Smarandache 未解决的问题 及其新进展

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Smarandache未解决的问题 及其新进展

刘燕妮 西北大学数学系 李

玲

陕西工业职业技术学院基础部 刘宝利 西安航空职业技术学院基础部

High American Press

2008

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Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi , P.R.China. Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong , P.R.China. Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P.R.China.

Copyright 2008 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

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ISBN: 978-1-59973-063-9 Standard Address Number: 297-5092 Printed in the United States of America

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Smarandache

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12 13 16 18 20 23 26

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38

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II

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III

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IV

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104 104 104 104 106 108 111 112

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Smarandache

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1.3

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S(n) = max {S(pÎąi i )} .

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(p − 1)Îą = max {(pi − 1)Îąi }.

¢

1≤i≤k

1.2.5

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1.2.6 X

n≤x

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¢

3 2

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n≤x

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3

W j k lAm

x > 1,

X ci ¡ (2x) 2 Ď€ 2 (2x) 2 √ S (Z(n)) = +O ¡ √ + i 18 ln 2x ln 2x n≤x i=2 X

X

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Îąk k

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x ln2 x

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x ≼ 3, 3

x2 ln2 x

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,

k

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1.2.7

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Riemann zeta-

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B2C

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x ≥ 3,

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k2 x 3 ln x

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.

x ≥ 3,

W 3

2ζ( 32 ) x 2 · +O (SM (ak (n)) − (k − 1)P (n))2 = 3 ln x

¢

x ln2 x

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2ζ( 32 ) x 2 (S (ak (n)) − (k − 1)P (n))2 = · +O 3 ln x ζ(s)

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2

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2

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S(m1 ) + S(m2 ) + · · · + S(mk ) = S(m1 + m2 + · · · + mk )

W ß à q 3 & ' µ

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Smarandache

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1.2.2

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Smarandache

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!º%H C , N l · l 2· · · l ý N C , H I . ; < C ý ®Aþ N C , K L . ¢ 1.2.14 n ß þA^g` 8 , (1-1) m $ Å %)t & ' . &"' : M N , ; = ?5@PO Q I"R4S C8 ¹ G : D ì C nT U O Q I(R S C , V W n > 1¬ ô õ ö X C p, Ê p | n Ë7Ì p † n. Y Z [ ô õ ö O Q I(R S X C n, ® N.M ¶ n = p · p¹ ·G · · p \ H ] n 7O P Q R , 2 p < p < ··· < p H C . X S(n)· ý @ S(n) = S(p · p · · · p ) = p . Ê k = 1Ë , n = p H C , Ë 1

2

n

n

2

1

2

1

k

1

k

2

2

k

k

1

X 1 X 1 1 1 1 = = + =1+ . S(d) S(d) S(1) S(p1 ) p1

N C . 1 (1-3) R ® þ Ë , ^ ö ¼ ô ý õ ö d|p · p · · · p Ì

d|n

p1 > 1, k>1

Ê

d|p1

1

X 1 = S(d) d|n

X

d|p1 ·p2 ···pk

1 = S(d)

X

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d|p1 ·p2 ···pk−1

X

=

d|p1 ·p2 ···pk−1

_

2

d|p1 ·p2 ···pk−1

1 + S(d)

i

X

d|p1 ·p2 ···pk−1

,

1 pk

X

d|p1 ·p2 ···pk−1

1 S(dpk )

1 p aH = X C , R · i=1

, ¹

X 1 S(d)

H AC , . ¶

(1-3)

R

d|n

k X 2i−1

k > 1,

1 + S(d)

N

(1-4)

R ý ®.þ N A C .7 ý J X 2p ! H7 C . ý ` M i=1

S(dpk ) = pk .

1 2k−1 + S(d) pk

(1-4)

i−1

k−1

X

= ······ k X 2i−1 . = pi i=1

k

(1-3)

pi

= m.

k

7

Smarandache

k−1 i−1 X 2

b c

i=1

pi

k−1 i−1 X 2

p1 ¡ p2 ¡ ¡ ¡ p k ¡

pi

−m=

−m

!

2k−1 , pk

= p1 ¡ p2 ¡ ¡ ¡ pk−1 ¡ 2k−1 .

(1-5)

R d e,ĂžaNEf i g j p •Aš ­ Âş , < h e Ă˝ Ăžag p •A­ , H I , 1 ÂŽ (1-4)R • C . ‰ k " . Ă˝ ÂŽ ¢Þ H71.2.15 " # $ 1 ] pl # $ & ' Îą, n = p Âą Îą ≤ p (1-1) m $ Ă… %)t & ' . & ' : Ă´ ‰ Ăľ Ăś = X C p ” • C Îą, ĂŠ n = p Ă‹ , M 1 ≤ Îą ≤ p. . \ ÂŻ °8@ Ă˝ _

i=1

(1-5)

k

k

Îą

,

Îą

X 1 X 1 1 1 1 1 = = + + + ¡¡¡ + 2 S(d) S(d) S(1) S(p) S(p ) S(pι ) d|n d|pι 1 1 1 = 1+ 1 + + ¡¡¡ + . (1-6) p 2 ι

Âś K Âş 1.2.1 (1-6)R ÂŽ Âť Âź ĂŠ n = p ÂŹ 1 ≤ Îą ≤ p Ă‹ , (1-1)R ÂŽ Ăž N • Ă˝ C . ‰ ¢N " š Âş 1.2.15. ²%Âł 1.2.16 ""m #%$ & ' n, p ¡ p ¡ ¡ ¡ p ¡ p *,+ n

´ Âľ m , a S(n) = p , (1-1) m $ Ă… %)t & ' . &n' : HAI5J5K L.M n = p ¡ p ¡ ¡ ¡ p ¡ p = u ¡ p ÂŤ>^ Ăś Âź S(n) = p , 1 ÂŽ ; = ĂŒ Îą

Îą1 1

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k

k

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Îą2 2

Îąk−1 k−1

k

k

k

X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = + = + S(d) S(d) S(dpk ) S(d) pk d|n

d|u

X 1 d(u) + , S(d) pk

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d|u

"2 8

d(u)

H ­ C%B2C

d|u

.

d|u

d|u

(1-7)

u D v

Smarandache

B2C

1 0 (1-7)R 2 _ ,ĂŠ d|u Ă‹ , S(d) < p . 1 ÂŽ 0 ĂŒ Âş C X S(d) 2 , p q 7H • C , ;E< 1 < ĂŠ X S(d) H7• C%Ă‹ , d(u) QEo"2 Ă˝ Â? X C p . RP% p k

d|u

k

k

d|n

pk | d(u) = (Îą1 + 1)(Îą2 + 1) ¡ ¡ ¡ (Îąk−1 + 1).

Âś ‰ p H X C ,1 ÂŽ p % • ­ - D k

Âś IÂŹ

(Îąi + 1).

k

Smarandache

B2C, <F G

;E< ÂŽ Âť

ιi + 1 ≼ p k . (1-8)

(1-8)

R J

S(pÎąi i ) ≼ (pi − 1) ¡ Îąi + 1 ≼ Îąi + 1 ≼ pk

(1-9)

N R H p | S(p ), R4< S(p ) > p . Ăť F S(n) = p H Ăť 1 Âś ÂŽ)š Âş š Âş jEr . ÂŽ [Es t ĂŹ , ÂŽ Âť Âź ½ ž, u v " # $ & ' n X X 1 7' ÂĄ ¸¹ Ă?ÂĄ n = 1, 8.

S(pÎąi i ) 6= pk , , 1.2.16

Îąi i

i

d|n

1.2.3

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X

S(d) = φ(n)

Îąi i

k

k

S(d)

z {}| ü,ç

d|n

0 „ ~ … , ; = ?A@ <D Ï , <I “ X

S(d) = φ(n),

2 φ(n)N Euler- B C . Ăž Ăş*€ Âź  I “Ă? a1 c ĂŒAŠ ” ‹ •%C , N ; = ĂŒ*‚ φ(n) = S(n )( D ƒ Ăľ %Ăś A 7š Ă? ) . 0…„ † , ; =. 4‡>ˆ ‰ 2 k H N ? ” • C )I “¤ 7 ¤ 7ĂŹ C < . ˆ N ‰ Ăş Ăť ĂŹÂĄ < , ÂŒ Â? Âť Âź n = 1  I “5 2 , ; = ÂŤ Ă˝ J Ă´ ÂŽ Ăľ Ăť Ăś ĂŹ I š “ ĂŒ ĂŒ(Â?2ĂŹ . ½ ž ; = E ĂŻ IE + Ăť ĂŹ. , ? ” • C k ?A@ 4Ăť ĂŹ I “A kÂ? . ¢ 1.2.17 Ăž Ă˜ S(n) = φ(n)W ‘ 3 Âľ : n = 1, 8, 9, 12. d|n

k

9

& ' :M

S(n)

ù

· · · p H n <O P>RPS Q R ,

Smarandache n = pα1 1 pα2 2

αk k

S(n) = max {S(pi αi )} = S(pα ).

φ(n)

¹ G ® »

1≤i≤k

φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1) = φ(pα )φ(n1 ) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ) = S(pα ).

N I S(n) = φ(n) < . V W n > 1; = Q t ÷ ø V ½ : N ò , (I) V W α = 1 ¬ n = p, * S(n) = p 6= p − 1 = φ(n). ! ó õ* D ì X C %I S(n) = φ(n). V*W α = 1¬ n = n p,

8 0 ý S(n) = p 6= (p − 1)φ(n ) = φ(n p). 1 I O . (II) V W α = 2, Ì S(p ) = 2p ù φ(p n ) = p(p − 1)φ(n ). 1 û,Ë Ê2¬ Ô%Ê (p − 1)φ(n ) = 2 Ì S(n) = φ(n). û8® Q>9 > " +A÷8ø : p − 1 = 1, φ(n ) = 2; p − 1 = 2, φ(n ) = 1. !"C ® » p = 2, n = 3; p = 3, n = 1. û.Ë I S(n) = φ(n)Ì 9 ì _ : n = 12, 9. N n = 8 I . (III) V W α = 3, Ì S(2 ) = φ(2 ) = 4, V W α ≥ 3 ¬ p > 2, ^ ö ¼ _

n=1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

3

1

3

pα−2 > 2α−2 = (1 + 1)α−2 = 1 + α − 2 + · · · + 1 > α.

C<Ì

pα−1 > αp ⇒ pα−1 (p − 1)φ(n1 ) > αp,

S(pα ) ≤ αp.

1 û I O . [ ¾Et , )÷ ø , ; = r ® » I S(n) = φ(n)Ì" 4ì n = 1, 8, 9, 12. NEi j ¹ º 1.2.17 k " . # ¢ 1.2.2 Y Z p > 5]8 , Á Â S(p ) ≤ kp. Y Z k < p, Á Â S(p ) = kp, s 0 k 2# $a¡ ¨ <& ' . k

k

10

:

& ' ¢

u D v

Smarandache

B2C

¢ ÂŁP¤EÂĽ [1]). Âľ : n = 1, 24, 50. 1.2.18 ÂŚ Ă˜ φ(n) = S(n )W § 3 & ' : Â’ n = p p ¡ ¡ ¡ p , Âś S(n)Ăš φ(n) š G ÂŽ Âť : (

2

Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

2Îą i S(n2 ) = max{S(p2Îą i )} = S(p ),

"2 p H X C ÂŽ

φ(n) = pÎąâˆ’1 (p − 1)φ(n1 ),

φ(n) = pÎąâˆ’1 (p − 1)φ(n1 ),

"2 (n_ , p) = 1.N ! Ăł N ò n Ăš p k¨ Ă“ Š RPS H 1. n = 1 I “ φ(n) = S(n ) . V W n > 1 ; = “ Q ÂŞ á ø V ½ : (i) Â’ Îą = 1. Âś V W p = 2, — ˜ S(2 ) = 4, φ(n) = (2 − 1)φ(n ), S(n ) = S(2 ) = ÂŽ φ(n ) = 4, ‰ N n = 2 Ă— 5. S(2 ¡ φ(n) = φ(n ) ÂŽ Âť φ(n ) = 4, 1 ¡ Ăť ĂŹ I “ O . 5 ) = 10 6= φ(2 Ă— 5), R VÂŤW p ≼ 3, Âś K ¡ Âş ÂŽ5Âť S(p ) = 2p, φ(n) = (p − 1)φ(n ), ^ Ăś Âź p †(p − 1)φ(n ), R Ăť ĂŹ I “ ! O . (ii) Â’ Îą = 2. V W p = 2, — ˜ S(2 ) = 6 = 2φ(n ), O . V W p = 3, — ˜ S(3 ) = 9 = 3 Ă— 2φ(n ), O . ÂŽ V>N W p = 5, —"˜ S(5 ) = 20 = 5 Ă— 4φ(n ), 1 n = 2, R ¡ n = 5 Ă— 2 I “A ) . V W p ≼ 7, — ˜ S(p ) = 4p = p(p − 1)φ(n ), ^ Ăś Âź p − 1 > 4, O . (iii) Â’ Îą = 3. V W p = 2, — ˜ S(2 ) = 8 = 4φ(n ), 1 ÂŽ n = 3, R ¡ n = 2 Ă— 3N I “A ) . V W p = 3, — ˜ S(3 ) = 15 = 3 Ă— 2φ(n ), O . V W p = 5, — ˜ S(5 ) = 25 = 5 Ă— 4φ(n ), O . V W p = 7, — ˜ S(7 ) = 42 = 7 Ă— 6φ(n ), O Ăś . V W p > 7, — ˜ S(p ) = 6p = p(p − 1)φ(n ), ^ Âź p − 1 > 6, O . (iv) Â’ Îą = 4. V W p = 2, — ˜ S(2 ) = 10 = 8φ(n ), O . V W p ≼ 3, Âś K Âş ÂŽ Âť S(p ) < 2pÎą, ^ Ăś Âź φ(n) = p (p−1)φ(n ) Ăš p > 2pÎą, O . 1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

4

2

2

1

1

4

1

4

1

4

1

1

2

4

1

6

1

6

2

6

2

6

2

3

1

1 1 1

6

1

8

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1

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1

Îąâˆ’1

11

Smarandache (v)

Â’

Îą = 5. p = 2, S(210 ) = 12 = 24 φ(n1 ), . 2Îą p ≼ 3, S(p ) < 2pÎą, φ(n) = pÎąâˆ’1 (p−1)φ(n1 ) pÎąâˆ’1 > 2pÎą, . (vi) Îą ≼ 6. p ≼ 2, S(p2Îą ) < 2pÎą, φ(n) = pÎąâˆ’1 (p−1)φ(n1 ) pÎąâˆ’1 > 2pÎą, . (i) (vi), φ(n) = S(n2 ) : n = 1, 24, 50. . , :

Ăš

V W V W

—œ ˜ K O Âś K O

Â’

Âş ÂŽ Âť

^

O Ăś

Âź

Âş ÂŽ Âť ^ Ăś Âź Ăš ÂŹ ‹ Âź ; = r ž ÂŽ Âť I “ ĂŒ t ĂŹ ‰ NEi j š Âş k " ÂŞ ­ É E (Ž°¯A <IE ; = ÂŽ ÂŽ ÂťA@ ¢ 1.2.19 ÂŚ Ă˜ φ(n) = S(n ) W § 3 Âľ : n = 1, 48, 98. ¢ 1.2.20 ÂŚ Ă˜ φ(n) = S(n ) W  3 Âľ : n = 1. Âą : ² Âł ´aÂľ8 ÂŚ Âś , U V ¡ Ă… ¸kšAÂşkÂŚ7Ă˜ φ(n) = S(n )W W8Ă„ 3 & ' Âľ , s 0 k 2# $aÂĄ ¨ <& ' . V W

3 4

k

–˜—

™5šy› ÂťAÂźnwyx 0 žaÂż ¤EÂĽĂ€ [38] ½8@ )½ žEt ĂŹ : Ă Ă‚52 Ăƒ , 1:Charles N Ăş ĂŒ Ashbacher + S(n) = kn. ž Âż*Ă€>Ă Ă‚ Ăƒ 2: N Ăş 8 ĂŒ>0%Â?)” ĂŹ • C š k,› : S(n) Âť Ă„ ĂŒ%” • C nš › S(n) + S(n) = kn. ž ¿Ă€Â…Ă (Ă‚EĂƒ 3: NAĂş 8>0>¨ Ă“ ” •8C k :AÂť 8>0.” •8C n š › S(n)èĂ… + S(n) , Ă„ ĂŒ =Æ kn.Š ‹EÇ Ăť E. g . 0 Ăť D ĂŻ Q , ; = “ : I + Š ‹ Ăť E5 , ÂŤ ? F i Â? Âş . C2Ăł N , ; = “ " )½ ž, ø : ME# N¢ , ; = ?A@k9 ĂŹ ĂŽ Ă? K . a É Ăˆ k > 0Ă— Âą (k, h) = 1, *ĂŠ nk+h, n = 0, 1, 2, . . . 0 Ă‹ É Ă&#x; Ă„ 1.2.3 & ' :q ¢3 ] ÂŁP¤E .ÂĽ [2] 2 š Âş 7.9. # ¢ 1.2.4 ÂŁ ptĂ?]8 , a ".#ÂĄ$A&¤'8 k, U8V.W S(p ) ≤ kp. k ≤ p , a W S(p ) = kp.

1.2.4

F.Smarandache

2

2

2

k

k

12

u D v

Smarandache

& ' : ¢ £P¤E¼ [1]. ¢ 1.2.21 " # $ & '

k,

B2C

ÂŚ Ă˜

S(n)2 + S(n) = kn

(1-10)

W WAĂ„73 & ' Âľ , aÂą ĂŒ 3 Âľ n Ă? ĂŽ Y

n = pn1 ,

s 0 p = kn − 1t ] . Ă? _ , Ăť ĂŹ š Âş i Â? A ÂŤ a[ s t ĂŹ_ 2 . C Ăł N , Ă´ Ăľ%Ăś ” • C k, 8 0 O>Â?aˆ ĂŹ ” • C nš › I “ S(n) + S(n) = kn. R ¡ , Ă˝ 8 0 ¨ Ă“ &” • ' C k : Âť I “ (1-10)ĂŒ ” • C š G . : Y Z [ , Ă?EĂ‘,B2C S(n) ĂŒ p |n, : Âť 1

2

Îą

S(n) = S(pÎą ) = mp,

"2 mN ” • C , Âś K Âş 1.2.4ÂŽ J m ≤ Îą. M n = p n , "2 (p, n ) = 1. ĂŠ Îą = 2 Ă‹ , . ĂŒ m p + mp = kp n , ‰ N p |m¡ p + mp,š R ¡ p|m, C2Ăł N p ≤ m ≤ Îą. Ă• ÂŞ Ă’ , N D H I 8 0 ¨ Ă“ ” • C u, : Âť p |m, . m N ĂŒ(Â? Ă“ ” . • C , Y ¡ Z [ Ăť R , Îą = 1, m = 1, p + p = kpn , b p = kn − 1 Ă‹ , Âś K Âş 1.2.3, 8 0 OÂ…Â? ˆ ĂŹ Ăť ÂŻĂ? X C p. Ă“ I “ (1i j š Âş k " . 10) ĂŒ O>Â?aˆ ĂŹ ” • C n = pn = (kn − 1)n . Ăť Ăł Îą

1

1

2 2

2

2

1

2 2

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2

1

1

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1

1

– — F.Smarandache Ă”yÕʙ5šy›wyx ˜ Ă´ ‰ Ăľ Ăś ” • C n, SmarandacheĂ– ) B2C S (n) š G H š › y | n!ÂŹ N S (n) = max{m : y | n!, "2 1 ≤ 1 ≤ y ≤ m ¨ Ă“ ” • C m. ! Ăł ĂŹ Â? Q Ăˆ H : y ≤ m, m + 1 †n!}. Ă— V S (n) 1.2.5

c

c

c

Sc (1) = 1, Sc (2) = 2, Sc (3) = 3, Sc (4) = 4, Sc (5) = 6, Sc (6) = 6, 13

Smarandache

Sc (7) = 10, Sc (8) = 10, Sc (9) = 10, Sc (10) = 10, Sc (11) = 12, Sc (12) = 12, Sc (13) = 16, Sc (14) = 16, Sc (15) = 16, · · · · · · .

û ì.B C ¨ N 0 ¤ ¥ [39] 2 ¶ A.Murthy KEØ. , Ù > S (n) F G , «a " ½, ø : 7 Su (n) = x ¬ n 6= 3, x + 1 N Ó n k¨ ~ X C . ¤"ß«à>á â ÝÐ0 ;¤= ãÚn Û ½éC5 ø8 ù : Smarandache ô õ ö 5 C k, ÷(NÐÜ«ú Ýn8 2 0 , OyÞ"ä å 5 C (m , m , · · · , m ) I c

c

1

2

k

Sc (m1 + m2 + · · · + mk ) = Sc (m1 ) + Sc (m2 ) + · · · + Sc (mk ).

ª Ì ç , R7H F è é ê4ë ì«íïî«ðòñ Ì óEô>ê ¬ õ . ö û . ì æ ~ ÷ êEø ù è êEú * û + > û ìyð ñ , ü ý : þ ÿ ú ê : 1.2.22 "!$# % k ≥ 3, &('*) +-,/. !*# % (m , m , · · · , m ) 021 354 1

6 798

2

.

k

Sc (m1 + m2 + · · · + mk ) = Sc (m1 ) + Sc (m2 ) + · · · + Sc (mk ).

