འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་སློབ་དེབ།
རྩིས་རིག
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་དང་པོ།
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་བ་དགུ་པ། དཔར་ཐེངས་དང་པོ། དཔར་གྲངས། ༡༠༠༠
Printed and Distributed by: Sherig Parkhang R-27 & 28, Ramesh Park Laxmi Nagar, New Delhi- 110092 Phone: 2245-3672
First Review September 2017 First Printing 1000 Copies
Copyright © 2017 Department of Education སྤྱི་ཁྱབ་འགན་འཛིན། རྩོམ་སྒྲིག་འགན་འཁུར། རྩོམ་སྒྲིག་པ། ཞུ་དག་པ།
དེབ་གཟུགས་ཇུས་འགོད། ཤེས་ལྷན་ཟུང་དྲུང་།
ངག་དབང་རྡོ་རྗེ།
དྷ་ཤོད ་བོད ་ཁྱིམ་རྩིས་དགེ ་ ཟུར་པ།
པདྨ་རྒྱལ་མཚན།
བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ། པདྨ་རྒྱལ་མཚན། སངས་རྒྱས་བསྟན་དར། བློ་བཟང་ལེགས་གྲུབ། བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།
བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་མི།
བསོད་ནམས་བཟང་པོ། བསྟན་འཛིན་རྡོ་རྗེ།
ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ། བསོད་ནམས་བཟང་པོ།
དེང་སྲོལ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན། སིམ་ལ་གཏན་སློབ་ཀྱི་རྩིས་དགེ།
བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ།
བོད་ཁྱིམ་ཨང་རྩིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།
བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།
ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
བློ་བཟང་བསྟན་འཛིན།
ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
སློབ་དེབ་འདི་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱི་དྲ་ཚིགས་ www.sherig.org དང་ http://bodyiglobjong.com བརྒྱུད་ལྟ་ཀློག་ དང་ཕབ་ལེན་བྱེད་ཐུབ། Disclaimer
This Mathematics textbook is made possible by the support of the American people through the United States Agency for International Development (USAID). The contents of this textbook are the sole responsibility of Department of Education, Central Tibetan Administration and do not necessarily reflect the views of USAID or the United States Government.
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས།
Department of Education Central Tibetan Administration
Cable : SHERIG Phone : 01892-222572 : 01892-222721 Fax : 01892-223481 Email : education@tibet.net Web : www.sherig.org : http://bodyiglobjong.com GANGCHEN KYISHONG DHARAMSALA - 176215 DISTT. KANGRA, H.P. INDIA
ཆེད་བརྗོད།
༄༅།
།སྤྱི་ནོར་༸གོང་ས་༸སྐྱབས་མགོན་ཆེན་པོ་མཆོག་གི་བཀའ་སློབ་ལམ་སྟོན་རིམ་ཕེབས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ལྟར།
བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་སློབ་གྲྭ་ཁག་ཏུ་སློབ་ཚན་བརྒྱུད་ལམ་རང་སྐད་ཐོག་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་པའི་ལས་གཞི་དེ་བཞིན་བཙན་
བྱོལ་བོད་མིའི་བཅའ་ཁྲིམས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ལྟར་ ༡༩༨༦ ལོ་ནས་བཟུང་འགོ་བཙུགས། ༡༩༩༩ ལོ་ནས་བཟུང་ད་བར་ འཛིན་རིམ་ལྔ་པ་བར་གྱི་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་བཞི་བྱས། ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༢ ནས་བཟུང་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ (NCERT) གིས་རྩོམ་སྒྲིག་དང་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་པའི་འཛིན་རིམ་དྲུག་
པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གྱི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ཁག་འདི་ག་ལས་ཁུངས་ནས་རྩོམ་སྒྱུར་ཚོགས་ཆུང་ཆེད་བཙུགས་ཀྱིས་
བོད་སྒྱུར་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་ཡོད།
ཐེངས་འདིའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནི་ ༢༠༠༤ ལོར་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་གཞི་རིམ་ཤོས་ཡོན་
རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་འདི་སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་ཏུ་བགོས་ཡོད།
སྲིད་བྱུས་ཀྱི་དགོངས་དོན་འོག་ ༢༠༠༨ ལོར་བཀའ་ཤག་གིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་རིག་བསླབ་ གཞིའི་རྩ་འཛིན་གྱི་འབྲུ་དོན་གཞི་རྩར་བཟུང་སྟེ་རྩོམ་སྒྲིག་བྱས་པ་ཡིན།
སློབ་ཚན་དེ་དག་ནང་རང་བྱུང་གྲངས་དང་།
ཧྲིལ་གྲངས། རིལ་གྲངས་བཅས་ཀྱི་གོ་དོན་དང་རྩིས་ཐབས། རྩིས་ཐབས་སོ་སོའི་ཁྱད་ཆོས། བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས་ ཀྱི་གོ་དོན།
སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་དང་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་འཚོལ་སྟངས།
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆའི་བེད་
སྤྱོད། ཁེ་གྱོང་དང་སྐྱེད་ཀ་རྐྱང་པ་འཚོལ་སྟངས། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་ངོ་སྤྲོད། དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། ཟུར་གསུམ་ མའི་ཁྱད་ཆོས་དང་དབྱེ་བ། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ཀྱི་ངོ་སྤྲོད། སྒོར་དབྱིབས་དང་། ཐིག ཟུར་བཅས་འགོད་ སྟངས། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ་ལས་གྲངས་ཐོ་ བསྡུ་རུབ་དང་བཀོད་སྒྲིག ཆ་འགྲིག་གི་ངོ་སྤྲོད་བཅས་ཡོད། སློབ་དེབ་འདིའི་མཐའ་མཇུག་ལ་སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན་ དང་འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཀྱི་ཤན་སྦྱར་ཡོད།
སློབ་དེབ་འདི་རྩོམ་སྒྲིག་སྐབས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ནས་
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༦ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་དང་། འདི་ག་ཤེས་རིག་ལས་ཁུགས་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༥ ལོར་བཏོན་
པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། ཀེམ་བྷིར་ཇི་གཙུག་ལག་སློབ་ཁང་ (CAMBRIDGE UNIVERSITY) ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༣ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། ཨོགསེ་ཕྷོར་ཌི་གཙུག་ལག་སློབ་ཁང་ (OXFORD UNIVERSITY) ནས་ཕྱི་
ལོ་ ༢༠༠༩ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། སྔ་ཕྱིར་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་དགེ་ཁག་དང་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་
ཚོགས་མི་ལྷན་རྒྱས་ཀྱི་དགོངས་འཆར། དོ་དག་རམ ྩོ ་སྒྲིག་པ་གཞི་རིམ་བར་མའི་སབ ློ ་གྲྭ་ཁག་ལ་དངོས་བསྐྱོད་ཞིབ་འཇུག་
བྱས་པའི་གྲུབ་དོན་བཅས་གཞི་རྩར་བཟུང་ཏེ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་བསྐོ་འཛུགས་གནང་བའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་ རྩིས་རིག་ཚོགས་ཆུང་གིས་མཐའ་མའི་བསྐྱར་ཞིབ་དང་སྦྲགས་གཏན་འབེབས་གནང་བ་ཡིན།
སློབ་དེབ་འདིའི་ཐད་
རིན་ཐང་ཅན་གྱི་དགོངས་འཆར་ལྷུག་སྩོལ་གནང་བར་དགའ་བསུ་ཞུ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་ ༩ ཚེས་ ༡ ལ།
དཀར་ཆག
སློབ་ཚན་དང་པོ། ཧྲིལ་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 1
སློབ་ཚན་གཉིས་པ། རིལ་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 16
སློབ་ཚན་གསུམ་པ། བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 35 སློབ་ཚན་བཞི་པ། སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 49
སློབ་ཚན་ལྔ་པ། ཚབ་རྩིས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 72 སློབ་ཚན་དྲུག་པ། དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 85 སློབ་ཚན་བདུན་པ། གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 98 སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ། བཀོད་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 113
སློབ་ཚན་དགུ་པ། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 128 སློབ་ཚན་བཅུ་པ། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 145 སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ། ཆ་འགྲིག ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 164 སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 171
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 186
ཧྲིལ་གྲངས།
སློབ་ཚན་དང་པོ།
༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་རང་བྱུང་གྲངས་དང་། ཧྲིལ་གྲངས། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་མཚོན་སྟངས། རྩིས་ཐབས་ ཁག་གི་ཁྱད་ཆོས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༡་༢ རང་བྱུང་གྲངས། Natural numbers
ང་ཚོས་དངོས་པོའམ་མི་སོགས་ཀྱི་གྲངས་ཀ་བརྩི་དགོས་དུས། གྲངས་ 1, 2, 3, 4,... སོགས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
གྲངས་འདི་དག་ལ་རང་བྱུང་གྲངས་ཟེར། དེ་འདྲ་ཡིན་སྟབས། 1, 2, 3, 4,...100,...1125,... སོགས་ལ་རང་བྱུང་ གྲངས་ཟེར། བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་ཉིན་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་པ་དེ་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན། ཤོག་ལྷེ་འདིའི་སྟེང་ཡིག་ འབྲུའི་གྲངས་ཇི་ཙམ་ཡོད་པ་དང་། བོད་ནང་དུ་སློབ་གྲྭ་ཇི་ཡོད་ཀྱི་གྲངས། འཛམ་གླིང་འདིའི་སྟེང་དུ་ཤིང་སྡོང་ཇི་ཡོད་
ཀྱི་གྲངས་སོགས་རང་བྱུང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཡིན།
༡་༢་༡ སྔོན་གྲངས་དང་རྗེས་གྲངས། Predecessor and successor ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་ཟིན་པའི་རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་གི་ཐོག་ 1 བསྣན་ན། གྲངས་དེའི་རྗེས་གྲངས་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། 16 གི་རྗེས་གྲངས་ནི་ 16 + 1 = 17 དང་། 19 ཡི་རྗེས་གྲངས་ནི་ 19 + 1 = 20 ཡིན།
དེ་བཞིན། རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་ནས་ 1 འཐེན་ན། གྲངས་དེའི་སྔོན་ གྲངས་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། 17 གྱི་སྔོན་གྲངས་ནི་ 17 − 1 = 16 དང་། 20 ཡི་སྔོན་གྲངས་ནི་ 20 − 1 = 19 ཡིན།
རྩིས་དང་།
༡། སྔོན་གྲངས་དང་རྗེས་གྲངས་བྲིས། 29, 49, 197, 1000 ༢། སྔོན་གྲངས་མེད་པའི་རང་བྱུང་ གྲངས་ཡོད་དམ།
༣། རྗེས་གྲངས་མེད་པའི་རང་བྱུང་ གྲངས་ཡོད་དམ། ༤། རང་བྱུང་གྲངས་ཆེ་ཤོས་གང་ཡིན་ནམ།
2 ཀྱི་རྗེས་གྲངས་ནི་ 3 དང་སྔོན་གྲངས་ནི་ 1 ཡིན། 1 ལ་རྗེས་གྲངས་དང་སྔོན་གྲངས་གཉིས་ཀ་ཡོད་དམ།
1
རྩིས་རིག ༡་༢་༢ ཀླད་ཀོར། Zero
ང་ཚོས་དཔེ་མཚོན་ཞིག་བརྒྱུད་ནས་ཀླད་ཀོར་གྱི་གོ་དོན་རྟོགས་པར་བྱ་རྒྱུ་ཡིན། བྱི་རིལ་ 8 ཕྲུ་གུ་ 3 ལ་ཆ་སྙོམས་བགོ་
སྐབས། ཕྲུ་གུ་རེ་ལ་བྱི་རིལ་ 2 རེ་སྤྲད་དེ་བགོས་པ་ཡིན་ན་བྱི་རིལ་ 2 ལྷག་གི་ཡོད། བགོ་བྱ། བགོད་བྱེད། བགོས་ཐོབ། བགོས་ལྷག 8
3
2
2
7
3
2
1
6
3
2
0
༡་༣ ཧྲིལ་གྲངས། Whole numbers
དེ་བཞིན། བྱི་རིལ་ 7 ཕྲུ་གུ་ 3 ལ་ཆ་སྙོམས་བགོས་པ་ཡིན་
ན་བྱི་རིལ་ 1 ལྷག་གི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། གལ་ཏེ་བྱི་རིལ་ 6 ཕྲུ་གུ་ 3 ལ་ཆ་སྙོམས་ཀྱིས་བགོས་ན། ང་ཚོར་བྱི་རིལ་གཅིག་ ཀྱང་ལྷག་གི་མེད།
བྱི་རིལ་ལྷག་མ་མེད་པའི་གྲངས་དེ་ལ་ཀླད་ཀོར་ཟེར།
‘0’ གྱིས་མཚོན། ཀླད་ཀོར་གྱིས་མེད་པ་མཚོན་གྱི་ཡོད།
དེ་ནི་
གྲངས་ 1, 2, 3, 4,... ལ་རང་བྱུང་གྲངས་ཟེར། རང་བྱུང་གྲངས་ཐོག་ཀླད་ཀོར་ (0) བསྡུས་ན། གྲངས་ 0, 1, 2, 3, 4,... འབྱུང་། གྲངས་འདི་དག་ལ་ཧྲིལ་གྲངས་ཟེར། ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་ནང་ཀླད་ཀོར་དང་རང་བྱུང་གྲངས་ཡོད་པ་ཤེས་
ཐུབ། དེར་བརྟེན། ཀླད་ཀོར་ཕུད་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན། འཛིན་རིམ་འོག་མར་ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་ཀྱི་གཞི་རྩའི་སྡོམ་ འཐེན་སྒྱུར་བགོད་སྐོར་སྦྱངས་ཡོད། ད་ང་ཚོས་གྲངས་ཐིག་ ཐོག་དེའི་བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི་སྦྱོང་གི་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་མ་
སྦྱང་བའི ་ སྔོན་ལ་གྲངས་ཐི ག ་གི ་ གོ ་ དོ ན ་ཤེ ས ་པར་བྱ་ དགོས།
རྩིས་དང་།
༡། རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ནམ། ༢། ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན་ནམ། ༣། ཧྲིལ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་གང་ཡིན་ནམ།
སེམས་ལ་ཞོག
• ཀླད་ཀོར་ནི་རང་བྱུང་གྲངས་མིན།
• རང་བྱུང་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 1 ཡིན། • ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 0 ཡིན།
• རང་བྱུང་གྲངས་དང་ཧྲི ལ ་གྲངས་ཆེ ་ ཤོས་ལ་མཐའ་མེད།
• རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲི ལ ་གྲངས་ རེད་དེ། ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་རང་བྱུང་
གྲངས་མིན། གང་ཡིན་ཟེར་ན། 0 ནི་
ཧྲི ལ ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་རང་བྱུང་ གྲངས་མིན།
2
ཧྲིལ་གྲངས།
༡་༤ གྲངས་ཐིག Number line
ང་ཚོས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་མཚོན་ཐུབ། ཁྱེད་རང་གིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཐིག་གཅིག་བྲིས། དེའི་སྟེང་གནས་ཐོག་
མར་ 0 བྲིས། དེ་རྗེས། 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་མཉམ་པའི་གནས་ལ་ 1, 2, 3, 4 སོགས་དཔེ་རིས་ ༡་༡ ནང་
བསྟན་པ་བཞིན་བྲིས། གནས་ཕན་ཚུན་དབར་བར་ཐག་ཚད་གཞི་མཉམ་པ་དགོས། 0
1
2
3
4 5 དཔེ་རིས་ ༡་༡
6
7
2 དང་ 4 དབར་བར་ཐག་ཚད་གཞི་ 2 ཡོད། 2 དང་ 6 ; 2 དང་ 7 དབར་བར་ཐག་ཚད་གཞི་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ 7 ནི་ 4 ཡི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། 7 ནི་ 4 ལས་ཆེ་བ་རེད། དེ་ནི་ 7 > 4
8 ནི་ 6 གི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པ་དང་ 8 > 6 མཆན།
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་གཉིས་ལས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་དེ་གཡོན་དུ་ཡོད་པའི་གྲངས་ལས་ ཆེ་བ་ཡོད།
དཔེར་ན། 12 > 5; 12 ནི་ 5 ཡི་གཡས་སུ་ཡོད།
དེ་བཞིན། 4 < 9; 4 ནི་ 9 ཡི་གཡོན་དུ་ཡོད།
༡་༤་༡ གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྡོམ་རྩིས། Addition on number line གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྟོན་ཐུབ། དཔེར་ན། 3 + 4 འཚོལ་དགོས་ན། 0
1
2
རྩིས་དང་།
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཚོལ།
1 + 6 དང་ 2 + 6; 3 + 5; 4 + 5
3
4
5
6
7
3 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 4 སྤོས། གོང་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་ 3 ནས་ 4 དང་། 4 ནས་ 5, 5 ནས་ 6, 6 ནས་ 7 བཅས་གོམ་པ་སྤོས་པ་ཡིན་ན། གོམ་པ་བཞི་པའི་སྐབས་མདའ་རྩེ་དེ་ 7 ཐོག་སླེབས། དེར་བརྟེན། 3 + 4 = 7
༡་༤་༢ གྲངས་ཐིག་ཐོག་འཐེན་རྩིས། Subtraction on number line གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་ཀྱང་སྟོན་ཐུབ།
3
རྩིས་རིག 7 − 5 འཚོལ་སྐབས། 0
1
རྩིས་དང་།
2
3
4
5
6
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཚོལ།
6 − 2 དང་ 8 − 3;
7
9−6
7 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གྲངས་དེའི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 སྤོས་ན། 2 ཡོད་སར་སླེབས།
དེར་བརྟེན། 7 − 5 = 2
གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་གཡས་ཕྱོགས་དང་འཐེན་རྩིས་སྐབས་གཡན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
༡་༤་༣ གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྒྱུར་རྩིས། Multiplication on number line ང་ཚོ་གྷྲངས་ཐིག་ཐོག་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྟོན་སྟངས་སྦྱང་གི་ཡིན། 4 × 3 ཚོལ། 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཚད་གཞི་གསུམ་གོམ་པ་ཐེངས་ 4 སྤོས་ན། 12 ཐོག་སླེབས། དེར་བརྟེན། 4 × 3 = 12
༡། 10999 ཡི་རྗེས་གྲངས་བསྟུད་མ་གསུམ་བྲིས།
སྦྱོང་ཚན། ༡་༡
༣། ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་རེད་དམ།
༤། 32 དང་ 53 དབར་ཧྲིལ་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
4
(ཀ) 1565
(ཁ) 100199
(ག) 2440701
རྩིས་དང་།
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཚོལ།
2 × 6 དང་ 3 × 3; 4×2
༢། 10001 གི་སྔོན་གྲངས་བསྟུད་མ་གསུམ་བྲིས། ༥། རྗེས་གྲངས་བྲིས།
12
(ང) 10099999
ཧྲིལ་གྲངས། ༦། སྔོན་གྲངས་བྲིས། (ཀ) 94
(ཁ) 10000
(ག) 208090
(ང) 7654321
༧། ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་ན་གང་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་དམ། དེའི་དབར་རྟགས་ ( >, < ) གང་ འོས་བྲིས།
(ཀ) 370, 307
(ཁ) 530, 503
༨། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ།
(ག) 1012, 1021
(ང) 98765, 56789
(ཀ) 400 ནི་ 399 ཡི་སྔོན་གྲངས་ཡིན། (ཁ) 600 ནི་ 599 ཡི་རྗེས་གྲངས་ཡིན།
(ག) རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲིལ་གྲངས་རེད། (ང) རང་བྱུང་གྲངས་ 1 ལ་སྔོན་གྲངས་མེད། (ཅ) ཧྲིལ་གྲངས་ 1 ལ་སྔོན་གྲངས་མེད།
(ཆ) ཧྲིལ་གྲངས་ 13 ནི་ 11 དང་། 12 དབར་ན་ཡོད།
༡་༥ ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of whole numbers འདིར་ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་སྦྱང་གི་ཡིན།
༡་༥་༡ སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of addition (ཀ) བསྡུ་སྲོལ། Closure property 7
+
8
=
5
+
5
=
0
+
15
=
+
=
+
=
15, ཧྲིལ་གྲངས། 10, ཧྲིལ་གྲངས། 15, ཧྲིལ་གྲངས།
+ གོང་གི་རེའུ་མིག་ལྟར་ཧྲིལ་གྲངས་ཆ་གཞན་ལྔ་བླངས་ཏེ། དེའི་བསྡོམས་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་མིན་ལྟོས།
ཁྱེད་ལ་ཧྲིལ་གྲངས་མིན་པའི་བསྡོམས་ཐོབ་འབྱུང་ངམ། ཧྲིལ་གྲངས་མིན་པའི་བསྡོམས་ཐོབ་འབྱུང་མི་སྲིད།
5
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ།
(ཁ) བརྗེ་སྲོལ། Commutative property དེ་ནི།
3 + 4 = 7 ཡང་ན། 4 + 3 = 7
3+4=4+3
དེ་བཞིན། 9 + 5 = 14 ཡང་ན། 5 + 9 = 14
...
9+5=5+9
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་གོ་རིམ་བརྗེས་ཏེ་བསྡོམས་ནའང་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། རིམ་གྱིས་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་གཏོང་གི་མེད། ཁྱད་ཆོས་དེ་ལ་བརྗེ་སྲོལ་ཟེར།
སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་གོ་
དཔེ་རིས་ ༡་༢ ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ་སྟོན་གྱི་ཡོད། 4
4 + 6 = 10
6
4
6 + 4 = 10
6
དེར་བརྟེན། 4 + 6 = 6 + 4 = 10
དཔེ་རིས་ ༡་༢
(ག) སྡེབ་སྲོལ། Associative property ༡། (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
༢། 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ (༡) ལས། ཁྱེད་ཀྱིས་དང་པོ་ 2 དང་ 3 བསྡོམས་ཏེ། དེའི་བསྡོམས་ཐོབ་ཐོག་ 4 སྡོམས།
6
དེ་ནི། (2 + 3) + 4 = 9
ཧྲིལ་གྲངས། དཔེ་མཚོན་ (༢) ལས། ཁྱེད་ཀྱིས་དང་པོ་ 3 དང་ 4 བསྡོམས་ཏེ། དེའི་བསྡོམས་ཐོབ་ཐོག་ 2 སྡོམས། དེ་ནི། 2 + (3 + 4) = 9
དཔེ་མཚོན་ (༡) དང་ (༢) གཉིས་ཀའི་བསྡོམས་ཐོབ་གཅིག་པ་ཡིན། དེར་བརྟེན། (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
རྩིས་དཔེ་ ༡ 234 དང་ 197, 103 སྡོམས། ལན།
234 + 197 + 103
སྡོམ་རྩིས་སྟབས་བདེ་བཟོ་བར་གྲངས་
= 234 + (197 + 103)
ཀ་རྣམས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱ་དགོས།
= 234 + 300 = 534
བྱེད་སྒོ།
བྱེད་སྒོ་འདི་རྩེད་མོའི་ལམ་ནས་བྱ་དགོས། འདི་སློབ་མ་གཉིས་དབར་རྩེ་ཆོག སློབ་མ་ཀ་པས་ 1 ནས་
10 བར་གྱི་གྲངས་ཤིག་འབོད། སློབ་མ་ཁ་པས་གྲངས་དེའི་ཐོག་ 1 ནས་ 10 བར་གྱི་གྲངས་ཤིག་བསྣན་ དགོས། འདི་ལྟར་སློབ་མ་གཉིས་རེས་མོས་བྱས་ཏེ་རྩེ་དགོས། བསྡོམས་ཐོབ་ 100 ལ་དང་པོ་སླེབས་ མཁན་དེར་རྩེད་མོ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
5 + 7 = 12
5
12 + 9 = 21
21 + 9 = 30
30 + 7 = 37
(ང) ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས། Property of zero གཡས་ཀྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་དང་ཀླད་ཀོར་
བསྡོམས་པ་ཡིན་ན་བསྡོམས་ཐོབ་གང་བྱུང་ངམ། བསྡོམས་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན།
37 + 3 = 40
7
+
0
=
7
0
+
15
=
15
0
+ 0
= =
+
འདིར་ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཐོག་ 0 བསྡོམས་པ་ཡིན་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ།
7
རྩིས་རིག
༡་༥་༢ འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of subtraction (ཀ) བསྡུ་སྲོལ། Closure property 6
−
2
=
7
−
8
=
5
−
4
=
3
−
9
=
4, ཧྲིལ་གྲངས།
ཧྲིལ་གྲངས་མིན། 1, ཧྲིལ་གྲངས། ?
གལ་ཏེ་ཧྲིལ་གྲངས་ནས་ཧྲིལ་གྲངས་འཐེན་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད།
(ཁ) བརྗེ་སྲོལ། Commutative property
7 − 5 དང་ 5 − 7 གཉིས་གཅིག་མཚུངས་མིན། 7 − 5 = 2; 5 − 7 = ? དེ་ནི།
7−5≠5−7
དེར་བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་ཐ་དད་གཉིས་འཐེན་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
(ག) སྡེབ་སྲོལ། Associative property (12 − 4) − 3 = 8 − 3 = 5
12 − (4 − 3) = 12 − 1 = 11
དེ་ནི། (12 − 4) − 3 ≠ 12 − (4 − 3)
དེར་བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་ཡང་གནས་ཀྱི་མེད།
(ང) ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས། Property of pero
གལ་ཏེ་ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ནས་ཀླད་ཀོར་འཐེན་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་དེ་རང་ཡིན། དཔེར་ན།
3 − 0 = 3; 1000 − 0 = 1000
སེམས་ལ་ཞོག
• ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་ཡོད།
• ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་མེད།
8
ཧྲིལ་གྲངས།
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
(ཀ) གྲངས་ 10 དང་། 20, 40, 50, 100, 300, 450, 500 བཅས་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་ཤོག་བྱང་། (ཁ) གྲངས་ 250 དང་། 500, 750, 1000 བཅས་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་ཤོག་བྱང་། བྱེད་ཐབས།
སློབ་ཕྲུག་རྣམས་སྡེ་ཚན་སོ་སོར་བགོས། ཤོག་བྱང་ཀ་པའི་ནང་སྤྲད་པའི་གྲངས་རྣམས་བེད་སྤྱད་དེ་ཤོག་བྱང་ ཁ་པའི་སྟེང་གི་གྲངས་རྣམས་བཟོ་དགོས།
ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་རྣམས་ཐབས་ལམ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་སྤྱད་དེ་བཟོ་
དགོས། འདིར་ཁྱེད་ཀྱིས་ཨང་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་དང་ཤོག་བྱང་ཀ་པའི་ནང་གི་གྲངས་རྣམས་ཐེངས་གང་དགོས་ བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཆོག
དཔེར་ན། 250 = 500 − 300 − 50 + 100
༡། བརྗེ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་ཁ་སྐོངས། (ཀ) 8 + 7 =
+8
སྦྱོང་ཚན། ༡་༢ (ཁ) 89 + 87 =
(ག) 472 + 36 = 36 +
༢། བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་བསྡོམས་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 11 + 34 + 89
(ག) 235 + 103 + 365
(ཅ) 837 + 208 + 363
༣། ཁྱད་ཆོས་ངོས་ཟུངས།
(ཀ) 19 + 63 = 63 + 19
(ག) 37 + 0 = 0 + 37 = 37
༤། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ།
(ཀ) 16 + 4 = 4 + 16
(ག) 341 + 21 = 21 + 341
(ང) 836 + 0 =
+ 89 + 836
(ཁ) 56 + 310 + 44
(ང) 560 + 129 + 540
(ཆ) 1962 + 453 + 1538 + 647 (ཁ) 20 + 0 = 20
(ང) (20 + 3) + 16 = 20 + (3 + 16)
(ཅ) (18 − 3) − 1 = 18 − (3 − 1)
(ཁ) 23 − 0 = 0 − 23
(ང) (46 + 4) + 8 = 46 + (4 + 8) (ཆ) 863 − 0 = 0 − 863
9
རྩིས་རིག
༡་༥་༣ སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of multiplication (ཀ) བསྡུ་སྲོལ། Closure property 7
×
8
=
5
×
5
=
0
×
15
=
×
56, ཧྲིལ་གྲངས།
25, ཧྲིལ་གྲངས།
=
0, ཧྲིལ་གྲངས།
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན།
(ཁ) བརྗེ་སྲོལ། Commutative property
6 × 3 = 18
2×3=3×2=6
8 × 9 = 9 × 8 = 72
3 × 6 = 18
16 × 4 = 4 × 16 = 64 སྡོམ་རྩིས་ལྟར། སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་སུའང་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་ བརྗེས་ན་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ཁྱད་པར་མེད།
(ག) སྡེབ་སྲོལ། Associative property
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༡་༣
དཔེ་རིས་ ༡་༣ (ཀ) པ་དང་ (ཁ) པའི་ནང་གི་ཚེག་གྲངས་ཀ་རྩིས་དང་། དཔེ་རིས་གཉིས་ཀའི་ནང་ཚེག་གི་གྲངས་གཅིག་པ་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༡་༣ (ཀ) པ་ལས། གྲུ་ནར་རེའི་ནང་ཚེག་ 2 × 3 ཡོད། དེར་བརྟེན། ཁྱོན་བསྡོམས་ཚེག = (2 × 3) × 4 = 24
དཔེ་རིས་ ༡་༣ (ཁ) པ་ལས། གྲུ་ནར་རེའི་ནང་ཚེག་ 3 × 4 ཡོད། དེར་བརྟེན། ཁྱོན་བསྡོམས་ཚེག = 2 × (3 × 4) = 24
10
(ཁ)
=
ཧྲིལ་གྲངས། དེས་ན།
(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)
དེ་མཚུངས། (5 × 2) × 4 = 5 × (2 × 4)
ཧྲིལ་གྲངས་གསུམ་གྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས། སྔོན་ལ་གང་གཉིས་བསྒྱུར་བ་དང་རྗེས་ལ་གང་གཉིས་བསྒྱུར་ནའང་བསྒྱུར་ ཐོབ་ལ་ཁྱད་པར་མེད། ཁྱད་ཆོས་དེ་ལ་སྡེབ་སྲོལ་ཟེར།
རྩིས་དཔེ་ ༢ 12 × 35 ཚོལ།
ལན།
12 × 35 = (6 × 2) × 35 = 6 × (2 × 35) = 6 × 70 = 420
(འདིར། སྡེབ་སྲོལ་བེད་སྤྱོད་བཏང་ཡོད།)
རྩིས་དཔེ་ ༣ 8 × 1769 × 125 ཚོལ། ལན།
8 × 1769 × 125 = 8 × 125 × 1769 (འདིར་ཁྱད་ཆོས་གང་བེད་སྤྱོད་བཏང་ཡོད་དམ།) = (8 × 125) × 1769
= 1000 × 1769 = 17,69,000
(ང) གཅིག་གི་ཁྱད་ཆོས། Property of one གཡས་ཀྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་།
ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་དང་ 1 བསྒྱུར་པ་ཡིན་ན།
བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན། ཁྱད་ཆོས་འདི་ ཧྲིལ་གྲངས་ 1 ཁོ་ན་ལ་མ་གཏོགས་གྲངས་གཞན་ལ་མེད།
7 5 1 1 1
× × × × ×
1 1 12 100
= = = = =
7 5 12 100
(ཅ) ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས། Property of zero
སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་ཀླད་ཀོར་ལ་ཁྱད་ཆོས་དམིགས་བསལ་ཞིག་ཡོད། དཔེར་ན། དེ་ནི།
0 × 5 = 0 དང་། 5 × 0 = 0
5×0=0×5 =0
དེ་བཞིན། 27 × 0 = 0 × 27 = 0 དེར་བརྟེན། 0 དང་གྲངས་གང་ཞིག་བསྒྱུར་ཡང་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ཀླད་ཀོར་ཐོབ།
(ཆ) བགོ་སྲོལ། Distributive property
ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་བསྡོམས་ཏེ་བསྡོམས་ཐོབ་དེས་གྲངས་གསུམ་པར་བསྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་ནི། གྲངས་དེ་གཉིས་ རེ་རེ་བཞིན་གྲངས་གསུམ་པས་བསྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ་བསྡོམས་པ་དང་མཚུངས་པ་ཡིན། ཁྱད་ཆོས་འདི་ལ་བགོ་སྲོལ་ ཟེར།
11
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ་ ༤ མེ་ཏོག་ཚོང་པ་ཞིག་གིས་མེ་ཏོག་ཆུན་པོ་རེའི་ནང་རལ་གྲི་མེ་ཏོག་ 6 དང་། རྒྱ་སེ་མེ་ཏོག་ 7 བསྒྲིགས་ཡོད། ལན།
དཔལ་མོས་རང་གི་སྐྱེས་སྐར་ཐུགས་སྤྲོ་ཆེད་ཆུན་པོ་དེ་འདྲ་ 5 ཉོས་པ་ཡིན་ན། ཆུན་པོ་ 5 ཡི་ནང་ཁྱོན་
བསྡོམས་མེ་ཏོག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
འདིར་ཐབས་ལམ་གཉིས་སྤྱད་དེ་འཚོལ་ཐུབ།
ཐབས་ལམ། ༡ : ཆུན་པོ་ 5 ཡི་ནང་རལ་གྲི་མེ་ཏོག
= 5 × 6 = 30
ཆུན་པོ་ 5 ཡི་ནང་རྒྱ་སེ་མེ་ཏོག
= 5 × 7 = 35
ཆུན་པོ་ 5 ཡི་ནང་ཁྱོན་བསྡོམས་མེ་ཏོག
= (5 × 6) + (5 × 7)
ཆུན་པོ་ 5 ཡི་ནང་ཁྱོན་བསྡོམས་མེ་ཏོག
= 5 × (6 + 7)
= 65
ཐབས་ལམ། ༢ : ཆུན་པོ་གཅིག་གི་ནང་མེ་ཏོག (རལ་གྲི། + རྒྱ་སེ།) = 6 + 7
དེར་བརྟེན།
= 5 × 13 = 65
5 × (6 + 7) = (5 × 6) + (5 × 7)
རྩིས་དཔེ་ ༥ བགོ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་ 12 × 35 ཚོལ། ལན།
བགོ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་ཚོལ།
12 × 35 = 12 × (30 + 5)
15 × 68; 17 × 23;
= 12 × 30 + 12 × 5
69 × 78 + 22 × 69
= 360 + 60 = 420
རྩིས་དཔེ་ ༦ སྟབས་བདེ་བཟོས། 126 × 55 + 126 × 45 ལན།
126 × 55 + 126 × 45 = 126 × (55 + 45) = 126 × 100 = 12600
༡་༥་༤ བགོད་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of division (ཀ) བསྡུ་སྲོལ། Closure property 8
÷
4
=
5
÷
7
=
2 , ཧྲིལ་གྲངས།
5 , ཧྲིལ་གྲངས་མིན། 7
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བགོས་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
12
ཧྲིལ་གྲངས། (ཁ) བརྗེ་སྲོལ། Commutative property 1 6 ÷ 3 = 2 དང་། 3 ÷ 6 = གཉིས་གཅིག་མཚུངས་མིན། 2 དེར་བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། (ག) སྡེབ་སྲོལ། Associative property
(81 ÷ 9) ÷ 3 = 3 དང་། 81 ÷ (9 ÷ 3) = 27 དེར་བརྟེན། (81 ÷ 9) ÷ 3 ≠ 81 ÷ (9 ÷ 3)
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་སུའང་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
(ང) དམིགས་བསལ་ཁྱད་ཆོས།
༡། ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ལ་ 1 གིས་བགོས་པ་ཡིན་ན། བགོས་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན། དཔེར་ན།
6 ÷ 1 = 6;
8÷1=8
༢། གལ་ཏེ་ཀླད་ཀོར་ལ་ཧྲིལ་གྲངས་ཞིག་གིས་བགོས་ན། བགོས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་ཀླད་ཀོར་ཡིན། དཔེར་ན།
0 ÷ 1 = 0;
0 ÷ 8 = 0;
0 ÷ 999 = 0
༣། གྲངས་ཤིག་ལ་ཀླད་ཀོར་གྱིས་བགོས་ན། བགོད་རྩིས་དེ་ནི་དོན་སྙིང་མེད་པ་ཞིག་ཡིན། དཔེར་ན།
སེམས་ལ་ཞོག
5 ÷ 0 ལ་དོན་སྙིང་མེད།
• ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་ཡོད།
• ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་མེད།
༡། བར་སྟོང་སྐོངས། (ཀ) 4 ×
=0
སྦྱོང་ཚན། ༡་༣ (ཁ) 6 ×
=6
(ག) 90 × 20 = 20 ×
(ང) 5 × 87 × 20 =
(ཀ) 2 × 1768 × 50
(ཁ) 4 × 166 × 25
༢། བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
× 87
13
རྩིས་རིག (ག) 8 × 291 × 125
(ང) 285 × 5 × 60
(ཀ) 0 ÷ 99 = 99
(ཁ) 683 × 1 = 1× 683
༣། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ།
(ག) 250 ÷ 1 = 250
(ང) 36 ÷ 4 = 4 ÷ 36
(ཅ) 100 ÷ 5 = 5 ÷ 100
(ཆ) 125 × 8 = 8 × 125
(ཀ) 504 × 35
(ཁ) 824 × 25
༤། བགོ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ག) 728 × 101
(ང) 5437 × 1001
(ཀ) (295 + 5) × 60
(ཁ) 297 × 7 + 297 × 3
༥། རྩིས་འབྲས་ཚོལ།
(ག) 54279 × 12 + 8 × 54279
༦། གཤམ་གསལ་ལས་གང་གིས་ཀླད་ཀོར་མཚོན་གྱི་མེད། (ཀ) 1 + 0
(ང) 81265 × 15 − 81265 × 5 (ཁ) 0 × 0
(ག) 0 (ང) 0 + 0 2 ༧། གལ་ཏེ་ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་ན། ང་ཚོས་གྲངས་གཅིག་གམ་གཉིས་ཀ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པ་ བཤད་ཐུབ་བམ། དཔེ་མཚོན་ཞིག་བརྒྱུད་ནས་འགྲེལ་བཤད་བྱོས།
༨། གལ་ཏེ་ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ 1 ཡིན་ན། ང་ཚོས་གྲངས་གཅིག་ཡང་ན་གཉིས་ཀ་ 1 ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ་ བམ། དཔེ་མཚོན་ཞིག་བརྒྱུད་ནས་འགྲེལ་བཤད་བྱོས།
༩། ཁ་ལོ་བ་ཞིག་གིས་རེས་གཟའ་ཟླ་བ་ཉིན་སྣུམ་མཛོད་ནང་རྡོ་
སྣུམ་ལི་ཊར་ 40 བཀང་བ་རེད། ཉིན་གཅིག་རྗེས་ཁོས་སྣུམ་
PETRO
L
མཛོད་ནང་རྡོ་སྣུམ་ལི་ཊར་ 50 བཀང་བ་རེད། གལ་ཏེ་རྡོ་ སྣུམ་ལི་ཊར་རེ་ལ་ ` 44 ཡིན་ན། ཁོས་རྡོ་སྣུམ་ཆེད་འགྲོ་ གྲོན་ག་ཚོད་བཏང་ཡོད་དམ།
༡༠། ངག་དབང་གིས་ཨང་རྩིས་དང་། ཨིན་ཇི། ཚན་རིག་ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ཨང་ཐོབ་ 49 དང་། 39, 51 བཅས་བླངས་
ཡོད། ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ཨང་རྩིས་དང་། ཨིན་ཇི། ཚན་རིག་ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ཨང་ཐོབ་ 62 དང་། 54, 32 བཅས་ བླངས་ཡོད། ཁོང་གཉིས་ལས་སུར་ཁྱོན་བསྡོམས་ཨང་ཐོབ་མང་བ་དང་ག་ཚོད་ཀྱིས་མང་བ་འདུག་གམ།
14
ཧྲིལ་གྲངས། ༡༡། མཐུན་སྦྱོར་གྱིས།
(༡) (3 × 4) × 6 = 3 × (4 × 6)
(༢) 2 × 49 × 50 = 2 × 50 × 49
(༣) 80 + 2005 + 20 = 80 + 20 + 2005
(ཀ) སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ།
(ཁ) སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། (ག) སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་སྡེབ་སྲོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ང་ཚོས་དངོས་པོ་བགྲང་སྐབས། གྲངས་ 1, 2, 3, 4,... སོགས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པ་རྣམས་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན། ༢། གལ་ཏེ་རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་གི་ཐོག་ 1 བསྣན་ན། གྲངས་དེའི་རྗེས་གྲངས་ཐོབ་པ་དང་། གྲངས་ཤིག་ནས་1 འཐེན་ན། གྲངས་དེའི་སྔོན་གྲངས་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
༣། རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ལ་རྗེས་གྲངས་ཡོད། 1 ཕུད་པའི་རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ལ་སྔོན་གྲངས་ཡོད།
༤། རང་བྱུང་གྲངས་ཐོག་ཀླད་ཀོར་བསྡུས་ན། 0, 1, 2, 3, 4,... འབྱུང་། གྲངས་འདི་དག་ལ་ཧྲིལ་གྲངས་ཟེར། ༥། ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་ལ་རྗེས་གྲངས་ཡོད། ཀླད་ཀོར་ཕུད་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་ལ་སྔོན་གྲངས་ཡོད། ༦། རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ཏེ་ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་རང་བྱུང་གྲངས་མིན།
༧། གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་བ་དང་། འཐེན་རྩིས་སྐབས་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་ པ་སྤོ་དགོས། སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་ཀླད་ཀོར་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
༨། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་ཡོད།
༩། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་དང་བགོད་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་མེད། ༡༠། གྲངས་ཤིག་ལ་ཀླད་ཀོར་གྱིས་བགོས་པ་ཡིན་ན། དེར་གོ་དོན་མེད།
15
རིལ་གྲངས།
སློབ་ཚན་གཉིས་པ།
༢་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་དང་པོར་ང་ཚོས་རང་བྱུང་གྲངས་དང་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྐོར་སྦྱངས་ཡོད། ཡིན་ནའང་། ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་བ་ཞིག་
ནས་ཧྲིལ་གྲངས་ཆེ་བ་ཞིག་འཐེན་སྐབས་འཐེན་ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་མིན། དཔེར་ན། 5 − 7 ནི་ཧྲིལ་གྲངས་མིན། དེར་ བརྟེན། ཧྲིལ་གྲངས་ལམ་ལུགས་ལས་ཁྱབ་ཆེ་བའི་གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུགས་ཤིག་དགོས། སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་རིལ་ གྲངས་དང་། རིལ་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ། རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་འཐེན་གྱི་ཁྱད་ཆོས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༢་༢ མོ་གྲངས། Negative numbers
བློ་བཟང་ཁྲོམ་ལ་སྨྱུ་གུ་ཉོ་བར་ཕྱིན་པ་རེད། ཁོང་ལ་ ` 12 ལས་མེད། ཡིན་ནའང་། སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་ནི་ ` 15 རེད།
དེར་བརྟེན། ཚོང་བདག་གིས་ཉིན་དེབ་ནང་བློ་བཟང་ནས་ ` 3 ལེན་རྒྱུ་ཞེས་བྲིས་པ་རེད། ཚོང་བདག་གིས་བློ་བཟང་
ནས་ཡོང་བསྡད་ ` 3 གསལ་པོར་ཧ་གོ་ཆེད། དངུལ་ཡོང་རྒྱུ་དེ་རྟགས་ཀྱིས་མཚོན་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། བློ་བཟང་ནས་ཚོང་བདག་ལ་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་ (− 3) གྱིས་མཚོན། (− 3) ལྟ་བུའི་གྲངས་ལ་མོ་
གྲངས་ཟེར། ང་ཚོས་མོ་གྲངས་ནི་ཀླད་ཀོར་ལས་ཆུང་བའི་གྲངས་མཚོན་ཆེད་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ ལ་ལྟོས་དང་། ཁེ་དང་གྱོང་གཉིས་ལྡོག་ཕྱོགས་ཀྱི་གནས་སྟངས་ཡིན་སྟབས། ཁེ་ལ་རྟགས་ '+' འདི་ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ ན། གྱོང་ལ་རྟགས་ '−' འདི་ཡིས་མཚོན་ཐུབ། དངོས་པོའི་མིང་།
འབྲས།
བྱེ་མ་ཀ་ར། གྲོ།
ཟ་སྣུམ།
16
ཁེ།
` 150
གྱོང་།
རྟགས་ཀྱིས་མཚོན་པ།
` 250
− 250
+ 150 + 225
` 225 ` 200
− 200
རིལ་གྲངས།
རིའི་མཐོ་ཚད་ནི་ཕོ་གྲངས་ཀྱིས་མཚོན་པ་དང་། རྒྱ་མཚོའི་གཏིང་ཚད་ནི་མོ་གྲངས་ཀྱིས་མཚོན། དེ་བཞིན་དྲོད་ཚད་
0oC ཡན་ལ་རྟགས་ '+' འདི་ཡིས་མཚོན་པ་དང་། དྲོད་ཚད་ 0oC ལས་ཉུང་བ་ལ་རྟགས་ '−' འདི་ཡིས་མཚོན།
༢་༣ རིལ་གྲངས། Integers
ང་ཚོས་སློབ་ཚན་གོང་མར་རང་བྱུང་གྲངས་དང་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྐོར་སྦྱངས་ཡོད།
ད་ཁྱེད་ཀྱིས་མོ་གྲངས་གང་ཡིན་པ་
གྲངས་མོ་ཟེར། 0 ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་མོ་གང་ཡང་མིན།
4
ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ཧྲིལ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་མཉམ་དུ་བསྡེབས་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོར་བྱུང་བའི་གྲངས་ ...,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,... ལ་རིལ་གྲངས་ཟེར། རིལ་གྲངས་ལས་ 1, 2, 3,... ལ་རིལ་གྲངས་ཕོ་དང་། −1, −2, −3,... ལ་རིལ་ −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
5
6
7
༢་༣་༡ གྲངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གྲངས་མཚོན་སྟངས། Representation of integers on a number line རིལ་གྲངས་མོ།
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
རིལ་གྲངས་ཕོ། 3
4
5
6
7
གོང་གི་དཔེ་རིས་ལས། ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་རྣམས་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན། དེ་དག་ + 1, + 2,
+ 3,... ཡང་ན། 1, 2, 3,... སོགས་ཀྱིས་མཚོན། ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་རྣམས་རིལ་གྲངས་མོ་ ཡིན། དེ་དག་ − 1, − 2, − 3 སོགས་ཀྱིས་མཚོན། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ + 2 མཚོན།
ང་ཚོས་ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 2 སྤོ་དགོས། (དཔེ་རིས་ ༢་༡) −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
དཔེ་རིས་ ༢་༡
2
3
4
5
6
7
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 6 མཚོན། ང་ཚོས་ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 6 སྤོ་དགོས། (དཔེ་རིས་ ༢་༢) −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
དཔེ་རིས་ ༢་༢
2
3
4
5
6
7
17
རྩིས་རིག ༢་༣་༢ རིལ་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ། Ordering of integers
གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན།
གྲངས་ཐིག་ (དཔེ་རིས་ ༢་༣) ཐོག་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་རིལ་གྲངས་ནི་རྟག་
3, 7, − 1, − 3, − 4 དང་། − 8
ཏུ་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་རིལ་གྲངས་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
དཔེ་རིས་ ༢་༣
(ཀ) མོ་གྲངས་དང་ཀླད་ཀོར་ནི་ཕོ་གྲངས་ཀྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་ཙང་། ཕོ་གྲངས་ཚང་མ་མོ་གྲངས་དང་ཀླད་ཀོར་ལས་ ཆེ་བ་ཡིན།
དཔེར་ན།
2 > − 2, 1 > − 3, 3 > − 4, 2 > 0
(ཁ) 0 ནི་མོ་གྲངས་ཀྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་ཙང་། 0 ནི་རྟག་ཏུ་མོ་གྲངས་ལས་ཆེ་བ་ཡིན། དཔེར་ན།
0 > − 1, 0 > − 2, 0 > − 5, 0 > − 10
(ག) ཕོ་གྲངས་ནང་། གྲངས་ཆེ་བ་རྣམས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་ཙང་དེ་དག་ཆེ་བ་ཡིན། དཔེར་ན།
22 > 20, 121 > 50
(ང) མོ་གྲངས་ནང་། གྲངས་ཆུང་བ་རྣམས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་ཙང་དེ་དག་ཆུང་བ་ཡིན། དཔེར་ན།
− 20 > − 21, − 51 > − 121
རྩིས་དཔེ་ ༡ གྲངས་ཐིག་བྲིས་ཏེ་གཤམ་གསལ་ལ་ལན་བྲིས། (ཀ) − 8 དང་ − 2 དབར་རིལ་ གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
(ཁ) གྲངས་དེ་དག་ལས་རིལ་གྲངས་ ཆེ་ཤོས་དང་ཆུང་ཤོས་བྲིས།
ལན།
སྒམ་ཆུང་ནང་རྟགས་ > ཡང་ན། < སྐོངས། (ཀ) 0
6
(ག) 5
−5
(ཅ) −1
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
− 15
0
1
2
(ཁ)
(ང)
0
−8
11
15
(ཆ) − 20 3
(ཀ) − 8 དང་ − 2 དབར་རིལ་གྲངས་ − 7, − 6, − 5, − 4, − 3 བཅས་ལྔ་ཡོད།
4
(ཁ) − 7, − 6, − 5, − 4, − 3 ལས་རིལ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ − 3 དང་། ཆུང་ཤོས་ − 7 ཡིན།
18
2
རིལ་གྲངས། ༢་༣་༣ རིལ་གྲངས་ཀྱི་ལྟོས་མེད་ཐང། Absolute value of an integer
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ + 5 ནི་ 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་ལྔའི་སར་ཡོད། − 5 ནི་ 0 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་
ལྔའི་སར་ཡོད། རིལ་གྲངས་ཤིག་གི་ལྟོས་མེད་ཐང་ནི། རིལ་གྲངས་དེའི་རྟགས་ལ་མ་བལྟོས་པར་ཨང་ཀི་དེ་ལ་ཟེར། རིལ་ གྲངས་ཀྱི་ལྟོས་མེད་ཐང་ནི་རྟགས་ | | ཡིས་མཚོན། དེར་བརྟེན། | 5 | = 5 དང་། | − 5 | = 5 ཡིན།
ལྟོས་མེད་ཐང་ནི་ཀླད་ཀོར་རམ་ཕོ་གྲངས་མ་གཏོགས། མོ་གྲངས་ནམ་ཡང་ཡོང་མི་སྲིད།
རྩིས་དཔེ་ ༢ གཤམ་གསལ་རྣམས་ཀྱི་ལྟོས་མེད་ཐང་ཚོལ། ལན།
(ཀ) |− 11|
(ཀ) |− 11| = 11
(ག) |− 82| = 82
(ཁ) |73|
སེམས་ལ་ཞོག
(ག) |− 82|
(ཁ) |73| = 73
(ང) |121| = 121
(ང) |121|
• ཕོ་གྲངས་ཚང་མ་མོ་གྲངས་ལས་ཆེ་བ་ཡིན།
• ཀླད་ཀོར་ནི་ཕོ་གྲངས་ཚང་མ་ལས་ཆུང་བ་དང་མོ་གྲངས་ཚང་མ་ལས་ཆེ་བ་ཡིན། • ཀླད་ཀོར་ནི་ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་གཉིས་ཀ་མིན། • ཕོ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 1 ཡིན།
• མོ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ − 1 ཡིན།
• ཕོ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་དང་མོ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་མེད།
• གྲངས་ཐིག་ཐོག་གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་རིལ་གྲངས་ནི་རྟག་ཏུ་གཡོན་ཕྱོགས་ཀྱི་རིལ་གྲངས་ལས་ཆེ་བ་ཡོད།
༡། ལྡོག་ཕྱོགས་བྲིས།
(ཀ) ལྗིད་ཚད་འཕར་བ།
(ང) ` 700 གྱོང་བྱུང་བ།
༢། རིལ་གྲངས་ཐོག་མཚོན།
སྦྱོང་ཚན། ༢་༡
(ཁ) བྱང་ 30 km
(ཅ) རྒྱ་མཚོ་ལས་ 100 m མཐོ་བ།
(ཀ) སྒོར་ཉིས་སྟོང་དངུལ་ཁང་ནང་དུ་བཅོལ་བ།
(ག) 326 BC
(ཆ) ནུབ་ཕྱོགས་སུ་འགྲོ་བ།
19
རྩིས་རིག (ཁ) སྒོར་བརྒྱད་བརྒྱ་དངུལ་ཁང་ནས་བཏོན་པ། (ག) རྒྱ་མཚོ་ལས་མི་ཊར་ལྔ་བརྒྱ་དམའ་བ། (ང) ཀླད་ཀོར་ལས་ 3oC མཐོ་བ།
༣། གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན། (ཀ) + 5
(ཁ) + 7
(ག) − 1
(ང) − 7
(ཅ) − 10
(ཀ) − 1
(ཁ) −10
(ག) 0
(ང) 64
(ཅ) −1024
༤། ལྟོས་མེད་ཐང་བྲིས།
༥། གཤམ་གསལ་ནི་རྒྱ་གར་གྱི་གྲོང་ཁྱེར་ལྔའི་དྲོད་ཚད་ཀྱི་ཐོ་གཞུང་ཡིན། ས་གནས།
དཀར་འཁྱིལ། ཤིམ་ལ། བྷེང་ལོར། ལ་དྭགས། ལྡི་ལི།
དྲོད་ཚད།
0oC ལས་ 10oC དམའ་བ། 0oC ལས་ 2oC དམའ་བ། 0oC ལས་ 20oC མཐོ་བ། 0oC ལས་ 5oC དམའ་བ། 0oC ལས་ 30oC མཐོ་བ།
རིལ་གྲངས།
