Smarandache 问题研究

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Smarandache 问题研究

易 媛 亢小玉 著

High American Press

2006

Smarandache 问题研究

易媛 西安交通大学理学院

亢小玉 西北大学学报编辑部

High American Press 2006

This book can be ordered in a paper bound reprint from: Books on Demand ProQuest Information & Learning (University of Microfilm International) 300 N. Zeeb Road P.O. Box 1346, Ann Arbor MI 48106-1346, USA Tel.: 1-800-521-0600 (Customer Service) http://wwwlib.umi.com/bod/basic Copyright 2006 by High American Press, Authors and Editors

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Peer Reviewers: Faculty and students Department of Mathematics Northwest University Xi’an Shaanxi P. R. China.

ISBN: 1-59973-016-2

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P êدK )û, ´ õ #¯K¬Ñy. ´éù ¯K ØäïÄâr? êØ9y êÆ vu . {7ÛêZæͶêØ;[F.Smarandache ÇQJÑ Nõ'u AÏê ! â¼ê ¯K ß . 1991 , 3{IïÄÑ Ñ

5 k¯K§vk) 6 Ö. TÖ¥, F.Smarandache ÇJÑ 105 'uAÏê ! â¼ê )û êƯK9ß . Xù ¯K JÑ, NõÆöéd?1 \ ïÄ, ¿¼ Ø äk­ nØd ïĤJ! Ö ´ âM.PerezƬ±9· Ü©+ Ç ïÆ, ò 8 ¥IÆö'uF.Smarandache¯K Ü©ïĤJ®?¤þ, Ù Ì 8 3u Öö ¡ qXÚ 0 êØïÄk' F.Smarandache¯K yG, Ì )êؼê þ !ð ª Ø ª! ¡?ê!AÏ¼ê § ) SN. 3 ÊÙ 0 ¥X­ Ny êØ {3)û¢S¯K r ^, ÆöU Úݺ$ ^êØ {)û¢S¯K Uå. AOI Ñ ´, 318Ù¥· Þ I ÆöéF.Smarandache¯K3Ù§+ XAÛÆ!Ü 6Æ + ¥ ïĤJ, l mÿÖö À , Ú Ú-uÖöéù

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Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

8š 1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) 1.1 p g˜ êŸêS (n) . . . . . . . 1.1.1 Úó . . . . . . . . . . . . 1.1.2 S (n) ĂŹC5Â&#x; . . . . . . . 1.1.3 p g˜ ĂŞĂša (n). . . . . . . 1.1.4 p g˜ êŸê†a (n) . . . . . 1.2 Smarandache Ceil Ÿê . . . . . . . 1.2.1 Úó . . . . . . . . . . . . 1.2.2 S (n!) ŠĂ™5Â&#x; . . . . . . . . 1.2.3 Smarandache Ceil Ÿê†ℌ(n) . . {ßêŸê . . . . . . . . . . . 1.3 1.3.1 Úó . . . . . . . . . . . . 1.3.2 {ßêS . . . . . . . . . 1.4 Smarandache Lucas Ă„.9Ă™OêŸê . 1.5 SmarandacheŸê†a (n) . . . . . . 1.6 Smarandache{ߟê ÂŒ\aq . . . 1.7 Smarandache–5 ĂŞS . . . . . . ƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS {e (n)}(I) . . . 1.8 1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) 2.1 k gÖê†k gÂŒ\Ă–ĂŞ . . . . . . . 2.1.1 Úó . . . . . . . . . . . . 2.1.2 ĂĄÂ?Â?{ĂŞĂškgĂ–ĂŞ . . . . . k gÂŒ\Ă–ĂŞ . . . . . . . . . 2.1.3 2.2 k g˜Ă?fĂŞS . . . . . . . . . 2.2.1 Úó . . . . . . . . . . . . 2.2.2 kg˜Ă?fĂŞS . . . . . 2.2.3 k g˜Ă?fĂŞS . . . . . . . 2.2.4 –Smarandache ²Â?Ă?fŸê . . 2.3 ƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS {e (n)}(II) . . . 2.3.1 e (n)†EulerŸê . . . . . . . 2.3.2 e (n) †Ă?f ĂˆS . . . . . 2.4 –SmarandacheŸê ĂŠĂł . . . . . 2.5 eÂƒĂŞĂœŠŸêĂšĂžÂƒĂŞĂœŠŸê . . 2.6 k Smarandache CeilŸê ĂŠĂł . . . p

p

k

p

k

k

p

p

p p

II

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1 1 1 1 4 6 8 8 8 10 12 12 13 17 21 23 25 26

. . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 30 35 37 37 38 42 46 48 48 50 55 57 59

8š 1nĂ™ Ă° Â†Ă˜ ÂŞ ˜†S . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 Smarandache‡'ĂŠĂ›S . . . . . . 3.3 Smarandache LCM '~S . . . . . 3.4 Ă?f ĂˆÂ†Ă˝Ă?f ĂˆS . . . . . . 3.5 Smarandache157‡¯K . . . . . . . 3.6 SmarandacheŸê 5Â&#x; . . . . . . . 1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x; 4.1 'uk gĂ–ĂŞ A‡ð ÂŞ . . . . . . 4.2 Â?šEulerŸê Â?§ . . . . . . . . 4.3 ĂŠÂĄS 9Ă™5Â&#x; . . . . . . . . . . 4.4 ˜|Dirichlet?ĂŞ9Ùð ÂŞ . . . . . 4.5 nÆ/ĂŞ 5Â&#x; . . . . . . . . . . 4.6 e ĂœŠS ÚÞ ĂœŠS . . . 4.7 SmarandacheÊóŸê . . . . . . . . 4.8 2Ă‚ ÂŒ E8Ăœ . . . . . . . . . . 1ĂŠĂ™ AĂ?Â?§ )ÂŻK 5.1 Smarandache m gÂ?{ . . . . . . . 5.2 SmarandacheÂ?§9Ă™ ĂŞ) . . . . . 5.3 'uŸêĎ•(n)9δ (n) . . . . . . . . 5.4 Â?šEulerŸêĂšSmarandacheŸê Â?§ . 5.5 'u²Â?Ă–ĂŞ ˜‡Â?§ . . . . . . . 18Ă™ Ă™§Âƒ'ÂŻKĂŻĂ„ ĂŤ Šz k

. . . . . .

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63 63 64 70 72 76 78

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81 81 84 86 87 88 90 91 93

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95 95 96 98 99 102

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106 124

III

Smarandache

IV

¯KïÄ

1 Ù êؼê9Ùþ (I)

1 Ù êؼê9Ùþ (I)

êا êÆ Ù§Nõ©| §²~ 9 ¢ê½EêS . 3êØ¥§ù S ¡Ǒêؼê. Nõêؽ|ÜêÆ¥ ¯Kþ zǑ êؼê§ïÄù êؼê 5 ´êØ ­ SN. kNõêØ¼ê ´éØ5K §~X φ(n)§d(n)§µ(n) . P ´ù êؼê þ f (n) äkû A5. ÙÌ 0 A Smarandache ¯ K¥¤JÑ êؼ꧿|^ {5ïÄù êؼê þ 9 â5 . 1 x

n≤x

g ê¼êS (n)

1.1

p

1.1.1

Úó

p

½Â1.1.1 p Ǒ ê§nǑ?¿ ê§S (n) L«S (n)! U p Ø ê. ~X§S (1) = 3§S (2) = 6§S (3) = S (4) = 9§· · · · · · . ½ Â1.1.2 hé?¿ ½ ê k §-a (n) ´n k g êÜ©§ i =Ò´a (n) = n , Ù¥[x] ´ u½ ux ê.~X§a (1) = 1§· · · §a (2 − 1) = 1§a (2 ) = 2§· · · . ½Â1.1.3 p Ǒ ê§n Ǒ?¿ ½ ꧷ ½Âµ a (n) = m p | n p † n. p

3

3

3

n

p

3

k

1 k

k

k

k

k

k

k

m

p

m+1

3©z[1]¥149 ¯K§168 ¯K9180 ¯KpF.Smarandach ÇïÆ ïÄS {S (n)}§{a (n)}§{a (n)} 5 . !¥§· Ì |^ {épg ê¼ê þ ±9§ k g êÜ©!a (n) ·Üþ © Ù5 ?1?Ø. éù ¯K ïÄ, ± Ï· 5O Smarandache ¼ê, ± 9 ) â¼ê m ; éX. p

k

p

p

1.1.2

Sp (n)

ìC5

Äk, é?¿ ½ êp9 ên, XJn = a p + a p + · · · + a p α > α > · · · > α ≥ 0 Ù¥1 ≤ a ≤ p − 1 (i = 1, 2, · · · , s)§ 1

s

s−1

1

α1

2

α2

s

αs

i

a(n, p) = a1 + a2 + · · · + as .

'uêؼêa(n, p)§· k±eü {üÚn: Ún1.1.1 é?¿ ên ≥ 1§· kð ª αp (n) ≡ α(n) ≡

+∞ X n i=1

pi

=

1 (n − a(n, p)), p−1 1

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Ù¼[x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  ÂŒ ĂŞ. y²: d[x] 5Â&#x;ÂŒ

n pi

a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs = pi  P s  aj pÎąj −i , Îąk−1 < i ≤ Îąk = j=k  0, i ≼ Îąs .

dd, ¡Â‚k Îą(n) ≥ =

XJ XJ

+∞ X n pi i=1 Îąj s X X

+∞ X a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs = pi i=1

Îąj −k

aj p

=

j=1 k=1

=

s X j=1

=

aj ¡

s X j=1

aj (1 + p + p2 + ¡ ¡ ¡ + pÎąj −1 ) s

p −1 1 X = (aj pÎąj − aj ) p−1 p−1 Îąj

j=1

1 (n − a(n, p)). p−1

Ăšn1.1.1 y. Ăšn1.1.2 ĂŠ?¿‰½ÂƒĂŞp 9 ĂŞnÂ…p|n, Kk O a(n, p) ≤

ÂĽ

y ²: -n = a p

Â…Îą > Îą ½Ă‚ÂŒ

+ a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs 1 ≤ ai ≤ p − 1 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s). a(n, p) 1

Îą1

p ln n. ln p

a(n, p) =

KŠâ

s X i=1

ai ≤

s X i=1

s

s−1

(p − 1) = (p − 1)s.

> ¡ ¡ ¡ > Îą1 ≼ 0

Ă™

(1-1)

,˜Â?ÂĄ, |^êÆ8B{¡Â‚ĂŠN´íĂ‘Ă˜ ÂŞ: ½Ü

n = a1 pÎą1 + a2 pÎą2 + ¡ ¡ ¡ + as pÎąs ≼ as pÎąs , s≤

ln(n/as ) ln n ≤ . ln p ln p

(Ăœ(1-1)9(1-2)ª§¡Â‚ĂĄÇ‘ O a(n, p) ≤ 2

p ln n. ln p

(1-2)

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) Ăšn1.1.2 y. ½n1.1.1 ĂŠ?¿‰½ÂƒĂŞp 9 ĂŞn, KkĂŹCúª Sp (n) = (p − 1)n + O

p ¡ ln n . ln p

y²: ĂŠ?¿‰½ÂƒĂŞp9 ĂŞn, 3p?›¼-S (n) = k = a p + a p + ¡ ¡ ¡ + a p Â…Îą > Îą > ¡ ¡ ¡ > Îą ≼ 0. KŠâS (n) ½Ă‚ÂŒ p |k!9p †(k − 1)!, u´ι ≼ 1. 5Âż k! IOĂ?fŠ)ÂŞÇ‘ p

s

Îąs

s

s−1

1

1 n

p

Îą1

2 n

Îą2

1

k! =

Y

q Îąq (k) ,

q≤k +∞ h

Ù¼ Q LÊ¤k u½ uk ÂƒĂŞ Ăˆ§¿Â…Îą (k) = P ÂŒÂą Ă˜ ÂŞ q

i=1

q≤k

k qi

i

.

dĂšn1.1.1

Îąp (k) − Îą1 < n ≤ Îąp (k)

½Ü =Ă’´

1 1 (k − a(k, p)) − Îą1 < n ≤ (k − a(k, p)). p−1 p−1

(p − 1)n + a(k, p) ≤ k ≤ (p − 1)n + a(k, p) + (p − 1)(Îą1 − 1).

(ĂœĂš Ă˜ ÂŞ, 2ŠâĂšn1.1.2 ÂŒÂą ĂŹCúª k = (p − 1)n + O

p ln k ln p

Ăš Ă’ ¤ ½n1.1.1 y². d½n1.1.1ÂŒ¹íĂ‘: Ă­Ă˜1.1.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, Kk

= (p − 1)n + O

a)

S2 (n) = n + O(ln n);

b)

S3 (n) = 2n + O(ln n).

p ln n . ln p

3

Smarandache

1.1.3

p

¯KïÄ

g êÚa (n) k

Ún1.1.3 p Ǒ ê§n Ǒ?¿ ê§Kk ( p, XJ p ||m!, |S (n + 1) − S (n)| = 0, Ù§, Ù¥S (n) = m, p k m! L«p |m! p †m!. y²: y3· ò©ü« ¹é¯K?1?Ø. (i) S (n) = m§ep k m!§u´kp |m! p †m!. dS (n) ½Â· p †(m + 1)!, p †(m + 2)!, · · · , p †(m + p − 1)! p |(m + p)!, Ï dS (n + 1) = m + p, o· ±íÑ n

p

p

n

p

n

n+1

n

p

n+1

n

n+1

n+1

p n+1

n+1

p

|Sp (n + 1) − Sp (n)| = p.

(ii)

Sp (n) = m,

ep |m! p n

n+1

|m!,

(1-3)

KkS (n + 1) = m, Ïd p

|Sp (n + 1) − Sp (n)| = 0.

nÜ(1-3) Ú(1-4), ±íÑ

|Sp (n + 1) − Sp (n)| =

(

p, 0,

(1-4)

XJp Ù§.

n

k m!,

Ún1.1.3 y. 3Ún1.1.3 Ä:þ§ !¥Ì ?Ø P |S (a (n + 1)) − S (a (n))| ìC5 , Ù¥ x ´ ¢ê. ¯¢þ, !y² ±e(ص ½n1.1.2 é?¿ ¢êx ≥ 2, -p Ǒ ê9n Ǒ?¿ ê, Ké?¿ ½ êk k n≤x

1 p

p

k

p

k

X1 1 1 ln x |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| = x k · 1 − + Ok , p p ln p

n≤x

Ù¥O L« O ~ê= ëêk k'. y ²: é?¿ ¢êx ≥ 2, M Ǒ ½ ê ÷vM 1) § âS (n) ½Â9Ún1.1.3 · k k

k

p

=

X1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p n≤x   M −1 X X 1  |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p k k t=1 t ≤n≤(t+1) −1

4

k

≤ x < (M +

1 Ù êؼê9Ùþ (I) +

X

M k ≤n≤x

=

M −1 X t=1

=

M −1 X t=1

=

X

1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p

1 |Sp (t + 1) − Sp (t)| + p

X

M k ≤n≤x

1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p

1 |Sp (t + 1) − Sp (t)| p 1 + O(1),

(1-5)

1 t≤x k

pt km!

Ù¥S (t) = m. ep p

t

k m!,

Kk(ë ©z[2]¥½n1.7.2)

t =

∞ X m i=1

|^(1-6)ª, ±íÑ

=

i≤logp m

X

1 + O logp m i p i≤logp m ln m m +O . p−1 ln p

= m· =

pi

X m pi

m = (p − 1)t + O

Ïd

1 k

1 ≤ m ≤ (p − 1) · x + Ok

p ln x ln p

p ln t ln p

.

,

(1-6)

(1-7)

1

1 ≤ t ≤ xk .

5¿ é?¿ êt§e 3 êm p k m! ¤á, Kkp k (m + 1)!, p k (m + 2)!, · · · , p k (m + p − 1)!. ¤±3«m1 ≤ m ≤ (p − 1) · x + O h i ¥kp m t = P ¤á. dþª9ª(1-5)§ t

t

t

1 k

t

∞

i=1

k

p ln x ln p

m pi

X1 |Sp (ak (n + 1)) − Sp (ak (n))| p n≤x X = 1 + O(1) 1

t≤x k pt km!

=

1 p

1 p ln x (p − 1) · x k + Ok + O(1) ln p 5

Smarandache

¯KïÄ

1 1 ln x = xk · 1 − + Ok . p ln p

u´ ¤ ½n1.1.2 y². 1.1.4

p

g ê¼ê a (n) p

Ún1.1.4 é?¿ ½ êp 9?¿¢êx ≥ 1, · k 2 X α2 p2 + p x = +O . pα (p − 1)3 px

α≤x

y²: Äk, · 5O

u=

X

α2 /pα .

α≤n

5¿ ð ª

1 u 1− p

=

n X α2

α=1

=

pα

−

α=1 n−1 2 X

n 1 − + p pn+1 2

=

n X α2 pα+1

1 n − + p pn+1

α=1 n−1 X α=1

9

1 u 1− p

2

n−1

=

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

(α + 1)2 − α2 pα+1 2α + 1 , pα+1

!

1 1− p

n−1

=

2

= =

¤±· k u =

6

n

1 1 n2 − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − p p pn+2 pα+1 pα+1 2

1 2 n −n p + + + p p2 pn+2

α=1 n−1 X α=2

α=2

2 pα+1

2

+

n − n2 p − (2n − 1)p pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1 1−

1 p

2

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) p 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n−2 + . 2 3 (p − 1) p (p − 1) pn (p − 1)2

=

u´¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒÂą

X Îą2 pÎą

p 2p + +O (p − 1)2 (p − 1)3 2 p2 + p x +O . 3 (p − 1) px

=

ι≤x

=

x2 px

Ăšn1.1.4 y.. ½n1.1.3 ĂŠ?¿‰½ ÂƒĂŞp 9?¿¢êx ≼ 1, KkĂŹCúª X

ap (Sp (n)) =

n≤x

p+1 x + O ln3 x . 2 (p − 1)

y²: ŠâS (n)Ăša (n) ½Ă‚, N´íĂ‘ p

X

p

ap (Sp (n))

n≤x

=

X

Îą2 =

X

pι ≤x

=

X

m≤x/pι

Îą

2

pι ≤x

=

X

pι ≤x

=

X

pι ≤x



= x

X

Îą2

X

ι2  ι

2

X

Âľ(d)

X

Âľ(d)

1

t≤x/pι

X

1−

X

t≤x/pι+1



1

x x − Îą+1 + O(1) pÎą p

ι≤ln x/ ln p

1

m≤x/pι (p,m)=1

d|(m,p)

t≤x/pι

X

Îą2

pι ≤x

X

d|p



X

Îą2 =

pι m≤x (p,m)=1

m≤x pι km

=

X

2

Îą − pÎą

X

X

ι≤ln x/ ln p

2





ι  +O pι+1

X

ι≤ln x/ ln p

1 Îą 3 = 1− x + O ln x p pÎą ι≤ln x/ ln p 2 2 1 p +p ln x = 1− +O x + O ln3 x 3 p (p − 1) x p+1 = x + O ln3 x . (p − 1)2 2



ι2 

7

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

u´Ă’ ¤ ½n1.1.3 y². p = 2, 3, d½n1.1.3 =ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜1.1.2 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, KkĂŹCúª X

n≤x

X

n≤x

a2 (S2 (n)) = 3x + O ln3 x , a3 (S3 (n)) = x + O ln3 x .

1.2

Smarandache Ceil

1.2.1

Úó

Ÿê

½Ă‚1.2.1 ĂŠÂ˜Â‡ ½ ĂŞk 9?Âż ĂŞn, Smarandache Ceil Ÿê ½Ă‚Xe: Sk (n) = min{m ∈ N : n|mk }.

ڇŸê´dF.Smarandache ÇJĂ‘5 . 'uڇŸê, Ibstedt (ĂŤ Š z[3]) JĂ‘Âąe5Â&#x;: 5Â&#x;1.2.1 (∀a, b ∈ N ) (a, b) = 1 ⇒ Sk (a ¡ b) = Sk (a) ¡ Sk (b),

5Â&#x;1.2.2

Îą

Sk (pÎą ) = p⌈ k ⌉

Ù¼p Ǒƒê§âŒˆx⌉ LÂŤÂŒux  ê. d5Â&#x;1.2.1 ÂŒ §S (n) ´Â˜Â‡ÂŒ Ÿê. Ă?d, dn = p ƒêŠ), S (n) w,kXe5Â&#x;:

Îą1 Îą2 1 p2

k

r ¡ ¡ ¡ pι r

Ç‘n

k

⌈

ιr 1 ι2 Sk (n) = Sk (pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1

Îą1 k

½Ă‚1.2.2 ÂŽâŸêâ„Ś(n) ½Ă‚Xe:

⌉ ⌈ p2

Îą2 k

⌉

⌈ Îąkr ⌉

¡ ¡ ¡ pr

.

(1-8)

Îąr 1 Îą2 â„Ś(n) = â„Ś(pÎą 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = Îą1 + Îą2 + ¡ ¡ ¡ + Îąr .

!¼§ĂŒÂ‡?Ă˜'uâ„Ś(n)ĂšSmarandache Ceil Ÿê§¹9S (n!) ފ ŠĂ™5Â&#x;. k

1.2.2

Sk (n!)

ŠĂ™5Â&#x;

Ăšn1.2.1 n Ǒ˜?Âż ĂŞ, Kk X 1 n = 2 +O ln p ln n p≤n

8

n ln3 n

,

(1-9)

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) Ù¼p LÂŤĂ˜Ă“ ÂƒĂŞ. y²: ŠâAble Ă° ÂŞ(ĂŤ Šz[4]) ¡Â‚k

Z n X 1 1 1 = π(n) + π(t) 2 dt, ln p ln n t ln t 2

p≤n

Ù¼π(n) LÂŤĂ˜Â‡Ln ÂƒĂŞÂ‡ĂŞ. 5Âż

n +O π(n) = ln n

Ă?d,

n ln2 n

,

X 1 n n = 2 +O . ln p ln n ln3 n p≤n

Ăšn1.2.1 y. Ăšn1.2.2 mǑ˜?Âż ĂŞ, ¡Â‚kĂŹCúª

X1 1 = ln ln n + A + O , p ln n

(1-10)

p≤m

Ù¼A´Â˜Â‡ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²: ( ĂŤ Šz[5] ). ½n1.2.1 kǑ˜‡‰½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, ¡Â‚kĂŹCúª â„Ś(Sk (n!)) =

Ù¼C ´Â˜Â‡ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²:

n n (ln ln n + C) + O , k ln n

ιr 1 ι2 n! = pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr .

Šâ(1-8) 9Ÿêâ„Ś(n) ÂŒ\5, ¡Â‚k

r l Îą1 Îą2 X Îąi m ⌉ ⌈ ⌉ ⌈ Îąr ⌉ ⌈ â„Ś(Sk (n!)) = â„Ś p1 k p2 k ¡ ¡ ¡ pr k = . k

(1-11)

i=1

w,

Îąi =

5Âż ep

j

> n,

h i

Kk

n pj

∞ X n j=1

= 0,

pji

,

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r.

l dĂšn1.2.1ÂŒ

  X 1 X n   â„Ś(Sk (n!)) = k pji    ln n p≤n

j≤ ln p

9

Smarandache

=

=

=

=

=

 ln n  ln p ] X 1 [X n ln n   +O k j p ln p   j=1 p≤n    ln n ln p ] n X 1 [X n ln n   + O + O k pj ln p ln n j=1 p≤n ! n X n X 1 1 − + O n [ ln k p−1 ln n ln p ] (p − 1) p≤n p≤n p ! n n X 1 +O k p−1 ln n p≤n ! n n X1 X 1 + +O . k p p(p − 1) ln n p≤n

Ă?Ç‘ X

p≤n

ÂŻKĂŻĂ„

X X 1 1 1 = − = B+O p(p − 1) p(p − 1) p(p − 1) p

p>n

1 , n

Ù¼B = X p(p 1− 1) Ǒ˜~ĂŞ. nĂœ(1-12), (1-13) 9Ăšn1.2.2 ¡Â‚k p

â„Ś(Sk (n!)) =

u´ ¤ ½n1.2.1 y². 1.2.3

Smarandache Ceil

Ún1.2.3 ω(n) = ω(p

n n (ln ln n + C) + O . k ln n

Ÿê†ℌ(n)

Îą1 Îą2 1 p2

X

r ¡ ¡ ¡ pι r ) = r,

ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, ¡Â‚k

ω(n) = x ln ln x + Ax + O

n≤x

x , ln x

Ù¼A = Îł + X ln 1 − p1 + 1p §γ ´Î.~ĂŞ. y²: ( ĂŤ Šz[6] ). Ăšn1.2.4 ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, ¡Â‚k OÂŞ p

X

n≤x n∈A

1

ℌ(n) ≪ x k+1 +Ǎ ,

Ù¼A LÂŤ(k + 1)-full ĂŞ 8Ăœ, ÇŤ Ç‘?¿‰½ ĂŞ. 10

(1-12)

p≤n

(1-13)

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) y²: Ă„k, ¡Â‚½Ă‚ÂŽâŸêa(n)Xe: ( 1, XJ n ´(k + 1)-full ĂŞ, a(n) = 0, Ă™§. ŠâÎ.Ăˆúª¡Â‚k ∞ X a(n) n=1

ns

=

Y

1+

1

1

+ ¡¡¡

p(k+2)s ! Y 1 1 = 1 + (k+1)s p 1 − p1s p (k+1)s Y 1 p ps = 1 + (k+1)s + p p(k+1)s + 1 (p(k+1)s + 1)(ps − 1) p Îś((k + 1)s) Y 1 = 1 + (k+1)s , Îś(2(k + 1)s) (p + 1)(ps − 1) p p

p(k+1)s

+

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. dPerronúª(ĂŤ Šz[2]) ¡Â‚ÂŒ X

n≤x

a(n) =

X

1

n≤x n∈A

k

1 6(k + 1)x k+1 Y 1 = 1+ 1 2 Ď€ (p + 1)(p k+1 − 1) p

X

n≤x n∈A

!

1 + O x 2(k+1) +ÇŤ .

1

ℌ(n) ≪ x k+1 +Ǎ .

Ăšn1.2.4 y. ½n1.2.2 k Ǒ˜‡‰½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, Kk X

â„Ś(Sk (n)) = x ln ln x + Ax + O

n≤x

X 1 1 A=Îł+ ln 1 − + ,Îł p p p

Ù¼

y²:

x , ln x

´Î.~ê§X LÊ¤kÂƒĂŞ Ăš. p

ιr 1 ι2 n = pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr .

Šâ(1-8) 9Ÿêâ„Ś(n) ÂŒ\5¡Â‚k

r l Îą1 X Îą Îąi m ⌈ k ⌉ ⌈ k2 ⌉ ⌈ Îąkr ⌉ â„Ś(Sk (n)) = â„Ś p1 p2 = . ¡ ¡ ¡ pr k

(1-14)

i=1

11

Smarandache

w,

Îąi k

≼1

§ k

r l X Îąi m

k

i=1

≼

ÂŻKĂŻĂ„

r X

1 = ω(n).

(1-15)

i=1

,˜Â?ÂĄ, e 3,Â˜ÂƒĂŞp p | n§K ≼ 2. n = n n , Ă™ ÂĽ(n , n ) = 1 Â…n ´Â˜Â‡ k + 1 gÂ˜ĂŞ. =ep | n , Kkp | n . o¡Â‚ĂŠN´ Ă‘ÂąeĂ˜ ÂŞ i

1

2

r l X Îąi m

ω(n) ≤

¤¹ÂŒ ω(n) ≤

X

1 2

k+1

1

d(1-15) 9(1-16), ¡Â‚k

n≤x

Îąi k

1

k

i=1

X

k+1 i

≤ ω(n) + ℌ(n1 ).

r l X Îąi m i=1

â„Ś(Sk (n)) =

k

(1-16)

≤ ω(n) + ℌ(n1 ).

r l XX Îąi m

n≤x i=1

n≤x

1

k

≤

X

ω(n) +

n≤x

X

â„Ś(n),

(1-17)

n≤x n∈A

Ù¼A LÂŤ (k + 1) gÂ˜ĂŞ 8Ăœ. nĂœĂšn1.2.3, Ăšn1.2.49(1-17), Kk X

â„Ś(Sk (n)) = x ln ln x + Ax + O

n≤x

Ăš Ă’ ¤ ½n1.2.2 y². 1.3 1.3.1

x . ln x

{ßêŸê Úó

½ Ă‚1.3.1 nÇ‘ ê§XJn ¤kĂ˝Ă?f Ăˆ u½ un, K ÂĄnÇ‘{ßê. ~X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, ¡ ¡ ¡ ÞǑ{ßê. ! ¼§¡Â‚ AÇ‘¤k{ßê 8Ăœ. 3Šz[7]ÂĽ, Jason Earls ½Ă‚# SmarandacheS sopf r(n)Xe: ½Ă‚1.3.2 sopf r(n) LÂŤU Ă˜n ƒĂ?fÂƒĂš(Â?)­ê). = sopf r(n) =

X p|n

12

p.

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) ~X: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 sopf r(n) 0 2 3 4 5 5 7 6 6 7 11 7 13 9 8 8 17 8

!¼§¡Â‚ò|^ Â?{‰Ñ{ßêS ˜ 5Â&#x;§9 n ∈ A žsopf r(n) ŠĂ™5Â&#x;.

{ßêS

1.3.2

Ă„k§Ê ĂŞn, -p (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ăˆ, Kp (n) = Q d, q (n)L ÂŤn ¤k Ă˝Ă?f Ăˆ, =q (n) = Q d. Ăšn1.3.1 enÇ‘{ßê§Kn ŠÂ?UÇ‘n = p§n = p §n = p ½n = pq ĂšoÂŤÂœš§Ă™ÂĽp†q ´Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ. y²: dp (n) ½Ă‚¡Â‚ÂŒ d

d

d

d|n

d

d|n,d<n

2

3

d

Y

pd (n) =

d=

d|n

u´

p2d (n) =

Y d|n

dĂ—

d|n

Yn d|n

Yn

d

=

Y

d

.

n = nd(n) .

(1-18)

d|n

Ù¼d(n) = X 1. |^(1-18) ¡Â‚ĂŠN´ p (n) = n 9 d(n) 2

d

d|n

qd (n) =

Y

d=

d|n,d<n

d{ßê ½Ă‚9(1-19), ¡Â‚Ă­Ă‘n

d(n) −1 2

Y

d

d|n

n

≤ n.

=n

d(n) 2 −1

.

(1-19)

Ă?d

d(n) ≤ 4.

ĂšÂ‡Ă˜ ÂŞ=3n = p, n = p , n = p ½n = pq¤å. Ăšn1.3.1 y. Ăšn1.3.2 ĂŠ?¿‰½ ¢êx > 1, KkĂŹCúª 2

3

X 1 x ln ln x 2 ln ln = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O , p ln x √ p

p≤ x

Ù¼B , B ´~ĂŞ. 1

2

13

Smarandache

¯KïÄ

y²: w, X 1 x ln ln p p √

X 1 ln(ln x − ln p) √ p p≤ x X 1 ln p = ln ln x + ln 1 − ln x √ p p≤ x X 1 X 1 ln p = ln ln x + ln 1 − . ln x √ p √ p =

p≤ x

p≤ x

|^

X1 p≤x

·

X 1 ln ln x √ p

p

= ln ln x + C1 + O

1 ln x

.

√

2

= (ln ln x) + B1 ln ln x + O

XJm > 2, 5¿ π(x) = X lnm p p √

=

p≤ x

= =

=

=

= 14

Z

√ 2

x

(1-21)

= ln ln x ln ln x + C1 + O

p≤ x

x ln x

+

lnm y dπ(y) y

x ln2 x

(1-20)

p≤ x

+O

x ln3 x

,

o

1 ln x

ln ln x ln x

.

