Smarandache 问题研究

Smarandache 问题研究

易 媛 亢小玉 著

High American Press

2006

Smarandache 问题研究

易媛 西安交通大学理学院

亢小玉 西北大学学报编辑部

High American Press 2006

This book can be ordered in a paper bound reprint from: Books on Demand ProQuest Information & Learning (University of Microfilm International) 300 N. Zeeb Road P.O. Box 1346, Ann Arbor MI 48106-1346, USA Tel.: 1-800-521-0600 (Customer Service) http://wwwlib.umi.com/bod/basic Copyright 2006 by High American Press, Authors and Editors

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Peer Reviewers: Faculty and students Department of Mathematics Northwest University Xi’an Shaanxi P. R. China.

ISBN: 1-59973-016-2

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Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

8š 1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜ÂźĂŞ9Ùފ(I) 1.1 p g˜ êŸêS (n) . . . . . . .

1.1.1 Úó . . . . . . . . . . . .

1.1.2 S (n) ĂŹC5Â&#x; . . . . . . .

1.1.3 p g˜ ĂŞĂša (n). . . . . . .

1.1.4 p g˜ êŸê†a (n) . . . . .

1.2 Smarandache Ceil Ÿê . . . . . . .

1.2.1 Úó . . . . . . . . . . . .

1.2.2 S (n!) ŠÙ5Â&#x; . . . . . . . .

1.2.3 Smarandache Ceil Ÿê†ℌ(n) . . {ßêŸê . . . . . . . . . . .

1.3 1.3.1 Úó . . . . . . . . . . . .

1.3.2 {ßêS . . . . . . . . .

1.4 Smarandache Lucas Ä.9ÙOêŸê .

1.5 SmarandacheŸê†a (n) . . . . . .

1.6 Smarandache{ߟê ÂŒ\aq . . .

1.7 Smarandache–5 ĂŞS . . . . . . ƒĂ?f ŒÂ?ĂŞS {e (n)}(I) . . .

1.8 1 Ă™ ĂŞĂ˜ÂźĂŞ9Ùފ(II) 2.1 k gÖê†k gÂŒ\Ă–ĂŞ . . . . . . .

2.1.1 Úó . . . . . . . . . . . .

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2.1.3 2.2 k g˜Ă?fĂŞS . . . . . . . . .

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2.2.4 –Smarandache ²��fŸê . .

2.3 ƒĂ?f ŒÂ?ĂŞS {e (n)}(II) . . .

2.3.1 e (n)†EulerŸê . . . . . . .

2.3.2 e (n) †Ă?f ĂˆS . . . . .

2.4 –SmarandacheŸê Êó . . . . .

2.5 eÂƒĂŞĂœÂŠÂźĂŞĂšĂžÂƒĂŞĂœÂŠÂźĂŞ . .

2.6 k Smarandache CeilŸê Êó . . . p

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II

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. . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 1 4 6 8 8 8 10 12 12 13 17 21 23 25 26

. . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 30 35 37 37 38 42 46 48 48 50 55 57 59

8š 1nĂ™ Ă° Â†Ă˜ ÂŞ ˜†S . . . . . . . . . . . . .

3.1 3.2 Smarandache‡'ÊÛS . . . . . .

3.3 Smarandache LCM '~S . . . . .

3.4 Ă?f ĂˆÂ†Ă˝Ă?f ĂˆS . . . . . .

3.5 Smarandache157‡¯K . . . . . . .

3.6 SmarandacheŸê 5Â&#x; . . . . . . .

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x; 4.1 'uk gĂ–ĂŞ A‡ð ÂŞ . . . . . .

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4.3 ĂŠÂĄS 9Ă™5Â&#x; . . . . . . . . . .

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4.6 e ĂœÂŠS ÚÞ ĂœÂŠS . . .

4.7 SmarandacheÊóŸê . . . . . . . .

4.8 2Ă‚ ÂŒ E8Ăœ . . . . . . . . . .

1ÊÙ A��§ )¯K 5.1 Smarandache m g�{ . . . . . . .

5.2 Smarandache�§9Ù ê) . . . . .

5.3 'uŸêϕ(n)9δ (n) . . . . . . . .

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5.5 'u²Â?Ă–ĂŞ ˜‡Â?§ . . . . . . .

18Ă™ Ă™Â§Âƒ'ÂŻKĂŻĂ„ ĂŤ Šz k

. . . . . .

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63 63 64 70 72 76 78

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81 81 84 86 87 88 90 91 93

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95 95 96 98 99 102

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106 124

III

Smarandache

IV

¯KïÄ

1 Ù êؼê9Ùþ (I)

1 Ù êؼê9Ùþ (I)

êا êÆ Ù§Nõ©| §²~ 9 ¢ê½EêS . 3êØ¥§ù S ¡Ǒêؼê. Nõêؽ|ÜêÆ¥ ¯Kþ zǑ êؼê§ïÄù êؼê 5 ´êØ ­ SN. kNõêØ¼ê ´éØ5K §~X φ(n)§d(n)§µ(n) .

P ´ù êؼê þ f (n) äkû A5. ÙÌ 0 A Smarandache ¯ K¥¤JÑ êؼ꧿|^ {5ïÄù êؼê þ 9 â5 .

1 x

n≤x

g ê¼êS (n)

1.1

p

1.1.1

Úó

p

½Â1.1.1 p Ǒ ê§nǑ?¿ ê§S (n) L«S (n)! U p Ø ê. ~X§S (1) = 3§S (2) = 6§S (3) = S (4) = 9§· · · · · · . ½ Â1.1.2 hé?¿ ½ ê k §-a (n) ´n k g êÜ©§ i =Ò´a (n) = n , Ù¥[x] ´ u½ ux ê.~X§a (1) = 1§· · · §a (2 − 1) = 1§a (2 ) = 2§· · · . ½Â1.1.3 p Ǒ ê§n Ǒ?¿ ½ ꧷ ½Âµ a (n) = m p | n p † n. p

3

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n

p

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1 k

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p

m+1

3©z[1]¥149 ¯K§168 ¯K9180 ¯KpF.Smarandach ÇïÆ ïÄS {S (n)}§{a (n)}§{a (n)} 5 . !¥§· Ì |^ {épg ê¼ê þ ±9§ k g êÜ©!a (n) ·Üþ © Ù5 ?1?Ø. éù ¯K ïÄ, ± Ï· 5O Smarandache ¼ê, ± 9 ) â¼ê m ; éX. p

k

p

p

1.1.2

Sp (n)

ìC5

Äk, é?¿ ½ êp9 ên, XJn = a p + a p + · · · + a p α > α > · · · > α ≥ 0 Ù¥1 ≤ a ≤ p − 1 (i = 1, 2, · · · , s)§ 1

s

s−1

1

α1

2

α2

s

αs

i

a(n, p) = a1 + a2 + · · · + as .

'uêؼêa(n, p)§· k±eü {üÚn: Ún1.1.1 é?¿ ên ≥ 1§· kð ª αp (n) ≡ α(n) ≡

+∞ X n i=1

pi

=

1 (n − a(n, p)), p−1 1

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Ù¼[x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  Œ ĂŞ. y²: d[x] 5Â&#x;ÂŒ

n pi

a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs = pi  P s  aj pÎąj â&#x2C6;&#x2019;i , Îąkâ&#x2C6;&#x2019;1 < i â&#x2030;¤ Îąk = j=k  0, i â&#x2030;Ľ Îąs .

dd, ¡Â&#x201A;k Îą(n) â&#x2030;Ą =

XJ XJ

+â&#x2C6;&#x17E; X n pi i=1 Îąj s X X

+â&#x2C6;&#x17E; X a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs = pi i=1

Îąj â&#x2C6;&#x2019;k

aj p

=

j=1 k=1

=

s X j=1

=

aj ¡

s X j=1

aj (1 + p + p2 + ¡ ¡ ¡ + pÎąj â&#x2C6;&#x2019;1 ) s

p â&#x2C6;&#x2019;1 1 X = (aj pÎąj â&#x2C6;&#x2019; aj ) pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2C6;&#x2019;1 Îąj

j=1

1 (n â&#x2C6;&#x2019; a(n, p)). pâ&#x2C6;&#x2019;1

Ă&#x161;n1.1.1 y. Ă&#x161;n1.1.2 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½Â&#x192;ĂŞp 9 ĂŞnÂ&#x2026;p|n, Kk O a(n, p) â&#x2030;¤

ÂĽ

y ²: -n = a p

Â&#x2026;Îą > Îą ½Ă&#x201A;Â&#x152;

+ a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs 1 â&#x2030;¤ ai â&#x2030;¤ p â&#x2C6;&#x2019; 1 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s). a(n, p) 1

Îą1

p ln n. ln p

a(n, p) =

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s X i=1

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s

sâ&#x2C6;&#x2019;1

(p â&#x2C6;&#x2019; 1) = (p â&#x2C6;&#x2019; 1)s.

> ¡ ¡ ¡ > Îą1 â&#x2030;Ľ 0

Ă&#x2122;

(1-1)

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, |^ĂŞĂ&#x2020;8B{¡Â&#x201A;ĂŠN´íĂ&#x2018;Ă&#x2DC; ÂŞ: ½Ü

n = a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs â&#x2030;Ľ as pÎąs , sâ&#x2030;¤

ln(n/as ) ln n â&#x2030;¤ . ln p ln p

(Ă&#x153;(1-1)9(1-2)ª§¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018; O a(n, p) â&#x2030;¤ 2

p ln n. ln p

(1-2)

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) Ă&#x161;n1.1.2 y. ½n1.1.1 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½Â&#x192;ĂŞp 9 ĂŞn, KkĂŹCúª Sp (n) = (p â&#x2C6;&#x2019; 1)n + O

p ¡ ln n . ln p

y²: ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½Â&#x192;ĂŞp9 ĂŞn, 3p?Â&#x203A;ÂĽ-S (n) = k = a p + a p + ¡ ¡ ¡ + a p Â&#x2026;Îą > Îą > ¡ ¡ ¡ > Îą â&#x2030;Ľ 0. KÂ&#x160;âS (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; p |k!9p â&#x20AC; (k â&#x2C6;&#x2019; 1)!, u´ι â&#x2030;Ľ 1. 5Âż k! IOĂ?fŠ)ÂŞÇ&#x2018; p

s

Îąs

s

sâ&#x2C6;&#x2019;1

1

1 n

p

Îą1

2 n

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1

k! =

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q Îąq (k) ,

qâ&#x2030;¤k +â&#x2C6;&#x17E; h

Ă&#x2122;ÂĽ Q LÊ¤k u½ uk Â&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;§¿Â&#x2026;Îą (k) = P Â&#x152;Âą Ă&#x2DC; ÂŞ q

i=1

qâ&#x2030;¤k

k qi

i

.

dĂ&#x161;n1.1.1

Îąp (k) â&#x2C6;&#x2019; Îą1 < n â&#x2030;¤ Îąp (k)

½Ü =Ă&#x2019;´

1 1 (k â&#x2C6;&#x2019; a(k, p)) â&#x2C6;&#x2019; Îą1 < n â&#x2030;¤ (k â&#x2C6;&#x2019; a(k, p)). pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2C6;&#x2019;1

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)n + a(k, p) â&#x2030;¤ k â&#x2030;¤ (p â&#x2C6;&#x2019; 1)n + a(k, p) + (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(Îą1 â&#x2C6;&#x2019; 1).

(Ă&#x153;Ăš Ă&#x2DC; ÂŞ, 2Â&#x160;âĂ&#x161;n1.1.2 Â&#x152;Âą ĂŹCúª k = (p â&#x2C6;&#x2019; 1)n + O

p ln k ln p

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n1.1.1 y². d½n1.1.1Â&#x152;¹íĂ&#x2018;: Ă­Ă&#x2DC;1.1.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, Kk

= (p â&#x2C6;&#x2019; 1)n + O

a)

S2 (n) = n + O(ln n);

b)

S3 (n) = 2n + O(ln n).

p ln n . ln p

3

Smarandache

1.1.3

p

¯KïÄ

g êÚa (n) k

Ún1.1.3 p Ǒ ê§n Ǒ?¿ ê§Kk ( p, XJ p ||m!, |S (n + 1) − S (n)| = 0, Ù§, Ù¥S (n) = m, p k m! L«p |m! p †m!. y²: y3· ò©ü« ¹é¯K?1?Ø. (i) S (n) = m§ep k m!§u´kp |m! p †m!. dS (n) ½Â· p †(m + 1)!, p †(m + 2)!, · · · , p †(m + p − 1)! p |(m + p)!, Ï dS (n + 1) = m + p, o· ±íÑ n

p

p

n

p

n

n+1

n

p

n+1

n

n+1

n+1

p n+1

n+1

p

|Sp (n + 1) − Sp (n)| = p.

(ii)

Sp (n) = m,

ep |m! p n

n+1

|m!,

(1-3)

KkS (n + 1) = m, Ïd p

|Sp (n + 1) − Sp (n)| = 0.

nÜ(1-3) Ú(1-4), ±íÑ

|Sp (n + 1) − Sp (n)| =

(

p, 0,

(1-4)

XJp Ù§.

n

k m!,

Ún1.1.3 y.

3Ún1.1.3 Ä:þ§ !¥Ì ?Ø P |S (a (n + 1)) − S (a (n))| ìC5 , Ù¥ x ´ ¢ê. ¯¢þ, !y² ±e(ص ½n1.1.2 é?¿ ¢êx ≥ 2, -p Ǒ ê9n Ǒ?¿ ê, Ké?¿ ½ êk k n≤x

1 p

p

k

p

k

X1 1 1 ln x |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| = x k · 1 − + Ok , p p ln p

n≤x

Ù¥O L« O ~ê= ëêk k'. y ²: é?¿ ¢êx ≥ 2, M Ǒ ½ ê ÷vM 1) § âS (n) ½Â9Ún1.1.3 · k k

k

p

=

X1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p n≤x   M −1 X X 1  |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p k k t=1 t ≤n≤(t+1) −1

4

k

≤ x < (M +

1 Ù êؼê9Ùþ (I) +

X

M k ≤n≤x

=

M −1 X t=1

=

M −1 X t=1

=

X

1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p

1 |Sp (t + 1) − Sp (t)| + p

X

M k ≤n≤x

1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p

1 |Sp (t + 1) − Sp (t)| p 1 + O(1),

(1-5)

1 t≤x k

pt km!

Ù¥S (t) = m. ep p

t

k m!,

Kk(ë ©z[2]¥½n1.7.2)

t =

∞ X m i=1

|^(1-6)ª, ±íÑ

=

i≤logp m

X

1 + O logp m i p i≤logp m

ln m m +O . p−1 ln p

= m· =

pi

X m pi

m = (p − 1)t + O

Ïd

1 k

1 ≤ m ≤ (p − 1) · x + Ok

p ln x ln p

p ln t ln p

.

,

(1-6)

(1-7)

1

1 ≤ t ≤ xk .

5¿ é?¿ êt§e 3 êm p k m! ¤á, Kkp k (m + 1)!, p k (m + 2)!, · · · , p k (m + p − 1)!. ¤±3«m1 ≤ m ≤ (p − 1) · x + O h i ¥kp m t = P ¤á. dþª9ª(1-5)§ t

t

t

1 k

t

∞

i=1

k

p ln x ln p

m pi

X1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p n≤x X = 1 + O(1) 1

t≤x k pt km!

=

1 p

1 p ln x (p − 1) · x k + Ok + O(1) ln p 5

Smarandache

¯KïÄ

1 1 ln x = xk · 1 − + Ok . p ln p

u´ ¤ ½n1.1.2 y².

1.1.4

p

g ê¼ê a (n) p

Ún1.1.4 é?¿ ½ êp 9?¿¢êx ≥ 1, · k 2 X α2 p2 + p x = +O . pα (p − 1)3 px

α≤x

y²: Äk, · 5O

u=

X

α2 /pα .

α≤n

5¿ ð ª

1 u 1− p

=

n X α2

α=1

=

pα

−

α=1 n−1 2 X

n 1 − + p pn+1 2

=

n X α2 pα+1

1 n − + p pn+1

α=1 n−1 X α=1

9

1 u 1− p

2

n−1

=

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

(α + 1)2 − α2 pα+1 2α + 1 , pα+1

!

1 1− p

n−1

=

2

= =

¤±· k u =

6

n

1 1 n2 − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − p p pn+2 pα+1 pα+1 2

1 2 n −n p + + + p p2 pn+2

α=1 n−1 X α=2

α=2

2 pα+1

2

+

n − n2 p − (2n − 1)p pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1 1−

1 p

2

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) p 2(pnâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1) n2 â&#x2C6;&#x2019; (n2 + 2n â&#x2C6;&#x2019; 1)p + nâ&#x2C6;&#x2019;2 + .

2 3 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) pn (p â&#x2C6;&#x2019; 1)2

=

u´¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;Âą

X Îą2 pÎą

p 2p + +O (p â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)3 2 p2 + p x +O .

3 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) px

=

Îąâ&#x2030;¤x

=

x2 px

Ă&#x161;n1.1.4 y.. ½n1.1.3 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ Â&#x192;ĂŞp 9?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, KkĂŹCúª X

ap (Sp (n)) =

nâ&#x2030;¤x

p+1 x + O ln3 x .

2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)

y²: Â&#x160;âS (n)Ă&#x161;a (n) ½Ă&#x201A;, N´íĂ&#x2018; p

X

p

ap (Sp (n))

nâ&#x2030;¤x

=

X

Îą2 =

X

pÎą â&#x2030;¤x

=

X

mâ&#x2030;¤x/pÎą

Îą

2

pÎą â&#x2030;¤x

=

X

pÎą â&#x2030;¤x

=

X

pÎą â&#x2030;¤x



= x

X

Îą2

X

ι2  ι

2

X

Âľ(d)

X

Âľ(d)

1

tâ&#x2030;¤x/pÎą

X

1â&#x2C6;&#x2019;

X

tâ&#x2030;¤x/pÎą+1



1

x x â&#x2C6;&#x2019; Îą+1 + O(1) pÎą p

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

1

mâ&#x2030;¤x/pÎą (p,m)=1

d|(m,p)

tâ&#x2030;¤x/pÎą

X

Îą2

pÎą â&#x2030;¤x

X

d|p



X

Îą2 =

pÎą mâ&#x2030;¤x (p,m)=1

mâ&#x2030;¤x pÎą km

=

X

2

Îą â&#x2C6;&#x2019; pÎą

X

X

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

2





ι  +O pι+1

X

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

1 Îą 3 = 1â&#x2C6;&#x2019; x + O ln x p pÎą Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

2 2

1 p +p ln x = 1â&#x2C6;&#x2019; +O x + O ln3 x 3 p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) x

p+1 = x + O ln3 x . (p â&#x2C6;&#x2019; 1)2 2



ι2 

7

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

u´Ă&#x2019; ¤ ½n1.1.3 y². p = 2, 3, d½n1.1.3 =Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;1.1.2 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, KkĂŹCúª X

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

a2 (S2 (n)) = 3x + O ln3 x ,

a3 (S3 (n)) = x + O ln3 x .

1.2

Smarandache Ceil

1.2.1

Ă&#x161;Ăł

Ÿê

½Ă&#x201A;1.2.1 ĂŠÂ&#x2DC;Â&#x2021; ½ ĂŞk 9?Âż ĂŞn, Smarandache Ceil Ÿê ½Ă&#x201A;Xe: Sk (n) = min{m â&#x2C6;&#x2C6; N : n|mk }.

ĂšÂ&#x2021;Ÿê´dF.Smarandache Ă&#x2021;JĂ&#x2018;5 . 'uĂšÂ&#x2021;Ÿê, Ibstedt (ĂŤ Š z[3]) JĂ&#x2018;Âąe5Â&#x;: 5Â&#x;1.2.1 (â&#x2C6;&#x20AC;a, b â&#x2C6;&#x2C6; N ) (a, b) = 1 â&#x2021;&#x2019; Sk (a ¡ b) = Sk (a) ¡ Sk (b),

5Â&#x;1.2.2

Îą

Sk (pÎą ) = pâ&#x152;&#x2C6; k â&#x152;&#x2030;

Ă&#x2122;ÂĽp Ç&#x2018;Â&#x192;ê§â&#x152;&#x2C6;xâ&#x152;&#x2030; LÂŤÂ&#x152;ux  ê. d5Â&#x;1.2.1 Â&#x152; §S (n) ´Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x152; Ÿê. Ă?d, dn = p Â&#x192;êŠ), S (n) w,kXe5Â&#x;:

Îą1 Îą2 1 p2

k

r ¡ ¡ ¡ pι r

Ç&#x2018;n

k

â&#x152;&#x2C6;

ιr 1 ι2 Sk (n) = Sk (pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1

Îą1 k

½Ă&#x201A;1.2.2 Â&#x17D;âŸêâ&#x201E;Ś(n) ½Ă&#x201A;Xe:

â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; p2

Îą2 k

â&#x152;&#x2030;

â&#x152;&#x2C6; Îąkr â&#x152;&#x2030;

¡ ¡ ¡ pr

.

(1-8)

Îąr 1 Îą2 â&#x201E;Ś(n) = â&#x201E;Ś(pÎą 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = Îą1 + Îą2 + ¡ ¡ ¡ + Îąr .

!¼§Ă&#x152;Â&#x2021;?Ă&#x2DC;'uâ&#x201E;Ś(n)Ă&#x161;Smarandache Ceil Ÿê§¹9S (n!) ĂžÂ&#x160; ŠĂ&#x2122;5Â&#x;. k

1.2.2

Sk (n!)

ŠĂ&#x2122;5Â&#x;

Ă&#x161;n1.2.1 n Ç&#x2018;Â&#x2DC;?Âż ĂŞ, Kk X 1 n = 2 +O ln p ln n pâ&#x2030;¤n

8

n ln3 n

,

(1-9)

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) Ă&#x2122;ÂĽp LÂŤĂ&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ. y²: Â&#x160;âAble Ă° ÂŞ(ĂŤ Šz[4]) ¡Â&#x201A;k

Z n X 1 1 1 = Ď&#x20AC;(n) + Ď&#x20AC;(t) 2 dt, ln p ln n t ln t 2

pâ&#x2030;¤n

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x20AC;(n) LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Ln Â&#x192;ĂŞÂ&#x2021;ĂŞ. 5Âż

n +O Ď&#x20AC;(n) = ln n

Ă?d,

n ln2 n

,

X 1 n n = 2 +O . ln p ln n ln3 n pâ&#x2030;¤n

Ă&#x161;n1.2.1 y. Ă&#x161;n1.2.2 mÇ&#x2018;Â&#x2DC;?Âż ĂŞ, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª

X1 1 = ln ln n + A + O , p ln n

(1-10)

pâ&#x2030;¤m

Ă&#x2122;ÂĽA´Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²: ( ĂŤ Šz[5] ). ½n1.2.1 kÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2030;½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª â&#x201E;Ś(Sk (n!)) =

Ă&#x2122;ÂĽC ´Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²:

n n (ln ln n + C) + O , k ln n

ιr 1 ι2 n! = pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr .

Â&#x160;â(1-8) 9Ÿêâ&#x201E;Ś(n) Â&#x152;\5, ¡Â&#x201A;k

r l Îą1 Îą2 X Îąi m â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; Îąr â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; â&#x201E;Ś(Sk (n!)) = â&#x201E;Ś p1 k p2 k ¡ ¡ ¡ pr k = . k

(1-11)

i=1

w,

Îąi =

5Âż ep

j

> n,

h i

Kk

n pj

â&#x2C6;&#x17E; X n j=1

= 0,

pji

,

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r.

l dĂ&#x161;n1.2.1Â&#x152;

  X 1 X n   â&#x201E;Ś(Sk (n!)) = k pji    ln n pâ&#x2030;¤n

jâ&#x2030;¤ ln p

9

Smarandache

=

=

=

=

=

 ln n 

ln p ] X 1 [X n ln n   +O k j p ln p   j=1 pâ&#x2030;¤n    ln n

ln p ] n X 1 [X n ln n   + O + O k pj ln p ln n j=1 pâ&#x2030;¤n ! n X n X 1 1 â&#x2C6;&#x2019; + O n [ ln k pâ&#x2C6;&#x2019;1 ln n ln p ] (p â&#x2C6;&#x2019; 1) pâ&#x2030;¤n pâ&#x2030;¤n p ! n n X 1 +O k pâ&#x2C6;&#x2019;1 ln n pâ&#x2030;¤n ! n n X1 X 1 + +O . k p p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) ln n pâ&#x2030;¤n

Ă?Ç&#x2018; X

pâ&#x2030;¤n

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

X X 1 1 1 = â&#x2C6;&#x2019; = B+O p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p

p>n

1 , n

Ă&#x2122;ÂĽB = X p(p 1â&#x2C6;&#x2019; 1) Ç&#x2018;Â&#x2DC;~ĂŞ. nĂ&#x153;(1-12), (1-13) 9Ă&#x161;n1.2.2 ¡Â&#x201A;k p

â&#x201E;Ś(Sk (n!)) =

u´ ¤ ½n1.2.1 y².

1.2.3

Smarandache Ceil

Ă&#x161;n1.2.3 Ď&#x2030;(n) = Ď&#x2030;(p

n n (ln ln n + C) + O . k ln n

ŸêÂ&#x2020;â&#x201E;Ś(n)

Îą1 Îą2 1 p2

X

r ¡ ¡ ¡ pι r ) = r,

ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, ¡Â&#x201A;k

Ď&#x2030;(n) = x ln ln x + Ax + O

nâ&#x2030;¤x

x , ln x

Ă&#x2122;ÂĽA = Îł + X ln 1 â&#x2C6;&#x2019; p1 + 1p §γ ´Î.~ĂŞ. y²: ( ĂŤ Šz[6] ). Ă&#x161;n1.2.4 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, ¡Â&#x201A;k OÂŞ p

X

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

1

â&#x201E;Ś(n) â&#x2030;Ş x k+1 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽA LÂŤ(k + 1)-full ĂŞ 8Ă&#x153;, ÇŤ Ç&#x2018;?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ.

10

(1-12)

pâ&#x2030;¤n

(1-13)

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) y²: Ă&#x201E;k, ¡Â&#x201A;½Ă&#x201A;Â&#x17D;âŸêa(n)Xe: ( 1, XJ n ´(k + 1)-full ĂŞ, a(n) = 0, Ă&#x2122;§. Â&#x160;âÎ.Ă&#x2C6;úª¡Â&#x201A;k â&#x2C6;&#x17E; X a(n) n=1

ns

=

Y

1+

1

1

+ ¡¡¡

p(k+2)s !

Y 1 1 = 1 + (k+1)s p 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p (k+1)s

Y 1 p ps = 1 + (k+1)s + p p(k+1)s + 1 (p(k+1)s + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) p

Îś((k + 1)s) Y 1 = 1 + (k+1)s , Îś(2(k + 1)s) (p + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) p p

p(k+1)s

+

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. dPerronúª(ĂŤ Šz[2]) ¡Â&#x201A;Â&#x152; X

nâ&#x2030;¤x

a(n) =

X

1

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

k

1 6(k + 1)x k+1 Y 1 = 1+ 1 2 Ď&#x20AC; (p + 1)(p k+1 â&#x2C6;&#x2019; 1) p

X

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

!

1 + O x 2(k+1) +ÇŤ .

1

â&#x201E;Ś(n) â&#x2030;Ş x k+1 +ÇŤ .

Ă&#x161;n1.2.4 y. ½n1.2.2 k Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2030;½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, Kk X

â&#x201E;Ś(Sk (n)) = x ln ln x + Ax + O

nâ&#x2030;¤x

X 1 1 A=Îł+ ln 1 â&#x2C6;&#x2019; + ,Îł p p p

Ă&#x2122;ÂĽ

y²:

x , ln x

´Î.~ê§X LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x161;. p

ιr 1 ι2 n = pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr .

Â&#x160;â(1-8) 9Ÿêâ&#x201E;Ś(n) Â&#x152;\5¡Â&#x201A;k

r l Îą1 X Îą Îąi m â&#x152;&#x2C6; k â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; k2 â&#x152;&#x2030; â&#x152;&#x2C6; Îąkr â&#x152;&#x2030; â&#x201E;Ś(Sk (n)) = â&#x201E;Ś p1 p2 = . ¡ ¡ ¡ pr k

(1-14)

i=1

11

Smarandache

w,

Îąi k

â&#x2030;Ľ1

§ k

r l X Îąi m

k

i=1

â&#x2030;Ľ

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

r X

1 = Ď&#x2030;(n).

(1-15)

i=1

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, e 3,Â&#x2DC;Â&#x192;ĂŞp p | n§K â&#x2030;Ľ 2. n = n n , Ă&#x2122; ÂĽ(n , n ) = 1 Â&#x2026;n ´Â&#x2DC;Â&#x2021; k + 1 gÂ&#x2DC;ĂŞ. =ep | n , Kkp | n . o¡Â&#x201A;ĂŠN´ Ă&#x2018;ÂąeĂ&#x2DC; ÂŞ i

1

2

r l X Îąi m

Ď&#x2030;(n) â&#x2030;¤

¤¹Â&#x152; Ď&#x2030;(n) â&#x2030;¤

X

1 2

k+1

1

d(1-15) 9(1-16), ¡Â&#x201A;k

nâ&#x2030;¤x

Îąi k

1

k

i=1

X

k+1 i

â&#x2030;¤ Ď&#x2030;(n) + â&#x201E;Ś(n1 ).

r l X Îąi m i=1

â&#x201E;Ś(Sk (n)) =

k

(1-16)

â&#x2030;¤ Ď&#x2030;(n) + â&#x201E;Ś(n1 ).

r l XX Îąi m

nâ&#x2030;¤x i=1

nâ&#x2030;¤x

1

k

â&#x2030;¤

X

Ď&#x2030;(n) +

nâ&#x2030;¤x

X

â&#x201E;Ś(n),

(1-17)

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ă&#x2122;ÂĽA LÂŤ (k + 1) gÂ&#x2DC;ĂŞ 8Ă&#x153;. nĂ&#x153;Ă&#x161;n1.2.3, Ă&#x161;n1.2.49(1-17), Kk X

â&#x201E;Ś(Sk (n)) = x ln ln x + Ax + O

nâ&#x2030;¤x

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n1.2.2 y².

1.3 1.3.1

x . ln x

{ßêŸê Ă&#x161;Ăł

½ Ă&#x201A;1.3.1 nÇ&#x2018; ê§XJn ¤kĂ˝Ă?f Ă&#x2C6; u½ un, K ÂĄnÇ&#x2018;{ßê. ~X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, ¡ ¡ ¡ ĂžÇ&#x2018;{ßê. ! ¼§¡Â&#x201A; AÇ&#x2018;¤k{ßê 8Ă&#x153;.

3Šz[7]ÂĽ, Jason Earls ½Ă&#x201A;# SmarandacheS sopf r(n)Xe: ½Ă&#x201A;1.3.2 sopf r(n) LÂŤU Ă&#x2DC;n Â&#x192;Ă?fÂ&#x192;Ă&#x161;(Â?)­ê). = sopf r(n) =

X p|n

12

p.

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) ~X: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 sopf r(n) 0 2 3 4 5 5 7 6 6 7 11 7 13 9 8 8 17 8

!¼§¡Â&#x201A;ò|^ Â?{Â&#x2030;Ă&#x2018;{ßêS Â&#x2DC; 5Â&#x;§9 n â&#x2C6;&#x2C6; A Â&#x17E;sopf r(n) ŠĂ&#x2122;5Â&#x;.

{ßêS

1.3.2

Ă&#x201E;k§Ê ĂŞn, -p (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ă&#x2C6;, Kp (n) = Q d, q (n)L ÂŤn ¤k Ă˝Ă?f Ă&#x2C6;, =q (n) = Q d. Ă&#x161;n1.3.1 enÇ&#x2018;{ßê§Kn Â&#x160;Â?UÇ&#x2018;n = p§n = p §n = p ½n = pq ĂšoÂŤÂ&#x153;š§Ă&#x2122;ÂĽpÂ&#x2020;q ´Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ. y²: dp (n) ½Ă&#x201A;¡Â&#x201A;Â&#x152; d

d

d

d|n

d

d|n,d<n

2

3

d

Y

pd (n) =

d=

d|n

u´

p2d (n) =

Y d|n

dĂ&#x2014;

d|n

Yn d|n

Yn

d

=

Y

d

.

n = nd(n) .

(1-18)

d|n

Ă&#x2122;ÂĽd(n) = X 1. |^(1-18) ¡Â&#x201A;ĂŠN´ p (n) = n 9 d(n) 2

d

d|n

qd (n) =

Y

d=

d|n,d<n

d{ßê ½Ă&#x201A;9(1-19), ¡Â&#x201A;Ă­Ă&#x2018;n

d(n) â&#x2C6;&#x2019;1 2

Y

d

d|n

n

â&#x2030;¤ n.

=n

d(n) 2 â&#x2C6;&#x2019;1

.

(1-19)

Ă?d

d(n) â&#x2030;¤ 4.

ĂšÂ&#x2021;Ă&#x2DC; ÂŞ=3n = p, n = p , n = p ½n = pq¤å. Ă&#x161;n1.3.1 y. Ă&#x161;n1.3.2 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ¢êx > 1, KkĂŹCúª 2

3

X 1 x ln ln x 2 ln ln = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O , p ln x â&#x2C6;&#x161; p

pâ&#x2030;¤ x

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´~ĂŞ.

1

2

13

Smarandache

¯KïÄ

y²: w, X 1 x ln ln p p √

X 1 ln(ln x − ln p) √ p p≤ x

X 1 ln p = ln ln x + ln 1 − ln x √ p p≤ x

X 1 X 1 ln p = ln ln x + ln 1 − . ln x √ p √ p =

p≤ x

p≤ x

|^

X1 p≤x

·

X 1 ln ln x √ p

p

= ln ln x + C1 + O

1 ln x

.