(ཀ) རུ་བསྟར་གསུམ་པའི་ནང་གྲོང་ཁྱེར་ཁག་གི་དྲོད་ཚད་རིལ་གྲངས་ཐོག་བྲིས། (ཁ) གཤམ་གྱི་གྲངས་ཐིག་གིས་དྲོད་ཚད་ oC ཐོག་མཚོན་གྱི་ཡོད། −25 −20 −15 −10
−5
0
5
10
15
20
25
གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་པའི་དྲོད་ཚད་སོ་སོའི་གྲོང་ཁྱེར་གྱི་མིང་བྲིས།
(ག) གྲོང་ཁྱེར་གྲང་ཤོས་དེ་གང་རེད་དམ།
(ང) དྲོད་ཚད་ 10o C ལས་མཐོ་བ་ཡོད་པའི་གྲོང་ཁྱེར་གྱི་མིང་བྲིས།
༦། གཤམ་གསལ་གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་རིལ་གྲངས་རྣམས་འཕར་རིམ་བཞིན་བྲིས། (ཀ) 0 དང་ − 7
༧།
20
(ག) − 8 དང་ − 15
(ཁ) − 4 དང་ 4
(ང) − 30 དང་ − 23
(ཀ) − 20 ལས་ཆེ་བའི་མོ་གྲངས་ལྔ་བྲིས།
(ཁ) − 10 ལས་ཆུང་བའི་མོ་གྲངས་ལྔ་བྲིས།
30
35
40
རིལ་གྲངས། ༨། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ།
(ཀ) གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 8 ནི་ − 10 ཡི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད།
(ཁ) གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 100 ནི་ − 50 ཡི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། (ག) མོ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ − 1 ཡིན།
(ང) − 26 ནི་ − 25 ལས་ཆེ་བ་ཡིན།
༩། འཕར་རིམ་བཞིན་བྲིས།
(ཀ) + 1, − 1, + 2, − 2, + 13, − 13
(ཁ) − 3, − 7, + 4, 0, − 5, + 3, + 15
༡༠། ཆག་རིམ་བཞིན་བྲིས།
(ཀ) 0, + 10, + 40, − 40, − 10, + 95, − 95 (ཁ) + 444, − 4, − 44, + 4, − 444, + 44
༢་༤ གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྡོམ་རྩིས། Addition on number line
(ཀ) 3 དང་ 5 སྡོམས།
5
3
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 དཔེ་རིས་ ༢་༤
2
3
4
5
6
7
8
9
གྲངས་ཐིག་ཐོག་གི་ 0 ནས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 ཕྱིན་ཏེ། 3 ཡོད་སར་སླེབས་རྗེས། གནས་དེ་ནས་སླར་
ཡང་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 སྤོས་པ་ཡིན་ན། 8 ཡོད་སར་སླེབས། དེར་བརྟེན། 3 + 5 = 8 (དཔེ་རིས་ ༢་༤)
(ཁ) (− 3) དང་ (− 5) སྡོམས། −5
−3
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 དཔེ་རིས་ ༢་༥
2
3
4
5
6
7
8
9
གྲངས་ཐིག་ཐོག་གི་ 0 ནས་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 ཕྱིན་ཏེ། − 3 ཡོད་སར་སླེབས་རྗེས། གནས་དེ་ནས་སླར་ ཡང་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 སྤོས་ན། − 8 ཡོད་སར་སླེབས། དེར་བརྟེན། (− 3) + (− 5) = − 8 (དཔེ་རིས་ ༢་༥)
21
རྩིས་རིག
མཆན། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཕོ་གྲངས་ཡིན་ན། གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་བ་དང་། མོ་གྲངས་ཡིན་ན། གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
(ག) (+ 5) དང་ (− 3) སྡོམས།
5
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
−3
2
3
4
5
6
7
8
9
དཔེ་རིས་ ༢་༦
གྲངས་ཐིག་ཐོག་གི་ 0 ནས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 ཕྱིན་ཏེ། 5 ཡོད་སར་སླེབས་རྗེས། གནས་དེ་ནས་གཡོན་
ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 སོང་ན། 2 ཐོག་སླེབས། དེར་བརྟེན། (+ 5) + (− 3) = 2 (དཔེ་རིས་ ༢་༦)
(ང) (− 5) དང་ (+ 3) སྡོམས།
3
−5
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
དཔེ་རིས་ ༢་༧
གྲངས་ཐིག་ཐོག་གི་ 0 ནས་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 ཕྱིན་ཏེ། − 5 ཡོད་སར་སླེབས་རྗེས། གནས་དེ་ནས་
གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 སོང་ན། − 2 ཐོག་སླེབས།
དེར་བརྟེན། (− 5) + (+ 3) = − 2 (དཔེ་རིས་ ༢་༧)
ང་ཚོས་ 3 དང་ − 3 བསྡོམ་དགོས་ན།
+3
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
དཔེ་རིས་ ༢་༨
2
3
4
5
−3
ཐོག་མར་གྲངས་ཐིག་ཐོག་ 0 ནས་ + 3 བར་གོམ་པ་ 3 སྤོས། དེ་རྗེས་ 3 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 སྤོས་ན། ང་ཚོ་ ག་པར་སླེབས་སོང་། དཔེ་རིས་ ༢་༨ ལས་ 3 + (− 3) = 0
གལ་ཏེ་ 2 དང་ − 2 བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་འབྱུང་། དེ་བཞིན་ 7 དང་ − 7 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་
ཡིན། གྲངས་འདི་དག་ལ་ལྡོག་གྲངས་ (Additive inverse) ཟེར། 6 དང་ − 8 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་བྲིས།
22
རིལ་གྲངས། བྱེད་སྒོ།
མཐེབ་ཅུ་ཚོན་དཀར་པོ་དང་ནག་པོ་འགའ་ལོངས།
མཐེབ་
ཅུ་དཀར་པོ་རེས་ (+ 1) དང་མཐེབ་ཅུ་ནག་པོ་རེས་ (− 1) མཚོན་གྱི་ཡོད། མཐེབ་ཅུ་དཀར་པོ་གཅིག་དང་ནག་པོ་གཅིག་
མཐེབ་ཅུ།
རིལ་གྲངས། +5
−3
གི་ཆ་ཡིས་ཀླད་ཀོར་མཚོན། དེ་ནི། [1 + (− 1) = 0]
0
གཡས་ཀྱི་རེའུ་མིག་ནང་། མཐེབ་ཅུ་བེད་སྤྱད་དེ་རིལ་གྲངས་ མཚོན་ཡོད། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། +
+
=
(+ 3) + (+ 2) = + 5 (− 2) + (− 1) = − 3
= +
=
+
=
• ཕོ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་ཕོ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། (+ 3) + (+ 2) = + 5
• མོ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་མོ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། (− 2) + (− 1) = − (2 + 1) = − 3
• ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་སྡོམ་སྐབས་ཁྱེད་ཀྱིས་འཐེན་དགོས། ཡིན་ནའང་ལན་དུ་གྲངས་ཆེ་བའི་རྟགས་དེ་འཇོག་ དགོས། (གྲངས་དེའི་རྟགས་ལ་མ་ལྟོས་པར་གྲངས་ཆེ་བ་ཐག་གཅོད།) དཔེར་ན། (ཀ) (− 4) + (+ 3)
= (− 1) + (− 3) + (+ 3) = (− 1) + 0 =−1
(ཁ) (+ 4) + (− 3)
= (+ 1) + (+ 3) + (− 3) = (+ 1) + 0 =+1
→ → 23
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ་ ༣ གྲངས་ཐིག་ཐོག་བྲིས། ལན།
(ཀ) − 1 ལས་ 4 ཡིས་མང་བ། (ཁ) 3 ལས་ 5 ཡིས་ཉུང་བ།
(ཀ) ང་ཚོས་ − 1 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 4 སྤོས་ན། འོག་གི་དཔེ་རིས་ ༢་༩ ནང་ སྟོན་པ་བཞིན་ 3 ཐོག་སླེབས།
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
དཔེ་རིས་ ༢་༩
དེར་བརྟེན། − 1 ལས་ 4 མང་བ་ནི་ 3 ཡིན།
(ཁ) ང་ཚོས་ 3 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 སྤོས་ན། དཔེ་རིས་ ༢་༡༠ ནང་སྟོན་པ་ བཞིན་ − 2 ཐོག་སླེབས།
−5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
དཔེ་རིས་ ༢་༡༠
དེར་བརྟེན། 3 ལས་ 5 ཉུང་བ་ནི་ −2 ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༢་༡༠)
རྩིས་དཔེ་ ༤ བསྡོམས་ཐོབ་ཚོལ། (− 9) + (+ 4) + (− 6) + (+ 3) ལན།
(− 9) + (+ 4) + (− 6) + (+ 3)
= (− 9) + (− 6) + (+ 4) + (+ 3) = (− 15) + (+ 7) =−8
༡། གྲངས་ཐིག་ཐོག་བྲིས།
(ཀ) 5 ལས་ 3 མང་བ།
(ག) 2 ལས་ 6 ཉུང་བ།
24
སྦྱོང་ཚན། ༢་༢
(ཁ) − 5 ལས་ 5 མང་བ། (ང) − 2 ལས་ 3 ཉུང་བ།
སྟབས་བདེའི་ཆེད་གྲངས་རྣམས་ བསྐྱར་སྒྲིག་བྱ་དགོས།
རིལ་གྲངས། ༢། གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྡོམས། (ཀ) 9 + (− 6)
(ག) (− 5) + 10
༣། གྲངས་ཐིག་མ་སྤྱད་པར་སྡོམས།
(ཀ) (− 250) + (+ 150)
(ག) (− 7) + (− 9) + 4 + 16
(ཅ) 137 དང་། − 354
(ཇ) − 50, − 200 དང་། 300
(ཁ) (− 1) + (− 7)
(ང) (− 1) + (− 2) + (− 3)
(ཁ) (− 380) + (− 270)
(ང) 37 + (− 2) + (− 65) + (− 8) (ཆ) − 52 དང་། 52
(ཉ) − 312, 39 དང་། 192
༢་༥ གྲངས་ཐིག་ཐོག་འཐེན་རྩིས། Subtraction on number line གལ་ཏེ་ − 5 ནས་ − 4 འཐེན་དགོས་ན། =−5
= − 5 − (− 4) = − 1 ལྷག་ཡོད།
དེར་བརྟེན། − 5 − (− 4) = − 1
ཐབས་ལམ་གཞན་ནི། − 5 − (− 4) དང་། − 5 + 4 གཉིས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན། གང་ཡིན་ཟེར་ན། − 4 ཡི་ལྡོག་
གྲངས་ནི་ 4 ཡིན། དེར་བརྟེན། − 5 ལ་ − 4 ཡི་ལྡོག་གྲངས་སྡོམ་པ་དང་ − 5 ནས་ − 4 འཐེན་པ་གཉིས་གཅིག་ མཚུངས་ཡིན།
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 5 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 4 སྤོས། (དཔེ་རིས་ ༢་༡༡) ང་ཚོ་ − 1 ཐོག་ སླེབས། དེ་ནི། − 5 + 4 = − 1 དེར་བརྟེན། − 5 − (− 4) = − 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 དཔེ་རིས་ ༢་༡༡
2
3
4
5
6
7
རྩིས་དཔེ་ ༥ གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 8 − (− 10) ཚོལ། ལན།
− 10 ཡི་ལྡོག་གྲངས་ 10 ཡིན་པས། − 8 − (− 10) དང་ − 8 + 10 གཉིས་མཉམ་པ་ཡིན།
25
རྩིས་རིག གྲངས་ཐིག་ཐོག་ − 8 ཀྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 10 སྤོས་ན། 2 ཐོག་སླེབས། (དཔེ་རིས་ ༢་༡༢) དེར་བརྟེན། − 8 − (− 10) = 2 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 དཔེ་རིས་ ༢་༡༢
1
2
3
4
5
6
7
རྩིས་དཔེ་ ༦ − 12 − (− 16) ཚོལ། ལན།
− 12 − (− 16) = − 12 + (− 16 གི་ལྡོག་གྲངས།) = − 12 + 16 = 4
རིལ་གྲངས་ཤིག་ནས་རིལ་གྲངས་གཞན་ཞིག་འཐེན་སྐབས། འཐེན་བྱའི་ལྡོག་གྲངས་སྡོམ་དགོས།
རྩིས་དཔེ་ ༧ − 3 − (+ 3) ཚོལ། ལན།
− 3 − (+ 3) = − 3 + (+ 3 གྱི་ལྡོག་གྲངས།) = (− 3) − 3 =−6
སྦྱོང་ཚན། ༢་༣
༡། ཚོལ།
(ཀ) 0 − (− 15)
(ཁ) 23 − (− 12)
(ག) 35 − (20)
(ང) (− 5) − (− 5)
(ཅ) (− 20) − 13
(ཆ) (− 32) − (− 40)
༢། བར་སྟོང་ནང་ ( >, =, < ) གང་འོས་སྐོངས། (ཀ) (− 3) + (− 6)
(− 3) − (− 6)
(ཁ) (− 21) − (− 10) (ག) 45 − (− 8)
(ང) (− 25) − (− 42)
༣། ཁ་སྐོངས།
26
(ཀ) (− 9) +
=0
(− 31) + (− 11)
57 + (− 4) (− 42) − (− 25)
རིལ་གྲངས། (ཁ) 12 + (− 12) = (ག) (− 4) + (ང)
= − 12
− 15 = − 10
༤། ཚོལ།
(ཀ) − 7 − 8 − (− 25)
(ཁ) 50 − (− 40) − (− 2)
(ག) − 7 + (− 8) + (− 90) (ང) (− 13) + 32 − 8 − 1
༥། − 230 དང་ 169 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ − 25 ནས་འཐེན།
༢་༦ སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of addition and subtraction ༢་༦་༡ སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་བ། Closure under addition
སློན་ཚན་དང་པོར་ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པ་སྦྱངས་ཡོད། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས།
༡) 17 + 23
=
40
བསྡོམས་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
༤) 19 + (− 25)
= −6
བསྡོམས་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
༢) (− 10) + 3
༣) 27 + (− 27) ༥) (− 20) + 0
= = =
དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་ཡིན། དེས་ན། རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་ གནས་ཀྱི་ཡོད།
༢་༦་༢ འཐེན་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་བ། Closure under subtraction
རིལ་གྲངས་ཤིག་ནས་རིལ་གྲངས་གཞན་ཞིག་འཐེན་ན་གང་འབྱུང་ངམ། འཐེན་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན་ནམ། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས།
27
རྩིས་རིག ༡) 7 − 9
༢) 17 − (− 21)
འཐེན་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
= −2 =
༣) (− 18) − (− 18) =
༤) (− 21) − (− 10) = − 11 ༥) (− 29) − 0
འཐེན་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
=
རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་ཡིན། ཡོད།
རིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་སུའང་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་
༢་༦་༣ བརྗེ་སྲོལ། Commutative property
ང་ཚོས་ 3 + 5 = 5 + 3 = 8 ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེ་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་སུའང་གནས་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན།
5 + (− 6) = − 1 དང་། (− 6) + 5 = − 1
དེར་བརྟེན། 5 + (− 6) = (− 6) + 5
རིལ་གྲངས་གང་རུང་གཉིས་གོ་རིམ་བརྗེས་ཏེ་བསྡོམས་ནའང་། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ཁྱད་པར་མེད། དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་སུའང་བརྗེ་སྲོལ་འགྲིག
རིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། དཔེར་ན།
5 − (− 3) དང་། (− 3) − 5 གཉིས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ནམ།
མིན། གང་ཡིན་ཟེར་ན། 5 − (− 3) = 5 + 3 = 8 དང་། (− 3) − 5 = − 3 − 5 = − 8 དེ་ནི། 5 − (− 3) ≠ (− 3) − 5
དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
༢་༦་༤ སྡེབ་སྲོལ། Associative property
(− 5) + [(− 3) + (− 2)] དང་། [(− 5) + (− 3)] + (− 2) གཉིས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་ལ་ལྟོས་དང་།
28
(− 5) + [(− 3) + (− 2)]
[(− 5) + (− 3)] + (− 2)
= (− 5) + (− 5)
= (− 8) + (− 2)
=−5−5
=−8−2
= − 10
= − 10
རིལ་གྲངས། སྡོམ་རྩིས་དང་པོའི་ནང་ (− 3) དང་ (− 2) ཆ་སྒྲིག་བྱས་ཡོད།
སྡོམ་རྩིས་གཉིས་པའི་ནང་ (− 5) དང་ (− 3) ཆ་སྒྲིག་བྱས་ཡོད། རྩིས་ཐབས་གཉིས་ཀ་ལས་ང་ཚོར་བསྡོམས་ཐོབ་ − 10 འབྱུང་།
དེར་བརྟེན། (− 5) + [(− 3) + (− 2)] = [(− 5) + (− 3)] + (− 2) གྲངས་གསུམ་སྡོམ་སྐབས་ཐོག་མ་རུ།། སྔ་མ་གཉིས་ཀ་སྡོམ་པའམ།།
ཡང་ན་གྲངས་ཀ་རྗེས་མ་གཉིས།། བསྡོམས་ཀྱང་བསྡོམས་ཐོབ་མི་འགྱུར་རོ།། ༢་༦་༥ ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས། Property of zero
ཧྲིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་གི་ཐོག་ཀླད་ཀོར་བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཧྲིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན། ཀླད་ཀོར་ནི་ཧྲིལ་ གྲངས་ཀྱི་སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ་རེད། དེ་རིལ་གྲངས་སྐབས་སུའང་ཡིན་ནམ། གཤམ་གསལ་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། (ཀ) (− 8) + 0 = − 8
(ཁ) 0 + (− 37) = − 37 (ག) (− 23) + 0 = (ང) − 61 + (ཅ)
= − 61
+0=
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས་ཀླད་ཀོར་ནི་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ་ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ།
རིལ་གྲངས་གང་ཞིག་ཀླད་ཀོར་དང་།། སྡོམ་ཚེ་རིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཐོབ།།
རྩིས་དཔེ་ ༨ གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་གཉིས་རེ་བྲིས། ལན།
(ཀ) བསྡོམས་ཐོབ་ − 3 (ག) འཐེན་ཐོབ་ 2
(ཁ) འཐེན་ཐོབ་ − 5 (ང) བསྡོམས་ཐོབ་ 0
(ཀ) (− 1) + (− 2) = − 3 དང་། (− 5) + 2 = − 3
(ཁ) (− 9) − (− 4) = − 5 དང་། (− 2) − 3 = − 5 (ག) (− 7) − (− 9) = 2
(ང) (− 95) + 95 = 0
དང་། 1 − (− 1) = 2
དང་། 76 + (− 76) = 0
29
རྩིས་རིག དགོས་མཁོ།
(ཀ) མཐེབ་ཅུ་དཀར་པོ་ 10 དང་ནག་པོ་ 10
བྱེད་སྒོ།
(ཁ) ཤོག་བུའི་སྟེང་ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ཡོད་པའི་རྩིས་ཕྲེང་འགའ། དཔེར་ན། + 5 − 7 བྱེད་ཐབས།
(ཀ) མཐེབ་ཅུ་དཀར་པོས་ཕོ་རྟགས་དང་མཐེབ་ཅུ་ནག་པོས་མོ་རྟགས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
(ཁ) སློབ་མ་རེ་ཡིས་རྩིས་ཕྲེང་རེ་བླངས་ཏེ། རྩིས་ཕྲེང་ནང་གི་ཕོ་གྲངས་དང་མཚུངས་པའི་མཐེབ་ཅུ་དཀར་ པོ་འཇོག རྩིས་ཕྲེང་ནང་གི་མོ་གྲངས་དང་མཚུངས་པའི་མཐེབ་ཅུ་ནག་པོ་ལོངས།
(ག) ཕོ་གཅིག་དང་མོ་གཅིག་ནི་ཀླད་ཀོར་ཡིན་ཙང་། མཐེབ་ཅུ་ནག་པོ་གཅིག་ལ་མཐེབ་ཅུ་དཀར་པོ་གཅིག་ ཕྱིར་འཐེན་བྱོས། བྱས་ན་ཁྱེད་ལ་མཐེབ་ཅུ་རིགས་གང་ཞིག་གྲངས་ག་ཚོད་ལྷག་ཡོད་དམ།
དཔེར་ན། རྩིས་ཕྲེང་ + 5 − 7 ཡིན་ན། མཐེབ་ཅུ་ནག་པོ་གཉིས་ལྷག་གི་ཡོད། དེ་ནི་ − 2 རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༢་༤
༡། རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས།
(ཀ) བསྡོམས་ཐོབ། − 7
(ཁ) འཐེན་ཐོབ། − 10
༢། (ཀ) འཐེན་ཐོབ་ 8 ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས།
(ཁ) བསྡོམས་ཐོབ་ − 3 ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས།
(ག) བསྡོམས་ཐོབ། 0
(ག) འཐེན་ཐོབ་ − 5 ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས།
༣། ཨང་རྩིས་འདྲི་རྩད་ཞིག་གི་བརྒྱུད་རིམ་གསུམ་ལས། རུ་ཁག་ཀ་པའི་ཐོབ་གྲངས་
ནི་ 10, −5, 8 དང་། རུ་ཁག་ཁ་པའི་ཐོབ་གྲངས་ནི་ 9, −10, 7 བཅས་ཡིན།
བྱས་ན་རུ་ཁག་གང་ལ་རྒྱལ་ཁ་ཐོབ་འདུག་གམ།
༤། བར་སྟོང་སྐོངས།
(ཀ) (− 5) + (− 8) = (− 8) + (ཁ) − 53 + (ག) 17 +
= − 53
=0
(ང) (− 4) + [15 + (− 3)] = [(− 4) + 15] + (ཅ) [13 + (− 12)] +
30
= 13 + [(− 12) + (− 7)]
རུ་ཁག་ཀ་པ། རུ་ཁག་ཁ་པ། 10 −5 8
9 −10 7
རིལ་གྲངས།
༢་༧ གུག་རྟགས་སྤྱོད་པའི་རྩིས་ཐབས། Operations using brackets ༢་༧་༡ རྩིས་ཐབས་ཀྱི་གོ་རིམ། Order of operations
ང་ཚོས་རྩིས་ཕྲེང་སྟབས་བསྡུས་བཟོ་སྐབས་གོ་རིམ་བཞིན་བགོད་རྩིས་དང་། སྒྱུར་རྩིས། སྡོམ་རྩིས། འཐེན་རྩིས་བཅས་ བརྩི་དགོས། གོ་རིམ་འདི་ལ་མཉམ་བསྲེས་རྩིས་གཞིའི་རྩིས་ཐབས་ 'ODMAS' ཟེར། འདིར། O ཡིས་འབྲེལ་ཚིག
(of) དང་། D ཡིས་བགོད་རྩིས། (division) M གྱིས་སྒྱུར་རྩིས། (multiplication) A ཡིས་སྡོམ་རྩིས། (addi-
tion) S ཡིས་འཐེན་རྩིས་ (subtraction) བཅས་མཚོན།
དཔེར་ན། རྩིས་ཕྲེང་ 36 − 6 ÷ 3 ནང་། འཐེན་རྩིས་སྔོན་ལ་བགོད་རྩིས་རྒྱག་དགོས། 6 ÷ 3 = 2 དང་། དེ་རྗེས་ 36 − 2 = 34
དེ་བཞིན། 48 + 5 × 3 ནང། དང་པོ་སྒྱུར་རྩིས་རྒྱག་དགོས། 5 × 3 = 15 དང་། དེ་རྗེས་ 48 + 15 = 63
རྩིས་དཔེ་ ༩ སྟབས་བསྡུས་བཟོས། 7 × 3 − 4 + 60 ÷ 10 ལན།
7 × 3 − 4 + 60 ÷ 10
=7×3−4+6 = 21 − 4 + 6 = 21 + 6 − 4 = 27 − 4 = 23
(བགོད་རྩིས། 60 ÷ 10 = 6)
(སྒྱུར་རྩིས།
7 × 3 = 21)
(21 དང་ 6 གཉིས་བསྡོམས་རྗེས་བསྡོམས་ཐོབ་ 27 ནས་ 4 འཐེན།)
རྩིས་དཔེ་ ༡༠ སྟབས་བསྡུས་བཟོས། 800 − 10 ཡི་ 70 + 400 ÷ 4 − 3 × 60 ལན།
(ང་ཚོས་མན་ངག་ 'ODMAS' ལྟར། འབྲེལ་ཚིག་ (of) ནི་བགོད་རྩིས་སྔོན་ལ་བརྩི་དགོས། 10 ཡི་ 70 ནི་ 10 × 70 ཡིན། )
800 − 10 ཡི་ 70 + 400 ÷ 4 − 3 × 60
= 800 − 700 + 400 ÷ 4 − 3 × 60 = 800 − 700 + 100 − 3 × 60 = 800 − 700 + 100 − 180 = 900 − 700 − 180 = 900 − 880 = 20
(10 ཡི་ 70 = 700) (བགོད་རྩིས། 400 ÷ 4 = 100)
(སྒྱུར་རྩིས། 3 × 60 = 180) (སྡོམ་རྩིས། 800 + 100 = 900) (སྡོམ་རྩིས། − 700 − 180 = − 880) (འཐེན་རྩིས། 900 − 880 = 20 )
31
རྩིས་རིག ༣་༧་༢ གུག་རྟགས་སྟབས་བསྡུས་བཟོ་བ། Simplification of brackets
གུག་རྟགས་ནི་རྩིས་ཕྲེང་རིང་པོ་ཞིག་སྡེ་ཚན་དུ་དབྱེ་བར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གི་ཚན་པ་རྣམས་སྟབས་བསྡུས་བཟོ་དགོས།
དེའི་སྐབས་སྔོན་ལ་གུག་རྟགས་ནང་
མཉམ་བསྲེས་རྩིས་གཞིའི་རྩིས་ཐབས་ལུགས། BODMAS rule B
O
- གུག་རྟགས། (Brackets) - འབྲེལ་ཚིག (Of)
DM - བགོད་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་གཡོན་ནས་གཡས། (Division and Multiplication) AS - སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་གཡོན་ནས་གཡས། (Addition and Subtraction)
རྩིས་དཔེ་ ༡༡ སྟབས་བསྡུས་བཟོས། 30 + (20 − 10) ལན།
འདིར། འཐེན་རྩིས་ནི་གུག་རྟགས་ཀྱི་ནང་དུ་ཡོད་པས་སྔོན་ལ་འཐེན་རྩིས་རྒྱག་དགོས།
དེར་བརྟེན།
30 + (20 − 10)
= 30 + 10 = 40
རྩིས་དཔེ་ ༡༢ ངག་དབང་གིས་བྱི་རིལ་ 20 ཉོས་རྗེས་ 5 བཟས་པ་དང་ལྷག་མ་རྣམས་གྲོགས་པོ་གསུམ་ལ་ཆ་སྙོམས་ཀྱིས་ ལན།
བགོས་པ་རེད། བྱས་ན་ངག་དབང་གིས་གྲོགས་པོ་རེ་ལ་བྱི་རིལ་ག་ཚོད་སྤྲད་ཡོད་དམ།
སྔོན་ལ་བྱི་རིལ་ 20 ནས་ངག་དབང་གིས་བྱི་རིལ་ 5 བཟས་པ་དེ་འཐེན་དགོས། དེ་རྗེས་གྲོགས་པོ་གསུམ་
ལ་བྱི་རིལ་ལྷག་མ་རྣམས་བགོ་དགོས།
གྲོགས་པོ་རེ་ལ་སྤྲད་པའི་བྱི་རིལ་ = (20 − 5) ÷ 3 = 15 ÷ 3 =5
(སྔོན་ལ་གུག་རྟགས་ནང་བརྩི་དགོས།)
དེར་བརྟེན། གྲོགས་པོ་གསུམ་ལ་བྱི་རིལ་ 5 རེ་སྤྲད་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༡༣ སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
༡། 20 − (10 + 2 − 3) = 20 − (12 − 3) = 20 − 9 = 11
32
རིལ་གྲངས། ༢། 30 − 5 × 2 ཀྱི་ 3 + (19 − 3) ÷ 8 = 30 − 5 × 2 ཀྱི་ 3 + 16 ÷ 8
(གུག་རྟགས་འདོར་བ།)
= 30 − 30 + 2
(5 × 6 = 30)
= 32 − 30
(30 + 2 = 32)
=2
(32 − 30 = 2)
(2 ཀྱི་ 3 = 2 × 3 = 6 )
= 30 − 5 × 6 + 16 ÷ 8
= 30 − 5 × 6 + 2
༡། སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
(ཀ) 18 − (3 + 5)
(16 ÷ 8 = 2)
སྦྱོང་ཚན། ༢་༥
(ཁ) 27 + 20 ÷ 5
(ག) 3 − (5 − 6 ÷ 3)
(ང) 40 × 10 ÷ 5 + 20
(ཅ) 28 − 5 ཡི་ 2 + 2
(ཆ) 24 + 33 ÷ (34 − 23)
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། མོ་གྲངས་ནི་ཀླད་ཀོར་ལས་ཆུང་བའི་གྲངས་མཚོན་ཆེད་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། གྱོང་དང་། རྒྱ་མཚོའི་ གཏིང་ཚད། རིན་གོང་ཆག་པ། དྲོད་ཚད་ 0oC ལས་ཉུང་བ་སོགས་ཀྱི་སྐབས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
༢། ... − 4,− 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,4, ... སོགས་ལ་རིལ་གྲངས་ཟེར།
དེ་དག་ལས། − 1, − 2, − 3, − 4, ... སོགས་ལ་རིལ་གྲངས་མོ་དང་། 1, 2, 3,4, ... སོགས་ལ་རིལ་གྲངས་
ཕོ་ཟེར། ཀླད་ཀོར་ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་མོ་གང་ཡང་མིན།
༣། ཀླད་ཀོར་ནི་ཕོ་གྲངས་ཚང་མ་ལས་ཆུང་བ་དང་མོ་གྲངས་ཚང་མ་ལས་ཆེ་བ་ཡིན།
༤། གྲངས་ཐིག་ཐོག་གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་རིལ་གྲངས་ནི་རྟག་ཏུ་གཡོན་ཕྱོགས་ཀྱི་རིལ་གྲངས་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། ༥། (ཀ) ང་ཚོར་རྟགས་གཅིག་པ་ཡོད་སྐབས། བསྡོམས་ཏེ་རྟགས་རང་འཇགས་འཇོག
• ཕོ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཕོ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། (+ 3) + (+ 2) = + 5
• མོ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་མོ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། (− 3) + (− 2) = − 5
33
རྩིས་རིག (ཁ) ཕོ་གྲངས་གཅིག་དང་མོ་གྲངས་གཅིག་སྡོམ་སྐབས། དེ་དག་འཐེན་ནས་རིལ་གྲངས་ཆེ་བའི་རྟགས་འཇོག འདིར་རིལ་གྲངས་ཀྱི་རྟགས་ལ་མ་ལྟོས་པར་གྲངས་ཆེ་བ་ཐག་གཅོད་དགོས། དཔེར་ན། (+ 4) + (− 3) = + 1 དང་། (− 4) + (+ 3) = − 1
(ག) རིལ་གྲངས་ཤིག་གི་འཐེན་རྩིས་ནི་རིལ་གྲངས་དེའི་ལྡོག་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན།
༦། རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས།
(ཀ) རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་གཉིས་ཀའི་སྐབས་སུ་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། (ཁ) རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་འགྲིག
(ག) རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་འགྲིག
(ང) རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་ 0 ནི་སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ་ཡིན།
༧། གུག་རྟགས་དང་རྩིས་ཐབས་ཡོད་པའི་རྩིས་ཕྲེང་སྟབས་བསྡུས་བཟོ་བར། ཐབས་བཞི་རྩིས་གཞིའི་རྩིས་ཐབས་ ལུགས་ (BODMAS) བེད་སྤྱོད་བྱ་དགོས།
34
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། སློབ་ཚན་གསུམ་པ།
༣་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་འཛིན་གྲྭ་ལྔ་པའི་ནང་སྦྱངས་ཟིན་པའི་བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ ཤོས་དང་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་བཅས་ཀྱི་དྲན་གསོ་དང་སྦྲགས། གྲངས་ཀྱི་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་དང་ གུག་རྟགས་སྤྱོད་པའི་རྩིས་ཐབས་མང་ཙམ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༣་༢ བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། Factors and Multiples ༣་༢་༡ བགོད་གྲངས། Factors
ང་ཚོས་ 4 × 3 = 12 ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། འདིར། 4 དང་ 3 ནི་ 12 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན།
གྲངས་ཤིག་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་དེ་ལ་བགོད་གྲངས་ཟེར།
དཔེར་ན། 32 ནི་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། དེར་བརྟེན། 4 ནི་ 32 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན།
32 ནི་ 8 ཀྱིས་ཀྱང་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། དེར་བརྟེན། 8 ནི་ 32 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན།
32 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ནི། 1 × 32 = 32 2 × 16 = 32 4 × 8 = 32
དེར་བརྟེན། 1, 2, 4, 8, 16, 32 ནི་ 32 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན།
རྩིས་དང་།
15 དང་ 30, 36 གི་ བགོད་གྲངས་ཚོལ།
༣་༢་༢ ལྡབ་གྲངས། Multiples
གྲངས་ 3 དང་ 4 བསྒྱུར་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ 12 ནི་གྲངས་ 3 དང་ 4 གཉིས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན།
35
རྩིས་རིག གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན།
རྩིས་དང་།
དཔེར་ན། 3 × 4 = 12
9 དང་ 10, 11 གི་ལྡབ་ གྲངས་དང་པོ་ལྔ་བྲིས།
དེར་བརྟེན། 12 ནི་ 3 དང་ 4 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན། དེ་མཚུངས། 1 × 12 = 12; 2 × 6 = 12
དེར་བརྟེན། 12 ནི་ 1, 2, 3, 4, 6, 12 བཅས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན།
༣་༢་༣ བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of factors and multiples ༡། 1 ནི་གྲངས་ཚང་མའི་བགོད་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། 1 × 2 = 2; 1 × 3 = 3
༢། གྲངས་ཚང་མ་རང་ཉིད་ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། 2 × 1 = 2; 3 × 1 = 3
5 × 6 = 30
བགོད་གྲངས།
༣། བགོད་གྲངས་ནི་གྲངས་རང་ཉིད་ལས་ཆུང་བའམ་ཡང་ན་མཉམ་པ་ཡོད།
ལྡབ་གྲངས།
དཔེར་ན། 1 × 8 = 8
2×4=8 4×2=8 8×1=8
༤། བགོད་གྲངས་རྣམས་གྲངས་འདྲེན་བྱེད་ཐུབ།
དཔེར་ན། 64 ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
དེ་ནི། 64 ལ་བགོད་གྲངས་ 7 ཡོད།
༥། ལྡབ་གྲངས་ནི་གྲངས་རང་ཉིད་དང་མཉམ་པའམ་ཡང་ན་ཆེ་བ་ཡོད། དཔེར་ན། 7 × 1 = 7
7 × 2 = 14 7 × 3 = 21
7 × 4 = 28 ༦། གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ལ་མཐའ་མེད།
དཔེར་ན། 7 གྱི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, ... སོགས་ཡིན།
༧། གྲངས་ཚང་མ་རང་ཉིད་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། 2 ནི་ 2 ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན།
36
32 ནི་ 32 ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན།
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། ༡། བགོད་གྲངས་ཚང་མ་ཚོལ། (ཀ) 12
(ཁ) 15
(ཀ) 5
(ཁ) 8
(ཅ) 23
སྦྱོང་ཚན། ༣་༡
(ཆ) 24
༢། ལྡབ་གྲངས་དང་པོ་ལྔ་བྲིས།
(ག) 18
(ང) 20
(ག) 9
(ང) 12
(ཇ) 27
༣། 12 ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ 100 ལས་ཆུང་བ་ཚང་མ་བྲིས།
(ཉ) 36
༣་༣ གྲངས་ཀ་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ། Tests for divisibility of numbers 2 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
ཁྱེད་ཀྱིས་ 2 ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ 10, 12, 14, 16, 18... དང་གྲངས་ 210, 352, 584, 906, 1528 སོགས་ལ་ ལྟ་ཞིབ་བྱོས་དང་། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0, 2, 4, 6, 8 ཁོ་ན་ཡོད་པ་མཐོང་ཐུབ། གལ་ཏེ་
གྲངས་འདི་དག་ལ་ 2 ཀྱིས་བགོས་པ་ཡིན་ན། དེ་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། གྲངས་ 247 དང་ 829 ནི་ 2 ཀྱིས་
ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི། གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0, 2, 4, 6, 8 མེད། དེར་བརྟེན། གོང་གི་
ཚོད་ལྟ་ལས་གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0, 2, 4, 6, 8 ཡོད་ན། ང་ཚོས་གྲངས་དེ་ 2 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ ཐུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ།
3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
གྲངས་ 21, 27, 36, 54, 219 སོགས་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་བམ། བགོ་ཐུབ། གྲངས་ 25, 37, 50, 260 སོགས་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་བམ། བགོ་མི་ཐུབ།
གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ 21, 54, 219 བཅས་ཀྱི་གྲངས་གནས་རྣམས་བསྡོམས་པ་ཡིན་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་གང་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ། 2 + 1 = 3, 5 + 4 = 9, 2 + 1 + 9 = 12 བཅས་བསྡོམས་ཐོབ་འདི་དག་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
25, 37, 260 བཅས་ཀྱི་གྲངས་གནས་ཚང་མ་བསྡོམས་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོར་ 2 + 5 = 7, 3 + 7 = 10, 2 + 6 +
0 = 8 བཅས་འབྱུང་། བསྡོམས་ཐོབ་འདི་དག་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ། དེར་བརྟེན། གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་
གནས་ཚང་མའི་བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
གྲངས་ 212, 1936, 3516 ལ་དཔེ་བཞག་ན།
37
རྩིས་རིག 212 ཀྱི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་ 12 ནི་4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
1936 གི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་ 36 ནི་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
286 གི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་ 86 ནི་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གྲངས་གནས་ 3 མམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་ གྲངས་དེ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
གྲངས་ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... སོགས་ 5 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན། གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་ལ་ལྟོས་ དང་། འདིར་གྲངས་ཚང་མའི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡང་ན། 5 ཡོད།
ཁྱེད་ཀྱིས་ 5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་ 105, 290, 605, 3500 སོགས་ལ་དཔེ་བཞག་ན། གྲངས་འདི་
དག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡང་ན། 5 ཡོད། བྱས་ཙང་གྲངས་འདི་དག་ 5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
གྲངས་ 27, 56, 97 སོགས་ 5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི། གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡང་
ན་ 5 མེད། དེར་བརྟེན། གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡང་ན། 5 ཡོད་ན། གྲངས་དེ་ 5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་
ཐུབ།
6 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
ཁྱེད་ཀྱིས་ 2 དང་ 3 གཉིས་ཀས་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་ཀ་ཞིག་ངོས་འཛིན་བྱོས་དང་། དེ་འདྲའི་གྲངས་ཀ་གཅིག་ནི་ 18
ཡིན། 18 ནི་ 2 × 3 = 6 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། 27 ནི་ 3 གྱིས་མ་གཏོགས་ 2 ཀྱིས་བགོ་མི་ཐུབ། 27 ནི་ 6 གིས་ བགོ་མི་ཐུབ། དེར་བརྟེན། གོང་གི་ཚོད་ལྟ་ལས་གྲངས་ཤིག་ལ་ 2 དང་ 3 གཉིས་ཀས་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 6 གིས་
ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
1416, 2104, 8216 བཅས་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་བམ། གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས།
བརྒྱ་གནས་བཅས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་གོ་རིམ་བཞིན་ 416, 104, 216 བཅས་ནི་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་དང་། བཅུ་གནས། བརྒྱ་གནས་བཅས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་དེ་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་ བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། 73512 ནི་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་བམ། 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
9 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 9, 18, 27, 36, 45, 54,... ཡིན། གྲངས་ 4608, 5283 ནི་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
གྲངས་འདི་དག་ཀྱི་གྲངས་གནས་ཚང་མ་བསྡོམས་པ་ཡིན་ན།
38
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས།
1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, 3 + 6 = 9, 4 + 5 = 9, 4 + 6 + 0 + 8 = 18, 5 + 2 + 8 + 3 = 18 བསྡོམས་ཐོབ་ཚང་མ་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
758 ནི་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་བམ། བགོ་ཐུབ་ཀྱི་མ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། དེའི་གྲངས་གནས་ཚང་མའི་བསྡོམས་ ཐོབ་ 7 + 5 + 8 = 20 ནི་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གོང་གི་ཚོད་ལྟ་ལས་གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་གནས་ཚང་མའི་བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་
ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ཉིད་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། 10 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
10 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 10, 20, 30, 40, 50, 60,... ཡིན། གྲངས་ཚང་མའི་ནང་ཐུན་མོང་གང་འདུག་གམ། གྲངས་
ཚང་མའི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡོད། ཡང་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡོད་པའི་གྲངས་གཞན་ 100, 2100, 3200, 7010 སོགས་ཀྱང་ 10 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡོད་ན། གྲངས་དེ་ 10 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས།
308 དང་ 1331, 61809 སོགས་ནི་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། ང་ཚོས་རེའུ་མིག་ཅིག་བཟོས་ཏེ་ 11 གིས་ཧྲིལ་ པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་བྱེད་ཀྱི་ཡིན།
གཡས་ཕྱོགས་ནས་གྲངས་
གཡས་ཕྱོགས་ནས་གྲངས་ གནས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
8 + 3 = 11
(ཆ་གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག)
ཧེ་བག
0
11 − 0 = 11
1331
1+3=4
3+1=4
4−4 =0
61809
9 + 8 + 6 = 23
0+1=1
23 − 1 = 22
གྲངས། 308
གནས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
(ཡ་གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག)
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ཧེ་བག་ཚང་མ་ 0 ཡང་ན། 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་མཐོང་ཐུབ། དེར་བརྟེན། གྲངས་འདི་དག་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། 5081 ལ་དཔེ་བཞག་ན། གྲངས་གནས་ཀྱི་ཧེ་བག་ (8 + 5) − (1 + 0) = 12 ནི་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། 5081 ནི་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་མི་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་ནི། གྲངས་ཤིག་གི་ཡ་གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་ བསྡོམས་ཐོབ་ (གཡས་ཕྱོགས་ནས་) དང་ཆ་གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་(གཡས་ཕྱོགས་
39
རྩིས་རིག ནས་) གཉིས་ཀྱི་ཧེ་བག་འཚོལ་དགོས། གལ་ཏེ་ཧེ་བག་ནི་ 0 ཡང་ན་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 11
གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
སྒམ་ཆུང་ཞིག་གི་ནང་གྲངས་གནས་ 4 ཡང་ན། 5 ཅན་གྱི་ཤོག་བྱང་གང་མང་། བྱེད་ཐབས།
སློབ་མ་ཚང་མས་སྒམ་ཆུང་ནང་ནས་ཤོག་བྱང་རེ་ལེན་དགོས། ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་བེད་སྤྱད་དེ་
ཁྱེད་ལ་ཐོབ་པའི་གྲངས་ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཚང་མ་ཚོལ། ( 2 ནས་ 11 བར། ) བགོད་གྲངས་རྣམས་ཤོག་བྱང་གི་
རྒྱབ་ངོས་སུ་བྲིས། དཔེར་ན། 452094 ནི་ 2 དང་ 3, 6 སོགས་ཀྱི་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ། དེ་རྗེས་སློབ་མ་སོ་སོའི་ལན་དགེ་རྒན་ལ་སྟོན་དགོས།
སྦྱོང་ཚན། ༣་༢
༡། ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་བེད་སྤྱད་དེ། གཤམ་གྱི་གྲངས་རྣམས་ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 བཅས་ ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་ལྟོས། (ཡོད་མེད་བྲིས།) གྲངས།
128 990 1586 275 6686 639210 429714 2856 3060 406839
2
3
4
5
6
8
9
10
11
ཡོད།
མེད།
ཡོད།
མེད།
མེད།
ཡོད།
མེད།
མེད།
མེད།
༢། གཤམ་གྱི་གྲངས་རྣམས་ 4 དང་། 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་ལྟོས། (ཀ) 572
40
(ཁ) 1700
(ག) 2150
(ང) 4096
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། (ཅ) 5500
(ཆ) 6000
(ཇ) 21408
(ཅ) 12583
(ཆ) 438750
(ཅ) 10000001
(ཆ) 70169308
༣། གཤམ་གྱི་གྲངས་རྣམས་ 6 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་ལྟོས། (ཀ) 96
(ཁ) 986
(ག) 1258
(ཁ) 10824
ག) 901153
(ཇ) 639210
༤། གཤམ་གྱི་གྲངས་རྣམས་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་ལྟོས། (ཀ) 5445
(ཉ) 31795072
(ང) 4332
(ཉ) 1000000
(ང) 7138965
༥། གཤམ་གྱི་བར་སྟོང་ནང་གྲངས་གནས་ཆུང་ཤོས་དང་ཆེ་ཤོས་རེ་བསྐངས་རྗེས། གྲངས་དེ་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ པ་བཟོས། (ཀ)
6742
(ཁ) 4765
2
༦། གཤམ་གསལ་གྱི་བར་སྟོང་ནང་གྲངས་གནས་གང་རུང་བསྐངས་རྗེས། གྲངས་དེ་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པ་ བཟོས།
(ཀ) 92
389
(ཁ) 8
9484
༣་༤ རྒྱུ་གྲངས་དང་འདུ་གྲངས། Prime numbers and composite numbers གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ཞིབ་པར་ལྟོས་དང་། གྲངས། 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
བགོད་གྲངས།
1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10
བགོད་གྲངས་ཀྱི་གྲངས། 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
41
རྩིས་རིག གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས།
(ཀ) གྲངས་ 1 ལ་བགོད་གྲངས་གཅིག་ལས་མེད། དེ་ནི་རང་ཉིད་ཡིན།
(ཁ) གྲངས་འགའ་ཤས་ལ་བགོད་གྲངས་གཉིས་ཡོད། དེ་ནི་ 1 དང་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན། དེ་ལྟ་བུའི་གྲངས་ནི་ 2, 3, 5, 7, 11 སོགས་ཡིན། གྲངས་འདི་དག་ལ་རྒྱུ་གྲངས་ཟེར།
བགོད་གྲངས་གཉིས་ཡོད་པའི་གྲངས་ལ་རྒྱུ་གྲངས་ཟེར། བགོད་གྲངས་གཉིས་ནི་ 1 དང་གྲངས་རང་ཉིད་ཡིན།
(ག) བགོད་གྲངས་གཉིས་ལས་མང་བ་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱང་ཡོད། དཔེར་ན། 4, 6, 9, 10, 12 སོགས་ཡིན། གྲངས་ འདི་དག་ལ་འདུ་གྲངས་ཟེར། བགོད་གྲངས་གཉིས་ལས་མང་བ་ཡོད་པའི་གྲངས་ལ་འདུ་གྲངས་ཟེར།
དོ་སྣང་བྱ་རྒྱུ།
• གྲངས་ 1 ལ་བགོད་གྲངས་གཅིག་ལས་མེད་པས། དེ་རྒྱུ་གྲངས་དང་འདུ་གྲངས་གཉིས་ཀ་མིན། • རྒྱུ་གྲངས་ཆ་གྲངས་ཡིན་པ་གཅིག་ལས་མེད། དེ་ནི་ 2 ཡིན། • 2 མ་གཏོགས་རྒྱུ་གྲངས་གཞན་ཚང་མ་ཡ་གྲངས་ཡིན། • 2 ནི་རྒྱུ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༡ 20 ལས་ཆུང་བའི་རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མ་བྲིས། ལན།
20 ལས་ཆུང་བའི་རྒྱུ་གྲངས་ནི་ 2 དང་ 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 བཅས་ཡིན།
༣་༥ རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། Prime factorisation
30 ལ་དཔེ་བཞག་ན། 30 ནི་འདུ་གྲངས་ཡིན། ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་ཐུབ། 30
2 × 15
3 × 10
5×6
2×3×5
3×2×5
5×2×3
30 བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ་ནི་ 30 = 2 × 3 × 5 ཡིན།
42
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། འདིར་བགོད་གྲངས་ 2, 3, 5 ནི་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན། དེར་བརྟེན། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་ནང་བགོད་གྲངས་ ཚང་མ་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་དགོས།
རྩིས་དཔེ་ ༢ 980 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ། ལན།
2 2 5 7 7
980 490 245 49 7 1
980 = 2 × 2 × 5 × 7 × 7
༣་༦ སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་དང་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས། Highest common factor and lowest common multiple ༣་༦་༡ སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས། Highest common factor (ཀ) 12 དང་ 16 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཚོལ།
རྩིས་དང་།
12 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
16 གི་བགོད་གྲངས་ = 1, 2, 4, 8, 16
སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཚོལ།
དེ་ནི། 12 དང་ 16 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4 ཡིན།
༡) 8 དང་ 12
དེར་བརྟེན། 12 དང་ 16 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན།
༢) 24 དང་ 36
༣) 12 དང་ 16, 18
(ཁ) 20 དང་ 28, 36 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཚོལ།
༤) 15 དང་ 25, 30
20 དང་ 28, 36 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4 ཡིན།
དེར་བརྟེན། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན།
གྲངས་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མའི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ (HCF) ནི། གྲངས་དེའི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཚང་
མའི་ནང་ནས་ཆེ་ཤོས་དེ་ཡིན།
20 དང་ 28, 36 གི་ HCF ནི་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་ནས་ཀྱང་འཚོལ་ཐུབ། 2 2 5
20 10 5 1
2 2 7
28 14 7 1
2 2 3 3
36 18 9 3 1
43
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན།
20 = 2 × 2 × 5 28 = 2 × 2 × 7 36 = 2 × 2 × 3 × 3
20 དང་ 28, 36 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 2 × 2 ཡིན།
དེར་བརྟེན། 20 དང་ 28, 36 གི་ HCF ནི་ 2 × 2 = 4 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༣ འོ་མ་བླུག་སྣོད་གཉིས་ཀྱི་ནང་འོ་མ་ལི་ཊར་ 36 དང་ 45 ཡོད། འོ་མ་བླུག་སྣོད་གཉིས་ཀྱི་ཚད་ཏག་ཏག་
ལན།
འཇལ་བར་ཤོང་ཚད་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་སྣོད་ཅི་འདྲ་ཞིག་དགོས་སམ།
ཤོང་ཚད་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་སྣོད་ནི་ 36 དང་ 45 ཡི་ HCF ཡིན། 2 2 3 3
36 18 9 3 1
3 3 5
45 15 5 1
36 L
45 L
36 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3 × 3 × 2 × 2 × 3 45 = 3 × 3 × 5
= 3 × 3 ×5
དེར་བརྟེན། 36 དང་ 45 ཡི་ HCF ནི་ 3 × 3 = 9 ཡིན།
དེས་ན། ཤོང་ཚད་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་སྣོད་ལི་ཊར་ 9 ཡིས་སྣོད་གཉིས་ཀའི་འོ་མ་ཏག་ཏག་འཇལ་ཐུབ།
༣་༦་༢ སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས། Lowest common multiple 4 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་གང་ཡིན་ནམ།
4 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
6 གི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 48, 54, 60, ...
