de 3 cuartos es 1 cuarto.
Sus estudiantes siguen utilizando estos métodos para multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones. Utilizan su razonamiento para sacar conclusiones acerca del tamaño de los productos cuando multiplican dos fracciones y para comparar expresiones de multiplicación que incluyen fracciones sin evaluarlas.
En el tema C, la clase utiliza su conocimiento sobre la multiplicación de fracciones para dividir fracciones unitarias y números enteros.
Progresión de las lecciones
Lección 7
Multiplicar fracciones menores que 1 por fracciones unitarias de manera pictórica
Para multiplicar una fracción unitaria y una fracción menor que 1, puedo dividir una recta numérica o un modelo de área para hallar el producto.
Lección 8
Multiplicar fracciones menores que 1 de manera pictórica
Cuando multiplico fracciones menores que 1, puedo dividir una recta numérica o un modelo de área para hallar el producto.
Lección 9
Multiplicar fracciones por fracciones unitarias haciendo problemas más simples
Puedo usar lo que sé sobre multiplicar un número entero por una fracción para hacer problemas más simples. Puedo usar el lenguaje de unidades para hallar productos cuando observo que hay una relación entre el denominador de una fracción y el numerador de la otra fracción.
Lección 10
Multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones
Puedo usar productos conocidos y el lenguaje de unidades para multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones. Puedo comprobar mi respuesta usando un modelo de área.
Cuando multiplico un número por una fracción menor que 1, el producto es menor que el número. Cuando multiplico un número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor que el número. Puedo usar un razonamiento parecido para comparar expresiones de multiplicación sin evaluarlas.
Multiplicar fracciones menores que 1 por fracciones unitarias de manera pictórica
Vistazo a la lección
La clase comienza preguntándose cómo hallar una fracción de una fracción.
Comparan un problema verbal con un modelo de área que representa la multiplicación de una fracción menor que 1 por una fracción unitaria. Utilizan el análisis y su comprensión del modelo de área para multiplicar dos fracciones usando el modelo de área. También practican multiplicar dos fracciones usando una recta numérica. A lo largo de la lección, la clase razona acerca del tamaño del producto en comparación con el tamaño de los factores.
Pregunta clave
• ¿Son útiles las rectas numéricas y los modelos de área para hallar el producto de dos fracciones? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Interpretar un modelo
• Representar la multiplicación de fracciones
• Usar una recta numérica
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un cuarto en un cuarto con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un cuarto en un cuarto y con la expresión de fracciones mayores que 1 como números enteros o mixtos.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de un cuarto en un cuarto. Hoy, expresaremos las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 2 cuartos. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Nota para la enseñanza
Esta secuencia comienza en 2 4 en vez de comenzar en 0 para dar a sus estudiantes la oportunidad de extender un poco más la secuencia de conteo con números mixtos.
Continúe contando de un cuarto en un cuarto hasta el 4. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por números enteros, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Fracciones equivalentes
La clase determina un numerador desconocido o un denominador desconocido para adquirir fluidez con la expresión de una fracción con una unidad más grande.
Muestre 2 4 = 1 .
¿Cuál es la fracción equivalente desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar
un número entero por una fracción
La clase halla una fracción de un número entero usando una recta numérica como preparación para multiplicar fracciones unitarias por fracciones menores que 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la recta numérica y el enunciado.
Dibujen una recta numérica y escriban el enunciado.
Usen la recta numérica para hallar el valor. Cuando sea posible, escriban la respuesta como un número entero.
Muestre el sombreado en la recta numérica y el enunciado completado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
5
La clase usa lo que sabe acerca de la multiplicación de un número entero por una fracción para razonar acerca de cómo multiplicar una fracción por una fracción.
¿Cuánto es 1 _ 2 de 2?
1
¿Qué ecuación muestra que 1 2 de 2 es 1?
1 2 × 2 = 1
¿Cómo saben que 1 2 de 2 es 1?
2 unidades divididas en 2 grupos iguales significa que hay 1 unidad en cada grupo.
¿Cuánto es 1 _ 2 de 1?
1
2
¿Qué ecuación muestra que 1 2 de 1 es 1 2 ?
1 _ 2 × 1 = 1 _ 2
¿Cómo saben que 1 _ 2 de 1 es 1 _ 2 ?
1 unidad dividida en 2 grupos iguales significa que hay 1 2 unidad en cada grupo.
Conocemos 1 _ 2 de 2 y 1 _ 2 de 1. ¿Alguna vez pensaron en 1 _ 2 de 1 _ 2 ? ¿Creen que 1 _ 2 de 1 _ 2 es mayor que
o menor que 1 2 de 1? ¿Por qué?
Creo que 1 2 de 1 2 es menor que 1 2 de 1 porque estamos hallando una fracción de un número más pequeño.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían hallar 1 2 de 1 2 .
Dibujaría un diagrama de cinta que muestre 1 2 y, luego, dividiría 1 2 a la mitad.
Dibujaría una recta numérica que muestre 1 2 y, luego, dividiría la recta numérica en 2 partes iguales para hallar 1 2 de 1 2 .
Pida a sus estudiantes que hagan el boceto de un modelo que crean que representa 1 2 de 1 2 . Pídales que conserven sus bocetos porque volverán a usarlos en la sección Aprender.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos el producto de una fracción multiplicada por una fracción unitaria.
Aprender
Interpretar un modelo
La clase interpreta un modelo que representa la multiplicación de fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema a coro con la clase.
Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan y se preguntan sobre el problema.
Observo que un modelo de área muestra el jardín.
Observo que una parte del modelo está sombreada.
Observo que el modelo de área está rotulado con dos fracciones.
Observo que no todas las unidades tienen el mismo tamaño.
Me pregunto por qué no todas las unidades tienen el mismo tamaño.
Me pregunto cómo muestra la historia el modelo de área.
Me pregunto qué operación muestra este modelo.
1. El Sr. Evans planta flores en 2 5 de su jardín. 1 3 de esas flores son rosas. ¿Qué fracción del jardín ocupan las rosas?
Las rosas ocupan 2 15 del jardín.
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo el modelo representa el problema.
El problema dice que el Sr. Evans planta flores en su jardín. ¿Qué parte del modelo representa el jardín?
El cuadrado entero
El problema dice que el Sr. Evans planta flores en 2 _ 5 de su jardín. ¿Dónde ven 2 _ 5 representado en el modelo?
Las primeras 2 columnas representan 2 5 .
Señale las primeras 2 columnas del modelo.
Si el rótulo no estuviera, ¿cómo sabríamos que esto es 2 _ 5 ?
El cuadrado entero está dividido en 5 columnas, así que 2 de las columnas representan 2 5 .
El problema dice que 1 _ 3 de las flores son rosas. ¿Dónde se representa eso en el modelo?
¿Cómo lo saben?
Las partes sombreadas representan las rosas.
Cada una de las 2 columnas está dividida en 3 partes iguales, y 1 de las partes de cada columna está sombreada.
El problema nos pide que hallemos la fracción del jardín que ocupan las rosas. La parte
sombreada del modelo representa 1 _ 3 de 2 _ 5 . ¿Qué fracción creen que se dibujó primero? ¿Por qué?
Creo que se dibujó 2 5 primero porque la historia dice que 2 5 del jardín son flores. Era necesario mostrar las flores antes que las rosas porque las rosas son parte de las flores.
¿Qué expresión representa hallar 1 3 de 2 _ 5 ?
1 _ 3 × 2 _ 5
¿Cómo podemos usar el modelo para hallar el producto de 1 _ 3 × 2 5 ?
Podemos hacer que todas las partes tengan el mismo tamaño dividiendo cada uno de los quintos restantes en 3 partes iguales.
Guíe a la clase para que divida los quintos restantes en tercios.
¿Cuántas partes del mismo tamaño hay en el modelo?
15
Ahora, ¿qué fracción del modelo está sombreada?
2
15
Por lo tanto, podemos decir que las rosas ocupan 2 15 del jardín.
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
¿Qué ecuación de multiplicación representa el problema?
1 _ 3 × 2 _ 5 = 2 __ 15
¿Qué observan acerca del tamaño del producto en comparación con el tamaño de cada uno de los factores? ¿Cómo se ve eso en el modelo?
2 15 < 1 3 . Puedo verlo en el modelo porque 1 fila muestra 1 3 y la parte sombreada es menor que eso.
2 15 < 2 5 . Puedo verlo en el modelo porque 2 columnas muestran 2 5 y la parte sombreada es menor que eso.
¿Tiene sentido que el producto sea menor que 2 _ 5 ? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido. 1 3 × 2 5 significa que estamos hallando 1 3 de 2 5 . Como 1 3 < 1, eso significa que 1 3 de 2 5 es solo una parte de 2 5 , y no todo. Por lo tanto, tiene sentido que 2 15 < 2 5 .
¿Tiene sentido que el producto sea menor que 1 3 ? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido. Podemos pensar en 1 3 × 2 5 como 2 5 × 1 3 porque podemos multiplicar en cualquier orden. 2 5 × 1 3 significa 2 5 de 1 3 . Como 2 5 < 1, eso significa que 2 5 de 1 3 es solo una parte de 1 3 , y no todo.
Muestre los siguientes modelos de área y pida a la clase que nombre una expresión que esté representada por el modelo. No es necesario que evalúen la expresión.
Invite a sus estudiantes a consultar sus bocetos de 1 2 de 1 2 para que confirmen si son exactos o si deben corregirlos.
Representar la multiplicación de fracciones
La clase representa la multiplicación de fracciones usando un modelo de área.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que vuelvan a mirar sus bocetos de 1 2 de 1 2 .
Si parte de la clase cree que sus modelos muestran 1 2 de 1 2 , considere pedirles que compartan sus bocetos con el resto de la clase. Valide un rango de ideas, pero guíe a la clase hacia el uso de un modelo de área.
Mostremos 1 2 de 1 2 usando un modelo de área.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para dibujar un modelo de área que muestre 1 2 de 1 2 .
Recorra el salón de clases para analizar los modelos de sus estudiantes. Guíe el trabajo con el problema 3 según los conceptos erróneos o errores comunes que observe.
Dibuja un modelo de área para hallar el producto. 2. 1 2 × 1 _ 2 = 1 _ 4
¿Qué observaron o descubrieron al usar un modelo de área para hallar 1 _ 2 de 1 _ 2 ?
Observé que los dos factores son iguales, así que dividí el modelo de área por la mitad de manera vertical y, luego, lo dividí por la mitad de manera horizontal.
Observé que el producto 1 4 < 1 2 .
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas 3 y 2?
En el problema 3, los factores no son los mismos.
Además, el problema 3 es un problema de multiplicación con dos fracciones como factores, por lo que estamos hallando una fracción de una fracción.
3. 1 _ 4 × 3 _ 5 = 3 __ 20
¿Qué significa 1 4 × 3 5 ?
Significa 1 4 de 3 5 .
Dibujemos un modelo de área como ayuda para hallar el producto. Comenzamos con 3 __ 5 y
debemos hallar 1 4 de 3 5 . ¿Cómo podemos representar 3 5 en un modelo de área?
Podemos dividir el modelo en 5 partes iguales y rotular 3 de ellas.
Guíe a la clase para que dibujen, dividan y rotulen un modelo de área.
¿Podemos usar el modelo para hallar 1 _ 4 de 3 __ 5 ? ¿Por qué?
Podemos dividir cada uno de los 3 quintos en 4 partes iguales y, luego, sombrear 1 4 de cada quinto.
Divida los 3 5 en 4 partes iguales y sombree 1 4 de cada quinto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Nota para la enseñanza
Es probable que parte de la clase se dé cuenta de que puede dividir el modelo de área entero en el mismo momento en el que hace la división de 3 5 para formar partes iguales.
¿Podemos comenzar a usar el modelo para hallar el producto? ¿Por qué? ¿Qué podemos hacer?
Todavía no, porque el modelo no muestra cada quinto dividido en partes iguales.
Podemos usar el modelo para hallar el producto si dividimos cada uno de los quintos restantes en 4 partes iguales para que todo el modelo muestre partes iguales.
Guíe a la clase para que divida los quintos restantes en 4 partes iguales.
¿Cuántas partes iguales muestra nuestro modelo ahora?
20
¿Cuánto es 1 4 × 3 5 ? ¿Cómo lo saben?
3 20 , porque el modelo muestra 3 partes sombreadas de 20 partes en total.
¿Es razonable que 1 4 de 3 5 sea 3 __ 20 ? ¿Por qué?
Creo que es razonable. 1 4 < 1, así que estamos hallando parte de 3 5 , y no todo. 3 20 < 3 5 , así que
3 20 tiene sentido.
Sí, tiene sentido. 1 4 de 3 5 tiene que ser menor que 3 5 , y 3 20 < 3 5 .
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Usar una recta numérica
La clase usa una recta numérica para hallar el producto de una fracción unitaria y una fracción menor que 1.
Escriba la expresión 1 4 × 1 3 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar 1 4 × 1 3 con las expresiones que vieron antes: 1 4 × 3 5 y 1 2 × 1 2 .
¿Qué significa la expresión 1 __ 4 × 1 __ 3 ?
Significa 1 4 de 1 3 .
También podemos mostrar una fracción de otra fracción usando una recta numérica.
Dibuje la recta numérica.
¿Qué muestra la recta numérica? ¿Por qué?
La recta numérica muestra de 0 a 3 3 , por lo que muestra 1, al igual que el modelo de área nos muestra 1 entero.
Creo que muestra de 0 a 3 3 porque estamos hallando 1 4 de 1 3 , así que es útil tener los 3 tercios, como mostramos en el modelo de área.
¿Podemos usar la recta numérica para representar la expresión 1 4 de 1 __ 3 ? ¿Por qué?
La recta numérica ya muestra 1 3 . Podemos dividir el intervalo de 0 a 1 3 en 4 partes iguales. Luego, podemos sombrear 1 de las partes para mostrar 1 4 de 1 3 .
Divida y sombree la recta numérica para mostrar 1 4 de 1 3 .
¿Podemos comenzar a usar la recta numérica para hallar el producto? ¿Por qué?
No, la recta numérica no muestra partes iguales para cada tercio, así que no queda claro cuántas unidades hay en 1.
No, debemos dividir los tercios restantes en 4 partes iguales para que la recta numérica entera muestre partes iguales.
Divida el resto de los tercios en cuatro partes iguales.
¿Qué fracción está sombreada en la recta numérica? ¿Cómo lo saben?
1 12 . Lo sé porque hay 1 parte sombreada de 12 partes.
Nota para la enseñanza
Es probable que parte de la clase se dé cuenta de que puede dividir la recta numérica entera en el mismo momento en el que hace la división de 1 __ 3 para formar partes iguales.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar un elemento visual para reforzar el lenguaje utilizado para describir las expresiones de multiplicación.
El producto 1 __ 12 es menor que los dos factores. ¿Es razonable que 1 4 de 1 3 sea igual a 1 __ 12 ? ¿Por qué?
Sí, es razonable. 1 4 de 1 3 es solo una parte de 1 3 , y no todo.
Sí, es razonable. 1 4 < 1, así que tiene sentido que nuestra respuesta sea menor que 1 3 , porque estamos hallando una parte que es menor que el entero.
Sí, estamos hallando una fracción de otra fracción. 1 3 < 1, por lo que una fracción de 1 3 debe ser un número más pequeño.
¿Cómo cambiaría el producto si estuviéramos hallando 1 _ 4 de 2 _ 3 ? ¿Cómo lo saben?
Deberíamos sombrear otra parte entre 1 3 y 2 3 para que el producto aumente.
El producto sería dos veces esa cantidad porque tendríamos el doble de partes sombreadas.
El producto aumentaría porque comenzamos con 2 3 en vez de 1 3 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden representar una fracción de una fracción en una recta numérica.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Anime a la clase a usar la recta numérica y el modelo de área para hallar el producto. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático.
• ¿Qué significa 1 2 × 3 4 ?
• ¿Qué fracción dibujarán primero? ¿Por qué?
• ¿Cómo ven 3 4 en la recta numérica? ¿Qué pueden dibujar para representar 3 4 en el modelo de área?
• ¿Cómo pueden mostrar 1 2 de 3 4 en la recta numérica? ¿Cómo pueden mostrar 1 2 de 3 4 en el modelo de área?
Halla el producto usando el modelo de área y la recta numérica.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo adicional con el problema 4, haga preguntas que sirvan como guía para identificar con qué número deben comenzar. Luego, proporcione recortes físicos de 3 __ 4 . Anime a sus estudiantes a doblar los papeles de manera horizontal y usar los pliegues como ayuda para ver 1 2 de 3 4 . Luego, pueden transferir esto al modelo en sus libros.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa un modelo de área y una recta numérica para representar la multiplicación de una fracción menor que 1 por una fracción unitaria.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• Cuando usan una recta numérica para mostrar 1 2 × 3 4 , ¿en qué pasos deben trabajar con precisión? ¿Por qué?
• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta al representar la multiplicación de fracciones usando un modelo de área?
¿Cuánto es 1 2 × 3 4 ? 3 8
Invite a sus estudiantes a compartir sus rectas numéricas y modelos de área o muestre los siguientes ejemplos.
Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir mientras comparan la recta numérica y el modelo de área.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas representaciones?
Las dos muestran 1 2 de 3 4 .
Las dos muestran 1. La recta numérica llega hasta 4 4 y el modelo de área representa 1 entero.
Las dos representan primero el factor 3 4 .
Las dos muestran que 1 2 de 3 4 es 3 partes sombreadas de 8 partes iguales.
La recta numérica muestra las 3 partes sombreadas separadas. Por lo tanto, muestra 1 2 de cada cuarto.
El modelo de área muestra las partes sombreadas juntas. Todavía se puede ver 1 2 de cada cuarto porque cada columna está dividida por la mitad, pero las partes sombreadas están juntas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si prefieren usar una recta numérica o un modelo de área para hallar una fracción de una fracción, y por qué.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Representación
Considere crear una tabla que muestre la ecuación del problema 4 con el modelo de área y la recta numérica como referencia para cuando sus estudiantes analicen factores y comparen el tamaño de los factores con el tamaño del producto.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar fracciones menores que 1 por fracciones unitarias de manera pictórica
Guíe una conversación de toda la clase acerca de multiplicar fracciones menores que 1 por fracciones unitarias usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre Trece rectángulos ( Thirteen Rectangles), 1930, de Wassily Kandinsky.
Esta pintura se llama Trece rectángulos. El artista que la pintó se llama Wassily Kandinsky.
Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte:
• ¿Qué observan acerca de la pintura?
• ¿Qué se preguntan?
Guíe a la clase para que piense en la pintura en términos de su experiencia con la multiplicación de una fracción menor que 1 por una fracción unitaria.
¿Qué observan acerca de las figuras geométricas que se ven en la pintura?
Todas son rectángulos.
Algunos de los rectángulos parecen cuadrados.
Algunos de los rectángulos y los cuadrados se superponen.
¿Qué pensamientos sobre la multiplicación de fracciones menores que 1 por fracciones unitarias se les ocurren al ver esta obra de arte?
Me pregunto qué fracción del cuadrado rojo está cubierta por el cuadrado amarillo.
¿Podríamos dividir el cuadrado rojo para hallar cuánto está cubierto por el cuadrado amarillo?
¿Son útiles las rectas numéricas y los modelos de área para hallar el producto de dos fracciones? ¿Por qué?
Sí. Dividir y sombrear una recta numérica o un modelo de área puede ayudarme a ver las dos fracciones y cómo el producto es parte de una parte.
Sí. Puedo ver el producto en una recta numérica o en un modelo de área contando las partes totales y las partes sombreadas.
Si hay tiempo suficiente, use las siguientes preguntas para que la clase profundice la exploración de la obra de arte:
• Algunas personas podrían ver la forma de una persona que baila cuando observan la pintura. ¿Parece que las figuras forman otra cosa distinta cuando se observan todas juntas?
• ¿Qué figura ven primero cuando observan la pintura? ¿Qué observan a continuación?
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Dibuja un modelo para hallar el producto.
Usa la recta numérica para completar la ecuación de multiplicación. 1.
Completa el modelo de área para hallar el producto. Cada diagrama representa 1
13. Adesh debe hallar 1 5 de 3 4 . Estima que la respuesta es aproximadamente 1 porque cree que el valor es 1 5 mayor que 3 4 . ¿Está en lo correcto Adesh? Explica.
No, Adesh no está en lo correcto. La respuesta es menor que 3 4 porque está hallando 1 5 o una parte, de 3 4
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
14. Jada tiene 3 4 de galón de limonada. Vierte 1 6 de la limonada en una botella. ¿Cuántos galones de limonada vierte Jada en la botella?
1 6 × 3 4 = 3 24
Jada vierte 3 24 de galón de limonada en la botella.
15. 4 5 de los alimentos que hay en la mesa del almuerzo son sándwiches. 2 3 de los sándwiches son de mantequilla de cacahuate y el resto son de queso. ¿Qué fracción de los alimentos que hay en la mesa del almuerzo son sándwiches de queso?
1 3 × 4 5 = 4 15 4 15 de los alimentos que hay en la mesa del almuerzo son sándwiches de queso.
Multiplicar fracciones menores que 1 de manera pictórica
Vistazo a la lección
La clase usa rectas numéricas y modelos de área para hallar el producto de una fracción no unitaria y una fracción menor que 1. Eligen un método que les ayude a multiplicar y comentan por qué prefieren ese método. Razonan acerca del tamaño del producto en comparación con el tamaño de los factores y determinan que el producto de dos fracciones menores que 1 es menor que cualquiera de los factores.
Pregunta clave
• Cuando multiplican dos fracciones que son menores que 1, ¿qué pueden concluir sobre el tamaño del producto en comparación con los factores?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar una recta numérica
• Usar un modelo de área
• Elegir un método
• Razonar acerca del tamaño del producto
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un quinto en un quinto con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un quinto en un quinto.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de un quinto en un quinto. Empiecen diciendo 0 quintos. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda.
Continúe contando de un quinto en un quinto hasta 15 5 . Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Nota para la enseñanza
Se ha quitado la señal para detenerse porque sus estudiantes ya conocen mejor la rutina Conteo feliz. Preste atención a las respuestas de sus estudiantes para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, ajuste el ritmo o la secuencia de los números. Considere usar la señal para indicar que se detengan si es necesario para manejar el ritmo o la precisión de la secuencia de conteo.
Respuesta a coro: Fracciones equivalentes
La clase determina un numerador desconocido o un denominador desconocido para adquirir fluidez con la expresión de una fracción con una unidad más grande.
Muestre 3 9 = 1 .
¿Cuál es la fracción equivalente desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 1 3
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar un número entero por una fracción
La clase halla el producto usando una recta numérica como preparación para multiplicar fracciones no unitarias por fracciones menores que 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la recta numérica y la ecuación.
Dibujen la recta numérica y escriban la ecuación.
Usen la recta numérica para hallar el producto.
Cuando sea posible, escriban la respuesta como un número entero.
Muestre el sombreado en la recta numérica y la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase identifica un error y ofrece retroalimentación sobre cómo corregirlo.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea, la ecuación de multiplicación y el ejemplo de trabajo que siguen.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
No se dividió el modelo de área entero para formar partes de igual tamaño.
Como 4 20 = 1 5 y 4 5 < 1, no tiene sentido que 4 5 de 1 5 sea 1 5 .
Debería ser menor que 1 5 .
Se halló 1 5 de 4 4 en vez de 1 5 de 4 5 .
Dé a la clase 2 minutos para hallar el producto correcto basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases e identifique estudiantes que quieran compartir su razonamiento con la clase. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de la creación de partes de igual tamaño para hallar el producto.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas con todo el grupo. Guíe a la clase para llegar a un acuerdo sobre cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.
Debemos dividir el quinto restante del modelo de área en 5 partes iguales.
Podemos usar una recta numérica para mostrar el producto.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos rectas numéricas y modelos de área para hallar el producto de fracciones menores que 1.
Aprender
Usar una recta numérica
La clase usa una recta numérica para hallar el producto de dos fracciones menores que 1.
Muestre las siguientes expresiones.
Lección anterior Esta lección
Aquí hay dos productos parecidos a los que hallamos en una lección anterior, y dos productos que hallaremos en esta lección.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencian las expresiones de esta lección de las expresiones de una lección anterior.
En las expresiones de una lección anterior, el primer factor es una fracción unitaria porque tiene 1 como numerador. Las expresiones de esta lección no tienen 1 como numerador.
¿Eso cambiará la forma en que representamos las expresiones con modelos de área o rectas numéricas? ¿Cómo?
Sí, porque habrá que sombrear más de 1 parte de la otra fracción.
¿Qué significa la expresión 2 _ 3 × 3 _ 4 ?
Significa 2 3 de 3 4 .
Dibujemos una recta numérica como ayuda para hallar el producto. ¿Qué debemos dibujar primero? ¿Por qué?
Debemos dibujar una recta numérica del 0 al 1 dividida en cuartos. Estamos hallando 2 3 de 3 4 , así que debemos mostrar cuartos.
Dibuje la recta numérica.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan con respecto a la recta numérica.
¿Cómo podemos usar esta recta numérica para representar la expresión 2 3 de 3 4 ?
La recta numérica ya muestra 3 4 . Podemos dividir cada uno de los 3 cuartos en 3 partes iguales.
Luego, podemos sombrear 2 de las partes en cada uno de los cuartos para mostrar 2 3 de 3 4 .
Divida y sombree la recta numérica.
¿Podemos comenzar a usar la recta numérica para hallar el producto? ¿Por qué?
No, porque la recta numérica no muestra partes iguales para cada cuarto. No, debemos dividir el otro cuarto en 3 partes iguales para que la recta numérica entera muestre partes iguales.
Divida el último cuarto en 3 partes iguales.
¿Cuál es el producto? ¿Cómo lo saben?
Es 6 12 . Lo sé porque hay 6 partes sombreadas del total de 12 partes.
¿Es razonable que 2 3 de 3 4 sea igual a 6 12 ? ¿Por qué?
Sí, es razonable. 2 3 de 3 4 es solo una parte de 3 4 . Sé que 6 12 = 1 2 y 1 2 < 3 4 .
2 3 es menor que 1, así que tiene sentido que nuestra respuesta sea menor que 3 4 porque estamos hallando una parte que es menor que el entero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el producto usando la recta numérica. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Fracción de una fracción en una recta numérica apoya a sus estudiantes en la composición de las partes de cada intervalo fraccionario para hallar la fracción de la fracción.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Cuando la clase haya terminado, comenten el producto. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre usar la recta numérica para hallar el producto de dos fracciones menores que 1 y la manera en que usaron la recta numérica para multiplicar fracciones previamente.
Usar un modelo de área
La clase usa un modelo de área para hallar el producto de dos fracciones menores que 1.
Muestre la expresión 2 5 × 4 5 .
¿Qué significa 2 _ 5 × 4 _ 5 ?
Significa 2 5 de 4 5 .
Dibujemos un modelo de área como ayuda para hallar el producto.
¿Qué debemos dibujar primero? ¿Por qué?
Debemos dibujar 4 5 primero porque queremos hallar 2 5 de 4 5 .
Guíe a la clase para que dibujen, dividan y rotulen un modelo de área.
¿Podemos usar el modelo para hallar 2 _ 5 de 4 _ 5 ? ¿Cómo?
Podemos dividir cada uno de los 4 quintos en 5 partes iguales y, luego, sombrear 2 5 de cada uno de los 4 quintos.
Nota para la enseñanza
Es probable que sus estudiantes reconozcan que pueden usar el producto que hallaron en la sección Presentar como ayuda para hallar el producto de 2 5 × 4 5 .
Dado que 1 5 de 4 5 es 4 25 , entonces 2 5 de 4 5 es 2 × 4 25 = 2 × 4 25 = 8 25 .
Valide esta observación, ya que demuestra la comprensión de sus estudiantes de lo que aprendieron en un tema anterior (p. ej., 2 __ 5 = 2 × 1 5 ). Anime a sus estudiantes a buscar estructuras similares en otros problemas.
Diferenciación: Apoyo
Es posible que sus estudiantes digan que pueden hallar 2 5 de 4 5 con solo sombrear 2 de los quintos. Aborde este concepto erróneo cubriendo el corchete y el rótulo 4 5 . Luego, pregunte a sus estudiantes qué representaría sombrear 2 columnas. Deberían darse cuenta de que sombrear 2 columnas representaría 2 5 de 1, o 2 5 de 5 5 . Muestre el corchete y el rótulo 4 5 y pregunte a sus estudiantes qué porción del modelo deben sombrear para representar
2 5 de 4 5 . Deberían darse cuenta de que, para mostrar 2 5 de 4 5 , tienen que sombrear solo una fracción de cada uno de los 4 quintos y no 2 quintos enteros.
Divida los 4 5 en 5 partes iguales y sombree 2 5 de cada quinto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Podemos comenzar a usar el modelo para hallar el valor de 2 5 × 4 5 ? ¿Por qué?
No, porque el modelo no muestra partes iguales.
No, debemos dividir el quinto restante en 5 partes iguales para que el modelo de área entero tenga partes iguales.
Guíe a la clase para que divida el quinto restante en 5 partes iguales.
¿Cuántas partes iguales muestra el modelo ahora? 25
¿Ahora podemos comenzar a usar el modelo para hallar el valor de 2 5 × 4 5 ? ¿Cómo lo saben?
Sí, el modelo muestra un producto de 8 25 porque hay 8 cuadrados sombreados de 25 cuadrados en total.
¿Es razonable que 2 _ 5 de 4 _ 5 sea 8 __ 25 ? ¿Por qué?
Sí, es razonable. 2 5 < 1 , por lo que estamos hallando una parte de 4 5 , no todo. 8 25 < 4 5 , así que 8 25 tiene sentido.
Sí, tiene sentido. 2 5 de 4 5 tiene que ser menor que 4 5 , y 8 25 < 4 5 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre usar el modelo de área para hallar el producto de dos fracciones menores que 1 y la manera en que usaron el modelo de área para multiplicar fracciones previamente.
Elegir un método
La clase elige qué método usar para hallar el producto de dos fracciones menores que 1.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Deles 2 minutos para que resuelvan el problema. Pídales que muestren su razonamiento.
2. Sasha compra una bolsa de almendras que pesa 2 3 de libra. Usa 3 4 de la bolsa para hacer una mezcla de frutos secos. ¿Cuántas libras de almendras usa Sasha para hacer la mezcla?
3 4 × 2 3 = 6 12 = 1 2
Sasha usa 1 2 libra de almendras para hacer la mezcla.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones que hay entre los métodos que usaron en los problemas anteriores.
Busque estudiantes que usen diferentes métodos, como los que se muestran abajo. Tenga en cuenta que parte de la clase puede conservar 6 12 como respuesta. Cualquier respuesta equivalente es válida.
Diferenciación: Apoyo
Considere utilizar las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras toman decisiones acerca de cómo entender el problema.
• ¿Qué nos dice el problema?
• ¿Qué nos pide hallar el problema?
• ¿Qué expresión de multiplicación representa el problema?
• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema?
libra de almendras almend Sasha usa 1 2 para hacer la mezcla. zcla.
Sash a us a 1 2 al mendra s pa ra hace r la me zcla li bra de
Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento y su trabajo en parejas. Luego, reúna a toda la clase para conversar acerca del problema.
¿Qué dibujaron primero? ¿Por qué?
Dibujé 2 3 primero porque estábamos hallando 3 4 de 2 3 . La bolsa original pesaba 2 3 de libra y, luego,
Sasha usó 3 4 de esa bolsa para hacer la mezcla.
¿Qué expresión de multiplicación representa la historia?
3 4 × 2 3
Antes, hallamos 2 3 × 3 4 . ¿En qué se diferencian? ¿En qué se parecen?
Cuando hallamos 2 3 × 3 4 , dibujamos 3 4 primero porque estábamos hallando 2 3 de 3 4 . Esta vez, dibujamos 2 3 primero porque estábamos hallando 3 4 de 2 3 .
El producto es el mismo.
Observé que, en algunos casos, registraron el producto como 1 2 . ¿Por qué?
Creo que tiene más sentido tener 1 2 libra de algo que 6 12 de libra de algo.
Confirme que todas las respuestas equivalentes son válidas. Diga a la clase que, a veces, pueden usar el contexto de la historia como ayuda para decidir cómo registrar sus respuestas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método prefieren y por qué.
Razonar acerca del tamaño del producto
La clase razona acerca del tamaño del producto en comparación con el tamaño de los factores.
Presente el siguiente enunciado: El producto de dos fracciones menores que 1 es menor que los dos factores. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas.
Dé a la clase 1 minuto para pensar en silencio y evaluar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Anime a la clase a consultar ejemplos anteriores o imaginar ejemplos nuevos para probar. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anime a sus estudiantes a proporcionar razones que apoyen sus afirmaciones. Concluya tras llegar al consenso de que siempre es verdadero que el producto de dos fracciones menores que 1 es menor que los dos factores.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere apoyar a sus estudiantes con la rutina Siempre, a veces, nunca proporcionándoles esquemas de oración para consultar.
El producto de dos fracciones menores que 1 (siempre, a veces o nunca) es menor que los dos factores.
Por ejemplo, . Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando razona acerca del tamaño de un producto en comparación con el tamaño de sus factores al multiplicar dos fracciones menores que 1.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Pueden hallar una situación en la que no sea verdadero que el producto de dos fracciones menores que 1 es menor que los dos factores?
• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su razonamiento?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar fracciones menores que 1 de manera pictórica
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de fracciones menores que 1 usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿En qué se diferencian las rectas numéricas y los modelos de área que usamos hoy de los modelos que usamos en lecciones anteriores? Den un ejemplo para apoyar su razonamiento.
Tuvimos que sombrear más partes de los modelos en esta lección que en lecciones anteriores.
Antes, para hallar 1 3 × 3 4 solo sombreábamos 1 3 de 3 4 . En esta lección, para hallar 2 3 × 3 4 , sombreamos dos veces esa cantidad de partes porque 2 3 es el doble de 1 3 .
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 6 del Grupo de problemas.
¿En qué se diferencia este problema de otros que hemos resuelto?
Los dos factores son iguales.
Sasha dijo que comenzó con el primer factor de 3 4 cuando dibujó su modelo. Riley dijo que comenzó con el segundo factor de 3 _ 4 . ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
Tanto Sasha como Riley tienen razón. Los dos factores son iguales, así que no importa qué factor se dibuja primero.
Nota para la enseñanza
Se pueden hacer estas mismas preguntas sobre el problema 1 del Grupo de problemas.
Escriba la expresión 3 4 × 2 5 .
Sin hallar el producto, ¿estiman que es mayor que 2 _ 5 o menor que 2 _ 5 ?
¿Cómo lo saben?
Es menor que 2 5 . Sé que 3 4 < 1 , así que estamos hallando parte de 2 5 , y el producto es menor que 2 5 .
Es menor que 2 5 . Estamos multiplicando 2 5 por una fracción menor que 1, así que la respuesta es menor que 2 5 .
Sin hallar el producto, ¿estiman que es mayor que 3 _ 4 o menor que 3 _ 4 ? ¿Cómo lo saben?
Es menor que 3 4 . Sé que 3 4 × 2 5 = 2 5 × 3 4 , lo que significa 2 5 de 3 4 . Como 2 5 < 1 , estamos hallando parte de 3 4 , así que el producto es menor que 3 4 .
Es menor que 3 4 . Estamos multiplicando 3 4 por una fracción menor que 1, así que la respuesta es menor que 3 4 .
El producto es menor que 3 4 porque 2 5 < 3 4 , y estamos hallando 3 4 de 2 5 .
Cuando multiplican dos fracciones que son menores que 1, ¿qué pueden concluir sobre el tamaño del producto en comparación con los factores?
El producto de dos fracciones menores que 1 es menor que cualquiera de los factores.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Multiplica. Dibuja un modelo para hallar el producto.
Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
14. 4 5 × 2 7 < 2 7
Explica: 2 7 está en las dos expresiones, pero en la primera expresión se halla una parte de 2 7 , o 4 5 de 2 7 , entonces, 4 5 × 2 7 es menor que 2 7
15. 3 × 5 8 > 5 8
Explica: 3 × 5 8 tiene el mismo valor que 3 grupos de 5 8 , entonces, 3 × 5 8 es mayor que 5 8
4 > 3 4 ×
Explica: 4 está en las dos expresiones, pero en la segunda expresión se halla una parte de 4, o 3 4 de 4, entonces, 4 es mayor que 3 4 × 4 3 5
GRUPO DE PROBLEMAS
EUREKA MATH
EUREKA MATH
17. 6 6 × 5 9 = 5 9
Explica: Las dos expresiones equivalen a 5 9 porque la primera expresión es 5 9 multiplicado por 6 6 , que es equivalente a multiplicar por 1
18. La mamá de Noah le dijo que podía comer 1 4 de una barra de chocolate. A la hermana de Noah, le dijo que podía comer 1 3 del resto de la barra de chocolate. Noah dice que no es justo porque él solo recibe 1 4 , mientras que su hermana recibe 1 3 . Explica por qué el razonamiento de Noah no es correcto.
Noah no está en lo correcto porque solo comparó las fracciones entre sí. Él recibe 1 4 de la barra de chocolate. Su hermana recibe 1 3 del resto de la barra de chocolate, o 1 3 de 3 4 de la barra de chocolate, lo que equivale a 3 12, o 1 4 Los dos reciben la misma cantidad.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
19. Scott gasta 2 5 de su mesada. Del dinero que gasta, usa 3 4 para comprar un juguete. ¿Qué fracción de su mesada gasta Scott en el juguete?
3 4 × 2 5 = 6 20
Scott gasta 6 20 de su mesada en el juguete.
20. Mara tiene 5 8 de galón de pegamento. Usa 2 5 del pegamento para hacer slime azul, 1 5 del pegamento para hacer slime verde y el resto del pegamento para hacer slime morado. ¿Cuántos galones de pegamento usa Mara para hacer slime morado?
1 − 3 5 = 2 5 2 5 × 5 8 = 10 40 = 1 4 Mara usa 1 4 de galón de pegamento para hacer slime morado.
Multiplicar fracciones por fracciones unitarias haciendo problemas más simples
Vistazo a la lección
La clase aplica productos que ya conoce, como el de 1
para hallar el producto de expresiones relacionadas como 1
×
y
escribiendo expresiones como el producto de fracciones unitarias y un número entero. Utilizan el lenguaje de unidades para ver las relaciones entre el denominador de una fracción y el numerador de una segunda fracción. Consideran expresiones de multiplicación y deciden si pueden hacer un problema más simple y cómo hacerlo.
Preguntas clave
• ¿Qué problemas pueden hacer más simples usando lenguaje de unidades? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué problemas pueden hacer más simples usando productos que ya conocen? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA6 Multiplican números enteros o fracciones por fracciones. (5.NF.B.4)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar productos conocidos para multiplicar
• Usar el lenguaje de unidades para multiplicar
• Identificar cuándo hacer un problema más simple
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Usar productos conocidos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Usar productos conocidos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de suma y halla la suma para adquirir fluidez con la suma de fracciones con unidades diferentes del módulo 2.
Muestre 1 3 + 1 2 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Tienen unidades semejantes las fracciones? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. No.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen ambas fracciones de modo que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales. Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método y fracciones con unidades semejantes.
Hallen la suma.
Muestre la suma.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, habrá estudiantes que elijan formar unidades de veinticuatroavos para evaluar 5 4 + 1 6 en lugar de unidades de doceavos como se muestra.
Contar de un quinto en un quinto con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para conservar la fluidez con el conteo de un quinto en un quinto y con la expresión de fracciones mayores que 1 como números enteros o mixtos.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de un quinto en un quinto. Hoy, expresaremos las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda.
Continúe contando de un quinto en un quinto hasta el 3. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Fracciones equivalentes
La clase determina un numerador desconocido o un denominador desconocido para adquirir fluidez con la expresión de una fracción con una unidad más grande.
Muestre 2 10 = 1 .
¿Cuál es la fracción equivalente desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 1 5
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase considera diferentes maneras de hallar los productos de fracciones con unidades muy pequeñas.
Veamos tres expresiones diferentes y pensemos en cómo podemos hallar los productos.
Escriba 1 5 × 3 4 .
Consideren la expresión de multiplicación.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían hallar el producto.
Podríamos usar una recta numérica. Dividimos la recta numérica en cuartos y, luego, dividimos cada cuarto en 5 partes iguales. Sombreamos 1 5 de cada uno de los 3 cuartos para obtener 3 20 .
Podríamos dibujar un modelo de área. Dividimos el modelo de área en cuartos de manera vertical y en quintos de manera horizontal, lo que hace que tengamos veinteavos. Luego, sombreamos cada parte del modelo que muestra 1 5 × 3 _ 4 para ver 3 20 .
Escriba (1 6 × 1 4 ) × 3 .
Consideren esta expresión de multiplicación. ¿Hallarían el producto usando una recta numérica, un modelo de área o de alguna otra manera? ¿Por qué?
Dibujaría una recta numérica o un modelo de área para hallar el producto de 1 6 × 1 4 y, luego, multiplicaría el producto por 3 para obtener la respuesta.
Puedo visualizar el producto de 1 6 × 1 4 en un modelo de área y en una recta numérica, así que no dibujaría esa parte. Multiplicaría 3 y 1 24 para hallar el producto 3 24 porque puedo multiplicar mentalmente un número entero y una fracción.
Escriba 1 __ 93 × 93 117 .
Consideren la expresión de multiplicación. ¿Hallarían el producto usando una recta numérica, un modelo de área o de alguna otra manera? ¿Por qué?
Podría dibujar una recta numérica o un modelo de área, pero creo que perdería la cuenta de cuántas partes estoy formando.
No conozco otra manera de multiplicar fracciones, pero creo que sería difícil dibujar estas unidades.
No puedo visualizar los modelos o multiplicar mentalmente con estos números.
Dibujar un modelo es una buena manera de hallar el producto de dos fracciones, pero puede ser un desafío en algunos problemas. Al finalizar la lección, podrán hallar el producto de 1 __ 93 × 93 ___ 117 de una manera más eficiente que dibujando un modelo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a hacer problemas más simples usando lo que sabemos sobre fracciones unitarias y el lenguaje de unidades para hallar el producto de dos fracciones.
Nota para la enseñanza
En esta lección, se pide a sus estudiantes que consideren maneras de hacer problemas más simples para hallar el producto cuando multiplican fracciones. No se espera ni se pide que sus estudiantes escriban los productos en lo que se suele llamar forma simplificada.
Aprender
Usar productos conocidos para multiplicar
Materiales: E) Usar productos conocidos
La clase usa productos que ya conoce para multiplicar una fracción unitaria por una fracción.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Usar productos conocidos de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Pídales que vayan al problema 1 en sus libros y que registren las respuestas a medida que guía a la clase para que hallen productos usando un producto conocido.
Miren el modelo de área de su pizarra blanca. ¿Qué observan acerca de cómo está dividido el modelo de área?
Está dividido en séptimos de manera vertical y en quintos de manera horizontal.
Está dividido en 7 columnas y 5 filas.
Está dividido para mostrar treintaicincoavos.
Usen el modelo de área dividido para hallar el producto de 1 _ 5 × 1 _ 7 . ¿Cuál es el producto?
1 5 × 1 7 = 1 35
Registre el producto 1 35 en el problema 1(a) y pida a la clase que haga lo mismo.
1. Usa un producto conocido para hacer un problema más simple. Muestra tu razonamiento.
Observen el problema 1(b). ¿Cuál es la diferencia entre 1 _ 5 × 2 _ 7 y la expresión 1 _ 5 × 1 _ 7 ?
El segundo factor es 2 7 en vez de 1 7 .
Nuestro objetivo es usar lo que sabemos acerca del producto de 1 _ 5 × 1 _ 7 para hallar el producto de 1 5 × 2 7 . ¿Cuántos séptimos hay en 2 7 ?
2
Usemos eso como ayuda para escribir 1 5 × 2 7 como un producto de fracciones unitarias que incluye 1 _ 5 × 1 _ 7 porque ya sabemos esa respuesta.
Registre 1 5 × 1 7 .
¿Cuánto es 2 _ 7 comparado con 1 _ 7 ?
2 7 es 2 veces 1 7 .