(1-22)

Z √x √ lnm x √ m lnm−1 y − lnm y √ π( x) + O(1) − π(y) dy y2 x 2 √ √ √ lnm x x x √ √ +O 2√ x ln x ln x Z √x y y y m lnm−1 y − lnm y − + 2 +O dy ln y ln y y2 ln3 y 2 m−2 lnm−1 x ln x +O 2m−1 2m−2 Z √x m−1 ln y lnm−2 y lnm−3 y + − (m − 1) + O (1 − m) dy y y y 2 m−2 lnm−1 x ln x lnm x lnm−1 x + O + − m−1 m−1 m−2 2 2 m2m 2 m−2 (1 − m) ln x +O m−2 (m − 2)2 1 1 m m−2 ln x + O ln x . (1-23) m2m 2m−2 (2 − m)

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) d(1-23) 9?ĂŞ P ∞

m=1

=

1 m2m

Ă‚Ăą5, ¡Â‚k

X 1 ln p − ln 1 − ln x √ p p≤ x X 1 ln p ln2 p lnm p + + ¡ ¡ ¡ + ¡ ¡ ¡ + ln x 2 ln2 x m lnm x √ p p≤ x

= =

=

X ln2 p X lnm p 1 X ln p 1 1 + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ m ln x √ p m ln x √ p 2 ln2 x √ p p≤ x p≤ x p≤ x 1 1 ln x + O(1) + ¡ ¡ ¡ ln x 2 1 1 lnm−2 x m ln x + O + + ¡¡¡ m lnm x m2m 2m−2 (2 − m) 1 , (1-24) B2 + O ln x

Ă™¼¡Â‚^ ĂŹCúª X lnpp = 12 ln x + O(1) 9˜? ÂŞln(1 − x) = −(x + +¡¡¡ + + ¡ ¡ ¡ ). nĂœ(1-20), (1-22) 9(1-24) ¡Â‚ĂŠN´ √ p≤ x

2

m

x 2

x m

X 1 ln ln x x 2 ln ln = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O . p ln x √ p

p≤ x

Ăšn1.3.2 y. ½n1.3.1 ĂŠ?¿‰½ ¢êx > 1, ¡Â‚kĂŹCúª

X1 ln ln x 2 = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O , n ln x

n∈A n≤x

Ù¼B , B ´~ĂŞ. y²: dĂšn1.3.1 ¡Â‚k 1

2

X1 n n∈A

=

X1 p≤x

n≤x

=

p

X1 p≤x

|^(1-21) 9Ăšn1.3.2 ¡Â‚

+

X 1 X 1 X 1 + + 2 3 p p pq 2 3

p ≤x

p ≤x

X 1 X 1 + + . 3 p p pq 3 p ≤x

pq≤x

p6=q

(1-25)

pq≤x

X 1 pq

pq≤x

15

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

   X 1 X 1 X 1 X 1   = 2 − q √ p √ p √ q q≤x/p p≤ x p≤ x q≤ x 2 X 1 √ x 1 1 = 2 ln ln + C1 + O − ln ln x + C1 + O p ln x ln x √ p p≤ x   X 1 X X x 1 1 1 ln ln + 2C1 +O = 2 p p p ln x √ √ √ p p≤ x p≤ x p≤ x ln ln x 2 − (ln ln x) + C2 ln ln x + C3 + O ln x ln ln x 2 = (ln ln x) + C4 ln ln x + C5 + O . (1-26) ln x P 1 (1-21), (1-25) (1-26), , p3

nĂœ

9

Â…5Âż

p3 ≤x

´Ă‚Ăą ¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘

X1 ln ln x 2 = (ln ln x) + B1 ln ln x + B2 + O . n ln x

n∈A n≤x

Ăš Ă’ ¤ ½n1.3.1 y². ½n1.3.2 ¢êx > 1, K¡Â‚k X

1 = (ln ln x)2 + C1 ln ln x + C2 + O φ(n)

X

1 = (ln ln x)2 + D1 ln ln x + D2 + O Ďƒ(n)

n∈A n≤x

ln ln x ln x

,

,

Ù¼C , C ´~ĂŞ, φ(n) ´Euler Ÿê. ½n1.3.3 ĂŠ?¿‰½ ¢êx > 1, ¡Â‚kĂŹCúª 1

2

n∈A n≤x

ln ln x ln x

Ù¼D , D ´~ĂŞ, Ďƒ(n) ´Ă˜êŸê. y²: y3¡Â‚òy²½n1.3.29½n1.3.3. dEulerŸê9Ă˜êŸê ½Ă‚ †5Â&#x;, A^Ăšn1.3.1¡Â‚k 1

X

9

X

n∈A n≤x

16

n∈A n≤x

2

X 1 X X X 1 1 1 1 = + + + 2−p 3 − p2 φ(n) p−1 p p (p − 1)(q − 1) 2 3 p≤x

p ≤x

p ≤x

pq≤x p6=q

X 1 X X X 1 1 1 1 = + + + . 2 3 2 Ďƒ(n) p+1 2 p +p+1 3 p +p +p+1 (p + 1)(q + 1) p≤x

p ≤x

p ≤x

pq≤x p6=q

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) 5Âż = ‚Œ¹íĂ‘ 1 pÂą1

1 p

∓

X

X

n∈A n≤x

9P p

1 p(pÂą1)

´Ă‚Ăą , u´|^y²½n1.3.1 Â?{¡

1 = (ln ln x)2 + C1 ln ln x + C2 + O φ(n)

ln ln x ln x

1 = (ln ln x)2 + D1 ln ln x + D2 + O Ďƒ(n)

ln ln x ln x

n∈A n≤x

9

1 p(pÂą1)

.

Ăš ¡Â‚Ă’ ¤ ½n1.3.2†½n1.3.3 y². 1.4

Smarandache Lucas

Ă„.9Ă™OêŸê

˜„œše, ĂŠu ĂŞn > 0Ă?Âś LucasS {L }†Fibonacci S {F } ´d ‚548S L =L +L † F =F +F ¤½Ă‚, Ù¼L = 2, L = 1, F = 0 9F = 1. Ăš S 3nĂ˜Â†A^ êÆ ĂŻĂ„ÂĽĂĽ š~­Â‡ Š^, Ă?d'uL †F 5Â&#x; NþÆܤ ĂŻĂ„. ~X, R.L. Duncan[8]†L. Kuipers[9]y² log F ´'u 1˜—ŠĂ™ . H.London, R. Finkelstein 3[10]ÂĽĂŻĂ„ g˜ Fibonacci†LucasĂŞ 5Â&#x;. W.P.Zhang[11]Âź Â?šFibonacci ĂŞ ˜ Ă° ÂŞ. Ăšp, ¡Â‚Ăš\Â˜ÂŤ# †Lucas ĂŞk' OêŸêa(m), ¿…|^ Â?{‰ÑÙފ °(OÂŽúª. Ă„k¡Â‚ Ă„Smarandache2Ă‚Ă„., F.Smarandache Ç½Ă‚g,ĂŞ8Ăž ÂĄ2Ă‚Ă„.: 1 = g < g < ¡ ¡ ¡ < g < ¡ ¡ ¡ . y² ?Âż ĂŞN Ă‘ÂŒÂą^Smarandache2Ă‚Ă„.Â?˜LÂŤÇ‘: n

n

(n = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ )

n+2

0

n+1

n

1

n+2

0

n+1

n

1

n

n

n

0

1

k

N=

n X

ai gi ,

¿…

i=0

gi+1 − 1 0 ≤ ai ≤ gi

(i = 0, 1, ¡ ¡ ¡ , n),

Ù¼[x] LÂŤĂŞx ĂŞĂœŠ. w,, a ≼ 1. Ăšp ¤Ì^ Â?{ÂŞ: g ≤ N < g , KN = g + r ; XJg ≤ r < g , or = g + r (m < n), Xd?1 e † {ĂŞr = 0 Ç‘ÂŽ. ĂšÂ˜Ă„.ʊ ÂŻKš~­Â‡. XJ¡Â‚ g Ç‘Lucas S , o¡Â‚ÂŒÂą ˜‡AĂ? Ă„., Ç‘QĂŁ{B, ¡Â‚ÂĄÂƒÇ‘Smarandache LucasĂ„.. u´, ĂŠ? Âż ĂŞm3Smarandache LucasĂ„.ÂĽÂŒÂąÂ?˜ LÂŤÇ‘: n

n+1

n

1

m

1

n

m+1

1

m

2

j

i

m=

n X

ai Li ,

¿…

ai = 0

½

1.

(1-27)

i=0

17

Smarandache

¯KïÄ

=Ò´, P?¿ êþ ± L«Ǒ 'uLucas ê Úª. y3, éu êm = a L , · ½ÂOê¼êa(m) = a + a + · · · + a . ! Ѽ êa(m) ©Ù5 , ¿éþ n

i

1

i

2

n

i=0

Ar (N ) =

X

ar (n),

r = 1, 2.

(1-28)

n<N

Ñ O úª. ½n1.4.1 é?¿ êk, · k A1 (Lk ) =

X

a(n) = kFk−1

n<Lk

9 A2 (Lk ) =

1 [(k − 1)(k − 2)Lk−2 + 5(k − 1)Fk−2 + 7(k − 1)Fk−3 + 3Fk−1 ]. 5

y²: (8B{) éuk = 1, 2, KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2, ¿ F = 0, 2F = 2. ¤±, ð ª 1

0

1

1

1

2

1

1

A1 (Lk ) =

X

a(n) = kFk−1

(1-29)

n<Lk

3k = 1, 2 ¤á. b (1-29)é¤kk ≤ m − 1Ѥá. u´, d8Bb · k A1 (Lm ) =

X

X

a(n) +

n<Lm−1

a(n)

Lm−1 ≤n<Lm

X

= A1 (Lm−1 ) +

a(n + Lm−1 )

0≤n<Lm−2

X

= A1 (Lm−1 ) +

(a(n) + 1)

0≤n<Lm−2

= A1 (Lm−1 ) + Lm−2 +

X

a(n)

n<Lm−2

= A1 (Lm−1 ) + A1 (Lm−2 ) + Lm−2 = (m − 1)Fm−2 + (m − 2)Fm−3 + Lm−2

= m(Fm−2 + Fm−3 ) − Fm−2 − 2Fm−3 + Lm−2 = mFm−1 − Fm−1 − Fm−3 + Lm−2 = mFm−1 ,

ùp· ^ ð ªF + F = L Ò ¤ ½n1.4.1¥1 Ü© y². m−1

18

m−3

m−2 .

=Ò´, k = m (1-29)ª¤á. ù

1 Ù êؼê9Ùþ (I) y3· 5y²½n1.4.2¥ 1 Ü©. éuk = 1, 2, 5¿ 1 = F = F + F ½öF = 1, KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2¿ ( 1 0, XJ k = 1; [(k −1)(k −2)L +5(k −1)F +7(k −1)F +3F ]= 5 2, XJ k = 2. Ïd, k = 1, 2 , ð ª 1

0

−1

−1

2

1

k−2

A2 (Lk ) =

2

2

k−2

k−3

2

2

k−1

1 [(k − 1)(k − 2)Lk−2 + 5(k − 1)Fk−2 + 7(k − 1)Fk−3 + 3Fk−1 ] (1-30) 5

¤á. b (1-30)é¤kk ≤ m − 1Ѥá. 5¿ L + 2L = 5F 9F + 2F = L , KA (L ) = A (1) = 0, A (L ) = A (3) = 2Kd8B b ½n1.4.1 1 Ü©(J ± m−1

m−1

m−2

A2 (Lm ) =

X

m−1

2

a2 (n) +

n<Lm−1

= A2 (Lm−1 ) +

1

2

X

2

2

m−2

m−1

2

a2 (n)

Lm−1 ≥n<Lm

X

a2 (n + Lm−1 )

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

(a(n) + 1)2

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

(a2 (n) + 2a(n) + 1)

0≤n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) +

X

n<Lm−2

a2 (n) + 2

X

a(n) + Lm−2

n<Lm−2

= A2 (Lm−1 ) + A2 (Lm−2 ) + 2A1 (Lm−2 ) + Lm−2 1 = [(m − 2)(m − 3)Lm−3 + 5(m − 2)Fm−3 + 7(m − 2)Fm−4 + 3Fm−2 ] 5 1 + [(m − 3)(m − 4)Lm−4 + 5(m − 3)Fm−4 + 7(m − 3)Fm−5 + 3Fm−3 ] 5 +2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−3 + 5(m − 1)Fm−3 + 7(m − 1)Fm−4 + 3Fm−2 ] 5 1 + [(m − 1)(m − 2)Lm−4 + 5(m − 1)Fm−4 + 7(m − 1)Fm−5 + 3Fm−3 ] 5 1 − [2(m − 1)Lm−3 + (4m − 10)Lm−4 + 5Fm−3 + 7Fm−4 + 10Fm−4 5 +14Fm−5 ] + 2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ] 5 1 − [2(m − 2)(Lm−3 + 2Lm−4 ) − 2Lm−4 + 5(Fm−3 + 2Fm−4 ) 5 +7(Fm−4 + 2Fm−5 ) + 2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 = [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ] 5 19

¯KïÄ

Smarandache

1 − [10(m − 2)Fm−3 − 2Lm−4 + 5Lm−3 + 7Lm−4 5 +2(m − 2)Fm−3 + Lm−2 1 [(m − 1)(m − 2)Lm−2 + 5(m − 1)Fm−2 + 7(m − 1)Fm−3 + 3Fm−1 ]. = 5

ùÒ`² k = m , (4)ª¤á. nþ¤ã, ½n1.4.1 y. ½n1.4.2 é?¿ êN , 3Smarandache LucasÄ.¥ N = L · · · + L k > k > · · · > k . Kk ks

9

1

2

k1 + Lk2 +

s

A1 (N ) = A1 (Lk1 ) + N − Lk1 + A1 (N − Lk1 ) A2 (N ) = A2 (Lk1 ) + N − Lk1 + A2 (N − Lk1 ) + 2A1 (N − Lk1 ).

y²: duN = L

K â½n1.4.1· k

+ Lk2 + · · · + Lks , X X A1 (N ) = a(n) + k1

n<Lk1

a(n)

Lk1 ≤n<N

X

= A1 (Lk1 ) +

a(n)

Lk1 ≤n<N

X

= A1 (Lk1 ) +

a(n + Lk1 )

0≤n<N −Lk1

X

= A1 (Lk1 ) +

(a(n) + 1)

0≤n<N −Lk1

= A1 (Lk1 ) + A1 (N − Lk1 ) + N − Lk1 .

±9 A2 (N ) =

X

X

a2 (n) +

n<Lk1

a2 (n)

Lk1 ≤n<N

X

= A2 (Lk1 ) +

a2 (n + Lk1 )

0≤n<N −Lk1

= A2 (Lk1 ) +

X

(a2 (n) + 2a(n) + 1)

0≤n<N −Lk1

= A2 (Lk1 ) + N − Lk1 + A2 (N − Lk1 ) + 2A1 (N − Lk1 ).

ù · Òy² ½n1.4.2 1 Ü©(J. ±|^és êÆ8B{±94íúª ѽn1.4.2¥1 Ü©(J y ². ù · Ò ¤ ½n1.4.2 y². ? Ú, A1 (N ) =

s X i=1

20

[ki Fki −1 + (i − 1)Lki ].

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) ĂŠu?Âż ĂŞr ≼ 3, |^¡Â‚ Â?{ÂŒÂąÂ‰Ă‘A (L ) ˜‡°( OÂŽúª. ´, 3ڍÂœšeOÂŽ´Âš~E, . r

1.5

Ÿê†a (n)

Smarandache

½Ă‚1.5.1

k

k

ŸêS(n)½Ă‚Xe:

Smarandache

S(n) = min{m : m ∈ N, n|m!}.

!ÂĽ, ¡Â‚‰ÑSmarandacheŸê3 ĂŞ kgŠ S {a (n)}(„½ Ă‚1.3.1)Ăž ŠĂ™5Â&#x;. Ăšp√, ¡Â‚-p(n)LÂŤn  ÂŒÂƒĂ?f. Ăšn1.5.1 ep(n) > n, KkS(n) = p(n). y²: n = p p ¡ ¡ ¡ p p(n), KÂŒ k

Îą1 Îą2 1 2

Îąr r

ιr 1 ι2 pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr <

u´,

i pÎą i |p(n)!,

√

n

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r.

ÂŒ n|p(n)!§ p(n)†(p(n) − 1)!§Ă?dS(n) = p(n). Ăšn1.5.1 y. Ăšn1.5.2 x ≼ 1 ´?¿¢ê, ¡Â‚k X

S(n) =

n≤x

y²: w,k

X

X

S(n) =

n≤x

Ď€ 2 x2 +O 12 ln x

S(n) +

n≤x √ p(n)> n

x2 ln2 x

X

.

S(n).

(1-31)

n≤x √ p(n)≤ n

ŠâEuler Ăšúª¡Â‚ĂŠN´ Ă‘(1-31) mĂ 1 ‘ O: X

S(n) ≪

n≤x √ p(n)≤ n Z x √

=

X√

t ln tdt +

1

3 2

≪ x ln x.

n ln n

n≤x

Z

x 1

√ √ (t − [t])( t ln t)′ dt + x ln x(x − [x]) (1-32)

e¥¡Â‚5OÂŽ(1-32)mĂ 1˜‘. dĂšn1.5.1¡Â‚ÂŒ X

n≤x √ p(n)> n

S(n) =

X

np≤x √ p> np

S(n) =

X

√ n≤ x √ x x<p≤ n

21

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

X

=

X

p.

(1-33)

√ √ x n≤ x x<p≤ n

Ď€(x)LÂŤ u½ ux ÂƒĂŞÂ‡ĂŞ. 5Âż x +O ln x

Ď€(x) =

ŠâAbelĂ° ÂŞÂŒ X

p = π

√ x x<p≤ n

= =

Ă?Ç‘

x x n

n

x ln2 x

,

√ √ − Ď€( x) x −

Z

x n

√ x

Ď€(t)dt

x2 x2 1 x2 − +O n2 ln x 2 n2 ln x n2 ln2 x x2 x2 + O . 2n2 ln x n2 ln2 x

(1-34)

X 1 1 = Îś(2) + O , 2 n x √

(1-35)

n≤ x

nĂœ(1-31)¨(1-35), ÂŒ¹íĂ‘Ăšn1.5.2 (J. Ăšn1.5.2 y. Ăšn1.5.3 ĂŠ?Âż ĂŞk ښK ĂŞi, Kk X

1 t≤x k

i+2

i+2

Ď€2 x k ti S(t) = +O 6(i + 2)k ln x

x k ln2 x

−1

!

.

y²: A^AbelĂ° ÂŞ, (ĂœĂšn1.5.2, ÂŒ¹íĂ‘ X 1

1 k

ti S(t) = (x − 1)i

t≤x k −1

X

S(t) − i

1

t≤x k −1 i+2

= =

iĎ€ 2 Ď€2 x k − 12k ln x 12

Z

n≤x

22

X

1

t dt + O ln t ! i+2

1

Ď€2 x +O 6(i + 2)k ln x

x k ln2 x

1

Ď€ 2 x1+ k +O 6(k + 1) ln x

i+2

x k ln2 x

.

1

x1+ k ln2 x

.

!

S(l) ti−1 dt

l≤t

1

i+2 k

S(ak (n)) =

1

x k −1

x k −1 i+1

Ăšn1.5.3 y. ½n1.5.1 ĂŠ?Âż ¢êx ≼ 3, Kk X

Z

!

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) y²: Ă„k, ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, M Ǒ˜‡‰½ ĂŞ M k ≤ x < (M + 1)k .

K¡Â‚k X

M −1 X

S(ak (n)) =

X

t=1 tk ≤n<(t+1)k

n≤x

M −1 X

=

t=1

i k

i=0

2ŠâĂšn1.5.3¡Â‚ÂŒ S(ak (n)) =

n≤x

=

k−1 X

N+

X 1

t≤x k −1

!

X

S(ak (n))

S(M )

M k ≤n<x

1 ti S(t) + O x k

i+2

π2 x k +O 6(i + 2)k ln x i=0 1+ 1 1 π 2 x1+ k x k +O . 6(k + 1) ln x ln2 x i k

u´ ¤ ½n1.5.1 y². 1.6

!

X

M k ≤n<x

[(t + 1)k − tk ]S(t) +

k−1 X

=

X

S(ak (n)) +

i+2

x k ln2 x

!!

1 + O xk

{ߟê ÂŒ\aq

Smarandache

½Ă‚1.6.1 . =

{ߟêS (n)½Ă‚Ç‘: ávp |m!  êm ∈

Smarandache

p

n

Sp (n) = min{m : m ∈ N, pn |m!}.

3Šz[12]p, ŠÜJozsef SandorJĂ‘Smarandache{ߟê \{aqXe: ½Ă‚1.6.2 Sp (x) = min {m ∈ N : px ≤ m!}, x ∈ (1, âˆ?),

Ăš

Sp∗ (x) = max {m ∈ N : m! ≤ px }, x ∈ [1, �)

KÂĄS (x) †S (x) Ç‘Smarandache{ߟê \{aq. w, x ∈ ((m − 1)!, m!]žkS (x) = m, Ù¼ m ≼ 2 (Ă?Ç‘0! = 1! m = 1 žŸê ½Ă‚), Ă?d, ڇŸê½Ă‚3x ≼ 1. Ăšp§ĂŒÂ‡Â‰Ă‘Smarandache {Ăź Ÿê \{aqS (x) †S (x) ĂŹC5Â&#x;. p

∗ p

p

p

∗ p

23

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

½n1.6.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, kĂŹCúª

x ln p +O ln x

Sp (x) =

x ln ln x ln2 x

y²: ŠâS (x) ½Ă‚, ¡Â‚ÂŒ (m − 1)! < p Êꧡ‚k

x

p

m−1 X i=1

2dĂŽ. ĂšúªÂŒ m X

ln i =

i=1

Z

m

ln tdt + 1

Z

≤ m!.

3Þªßà Ӟ

ln i.

(1-36)

i=1

m 1

′

(t − [t])(ln t) ln tdt

= m ln m − m + O(ln m),

9 m−1 X

ln i < x ln p ≤

m X

.

ln i =

i=1

Z

m−1

ln tdt +

1

Z

(1-37)

m−1 1

(t − [t])(ln t)′ dt

= m ln m − m + O(ln m).

(1-38)

x ln p = m ln m − m + O(ln m).

(1-39)

nĂœ(1-36)-(1-38) ¡Â‚ĂŠN´íĂ‘ ¤¹

m=

x ln p + O(1). ln m − 1

(1-40)

Ă“n, ¡Â‚Ӟ3ÂŞ(1-40)ßà Êê, K

ln m = ln x + O(ln ln m),

(1-41)

ln ln m = O(ln ln x).

(1-42)

9 Ă?d, dÂŞ(1-40)-(1-42) ¡Â‚ÂŒ Sp (x) = 24

x ln p + O(1) ln x + O(ln ln m) − 1

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) x ln p O(ln ln m) + x ln p ln x ln x(ln x + O(ln ln m) − 1) x ln p x ln ln x +O . ln x ln2 x

= =

u´ ¤ ½n1.6.1 y². 1.7

– êS

Smarandache 5

½Ă‚1.7.1 ĂŠ?ÂżÂ˜Â‡ ĂŞ, XJòĂ™Âˆ êi?1˜†Â?)Ă° ˜† ¤ ĂŞi´5 ĂŞ, oڇêÒ¥Ǒ–5 ĂŞ. ~X: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 51, 52, ¡ ¡ ¡ Ă’´Â–5 ĂŞ. AL¤k –5 ĂŞ 8Ăœ. 3Šz[1] 178‡¯Kp§Smarandache ÇïÆïĖ5 ĂŞ S 5Â&#x;. !ÂĽ|^ Â?{ĂŻĂ„ ڇS ފ5Â&#x;. ½n1.7.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1§¡Â‚kĂŹCúª X

f (n) =

n∈A n≤x

X

n≤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 ,

Ù¼M = max {|f (n)|}. y²: Ă„k, 10 ≤ x < 10 (k ≼ 1), Kkk ≤ log x < k+1. Šâ8ĂœA ½Ă‚, ¡Â‚ÂŒ¹íĂ‘Ă˜ĂĄu8ĂœAÂ… u ux ĂŞ ‡ê þk8 ‡. ¯¢Þ, 3Ăš ĂŞÂĽk8‡˜ ê, =: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, k8 ‡ߠê, ¡ ¡ ¡ , k8 ‡k ê. ¤¹`Ă˜ĂĄu8ĂœAÂ… u ux ĂŞ ‡ê þk8 + 8 + ¡ ¡ ¡ + 8 = (8 − 1) ≤ 8 ‡. Ă?Ç‘ 1≤n≤x

k

k+1

k+1

2

k

2

k

8 7

k

k+1

8k ≤ 8log x = 8log8 x ln 8 8k = O x ln 10 .

log1 10 8

1

ln 8

= (x) log8 10 = x ln 10 .

¤¹¡Â‚k M LÂŤ|f (n)| (n ≤ x) Ăž., Kk X

n∈A / n≤x

u´,

X

ln 8 f (n) = O M x ln 10 .

f (n) =

n∈A n≤x

X

n≤x

=

X

n≤x

Ăš Ă’ ¤ ½n1.7.1 y².

f (n) −

X

f (n)

n∈A / n≤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 .

25

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Ă­Ă˜1.7.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚k X

n∈A n≤x

ln 8 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x ln 10 +ÇŤ ,

Ù¼d(n) ´Dirichlet Ă˜êŸê§γ ´Î.~ê§Ǎ Ç‘?¿‰½ ĂŞ. y²: 3½n1.7.1ÂĽ f (n) = d(n), Âż5Âż (ĂŤ Šz[4]) X

n≤x

Âą9 OÂŞ

1 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x 2 ,

ʤk 1 ≤ n ≤ x),

d(n) ≪ xǍ ,

(

Ă’ÂŒÂą Ă‘Ă­Ă˜1.7.1. Ă­Ă˜1.7.2 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, KkĂŹCúª X

â„Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

n∈A n≤x

x , ln x

Ù¼ℌ(n) LÂŤn ¤kƒĂ?f ‡ê, B ´Â˜Â‡ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²: 3½n1.7.1ÂĽ f (n) = â„Ś(n), Âż5Âż (ĂŤ Šz[6]) X

â„Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

n≤x

Âą9 OÂŞ

Ă’ÂŒÂą Ă‘Ă­Ă˜1.7.2. 1.8

x log x

,

ʤk 1 ≤ n ≤ x),

ℌ(n) ≪ xǍ ,

(

ƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS {e (n)}(I) p

½Ă‚1.8.1 pÇ‘ÂƒĂŞ, e (n) LÂŤ3¤k Ă˜n ƒĂ?fÂĽ  ÂŒÂ?ê§K ÂĄ{e (n)}ƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS . P -Îą(n, p) = e (k). 3Šz[1] 168‡¯KÂĽ, F.Smarandach ÇïÆ ĂŻĂ„S {e (n)} 5Â&#x;. Ă?Ç‘e (n)†n! IOĂ?fŠ)ÂŞÂƒmkX—ƒ ' X,P¤¹ïĂ„ĂšÂ˜ÂŻK´Â›Šk¿Â . !ÂĽ, ĂŒÂ‡|^ Â?{5?Ă˜Ăž Š Îą(n, p) 5Â&#x;. ½n1.8.1 ĂŠ?ÂżÂƒĂŞp9 ½ ĂŞn, K 3ĂŹCúª p

p

p

k≤n

p

p

p≤n

X

p≤n

26

Îą(n, p) = n ln n + cn + c1

n n n + c2 2 + ¡ ¡ ¡ + ck k + O ln n ln n ln n

n lnk+1

,

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) Ù¼k ´?¿‰½ ĂŞ, c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ )ĂžÇ‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²: Ă„k, ¡Â‚ò¤ïĂ„ĂšªŠ)Ç‘ĂźĂœŠ: i

X

Îą(n, p) =

X

Îą(n, p) +

√ p≤ n

p≤n

ĂŠu1Â˜ĂœŠĂšÂŞ, ŠâĂšn1.1.1¡Â‚k X

√

X

Îą(n, p).

(1-43)

n<p≤n

X

1 (n − Îą(n, p)) √ p−1 p≤ n X 1 X Îą(n, p) 1 = n + − p p(p − 1) p−1 √ √ p≤ n p≤ n    X 1 X X X Îą(n, p) 1  1 = n + +O − 2 p(p − 1) p−1 √ p √ m √ p p≤ n m> n p≤ n ! √ Z n X Îą(n, p) 1 1 − = n dĎ€(x) + A + O √ , (1-44) 3 x p−1 n √

Îą(n, p) =

√ p≤ n

p≤ n

2

Ù¼π(x)¤kĂ˜ÂŒux ÂƒĂŞ ‡ê. 5Âż ĂŹCúª Ď€(x) =

9

x lnk+1 x

(1-45)

Z √n √ 1 Ď€(x) Ď€( n) + dĎ€(x) = √ dx 3 x 3 x2 n 2 2 Z √n 1 ak x 1 a2 √ + + dx = √ +¡¡¡ + k √ + O √ 3 x ln x ln n ln2 n ln n lnk+1 n 2 Z √n Z √n 1 1 1 +a2 dx + ¡ ¡ ¡ + ak+1 dx + O 3 3 x ln2 x x lnk+1 x lnk+1 n 2 2 a1k a11 a12 a21 a22 = + 2 + ¡ ¡ ¡ + k + ln ln n + B + + 2 ln n ln n ln n ln n ln n a2k 1 +¡¡¡ + k + O ln n lnk+1 n a31 a32 a3k 1 = ln ln n + B + + +¡¡¡ + k +O . (1-46) ln n ln2 n ln n lnk+1 n Z

√

x x x + a1 2 + ¡ ¡ ¡ + ak k + O ln x ln x ln x

n

|^Ăšn1.1.2¡Â‚k

X Îą(n, p) X ln n X 1 X √ ≤ = ln n ≤ ln n 1 ≤ n ln n. p−1 √ √ ln p √ ln p √

p≤ n

p≤ n

p≤ n

(1-47)

p≤ n

27

¯KïÄ

Smarandache

nÜ(1-44), (1-46)9(1-47)ª ± X

√ p≤ n

n n + a32 2 ln n ln n n n + · · · + a3k k + O ln n lnk+1 n

α(n, p) = n ln ln n + c0 n + a31

éu1 Ü©Úª, · k

n α(n, p) = = i p p √ √ √ n<p≤n n<p≤n i=1 n<p≤n X X X X = 1= 1 X

+∞ X n

(1-48)

X

√ n n<p≤n m≤ p

X

√ √ n m≤ n n<p≤ m

X n √ = π( ) − π( n) m √ m≤ n X √ √ n π( ) − [ n]π( n). = m √

(1-49)

m≤ n

A^Euler Úúª±9 ? ª ± X

√ m≤ n

1 m(ln n − ln m)r

=

X

√ m≤ n

1 m ln n(1 − r

ln m r ln n )

+∞ X s X (r−1+s r−1 ) ln m = m lns+r n √ s=0 m≤ n   +∞ s X X ln m  r−1+s  = r−1 s+r n √ m ln s=0 m≤ n

+∞ r−1+s X ( r−1 ) lns+r n s=0

dd9(1-45)ª, · X

√ m≤ n

=

X

√

m≤ n

28

π(

lns+1 n = + ds+1 + O (s + 1)2s+1 s k X d1i ln n = +O √ i n ln n i=r−1

lns n √ 2s n

n ) m

n m n ln( m )

+

n a2 2m n ln ( m )

+··· +

n m ak+1 k+1 n ln (m )

+O

n m n lnk+2 ( m )

!!