དེར་བརྟེན། 4 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 12, 24, 36, ... ཡིན།
དེ་ནི། 4 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 12 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༤ 12 དང་ 18 ཀྱི་ LCM ཚོལ།
ལན།
44
12 དང་ 18 ཀྱི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 36, 72, 108, ... ཡིན། དེར་བརྟེན། 12 དང་ 18 ཀྱི་ LCM ནི་ 36 ཡིན།
གྲ ང ས ་ ག ཉི ས ་ ས མ ་
ཡང་ན་དུ་མའི ་ སྤྱི འི ་ ལྡབ་ གྲངས་ཆུང་ཤོས་ (LCM) ནི།
གྲངས་དེའི་སྤྱིའི་ལྡབ་
གྲངས་ཚང་མའི ་ ནང་ནས་ ཆུང་ཤོས་དེ་རེད།
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། ང་ཚོས་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་ LCM རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་ནས་ཀྱང་འཚོལ་ཐུབ། 12 དང་ 18 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ན། 2 2 3
12 6 3 1
2 3 3
18 9 3 1
ཡང་ན།
12 = 2 × 2 × 3
2 2 3 3
12 6 3 1 1
, 18 , 9 , 9 , 3 , 1
18 = 2 × 3 × 3 12 དང་ 18 ཀྱི་ LCM ནི་ 2 × 2 × 3 × 3 = 36 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༥ 20 དང་ 25, 30 ཡི་ LCM ཚོལ། ལན།
2 2 3 5 5
20 10 5 5 1 1
, , , , , ,
25 25 25 25 5 1
, 30 , 15 , 15 , 5 , 1 , 1
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300 དེར་བརྟེན། 20 དང་ 25, 30 ཡི་ LCM ནི་ 300 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༦ གྲོགས་མོ་གསུམ་ཞོགས་པ་གོམ་བགྲོད་ལ་མཉམ་དུ་ཕྱིན་ཡོད། ཁོང་ཚོའི་གོམ་པ་རེའི་བར་ཐག་རིམ་པ་ ལན།
བཞིན་ 80 cm དང་ 85 cm, 90 cm བཅས་ཡིན། འོ་ན། ཁོང་ཚོས་ཉུང་མཐར་བར་ཐག་ཇི་ཙམ་
བསྐྱོད་རྗེས་སླར་ཡང་གནས་གཅིག་ཏུ་འཁེལ་ལམ།
གྲོགས་མོ་རེས་ཉུང་མཐར་གོམ་བགྲོད་ཕྱིན་པའི་བར་ཐག་ནི་ཁོང་ཚོའི་གོམ་པ་རེའི་བར་ཐག་གི་སྤྱིའི་ལྡབ་
གྲངས་ཆུང་ཤོས་ཡིན། དེར་བརྟེན། 80 དང་ 85, 90 ཡི་ LCM འཚོལ་དགོས། 2 2 2 2 3 3 5 17
80 40 20 10 5 5 5 1 1
, , , , , , , , ,
85 85 85 85 85 85 85 17 1
, , , , , , , , ,
90 45 45 45 45 15 5 1 1
45
རྩིས་རིག
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 17 = 12240 དེར་བརྟེན། ཁོང་ཚོས་བར་ཐག་ 12240 cm ཐོག་སླར་ཡང་གནས་གཅིག་ཏུ་འཁེལ་གྱི་རེད།
རྩིས་དཔེ་ ༧ 12 དང་ 16, 24, 36 བཅས་ཀྱིས་བགོས་ན། བགོས་ལྷག་ 7 ཐོབ་པའི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཚོལ། ལན།
སྔོན་ལ་ 12 དང་ 16, 24, 36 གི་ LCM འཚོལ་དགོས། 2 2 2 2 3 3
12 , 16 6 , 8 3 , 4 3 , 2 3 , 1 1 , 1 1 , 1
, , , , , , ,
24 12 6 3 3 1 1
, , , , , , ,
36 18 9 9 9 3 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 144 དེར་བརྟེན། ང་ཚོར་དགོས་པའི་གྲངས་ནི་ 144 + 7 = 151 རེད།
རྩིས་དཔེ་ ༨ གྲངས་གཉིས་ཀྱི་ HCF = 8 དང་ LCM = 96 ཡིན། གལ་ཏེ་གྲངས་གཅིག་ 24 ཡིན་ན། གྲངས་གཞན་ ལན།
དེ་ཚོལ།
HCF = 8, LCM = 96, གྲངས་གཅིག = 24 HCF × LCM སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས།
གྲངས་གཞན་ =
8 × 96 = 32 24
=
རྩིས་དཔེ་ ༩ 4 དང་ 5, 6 བཅས་ཀྱིས་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཚོལ། ལན།
2 2 3 5
4 2 1 1 1
, , , , ,
5 5 5 5 1
, , , , ,
6 3 3 1 1
LCM = 2 × 2 × 3 ×5 = 60
དེར་བརྟེན། 60 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན་པའི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་འཚོལ་དགོས།
46
གང་ཡིན་ཟེར་ན། 60 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ལ་ 4 དང་ 5, 6 བཅས་ཀྱིས་བགོ་ཐུབ།
བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས། 60 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ = 120, 180, 240, ...
དེར་བརྟེན། 4 དང་ 5, 6 བཅས་ཀྱིས་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་གྲངས་ཀ་ཆུང་ཤོས་ནི་ 120 ཡིན།
སྦྱོང་ཚན། ༣་༣
༡། གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མ་བྲིས། (ཀ) 4 དང་ 12
༢། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ། (ཀ) 98
(ཁ) 30 དང་ 40
(ཁ) 525
(ག) 1024
(ག) 50 དང་ 75 (ང) 9000
(ང) 80 དང་ 100
༣། གྲངས་གནས་ལྔ་ཅན་གྱི་གྲངས་ཀ་ཆུང་ཤོས་དེ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ།
༤། རྒྱལ་མཚན་གྱིས་ 75 kg དང་ 69 kg ཡོད་པའི་ལུད་དོ་པོ་གཉིས་ཉོས་ཡོད། ལུད་ཀྱི་ཚད་ཏག་ཏག་འཇལ་བར་ ལྗིད་ཚད་ཆེ་ཤོས་དེ་ཚོལ།
༥། སྦལ་བ་གསུམ་གྱིས་མཆོང་ཐེངས་རེ་ལ་ 63 cm དང་ 70 cm, 77 cm བཅས་སོ་སོར་མཆོང་གི་ཡོད། ཁོ་ཚོས་ཐིག་སྣེ་གཅིག་ ནས་འགོ་བཙུགས་ཡོད་ན། བར་ཐག་ག་ཚོད་རྗེས་སུ་སྦལ་བ་
༦།
གསུམ་སླར་ཡང་ཐིག་སྣེ་གཅིག་སྟེང་གནས་ཀྱི་ཡོད་དམ།
འཛིན་ཁང་གཅིག་གི་ཞེང་དང་། དཀྱུས། དཔངས་བཅས་གོ་རིམ་བཞིན་ 825 cm
དང་། 675 cm, 450 cm བཅས་ཡིན། འཛིན་ཁང་དེའི་ཆ་ཚད་ཏག་ཏག་འཇལ་ ཐུབ་པའི་འཇལ་ཐག་རིང་ཤོས་དེ་ཚོལ།
༧། 6 དང་ 8, 12 བཅས་ཀྱིས་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཚོལ། ༨། 8 དང་ 10, 12 བཅས་ཀྱིས་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆེ་ཤོས་དེ་ཚོལ། ༩། འཛིན་གྲྭ་གསུམ་པ་དང་། ལྔ་པ། དྲུག་པ་བཅས་ཀྱི་དྲིལ་བུ་རྒྱུན་དུ་སྐར་མ་ 30 དང་ 45, 60 རྗེས་སོ་སོར་འཁྲོལ་གྱི་ཡོད།
སྔ་དྲོ་ཆུ་ཚོད་བརྒྱད་པའི་ཐོག་དྲིལ་བུ་གསུམ་ག་མཉམ་དུ་
དཀྲོལ་ཡོད་ན། དུས་ཡུན་ག་ཚོད་རྗེས་དྲིལ་བུ་གསུམ་པོ་སླར་ཡང་མཉམ་དུ་དཀྲོལ་གྱི་རེད་ དམ།
༡༠། རིང་ཚད་ 160 cm དང་ 240 cm, 200 cm ཡོད་པའི་གློག་སྐུད་གསུམ་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་སུ་གཏུབས་ ན། གློག་སྐུད་དུམ་བུ་རིང་ཤོས་དེའི་རིང་ཚད་གང་རེད་དམ།
47
རྩིས་རིག ༡༡། འཛིན་གྲྭ་དྲུག་པའི་སྡེ་ཚན་ཀ་པའི་སློབ་མ་ཚོས་རྒྱུན་དུ་འདྲི་རྩད་འགྲན་བསྡུར་ཉིན་ 12 རྗེས་དང་། སྡེ་ཚན་ཁ་ པའི་སློབ་མ་ཚོས་ཉིན་ 48 རྗེས་ཚོགས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་སྡེ་ཚན་གཉིས་ཀས་སློབ་གྲྭའི་ཉིན་དང་པོར་འགྲན་བསྡུར་ མཉམ་དུ་ཚོགས་ཡོད་ན། ཉུང་མཐར་ཉིན་ག་ཚོད་རྗེས་སྡེ་ཚན་གཉིས་སླར་ཡང་འགྲན་བསྡུར་མཉམ་དུ་ཚོགས་ཀྱི་ རེད་དམ།
༡༢། 6 དང་ 15, 18 བཅས་ཀྱིས་བགོས་ན། བགོས་ལྷག་ 5 ཐོབ་པའི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་དེ་ཚོལ།
༡༣། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་ LCM = 16 དང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ = 64 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་ HCF ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་ཚང་མ་རང་ཉིད་ཀྱི་བགོད་གྲངས་དང་ལྡབ་གྲངས་ཡང་ཡིན། ༢། 1 ནི་གྲངས་ཚང་མའི་བགོད་གྲངས་ཡིན།
༣། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ། = HCF × LCM ༤། གྲངས་ཀ་ཞིག་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན།
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 2, 4, 6, 8, 0 ཡོད་ན། གྲངས་དེ་ 2 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་གནས་ཚང་མའི་བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 3 གྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 3 གྱིས་ ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་དང་བཅུ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་དེ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་ 0 ཡང་ན། 5 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་ 5 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་ལ་ 2 དང་ 3 གཉིས་ཀས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 6 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་དང་། བཅུ་གནས། བརྒྱ་གནས་ལས་བྱུང་བའི་གྲངས་དེ་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་ བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་གནས་ཚང་མའི་བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 9 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 9 ཡིས་ ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་ 0 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་ 10 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
• གྲངས་ཤིག་གི་ཡ་གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ (གཡས་ཕྱོགས་ནས་) དང་ཆ་ གྲངས་ཀྱི་གནས་ཐོག་ཡོད་པའི་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ (གཡས་ཕྱོགས་ནས་) གཉིས་ཀྱི་ཧེ་བག་ 0 ཡང་
ན་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་ན། གྲངས་དེ་ 11 གིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ།
48
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ།
སློབ་ཚན་བཞི་པ།
༤་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་སྡུར་ཚད་དང་སྡུར་ཕྲེང་། རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། བརྒྱ་ཆའི་བེད་སྤྱོད། ཁེ་དང་གྱོང་བཅས་ཀྱི་ངོ་ སྤྲོད་དང་ཉིན་རེའི་འཚོ་བ་དང་འབྲེལ་བའི་རྩིས་གཞི་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༤་༢ སྡུར་ཚད། Ratio
ཆོས་དབྱངས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ནི་ 25 kg དང། ཁོང་གི་པ་ལགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ནི་ 75 kg ཡིན། ཁོང་ཚོ་གཉིས་ཀྱི་ལྗིད་ ཚད་བསྡུར་བར་ཐབས་ལམ་གཉིས་ཡོད།
• ཆོས་དབྱངས་ནི་པ་ལགས་ལས་ལྗིད་ཚད་ 50 kg ཡིས་ཉུང་བའམ་ཡང་ན། པ་ལགས་ནི་ཆོས་དབྱངས་ལས་ལྗིད་ ཚད་ 50 kg ཡིས་མང་བ་ཡོད། ཐབས་ལམ་འདིར་པ་ལགས་དང་ཆོས་དབྱངས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ཀྱི་ཧེ་བག་བཙལ་གྱི་ ཡོད། དེ་ལ་ཧེ་བག་བཙལ་ནས་བསྡུར་བའི་ཐབས་ལམ་ཟེར།
75 • པ་ལགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ནི་ཆོས་དབྱངས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ཀྱི་ལྡབ་ 25 = 3 ཡིན། དེ་ལ་བགོད་རྩིས་བརྒྱབ་ནས་བསྡུར་ བའི་ཐབས་ལམ་ཟེར། བགོད་རྩིས་བརྒྱབ་ནས་བསྡུར་བ་ལ་སྡུར་ཚད་ (ratio) ཟེར།
སྡུར་ཚད་ནི་རྟགས་ ' : ' འདི་ཡིས་མཚོན། ང་ཚོས་པ་ལགས་དང་ཆོས་དབྱངས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ 75 : 25
ལྟར་འབྲི་ཆོག དེ་ཀློག་སྐབས་ 75 སྡུར་ 25 ཡང་ན། 75 དང་ 25 བསྡུར་བ། ཡང་ན། 75 ལ་ 25 ཡིས་བསྡུར་བ་ བཅས་ཀློག་དགོས།
པ་ལགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་དང་ཆོས་དབྱངས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ =
3 75 3:1 = 1 = 25
དཔེ་མཚོན། སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་ནི་ ` 10 དང་ཞ་སྨྱུག་གི་རིན་གོང་ནི་ ` 2 རེད། སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་ནི་ཞ་སྨྱུག་གི་རིན་
གོང་གི་ལྡབ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ། ལྡབ་ལྔ་ཡིན།
49
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན། སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་དང་ཞ་སྨྱུག་གི་རིན་གོང་གི་སྡུར་ཚད་ =
10 5 = 1 =5:1 2
རྩིས་དཔེ་ ༡ འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་བུ་ 20 དང་ བུ་མོ་ 40 ཡོད།
རྩིས་དང་།
(ཀ) བུ་མོའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
འཛིན་གྲྭ་ཞིག་
(ཁ) བུའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
ལན།
(ག) བུ་མོའི་གྲངས་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
སློབ་མའི་གྲངས་ = བུའི་གྲངས་ + བུ་མོའི་གྲངས། = 20 + 40 = 60
(ཀ) བུ་མོའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 40 = 2 = 2 : 3 60 3 (ཁ) བུའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 20 = 1 = 1 : 3 60 3 (ག) བུ་མོའི་གྲངས་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 40 = 2 = 2 : 1 1 20
གི་ནང་བུ་ 25 དང་བུ་མོ་ 15 ཡོད།
བུའི་
གྲངས་དང་བུ་ མོའི་གྲངས་ཀྱི་ སྡུར་ཚད་བྲིས།
གྲངས་འབོར་གཉིས་བསྡུར་སྐབས། གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཅིག་པ་ཡིན་ན་མ་གཏོགས་བསྡུར་གྱི་མེད།
དཔེར་ན། བུ་ 20 དང་བ་ཕྱུགས་ 4, འོ་མ་ལི་ཊར་ 15 དང་སྨྱུ་གུ་ 8, 10 kg དང་ 200 m སོགས་ཕན་ཚུན་བསྡུར་ གྱི་མེེད། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
དཔེ་མཚོན། ཁྱི་ཞིག་གི་མཐོ་ཚད་ནི་ 50 cm དང་། མཚོ་མོའི་རིང་
ཚད་ནི་ 1.5 m རེད། ཁོ་གཉིས་ལས་སུ་རིང་བ་ཡོད་དམ། དོ་སྣང་བྱ་
ང་ཆེ་བ་ཡིན། ཁྱེད་རང་ཆུང་བ་རེད།
དགོས་པ་ཞིག་ལ། ཁྱི་ཡི་མཐོ་ཚད་ནི་སན་ཊི་མི་ཊར་དང་མཚོ་མོའི་
རིང་ཚད་ནི་མི་ཊར་ནང་འཇལ་ཡོད། དེར་བརྟེན། སྔོན་ལ་རིང་ཚད་ དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་གཅིག་པ་བཟོ་དགོས།
མཚོ་མོའི་རིང་ཚད་ = 1.5 m = 1.5 × 100 cm = 150 cm 150 3 དེར་བརྟེན། མཚོ་མོའི་རིང་ཚད་དང་ཁྱིའི་མཐོ་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = = =3:1 50 1 མཆན།
• ང་ཚོས་བུ་ 20 དང་བ་ཕྱུགས་ 4 བསྡུར་གྱི་མེད། ཡིན་ནའང་། བུའི་གྲངས་ 20 དང་བ་ཕྱུགས་ཀྱི་གྲངས་ 4 བསྡུར་ ཆོག དེར་བརྟེན། བུའི་གྲངས་ 20 དང་བ་ཕྱུགས་ཀྱི་གྲངས་ 4 ཡི་སྡུར་ཚད་ནི་ 20 : 4 = 5 : 1 ཡིན།
• སྡུར་བའི་སྐབས་ཀྱི་འབོར་གྱི་གོ་རིམ་ནི་ཧ་ཅང་གལ་ཆེན་པོ་ཡིན། སྡུར་ཚད་ 2 : 5 དང་སྡུར་ཚད་ 5 : 2 གཉིས་
50
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། འདྲ་མཚུངས་མིན། དེ་བཞིན། 80 : 1 དང་ 1 : 80 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་མིན།
• སྡུར་ཚད་ལ་རང་གི་ཚད་གཞི་མེད།
༤་༢་༡ སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས། Ratio in simplest form
2 དང་ 3 ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 1 མ་གཏོགས་མེད་པས། སྡུར་ཚད་ 2 ཡང་ན། 2 : 3 ལ་སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་ཟེར། 3 དཔེར་ན། 40 40 ÷ 40 1 (ཀ) 40 : 80 = = = =1:2 80 80 ÷ 40 2 10000 10000 ÷ 2000 5 (ཁ) 10000 : 8000 = = = =5:4 8000 ÷ 2000 8000 4 སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་བཟོ་སྐབས་གཤམ་གསལ་གོམ་པ་ལྟར་བྱ་དགོས། ༡། སྡུར་ཚད་གྲངས་ཆའི་ཐོག་བྲིས། ༢། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་ལ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ HCF ཀྱིས་བགོས།
༣། གྲངས་ཆ་དེ་སྡུར་ཚད་ལ་སྒྱུར། དེ་སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༢ སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་བྲིས། (ཀ) 25 : 40
ལན།
(ཁ) 150 : 400 (ཀ) 25 : 40 =
25 25 ÷ 5 5 = = =5:8 40 40 ÷ 5 8
(ཁ) 150 : 400 =
150 ÷ 50 3 150 = = =3:8 400 ÷ 50 8 400
༤་༢་༢ འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད། Equivalent ratios
• ཁང་པ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 30 m དང་ཞེང་ལ་ 20 m ཡོད། 30 3 དེར་བརྟེན། ཁང་པའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་སྡུར་ཚད་ = = =3:2 20 2 • གླིང་ཁ་རུ་བུ་མོ་ 24 དང་བུ་ 16 ཕྱིན་ཡོད། 3 24 = =3:2 བུ་མོའི་གྲངས་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 2 16
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་ཀའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 3 : 2 ཡིན། དོ་སྣང་བྱ་དགོས་པ་ཞིག་ལ་སྡུར་ཚད་ 30 : 20 དང་ 24 :
16 གི་སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་ནི་ 3 : 2 ཡིན། དེས་ན་ 30 : 20 དང་ 24 : 16 འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཡིན།
51
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ་ ༣ སྡུར་ཚད་བྲིས།
(ཀ) སྐར་མ་ 36 དང་ཆུ་ཚོད་ 2 (ཁ) 50 cm དང་ 5 m (ག) 32 g དང་ 1 kg
ལན།
(ང) ཉིན་ 3 དང་ལོ་ 1
(ཀ) སྔོན་ལ་ང་ཚོས་སྐར་མ་ 36 དང་ཆུ་ཚོད་ 2 ཀྱི་ཚད་གཞི་གཅིག་པ་སྐར་མའི་ནང་བཟོ་དགོས། ཆུ་ཚོད་ 2 = 2 × སྐར་མ་ 60 = སྐར་མ་ 120
དེར་བརྟེན། སྐར་མ་ 36 དང་སྐར་མ་ 120 ཡི་སྡུར་ཚད་ནི། 36 ÷ 12 36 = 120 120 ÷ 12 3 = = 3 : 10 10
36 : 120 =
(ཁ) སྔོན་ལ་ 5 m དེ་ cm ནང་སྒྱུར།
5 m = 5 × 100 cm = 500 cm
1m
དེར་བརྟེན། 50 cm དང་ 500 cm གྱི་སྡུར་ཚད་ནི།
1 kg
50 50 ÷ 50 50 : 500 = = 500 ÷ 50 500 3 = = 3 : 10 10 (ག) སྔོན་ལ་ 3 kg དེ་ g ནང་སྒྱུར།
3 kg = 3 × 1000 g = 3000 g དེར་བརྟེན། 32 g དང་ 3000 g གྱི་སྡུར་ཚད་ནི། 32 ÷ 8 32 = 3000 3000 ÷ 8 4 = 375 = 4 : 375
32 : 3000 =
52
1 cm 1 km
= 10 mm = 100 cm = 1000 m = 1000 g
1L = 1000 mL ཆུ་ཚོད་ 1 = སྐར་མ་ 60 ལོ་ 1 = ཉིན་ 365
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། (ང) ལོ་ 1 = 1 × ཉིན་ 365 = ཉིན་ 365
དེར་བརྟེན། ཉིན་ 3 དང་ཉིན་ 365 ཡི་སྡུར་ཚད་ནི་ 3 : 365 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༤ མེ་ཏོག་ཁོག་མའི་གྲངས་དང་མེ་ཏོག་གི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས། བསྟར་པ་གང་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ ཀ
ཚད་ཡིན་ནམ།
2 : 6 ཡང་ན། 1 : 3
ཁ
ག
3 : 6 ཡང་ན། 1 : 2 1:3
འདིར། བསྟར་པ་ (ཀ) པ་དང་ (ག) པའི་ནང་མེ་ཏོག་ཁོག་མའི་གྲངས་དང་མེ་ཏོག་གི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ གཉིས་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཡིན། དེ་ནི། སྡུར་ཚད་ 1 : 3
རྩིས་དཔེ་ ༥ སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་ 45 ཡོད་པ་ལས། 25 བུད་མེད་དང་ལྷག་མ་རྣམས་སྐྱེས་པ་ཡིན་ན། གཤམ་གྱི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།
(ཀ) བུད་མེད་ཀྱི་གྲངས་དང་སྐྱེས་པའི་གྲངས།
ལན།
(ཁ) སྐྱེས་པའི་གྲངས་དང་བུད་མེད་ཀྱི་གྲངས།
(ག) གོང་གི་སྡུར་ཚད་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཡིན་ནམ། ཁྱོན་བསྡོམས་དགེ་རྒན་གྲངས་ = 45
བུད་མེད་གྲངས་ = 25
དེར་བརྟེན། སྐྱེས་པའི་གྲངས་ = ཁྱོན་བསྡོམས་གྲངས་ − བུད་མེད་གྲངས། = 45 − 25 = 20 (ཀ) བུད་མེད་ཀྱི་གྲངས་དང་སྐྱེས་པའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 25 : 20 = 5 : 4
(ཁ) སྐྱེས་པའི་གྲངས་དང་བུད་མེད་ཀྱི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 20 : 25 = 4 : 5 (ག) སྡུར་ཚད་ 5 : 4 དང་ 4 : 5 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་མིན།
རྩིས་དཔེ་ ༦ 6 : 4 ཡི་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་གཉིས་བྲིས། ལན།
(༡) སྡུར་ཚད་ 6 : 4 =
6 6 × 2 12 = = 4 4×2 8
དེར་བརྟེན། 12 : 8 ནི་ 6 : 4 ཡི་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཡིན།
53
རྩིས་རིག
6 6÷2 3 = = 4 4÷2 2 དེར་བརྟེན། 3 : 2 ནི་ 6 : 4 ཡི་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་གཞན་ཡིན།
(༢) སྡུར་ཚད་ 6 : 4 =
དེས་ན། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་ལ་གྲངས་གཅིག་པས་བསྒྱུར་བའམ་ཡང་ན་བགོས་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོར་སྡུར་ཚད་དེ་ཡིས་འདྲ་
མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༧ དབང་མོའི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག་དང་ཕུན་ཚོགས་ཀྱི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག་གི་ སྡུར་ཚད་ནི་ 2 : 1 ཡིན།
(ཀ) སློབ་གྲྭ་དང་སུ་ཐག་ཉེ་བ་སྡོད་ཀྱི་ཡོད་དམ།
(ཁ) གཤམ་གྱི་སྒམ་ཆུང་ནང་སྡུར་ཚད་ 2 : 1 གི་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་བྲིས།
དབང་མོའི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག (km ནང་།)
ཕུན་ཚོགས་ཀྱི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག (km ནང་།)
10 5
4
4
3
1
(ག) གལ་ཏེ་སློབ་གྲྭ་ནས་དབང་མོའི་ནང་གི་བར་ཐག་དང་སློབ་གྲྭ་ནས་བློ་བཟང་གི་ནང་གི་བར་ཐག་གི་
ལན།
སྡུར་ཚད་ 1 : 2 ཡིན་ན། སུ་སློབ་གྲྭ་དང་ཐག་ཉེ་བ་སྡོད་ཀྱི་ཡོད་དམ།
(ཀ) ཕུན་ཚོགས་སློབ་གྲྭ་དང་ཐག་ཉེ་བ་སྡོད་ཀྱི་ཡོད། (སྡུར་ཚད་ 2 : 1 ཡིན་ཙང་།) (ཁ)
དབང་མོའི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག (km)
ཕུན་ཚོགས་ཀྱི་ནང་ནས་སློབ་གྲྭ་བར་གྱི་བར་ཐག (km)
10
8
4
6
2
5
4
2
3
1
(ག) སྡུར་ཚད་ 1 : 2 ཡིན་ན། དབང་མོ་སློབ་གྲྭ་དང་ཐག་ཉེ་བ་སྡོད་ཀྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༨ ` 90 འཇིགས་མེད་དང་ཚེ་རིང་གཉིས་ལ་ 1 : 2 ནང་བགོས། ལན།
54
སྡུར་ཚད་གྱི་ཚན་པ་གཉིས་ནི་ 1 དང་ 2 ཡིན།
དེར་བརྟེན། ཚན་པའི་བསྡོམས་ཐོབ་ = 1 + 2 = 3
དེ་ནི། གལ་ཏེ་ ` 3 ཡོད་ན། འཇིགས་མེད་ལ་ ` 1 དང་ཚེ་རིང་ལ་ ` 2 ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། 1 དེར་བརྟེན། འཇིགས་མེད་ཀྱི་ཐོབ་ཆ་ = × 90 = ` 30 3 2 ཚེ་རིང་གི་ཐོབ་ཆ་ = × 90 = ` 60 3
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ།
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
(ཀ) གྱང་སྦྱར།
(ཁ) མི་དང་ཤིང་སྡོང་གི་དཔེ་རིས་འགའ། (ག) སྦྱར་རྩི། བྱེད་ཐབས།
(ཀ) གྱང་སྦྱར་སྟེང་། མི་དང་ཤིང་སྡོང་གི་དཔེ་རིས་མི་འདྲ་བ་རྣམས་གོ་རིམ་ངེས་མེད་སྦྱོར། (ཁ) མི་དང་ཤིང་སྡོང་གཉིས་ཀྱི་ཁྱོན་འབོར་ཚོལ།
(ག) གྱང་སྦྱར་སྟེང་ཡོད་པའི་ཤིང་སྡོང་གི་གྲངས་དང་མིའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས། (ང) མཐའ་མར་སྡུར་ཚད་བསྡུས་ཤོས་ཚོལ།
༡། བར་སྟོང་སྐོངས། 6 དང་ 9
སྦྱོང་ཚན། ༤་༡ གྲངས་ཆ།
འབོར།
6 9
སྡུར་ཚད། 6:9
བསྡུས་ཤོས། 2:3
8 དང་ 36
14 kg དང་ 7 kg
སྐར་མ་ 3 དང་ སྐར་མ་ 20 48 m དང་ 36 m
` 120 དང་ ` 200
༢། སྡུར་ཚད་བྲིས།
(ཀ) 40 cm དང་ 1.6 m (ག) 200 g དང་ 5 kg
(ཁ) སྐར་མ་ 30 དང་ཆུ་ཚོད་ 2
(ང) ཆུ་ཚོད་ 8 དང་ཉིན་ 1
55
རྩིས་རིག ༣། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སློབ་མ་ 30 ཡོད་པ་ལས། རྐང་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་ 6 དང་། སིལ་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་ 12 ཡོད། ལྷག་མ་རྣམས་བྱ་སྒྲོ་ལ་དགའ་པོ་ཡོད།
(ཀ) རྐང་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་བྱ་སྒྲོ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས། (ཁ) སིལ་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་ཁྱོན་བསྡོམས་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
༤། གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་ལན་བྲིས།
(ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ནང་ཟུར་གསུམ་མའི་གྲངས་དང་སྒོར་ དབྱིབས་ཀྱི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
(ཁ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ནང་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་གྲངས་དང་ཁྱོན་ བསྡོམས་དཔེ་རིས་ཀྱི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
༥། བཀྲ་ཤིས་དང་ལྷ་མཛེས་ཀྱིས་ཆུ་ཚོད་གཅིག་ལ་བར་ཐག་ 9 km དང་ 12 km སོ་སོར་འགྲིམ་འགྲུལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་བར་ཐག་དང་མེ་ཏོག་གི་བར་ཐག་གི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
༦། སྒྲོལ་མ་ལགས་སུ་ཟླ་བ་གཅིག་གི་ཡོང་འབབ་ ` 20,000 ཡོད་པ་ལས། ཁོ་མོས་བུ་སྤེན་པ་ལ་ལག་དངུལ་ ` 2,000 སྤྲད་ན། ཁོ་མོའི་ཡོང་འབབ་དང་ལག་དངུལ་གྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
༧། བར་སྟོང་སྐོངས།
15 = 18
6
=
10
=
30
[ འདི་ཚོ་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་རེད་དམ། ]
༨། ཤོག་ལྷེ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 1.2 m དང་། ཞེང་ལ་ 42 cm ཡོད་ན། ཤོག་ལྷེ་དེའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་སྡུར་ཚད་བྲིས།
༩། སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སློབ་མ་ 2850 ཡོད་པ་ལས། སློབ་མ་ 1650 གླིང་ཁར་ཕྱིན་ཡོད་ན། གཤམ་གྱི་སྡུར་ཚད་ཚོལ། (ཀ) གླིང་ཁར་ཕྱིན་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས།
(ཁ) གླིང་ཁར་ཕྱིན་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་གླིང་ཁར་མ་ཕྱིན་པའི་སློབ་མའི་གྲངས།
༡༠། བཀྲ་ཤིས་ལགས་སུ་བ་ཕྱུགས་ 25 དང་། བྱ་དེ་ 125 ལུག་ 50 བཅས་ཡོད། གཤམ་གསལ་སྡུར་ཚད་ཚོལ།
(ཀ) བ་ཕྱུགས་གྲངས་དང་ལུག་གི་གྲངས། (ཁ) བྱ་དེའི་གྲངས་དང་བ་ཕྱུགས་གྲངས། (ག) ལུག་གི་གྲངས་དང་བྱ་དེའི་གྲངས།
༡༡། ཨ་མ་ལགས་ཀྱིས་ ` 1,200 ཕྲུ་གུ་ཚེ་རིང་དང་དཔལ་ལྡན་དབར་ 5 : 3 ནང་བགོས་པ་རེད། བྱས་ན་ཕྲུ་གུ་སོ་སོར་ དངུལ་ག་ཚོད་ཐོབ་བམ།
༡༢། ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 90o ཡིན། དེ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ 2 : 3 ཡིན་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཚོལ།
56
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། ༡༣། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་རྒྱུག་པ་བྱི་རིལ་གྱི་གྲངས་དང་ཀུ་ཤུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་བྲིས། བསྟར་པ་གང་གཉིས་འདྲ་ མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཡིན་ནམ། (ཀ)
(ཁ)
(ག) (ང)
༡༤། ད་ལོ་པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་ 42 དང་ཁོང་གི་བུའི་ལོ་ 14 རེད། གཤམ་གསལ་སྡུར་ཚད་ཚོལ། (ཀ) པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་དང་བུའི་ལོ།
(ཁ) བུ་ལོ་ 12 ཡིན་སྐབས། པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་དང་བུའི་ལོ། (ག) ལོ་ 10 རྗེས་པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་དང་བུའི་ལོ།
(ང) པ་ལགས་ལོ་ 30 ཡིན་སྐབས། བུའི་ལོ་དང་པ་ལགས་ཀྱི་ལོ།
༤་༣ སྡུར་ཕྲེང། Proportion གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
དཔལ་ལྡན་གྱིས་ ` 15 སྤྲད་དེ་སྨྱུ་གུ་ 3 ཉོས་པ་དང་མཚོ་མོས་ ` 50 སྤྲད་དེ་སྨྱུ་གུ་ 10 ཉོས་པ་རེད། ཁོང་གཉིས་ལས་
སུའི་སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་ཆེ་བ་རེད་དམ།
དཔལ་ལྡན་གྱི་སྨྱུ་གུའི་གྲངས་དང་མཚོ་མོའི་སྨྱུ་གུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 3 : 10 སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་གི་སྡུར་ཚད་ = 15 : 50 = 3 : 10
སྡུར་ཚད་ 3 : 10 དང་ 15 : 50 འདྲ་མཚུངས་རེད། དེར་བརྟེན་ཁོང་གཉིས་ཀྱི་སྨྱུ་གུའི་རིན་གོང་གཅིག་པ་རེད།
གལ་ཏེ་སྡུར་ཚད་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པའམ་ཡང་ན། སྡུར་ཚད་མཉམ་ན་སྡུར་ཕྲེང་ཟེར།
སྡུར་ཕྲེང་ནི་རྟགས་ ' : : ' ཡང་ན། ' = ' ཡིས་མཚོན། དཔེར་ན། 3 : 5 : : 9 : 15 ཡང་ན། 3 : 5 = 9 : 15
སྡུར་ཕྲེང་ 3 : 5 : : 9 : 15 ལ་དཔེ་བཞག་ན། སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་པའི་གྲངས་བཞི་པོ་ལ་ཚན་པ་ (terms) ཟེར། 3 ནི་ཚན་པ་དང་པོ་དང་། 5 ནི་ཚན་པ་གཉིས་པ། 9 ནི་ཚན་པ་གསུམ་པ། 15 ནི་ཚན་པ་བཞི་པ་བཅས་ཡིན། ཚན་པ་
དང་པོ་དང་བཞི་པ་གཉིས་ལ་ཕྱི་ཚན་ (extreme terms) དང་། ཚན་པ་གཉིས་པ་དང་གསུམ་པ་གཉིས་ལ་ནང་ཚན་
(middle terms) ཟེར།
57
རྩིས་རིག
3 : 5
=
9 : 15
ནང་ཚན། ཕྱི་ཚན།
3 × 15 = 45 5 × 9 = 45 ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ། = ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ།
གལ་ཏེ་གྲངས་བཞི་སྡུར་ཕྲེང་ཡིན་ན། ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་དང་ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་གཉིས་མཉམ་པ་ཡིན། གལ་ཏེ་ གྲངས་བཞི་སྡུར་ཕྲེང་མ་ཡིན་ན། ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་དང་ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་གཉིས་མཉམ་པ་མིན། དེ་ནི་ཁྱད་ ཆོས་གལ་ཆེན་པོ་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། གྲངས་བཞི་པོ་སྡུར་ཕྲེང་ཡིན་མིན་ཞིབ་བཤེར་བྱ་བར་ཕན་ཐོགས་ཡོད། རྩིས་དཔེ་ ༩ སྡུར་ཚད་གཉིས་ཀྱིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་མིན་ལྟོས།
(ཀ) 25 g : 30 g དང་ 40 kg : 48 kg (ཁ) 30 : 40 དང་ 45 : 60
ལན།
(ག) 15 cm : 2 m དང་སྐར་ཆ་ 10 : སྐར་མ་ 3 (ཀ) 25 g : 30 g དང་ 40 kg : 48 kg 25 =5:6 30 40 40 kg : 48 kg = =5:6 48 དེས་ན། 25 : 30 = 40 : 48 25 g : 30 g =
དེར་བརྟེན། 25 g : 30 g དང་ 40 kg : 48 kg ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ།
(ཁ) 30 : 40 དང་ 45 : 60 30 30 : 40 = =3:4 40 45 45 : 60 = =3:4 60 དེས་ན། 30 : 40 = 45 : 60
དེར་བརྟེན། 30 : 40 དང་ 45 : 60 ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ།
(ག) 15 cm : 2 m དང་སྐར་ཆ་ 10 : སྐར་མ་ 3 15 cm : 2 m = 15 : 2 × 100
58
( 1 m = 100 cm )
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ།
= 15 : 200 = 3 : 40 སྐར་ཆ་ 10 : སྐར་མ་ 3 = 10 : 3 × 60 ( སྐར་མ་ 1 = སྐར་ཆ་ 60 ) = 10 : 180 = 1 : 18
འདིར། 3 : 40 ≠ 1 : 18
དེར་བརྟེན། 15 cm : 2 m དང་སྐར་ཆ་ 10 : སྐར་མ་ 3 གྱིས་སྡུར་ཕྲེང་མ་གྲུབ།
རྩིས་དཔེ་ ༡༠ གྲངས་ 3, 9, 9, 27 བཞི་ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་བམ། ལན།
རྩིས་དང་།
ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ = 3 × 27 = 81
ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ = 9 × 9 = 81
སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་མིན་ལྟོས།
མཆན། 3, 9, 9, 27 དང་ 3, 9, 27 གཉིས་དོན་གཅིག་ཡིན།
༣། 4 : 12 དང་ 9 : 27
༡། 1 : 5 དང་ 3 : 15
འདིེར། 81 = 81
དེར་བརྟེན། གྲངས་ 3, 9, 9, 27 བཞི་ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ། རྩིས་དཔེ་ ༡༡ གྲངས་ 16, 8, 4 བཅས་ཀྱིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་བམ། ལན།
16, 8, 4 ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་པར་ 16 : 8 = 8 : 4 ཡིན་དགོས།
༢། 2 : 9 དང་ 18 : 81
༤། ` 10 : ` 15 དང་ 4 : 6
ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ = 16 × 4 = 64
ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ = 8 × 8 = 64 འདིེར། 64 = 64
དེར་བརྟེན། གྲངས་ 16, 8, 4 ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ།
༡། གཤམ་གསལ་ཁག་གིས་སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་བམ། (ཀ) 1, 2, 2, 4
(ང) 11, 22, 44
༢། སྡུར་ཕྲེང་གྲུབ་མིན་ལྟོས།
སྦྱོང་ཚན། ༤་༢
(ཁ) 2, 5, 10, 20
(ཅ) 15, 20, 30, 40
(ཀ) 25 cm : 1 m དང་ ` 40 : ` 160
(ག) 5, 20, 7, 40
(ཆ) 24, 28, 36, 48
(ཁ) 2 kg : 80 kg དང་ 25 g : 625 g
(ག) མི་ 20 : མི་ 60 དང་ ཞི་མི་ 25 : ཞི་མི་ 75
(ང) 40 L : 70 L དང་ཤེལ་དམ་ 6 : ཤེལ་དམ་ 10
59
རྩིས་རིག ༣། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ།
(ཀ) 8 : 9 : : 24 : 27
(ག) 16 : 24 : : 20 : 30
༤། སྒམ་ཆུང་ནང་དཔེ་རིས་བྲིས་ཏེ་སྡུར་ཕྲེང་བཟོས། (ཀ)
(ཁ)
(ཁ) 12 : 18 : : 28 : 12
(ང) 21 : 6 : : 35 : 10
::
:
:
:
::
:
༤་༤ རྐྱང་པའི་རྩིིས་ཐབས། Unitary method གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
སྨྱུ་གུ་ 3 གྱི་རིན་གོང་ ` 15 རེད།
སྨྱུ་གུ་ 8 ཀྱི་རིན་གོང་ག་ཚོད་རེད་དམ།
སྔོན་ལ་སྨྱུ་གུ་ 1 གི་རིན་གོང་བཙལ་ན།
སྨྱུ་གུ་ 1 གི་རིན་གོང་ = ` 15 ÷ 3 = ` 5 སྨྱུ་གུ་ 8 ཀྱི་རིན་གོང་ = 8 × 5 = ` 40
དེར་བརྟེན། སྨྱུ་གུ་ 8 ཀྱི་རིན་གོང་ ` 40 རེད།
འདིར་ང་ཚོས་སྔོན་ལ་སྨྱུ་གུ་ 1 གི་རིན་གོང་བཙལ་
བར་སྟོང་སྐོངས།
ཆུ་ཚོད།
ལྷག་པས་བསྐྱོད་
1
4 km
2
པའི་བར་ཐག 8 km
ཉི་མས་བསྐྱོད་པའི་ བར་ཐག 6 km
4
རྗེས། སྨྱུ་གུ་ 8 ཀྱི་རིན་གོང་འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད།
གོང་གི་རྩིས་ཐབས་ནང་གྲངས་འབོར་ 1 གི་རྩིས་འབྲས་བཙལ་རྗེས་དགོས་མཁོ་ཡོད་པའི་གྲངས་འབོར་གྱི་རྩིས་འབྲས་
འཚོལ་ཡོད། ཐབས་ལམ་དེ་ལ་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་ (unitary method) ཟེར།
རྩིས་དཔེ་ ༡༢ ཀུ་ཤུ་ 6 གི་རིན་གོང་ ` 90 ཡིན་ན། ཀུ་ཤུ་ 4 ཡི་རིན་གོང་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
ལན།
ཀུ་ཤུ་ 6 གི་རིན་གོང་ = ` 90
ཀུ་ཤུ་ 1 གི་རིན་གོང་ = 90 ÷ 6 = ` 15
ཀུ་ཤུ་ 4 ཡི་རིན་གོང་ = ` 15 × 4 = ` 60 དེར་བརྟེན། ཀུ་ཤུ་ 4 ཡི་རིན་གོང་ ` 60 ཡིན།
60
` 90
?