¿Cómo podemos representar 2 veces una cantidad? Podemos multiplicar por 2.
Diferenciación: Desafío
Para quienes reconozcan la lógica de la repetición que se usa al hallar estos productos, considere proponerles el desafío de que exploren si se puede hallar el producto de tres o más fracciones usando un razonamiento parecido.
Registre × 2.
Sabemos que 1 _ 5 × 1 _ 7 = 1 __ 35 . ¿Cuánto es 2 veces 1 __ 35 ?
2 __ 35
Registre = 1 35 × 2 = 2 35 .
¿Obtendremos la misma respuesta si usamos un modelo de área? Inténtenlo y comparen las respuestas.
Haga una pausa para permitir que la clase sombree el modelo de área y vea si el resultado es el mismo.
Cuando escribimos 1 _ 5 × 2 _ 7 como 1 _ 5 × 1 _ 7 × 2 , usamos un producto conocido, 1 __ 35 , para hallar la respuesta de un nuevo problema. Intentémoslo de nuevo para ver si sigue funcionando.
Observen el problema 1(c). ¿Cuál es la diferencia entre 1 5 × 3 7 y la expresión 1 5 × 1 7 ?
El segundo factor es 3 7 en vez de 1 7 .
¿Cuánto es 3 _ 7 comparado con 1 _ 7 ?
3 7 es 3 veces 1 7 .
¿Cómo podemos representar 3 veces una cantidad?
Podemos multiplicar por 3.
Tenemos todo lo que necesitamos para mostrar cómo usar el producto conocido de 1 _ 5 × 1 _ 7 para hallar la respuesta de este nuevo problema. ¿Qué debemos escribir primero?
1 _ 5 × 1 _ 7
¿Qué más necesitamos escribir? ¿Por qué?
Necesitamos escribir × 3 para mostrar que necesitamos 3 veces 1 _ 5 × 1 _ 7 porque el problema nos pide que hallemos 1 5 × 3 7 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cuando cada estudiante multiplica varias veces dos fracciones unitarias para determinar el producto de una fracción unitaria y otra fracción, observa que el producto de una fracción unitaria y otra fracción es un múltiplo del producto de dos fracciones unitarias. Al hacerlo, cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8)
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• Cuando multiplican una fracción unitaria por una fracción, ¿se repite algo? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el producto de forma más eficiente?
• ¿Funciona siempre este patrón?
Registre 1 5 × 1 7 × 3 . Luego, pida a sus estudiantes que hallen el producto.
¿Obtendremos la misma respuesta si usamos un modelo de área? Inténtenlo y comparen las respuestas.
Haga una pausa para permitir que la clase sombree el modelo de área y vea si el resultado es el mismo.
Luego, registe = 1 35 × 3 = 3 35 .
Observen el problema 1(d). ¿Cuál es el producto de 1 _ 5 × 4 _ 7 ? ¿Por qué?
Es 4 35 porque 4 7 es 4 veces 1 7 , y sé que 1 5 × 1 7 = 1 35 .
Pida a sus estudiantes que completen el problema 1(d) en parejas. Anime a la clase a escribir la expresión como lo hicieron en los dos problemas anteriores. Considere permitir que también completen el problema 1(e). De ser necesario, reúna a la clase y repita el proceso que usaron antes para comentar los problemas 1(d) y 1(e).
¿Cómo nos ayuda usar un producto conocido de fracciones unitarias como el de 1 _ 5 × 1 _ 7 para hallar el producto de 1 _ 5 y cualquier número de séptimos?
Podemos usar el producto conocido y multiplicarlo por el número de séptimos que tengamos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallaría el producto de 1 5 × 6 7 .
Usar el lenguaje de unidades para multiplicar
La clase hace un problema más simple razonando acerca de los factores antes de multiplicar.
Muestre el siguiente trabajo de una estudiante.
1 5 de 5 7 5 7
Yuna dijo que tiene otra manera de hallar 1 _ 5 × 5 _ 7 . ¿Qué observan sobre su trabajo?
Observo que usó un diagrama de cinta para mostrar 5 _ 7 .
Observo que rotuló el valor de 1 parte como 1 5 de 5 7 .
Observo que el valor de 1 parte es 1 7 .
El diagrama de cinta de Yuna muestra cómo hallar 1 _ 5 de 5 _ 7 . Pensémoslo haciendo un problema más simple. ¿Cuánto es 1 _ 5 de 5? ¿Cómo lo saben?
1 5 de 5 es 1. Pensé en 1 parte cuando 5 se divide en 5 partes iguales.
Escriba 1 5 de 5 es 1.
1 _ 5 de 5 es 1. ¿Cuánto es 1 _ 5 de 5 séptimos? ¿Cómo lo saben?
1 _ 5 de 5 séptimos es 1 séptimo. Sé que 1 _ 5 de 5 es 1, y la única diferencia es que, en 1 _ 5 de 5 séptimos, la unidad está en séptimos.
Escriba 1 5 de 5 séptimos es 1 séptimo.
DUA: Representación
Considere hacer un afiche de referencia donde se muestren los métodos que se usaron en esta lección. Incluya ejemplos para que sus estudiantes puedan consultarlos.
Hallamos 1 _ 5 × 5 _ 7 usando el producto conocido de 1 _ 5 × 1 _ 7 y multiplicándolo por 5. Escribimos el producto como 5 __ 35 . ¿Qué producto creen que escribió Yuna? ¿Por qué?
Creo que Yuna escribió el producto 1 7 porque tal vez usó el lenguaje de unidades.
Creo que Yuna escribió el producto 1 5 de 5 7 en 1 parte del diagrama de cinta y el diagrama tiene 7 partes en total.
Ya sea que Yuna haya usado el lenguaje de unidades o haya visto la respuesta en su diagrama de cinta, tiene sentido que haya escrito el producto como 1 _ 7 . ¿Obtuvimos respuestas equivalentes? ¿Es verdadero que 1 _ 7 = 5 __ 35 ?
Sí. Sé que 35 es 5 veces 7, y que 5 es 5 veces 1, así que las fracciones son equivalentes.
El producto que halló Yuna es equivalente al producto que hallamos, así que nuestras respuestas son equivalentes.
¿Cómo podemos mostrar 1 7 = 5 35 numéricamente?
Podemos multiplicar el numerador y el denominador de 1 7 por 5 para obtener 5 __ 35 .
El método de Yuna para hallar 1 _ 5 × 5 _ 7 parece otra manera de hacer un problema más simple.
Comprobémoslo para ver si también funciona con otros problemas.
Pida a la clase que complete los problemas 2 y 3 en parejas.
2. Completa los espacios para hallar el producto de 1 4 × 4 5
1 4 de 4 es 1 .
1 4 de 4 quintos es 1 quinto.
3. Completa los espacios para hallar el producto de 1 8 × 8 9 .
1 8 de 8 es 1 .
1 8 de 8 novenos es 1 noveno.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.
¿En qué se diferencia el problema 4 de los dos anteriores?
En este caso, tenemos que hallar 1 5 de 10. En los otros dos problemas, el número entero es el mismo número que el denominador del primer factor.
Pida a la clase que complete el problema 4.
4. Completa los espacios para hallar el producto de 1 5 × 10 11 .
1 5 de 10 es 2 .
1 5 de 10 onceavos es 2 onceavos.
Pida a la clase que analice los factores de los problemas 2 a 4 y busque semejanzas.
¿Qué observan?
En los problemas 2 y 3, el numerador del segundo factor es el mismo número que el denominador del primer factor.
En el problema 4, el numerador del segundo factor es un múltiplo del denominador del primer factor.
Escriba 1 5 × 6 __ 11 .
¿Podemos usar el lenguaje de unidades para hallar el producto de 1 _ 5 × 6 __ 11 ? ¿Por qué?
No, porque el numerador del segundo factor no es el mismo número que el denominador del primer factor, y 6 no es un múltiplo de 5.
Si usamos el método del producto conocido para el problema 2 como hicimos antes, el producto es 4 20 . ¿Eso es equivalente a 1 5 ? ¿Cómo lo saben?
Sí, 4 20 = 1 _ 5 porque son fracciones equivalentes.
DUA: Representación
Considere dejar a la vista una ayuda visual para mostrar la relación.
También obtendríamos fracciones equivalentes como respuesta para los problemas 3 y 4 si usáramos el método del producto conocido. Eso significa que podemos hacer un problema más simple cuando observamos que el numerador del segundo factor es el mismo número que el denominador del primer factor, o un múltiplo de este.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si obtendrían el mismo resultado si no hubieran observado esta relación entre los numeradores y los denominadores y hubieran usado un método diferente para hallar el producto.
Identificar cuándo hacer un problema más simple
La clase identifica cuándo puede hacer un problema más simple antes de hallar el producto de dos fracciones.
Repase dos de los problemas de la sección Presentar y dos problemas nuevos para ayudar a sus estudiantes a reconocer cuándo pueden hacer un problema más simple usando la siguiente secuencia.
Sabemos que podemos hallar el producto de fracciones de diferentes maneras. ¿Qué exploramos en esta lección que nos permite hacer un problema más simple?
Podemos usar el método del producto conocido para hacer un problema más simple que involucra el producto de fracciones unitarias multiplicadas por un número entero.
Podemos usar el lenguaje de unidades o ver la relación entre el numerador de un factor y el denominador del otro factor para identificar si podemos hacer un problema más simple.
Muestre las expresiones.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían hacer un problema más simple para hallar el producto de cada expresión.
Usaría el lenguaje de unidades para hallar el producto de la expresión C porque el numerador del segundo factor es el mismo número que el denominador del primer factor.
Usaría el método del producto conocido para las expresiones A y D porque ya tienen una fracción unitaria en la expresión. Solo tendría que hallar el producto de las fracciones unitarias y, luego, multiplicarlo por un número entero.
Usaría el lenguaje de unidades para la expresión B, pero primero cambiaría el orden de los factores para que sea 1 3 × 6 7 .
Si usamos la propiedad conmutativa de la multiplicación para cambiar el orden de los factores en la expresión B, podemos usar el lenguaje de unidades para hallar el producto. Es bueno acostumbrarse a considerar las expresiones primero para ver si pueden hacer un problema más simple. Pero incluso si no observan que pueden hacer un problema más simple, pueden hallar el producto usando otros métodos y modelos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es más eficiente usar el lenguaje de unidades para hallar el producto de la expresión C (el problema de la sección Presentar) que dibujar un modelo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Si las parejas de estudiantes necesitan ayuda para determinar si usarían productos conocidos o el lenguaje de unidades, haga preguntas como las siguientes:
• ¿Hay alguna relación entre el numerador de una fracción y el denominador de la otra fracción?
• ¿Qué expresiones reescribirían como un producto de fracciones unitarias multiplicadas por un número entero?
• ¿Alguno de estos problemas se parece al problema 3? ¿Y al problema 4?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar fracciones por fracciones unitarias haciendo problemas más simples
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo hacer un problema más simple para hallar productos usando las siguientes preguntas. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre el resumen del problema de la sección Aprender. 1 7
Respuesta de Yuna: 5 35 Respuesta de la clase: = 1 7 5 35 = 1 × 5 7 × 5 × 5 7 1 5
Señale la expresión que está en el medio de la ecuación.
Cuando vimos la manera de hacer un problema más simple de Yuna, conversamos acerca de si
su respuesta, 1 _ 7 , era equivalente a la nuestra, 5 __ 35 . Para ese problema, hallamos el producto de 1 _ 5 × 5 _ 7 . ¿Qué observan acerca de los numeradores en 1 _ 5 × 5 _ 7 y el numerador en 1 × 5 ____ 7 × 5 ?
Los numeradores son iguales porque 1 × 5 = (1 × 5).
Señale la expresión que está en el medio de la ecuación.
¿Qué observan acerca de los denominadores en 1 5 × 5 7 y el denominador en 1 × 5 7 × 5 ?
Los denominadores son iguales, pero están en distinto orden.
¿Multiplicar los denominadores en un orden diferente significa que obtendremos un producto diferente? ¿Por qué?
No. Obtendremos el mismo producto porque la propiedad conmutativa de la multiplicación establece que podemos multiplicar en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 6 a 15 de su Grupo de problemas.
¿Qué problemas hicieron más simples usando el lenguaje de unidades? ¿Cómo supieron que podían hacerlo?
Usé el lenguaje de unidades para hacer un problema más simple en los problemas 8 y 13. Observé la relación entre el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción porque son el mismo número.
Usé el lenguaje de unidades para hacer un problema más simple en el problema 7. Observé la relación entre el denominador de la primera fracción, 2, y el numerador de la segunda fracción, 4. Esa relación también se da en el problema 12.
¿Qué problemas hicieron más simples usando productos conocidos? ¿Por qué?
Usé productos conocidos para hacer más simple el problema 9. Me pareció que dibujar un modelo de área para mostrar 1 5 y 6 11 llevaría demasiado tiempo, así que pensé en 1 5 × 1 11 × 6 en su lugar.
Usé productos conocidos para hacer más simple el problema 10. Sabía que la unidad del producto es cuarentavos, así que pude hallar mentalmente 1 40 × 2 y obtuve la respuesta 2 40 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar un método de esta lección para hacer un problema más simple para hallar el producto de 6 15 × 2 3 .
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el modelo para completar los enunciados. El diagrama representa
Completa los espacios.
Haz un problema más simple usando un producto conocido o el lenguaje de unidades. Muestra tu razonamiento. Luego, multiplica.
6. 1 6 × 3 2 =
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
16. Kayla juega un videojuego durante 2 3 de hora el domingo. Pasa 1 4 de ese tiempo jugando el videojuego el lunes.
a. En comparación con el domingo, ¿Kayla pasa más tiempo o menos tiempo jugando el videojuego el lunes? Explica tu razonamiento.
Kayla pasa menos tiempo jugando el videojuego el lunes porque juega durante una parte, o 1 4 , de 2 3 de hora.
b. ¿Qué fracción de una hora juega Kayla el videojuego el lunes?
1 4 × 2 3 = 1 6
Kayla juega el videojuego 1 6 de hora el lunes.
c. ¿Durante cuántos minutos juega Kayla el videojuego el lunes?
1 6 × 60 = 10
Kayla juega el videojuego durante 10 minutos el lunes.
×
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones
Vistazo a la lección
La clase usa productos conocidos para multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones. Analizan los factores de la expresión de multiplicación y el producto de los factores para buscar una relación. Llegan a la conclusión de que, al multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción, a veces se obtiene un producto mayor que 1, pero no siempre.
Preguntas clave
• ¿Es diferente multiplicar por una fracción mayor que 1 que multiplicar por una fracción menor que 1? ¿Por qué?
• ¿Qué observan acerca de los numeradores y denominadores de una expresión de multiplicación y del numerador y el denominador del producto?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA6 Multiplican números enteros o fracciones por fracciones. (5.NF.B.4)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción unitaria
• Multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Usar productos conocidos con fracciones mayores que 1 (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Usar productos conocidos con fracciones mayores que 1 de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones
La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos con números enteros del módulo 1.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el enunciado: La suma de 3 y 7, duplicada.
Escriban una expresión para representar el enunciado.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban el valor de la expresión.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Restar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de resta y halla la diferencia para adquirir fluidez con la resta de fracciones con unidades diferentes del módulo 2.
Muestre 1 2 1 3 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Tienen unidades semejantes las fracciones? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
No.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen ambas fracciones con otro nombre, de modo que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales.
Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método y fracciones con unidades semejantes.
Hallen la diferencia.
Muestre la diferencia.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza un modelo con una fracción mayor que 1 e identifica un error en la interpretación del modelo.
Muestre los modelos de área que representan el producto de 1 2 × 5 4 .
¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?
Observo los rótulos 1 2 y 5 4 .
Observo que los dos modelos de área están divididos en cuartos de manera vertical y en medios o mitades de manera horizontal.
Observo que hay 5 partes sombreadas.
Observo que 5 4 es una fracción mayor que 1.
Me pregunto por qué se muestran 2 enteros.
Me pregunto qué problema representa este modelo.
Este es el modelo que usó Leo para hallar 1 _ 2 × 5 _ 4 . ¿Por qué creen que usó dos cuadrados de su modelo de área para hallar el producto?
Creo que usó dos cuadrados porque un cuadrado solo tiene 4 cuartos y tenía que representar 5 cuartos.
Creo que usó dos cuadrados porque 5 4 > 1. 5
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Leo dice que 1 2 × 5 4 = 5 16 . ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?
Veo 5 partes sombreadas del total de 16 partes del modelo, pero no creo que Leo esté en lo correcto porque cada cuadrado muestra octavos.
No estoy de acuerdo con Leo porque cada cuadrado tiene 8 partes iguales, así que su respuesta debería estar en octavos.
No estoy de acuerdo con Leo porque 1 parte sombreada es 1 8 y hay 5 partes sombreadas, así que su respuesta debería ser 5 8 .
¿Qué error cometió Leo?
Leo sumó todas las partes de ambos modelos para obtener 16 en lugar de pensar acerca de cuántas partes necesitaba para formar 1 entero, que son 8 partes.
Cuando usamos modelos para multiplicar una fracción mayor que 1, debemos tener cuidado de usar el número correcto de unidades en 1 entero y no el número total de partes que vemos en el modelo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos a usar productos conocidos para multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones.
Aprender
Multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción unitaria
Materiales: E) Usar productos conocidos con fracciones mayores que 1
La clase usa productos conocidos para multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción unitaria.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Usar productos conocidos con fracciones mayores que 1 de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Pídales que vayan al problema 1
en sus libros y que registren las respuestas a medida que guía a la clase para que hallen productos usando un producto conocido.
Miren el modelo de área de su pizarra blanca. ¿Qué observan?
Observo dos cuadrados.
Cada modelo está dividido en séptimos de manera vertical y en quintos de manera horizontal.
Cada modelo tiene 7 columnas y 5 filas.
Cada modelo muestra treintaicincoavos.
¿Para fracciones de qué valor necesitaríamos ambos cuadrados para representar el problema?
¿Menor que 1 o mayor que 1?
Fracciones de valor mayor que 1
Observen el problema 1. ¿Hay problemas que tengan fracciones mayores que 1? ¿Qué problemas?
Sí. El problema 1(c) tiene 8 7 , que es una fracción mayor que 1.
El problema 1(a) se parece a las expresiones que vimos en la lección anterior. ¿Cómo hicimos que el problema fuera más sencillo en esos casos?
Expresamos las fracciones como fracciones unitarias multiplicadas por un número entero.
Pida a la clase que complete el problema 1 en parejas. Según sea necesario, pídales que comprueben su respuesta usando un modelo de área.
Mientras trabajan, recorra el salón de clases para asegurarse de que muestren su razonamiento escribiendo un producto de fracciones unitarias y un número entero.
1. Usa un producto conocido para hacer un problema más simple. Muestra tu razonamiento.
Cuando hayan terminado el problema 1, haga las siguientes preguntas para guiar una conversación.
En el problema 1(a), multiplicamos una fracción de valor menor que 1 por otra fracción menor que 1. ¿Cómo pueden describir lo que multiplicamos en el problema 1(b)?
En la parte (b), multiplicamos una fracción de valor menor que 1 por una fracción igual a 1.
¿Cómo pueden describir lo que multiplicamos en el problema 1(c)?
En la parte (c), multiplicamos una fracción de valor menor que 1 por una fracción de valor mayor que 1.
¿Qué observan acerca de los valores de las fracciones de las respuestas?
Todas las respuestas son fracciones menores que 1.
Veamos en detalle los factores de cada problema y comparémoslos con las respuestas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores del problema 1(a) son mayores que, iguales a o menores que la respuesta.
¿El producto 6 __ 35 es mayor que, igual a o menor que cada uno de los factores 1 _ 5 y 6 _ 7 ? ¿Es razonable? ¿Por qué?
6 35 es menor que 1 5 y que 6 7 . Es razonable porque ambas fracciones son menores que 1 y, cuando hallamos la fracción de una fracción menor que 1, el producto es menor que ambos factores.
6 35 es menor que 1 5 y que 6 7 . Es razonable porque ambas fracciones son menores que 1 y, cuando multiplicamos por una fracción menor que 1, el producto es menor que el otro factor. Ambos factores son menores que 1, así que el producto es menor que ambos factores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores del problema 1(b) son mayores que, iguales a o menores que la respuesta.
¿El producto 7 __ 35 es mayor que, igual a o menor que cada uno de los factores 1 _ 5 y 7 _ 7 ? ¿Es razonable? ¿Por qué?
7 35 < 7 7 . Es razonable porque 7 7 se multiplicó por 1 5 y 1 5 < 1.
7 35 = 1 5 . Es razonable porque 1 5 × 7 7 tiene el mismo valor que 1 5 × 1, así que tiene sentido que el producto sea igual a ese factor.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar una lista de términos y frases como las siguientes para animar a sus estudiantes a participar en la conversación de toda la clase usando lenguaje preciso.
• Factor, producto, multiplicar
• Numerador, denominador
• Mayor que, igual a, menor que
Nota para la enseñanza
Es probable que sus estudiantes observen que multiplicar por 7 __ 7 es equivalente a multiplicar por 1 y se pregunten por qué no usaron esa información para hacer un problema más simple. Valide su razonamiento y explique que el objetivo es multiplicar fracciones y buscar conexiones entre factores y productos. Por esta razón, hacer un problema más simple no resulta útil.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores del problema 1(c) son mayores que, iguales a o menores que la respuesta.
¿El producto 8 __ 35 es mayor que, igual a o menor que cada uno de los factores 1 _ 5 y 8 _ 7 ? ¿Es razonable? ¿Por qué?
8 35 > 1 5 . Es razonable porque 1 5 se multiplicó por 8 7 y 8 7 > 1. Sé que 1 5 × 7 7 = 7 35 . Como hay otro séptimo
en 8 7 , el producto es mayor que 1 5 .
8 35 < 8 7 . Es razonable porque 8 7 se multiplicó por 1 5 y 1 5 < 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación que observan entre los factores de la ecuación y la respuesta.
Multiplicar una fracción mayor que 1 por una fracción
La clase usa productos conocidos para multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que analicen las fracciones del problema 2.
2. Usa un producto conocido para hacer un problema más simple. Muestra tu razonamiento.
¿Qué observan acerca de estos problemas comparados con aquellos del problema 1?
Ninguna de las fracciones de estos problemas son fracciones unitarias.
Estamos multiplicando quintos y séptimos otra vez.
Usar el producto conocido de 1 _ 5 × 1 _ 7 nos ayuda a hacer un problema más simple, así que sigamos haciendo eso. Observen el problema 2(a). Si 2 _ 5 fuera 1 _ 5 , ya sabríamos cómo hallar el producto.
¿Qué creen que debemos hacer con 2 _ 5 ?
2 5 es 2 veces 1 5 , así que podemos multiplicar 1 5 por 2.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando decide cómo multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones usando productos conocidos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben acerca del producto de fracciones unitarias a hallar el producto de una fracción mayor que 1 y una fracción?
• ¿De qué otra manera pueden reescribir la expresión de multiplicación para que les ayude a hallar el producto?
Como 2 5 es 2 veces 1 5 y 6 7 es 6 veces 1 7 , veamos si podemos multiplicar el producto conocido por 2 y por 6 para hallar el producto de 2 5 × 6 _ 7 .
Registre (1 5 × 2) × (1 7 × 6) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Esta expresión sigue siendo igual al problema original? ¿Cómo lo saben?
Sí, es igual porque 1 5 × 2 = 2 5 y 1 7 × 6 = 6 7 .
Conocemos 1 5 × 1 _ 7 y conocemos 2 × 6. ¿Podemos cambiar el orden de los factores? ¿Por qué?
Sí. Como toda la expresión es de multiplicación, podemos cambiar el orden de los factores y aun así obtener la misma respuesta.
Podemos usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para cambiar el orden de los factores. Escribamos una expresión equivalente que muestre el producto conocido de 1 5 × 1 _ 7 primero y, luego, incluya los números enteros.
Registre = 1 5 × 1 7 × 2 × 6.
¿Cuánto es 1 _ 5 × 1 7 ? ¿Y 2 × 6?
1 35 y 12
Registre = 1 35 × 12.
¿Cuál es el producto de 2 5 × 6 _ 7 ? 12
35
¿Creen que obtendremos la misma respuesta si usamos nuestro modelo de área? Inténtenlo y comparen las respuestas.
Haga una pausa mientras la clase sombrea el modelo de área para ver si el resultado es el mismo.
Observen el problema 2(b). Si seguimos usando el producto conocido de 1 _ 5 × 1 7 , ¿qué debemos multiplicar también para hallar el producto de 3 5 × 8 _ 7 ?
Necesitamos hallar 1 5 × 1 7 y 3 × 8.
Nota para la enseñanza
En este primer ejemplo, tal vez resulte útil mostrar más ecuaciones que las necesarias y así reforzar la comprensión de la equivalencia y las propiedades de las operaciones. No se espera que sus estudiantes muestren toda esa cantidad de trabajo mientras avanzan, salvo que les resulte útil.
Registre 1 5 × 1 7 × 3 × 8. Pida a sus estudiantes que hallen el producto y, luego, usen el modelo de área para ver si el resultado es el mismo.
¿Cómo pueden describir las fracciones que multiplicamos en el problema 2(a)? ¿Y en el 2(b)?
¿Y en el 2(c)?
En la parte (a), multiplicamos dos fracciones de valor menor que 1.
En la parte (b), multiplicamos una fracción de valor menor que 1 por una fracción de valor mayor que 1.
En la parte (c), multiplicamos una fracción de valor menor que 1 por una fracción de valor mayor que 1.
¿Qué observan acerca de los valores de las fracciones de las respuestas?
Las respuestas de la parte (a) y la parte (b) son fracciones menores que 1.
La respuesta de la parte (c) es mayor que 1.
Esta es la primera vez en una lección que multiplicamos dos fracciones y hallamos un producto mayor que 1. Veamos si vuelve a pasar lo mismo al hallar productos de una variedad de fracciones y no solo con quintos y séptimos.
Diferenciación: Apoyo
Para brindar apoyo adicional, siga escribiendo cada factor de la expresión original como el producto de una fracción unitaria y un número entero. Use paréntesis para enfatizar la relación entre el factor y su forma descompuesta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pida a la clase que complete los problemas 3(a) a (d) en parejas.
Cuando hayan terminado el problema 3, haga las siguientes preguntas para guiar una conversación.
Veamos en detalle los factores de cada problema y comparémoslos con 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores y el producto en el problema 3(a) son mayores que, iguales a o menores que 1.
¿Los factores 3 4 y 6 5 y el producto 18 20 son mayores que, iguales a o menores que 1?
El factor 3 4 es menor que 1.
El factor 6 _ 5 es mayor que 1.
El producto 18 20 es menor que 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores y el producto en el problema 3(b) son mayores que, iguales a o menores que 1.
¿Los factores 9 10 y 5 4 y el producto 45 40 son mayores que, iguales a o menores que 1?
El factor 9 10 es menor que 1.
El factor 5 4 es mayor que 1.
El producto 45 40 es mayor que 1.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a hacer un problema más simple para hallar el producto de 3 factores, como la siguiente expresión: 4 __ 5 × 5 6 × 6 8
Sus estudiantes pueden usar el lenguaje de unidades o escribir cada factor como el producto de una fracción unitaria y un número entero antes de multiplicar.
Como desafío adicional, presente los factores de forma desordenada para que el uso del lenguaje de unidades resulte menos evidente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores y el producto en el problema 3(c) son mayores que, iguales a o menores que 1.
¿Los factores 2 __ 11 y 13 __ 5 y el producto 26 __ 55 son mayores que, iguales a o menores que 1?
El factor 2 11 es menor que 1.
El factor 13 5 es mayor que 1.
El producto 26 55 es menor que 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si los factores y el producto en el problema 3(d) son mayores que, iguales a o menores que 1.
¿Los factores 10 __ 13 y 4 _ 3 y el producto 40 __ 39 son mayores que, iguales a o menores que 1?
El factor 10 13 es menor que 1.
El factor 4 3 es mayor que 1.
El producto 40 39 es mayor que 1.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿Por qué creen que el producto de una fracción menor que 1 y una fracción mayor que 1 a veces es menor que 1 y a veces es mayor que 1? Den un ejemplo para apoyar su razonamiento.
Creo que depende del tamaño de los factores. 9 10 × 5 4 > 1, y observé que 9 10 es casi 1 y 5 4 > 1.
Pero 3 4 × 6 5 < 1. Observé que 3 4 es casi 1 y 6 5 > 1, pero el producto es menor que 1. Como 9 10 está más cerca de 1 que 3 4 , creo que el hecho de que el producto sea mayor o menor que 1 depende de qué tan cerca de 1 esté el factor.
Si la fracción menor que 1 es muy pequeña, como 2 11 , se la debe multiplicar por una fracción mucho mayor que 1 para hacer el que producto sea mayor que 1. Cuando multiplicamos 2 11 y 13 5 , el producto fue menor que 1, aunque el valor de 13 5 es casi 3.
Grupo
de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de multiplicar fracciones mayores que 1 por fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 13 de su Grupo de problemas.
Antes, analizamos los factores de ecuaciones de multiplicación y sus respuestas para llegar a una conclusión acerca de la relación entre ellos. Dijimos que la respuesta depende de los factores. ¿Cambió su razonamiento? ¿Por qué?
No. A veces el producto es menor que 1 y a veces el producto es mayor que 1.
No. Pensé que la respuesta del problema 4 sería mayor que 1 porque 9 11 es casi 1 y 6 5 es mayor que 1. La respuesta estuvo cerca de 1, pero de todas maneras fue menor.
¿Es diferente multiplicar por una fracción mayor que 1 que multiplicar por una fracción menor que 1? ¿Por qué?
Cuando multiplicamos fracciones menores que 1, las respuestas son menores que 1. Cuando multiplicamos una fracción mayor que 1 por una fracción, a veces la respuesta es menor que 1 y a veces es mayor que 1.
DUA: Acción y expresión
Después de que sus estudiantes completen el Grupo de problemas, considere reservar tiempo para que cada estudiante reflexione sobre lo que aprendieron en este módulo. Según sea necesario, recuerde a sus estudiantes que empezaron hallando fracciones de un conjunto usando una matriz.
Sugiera preguntas como las siguientes para incentivar la autoevaluación:
• ¿De qué modelo o representación dependo más para hallar los productos de fracciones? ¿Ha sido siempre el mismo modelo o la misma representación?
• ¿En qué necesitaría seguir trabajando?
• ¿Qué método debería probar la próxima vez?
Multiplicar por una fracción mayor que 1 no es muy diferente a multiplicar por una fracción menor que 1 porque escribimos las fracciones mayores que 1 como fracciones unitarias multiplicadas por un número entero.
Cuando multiplicamos fracciones menores que 1, necesitamos un cuadrado para el modelo de área. Cuando multiplicamos fracciones mayores que 1, necesitamos más de un cuadrado para el modelo de área.
Pida a sus estudiantes que analicen todos los numeradores y denominadores de los factores y los productos.
¿Qué observan acerca de los numeradores de los factores y los numeradores de los productos?
Observo que el numerador del producto es el producto de los numeradores de los factores.
¿Qué observan acerca de los denominadores de los factores y el denominador de los productos?
Observo que el denominador del producto es el producto de los denominadores de los factores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que lo que observaron acerca de los numeradores y denominadores puede ayudarles a hallar productos de manera más eficiente.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Haz un problema más simple. Muestra tu razonamiento. Luego, multiplica.
14. Eddie corre 3 5 de hora el viernes. Corre 5 4 de ese tiempo el sábado.
a. En comparación con el viernes, ¿Eddie corre más o menos tiempo el sábado? ¿Cómo lo sabes?
Eddie corre más tiempo el sábado que el viernes. Lo sé porque 5 4 es mayor que 1 Si corre durante un tiempo mayor que 1 de 3 5 significa que corre más tiempo.
b. Eddie dice que 3 5 × 5 4 es mayor que 1 porque 5 4 es mayor que 1. Explica por qué su razonamiento es incorrecto. ¿Qué consejo le darías a Eddie?
Eddie no está en lo correcto porque no siempre es verdadero que, cuando un factor es una fracción y el otro factor es una fracción mayor que 1, el producto también es mayor que 1 Eddie debería pensar en el tamaño de los dos factores al estimar si el producto es mayor o menor que 1
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
15. 5 9 de los animales que hay en una exposición de mascotas son perros. 3 5 de los perros son caniches. ¿Qué fracción de los animales de la exposición son caniches?
3 5 × 5 9 = 15 45 15 45 de los animales de la exposición son caniches.
16. En un campamento de verano, 4 5 de los campistas eligen practicar un deporte como actividad. De los campistas que eligen un deporte, 2 5 juegan al futbol americano y el resto juega al basquetbol. ¿Qué fracción de los campistas juega al basquetbol?
1 − 2 5 = 3 5
3 5 × 4 5 = 12 25
12 25 de los campistas juegan al basquetbol.
1. 3 4 × 5 4 = 15 16
Multiplicar fracciones
=
Compara las expresiones usando > , = o < . Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
3. 1 2 × 1 3 < 1 2 × 7 8
Explica: Las dos expresiones tienen 1 2 como un factor y 1 3 es menor que 7 8
Vistazo a la lección
La clase comienza razonando acerca del tamaño de productos. Utilizan el razonamiento inductivo para crear reglas generales acerca del tamaño de productos de expresiones que involucran la multiplicación de números por fracciones menores que 1, mayores que 1 e iguales a 1. Utilizan esta comprensión para comparar expresiones sin multiplicar. Por último, la clase utiliza lo que sabe acerca de multiplicar fracciones para resolver problemas del mundo real.
Preguntas clave
• En una expresión de multiplicación, ¿cómo afecta el tamaño de los factores al tamaño del producto?
• ¿Cómo pueden comparar expresiones de multiplicación sin hallar los productos?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción. (5.NF.B.4.a)
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros. (5.NF.B.5.a)
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1. (5.NF.B.5.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Mayor que, igual a, menor que
• Comparar expresiones sin evaluarlas
• Resolver problemas del mundo real
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones
La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos con fracciones del módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el enunciado: La diferencia de 2 quintos y 1 quinto, multiplicada por 4.
Escriban una expresión para representar el enunciado.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban el valor de la expresión.
Muestre la respuesta.
La diferencia de 2 quintos y 1 quinto, multiplicada por 4
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
2 veces la suma de 2 décimos y 3 décimos
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de suma o de resta y halla la suma o la diferencia para adquirir fluidez con la suma y la resta de fracciones con unidades diferentes del módulo 2.
Muestre 1 2 + 3 7 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Tienen unidades semejantes las fracciones? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
No.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen ambas fracciones de modo que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales. Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método y fracciones con unidades semejantes.
Hallen la suma.
Muestre la suma.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza representaciones incompletas de una expresión de multiplicación para completar una ecuación.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones a coro con la clase.
Pida a la clase que trabaje en parejas para completar el problema 1. Recorra el salón de clases para ayudar a sus estudiantes según sea necesario, pero dé tiempo para que realicen un esfuerzo productivo.
1. Usa las pistas de la parte (a) para completar la ecuación de la parte (b).
a. Analiza las pistas y completa los espacios. Las pistas representan expresiones equivalentes.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo para comenzar, sugiera que comiencen con la pista del modelo de área. Pídales que rotulen el modelo de área con llaves y fracciones para representar la parte sombreada y, luego, que regresen a las otras pistas para completar las expresiones.
b. Escribe la expresión de multiplicación que representan las pistas. Luego, halla el producto para completar la ecuación. 4 5 × 2 3 = 8 15
Pista A Pista B Pista C
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, guíe una conversación haciendo cualquiera de las siguientes preguntas:
• ¿Con qué pista comenzaron? ¿Por qué?
• ¿Qué pista fue la más útil? ¿Y la menos útil? ¿Por qué?
• ¿Cómo supieron qué expresión de multiplicación representaban las pistas?
• ¿Cómo hallaron el producto en el problema 1(b)?
¿Podríamos escribir la expresión 2 _ 5 × 4 3 en el problema 1(b)? ¿Por qué?
No. 2 5 × 4 3 no se muestra en el modelo de área. El modelo de área muestra 4 5 × 2 3 .
No coincidiría con el modelo de área, pero sí con la pista A, porque podemos multiplicar los factores en cualquier orden.
La expresión 2 5 × 4 3 da como resultado el mismo producto, pero no coincidiría con todas las pistas dadas en el problema 1(a).
Muestre las siguientes ecuaciones.
¿Qué relación observan entre los numeradores y denominadores de la expresión de multiplicación y los del producto?
El numerador del producto es el producto de los numeradores en los factores.
El denominador del producto es el producto de los denominadores en los factores.
Si no tuviéramos el modelo de área como pista en el problema 1(a), 2 5 × 4 3 y 4 _ 5 × 2 3 serían correctas para la ecuación del problema 1(b). ¿Por qué?
Las dos serían correctas porque podemos multiplicar en cualquier orden y las dos expresiones dan como resultado el mismo producto, 8 15 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a multiplicar fracciones y razonar acerca del tamaño del producto.
Aprender
Mayor que, igual a, menor que
La clase razona acerca del tamaño del producto en comparación con el tamaño de los factores.
Escriba el enunciado 1 4 de 3 5 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del significado de ese enunciado.
¿Qué expresión de multiplicación podemos escribir para representar el enunciado?
¿Cómo lo saben?
Podemos escribir 1 4 × 3 5 porque 1 4 de 3 5 significa 1 4 de veces 3 5 .
Confirme que 1 4 de 3 5 significa 1 4 de veces 3 5 , al igual que con los números enteros (2 × 4 es 2 veces 4)
o con una fracción y un número entero ( 1 2 × 24 es 1 2 de veces 24).
¿Estiman que el producto es mayor que, igual a o menor que 3 _ 5 ? ¿Por qué?
El producto es menor que 3 5 . Como 1 4 < 1, estamos hallando una parte de 3 5 , no todo.
Invite a la clase a hallar el producto.
¿Es razonable el producto? ¿Cómo lo saben?
Sí, el producto es 3 20 y es razonable. Sabíamos que nuestra respuesta sería menor que 3 5 , y 3 20 < 3 5 .
Escriba el enunciado 4 4 de 3 5 .
¿Qué expresión de multiplicación podemos escribir para representar este enunciado?
4 4 × 3 5
¿Cuál es la diferencia entre esta expresión y la última?
En vez de hallar 1 4 × 3 5 , estamos hallando 4 4 × 3 5 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando decide con una pareja de trabajo si cada producto es mayor que, igual a o menor que uno de los factores de la expresión de multiplicación.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Es verdadero que el producto es menor que 4 5 ? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su razonamiento?
Nota para la enseñanza
En lecciones anteriores, sus estudiantes practicaron comparar un producto con cada factor para asegurarse de que el producto fuera razonable. En esta lección, sus estudiantes comparan explícitamente un producto con uno de los factores como ayuda para comparar expresiones.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si estiman que el producto es mayor que, igual a o menor que 3 5 .
¿Estiman que el producto es mayor que, igual a o menor que 3 5 ? ¿Por qué?
El producto es igual a 3 5 porque 4 4 = 1 y 3 5 × 1 = 3 5 .
Escriba el enunciado 7 4 de 3 5 . Luego, invite a la clase a escribir una expresión de multiplicación para representar el enunciado.
¿Estiman que el producto es mayor que, igual a o menor que 3 _ 5 ? ¿Cómo lo saben?
El producto es mayor que 3 5 . Sé que 7 4 × 3 5 significa 7 4 de 3 5 . Como 7 4 > 1, estamos hallando más que el entero.
Escriba las siguientes expresiones:
DUA: Acción y expresión
Brinde apoyo a sus estudiantes cuando hagan generalizaciones. Considere hacer un razonamiento en voz alta o pedir a alguien que ya haya demostrado comprensión que razone en voz alta mientras sus pares escuchan. Seleccione una de las expresiones de la lección para usarla en el razonamiento en voz alta, como 6 5 × 4 __ 5 .
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para decidir si cada producto es mayor que, igual a o menor que 4 5 .
Cuando hayan terminado, guíe a sus estudiantes para que resuman sus observaciones acerca de cada tipo de multiplicación. Use los siguientes esquemas de oración como ayuda.
• Cuando se multiplica un número por una fracción menor que 1, el producto es .
• Cuando se multiplica un número por una fracción igual a 1, el producto es .
• Cuando se multiplica un número por una fracción mayor que 1, el producto es .
Nota para la enseñanza
Cuando se multiplica un número por una fracción menor que 1, el producto es menor que ese número.
3 5 × 4 5 < 4 5
Cuando se multiplica un número por una fracción igual a 1, el producto es igual a ese número.
5 __ 5 × 4 5 = 4 5
Cuando se multiplica un número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor que ese número.
6 5 × 4 5 > 4 5
Comparar expresiones sin evaluarlas
La clase compara dos expresiones de multiplicación sin hallar los productos reales.
Escriba 1 3 × 15 y 5 3 × 15. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de las expresiones.
Las dos expresiones muestran una fracción multiplicada por un número entero.
El segundo factor es igual en las dos expresiones. El primer factor de las dos expresiones es una fracción.
La primera expresión tiene un factor menor que 1 y la segunda expresión tiene un factor que es una fracción mayor que 1.
En la primera expresión, estamos hallando 1 _ 3 de 15. Sabemos que 1 _ 3 < 1, ¿entonces qué sabemos sobre el producto de 1 3 y 15?
Es menor que 15.
En la segunda expresión, estamos hallando 5 _ 3 de 15. ¿El producto es mayor que 15 o menor que 15? ¿Cómo lo saben?
Es mayor que 15. Como 5 3 > 1, el producto es mayor que 15.
¿Cómo se compara 1 _ 3 × 15 con 5 _ 3 × 15?
1 3 × 15 < 5 3 × 15
Escriba las expresiones 3 4 × 43 50 y 1 4 × 43 50 . Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre las dos expresiones.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de la multiplicación de fracciones para comparar las expresiones sin hallar los productos reales?
Podemos observar el tamaño de los factores.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas de oración para ayudar a sus estudiantes a participar en la conversación de toda la clase.
• es menor que , por lo que .
• es mayor que , por lo que .
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a hacer comparaciones observando solamente los numeradores. Pregunte por qué observar solamente los numeradores lleva a la misma respuesta que observar el tamaño de los factores.
Sus estudiantes deberían observar que los denominadores de las dos expresiones son iguales, por lo que solo es necesario comparar los numeradores para decidir qué expresión es mayor.
En el último problema, pudimos comparar los productos observando el primer factor de cada expresión. Uno era una fracción menor que 1 y el otro era una fracción mayor que 1. ¿Eso es verdadero en estas expresiones?
No, los dos primeros factores son fracciones menores que 1.
¿Podemos comparar los productos sin multiplicar? ¿Por qué?
Sí, sabemos que 3 4 > 1 4 , por lo que 3 4 de 43 50 es mayor que 1 4 de 43 50 .
Sí, 3 4 × 43 50 es 3 veces 1 4 × 43 50 porque 3 4 es 3 veces 1 4 .
Escriba las expresiones 12 13 × 87 100 y 9 10 × 12 13 . Pida a la clase que trabaje en parejas durante 1 minuto para comparar las expresiones sin hallar el producto real.
A medida que sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases y observe el razonamiento que usan para determinar qué expresión es mayor. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿Alguno de los factores es mayor que 1?
• ¿Las expresiones comparten un factor común?
• ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de los tamaños de 87 100 y 9 10 para comparar las expresiones?
Si hay tiempo suficiente, pida a la clase que trabaje en parejas para comparar las siguientes expresiones y compartir su razonamiento.
• 17 20 × 3 5 y 5 5 × 17 20
• 1 8 × 49 50 y 3 8 × 49 50
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden comparar expresiones de multiplicación que involucran fracciones sin hallar el producto real.
Resolver problemas del mundo real
La clase resuelve problemas del mundo real sobre la multiplicación de fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
2. La Sra. Chan tiene 4 galones de pintura. Usa 1 3 para pintar su dormitorio. Usa 3 4 de la pintura restante para pintar su sala de estar. ¿Qué fracción de la pintura usa la Sra. Chan para la sala de estar?