√

2

= (ln ln x) + B1 ln ln x + O

XJm > 2, 5¿ π(x) = X lnm p p √

=

p≤ x

= =

=

=

= 14

Z

√ 2

x

(1-21)

= ln ln x ln ln x + C1 + O

p≤ x

x ln x

+

lnm y dπ(y) y

x ln2 x

(1-20)

p≤ x

+O

x ln3 x

,

o

1 ln x

ln ln x ln x

.

(1-22)

Z √x √ lnm x √ m lnm−1 y − lnm y √ π( x) + O(1) − π(y) dy y2 x 2 √ √ √ lnm x x x √ √ +O 2√ x ln x ln x

Z √x y y y m lnm−1 y − lnm y − + 2 +O dy ln y ln y y2 ln3 y 2 m−2 lnm−1 x ln x +O 2m−1 2m−2

Z √x m−1 ln y lnm−2 y lnm−3 y + − (m − 1) + O (1 − m) dy y y y 2 m−2 lnm−1 x ln x lnm x lnm−1 x + O + − m−1 m−1 m−2 2 2 m2m 2

m−2 (1 − m) ln x +O m−2 (m − 2)2

1 1 m m−2 ln x + O ln x .

(1-23) m2m 2m−2 (2 − m)

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) d(1-23) 9?ĂŞ P â&#x2C6;&#x17E;

m=1

=

1 m2m

Ă&#x201A;Ăą5, ¡Â&#x201A;k

X 1 ln p â&#x2C6;&#x2019; ln 1 â&#x2C6;&#x2019; ln x â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ x

X 1 ln p ln2 p lnm p + + ¡ ¡ ¡ + ¡ ¡ ¡ + ln x 2 ln2 x m lnm x â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ x

= =

=

X ln2 p X lnm p 1 X ln p 1 1 + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ m ln x â&#x2C6;&#x161; p m ln x â&#x2C6;&#x161; p 2 ln2 x â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ x pâ&#x2030;¤ x pâ&#x2030;¤ x

1 1 ln x + O(1) + ¡ ¡ ¡ ln x 2

1 1 lnmâ&#x2C6;&#x2019;2 x m ln x + O + + ¡¡¡ m lnm x m2m 2mâ&#x2C6;&#x2019;2 (2 â&#x2C6;&#x2019; m)

1 , (1-24) B2 + O ln x

Ă&#x2122;¼¡Â&#x201A;^ ĂŹCúª X lnpp = 12 ln x + O(1) 9Â&#x2DC;? ÂŞln(1 â&#x2C6;&#x2019; x) = â&#x2C6;&#x2019;(x + +¡¡¡ + + ¡ ¡ ¡ ). nĂ&#x153;(1-20), (1-22) 9(1-24) ¡Â&#x201A;ĂŠN´ â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ x

2

m

x 2

x m

X 1 ln ln x x 2 ln ln = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O . p ln x â&#x2C6;&#x161; p

pâ&#x2030;¤ x

Ă&#x161;n1.3.2 y. ½n1.3.1 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ¢êx > 1, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª

X1 ln ln x 2 = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O , n ln x

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´~ĂŞ. y²: dĂ&#x161;n1.3.1 ¡Â&#x201A;k 1

2

X1 n nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

X1 pâ&#x2030;¤x

nâ&#x2030;¤x

=

p

X1 pâ&#x2030;¤x

|^(1-21) 9Ă&#x161;n1.3.2 ¡Â&#x201A;

+

X 1 X 1 X 1 + + 2 3 p p pq 2 3

p â&#x2030;¤x

p â&#x2030;¤x

X 1 X 1 + + .

3 p p pq 3 p â&#x2030;¤x

pqâ&#x2030;¤x

p6=q

(1-25)

pqâ&#x2030;¤x

X 1 pq

pqâ&#x2030;¤x

15

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

   X 1 X 1 X 1 X 1   = 2 â&#x2C6;&#x2019; q â&#x2C6;&#x161; p â&#x2C6;&#x161; p â&#x2C6;&#x161; q qâ&#x2030;¤x/p pâ&#x2030;¤ x pâ&#x2030;¤ x qâ&#x2030;¤ x

2 X 1 â&#x2C6;&#x161; x 1 1 = 2 ln ln + C1 + O â&#x2C6;&#x2019; ln ln x + C1 + O p ln x ln x â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ x   X 1 X X x 1 1 1 ln ln + 2C1 +O = 2 p p p ln x â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ x pâ&#x2030;¤ x pâ&#x2030;¤ x

ln ln x 2 â&#x2C6;&#x2019; (ln ln x) + C2 ln ln x + C3 + O ln x

ln ln x 2 = (ln ln x) + C4 ln ln x + C5 + O .

(1-26) ln x P 1 (1-21), (1-25) (1-26), , p3

nĂ&#x153;

9

Â&#x2026;5Âż

p3 â&#x2030;¤x

´Ă&#x201A;Ăą ¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Ă­Ă&#x2018;

X1 ln ln x 2 = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O . n ln x

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n1.3.1 y². ½n1.3.2 ¢êx > 1, K¡Â&#x201A;k X

1 = (ln ln x)2 + C1 ln ln x + C2 + O Ď&#x2020;(n)

X

1 = (ln ln x)2 + D1 ln ln x + D2 + O Ď&#x192;(n)

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln ln x ln x

,

,

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´~ĂŞ, Ď&#x2020;(n) ´Euler Ÿê. ½n1.3.3 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ¢êx > 1, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª 1

2

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln ln x ln x

Ă&#x2122;ÂĽD , D ´~ĂŞ, Ď&#x192;(n) ´Ă&#x2DC;êŸê. y²: y3¡Â&#x201A;òy²½n1.3.29½n1.3.3. dEulerŸê9Ă&#x2DC;êŸê ½Ă&#x201A; Â&#x2020;5Â&#x;, A^Ă&#x161;n1.3.1¡Â&#x201A;k 1

X

9

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

16

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

2

X 1 X X X 1 1 1 1 = + + + 2â&#x2C6;&#x2019;p 3 â&#x2C6;&#x2019; p2 Ď&#x2020;(n) pâ&#x2C6;&#x2019;1 p p (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 3 pâ&#x2030;¤x

p â&#x2030;¤x

p â&#x2030;¤x

pqâ&#x2030;¤x p6=q

X 1 X X X 1 1 1 1 = + + + .

2 3 2 Ď&#x192;(n) p+1 2 p +p+1 3 p +p +p+1 (p + 1)(q + 1) pâ&#x2030;¤x

p â&#x2030;¤x

p â&#x2030;¤x

pqâ&#x2030;¤x p6=q

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) 5Âż = Â&#x201A;Â&#x152;¹íĂ&#x2018; 1 pÂą1

1 p

â&#x2C6;&#x201C;

X

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

9P p

1 p(pÂą1)

´Ă&#x201A;Ăą , u´|^y²½n1.3.1 Â?{¡

1 = (ln ln x)2 + C1 ln ln x + C2 + O Ď&#x2020;(n)

ln ln x ln x

1 = (ln ln x)2 + D1 ln ln x + D2 + O Ď&#x192;(n)

ln ln x ln x

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

9

1 p(pÂą1)

.

Ăš ¡Â&#x201A;Ă&#x2019; ¤ ½n1.3.2Â&#x2020;½n1.3.3 y².

1.4

Smarandache Lucas

Ă&#x201E;.9Ă&#x2122;OêŸê

Â&#x2DC;Â&#x201E;Â&#x153;še, ĂŠu ĂŞn > 0Ă?Âś LucasS {L }Â&#x2020;Fibonacci S {F } ´d Â&#x201A;548S L =L +L Â&#x2020; F =F +F ¤½Ă&#x201A;, Ă&#x2122;ÂĽL = 2, L = 1, F = 0 9F = 1. Ăš S 3nĂ&#x2DC;Â&#x2020;A^ ĂŞĂ&#x2020; ĂŻĂ&#x201E;ÂĽĂĽ Â&#x161;~­Â&#x2021; Â&#x160;^, Ă?d'uL Â&#x2020;F 5Â&#x; NĂľĂ&#x2020;ܤ ĂŻĂ&#x201E;. ~X, R.L. Duncan[8]Â&#x2020;L. Kuipers[9]y² log F ´'u 1Â&#x2DC;Â&#x2014;ŠĂ&#x2122; .

H.London, R. Finkelstein 3[10]ÂĽĂŻĂ&#x201E; gÂ&#x2DC; FibonacciÂ&#x2020;LucasĂŞ 5Â&#x;.

W.P.Zhang[11]Âź Â?šFibonacci ĂŞ Â&#x2DC; Ă° ÂŞ. Ăšp, ¡Â&#x201A;Ă&#x161;\Â&#x2DC;ÂŤ# Â&#x2020;Lucas ĂŞk' OêŸêa(m), ÂżÂ&#x2026;|^ Â?{Â&#x2030;Ă&#x2018;Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160; °(OÂ&#x17D;úª. Ă&#x201E;k¡Â&#x201A; Ă&#x201E;Smarandache2Ă&#x201A;Ă&#x201E;., F.Smarandache Ă&#x2021;½Ă&#x201A;g,ĂŞ8Ăž ÂĄ2Ă&#x201A;Ă&#x201E;.: 1 = g < g < ¡ ¡ ¡ < g < ¡ ¡ ¡ . y² ?Âż ĂŞN Ă&#x2018;Â&#x152;Âą^Smarandache2Ă&#x201A;Ă&#x201E;.Â?Â&#x2DC;LÂŤÇ&#x2018;: n

n

(n = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ )

n+2

0

n+1

n

1

n+2

0

n+1

n

1

n

n

n

0

1

k

N=

n X

ai gi ,

ÂżÂ&#x2026;

i=0

gi+1 â&#x2C6;&#x2019; 1 0 â&#x2030;¤ ai â&#x2030;¤ gi

(i = 0, 1, ¡ ¡ ¡ , n),

Ă&#x2122;ÂĽ[x] LÂŤĂŞx ĂŞĂ&#x153;Š. w,, a â&#x2030;Ľ 1. Ăšp ¤Ì^ Â?{ÂŞ: g â&#x2030;¤ N < g , KN = g + r ; XJg â&#x2030;¤ r < g , or = g + r (m < n), Xd?1 e Â&#x2020; {ĂŞr = 0 Ç&#x2018;Â&#x17D;. ĂšÂ&#x2DC;Ă&#x201E;.ʊ ÂŻKÂ&#x161;~­Â&#x2021;. XJ¡Â&#x201A; g Ç&#x2018;Lucas S , o¡Â&#x201A;Â&#x152;Âą Â&#x2DC;Â&#x2021;AĂ? Ă&#x201E;., Ç&#x2018;QĂŁ{B, ¡Â&#x201A;ÂĄÂ&#x192;Ç&#x2018;Smarandache LucasĂ&#x201E;.. u´, ĂŠ? Âż ĂŞm3Smarandache LucasĂ&#x201E;.ÂĽÂ&#x152;ÂąÂ?Â&#x2DC; LÂŤÇ&#x2018;: n

n+1

n

1

m

1

n

m+1

1

m

2

j

i

m=

n X

ai Li ,

ÂżÂ&#x2026;

ai = 0

½

1.

(1-27)

i=0

17

Smarandache

¯KïÄ

=Ò´, P?¿ êþ ± L«Ǒ 'uLucas ê Úª. y3, éu êm = a L , · ½ÂOê¼êa(m) = a + a + · · · + a . ! Ѽ êa(m) ©Ù5 , ¿éþ n

i

1

i

2

n

i=0

Ar (N ) =

X

ar (n),

r = 1, 2.

(1-28)

n<N

Ñ O úª. ½n1.4.1 é?¿ êk, · k A1 (Lk ) =

X

a(n) = kFk−1

n<Lk

9 A2 (Lk ) =

1 [(k − 1)(k − 2)Lk−2 + 5(k − 1)Fk−2 + 7(k − 1)Fk−3 + 3Fk−1 ].

5

y²: (8B{) éuk = 1, 2, KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2, ¿ F = 0, 2F = 2. ¤±, ð ª 1

0

1

1

1

2

1

1

A1 (Lk ) =

X

a(n) = kFk−1

(1-29)

n<Lk

3k = 1, 2 ¤á. b (1-29)é¤kk ≤ m − 1Ѥá. u´, d8Bb · k A1 (Lm ) =

X

X

a(n) +

n<Lm−1

a(n)

Lm−1 ≤n<Lm

X

= A1 (Lm−1 ) +

a(n + Lm−1 )

0≤n<Lm−2

X

= A1 (Lm−1 ) +

(a(n) + 1)

0≤n<Lm−2

= A1 (Lm−1 ) + Lm−2 +

X

a(n)

n<Lm−2

= A1 (Lm−1 ) + A1 (Lm−2 ) + Lm−2 = (m − 1)Fm−2 + (m − 2)Fm−3 + Lm−2

= m(Fm−2 + Fm−3 ) − Fm−2 − 2Fm−3 + Lm−2 = mFm−1 − Fm−1 − Fm−3 + Lm−2 = mFm−1 ,

ùp· ^ ð ªF + F = L Ò ¤ ½n1.4.1¥1 Ü© y². m−1

18

m−3

m−2 .

=Ò´, k = m (1-29)ª¤á. ù

1 Ù êؼê9Ùþ (I) y3· 5y²½n1.4.2¥ 1 Ü©. éuk = 1, 2, 5¿ 1 = F = F + F ½öF = 1, KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2¿ ( 1 0, XJ k = 1; [(k −1)(k −2)L +5(k −1)F +7(k −1)F +3F ]= 5 2, XJ k = 2. Ïd, k = 1, 2 , ð ª 1

0

−1

−1

2

1

k−2

A2 (Lk ) =

2

2

k−2

k−3

2

2

k−1

1 [(k − 1)(k − 2)Lk−2 + 5(k − 1)Fk−2 + 7(k − 1)Fk−3 + 3Fk−1 ] (1-30) 5

¤á. b (1-30)é¤kk ≤ m − 1Ѥá. 5¿ L + 2L = 5F 9F + 2F = L , KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2Kd8B b ½n1.4.1 1 Ü©(J ± m−1

m−1

m−2

A2 (Lm ) =

X

m−1

2

a2 (n) +

n<Lm−1

= A2 (Lm−1 ) +

1

2

X

2

2

m−2

m−1

2

a2 (n)

Lm−1 ≥n<Lm

X

a2 (n + Lm−1 )

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

(a(n) + 1)2

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

(a2 (n) + 2a(n) + 1)

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

n<Lm−2

a2 (n) + 2

X

a(n) + Lm−2

n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) + A2 (Lm−2 ) + 2A1 (Lm−2 ) + Lm−2 1 = [(m − 2)(m − 3)Lm−3 + 5(m − 2)Fm−3 + 7(m − 2)Fm−4 + 3Fm−2 ] 5 1 + [(m − 3)(m − 4)Lm−4 + 5(m − 3)Fm−4 + 7(m − 3)Fm−5 + 3Fm−3 ] 5 +2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−3 + 5(m − 1)Fm−3 + 7(m − 1)Fm−4 + 3Fm−2 ] 5 1 + [(m − 1)(m − 2)Lm−4 + 5(m − 1)Fm−4 + 7(m − 1)Fm−5 + 3Fm−3 ] 5 1 − [2(m − 1)Lm−3 + (4m − 10)Lm−4 + 5Fm−3 + 7Fm−4 + 10Fm−4 5 +14Fm−5 ] + 2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ] 5 1 − [2(m − 2)(Lm−3 + 2Lm−4 ) − 2Lm−4 + 5(Fm−3 + 2Fm−4 ) 5 +7(Fm−4 + 2Fm−5 ) + 2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ] 5 19

¯KïÄ

Smarandache

1 − [10(m − 2)Fm−3 − 2Lm−4 + 5Lm−3 + 7Lm−4 5 +2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ]. = 5

ùÒ`² k = m , (4)ª¤á. nþ¤ã, ½n1.4.1 y. ½n1.4.2 é?¿ êN , 3Smarandache LucasÄ.¥ N = L · · · + L k > k > · · · > k . Kk ks

9

1

2

k1 + Lk2 +

s

A1 (N ) = A1 (Lk1 ) + N − Lk1 + A1 (N − Lk1 ) A2 (N ) = A2 (Lk1 ) + N − Lk1 + A2 (N − Lk1 ) + 2A1 (N − Lk1 ).

y²: duN = L

K â½n1.4.1· k

+ Lk2 + · · · + Lks , X X A1 (N ) = a(n) + k1

n<Lk1

a(n)

Lk1 ≤n<N

X

= A1 (Lk1 ) +

a(n)

Lk1 ≤n<N

X

= A1 (Lk1 ) +

a(n + Lk1 )

0≤n<N −Lk1

X

= A1 (Lk1 ) +

(a(n) + 1)

0≤n<N −Lk1

= A1 (Lk1 ) + A1 (N − Lk1 ) + N − Lk1 .

±9 A2 (N ) =

X

X

a2 (n) +

n<Lk1

a2 (n)

Lk1 ≤n<N

X

= A2 (Lk1 ) +

a2 (n + Lk1 )

0≤n<N −Lk1

= A2 (Lk1 ) +

X

(a2 (n) + 2a(n) + 1)

0≤n<N −Lk1

= A2 (Lk1 ) + N − Lk1 + A2 (N − Lk1 ) + 2A1 (N − Lk1 ).

ù · Òy² ½n1.4.2 1 Ü©(J. ±|^és êÆ8B{±94íúª ѽn1.4.2¥1 Ü©(J y ². ù · Ò ¤ ½n1.4.2 y². ? Ú, A1 (N ) =

s X i=1

20

[ki Fki −1 + (i − 1)Lki ].

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) ĂŠu?Âż ĂŞr â&#x2030;Ľ 3, |^¡Â&#x201A; Â?{Â&#x152;ÂąÂ&#x2030;Ă&#x2018;A (L ) Â&#x2DC;Â&#x2021;°( OÂ&#x17D;úª. ´, 3ڍÂ&#x153;šeOÂ&#x17D;´Â&#x161;~E, . r

1.5

ŸêÂ&#x2020;a (n)

Smarandache

½Ă&#x201A;1.5.1

k

k

ŸêS(n)½Ă&#x201A;Xe:

Smarandache

S(n) = min{m : m â&#x2C6;&#x2C6; N, n|m!}.

!ÂĽ, ¡Â&#x201A;Â&#x2030;Ă&#x2018;SmarandacheŸê3 ĂŞ kgÂ&#x160; S {a (n)}(Â&#x201E;½ Ă&#x201A;1.3.1)Ăž ŠĂ&#x2122;5Â&#x;. Ăšpâ&#x2C6;&#x161;, ¡Â&#x201A;-p(n)LÂŤn  Â&#x152;Â&#x192;Ă?f. Ă&#x161;n1.5.1 ep(n) > n, KkS(n) = p(n). y²: n = p p ¡ ¡ ¡ p p(n), KÂ&#x152; k

Îą1 Îą2 1 2

Îąr r

ιr 1 ι2 pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr <

u´,

i pÎą i |p(n)!,

â&#x2C6;&#x161;

n

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r.

Â&#x152; n|p(n)!§ p(n)â&#x20AC; (p(n) â&#x2C6;&#x2019; 1)!§Ă?dS(n) = p(n). Ă&#x161;n1.5.1 y. Ă&#x161;n1.5.2 x â&#x2030;Ľ 1 ´?¿¢ê, ¡Â&#x201A;k X

S(n) =

nâ&#x2030;¤x

y²: w,k

X

X

S(n) =

nâ&#x2030;¤x

Ď&#x20AC; 2 x2 +O 12 ln x

S(n) +

nâ&#x2030;¤x â&#x2C6;&#x161; p(n)> n

x2 ln2 x

X

.

S(n).

(1-31)

nâ&#x2030;¤x â&#x2C6;&#x161; p(n)â&#x2030;¤ n

Â&#x160;âEuler Ă&#x161;úª¡Â&#x201A;ĂŠN´ Ă&#x2018;(1-31) mĂ 1 Â&#x2018; O: X

S(n) â&#x2030;Ş

nâ&#x2030;¤x â&#x2C6;&#x161; p(n)â&#x2030;¤ n Z x â&#x2C6;&#x161;

=

Xâ&#x2C6;&#x161;

t ln tdt +

1

3 2

â&#x2030;Ş x ln x.

n ln n

nâ&#x2030;¤x

Z

x 1

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; (t â&#x2C6;&#x2019; [t])( t ln t)â&#x20AC;˛ dt + x ln x(x â&#x2C6;&#x2019; [x]) (1-32)

e¥¡Â&#x201A;5OÂ&#x17D;(1-32)mĂ 1Â&#x2DC;Â&#x2018;. dĂ&#x161;n1.5.1¡Â&#x201A;Â&#x152; X

nâ&#x2030;¤x â&#x2C6;&#x161; p(n)> n

S(n) =

X

npâ&#x2030;¤x â&#x2C6;&#x161; p> np

S(n) =

X

â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤ x â&#x2C6;&#x161; x x<pâ&#x2030;¤ n

21

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

X

=

X

p.

(1-33)

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; x nâ&#x2030;¤ x x<pâ&#x2030;¤ n

Ď&#x20AC;(x)LÂŤ u½ ux Â&#x192;ĂŞÂ&#x2021;ĂŞ. 5Âż x +O ln x

Ď&#x20AC;(x) =

Â&#x160;âAbelĂ° ÂŞÂ&#x152; X

p = Ď&#x20AC;

â&#x2C6;&#x161; x x<pâ&#x2030;¤ n

= =

Ă?Ç&#x2018;

x x n

n

x ln2 x

,

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;( x) x â&#x2C6;&#x2019;

Z

x n

â&#x2C6;&#x161; x

Ď&#x20AC;(t)dt

x2 x2 1 x2 â&#x2C6;&#x2019; +O n2 ln x 2 n2 ln x n2 ln2 x

x2 x2 + O .

2n2 ln x n2 ln2 x

(1-34)

X 1 1 = Îś(2) + O , 2 n x â&#x2C6;&#x161;

(1-35)

nâ&#x2030;¤ x

nĂ&#x153;(1-31)¨(1-35), Â&#x152;¹íĂ&#x2018;Ă&#x161;n1.5.2 (J. Ă&#x161;n1.5.2 y. Ă&#x161;n1.5.3 ĂŠ?Âż ĂŞk Ă&#x161;Â&#x161;K ĂŞi, Kk X

1 tâ&#x2030;¤x k

i+2

i+2

Ď&#x20AC;2 x k ti S(t) = +O 6(i + 2)k ln x

x k ln2 x

â&#x2C6;&#x2019;1

!

.

y²: A^AbelĂ° ÂŞ, (Ă&#x153;Ă&#x161;n1.5.2, Â&#x152;¹íĂ&#x2018; X 1

1 k

ti S(t) = (x â&#x2C6;&#x2019; 1)i

tâ&#x2030;¤x k â&#x2C6;&#x2019;1

X

S(t) â&#x2C6;&#x2019; i

1

tâ&#x2030;¤x k â&#x2C6;&#x2019;1 i+2

= =

iĎ&#x20AC; 2 Ď&#x20AC;2 x k â&#x2C6;&#x2019; 12k ln x 12

Z

nâ&#x2030;¤x

22

X

1

t dt + O ln t ! i+2

1

Ď&#x20AC;2 x +O 6(i + 2)k ln x

x k ln2 x

1

Ď&#x20AC; 2 x1+ k +O 6(k + 1) ln x

i+2

x k ln2 x

.

1

x1+ k ln2 x

.

!

S(l) tiâ&#x2C6;&#x2019;1 dt

lâ&#x2030;¤t

1

i+2 k

S(ak (n)) =

1

x k â&#x2C6;&#x2019;1

x k â&#x2C6;&#x2019;1 i+1

Ă&#x161;n1.5.3 y. ½n1.5.1 ĂŠ?Âż ¢êx â&#x2030;Ľ 3, Kk X

Z

!

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) y²: Ă&#x201E;k, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, M Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2030;½ ĂŞ M k â&#x2030;¤ x < (M + 1)k .

K¡Â&#x201A;k X

M â&#x2C6;&#x2019;1 X

S(ak (n)) =

X

t=1 tk â&#x2030;¤n<(t+1)k

nâ&#x2030;¤x

M â&#x2C6;&#x2019;1 X

=

t=1

i k

i=0

2Â&#x160;âĂ&#x161;n1.5.3¡Â&#x201A;Â&#x152; S(ak (n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

kâ&#x2C6;&#x2019;1 X

N+

X 1

tâ&#x2030;¤x k â&#x2C6;&#x2019;1

!

X

S(ak (n))

S(M )

M k â&#x2030;¤n<x

1 ti S(t) + O x k

i+2

Ď&#x20AC;2 x k +O 6(i + 2)k ln x i=0 1+ 1 1 Ď&#x20AC; 2 x1+ k x k +O .

6(k + 1) ln x ln2 x i k

u´ ¤ ½n1.5.1 y².

1.6

!

X

M k â&#x2030;¤n<x

[(t + 1)k â&#x2C6;&#x2019; tk ]S(t) +

kâ&#x2C6;&#x2019;1 X

=

X

S(ak (n)) +

i+2

x k ln2 x

!!

1 + O xk

{ߟê Â&#x152;\aq

Smarandache

½Ă&#x201A;1.6.1 . =

{ߟêS (n)½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: ávp |m!  êm â&#x2C6;&#x2C6;

Smarandache

p

n

Sp (n) = min{m : m â&#x2C6;&#x2C6; N, pn |m!}.

3Šz[12]p, Â&#x160;ĂśJozsef SandorJĂ&#x2018;Smarandache{ߟê \{aqXe: ½Ă&#x201A;1.6.2 Sp (x) = min {m â&#x2C6;&#x2C6; N : px â&#x2030;¤ m!}, x â&#x2C6;&#x2C6; (1, â&#x2C6;?),

Ă&#x161;

Spâ&#x2C6;&#x2014; (x) = max {m â&#x2C6;&#x2C6; N : m! â&#x2030;¤ px }, x â&#x2C6;&#x2C6; [1, â&#x2C6;?)

KÂĄS (x) Â&#x2020;S (x) Ç&#x2018;Smarandache{ߟê \{aq. w, x â&#x2C6;&#x2C6; ((m â&#x2C6;&#x2019; 1)!, m!]Â&#x17E;kS (x) = m, Ă&#x2122;ÂĽ m â&#x2030;Ľ 2 (Ă?Ç&#x2018;0! = 1! m = 1 Â&#x17E;Ÿê ½Ă&#x201A;), Ă?d, ĂšÂ&#x2021;Ÿê½Ă&#x201A;3x â&#x2030;Ľ 1. Ăšp§Ă&#x152;Â&#x2021;Â&#x2030;Ă&#x2018;Smarandache {Ăź Ÿê \{aqS (x) Â&#x2020;S (x) ĂŹC5Â&#x;. p

â&#x2C6;&#x2014; p

p

p

â&#x2C6;&#x2014; p

23

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

½n1.6.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, kĂŹCúª

x ln p +O ln x

Sp (x) =

x ln ln x ln2 x

y²: Â&#x160;âS (x) ½Ă&#x201A;, ¡Â&#x201A;Â&#x152; (m â&#x2C6;&#x2019; 1)! < p ÊꧡÂ&#x201A;k

x

p

mâ&#x2C6;&#x2019;1 X i=1

2dĂŽ. Ă&#x161;úªÂ&#x152; m X

ln i =

i=1

Z

m

ln tdt + 1

Z

â&#x2030;¤ m!.

3Þªßà Ă&#x201C;Â&#x17E;

ln i.

(1-36)

i=1

m 1

â&#x20AC;˛

(t â&#x2C6;&#x2019; [t])(ln t) ln tdt

= m ln m â&#x2C6;&#x2019; m + O(ln m),

9 mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

ln i < x ln p â&#x2030;¤

m X

.

ln i =

i=1

Z

mâ&#x2C6;&#x2019;1

ln tdt +

1

Z

(1-37)

mâ&#x2C6;&#x2019;1 1

(t â&#x2C6;&#x2019; [t])(ln t)â&#x20AC;˛ dt

= m ln m â&#x2C6;&#x2019; m + O(ln m).

(1-38)

x ln p = m ln m â&#x2C6;&#x2019; m + O(ln m).

(1-39)

nĂ&#x153;(1-36)-(1-38) ¡Â&#x201A;ĂŠN´íĂ&#x2018; ¤¹

m=

x ln p + O(1). ln m â&#x2C6;&#x2019; 1

(1-40)

Ă&#x201C;n, ¡Â&#x201A;Ă&#x201C;Â&#x17E;3ÂŞ(1-40)ßà Êê, K

ln m = ln x + O(ln ln m),

(1-41)

ln ln m = O(ln ln x).

(1-42)

9 Ă?d, dÂŞ(1-40)-(1-42) ¡Â&#x201A;Â&#x152; Sp (x) = 24

x ln p + O(1) ln x + O(ln ln m) â&#x2C6;&#x2019; 1

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I)

x ln p O(ln ln m) + x ln p ln x ln x(ln x + O(ln ln m) â&#x2C6;&#x2019; 1)

x ln p x ln ln x +O . ln x ln2 x

= =

u´ ¤ ½n1.6.1 y².

1.7

Â&#x2013; ĂŞS

Smarandache 5

½Ă&#x201A;1.7.1 ĂŠ?ÂżÂ&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞ, XJòĂ&#x2122;Â&#x2C6; êi?1Â&#x2DC;Â&#x2020;Â?)Ă° Â&#x2DC;Â&#x2020; ¤ ĂŞi´5 ĂŞ, oĂšÂ&#x2021;ĂŞĂ&#x2019;ÂĄÇ&#x2018;Â&#x2013;5 ĂŞ. ~X: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 51, 52, ¡ ¡ ¡ Ă&#x2019;´Â&#x2013;5 ĂŞ. AL¤k Â&#x2013;5 ĂŞ 8Ă&#x153;. 3Šz[1] 178Â&#x2021;ÂŻKp§Smarandache Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020;ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2013;5 ĂŞ S 5Â&#x;. !ÂĽ|^ Â?{ĂŻĂ&#x201E; ĂšÂ&#x2021;S ĂžÂ&#x160;5Â&#x;. ½n1.7.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1§¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

f (n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 ,

Ă&#x2122;ÂĽM = max {|f (n)|}. y²: Ă&#x201E;k, 10 â&#x2030;¤ x < 10 (k â&#x2030;Ľ 1), Kkk â&#x2030;¤ log x < k+1. Â&#x160;â8Ă&#x153;A ½Ă&#x201A;, ¡Â&#x201A;Â&#x152;¹íĂ&#x2018;Ă&#x2DC;ĂĄu8Ă&#x153;AÂ&#x2026; u ux ĂŞ Â&#x2021;ĂŞÂ Ăľk8 Â&#x2021;. ¯¢Þ, 3Ăš ĂŞÂĽk8Â&#x2021;Â&#x2DC; ê, =: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, k8 Â&#x2021;ß ê, ¡ ¡ ¡ , k8 Â&#x2021;k ê. ¤¹`Ă&#x2DC;ĂĄu8Ă&#x153;AÂ&#x2026; u ux ĂŞ Â&#x2021;ĂŞÂ Ăľk8 + 8 + ¡ ¡ ¡ + 8 = (8 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;¤ 8 Â&#x2021;. Ă?Ç&#x2018; 1â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

k

k+1

k+1

2

k

2

k

8 7

k

k+1

8k â&#x2030;¤ 8log x = 8log8 x ln 8 8k = O x ln 10 .

log1 10 8

1

ln 8

= (x) log8 10 = x ln 10 .

¤¹¡Â&#x201A;k M LÂŤ|f (n)| (n â&#x2030;¤ x) Ăž., Kk X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A / nâ&#x2030;¤x

u´,

X

ln 8 f (n) = O M x ln 10 .

f (n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

=

X

nâ&#x2030;¤x

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n1.7.1 y².

f (n) â&#x2C6;&#x2019;

X

f (n)

nâ&#x2C6;&#x2C6;A / nâ&#x2030;¤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 .

25

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Ă­Ă&#x2DC;1.7.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln 8 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x ln 10 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽd(n) ´Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê§γ ´Î.~ê§Ǎ Ç&#x2018;?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ. y²: 3½n1.7.1ÂĽ f (n) = d(n), Âż5Âż (ĂŤ Šz[4]) X

nâ&#x2030;¤x

Âą9 OÂŞ

1 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x 2 ,

ʤk 1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ x),

d(n) â&#x2030;Ş xÇŤ ,

(

Ă&#x2019;Â&#x152;Âą Ă&#x2018;Ă­Ă&#x2DC;1.7.1. Ă­Ă&#x2DC;1.7.2 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, KkĂŹCúª X

â&#x201E;Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

x , ln x

Ă&#x2122;ÂĽâ&#x201E;Ś(n) LÂŤn ¤kÂ&#x192;Ă?f Â&#x2021;ĂŞ, B ´Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²: 3½n1.7.1ÂĽ f (n) = â&#x201E;Ś(n), Âż5Âż (ĂŤ Šz[6]) X

â&#x201E;Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

nâ&#x2030;¤x

Âą9 OÂŞ

Ă&#x2019;Â&#x152;Âą Ă&#x2018;Ă­Ă&#x2DC;1.7.2.

1.8

x log x

,

ʤk 1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ x),

â&#x201E;Ś(n) â&#x2030;Ş xÇŤ ,

(

Â&#x192;Ă?f Â&#x152;Â?ĂŞS {e (n)}(I) p

½Ă&#x201A;1.8.1 pÇ&#x2018;Â&#x192;ĂŞ, e (n) LÂŤ3¤k Ă&#x2DC;n Â&#x192;Ă?fÂĽ  Â&#x152;Â?ê§K ÂĄ{e (n)}Â&#x192;Ă?f Â&#x152;Â?ĂŞS .