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། རྩིས་དཔེ་ ༡༣ སྦག་སྦག་གཅིག་གིས་སྣུམ་ 5 L སྤྱད་དེ་བར་ཐག་ 220 km བསྐྱོད་ཀྱི་ཡོད། སྣུམ་ 2 L སྤྱད་ནས་སྦག་ ལན།
སྦག་དེས་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཐུབ་བམ།
སྣུམ་ 5 L ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ = 220 km
220 km 5 220 སྣུམ་ 2 L ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ = × 2 km 5 = 44 × 2 = 88 km སྣུམ་ 1 L ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ =
དེར་བརྟེན། སྦག་སྦག་དེས་སྣུམ་ 2 L སྤྱད་ནས་བར་ཐག་ 88 km བསྐྱོད་ཐུབ།
རྩིས་དཔེ་ ༡༤ ལྷག་སྒྲོན་གྱིས་བདུན་ཕྲག་ 1 ལ་ཤོག་ངོས་ 35 ཀློག་གི་ཡོད་ན། ཉིན་ 15 ལ་ལྷག་སྒྲོན་གྱིས་ཤོག་ངོས་ག་ ལན།
ཚོད་ཀློག་གི་ཡོད་དམ།
བདུན་ཕྲག་ 1 = ཉིན་ 7
ཉིན་ 7 ལ་ཀློག་པའི་ཤོག་གྲངས་ = 35
ཉིན་ 1 ལ་ཀློག་པའི་ཤོག་གྲངས་ = 35 ÷ 7 = 5
ཉིན་ 15 ཡི་ནང་ཀློག་པའི་ཤོག་གྲངས་ = 15 × 5 = 75
དེར་བརྟེན། ལྷག་སྒྲོན་གྱིས་ཉིན་ 15 ལ་ཤོག་ངོས་ 75 ཀློག་གི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༡༥ ཡིག་སྐོགས་ 105 ཡི་རིན་གོང་ ` 525 ཡིན་ན། ` 200 ལ་ཡིག་སྐོགས་དེ་འདྲ་ག་ཚོད་ཉོ་ཐུབ་བམ། ལན།
` 525 ལ་ཉོ་ཐུབ་པའི་ཡིག་སྐོགས་གྲངས་ = 105
` 1 ལ་ཉོ་ཐུབ་པའི་ཡིག་སྐོགས་གྲངས་ =
105 525
` 200 ལ་ཉོ་ཐུབ་པའི་ཡིག་སྐོགས་གྲངས་ =
105 × 200 = 40 525
དེར་བརྟེན། ` 200 ལ་ཡིག་སྐོགས་དེ་འདྲ་ 40 ཉོ་ཐུབ།
1 ལ་བར་ཐག་ 90 km བསྐྱོད་ཀྱི་ཡོད། 2 (ཀ) མྱུར་ཚད་དེ་རང་ཐོག་བར་ཐག་ 30 km བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་རམ།
རྩིས་དཔེ་ ༡༦ སྣུམ་འཁོར་ཞིག་གིས་ཆུ་ཚོད་ 2 ལན།
(ཁ) མྱུར་ཚད་དེ་རང་ཐོག་ཆུ་ཚོད་ 2 ལ་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཐུབ་བམ། (ཀ) འདིར་ང་ཚོས་བར་ཐག་ཤེས་པ་ལས་དུས་ཚོད་ཤེས་ཀྱི་མེད།
61
རྩིས་རིག བར་ཐག་ 90 km བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ = ཆུ་ཚོད་ 2
1 5 = ཆུ་ཚོད་ 2 2
5 × 60 = སྐར་མ་ 150 2 བར་ཐག་ 1 km བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ = སྐར་མ་ 150 90 150 བར་ཐག་ 30 km བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ = སྐར་མ་ × 30 = སྐར་མ་ 50 90 = སྐར་མ་
དེར་བརྟེན། བར་ཐག་ 30 km བསྐྱོད་པར་སྐར་མ་ 50 འགོར་གྱི་ཡོད།
(ཁ) འདིར་ང་ཚོས་དུས་ཚོད་ཤེས་པ་ལས་བར་ཐག་ཤེས་ཀྱི་མེད། 1 ཆུ་ཚོད་ 2 ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 90 km 2 5 2 ཆུ་ཚོད་ 1 ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 90 ÷ = 90 × = 36 km 2 5 ཆུ་ཚོད་ 2 ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 36 × 2 = 72 km དེར་བརྟེན། ཆུ་ཚོད་ 2 ལ་བར་ཐག་ 72 km བསྐྱོད་ཐུབ།
སྦྱོང་ཚན། ༤་༣
༡། དཀར་ཡོལ་ 7 གྱི་རིན་གོང་ ` 294 རེད། དཀར་ཡོལ་དེ་འདྲ་ 5 ཡི་རིན་གོང་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༢། ཁང་མིག་ 5 ཡི་ནང་སྒེའུ་ཁུང་ 25 ཡོད་ན། དེ་འདྲ་བའི་ཁང་མིག་ 50 ནང་སྒེའུ་ཁུང་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། ༣། སྤྲེའུ་ཞིག་གིས་གཟའ་འཁོར་གཅིག་ལ་ངང་ལག་ 210 ཟ་ཡི་ཡོད། བྱས་ན་དེས་ཉིན་རེར་ངང་ལག་ག་ཚོད་ཟ་ཡི་ཡོད་དམ།
༤། རྩམ་པ་ 5 kg ཡི་རིན་གོང་ ` 450 རེད།
(ཀ) རྩམ་པ་ 8 kg ཀྱི་རིན་གོང་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ཁ) ` 360 ཡིས་རྩམ་པ་ཀི་ལོ་གྷ་རམ་ག་ཚོད་ཉོ་ཐུབ་བམ།
༥། ངང་ལག་ཌ་ཚན་ 4 ཡི་རིན་གོང་ ` 240 རེད། ` 20 ཡིས་ངང་ལག་ག་ཚོད་ཉོ་ཐུབ་བམ། ༦། མི་ 90 ཡི་གླ་ཕོགས་ ` 13,50,000 ཡིན་ན། མི་ 200 ཡི་གླ་ཕོགས་ག་ཚོད་རེད་དམ། ༧། ལྷ་སྐྱིད་ལགས་སུ་ཟླ་བ་ 15 ལ་ཡོང་འབབ་ ` 1,44,000 ཡོད། (ཀ) ཟླ་བ་ 7 གྱི་ཡོང་འབབ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
62
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། (ཁ) ཟླ་བ་ག་ཚོད་ནང་ཡོང་འབབ་ ` 2,40,000 ཆགས་ཀྱི་རེད་དམ།
༨། སྣུམ་འཁོར་ཞིག་བར་ཐག་ 594 km བསྐྱོད་པར་སྣུམ་ 108 L དགོས་ཀྱི་ཡོད། དེས་ན་བར་ཐག་ 1650 km བསྐྱོད་པར་སྣུམ་འཁོར་དེ་ལ་སྣུམ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༩། ཚེ་རིང་གིས་བདུན་ཕྲག་ 6 ལ་གཟུགས་པོ་ཐེངས་ 24 བཀྲུ་ཡི་ཡོད། རྡོ་རྗེས་བདུན་ཕྲག་ 7 ལ་གཟུགས་པོ་ཐེངས་ 35 བཀྲུ་ཡི་ཡོད། བྱས་ན་བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་སུས་གཟུགས་པོ་མང་བ་བཀྲུ་ཡི་ཡོད་དམ།
༤་༥ བརྒྱ་ཆའི་བེད་སྤྱོད། Application of percentage
མ་ཆ་བརྒྱ་ཅན་གྱི་གྲངས་ཆ་ལ་བརྒྱ་ཆ་ (Percent) ཟེར། ང་ཚོས་འཛིན་གྲྭ་གོང་མའི་ནང་གྲངས་ཆ་དང། སིལ་གྲངས་ བརྒྱ་ཆ་ལ་ཕབ་སྒྱུར། བརྒྱ་ཆ་གྲངས་ཆ་དང་སིལ་གྲངས་ལ་ཕབ་སྒྱུར་བཅས་སྦྱངས་ཡོད། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་བལྟས་ཏེ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། ཤིང་ཏོག
སློབ་མའི་གྲངས།
ཨ་མྲ།
26
རྒུན་འབྲུམ།
25
ཀུ་ཤུ།
14
ཚ་ལུ་མ།
35
ཁྱོན་བསྡོམས།
100
གྲངས་ཆའི་ནང་། 14 100 26 100 35 100 25 100
བརྒྱ་ཆའི་ནང་། 14 %
སིལ་གྲངས་ནང་།
26 %
0.26
35 %
0.35
25 %
0.25
0.14
100 %
རྩིས་དཔེ་ ༡༧ འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སློབ་མ་ 40 ཡོད། གལ་ཏེ་ 25 % བུ་མོ་ཡིན་ན། བུ་མོའི་གྲངས་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ། ལན།
སློབ་མའི་གྲངས་འབོར་ = 40
བུ་མོའི་གྲངས་ = 40 ཡི་ 25 % = 40 × བུ་མོའི་གྲངས་ 10 ཡིན།
25 = 10 100
རྩིས་དཔེ་ ༡༨ ཤིང་སྡོང་ 400 ཡོད་པའི་ཤིང་འབྲས་ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་ནང་ 18 རའི་ནང་ཡོད་པའི་ཤིང་འབྲས་སྡོང་པོ་གཞན་གྱི་གྲངས་ཚོལ།
1 % རྒུན་འབྲུམ་སྡོང་པོ་ཡིན་ན། ལྡུམ་ 2
63
རྩིས་རིག ལན།
ཤིང་སྡོང་གི་གྲངས་ = 400
1 རྒུན་འབྲུམ་སྡོང་པོའི་གྲངས་ = 400 ཡི་ 18 % 2 1 36 + 1 37 37 = 400 × % (18 % = = %) 2 2 2 2 1 37 × = 400 × = 74 100 2 དེར་བརྟེན། ཤིང་འབྲས་སྡོང་པོ་གཞན་གྱི་གྲངས་ = 400 − 74 = 326 ལྡུམ་རའི་ནང་ཤིང་འབྲས་སྡོང་པོ་གཞན་གྱི་གྲངས་ 326 ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༡༩ བློ་བཟང་གིས་ཡིག་ཚད་ལ་ཨང་ཐོབ་ 500 ནས་ 425 བླངས་ཡོད་ན། ཁོང་གིས་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་བླངས་ ལན།
ཡོད་དམ།
500 ནས་བླངས་པའི་ཨང་ཐོབ་ = 425 425 1 ནས་བླངས་པའི་ཨང་ཐོབ་ = 500 425 100 ནས་བླངས་པའི་ཨང་ཐོབ་ = × 100 = 85 500 དེར་བརྟེན། ཁོང་གིས་ཡིག་ཚད་ལ་ 85 % བླངས་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༢༠ (ཀ) 25 ཡི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་དེ་ 9 རེད་དམ། ལན།
(ཁ) 75 kg ཡི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་དེ་ 15 kg རེད་དམ།
9 × 100 = 36 % 25 དེར་བརྟེན། 9 ནི་ 25 ཡི་ 36 % རེད།
(ཀ) དགོས་མཁོའི་བརྒྱ་ཆ་ =
15 × 100 = 20 % 75 དེར་བརྟེན། 15 kg ནི་ 75 kg ཡི་ 20 % རེད།
(ཁ) དགོས་མཁོའི་བརྒྱ་ཆ་ =
རྩིས་དཔེ་ ༢༡ སླེ་པོ་ཞིག་གི་ནང་ཨ་མྲ་ 300 ཡོད་པ་ལས་ཨ་མྲ་ 75 སློབ་ཕྲུག་དབར་བགོས་པ་ཡིན་ན། སླེ་པོའི་ནང་ཨ་ ལན།
64
མྲ་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་ལྷག་ཡོད་དམ། ཐོག་མ་ཨ་མྲའི་གྲངས་ = 300
ཨ་མྲ་བགོས་པའི་གྲངས་ = 75
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། ཨ་མྲ་ལྷག་མ་ = 300 − 75 = 225
དེར་བརྟེན། སླེ་བོ་ནང་ལྷག་པའི་ཨ་མྲའི་བརྒྱ་ཆ་ =
225 × 100 = 75 % 300
སླེ་བོ་ནང་ཨ་མྲ་ 75 % ལྷག་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༢༢ ཇ་མངར་མོ་བཟོ་བར་ཆུ་ཕོར་པ་ 2 ལ་འོ་མ་ཕོར་པ་ 1 དགོས་ཀྱི་ཡོད། འོ་ན་ཇ་མངར་མོ་བཟོ་བར་ཆུ་ ལན།
དང་འོ་མ་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ཆུ། : འོ་མ། = 2 : 1
འདིར། ཁྱོན་བསྡོམས་ཕོར་པ་ = 2 + 1 = 3
དེ་ནི། ཆུ་ཕོར་པ་ 2 དང་འོ་མ་ཕོར་པ་ 1 རེད། 3 3 2 དེས་ན། ཆུའི་བརྒྱ་ཆ་ = × 100 3 =
འོ་མའི་བརྒྱ་ཆ་ = =
200 2 = 66 % 3 3 1 × 100 3
100 1 = 33 % 3 3
རྩིས་དཔེ་ ༢༣ གལ་ཏེ་ ` 250 པད་མ་དང་། པ་སངས། དཔལ་ལྡན་གསུམ་དབར་ཆ་ཤས་ 2 : 3 : 5 ལ་བགོས་ན། ཁོ་ ལན།
ཚོ་རེ་རེ་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་ཐོབ་བམ། བརྒྱ་ཆའི་ནང་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
ཁྱོན་བསྡོམས་ཆ་ཤས་ = 2 + 3 + 5 = 10
མིང་།
པད་མ།
པ་སངས།
དཔལ་ལྡན།
དངུལ་ཐོབ།
དངུལ་ཐོབ་བརྒྱ་ཆ།
2 × ` 250 = ` 50 10
2 × 100 % = 20 % 10
3 × ` 250 = ` 75 10
3 × 100 % = 30 % 10
5 × ` 250 = ` 125 10
5 × 100 % = 50 % 10
65
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
སོ་སོའི་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གཤམ་གསལ་ཁག་ཚོལ། (ཀ) བུ་དང་བུ་མོའི་བརྒྱ་ཆ།
(ཁ) བུའི་གྲངས་དང་བུ་མོའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
(ག) བུ་མོའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད། (ང) བུའི་གྲངས་དང་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད། (ཅ) སྒོ་དང་སྒེའུ་ཁུང་གི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
(ཆ) སྒྲོག་ཙེའི་གྲངས་དང་རྐུབ་བཀྱག་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
(ཇ) དཔེ་ཁུག་ནང་འབྲི་དེབ་དང་སློབ་དེབ་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
(ཉ) རྐང་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་དང་སིལ་པོལ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
༡། ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༢། ཚོལ།
(ཀ) 250 ཡི་ 15 %
(ཀ)
(ག) ` 2500 ཡི་ 20 %
སྦྱོང་ཚན། ༤་༤ (ཁ)
(ཁ) ཆུ་ཚོད་ 1 གི་ 10 %
(ག)
(ང) 1 kg གི་ 75 %
༣། གྲོང་སྡེ་ཞིག་གི་མི་འབོར་ 55 % སྐྱེས་པ་རེད། གལ་ཏེ་གྲོང་སྡེ་དེའི་མི་འབོར་གྲངས་ 128200 ཡིན་ན། གྲོང་སྡེ་ དེའི་ནང་དུ་བུད་མེད་ཀྱི་གྲངས་འབོར་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
༤། བདེ་སྐྱིད་ཀྱིས་ཨང་རྩིས་རྒྱུགས་སྤྲོད་ལ་ཨང་ཐོབ་ 75 ནས་ 65 བླངས་ཡོད་ན། མོའི་ཨང་ཐོབ་ཀྱི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༥། སླེ་པོའི་ནང་ཀུ་ཤུ་ 400 ཡོད་པ་ལས་ཀུ་ཤུ་ 16 རུལ་ཡོད་ན། སླེ་པོའི་ནང་ཀུ་ཤུ་མ་རུལ་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༦། སྒྲོལ་མས་རས་ 40 m ཉོས་ཏེ། རས་ 15 % ཕྱུ་པ་བཟོ་བར་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད། མོས་ཕྱུ་པ་བཟོ་བར་རས་མི་ཊར་ག་ ཚོད་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད་དམ།
༧། རྒྱལ་ཁབ་ཅིག་ལ་མི་འབོར་ས་ཡ་ 90 ཡོད། གལ་ཏེ་ལོ་རེར་མི་འབོར་ 2 % འཕེལ་གྱི་ཡོད་ན། ལོ་གཅིག་རྗེས་སུ་རྒྱལ་ ཁབ་དེའི་མི་འབོར་ག་ཚོད་ཆགས་ཀྱི་རེད།
66
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། ༨། དོན་གྲུབ་ཀྱིས་རང་གི་གླ་ཕོགས་ནས་ ` 1500 གསོག་འཇོག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་གསོག་འཇོག་བྱས་པའི་དངུལ་ དེ་གླ་ཕོགས་ཀྱི་ 10 % ཡིན་ན། ཁོང་གི་གླ་ཕོགས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༩། བློ་བཟང་གིས་ཁྱོན་བསྡོམས་བར་ཐག་ 10 km ཕྱིན་ཡོད། ཁོས་བར་ཐག་
70 % རྐང་འཁོར་དང་དེ་འཕྲོས་རྐང་ཐང་ལ་ཕྱིན་ཡོད། རྐང་འཁོར་དང་ རྐང་ཐང་སོ་སོར་བར་ཐག་ག་ཚོད་ཕྱིན་ཡོད་དམ།
༡༠། མེ་འཁོར་ཞིག་གི་མགྱོགས་ཚད་ 120 km/h ཡིན། གལ་ཏེ་མེ་འཁོར་དེའི་མགྱོགས་ཚད་ 10 % སྤར་ན་མགྱོགས་ ཚད་འཕར་བ་དེ་ཚོལ། མེ་འཁོར་དེའི་མགྱོགས་ཚད་གསར་པ་ཡང་ཚོལ།
༡༡། བྱི་རིལ་ 15 ཉི་མ་དང་ཟླ་བ་དབར་ 20 % དང་ 80 % སོ་སོར་བགོས་ན། ཁོ་གཉིས་སོ་སོར་བྱི་རིལ་ག་ཚོད་ཐོབ་ བམ།
༡༢། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ཟུར་གསུམ་གྱི་སྡུར་ནི་ 2 : 3 : 4 ཡིན། ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།
༤་༦ ཁེ་དང་གྱོང་། Profit and loss ངས་ ` 500 སྤྲད་ དེ་ཇ་དམ་ཞིག་ ཉོས་པ་ཡིན།
Cost price
Selling price
མ་གནས་རིན་གོང་།
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།
༤་༦་༡ ཁེ་དང་གྱོང་། Profit and loss
ཚོང་བདག
` 510 ལ་ བཙོངས་པ་ ཡིན།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཡོ་ཆས་གང་རུང་ཞིག་ཉོ་སྐབས་དངུལ་སྤྲད་པ་དེ་ལ་མ་གནས་རིན་གོང་ (cost price) ཟེར། དེ་བསྡུས་ན་
CP འབྲི་ཆོག ཁྱེད་ཀྱིས་ཡོ་ཆས་ཤིག་བཙོངས་ནས་ཐོབ་པའི་དངུལ་དེ་ལ་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (selling price) ཟེར། དེ་བསྡུས་ན་ SP འབྲི་ཆོག
གལ་ཏེ།
• CP < SP, ཁྱེད་ལ་ཁེ་བྱུང་ཡོད། དེ་ནི། ཁེ་ = SP − CP
• CP > SP, ཁྱེད་ལ་གྱོང་བྱུང་ཡོད། དེ་ནི། གྱོང་ = CP − SP
• CP = SP, ཁྱེད་ལ་ཁེ་དང་གྱོང་གང་ཡང་བྱུང་མེད།
རྩིས་དཔེ་ ༢༤ ལྷག་པས་རྩེད་ཆས་ཤིག་ ` 120 ལ་ཉོས་ཏེ་ ` 100 ལ་བཙོངས་ཡོད། ཁོང་ལ་ཁེ་ཡང་ན་གྱོང་བྱུང་བ་ ཚོལ།
67
རྩིས་རིག ལན།
མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 120, ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ` 100 འདིར། CP > SP ཡིན་པས། ལྷག་པར་གྱོང་བྱུང་ཡོད། གྱོང་ = CP − SP
= 120 − 100 = ` 20
དེར་བརྟེན། ལྷག་པ་ལ་གྱོང་ ` 20 བྱུང་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༢༥ རས་ཚོང་པ་ཞིག་གིས་ཕྱུ་པ་རེ་ལ་ ` 490 སྤྲད་དེ་ཕྱུ་པ་ 20 ཉོས་པ་རེད། གལ་ཏེ་ཚོང་པས་ཕྱུ་པ་ཚང་མ་ ལན།
` 10000 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། ཚོང་པར་ཁེ་གྷྱོང་གང་བྱུང་བ་ཚོལ།
ཕྱུ་པ་ 20 ཡི་མ་གནས་རིན་གོང་ = 20 × 490 = ` 9800 ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ` 10000
འདིར། CP < SP ཡིན་པས། ཚོང་པར་ཁེ་བྱུང་ཡོད། ཁེ་ = SP − CP
= 10000 − 9800 = ` 200
དེར་བརྟེན། རས་ཚོང་པར་ཁེ་ ` 200 བྱུང་ཡོད།
༤་༦་༢ ཁེ་དང་གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ། Profit and loss percent
ང་ཚོས་ཁེ་དང་གྱོང་བརྒྱ་ཆའི་ཐོག་མཚོན་ཐུབ། བརྒྱ་ཆ་ནི་རྟག་ཏུ་མ་གནས་རིན་གོང་ (CP) ཐོག་བརྩི་དགོས།
རྩིས་དཔེ་ ༢༦ དཔལ་མོས་ཆུ་དམ་ཞིག་ལ་ ` 800 སྤྲད་དེ་ཉོས་རྗེས། ` 1000 བྱས་ནས་ཕར་བཙོངས་ཡོད་ན། མོར་ ལན།
བྱུང་བའི་ཁེ་ཡང་ན་གྱོང་བརྒྱ་ཆའི་ཐོག་ཚོལ།
མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 800, ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ` 1000 འདིར། CP < SP ཡིན་པས། དཔལ་མོར་ཁེ་བྱུང་ཡོད། ཁེ་ = SP − CP
= 1000 − 800 = ` 200 200 ཁེ་ཡི་བརྒྱ་ཆ། = × 100 = 25 % 800 དེར་བརྟེན། དཔལ་མོར་ཁེ་ 25 % བྱུང་ཡོད།
ཁེ་ = SP − CP ཁེ་ཡི་ % =
68
ཁེ།
མ་གནས་རིན་གོང་།
× 100
གྱོང་ = CP − SP གྱོང་གི་ % =
གྱོང་།
མ་གནས་རིན་གོང་།
× 100
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། རྩིས་དཔེ་ ༢༧ བུམ་པ་ཞིག་གི་མ་གནས་རིན་གོང་ ` 120 རེད། གལ་ཏེ་ཚོང་བདག་གིས་བུམ་པ་དེ་ 10 % གྱོང་ཐོག་
ལན།
བཙོངས་པ་ཡིན་ན། དེའི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།
མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 120 ; གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ = 10 % ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ?
གྱོང་ = 120 × 10 % = ` 12 SP = CP − གྱོང་།
(
= ` 120 − ` 12 = ` 108
གྱོང་ = CP − SP )
དེར་བརྟེན། ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ནི་ ` 108 ཡིན།
༡། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་སྐོངས།
སྦྱོང་ཚན། ༤་༥
མ་གནས་རིན་གོང་། (`)
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།
ཁེ། / གྱོང་། (`)
10
8
540
405
གྱོང་ = 10 − 8 = 2
1500
1700
མིག་ཤེལ།
3000
2400
7500
8000
སྣུམ་འཁོར།
225000
213750
དངོས་པོ།
ཞ་སྨྱུག
གོས་ཐུང་། དཔེ་ཁུག ཅོག་ཙེ།
༢། སྡུར་ཚད་རྣམས་བརྒྱ་ཆར་སྒྱུར། (ཀ) 3 : 1
(ཁ) 1 : 4
(`)
(ག) 1 : 2 : 5
ཁེ། / གྱོང་གི་ %
2 × 100 = 20 % 10
(ང) 2 : 3 : 5
༣། ཕུར་བུས་ ` 13,500 ལ་འཁྱག་སྒམ་ཞིག་བཙོངས་པ་རེད། ཁོོང་ལ་གྱོང་ ` 1500 བྱུང་ཡོད་ན། འཁྱག་སྒམ་དེའི་ མ་གནས་རིན་གོང་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ། གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
69
རྩིས་རིག ༤། ཤིང་འབྲས་ཚོང་པ་ཞིག་གིས་ཨ་མྲ་ 10 ཡོད་པའི་ཤོག་སྒམ་རེར་ ` 250 སྤྲད་དེ་ཉོས་རྗེས་ཤོག་སྒམ་རེར་ ` 300 བྱས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད་ན། ཚོང་པར་བྱུང་བའི་ཁེ་གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༥། སྒྲོལ་མས་སྒྲུང་དེབ་ཅིག་ ` 275 ལ་ཉོས་རྗེས་ 15 % གྱོང་ཐོག་བཙོངས་ཡོད། ཁོ་མོས་སྒྲུང་དེབ་དེ་རིན་གོང་ག་ ཚོད་ལ་བཙོངས་ཡོད་དམ།
༦། ངས་བརྙན་འཕྲིན་ཞིག་ ` 20,000 ལ་ཉོས་རྗེས་ཁེ་འབབ་ 20 % ཐོག་བཙོངས་ན། བརྙན་འཕྲིན་དེ་བཙོངས་ རྗེས་ང་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་ཐོབ་ཀྱི་རེད་དམ།
༧། (ཀ) ས་སྨྱུག་ནང་དཀར་ཤམ་དང་། ཀར་བོན། འཚོ་རླུང་བཅས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ 10 : 3 : 12 སོ་སོར་ཡོད། ས་སྨྱུག་ནང་ དཀར་ཤམ་གྱི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
(ཁ) ལག་ཁུག་ཅིག་གི་ནང་པོ་ལོ་དམར་པོ་དང་། སྔོན་པོ། དཀར་པོ། ལྗང་ཁུ་བཅས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ 4 : 2 : 3: 1 སོ་ སོར་ཡོད། འོ་ན་པོ་ལོ་ཚོན་མདོག་སོ་སོའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༨། ཚེ་རིང་གིས་སྨྱུ་གུ་རེ་ལ་ ` 20 སྤྲད་དེ་ཌར་ཚན་ 150 ཉོས་ཡོད། དེ་ནས་ཁོང་གིས་སྨྱུ་གུ་རེ་ལ་ ` 18 བྱས་ཏེ་ བཙོངས་ཡོད་ན། ཁོང་ལ་ཁེ་གྱོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་འབོར་གཉིས་བསྡུར་བར། གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མཉམ་པ་དགོས། དེ་མིན་སྡུར་ཚད་མ་ བཙལ་གོང་ལ་གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མཉམ་པ་བཟོ་དགོས།
༢། སྡུར་ཚད་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་ལ་འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད་ཟེར། དཔེར་ན། 1 : 2 = 5 : 10 = 50 : 100
༣། 3 : 2 དང་ 2 : 3 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་མིན། དེར་བརྟེན། སྡུར་ཚད་ཀྱི་ཚན་པའི་གོ་རིམ་ནི་ཤིན་ཏུ་གལ་ ཆེན་པོ་ཡིན།
༤། སྡུར་ཚད་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་ན་དེ་ལ་སྡུར་ཕྲེང་ཟེར།
༥། སྡུར་ཕྲེང་གི་ཚན་པ་དང་པོ་དང་བཞི་པ་ལ་ཕྱི་ཚན་དང་། ཚན་པ་གཉིས་པ་དང་གསུམ་པ་ལ་ནང་ཚན་ཟེར།
༦། གྲངས་བཞི་ཡིས་སྡུར་ཕྲེང་འགྲུབ་པ་ལ། ཕྱི་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་དང་ནང་ཚན་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་གཉིས་མཚུངས་ དགོས།
༧། གྲངས་འབོར་ 1 གི་རྩིས་འབྲས་བཙལ་རྗེས་དགོས་མཁོ་ཡོད་པའི་གྲངས་འབོར་གྱི་རྩིས་འབྲས་འཚོལ་བའི་
70
སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆ། ཐབས་ལམ་དེ་ལ་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་ཟེར།
༨། མ་ཆ་བརྒྱ་ཅན་གྱི་གྲངས་ཆ་ལ་བརྒྱ་ཆ་ཟེར། ༩། ཁེ་དང་གྱོང་།
CP < SP, ཁེ་ = SP − CP
CP > SP, གྱོང་ = CP − SP
༡༠། ཁེ་དང་གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ། ཁེའི་བརྒྱ་ཆ་
=
གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ =
ཁེ།
× 100
གྱོང་།
× 100
CP
CP
71
ཚབ་རྩིས།
སློབ་ཚན་ལྔ་པ།
༥་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་གྲྭ་གོང་མའི་ནང་ང་ཚོས་གྲངས་དང་དབྱིབས་སྦྱངས་ཡོད།
གྲངས་ཁོ་ན་སྤྱོད་པའི་རྩིས་རིག་ལ་ཨང་རྩིས་
(Arithmetic) ཟེར། དབྱིབས་དང་འབྲེལ་བའི་རྩིས་རིག་ལ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ (Geometry) ཟེར། སློབ་ཚན་ འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ (Algebra) སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ཚབ་རྩིས་ནང་ང་ཚོས་གྲངས་མཚོན་བྱེད་དུ་ཡིག་འབྲུ་བེད་སྤྱོད་ གཏོང་གི་ཡོད། ཚབ་རྩིས་ནི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ཁྲོད་གལ་གནད་ཆེན་པོ་ཡིན།
༥་༢ རྒྱུ། Variable
ལྷ་མོས་ཙག་སྒྲ་བེད་སྤྱད་དེ་ཨིན་ཇིའི་ཡི་གེ་ ' L ' གྱི་དཔེ་འགྲོས་བཟོ་ཡི་ཡོད།
1L
2L
3L
L གཅིག་བཟོ་བར་ལྷ་མོ་ལ་ཙག་སྒྲ་རྐང་གཉིས་དགོས་ཀྱི་ཡོད། L གཉིས་བཟོ་བར་ལྷ་མོ་ལ་ཙག་སྒྲ་རྐང་བཞི་དགོས་ཀྱི་ ཡོད། ལྷ་མོས་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་བཟོས་པ་རེད། L གྲངས།
ཙག་སྒྲའི་གྲངས།
1
2
3
2
4
6
རེའུ་མིག ༡
རེའུ་མིག་ ༡ ལས། ཙག་སྒྲའི་གྲངས་ = 2 × L གྲངས།
72
4
5
6
7
8
9
....
8
10
12
14
16
18
....
ཚབ་རྩིས། ང་ཚོས་སྟབས་བདེའི་ཆེད་ L གྲངས་ཀྱི་ཚབ་ཏུ་ཡིག་འབྲུ་ n བྲིས།
གལ་ཏེ་ L གཅིག་བཟོས་ན། n = 1; གལ་ཏེ་ L གཉིས་བཟོས་ན། n = 2 ... ཡིན་པས། n ནི་རང་བྱུང་གྲངས་གང་ རུང་ཞིག་ཡིན་ཆོག
དེར་བརྟེན་ཙག་སྒྲའི་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་ = 2 × n ཡང་ན། 2n
མཆན། 2n དང་ 2 × n གཅིག་པ་རེད།
n = 1, ཙག་སྒྲའི་གྲངས། = 2 × 1 = 2 n = 2, ཙག་སྒྲའི་གྲངས། = 2 × 2 = 4
n = 3, ཙག་སྒྲའི་གྲངས། = 2 × 3 = 6 སོགས་ཡིན།
ཡིག་འབྲུ་ n གྱིས་གྲངས་མཚོན་གྱི་ཡོད། ང་ཚོས་གྲངས་མཚོན་ཆེད་དུ་སྤྱོད་པའི་ཡིག་འབྲུ་ལ་ཡིག་འབྲུའི་གྲངས་
(Literal numbers) ཟེར། ཡིག་འབྲུའི་གྲངས་ནི་འགྱུར་བ་འགྲོ་ངེས་ཤིག་རེད། དེར་བརྟེན་དེ་ལ་རྒྱུ་ (Variable) ཡང་ཟེར།
རྒྱུ་ནི་འགྱུར་བ་འགྲོ་ངེས་ཤིག་ཡིན་པ་དང་དེའི་ཐང་ལ་ངེས་པ་མེད། རྒྱུ་ཡི་ཐང་ 1, 2, 3, .... གང་རུང་ཞིག་ལེན་ཆོག ང་ཚོས་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་ (Unknown number) མཚོན་ཆེད་རྒྱུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཐང་ངེས་པའི་གྲངས་ འབོར་ཞིག་ལ་རྟག་གྲངས་ (Constant) ཟེར། དཔེར་ན། 4, 20, 99, 555, 1000 སོགས་རྟག་གྲངས་ཡིན། དཔེ་མཚོན།
༡༽ ཞ་སྨྱུག་ 1 གི་རིན་གོང་ ` 5 རེད། དེར་བརྟེན་ཞ་སྨྱུག་ 2 ཀྱི་རིན་གོང་ ` 5 × 2 = ` 10 དང་། ཞ་སྨྱུག་ 3 གྱི་ རིན་གོང་ ` 5 × 3 = ` 15 སོགས་ཡིན། ཞ་སྨྱུག་གི་གྲངས།
རིན་གོང་། ( ` )
རེའུ་མིག ༢
1
2
3
4
5
10
n
5
10
15
20
25
50
5n
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ n ནི་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་ཆོག དེར་བརྟེན། ཞ་སྨྱུག་ n གྱི་རིན་གོང་ ` 5n ཡིན།
༢༽ ཚེ་རིང་ལ་སྒྲོལ་མ་ལས་ཤེལ་རྡོ་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད།
གལ་ཏེ་སྒྲོལ་མ་ལ་ཤེལ་རྡོ་ 20 ཡོད་ན། ཚེ་རིང་ལ་ཤེལ་རྡོ་ 20 + 10 = 30 ཡོད།
གལ་ཏེ་སྒྲོལ་མ་ལ་ཤེལ་རྡོ་ 30 ཡོད་ན། ཚེ་རིང་ལ་ཤེལ་རྡོ་ 30 + 10 = 40 ཡོད། སྒྲོལ་མའི་ཤེལ་རྡོ་གྲངས།
ཚེ་རིང་གི་ཤེལ་རྡོ་གྲངས།
1
རེའུ་མིག ༣
2
5
10
20
30
x
11
12
15
20
30
40
x + 10
73
རྩིས་རིག སྒྲོལ་མ་ལ་ཤེལ་རྡོ་ག་ཚོད་ཡོད་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་མེད། འདིར་ x ནི་རྒྱུ་ཡིན་ཙང་ཐང་གང་རུང་ཞིག་ལེན་ཆོག དེར་བརྟེན། སྒྲོལ་མ་ལ་ཤེལ་རྡོ་གྲངས་ x ཡོད་སྐབས། ཚེ་རིང་གི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ = x + 10
མཆན། x + 10 དང་ 10x གཉིས་ལ་ཁྱད་པར་ཡོད།
༣༽ ཟླ་བ་དང་ཉི་མ་གཉིས་བུ་སྤུན་རེད། ཉི་མ་ནི་ཟླ་བ་ལས་ལོ་ 3 གྱིས་ཆུང་བ་ཡིན། ཟླ་བ་ལོ་ 12 ཡིན་སྐབས། ཉི་མ་ལོ་ 12 − 3 = 9 ཡིན།
ཟླ་བ་ལོ་ 15 ཡིན་སྐབས། ཉི་མ་ལོ་ 15 − 3 = 12 ཡིན། ཟླ་བའི་ལོ།
ཉི་མའི་ལོ།
4
5
1
2
རེའུ་མིག ༤
6
10
12
15
x
3
7
9
12
x−3
ང་ཚོས་ཟླ་བའི་ལོ་ཤེས་ཀྱི་མེད། x ཡིས་ཟླ་བའི་ལོ་མཚོན་གྱི་ཡོད་པ་ཆ་བཞག དེར་བརྟེན། ཟླ་བ་ལོ་ x ཡིན་སྐབས། ཉི་མ་ལོ་ = x − 3
༥་༣ རྒྱུའི་བེད་སྤྱོད། Use of variables
དབྱིབས་རྩིས་ནང་བེད་སྤྱོད། Use in geometry
༡། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Perimeter of a square
l
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ། P = 4 × l = 4l
l
P ཡིས་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་ l ཡིས་མཐའི་རིང་ཚད་མཚོན་གྱི་
l
ཡོད། འདིར། P དང་ l གཉིས་ཀྱིས་གྲངས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
༢། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Perimeter of a rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × དཀྱུས་ + 2 × ཞེང་།
l A
B
P = 2l + 2b
P ཡིས་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་། l ཡིས་དཀྱུས། b ཡིས་ཞེང་བཅས་ མཚོན་གྱི་ཡོད། འདིར། P དང་། l, b བཅས་ཀྱིས་གྲངས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
74
b D
l
C
ཚབ་རྩིས།
ཨང་རྩིས་ནང་བེད་སྤྱོད། Use in arithmetic
༣། སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། Commutativity of addition སྡོ མ ་རྩི ས ་སྐབས་གྲངས་ཀྱི ་ གོ ་ རི མ ་བརྗེ ས ་ཏེ ་ བསྡོ མ ས་
ནའང་། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། a དང་ b གཉིས་ རྒྱུ་ཡིན་པ་དང་། དེའི་ཐང་གང་རུང་ཞིག་ལེན་ཆོག དེས་ན། a + b = b + a
= 4+3=7
3+4=7
༤། སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། Commutativity of multiplication
སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་སུའང་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་གྱིས་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ཁྱད་པར་མེད། དེས་ན། a × b = b × a
a དང་ b ཡི་ཐང་གང་རུང་ཞིག་ལེན་ཆོག འདིར། a དང་ b ནི་རྒྱུ་ཡིན།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༡
༡། གཤམ་གྱི་དཔེ་འགྲོས་བཟོ་བར་རྒྱུ་བེད་སྤྱད་དེ་ཙག་སྒྲའི་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་བྲིས། (ཀ) ཡིག་འབྲུ་ V
(ག) ཡིག་འབྲུ་ M
(ཁ) ཡིག་འབྲུ་ H
(ང) ཡིག་འབྲུ་ N
༢། པད་མ་ནི་ལོ་ x ཡིན། པ་སངས་ནི་པད་མའི་ལོའི་ལྡབ་ལྔ་ཡིན། བྱས་ན་པ་སངས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༣། རྡོ་རྗེ་ལ་ལྷ་མོ་ལས་ཨང་ཐོབ་ 20 ཡིས་མང་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་རྡོ་རྗེའི་ཨང་ཐོབ་ y ཡིན་ན། ལྷ་མོའི་ཨང་ཐོབ་གང་རེད་ དམ།
༤། དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མ་རེ་ལ་སྨྱུ་གུ་ 5 རེ་བགོ་འགྲེམས་བྱས་ཡོད་ན། སློབ་མའི་གྲངས་ s ལ་སྨྱུ་གུ་ག་ཚོད་བགོས་ཡོད།
༥། དཔལ་མོ་ནི་བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་གཅུང་མོ་ཡིན། མོ་བཀྲ་ཤིས་ལས་ལོ་ 4 ཡིས་ཆུང་བ་ཡིན། བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོ་ x ཡིན་ན་དཔལ་ མོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༦། ཨ་མ་ལགས་ཀྱིས་དགུང་ཚིགས་ལ་མོག་མོག་བཟོས་ཡོད། མོས་མོག་མོག་འགའ་ཤས་གྲོང་པ་ལ་སྤྲད་རྗེས་མོག་མོག་ 30 ལྷག་ཡོད། གལ་ཏེ་མོག་མོག་སྤྲད་པའི་གྲངས་ m ཡིན་ན། ཨ་མ་ལགས་ཀྱིས་མོག་མོག་ག་ཚོད་བཟོས་ཡོད་དམ།
༧། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་མཐའ་ s གྱིས་མཚོན། s སྤྱད་དེ་མཐའ་ མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་མཚོན།
༨། མཐའ་མཉམ་མཐའ་དྲུག་དབྱིབས་ (དཔེ་རིས་ ༥་༡) ཤིག་གི་མཐའ་ l གྱིས་
མཚོན། མཐའ་དྲུག་དབྱིབས་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ l སྤྱད་དེ་མཚོན།
l
l
l
l
l l
དཔེ་རིས་ ༥་༡
75
རྩིས་རིག
A
༩། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་གིས་སྒོར་མཐའི་གནས་གཉིས་མཐུད་པ་དང་།
དེ་སྒོར་ལྟེ་བརྒྱུད་ནས་འགྲོ་ཡི་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༥་༢ ལས། AB ནི་སྒོར་ དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་དང་། C ནི་སྒོར་ལྟེ་ཡིན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ ཕྱེད་ (r) ལ་གཞིགས་ནས་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་ (d) མཚོན།
d B
C
r
P
དཔེ་རིས་ ༥་༢
༥་༤ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། Algebraic expressions
ང་ཚོས་ཨང་རྩིས་ནང་ཚུལ་ 5 + 2, 7 − 4, (2 × 10) + 3 སོགས་བེད་སྤྱོད་བཏང་ཡོད། དེ་ལྟ་བུའི་ཚུལ་རྣམས་ཨང་ ཀི་ 2, 3, 4, 5, 7, 10, 100 སོགས་དང་རྩིས་ཐབས་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། དེ་ལ་ཨང་ཀིའི་ཚུལ་ཟེར།
ང་ཚོས་རྒྱུ་སྤྱད་ནས་ཀྱང་ཚུལ་གྲུབ་ཐུབ། དཔེར་ན། ཚུལ་ 2n ནི་ n ལ་ 2 བསྒྱུར་ནས་གྲུབ་པ་ཡིན། ཚུལ་ x + 10 ནི་
x ལ་ 10 བསྡོམས་ནས་གྲུབ་པ་ཡིན།
རྟག་གྲངས་ (Constant) དང་། རྒྱུ་ (Variable) རྩིས་ཐབས་ (Operation) བཅས་ཐུན་མོང་གིས་གྲུབ་པའི་རྩིས་
ཕྲེང་ལ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ (Algebraic expression) ཟེར། དཔེར་ན། 5y, 21z, x + 6, 7 − x, 10 + x 2y, སོགས་ནི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ཡིན། 5
+
རྒྱུ།
རྩིས་ཐབས།
6
རྟག་གྲངས།
{
x
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
༥་༤་༡ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་འབྲི་སྟངས། Writing algebraic expressions ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
ཇི་ལྟར་གྲུབ་བམ།
(ཁ) t − 7
t ནས་ 7 འཐེན་པ། ཡང་ན། t ལས་ 7 ཉུང་བ།
(ཀ) y + 5 (ག) 10a (ང) x 4
(ཅ) − 5p
76
y ལ་ 5 བསྡོམས་པ། ཡང་ན། y ལས་ 5 མང་བ། a ལ་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་བ། x ལ་ 4 ཡིས་བགོས་པ།
p ལ་ − 5 ཡིས་བསྒྱུར་བ།
ཚབ་རྩིས། (ཆ) 3x + 2
(ཇ) 2y − 5
x ལ་ 3 གྱིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ 2 སྡོམས།
y ལ་ 2 ཀྱིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 5 འཐེན།
ཁྱེད་ཀྱིས་དེ་འདྲ་བའི་དཔེ་མཚོན་ལྔ་བྲིས་ཏེ་ཇི་ལྟར་གྲུབ་ཚུལ་ཡང་བྲིས།
ང་ཚོས་ཤེས་ཟིན་པའི་བརྗོད་པ་བརྒྱུད་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་འབྲི་སྟངས་སྦྱང་གི་ཡིན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
ཇི་ལྟར་གྲུབ་བམ།
(ཁ) r ལ་ 25 སྡོམས།
r + 25
(ཀ) z ནས་ 12 འཐེན། (ག) p ལ་ 17 གྱིས་སྒྱུར།
(ང) y ལ་ 8 ཀྱིས་བགོས།
(ཅ) m ལ་ − 9 ཡིས་སྒྱུར།
(ཆ) y ལ་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ 7 སྡོམས།
(ཇ) n ལ་ 4 ཡིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 8 འཐེན།
z − 12
17p y 8 − 9m 10y + 7 4n − 8
རྩིས་དཔེ་ ༡ གཤམ་གྱི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བྲིས། (ཀ) x ལས་ 3 ཉུང་བ།
(ཁ) x དང་ y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལས་ 5 མང་བ།
ལན།
(ག) n གྱི་ 1 ལས་ 6 ཉུང་བ། 3 (ང) x ཡི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ 3 མང་བ། (ཀ) x − 3
(ཁ) xy + 5 1 (ག) n × −6 3 n = −6 3 (ང) 3x + 3
77
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༥་༢
༡། གཤམ་གསལ་རྣམས་ཨང་ཀིའི་ཚུལ་ཡང་ན་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དུ་དབྱེ། (ཀ) y + 3 (ག) 3x
(ཅ) 10 (21 − 1) + 7 × 2
༢། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བྲིས། (ཀ) p ལ་ 7 སྡོམས།
(ག) p ལ་ 7 གྱིས་སྒྱུར།
(ཅ) − p ནས་ 7 འཐེན།
(ཇ) − p ལ་ 5 ཡིས་བགོས།
༣། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བྲིས།
(ཀ) 2n ལ་ 11 སྡོམས།
(ག) 5 དང་ y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ 3 སྡོམས།
(ཅ) y ལ་ − 8 ཀྱིས་སྒྱུར།
(ཁ) 10
(ང) (7 × 2) − z (ཆ) 5 − 5n
(ཁ) p ནས་ 7 འཐེན།
(ང) p ལ་ 7 གྱིས་བགོས།
(ཆ) − p ལ་ 5 ཡིས་སྒྱུར། (ཉ) p ལ་ − 5 ཡིས་སྒྱུར།
(ཁ) 2n ནས་ 11 འཐེན།
(ང) 5 དང་ y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 3 འཐེན།
(ཆ) y ལ་ − 8 ཀྱིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ 5 སྡོམས།
(ཇ) y ལ་ 5 ཡིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་ 16 ནས་འཐེན།
(ཉ) y ལ་ − 5 ཡིས་བསྒྱུར་རྗེས། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་ 16 གིས་བགོས།
༤། གཤམ་གྱི་རྩིས་བརྗོད་རྣམས་ཨང་ཀི་དང་། ཡིག་འབྲུ། རྩིས་ཐབས་སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱིས་མཚོན། (ཀ) 6 དང་ x ཡི་བསྡོམས་ཐོབ། (ག) x ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག
(ཅ) གྲངས་ 7 ལས་ y ཡིས་ཆུང་བ། (ཇ) x དང་ y ཡི་བགོས་ཐོབ།
(ཏ) གྲངས་ x ཡི་རང་སྒྱུར།
(ཁ) y ལས་ 3 མང་བའི་གྲངས།
(ང) x དང་ y ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ
(ཆ) x ནས་ 7 ལེན་པ།
(ཉ) x ཡི་ལྡབ་གཉིས་ལས་ 3 མང་བ།
(ཐ) གྲངས་ z ཡི་ལྡབ་ 5
༥། (ཀ) k དང་ 7 སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་བཞི་བྲིས། སྐབས་དེར་རྩིས་ཐབས་དང་རྟག་གྲངས་གཅིག་ལས་ མང་བ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་མི་ཆོག
(ཁ) y དང་ 2, 7 སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་ལྔ་བྲིས།
78
ཚབ་རྩིས།
༥་༤་༢ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་བེད་སྤྱོད། Using expressions practically གནས་སྟངས།
རྒྱུ་སྤྱོད་པ།
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་སྤྱད་ ནས་རྩིས་བརྗོད།
༡། བདེ་སྐྱིད་ལ་ཆོས་སྒྲོན་ལས་ཤེལ་རྡོ་
ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ x ཡིན་
བདེ་སྐྱིད་ལ་ཤེལ་རྡོ་
༢། བཀྲ་ཤིས་ལ་ཚེ་རིང་ལས་ ` 3 གྱིས་
ཚེ་རིང་ལ་ ` x ཡོད་ན།
བཀྲ་ཤིས་ལ་ ` (x − 3)
10 ཡིས་མང་བ་ཡོད། ཉུང་བ་ཡོད།
༣། བློ་བཟང་ནི་སྤེན་པའི་རིང་ཚད་ཀྱི་ ཉིས་ལྡབ་ཡིན།
༤། ལྷག་པའི་པ་ལགས་ནི་ལྷག་པའི་ལྗིད་ ཚད་ཀྱི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ 2 kg ཀྱིས་མང་བ་ཡིན།
༥། ད་ནས་ལོ་ 5 རྗེས་པ་སངས་ཀྱི་ལོ། ༦། ལོ་ 4 སྔོན་ཕུར་བུའི་ལོ།
ན།
སྤེན་པའི་རིང་ཚད་ x cm ཡིན་ན། ལྷག་པའི་ལྗིད་ཚད་ x kg ཡིན་ན། ད་ལྟ་པ་སངས་ཀྱི་ལོ་ y ཡིན་ན། ད་ལྟ་ཕུར་བུའི་ལོ་ y ཡིན་ན།
༧། གྲོ་ 1 kg གི་རིན་གོང་ནི་འབྲས་
1 kg གི་རིན་གོང་ལས་ ` 15 ཡིས་ འབྲས་ 1 kg གི་རིན་གོང་ p ཡིན་ན། ཉུང་བ་རེད།
༨། སྣུམ་ 1 L གི་རིན་གོང་ནི་ཆུ་ 1 L གི་རིན་གོང་གི་ལྡབ་ 5 ཡིན།
༩། ཨ་མ་ལགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ནི་ལྷ་མོའི་
ལྗིད་ཚད་ཀྱི་ལྡབ་གཉིས་ལས་ 7 kg གྱིས་ཉུང་བ་ཡིན།
ཆུ་ 1 L གི་རིན་གོང་ p ཡིན་ན། ལྷ་མོའི་ལྗིད་ཚད་ n kg ཡིན་ན།
(x + 10) ཡོད། ཡོད།
བློ་བཟང་གི་རིང་ཚད་ནི་ 2x cm རེད།
ལྷག་པའི་པ་ལགས་ཀྱི་
ལྗིད་ཚད་ནི་ (3x + 2) kg རེད།
ལོ་ 5 ཡི་རྗེས་པ་སངས་ ཀྱི་ལོ་ ( y + 5) རེད།
ལོ་ 4 ཡི་སྔོན་ཕུར་བུ་ལོ་ ( y − 4) རེད།
གྲོ་ 1 kg གི་རིན་གོང་ ནི་ ` ( p − 15) རེད།
སྣུམ་ 1 L གི་རིན་གོང་ ` 5p རེད།
ཨ་མ་ལགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ ནི་ (2n − 7) kg རེད།
79
རྩིས་རིག
༡། ད་ལྟ་མེ་ཏོག་གི་ལོ་ x ཡིན་ན།
(ཀ) ལོ་ 5 ཡི་རྗེས་མོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༣
(ཁ) ལོ་ 2 ཡི་སྔོན་མོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ག) མེ་ཏོག་གི་སྤོ་བོ་ནི་མོའི་ལོ་ཡི་ལྡབ་ 6 རེད། སྤོ་བོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ང) མེ་ཏོག་གི་རྨོ་བོ་ནི་སྤོ་བོ་ལས་ལོ་ 2 ཀྱིས་ཆུང་བ་རེད། རྨོ་བོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ཅ) མེ་ཏོག་གི་པ་ལགས་ནི་མོའི་ལོའི་ལྡབ་ 3 ལས་ 5 ཡིས་ཆེ་བ་རེད། མོའི་པ་ལགས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༢། གྲུ་ནར་ཚོགས་ཁང་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ཚོགས་ཁང་དེའི་ཞེང་གི་ལྡབ་ 3 ལས་ 4 m ཡིས་མང་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་ཞེང་ལ་ མི་ཊར་ b ཡོད་ན། དཀྱུས་ལ་མི་ཊར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༣། གྲུ་ནར་སྒམ་ཞིག་ལ་དཔངས་ h cm ཡོད། དེའི་དཀྱུས་ནི་དཔངས་ཀྱི་ལྡབ་ 5 དང་། ཞེང་ནི་དཀྱུས་ལས་ 10 cm ཡིས་ཉུང་བ་ཡོད། སྒམ་གྱི་དཔངས་ལ་གཞིགས་ནས་སྒམ་དེའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་བྲིས།
༤། སྤྱི་སྤྱོད་རླངས་འཁོར་ཞིག་གིས་ཆུ་ཚོད་རེར་ v km འགྲིམ་འགྲུལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ས་གནས་ 'ཀ' ནས་ 'ཁ' ལ་འགྲོ་
ཡི་ཡོད། སྤྱི་སྤྱོད་རླངས་འཁོར་དེ་ཆུ་ཆོད་ 5 འགྲིམ་འགྲུལ་བྱས་རྗེས། ཁ ནི་ 20 km ཡི་བར་ཐག་ལ་ཡོད་ན། ཀ
ནས་ ཁ བར་གྱི་བར་ཐག་ག་ཚོད་རེད། དེ་ v སྤྱད་དེ་མཚོན།
༥་༥ མཉམ་བྱ། Equation
མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་ཞིག་ལ་མཉམ་བྱ་ (Equation) ཟེར།
མཉམ་བྱ་ལ་ཕྱོགས་གཉིས་ཡོད། དེ་གཉིས་ཀྱི་དབར་མཚུངས་རྟགས་
(=) ཡོད། མཉམ་བྱས་གཡོན་ཕྱོགས་ (LHS) དང་གཡས་ཕྱོགས་
500 g
1 kg
+
500 g
(RHS) ཀྱི་གྲངས་འབོར་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། གལ་ ཏེ་ LHS དང་ RHS གཅིག་མཚུངས་མིན་ན། ང་ཚོར་མཉམ་བྱ་
ཐོབ་ཀྱི་མེད།
དཔེར་ན། 2x > 10, 2x < 10, (y − 3) > 11, (y − 3) < 11 སོགས་མཉམ་བྱ་མིན། དེར་བརྟེན་མཉམ་བྱའི་ནང་ངེས་པར་དུ་མཚུངས་རྟགས་དགོས།
མཉམ་བྱ་ 8 − 3 = 5 ལ་དཔེ་བཞག་ན། LHS དང་ RHS དབར་མཚུངས་རྟགས་ཡོད། ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ནང་ཨང་ ཀི་མ་གཏོགས་ཡིག་འབྲུའི་གྲངས་ (རྒྱུ་) མེད། དེ་ལ་ཨང་ཀིའི་མཉམ་བྱ་རེད།
80
ཚབ་རྩིས།
3+x གཡོན་ཕྱོགས། (LHS)
=
5
མཚུངས་རྟགས།
གཡས་ཕྱོགས། (RHS)
མཉམ་བྱ་ 3 + x = 5 ནང་། ཡིག་འབྲུ་ x ནི་རྒྱུ་ཡིན། དེས་གྲངས་ཤིག་མཚོན་གྱི་ཡོད་ནའང་། མཉམ་བྱ་མ་འགྲོལ་བར་ དུ་དེའི་ཐང་ཤེས་མི་ཐུབ། དེར་བརྟེན་ཡིག་འབྲུ་ x ནི་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་ཡིན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ)
(ཁ)
(ག) (ང)
ཡིག་འབྲུ་མེད་པའི་མཉམ་བྱ། 5 + 20 = 25 11 − 4 = 7 8 × 3 = 24 210 = 70 3
(ཀ)
(ཁ)
(ག) (ང)
(ཅ)
(ཆ)
ཡིག་འབྲུ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ།
x + 10 = 30
རྒྱུ། (ཡིག་འབྲུ།) x
n−4=9
n
7b = 21 t =5 3 2y + 3 = 7
b
3 − 2m = 5
m
t y
༥་༥་༡ ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ཀྱི་ལམ། Trial and error method
མཉམ་བྱའི་གཡས་གཡོན་གཉིས་མཚུངས་པར་བྱེད་པའི་རྒྱུའི་ཐང་ལ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ (solution) ཟེར། རྩིས་དཔེ་ ༢ མཉམ་བྱ་ x − 3 = 11 གི་འགྲོལ་ཐོབ་ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ཀྱི་ལམ་ནས་ཚོལ། ལན།
x = 11 སྐབས།
མཉམ་བྱའི་ LHS = x − 3 = 11 − 3 = 8 ≠ RHS ཡིན་པ་གནས་ཀྱི་མེད། དེ་བཞིན། x = 12 སྐབས།
མཉམ་བྱའི་ LHS = 12 − 3 = 9 ≠ RHS འདིར་ཡང་གནས་ཀྱི་མེད། དེར་བརྟེན། x = 11, 12 ནི་མཉམ་བྱ་ x − 3 = 11 གི་འགྲོལ་ཐོབ་མིན། ཡིན་ནའང་། x = 14 སྐབས།
མཉམ་བྱའི་ LHS = x − 3 = 14 − 3 = 11 = RHS
དེར་བརྟེན། x = 14 ནི་མཉམ་བྱ་ x − 3 = 11 གི་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན།
ཐབས་ལམ་འདི་ལ་ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ཀྱི་ལམ་ཟེར།
མཉམ་བྱ་གནས་ པར་མཉམ་བྱའི་ གཡས་གཡོན་
གཉིས་ཀྱི་ཐང་
མཉམ་པ་དགོས།
81
རྩིས་རིག གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་བལྟས་ནས་བར་སྟོང་སྐོངས། མཉམ་བྱ།
རྒྱུའི་ཐང་།
འགྲོལ་ཐོབ། (རེད། / མ་རེད།) མ་རེད།
༡།
x + 10 = 30
x = 10
x + 10 = 30
x = 30
x + 10 = 30
x = 20
༢།
p−3=7
p=5
p−3=7
p = 10
p−3=7
p = 15
༣།
3n = 21
n=9
3n = 21 t =4 5 t =4 5 2l + 3 = 7
n=7
2l + 3 = 7
l=1
2l + 3 = 7
l=2
༤།
༥།
མ་རེད། རེད།
མ་རེད།
t = 25 t = 20 l=5
སྦྱོང་ཚན། ༥་༤
༡། རྒྱུ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ་ངོས་བཟུང་ནས་རྒྱུ་བྲིས། (ཀ) 17 = x + 7 (ང) x − 2 = 0
(ཁ) (t − 7) > 5
(ཅ) 2n + 1 = 11
4 = 2t 5 (ཆ) (7 × 3) − 19 = 8 (ག)
(ཇ) 2x < 30 (ཉ) 5 × 4 − 8 = 2m (ཏ) z + 12 > 24 8y (ཐ) =8 (ད) 20 − (10 − 5) = 3 × 5 5 ༢། གུག་རྟགས་ནང་ནས་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་འདེམས། (ཀ) 5m = 60
82
( 10, 5, 12, 15 )
(ཁ) y + 16 = 20
( 16, 0, 4, 14 )
(ག) p − 5 = 5
(ང)
( 0, 10, 5, − 5 )
(ཅ) q − 4 = 0
n =9 3
1
2
3
( 9, 2, 27, 30 )
(ཆ) x + 4 = 2
( 4, 0, 8, − 4 )
༣། (ཀ) བར་སྟོང་བཀང་རྗེས། མཉམ་བྱ་ m + 10 = 16 གི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། m
ཚབ་རྩིས།
4
5
6
7
8
( − 2, 0, 2, 4 )
9
10
11 ....
m + 10
....