4 galones
Dormitorio Sala de estar
La Sra. Chan usa 3 6 de la pintura para la sala de estar.
¿Qué información conocemos?
La Sra. Chan tiene 4 galones de pintura.
Usa 1 3 de la pintura para su dormitorio.
Usa 3 4 de la pintura restante para su sala de estar.
¿Qué nos pide hallar el problema?
Nos pide que hallemos la fracción de la pintura que usa la Sra. Chan para pintar su sala de estar.
Lea la primera oración del problema 2 a la clase.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué debemos dibujar?
Sí. Debemos dibujar un diagrama de cinta para representar los 4 galones de pintura.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta y pida a la clase que haga lo mismo.
Lea la segunda oración a la clase.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes pidiéndoles que resuelvan los siguientes problemas:
• ¿Qué fracción de la pintura le queda a la Sra. Chan?
• ¿Cuántos galones de pintura usa la Sra. Chan para pintar su dormitorio? ¿Y para su sala de estar?
• ¿Cuántos galones de pintura le quedan a la Sra. Chan?
¿Cómo podemos representar esto en el diagrama de cinta?
Podemos dividir la cinta en 3 partes iguales y rotular 1 de ellas Dormitorio.
Divida y rotule el diagrama de cinta, y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Lea la tercera oración a la clase.
¿Cómo podemos representar esto en el diagrama de cinta?
Podemos dividir la parte restante de la cinta en 4 partes iguales y rotular 3 de ellas Sala de estar.
La parte restante de la cinta ya está dividida en 2 partes. ¿Cómo podemos dividir esas partes para tener 4 partes iguales?
Podemos dividir cada una de las 2 partes en 2 partes iguales.
Divida y rotule el diagrama de cinta, y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿La cinta muestra la fracción de pintura que la Sra. Chan usa para pintar la sala de estar? ¿Por qué?
No, la cinta entera no está dividida en partes iguales.
¿Qué podemos dibujar para que la cinta muestre la fracción de pintura que la Sra. Chan usa para pintar la sala de estar?
Podemos dividir el tercio que representa el dormitorio en 2 partes iguales para que la cinta entera muestre partes iguales.
Divida el resto del diagrama de cinta en partes iguales.
Diferenciación: Apoyo
Puede que haya estudiantes que necesiten ayuda para comprender que la Sra. Chan usa 3 4 de la pintura restante para pintar su sala de estar, y no 3 4 del total de la pintura.
¿Qué fracción de la pintura usa la Sra. Chan para pintar la sala de estar? ¿Cómo lo saben?
Usa 3 6 de la pintura para pintar la sala de estar. Lo sé porque hay 3 partes de 6 que representan la sala de estar.
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las ecuaciones que representan el problema.
¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar la fracción de pintura que le quedó a la Sra. Chan después de pintar su dormitorio?
1 − 1 3 = 2 3
¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar la fracción de pintura que usó la Sra. Chan para pintar la sala de estar?
3 4 × 2 3 = 6 12
¿Obtuvimos la misma respuesta que cuando usamos el diagrama de cinta? ¿Cómo lo saben? Sí, porque 3 6 y 6 12 son equivalentes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo las ecuaciones muestran lo que dibujaron en el diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
3. Blake tiene 3 pies de listón. Usa 3 4 del listón para un proyecto. Da a su amiga 1 2 del listón restante.
¿Qué fracción del listón da Blake a su amiga?
Proyecto Amiga
Blake da 1 8 del listón a su amiga.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y brinde apoyo según sea necesario.
Cuando hayan terminado, comenten la solución. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden resolver problemas del mundo real que involucran la multiplicación de fracciones.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar fracciones
Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Escriba 3 4 × 5 6 y 5 4 × 5 6 .
¿Qué expresión tiene un producto mayor que 5 6 ? ¿Cómo lo saben?
5 4 × 5 6 > 5 6 porque estamos multiplicando 5 6 por una fracción mayor que 1.
En una expresión de multiplicación, ¿cómo afecta el tamaño de los factores al tamaño del producto?
El tamaño de uno de los factores indica si el producto es mayor que, igual a o menor que el otro factor.
Cuando se multiplica un número por una fracción menor que 1, el producto será menor que el número. Cuando se multiplica un número por una fracción mayor que 1, el producto será mayor que el número.
¿Cómo pueden comparar expresiones de multiplicación sin hallar los productos?
Si uno de los factores en las dos expresiones es el mismo, se puede ver qué expresión tiene el segundo factor mayor.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Considera el enunciado. Encierra en un círculo para mostrar si el producto es menor o mayor que 3 4 Luego, halla el producto.
Lacy piensa que 2 3 × 9 8 > 2 3
a. Explica por qué Lacy podría pensar que el producto es mayor que 2 3 Lacy podría pensar que el producto es mayor que 2 3 porque 9 8 es mayor
es mayor que 2 3 b. Halla 2 3 × 9 8 2 × 9 3 × 8 = 18 24 = 3 4
c. ¿Es razonable tu respuesta? ¿Cómo lo sabes?
Sí, mi respuesta es razonable porque 3 4 es mayor que 2 3
Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
11. 1 2 × 13 15 < 4 5 × 13 15
Explica: El segundo factor es el mismo en las dos expresiones y 1 2 es menor que 4 5
12. 13 9 × 41 50 > 18 19 × 41 50
Explica: El segundo factor es el mismo en las dos expresiones y 13 9 es mayor que 18 19 .
13. 11 10 × 67 100 < 7 10 × 11 10
Explica: Las dos expresiones tienen 11 10 como un factor y 67 100 es menor que 7 10
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
14. Tyler hornea 1 bandeja de brownies. Da 1 3 de los brownies a su familia. Da a sus amigas y amigos 5 4 de la cantidad de brownies que da a su familia. ¿Qué fracción de los brownies le queda?
5 4 × 1 3 = 5 12
12 12 − 5 12 = 7 12
7 12 − 1 3 = 3 12
A Tyler le quedan 3 12 de los brownies
15. La marca favorita de almendras de la Sra. Song se vende en bolsas que pesan 7 8 de libra. La Sra. Song compra 1 bolsa de almendras en la tienda y tiene 1 2 bolsa de almendras en su casa. ¿Cuánto pesan en total las almendras de la Sra. Song?
1 2 + 2 2 = 3 2
3 2 × 7 8 = 21 16 = 1 5 16
En total, las almendras de la Sra. Song pesan 1 5 16 libras.
Tema C División con fracciones unitarias y números enteros
En el tema C, la clase usa su comprensión de la multiplicación de un número entero y una fracción para pensar acerca de la división de un número entero y una fracción. Interpretan cocientes como el número de grupos o el tamaño del grupo, según el contexto del problema.
En este tema, se comienza el trabajo de división con fracciones. La clase usa diagramas de cinta y rectas numéricas para razonar acerca de la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria. Primero, exploran la interpretación cuotativa de la división y entienden el divisor como el tamaño de cada grupo. La clase representa el dividendo con un diagrama de cinta y lo divide para mostrar cuántas de las unidades fraccionarias pueden caber dentro del dividendo.
De esta manera, pueden ver con claridad que hay 20 cuartos en 5 cuando hallan el cociente 5 ÷ 1 4 .
Luego, la clase explora la interpretación partitiva de la división y entiende el divisor como el número de grupos. Representan el dividendo con un diagrama de cinta y usan una recta numérica para mostrar que el dividendo es una fracción de otro número. Al usar estas representaciones, la clase ve que 5 es 1 4 de 20 cuando hallan el cociente 5 ÷ 1 4 .
Luego, la clase usa diagramas de cinta y rectas numéricas para razonar acerca de la división de una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero. Como ayuda para hallar el cociente, interpretan la expresión de división 1 4 ÷ 5 como “¿1 4 es 5 grupos de cuánto?”.
La clase resuelve problemas del mundo real que involucran la división de un número entero entre una fracción unitaria o una fracción unitaria entre un número entero. Determinan que dibujar un diagrama de cinta les ayuda a elegir una operación y resolver problemas del mundo real. La clase razona acerca del tamaño de los cocientes y reconoce que el cociente de un número entero y una fracción unitaria es mayor que el dividendo. También ven que el cociente de una fracción unitaria y un número entero es menor que el dividendo. La clase usa esta comprensión para comparar expresiones de división sin hallar los cocientes reales.
En el tema D, la clase usa su conocimiento de la división de números enteros entre fracciones unitarias y de fracciones unitarias entre números enteros para resolver problemas de varios pasos que involucran fracciones.
Progresión de las lecciones
Lección 12
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos 3 ? tercios
Puedo interpretar un divisor que es una fracción unitaria como el tamaño del grupo preguntando: “¿Cuántos hay en ?”. Puedo usar esta interpretación para hallar un cociente que represente el número de grupos. Puedo usar un diagrama de cinta tanto para representar como para dividir.
Lección 13
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo ?
Lección 14
Dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero 1 4 ?
Puedo interpretar un divisor que es una fracción unitaria como el número de grupos preguntando: “¿ es de qué número?”. Puedo usar esta interpretación para hallar un cociente que represente el tamaño del grupo. Puedo usar un diagrama de cinta y una recta numérica tanto para representar como para dividir.
Puedo interpretar un divisor que es un número entero como el número de grupos cuando el dividendo es una fracción unitaria preguntando: “¿ es grupos de cuánto?”. Puedo usar esta interpretación para hallar un cociente que represente el tamaño del grupo. Cuando represento con un diagrama de cinta, necesito mostrar el total de unidades en 1 para poder identificar el cociente con precisión.
Lección 15
Dividir entre números enteros y fracciones unitarias
1 4 ?
Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas que involucran la división entre números enteros y fracciones unitarias. Puedo razonar acerca del tamaño del cociente en base al dividendo y al divisor para comprobar si mi respuesta es razonable.
Lección 16
Razonar acerca del tamaño de los cocientes de números enteros y fracciones unitarias y los cocientes de fracciones unitarias y números enteros
Lección 17
Resolver problemas verbales sobre fracciones mediante la multiplicación y la división
Puedo razonar acerca del tamaño de los cocientes cuando divido un número entero entre una fracción unitaria o cuando divido una fracción unitaria entre un número entero. Puedo explicar este razonamiento dibujando representaciones o escribiendo explicaciones. Puedo usar este razonamiento para comparar los valores de las expresiones sin evaluarlas.
Uso información de un problema verbal para poder decidir qué operación usar para resolver el problema. Puedo conversar con mis pares acerca de por qué alguien puede haber elegido una operación o una estrategia diferente para hallar la solución.
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Jada compra 7 yardas de listón para hacer moños. Usa 1 2 yarda de listón para hacer cada moño.
¿Cuántos moños puede hacer Jada?
? medios
7 ÷ 1 2 = 14
Jada puede hacer 14 moños.
La clase relaciona dividir 1 entre una fracción unitaria con dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria. Interpretan una expresión de división como 4 ÷ 1 3 como “¿Cuántos tercios hay en 4?”. La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas que involucran la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria.
Preguntas
clave
• ¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta y las rectas numéricas a comprender la división de un número entero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos?
• ¿Dividir entre una fracción unitaria da como resultado un cociente mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA3 Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen fracciones. (5.OA.A.2)
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.b)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Usar una recta numérica y un diagrama de cinta para dividir
• Usar un diagrama de cinta para dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Dividir números enteros
La clase dice una expresión de división para representar una pregunta y, luego, dice el cociente como preparación para dividir un número entero entre una fracción unitaria.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la pregunta.
¿Qué expresión de división representa la pregunta?
6 ÷ 2
Muestre la expresión de división.
¿Cuánto es 6 ÷ 2?
3
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
¿Cuántos treses hay en 27 ?
÷ 3 9
¿Cuántos ochos hay en 64?
¿Cuántos doses hay en 6?
¿Cuántos seises hay en 42?
Respuesta a coro: Fracciones iguales a números enteros
La clase cuenta de un tercio en un tercio o de un sexto en un sexto en una recta numérica y reconoce fracciones como números enteros como preparación para dividir un número entero entre una fracción unitaria.
Muestre la recta numérica dividida en tercios.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un tercio en un tercio desde 0 tercios hasta 15 tercios. El primer número que dicen es 0 tercios. ¿Comenzamos?
Muestre cada fracción en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Muestre un punto en la recta en 3 3 .
¿Qué número entero es equivalente a 3 _ 3 ? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con 9 3 , 15 3 y 12 3 .
Repita el proceso con sextos.
Cuente de un sexto en un sexto desde 0 sextos hasta 24 sextos y, luego, muestre puntos en la recta en 6 6 , 12 6 ,
y en 24 6 . Pida a la clase que identifique el número entero equivalente para cada fracción.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que identifiquen otras fracciones que sean equivalentes a números enteros ubicados en la recta numérica que se muestra (p. ej., 6 3 = 2).
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar un número entero por una fracción
La clase determina el producto como preparación para relacionar la multiplicación por fracciones unitarias con la división entre fracciones unitarias a partir de la lección 13.
Muestre 1 3 × 6 = .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, cuando una o un estudiante evalúe la expresión 3 4 × 2, podría elegir escribir
Presentar
La clase divide 1 entre una fracción unitaria usando un diagrama de cinta y una recta numérica.
¿Cuántos octavos hay en 1?
Hay 8 octavos en 1.
Pida a sus estudiantes que muestren que hay 8 octavos en 1 usando una recta numérica o un diagrama de cinta. Busque un ejemplo de cada representación para mostrar.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la recta numérica y el diagrama de cinta muestran que hay 8 octavos en 1.
La recta numérica muestra cada octavo, contando hacia arriba desde 0 _ 8 hasta 8 _ 8 . Hay 8 intervalos
iguales entre 0 8 y 8 8 .
El diagrama de cinta muestra 1 dividido en 8 unidades iguales, entonces, hay 8 octavos en 1.
Muestre el diagrama de cinta y la recta numérica que están a continuación.
¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?
Observo que el diagrama de cinta está por encima de la recta numérica.
Observo que el diagrama de cinta no está rotulado 1.
Me pregunto por qué se muestran la recta numérica y el diagrama de cinta juntos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas mientras intentan escribir varias ecuaciones que coincidan con lo que ven en la representación. La clase puede usar la multiplicación, división, suma o resta. Es posible que una parte de la clase necesite apoyo para escribir una ecuación porque no se muestra ningún signo de interrogación ni un número desconocido. Permita que la experiencia sea abierta y les permita realizar un esfuerzo productivo.
Escriba 1 ÷ 1 8 = 8.
Una ecuación que coincide con la representación es 1 ÷ 1 _ 8 = 8. Exploremos por qué esto es verdadero.
¿Cómo se muestra 1 en la representación?
La cinta representa un total de 8 8 , que es 1.
¿Cómo se muestra 1 _ 8 en la representación?
Los rótulos en la recta numérica muestran el conteo de un octavo en un octavo, por lo que cada intervalo representa 1 8 .
¿Cómo se muestra 8 en la representación?
Hay 8 unidades iguales en el diagrama de cinta. La recta numérica muestra 8 octavos.
¿Cómo se representa la división?
El diagrama de cinta y la recta numérica se dividen en 8 unidades.
Según la representación, ¿qué representa el divisor en la ecuación 1 ÷ 1 _ 8 = 8?
1 8 es el tamaño de cada unidad, o el tamaño de cada grupo.
¿Qué representa el cociente?
El número de grupos
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar lo que observaron en esta representación para hallar 2 ÷ 1 8 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dividiremos números enteros entre fracciones unitarias e interpretaremos cada cociente como el número de fracciones unitarias en cada número entero.
Aprender
30
Usar una recta numérica y un diagrama de cinta para dividir
La clase usa una recta numérica y un diagrama de cinta para dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria.
Dibuje el diagrama de cinta y la recta numérica y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué total representa el diagrama de cinta? ¿Cómo lo saben?
El diagrama de cinta muestra un total de 2 porque es equivalente a la distancia desde el 0 hasta el 2 en la recta numérica.
Escriba la pregunta: ¿Cuántos medios, o mitades, hay en 2?
Antes de hallar cuántos medios hay en 2, comencemos hallando cuántos medios hay en 1. ¿Cómo puede ayudarnos eso?
Cuando sabemos cuántos medios hay en 1, podemos duplicarlo porque hay 2 unidades en 2.
Anteriormente, pensamos cuántos octavos hay en 1, así que creo que debemos comenzar con 1. Cuando sepamos cuántos hay en 1, podemos usar eso para hallar cuántos hay en 2.
Guíe a sus estudiantes para que ubiquen y rotulen 1 en la recta numérica y, luego, dividan el diagrama de cinta en el mismo lugar.
¿Qué podemos hacer para mostrar cuántos medios hay en 1?
Dividir la sección del diagrama de cinta entre el 0 y el 1 en 2 partes iguales
Nota para la enseñanza
En esta lección, cada estudiante usa la interpretación cuotativa de la división para razonar sobre el cociente de un número entero diferente de cero dividido entre una fracción unitaria. En la división cuotativa, el divisor representa el tamaño del grupo y el cociente representa el número de grupos. Quienes usan la división cuotativa con una expresión en números enteros, como 6 ÷ 2, podrían pensar: “¿Cuántos doses (o unidades, o grupos de 2) hay en 6?”. Asimismo, con 3 ÷ 1 4 , podrían pensar: “¿Cuántos cuartos (o unidades, o grupos de 1 4 ) hay en 3?”.
Otra forma de pensar en una expresión de división es usando la interpretación partitiva. En la división partitiva, el divisor representa el número de grupos y el cociente indica el tamaño de cada grupo.
Cada estudiante usa la interpretación partitiva de la división en una próxima lección. No es importante que sus estudiantes identifiquen la división como cuotativa o partitiva, pero es importante que sepan si están hallando el número de grupos o el tamaño del grupo cuando dividen.
Divida el diagrama de cinta entre 0 y 1 en 2 partes iguales usando líneas punteadas mientras la clase hace lo mismo.
¿Cuántos medios hay en 1?
Hay 2 medios en 1.
Sigamos dividiendo para mostrar cuántos medios hay en 2.
Divida el diagrama de cinta entre 1 y 2 en 2 partes iguales usando líneas punteadas mientras la clase hace lo mismo.
¿Cuántos medios hay en 2?
4
Entonces, nuestro diagrama de cinta muestra que 4 medios, o 4 grupos de 1 _ 2 , forman 2.
Rotulemos y contemos en nuestra recta numérica para confirmarlo.
Comience en 0 2 y rotule la recta numérica a medida que cuenta junto con sus estudiantes.
¿Nuestra recta numérica confirma que 4 medios forman 2? ¿Por qué?
Sí, porque comenzamos en 0 medios, o 0, y contamos hacia arriba hasta 4 medios, o 2.
¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar el diagrama de cinta y la recta numérica?
2 ÷ 1 2 = 4
Diferenciación: Apoyo
Podría haber estudiantes a quienes les sea útil dividir la parte fraccionaria usando un color diferente en vez de usar una línea punteada.
¿Tiene sentido que la respuesta sea mayor que 2? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido. Hay 2 medios en 1, así que hay el doble de medios en 2 que los que hay en 1.
Sí, tiene sentido. Hallamos que hay 2 unidades en 2. Los medios son unidades fraccionarias más pequeñas que las unidades, entonces, tiene sentido que haya más medios en 2 que las unidades que hay en 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántos octavos hay en 2.
¿El número de octavos en 2 es mayor o menor que el número de medios en 2? ¿Por qué?
El número de octavos en 2 es mayor que el número de medios en 2. Hay más octavos que medios en 1, así que hay más octavos que medios en 2.
Creo que es mayor. Los octavos son más pequeños que los medios, por lo que caben más octavos que medios en 2.
¿Usar un diagrama de cinta y una recta numérica es útil para hallar el número de fracciones unitarias en un número entero? ¿Por qué?
Es útil porque podemos ver y contar el número de fracciones unitarias en el número entero tanto en la recta numérica como en el diagrama de cinta.
Es útil porque podemos dividir el diagrama de cinta y, luego, rotular y contar el número de fracciones unitarias usando la recta numérica.
Anime a sus estudiantes a que razonen sobre lo que dibujan y que muestren cuando dividen un número entero entre una fracción unitaria. Es esperable que una parte de la clase continúe mostrando tanto la recta numérica como el diagrama de cinta para hallar cocientes, mientras que otra parte podría elegir usar solo una de las representaciones.
Usar un diagrama de cinta para dividir
La clase usa diagramas de cinta para dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lean a coro el problema.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Una familia prepara 3 bandejas de brownies para una venta de pasteles. Planean vender bolsas de regalo que contienen 1 2 bandeja de brownies cada una. ¿Cuántas bolsas de regalo puede preparar la familia?
La familia puede preparar 6 bolsas de regalo de brownies.
Relea la primera oración.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Sí, podemos dibujar un diagrama de cinta para representar las 3 bandejas de brownies.
Dibujemos solamente el diagrama de cinta. Dado que no tendremos la recta numérica donde se muestra el total que representa el diagrama de cinta, rotularemos el total representado por el diagrama de cinta.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta y pida a la clase que haga lo mismo.
Relea la segunda oración.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar una parte y rotularla 1 2 .
¿Qué representa 1 _ 2 ?
Representa la parte de la bandeja de brownies que la familia pondrá en la bolsa de regalo para vender.
Guíe a sus estudiantes para que dibujen una parte del diagrama de cinta y la rotulen 1 2 .
Relea la tercera oración.
¿Qué nos pide hallar el problema?
Pide el número de bolsas de regalo de brownies que puede preparar la familia.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde debe rotularse el modelo con un signo de interrogación.
En el problema, se pide hallar cuántas bolsas de regalo de brownies puede preparar la familia, así que tenemos que hallar cuántos medios hay en 3. Rotulemos el valor desconocido en el diagrama de cinta.
Rotule el número desconocido con un signo de interrogación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué expresión coincide con el diagrama de cinta?
3 ÷ 1 2
¿La familia puede preparar más de 1 bolsa de regalo de brownies? ¿Por qué?
Sí, porque con 1 2 de cada bandeja se prepara 1 bolsa de regalo, y hay más de 1 medio en 3.
El diagrama de cinta nos ayudó a entender lo que dice el problema, identificar lo que estamos intentando hallar y escribir una expresión. Usemos otro diagrama de cinta para resolver el problema. ?
Dibuje otro diagrama de cinta, rotule toda la cinta 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Este diagrama de cinta representa las 3 bandejas de brownies que tiene la familia. Queremos hallar cuántos medios hay en 3. Puede que no sepamos de inmediato cuántos medios hay en 3. ¿Cómo podríamos hacer un problema más simple?
Antes, hallamos cuántos medios hay en 1. Podríamos dividir 3 para mostrar cada bandeja de brownies. Luego, podríamos dividir cada bandeja de brownies en medios.
Divida la cinta en 3 partes iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale 1 parte.
En este diagrama de cinta, según el problema, ¿qué representa 1 parte?
1 bandeja de brownies
Pida a sus estudiantes que usen una línea punteada para dividir 1 parte para mostrar medios.
¿Cuántos medios hay en 1?
2
Pida a sus estudiantes que continúen dividiendo la cinta. Mientras dividen, haga las siguientes preguntas.
¿Cuántos medios hay en 2?
4
¿Cuántos medios hay en 3?
6
¿6 responde a lo que se pregunta en el problema? ¿Por qué?
Sí, porque 6 es el número de medios en 3, y es el número de bolsas de regalo que puede preparar la familia.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere colocar un elemento visual que ayude a sus estudiantes a describir qué representa cada parte de la ecuación escrita. Añada al elemento visual a medida que se presenta cada ecuación y rotule el dividendo, el divisor y el cociente. Deje el elemento visual a la vista para que cada estudiante lo utilice como referencia. Por ejemplo:
¿Cuántos medios hay en
¿Cuántos cuartos hay en 6?
¿Cuántos sextos hay en 4?
Pida a la clase que registre el enunciado de la respuesta: La familia puede preparar 6 bolsas de regalo de brownies.
Pensemos qué ocurrió en este problema. Teníamos que hallar cuántos medios hay en 3.
¿Qué ecuación nos dice cuántos medios hay en 3?
3 ÷ 1 2 = 6
Pensemos qué representa cada uno de estos números. ¿Qué representa el dividendo, 3?
El dividendo representa el número de bandejas de brownies que tiene la familia.
¿Qué representa el divisor, 1 _ 2 ?
El divisor representa el número de bandejas de brownies que va en cada bolsa de regalo.
¿Qué representa el 6?
Representa el número de bolsas de regalo de brownies que puede preparar la familia.
Mostramos que 6 medios, o 6 grupos de 1 _ 2 , forman 3.
¿Qué pregunta hicimos como ayuda para hallar 3 ÷ 1 _ 2 ?
¿Cuántos medios hay en 3?
¿Por qué dibujamos un segundo diagrama de cinta?
Usamos el segundo diagrama de cinta para resolver el problema. La primera cinta nos mostró que estábamos dividiendo 3 entre 1 2 y que 1 2 era el tamaño del grupo. La segunda cinta nos ayudó a resolver el problema al hallar el número de medios en 1, luego en 2 y, luego, en 3.
El dividendo es 3 y el cociente es 6. ¿Por qué el cociente es mayor que el dividendo?
Nuestro diagrama de cinta representa 3 bandejas de brownies, y cada bandeja se corta en 2 partes para formar medios. Esta es la razón por la que el cociente 6 es mayor que el dividendo 3.
Sé que hay 2 medios en 1 y 3 unidades en 3, así que debe haber más de 3 medios en 3.
Hay 2 medios en 1 y 3 unidades en 3. Entonces, si dividimos cada 1 en medios, tendremos más de 3 medios. Tendremos 6 medios.
Como estamos dividiendo entre una fracción unitaria, que es menor que 1, nuestro cociente es mayor que el dividendo. ¿Pueden pensar en un número entero para el cual esto no sea verdadero? ¿El cociente de un número entero y una fracción unitaria puede alguna vez ser menor que o igual al dividendo?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando analiza y usa la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para resolver problemas del mundo real. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cómo pueden explicar este contexto con sus propias palabras?
• ¿Qué cosas podrían probar para comenzar a resolver el problema?
• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para el problema verbal en el problema 2. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Sí. Cero es un número entero, y cero dividido entre una fracción unitaria es cero. Entonces, el cociente de cero y una fracción unitaria es igual al dividendo, no mayor que el dividendo.
El cociente de cero y una fracción unitaria es cero. Entonces, el cociente de cero y una fracción unitaria es igual al dividendo en lugar de ser mayor que el dividendo, como vimos en otros problemas. Cuando hacemos enunciados generales sobre un número entero dividido entre una fracción unitaria, debemos tener cuidado de decir números enteros excepto el cero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lean el problema y trabajen en parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente la situación.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y anímeles a pensar sobre qué cantidad es el dividendo y qué cantidad es el divisor.
2. Julie pinta casas para aves. Usa 1 _ 4 de pinta de pintura para cada casa para aves. ¿Cuántas casas para aves puede pintar Julie con 6 pintas de pintura?
Nota para la enseñanza
Cada estudiante puede dibujar un segundo diagrama de cinta para resolver el problema como lo hizo anteriormente, o puede dibujar un diagrama de cinta por encima de la recta numérica como vieron al principio de la sección Aprender. También pueden dibujar 6 partes individuales para representar las 6 pintas y dividir cada parte en cuartos para hallar el cociente. Todos los métodos son formas válidas de usar un modelo para resolver el problema.
? cuartos
Julie puede pintar 24 casas para aves.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, muestre el diagrama de cinta.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera las cantidades y la parte desconocida están representadas en el diagrama de cinta. El diagrama de cinta representa un total de 6. Este es el número total de pintas de pintura que tiene Julie.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a quienes terminen primero a crear sus propios problemas de división para que los resuelva la clase. Anímeles a analizar los problemas en su trabajo en clase primero y a identificar la cantidad que representa el total, la cantidad que representa el tamaño de cada grupo y la pregunta que hay que responder. Pida a sus estudiantes que incluyan estos mismos componentes en sus problemas y que, en una hoja aparte, brinden ejemplos de trabajo que muestren diferentes maneras de resolver los problemas.
La cinta muestra 1 4 , y estamos hallando el número de cuartos en 6.
¿Qué se nos pide hallar en el problema verbal?
Se nos pide hallar cuántas casas para aves puede pintar Julie.
Pida a sus estudiantes que corrijan sus diagramas de cinta según sea necesario.
¿Qué expresión de división representa el problema?
6 ÷ 1 4
¿Qué debemos hallar para evaluar la expresión?
Debemos hallar cuántos cuartos hay en 6.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar un modelo que les ayude a resolver el problema. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, invíteles a conversar sobre el cociente haciendo las siguientes preguntas.
¿Cuál es el cociente y qué representa en este problema?
El cociente es 24. Representa el número de casas para aves que puede pintar Julie.
¿Tiene sentido que el cociente sea mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, estamos hallando cuántas partes fraccionarias caben en 6, así que tiene sentido que la respuesta sea mayor que 6.
Sí, tiene sentido porque Julie solo necesita 1 4 de pinta de pintura para cada casa para aves. Hay 4 cuartos en 1, y hay 6 unidades en 6. Entonces, el número de cuartos en 6 es mayor que 6.
DUA: Acción y expresión
Considere exhibir preguntas guía para animar a sus estudiantes a supervisar y evaluar su propio progreso a medida que completan el problema 2.
Elaborar un plan:
• ¿Qué pregunta estamos intentando responder?
Supervisar:
• ¿Es razonable nuestra respuesta?
• ¿Deberíamos intentarlo de otra manera?
Evaluar:
• ¿Qué funcionó bien?
• ¿Qué podríamos hacer de otra manera la próxima vez?
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y trabajen en parejas para resolver el problema.
3. Ryan prepara bolsas de cacahuates como refrigerios. Tiene 4 libras de cacahuates. Pone 1 6 de libra de cacahuates en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas puede preparar?
Diferenciación: Apoyo
Si las parejas necesitan más apoyo, haga referencia a ejemplos anteriores y pregunte a sus estudiantes por qué usaron dos diagramas de cinta. Anímeles a crear primero una cinta para entender lo que se les dice en el problema y lo que están intentando hallar.
4 ÷ 1 _ 6 = 24
Ryan puede preparar 24 bolsas de cacahuates.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema?
• ¿Qué número es el dividendo? ¿Qué representa?
• ¿Qué número es el divisor? ¿Qué representa?
• ¿Qué expresión de división representa el problema?
• ¿El cociente es mayor o menor que el dividendo? ¿Cómo lo saben?
Cuando sus estudiantes terminen, pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo pueden usar un modelo para dividir un número entero entre una fracción unitaria cuando el divisor representa el tamaño de cada grupo y el cociente representa el número de grupos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes para que expliquen matemáticamente por qué
6 ÷ 1 4 = 4 ÷ 1 6
Espere que sus estudiantes expliquen que, cuando dividen 1 en cuartos, obtienen 4 partes iguales, entonces dividir 6 en cuartos da como resultado 24 partes iguales. De forma similar, cuando dividen 1 en sextos, obtienen 6 partes iguales, entonces dividir 4 en sextos da como resultado 24 partes iguales.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos
Guíe una conversación de toda la clase acerca de dividir un número entero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre la expresión 3 ÷ 1 _ 3 y el diagrama de cinta.
¿Qué representan el dividendo y el divisor en la expresión?
El dividendo representa el total. El divisor representa el tamaño de cada grupo.
¿Qué debemos hallar?
Debemos hallar cuántos tercios hay en 3.
¿Cómo se muestra el cociente en el diagrama de cinta?
3 ? tercios
La cinta se divide en 3 unidades, y cada unidad se divide en tercios. Se muestra que el cociente es 9.
¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta y las rectas numéricas a comprender la división de un número entero entre una fracción unitaria para hallar el número de grupos?
Puedo dibujar un diagrama de cinta y una recta numérica para representar el total; luego, puedo dividirlos en unidades para poder hallar primero cuántos grupos hay en 1. Luego, puedo seguir dividiendo para hallar cuántos grupos hay en el total.
¿Dividir entre una fracción unitaria da como resultado un cociente mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, excepto cuando el dividendo es cero. Cuando el dividendo es cero, el cociente es cero. Sí, porque se necesita más de 1 fracción unitaria para formar un entero. El número de fracciones unitarias que se necesita es el cociente, y el número entero es el dividendo. Entonces, cuando dividimos un número entero entre una fracción unitaria, el número de fracciones unitarias que necesitamos para formar el entero es mayor que el número entero, excepto cuando el número entero es cero.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el modelo como ayuda para completar cada enunciado y dividir.
1. Hay 2 medios en 1
Hay 4 medios en 2
2 ÷ 1 2 = 4
2. Hay 3 tercios en 1
Hay 6 tercios en 2
2 ÷ 1 3 = 6
3. Hay 3 tercios en 1
Hay 9 tercios en 3
3 ÷ 1 3 = 9
4. Hay 4 cuartos en 1
Hay 12 cuartos en 3 3 ÷ 1 4 = 12
7. Resuelve los problemas relacionados.
a. Se vierte 1 galón de jugo en recipientes, en partes iguales. Cada recipiente contiene 1 8 de galón. ¿Cuántos recipientes se pueden llenar con jugo?
Se pueden llenar 8 recipientes con jugo.
b. Se vierten 4 galones de jugo en recipientes, en partes iguales. Cada recipiente contiene 1 8 de galón. ¿Cuántos recipientes se pueden llenar con jugo?
Se pueden llenar 32 recipientes con jugo.
8. La tabla muestra los ingredientes necesarios para hacer una pizza pequeña. Usa la tabla para escribir una expresión. Luego, evalúa la expresión y usa una oración para escribir tu respuesta.
Ingrediente Cantidad
Masa 1 3 de libra
Salsa 1 5 de un frasco
Queso 1 4 de taza
a. ¿Cuántas pizzas se pueden hacer con 5 libras de masa?
5 ÷ 1 3
Se pueden hacer 15 pizzas con 5 libras de masa.
b. ¿Cuántas pizzas se pueden hacer con 4 frascos de salsa?
4 ÷ 1 5
Se pueden hacer 20 pizzas con 4 frascos de salsa.
c. ¿Cuántas pizzas se pueden hacer con 4 tazas de queso?
4 ÷ 1 4
Se pueden hacer 16 pizzas con 4 tazas de queso.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
9. Una familia ordena 6 sándwiches grandes. Cortan cada sándwich grande en tercios para hacer sándwiches más pequeños. ¿Cuántos sándwiches pequeños tiene la familia?
6 ÷ 1 3 = 18
La familia tiene 18 sándwiches pequeños.
10. Una bolsa de alimento para gatos contiene 12 tazas. Cada vez que da de comer a su gata, la Sra. Chan usa 1 2 taza. ¿Cuántas veces puede dar de comer a su gata la Sra. Chan con la bolsa de alimento para gatos?
12 ÷ 1 2 = 24
La Sra. Chan puede dar de comer a su gata 24 veces con la bolsa de alimento para gatos.
11. La única taza medidora que tiene el Sr. Evans es de 1 4 de taza. ¿Cuántas veces tendrá que llenar su taza medidora el Sr. Evans para medir 3 tazas de harina?
3 ÷ 1 4 = 12
El Sr. Evans tendrá que llenar su taza medidora 12 veces.
Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Cada paquete contiene 6 rebanadas de queso. Eso es 1 5 del número de rebanadas que necesita
Lacy para su fiesta. ¿Cuántas rebanadas de queso necesita Lacy para su fiesta?
Lacy necesita 30 rebanadas de queso para su fiesta.
La clase compara problemas de división en los que el divisor representa el tamaño del grupo con problemas de división en los que el divisor representa el número de grupos. Interpretan una expresión de división, por ejemplo, 4 ÷ 1 3 , como la pregunta: “¿4 es 1 3 de cuánto?”. La clase usa el proceso
Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas que involucran la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria en la que el divisor representa el número de grupos.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta y las rectas numéricas a comprender la división de un número entero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño de cada grupo?
• ¿Dividir entre una fracción unitaria da como resultado un cociente mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.b)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Interpretar una expresión de división
• Usar un diagrama de cinta y una recta numérica para dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Dividir números enteros
La clase dice una expresión de división para representar una pregunta y, luego, dice el cociente para desarrollar fluidez con la división de un número entero entre una fracción unitaria.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la pregunta.
¿Qué expresión de división representa la pregunta?
8 ÷ 2
Muestre la expresión de división.
¿Cuánto es 8 ÷ 2?
4
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
¿Cuántos treses hay en 24?
÷ 3
¿56 es 7 grupos de cuánto?
÷ 7
¿16 es 4 grupos de cuánto?
÷ 4
¿Cuántos ochos hay en 72?
÷ 8
¿40 es 5 grupos de cuánto?
¿Cuántos doses hay en 8?
÷ 2
¿81 es 9 grupos de cuánto?
¿Cuántos seises hay en 36?
Respuesta a coro: Fracciones iguales a números enteros
La clase cuenta de un cuarto en un cuarto o de un octavo en un octavo en una recta numérica y reconoce fracciones como números enteros para desarrollar fluidez con la división de un número entero entre una fracción unitaria.
Muestre la recta numérica dividida en cuartos.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un cuarto en un cuarto desde 0 cuartos hasta 16 cuartos. El primer número que dicen es 0 cuartos. ¿Comenzamos?
Muestre cada fracción en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta. 0 4 , 1 4 …, 15 4 , 16 4
Muestre un punto en la recta en 4 4 .
¿Qué número entero es equivalente a 4 _ 4 ?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con 8 4 , 16 4 y 12 4 .
Repita el proceso con octavos. Cuente de un octavo en un octavo desde 0 octavos hasta 24 octavos y, luego, muestre los puntos en la recta en
Pida a la clase que identifique el número entero equivalente para cada fracción.
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar un número entero por una fracción
La clase determina el producto como preparación para relacionar la multiplicación por fracciones unitarias con la división entre fracciones unitarias.
Muestre 1 2 × 6 = .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase representa y resuelve un problema de factor desconocido.
Escriba ¿6 es 1 2 de qué número?
Lea la pregunta en voz alta. Luego, invite a sus estudiantes a responder la pregunta dibujando un diagrama de cinta en sus pizarras blancas. Considere permitir que sus estudiantes trabajen en parejas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para identificar a quienes representan el problema con el siguiente diagrama de cinta.
Cuando sus estudiantes terminen de representar y hallen la respuesta, invite a quien haya seleccionado a compartir su representación y razonamiento con la clase. Si sus estudiantes no dibujaron un diagrama de cinta similar, ofrézcalo como una idea suya.
¿Este diagrama de cinta representa la pregunta? ¿Cómo?
Sí. Muestra 1 2 del total rotulado con 6, y el total es desconocido.
¿Cómo podemos usar el diagrama de cinta para responder la pregunta?
Sabemos que el valor de 1 unidad en el diagrama de cinta es 6; por lo tanto, 2 unidades forman 12.
Sabemos que 6 es 1 _ 2 de 12. ¿Qué ecuación podemos escribir para representar la pregunta original: ¿6 es 1 _ 2 de qué número?
Podemos escribir 6 = 1 2 × .
¿6 × 2 = representa la pregunta original? ¿Por qué?
No, porque la pregunta nos pide que hallemos 1 2 de un número desconocido, y 1 2 no está en esa ecuación.
No, porque hallar 1 2 de un número significa multiplicar 1 2 y un número, y en esta ecuación se muestra 6 × 2.
¿6 ÷ 1 _ 2 = representa la pregunta original? ¿Por qué?
No lo sé. Usa los números de la pregunta original, y el número desconocido es la misma respuesta que hallamos usando el diagrama de cinta, pero hallé la respuesta multiplicando, y esta es una ecuación de división.
Permita que sus estudiantes se tomen su tiempo para pensar en esta duda. Se llega a la conclusión en el siguiente segmento. Si es posible, mantenga la pregunta original visible para que sus estudiantes la usen de referencia más adelante.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dividiremos números enteros entre fracciones unitarias y aprenderemos una nueva manera de interpretar los cocientes.
Aprender
Interpretar una expresión de división
La clase interpreta la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria como hallar el tamaño del grupo.
Muestre el diagrama de cinta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de una ecuación de división y una ecuación de multiplicación que coincida con el diagrama de cinta.
8 medios
¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar este diagrama de cinta? ¿Por qué?
4 ÷ 1 2 = 8 porque hay 8 medios en 4.
¿Qué ecuación de multiplicación podemos escribir para representar este diagrama de cinta? ¿Por qué?
8 × 1 2 = 4 porque hay 8 grupos de 1 2 , y eso es igual a 4.
Escriba 4 ÷ 1 _ 2 = 8 y 8 × 1 _ 2 = 4 debajo del diagrama de cinta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar qué significa cada número en cada ecuación.
En la ecuación de división, 4 es el total que se divide. En la ecuación de multiplicación, 4 es el total cuando tienes 8 grupos de 1 2 .
En la ecuación de división, 1 2 es el tamaño de cada grupo. En la ecuación de multiplicación, 1 2 es el tamaño de cada grupo.
En la ecuación de división, 8 es el número de grupos. En la ecuación de multiplicación, 8 es el número de grupos.
Nota para la enseñanza
En esta lección, la clase usa la interpretación partitiva de la división para razonar sobre el cociente de un número entero diferente de cero dividido entre una fracción unitaria.
En la división partitiva, el divisor representa el número de grupos, y el cociente indica el tamaño de cada grupo. Cuando sus estudiantes aprenden sobre la división con números enteros por primera vez, la división partitiva es, generalmente, más accesible (p. ej., si se reparten 6 galletas, en partes iguales, entre 2 personas, ¿cuántas galletas recibe cada una?). Con la división de números enteros, como 6 ÷ 2, cada estudiante puede pensar de forma partitiva y preguntar: “¿6 es 2 grupos de cuánto?”. Al usar un ejemplo con un divisor fraccionario, como 3 ÷ 1 4 , hay quienes pueden pensar: “¿3 es 1 4 de cuánto?”.
Muestre el diagrama de cinta.
En el otro diagrama de cinta, podíamos ver 8, 1 _ 2 y 4.
¿Ven 8, 1 _ 2 y 4 en este diagrama de cinta? ¿Dónde?
8 es el diagrama de cinta entero. 4 es una parte, o 1 2 de la cinta. Se muestran dos medios en el diagrama de cinta.
4
Al usar 8, 1 _ 2 y 4, ¿qué ecuación de multiplicación podemos escribir para representar este diagrama de cinta? ¿Por qué?
1 _ 2 × 8 = 4 . En el diagrama de cinta se muestra que 1 _ 2 de 8 es 4, y sé que hallar una fracción de un número entero es multiplicar.
Dé 1 minuto a sus estudiantes para que comenten con una pareja la ecuación de división que podrían escribir usando 8, 1 2 y 4 que coincida con el diagrama de cinta. Es esperable que sus estudiantes necesiten apoyo, pero anímeles a hacer conexiones con lo que aprendieron anteriormente.
Sé que no puede ser 8 ÷ 1 2 = 4 porque cuando divides 8 entre 1 2 , el cociente es mayor que 8.
Quiero escribir 8 ÷ 2 = 4, pero en eso no se usa 1 2 .
El otro diagrama de cinta mostraba 4 ÷ 1 2 = 8, así que no sé cómo esto podría ser igual para este diagrama de cinta.
Guíe a la clase para que se dé cuenta de que 4 ÷ 1 2 = 8 coincide con el diagrama de cinta haciendo las siguientes preguntas.
Cuando aprendimos cómo hallar una fracción de un conjunto, ¿qué número, 8, 1 _ 2 o 4, sería el número desconocido en el diagrama de cinta? ¿Por qué?
4 sería el número desconocido porque estaríamos hallando 1 2 de 8.
Para determinar 1 _ 2 de 8, podríamos preguntarnos: ¿qué número es 1 _ 2 de 8 ?
Al usar los números 4 y 1 _ 2 , ¿qué pregunta podríamos hacernos si 8 fuera el número desconocido en el diagrama de cinta?
Podríamos preguntarnos: ¿4 es 1 2 de qué número?
¿Ya respondimos una pregunta como 4 es 1 _ 2 de qué número? ¿Cuándo?
Sí. Es como la pregunta anterior acerca de por qué 6 es 1 2 de un número.