: û ;=< > ú ?A@ B CED F=G H=I (m , m )J K L úEM=NEOQP R MES=TQ (ê*ð5ñ , U V O WAX>êZY=[=\ ]Q^ _a` ë>ì-b îdcde úaG9fnê ( g ú , haM NaidI 2N ≥ 6 j k < 2N = p + p ê ldm , gEn Ndodp Iyê=q ), ras9@ B CtD FdGuH I (mv , w m ) J K û ; S (m + m ) = S (m ) + S (m ). : x y , z|{Ep IE} ~= E = E K= >ê2o=I 2N + 1, M=} @ B { N=o=p I p , p q p J K û ; :

k=1 , . Sc (m1 + m2 ) = Sc (m1 ) + Sc (m2 )? . 1

1

1

2

2

2

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c

1

2

2

c

1

c

2

3

2N + 1 = p1 + p2 + p3 .

Q E QG HEI k ≥ 3q K E "ê p=I p, = EIE Q = j5 Q p + k − 1 d ZkA< k N=o=p I êZq : p + k − 1 = p 1 + p2 + · · · + p k .

(1-11)

m

(1-11) ,

(1-12)

d u 8 k = 3, u d u 9K p9I p, p + 2ú MuN o I , z (1-11) = p + 2 = p + p + p . Z (1-12)ú=G f . k = 4, r 1

14

2

3

M s =

p1 = 3,

Z z

Smarandache

(1-11)

2I

O

p + 3 = 3 + p 2 + p3 + p4 = p1 + p2 + p3 + p4 .

5 8 k = 4 : (1-12)úQG fa . _Q` k ≥ 5, Q pú E EoEI p + k − 1 − 3 · (k − 3) K = 9 2p I , z (1-11) A M=} @ B { N=o=p I p , p q p J K û ; : k−2

k−1

k

p + k − 1 − 3 · (k − 3) = pk−2 + pk−1 + pk

¡

p + k − 1 = 3| + 3 +{z· · · + 3} +pk−2 + pk−1 + pk = p1 + p2 + · · · + pk , k−3

þ ¢ p¤ = p = · · · = p = 3. Z A£ O k ≥ 3, (1-12) ú=G f . BQ Q (1-12) Q¥E< }=~d 5 t . = Q G HQI k ≥ 3, = K = 9 2p I p, az (1-12) >=¦ 1

2

k−3

p − 1 = p1 − 1 + p2 − 1 + p3 − 1 + · · · · · · + pk − 1.

§ E¨A E £=OEp I p , S (p − 1) = p − 1 , i = 1, 2, · · · , k, z (1-13) >9g© = i

c

i

i

(1-13)

m = p − 1, mi = pi − 1,

p − 1 = Sc (p − 1) = Sc (m) = Sc (m1 + m2 + · · · + mk ) = p1 − 1 + p 2 − 1 + p 3 − 1 + · · · · · · + p k − 1

ú

= Sc (m1 ) + Sc (m2 ) + Sc (m3 ) + · · · + Sc (mk ). , Sc (m1 + m2 + · · · + mk ) = Sc (m1 ) + Sc (m2 ) + · · · + Sc (mk ).

ª @EBECuD N p I û ;

£ Z@EBECuD FQG HQI

p,

(m1, m2 , · · · , mk )

JEK

Sc (m1 + m2 + · · · + mk ) = Sc (m1 ) + Sc (m2 ) + · · · + Sc (mk ).

L ¥ < «2}A~9 Z

. 15

ÂŹA E •E­¯Ž Â? Ăž=° R=Âą 1.2.6 ²´³ F.Smarandache Âľdœ¸¡aš´º´ V ]Q^ =ž Âż=m Kenichiro Kashihara Âź=½ U Smarandache

S (xn1 ) + S (xn2 ) + ¡ ¡ ¡ + S (xnn ) ≼ nS (x1 ) ¡ S (x1 ) ¡ ¡ ¡ S (xn ) .

(1-14)

2• Â? Ă€a­ ÂŽ . Ă =‚ L=Nt­ ÂŽ , Ă‚EĂƒ=ÂŹ O=Ă„ ] ^ Ă… . ÆQÇ Ăˆ •5É ĂŠĂŒĂ‹ • Ăş ‡ ˆ Ă?= Âż Ăť ÂŒ ]Q^ L Na­¯Ž , Ăź 9• : 1.2.23 d 9 ĂŽuĂ?9Ă? !Q#=% n > 1, Ă‘ Ă’9Ă“ (1-14)Ă”u) + . !=#A% v9Ă• w (x_=, ` x , ¡ ¡ ¡ , x ). : n = 1, r sA˜9:5ž Âż=m (1-14) Ă–=< ÂŤ S(x ) ≼ S(x ), Ă˝  Â‚ ÂŁ Od• G HEI x <=> . žQĂ— § M Ă˜EĂ€=Ă™ } n ≼ 2, ž x = x = ¡ ¡ ¡ x = 1, x = p > n, Ăž ¢ p Ăş p I . „ ¨ S(1) = 1, S(p) = pq S(p ) = np, — ˜= O 1

2

n

1

1

1

1

2

n−1

n

n

S (xn1 ) + S (xn2 ) + ¡ ¡ ¡ + S (xnn ) = n − 1 + S(pn ) = n − 1 + np (1-15)

q z

(1-15)

nS (x1 ) ¡ S (x1 ) ¡ ¡ ¡ S (xn ) = nS(p) = np.

q

(1-16)

(1-16)

>9g2� Ž=™

S (xn1 ) + S (xn2 ) + ¡ ¡ ¡ + S (xnn ) ≼ nS (x1 ) ¡ S (x1 ) ¡ ¡ ¡ S (xn ) .

— ª @ B CED N p I

p > n,

(1-17)

—Z˜ ÂŁ OEG H=I=F

(x1 , x2 , ¡ ¡ ¡ , xn ) = (1, 1, ¡ ¡ ¡ , p)

Ăş žĂŒÂż$m (1-14) •t . L-Ăš$ž Âż-m (1-14) @-B C*D*Ă›´F$G´H$I (x , x , ¡ ¡ ¡ , x ). L ÂŤ2}A~ 1.2.23. 1.2.24 9 Š Q ĂŽEĂ?QĂ?Š!=#A% n ≼ 3, ĂœEĂ? (x , x , ¡ ¡ ¡ , x ) 0 19Ă‘ Ă’Q6uĂ“7 (1-14), Ăž Ă&#x; x , x , ¡ ¡ ¡ , x à âåEĂŁ ‘ & Â’ ' “ n − 1ä 1. } ~ 1.2.24 ¢u• ĂĽuĂŚ çuè9ĂŠ • . š n = 2, u ž x = x = 2, r s O 1

2

n

1

1

2

2

n

n

1

2

S(x21 ) + S(x22 ) = S(22 ) + S(22 ) = 4 + 4 = 8 = 2S(2)S(2) = 2S(x1 )S(x2 ). 16

M Smarandache 2I Z v 8 nw = 2 : , }A~ 1.2.24 ç ¾ < > . _ ` : é n ≥ 3, (x , x , · · · , x ) J=KE¾ ¿ m = _Q` @EB x x , · · · , x ¢5êQë=@EB n − 1 N 1. x > 1 L=ì 2 ≤ k ≤ n J K ¾ ¿=m 1

2

2

rEs B

n

n

1

(1-14), x1 , > 1, x2 > 1, · · · ,

k

S (xn1 ) + S (xn2 ) + · · · + S (xnn ) ≥ nS (x1 ) · S (x1 ) · · · S (xn ) .

(1-18)

r9s/z I S(n) }E8 íQquÀQîu Q O S(x ) > 1q S (x ) ≤ nS(x ), i = § 1, 2, · · · , k. ¨ u a > 1, k ≥ 3 : , a + a + · · · + a < a a · · · a , _ ` 8 ð ò i = 1, 2, · · · , k; k = 2, a + a ≤ a a , ïEð ¿9ñE<Q> 8 a = a = 2 (a > 1, a > 1). Z ¾ ¿=m (1-18)ÖQª n i

i

1

i

1

1

2

1

2

2

i

k

1 2

k

1 2

2

n − k + S (xn1 ) + S (xn2 ) + · · · + S (xnk ) ≥ nS(x1 )S(x2 ) · · · S(xk ). (1-19)

_=`

¡

k ≥ 3,

r saz

q

(1-19) S(n)

©À î= O

n − k + n [S (x1 ) + S (x2 ) + · · · + S (xk )] ≥ nS(x1 )S(x2 ) · · · S(xk ) n−k + S (x1 ) + S (x2 ) + · · · + S (xk ) ≥ S(x1 )S(x2 ) · · · S(xk ). (1-20) n

§ ¨

0≤

_=`

n−k n

< 1,

Z ¾ ¿=m

(1-20)

ç ¾ QjE , ª

S(x1 )S(x2 ) · · · S(xk ) ≥ S(x1 ) + S(x2 ) + · · · + S(xk ) + 1. k = 2,

r s ¾ ¿=m

(1-19)

<Eª

n − 2 + S (xn1 ) + S (xn2 ) ≥ nS(x1 )S(x2 ).

(1-21)

8 ðEò § ) ≤ S(x )S(x ) ðE¿Qm < > 8 ¨ S(x ) ≤ nS(x), S(x ) + S(x ¡ _ x = x = 2, Z = S(x ) > 2 S(x ) > 2, r s (1-21) ç ¾ < > . ` S(x ) = S(x ) = 2, r s x = x = 2. Z , ¾ ¿=m (1-21)Ö=< n

1

1

2

é

1

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1

2

S(2n ) = m,

2

2

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8

1

2

S (2n ) ≥

:

3n + 1. 2

z

(1-22)

5}Aí q=À î= O

n ≥ 3 , m ≥ 4. S(n) ∞ ∞ h X X m−1 mi <n≤ . 2i 2i i=1 i=1

17

Smarandache

L Ăš z

n ≼1+

(1-22)

=� ™

ÂŹAĂłE •E­¯Ž Â? Ă´=° R=Âą

∞ X m−1

2i

i=1

m = S(2n ) ≼

>

m−1 m−1 3(m − 1) + = , 2 4 4

3n 9 m−1 + 1 ≼ (m − 1) + 1 = m + > m. 2 8 8

=L ĂšEž Âż m=ç=ž Â? jQ• . —ŠÂ˜ š n ≼ 3Ă° (x , x , ¡ ¡ ¡ , x )J=KEž Âż m (114), r sAB x , x , ¡ ¡ ¡ , x ¢ZĂŞ=ĂŤA@ B n − 1 N 1. L ÂĽ < ÂŤ2}A~ 1.2.24 •

. 1.2.7 ²´³ F.Smarandache ¾dœ¸¡´þdÜ"á/ø B=Ú ú [9] ¢ , Kenichiro KashiharaŸ=½ U V ]Q^9Ýâß ý ; 1

1

2

2

n

n

S 3 (x) − 3S(x) − 1 ≥ 0(mod x).

(1-23)

S 2 (x) − 5S(x) + p = x,

(1-24)

S(x) = max{S(pÎą1 1 ), S(pÎą2 2 ), ¡ ¡ ¡ , S(pÎąs s )} ≥ S(pÎą ),

(1-25)

•ŠÂ? Ăł=Ă€ . Ăž Ăš Ăż QÂŞ L M ­¯Ž , ‚ ç U V Ă˝ ;

Z• ÂŁ OEG H=I Ăł , Ă´ ¢ pç p I . Ă‹ •5ç ‡ ˆ=Ă? Âż=Ă˝ ÂŒ= ] ^AL n Nt­ ÂŽ , ĂŻ =ĂłQ . ÆQç Ç =Ăˆ ĂŠ •5 É ĂŠĂŒ ~ 1.2.25 Z Q 935•54 }A(1-23) Ă” =¤ ä !=#A% Ă• x = 1. v w : 6 7 x = 1 J=KaĂťZĂź=Ă˝ Ă” ; (1-23). B = = d Z E‚ ƒ „EG E ‘ Â’ “ H I x > 1, ĂťZĂź=Ă˝ ; (1-23)ž < > . š x > 1 J=KaĂťZĂź=Ă˝ ; (1-23), ĂŠ x = p p ¡ ¡ ¡ p ç x •2pu— Ăł m , ”az S(x) •ŠĂ€ ĂŽ=Â?= Îą1 Îą2 1 2

Îąs s

Ă´ ¢ p | S(p ). § „ ¨ S (x) − 3S(x) − 1 = mx, p | S(x), p | x, z (1-25) >9g2Â? ™ p | 1, L p > 1 . —Z˜dÝâß Ă˝ ; (1-23)O=Ă° ò O MANEG H I Ăł x = 1. L ÂŤ2}A~ 1.2.25. 1.2.26 p! Q ĂŽEĂ?QĂ?#"A% . $ p = 2, Ăž Ă&#x;Š354 (1-24)% Ă”=! # %EĂ• ; $ p = 3, ĂždĂ&#x;23 4 (1-24)Ă” =Ă”& äA! # %EĂ• x = 9; $ p = 5, Îą

18

3

M Smarandache 2I ' 3A4 (1-24)Ô( EÔ*) ä !Q#=% Õ x = 1, 5; $ p = 7, ' 3A4 (1-24)Ô =Ô+)5äA! # %EÕ x = 21, 483. $ p ≥ 11, Þdß23 4 (1-24)Ô =Ô& ä !=#Av9% w Õ x = A p(p − 4). 6 7 : , p = 2, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ¾ ç ý ; (1-24) ó . é x ≥ 8J K=ý ; (1-24), S(x) = S(p ), az p | x, p | S(x)q S (x)− 5S(x) + 2 = x Q ¨ p | 2. Z p = 2. é x = 2 · y q S(2 ) = 2m (m ≤ α), α 1

1

1

2

1 α

1

α

4m2 − 10m + 2 = 2α · y.

(1-26)

, -&.0/ 1 α = 1, 2, 3, 4, 5¾ J=K ý ; ý ; (1-26). _ ` α ≥ 5, § ¨ m ≤ α − 1, = ¨ x = 2 · y ≥ 2 > 4(α − 1) − 10(α − 1) + 2 ≥ 8 p = 2 : , ý ; (1-24)2 OEG H=I ó . 4m − 10m + 2. Z 8 p = 3 : , x = 1, 2, 3¾ JQK ýE; (1-24). é x ≥ 4JQK ýE; (124), S(x) = S(p ), z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + 3 = x, = O p | 3q p = 3. é x = 3 · y q S(3 ) = 3m, r s α

2

α

2

α 1

1

1 α

1

2

1

α

9m2 − 15m + 3 = 3α · y.

(1-27)

-(. / 1 α = 1, 3, 4, 5¾ J KEý=; (1-27), 3Qç 8 m = 2q y = 1 : , α = 2 J K=ý ; (1-27). α ≥ 6, r s m ≤ α − 1, O x = 3 · y ≥ 3 > 8 p = 3 : , ý ; (1-24)O 9(α − 1) − 15(α − 1) + 3 ≥ 9m − 15m + 3. Z ð ò O MANE8G H=I ó x = 9. û ~ , p = 5 : , d /ju Eýd; (1-24)OtðaòdOtndN G HtI ó x = 1q x = 5. p = 7, rus x = 1, 2¾ JQK ýE; (1-24). é x ≥ 3JQK ýE; (1-24), S(x) = S(p ), /z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + 7 = x, Q u p | 7q p = 7. é x = 7 · y, S(7 ) = 7m, r sAO α

2

2

α 1

1

α

1

α

1

é α = 1, N9G=H IEó . . é α = 3,

2

1

α

72 m2 − 35m + 7 = 7α · y.

q

5 ç ý ; û :

(1-28)

M ç

m = 1 y = 7 − 4 = 3. x = 21 (1-24) α = 2, m = 2 4p − 9 = py. p | 9, p ≥ 7 2 m = 3 63 − 14 = 7 y. y = 1. , x = 73

q

q

19

¬AóE E­¯® ô=° R=± ýu; (1-24) 4uM NdGQH Iuó . 8 α ≥ 4 : , § ¨ m ≤ α − 1, u O 8 x = 7 · y ≥ 7 > 49(α − 1) − 35(α − 1) + 7 ≥ 49m − 35m + 7. Z p = 7 : , ý ; (1-24) O=ð ò O=n NEG H=I ó x = 21 q x = 483. 8 p ≥ 11 : , rQs x = 1, 2¾ J KEý=; (1-24). é x ≥ 3 J KEý=; (124), S(x) = S(p ), rQs z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + p = x, = p | p q p = p. é x = p · y, S(p ) = pm, r s Smarandache

α

2

α

α 1

1

2

1

2

1

α

1

α

p2 m2 − 5pm + p = pα · y.

(1-29)

α =6 1,7 m = 1 q y = p − 4. Z x = p(p − 4) ý § ; (1-24) 2MAN G H=I ó . α = 2, 3 ¾AJ K=ý ; (1-29). α ≥ 4, ¨ m ≤ α−1, = 8 x = p · y ≥ p > p (α − 1) − 5p(α − 1) + p ≥ p m − 5pm + p. © p ≥ 11, ý ; (1-24)O ð=ò OEM NQGAH I ó x = p(p − 4). L ¥ < «2}A~9 Z . 1.2.8 ²´³ F.Smarandache µd¶¸·+57698 ¤ B u ;: OS(n)<>=+?>@ [1, n] ¢ S(n) ªQo9I GQH I n N I ; ES(n) <A=B?A@ [1, n] ¢ S(n) ªdi I GdH I n N I . B ùtú [9] ¢ , Kenichiro Kashihara ¼=½ C>D «Z 9 E­¯®> α

α

2

2

2

2

ES(n) n−→∞ OS(n) lim

ç ?A@ B ? _=` @ B , fE} ô EGF . Á AL M ­¯® , ê H I J 2 O Ä ]Q^ , ê=ë 2 O KE¨AÅ O Á ý L ! EM ù N . O ÆQP ÈdQ R=É çAÊ- ËZ «Zç 9 E ÍQ: ¿Eý ]9^ L Mt­Z® , ï= ¨ Eó 1.2.27 Q !=#A% n > 1, S T Ô U V Ó ES(n) =O OS(n)

v"w

1 ln n

.

xdy+WYX+Z\[ ES(n) \] . 8 n > 1 : , é n = <^= n ;_*`A ó/m , r/s¸z I S(n) }tí À î

: α1 α2 p1 p2 · · · pαr r 20

M :

é

Smarandache

S(n) = S (pαi i ) = m · pi . M = ln n,

ç W X O

m = 1, X

ES(n) =

k≤n 2|S(k)

X

kpα ≤n

X

1 ≤

M 2

1

X

1.

(1-30)

kpα ≤n

αp>M, α≥2

X

1

kpα ≤n

αp>M, α≥3

2p>M

M 2

X

√

<p≤ n

X

√ <p≤ n

X

k≤ pn2

n + p2

X

1+

pα ≤n

αp>M, α≥3

X

pα ≤n αp>M, α≥3

n pα

n + ln n

X n n + + α ln n √ p

n n n n + √ + . ln n 2 M −1 M ln n

√ p≤ n αp>M, α≥p

n + pα

p≤ n √ α> M

p≤M

1

k≤ pnα

X

X

X

√ p≤ n αp>M, 3≤α<p

X

√ p≤ n √ p> M , α≥3

n pα

n pα (1-31)

m/¢ &4 M;d W X+e Ê fd °/ ZY[ ý . d : g R ç <>=9¾(g Å h uH I E Q JEK AG HQI k, é S(k) = S(p ),

(1-30) h i, M p ≤ M , α(p) = p−1 , α(p) Y u= pα(p) . S(k) ≤ M

puI é

n = 2.

k≤n S(k)=S(pα ), α≥2

1+

1+

ª oEI , a b

X

S(k)≤M

kp2 ≤n

≤

z

S(n) = pi

6 7 O (1-30) m9¢ c d ,

αp>M, α≥2

a

1≤1+ X

≤ 1+

¤ B W X Z [

r s

2I

M p−1

.

α

} í M }=O p |M !, Ã i , α ≤ p ≤ p M− 1 . £ ©£QOQJ K S(k) ≤ M AG HQI k MQ} H>a u j5£EOELEÚ k 5 NQIQ¾ k gQÅ u AG I9 ZN=I , g#R=ç d(u). £a lW X O ∞ X M

α

S(k)

j

j=1

X

S(k)≤M

1 ≤

X d|u

1=

Y

p≤M

(1 + α(p)) =

Y

p≤M

1+

M p−1

21

ÂŹAĂł L •E­¯Ž Â? Ă´=° R=Âą

Smarandache 

ô ¢

= exp 

X

ln 1 +

p≤M

M p−1

exp(y) = ey .

,

(1-32)

[3]) X M M π(M ) = 1= +O ln M ln2 M p≤M X

ln p = M + O

p≤M

� ™

§ „ ¨

M = ln n,

z

M ln M

X M M ln 1 + ≤ ln 1 + p−1 p−1 p≤M p≤M X 1 = ln (p − 1 + M ) − ln p − ln 1 − p p≤M X X 1 ≤ Ď€(M ) ¡ ln(2M ) − ln p + p p≤M p≤M M ¡ ln(2M ) M M = =O . −M +O ln M ln M ln M X

(1-32)

Â?

X

(1-33)

S(k)≤M

mA>=ÂŚ ™ ¨0Z [=m

c ¡ ln n 1 exp ln ln n

Ă´ ¢ c§ AÂŞ M=G pAI .c ¡ ln n n „ ¨ exp ln ln n ln n , ‚ ç rq ÂŽ>DsZ [=m : ES(n) =

22



zÂŻp I }A~9•Šn m=l=m (; n oŠÚ Ăş [2]Â?