P -Îą(n, p) = e (k). 3Šz[1] 168Â&#x2021;ÂŻKÂĽ, F.Smarandach Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020; ĂŻĂ&#x201E;S {e (n)} 5Â&#x;. Ă?Ç&#x2018;e (n)Â&#x2020;n! IOĂ?fŠ)ÂŞÂ&#x192;mkXÂ&#x2014;Â&#x192; ' X,P¤¹ïĂ&#x201E;ĂšÂ&#x2DC;ÂŻK´Â&#x203A;ŠkÂżĂ&#x201A; . !ÂĽ, Ă&#x152;Â&#x2021;|^ Â?{5?Ă&#x2DC;Ăž Â&#x160; Îą(n, p) 5Â&#x;. ½n1.8.1 ĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞp9 ½ ĂŞn, K 3ĂŹCúª p

p

p

kâ&#x2030;¤n

p

p

pâ&#x2030;¤n

X

pâ&#x2030;¤n

26

Îą(n, p) = n ln n + cn + c1

n n n + c2 2 + ¡ ¡ ¡ + ck k + O ln n ln n ln n

n lnk+1

,

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) Ă&#x2122;ÂĽk ´?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ, c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ )ĂžÇ&#x2018;Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²: Ă&#x201E;k, ¡Â&#x201A;ò¤ïĂ&#x201E;Ă&#x161;ªŠ)Ç&#x2018;ĂźĂ&#x153;Š: i

X

Îą(n, p) =

X

Îą(n, p) +

â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ n

pâ&#x2030;¤n

ĂŠu1Â&#x2DC;Ă&#x153;ŠĂ&#x161;ÂŞ, Â&#x160;âĂ&#x161;n1.1.1¡Â&#x201A;k X

â&#x2C6;&#x161;

X

Îą(n, p).

(1-43)

n<pâ&#x2030;¤n

X

1 (n â&#x2C6;&#x2019; Îą(n, p)) â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2030;¤ n

X 1 X Îą(n, p) 1 = n + â&#x2C6;&#x2019; p p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) pâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ n pâ&#x2030;¤ n    X 1 X X X Îą(n, p) 1  1 = n + +O â&#x2C6;&#x2019; 2 p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) pâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161; p â&#x2C6;&#x161; m â&#x2C6;&#x161; p pâ&#x2030;¤ n m> n pâ&#x2030;¤ n ! â&#x2C6;&#x161;

Z n X Îą(n, p) 1 1 â&#x2C6;&#x2019; = n dĎ&#x20AC;(x) + A + O â&#x2C6;&#x161; , (1-44) 3 x pâ&#x2C6;&#x2019;1 n â&#x2C6;&#x161;

Îą(n, p) =

â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ n

pâ&#x2030;¤ n

2

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x20AC;(x)¤kĂ&#x2DC;Â&#x152;ux Â&#x192;ĂŞ Â&#x2021;ĂŞ. 5Âż ĂŹCúª Ď&#x20AC;(x) =

9

x lnk+1 x

(1-45)

Z â&#x2C6;&#x161;n â&#x2C6;&#x161; 1 Ď&#x20AC;(x) Ď&#x20AC;( n) + dĎ&#x20AC;(x) = â&#x2C6;&#x161; dx 3 x 3 x2 n 2 2

Z â&#x2C6;&#x161;n 1 ak x 1 a2 â&#x2C6;&#x161; + + dx = â&#x2C6;&#x161; +¡¡¡ + k â&#x2C6;&#x161; + O â&#x2C6;&#x161; 3 x ln x ln n ln2 n ln n lnk+1 n 2

Z â&#x2C6;&#x161;n Z â&#x2C6;&#x161;n 1 1 1 +a2 dx + ¡ ¡ ¡ + ak+1 dx + O 3 3 x ln2 x x lnk+1 x lnk+1 n 2 2 a1k a11 a12 a21 a22 = + 2 + ¡ ¡ ¡ + k + ln ln n + B + + 2 ln n ln n ln n ln n ln n

a2k 1 +¡¡¡ + k + O ln n lnk+1 n

a31 a32 a3k 1 = ln ln n + B + + +¡¡¡ + k +O .

(1-46) ln n ln2 n ln n lnk+1 n Z

â&#x2C6;&#x161;

x x x + a1 2 + ¡ ¡ ¡ + ak k + O ln x ln x ln x

n

|^Ă&#x161;n1.1.2¡Â&#x201A;k

X Îą(n, p) X ln n X 1 X â&#x2C6;&#x161; â&#x2030;¤ = ln n â&#x2030;¤ ln n 1 â&#x2030;¤ n ln n. pâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; ln p â&#x2C6;&#x161; ln p â&#x2C6;&#x161;

pâ&#x2030;¤ n

pâ&#x2030;¤ n

pâ&#x2030;¤ n

(1-47)

pâ&#x2030;¤ n

27

¯KïÄ

Smarandache

nÜ(1-44), (1-46)9(1-47)ª ± X

√ p≤ n

n n + a32 2 ln n ln n

n n + · · · + a3k k + O ln n lnk+1 n

α(n, p) = n ln ln n + c0 n + a31

éu1 Ü©Úª, · k

n α(n, p) = = i p p √ √ √ n<p≤n n<p≤n i=1 n<p≤n X X X X = 1= 1 X

+∞ X n

(1-48)

X

√ n n<p≤n m≤ p

X

√ √ n m≤ n n<p≤ m

X n √ = π( ) − π( n) m √ m≤ n X √ √ n π( ) − [ n]π( n). = m √

(1-49)

m≤ n

A^Euler Úúª±9 ? ª ± X

√ m≤ n

1 m(ln n − ln m)r

=

X

√ m≤ n

1 m ln n(1 − r

ln m r ln n )

+∞ X s X (r−1+s r−1 ) ln m = m lns+r n √ s=0 m≤ n   +∞ s X X

ln m  r−1+s  = r−1 s+r n √ m ln s=0 m≤ n

+∞ r−1+s X ( r−1 ) lns+r n s=0

dd9(1-45)ª, · X

√ m≤ n

=

X

√

m≤ n

28

π(

lns+1 n = + ds+1 + O (s + 1)2s+1 s k X d1i ln n = +O √ i n ln n i=r−1

lns n √ 2s n

n ) m

n m n ln( m )

+

n a2 2m n ln ( m )

+··· +

n m ak+1 k+1 n ln (m )

+O

n m n lnk+2 ( m )

!!

1Â&#x2DC;Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(I) X

1 1 + a2 + ¡¡¡ m(ln n â&#x2C6;&#x2019; ln m) m(ln n â&#x2C6;&#x2019; ln m)2

1 1 +ak+1 + O m(ln n â&#x2C6;&#x2019; ln m)k+1 m(ln n â&#x2C6;&#x2019; ln m)k+2

b1 bk 1 b2 = n b0 + + + ¡¡¡ + k + O ln n ln2 n ln n lnk+1 n

n n n n + b2 2 + ¡ ¡ ¡ + bk k + O = b0 n + b1 ln n ln n ln n lnk+1 n = n

â&#x2C6;&#x161; mâ&#x2030;¤ n

Â&#x2026;

(1-50)

n n n n â&#x2C6;&#x161; + a2 2 â&#x2C6;&#x161; + ¡ ¡ ¡ + ak k â&#x2C6;&#x161; + O â&#x2C6;&#x161; ln n ln n ln n lnk+1 n

n n n n + a42 2 + ¡ ¡ ¡ + a4k k + O = a41 . (1-51) ln n ln n ln n lnk+1 n

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; [ n]Ď&#x20AC;( n) =

|^(1-49)¨(1-51)ÂŞÂ&#x152; â&#x2C6;&#x161;

X

n<pâ&#x2030;¤n

n n n ι(n, p) = b0 n+a51 +a52 2 +¡ ¡ ¡+a5k k +O ln n ln n ln n

n lnk+1 n

nĂ&#x153;(1-43), (1-48) 9(1-52) ÂŞ, ¡Â&#x201A;N´íĂ&#x2018;ĂŹCúª

X

pâ&#x2030;¤n

n n n ι(n, p) = n ln n + cn + c1 + c2 2 + ¡ ¡ ¡ + ck k + O ln n ln n ln n

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n1.8.1 y².

. (1-52)

n lnk+1

.

29

Smarandache

¯KïÄ

1 Ù êؼê9Ùþ (II)

31 Ùp§· Ì ± {ǑÄ:?Ø êؼê þ ¯K§ ´éuNõê دK==± {5ïÄ´ Ø . 31837 Dirichlet Ǒ y²3 ½ â ?êp ê 35¯K§ Ñ ê ¿Ú\)Û {X4 ÚëY5§ âù {§ Mï ¡Ǒ)ÛêØ # êÆ©{ Ä:. 3)ÛêØp§¢©ÛÚE©Û V gÚ {4 u êk' ¯K. )Û {3ïÄêدK¥u r ^. Ǒ Æö§k7 )Ä )ÛêØ {§±93äN¯K¥XÛ A^)Û {. Ù¥§ · Ì 0 ^)Û {ïÄ äN¯K§AO3uêؼê þ ¯K¥ )Û {.

gÖê kg \Öê

2.1

k

2.1.1

Úó

½Â2.1.1 k ≥ 2 Ǒ?¿ ½ ê, eb (n)´ nb (n)Ǒ kg ê, K¡b (n)Ǒn kgÖê. ½Â2.1.2 k ≥ 2Ǒ?¿ ½ ê, ea (n)´ a (n) + nǑ kg ê ê, K¡a (n)Ǒn kg \Öê. ~X: ek = 2, ² \ÖêS {a (n)} (n = 1, 2, · · · ): 0, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 7, · · · . ½Â2.1.3 éug,ên = p · p · · · · p , · ½Âa (n) = p · p · · · · p Ǒá {ê, Ù¥β = min(2, α ), 1 ≤ i ≤ r.

3©z[1] 164 ¯KÚ129 ¯Kp, F.Smarandache ÇïÆ· ïÄá {S ÚkgÖêS 5 . ùpÌ |^)Û { Ñ S {a (n)b (n)} {a (n)}§±9ùü S Euler ¼ê½Øê¼ê p ^ # S ©Ù5 . k

k

k

k

k

k

2

β r

α1 1

r

i

3

2.1.2

k

αr r

α2 2

3

β1 1

β2 2

i

k

á {êÚkgÖê

½n2.1.1 é?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

a3 (n)bk (n) =

n≤x

6xk+1 k+ 12 +ε R(k + 1) + O x , (k + 1)π 2

Ù¥ε Ǒ?¿ ½ ê, ek = 2 k R(k + 1) =

p

ek ≥ 3 k R(k + 1) =

Y p

30

Y

1+

k X j=2

p3 + p 1+ 7 p + p6 − p − 1 k

,

X pk−j+3 pk−j+3 + (p + 1)p(k+1)j (p + 1)(p(k+1)(k+j) − p(k+1)j ) j=1

!

.

1 Ù êؼê9Ùþ (II) y²: f (s) =

∞ X a3 (n)bk (n) n=1

ns

.

âî.Èúª9a (n)Úb (n) ½Â, k = 2 · 3

k

Y

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 )) f (s) = 1+ + +··· ps p2s p

Y 1 1 p 1 = 1 + s−2 + p2 ( 2s + 3s )( ) p p p 1 − p−2s p

ζ(s − k) Y ps + p = 1 + s−2 ζ(2(s − k)) (p + 1)(p2s − 1) p

k ≥ 3 k f (s) =

Y p

=

Y

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 )) 1+ + + ··· ps p2s 1+

p

Y (1 + = p

=

1 ps−k

+ p2

k X pk−j j=2

k X 1 pk−j+2 +( ) 1 − p1ks j=1 p(k+j)s

pjs

k X pk−j+2

ps−k ) 1+ s−k p 1 + ps−k 1

ζ(s − k) Y 1+ ζ(2(s − k)) p

k X j=2

w,, · kØ ª |am (n)bk (n)| ≤ n2 ,

j=2

pjs

s−j+2

p

(ps−k + 1)pjs

+

+

k X j=1

k X j=1

!

pk−j+2 p(k+j)s − pjs

!!

ps−j+2 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )

!

∞

X

a (n)b (n) 1

m k ,

< σ

n=1 n

σ−k−1

Ù¥σ > k + 1´s ¢Ü. ¤±dPerron úª(ë ©z[2])

X am (n)bk (n) ns0 n≤x b

Z b+iT 1 xs x B(b + σ0 ) = f (s + s0 ) ds + O 2iπ b−iT s T

log x x 1−σ0 −σ0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x|| 31

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥N ´ålx C ê, kxk = |x−N |. s B(σ) = Kk

3

0

= 0, b = k+2, T = x 2 , H(x) = x2 ,

1 σ−k−1

Ù¥

X

n≤x

R(s) =

1 am (n)bk (n) = 2iπ

Z

k+2+iT

1 ζ(s − k) xs R(s) ds + O(xk+ 2 +ε ), ζ(2(s − k)) s

k+2−iT

 Y

ps + p   1 + s−2 ,   (p + 1)(p2s − 1)  p

k k Y X X  ps−j+2 ps−j+2   + 1 +  s−k js  (p + 1)p (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) p

j=2

j=1

· òÈ© ls = k + 2 ± iT £ s = k + 1 2iπ

ù , ¼ê

Z

k+2+iT k+2−iT

Z

k+2+iT

+ k+2−iT

k+ 12 +iT

k+2+iT

1

2πi Z ≪

xk+1 (k+1)ζ(2) R(k

Z

k+ 12 −iT k+ 12 +iT

k+ 12 +iT

Z

k+2−iT

5 OÌ

+

+ 1).

Z

¤±

k+2−iT

k+ 12 −iT

!

ζ(s − k)xs R(s)ds ζ(2(s − k))s

2

π2 6

n≤x

k ≥ 3 .

!

Z T

1 Z k+ 12 −iT ζ(s − k)xs

R(s)ds ≪

2πi k+ 12 +iT ζ(2(s − k))s

0 X

,

ζ(s − k)xs

+ R(s)ds

ζ(2(s − k))s

k+2+iT k+ 12 −iT

k+2

k+2 2

1

ζ(σ − k + iT ) R(s) x dσ ≪ x = xk+ 2 ,

1 ζ(2(σ − k + iT )) T T k+ Z

dζ(2) = · 32

+

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

N´ Ñ Oª

Ú

Z

± iT s = a ± iT

ζ(s − k)xs R(s) ζ(2(s − k))s

3s = k + 1?k 4:, 3êǑ 1 2iπ

1 2

!

1 ζ(s − k) xs R(s) ds + O(xk+ 2 +ε ). ζ(2(s − k)) s

f (s) =

=

k = 2

a3 (n)bk (n) =

ζ(1/2 + it) xk+ 12

k+ 12 +ε

.

ζ(1 + 2it) t dt ≪ x

6xk+1 k+ 12 +ε R(k + 1) + O x . (k + 1)π 2

1 Ù êؼê9Ùþ (II) u´ ¤ ½n2.1.1 y². ½n2.1.2 ϕ(n)Ǒî.¼ê, Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

ϕ(a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¥ ek = 2 k

Y R (k + 1) = 1+ ∗

p

6xk+1 ∗ k+ 12 +ε R (k + 1) + O x (k + 1)π 2

p2 + 1 1 − 2 6 5 4 3 2 p + 2p + 2p + 2p + 2p + 2p + 1 p + p

k ≥ 3 k

Y

R∗ (k + 1) =

p

,

k

X pk−j+3 − pk−j+2 1 + + p2 + p (p + 1)p(k+1)j j=2 ! k X pk−j+3 − pk−j+2 . + (p + 1)(p(k+1)(k+j) − p(k+1)j ) 1−

j=1

½n2.1.3 α > 0§σ (n) = P d , Ké?¿¢êx ≥ 1, Kk α

α

d|n

X

σα (a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¥ k = 2 k R(kα + 1) =

Y

1+

p

k ≥ 3 k R(kα + 1) =

Y p

6xkα+1 kα+ 12 +ε R(kα + 1) + O x , (kα + 1)π 2

p p+1

pα + 1 (p3α − 1)p2α+1 + p4α − 1 + p2α+1 (p3(2α+1) − p2α+1 )(pα − 1)

,

k

X pkα+1 − p p(k−j+3)α+1 − p + (p + 1)(pα − 1)pkα+1 (p + 1)(pα − 1)p(kα+1)j j=2 ! k X p(k−j+3)α+1 − p + (p + 1)(pα − 1)(p(k+j)(kα+1) − p(kα+1)j ) 1+

j=1

½n2.1.4 d(n)L«DirichletØê¼ê, é?¿¢êx ≥ 1k X

n≤x

d(a3 (n)bk (n)) =

1 6x R(1) · f (log x) + O x 2 +ε , π2

33

Smarandache

Ù¥f (y)Ǒy kgõ ª, ek = 2 k R(1) =

Y p

ek ≥ 3 k R(1) =

Y p

p3 1+ (p + 1)3

¯KïÄ

3p + 4 3 1 − − p3 + p p2 p3

,

k X k − j + 3 − (k+1 ) pk−j+1 j + 1+ (p + 1)k+1 j=2

+

k X j=1

1 k−j +3 − (p + 1)k+1 (pj−1 − pj−k−1 ) (p + 1)k+1

!

½n2.1.2–2.1.4 y²: ∞ X ϕ(a3 (n)bk (n))

f1 (s) =

n=1

f2 (s) =

ns

,

∞ X σα (a3 (n)bk (n)) n=1

f3 (s) =

ns

∞ X d(a3 (n)bk (n)) n=1

ns

,

.

âî.Èúª9ϕ(n), σ (n)Úd(n) ½Â, k = 2 · α

Y ϕ(a3 (p)bk (p)) ϕ(a3 (p2 )bk (p2 )) f1 (s) = 1+ + +··· ps p2s p

Y p2 − p p3 − p2 1 p2 − p = 1+ + ( 2s + )( ) ps p p3s 1 − p−2s p

Y 1 (p2 − p)(ps + p) 1 = 1 + s−2 − s−1 + p p p3s − ps p

2

ζ(s − 2) Y ps−2 (p − p)(ps + p) 1 = 1 + s−2 − s−1 , ζ(2(s − 2)) p +1 p3s − ps p p

α

ps−2α ζ(s − 2α) Y p + 1 (p3α − 1)ps + p4α − 1 1 + s−2α , f2 (s) = + ζ(2(s − 2α)) p +1 ps (p3s − ps )(pα − 1) p

s

ζ 3 (s) Y p3s 3p + 4 3 1 f3 (s) = 3 1+ s − − . ζ (2s) (p + 1)3 p3s + ps p2s p3s p

34

1 Ù êؼê9Ùþ (II) k ≥ 3 k f1 (s) =

Y

1+

p

1 ps−k

1

−

ps−k+1 +

+

k X pk−j+2 − pk−j+1

pjs

j=2

k X pk−j+2 − pk−j+1

p(k+j)s − pjs

j=1

!

k

=

X ps−j+2 − ps−j+1 ζ(s − k) Y 1 1 − s−k+1 + + ζ(2(s − k)) p +p (ps−k + 1)pjs p j=2 ! k X ps−j+2 − ps−j+1 + , (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) j=1

f2 (s) =

ps − ps−kα ζ(s − kα) Y 1 + s−kα ζ(2(s − kα)) (p + 1)(pα − 1)ps p

+

k X j=2

+

p(3−j)α+s − ps−kα + 1)(pα − 1)pjs

(ps−kα

k X j=1

p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)(p(k+j)s − pjs )

!

,

(k−j+1)s k X k − j + 3 − k+1 p ζ k+1 (s) Y j 1 + ζ k+1 (2s) (ps + 1)k+1

f3 (s) =

p

j=2

+

k X j=1

k−j +3 1 − s s k+1 (j−1)s (j−k−1)s (p + 1) (p −p ) (p + 1)k+1

!

.

KdPerronúªÚ½n2.1.1 y² {, · Ò ± Ù{(Ø. 5`, · ±|^Ó {ïÄS a (n)b (n) ìC5 , (Ù¥m, k ≥ 2Ǒ ½ ê), ¿ Ñ Ǒ°( ìCúª. m

2.1.3

k

k

k

g \Öê

Ún2.1.1 é?¿¢êx ≥ 39÷vf (0) = 0 ?¿ " â¼êf (0), · h

X

n≤x

1

f (ak (n)) =



i

x k −1

X t=1

X

n≤g(t)

 f (n) + O  

Ù¥[x] L« u½ ux ê, g(t) =

X

n≤g

k−1 X i=1

i k

h

!

1

xk

i



 f (n) ,

ti .

35

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

y²: ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, M Ç&#x2018; ½ ĂŞÂ&#x2026;áv M k â&#x2030;¤ x < (M + 1)k .

5 Âż , en H ÂŤ m t , (t + 1) Ăž ¤ k ĂŞ, oa (n)Ç&#x2018; H ÂŤ m 0, (t + 1) â&#x2C6;&#x2019; t â&#x2C6;&#x2019; 1 Þ¤k ĂŞ. qĂ?Ç&#x2018;f (0) = 0, ¤¹¡Â&#x201A;k

k

k

X

k

k

k

M â&#x2C6;&#x2019;1 X

f (ak (n)) =

X

t=1

nâ&#x2030;¤x

tk â&#x2030;¤n<(t+1)k

M â&#x2C6;&#x2019;1 X

=

X

Ă&#x2122;ÂĽg(t) =

i k

i=1

!

ti .

duM = h

X

1

i

x k â&#x2C6;&#x2019;1

X

f (ak (n)) =

t=1

nâ&#x2030;¤x

h

f (ak (n))

M k â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

X

f (n) +

t=1 nâ&#x2030;¤g(t)

kâ&#x2C6;&#x2019;1 X

X

f (ak (n)) +

f (n),

g(M )+M k â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2030;¤n<g(M )

i 1 xk ,

X

nâ&#x2030;¤g(t)

Â&#x152; 

 f (n) + O  

X

nâ&#x2030;¤g

h

1

xk

i



 f (n) .

Ă&#x161;n2.1.1 y.

5: ĂšÂ&#x2021;Ă&#x161;n´Â&#x203A;ŠkÂżĂ&#x201A; X . Ă?Ç&#x2018;XJ¡Â&#x201A;ÂŽ f (n) ĂžÂ&#x160;úª, oÂ&#x160; âĂ&#x161;n2.1.1ĂŠN´Ă&#x2019;Â&#x152;Âą Ă&#x2018; f (a (n)) ĂžÂ&#x160;úª. ½n2.1.5 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, KkĂŹCúª k

nâ&#x2030;¤x

X

1 2 k2 x2â&#x2C6;&#x2019; k + O x2â&#x2C6;&#x2019; k .

4k â&#x2C6;&#x2019; 2

ak (n) =

nâ&#x2030;¤x

y²: f (n) = n, Â&#x160;âÎ. Ă&#x161;úª¡Â&#x201A;k h

X

ak (n) =

1

i

x k â&#x2C6;&#x2019;1

X t=1

nâ&#x2030;¤x

h

1

X

nâ&#x2030;¤g(t)

i

x k â&#x2C6;&#x2019;1

= =

 n+O 

X

nâ&#x2030;¤g

h

1

xk

i

1 X 2 2kâ&#x2C6;&#x2019;2 2 k t + O x2â&#x2C6;&#x2019; k 2 t=1

k2 1 2 x2â&#x2C6;&#x2019; k + O x2â&#x2C6;&#x2019; k .

4k â&#x2C6;&#x2019; 2

u´ ¤ ½n2.1.5 y².

36





 n 

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) ½n2.1.6 ĂŠ?¿¢ê x â&#x2030;Ľ 3, ¡Â&#x201A;k

X

1 1â&#x2C6;&#x2019; k

d(ak (n)) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;¼γ´Î.~ĂŞ. y²: 5Âż

X

nâ&#x2030;¤x

ÂżdĂ&#x161;n2.1.1Kk

X

1 x ln x + 2Îł + ln k â&#x2C6;&#x2019; 2 + k

1

d(ak (n))

X t=1

h

1



i

x k â&#x2C6;&#x2019;1

=

1 x + O x1â&#x2C6;&#x2019; k ln x ,

1 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x 2 ,

nâ&#x2030;¤x

h

i

X

nâ&#x2030;¤g(t)

X

nâ&#x2030;¤g

h

1

xk

 d(n)  i

1 ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 ln ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 + ln 1 + O t t=1

1 +(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 + O x1â&#x2C6;&#x2019; k ln x h 1i x k â&#x2C6;&#x2019;1 X = k(k â&#x2C6;&#x2019; 1)tkâ&#x2C6;&#x2019;1 ln t + (2Îł + ln k â&#x2C6;&#x2019; 1)ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 =

x k â&#x2C6;&#x2019;1

 d(n) + O  



X

t=1

1 +O(tkâ&#x2C6;&#x2019;2 ) + O x1â&#x2C6;&#x2019; k ln x h 1i h 1i x k â&#x2C6;&#x2019;1 x k â&#x2C6;&#x2019;1 X X tkâ&#x2C6;&#x2019;1 ln t + (2Îł + ln k â&#x2C6;&#x2019; 1)k tkâ&#x2C6;&#x2019;1 = k(k â&#x2C6;&#x2019; 1) t=1

1 1â&#x2C6;&#x2019; k

+O x

Â&#x160;âÎ. Ă&#x161;úªN´

X

d(ak (n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 1â&#x2C6;&#x2019; k

1 x ln x + 2Îł + ln k â&#x2C6;&#x2019; 2 + k

u´ ¤ ½n2.1.6 y².

t=1

ln x .

1 x + O x1â&#x2C6;&#x2019; k ln x .

gÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS

2.2

k

2.2.1

Ă&#x161;Ăł

½Ă&#x201A;2.2.1 k â&#x2030;Ľ 2´?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ, XJĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞpkp â&#x20AC; n, KÂĄg, ĂŞn´ kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞ. k

37

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Smarandache

kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS Â&#x152;ÂądXeÂ?ÂŞ Ă&#x2018;: lg,ĂŞ8Ă&#x153;ÂĽ(0, 1Ă&#x2DC; ), K ¤k2 ĂŞ, Â&#x192; 2 K¤k3 ĂŞ, 2 K¤k5 ĂŞ, ¡ ¡ ¡ , K¤kÂ&#x192; ĂŞ kgÂ&#x2DC; ĂŞ. o kgÂ&#x2DC;Ă?fS =Ç&#x2018;: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ¡¡¡. ½Ă&#x201A;2.2.2 k â&#x2030;Ľ 2´?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ, XJĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞpkp | nÂ&#x2026;p | n, K ÂĄn´ kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞ. ½Ă&#x201A;2.2.3 n IOŠ)ÂŞÇ&#x2018;n = p p ¡ ¡ ¡ p , K½Ă&#x201A;Ď&#x2030;(n) = r§¥Ď&#x2030;(n) Ç&#x2018;n ¤kÂ&#x192;Ă?fêŸê. ½Ă&#x201A;2.2.4 Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018;ávn | m  êm. w,ZW (1) = 1. n > 1, Wju3[13]ÂĽÂ&#x2030;Ă&#x2018; k

k

k

k

Îą1 Îą2 1 2

Îąr r

n

ZW (n) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pk ,

(2-1)

Ă&#x2122;ÂĽp , p , ¡ ¡ ¡ , p ´n Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;Ă?f. Ă&#x201C;Â&#x17E; Ç&#x2018;y² ?ĂŞ 1

2

k

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 a, (ZW (n))

a â&#x2C6;&#x2C6; R,

a>0

´uĂ&#x2018; . !¼§¡Â&#x201A;òÊ kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS § kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS §¹9 Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) Â&#x2C6;ÂŤa. ĂžÂ&#x160;ÂŻK?1?Ă&#x2DC;.

2.2.2

kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS

Ç&#x2018;QĂŁÂ?B, AL¤k kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞ 8Ă&#x153;§¿Â&#x2026;¡Â&#x201A;Ă&#x161;\Â&#x2DC;Â&#x2021;# ĂŞĂ&#x2DC;Ÿêa(n):    1, XJ n = 1; a(n) = n, XJ n´ k gÂ&#x2DC;ĂŞ   0, XJ nĂ&#x2DC;´ k gÂ&#x2DC;ĂŞ w, X X n=

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

a(n).

nâ&#x2030;¤x

½n2.2.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª

1

1 6k ¡ x1+ k Y 1 1+ 2k +Îľ n= 1 + + O x , 1 (k + 1)Ď&#x20AC; 2 (p + 1)(p k â&#x2C6;&#x2019; 1) p nâ&#x2C6;&#x2C6;A X

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÎľ ´?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ. y²: f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X a(n) n=1

38

ns

.

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) dEuler Ă&#x2C6;úª9a(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; Y

a(pk ) a(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p !

Y 1 1 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) 1 p 1 â&#x2C6;&#x2019; psâ&#x2C6;&#x2019;1 p Y

Y 1 1 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) p (p + 1)(psâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1) p p

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) Y 1 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) , Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) (p + 1)(psâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1) p

f (s) =

= = =

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. 5Âż Ă&#x2DC; ÂŞ

â&#x2C6;&#x17E;

X a(n)

1

,

< Ď&#x192;

n Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; k1 n=1

|a(n)| â&#x2030;¤ n,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 â&#x2C6;&#x2019; ´EĂŞs ¢Ă&#x153;. u´, |^PerronúªÂ&#x152;¹íĂ&#x2018; 1 k

X a(n) ns0

xb B(b + Ď&#x192;0 ) T bâ&#x2C6;&#x2019;iT

log x x 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x||

1 2iĎ&#x20AC;

=

nâ&#x2030;¤x

b+iT Z

xs f (s + s0 ) ds + O s

Ă&#x2122;ÂĽN ´ Cux ĂŞ, kxk = |x â&#x2C6;&#x2019; N |. s H(x) = x, B(Ď&#x192;) = , Kk

0

1 1 Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; k

X

a(n) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ

Ç&#x2018; OĂ&#x152;Â&#x2018;

1 2iĎ&#x20AC;

Z

1 2+ k +iT

1 2+ k â&#x2C6;&#x2019;iT

1

= 0, b = 2 + k1 , T = x1+ 2k ,

1 Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) xs R(s) ds + O(x1+ 2k +Îľ ), Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) s

Y R(s) = 1+

1 k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) (p + 1)(psâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1)

Z

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs R(s)ds, Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))s

p

1 2iĎ&#x20AC;

¡Â&#x201A;òĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ds = 2 +

1 k

1 2+ k +iT 1 2+ k â&#x2C6;&#x2019;iT

Âą iT

ÂŁÂ&#x2013;s = 1 +

f (s) =

1 2k

Âą iT .

.

ĂšÂ&#x17E;, Ÿê

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs R(s) Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))s 39

Smarandache

3s = 1 + ?kÂ&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:Â&#x2026;3ê´ 1 k

1 2iĎ&#x20AC; =

Z

2+ k1 +iT

+ 1 2+ k â&#x2C6;&#x2019;iT

1 1+ k

k¡x (k + 1)Μ(2)

Y p

¡Â&#x201A;N´ O

Z

1 1+ 2k +iT

+

1 2+ k +iT

1+

Z

ÂŻKĂŻĂ&#x201E; 1

kx1+ k (k+1)Îś(2) R(1 1 1+ 2k â&#x2C6;&#x2019;iT

1 1+ 2k +iT

1 1

(p + 1)(p k â&#x2C6;&#x2019; 1)

+

Z

+ k1 ).

u´

1 2+ k â&#x2C6;&#x2019;iT 1 1+ 2k â&#x2C6;&#x2019;iT

!

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs R(s)ds Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))s

.

1 Z 1+ 2k Z 2+ 12 â&#x2C6;&#x2019;iT !

1

+iT Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs

+ R(s)ds

2Ď&#x20AC;i

1 1 Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))s 2+ k +iT 1+ 2k â&#x2C6;&#x2019;iT Z 2+ k1

1

1

Îś(k(Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1 + iT )) x2+ k

x2+ k 1 1+ 2k

â&#x2030;Ş

Îś(2k(Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1 + iT )) R(s) T dĎ&#x192; â&#x2030;Ş T = x 1 1+ 2k

9

1 Z T

1 Z 1+ 2k

â&#x2C6;&#x2019;iT Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs

R(s)ds â&#x2030;Ş

1

2Ď&#x20AC;i 1+ 2k

+iT Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 2))s 0

5Âż Îś(2) =

Ď&#x20AC;2 , 6

Â&#x160;âÞ¥ Ă­ Â&#x152;

1

Îś(1/2 + ikt) x1+ 2k

1 +Îľ

dt â&#x2030;Ş x1+ 2k .

Îś(1 + 2ikt) t

1

6k ¡ x1+ k Y 1 1 1+ 2k +Îľ 1 + + O x . n= 1 (k + 1)Ď&#x20AC; 2 (p + 1)(p k â&#x2C6;&#x2019; 1) p nâ&#x2C6;&#x2C6;A X

nâ&#x2030;¤x

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n2.2.1 y². ½n2.2.2 Ď&#x2022;(n)´EulerŸê. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k

1 1

6k ¡ x1+ k Y p â&#x2C6;&#x2019; pk 1 1+ 2k +Îľ 1 + + O x . Ď&#x2022;(n) = 1 1 (k + 1)Ď&#x20AC; 2 p2+ k â&#x2C6;&#x2019; p2 + p1+ k â&#x2C6;&#x2019; p p nâ&#x2C6;&#x2C6;A X

nâ&#x2030;¤x

½n2.2.3 Îą > 0, Ď&#x192; (n) = P d . KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k Îą

Îą

d|n

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

40

Ď&#x192;Îą (n) =



1 Îą+ k

p 1 6k ¡ xÎą+ k Y  1 +  (kÎą + 1)Ď&#x20AC; 2 p

1 +O xÎą+ 2k +Îľ .

1 k

(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1 Îą+ k

p

k Îą P 1

i=1

pi

1 Îą+ k

+p

1 k

1 k

+p â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019; 1 (p + 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1)

   

1 Ù êؼê9Ùþ (II) ½n2.2.4 d(n)L«DirichletØê¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, · k X



1

1 6k · x k Y  1 +  π2

d(n) =

(2p k − 1)

i=2

(p +

p

n∈A n≤x

k+1 P

k+1 i

1

pk+1−i − kpk+ k

1 1)k+1 (p k

−

1)2

1 +O x 2k +ε .