Anteriormente, no sabíamos si esa pregunta podía representarse con una ecuación de división. Pero ahora podemos ver que la pregunta “¿4 es 1 _ 2 de qué número?” es útil cuando hallan el cociente 8 en el problema de división 4 ÷ 1 _ 2 = 8 .
Escriba 4 ÷ 1 2 = 8 y 1 _ 2 × 8 = 4 debajo del diagrama de cinta.
¿En qué se parecen estas ecuaciones a las ecuaciones que usamos en nuestro primer diagrama de cinta? ¿En qué se diferencian?
En ambas ecuaciones se usan 8, 1 2 y 4.
La ecuación de división es la misma.
El orden de los factores en la ecuación de multiplicación es diferente. En la primera ecuación se mostraron 8 grupos de 1 2 . En esta ecuación se muestra 1 2 de 8.
DUA: Representación
Mientras cada estudiante explora diferentes interpretaciones y representaciones de la división y la conexión con la multiplicación, considere registrarlo en un afiche de referencia para que puedan consultarlo.
Piensen acerca de la ecuación de multiplicación. ¿Qué significan los factores 1 _ 2 y 8?
Dado que 1 2 está primero en la ecuación, representa el número de grupos. Entonces, tenemos 1 2 de un grupo de 8 y 8 representa el tamaño de todo el grupo.
Dado que la división y la multiplicación están relacionadas, esos números tienen el mismo significado en la ecuación de división, al igual que en nuestro primer diagrama de cinta. En una lección anterior, pensamos en la división como hallar el número de grupos. Sabemos que también podemos interpretar la división como hallar el tamaño del grupo. Exploremos esta interpretación de la división usando problemas verbales.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ambos diagramas de cinta muestran 4 ÷ 1 2 = 8 .
Usar un diagrama de cinta y una recta numérica para dividir
La clase usa un diagrama de cinta para resolver problemas dividiendo un número entero diferente de cero entre una fracción para hallar el tamaño del grupo.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Lacy lee 12 páginas de un libro. Eso es 1 _ 5 del número de páginas que tiene el libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro de Lacy? 12 ? 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5
12 ÷ 1 5 = 60
El libro de Lacy tiene 60 páginas.
Lea la primera oración del problema en voz alta una vez más.
¿Podemos dibujar algo para representar este problema hasta ahora? ¿Qué?
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar 12 páginas.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta. Rotule 12 dentro de la parte. Pida a la clase que haga lo mismo.
Lea la siguiente oración en voz alta.
¿Qué información nueva tenemos?
12 es 1 5 del número de páginas que tiene el libro.
Como ayuda para mostrar que 12 es 1 _ 5 del libro, empecemos una recta numérica debajo del diagrama de cinta.
Dibuje el comienzo de una recta numérica debajo del diagrama de cinta.
Pida a la clase que haga lo mismo.
¿Podemos dibujar algo más para representar esta parte del problema?
¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar 4 partes más de la cinta para representar el resto de los quintos.
Dado que necesitamos los 5 quintos para representar todas las páginas del libro, continuemos la recta numérica debajo de nuestro diagrama de cinta.
Complete el diagrama de cinta y pida a la clase que haga lo mismo.
Tenemos que representar el número de páginas que tiene todo el libro.
12 representa solo 1 quinto, así que tenemos que dibujar 5 quintos para representar todas las páginas que tiene el libro.
Lea el resto del problema y, luego, haga las siguientes preguntas.
¿Cuál es el número desconocido en el problema? ¿Cómo podemos mostrar eso en nuestro diagrama de cinta?
El número desconocido es el número de páginas que tiene el libro de Lacy. Podemos rotular toda la cinta con un signo de interrogación.
Rotule la cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Observen nuestro diagrama de cinta. ¿Qué conclusiones pueden sacar?
El número de páginas es más de 12.
Lacy leyó menos de la mitad del libro.
¿Qué expresión pueden usar como ayuda para hallar el número de páginas que tiene el libro de Lacy? ¿Por qué?
Puedo usar la expresión 5 × 12 porque veo 5 grupos de 12.
¿Cuánto es 5 × 12?
60
Escriba 5 × 12 = 60 debajo del diagrama de cinta.
¿Qué representa el 60?
Representa el número de páginas que tiene el libro de Lacy.
¿Tiene sentido que la respuesta sea mayor que 12? ¿Por qué?
Sí, porque 12 es parte del número de páginas.
Sí, tiene sentido. Lacy ha leído parte del libro, no todo el libro, así que la respuesta debe ser mayor que 12. ?
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de División partitiva con fracciones ayuda a sus estudiantes a ver que pueden dividir entre una fracción unitaria y el resultado es un número entero.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Usamos la expresión 5 × 12 como ayuda para resolver el problema, pero esa expresión no representa el problema. También podemos ver que 5 no está en el problema, aunque nuestro diagrama de cinta nos ayudó a ver 5 × 12. Así que analicemos qué significa 1 _ 5 .
¿Dónde ven 1 _ 5 en el diagrama de cinta?
Es una parte de la cinta.
1 5 de toda la cinta es 12.
También podemos ver que 12 es 1 5 de algún número que no conocíamos. Hallamos 5 × 12 para aprender que el número es 60. Entonces, podemos concluir que 12 es 1 _ 5 de 60. ¿Qué ecuación representa eso?
12 = 1 5 × 60
En esa ecuación, ¿qué representa 1 _ 5 ?
El número de grupos
¿Qué representa el 60?
El tamaño del grupo
Escribamos una ecuación de división equivalente a 12 = 1 _ 5 × 60 . Dado que 60 era el factor desconocido, ¿qué ecuación de división podríamos escribir en la que 60 represente la respuesta?
12 ÷ 1 5 = 60
En la ecuación 12 ÷ 1 _ 5 = 60, el número 1 _ 5 sigue representando el número de grupos, lo que significa que 60 sigue representando el tamaño del grupo.
Nota para la enseñanza
La mayor parte de sus estudiantes reconocerá que el diagrama de cinta muestra que pueden usar la multiplicación para resolver el problema. Ayúdeles a entender que el problema no es un problema de multiplicación, sino un problema de división que puede resolverse usando la multiplicación.
Diferenciación: Apoyo
Podría haber estudiantes que se beneficien de una conexión adicional con una ecuación simple en números enteros, como el siguiente ejemplo:
10 = 2 × 5 10 ÷ 2 = 5
Esto resalta que el factor desconocido de la ecuación de multiplicación coincide con el cociente de la ecuación de división.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden ver esas representaciones de 60 y 1 5 en el diagrama de cinta y la recta numérica.
Podemos ver 1 5 como el número de grupos porque necesitábamos terminar de dibujar el grupo para verlo. La recta numérica muestra que la cinta entera es 1 grupo porque la recta numérica llega hasta 5 5 .
Podemos ver 60 como el tamaño del grupo porque 5 5 de él, o 1 grupo, es igual a 60.
Confirme a sus estudiantes que, cuando piensan en el divisor como el número de grupos, el cociente representa el tamaño del grupo. Entonces, la clase puede preguntar: “¿12 es 1 5 de cuánto?”. Sabemos que, si 12 es el tamaño de 1 5 de un grupo, entonces el cociente es el tamaño de 1 grupo entero.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre interpretar el divisor fraccionario como el número de grupos e interpretar el divisor fraccionario como el tamaño de cada grupo.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema.
2. Tyler tiene 5 limones. Eso es 1 4 del número de limones que necesita para hacer una jarra de limonada. ¿Cuántos limones necesita Tyler para hacer una jarra de limonada?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando lee, interpreta y resuelve problemas del mundo real con la división de un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué se pide en el problema?
• ¿De qué manera 5 ÷ 1 4 representa el contexto en el problema 2?
• ¿Sus respuestas tienen sentido en este contexto?
Nota para la enseñanza
La recta numérica debajo del diagrama de cinta refuerza el hecho de que el diagrama de cinta representa 1 grupo entero, por lo que la respuesta es el tamaño del grupo. Cada estudiante puede o no continuar dibujando la recta numérica también.
5 ÷ 1 _ 4 = 20
Tyler necesita 20 limones para hacer una jarra de limonada.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema?
• ¿Cuántas partes muestra su cinta? ¿Por qué?
• ¿El número de limones es mayor o menor que 5? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué expresión pueden usar para hallar el número de limones que Tyler necesita para hacer una jarra de limonada?
• ¿Qué ecuación de división representa el problema? ¿Por qué?
• ¿Qué representa el 5 en el problema? ¿Qué representa 1 4 ?
Cuando hayan terminado, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede usar un diagrama de cinta para dividir un número entero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño de 1 grupo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional, considere ofrecer cubos para brindar una experiencia concreta. Es probable que sus estudiantes usen 5 cubos para representar los limones que tiene Tyler y, luego, formen 3 grupos más de 5 para hallar el número total de limones que necesita Tyler. Luego de que sus estudiantes representen el problema por completo, pídales que representen el modelo dibujando un diagrama de cinta que coincida con su razonamiento mientras usaban los cubos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo
Guíe una conversación de toda la clase acerca de dividir un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre el diagrama de cinta.
Este diagrama de cinta representa 2 ÷ 1 _ 3 = . ¿Qué representan el dividendo y el divisor en la ecuación?
2 ?
El dividendo representa el tamaño de 1 _ 3 de un grupo. El divisor representa el número de grupos.
¿Qué debemos hallar?
¿2 es 1 3 de qué número?
Cuando 2 representa 1 3 de un grupo, ¿cuánto es 1 grupo?
¿Cómo pueden usar el diagrama de cinta para hallar el cociente?
Puedo multiplicar 2 y 3 porque 2 es el valor de 1 unidad y hay 3 unidades en el total.
¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta y las rectas numéricas a comprender la división de un número entero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño del grupo?
Puedo dibujar un diagrama de cinta para representar el dividendo, que es una fracción del grupo y, luego, sumar a mi modelo para mostrar 1 grupo entero.
Cuando dibujo un diagrama de cinta, puedo ver el número de unidades en el diagrama de cinta entero y el valor de cada unidad.
La recta numérica me ayuda a ver que la cinta entera es 1 grupo, y que la fracción representa el número de grupos cuando dividimos entre una fracción.
¿Dividir un número entero entre una fracción unitaria da como resultado un cociente mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, excepto cuando el dividendo es cero. Cuando el dividendo es cero, el cociente es cero.
Sí. Cuando divido un número entero diferente de cero entre una fracción unitaria para hallar el tamaño de un grupo, sé que el dividendo representa una fracción unitaria de 1 grupo. El tamaño de ese grupo es el cociente, por lo tanto, debe ser mayor que el dividendo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el modelo como ayuda para completar cada enunciado y dividir.
1. ¿2 es 1 3 de qué número?
2 ÷ 1 3 = 6
1 3 de 6 es 2
2. ¿2 es 1 4 de qué número?
2 ÷ 1 4 = 8
1 4 de 8 es 2
3. ¿4 es 1 2 de qué número?
4 ÷ 1 2 = 8
1 2 de 8 es 4
4. ¿4 es 1 4 de qué número?
4 ÷ 1 4 = 16
1 4 de 16 es 4
3 3 3
Dibuja un diagrama de cinta para hallar el cociente. Luego, completa la ecuación de división.
5. ¿3 es 1 5 de qué número? 15
3 ÷ 1 5 = 15 3 15 6. ¿5 es 1 4 de qué número? 20
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
7. 3 millas es 1 4 de la distancia que recorre Sara en su bicicleta. ¿Qué distancia recorre Sara en su bicicleta?
3 ÷ 1 4 = 12
Sara recorre 12 millas en su bicicleta.
8. 4 paquetes de papel es 1 5 del papel que se usa en una escuela en una semana. ¿Cuántos paquetes de papel se usan en la escuela en una semana?
4 ÷ 1 5 = 20
En la escuela se usan 20 paquetes de papel en una semana.
10. Un elefante puede contener 8 litros de agua en su trompa. Eso es 1 9 de los litros de agua que el elefante bebe en un día. ¿Cuántos litros de agua bebe el elefante en un día?
8 ÷ 1 9 = 72
El elefante bebe 72 litros de agua en un día.
9. Noah pasa 12 niveles en un juego. Eso es 1 6 de la cantidad total de niveles que tiene el juego.
¿Cuántos niveles tiene el juego de Noah?
12 ÷ 1 6 = 72
El juego de Noah tiene 72 niveles.
11. El Sr. Pérez corta 1 5 del césped de su jardín en 15 minutos. Si continúa al mismo ritmo, ¿cuánto tiempo le lleva al Sr. Pérez cortar todo el césped de su jardín?
15 ÷ 1 5 = 75
Al Sr. Pérez le lleva 75 minutos cortar todo el césped de su jardín.
Dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero
Vistazo a la lección
La clase usa diagramas de cinta y rectas numéricas para dividir una fracción unitaria entre un número entero. Interpretan una expresión de división como 1 3 ÷ 4 como la pregunta: “¿1 3 es 4 grupos de cuánto?”. La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas que involucran la división de una fracción unitaria entre un número entero.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta a comprender la división de una fracción unitaria entre un número entero?
• ¿Por qué el cociente de una fracción unitaria y un número entero es menor que el dividendo?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA11 Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero. (5.NF.B.7.a)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Dividir una fracción unitaria entre un número entero
• Interpretar una expresión de división
• Usar un diagrama de cinta para dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Diagrama de cinta en blanco (en el libro para estudiantes)
• Práctica veloz: Multiplicar un número entero por una fracción (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de cinta en blanco de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir diagramas de cinta
Materiales: E) Diagrama de cinta en blanco
La clase divide un diagrama de cinta en unidades iguales y determina el valor de una unidad para desarrollar fluidez con la división de un número entero entre una fracción unitaria.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta en blanco.
Rotulen el total del diagrama de cinta como 2.
Muestre el diagrama de cinta con el rótulo 2.
Dividan el diagrama de cinta en 2 unidades iguales y coloquen el rótulo 1 debajo del diagrama.
Muestre el diagrama de cinta dividido con el rótulo 1.
Ahora, dividan cada unidad en 2 unidades iguales.
Muestre el diagrama de cinta dividido.
¿Cuál es el valor de cada unidad? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 2
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Rotulen el total del diagrama de cinta con 2.
Dividan en 2 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 4 unidades iguales.
Rotulen el total del diagrama de cinta con 3.
Dividan en 3 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 2 unidades iguales.
Rotulen el total del diagrama de cinta con 3.
Dividan en 3 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 3 unidades iguales.
1 4
Cada unidad es .
Cada unidad es .
1 2
Cada unidad es .
1 3
Práctica veloz: Multiplicar un número entero por una fracción
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar un número entero por una fracción
EUREKA MATH2 5 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar un número entero por una fracción
La clase escribe el producto para adquirir fluidez con la multiplicación de un número entero por una fracción del tema A.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problemas.
Escribe el producto. Usa un número entero o un número mixto cuando sea posible.
1. 1 3 de 15 es . 5
2. 1 3 × 15 5
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en los problemas 7 a 12?
• ¿Qué método o qué otro problema podrían usar para hallar el producto en el problema 10? ¿En qué otra situación ese método o ese otro problema podrían usarse de forma parecida?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un tercio en un tercio del 0 al 3, expresando los números enteros y los números mixtos con otro nombre, cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un medio en un medio del 5 al 0, expresando los números enteros y los números mixtos con otro nombre, cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase razona acerca de la división usando un diagrama de cinta.
Muestre el problema verbal.
Sara tiene alimento para aves. Divide el alimento para aves, en partes iguales, en 3 comederos.
¿Cuánto alimento para aves hay en cada comedero?
¿Qué información nos indica el problema?
Sara tiene alimento para aves.
Divide el alimento para aves, en partes iguales, en 3 comederos.
¿Tenemos suficiente información para resolver el problema? ¿Por qué?
No, no sabemos con cuánto alimento para aves comenzó Sara.
Supongamos que Sara comenzó con 6 libras de alimento para aves. ¿Tenemos suficiente información para resolver el problema ahora?
Sí, sabemos el total y el número de grupos, así que podemos hallar la cantidad en cada grupo.
¿Cómo podemos representar el problema usando un diagrama de cinta?
Podemos dibujar y rotular un diagrama de cinta. Podemos rotular todo el diagrama de cinta como 6 y, luego, dividir el diagrama de cinta en 3 partes iguales.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta. Luego, divídalo en 3 partes iguales.
¿Cuál es el valor de cada parte?
¿Cómo lo saben?
El valor de cada parte es 2 porque 6 ÷ 3 = 2.
¿Qué representa el 2?
Representa el número de libras de alimento para aves que hay en cada comedero.
Si Sara comenzara con 3 libras de alimento para aves en vez de 6, ¿cómo cambiaría el diagrama de cinta?
La cinta estaría rotulada 3 en lugar de 6.
¿Cuántas libras de alimento para aves habría en cada comedero? ¿Por qué?
Habría 1 libra de alimento para aves en cada comedero porque 3 ÷ 3 = 1.
Si Sara comenzara con 1 libra de alimento para aves, ¿cómo cambiaría el diagrama de cinta?
Rotularíamos la cinta con 1 en lugar de 3.
¿Cuántas libras de alimento para aves habría en cada comedero? ¿Por qué?
Cada comedero tendría 1 _ 3 de libra de alimento para aves porque 1 ÷ 3 = 1 3 .
Si Sara comenzara con 1 _ 2 libra de alimento para aves, ¿cómo cambiaría el diagrama de cinta?
Rotularíamos la cinta 1 2 en lugar de 1.
Muestre el diagrama de cinta con un valor total de 1 2 .
¿Qué expresión de división representa el problema ahora?
1 2 ÷ 3
¿En qué se diferencia esta expresión de división de las expresiones anteriores?
Las expresiones anteriores tenían dividendos en números enteros y divisores en números enteros.
Esta expresión tiene un dividendo que es una fracción unitaria y un divisor que es un número entero.
¿En qué se diferencia esta expresión de división de las expresiones de división de las lecciones anteriores?
Antes, teníamos dividendos en números enteros y divisores en fracciones unitarias. Ahora, tenemos un dividendo que es una fracción unitaria y un divisor que es un número entero.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo esta diferencia (dividir una fracción unitaria entre un número entero) afecta al cociente en el problema del alimento para aves.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dividiremos fracciones unitarias entre números enteros.
Aprender
Dividir una fracción unitaria entre un número entero
La clase usa un diagrama de cinta y una recta numérica para representar la división de una fracción unitaria entre un número entero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
1. ?
a. Divide el diagrama de cinta en 3 unidades iguales.
b. Escribe una expresión de división que represente el modelo.
1 2 ÷ 3
c. ¿Cuál es el tamaño de una unidad? 1 6
¿Qué total representa el diagrama de cinta? ¿Cómo lo saben?
La cinta representa un total de 1 _ 2 . Lo sé porque comienza en el 0 y termina en 1 _ 2 en la recta numérica.
Divida la cinta en 3 unidades iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Dividimos la cinta en 3 unidades iguales. Para hallar el valor de una unidad, ¿cómo podemos mostrar eso en nuestro diagrama de cinta?
Rotulamos una unidad con un signo de interrogación.
Rotule la primera unidad con un signo de interrogación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué expresión de división podemos escribir para representar el valor del número desconocido, o de una unidad?
1 2 ÷ 3
Pida a sus estudiantes que registren la expresión de división. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo pueden usar la recta numérica y el diagrama de cinta para hallar el cociente.
¿Cuánto es 1 _ 2 ÷ 3? ¿Cómo lo saben?
1 2 ÷ 3 = 1 6 . La recta numérica se divide en sextos. Muestra que cada unidad en el diagrama de cinta
tiene un valor de 1 6 .
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
Antes, pensamos acerca de cuánto alimento para aves pondría Sara en cada comedero
si comenzara con 1 2 libra de alimento para aves. Ahora, vemos que 1 2 ÷ 3 responde esa pregunta.
Sara pondría 1 _ 6 de libra de alimento para aves en cada comedero.
Rotule la recta numérica y sombree la unidad que representa el cociente.
¿Qué observan acerca del tamaño del cociente en comparación con el tamaño del dividendo?
El cociente es menor que el dividendo.
¿Tiene sentido que el cociente sea menor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido. Comenzamos con 1 2 y lo dividimos en 3 grupos iguales, por lo que cada grupo debe ser más pequeño que el total.
1 2 = 3 6 , por lo que, cuando divides 3 sextos en 3 grupos iguales, obtienes 1 sexto en cada grupo. Por lo tanto, tiene sentido que 3 _ 6 ÷ 3 < 3 6 .
DUA: Representación
Considere rotular las marcas de graduación en la recta numérica con sextos para que sus estudiantes puedan ver de qué manera la recta numérica se corresponde con el diagrama de cinta. Anime a sus estudiantes a que hagan lo mismo.
Como estamos dividiendo entre 3, que es un número entero, el cociente es menor que el dividendo. ¿Pueden pensar en un divisor que sea un número entero y con el que se obtenga un cociente que no sea menor que el dividendo?
Cero es un número entero, y no podemos dividir entre cero.
1 es un número entero, pero cuando dividimos entre 1, el cociente es igual al dividendo.
Cuando dividimos una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero o 1, el cociente es menor que el dividendo.
Interpretar una expresión de división
La clase relaciona la división con un tamaño del grupo desconocido con la multiplicación usando el esquema de oración ¿ es grupos de cuánto?
Escriba 6 ÷ 3. Dibuje un diagrama de cinta que represente esa expresión.
¿Qué representa el 6?
El 6 representa el total del diagrama de cinta. Es el dividendo en la expresión.
¿Qué representa el 3?
El 3 representa el número de grupos.
Sabemos que, cuando dividimos, estamos hallando un factor desconocido. Entonces, cuando el divisor representa el número de grupos, podemos pensar: “6 es 3 grupos de cuánto o 6 = 3 × ”.
Escriba “¿6 es 3 grupos de cuánto?” y “6 = 3 × ” debajo de la expresión.
¿Cuál es el cociente? ¿Cómo lo saben?
El cociente es 2 porque 6 = 3 × 2, y 6 ÷ 3 = 2.
Interpretamos la expresión 6 dividido entre 3 como “¿6 es 3 grupos de cuánto?”. Dividimos 6 en 3 grupos iguales y hallamos que 6 es 3 grupos de 2. Podemos usar este mismo razonamiento para interpretar una expresión de división con una fracción unitaria dividida entre un número entero.
Muestre la expresión 1 2 ÷ 3 junto con el modelo del problema 1.
Escriba el esquema de oración “¿ es grupos de cuánto? ”. Luego, conversen acerca de cómo interpretar la expresión.
Usen el esquema de oración para escribir un enunciado sobre cómo podríamos interpretar la expresión 1 _ 2 ÷ 3.
Podríamos decir: “¿1 2 es 3 grupos de cuánto?”
¿Qué ecuación muestra el cociente como un factor desconocido?
1 2 = 3 ×
En otras palabras, cuando dividimos 1 _ 2 en 3 grupos iguales, ¿cuánto hay en cada grupo?
¿Es razonable?
Hay 1 _ 6 en cada grupo. Eso es razonable porque 1 _ 2 = 3 × 1 6 .
Cuando dividimos, podemos usar la relación entre la multiplicación y la división para entender mejor qué significan los números y asegurarnos de que la respuesta sea razonable.
Usar un diagrama de cinta para dividir
La clase usa un diagrama de cinta para resolver problemas dividiendo una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lean el problema y trabajen en parejas para conversar sobre cómo podrían dibujar un diagrama de cinta que represente el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y anímeles a pensar sobre qué cantidad es el dividendo y qué cantidad es el divisor.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
2. El Sr. Pérez tiene 1 4 de galón de agua. Vierte el agua, en partes iguales, en 4 botellas. ¿Cuánta agua hay en cada botella?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando lee e interpreta problemas del mundo real y decide cómo resolver el problema usando lo que aprendió.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué pueden dibujar para entender mejor este problema del mundo real?
• ¿De qué manera están representadas en su diagrama de cinta las ideas principales de este problema?
• ¿Cómo podrían representar este contexto matemáticamente?
Hay 1 16 de
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a hallar el número de cuartos de galón, pintas, tazas u onzas líquidas de agua en cada botella.
Muestre el diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas para analizar de qué manera las cantidades y la parte desconocida están representadas en el diagrama de cinta.
¿Qué observan acerca de la manera en que el diagrama de cinta está rotulado y dividido?
El diagrama de cinta está rotulado 1 _ 4 , que representa el número total de galones de agua que tiene el Sr. Pérez.
El problema 1 tiene una recta numérica debajo del diagrama de cinta; el problema 2 no tiene una recta numérica.
El diagrama de cinta se divide en 4 partes iguales para representar 4 botellas.
1 parte está rotulada con un signo de interrogación porque estamos hallando cuánta agua hay en cada botella.
Pida a sus estudiantes que dibujen el diagrama de cinta.
¿Qué se pregunta en el problema?
Se pregunta cuánta agua hay en cada botella.
¿Qué expresión representa cuánta agua hay en cada botella?
1 4 ÷ 4
¿Cómo podemos interpretar esta expresión?
¿1 4 es 4 grupos de cuánto?
¿Qué conclusiones pueden sacar cuando observan el diagrama de cinta?
Hay menos de 1 __ 4 de galón de agua en cada botella.
¿Podemos indicar el valor del número desconocido observando este diagrama de cinta? ¿Por qué?
No, porque el diagrama de cinta solo muestra un total de 1 4 , y debemos ver un total de 4 4 , o 1.
¿Qué podemos hacer con el diagrama de cinta para hallar el valor del número desconocido?
Podemos dibujar 3 cuartos más y, luego, dividir cada cuarto en 4 partes iguales para que la cinta muestre el número total de partes en 1.
Dibuje y divida los cuartos restantes y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 1 4 ?
¿Cuál es el tamaño de cada parte ahora? ¿Cómo lo saben?
El tamaño de cada parte es 1 16 . Lo sé porque estamos hallando 1 parte de 16 partes totales cuando el total es 1.
Pida a sus estudiantes que registren la respuesta.
¿Qué ecuación de división representa el problema?
1 4 ÷ 4 = 1 16
Piensen qué significa cada uno de esos números. ¿Qué representa 1 _ 4 ?
Representa el número de galones de agua con el que comenzó el Sr. Pérez.
¿Qué representa el 4?
Representa el número de grupos iguales, o el número de botellas.
¿Qué representa 1 __ 16 ?
Representa el tamaño de cada grupo, o el número de galones de agua en cada botella.
¿Qué observan acerca del tamaño del cociente en comparación con el tamaño del dividendo?
El cociente es menor que el dividendo.
¿Es razonable que el cociente sea menor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido. Estamos dividiendo una parte que es menor que 1 en partes más pequeñas. Sí, es razonable. Comenzamos con una fracción unitaria y la dividimos en grupos, por lo tanto, la cantidad en cada grupo es menor que la fracción unitaria.
¿Qué observan sobre el tamaño del cociente en comparación con 1? ¿Es razonable? ¿Por qué? El cociente es menor que 1. Esto es razonable porque estamos dividiendo una parte que ya es pequeña en varias partes más; entonces, el cociente debe ser realmente pequeño.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y que trabajen en parejas para resolver el problema. Confirme que pueden usar una recta numérica y un diagrama de cinta, o solo un diagrama de cinta, cuando dividen, según qué método consideren más útil.
3. Lacy y Adesh se reparten, en partes iguales, 1 2 cuarto de galón de helado. ¿Cuánto helado recibe cada persona?
2 ÷ 2 = 1 4
Cada persona recibe 1 4 de cuarto de galón de helado.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema?
• ¿Su diagrama de cinta muestra el número desconocido? De no ser así, ¿cómo podrían dividir el diagrama de cinta para ver y hallar el valor del número desconocido?
• ¿Qué expresión de división representa el problema?
• ¿Qué número es el dividendo? ¿Qué representa?
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan más apoyo para determinar cómo dividir el diagrama de cinta para representar el número desconocido, considere una de las siguientes adaptaciones:
• Anime a sus estudiantes a dibujar una recta numérica del 0 al 1. Pueden usar la recta numérica como ayuda para emparejar y dividir el diagrama de cinta.
• Muestre el diagrama de cinta con el que comenzaron en el problema 2. Luego, pida a sus estudiantes que piensen sobre lo que hicieron con el modelo para hallar el valor del número desconocido.
• ¿Qué número es el divisor? ¿Qué representa?
• ¿El cociente es mayor o menor que el dividendo? ¿Cómo lo saben?
Cuando hayan terminado, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar un diagrama de cinta para dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero
Guíe una conversación de toda la clase sobre dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de cero usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre la expresión 1 3 ÷ 4 y el diagrama de cinta.
¿Qué representan el dividendo y el divisor en la expresión?
El dividendo representa el total. El divisor representa el número de grupos.
¿Qué debemos hallar?
¿1 3 es 4 grupos de cuánto?
¿Cómo pueden usar el diagrama de cinta para hallar el cociente?
Puedo dibujar 2 tercios más y dividir cada uno de esos tercios en 4 unidades iguales. El cociente es 1 unidad del número total de unidades. 10 ? 1 3
¿Cómo les ayudan los diagramas de cinta a comprender la división de una fracción unitaria entre un número entero?
Cuando dibujo un diagrama de cinta, puedo ver el total y dividirlo en grupos iguales para hallar el tamaño de 1 unidad.
Los diagramas de cinta me ayudan a ver mejor el dividendo y el divisor, así que puedo decir si el cociente es razonable o no.
¿Por qué el cociente de una fracción unitaria y un número entero, diferente de cero y 1, es menor que la fracción unitaria?
Cuando dividimos una fracción unitaria entre un número entero mayor que 1, el cociente es menor que la fracción unitaria porque la estamos dividiendo en partes más pequeñas.
Cuando dividimos una fracción unitaria en grupos, el tamaño de cada grupo es más pequeño que la fracción unitaria.
El cero y el 1 no están incluidos cuando hacemos enunciados sobre el cociente en comparación con el dividendo. ¿Por qué?
Dejamos afuera el cero y el 1 porque no podemos dividir entre cero y, cuando dividimos entre 1, el cociente es igual al dividendo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe el producto. Usa un número entero o un número mixto cuando sea posible. 1.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
7. En 2 minutos, Mara corre 1 6 de milla. La distancia que corre cada minuto es la misma. ¿Qué distancia corre Mara en 1 minuto?
1 6 ÷ 2 = 1 12
Mara corre 1 12 de milla en 1 minuto.
8. Ryan tiene la mitad de una tarta. Come una cantidad igual de la tarta después de la cena cada día durante 3 días. ¿Qué cantidad de la tarta come Ryan cada día?
1 2 ÷ 3 = 1 6
Ryan come 1 6 de la tarta cada día.
9. La Sra. Song usa 1 4 de galón de aceite de oliva para preparar 4 botellas iguales de aderezo para ensaladas. ¿Cuántos galones de aceite de oliva usa la Sra. Song para cada botella?
1 4 ÷ 4 = 1 16
La Sra. Song usa 1 16 de galón de aceite de oliva para cada botella.
10. La Sra. Baker reparte 1 3 de libra de caramelo, en partes iguales, entre ella misma y 4 personas más. ¿Cuánto caramelo recibe cada persona?
1 + 4 = 5
1 3 ÷ 5 = 1 15
Cada persona recibe 1 15 de libra de caramelo.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Dividir entre números enteros y fracciones unitarias
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Hay 4 niños y niñas que se reparten 1 2 galón de leche en partes iguales. ¿Cuánta leche recibe cada niño o niña? 1 2 ?
1 2 ÷ 4 = 1 8
Cada niño o niña recibe 1 8 de galón de leche.
2. ¿Cuántos trozos de 1 3 de pie pueden cortarse de 3 pies de hilo? 3 ? tercios 1 3 3 ÷ 1 3 = 9
El hilo puede cortarse en 9 trozos de 1 3 de pie de longitud cada uno.
La clase clasifica expresiones de división según si el cociente es mayor o menor que el dividendo. Usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales y la rutina Cada vez más consolidado y más claro para practicar cómo compartir su razonamiento, ofrecer valoraciones sobre el trabajo de sus pares y corregir su propio trabajo, según sea necesario.
Preguntas clave
• ¿Qué significa comprobar que una solución sea razonable?
• ¿Por qué es importante comprobar que la solución a un problema verbal sea razonable?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA11 Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero. (5.NF.B.7.a)
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.b)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• ¿Qué modelo coincide? ¿Por qué?
• Razona, explica y analiza
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• Tarjetas de expresiones de división (en la edición para la enseñanza)
• Problemas verbales de división, Juego 1 y Juego 2 (1 por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Diagrama de cinta en blanco (en el libro para estudiantes)
• sobre de Tarjetas de expresiones de división (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de cinta en blanco de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Imprima o copie las Tarjetas de expresiones de división y recorte cada juego. Cada hoja tiene 2 juegos. Coloque 1 juego de tarjetas en un sobre. Prepare suficientes juegos para que haya 1 por pareja de estudiantes.
• Imprima o copie los Problemas verbales de división, Juego 1 y Juego 2, y recorte cada problema. Prepare suficientes copias para dar ambos juegos de problemas a cada pareja de estudiantes.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de longitud del sistema inglés
La clase convierte yardas a pies o pies a pulgadas para adquirir fluidez con la conversión de unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades de medida más pequeñas del sistema inglés del tema A.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 1 yd = ft.
¿1 yarda es igual a cuántos pies? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
3 pies
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre
1 3 yd = ft.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta y, luego, muestre 1 4 yd = ft.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir diagramas de cinta
Materiales: E) Diagrama de cinta en blanco
La clase divide un diagrama de cinta en unidades iguales y determina el valor de una unidad para desarrollar fluidez con la división de un número entero entre una fracción unitaria.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta en blanco.
Rotulen el total del diagrama de cinta como 3.
Muestre el diagrama de cinta con el rótulo 3.
Dividan el diagrama de cinta en 3 unidades iguales y coloquen el rótulo 1 debajo del diagrama.
Muestre el diagrama de cinta dividido con el rótulo 1.
Ahora, dividan cada unidad en 2 unidades iguales.
Muestre el diagrama de cinta dividido.
¿Cuál es el valor de cada unidad? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Rotulen el total del diagrama de cinta con 3.
Dividan en 3 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 4 unidades iguales.
Rotulen el total del diagrama de cinta con 4.
Dividan en 4 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 3 unidades iguales.
Rotulen el total del diagrama de cinta con 4.
Dividan en 4 unidades iguales y rotulen con 1.
Dividan cada unidad en 4 unidades iguales.
Cada unidad es .
Presentar
1 4
10
Cada unidad es .
1 3
Materiales: E) Sobre de Tarjetas de expresiones de división
Distribuya un sobre de Tarjetas de expresiones de división a cada pareja de estudiantes. Pídales que saquen las tarjetas que indican las categorías: Cociente mayor que el dividendo y Cociente menor que el dividendo. Luego, dé 2 minutos para clasificar las tarjetas restantes en la categoría apropiada. Cada estudiante debe colocar las tarjetas usando solo el razonamiento, no evaluando.
Cada unidad es .
1 4
Cociente mayor que el dividendoCociente menor que el dividendo
Mientras clasifican las tarjetas, recorra el salón de clases y considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Por qué clasificaron esta expresión en esta categoría?
• ¿Cómo saben que el cociente es mayor o menor que el dividendo sin evaluar?
Una vez que terminen de clasificar, elija una expresión de cada categoría para comentar.
¿Cómo supieron que la expresión 4 ÷ 1 _ 4 tiene un cociente mayor que 4?
Pensamos en 4 ÷ 1 4 como “¿Cuántos cuartos hay en 4?”. Hay 4 cuartos en 1, así que debe haber más de 4 cuartos en 4.
Pensamos en 4 ÷ 1 4 como la pregunta: “¿4 es 1 4 de qué número?”. 4 es una parte de otro número; por lo tanto, ese otro número es mayor que 4.
¿Cómo supieron que la expresión 1 _ 2 ÷ 5 tiene un cociente menor que 1 _ 2 ?
Cuando comienzas con 1 2 y lo divides en 5 grupos, el tamaño de cada grupo es más pequeño que 1 2 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas de división y prestaremos especial atención al tamaño del cociente en comparación con el tamaño del dividendo para asegurarnos de que nuestras respuestas sean razonables.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a que ordenen las siguientes expresiones de menor a mayor usando solo el razonamiento y pídales que expliquen cómo lo hicieron.
Deben razonar que
porque dividir 1 6 en más partes (es decir, 7) da como resultado una fracción más pequeña. Luego, deben razonar que
y ambos se dividen entre 3.
Aprender
¿Qué modelo coincide? ¿Por qué?
La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para representar problemas verbales de división y razonar sobre el tamaño del cociente.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe de forma independiente para construir un diagrama de cinta que coincida con la historia.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. La Sra. Song tiene 1 4 de una bandeja de lasaña en el refrigerador. Quiere cortar la lasaña en porciones iguales para poder comerla en la cena en 3 noches. ¿Qué cantidad de la bandeja de lasaña comerá cada noche?
La Sra. Song comerá 1 12 de la bandeja de lasaña cada noche.
Muestre los siguientes dos diagramas de cinta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta representa la historia y por qué.
El diagrama de cinta de la izquierda representa la historia porque muestra 1 4 de una bandeja de lasaña dividido en 3 partes iguales para representar 3 noches.
El diagrama de cinta de la izquierda representa la historia porque lo que se reparte es 1 4 de la bandeja de lasaña, no las 3 noches.
El diagrama de cinta de la derecha no representa la historia porque el número desconocido representa cuántos cuartos, y sabemos que la Sra. Song solo tiene 1 4 de una bandeja de lasaña.
Confirme que el diagrama de cinta de la izquierda representa la historia. Espere que una parte de la clase haya dibujado el resto del diagrama de cinta, como lo hicieron en lecciones anteriores, para hallar cuántas partes hay en 1. Permita que sus estudiantes corrijan sus diagramas de cinta según sea necesario.
Si alguien dibujara el diagrama de cinta de la derecha para representar la historia, ¿qué consejo le darían para cuando esa persona resuelva problemas verbales en el futuro?
Le diría que piense acerca de qué representa cada número y que se asegure de que el modelo que dibuja coincida con ese significado.
Le diría que piense acerca de qué muestra su diagrama de cinta y, luego, estime la respuesta. Luego, que piense: ¿esa estimación tiene sentido en relación con lo que está sucediendo en la historia?
En esta historia, observaron que lo que se reparte es 1 _ 4 de una bandeja de lasaña, no los 3 días. También pensaron si la respuesta tenía sentido. Luego, dieron retroalimentación a alguien que había interpretado la historia erróneamente. Continuemos usando el proceso Lee-DibujaEscribe para resolver problemas y practicar cómo dar retroalimentación.
Razona, explica y analiza
Materiales: E) Problemas verbales de división, Juego 1 y Juego 2
La clase resuelve problemas verbales de división y cada estudiante analiza el trabajo de su pareja.
Use la rutina Cada vez más consolidado y más claro para invitar a sus estudiantes a escribir soluciones y conversar mientras exploran diferentes problemas verbales de división.
Asigne parejas estratégicamente. Del juego 1, distribuya el problema A a una persona y el problema B a la otra por cada pareja de estudiantes. Pida a la clase que use el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema asignado. Dé 3 o 4 minutos a sus estudiantes para que resuelvan el problema de forma independiente y escriban una explicación o justificación de su razonamiento.
Pida a sus estudiantes que intercambien sus explicaciones escritas con sus parejas. Dé tiempo para que sus estudiantes lean en silencio. Luego, invite a las parejas a hacerse preguntas para aclarar dudas y analizar las respuestas de la otra persona.
Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Haga preguntas específicas para incentivar su razonamiento.
• ¿Su diagrama de cinta representa el problema con exactitud? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué representa 1 3 en el problema? ¿Qué representa el 5?
• ¿Tiene sentido su respuesta según el problema? ¿Cómo lo saben?
• ¿Deberían corregir su trabajo? ¿Por qué?
Dé a sus estudiantes un momento para hacer todas las correcciones necesarias, en base a su conversación y a la retroalimentación de sus parejas.
Pida a sus estudiantes que coloquen su trabajo junto al de sus parejas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las historias?
Ambas historias son sobre la lectura de Pablo. Son los mismos números.
El dividendo y el divisor son diferentes en cada historia. En el problema A, el dividendo es 1 3 y el divisor es 5. En el problema B, el dividendo es 5 y el divisor es 1 3 .
El problema A tiene una respuesta menor que el dividendo. El problema B tiene una respuesta mayor que el dividendo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando resuelve problemas del mundo real dividiendo entre números enteros y fracciones unitarias, explica su razonamiento o justifica su razonamiento para un problema y analiza el razonamiento de su pareja de trabajo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué su razonamiento tiene sentido? Convenzan a su pareja de trabajo.
• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su explicación?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Pida a sus estudiantes que usen la Herramienta para la conversación mientras explican su trabajo y analizan la explicación escrita de otra persona.
¿Cómo supieron qué se reparte en cada historia?
Pensé en qué tenía sentido repartir según lo que pide la pregunta. En el problema A, se reparte 1 3 de un libro para hallar cuánto lee Pablo cada día. En el problema B, se reparten 5 libros para hallar cuántos días tarda en leerlos todos.
En el problema A, ¿tiene sentido que la respuesta sea menor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido que la respuesta sea menor que el dividendo. Pablo comienza con 1 3 del libro y, luego, lee parte de ese 1 3 cada día, por lo que no puede haber leído más de 1 3 .
En el problema B, ¿tiene sentido que la respuesta sea mayor que el dividendo? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido que la respuesta sea mayor que el dividendo. Pablo tiene 5 libros y lee parte de un libro cada día, por lo que tardaría más de 5 días leer los 5 libros.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para compartir lo que aprendieron al resolver estos problemas y lo que planean intentar cuando resuelvan su siguiente problema.
Distribuya el problema A y el problema B del juego 2 a las parejas de estudiantes. Se debe asignar a cada estudiante la misma letra del problema que les tocó en el juego 1 (es decir, si hicieron el problema A en el juego 1, deben resolver el problema A en el juego 2). Dé 3 o 4 minutos a sus estudiantes para que resuelvan el problema de forma independiente y escriban una explicación o justificación de su razonamiento.
Pida a sus estudiantes que intercambien sus explicaciones escritas. Dé tiempo para que lean en silencio. Luego, invite a las parejas a hacerse preguntas para aclarar dudas y analizar las respuestas de la otra persona.
Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Haga preguntas específicas como las siguientes para incentivar su razonamiento:
• ¿Su diagrama de cinta representa el problema con exactitud? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué representa 1 6 en el problema? ¿Qué representa el 2?
• ¿Tiene sentido su respuesta según el problema? ¿Cómo lo saben?
• ¿Deberían corregir su trabajo? ¿Por qué?
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar una copia de las soluciones a quienes puedan beneficiarse de ver una solución correcta cuando analizan el trabajo de otra persona.
Dé a sus estudiantes un momento para hacer todas las correcciones necesarias, en base a su conversación y a la retroalimentación de sus parejas.
Pida a sus estudiantes que coloquen su trabajo junto al de sus parejas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las historias?
Ambas historias son sobre la carrera de Zara.
Son los mismos números.
El dividendo y el divisor son diferentes. En el problema A, 2 es el dividendo y el divisor es 1 6 .
En el problema B, el dividendo es 1 6 y el divisor es 2.
El problema A tiene una respuesta mayor que el dividendo. El problema B tiene una respuesta menor que el dividendo.
El problema B del juego 1 y el problema A del juego 2 tienen un número entero dividido entre una fracción unitaria. ¿Cuál es la diferencia acerca del significado del divisor?
En el problema B del juego 1, el divisor es el tamaño de cada grupo. En el problema A del juego 2, el divisor es el número de grupos.
En el problema A del juego 2, ¿por qué tiene sentido que la respuesta sea mayor que el dividendo?
Tiene sentido que la carrera sea de más de 2 millas porque sabemos que ella se detiene se detiene a tomarse un descanso luego de correr 2 millas.
En el problema B del juego 2, ¿por qué tiene sentido que la respuesta sea menor que el dividendo?