Â?

6 7

X

k≤n 2|S(k)

OS(n) + ES(n) = n,

£a z “ m � ™

:

,

Â?

(1-34)

(1-30), (1-31) (1-34)

n 1=O . ln n

:

(1-33)

mA>=ÂŚ

M Ã i

Smarandache

2I

OS(n) = n − ES(n) = n + O

n . ln n

n ES(n) 1 ln n n =O = . OS(n) ln n n+O ln n . :

O

ç ¥ < «2}A~9 Z z E}A~ W X >=¦ ¨A 9 t u 1.2.27 Q !=#A% n, S T Ô v>w

ES(n) = 0. n−→∞ OS(n) lim

1.2.9

xAy{z7|9}/÷7~"¶¸·a÷/ø

B Æ Ç Èd¢ , ª ý & @ W X 7 a(n)` <&= n # Eý EI , = Í ¿=ý t EM OEÁ tb =c=e E ]Q^9«©M =ý I IEý ;a óQÀ , ï \ E«r ý ;EOECuD Û FQG HQI ó . g0RQç \ « 9 : 1.2.28 m 35% , Þ ß| Q !=#A% k ≥ 2, 354 a(n1 ) + a(n2 ) + · · · + a(nk ) = m · a(n1 + n2 + · · · + nk )

ÔE) + ,5. !=#A% Õ (n , n , · · · , n ). : ÆEùQ} ~d¢= m6=7( O EÀ , Q M Ød G HEI m, =ý ; çE?=OECuD Û FQG HQI ó çEM=NG u­Z® . = Q G HQI r > 2, W Xdû Ú= Y r ¡0¢ =I a (n) ¯ = G H=I k > 1, ý ; : 1

2

k

r

ar (n1 ) + ar (n2 ) + · · · + ar (nk ) = m · ar (n1 + n2 + · · · + nk )

ç ? MAO I r£0¤ ? U V O WAX ZY=[ q W X M0¥ ¦ §AR ¨ ]Q^

! 23

A¬ ó L E­¯® ô=° R=± v w : W X= =Í ¿=ý \ =OEÁ tb =c=e 0£ ¤ © ¥=<E} ~ \ ± : . ª(ª Qý , LQì W X « ¬ ­ ®u}=~ E{ p I }=~d £ ¤ ¯* ° iuI 2N ³ ^ < = < 2N = p + ¡p [ ¬ 2N­&® =}Qp ~ +: p 9p 9, ô MQ¢ N p²(, up , p ªA¾ ûA 2p I . {Ep IE} ~ : M N ² = 2o=I ³ + l< = < {=N o p I ´ q . g#R=¤ç 2N + 1 = p + p + p , ô ¢ p , p p ª o=p I . B*W+X µ a6 ¶7 naN*·tÊA£>¤+©t¥t<\WYX }d~" & { . z a(n) } í aÀ î O a(p ) = p , a(p p ) = p p , a(n p) = p, L=ì p, p p ªA¾ ûA 2p I . z¯ m ª ¥ ¸ =ý I;jZ£+ =é m = µ , W X T ¤ 8 k 2¾ ûl¹ _=º ` . (i). k = 2: , µ ª o I;j2 µ p ª o I;j 2µ p ª i I;j2 çaz 8 ¬ ­ ®9} ~ 2µ pKQ d: O 2µ p = p + p ¡ [ 2µ p¡ = p + p p , ô/¢ p , p , p ª ¾ û =puI . 9çu n = p , n = p [ n = p , n = p p , AO Smarandache

1

2

1

2 3

1

1

2

2

3

3

1

2

1

1

3

1

1 2

2

2

2

2

1

2

2

1 2

2

2

2

1

3

1

2

2

1

2

1

2

2 3

1

1

2 3

µ2 a(n1 + n2 ) = µ2 a(2µ2 p) = µ2 · 2p = n1 + n2 = a(n1 ) + a(n2 ).

z p ª ² = 5p I , £\ (n , n )O=CQDEÛAF . g0» ý ;=O=CQDEÛ F=G H=_9I ` ó (n , n ). Z , }A~9 r£0¤=ç=G f . 8 µ pKu 9 µ ªEiuI , µ p ªEiuI . û ÚÌz ¬ ­&® }Q~u 9 : ,O µ p = p + p ¡ [ µ p = p + p p . i O 1

1

2

2

2

2

¡ [

1

2

2

2

1

2 3

µ2 a(p1 + p2 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 = a(p1 ) + a(p2 )

µ2 a(p1 + p2 p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 p3 = a(p1 ) + a(p2 p3 ).

©g 9:2ý ; 8 O CED F=G _EH=` I ó . k = 3: , µ ª o I , (ii). AK = 9 ©o=p I pO µ p = p + p AO 2

1

ª o I . ç z¯{Qp=IQ} ~E n =p ,n =p ,n =p ,

µ2 p 2 + p3 ,

1

1

2

2

3

µ2 a(n1 + n2 + n3 ) = µ2 a(p1 + p2 + p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 + p3 = a(n1 ) + a(n2 ) + a(n3 ). 24

3

M Smarandache 2I _ ` µ ªQi9I , µ p ªQi9I . 9ç"z ¬&­(®d} ~9 K9 =p I pO µ p = 2 + p + p ¡ [ µ p = 2 + p + p p . i O 2

2

1

2

2

1

2 3

µ2 a(2 + p1 + p2 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 )

¡ [

µ2 a(2 + p1 + p2 p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 p3 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 p3 ).

g© 9:2ý ; 8 QAO CED F=G H=I ó (n , n , n ). (iii). k > 3 : , W X n m ¹ º T ¤ : Q _ ` 8 k ª oEI :&j5 (² E d p (a) µ ª oEI , µ p ª oEI . Eç I p, µ pQ K E , z¯{Qp=IQ} ~ ( ¼ElEmQª; 5é k ≥ 3 ª o I , E ²& t Ao IG³Q A #<;=Q< k NuoupQI&´ q )¾ ½9 9¨ µ p = p + p + · · · + p . i O 1

2

3

2

2

2

1

2

k

µ2 a(p1 + p2 + · · · + pk )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 + · · · + pk = a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk ).

: n = p , n = p , · · · , n = p ï § Ep=I p E À g Q¨ W X 5}A_E~ .` 8 µ pK E : ûZÚ z¯{Qp=IQ} ~ 2 ¼ElEm -(. k ª i I , ¨ µ p = 2 + p + p + · · · + p . çAO 1

1

2

2

k

k

2

2

1

2

k−1

µ2 a(2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

n =7 2, n = p , · · · , n = p >E¦ Q¨ } ~ £ ¤ . Q REç P : ý ; ¾ _dO ` CED F=G H=I ó (n , n , · · · , n ). 8 (b) µ ªui I , µ p Qaªui I . ç k ªui I : , +² µ p, é µ p = 3 + p + p + · · · + p . i O 1

2

1

k

k−1

1

2

k

2

2

2

1

2

k−1

µ2 a(3 + p1 + p2 + · · · + pk−1 ) 25

Smarandache

¬Aó L E­¯® ô=° R=±

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 3 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(3) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

_=` k ª o I , 8

µ2 p

K = u:2 =é

µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 ,

µ2 a(2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

Q R=ç PA 9 :2ý ;dû Ú O CED F=G H=I ó (n , n , · · · , n ). £rq+ c m ¹ º R ¥ < «2}A~9 > . 1.3 ¿ÁÀ Smarandache ÂÄÃÆÅÈÇÆÉµÊ ËsÌ 1.1: Í n > 1 n 6= 8 Î , Ï Ó X 1 ÑrÐ(Ñ Ò ÓA% 1

ËsÌ

1.2:

d|n

ÔGÕ 354

X

2

k

S(d)

.

S(d) = φ(n),

d|n

Ð Ð Õ Ö , × Ø Ù ÚE354 ÐrÛ Ô Ò ÓA% Õ , Ü à φ(n)! Euler- Ý % . Ë#Ì 1.3: Þ OS(n)ß à\á â [1, n] à S(n) ã äaÐrÒ&Ó ä n Ð ä ä , ES(n)ß(à>á0â [1, n] à S(n) å ä Ð Ò Ó ä n Ð ärä . ÔGÕ(Ýlä OS(n) Ï ES(n) Ðsæ>ç Örè . ËsÌ 1.4: é;êr rë Ð Ò Ó ä m, ì í a(n1 ) + a(n2 ) + · · · + a(nk ) = m · a(n1 + n2 + · · · + nk )

!>î Ô;ï>ð ñ ò Ò(Ó äuÕ . Ü à a(n)ß>à n Ð Gì ó ä . é+ê0ô õ Ò(Ó ä r > 2, S T* ÷ö ÐGø#ù ú r û ü ó0ä a (n) ø ý ô&õ0Ò Ó ä k > 1, ì í r

ar (n1 ) + ar (n2 ) + · · · + ar (nk ) = m · ar (n1 + n2 + · · · + nk )

!(î0þAÔ&ÿ Ð 26

.

SL(n)

SL(n)

! " SL(n) # $ &%('*),+ - . /1032 , 465 7 + 8 9 : ; #=<1> . ? @ ,A B6C D E F SL(n) G#IH6JLK M

SL(n) = N#IO P Q R&# S T % ' . U V , B C*W*D*XY-*Z [L\ Smarandache SL(n) # - ] ^*%_' . 2.1 `ba c(d 2.1 é ô&õ eIf(g n, Smarandache LCM SL(n) h(i"j k l # m(n k, oI7 n | [1, 2, · · · , k], p q [1, 2, · · · , k] r"s 1, 2, · · · , k #tk l u v . w x y \ SL(n) 6# - ] z { | } . ~ 2.1 ô&õ= eIf(g n,

SL(n) = max {pαi i } .

(2-1)

1≤i≤k

, SL(pα ) = pα .

~

2.2

ô&õ( (g

p,

SL(p) = S(p) = p.

~ pαi i ,

2.3

n = 12

(2-2)

n = pα1 1 pα2 2 · · · pαr r p

SL(n) = S(n), S(n) 6= n,

1 * ( g , eIf(g .

p1 , p 2 , · · · , p r , p i = 1, 2, · · · , r

α1 , α 2 , · · · , α r

(2-3)

* (

p>

SL(n) ¡ £¢

2.2 2.2.1

c ®

¤N¥ 2.2.1

¦*§ ¨*©,ª¬«G­ ¯ k ≥ 2 °(±1²6 e=fIg , Y ³ ´ *µ ¶6·6 1¸tg

SL(n)

x > 1, 27

Smarandache

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

ƒIžIÂż Ă€ Ă Â?*ÂŽ

X

n≤x

k

X ci ¡ x 2 Ď€ 2 x2 SL(n) = ¡ + +O 12 ln x i=2 lni x

° Ă‚ Ăƒ"Ă„" (Ă… g . Æ U"h(Ç Ăˆ*K_É \ w x # ĂŠ Ă‹ 2.2.1 € Âś=¡6¸_g x > 1, ƒIžIÂż Ă€ Ă

x2 lnk+1 x

,

ci (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , k)

Ď€ 2 x2 SL(n) = ¡ +O 12 ln x n≤x X

c ÂŽ

2.2.2

€ Âś=¡ eIf(g

x2 ln2 x

.

ƒIžIÂż Ă€ Ă

n, ln n n SL(n!) = 2 + O . n

B C ! h(Ç 2.2.2 #ÂŒĂŒ Ă?"ĂŽ Ă? Ă?IĂ‘IĂ’1ӂÔ Ăˆ 7 Ă•

ĂŠ Ă‹ 2.2.2 ˆ n → ∞ ‹ , ƒ Ă– Ă— Ă ln(SL(n!)) lim [SL(n!)] = 2 Ă˜ lim = ln 2. n 1 n

n→∞

c ÂŽ Â?*ÂŽ Ă

2.2.3 X

n≤x

Îś(s)

cIÂŽ

•

n→∞

€ Âś=¡6¸_g

x > 1,

2 (SL(n) − P (n))2 = ¡ Îś 5

28

5 x2 5 ¡ +O 2 ln x

5

x2 ln2 x

!

,

ÚÙ g , P (n) Â?‘ n  Ă›ÂťĂœÂ‚‡ Ă?ÚÞ . Âś1¡ ¹² e"f g k, Ă&#x; € Âś1¡ ¸ÂŒg x > 2, Ă ĂĄ ƒ"ž"Âż Ă€

Riemann zeta2.2.4

2 [SL(n) − S(n)]2 = ¡ Îś 3 n≤x X

ƒIžIÂż Ă€ Ă

k X 3 3 ci ¡ x2 ¡ +O i 2 ln x i=1

3

x2

lnk+1 x

!

,

â ã ä *

ζ(s)

c ®

Riemann zeta-

éëê

2.2.5

X

ÙÚg

å æ

SL(n)

ç è Â Ã"ÄIÅ g

, ci (i = 1, 2, · · · , k)

SL(d) = n

ì(í *î ï eIf(g ð

.

n = 1, 28.

d|n

»ñ6×Iò ï ð , ó n = 1, 3 k ¶6· e=fIg , α = 0, 1 2, ì 2 < p < · · · < p 2 p p ···p , ô tõ ë (g . 2.2.2 ¤N¥ SL(n!) ¦*§Nö ¨ ÷bø ù ® 2.2.1 ¶=· eIf(g n > 1 ú" n = p p ...p ° n û=ü ó ð Á , 6ý þ=Á cI®

é ê

2.2.6

X

S(d) =

d|n

α

1 2

k

X

SL(d)

d|n

1

k

αk k

α1 α2 1 2

SL(n) = max {pαi i }.

(2-4)

1≤i≤k

ÿ : [4]. ù ® 2.2.2 µ ¶»·(±=²» ë g pØIe f g n ≥ 1, n p ( »Á ° n = a p + a p + · · · + a p ì α > α > · · · > α ≥ 0, 1 ≤ a ≤ p − 1 (i = 1, 2, · · · , s), ¯ a(n, p) = X a 6ý þ=Á 1

α1

2

α2

s

αs

s

s−1

1

s

i

i

i=1

αp (n) = α(n) =

*

[x]

ÿ

» :

+∞ X n i=1

Û»ÜteIf(g [x] # | } È x

pi

=

1 (n − a(n, p)), p−1

.

n a1 pα 1 + a 2 pα 2 + · · · + a s pα s = pi pi  P s  aj pαj −i , αk−1 < i ≤ αk = j=k  0, i ≥ αs .

I> I>

29

Smarandache

U ι(n) ≥ =

+∞ X n

pi i=1 Îąj s X X j=1 k=1 s X

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

+∞ X a1 pÎą 1 + a 2 pÎą 2 + ¡ ¡ ¡ + a s pÎą s = pi i=1

aj pÎąj −k =

s X j=1

Îąj

aj (1 + p + p2 + ¡ ¡ ¡ + pÎąj −1 ) s

1 X p −1 = aj ¡ = (aj pÎąj − aj ) p−1 p − 1 j=1 j=1 =

1 (n − a(n, p)). p−1

Ç 2.2.27 . c ÂŽ 2.2.7 € Âś=¡ eIf(g

Ăż

ƒIžIÂż Ă€ Ă

n, ln n n SL(n!) = 2 + O . n

:

n! = pÎą1 1 pÎą2 2 ...pÎąk k

j

n!

# ! 9 S=ĂŽ

.

Ç

2.2.2,

SL(n!) = max {pÎąi i } = pÎą .

ĂŚ " # y h #$ è pM1m n=è n, => U=V , ! A 1≤a a p % Îą >Îą > ¡ ¡ ¡ > Îą ≼ 0, Âź &( a(n, p) = X a . Ç 2.2.2M [5], 1≤i≤k

s

Îąs

s

1

s−1 ∞

i

n = a 1 pÎą 1 + a 2 pÎą 2 + ¡ ¡ ¡ + ≤ p − 1 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s),

i

i=1

ĂŚ

ιp (n) ≥ ι(n) ≥

∞ X n

pi

=

1 (n − a(n, p)). p−1

ĂŽ '6Ă?)(+* , - -/. Ă“10 , = j32 n è k 4 5 p16ITIĂŽ (2-5) Ă”17"j i=1

(2-5) k+1 p ,

Îą=

8

(2-4)

ĂŽ(M

(2-5)

ĂŽ Ăˆ

∞ X n i=1

pi

SL(n!) = pÎą = p 30

=

s X n i=1

n−a(n,p) p−1

pi

=e

,

n−a(n,p) p−1

ln p

.

(2-5) pk ≤ n <

â ã ä

9 [6]7

å æ

s X n

: 9 [5]

i=1

pi

α(n) =

4 % a(n, p) =O p−1

ln n ln p

.

1 (n − a(n, p)), p−1

8 Ç

α(n, p) = α(p) =

< V , ! = ->. α H

ç è

s X n n < = , i p p−1 i=1

a(n, p) ≤

; K

SL(n)

p ln n, ln p

2.2.2

s X n

pi

i=1

7

n = +O p−1

,

ln n ln p

,

i

n αi = α(pi ) = +O pi − 1 n +O pi −1

?

pαi i = pi

@ # Õ ,A

pαi i = e pi −1

pi

n ln pi

<p B

ln n ln pi

+O(ln n)

ln n ln pi

,

.

j

ln pi ln pj < . pi − 1 pj − 1

C D ? , Î A , A p = 2 B , 2 = 2 2 = 1 + O(x). æ ) - 9, G1 HtÈ 7 α(2)

i

n n+O( ln ) ln 2

x

SL(n!) =

k E . @ # Õ+A xF l B

max pα(p)

2≤p≤n

= 2α(2) = 2 2−1 +O( ln 2 ) n

ln n

= 2n+O(ln n) h in O( lnnn ) = 2·2 31

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

Smarandache

=

2+O

ln n n

n

ĂŚ - I1 B C7 ! + (h Ç6#J H . h Ç 2.2.7 #ÂŒĂŒ Ă?"ĂŽ Ă? Ă?IĂ‘IĂ’1ӂÔ Ăˆ 7 Ă• ( ĂŠ Ă‹ 2.2.7 ˆ n → ∞ ‹ , ƒ Ă– Ă— Ă Ă˜

1

lim [SL(n!)] n = 2

n→∞

¤N¼

2.2.3

ln SL(n)

.

ln(SL(n!)) = ln 2. n→∞ n lim

ÂŚ*§Âš¨ K&Ăś

Ăš ÂŽ 2.2.3 €"Âś6¡ e=fIg n > 1, L n = p p ¡ ¡ ¡ p Â? ‘ n  Ý6Ăź Ăł Ă°6Ă , 3 Îą ≼ 2, Îą ≼ 2, ¡ ¡ ¡ Îą ≼ 2, Ă ĂĄ6Ă&#x; M N1O* n ° Ăą P=ĂŠ*Ă?tĂž g . L A (x)Â?‘ Â’ x  Íù1P ĂŠ Ă?ÚÞ g  QJR , Ă&#x;ĂŤÂƒIžIÂż Ă€ Ă Îą1 Îą2 1 2

1

2

Îąs s

s

2

1 Îś( 32 ) 1 Îś( 23 ) 1 3 − 15 5 2 3 6 x + x + O x exp −C log x(log log x) A2 (x) = ,(2-6) Îś(3) Îś(2)

Â?*ÂŽ

C>0

• Å g

.

Ăš ÂŽ 2.2.4 p • Âś=¡(‡(g ĂĄ ƒIžIÂż Ă€ Ă X

,k

• Âś=¡ eIf(g . ĂŤĂ&#x; € Âś=¡6¸_g

ln p = x ln x + O (x) .

pk≤x (p, k)=1

Ăż : S T è h(Ç6# U . V # WIĂŽ , B C X ln p k≤x

0

X k≤x

= ln x + O (1) ,

x ln p = x + O ln x

X ln p k≤x

32

p

p2

=D+O

1 ln x

,

x ≼ 1,

Ă

â ã ä Ÿ A D

- Ăˆ1X Y ĂŤ# u m1Z(è 9, G ĂŒ Ă? ĂŽ Ăˆ 7 X

ln p =

ĂĽ ĂŚ

=

X

X

ln p

X

= x

1

k≤ x p

(p, k)=1

ln p

p≤x

x x − 2 + O (1) p p

X ln p p≤x

p

−x

X ln p p≤x

= x ln x + O (x) .

pIĂ”1I17 + Ç 2.2.4 #J H c ÂŽ 2.2.8 € Âś=¡6¸_g X

ç è

.

p≤x

pk≤x (p, k)=1

SL(n)

p2



+O

X p≤x



ln p

. x > 1,

Ă (ĂĄ ƒIžIÂż Ă€ Ă

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

n≤x

Ăż[

S T

\

] ^ B6C _ ` X

# , a . b ( , , S T F.Smarandache LCMĂŚ ç è SL(n) #(hIi : ! " # m n=è n, SL(n) ≤ n 0 ln SL(n) ≤ ln n, :

U(n) =

X

ln SL(n).

n≤x

X

Ñ 0 u Î , B C1c ? 7 Õ n≤x

Euler

U(n) ≤

ln SL(n) ≤

X

X

U(n)

ln n.

n≤x

ln n = x ln x − x + O (ln x) = x ln x + O (x) .