(ཁ) བར་སྟོང་བཀང་རྗེས། མཉམ་བྱ་ z − 7 = 3 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 4
z
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 ....
z−7
....
(ག) བར་སྟོང་བཀང་རྗེས། མཉམ་བྱ་ 5y = 35 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 3
y
4
5
6
7
8
9
10
11
12 ....
5y
....
(ང) བར་སྟོང་བཀང་རྗེས། མཉམ་བྱ་ x
x 3
8
2
2 3
x = 4 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 3
9
10
3
3
11
12
13
14
15
16
1 3
.... ....
གཤམ་གྱི་གབ་ཚིག་འགྲོལ།
(ཀ) ང་ནི་གྲངས་ཀ་དམིགས་བསལ་ཞིག། ང་ལས་ཨང་ཀི་དྲུག་ཕར་འཐེན།།
དབྱུག་རྩེད་པོ་ལོའི་རུ་ཁག་གཅིག། ཁྱེད་ཀྱིས་ད་དུང་བཟོ་ཐུབ་བོ།།
(ཁ) ང་ནི་སུ་ཡིན་ཁྱེད་ཀྱིས་ཤོད།།
བདག་གིས་བརྡ་ཙམ་སྟོན་པར་བྱེད།། གལ་ཏེ་ཉེར་གཉིས་ལས་ནི་ང་།། ཕུད་ན་བསྐྱར་དུ་ང་ཉིད་ཐོབ།།
83
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
ཙག་སྒྲའི་དཔེ་འགྲོས།
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་བསྐངས་ཏེ་ཚེག་དང་ཙག་སྒྲའི་དཔེ་འགྲོས་ཀྱི་ཆོ་ག་བྲིས།
ཟུར་གསུམ་མའི་གྲངས།
1
ཙག་སྒྲའི་གྲངས།
3
ཚེག་གི་གྲངས།
2
3
4
3
5
9
15
x
27 7
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། མ་ཤེས་པའི་གྲངས་མཚོན་ཆེད་ཨིན་ཇིའི་གསལ་བྱེད་ཡིག་ཆུང་བེད་སྤྱོད་བྱས་པ་དེ་ལ་རྒྱུ་ཟེར། རྒྱུའི་ཐང་ལ་ ངེས་པ་མེད། དེའི་ཐང་གང་རུང་ལེན་ཆོག
༢། རྒྱུ་མཚོན་ཆེད་ཡིག་འབྲུ་ a, b, l, m, n, p, x, y, z སོགས་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ཆོག ཡིག་འབྲུ་དེ་དག་གིས་ གྲངས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
༣། རྟག་གྲངས་དང་། རྒྱུ། རྩིས་ཐབས་བཅས་མཉམ་སྡེབ་ལས་གྲུབ་པའི་རྩིས་ཕྲེང་ལ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ཟེར། ༤། ཚུལ་གཉིས་མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་ལ་མཉམ་བྱ་ཟེར།
༥། མཉམ་བྱ་ལ་ LHS དང་ RHS བཅས་ཕྱོགས་གཉིས་ཡོད། དེ་གཉིས་དབར་མཚུངས་རྟགས་ (=) ཡོད།
༦། མཉམ་བྱ་འགྲོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཅིག་ནི་ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ཀྱི་ལམ་ཡིན། ཐབས་ལམ་འདིར། ང་ཚོས་རྒྱུའི་
ཚབ་ཏུ་རང་མོས་ཀྱིས་ཐང་མི་འདྲ་བ་བཅུག་སྟེ། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀྱི་ཐང་གཅིག་མཚུངས་མ་ཐོབ་བར་ དུ་བརྩི་དགོས།
84
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི།
སློབ་ཚན་དྲུག་པ།
༦་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
དབྱིབས་རྩིས་ (Geometry) ནི་དབྱིབས་དང་འབྲེལ་བའི་རྩིས་རིག་གི་ཡན་
མིང་ཚིག་ ‘Geometry’
ལག་གལ་ཆེན་པོ་ཞིག་ཡིན། ཁྱེད་ཀྱིས་ཉེ་འགྲམ་གྱི་དངོས་པོ་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་།
ནི་གྷི་རིག་གི་མིང་ཚིག་
དབྱིབས་ཆེ་ཆུང་འདྲ་མིན་གྱི་དངོས་པོ་མང་པོ་མཐོང་ཐུབ། སློབ་ཚན་འདིར་ང་
‘Geometron’ ནས་
ཚོས་ཐིག་གི་ཁྱད་ཆོས་དང་། སྣོལ་ཐིག མཉམ་འགྲོ་ཐིག དྲང་འཕྱང་ཐིག འཕྲོ་
འབྱུང་། ‘geo’ ནི་འཛམ་
ཐིག ཐིག་དུམ་འཇལ་སྟངས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༦་༢ ཐིག Line
ཐིག་ནི་ཚེག་མང་པོ་མཉམ་དུ་མཐུད་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད།
དེའི་
ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་རྫོགས་མཐའ་མེད་པར་བརྐྱངས་ཡོད། དེ་ལ་ཁ་ཞེང་ མེད།
དཔེ་རིས་ ༦་༡ ནང་དཔེ་རིས་ (ཀ) པ་ནི་ཐིག་ AB རེད། ཐིག་ AB ↔
ནི་ AB ཡིས་མཚོན། འདི་ཀློག་སྐབས་ཐིག་ AB ཞེས་ཀློག་དགོས།
སྐབས་རེ་ཐིག་ནི་ཡིག་འབྲུ་ l, m, p, q སོགས་ཀྱིས་མཚོན། དཔེ་ རིས་ ༦་༡ (ཁ) པ་ནི་ཐིག་ l རེད།
གླིང་དང་ ‘metron’ ནི་ འཇལ་ཚད་ལ་ཟེར། A
B (ཀ) (ཁ)
l
དཔེ་རིས་ ༦་༡
༦་༢་༡ ཐིག་གི་ཁྱད་ཆོས། Properties of lines
གལ་ཏེ་སྙོམས་ངོས་སྟེང་ཐིག་ m དང་ n བྲིས་ན། ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་བསྣོལ་བ་དང་མི་བསྣོལ་བའི་གནས་སྟངས་ གཉིས་འབྱུང་སྲིད།
85
རྩིས་རིག དཔེ་རིས་ ༦་༢ ལྟར་གནས་ O བརྒྱུད་པའི་ཐིག་བྲིས་པ་ཡིན་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་དེ་འདྲ་ག་ཚོད་འབྲི་ཐུབ་བམ། p
m
O
q n
༡༽
སྙོམས་ངོ ས ་སྟེང་གི ་ གནས་ཤི ག ་བརྒྱུད་ ཐིག་རྫོགས་མཐའ་མེད་པ་འབྲི་ཐུབ།
དཔེ་རིས་ ༦་༢
དཔེ་རིས་ ༦་༣ (ཀ) དང་། (ཁ) (ག) ནང་ཐིག་ p དང་ q གཉིས་ཕན་ཚུན་སྣོལ་སྟངས་མི་འདྲ་བ་འགའ་གཤམ་གསལ་ ལྟར་ཡིན།
p
གནས།
p q
q
(ཀ)
(ཁ)
གནས།
དཔེ་རིས་ ༦་༣
p
q གནས། (ག)
དཔེ་རིས་ ༦་༣ (ཀ) དང་། (ཁ) (ག) ལས། ཐིག་ p དང་ q གཉིས་ཕན་ཚུན་གནས་གཅིག་གི་སྟེང་ལ་མ་གཏོགས་འཕྲད་ ཀྱི་མེད།
༢༽
ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་གནས་གཅིག་གི་སྟེང་ལ་མ་གཏོགས་འཕྲད་ཀྱི་མེད།
ཤོག་ལྷེའི་སྟེང་གནས་ A དང་ B བྲིས། གནས་ A དང་ B གཉིས་བརྒྱུད་ཐིག་མང་པོ་འབྲི་ཐུབ་བམ།
86
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། q
m n
r
A
B
p
o
s དཔེ་རིས་ ༦་༤
དཔེ་རིས་ ༦་༤ ལས་ང་ཚོས་དོ་སྣང་བྱུང་བར་ཐིག་ p ནི་གནས་ A དང་ B གཉིས་བརྒྱུད་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་གནས་ A དང་ B གཉིས་བརྒྱུད་པའི་ཐིག་གཅིག་མ་གཏོགས་འབྲི་མི་ཐུབ། དེ་ནི་ཐིག་ p རེད།
༣༽
སྙོམས་ངོས་སྟེང་གི་གནས་གཉིས་བརྒྱུད་པའི་ཐིག་གཅིག་ལས་མེད།
༦་༢་༢ ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། Collinear points A
B (ཀ)
C
Y X
དཔེ་རིས་ ༦་༥
Z (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༦་༥ (ཀ) པའི་ནང་། གནས་ A དང་ B, C བཅས་ཐིག་གཅིག་གི་སྟེང་ཡོད། གནས་དེ་དག་ལ་ཐིག་གཅིག་
སྟེང་གནས་ (Collinear points) ཟེར། ཡིན་ནའང་། དཔེ་རིས་ ༦་༥ (ཁ) པའི་ནང་། གནས་ X དང་ Y, Z བཅས་ ཐིག་གཅིག་གི་སྟེང་མེད་ཙང་། གནས་དེ་དག་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་མིན།
དེར་བརྟེན། སྙོམས་ངོས་སྟེང་གནས་གསུམ་མམ་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་ཐིག་གཅིག་སྟེང་ཡོད་ན། གནས་དེ་དག་ནི་ཐིག་ གཅིག་སྟེང་གནས་ཡིན།
དཔེར་ན། ཉི་འཛིན་དང་ཟླ་འཛིན་སྐབས་ཉི་མ་དང་། ཟླ་བ། འཛམ་བུ་གླིང་གསུམ་ཐིག་གཅིག་སྟེང་མངོན་གྱི་ཡོད།
༦་༢་༣ གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག Concurrent lines
སྙོམས་ངོས་སྟེང་ཐིག་གསུམ་མམ་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་བསྣོལ་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་དག་ལ་ གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་ (Concurrent lines) ཟེར། དཔེ་རིས་ ༦་༦ ལ་ལྟོས་དང་།
87
རྩིས་རིག ཐིག་ l, m, n, o བཅས་གནས་ A ཡི་ཐོག་སྣོལ་
གྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། གནས་ A ལ་ཐིག་གི་ཆུན་པོ་ (Point of concurrence) ཟེར།
ཐི ག ་གསུམ་མམ་དེ ་ ལས་མང་བའི ་ ཐི ག ་གི ་ ཆུན་པོ ་
ནི། ཐིག་དེ་དག་གི་སྣོལ་གནས་ཡིན། འོན་ཀྱང་ཐིག་
གསུམ་མམ་དེ་ལས་མང་བའི་སྣོལ་གནས་ནི་ཐིག་གི་ ཆུན་པོ་ཡིན་དགོས་ཀྱི་མེད།
m
l
n A
o
གནས་ A དཔེ་རིས་ ༦་༦
ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་དུ་མ་ (གཉིས་ལས་མང་བའི་དོན་) ལ་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་དང་། ཐིག་དུ་མ་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་པ་ལ་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་ཟེར།
༦་༣ སྣོལ་ཐིག Intersecting lines
གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། ཐིག་ l1 དང་ l2 གཉིས་
l1
གནས་ P བརྒྱུད་ནས་འགྲོ་ཡི་ཡོད། l1 དང་ l2 གཉིས་
P
གནས་ P ཐོག་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་ལ་ ཐུན་མོང་གི་གནས་ཡོད་ན། དེ་ལ་སྣོལ་ཐིག་ཟེར།
དཔེ་རིས་ ༦་༧
འདིར། གནས་ P ནི་སྣོལ་གནས་ཡིན།
གཤམ་གསལ་ནི་སྣོལ་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༦་༧) l1
l2 ཤོག་ལྷེའི་ཉེ་མཐའ་གཉིས།
༦་༤ མཉམ་འགྲོ་ཐིག Parallel lines
བཞི་མདོ།
དཔེ་རིས་ ༦་༨
l2
l1
l1
l2
l2 ཨིན་ཇིའི་གསལ་བྱེད་ཡི་གེ་ X
ཁྱེད་ཀྱིས་མེ་འཁོར་ལྕགས་ལམ་ལ་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ། མེ་འཁོར་ལྕགས་ལམ་ཞིག་ལ་ལྟོས་དང་། དེ་ཕན་ཚུན་ནམ་ཡང་ འཕྲད་ཀྱི་མེད། (དཔེ་རིས་ ༦་༩)
88
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། m1 m2 དཔེ་རིས་ ༦་༩
དཔེ་རིས་ ༦་༡༠
ཐིག་གཉིས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་རྒྱ་སྐྱེད་ག་ཚོད་བྱས་ཀྱང་གནས་གང་རུང་སྟེང་སྣོལ་གྱི་མེད་ན།
ཐིག་དེ་དག་ལ་མཉམ་
འགྲོ་ཐིག་ (Parallel lines) ཟེར། དཔེ་རིས་ ༦་༡༠ ནང་། ཐིག་ m1 དང་ m2 གཉིས་ཕན་ཚུན་སྣོལ་གྱི་མེད། དེར་ བརྟེན་ཐིག་ m1 དང་ m2 གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་རེད།
གལ་ཏེ་ཐིག་ m1 དང་ m2 གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ན། ང་ཚོས་ m1 || m2 ལྟར་འབྲི་བ་དང་། ཐིག་ AB དང་ CD ↔
↔
གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ན། ང་ཚོས་ AB || CD ཞེས་འབྲི་དགོས།
གཤམ་གསལ་ནི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༦་༡༡) 0
1
2
1
3
4
2
5
6
7
3
8
9
10
4
11 5
12
13
14
15
6
ཐིག་ཤིང་གི་གཏད་མཐའ།
a×b=b×a ནག་པང་གི་གཏད་མཐའ།
དཔེ་རིས་ ༦་༡༡
༦་༥ དྲང་འཕྱང་ཐིག Perpendicular lines
ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་བསྣོལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་ན།
ཅོག་ཙེའི་རྐང་པ།
ཐིག་
A
དེ་དག་ལ་དྲང་འཕྱང་ཐིག་ (Perpendicular lines) ཟེར། དཔེ་རིས། ༦་༡༢ ནང་། ཐིག་དུམ་ AB དང་ CD གཉིས་ཕན་ ཚུན་དྲང་འཕྱང་ཡིན། དེ་ནི། AB
CD
ཅོག་ཙེའི་ཉེ་མཐའ་དང་། ཡི་གེ་ L དང་ T སོགས་ནི་དྲང་འཕྱང་ ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ཡིན།
C
B
D
དཔེ་རིས་ ༦་༡༢
89
རྩིས་རིག དགོས་མཁོ།
(ཀ) ཤོག་ལྷེ། (ཁ) ཞ་སྨྱུག
བྱེད་སྒོ།
བྱེད་ཐབས།
ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ནང་། (ཀ) སྣོལ་ཐིག་དང་།
(ཁ) མཉམ་འགྲོ་ཐིག
(ག) དྲང་འཕྱང་ཆ་ཐིག་བཅས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་རེ་ངོས་བཟུང་ཏེ། ཤོག་ལྷེ་སྟེང་དེ་དག་གི་དཔེ་རིས་ རགས་པ་བྲིས།
རྩིས་དཔེ་ ༡ དཔེ་རིས་ ༦་༡༣ ནང་།
(ཀ) སྣོལ་བའི་ཆ་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ཁ) མཉམ་འགྲོ་ཆ་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ག) གནས་ D རུ་སྣོལ་བའི་ཆ་ཐིག་གི་མིང་བྲིས། ལན།
(ང) སྣོལ་གནས་ A ཡིན་པའི་ཆ་ཐིག་གི་མིང་བྲིས། (ཅ) ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ཀ) ( l, p ) དང་ ( l, q ) ; ( l, r ) ; ( m, p ) ;
( m, q ) ; ( m, r ) ; ( p, q ) བཅས་སྣོལ་བའི་ ཆ་ཐིག་རེད།
(ཁ) l དང་ m གཉིས་དང་། p དང་ r གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ ཐིག་རེད།
(ག) གནས་ D རུ་སྣོལ་བའི་ཆ་ཐིག་ནི་ m དང་ q རེད། (ང) གནས་ A རུ་སྣོལ་བའི་ཆ་ཐིག་ནི་ l དང་ p རེད།
(ཅ) ( A, B, F ) དང་། ( A, C, E ) ; ( B, C, D ) ; ( D, E, G ) བཅས་ནི་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་རེད།
90
p
q
r
A B C D
l
F
E
G
དཔེ་རིས་ ༦་༡༣
m
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། རྩིས་དཔེ་ ༢ དཔེ་རིས་ ༦་༡༤ ནང་།
q
(ཀ) གནས་ A རུ་སྣོལ་བའི་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས། (ཁ) གནས་ B རུ་སྣོལ་བའི་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
ལན།
p
(ག) གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་དང་ཐིག་དེ་དག་གི་
l
A
m
D
ཆུན་པོའི་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས།
r
(ཀ) གནས་ A རུ་སྣོལ་བའི་ཐིག་ནི་ p, q, l བཅས་རེད།
B
(ཁ) གནས་ B རུ་སྣོལ་བའི་ཐིག་ནི་ m, q, r བཅས་རེད།
(ག) གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་ནི་ p, q, l དང་། དེ་དག་
C
དཔེ་རིས་ ༦་༡༤
གི་ཆུན་པོའི་གནས་ནི་ A རེད། གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ ཐིག་གཞན་ནི་ m, q, r དང་། དེ་དག་གི་ཆུན་པོའི་ གནས་ནི་ B རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༡
༡། (ཀ) གནས་གཅིག་དང་། (ཁ) གནས་གཉིས་བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ག་ཚོད་འབྲི་ཐུབ་བམ།
༢། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའམ་ཡང་ན་ཉེ་འཁོར་ནས་གཤམ་གསལ་མཚོན་པའི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་རེ་བྲིས། (ཀ) སྣོལ་ཐིག
(ཁ) མཉམ་འགྲོ་ཐིག
A
B
(ག) དྲང་འཕྱང་ཐིག
༣། སྤྲད་ཟིན་པའི་གནས་ A དང་ B, C, D བཅས་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་ཡིན་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་བྲིས། ༤། མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ངོས་ཟུངས།
L
M
Q
P
R D
(ཀ)
C
༥། དཔེ་རིས་ ༦་༡༦ ལས།
O
(ཁ)
N
དཔེ་རིས་ ༦་༡༥
T
(ག)
S
(ཀ) མཉམ་འགྲོ་ཆ་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
91
རྩིས་རིག (ཁ) སྣོལ་བའི་ཆ་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ག) གནས་ E བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ང) གནས་ A བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ཅ) གནས་ D བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
l
F
E A
B
(ཆ) ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
n
m
C
G
p
D
q
དཔེ་རིས་ ༦་༡༦ m
༦། དཔེ་རིས་ ༦་༡༧ ལས།
l
(ཀ) ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་ཡིན་པའི་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས། (ཁ) གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་དང་། ཐིག་དེ་དག་གི་སྣོལ་ གནས་བྲིས།
B
A
n
C
D
o
དཔེ་རིས་ ༦་༡༧
༦་༦ འཕྲོ་ཐིག Ray
ཉི་མ། ཡང་ལའི་འཕྲོ་ཐིག
གློག་བཞུའི་འཕྲོ་ཐིག
ཉི་འོད་ཀྱི་འཕྲོ་ཐིག
འཕྲོ་ཐིག་ནི་ཐིག་གི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡིན། དེ་གནས་གཅིག་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་རྫོགས་མཐའ་མེད་པར་ འཕྲོ་ཡོད།
གཡས་ཀྱི་འཕྲོ་ཐིག་གི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༦་༡༨) འཕྲོ་ཐིག་གི་སྟེང་ལ་གནས་གཉིས་ (གནས་ A དང་ P) སྟོན་ཡོད། གནས་ A ནི་འཕྲོ་ཐིག་གི་འགོ་གནས་ (Initial point) དང་།
གནས་ P ནི་འཕྲོ་ཐིག་སྟེང་གནས་ཤིག་ཡིན། འཕྲོ་ཐིག་ AP ནི་ →
AP ཡིས་མཚོན།
92
P A
དཔེ་རིས་ ༦་༡༨
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། O
A
→
O
དཔེ་རིས་ ༦་༡༩
→
A
→
→
ང་ཚོས་ OA ཚབ་ཏུ་ AO འབྲི་ཆོག་གམ། དཔེ་རིས་ ༦་༡༩ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ OA དང་ AO གཉིས་ལ་ཁྱད་ →
→
པར་ཡོད། OA དང་ AO ཡི་འགོ་གནས་གཅིག་པ་མིན་པ་མ་ཟད། དེ་གཉིས་ཀྱི་ཕྱོགས་ལྡོག་ནས་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༣ (ཀ) དཔེ་རིས་ ༦་༢༠ ནང་། འགོ་གནས་ O, P, Q སོ་སོ་ཡིན་པའི་འཕྲོ་ཐིག་ཚང་མའི་མིང་བྲིས། (ཁ) འཕྲོ་ཐིག་ OP དང་ OQ གཉིས་ལ་ཁྱད་པར་ཡོད་དམ། (ག) འཕྲོ་ཐིག་ QS དང་ QP གཉིས་གཅིག་པ་རེད་དམ། P ལན།
Q
O R དཔེ་རིས་ ༦་༢༠
S
(ཀ) འགོ་གནས་ O ཡིན་པའི་འཕྲོ་ཐིག་ནི་ OP, OQ, OR, OS བཅས་ཡིན། འགོ་གནས་ P ཡིན་པའི་འཕྲོ་ཐིག་ནི་ PQ, PO, PR, PS བཅས་ཡིན།
འགོ་གནས་ Q ཡིན་པའི་འཕྲོ་ཐིག་ནི་ QP, QO, QR, QS བཅས་ཡིན།
(ཁ) འཕྲོ་ཐིག་ OP དང་ OQ གཅིག་པ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། དེ་གཉིས་ཀྱི་འགོ་གནས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་ དང་། དེ་གཉིས་ཀྱི་ཕྱོགས་ཀྱང་གཅིག་པ་རེད།
(ག) འཕྲོ་ཐིག་ QS དང་ QP ཐ་དད་རེད། དེ་གཉིས་ཀྱི་འགོ་གནས་གཅིག་པ་ཡིན་ནའང་། དེ་གཉིས་ཀྱི་ ཕྱོགས་ལྡོག་ནས་ཡོད།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༢
༡། དཔེ་རིས་ ༦་༢༡ ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གྱི་མིང་བྲིས། (ཀ) གནས་ལྔ།
B
(ཁ) ཐིག
(ག) འཕྲོ་ཐིག་བཞི། (ང) ཐིག་དུམ་ལྔ།
༢། འགོ་གནས་ C དང་གནས་ D བརྒྱུད་པའི་འཕྲོ་ཐིག་ཅིག་བྲིས། ༣། གཤམ་གྱི་འཕྲོ་ཐིག་ཁག་གི་འགོ་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས། →
(ཀ) PQ
→
(ཁ) TS
→
(ག) XY
D
E
O
C
དཔེ་རིས་ ༦་༢༡
93
རྩིས་རིག ༤། ཐིག་དང་། ཐིག་དུམ། འཕྲོ་ཐིག་གསུམ་ལ་ཁྱད་པར་གང་ཡོད་དམ། ༥། དཔེ་རིས་ ༦་༢༢ ལ་གཞིགས་ཏེ། འགྲིག་ནོར་རྟགས་རྒྱོབ། →
(ཀ) M ནི་ OP སྟེང་གི་གནས་རེད། →
→
→
→
(ཁ) OP དང་ QP གཉིས་ཐ་དད་རེད།
Q
(ག) OP དང་ OM གཉིས་གཅིག་པ་རེད། →
(ང) O ནི་ OP ཡི་འགོ་གནས་མིན། →
→
(ཅ) N ནི་ NP དང་། NM ཡི་འགོ་གནས་ཡིན།
༦་༧ ཐིག་དུམ་འཇལ་བ། Measuring line segments
འཛིན་གྲྭ་ལྔ་པར་ང་ཚོས་ཐིག་དུམ་གྱི་ངོ་སྤྲོད་སྦྱངས་ཡོད། ཟུར་གསུམ་ མ་ནི་ཐིག་དུམ་གསུམ་ལས་གྲུབ་པ་དང་མཐའ་བཞི་དབྱིབས་ནི་ཐིག་ དུམ་བཞི་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།
M
O
N
P
དཔེ་རིས་ ༦་༢༢
A
དཔེ་རིས་ ༦་༢༣
l
B
དཔེ་རིས་ ༦་༢༣ ནང་། l ནི་ཐིག་དང་ AB ནི་ཐིག་དུམ་རེད། གནས་ A དང་ B ནི་ཐིག་དུམ་ AB ཡི་སྣེ་གནས་
གཉིས་ཡིན། ཐིག་དུམ་ AB ནི་ AB ཡང་ན་ BA ཡིས་མཚོན།
ཐིག་དུམ་ནི་གཏན་འཁེལ་ཟིན་པའི་ཐིག་གི་ཆ་ཤས་ཤིག་ཡིན། དེར་བརྟེན་ང་ཚོས་ཐིག་དུམ་འཇལ་ཐུབ། ཐིག་དུམ་ གཉིས་བསྡུར་བར་དེ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་འཇལ་དགོས།
༦་༧་༡ ལྟ་ཞིབ་ཀྱིས་བསྡུར་བ། Comparision by Observation B
Q
C P A
D (ཀ)
R
དཔེ་རིས་ ༦་༢༤
S (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༦་༢༤ (ཀ) པ་ལ་བལྟས་པ་ཙམ་གྱིས་ང་ཚོས་ཐིག་དུམ་གང་རིང་བ་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ། AB ནི་ CD ལས་ རིང་བ་ཡོད། ཡིན་ནའང་དཔེ་རིས་ ༦་༢༤ (ཁ) པའི་ནང་། ཐིག་དུམ་ PQ དང་ RS གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཀྱི་ཁྱད་པར་
94
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི། ཆུང་ངུ་ལས་མེད་སྟབས། ང་ཚོས་བལྟས་པ་ཙམ་གྱིས་དེ་གཉིས་རིང་བ་དང་ཐུང་བ་གང་ཡིན་བཤད་མི་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ང་ཚོར་ཐིག་དུམ་བསྡུར་སྟངས་འདི་ལས་བཟང་བ་ཞིག་དགོས།
༦་༧་༢ བརྩེགས་ཏེ་བསྡུར་བ། Comparision by Tracing A
B
C
D
AB དང་ CD བསྡུར་བར། CD ཡི་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ནས་ AB སྟེང་ཞོག ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་དུམ་གཉིས་ལས་གང་
རིང་བ་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ། ཡང་ཁྱེད་ཀྱིས་ AB དང་ཐིག་དུམ་གཞན་ཞིག་བསྡུར་འདོད་ན། ཐིག་དུམ་དེའི་བརྩེགས་ རིས་འབྲི་དགོས། དེ་ནི་ཁག་པོ་དང་དུས་ཡུན་འགོར་ངེས་ཤིག་ཡིན། ༦་༧་༣ ཐིག་ཤིང་དང་བགོད་ཐུར་སྤྱད་དེ་བསྡུར་བ།
Comparision using Ruler and Divider
ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་ཆས་སྒམ་ནང་ཡོ་ཆས་ཚང་མ་མཐོང་མྱོང་ངམ། དེའི་ནང་
བགོད་ཐུར།
ཐིག་ཤིང་ (Ruler) དང་བགོད་ཐུར་ (Divider) ཡོད། 0 1
1
2
3 2
4
5
6 3
7
8 4
9
10
11 5
12
13
14
15
6
ཐིག་ཤིང་།
གོང་གི་ཐིག་ཤིང་ལ་ལྟོས་དང་། དེ་དུམ་བུ་ 15 ལ་བཏང་ཡོད། དུམ་བུ་རེའི་བར་ཐག་ནི་ 1 cm རེད། 1 cm ནི་དེ་ལས་ཆུང་
བར་སྟོང་སྐོངས།
དེར་བརྟེན། 1 cm = 10 mm དང་། 1 mm = 0.1 cm
༣། 9.5 cm =
བའི་ཆ་ཤས་ 10 ལ་བཏང་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཤས་གཅིག་གི་ རིང་ཚད་ནི་ 1 mm རེད།
རེད། དེས་ན། 2 cm 3 mm ནི་ 2.3 cm ལྟར་འབྲི་དགོས་
པ་དང་། 7.7 cm ནི་ 7 cm 7 mm རེད།
༡། 10 cm =
༢། 10 mm =
༤། 50 cm 2 mm =
mm cm cm
mm cm
དཔེ་རིས་ ༦་༢༥ ནང་ཐིག་དུམ་ AB ཡི་ཚད་འཇལ་བར། ཐིག་ཤིང་གི་ཀླད་ཀོར་རྟགས་དེ་གནས་ A ཡོད་སར་འཇོག གནས་ B ཡོད་སའི་ཐིག་ཤིང་སྟེང་གི་རྟགས་ཀློགས། དེས་ཐིག་དུམ་ AB ཡི་རིང་ཚད་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཐིག་དུམ་ AB
95
རྩིས་རིག ཡི་རིང་ཚད་ནི་ 5 cm 6 mm ཡང་ན། 5.6 cm རེད། ང་ཚོས་ AB = 5.6 cm ཞེས་འབྲི་ཆོག A
B
0
1
2
1
3
4
2
5
6
7
8
3
9
10
4
11
12
13
5
14
15
6
དཔེ་རིས་ ༦་༢༥
བྱེད་ཐབས་འདི་ལའང་ནོར་འཁྲུལ་ཡོང་སྲིད། དཀའ་ངལ་འདི་སེལ་བར་ང་ཚོས་བགོད་ཐུར་བེད་སྤྱད་དེ་ཐིག་དུམ་ འཇལ་རྒྱུ་ཡིན།
C
D
0
1
2
1
3 2
4
5
6 3
7
8
9
4
གོམ་པ་ ༡ : བགོད་ཐུར་ཁ་ཕྱེས། དེའི་དཔུང་པ་གཅིག་གི་སྣེ་གནས་ C སྟེང་དང་དཔུང་པ་གཞན་གྱི་སྣེ་གནས་ D སྟེང་ འཇོག
གོམ་པ་ ༢ : བགོད་ཐུར་གྱི་ཁ་ཞེང་མ་དཀྲུག་པར། བགོད་ཐུར་གྱི་སྣེ་གནས་གཅིག་ཐིག་ཤིང་གི་ཀླད་ཀོར་སྟེང་བཞག་པ་
དང་། སྣེ་གནས་གཞན་དེ་འཁེལ་སའི་ཐིག་ཤིང་གི་ཚད་དེ་ནི་ཐིག་དུམ་དེའི་རིང་ཚད་ཡིན། འདིར་ཐིག་ དུམ་ CD ཡི་རིང་ཚད་ནི་ 3 cm རེད།
དགོས་མཁོ།
ཐིག་ཤིང་། བགོད་ཐུར། འབྲི་དེབ། བྱེད་ཐབས།
བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་རང་གི་འབྲི་དེབ་སྟེང་ཐིག་དུམ་ཞིག་བྲིས། གོང་གི་བྱེད་ཐབས་སྤྱད་དེ་ཐིག་དུམ་དེའི་རིང་ཚད་འཇོལ།
96
དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༣
༡། ང་ཚོས་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཐིག་དུམ་བསྡུར་བ་ལ་སྐྱོན་གང་ཡོད་དམ།
༢། ཁྱེད་ཀྱིས་ངོས་ལེབ་མོ་ཅན་གྱི་དངོས་པོ་གང་རུང་གཉིས་བླངས་ཏེ། ཐིག་ཤིང་དང་བགོད་ཐུར་སྤྱད་དེ་མཐའ་ཚང་ མའི་རིང་ཚད་འཇོལ།
༣། རིང་ཚད་གང་རུང་ཞིག་གི་ཐིག་དུམ་ AB བྲིས། A དང་ B དབར་གནས་ C བྲིས། AB དང་ BC, AC ཡི་ རིང་ཚད་འཇོལ། AB = AC + CB རེད་དམ།
[མཆན། གལ་ཏེ་ A དང་ B, C རྣམས་ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་སྟེང་གནས་གསུམ་དང་། AC + CB = AB ཡིན་ན། ང་ཚོས་ C ནི་ A དང་ B དབར་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ།]
༤། གལ་ཏེ་ A དང་ B, C རྣམས་ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་སྟེང་གནས་གསུམ་དང་། AB = 5 cm དང་། BC = 3 cm, AC = 8 cm ཡིན་ན། གནས་གང་དེ་གནས་གཞན་གཉིས་ཀྱི་དབར་ཡོད་དམ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
↔
༡། ཐིག་ནི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་རྫོགས་མཐའ་མེད་པར་བརྐྱངས་ཡོད། ཐིག་ AB ནི་ AB ཡིས་མཚོན། ཡང་སྐབས་རེ་ ཡིག་འབྲུ་ l, m, p སོགས་ཀྱིས་མཚོན།
༢། ཐིག་ཐ་དད་གཉིས་གནས་གཅིག་སྟེང་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་དག་ལ་སྣོལ་ཐིག་ཟེར།
༣། སྙོམས་ངོས་སྟེང་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་སྣོལ་གྱི་མེད་ན། ཐིག་དེ་དག་ལ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ཟེར།
༤། སྙོམས་ངོས་སྟེང་གནས་གསུམ་མམ་དུ་མ་ཐིག་གཅིག་གི་སྟེང་འཁེལ་ཡོད་ན། གནས་དེ་དག་ལ་ཐིག་གཅིག་སྟེང་ གནས་ཟེར།
༥། ཐིག་གསུམ་མམ་དུ་མ་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་དག་ལ་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་ཟེར། གནས་དེ་ལ་ ཐིག་གི་ཆུན་པོ་ཟེར།
༦། འཕྲོ་ཐིག་ནི་ཐིག་གི་ཆ་ཤས་ཡིན། དེ་གནས་གཅིག་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ། ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་རྫོགས་མཐའ་མེད་ པར་འཕྲོ་ཡི་ཡོད།
༧། ཐིག་དུམ་གྱི་སྣེ་གནས་གཉིས་དབར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ཐིག་དུམ་དེའི་རིང་ཚད་རེད། ༨། ཐིག་ཤིང་དང་བགོད་ཐུར་གཉིས་ཐིག་དུམ་འཇལ་བར་བེད་སྤྱོད་ཡོད།
97
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས། སློབ་ཚན་བདུན་པ།
༧་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་ལྔ་པར་ང་ཚོས་ཟུར་དང་ཟུར་གསུམ་མ་སྦྱངས་ཡོད། སློབ་ཚན་འདིར་ཟུར་གསུམ་མའི་སྐོར་མང་ཙམ་དང་། མཐའ་མང་དབྱིབས། མཐའ་བཞི་དབྱིབས། ཕྱོགས་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ཐིག་དུམ་གསུམ་ལས་གྲུབ་པའི་ཁ་
འ།
དཔེ་རིས་ ༧་༡ ནང་གི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ལྟོས་དང་། མཐའ་གསུམ་ནི་ AB དང་ BC, CA
ཟུར་གསུམ་ནི་ ∠ABC དང་། ∠BCA, ∠CAB ཡང་ན། ∠B དང་ ∠C, ∠A
ཟུར་ཚེག་གསུམ་ནི་ A དང་། B, C
མཐ
ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་ཡིན།
A
ཟུར་ཚེག
B
ཟུར།
C
དཔེ་རིས་ ༧་༡
ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནི་ ∆ABC ཡིས་མཚོན། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ རྒྱུ་དྲུག་ (Six elements of triangle) ཟེར།
༧་༢ ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཁུལ་དང་ཕྱི་ཁུལ། Interior and exterior of triangle ཟུར་གསུམ་མ་ནི་མཐའ་མང་དབྱིབས་ཤིག་ཡིན་ཙང་། དེ་ལ་ནང་
ཁུལ་དང་ཕྱི་ཁུལ་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༧་༢ ནང་། P ནི་ཟུར་གསུམ་ མའི་ནང་ཁུལ་ལ་ཡོད། R ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཁུལ་དང་། Q
ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་སྒང་ལ་ཡོད།
98
Q
P དཔེ་རིས་ ༧་༢
R
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༡
༡། བར་སྟོང་སྐོངས།
(ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་
(ཁ) ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་
(ག) ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་ (ང) ཟུར་གསུམ་མ་ལ་རྒྱུ་
ཡོད། ཡོད།
ཡོད།
ཡོད།
༢། ∆PQR ཡི་རྒྱུ་དྲུག་ (མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་) བྲིས།
༣། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC བྲིས། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཁུལ་ལ་གནས་ O དང་། ཕྱི་ཁུལ་ལ་གནས་ P དེའི་སྒང་ལ་ གནས་ N བཅས་རྟགས་རྒྱོབ།
༤། དཔེ་རིས་ ༧་༣ ལས།
A
(ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ་གྱི་མིང་བྲིས། (ཁ) ཟུར་ཚང་མའི་མིང་བྲིས།
(ག) ཐིག་དུམ་ལྔའི་མིང་བྲིས།
B
(ང) ∠B ཐུན་མོང་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་མིང་བྲིས། ༥། དཔེ་རིས་ ༧་༤ ལས་ ∆PQR ཡི།
(ཀ) ནང་ཁུལ་ལ་ཡོད་པའི་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས། (ཁ) ཕྱི་ཁུལ་ལ་ཡོད་པའི་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས། (ག) སྒང་ལ་ཡོད་པའི་གནས་ཀྱི་མིང་བྲིས།
༦། དཔེ་རིས་ ༧་༥ ནང་ཟུར་གསུམ་མ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
C
D དཔེ་རིས་ ༧་༣ A
Q
B E
R
C D
G F
P དཔེ་རིས་ ༧་༤
དཔེ་རིས་ ༧་༥
99
རྩིས་རིག
༧་༣ ཟུར་གསུམ་མའི་དབྱེ་བ། Classification of triangles ༧་༣་༡ མཐའི་རིང་ཚད་ལས་དབྱེ་བ།
༡། མཐའ་གསུམ་ཀའི་རིང་ཚད་མི་མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ (Scalene triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༩་༡)
༢། མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ (Isosceles triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༩་༢)
༣། མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ (Equilateral triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༩་༣)
m
m 3c
3c
3 cm (༢)
3 cm (༣)
དཔེ་རིས་ ༧་༩
༧་༣་༢ ཟུར་ཚད་ལས་དབྱེ་བ།
m
5 cm (༡)
3c
m
5c
m
3 cm
4c
༡། ཟུར་ཚང་མ་ 90o ལས་ཆུང་བ་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ལ་རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ (Acute-angled triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༠་༡)
༢། ཟུར་གང་རུང་གཅིག་དྲང་ཟུར་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ལ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ (Right-angled triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༠་༢)
༣། ཟུར་གང་རུང་གཅིག་ 90o ལས་ཆེ་བ་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ལ་རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ (Obtuseangled triangle) ཟེར། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༠་༣) A
B
100
(༡)
C
E
(༢)
D
F
དཔེ་རིས་ ༧་༡༠
G
H
(༣)
K
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༢
༡། ཟུར་གསུམ་མའི་དབྱེ་བ་བྲིས།
(ཀ) རིང་ཚད་ 7 cm དང་ 8 cm, 9 cm ཅན་གྱི་ཟུར་གསུམ་མ།
(ཁ) ∆ABC ལས། AB = 8.7 cm དང་། AC = 7 cm, BC = 6 cm (ག) ∆PQR ལས། PQ = QR = PR = 5 cm
(ང) ∆DEF ལས། ∠D = 35o, ∠E = 45o, ∠F = 100o (ཅ) ∆XYZ ལས། ∠Y = 90o དང་། XY = YZ
(ཆ) ∆LMN ལས། ∠L = 30o དང་། ∠M = 70o, ∠N = 80o ཟུར་གསུམ་མའི་ཚད།
(༡) མཐའ་གསུམ་ཀའི་རིང་ཚད་མཚུངས་པ། (༢) མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་པ། (༣) མཐའ་ཚང་མའི་རིང་ཚད་མི་མཚུངས་པ། (༤) རྣོ་ཟུར་གསུམ། (༥) དྲང་ཟུར་གཅིག (༦) རྟུལ་ཟུར་གཅིག (༧) དྲང་ཟུར་གཅིག་དང་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཉམ་པ།
m
12 cm
8c
m 3c
7c
m 3c
10 cm 10 cm (ང)
cm 9 cm (ཁ)
5 cm (ཀ)
(ཀ) མཐའ་མི་མཉམ་པ། (ཁ) སྐེད་མཉམ་དྲང་ཟུར། (ག) རྟུལ་ཟུར། (ང) དྲང་ཟུར། (ཅ) མཐའ་མཉམ། (ཆ) རྣོ་ཟུར། (ཇ) སྐེད་མཉམ།
15
5 cm
m
༣། གཤམ་གྱི་ཟུར་གསུམ་མ་དབྱེ་སྟངས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཐོག་བྲིས།
ཟུར་གསུམ་མའི་དབྱེ་བ།
3 cm (ཅ)
7 cm (ག)
10 cm
༢། མཐུན་སྦྱོར་གྱིས།
15
cm
9 cm (ཆ)
101
རྩིས་རིག ༤། གཤམ་གྱི་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔེ་རིས་རགས་པ་བྲིས། (ཀ) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། (ཁ) སྐེད་མཉམ་རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
(ག) སྐེད་མཉམ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
(ང) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
༧་༤ ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས། Properties of triangle
༧་༤་༡ ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས། Angle sum property of triangle
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
ཞ་སྨྱུག ཇེམ་ཙེ། ཤོག་བུ། བྱེད་ཐབས།
༡། ཤོག་བུའི་སྟེང་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས། དེའི་ཟུར་གསུམ་ལ་ ∠1, ∠2, ∠3 བཅས་མིང་བྲིས།
༢། ཇེམ་ཙེ་ཡིས་ཟུར་གསུམ་མའིཁུལ་དེའི་མཐའ་ནས་དཔེ་རིས་ ༧་༦ (ཀ) པ་ལྟར་གཏུབས། དཔེ་རིས་ ༧་༦ (ཁ) པའི་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་མཉམ་སྒྲིག་བྱོས། 3 1
1 2 3
2
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༧་༦
(ཁ)
༣། མཉམ་སྒྲིག་བྱས་རྗེས་ཟུར་གསུམ་གྱིས་ཟུར་གཅིག་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཟུར་དེ་ནི་སྙོམས་ཟུར་ཡིན་པས་དེའི་ ཟུར་ཚད་ནི་ 180o རེད།
གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ལས། ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ 180o ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ། ཁྱད་ཆོས་
འདི་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་ (Angle sum property of triangle) ཟེར། 1 + 2 + 3 = 180o
102
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས། མཆན། ༡། དྲང་ཟུར་གཉིས་ཡོད་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་མེད།
༢། རྟུལ་ཟུར་གཅིག་ལས་མང་བའི་ཟུར་གསུམ་མ་མེད།
༣། ཟུར་ཚང་མ་ 60o ལས་ཉུང་བའི་ཟུར་གསུམ་མ་མེད།
༤། ཟུར་ཚང་མ་ 60o ལས་མང་བའི་ཟུར་གསུམ་མ་མེད།
རྩིས་དཔེ་ ༡ དཔེ་རིས་ ༧་༧ ལས་ ∠P ཚོལ། ལན།
ཤེས་ཟིན་པ།
∠Q = 47o, ∠R = 52o, ∠P = ?
P
ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་ལས། ∠P + 47o + 52o = 180o
དེར་བརྟེན། ∠P = 180o − 47o − 52o
Q
∠P = 180o − 99o ∠P = 81o
47o
52o
དཔེ་རིས་ ༧་༧
R
སྦྱོང་ཚན། ༧་༣
༡། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གསུམ་པ་དེ་ཚོལ།
(ཀ) ∠A = 20o, ∠B = 90o, ∠C = ?
(ཁ) ∠D = 50o, ∠B = 30o, ∠C = ?
(ག) ∠P = 35o, ∠Q = 55o, ∠R = ?
(ང) ∠L = 40o, ∠M = 50o, ∠N = ?
(ཅ) ∠X = 40o, ∠Y = 20o, ∠Z = ?
(ཆ) ∠D = 110o, ∠E = 30o, ∠F = ?
༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཕན་ཚུན་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་ན། ཟུར་རེའི་ཚད་གང་རེད་དམ། ༣། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ལས་མི་ཤེས་པའི་ཟུར་ x ཚོལ། A
P
x B
(ཀ)
Q
X
C
R
Y
o
30
60o 60o
50o
x
o
110
x
(ཁ)
(ག)
Z
103
རྩིས་རིག ༤། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་ 20o དང་ 70o རེད། ཟུར་གསུམ་པ་དེ་ཚོལ།
༥། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཅིག་ 80o དང་། ཟུར་གཞན་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་རེད། འདྲ་མཚུངས་ཟུར་གཉིས་ཚོལ། ༦། གཤམ་དུ་ཟུར་གསུམ་རེ་ཡོད་པ་ལས། གང་དག་གིས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་མཚོན་ཐུབ་བམ། (ཀ) 30o, 120o, 30o (ང) 30o, 40o, 110o
(ཁ) 45o, 45o, 90o
(ག) 45o, 61o, 73o
(ཅ) 53o, 73o, 83o
(ཆ) 59o, 12o, 109o
༧། གཤམ་གྱི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མ་ཤེས་པའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ། A
x x B
C
༧་༤་༢ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། Sum of the lengths of two sides of a triangle དགོས་མཁོ།
ཞ་སྨྱུག ཐིག་ཤིང་། འབྲི་དེབ། བྱེད་ཐབས།
བྱེད་སྒོ།
༡། ∆ABC བྲིས།
༢། ∆ABC ཡི་མཐའ་ AB, BC, CA བཅས་ཀྱི་ཚད་བཅལ་ཏེ། AB + BC དང་། BC + CA, CA + AB སོ་སོར་འཇོལ།
A
༣། ∆ABC ལས།
(༡) AB + BC > AC
(༢) BC + CA > AB
(༣) CA + AB > BC
B
གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ལས་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི། ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
104
C མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས། རྩིས་དཔེ་ ༢ ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་མཐའི་རིང་ཚད་ 10.2 cm དང་། 5.8 cm, 4.5 cm བཅས་ཡོང་སྲིད་དམ།
ལན།
ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གྲུབ་པར། མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡིན་ དགོས། ང་ཚོས་དེ་ཞིབ་བཤེར་བྱ་ཆོག
10.2 + 5.8 > 4.5 རེད་དམ།
5.8 + 4.5 > 10.2 རེད་དམ། 4.5 + 10.2 > 5.8 རེད་དམ།
རེད།
རེད།
རེད།
དེར་བརྟེན། མཐའི་རིང་ཚད་དེ་དག་གིས་ཟུར་གསུམ་མ་འགྲུབ་ཐུབ།
རྩིས་དཔེ་ ༣ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ནི་ 6 cm དང་ 8 cm རེད། འོ་ན་མཐའ་གསུམ་པའི་རིང་ ལན།
ཚད་ནི་གྲངས་གང་གཉིས་ཀྱི་དབར་གནས་ཀྱི་ཡོད་དམ།
ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། དེར་བརྟེན།
(༡) མཐའ་གསུམ་པ་དེ་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལས་ཆུང་བ་ཡིན་དགོས། དེའི་ཕྱིར། མཐའ་གསུམ་པ་ནི་ 8 + 6 = 14 cm ལས་ཆུང་བ་རེད།
(༢) མཐའ་གསུམ་པ་དེ་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་ཐོབ་ལས་ཆེ་བ་ཡིན་དགོས། དེའི་ཕྱིར། མཐའ་གསུམ་པ་ནི་ 8 − 6 = 2 cm ལས་ཆེ་བ་རེད།
མཐའ་གསུམ་པའི་རིང་ཚད་ནི་ 2 cm ལས་ཆེ་བ་དང་ 14 cm ལས་ཆུང་བ་ཞིག་དགོས།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༤
༡། གཤམ་གསལ་མཐའ་ཡིས་ཟུར་གསུམ་མ་གྲུབ་བམ། (ཀ) 2 cm, 3 cm, 5 cm
(ག) 5 cm, 5 cm, 5 cm
(ཅ) 11 cm, 12 cm, 13 cm
༢། ∆PQR ཡི་ནང་ཁུལ་ལ་གནས་ O བྲིས།
(ཁ) 3 cm, 6 cm, 7 cm (ང) 6 cm, 3 cm, 2 cm
(ཀ) OP + OQ > PQ རེད་དམ།
(ཁ) OQ + OR > QR རེད་དམ། (ག) OR + OP > RP རེད་དམ།
R
P
O
Q
༣། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ནི་ 12 cm དང་ 15 cm རེད། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་པའི་ རིང་ཚད་གང་གཉིས་ཀྱི་དབར་གནས་ཀྱི་ཡོད་དམ།
105
རྩིས་རིག
༧་༥ འཁྱོག་ཐིག Curve
གཤམ་གྱི་འཁྱོག་ཐིག་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ)
(ཁ)
(ག) དཔེ་རིས་ ༧་༩
(ང)
(ཅ)
འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ། Simple curve འཁྱོག་ཐིག་རང་དང་མི་སྣོལ་བ་ལ་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ་ཟེར། དཔེ་རིས་ ༧་༩ ལས། (ག) མ་གཏོགས་དཔེ་རིས་གཞན་ཚང་མ་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ་རེད། ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་ཐིག Open curve
འཁྱོག་ཐིག་འགོ་འཛུགས་ས་རང་ལ་མཇུག་མ་བསྡུ་བ་ལ་ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་
ཐིག་ཟེར། དཔེ་རིས་ ༧་༩ ལས། དཔེ་རིས་ (ཀ) དང་ (ང) གཉིས་ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་ཐིག་རེད།
ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག Closed curve འཁྱོག་ཐིག་འགོ་འཛུགས་ས་རང་ལ་མཇུག་བསྡུ་བ་ལ་ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ ཐིག་ཟེར། དཔེ་རིས་ ༧་༩ ལས། (ཁ) དང་ (ག) (ཅ) བཅས་ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་རེད།
༧་༦ དབྱིབས་མཐའ་མང་། Polygon
ཐིག་དུམ་གསུམ་མམ་ཡང་ན་དུ་མས་གྲུབ་པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ་ལ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཟེར། ད་བར་ ང་ཚོས་མཐའ་ 3 ཅན་ (ཟུར་གསུམ་མ་) གྱི་དབྱིབས་མཐའ་མང་སྦྱངས་ཡོད། མཐའི་གྲངས། 3 4 5 6 8 10
106
དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་མིང།
ཟུར་གསུམ་མ། (Triangle)
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། (Quadrilateral) དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ། (Pentagon)
དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ། (Hexagon)
དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མ། (Octagon) དབྱིབས་མཐའ་བཅུ་མ། (Decagon)
དཔེ་རིས།
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས།
༧་༧ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། Quadrilateral
མཐའ་བཞི་ཡོད་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་ལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་
ཟེར། དེ་ལ་མཐའ་བཞི་དང་ཟུར་བཞི་ཡོད། གཡས་ཀྱི་དབྱིབས་མཐའ་
C D
བཞི་མ་ ABCD ལ་དཔེ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༠) མཐའ་བཞི་ནི་ AB དང་། BC, CD, DA ཟུར་བཞི་ནི་ ∠A དང་། ∠B, ∠C, ∠D
B A དཔེ་རིས་ ༧་༡༠
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ལས།
AB དང་ BC གཉིས་ཉེ་མཐའ་ (Adjacent sides) རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཉེ་མཐའི་ཆ་གཞན་རྣམས་འབྲི་ཐུབ་བམ།
AB དང་ CD གཉིས་གཏད་མཐའ་ (Opposite sides) རེད། གཏད་མཐའི་ཆ་གཞན་རྣམས་བྲིས།
∠A དང་ ∠C གཉིས་གཏད་ཟུར་ (Opposite angles) རེད། དེ་བཞིན། ∠B དང་ ∠D གཉིས་གཏད་ཟུར་
རེད། ∠A དང་ ∠B གཉིས་ཉེ་ཟུར་ (Adjacent angles) རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཉེ་ཟུར་གྱི་ཆ་གཞན་རྣམས་འབྲི་ཤེས་ སམ།
༡།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་རིགས། ཁྱད་ཆོས།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ། Rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ལ་དྲང་ཟུར་བཞི་དང་དེའི་གཏད་
༢། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། Square
དཔེ་རིས།
མཐའ་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལ་དྲང་ཟུར་བཞི་དང་མཐའ་ ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན།
༣།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། Parallelogram
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་མཐའ་རྣམས་
༤།
གཟེ་དབྱིབས། Rhombus
གཟེ་དབྱིབས་ནི་མཐའ་བཞི་མཉམ་པའི་མཉམ་
༥།
སྐས་དབྱིབས། Trapezium སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཡིན།
མཉམ་འགྲོ་དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན།
107
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
དབྱིབས་ཆས་ཀྱི་ཐིག་ཤིང་ཟུར་གསུམ་མ། བྱེད་ཐབས།
ཁྱེད་ཀྱིས་གོང་གི་ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ་གཤམ་གྱི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་བཟོས། (ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོ། (ང) སྐས་དབྱིབས།
༡། དཔེ་རིས་རགས་པ་རེ་བྲིས།
(ཀ) ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་ཐིག
(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
(ག) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
(ཅ) གཟེ་དབྱིབས།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༥
(ཁ) ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག
༢། དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ་ཞིག་བྲིས་ཏེ། དེའི་ནང་ཁུལ་ལ་ནག་གྲིབ་ཐོངས། ༣། དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་མིང་བྲིས།
(ཀ)
(ཁ)
༤། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ། རེད་ཡང་ན་མ་རེད་བྲིས། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གཟེ་དབྱིབས། སྐས་དབྱིབས།
108
(ག)
(ང)
གཏད་མཐའ།
མཐའ་ཚང་ མ་འདྲ་ མཉམ་འགྲོ། འདྲ་མཚུངས། མཚུངས། རེད།
རེད།
མ་རེད།
གཏད་ཐིག འདྲ་ མཚུངས། མ་རེད།
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས།
༧་༨ ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས། Three dimensional shapes
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་རྣམས་སྲ་གཟུགས་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་དག་གི་ངོས་ཚང་མ་མཐོང་ཐུབ་པ་དང་། ཚོར་ ཐུབ། ལག་པ་འཆང་ཐུབ། དཔེར་ན། པོ་ལོ། དེབ། སྨྱུ་གུ། ལྕགས་ཊིན། འགྱིག་སུབ་སོགས་ཡིན།
ཤོ་གཟུགས། Cube
ཀ་ཟླུམ།
Cylinder
ཟླུམ་གཟུགས།
གྲུ་ནར་གཟུགས།
Sphere
Cuboid
སྙུང་གཟུགས། Cone
གྲུ་སྙུང་།
གྲུ་ཀ
Pyramid
Prism
ངོས་དང་། གྲུ། ཟུར་ཚེག Faces, Edges and Vertices
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ནི་དེ་དག་གི་ངོས་དང་། གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་ཀྱི་གྲངས་འབོར་ལས་གོ་དོན་འགྲེལ་ བརྗོད་བྱེད་ཐུབ།
(ཀ) ངོས། − ཤོ་གཟུགས་ལ་ངོས་དྲུག་ཡོད། དེ་དག་གྲུ་ཡིས་བསྐོར་ཡོད།
(ཁ) གྲུ། − ངོས་གཉིས་རེ་འཕྲད་ས་ནི་ཐིག་དུམ་ཡིན་པ་དང་དེ་དག་ལ་གྲུ་ཟེར། (ག) ཟུར་ཚེག − གྲུ་གསུམ་མམ་དུ་མ་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ཟུར་ཚེག་ཟེར།
ཤོ་གཟུགས། Cube
ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དྲུག་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། ཤོ་དང་ འཁྱགས་པ་གྲུ་བཞི་སོགས་ནི་ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་ཡིན། ངོས།
གྲུ།
• ངོས་ = 6 ཟུར་ཚེག
• གྲུ་ = 12
• ཟུར་ཚེག = 8
109
རྩིས་རིག
ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ Triangular Prism
གྲུ་ཀའི་ཞབས་ངོས་གཅིག་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་ན་དེ་ལ་ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ་ཟེར།
ཞབས་ངོས་མཚུངས་པ་གཉིས་དང་། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ངོས་གསུམ་ཡོད། • ངོས་ = 5 • གྲུ་ = 9
ཟུར་ཚེག
• ཟུར་ཚེག = 6
གྲུ། ངོས།
གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནང་ངོས་དང་། གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་ཀྱི་གྲངས་བྲིས། (ཀ) ཀ་ཟླུམ།
(ག)
ཟླུམ་གཟུགས།
(ཅ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་།
110
ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་
ངོས།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག = ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག = ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག =
(ཁ) ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་།
(ང) སྙུང་གཟུགས།
(ཆ) གྲུ་ནར་གཟུགས།
ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག = ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག = ངོས། = གྲུ། = ཟུར་ཚེག =
གཞི་རྩའི་དབྱིབས་ཀྱི་གོ་རྟོགས།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༦
༡། གཤམ་གྱི་ཅ་དངོས་མཚོན་པའི་གཟུགས་ཀྱི་མིང་བྲིས།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
(ཇ)
(ཉ)
(ཏ)
(ཐ)
(ད)
(ན)
༢། གཟུགས་ཀྱི་མིང་བྲིས།
(ཀ) དབྱིབས་ཆས་སྒམ། (ང) མདོང་མོ། (ཇ) པི་པི།
(ཁ) ཤེལ་རྡོ།
(ཅ) མིག་རིལ། (ཉ) གཏོར་མ།
(ག) སོ་ཕག
(ཆ) ཟུར་གསུམ་མའི་གུར། (ཏ) ཆུ་དམ།
༣། ཁྱེད་རང་གི་ཉེ་འཁོར་ནས་གཤམ་གསལ་གཟུགས་ཅན་གྱི་ཅ་དངོས་གཉིས་ཀྱི་མིང་བྲིས། (ཀ) ཤོ་གཟུགས།
(ཁ) གྲུ་ནར་གཟུགས། (ག) སྙུང་གཟུགས། (ང) ཀ་ཟླུམ།
(ཅ) ཟླུམ་གཟུགས།
111
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ནི་མཐའ་གསུམ་ཅན་གྱི་མཐའ་མང་དབྱིབས་ཡིན། དེ་རྟགས་ ∆ ཡིས་མཚོན། ༢། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་གསུམ་དང་། ཟུར་གསུམ། ཟུར་ཚེག་གསུམ་ཡོད། ༣། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་ལ་དེའི་རྒྱུ་དྲུག་ཟེར།
༤། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 180o རེད། ( ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180o) ༥། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། ༦། ཟུར་གསུམ་མ་ནི་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ཟུར་ཚད་ལས་དབྱེ་བ་འབྱེད་ཐུབ། ཁྱད་ཆོས།
མཐའི་རིང་ཚད་ལས། མཐའ་གསུམ་ཀའི་རིང་ཚད་མི་མཚུངས་པ། མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་པ། མཐའ་གསུམ་ཀའི་རིང་ཚད་མཚུངས་པ། ཟུར་ཚད་ལས། ཟུར་ཚང་མ་རྣོ་ཟུར་ཡིན། ཟུར་གཅིག་དྲང་ཟུར་ཡིན། ཟུར་གཅིག་རྟུལ་ཟུར་ཡིན།
ཟུར་གསུམ་མའི་མིང་། མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
༧། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ནི་རང་གི་ཁྱད་ཆོས་གཞིར་བཟུང་དབྱེ་ཐུབ། ཁྱད་ཆོས།
མཐའ་ཆ་གཅིག་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ། མཐའ་ཆ་གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ། དྲང་ཟུར་བཞི་ཡོད་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། མཐའ་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། དྲང་ཟུར་བཞི་ཡོད་པའི་གཟེ་དབྱིབས།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་མིང་། སྐས་དབྱིབས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། གཟེ་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
༨། ང་ཚོའི་ཉེ་འཁོར་ལ་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་མང་པོ་མཐོང་གི་ཡོད། ཤོ་གཟུགས་དང། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཟླུམ་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ། སྙུང་གཟུགས། གྲུ་སྙུང་། གྲུ་ཀ་སོགས་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ཡིན།
112
བཀོད་པ།
སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ།
༨་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་དཔེ་རིས་མི་འདྲ་བ་འབྲི་སྟངས་སྦྱང་གི་ཡིན། དེའི་ཆེད་ཁྱེད་རང་ལ་དབྱིབས་ ཆས་སྒམ་ནང་གཤམ་གསལ་ཡོ་ཆས་ཁག་དགོས།
༨་༢ སྒོར་དབྱིབས། Circle ཆ་ཤས།
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཆ་ཤས།
Radius
Diameter
རྒྱུད་ཐིག Chord
དཔེ་རིས།
P
ཚངས་ཕྱེད།
ཚངས་ཐིག
ཐིག་ཤིང་དང་། སྒོར་ཆས། སྒོར་ཕྱེད། བགོད་ཐུར།
ཚངས་ཕྱེད་ OP
O
A
B
P
Q
ཚངས་ཐིག་ AB རྒྱུད་ཐིག་ PQ
113
རྩིས་རིག Q
གཞུ་ཐིག
P
གཞུ་དབྱིབས།
P
R
གཞུ་ཐིག་ཆེ་བ་ PSR
Arc
S Q R
Segment
Sector
O A
གཞུ་དབྱིབས་ཆུང་བ་ PQR གཞུ་དབྱིབས་ཆེ་བ་ PSR
S
སོག་དབྱིབས།
གཞུ་ཐིག་ཆུང་བ་ PQR
B
སོག་དབྱིབས་ AOB
༨་༢་༡ སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་བཀོད་པ། Construction of a circle
གལ་ཏེ་ཚངས་ཕྱེད་ 2 cm ཡིན་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་འབྲི་དགོས་ན། ང་ཚོས་ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་འབྲི་
ཐུབ།
གོམ་པ་ ༡ སྒོར་ཆས་ཁ་ཕྱེས་ཏེ་ཞ་སྨྱུག་གི་རྩེ་དང་ཁབ་རྩེ་དབར་ 2 cm བླངས།
གོམ་པ་ ༢ ཞ་སྨྱུག་རྩེ་རྣོན་དེས་ཚེག་གཅིག་བྲིས། དེ་ལ་མིང་ O བཏགས།
0
1
གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁབ་རྩེ་དེ་ O སྟེང་ཞོག
གོམ་པ་ ༤ སྒོར་ཆས་ཀྱི་རྩེ་ནས་བཟུང་སྟེ་ཞ་སྨྱུག་ཡོད་པའི་
དཔུང་པ་དེ་ཤོག་བུའི་སྟེང་དྲུད་དེ་ག་ལེར་སྐོར་བ་ རྒྱོབ།
114
O
2
3
བཀོད་པ།
གོམ་པ་ ༥ བྲིས་པའི་དཔེ་རིས་ནི་ཚངས་ཕྱེད་ 2 cm
r = 2 cm
ཡོད་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཡིན།
O
སྦྱོང་ཚན། ༨་༡
༡། གཤམ་གསལ་ཚངས་ཕྱེད་ཡོད་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཁག་བྲིས། (ཀ) 1.5 cm
(ཁ) 2.7 cm
(ག) 3 cm
༢། སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས་ཏེ་དེའི་སྟེང་ཚངས་ཐིག་གཉིས་བྲིས།
(ང) 4.5 cm
༣། སྒོར་ལྟེ་ O ཐུན་མོང་ཡིན་པའི་ཚངས་ཕྱེད་ 2.5 cm དང་ 4 cm ཡི་སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་བྲིས།
༤། སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས་ཏེ་དེའི་སྒང་ལ་གནས་ A ཞིག་བྲིས། གནས་ B ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ནང་ཁུལ་དང་། C ནི་ སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཕྱི་ཁུལ་ལ་བྲིས།
༥། དཔེ་རིས་ ༨་༡ ལ་བལྟས་ནས་བར་སྟོང་སྐོངས། (ཀ) OG ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཆེ་བའི་ (ཁ) OA = OB =
=
(ག) AB ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཆེ་བའི་
རེད།
(ང) EF ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཆུང་བའི་ (ཅ) AH ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཆེ་བའི་
རེད།
༦། སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་ལ་གཤམ་གསལ་ཁག་བྲིས། (ཀ) སྒོར་ལྟེ།
(ག) ཚངས་ཐིག
(ཅ) གཞུ་དབྱིབས།
(ཇ) ཕྱི་ཁུལ་ལ་གནས། (ཏ) རྒྱུད་ཐིག
རེད།
རེད།
(ཁ) ཚངས་ཕྱེད།
H
A
E
O
F D
G
B
C
དཔེ་རིས་ ༨་༡
(ང) སོག་དབྱིབས།
(ཆ) ནང་ཁུལ་ལ་གནས། (ཉ) གཞུ་ཐིག
115
རྩིས་རིག
༨་༣ ཐིག་དུམ་གྱི་བཀོད་པ། Construction of a line segment
༨་༣་༡ རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཐིག་དུམ་གྱི་བཀོད་པ། Construction of a line segment of a given length
3.5 cm ཡོད་པའི་ཐིག་དུམ་ཞིག་འབྲི་དགོས་ན། ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ་གནས་ A དང་ B དབར་རིང་ཚད་ 3.5 cm ཡོད་པའི་གནས་གཉིས་རྟགས་རྒྱོབ། A དང་ B མཐུད་རྗེས་ང་ཚོར་ AB འབྱུང་། ཐིག་དུམ་ནི་ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་ནས་ཀྱང་འགོད་ཐུབ།
གོམ་པ་ ༡ ཐིག་ l ཞིག་བྲིས། ཐིག་ l གྱི་སྟེང་གནས་ A རྟགས་རྒྱོབ། (དཔེ་རིས་ ༨་༢) l
A
དཔེ་རིས་ ༨་༢
གོམ་པ་ ༢ སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁབ་རྩེ་ཐིག་ཤིང་གི་ཀླད་ཀོར་
ཡོ ད ་སར་བཞག་པ་དང་ཞ་སྨྱུག་གི ་ རྩེ ་ ཐི ག ་ ཤིང་གི་མཚོན་རྟགས་ 3.5 cm མ་འཁེལ་ བར་དུ་ཁ་ཕྱེས། (དཔེ་རིས་ ༨་༣)
0
1
2
3
4
དཔེ་རིས་ ༨་༣
གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁ་ཞེང་འགྱུར་བ་མེད་པའི་ཐོག་
སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁབ་རྩེ་ A སྟེང་བཞག་སྟེ་ཐིག་
l ཡི་སྟེང་གཞུ་རྟགས་ཆུང་ངུ་ B ཐོག་རྟགས་ རྒྱོབ། (དཔེ་རིས་ ༨་༤)
གོམ་པ་ ༤ AB ནི་དགོས་མཁོའི་རིང་ཚད་ 3.5 cm གྱི་ ཐིག་དུམ་ཡིན།
116
l A
3.5 cm
B
དཔེ་རིས་ ༨་༤ A
3.5 cm
B
5
བཀོད་པ། ༨་༣་༢ སྤྲད་ཟིན་པའི་ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་འདྲ་བཤུས་བཀོད་པ།
Constructing a copy of a given line segment
ང་ཚོས་སྤྲད་ཟིན་པའི་ཐིག་དུམ་ AB དང་རིང་ཚད་མཉམ་པའི་ཐིག་དུམ་གཞན་ཞིག་འབྲི་དགོས་ན། གོམ་པ་ ༡ སྤྲད་ཟིན་པའི་ AB ཡི་རིང་ཚད་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་མེད། A
B
གོམ་པ་ ༢ སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁབ་རྩེ་ A སྟེང་དང་ཞ་སྨྱུག་གི་རྩེ་
B སྟེང་འཇོག ཁ་ཕྱེས་པའི་སྒོར་ཆས་ཀྱིས་ AB
ཡི་རིང་ཚད་མཚོན་གྱི་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༨་༥)
A
དཔེ་རིས་ ༨་༥
B
གོམ་པ་ ༣ ཐིག་ m ཞིག་བྲིས། ཐིག་ m སྟེང་གནས་ C
བྲིས། སྒོར་ཆས་ཀྱི་ཁ་ཞེང་མ་དཀྲུག་པར་ཁབ་ རྩེ་དེ་ C སྟེང་འཇོག (དཔེ་རིས་ ༨་༦)
གོམ་པ་ ༤ ཐིག་ m སྟེང་གཞུ་རྟགས་ཆུང་ངུ་ཞིག་བྲིས་ཏེ་
གནས་དེར་ D བྲིས། CD ནི་ AB དང་རིང་ ཚད་མཉམ་པའི་འདྲ་བཤུས་ཡིན།
༡། ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ་ཐིག་དུམ་ཁོད། (ཀ) 3.5 cm
(ཁ) 5.2 cm
m C
C
དཔེ་རིས་ ༨་༦
D
D
སྦྱོང་ཚན། ༨་༢ (ག) 7.3 cm
117
རྩིས་རིག ༢། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་ཐིག་དུམ་ཁོད། (ཀ) 2.5 cm
(ཁ) 4 cm
(ག) 5.6 cm
༣། ཐིག་དུམ་ PQ ཞིག་བྲིས། PQ མ་འཇལ་བར། PQ དང་རིང་ཚད་མཉམ་པའི་འདྲ་བཤུས་ཁོད། ༤། ཐིག་དུམ་ AB = 2.5 cm ཡི་རིང་ཚད་ཉིས་ལྡབ་ཡོད་པའི་ཐིག་དུམ་ CD ཁོད།
༥། གལ་ཏེ་ AB = 8 cm དང་ CD = 2.5 cm ཡིན་ན། ཐིག་དུམ་ AB དང་ CD གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཀྱི་ཧེ་བག་ དང་མཉམ་པའི་ཐིག་དུམ་ XY ཁོད།
༨་༤ དྲང་འཕྱང་ཐིག་གི་བཀོད་པ། Construction of perpendicular lines ༨་༤་༡ ཐིག་གི་སྟེང་གནས་གང་རུང་ཞིག་བརྒྱུད་དེ་དྲང་འཕྱང་ཐིག་འགོད་པ།
Construction of perpendicular to a line through a point on it
གོམ་པ་ ༡ ཤེས་ཟིན་པ། ཐིག་ l སྟེང་གནས་ P
l
P
གོམ་པ་ ༢ གནས་ P སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་
རུང་ཡི ན ་པའི ་ གཞུ་ཐི ག ་ཅི ག ་བྲི ས ་ཏེ །
ཐིག་ l སྟེང་གནས་ A དང་ B གཉིས་ ལ་འཕྲད་པར་བྱ།
l A
P
B
Q གོམ་པ་ ༣ གནས་ A དང་ B སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་
ཕྱེད་ AP ལས་ཆེ་བའི་གཞུ་ཐིག་གཉིས་ བྲིས་ཏེ། ཕན་ཚུན་འཕྲད་ས་ལ་ Q བྲིས།
118
l A
P
B
བཀོད་པ། Q
གོམ་པ་ ༤ P དང་ Q མཐུད། PQ ནི་ཐིག་ l དང་དྲང་ འཕྱང་ཡིན། དེ་ PQ
l ལྟར་འབྲི་ཆོག
l A
༨་༤་༢ ཐིག་གི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ཤིག་བརྒྱུད་དེ་དྲང་འཕྱང་ཐིག་འགོད་པ།
B
P
Construction of perpendicular to a line through a point not on it
གོམ་པ་ ༡ ཤེས་ཟིན་པ།
P
གོམ་པ་ ༢ གནས་ P སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་རུང་
P
ཐིག་ l དང་། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ P
གི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་བྲིས་ཏེ་ཐིག་ l སྟེང་འཕྲད་
པར་བྱོས། གནས་དེ་དག་ལ་ A དང་ B བྲིས།
l
A
B
l
P གོམ་པ་ ༣ གནས་ A དང་ B སྒོར་ལྟེ་དང་ཚངས་ཕྱེད་
གོང་དང་མཉམ་པའི་གཞུ་ཐིག་གཉིས་བྲིས་
A
ཏེ་ཕན་ཚུན་འཕྲད་པར་བྱོས། གནས་དེར་ Q
B Q
བྲིས།
P ↔
གོམ་པ་ ༤ P དང་ Q མཐུད། དེས་ན། PQ ནི་ཐིག་ l ལ་དྲང་འཕྱང་རེད། PQ
l
l
A
B
l
Q
119
རྩིས་རིག ༨་༤་༣ ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ཐིག་འགོད་པ།
Construction of the perpendicular bisector of a line segment
གོམ་པ་ ༡ རིང་ཚད་གང་རུང་གི་ཐིག་དུམ་ AB ཞིག་བྲིས།
A
B
(༡)
གོམ་པ་ ༢ གནས་ A སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་ AB ཡི་
ཕྱེད་ཀ་ལྷག་ཙམ་ཡོད་པའི་གཞུ་ཐིག་གཉིས་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༢ པ་ལྟར།)
A
B (༢)
གོམ་པ་ ༣ གནས་ B སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་གོང་ དང་མཉམ་པའི་གཞུ་ཐིག་གཉིས་བྲིས།
གོང་གི་གཞུ་ཐིག་གཉིས་དང་འཕྲད་སར་
D A C
C དང་ D བྲིས།
གོམ་པ་ ༤ C དང་ D མཐུད། CD དང་ AB འཕྲད་སའི་
གནས་དེར་ O བྲིས། དེས་ན། CD ནི་ AB ཡི་ དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ཐིག་རེད།
120
B (༣) D O
A
B C (༤)
བཀོད་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༨་༣
༡། ཐིག་དུམ་ AB བྲིས། དེའི་སྟེང་གནས་ C རྟགས་རྒྱོབ། C བརྒྱུད་པའི་ AB དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་ CD ཁོད། (ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱོད།)
༢། ཐིག་ l བྲིས། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ R ཞིག་བྲིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱོད་དེ་གནས་ R བརྒྱུད་ l དང་ དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་ཁོད།
༣། རིང་ཚད་ 6 cm ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ཞིག་བྲིས། ཐིག་དུམ་དེའི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ཐིག་ཁོད། ༤། PQ = 7.5 cm ནི་ཚངས་ཐིག་རེད། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས།
༥། ཐིག་ n བྲིས་ཏེ་དེའི་སྟེང་གནས་ A དང་ B རྟགས་རྒྱོབ། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་གནས་ A དང་ B གཉིས་ ནས་ཐིག་ n དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཁོད། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ་ རེད་དམ།
༨་༥ ཟུར་གྱི་བཀོད་པ། Construction of angle
༨་༥་༡ ཟུར་གྱི་འདྲ་བཤུས་ཟུར་འགོད་པ། Constructing a copy of an angle ཤེས་ཟིན་པ། ∠A
A གོམ་པ་ ༡ ཐིག་ l བྲིས་ཏེ། དེའི་སྟེང་གནས་ P རྟགས་རྒྱོབ།
l P
གོམ་པ་ ༢ ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་ལས། སྒོར་ལྟེ་ A དང་། ཚངས་
ཕྱེད ་གང་རུང་ཡི ན ་པའི ་གཞུ་ཐི ག་ཅི ག་བྲི ས ་ཏེ །
ཟུར་ A ཡི་འཕྲོ་ཐིག་གཉིས་སྟེང་འཕྲད་པར་བྱོས། གནས་དེ་དག་ལ་ B དང་ C བྲིས།
C A
B
121
རྩིས་རིག གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ལྟེ་ P དང་། ཚངས་ཕྱེད་གོང་དང་མཉམ་པའི་ གཞུ་ཐིག་ཅིག་ཐིག་ l དང་འཕྲད་པར་ཁོད། གནས་དེར་ Q བྲིས།
P
གོམ་པ་ ༤ སྒོར་ལྟེ་ Q དང་། ཚངས་ཕྱེད་ BC ཡི་རིང་ཚད་
R
དང་མཉམ་པའི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་གོམ་པ་ ༣ པའི་
གཞུ་ཐིག་སྟེང་འཕྲད་པར་ཁོད། གནས་དེར་ R བྲིས།
P
l
Q
གོམ་པ་ ༥ PR མཐུད། ང་ཚོར་བྱུང་བའི་ ∠P ནི་ ∠A
R
ཡི་འདྲ་བཤུས་ཟུར་རེད།
དེས་ན། ∠QPR = ∠BAC
l
Q
P
l
Q
༨་༥་༢ ཟུར་གྱི་མཉམ་བགོད་ཐིག Bisector of an angle ཤེས་ཟིན་པ། ∠A
A གོམ་པ་ ༡ སྒོར་ལྟེ་ A དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་རུང་ཡིན་པའི་
C
གཞུ་ཐིག་ཅིག་བྲིས་ཏེ་ ∠A ཡི་འཕྲོ་ཐིག་གཉིས་
སྟེང་འཕྲད་པར་བྱོས། གནས་དེ་དག་ལ་ B དང་
122
C བྲིས།
A
B
བཀོད་པ། གོམ་པ། ༢ སྒོར་ལྟེ་ B དང་། ཚངས་ཕྱེད་ BC ཡི་རིང་ཚད་
C
ཕྱེད་ཀ་ལྷག་ཙམ་གྱི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ ∠A ཡི་ནང་ ཁུལ་དུ་བྲིས།
A
གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ལྟེ་ C དང་། ཚངས་ཕྱེད་གོང་དང་མཉམ་པའི་
C
གཞུ་ཐིག་གཞན་ཞིག་ ∠A ཡི་ནང་ཁུལ་དུ་བྲིས་ ཏེ། གཞུ་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་འཕྲད་ས་ལ་ D
A
བྲིས།
ཐིག་ཡིན།
ཤོག་ལྷེ་དང་། ཐིག་ཤིང་། ཞ་སྨྱུག
A
B
D B
བྱེད་སྒོ།
བྱེད་ཐབས།
ང་ཚོ ས ་ཤོ ག ་ལྷེ་ལྟེབ་རྩེ ག ་བརྒྱབ་སྟེ་ཟུར་གྱི ་ མཉམ་བགོ ད ་
B
ཐིག་བཟོ་ཐུབ། ཤོག་ལྷེའི་སྟེང་ཟུར་ AOB བྲིས། ཤོག་ལྷེ་
ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་སྟེ་འཕྲོ་ཐིག་ OA ནི་འཕྲོ་ཐིག་ OB ཡི་ སྒང་ལ་འཁེལ་བར་བྱ། ལྟེབ་སུལ་བཀྲོལ་ནས་དཔེ་རིས་ནང་
སྟོན་པ་བཞིན་འཕྲོ་ཐིག་ OY བྲིས། OY ནི་ཟུར་ AOB ཡི་མཉམ་བགོད་ཐིག་ཡིན།
D
C
གོམ་པ་ ༤ AD མཐུད། AD ནི་ ∠A ཡི་མཉམ་བགོད་
དགོས་མཁོ།
B
Y
O
A
123
རྩིས་རིག
༨་༦ དམིགས་བསལ་ཟུར་ཚད་ཀྱི་ཟུར། Angles of special measure
ང་ཚོས་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་མ་སྤྱད་པར་དམིགས་བསལ་ཅན་གྱི་ཟུར་ཚད་འགའ་ཡིས་ཟུར་ལས་སླ་པོར་འགོད་ཐུབ། ཟུར་ཚད་ 60o འགོད་པ།
གོམ་པ་ ༡ འཕྲོ་ཐིག་ BP བྲིས། B
P
གོམ་པ་ ༢ སྒོར་ལྟེ་ B དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་རུང་གི་གཞུ་
ཐིག་ཅིག་བྲིས་ཏེ། འཕྲོ་ཐིག་ BP སྟེང་འཕྲད་
པར་བྱོས། གནས་དེར་ C བྲིས།
B
གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ལྟེ་ C དང་། ཚངས་ཕྱེད་གོང་དང་མཉམ་པ་ ཞིག་གོམ་པ་
༢
C
P
C
P
C
P
A
པར་བྲིས་པའི་གཞུ་ཐིག་ལ་
འཕྲད་པར་གཞུ་ཐིག་གཞན་ཞིག་བྲིས།
གཞུ་ཐིག་གཉིས་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ A བྲིས།
B A
གོམ་པ་ ༤ BA མཐུད། ང་ཚོར་ ∠ABC བྱུང་བ་དང་། ∠ABC = 60o
60o B A
ཟུར་ཚད་ 30o འགོད་པ།
གོམ་པ་ ༡ གོང་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་ཟུར་ཚད་ 60o ཁོད། ∠ABC = 60o
124
B
60o
C
བཀོད་པ། A གོམ་པ་ ༢ སྒོར་ལྟེ་ B དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་རུང་ཡིན་པའི་
གཞུ་ཐིག་ཅིག་བྲིས་ཏེ། ∠B ཡི་འཕྲོ་ཐིག་གཉིས་
M
སྟེང་འཕྲད་པར་བྱོས། གནས་དེ་དག་ལ་ L དང་ M བྲིས།
B
C
L A
གོམ་པ་ ༣ གནས་ L དང་ M སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་
M
LM གྱི་རིང་ཚད་ཕྱེད་ཀ་ལྷག་ཙམ་གྱི་གཞུ་ཐིག་ གཉིས་བྲིས། དེ་དག་ཕན་ཚུན་འཕྲད་སའི་གནས་ ལ་ D བྲིས།
D
B
C
L A
གོམ་པ་ ༤ BD མཐུད། དེས་ན། BD ཡིས་ ∠ABC
M
མཉམ་པར་བགོས་ཡོད་པས། ∠DBC ནི་ དགོས་མཁོའི་ཟུར་ཚད་ 30o ཡིན།
དགོས་མཁོ།
ཐིག་ཤིང་། སྒོར་ཆས།
D
o
60
B
o
30
L
C
ཟུར་ཚད་ 15o ཁོད།
བྱེད་ཐབས།
གོམ་པ་ ༡། ཟུར་ཚད་ 30o ཞིག་ཁོད།
གོམ་པ་ ༢། ཟུར་དེའི་མཉམ་བགོད་ཐིག་བྲིས། ཟུར་གཉིས་བྱུང་བ་ལས་ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ནི་ 15o རེད།
125
རྩིས་རིག ཟུར་ཚད་ 120o འགོད་པ།
གོམ་པ་ ༡ འཕྲོ་ཐིག་ OP བྲིས།
O
P
གོམ་པ་ ༢ སྒོར་ལྟེ་ O དང་། ཚངས་ཕྱེད་གང་རུང་ཡིན་པའི་གཞུ་
ཐིག་ཅིག་བྲིས་ཏེ། འཕྲོ་ཐིག་ OP སྟེང་འཕྲད་པར་བྱོས།
གོམ་པ་ ༢ པའི་གཞུ་ཐིག་སྟེང་འཕྲད་པར་བྲིས། གནས་ C
གོམ་པ་ ༥ OC མཐུད། དེར་བརྟེན། ∠COA ནི་དགོས་མཁོའི་
C
O
གནས་དེར་ C བྲིས།
ཐིག་གཉིས་བྲིས་ཏེ་ཕན་ཚུན་འཕྲད་པར་བྱོས། གནས་
ཟུར་ཚད་ 90o རེད།
126
P
A
P
B o
O
D C
B
དེ་ལ་ D བྲིས།
གོམ་པ་ ༦ OD མཐུད། དེར་བརྟེན། ∠DOP ནི་དགོས་མཁོའི་
A
120
ཟུར་ཚད་ 90o འགོད་པ།
གོམ་པ་ ༥ B དང་ C སྒོར་ལྟེ་དང་། ཚངས་ཕྱེད་ OA ཡིི་གཞུ་
P
B
ཞིག་གོམ་པ་ ༢ པའི་གཞུ་ཐིག་སྟེང་འཕྲད་པར་བྲིས།
ཟུར་ཚད་ 120o ཡི་གོམ་པ་ ༤ བར་མུ་མཐུད། དེ་རྗེས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྱོས།
A
O
གོམ་པ་ ༤ སྒོར་ལྟེ་ B དང་། ཚངས་ཕྱེད་ OA ཡི་གཞུ་ཐིག་གཞན་
ཟུར་ཚད་ 120o ཡིན།
P
B
གོམ་པ་ ༣ སྒོར་ལྟེ་ A དང་། ཚངས་ཕྱེད་ OA ཡི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ དེར་ B བྲིས།
A
O
གནས་དེར་ A བྲིས།
A
O
P
D C
B o
90
O
A
P
བཀོད་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༨་༤
༡། ཟུར་གང་རུང་ཞིག་བྲིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་ཟུར་དེའི་འདྲ་བཤུས་ཁོད།
༢། ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ་ཟུར་ཚད་ 80o བྲིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་ཟུར་དེའི་འདྲ་བཤུས་ཁོད།
༣། དྲང་ཟུར་ཞིག་བཀོད་ནས། དེའི་མཉམ་བགོད་ཐིག་བྲིས། ༤། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་གཤམ་གྱི་ཟུར་ཁོད། (ཀ) 30o
(ཁ) 90o
(ག) 45o
(ང) 120o
༥། ཟུར་ཚད་ 70o ཡི་ཟུར་ཞིག་བྲིས་ཏེ། ཟུར་དེའི་མཉམ་བགོད་ཐིག་ཁོད།
༦། ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ་ཟུར་ཚད་ 140o ཡི་ཟུར་ཞིག་བྲིས་ནས། ཟུར་དེ་མཉམ་བགོད་བྱོས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། དཔེ་རིས་འགོད་སྐབས་གཤམ་གྱི་ཡོ་ཆས་ཁག་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། (ཀ) ཐིག་ཤིང་།
(ཁ) སྒོར་ཆས།
(ག) བགོད་ཐུར།
༢། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་འགོད་ཐུབ། (༡) ཚངས་ཕྱེད་ཤེས་པའི་སྒོར་དབྱིབས།
(ང) ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས།
(༢) རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཐིག་དུམ། (༣) ཐིག་དུམ་གྱི་འདྲ་བཤུས།
(༤) ཐིག་གི་སྟེང་གནས་གང་རུང་ཞིག་དང་ཐིག་གི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ཤིག་བརྒྱུད་དེ་དྲང་འཕྱང་ཐིག (༥) ཐིག་དུམ་གྱི་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ཐིག (༦) ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་ཚད་ཀྱི་ཟུར། (༧) ཟུར་གྱི་འདྲ་བཤུས།
(༨) ཤེས་ཟིན་པའི་ཟུར་གྱི་མཉམ་བགོད་ཐིག (༩) ཟུར་ཚད་དམིགས་བསལ་ཅན་གྱི་ཟུར། (ཀ) 60o
(ཁ) 30o
(ག) 120o
(ང) 90o
(ཅ) 45o
127
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སློབ་ཚན་དགུ་པ།
༩་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ (Perimeter) དང་རྒྱ་ཁྱོན་ (Area) སྦྱང་ རྒྱུ་ཡིན།
༩་༢ མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Perimeter གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་།
S S
(ཀ)
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༩་༡
S
(ག)
དཔེ་རིས་ ༩་༡ (ཀ) དང་། (ཁ) (ག) ལས། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་གནས་ S ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ཐིག་དུམ་བརྒྱུད་འགྲོ་བ་ ཡིན་ན། བསྐོར་བ་གཅིག་བརྒྱབ་རྗེས་བསྐྱར་དུ་གནས་ S ཡོད་སར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། བསྐོར་བ་གཅིག་གི་ནང་བསྐྱོད་པའི་
བར་ཐག་ནི་དཔེ་རིས་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཡིན།
ཁ་ཟུམ་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་དཔེ་རིས་དེའི་མཐའ་མཚམས་ཀྱི་རིང་ཚད་དེ་ཡིན།
128
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། རྩིས་དཔེ་ ༡ མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། A m 3c
C
= AB + BC + CA = 3 cm + 3 cm + 3 cm
A m
= 9 cm
B
3 cm
4c
m
4c
E
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
B
D
C 3 cm D
I
F
J 3 cm
1 cm
1 cm
L
3 cm
3 cm
B
3 cm
K 3 cm
1 cm
= 20 cm
C
4 cm
A
= 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm
3 cm
(ག)
= AB + BC + CD + DE + EA
4 cm
4 cm
(ཁ)
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
m 3c
(ཀ)
H 1 cm G
3 cm E
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
= AB + BC + CD + DE + EF+ FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LA
= 1 cm + 3 cm + 3 cm + 1 cm + 3 cm + 3 cm + 1 cm + 3 cm + 3 cm + 1 cm + 3 cm + 3 cm = 28 cm
129
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
ཐིག་ཤིང་། ཞ་སྨྱུག
༡༽ ཁྱེད་རང་གི་འབྲི་དེབ་ཀྱི་ཤོག་ལྷེའི་མཐའ་བཞིའི་རིང་ཚད་འཇོལ། མཐའ་བཞིའི་རིང་ཚད་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། =
cm +
=
cm +
cm +
cm
cm
ཤོག་ལྷེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༢༽ ཁྱེད་རང་གི་ཅོག་ཙེའི་སྟེང་ངོས་ཀྱི་མཐའ་བཞིའི་རིང་ཚད་འཇོལ། མཐའ་བཞིའི་རིང་ཚད་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། =
cm +
=
cm +
cm +
cm
cm
ཅོག་ཙེའི་སྟེང་ངོས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
མཆན། ཁ་ཟུམ་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཚོལ་བར། དཔེ་རིས་དེའི་མཐའ་ཚང་མའི་རིང་ཚད་ཀྱི་ བསྡོམས་ཐོབ་འཚོལ་དགོས།
༩་༢་༡ གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Perimeter of Rectangle
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ལ་དཔེ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༩་༢) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ནི་ 15 cm དང་
= དེའི་མཐའ་བཞིའི་རིང་ཚད་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
= AB + BC + CD + DA = AB + BC + AB + BC = 2 × AB + 2 × BC = 2 × (AB + BC) = 2 × (15 cm + 9 cm)
130
15 cm
D
B
9 cm
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
A
9 cm
9 cm གོ་རིམ་བཞིན་ཡིན། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།
15 cm
དཔེ་རིས་ ༩་༢
C
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་མཐའ་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
= 2 × 24 cm = 48 cm གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 48 cm ཡིན།
གཤམ་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཁག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། དཀྱུས།
ཞེང་།
25 cm
12 cm
10.5 cm
8.5 cm
18 cm
15 cm
40 cm
20 cm
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། (མཐའ་ཚང་མའི་བསྡོམས་ཐོབ།) = 25 cm + 12 cm + 25 cm + 12 cm = 74 cm
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
= 2 × (25 cm + 12 cm) = 2 × 37 cm = 74 cm
དེར་བརྟེན། གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ང་ཚོས་གང་ཤེས་ཐུབ་བམ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = དཀྱུས་ + ཞེང་ + དཀྱུས་ + ཞེང་། དེ་ནི། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
རྩིས་དཔེ་ ༢ གྲུ་བཞི་ནར་དབྱིབས་ཀྱི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ནི་གོ་རིམ་བཞིན་ 150 cm དང་ 1 m ཡིན། གྲུ་ནར་དེའི་ དཀྱུས་ = 150 cm
ཞེང་ = 1 m = 1 × 100 cm = 100 cm
150 cm
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
1m
= 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།) = 2 × (150 cm + 100 cm)
1m
ལན།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།
= 2 × 250 cm = 500 cm =5m
150 cm
131
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ་ ༣ ལུས་རྩལ་བ་ཞིག་གིས་དཀྱུས་ 50 m དང་ཞེང་ 25 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ལ་བསྐོར་
ལན།
བ་ 10 བརྒྱབ་ཡོད་ན། ཁོང་གིས་ཁྱོན་བསྡོམས་བར་ཐག་ག་ཚོད་ཕྱིན་ཡོད་དམ། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ = 50 m
སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་
= 25 m
ལུས་རྩལ་བས་བསྐོར་བ་གཅིག་བརྒྱབ་པའི་བར་ཐག་ནི་སྐྱེད་ཚལ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཡིན། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
= 2 × (50 m + 25 m) = 2 × 75 m = 150 m
དེས་ན། ལུས་རྩལ་བས་བསྐོར་བ་གཅིག་ལ་བར་ཐག་ 150 m བསྐྱོད་ཀྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། བསྐོར་བ་ 10 ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 10 × 150 m = 1500 m ལུས་རྩལ་བས་ཁྱོན་བསྡོམས་བར་ཐག་ 1500 m ཕྱིན་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༤ ཞིང་པ་ཞིག་ལ་དཀྱུས་ 240 m དང་ཞེང་ 180 m ཡིན་པའི་ཞིང་ཁ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༩་༣ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཁོས་ཞིང་ཁའི་
ལན།
མཐའ་ལ་ཐག་པའི ་ ར་བ་བསྐོར་བ་གསུམ་བརྒྱབ་པ་ ཡིན་ན། ཁོང་ལ་ཐག་པ་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ། དགོས་མཁོའི་ཐག་པའི་རིང་ཚད་ནི་ཞིང་ཁའི་མཐའ་
འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱི་ལྡབ་གསུམ་ཡིན།
དཔེ་རིས་ ༩་༣
ཞིང་ཁའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
= 2 × (240 m + 180 m) = 2 × 420 m = 840 m
དེར་བརྟེན། ཁོང་ལ་དགོས་པའི་ཐག་པའི་རིང་ཚད་ = 3 × 840 m = 2520 m
རྩིས་དཔེ་ ༥ གལ་ཏེ་ལྕགས་སྐུད་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 12 ཡིན་ན། དཀྱུས་ལ་ 250 m དང་ཞེང་ལ་ 175 m ཡིན་པའི་ ལན།
132
སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ལ་ར་བ་བསྐོར་བ་གཅིག་རྒྱག་ཆེད་དངུལ་ག་ཚོད་གནས་སམ། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གྱི་དཀྱུས་ = 250 m
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གྱི་ཞེང་ = 175 m
སྔོན་ལ་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཚོལ་དགོས།
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
= 2 × (250 m + 175 m) = 2 × 425 m = 850 m
ར་བ་ 1 m
= ` 12
ར་བ་ 850 m = ` 12 × 850 = ` 10,200
དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་ལ་ར་བ་རྒྱག་ཆེད་ ` 10,200 གནས་ཀྱི་ཡོད།
༩་༢་༢ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Perimeter of square གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ལ་དཔེ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༩་༤) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
1m
1m
འཁོར་རིང་ཚད་གང་རེད།
A
= AB + BC + CD + DA
D
=1m+1m+1m+1m =4m
ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན།
B 1m
དེའི་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 1 m ཡིན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་
1m
C
དཔེ་རིས་ ༩་༤
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = མཐའ་ + མཐའ་ + མཐའ་ + མཐའ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།
རྩིས་དཔེ་ ༦ སྒྲོལ་མས་མཐའ་ 70 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ལ་བསྐོར་བ་གསུམ་བརྒྱབ་ཡོད་ན། ལན།
སྒྲོལ་མས་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ཚོལ།
སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།
= 4 × 70 m = 280 m
133
རྩིས་རིག བསྐོར་བ་གཅིག་གི་ནང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 280 m
དེར་བརྟེན། བསྐོར་བ་གསུམ་གྱི་ནང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 3 × 280 m = 840 m
རྩིས་དཔེ་ ༧ མཐའ་ 100 m ཡིན་པའི་རྩེད་ཐང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ལ་བསྟན་འཛིན་གྱིས་བསྐོར་བ་ 3 བརྒྱབ་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༩་༥ (ཀ) པ་) མེ་ཏོག་གིས་དཀྱུས་ 160 m དང་ཞེང་ 75 m ཡིན་པའི་རྩེད་ཐང་གྲུ་བཞི་ནར་
མོ་ཞིག་ལ་བསྐོར་བ་ 3 བརྒྱབ་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༩་༥ (ཁ) པ།) བྱས་ན་ཁོང་གཉིས་ལས་སུས་བར་ཐག་རིང་
བ་ཕྱིན་ཡོད། ག་ཚོད་རིང་བ་ཕྱིན་ཡོད་དམ། 100 m
100 m
ལན།
(ཀ)
75 m
75 m
100 m
100 m
160 m
160 m
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༩་༥
བསྟན་འཛིན་གྱིས་བསྐོར་བ་གཅིག་ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། = 4 × མཐའ།
= 4 × 100 m = 400 m
བསྟན་འཛིན་གྱིས་བསྐོར་བ་གསུམ་ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག = 3 × 400 m = 1200 m མེ་ཏོག་གིས་བསྐོར་བ་གཅིག་ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག
= གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།) = 2 × (160 m + 75 m) = 2 × 235 m = 470 m
མེ་ཏོག་གིས་བསྐོར་བ་གསུམ་ལ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག
= 3 × 470 m = 1410 m
བར་ཐག་བསྐྱོད་པའི་ཧེ་བག = 1410 m − 1200 m = 210 m
134
དེར་བརྟེན། མེ་ཏོག་གིས་བསྟན་འཛིན་ལས་བར་ཐག་ 210 m ཡིས་རིང་བ་ཕྱིན་ཡོད།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སྦྱོང་ཚན། ༩་༡
༡། དཔེ་རིས་ཁག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།
4 cm
cm
1 cm
(ང)
3 cm
3 cm
3 cm
1 cm
3 cm
2 cm
4 cm
3 cm
3 cm
0.5 cm
2 cm 2 cm
4 cm
cm 2.5
4 cm
2 cm
2.5
4 cm
3 cm
0.5 cm
(ག)
1 cm 4 cm
(ཁ)
3 cm
15
cm
m
4c
(ཀ)
1 cm
cm
1 cm
15 cm
5 cm
4 cm
15
cm
m
m
cm
4
4c
m
4c
4c
2
15 cm
1 cm
4 cm
(ཅ)
༢། སྒམ་ཞིག་གི་ཁེབས་གཅོད་ཀྱི་དཀྱུས་ 40 cm དང་ཞེང་ 10 cm ཡིན། དེ་འབྱར་བྱེད་ཀྱིས་མཐའ་བསྐོར་ནས་སྦྱར་ པ་ཡིན་ན། འབྱར་བྱེད་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༣། ཅོག་ཙེའི་སྟེང་ངོས་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་གོ་རིམ་བཞིན་ 2 m 25 cm དང་། 1 m 50 cm ཡོད། དེའི་མཐའ་འཁོར་ རིང་ཚད་ཚོལ།
༤། དཀྱུས་དང་ཞེང་ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ 32 cm དང་ 21 cm ཡོད་པའི་སྐུ་དཔར་ཞིག་གི་པར་སྒྲོམ་བཟོ་བར་ཤིང་ལེབ་ ནར་མོའི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༥། ས་ཞིང་ཞིག་ལ་དཀྱུས་ 0.7 km དང་ཞེང་ 0.5 km ཡོད། དེའི་མཐའ་ཚང་མར་ལྕགས་སྐུད་ཀྱི་ར་བ་བསྐོར་བ་ 4 བརྒྱབ་དགོས་ན། ལྕགས་སྐུད་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
135
རྩིས་རིག ༦། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།
(ཀ) ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ 3 cm དང་ 4 cm, 5 cm (ཁ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ 9 cm
(ག) སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འདྲ་མཚུངས་གཉིས་ 8 cm དང་མཐའ་གསུམ་པ་ 6 cm
༧། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 20 m ཡིན། དེའི་མཐའ་ཚོལ།
༨། 30 cm ཡོད་པའི་སྐུད་པ་ཞིག་གིས་གཤམ་གྱི་དབྱིབས་གཉིས་བཟོས་པ་ཡིན་ན། མཐའ་སོ་སོའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
(ཁ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
༩། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ནི་ 12 cm དང་ 14 cm ཡིན། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 36 cm ཡིན། མཐའ་གསུམ་པ་དེ་ཚོལ།
༡༠། མཐའ་ 250 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ལ་ར་བ་རྒྱག་ཆེད་དངུལ་ག་ཚོད་དགོས་སམ། ར་བ་མི་ ཊར་རེ་ལ་ ` 20 གནས་ཀྱི་ཡོད།
༡༡། དཀྱུས་ལ་ 175 m དང་ཞེང་ལ་ 125 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ལ་ར་བ་རྒྱག་ཆེད་དངུལ་ག་ ཚོད་དགོས་སམ། ར་བ་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 12 གནས་ཀྱི་ཡོད།
༡༢། བརྩོན་འགྲུས་ཀྱིས་མཐའ་ 75 m ཡིན་པའི་མཆོད་རྟེན་ཞབས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ལ་བསྐོར་བ་རྒྱག་གི་ཡོད། ལྷ་ མོས་དཀྱུས་ལ་ 60 m དང་ཞེང་ལ་ 45 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་ཞིག་ལ་བསྐོར་བ་རྒྱག་གི་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོང་ གཉིས་ཀྱིས་བསྐོར་བ་གཉིས་རེ་བརྒྱབ་ཡོད་ན། སུ་ཡིས་བར་ཐག་ཉུང་བ་བསྐྱོད་ཡོད་དམ།
༩་༣ རྒྱ་ཁྱོན། Area
དཔེ་རིས་ ༩་༦ གི་ཁ་ཟུམ་པའི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། དཔེ་རིས་ཚང་མས་སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ས་ཆ་ཏོག་ཙམ་འཛིན་གྱི་ ཡོད། དཔེ་རིས་གཉིས་ཡོད་པ་ལས་གང་གིས་ས་ཆ་མང་བ་འཛིན་གྱི་འདུག་གམ།
(ཀ)
136
དཔེ་རིས་ ༩་༦
(ཁ)
སྙོམས་ངོས་སྟེང་། ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་ཁེབས་ཚད་ལ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཞེས་ཟེར།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ང་ཚོ ས ་གོ ང ་གི ་ དཔེ ་ རི ས ་ལ་བལྟས་པ་ཙམ་གྱི ས ་དཔེ ་ རི ས ་
ཁག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་ཆུང་ལས་སླ་པོར་བཤད་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། དཔེ་རིས་ ༩་༧ (ཀ) དང་ (ཁ) པའི་ཆེ་ཆུང་འདྲ་པོ་ཡོད་ཙང་
ང་ཚོ ས ་བལྟས་པ་ཙམ་གྱི ས ་དཔེ ་ རི ས ་དེ ་ གཉི ས ་ཀྱི ་ རྒྱ་ཁྱོན་ གང་དེ་ཆེ་བའམ་ཆུང་བ་ལས་སླ་པོར་དབྱེ་བ་འབྱེད་མི་ཐུབ།
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༩་༧
(ཁ)
དཔེ་རིས་དེ་དག་ 1 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་དྲ་མིག་ (square paper) ནང་བཞག་རྗེས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་
བགྲངས་ཏེ་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། དཔེ་རིས་ཀྱི་ཁེབས་ཚད་ནང་། འགའ་ཤས་གང་ཚང་འཐུམ་པ་དང་། འགའ་ཤས་ཕྱེད་ ཀ འགའ་ཤས་ཕྱེད་ཀ་ལས་ཆེ་བ། འགའ་ཤས་ཕྱེད་ཀ་ལས་ཆུང་བ་བཅས་འདྲ་མིན་ཡོད།
དྲ་མིག་ནང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྐབས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྱ་དགོས། • གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གང་ཚང་འཐུམ་པ་ལ་ 1 sq cm རྩིས། 1 • གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ་འཐུམ་པ་ལ་ sq cm རྩིས། 2 • གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ་ལས་ཆེ་བ་འཐུམ་པ་ལ་ 1 sq cm རྩིས། • གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ་ལས་ཆུང་བ་འཐུམ་པ་ལ་ཀླད་ཀོར་རྩིས། རྩིས་དཔེ་ ༨ དཔེ་རིས་ ༩་༨ ནང་གི་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལན།
དཔེ་རིས་དེ་ཐིག་དུམ་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། དེ་གྲུ་བཞི་
ཁ་གང་མ་གང་ཚང་དང་ཕྱེད་ཀ་ཁོ་ནས་ཁེབས་ཡོད། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གང་ཚང་ = 2 (ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ = 3
དེར་བརྟེན། དཔེ་རིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། 1 3 ×3=2+ 2 2 1 7 = = 3 sq cm 2 2 =2+
དཔེ་རིས་ ༩་༨
137
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ་ ༩ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ། དཔེ་རིས་ ༩་༩ ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལན།
ཁེབས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན།
གྲངས།
རྒྱ་ཁྱོན་ཚོད་དཔག
2
2
−
−
(༣) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ་
4
4
(༤) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ་
5
0
(༡) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གང་ཚང་། (༢) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཕྱེད་ཀ ལས་ཆེ་བ།
ལས་ཆུང་བ།
(sq cm)
དཔེ་རིས་ ༩་༩
ཁྱོན་བསྡོམས་རྒྱ་ཁྱོན། = 2 + 4 = 6 sq cm
བྱེད་སྒོ།
གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཁག་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལྡུམ་ར།
ཉལ་ཁང་།
གསོལ་ཚིགས་ཁང་།
འཛིན་ཁང་།
གསང་སྤྱོད།
138
ཚོགས་ ཁང་།
དཔེ་མཛོད།
རྩེད་ཐང་།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༡། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ)
(ཁ)
(ཆ)
(ཐ)
སྦྱོང་ཚན། ༩་༢ (ག)
(ཇ)
(ང)
(ཉ)
(ད)
(ཅ)
(ཏ)
(ན)
༢། དྲ་མིག་ནང་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་སྒོར་དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ༣། དྲ་མིག་ནང་མཐའ་ལྔ་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༩་༣་༡ གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of rectangle དྲ་མིག་ནང་དཀྱུས་ལ་ 5 cm དང་ཞེང་ལ་ 3 cm ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་བྲིས། གྲུ་བཞི་ནར་མོས་
5 cm
3 cm
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ 15 ཁེབས་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༩་༡༠)
དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། = 15 sq cm ཡང་ན། 15 cm2 ལྟར་འབྲི་ཆོག
དཔེ་རིས་ ༩་༡༠
139
རྩིས་རིག རེའུ་མིག་ ༩་༡ ནང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འགའ་ཤས་ཀྱི་དཀྱུས་དང་ཞེང་སྤྲད་ཡོད། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དེ་དག་དྲ་མིག་སྟེང་བྲིས་ ཏེ་གོང་བཞིན་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ཏེ་རེའུ་མིག་སྐོངས། དཀྱུས།
ཞེང་།
5 cm
3 cm
5 cm 6 cm 7 cm
4 cm 4 cm 5 cm
རེའུ་མིག ༩་༡
རྒྱ་ཁྱོན།
15 sq cm
མཆན།
5 cm × 3 cm
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ང་ཚོས་གང་ཤེས་སམ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་།
རྩིས་དཔེ་ ༡༠ དེབ་ཅིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 20 cm དང་ཞེང་ལ་ 15 cm ཡོད། དེབ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
ལན།
དེབ་ཀྱི་དཀྱུས་ = 20 cm
དེབ་ཀྱི་ཞེང་
= 15 cm
དེབ་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་། = 20 cm × 15 cm = 300 sq cm ཡང་ན། 300 cm2
རྩིས་དཔེ་ ༡༡ ཤོག་པང་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 36 sq cm དང་དཀྱུས་ལ་ 9 cm ཡིན། ཤོག་པང་དེའི་ཞེང་ག་ཚོད་ཡིན་ ལན།
ནམ།
ཤོག་པང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 36 sq cm
དཀྱུས་ = 9 cm ; ཞེང་ = ?