Zara comienza con 1 _ 6 de milla y la divide en 2 partes para decidir cuándo tomarse un descanso, por lo que debe detenerse a tomar agua antes de correr 1 6 de milla.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para reflexionar sobre lo que aprendieron acerca de resolver problemas que incluyen dividir entre una fracción unitaria o un número entero.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Acción y expresión
Después de que sus estudiantes completen el Grupo de problemas, considere reservar tiempo para que cada estudiante reflexione sobre su aprendizaje. Sugiera preguntas como las siguientes para incentivar la autoevaluación:
• ¿Qué problema resolví con más confianza? ¿Por qué?
• ¿En qué problema necesité ayuda para resolverlo? ¿Por qué?
• ¿En qué destreza debería continuar trabajando?
• ¿Qué recursos tengo disponibles para usar como ayuda?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dividir entre números enteros y fracciones unitarias
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre dividir entre números enteros y fracciones unitarias usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué significa comprobar que una solución sea razonable?
Significa pensar si la solución tiene sentido.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 de su Grupo de problemas.
Piensen en este enunciado de respuesta: Hay 1 21 de problema en la tarea de matemáticas de Sasha. ¿Por qué el enunciado de la respuesta no tiene sentido?
No tiene sentido que haya una fracción de un problema en una tarea.
¿Qué error creen que cometió la persona que escribió el enunciado?
Creo que interpretó erróneamente la historia y halló 1 _ 3 ÷ 7.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.
¿Qué expresión coincide con este problema?
¿El cociente es mayor o menor que el dividendo? ¿Cómo lo saben?
Es menor que el dividendo porque estamos dividiendo 1 2 en grupos más pequeños.
Muestre el trabajo con errores.
¿Están de acuerdo con esta respuesta? ¿Por qué?
No, no estoy de acuerdo porque el valor de 1 parte es 1 8 , no 1 4 .
No, no estoy de acuerdo porque hay 4 estudiantes en el equipo y, si cada estudiante corre 1 4 de milla, esto significa que la carrera es de 1 milla. Pero sabemos que la carrera de relevos solo es de 1 2 milla.
Cada estudiante corre de milla. 1 4
Cuando comprobó si era razonable, quien hizo este trabajo puede haber pensado que su respuesta tenía sentido porque es menor que el dividendo. ¿Qué consejo le darían?
Tal vez debería dibujar otro diagrama de cinta como ayuda para resolver el problema. Este diagrama de cinta sí representa la historia, pero no muestra el número de unidades en 1. Así que podría dibujar un segundo diagrama de cinta para resolver el problema.
¿En qué se diferencia este error del error que vimos en el problema 3?
El error del problema 3 fue que se interpretó el problema incorrectamente, y la respuesta no tenía sentido. En el problema 4, la historia se entendió y la respuesta tenía sentido, pero se cometió un error en el trabajo.
¿Por qué es importante comprobar que la solución a un problema verbal es razonable?
Debemos comprobar que es razonable para poder determinar si cometimos un error al interpretar la historia o al hallar la respuesta.
Queremos asegurarnos de que nuestras respuestas tengan sentido porque, si no lo tienen, tenemos que corregir nuestro trabajo.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Juego 1
Problema A
Pablo decide leer 1 3 de un libro en 5 días. Lee la misma cantidad del libro cada día. ¿Cuánto lee
Pablo del libro cada día?
Juego 2
Problema A
Zara compite en una carrera. Corre 2 millas antes de detenerse a tomar agua. 2 millas es 1 6 de la carrera. ¿De cuántas millas es la carrera?
Pablo lee 1 15 del libro cada día.
Problema B
Pablo tiene 5 libros en su lista de lectura. Lee 1 3 de un libro por día. ¿Cuántos días tardará en leer los 5 libros?
La carrera es de 12 millas.
Problema B
Zara corre 1 6 de milla todos los días. Divide su entrenamiento en 2 distancias iguales para poder detenerse a tomar agua. ¿Luego de cuántas millas se detendrá Zara a tomar agua?
Zara se detendrá a tomar agua luego de 1 12 de milla.
Pablo terminará los 5 libros en 15 días.
1. Scott vierte 1 4 de galón de limonada, en partes iguales, en 2 vasos. ¿Cuánta limonada hay en cada vaso?
a. Dibuja un modelo para representar el problema.
Ejemplo:
b. ¿El cociente es menor o mayor que el dividendo? Explica. El cociente es menor que el dividendo porque se está dividiendo una fracción en partes más pequeñas.
2. Mara prepara 2 galones de limonada usando 1 4 de un recipiente de limonada en polvo. ¿Cuántos galones de limonada puede preparar con el recipiente entero de limonada en polvo?
a. Dibuja un modelo para representar el problema.
Ejemplo:
b. ¿El cociente es menor o mayor que el dividendo? Explica.
El cociente es mayor que el dividendo porque los 2 galones del problema son una fracción de la cantidad total de limonada que se puede preparar.
c. Escribe una ecuación para hallar cuántos galones de limonada hay en cada vaso. Luego, escribe un enunciado para responder la pregunta.
Hay 1 8 de galón de limonada en cada vaso.
c. Escribe una ecuación para hallar cuántos galones de limonada puede preparar Mara con el recipiente entero de limonada en polvo. Luego, escribe un enunciado para responder la pregunta.
2 ÷ 1 4 = 8
Mara puede preparar 8 galones de limonada.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
3. Sasha resuelve 7 problemas. Eso es 1 3 de todos los problemas de su tarea de matemáticas. ¿Cuántos problemas hay en la tarea de matemáticas de Sasha?
7 ÷ 1 3 = 21
Hay 21 problemas en la tarea de matemáticas de Sasha.
4. Un equipo de 4 estudiantes corre una carrera de relevos de 1 2 milla. Cada estudiante corre la misma distancia. ¿Cuántas millas corre cada estudiante?
1 2 ÷ 4 = 1 8
Cada estudiante corre 1 8 de milla.
5. Toby come 1 8 de libra de pasas cada día. Compra una bolsa de 3 libras de pasas. ¿Cuántos días durará la bolsa de pasas de Toby?
3 ÷ 1 8 = 24
La bolsa de pasas de Toby durará 24 días.
6. El perímetro de un cuadrado es 1 5 de metro. ¿Cuál es la longitud de cada lado del cuadrado?
1 5 ÷ 4 = 1 20
La longitud de cada lado del cuadrado es 1 20 de metro.
EUREKA MATH
Juego 1
Problema A Pablo decide leer 1 3 de un libro en 5 días. Lee la misma cantidad del libro cada día. ¿Cuánto lee
Pablo del libro cada día?
Problema B Pablo tiene 5 libros en su lista de lectura. Lee 1 3 de un libro por día. ¿Cuántos días tardará en leer los 5 libros?
2
Problema A Zara compite en una carrera. Corre 2 millas antes de detenerse a tomar agua. 2 millas es 1 6 de la carrera. ¿De cuántas millas es la carrera?
Problema B Zara corre 1 6 de milla todos los días. Divide su entrenamiento en 2 distancias iguales para poder detenerse a tomar agua. ¿Luego de cuántas millas se detendrá Zara a tomar agua?
16
Razonar acerca del tamaño de los cocientes de números enteros y fracciones unitarias y los cocientes de fracciones unitarias y números enteros
Vistazo a la lección
Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
1. 6 ÷ 1 12 > 6 ÷ 1 2
Explica: Ambas expresiones tienen el mismo dividendo, pero la expresión 6 ÷ 1 12 tiene un divisor menor. 1 12 es menor que 1 2 , así que se necesitan más doceavos para formar 6.
2. 1 5 ÷ 4 < 1 3 ÷ 4
Explica: 1 5 es menor que 1 3 . Cuando 1 5 se divide en 4 grupos, los grupos son más pequeños que cuando 1 3 se divide en 4 grupos.
La clase entiende los problemas verbales de división para decidir qué número representa el dividendo y qué número representa el divisor. Usan el razonamiento inductivo para hacer generalizaciones sobre el tamaño de los cocientes en comparación con el tamaño de los dividendos en las expresiones. Usan esas generalizaciones, junto con su comprensión previa de la multiplicación de fracciones, para comparar el valor de expresiones de división y de multiplicación sin hallar los cocientes o productos reales.
Pregunta clave
• ¿Cómo pueden razonar acerca del tamaño de un cociente sin hacer la división?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye fracciones. (5.OA.A.2)
5.Mód3.CLA11 Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero. (5.NF.B.7.a)
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Razonar sobre el tamaño del cociente en contexto
• Razonar sobre el tamaño del cociente sin contexto
• Comparar expresiones sin evaluarlas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de peso del sistema inglés
La clase convierte libras a onzas para adquirir fluidez con la conversión de unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades de medida más pequeñas del sistema inglés del tema A.
Muestre 1 lb = oz.
¿1 libra equivale a cuántas onzas? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. 16 onzas
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre
1 16 lb = oz.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Oraciones numéricas verdaderas o falsas
La clase decide si una oración numérica es verdadera o falsa y convierte oraciones numéricas falsas en verdaderas para adquirir fluidez con el razonamiento sobre productos sin evaluarlos del tema B.
Muestre 1 × 5 7 > 5 7 .
¿La oración numérica es verdadera o falsa? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Falsa.
Escriban la oración numérica usando el signo de comparación correcto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la oración numérica corregida.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Para las oraciones numéricas verdaderas, considere pedir a sus estudiantes que expliquen a sus parejas de trabajo cómo saben que la oración numérica es verdadera.
Presentar
La clase usa la rutina Construcción colaborativa para contextualizar un enunciado que incluye la división.
Presente la siguiente expresión a la clase:
Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen una situación del mundo real que pueda representarse con la expresión.
Dé a las parejas 1 minuto para comparar con otros grupos los contextos que construyen. Invite a sus estudiantes a compartir sus ideas con la clase y a explicar la relación con la expresión.
Lacy vierte 6 litros de jugo de naranja en vasos. Cada vaso contiene 1 2 litro de jugo de naranja. ¿Cuántos vasos llena Lacy?
Lacy tiene 6 litros de jugo de naranja para llevar a la fiesta de la escuela. Esto es 1 2 de la cantidad de jugo que necesita. ¿Cuánto jugo de naranja llevará Lacy a la fiesta?
Noah tiene 6 latas de pintura. Usa 1 _ 2 lata de pintura para cada habitación que pinta. ¿Cuántas habitaciones puede pintar Noah?
Noah tiene 6 latas de pintura. Esto es 1 2 de la cantidad de pintura que necesita para pintar una habitación. ¿Cuántas latas usará Noah para pintar la habitación?
Tyler prepara 6 libras de caramelo. Pone el caramelo en cajas. Cada caja contiene 1 2 libra de caramelo. ¿Cuántas cajas necesita Tyler?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden crear una situación del mundo real que se represente con un enunciado matemático.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, relacionaremos expresiones de división con problemas verbales y razonaremos sobre el tamaño de los cocientes.
Diferenciación: Desafío
Anime a sus estudiantes a escribir dos contextos diferentes, uno en el que el divisor represente el número de grupos y otro en el que el divisor represente el tamaño de cada grupo.
Aprender
Razonar sobre el tamaño del cociente en contexto
La clase elige una expresión de división que representa un problema del mundo real y razona sobre el tamaño del cociente.
Muestre el problema.
Blake y 3 amigas y amigos se reparten 1 3 de libra de yogur helado en partes iguales. ¿Cuántas libras de yogur helado recibe cada persona?
Invite a sus estudiantes a construir un diagrama de cinta que coincida con la historia. Luego, muestre el diagrama de cinta incorrecto.
¿Este diagrama de cinta coincide con la historia? No.
¿Por qué creen que esta persona rotuló el diagrama de cinta con 4?
DUA: Representación
A lo largo de la lección, mientras sus estudiantes comentan qué representan el dividendo y el divisor en cada expresión, considere dejar a la vista ambas expresiones y rotular el total, el tamaño de cada grupo y el número de grupos. 4 ?
Nota para la enseñanza
Probablemente lo rotuló con 4 porque leyó que 4 amigos y amigas se reparten el yogur helado.
¿Cómo debería rotularse el diagrama de cinta? ¿Por qué?
Debería rotularse 1 _ 3 , porque esa es la cantidad de yogur helado que se reparten.
¿Debe cambiar algo más de su diagrama de cinta? ¿Por qué?
Necesita dividirlo en 4 partes para representar a las 4 personas que se reparten el yogur.
Cuando representamos una historia de división, tenemos que pensar en qué número representa el dividendo y qué número representa el divisor. Es un buen hábito que lean el problema más de una vez para asegurarse de que su diagrama de cinta representa la historia antes de intentar resolver el problema.
Podría ser más significativo encontrar a un estudiante o una estudiante que haya rotulado incorrectamente el diagrama de cinta con 4, se haya dado cuenta de su error y cambiado su rótulo a 1 3 . Mientras recorre el salón de clases, si observa a alguien que comete un error y, luego, lo corrige, considere pedirle que comparta con sus pares cómo descubrió su error y qué pasos siguió para hacer la corrección.
Muestre el siguiente diagrama de cinta y pida a la clase que confirme que representa la historia.
¿Qué expresión representa el problema? ¿Cómo lo saben?
1 3 ÷ 4 representa el problema porque hay un total de 1 3 dividido entre 4 grupos.
1 _ 3 ÷ 4 representa el problema porque estamos hallando que 1 _ 3 es 4 grupos ¿de qué cantidad?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Sin hallar el cociente real, ¿el cociente es mayor que 1 _ 3 o menor que 1 _ 3 ? ¿Por qué?
Blake y sus amigas y amigos tienen un total de 1 3 de libra de yogur helado que se reparten. No tiene sentido que reciban más de la cantidad total de yogur helado, por lo que el cociente es menor que 1 3 .
Sé que la respuesta es menor que 1 3 porque comenzamos con 1 3 y lo dividimos en 4 grupos iguales; por lo tanto, cada grupo es menor que 1 _ 3 .
Pídales que vayan al problema 1 de sus libros.
Encierra en un círculo la expresión que puede usarse para resolver el problema verbal.
1. ¿Cuántas porciones de 1 _ 2 libra de camarones puede hacer la Sra. Song con 6 libras de camarones?
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para construir un diagrama de cinta que coincida con la historia. Luego, pídales que usen sus diagramas de cinta para determinar qué expresión representa el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere apoyar las respuestas de sus estudiantes con la Herramienta para la conversación. Invíteles a usar la sección
Compartir tu razonamiento para explicar si el cociente es mayor que 1 3 o menor que 1 3 .
• ¿Qué representa el 6 en la primera expresión? ¿Y en la segunda?
• ¿Qué representa 1 2 en la primera expresión? ¿Y en la segunda?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Sin hallar el cociente real, ¿el cociente es mayor que 6 o menor que 6?
¿Cómo lo saben?
El cociente es mayor que 6. Dado que cada porción es de 1 2 libra, hay 2 porciones en cada libra. Por lo tanto, la Sra. Song puede preparar más de 6 porciones.
Es mayor que 6. Estamos hallando cuántos medios hay en 6. Hay 2 medios en 1, así que el cociente es mayor que 6.
¿Cómo los ayudan los diagramas de cinta a saber qué expresión coincide con una historia?
Cuando dibujo para mostrar la historia, debo pensar en qué estoy dibujando para que coincida. Una vez que tengo mi diagrama de cinta, puedo ver el dividendo y el divisor claramente, lo que me ayuda a elegir una expresión.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo pueden determinar qué número es el dividendo y qué número es el divisor en un problema verbal que incluye la división.
Razonar sobre el tamaño del cociente sin contexto
La clase razona sobre el tamaño del cociente sin hallar el cociente real.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 y 3.
2. 8 ÷ 1 3
Mayor que 8
3. 1 6 ÷ 6
Mayor que 1 _ 6
Menor que 8
Menor que 1 _ 6
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para decidir si el cociente es mayor que el dividendo o menor que el dividendo.
Cuando terminen, pídales que resuman sus observaciones sobre dividir números enteros y fracciones unitarias. Use los siguientes esquemas de oración para brindar apoyo a sus estudiantes con la explicación de su razonamiento.
• Al dividir entre una fracción unitaria, el cociente es el dividendo porque .
• Al dividir una fracción unitaria entre , el cociente es el dividendo porque .
Es esperable que sus estudiantes completen los esquemas de oración de diferentes formas según su nivel de comprensión de los números enteros y de la división con fracciones.
Por ejemplo:
• Al dividir 8 entre una fracción unitaria, el cociente es mayor que el dividendo porque se necesitan 3 tercios para formar un entero.
• Al dividir números enteros diferentes de 0 entre una fracción unitaria, el cociente es mayor que el dividendo porque se necesita más de 1 fracción unitaria para formar un entero.
• Al dividir una fracción unitaria entre 1, el cociente es igual al dividendo porque dividir entre 1 no cambia el valor de la fracción unitaria.
• Al dividir una fracción unitaria entre un número entero diferente de 0 o 1, el cociente es menor que el dividendo porque el dividendo se divide en partes más pequeñas.
Comparar expresiones sin evaluarlas
La clase compara dos expresiones sin hallar los cocientes ni los productos reales.
Muestre las expresiones 1 _ 2 ÷ 4 y 1 _ 4 ÷ 4 e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para comentar lo que observan sobre las expresiones.
Ambas expresiones muestran una fracción unitaria dividida entre un número entero.
El divisor es el mismo en ambas expresiones.
En ambas expresiones, el dividendo es una fracción unitaria.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando compara los valores de las expresiones de multiplicación y división razonando sobre los efectos de multiplicar y dividir con números enteros o fracciones unitarias.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan 1 2 ÷ 4 y 1 4 ÷ 4? ¿Cómo puede ayudar eso a comparar los valores de las expresiones?
• ¿Cómo puede su conocimiento sobre 1 __ 2 y 1 __ 4 ayudarles a comparar los valores de 1 2 ÷ 4 y 1 4 ÷ 4?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían comparar las expresiones sin hallar los cocientes reales.
¿1 _ 2 ÷ 4 es mayor que, igual a o menor que 1 _ 4 ÷ 4? ¿Cómo lo saben?
1 2 ÷ 4 > 1 4 ÷ 4. El divisor es el mismo para ambas expresiones. Dado que 1 2 > 1 4 , eso significa que 1 2 ÷ 4 tiene el mayor cociente.
1 2 ÷ 4 > 1 _ 4 ÷ 4. Sé que 1 2 es una cantidad mayor que se divide entre 4 grupos, por lo que la cantidad en cada grupo es mayor que cuando el dividendo es 1 4 .
Muestre las expresiones 3 ÷ 1 3 y 1 3 ÷ 3 e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para comentar lo que observan sobre las expresiones.
Ambas expresiones tienen 3 y 1 _ 3 .
En la primera expresión, 3 es el dividendo y, en la segunda expresión, 3 es el divisor.
En la primera expresión, 1 3 es el divisor y, en la segunda expresión, 1 3 es el dividendo.
¿Podemos comparar las expresiones sin hallar los cocientes reales? ¿Por qué?
Sí. En la primera expresión, el cociente es mayor que 3 porque estamos hallando cuántos tercios hay en 3. En la segunda expresión, estamos dividiendo 1 3 en 3 grupos iguales; por lo tanto, el cociente es menor que 1 3 .
¿3 ÷ 1 _ 3 es mayor que, igual a o menor que 1 _ 3 ÷ 3?
3 ÷ 1 _ 3 > 1 _ 3 ÷ 3
Muestre las expresiones 5 ÷ 1 4 y 5 ÷ 1 3 e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para comentar lo que observan sobre las expresiones.
Ambas expresiones muestran un número entero dividido entre una fracción unitaria.
En ambas expresiones, el dividendo es 5.
¿5 ÷ 1 _ 4 es mayor que, igual a o menor que 5? ¿Cómo lo saben?
El cociente es mayor que 5 porque estamos hallando cuántos cuartos hay en 5.
¿5 ÷ 1 _ 3 es mayor que, igual a o menor que 5? ¿Cómo lo saben?
El cociente es mayor que 5 porque estamos hallando cuántos tercios hay en 5.
Sabemos que ambos cocientes son mayores que 5, pero ¿podemos decir qué expresión tiene el mayor cociente sin hallar el cociente real? ¿Cómo lo saben?
Los cuartos son más pequeños que los tercios; por lo tanto, hay más cuartos en 5 que tercios en 5.
Por lo tanto, 5 ÷ 1 4 > 5 ÷ 1 3 .
Muestre las expresiones 1 9 × 3 y 1 9 ÷ 3 y dé 1 minuto a sus estudiantes para trabajar en parejas para comparar las expresiones sin hallar los cocientes reales.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y observe el razonamiento que usan para determinar qué expresión es mayor. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿Qué significa 1 9 × 3?
• ¿Qué significa 1 9 ÷ 3?
• ¿1 9 × 3 es mayor que, igual a o menor que 1 9 ? ¿Cómo lo saben?
• ¿1 9 ÷ 3 es mayor que, igual a o menor que 1 9 ? ¿Cómo lo saben?
Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para comparar las siguientes expresiones y compartir su razonamiento.
• 1 3 × 1 2 y 1 3 ÷ 2
•
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden comparar las expresiones de división que incluyen fracciones unitarias y números enteros sin hallar los cocientes reales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Considere brindar apoyo a sus estudiantes proporcionando un contexto conocido para ayudarles a entender las expresiones. También considere dar tiempo a sus estudiantes para representar cada expresión con un diagrama de cinta antes de comparar las expresiones.
Nota para la enseñanza
1 9 × 3 significa 1 9 de 3. El producto es mayor que 1 9 porque es un producto de 1 9 y un número mayor que 1.
1 __ 9 ÷ 3 significa 1 __ 9 dividido entre 3 grupos. El cociente es menor que 1 9 porque 1 9 se divide en partes más pequeñas.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Razonar acerca del tamaño de los cocientes de números enteros y fracciones unitarias y los cocientes de fracciones unitarias y números enteros
Guíe una conversación de toda la clase acerca del razonamiento sobre el tamaño de los cocientes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre las siguientes expresiones. 1 4 ÷ 7 y 7 ÷ 1 4
¿Qué expresión tiene un cociente mayor que 7? ¿Cómo lo saben?
La segunda expresión, porque estamos hallando el número de cuartos en 7.
La segunda expresión, porque en la primera expresión estamos dividiendo 1 4 en 7 grupos iguales, así que cada grupo es menor que 1 _ 4 .
¿Cómo pueden razonar acerca del tamaño de un cociente sin hacer la división?
Tienes que pensar acerca de cómo se relacionan los números en una expresión.
Cuando divides una fracción en grupos, el cociente es una fracción más pequeña que la fracción con la que comenzaste.
Cuando divides entre una fracción, hay varios grupos en cada unidad de 1; por lo tanto, el cociente es mayor que el dividendo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Nombre Fecha
Encierra en un círculo la expresión que podría usarse para resolver cada problema verbal.
1. Kayla y sus 2 hermanos comparten 1 2 bandeja de lasaña en partes iguales. ¿Qué fracción de la bandeja de lasaña recibe cada persona?
3 ÷ 1 2 1 2 ÷ 3
2. ¿Cuántas hamburguesas de 1 4 de libra puede hacer el Sr. Evans con 5 libras de carne?
5 ÷ 1 4 1 4 ÷ 5
En cada par, encierra en un círculo la descripción en la que los trozos son más largos. Explica cómo lo sabes.
3. Cuerda A: cuerda de 4 pies cortada en cuartos Cuerda B: cuerda de 2 pies cortada en cuartos
Explica: Ambas cuerdas se cortan en el mismo número de trozos. Dado que es más larga que la cuerda B, los trozos de la cuerda A son más largos.
4. Cuerda C: cuerda de 1 2 pie cortada en 4 trozos iguales Cuerda D: cuerda de 4 pies cortada en trozos de 1 2 pie
Explica: Los trozos de la cuerda D miden 1 2 pie de largo. La cuerda C mide 1 2 pie de largo y se corta en varios trozos, por lo que cada uno de esos trozos es más corto que 1 2 pie.
Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
5. 1 2 ÷ 3 > 1 10 ÷ 3
Explica: El divisor es 3 para ambas expresiones. Como 1 2 es mayor que 1 10 , eso significa que 1 2 ÷ 3 tiene el mayor cociente.
6. 4 ÷ 1 5 > 1 5 ÷ 4
Explica: La expresión 4 ÷ 1 5 es mayor que 4 porque representa el número de quintos que hay en 4 La expresión 1 5 ÷ 4 es menor que 1 5 porque 1 5 se divide en 4 grupos iguales.
7. 4 ÷ 2 = 4 × 1 2
Explica: Las expresiones son iguales porque 4 ÷ 2 tiene el mismo valor que 1 2 de 4.
8. 1 6 ÷ 2 = 1 6 × 1 2
Explica: Las expresiones son iguales porque 1 6 ÷ 2 tiene el mismo valor que 1 2 de 1 6
9. 4 ÷ 1 3 < 4 ÷ 1 4
Explica: Ambas expresiones tienen el mismo dividendo. Un dividendo se divide en tercios, y el otro dividendo se divide en cuartos. La expresión dividida en cuartos da como resultado más grupos porque cada grupo es más pequeño. Entonces, 4 ÷ 1 4 es mayor.
10. 1 8 × 2 > 1 8 ÷ 2
Explica: La expresión 1 8 × 2 es mayor porque el producto de 1 8 y 2 es mayor que 1 8 . La otra expresión tiene un cociente menor que 1 8 porque 1 8 se divide en 2 grupos.
150 GRUPO DE PROBLEMAS
11. Escribe las expresiones en orden, de menor a mayor. Luego, explica cómo sabes qué expresión tiene el menor valor.
Explica: 1 5 ÷ 5 tiene el menor valor porque tiene el menor dividendo y se divide en más grupos.
Considera la expresión. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión dada.
12. 5 ÷ 1 4
Ejemplo:
Tyler corta una cuerda que mide 5 yardas de largo en trozos que miden 1 4 de yarda de largo cada uno. ¿Cuántos trozos puede cortar Tyler?
Ejemplo:
Lacy tiene 1 3 de una bandeja de brownies. Corta la bandeja de brownies en 4 porciones de igual tamaño. ¿Qué fracción de la bandeja representa cada porción?
13. 1 3 ÷ 4
Resolver problemas verbales sobre fracciones mediante la multiplicación y la división
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Kayla tiene un tablero de madera que mide 12 pies de largo. Usa 1 3 del tablero para hacer un letrero. ¿Cuántos pies de largo mide el letrero?
1 3 × 12 = 4
El letrero mide 4 pies de largo.
2. Eddie prepara 5 tazas de arroz. La medida de cada porción de arroz es 1 2 taza. ¿Cuántas porciones de arroz prepara Eddie? 5 ? medios 1 2
5 ÷ 1 2 = 10
Eddie prepara 10 porciones de arroz.
La clase escribe expresiones de multiplicación y división y crea problemas verbales que coinciden para representar el mismo diagrama de cinta. Luego, resuelven un problema verbal en el que no se pide una respuesta numérica. La clase se da cuenta de que hay varias maneras de resolver un problema y de que pueden usar diferentes ecuaciones para resolver el mismo problema. Comparten sus soluciones y las comparan y conversan sobre las características de un problema verbal que podría llevar a varias estrategias para hallar la solución usando diferentes diagramas de cinta y ecuaciones.
Preguntas clave
• ¿Hay varias maneras de representar un problema con un diagrama de cinta? ¿Por qué?
• ¿Es necesario que toda la clase resuelva el problema de la misma manera? ¿Por qué?
• ¿Por qué es importante saber qué unidad de medida le corresponde a un número desconocido?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA10 Resuelven problemas del mundo real sobre la multiplicación de fracciones. (5.NF.B.6)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Resolver un problema verbal multiplicando o dividiendo
• Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
• No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Oraciones numéricas verdaderas o falsas
La clase decide si una oración numérica es verdadera o falsa y convierte oraciones numéricas falsas en verdaderas para adquirir fluidez con el razonamiento sobre productos sin evaluarlos del tema B.
Muestre 7 8 × 1 < 7 8 .
¿La oración numérica es verdadera o falsa? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Falsa.
Escriban la oración numérica usando el signo de comparación correcto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la oración numérica corregida.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de capacidad del sistema inglés
La clase convierte galones a cuartos de galón o pintas a tazas para adquirir fluidez con la conversión de unidades de medida más grandes del sistema inglés a unidades de medida más pequeñas del sistema inglés del tema A.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 1 gal = qt.
¿1 galón equivale a cuántos cuartos de galón? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
4 cuartos de galón
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1 4 gal = qt.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta y, luego, muestre 1 3 gal = qt.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado.
Por ejemplo, cuando sus estudiantes completan la ecuación 1 3 gal = qt, es posible que elijan escribir 4 3 o 1 1 3 .
Presentar
La clase explica la conexión entre una expresión de multiplicación y una expresión de división usando un diagrama de cinta.
Muestre el diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que, de forma independiente, intenten escribir más de una expresión que coincida con el diagrama de cinta. Mientras trabajan, recorra el salón de clases para hallar las siguientes dos expresiones. Si no escriben una o ambas, proporcione las dos expresiones.
• 1 5 × 60
• 60 ÷ 5
?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo ven ambas expresiones representadas en el diagrama de cinta.
Veo 60 ÷ 5 porque toda la cinta es 60 y se divide en 5 partes iguales. El número desconocido es 1 de las 5 partes; por lo tanto, 60 ÷ 5 representa ese valor desconocido.
Veo 1 5 × 60 porque hay 5 partes iguales, y 1 de las partes tiene un signo de interrogación. 1 parte de 5 partes es 1 5 . Estamos hallando 1 5 de 60 y 1 5 × 60 representa ese valor.
¿Observan algo más en el diagrama de cinta?
El total está rotulado con dólares.
El contexto de $60 puede ayudarnos a pensar sobre un escenario de la vida real que coincida con el diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para construir dos problemas verbales: uno que pueda resolverse con la expresión de multiplicación y otro que pueda resolverse con la expresión de división. Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases para hallar un problema verbal de cada tipo. Si no crean uno ni ambos tipos, brinde un ejemplo.
• Noah fue a la tienda y llevó $60. Gastó 1 _ 5 de su dinero. ¿Cuánto dinero gastó?
• Lacy compró 5 copias del mismo libro como regalo para sus amigos. Gastó un total de $60 en los libros. ¿Cuánto dinero cuesta cada libro?
¿Cuál es la respuesta a cada uno de estos problemas?
$12
Aunque cada problema tiene un contexto diferente, y usamos diferentes expresiones para evaluar, este diagrama de cinta los representa a ambos y tienen la misma respuesta.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas verbales sobre fracciones mediante la multiplicación y la división.
Aprender
Resolver
30
un problema verbal multiplicando o dividiendo
La clase elige una operación para resolver un problema verbal que involucra fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
1. La Sra. Baker tiene 4 yardas de tela. Se necesita 1 4 de yarda para hacer un estuche de lápices. ¿La Sra. Baker tiene suficiente tela de hacer estuches de lápices para sus 24 estudiantes? Explica cómo lo sabes.
Ejemplo:
4 ÷ 1 4 = 16
La Sra. Baker no tiene suficiente tela para hacer un estuche de lápices para cada estudiante de su clase. Tiene suficiente tela para hacer 16 estuches de lápices, pero tiene 24 estudiantes.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando analiza un problema verbal que contiene mucha información y decide si usa la multiplicación o la división para resolver el problema.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cómo pueden explicar este contexto con sus propias palabras?
• ¿Qué podrían probar para comenzar a resolver el problema?
• ¿Su método para hallar la solución funciona? ¿Podrían intentar hacer algo diferente?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué podrían dibujar para mostrar la tela. Permita que trabajen de manera independiente o en parejas para representar el problema. Anime a la clase a seleccionar las herramientas y los métodos de su preferencia.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo en los que se destaquen diferentes diagramas de cinta para representar la historia. Asegúrese de encontrar a alguien que haya usado la multiplicación para resolver el problema y a otra persona que haya usado la división para resolver el problema. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones que existen entre los ejemplos de trabajo de sus estudiantes.
Use los siguientes planteamientos para determinar el razonamiento de la clase:
• Cuéntenme cómo se relaciona el dibujo con el problema.
• Cuéntenme acerca de su método.
• ¿Qué operación eligieron para resolver el problema? ¿Por qué?
Cuando hable con sus estudiantes, determine el razonamiento mientras evalúa informalmente su comprensión y elija a estudiantes para que compartan su trabajo.
Los ejemplos de trabajo de sus estudiantes que se muestran demuestran varias soluciones que incluyen la multiplicación y la división.
Diferenciación: Apoyo
Permita que sus estudiantes representen las yardas usando cubos. Rotule cada cubo con 1 4 .
Considere brindar diferentes colores para mostrar cada yarda.
4
24 × 1 4 = 6 ? yardas
24 cuartos
Multiplicar un número entero por una fracción unitaria ? yardas
24 cuartos
La Sra. Baker no tiene suficiente tela para hacer un estuche de lápices ra para cada estudiante de su clase. Necesitaría 6 yardas de tela para hacer un estuche de lápices para cada estudiante, y solo tiene ra 4 yardas
Dividir un número entero entre una fracción unitaria
4 ya rdas ? cuar tos . .
4 ya rdas ? cuar tos
La Sra. Baker no tiene suficien te tela para hacer un estuche de lápices para cada estudiante de su clase. Tiene suficien te tela para hacer 16 estuch es de lápices, pero tiene 24 estudiantes. 4÷ 1 4 =16
Nota para la enseñanza
El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte y compara las soluciones y razona acerca de las conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre sus trabajos y las soluciones demostradas. Anime a la clase a que haga sus propias preguntas.
Multiplicar un número entero por una fracción unitaria (Método de Yuna)
¿Qué muestra Yuna como información conocida y desconocida en su primer diagrama de cinta?
¿Por qué mostró eso?
El diagrama de cinta muestra que una parte es 1 4 porque la Sra. Baker necesita 1 _ 4 de yarda para cada estuche. La parte de abajo está rotulada con 24 cuartos porque quiere hacer estuches para sus 24 estudiantes. El número desconocido es cuántas yardas equivalen a 24 cuartos porque la Sra. Baker quiere saber si tiene suficiente tela para hacer los estuches.
4
yardas ya
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere invitar a sus estudiantes a utilizar las secciones Compartir tu razonamiento y Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación mientras comparten su trabajo, realizan preguntas sobre el trabajo de la clase y hacen comparaciones entre su trabajo y el de sus pares. ? yardas 24 cuartos
cuartos
24 × 1 4 = 6
La Sra. Baker no tiene suficiente tela para hacer un estuche de lápices te te para cada estudiante de su clase. Necesitaría 6 yardas de tela para hacer un estuche de lápices para cada estudiante, y solo tiene 4 yardas. .
¿Qué parte de la historia no se incluye en el diagrama de cinta de Yuna?
Yuna no mostró las 4 yardas de tela que tiene la Sra. Baker.
¿Por qué creen que Yuna no mostró las 4 yardas?
Se concentró en los y las 24 estudiantes y en la cantidad de tela que necesita la Sra. Baker para cada estuche. Yuna no necesitó usar las 4 yardas.
¿Cómo resolvió Yuna el problema?
Yuna dibujó 24 cuartos y representó cada grupo de 4 cuartos como 1 yarda. Su dibujo muestra que 24 cuartos equivalen a 6 yardas. Yuna halló que la Sra. Baker no tiene suficiente tela porque 6 yardas de tela es mayor que 4 yardas de tela.
Yuna, ¿por qué decidiste resolver el problema con la multiplicación?
Decidí multiplicar porque sé que la Sra. Baker necesita 1 4 de yarda de tela para hacer 1 estuche para cada uno o una de sus 24 estudiantes. Dibujé los 24 cuartos y vi el número de grupos, 24, y el tamaño de cada grupo, 1 4 de yarda, así que multipliqué para hallar el número total de yardas.
Dividir un número entero entre una fracción unitaria (Método de Toby)
¿Qué muestra Toby como información conocida y desconocida en su primer diagrama de cinta?
¿Por qué mostró eso?
El diagrama de cinta muestra 4 yardas porque es el número de yardas de tela que tiene la Sra. Baker. El diagrama de cinta también muestra que una parte es 1 4 porque necesita 1 4 de yarda para cada estuche. El número desconocido es cuántos cuartos hay en 4 yardas de tela porque la Sra. Baker quiere saber si 4 yardas es suficiente tela para hacer un estuche de lápices para cada estudiante.
4÷ 1 4 =16 1 4
4 ya rdas
? cuar tos
4 ya rdas
? cuar tos
La Sra. Baker no tien e sufici en te tela para hacer un es tuch e de lá pices para cada es tudian te de su clase. Ti en e sufici en te tela para hacer 16 es tuch es de lápices, pero tien e 24 es tudian tes.
¿Qué parte de la historia no se incluye en el diagrama de cinta de Toby?
Toby no mostró 24 estudiantes.
¿Por qué creen que Toby no mostró 24 estudiantes?
Se concentró en las 4 yardas de tela que tiene la Sra. Baker y en la cantidad de tela que necesita para hacer cada estuche. Por lo tanto, no necesitó mostrar 24 estudiantes.
¿Cómo resolvió Toby el problema?
Dividió 4 yardas entre 1 4 de yarda para hallar el número de estuches que la Sra. Baker puede hacer con 4 yardas de tela. Toby halló que la Sra. Baker no tiene suficiente tela para hacer un estuche para cada estudiante. Solo tiene suficiente para hacer 16 estuches.
Toby, ¿por qué decidiste resolver el problema con la división?
Sabía que se usa 1 4 de yarda de tela para 1 estuche. Sé que la Sra. Baker tiene 4 yardas de tela.
Necesitaba hallar cuántos cuartos hay en 4, lo que significa que puedo dividir.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar el trabajo y el razonamiento de Yuna y de Toby.
Muestre los diagramas de cinta que usaron Yuna y Toby para entender la historia y las ecuaciones que los acompañan.
Método de Yuna Método de Toby
DUA: Acción y expresión
Después de compartir los trabajos, considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen. Pregúnteles si escucharon algún razonamiento que podrían usar la próxima vez. Pídales que participen de una conversación sobre las razones para intentar un enfoque diferente.
La parte del segmento en la que se comparte proporciona a sus estudiantes varios ejemplos de trabajos comentados de sus pares. La reflexión que hace cada estudiante sobre su trabajo en relación con los ejemplos sirve como una oportunidad de retroalimentación formativa.
cuartos
24 × 1 4 = 6
El número desconocido en cada diagrama de cinta es diferente, aunque los diagramas representan el mismo problema verbal. ¿Por qué?
Usaron diferente información de la historia. Yuna usó el número de yardas de tela que la Sra. Baker necesita para cada estuche y el número de estudiantes. Toby usó el número total de yardas de tela que tiene la Sra. Baker y el número de yardas de tela que necesita para cada estuche.
¿Por qué 1 4 se usa en ambos diagramas de cinta?
Ese es el número de yardas de tela que necesita la Sra. Baker para cada estuche, así que es necesario incluirlo en los dos diagramas de cinta.
¿En qué se diferencian las ecuaciones?
En una se usa la multiplicación y en la otra se usa la división. Las respuestas son diferentes.
¿Qué representa el 6 en la ecuación de Yuna?
La Sra. Baker necesita 6 yardas de tela para hacer 24 estuches de lápices.
¿Qué representa el 16 en la ecuación de Toby?
La Sra. Baker puede hacer 16 estuches de lápices con 4 yardas de tela.
Cuando nuestros diagramas de cinta tienen diferentes números desconocidos y nuestras ecuaciones tienen diferentes respuestas, es importante prestar mucha atención a qué representa el número desconocido. ¿Por qué?
Tenemos que saber qué representa nuestro número desconocido para poder responder la pregunta de forma apropiada. En el trabajo de Yuna, su número desconocido era el número de yardas de tela que necesita la Sra. Baker para hacer los estuches. En el trabajo de Toby, su número desconocido era cuántos estuches podía hacer la Sra. Baker con la tela que tenía. Si Yuna y Toby no hubieran sabido qué representaban sus números desconocidos, tal vez no habrían respondido la pregunta correctamente.
¿Por qué ambas soluciones, con diferentes números desconocidos y diferentes ecuaciones, dan como resultado el mismo enunciado de respuesta: que la Sra. Baker no tenía suficiente tela?
La historia proporciona mucha información, entonces podrías usar diferente información para resolver el problema de diferentes maneras.
La pregunta pide averiguar si la Sra. Baker tenía suficiente tela. Por lo tanto, no necesitábamos un número específico como respuesta. Solo necesitábamos averiguar si hay suficiente tela para hacer un estuche para cada estudiante. Para eso, teníamos que hallar cuánta tela se necesitaba en total y compararlo con la cantidad de tela que tiene la Sra. Baker. O necesitábamos saber cuántos estuches podía hacer con la tela que tiene y compararlo con la cantidad de estudiantes que tiene.
Refuerce cómo este problema verbal permitió que hubiera diferentes ecuaciones con diferentes respuestas al repasar los problemas verbales que sus estudiantes escribieron anteriormente en la lección.
Antes, escribimos problemas verbales de multiplicación y división para un diagrama de cinta con el mismo número desconocido. Sin embargo, para el problema sobre la Sra. Baker, teníamos diagramas de cinta con diferentes números desconocidos. ¿Cómo podrían haber sabido la diferencia entre los dos tipos cuando leyeron los problemas verbales y dibujaron sus diagramas de cinta?
Si en un problema verbal no se pide una cantidad específica, como el problema de la Sra. Baker, que preguntaba si tenía suficiente tela (no cuánta tela), probablemente podamos hallar diferentes maneras de resolverlo.
Invite a sus estudiantes a echar un vistazo al Grupo de problemas para hallar un problema o problemas en los que pueda haber trabajo de estudiantes con diferentes números desconocidos y a decir por qué.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales sobre fracciones mediante la multiplicación y la división
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de resolver problemas verbales que incluyan fracciones con la multiplicación y la división usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo y su razonamiento sobre el problema 7 del Grupo de problemas con una pareja de trabajo.
¿Hay varias maneras de representar este problema con un diagrama de cinta y resolverlo?
¿Cómo lo saben?
Sí. Mi pareja de trabajo y yo dibujamos diagramas de cinta diferentes y resolvimos el problema de maneras diferentes.
Sí. El problema 7 pregunta si caben todos los libros, así que no necesitamos un número específico para la respuesta. Eso significa que probablemente podríamos representar y resolver el problema de diferentes maneras.
Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo y su razonamiento sobre el problema 5 en el Grupo de problemas con una pareja de trabajo.
Muestre el trabajo de sus estudiantes.
¿Cómo pensó el problema esta persona?
Halló 1 _ 5 de 5 docenas, que es 1 docena.
¿Resolvieron el problema de una manera diferente? ¿Qué más podrían haber hecho para resolver el problema?
Hallé 5 ÷ 5 = 1 para mostrar 5 docenas divididas en 5 grupos iguales, lo que significa que hay 1 docena en cada grupo.
5 docenas ?
La estudiante no batea 1 docena de pelotas de beisbol. 1 5 × 5 = 5 5 = 1
Sabía que 5 docenas de pelotas de beisbol es igual a 60 pelotas de béisbol, así que hallé 1 5 × 60 = 60 5 = 12. La estudiante no batea 12 pelotas de beisbol, que es igual a 1 docena de pelotas de beisbol.
Podríamos decir que la estudiante no batea 12 pelotas de beisbol, o 1 docena de pelotas. ¿Por qué es importante saber la unidad de un número desconocido?
Si el número desconocido en el problema es el número de docenas y no nos dimos cuenta de eso, podríamos responder la pregunta con 12 docenas, que es incorrecto.
Si el número desconocido en el problema es el número de pelotas de beisbol que no batea la estudiante, y decimos que la respuesta es 1 pelota de beisbol, sería incorrecto porque la estudiante no batea 1 docena de pelotas de beisbol, no 1 pelota de beisbol.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Jada vierte 1 2 galón de ponche de frutas, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos galones de ponche de frutas hay en cada recipiente?
1 2 ÷ 4 = 1 8
Cada recipiente tiene 1 8 de galón de ponche de frutas.
2. Eddie tiene 45 botellas de agua. Bebe 1 9 de ellas. ¿Cuántas botellas de agua bebe Eddie?
1 9 × 45 = 5
Eddie bebe 5 botellas de agua.