(2-7)

d ? BNCe_e` X U(n) # w a . ! "f# mGnLè n > 1, \ n = 9 S ĂŽ , BÂťC/g [1, n] 9 71Ă? ./h/i A 0 B. p p ¡ ¡ ¡ p r s n # 3 A ;I m(n è n. ? Ă” - , A A r"s [1, n] 4 5 Îą ≼ 2 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s) # Îą1 Îą2 1 2

n≤x

Îąs s

i

33

¹(S"º»# %_' M ¼ ^ XI½ A ;" square-fullè ; B r»s n ∈ [1, n] A j æ h i A ë# ¼ r» s [1, n] # k m nIè n. æ - È 7 Smarandache

U(n) =

Ç

X

ln SL(n) +

n≤x n∈A

2.2.3 X

n≤x n∈A

M h1i A ë# h(i , B C X

ln SL(n) ≤

n≤x n∈A

ln n ≤

X

ln SL(n).

n≤x n∈B

X

n≤x n∈A

= ln x · A2 (x)

ln x = ln x √

X

1

n≤x n∈A

x ln x.

(2-8)

d ? B C1_1` X h1i B ,6#J0 Î . æ SL(n)=max{p , p , · · · , p }, ; K ! "l# n ∈ B, - h m ? - . *è p4)5 p|n% p † n. "U , SnT SL(n) ç»è&#1h i , B*C SL(np) ≥ p. U B C1c ? È 7 α1 1

α2 2

αs s

2

Ç < i

X

ln SL(n) =

n≤x n∈B

2.2.4

(2-7)

0

M

X

np≤x (n, p)=1

ln SL(np) ≥

X

ln p.

(2-9) X ln SL(n) ≥ x ln x + O (x) .

(2-10)

n≤x n∈B

B C1c ? 7 Õ Ì Í u Î

(2-10) X

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

n≤x

pIÔ1I17 + h(Ç6 #J H . w x

B C o Ê U"Ë h(Ç È*KÚ7 Õ # Ì Í u Î , ? Ô 2.2.8 ¶=·6¸_g x > 1, à(á I¾I¿ À Á * 34

X

ln S(n) = x ln x + O(x),

n≤x

S(n)

»

Smarandache

ÙÚg

.

(2-9)

np≤x (n, p)=1

:

â ã ä ¤ ¥ N s t 0 Î

SL(n)

2.2.4

å æ

SL(n)

ç è

¦*§ ¨ prq X

1 , SL(d)

(2-11)

rYs ! n # ;* m[ !*Ñ 0 , B C+u d ")v - . m6n è n > x o (2-11)Î 7"j nIè . æ - B C [ \ K w : 1 % n 6= 36 w y z { n = 1, 36| , }( ¶ ~ / e"f g n, (2-11) Á$ 1° ï(f(g ? . / C D . -=m1 # . @ *#$ ; x +H k , B

o $ " p # - ? 0»; 2 p .Yw %Úx ' , 4 % nH ! æI- ] O P # m(n è n, p . - m> # # . H c=® 2.2.9 ¯ n = p p · · · p n û üIó»ð*Á (N3 p < p < ß 3 1 e 6 . · · · < p ). α = 1, > æ " # m n"è n > 1, n = p p · · · p j n # 9 S ÿ :! 1 Î , S T SL(n) # | } d|n

¼ A

X d|n

α1 α2 1 2

αr r

1

1

r

α1 α2 1 2

d ?

2

αs s

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαr r }.

α1 = 1

% n14 5

(2-12)

- >- . m nIè . n = p · n , @ # Õ ! " # d|n % d > 1, SL(p · d) = SL(d), X d|n

1

m =

1

X d|n

=

1 =m SL(d)

X d|n1

1

1

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(p1 · d) d|n1

d|n1

X 1 X 2 1 1 1 + + −1= + − 1, SL(d) SL(d) p1 SL(d) p1 d|n1

n1 · m =

X d|n1

d|n1

n1 n1 · (1 − p1 ) + . SL(d) p1

(2-13) 35

Smarandache

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

C D ! æ " # d|n , n 0 n · m-In=è , 3- n · (1 − p ) -In=è p (2-13) > . æ - , SL(d) I> α = 1, 1 m$ . c ® 2.2.10 I¶»· f g n > 1, SL(n) ï g , ß / I e16 . ÿ[ : n = p p · · · p j n # 9 S*Î . > SL(n) - -/. æ -/ è , & SL(n) 1 = p 0 α = 1. n = p p · · · p = n · p . > (2-11) - ->. nIè m, @ # Õ ! " # d|n SL(p · d) = p , 1

1

1

1

1

,

1

1

α1 α2 1 2

s

αs s

α1 α2 1 2

s

1

m =

X d|n

=

X

p"q æ

1.

s

s

s

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(ps · d) d|n1

d|n1

X 1 X 1 1 d(n1 ) + = + , SL(d) ps SL(d) ps

C D ! " # = r s # Dirichlet è ç è . - Æ È 7 d|n1

1

s

d|n1

d|n1

d(n1 ) n1 (2-14)

d|n1 ,

(2-14)

(SL(d), ps ) =

ps | d(n1 ) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αs−1 + 1).

-> I| , p | α +1, 1 ≤ i ≤ s−1. U B α +1 ≥ p α ≥ p −1. æ - ?Ip + ¡ w p ≥ p ≥ (1 + 1) > p , SL(n) = p . - Ô H h(Ç 2.2.10. c ® 2.2.11 ¯ p ï g"ì α °ë¶»·(e f g . n = p , ß / 1e 6 . ÿ : p- >- . è % n = p . s

i αi i

i

ps −1 i

ps −1

s

i

s

s

s

α

α

X d|n

α X 1 1 1 1 1 = = 1 + + 2 + ··· + α i SL(d) SL(p ) p p p i=0

1 + p + p2 + · · · + pα . pα pα , 1 + p + p2 + · · · pα = 1, (2-15) . 2.2.11 =

j + - I17Æ h(Ç6#J H \ w / h(Ç È 7 # 36

æ -

(2-15)

- - . n è - È x # . æ

â ã ä Ê1Ë

å æ

SL(n)

ç è

n °"ñ/P é Ý Þ"g ( ¢ ß> 3 e1 6 .

2.2.11 =⇒ p † n), 2

£¥¤

2.2.5

X

S(d) =

d|n

X

SL(d)

n > 1,

ì= 1¶3~ =g

p|n

¨l¦+§f¨

d|n

@ l 6# ;e # - © ª1«IT Q ¬ 0=2 Q R X

S(d) =

X

SL(d)

(2-16)

| %_' , 7 Õ + ­ Q R # ; m nIè S , 4 y \ ­ Q R S # Ì Í u # È ? S * w x # Î . Ô - c ® 2.2.12 é(ê X S(d) = X SL(d) 1ñ ® ò ï e=fIg»ð , ó n = 1, 2 p p · · · p , Y k ¶1· e"f g , α = 0, 1 2, ì 2 < p < · · · < p ô tõ ë (g . ÿ : b/( , , S(n)0 SL(n) # h i=3 ) È n = 1 -"Q"R (2-16) # S . 9 =& > n > 1, n = p p · · · p| }( p < p < · · · < p ) - n #¯ S»Î . S(n) 0 SL(n) #ëh(i M , d|n

d|n

d|n

α

1 2

d|n

1

k

k

αk k

α1 α2 1 2

0

1

2

k

S(n) = max{S(pα1 1 ), S( pα2 2 ) · · · , S(pαk k )} = S(pαi i ) ≤ αi pi α

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k } = pj j ,

C)D p ≥ p ≥ α p . =U , ! "l# m n3è n > 1, n° n = w6x D ;6 n > 1 9 j K w/± 2 p p · · · p (2 < p < · · · < p ), ¡ _1² ³ (1) A α = 0, 1, o Ô+-)´ , n = p p · · · p (a) Y > α = α = · · · = α = 1. n = 2p p · · · p , »& ! n # " # 1! d, S(d) = SL(d), U B Q1R (2c . 16) 7 - . α ≥ 2,

& S(p ) ≤ α p , SL(p ) = p . C1D (b) >1µ Q R (2-16)U B 7 c . αj j

αi i

i i

αk k

α α1 α2 1 2

1

1

1 2

k

2

1 2

k

k

k

i

αi i

i i

αi i

αi i

37

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

Smarandache

A

&(

?

(2) α = 2, α1 = α2 = · · · = αk = 1, (c) p1 = 3, n = 4 · 3n1 ( 12 † n1 ), X S(d)

I>

d|n

=

X

S(d) +

d|n1

=

X d|n1

S(2d) +

d|n1

S(d) + 2 − 1 +

= 11 + 6

X d|n1

X

X

X d|n1

S(d) + 3 − 1 +

X d|n1

S(d),

X

SL(d),

X

S(6d) +

d|n1

S(d) + 4 − 1 +

SL(d) = 11 + 6

S(3d) +

d|n1

d|n1

X

X

S(4d) +

d|n1

3 − 1 +

V ÇIÈI7

X

X d|n1

X

S(12d)

d|n1

S(d) +

S(d) + 4 − 1 +

; K

X

S(d) =

X d|n1

X

S(d)

SL(d).

Q

R (2-16)U B 7 c . ? n = 4 · n ( 4 † n ), X S(d) = 4 + (d) > p > 3, X X X c . S(d) 0 SL(d) = 4 + 3 SL(d), U B Q R (2-16) 7 3 & ? Q6R (2-16)Ï6Ð m ? ! ¶ · 4 5 S(2 ) ≤ 2α, (3) A α ≥ 3 B , c . SL(2 ) = 2 > 2α, U B Q R (2-16) 7 ¸ , ; G , Q*R (2-16) )¹»ºl¼ . m nYè*S : n = 1, 2 p p · · · p 2 ), ¼ A 2 < p < · · · < p - $ V #¯I è . p"Ô I 7 + ( α = 0, 1 h(Ç6#J H . 2.3 ½¿¾ SL(n) ÁÀÃÂÅÄ ÆÈÇ 2.1: n > 1ì n 6= 36 "úÊÉ»Á X 1 Â3Ë(°ëeIf(g . d|n

d|n1

1

d|n1

1

d|n1

1

d|n

d|n1

d|n

d|n1

α

α

α

α

1

Æ Ç

Ó IeIf(g ð 38

k

d|n

Ì Í"é(ê

2.2: .

X d|n

1 2

SL(d) = φ(n)

SL(d)

(Â ð ÎYú Ï Ð3Ñ Ò1é(ê

k

â Âą ä Ă•

Smarandache

! Ă” ç è

S ∗ (n)

Smarandache Ă–Ă˜Ă—

Ă™ Ăš S ∗(n) Ăƒ Ă” ç*è S (n)-ÂĽĂžlĂ&#x;fĂ ĂĄZâ¼ãĂœĂ› Ăˆ¼äÂ?ç Smarandache ç*èĂœĂ› Ă? Âź Ă&#x;lĂŚĂ…Ă›/ç+è . ĂŠ ä Š+ĂŁlĂŞÂŒĂŤ è ĂŹ , k — Smarandache 6 ç è S(n) ĂĽÂťF Ă” ç è Û¯Þ Ă­ â ĂŁ3ĂŽ Âł , ĂŻ Ă°)ĂŤ ĂŹ ĂĽ ĂŚ1Ăą ç è Û¯Þ Ă­ Smarandache Ă? ònóþô . Ăś Ă­1â1ĂŁ>á ø>7 Ăš>Ă? Ăş Ăť1Ăź Ă˝$Ăś Ă­ ò Ă› óþô ĂĽ F1E Ă› Ăž>Ăż . ∗

3.1

Ă? Ă›!#" $&% ' ( ) * + ,.- / + 0 1& ( 2&3 45- / +(0 1 6 ( 2 3 7&8 ĂŞ ĂŤ( 9 Ă›;1: ĂŠ ç è <&= - + >! / - +!? / <&= & @ @ 6 ( A(B&C DFE G H I# ( G J5K #L(H I(M( <&= /NC5O P@Q n,

3.1

m

m!|n,

Smarandache S ∗(n) S ∗ (n) = max{m : m!|n, m ∈ N}.

n, S ∗∗ (n) (2m − 1)!! | n 2|n

3.2 2m − 1 (2m)!! | n.

, S ∗∗ (n)

2†n ∗∗ , S (n)

2m

S ∗ (n)

3.1

, S ∗ (n) = 1,

n

, S ∗ (n) ≼ 2.

n

k,

3.2

S ∗ ((2k − 1)!(2k + 1)!) = q − 1,

k

,q

3.3

DFE

2k + 1

Re(s) > 1

∞ X S ∗ (n) n=1

G R S TU

∞ X 1 Îś(s) = ns n=1

<&=

3.4

.

X

n≤x

ns

= Μ(s) ¡

∗

1 , s (n!) n=1

9 (V6W C X Y#Z.Q

Riemann zetaS ∗ (n)

∞ X

.

S (n) = (e − 1)x + O

ln2 x (ln ln x)2

. 39

>[ Ăź Ă˝3Ă› óþô&\&] ò ^ _ ] ` a 3.2 Smarandache bdcfehg S (n) ikjmlonqp \ v w ĂŹ @ ĂŠ r ) ĂŞ ĂŤ @ Ă?

# $ Ă› Ăž Ă­

s

t ç è u Ăą 9 Ă› Ăž Ă­(x y z { Ă›JĂź Ă› óþô 3.2.1 |~} Smarandache  Â€h‚Fƒ S (n) „F…‡†‰ˆ ÂŠ ‹ & @ 5ÂŒÂ? ÂŽÂ?C Smarandache

e = 2.718281828459 ¡ ¡ ¡

.

∗

S ∗(n)

Smarandache

,

.

∗

s>1

3.2.1

∞ X (S ∗ (n))k

Â?

ns

n=1

DFE

∞ X

1 = Îś(s) ¡ ∗ S (n)ns n=1

Îś(s) =

‘ ’ “ ] ` �

∞ X 1 ns n=1

Îś(2) =

G

Ď€2 , 6

s→1

™&š

•

1 1− n(n + 1)((n + 1)!)s n=1

.

3.2.1,

n, ( n X 1, Âľ(d)S ∗ = d 0,

3.2.1

9

!

,

.

∞ ∞ X X 1 Âľ(n) 1 , = e − 1, = s n! Îś(s) n n=1 n=1

9 –U (— & @ # ( C

M¨obius

(n!)s

”

lim (s − 1)Îś(s) = 1,

Âľ(n)

n=1

∞ X

Riemann zeta-

d|n

∞ X S ∗ (n) n=1

40

= Μ(s) ¡

∞ X nk − (n − 1)k

n2

› œ �&ž

˜FuU% “ &7 8 Ă› n = m!, m .

∞ Ď€2 X 1 = . ¡ 6 n=1 (n!)2

G (

;

Â&#x;&Â ÂĄ

™&š

Smarandache

¢ 9

S ∗ (n)

3.2.2 lim (s − 1) ¡

∞ X S ∗ (n)

!

= e − 1,

DFE G ÂŁ9 `&ÂŤ — – N — ¤ & ÂĽ ÂŚ . § 9 ¨ & Š ÂŞ “ s t NÂŤ ­&ÂŽ ÂĽ ÂŚ ÂŻ •(°&Âą ²&z Âł ” ˜&% “( ´ Âľ ÂŤ;Âś ¡ ÂŹ&˜ ' uN% ‹ & @ 5ÂŒÂ? C X Y#Z.Q s→1

n=1

e = 2.718281828459 ¡ ¡ ¡ 3.2.1 Perron’s ∗ S (n) .

.

(

X

n≤x

3.2.3

[7] ,

6.5.2),

,

x > 1,

3.2.2

‹

ns

∗

S (n) = (e − 1)x + O

5S6 @ 5Œ�

s > 1,

ln2 x (ln ln x)2

.

¸ š º

∞ X S ∗∗ (n)

G  Ÿ5 ½

ns

n=1

,

∞ X S ∗∗ (n)

DFE

n=1

ns

ž &™ š

Îś(s)

G

1 = Îś(s) 1 − s 2

∞ X

!

∞

X 2 2 1+ +Îś(s) , s ((2m + 1)!!) ((2m)!!)s m=1 m=1

.

,

3.2.3 ∞ X S ∗∗ (n)

∞ ∞ Ď€2 X Ď€2 X Ď€2 1 1 = + + , 4 m=1 ((2m + 1)!!)2 3 m=1 ((2m)!!)2 8

∞ X S ∗∗ (n)

∞ ∞ Ď€4 X 1 Ď€4 X 1 Ď€4 = + + . 48 m=1 ((2m + 1)!!)4 45 m=1 ((2m)!!)4 96

n=1

‹

TU ¿ 5À '9% “

Riemann zeta-

s = 2, 4

n=1

n2

n4

3.2.4

& @ # ( Ă !Ă‚ n,

X

S ∗ (d) = n.

(3-1)

d|n

41

Smarandache

C ½(Ç&C

[(Ã ý « Ä Å&\&] Æ ^ _

9È I# ( É Á! DFE Ï Ð Ï Ð DFE Ï Ð

n = 1, 12 3.2.5

.

X

S ∗ (d) = ω(n)Ω(n)

d|n

C ½(Ç&C Ê#Ë#Ì#Í Î Q 9É

1. n = pα1 p2 n = p1 pβ2 . 2 < p1 < p2 , α ≥ 1, β ≥ 1 2 2 2. n = p1 p2 p3 n = p 1 p2 p3 n = p1 p2 p23 3. n = p1 p2 p3 p4 , p1 < p 2 < p 3 < p 4 .

+ >#M(

Ñ Ò X S (d) = n ÓÕÔ×Ö ØÚÙ&Û Ü Ý&Þ °&± ²&z ³ ß@à á;z { ∗

3.2.2

d|n

X

S ∗ (d) = n.

« Ã@â ã ä å á9æ ç è z { «!é Û &"@ Ã ê ¢@ë ì ß5à Û í ¢ 9 6« ÆFÄ Å&î&ï á;ð&ñ Û ° « z ³&¤@ò#ó !Á Â d|n

, S ∗ (n)

.

.

3.2.6

X

S ∗ (d) = n.

C ½(Ç&C È9I# ( É ô.õ ö@÷#ø ù æ ç z&{ 7&8 ñ&þ ÿ 5¿6¢ ¾ ý æ&ç ¦ ¿ Û

(3-2)

d|n

n = 1, 12 :

1.

.

n=1

(i) n = 2k + 1 n>1 (3-2)

n=

(3-2).

,

X

S ∗ (d) =

d|n X

ú û ü@ &ý æ ç

Û (" é u n>1

2!

n,

d(n)

Dirichlet

d|n

.

n≥3

42

d|m

n > d(n), (3-3)

d|m

,

(3-3)

¦ ¦

, (3-2) 1 . (ii) n = 2 · m, m . m = 1, 3, 5 n (3-3) m ≥ 7. 3 † m (3-3) X X X n = 2m = S ∗ (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) d|n

¦

S ∗ (d) =

1 = d(n),

] ` ¾ ¿Û ! 9

¯ À « é Uu z { Û « Ã ö ÷ ø&ù Û ¿ ( æ&ç ü ý &æ ç ¦ ¿ d|n

(3-2)

.

Â&#x;&Â ÂĄ =

'

¯ ž

Ă˝

X

Smarandache 1+

d|m

X

¢ 9

S ∗ (n)

2 = 3d(m).

d|m

Âż9Ăś á ø&Ăš &ĂŚ ç ÂŚ ”

5Âż9² ÂŚ Ă€

2m = 3d(m), m≼7 2m > 3d(m), 3|m n = 2m (3-3) , X X m X ∗ n = 2m = 6 ¡ = S (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) 3 d|n d|m d|m X X X = S ∗ (6d) + S ∗ (2d) 1+

'

Œ ž

d|m

d| m 3

≤ d(m) +

X

d| m

3 + 3d

d| m 3

m 3

3

X

m 3

3

= d(m) + 6d

m

3

.

m m 9 m + ¡ ≤ d(m) + 6d . 2 2 3 3 m . = 3 n = 18 , 3

¿ À 2m =

.

ž

'

Âż ˜ &ø&Ăš

S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (6) + S ∗ (9) + S ∗ (18)

d|18

ÂŤĂƒ &• z { ÂŚ Ă€ ĂŠ u Ăś á ø&Ăš Âż (ĂŚ&ç ÂŚ Ă› ' Âż

5Âż

= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 10,

ž

(3-3) . n = 2 ¡ m (m ), (3-2) . (iii) n = 22 ¡ m, m . m=1 n=4 (3-3) . m = 3 n = 12 , X S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (4) + S ∗ (6) + S ∗ (12)

ç

d|12

” ž

= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 = 12,

”

n = 12 (3-3),

Ì ç5z {

n = 22 m =

(3-2).

X

S ∗ (d) =

d|n

=

X d|m

1+

X

m > 3, X

S ∗ (d) +

d|m

S ∗ (6d) +

d| m 3

≤ d(m) + 4

X d| m 3

X

3|m

X

d| m 3

3 = d(m) + 12d

X d| m 3

m

3

m ≼ 9,

S ∗ (2d) +

d|m

S ∗ (2d) +

¿Û

X

Âż

n

ĂŚ

S ∗ (4d)

d|m

S ∗ (12d) +

X

S ∗ (6d)

d| m 3

, 43

Smarandache

'

m m ≤ d(m) + 12d , 3 3 m > 3 3

ÂŤ $â % Ă› Ăś á@ø.Ăš& FÂŚ ž ' Âż 4m = m + 9 ¡

"$#

ž

[(Ăƒ! ÂŤ Ă„Â?Ă…&\&] Æ ^ _ Âż! 5˜(') 5Ă€

.

m = 3 n = 36 , 3 X S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (4) + S ∗ (6) + S ∗ (12) + S ∗ (9) d|36

+S ∗ (18) + S ∗ (36)

= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 = 19 6= 36.