Ù¥f (y)´'uy kgõ ª. ½n2.2.5 é?¿¢êx ≥ 1, · kìCúª





  · f (log x) 

β P

1 k

iα



Y  p p  1 1 6k · x k Y   i=0 σα ((m, n)) = 1+ 1 +  1 1 π2  k k (p + 1)(p − 1) pβ km p(p − 1)  n∈A p†m X

n≤x

×

β−1

Y

1+

X

i

p− k

1

pjα +

pk

j=0

i=k

pβ km β>k

i X

Pβ

iα i=0 p

1

p(p k − 1)

!

β≤k

1 Y p + O x 2k +ε . p+1

p|m

Ù¥m´?¿ ½ ê, (m, n)L«m n Ïf. ½n2.2.6 é?¿¢êx ≥ 1, · k

1!

Y 1 pβ − pβ−1 p k 6k · x k Y 1 1+ 1+ ϕ((m, n)) = 1 1 π2 (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1) n∈A p†m X

n≤x

×

Y

β≤k

β−1

1+

X

i

p− k

i=k

pβ km β>k

1!

1 β β−1

p − p pk Y p i i−1 p −p + + O x 2k +ε .

1 p+1 p(p k − 1) p|m

½n2.2.2–2.2.6 y²: aq , f1 (s) =

∞ X ϕ(n) , ns

f2 (s) =

n=1 n∈A

f4 (s) =

∞ X σα (n) , ns

f3 (s) =

n=1 n∈A

∞ X σα ((m, n)) , ns n=1

∞ X d(n) , ns

n=1 n∈A

f5 (s) =

n∈A

∞ X ϕ((m, n)) . ns n=1

n∈A

|^Euler Èúª±9ϕ(n), σ (n)Úd(n) g½Â, Ǒ ± α

f1 (s) =

Y p

ϕ(pk ) ϕ(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + · · · p p

=

Y p

ϕ(pk ) 1 + ks p

1 1−

1 ps−1

!!

41

Smarandache

=

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) Y p â&#x2C6;&#x2019; psâ&#x2C6;&#x2019;1 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) ; s â&#x2C6;&#x2019; p) Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) (p + 1)(p p 

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) Y  f2 (s) = 1+ Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) p

(psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)ps

Pk

i=1

Îą 1 pi

+ ps + psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1

(pk(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + 1)(psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1)



;

! k(k+1â&#x2C6;&#x2019;i)s Pk+1 (k2 +1)s (2ps â&#x2C6;&#x2019; 1) i=2 k+1 p â&#x2C6;&#x2019; kp Îś k+1 (ks) Y i 1+ ; f3 (s) = k+1 Îś (2ks) (pks + 1)k+1 (ps â&#x2C6;&#x2019; 1)2 p

f4 (s) = =

Y

Ď&#x192;Îą ((m, pk )) Ď&#x192;Îą ((m, pk+1 )) 1+ + +¡¡¡ pks p(k+1)s p ks Y

Îś(ks) Y p 1 1 + ks Îś(2ks) pks + 1 (p + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) pâ&#x20AC; m p|m ! ! βâ&#x2C6;&#x2019;1 Y X Ď&#x192;Îą (pi ) Y Ď&#x192;Îą (pβ ) Ď&#x192;Îą (pβ ) Ă&#x2014; 1 + ks 1+ + ks pis p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s ) p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s ) β β p km βâ&#x2030;¤k

Âą9 Îś(ks) Y Îś(2ks)

f5 (s) =

p|m

Ă&#x2014;

Y

pβ km βâ&#x2030;¤k

p km β>k

i=k

1 1 + ks (p + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) pâ&#x20AC; m ! ! βâ&#x2C6;&#x2019;1 i Y X p â&#x2C6;&#x2019; piâ&#x2C6;&#x2019;1 pβ â&#x2C6;&#x2019; pβâ&#x2C6;&#x2019;1 pβ â&#x2C6;&#x2019; pβâ&#x2C6;&#x2019;1 1 + ks 1+ + ks .

1 pis p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s ) p (1 â&#x2C6;&#x2019; s) p β i=k pks ks p +1

Y

p km β>k

Ă?LA^Perronúª¹9y²½n2.2.1 Â?{, Â&#x152;¹íĂ&#x2018;½n2.2.2¨2.2.6

(J.

2.2.3

k

gÂ&#x2DC;Ă?fĂŞS

Ă&#x161;n2.2.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, ¡Â&#x201A;k X

Ď&#x2030;(n) = x ln ln x + Ax + O

nâ&#x2030;¤x

X

Ď&#x2030;2 (n) = x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) ,

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽA = Îł + P ln 1 â&#x2C6;&#x2019; y²: (ĂŤ Šz[6]). p

42

1 p

x , ln x

+

1 p

.

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) Ă&#x161;n2.2.2 Âľ(n)Ç&#x2018;M¨obius Ÿê, ĂŠ?¿¢ês > 1kĂ° ÂŞ â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n)Ď&#x2030;(n)

=â&#x2C6;&#x2019;

ns

n=1

y²: dĎ&#x2030;(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n)Ď&#x2030;(n)

=

ns

n=1

â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n) n=2

1 X 1 . Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 p

P

p|n

1

ns

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X X 1 X Âľ(np) Âľ(n) =â&#x2C6;&#x2019; = ns ps ps ns p

n=1 (n,p)=1

X 1 = â&#x2C6;&#x2019; ps p

p

â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n)

ns

n=1

!

n=1 (n,p)=1

1â&#x2C6;&#x2019;

1 ps

â&#x2C6;&#x2019;1

=â&#x2C6;&#x2019;

1 X 1 . Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 p

Ă&#x161;n2.2.2 y. Ă&#x161;n2.2.3 k â&#x2030;Ľ 2Ç&#x2018; ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

Ď&#x2030;2 (m)Âľ(d) =

dk mâ&#x2030;¤x

y²: A^Ă&#x161;n2.2.1Â&#x152; X

Ď&#x2030;2 (m)Âľ(d) =

=

1

dâ&#x2030;¤x k

Âľ(d)

1 dâ&#x2030;¤x k

dk mâ&#x2030;¤x

X

X

x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . Îś(k)

X

Ď&#x2030;2 (m)

mâ&#x2030;¤x/dk

x x x x Âľ(d) k (ln ln k )2 + O k ln ln k d d d d

2 X Âľ(d) k ln d + O (x ln ln x) =x ln ln x + ln ln 1 â&#x2C6;&#x2019; dk ln x 1 dâ&#x2030;¤x k

2

= x (ln ln x)

â&#x2C6;&#x17E; X d=1

2

=





X ln d  Âľ(d)  + O x ln ln x  + O(x ln ln x) k d dk ln x 1 dâ&#x2030;¤x k

x(ln ln x) + O (x ln ln x) . Îś(k)

Ă&#x161;n2.2.3 y. Ă&#x161;n2.2.4 k â&#x2030;Ľ 2Ç&#x2018; ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, Kk X

Ď&#x2030;2 (d)Âľ(d) = O(x).

dk mâ&#x2030;¤x

43

¯KïÄ

Smarandache

y²: A^Ún2.2.1 X

ω2 (d)µ(d)

dk m≤x

X

=

1 d≤x k

X

=

1

d≤x k

X

ω2 (d)µ(d)

1

m≤x/dk u|m

h x i ω2 (d)µ(d) udk





X ω (d)µ(d) X 2  +O ω (d)µ(d) = O(x). k d 1 1 2

= x

d≤x k

d≤x k

Ún2.2.4 y. Ún2.2.5 k ≥ 2Ǒ ê, é?¿¢êx ≥ 2, · k X

ω2 ((d, m))µ(d) = O(x).

dk m≤x

y²: (u, v)L«uÚv ú ê, dÚn2.2.1 X

ω2 ((d, m))µ(d)

dk m≤x

=

X

µ(d)

1

X

µ(d)

1

X

ω2 (u)

u|d

d≤x k

= x

ω2 (u)

u|d m≤x/dk

d≤x k

=

X X

∞ X

µ(d)

P ω2 (u)

u|d

dk

d=1

u

hxi dk





X X  +O µ(d) ω2 (u) = O(x).

1

d≤x k

u|d

Ún2.2.5 y. Ún2.2.6 k ≥ 2Ǒ ê, é?¿¢êx ≥ 2, · kìCúª X

ω(d)ω(m)µ(d) = Cx ln ln x + O(x),

dk m≤x

Ù¥C = − 44

1 ζ(k)

P p

1 . pk −1

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) y²: dĂ&#x161;n2.2.19Ă&#x161;n2.2.2Â&#x152; X

Ď&#x2030;(d)Ď&#x2030;(m)Âľ(d)

dk mâ&#x2030;¤x

=

X

Ď&#x2030;(d)Âľ(d)

1 dâ&#x2030;¤x k

=

X

X

Ď&#x2030;(m)

mâ&#x2030;¤x/dk

Ď&#x2030;(d)Âľ(d)

1 dâ&#x2030;¤x k

x ln ln dxk Ax + k +O k d d

x k d ln dxk

X Ď&#x2030;(d)Âľ(d) k ln d = x ln ln x + ln ln 1 â&#x2C6;&#x2019; dk ln x 1 dâ&#x2030;¤x k

+Ax

x X Ď&#x2030;(d)Âľ(d) + O dk ln x 1

dâ&#x2030;¤x k

= (x ln ln x + Ax)

â&#x2C6;&#x17E; X d=1

= Cx ln ln x + O(x),





x Ď&#x2030;(d)Âľ(d)  X ln d  + O x + O   dk dk ln x ln x 1 dâ&#x2030;¤x k

Ă&#x2122;ÂĽC = â&#x2C6;&#x2019; P . Ă&#x161;n2.2.6 y. ½n2.2.7 AL¤k kgÂ&#x2DC;Ă?fĂŞ 8Ă&#x153;, KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, ¡Â&#x201A;k 1 Îś(k)

p

1 pk â&#x2C6;&#x2019;1

X

Ď&#x2030;2 (n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . Îś(k)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(k) Ç&#x2018;Riemamn zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, dŠz[4]Â&#x152; X

dĂ&#x161;n2.2.3¨2.2.6, Kk X

Ď&#x2030;2 (n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

Ď&#x2030;2 (n)

X

Âľ(d) =

nâ&#x2030;¤x

dk |n

X

Ď&#x2030;2 (dk m)Âľ(d)

dk mâ&#x2030;¤x

X

(Ď&#x2030;(d) + Ď&#x2030;(m) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030;((d, m))) Âľ(d)

dk mâ&#x2030;¤x

dk mâ&#x2030;¤x

dk mâ&#x2030;¤x

=

X

1, n 0,

Âľ(d) =

dk |n

Ç&#x2018; k gĂ?fĂŞ, Ă&#x2122;§.

(

X

2

Ď&#x2030;2 (m)Âľ(d) +

X

Ď&#x2030;2 (d)Âľ(d) +

X

Ď&#x2030;2 ((d, m))Âľ(d)

dk mâ&#x2030;¤x

45

Smarandache



+2 

X

dk mâ&#x2030;¤x

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;





Ď&#x2030;(d)Ď&#x2030;(m)Âľ(d) + O 

X

dk mâ&#x2030;¤x



Ď&#x2030;(d)Ď&#x2030;(m)

x(ln ln x) + O (x ln ln x) + 2 (Cx ln ln x + O(x)) + O(x ln ln x) = Îś(k) x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . = Îś(k) 2

u´ ¤ ½n2.2.7 y².

2.2.4

Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸê

½n2.2.8 ĂŠ?¿¢êι, sÂ&#x2026;ávs â&#x2C6;&#x2019; Îą > 19Îą > 0§Kk â&#x2C6;&#x17E; X ZW Îą (n) n=1

ns

1 Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą) Y = 1â&#x2C6;&#x2019; s , Îś(2s â&#x2C6;&#x2019; 2Îą) p + pÎą p

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta-Ÿê, YLÊ¤k Â&#x192;ĂŞĂ?f Ă&#x2C6;. y²: ĂŠ?¿¢êι, sávs â&#x2C6;&#x2019; Îą > 19Îą > 0, p

f (s) =

Â&#x160;â(2-1)Â&#x2020;Euler Ă&#x2C6;úª, Â&#x152;Âą

â&#x2C6;&#x17E; X ZW Îą (n) n=1

ns

.

# Y" 1 Y sâ&#x2C6;&#x2019;Îą pÎą pÎą p f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ = 1+ p p 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p p " ! # 1 Y 1 + psâ&#x2C6;&#x2019;Îą 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s p + pÎą 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p

Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą) Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s . Îś(2s â&#x2C6;&#x2019; 2Îą) p + pÎą p

u´ ¤ ½n2.2.8 y². ½n2.2.9 ĂŠ?¿¢êι > 09x â&#x2030;Ľ 1, Kk X

nâ&#x2030;¤x

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1 ZW (n) = 1â&#x2C6;&#x2019; Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) Îą

p

y²: ĂŠ?¿¢êι > 09x â&#x2030;Ľ 1, w,k |ZW Îą (n)| â&#x2030;¤ nÎą 46

Ă&#x161;

â&#x2C6;&#x17E;

X ZW Îą (n)

1

,

< Ď&#x192;

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;Îą n n=1

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192;´s ¢Ă&#x153;. dPerronúªÂ&#x152; X ZW Îą (n) ns0

=

nâ&#x2030;¤x

b

xs x B(b + Ď&#x192;0 ) f (s + s0 ) ds + O s T bâ&#x2C6;&#x2019;iT

log x +O x1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 H(2x) min 1, T

x â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x H(N ) min 1, , ||x||

1 2Ď&#x20AC;i

Z

b+iT

Ă&#x2122;ÂĽN ´ülx C ĂŞ, Â&#x2026;||x|| = |xâ&#x2C6;&#x2019;N |. 3Þª¼ s = 0, b = Îą+ 9T > 2, Ă?d

Z X 3 2

0

1 ZW (n) = 2Ď&#x20AC;i

Îą+ 32 +iT

Îą

nâ&#x2030;¤x

y3¡Â&#x201A;òĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;lÎą + Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:, Â&#x2026;Ă&#x2122;3ĂŞÇ&#x2018;

3 2

Îą+ 32 â&#x2C6;&#x2019;iT

xs f (s) ds + O s

Âą iT

ÂŁ Îą +

1 2

â&#x2C6;&#x2019; iT ,

3

xÎą+ 2 T

.

ĂšÂ&#x17E;Ÿêf (s) 3s = Îą + 1k xs s

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; Îą . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) p

T = x, Kk X

nâ&#x2030;¤x

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; Îą ZW (n) = Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) Îą

p

Z

1 x ds + O xÎą+ 2 +ÇŤ s Îą+ 12 â&#x2C6;&#x2019;ix

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; Îą Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) p Z x

Îą+ 1 +ÇŤ

2 1 Îą+ 12 +ÇŤ

f Îą + + ÇŤ + ix x +O dt + O x

(1 + |t|) 2 â&#x2C6;&#x2019;x

1 Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) +

1 2Ď&#x20AC;i

Îą+ 12 +ix

s

f (s)

p

u´ ¤ ½n X 2.2.9 y².

5Âż : ZW (n) = x + O(1)Ă&#x161; Â&#x152; 4Â Y 0

lim ιΜ(ι + 1) = 1,

Îąâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;0+

nâ&#x2030;¤x

lim

Îąâ&#x2020;&#x2019;0+

1 Îą

p

1â&#x2C6;&#x2019;

1 pÎą (p + 1)

d½n2.2.9¡Â&#x201A;

= Îś(2).

47

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

2.3

Â&#x192;Ă?f Â&#x152;Â?ĂŞS {e (n)}(II)

2.3.1

ep (n) Euler

Â&#x2020;

p

Ÿê

Ă&#x161;n2.3.1 pÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2030;½ Â&#x192;ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k X

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď&#x20AC; 2

Ď&#x2020;(n) =

nâ&#x2030;¤x (n,p)=1

y²:

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x2020;(n) f (s) = , ns n=1 (u,p)=1

Â&#x2026;Re(s) > 1. KÂ&#x160;âÎ.Ă&#x2C6;úª9Ď&#x2020;(n) Â&#x152; 5¡Â&#x201A;k â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x2020;(n) ns

=

n=1 (n,p)=1

â&#x2C6;&#x17E; YX Ď&#x2020;(q m ) q ms

q6=p m=0

=

Y

q6=p

=

Y

q â&#x2C6;&#x2019; 1 q2 â&#x2C6;&#x2019; q q3 â&#x2C6;&#x2019; q2 1 + s + 2s + +¡¡¡ q q q 3s 1+

1+

1â&#x2C6;&#x2019;

q6=p

=

Y

q6=p

=

1 q q sâ&#x2C6;&#x2019;1

1â&#x2C6;&#x2019;

1 q q sâ&#x2C6;&#x2019;1

1+

1

+

q sâ&#x2C6;&#x2019;1 !

5 2

Âą iT

Ď&#x2020;(n) 1 = ns 2Ď&#x20AC;i

ÂŁ

3 2

Âą iT 1 2Ď&#x20AC;i

48

+ ¡¡¡

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p , Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 0

òĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;l

q 2(sâ&#x2C6;&#x2019;1)

!

q sâ&#x2C6;&#x2019;1 q sâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. Â&#x160;âPerronúª, s Ă­Ă&#x2018; Z X nâ&#x2030;¤x (n,p)=1

1

5 2 +iT

5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs ds + O Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s

5 OĂ&#x152;Â&#x2018;

Z

5 2 +iT 5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

§

Ă&#x161;

=0 T =x b=

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs ds. Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s

5

x2 T

.

5 2

KÂ&#x152;Âą

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) ĂšÂ&#x17E;, Ÿê

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s

f (s) =

3s = 2?kÂ&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:, Ă&#x2122;3ĂŞÇ&#x2018; 1 2iĎ&#x20AC;

5Âż

Z

+ 5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

1 2iĎ&#x20AC;

o

Z

5 2 +iT

Z

3 2 +iT

+ 5 2 +iT

3 2 +iT

+ 5 2 +iT

Z

Z

3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

3px2 . (p+1)Ď&#x20AC; 2

+

3 2 +iT

3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT 3 2 +iT

+

Z

Z

5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

!

¤¹

!

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs 3px2 = . Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s (p + 1)Ď&#x20AC; 2

3 Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs â&#x2030;Ş x 2 +ÇŤ . s Îś(s) p â&#x2C6;&#x2019; 1 s

3 3px2 + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď&#x20AC; 2

X

Ď&#x2020;(n) =

X

Îą p = + O xâ&#x2C6;&#x2019;1 log x ; 2 Îą p (p â&#x2C6;&#x2019; 1)

nâ&#x2030;¤x (n,p)=1

Ă&#x161;n2.3.1 y. Ă&#x161;n2.3.2 ÎąÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2030;½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, Kk x Îąâ&#x2030;¤ log log p

X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

1 1

Îą p2 â&#x2C6;&#x2019;2 + O x log x . Îą =

2 1 p2 p2 â&#x2C6;&#x2019; 1

y²: Â&#x160;âAĂ&#x203A;?ĂŞ 5Â&#x;¡Â&#x201A;Â&#x152;Âą X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

Îą pÎą

=

â&#x2C6;&#x17E; X X Îą t â&#x2C6;&#x2019; t p pÎą log x t=1

Îą> log p

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; log x X t 1 X [ log p ] + t = â&#x2C6;&#x2019; log x pt pt p[ log p ] t=1 t=1 !! x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X [ log t t log p ] â&#x2C6;&#x2019;1 = +O x + pt pâ&#x2C6;&#x2019;1 pt t=1 t=1

p â&#x2C6;&#x2019;1 = log x , 2 +O x (p â&#x2C6;&#x2019; 1)

9 X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

Îą Îą p2

=

â&#x2C6;&#x17E; X X Îą t Îą t â&#x2C6;&#x2019; p2 p2 log x t=1 Îą> log p

49

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Smarandache

â&#x2C6;&#x17E; log x â&#x2C6;&#x17E; X X [ log p ] + t t 1 â&#x2C6;&#x2019; t t 1 log x p2 p2 p 2 [ log p ] t=1 t=1 !! x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X [ log t t log p ] â&#x2C6;&#x2019; 12 = x + t 1 + O 1 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 p2 p p t=1 t=1 1 1

p2 â&#x2C6;&#x2019;2 = + O x log x .

2 1 p2 â&#x2C6;&#x2019; 1

=

ÂŞ

Ă&#x161;n2.3.2 y. ½n2.3.1 pÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x192;ĂŞ, Ď&#x2020;(n)´Î.Ÿê, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;kĂžÂ&#x160;Ăş X

ep (n)Ď&#x2020;(n) =

nâ&#x2030;¤x

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p2 â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x20AC; 2

y²: Â&#x160;âe (n) ½Ă&#x201A;§¹9Ă&#x161;n2.3.1Â&#x2020;Ă&#x161;n2.3.2¡Â&#x201A;k p

X

ep (n)Ď&#x2020;(n)

nâ&#x2030;¤x

X X

=

pÎą â&#x2030;¤x

ÎąĎ&#x2020;(pÎą u) =

pÎą uâ&#x2030;¤x

ÎąĎ&#x2020;(pÎą )

(u,p)=1

3p (p + 1)Ď&#x20AC; 2

Îąâ&#x2030;¤ log p

X

Ď&#x2020;(u)

+O

uâ&#x2030;¤ pxÎą

pÎą â&#x2030;¤x

pâ&#x2C6;&#x2019;1 X ÎąpÎą p log x

=

X

(u,p)=1



x pÎą

2

x pÎą



32 +ÇŤ !!

X ι 3(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 X Îą  3 x + O x 2 +ÇŤ Îą  2 Îą (p + 1)Ď&#x20AC; p p2 log x log x

=

Îąâ&#x2030;¤ log p

3(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 x (p + 1)Ď&#x20AC; 2

=

+O =

(p2

x

p

2

(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1

p2

3 2 +ÇŤ

3p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x20AC;

Îąâ&#x2030;¤ log p

1

+ O xâ&#x2C6;&#x2019;1 log x

!!

1

â&#x2C6;&#x2019; 2 + O x 2 log x

p2 â&#x2C6;&#x2019; 1 3 2 x + O x 2 +ÇŤ .

2

u´ ¤ ½n2.3.1 y².

2.3.2

ep (n)

Â&#x2020;Ă?f Ă&#x2C6;S

nÇ&#x2018;?Âż ĂŞ, P (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ă&#x2C6;, =P (n) = Y d. ~ XÂľP (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 8, ¡ ¡ ¡ . Ăšp§¡Â&#x201A;=?Ă&#x2DC;Â&#x192;Ă?f Â&#x152;Â?ĂŞS {e (n)}Â&#x2020;Ă?f Ă&#x2C6;S {P (n)} ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160; ŠĂ&#x2122;5Â&#x;. d

d

p

d

d

p

50

d

d

d

1 Ù êؼê9Ùþ (II) Ún2.3.3 é?¿¢êx ≥ 1, · k X

n≤x (n,m)=1



 2 Y X ln p 1 1   d(n) = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− + O(x 2 +ǫ ), p−1 p p|m

p|m

Ù¥YL«é¤k êÏf È, γ´î.~ê, ǫǑ?¿ ½ ê. p

y²: T = x ½n2) · k

1/2

X

n≤x (n,m)=1

, A(s) =

Y p

1 d(n) = 2iπ

Z

1 1− s p

3 2 +iT

2

.

âPerron úª(ë ©z[4]

ζ 2 (s)A(s)

3 2 −iT

xs 1 ds + O(x 2 +ǫ ), s

Ù¥ζ(s)´Riemann zeta-¼ê. òÈ© l ± iT £ ± iT . ù , ¼êf (s) = ζ (s)A(s) 3s = 1?k ?4:, Ù3êǑ 3 2

1 2

xs s

2



 2 Y X ln p 1   x ln x + 2γ − 1 + 2 1− . p−1 p

u´ 1 2iπ

Z



5¿

p|m

3 2 +iT

+ 3 2 −iT

Z

1 2 +iT

+ 3 2 +iT

Z

p|m

1 2 −iT 1 2 +iT

+



Z

3 2 −iT 1 2 −iT

!

ζ 2 (s)A(s)

xs ds s

2 Y X ln p 1  = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− . p−1 p p|m

1 2iπ 1

Z

1 2 +iT

+ 3 2 +iT

Z

1 2 −iT

+

1 2 +iT

Z

p|m

3 2 −iT 1 2 −iT

!

ζ 2 (s)A(s)

xs ds s

≪ x 2 +ǫ .

d±þ(ØáǑ X

n≤x (n,m)=1



 2 X ln p Y 1 1   d(n) = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− + O(x 2 +ǫ ). p−1 p p|m

p|m

51

Smarandache

¯KïÄ

Ún2.3.3 y. Ún2.3.4 pǑ ê, é?¿¢êx ≥ 1, Kk

X α p = +O α p (p − 1)2

α≤x

x px

,

(2-2)

2 X α2 p2 + p x = +O , α 3 p (p − 1) px α≤x 3 X α3 p3 + 4p2 + p x = +O . pα (p − 1)4 px

(2-3) (2-4)

α≤x

y²: ùp· =y²ª(2-3)Úª(2-4). Äk5O X

f=

α2 /pα .

α≤n

5¿ ð ª f

1 1− p

=

n X α2

α=1

=

pα

−

n X α2 α+1 p

α=1 n−1 2 X

1 n − + p pn+1 2

=

9 f =

1−

1 p

2

n 1 − n+1 + p p

n−1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

=

1 2 n2 − n2 p + 2+ + p p pn+2 n−1

=

u´ f

52

=

α=1

!

2α + 1 , pα+1

1 1− p

n−1

n

α=1 n−1 X

α=2

1 1 n − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − p p pn+2 pα+1 pα+1 2

=

α=1 n−1 X

(α + 1)2 − α2 pα+1

α=2

+

n2 − n2 p − (2n − 1)p pn+2

1 2(p − 1) n − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

2

2 pα+1

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1 1−

1 p

2

1 Ù êؼê9Ùþ (II) =

Ïd

p 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n−2 + .

2 3 (p − 1) p (p − 1) pn (p − 1)2

X α2 pα

=

α≤x

=

Ún2.3.4¥ (2-3)ª y. e¡5y²ª(2-4)ª.

p 2p + +O (p − 1)2 (p − 1)3 2 p2 + p x +O .

3 (p − 1) px

g=

X

x2 px

α3 /pα .

α≤n

5¿ ð ª

1 g 1− p n n 3 X X α α3 = − pα pα+1 α=1

3

=

α=1 n−1 X

1 n − n+1 + p p 3

α=1 n X

(α + 1)3 − α3 pα+1

3α2 − 3α + 1 pα+1 α=2

1 2 3 n3 pn−1 − 1 n pn−2 − 1 = − n+1 + n+1 − − + p p p − pn p2 pn+1 pn+1 − pn 1 − p1 !

n2 2n − 1 2(pn−3 − 1) 4 5 1 3 − + − n+1 + n+1 + p2 pn+1 p3 p p − pn 1 − 1p 1 − =

=

Ïd X α3 pα

1 n − n+1 + p p

1 p

p2 + 4p + 10 3n − 3n2 + pn−1 − 1 + (3 − 6n)p + p(p − 1)2 pn (p − 1) 3 n−3 n 6p(p − 1) − 3(pn−2 − 1)(p − 1) − n+1 + . p pn−1 (p − 1)3

=

α≤x

=

p2 + 4p + 10 1 9 − 3p + + 2 p(p − 1) p(p − 1) p(p − 1)3 3 p3 + 4p2 + p x +O .

4 (p − 1) px

p +O p−1

x3 px

53

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Ă&#x161;n2.3.4 y. ½n2.3.2 pÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x192;ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

ep (Pd (n)) =

nâ&#x2030;¤x

x ln x p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)3 (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 2p4 + 4p3 + p2 â&#x2C6;&#x2019; 2p + 1 ln p 1 x + O(x 2 +ÇŤ ), + p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)4

Ă&#x2122;¼γ´Î.~ĂŞ, ÇŤÇ&#x2018;?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ. y ²: 5Âż Ă° ÂŞP (n) = n (ĂŤ ÂŞ(1-18)), Âą9dP (n)Ă&#x161;a (n) ½ Ă&#x201A;Âż|^Þ¥ ĂźÂ&#x2021;Ă&#x161;nÂ&#x152;Âą d

X

d(n) 2

d

p

ep (Pd (n))

nâ&#x2030;¤x

=

X (Îą + 1)Îą X (Îą + 1)Îą X d(l) = d(l) 2 2 Îą Îą Îą p â&#x2030;¤x

p lâ&#x2030;¤x (p,l)=1

lâ&#x2030;¤x/p (p,l)=1

2 !

2 ln p (Îą + 1)Îą x x 1 ln Îą + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1â&#x2C6;&#x2019; = 2 pÎą p pâ&#x2C6;&#x2019;1 p Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p 1 +O x 2 +ÇŤ

2 X (Îą + 1)Îą x 1 2 ln p = 1â&#x2C6;&#x2019; ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 p pâ&#x2C6;&#x2019;1 pÎą X

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

1 (Îą + 1)Îą x ln p â&#x2C6;&#x2019; + O x 2 +ÇŤ 2 pÎą Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

2

x 1 2 ln p = 1â&#x2C6;&#x2019; ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 p pâ&#x2C6;&#x2019;1 2 2 p +p ln x p Ă&#x2014; + +O 3 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) x 3 3 1 2 2 p +p x ln p p + 4p + p ln x â&#x2C6;&#x2019; + + O + O x 2 +ÇŤ 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)4 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)3 x

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)3 (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 2p4 + 4p3 + p2 â&#x2C6;&#x2019; 2p + 1 ln p x ln x = + x p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)4 1 +O x 2 +ÇŤ .

X

2

u´ ¤ ½n2.3.2 y². Â&#x160;â½n2.3.2, Â&#x152;Âą Ă­Ă&#x2DC;2.3.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, Kk X

nâ&#x2030;¤x

54

e2 (Pd (n)) =

1 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 65 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 1 x ln x + x + O(x 2 +ÇŤ ), 2 2

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) X

e3 (Pd (n)) =

nâ&#x2030;¤x

2.4

1 8Îł â&#x2C6;&#x2019; 137 ln 3 â&#x2C6;&#x2019; 4 1 x ln x + x + O(x 2 +ÇŤ ).

6 24

Â&#x2013;SmarandacheŸê ĂŠĂł

½Ă&#x201A;2.4.1 -Z LÂŤÂ&#x2013;Smarandache Ÿê ĂŠĂł, Ă&#x2122;½Ă&#x201A;Xe: â&#x2C6;&#x2014;

Zâ&#x2C6;&#x2014; (n) = max{m â&#x2C6;&#x2C6; N â&#x2C6;&#x2014; :

m(m + 1) |n}, 2

Â&#x2013;SmarandacheŸê Êó´Jozsef Sandor3Šz[14]p¤JĂ&#x2018;5 . w,, Â&#x2013;SmarandacheŸê Êóäk5Â&#x;Âľ Zâ&#x2C6;&#x2014; (1) = 1;

9 Zâ&#x2C6;&#x2014; (p) =

(

XJ p = 3 XJ p 6= 3.

2, 1,

Ă&#x2122;ÂĽp Ç&#x2018;?Âż Â&#x192;ĂŞ. !¼§¡Â&#x201A;5?Ă&#x2DC;Â&#x2013;SmarandacheŸê ĂŠĂłZ (n) Â&#x160;^3{ßêS Ăž ĂžÂ&#x160;5Â&#x;. Ă&#x161;n2.4.1 s â&#x2030;Ľ 1Ç&#x2018; ĂŞ, p´Â&#x192;ĂŞ, Kk â&#x2C6;&#x2014;

s

Zâ&#x2C6;&#x2014; (p ) =

(

2, if p = 3 , 1, if p 6= 3.

y²: dŠz[14] ¡K1ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;Âą Ă&#x2018;Þª. Ă&#x161;n2.4.2 q´Â&#x192;ĂŞÂ&#x2026;p = 2q â&#x2C6;&#x2019; 1Ç&#x2018;´Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x192;ĂŞ, Kk Zâ&#x2C6;&#x2014; (pq) = p.

y²: dŠz[14] ¡K2ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152; . Ă&#x161;n2.4.3 k â&#x2030;Ľ 09x â&#x2030;Ľ 3§pÇ&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. Kk X

pâ&#x2030;¤x

1 xk+1 1 xk+1 p = + +O k + 1 ln x (k + 1)2 ln2 x k

y²: 5Âż Ď&#x20AC;(x) = X

pâ&#x2030;¤x

x ln x

+

x ln2 x

pk = Ď&#x20AC;(x)xk â&#x2C6;&#x2019;

+O Z x

x ln3 x

.

xk+1 ln3 x

.

dAbelĂ° ª¡Â&#x201A;k

Ď&#x20AC;(t)ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 dt

1

55

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

k+1 Z x k t xk+1 xk+1 x + 2 +O dt â&#x2C6;&#x2019; k ln x ln t ln x ln3 x 2 Z x k Z x k t t â&#x2C6;&#x2019;k 2 dt + O 3 dt 2 ln t 2 ln t k+1 xk+1 xk+1 x + 2 +O = ln x ln x ln3 x Z x k k xk+1 k 2 + 2k xk+1 t â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; +O 3 dt k + 1 ln x (k + 1)2 ln2 x ln t 2 k+1 k+1 k+1 1 x 1 x x + = +O .