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་། རྒྱ་ཁྱོན། དེར་བརྟེན། ཞེང་ = དཀྱུས། =
140
36 = 4 cm 9
དེས་ན། ཤོག་པང་གི་ཞེང་ 4 cm ཡིན།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། 10
རྩིས་དཔེ་ ༡༢ གཡས་ཀྱི་དབྱིབས་དེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ནང་ཁ་བཀྲལ་ཏེ། གྲུ་ནར་དེ་
8
དག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ཚད་གཞི་རྣམས་ cm ནང་སྤྲད་ཡོད།
ལན།
8
10
2
8
12 8 10
2
2 12
8 10
2
10
2
12
12 8
སྤྲད་ཟིན་པའི་དབྱིབས་ནི་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ། 10
2
2
གྲུ་ནར་དང་པོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 12 cm × 2 cm = 24 cm2
༡
8
༢
2
༣
2
8
གྲུ་ནར་གཉིས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 8 cm × 2 cm = 16 cm2
གྲུ་ནར་གསུམ་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 8 cm × 2 cm = 16 cm2
དབྱིབས་གང་ཚང་གི་ཁྱོན་བསྡོམས་རྒྱ་ཁྱོན་ = 24 cm2 + 16 cm2 + 16 cm2 = 56 cm2
༩་༣་༢ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of square དཔེ་རིས་ ༩་༡༡ ནང་མཐའ་ 4 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 16 sq cm ཡིན།
4 cm
དེ་བཞིན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 4 cm × 4 cm
4 cm
= 16 sq cm
མཆན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན། དེར་བརྟེན།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།
རྩིས་དཔེ་ ༡༣ མཐའ་ 8 m ཡོད་པའི་ས་ཆ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལན།
དཔེ་རིས་ ༩་༡༡
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ = 8 m
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།
141
རྩིས་རིག
= 8 m × 8 m = 64 sq m དེར་བརྟེན། ས་ཆ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 64 sq m རེད།
རྩིས་དཔེ་ ༡༤ ཁང་པ་ཞིག་གི་ཞ་ལའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ནི་གོ་རིམ་བཞིན་ 4 m དང་ 3 m ཡིན། ངག་དབང་གིས་ཞ་
ལར་ཕ་གུ་གྲུ་བཞི་མ་གདིང་འཆར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཕ་གུ་གྲུ་བཞི་མ་རེའི་མཐའ་ 0.5 m ཡིན་ན། ཁང་པའི་ ཞ་ལ་གདིང་བར་ཕ་གུ་དེ་འདྲ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ལན།
ཁང་པའི་དཀྱུས་ = 4 m
ཁང་པའི་ཞེང་
=3m
ཞ་ལའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་། =4m×3m = 12 sq m
ཕ་གུ་གྲུ་བཞི་མ་གཅིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།
= 0.5 m × 0.5 m = 0.25 sq m ཞ་ལའི་རྒྱ་ཁྱོན། དེས་ན། དགོས་མཁོོའི་ཕ་གུའི་གྲངས་ = ཕ་གུ་གཅིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན། =
12 0.25
1200 25 = ཕ་གུ་ 48 =
དེར་བརྟེན། ཞ་ལ་གདིང་བར་ཕ་གུ་དེ་འདྲ་ 48 དགོས།
བྱེད་སྒོ།
དགོས་མཁོ།
ཐིག་ཤིང་། སྨྱུ་གུ། བྱེད་ཐབས།
སློབ་ཕྲུག་རྣམས་སྡེ་ཚན་སོ་སོར་བགོས་ནས་གཤམ་གསལ་དངོས་པོ་རྣམས་ཀྱི་ངོས་གཅིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) འབྲི་དེབ། (ང) སྒྲོག་ཙེ།
142
(ཁ) དབྱིབས་ཆས་སྒམ། (ཅ) ནག་པང་།
(ག) གྱང་སྦྱར།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༡། གཤམ་གསལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) 2 km དང་ 3 km
(ག) 12 m དང་ 21 m
སྦྱོང་ཚན། ༩་༣
(ཁ) 3 cm དང་ 4 cm
(ང) 2 m དང་ 70 cm
༢། གཤམ་གསལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) 5 cm
(ཁ) 10 km
(ག) 14 m
(ང) 30 cm
༣། དཀྱུས་ 50 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ 300 sq m རེད། སྐྱེད་ཚལ་དེའི་ཞེང་ཚོལ།
༤། མཐའ་ 20 m ཡིན་པའི་གྱང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་བརྩིག་པར། དཀྱུས་ 0.2 m དང་ཞེང་ 0.1 m ཡིན་པའི་སོ་ ཕག་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༥། པང་ལེབ་ཅིག་གི་མཐའ་ལ་ 2 m དང་ 1 m 50 cm ཡོད། པང་ལེབ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མའི་ནང་ཚོལ།
༦། འཛིན་ཁང་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 4 m དང་ཞེང་ལ་ 3 m 50 cm ཡོད། འཛིན་ཁང་དེའི་ཞ་ལར་ས་གདན་འགེབས་ པར། ས་གདན་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༧། ཞ་ལ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ 5 m དང་ཞེང་ 4 m ཡིན། མཐའ་ 3 m ཅན་གྱི་ས་གདན་གྲུ་བཞི་མ་ཞིག་ཞ་ལར་བཏིངས་ ཡོད་ན། ས་གདན་མ་ཁེབས་པའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༨། ཞ་ལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་ལ་ 4 m དང་ 2 m ཡོད། ཕ་གུ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་མཐའ་ 25 cm ཡིན། ཕ་ གུ་དེ་འདྲ་ག་ཚོད་ཀྱིས་ཞ་ལ་དེ་ཁེབས་ཐུབ་བམ།
༩། མཐའ་ 16 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་དང། དཀྱུས་ལ་ 64 cm ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ ཁྱོན་གཅིག་པ་ཡིན་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དེའི་ཞེང་ཚོལ།
༡༠། གཤམ་གྱི་དབྱིབས་རྣམས་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ནང་ཁ་བཀྲལ་སྟེ། དབྱིབས་དེ་དག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཚད་གཞི་རྣམས་ སན་ཊི་མི་ཊར་ཐོག་སྤྲད་ཡོད།) 2
1 12 8
7
5 2
2 4
4
2
1
7
7
7
7
7
7 7
7
7
10
1
7
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
7
143
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཁྱེད་ཀྱིས་ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་བརྒྱུད་བསྐོར་བ་རྒྱག་སྐབས། བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་དེ་ལ་མཐའ་ འཁོར་རིང་ཚད་ཟེར།
༢། (ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།) (ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ། (ག) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3 × མཐའ།
༣། སྙོམས་ངོས་སྟེང་། ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་ཁེབས་ཚད་ལ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཟེར། ༤། (ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་། དཀྱུས་ =
རྒྱ་ཁྱོན། ཞེང་།
ཞེང་ =
རྒྱ་ཁྱོན། དཀྱུས།
(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།
144
སམ ྡོ ་རྩིས་རིག་པ།
སློབ་ཚན་བཅུ་པ།
༡༠་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་ཉིན་ལྟར་འཛིན་གྲྭའི་དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མའི་འབྱོར་ཐོ་འགོད་པའམ་ཡང་ན། ཡིག་རྒྱུགས་ཨང་ཐོབ་ཐོ་འགོད་
བྱེད་པ་སོགས་ལ་དོ་སྣང་བྱུང་ཡོད་ཤག་རེད། སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་དང། གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག
པར་རིས། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༡༠་༢ གྲངས་ཐོ། Data
ང་ཚོ་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ཁྲོད་དུས་དེབ་དང་གསར་ཤོག་སོགས་ཀྱི་ནང་གྲངས་དང་། དཔེ་རིས། མིང་སོགས་ཡོད་པའི་ རེའུ་མིག་སྣ་ཚོགས་མཐོང་གི་ཡོད། རེའུ་མིག་དེ་དག་གིས་གྲངས་ཐོ་སྟོན་གྱི་ཡོད། ང་ཚོས་གྲངས་ཀ་ཕྱོགས་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་ གནས་ཚུལ་ཞིག་སྟོན་པ་ལ་གྲངས་ཐོ་ (Data) ཟེར།
དཔེ་མཚོན། འོག་གི་རེའུ་མིག་ནང་འཛིན་གྲྭ་རེའི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་། སློབ་མ་འབྱོར་བའམ་ཡང་ན་ཆད་པའི་གྲངས་ སྟོན་གྱི་ཡོད།
འཛིན་གྲྭ།
སློབ་མའི་གྲངས། 27
སློབ་མ་འབྱོར་བ། 25
སློབ་མ་ཆད་པ།
༢
23
22
1
༣
24
21
3
༤
22
22
0
༥
25
21
4
༡
2
145
རྩིས་རིག གོང་གི་གྲངས་ཐོ་ལས། སློབ་མ་ཆད་པའི་གྲངས་མང་ཤོས་ནི་འཛིན་གྲྭ་ལྔ་པ་སྟེ་སློབ་མ་ 4 དང་། འཛིན་གྲྭ་བཞི་པའི་ནང་ སློབ་མ་གཅིག་ཀྱང་ཆད་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ།
༡༠་༣ གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ། Recording of data
འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གླིང་ཁ་རུ་འགྲོ་འཆར་ཡོད། རྒན་ལགས་ཀྱིས་སློབ་མ་སོ་སོ་ལ་ཀུ་ཤུ་དང་། ངང་ལག ཚ་ལུ་མ། སེ་འབྲུ་ བཅས་ལས་དགའ་མོས་ཡོད་པའི་ཤིང་ཏོག་གང་ཡིན་དྲིས་པ་རེད། ཡོན་ཏན་གྱིས་སློབ་མ་ཚང་མའི་མིང་དང་ཁོང་ཚོའི་ དགའ་མོས་ཡོད་པའི་ཤིང་ཏོག་གི་ཐོ་གཞུང་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྲིས་པ་རེད། བཀྲ་ཤིས།
ངང་ལག
གཡང་སྐྱིད།
དོན་གྲུབ།
ཚ་ལུ་མ།
དཔལ་སྐྱིད།
སྒྲོལ་མ།
ཀུ་ཤུ།
ངག་དབང་།
ཀུ་ཤུ།
སྤེན་པ།
ངང་ལག
དཀོན་མཆོག
ངང་ལག
ཀུ་ཤུ།
ཚ་ལུ་མ།
འཕྲིན་ལས།
ངང་ལག
ཤེས་རབ།
མཁས་གྲུབ། མཚོ་མོ།
སེ་འབྲུ།
ཟླ་སྒྲོན།
ཚ་ལུ་མ།
སེ་འབྲུ།
ཡིན་ཏན།
ཀུ་ཤུ།
ངང་ལག
གལ་ཏེ་རྒན་ལགས་ཀྱིས་ངང་ལག་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་ཤེས་འདོད་ན། ཁོང་གིས་ཐོ་གཞུང་ནང་ངང་ལག་ ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་མིང་ཚང་མ་རེ་རེ་བཞིན་བཀླགས་ཏེ་ཁྱོན་བསྡོམས་གྲངས་འཚོལ་དགོས།
དེ་བཞིན་ཀུ་ཤུ་དང་། ཚ་ལུ་མ། སེ་འབྲུ་བཅས་གསུམ་གྱི་གྲངས་ལོགས་སུ་ཤེས་པར་ཁོང་གི་ཐབས་ལམ་དེ་བསྐྱར་ཟློས་
བྱེད་དགོས། དེ་ནི་དཀའ་རྙོག་ཅན་དང་དུས་ཡུན་འགོར་ངེས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་ཞིག་རེད། དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་ དེ་ལས་བཟང་བ་ཞིག་འཚོལ་དགོས།
ངང་ལག
ཚ་ལུ་མ།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡
ཀུ་ཤུ།
སེ་འབྲུ།
མེ་ཏོག་གིས་ས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བཞི་བཟོས་ཡོད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེ་ཡིས་ཤིང་ཏོག་གཅིག་མཚོན་གྱི་ཡོད། སློབ་མ་ ཚོས་རང་ཉིད་ཀྱི་ཤིང་ཏོག་དགའ་མོས་ལྟར་རྡོ་ཧྲུག་གཅིག་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ནང་དུ་འཇོག་དགོས། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡)
146
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། དེ་ནི། ངང་ལག་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མ་རྣམས་ངང་ལག་མཚོན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ནང་རྡོ་ཧྲུག་གཅིག་འཇོག་
དགོས། དེ་བཞིན་ཤིང་ཏོག་གཞན་ལའང་འདི་ལྟར་བྱ་དགོས། མེ་ཏོག་གིས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེའི་ནང་རྡོ་ཧྲུག་བགྲངས་ ཏེ། ཁོ་མོས་སློབ་མ་སོ་སོའི་དགའ་མོས་ཀྱི་ཤིང་ཏོག་གི་གྲངས་མགྱོགས་པོར་ཤེས་ཐུབ། དགོས་མཁོ།
འགྱིག་དམ་ཁེབས་གཅོད། བྱེད་ཐབས།
བྱེད་སྒོ།
ཚོན་མདོག་གང་རུང་ལྔའི་མིང་བྲིས་ཏེ་གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལྟར་བྱ་དགོས།
འདིའི་ནང་སློབ་མ་ཆ་ཚང་མཉམ་ཞུགས་གནང་དགོས།
བྱེད་སྒོ་
(མཆན། འགྱིག་དམ་ཁེབས་གཅོད་ཚབ་ཏུ་ཅ་དངོས་ཆུང་ངུ་གང་རུང་བེད་སྤྱོད་གཏང་ཆོག)
༡༠་༤ གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག Organisation of data
རྒན་མཚོ་མོ་ལ་ལོ་གསར་དགའ་སྟོན་ཆེད་སློབ་མ་རེའི་ཁ་ལག་དགའ་མོས་ཀྱི་གྲངས་ཐོ་དགོས་ཀྱི་ཡོད། ཁོང་གིས་གྲངས་ ཐོ་བསྡུ་རུབ་ཀྱི་ལས་འགན་དེ་འཛིན་གྲྭའི་རྒན་བདག་ལ་བསྐུར་བ་རེད། རྒན་བདག་གིས་དྲི་རྩད་བྱས་ཏེ་གཤམ་གསལ་ ལྟར་གྲངས་ཐོ་བཀོད་ཡོད། འདམ་ག
མོག་མོག
ཁྲམ་རྟགས།
ཤ་བག་ལེབ།
སློབ་མའི་གྲངས། 17 13
མོག་མོག་དང་བག་ལེབ་གཉིས་ཀ
20
འདིར་རྒན་བདག་གིས་རེའུ་མིག་ནང་ཁྲམ་རྟགས་ (Tally marks) བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད། བགྲངས་བདེ་བའི་ཆེད་ཁྲམ་ རྟགས་རྣམས་ལྔ་ཚན་རེ་བཟོས་ཡོད། ཁྲམ་རྟགས་དང་པོ་བཞི་གྱེན་དུ་བསླངས་ནས་འབྲི་བ་དང་། ལྔ་པ་ནི་བཞི་པོ་དེའི་ སྒང་གསེག་སློག་ནས་འབྲི་དགོས། དཔེར་ན།
ཡིས་བདུན་མཚོན་པ་དང་།
ཡིས་བཅུ་མཚོན་གྱི་ཡོད།
147
རྩིས་རིག དཔེ་མཚོན། ལྷག་པས་འཛིན་གྲྭའི་སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་ལྷམ་གྱི་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོ་འགོད་བྱས་ཡོད། 5 4 5
4 5 7
7 6 6
5 8 7
6 7 5
7 4 7
6 6 6
5 5 4
6 6 8
6 4 7
5 6
(ཀ) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཀྱིས་གྱོན་པའི་ལྷམ་གྱི་ཚད་གང་རེད་དམ།
(ཁ) སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀྱིས་གྱོན་པའི་ལྷམ་གྱི་ཚད་གང་རེད་དམ། ལྷམ་གྱི་ཚད། 4
ཁྲམ་རྟགས།
སློབ་མའི་གྲངས། 5
5
8
6
10
7
7
8
2
ལན། (ཀ) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཏེ་སློབ་མ་ 10 ཡིས་གྱོན་པའི་ལྷམ་གྱི་ཚད་ནི་ 6 ཡིན།
(ཁ) སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཏེ་སློབ་མ་ 2 ཀྱིས་གྱོན་པའི་ལྷམ་གྱི་ཚད་ནི་ 8 ཡིན།
བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲོགས་རྣམས་ཀྱི་ནང་མིའི་གྲངས་ཀྱི་ཐོ་གཞུང་བསྡུ་རུབ་བྱོས། ནང་མིའི་གྲངས།
ཁྲམ་རྟགས།
ནང་མི་དེ་ཙམ་ཡོད་པའི་སློབ་མའི་གྲངས།
ཁྲམ་རྟགས་བེད་སྤྱད་དེ་གནས་ཚུལ་རྣམས་རེའུ་མིག་ནང་མཚོན། དེ་ནས་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་གི་ལན་བྲིས། (ཀ) ནང་མི་གྲངས་མང་ཤོས་ཡོད་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་།
(ཁ) ནང་མི་གྲངས་ཉུང་ཤོས་ཡོད་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་ཚོལ།
148
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
༡༠་༥ པར་རིས། Pictograph
རྩིས་དཔེ་ ༡ བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་། ཤེལ་ཏོག་ཚོང་འགྲེམས་བྱས་པའི་གྲངས་འབོར་གཤམ་གསལ། རེས་གཟའ། ཟླ་བ།
ཤེལ་ཏོག་བཙོངས་པའི་གྲངས།
- ཤེལ་ཏོག 1
མིག་དམར། ལྷག་པ།
ཕུར་བུ།
པ་སངས། སྤེན་པ།
གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབས།
(ཀ) རེས་གཟའ་མིག་དམར་ཉིན་ཤེལ་ཏོག་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ། ལན།
(ཁ) རེས་གཟའ་གང་གི་ཉིན་ཤེལ་ཏོག་གྲངས་མང་ཤོས་བཙོངས་ཡོད་དམ། ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད། (ག) བདུན་ཕྲག་དེར་ཁྱོན་བསྡོམས་ཤེལ་ཏོག་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ། (ཀ) རེས་གཟའ་མིག་དམར་ཉིན་ཤེལ་ཏོག་ 8 བཙོངས་ཡོད།
(ཁ) རེས་གཟའ་ཕུར་བུའི་ཉིན་མང་ཤོས་ཏེ་ཤེལ་ཏོག་ 10 བཙོངས་ཡོད། (ག) བདུན་ཕྲག་དེར་ཁྱོན་བསྡོམས་ཤེལ་ཏོག་ 37 བཙོངས་ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༢ གཤམ་གསལ་པར་རིས་ནི་སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་འཛིན་གྲྭ་དྲུག་པ་ནས་བཅུ་པ་བར་གྱི་སློབ་མ་ 30 ཡིས་དགའ་ པོ་ཡོད་པའི་སློབ་ཚན་སྟོན་གྱི་ཡོད། སློབ་ཚན།
♀ ♀ ♀ ♀
ཨིན་ཇི།
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
ཚན་རིག
♀ ♀ ♀
བོད་ཡིག
རྩིས་རིག
སློབ་མའི་གྲངས།
♀ - སློབ་མ་ 2
149
རྩིས་རིག
ལན།
(ཀ) བོད་ཡིག་ལ་དགའ་མཁན་སློབ་མ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
(ཁ) རྩིས་རིག་ལ་དགའ་མཁན་སློབ་མ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། (ཀ) བོད་ཡིག་ལ་དགའ་མཁན་སློབ་མ་ 8 ཡོད།
[ ♀ = 2, དེར་བརྟེན། པར་རིས་ 4 = 4 × 2 = སློབ་མ་ 8 ]
(ཁ) འདིར། པར་རིས་གང་ཚང་ལྔ་ (5 × 2 = སློབ་མ་ 10 ) དང་། ཕྱེད་ཀ་གཅིག་ (སློབ་མ་ 1) ཡོད། དེར་བརྟེན། རྩིས་རིག་ལ་དགའ་མཁན་སློབ་མ་ 11 ཡོད།
རྩིས་དཔེ་ ༣ གཤམ་གྱི་གྲངས་ཐོ་ནི་འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་ནས་བཅུ་པ་བར་གྱི་བུ་མོའི་གྲངས་སྟོན་གྱི་ཡོད། དེ་པར་རིས་ནང་ མཚོན།
འཛིན་རིམ། ལྔ་པ།
དྲུག་པ།
བདུན་པ། བརྒྱད་པ། དགུ་པ། ལན།
བཅུ་པ།
འཛིན་རིམ། ལྔ་པ།
དྲུག་པ།
བདུན་པ། བརྒྱད་པ། དགུ་པ། བཅུ་པ།
150
བུ་མོའི་གྲངས། 12 24 30 36 6 18 བུ་མོའི་གྲངས།
= བུ་མོ་ 6
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། རྩིས་དཔེ་ ༤ གཤམ་གསལ་ནི་བཟོ་གྲྭ་ཞིག་གིས་བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་ལག་འདོགས་ཆུ་ཚོད་བཟོ་སྐྲུན་བྱས་པའི་ གྲངས་ཐོ་སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲངས་ཐོ་དེ་པར་རིས་ནང་མཚོན། རེས་གཟའ།
ཆུ་ཚོད་གྲངས།
མིག་དམར།
760
ཕུར་བུ།
800
སྤེན་པ།
550
ཟླ་བ།
ལན།
600
ལྷག་པ།
640
པ་སངས།
400
རེས་གཟའ། ཟླ་བ།
ཆུ་ཚོད་གྲངས།
- ཆུ་ཚོད་ 100
མིག་དམར། ལྷག་པ།
ཕུར་བུ།
པ་སངས། སྤེན་པ།
151
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༡
༡། འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སློབ་མ་ 30 ཡི་གཟུགས་པོའི་མཐོ་ཚད་ (cm) གཤམ་གསལ།
140, 140, 160, 139, 153, 153, 146, 150, 148, 150, 152, 146, 154, 150, 160, 148, 150, 148, 140, 148, 153, 138, 152, 150, 148, 138, 152, 140, 146, 148 ཁྲམ་རྟགས་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཏེ་གོང་གི་གནས་ཚུལ་མཚོན་པའི་རེའུ་མིག་བྲིས། (ཀ) སློབ་མ་རིང་ཤོས་ཀྱི་མཐོ་ཚད་གང་རེད་དམ།
(ཁ) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཡོད་པའི་མཐོ་ཚད་གང་རེད་དམ།
༢། གཤམ་གསལ་ནི་འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡིས་དགའ་མོས་བྱེད་པའི་ཤིང་ཏོག་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཀུ་ཤུ། ངང་ལག ཀུ་ཤུ། ཚ་ལུ་མ། ཀུ་ཤུ། ཆུ་ག་གོན། ཚ་ལུ་མ། ཀུ་ཤུ། ངང་ལག ཆུ་ག་གོན།
ཀུ་ཤུ། ཚ་ལུ་མ། ཚ་ལུ་མ། ཆུ་ག་གོན། ཀུ་ཤུ། ཆུ་ག་གོན། ཚ་ལུ་མ། ཀུ་ཤུ། ཆུ་ག་གོན། ཀུ་ཤུ།
ཀུ་ཤུ། ངང་ལག ཆུ་ག་གོན། ཆུ་ག་གོན། ཚ་ལུ་མ། ཆུ་ག་གོན། ཀུ་ཤུ། ཆུ་ག་གོན། ཚ་ལུ་མ། ཀུ་ཤུ།
(ཀ) ཁྲམ་རྟགས་བེད་སྤྱད་དེ་གོང་གི་གནས་ཚུལ་རེའུ་མིག་ནང་བྲིས། (ཁ) སློབ་མ་མང་ཆེ་བས་དགའ་བའི་ཤིང་ཏོག་དེ་གང་རེད་དམ།
༣། གཤམ་གྱི་པར་རིས་ནི་གྲོང་སྡེ་ལྔའི་ནང་ཡོད་པའི་འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོའི་གྲངས་སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲོང་སྡེ། ཀ་པ།
ཁ་པ།
ག་པ། ང་པ།
ཅ་པ།
152
འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོའི་གྲངས།
- འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོ་ 1
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། གོང་གི་པར་རིས་ལ་བལྟས་ནས་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབས།
(ཀ) འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོ་གྲངས་ཉུང་ཤོས་ཡོད་པའི་གྲོང་སྡེ་དེ་གང་ཡིན་ནམ།
(ཁ) འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོ་གྲངས་མང་ཤོས་ཡོད་པའི་གྲོང་སྡེ་དེ་གང་ཡིན་ནམ།
(ག) གྲོང་སྡེ་ག་པར་གྲོང་སྡེ་ཁ་པ་ལས་འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོ་ག་ཚོད་ཀྱིས་མང་བ་ཡོད་དམ། (ང) གྲོང་སྡེ་ལྔ་པོར་ཁྱོན་བསྡོམས་འདྲུད་འཐེན་འཁོར་ལོ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༤། བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ཚོང་འགྲེམས་བྱས་པའི་གྲངས་འབོར་གཤམ་གསལ། རེས་གཟའ། ཟླ་བ།
ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གྱི་གྲངས།
- ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ 2
མིག་དམར། ལྷག་པ།
ཕུར་བུ།
པ་སངས། སྤེན་པ། ཉི་མ།
པར་རིས་ལ་བལྟས་ནས་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབས།
(ཀ) རེས་གཟའ་པ་སངས་ཉིན་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ཁ) རེས་གཟའ་གང་གི་ཉིན་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་མང་ཤོས་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ག) རེས་གཟའ་གང་གཉིས་ལ་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གྲངས་གཅིག་པ་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ང) གཟའ་ཟླ་བ་དང་མིག་དམར་སོ་སོར་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ཅ) གལ་ཏེ་ཤོག་སྒམ་གཅིག་གི་ནང་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ 7 ཤོང་གི་ཡོད་ན། བདུན་ཕྲག་དེར་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ ཤོག་སྒམ་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
153
རྩིས་རིག ༥། ནམ་དུས་བྱེ་བྲག་ཅིག་ལ་ཤིང་ཏོག་ཚོང་པ་དྲུག་གིས་ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་ཚོང་འགྲེམས་བྱས་པའི་གྲངས་འབོར་གཤམ་གསལ། ཚོང་པའི་མིང་། བཀྲ་ཤིས།
ཀུ་ཤུ་སླེ་པོའི་གྲངས།
- ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་ 100
དོན་གྲུབ། ལྷག་པ།
སྒྲོལ་མ།
རིན་ཆེན།
ཀུན་དགའ།
(ཀ) ཚོང་པ་སུས་ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་མང་ཤོས་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ཁ) དོན་གྲུབ་ཀྱིས་ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ག) ཚོང་པ་ལྔ་པོས་ཁྱོན་བསྡོམས་ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་གྲངས་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ང) ཀུ་ཤུ་སླེ་པོ་ 600 འམ་དེ་ལས་མང་བ་བཙོངས་མཁན་གྱི་ཚོང་པ་རྣམས་ཀྱི་མིང་བྲིས།
༦། གྲོང་སྡེ་ལྔའི་ནང་ཕྲུ་གུ་གྲངས་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན། གྲོང་སྡེ་ཀ་པ།
གྲོང་སྡེ་ག་པ། གྲོང་སྡེ་ཅ་པ།
མཚོན་རྟགས་
: 80
: 90
: 60
གྲོང་སྡེ་ཁ་པ། : 120 གྲོང་སྡེ་ང་པ། : 40
རེ་ཡིས་ཕྲུ་གུ་ 10 མཚོན་པའི་པར་རིས་བྲིས། གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་གི་ལན་བྲིས།
(ཀ) གྲོང་སྡེ་ཅ་པའི་ཕྲུ་གུ་མཚོན་པའི་མཚོན་རྟགས་ག་ཚོད་འདུག་གམ། (ཁ) གྲོང་སྡེ་གང་ལ་ཕྲུ་གུ་གྲངས་མང་ཤོས་འདུག་གམ།
(ག) གྲོང་སྡེ་ཀ་པ་ལ་གྲོང་སྡེ་ང་པ་ལས་ཕྲུ་གུ་ག་ཚོད་ཀྱིས་མང་བ་འདུག་གམ། (ང) གྲོང་སྡེ་ལྔ་པོའི་ཕྲུ་གུའི་བསྡོམས་འབོར་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
154
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ༧། རི་དྭགས་ཚལ་ཞིག་གི་ནང་ཡོད་པའི་རི་དྭགས་ཀྱི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ། རི་དྭགས། སེང་གེ། གཟིག སྟག
གླང་ཆེན། དོམ།
(༡) མཚོན་རྟགས་
རི་དྭགས་ཀྱི་གྲངས། 30 35 45 60 50
རེ་ཡིས་རི་དྭགས་ 10 མཚོན་པར་བྱས་ཏེ་པར་རིས་བྲིས། གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་གི་ལན་བྲིས།
(ཀ) མཚོན་རྟགས་ག་ཚོད་ཀྱིས་གླང་ཆེན་གྱི་གྲངས་མཚོན་ནམ། (ཁ) མཚོན་རྟགས་ག་ཚོད་ཀྱིས་གཟིག་གི་གྲངས་མཚོན་ནམ།
(ག) གླང་ཆེན་གྱི་གྲངས་ནི་རི་དྭགས་གང་གི་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་རེད་དམ།
(༢) ཡང་མཚོན་རྟགས་
རེ་ཡིས་རི་དྭགས་ 5 མཚོན་ཏེ་པར་རིས་གཞན་ཞིག་བྲིས། པར་རིས་གཉིས་ལས་གང་
དེས་གནས་ཚུལ་གསལ་བ་སྟོན་གྱི་འདུག་གམ།
༡༠་༦ གྲུ་ནར་ཐིག་རིས། Bar graph
གྲངས་ཐོ་ཞིག་པར་རིས་ནང་མཚོན་པ་ནི་དུས་ཚོད་འགོར་ངེས་ཡིན་པ་མ་ཟད་ཁག་པོ་ཡང་ཡོད། ཡིན་ནའང་། གྲངས་
ཐོ་ནི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཐོག་ལས་སླ་པོར་མཚོན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
འདིར་ང་ཚོས་པར་རིས་ཀྱི་ཚབ་ཏུ་དྲ་མིག་གྲུ་ནར་བེད་
ཁ་ཞེང་མཚུངས་པའི་གྲུ་ནར་རྣམས་ཞབས་ཐིག་སྟེང་འཕྲེད། ཡང་ན་གཞུང་ལ་བྲིས་ཏེ་གྲངས་ཐོ་མཚོན་པའི་ཐབས་ལམ་ ལ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཟེར། གྲུ་ནར་རེའི་མཐོ་ཚད་ཀྱིས་གྲངས་ཐོའི་འབོར་མཚོན་གྱི་ཡོད།
༡༠་༦་༡ གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱི་གོ་དོན་འགྲེལ་བ། Interpretation of bar graph
རྩིས་དཔེ་ ༥ གཤམ་གྱི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་འཛིན་རིམ་་དྲུག་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་འབོར་སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ བཀླགས་ཏེ། གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་ཐོབས། (ཀ) ཐིག་རིས་ཀྱི་ཐིག་ཚད་གང་རེད་དམ།
155
རྩིས་རིག (ཁ) ལོ་ལྟར་སློབ་མ་གསར་པ་ག་ཚོད་ འཕེལ་གྱི་འདུག་གམ།
ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 10
80 70 60 50 40 30 20 10
(ག) ཕྱི་ལོ་ 2003 གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་
མ་ 10 མཚོན་གྱི་ཡོད།
2000
(ཁ) ལོ་ལྟར་སློབ་མའི་གྲངས་འབོར་གྱི་
འཕེ ལ ་རི མ ་གཅི ག ་པ་སྟེ་སློ བ ་མ་
2003
(ཀ) ཐིག་ཚད་ནི། ཚད་གཞི་ 1 གིས་སློབ་
2002
གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
2001
སློབ་མའི་གྲངས།
ནི་ཕྱི་ལོ་ 2000 ཡི་སློབ་མའི་
ལན།
ཐིག་ཚད།
ལོ།
10 རེ་འཕེལ་འདུག
(ག) ཕྱི་ལོ་ 2003 གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 60) ནི་ཕྱི་ལོ་ 2000 ཡི་སློབ་མའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 30) ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༢
༡། གཡས་ཀྱི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་ལྷ་མོས་སློབ་གྲྭའི་གཞས་སྣ་འཁྲབ་སྟོན་ཆེད་བཙོངས་པའི་འཛིན་ཤོག་གི་གྲངས་སྟོན་གྱི་ (ཀ) ལྷ་མོས་དར་མར་འཛིན་ཤོག་ག་ ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ཁ) འཛིན་ཤོག་རིགས་གང་མང་ཤོས་ བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ག) ཕྲུ་གུའི་འཛིན་ཤོག་ནི་རྒན་རྒོན་
གྱི་འཛིན་ཤོག་ལས་ག་ཚོད་ཀྱིས་ མང་བ་བཙོངས་ཡོད་དམ།
འཛིན་ཤོག་བཙོངས་བའི་གྲངས།
ཡོད། དེ་བཀླགས་ནས་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་བྲིས།
ཐིག་ཚད།
ཚད་གཞི་ 1 = འཛིན་ཤོག 10
60 50 40 30 20 10
ཕྲུ་གུ།
དར་མ། རྒན་རྒོན།
འཛིན་ཤོག་གི་རིགས།
༢། རེས་གཟའ་ཟླ་བ་ནས་སྤེན་པ་བར་ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་སྟོད་ཐུང་ཚོང་འགྲེམས་བྱས་པའི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ལ་ལྟོས་ དང་།
156
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ཐིག་ཚད།
ཚད་གཞི་ 1 = སྟོད་ཐུང་། 5
སྤེན་པ།
རེས་གཟའ།
པ་སངས། ཕུར་བུ། ལྷག་པ།
མིག་དམར། ཟླ་བ།
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་གི་ལན་བྲིས།
སྟོད་ཐུང་བཙོངས་པའི་གྲངས།
(ཀ) གོང་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གྱི་འདུག་གམ། (ཁ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འདིར་ཐིག་ཚད་གང་སྤྱད་འདུག
(ག) སྟོད་ཐུང་མང་ཤོས་ག་དུས་བཙོངས་ཡོད་དམ། ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ། (ང) སྟོད་ཐུང་ཉུང་ཤོས་ག་དུས་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ཅ) རེས་གཟའ་པ་སངས་ཉིན་སྟོད་ཐུང་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ།
༣། བྱང་ཆུབ་ཀྱི་ལོ་ཕྱེད་ཡིག་རྒྱུགས་ཨང་ཐོབ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = ཨང་ཐོབ་ 10
སློབ་ཚན།
ཚན་རིག
ཨིན་ཇི།
རྩིས་རིག
སྤྱི་ཚན།
བོད་ཡིག
ཨང་ཐོབ།
90 80 70 60 50 40 30 20 10
157
རྩིས་རིག གཤམ་གྱི་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་ཐོབས།
(ཀ) གོང་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གྱི་ཡོད་དམ། (ཁ) ཨང་ཐོབ་མང་ཤོས་བླངས་པའི་སློབ་ཚན་གང་རེད་དམ། (ག) ཨང་ཐོབ་ཉུང་ཤོས་བླངས་པའི་སློབ་ཚན་གང་རེད་དམ། (ང) སློབ་ཚན་ཁག་གི་མིང་དང་དེ་དག་གི་ཨང་ཐོབ་བྲིས།
༡༠་༦་༢ གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འབྲི་བ། Drawing a bar graph གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས།
• གྲུ་ནར་ཚང་མ་ཞེང་ཁ་མཉམ་པ་དགོས།
• གྲུ་ནར་སོ་སོའི་དབར་སྟོང་ཆ་མཉམ་པ་དགོས།
• ཐིག་རིས་ཀྱི་ཐིག་ཚད་གསལ་ཁ་འདོན་དགོས།
• གྲུ་ནར་ནི་འཕྲེད་དམ་ཡང་ན་གཞུང་ལ་འབྲི་ཆོག
• གྲུ་ནར་གྱི་མཐོ་ཚད་ཀྱིས་གྲངས་ཐོའི་འབོར་མཚོན་གྱི་ཡོད།
འཕྲེད་ལ།
གཞུང་ལ།
དཔེ་མཚོན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནི་སློབ་མ་ 20 ཡི་དགའ་མོས་ཀྱི་ཤིང་ཏོག་གྲངས་སྟོན་གྱི་ཡོད། གནས་ཚུལ་དེ་གྲུ་ནར་ ཐིག་རིས་ཐོག་མཚོན། ཤིང་ཏོག
སློབ་མའི་གྲངས།
ཚ་ལུ་མ།
4
རྒུན་འབྲུམ།
5
ངང་ལག ཀུ་ཤུ།
8
3
• ཐོག་མར་འཕྲེད་ཐིག་དང་གཞུང་ཐིག་རེ་བྲིས།
• གཞུང་ཐིག་སྟེང་ཨང་ཀི་བྲིས་ཏེ་སློབ་མའི་གྲངས་མཚོན་པར་གྱིས། དེའི་ཐིག་ཚད་ནི། ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 1
• འཕྲེད་ཐིག་སྟེང་ཤིང་ཏོག་རེའི་གྲུ་ནར་བྲིས་ཏེ་ཤིང་ཏོག་མཚོན་པར་གྱིས།
158
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ཐིག་ཚད།
ཀུ་ཤུ།
ཚ་ལུ་མ།
རྒུན་འབྲུམ།
ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 1
ངང་ལག
སློབ་མའི་གྲངས།
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ཤིང་ཏོག
• གོང་གི་དཔེ་རིས་ནི་དགོས་མཁོའི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཡིན།
རྩིས་དཔེ་ ༦ ནང་མི་ཞིག་གི་ཟླ་རེའི་འགྲོ་གྲོན་གཤམ་གསལ། འགྲོ་ཁུངས། ཁང་གླ།
འགྲོ་གྲོན། (` ནང་།) 3000
བཟའ་ཆས།
4400
དྲ་རྒྱ།
400
ཤེས་ཡོན།
1000
ཙག་ཙིག་འགྲོ་སོང་།
1600
གློག་རིན།
400
གོང་གི་གྲངས་ཐོ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། གཤམ་གསལ་གོ་རིམ་ལྟར་བྱའོ།
(ཀ) དྲང་འཕྱང་ཐིག་གཉིས་བྲིས། གཅིག་འཕྲེད་དང་གཅིག་གཞུང་ལ་བྲིས། (ཁ) འཕྲེད་ལ་ 'འགྲོ་ཁུངས་' དང་། གཞུང་ལ་ 'འགྲོ་གྲོན་' ཞེས་བྲིས།
(ག) གཞུང་ཐིག་བརྒྱུད་འོས་མཚམ་གྱི་ཐིག་ཚད་འདེམས། ཚད་གཞི་ 1 = ` 200 མཚོན་ཏེ། ཐིག་ཚད་དེ་དང་མཉམ་པའི་གྲངས་ཐང་ལ་རྟགས་རྒྱོབ།
(ང) གྲུ་ནར་ཁག་གི་མཐོ་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརྩི་དགོས།
159
རྩིས་རིག ཁང་གླ།
བཟའ་ཆས། ཤེས་ཡོན། གློག་རིན། དྲ་རྒྱ།
ཙག་ཙིག་འགྲོ་སོང་།
: 3000 ÷ 200
=
: 4400 ÷ 200
=
: 1000 ÷ 200
=
:
400 ÷ 200
=
:
400 ÷ 200
=
: 1600 ÷ 200
=
ཚད་གཞི་ 15
ཚད་གཞི་ 22 ཚད་གཞི་ 5
ཚད་གཞི་ 2
ཚད་གཞི་ 2
ཚད་གཞི་ 8
4400 4200 4000 3800 3600 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200
ཐིག་ཚད།
འགྲོ་སོང་།
དྲ་རྒྱ།
གློག་རིན།
ཤེས་ཡོན།
ཁང་གླ།
160
འགྲོ་ཁུངས།
ཙག་ཙི ག ་
ཚད་གཞི་ 1 = ` 200
བཟའ་ཆས།
འགྲོ་གྲོན། ( ` ནང་། )
(ཅ) ཁ་ཞེང་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་བྲིས། དེ་དག་དབར་སྟོང་ཆ་མཉམ་པ་དགོས།
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༣
༡། སློབ་ཕྲུག་ 120 ཡི་དུས་ཚོད་སྟོང་པའི་སྐབས་བྱེད་སྒོ་དགའ་མོས་ཀྱི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ། བྱེད་སྒོ།
སློབ་མའི་གྲངས།
གཞས་ཉན་པ།
20
སྒྲུང་དེབ་ཀློག་པ།
30
རི་མོ་འབྲི་བ།
15
རྩེད་མོ་རྩེ་བ།
45
བརྙན་འཕྲིན་ལྟ་བ།
10
ཐིག་ཚད་ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 5 མཚོན་པར་བྱས་ཏེ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བྲིས། སློབ་མ་མང་ཆེ་བས་རྩེད་མོ་ཕུད་
པའི་བྱེད་སྒོ་གང་ལ་དགའ་མོས་བྱེད་ཀྱི་འདུག་གམ།
༢། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནི་ཕྱི་ལོ་ 2006 ནས་ 2010 བར་བཟོ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་རྐང་འཁོར་བཟོ་སྐྲུན་བྱས་པའི་གྲངས་ སྟོན་གྱི་ཡོད། རང་མོས་ཀྱི་ཐིག་ཚད་འདེམས་ཏེ་གྲངས་ཐོ་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན། ཕྱི་ལོ།
2006
རྐང་འཁོར་གྲངས།
2007
600
2008
900
2009
1100
2010
1200
800
(ཀ) ཕྱི་ལོ་གང་ལ་རྐང་འཁོར་གྲངས་མང་ཤོས་བཟོ་སྐྲུན་བྱས་འདུག་གམ།
(ཁ) ཕྱི་ལོ་གང་ལ་རྐང་འཁོར་གྲངས་ཉུང་ཤོས་བཟོ་སྐྲུན་བྱས་འདུག་གམ། (ག) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འདིའི་ཐིག་ཚད་བྲིས།
161
རྩིས་རིག ༣། ཉིན་དྲུག་བསྟུད་མར་ཚོང་བདག་ཅིག་གིས་རྩིས་རིག་དེབ་བཙོངས་པའི་གྲངས་གཤམ་གསལ། རེས་གཟའ།
དེབ་ཀྱི་གྲངས།
ཉི་མ། 65
ཟླ་བ།
མིག་དམར།
40
ལྷག་པ།
30
ཕུར་བུ།
50
20
པ་སངས། 70
ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་ཚད་བདམས་ཏེ་གོང་གི་གནས་ཚུལ་མཚོན་པའི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བྲིས།
༤། གྲོང་སྡེ་ཞིག་གི་ནང་ལོ་ཚད་ཅན་གྱི་མི་གྲངས་ཀྱི་རེའུ་མིག་གཤམ་གསལ། ལོ་ཚད།
1-14
མི་གྲངས།
འབུམ་ 2
15-29
30-44
45-59
60-74
འབུམ་ 1 འབུམ་ 1 འབུམ་ 1 སྟོང་ཕྲག་ 60 སྟོང་ཕྲག་ 20 སྟོང་ཕྲག་ 20
སྟོང་ཕྲག་ 80
75 དང་ཡན།
སྟོང་ཕྲག་ 40
གོང་གི་གནས་ཚུལ་མཚོན་པའི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བྲིས་ཏེ། གཤམ་གྱི་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་ཐོབས། (ཚད་གཞི་ 1 = མི་གྲངས་སྟོང་ཕྲག་ 20 མཚོན།)
(ཀ) ལོ་ཚད་གང་གཉིས་ལ་མི་གྲངས་གཅིག་པ་འདུག་གམ།
(ཁ) ལོ་ 60 དང་ཡན་གྱི་མི་ལ་བགྲེས་སོང་ཟེར། གྲོང་སྡེའི་ནང་བགྲེས་སོང་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
༥། གཤམ་གྱི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡི་དགའ་མོས་ཀྱི་ཚོན་མདོག་སྟོན་གྱི་ཡོད།
162
ཚོན་མདོག
ལྗང་ཁུ།
སེར་པོ།
ཟིང་སྐྱ།
སྔོན་པོ།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 1
དམར་པོ།
སློབ་མའི་གྲངས།
8 7 6 5 4 3 2 1 0
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། (ཀ) གོང་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གྱི་ཡོད་དམ།
(ཁ) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱས་པའི་ཚོན་མདོག་དེ་གང་རེད་དམ། (ག) སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱས་པའི་ཚོན་མདོག་དེ་གང་རེད་དམ།
(ང) ཚོན་མདོག་དམར་པོ་དང་སེར་པོ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་ཧེ་བག་ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ང་ཚོས་གྲངས་ཀ་བསྡུ་རུབ་བྱས་ཏེ་གནས་ཚུལ་ཞིག་སྤྲད་པ་དེ་ལ་གྲངས་ཐོ་ཟེར།
༢། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་ཐོ་ལས་མྱུར་དུ་གནས་ཚུལ་ཞིག་ལེན་པར། ང་ཚོས་ཁྲམ་རྟགས་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཏེ་གྲངས་ ཐོ་དེ་རེའུ་མིག་ནང་འབྲི་ཐུབ།
༣། དཔེ་རིས་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཐོ་མཚོན་པ་ལ་པར་རིས་ཟེར། ང་ཚོས་པར་རིས་ནང་གྲངས་མཚོན་ཆེད་མཚོན་
རྟགས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ♀ = སློབ་མ་ 10 ༤། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་ཁ་ཞེང་མཉམ་པའི་གྲུ་ནར་རྣམས་འཕྲེད་ཡང་ན་གཞུང་ལ་བྲིས་ཏེ་ཕན་ཚུན་དབར་ སྟོང་ཆ་མཉམ་པ་དགོས། དྲ་མིག་རེ་རེའི་མཐོ་ཚད་ཀྱིས་དགོས་མཁོའི་གྲངས་འབོར་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༥། ཐིག་རིས་ཀྱི་ཐིག་ཚད་ངེས་པར་དུ་གསལ་ཁ་འདོན་དགོས། དཔེར་ན། ཚད་གཞི་ 1 = དེབ་ 100
163
ཆ་འགྲིག
སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ།
༡༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཆ་འགྲིག་ (Symmetry) དང་། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག (Line of symmetry) ལྡོག་འཕྲོ་ཆ་ འགྲིག་(Reflection symmetry) བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། དངོས་པོ་གང་ཞིག་དུམ་བུ་གཉིས་སུ་བཏང་རྗེས། དེ་གཉིས་ མེ་ལོང་ནང་གི་གཟུགས་བརྙན་ལྟར་ཡིན་ན་དེ་ལ་ཆ་འགྲིག་ཟེར། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་རྣམས་ཆ་འགྲིག་གི་དཔེ་མཚོན་ ཡིན།
Taj Mahal (ཨག་ར།)
Shanti Stupa (ལ་དྭགས།)
༡༡་༢ ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག Line of symmetry དཔེ་རིས་ ༡༡་༡ ནང་གི་དབྱིབས་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་།
164
l
l
l
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡
Eiffel Tower (པེ་རི་སི།)
A l
(ང)
ཆ་འགྲིག དཔེ་རིས་ ༡༡་༡ ཀ་པ་དང་། ཁ་པ། ག་པ། ང་པ་བཅས་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཡོད། ཐིག་ l ཡིས་དཔེ་རིས་དེ་དག་གཅིག་