ž

&Ă˝

n = 22 ¡ m, m

Âż

Œ ”* Û

Ì&ç

3†m , n (3-3) , X X X X n = 4m = S ∗ (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) + S ∗ (4d) d|n

=

ç

X

1+

ÂŚ

2+

X

d|m

d|m

2 = 5d(m),

d|m

4m = 5d(m) (3-3) . (iv) n = 2ι ¡ m, m

n = 22 ¡m, m

.

m=3

¿Û

d|2Îąâˆ’1

X

S ∗ (d) =

d|2Îą 3

= 2Îą + 1 + 1 + 3 2Îą 3 6= 3Îą + 2.

] ` 44

n = 12

= 1 + 2d(2Îąâˆ’1 ) = 2Îą + 1 6= 2Îą .

n = 2Îą 3 =

¿,+ Û Ì ” ê5¿

, Îą ≼ 3. m = 1, n = 2Îą , X X n = 2Îą = S ∗ (d) = 1 + S ∗ (2d) d|2Îą

ž

d|m

• Ă€ ÂŤ ĂŠ u ž 5 Âż

d|m

ÂŻ

d|m

X

X

S ∗ (d) +

d|2Îą

X d|2Îą

n = 2Îą 3

X d|2Îą

1 − 3 = 1 + 2d(2Îąâˆ’1 ) = 3Îą + 2,

(Ì&ç

(3-3)

ÂŚ Ăş&Ăť *- . .

S ∗ (n) = S ∗ (2Îą m) = u, m > 3.

S ∗ (3d)

u = 2,

Â&#x;& ¥ ” ž ĂŚ&ç

Smarandache

n

(3-3)

ÂŚ Âż Ă›

X

n = 2Îą m =

X

S ∗ (d) =

d|n

=

X

1+

'

2Îą m = d(m) + d 2Îąâˆ’1 m .

u = 3,

”

¯ ž

m>3

n

X

(3-3)

X

• ž

u ≼ 4,

u=4

”

1+

n

6

–

3|m.

X

3+

¯ ž

.

n

X d| n6

m≼3

(3-3)

2i

i=1

X

∗

X d|m

1+

ĂŠ u

X d|m

n

6

.

.

6

(3-4)

Îą X X

S ∗ (2i d)

i=0 d|m

3 + (Îą − 1)

≤ 4d(m) + 4(Îą − 1)d(m),

¯ ž

n

.

S (d) =

d|n

2ι m ≤ 4ιd(m).

S ∗ (2d)

d| n2

Âż

∞ h i X u

ÂŚ Âż Ă›

n = 2 m=

'

X

.

3 = d(m) + 6d

u!|n = 2Îą m,

Îą

≤

2

S ∗ (d) +

n = 2Îą m > d(m) + 6d

ι≼

ý Ì&ç

n

d|m

d| n6

d|m

2ι m ≤ d(m) + 6d

S ∗ (2d)

ÂŚ Âż Ă›

X

S ∗ (d) =

d|n

'

Âż

X d| n2

2 = d(m) + d

• ž ĂŚ&ç

n = 2ι m = ≤

S ∗ (d) +

2Îą m > d(m) + d 2Îąâˆ’1 m .

3|m.

S ∗ (n)

d|m

X d| n2

d|m

¢ 9

ι ≼ 3, m > 3

X

4

d|m

Âż6ĂŞ / ² ÂŚ&• Ă€ ÂŤ

. 45

ž

u≼5

ž Ì&ç

[(Ăƒ! ÂŤ Ă„Â?Ă…&\&] Æ ^ _ \ '

5¿9Ü á10 ü

Smarandache

n

Âż / Ă› ,

(3-3)

3|m 5|m,

m ≼ 15,

15d(m) ≤ 4m.

ÂŚ Âż Ă›

n = 2Îą m =

X

S ∗ (d) =

≤

1+

d|m

X d|m

Îą X X

S ∗ (2i d)

i=0 d|m

d|n

X

(3-5)

3 + (Îą − 1)

X

u

d|m

≤ 4d(m) + u(Îą − 1)d(m) ≤ (uÎą − 1)d(m).

' –

2Îą m ≤ (uÎą − 1)d(m).

Œ 2 • 314 5 Œ \

(3-4)

¯ ž

ι≼

(3-5)

ÂŚ ˜&%

u−1 u−1 3u − 3 + = . 2 4 4

4Îą 2 15 ≤ 4(uÎą − 1) ≤ 4 Îą +1 −1 . 3 Îą

Âż6ĂŞ / ² ÂŚ&• Ă€ ÂŤ ÂŤ 314 u65&7N Ăż 8 9 .ĂĄ9 (— Ăš;:

ι≼3

.

„ ÓÕÔ×Ö Ăť!< = r ĂŤ ĂŹ@$ ° Âą@² z Âł Ă&#x;5Ă ĂĄ 7 8 # z { ÂŤ ˜ Ăƒ@â ' >

3.2.3

чÒ

.

X

S ∗ (d) = φ(n)

d|n

z {

,

.

ÂŤ9ĂŠ Ă› " Ăƒ ] ` C*D &"@ $ % n

S ∗ (d) = φ(n).

d|n

ž

(3-6)

G z HF ? ¿) Ý 18@BÛA

, X S ∗ (n) = max{m : m ∈ N, m!|n}. S ∗ (d) < φ(n), n = pÎą d|n

46

X

E)F

& ¡

¢ 9

! &² ¦ &À I J ¬ ? û!/ K (" $ % L!M Û C N #" $&% ¦ À O P Q R& ¬ 8 7&8 « S & ( Á Â T U - ½ Ç .

S ∗ (n)

Smarandache

,

n

X

S ∗ (d) > φ(n).

d|n

n

(3-6)

?

X

n,

3.2.7

S ∗ (d) = φ(n)

n=

d|n

ô5õ ë ì V ñ W ÿ S !',X " ë ìZ YÕ[ ö « ÷&D 0 å « é ¾ ¢ ¿ Û Û ê ¿ 8F ' z { F u]\ «Ã ¾ ¿ z { ¾ ¿ . « ^ _ ñ Ã ¦ ] ` G Û z { Fu]\

1, 3, 14, 84. : (1) n

n

X

n 2 . ∗ S (n) = max{m :Xm ∈ N, m!|n}, S ∗ (n) = 1, S ∗ (d) n

,

d|n

S ∗ (d) = d(n),

(3-6)

d(n) = φ(n).

d|n

(A) (B)

,

n = 1 , d(n) = φ(n) = 1, n = 1 n > 1 , n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k n : d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1),

(3-6)

.

, (3-6)

pi

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1)

= p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1).

D b c.« &² ¦ ë & ì ` a ù : /

] ` ¾ ý e ¾ ê ý&² d* À ¾ ú&û ë ì f* &z { « Ã â Ä Å z { \ 8Zgih jù : á ' ý )² d À ] k Û iu + (Ã ¿ l m ? û Û

: pα−1 (p − 1) ≥ α + 1,

(3-7)

ý ²!d &À

α = 1, p = 3, p ≥ 3. : (i) α = 1, p − 1 ≥ 2 = 1 + α p = 3; (ii) α = 2, p(p − 1) ≥ 2p ≥ 6 > 1 + α; (iii) α > 2, pα−1 (p − 1) > pα−1 ≥ 3α−1 > α + 1. (3-6) : α (a) k = 1, n = p . (3-7) (α + 1) = pα−1 (p − 1), pα−1 (p − 1) ≥ αX +1 α = 1, p = 3, ∗ n=3 , S (d) > φ(n). d|n

(b) k ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k.

n ≥ 15,

pi ≥ 5,

ý e ¾

¾ ý e ¾ Û

Ù é

piαi −1 (pi − 1) > αi + 1,

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1) < p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), 47

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _ .ë ì$0 å ¾ a' X "Z .¿ z { «Ã ',8 .ê ¿ á6z n &ë ì!f V ^

Smarandache

'

X

S ∗ (d) > φ(n).

d|n

n

o *ñ p S '1X 2"$ , X n = 1, 3. 2) n

¿

(A) n = 2α

¾

α=1

¾ æ&ç z {

¿

α≥2

,

n

¿

d|n X

n

φ(n) = 2α−1 .

& z { « Ã . , φ(n) = 2 " & z { (3-6) «

φ(n) = 1,

S ∗ (d) = 1 + 2α

d|n

α−1

(3-6). n = 2α (B) n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k , k ≥ 1. (a) n = 2p1 p2 · · · pk , ( X 3 × 2k , p1 ≥ 5; S ∗ (d) = k+1 k−1 2 + 3 × 2 , p1 = 3.

(3-6)

,

¬ 8 R q F ] ` « ¿

,

,

.

S ∗ (d) = 1 + 2α

X d|n , S ∗ (d) = 3

2

¬ Ã ,

.

d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1). ( X 6, p1 ≥ 5; (i) k = 1 , φ(n) = p1 − 1 S ∗ (d) = 7, p1 = 3.

r

¿

$&¾ z { À ¾ ý e ¾ ý ¿

(ii)

(3-6) p1 > 3 k ≥ 2

'

d|n

X p1 = 7, n = 14. , S ∗ (d) = 3 × 2k

d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 4k = 2k 2k > 3 × 2k =

(æ&ç z {

{

(3-6). (iii) p1 = 3,

Û

@« À 8 r

{ ¾ Ã ¿ (3-6) (3-6) . k≥3

,

¾

¿

k=2 , p2 = 8,

X d|n

ê

X d|n

p

X d|n

S ∗ (d) = 14, φ(n) = 2(p2 − 1),

G s!t

S ∗ (d) = 7 × 2k−1 ,

,

s∗ (d)

n = 2 × 3 × p2

r

$ z @z

φ(n) = 2(p2 − 1)(p3 − 1) · · · (pk − 1) > 2 × 4k−1 = 2k−1 2k 48

& ¡

Smarandache

> 7 × 2k−1 =

X d|n

(3-6).

(3-6) (b)

Û

S ∗ (n)

S ∗ (d),

(æ&ç 8 z « { i 5 « ) ë ì@% q!F { ¾Ã ]` u N Û n

¢ 9

n = 2p1 p2 · · · pk

. n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

/ D

« "@ )+ Û

n = 14

z

αi ≥ 2 (i = 1, 2, · · · , k),

φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), ( X 3(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 ≥ 5; S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 = 3.

¾

¿ !¢ F] `

d|n

w ? û!/ D

v

Û

p1 ≥ 5 , j = 1, 2, · · · , k pαj −1 (p − 1) ≥ αj + 1, αi ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k, piαi −1 (pi − 1) ≥ 4 × 5αi −1 > X S ∗ (d) > φ(n) (3-6). 3(1 + αi ), (i)

(ii)

¾

d|n

p1 = 3

¿

(æ&ç z { D α ≥ 2ý , ?&û /

i = 2, 3, · · · , k

i

,

φ(n) = 2 × 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ),

gxh *2 y Û p (p −1) > α +1, \ ', (æ&ç z { (3-6). ¾ α ≥ 2 ¿ , ýF¢j j = 2, · · · , k v Û 2(p − 1) · · · (p − 1), X 2 |φ(n), ¯F S (d) = (3 + 4α )2 ,

ý&ë ì

d|n

αi −2 i

α i ≥ 2, X S ∗ (d) > φ(n),

i

i

2pi 3α1 −1 > (3+4α1 ),

d|n

1

3α1 −1

Û

¿

2

k

∗

1

Xd|n S ∗ (d) 6= φ(n),

d|n

αj = 1

k−1

' (æ&ç z { ] ` & z { n

k

(3-6).

«Ã

2k †

X

φ(n) =

S ∗ (d),

d|n

é u

n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k (3-6) . α α1 (C) n = 2 p , α ≥ 2. α α1 (a) p = 3 , n = 2 3 , X φ(n) = 2α 3α1 −1 , S ∗ (d) = 1 + 2α + 4αα1 − α1 ,

¿

d|n

49

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _ é u r $&z { À 8 è&¬ Û ' ¾ Fxu 0 å ¿ { ¾ À r $&%&z { À + )' ¿ Smarandache

α ≥ 2,

4|φ(n),

(3-6)

,

4|

X

S ∗ (d),

d|n

4|1 + 2α + 4ααX 4|1 + 2α − α1 , α1 . 1 − α1 , ∗ α α1 −1 α1 ≥ 5 , S (d) < 4(1 + α)(1 + α1 ) < 2 3 = φ(n), d|n

5¿9z

(3-6) , (3-6) α1 1, 3. α 3 α1 = 3 , n = 2 3 , X S ∗ (d) = 14α − 2 < 9 × 2α = φ(n),

¬ (æ&¾ ç z {

d|n

¿

(3-6). α1 = 1 , n = 2α 3, X S ∗ (d) = 6α 6= 2α = φ(n),

&¬ (æ&ç z {

d|n

¿

(3-6). , p ≥ 5,

é u¾

¿Û

(b) p ≥ 5 α1 ≥ 2 pα1 −1 > (1 + α1 ), X S ∗ (d) = (1 + α1 )(1 + 2α) < 2α+1 pα1 −1 ≤ 2α−1 pα1 −1 (p − 1) = φ(n), d|n

(æ&¾ ç z {

¿

(3-6). X α1 = 1 , S ∗ (d) = 2(1 + 2α), φ(n) = 2α−1 (p − 1), 4|φ(n),

X

S ∗ (d),

d|n

X

S ∗ (d) 6= φ(n)

(æ&ç z {

5 « 8 « Bñ z@ù{:#ë@ì % å qBF { Ã ¿ ] ` 4†

d|n

d|n

(3-6) . (D) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

¾ 50

,

(3-6).

n = 2 α pα 1

ý

α ≥ 2

« " @z

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥ 2

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) < (1 + αk )pk (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ).

¾

d|n

¿] ` ë ì

gxh 2*y

(a) k ≥ 3 , α = 1, p = 3, p ≥ 3. α−1 α≥3 2 ≥ 1 + α,

¾

¿Û

pα−1 (p − 1) ≥ α + 1

ý&² d* À ¾ ý e

¯

S ∗ (n)

Smarandache

¾

Û

& ¡ ¢ 9 ¿ $m$?.û @¾ ¿ ¾ ¿

α = 2

, k ≥ 3, pi ≥ 5 i = 1, 2, · · · , k − 1, − 1) > (1 + α)(1 + αi ), αi = 1 , 2(pi − 1) ≥ 8 > αi −1 6 = (1+α)(1+αi ), αi ≥ 2 , 2pi (pi −1) ≥ 3(1+αi ) = (1+α)(1+αi ). 2α−1 piαi −1 (pi

Û

α

k−1 2α−1 p1α1 −1 p2α2 −1 · · · pk−1

−1

« í

> (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk−1 ).

f* j|x}

~

¿ ¾

S

(3-8)

pk (1 + αk )2 pkαk −1 (pk − 1) αk −1 2 (i) αk = X2 , pk ≥ 11 , pk (1 + αk ) < pk (pk − 1), S ∗ (d) < φ(n), (3-6). pk = 7 , k ≥ 3,

$ @² ¦ Û l

¿

d|n

æ ç z@{

¾

f;3!4

¿

n = 2α 3α1 5α2 72 , φ(n) = 2α−1 3α1 −1 5α2 −1 7 × 6 × 2 × 4 X S ∗ (d) < 11 × (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) × 3 < φ(n),

(æ&ç z {

d|n

¿

(3-6). (ii) αk ≥ 3 ,

Û

314 ² ¦

u

(b) (i)

¾

¾

¾

pk ≥ 5,

é u

¿

(æ&ç z {

d|n

¿

k=2 ,n = 2α pα1 1 pα2 2 , X p1 6= 3 , S ∗ (d) < 3(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

é uUë ì ¬!' % ¾ ¿

3(1 + α2 ),

pkαk −2 (pk − 1) ≥ 4 × 5αk −2 > (1 + αk )2 , X S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

2α−1 p1α1 −1 (p1

(ii)

l

Û

p1 ≥ 5,

é

(æ&ç z {

− 1) > (1 + α)(1 + αX p2α2 −1 (p2 − 1) > 7α2 −1 (7 − 1) > 1 ), : S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

p1 = 3

α ≥ 2, α2 ≥ 3

ý

d|n

¿Û

,n=

3

2α 3α1 pα2 2 ,

d|n X

S ∗ (d) < 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

d|n

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1). 2α > (1 + α). 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 −1) ≥ 4×5α2 −1 3α1 −1 > 7(1+α1 )(1+α2 ),

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) > 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) =

X

S ∗ (d).

d|n

51

Smarandache

l (æ&¾ ç z {

ý

¿

(3-6). α2 = 2, α1 ≥ 2

(æ&ç ¾ z {

d|n

ý

2

¿

α ≥ 3 , n = 2α 3p22

¾

< 2α−1 (3 − 1)p2 (p2 − 1) = φ(n).

ý

α2 = 2,

¿

α1 = 1, α = 2 , n = 22 3p22

S ∗ (d) < 4(1+2)(1+1)(1+2) = 2×36 < 4×20 < 2×2p2 (p2 −1) = φ(n).

ë ì@% « 3 & z { Ã

d|n

S ∗ (d) < 5(1 + α)(1 + 1)(1 + 2) = 15(1 + α) × 2 < 20 × 2α−1 × 2

d|n

X

,

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2 (p2 − 1) > 20 × 2α 3α1 −1 X > 7 × 3 × (1 + α)(1 + α1 ) = S ∗ (n),

(3-6). α2 = 2, α1 = 1

X

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _

: n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ,

(3-6) . α (E) n = 2 p1 p2 · · · pk−1 pk

¿ ] ` ,

]Õ`

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥

α ≥ 2, k ≥ 2.

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1). X (a) p1 > 3 , S ∗ (d) = 2k + α2k+1 = 2k (2α + 1),

¿

d|n

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2α+1 2k 2k−2 X > 2α+1 2k > 2k (2α + 1) = S ∗ (d). (b) p1 = 3

¿ ' ,

d|n

n = 2α × 3 × p2 · · · pk−1 pk ,

φ(n) = 2α (p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2k−1 2α+1 . X d|n

S ∗ (d) ≤ 2k + 2k α + 3 × 2k−1 × 2 + 5(α − 2)2k−1 = 2k−1 (7α − 2).

(i) 52

¾

α≥4

¿

, 2α+1 > (7α−2),

φ(n) >

X d|n

S ∗ (d)

(æ&ç z {

(3-6).

¾

(ii)

¾

¿

¢ 9

S ∗ (n)

k=2

¿¾ '

¿

X d|n

S ∗ (d) = 2k + 2k+1 + 3 × 2k = 12 × 2k−1 .

, φ(n) >

¿ '

X

S ∗ (d)

d|n 2

(æ&ç z { X

(3-6).

S ∗ (d) = 24, φ(n) = 4(p2 − 1),

$&z { À ] k v (æ&ç z {

,

n = 2 × 3p2 ,

¿

d|n

Û +

p2 = 7 , n = 48 , (3-6). 3 (iii) α = 3 , n = 2 × 3 × p2 · · · pk−1 pk X p2 = 5, φ(n) = 23 ×4×(p3 −1) · · · (pk −1), S ∗ (d) = 37×2k−2 .

5¿

¿ {

Smarandache

α = 2 , φ(n) = 22 (p2 − 1) · · · (pk − 1) ≥ 4 × 2k−1 2k−1 ,

k≥3

¾ ¾

& ¡

2

2

k+3

|φ(n),

p2 ≥ 7,

k+2

|φ(n),

q F «

¯

Ã

2

k+3

†

X

∗

S (d),

d|n 3

é ui (æ&ç z {

φ(n) = 2 (p2 − 1) · · · (pk − 1), 2

k+2

†

X d|n

∗

S (d),

ý

] ¢

.

d|n

n = 2α p1 p2 · · · pk−1 pk (α ≥ 2, k ≥ 2)

« * !=

` Ý

¿ ] ` ,

(3-6).

X

é uN¬ (æ&ç z {

(3-6) . αk−1 (F) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk α1 , α 2 , · · · , α k 1. pi αi ≥ 2 ,

d|n

S ∗ (d) = 18 × 2k−1 ,

« " + Û

α

(3-6).

≥

n = 84

2,

k

&z

≥

2,

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 −1)p2α2 −1 (p2 −1) · · · piαi −1 (pi −1)(pi+1 −1) · · · (pk −1),

¾

X

ý

d|n

S ∗ (d) < 4pk (1 + α)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿ ë ì Û ¿

pi = 6 3 αi 6= 2 , (a) αi = 2, pi = 3 X

(i)

n

:

S ∗ (d) < 8 × 2k−1 3 × (1 + α) = 24 × 2k−1 (1 + α).

¾ ¿ l (æ&ç z { d|n

FuxV ñ*p

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ), , φ(n) = 2α 3(p2 − 1) · · · (pk − 1).

α=2

,

(3-6).