2 2 k + 1 ln x (k + 1) ln x ln3 x =

Ă&#x161;n2.4.3 y. Ă&#x161;n2.4.4 pĂ&#x161;qĂžÇ&#x2018;Â&#x192;ĂŞ, Kk X

pqâ&#x2030;¤x

x2 x2 + C2 2 + O p = C1 ln x ln x

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²: 5Âż x < 1Â&#x17E;¡Â&#x201A;k

1

x2 ln3 x

(2-5)

,

2

X

p

â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ x

=

X

X

1 1â&#x2C6;&#x2019;x

= 1 + x + x2 + x3 + ¡ ¡ ¡ + xm + ¡ ¡ ¡ ,

1

qâ&#x2030;¤x/p

p

x p

+

x p

+O

x p

(ln x â&#x2C6;&#x2019; ln p) (ln x â&#x2C6;&#x2019; ln p)2 (ln x â&#x2C6;&#x2019; ln p)3

lnm p x X ln p ln2 p = 1+ + + ¡¡¡ + m + ¡¡¡ ln x â&#x2C6;&#x161; ln x ln2 x ln x pâ&#x2030;¤ x

x X ln p lnmâ&#x2C6;&#x2019;1 p + 2 1+2 + ¡ ¡ ¡ + m mâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ ln x ln x â&#x2C6;&#x161; ln x pâ&#x2030;¤ x   3 3 3 X x x2 x2 x2   +O = B1 2 + B2 3 + O , 3 x ln x ln x ln4 x â&#x2C6;&#x161; ln p â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ x

(2-6)

pâ&#x2030;¤ x

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, Âą9 1

2

X

â&#x2C6;&#x161; qâ&#x2030;¤ x

=

X

â&#x2C6;&#x161; qâ&#x2030;¤ x

56

1

X

KÂ&#x152;

p

pâ&#x2030;¤x/q

( xq )2

2(ln x â&#x2C6;&#x2019; ln q)

+

( xq )2 4(ln x â&#x2C6;&#x2019; ln q)2

+O

( xq )2 (ln x â&#x2C6;&#x2019; ln q)3

!!

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II)

x2 X 1 ln q ln2 q lnm q + = 1+ +¡¡¡ + m +¡¡¡ 2 ln x â&#x2C6;&#x161; q 2 ln x ln2 x ln x qâ&#x2030;¤ x

x2 X 1 ln q lnmâ&#x2C6;&#x2019;1 q + 1+2 + ¡ ¡ ¡ + m mâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ ln x 4 ln2 x â&#x2C6;&#x161; q 2 ln x qâ&#x2030;¤ x   X x2  +O  3 x â&#x2C6;&#x161; q 2 ln q qâ&#x2030;¤ x !

2 x2 X 1 1 X ln q 1 X 1 x x2 = + 2 + +O .

2 2 2 ln x q2 2 q 4 q ln x ln3 x q q q

¤¹d(2-6)9(2-7)¡Â&#x201A;k X

p =

X

p

â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ x

pqâ&#x2030;¤x

X

X

1+

1

â&#x2C6;&#x161; qâ&#x2030;¤ x

qâ&#x2030;¤x/p

X

pâ&#x2030;¤x/q

x2 x2 = C1 + C2 2 + O ln x ln x

pâ&#x2C6;&#x2019;(

x2 ln3 x

X

p)(

â&#x2C6;&#x161; pâ&#x2030;¤ x

X

(2-7)

1)

â&#x2C6;&#x161; qâ&#x2030;¤ x

,

(2-8)

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Ă&#x161;n2.4.4 y. ½n2.4.1 AL¤k{ßê 8Ă&#x153;. ĂŠ?¿¢ê x â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k

1

2

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Zâ&#x2C6;&#x2014; (n) = C1

x2 x2 + C2 2 + O ln x ln x

x2 ln3 x

.

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y²: Â&#x160;â{ßê 5Â&#x;(Ă&#x161;n1.3.1), Ă&#x161;n2.4.1¨Ă&#x161;n2.4.4¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152; 1

2

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X

Zâ&#x2C6;&#x2014; (p) +

= 3+

1+

Zâ&#x2C6;&#x2014; (n) =

pâ&#x2030;¤x

X X

p2 â&#x2030;¤x

X

Zâ&#x2C6;&#x2014; (p2 ) +

1+

p2 â&#x2030;¤x

pâ&#x2030;¤x

= 3+

X

1+

pâ&#x2030;¤x

X

p2 â&#x2030;¤x

X

2.5

p3 â&#x2030;¤x

1+

X

X

pqâ&#x2030;¤x

x2 ln3 x

X

pqâ&#x2030;¤x p6=q

Zâ&#x2C6;&#x2014; (pq)

p

pqâ&#x2030;¤x p6=q

1+

p3 â&#x2030;¤x

Zâ&#x2C6;&#x2014; (p3 ) +

X

1+

p3 â&#x2030;¤x

x2 x2 = C1 + C2 2 + O ln x ln x

u´ ¤ ½n2.4.1 y².

X

pâ&#x2C6;&#x2019;

X

p

p2 â&#x2030;¤x

.

eÂ&#x192;ĂŞĂ&#x153;ŠŸêĂ&#x161;ĂžÂ&#x192;ĂŞĂ&#x153;ŠŸê

½ Ă&#x201A;2.5.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, eÂ&#x192;ĂŞĂ&#x153;ŠŸêP (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018; u½ ux  Â&#x152;Â&#x192;ĂŞ. ĂžÂ&#x192;ĂŞĂ&#x153;ŠŸêP (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018;Â&#x152;u½ ux  Â&#x192;ĂŞ. +

â&#x2C6;&#x2019;

57

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Smarandache

½Ă&#x201A;2.5.2 ĂŠ?Âż ĂŞn, Â&#x192;ĂŞÂ&#x152;\Ă&#x2013;ĂŞb(n)½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: n + b(n)¤Ç&#x2018;Â&#x2DC; Â&#x2021;Â&#x192;ĂŞ  Â&#x161;K ĂŞ.

3Šz[1] 139Â&#x2021;ÂŻK9144Â&#x2021;ÂŻKp§Smarandache Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020;ĂŻĂ&#x201E;Úß Â&#x2021;S 5Â&#x;. Â&#x161;~k ´ŸêP (n), P (n)Ă&#x161;b(n)Â&#x192;m 3X,ÂŤĂŠ X. !ÂĽĂ&#x152;Â&#x2021;´|^D.R.Heath Brown ­Â&#x2021;(J, Âą9b(n) 5Â&#x; ÂŤP (n)Ă&#x161;P (n) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;. Ă&#x161;n2.5.1 b(n)LÂŤÂ&#x192;ĂŞÂ&#x152;\Ă&#x2013;ĂŞ, Kk OÂŞ +

â&#x2C6;&#x2019;

+

â&#x2C6;&#x2019;

X

nâ&#x2030;¤x

23

b(n) â&#x2030;Ş x 18 +ÇŤ .

y²: p LÂŤ1nÂ&#x2021;Â&#x192;ĂŞ, db(n) ½Ă&#x201A;k n

X

X

b(n) =

nâ&#x2030;¤x

X

b(n)

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x) pi <nâ&#x2030;¤pi+1

X

â&#x2030;¤

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x) pi <nâ&#x2030;¤pi+1

X

â&#x2030;¤

dŠz[15]Â&#x152;

X

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) 2

(2-9)

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) â&#x2030;Ş x 18 +ÇŤ ,

(2-10)

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) .

23

2

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

¤¹d(2-9)9(2-10)ĂĄÇ&#x2018;Ă­Ă&#x2018;

X

X

nâ&#x2030;¤x

23

b(n) â&#x2030;Ş x 18 +ÇŤ .

Ă&#x161;n2.5.1 y. ½n2.5.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

nâ&#x2030;¤x

Pâ&#x2C6;&#x2019; (n) =

Ă&#x2122;ÂĽÇŤÇ&#x2018;?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ. y²: ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, dP X

nâ&#x2030;¤x

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ,

X

58

½Ă&#x201A;¡Â&#x201A;k

â&#x2C6;&#x2019; (n)

Pâ&#x2C6;&#x2019; (n) =

(n + b(n)) =

nâ&#x2030;¤x

23 x2 + O x 18 +ÇŤ , 2

X

X

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi )pi .

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

X

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x) pi <nâ&#x2030;¤pi+1

(n + b(n))

(2-11)

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) X

=

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi )pi+1

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

X

=

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

u´Â&#x160;â(2-10)¨(2-12) Kk X

nâ&#x2030;¤x

=

Pâ&#x2C6;&#x2019; (n) =

X

nâ&#x2030;¤x

n+

X

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

(n + b(n)) â&#x2C6;&#x2019;

b(n) â&#x2C6;&#x2019;

X

2

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) +

X

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

X

P + (n) =

nâ&#x2030;¤x

2

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) 2

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi ) =

P + (n) = 6 +

nâ&#x2030;¤x

X

+

½Ă&#x201A;, (2-12)9Ă&#x161;n2.5.1Â&#x152;

(n)

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi )pi+1

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

= 6+

X

(n + b(n)) =

nâ&#x2030;¤x

u´ ¤ ½n2.5.2 y².

2.6

k

23 x2 + O x 18 +ÇŤ .

2

23 x2 + O x 18 +ÇŤ .

2

y²: aqu½n2.5.1 y²§dP X

(2-12)

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Ď&#x20AC;(x)

u´ ¤ ½n2.5.1 y². ½n2.5.2 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k X

(pi+1 â&#x2C6;&#x2019; pi )pi .

23 x2 + O x 18 +ÇŤ .

2

Smarandache CeilŸê Êó

½Ă&#x201A;2.6.1 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞn, Ă?Âś k Smarandache CeilŸê ½Ă&#x201A;

Xe:

Sk (n) = min{x â&#x2C6;&#x2C6; N | n | xk } (â&#x2C6;&#x20AC;n â&#x2C6;&#x2C6; N â&#x2C6;&#x2014; ) .

~X, S (1) = 1, S (2) = 2, S (3) = 3, S (4) = 2, S (5) = 5, S (6) = 6, S (7) = 7, S (8) = 4, S (9) = 3, ¡ ¡ ¡ . ½Ă&#x201A;2.6.2 ĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞn, Ă?Âś k Smarandache CeilŸê ĂŠĂł ½Ă&#x201A;Xe: 2

2

2

2

2

2

2

2

2

S k (n) = max{x â&#x2C6;&#x2C6; N | xk | n}.

Ă?Ç&#x2018;

(â&#x2C6;&#x20AC;a, b â&#x2C6;&#x2C6; N â&#x2C6;&#x2014; )(a, b) = 1, 59

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

¤¹k S k (ab) = max{x â&#x2C6;&#x2C6; N | xk | a} ¡ max{x â&#x2C6;&#x2C6; N | xk | b} = S k (a) ¡ S k (b),

9

Îą

S k (pÎą ) = pâ&#x152;&#x160; k â&#x152;&#x2039; ,

Ă&#x2122;ÂĽâ&#x152;&#x160;xâ&#x152;&#x2039;LÂŤ u½ ux  Â&#x152; ĂŞ. Ă?d§dn = p Â&#x152;

Îą1 Îą2 1 p2

Îąr â&#x152;&#x160; 1 Îą2 S k (pÎą 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p

Îą1 k

â&#x152;&#x2039;

¡ ¡ ¡ pâ&#x152;&#x160;

Îąr k

â&#x152;&#x2039;

r ¡ ¡ ¡ pι r

Ç&#x2018;n Â&#x192;êŠ),

ιr 1 = S ( pι 1 ) ¡ ¡ ¡ S ( pr ).

¤¹S (n)Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x152; Ÿê, Â&#x2026;TŸêÂ&#x2020;Smarandache Ceil ŸêkĂŠÂ&#x152; ĂŠX. Ăš p§¡Â&#x201A;=?Ă&#x2DC;Ď&#x192; (S (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;P. ½n2.6.1 Îą â&#x2030;Ľ 0§Ď&#x192; (n) = d , KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 19?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞk â&#x2030;Ľ 2, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª 

( ) X x +O x , XJ Îą > k â&#x2C6;&#x2019; 1, 

Ď&#x192; S (n) =  Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x , XJ Îą â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1. Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê, ÇŤÇ&#x2018;?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞ. y²:

X k

Îą

k

Îą

Îą

d|n

kÎś

Îą

Îą+1 k

Îą+1

k

Îą+1 k

Îą+1 2k +ÇŤ

1 2 +ÇŤ

nâ&#x2030;¤x

f (s) =

Â&#x160;âÎ.Ă&#x2C6;úª9Ď&#x192; f (s) =

Y p

=

Îą

Y p

â&#x2C6;&#x17E;

n=1

Ď&#x192;Îą S k (n) . ns

Â&#x152; 5¡Â&#x201A;Â&#x152;

S k (n)

!

Ď&#x192;Îą S k (p) Ď&#x192;Îą S k (pk ) 1+ +¡¡¡ + +¡¡¡ ps pks 1+

Ď&#x192;Îą (1) Ď&#x192;Îą (1) + ¡ ¡ ¡ + (kâ&#x2C6;&#x2019;1)s ps p

!

Ď&#x192;Îą p2 Ď&#x192;Îą (p) Ď&#x192;Îą (p) + ks + ¡ ¡ ¡ + (2kâ&#x2C6;&#x2019;1)s + +¡¡¡ p p2ks p

!

Y 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą = + + + ¡¡¡ pks pks 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p

Y 1 1 1 = Îś(s) 1 + ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą + 2(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + 3(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p = Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą), 60

1 Ă&#x2122; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;(II) Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. w,, kĂ&#x2DC; ÂŞ

â&#x2C6;&#x17E;

X Ď&#x192; S (n)

1 Îą k

<

n=1

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; nĎ&#x192;

S k (n) | â&#x2030;¤ n,

|Ď&#x192;Îą

Îą+1 k

,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 + ´s ¢Ă&#x153;. ¤¹dPerronúª¡Â&#x201A;k Îą+1 k

X Ď&#x192;Îą S k (n) ns0 nâ&#x2030;¤x b

Z b+iT xs 1 x B(b + Ď&#x192;0 ) f (s + s0 ) ds + O = 2iĎ&#x20AC; bâ&#x2C6;&#x2019;iT s T

log x x 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x||

Ă&#x2122;ÂĽN ´ülx C ĂŞ, kxk = |x â&#x2C6;&#x2019; N |. s0 = 0, b =

K 2 a =

X

Ď&#x192;Îą +

Z

1 S k (n) = 2iĎ&#x20AC;

nâ&#x2030;¤x Îą+1 2k

Îą+1 Îą+1 1 1 + , T = x 2k , H(x) = x, B(Ď&#x192;) = k ln x Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;

1 ln x ,

b+iT

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

ĂšÂ&#x17E;, Îą > k â&#x2C6;&#x2019; 1Â&#x17E;, Ÿê

Z

b+iT

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

f (s) = Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą) Îą+1 k

?kÂ&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:, Â&#x2026;Ă&#x2122;3ĂŞÇ&#x2018; Z

1 2iĎ&#x20AC; =

5Âż 1 2iĎ&#x20AC;

,

Îą+1 xs ds + O x 2k +ÇŤ . s

òĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ls = b Âą iT ÂŁ s = a Âą iT 5 OĂ&#x152;Â&#x2018; 1 2iĎ&#x20AC;

3s =

Îą+1 k

b+iT

+

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

Z

a+iT

+

b+iT

Îą+1

Z

xs ds. s

xs s

Îą+1 kÎś ( Îą+1 k ) k . Îą+1 x

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

+ a+iT

Z

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

!

¤¹ Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

xs ds s

kÎś k Îą+1 x k . Îą+1

Z

a+iT

b+iT

+

Z

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

+ a+iT

Z

bâ&#x2C6;&#x2019;iT aâ&#x2C6;&#x2019;iT

!

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

Îą+1 xs ds â&#x2030;Ş x 2k +ÇŤ . s

61

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Kd¹Þ(Ă&#x2DC;¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152; ĂŹCúª X

Îą+1 kÎś Îą+1 Îą+1 k S k (n) = x k + O x 2k +ÇŤ . Îą+1

Ď&#x192;Îą

nâ&#x2030;¤x

u´ ¤ ½n2.6.1 1Â&#x2DC;Ă&#x153;Šy². e0 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1, KŸê

f (s) = Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

xs s

3s = 1?kÂ&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:, Â&#x2026;3ĂŞÇ&#x2018;Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x. aq/, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

nâ&#x2030;¤x

1

Ď&#x192;Îą S k (n) = Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x 2 +ÇŤ .

u´ ¤ ½n2.6.1 1 Ă&#x153;Šy². ½n2.6.2 d(n)´Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê, KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 19?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞk â&#x2030;Ľ 2, ¡Â&#x201A;kĂŹCúª X

nâ&#x2030;¤x

1

d S k (n) = Îś(k)x + O x 2 +ÇŤ .

y²: 3½n2.6.1ÂĽ Îą = 0, ¡Â&#x201A;ĂŠN´Ă&#x2019;Â&#x152;Âą Ă&#x2018;½n2.6.2 (Ă&#x2DC;.

3½n2.6.2ÂĽ k = 2, 3, Â&#x152;Âą Ă&#x2018;eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;: Ă­Ă&#x2DC;2.6.1 ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, Kk X

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

1 Ď&#x20AC;2 d S 2 (n) = x + O x 2 +ÇŤ , 6 1 Ď&#x20AC;4 d S 3 (n) = x + O x 2 +ÇŤ 90

Ă&#x2122;ÂĽd(n)´Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê

62

1nÙ ð Ø ª

1nÙ ð Ø ª

3 ¡üÙ¥· Ì 0 |^ ½)Û {5ïÄêؼê þ ¯K§ éu õê¯K ó§· Ø==Û u Ñêؼê þ O§ ´Ï" °( 4í'X½O úª§½Ù§ â5 §ù Ùp· Ì ÏL êؼê ð ½Ø ª'X5`²ïÄù 5 Ä {.

3.1

S

½Â

é?¿ ê S

½ÂXe

3.1.1 n, {P (n)} : P (1) = 12, P (2) = 1342, P (3) = 135642, P (4) = 13578642, P (5) = 13579108642, · · · , P (n) = 135 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42, · · · · · · .

[1] 20 , F.Smarandache : ? : ! , . , {P (n)} , n ≤ 9 F.Smarandache .

[1] 20, , P (n) .

3.1.1 ,

'u©z 1 ¯K ÇïÆ)û¯K 3 S ¥ ´Ä 3 g ê ¤ Ñ ß ´ 3 S ¥Ø 3 g ê éù ¯K ïÄ´ ©k¿Â § ± Ï· uy S #5 ù !¥ · ò?Ø S 5 ¿`² ß ´ ( ù ÒÜ© )û Ö ¥ ¯K ? Ú · Ǒ ´ ' u # ©)5 ½n 3 S ¥Ø 3 g ê n

n

z }| { z }| { 1 P (n) = (11 · 102n − 13 · 10n + 2) =11 · · · 1 ×1 22 · · · 2, 81

n ≤ 9.

y²: é?¿ ên, · k

P (n) = 102n−1 + 3 × 102n−2 + · · · + (2n − 1) × 10n

+2n × 10n−1 + (2n − 2) × 10n−2 + · · · + 4 × 10 + 2

= [102n−1 + 3 × 102n−2 + · · · + (2n − 1) × 10n ]

[+2n × 10n−1 + (2n − 2) × 10n−2 + · · · + 4 × 10 + 2]

≡ S1 + S2 .

y3· 5©OO (3-1)ª¥ S 9S . 5¿ 1

(3-1)

2

9S1 = 10S1 − S1 = 102n + 3 × 102n−1 + · · · + (2n − 1) × 10n+1 −102n−1 − 3 × 102n−2 − · · · − (2n − 1) × 10n

9

= 102n + 2 × 102n−1 + 2 × 102n−2 + · · · + 2 × 10n+1 − (2n − 1) × 10n 10n−1 − 1 = 102n + 2 × 10n+1 × − (2n − 1) × 10n 9 9S2 = 10S2 − S2 = 2n × 10n + (2n − 2) × 10n−1 + · · · + 4 × 102 + 2 × 10 63

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

â&#x2C6;&#x2019;2n Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; (2n â&#x2C6;&#x2019; 2) Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; ¡ ¡ ¡ â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019; 2

= 2n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 10nâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; ¡ ¡ ¡ â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019; 2 10n â&#x2C6;&#x2019; 1 . = 2n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 9

u´

S1 =

ÂżÂ&#x2026;

1 Ă&#x2014; [11 Ă&#x2014; 102n â&#x2C6;&#x2019; 18n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 11 Ă&#x2014; 10n ] 81

(3-2)

1 Ă&#x2014; [18n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 10n + 2].

81

(3-3)

S2 =

Ăš , nĂ&#x153;(3-1), (3-2)9(3-3)ª¡Â&#x201A;k P (n) = S1 + S2 =

1 Ă&#x2014; [11 Ă&#x2014; 102n â&#x2C6;&#x2019; 18n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 11 Ă&#x2014; 10n ] 81

1 Ă&#x2014; [18n Ă&#x2014; 10n â&#x2C6;&#x2019; 2 Ă&#x2014; 10n + 2] 81 n n z }| { z }| { 1 2n n (11 ¡ 10 â&#x2C6;&#x2019; 13 ¡ 10 + 2) =11 ¡ ¡ ¡ 1 Ă&#x2014;1 22 ¡ ¡ ¡ 2, 81 +

=

n â&#x2030;¤ 9. (3-4)

d(3-4)ª¡Â&#x201A;N´wĂ&#x2018; n â&#x2030;Ľ 2Â&#x17E;, 2|P (n) ´4â&#x20AC; P (n). KdXJn â&#x2030;Ľ 2, oP (n)7Ă&#x2DC;Ç&#x2018; gÂ&#x2DC;ĂŞ. ¯¢Þ, XJb½P (n)Ç&#x2018;Ç&#x2018; gÂ&#x2DC;ĂŞ, K 3 ĂŞm â&#x2030;Ľ 29k â&#x2030;Ľ 2 P (n) = m . du2|P (n), Ă?dm7Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;óê. ¤¹Â&#x152;¹í Ă&#x2018;4|P (n). ĂšÂ&#x2020; n â&#x2030;Ľ 2Â&#x17E;4â&#x20AC; P (n)Â&#x192;gĂą. 5Âż P (1)Ă&#x2DC;´ gÂ&#x2DC;ĂŞ, u´P (n)Ă&#x2DC; Ç&#x2018; gÂ&#x2DC;êʤk1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 9Þ¤å. Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n3.1.1 y². k

Â&#x2021;'ĂŠĂ&#x203A;S

3.2

Smarandache

½ Ă&#x201A;3.2.1 Ă?Âś Smarandache Â&#x2021;'ĂŠĂ&#x203A;S {b }½Ă&#x201A;Xe: 1, 31, 531, 7531, 97531, 1197531, 131197531, 15131197531, 1715131197531, ¡ ¡ ¡ .

3Šz[16] ÂŻK3ÂĽ, Mihaly Bencze Ă&#x2021;Ă&#x161;Lucian Tutescu Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020;¡Â&#x201A;ĂŻ Ă&#x201E;ĂšÂ&#x2021;S Â&#x17D;â5Â&#x;. !ÂĽĂ&#x152;Â&#x2021;?Ă&#x2DC;SmarandacheÂ&#x2021;'ĂŠĂ&#x203A;S Â&#x17D;â5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;AÂ&#x2021;Â&#x192;' 4íúª9Ă&#x2122;Ă?Â&#x2018; °(LÂ&#x2C6;ÂŞ. =Ă&#x2019;´, ¡Â&#x201A;òy²eÂĄ ( Ă&#x2DC;: ½n3.2.1 n â&#x2030;Ľ 2Ç&#x2018;?Âż ĂŞÂ&#x2026;áv(2nâ&#x2C6;&#x2019;3)kk ê, KSmarandacheÂ&#x2021; 'ĂŠĂ&#x203A;S {b }k4íúª n

n

bn = bnâ&#x2C6;&#x2019;1 + (2n â&#x2C6;&#x2019; 1) Ă&#x2014; 10

Ă&#x2122;ÂĽb = 1. y²: (ĂŞĂ&#x2020;8B{) (i) en = 2, 3, w,½n3.2.1 ¤å.

1

64

10â&#x2C6;&#x2019;10k 18

+kĂ&#x2014;(nâ&#x2C6;&#x2019;1)

,

1nÙ ð Ø ª (ii)

b n = m ½n3.2.1 ¤á. =±e4íúª bm = bm−1 + (2m − 1) × 10

éuSmarandache 'éÛS {b }¤á. é'b Úb ØÓ, · b k · le¡ü ¡5w: a) e2m − 1Ekk ê, K b k[ 'b Úb ØÓ, áǑ íÑ

10−10k 18

n

m

m+1

m−1

m−1

10−10k 18

m

10−10k 18

+k×(m−1)

ê. en = m+1, + k × (m − 1) + k] ê. é

+k×(m−1)

m

10−10k bm+1 − bm = 10 18 +k×(m−1)+k .

2m + 1

=,

bm+1 = bm + (2m + 1) × 10

e

=m =

+k×m

.

Ekk + 1 ê, K b k[ + k × (m − 1) + k + 1] ê. k êÚ(2m − 1)kk + 1 ê, ù ¬kXe ¹

2m − 1 b) (2m − 3) k

£Á

10−10k 18

m

10−10k 18

2m − 3 = 10k − 1, 2m − 1 = 10k + 1.

10k 2

+ 1.

¤±· k

10 − 10k + k × (m − 1) + (k + 1) = 18 =

é'b Úb ØÓ, íÑ m+1

10 − 10k 10k +k× + (k + 1) 18 2 10 − 10k+1 + (k + 1) × m 18

m

10−10k 10−10k+1 bm+1 − bm = 10 18 +k×(m−1)+(k+1) = 10 18 +(k+1)×m .

2m + 1

=

bm+1 = bm + (2m + 1) × 10

10−10k+1 +(k+1)×m 18

.

nÜ(i) Ú(ii) é?¿ ên½n3.2.1 ¤á. u´ ¤ ½n3.2.1 y². ½ n3.2.2 (2n − 3)kk ê, KSmarandache 'éÛS {b }¥ 1b k + k × (n − 1) ê. y ²: |^½n3.2.1 (Ø¿5¿ b Úb ØÓ, · áǑ ½ n3.2.2 (Ø. Ún3.2.1 k, m, nǑ ê ÷vm ≤ n, Kk n

n−1

10−10k 18

n

Sk(m,n) =

n−1

(2m − 1) × 10k(m−1) 10km [1 − 10k(n−m) ] (2n − 1) × 10kn + 2 × + .

1 − 10k (1 − 10k )2 1 − 10k 65

Smarandache

y²: dS

k(m,n)

¯KïÄ

½Â· k

Sk(m,n)

=

n X

(2i − 1) × 10k(i−1)

i=m

= (2m − 1) × 10k(m−1) + (2m + 1) × 10km + · · · + (2n − 1) × 10k(n−1)

9

10k Sk(m,n) = (2m − 1) × 10km + (2m + 1) × 10k(m+1) + · · · + (2n − 1) × 10kn .

Ïd

(1 − 10k )Sk(m,n)

= (2m − 1) × 10k(m−1) + 2 × [10km + 10k(m+1) + · · · + 10k(n−1) ] − (2n − 1) × 10kn

= (2m − 1) × 10k(m−1) + 2 × −(2n − 1) × 10kn .

¤±· k Sk(m,n) =

10km [1 − 10k(n−m) ] 1 − 10k

(2m − 1) × 10k(m−1) 10km [1 − 10k(n−m) ] (2n − 1) × 10kn +2× + . k 1 − 10 (1 − 10k )2 1 − 10k

Ún3.2.1 y. ½n3.2.3 S

k(m,n)

=

n X

(2i − 1) × 10k(i−1) ,n ≥ 2,

KkÏ úª

i=m

−(k−1)

bn = 1 + S1(2,6) + 10−5 × S2(7,51) + 10−55 × S3(52,501)

z }| { + · · · + 10−5 · · · 5 × S

k(m,n) .

y²: d½n3.2.1, e(2n − 3)kk ê, -(2n − 3)Ǒkk Ûê ê(ùp k = 1 m = 2, k > 1 m = + 2), K âÚn3.2.1k 10k−1 2

bn = 1 + (2 × 2 − 1) × 10 +(2 × 3 − 1) × 10 +(2 × 4 − 1) × 10 +(2 × 6 − 1) × 10 +(2 × 8 − 1) × 10 66

10−101 +1×(2−1) 18

10−101 18

+1×(3−1)

10−101 18

+1×(4−1)

10−101 18

+1×(6−1)

10−102 18

+2×(8−1)

+ (2 × 5 − 1) × 10 + (2 × 7 − 1) × 10

10−101 18

+1×(5−1)

10−102 18

+2×(7−1)

1nÙ ð Ø ª + · · · + (2 × 51 − 1) × 10 +(2 × 52 − 1) × 10 +(2 × 53 − 1) × 10

10−103 18 10−103 18

+ · · · + (2 × m − 1) × 10 + · · · + (2 × n − 1) × 10 +10

10−102 18

+ · · · + 10 +1 + 10

10−10k 18

+3×(53−1) 10−10k 18

10−10k 18

+k×(m−1)

+k×(n−1)

10−103 18

× Sk(m,n)

× S1(2,6) + 10

10−10k

+2×(51−1)

+3×(52−1)

× S2(7,51) + 10

10−101 18

+ · · · + 10

10−102 18

+ 1 + 10

10−101 18

× S1(2,6)

× S3(52,501)

10−102 18

× S2(7,51) + 10

10−103 18

× S3(52,501)

× Sk(m,n)

18

= 1 + S1(2,6) + 10−5 × S2(7,51) + 10−55 × S3(52,501) −(k−1)

z }| { + · · · + 10−5 · · · 5 × S

k(m,n) .

ù Ò ¤ ½n3.2.3 y² .

X Ún3.2.2 S = i × 10 n

2

′ k(n,m)

i=m

′ Sk(m,n)

=

− ′ k(m,n)

,

Ké?¿ êk, m, n· k

m2 × 10−km (2m + 1) × 10−k×(m+1) + 1 − 10−k (1 − 10−k )2 +2 ×

y²: dS

−ki

10−k(m+2) [1 − 10−k(n−m−1) ] (1 − 10−k )3

(2n − 1) × 10−k×(n+1) n2 × 10−k(n+1) − .

(1 − 10−k )2 1 − 10−k

½Â· k

′ Sk(m,n)

= m2 × 10−k×m + (m + 1)2 × 10−k×(m+1) + (m + 2)2 × 10−k×(m+2)

9

+ · · · + [m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)]

′ 10−k Sk(m,n)

= m2 × 10−k×(m+1) + (m + 1)2 × 10−k×(m+2)

+ · · · + [m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)+1] .

Ïd ′ (1 − 10−k )Sk(m,n)

67

Smarandache

¯KïÄ

= m2 × 10−k×m + (2m + 1) × 10−k×(m+1) + (2m + 3) × 10−k×(m+2) + · · · + {2[m + (n − m)] − 1} × 10−k[m+(n−m)] −[m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)]+1 .

¤±· k

′ Sk(m,n)

= =

n X

−km

m × 10 n2 × 10−k(n+1) i=m+1 + + 1 − 10−k 1 − 10−k 1 − 10−k −k×(m+1) 2 −km m × 10 (2m + 1) × 10 + −k 1 − 10 (1 − 10−k )2 +2 ×

10−k(m+2) [1 − 10−k(n−m−1) ] (1 − 10−k )3

−

Ún3.2.2 y. Ún3.2.3 S

(2n − 1) × 10−k×(n+1) n2 × 10−k(n+1) − .

(1 − 10−k )2 1 − 10−k

′′ k(n,m)

=

n X

i=m ′′ Sk(m,n) =

y²: dS

i × 10−ki ,

Ké?¿ êk, m, n· k

m2 × 10−km 10−k(m+1) [1 − 10−k(n−m) ] n × 10−k(n+1) + − .

1 − 10−k (1 − 10−k )2 (1 − 10−k )

′′ k(m,n)

½Â· k

′′ Sk(m,n)

= m × 10−km + (m + 1) × 10−k(m+1)

+ · · · + [m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)]

9 ′′ 10−k Sk(m,n)

= m × 10−k(m+1) + (m + 1) × 10−k(m+2)

+ · · · + [m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)+1] .

Ïd ′′ (1 − 10−k )Sk(m,n)

¤±· k ′′ Sk(m,n) =

68

(2i − 1) × 10−k×i

2

= m × 10−km + 10−k(m+1) + · · · + 10−k[m+(n−m)] −[m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)+1] .

m × 10−km 10−k(m+1) [1 − 10−k(n−m) ] n × 10−k(n+1) + × − .

1 − 10−k (1 − 10−k )2 (1 − 10−k )

1nÙ ð Ø ª Ún3.2.3 y. ½n3.2.4 -S L«Smarandache 'éÛS {b }¥ 50 Ú,Kk 50

S50 =

n

11 × 45 × 106 − 201 × 50 −81 × 106 + 970 + 9 92 6 95 −4 × 10 + 4 × 100 99 × 10 − 13 × 44 × 107 + + 93 99 95 × 1095 + 73 × 109 −4 × 1095 + 4 × 1011 + + .