3. Una cocinera hace 4 pizzas. Corta cada pizza en octavos. ¿Cuántas porciones de pizza hay?
4 ÷ 1 8 = 32
Hay 32 porciones de pizza
4. El Sr. Sharma tarda 5 minutos en conducir hasta el gimnasio. Eso es 1 4 del tiempo que tarda en conducir hasta el trabajo. ¿Cuántos minutos tarda el Sr. Sharma en conducir hasta el trabajo?
5 ÷ 1 4 = 20
El Sr. Sharma tarda 20 minutos en conducir hasta el trabajo.
EUREKA MATH2
EUREKA MATH2
Nombre Fecha
5. Una estudiante no batea 1 5 de las 5 docenas de pelotas de beisbol que lanza su entrenador.
¿Cuántas pelotas de beisbol no batea?
5 × 12 = 60
1 5 × 60 = 12
No batea 12 pelotas de beisbol.
6. Julie usa 1 5 de sus cuentas para hacer 2 collares.
a. ¿Qué fracción de sus cuentas usa Julie para hacer 1 collar?
1 5 ÷ 2 = 1 10
Usa 1 10 de sus cuentas para hacer 1 collar.
b. Si Julie tiene 160 cuentas, ¿cuántas usa para hacer 1 collar?
1 10 × 160 = 16
Julie usa 16 cuentas para hacer 1 collar.
7. El Sr. Pérez tiene que poner 24 libros en su estantería. Cada libro mide 7 8 de pulgada de ancho. La estantería mide 22 pulgadas de ancho. ¿Cabrán todos los libros en la estantería? Explica.
24 × 7 8 = 21
Sí, todos los libros cabrán en la estantería. La estantería mide 22 pulgadas de ancho, y el ancho total de todos los libros es 21 pulgadas.
En el tema D, la clase usa su comprensión de las operaciones con fracciones para resolver problemas de varios pasos con fracciones.
Comienzan el tema escribiendo y evaluando expresiones numéricas que involucran paréntesis, como
5 × ( 1 3 − 1 4 ) o 3 _ 5 × ( 1 6 + 2 3 ). Aprenden a interpretar enunciados como 5 veces la diferencia de 1 _ 3 y 1 _ 4 o 3 5 de la suma de 1 6 y 2 3 , y los escriben como expresiones numéricas. La clase toma su experiencia acerca de escribir y evaluar expresiones y la aplica a escribir y resolver problemas verbales. Una vez que cuentan con el conocimiento de cómo multiplicar fracciones y cómo dividir con un número entero y una fracción, pueden resolver problemas verbales que incluyen contextos que involucran de forma natural números fraccionarios. La clase usa diagramas de cinta para representar problemas de varios pasos que requieren el uso de la suma, la resta, la multiplicación y la división con fracciones.
Mediante la experiencia y la conversación, la clase se da cuenta de que representar un problema con un diagrama de cinta puede mostrar estrategias para hallar la solución que requieren menos pasos.
Para concluir el tema, la clase evalúa expresiones que involucran fracciones y signos de agrupación anidados. La lección 22 es opcional, pero brinda una ampliación natural del trabajo con expresiones que involucran fracciones e invita a la clase a leer expresiones para entender la relación entre los números.
En el módulo 4, la clase aplica su razonamiento acerca de las fracciones cuando trabaja con operaciones con números decimales porque pueden pensar en los números decimales como fracciones con unidades de décimos, centésimos y milésimos.
Progresión de las lecciones
Lección 18
Comparar y evaluar expresiones con paréntesis
Lección 19
Crear y resolver problemas verbales de un paso relacionados con fracciones
Lección 20
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones y escribir ecuaciones con paréntesis
cuartos
Puedo evaluar expresiones con paréntesis usando un diagrama de cinta que me ayude a entender las expresiones.
Luego, puedo usar el razonamiento para comparar los valores de las expresiones y los enunciados sin evaluarlos.
Puedo escribir problemas verbales de un paso que coincidan con una expresión o un diagrama de cinta.
Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales. Puedo usar un diagrama de cinta para encontrar un método que tenga menos pasos para hallar la solución.
Lección 21
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones
Lección 22
Evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados (opcional)
Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones. Observo cuando mi diagrama de cinta representa el número desconocido del problema verbal y, cuando no lo representa, puedo corregirlo o dibujar otro diagrama.
Puedo leer una expresión con paréntesis dentro de corchetes o llaves que me ayudan a evaluar la expresión.
Comparar y evaluar expresiones con paréntesis
Vistazo a la lección
1. Escribe una expresión para representar el enunciado. Luego, evalúa la expresión.
7 9 de la diferencia entre 2 3 y 1 4
Expresión: 7 9 × (2 3 − 1 4 )
Valor: 35 108
2. Usa > = o < para comparar. Explica cómo puedes comparar sin evaluar.
2 3 × (7 ÷ 1 9 ) > 4 6 del cociente de 1 9 y 7
Las fracciones 2 3 y 4 6 son equivalentes, pero 7 ÷ 1 9 es mayor que 1, y el cociente de 1 9 y 7 es menor que 1; por lo tanto, la expresión de la izquierda es mayor.
La clase usa diagramas de cinta como apoyo cuando escribe y usa ecuaciones para hallar un número desconocido y, luego, hace una transición hacia las expresiones dadas en forma escrita. Usan paréntesis para indicar qué parte de una expresión debe evaluarse primero y se dan cuenta de que la ubicación de los paréntesis afecta el orden en que se evalúa la expresión y puede impactar en su valor. Consideran expresiones dadas numéricamente y como enunciados y las comparan sin evaluarlas.
Preguntas clave
• ¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a entender dónde se ubican los paréntesis en las ecuaciones y las expresiones? ¿Por qué?
• ¿Pueden comparar enunciados y expresiones sin evaluarlos? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis. (5.OA.A.1)
5.Mód3.CLA3 Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen fracciones. (5.OA.A.2)
5.Mód3.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye fracciones. (5.OA.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Escribir ecuaciones para hallar valores desconocidos
• Escribir y evaluar expresiones
• Comparar enunciados y expresiones
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un décimo en un décimo con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuenta en voz alta y representa una composición y una descomposición como preparación para ampliar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos a partir del módulo 4.
Vamos a contar con el método matemático. Cada dedo representa 1 décimo.
Póngase de frente a la clase y pida a sus estudiantes que copien los movimientos. Muestre el puño de la mano derecha con la palma hacia la clase.
Muéstrenme la mano izquierda. Formen un puño como el mío. Eso es 0 décimos, o 0.
Ahora, levante el meñique derecho.
Muéstrenme el meñique izquierdo. Eso es 1 décimo.
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
Levantemos el dedo que sigue.
Levante el dedo anular derecho. La clase levanta el anular izquierdo.
Eso es 2 décimos.
Levanten el dedo que sigue. 3 décimos.
Nota para la enseñanza
En todo el mundo, los números se representan con las manos de muchas maneras. Contar con el método matemático tiene la ventaja matemática de progresar de izquierda a derecha sin interrupción, al igual que la recta numérica. También demuestra la magnitud de los números, ya que la clase observa y siente que la cantidad aumenta a medida que cuentan hacia delante.
Tanto si miran sus propias manos como las de usted, sus estudiantes verán una progresión de izquierda a derecha. La progresión de un dedo a otro imita la recta numérica. Para usted, la progresión aparecerá al revés.
Sus estudiantes comienzan a usar este método en kindergarten y seguirán usándolo hasta 5.° grado para representar conceptos de valor posicional y realizar operaciones con números enteros y fracciones decimales.
Ahora que la clase comprende la rutina, pídales que hagan el conteo a medida que muestran los dedos. Guíe a la clase para que continúe contando de un décimo en un décimo con el método matemático hasta 10 décimos y, luego, hacia atrás hasta el 0 .
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
Volvamos a contar de un décimo en un décimo con el método matemático desde 0 décimos hasta 10 décimos.
Pida a la clase que cuente de un décimo en un décimo con el método matemático desde 0 hasta 1.0.
¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 décimos?
1 unidad
Podemos agrupar 10 décimos para formar 1 unidad. (Una las manos).
Pida a la clase que represente la agrupación de 10 décimos uniendo las manos.
Separe las manos para representar cómo desagrupar.
Pida a la clase que separe las manos para representar cómo desagrupar 1 unidad.
Vamos a contar de un décimo en un décimo con el método matemático desde 10 décimos hasta 0 décimos.
Pida a la clase que cuente de un décimo en un décimo con el método matemático desde 1.0 hasta 0.
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar una fracción como división
La clase escribe una fracción como una expresión de división y determina el cociente como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones a partir de la lección 20.
Muestre 34 2 = ÷ .
¿Cómo podemos representar la fracción como una expresión de división? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
34 ÷ 2
Muestre la respuesta.
Dividan y expresen el cociente como un número entero o número mixto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Multiplicar fracciones
La clase multiplica una fracción por una fracción como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones a partir de la lección 20.
Muestre 1 2 × 1 3 = .
¿Cuál es el producto en forma fraccionaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 6
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza un diagrama de cinta como preparación para escribir y evaluar expresiones.
Escriba 9 10 × 1 2 + 1 4 × 2 5 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo evaluarían esta expresión.
Muestre el siguiente diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir tantos enunciados como puedan sobre lo que saben a partir de observar el diagrama de cinta. Recorra el salón de clases
Nota para la enseñanza
En esta lección se ofrece una vista previa del tema, en el que la clase crea y resuelve problemas verbales de un solo paso y de varios pasos y escribe expresiones y ecuaciones que incluyen paréntesis.
Use esta actividad para evaluar de manera informal la comprensión de cada estudiante para escribir y evaluar expresiones y también para evaluar su capacidad de describir expresiones con palabras usando términos como producto, suma y valor desconocido
para evaluar informalmente a sus estudiantes y brindar apoyo. Es esperable que algunas parejas solo puedan identificar las partes del diagrama de cinta, mientras que otras pueden hallar el valor del número desconocido evaluando una expresión.
Después de 2 minutos, reúna a la clase para comentar lo que hallaron. Valide un rango de ideas, pero guíe la conversación para hallar una expresión que pueda usarse para determinar el valor desconocido.
¿Qué información se muestra en el diagrama de cinta?
El diagrama de cinta tiene dos partes. Una parte es 9 10 × 1 2 y la otra parte es 1 4 × 2 5 .
La suma de las dos partes es el valor del número desconocido, 11 20 .
¿Cómo podemos usar lo que vemos en el diagrama de cinta para escribir una expresión que represente el valor desconocido?
Podemos escribir el valor de la primera parte más el valor de la segunda parte.
Vuelva a la expresión 9 __ 10 × 1 _ 2 + 1 _ 4 × 2 _ 5 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si evaluarían la expresión de la misma manera que comentaron antes de ver el diagrama de cinta.
Ahora que vieron el diagrama de cinta que coincide con la expresión, ¿colocarían paréntesis en la expresión? ¿Dónde?
Sí. Pondría paréntesis alrededor de 9 10 × 1 2 y alrededor de 1 4 × 2 5 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, escribiremos, evaluaremos y compararemos expresiones que incluyen paréntesis.
Aprender
Escribir ecuaciones para hallar valores desconocidos
La clase escribe una ecuación que puede usarse para hallar el valor desconocido en un diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros y analicen el diagrama de cinta.
Escribe una ecuación que pueda usarse para hallar el valor desconocido para cada diagrama de cinta.
Luego, usa la ecuación para hallar el valor del número desconocido.
1. 9 + 12 x x = (9 + 12) × 2 3 = 21 × 2 3 = 42 3 = 14 x = 14
Según este diagrama de cinta, ¿qué sabemos?
Hay 3 partes del mismo tamaño.
El total es 21.
La suma de las 3 partes iguales es 21.
El valor desconocido está representado por x.
El valor desconocido es 2 de las 3 partes del diagrama de cinta.
Diferenciación: Apoyo
Para los grupos que necesiten apoyo adicional al escribir una ecuación para hallar un número desconocido en el problema 1, considere eliminar la complejidad de mostrar el total como 9 + 12 y, en su lugar, muestre el total como la suma, 21.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando analiza un diagrama de cinta para escribir una ecuación que puede usarse para hallar el valor de un número desconocido.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo usan los paréntesis en su ecuación?
• ¿Qué detalles hay que tener en cuenta cuando escriben una ecuación para representar el valor desconocido en el diagrama de cinta?
¿Qué debemos hallar?
Debemos hallar el valor de x.
Debemos hallar 2 3 de 21.
Como el valor desconocido x es 2 de las 3 partes del diagrama de cinta, podemos hallar el valor de x si hallamos 2 _ 3 de 21. ¿Cuál es el valor del número desconocido?
El valor del número desconocido es 14.
Guíe a sus estudiantes para escribir una ecuación que represente cómo hallaron el valor desconocido en el problema 1.
Vamos a registrar nuestro razonamiento escribiendo una ecuación.
Registre x = .
Hallamos el valor de x al hallar 2 _ 3 de 21. ¿De dónde obtenemos 21?
Es la suma de 9 y 12.
Registre (9 + 12).
Para mostrar que hallamos primero la suma, coloquemos paréntesis alrededor de 9 + 12.
¿Qué hicimos después?
Hallamos 2 3 de 21.
Registre × 2 3 y pida a sus estudiantes que comprueben que escribieron la ecuación en el problema 1.
Escriba x = 2 3 × (9 + 12).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la ecuación x = 2 3 × (9 + 12) también da como resultado el mismo valor para x.
Escriba x = 2 _ 3 × 9 + 12. Señale la ecuación.
¿Esta ecuación, x = 2 _ 3 × 9 + 12, da el mismo valor para x? ¿Por qué?
No, porque 9 + 12 es el total, así que debe ir entre paréntesis.
No, porque 2 3 × 9 = 6 y 6 + 12 = 18.
No lo sé. Tiene los mismos números y operaciones que la otra ecuación.
Sin un diagrama de cinta o contexto, podrían pensar que debemos multiplicar 2 _ 3 y 9 primero y, luego, sumar 12. Eso sería x = 18, pero hallamos que x = 14. Para asegurarnos de que todos hallamos el mismo valor para el número desconocido, usamos paréntesis para mostrar qué hay que hacer primero.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y analicen el diagrama de cinta. 2. y
¿En qué se diferencia este diagrama de cinta del anterior?
Hay una expresión de resta que muestra el valor de 1 parte.
Hay 5 partes del mismo tamaño en el diagrama de cinta.
El valor desconocido y es el total de las 5 partes iguales.
¿Qué harían primero para hallar el valor de y ? ¿Por qué?
Hallaría la diferencia 1 3 − 1 4 porque ese es el valor de 1 parte. Luego, puedo multiplicar ese valor por 5.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el valor de y. Luego, guíe una conversación sobre escribir la ecuación usando las siguientes preguntas.
¿Cuál es el valor de y? ¿Cómo lo hallaron?
El valor de y es 5 12 . Primero, hallé 1 3 − 1 4 = 1 12 y, luego, hallé 5 × 1 12 .
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes pidiendo que escriban una ecuación que pueda usarse para hallar el valor de f en este diagrama de cinta. Luego, pídales que hallen el valor.
7 f
Para hallar el valor de y, podemos multiplicar la diferencia de 1 _ 3 y 1 _ 4 por 5. Podemos representar ese razonamiento con una ecuación. ¿Qué debemos incluir en la ecuación para mostrar que primero tenemos que hallar la diferencia?
Tenemos que poner paréntesis alrededor de 1 3 − 1 4 para mostrar que primero tenemos que hallar la diferencia.
Invite a sus estudiantes a escribir una ecuación que pueda usarse para hallar el valor de y. Si sus estudiantes ya escribieron una ecuación, anímeles a escribir otra ecuación que dé el mismo resultado.
¿Qué ecuación escribieron para hallar el valor de y?
y = (1 3 − 1 4 ) × 5
y = 5 × (1 _ 3 − 1 _ 4 )
¿Por qué el valor de y se puede representar con dos ecuaciones diferentes?
Ambas ecuaciones dan como resultado el mismo valor para y.
Los factores 5 y (1 3 − 1 4 ) están en un orden diferente, pero se puede multiplicar en cualquier orden y se obtiene el mismo resultado.
Escribir y evaluar expresiones
La clase escribe y evalúa expresiones dadas como enunciados.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Lea el enunciado en voz alta.
Escribe una expresión para representar el enunciado. Luego, evalúa la expresión.
3. 3 _ 5 de la suma de 1 _ 6 y 2 _ 3
Luego, use los siguientes planteamientos.
Diferenciación: Apoyo
Sus estudiantes pueden necesitar apoyo para escribir la expresión del problema 3. Considere pedirles que primero dibujen un diagrama de cinta y, luego, usen el diagrama de cinta para escribir la expresión.
Si sus estudiantes necesitan apoyo adicional, considere mostrar el diagrama de cinta y hacer las siguientes preguntas:
• ¿Qué representa la suma 1 6 + 2 3 en el diagrama de cinta?
• ¿Dónde ven 3 __ 5 ?
• ¿Pueden hallar el valor de 3 5 del diagrama de cinta? ¿Cómo?
El enunciado nos pide que hallemos 3 _ 5 de algo. ¿De qué?
La suma de 1 _ 6 y 2 _ 3
Tenemos que hallar 3 _ 5 de un número, y ese número es la suma de 1 _ 6 y 2 _ 3 . ¿Ya podemos hallar 3 _ 5 de ese número? ¿Por qué?
No. No sabemos la suma de 1 6 y 2 3 , así que todavía no podemos hallar 3 5 de eso.
Después de hallar la suma de 1 _ 6 y 2 _ 3 , ¿cómo podemos hallar 3 _ 5 de eso?
Podemos multiplicar la suma por 3 5 .
Escriban una expresión que represente su razonamiento sobre este enunciado y, luego, evalúen su expresión.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes completan el problema 3 y anímeles a pensar dónde colocar paréntesis en sus expresiones.
¿Cuánto es 3 5 de la suma de 1 6 y 2 3 ?
3 6
Valide todas las respuestas equivalentes. Hay quienes podrán hallar la suma usando dieciochoavos como la unidad, que da como resultado 9 18 , y habrá quienes expresen su respuesta en la unidad más grande posible, es decir 1 2 .
¿Incluyeron paréntesis en sus expresiones para identificar lo que debían hacer primero?
¿Dónde los colocaron? ¿Por qué?
Sí, coloqué paréntesis alrededor de 1 6 + 2 3 porque tenía que hallar la suma antes de poder hallar 3 _ 5 de eso.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pídales que lean el enunciado en silencio.
4. 4 veces la diferencia de 6 _
DUA: Acción y expresión
Considere comparar la solución correcta para el problema 3 con un ejemplo de trabajo incorrecto. Presente una tabla que muestre el trabajo correcto en el ejemplo A y el trabajo incorrecto en el ejemplo B para resaltar cómo la ubicación de los paréntesis afecta el valor de la expresión. Pregunte a sus estudiantes:
“¿Cómo compararían el trabajo del ejemplo A con el trabajo del ejemplo B? ¿Por qué es incorrecto evaluar el problema 3 como se muestra en el ejemplo B?”. Deje a la vista la tabla durante el resto del tema como ejemplo de por qué se usan los paréntesis y la importancia que tiene su ubicación. Use un código de colores y anotaciones para resaltar estas características, como en el siguiente ejemplo:
El enunciado nos pide que hallemos 4 veces el otro número. ¿Cuál es el otro número?
La diferencia de 6 _ 7 y 1 _ 2
¿Ya podemos multiplicar? ¿Por qué?
No podemos multiplicar hasta que no hallemos la diferencia.
Una vez que hallemos la diferencia, podemos multiplicar. Escriban y evalúen una expresión que represente su razonamiento sobre este enunciado.
Considere pedir a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 4.
¿Cuánto es 4 veces la diferencia de 6 7 y 1 2 ?
20
14
Valide todas las respuestas equivalentes. Habrá quienes expresen su respuesta usando la unidad más grande posible, es decir 10 7 , y quienes expresen su respuesta como un número mixto.
¿Incluyeron paréntesis en su expresión? ¿Por qué?
Sí. Coloqué paréntesis alrededor de 6 7 − 1 2 para mostrar que tenía que hallar la diferencia antes de multiplicar.
Escriba 5 × 1 3 + 12.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿Esta expresión representa el enunciado 5 veces la suma de 1 _ 3 y 12? ¿Por qué?
No. Interpreto la expresión como 5 grupos de 1 3 más 12, y eso no es lo que dice el enunciado.
No. La expresión nos muestra que hay que evaluar 5 × 1 3 primero y, luego, sumar 12. Eso no parece coincidir con el enunciado porque nos pide que hallemos la suma de 1 3 y 12.
No. El enunciado indica que hay que multiplicar 5 y otro número, así que primero debemos hallar la suma.
¿Qué podemos incluir en la expresión para representar 5 veces la suma de 1 _ 3 y 12? ¿Por qué?
Podemos colocar paréntesis alrededor de 1 _ 3 + 12 para asegurarnos que la suma de 1 _ 3 y 12 se multiplica por 5. De lo contrario, alguien podría multiplicar solo 1 3 por 5.
Comparar enunciados y expresiones
La clase compara enunciados y expresiones razonando sobre el tamaño de las partes.
Presente el enunciado y la expresión siguientes. Use la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Sumar 2 al producto de 1 4 × 16 (1 4 × 12) + 2
Dé a la clase 1 minuto para pensar en silencio y determinar si el valor representado por el enunciado es mayor que, igual a o menor que el valor de la expresión sin evaluar ninguno. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a cada estudiante que comparta su razonamiento con todo el grupo.
El valor del enunciado sumar 2 al producto de 1 4 × 16 es mayor que el valor de la expresión (1 4 × 12) + 2. Lo sé porque ambos tienen un grupo que muestra un producto sumado a 2 y cada producto tiene 1 4 como un factor. Por lo tanto, solo tuve que pensar en el valor dentro del paréntesis. 1 4 de 16 es mayor que 1 4 de 12.
Repita el proceso para el enunciado y la expresión siguientes.
La diferencia de 8 _ 9 y 1 _ 3 , duplicada.
2 × (8 _ 9 − 2 _ 3 )
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden comparar los valores del enunciado y la expresión sin evaluarlos.
El valor del enunciado la diferencia de 8 9 y 1 3 , duplicada es mayor que el valor de la expresión
2 × (8 9 − 2 3 ). Me di cuenta de que multiplicar por 2 significa lo mismo que duplicar. Solamente debo pensar en las diferencias en cada representación. Como 2 3 > 1 3 , puedo decir que la diferencia entre 8 9 y 1 3 es mayor que 8 9 − 2 3 , por lo tanto, la expresión 2 × (8 9 − 1 3 ) es mayor.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Pida a sus estudiantes que usen la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación como apoyo al compartir cómo pueden comparar enunciados y expresiones sin evaluarlos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Comparar y evaluar expresiones con paréntesis
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre comparar y evaluar expresiones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 4 a 10 de su Grupo de problemas.
¿Dibujaron un diagrama de cinta para entender los enunciados o las expresiones? ¿Fue útil?
¿Por qué?
Sí. En el problema 6, dibujar un diagrama de cinta me ayudó a ver que tenía que hallar 5 _ 6 de 10 primero y, luego, restar 1 3 . Así que cuando escribí la expresión, coloqué paréntesis alrededor de 5 6 × 10 para mostrar que hay que hallar el producto antes de restar.
Sí. Empecé a dibujar el diagrama de cinta en el problema 8 y, una vez que rotulé el total con 5 + 9, me di cuenta de que eran iguales.
¿Representar expresiones con diagramas de cinta les ayuda a entender dónde se ubican los paréntesis en las expresiones? ¿Por qué?
Sí. Representar con diagramas de cinta me ayuda a ver qué partes de la expresión necesitan paréntesis y, de esa forma, sé qué parte evaluar primero.
¿Pueden comparar enunciados y expresiones sin evaluarlos? ¿Por qué?
Sí. Hallamos las semejanzas y las diferencias entre el enunciado y la expresión. Cuando una parte es igual, podemos enfocarnos en el valor de la parte que es diferente.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe una ecuación que pueda usarse para hallar el valor desconocido de cada diagrama de cinta. Luego, usa la ecuación para hallar el valor del número desconocido.
1. h 6 + 8
h = 1 4 × (6 + 8) h = 14
3. Lee las expresiones. Luego, sigue las instrucciones para cada parte.
a. Encierra en un círculo la expresión que representa 2 más que la suma de 1 2 y 4
b. Encierra en un recuadro la expresión que representa 4 veces la diferencia entre 2 y 1 2
c. Subraya la expresión que representa el doble de la suma de 1 2 y 4
d. Haz una X sobre la expresión que representa 2 menos que la suma de 1 2 y 4
Escribe una expresión para representar cada enunciado. Luego, evalúa la expresión.
4. La diferencia entre 3 4 y 2 7 , duplicada
Expresión: ( 3 4 2 7 ) × 2
Valor: 26 28
5. 1 5 de la suma de 2 3 y 1 2
Expresión: 1 5 × ( 2 3 + 1 2 )
Valor: 7 30
6. 1 3 restado de 5 6 de 10
Expresión: ( 5 6 × 10) 1 3
Valor: 8
7. La mitad de 1 3 sumado al producto de 3 y 3 2
Expresión: ( 1 2 × 1 3 ) + (3 × 3 2 )
Valor: 56 12
Usa >, = o < para comparar. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.
8. 1 7 de la suma de 5 y 9 = (5 + 9) ÷ 7
Explica: En ambas expresiones se suma 5 y 9, y hallar 1 7 de un número es igual a dividirlo entre 7; por lo tanto, los valores son iguales.
9. 3 4 × (6 × 4 5 ) > 3 7 del producto de 6 y 4 5
Explica: En ambas expresiones se multiplica 6 y 4 5 . El valor de la primera es mayor porque 3 4 de un número es mayor que 3 7 de un número.
10. Resta 4 de 1 3 de 11 < ( 1 3 × 14) 4
Explica: En ambas expresiones se resta 4. Sé que 1 3 de 14 es mayor que 1 3 de 11, por lo tanto, el valor de la segunda es mayor.
11. El diagrama de puntos muestra la cantidad de agua, en galones, que bebe Yuna cada día durante una semana.
Cantidad de agua que bebe Yuna
Cantidad de agua (galones)
a. Escribe una expresión que incluya la multiplicación para representar la cantidad total de agua que bebe Yuna en una semana.
3 8 + (3 × 1 2 ) + 5 8 + (2 × 3 4 )
b. Evalúa tu expresión para hallar la cantidad total de agua, en galones, que bebe Yuna en una semana.
Yuna bebe 4 galones de agua en una semana.
GRUPO DE PROBLEMAS
Crear y resolver problemas verbales de un paso relacionados con fracciones
Vistazo a la lección
Escribe un problema verbal que se pueda resolver evaluando 2 5 × 20. Luego, resuelve el problema verbal.
Ejemplo:
Scott gasta 2 5 del dinero que gana por pasear perros. Si Scott gana $20 por pasear perros, ¿cuánto dinero gasta?
2 5 × 20 = 2 × 20 5 = 40 5 = 8
Scott gasta $8
La clase analiza diagramas de cinta y describe la información que muestra el diagrama. En parejas, la clase usa lo que se conoce y lo que no se conoce para construir un problema verbal que coincida con el diagrama de cinta. Continúan construyendo problemas verbales cuando solo se les brindan ecuaciones. La experiencia de escribir problemas verbales a partir de diagramas de cinta y ecuaciones tiene como objetivo brindar apoyo a la clase para resolver problemas verbales en general.
Pregunta clave
• ¿Crear problemas verbales por su cuenta les ayuda a resolver otros problemas verbales? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA11 Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero. (5.NF.B.7.a)
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.b)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Generar contextos que coincidan con un diagrama de cinta
• Generar contextos que coincidan con una ecuación
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Aprender.
Fluidez
Contar de un centésimo en un centésimo con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuenta en voz alta y representa una composición y una descomposición como preparación para ampliar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos a partir del módulo 4.
Vamos a contar con el método matemático. Cada dedo representa 1 centésimo.
Póngase de frente a la clase y pida a sus estudiantes que copien los movimientos. Muestre el puño de la mano derecha con la palma hacia la clase.
Muéstrenme la mano izquierda. Formen un puño como el mío. Eso es 0 centésimos, o 0.
Ahora, levante el meñique derecho.
Muéstrenme el meñique izquierdo. Eso es 1 centésimo.
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
Levantemos el dedo que sigue.
Levante el dedo anular derecho. La clase levanta el anular izquierdo.
Esas son 2 centésimos.
Levanten el dedo que sigue. 3 centésimos.
Ahora que la clase comprende la rutina, pídales que hagan el conteo a medida que muestran los dedos. Guíe a la clase para que continúe contando de un centésimo en un centésimo con el método matemático hasta 10 centésimos y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
Volvamos a contar de un centésimo en un centésimo con el método matemático de 0 centésimos a 10 centésimos.
Pida a la clase que cuente de un centésimo en un centésimo con el método matemático desde 0 hasta 0.1.
¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 centésimos?
1 décimo
Podemos agrupar 10 centésimos para formar 1 décimo. (Una las manos).
Pida a la clase que represente la agrupación de 10 centésimos uniendo las manos.
Separe las manos para representar cómo desagrupar.
Pida a la clase que separe las manos para representar cómo desagrupar 1 décimo.
Volvamos a contar de un centésimo en un centésimo con el método matemático de 10 centésimos a 0 centésimos.
Pida a la clase que cuente de un centésimo en un centésimo con el método matemático desde 0.1 hasta 0.
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar una fracción como división
La clase escribe una fracción como una expresión de división y determina el cociente como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones a partir de la lección 20.
Muestre 134 2 = ÷ .
¿Cómo podemos representar la fracción como una expresión de división? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
134 ÷ 2
Muestre la respuesta.
Dividan y expresen el cociente como un número entero o mixto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Multiplicar fracciones
La clase multiplica una fracción por una fracción como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones a partir de la lección 20.
Muestre 1 2 × 1 4 = .
¿Cuál es el producto en forma fraccionaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 8
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
=
5
La clase analiza un diagrama de cinta y considera qué problema podría representar.
Muestre el diagrama de cinta y el problema verbal con oraciones que están cubiertas con garabatos.
La hermanita de Eddie hizo garabatos en su tarea de matemáticas con un marcador. Ahora, Eddie no sabe qué problema tiene que resolver, pero tiene un diagrama de cinta que puede darle algunas pistas sobre qué le pide hallar el problema.
Pida a la clase que lea la primera oración del problema verbal y analice el diagrama de cinta.
Hay 18 mesas en un rest aurante. 2/6 of the tables at a restaurant have benches. The rest of the tables have ch airs. How many of the restaurant’s 18 tables have benches?
¿Qué información se muestra en el diagrama de cinta que podría ayudar a Eddie a determinar lo que está oculto debajo de los garabatos?
El diagrama de cinta muestra que el total es 18, y está dividido en 6 partes iguales. 2 de las partes se rotularon con k.
¿Qué ecuaciones podemos usar para hallar el valor de k?
k = 2 6 × 18
k = (18 ÷ 6) × 2
k = 2 × 18 6
Si la clase no sugiere ninguna de estas ecuaciones, preséntelas como propias.
Invite a la clase elegir una de las ecuaciones y a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál podría coincidir con el problema verbal.
Hay 18 mesas en un restaurante. 2 _ 6 de las mesas son redondas. El resto de las mesas son cuadradas. ¿Cuántas mesas son redondas?
Hay 18 mesas en un restaurante. Hay 6 personas que atienden el mismo número de mesas.
¿Cuántas mesas atienden 2 personas?
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear y resolver problemas verbales relacionados con fracciones.
Aprender
Generar contextos que coincidan con un diagrama de cinta
La clase escribe problemas verbales que coinciden con diagramas de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
Escribe un problema verbal que coincida con cada modelo.
1. ? Sábado
Domingo
Ejemplo:
La cantidad de tiempo que juego videojuegos el sábado es 5 veces la cantidad de tiempo que juego el domingo. El sábado, juego durante 60 minutos. ¿Cuántos minutos paso jugando videojuegos el fin de semana?
La cantidad de tiempo que uso la bicicleta el domingo es 1 5 de la cantidad de tiempo que la uso el sábado. El domingo, uso la bicicleta durante 1 _ 2 hora. ¿Cuántas horas uso la bicicleta durante el fin de semana?
¿Qué observan sobre este diagrama de cinta?
Hay dos cintas en el diagrama.
El diagrama de cinta rotulado Sábado está dividido en 5 partes.
El diagrama de cinta rotulado Domingo tiene 1 parte.
El valor desconocido es el total de ambas cintas del diagrama de cinta.
Este diagrama de cinta muestra una comparación sobre algo que sucede el sábado y el domingo. ¿Cómo se compara la cinta que representa el sábado con la cinta que representa el domingo?
La cinta que representa el sábado es más larga que la cinta que representa el domingo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando trabaja en parejas y usa la rutina Construcción colaborativa para crear un problema verbal que coincida con el diagrama de cinta dado.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Cómo representa el diagrama de cinta sus problemas verbales?
• ¿Qué situaciones del mundo real representa el diagrama de cinta?
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Diagrama de cinta comparativo ayuda a sus estudiantes a describir la relación multiplicativa con una fracción.
Considere demostrar la actividad a toda la clase.
¿Podemos expresar matemáticamente cuánto más larga es la cinta del sábado? ¿Cómo?
La cinta del sábado es 5 veces tan larga como la cinta del domingo.
¿Podemos expresar matemáticamente cuánto más corta es la cinta del domingo? ¿Cómo?
La cinta del domingo mide 1 5 de la longitud de la cinta del sábado.
¿Qué nos muestra el diagrama de cinta que tenemos que hallar?
El total para el sábado y el domingo
¿Pueden escribir una expresión que coincida con el diagrama de cinta para hallar el valor desconocido? ¿Por qué?
No, porque no se dan los números para el sábado ni el domingo.
Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas escriban un problema que coincida con el diagrama de cinta. Invite a la clase a usar la creatividad y pensar bien acerca de cualquier valor que le asignen al sábado o al domingo mientras crean una situación posible. Guíe el razonamiento de sus estudiantes según sea necesario haciendo las siguientes preguntas:
• ¿Pueden pensar en una actividad que hacen más el sábado que el domingo?
• ¿Qué situación coincidiría con la relación que observamos entre las dos cintas?
• En lugar de pensar 5 veces tan larga, ¿pueden pensar en una relación que involucre 5 veces una cantidad? O intenten pensar en 1 5 de una cantidad.
Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos el problema que construyen.
Invite a las parejas a compartir los problemas y explicar de qué manera coinciden con el diagrama de cinta.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo adicional para construir un problema verbal, brinde un contexto que puedan usar, como alguno de los siguientes:
• Tiempo que pasan haciendo la tarea o tareas de la casa
• Número de lugares que pueden visitar
• Número de mensajes de texto que envían
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a quienes terminen antes que resuelvan sus problemas, o pida a las parejas que intercambien problemas con otra pareja y los resuelvan.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar a sus estudiantes a explicar si el problema coincide con el modelo, pídales que vayan a la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
2. 5 ? cuartos . . . 1 4
Ejemplo:
Se cortan 5 pizzas en cuartos. ¿Cuántas porciones de pizza hay después de cortar todas las pizzas?
Riley necesita tiras de listón que midan 1 4 de pie de largo. Si Riley tiene 5 pies de listón, ¿cuántas tiras puede hacer?
Ahora, observemos un nuevo diagrama de cinta. ¿Qué observan?
El total es 5.
El diagrama muestra una parte rotulada con 1 4 .
El valor desconocido es el número de cuartos en 5.
¿Qué nos muestra el diagrama de cinta que tenemos que hallar?
Tenemos que hallar cuántos cuartos hay en 5.
¿Ya pueden escribir una expresión que coincida con el diagrama de cinta para hallar el valor desconocido? ¿Por qué?
Sí, porque tenemos suficiente información en el diagrama de cinta, incluidos los números.
¿Qué expresión podemos escribir para que coincida con el diagrama de cinta?
5 ÷ 1 _ 4
Si evaluamos la expresión 5 ÷ 1 _ 4 , ¿el cociente es mayor o menor que 5? ¿Cómo lo saben?
Es mayor que 5 porque caben 4 cuartos en 1, así que hay muchos cuartos en 5.
Pida a las parejas que construyan un problema que coincida con el diagrama de cinta. Guíe el razonamiento de sus estudiantes según sea necesario haciendo las siguientes preguntas:
• ¿Ya resolvimos anteriormente un problema que incluyera dividir un número entero entre una fracción? ¿Podemos usar una situación parecida para este problema?
• ¿Pueden pensar en una situación del mundo real en la que repartirían 5 de un elemento? ¿Podrían dividir ese elemento en cuartos?
Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos el problema que construyen. Invite a las parejas a compartir los problemas y explicar de qué manera coinciden con el diagrama de cinta.
¿Qué diagrama de cinta les resultó más útil para escribir un problema verbal: el diagrama del problema 1 o el del problema 2? ¿Por qué?
El diagrama de cinta del problema 1 resultó más útil porque no tenía números, así que tenía menos limitaciones.
El diagrama de cinta del problema 2 resultó más útil porque teníamos todos los números y pudimos escribir una expresión que coincidiera. Al conocer todos los números y una expresión con la que coincide, fue más fácil pensar en una historia que coincidiera.
Generar contextos que coincidan con una ecuación
La clase escribe problemas verbales que coinciden con ecuaciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
Escribe un problema verbal que coincida con cada ecuación.
3. 4 5 × 30 = x
Ejemplo:
Hay 30 libros en mi lista de lectura de verano. Ya leí 4 5 de los libros. ¿Cuántos libros leí?
La maestra Song tiene 30 estudiantes. 4 5 de sus estudiantes eligen Matemáticas como su materia favorita. ¿Qué cantidad de estudiantes eligen Matemáticas como su materia favorita?
Nota para la enseñanza
La clase puede interesarse en el enfoque chino antiguo de las divisiones con fracciones, como se registra en el libro titulado Los nueve capítulos sobre el arte matemático (The Nine Chapters on the Mathematical Art).
Considere crear una ampliación de la lección haciendo referencia al recurso Las matemáticas en el pasado para tener una conversación más profunda sobre qué tipos de problemas se resolvían en la antigua China y cómo. En el recurso se incluyen sugerencias sobre cómo usar el contenido de Las matemáticas en el pasado con la clase.
DUA: Participación
Las situaciones que se presentan aquí son solo ejemplos. Invitar a sus estudiantes a compartir ideas sobre situaciones del mundo real que sean importantes para sus vidas les brinda la oportunidad de fijar la enseñanza en contextos que sean conocidos y significativos para sus estudiantes.
Ahora, se nos da una ecuación en vez de un diagrama de cinta. Pensemos en una situación que pueda usarse para escribir un problema verbal que se pueda resolver evaluando 4 _ 5 × 30.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar situaciones que podrían quitar una fracción de un número entero.
Leer 4 5 de los 30 libros en mi lista
Guardar 4 5 de $30 que recibí de regalo
Hallar 4 5 de los 30 tesoros secretos en un juego
Completar 4 5 de una carrera de bicicletas de 30 millas
Ahora que tenemos algunas ideas para una situación, escribamos un problema verbal que coincida con la ecuación.
Pida a las parejas que construyan un problema que coincida con la ecuación.
Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos el problema que construyen.
Invite a las parejas a compartir los problemas y explicar de qué manera coinciden con el diagrama de cinta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.
4. 4 ÷ 1 3 = w
Ejemplo:
Leo tiene $4, que es 1 3 del costo de un juego nuevo. ¿Cuánto cuesta el juego?
Un restaurante tiene 4 libras de masa de pizza. Se usa 1 3 de libra de la masa para hacer cada pizza ¿Cuántas pizzas se pueden hacer?
Antes, escribimos un problema a partir de un diagrama de cinta que se podía representar con una expresión como la expresión en el lado izquierdo de esta ecuación. Antes de escribir un problema para 4 ÷ 1 _ 3 = w, pensemos en cómo podemos interpretar el divisor. ¿Cómo podríamos interpretar 1 _ 3 en esta ecuación?
1 _ 3 podría ser el tamaño de cada grupo o podría representar el número de grupos.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para construir problemas verbales que coincidan con una ecuación, sugiera que primero dibujen un diagrama de cinta para representar la ecuación. O puede proporcionarles un diagrama de cinta.
30 x
Muestre los diagramas de cinta con división partitiva y cuotativa.
4 4
Ambos diagramas coinciden con la ecuación. ¿Qué diagrama representa 1 3 como el tamaño del grupo? ¿Cómo lo saben?
El diagrama de cinta a la derecha representa 1 3 como el tamaño del grupo, porque puedo ver la división rotulada con 1 3 .
¿Cómo muestra el diagrama de cinta a la izquierda que 1 3 es el número de grupos?
Muestra el número de grupos al dividir el diagrama de cinta en 3 partes iguales. Cada parte es 1 3 del total, y hay 3 tercios en total.
¿Cómo afectarían al problema verbal que crearon los diferentes diagramas de cinta?
La historia sería diferente.
No podríamos usar la misma historia para cada diagrama de cinta, aunque la expresión es la misma, porque el significado del divisor debe coincidir con la historia.
Elijan uno de estos significados para escribir su problema verbal que coincida con la ecuación.
Dé 2 minutos a la clase para construir un problema verbal de forma independiente. Forme parejas de estudiantes y use la rutina Cinco preguntas estructuradas mientras repasan los problemas verbales de cada pareja.
Presente las siguientes preguntas a sus estudiantes para que las consideren mientras comentan los problemas verbales de sus parejas. Tenga las preguntas disponibles para que puedan consultarlas mientras trabajan.
• Observar: ¿Qué observan sobre el problema verbal de su pareja?
• Organizar: ¿Qué significado del divisor usó su pareja?
• Mostrar: ¿Cómo saben qué significa el divisor en el problema verbal que construyó su pareja?
• Sintetizar: ¿Qué diferencia produce el significado del divisor en la respuesta del problema?
• Comprender: ¿Cómo ayuda analizar un problema verbal a resolver problemas verbales?
Pida que, en cada pareja de estudiantes, una persona comente el trabajo de la otra durante 2 minutos y, luego, haga una señal a las parejas para que intercambien los roles.
Recorra el salón de clases mientras trabajan para identificar a alguien que haya usado una interpretación partitiva y al menos una persona que haya usado una interpretación cuotativa.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir el problema verbal de su pareja.
Leo tiene $4, que es 1 3 del costo de un juego nuevo. ¿Cuánto cuesta el juego?
Un restaurante tiene 4 libras de masa de pizza. Se usa 1 _ 3 de libra de la masa para hacer cada pizza. ¿Cuántas pizzas se pueden hacer?
Luego, desafíe a la clase para que relacione su razonamiento con resolver problemas verbales. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué diagrama de cinta coincide con el problema verbal que crearon sus parejas? ¿Cómo lo saben?
• ¿Conocer el significado del divisor les ayuda a resolver el problema? ¿Por qué?
Presente las siguientes ecuaciones a la clase.
42 × 1 _ 6 = r
¿El mayor valor lo tiene el cociente o el producto? ¿Cómo lo saben?
El valor del cociente es mayor que el valor del producto. Para el producto, debemos hallar una fracción de un número entero, así que la respuesta será menor que 42. Para el cociente, debemos hallar cuántos sextos hay en 42, así que la respuesta es mayor que 42.
Ahora, pueden elegir pensar en un problema verbal que incluya multiplicación o división. Mientras piensan en un problema verbal, presten atención al valor de la respuesta. Piensen: ¿tendría sentido que la respuesta sea mayor o menor que 42?
Nota para la enseñanza
En el problema sobre el costo del juego se usa 1 3 para representar el número de grupos. (división partitiva). En el problema de la masa de pizza, se usa 1 __ 3 para representar el tamaño de cada grupo (división cuotativa). Considere pedir a la clase que identifique cómo se usa el divisor 1 3 en cada problema.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar un problema verbal para una de las ecuaciones.
Scott corre una carrera en 42 minutos. Tarda 1 6 de ese tiempo en llegar a su casa. ¿Cuánto tarda Scott en caminar hasta su casa?
Jada tiene 42 onzas de jugo en una jarra. Llena cada vaso con 1 6 del jugo. ¿Cuántos vasos llena Jada?