X d|n

S ∗ (d) = 19 × 2k−1 ,

3 | φ(n)

;¯

3†

X

S ∗ (d),

d|n

53

Smarandache

¾

ý

(ii)

α≥3 k≥3

¿

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _

,

φ(n) ≥ 2α 3 × 4 × 6k−2 > 8 × 3(1 + α)2k−1 >

¾

¿ '

¾ ¿ (æ&ç ¾ z {

X

S ∗ (d).

d|n

k = 2 , n = 2α 32 p2 , φ(n) = 2α 3(p2 − 1). (iii) α ≥ 3,X p2 ≥ 7 , S ∗ (d) < 4(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) = 24(1 + α) < φ(n), d|n

ý ¿ ¾ (æ&ç z ý { ¿ ¾ Ý ¾

φ(n),

(3-6); X p2 = 5, α ≥ 4 , S ∗ (d) < 6(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) < 2α × 12 = (3-6); X α=3 , S ∗ (d) = 60 6= φ(n),

p2 = 5,

Û

(b)

pi ≥ 5

d|n

pi = 3

¿

αi ≥ 3,

g 2

Û

(æ&ç z {

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ),

> (1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿

(æ&ç z {

(i) X α ≥ 4 , 4(1 + α)pk ≤ 2α−1 pi (pk − 1), φ(n) > S ∗ (d), (3-6). (ii)

¦

Û

¾

¿

d|n

5¿

3B4j .²F¦

Û

(æ&ç z {

2α−1 pi (pk X − 1) = 2pi (pk − 1) ≥ 4 × (1 + 2) × 2, (3-9) φ(n) > S ∗ (n) (3-6). (iii)

¾

¿ '

d|n

α=3 ,

(3-9)

8

(3-9)

Û

α = 2 , n = 22 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk , X S ∗ (d) < 4(1 + 2)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2. d|n

8

(3-6).

pα1 −1 (p1 − 1) · · · piαi −2 (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk−1 − 1)

¾

ýÛ Û

d|n

f&3 4& ²

n = 23 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk ,

φ(n) = 22 p1α1 −1 (p1 − 1) · · · pαi i (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk − 1),

%

54

X d|n

S ∗ (d) < 6 × 4(1 + α1 ) · · · (1 + αi )(1 + αi+1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2.

(æ&ç z {

2α−1 pX i (pk − 1) ≥ 4 × 3 × 4 = 6(1 + 3) × 2, φ(n) > S ∗ (d), (3-6). d|n

f 3 4 ² ¦

(3-9),

& ¡ ¢ 9 ] ` ê ¬ 8&% ¾ ý « Ã 9 . *á9 ! (= « ¿ ù;: & z { 3.3 Smarandache bdcfehg S (n) i & Á#Â É! ) Á#ÂF * C ( É & 1 B ; 6 NH I ! .1 B ZFQ S ∗ (n)

Smarandache

α

α2 , · · · , α k

k−1 n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk , 1 ,n (3-6) . .

α ≥ 2, k ≥ 2,

α1 ,

∗

X

3.1:

S ∗ (d) = φ(n)

,

d|n

.

3.2:

Y

S ∗ (d)

,

.

d|n

55

Smarandache

¥ ¢¤£ 4.1

(

TU

4.1

ÂĽ ÂŚ

Z(n)

[(Ăƒ! ÂŤ Ă„Â?Ă…&\&] Æ ^ _ Smarandache §ÂŠ¨

) *&+(0BŠ 6 ( 2&3 k

ÂŞ

n ≤ k(k + 1)/2,

Z(n) = min{k : n ≤ k(k + 1)/2}.

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F

Jozsef Sandor

Ă• ‡ F 54 - ½

4.2 SM (1) = 1

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¡ ¡ ¡ pιk k

n = 1 ,

G ˜ Âż 9 TU ( & @ @ 6 ( (A B@) * &ĂŚ ç ÂŤ =&#" ] ` ¤ Ă› Ă€;Ă ÂŤ SM (n)

Smarandache n, n

4.3

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Smarandache .

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56

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SP (n) ,

Smarandache

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4.2.1

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4.2

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4.2.1

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4.2.3

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4.2.4

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(n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk ).

ĂŒ{Ă? SM (n) ‚Fƒh„ чÒ ÂŤ1ĂŽ r Ă˜ ÂŤ • Ă&#x; Ă / D v w

:

SM (n)

ÂŤ z { ÂŤ ˜ Ăƒ â '!Ăš ,

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4.2.5

X

SM (d) = n

(4-1)

d|n

T UĂ•-

(½ Ç ô5Ăľ Ă? ` Ăš;:;Ăž Ăż x y n = 1, 28.

:

,

57

(i)

¾ ¾

n=1

,

P

SM (d) = SM (1) = 1,

n=1

(4-1)

.

d|n

À Ò Ó (ii)

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _ ¿ % z { « Ã G z HF¿ !¦ À ÐBÑ 5 êF¿ ¦ «,Ô*Õ Ö Smarandache

,

X

n = pα SM (n)

SM (d) =

(4-1)

X

.

(4-1)

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = pα .

(4-2)

Ý (4-2) ¦ × Ø p «,Ù Ó , Ú!ØB p «,Ù Ó , s t . é{Û ¾ n Ü G Ó H5¿ (4-1)¾ ¦ À .« Þ G *[ « Ý (iii) n > 1 ý n = H; Ü 1 ¿ , n =«,pÔ*pÕ · · · p = p n ý æ&ç (4-1) ¦ , i3 (ii) 2 k ≥ 2. SM (n) Ö d|pα

d|n

α2 1 2

αk k

1 1

X

SM (d) =

d|n

SM (d) +

d|n1

= 2

«

X

X

SM (p1 d)

d|n1

SM (d) + p1 − 1 = p1 n1 .

(4-3)

ß â À à , s*t . 5¿ (4-1) ¦ À . 3 (iii)Àaá;Ö : Faâ n ÜB@;ã Ý [ Ó , n . Z'@æ ç (41) ¦ . ú ûkùä: u&/æN åçÛ è W D . Á ü « ÔêG é Ó [ n > 1æ « ç Þ ÝæG ë (4-1), ìZ3 « Ý [ î (ii) 1.í (iii)ï 2 ð n. n = p p · · · p , α > 1,, k 5≥ý 2.n . SM= (n) = αp. ñ Hò ñ&þ ÿ ó o Ô «]Þ î G [ ¾ d|n ¿ (A) α = 1. 5

¿ pm Ü n , ô n = n p, õ ö ÷ X Û SM (d) ≤ p − 1, ï ì SM (d) = nð Ö

(4-3)

¦

W Ø

X

d|n1

α1 α2 1 2

αk k

1

1

1

d|n

n1 p = n =

X

SM (d) =

d|n1 p

=

X d|n1

Ý

SM (d) +

X

SM (d) +

d|n1

X d|n1

p≤1+

= 2 + (2p − 1)d(n1 ) − p,

n1 + 1 < 2d(n1 ), 58

X

SM (dp)

d|n1

X d|n1 d>1

(p − 1) + pd(n1 ) (4-4)

(4-5)

ø ]7 ù Æ5« Smarandache Ò Ó úaû d(n ) Ü Dirichlet 1Ó$Ò,Ó . (4-5) ü ¾ n ≥ 7 ¿, ! &À . ï w ì n « Þ = G [ « Ý H î 1, éêÛ n = 4. ý n ≤ 6. n p = 4p, p > 3. 5

¿ ì 1

1

1

1

1

2≤ n =

1

4p =

X

SM (d) = SM (1) + SM (2) + SM (4)

d|4p

+SM (p) + SM (2p) + SM (4p)

ç

= 1 + 2 + 4 + 3p,

À á 0 å

þ

ý

¿).

p = 7 n = 28. (B) SM (n) = αp α > 1. (4-1) ,

Û

ü ÿ

α X X

α

n = p n1 =

¾

n = n1 pα , (n1 , p) = 1.

n

æ

SM (pi d).

Ý ë (4-1) ] . 1 < n < 8 ¿ , ë ì ñ z ïBÝ (a) n = 2, þ n = 2p (p > 2), ì (iii) * $ $2 , n = 2p ë (4-1) ;Ã ; (n , p) = 1, Û p 6= 3. (b) n = 3 ¿ , n = 3p . ì p = 2, n = 3 · 2 æ&ç Ý ë (4-1), þ i=0 d|n1

1

α

1

α

α

1

1

α

X

X

SM (d) =

ë

d|3·2α

5Bü û

SM (d) +

d|2α

2

P

;Ã

SM (d) + 3

d|2α

X

SM (3d) = 2

SM (d) + 3 = 3 · 2α ,

ï!ß Ó . é Û , n = 3 · 2 ï!Ý Ý$ë (4-1), ÿ nÞ = G [ &ÓjÜ 1,

d|2α

ï! Ó ,

X d|2α

3 · 2α

ï Ý ë æ.ç ;Ã ï Ý ë

α

(4-1) ; p > 3, n = 3 · pα (iii) , n = 3 · pα (4-1) . α n = 3 · p (p 6= 3) (4-1) . α (c) n1 = 4 , n = 4 · p (p ≥ 3), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d),

ì 2

¾

þ

¿

d|4·pα

þ

d|pα

æ&ç

Ý ë

Û ;Ã

d|pα

d|pα

ÿ

p = 3, n = 4 · 3α (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d) d|4·3α

d|3α

d|3α

d|3α

59

Smarandache = 3

ì

32 | 3

P

d|3α d>1

d|3α d>1

&ý

SM (d),

X

SM (d) + 12 = 4 · 3α ,

32 | 4 · 3 α ,

æ&ç

þ

Ä Å í ú Æ ó

(Ã!

Ý ë

ý

ï ð '

ê

32 | 12.

.

ÿ

p > 3, n = 4 · pα (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d)

d|4·pα

d|pα

= 3

Ó ,þ w ì

3 SM (d) + 8 = α(α + 1)p + 11 = 4 · pα , 2 α

3 4 · 3α − α(α + 1)p + 11 = 0. 2 1 f (x) = 4 · xα − α(α + 1)x + 11, x ≥ 3 2

¾

Ô α,

ú&û

d|pα

X d|p

þ

d|pα

¿

, f (x)

ï Ò

3 f (x) ≥ f (3) = 4 · 3α − α(α + 1) + 11 = g(α). 2 α ≥ 2 , g(α) α .

éjÛ ¾

Ò Ó ÿ

Û

f (x) ≥ f (3) = g(α) ≥ g(2) > 0,

¿ Û ¿

¾

í

ï

¿

@&Ã ý Ö ÷ 2 ï Ý ë

¿

Ý ë

@&Ã

, x ≥ 3 , f (x) = 0 . p>3 , (4-1) . α (d) n1 = 5 , n = 5 · p (p 6= 5). p > 5, (iii) , n = 5 · pα (4-1) ; p = 2, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (5d) = 2 SM (d) + 10 = 5 · 2α ,

ÿj ì ì

d|5·2α

ê

d|2α

22 | 2

S(d),

w

(æ&ç Ý ë (4-1); p = 3, ì

5 · 2α

X

d|5·3α

60

P

d|2α

d|2α d>1

SM (d) =

22 | 5 · 2 α ,

X d|3α

SM (d) +

ý! X d|3α

Û

d|2α d>1

22 | 10,

;Ã ê

SM (5d) = 2

ï ð ' . l

X d|3α

SM (d) + 6,

n=

ë

ø ]7 ù Æ ê 2 P SM (d) + 6ï!ß Ó ,

¾

d|3α

¿ Û ¿

Ò Ó ï Ó .

! 5·3 Smarandache α

, n = 5 · 3α

(æ&ç Ý ë

æ@ç Ý

(4-1). (e) n1 = 6 n = 2 · 3 · pα , (iii) ,n (4-1). (f) n1 = 7 , n = 7 · pα (p 6= 7). p > 7, (iii) , n = 7 · pα (4-1) ; p = 2, α ≥ 4. X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 15,

¾

ë

ê

d|7·2α

2

] 2 ï Ý ë ì

ÿjì Û 2

5¿ m

P

ï Ó ,

ì

d|2α

SM (d) + 15

d|2α

ì

d|2α

;Ã

ï ß Ó . l

d|2α

n = 7 · 2α

n = 7 · 2α

æ ç Ý

(4-1); p = 3, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 13,

d|7·3α

d|3α

d|3α

5)ü û 3 | 2 P SM (d),ý 3 | 7 · 3 , F)â æ ç Ý ë ï n = 7 · 3 ï Ý ë (4-1) ;Ã ; p = 5, ì α

d|3α d>1

(4-1),

ë

d|3α d>1 α

5 ü û

X

SM (d) =

d|7·5α

2

P

;þ

SM (d) +

ï ß Ó ,

d|5α

SM (d) + 8

d|5α

(4-1)

X

.

(g) n1 ≥ 8 X

¿ Û

n = n 1 · pα ,

,

X

SM (7d) = 2

d|5α

7 · 5α

ý

ï Ó . ï

pα >

X

Û

3 † 13,

.

SM (d) + 8,

d|5α

n = 7 · 5α

α(α + 1) p, 2

s t

ï Ý

ÿ

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 )

d|n1 ·pα

≤

α(α + 1) pn1 < pα n1 = n, 2

ÿ ¾ n ≥ Û 8 ¿ ,é nÛ = n p ð Ý ï ë Ý ë (4-1) ;Ã Û . W D Û 4Ô 5 Ö (4-1) ý e , þ 9 .á ;ù;: . 1

m

1

α

n = 1, 28.

ï 61

Smarandache

4.2.3

X

Ă­ Ăş Ăł

SM (d) = φ(n)

! "

d|n

# $ % &&Ăť(' ) * + , - . Ă? / 0 132*Ă? ĂŤ X

SM (d) = φ(n)

(4-6)

(4 5 =?>6 Ê Ó , Þ87 ï 9;: < : @ A3BDC E F n, G n = p p (ι ≼ 1, p < p), H n I?J K L (4-6) M84.2.1 OQP :N .(1) R3S T ι = 1, p = 2, n = 2p UWV �BÍ (4-6). X YZÒ Ó SM (n)Z φ(n) Ô*Õ , ' ) 5 d|n

Îą

1

1

1

X

SM (d) = 3 + 2p = φ(n) = p − 1,

Ăż 5 p` = 4, [ ĂŻ \ ] ^ _ . Ă? ĂŤ p > 2, n = p p U V d|n

1

(4-6).

1

X

a b?5

SM (d) = 1 + p1 + 2p = φ(n) = (p1 − 1)(p − 1),

c a p (p − 1) = 2p + 2p. ' ) d e ĂŻ Ă–` á p |2p, f (p , 2) = 1, g ĂŻ p |p, [ ĂŻ R ' Ă°3) h (2) Îą > 1, p ≼ 2, n = p p = n p U V (4-6). 5 d|n

1

1

1

1

X

.

k l 62

i

d|n1

1

SM (d) +

.

Îą

X X

1≤i≤ι d|n1

SM (d ¡ pi )

= 1 + p1 + 2(p + 2p + ¡+)

= φ(n) = (p1 − 1)pÎąâˆ’1 (p − 1).

b

, p|φ(n), p|2(p + 2p + ¡ + Îąp),

d|n

.

X

Îą

g ĂŻ p|p + 1, [ ĂŻ R Ă°Wh X ĂŻ j Ă“ , f ĂŻ φ(n) ĂŻ Ă&#x; Ă“ . a b Ă? ĂŤ (4-6) R = 2b , SM (d)

p1 6= 2 p1

1

1

SM (d) =

d|n

i

1

1

ø;m ù Smarandache Ò Ó 5 =?n > o p q ' ) Ö r n = p p (α ≥ 1, p < p) R ï Ý ë (4-6) . 4.2.2 @ A3B stF n, Htu : φ(n) ≥ 4 vxw y v n 6= 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21. O d(n)P : z {?| } [55]. ~ > 4.2.6 @ A3BDC E F n, K L (4-6)u w y u N n = 1. O P : (I) i n = 1 b , X SM (d) = SM (1) = 1 = φ(1), ð3 n = 1 ï Ý ë (4-6) . i Ý ë (4-6) R k l . (II) n = p , α ≥ 2 b , n , ` Ý ë (4-6)k l , ÿ 5 1

α

1

d|n

α

ú;û

X d|pα

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = φ(n) = pα−1 (p − 1),

p|φ(n), p|

`

X d|pα

SM (d),

U V Ý ë

α = 1, n = p X

d|p

g ï 5

p|1,

(4-6),

ÿ 5

[ ï R ð3h

.

SM (d) = 1 + p = φ(n) = p − 1.

,

X

SM (d) > φ(n).

c a n = p R ï Ý ë (4-6) . i (III) n = p p · · · p p = n p , ((n , p) = 1) α SM (n) = αp, ÿ d|p

α

α1 α2 1 2

X

αk α k

1

α

1

1

b

≥ 1, k ≥ 2 ,

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 ).

d|n

(A)

`

i

`

n1 n1

φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ).

' ) 5 X SM (d) < φ(n). = 2b , ? ì ' ) 4.2.1ð r n = 2p R ï Ý ë (4-6) . =6 b , 5 α = 1,

φ(n1 ) 2 ≥ (n1 6= 2, n1 6= 6), d(n1 ) 3

X

d|n

SM (d) = 9 + 4p,

d|6p

63

í ú ó [ ï j ` , φ(n) ï ß , c a n = 6p R U V Ý ë (4-6). (B) α > 1, SM (n) = αp. , ' ) ñ ò m 0 p q : i φ(n ) (i) p 6= 2 b , ≥ 4, ÿ 5 α(α + 1)pd(n ) ≤ p (p − 1)φ(n ), d(n ) c a X SM (d) < φ(n). i ï j b , p 6= 2. (ii) n ` p ≥ 7, α ≥ 2, p ≥ 5, α ≥ 3, ' ) 5 α(α+1)p ≤ p (p−1), (1) c a X SM (d) < φ(n). ` φ(n ) < 4, ì 4.2.1í 4.2.2Z;n o p;q ' ) l þ (2) d(n ) ÷ n = 3p` , 5p , 7p , 9p , 15p , 21p R ï ë (4-6) ð . φ(n ) (3) p = 5, α = 2 < 4, ì n o p3q n = 3 · 5 ,3 · d(n ) ï ë 5 ,7·5 ,3·7·5 R (4-6) . ` ï (iii) n ` 2 | n , φ(n ), p≥6=1,2. i p ≥ 7, α ≥ 2, p ≥ 5, α ≥ 3 b , ÿ d(n ) 5 α(α + 1)p ≤ p (p − 1), c a X SM (d) < φ(n). i p = 5, α = 2 b , ' ) d3e !÷ n = 2 · 7 · 5 , n = 2 · 3 · 5 n = 2 · 3 · 7 · 5 R ï ë (4-6) . ` φ(n ) < 1, n = 2 · 3, ÿ 5 n = 2 · 3 · p . d(n ) X ` φ(n ) (iv) p = 2, α ≥ 4 > 4, ÿ 5 SM (d) < φ(n). d(n ) ` α = 2, 3, ' ) d e ÷ n = 3 · 2 , n = 3 · 2 n = 5 · 2 R ï ë (4-6) . ` φ(n ) < 4, ì (II)íW 4.2.2ð n = 2 , 3 · 2 , 5 · 2 , 7 · 2 , 9 · 2 , d(n ) ë (4-6). 15 · 2 ,21 · 2 R U V # ' ) 0 ú : ` ë (4-6), ÿ 5 (1) 2kn , n = 2p · · · p p = 2n (k ≥ 2) U V Smarandache

1

α−1

1

1

1

d|n

1

α−1

d|n

1

α

α

1

α

α

α

α

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1 α−1

2

1

2

2

1

1

d|n 2

2

2

2

2

2

α

1

1

d|n

2

3

1

1

α

α

α

1

X d|n

64

α2 2

SM (d) = 2

X d|n1 d>1

αk α k

1

SM (d) + 3 = φ(n)

3

α

α

α

α

ø;m ù

# n o ë û

Smarandache

= p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1)pα−1 (p − 1). ,2

X

SM (d) + 3

R ï ë b ' ) ë d e ÷ a b ¢ ' ) d e 9;: · 3 · 5, d|n1 d>1

`

ï j , f ï .

ï , c a

φ(n)

2pα2 2 · · · pαk k pα (k ≥ 2) (4-6) 2 2 α2 (2) 2 kn1 , n1 = 2 p2 · · · pαk k (k ≥ 2). α(α + 1)p < pα−1 (p − 1), X p = 3, α ≥ 5 , SM (d) < φ(n), (4-6) .

ð

¡ i `

n=

c a

ï ë (4-6) R . ` α = 3, n = 2 ·3 ·5 n = 2 ·3 ·7 , ' ) ð £ 9;: n = 2 ·3 ·5 n =` 2 · 3 · 7 R ï ë (4-6) . φ(n ) α = 4 < 4, n = 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 n = 2 · 3 · 11, ) ' ) d e 9¤: n = d(n ï 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 n = 2 · 3 · 11 R ë (4-6) . ¥ i p 6= 3 b , ì (B) (iii) ð n = 2 · 3 · p . ì g d|n

α = 2, n = 22

2

2

2

3

2

3

2

1

2

4

2

4

2

ë

X

SM (d) = 6

d|22 ·3·pα

X d|pα d>1

(4-6) (3)

¡ i

`

X d|pα d>1

SM (d) + 17

ï j

4

4

2

2

2

6

2

3

3

1

£ í

n = 2 2 · 32 · 5

4

4

α

SM (d) + 17 = φ(n) = 4pα−1 (p − 1),

, φ(n)

ï , c a

n = 2 2 · 3 · pα

R ï

. α

2 | n1 (α ≥ 3).