992 993

y²: |^½n3.2.1 S50 = b1 + b2 + b3 + · · · + b49 + b50 = 50 + 49 × (2 × 2 − 1) × 10 +48 × (2 × 3 − 1) × 10 +47 × (2 × 4 − 1) × 10 +46 × (2 × 5 − 1) × 10 +45 × (2 × 6 − 1) × 10 +44 × (2 × 7 − 1) × 10 +43 × (2 × 8 − 1) × 10

10−101 18

10−101 18

+1×(3−1)

10−101

+1×(4−1)

18 10−101

+1×(5−1)

18 10−101

+1×(6−1)

18 10−102

+2×(7−1)

18 10−102

+2×(8−1)

18

+ · · · + 3 × (2 × 48 − 1) × 10 +2 × (2 × 49 − 1) × 10 +1 × (2 × 50 − 1) × 10

+1×(2−1)

10−102 18

+2×(48−1)

10−102 18

+2×(49−1)

10−102 18

+2×(50−1)

= 50 × [2 × (51 − 50) − 1] × 10

10−101 +1×(50−50) 18

+49 × [2 × (51 − 49) − 1] × 10 +48 × [2 × (51 − 48) − 1] × 10 +47 × [2 × (50 − 47) − 1] × 10

10−101 +1×(50−49) 18 10−101 +1×(50−48) 18 10−101 +1×(50−47) 18

+ · · · + 45 × [2 × (51 − 45) − 1] × 10 +44 × [2 × (50 − 44) − 1] × 10

10−102 18

+ · · · + 2 × [2 × (51 − 2) − 1] × 10 +1 × [2 × (51 − 1) − 1] × 10 = 101 × [50 × 10

10−101 18

+ · · · + 45 × 10 +44 × 10

10−102 18

10−102 18

+1×50−1×50

10−101 18

10−101 18

+1×(51−45)

+2×(50−44)

10−102 18

+2×(50−2)

+2×(50−1)

+ 49 × 10

10−101 +1×50−1×49 18

+1×50−1×45

+2×50−2×44

69

Smarandache + · · · + 2 × 10 +1 × 10

10−102 18

10−102 +2×50−2×2 18

+2×50−2×1

−2 × [502 × 10 +492 × 10

10−101 18

10−101 18

10−102 18

+ · · · + 22 × 10

]

+1×50−1×50

+1×50−1×49

+ · · · + 452 × 10

+442 × 10

¯KïÄ

10−101 18

+1×50−1×45

+2×50−2×44

10−102 +2×50−2×2 18

10−102

+12 × 10 18 +2×50−2×1] 50 X 10−101 i × 10 18 +1×50−1×i = 101 × i=45 44 X

+101 × −2 × −2 ×

i=1

50 X

i=45 44 X i=1

= 101 × 10

i × 10

10−101 18

i2 × 10

i2 × 10

50

×

−2 × 1050 ×

10−102 18

50 X

i=45 50 X

i=45

10−102 18

+2×50−2×i

+1×50−1×i

+2×50−2×i

i × 10

−i

+ 101 × 10

95

i2 × 10−i − 2 × 1095 ×

¤±§|^Ún3.2.2ÚÚn3.2.3áǑ ±íÑ

i=1

44 X i=1

i × 10−2×i

i2 × 10−2×i .

11 × 45 × 106 − 201 × 50 −81 × 106 + 970 + 9 92 6 95 −4 × 10 + 4 × 100 99 × 10 − 13 × 44 × 107 + + 93 99 95 9 95 −4 × 10 + 4 × 1011 95 × 10 + 73 × 10 + + .

2 99 993

S50 =

u´ ¤ ½n3.2.4 y².

3.3

×

44 X

Smarandache LCM

'~S

-(x , x , ..., x ) Ú[x , x , ..., x ]©OL«?¿ êx , x , ..., x úÏ êÚ ú ê.

1

70

2

t

1

2

t

1

2

t

1nĂ&#x2122; Ă° Â&#x2020;Ă&#x2DC; ÂŞ ½Ă&#x201A;3.3.1 r > 1Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞ, ĂŠ?Âż ĂŞn, T (r, n) =

[n, n + 1, ..., n + r â&#x2C6;&#x2019; 1] , [1, 2, ...r]

KòS SLR(r) = {T (r, n)} ÂĄÇ&#x2018;rgSmarandache LCM '~S .

3Šz[17]ÂĽ, WjuĂŻĂ&#x201E; SLR(r) 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018; SLR(3)Ă&#x161;SLR(4) ĂźÂ&#x2021; 8 úª. !?Ă&#x2DC; SLR(5) OÂ&#x17D;ÂŻK, Ă&#x201E;kk: Ă&#x161;n3.3.1 ĂŠ?Âż ĂŞaĂ&#x161;b, ¡Â&#x201A;k(a, b)[a, b] = ab. y²: (ĂŤ Šz[4]). Ă&#x161;n3.3.2 ĂŠ?Âż ĂŞsávs < t, ¡Â&#x201A;k â&#x2C6;&#x17E;

(x1 , x2 , ..., xt ) = ((x1 , ..., xs ), (xs+1 , ..., xt ))

9

[x1 , x2 , ..., xt ] = [[x1 , ..., xs ], [xs+1 , ..., xt ]].

y²: (ĂŤ Šz[4]). Ă&#x161;n3.3.3 ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â&#x201A;k T (4, n) =

(

1 24 n(n 1 72 n(n

+ 1)(n + 2)(n + 3), + 1)(n + 2)(n + 3),

XJ n â&#x2030;Ą 1, 2 mod 3; XJ n â&#x2030;Ą 0 mod 3.

y²: (ĂŤ Šz[17]). ½n3.3.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â&#x201A;kOÂ&#x17D;úª:  n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ      n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ    n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ T (5, n) =  n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ     n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ    n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ 1 1440 1 120 1 720 1 360 1 480 1 240

n â&#x2030;Ą 0, n â&#x2030;Ą 1, n â&#x2030;Ą 2, n â&#x2030;Ą 3, nâ&#x2030;Ą4 n â&#x2030;Ą 10

8 mod 12; 7 mod 12; 6 mod 12; 5, 9, 11 mod 12; mod 12; mod 12.

y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, d?Âż ĂŞ  ú ĂŞ5Â&#x;Â&#x152; [n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4] = [[n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4] [n, n + 1, n + 2, n + 3](n + 4) = . ([n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4)

71

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

5Âż [1, 2, 3, 4, 5] = 60, [1, 2, 3, 4] = 12 Ă&#x161;  4, XJ      1, XJ    6, XJ ([n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4) =  2, XJ     12, XJ    3, XJ 2(Ă&#x153;Ă&#x161;n3.3.3N´íĂ&#x2018;½n3.3.1 (Ă&#x2DC;. u´Ă&#x2019; ¤ ½n3.3.1 y².

3.4

n â&#x2030;Ą 0, 4 mod 12; n â&#x2030;Ą 1, 3, 5, 7, 9 mod 12; n â&#x2030;Ą 2 mod 12; n â&#x2030;Ą 6, 10 mod 12; n â&#x2030;Ą 8 mod 12; n â&#x2030;Ą 11 mod 12,

Ă?f Ă&#x2C6;Â&#x2020;Ă˝Ă?f Ă&#x2C6;S

nÇ&#x2018; ĂŞ, p (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ă&#x2C6;, =Ă&#x2019;´, p (n) = Q d. ~X, d

d

d|n

pd (1) = 1, pd (2) = 2, pd (3) = 3, pd (4) = 8, pd (5) = 5, pd (6) = 36, ¡ ¡ ¡ , pd (p) = p, Q d. ¡ ¡ ¡ . qd (n) n , qd (n) = , qd (1) = 1,

LÂŤ ¤k Ă˝Ă?f Ă&#x2C6; K

~X q (2) = 1, p (3) = 1, p (4) = 2, p (5) = 1, p (6) = 6, ¡ ¡ ¡ . 3Šz[1] 125Â&#x2021; Â&#x2020;26Â&#x2021;ÂŻKÂĽ, F.Smarandach Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020;¡Â&#x201A;ĂŻĂ&#x201E;S {p (n)}Â&#x2020;{q (n)} 5Â&#x;. !ÂĽ, ò|^ Â?{ĂŻĂ&#x201E;S {p (n)}Â&#x2020;{q (n)} 5Â&#x;, Âży² Makowski Â&#x2020;Schinzel Ă&#x;Â&#x17D;3S {p (n)}Â&#x2020;{q (n)}¼¤å. Ă&#x161;n3.4.1 ĂŠ?Âż ĂŞn¡Â&#x201A;k𽪠p (n) = n ÂżÂ&#x2026; q (n) = n , Ă&#x2122;ÂĽd(n) = P 1´Ă&#x2DC;êŸê. y²: dp (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; d

d

d

d|n,d<n

d

d

d

d

d

d

d(n) 2

d

d

d

d(n) 2 â&#x2C6;&#x2019;1

d

d|n

d

pd (n) =

Y

d=

d|n

Ă?d

p2d (n) =

Â&#x160;â(3-5)ÂŞÂ&#x152;¹åÇ&#x2018; 9 qd (n) =

d|n

d

.

n = nd(n) .

(3-5)

d|n

pd (n) = n

Y

d|n,d<n

72

Y

Yn

d=

d(n) 2

Q

d|n

n

d =n

d(n) 2 â&#x2C6;&#x2019;1

.

1nÙ ð Ø ª Ún3.4.1 y. Ú n3.4.2 é?¿ ên, -n = p p · · · p ÷vα ≥ 2(i = 1, 2, · · · , s), p (j = 1, 2, · · · , t) ´pØ Ó ê p < p < · · · < p , Kk O 6 α1 α2 1 2

j

αs s

1

σ(φ(n)) ≥

π2

i

2

s

n.

y²: âEuler¼ê 5 , · k α2 αs 1 φ(n) = φ(pα 1 )φ(p2 ) · · · φ(ps )

1 −1 α2 −1 p2 · · · psαs −1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (ps − 1). = pα 1

(p − 1)(p − 1) · · · (p − 1) = p p 1, 2, · · · , s), r ≥ 1(j = 1, 2, · · · , t)9q < q d(3-6)ª ±íÑ 1

2

¿ β ≥ 0(i = ´pØ Ó ê. u´,

β1 β2 1 2

s

1

j

(3-6)

· · · pβs s q1r1 q2r2 · · · qtrt , < · · · < qt

2

i

2 +β1 −1 · · · psαs +βs −1 q1r1 q2r2 · · · qtrt ) σ(φ(n)) = σ(p1α1 +β1 −1 pα 2 rj +1 s t i +βi Y −1 pα − 1 Y qj i = pi − 1 qj − 1

i=1

= n

j=1

s Y

1−

i=1

= n

s Y

1−

i=1

≥ n ≥ n ≥ n

5¿ Q p

1 1− p12

=

∞ P

n=1

s Y

1−

i=1

s Y i=1

Y p

1 n2

1 i +βi pα i

1 i +βi pα i

1 i +βi pα i

1 1− 2 pi 1 1− 2 p

= ζ(2) =

σ(φ(n)) ≥ n

! !

t 1− Y

1 r +1 qj j 1 qj

j=1

1−

t Y

1 1 1+ + · · · + rj qj qj

j=1

!

.

π2 6 ,

Y p

!

¤±k

1−

Ún3.4.2 y. ½n3.4.1 é?¿ ênkؽª

σ(φ(pd (n))) ≥

1 p2

=

6 n. π2

1 pd (n), 2 73

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥φ(k)´Euler¼ê, σ(k)´ØêÚ¼ê. y²: éu½n3.4.1· ò©nǑ ê Üêü« ¹?1?Ø. nǑ ê , Kd(n) = 2. ù dÚn3.4.1 d(n) 2

pd (n) = n

¤±, dd9φ(n) = n − 1áǑ ± σ(φ(pd (n))) = σ(n − 1) =

X

d|n−1

= n.

n 1 = pd (n).

2 2

≥n−1 ≥

nǑÜê , Kd(n) ≥ 3. XJd(n) = 3, on = p (p Ǒ ê). u´ 2

pd (n) = n

d(n) 2

= pd(n) = p3 .

(3-7)

|^Ún3.4.29(3-7)ª, ±íÑØ ª σ(φ(pd (n))) = σ(φ(p3 )) ≥

6 3 1 p ≥ pd (n). π2 2

XJd(n) = 4, p (n) = n = p p · · · p ÷vp kα ≥ 2(i = 1, 2, · · · , s). q âÚn3.4.2 Ø ª d

d(n) 2

α1 α2 1 2

αs s

1

< p2 < · · · < ps ,

i

σ(φ(pd (n))) ≥

6 1 pd (n) ≥ pd (n). π2 2

ù · Ò ¤ ½n3.4.1 y². ½n3.4.2 é?¿ ên, Kk

σ(φ(qd (n))) ≥

1 qd (n).

2

y²: ùp· Eò©üÚ©5?Ø. nǑ ê k qd (n) = n

dd ±íÑ

d(n) 2 −1

σ(φ(qd (n))) = 1 ≥

= 1.

1 qd (n).

2

nǑÜê , Kd(n) ≥ 3. ¤±· ò?رeo« ¹: (a) d(n) = 3 , ¤±n = p (pǑ ê). u´ 2

qd (n) = n

d(n) 2 −1

= pd(n)−2 = p

|^þª9½n3.4.1 y², ± σ(φ(qd (n))) ≥ 74

1 qd (n).

2

o·

1nĂ&#x2122; Ă° Â&#x2020;Ă&#x2DC; ÂŞ d(n) = 4Â&#x17E;, dĂ&#x161;n3.4.1Â&#x152;

(b)

qd (n) = n

ÂżÂ&#x2026;n = p ½Ün = p p n3.4.2¡Â&#x201A;k 3

1 2

(p, p1

d(n) 2 â&#x2C6;&#x2019;1

=n

9p ĂžÇ&#x2018;Â&#x192;ĂŞÂ&#x2026;p 2

1

(3-8)

< p2 ).

XJn = p , d(3-8)9Ă&#x161; 3

Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) = Ď&#x192;(Ď&#x2020;(n)) = Ď&#x192;(Ď&#x2020;(p3 )) 1 3 1 p = qd (n). â&#x2030;Ľ 2 2

(3-9)

XJn = p p Â&#x2026;2 = p < p , Kp â&#x2C6;&#x2019; 1´Â&#x2DC;Â&#x2021;óê. p â&#x2C6;&#x2019; 1 = p p q ¡ ¡ ¡ q ÂżÂ&#x2026; ávq < q < ¡ ¡ ¡ < q ´pĂ&#x2DC;Â&#x192;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ, r â&#x2030;Ľ 1(j = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , t), β â&#x2030;Ľ 1, β â&#x2030;Ľ 0. Â&#x160;âĂ&#x161;n3.4.2 y²9(3-8)ÂŞ, Â&#x152;¹íĂ&#x2018; 1 2

1

1

2

2

2

2

t

β1 β2 r1 1 2 1

j

Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) = Ď&#x192;(Ď&#x2020;(n)) 2 Y = n 1â&#x2C6;&#x2019;

1

!

1

t Y

i p1+β i j=1

1 1 â&#x2030;Ľ n 1â&#x2C6;&#x2019; 2 1â&#x2C6;&#x2019; p2 p1

1 1 â&#x2030;Ľ n 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; 4 3 1 = qd (n).

2

i=1

rt t

1 1 + ¡ ¡ ¡ + rj 1+ qj qj

2

!

(3-10)

XJn = p p Â&#x2026;2 < p < p , Kp â&#x2C6;&#x2019; 1Â&#x2020;p â&#x2C6;&#x2019; 1Ă&#x2018;´óê. (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1) = p p q ¡ ¡ ¡ q ÂżÂ&#x2026;ávq < q < ¡ ¡ ¡ < q ´pĂ&#x2DC;Â&#x192;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ, r â&#x2030;Ľ 1(j = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , t), β , β â&#x2030;Ľ 0. Â&#x160;âĂ&#x161;n3.4.2 y²9(3-8)ÂŞ, Ç&#x2018;Â&#x152;Âą β1 β2 r1 1 2 1

1 2 rt t 1

1

2

1

1

2

2

1

t

2

j

2

Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) = Ď&#x192;(Ď&#x2020;(n)) 2 Y = n 1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ

1

!

t Y

1 1 1+ + ¡ ¡ ¡ + rj 1+βi qj qj pi i=1 j=1

2 Y 1 1 1 n 1â&#x2C6;&#x2019; 1+ + 2 pi 2 2 i=1

2 Y 1 1 1 n 1â&#x2C6;&#x2019; 1+ 1+ pi 3 5 i=1

2 Y 1 1 n 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; pi pi i=1

Y 1 n 1â&#x2C6;&#x2019; 2 p

!

p

75

Smarandache â&#x2030;Ľ n

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

6 Ď&#x20AC;2

1 qd (n).

2

â&#x2030;Ľ

(3-11)

nĂ&#x153;(3-9)¨(3-11)ÂŞ, Â&#x152;¹íĂ&#x2018; XJ d(n) = 4. d(n) = 5Â&#x17E;, Kn = p ( p Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ). |^Ă&#x161;n3.4.19Ă&#x161;n3.4.2ĂŠN´ Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) â&#x2030;Ľ

Ă­Ă&#x2018;

(c)

1 qd (n) 2 4

Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) = Ď&#x192;(Ď&#x2020;(p6 )) â&#x2030;Ľ

(d)

d(n) â&#x2030;Ľ 6Â&#x17E;, KdĂ&#x161;n3.4.19Ă&#x161;n3.4.2k Ď&#x192;(Ď&#x2020;(qd (n))) â&#x2030;Ľ

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n3.4.2 y².

3.5

6 6 1 p = qd (n). Ď&#x20AC;2 2

1 qd (n).

2

1 Â&#x2021;ÂŻK

Smarandache 57

ĂŠ?Âż ĂŞn, r Ç&#x2018; ĂŞÂ&#x2026;áv: 8Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }Â&#x152; Š Ç&#x2018;na Â&#x2026;zÂ&#x2DC;aÂĽĂžĂ&#x2DC;šk Â&#x192;x, y, z x = z ¤å, r Ç&#x2018; ĂŞÂ&#x2026;áv: 8 Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r } Š Ç&#x2018;naÂ&#x2026;zÂ&#x2DC;aÂĽĂžĂ&#x2DC;šk Â&#x192;x, y, z x + y = z¤å.

3Šz[1]ÂĽ, SchurĂŻĂ&#x2020;¡Â&#x201A; Ă?ĂŠÂ Â&#x152; r 9r . ĂŠĂš ÂŻK ĂŻĂ&#x201E;´k , §Â&#x152;ÂąÂ?Ă?¡Â&#x201A;5ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2DC; ­Â&#x2021; Š ÂŻK. !ÂĽ, ¡Â&#x201A;|^ Â?{ĂŻĂ&#x201E;

Schur¤ïĂ&#x2020; ÂŻKÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;r 9r ĂźÂ&#x2021;°( e.. ½n3.5.1 Ê¿ŠÂ&#x152; ĂŞn, r Ç&#x2018; ĂŞÂ&#x2026;áv: 8Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }Â&#x152; Š Ç&#x2018;n aÂ&#x2026;zÂ&#x2DC;aÂĽĂžĂ&#x2DC;šk Â&#x192;x, y, z xy = z¤å. KĂŠ?ÂżÂ&#x2030;½ ĂŞÇŤ, ¡Â&#x201A;k 1

1

y

2

2

1

1

2

2

1

1

r1 â&#x2030;Ľ n2(1â&#x2C6;&#x2019;Îľ)(nâ&#x2C6;&#x2019;1) .

y²¾ r

1

76

= n2(1â&#x2C6;&#x2019;Îľ)(nâ&#x2C6;&#x2019;1)

Â&#x2026;UXeÂ?{ò8Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , n

2(1â&#x2C6;&#x2019;Îľ)(nâ&#x2C6;&#x2019;1)

}

Š

1nÙ ð Ø ª Ǒn a: 11 a: 1, 12 a: 13 a:

n(1−ε)(n−1) ,

2,

n + 1,

3,

(n(1−ε)(n−1) −1)

k,

(n(1−ε)(n−1) −1)

(n(1−ε)(n−1) −1)

.. .

1k a:

.. .

n(1−ε)(n−1) + 1 ,

n + 2,

n(n−1)···3

n(n−1)···k

··· ,

n2(1−ε)(n−1) .

··· ,

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

+ 1,

(n(1−ε)(n−1) −1)

+ 2, · · · ,

+ 1,

(n(1−ε)(n−1) −1)

+ 2, · · · ,

(n(1−ε)(n−1) −1)

n(n−1)···3

n(n−1)···k

n(n−1)···3

n(n−1)···4

n(n−1)···(k+1)

1n a: n, + 1, + 2, · · · , n −1 . Ù¥[y]L«y êÜ©. w,, 1ka¥Ø ¹ êx, y, z xy = z¤á(k = 1, 3, 4, · · · , n). ¯¢þ, é?¿ êx, y, z ∈ 1k a, k = 3, 4, · · · , n, · k n

n

(1−ε)(n−1)

"

! " # # n(1−ε)(n−1) − 1 n(1−ε)(n−1) − 1 xy ≥ k × +1 > ≥ z. n(n − 1) · · · k n(n − 1) · · · (k + 1) (1−ε)(n−1) −1) (n , n→∞ , , n(n−1)···3

, ¡

ªCu" Kéu¿© ên, 12a¥ ¹k ê2. ù Ò ¤ ½n3.5.1 y². |^ØÓ © {· ±ò½n3.5.1 (JU?Xeµ ½ n3.5.2 é¿© ên, r Ǒ ê ÷v: 8Ü{1, 2, · · · , r } © Ǒn a z a¥þعk x, y, z x = z¤á. Ké?¿ êm m ≤ n + 1· k O 1

1

y

r1 ≥ nm+1 .

y²: r 11 a: 12 a: 13 a:

1

= nm+1

UXe {ò8Ü{1, 2, · · · , r }© Ǒna: 1

1, 2, 3,

n + 1, nm + 1, 2nm + 1,

n + 2, nm + 2, 2nm + 2,

··· , ··· , ··· ,

nm .

2nm .

3nm .

1k a:

k,

(k − 1)nm + 1,

(k − 1)nm + 2,

··· ,

knm .

1n a:

n,

(n − 1)nm + 1,

(n − 1)nm + 2,

··· ,

nm+1 .

.. .

.. .

77

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

w,, 1kaÂĽĂ&#x2DC;Â?š ĂŞx, y, z x = z¤å(k = 2, 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n). ¯¢Þ, ĂŠ? Âż ĂŞx, y, z â&#x2C6;&#x2C6; 1k a, k = 2, 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n, ¡Â&#x201A;k y

k

xy â&#x2030;Ľ ((k â&#x2C6;&#x2019; 1)nm + 1) > k(k â&#x2C6;&#x2019; 1)kâ&#x2C6;&#x2019;1 nm(kâ&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2030;Ľ knm â&#x2030;Ľ z,

½

m

xy â&#x2030;Ľ k (kâ&#x2C6;&#x2019;1)n

+1

> knm â&#x2030;Ľ z.

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, n â&#x2030;Ľ m â&#x2C6;&#x2019; 1Â&#x17E;, ¡Â&#x201A;k(n + 2) > n 9(n + 1) > n . u´, n â&#x2030;Ľ m â&#x2C6;&#x2019; 1Â&#x17E;11aÂĽÇ&#x2018;Ă&#x2DC;Â?š ĂŞx, y, z x = z¤å. Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n3.5.2 y². ½n3.5.3 Ê¿ŠÂ&#x152; ĂŞn, r Ç&#x2018; ĂŞÂ&#x2026;áv: 8Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r } Š Ç&#x2018;naÂ&#x2026;zÂ&#x2DC;aÂĽĂžĂ&#x2DC;šk Â&#x192;x, y, z x + y = z¤å. K¡Â&#x201A;k O (n+1)

m

(n+2)

m

y

2

2

r2 â&#x2030;Ľ 2n+1 .

y²: r = 2 Â&#x2026;UXeÂ?{ò8Ă&#x153;{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }Š Ç&#x2018;na: P 11 a: 1, 2, 2 12 a: 2 + 1, 2 , 2 + 1, 2 + 2, 2 .

13 a: 2 + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , 2 +2 14 a: 2 + 2 + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , 2 +2 n+1

2

2

n

2 3

2

i

i=0 n+1

2

2

2

3

3

3

2

4

4

4

3

+ 2. + 22 + 2.

.. .

1k a: .. .

2kâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2kâ&#x2C6;&#x2019;2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1,

2k ,

2k + 1,

k P

¡¡¡ ,

2i

i=1

1n a: 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , P 2 w,, 1kaÂĽĂ&#x2DC;Â?š ĂŞx, y, z x + y = z¤å(k = 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n). ¯¢Þ, ĂŠ? Âż ĂŞx, y, z â&#x2C6;&#x2C6; 1k a, k = 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n, ¡Â&#x201A;k nâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2019;2

n

n

n

i

i=1

(2kâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2kâ&#x2C6;&#x2019;2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1) + 2k > 2k + 2kâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + 22 + 2.

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, n â&#x2030;Ľ 3Â&#x17E;, K(2 + 1) + (2 + 2) < 2 91 + 2 < 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1. u´, n â&#x2030;Ľ 3Â&#x17E;11aĂ&#x161;12aÂĽÇ&#x2018;Ă&#x2DC;Â?š ĂŞx, y, z x + y = z¤å. Ăš ¡Â&#x201A;Ă&#x2019; ¤ ½n3.5.3 y².

2

3.6

2

n+1

Ÿê 5Â&#x;

Smarandache

ĂŠ?Âż ĂŞn, Smarandache ĂŞS(n)½Ă&#x201A;Xe: S(n) = min{m : n | m!}.

78

n

nâ&#x2C6;&#x2019;1

1nĂ&#x2122; Ă° Â&#x2020;Ă&#x2DC; ÂŞ n = p

Îą1 Îą2 1 p2

¡ ¡ ¡ pkιk

Ç&#x2018;n IOĂ?fŠ)ÂŞ, KdS(n)½Ă&#x201A;9Ă&#x2122;5Â&#x;N´íĂ&#x2018; i S(n) = max {S(pÎą i )}.

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤k

'uĂšÂ&#x2021;Ÿê9Ă&#x2122;§Smarandachea. Ÿê 5Â&#x;, Â&#x152;ĂŤ Šz[18]¨[21].

-p(n)LÂŤn  Â&#x152;Â&#x192;Ă?f, w,kS(n) â&#x2030;Ľ p(n). ¯¢ÞÊA ¤k nkS(n) = p(n), 3 Š z[22]ÂĽErd¨ osÂ&#x2030; Ă&#x2018; Ăš Â&#x2021; ( Ă&#x2DC;. Ăš L ² ^N (x)L ÂŤ á vS(n) 6= p(n) n â&#x2030;¤ x Â&#x2021;ĂŞ, oN (x)Ç&#x2018;o(x). Ă&#x2DC; n = 4, n = p , ĂŠN´ Ă&#x2018;S(p) = p and S(n) < n. ¤¹S(n)Ă&#x161;Ď&#x20AC;(x)ĂŠXÂ&#x192; ;Â&#x2014;, =

[x] X S(n)

Ď&#x20AC;(x) = â&#x2C6;&#x2019;1 +

n=2

n

,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x20AC;(x)LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx Â&#x192;ĂŞ Â&#x2021;ĂŞ, [x]LÂŤ u ux  Â&#x152; ĂŞ. ĂŠ?¿ßÂ&#x2021; ĂŞmĂ&#x161;n, \U OS(mn) = S(m) + S(n) (Â&#x2020;Ă&#x201E;íºÚÂ&#x2021;ÂŻK' JÂŁ Â&#x2030;. ĂŠ, mĂ&#x161;nĂšÂ&#x2021; ª´ ( , ĂŠ, mĂ&#x161;nT ÂŞĂ&#x2019;´Â&#x2020;Ă&#x2DC; . 'uĂšÂ&#x2021;ÂŻK, 3Šz[23]ÂĽJ.Sandory² Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x161;~­Â&#x2021; (Ă&#x2DC;. =ĂŠ?Âż ĂŞnĂ&#x161;?Âż ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m kĂ&#x2DC; ÂŞ 1

2

S

k

k Y i=1

mi

!

â&#x2030;¤

k X

S(mi ).

i=1

!?Â&#x2DC;Ă&#x161;?Ă&#x2DC; Smarandache ŸêaquŠz[23] 5Â&#x;§ ÂąeĂź Â&#x2021;(Ă&#x2DC;: ½n3.6.1 ĂŠ?Âż ĂŞk â&#x2030;Ľ 2Ă&#x161;?Âż ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m kĂ&#x2DC; ÂŞ 1

S

k Y i=1

mi

!

â&#x2030;¤

k Y

2

k

S(mi ).

i=1

y²: Ă&#x201E;k¡Â&#x201A;y²½n3.6.1 Â&#x2DC;Â&#x2021;AĂ?Â&#x153;/. =ĂŠ?¿ßÂ&#x2021; ĂŞmĂ&#x161;nk S(m)S(n) â&#x2030;Ľ S(mn).

XJm = 1 ( ½n = 1), ow,kS(m)S(n) â&#x2030;Ľ S(mn). y3b½m â&#x2030;Ľ 2 Â&#x2026;n â&#x2030;Ľ 2 S(m) â&#x2030;Ľ 2, S(n) â&#x2030;Ľ 2, mn â&#x2030;Ľ m + n Ă&#x161;S(m)S(n) â&#x2030;Ľ S(m) + S(n)¤å. 5Âż m|S(m)!, n|S(n)!, l Â&#x152; mn|S(m)!S(n)!|((S(m) + S(n))!.

qĂ?Ç&#x2018;S(m)S(n) â&#x2030;Ľ S(m) + S(n), ¤¹k (S(m) + S(n))!|(S(m)S(n))!.

79

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Smarandache

lS(n) ½Ă&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;

S(mn) â&#x2030;¤ S(m)S(n).

Â&#x160;âÞª9ĂŞĂ&#x2020;8B{Â&#x152; ½n3.6.1 (Ă&#x2DC;. ½n3.6.2 ĂŠ?Âż ĂŞk â&#x2030;Ľ 2Â&#x152;¹Ê  |ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m 1

k Y

S

mi

i=1

!

k X

=

2

k

S(mi ).

i=1

y²: ĂŠ?Âż ĂŞnĂ&#x161;Â&#x192;ĂŞp, XJp kn!, oÂ&#x152; Îą

Îą=

â&#x2C6;&#x17E; X n pj

j=1

n ´ i 6= jÂ&#x17E;n i

6= nj

i

ĂŞ, Ă&#x2122;ÂĽ1 â&#x2030;¤ i, j â&#x2030;¤ k, k â&#x2030;Ľ 2´?Âż ĂŞ. Ă?Ç&#x2018;

â&#x2C6;&#x17E; n X p i

pr

r=1

Ç&#x2018; OÂ&#x17D;Â?B, Â&#x152;-u

i

=

= pni â&#x2C6;&#x2019;1 + pni â&#x2C6;&#x2019;2 + ¡ ¡ ¡ + 1 =

u´k

pni â&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2C6;&#x2019;1 .

S(pui ) = pni ,



k X

ni

p â&#x2C6;&#x17E;  X  i=1   pr r=1 

 k k  X pni â&#x2C6;&#x2019; 1 X = ui . =   i=1 p â&#x2C6;&#x2019; 1 i=1

S p

ĂŠĂ&#x153;ÂŞ(3-12)Ă&#x161;(3-13)ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152; k Y i=1

-m 80

pui

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k X

k X

pni .

i=1

S(pui ).

i=1

5Âż k  Â&#x2021;Â&#x192;ĂŞpĂ&#x161;n ĂŠN´ Ă&#x2018;½n3.6.2 (Ă&#x2DC;. u´ ¤ ½n3.6.2 y².

i

= pui ,

(3-12)



u1 +u2 +¡¡¡+uk

S

pni â&#x2C6;&#x2019; 1 . pâ&#x2C6;&#x2019;1

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k.

Â&#x2DC;Â&#x201E;5`, Ă&#x201C; Â&#x152; Âąe(Ă&#x2DC;

¤¹

.

i

(3-13)

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1oĂ&#x2122; ÂĄ?ĂŞ9Ă&#x2122;5Â&#x;

1737

§Euler y²¾d

X â&#x2C6;&#x17E;

Îś(s) =

梐

1 ns

s>1

Â&#x2030;½ zeta ŸêΜ(s) â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; ( s â&#x2020;&#x2019; 1 Â&#x17E;)§¿|^Þã(Ă&#x2DC;Ă­Ă&#x2018;ʤkÂ&#x192;ĂŞ m ?ĂŞP p u Ă&#x2018; Â?{y²

ÂĄĂľÂ&#x2021;Â&#x192;ĂŞ 35 Euler ½n. 1837 §duĂŻĂ&#x201E;?ĂŞ n=1

â&#x2C6;&#x2019;1

X Ď&#x2021;(n) â&#x2C6;&#x17E;

L(s, Ď&#x2021;) =

n=1

ns

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x2021;´Â&#x2DC;Â&#x2021;Dirichlet AĂ&#x2020;ÂżÂ&#x2026;s > 1, Dirichlet y² 'uÂ&#x17D;â?ĂŞpÂ&#x192;ĂŞ Ă?œ½n. Þã?ĂŞÂĄÇ&#x2018;äkXĂŞf (n) Dirichlet ?ê§Ă&#x2122;ÂĽf (n) ´Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê§§Â&#x201A;¤Ç&#x2018;)Ă&#x203A;ĂŞĂ&#x2DC;p ĂŠk^ óäÂ&#x192;Â&#x2DC;. Ă?dĂŠu ÂĄ?ĂŞ9Dirichlet ?ĂŞ5Â&#x; ĂŻĂ&#x201E;ĂŠkÂżĂ&#x201A;. ĂšÂ&#x2DC;Ă&#x2122;¼¡Â&#x201A;Ă&#x152;Â&#x2021; 0 Â&#x2DC; {Ăź ÂĄ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5Â&#x;§Ă?LĂš ÂŻK ?Ă&#x2DC; Â&#x152;[ )ĂŻĂ&#x201E; ÂĄ?ĂŞ5Â&#x; Â&#x2DC; Â&#x201E;Â?{.

'uk gĂ&#x2013;ĂŞ AÂ&#x2021;Ă° ÂŞ

4.1

3½Ă&#x201A;2.1.1¼¡Â&#x201A;Ž²Â&#x2030;Ă&#x2018; kgĂ&#x2013;ĂŞ ½Ă&#x201A;§¡Â&#x201A;ŠOÂĄb (n), b (n), Ç&#x2018;²Â?Ă&#x2013;ĂŞ, ĂĄÂ?Ă&#x2013;ĂŞĂ&#x161;ogĂ&#x2013;ĂŞ. ĂšÂ&#x2DC; !¼¡Â&#x201A;Ă&#x152;Â&#x2021;´|^)Ă&#x203A;Â?{ OÂ&#x17D;?ĂŞ 2

3

b4 (n)

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 s, (nbk (n))

Ă&#x2122;ÂĽb (n)´?Âż ĂŞn kgĂ&#x2013;ĂŞ, s´ávRe(s) â&#x2030;Ľ 1 EĂŞ, Âż : ½n4.1.1 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ&#x2026;ávRe(s) â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;kĂ° ÂŞ k

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 Îś 2 (2s) = , s Îś(4s) (nb2 (n))

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, Pn = l m, Ă&#x2122;ÂĽm´ ²Â?Ă?fĂŞ(=p â&#x20AC; mÂ&#x2026;p db (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; 2

2

â&#x20AC; m).