1Â˜Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(I) X

1 1 + a2 + ¡¡¡ m(ln n − ln m) m(ln n − ln m)2 1 1 +ak+1 + O m(ln n − ln m)k+1 m(ln n − ln m)k+2 b1 bk 1 b2 = n b0 + + + ¡¡¡ + k + O ln n ln2 n ln n lnk+1 n n n n n + b2 2 + ¡ ¡ ¡ + bk k + O = b0 n + b1 ln n ln n ln n lnk+1 n = n

√ m≤ n

Â…

(1-50)

n n n n √ + a2 2 √ + ¡ ¡ ¡ + ak k √ + O √ ln n ln n ln n lnk+1 n n n n n + a42 2 + ¡ ¡ ¡ + a4k k + O = a41 . (1-51) ln n ln n ln n lnk+1 n

√ √ [ n]Ď€( n) =

|^(1-49)¨(1-51)ÂŞÂŒ √

X

n<p≤n

n n n ι(n, p) = b0 n+a51 +a52 2 +¡ ¡ ¡+a5k k +O ln n ln n ln n

n lnk+1 n

nĂœ(1-43), (1-48) 9(1-52) ÂŞ, ¡Â‚N´íĂ‘ĂŹCúª

X

p≤n

n n n ι(n, p) = n ln n + cn + c1 + c2 2 + ¡ ¡ ¡ + ck k + O ln n ln n ln n

Ăš Ă’ ¤ ½n1.8.1 y².

. (1-52)

n lnk+1

.

29

Smarandache

¯KïÄ

1 Ù êؼê9Ùþ (II)

31 Ùp§· Ì ± {ǑÄ:?Ø êؼê þ ¯K§ ´éuNõê دK==± {5ïÄ´ Ø . 31837 Dirichlet Ǒ y²3 ½ â ?êp ê 35¯K§ Ñ ê ¿Ú\)Û {X4 ÚëY5§ âù {§ Mï ¡Ǒ)ÛêØ # êÆ©{ Ä:. 3)ÛêØp§¢©ÛÚE©Û V gÚ {4 u êk' ¯K. )Û {3ïÄêدK¥u r ^. Ǒ Æö§k7 )Ä )ÛêØ {§±93äN¯K¥XÛ A^)Û {. Ù¥§ · Ì 0 ^)Û {ïÄ äN¯K§AO3uêؼê þ ¯K¥ )Û {.

gÖê kg \Öê

2.1

k

2.1.1

Úó

½Â2.1.1 k ≥ 2 Ǒ?¿ ½ ê, eb (n)´ nb (n)Ǒ kg ê, K¡b (n)Ǒn kgÖê. ½Â2.1.2 k ≥ 2Ǒ?¿ ½ ê, ea (n)´ a (n) + nǑ kg ê ê, K¡a (n)Ǒn kg \Öê. ~X: ek = 2, ² \ÖêS {a (n)} (n = 1, 2, · · · ): 0, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 7, · · · . ½Â2.1.3 éug,ên = p · p · · · · p , · ½Âa (n) = p · p · · · · p Ǒá {ê, Ù¥β = min(2, α ), 1 ≤ i ≤ r. 3©z[1] 164 ¯KÚ129 ¯Kp, F.Smarandache ÇïÆ· ïÄá {S ÚkgÖêS 5 . ùpÌ |^)Û { Ñ S {a (n)b (n)} {a (n)}§±9ùü S Euler ¼ê½Øê¼ê p ^ # S ©Ù5 . k

k

k

k

k

k

2

β r

α1 1

r

i

3

2.1.2

k

αr r

α2 2

3

β1 1

β2 2

i

k

á {êÚkgÖê

½n2.1.1 é?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

a3 (n)bk (n) =

n≤x

6xk+1 k+ 12 +ε R(k + 1) + O x , (k + 1)π 2

Ù¥ε Ǒ?¿ ½ ê, ek = 2 k R(k + 1) =

p

ek ≥ 3 k R(k + 1) =

Y p

30

Y

1+

k X j=2

p3 + p 1+ 7 p + p6 − p − 1 k

,

X pk−j+3 pk−j+3 + (p + 1)p(k+1)j (p + 1)(p(k+1)(k+j) − p(k+1)j ) j=1

!

.

1 Ù êؼê9Ùþ (II) y²: f (s) =

∞ X a3 (n)bk (n) n=1

ns

.

âî.Èúª9a (n)Úb (n) ½Â, k = 2 · 3

k

Y

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 )) f (s) = 1+ + +··· ps p2s p Y 1 1 p 1 = 1 + s−2 + p2 ( 2s + 3s )( ) p p p 1 − p−2s p ζ(s − k) Y ps + p = 1 + s−2 ζ(2(s − k)) (p + 1)(p2s − 1) p

k ≥ 3 k f (s) =

Y p

=

Y

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 )) 1+ + + ··· ps p2s 1+

p

Y (1 + = p

=

1 ps−k

+ p2

k X pk−j j=2

k X 1 pk−j+2 +( ) 1 − p1ks j=1 p(k+j)s

pjs

k X pk−j+2

ps−k ) 1+ s−k p 1 + ps−k 1

ζ(s − k) Y 1+ ζ(2(s − k)) p

k X j=2

w,, · kØ ª |am (n)bk (n)| ≤ n2 ,

j=2

pjs

s−j+2

p

(ps−k + 1)pjs

+

+

k X j=1

k X j=1

!

pk−j+2 p(k+j)s − pjs

!!

ps−j+2 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )

!

∞

X

a (n)b (n) 1

m k ,

< σ

n=1 n

σ−k−1

Ù¥σ > k + 1´s ¢Ü. ¤±dPerron úª(ë ©z[2])

X am (n)bk (n) ns0 n≤x b Z b+iT 1 xs x B(b + σ0 ) = f (s + s0 ) ds + O 2iπ b−iT s T log x x 1−σ0 −σ0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x|| 31

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥N ´ålx C ê, kxk = |x−N |. s B(σ) = Kk

3

0

= 0, b = k+2, T = x 2 , H(x) = x2 ,

1 σ−k−1

Ù¥

X

n≤x

R(s) =

1 am (n)bk (n) = 2iπ

Z

k+2+iT

1 ζ(s − k) xs R(s) ds + O(xk+ 2 +ε ), ζ(2(s − k)) s

k+2−iT

 Y ps + p   1 + s−2 ,   (p + 1)(p2s − 1)  p

k k Y X X  ps−j+2 ps−j+2   + 1 +  s−k js  (p + 1)p (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) p

j=2

j=1

· òÈ© ls = k + 2 ± iT £ s = k + 1 2iπ

ù , ¼ê

Z

k+2+iT k+2−iT

Z

k+2+iT

+ k+2−iT

k+ 12 +iT

k+2+iT

1

2πi Z ≪

xk+1 (k+1)ζ(2) R(k

Z

k+ 12 −iT k+ 12 +iT

k+ 12 +iT

Z

k+2−iT

5 OÌ

+

+ 1).

Z

¤±

k+2−iT

k+ 12 −iT

!

ζ(s − k)xs R(s)ds ζ(2(s − k))s

2

π2 6

n≤x

k ≥ 3 .

!

Z T

1 Z k+ 12 −iT ζ(s − k)xs

R(s)ds ≪

2πi k+ 12 +iT ζ(2(s − k))s

0 X

,

ζ(s − k)xs

+ R(s)ds

ζ(2(s − k))s

k+2+iT k+ 12 −iT

k+2

k+2 2

1

ζ(σ − k + iT ) R(s) x dσ ≪ x = xk+ 2 ,

1 ζ(2(σ − k + iT )) T T k+ Z

dζ(2) = · 32

+

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

N´ Ñ Oª

Ú

Z

± iT s = a ± iT

ζ(s − k)xs R(s) ζ(2(s − k))s

3s = k + 1?k 4:, 3êǑ 1 2iπ

1 2

!

1 ζ(s − k) xs R(s) ds + O(xk+ 2 +ε ). ζ(2(s − k)) s

f (s) =

=

k = 2

a3 (n)bk (n) =

ζ(1/2 + it) xk+ 12

k+ 12 +ε

.

ζ(1 + 2it) t dt ≪ x

6xk+1 k+ 12 +ε R(k + 1) + O x . (k + 1)π 2

1 Ù êؼê9Ùþ (II) u´ ¤ ½n2.1.1 y². ½n2.1.2 ϕ(n)Ǒî.¼ê, Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

ϕ(a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¥ ek = 2 k

Y R (k + 1) = 1+ ∗

p

6xk+1 ∗ k+ 12 +ε R (k + 1) + O x (k + 1)π 2

p2 + 1 1 − 2 6 5 4 3 2 p + 2p + 2p + 2p + 2p + 2p + 1 p + p

k ≥ 3 k

Y

R∗ (k + 1) =

p

,

k

X pk−j+3 − pk−j+2 1 + + p2 + p (p + 1)p(k+1)j j=2 ! k X pk−j+3 − pk−j+2 . + (p + 1)(p(k+1)(k+j) − p(k+1)j ) 1−

j=1

½n2.1.3 α > 0§σ (n) = P d , Ké?¿¢êx ≥ 1, Kk α

α

d|n

X

σα (a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¥ k = 2 k R(kα + 1) =

Y

1+

p

k ≥ 3 k R(kα + 1) =

Y p

6xkα+1 kα+ 12 +ε R(kα + 1) + O x , (kα + 1)π 2

p p+1

pα + 1 (p3α − 1)p2α+1 + p4α − 1 + p2α+1 (p3(2α+1) − p2α+1 )(pα − 1)

,

k

X pkα+1 − p p(k−j+3)α+1 − p + (p + 1)(pα − 1)pkα+1 (p + 1)(pα − 1)p(kα+1)j j=2 ! k X p(k−j+3)α+1 − p + (p + 1)(pα − 1)(p(k+j)(kα+1) − p(kα+1)j ) 1+

j=1

½n2.1.4 d(n)L«DirichletØê¼ê, é?¿¢êx ≥ 1k X

n≤x

d(a3 (n)bk (n)) =

1 6x R(1) · f (log x) + O x 2 +ε , π2

33

Smarandache

Ù¥f (y)Ǒy kgõ ª, ek = 2 k R(1) =

Y p

ek ≥ 3 k R(1) =

Y p

p3 1+ (p + 1)3

¯KïÄ

3p + 4 3 1 − − p3 + p p2 p3

,

k X k − j + 3 − (k+1 ) pk−j+1 j + 1+ (p + 1)k+1 j=2

+

k X j=1

1 k−j +3 − (p + 1)k+1 (pj−1 − pj−k−1 ) (p + 1)k+1

!

½n2.1.2–2.1.4 y²: ∞ X ϕ(a3 (n)bk (n))

f1 (s) =

n=1

f2 (s) =

ns

,

∞ X σα (a3 (n)bk (n)) n=1

f3 (s) =

ns

∞ X d(a3 (n)bk (n)) n=1

ns

,

.

âî.Èúª9ϕ(n), σ (n)Úd(n) ½Â, k = 2 · α

Y ϕ(a3 (p)bk (p)) ϕ(a3 (p2 )bk (p2 )) f1 (s) = 1+ + +··· ps p2s p Y p2 − p p3 − p2 1 p2 − p = 1+ + ( 2s + )( ) ps p p3s 1 − p−2s p Y 1 (p2 − p)(ps + p) 1 = 1 + s−2 − s−1 + p p p3s − ps p 2 ζ(s − 2) Y ps−2 (p − p)(ps + p) 1 = 1 + s−2 − s−1 , ζ(2(s − 2)) p +1 p3s − ps p p

α ps−2α ζ(s − 2α) Y p + 1 (p3α − 1)ps + p4α − 1 1 + s−2α , f2 (s) = + ζ(2(s − 2α)) p +1 ps (p3s − ps )(pα − 1) p s ζ 3 (s) Y p3s 3p + 4 3 1 f3 (s) = 3 1+ s − − . ζ (2s) (p + 1)3 p3s + ps p2s p3s p

34

1 Ù êؼê9Ùþ (II) k ≥ 3 k f1 (s) =

Y

1+

p

1 ps−k

1

−

ps−k+1 +

+

k X pk−j+2 − pk−j+1

pjs

j=2

k X pk−j+2 − pk−j+1

p(k+j)s − pjs

j=1

!

k

=

X ps−j+2 − ps−j+1 ζ(s − k) Y 1 1 − s−k+1 + + ζ(2(s − k)) p +p (ps−k + 1)pjs p j=2 ! k X ps−j+2 − ps−j+1 + , (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) j=1

f2 (s) =

ps − ps−kα ζ(s − kα) Y 1 + s−kα ζ(2(s − kα)) (p + 1)(pα − 1)ps p

+

k X j=2

+

p(3−j)α+s − ps−kα + 1)(pα − 1)pjs

(ps−kα

k X j=1

p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)(p(k+j)s − pjs )

!

,

(k−j+1)s k X k − j + 3 − k+1 p ζ k+1 (s) Y j 1 + ζ k+1 (2s) (ps + 1)k+1

f3 (s) =

p

j=2

+

k X j=1

k−j +3 1 − s s k+1 (j−1)s (j−k−1)s (p + 1) (p −p ) (p + 1)k+1

!

.

KdPerronúªÚ½n2.1.1 y² {, · Ò ± Ù{(Ø. 5`, · ±|^Ó {ïÄS a (n)b (n) ìC5 , (Ù¥m, k ≥ 2Ǒ ½ ê), ¿ Ñ Ǒ°( ìCúª. m

2.1.3

k

k

k

g \Öê

Ún2.1.1 é?¿¢êx ≥ 39÷vf (0) = 0 ?¿ " â¼êf (0), · h

X

n≤x

1

f (ak (n)) =

i

x k −1

X t=1

X

n≤g(t)

 f (n) + O  

Ù¥[x] L« u½ ux ê, g(t) =

X

n≤g

k−1 X i=1

i k

h

!

1

xk

i

 f (n) ,

ti . 35

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

y²: ?¿¢êx ≼ 1, M Ç‘ ½ ĂŞÂ…áv M k ≤ x < (M + 1)k .

5 Âż , en H ÂŤ m t , (t + 1) Ăž ¤ k ĂŞ, oa (n)Ç‘ H ÂŤ m 0, (t + 1) − t − 1 Þ¤k ĂŞ. qĂ?Ç‘f (0) = 0, ¤¹¡Â‚k

k

k

X

k

k

k

M −1 X

f (ak (n)) =

X

t=1

n≤x

tk ≤n<(t+1)k

M −1 X

=

X

Ù¼g(t) =

i k

i=1

!

ti .

duM = h

X

1

i

x k −1

X

f (ak (n)) =

t=1

n≤x

h

f (ak (n))

M k ≤n≤x

X

f (n) +

t=1 n≤g(t)

k−1 X

X

f (ak (n)) +

f (n),

g(M )+M k −x≤n<g(M )

i 1 xk ,

X

n≤g(t)

ÂŒ 

 f (n) + O  

X

n≤g

h

1

xk

i



 f (n) .

Ăšn2.1.1 y. 5: ڇÚn´Â›Šk¿Â X . Ă?Ç‘XJ¡Â‚ÂŽ f (n) ފúª, oŠ âĂšn2.1.1ĂŠN´Ă’ÂŒÂą Ă‘ f (a (n)) ފúª. ½n2.1.5 ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, KkĂŹCúª k

n≤x

X

1 2 k2 x2− k + O x2− k . 4k − 2

ak (n) =

n≤x

y²: f (n) = n, ŠâÎ. Ăšúª¡Â‚k h

X

ak (n) =

1

i

x k −1

X t=1

n≤x

h

1

X

n≤g(t)

i

x k −1

= =

 n+O 

X

n≤g

h

1

xk

i

1 X 2 2k−2 2 k t + O x2− k 2 t=1 k2 1 2 x2− k + O x2− k . 4k − 2

u´ ¤ ½n2.1.5 y². 36





 n 

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) ½n2.1.6 ĂŠ?¿¢ê x ≼ 3, ¡Â‚k

X

1 1− k

d(ak (n)) =

n≤x

Ă™¼γ´Î.~ĂŞ. y²: 5Âż

X

n≤x

ÂżdĂšn2.1.1Kk

X

1 x ln x + 2Îł + ln k − 2 + k

1

d(ak (n))

X t=1

h

1



i

x k −1

=

1 x + O x1− k ln x ,

1 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x 2 ,

n≤x

h

i

X

n≤g(t)

X

n≤g

h

1

xk

 d(n)  i

1 ktk−1 ln ktk−1 + ln 1 + O t t=1 1 +(2Îł − 1)ktk−1 + O x1− k ln x h 1i x k −1 X = k(k − 1)tk−1 ln t + (2Îł + ln k − 1)ktk−1 =

x k −1

 d(n) + O  



X

t=1

1 +O(tk−2 ) + O x1− k ln x h 1i h 1i x k −1 x k −1 X X tk−1 ln t + (2Îł + ln k − 1)k tk−1 = k(k − 1) t=1

1 1− k

+O x

ŠâÎ. ĂšúªN´ X

d(ak (n)) =

n≤x

1 1− k

1 x ln x + 2Îł + ln k − 2 + k

u´ ¤ ½n2.1.6 y².

t=1

ln x .

1 x + O x1− k ln x .

g˜Ă?fĂŞS

2.2

k

2.2.1

Úó

½Ă‚2.2.1 k ≼ 2´?¿‰½ ĂŞ, XJĂŠ?ÂżÂƒĂŞpkp †n, KÂĄg, ĂŞn´ kg˜Ă?fĂŞ. k

37

ÂŻKĂŻĂ„

Smarandache

kg˜Ă?fĂŞS ÂŒÂądXeÂ?ÂŞ Ă‘: lg,ĂŞ8ĂœÂĽ(0, 1Ă˜ ), K ¤k2 ĂŞ, ƒ 2 K¤k3 ĂŞ, 2 K¤k5 ĂŞ, ¡ ¡ ¡ , K¤kƒ ĂŞ kg˜ ĂŞ. o kg˜Ă?fS =Ç‘: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ¡¡¡. ½Ă‚2.2.2 k ≼ 2´?¿‰½ ĂŞ, XJĂŠ?ÂżÂƒĂŞpkp | nÂ…p | n, K ÂĄn´ kg˜Ă?fĂŞ. ½Ă‚2.2.3 n IOŠ)ÂŞÇ‘n = p p ¡ ¡ ¡ p , K½Ă‚ω(n) = r§¥Ď‰(n) Ç‘n ¤kƒĂ?fêŸê. ½Ă‚2.2.4 –Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) ½Ă‚Ç‘ávn | m  êm. w,ZW (1) = 1. n > 1, Wju3[13]¼‰Ñ k

k

k

k

Îą1 Îą2 1 2

Îąr r

n

ZW (n) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pk ,

(2-1)

Ù¼p , p , ¡ ¡ ¡ , p ´n Ă˜Ă“ ƒĂ?f. Ӟ Ç‘y² ?ĂŞ 1

2

k

∞ X

n=1

1 a, (ZW (n))

a ∈ R,

a>0

´uĂ‘ . !¼§¡Â‚òÊ kg˜Ă?fĂŞS § kg˜Ă?fĂŞS §¹9 –Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) ÂˆÂŤa. ފ¯K?1?Ă˜. 2.2.2

kg˜Ă?fĂŞS

Ç‘QĂŁÂ?B, AL¤k kg˜Ă?fĂŞ 8Ăœ§¿Â…¡Â‚Ăš\˜‡# ĂŞĂ˜Ÿêa(n):    1, XJ n = 1; a(n) = n, XJ n´ k gÂ˜ĂŞ   0, XJ nĂ˜´ k gÂ˜ĂŞ w, X X n=

n∈A n≤x

a(n).

n≤x

½n2.2.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚kĂŹCúª

1 1 6k ¡ x1+ k Y 1 1+ 2k +Îľ n= 1 + + O x , 1 (k + 1)Ď€ 2 (p + 1)(p k − 1) p n∈A X

n≤x

Ù¼ξ ´?¿‰½ ĂŞ. y²: f (s) =

∞ X a(n) n=1

38

ns

.

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) dEuler Ăˆúª9a(n) ½Ă‚ÂŒ Y

a(pk ) a(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p ! Y 1 1 1 + k(s−1) 1 p 1 − ps−1 p Y Y 1 1 1 + k(s−1) 1 + k(s−1) p (p + 1)(ps−1 − 1) p p Îś(k(s − 1)) Y 1 1 + k(s−1) , Îś(2k(s − 1)) (p + 1)(ps−1 − 1) p

f (s) =

= = =

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. 5Âż Ă˜ ÂŞ

∞

X a(n)

1

,

< Ďƒ

n Ďƒ − 1 − k1 n=1

|a(n)| ≤ n,

Ă™ÂĽĎƒ > 1 − ´EĂŞs ¢Ăœ. u´, |^PerronúªÂŒ¹íĂ‘ 1 k

X a(n) ns0

xb B(b + Ďƒ0 ) T b−iT log x x 1âˆ’Ďƒ0 âˆ’Ďƒ0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x||

1 2iπ

=

n≤x

b+iT Z

xs f (s + s0 ) ds + O s

Ù¼N ´ Cux ĂŞ, kxk = |x − N |. s H(x) = x, B(Ďƒ) = , Kk

0

1 1 Ďƒâˆ’1− k

X

a(n) =

n≤x

Ù¼

Ç‘ OĂŒÂ‘

1 2iπ

Z

1 2+ k +iT

1 2+ k −iT

1

= 0, b = 2 + k1 , T = x1+ 2k ,

1 Îś(k(s − 1)) xs R(s) ds + O(x1+ 2k +Îľ ), Îś(2k(s − 1)) s

Y R(s) = 1+

1 k(s−1) (p + 1)(ps−1 − 1)

Z

Îś(k(s − 1))xs R(s)ds, Îś(2k(s − 1))s

p

1 2iπ

¡Â‚òĂˆŠÂ‚ds = 2 +

1 k

1 2+ k +iT 1 2+ k −iT

Âą iT

£–s = 1 +

f (s) =

1 2k

Âą iT .

.

ڞ, Ÿê

Îś(k(s − 1))xs R(s) Îś(2k(s − 1))s 39

Smarandache

3s = 1 + ?k˜‡˜ 4:Â…3ê´ 1 k

1 2iπ =

Z

2+ k1 +iT

+ 1 2+ k −iT

1 1+ k

k¡x (k + 1)Μ(2)

Y p

¡Â‚N´ O

Z

1 1+ 2k +iT

+

1 2+ k +iT

1+

Z

ÂŻKĂŻĂ„ 1

kx1+ k (k+1)Îś(2) R(1 1 1+ 2k −iT

1 1+ 2k +iT

1 1

(p + 1)(p k − 1)

+

Z

+ k1 ).

u´

1 2+ k −iT 1 1+ 2k −iT

!

Îś(k(s − 1))xs R(s)ds Îś(2k(s − 1))s

.

1 Z 1+ 2k Z 2+ 12 −iT !

1

+iT Îś(k(s − 1))xs

+ R(s)ds

2Ď€i

1 1 Îś(2k(s − 1))s 2+ k +iT 1+ 2k −iT Z 2+ k1

1

1

Îś(k(Ďƒ − 1 + iT )) x2+ k

x2+ k 1 1+ 2k

≪

Îś(2k(Ďƒ − 1 + iT )) R(s) T dĎƒ ≪ T = x 1 1+ 2k

9

1 Z T

1 Z 1+ 2k

−iT Îś(k(s − 1))xs

R(s)ds ≪

1

2Ď€i 1+ 2k

+iT Îś(2k(s − 2))s 0

5Âż Îś(2) =

Ď€2 , 6

ŠâÞ¥ Ă­ ÂŒ

1

Îś(1/2 + ikt) x1+ 2k

1 +Îľ

dt ≪ x1+ 2k .

Îś(1 + 2ikt) t

1 6k ¡ x1+ k Y 1 1 1+ 2k +Îľ 1 + + O x . n= 1 (k + 1)Ď€ 2 (p + 1)(p k − 1) p n∈A X

n≤x

Ăš Ă’ ¤ ½n2.2.1 y². ½n2.2.2 Ď•(n)´EulerŸê. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚k

1 1 6k ¡ x1+ k Y p − pk 1 1+ 2k +Îľ 1 + + O x . Ď•(n) = 1 1 (k + 1)Ď€ 2 p2+ k − p2 + p1+ k − p p n∈A X

n≤x

½n2.2.3 Îą > 0, Ďƒ (n) = P d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚k Îą

Îą

d|n

X

n∈A n≤x

40

ĎƒÎą (n) =



1 Îą+ k

p 1 6k ¡ xÎą+ k Y  1 +  (kÎą + 1)Ď€ 2 p

1 +O xÎą+ 2k +Îľ .

1 k

(p − 1) 1 Îą+ k

p

k Îą P 1

i=1

pi

1 Îą+ k

+p

1 k

1 k

+p −1

− 1 (p + 1)(p − 1)

   

1 Ù êؼê9Ùþ (II) ½n2.2.4 d(n)L«DirichletØê¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, · k X

1

1 6k · x k Y  1 +  π2

d(n) =

(2p k − 1)

i=2

(p +

p

n∈A n≤x

k+1 P

k+1 i

1

pk+1−i − kpk+ k

1 1)k+1 (p k

−

1)2

1 +O x 2k +ε .

Ù¥f (y)´'uy kgõ ª. ½n2.2.5 é?¿¢êx ≥ 1, · kìCúª

  · f (log x) 

β P

1 k

iα

Y  p p  1 1 6k · x k Y   i=0 σα ((m, n)) = 1+ 1 +  1 1 π2  k k (p + 1)(p − 1) pβ km p(p − 1)  n∈A p†m X

n≤x

×

β−1

Y

1+

X

i

p− k

1

pjα +

pk

j=0

i=k

pβ km β>k

i X

Pβ

iα i=0 p

1

p(p k − 1)

!

β≤k

1 Y p + O x 2k +ε . p+1

p|m

Ù¥m´?¿ ½ ê, (m, n)L«m n Ïf. ½n2.2.6 é?¿¢êx ≥ 1, · k

1! Y 1 pβ − pβ−1 p k 6k · x k Y 1 1+ 1+ ϕ((m, n)) = 1 1 π2 (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1) n∈A p†m X

n≤x

×

Y

β≤k

β−1

1+

X

i

p− k

i=k

pβ km β>k

1! 1 β β−1 p − p pk Y p i i−1 p −p + + O x 2k +ε . 1 p+1 p(p k − 1) p|m

½n2.2.2–2.2.6 y²: aq , f1 (s) =

∞ X ϕ(n) , ns

f2 (s) =

n=1 n∈A

f4 (s) =

∞ X σα (n) , ns

f3 (s) =

n=1 n∈A

∞ X σα ((m, n)) , ns n=1

∞ X d(n) , ns

n=1 n∈A

f5 (s) =

n∈A

∞ X ϕ((m, n)) . ns n=1

n∈A

|^Euler Èúª±9ϕ(n), σ (n)Úd(n) g½Â, Ǒ ± α

f1 (s) =

Y p

ϕ(pk ) ϕ(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + · · · p p

=

Y p

ϕ(pk ) 1 + ks p

1 1−

1 ps−1

!! 41

Smarandache

=

ÂŻKĂŻĂ„

Îś(k(s − 1)) Y p − ps−1 1 + k(s−1) ; s − p) Îś(2k(s − 1)) (p + 1)(p p 

Îś(k(s − Îą)) Y  f2 (s) = 1+ Îś(2k(s − Îą)) p

(psâˆ’Îą − 1)ps

Pk

i=1

Îą 1 pi

+ ps + psâˆ’Îą − 1

(pk(sâˆ’Îą) + 1)(psâˆ’Îą − 1)(ps − 1)



;

! k(k+1−i)s Pk+1 (k2 +1)s (2ps − 1) i=2 k+1 p − kp Îś k+1 (ks) Y i 1+ ; f3 (s) = k+1 Îś (2ks) (pks + 1)k+1 (ps − 1)2 p

f4 (s) = =

Y

ĎƒÎą ((m, pk )) ĎƒÎą ((m, pk+1 )) 1+ + +¡¡¡ pks p(k+1)s p ks Y Îś(ks) Y p 1 1 + ks Îś(2ks) pks + 1 (p + 1)(ps − 1) p†m p|m ! ! β−1 Y X ĎƒÎą (pi ) Y ĎƒÎą (pβ ) ĎƒÎą (pβ ) Ă— 1 + ks 1+ + ks pis p (1 − p1s ) p (1 − p1s ) β β p km β≤k

Âą9 Îś(ks) Y Îś(2ks)

f5 (s) =

p|m

Ă—

Y

pβ km β≤k

p km β>k

i=k

1 1 + ks (p + 1)(ps − 1) p†m ! ! β−1 i Y X p − pi−1 pβ − pβ−1 pβ − pβ−1 1 + ks 1+ + ks . 1 pis p (1 − p1s ) p (1 − s) p β i=k pks ks p +1

Y

p km β>k

Ă?LA^Perronúª¹9y²½n2.2.1 Â?{, ÂŒ¹íĂ‘½n2.2.2¨2.2.6

(J.

2.2.3

k

g˜Ă?fĂŞS

Ăšn2.2.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, ¡Â‚k X

ω(n) = x ln ln x + Ax + O

n≤x

X

ω2 (n) = x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) ,

n≤x

Ù¼A = Îł + P ln 1 − y²: (ĂŤ Šz[6]). p

42

1 p

x , ln x

+

1 p

.

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) Ăšn2.2.2 Âľ(n)Ç‘M¨obius Ÿê, ĂŠ?¿¢ês > 1kĂ° ÂŞ ∞ X Âľ(n)ω(n)

=−

ns

n=1

y²: dω(n) ½Ă‚ÂŒ ∞ X Âľ(n)ω(n)

=

ns

n=1

∞ X Âľ(n) n=2

1 X 1 . Îś(s) ps − 1 p

P

p|n

1

ns

∞ ∞ X X X 1 X Âľ(np) Âľ(n) =− = ns ps ps ns p

n=1 (n,p)=1

X 1 = − ps p

p

∞ X Âľ(n)

ns

n=1

!

n=1 (n,p)=1

1−

1 ps

−1

=−

1 X 1 . Îś(s) ps − 1 p

Ăšn2.2.2 y. Ăšn2.2.3 k ≼ 2Ç‘ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, ¡Â‚kĂŹCúª X

ω2 (m)¾(d) =

dk m≤x

y²: A^Ăšn2.2.1ÂŒ X

ω2 (m)¾(d) =

=

1

d≤x k

Âľ(d)

1 d≤x k

dk m≤x

X

X

x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . Îś(k)

X

ω2 (m)

m≤x/dk

x x x x Âľ(d) k (ln ln k )2 + O k ln ln k d d d d

2 X Âľ(d) k ln d + O (x ln ln x) =x ln ln x + ln ln 1 − dk ln x 1 d≤x k

2

= x (ln ln x)

∞ X d=1

2

=





X ln d  Âľ(d)  + O x ln ln x  + O(x ln ln x) k d dk ln x 1 d≤x k

x(ln ln x) + O (x ln ln x) . Îś(k)

Ăšn2.2.3 y. Ăšn2.2.4 k ≼ 2Ç‘ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, Kk X

ω2 (d)¾(d) = O(x).

dk m≤x

43

¯KïÄ

Smarandache

y²: A^Ún2.2.1 X

ω2 (d)µ(d)

dk m≤x

X

=

1 d≤x k

X

=

1

d≤x k

X

ω2 (d)µ(d)

1

m≤x/dk u|m

h x i ω2 (d)µ(d) udk

X ω (d)µ(d) X 2  +O ω (d)µ(d) = O(x). k d 1 1 2

= x

d≤x k

d≤x k

Ún2.2.4 y. Ún2.2.5 k ≥ 2Ǒ ê, é?¿¢êx ≥ 2, · k X

ω2 ((d, m))µ(d) = O(x).

dk m≤x

y²: (u, v)L«uÚv ú ê, dÚn2.2.1 X

ω2 ((d, m))µ(d)

dk m≤x

=

X

µ(d)

1

X

µ(d)

1

X

ω2 (u)

u|d

d≤x k

= x

ω2 (u)

u|d m≤x/dk

d≤x k

=

X X

∞ X

µ(d)

P ω2 (u)

u|d

dk

d=1

u

hxi dk

X X  +O µ(d) ω2 (u) = O(x). 1

d≤x k

u|d

Ún2.2.5 y. Ún2.2.6 k ≥ 2Ǒ ê, é?¿¢êx ≥ 2, · kìCúª X

ω(d)ω(m)µ(d) = Cx ln ln x + O(x),

dk m≤x

Ù¥C = − 44

1 ζ(k)

P p

1 . pk −1

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) y²: dĂšn2.2.19Ăšn2.2.2ÂŒ X

ω(d)ω(m)¾(d)

dk m≤x

=

X

ω(d)¾(d)

1 d≤x k

=

X

X

ω(m)

m≤x/dk

ω(d)¾(d)

1 d≤x k

x ln ln dxk Ax + k +O k d d

x k d ln dxk

X ω(d)Âľ(d) k ln d = x ln ln x + ln ln 1 − dk ln x 1 d≤x k

+Ax

x X ω(d)¾(d) + O dk ln x 1

d≤x k

= (x ln ln x + Ax)

∞ X d=1

= Cx ln ln x + O(x),





x ω(d)Âľ(d)  X ln d  + O x + O   dk dk ln x ln x 1 d≤x k

Ù¼C = − P . Ăšn2.2.6 y. ½n2.2.7 AL¤k kg˜Ă?fĂŞ 8Ăœ, KĂŠ?¿¢êx ≼ 2, ¡Â‚k 1 Îś(k)

p

1 pk −1

X

ω2 (n) =

n≤x n∈A

x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . Îś(k)

Ù¼Μ(k) Ç‘Riemamn zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, dŠz[4]ÂŒ X

dĂšn2.2.3¨2.2.6, Kk X

ω2 (n) =

n≤x n∈A

=

ω2 (n)

X

Âľ(d) =

n≤x

dk |n

X

ω2 (dk m)¾(d)

dk m≤x

X

(ω(d) + ω(m) − ω((d, m))) Âľ(d)

dk m≤x

dk m≤x

dk m≤x

=

X

1, n 0,

Âľ(d) =

dk |n

Ç‘ k gĂ?fĂŞ, Ă™§.