¿Crear problemas verbales por su cuenta les ayuda a resolver otros problemas verbales? ¿Por qué?
Nos puede ayudar porque practico al razonar qué preguntas coinciden con los números desconocidos en los diagramas de cinta o las ecuaciones.
Puede ser útil porque crear una historia que tenga sentido me puede ayudar a comprender las respuestas que hallo cuando resuelvo otros problemas verbales.
Anime a la clase a continuar pensando acerca de si crear problemas verbales propios les sirve para resolver problemas verbales mientras completan el Grupo de problemas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Crear y resolver problemas verbales de un paso relacionados con fracciones
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de crear y resolver problemas verbales de un solo paso que incluyan fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. 10
¿Hay algún problema en el Grupo de problemas que se parezca a los que creamos antes?
¿Qué problemas?
Escribimos un problema en el que se comparaban el sábado y el domingo, y eso se parece al problema 3 porque se comparan los pesos de un perro y una gata.
Escribimos un problema que incluía un número entero dividido entre una fracción. El problema 5 es parecido porque, para hallar el número de páginas que tiene el libro de Adesh, tuvimos que hallar 28 ÷ 1 _ 8 .
¿Crear problemas verbales por su cuenta les ayudó a resolver problemas verbales del Grupo de problemas? ¿Por qué?
Fue útil porque algunos problemas que resolví en el Grupo de problemas se parecían bastante a los problemas que escribí, así que pude darme cuenta de qué expresión utilizar o cómo se vería el diagrama de cinta.
Fue útil porque me dio experiencia con más tipos de situaciones que podrían necesitar un diagrama de cinta comparativo o multiplicación o división.
El proceso de intentar escribir mis propios problemas verbales fue útil porque me mostró que resolver problemas verbales era más fácil que intentar escribir mis propios problemas verbales. Se nos da la historia y así podemos concentrarnos en dibujar y entender el problema en lugar de intentar escribir algo que coincida o tenga sentido.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Un recipiente tiene 9 10 de litro de vinagre. 2 3 del vinagre se derraman. ¿Cuántos litros de vinagre se derraman?
2 3 × 9 10 = 3 5
Se derraman 3 5 de litro de vinagre.
2. Lisa quiere cortar tablas de 1 3 de pie de una madera que mide 8 pies de largo. ¿Cuántas tablas puede cortar?
8 ÷ 1 3 = 24
Lisa puede cortar 24 tablas.
3. Se lleva a un perro y a una gata a la clínica veterinaria. El perro pesa 48 libras. En la clínica veterinaria, dicen que la gata pesa 3 16 de lo que pesa el perro. ¿Cuánto pesa la gata?
48 × 3 16 = 9
La gata pesa 9 libras.
4. Un maestro de música pasa 1 2 día de trabajo dando lecciones de piano. Si enseña 6 lecciones que tienen la misma duración, ¿qué fracción de su día de trabajo pasa dando una lección?
1 2 ÷ 6 = 1 12
Pasa 1 12 de su día de trabajo dando una lección.
5. Adesh lee 1 8 de su libro cada noche. Si lee 28 páginas cada noche, ¿cuántas páginas tiene el libro?
28 ÷ 1 8 = 224
El libro tiene 224 páginas.
6. Ryan completa una carrera en 17 minutos. Jada completa la misma carrera en 7 8 del tiempo de Ryan. ¿Cuántos minutos tarda Jada en completar la carrera?
17 × 7 8 = 14 7 8
Jada tarda 14 7 8 minutos en completar la carrera.
7. Una corredora ha completado 1 10 de una carrera. Hasta ahora, ha corrido 500 metros.
¿Qué longitud tiene la carrera?
500 ÷ 1 10 = 5,000
La carrera tiene una longitud de 5,000 metros.
8. Una pastelería vende 6,000 pasteles en una semana de noviembre. En general, se vende 1 10 de esa cantidad en una semana. ¿Cuántos pasteles vende la pastelería, en general, en una semana?
6,000 × 1 10 = 600
En general, la pastelería vende 600 pasteles en una semana.
9. En el diagrama de puntos se muestran las distancias, en millas, que corre una persona.
Distancias que corre una persona
Distancia (millas)
a. Escribe una expresión que incluya la multiplicación para representar la distancia total que corre la persona.
(3 × 1 4) + (4 × 1 2) + (2 × 3 4) + 1
b. Evalúa tu expresión para hallar la distancia total que corre la persona.
La persona corre 5 1 4 millas.
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones y escribir ecuaciones con paréntesis
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
El Sr. Sharma compra una bolsa de 24 fresas. Come 1 4 de las fresas. Luego, congela 2 3 de las fresas restantes. Guarda el resto en el refrigerador. ¿Cuántas fresas congela el Sr. Sharma? 24
Come Congela ? Guarda en el refrigerador 1 2 × 24 = 12
El Sr. Sharma congela 12 fresas.
La clase explora las relaciones de comparación multiplicativa con una actividad de aprendizaje práctico. Usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver un problema verbal de comparación multiplicativa relacionado con fracciones. La clase sigue resolviendo otros problemas verbales que involucran fracciones y se da cuenta de cuándo se necesitan uno o más diagramas de cinta, según el contexto. Expresan cómo un diagrama de cinta simplifica la resolución de problemas verbales relacionados con fracciones, observando cuándo un diagrama de cinta les ayuda a resolver un problema en menos pasos.
Preguntas clave
• ¿Dibujar un diagrama de cinta les ayuda a resolver un problema en menos pasos?
• ¿Cómo les ayuda dibujar un diagrama de cinta a escribir una ecuación con paréntesis que se relacione con un problema verbal?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA5 Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros. (5.NF)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Resolver un problema de comparación
• Resolver problemas verbales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• papel de construcción azul de 4 1 2 ″ × 2″ (36)
• papel de construcción rojo de 4 1 2 ″ × 2″ (36)
• soluciones de Diagramas de cinta comparativos (1 por pareja de estudiantes)
Estudiantes
• Diagramas de cinta comparativos (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• sobre de tiras de papel de construcción (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Prepare sobres con 3 tiras de papel de construcción azul y 3 tiras de papel de construcción rojo en su interior. Prepare 1 sobre por pareja de estudiantes.
• Imprima o haga una copia de las soluciones de Diagramas de cinta comparativos. Prepare 1 copia por pareja de estudiantes.
• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Diagramas de cinta comparativos de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de longitud del sistema inglés
La clase convierte pies a yardas o pulgadas a pies para adquirir fluidez con la conversión de medidas más pequeñas del sistema inglés en términos de unidades de medida más grandes del tema A.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 3 ft = yd.
¿3 pies equivalen a cuántas yardas? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. 1 yarda
Muestre la respuesta y, luego, muestre 1 ft = yd.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta y, luego, muestre 5 ft = yd.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Anime a sus estudiantes a escribir sus respuestas usando la unidad más grande posible y números mixtos cuando sea posible. Por ejemplo, si alguien escribe 5 ft = 5 3 yd, pídale que vuelva a expresar 5 3 como un número mixto. Si alguien escribe 9 in = 9 __ 12 ft, pídale que vuelva a expresar la fracción usando la unidad más grande posible (es decir, 3 4 ).
Intercambio con la pizarra blanca: Restar una fracción de un número entero
La clase determina la diferencia como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones.
Muestre 2 − 1 3 = .
Escriban la ecuación y complétenla. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la diferencia y el ejemplo de trabajo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: M) Soluciones de Diagramas de cinta comparativos; E) Diagramas de cinta comparativos; sobre de tiras de papel
La clase representa de forma concreta relaciones de comparación multiplicativa.
Forme parejas de estudiantes y pídales que retiren una hoja extraíble de Diagramas de cinta comparativos de sus libros por pareja de estudiantes. Distribuya un sobre preparado con las tiras de papel a cada pareja de estudiantes.
Cada tira de papel representa 1 unidad. Representaremos diferentes relaciones usando estas tiras. No corten ni superpongan las tiras.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1: La tira roja es el doble de larga que la tira azul. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían mostrar esa relación usando las tiras de papel.
Muestre la actividad digital interactiva de Relaciones de comparación.
¿Qué tira debería ser más larga: la roja o la azul? ¿Por qué?
La roja debería ser más larga porque sabemos que la tira roja es el doble de larga.
¿Cómo podría mostrar que la tira roja es el doble de larga que la tira azul? ¿Por qué?
Se puede mostrar una tira azul y dos tiras rojas. La roja es el doble de larga, lo que significa que la roja tiene que tener 2 veces las unidades de la tira azul.
Ajuste las tiras de papel digitales azul y rojas para mostrar la relación de comparación. Alinee las tiras de manera vertical, como hace la clase cuando dibuja diagramas de cinta comparativos.
Invite a la clase a usar sus tiras de papel para mostrar las relaciones restantes que se describen en la página. A medida que la clase termine, brinde la página de soluciones para que las comparen con su razonamiento.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Relaciones de comparación ayuda a sus estudiantes a ver las relaciones multiplicativas que se describen.
Considere permitirles que experimenten la actividad de forma digital, o úsela para demostrar las relaciones de comparación para toda la clase.
Diferenciación: Desafío
Anime a sus estudiantes a mostrar que la tira roja es 1 1 __ 2 veces tan larga como la tira azul.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.
¿Qué cinta es más larga? ¿Por qué?
La tira roja es más larga porque sabemos que la tira azul mide 1 3 de la longitud, por lo tanto, la tira azul no es tan larga como la tira roja.
Comparen los diagramas de cinta del problema 4 con los del problema 3. ¿En qué se parecen?
¿En qué se diferencian?
Ambos muestran un color con 3 unidades y otro color con 1 unidad.
En el problema 3, la azul es más larga y en el problema 4, la roja es más larga.
En situaciones de comparación, la relación se puede describir con un número entero, como en el problema 3, y, a veces, la relación se describe con una fracción, como en el problema 4.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5.
¿Qué hicieron para mostrar esta relación? ¿Por qué?
Mostré 2 unidades azules y 3 unidades rojas. Sabemos que la tira azul mide 2 3 de la longitud de la tira roja, por lo tanto, como la tira azul se describe en tercios, podemos hacer que la tira roja tenga 3 unidades iguales y la tira azul 2 unidades iguales.
¿Por qué creen que llamamos a estos ejemplos relaciones de comparación?
Las llamamos así porque sabemos cómo dibujar o mostrar las unidades según la relación entre los valores.
Sabemos si una es más larga que la otra y cuánto más larga es.
Cuando mostramos una relación de comparación como hicimos con cada uno de estos ejemplos, ¿por qué piensan que hay más de una cinta?
Porque hay dos valores diferentes para comparar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían saber si un problema verbal se puede representar con un diagrama de cinta comparativo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas verbales relacionados con fracciones.
Nota para la enseñanza
En el módulo 5, la clase amplía su comprensión de las relaciones multiplicativas al incluir números mixtos. Por ejemplo, la longitud de un rectángulo es 4 1 2 veces tan larga como su ancho.
Aprender
Resolver un problema de comparación
La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver un problema de comparación que involucra fracciones y, luego, escribe una ecuación que coincida.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lo lean de forma independiente.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. En quinto grado, la cantidad de estudiantes que no usan gafas es 4 5 de la cantidad de estudiantes que sí usan gafas. Hay 60 estudiantes que usan gafas. ¿Qué cantidad de estudiantes hay en quinto grado?
Usan gafas
No usan gafas
60 + (4 5 × 60) = 108
Hay 108 estudiantes en quinto grado.
¿Piensan que necesitamos un diagrama de cinta comparativo para representar esta historia? ¿Por qué?
Necesitamos un diagrama de cinta comparativo porque tenemos dos grupos diferentes de estudiantes: quienes usan gafas y quienes no las usan.
?
Necesitamos un diagrama de cinta comparativo porque sabemos que 4 5 de una cantidad de estudiantes no usan gafas; por lo tanto, 4 5 nos ayuda a comparar los dos grupos de estudiantes. No creo que tengamos que representar la historia con un diagrama de cinta comparativo porque estamos considerando a la totalidad de estudiantes de quinto grado.
Repasemos la historia detenidamente. 30
Relea la primera oración.
¿Qué información conocemos?
Hay estudiantes en quinto grado que usan gafas y hay estudiantes que no usan gafas.
¿Hay más estudiantes que usan gafas o más estudiantes que no usan gafas? ¿Cómo lo saben?
Hay más estudiantes que usan gafas porque sabemos que quienes no usan gafas representan 4 5 de la cantidad de estudiantes que usan gafas, y 4 5 < 1.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar dos cintas: una para quienes usan gafas y otra para quienes no las usan.
Confirme que este es un problema de comparación que se representa con dos cintas: una que representa a estudiantes que usan gafas y otra que representa a estudiantes que no las usan.
4 5 describe la relación entre las dos cintas.
¿Qué cinta debería ser más larga? ¿Por qué?
La cinta para quienes usan gafas debería ser más larga porque hay más estudiantes que usan gafas que estudiantes que no las usan.
¿Cuántas partes debería tener cada cinta? ¿Por qué?
La cinta que muestra a estudiantes que usan gafas debería tener 5 partes y la cinta que muestra estudiantes que no usan gafas debería tener 4 partes. Quienes no usan gafas representan 4 5 de la cantidad de estudiantes que usan gafas y, como esa cantidad se describe en quintos, podemos hacer que el diagrama de quienes usan gafas muestre 5 partes y el diagrama de quienes no las usan muestre 4 partes. Lo sé ya que, antes, para mostrar 2 3 de una cantidad, una cinta tenía 3 partes y otra cinta tenía 2 partes.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo con esta relación de comparación multiplicativa, permítales usar cubos para representar la relación. Pídales que comiencen con un cubo para representar el grupo de estudiantes que usan gafas, y un cubo para representar el grupo de estudiantes que no usan gafas. Pregunte si el modelo representa lo que se cuenta en la historia. Continúe sumando cubos hasta que el grupo de estudiantes que usan gafas esté representado por 5 cubos. Luego, pregunte: “Como el grupo de estudiantes que no usan gafas es 4 5 del grupo de estudiantes que usan gafas, ¿cuántos cubos necesitamos para mostrar eso?”.
Dibuje dos diagramas: uno dividido en 5 partes iguales para representar a estudiantes que usan gafas y uno dividido en 4 partes iguales para representar a estudiantes que no usan gafas. Indique a la clase que hagan lo mismo.
Lea la siguiente información: Hay 60 estudiantes que usan gafas.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
No dibujaría nada, pero rotularía el diagrama de estudiantes que usan gafas con 60.
Rotule la cinta de Usan gafas con 60.
Lea la pregunta: ¿Qué cantidad de estudiantes hay en quinto grado?
¿Dónde deberíamos poner el signo de interrogación en el modelo? Podemos
poner el signo de interrogación a un lado para que muestre el total de ambas cintas.
Rotule el total de las cintas con un signo de interrogación.
Observen nuestro modelo. ¿Qué conclusiones pueden sacar?
Hay 60 estudiantes que usan gafas.
El número de estudiantes que no usan gafas es menor que 60, pero no es mucho menor que 60 ya que la cinta solo tiene 1 parte menos. Cada parte tiene el mismo tamaño.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el número de estudiantes en quinto grado.
¿Qué cantidad de estudiantes hay en quinto grado?
108 ?
¿Cómo hallaron el número total de estudiantes que hay en quinto grado?
Observamos en la primera cinta que 5 partes representan 60 estudiantes. Por lo tanto, dividimos 60 entre 5 para hallar que cada parte es 12. La cinta que muestra estudiantes que no usan gafas tiene 1 parte menos, así que resté 12 de 60. Hay 48 estudiantes que no usan gafas.
Luego, sumé 60 a 48 y obtuve 108.
Observamos en la primera cinta que 5 partes representan 60 estudiantes. Entonces, dividimos 60 entre 5 para hallar que cada parte es 12. Hay 9 partes iguales en el número desconocido, así que 9 × 12 = 108.
Observamos que la segunda cinta es 4 5 de la primera cinta, así que hallamos 4 5 de 60, que es 48.
Luego, sumamos 60 y 48 y obtuvimos 108.
Escribamos una ecuación que muestre el razonamiento que usaron para resolver el problema.
Escriba la ecuación 60 + 48 = 108.
¿Qué representa el 60?
Representa que 60 estudiantes usan gafas.
¿Qué representa el 48?
Representa que 48 estudiantes no usan gafas.
En la historia, se nos da el valor 60, pero trabajamos para hallar 48. ¿Qué expresión podrían haber usado para hallar 48?
60 − 12
4 × 12
4 5 × 60
Confirme todas las expresiones correctas y relevantes. Pida a la clase que escriba una ecuación que reemplace 48 con una de las expresiones. Recorra el salón de clases para encontrar un ejemplo que incluya paréntesis alrededor de la expresión equivalente a 48.
Escriba 60 + (4 5 × 60) = 108.
¿Por qué hay paréntesis alrededor de 4 _ 5 × 60?
Queremos sumar 60 y 48, y 4 5 × 60 es una expresión que representa 48, por lo tanto, tenemos que mostrarla como un grupo usando paréntesis.
Nota para la enseñanza
La clase puede usar una expresión diferente para representar 48. Asegúrese de que coloquen los paréntesis alrededor de la expresión que elijan para representar 48. Anime a quienes no usaron paréntesis a colocarlos ahora. Las siguientes ecuaciones también son aceptables:
60 + (60 − 12) = 108
60 + (4 × 12) = 108
Debíamos saber qué sumar a 60 para hallar el número total de estudiantes, por lo tanto, teníamos que hallar 4 _ 5 × 60 por separado. Podemos usar paréntesis para mostrar que hicimos eso antes de sumar a 60.
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si el diagrama de cinta les ayudó a hacer un problema más simple y por qué.
Resolver problemas verbales
La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver un problema verbal relacionado con fracciones y, luego, escribe una ecuación que coincida.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lean el problema de forma independiente.
¿Piensan que necesitamos un diagrama de cinta comparativo para representar esta historia? ¿Por qué?
No creo que necesitemos un diagrama de cinta comparativo para esta historia porque tenemos fracciones que son parte del total y ninguna hace una comparación.
No, el problema no usa lenguaje comparativo como tantas veces una cantidad o tan largo como.
Pida a sus estudiantes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para construir un diagrama de cinta que coincida con la historia. Recorra el salón de clases para encontrar un diagrama correcto y compartirlo.
2. Toby gasta 2 _ 5 de su dinero en entradas de cine. Gasta 1 _ 3 del dinero restante en palomitas de maíz.
Le quedan $10. ¿Cuánto dinero tenía Toby al principio?
$10 Palomitas de maíz Entradas de cine ?
(1 _ 2 × 10) × 5 = 25
Toby tenía $25 al principio.
Diferenciación: Desafío
Es posible que haya estudiantes que representen y resuelvan el problema sin ayuda adicional. Considere permitirles que resuelvan el problema de forma independiente y, luego, guíen a la clase para que comprendan el diagrama de cinta y la solución.
Muestre un diagrama de cinta que haya elegido. Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Cómo sabían que debían rotular 1 parte con Palomitas de maíz?
La historia dice 1 3 del dinero restante, y observé que había 3 partes de igual tamaño. 1 3 de 3 es 1.
Observen el diagrama de cinta. ¿Qué conclusiones podemos sacar?
Toby tenía más de $10 al principio.
El número de partes que representa las entradas de cine es igual al número de partes rotuladas con $10. Eso significa que Toby gastó $10 en las entradas.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema y escribir una ecuación que coincida con su trabajo.
¿Cuánto dinero tenía Toby al principio?
$25
¿Cómo resolvieron el problema?
Observé que 2 partes es $10, así que hallé 10 ÷ 2 = 5. Hay 5 partes de igual tamaño, y 5 × 5 = 25.
Observé que 2 partes es $10 y sé que la mitad de 10 es 5. Hay 5 partes de igual tamaño, y 5 × 5 = 25.
Escriba 5 × 5 = 25.
¿Qué representa el primer factor, 5?
5 partes de igual tamaño, o 5 grupos
¿Qué representa el segundo factor, 5?
Representa el valor de cada parte, o el tamaño de cada grupo.
¿Qué expresión podemos usar para representar cómo determinamos que el tamaño de cada parte es 5?
10 ÷ 2
1 2 × 10
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a escuchar con atención las explicaciones del resto de la clase para identificar qué les ayuda a ver el diagrama de cinta y cómo les sirve eso para decidir el siguiente paso.
Considere brindar esquemas de oración para dar apoyo a sus estudiantes durante la lección.
• Puedo ver en el diagrama de cinta.
• Por lo tanto, y para hallar .
• Luego, observé que , por lo tanto
Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación que se relacione con la historia usando paréntesis. Acepte cualquier ecuación precisa.
Escriba 5 × (1 2 × 10) = 25.
¿Cómo se relaciona esta ecuación con el diagrama de cinta?
El diagrama de cinta muestra que 5 grupos de 5 es 25. Determinamos el tamaño del grupo hallando 1 2 de 10, por lo tanto, ubicamos los paréntesis alrededor de 1 2 × 10 porque así queda claro que es el valor de cada parte.
Nuestro diagrama de cinta muestra que el producto de 5 y 1 2 de 10 es 25.
Cuando leyeron el problema por primera vez, ¿les pareció difícil? ¿Cambiaron de opinión cuando resolvimos el problema? ¿Por qué?
Me pareció difícil porque había mucha información. Hay dos fracciones, ambas con diferentes denominadores, y no sabía qué tenía que hacer con las fracciones y los $10. Pero una vez que dibujamos el diagrama de cinta, solo fue necesario hallar la mitad de 10 y, luego, multiplicar eso por 5.
Cuando tenemos un problema difícil, dibujar un diagrama de cinta nos sirve para encontrar una estrategia más simple para hallar la solución, ya sea que se trate de un problema de comparación, como nuestro primer ejemplo, o un problema de parte-entero, como nuestro segundo ejemplo.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que trabajen en parejas y usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema y escribir una ecuación que coincida usando paréntesis. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga preguntas específicas, de ser necesario.
• ¿Piensan que podemos representar esta historia con un diagrama de cinta comparativo? ¿Por qué?
• ¿Pueden dibujar algo? ¿Qué pueden dibujar?
• ¿Pueden hallar la respuesta en su primer diagrama de cinta? ¿Por qué? ¿Qué pueden hacer?
• ¿Cómo se relaciona su ecuación?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe y escribe una ecuación en la que se usan paréntesis para resolver un problema.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué ideas clave de este problema necesitan incluir en sus modelos?
• ¿Cómo pueden escribir este contexto matemáticamente?
3. 3 gemas es 1 8 del total de gemas que hay en un nivel de un videojuego. Una jugadora halló 5 6 de las gemas del nivel. ¿Cuántas gemas halló en el nivel?
Gemas en el nivel
Gemas en el nivel
5 _ 6 × (3 ÷ 1 8 ) = 20
Halló 20 gemas en el nivel.
Reúna a la clase para conversar.
Invite a las parejas a que se reúnan y conversen con otra pareja de estudiantes para compartir sus ecuaciones. Recorra el salón de clases para encontrar una pareja que haya escrito 5 _ 6 × (3 ÷ 1 _ 8) = 20.
Escriba 5 _ 6 × (3 ÷ 1 _ 8) = 20.
¿Cómo se relaciona esta ecuación con la historia?
Primero, determinamos que había 24 gemas hallando 3 ÷ 1 8 . Luego, hallamos 5 6 de 24, así que estábamos hallando 5 6 de 3 ÷ 1 8 . Sabemos que 5 6 de 24 es 20, así que la jugadora halló 20 gemas.
Observé que dibujaron dos diagramas de cinta para resolver este problema. ¿Este es un problema de comparación? ¿Por qué dibujaron dos cintas?
No es un problema de comparación porque no se usa lenguaje comparativo. Hay dos cintas porque hay dos pasos diferentes. Primero, teníamos que hallar cuántas gemas había en total en el nivel, pero luego, tuvimos que dibujar un diagrama de cinta diferente para mostrar cuántas gemas halló la jugadora.
¿Les ayudó el diagrama de cinta a hacer un problema más simple? ¿Por qué?
Me ayudó a hacer un problema más simple porque, después de dibujar la primera cinta, me di cuenta de que no podía hallar la respuesta ya que la cinta mostraba cuántas gemas había en el nivel, no cuántas gemas había hallado la jugadora. Entonces, entendí que había que dibujar una segunda cinta. En la segunda cinta, observé que 6 partes representaban 24 gemas, así que 1 parte es 4 gemas y 4 × 5 = 20.
A veces, los diagramas de cinta pueden ayudarnos a resolver un problema en menos pasos; a veces, no, pero igual puede ayudarnos a simplificar un problema que incluye fracciones.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se diferencia este problema de otros problemas y si les resultó útil usar el diagrama de cinta.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones y escribir ecuaciones con paréntesis
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre por qué usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe ayuda a resolver problemas verbales que involucran multiplicación o división de fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Nota para la enseñanza
El trabajo que se muestra en el Grupo de problemas representa que se necesita hacer menos cálculos después de representar un problema con un diagrama de cinta.
Por ejemplo, aquí está el trabajo necesario para resolver el problema 1 sin usar un diagrama de cinta.
1 __ 5 × 360 = 72
360 − 72 = 288
1 4 × 288 = 72
Con un diagrama de cinta, solo debemos hacer 1 5 × 360 = 72 para resolver este problema.
360 pizzas
Piña ? Pimientos verdes Hongos
Tómense un momento para repasar su trabajo en el Grupo de problemas. ¿En qué problemas el diagrama de cinta les ayudó a resolver usando menos pasos? ¿Por qué?
En el problema 1, me di cuenta de que 1 de 5 representaba el número de pizzas de piña. Así que solo tuve que hallar 360 ÷ 5.
En el problema 5, me di cuenta de que la mitad de las partes representaban cuántas libras de pavo se usaron para hacer los sándwiches. La mitad de 24 es 12.
¿Cómo les ayuda dibujar un diagrama de cinta a escribir una ecuación con paréntesis que coincida con un problema verbal? Den un ejemplo de su Grupo de problemas. El diagrama de cinta me ayuda a entender las matemáticas que uso para hallar cada parte de la información. Una vez que comprendo los pasos que usé para resolver el problema, puedo pensar en cómo escribir eso como una ecuación. Cuando hay una parte de la ecuación que evalué primero, coloco eso entre paréntesis. También si hay una parte de la ecuación que representa un valor específico del diagrama de cinta, sé que debo colocarla entre paréntesis.
En el problema 3, después de dibujar el diagrama de cinta, me di cuenta de que 4 partes representaban $80. Por lo tanto, para hallar el valor de 1 parte, hallé 1 4 × 80. Eso me dio el valor de cada parte. Observé 9 partes iguales en el número desconocido. Coloqué los paréntesis alrededor de 1 4 × 80 porque ese era el valor de 1 parte y, luego, multipliqué por 9.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su experiencia en la resolución de problemas verbales de multiplicación y división relacionados con fracciones. Sus estudiantes pueden beneficiarse con un razonamiento en voz alta para representar este tipo de reflexión.
• ¿Cómo les ayudó el dibujo que hicieron a comprender mejor el problema?
• ¿Qué sienten que lograron hoy?
• ¿Necesitan más ayuda? Expliquen.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1.
A
2. La tira roja
1 2 de la longitud de la tira azul. R A
3. La tira azul es 3 veces tan larga como la tira roja.
A
R A
La tira roja es el doble de larga que la tira azul.
mide
4. La tira azul mide 1 3 de la longitud de la tira roja.
5. La tira azul mide 2 3 de la longitud de la tira roja.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Una pizzería vende 360 pizzas 1 5 de las pizzas tienen hongos. 3 4 de las pizzas restantes tienen pimientos verdes. Las demás tienen piña. ¿Cuántas pizzas tienen piña?
1 5 × 360 = 72
72 pizzas tienen piña.
2. Una persona tiene 160 cuentas. Regala 2 5 de las cuentas. Usa las cuentas restantes para hacer
6 collares idénticos. ¿Qué cantidad de cuentas hay en cada collar?
(3 5 × 160) ÷ 6 = 16
Hay 16 cuentas en cada collar.
3. Jada gastó 4 9 de su dinero en un juguete. Donó 1 5 del dinero que le quedó a una organización benéfica. Le quedan $80. ¿Cuánto dinero tenía Jada al principio?
(1 4 × 80) × 9 = 180
Jada tenía $180 al principio.
4. Cada semana, Mía pasa 8 horas tocando el piano. Oka pasa 1 4 de ese tiempo tocando el piano ¿Cuántas horas más que Oka toca el piano Mía?
8 − (1 4 × 8) = 6
Mía toca el piano 6 horas más que Oka.
EUREKA
5. Un cocinero tiene 24 libras de pavo. Usa 1 4 del pavo para hacer sopa y 2 3 del pavo restante para hacer sándwiches. ¿Cuántas libras de pavo usa el cocinero para hacer sándwiches?
2 4 × 24 = 12
El cocinero usa 12 libras de pavo para hacer sándwiches.
6. En una heladería, se venden 312 conos de helado. 1 4 de los conos son de fresa. 2 3 de los conos restantes son de chocolate y, el resto, de vainilla. 5 6 de las personas que ordenan un cono de vainilla piden que les agreguen chispas de chocolate sobre el helado. ¿Cuántos conos de helado de vainilla con chispas de chocolate se venden?
5 6 × (1 4 × 312) = 65
Se venden 65 conos de helado de vainilla con chispas de chocolate.
Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Shen compró 20 libras de carne molida. Usó 1 4 de la carne para hacer tacos. Usó 2 3 de la carne restante para hacer hamburguesas de 1 4 de libra. ¿Cuántas hamburguesas hizo?
La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones. Exploran cómo representar con un diagrama de cinta les ayuda a entender problemas verbales de varios pasos y a encontrar un camino hacia la solución al participar de conversaciones centradas en cada estudiante.
Pregunta clave
1 2 × 20 = 10
10 ÷ 1 4 = 40
Hizo 40 hamburguesas.
Carne para tacos Carne para hamburguesas
1 4
20 libras de carne 10 ? hamburguesas
• ¿El proceso Lee-Dibuja-Escribe les ayuda a resolver problemas verbales de varios pasos? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA5 Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros. (5.NF)
5.Mód3.CLA10 Resuelven problemas del mundo real sobre la multiplicación de fracciones. (5.NF.B.6)
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias. (5.NF.B.7.c)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Resolver un problema verbal de varios pasos
• Resolver un problema verbal de comparación de varios pasos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de peso del sistema inglés
La clase convierte onzas a libras para adquirir fluidez con la conversión de medidas más pequeñas del sistema inglés en términos de unidades de medida más grandes del tema A.
Muestre 16 oz = lb.
¿16 onzas equivalen a cuántas libras? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
1 libra
Muestre la respuesta y, luego, muestre 1 oz = lb.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Restar un número mixto de un número entero
La clase determina la diferencia para desarrollar fluidez con la resolución de problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones.
Muestre 2 − 1 1 2 = .
Escriban la ecuación y complétenla. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la diferencia y el ejemplo de trabajo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase construye un diagrama de cinta para mostrar cómo una expresión dada coincide con una situación del mundo real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que lean el problema de forma independiente.
Escriba 1 4 × (4 − 2).
Construye un diagrama de cinta que coincida con la historia.
1. Sara tiene 4 libras de habichuelas verdes. Da 2 libras a su amiga. La familia de Sara come 3 4 de las habichuelas verdes que quedaron. ¿Cuántas libras de habichuelas verdes le quedan a Sara?
4 libras
Da a su amigaCome su familia ?
Alguien escribió esta expresión para que coincida con la historia. Trabajen en parejas para construir un diagrama de cinta que muestre que la expresión coincide con la historia.
Dé a sus estudiantes 2 minutos para que trabajen de forma colaborativa. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Si es necesario, haga preguntas como las siguientes.
• ¿Pueden dibujar algo? ¿Qué pueden dibujar?
• ¿Qué pueden rotular?
• ¿Qué significa esta parte?
• ¿Cómo se relaciona esto con la expresión? 5
Reúna a sus estudiantes cuando hayan terminado. Muestre algún diagrama de cinta de alguien de la clase o use el que se brinda según sea necesario.
¿Dónde ven (4 − 2) en el diagrama de cinta?
Da a su amiga Come su familia ? 4 libras
Se dieron 2 de las 4 libras de habichuelas verdes a una amiga. Podemos representar eso con la expresión (4 − 2).
Señale la expresión 1 4 × (4 − 2).
El número 1 _ 4 no está en la historia, ¿entonces por qué la expresión muestra la multiplicación por 1 _ 4 ?
3 4 de las 2 libras que quedan las come la familia de Sara. Eso quiere decir que a Sara le quedó
1 4 de las 2 libras de habichuelas verdes. Para hallar esa cantidad, tenemos que multiplicar 2 por 1 4 .
Recuerden, su diagrama de cinta puede ayudarles a ver una expresión que podrían usar para resolver el problema.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo un diagrama de cinta les ayuda a escribir expresiones para hallar números desconocidos en problemas verbales.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones.
Aprender
Resolver un problema verbal de varios pasos
La clase resuelve un problema verbal de varios pasos relacionado con fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
2. Tyler tiene 6 tazas de arándanos. Usa 2 1 2 tazas de arándanos para hacer panqueques. Usa 3 7 de los arándanos restantes para hacer muffins. Tyler pone el resto de los arándanos en bolsas. Pone 1 4 de taza de arándanos en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas de arándanos puede preparar Tyler?
Nota para la
enseñanza
El propósito de esta lección no es presentar nuevas destrezas aritméticas, sino brindar una oportunidad para resaltar semejanzas y diferencias entre cómo la clase elige hacer cálculos.
Considere usar esta lección como evaluación formativa para evaluar cómo aborda cada estudiante los problemas verbales de varios pasos.
Tyler puede preparar 8 bolsas de arándanos.
Lea la primera oración a la clase.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar las 6 tazas de arándanos.
Dibuje un diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Continúe leyendo el problema y deténgase en la palabra panqueques.
¿Qué podemos dibujar ahora?
Podemos dividir una parte de la cinta y rotularla con 2 1 2 .
Podemos dividir la cinta en 6 partes iguales y dividir 1 de las partes en mitades. Luego, podemos rotular 2 1 2 partes como Panqueques.
Dividamos para poder ver cada taza de arándanos. Luego, dividimos 1 parte en medios para poder rotular como 2 1 _ 2 .
Divida y rotule el diagrama de cinta. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Lea la tercera oración.
¿Qué podemos dibujar ahora? ¿Por qué?
Podemos dividir cada una de las partes restantes en medios, porque eso nos da 7 partes iguales. Luego, podemos rotular 3 de esas partes como Muffins.
Divida y rotule un diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Tenemos más información? ¿Podemos rotular algo más?
Sí. Sabemos que Tyler pone el resto de los arándanos en bolsas, así que podemos rotular el resto del diagrama de cinta como Bolsas.
Rotulemos esas partes como Bolsas.
Guíe a sus estudiantes para rotular el resto del diagrama de cinta.
Observen nuestro diagrama de cinta. ¿Qué conclusiones pueden sacar?
Se usan 2 1 2 tazas de arándanos para los panqueques.
Se usan 1 1 2 tazas de arándanos para los muffins.
2 tazas de arándanos se guardan en bolsas.
¿Qué nos pide el problema que hallemos?
Nos pide que hallemos cuántas bolsas con 1 4 de taza de arándanos puede preparar Tyler.
¿Nos muestra eso nuestro diagrama de cinta? ¿Cómo lo saben?
No, este diagrama de cinta nos muestra cuántas tazas de arándanos se usaron para los panqueques y los muffins y cuántas tazas se guardaron en bolsas. No nos muestra cuántas bolsas puede preparar Tyler.
¿Qué debemos hacer?
Debemos hacer otra cinta para representar cuántas bolsas puede preparar Tyler.
Ahora sabemos que Tyler tiene 2 tazas de arándanos para guardar en bolsas.
También sabemos que Tyler guarda 1 _ 4 de taza de arándanos en cada bolsa.
¿Podemos dibujar algo para representar eso? ¿Qué podemos dibujar?
Podemos dibujar otro diagrama de cinta y rotularlo como 2.
Dibuje y rotule otro diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué podemos dibujar para representar la cantidad de arándanos que guarda Tyler en cada bolsa?
Podemos dividir el diagrama de cinta para mostrar una parte rotulada como 1 4 , pero no sabemos cuántas divisiones hacer. ?
Guíe a sus estudiantes para representar el número desconocido en el diagrama.
Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Cuando sus estudiantes hayan terminado, reúna a la clase y conversen sobre la solución.
¿Cuántas bolsas de arándanos puede preparar Tyler?
Puede preparar 8 bolsas de arándanos.
Observemos el diagrama de cinta nuevamente para que nos ayude a escribir ecuaciones matemáticas y expresiones que muestren el trabajo que hicimos.
Muestre el siguiente diagrama de cinta.
Después de que Tyler usó 2 1 _ 2 tazas de arándanos para los panqueques, ¿cuántas medias
tazas quedaron?
Quedaron 7 medias tazas.
Por lo tanto, podríamos escribir 6 − 2 1 _ 2 = 7 _ 2 .
Escriba 6 − 2 1 2 = 7 2 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué representa cada número en la ecuación.
Muestre el siguiente diagrama de cinta.
¿Qué expresión podemos escribir para representar los arándanos que guarda Tyler en las bolsas? ¿Por qué?
Podemos escribir 4 7 × 7 2 . El diagrama de cinta muestra 4 7 de 7 2 . También sabemos que Tyler usó
3 7 de los arándanos que quedaban, entonces tiene
Panqueques Muffins Bolsas 6
Panqueques Muffins Bolsas
4 7 de los arándanos que quedaban. Para hallar 4 7 de 7 2 , podemos hallar 4 7 × 7 2 .
¿Cuánto es 4 _ 7 × 7 _ 2 ? ¿Cómo lo saben?
El producto es 2. Lo sé porque 4 séptimos de 7 medios es igual a 4 medios, y 4 2 = 2.
Escriba 4 7 × 7 2 = 2 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Tiene sentido que a Tyler le hayan quedado 2 tazas de arándanos después de hacer los muffins? ¿Por qué?
Sí, podemos ver en el diagrama de cinta que le quedaron 2 tazas de arándanos.
Muestre el siguiente diagrama de cinta.
¿Qué ecuación podemos escribir para representar el número de bolsas que puede preparar Tyler? ¿Cómo lo saben?
Podemos escribir 2 ÷ 1 _ 4 = 8. Sabemos que a Tyler le quedaban 2 tazas de arándanos y queríamos saber cuántos cuartos hay en 2.
Escriba 2 ÷ 1 4 = 8 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar el proceso LeeDibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones.
Resolver un problema verbal de comparación de varios pasos
La clase resuelve un problema verbal de comparación de varios pasos relacionado con fracciones usando métodos seleccionados por su cuenta.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que usen el proceso
Lee-Dibuja-Escribe y trabajen en parejas para resolver el problema. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes.
Mientras recorre el salón de clases, considere usar los siguientes planteamientos:
• Cuéntenme acerca de su plan para resolver el problema.
• Cuéntenme cómo se relaciona su dibujo con la historia.
• ¿Qué representa este número?
• ¿Corrigieron su diagrama de cinta? ¿Por qué?
• ¿Por qué usaron esa operación?
• ¿Por qué dibujaron dos diagramas de cinta?
• ¿Su respuesta parece razonable? ¿Por qué?
• ¿Cómo pueden comprobar su respuesta?
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes con el proceso Lee-Dibuja-Escribe, considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Qué información conocen?
• ¿Pueden dibujar algo?
• ¿Qué pueden dibujar?
• ¿Pueden rotular algo?
• ¿Deben corregir o agregar algo a sus dibujos?
• ¿Tienen toda la información que necesitan para resolver el problema?
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema a la clase, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Intente encontrar ejemplos de trabajo que demuestren un modelo de diagrama de cinta que represente la historia en su totalidad y cada uno de sus pasos. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia un modelo de diagrama de cinta que represente un problema de varios pasos.
3. La gata de Lacy pesa 8 libras. Su gata pesa 1 _ 3 del peso de su perro. El perro de Noah pesa
2 1 2 libras menos que el perro de Lacy. ¿Cuánto pesa el perro de Noah?
Gata de Lacy
Perro de Lacy 8 8
3 × 8 = 24
El perro de Lacy pesa 24 libras.
Perro de Lacy
Perro de Noah 24 ? 2 1 2
24 − 2 1 2 = 21 1 2
El perro de Noah pesa 21 1 _ 2 libras.
Cuando leyeron el problema verbal, ¿en qué parte se detuvieron primero para dibujar? ¿Qué dibujaron? ¿Por qué?
Me detuve después de la primera oración. Sé que la gata de Lacy pesa 8 libras, así que dibujé un diagrama y lo rotulé Gata de Lacy y, luego, escribí 8 dentro del diagrama.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa un método seleccionado por su cuenta para resolver un problema verbal de comparación relacionado con fracciones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué pueden dibujar para entender mejor este problema?
• ¿Qué ideas clave de este problema necesitan incluir en sus modelos?
• ¿Qué pueden escribir para representar este problema?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a las parejas que vayan a la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a comentar las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de sus pares en este segmento.
¿Dónde se detuvieron a continuación? ¿Por qué?
Me detuve después de la segunda oración porque tenía información que me ayudaría a dibujar algo para mostrar el peso del perro de Lacy.
¿Lo sumaron al primer diagrama de cinta o dibujaron otro? ¿Por qué?
Dibujé otro diagrama de cinta porque la historia dice que la gata pesa 1 3 del peso del perro, y eso es lenguaje de comparación. Así que sabía que el diagrama de cinta que representa el peso del perro debía ser 3 veces tan largo como el diagrama que representa el peso de la gata.
Muestre algún diagrama de cinta de sus estudiantes que muestre la relación entre el peso de la gata y el peso del perro, o use el que se brinda, según sea necesario.
Observen este diagrama de cinta. ¿Qué conclusiones pueden sacar?
Gata de Lacy
Perro de Lacy rro 8 8
La gata pesa 8 libras, y eso es 1 _ 3 del peso del perro.
La gata pesa 8 libras y el perro pesa 3 veces ese peso.
¿Podemos rotular algo más? ¿Cómo lo saben?
Podemos rotular el diagrama de cinta que representa el peso del perro con 24 porque 3 × 8 = 24.
¿Dónde se detuvieron a continuación? ¿Por qué?
Me detuve después de la tercera oración porque tenía información acerca del perro de Noah que podía dibujar.
¿Lo sumaron a sus diagramas de cinta o dibujaron otro? ¿Por qué?
Dibujé otro diagrama de cinta porque quería mostrar una cinta que representara el peso del perro de Noah.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes pidiendo que hallen el peso de la gallina de Noah. La gallina de Noah pesa 1 __ 9 del peso de su perro.
Hallar el peso de la gallina requiere que la clase exprese 21 1 2 como 43 2 antes de multiplicar por 1 9 .
Después de multiplicar, sus estudiantes pueden hallar que la gallina de Noah pesa 2 7 18 libras.
Muestre algún diagrama de cinta de sus estudiantes que muestre la relación entre el peso del perro de Lacy y el peso del perro de Noah, o use el que se brinda, según sea necesario.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de este diagrama de cinta.
Dibujó otro diagrama para representar el perro de Lacy y mostrar que su perro pesa 24 libras.
Perro de Lacy
Perro de Noah rro 24 ? 2 1 2
Dibujó una cinta para representar el peso del perro de Noah, pero la hizo más corta que la cinta que representa el perro de Lacy y agregó un rótulo que indica cuánto más corta.
Escribió un signo de interrogación en la cinta que representa el peso del perro de Noah porque queremos hallar cuánto pesa su perro.
Observen este diagrama de cinta. ¿Qué conclusiones pueden sacar?
El perro de Lacy pesa solo un poco más que el perro de Noah.
¿Qué expresión pueden usar para determinar cuánto pesa el perro de Noah?
24 − 2 1 _ 2
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo restaron 2 1 2 de 24.
¿Cuánto pesa el perro de Noah?
21 1 2 libras
¿Es razonable? ¿Cómo lo saben?
Es razonable porque el perro de Noah pesa un poco menos que el perro de Lacy, y 21 1 2 no es mucho menor que 24.
