División larga de polinomios Para recordar
Algoritmo de división
Dividendo= cociente * divisor + residuo
Se usa para saber si la respuesta es correcta.
Siempre que se desee dividir un polinomio por un polinomio, se puede usar la división larga de polinomios. Este proceso es similar a la división para los números “normales”.
Ejemplo: Cuidado con el signo Puede variar cuando se reste.
División sintética de polinomios
Pasos a seguir: ●
Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes del polinomio de mayor a menor (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la izquierda se coloca el valor de c.
●
Se baja el primer coeficiente.
●
Se multiplica c por el primer coeficiente.
●
Se suman los elementos de la segunda columna.
●
Se repiten los pasos anteriores hasta terminar todos los números.
●
Se escribe la respuesta (cociente y residuo).
Si el residuo es 0, entonces c es un cero del polinomio, es decir, P(c)=0.
Teorema del residuo En el teorema del residuo se establece que cuando un polinomio, f(x) se divide entre (x – c), entonces el residuo es f(c). Si consideramos el polinomio x² – 8 x + 6 y para encontrar el residuo se tiene que dividir entre x-2. En este caso la división se puede realizar de la siguiente forma:
F(-2)= -6
Teorema del factor El teorema establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x – c) si y sólo si f (x) = 0; también se podría entender que c es una raíz.
Ejemplo: ● Determina si el polinomio P(x) es divisible entre el binomio Q(x), siendo ambos:
Para comprobar si se puede dividir P(x) entre Q(x) tenemos que calcular el valor del polinomio P(x) para x=1, ya que 1 es el término independiente del polinomio divisor cambiado de signo:
El valor numérico del polinomio P(x) en x=1 da como resultado cero, por lo que según el teorema del factor P(x) es divisible entre Q(x).
Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra nos habla que cuando el polinomio es de segundo grado, éste tendrá dos raíces y así sucesivamente. ★ Las raíces no siempre son reales, pueden ser imaginarias, por lo que se dice
que son raíces complejas.
Ejemplo:
Teorema de los ceros racionales
➔ Encuentre los ceros racionales de la siguiente función: 4
2
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 1
➔ Los únicos ceros racionales posibles son 1 y -1.
➔ Por tanto, ni 1 ni -1 es un cero racional, ya que al hacer la división el residuo no es 0. Ejemplo 2: 2
R// (x+2)(6𝑥 + 7𝑥 − 3)
Regla de signos de descarte La regla establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos.
Ejemplo:
Teorema del límite inferior y superior El límite inferior debe tener en el factor lineal un número negativo. El límite superior debe tener sólo entradas positivas.
Diferencia entre el crecimiento lineal y el exponencial
Modelos exponenciales y lineales 1
★ Estar muy atento a las palabras claves que nos da el problema. Ejemplo: María tiene un árbol de aguacates; en una semana María corta 2 aguacates pero con cada semana que pasa, ella duplica la cantidad de aguacates que corta. ¿Cuántos aguacates cortará Maria en la semana 4? x
1
2
3
4
y
2
4
8
16
Modelos exponenciales y lineales 2
Al ser un ejercicio de aplicación puede que el dato varía un poco, pero siempre acercándose a un número en concreto.
Ejemplo: Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación se tienen
bacterias y media hora después se tienen
encuentra ¿Cuándo llegará la población a ser igual a
?
➔ Para esto empleamos la siguiente igualdad: ➔ Dividiendo ambos lados por exponencial natural, se obtiene
y aplicando la función inversa de la
➔ Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de es de minutos.
,
Gráficas de crecimiento exponencial
Para realizar una gráfica de crecimiento exponencial se puede usar una tabla y utilizar cualquier número, ya sea positivo o negativo para poder determinar puntos y así poder trazar la gráfica.
Continuará….!?