(

X

2

ω2 (m)¾(d) +

X

ω2 (d)¾(d) +

X

ω2 ((d, m))¾(d)

dk m≤x

45

Smarandache



+2 

X

dk m≤x

ÂŻKĂŻĂ„





ω(d)ω(m)Âľ(d) + O 

X

dk m≤x



ω(d)ω(m)

x(ln ln x) + O (x ln ln x) + 2 (Cx ln ln x + O(x)) + O(x ln ln x) = Îś(k) x(ln ln x)2 + O (x ln ln x) . = Îś(k) 2

u´ ¤ ½n2.2.7 y². 2.2.4

–Smarandache ²Â?Ă?fŸê

½n2.2.8 ĂŠ?¿¢êι, sÂ…ávs − Îą > 19Îą > 0§Kk ∞ X ZW Îą (n) n=1

ns

1 Îś(s)Îś(s − Îą) Y = 1− s , Îś(2s − 2Îą) p + pÎą p

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta-Ÿê, YLÊ¤k ÂƒĂŞĂ?f Ăˆ. y²: ĂŠ?¿¢êι, sávs − Îą > 19Îą > 0, p

f (s) =

Šâ(2-1)†Euler Ăˆúª, ÂŒÂą

∞ X ZW Îą (n) n=1

ns

.

# Y" 1 Y sâˆ’Îą pÎą pÎą p f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ = 1+ p p 1 − p1s p p " ! # 1 Y 1 + psâˆ’Îą 1 = 1− s p + pÎą 1 − p1s p Îś(s)Îś(s − Îą) Y 1 = 1− s . Îś(2s − 2Îą) p + pÎą p

u´ ¤ ½n2.2.8 y². ½n2.2.9 ĂŠ?¿¢êι > 09x ≼ 1, Kk X

n≤x

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1 ZW (n) = 1− Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) Îą

p

y²: ĂŠ?¿¢êι > 09x ≼ 1, w,k |ZW Îą (n)| ≤ nÎą 46

Ăš

∞

X ZW Îą (n)

1

,

< Ďƒ

Ďƒâˆ’Îą n n=1

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) Ă™ÂĽĎƒ´s ¢Ăœ. dPerronúªÂŒ X ZW Îą (n) ns0

=

n≤x

b xs x B(b + Ďƒ0 ) f (s + s0 ) ds + O s T b−iT log x +O x1âˆ’Ďƒ0 H(2x) min 1, T x âˆ’Ďƒ0 +O x H(N ) min 1, , ||x||

1 2Ď€i

Z

b+iT

Ù¼N ´ülx C ĂŞ, Â…||x|| = |x−N |. 3Þª¼ s = 0, b = Îą+ 9T > 2, Ă?d Z X 3 2

0

1 ZW (n) = 2Ď€i

Îą+ 32 +iT

Îą

n≤x

y3¡Â‚òĂˆŠÂ‚lÎą + ˜‡˜ 4:, Â…Ă™3ĂŞÇ‘

3 2

Îą+ 32 −iT

xs f (s) ds + O s

Âą iT

ÂŁ Îą +

1 2

− iT ,

3

xÎą+ 2 T

.

ڞŸêf (s) 3s = Îą + 1k xs s

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1− Îą . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) p

T = x, Kk X

n≤x

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1− Îą ZW (n) = Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) Îą

p

Z

1 x ds + O xÎą+ 2 +ÇŤ s Îą+ 12 −ix Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 = 1− Îą Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) p Z x Îą+ 1 +ÇŤ

2 1 Îą+ 12 +ÇŤ

f Îą + + ÇŤ + ix x +O dt + O x

(1 + |t|) 2 −x 1 Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 = 1− Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p (p + 1) +

1 2Ď€i

Îą+ 12 +ix

s

f (s)

p

u´ ¤ ½n X 2.2.9 y². 5Âż : ZW (n) = x + O(1)Ăš ÂŒ 4 Y 0

lim ιΜ(ι + 1) = 1,

Îąâˆ’â†’0+

n≤x

lim

ι→0+

1 Îą

p

1−

1 pÎą (p + 1)

d½n2.2.9¡Â‚

= Îś(2).

47

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

2.3

ƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS {e (n)}(II)

2.3.1

ep (n) Euler

†

p

Ÿê

Ăšn2.3.1 pǑ˜‰½ ÂƒĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚k X

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď€ 2

φ(n) =

n≤x (n,p)=1

y²:

∞ X φ(n) f (s) = , ns n=1 (u,p)=1

Â…Re(s) > 1. KŠâÎ.Ăˆúª9φ(n) ÂŒ 5¡Â‚k ∞ X φ(n) ns

=

n=1 (n,p)=1

∞ YX φ(q m ) q ms

q6=p m=0

=

Y

q6=p

=

Y

q − 1 q2 − q q3 − q2 1 + s + 2s + +¡¡¡ q q q 3s 1+

1+

1−

q6=p

=

Y

q6=p

=

1 q q s−1

1−

1 q q s−1

1+

1

+

q s−1 !

5 2

Âą iT

φ(n) 1 = ns 2πi

ÂŁ

3 2

Âą iT 1 2Ď€i

48

+ ¡¡¡

Îś(s − 1) ps − p , Îś(s) ps − 1 0

òĂˆŠÂ‚l

q 2(s−1)

!

q s−1 q s−1 − 1

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. ŠâPerronúª, s Ă­Ă‘ Z X n≤x (n,p)=1

1

5 2 +iT

5 2 −iT

Îś(s − 1) ps − p xs ds + O Îś(s) ps − 1 s

5 OĂŒÂ‘

Z

5 2 +iT 5 2 −iT

§

Ăš

=0 T =x b=

Îś(s − 1) ps − p xs ds. Îś(s) ps − 1 s

5

x2 T

.

5 2

KÂŒÂą

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) ڞ, Ÿê

Îś(s − 1) ps − p xs Îś(s) ps − 1 s

f (s) =

3s = 2?k˜‡˜ 4:, Ă™3ĂŞÇ‘ 1 2iĎ€

5Âż

Z

+ 5 2 −iT

1 2iπ

o

Z

5 2 +iT

Z

3 2 +iT

+ 5 2 +iT

3 2 +iT

+ 5 2 +iT

Z

Z

3 2 −iT

3px2 . (p+1)Ď€ 2

+

3 2 +iT

3 2 −iT 3 2 +iT

+

Z

Z

5 2 −iT 3 2 −iT

5 2 −iT 3 2 −iT

!

¤¹

!

Îś(s − 1) ps − p xs 3px2 = . Îś(s) ps − 1 s (p + 1)Ď€ 2

3 Îś(s − 1) ps − p xs ≪ x 2 +ÇŤ . s Îś(s) p − 1 s

3 3px2 + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď€ 2

X

φ(n) =

X

Îą p = + O x−1 log x ; 2 Îą p (p − 1)

n≤x (n,p)=1

Ăšn2.3.1 y. Ăšn2.3.2 ÎąÇ‘Â˜Â‰½ ĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, Kk x ι≤ log log p

X

x ι≤ log log p

1 1 Îą p2 −2 + O x log x . Îą = 2 1 p2 p2 − 1

y²: ŠâAĂ›?ĂŞ 5Â&#x;¡Â‚ÂŒÂą X

x ι≤ log log p

Îą pÎą

=

∞ X X Îą t − t p pÎą log x t=1

Îą> log p

∞ ∞ log x X t 1 X [ log p ] + t = − log x pt pt p[ log p ] t=1 t=1 !! x ∞ ∞ X X [ log t t log p ] −1 = +O x + pt p−1 pt t=1 t=1 p −1 = log x , 2 +O x (p − 1)

9 X

x ι≤ log log p

Îą Îą p2

=

∞ X X Îą t Îą t − p2 p2 log x t=1 Îą> log p

49

ÂŻKĂŻĂ„

Smarandache

∞ log x ∞ X X [ log p ] + t t 1 − t t 1 log x p2 p2 p 2 [ log p ] t=1 t=1 !! x ∞ ∞ X X [ log t t log p ] − 12 = x + t 1 + O 1 2 2 − 1 p2 p p t=1 t=1 1 1 p2 −2 = + O x log x . 2 1 p2 − 1

=

ÂŞ

Ăšn2.3.2 y. ½n2.3.1 pÇ‘Â˜ÂƒĂŞ, φ(n)´Î.Ÿê, ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚kފú X

ep (n)φ(n) =

n≤x

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p2 − 1)Ď€ 2

y²: Šâe (n) ½Ă‚§¹9Ăšn2.3.1†Ún2.3.2¡Â‚k p

X

ep (n)φ(n)

n≤x

X X

=

pι ≤x

ιφ(pι u) =

pι u≤x

ιφ(pι )

(u,p)=1

3p (p + 1)Ď€ 2

ι≤ log p

X

φ(u)

+O

u≤ pxι

pι ≤x

p−1 X ÎąpÎą p log x

=

X

(u,p)=1



x pÎą

2

x pÎą



32 +ÇŤ !!

X ι 3(p − 1) 2 X Îą  3 x + O x 2 +ÇŤ Îą  2 Îą (p + 1)Ď€ p p2 log x log x

=

ι≤ log p

3(p − 1) 2 x (p + 1)Ď€ 2

=

+O =

(p2

x

p

2

(p − 1) 1

p2

3 2 +ÇŤ

3p − 1)Ď€

ι≤ log p

1

+ O x−1 log x

!! 1 − 2 + O x 2 log x

p2 − 1 3 2 x + O x 2 +ÇŤ . 2

u´ ¤ ½n2.3.1 y². 2.3.2

ep (n)

†Ă?f ĂˆS

nÇ‘?Âż ĂŞ, P (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ăˆ, =P (n) = Y d. ~ XÂľP (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 8, ¡ ¡ ¡ . Ăšp§¡Â‚=?Ă˜ÂƒĂ?f ÂŒÂ?ĂŞS {e (n)}†Ă?f ĂˆS {P (n)} ¡ĂœĂžÂŠ ŠĂ™5Â&#x;. d

d

p

d

d

p

50

d

d

d

1 Ù êؼê9Ùþ (II) Ún2.3.3 é?¿¢êx ≥ 1, · k X

n≤x (n,m)=1

 2 Y X ln p 1 1   d(n) = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− + O(x 2 +ǫ ), p−1 p p|m

p|m

Ù¥YL«é¤k êÏf È, γ´î.~ê, ǫǑ?¿ ½ ê. p

y²: T = x ½n2) · k

1/2

X

n≤x (n,m)=1

, A(s) =

Y p

1 d(n) = 2iπ

Z

1 1− s p

3 2 +iT

2

.

âPerron úª(ë ©z[4]

ζ 2 (s)A(s)

3 2 −iT

xs 1 ds + O(x 2 +ǫ ), s

Ù¥ζ(s)´Riemann zeta-¼ê. òÈ© l ± iT £ ± iT . ù , ¼êf (s) = ζ (s)A(s) 3s = 1?k ?4:, Ù3êǑ 3 2

1 2

xs s

2

 2 Y X ln p 1   x ln x + 2γ − 1 + 2 1− . p−1 p

u´ 1 2iπ

Z

5¿

p|m

3 2 +iT

+ 3 2 −iT

Z

1 2 +iT

+ 3 2 +iT

Z

p|m

1 2 −iT 1 2 +iT

+

Z

3 2 −iT 1 2 −iT

!

ζ 2 (s)A(s)

xs ds s

2 Y X ln p 1  = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− . p−1 p p|m

1 2iπ 1

Z

1 2 +iT

+ 3 2 +iT

Z

1 2 −iT

+

1 2 +iT

Z

p|m

3 2 −iT 1 2 −iT

!

ζ 2 (s)A(s)

xs ds s

≪ x 2 +ǫ .

d±þ(ØáǑ X

n≤x (n,m)=1

 2 X ln p Y 1 1   d(n) = x ln x + 2γ − 1 + 2 1− + O(x 2 +ǫ ). p−1 p p|m

p|m

51

Smarandache

¯KïÄ

Ún2.3.3 y. Ún2.3.4 pǑ ê, é?¿¢êx ≥ 1, Kk X α p = +O α p (p − 1)2

α≤x

x px

,

(2-2)

2 X α2 p2 + p x = +O , α 3 p (p − 1) px α≤x 3 X α3 p3 + 4p2 + p x = +O . pα (p − 1)4 px

(2-3) (2-4)

α≤x

y²: ùp· =y²ª(2-3)Úª(2-4). Äk5O X

f=

α2 /pα .

α≤n

5¿ ð ª f

1 1− p

=

n X α2

α=1

=

pα

−

n X α2 α+1 p

α=1 n−1 2 X

1 n − + p pn+1 2

=

9 f =

1−

1 p

2

n 1 − n+1 + p p

n−1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

=

1 2 n2 − n2 p + 2+ + p p pn+2 n−1

=

u´ f

52

=

α=1

!

2α + 1 , pα+1

1 1− p

n−1

n

α=1 n−1 X

α=2

1 1 n − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − p p pn+2 pα+1 pα+1 2

=

α=1 n−1 X

(α + 1)2 − α2 pα+1

α=2

+

n2 − n2 p − (2n − 1)p pn+2

1 2(p − 1) n − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

2

2 pα+1

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1 1−

1 p

2

1 Ù êؼê9Ùþ (II) =

Ïd

p 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n−2 + . 2 3 (p − 1) p (p − 1) pn (p − 1)2

X α2 pα

=

α≤x

=

Ún2.3.4¥ (2-3)ª y. e¡5y²ª(2-4)ª.

p 2p + +O (p − 1)2 (p − 1)3 2 p2 + p x +O . 3 (p − 1) px

g=

X

x2 px

α3 /pα .

α≤n

5¿ ð ª

1 g 1− p n n 3 X X α α3 = − pα pα+1 α=1

3

=

α=1 n−1 X

1 n − n+1 + p p 3

α=1 n X

(α + 1)3 − α3 pα+1

3α2 − 3α + 1 pα+1 α=2 1 2 3 n3 pn−1 − 1 n pn−2 − 1 = − n+1 + n+1 − − + p p p − pn p2 pn+1 pn+1 − pn 1 − p1 ! n2 2n − 1 2(pn−3 − 1) 4 5 1 3 − + − n+1 + n+1 + p2 pn+1 p3 p p − pn 1 − 1p 1 − =

=

Ïd X α3 pα

1 n − n+1 + p p

1 p

p2 + 4p + 10 3n − 3n2 + pn−1 − 1 + (3 − 6n)p + p(p − 1)2 pn (p − 1) 3 n−3 n 6p(p − 1) − 3(pn−2 − 1)(p − 1) − n+1 + . p pn−1 (p − 1)3

=

α≤x

=

p2 + 4p + 10 1 9 − 3p + + 2 p(p − 1) p(p − 1) p(p − 1)3 3 p3 + 4p2 + p x +O . 4 (p − 1) px

p +O p−1

x3 px

53

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Ăšn2.3.4 y. ½n2.3.2 pÇ‘Â˜ÂƒĂŞ, ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚kĂŹCúª X

ep (Pd (n)) =

n≤x

x ln x p(p − 1)

(p − 1)3 (2Îł − 1) − 2p4 + 4p3 + p2 − 2p + 1 ln p 1 x + O(x 2 +ÇŤ ), + p(p − 1)4

Ă™¼γ´Î.~ĂŞ, ÇŤÇ‘?¿‰½ ĂŞ. y ²: 5Âż Ă° ÂŞP (n) = n (ĂŤ ÂŞ(1-18)), Âą9dP (n)Ăša (n) ½ Ă‚Âż|^Þ¥ ߇ÚnÂŒÂą d

X

d(n) 2

d

p

ep (Pd (n))

n≤x

=

X (ι + 1)ι X (ι + 1)ι X d(l) = d(l) 2 2 ι ι ι p ≤x

p l≤x (p,l)=1

l≤x/p (p,l)=1

2 ! 2 ln p (Îą + 1)Îą x x 1 ln Îą + 2Îł − 1 + 1− = 2 pÎą p p−1 p ι≤ln x/ ln p 1 +O x 2 +ÇŤ 2 X (Îą + 1)Îą x 1 2 ln p = 1− ln x + 2Îł − 1 + 2 p p−1 pÎą X

ι≤ln x/ ln p

1 (Îą + 1)Îą x ln p − + O x 2 +ÇŤ 2 pÎą ι≤ln x/ ln p 2 x 1 2 ln p = 1− ln x + 2Îł − 1 + 2 p p−1 2 2 p +p ln x p Ă— + +O 3 2 (p − 1) (p − 1) x 3 3 1 2 2 p +p x ln p p + 4p + p ln x − + + O + O x 2 +ÇŤ 2 (p − 1)4 (p − 1)3 x (p − 1)3 (2Îł − 1) − 2p4 + 4p3 + p2 − 2p + 1 ln p x ln x = + x p(p − 1) p(p − 1)4 1 +O x 2 +ÇŤ . X

2

u´ ¤ ½n2.3.2 y². Šâ½n2.3.2, ÂŒÂą Ă­Ă˜2.3.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, Kk X

n≤x

54

e2 (Pd (n)) =

1 2Îł − 65 ln 2 − 1 1 x ln x + x + O(x 2 +ÇŤ ), 2 2

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) X

e3 (Pd (n)) =

n≤x

2.4

1 8Îł − 137 ln 3 − 4 1 x ln x + x + O(x 2 +ÇŤ ). 6 24

–SmarandacheŸê ĂŠĂł

½Ă‚2.4.1 -Z L–Smarandache Ÿê ĂŠĂł, Ă™½Ă‚Xe: ∗

Z∗ (n) = max{m ∈ N ∗ :

m(m + 1) |n}, 2

–SmarandacheŸê Êó´Jozsef Sandor3Šz[14]p¤JĂ‘5 . w,, –SmarandacheŸê Êóäk5Â&#x;Âľ Z∗ (1) = 1;

9 Z∗ (p) =

(

XJ p = 3 XJ p 6= 3.

2, 1,

Ù¼p Ç‘?Âż ÂƒĂŞ. !¼§¡Â‚5?Ă˜Â–SmarandacheŸê ĂŠĂłZ (n) Š^3{ßêS Ăž ފ5Â&#x;. Ăšn2.4.1 s ≼ 1Ç‘ ĂŞ, p´ÂƒĂŞ, Kk ∗

s

Z∗ (p ) =

(

2, if p = 3 , 1, if p 6= 3.

y²: dŠz[14] ¡K1ĂĄÇ‘ÂŒÂą Ă‘Þª. Ăšn2.4.2 q´ÂƒĂŞÂ…p = 2q − 1Ç‘´Â˜Â‡ÂƒĂŞ, Kk Z∗ (pq) = p.

y²: dŠz[14] ¡K2ĂĄÇ‘ÂŒ . Ăšn2.4.3 k ≼ 09x ≼ 3§pÇ‘ÂƒĂŞ. Kk X

p≤x

1 xk+1 1 xk+1 p = + +O k + 1 ln x (k + 1)2 ln2 x k

y²: 5Âż Ď€(x) = X

p≤x

x ln x

+

x ln2 x

pk = Ď€(x)xk −

+O Z x

x ln3 x

.

xk+1 ln3 x

.

dAbelĂ° ª¡Â‚k

Ď€(t)ktk−1 dt

1

55

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

k+1 Z x k t xk+1 xk+1 x + 2 +O dt − k ln x ln t ln x ln3 x 2 Z x k Z x k t t −k 2 dt + O 3 dt 2 ln t 2 ln t k+1 xk+1 xk+1 x + 2 +O = ln x ln x ln3 x Z x k k xk+1 k 2 + 2k xk+1 t − − +O 3 dt k + 1 ln x (k + 1)2 ln2 x ln t 2 k+1 k+1 k+1 1 x 1 x x + = +O . 2 2 k + 1 ln x (k + 1) ln x ln3 x =

Ăšn2.4.3 y. Ăšn2.4.4 pĂšqĂžÇ‘ÂƒĂŞ, Kk X

pq≤x

x2 x2 + C2 2 + O p = C1 ln x ln x

Ù¼C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²: 5Âż x < 1ž¡Â‚k 1

x2 ln3 x

(2-5)

,

2

X

p

√ p≤ x

=

X

X

1 1−x

= 1 + x + x2 + x3 + ¡ ¡ ¡ + xm + ¡ ¡ ¡ ,

1

q≤x/p

p

x p

+

x p

+O

x p

(ln x − ln p) (ln x − ln p)2 (ln x − ln p)3 lnm p x X ln p ln2 p = 1+ + + ¡¡¡ + m + ¡¡¡ ln x √ ln x ln2 x ln x p≤ x x X ln p lnm−1 p + 2 1+2 + ¡ ¡ ¡ + m m−1 + ¡ ¡ ¡ ln x ln x √ ln x p≤ x   3 3 3 X x x2 x2 x2   +O = B1 2 + B2 3 + O , 3 x ln x ln x ln4 x √ ln p √ p≤ x

(2-6)

p≤ x

Ù¼B , B ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, Âą9 1

2

X

√ q≤ x

=

X

√ q≤ x

56

1

X

KŒ

p

p≤x/q

( xq )2

2(ln x − ln q)

+

( xq )2 4(ln x − ln q)2

+O

( xq )2 (ln x − ln q)3

!!

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) x2 X 1 ln q ln2 q lnm q + = 1+ +¡¡¡ + m +¡¡¡ 2 ln x √ q 2 ln x ln2 x ln x q≤ x x2 X 1 ln q lnm−1 q + 1+2 + ¡ ¡ ¡ + m m−1 + ¡ ¡ ¡ ln x 4 ln2 x √ q 2 ln x q≤ x   X x2  +O  3 x √ q 2 ln q q≤ x ! 2 x2 X 1 1 X ln q 1 X 1 x x2 = + 2 + +O . 2 2 2 ln x q2 2 q 4 q ln x ln3 x q q q

¤¹d(2-6)9(2-7)¡Â‚k X

p =

X

p

√ p≤ x

pq≤x

X

X

1+

1

√ q≤ x

q≤x/p

X

p≤x/q

x2 x2 = C1 + C2 2 + O ln x ln x

p−(

x2 ln3 x

X

p)(

√ p≤ x

X

(2-7)

1)

√ q≤ x

,

(2-8)

Ù¼C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Ăšn2.4.4 y. ½n2.4.1 AL¤k{ßê 8Ăœ. ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1, ¡Â‚k 1

2

X

n∈A n≤x

Z∗ (n) = C1

x2 x2 + C2 2 + O ln x ln x

x2 ln3 x

.

Ù¼C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y²: Šâ{ßê 5Â&#x;(Ăšn1.3.1), Ăšn2.4.1¨Ăšn2.4.4¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒ 1

2

X

n∈A n≤x

X

Z∗ (p) +

= 3+

1+

Z∗ (n) =

p≤x

X X

p2 ≤x

X

Z∗ (p2 ) +

1+

p2 ≤x

p≤x

= 3+

X

1+

p≤x

X

p2 ≤x

X

2.5

p3 ≤x

1+

X

X

pq≤x

x2 ln3 x

X

pq≤x p6=q

Z∗ (pq)

p

pq≤x p6=q

1+

p3 ≤x

Z∗ (p3 ) +

X

1+

p3 ≤x

x2 x2 = C1 + C2 2 + O ln x ln x

u´ ¤ ½n2.4.1 y².

X

p−

X

p

p2 ≤x

.

eÂƒĂŞĂœŠŸêĂšĂžÂƒĂŞĂœŠŸê

½ Ă‚2.5.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, eÂƒĂŞĂœŠŸêP (n) ½Ă‚Ç‘ u½ ux  ÂŒÂƒĂŞ. ĂžÂƒĂŞĂœŠŸêP (n) ½Ă‚Ç‘ÂŒu½ ux  ÂƒĂŞ. +

−

57

ÂŻKĂŻĂ„

Smarandache

½Ă‚2.5.2 ĂŠ?Âż ĂŞn, ÂƒĂŞÂŒ\Ă–ĂŞb(n)½Ă‚Ç‘: n + b(n)¤Ç‘˜ Â‡ÂƒĂŞ  ÂšK ĂŞ. 3Šz[1] 139‡¯K9144‡¯Kp§Smarandache ÇïÆïÄÚß Â‡S 5Â&#x;. š~k ´ŸêP (n), P (n)Ăšb(n)ƒm 3X,ÂŤĂŠ X. !ÂĽĂŒÂ‡´|^D.R.Heath Brown ­Â‡(J, Âą9b(n) 5Â&#x; ÂŤP (n)ĂšP (n) ފ5Â&#x;. Ăšn2.5.1 b(n)LÂŤÂƒĂŞÂŒ\Ă–ĂŞ, Kk OÂŞ +

−

+

−

X

n≤x

23

b(n) ≪ x 18 +Ǎ .

y²: p LÂŤ1nÂ‡ÂƒĂŞ, db(n) ½Ă‚k n

X

X

b(n) =

n≤x

X

b(n)

1≤i≤π(x) pi <n≤pi+1

X

≤

1≤i≤π(x) pi <n≤pi+1

X

≤

dŠz[15]ÂŒ

X

(pi+1 − pi ) 2

(2-9)

(pi+1 − pi ) ≪ x 18 +ÇŤ ,

(2-10)

1≤i≤π(x)

(pi+1 − pi ) .

23

2

1≤i≤π(x)

¤¹d(2-9)9(2-10)ĂĄÇ‘Ă­Ă‘

X

X

n≤x

23

b(n) ≪ x 18 +Ǎ .

Ăšn2.5.1 y. ½n2.5.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚kĂŹCúª X

n≤x

P− (n) =

Ù¼ǍǑ?¿‰½ ĂŞ. y²: ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, dP X

n≤x

,˜Â?ÂĄ,

X

58

½Ă‚¡Â‚k

− (n)

P− (n) =

(n + b(n)) =

n≤x

23 x2 + O x 18 +ÇŤ , 2

X

X

(pi+1 − pi )pi .

1≤i≤π(x)

X

1≤i≤π(x) pi <n≤pi+1

(n + b(n))

(2-11)

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) X

=

(pi+1 − pi )pi+1

1≤i≤π(x)

X

=

1≤i≤π(x)

u´ÂŠâ(2-10)¨(2-12) Kk X

n≤x

=

P− (n) =

X

n≤x

n+

X

n≤x

X

n≤x

(n + b(n)) −

b(n) −

X

2

(pi+1 − pi ) +

X

1≤i≤π(x)

X

P + (n) =

n≤x

2

1≤i≤π(x)

(pi+1 − pi ) 2

(pi+1 − pi ) =

P + (n) = 6 +

n≤x

X

+

½Ă‚, (2-12)9Ăšn2.5.1ÂŒ

(n)

(pi+1 − pi )pi+1

1≤i≤π(x)

= 6+

X

(n + b(n)) =

n≤x

u´ ¤ ½n2.5.2 y². 2.6

k

23 x2 + O x 18 +ÇŤ . 2

23 x2 + O x 18 +ÇŤ . 2

y²: aqu½n2.5.1 y²§dP X

(2-12)

1≤i≤π(x)

u´ ¤ ½n2.5.1 y². ½n2.5.2 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ¡Â‚k X

(pi+1 − pi )pi .

23 x2 + O x 18 +ÇŤ . 2

Smarandache CeilŸê Êó

½Ă‚2.6.1 ĂŠ?¿‰½ ĂŞn, Ă?Âś k Smarandache CeilŸê ½Ă‚

Xe:

Sk (n) = min{x ∈ N | n | xk } (∀n ∈ N ∗ ) .

~X, S (1) = 1, S (2) = 2, S (3) = 3, S (4) = 2, S (5) = 5, S (6) = 6, S (7) = 7, S (8) = 4, S (9) = 3, ¡ ¡ ¡ . ½Ă‚2.6.2 ĂŠ?¿‰½ ĂŞn, Ă?Âś k Smarandache CeilŸê ĂŠĂł ½Ă‚Xe: 2

2

2

2

2

2

2

2

2

S k (n) = max{x ∈ N | xk | n}.

Ă?Ç‘

(∀a, b ∈ N ∗ )(a, b) = 1, 59

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

¤¹k S k (ab) = max{x ∈ N | xk | a} ¡ max{x ∈ N | xk | b} = S k (a) ¡ S k (b),

9

Îą

S k (pÎą ) = p⌊ k ⌋ ,

Ă™ÂĽâŒŠx⌋LÂŤ u½ ux  ÂŒ ĂŞ. Ă?d§dn = p ÂŒ

Îą1 Îą2 1 p2

Îąr ⌊ 1 Îą2 S k (pÎą 1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p

Îą1 k

⌋

¡ ¡ ¡ p⌊

Îąr k

⌋

r ¡ ¡ ¡ pι r

Ç‘n ƒêŠ),

ιr 1 = S ( pι 1 ) ¡ ¡ ¡ S ( pr ).