) ≥ 1, g ÿ 5 α(α + 1)p < p (p − 1) Z φ(n d(n ) X ï SM (d) < φ(n), c a ë (4-6)a b?¢ . i α = 2 φ(n ) < 4 b , ' ) d e ÷ n = 2 · 3 , n = 2 · 3 · 5 R ï ë (4-6) . d(n ) i α = 3 φ(n ) < 4 b , '3)Wd e 9 : n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, d(nï ) ë . 2 · 3 , 2 · 3 · 5 R (4-6) p = 3, α ≥ 5,

1

α−1

1

d|n

1

3

2

3

2

1

1

4

3

4

3

3

3

3

3

1

65

í ú ó i α = 4 φ(n ) < 4 b , , n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 3 , d(n ) ë · 3 · 5, 2 · 3 R U V ¥ i p = 5, α = 2, φ(n ) (4-6). ð ) R ï ë (4-6) ≥ 4 b , ì (B) (i) r Smarandache 1

24

4

5

4

3

4

3

4

4

4

1

1

.

d(n1 )

b ' ) d e 9¤:

i

φ(n1 ) <4 , n = 2 3 · 3 · 5 2 , 23 · 32 · 52 , 23 · 33 · 52 , d(n1 ) 23 · 7 · 52 , 23 · 3 · 52 · 7, 23 · 32 · 52 · 7, 24 · 3 · 52 , 24 · 32 · 52 (4-6) . , (4-6) n = 1. .

n 4 o ë \ ] 6D§ 5 ¦ 5 [ 7 ¨ k <8© 9;: 4.2.4 ª « SP (n) ¬ ­®!¤ # $¯% & ' ) * ° , - . / 0 1±2Q² ³ SP (n) ¶ · ¶ , 9;:(¸ ¹ : ~ > 4.2.7 @ A3BDC E F m º k > 1, K L

R ï ë

´µ

Smarandache

SP (n1 ) + SP (n2 ) + · · · + SP (nk ) = m · SP (n1 + n2 + · · · + nk ), (4-7)

u » ¼ ½t¾ C E F N (n , n , · · · , n ). O P : i m Z k ¿ j b , k ≥ 3. À m = p p · · · p Á m ¶8 à WÄ , Å Æ3V3Ç È¤¶ É P , Ê(Ë3̤¶ÎÍWÉ W© , Ï # É q , q , · : · · · , q U V 1

2

k

α1 α2 1 2

αs s

1

2

s

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 + · · · + qk .

# 3 · (4-7) ÐDÑ ' ) l Ô 8) Õ

ni = qi (i = 1, 2, · · · , k),

Ê

SP (n)

¶ Ò3Ó Z 3·

SP (q1 ) + SP (q2 ) + · · · + SP (qk )

= q1 + q2 + · · · + qk = pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P

= pα1 1 pα2 2 · · · pαs s · p1 p2 · · · ps P = m · p1 p2 · · · ps P

= m · SP (pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 + · · · + qk ). 66

(4-8) (4-

Ö m(× ¶ Smarandache ; Ô 7 , i mZ k ¿ j b , · k l . Ái j b , ' ) Ø p q : m¿ , k¿ à Û3Ä , Å Æ V Ç È (a) k = 2. À m = p p · · · p Ù3Ú m ¶t ¶8É P , ÊÜË Ì ¶DÝWÞ © ß 5 α1 α2 1 2

2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2

à Ð

αk k

q1 , q 2

Z

2p1α1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 q3 .

q3

' ) Á É . 5

SP (q1 ) + SP (q2 ) = q1 + q2 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 )

SP (q1 ) + SP (q2 q3 ) = q1 + q2 q3 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 q3 ).

(b) k = 2k1 , k1 ≥ 2.

X Y Í É © ß 5

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2.

+ , n o áãâ ¶ / ' ) ä £ 9;:8© ß 6Då ¶ . ¹ æ , '3) ç 0 pWq m ¿ èWé Á b 3· (4-7) ¶ Û ¶ ê8ë . À m = Ã Û Ä , ' ) ¿ÎÍ p q : p p · · · p Ù Ú m ¶? i k = 2 b , ÅQÊ8Ý Þ © ß , ' ) 5 p p · · · p P . Ô 7 (I) Á , α1 α2 1 2

αk k

α1 +1 α2 +1 1 2

αk +1 k

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = p01 + q10

67

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pkαk +1 P = p01 + q10 q20 ,

à Ð P V Ç È ¶8É Ái (II) k = 2k (k 1

1

, p01 , qi0 (i = 1, 2) > 1) ,

b Å 5

Á É

.

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 3,

à Ð P V Ç È ¶8É , q (i = 1, 2, · · · , k − 1) É . Á c a 5 Á p p ···p P − 3 = q + q + ··· + q © ß · k l U V Í É i , . (III) k = 2k + 1 (k > 1) b , Å 5 i

αk +1 k

α1 +1 α2 +1 1 2

1

1

2

k−1 ,

1

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2

Z

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P − 2 = q1 + q2 + · · · + qk−1 .

Ê g k − 1 Á , á n (II). a c b · k l . Ê Ûg P Á V Ç È;¶ÎÉ , a Æ k ∀m<8© ∈ß Z Z 9;k: > 1, · 5 ¢ ð3ñ ò 6D§ (n , n , · · · , n ). [ 7 ¨ ¶ . 4.2.5 ª «µ¬ ­ SP (n) ó φ(n) !¤ # $ % & Ð , ' ) * ° , - . / 0 132 · SP (n ) = φ(n) ¶ ä Û Ò9; :(ê ë¹ ,æ ô õ k = 1, 2, 3 btö · ¶(4 5 6D§ Û . Ô 7 Á , ' ) * ¶ : ~ > 4.2.8 L SP (n) = φ(n)y u 4 DC E F N : n = 1, 4, 8, 18. K O P : n = 1Á · SP (n) = φ(n) ¶ Û . ¹ æ ' ) Ø 0 p q · ¶ à Û : j . 1. n > 1 Á SP (n) ¶ © ÷ ä r SP (n) ø j , a b , X Y Smarandache ´ Á f Á φ(n) Á , c a SP (n) 6= φ(n). 2. n > 1 Á . d e ù 9 n = 2 R SP (n) = φ(n) ¶ Û , (1) n = 2 , α ≥ 1. Á Û Q · i n = 4, 8 Á SP (n) = φ(n) ¶ . α ≥ 4, (α − 2)2 ≥ α, Ô φ(n) 2 | (2 ) b , n | ( ) , g Á SP (n) ≤ 2 < φ(n). +

1

2

k

k

α

α−2

α

68

α−2 2α−2

φ(n) 2

φ(n) 2

Ă–;m(Ă— Âś Smarandache  ÂŠ Ă Ă? p j É Š ,p (2) n = 2 p p ¡ ¡ ¡ p , Ă Îą ≼ 1, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k, Îą ≼ 2, k ≼ 1. a b , Îąk k

Îą Îą1 Îą2 1 2

i

< p2 < ¡ ¡ ¡ < p k ,

1

i

φ(n) = 2Îąâˆ’1 p1Îą1 −1 p2Îą2 −1 ¡ ¡ ¡ pkÎąk −1 (p1 − 1)(p2 − 1) ¡ ¡ ¡ (pk − 1).

i

b X Y Smarandache ´  ÂŠ b X Y φ(n) Âś?Ă’ Ă“ 5 Îą ≼ 2. Ă… 5

r

n †(φ(n))φ(n) , SP (n) 6= φ(n). n | (φ(n))φ(n) , (i) 2ι . ι ≼ 2,

i

Æ g

(Îą − 1)

g à ä –

SP (n)

œ Š á ' ) ä

k

φ(n) pk − 1 ≼ (Îą − 1)2Îąâˆ’1 pkÎąk −1 ≼ (Îą − 1) ¡ 2 ¡ 3 ≼ 6(Îą − 1) 2 2 ≼ 3Îą > Îą,

`

c a

φ(n)

2Îą | (2(Îąâˆ’1) ) 2 . 2Îą | ( φ(n) ) 2 Îąi pi | n. Îąi = 1, (ii)

Æ g

ĂŠ g

φ(n) 2

.

φ(n) pk − 1 ≼ 2Îąâˆ’1 pkÎąk −1 ≼2¡3=6>1 2 2

à � p | (φ(n)) Ô ` ι ≼ 2, φ(n)

i

pi |

φ(n) , 2

' ) Ăş Ăľ

pi | ( φ(n) ) 2

φ(n) 2

.

i

(Îąi − 1)

ä –

φ(n) pi − 1 ≼ (Îąi − 1)2Îąâˆ’1 piÎąi −1 2 2 ≼ (Îąi − 1) ¡ 2 ¡ 3 ≼ 6(Îąi − 1) ≼ 3Îąi > Îąi ,

c a p |( ) . 4 ÂŁ , Æ èWĂŠ p | n, p | ) . ( Ăť Ăź (i) Z (ii), '3) lýÔ – Ă• i n | (φ(n)) b , Ă… 5 n|( ) . c a SP (n) ≤ φ(n) < φ(n). 2 Ă j É Š , p < p < ¡ ¡ ¡ < p , Îą ≼ 1, (3) n = 2p p ¡ ¡ ¡ p , Ă? p Ă i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k, k ≼ 1. [ b , φ(n) 2

(Îąi −1)

pÎąi i | (pi

)

φ(n) 2

φ(n) 2

Îąi i

.

φ(n) 2

φ(n) 2

Îąi i

Îąi i

φ(n) 2

φ(n)

r

Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

i

1

2

k

φ(n) 2

i

i

φ(n) = p1Îą1 −1 p2Îą2 −1 ¡ ¡ ¡ pkÎąk −1 (p1 − 1)(p2 − 1) ¡ ¡ ¡ (pk − 1).

b Ăž X Y ´ÿ ÂŠ b ĂŠ Âś?Ă’ Ă“ ' ) 5

n †(φ(n))φ(n) , Smarandache SP (n) SP (n) 6= φ(n). n | (φ(n))φ(n) , φ(n) , ιk ≼ 2.

i

œ ŠÞá ä 69

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

' ) * 9;: n | ( ) . \ æ , 5 , 2 | ( ) . \ æ φ(n) 2

(i) k ≥ 2.

à Ð

φ(n) 2

, ∀pαi i | n,

i

αi = 1

φ(n) pk − 1 ≥ pkαk −1 (pi − 1) ≥3·2=6>1 2 2 pi | (φ(n))φ(n) (αi − 1)

Ô

φ(n) 2

φ(n) 2

Ô

pi |

φ(n) 2 ,

' ) ä £ ú õ

pi | ( φ(n) 2 )

φ(n) 2

.

i

b

,

αi ≥ 2

b

,

φ(n) pk − 1 ≥ (αi − 1)pkαk −1 (p1 − 1) ≥ (αi − 1) · 5 · 2 · 2 2 2 ≥ 20(αi − 1) ≥ 10αi > αi ,

c a

φ(n)

(αi −1)

φ(n)

g Á 5

) 2 . pαi i | ( φ(n) ) 2 . , n | ( φ(n) ) 2 2 φ(n) SP (n) ≤ < φ(n). 2 (ii) k = 1. , n = 2pα1 1 , α1 ≥ 2, φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1). 0 (ii) p1 ≥ 5, α1 ≥ 2, pαi i | (pi

Ô

φ(n) 2

,

a b?5 Ê g

φ(n) (α1 − 1) p1 −1 = (α1 − 1)p1α1 −1 2 ≥ (α1 − 1) · 5 · 2 2

Ô 5

≥ 10(α1 − 1) ≥ 5α1 > α1 ,

c a p | ( ) . Ô φ(n) , 7 Á SP (n) ≤ ) < φ(n). Ô p = 3, n = 2 · 3 .

(α1 −1)

pα1 1 | (p1

, n | ( φ(n) p1 −1

)

φ(n) p1 −1 2

.

α1 1

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

2

00

φ(n)

, 2 | ( φ(n) p1 −1 ) 2

c a c a

φ(n) p1 −1 2

.

g Á

α1 (ii) 1 α1 = 1, φ(n) = φ(6) = 2, SP (n) = SP (6) = 6, SP (n) 6= φ(n). SP (n) = φ(n). α1 = 2, φ(n) = φ(18) = 6, SP (n) = SP (18) = 6, φ(n) α1 −2 φ(n) φ(n) φ(n) α −2 2·3 α1 ≥ 3, ( 3 ) 3 = (2 · 3 1 ) , n | ( 3 ) 3 , SP (n) ≤ φ(n) < φ(n). 3 (1), (2) (3), n , SP (n) = φ(n) n = 4, 8, 18. , 4.2.8 .

c a

ûÎü

Ô

' ) ä i b U V · Z ¶ Á Û ¿ n 4 o ' ) ¨ k <8© ß 9;: ¶ + , áãâ ¶ / ' ) ä £ 9;:(¹ æ Ø ] © ß ~ > 4.2.9 K L SP (n ) = φ(n) y u 3 DC E F N : n = 1, 8, 18. ~ > 4.2.10 K L SP (n ) = φ(n) y u 3 DC E F N : n = 1, 16, 18. 2

3

70

Ă–;m(Ă—

 ÂŠ : \ , Æ è ĂŠ Ă´ Š œÎ6 § Š k ≼ 4, ' ) ˜ ¡ SP (n ) = ] 6D§ Š Ă› . φ(n) 5 5 4.3 Smarandache 4.1: v n > 1w n 6= 24 , Âş! X 1 I#"!$&%tC E F . Âś

Smarandache

k

'

4.2:

(*) K L

d|n

X

SM (d) = φ(n)

SM (d)

M#" N,+ , - . / 03K L M21

u C E F N . 4.3: 3 ( ) Z(n) M&4657+#8 , -29;: X Z(n) M6< =2> 4.4: @ A3BDC E F m Âş k > 1, ?&@,A B K L : d|n

.

n≤x

m ¡ (SP (n1 ) + SP (n2 ) + ¡ ¡ ¡ + SP (nk )) = SP (n1 + n2 + ¡ ¡ ¡ + nk ).

u  Ÿ8ž C E F N

(n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk ).

71

Smarandache

C D E 5.1

S F

~,L

Ï Û ‰ œ ê Í í à Î ï F G SPAC(n) H I

J K

@ A B C E F n, ?,@ M3N&O7PýM SmarandacheQ F*" R 3 %UTWV n + kJ,Q F M#X!Y(C E F k. ~&L 5.2 @ A3BDC E F n, ?&@7M,N

5.1 SPAC(n)

An = {SPAC(1) + SPAC(2) + ¡ ¡ ¡ + SPAC(n)}/n.

@ A•B C¤E F n, ? @ZM[N X\Y;M7Q F;"*R S F]%^T V n + kJ,Q F , w |k| %&X!Y M(F k. 5.2 SPAC(n) _a`cbed ~ L

5.2.1

~ >

5.3

f ­hgZi\j ­ k,l A3B!m M?C E F k, nUo

Smarandache

5.2.1

SPAC(n)

prq*s SPAC(n). O P : Ă€ k Âż è Ê;Ăˆ Âś36W§ Š , š n > k + 1. t¤T P Ă + – P > % É Š . Â… † ‡ P − 1, P − 2, ¡ ¡ ¡ , P − k, ¡ ¡ ¡ , n! + n, ¡ ¡ ¡ , n! + 2 n! + n Âś'u — Ă Ăź Š . Âœ # ' ) Â? ž k + 1 ] 6D§ Š : k, k − 1, k − 2, k − 3, ¡ ¡ ¡ , 2, 1, 0

[ v Š œ

p − k, p − k + 1, p − k + 2, ¡ ¡ ¡ , p − 1, p. Smarandache

É Š ä wUx Š ÂŽ y Ă

SPAC(p − k) = k, SPAC(p − k − 1) = k − 1, ¡ ¡ ¡ , SPAC(p − 1) = 1, SPAC(p) = 0.

72

| é Õ ¶ 9;: .

Ö,z × { g

SPAC(n)

k, k − 1, k − 2, · · · , 1, 0

² ³ g

SPAC(n).

[ 7 ¨ k <8© ß

f ­hgZi\j ­ SPAC(n) !~} =;> 5.2.1 n % A±BQC E F , H v n m] lc ; [n − n prq &Q F . W DJ k,l Q F p qnUo n] [n, n + n ] ã M 5.2.2

Smarandache

7 12

,

7 12

7

n − n 12 ≤ p ≤ n

7

=?>

n < q ≤ n + n 12 . 5.2.2

π (x)

! IW x #M 1Îu,Q F MÎ ÎF , tH u < =2>

x π (x) = +O ln x

~ >

5.2.2

@ A3BDC E F

n,

x ln2 x

.

?&@ uU , !

n

1X 1 An = SPAC(a) ≥ ln n + O (1) . n a=1 2

Æ è3é7 È ¶ 6 § n, T 2 = p < p < p < · · · < O P : . g Ê SPAC(a) ¶ © ÷ ä r # p ≤ n ÙWÚ 3 [1, n] Ð ¶Î435WÉ a ¶8É ä wUx Á 3 (p , p ] Ð 4 5 § Z ¿ 1

2

3

m

i

i+1

X

pi <a≤pi+1

SPAC(a) = pi+1 − pi − 1 + pi+1 − pi − 2 + · · · + 1 + 0 =

(pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) . 2

4 £ ÊÜn Ä ' ) ä

| é Õ

SPAC(1) = 1, X X SPAC(a) = 1 +

X

pi+1 ≤n pi <a≤pi+1

a≤n

≥

SPAC(a) +

X

SPAC(a)

pm <a≤n

X (pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) 2

pi+1 ≤n

73

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

1 X (pi+1 − pi )2 − 2 pi+1 ≤n 1 X = (pi+1 − pi )2 − 2 p ≤n =

,U R . Ä 5 pm − 2 =

X

pi+1 ≤n

= 

(5-2)

(pi+1 − pi ) ≤ 

pi+1 ≤n

1 (pm − 2) . 2

X

pi+1 ≤n

Ä | é

pi+1 ≤n

1

(pi+1 − pi )

An

pi+1 ≤n

1

An

1(5-1) (5-2)

(pm − 2)2 . (pi+1 − pi ) ≥ π(n) ≤n

X

pi+1

1 2

(pi+1 − pi )2  (π(n)) 2 . 2

¶ © ÷ ä

1 pm − 2 An ≥ (pm − 2) −1 . 2n π(n)

5.2.1

| é Ä

íW ß

7

l ú õ

5.2.2 n − pm n 12 h 7 i2 19 p n2 + O n 12 n + O n 12 + O m = + O(1) ≥ 2 2n2 n 2n lnnn + O lnn2 n + O n2 ln n

=

1 ln n + O (1) . 2

lim

n→∞

74

2

X

1 (pm − 2)2 1 1 pm − 2 nAn ≥ − (pm − 2) = (pm − 2) −1 2 π(n) 2 2 π(n)

, ß

c ¿

1  2

X

2

ä R . Ä Êxa í

i+1

1 X (pi+1 − pi ) 2

1 ln n + O (1) = +∞, 2

ln n

Ö,z × { g

4 £

SPAC(n)

lim An = +∞.

k <8© ß ¶ 9;: . ÁU U ¶ . g Á ¨ SPAC(n) n→∞

An

5.3

5.1:

U !M,N#?&@ "3¡2¢¤£;:¥X!Y6Q F "2R S F M¤¦ § ¨ ©

1, 0, 0, ±1, 0, ±1, 0, −1, ±2, 1, 0, ±1, 0, −1, ±2, · · ·

? @Uª7«[¬r­ ® l,¯ DF*¢ Üu3»W¼D DF3° ±³²ã»W¼&´ . * ( )&¯ DF*¢ M¤+#8 .

75

Smarandache

Cœ¾ E

¡

Ï Û ‰ œ ê Í í à Î ï

Smarandache ¸ºšº

Ÿa½ H I

J K [ \  ÂŠ Ă ,ž Âż3Ă€,Ă UĂ‚!Ăƒ Ă‹ ĂŒ Š q,Ă„7Ă… F.SmarandacheÆ Ç7Ăˆ É ĂŠ Ă‹¤ Problems, Not Solutions Ă? ĂŽ7Ă?¤Ă? ˆ Ă?¤œ , ™,Ă‘7Ă’ Ă“7Ă” Ă• Ă– Â&#x; Âś?ÂśĂŒĂ’ Ă‹ Ă“Only á ! Ă— Ă˜ , Ă™ Ă” Ă´ Ăľ Ăš Smarandache ¢UĂ› Ăœ*Ă?6Ăž3Ă&#x;Wà œ¤å â!L 6.1 ĂŁ*ä³ü7ĂŚ ç!è n, O*P\ĂŠ ĂŞ SmarandacheÂť*ĂŤ~ĂŹ\Ă­2ĂŽZĂŻ è Zw(n)M*N!% X^Y7ĂŠ&ĂŚ3ç è mn!o n | m . Š ‹,Ă° Zw(n) = min{m :

6.1

n

m ∈ N, n|mn }.

6.2 6.2.1

Zw(n) _a`cbed Zw(n)

ù ­ ò^ó]ôÜþ\á

â,ø 6.2.1 ĂŁ ä*ĂĽUĂŚ7ç è n, Ăš3Ăş n = p p ¡ ¡ ¡ p ÂŒ Â? n ĂŠ2Ăť*Ăź Ă˝ Ăž , Ăż Zw(n) = p p ¡ ¡ ¡ p . , Zw(p) = p, ÂŻ p %Wä7ĂĽ&Q&è . â ø 6.2.2 n % UĂŤ,ĂŹ Ă­ÂĽĂŽ2è~ , Zw(n) = n. â ø 6.2.3 ĂŁUä7ĂĽ2ĂŚ ç&è n, Zw(n) ≤ n. â ø 6.2.4 #è Îą1 Îą2 1 2

1 2

ð ­ ^Ê â ø ð ­ ^Ê 76

r

∞ X Zw(n) n=1

n

. 6.2.5

#è ∞ X

1 Zw(n) n=1

.

Îąr r

â ø

Ăš 6.2.6

UĂ› Ăœ*Ă?6Ăž3Ă&#x;WĂ Zw(n)Ă° " ï¼è , ŠW‹2Ă° , (m, n) = 1 Smarandache

,

Zw(m ¡ n) = Zw(m) ¡ Zw(n).