མཚུངས་བགོས་ཡོད། དཔེ་རིས་ཀྱི་དུམ་བུ་གཅིག་ནི་དུམ་བུ་གཞན་གྱི་མེ་ལོང་ནང་གི་གཟུགས་བརྙན་ལྟར་ཡིན། དཔེ་ རིས་དེ་དག་ཆ་འགྲིག་གི་དཔེ་རིས་ཡིན་པ་དང་ཐིག་ l ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ (Line of symmetry) ཟེར། དགོས་མཁོ།
ཤོག་ལྷེ་དང་། ཞ་སྨྱུག ཇེམ་ཙེ། བྱེད་ཐབས།
བྱེད་སྒོ།
༡། ཤོག་ལྷེ་ཞིག་བླངས་ཏེ་དཀྱིལ་ནས་ལྟེབ་རྩེག་རྒྱོབ།
༢། དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་པའི་ཤོག་ལྷེའི་སྟེང་སྙིང་དབྱིབས་ཕྱེད་ཀ་ཞིག་བྲིས། ༣། ཇེམ་ཙེ་ཡིས་སྙིང་དབྱིབས་ཕྱེད་ཀའི་མཐའ་བརྒྱུད་དྲས་རྗེས། ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་པའི་ཤོག་ལྷེ་དེ་ཁ་ཕྱེས།
༤། ཁྱེད་ཀྱིས་ཤོག་ལྷེའི་སྟེང་སྙིང་དབྱིབས་གང་ཚང་མཐོང་ཐུབ། ཤོག་ལྷེ་ལྟེབ་ཤུལ་ནི་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཡིན། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་དབྱིབས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༡
༡། ཁྱེད་རང་གི་ཁྱིམ་མམ་ཡང་ན་སློབ་གྲྭའི་ནང་ཡོད་པའི་ཆ་འགྲིག་ཡིན་པ་དངོས་ པོ་གང་རུང་ལྔའི་མིང་བྲིས།
༢། དཔེ་རིས་ ༡༡་༣ ནང་། l1 དང་། l2 ལས་གང་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་རེད་དམ།
l1
l2
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣
165
རྩིས་རིག ༣། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་རྣམས་ཆ་འགྲིག་ཡིན་མིན་ལྟོས། ཡིན་ན་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་བྲིས། (ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
༤། དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཀྱི་འདྲ་བཤུས་བྲིས། ཚེག་ཐིག་རྣམས་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཡིན་པས་པར་ རིས་རྣམས་མཇུག་སྐྱོལ། (ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
༥། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཡོད་པ་རྣམས་བྲིས།
B H J U W (ཀ)
166
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
ཆ་འགྲིག
༡༡་༣ ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་དཔེ་རིས། Figures with two or more lines of symmetry
༡༽ གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ལ་དཔེ་བཞག་ན། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གཅིག་ལས་མང་བ་འབྲི་ཐུབ། དེ་ནི། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ལ་ཆ་ འགྲིག་གི་ཐིག་གཉིས་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤་༡)
༢༽ མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ལ་དཔེ་བཞག་ན། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གསུམ་འབྲི་ཐུབ། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤་༢)
༣༽ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་བཞི་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤་༣)
༤༽ སྒོར་དབྱིབས་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཚད་མེད་འབྲི་ཐུབ།(དཔེ་རིས་ ༡༡་༤་༤)
(༡)
(༢)
(༣) དཔེ་རིས་ ༡༡་༤
(༤)
གཤམ་གསལ་ནི་རང་བྱུང་ཆ་འགྲིག་དང་མི་བཟོས་ཆ་འགྲིག་གི་དཔེ་འགའ་ཡིན། རང་བྱུང་ཆ་འགྲིག
ལོ་མ།
ཕྱེ་མ་ལེབ།
ཨ་མ་ཁྲ་ཁྲ།
མི་བཟོས་ཆ་འགྲིག ཇེམ་ཙེ།
མིག་ཤེལ།
སྟོད་གོས།
167
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༢
༡། གཤམ་གསལ་དབྱིབས་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ག་ཚོད་འབྲི་ཐུབ་བམ། (ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
(ཉ)
(ཏ)
(ཇ)
X
༢། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་སྐོངས། དབྱིབས།
མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། གཟེ་དབྱིབས། སྒོར་དབྱིབས།
168
དཔེ་རིས།
ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གི་གྲངས། 3
ཆ་འགྲིག ༣། (ཀ) ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གཅིག་ཡོད་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས།
(ཁ) ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གསུམ་ཡོད་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས། (ག) ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་མེད་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས།
༤། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་འབྲི་ཐུབ་པའི་ཨིན་ཇིའི་གསལ་བྱེད་ཡིག་ཆེན་གང་རུང་གསུམ་བྲིས།
༡༡་༤ ལྡོག་འཕྲོ་ཆ་འགྲིག Reflection symmetry
M
གཟུགས།
M
མེ་ལོང་།
གཟུགས་བརྙན།
གོང་གི་དཔེ་རིས་ནི་ཨིན་ཇིའི་ཡི་གེ་ M གྱི་ལྡོག་འཕྲོ་སྟོན་གྱི་ཡོད། མེ་ལོང་གི་ཐིག་ནས་གཟུགས་དང་གཟུགས་བརྙན་ གཉིས་གཅིག་མཚུངས་ཡོད། གལ་ཏེ་ཤོག་བུ་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན། མེ་ལོང་ཐིག་དེ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཆགས་ཀྱི་ ཡོད། དེར་བརྟེན། གཟུགས་བརྙན་ནི་ཆ་འགྲིག་ནང་གི་གཟུགས་ཀྱི་ལྡོག་འཕྲོ་ ཡིན།
གཟུགས་ཤིག་ལྡོག་འཕྲོ་བྱས་པ་ཡིན་ན།
དེའི་རིང་ཚད་དང་ཟུར་
ཚད་ལ་འགྱུར་བ་མེད། ཡིན་ནའང་། རྣམ་པ་གཅིག་གི་ཐོག་གཟུགས་དང་ གཟུགས་བརྙན་དབར་ཁྱད་པར་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཁྱད་པར་དེ་ཚོད་དཔག་བྱེད་ ཐུབ་བམ།
བྱེད་སྒོ།
( གོ་བརྡ། ཁྱེད་རང་གིས་མེ་ལོང་ནང་ལ་ལྟོས་དང་། )
དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་མེ་ལོང་ཐིག་ l ཡིན་པའི་ ∆ABC དང་དེའི་
གཟུགས་བརྙན་ ∆A'B'C' བཅས་བྲིས།
(ཀ) AB དང་ A'B' , BC དང་ B'C' , AC དང་ A'C' བཅས་སྡུར། དེ་དག་མི་འདྲ་བ་རེད་དམ། ལྡོག་འཕྲོ་ཡིས་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའི་ རིང་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་གཏོང་གི་ཡོད་དམ།
(ཁ) ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ་
ABC དང་།
A'B'C' ཡི་ཟུར་
l A
A' B B'
C གཟུགས།
ཚད་འཇོལ། ལྡོག་འཕྲོ་ཡིས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་གཏོང་གི་ཡོད་དམ།
C' གཟུགས་བརྙན།
169
རྩིས་རིག ༡། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གི་གྲངས་ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༣
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
༢། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཀྱི་ལྡོག་འཕྲོ་བྲིས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། སྒྱུ་རྩལ་དང་། བཟོ་བཀོད། རྩི་ཤིང་། སེམས་ཅན། མི་སོགས་ཀྱི་ནང་ཆ་འགྲིག་ཡོད།
༢། གཟུགས་ཡང་ན་དཔེ་རིས་ཤིག་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་བགོད་མཁན་གྱི་ཐིག་དེ་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ཟེར། ༣། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་ནི་གཞུང་ཐིག་ཡང་ན། འཕྲེད་ཐིག གཏད་ཐིག་སོགས་ཡིན་ཆོག
༤། དཔེ་རིས་ཤིག་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གཅིག་དང་། གཉིས་སམ་དུ་མ་ཡོང་སྲིད། དཔེ་རིས་འགའ་ལ་ཆ་འགྲིག་གི་ ཐིག་མེད།
170
སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། སྦྱོང་ཚན། ༡་༡
༡། 11000, 11001, 11002 ༣། 0
༥། (ཀ) 1566
༢། 10000, 9999, 9998 ༤། 20
(ཁ) 100200
༦། (ཀ) 93
(ག) 2440702
(ཁ) 9999
(ང) 10100000
(ག) 208089
(ང) 7654320
༧། (ཀ) 307 ནི་ 370 ཡི་གཡོན་དུ་ཡོད། ; 370 > 307 (ཁ) 503 ནི་ 530 ཡི་གཡོན་དུ་ཡོད། ; 530 > 503
(ག) 1012 ནི་ 1021 གི་གཡོན་དུ་ཡོད། ; 1021 > 1012
(ང) 56789 ནི་ 98765 ཡི་གཡོན་དུ་ཡོད། ; 98765 > 56789
༨། (ཀ) ×
(ཁ)
༡། (ཀ) 7
༢། (ཀ) 134
༣། (ཀ) བརྗེ་སྲོལ། ༤། (ཀ)
༡།
(ག)
(ཁ) 87
(ཁ) 410
(ཁ) ×
(ཀ) 0
༢། (ཀ) 176800
༣། (ཀ) × (ཁ) ༤། (ཀ) 17640 ༥། (ཀ) 18000 ༦། (ཀ)
༨། གྲངས་གཉིས་ཀ་ 1 རེད།
(ང)
(ཅ) ×
སྦྱོང་ཚན། ༡་༢
(ག) 472
(ག) 703
(ང) 0
(ང) 1229
(ཁ) ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས། (ག)
(ཁ) 1
(ང)
(ཁ) 16600 (ག)
(ཆ) ×
(ཅ) 1408
(ག) བརྗེ་སྲོལ།
(ཅ) ×
སྦྱོང་ཚན། ༡་༣
(ཆ) ×
(ག) 90
(ག) 291000
(ང) × (ཅ) × (ཆ) (ཁ) 20600 (ག) 73528 (ཁ) 2970
(ག) 1085580 ༧། རེད།
༩། ` 3960
(ཆ) 4600
(ང) སྡེབ་སྲོལ།
(ང) 100
(ང) 85500
(ང) 5442437
(ང) 812650
༡༠། ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ཁྱོན་བསྡོམས་ཨང་ཐོབ་མང་བ་སྟེ་ཨང་ཀི་ 9 ཡི་མང་བ་བླངས་ཡོད། ༡༡། (༡) → (ག)
(༢) → (ཀ)
(༣) → (ཁ)
171
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༢་༡
༡། (ཀ) ལྗིད་ཚད་ཆག་པ།
(ཁ) ལྷོ་ 30 km
(ང) ` 700 ཁེ་བྱུང་བ།
(ཅ) རྒྱ་མཚོ་ལས་ 100 m དམའ་བ།
༢། (ཀ) + 2000
(ཁ) − 800
༣། (ཀ) + 5 (ཁ) + 7
(ག) − 500
(ང) + 3
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(ག) − 1 (ང) − 7
(ག) 326 AD (ཆ) ཤར་ཕྱོགས་སུ་འགྲོ་བ།
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
(ཅ) − 10
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
༤། (ཀ) 1
(ཁ) 10
(ག) 0
(ང) 64
༥། (ཀ) − 10oC , − 2oC , + 20oC , − 5oC , + 30oC (ཁ)
དཀར་འཁྱིལ།
−25 −20 −15 −10
(ག) དཀར་འཁྱིལ།
(ང) བྷེང་ལོར་དང་ལྡི་ལི།
172
ཤིམ་ལ།
−5 0 ལ་དྭགས།
5
10
15
(ཅ) 1024 བྷེང་ལོར། 20
25
ལྡི་ལླི། 30
35
40
ལན། ༦། (ཀ) − 6, − 5, − 4, − 3, − 2, − 1
(ག) − 14, − 13, − 12, − 11, − 10, − 9
༧། (ཀ) − 19, − 18, − 17, − 16, − 15
༨། (ཀ)
(ཁ) × (ག) × ༩། (ཀ) − 13, − 2, − 1, 1, 2, 13
(ང) ×
༡༠། (ཀ) 95, 40, 10, 0, − 10, − 40, − 95 ༡། (ཀ) 8
3
(ག) 5
10
༢། (ཀ) < ༣། (ཀ) 9
༤། (ཀ) 10
(ཁ) − 650
(ཆ) 0 (ཁ) 35
(ཁ) >
(ཁ) 0
(ཁ) 92
5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −7
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
༡། (ཀ) 15
(ཁ) 444, 44, 4, − 4, − 44, − 444
(ཁ) − 8
−6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(ཅ) − 217
(ཁ) − 7, − 5, − 3, 0, 3, 4, 15
(ང) − 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
༣། (ཀ) − 100
(ཁ) − 11, − 12, − 13, − 14, − 15
(ཁ) 0
−6
༢། (ཀ) 3
(ང) − 29, − 28, − 27, − 26, − 25, − 24
སྦྱོང་ཚན། ༢་༢
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(ག) − 4
(ཁ) − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3
(ང) − 6
−2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
(ག) 4
(ཇ) 50
སྦྱོང་ཚན། ༢་༣
(ག) 15
−3
(ང) 0
(ག) =
(ག) − 8
(ག) − 105
(ང) − 38
(ཉ) − 81 (ཅ) − 33 (ང) > (ང) 5
(ང) 10
(ཆ) 8
173
རྩིས་རིག ༥། 36
༡། (ཀ) − 5 + (− 2) = − 7 ༢། (ཀ) 18 − 10 = 8
སྦྱོང་ཚན། ༢་༤
(ཁ) − 20 − (− 10) = − 10
(ཁ) − 5 + 2 = − 3
༣། རུ་ཁག་ཁ་ཡི་ཁྱོན་བསྡོམས་མང་བ་སྟེ་ཐོབ་གྲངས་ 3 གྱི་མང་བ་འདུག ༤། (ཀ) − 5
༡། (ཀ) 10
(ཁ) 0
(ཁ) 31
(ག) − 17
(ག) 0
སྦྱོང་ཚན། ༢་༥ (ང) 100
སྦྱོང་ཚན། ༣་༡
(ང) − 3
(ཁ) 1, 3, 5, 15
༢། (ཀ) 5, 10, 15, 20, 25
(ཁ) 8, 16, 24, 32, 40
༣། 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 གྲངས། 990
1586 275 6686 639210 429714 2856 3060 406839
174
2
3
4
ཡོད།
ཡོད།
མེད།
མེད།
མེད།
ཡོད།
མེད།
ཡོད།
ཡོད།
མེད། ཡོད། ཡོད། ཡོད། ཡོད།
མེད།
མེད། ཡོད། ཡོད། ཡོད། ཡོད།
(ཆ) 27
(ཆ) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
(ཉ) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
(ག) 9, 18, 27, 36, 45
༡།
(ཅ) − 7
(ག) 1, 2, 3, 6, 9, 18
(ཅ) 1, 23
(ཇ) 1, 3, 9, 27
(ག) 5 − 10 = − 5
(ཅ) 20
༡། (ཀ) 1, 2, 3, 4, 6, 12
(ང) 1, 2, 4, 5, 10, 20
(ག) − 15 + 15 = 0
(ང) 12, 24, 36, 48, 60
སྦྱོང་ཚན། ༣་༢ 5
6
8
9
10
11
ཡོད།
ཡོད།
མེད།
ཡོད།
ཡོད།
ཡོད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
ཡོད།
ཡོད།
མེད། མེད། ཡོད། ཡོད།
མེད།
ཡོད།
མེད། མེད། མེད། ཡོད།
མེད།
མེད། ཡོད། ཡོད། ཡོད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
མེད།
ཡོད།
ཡོད།
མེད། མེད། ཡོད།
མེད། མེད།
མེད། མེད། ཡོད།
མེད། ཡོད།
མེད།
མེད། མེད། མེད། མེད། ཡོད།
མེད།
ཡོད།
མེད། མེད། མེད། མེད། མེད།
ལན། ༢། 4 ཡིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པ། : (ཀ), (ཁ), (ང), (ཅ), (ཆ), (ཇ), (ཉ) 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པ། : (ང), (ཆ), (ཇ), (ཉ)
༣། (ཀ), (ང), (ཆ), (ཇ)
༥། (ཀ) 2 དང་ 8
(ཁ) 0 དང་ 9
༡། (ཀ) 5, 7, 11
(ཁ) 31, 37
༢། (ཀ) 2 × 7 × 7
༤། (ཀ), (ཁ), (ག), (ཅ), (ཆ)
༦། (ཀ) 8
(ཁ) 6
སྦྱོང་ཚན། ༣་༣
(ག) 53, 59, 61, 67, 71, 73
(ཁ) 3 × 5 × 5 × 7
(ག) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
༣། 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 ༤། 3 kg
༥། 6930 cm
༩། སྐར་མ་ 180 ཡང་ན། ཆུ་ཚོད་ 3 ༡།
8 དང་ 36
༡༠། 40 cm
འབོར།
14 kg དང་ 7 kg
སྐར་མ་ 3 དང་ སྐར་མ་ 20 48 m དང་ 36 m
༢། (ཀ) 1:4
` 120 དང་ ` 200
༣། (ཀ) 1:2 ༤། (ཀ) 3:2 ༥། 3:4
༩། (ཀ) 11:19
༦། 75 cm
སྦྱོང་ཚན། ༤་༡
(ང) 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 ༧། 120
༡༡། 48
༡༢། 95
སྡུར།
8:36
བསྡུས་ཤོས།
14:7
2:1
3:20
3:20
48:36
4:3
120:200
3:5
གྲངས་ཆ། 8 36 14 7 3 20 48 36 120 200
(ང) 83, 89, 97
༨། 960
2:9
(ཁ) 1:4
(ག) 1:25
(ང) 1:3
༦། 10:1
༧། 5, 12, 25
༨། 20:7
(ཁ) 2:5
(ཁ) 2:7
(ཁ) 11:8
༡༣། 4
175
རྩིས་རིག ༡༠། (ཀ) 1 : 2
(ཁ) 5 : 1
༡༡། ཚེ་རིང་ = ` 750 དཔལ་ལྡན་ = ` 450 o
༡༢། ཟུར་དང་པོ་ = 36 ༡༣།
(ཀ)
o
ཟུར་གཉིས་པ་ = 54
(ག) 2 : 5
2:3
(ཁ)
1:1
(ང)
2:3
(ག)
3:4
(ཀ) དང་ (ང)
༡༤། (ཀ) 3:1 ༡། (ཀ) ཡོད།
༢། (ཀ) ཡོད། ༣། (ཀ)
(ཁ) 10:3 (ཁ) མེད།
༤། (ཀ)
(ཁ) མེད།
(ཁ) ×
༡། ` 210
༤། (ཀ) ` 720
༧། (ཀ) ` 67,200
(ག) 13:6
སྦྱོང་ཚན། ༤་༢
(ག) མེད།
(ག) ཡོད།
(ག)
(ཁ)
༢། 250
(ཁ) 4 kg
(ང) ཡོད།
(ང) མེད། (ང)
(ང) 15:1 (ཅ) ཡོད།
སྦྱོང་ཚན། ༤་༣
༣། 30 ༥། 4
(ཁ) 25
༨། 300 L
(ཆ) མེད།
༦། ` 30,00,000
༩། བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་རྡོ་རྗེས་ཚེ་རིང་ལས་གཟུགས་པོ་ཐེངས་གཅིག་གིས་མང་བ་བཀྲུ་ཡི་ཡོད། 1 ༡། (ཀ) 2 = 50 %
༢། (ཀ) 37.5
༣། 57,690
176
སྦྱོང་ཚན། ༤་༤
3 (ཁ) 4 = 75 %
(ཁ) སྐར་མ་ 6
༤། 86.67 %
4 (ག) 8 = 50 %
(ག) ` 500 ༥། 96 %
(ང) 0.75 kg ཡང་ན། 750 g ༦། 6 m
༧། 91800000
ལན། ༨། ` 15,000
༩། རྐང་འཁོར་ = 7 km ; རྐང་ཐང་ = 3 km
༡༠། 12 km/h ; 132 km/h
༡།
༡༡། ཉི་མ་ = 3 ; ཟླ་བ་ = 12
སྦྱོང་ཚན། ༤་༥
མ་གནས་རིན་གོང་། (`)
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། (`)
540
405
དཔེ་ཁུག
1500
1700
མིག་ཤེལ།
3000
2400
ཅོག་ཙེ།
7500
8000
སྣུམ་འཁོར།
225000
213750
གོས་ཐུང་།
༢། (ཀ) 75 % , 25 %
(ག) 12.5 % , 25 % , 62.5 %
༣། མ་གནས་ = ` 15,000; གྱོང་ = 10 % ༥། ` 233.75
༧། (ཀ) 40 % ༡། (ཀ) 2n ༢། 5x
༦། m + 30
ཁེ། / གྱོང་། (`)
གྱོང་། = 135
ཁེ། = 200
གྱོང་། = 600
ཁེ། = 500
གྱོང་། = 11250
༣། y − 20
༧། 3s
(ཁ) p − 7
o
ཁེ། / གྱོང་གི་ %
135 × 100 = 25 % 540 200 × 100 = 13.33 % 1500 600 × 100 = 20 % 3000 500 × 100 = 6.67 % 7500 11250 × 100 = 5 % 225000
(ང) 20 % , 30 % , 50 %
༤། ཁེ་ = ` 500 ; ཁེའི་བརྒྱ་ཆ་ = 20 % ༦། ` 24,000
སྦྱོང་ཚན། ༥་༡ (ག) 4n
༤། 5s
༨། 6l
སྦྱོང་ཚན། ༥་༢
༡། ཨང་ཀིའི་ཚུལ་ = ཁ, ཅ ; ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ = ཀ, ག, ང, ཆ ༢། (ཀ) p + 7
o
(ཁ) 20 % , 80 %
(ཁ) 40 %, 20 %, 30 %, 10 %
(ཁ) 3n
o
༡༢། 2 : 3 : 4 = 40 , 60 , 80
(ག) 7p
༨། གྱོང་ = ` 3,600 (ང) 3n
༥། ལོ་ (x − 4) ༩། d = 2r
(ང)
p 7
177
རྩིས་རིག (ཆ) − 5p
(ཇ)
(ཅ) − 8y
(ཆ) − 8y + 5
(ཇ) 16 − 5y
༣། (ཀ) 2n + 11 ༤།
−p 5 (ག) 5y + 3
(ཅ) − p − 7
(ཁ) 2n − 11
(ཀ) 6 + x
(ག) x 3 (ཉ) 2x + 3
(ཁ) y + 3
(ཇ) x y
(ཆ) x − 7
༥། (ཀ) k + 7, k − 7, 7k, k , 7 , 7 − k 7 k ༡། (ཀ) x + 5
༢། (3b + 4) m
(ག) 6x
(ང) རྒྱུ་ x ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ།
(ཉ) རྒྱུ་ m ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ།
༣། (ཀ) 6
A
(ང) 6x − 2
སྦྱོང་ཚན། ༥་༤
(ཁ) 4
(ཁ) 10
B
C
༤། (ཀ) AB || CD , AD || BC
(ཅ) 3x + 5
༤། (5v + 20) km
(ག) རྒྱུ་ t ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ།
(ག) 10
(ག) 7
༡། (ཀ) ཐིག་རྫོགས་མཐའ་མེད་པ་འབྲི་ཐུབ། ༣།
(ཉ) −5y 16 x + y (ང) (ཅ) 7 − y 2 (ཐ) 5z (ཏ) x2
༣། དཀྱུས་ = 5h cm ; ཞེང་ = (5h − 10) cm
༡། (ཀ) རྒྱུ་ x ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ། ༢། (ཀ) 12
(ང) 5y − 3
(ཁ) 2y + 7, 2y − 7, 7y + 2, ...., ....,
སྦྱོང་ཚན། ༥་༣
(ཁ) x − 2
(ཉ) − 5p
(ཅ) རྒྱུ་ n ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ།
(ཐ) རྒྱུ་ y ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ། (ང) 27
(ང) 12
(ཅ) 4
(ཆ) − 2
སྦྱོང་ཚན། ༦་༡
D
(ཁ) ཐིག་གཅིག་མ་གཏོགས་འབྲི་མི་ཐུབ།
(ཁ) LM || ON
༥། (ཀ) ཐིག་ l དང་ m ; m དང་ n ; l དང་ n
(ག) PQ || ST
(ཁ) ཐིག་ p དང་ q; p དང་ l ; p དང་ m; p དང་ n ; q དང་ l; q དང་ m ; q དང་ n
(ག) ཐིག་ p དང་ l
(ཅ) ཐིག་ n དང་ q
178
(ང) ཐིག་ p དང་ q
(ཆ) གནས་ A, E, F, G དང་ གནས་ A, B, C, D
ལན། ༦། (ཀ) གནས་ B, C, D
(ཁ) ཐིག་ l, m, n བཅས་ཡིན། བསྣོལ་གནས་ A ཡིན།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༢
༡། (ཀ) O, B, C, D, E
(ཁ) ལན་མང་པོ་འབྱུང་སྲིད། འགའ་ཤས་ནི། DE, DO, DB, EO སོགས།
༢།
(ག) ལན་མང་པོ་འབྱུང་སྲིད། འགའ་ཤས་ནི། DB, DE, OB, OE, EB སོགས།
(ང) ལན་མང་པོ་འབྱུང་སྲིད། འགའ་ཤས་ནི། DE, DO, EO, OB, EB སོགས།
C ༣། (ཀ) P
D (ཁ) T
༥། (ཀ) ×
(ག) X
(ཁ)
(ག) ×
(ང) ×
(ཅ)
སྦྱོང་ཚན། ༦་༣
༡། མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བས་ནོར་འཁྲུལ་མང་པོ་ཡོང་སྲིད།
༣། ཡིན། གང་ཡིན་ཟེར་ན། C ནི་ A དང་ B དབར་ལ་ཡོད། ༤། B ནི་ A དང་ C དབར་ལ་ཡོད། ༡། (ཀ) གསུམ།
(ཁ) གསུམ།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༡
༢། མཐའ་ PQ, QR, RP; ∠P, ∠Q, ∠R ༤། (ཀ) ∆ ABC, ∆ ABD, ∆ ADC
(ག) གསུམ།
(ང) དྲུག
(ཁ) ཟུར། ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB, ∠ABD, ∠BDA, ∠DAB, ∠ADC, ∠DCA, ∠CAD
(ག) ཐིག་དུམ་ AB, BD, BC, AD, AC (ང) ∆ ABC དང་ ∆ ABD
༥། (ཀ) གནས་ B, C, D ༦། 13
༡། (ཀ) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་∆
(ཁ) གནས་ E, G
སྦྱོང་ཚན། ༧་༢
(ཁ) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་∆
(ག) གནས་ A, F
(ག) མཐའ་མཉམ་∆
179
རྩིས་རིག (ང) རྟུལ་ཟུར་∆
(ཅ) དྲང་ཟུར་∆
༢། (༡) → (ཅ)
(༢) → (ཇ)
(༥) → (ང)
(༣) → (ཀ)
(༦) → (ག)
(༧) → (ཁ)
༣། (ཀ) རྣོ་ཟུར་དང་སྐེད་མཉམ།
(ང) དྲང་ཟུར་དང་སྐེད་མཉམ།
(ཅ) རྣོ་ཟུར་དང་མཐའ་མཉམ།
༢། 60o
༣། (ཀ) 70o
༤། 90o
༦། ཀ, ཁ, ང, ཆ
(ཁ) 100o
(ཁ) 30o
༡། (ཀ) མི་ཐུབ། ༢། (ཀ) རེད།
༣། 3 དང་ 27 དབར།
(ཁ) ཐུབ།
(ཁ) རེད།
(༤) → (ཆ)
(ཁ) དྲང་ཟུར་དང་མཐའ་མི་མཉམ་པ།
(ག) རྟུལ་ཟུར་དང་སྐེད་མཉམ།
༡། (ཀ) 70o
(ཆ) རྣོ་ཟུར་∆
(ཆ) རྟུལ་ཟུར་དང་མཐའ་མི་མཉམ།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༣
(ག) 90o
(ག) 40o
(ང) 90o
(ཅ) 120o
(ཆ) 40o
༥། 50o
༧། x = 45o
སྦྱོང་ཚན། ༧་༤
(ག) ཐུབ།
(ང) མི་ཐུབ།
(ག) རེད།
(ཅ) ཐུབ།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༥
༣། (ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། (ཁ) ཟུར་གསུམ་མ། (ག) དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ། (ང) དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མ། ༤།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གཟེ་དབྱིབས། སྐས་དབྱིབས།
180
གཏད་མཐའ།
མཉམ་འགྲོ། རེད། རེད། རེད།
གཏད་མཐའ་གཅིག
མཐའ་ཚང་ མ་འདྲ་ འདྲ་མཚུངས། མཚུངས། རེད།
མ་རེད།
མ་རེད།
མ་རེད།
རེད། རེད།
རེད། རེད།
གཏད་ཐིག འདྲ་ མཚུངས། རེད། རེད།
མ་རེད། མ་རེད།
ལན།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༦
༡། (ཀ) ཤོ་གཟུགས།
(ཁ) སྙུང་གཟུགས།
(ག) ཀ་ཟླུམ།
(ད) ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་།
(ན) གྲུ་ནར་གཟུགས།
(ང) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ
(ཅ) ཟླུམ་གཟུགས།
༢། (ཀ) གྲུ་ནར་གཟུགས།
(ཁ) ཟླུམ་གཟུགས།
(ཇ) སྙུང་གཟུགས།
(ཉ) ཤོ་གཟུགས།
(ཐ) ཟླུམ་གཟུགས། (ང) ཀ་ཟླུམ།
(ག) 24 cm
༨། (ཀ) 7.5 cm
(ཁ) 10 cm
༩། 10 cm
༢། 100 cm ཡང་ན། 1 m
(ཁ) 27 cm
༡། (ཀ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 5
(ང) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 8
(ཇ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 5
(ཐ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 12
༣། 7.5 m
(ག) 22 cm
(ང) 15 cm
(ཅ) 52 cm
༡༠། ` 20,000
༡༡། ` 7,200
༤། 106 cm
༧། 5 m
སྦྱོང་ཚན། ༩་༢
(ཅ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 10 (ཉ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 6
(ད) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 8
(ཁ) 12 sq cm
༧། 11 sq m
༨། སོ་ཕག་ 128
༡༠། (ཀ) 40 sq cm
(ཏ) ཀ་ཟླུམ།
(ཁ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 8
༡། (ཀ) 6 sq km
༣། 6 m
(ཆ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ
སྦྱོང་ཚན། ༩་༡
(ཁ) 60 cm
༢། (ཀ) 25 sq cm
(ག) གྲུ་ནར་གཟུགས།
(ཉ) གྲུ་སྙུང་།
༡། (ཀ) 12 cm
༡༢། ལྷ་མོ།
(ཏ) གྲུ་ནར་གཟུགས།
(ཅ) ཟླུམ་གཟུགས།
(ཇ) སྙུང་གཟུགས།
༦། (ཀ) 12 cm
(ཆ) ཀ་ཟླུམ།
སྦྱོང་ཚན། ༩་༣
(ཁ) 100 sq km
༤། སོ་ཕག་ 20000
(ཁ) 9 sq cm
(ག) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 4
(ཆ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 4 (ཏ) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 9
1 (ན) ཚད་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ 8 2
(ག) 252 sq m
(ག) 196 sq m
༥། 3 sq m
༩། 4 cm
༥། 9.6 km
(ག) 245 sq cm
(ང) 1.40 sq m
(ང) 900 sq cm
༦། 14 sq m
181
རྩིས་རིག ༡།
༢།
༣།
༤།
༥། ༦།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༡
མཐོ་ཚད། (cm)
ཁྲམ་རྟགས།
(ཀ) 160 cm
(ཁ) 148 cm
138 139 140 146 148 150 152 153 154 160
ཤིང་ཏོག
ཀུ་ཤུ། ངང་ལག ཚ་ལུ་མ། ཆུ་ག་གོན།
(ཁ) ཀུ་ཤུ།
(ཀ) གྲོང་སྡེ་ང་པ།
(ཀ) 16
(ཀ) སྒྲོལ་མ།
གྲོང་སྡེ་ཀ་པ།
གྲོང་སྡེ་ཁ་པ།
གྲོང་སྡེ་ག་པ། གྲོང་སྡེ་ང་པ།
གྲོང་སྡེ་ཅ་པ།
182
སློབ་མའི་གྲངས། 2 1 4 3 6 5 3 3 1 2
ཁྲམ་རྟགས།
11 3 7 9
(ཁ) གྲོང་སྡེ་ག་པ།
(ཁ) ཉི་མ།
(ཁ) 550
སློབ་མའི་གྲངས།
(ག) 3
(ག) ལྷག་པ་དང་སྤེན་པ། (ག) 4050
(ང) 28
(ང) 14, 12
(ང) ལྷག་པ། སྒྲོལ་མ། རིན་ཆེན། - ཕྲུ་གུ་ 10
(ཅ) 12
ལན། ༧།
(ཀ) 6
(ཁ) གྲོང་སྡེ་ཁ་པ།
(ག) 40
སེང་གེ།
(ང) 390
- རི་དྭགས་ 10
གཟིག སྟག
གླང་ཆེན། དོམ།
(༡) (ཀ) 6 ༡། (ཀ) 30
(ཁ) གང་ཚང་ 3 དང་ཕྱེད་ཀ་ 1
(ག) སེང་གེ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༢
(ཁ) ཕྲུ་གུའི་འཛིན་ཤོག
(༢) དཔེ་རིས་གཉིས་པ།
(ག) 30
༢། (ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་རེས་གཟའ་ཟླ་བ་ནས་སྤེན་པ་བར་སྟོད་ཐུང་ཚོང་འགྲེམས་བྱས་པའི་གྲངས་སྟོན་གྱི་ཡོད། (ཁ) ཐིག་ཚད་ནི། ཚད་གཞི་ 1 = སྟོད་ཐུང་ 5 (ག) སྤེན་པ། སྟོད་ཐུང་ 300
(ང) མིག་དམར།
(ཅ) སྟོད་ཐུང་ 250
༣། (ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་བྱང་ཆུབ་ཀྱིས་ལོ་ཕྱེད་ཡིག་རྒྱུགས་ལ་སློབ་ཚན་མི་འདྲ་བ་ནང་བླངས་པའི་ཨང་ཐོབ་སྟོན་ གྱི་ཡོད།
(ཁ) བོད་ཡིག
(ག) ཚན་རིག
(ང) བོད་ཡིག - 80; སྤྱི་ཚན། - 60; རྩིས་རིག - 70; ཨིན་ཇི། - 50; ཚན་རིག - 40 ༡།
གཞས་ཉན་པ།
སྒྲུང་དེབ་ཀློག་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༣
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 5
རྩེད་མོ་རྩེ་བ།
བརྙན་འཕྲིན་ལྟ་བ། རི་མོ་འབྲི་བ།
ལན། བརྙན་འཕྲིན་ལྟ་བ།
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 སློབ་མའི་གྲངས།
183
རྩིས་རིག
(ཁ) 2007
2010
2009
(ག) ཐིག་ཚད་ནི། ཚད་གཞི་ 1 = རྐང་འཁོར་ 100
རེས་གཟའ།
པ་སངས།
མིག་དམར།
ལྷག་པ།
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
ཕུར་བུ།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = དེབ་ 5
ཟླ་བ།
184
2008
ལོ།
ཉི་མ།
རྩིས་རིག་དེབ་ཀྱི་གྲངས།
༣།
(ཀ) 2010
2007
རྐང་འཁོར་གྱི་གྲངས།
1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = རྐང་འཁོར་ 100
2006
༢།
ལན། ཐིག་ཚད།
ཚད་གཞི་ 1 = སྟོང་ཕྲག 20
(ཀ) 30 - 44 དང་ 45 - 59
60-74
45-59
30-44
15-29
1-14
མི་གྲངས།
2,00,000 1,80,000 1,60,000 1,40,000 1,20,000 1,00,000 80,000 60,000 40,000 20,000
75 དང་ཡན།
༤།
ལོ་ཚད།
(ཁ) འབུམ་ 1 སྟོང་ཕྲག་ 20
༥། (ཀ) གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱིས་འཛིན་གྲྭ་དྲུག་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡི་དགའ་མོས་ཀྱི་ཚོན་མདོག་སྟོན་གྱི་ཡོད། (ཁ) དམར་པོ།
(ག) ལྗང་ཁུ།
(ང) 2
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༡
༡། དཔེ་མཚོན་ལྔ་ནི། ནག་པང་དང་། ཇེམ་ཙེ། མིག་ཤེལ། རྐུབ་བཀྱག འོད་སྡེར་སོགས་ཡིན། ༢། ཐིག་ l2
༣། ཅ་པ་ཕུད་པའི་གཞན་ཚང་མ་ཆ་འགྲིག་རེད། ༥། (ཀ) 1 ༡། (ཀ) 4
(ཆ) 6
(ཁ) 2
(ཁ) 1
(ཇ) 2
༢། ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་གི་གྲངས་ནི།
(ག) ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་མེད།
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༢
(ག) 4 (ཉ) 0
(ང) 1
(ཏ) 0
(ང) 1
(ཅ) 1 (ཅ) 6
མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ = 3; གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ = 4; གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ = 2;
སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ = 1; གཟེ་དབྱིབས་ = 2; སྒོར་དབྱིབས་ = གྲངས་མེད།
༣། (ཀ) སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ༤། C, I, K, Y སོགས། ༡། (ཀ) 4
(ཁ) 1
(ཁ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༣
(ག) 1
(ང) 1
(ག) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ། (ཅ) 2
(ཆ) 2
185
Absolute Value Acute angle Acute triangle Adjacent angles Adjacent sides Additive identity Additive inverse Algebra
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
ལྟོས་མེད་ཐང་།
Closure property
ཉེ་ཟུར།
Collection of data
ལྡོག་གྲངས།
Commutative
དངུལ་འབོར།
Complete angle
ཨང་རྩིས།
Construction
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས།
Cuboid
གུག་རྟགས།
Data
སྒོར་ལྟེ།
Degree
སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད།
Difference
རྣོ་ཟུར།
Collinear points
ཉེ་མཐའ།
Common factor
ཚབ་རྩིས།
property
གཞུ་ཐིག
Concurrent lines
དཔུང་པ།
Cost Price
འོག་ངོས། ཞབས།
Curve
ཞེང་། ཞེང་ཚད།
Decagon
རྒྱུད་ཐིག
Diagonal
ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག
Digit
རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Collection
སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ།
Common multiple
Algebraic expression ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། Amount Arc
Area Arithmetic Arm
རྒྱ་ཁྱོན།
Associative property སྡེབ་སྲོལ། Bar graph Base
Bisector Bracket Breadth Centimetre Centre Chord Circle Circumference Closed curve
186
Compass
Cone
Cube
མཉམ་བགོད་ཐིག
Cylinder
སན་ཊི་མི་ཊར།
Decreasing order
སྒོར་དབྱིབས།
Diameter
བསྡུ་སྲོལ།
ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། ཕྱོགས་བསྡུས།
གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས། བརྗེ་སྲོལ། སྒོར་ཆས། སྒོར་ཟུར།
གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག སྙུང་གཟུགས། འགོད་པ།
མ་གནས་རིན་གོང་། ཤོ་གཟུགས།
གྲུ་ནར་གཟུགས། འཁྱོག་ཐིག
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། གྲངས་ཐོ།
དབྱིབས་མཐའ་བཅུ་མ། ཆག་རིམ། འགྲིབ་རིམ། ཌིག་རི།
གཏད་ཐིག
ཚངས་ཐིག
ཧེ་བག འཐེན་ཐོབ།
གྲངས་གནས། ཨང་ཀི།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། Distance
Hezagon
བགོད་ཐུར།
Starting point
བགོད་བྱེད་གྲངས།
Instrument
མཚུངས་རྟགས།
Intersecting lines སྣོལ་ཐིག
Distributive property བགོ་སྲོལ། Dividend Divider
Divisibility test Divisor Edge End point Equal sign Equality Equation Equilateral triangle Equivalent ratio Estimation Exponent Expression Extreme term Exterior Face Factor Factorisation Formula Geometry Geometry box HCF Height
དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ།
བར་ཐག
Included angle
བགོ་བྱའི་གྲངས།
Included side
གྱི་ཚོད་ལྟ།
Infinite
སྣེ་གནས།
Interior
མཉམ་བྱ།
Irregular shape
ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་མིན་
Increasing order
གྲུ། མཐའ།
Integer
མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་།
Inverse
ཚུད་ཟུར།
ཚུད་མཐའ།
འགོ་གནས།
འཕར་རིམ། འཕེལ་རིམ། ཚད་མེད། ཡོ་ཆས།
རིལ་གྲངས། ནང་ཁུལ།
ལྡོག་པ། ལོག་པ།
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས།
མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་ Isosceles triangle སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། མ།
Kilogram
སྟོན་གྲངས།
Left hand side
ཕྱི་ཁུལ།
Line segment
ཀི་ལོ་གྷ་རམ།
ཀི་ལོ་མི་ཊར།
འདྲ་མཚུངས་སྡུར་ཚད།
Kilometre
ཚུལ།
Length
ངོས།
Line of symmetry ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག
ཆོ་ག
Literal number
ཚོད་དཔག
LCM
ཕྱི་ཚན།
Line
བགོད་གྲངས།
Litre
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། Literal དབྱིབས་རྩིས།
Loss
དཔངས། མཐོ་ཚད།
Metre
དབྱིབས་ཆས་སྒམ།
Loss percent
སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས། Major arc
སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས། གཡོན་ཕྱོགས།
དཀྱུས། རིང་ཚད། ཐིག
ཐིག་དུམ། ལི་ཊར།
ཡིག་འབྲུ།
ཡིག་འབྲུའི་གྲངས། གྱོང་།
གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ།
གཞུ་ཐིག་ཆེ་བ། གཞུ་ཆེན། མི་ཊར།
187
རྩིས་རིག Middle term Mililitre Minor arc Multiple Multiplication Multiplicative identity
ནང་ཚན།
Pictogragh
ལྡབ་གྲངས།
Point of
མི་ལི་ལི་ཊར།
Plane
སྒྱུར་རྩིས།
concurrence
གཞུ་ཐིག་ཆུང་བ། གཞུ་ཆུང་། Point
Negative integer
Negative number Number line Obtuse angle Obtuse triangle Octagon Open curve Operation Opposite side Order Organisation of data Parallel lines Parallelogram Pattern Pentagon Percentage Perimeter Perpendicular Perpendicular lines
188
ངོས། སྙོམས་ངོས། གནས། ཚེག
ཐིག་གི་ཆུན་པོ།
སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ།
Point of intersection སྣོལ་གནས།
རང་བྱུང་གྲངས།
Power
གྲངས་ཐིག
Prime factorisation
དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མ།
Profit
གཏད་མཐའ།
Proportion
མཉམ་འགྲོ་ཐིག
Quotient
དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ།
Radius
དྲང་འཕྱང་།
Rectangle
Multiplicative inverse ལོག་གྲངས། Natural number
པར་རིས། བཀོད་རིས།
Polygon
Positive integer
རིལ་གྲངས་མོ།
Predecessor
རྟུལ་ཟུར།
Prism
ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་ཐིག
Profit percent
གོ་རིམ།
Protractor
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
Quadrilateral
བརྒྱ་ཆ།
Ratio
དྲང་འཕྱང་ཐིག
Reflection
མོ་གྲངས།
Prime number
རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Product
རྩིས་ཐབས།
Property
གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག
Pyramid
དཔེ་འགྲོས།
Quantity
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
Ray
དབྱིབས་མཐའ་མང་། ཕོ་གྲངས།
ཐེངས་གྲངས། སྔོན་གྲངས། རྒྱུ་གྲངས།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། གྲུ་ཀ
བསྒྱུར་ཐོབ།
ཁེ་འབབ། ཁེ། ཁེའི་བརྒྱ་ཆ། ཁྱད་ཆོས།
སྡུར་ཕྲེང་།
ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས། གྲུ་སྙུང་།
བགོས་ཐོབ།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། གྲངས་འབོར། ཚངས་ཕྱེད། སྡུར་ཚད། འཕྲོ་ཐིག
གྲུ་བཞི་ནར་མོ། ལྡོག་འཕྲོ།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། Reflection symmetry Reflex angle Regular shape Remainder Represent Rhombus Right angle Right hand side Right triangle Row Ruler Scale Scalene triangle Sector Segment Selling price Shade Side Simple curve Simplest form Solution Speed Sphere Square Square paper Square prism
ལྡོག་འཕྲོ་ཆ་འགྲིག
Square pyramid
མཐའ་མཉམ་དབྱིབས།
Straight angle
གཟེ་དབྱིབས།
Symmetry
དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Three-dimensional
ཐིག་ཤིང་། ཐིག་ཚད།
method
སོག་དབྱིབས།
Triangular pyramid
ནག་གྲིབ།
Unitary method
བསྡུས་ཤོས།
Verify
ཟླུམ་གཟུགས།
Whole number
Standard unit
ལྡོག་འཕྲོ་ཟུར།
Statistics
མཚོན་པ།
Sum
གཡས་ཕྱོགས།
Term
ཐིག་ཤིང་།
Trial and error
ཟུར་གསུམ་མ།
Triangular prism
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།
Unit
འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
Variable
མགྱོགས་ཚད།
Volume
དྲ་མིག་ཤོག་བུ།
Zero property
བགོས་ལྷག
Successor
དྲང་ཟུར།
Tally mark
སྟར་པ།
Trapezium
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་
Triangle
གཞུ་དབྱིབས།
Two-dimensional
མཐའ། གཞོགས།
Value
འགྲོལ་ཐོབ།
Vertex
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
Zero angle
ཁ་གང་གྲུ་ཀ
ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་།
ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། སྙོམས་ཟུར།
རྗེས་གྲངས།
བསྡོམས་ཐོབ། ཆ་འགྲིག
ཁྲམ་རྟགས། ཚན་པ།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན། སྐས་དབྱིབས།
ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ལམ། ཟུར་གསུམ་མ།
ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ
ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་།
ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན། ཚད་གཞི། གཅིག
རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། ཐང་། གྲངས་ཐང་། རྒྱུ།
བཤེར་རྩིས། ཞིབ་བཤེར། ཟུར་ཚེག
བོངས་ཚད།
ཧྲིལ་གྲངས།
ཀླད་ཀོར་ཟུར།
ཀླད་ཀོར་གྱི་ཁྱད་ཆོས།
189