¤¹S (n)Ǒ˜‡Œ Ÿê, Â…TŸê†Smarandache Ceil ŸêkĂŠÂŒ ĂŠX. Ăš p§¡Â‚=?Ă˜Ďƒ (S (n)) ފ5Â&#x;P. ½n2.6.1 Îą ≼ 0§Ďƒ (n) = d , KĂŠ?¿¢êx ≼ 19?¿‰½ ĂŞk ≼ 2, ¡Â‚kĂŹCúª  ( ) X x +O x , XJ Îą > k − 1,  Ďƒ S (n) =  Îś(k − Îą)x + O x , XJ Îą ≤ k − 1. Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê, ÇŤÇ‘?¿‰½ ĂŞ. y²: X k

Îą

k

Îą

Îą

d|n

kÎś

Îą

Îą+1 k

Îą+1

k

Îą+1 k

Îą+1 2k +ÇŤ

1 2 +ÇŤ

n≤x

f (s) =

ŠâÎ.Ăˆúª9Ďƒ f (s) =

Y p

=

Îą

Y p

∞

n=1

ĎƒÎą S k (n) . ns

ÂŒ 5¡Â‚ÂŒ

S k (n)

! ĎƒÎą S k (p) ĎƒÎą S k (pk ) 1+ +¡¡¡ + +¡¡¡ ps pks 1+

ĎƒÎą (1) ĎƒÎą (1) + ¡ ¡ ¡ + (k−1)s ps p

! ĎƒÎą p2 ĎƒÎą (p) ĎƒÎą (p) + ks + ¡ ¡ ¡ + (2k−1)s + +¡¡¡ p p2ks p ! Y 1 − p1ks 1 − p1ks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą = + + + ¡¡¡ pks pks 1 − p1s 1 − p1s p Y 1 1 1 = Îś(s) 1 + ksâˆ’Îą + 2(ksâˆ’Îą) + 3(ksâˆ’Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p = Îś(s)Îś(ks − Îą), 60

1 Ă™ ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ(II) Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. w,, kĂ˜ ÂŞ

∞

X Ďƒ S (n)

1 Îą k

<

n=1

Ďƒâˆ’1− nĎƒ

S k (n) | ≤ n,

|ĎƒÎą

Îą+1 k

,

Ă™ÂĽĎƒ > 1 + ´s ¢Ăœ. ¤¹dPerronúª¡Â‚k Îą+1 k

X ĎƒÎą S k (n) ns0 n≤x b Z b+iT xs 1 x B(b + Ďƒ0 ) f (s + s0 ) ds + O = 2iĎ€ b−iT s T log x x 1âˆ’Ďƒ0 âˆ’Ďƒ0 +O x H(2x) min(1, ) +O x H(N ) min(1, ) , T ||x||

Ù¼N ´ülx C ĂŞ, kxk = |x − N |. s0 = 0, b =

K 2 a =

X

ĎƒÎą +

Z

1 S k (n) = 2iπ

n≤x ι+1 2k

Îą+1 Îą+1 1 1 + , T = x 2k , H(x) = x, B(Ďƒ) = k ln x Ďƒâˆ’1−

1 ln x ,

b+iT

Îś(s)Îś(ks − Îą)

b−iT

ڞ, Îą > k − 1ž, Ÿê

Z

b+iT

Îś(s)Îś(ks − Îą)

b−iT

f (s) = Îś(s)Îś(ks − Îą) Îą+1 k

?k˜‡˜ 4:, Â…Ă™3ĂŞÇ‘ Z

1 2iπ =

5¿ 1 2iπ

,

Îą+1 xs ds + O x 2k +ÇŤ . s

òĂˆŠÂ‚ls = b Âą iT ÂŁ s = a Âą iT 5 OĂŒÂ‘ 1 2iĎ€

3s =

Îą+1 k

b+iT

+

b−iT

Z

a+iT

+

b+iT

Îą+1

Z

xs ds. s

xs s

Îą+1 kÎś ( Îą+1 k ) k . Îą+1 x

a−iT

+ a+iT

Z

b−iT

a−iT

!

¤¹ Îś(s)Îś(ks − Îą)

xs ds s

kÎś k Îą+1 x k . Îą+1

Z

a+iT

b+iT

+

Z

a−iT

+ a+iT

Z

b−iT a−iT

!

Îś(s)Îś(ks − Îą)

ι+1 xs ds ≪ x 2k +Ǎ . s

61

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Kd¹Þ(Ă˜¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒ ĂŹCúª X

Îą+1 kÎś Îą+1 Îą+1 k S k (n) = x k + O x 2k +ÇŤ . Îą+1

ĎƒÎą

n≤x

u´ ¤ ½n2.6.1 1Â˜ĂœŠy². e0 ≤ Îą ≤ k − 1, KŸê

f (s) = Îś(s)Îś(ks − Îą)

xs s

3s = 1?k˜‡˜ 4:, Â…3ĂŞÇ‘Îś(k − Îą)x. aq/, ¡Â‚kĂŹCúª X

n≤x

1 ĎƒÎą S k (n) = Îś(k − Îą)x + O x 2 +ÇŤ .

u´ ¤ ½n2.6.1 1 ĂœŠy². ½n2.6.2 d(n)´Dirichlet Ă˜êŸê, KĂŠ?¿¢êx ≼ 19?¿‰½ ĂŞk ≼ 2, ¡Â‚kĂŹCúª X

n≤x

1 d S k (n) = Îś(k)x + O x 2 +ÇŤ .

y²: 3½n2.6.1ÂĽ Îą = 0, ¡Â‚ĂŠN´Ă’ÂŒÂą Ă‘½n2.6.2 (Ă˜. 3½n2.6.2ÂĽ k = 2, 3, ÂŒÂą Ă‘eÂĄ Ă­Ă˜: Ă­Ă˜2.6.1 ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, Kk X

n≤x

X

n≤x

1 π2 d S 2 (n) = x + O x 2 +Ǎ , 6 1 π4 d S 3 (n) = x + O x 2 +Ǎ 90

Ù¼d(n)´Dirichlet Ă˜êŸê

62

1nÙ ð Ø ª

1nÙ ð Ø ª

3 ¡üÙ¥· Ì 0 |^ ½)Û {5ïÄêؼê þ ¯K§ éu õê¯K ó§· Ø==Û u Ñêؼê þ O§ ´Ï" °( 4í'X½O úª§½Ù§ â5 §ù Ùp· Ì ÏL êؼê ð ½Ø ª'X5`²ïÄù 5 Ä {. 3.1

S

½Â

é?¿ ê S

½ÂXe

3.1.1 n, {P (n)} : P (1) = 12, P (2) = 1342, P (3) = 135642, P (4) = 13578642, P (5) = 13579108642, · · · , P (n) = 135 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42, · · · · · · . [1] 20 , F.Smarandache : ? : ! , . , {P (n)} , n ≤ 9 F.Smarandache . [1] 20, , P (n) . 3.1.1 ,

'u©z 1 ¯K ÇïÆ)û¯K 3 S ¥ ´Ä 3 g ê ¤ Ñ ß ´ 3 S ¥Ø 3 g ê éù ¯K ïÄ´ ©k¿Â § ± Ï· uy S #5 ù !¥ · ò?Ø S 5 ¿`² ß ´ ( ù ÒÜ© )û Ö ¥ ¯K ? Ú · Ǒ ´ ' u # ©)5 ½n 3 S ¥Ø 3 g ê n

n

z }| { z }| { 1 P (n) = (11 · 102n − 13 · 10n + 2) =11 · · · 1 ×1 22 · · · 2, 81

n ≤ 9.

y²: é?¿ ên, · k

P (n) = 102n−1 + 3 × 102n−2 + · · · + (2n − 1) × 10n

+2n × 10n−1 + (2n − 2) × 10n−2 + · · · + 4 × 10 + 2

= [102n−1 + 3 × 102n−2 + · · · + (2n − 1) × 10n ]

[+2n × 10n−1 + (2n − 2) × 10n−2 + · · · + 4 × 10 + 2]

≡ S1 + S2 .

y3· 5©OO (3-1)ª¥ S 9S . 5¿ 1

(3-1)

2

9S1 = 10S1 − S1 = 102n + 3 × 102n−1 + · · · + (2n − 1) × 10n+1 −102n−1 − 3 × 102n−2 − · · · − (2n − 1) × 10n

9

= 102n + 2 × 102n−1 + 2 × 102n−2 + · · · + 2 × 10n+1 − (2n − 1) × 10n 10n−1 − 1 = 102n + 2 × 10n+1 × − (2n − 1) × 10n 9 9S2 = 10S2 − S2 = 2n × 10n + (2n − 2) × 10n−1 + · · · + 4 × 102 + 2 × 10 63

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

−2n Ă— 10n−1 − (2n − 2) Ă— 10n−2 − ¡ ¡ ¡ − 4 Ă— 10 − 2

= 2n Ă— 10n − 2 Ă— 10n−1 − 2 Ă— 10n−2 − ¡ ¡ ¡ − 2 Ă— 10 − 2 10n − 1 . = 2n Ă— 10n − 2 Ă— 9

u´

S1 =

¿…

1 Ă— [11 Ă— 102n − 18n Ă— 10n − 11 Ă— 10n ] 81

(3-2)

1 Ă— [18n Ă— 10n − 2 Ă— 10n + 2]. 81

(3-3)

S2 =

Ăš , nĂœ(3-1), (3-2)9(3-3)ª¡Â‚k P (n) = S1 + S2 =

1 Ă— [11 Ă— 102n − 18n Ă— 10n − 11 Ă— 10n ] 81

1 Ă— [18n Ă— 10n − 2 Ă— 10n + 2] 81 n n z }| { z }| { 1 2n n (11 ¡ 10 − 13 ¡ 10 + 2) =11 ¡ ¡ ¡ 1 Ă—1 22 ¡ ¡ ¡ 2, 81 +

=

n ≤ 9. (3-4)

d(3-4)ª¡Â‚N´wĂ‘ n ≼ 2ž, 2|P (n) ´4†P (n). KdXJn ≼ 2, oP (n)7Ă˜Ç‘ gÂ˜ĂŞ. ¯¢Þ, XJb½P (n)Ç‘Ç‘ gÂ˜ĂŞ, K 3 ĂŞm ≼ 29k ≼ 2 P (n) = m . du2|P (n), Ă?dm7Ǒ˜‡óê. ¤¹ÂŒ¹í Ă‘4|P (n). چ n ≼ 2ž4†P (n)ƒgĂą. 5Âż P (1)Ă˜´ gÂ˜ĂŞ, u´P (n)Ă˜ Ç‘ g˜êʤk1 ≤ n ≤ 9Þ¤å. Ăš Ă’ ¤ ½n3.1.1 y². k

‡'ÊÛS

3.2

Smarandache

½ Ă‚3.2.1 Ă?Âś Smarandache ‡'ĂŠĂ›S {b }½Ă‚Xe: 1, 31, 531, 7531, 97531, 1197531, 131197531, 15131197531, 1715131197531, ¡ ¡ ¡ . 3Šz[16] ÂŻK3ÂĽ, Mihaly Bencze ÇÚLucian Tutescu ÇïÆ¡Â‚ĂŻ ÄڇS ÂŽâ5Â&#x;. !ÂĽĂŒÂ‡?Ă˜Smarandache‡'ĂŠĂ›S ÂŽâ5Â&#x;, ¿‰ÑA‡ƒ' 4íúª9Ă™Ă?‘ °(LÂˆÂŞ. =Ă’´, ¡Â‚òy²eÂĄ ( Ă˜: ½n3.2.1 n ≼ 2Ç‘?Âż ĂŞÂ…áv(2n−3)kk ê, KSmarandache‡ 'ĂŠĂ›S {b }k4íúª n

n

bn = bn−1 + (2n − 1) Ă— 10

Ù¼b = 1. y²: (êÆ8B{) (i) en = 2, 3, w,½n3.2.1 ¤å. 1

64

10−10k 18

+kĂ—(n−1)

,

1nÙ ð Ø ª (ii)

b n = m ½n3.2.1 ¤á. =±e4íúª bm = bm−1 + (2m − 1) × 10

éuSmarandache 'éÛS {b }¤á. é'b Úb ØÓ, · b k · le¡ü ¡5w: a) e2m − 1Ekk ê, K b k[ 'b Úb ØÓ, áǑ íÑ

10−10k 18

n

m

m+1

m−1

m−1

10−10k 18

m

10−10k 18

+k×(m−1)

ê. en = m+1, + k × (m − 1) + k] ê. é

+k×(m−1)

m

10−10k bm+1 − bm = 10 18 +k×(m−1)+k . 2m + 1

=,

bm+1 = bm + (2m + 1) × 10

e

=m =

+k×m

.

Ekk + 1 ê, K b k[ + k × (m − 1) + k + 1] ê. k êÚ(2m − 1)kk + 1 ê, ù ¬kXe ¹

2m − 1 b) (2m − 3) k

£Á

10−10k 18

m

10−10k 18

2m − 3 = 10k − 1, 2m − 1 = 10k + 1.

10k 2

+ 1.

¤±· k

10 − 10k + k × (m − 1) + (k + 1) = 18 =

é'b Úb ØÓ, íÑ m+1

10 − 10k 10k +k× + (k + 1) 18 2 10 − 10k+1 + (k + 1) × m 18

m

10−10k 10−10k+1 bm+1 − bm = 10 18 +k×(m−1)+(k+1) = 10 18 +(k+1)×m . 2m + 1

=

bm+1 = bm + (2m + 1) × 10

10−10k+1 +(k+1)×m 18

.

nÜ(i) Ú(ii) é?¿ ên½n3.2.1 ¤á. u´ ¤ ½n3.2.1 y². ½ n3.2.2 (2n − 3)kk ê, KSmarandache 'éÛS {b }¥ 1b k + k × (n − 1) ê. y ²: |^½n3.2.1 (Ø¿5¿ b Úb ØÓ, · áǑ ½ n3.2.2 (Ø. Ún3.2.1 k, m, nǑ ê ÷vm ≤ n, Kk n

n−1

10−10k 18

n

Sk(m,n) =

n−1

(2m − 1) × 10k(m−1) 10km [1 − 10k(n−m) ] (2n − 1) × 10kn + 2 × + . 1 − 10k (1 − 10k )2 1 − 10k 65

Smarandache

y²: dS

k(m,n)

¯KïÄ

½Â· k

Sk(m,n)

=

n X

(2i − 1) × 10k(i−1)

i=m

= (2m − 1) × 10k(m−1) + (2m + 1) × 10km + · · · + (2n − 1) × 10k(n−1)

9

10k Sk(m,n) = (2m − 1) × 10km + (2m + 1) × 10k(m+1) + · · · + (2n − 1) × 10kn .

Ïd

(1 − 10k )Sk(m,n)

= (2m − 1) × 10k(m−1) + 2 × [10km + 10k(m+1) + · · · + 10k(n−1) ] − (2n − 1) × 10kn

= (2m − 1) × 10k(m−1) + 2 × −(2n − 1) × 10kn .

¤±· k Sk(m,n) =

10km [1 − 10k(n−m) ] 1 − 10k

(2m − 1) × 10k(m−1) 10km [1 − 10k(n−m) ] (2n − 1) × 10kn +2× + . k 1 − 10 (1 − 10k )2 1 − 10k

Ún3.2.1 y. ½n3.2.3 S

k(m,n)

=

n X

(2i − 1) × 10k(i−1) ,n ≥ 2,

KkÏ úª

i=m

−(k−1)

bn = 1 + S1(2,6) + 10−5 × S2(7,51) + 10−55 × S3(52,501)

z }| { + · · · + 10−5 · · · 5 × S

k(m,n) .

y²: d½n3.2.1, e(2n − 3)kk ê, -(2n − 3)Ǒkk Ûê ê(ùp k = 1 m = 2, k > 1 m = + 2), K âÚn3.2.1k 10k−1 2

bn = 1 + (2 × 2 − 1) × 10 +(2 × 3 − 1) × 10 +(2 × 4 − 1) × 10 +(2 × 6 − 1) × 10 +(2 × 8 − 1) × 10 66

10−101 +1×(2−1) 18

10−101 18

+1×(3−1)

10−101 18

+1×(4−1)

10−101 18

+1×(6−1)

10−102 18

+2×(8−1)

+ (2 × 5 − 1) × 10 + (2 × 7 − 1) × 10

10−101 18

+1×(5−1)

10−102 18

+2×(7−1)

1nÙ ð Ø ª + · · · + (2 × 51 − 1) × 10 +(2 × 52 − 1) × 10 +(2 × 53 − 1) × 10

10−103 18 10−103 18

+ · · · + (2 × m − 1) × 10 + · · · + (2 × n − 1) × 10 +10

10−102 18

+ · · · + 10 +1 + 10

10−10k 18

+3×(53−1) 10−10k 18

10−10k 18

+k×(m−1)

+k×(n−1)

10−103 18

× Sk(m,n)

× S1(2,6) + 10

10−10k

+2×(51−1)

+3×(52−1)

× S2(7,51) + 10

10−101 18

+ · · · + 10

10−102 18

+ 1 + 10

10−101 18

× S1(2,6)

× S3(52,501)

10−102 18

× S2(7,51) + 10

10−103 18

× S3(52,501)

× Sk(m,n)

18

= 1 + S1(2,6) + 10−5 × S2(7,51) + 10−55 × S3(52,501) −(k−1)

z }| { + · · · + 10−5 · · · 5 × S

k(m,n) .

ù Ò ¤ ½n3.2.3 y² . X Ún3.2.2 S = i × 10 n

2

′ k(n,m)

i=m

′ Sk(m,n)

=

− ′ k(m,n)

,

Ké?¿ êk, m, n· k

m2 × 10−km (2m + 1) × 10−k×(m+1) + 1 − 10−k (1 − 10−k )2 +2 ×

y²: dS

−ki

10−k(m+2) [1 − 10−k(n−m−1) ] (1 − 10−k )3

(2n − 1) × 10−k×(n+1) n2 × 10−k(n+1) − . (1 − 10−k )2 1 − 10−k

½Â· k

′ Sk(m,n)

= m2 × 10−k×m + (m + 1)2 × 10−k×(m+1) + (m + 2)2 × 10−k×(m+2)

9

+ · · · + [m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)]

′ 10−k Sk(m,n)

= m2 × 10−k×(m+1) + (m + 1)2 × 10−k×(m+2)

+ · · · + [m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)+1] .

Ïd ′ (1 − 10−k )Sk(m,n)

67

Smarandache

¯KïÄ

= m2 × 10−k×m + (2m + 1) × 10−k×(m+1) + (2m + 3) × 10−k×(m+2) + · · · + {2[m + (n − m)] − 1} × 10−k[m+(n−m)] −[m + (n − m)]2 × 10−k[m+(n−m)]+1 .

¤±· k

′ Sk(m,n)

= =

n X

−km

m × 10 n2 × 10−k(n+1) i=m+1 + + 1 − 10−k 1 − 10−k 1 − 10−k −k×(m+1) 2 −km m × 10 (2m + 1) × 10 + −k 1 − 10 (1 − 10−k )2 +2 ×

10−k(m+2) [1 − 10−k(n−m−1) ] (1 − 10−k )3

−

Ún3.2.2 y. Ún3.2.3 S

(2n − 1) × 10−k×(n+1) n2 × 10−k(n+1) − . (1 − 10−k )2 1 − 10−k

′′ k(n,m)

=

n X

i=m ′′ Sk(m,n) =

y²: dS

i × 10−ki ,

Ké?¿ êk, m, n· k

m2 × 10−km 10−k(m+1) [1 − 10−k(n−m) ] n × 10−k(n+1) + − . 1 − 10−k (1 − 10−k )2 (1 − 10−k )

′′ k(m,n)

½Â· k

′′ Sk(m,n)

= m × 10−km + (m + 1) × 10−k(m+1)

+ · · · + [m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)]

9 ′′ 10−k Sk(m,n)

= m × 10−k(m+1) + (m + 1) × 10−k(m+2)

+ · · · + [m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)+1] .

Ïd ′′ (1 − 10−k )Sk(m,n)

¤±· k ′′ Sk(m,n) =

68

(2i − 1) × 10−k×i

2

= m × 10−km + 10−k(m+1) + · · · + 10−k[m+(n−m)] −[m + (n − m)] × 10−k[m+(n−m)+1] .

m × 10−km 10−k(m+1) [1 − 10−k(n−m) ] n × 10−k(n+1) + × − . 1 − 10−k (1 − 10−k )2 (1 − 10−k )

1nÙ ð Ø ª Ún3.2.3 y. ½n3.2.4 -S L«Smarandache 'éÛS {b }¥ 50 Ú,Kk 50

S50 =

n

11 × 45 × 106 − 201 × 50 −81 × 106 + 970 + 9 92 6 95 −4 × 10 + 4 × 100 99 × 10 − 13 × 44 × 107 + + 93 99 95 × 1095 + 73 × 109 −4 × 1095 + 4 × 1011 + + . 992 993

y²: |^½n3.2.1 S50 = b1 + b2 + b3 + · · · + b49 + b50 = 50 + 49 × (2 × 2 − 1) × 10 +48 × (2 × 3 − 1) × 10 +47 × (2 × 4 − 1) × 10 +46 × (2 × 5 − 1) × 10 +45 × (2 × 6 − 1) × 10 +44 × (2 × 7 − 1) × 10 +43 × (2 × 8 − 1) × 10

10−101 18

10−101 18

+1×(3−1)

10−101

+1×(4−1)

18 10−101

+1×(5−1)

18 10−101

+1×(6−1)

18 10−102

+2×(7−1)

18 10−102

+2×(8−1)

18

+ · · · + 3 × (2 × 48 − 1) × 10 +2 × (2 × 49 − 1) × 10 +1 × (2 × 50 − 1) × 10

+1×(2−1)

10−102 18

+2×(48−1)

10−102 18

+2×(49−1)

10−102 18

+2×(50−1)

= 50 × [2 × (51 − 50) − 1] × 10

10−101 +1×(50−50) 18

+49 × [2 × (51 − 49) − 1] × 10 +48 × [2 × (51 − 48) − 1] × 10 +47 × [2 × (50 − 47) − 1] × 10

10−101 +1×(50−49) 18 10−101 +1×(50−48) 18 10−101 +1×(50−47) 18

+ · · · + 45 × [2 × (51 − 45) − 1] × 10 +44 × [2 × (50 − 44) − 1] × 10

10−102 18

+ · · · + 2 × [2 × (51 − 2) − 1] × 10 +1 × [2 × (51 − 1) − 1] × 10 = 101 × [50 × 10

10−101 18

+ · · · + 45 × 10 +44 × 10

10−102 18

10−102 18

+1×50−1×50

10−101 18

10−101 18

+1×(51−45)

+2×(50−44)

10−102 18

+2×(50−2)

+2×(50−1)

+ 49 × 10

10−101 +1×50−1×49 18

+1×50−1×45

+2×50−2×44

69

Smarandache + · · · + 2 × 10 +1 × 10

10−102 18

10−102 +2×50−2×2 18

+2×50−2×1

−2 × [502 × 10 +492 × 10

10−101 18

10−101 18

10−102 18

+ · · · + 22 × 10

]

+1×50−1×50

+1×50−1×49

+ · · · + 452 × 10

+442 × 10

¯KïÄ

10−101 18

+1×50−1×45

+2×50−2×44

10−102 +2×50−2×2 18

10−102

+12 × 10 18 +2×50−2×1] 50 X 10−101 i × 10 18 +1×50−1×i = 101 × i=45 44 X

+101 × −2 × −2 ×

i=1

50 X

i=45 44 X i=1

= 101 × 10

i × 10

10−101 18

i2 × 10

i2 × 10

50

×

−2 × 1050 ×

10−102 18

50 X

i=45 50 X

i=45

10−102 18

+2×50−2×i

+1×50−1×i

+2×50−2×i

i × 10

−i

+ 101 × 10

95

i2 × 10−i − 2 × 1095 ×

¤±§|^Ún3.2.2ÚÚn3.2.3áǑ ±íÑ

i=1

44 X i=1

i × 10−2×i

i2 × 10−2×i .

11 × 45 × 106 − 201 × 50 −81 × 106 + 970 + 9 92 6 95 −4 × 10 + 4 × 100 99 × 10 − 13 × 44 × 107 + + 93 99 95 9 95 −4 × 10 + 4 × 1011 95 × 10 + 73 × 10 + + . 2 99 993

S50 =

u´ ¤ ½n3.2.4 y². 3.3

×

44 X

Smarandache LCM

'~S

-(x , x , ..., x ) Ú[x , x , ..., x ]©OL«?¿ êx , x , ..., x úÏ êÚ ú ê. 1

70

2

t

1

2

t

1

2

t

1nĂ™ Ă° Â†Ă˜ ÂŞ ½Ă‚3.3.1 r > 1Ǒ˜‡ ĂŞ, ĂŠ?Âż ĂŞn, T (r, n) =

[n, n + 1, ..., n + r − 1] , [1, 2, ...r]

KòS SLR(r) = {T (r, n)} ÂĄÇ‘rgSmarandache LCM '~S . 3Šz[17]ÂĽ, WjuĂŻĂ„ SLR(r) 5Â&#x;, ¿‰Ñ SLR(3)ĂšSLR(4) ߇ 8 úª. !?Ă˜ SLR(5) OÂŽÂŻK, Ă„kk: Ăšn3.3.1 ĂŠ?Âż ĂŞaĂšb, ¡Â‚k(a, b)[a, b] = ab. y²: (ĂŤ Šz[4]). Ăšn3.3.2 ĂŠ?Âż ĂŞsávs < t, ¡Â‚k ∞

(x1 , x2 , ..., xt ) = ((x1 , ..., xs ), (xs+1 , ..., xt ))

9

[x1 , x2 , ..., xt ] = [[x1 , ..., xs ], [xs+1 , ..., xt ]].

y²: (ĂŤ Šz[4]). Ăšn3.3.3 ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â‚k T (4, n) =

(

1 24 n(n 1 72 n(n

+ 1)(n + 2)(n + 3), + 1)(n + 2)(n + 3),

XJ n ≥ 1, 2 mod 3; XJ n ≥ 0 mod 3.

y²: (ĂŤ Šz[17]). ½n3.3.1 ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â‚kOÂŽúª:  n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ      n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ    n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ T (5, n) =  n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ     n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ    n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4), XJ 1 1440 1 120 1 720 1 360 1 480 1 240

n ≥ 0, n ≥ 1, n ≥ 2, n ≥ 3, n≥4 n ≥ 10

8 mod 12; 7 mod 12; 6 mod 12; 5, 9, 11 mod 12; mod 12; mod 12.

y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, d?Âż ĂŞ  ú ĂŞ5Â&#x;ÂŒ [n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4] = [[n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4] [n, n + 1, n + 2, n + 3](n + 4) = . ([n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4)

71

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

5Âż [1, 2, 3, 4, 5] = 60, [1, 2, 3, 4] = 12 Ăš  4, XJ      1, XJ    6, XJ ([n, n + 1, n + 2, n + 3], n + 4) =  2, XJ     12, XJ    3, XJ 2(ĂœĂšn3.3.3N´íĂ‘½n3.3.1 (Ă˜. u´Ă’ ¤ ½n3.3.1 y². 3.4

n ≥ 0, 4 mod 12; n ≥ 1, 3, 5, 7, 9 mod 12; n ≥ 2 mod 12; n ≥ 6, 10 mod 12; n ≥ 8 mod 12; n ≥ 11 mod 12,

Ă?f ĂˆÂ†Ă˝Ă?f ĂˆS

nÇ‘ ĂŞ, p (n)LÂŤn ¤k Ă?f Ăˆ, =Ă’´, p (n) = Q d. ~X, d

d

d|n

pd (1) = 1, pd (2) = 2, pd (3) = 3, pd (4) = 8, pd (5) = 5, pd (6) = 36, ¡ ¡ ¡ , pd (p) = p, Q d. ¡ ¡ ¡ . qd (n) n , qd (n) = , qd (1) = 1,

LÂŤ ¤k Ă˝Ă?f Ăˆ K

~X q (2) = 1, p (3) = 1, p (4) = 2, p (5) = 1, p (6) = 6, ¡ ¡ ¡ . 3Šz[1] 125‡ †26‡¯KÂĽ, F.Smarandach ÇïÆ¡Â‚ĂŻĂ„S {p (n)}†{q (n)} 5Â&#x;. !ÂĽ, ò|^ Â?{ĂŻĂ„S {p (n)}†{q (n)} 5Â&#x;, Âży² Makowski †Schinzel Ă&#x;ÂŽ3S {p (n)}†{q (n)}¼¤å. Ăšn3.4.1 ĂŠ?Âż ĂŞn¡Â‚k𽪠p (n) = n ¿… q (n) = n , Ù¼d(n) = P 1´Ă˜êŸê. y²: dp (n) ½Ă‚ÂŒ d

d

d

d|n,d<n

d

d

d

d

d

d

d(n) 2

d

d

d

d(n) 2 −1

d

d|n

d

pd (n) =

Y

d=

d|n

Ă?d

p2d (n) =

Šâ(3-5)ÂŞÂŒ¹åÇ‘ 9 qd (n) =

d|n

d

.

n = nd(n) .

(3-5)

d|n

pd (n) = n

Y

d|n,d<n

72

Y

Yn

d=

d(n) 2

Q

d|n

n

d =n

d(n) 2 −1

.

1nÙ ð Ø ª Ún3.4.1 y. Ú n3.4.2 é?¿ ên, -n = p p · · · p ÷vα ≥ 2(i = 1, 2, · · · , s), p (j = 1, 2, · · · , t) ´pØ Ó ê p < p < · · · < p , Kk O 6 α1 α2 1 2

j

αs s

1

σ(φ(n)) ≥

π2

i

2

s

n.

y²: âEuler¼ê 5 , · k α2 αs 1 φ(n) = φ(pα 1 )φ(p2 ) · · · φ(ps )

1 −1 α2 −1 p2 · · · psαs −1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (ps − 1). = pα 1

(p − 1)(p − 1) · · · (p − 1) = p p 1, 2, · · · , s), r ≥ 1(j = 1, 2, · · · , t)9q < q d(3-6)ª ±íÑ 1

2

¿ β ≥ 0(i = ´pØ Ó ê. u´,

β1 β2 1 2

s

1

j

(3-6)

· · · pβs s q1r1 q2r2 · · · qtrt , < · · · < qt

2

i

2 +β1 −1 · · · psαs +βs −1 q1r1 q2r2 · · · qtrt ) σ(φ(n)) = σ(p1α1 +β1 −1 pα 2 rj +1 s t i +βi Y −1 pα − 1 Y qj i = pi − 1 qj − 1

i=1

= n

j=1

s Y

1−

i=1

= n

s Y

1−

i=1

≥ n ≥ n ≥ n

5¿ Q p

1 1− p12

=

∞ P

n=1

s Y

1−

i=1

s Y i=1

Y p

1 n2

1 i +βi pα i

1 i +βi pα i

1 i +βi pα i

1 1− 2 pi 1 1− 2 p

= ζ(2) =

σ(φ(n)) ≥ n

! !

t 1− Y

1 r +1 qj j 1 qj

j=1

1−

t Y

1 1 1+ + · · · + rj qj qj

j=1

!

.

π2 6 ,

Y p

!

¤±k

1−

Ún3.4.2 y. ½n3.4.1 é?¿ ênkؽª

σ(φ(pd (n))) ≥

1 p2

=

6 n. π2

1 pd (n), 2 73

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥φ(k)´Euler¼ê, σ(k)´ØêÚ¼ê. y²: éu½n3.4.1· ò©nǑ ê Üêü« ¹?1?Ø. nǑ ê , Kd(n) = 2. ù dÚn3.4.1 d(n) 2

pd (n) = n

¤±, dd9φ(n) = n − 1áǑ ± σ(φ(pd (n))) = σ(n − 1) =

X

d|n−1

= n.

n 1 = pd (n). 2 2

≥n−1 ≥

nǑÜê , Kd(n) ≥ 3. XJd(n) = 3, on = p (p Ǒ ê). u´ 2

pd (n) = n

d(n) 2

= pd(n) = p3 .