Repase el modelo completo de diagrama de cinta de alguien de la clase que represente la historia entera.
¿Por qué continuamos dibujando después de las primeras dos cintas?
Las primeras dos cintas solo nos mostraban cuánto pesan la gata y el perro de Lacy. Se nos pide hallar el peso del perro de Noah, así que teníamos que seguir dibujando.
¿Cómo supieron que necesitaban otro diagrama de cinta?
Si el primer diagrama de cinta no muestra toda la información, tengo que hacer otra cinta.
Gata de Lacy
Perro de Lacy 8 8
Perro de Lacy
Si el primer diagrama de cinta no muestra el número desconocido, tengo que hacer otra cinta.
Confirme a sus estudiantes que es posible que tengan que dibujar un segundo o un tercer diagrama de cinta para los problemas de varios pasos. Una vez que el diagrama de cinta muestra cómo hallar el número desconocido de la pregunta, pueden dejar de dibujar.
DUA: Acción y expresión
Considere dar tiempo a sus estudiantes para que reflexionen antes de comenzar con el Grupo de problemas. Pídales que observen su trabajo una vez más y, luego, que observen otra vez el de sus pares. Haga preguntas como las siguientes:
• ¿Qué les funcionó bien?
• ¿Qué podrían hacer de otra manera la próxima vez?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de uno de los problemas del Grupo de problemas. Pida que conversen acerca de por qué dibujaron los diagramas de cinta como lo hicieron y cómo decidieron qué operación usar para resolver el problema.
¿De qué manera les ayudó dibujar un diagrama de cinta a entender alguno de los problemas del Grupo de problemas?
En el problema 1, dibujé diagramas de cinta para los quarters y para las monedas de un dólar a fin de llevar la cuenta de qué cantidad de cada uno tenía Mara.
En el problema 2, dibujé un diagrama para representar el número total de muffins y dividirlo según la información dada en el problema. Usé mi diagrama para calcular cuántos muffins quedaban y dibujé otro diagrama para hallar cuántos muffins recibe cada uno de los 8 estudiantes.
¿Cómo les ayudó su diagrama de cinta a ver que este problema tiene varios pasos?
Dibujé un diagrama de cinta y, luego de completarlo con la información del problema, me di cuenta de que no veía lo que necesitaba para responder la pregunta. Entonces, hice otro diagrama de cinta con la información que conocía y la información que debía hallar a continuación.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.
¿El proceso Lee-Dibuja-Escribe nos ayuda a resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con fracciones? ¿Por qué?
Sí. Leemos, dibujamos y escribimos en partes. Cuando escuchamos información nueva, nos detenemos a dibujar y, luego, volvemos a leer y dibujar cuando aprendemos algo nuevo. Escribimos expresiones o ecuaciones mientras determinamos qué operación podemos usar para hallar información desconocida.
Sí. El modelo que dibujé me ayuda a decidir qué operación puedo usar para hallar un número desconocido.
Cada vez que evaluamos una expresión para hallar información nueva, podemos compararla con nuestro modelo y preguntarnos: ¿esto tiene sentido basándome en lo que veo en el modelo?
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Mara tiene 15 quarters y 10 monedas de un dólar en su colección de monedas. Su padre le da más monedas de un dólar y, luego, Mara halla que 1 5 de su colección son quarters ¿Cuántas monedas de un dólar le dio su padre a Mara?
15 ÷ 1 5 = 75
15 + 10 = 25
75 − 25 = 50
El padre de Mara le dio 50 monedas de un dólar.
2. Se prepararon 270 muffins para una venta de pasteles en una escuela. Después de que se vendieran 4 5 de los muffins, 1 3 de los muffins restantes se regalaron. Los muffins que quedaron se repartieron, en partes iguales, entre 8 estudiantes que trabajaron en la venta de pasteles. ¿Cuántos muffins recibe cada estudiante?
1 5 × 270 = 54
2 3 × 54 = 36
36 ÷ 8 = 4 1 2
Cada estudiante recibe 4 1 2 muffins.
3. Un granjero cocina 6 zanahorias. Las zanahorias que cocina representan 1 7 del total de sus zanahorias. El granjero da 1 2 de las zanahorias restantes a una vecina. El resto de las zanahorias se las da, en partes iguales, a sus 8 conejos. ¿Cuántas zanahorias recibe cada conejo?
4. La medida del ∠ABC es 147°, y el ángulo se descompone en ángulos más pequeños, como se muestra. La medida del ∠DBC es 1 7 de la medida del ∠ABC. La medida del ∠EBD es 1 3 de la medida del ∠ABD. ¿Cuál es la medida del ∠ABE?
Evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados (opcional)
Vistazo a la lección
La clase razona acerca de cómo interpretar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados. Luego, usan esa comprensión para evaluar expresiones. La clase empieza el trabajo con expresiones que incluyen números enteros y, luego, continúa con expresiones que incluyen fracciones. Llegan a la conclusión de que la ubicación de los paréntesis y los corchetes determina el resultado de una expresión.
Preguntas clave
• ¿Leer una expresión nos ayuda a evaluarla? ¿Por qué?
• ¿Por qué es importante prestar atención a los paréntesis, los corchetes y las llaves cuando evalúan expresiones con signos de agrupación anidados?
Criterios de logro académico
5.Mód3.CLA1 Escriben expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis. (5.OA.A.1)
5.Mód3.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis. (5.OA.A.1)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Interpretar y evaluar expresiones que incluyen números enteros
• Interpretar y evaluar expresiones que incluyen fracciones
• Usar paréntesis y corchetes para hacer que una ecuación sea verdadera
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar fracciones (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir unidades de capacidad del sistema inglés
La clase convierte cuartos de galón a galones o tazas a pintas para adquirir fluidez con la conversión de medidas más pequeñas del sistema inglés en términos de unidades de medida más grandes del módulo 3.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 4 qt = gal.
¿4 cuartos de galón equivalen a cuántos galones? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. 1 galón
Muestre la respuesta y, luego, muestre 1 qt = gal.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la respuesta y, luego, muestre 5 qt = gal.
La clase escribe el producto como preparación para evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe el producto como una fracción.
Nota para la enseñanza
La clase no necesita escribir sus respuestas en la unidad más grande posible para esta Práctica veloz.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 10?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 5 con los problemas 6 a 10?
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente.
Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Presentar
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un quinto en un quinto del 0 al 2, expresando los números enteros y mixtos con otro nombre, cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un quinto en un quinto del 2 al 0, expresando los números enteros y mixtos con otro nombre, cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo lento. 5
La clase crea expresiones complicadas a partir de expresiones simples.
Escriba 22 + 8 − 9.
Pida a la clase que evalúe la expresión en sus pizarras blancas.
¿Cuál es el valor de la expresión 22 + 8 − 9?
21
La expresión se compone de los números 22, 8 y 9. Todas las expresiones se componen de números, letras que representan números desconocidos o una combinación de las dos cosas, pero, a veces, la expresión está escrita de una forma que parece más complicada. Reescribamos la expresión para que parezca más complicada.
Pida a la clase que use operaciones diferentes para escribir una expresión equivalente a 22. La clase puede ofrecer expresiones como las siguientes: 20 + 2, 25 − 3, 2 × 11, 44 ÷ 2.
Elija una de las expresiones que creó la clase para reemplazar 22 en la expresión original. Por ejemplo, 25 − 3.
Escriba 25 − 3 + 8 − 9.
Ahora, escribamos una expresión que sea equivalente a 8. ¿Qué expresiones podríamos usar en lugar de 8?
5 + 3
− 7
× 16
÷ 2
Elija una de las expresiones que compartieron sus estudiantes para reemplazar 8 en la expresión original. Elija una expresión en la que se use una operación diferente a la que se usó para reemplazar 22, como 1 2 × 16.
Escriba 25 − 3 + 1 2 × 16 − 9.
Ahora, escribamos una expresión que sea equivalente a 9. ¿Qué expresiones podríamos usar en lugar de 9?
8 + 1 10 − 1 3 × 3 81 ÷ 9
Elija una de las expresiones que compartieron sus estudiantes para reemplazar 9 en la expresión original. Elija una expresión en la que se use una operación diferente a la que se usó para reemplazar 22, como 8 + 1.
Escriba 25 − 3 + 1 _ 2 × 16 − 8 + 1.
¿Qué respuesta esperan obtener si evalúan esta expresión? ¿Por qué?
Espero obtener 21, porque esa era la respuesta a la expresión original y lo que hicimos fue reemplazar los números 22, 8 y 9 con expresiones equivalentes a esos números.
Señale la expresión 25 − 3 + 1 2 × 16 − 8 + 1.
Sabemos que esta expresión se evalúa como 21 porque solo reemplazamos los números originales con expresiones equivalentes a 22, 8 y 9. Si alguien viera solo esta expresión nueva, podría evaluarla de manera diferente. ¿Qué podríamos hacer para asegurarnos de que se evalúe como 21?
Podemos colocar paréntesis alrededor de 25 − 3, alrededor de 1 2 × 16 y alrededor de 8 + 1.
Coloque los paréntesis alrededor de 25 − 3, 1 2 × 16 y 8 + 1.
Ahora tenemos una nueva expresión que parece más complicada, pero tiene el mismo valor que la original. Leer una expresión como (25 − 3) + ( 1 _ 2 × 16) − (8 + 1) como un número más otro número menos otro número puede ayudarnos a identificar más fácilmente los números que necesitamos para sumar y restar.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, evaluaremos expresiones que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.
Nota para la enseñanza
En esta lección, se enseña a la clase a evaluar una expresión leyendo la expresión como partes diferenciadas en lugar de como números diferenciados.
Por ejemplo, la expresión 1 3 × (2 × (1 ÷ 6)) significa “ 1 3 por otro número”. ¿Cuál es el otro número? La expresión 2 × (1 ÷ 6), que significa “2 por otro número”. ¿Cuál es el otro número? Ese número es 1 ÷ 6, o 1 __ 6 .
En 6.° grado, se presenta formalmente el orden de las operaciones a la clase.
En grados superiores, la clase lee ecuaciones como 5 + x + 3 17 = 9 como “5 más un número es 9” y se da cuenta de que x + 3 17 = 4 porque 5 + 4 = 9.
Aprender
Interpretar y evaluar expresiones que incluyen números enteros
La clase interpreta expresiones que incluyen números enteros y signos de agrupación anidados y, luego, evalúa las expresiones.
Escriba la expresión 12 + [(3 × 5) − 6] e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan y se preguntan.
Observo que hay suma, multiplicación y resta en la expresión.
Veo paréntesis dentro de corchetes.
Me pregunto cómo podemos evaluar la expresión.
Intentemos leer la expresión para entender cómo evaluarla.
Señale las partes de la expresión y diga lo siguiente.
Esta expresión significa que estoy hallando la suma de dos números, 12 y otro número.
Pero todavía no sabemos cuál es el otro número.
Señale [(3 × 5) − 6].
Ese otro número es 6 restado del producto de 3 y 5. Entonces, ese otro número es la diferencia entre un número, 3 × 5, y 6.
¿Cuánto es 3 × 5?
15
Escriba = 12 + [15 − 6] junto a la expresión original.
Ahora que sabemos de qué número estamos restando 6, podemos hallar la diferencia de 15 y 6. ¿Cuánto es 15 − 6?
Nota para la enseñanza
Los corchetes, que se muestran en la expresión de este segmento de la sección Aprender, y las llaves, que se muestran en el segmento siguiente de la sección Aprender, pueden ser nuevos para la clase. Apoye a sus estudiantes para que interpreten esta notación explicando que los corchetes y las llaves son signos de agrupación como los paréntesis. Cuando ya hay paréntesis en una expresión, a veces se usan otros signos de agrupación como corchetes y llaves.
Diferenciación: Apoyo
Sus estudiantes pueden beneficiarse de enfocarse en solo una parte de la expresión a la vez. Considere brindar una copia escrita de la expresión. Use notas adhesivas para cubrir diferentes partes mientras sus estudiantes intentan entender la expresión, como se muestra.
Escriba = 12 + 9. Señale [(3 × 5) − 6].
Ahora que sabemos que el otro número es igual a 9, podemos hallar la suma de 12 y 9. ¿Cuánto es 12 + 9?
21
Escriba = 21.
Muestre la expresión [68 − (40 ÷ (2 + 3))] ÷ 5. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían leer la expresión.
¿Qué tenemos que hallar para evaluar esta expresión?
Tenemos que hallar el cociente de un número y 5.
¿Sabemos cuál es el dividendo? De no ser así, ¿cómo podríamos hallarlo?
No. El dividendo es la diferencia de 68 y algún número.
¿Sabemos qué número restaremos de 68? De no ser así, ¿cómo podríamos hallarlo?
No. El número que vamos a restar es el cociente de 40 y otro número.
¿Ya sabemos cuál es el divisor para ese problema de división? De no ser así, ¿cómo podríamos hallarlo?
No. El divisor es la suma de 2 y 3.
Invite a la clase a trabajar en parejas para evaluar la expresión.
Cuando hayan terminado, comenten la respuesta. Registre el razonamiento de sus estudiantes a medida que contestan las siguientes preguntas.
¿Qué parte de la expresión evaluaron primero?
Sumé 2 más 3 y obtuve 5.
¿Qué hicieron después?
Dividí 40 entre 5 y obtuve 8.
¿Qué hicieron después de eso?
Resté 8 de 68 y obtuve 60.
DUA: Representación
Considere dejar a la vista una versión escrita de cada expresión a medida que se leen en voz alta. Deje las expresiones a la vista para que sus estudiantes puedan consultarlas.
¿Cuál fue el último paso?
Dividí 60 entre 5 y obtuve 12.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden leer y evaluar una expresión que incluye más de un signo de agrupación.
Interpretar y evaluar expresiones que incluyen fracciones
La clase interpreta expresiones que incluyen fracciones y signos de agrupación anidados y, luego, evalúa las expresiones.
Muestre la expresión 1 4 × [(7 ÷ 1 2) + 2] e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre esta expresión y las expresiones del segmento anterior.
¿En qué observan que se diferencia esta expresión de las expresiones que observamos anteriormente?
En esta expresión hay fracciones, y en las otras expresiones solo había números enteros.
Podemos leer expresiones con fracciones de la misma manera que leemos expresiones con números enteros.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían leer esta expresión.
¿Qué debemos hallar para evaluar la expresión?
Debemos hallar el producto de 1 4 y otro número.
Debemos hallar el producto de dos factores, 1 4 y otro número.
Queremos hallar el producto de 1 _ 4 y otro factor. ¿Cómo podemos hallar el otro factor?
El otro factor es la suma de otro número y 2.
¿Cómo podemos hallar el primer sumando?
Tenemos que dividir 7 entre 1 2 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando interpreta y evalúa expresiones que incluyen fracciones y signos de agrupación anidados.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué significan los paréntesis en la expresión?
• ¿Qué detalles debemos considerar cuando pensamos en este problema?
• ¿Dónde podrían cometer un error al evaluar una expresión con más de un signo de agrupación?
Invite a la clase a trabajar en parejas para evaluar la expresión. Cuando hayan terminado, comenten la respuesta. Registre el razonamiento de sus estudiantes a medida que contestan las siguientes preguntas.
¿Qué parte de la expresión evaluaron primero?
Dividí 7 entre 1 2 y obtuve 14.
¿Qué hicieron después?
Hallé la suma de 14 y 2, que es 16.
¿Cuál fue el último paso?
Hallé 1 4 de 16, que es 4.
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con las siguientes expresiones.
• [(3 8 + 1 4 ) × 3]− 2 3
• 1 _ 2 + {[2 − (1 ÷ 4)] × 4}
• [((4 ÷ 5) − 4 5 ) + (2 3 − (6 ÷ 9))] × 1,385
Recorra el salón de clases mientras la clase evalúa las expresiones, y haga las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué debemos hallar para evaluar la expresión?
• ¿Sabemos cuál es el minuendo? ¿Y el otro sumando? ¿Y el otro factor?
• ¿Cómo pueden hallar el minuendo? ¿Y el otro sumando? ¿Y el otro factor?
• ¿Qué parte de la expresión evaluaron primero? ¿Por qué?
Usar paréntesis y corchetes para hacer que una ecuación sea verdadera
La clase coloca paréntesis y corchetes para hacer que una ecuación sea verdadera.
Muestre la ecuación 5 × 30 − 15 ÷ 3 = 25.
Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar dónde colocar los paréntesis y los corchetes para hacer que la ecuación sea verdadera. Luego, invite a las parejas de estudiantes a compartir su respuesta y su razonamiento.
DUA: Acción y expresión
Considere pedir que las parejas se turnen para pensar en voz alta mientras evalúan las expresiones. La estudiante A comienza y, mientras evalúa la expresión, explica sus decisiones al estudiante B. Mientras el estudiante B escucha, puede hacer preguntas a la estudiante A. Quienes están pensando en voz alta pueden usar la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación, y quienes están escuchando pueden usar las secciones Puedo hacer preguntas y Decirlo otra vez.
Pensar en voz alta impulsa a sus estudiantes a enfocarse en su razonamiento y cambiar de curso, según sea necesario, mientras toman decisiones. Turnarse asegura que cada estudiante tenga la oportunidad de describir su razonamiento. Represente el proceso de razonamiento para sus estudiantes y pídales que usen la Herramienta para la conversación según sea necesario.
¿Colocaron los paréntesis y los corchetes en la ecuación? ¿Dónde colocaron los paréntesis?
¿Dónde colocaron los corchetes?
Sí. Coloqué paréntesis y corchetes en la ecuación. Coloqué corchetes alrededor de 30 − 15 ÷ 3 y paréntesis alrededor de 30 − 15.
¿Cómo saben que hicieron que la ecuación sea verdadera?
Sé que hice que la ecuación sea verdadera porque, después de colocar los paréntesis y corchetes, obtuve la expresión 5 × [(30 − 15) ÷ 3] del lado izquierdo del signo igual. La expresión indicaba que debía hallar el producto de 5 y otro factor. Para hallar el otro factor, tenía que evaluar [(30 − 15) ÷ 3]. Para hallar el cociente, sabía que primero tenía que hallar el dividendo restando 15 de 30. Obtuve 15 ÷ 3, que es igual a 5. Como 5 × 5 = 25, supe que la ubicación de los paréntesis y los corchetes hizo que la ecuación sea verdadera.
Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a colocar paréntesis y corchetes para hacer que las siguientes ecuaciones sean verdaderas:
• 1 3 − 1 ÷ 3 × 1 = 0
• 25 − 8 ÷ 1 ÷ 2 = 9
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinaron dónde colocar los paréntesis y los corchetes.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados
Guíe una conversación de toda la clase acerca de evaluar expresiones que incluyen signos de agrupación anidados usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre las expresiones [(4 × 15) − 6] ÷ 3 and 4 × [(15 − 6) ÷ 3]. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y las diferencias entre las expresiones.
Ambas expresiones tienen los números 4, 15, 6 y 3, de izquierda a derecha.
Ambas expresiones tienen operaciones de multiplicación, resta y división, de izquierda a derecha.
La ubicación de los paréntesis y los corchetes es diferente en cada expresión.
¿Qué se pide hallar en la primera expresión?
El cociente de un número y 3
¿Qué se pide hallar en la segunda expresión?
El producto de 4 y otro número
¿Leer una expresión les ayuda a evaluarla? ¿Por qué?
Sí. Leer una expresión me ayuda a ver una expresión que parece compleja simplemente como un número. Por ejemplo, la expresión en el problema 7 del Grupo de problemas tiene paréntesis, corchetes y llaves. Pero después de leer y evaluarla, el valor es 0, lo que me sorprendió porque la expresión parecía compleja.
Sí. Me ayuda a determinar qué partes de la expresión debo evaluar primero. Por ejemplo, si leo la expresión como una suma de dos números, pero un número es una expresión con paréntesis, sé que tengo que evaluar esa parte primero antes de sumar los dos números.
¿Por qué es importante prestar atención a los paréntesis, los corchetes y las llaves cuando evalúan expresiones con signos de agrupación anidados?
Es importantes prestar atención a dónde están los paréntesis y los corchetes para saber cómo leer la expresión.
Tengo que prestar atención a dónde están los paréntesis para saber qué parte de la expresión evaluar primero.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
A1.
de respuestas correctas:
Número de respuestas correctas: Progreso:
el producto como una fracción.
Completa los espacios para mostrar cómo evaluar la expresión. 1.
Evalúa la expresión.
Coloca paréntesis y corchetes para hacer que cada ecuación sea verdadera.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Escriben e interpretan expresiones numéricas.
5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.
5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.
Aplican y extienden conocimientos previos de multiplicación y división para multiplicar y dividir fracciones.
5.NF.B.4 Aplican y extienden conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción.
a. Interpretan el producto (a b ) × q como tantas partes a de la repartición de q en partes iguales de b; de manera equivalente, como el resultado de la secuencia de operaciones a × q ÷ b. Por ejemplo, al emplear un modelo visual de fracciones para representar (2 3 ) × 4 = 8 3 , y crear un contexto para esta ecuación. Hacen lo mismo con (2 3 ) × (4 5 ) = 8 15 . (En general, (a b ) × ( c d) = ac bd ).
5.NF.B.5 Interpretan la multiplicación como el poner a escala (cambiar el tamaño de) al:
a. Comparan el tamaño de un producto al tamaño de un factor en base al tamaño del otro factor, sin efectuar la multiplicación indicada.
b. Explican por qué al multiplicar un determinado número por una fracción mayor que 1 se obtiene un producto mayor que el número dado (reconocen la multiplicación de números enteros mayores que 1 como un caso común); explican por qué la multiplicación de determinado número por una fracción menor que 1 resulta en un producto menor que el número dado; y relacionan el principio de las fracciones equivalentes a _ b = (n × a) (n × b) con el fin de multiplicar a _ b por 1.
5.NF.B.6 Resuelven problemas del mundo real relacionados a la multiplicación de fracciones y números mixtos, por ejemplo, al usar modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema.
5.NF.B.7 Aplican y extienden conocimientos previos sobre la división para dividir fracciones unitarias entre números enteros y números enteros entre fracciones unitarias.1
a. Interpretan la división de una fracción unitaria entre un número entero distinto al cero, y calculan sus cocientes. Por ejemplo, crean el contexto de un cuento para ( 1 3 ) ÷ 4, y utilizan un modelo visual de fracciones para expresar el cociente. Utilizan la relación entre la multiplicación y la división para explicar que ( 1 _ 3 ) ÷ 4 = 1 12 porque ( 1 __ 12) × 4 = 1 3 .
b. Interpretan la división de un número entero entre una fracción unitaria y calculan sus cocientes. Por ejemplo, crean en el contexto de un cuento 4 ÷ (1 _ 5 ), y utilizan un modelo visual de fracciones para expresar el cociente. Utilizan la relación entre la multiplicación y la división para explicar que 4 ÷ (1 5 ) = 20 porque 20 × (1 5 ) = 4.
c. Resuelven problemas del mundo real relacionados a la división de fracciones unitarias entre números enteros distintos al cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias, por ejemplo, utilizan modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, ¿cuánto chocolate tendrá cada persona si 3 personas comparten 1 2 libra de chocolate en partes iguales? ¿Cuántas porciones de 1 3 de taza hay en 2 tazas de pasas?
Convierten unidades de medida equivalentes dentro de un mismo sistema de medición.
5.MD.A.1 Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.
1 Los estudiantes con capacidad para multiplicar fracciones en general pueden desarrollar estrategias para dividir fracciones en general, al racionalizar la relación entre multiplicación y división. Sin embargo, la división de una fracción por una fracción no es un requisito para este grado.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
5.Mód3.CLA1 Escriben expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.
Parcialmente competente
Identifican el efecto que tienen los paréntesis en expresiones numéricas que incluyen fracciones.
Crean expresiones numéricas que incluyen fracciones para igualar un valor específico.
Inserta paréntesis para hacer que la oración numérica sea verdadera.
Altamente competente
5.Mód3.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y paréntesis.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.
Parcialmente competente
Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y un solo grupo de paréntesis.
Evalúa. 6 × ( 1 2 + 2 9 )
Competente
Evalúan expresiones numéricas que incluyen fracciones y dos grupos de paréntesis no anidados.
Evalúa.
Altamente competente
5.Mód3.CLA3 Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen fracciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.
Parcialmente competente
Reescriben descripciones verbales como expresiones numéricas que incluyen fracciones.
Escribe una expresión para representar la diferencia entre cinco sextos y dos séptimos.
Competente
Escriben expresiones numéricas que incluyen fracciones para representar descripciones verbales basadas en el contexto.
Escribe una expresión que pueda usarse para resolver el problema.
Blake tiene 3 4 de libra de queso. Usa 1 2 libra para hacer la cena. Al día siguiente, Blake usa 1 __ 3 del queso que queda para hacer un sándwich. ¿Cuánto queso tiene el sándwich de Blake?
Altamente competente
Crean y explican contextos que pueden representarse con expresiones numéricas que incluyen fracciones que les son dadas.
Escribe un problema verbal que pueda resolverse usando la expresión que se muestra.
5.Mód3.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye fracciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.
Parcialmente competente
Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como máximo, dos operaciones con fracciones y, como máximo, un grupo de paréntesis sin evaluarlas.
Compara las expresiones usando >, = o <.
6 × ( 6 7 + 2 3 ) 3 × ( 6 7 + 2 3 )
Competente
Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como mínimo, dos operaciones con fracciones o varios grupos de paréntesis sin evaluarlas.
Justifican las comparaciones de dos expresiones diferentes que incluyen fracciones sin evaluarlas.
Explica por qué (2 + 6) × ( 6 7 + 2 3 ) es mayor que (1 + 3) × ( 6 7 + 2 3 ) sin evaluar las expresiones.
5.Mód3.CLA5 Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF Números y operaciones con fracciones
Parcialmente competente
Resuelven problemas de varios pasos que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros.
Evalúa.
1 8 × 6 7 + 1 3
Competente
Resuelven problemas de varios pasos que involucran la suma, la resta y la multiplicación de fracciones, divisiones de números enteros con cocientes fraccionarios y divisiones con fracciones unitarias y números enteros.
El Sr. Sharma vierte 1 2 pinta de jugo de arándanos rojos en partes iguales en 8 vasos. Luego, vierte 1 4 de pinta de jugo de uva en 1 de los vasos. ¿Cuántas pintas de jugo hay en total en el vaso que tiene jugo de uva?
Altamente competente
5.Mód3.CLA6 Multiplican números enteros o fracciones por fracciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.4 Aplican y extienden conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción.
Parcialmente competente Competente
Multiplican dos fracciones unitarias o un número entero por una fracción unitaria. Multiplica.
1 7 × 1 9
Multiplican fracciones por fracciones y números enteros por fracciones. Multiplica.
1 2 × 8 × 2 5
Altamente competente
5.Mód3.CLA7 Reconocen, representan y contextualizan el producto de una fracción y un número entero o una fracción.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.4.a Interpretan el producto ( a b ) × q como tantas partes a de la repartición de q en partes iguales de b; de manera equivalente, como el resultado de la secuencia de operaciones a × q ÷ b. Por ejemplo, al emplear un modelo visual de fracciones para representar ( 2 __ 3 ) × 4 = 8 3 , y crear un contexto para esta ecuación. Hacen lo mismo con ( 2 3 ) × ( 4 5 ) = 8 15 . (En general, ( a b ) × ( c d ) = ac bd ).
Parcialmente competente
Reconocen varias formas de representar una fracción de un conjunto.
Considera los hexágonos sombreados y sin sombrear que se muestran.
Competente
Crean y explican modelos de multiplicación de fracciones para resolver problemas, incluidos problemas verbales.
Considera la expresión.
1 3 × 1 2
Parte A
Dibuja un modelo para representar la expresión.
Parte B
Explica de qué manera el modelo representa el producto.
Altamente competente
Crean un contexto para que coincida con una expresión dada o una ecuación que incluye multiplicación de fracciones.
Crea una historia que coincida con la ecuación.
1 2 × 8 11 = 4 11
¿Qué expresión representa el número de hexágonos sombreados?
5.Mód3.CLA8 Comparan los efectos de multiplicar por fracciones y números enteros.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.5 Interpretan la multiplicación como el poner a escala (cambiar el tamaño de) al:
5.NF.B.5.a Comparan el tamaño de un producto al tamaño de un factor en base al tamaño del otro factor, sin efectuar la multiplicación indicada.
Parcialmente competente Competente
Comparan el tamaño de un producto con el tamaño de un factor sin multiplicar.
Completa el espacio con >, = o <.
12 × 3 3
Altamente competente
Generan una fracción que da como resultado un aumento o una disminución del valor.
Completa el espacio con cualquier número entero que haga que una oración numérica sea verdadera.
5.Mód3.CLA9 Explican el efecto de multiplicar por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.5 Interpretan la multiplicación como el poner a escala (cambiar el tamaño de) al:
5.NF.B.5.b Explican por qué al multiplicar un determinado número por una fracción mayor que 1 se obtiene un producto mayor que el número dado (reconocen la multiplicación de números enteros mayores que 1 como un caso común); explican por qué la multiplicación de determinado número por una fracción menor que 1 resulta en un producto menor que el número dado; y relacionan el principio de las fracciones equivalentes a b = (n × a) (n × b) con el fin de multiplicar a b por 1.
Parcialmente competente
Identifican explicaciones correctas para problemas que incluyen la multiplicación por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1.
Elige la explicación correcta para el producto que se muestra.
3 5 × 4
A. 3 5 es menor que 1, por lo tanto 3 5 × 4 es menor que 4 .
B. 3 5 es menor que 1, por lo tanto 3 5 × 4 es mayor que 4 .
C. 3 5 es mayor que 1, por lo tanto 3 5 × 4 es menor que 4 .
D. 3 5 es mayor que 1, por lo tanto 3 5 × 4 es mayor que 4 .
Competente
Explican por qué multiplicar un número dado por una fracción menor que 1, igual a 1 o mayor que 1 da como resultado un producto menor que, igual a o mayor que el número dado.
Explica por qué la oración numérica es verdadera.
3 5 × 4 < 4
Altamente competente
5.Mód3.CLA10 Resuelven problemas del mundo real sobre la multiplicación de fracciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.6 Resuelven problemas del mundo real relacionados a la multiplicación de fracciones y números mixtos, por ejemplo, al usar modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema.
Parcialmente competente
Identifican una expresión numérica que se puede usar para resolver un problema del mundo real sobre la multiplicación de fracciones.
Jada tiene 2 3 de libra de una mezcla de refrigerios.
Da 1 2 de la mezcla de refrigerios a Lacy. ¿Cuántas libras de la mezcla de refrigerios recibe Lacy?
¿Qué expresión se puede usar para resolver este problema?
Competente
Resuelven problemas del mundo real de un solo paso sobre la multiplicación de fracciones.
Jada tiene 2 3 de libra de una mezcla de refrigerios.
Da 1 2 de la mezcla de refrigerios a Lacy. ¿Cuántas libras de la mezcla de refrigerios recibe Lacy?
Altamente competente
Resuelven problemas del mundo real de varios pasos sobre la multiplicación de fracciones.
Jada tiene 2 3 de libra de una mezcla de refrigerios.
Da 1 __ 2 de la mezcla de refrigerios a Lacy. En el almuerzo, Lacy come 1 7 de la mezcla de refrigerios que recibió de Jada. ¿Cuántas libras de mezcla de refrigerios comió Lacy en el almuerzo?
5.Mód3.CLA11 Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.7.a Interpretan la división de una fracción unitaria entre un número entero distinto al cero, y calculan sus cocientes. Por ejemplo, crean el contexto de un cuento para ( 1 3 ) ÷ 4, y utilizan un modelo visual de fracciones para expresar el cociente. Utilizan la relación entre la multiplicación y la división para explicar que ( 1 3 ) ÷ 4 = 1 12 porque ( 1 12 ) × 4 = 1 3 .
Dividen fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero usando los modelos proporcionados.
Usa el modelo para hallar el cociente.
1 4 ÷ 6 1
Representan y evalúan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero.
Dibuja un modelo para representar la expresión. Luego, divide.
1 4 ÷ 6
Contextualizan la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero e interpretan el cociente.
Usa la expresión para responder la parte A y la parte B. 1 4 ÷ 6
Parte A
Crea una historia de contexto para la expresión.
Parte B
Explica qué representa el cociente en tu historia.
5.Mód3.CLA12 Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.7.b Interpretan la división de un número entero entre una fracción unitaria y calculan sus cocientes. Por ejemplo, crean en el contexto de un cuento 4 ÷ ( 1 5 ), y utilizan un modelo visual de fracciones para expresar el cociente. Utilizan la relación entre la multiplicación y la división para explicar que 4 ÷ ( 1 5 ) = 20 porque 20 × ( 1 5 ) = 4.
Dividen números enteros entre fracciones unitarias usando los modelos proporcionados.
Usa el modelo para hallar el cociente.
5 ÷ 1 4 5
Representan y evalúan la división de números enteros entre fracciones unitarias.
Dibuja un modelo para representar la expresión. Luego, divide.
5 ÷ 1 4
Contextualizan la división de números enteros entre fracciones unitarias e interpretan el cociente.
Usa la expresión para responder la parte A y la parte B.
5 ÷ 1 4
Parte A
Crea una historia de contexto para la expresión.
Parte B
Explica qué representa el cociente en tu historia.
5.Mód3.CLA13 Resuelven problemas verbales que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.7.c Resuelven problemas del mundo real relacionados a la división de fracciones unitarias entre números enteros distintos al cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias, por ejemplo, utilizan modelos visuales de fracciones y ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, ¿cuánto chocolate tendrá cada persona si 3 personas comparten 1 2 libra de chocolate en partes iguales? ¿Cuántas porciones de 1 3 de taza hay en 2 tazas de pasas?
Parcialmente competente
Identifican expresiones numéricas que se pueden usar para resolver problemas verbales de un solo paso que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. ¿Cuántos galones de jugo hay en cada vaso?
¿Qué expresión se puede usar para resolver este problema?
Competente
Resuelven problemas verbales de un solo paso que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. ¿Cuántos galones de jugo hay en cada vaso?
Altamente competente
Resuelven problemas verbales de varios pasos que involucran la división de fracciones unitarias entre números enteros diferentes de cero y la división de números enteros entre fracciones unitarias.
El Sr. Pérez tiene 1 2 galón de jugo de uva. Vierte el jugo, en partes iguales, en 8 vasos. Luego, toma 1 de los vasos y lo reparte, en partes iguales, entre sus 3 hijos e hijas.
¿Cuántos galones de jugo recibe cada hijo o hija del Sr. Pérez?
5.Mód3.CLA14 Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas para resolver problemas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.MD.A.1 Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.
Parcialmente competente
Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas.
Convierte cada medida.
2 ft = yd
5 12 ft = in
Competente
Convierten unidades dentro del sistema inglés de medidas para resolver problemas verbales de varios pasos.
La Sra. Song tiene 6 libras y 4 onzas de almendras y 3 libras y 3 onzas de nueces de cajú. ¿Cuántas onzas de almendras y nueces de cajú tiene la Sra. Song en total?
Altamente competente
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 3 de 5.° grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
En el módulo 3 no se presenta vocabulario nuevo.
Conocido
cociente
convertir
cuarto de galón
denominador
galón
libra
numerador
número entero
número mixto
onza
pinta
producto
vaso
Verbo académico
demostrar
Las matemáticas en el pasado
Dos problemas de fracciones del libro
Los nueve capítulos
¿Las personas de la antigua China sumaban, restaban, multiplicaban y dividían con fracciones?
¿Qué tipo de problemas resolvían en la antigua China usando fracciones?
¿Usaban números mixtos?
Las civilizaciones más antiguas registradas, en Babilonia y Egipto, usaban fracciones hace casi 4,000 años. Veamos una civilización más reciente (pero igualmente antigua): China y su trabajo con las fracciones en el periodo desde alrededor del año 200 a. e. c. hasta alrededor del 300 e. c. Las expertas y los expertos en matemáticas de ese tiempo registraban su conocimiento en un libro llamado Jiuzhang Suanshu, o Los nueve capítulos. A partir de este libro, sabemos que en la antigua China se usaba la aritmética.
Los nueve capítulos sobre el arte matemático (The Nine Chapters on the Mathematical Art) es una colección de 246 problemas de matemáticas. También contiene descripciones de reglas matemáticas y explicaciones de cómo resolver los problemas. Algunos de los problemas fueron creados antes de la dinastía Qin, que comenzó en el año 221 a. e. c. La colección completa de problemas se terminó probablemente alrededor del año 100 a. e. c. Era muy común que los escritores agregaran sus propias notas y comentarios en textos antiguos como estos. En 263 e. c., un experto en matemáticas llamado Liu Hui fue el primero en incorporar sus explicaciones de las soluciones y sus comentarios en el libro Los nueve capítulos.
Los nueve capítulos era un manual de enseñanza de matemáticas muy importante en la antigua China, así como también en los países vecinos.
Muchos de los problemas que hay en Los nueve capítulos incluyen fracciones y números mixtos. A partir de estos problemas podemos ver cómo sumaban, restaban, multiplicaban y dividían fracciones o números mixtos las personas expertas en matemáticas. Aquí se presentan dos de los 246 problemas originales. Es posible que la clase disfrute viajar en el tiempo para ver los tipos de problemas que se resolvían en la antigua China.
En el problema 17 del capítulo 1 se pide dividir un número mixto entre un número entero.
Ahora, dadas 7 personas que comparten 8 1 3 monedas.
Díganme: ¿Cuánto dinero recibe cada persona?1
Es posible que les parezca extraño que en el problema se hable de 8 1 3 monedas. ¿Cómo formaron 1 3 de una moneda? Luego, en el problema se pide dividir esas monedas en partes todavía más pequeñas para repartir entre 7 personas. Las monedas son difíciles de partir, ¿o no?
Las expertas y los expertos en matemáticas de China a veces creaban problemas que no eran posibles en el mundo real. Los problemas se usaban para mostrar cómo hacer un cálculo. Sin embargo, para animar la conversación, puede sugerir a la clase que imagine que las monedas son de chocolate o galletas. Puede resultar más fácil imaginar partir esos elementos.
Aunque hasta ahora la clase solo ha visto formalmente la división de números enteros y la división que incluye fracciones unitarias y números enteros, anímeles a pensar acerca de cómo podría usar las técnicas que aprendieron para resolver este problema. Un modelo visual
1 Traducido de Liu Hui. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, 80.
como el que se muestra puede ayudar a la clase a darse cuenta de que pueden simplificar el problema hallando 8 ÷ 7 y 1 _ 3 ÷ 7 y, luego, sumando los cocientes. 8 1 3
debe dejar un quinto en concepto de impuestos. En el paso interior, debe dejar un séptimo. Supongan que el cereal que queda es 5 dou.
La siguiente información sirve de ayuda para que sus estudiantes comprendan el significado de este problema.
• El cereal es un grano cultivado en China, y probablemente sea mijo.
• Los pasos son como cabinas modernas de peaje. Una persona que quería pasar tenía que pagar un impuesto. Pero los impuestos en China no se pagaban con dinero, sino con el mismo cereal.
Al usar el método descrito, la clase debería hallar la siguiente solución.
Observemos si esta respuesta coincide con la hallada en el libro Los nueve capítulos.
Respuesta: Cada persona recibe 1 4 21 monedas. 2
¡Felicite a la clase por usar el razonamiento y las destrezas matemáticas para resolver un problema que tiene cerca de 2,000 años!
Es interesante observar que las personas expertas en matemáticas de este tiempo siempre escribían sus respuestas de una forma especial. Escribían fracciones mayores que 1 como números mixtos y escribían fracciones usando la unidad más grande posible. Por ejemplo, en este problema, la respuesta está dada como 1 4 21 monedas en lugar de 25 21 de moneda. Pida a la clase que piensen acerca de por qué las personas expertas en matemáticas en China podrían haber elegido hacer esto.
El problema 27 del capítulo 6 es más complejo.
Una persona transporta cereales por tres pasos. En el paso exterior, debe dejar un tercio en concepto de impuestos. En el paso medio,
• La fracción del impuesto cobrado en cada paso se establecía según la cantidad de cereal que la persona tenía en cada paso: cuánto más lleva, más paga.
• Un dou es una unidad de volumen que se usaba en la antigua China. Un dou equivaldría a aproximadamente 2 litros o un poco más de medio galón.
Este problema es más complicado que el anterior. Anime a sus estudiantes pidiendo primero que den su mejor estimación de la cantidad de cereal que había originalmente y, luego, pídales que comenten su razonamiento. Luego, pida a la clase que empiecen a pensar en formas de mejorar sus estimaciones. Sugiera empezar con un modelo de área para que tengan una idea mejor de qué ocurre en el problema. Pida a la clase que dibuje un rectángulo para representar la cantidad de cereal que tiene la persona del problema antes de llegar a los pasos. Pida a la clase que divida el rectángulo en tercios e imagine quitar 1 3 del cereal. Pregunte a la clase qué fracción queda del cereal. Deben reconocer que quedan 2 3 del cereal.
2 Traducido de Liu Hui. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, 80.
3 Traducido de Liu Hui. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, 345.
En el paso medio, le quitan 1 5 del cereal que quedaba. Pregunte a la clase cómo puede usar sus modelos de área para mostrar esto. A partir de sus modelos, la clase probablemente reconocerá que quedan 4 5 de los 2 3 restantes del cereal. Desafíe a sus estudiantes a determinar qué fracción quedó de la cantidad original de cereal. Al usar sus modelos para hallar el producto de dos fracciones, deben observar que quedaron 8 15 de la cantidad original de cereal.
4 5 2 3
Comente con sus estudiantes qué piensan que pasa en el paso interior. Pregunte qué fracción del cereal quedará después de quitarle 1 7 . Luego, pregunte a la clase qué fracción quedó de la cantidad original de cereal. Puede ayudarles organizar la información en una tabla y escribir una expresión de multiplicación para representar la fracción de la cantidad original de cereal que queda después de cada paso. Use la tabla para ayudar a sus estudiantes a determinar que quedan 48 105 de la cantidad original de cereal después de que la persona atraviesa el paso interior. Paso Fracción del cereal que quedó Ecuación
Pregunte a la clase si quiere revisar sus estimaciones para la cantidad original de cereal. La clase puede reconocer que 48 105 es un poco menos que 1 _ 2 . Como la cantidad de cereal que queda es 5 dou, la cantidad original debería ser un poco más de 10 dou.
Observemos lo que está escrito en Los nueve capítulos acerca de este problema.
Tomar 5 dou, multiplicar por los números de impuestos 3, 5, 7 sucesivamente como dividendo. Tomar el producto continuado de los residuos 2, 4, 6 como divisor. Dividir, se obtiene el número de dou por hallar. 4
4 Traducido de Liu Hui. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary, 80.
Explique a la clase que un producto continuado es un producto con más de dos números que se multiplican juntos. La palabra residuo podría generar confusión. Explique que, en este caso, el residuo significa lo que queda y no significa el residuo de una división. Use las instrucciones de Los nueve capítulos para repasar los pasos del cálculo de la respuesta.
5 × (3 × 5 × 7) = 5 × 105 = 525
2 × 4 × 6 = 48
525 ÷ 48 = 525 48
Pregunte a la clase si reconoce alguno de esos números o si puede adivinar de dónde salieron.
Ayude a sus estudiantes a escribir 525 ___ 48 como un número mixto.
525 48 = 480 48 + 45 48 = 10 + 45 48 = 10 15 16
La persona transportaba originalmente 10 15 16 dou de cereal.
Anime a sus estudiantes a que participen de una conversación acerca de si sus estimaciones fueron razonables. ¿Se sorprendieron con el resultado 10 15 __ 16 , o sus estimaciones estuvieron cerca?
Anime a la clase a reconocer que pueden resolver problemas desafiantes, aunque se hayan escrito hace miles de años, si los separan en problemas más simples.
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
1 cubo de un centímetro, set de 1,000
2 hojas en blanco
25 lápices
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
25 marcadores de borrado en seco
36 papel de construcción azul, tiras de 4 1 2 ″ × 2″
36 papel de construcción rojo, tiras de 4 1 2 ″ × 2″
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
24 sobres
25 tijeras
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¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