2

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 s (nb2 (n))

+â&#x2C6;&#x17E; X +â&#x2C6;&#x17E; X

+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E;

X X |¾(m)| |¾(m)| = = (l2 m ¡ m)s l2s m2s l=1 m=1 l=1 m=1

Y 1 Îś 2 (2s) = Îś(2s) 1 + 2s = , p Îś(4s) p

Ă&#x2122;ÂĽÂľ(n)LÂŤM¨o bius Ÿê.

81

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

u´ ¤ ½n4.1.1 y². ½n4.1.2 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ&#x2026;ávRe(s) â&#x2030;Ľ 1, KkĂ° ÂŞ +â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 1 Îś 2 (3s) Y 1 + 3s , s = Îś(6s) p +1 (nb3 (n)) p

Ă&#x2122;ÂĽYLÊ¤k Â&#x192;ĂŞĂ?f Ă&#x2C6;. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â&#x201A;Â&#x152;¹ò§ Ç&#x2018;n = l m r, Ă&#x2122;ÂĽrm´ ²Â?Ă?f ĂŞ. Â&#x160;âb (n) ½Ă&#x201A;, ¡Â&#x201A;k p

3

2

3

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 s (nb3 (n))

=

+â&#x2C6;&#x17E; X +â&#x2C6;&#x17E; X +â&#x2C6;&#x17E; X |Âľ(m)| |Âľ(r)| (l3 m2 r ¡ mr2 )s m=1 r=1 l=1

(m,r)=1

= Îś(3s)

+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; X |Âľ(m)| X |Âľ(r)| m3s r3s m=1 r=1 (m,r)=1

+â&#x2C6;&#x17E; X |Âľ(m)| Y 1 = Îś(3s) 1 + 3s m3s p m=1 pâ&#x20AC; m

=

Îś 2 (3s) Îś(6s)

+â&#x2C6;&#x17E; X

m=1

=

p|m

1 p3s

  Y Μ (3s) 1 1 +

 Μ(6s) 1 3s p 1 + p3s p

Îś 2 (3s) Y 1 1 + 3s . Îś(6s) p +1 2

=

|Âľ(m)| Y 1

m3s 1+

p

u´ ¤ ½n4.1.2 y². ½n4.1.3 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ&#x2026;ávRe(s) â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k +â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 1 1 Îś 2 (4s) Y 1 + 4s 1 + 4s . s = Îś(8s) p +1 p +2 (na4 (n)) p

y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, -n = l m r t, Ă&#x2122;ÂĽ(m, r) = 1, (mr, t) = 1Â&#x2026;mrt´

²Â?Ă?fĂŞ. db (n) ½Ă&#x201A;, Â&#x152;Âą 4

4

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

82

1 s (nb4 (n))

3 2

1oÙ ¡?ê9Ù5 =

+∞ X +∞ X +∞ X +∞ X |µ(m)| |µ(r)| |µ(t)| l=1 m=1 r=1 t=1 (m,r)=1 (mr,t)=1

= ζ(4s)

+∞ X +∞ X |µ(m)| |µ(r)|

m=1 r=1 (m,r)=1

=

(l4 m3 r2 t · mr2 t3 )s

m4s r4s

+∞ X

t=1 (mr,t)=1

|µ(t)| t4s

+∞ +∞ ζ 2 (4s) X X |µ(m)| |µ(r)| Y 1

ζ(8s) m4s r4s 1 1 + m=1 r=1 p|mr p4s (m,r)=1

2

=

=

=

=

ζ (4s) ζ(8s)

+∞ X +∞ X

m=1 r=1 (m,r)=1

Y 1 1 |µ(m)| |µ(r)| Y

4s 4s m r 1 1 1 + 1 + 4s 4s p|m p|r p p

1

1 + 4s 1 p +1 m=1 4s p†m p|m p

Y 1 1 + 4s +∞ p +1 ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1 p

Y ζ(8s) m4s 1 1 1 + m=1 p|m 1 + 4s p4s p +1 p|m

ζ 2 (4s) Y 1 1 1 + 4s 1 + 4s . ζ(8s) p +1 p +2 +∞ ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1

4s ζ(8s) m 1+

Y

p

u´ ¤ ½n4.1.3 y².

3±þ½n¥©O s = 1, 2, ¿5¿ π2 π4 , ζ(4) = , 6 90 691π 12 ζ(12) = , 638512875 ζ(2) =

· =Ǒ ±eü íØ íØ4.1.1

+∞ X

n=1 +∞ X

n=1 +∞ X

n=1

ζ(6) =

π6 , 945

ζ(16) =

ζ(8) =

π8 , 9450

3617π 16 .

325641566250

1 5 = , na2 (n) 2

1 ζ 2 (3) Y 1 = 1+ 3 , na3 (n) ζ(6) p +1 p

1 7Y 1 1 = 1+ 4 1+ 4 . na4 (n) 6 p +1 p +2 p

83

Smarandache

Ă­Ă&#x2DC;4.1.2

+â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

1 2

(na2 (n))

=

7 , 6

715 Y 1 1+ 6 , 2 = 691 p +1 (na3 (n)) n=1 p +â&#x2C6;&#x17E; X +â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

4.2

1

1 2

(na4 (n))

7293 Y 1 1 1+ 8 1+ 8 .

7234 p +1 p +2

=

p

�šEulerŸê �§

ĂŠ?Âż ĂŞn â&#x2030;Ľ 1, EulerŸêĎ&#x2020;(n)L¤kĂ&#x2DC;Â&#x2021;LnÂ&#x2026;Â&#x2020;npÂ&#x192; ĂŞ Â&#x2021; ĂŞ. aq , ¡Â&#x201A;Ç&#x2018;½Ă&#x201A;ŸêJ(n)Ç&#x2018; n¤k DirichletAĂ&#x2020; Â&#x2021;ĂŞ. AL¤k ávÂ?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ĂŞn 8Ă&#x153;. !ÂĽ, ¡Â&#x201A;|^ Â?{ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â? šÂ?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ) #Dirichlet?ĂŞ Ă&#x201C;{5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;k Ă° ÂŞ. =Ă&#x2019;´, ¡Â&#x201A;y² Âąe(Ă&#x2DC;: ½n4.2.1 ĂŠ?¿¢ês > , ¡Â&#x201A;kĂ° ÂŞ 2

2

1 2

â&#x2C6;&#x17E; X 1 Îś(2s)Îś(3s) = , s n Îś(6s) n=1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: Ă&#x201E;k, 5Âż ŸêĎ&#x2020;(n)Â&#x2020;J(n)ĂžÇ&#x2018;Â&#x152; Ÿê, ÂżÂ&#x2026;ʤk ĂŞÎą > 19 Â&#x192;ĂŞp, n = p Â&#x17E;, J(p) = p â&#x2C6;&#x2019; 2, Ď&#x2020;(p) = p â&#x2C6;&#x2019; 1, J(p ) = p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) 9Ď&#x2020;(p ) = p (p â&#x2C6;&#x2019; 1). u´, ¡Â&#x201A;òŠnÂŤÂ&#x153;š5?Ă&#x2DC;Â?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n)) ÂŻK. (a) w,, n = 1´Â?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) Â&#x2DC;Â&#x2021;). (b) XJn > 1, -n = p p ¡ ¡ ¡ p Ç&#x2018;n IOĂ?fŠ)ÂŞÂ&#x2026;ávÎą â&#x2030;Ľ 2(i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ , k), o¡Â&#x201A;k Îą

Îą

Îąâ&#x2C6;&#x2019;1

Îąâ&#x2C6;&#x2019;2

2

Îą

2

2

Îą1 Îą2 1 2

9

Îąs s

i

k â&#x2C6;&#x2019;2 1 â&#x2C6;&#x2019;2 J(n) = pÎą (pk â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 ¡ ¡ ¡ pÎą 1 k

2 k â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;2 (n) = pÎą (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)p2Îą2 â&#x2C6;&#x2019;1 (p2 â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ pÎą (pk â&#x2C6;&#x2019; 1) .

1 k

3ڍÂ&#x153;še, nE,´Â?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ). (c) XJn = p p ¡ ¡ ¡ p p ¡ ¡ ¡ p , ÂżÂ&#x2026;ávp < p < ¡ ¡ ¡ < p Â&#x2020;Îą > 1, j = r + 1, r + 2, ¡ ¡ ¡ , k, KÂ&#x160;âÂ&#x153;š(b)Âą9Ď&#x2020;(n)Â&#x2020;J(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152;Âą Ď&#x2020; (n) = nJ(n) Â&#x2026;= 2

1 2

Îąr+1 r r+1

Îąk k

1

2

Ď&#x2020;2 (p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr J(p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr )

84

r

j 2

1oĂ&#x2122; ÂĄ?ĂŞ9Ă&#x2122;5Â&#x; ½Ü (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (p2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 ¡ ¡ ¡ (pr â&#x2C6;&#x2019; 1)2 = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr (p1 â&#x2C6;&#x2019; 2)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 2) ¡ ¡ ¡ (pr â&#x2C6;&#x2019; 2).

w,, p Ă&#x2DC;U Ă&#x2DC;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (p â&#x2C6;&#x2019; 1) . u´3ڍÂ&#x153;šeÂ?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ). nĂ&#x153;¹ÞnÂŤÂ&#x153;/¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;Âą Â?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ¤k) 8Ă&#x153; ´1Â&#x2020;n = p p ¡ ¡ ¡ p ( Îą > 1). =Ă&#x2019;´, 8Ă&#x153;A´d¤k ²Â?ĂŞÂ&#x2020;1|¤. y3¡Â&#x201A;Xe½Ă&#x201A;Â&#x17D;âŸêa(n): ( 1, XJ n â&#x2C6;&#x2C6; A, a(n) = 0, Ă&#x2122;§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k r

2

1

2

2

2

r

2

2

Îą1 Îą2 1 2

Îąs s

i

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 < , s n ns

n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

9 s > 1Â&#x17E;?ĂŞ

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

Ă&#x201A;Ăą. Ă?dĂŠs â&#x2030;Ľ 2, Â&#x160;âEuler Ă&#x2C6;úª, ¡Â&#x201A;k

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

n=1

=

Y

=

Y p2s â&#x2C6;&#x2019; ps + 1

a(p2 ) a(p3 ) + 3s + ¡ ¡ ¡ p2s p p

Y 1 1 = 1 + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p !

Y 1 = 1 + 2s p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s ) p p

=

Y p

=

Y p

=

Y p

=

1+

p2s â&#x2C6;&#x2019; ps

p3s + 1 ps (p2s â&#x2C6;&#x2019; 1)

p6s â&#x2C6;&#x2019; 1 ps (p2s â&#x2C6;&#x2019; 1)(p3s â&#x2C6;&#x2019; 1) (1 â&#x2C6;&#x2019;

1â&#x2C6;&#x2019;

1 p6s

1 p2s )(1

â&#x2C6;&#x2019;

1 p3s )

Îś(2s)Îś(3s) , Îś(6s) Y

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê, LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. p

85

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n4.2.1 y².

3½n4.2.1ÂĽ s = 192, ÂżÂ&#x2026;5Âż Îś(2) = Ď&#x20AC; /6, Îś(4) = Ď&#x20AC; /90, Îś(6) = Ď&#x20AC; /945, Îś(12) = 691Ď&#x20AC; /638512875, ¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;¹íĂ&#x2018;eÂĄ Ă° ÂŞ: 2

6

4

12

â&#x2C6;&#x17E; X 1 315 = 4 Îś(3) n 2Ď&#x20AC; n=1

ĂŠÂĄS 9Ă&#x2122;5Â&#x;

Ă&#x161;

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

4.3

â&#x2C6;&#x17E; X 1 15015 1 = .

2 n 1382 Ď&#x20AC; 2 n=1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

ĂŠ?Âż ĂŞ ¡Â&#x201A;½Ă&#x201A;ĂŠÂĄS

Xe

n, {an } : a1 = 1, a2 = 11, a3 = 121, a4 = 1221, a5 = 12321, a6 = 123321, ¡ ¡ ¡ , a2kâ&#x2C6;&#x2019;1 = 123 ¡ ¡ ¡ (k â&#x2C6;&#x2019; 1)k(k â&#x2C6;&#x2019; [1] 17 , 1) ¡ ¡ ¡ 321, a2k = 123 ¡ ¡ ¡ (k â&#x2C6;&#x2019; 1)kk(k â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ 321, ¡ ¡ ¡ .

F.Smarandache {an } . , W.P.Zhang ( [24]) . , A(an ) : A(a1 ) = 1, A(a2 ) = 2, A(a3 ) = 4, ¡ ¡ ¡ , A(a2kâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = 1+2+¡ ¡ ¡+kâ&#x2C6;&#x2019;1+k+kâ&#x2C6;&#x2019;1+¡ ¡ ¡+1, A(a2k ) = (1 + ¡ ¡ ¡ + k â&#x2C6;&#x2019; 1 + k + k + k â&#x2C6;&#x2019; 1 + ¡ ¡ ¡ + 1), ¡ ¡ ¡ .

A(an ) , A(an ) .

4.3.1 A(an ) ,

3Šz 1 Â&#x2021;ÂŻKp Ă&#x2021;ĂŻĂ&#x2020;¡Â&#x201A;ĂŻĂ&#x201E;S 5Â&#x; 'uĂš ÂŻK ĂŤ Šz Â&#x2030;Ă&#x2018; Â&#x2DC;Â&#x2021;k ĂŹCúª !ÂĽ ¡Â&#x201A;½Ă&#x201A; Xe ¡Â&#x201A;ò|^ Â?{?Ă&#x2DC; S 5Â&#x; ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;'u Â&#x2DC;Â&#x2021;k Ă° ÂŞ ½n ½Ă&#x201A;XĂž Kk â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 Ď&#x20AC;2 = + 1.

A(an ) 6

y²: Â&#x160;âA(a ) ½Ă&#x201A;¡Â&#x201A;k n

kâ&#x2C6;&#x2019;1 A(ak ) = A(akâ&#x2C6;&#x2019;1 ) + + 1.

2

KdÞªÂ&#x152; n X

A(ak ) =

k=1

nâ&#x2C6;&#x2019;1 X

A(akâ&#x2C6;&#x2019;1 ) +

k=1

Â&#x160;â(4-1), ¡Â&#x201A;k

A(an ) =

n X kâ&#x2C6;&#x2019;1

+ n.

(4-1)

(n â&#x2C6;&#x2019; 1)2 +n= + n.

4

(4-2)

k=1

n X kâ&#x2C6;&#x2019;1 k=1

2

2

e¥¡Â&#x201A;ò½nÂĽ Ă&#x161;ªŠÇ&#x2018;ĂźĂ&#x153;Š5?Ă&#x2DC;. n = 2k + 1Â&#x17E;, Kk

[(2k + 1) â&#x2C6;&#x2019; 1]2 A(an ) = + 2k + 1 = (k + 1)2 .

4

86

(4-3)

1oĂ&#x2122; ÂĄ?ĂŞ9Ă&#x2122;5Â&#x; n = 2kÂ&#x17E;, Kk

(2k â&#x2C6;&#x2019; 1)2 A(an ) = + 2k = k 2 + k.

4

(4-4)

nĂ&#x153;(4-2), (4-3), (4-4)Âż5Âż Îś(2) = ¡Â&#x201A;k Ď&#x20AC;2 6

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 A(an )

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k=1

k=1

X X 1 1 1 + + 2 A(a1 ) (k + 1) k(k + 1)

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 = + 2 k k(k + 1) k=1 k=1

â&#x2C6;&#x17E; X 1 1 = Îś(2) + â&#x2C6;&#x2019; k k+1 k=1

2

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Ď&#x20AC; + 1.

6

u´ ¤ ½n4.3.1 y².

Â&#x2DC;|Dirichlet?ĂŞ9Ă&#x2122;Ă° ÂŞ

4.4

ĂŠ?Âż ĂŞk, ¡Â&#x201A;½Ă&#x201A;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x17D;âŸêδ (n)Xe: ( max{d â&#x2C6;&#x2C6; N | d|n, (d, k) = 1}, XJ n 6= 0, δ (n) = 0, XJ n = 0.

-ALÂŤ Â?§δ (n) = b (n)¤å ¤k ĂŞn 8Ă&#x153;, Ă&#x2122;ÂĽb (n) LÂŤn m gĂ&#x2013;ĂŞ(ĂŤ ½Ă&#x201A;2.1.1). =A = {n:n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}. !|^ Â?{? Ă&#x2DC; Â?š8Ă&#x153;A Â&#x2DC;|Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5Â&#x;XeÂľ ½n4.4.1 mÇ&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021; óê, ĂŠ?Âż ¢ês > 1Ă&#x161; ĂŞk, KkĂ° ÂŞ k

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Ă&#x2122;ÂĽÎś(k)´Riemann zeta-Ÿê, QLÊ¤k Â&#x192;Ă?f Ă&#x2C6;. y²: ĂŠ?Âż ¢ês > 0, w, s > 1Â&#x17E; p

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LÂŤn IOŠ)ÂŞ. dδ (n) Ă&#x161;b k

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87

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

Smarandache

δ (n)Ă&#x161;b (n)Ă&#x2018;´Â&#x152; Ÿê. ¤¹Ç&#x2018; ĂŠĂ&#x2018;8Ă&#x153;A, ¡Â&#x201A;Â?I?Ă&#x2DC;n = p Â&#x153;/ =Â&#x152;. en = p Â&#x2026;(p, k) = 1, ¡Â&#x201A;kδ (p ) = p ; 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ m, b (p ) = p ; Îą > mÂ&#x2026;Îą 6= m, b (p ) = p ; Îą = rm, b (p ) = 1, Ă&#x2122;ÂĽ rÇ&#x2018;?Âż ĂŞ, [x] LÂŤâ&#x2030;¤ x  Â&#x152; ĂŞ. ¤¹ Â&#x2026;= Îą = kδ (p ) = b (p ). en = p Â&#x2026;(p, k) 6= 1, Kδ (p ) = 1, ¤¹ Â&#x2026;= n = p , r = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ Â&#x17E; Â?§δ (p ) = b (p )k). Â&#x160;âEuler úªĂ&#x161;A ½Ă&#x201A;, ¡Â&#x201A;k k

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Îą k Îą m+m[ m ]â&#x2C6;&#x2019;Îą

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m m 2

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Y Y p|k

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p (pms

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Ă&#x2122;ÂĽÎś(k)´Riemann zeta-Ÿê, QLÊ¤k Â&#x192;Ă?f Ă&#x2C6;. u´ ¤ ½n4.4.1 y². d½n4.4.1¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152;Ă­Ă&#x2018;ÂąeAÂ&#x2021;Ă­Ă&#x2DC;: Ă­Ă&#x2DC;4.4.1 B = {n:n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}, Kk p

k

2

â&#x2C6;&#x17E; X 1 15 Y p6 = . n2 Ď&#x20AC;2 (p4 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 1)

n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;B

p|k

Ă­Ă&#x2DC;4.4.2 C = {n:n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}, Kk k

3

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 105 Y p12 = = . n2 n4 Ď&#x20AC;4 (p8 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p4 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;C

n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;B

p|k

Ă­Ă&#x2DC;4.4.3 C = {n:n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}, Kk k

4

â&#x2C6;&#x17E; X 1 675675 1 Y p18 = . n3 691 Ď&#x20AC; 6 (p12 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p6 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;C

4.5

nĂ&#x2020;/ĂŞ 5Â&#x;

p|k

ĂŠ?Âż ĂŞm, w,m(m + 1)/2´Â&#x2DC; ĂŞ, duĂš ĂŞÂ&#x2020;AĂ&#x203A;kÂ&#x2014;Â&#x192; 88

1oĂ&#x2122; ÂĄ?ĂŞ9Ă&#x2122;5Â&#x; ĂŠX, ¤¹¡Â&#x201A;òĂ&#x2122;ÂĄÇ&#x2018;nĂ&#x2020;/ĂŞ. ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â&#x201A;½Ă&#x201A;Â&#x17D;âŸêc(n)Xe: c(n) = max {m(m + 1)/2 : m(m + 1)/2 â&#x2030;¤ n, m â&#x2C6;&#x2C6; N } .

=c(n)´â&#x2030;¤ n  Â&#x152; nĂ&#x2020;/ĂŞ. dc(n) ½Ă&#x201A;¡Â&#x201A;N´íĂ&#x2018;c(1) = 1, c(2) = 1, c(3) = 3, c(4) = 3, c(5) = 3, c(6) = 6, c(7) = 6, c(8) = 6, c(9) = 6, c(10) = 10, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . !ÂĽĂ&#x152;Â&#x2021;0 k'S c(n) Â&#x2DC;Â&#x2021;# Dirichlet ?ĂŞf (s) = P , |^ Â?{ĂŻĂ&#x201E; f (s) Ă&#x201A;Ăą5Â&#x;, = ½n4.5.1 sÇ&#x2018;?Âż ¢ê, K Â&#x2026;= s > 1Â&#x17E;Dirichlet ?ĂŞf (s)´Ă&#x201A; Ăą . AO s = 2, 394, ¡Â&#x201A;kĂ° ÂŞ â&#x2C6;&#x17E; 1 n=1 cs (n)

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1 â&#x2C6;&#x17E; X n=1 â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 2Ď&#x20AC; 2 = â&#x2C6;&#x2019; 4; c2 (n) 3 1 c3 (n)

= 8Îś(3) â&#x2C6;&#x2019; 4Ď&#x20AC; 2 + 32;

1 Ď&#x20AC;4 160 2 = â&#x2C6;&#x2019; 48Îś(3) + Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; 384; c4 (n) 5 3

6f (3) + f (4) =

Ă&#x2122;ÂĽÎś(k)´Riemann zeta-Ÿê. â&#x2030;¤ n < y ²: w,, e c(n)ÂĽĂ&#x201C; ĂŞ ­E m(m+1) 2 m(m+1) 2

Ď&#x20AC; 4 88 2 + Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; 192.

5 3

Kc(n) =

(m+1)(m+2) , 2 m(m+1) (m+1)(m+2) â&#x2C6;&#x2019; 2 2

f (s) = = =

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1 â&#x2C6;&#x17E; X

=m+1

¤¹3S g. Ă?d, ¡Â&#x201A;k m(m+1) .

2

1 cs (n) m+1

m(m+1) s ) m=1 ( 2 â&#x2C6;&#x17E; s X m=1

2 . ms (m + 1)sâ&#x2C6;&#x2019;1

w, s > 1Â&#x17E;f (s)Ă&#x201A;Ăą, s â&#x2030;¤ 1Â&#x17E;f (s)uĂ&#x2018;. AO s = 2¡Â&#x201A;k â&#x2C6;&#x17E; X

1 m2 (m + 1) m=1

â&#x2C6;&#x17E; X 1 1 1 = 4 â&#x2C6;&#x2019; + m2 m m + 1

f (2) = 4

m=1

= 4Îś(2) â&#x2C6;&#x2019; 4.

89

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

A^Ă&#x201C; Â?{¡Â&#x201A;Â&#x152; f (3) = 8Îś(3) â&#x2C6;&#x2019; 24Îś(2) + 32; f (4) = 16Îś(4) â&#x2C6;&#x2019; 48Îś(3) + 320Îś(2) â&#x2C6;&#x2019; 384.

dĂ° ÂŞÎś(2) = Ď&#x20AC; /6 Ă&#x161;Îś(4) = Ď&#x20AC; /90Â&#x152;Ă­Ă&#x2018;½n4.5.1 (Ă&#x2DC;(ĂŤ Šz[2]). u´ ¤ ½n4.5.1 y².

5: ¯¢Þ, ĂŠ?Âż ĂŞs â&#x2030;Ľ 2, A^ڍÂ?{¡Â&#x201A;Â&#x152;Âą^Riemann zetaŸê5LÂŤf (s).

2

4.6

4

e Ă&#x153;ŠS Ă&#x161;Ăž Ă&#x153;ŠS

ĂŠ?Âż ĂŞn, ^a(n)5LÂŤe Ă&#x153;Š, Ă&#x2122;½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: u½ un  Â&#x152; ĂŞ. =Ç&#x2018;S : 1, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, ¡ ¡ ¡ . ,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, ^b(n)5LÂŤĂž Ă&#x153;Š, Ă&#x2122;½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: Â&#x152;u½ un  ê. =Ç&#x2018;S : 1, 2, 6, 6, 6, 6, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 120, 120, 120, ¡ ¡ ¡ . 3Šz[1], Smarandache Ă&#x2021;3Ă&#x2122;142Â&#x2021;ÂŻK pĂŻĂ&#x2020;¡Â&#x201A;ĂŻĂ&#x201E;ÚßÂ&#x2021;S 5Â&#x;. !ÂĽ, ¡Â&#x201A;0 Â?ša(n)Â&#x2020;b(n) ĂźÂ&#x2021;

ÂĄ?ĂŞ: X X I=

â&#x2C6;&#x17E;

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1 , aÎą (n)

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1 , bÎą (n)

ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Ăš ?ĂŞĂ&#x201A;Ăą ¿Š^Â&#x2021;XeÂľ ½n4.6.1 ÎąÇ&#x2018;?Âż ¢ê, K Îą > 1Â&#x17E;, ÂĄ?ĂŞI Ă&#x161;S Ă&#x201A;Ăą, Îą â&#x2030;¤ 1 Â&#x17E;§Â&#x201A; uĂ&#x2018;. y²: a(n) = m!, m! â&#x2030;¤ n < (m + 1)!Â&#x17E;, ¡Â&#x201A;ĂŠN´ Ă&#x2018;a(n) = m!, ¤¹ 3S {a(n)} (n = 1, 2, ¡ ¡ ¡ ) ÂĽĂ&#x201C; m!ò ­E(m + 1)! â&#x2C6;&#x2019; m!g. Ă?d, ¡Â&#x201A;k I=

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X X 1 (m + 1)! â&#x2C6;&#x2019; m! m ¡ m! m = = = . Îą Îą Îą a (n) (m!) (m!) (m!)Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 m=1

m=1

m=1

w,, Îą > 1Â&#x17E;, ÂĄ?ĂŞI Ă&#x201A;Ăą; Îą â&#x2030;¤ 1Â&#x17E;, ÂĄ?ĂŞI uĂ&#x2018;. ^Ă&#x201C; Â?{, ¡Â&#x201A;Ç&#x2018;Â&#x152;Âą S Ă&#x201A;Ăą5 ¿Š^Â&#x2021;. AO/, Îą = 2 Â&#x17E;, Â&#x160;âêĂ&#x2020;ŠĂ&#x203A;Ăž ÂŁ(ĂŤ Šz[25]), ¡Â&#x201A;k â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 1 = = = e.

2 a (n) (m â&#x2C6;&#x2019; 1)! m! m=1

u´ ¤ ½n4.6.1 y².

AO/, Îą = 2 Â&#x17E;, ¡Â&#x201A;keÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.6.1 ¡Â&#x201A;kĂ° ÂŞ â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

90

1 a2 (n)

= e.

m=0

1oĂ&#x2122; ÂĄ?ĂŞ9Ă&#x2122;5Â&#x;

ÊóŸê

4.7

Smarandache

ĂŠ?Âż ĂŞn, Ă?Âś Smarandache ŸêS(n)½Ă&#x201A;Ç&#x2018; n|m!  êm. = S(n) = min{m : n | m!}.

Ă&#x2021; 3 Š z ÂĽ 0 Ăš Â&#x2021; Âź ĂŞS(n)Âż Â&#x2021; ¡ Â&#x201A; ĂŻ Ă&#x201E; § 5Â&#x; Ç&#x2018; I O Ă? f Š ) ÂŞ, N ´ Ă­ Ă&#x2018;S(n) = ¤ Âą ¡ Â&#x201A; Â&#x152; Âą Ă? L ĂŻ Ă&#x201E;S(p ) 5 Â&#x; 5 ĂŻ Ă&#x201E; 'uŸê 5Â&#x; Ă&#x161;ĂĽ NĂľĂ&#x2020;Ăś ĂŻĂ&#x201E;, , ĂŤ Šz[26], Ă&#x161; ~X3Šz ÂĽ Ă&#x161;Mitchell Patrick ĂŻĂ&#x201E; ŸêS(n) >.ÂŻK ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018; Ăž.Ă&#x161;e. = Smarandache [1] Îą1 Îą2 . n = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pkÎąk n Îą1 Îąk 2 max{S(p1 ), S(pÎą 2 ), ¡ ¡ ¡ , S(pk )}.

S(n).

S(n) , [27] [28].

[26] Farris Mark Îą , S(p ) ,

Îąi i

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îą + 1 â&#x2030;¤ S(pÎą ) â&#x2030;¤ (p â&#x2C6;&#x2019; 1)[Îą + 1 + logp Îą] + 1.

3Šz[27]ÂĽWang Yongxing ĂŻĂ&#x201E; X S(n) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, Âż|^ Â?{ Ă&#x2018;Â&#x2DC; Â&#x2021;ĂŹCúª, =y²

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

Ď&#x20AC; 2 x2 S(n) = +O 12 ln x

x2 ln2 x

.

aq¡Â&#x201A;0 ,Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2020;SmarandacheŸêÂ&#x192;' Ÿê, ÂĄĂ&#x2122;Ç&#x2018;Smarandache ĂŠ óŸêS (n), §LÂŤ n|m!  êm, Ă&#x2122;ÂĽ nÇ&#x2018;?Âż ĂŞ. = â&#x2C6;&#x2014;

S â&#x2C6;&#x2014; (n) = max{m : m! | n}.

'uĂšÂ&#x2021;ÂŻK, 3Šz[29]ÂĽJ.SandorJĂ&#x2018;Ă&#x;Â&#x17D;

S â&#x2C6;&#x2014; ((2k â&#x2C6;&#x2019; 1)!(2k + 1)!) = q â&#x2C6;&#x2019; 1,

Ă&#x2122;ÂĽkÇ&#x2018;Â&#x2DC; ê§q´2k + 1Â&#x192; 1Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x192;ĂŞ. Le Maohua 3Šz[30]ÂĽÂ&#x2030;Ă&#x2018;Ăš Â&#x2021;Ă&#x;Â&#x17D; y². !|^ Â?{?Ă&#x2DC; ?ĂŞX Sn(n) Ă&#x201A;Ăą5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;k Ă° ÂŞ. =Ă&#x2019;´, ½n4.7.1 ĂŠ?Âż ¢êι â&#x2030;¤ 1, ÂĄ?ĂŞ â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2014;

Îą

n=1

â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014; (n) n=1

nÎą

91

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

uĂ&#x2018;, Îą > 1Â&#x17E;ĂšÂ&#x2021;?ĂŞĂ&#x201A;Ăą, Â&#x2026;k â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014; (n) n=1

= Îś(Îą)

nÎą

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1

1 , (n!)Îą

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ¢êι â&#x2030;¤ 1,5Âż S (n) â&#x2030;Ľ 1 Ă&#x161;?ĂŞ â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x17E; X 1 nÎą n=1

uĂ&#x2018;, ¤¹ Îą â&#x2030;¤ 1Â&#x17E;, ?ĂŞX Sn(n) Ç&#x2018;uĂ&#x2018;. ĂŠ?Âż ĂŞn â&#x2030;Ľ 1, Â&#x2DC;½ 3Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞm â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2014;

Îą

n=1

n = m! ¡ l,

¤å, Ă&#x2122;ÂĽl 6â&#x2030;Ą 0(mod m + 1). ¤¹Ê?¿ι > 1, dS (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014; (n) n=1

nÎą

=

=

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X

m (m!)ι ¡ lι

l=1 m=1 m+1â&#x20AC; l â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X

m=1 l=1 m+1â&#x20AC; l

= =

= =

â&#x2C6;&#x17E; X

m (m!)ι ¡ lι

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 â&#x2C6;&#x2019; lÎą (m + 1)Îą ¡ lÎą m=1 l=1 l=1

â&#x2C6;&#x17E; X m 1 Îś(Îą) 1 â&#x2C6;&#x2019; (m!)Îą (m + 1)Îą m=1 ! â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X m m Îś(Îą) â&#x2C6;&#x2019; (m!)Îą ((m + 1)!)Îą m=1 m=1 ! â&#x2C6;&#x17E; X 1 Îś(Îą) 1 + ((m + 1)!)Îą m=1

= Îś(Îą)

m (m!)Îą

â&#x2C6;&#x17E; X

m=1

1 . (m!)Îą

u´ ¤ ½n4.7.1 y².

3½n4.7.1ÂĽ Îą = 2 Ă&#x161;Îą = 4¡Â&#x201A;ĂĄÇ&#x2018;Â&#x152; XeĂ­Ă&#x2DC;: Ă­Ă&#x2DC;4.7.1 ĂŠuSmarandacheÊóŸê, kĂ° ÂŞ â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014; (n) n=1

92

n2

=

â&#x2C6;&#x17E; Ď&#x20AC;2 X 1 6 (n!)2 n=1

!

1oÙ ¡?ê9Ù5 Ú

∞ X S ∗ (n)

n4

n=1

4.8

=

∞ π4 X 1 .

90 (n!)4 n=1

2Â E8Ü

½Â2 E8ÜS Ǒ: =dêid , d , · · · , d |¤, ¤k d (1 ≤ m ≤ 9) pØ Ó. ǑÒ´`, (1) d , d , · · · , d áuS. (2) ea, b áuS §Kab ǑáuS. (3) =$^5K(1) Ú(2) k g¤ áuS. ~X, E8Ü( éuêi1, 2 )Ǒ: 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, · · · . E8Ü( éuêi1, 2, 3 ) Ǒ: 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 211, 212, 213, 221, 222, 223, · · · . 3©z[1] 16, 7 Ú8 ¯Kp, Smarandache ÇïÆ· ïÄù S 5 . Ǒ Qã B, · ^{a } 5L«ù S . ùp· |^ {?Ø

?êX a1 Âñ5, Ù¥ α Ǒ?¿ ê.