(3-7)

|^Ún3.4.29(3-7)ª, ±íÑØ ª σ(φ(pd (n))) = σ(φ(p3 )) ≥

6 3 1 p ≥ pd (n). π2 2

XJd(n) = 4, p (n) = n = p p · · · p ÷vp kα ≥ 2(i = 1, 2, · · · , s). q âÚn3.4.2 Ø ª d

d(n) 2

α1 α2 1 2

αs s

1

< p2 < · · · < ps ,

i

σ(φ(pd (n))) ≥

6 1 pd (n) ≥ pd (n). π2 2

ù · Ò ¤ ½n3.4.1 y². ½n3.4.2 é?¿ ên, Kk

σ(φ(qd (n))) ≥

1 qd (n). 2

y²: ùp· Eò©üÚ©5?Ø. nǑ ê k qd (n) = n

dd ±íÑ

d(n) 2 −1

σ(φ(qd (n))) = 1 ≥

= 1. 1 qd (n). 2

nǑÜê , Kd(n) ≥ 3. ¤±· ò?رeo« ¹: (a) d(n) = 3 , ¤±n = p (pǑ ê). u´ 2

qd (n) = n

d(n) 2 −1

= pd(n)−2 = p

|^þª9½n3.4.1 y², ± σ(φ(qd (n))) ≥ 74

1 qd (n). 2

o·

1nĂ™ Ă° Â†Ă˜ ÂŞ d(n) = 4ž, dĂšn3.4.1ÂŒ

(b)

qd (n) = n

¿…n = p ½Ün = p p n3.4.2¡Â‚k 3

1 2

(p, p1

d(n) 2 −1

=n

9p ĂžÇ‘ÂƒĂŞÂ…p 2

1

(3-8)

< p2 ).

XJn = p , d(3-8)9Ăš 3

Ďƒ(φ(qd (n))) = Ďƒ(φ(n)) = Ďƒ(φ(p3 )) 1 3 1 p = qd (n). ≼ 2 2

(3-9)

XJn = p p Â…2 = p < p , Kp − 1´Â˜Â‡óê. p − 1 = p p q ¡ ¡ ¡ q ¿… ávq < q < ¡ ¡ ¡ < q ´pĂ˜ÂƒĂ“ ÂƒĂŞ, r ≼ 1(j = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , t), β ≼ 1, β ≼ 0. ŠâĂšn3.4.2 y²9(3-8)ÂŞ, ÂŒ¹íĂ‘ 1 2

1

1

2

2

2

2

t

β1 β2 r1 1 2 1

j

Ďƒ(φ(qd (n))) = Ďƒ(φ(n)) 2 Y = n 1−

1

!

1

t Y

i p1+β i j=1 1 1 ≼ n 1− 2 1− p2 p1 1 1 ≼ n 1− 1− 4 3 1 = qd (n). 2

i=1

rt t

1 1 + ¡ ¡ ¡ + rj 1+ qj qj

2

!

(3-10)

XJn = p p Â…2 < p < p , Kp − 1†p − 1Ă‘´óê. (p − 1)(p − 1) = p p q ¡ ¡ ¡ q ¿…ávq < q < ¡ ¡ ¡ < q ´pĂ˜ÂƒĂ“ ÂƒĂŞ, r ≼ 1(j = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , t), β , β ≼ 0. ŠâĂšn3.4.2 y²9(3-8)ÂŞ, Ç‘ÂŒÂą β1 β2 r1 1 2 1

1 2 rt t 1

1

2

1

1

2

2

1

t

2

j

2

Ďƒ(φ(qd (n))) = Ďƒ(φ(n)) 2 Y = n 1− ≼ ≼ ≼ ≼

1

!

t Y

1 1 1+ + ¡ ¡ ¡ + rj 1+βi qj qj pi i=1 j=1 2 Y 1 1 1 n 1− 1+ + 2 pi 2 2 i=1 2 Y 1 1 1 n 1− 1+ 1+ pi 3 5 i=1 2 Y 1 1 n 1− 1− pi pi i=1 Y 1 n 1− 2 p

!

p

75

Smarandache ≼ n

ÂŻKĂŻĂ„

6 π2

1 qd (n). 2

≼

(3-11)

nĂœ(3-9)¨(3-11)ÂŞ, ÂŒ¹íĂ‘ XJ d(n) = 4. d(n) = 5ž, Kn = p ( p Ç‘ÂƒĂŞ). |^Ăšn3.4.19Ăšn3.4.2ĂŠN´ Ďƒ(φ(qd (n))) ≼

Ă­Ă‘

(c)

1 qd (n) 2 4

Ďƒ(φ(qd (n))) = Ďƒ(φ(p6 )) ≼

(d)

d(n) ≼ 6ž, KdĂšn3.4.19Ăšn3.4.2k Ďƒ(φ(qd (n))) ≼

Ăš Ă’ ¤ ½n3.4.2 y². 3.5

6 6 1 p = qd (n). π2 2

1 qd (n). 2

1 ‡¯K

Smarandache 57

ĂŠ?Âż ĂŞn, r Ç‘ ĂŞÂ…áv: 8Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }ÂŒ Š Ç‘na Â…z˜aÂĽĂžĂ˜šk ƒx, y, z x = z ¤å, r Ç‘ ĂŞÂ…áv: 8 Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r } Š Ç‘naÂ…z˜aÂĽĂžĂ˜šk ƒx, y, z x + y = z¤å. 3Šz[1]ÂĽ, Schurïơ‚ Ă?ĂŠÂ ÂŒ r 9r . ĂŠĂš ÂŻK ĂŻĂ„´k , §ÂŒÂąÂ?Ă?¡Â‚5ĂŻĂ„Â˜ ­Â‡ Š ÂŻK. !ÂĽ, ¡Â‚|^ Â?{ĂŻĂ„

Schur¤ïÆ ÂŻK¿‰Ñr 9r ߇°( e.. ½n3.5.1 Ê¿ŠÂŒ ĂŞn, r Ç‘ ĂŞÂ…áv: 8Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }ÂŒ Š Ç‘n aÂ…z˜aÂĽĂžĂ˜šk ƒx, y, z xy = z¤å. KĂŠ?¿‰½ ĂŞÇŤ, ¡Â‚k 1

1

y

2

2

1

1

2

2

1

1

r1 ≼ n2(1âˆ’Îľ)(n−1) .

y²¾ r

1

76

= n2(1âˆ’Îľ)(n−1)

Â…UXeÂ?{ò8Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , n

2(1âˆ’Îľ)(n−1)

}

Š

1nÙ ð Ø ª Ǒn a: 11 a: 1, 12 a: 13 a:

n(1−ε)(n−1) ,

2,

n + 1,

3,

(n(1−ε)(n−1) −1)

k,

(n(1−ε)(n−1) −1)

(n(1−ε)(n−1) −1)

.. .

1k a:

.. .

n(1−ε)(n−1) + 1 ,

n + 2,

n(n−1)···3

n(n−1)···k

··· ,

n2(1−ε)(n−1) .

··· ,

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

(n(1−ε)(n−1)−1)

.

+ 1,

(n(1−ε)(n−1) −1)

+ 2, · · · ,

+ 1,

(n(1−ε)(n−1) −1)

+ 2, · · · ,

(n(1−ε)(n−1) −1)

n(n−1)···3

n(n−1)···k

n(n−1)···3

n(n−1)···4

n(n−1)···(k+1)

1n a: n, + 1, + 2, · · · , n −1 . Ù¥[y]L«y êÜ©. w,, 1ka¥Ø ¹ êx, y, z xy = z¤á(k = 1, 3, 4, · · · , n). ¯¢þ, é?¿ êx, y, z ∈ 1k a, k = 3, 4, · · · , n, · k n

n

(1−ε)(n−1)

"

! " # # n(1−ε)(n−1) − 1 n(1−ε)(n−1) − 1 xy ≥ k × +1 > ≥ z. n(n − 1) · · · k n(n − 1) · · · (k + 1) (1−ε)(n−1) −1) (n , n→∞ , , n(n−1)···3

, ¡ ªCu" Kéu¿© ên, 12a¥ ¹k ê2. ù Ò ¤ ½n3.5.1 y². |^ØÓ © {· ±ò½n3.5.1 (JU?Xeµ ½ n3.5.2 é¿© ên, r Ǒ ê ÷v: 8Ü{1, 2, · · · , r } © Ǒn a z a¥þعk x, y, z x = z¤á. Ké?¿ êm m ≤ n + 1· k O 1

1

y

r1 ≥ nm+1 .

y²: r 11 a: 12 a: 13 a:

1

= nm+1

UXe {ò8Ü{1, 2, · · · , r }© Ǒna: 1

1, 2, 3,

n + 1, nm + 1, 2nm + 1,

n + 2, nm + 2, 2nm + 2,

··· , ··· , ··· ,

nm . 2nm . 3nm .

1k a:

k,

(k − 1)nm + 1,

(k − 1)nm + 2,

··· ,

knm .

1n a:

n,

(n − 1)nm + 1,

(n − 1)nm + 2,

··· ,

nm+1 .

.. .

.. .

77

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

w,, 1kaÂĽĂ˜Â?š ĂŞx, y, z x = z¤å(k = 2, 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n). ¯¢Þ, ĂŠ? Âż ĂŞx, y, z ∈ 1k a, k = 2, 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n, ¡Â‚k y

k

xy ≼ ((k − 1)nm + 1) > k(k − 1)k−1 nm(k−1) ≼ knm ≼ z,

½

m

xy ≼ k (k−1)n

+1

> knm ≼ z.

,˜Â?ÂĄ, n ≼ m − 1ž, ¡Â‚k(n + 2) > n 9(n + 1) > n . u´, n ≼ m − 1ž11aÂĽÇ‘Ă˜Â?š ĂŞx, y, z x = z¤å. Ăš Ă’ ¤ ½n3.5.2 y². ½n3.5.3 Ê¿ŠÂŒ ĂŞn, r Ç‘ ĂŞÂ…áv: 8Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r } Š Ç‘naÂ…z˜aÂĽĂžĂ˜šk ƒx, y, z x + y = z¤å. K¡Â‚k O (n+1)

m

(n+2)

m

y

2

2

r2 ≼ 2n+1 .

y²: r = 2 Â…UXeÂ?{ò8Ăœ{1, 2, ¡ ¡ ¡ , r }Š Ç‘na: P 11 a: 1, 2, 2 12 a: 2 + 1, 2 , 2 + 1, 2 + 2, 2 . 13 a: 2 + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , 2 +2 14 a: 2 + 2 + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , 2 +2 n+1

2

2

n

2 3

2

i

i=0 n+1

2

2

2

3

3

3

2

4

4

4

3

+ 2. + 22 + 2.

.. .

1k a: .. .

2k−1 + 2k−2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1,

2k ,

2k + 1,

k P

¡¡¡ ,

2i

i=1

1n a: 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1, 2 , 2 + 1, ¡ ¡ ¡ , P 2 w,, 1kaÂĽĂ˜Â?š ĂŞx, y, z x + y = z¤å(k = 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n). ¯¢Þ, ĂŠ? Âż ĂŞx, y, z ∈ 1k a, k = 3, 4, ¡ ¡ ¡ , n, ¡Â‚k n−1

n−2

n

n

n

i

i=1

(2k−1 + 2k−2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1) + 2k > 2k + 2k−1 + ¡ ¡ ¡ + 22 + 2.

,˜Â?ÂĄ, n ≼ 3ž, K(2 + 1) + (2 + 2) < 2 91 + 2 < 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + 2 + 1. u´, n ≼ 3ž11aĂš12aÂĽÇ‘Ă˜Â?š ĂŞx, y, z x + y = z¤å. Ăš ¡Â‚Ă’ ¤ ½n3.5.3 y². 2

3.6

2

n+1

Ÿê 5Â&#x;

Smarandache

ĂŠ?Âż ĂŞn, Smarandache ĂŞS(n)½Ă‚Xe: S(n) = min{m : n | m!}. 78

n

n−1

1nĂ™ Ă° Â†Ă˜ ÂŞ n = p

Îą1 Îą2 1 p2

¡ ¡ ¡ pkιk

Ç‘n IOĂ?fŠ)ÂŞ, KdS(n)½Ă‚9Ă™5Â&#x;N´íĂ‘ i S(n) = max {S(pÎą i )}.

1≤i≤k

'uڇŸê9Ă™§Smarandachea. Ÿê 5Â&#x;, ÂŒĂŤ Šz[18]¨[21]. -p(n)LÂŤn  ÂŒÂƒĂ?f, w,kS(n) ≼ p(n). ¯¢ÞÊA ¤k nkS(n) = p(n), 3 Š z[22]ÂĽErd¨ os‰ Ă‘ Ăš ‡ ( Ă˜. Ăš L ² ^N (x)L ÂŤ á vS(n) 6= p(n) n ≤ x ‡ê, oN (x)Ç‘o(x). Ă˜ n = 4, n = p , ĂŠN´ Ă‘S(p) = p and S(n) < n. ¤¹S(n)Úπ(x)ĂŠXƒ ;—, = [x] X S(n)

Ď€(x) = −1 +

n=2

n

,

Ù¼π(x)LÂŤĂ˜Â‡Lx ÂƒĂŞ ‡ê, [x]LÂŤ u ux  ÂŒ ĂŞ. ĂŠ?¿ß‡ ĂŞmĂšn, \U OS(mn) = S(m) + S(n) (†ÄíºÚ‡¯K' JÂŁ ‰. ĂŠ, mĂšnڇ ª´ ( , ĂŠ, mĂšnT ÂŞĂ’´Â†Ă˜ . 'uڇ¯K, 3Šz[23]ÂĽJ.Sandory² ˜‡š~­Â‡ (Ă˜. =ĂŠ?Âż ĂŞnĂš?Âż ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m kĂ˜ ÂŞ 1

2

S

k

k Y i=1

mi

!

≤

k X

S(mi ).

i=1

!?Â˜Ăš?Ă˜ Smarandache ŸêaquŠz[23] 5Â&#x;§ ÂąeĂź ‡(Ă˜: ½n3.6.1 ĂŠ?Âż ĂŞk ≼ 2Ăš?Âż ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m kĂ˜ ÂŞ 1

S

k Y i=1

mi

!

≤

k Y

2

k

S(mi ).

i=1

y²: Ă„k¡Â‚y²½n3.6.1 ˜‡AĂ?Âœ/. =ĂŠ?¿ß‡ ĂŞmĂšnk S(m)S(n) ≼ S(mn).

XJm = 1 ( ½n = 1), ow,kS(m)S(n) ≼ S(mn). y3b½m ≼ 2 Â…n ≼ 2 S(m) ≼ 2, S(n) ≼ 2, mn ≼ m + n ĂšS(m)S(n) ≼ S(m) + S(n)¤å. 5Âż m|S(m)!, n|S(n)!, l ÂŒ mn|S(m)!S(n)!|((S(m) + S(n))!.

qĂ?Ç‘S(m)S(n) ≼ S(m) + S(n), ¤¹k (S(m) + S(n))!|(S(m)S(n))!. 79

ÂŻKĂŻĂ„

Smarandache

lS(n) ½Ă‚ĂĄÇ‘ÂŒ

S(mn) ≤ S(m)S(n).

ŠâÞª9êÆ8B{ÂŒ ½n3.6.1 (Ă˜. ½n3.6.2 ĂŠ?Âż ĂŞk ≼ 2ÂŒ¹Ê  |ĂŞm , m , ¡ ¡ ¡ , m 1

k Y

S

mi

i=1

!

k X

=

2

k

S(mi ).

i=1

y²: ĂŠ?Âż ĂŞnĂšÂƒĂŞp, XJp kn!, oÂŒ Îą

Îą=

∞ X n pj

j=1

n ´ i 6= jžn i

6= nj

i

ĂŞ, Ù¼1 ≤ i, j ≤ k, k ≼ 2´?Âż ĂŞ. Ă?Ç‘

∞ n X p i

pr

r=1

Ǒ OŽ�B, Œ-u

i

=

= pni −1 + pni −2 + ¡ ¡ ¡ + 1 =

u´k

pni −1 p−1 .

S(pui ) = pni ,



k X

ni

p ∞  X  i=1   pr r=1 

 k k  X pni − 1 X = ui . =   i=1 p − 1 i=1

S p

ĂŠĂœÂŞ(3-12)Ăš(3-13)ĂĄÇ‘ÂŒ k Y i=1

-m 80

pui

!

=

=

k X

k X

pni .

i=1

S(pui ).

i=1

5Âż k  Â‡ÂƒĂŞpĂšn ĂŠN´ Ă‘½n3.6.2 (Ă˜. u´ ¤ ½n3.6.2 y².

i

= pui ,

(3-12)



u1 +u2 +¡¡¡+uk

S

pni − 1 . p−1

i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k.

˜„5`, Ă“ ÂŒ Âąe(Ă˜

¤¹

.

i

(3-13)

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x;

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x;

1737

§Euler y²¾d

X ∞

Îś(s) =

梐

1 ns

s>1

‰½ zeta ŸêΜ(s) → ∞ ( s → 1 ž)§¿|^Þã(Ă˜Ă­Ă‘ʤkÂƒĂŞ m ?ĂŞP p u Ă‘ Â?{y²

ÂĄĂľÂ‡ÂƒĂŞ 35 Euler ½n. 1837 §duĂŻĂ„?ĂŞ n=1

−1

X χ(n) ∞

L(s, χ) =

n=1

ns

Ù¼χ´Â˜Â‡Dirichlet AÆ¿…s > 1, Dirichlet y² 'uÂŽâ?ĂŞpÂƒĂŞ Ă?œ½n. Þã?ĂŞÂĄÇ‘äkXĂŞf (n) Dirichlet ?ê§Ă™ÂĽf (n) ´Â˜Â‡ĂŞĂ˜Ÿê§§Â‚¤Ç‘)Ă›ĂŞĂ˜p ĂŠk^ ó䃘. Ă?dĂŠu ÂĄ?ĂŞ9Dirichlet ?ĂŞ5Â&#x; ĂŻĂ„ĂŠk¿Â. ĂšÂ˜Ă™¼¡Â‚ĂŒÂ‡ 0 ˜ {Ăź ÂĄ?ĂŞ Ă‚Ăą5Â&#x;§Ă?LĂš ÂŻK ?Ă˜ ÂŒ[ )ĂŻĂ„ ÂĄ?ĂŞ5Â&#x; ˜ „Â?{.

'uk gÖê A‡ð ª

4.1

3½Ă‚2.1.1¼¡Â‚Ž²Â‰Ă‘ kgĂ–ĂŞ ½Ă‚§¡Â‚ŠOÂĄb (n), b (n), Ç‘²Â?Ă–ĂŞ, ĂĄÂ?Ă–ĂŞĂšogĂ–ĂŞ. ĂšÂ˜ !¼¡Â‚ĂŒÂ‡´|^)Ă›Â?{ OÂŽ?ĂŞ 2

3

b4 (n)

+∞ X

n=1

1 s, (nbk (n))

Ù¼b (n)´?Âż ĂŞn kgĂ–ĂŞ, s´ávRe(s) ≼ 1 EĂŞ, Âż : ½n4.1.1 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ…ávRe(s) ≼ 1, ¡Â‚kĂ° ÂŞ k

+∞ X

n=1

1 Îś 2 (2s) = , s Îś(4s) (nb2 (n))

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, Pn = l m, Ù¼m´ ²Â?Ă?fĂŞ(=p †mÂ…p db (n) ½Ă‚ÂŒ 2

2

†m).

2

+∞ X

n=1

1 s (nb2 (n))

+∞ X +∞ X

+∞ +∞

X X |¾(m)| |¾(m)| = = (l2 m ¡ m)s l2s m2s l=1 m=1 l=1 m=1 Y 1 Μ 2 (2s) = Μ(2s) 1 + 2s = , p Μ(4s) p

Ù¼¾(n)LÂŤM¨o bius Ÿê.

81

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

u´ ¤ ½n4.1.1 y². ½n4.1.2 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ…ávRe(s) ≼ 1, KkĂ° ÂŞ +∞ X

n=1

1 1 Îś 2 (3s) Y 1 + 3s , s = Îś(6s) p +1 (nb3 (n)) p

Ù¼YLÊ¤k ÂƒĂŞĂ?f Ăˆ. y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â‚ÂŒ¹ò§ Ç‘n = l m r, Ù¼rm´ ²Â?Ă?f ĂŞ. Šâb (n) ½Ă‚, ¡Â‚k p

3

2

3

+∞ X

n=1

1 s (nb3 (n))

=

+∞ X +∞ X +∞ X |Âľ(m)| |Âľ(r)| (l3 m2 r ¡ mr2 )s m=1 r=1 l=1

(m,r)=1

= Îś(3s)

+∞ +∞ X |Âľ(m)| X |Âľ(r)| m3s r3s m=1 r=1 (m,r)=1

+∞ X |Âľ(m)| Y 1 = Îś(3s) 1 + 3s m3s p m=1 p†m

=

Îś 2 (3s) Îś(6s)

+∞ X

m=1

=

p|m

1 p3s

  Y Μ (3s) 1 1 +  Μ(6s) 1 3s p 1 + p3s p Μ 2 (3s) Y 1 1 + 3s . Μ(6s) p +1 2

=

|Âľ(m)| Y 1 m3s 1+

p

u´ ¤ ½n4.1.2 y². ½n4.1.3 ĂŠ?ÂżEĂŞsÂ…ávRe(s) ≼ 1, ¡Â‚k +∞ X

n=1

1 1 1 Îś 2 (4s) Y 1 + 4s 1 + 4s . s = Îś(8s) p +1 p +2 (na4 (n)) p

y²: ĂŠ?Âż ĂŞn, -n = l m r t, Ù¼(m, r) = 1, (mr, t) = 1Â…mrt´

²Â?Ă?fĂŞ. db (n) ½Ă‚, ÂŒÂą 4

4

+∞ X

n=1

82

1 s (nb4 (n))

3 2

1oÙ ¡?ê9Ù5 =

+∞ X +∞ X +∞ X +∞ X |µ(m)| |µ(r)| |µ(t)| l=1 m=1 r=1 t=1 (m,r)=1 (mr,t)=1

= ζ(4s)

+∞ X +∞ X |µ(m)| |µ(r)|

m=1 r=1 (m,r)=1

=

(l4 m3 r2 t · mr2 t3 )s

m4s r4s

+∞ X

t=1 (mr,t)=1

|µ(t)| t4s

+∞ +∞ ζ 2 (4s) X X |µ(m)| |µ(r)| Y 1 ζ(8s) m4s r4s 1 1 + m=1 r=1 p|mr p4s (m,r)=1

2

=

=

=

=

ζ (4s) ζ(8s)

+∞ X +∞ X

m=1 r=1 (m,r)=1

Y 1 1 |µ(m)| |µ(r)| Y 4s 4s m r 1 1 1 + 1 + 4s 4s p|m p|r p p

1 1 + 4s 1 p +1 m=1 4s p†m p|m p Y 1 1 + 4s +∞ p +1 ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1 p Y ζ(8s) m4s 1 1 1 + m=1 p|m 1 + 4s p4s p +1 p|m ζ 2 (4s) Y 1 1 1 + 4s 1 + 4s . ζ(8s) p +1 p +2 +∞ ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1 4s ζ(8s) m 1+

Y

p

u´ ¤ ½n4.1.3 y². 3±þ½n¥©O s = 1, 2, ¿5¿ π2 π4 , ζ(4) = , 6 90 691π 12 ζ(12) = , 638512875 ζ(2) =

· =Ǒ ±eü íØ íØ4.1.1

+∞ X

n=1 +∞ X

n=1 +∞ X

n=1

ζ(6) =

π6 , 945

ζ(16) =

ζ(8) =

π8 , 9450

3617π 16 . 325641566250

1 5 = , na2 (n) 2

1 ζ 2 (3) Y 1 = 1+ 3 , na3 (n) ζ(6) p +1 p

1 7Y 1 1 = 1+ 4 1+ 4 . na4 (n) 6 p +1 p +2 p

83

Smarandache

Ă­Ă˜4.1.2

+∞ X

n=1

ÂŻKĂŻĂ„

1 2

(na2 (n))

=

7 , 6

715 Y 1 1+ 6 , 2 = 691 p +1 (na3 (n)) n=1 p +∞ X +∞ X

n=1

4.2

1

1 2

(na4 (n))

7293 Y 1 1 1+ 8 1+ 8 . 7234 p +1 p +2

=

p

�šEulerŸê �§

ĂŠ?Âż ĂŞn ≼ 1, EulerŸêφ(n)L¤kĂ˜Â‡Ln…†npƒ ĂŞ ‡ ĂŞ. aq , ¡Â‚Ç‘½Ă‚ŸêJ(n)Ç‘ n¤k DirichletAÆ ‡ê. AL¤k ávÂ?§Ď† (n) = nJ(n) ĂŞn 8Ăœ. !ÂĽ, ¡Â‚|^ Â?{ĂŻĂ„Â˜Â‡Â? šÂ?§Ď† (n) = nJ(n) ) #Dirichlet?ĂŞ Ă“{5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡k Ă° ÂŞ. =Ă’´, ¡Â‚y² Âąe(Ă˜: ½n4.2.1 ĂŠ?¿¢ês > , ¡Â‚kĂ° ÂŞ 2

2

1 2

∞ X 1 Îś(2s)Îś(3s) = , s n Îś(6s) n=1

n∈A

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: Ă„k, 5Âż Ÿêφ(n)†J(n)ĂžÇ‘ÂŒ Ÿê, ¿…ʤk ĂŞÎą > 19 ÂƒĂŞp, n = p ž, J(p) = p − 2, φ(p) = p − 1, J(p ) = p (p − 1) 9φ(p ) = p (p − 1). u´, ¡Â‚òŠnÂŤÂœš5?Ă˜Â?§Ď† (n) = nJ(n)) ÂŻK. (a) w,, n = 1´Â?§Ď† (n) = nJ(n) ˜‡). (b) XJn > 1, -n = p p ¡ ¡ ¡ p Ç‘n IOĂ?fŠ)ÂŞÂ…ávÎą ≼ 2(i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ , k), o¡Â‚k Îą

Îą

Îąâˆ’1

Îąâˆ’2

2

Îą

2

2

Îą1 Îą2 1 2

9

Îąs s

i

k −2 1 −2 J(n) = pÎą (pk − 1)2 (p1 − 1)2 ¡ ¡ ¡ pÎą 1 k

2 k −1 1 −1 φ2 (n) = pÎą (p1 − 1)p2Îą2 −1 (p2 − 1) ¡ ¡ ¡ pÎą (pk − 1) . 1 k

3ڍÂœše, nE,´Â?§Ď† (n) = nJ(n) ). (c) XJn = p p ¡ ¡ ¡ p p ¡ ¡ ¡ p , ¿…ávp < p < ¡ ¡ ¡ < p †ι > 1, j = r + 1, r + 2, ¡ ¡ ¡ , k, KŠâÂœš(b)Âą9φ(n)†J(n) ½Ă‚ÂŒÂą φ (n) = nJ(n) Â…= 2

1 2

Îąr+1 r r+1

Îąk k

1

2

φ2 (p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr J(p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr )

84

r

j 2

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x; ½Ü (p1 − 1)2 (p2 − 1)2 ¡ ¡ ¡ (pr − 1)2 = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr (p1 − 2)(p2 − 2) ¡ ¡ ¡ (pr − 2).

w,, p Ă˜U Ă˜(p − 1) (p − 1) ¡ ¡ ¡ (p − 1) . u´3ڍÂœšeÂ?§Ď† (n) = nJ(n) ). nĂœ¹ÞnÂŤÂœ/¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒÂą Â?§Ď† (n) = nJ(n) ¤k) 8Ăœ ´1†n = p p ¡ ¡ ¡ p ( Îą > 1). =Ă’´, 8ĂœA´d¤k ²Â?ê†1|¤. y3¡Â‚Xe½Ă‚ÂŽâŸêa(n): ( 1, XJ n ∈ A, a(n) = 0, Ă™§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k r

2

1

2

2

2

r

2

2

Îą1 Îą2 1 2

Îąs s

i

∞ ∞ X X 1 1 < , s n ns

n=1 n∈A

9 s > 1ž?ê

∞ X 1 ns n=1

Ă‚Ăą. Ă?dĂŠs ≼ 2, ŠâEuler Ăˆúª, ¡Â‚k

∞ X 1 ns n=1

n=1

=

Y

=

Y p2s − ps + 1

a(p2 ) a(p3 ) + 3s + ¡ ¡ ¡ p2s p p Y 1 1 = 1 + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p ! Y 1 = 1 + 2s p (1 − p1s ) p p

=

Y p

=

Y p

=

Y p

=

1+

p2s − ps

p3s + 1 ps (p2s − 1)

p6s − 1 ps (p2s − 1)(p3s − 1) (1 −

1−

1 p6s

1 p2s )(1

−

1 p3s )

Îś(2s)Îś(3s) , Îś(6s) Y

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê, LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. p

85

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

Ăš Ă’ ¤ ½n4.2.1 y². 3½n4.2.1ÂĽ s = 192, ¿…5Âż Îś(2) = Ď€ /6, Îś(4) = Ď€ /90, Îś(6) = Ď€ /945, Îś(12) = 691Ď€ /638512875, ¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒ¹íĂ‘eÂĄ Ă° ÂŞ: 2

6

4

12

∞ X 1 315 = 4 Îś(3) n 2Ď€ n=1

ĂŠÂĄS 9Ă™5Â&#x;

Ăš

n∈A

4.3

∞ X 1 15015 1 = . 2 n 1382 Ď€ 2 n=1

n∈A

ĂŠ?Âż ĂŞ ¡Â‚½Ă‚ĂŠÂĄS

Xe

n, {an } : a1 = 1, a2 = 11, a3 = 121, a4 = 1221, a5 = 12321, a6 = 123321, ¡ ¡ ¡ , a2k−1 = 123 ¡ ¡ ¡ (k − 1)k(k − [1] 17 , 1) ¡ ¡ ¡ 321, a2k = 123 ¡ ¡ ¡ (k − 1)kk(k − 1) ¡ ¡ ¡ 321, ¡ ¡ ¡ . F.Smarandache {an } . , W.P.Zhang ( [24]) . , A(an ) : A(a1 ) = 1, A(a2 ) = 2, A(a3 ) = 4, ¡ ¡ ¡ , A(a2k−1 ) = 1+2+¡ ¡ ¡+k−1+k+k−1+¡ ¡ ¡+1, A(a2k ) = (1 + ¡ ¡ ¡ + k − 1 + k + k + k − 1 + ¡ ¡ ¡ + 1), ¡ ¡ ¡ . A(an ) , A(an ) . 4.3.1 A(an ) ,

3Šz 1 ‡¯Kp ÇïÆ¡Â‚ĂŻĂ„S 5Â&#x; 'uĂš ÂŻK ĂŤ Šz ‰Ñ ˜‡k ĂŹCúª !ÂĽ ¡Â‚½Ă‚ Xe ¡Â‚ò|^ Â?{?Ă˜ S 5Â&#x; ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡'u ˜‡k Ă° ÂŞ ½n ½Ă‚XĂž Kk ∞ X

n=1

1 π2 = + 1. A(an ) 6

y²: ŠâA(a ) ½Ă‚¡Â‚k n

k−1 A(ak ) = A(ak−1 ) + + 1. 2

KdުŒ n X

A(ak ) =

k=1

n−1 X

A(ak−1 ) +

k=1

Šâ(4-1), ¡Â‚k

A(an ) =

n X k−1

+ n.

(4-1)

(n − 1)2 +n= + n. 4

(4-2)

k=1

n X k−1 k=1

2

2

e¥¡Â‚ò½nÂĽ ĂšªŠÇ‘ĂźĂœŠ5?Ă˜. n = 2k + 1ž, Kk

[(2k + 1) − 1]2 A(an ) = + 2k + 1 = (k + 1)2 . 4

86

(4-3)

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x; n = 2kž, Kk

(2k − 1)2 A(an ) = + 2k = k 2 + k. 4

(4-4)

nĂœ(4-2), (4-3), (4-4)Âż5Âż Îś(2) = ¡Â‚k Ď€2 6

∞ X

n=1

1 A(an )

=

∞

∞

k=1

k=1

X X 1 1 1 + + 2 A(a1 ) (k + 1) k(k + 1)

∞ ∞ X X 1 1 = + 2 k k(k + 1) k=1 k=1 ∞ X 1 1 = Îś(2) + − k k+1 k=1

2

=

Ď€ + 1. 6

u´ ¤ ½n4.3.1 y².

˜|Dirichlet?ĂŞ9Ùð ÂŞ

4.4

ĂŠ?Âż ĂŞk, ¡Â‚½Ă‚˜‡ŽâŸêδ (n)Xe: ( max{d ∈ N | d|n, (d, k) = 1}, XJ n 6= 0, δ (n) = 0, XJ n = 0. -ALÂŤ Â?§δ (n) = b (n)¤å ¤k ĂŞn 8Ăœ, Ù¼b (n) LÂŤn m gĂ–ĂŞ(ĂŤ ½Ă‚2.1.1). =A = {n:n ∈ N, δ (n) = b (n)}. !|^ Â?{? Ă˜ Â?š8ĂœA ˜|Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5Â&#x;XeÂľ ½n4.4.1 mǑ˜‡ óê, ĂŠ?Âż ¢ês > 1Ăš ĂŞk, KkĂ° ÂŞ k

k

k

m

m

k

m

3 ∞ X Y Îś m p 2 ms 1 2s = , 1 ns Îś(ms) (pms − 1) p 2 ms − 1 n=1 p|k

n∈A

Ù¼Μ(k)´Riemann zeta-Ÿê, QLÊ¤k ƒĂ?f Ăˆ. y²: ĂŠ?Âż ¢ês > 0, w, s > 1ž p

∞ ∞ X X 1 1 < , s n ns n=1 n=1

n∈A

ĂšX n1 Ăž Ă‚Ăą, Ă?d s ∞

s

n=1

n

ιs 1 ι2 = pι 1 p2 ¡ ¡ ¡ ps

> 1

ž X n1 Ç‘ Ă‚Ăą. e ¥¡ ‚ 5ĂŠ Ă‘8 ĂœA. ∞

s

n=1 n∈A

LÂŤn IOŠ)ÂŞ. dδ (n) Ăšb k

½Ă‚¡Â‚ÂŒ

m (n)

87

ÂŻKĂŻĂ„

Smarandache

δ (n)Ăšb (n)Ă‘´ÂŒ Ÿê. ¤¹Ç‘ ĂŠĂ‘8ĂœA, ¡Â‚Â?I?Ă˜n = p Âœ/ =ÂŒ. en = p Â…(p, k) = 1, ¡Â‚kδ (p ) = p ; 1 ≤ Îą ≤ m, b (p ) = p ; Îą > mÂ…Îą 6= m, b (p ) = p ; Îą = rm, b (p ) = 1, Ù¼ rÇ‘?Âż ĂŞ, [x] L≤ x  ÂŒ ĂŞ. ¤¹ Â…= Îą = kδ (p ) = b (p ). en = p Â…(p, k) 6= 1, Kδ (p ) = 1, ¤¹ Â…= n = p , r = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ ž Â?§δ (p ) = b (p )k). ŠâEuler úªĂšA ½Ă‚, ¡Â‚k k

Îą

m

Îą

Îą k Îą m+m[ m ]âˆ’Îą

Îą

m

Îą

k

Îą

∞ X 1 ns n=1

m

m m 2

Îą

mâˆ’Îą

Îą

k rm

Îą

k

m

Îą

Îą

m

Îą

Îą

=

Y

1+

p†k

n∈A

=

Y p

=

1+

m 2s

Îś Îś(ms)

1 m

p2s 1 m

p2s

Y

Y Y p|k

pms

+

1 p2ms

+

1 p3ms

+ ¡¡¡

−1 Y 1 1 1 + ms 1 p2 1 − pms p|k

p (pms

p|k

1+

p|k

1

3 2 ms

1

− 1) p 2 ms + 1

,

Ù¼Μ(k)´Riemann zeta-Ÿê, QLÊ¤k ƒĂ?f Ăˆ. u´ ¤ ½n4.4.1 y². d½n4.4.1¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒĂ­Ă‘ÂąeAÂ‡Ă­Ă˜: Ă­Ă˜4.4.1 B = {n:n ∈ N, δ (n) = b (n)}, Kk p

k

2

∞ X 1 15 Y p6 = . n2 Ď€2 (p4 − 1)(p2 − 1)

n=1 n∈B

p|k

Ă­Ă˜4.4.2 C = {n:n ∈ N, δ (n) = b (n)}, Kk k

3

∞ ∞ X X 1 1 105 Y p12 = = . n2 n4 Ď€4 (p8 − 1)(p4 − 1) n=1 n∈C

n=1 n∈B

p|k

Ă­Ă˜4.4.3 C = {n:n ∈ N, δ (n) = b (n)}, Kk k

4

∞ X 1 675675 1 Y p18 = . n3 691 Ď€ 6 (p12 − 1)(p6 − 1) n=1 n∈C

4.5

nÆ/ĂŞ 5Â&#x;

p|k

ĂŠ?Âż ĂŞm, w,m(m + 1)/2´Â˜ ĂŞ, duĂš ê†AĂ›k—ƒ 88

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x; ĂŠX, ¤¹¡Â‚òÙ¥ǑnÆ/ĂŞ. ĂŠ?Âż ĂŞn, ¡Â‚½Ă‚ÂŽâŸêc(n)Xe: c(n) = max {m(m + 1)/2 : m(m + 1)/2 ≤ n, m ∈ N } .

=c(n)´â‰¤ n  ÂŒ nÆ/ĂŞ. dc(n) ½Ă‚¡Â‚N´íĂ‘c(1) = 1, c(2) = 1, c(3) = 3, c(4) = 3, c(5) = 3, c(6) = 6, c(7) = 6, c(8) = 6, c(9) = 6, c(10) = 10, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . !ÂĽĂŒÂ‡0 k'S c(n) ˜‡# Dirichlet ?ĂŞf (s) = P , |^ Â?{ĂŻĂ„ f (s) Ă‚Ăą5Â&#x;, = ½n4.5.1 sÇ‘?Âż ¢ê, K Â…= s > 1žDirichlet ?ĂŞf (s)´Ă‚ Ăą . AO s = 2, 394, ¡Â‚kĂ° ÂŞ ∞ 1 n=1 cs (n)

∞ X

n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1

1 2Ď€ 2 = − 4; c2 (n) 3 1 c3 (n)

= 8Îś(3) − 4Ď€ 2 + 32;

1 Ď€4 160 2 = − 48Îś(3) + Ď€ − 384; c4 (n) 5 3

6f (3) + f (4) =

Ù¼Μ(k)´Riemann zeta-Ÿê. ≤ n < y ²: w,, e c(n)ÂĽĂ“ ĂŞ ­E m(m+1) 2 m(m+1) 2

Ď€ 4 88 2 + Ď€ − 192. 5 3

Kc(n) =

(m+1)(m+2) , 2 m(m+1) (m+1)(m+2) − 2 2

f (s) = = =

∞ X

n=1 ∞ X

=m+1

¤¹3S g. Ă?d, ¡Â‚k m(m+1) . 2

1 cs (n) m+1

m(m+1) s ) m=1 ( 2 ∞ s X m=1

2 . ms (m + 1)s−1

w, s > 1žf (s)Ă‚Ăą, s ≤ 1žf (s)uĂ‘. AO s = 2¡Â‚k ∞ X

1 m2 (m + 1) m=1 ∞ X 1 1 1 = 4 − + m2 m m + 1

f (2) = 4

m=1

= 4Îś(2) − 4.

89

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

A^Ă“ Â?{¡Â‚ÂŒ f (3) = 8Îś(3) − 24Îś(2) + 32; f (4) = 16Îś(4) − 48Îś(3) + 320Îś(2) − 384.

dĂ° ÂŞÎś(2) = Ď€ /6 ÚΜ(4) = Ď€ /90ÂŒĂ­Ă‘½n4.5.1 (Ă˜(ĂŤ Šz[2]). u´ ¤ ½n4.5.1 y². 5: ¯¢Þ, ĂŠ?Âż ĂŞs ≼ 2, A^ڍÂ?{¡Â‚ÂŒÂą^Riemann zetaŸê5LÂŤf (s). 2

4.6

4

e ĂœŠS ÚÞ ĂœŠS

ĂŠ?Âż ĂŞn, ^a(n)5LÂŤe ĂœŠ, Ă™½Ă‚Ç‘: u½ un  ÂŒ ĂŞ. =Ç‘S : 1, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, ¡ ¡ ¡ . ,˜Â?ÂĄ, ^b(n)5LÂŤĂž ĂœŠ, Ă™½Ă‚Ç‘: ÂŒu½ un  ê. =Ç‘S : 1, 2, 6, 6, 6, 6, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 120, 120, 120, ¡ ¡ ¡ . 3Šz[1], Smarandache Ç3Ă™142‡¯K pïÆ¡Â‚ĂŻĂ„Ú߇S 5Â&#x;. !ÂĽ, ¡Â‚0 Â?ša(n)†b(n) ߇

ÂĄ?ĂŞ: X X I=

∞

n=1

1 , aÎą (n)

∞

S=

n=1

1 , bÎą (n)

¿‰ÑÚ ?ĂŞĂ‚Ăą ¿Š^‡XeÂľ ½n4.6.1 ιǑ?Âż ¢ê, K Îą > 1ž, ÂĄ?ĂŞI ĂšS Ă‚Ăą, Îą ≤ 1 ž§Â‚ uĂ‘. y²: a(n) = m!, m! ≤ n < (m + 1)!ž, ¡Â‚ĂŠN´ Ă‘a(n) = m!, ¤¹ 3S {a(n)} (n = 1, 2, ¡ ¡ ¡ ) ÂĽĂ“ m!ò ­E(m + 1)! − m!g. Ă?d, ¡Â‚k I=

∞ X

n=1

∞ ∞ ∞ X X X 1 (m + 1)! − m! m ¡ m! m = = = . Îą Îą Îą a (n) (m!) (m!) (m!)Îąâˆ’1 m=1

m=1

m=1

w,, Îą > 1ž, ÂĄ?ĂŞI Ă‚Ăą; Îą ≤ 1ž, ÂĄ?ĂŞI uĂ‘. ^Ă“ Â?{, ¡Â‚Ç‘ÂŒÂą S Ă‚Ăą5 ¿Š^‡. AO/, Îą = 2 ž, ŠâêÆŠĂ›Ăž ÂŁ(ĂŤ Šz[25]), ¡Â‚k ∞ X

n=1

∞ ∞ X X 1 1 1 = = = e. 2 a (n) (m − 1)! m! m=1

u´ ¤ ½n4.6.1 y². AO/, Îą = 2 ž, ¡Â‚keÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.6.1 ¡Â‚kĂ° ÂŞ ∞ X

n=1

90

1 a2 (n)

= e.

m=0

1oĂ™ ÂĄ?ĂŞ9Ă™5Â&#x;

ÊóŸê

4.7

Smarandache

ĂŠ?Âż ĂŞn, Ă?Âś Smarandache ŸêS(n)½Ă‚Ç‘ n|m!  êm. = S(n) = min{m : n | m!}.

Ç 3 Š z ÂĽ 0 Ăš ‡ Âź ĂŞS(n)Âż ‡ ¡ ‚ ĂŻ Ă„ § 5Â&#x; Ç‘ I O Ă? f Š ) ÂŞ, N ´ Ă­ Ă‘S(n) = ¤ Âą ¡ ‚ ÂŒ Âą Ă? L ĂŻ Ă„S(p ) 5 Â&#x; 5 ĂŻ Ă„ 'uŸê 5Â&#x; Úü NþÆÜ ĂŻĂ„, , ĂŤ Šz[26], Ăš ~X3Šz ÂĽ ĂšMitchell Patrick ĂŻĂ„ ŸêS(n) >.ÂŻK ¿‰Ñ Ăž.Ăše. = Smarandache [1] Îą1 Îą2 . n = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pkÎąk n Îą1 Îąk 2 max{S(p1 ), S(pÎą 2 ), ¡ ¡ ¡ , S(pk )}. S(n). S(n) , [27] [28]. [26] Farris Mark Îą , S(p ) ,

Îąi i

(p − 1)Îą + 1 ≤ S(pÎą ) ≤ (p − 1)[Îą + 1 + logp Îą] + 1.

3Šz[27]ÂĽWang Yongxing ĂŻĂ„ X S(n) ފ5Â&#x;, Âż|^ Â?{ Ă‘Â˜ ‡ÏCúª, =y²

n≤x

X

n≤x

Ď€ 2 x2 S(n) = +O 12 ln x

x2 ln2 x

.

aq¡Â‚0 ,˜‡†SmarandacheŸêƒ' Ÿê, ¥ÙǑSmarandache ĂŠ óŸêS (n), §LÂŤ n|m!  êm, Ù¼ nÇ‘?Âż ĂŞ. = ∗

S ∗ (n) = max{m : m! | n}.

'uڇ¯K, 3Šz[29]ÂĽJ.SandorJĂ‘Ă&#x;ÂŽ

S ∗ ((2k − 1)!(2k + 1)!) = q − 1,

Ù¼kǑ˜ ê§q´2k + 1ƒ 1Â˜Â‡ÂƒĂŞ. Le Maohua 3Šz[30]¼‰ÑÚ ‡Ă&#x;ÂŽ y². !|^ Â?{?Ă˜ ?ĂŞX Sn(n) Ă‚Ăą5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡k Ă° ÂŞ. =Ă’´, ½n4.7.1 ĂŠ?Âż ¢êι ≤ 1, ÂĄ?ĂŞ ∞

∗

Îą

n=1

∞ X S ∗ (n) n=1

nÎą

91

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

uĂ‘, Îą > 1žÚ‡?ĂŞĂ‚Ăą, Â…k ∞ X S ∗ (n) n=1

= Îś(Îą)

nÎą

∞ X

n=1

1 , (n!)Îą

Ù¼Μ(s)´Riemann zeta-Ÿê. y²: ĂŠ?Âż ¢êι ≤ 1,5Âż S (n) ≼ 1 Ăš?ĂŞ ∗

∞ X 1 nÎą n=1

uĂ‘, ¤¹ Îą ≤ 1ž, ?ĂŞX Sn(n) Ç‘uĂ‘. ĂŠ?Âż ĂŞn ≼ 1, ˜½ 3˜‡ ĂŞm ∞

∗

Îą

n=1

n = m! ¡ l,

¤å, Ù¼l 6≥ 0(mod m + 1). ¤¹Ê?¿ι > 1, dS (n) ½Ă‚ÂŒ ∗

∞ X S ∗ (n) n=1

nÎą

=

=

∞ X ∞ X

m (m!)ι ¡ lι

l=1 m=1 m+1†l ∞ ∞ X X

m=1 l=1 m+1†l

= =

= =

∞ X

m (m!)ι ¡ lι

∞ ∞ X X 1 1 − lÎą (m + 1)Îą ¡ lÎą m=1 l=1 l=1 ∞ X m 1 Îś(Îą) 1 − (m!)Îą (m + 1)Îą m=1 ! ∞ ∞ X X m m Îś(Îą) − (m!)Îą ((m + 1)!)Îą m=1 m=1 ! ∞ X 1 Îś(Îą) 1 + ((m + 1)!)Îą m=1

= Îś(Îą)

m (m!)Îą

∞ X

m=1

1 . (m!)Îą

u´ ¤ ½n4.7.1 y². 3½n4.7.1ÂĽ Îą = 2 Úι = 4¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒ XeĂ­Ă˜: Ă­Ă˜4.7.1 ĂŠuSmarandacheÊóŸê, kĂ° ÂŞ ∞ X S ∗ (n) n=1

92

n2

=

∞ Ď€2 X 1 6 (n!)2 n=1

!

1oÙ ¡?ê9Ù5 Ú

∞ X S ∗ (n)

n4

n=1

4.8

=

∞ π4 X 1 . 90 (n!)4 n=1

2Â E8Ü

½Â2 E8ÜS Ǒ: =dêid , d , · · · , d |¤, ¤k d (1 ≤ m ≤ 9) pØ Ó. ǑÒ´`, (1) d , d , · · · , d áuS. (2) ea, b áuS §Kab ǑáuS. (3) =$^5K(1) Ú(2) k g¤ áuS. ~X, E8Ü( éuêi1, 2 )Ǒ: 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222, 1111, 1112, 1121, · · · . E8Ü( éuêi1, 2, 3 ) Ǒ: 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 211, 212, 213, 221, 222, 223, · · · . 3©z[1] 16, 7 Ú8 ¯Kp, Smarandache ÇïÆ· ïÄù S 5 . Ǒ Qã B, · ^{a } 5L«ù S . ùp· |^ {?Ø

?êX a1 Âñ5, Ù¥ α Ǒ?¿ ê. 1

1

2

2

m

i

m

n

+∞

n=1

α n

½n4.8.1 α Ǒ?¿ ¢ê, α > log m , ?êX a1 Âñ, α ≤ log m T?êuÑ. y²: 5¿ , éuk = 1, 2, 3, · · · , ¹k êi 2 E8ÜS p km ê, ¤±· k +∞

n=1

α n

k

+∞ X 1 aα n

+∞ X

<

n=1

mk (10k−1 )α

k=1 +∞ X

= m

k=1

mk−1 10(k−1)α

m m 1 − 10 α m · 10α , 10α − m

= =

Ù¥· |^ ?êP = ú' ñ ù ¯¢, u´ ¤ ½n4.8.1 y². AO/, 1 1 1 1 +∞ mk−1 k=1 10(k−1)α

S2 = 1 +

9 S3 = 1 +

2

+

11

+

12

+

21

m 10α

+

< 1,

Ǒ=α > log m ´Â

1 + ··· , 22

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + +··· . 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 93

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

u´: ½n4.8.2 ?ĂŞS ĂšS Ă‘Ă‚Ăą, Â…k O 10264 314568337 8627 <S < 9 <S 5775 4620 155719200 ¤å. y²: ˜Â?ÂĄ 2

3

2

3

<

10532147 4449120

1 1 1 1 1 + + + + + ¡¡¡ 2 11 12 21 22 +∞ X 1 1 1 1 1 2k + + + + < 1+ + 2 11 12 21 22 10k−1

S2 = 1 +

k=3

+∞ 1 1 1 1 1 23 X 2k−3 = 1+ + + + + + 2 11 12 21 22 102 10k−2 k=3

1 1 1 1 1 2 1 = 1+ + + + + + Ă— 2 11 12 21 22 25 1 − 8627 = . 4620

1 5

,˜Â?ÂĄ, ¡Â‚k

+∞

S2

X 2k 1 1 1 1 1 > 1+ + + + + + 2 11 12 21 22 10k k=3

= 1+

+∞ 1 1 1 1 23 X 2k−3 1 + + + + + 3 2 11 12 21 22 10 10k−3 k=3

1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + Ă— 2 11 12 21 22 125 1 − 10264 = . 5775

1 5

u´ ¤ ½n4.8.2 1Â˜ĂœŠy². aq/, ¡Â‚ÂŒÂąy²½n4.8.2 1 ĂœŠ, Ăš Ă’ ¤ ½n4.8.2 y².

94

1ÊÙ AÏ § )¯K

1ÊÙ AÏ § )¯K

§ ê)´êØ ­ K§Ǒ´ ~E,Ú ~áÚ< K, ­.þN õ êÆ[Ñ3ù + ÑLÑÚ ó § 8Eδy êØÚy êAÛ íÄ åÚ . Ǒ ïÄ § ê)§< ME

Nõrkå {Úóä§ ´EkN õ¯Kvk)û. ùp§· =ÀJ Smarandache¯Kk' AÏ § ê)¯K ?1?ا5 «éuAÏ § ê)ïÄL§¥ {ÚE|5. 5.1

g {

Smarandache m

é?¿ ên, -n IOÏf©)ªǑn = p mg {¼êa (n) ½ÂXe:

α1 α2 1 p2

· · · pkαk . Smarandache

m

am (n) = pβ1 1 pβ2 2 · · · pkβk ,

βi = min{m − 1, αi }, i = 1, 2. · · · , k.

3©z[1]¥ 165¯K, F.Smarandache Ç · ïÄù ¼ê 5 . φ(n)ǑEuler¼ê, =Ò´, φ(n)¤kØ Ln np ê ê. w ,, ¼êφ(n) a (n)þ´ ¼ê. ù !¥, · ò|^ {5?Ø ¹ ùü ¼ê § )¯K, ¿ Ñ § ¤k). ½ n5.1.1 mǑ?¿ ½ ê m ≥ 2, K §φ(n) = a (n)km + 1 ), A )Xe m

m

n = 1, 2m , 2α 3m ,

α = 1, 2, · · · , m − 1.

y²: n IOÏf©)ªǑn = p · k

α1 α2 1 p2

¿

am (n) = pβ1 1 pβ2 2 · · · pkβk ,

k · · · pα k ,

Kdφ(n) 9a

m (n)

βi = min{m − 1, αi }, i = 1, 2. · · · , k

k −1 φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pα (pk − 1). k

½Â (5-1)

(5-2)

w,, n = 1 ´ §φ(n) = a (n) ). XJn > 1, · ò©o« ¹éù ¯K?1?Ø: (i) XJ 3α > m, o· kα − 1 ≥ m, max {β } ≤ m − 1. ( Ü(5-1) 9(5-2), · φ(n) 6= a (n). ¯¢þ, 3ù« ¹evk?Û)÷v §φ(n) = a (n); (ii) XJα = α = · · · = α = m, K m

i

i

1≤j≤k

j

m

m

1

2

k

am (n) = pm−1 pm−1 · · · pm−1 1 2 k 95

Smarandache

¿

¯KïÄ

φ(n) = pm−1 (p1 − 1)pm−1 (p2 − 1) · · · pm−1 (pk − 1). 1 2 k

w,, =kn = 2 ´÷v^ § ); (iii) XJ max {α } < m, Kd(5-1) 9(5-2), ¿5¿ β = α > α − 1, · é¤k÷v^ n , φ(n) 6= a (n); (iv) XJ 3i, j ÷vα = m α < m, o â(5-1), (5-2) ±9 §φ(n) = a (n), ± p = 2. ÄK, Ò¬ φ(n) ´óê, a (n) %ǑÛê gñ. 5¿ XJα < m, Kφ(n) 6= a (n), u´· kα = m 9 m

i

1≤i≤k

k

k

k

m

i

m

j

1

m

k

m

k

m 2 −1 2 φ(n) = 2α1 −1 pα (p2 −1) · · · pm−1 (pk −1) = am (2α1 )am (pα 2 2 ) · · · am (pk ) = am (n). k

XJα k

1

= m,

on = 2 Ò´1(ii) « ¹. Ïd, α m

1

< m.

y3 â §, ·

m 2 p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkm−1 (pk − 1) = 2am (pα 2 ) · · · am (pk ).

(5-3)

5¿ i > 1 2|(p − 1), d(5-3) · ±íÑ3(5-3) ª >Ü©äkp − 1 / ª =k . =Ò´, i

i

n = 2α pm .

|^

φ(2α pm ) = am (2α pm ) ⇐⇒ pm−1 (p − 1) = 2pm−1 ,

± n = 2 3 , 1 ≤ α < m.. u´, 3ù« ¹en = 2 3 , (1 ≤ α < m) ´ §φ(n) = a (n) ¤k). nܱþo« ¹ ?Ø· áǑ ± §φ(n) = a (n) km + 1 ), ¿ A )Ǒ α m

α m

m

m

n = 1, 2m , 2α 3m ,

ù Ò ¤ ½n5.1.1 y². 5.2

α = 1, 2. · · · , m − 1.

§9Ù ê)

Smarandache

Q L«¤k knê8Ü, a ∈ Q\ {−1, 0, 1}. 3Ö[1] ¥ 150 ¯K, F.Smarandache Ç · ) § 1

x · ax +

1 x · a = 2a. x

(5-4)

éù ¯K ?Ø ± Ï· n) # ؽ §, ¤±ïħ´ © k¿Â . !¥, · |^ {9)Û {é §(5-4)?1?Ø, ¿y²

±e(Ø: ½n5.2.1 é¤ka ∈ Q\ {−1, 0, 1}, § 1

x · ax + 96

1 x · a = 2a x

1ÊÙ AÏ § )¯K k =k ê)x = 1. y ²: ùp· ò|^ {±9êÆ©Û¥ Rolle ½n ¤½ n5.2.1 y². Äk, · òy²3a > 1 ¹e½n¤á. ¯¢þ, 3ù « ¹e, xp´ §(5-4) ê), K· 7kx > 0. u´, |^Ø ª|u| + |v| ≥ 2 |u| · |v| ±íÑ 1 x · a + · ax ≥ 2 · x 1 x

r

1

x · ax ·

x+ 1 1 x x · a = 2 · a 2 ≥ 2 · a, x

= x = 1 §¤á. ù Òy² éua > 1, §(5-4) k =k ê)x = 1. y3· Ä0 < a < 1. x ´ §(5-4) ?¿ ê), Kx > 0. Ǒ

y²x = 1, · b½x 6= 1, ¿ 0 < x < 1 (y²x > 1 ¹ 0 < x < 1 ¹ Ó), Kk > 1. · Xe½Â¼êf (x) : 0

0

0

0

0

0

0

1 x0

1

f (x) = x · a x +

h

i

1 x · a − 2a x 1 x0 , x0

w,, ¼êf (x) 34«m x , þëY, 3m«m S , ¿ f (x ) = 1 1 f ( ) = f (1) = 0. u´, dêÆ©Û¥ Rolle ½n f (x) 3m«m x , x x S7kü ":, 3Ó m«mSf (x) 7k ":. ´, d¼êf (x) ½Â· ±íÑ 1 0 x0

0

′

0

0

0

′′

1

f ′ (x) = a x −

9

1 1 1 1 · a x · ln a − 2 · ax + · ax · ln a x x x

1 1 2 · a x · ln2 a + 3 · ax − 3 x x 1 1 2 2 = · a x · ln a + 3 · ax + 3 x x 1 > 0, x ∈ x0 , , x0

f ′′ (x) =

1 1 1 · ax · ln a − 2 · ax · ln a + · ax · ln2 a 2 x x x 2 1 1 x 2 x · a · ln + · a · ln a x2 a x

Ù¥· ^ 0 < a < 1 ln > 0. ù f (x) 3m«m x , S7k ": gñ. ù Òy² 0 < a < 1 ½n¤á. XJa < 0 a 6= −1, §(5-4) k ê)x, ÏǑKêvk¢ ² , ¤ ±|x| 7Ǒ Ûê. u´, 3ù« ¹e §(5-4) ±zǑ: 1 a

1

2|a| = −2a = −x · a x − 1

= x · |a| x +

′′

1 0 x0

1 1 1 x 1 · a = −x · (−1) x · |a| x − · (−1)x · |a|x x x

1 · |a|x . x 97

Smarandache

¯KïÄ

Kd ¡ í (Ø , 3ù« ¹e½nE,¤á.ù Ò ¤ ½n y². 5: ¯¢þ, d½n y²L§· éN´uy· ±y² (Ø: RL«¤k ¢ê 8. é?¿a ∈ R\ {−1, 0, 1}, § 1

x · ax +

1 x · a = 2a x

k =k ê)x = 1; a > 0 , §k =k ¢ê)x = 1. 5.3

'u¼êϕ(n)9δ (n) k

é ½ êk 9?¿ ên, · Xe½Â «# êؼê: δk (n) = max{d | d | n, (d, k) = 1}

Ïd

XJn ≥ 1, KEuler ¼êϕ(n) L«¤kØ Ln n p ê ê, ϕ(n) =

n X ′

1,

k=1

n

Ù¥ÚªX L«é¤k u un n p êk Ú. !¥, · òïļêϕ(n) ؼêδ (n) 5 , ¿ Ѥk÷vϕ(n) | δ (n) ên. Äkk: Ún5.3.1 én ≥ 1, · k ′

k=1

k

k

ϕ(n) = n

Y p|n

1 1− p

.

y²: ( ë ©z[4] ¥½n2.4 ). ½n5.3.1 ϕ(n) | δ (n) = n = 2 3 , Ù¥α > 0, β ≥ 0, α, β ∈ N . y²: · ò©±eü« ¹?1?Ø: (I) (n, k) = 1 , Kδ (n) = n. n I OÏ f © )ª Ǒn p · · · p . dÚn5.3.1, P α β

k

k

1 α2 pα 1 2

αs s

1 −1 s −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pα ϕ(n) = pα (ps − 1), s 1

XJϕ(n) | δ (n), o k

=Ò´ 98

1 −1 2 −1 s −1 pα (p1 − 1)pα (p2 − 1) · · · pα (ps − 1) | n, s 1 2

(p1 − 1)(p2 − 1) · · · (ps − 1) | p1 p2 · · · ps ,

=

1ĂŠĂ™ AĂ?Â?§ )ÂŻK ŠâĂšn5.3.1, ¡Â‚ÂŒ i) p = 2, Ă„K, (p − 1)(p − 1) ¡ ¡ ¡ (p − 1) ´óê p p ¡ ¡ ¡ p ´Ă›ĂŞ ÂżÂ… ii) s ≤ 2, Ă?Ç‘2|(p − 1) (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , s) ´p p ¡ ¡ ¡ p Ă˜U 2 Ă˜. es = 1, Kn = 2 , Îą ≼ 1. es = 2, Kn = 2 3 , Îą ≼ 1, β > 1. Ă?d, ¡Â‚ÂŒÂą (n, k) = 1 ž, n = 2 3 , Îą ≼ 1, β ≼ 0 ávĎ•(n) | δ (n). (II) (n, k) 6= 1 ž, -n = n ¡ n , Ù¼(n , k) = 1 Â…(n , n ) = 1, o 1

1

2

s

1 2

i

2 3

s

s

Îą

ι β

ι β

1

2

1

k

1

2

δk (n) = n1 ,

9

Ď•(n) = Ď•(n1 )Ď•(n2 ),

XJĎ•(n) | δ (n), o k

Ď•(n1 )Ď•(n2 ) | n1 ,

=Ă’´ |^(5-5), ¡Â‚ÂŒ Ù¼ι ≼ 1, β ≼ 0, Îą , β ∈ N . nĂœ(5-6) 9(5-7), ĂŠN´íĂ‘ 1

1

1

Ď•(n1 ) | n1

(5-5)

Ď•(n2 ) | n1

(5-6)

n1 = 2ι1 3β1 ,

(5-7)

1

Ď•(n2 ) | 2Îą1 3β1 ,

=Ă’´

Ď•(n2 ) = 1.

Ă„K(n , n ) 6= 1. u´ 1

2

n2 = 1

oƒ, Ă˜n †k ´Ă„pƒ, ¡Â‚Ă‘ÂŒÂą n = 2 3 , Îą ≼ 1, β ≼ 0 á vĎ•(n) | δ (n). u´Ă’ ¤ ½n5.3.1 y². Îą β

k

5.4

Â?šEulerŸêĂšSmarandacheŸê Â?§

ĂŠ?Âż ĂŞn, -S(n)LÂŤSmarandacheŸê, Ă™½Ă‚Ç‘ n|m!  êm. XJn = p p ¡ ¡ ¡ p Ç‘n IOĂ?fŠ)ÂŞ, Kd½Ă‚N´íĂ‘S(n) = Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

99

Smarandache

¯KïÄ

Ù¥ i l1 k ¤k ¥ .-φ(n)L«Euler ¼ ê Ǒ= L«¤kØ Ln np ê ê, w,φ(n)´ ¼ ê ¼ê L«¤kØ Ln n p ê ê. !òï Ä Ù¥ Ǒ?¿ ½ ê) § ) ê¯K. 'uù ¯K, N´ ´T § ), · ¿Ø ù §´Äkk ). e¡· |^ {5)ûù ¯K, é?¿ ½ êk Ñ ù § Ü). ½n5.4.1 §S(n) = φ(n)ko ): n = 1, 8, 9, 12. y²: n = p p · · · p Ǒn IOÏf©)ª, i max{S(pα i )}, , φ(n) . Euler φ(n) k φ(n) = S(n )( k n=1

α1 α2 1 2

αk k

S(n) = max {S(pi αi )} = S(pα ). 1≤i≤k

dS(n)Úφ(n)½Â 1 −1 2 −1 k −1 φ(n) = pα (p1 − 1)pα (p2 − 1) · · · pα (pk − 1) 1 2 k

= φ(pα )φ(n1 ) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ) = S(pα ).

w,n = 1´ §S(n) = φ(n) ).XJn > 1· ò©n« ¹?ØXe: (I) XJα = 1 n = p, oS(n) = p 6= p − 1 = φ(n). Ǒ=´`, Ø 3 ?Û ê÷v §S(n) = φ(n). XJα = 1 n = n p, oS(n) = p 6= (p − 1)φ(n ) = φ(n p). ¤±T § ). (II) XJα = 2, okS(p ) = 2p Úφ(p n ) = p(p − 1)φ(n ). ¤±ù = 1

1

1

2

2

1

1

(p − 1)φ(n1 ) = 2

âkS(n) = φ(n). ù ±©ü« ¹5?Ø:p − 1 = 1, φ(n ) = 2; p − 1 = 2, φ(n ) = 1. Ǒ= p = 2, n = 3; p = 3, n = 1. ù §S(n) = φ(n)kü ):n = 12, 9. (III) XJα = 3, w,kS(2 ) = φ(2 ) = 4, u´n = 8 ÷v §. XJα ≥ 3 p > 2, 5¿ 1

1

1

1

3

3

α−2

pα−2 > 2α−2 = (1 + 1)

=k

= 1 + α − 2 + · · · + 1 > α.

pα−1 > αp ⇒ pα−1 (p − 1)φ(n1 ) > αp, S(pα ) ≤ αp.