1

1

2

2

m

i

m

n

+∞

n=1

α n

½n4.8.1 α Ǒ?¿ ¢ê, α > log m , ?êX a1 Âñ, α ≤ log m T?êuÑ. y²: 5¿ , éuk = 1, 2, 3, · · · , ¹k êi 2 E8ÜS p km ê, ¤±· k +∞

n=1

α n

k

+∞ X 1 aα n

+∞ X

<

n=1

mk (10k−1 )α

k=1 +∞ X

= m

k=1

mk−1 10(k−1)α

m m 1 − 10 α m · 10α , 10α − m

= =

Ù¥· |^ ?êP = ú' ñ ù ¯¢, u´ ¤ ½n4.8.1 y².

AO/, 1 1 1 1 +∞ mk−1 k=1 10(k−1)α

S2 = 1 +

9 S3 = 1 +

2

+

11

+

12

+

21

m 10α

+

< 1,

Ǒ=α > log m ´Â

1 + ··· , 22

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + +··· .

2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 93

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

u´: ½n4.8.2 ?ĂŞS Ă&#x161;S Ă&#x2018;Ă&#x201A;Ăą, Â&#x2026;k O 10264 314568337 8627 <S < 9 <S 5775 4620 155719200 ¤å. y²: Â&#x2DC;Â?ÂĄ 2

3

2

3

<

10532147 4449120

1 1 1 1 1 + + + + + ¡¡¡ 2 11 12 21 22 +â&#x2C6;&#x17E; X 1 1 1 1 1 2k + + + + < 1+ + 2 11 12 21 22 10kâ&#x2C6;&#x2019;1

S2 = 1 +

k=3

+â&#x2C6;&#x17E; 1 1 1 1 1 23 X 2kâ&#x2C6;&#x2019;3 = 1+ + + + + + 2 11 12 21 22 102 10kâ&#x2C6;&#x2019;2 k=3

1 1 1 1 1 2 1 = 1+ + + + + + Ă&#x2014; 2 11 12 21 22 25 1 â&#x2C6;&#x2019; 8627 = .

4620

1 5

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, ¡Â&#x201A;k

+â&#x2C6;&#x17E;

S2

X 2k 1 1 1 1 1 > 1+ + + + + + 2 11 12 21 22 10k k=3

= 1+

+â&#x2C6;&#x17E; 1 1 1 1 23 X 2kâ&#x2C6;&#x2019;3 1 + + + + + 3 2 11 12 21 22 10 10kâ&#x2C6;&#x2019;3 k=3

1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + Ă&#x2014; 2 11 12 21 22 125 1 â&#x2C6;&#x2019; 10264 = .

5775

1 5

u´ ¤ ½n4.8.2 1Â&#x2DC;Ă&#x153;Šy². aq/, ¡Â&#x201A;Â&#x152;Âąy²½n4.8.2 1 Ă&#x153;Š, Ăš Ă&#x2019; ¤ ½n4.8.2 y².

94

1ÊÙ AÏ § )¯K

1ÊÙ AÏ § )¯K

§ ê)´êØ ­ K§Ǒ´ ~E,Ú ~áÚ< K, ­.þN õ êÆ[Ñ3ù + ÑLÑÚ ó § 8Eδy êØÚy êAÛ íÄ åÚ . Ǒ ïÄ § ê)§< ME

Nõrkå {Úóä§ ´EkN õ¯Kvk)û. ùp§· =ÀJ

Smarandache¯Kk' AÏ § ê)¯K ?1?ا5 «éuAÏ § ê)ïÄL§¥ {ÚE|5.

5.1

g {

Smarandache m

é?¿ ên, -n IOÏf©)ªǑn = p mg {¼êa (n) ½ÂXe:

α1 α2 1 p2

· · · pkαk . Smarandache

m

am (n) = pβ1 1 pβ2 2 · · · pkβk ,

βi = min{m − 1, αi }, i = 1, 2. · · · , k.

3©z[1]¥ 165¯K, F.Smarandache Ç · ïÄù ¼ê 5 . φ(n)ǑEuler¼ê, =Ò´, φ(n)¤kØ Ln np ê ê. w ,, ¼êφ(n) a (n)þ´ ¼ê. ù !¥, · ò|^ {5?Ø ¹ ùü ¼ê § )¯K, ¿ Ñ § ¤k). ½ n5.1.1 mǑ?¿ ½ ê m ≥ 2, K §φ(n) = a (n)km + 1 ), A )Xe m

m

n = 1, 2m , 2α 3m ,

α = 1, 2, · · · , m − 1.

y²: n IOÏf©)ªǑn = p · k

α1 α2 1 p2

¿

am (n) = pβ1 1 pβ2 2 · · · pkβk ,

k · · · pα k ,

Kdφ(n) 9a

m (n)

βi = min{m − 1, αi }, i = 1, 2. · · · , k

k −1 φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pα (pk − 1). k

½Â (5-1)

(5-2)

w,, n = 1 ´ §φ(n) = a (n) ). XJn > 1, · ò©o« ¹éù ¯K?1?Ø: (i) XJ 3α > m, o· kα − 1 ≥ m, max {β } ≤ m − 1. ( Ü(5-1) 9(5-2), · φ(n) 6= a (n). ¯¢þ, 3ù« ¹evk?Û)÷v §φ(n) = a (n); (ii) XJα = α = · · · = α = m, K m

i

i

1≤j≤k

j

m

m

1

2

k

am (n) = pm−1 pm−1 · · · pm−1 1 2 k 95

Smarandache

¿

¯KïÄ

φ(n) = pm−1 (p1 − 1)pm−1 (p2 − 1) · · · pm−1 (pk − 1).

1 2 k

w,, =kn = 2 ´÷v^ § ); (iii) XJ max {α } < m, Kd(5-1) 9(5-2), ¿5¿ β = α > α − 1, · é¤k÷v^ n , φ(n) 6= a (n); (iv) XJ 3i, j ÷vα = m α < m, o â(5-1), (5-2) ±9 §φ(n) = a (n), ± p = 2. ÄK, Ò¬ φ(n) ´óê, a (n) %ǑÛê gñ. 5¿ XJα < m, Kφ(n) 6= a (n), u´· kα = m 9 m

i

1≤i≤k

k

k

k

m

i

m

j

1

m

k

m

k

m 2 −1 2 φ(n) = 2α1 −1 pα (p2 −1) · · · pm−1 (pk −1) = am (2α1 )am (pα 2 2 ) · · · am (pk ) = am (n). k

XJα k

1

= m,

on = 2 Ò´1(ii) « ¹. Ïd, α m

1

< m.

y3 â §, ·

m 2 p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkm−1 (pk − 1) = 2am (pα 2 ) · · · am (pk ).

(5-3)

5¿ i > 1 2|(p − 1), d(5-3) · ±íÑ3(5-3) ª >Ü©äkp − 1 / ª =k . =Ò´, i

i

n = 2α pm .

|^

φ(2α pm ) = am (2α pm ) ⇐⇒ pm−1 (p − 1) = 2pm−1 ,

± n = 2 3 , 1 ≤ α < m.. u´, 3ù« ¹en = 2 3 , (1 ≤ α < m) ´ §φ(n) = a (n) ¤k). nܱþo« ¹ ?Ø· áǑ ± §φ(n) = a (n) km + 1 ), ¿ A )Ǒ α m

α m

m

m

n = 1, 2m , 2α 3m ,

ù Ò ¤ ½n5.1.1 y².

5.2

α = 1, 2. · · · , m − 1.

§9Ù ê)

Smarandache

Q L«¤k knê8Ü, a ∈ Q\ {−1, 0, 1}. 3Ö[1] ¥ 150 ¯K, F.Smarandache Ç · ) § 1

x · ax +

1 x · a = 2a. x

(5-4)

éù ¯K ?Ø ± Ï· n) # ؽ §, ¤±ïħ´ © k¿Â . !¥, · |^ {9)Û {é §(5-4)?1?Ø, ¿y²

±e(Ø: ½n5.2.1 é¤ka ∈ Q\ {−1, 0, 1}, § 1

x · ax + 96

1 x · a = 2a x

1ÊÙ AÏ § )¯K k =k ê)x = 1. y ²: ùp· ò|^ {±9êÆ©Û¥ Rolle ½n ¤½ n5.2.1 y². Äk, · òy²3a > 1 ¹e½n¤á. ¯¢þ, 3ù « ¹e, xp´ §(5-4) ê), K· 7kx > 0. u´, |^Ø ª|u| + |v| ≥ 2 |u| · |v| ±íÑ 1 x · a + · ax ≥ 2 · x 1 x

r

1

x · ax ·

x+ 1 1 x x · a = 2 · a 2 ≥ 2 · a, x

= x = 1 §¤á. ù Òy² éua > 1, §(5-4) k =k ê)x = 1. y3· Ä0 < a < 1. x ´ §(5-4) ?¿ ê), Kx > 0. Ǒ

y²x = 1, · b½x 6= 1, ¿ 0 < x < 1 (y²x > 1 ¹ 0 < x < 1 ¹ Ó), Kk > 1. · Xe½Â¼êf (x) : 0

0

0

0

0

0

0

1 x0

1

f (x) = x · a x +

h

i

1 x · a − 2a x

1 x0 , x0

w,, ¼êf (x) 34«m x , þëY, 3m«m S , ¿ f (x ) =

1 1 f ( ) = f (1) = 0. u´, dêÆ©Û¥ Rolle ½n f (x) 3m«m x , x x S7kü ":, 3Ó m«mSf (x) 7k ":. ´, d¼êf (x) ½Â· ±íÑ 1 0 x0

0

′

0

0

0

′′

1

f ′ (x) = a x −

9

1 1 1 1 · a x · ln a − 2 · ax + · ax · ln a x x x

1 1 2 · a x · ln2 a + 3 · ax − 3 x x 1 1 2 2 = · a x · ln a + 3 · ax + 3 x x

1 > 0, x ∈ x0 , , x0

f ′′ (x) =

1 1 1 · ax · ln a − 2 · ax · ln a + · ax · ln2 a 2 x x x 2 1 1 x 2 x · a · ln + · a · ln a x2 a x

Ù¥· ^ 0 < a < 1 ln > 0. ù f (x) 3m«m x , S7k ": gñ. ù Òy² 0 < a < 1 ½n¤á.

XJa < 0 a 6= −1, §(5-4) k ê)x, ÏǑKêvk¢ ² , ¤ ±|x| 7Ǒ Ûê. u´, 3ù« ¹e §(5-4) ±zǑ: 1 a

1

2|a| = −2a = −x · a x − 1

= x · |a| x +

′′

1 0 x0

1 1 1 x 1 · a = −x · (−1) x · |a| x − · (−1)x · |a|x x x

1 · |a|x . x 97

Smarandache

¯KïÄ

Kd ¡ í (Ø , 3ù« ¹e½nE,¤á.ù Ò ¤ ½n y².

5: ¯¢þ, d½n y²L§· éN´uy· ±y² (Ø: RL«¤k ¢ê 8. é?¿a ∈ R\ {−1, 0, 1}, § 1

x · ax +

1 x · a = 2a x

k =k ê)x = 1; a > 0 , §k =k ¢ê)x = 1.

5.3

'u¼êϕ(n)9δ (n) k

é ½ êk 9?¿ ên, · Xe½Â «# êؼê: δk (n) = max{d | d | n, (d, k) = 1}

Ïd

XJn ≥ 1, KEuler ¼êϕ(n) L«¤kØ Ln n p ê ê, ϕ(n) =

n X ′

1,

k=1

n

Ù¥ÚªX L«é¤k u un n p êk Ú. !¥, · òïļêϕ(n) ؼêδ (n) 5 , ¿ Ѥk÷vϕ(n) | δ (n) ên. Äkk: Ún5.3.1 én ≥ 1, · k ′

k=1

k

k

ϕ(n) = n

Y p|n

1 1− p

.

y²: ( ë ©z[4] ¥½n2.4 ). ½n5.3.1 ϕ(n) | δ (n) = n = 2 3 , Ù¥α > 0, β ≥ 0, α, β ∈ N . y²: · ò©±eü« ¹?1?Ø: (I) (n, k) = 1 , Kδ (n) = n. n I OÏ f © )ª Ǒn p · · · p . dÚn5.3.1, P α β

k

k

1 α2 pα 1 2

αs s

1 −1 s −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pα ϕ(n) = pα (ps − 1), s 1

XJϕ(n) | δ (n), o k

=Ò´ 98

1 −1 2 −1 s −1 pα (p1 − 1)pα (p2 − 1) · · · pα (ps − 1) | n, s 1 2

(p1 − 1)(p2 − 1) · · · (ps − 1) | p1 p2 · · · ps ,

=

1Ă&#x160;Ă&#x2122; AĂ?Â?§ )ÂŻK Â&#x160;âĂ&#x161;n5.3.1, ¡Â&#x201A;Â&#x152; i) p = 2, Ă&#x201E;K, (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (p â&#x2C6;&#x2019; 1) ´óê p p ¡ ¡ ¡ p ´Ă&#x203A;ĂŞ ÂżÂ&#x2026; ii) s â&#x2030;¤ 2, Ă?Ç&#x2018;2|(p â&#x2C6;&#x2019; 1) (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , s) ´p p ¡ ¡ ¡ p Ă&#x2DC;U 2 Ă&#x2DC;. es = 1, Kn = 2 , Îą â&#x2030;Ľ 1. es = 2, Kn = 2 3 , Îą â&#x2030;Ľ 1, β > 1. Ă?d, ¡Â&#x201A;Â&#x152;Âą (n, k) = 1 Â&#x17E;, n = 2 3 , Îą â&#x2030;Ľ 1, β â&#x2030;Ľ 0 ávĎ&#x2022;(n) | δ (n).

(II) (n, k) 6= 1 Â&#x17E;, -n = n ¡ n , Ă&#x2122;ÂĽ(n , k) = 1 Â&#x2026;(n , n ) = 1, o 1

1

2

s

1 2

i

2 3

s

s

Îą

ι β

ι β

1

2

1

k

1

2

δk (n) = n1 ,

9

Ď&#x2022;(n) = Ď&#x2022;(n1 )Ď&#x2022;(n2 ),

XJĎ&#x2022;(n) | δ (n), o k

Ď&#x2022;(n1 )Ď&#x2022;(n2 ) | n1 ,

=Ă&#x2019;´ |^(5-5), ¡Â&#x201A;Â&#x152; Ă&#x2122;ÂĽÎą â&#x2030;Ľ 1, β â&#x2030;Ľ 0, Îą , β â&#x2C6;&#x2C6; N . nĂ&#x153;(5-6) 9(5-7), ĂŠN´íĂ&#x2018; 1

1

1

Ď&#x2022;(n1 ) | n1

(5-5)

Ď&#x2022;(n2 ) | n1

(5-6)

n1 = 2ι1 3β1 ,

(5-7)

1

Ď&#x2022;(n2 ) | 2Îą1 3β1 ,

=Ă&#x2019;´

Ď&#x2022;(n2 ) = 1.

Ă&#x201E;K(n , n ) 6= 1. u´ 1

2

n2 = 1

oÂ&#x192;, Ă&#x2DC;n Â&#x2020;k ´Ă&#x201E;pÂ&#x192;, ¡Â&#x201A;Ă&#x2018;Â&#x152;Âą n = 2 3 , Îą â&#x2030;Ľ 1, β â&#x2030;Ľ 0 á vĎ&#x2022;(n) | δ (n). u´Ă&#x2019; ¤ ½n5.3.1 y². Îą β

k

5.4

Â?šEulerŸêĂ&#x161;SmarandacheŸê Â?§

ĂŠ?Âż ĂŞn, -S(n)LÂŤSmarandacheŸê, Ă&#x2122;½Ă&#x201A;Ç&#x2018; n|m!  êm. XJn = p p ¡ ¡ ¡ p Ç&#x2018;n IOĂ?fŠ)ÂŞ, Kd½Ă&#x201A;N´íĂ&#x2018;S(n) = Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

99

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥ i l1 k ¤k ¥ .-φ(n)L«Euler ¼ ê Ǒ= L«¤kØ Ln np ê ê, w,φ(n)´ ¼ ê ¼ê L«¤kØ Ln n p ê ê. !òï Ä Ù¥ Ǒ?¿ ½ ê) § ) ê¯K. 'uù ¯K, N´ ´T § ), · ¿Ø ù §´Äkk ). e¡· |^ {5)ûù ¯K, é?¿ ½ êk Ñ ù § Ü). ½n5.4.1 §S(n) = φ(n)ko ): n = 1, 8, 9, 12. y²: n = p p · · · p Ǒn IOÏf©)ª, i max{S(pα i )}, , φ(n) . Euler φ(n) k φ(n) = S(n )( k n=1

α1 α2 1 2

αk k

S(n) = max {S(pi αi )} = S(pα ).

1≤i≤k

dS(n)Úφ(n)½Â 1 −1 2 −1 k −1 φ(n) = pα (p1 − 1)pα (p2 − 1) · · · pα (pk − 1) 1 2 k

= φ(pα )φ(n1 ) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ) = S(pα ).

w,n = 1´ §S(n) = φ(n) ).XJn > 1· ò©n« ¹?ØXe: (I) XJα = 1 n = p, oS(n) = p 6= p − 1 = φ(n). Ǒ=´`, Ø 3 ?Û ê÷v §S(n) = φ(n). XJα = 1 n = n p, oS(n) = p 6= (p − 1)φ(n ) = φ(n p). ¤±T § ).

(II) XJα = 2, okS(p ) = 2p Úφ(p n ) = p(p − 1)φ(n ). ¤±ù = 1

1

1

2

2

1

1

(p − 1)φ(n1 ) = 2

âkS(n) = φ(n). ù ±©ü« ¹5?Ø:p − 1 = 1, φ(n ) = 2; p − 1 = 2, φ(n ) = 1. Ǒ= p = 2, n = 3; p = 3, n = 1. ù §S(n) = φ(n)kü ):n = 12, 9.

(III) XJα = 3, w,kS(2 ) = φ(2 ) = 4, u´n = 8 ÷v §.

XJα ≥ 3 p > 2, 5¿ 1

1

1

1

3

3

α−2

pα−2 > 2α−2 = (1 + 1)

=k

= 1 + α − 2 + · · · + 1 > α.

pα−1 > αp ⇒ pα−1 (p − 1)φ(n1 ) > αp, S(pα ) ≤ αp.

¤±ù« ¹T § ). nÜþ¡n« ¹ ?Ø, · áǑ §S(n) = φ(n)ko ): n = 1, 8, 9, 12. u´ ¤ ½n5.4.1 y².

100

1ÊÙ AÏ § )¯K Ún5.4.1 XJpǑ ê, oS(p ) ≤ kp. XJk < p, oS(p ) = kp, Ù ¥kǑ?¿ ½ ê. y²: (ë ©z[31]). ½n5.4.2 §φ(n) = S(n )kn ): n = 1, 24, 50. y²: -n = p p · · · p , dS(n)Úφ(n)½Â k

k

2

αk k

α1 α2 1 2

2α i S(n2 ) = max{S(p2α i )} = S(p ),

Ù¥pǑ ê±9

φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ), φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ),

Ù¥(n , p) = 1. ǑÒ´`n Úp úÏfǑ1. w,n = 1´ §φ(n) = S(n ) ). XJn > 1· ò©a?ØXe: (i) -α = 1.

XJp = 2, oS(2 ) = 4, φ(n) = (2 − 1)φ(n ), dS(n ) = S(2 ) = φ(n) = φ(n ) φ(n ) = 4, ¤±φ(n ) = 4, u´n = 2 ×5. S(2 ·5 ) = 10 6= φ(2 ×5), Ïdù § ).

XJp ≥ 3, dÚn S(p ) = 2p, φ(n) = (p−1)φ(n ), 5¿ p†(p−1)φ(n ), Ïdù §Ǒ ). (ii) -α = 2.

XJp = 2, oS(2 ) = 6 = 2φ(n ), ).

XJp = 3, oS(3 ) = 9 = 3 × 2φ(n ), ).

XJp = 5, oS(5 ) = 20 = 5 × 4φ(n ), ¤±n = 2, Ïdn = 5 × 2´ § ).

XJp ≥ 7, oS(p ) = 4p = p(p − 1)φ(n ), 5¿ p − 1 > 4, ). (iii) -α = 3.

XJp = 2, oS(2 ) = 8 = 4φ(n ), ¤±n = 3, Ïdn = 2 × 3´ § ).

XJp = 3, oS(3 ) = 15 = 3 × 2φ(n ), ).

XJp = 5, oS(5 ) = 25 = 5 × 4φ(n ), ).

XJp = 7, oS(7 ) = 42 = 7 × 6φ(n ), ).

XJp > 7, oS(p ) = 6p = p(p − 1)φ(n ), 5¿ p − 1 > 6, ). (iv) -α = 4. XJp = 2, oS(2 ) = 10 = 8φ(n ), ).

XJp ≥ 3, dÚn S(p ) < 2pα, 5¿ φ(n) = p (p − 1)φ(n ) Úp > 2pα, ). (v) -α = 5.

XJp = 2, oS(2 ) = 12 = 2 φ(n ), ).

XJp ≥ 3, dÚn S(p ) < 2pα, 5¿ φ(n) = p (p − 1)φ(n ) Úp > 2pα, ). (vi) -α ≥ 6.

1

1

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101

Smarandache

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102

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103

Smarandache (i)

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k=1

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3 3 2 4 n â&#x2C6;&#x2019; 3n 2 â&#x2C6;&#x2019; n.

10 9

n > 361.

n > 361.

1ÊÙ AÏ § )¯K main() {int n=361 ; int sum; int i,j; for(i=1;i≤ n;i++) {sum=0; for (j=0;j≤ i;j++) sum=sum+get(j); if(sum==get(i*(i+1)/2)) printf“%d\n”,i);}}

105

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

18Ă&#x2122; Ă&#x2122;§Â&#x192;'ÂŻKĂŻĂ&#x201E;

3 ÂĄAĂ&#x2122;¼¡Â&#x201A;Ă&#x152;Â&#x2021;0 SmarandacheÂŻK3ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê, AĂ?ĂŞ ŠĂ&#x2122;, ?ĂŞ9A Ă?Â?§) ÂŻK, ¤^Â?{Ă&#x152;Â&#x2021;Ç&#x2018; ½)Ă&#x203A; ĂŞĂ&#x2DC;Â?{5ĂŻĂ&#x201E;. ´SmarandacheÂŻK¤ 9 ĂŻĂ&#x201E;+Â?Â&#x161;~2Â?, Ă&#x2122; Ă&#x152;Â&#x2021;8 3uĂ?LSmarandache­Â&#x2DC;m, SmarandacheAĂ&#x203A;, 2 Ă&#x201A;Smarandache PalindromesĂŞ Â&#x2014;Ă?, Smarandache n-( 9ÂĽÂ&#x153;Ă&#x2020; Â&#x192;'ŠĂ&#x2122; Ă&#x2013; Ă&#x2013; Ăś Ă&#x161; )SmarandacheÂŻK 2Â?5, ÂżĂ?LĂ&#x2020;S-uĂ&#x2013;ÜÊSmarandacheÂŻK ĂŻĂ&#x201E;, .

­Â&#x2DC;m9Â&#x192;'ĂŞĂ&#x2020;|Ă&#x153;nĂ&#x2DC;

Smarandche

f Â&#x201E;

(ÂĽIÂ&#x2030;Ă&#x2020; ĂŞĂ&#x2020;Â&#x2020;XĂ&#x161;Â&#x2030;Ă&#x2020;ĂŻĂ&#x201E; § ÂŽ

100080)

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AMS(2000): 03C05, 05C15, 51D20,51H20, 51P05, 83C05,83E50

Â&#x201C;ĂŞXĂ&#x161;9Ă&#x2122;ĂŁ)LÂŤ Ă&#x201E;k Ă&#x201E;Â&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź ÂŻKÂľ1 + 1 = ? 3g,ĂŞX¼§¡Â&#x201A; 1+1=2. 32?Â&#x203A; $Â&#x17D;NX¼§¡Â&#x201A;Â&#x201E; 1+1=10§Úp 10¢SĂžÂ&#x201E;´2. Â?â/Ă&#x201E;½Â&#x192;Ă&#x201E;½ uÂ&#x2019;½0 ĂłĂ&#x2020;gÂ&#x17D;§¡Â&#x201A;ĂŚ^Â&#x2DC;ÂŤ/Â&#x2021;gÂ&#x2018; ! _ 0gÂ&#x17D;([6]) 5­#wÂ&#x2013; ĂšÂ&#x2021;ÂŻK§­#ŠĂ&#x203A;1 + 1 = 2½6= 2. ¡Â&#x201A; 1, 2, 3, 4, 5, ¡ ¡ ¡ Ăš ĂŞ ¤g,ĂŞXN . 3ĂšÂ&#x2021;ĂŞX¼§Â?âêê 5Ă&#x2020;§zÂ&#x2021;ĂŞÂĄÇ&#x2018; ÂĄ; X ĂŞ Uê§=2 UĂŞÇ&#x2018;3§PÇ&#x2018;2 = 3. Ă&#x201C; §3 = 4, 4 = 5, ¡ ¡ ¡ . Ăš ¡Â&#x201A;Ă&#x2019;

§1.

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1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5, ¡ ¡ ¡ ; 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, ¡ ¡ ¡

Ăš Â&#x2DC; $Â&#x17D; ÂŞ. 3ڍ$Â&#x17D;NXe§¡Â&#x201A;Â?U 1 + 1 = 2 (Ă&#x2DC;. y3ÂŁ Â&#x2DC;e$Â&#x17D; ½Ă&#x201A;. Â&#x2030;½Â&#x2DC;Â&#x2021;8Ă&#x153;S §Êâ&#x2C6;&#x20AC;x, y â&#x2C6;&#x2C6; S, ½Ă&#x201A;x â&#x2C6;&#x2014; y = z§¿g ´S Ăž 3Â&#x2DC;Â&#x2021;2 (Ă&#x153;N â&#x2C6;&#x2014; : S Ă&#x2014; S â&#x2020;&#x2019; S § â&#x2C6;&#x2014;(x, y) = z.

106

18ร ร ยงย 'ยฏKรฏร รฆ^รฃ) ย ยชยงยทย ย ยฑ^รฃrรนยซ'X3ยฒยกรพLยซร 5. ร krS ยฅ zย ^ยฒยกรพ :LยซยงXJS ยฅknย ยงK3ยฒยกรพร nย ร ย :ยถ รผย :x, zย mรซ ย ^kย ย รฃยงXJ 3ย ย y x โ y = z,ยทย 3รน^ย รฃรพIรพโ yยงยกว Tย รฃ ยญยงXรฃ1.1ยคยซ. รฃ1.1 5ยฟรนยซรฉAยด1 โ 1 ยงPS รฉA รฃว G[S]. ยฝร 1.1 ย ย ย รชXร (A; โ ฆ)ยกว รผย e 3ย ย N ฬ : A โ A รฉโ a, b โ Aยงย ย a โ ฆ b โ AยงK 3ย ย ย ย c โ A, c โ ฆ ฬ (b) โ Aยงย A/ยกฬ ว รผย N . ยทย รฉNยด eยก'uย รชXร (A; โ ฆ)ย รฃG[A] 'X ย ย (J. ยฝn1.1 (A; โ ฆ)ว ย ย ย รชXร ยงK (i) e(A; โ ฆ)รพ 3ย ย รผย N ฬ ยงKG[A]ยดย ย Eulerรฃ. ย ย ยงeG[A]ยด ย ย EulerรฃยงK(A; โ ฆ)ยดย ย รผย $ย Xร . (ii) e(A; โ ฆ)ยดย ย ย รช$ย Xร ยงKG[A]ยฅzย ยบ: ร ร ว |A|ยถ d ยงXJ(A; โ ฆ)รพย ร ยครกยงKG[A]ยดย ย ยญ2-รฃย zย ยบ:ร ร ย ย ย ร ร ยบ:ย m >ว ย รฉ2->ยงย ย ยฝ,. ยง2. ย รชSmarandacheยญย m ย ย 1 + 1 6= 2ยฝ1 + 1 = 2ย 1 + 1 6= 2ร ย ยครก รชร Xร ยงยทย Iย ?ย ร รญ2รพยก gย . ย ย /ยงยทย ยฝร ย ย Smarandache n-ยญย mXe. ยฝร 2.1 ย ย n-ยญย mPยงยฝร ว nย 8ร A , A , ยท ยท ยท , A ยฟ 1

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K Z ร ยดย ย nยญย รชXร . i

i

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i

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i

i

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i

i

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i

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107

Smarandache

¯KïÄ

3­ m µee§· ±í2²; êÆ¥+ Vg ­+ V g§¿ Ù A ê( . ½Â2.2 Ge = S G Ǒ äk$ 8O(G)e = {× , 1 ≤ i ≤ n} µ4­ m. eé?¿ êi, 1 ≤ i ≤ n, (G ; × ) ´ +§ é∀x, y, z ∈ GeÚ?¿ü $ /×0and /◦0§× =6 ◦§ 3 $ §~Xקé/◦0÷v© Ƨ= n

i

i

i=1

i

i

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Ù¥ $ (J 3§K¡GeǑ n-­+. Ó §· ±½Ân-­+ f­+! 5f­+ Vg§? +Ø¥

²;(J í2§ ©z[4]. aq/§· ±? ÚÚ?­ !­ þ m Vg§? í2 ! 5 mnØ¥ Ͷ(J. ½Â2.3 Re = S R Ǒ m-­ m§ é?¿ êi, j, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ e§ A $ (Jþ 3§K m, (R ; + , × )Ǒ é?¿ ∀x, y, z ∈ R k m

i

i=1

i

i

i

(x +i y) +j z = x +i (y +j z),

(x ×i y) ×j z = x ×i (y ×j z),

x ×i (y +j z) = x ×i y +j x ×i z, (y +j z) ×i x = y ×i x +j z ×i x,

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108

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[1] L.Kuciuk and M.Antholy, An Introduction to Smarandache Geometries, Mathematics Magazine, Aurora, Canada, Vol.12(2003) [2] Y.P.Liu, Enumerative Theory of Maps, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/ Boston/ London, 1999.

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[4] L.F.Mao, Smarandache multi-space theory, Hexis, Phoenix, AZ 2006.

[5] F.Smarandache, Mixed noneuclidean geometries, eprint arXiv: math/0010119, 10/2000.

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L.Kuciuk1 M.Antholy2 (1. University of New Mexico, NM 87301, Email: research@gallup.unm.edu.)

(2. University of Toronto, Toronto, Email: mikesntholy@yahoo.ca.)

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18Ù Ù§ '¯KïÄ ë ©z [1] L.Kuciuk,M.Antholy, On Smarandache Geometries, presented at New Zealand, Mathematics Colloquium, Massey University, Palmerston North, New Zealand, December 3-6, 2001, http: //atlasconferences.com/c/a/h/f/09.htm; also at the International Congress of Mathematicians(ICM 2002), Beijing, China, 20-28, August 2002, http://www.icm 2002.org.cn/B/Schedule Section04.htm.

[2] Ashbacher,C., Smarandache Geometries, Smarandache Notions Journal, Vol.8, 212-215, No.1-2-3,1997.

[3] Chimienti,S.and Bencze,M., Smarandache Paradoxist Geometry, Bulletin of pure and Applied Sciences, Delhi, India, Vol.17E, No.1, 123-1124,1998. http://www.gallup.unm.edu/-smarandache/prd-geo1.txt.

[4] Iseri,H, Partially Paradoxist Smarandache Geometries, http://www.gallup.unm.edu/-smarandache/Howard-Iseri-paper.htm.

[5] PlanetMath, Smarandache Geometries, http://planetmath.org/encyclopedia/Smarandache Geometries.html.

[6] Smarandache,F., Paradoxist Mathematics, in Collected Papers(Vol.II), Kishinev University Press, Kishinev, 5-28,1997.

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Smarandache

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Smarandache

S.Bhattacharya (Alaska Pacific University, 4101 University Drive, Anchorage, AK99508)

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Smarandache

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Charles Ashbacher (Charles Ashbacher Technologies Hiawatha, IA 52233 USA, Email:

cashbacher@yahoo.com )

Lori Neirynck (Mount Mercy College, 1330 Elmhurst Drive, Cedar Rapids, IA 52402 USA)

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[1] G.Gregory, Generalized Smarandache Palindromes, http://www.gallup.unm.edu/â&#x2C6;źsmarandache/GSP.htm.

[2] Smarandache, F., Generalized Palindromes, Arizona State University Special Collections, Tempe.

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Smarandache

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Sukanto Bhattacharya (Alaska Pacific University, Anchorage, USA) Mohammad Khoshnevisan (Griffith University, Queensland, Australia)

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[2] W. B. Vasantha Kandasamy, F. Smarandache, N-Algebraic Structures, Hexis, 2005.

[3] W. B. Vasantha Kandasamy, F. Smarandache, Introduction to N-Adaptive Fuzzy Models to Analyze Public Opinion on AIDS, Hexis, 2005.

[4] W. B. Vasantha Kandasamy, Smarandache Algebraic Structures, book series(Vol. I: Groupoids; Vol. II: Semigroups; Vol. III: Semirings, Semifields, and Semivector Spaces; Vol. IV: Loops; Vol. V: Rings; Vol. VI: Near-rings; Vol. VII: Non-associative Rings; Vol. VIII: Bialgebraic Structures; Vol. IX: Fuzzy Algebra; Vol. X: Linear Algebra), 2002-2003.

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www.gallup.unm.edu/ â&#x2C6;ź smarandache/eBooks-otherformats.htm

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Smarandache

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Research on Smarandache Problems

Yi Yuan Research Center for Basic Science Xi’an Xi’an,

Jiaotong Shaanxi,

University 710049

P.R.China

Kang Xiaoyu Editorial Board of Journal of Northwest University Northwest University Xi’an,

Shaanxi,

P.R.China

710069

责任编辑：马金萍 封面设计：潘晓玮

Research on Smarandache Problems

ISBN 1-59973-016-2

53995>

9 781599 730165