¤±ù« ¹T § ). nÜþ¡n« ¹ ?Ø, · áǑ §S(n) = φ(n)ko ): n = 1, 8, 9, 12. u´ ¤ ½n5.4.1 y². 100

1ÊÙ AÏ § )¯K Ún5.4.1 XJpǑ ê, oS(p ) ≤ kp. XJk < p, oS(p ) = kp, Ù ¥kǑ?¿ ½ ê. y²: (ë ©z[31]). ½n5.4.2 §φ(n) = S(n )kn ): n = 1, 24, 50. y²: -n = p p · · · p , dS(n)Úφ(n)½Â k

k

2

αk k

α1 α2 1 2

2α i S(n2 ) = max{S(p2α i )} = S(p ),

Ù¥pǑ ê±9

φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ), φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ),

Ù¥(n , p) = 1. ǑÒ´`n Úp úÏfǑ1. w,n = 1´ §φ(n) = S(n ) ). XJn > 1· ò©a?ØXe: (i) -α = 1. XJp = 2, oS(2 ) = 4, φ(n) = (2 − 1)φ(n ), dS(n ) = S(2 ) = φ(n) = φ(n ) φ(n ) = 4, ¤±φ(n ) = 4, u´n = 2 ×5. S(2 ·5 ) = 10 6= φ(2 ×5), Ïdù § ). XJp ≥ 3, dÚn S(p ) = 2p, φ(n) = (p−1)φ(n ), 5¿ p†(p−1)φ(n ), Ïdù §Ǒ ). (ii) -α = 2. XJp = 2, oS(2 ) = 6 = 2φ(n ), ). XJp = 3, oS(3 ) = 9 = 3 × 2φ(n ), ). XJp = 5, oS(5 ) = 20 = 5 × 4φ(n ), ¤±n = 2, Ïdn = 5 × 2´ § ). XJp ≥ 7, oS(p ) = 4p = p(p − 1)φ(n ), 5¿ p − 1 > 4, ). (iii) -α = 3. XJp = 2, oS(2 ) = 8 = 4φ(n ), ¤±n = 3, Ïdn = 2 × 3´ § ). XJp = 3, oS(3 ) = 15 = 3 × 2φ(n ), ). XJp = 5, oS(5 ) = 25 = 5 × 4φ(n ), ). XJp = 7, oS(7 ) = 42 = 7 × 6φ(n ), ). XJp > 7, oS(p ) = 6p = p(p − 1)φ(n ), 5¿ p − 1 > 6, ). (iv) -α = 4. XJp = 2, oS(2 ) = 10 = 8φ(n ), ). XJp ≥ 3, dÚn S(p ) < 2pα, 5¿ φ(n) = p (p − 1)φ(n ) Úp > 2pα, ). (v) -α = 5. XJp = 2, oS(2 ) = 12 = 2 φ(n ), ). XJp ≥ 3, dÚn S(p ) < 2pα, 5¿ φ(n) = p (p − 1)φ(n ) Úp > 2pα, ). (vi) -α ≥ 6. 1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

4

2

2

2

2

1

4

1

1

4

1

4

1

4

2

1

1

6

1

6

2

6

2

6

2

3

1

1 1 1

6

1

8

2α

1

α−1

1

α−1

10

4

2α

1

α−1

1

α−1

101

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

XJp ≼ 2, dĂšnÂŒ S(p ) < 2pÎą, 5Âż φ(n) = p (p − 1)φ(n ) Ăšp > 2pÎą, ). ĂŠĂœ(i) (vi), ¡Â‚ĂĄÇ‘ÂŒ Â?§Ď†(n) = S(n )kn‡): n = 1, 24, 50. u´ ¤ ½n5.4.2 y². aq/, |^Ă“ Â?{¡Â‚ÂŒÂą Ă‘: ½n5.4.3 Â?§Ď†(n) = S(n ) kn‡): n = 1, 48, 98. ½n5.4.4 Â?§Ď†(n) = S(n ) k˜‡): n = 1. 5: ^aq Â?{, ¡Â‚Ç‘ÂŒ¹íĂ‘Â?§Ď†(n) = S(n ) kk Â‡), Ă™ ÂĽkÇ‘?¿‰½ ĂŞ. 2Îą

Îąâˆ’1

1

Îąâˆ’1

2

3 4

k

5.5

'u²Â?Ă–ĂŞ ˜‡Â?§

ĂŠ?Âż ĂŞn, b (n) Ç‘²Â?Ă–ĂŞ(½Ă‚2.1.1). ĂšÂ˜ !¼¡Â‚ò|^)Ă› Â?{?Ă˜'u²Â?Ă–ĂŞ Â?§ 2

n X

b2 (k) = b2 (

k=1

n(n + 1) ) 2

) ‡ê¯K§¿Â‰Ă‘ ڇAĂ?Â?§ Ăœ). Ă„k§¡Â‚I‡eÂĄA‡Ú n. Ăšn5.5.1 x > 1Ǒ˜¢ê9m > 1´Â˜ ĂŞ, oÂŒ Âąe O X 1 m > Îś(m) − . nm (m − 1)xm−1

n≤x

y²: ŠâEuler ĂšúªN´íĂ‘ X 1 nm

n≤x

Z

x

Z

x

x − [x] t − [t] dt + 1 − m+1 xm 1 1 t Z ∞ Z ∞ x1−m 1 t − [t] t − [t] x − [x] = − +1−m dt + m dt − m+1 m+1 1−m 1−m t t xm 1 x m > Îś(m) − , (m − 1)xm−1 =

dt −m tm

Ù¼|^ Ă° ÂŞ( ĂŤ Šz[4])

1 Îś(m) = 1 − −m 1−m

Z

Ún5.5.1 y. Ún5.5.2 Ê?¿ ên ≼ 1k¹e O n X k=1

102

Îś(4) 2 b2 (k) > n − 2Îś(2)

∞ 1

3 1 Îś(2) + 2 8

t − [t] dt. tm+1

3 2

n −

2 3Îś(2)

n,

1ĂŠĂ™ AĂ?Â?§ )ÂŻK y²: ŠâEuler Ăšúª¹9b (n) ½Ă‚ĂšM¨obius Ÿê 5Â&#x;ÂŒ 2

X

b2 (k) =

X

m2 k≤n

k≤n

=

X

k|Âľ(k)| =

X

m2 d2 h≤n

d2 Âľ(d)

m2 d2 ≤n

X

d2 hÂľ(d)

X

h≤

h

n m2 d2

n n n n2 + − 2 2{ 2 2} 4 4 2 2 2m d 2m d m d m d m2 d2 ≤n 1 n n − { 2 2 } − { 2 2 }2 2 m d m d 2 X X 1 n Âľ(d) 1 X d2 > − n − 2 2 2 m4 d 2 m2 2 2 2 4 2 2

=

2

>

Ăš

n 2

2

d Âľ(d)

m d ≤n

X

√ m≤ n

1 m4

m d ≤n

m d ≤n

X Âľ(d) 3 1 3 − Îś(2)n 2 − n 2 2 d 8 √ n

d≤

m

∞ X Âľ(d) X X 1 Âľ(d) 1 m m2 1 √ √ > − > − > − d2 d2 d2 Îś(2) Îś(2) n n √ √ n n

d≤

d=1

m

2dĂšn5.5.1 k X

b2 (k) >

k≤n

d>

.

m

n2 X 1 1 3 1 3 m2 − Îś(2)n 2 − n 2 −√ 4 2 Îś(2) 8 n √ m m≤ n

= > =

3 n2 X 1 3 1 3 n2 X 1 − − Îś(2)n 2 − n 2 4 2 2Îś(2) 2 8 √ m √ m m≤ n m≤ n 3 n2 4 3 1 3 Îś(4) − − Îś(2)n 2 − n 2 2Îś(2) 3n 2 8 Îś(4) 2 3 1 3 2 n − Îś(2) + n2 − n. 2Îś(2) 2 8 3Îś(2)

Ăšn5.5.2 y. 3ޥ߇Ún Ă„:Þ§¡Â‚‰ÑeÂĄ ĂŒÂ‡½nÂľ ½n5.5.1 Â?§ X n

b2 (k) = b2

k=1

=kn‡), ŠOÇ‘n = 1, 2, 3. y²: ¡Â‚ŠßÂœš5?Ă˜:

n(n + 1) 2

103

Smarandache (i)

XJ

n(n+1) 2

ÂŻKĂŻĂ„

´Â˜²Â?Ă–ĂŞ, odb (n) ½Ă‚Ă’k 2

b2 (

5Âż b (n) ≤ nĂĄÇ‘ÂŒ

n(n + 1) n(n + 1) )= . 2 2

2

n X k=1

b2 (k) ≤ b2

n(n + 1) 2

,

ڇ ÂŞ Â…= †> z˜‡b (n)Þávb (n) = nžâU¤å. ڞN´íĂ‘ Â?§kn‡): n = 1, 2, 3. (ii) XJ

²Â?Ă?f, odb (n) ½Ă‚Ă’k 2

2

n(n+1) 2

2

b2 (

5Âż Îś(2) = n X k=1

Ď€2 6 ,

Îś(4) =

Îś(4) 2 b2 (k) > n − 2Îś(2)

N´íĂ‘ Ă?dÂ?§

n(n + 1) n(n + 1) )≤ . 2 8

Ď€4 90

2ŠâĂšn5.5.2ÂŒ

3 1 Îś(2) + 2 8

3 2

n −

3 3 2 4 n(n + 1) n − 3n 2 − n > , 10 9 8

n X

b2 (k) = a

k=1

n(n + 1) 2

,

2 3Îś(2)

XJ XJ

). XJn ŠǑl4 361, oÂ?§Ç‘ Ă™§). u´ ¤ ½n5.5.1 y². e¥‰ÑOÂŽ§SXe: #include<stdio.h> #include<math.h> //function int get(int n) {int i,m; float g; for(i=1;i≤ n;i++) {g=sqrt(i*n);m=(int)g; if(g-m==0)return i; }} 104

n>

3 3 2 4 n − 3n 2 − n. 10 9

n > 361.

n > 361.

1ÊÙ AÏ § )¯K main() {int n=361 ; int sum; int i,j; for(i=1;i≤ n;i++) {sum=0; for (j=0;j≤ i;j++) sum=sum+get(j); if(sum==get(i*(i+1)/2)) printf“%d\n”,i);}}

105

Smarandache

ÂŻKĂŻĂ„

18Ă™ Ă™§Âƒ'ÂŻKĂŻĂ„

3 ÂĄAĂ™¼¡Â‚ĂŒÂ‡0 SmarandacheÂŻK3ĂŞĂ˜Ÿê, AĂ?ĂŞ ŠĂ™, ?ĂŞ9A Ă?Â?§) ÂŻK, ¤^Â?{ĂŒÂ‡Ç‘ ½)Ă› ĂŞĂ˜Â?{5ĂŻĂ„. ´SmarandacheÂŻK¤ 9 ĂŻĂ„+Â?š~2Â?, Ă™ ĂŒÂ‡8 3uĂ?LSmarandache­Â˜m, SmarandacheAĂ›, 2 Ă‚Smarandache PalindromesĂŞ —Ă?, Smarandache n-( 9ÂĽÂœĂ† ƒ'ŠĂ™ Ă– Ă– Ăś Ăš )SmarandacheÂŻK 2Â?5, ÂżĂ?LÆS-uĂ–ÜÊSmarandacheÂŻK ĂŻĂ„, .

­Â˜m9ƒ'êÆ|ĂœnĂ˜

Smarandche

f „

(ÂĽI‰Æ êƆXډÆïÄ § ÂŽ

100080)

à ‡. Š ĂŒÂ‡8 §3u{‡/0 ›˜­VÂ˜ÂŤ#, êÆ|ĂœnĂ˜§ =Smarandache­Â˜mnĂ˜. ڍnĂ˜ Ă„Ă˜Ă“5Â&#x; ˜m½Ă˜Ă“( a. ˜m |Ăœ3Â˜ĂĽAk 5Â&#x;9êÆ5ƧÂ?)ʲ;“ê( ÂĽ+!‚!Â?!‚5˜ m |Ăœ§¹9ʲ;AĂ›§XĂŽÂźAĂ›!V­AĂ›!RiemannAĂ› |Ăœ . ISĂ”n.61 u†‡u/M-nĂ˜§Ă™ÂĽĂŚ^ ÂžÂ˜Ă’´Â˜ÂŤAĂ? ­Â˜m. ,§ÂŠÇ‘Â˜ÂŤ # Ă”nž˜§Smarandache­Â˜mnĂ˜Ç‘ ›˜­VnĂ˜Ă”n ĂŻĂ„Jø Â˜ÂŤÂ˜Â„ ˜m|ĂœnĂ˜. ' è ÂľSmarandache­ ˜ m § ­ + § ­ ‚ § ­ Ă? Ăž ˜ m § / ĂŁ A Ă›§SmarandacheAĂ›§Â–Ă?ĂžÂ˜mAĂ›§FinslerAĂ›. AMS(2000): 03C05, 05C15, 51D20,51H20, 51P05, 83C05,83E50

“êXĂš9Ùã)LÂŤ Ă„k Ă„Â˜Â‡{Ăź ÂŻKÂľ1 + 1 = ? 3g,ĂŞX¼§¡Â‚ 1+1=2. 32?› $ÂŽNX¼§¡Â‚„ 1+1=10§Úp 10¢Sބ´2. Â?â/Ă„½ÂƒĂ„½ uÂ’½0 óÆgÂŽ§¡Â‚ĂŚ^Â˜ÂŤ/‡g‘ ! _ 0gÂŽ([6]) 5­#w– ڇ¯K§­#ŠĂ›1 + 1 = 2½6= 2. ¡Â‚ 1, 2, 3, 4, 5, ¡ ¡ ¡ Ăš ĂŞ ¤g,ĂŞXN . 3ڇêX¼§Â?âêê 5Ƨz‡ê¥Ǒ ÂĄ; X ĂŞ Uê§=2 UĂŞÇ‘3§PÇ‘2 = 3. Ă“ §3 = 4, 4 = 5, ¡ ¡ ¡ . Ăš ¡Â‚Ă’

§1.

′

′

′

1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5, ¡ ¡ ¡ ; 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, ¡ ¡ ¡

Ăš ˜ $ÂŽ ÂŞ. 3ڍ$ÂŽNXe§¡Â‚Â?U 1 + 1 = 2 (Ă˜. y3ÂŁ ˜e$ÂŽ ½Ă‚. ‰½Â˜Â‡8ĂœS §Ê∀x, y ∈ S, ½Ă‚x ∗ y = z§¿g ´S Ăž 3˜‡2 (ĂœN ∗ : S Ă— S → S § ∗(x, y) = z. 106

18ร ร ยงย 'ยฏKรฏร รฆ^รฃ) ย ยชยงยทย ย ยฑ^รฃrรนยซ'X3ยฒยกรพLยซร 5. ร krS ยฅ zย ^ยฒยกรพ :LยซยงXJS ยฅknย ยงK3ยฒยกรพร nย ร ย :ยถ รผย :x, zย mรซ ย ^kย ย รฃยงXJ 3ย ย y x โ y = z,ยทย 3รน^ย รฃรพIรพโ yยงยกว Tย รฃ ยญยงXรฃ1.1ยคยซ. รฃ1.1 5ยฟรนยซรฉAยด1 โ 1 ยงPS รฉA รฃว G[S]. ยฝร 1.1 ย ย ย รชXร (A; โ ฆ)ยกว รผย e 3ย ย N ฬ : A โ A รฉโ a, b โ Aยงย ย a โ ฆ b โ AยงK 3ย ย ย ย c โ A, c โ ฆ ฬ (b) โ Aยงย A/ยกฬ ว รผย N . ยทย รฉNยด eยก'uย รชXร (A; โ ฆ)ย รฃG[A] 'X ย ย (J. ยฝn1.1 (A; โ ฆ)ว ย ย ย รชXร ยงK (i) e(A; โ ฆ)รพ 3ย ย รผย N ฬ ยงKG[A]ยดย ย Eulerรฃ. ย ย ยงeG[A]ยด ย ย EulerรฃยงK(A; โ ฆ)ยดย ย รผย $ย Xร . (ii) e(A; โ ฆ)ยดย ย ย รช$ย Xร ยงKG[A]ยฅzย ยบ: ร ร ว |A|ยถ d ยงXJ(A; โ ฆ)รพย ร ยครกยงKG[A]ยดย ย ยญ2-รฃย zย ยบ:ร ร ย ย ย ร ร ยบ:ย m >ว ย รฉ2->ยงย ย ยฝ,. ยง2. ย รชSmarandacheยญย m ย ย 1 + 1 6= 2ยฝ1 + 1 = 2ย 1 + 1 6= 2ร ย ยครก รชร Xร ยงยทย Iย ?ย ร รญ2รพยก gย . ย ย /ยงยทย ยฝร ย ย Smarandache n-ยญย mXe. ยฝร 2.1 ย ย n-ยญย mPยงยฝร ว nย 8ร A , A , ยท ยท ยท , A ยฟ 1

X

=

n [

2

n

Ai

i=1

ย zย 8ร A รพรพยฝร ย ยซ$ย โ ฆ (A โ ฆ )ว ย ย ย รชNXยงรนpnว รชยง1 โ ค i โ ค n. ร ย { รผ ~ f. nว ย ย รช ยงZ = ({0, 1, 2, ยท ยท ยท , n โ 1}, +) ว (modn)\ { +. P = (0, 1, 2, ยท ยท ยท , n โ 1)ว Z ยฅ ย ย ย ย . รฉ ? ยฟ รชi, 0 โ ค i โ ค n โ 1ยงยฝร Z = P (Z )ยง eZ ยฅk + l = mยงKZ ยฅ kPS(k) + P (l) = P (m)ยงd?+ Lยซ $ย + : (P (k), P (l)) โ P (m). K Z ร ยดย ย nยญย รชXร . i

i

i i

1

n

i

i+1

i

i

n

i

i

i

1

1

i

i

i

i+1 i

i

i=1

107

Smarandache

¯KïÄ

3­ m µee§· ±í2²; êÆ¥+ Vg ­+ V g§¿ Ù A ê( . ½Â2.2 Ge = S G Ǒ äk$ 8O(G)e = {× , 1 ≤ i ≤ n} µ4­ m. eé?¿ êi, 1 ≤ i ≤ n, (G ; × ) ´ +§ é∀x, y, z ∈ GeÚ?¿ü $ /×0and /◦0§× =6 ◦§ 3 $ §~Xקé/◦0÷v© Ƨ= n

i

i

i=1

i

i

x × (y ◦ z) = (x × y) ◦ (x × z); (y ◦ z) × x = (y × x) ◦ (z × x),

Ù¥ $ (J 3§K¡GeǑ n-­+. Ó §· ±½Ân-­+ f­+! 5f­+ Vg§? +Ø¥ ²;(J í2§ ©z[4]. aq/§· ±? ÚÚ?­ !­ þ m Vg§? í2 ! 5 mnØ¥ Ͷ(J. ½Â2.3 Re = S R Ǒ m-­ m§ é?¿ êi, j, i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ e§ A $ (Jþ 3§K m, (R ; + , × )Ǒ é?¿ ∀x, y, z ∈ R k m

i

i=1

i

i

i

(x +i y) +j z = x +i (y +j z),

(x ×i y) ×j z = x ×i (y ×j z),

x ×i (y +j z) = x ×i y +j x ×i z, (y +j z) ×i x = y ×i x +j z ×i x,

K¡ReǑ m-­ . eé?¿ êi, 1 ≤ i ≤ m, (R; + , × )´ §K¡ReǑ m-­ . ½Â2.4 Ve = S V Ǒ m-­ m§ Ù$ 8 ÜǑO(Ve ) = S ˙ , · ) | 1 ≤ i ≤ m}§Fe = {(+ F Ǒ ­ §Ù$ 8ÜǑO(Fe) = {(+ , × ) | 1 ≤ i ≤ k}. eé?¿ êi, j, 1 ≤ i, j ≤ k 9?¿ ∀a, b, c ∈ Ve , k , k ∈ Fe, éA $ (J 3§K ˙ , · )Ǒ F þ þ m§Ù þ\{Ǒ/+˙ 0§Iþ {Ǒ (i) (V ; + /· 0¶ i

i

k

i

i=1

k

i

i

i

i=1

i

1

i

2

i

i

i

i

i

i

˙ i b)+ ˙ j c = a+ ˙ i (b+ ˙ j c); (ii) (a+ (iii) (k1 +i k2 ) ·j a = k1 +i (k2 ·j a); Ve Fe k (Ve ; Fe).

K¡ Ǒ­ þ ­ þ m§PǑ §3. AÛSmarandache­ m AÛ­ mX3­Ýþ mÄ:þ )§ÄkÚ\­Ýþ m Vg. ½Â3.1 ­Ýþ mMf½ÂǑ¿8 S M § é?¿ ê∀i, 1 ≤ i ≤ m

i

i=1

108

18Ù Ù§ '¯KïÄ § ´ÝþǑρ Ýþ m. ½Â3.2£[1][5]¤ ú ¡ǑSmarandacheĽ §eÙ3Ó m¥Ó L yѤá½Ø¤á§½ ±ü«±þ ªLyؤá. ¹kSmarandacheĽú AÛ¡ǑSmarandacheAÛ. Ǒ 5/ E2- SmarandacheAÛ§©z[3]Ú\ /ãAÛ Vg. ¤ ¢/ãM Ò´ã3 ½ ½Ø ½ ­¡þ 2- ni\. |^ +nØ ¥ (JÚ/ã AÛA5§TutteQu1973 JÑ/ã « ê½Â§Ǒ /ã |ÜïÄ e Ä:([2][4]). ½ Â3.3 3 / ãM z º :u, u ∈ V (M )þ D ¢ êµ(u), µ(u)ρ (u)(mod2π)§ ¡(M, µ)Ǒ / ãA Û §µ(u)Ǒ :u Æ Ï f ¼ê. À#N½Ø#N­¡þ ­ BL, ½,A ¡ ¡T/ãAÛ > .½k>.. ÀÆÏf¼ê5½ òÆÝ u ! u ½ u §©O¡:uǑ ý :!î¼:ÚV­:. ½n3.1([3-4]) k.! ./ãAÛ¥þ 3 ØAÛ! AÛ! KAÛÚ AÛ§= 3SmarandacheAÛ. ý :!î¼:ÚV­:33 m¥þ´ ±¢y §ùp: ¢ykOu î¼ m /§=Ø ½´² §Ø T:Ò´î¼:. ¤±/ãAÛJø

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[1] L.Kuciuk and M.Antholy, An Introduction to Smarandache Geometries, Mathematics Magazine, Aurora, Canada, Vol.12(2003) [2] Y.P.Liu, Enumerative Theory of Maps, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/ Boston/ London, 1999. [3] L.F.Mao, On Automorphisms groups of Maps, Surfaces and Smarandache geometries, Sientia Magna, Vol.1(2005), No.2, 55-73. [4] L.F.Mao, Smarandache multi-space theory, Hexis, Phoenix, AZ 2006. [5] F.Smarandache, Mixed noneuclidean geometries, eprint arXiv: math/0010119, 10/2000. [6] F.Smarandache, A Unifying Field in Logic: Neutrosophic Field, Multi-Valued Logic, Vol.8, No.3(2002)(special issue on Neutrosophy and Neutrosophic Logic), 385-438.

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110

18Ă™ Ă™§Âƒ'ÂŻKĂŻĂ„ Smarandache

AÛÆ 0

L.Kuciuk1 M.Antholy2 (1. University of New Mexico, NM 87301, Email: research@gallup.unm.edu.) (2. University of Toronto, Toronto, Email: mikesntholy@yahoo.ca.)

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„k˜‡'uSmarandacheAĂ› èWĂœ§ ÂŒ´¾ http://cluds/yahoo.com/clubs/smarandachegeometries,  HÂŒ[ 5. Â?Ăľ &EžwÂľhttp://www.gallup.unm.edu/ smarandache/geometries.htm. 112

18Ù Ù§ '¯KïÄ ë ©z [1] L.Kuciuk,M.Antholy, On Smarandache Geometries, presented at New Zealand, Mathematics Colloquium, Massey University, Palmerston North, New Zealand, December 3-6, 2001, http: //atlasconferences.com/c/a/h/f/09.htm; also at the International Congress of Mathematicians(ICM 2002), Beijing, China, 20-28, August 2002, http://www.icm 2002.org.cn/B/Schedule Section04.htm. [2] Ashbacher,C., Smarandache Geometries, Smarandache Notions Journal, Vol.8, 212-215, No.1-2-3,1997. [3] Chimienti,S.and Bencze,M., Smarandache Paradoxist Geometry, Bulletin of pure and Applied Sciences, Delhi, India, Vol.17E, No.1, 123-1124,1998. http://www.gallup.unm.edu/-smarandache/prd-geo1.txt. [4] Iseri,H, Partially Paradoxist Smarandache Geometries, http://www.gallup.unm.edu/-smarandache/Howard-Iseri-paper.htm. [5] PlanetMath, Smarandache Geometries, http://planetmath.org/encyclopedia/Smarandache Geometries.html. [6] Smarandache,F., Paradoxist Mathematics, in Collected Papers(Vol.II), Kishinev University Press, Kishinev, 5-28,1997.

113

Smarandache

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Smarandache

S.Bhattacharya (Alaska Pacific University, 4101 University Drive, Anchorage, AK99508)

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18Ă™ Ă™§Âƒ'ÂŻKĂŻĂ„ Â?ĂľSmarandacheAÛ̈́: www.gallup.unm.edu/ Smarandache/geometries.htm. 3§Â‚ AÛÄ:Ăž,Ă?L Ă„?Â˜ĂŽAp 1ĂŠĂş ½Ü?˜F Ă‹A › Ăşn S¨Ă„½,Ă–ĂśÂŒÂąÇ‘ÞãAĂ› E# ~f.SmarandacheAĂ› ~fÂŒÂą Ă?Le‡u‰L.Kuciuk(research@gallup.unm.edu)Ú¼IĂąĂœÂŽĂœS½Ăœ ÂŒĂ† êÆX ĂœŠ+ Ç(wpzhang@nwu.edu.cn),Âż3;8ĂžuL. ĂŤ Šz [1] Kuciuk, L.,Antholy,M., An Introduction to the Smarandache Geometries, JP Journal of Geometry Topology, 5(2005), 77-81. [2] , , Smarandache ( ). , 2005. [3] Smarandache, F., Paradoxist Mathematics(1969), in Collected Papers (Vol.âˆ?), Kishinev University Press, Kishinev, 5-28, 1997.

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Smarandache

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2ÂSmarandache Palindromesê —� Charles Ashbacher (Charles Ashbacher Technologies Hiawatha, IA 52233 USA, Email:

cashbacher@yahoo.com )

Lori Neirynck (Mount Mercy College, 1330 Elmhurst Drive, Cedar Rapids, IA 52402 USA)

¡Â‚r˜‡ ÂŒĂœŠĂš ÂŒĂœŠÂƒĂ“ ĂŞ ‰palindromeĂŞ. ~X12321Ă’´Â˜ ‡palindromeĂŞ. N´y²3 ĂŞ8ĂœÂĽpalindromeĂŞ —Ă?Ç‘". ˜‡2Ă‚ Smarandache PalindromesĂŞÂŁGSP¤´äk/X a a a ...a a a a . . . a a a ½Ü a a a . . . a a a ...a a a ĂŞ. Ù¼a , a , a , . . . , a ÂŒ¹´Â˜Â‡½þ‡êi. ~X 10101010 Ăš 101010 Ă’´GSPê§Ú´Ă?Ç‘§Â‚U ŠÇ‘/ÂŞ(10)(10)(10)(10) Ăš(10)(10)(10) Â…l ÂĽmĂ‘ÂŒ¹Š¤ ÂƒĂ“ ĂźĂœŠ. k˜:I‡`² ´§z˜‡ ĂŞĂ‘ÂŒÂą wŠ´Â˜Â‡2Ă‚Smarandache Palindromesê§Ú´Ă?Ç‘¡Â‚ÂŒÂąrĂšÂ˜ ĂŞwŠ˜‡ N§~XÂŒò12345 ¤(12345)§¡Â‚ Ă‘ڍ²Â…Âœ/. u´§Â˜Â‡ 5 Palindromesê– ÂŒ ¹ŠÇ‘ĂźÂ‡ĂœŠ. ¡Â‚25wĂŞi100610, ÚǑ´Â˜Â‡GSPĂŞ. Ă?Ç‘ÂŒÂąr§ŠÂŠ(10)(06)(10)Ăš AÂ‡ĂœŠ§ ÂĽm ĂœŠ´Ă•ĂĄ . ĂŠ ² w § z ˜ ‡ 5 palindromeĂŞ ´ ˜ ‡GSPĂŞ § GSPĂŞ % Ă˜ ˜ ½ ´palindrome 5 . Ç‘Ă’´`GSPê‡' 5 palindromeĂŞĂľ. Ă?d§GSPĂŞ —Ă?´Ă˜ u" §u´¡Â‚ Ă„XeÂŻKÂľ ĂŞÂĽGSPĂŞ —Ă?´N QÂş 1Â˜ĂšĂŠN´y². ½n: ĂŞÂĽGSPĂŞ —Ă?ÂŒu0.1. y²¾ Ă„Â˜Â‡?Âż ĂŞ 1 2 3

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[1] G.Gregory, Generalized Smarandache Palindromes, http://www.gallup.unm.edu/âˆźsmarandache/GSP.htm. [2] Smarandache, F., Generalized Palindromes, Arizona State University Special Collections, Tempe.

117

Smarandache

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Sukanto Bhattacharya (Alaska Pacific University, Anchorage, USA) Mohammad Khoshnevisan (Griffith University, Queensland, Australia)

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Ăš Ă–7ÂŒÂąleÂĄ 䮐iĂŁĂ–,e1Âľ

www.gallup.unm.edu/ âˆź smarandache/eBooks-otherformats.htm

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Smarandache

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Research on Smarandache Problems

Yi Yuan Research Center for Basic Science Xi’an Xi’an,

Jiaotong Shaanxi,

University 710049

P.R.China

Kang Xiaoyu Editorial Board of Journal of Northwest University Northwest University Xi’an,

Shaanxi,

P.R.China

710069

责任编辑：马金萍 封面设计：潘晓玮

Research on Smarandache Problems

ISBN 1-59973-016-2

53995>

9 781599 730165

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