â ø

6.2.7

Zw(n)

6Ă° "2R^ï¼è , WŠ ‹2Ă°

,

Zw(m + n) 6= Zw(m) + Zw(n).

â ø

â ø

â ø

6.2.8 6.2.9 6.2.10

n ≼ 1 , Zw(n) ≼ 1.

ã 6ä7 ü è

n≼1 ,0<

Zw(n) ≤ 1. n

> 0,

k,lUÌ ç&è

n ≼ 1,

nUo

Zw(n) < . n

*¤è

â ø Uâ ø

6.2.11 6.2.12

.

â ø

â ø â ø

ð ­ ^Ê

6.2.13 6.2.14

"! # $2Ì ç&è Þ . n %'&Uè)( , Zw(n)ð U& è ; n % *#è)(

ĂŹ

Zw(n) = 1, n

+ , -6ĂŹ

Zw(n) = Zw(n + 1)

ãUä7ü2Ì ç&è n X

#è ∞ X

U�,‘"/

Zw(k) >

k=1

6.2.15

n,

1 a, (Zw(n)) n=1

, Zw(n)

.' Ì ç&è Þ

Ă°

.

6¡n . Ď€2

a ∈ R,

a>0

.

77

â ø

C)D

6.2.16

∞ X (Zw(n))Îą

ns

n=1

Îś(s)

â ø

0 1 "2 3 465 7 8 9 : ; ĂŁUä7ĂĽ è Îą, s <>= s − Îą > 1? Îą > 0, @'AB/

Smarandache

%

E"F BĂŁ G' H&èBI J . ĂŁUä7ĂĽ è Îą > 0? x ≼ 1, K L MN/

Riemann zeta6.2.17

Îś(s)Îś(s − Îą) Y 1 = 1− s , Îś(2s − 2Îą) p p + pÎą

ï¼è

,

Y p

1 Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 (Zw(n)) = 1− Îą + O xÎą+ 2 + . Îś(2)(Îą + 1) p p (p + 1) n≤x X

6.2.2

â ø

Îą

OQP

ù R ò SQTVUVW ) ãUä7ü2Ì ç&è n > 1, X Y Z ["/

Zw(n)

6.2.18

n

1 X ln(Zw(k)) =1+O n ln k k=2

1 ln n

.

\ ] : ^ U(n) = X ln(Zw(k)) . Ă— Ă˜UĂ™ Ă” _ ` U(n) 3ba c . d e a f k > 1 g , h Zw(k) 3#ĂĄ i Ă™UlnĂ” kj k l)m Zw(k)n o k 36ĂŠ p j qbr*Ă?WĂ 3 s t , ĂŠvuxw y zB{ | Ă k p Zw(k) ≤ k 7 ln(Zw(k)) ≤ ln k, } ~ p _ ` : n

k=2

U(n) =

n X ln(Zw(k)) k=2

ln k

≤

n X ln k k=2

ln k

= n − 1 ≤ n.

(6-1)

8 Â‡ € Ă™,Ă” _B` U(n) 3'‚Bc . w yBz"{ |7Ă 2 ≤ k ≤ n, ƒ k 3'„ Â…B† 1" k = p p ¡ ¡ ¡ p , Ă™ Ă” ˆ Â‰ Š [2, n] ‹ 3'ĂŠ p | à † ÂŒ Â? ÂŽ Ăž Â? A 7 B, 8Â?‹ An o ‰ Š [2, n] ‹#ĂŠ"p"‘"Â’ Â“B” Îą ≼ 2 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s) 3 { | Ă k 3•Â? – ; B n oB‰ Š [2, n] ‹ ĂŠ p ‘ Â’ — ˜ p,ĂŽ ÂŽ Îą = 1 (1 ≤ i ≤ s) 3 { | Ă k 3•Â? – . ™ š Ă™ Ă” p Îą1 Îą2 1 2

Îąs s

i

i

U(n) =

n X ln(Zw(k)) k=2

78

ln k

≼

n X ln(Zw(k)) k=2

ln n

Ăš

Smarandache

1 X 1 X ln(Zw(k)) + ln(Zw(k)). ln n ln n

=

› Âœ hÂ?Â? – A 3#ĂĄ i ž Â&#x; A"š ‰ Š Ă™ Ă” p _ ` : k∈A

X

k∈A

UĂ› Ăœ*Ă?6Ăž3Ă&#x;WĂ

[2, n]

ln(Zw(k)) ≤

X

k∈A

k∈B

‹• p

ln k ≤

Square-full

√

(6-2)

à N3b� – , ¥  u

n ¡ ln n.

(6-3)

¢"ÂŁ  Ăœ ¤ , wN™By z n ∈ B, ÂŁ ĂĄ ÂĽÂ ÂŚ ÂŁ ÂŽNr!Ă p, § ¨ p|nŠ p, n = p 1. q)g ªÂ?z ÂŤÂĄr[Ă \孏Ž3 ¯¥° jÂąqB²Â? ( ³Ž´ ¾¥œ [2] ­ ĂĄ ÂŹ 4.10, Âľ Âś [3]7 [8]): X ln p k≤n

X

7

k≤n

= ln n + O (1) ,

p

n ln p = n + O ln n

X ln p

=D+O

8 ‹ D ‡ { ¡&Ă . ™ š ¸ š p _ ` p2

k≤n

X

X

ln(Zw(k)) =

k∈B

=

X

= n

ln p =

7

X ln p

p

ln k

≼

(ln p + ln(Zw(k)))

−n

(p, k)=1

X ln p p≤n

1

k≤ n p

p2

¸ š j k ¨  _ `

n X ln(Zw(k))

X

ln p

n n − 2 + O(1) p p

= n ln n + O(n).

(6-2), (6-3) (6-4)

k=2

X p≤n

ln p

p≤n

,

pk≤n (p, k)=1

pk≤n (p, k)=1

X

X

ln(Zw(pk)) =

p≤n

U(n) =

1 ln n

pk≤n (p, k)=1

≼

h



+O

X p≤n



ln p

(6-4)

:

√ 1 X ln(Zw(k)) + O n ln n ln n k∈B

79

0 1 2"3 465 7 8 9 : ;

Smarandache

º –

(6-2)

7

≼

n √ 1 . (n ln n + O(n)) + O n ln n = n + ln n ln n

(6-5)

¸ š Âť Âź l mž½ ÂżBĂ€

(6-5)

:

n

1 X ln(Zw(k)) =1+O n ln k k=2

1 ln n

™ š Ă ÂŒNĂ‚WĂĄ ÂŹ 3Â•Ăƒ Ă„ . ÂŚ ĂŠ a Ă‹ Ă… ĂĄ ÂŹN‹•Æ n → ∞, Âť Ç>¨ ÂŤ Ăˆ ‚ l É 6.2.18 ĂŒ Ă?BĂŽ Ă? Ă? Ă‘ n, X Y Ă’ Ă“

.

n

1 X ln(Zw(k)) lim = 1. n→∞ n ln k k=2

6.2.3

OQPÂŽĂ”)R

Ă– Ă— K L MN/

6.2.19

Ă• SQTVUVW

Zw(k) θ(k)

ĂŒ Ă? ĂŽ Ă? Ă? Ă‘

k > 1,

Ă˜

\ ] : d)e a , Nw y z)e Ă™ Ă™ Âľ(n) 3bĂž Ă&#x; :

|Âľ(n)| =

Ă ÂŞ z ÂŤ

∞ X Âľ(n)

¸ š p

n=1

n≤x

|Âľ(n)| = =

XX

n≤x

n2

Âľ(d)

d2 |n

X

md2 ≤x

80

x > 1

Âľ(d)

=

X

X

ln (Zw(n)),

n≤k

Zw(k) Zw(k) =X =O θ(k) ln (Zw(n)) n≤k

X

θ(k) =

1 ln k

ĂšNy z){"| Ă™ Âľ(d)

d2 |n

1 6 = 2 Μ(2) π

X Y

.

n,

Ă› Ăœ

M¨obius

Ă?

ĂĄ =

X

Smarandache

√ d≤ x

=

X

1

m≤ dx2

Âľ(d)

√ d≤ x



X

Âľ(d)

â ĂŁ äbĂĽÂ Ă?>Ă™

x

d2

+ O(1)

   X Âľ(d) X +O = x − |Âľ(d)| d2 d2 √ √ d=1 d> x d≤ x √ 6 1 = x +O √ +O x 2 Ď€ x √ 6 = x + O x . Ď€2 ∞ X Âľ(d)

‚Â?¤Â?¸vš ĂŚvçÂ?èÂ?ÂŽ Âş ÉvĂŠÂ?ĂƒĂŞĂ„NĂŤÂĄÂŹ Zw(n) = n, ĂŹ p θ(k) =

X

.

wÂ?y zv Â?â ã¹ä ĂĽÂ?Ă™

n,

ln (Zw(n))

n≤k

≼ ≼

X n≤k √

|Âľ(n)| ln n

X

k≤n≤k

√ |Âľ(n)| ln( k)

X 1 = |Âľ(n)| ln k 2 √ k≤n≤k   X X 1 = ln k  |Âľ(n)| − |Âľ(n)| . 2 √ n≤k

ä•í p



n≤ k



1 ln k  |Âľ(n)| − |Âľ(n)| 2 √ n≤k n≤ k √ 1 6 ≼ ln k k + O( k) 2 Ď€2 √ 3 = k ¡ ln k + O( k ¡ ln k). Ď€2

θ(k) ≼

X

(6-6)

X

(6-7)

81

0 1 2"3 465 7 8 9 : ; ÂŞ z ÂŤ Zw(n) ≤ n, ™ š ¸ š Âť Ç>¨ ÂŤ Smarandache

Zw(k) 0< ≤ θ(k)

ĂŽ

k √ =O 3 k ¡ ln k + O( k ¡ ln k) 2 Ď€ Zw(k) =O θ(k)

1 ln k

1 ln k

.

è ĂŻ Ă ÂŒNĂ‚>ĂŤ ÂŹ 3Â•Ăƒ Ă„ . Ă› ĂŠ ĂœĂ‹ ĂŤ ÂŹ ¸ š Âť Ç>¨ ÂŤ Ăˆ ‚ Âş É : 6.2.19 ĂŒ Ă?BĂŽ Ă? Ă? Ă‘ k, X Y Ă°BĂą ò>Ăł Zw(k) = 0. k→∞ θ(k) lim

Zw(n)

6.3

ĂžxĂż

ôÜþøáúÚøÝýß

Zw(n) = Zw(n + 1) + Zw(n + 2) w 1000 u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 . ĂžxĂż 6.2: Zw(n) + Zw(n + 1) = Zw(n + 2) w 1000 u '3 Zw(n) 3 , p Š p 6ÂŽ 1 6.1:

.

.

Zw(1) + Zw(2) = Zw(3), Zw(3) + Zw(4) = Zw(5), Zw(15) + Zw(16) = Zw(17), Zw(31) + Zw(32) = Zw(33),

ĂžxĂż

Zw(127) + Zw(128) = Zw(129), Zw(225) + Zw(256) = Zw(257).

Zw(n) = Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , š w  pN3 f n, ĂŁ š ÂŒBw Âť 1000 ? ÂŞÂ z ÂŤ Ăˆ n š "Ă™ , aBĂ… ã Bp"1 . d e a , n š "Ă™­g Zw(n) š BĂ™ , Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) š BĂ™ . í­g , ĂŁ  j ÂŒ Âť . Ăˆ n, n + 1, n + 2 š â ĂŁ äbĂĽ Ă™ , ĂŹ p n = n + 3n + 2, › Âœ è j ÂŒ Âť Ç ĂŁ p 1 . 6.3:

2

82

, ,

ĂžxĂż

ĂĄ

Smarandache

â ĂŁ äbĂĽÂ Ă?>Ă™

Zw(n) ¡ Zw(n + 1) = Zw(n + 2) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , š w  pN3 f n, ĂŁ š ÂŒ wÂť 1000 ? ÂŞBz"ÂŤ Ăˆ n š Ă™ , a Ă…BĂŁ p 1 . d"e a , n š Ă™ g , Zw(n) š BĂ™ , Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) š BĂ™ . í­g , ĂŁ  j ÂŒ Âť . Ăˆ n, n + 1, n + 2 š â ĂŁ äbĂĽ Ă™ , ĂŹ p n + n = n + 2, › Âœ è j ÂŒ Âť , Ç ĂŁ p 1 . ޕÿ 6.5: ! ' Zw(n) ¡ Zw(n + 1) = Zw(n + 2) ¡ Zw(n + 3) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , š w  pN3 n, ĂŁ š ÂŒ Âťw 1000 ? ĂžxĂż 6.6: Zw(n) = S(n) , C)D S(n)" Smarandache # Ă‘ . ĂžxĂż 6.7: $ I %'& bĂ? Ă? Ă‘ k, ( ) Zw(n), ¡ ¡ ¡ , Zw(n + k) D+* , - $ H Ă‘ . Ăž'Ăż 6.8: . ' Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) = 0 , C D Z(n)" / Smarandache #žĂ‘ . ĂžxĂż 6.9: 'AB/ Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) > 0 . ĂžxĂż 6.10: 'AB/ Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) < 0 . ĂžxĂż 6.11: '#žĂ‘ 6.4:

2

10

Zw(Z(n)), Z(Zw(n)), Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) .

Ăž Ăż 6.12: " 243 5 687Â Ă?"Ă? Ă‘ Zw(n) 9 : . ĂžxĂż 6.13: "' 2 3 5 Ă? Ă‘ k > 1; : .

m, n, k,

n>1

( )

( )

Zw(m ¡ n) = mk ¡

Zw(n)k = kZw(n ¡ k)

9 83

þxÿ

Smarandache

6.14:

0 1 2"3 465 7 8 9 : ;

Zw(n)r + Zw(n)r−1 + · · · + Zw(n) = n

C)D r " Ï Ð Ñ , <

84

r ≥ 2.

= > ? B C D

Smarandache

@ A s Ă?>Ă™

Smarandache E

FHG IKJ

LNM è ÂŁ Ă? Ă™Bš O P Q R S'T U V Ă™ É ÂŁ W _ X F.Smarandache Y ZBd ÂŚ [  à b c U­ Problems, Not Solutions ^ ‹ ` a­3 , š egf h 3b3]Ăž \ Ă&#x;Only ! i j , ¸ š kNm Smarandache @ A s Ă?>Ă™ 3 ĂŤ i Ă– l 7.1 ĂŒ Ă? ĂŽ Ă?BĂ? Ă‘ n, Smarandachem n1o.#bĂ‘ Sdf (n)p'q r <>= Sdf (n)!! s t nĂ? u 1%'& bĂ? Ă? Ă‘ . 7.2 Smarandache vxwzy ôÜþøá|{~}€ ‚ Ă•Â‰ÂˆÂ‹ÂŠÂ?Œ‡Ž 7.2.1 Smarandache ÂƒÂ…Â„Â‡Â†ÂąĂ”)R Ă– Ă— 7.2.1 ĂŒ!Â?bĂ?BĂŽ H Ă‘ p, Sdf (p) = p. Ă– Ă— 7.2.2 ĂŒ!Â?bĂ?BĂŽ Â? ‘ g’”“4• Ă‘ n, X Y – 7.1

Sdf (n) = 2 ¡ max{p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk }

C)D

" n >H.’”“ . \ ] : j — ÂŁ4˜ Ăž , ¸ š ƒ n = p ¡ p ¡ p , ™ ‹ p > p > p Š p = 2. Ăˆ ىš A sBš n š ›BĂ™ , Âœ'Â? ‘ Â’ 2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ m ž4Â&#x; n|  'š ÂĄ ¢ { | Ă™ mš 2 ¡ p . d e a w ™ m = 2 ¡ p , ¸ š p : {p1 , p2 , p3 , . . . pk }

1

3

2

3

3

2

1

1

3

2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ 2 ¡ p2 ¡ 2 ¡ p3 = (2 ¡ p2 ¡ p3 )(4 ¡ 6 ¡ 2 ¡ 2) = k ¡ (2 ¡ p2 ¡ p3 ), k ∈ N

Ă– Ă—

7.2.3

ĂŒ!Â?bĂ?BĂŽ Â? ‘ g’”“ Ă‘

n,

X Y –

Sdf (n) = max{p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk },

C)D

" n >H.’”“ . \ ] : j — ÂŁ4˜ Ăž , ¸ š ƒ n = p ¡ p , ™ ‹ p Ăš p š Â? ÂŽ jNq4š>r Ă™ Š p > p ÂŁ . ÂŁ ÂŁ ÂŤ p š Ă™ n š8A s ¤ š n‡ š¼› Ă™ , ä ‡Bf p < p g è ÂŽ A s ĂŤ8ÂŚ § p ¡ p š•t , ¨ ĂŻ š n š1A s : 1 ¡ 3 ¡ 5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ p ¡ p . {p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk }

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

85

Smarandache

Ö ×

7.2.4

³'Ñ

©4ª «' ¬®­ ¯ ° ± ² " ´ µ

∞ X

1 Sdf (n) n=1

.

\ ] : è "ë ¬ v h6ÚB X 1p 1¶ · Þ £ ¸ ¨B«! , ­ p y z r Ù . d e a , h¾ë ¬ 7.2.1 ¨ X Sdf1(k) > X 1p , è ï Á NÂ>ë ¬! à Ä. Ö × 7.2.5 Sdf (n)¹ º #¾Ñ "!»1 8¼ #¾Ñ . ½ ¾8" ¿ (n, m) = 1 À p ∞

p

k=1

Sdf (n + m) 6= Sdf (n) + Sdf (m).

\ ] : d e a , Á È :Sdf (2 + 15) 6= Sdf (2) + Sdf (15). Ö × 7.2.6 Sdf (n)¹ º #¾Ñ "!»1 og#¾Ñ . ½ ¾8" ¿ (n, m) = 1 À Sdf (n · m) 6= Sdf (n) · Sdf (m).

\ ] : d e a , Á È :Sdf (3 · 4) 6= Sdf (3) · Sdf (4). Ö × 7.2.7 Sdf (n) ≤ n. \ ] : d e a , f n 4 â ã äbå Ù g , h¾ë ¬ 7.2.1, 7.2.2Ú ë ¬ 7.2.3, p Sdf (n) ≤f n. f n j  â ã ä å h ÙN£ g , hx Ý'Ù Sdf (n) ¡ à £ ë j à n, ¸ ¹ Æ « n 1A s , ë n Ù . Ö × 7.2.8 ³'Ñ X Sdf (n) " ´ µ . n \ ] : d e a , X Sdf (k) > X Sdf (p) , P y z r Ù . h6 r k p Ù pp Â Ä Å Æ , à © Sdf (p) = p, ä í X Sdfp(p) ¶ · . Ö × 7.2.9 Ì ÍBÎ Ï Ð Ñ , Ç4È Sdf (n) ≥ 1. ∞

n=1

∞

∞

k=1

p=2

∞

p=2

86

= > ?

@ A8É Ý>Ù ÊgË : è ÆBë ¬ .Ì Í Ý Ùg 'ë Î £ ¸ ¨ « . Ï Ð Ñ , Ò n = 1 Ó , Ô Õ ë Î ¡ ¢ Ö ×BÙ ØBë Ù 1. Ò n 6= 1 Ó , Í Ú 1 A É ØBë Û Ù n Ù , Ü.Ì Sdf (n) ≥ 1. Ö × 7.2.10 Ì ÍBÎ Ï Ð Ñ , Ç4È 0 < Sdf (n) ≤ 1. n Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Ý 7.2.7Ú ë4Ý 7.2.9£ ¸ ß à . Ö × 7.2.11 Sdf (p ) = 2p , á â p ã'ä4å k º4æ Ñg o ç . Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Ý 7.2.2£ ¸ ß à . Ö × 7.2.12 è Sdf (n) = 1 'é ê8º Ï Ð Ñ . n Ê Ë : è Æ ë Ý ÞëÌ'Íbë Ý 7.2.1£ ¸ ß'à . Ï'Ð Ñ , ì  Ä'Å4Æ'í Ù Ô Õ ã . Ö × 7.2.13 #¾Ñ Sdf (n)î ï ð1 ñ » ò . ó ¾8" Sdf ( ) = , Sdf ( ð ) = ð . Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Î £ ¸ ß à . Ö × 7.2.14 ô õ ö¥ è Sdf (n) = Sdf (n + 1)÷1 ø ù4ú . Ê Ë : Ï Ð Ñ , Û Ü"ë Ý 7.2.13, nÚ Sdf (n) Þ û ü Ø ý . ä>í Ò n þ8 Ù Ó , Sdfß (n) ¨ Ù Ù , n + 1Ù Ù , Sdf (n + 1)Ù Ù . í!Ó ã  ª . ÿ+Ý Þ , Ò n þ8 Ù Ó , ã  ª . 7.3 Smarandache vxwzy ôöõø÷úùøûýü þxÿ 7.1: ó |Sdf (n + 1) − Sdf (n)|"'2 . þ>ÿ 7.2: $ 4è Sdf (n + 1) = k, Sdf (n) = k 1ø ù ú' . Sdf (n) Sdf (n + 1) á â k " 8ø ù4ú , 4 < ! å - º è n > 1. : = Ø4 Æ Â ª . # k

Smarandache

k

# k

87

þxÿ

©4ª «' ¬®­ ¯ ° ± ² Ç4È p q Sdf (n) k !r :

Smarandache 7.3:

Sdf k (n) = Sdf (Sdf (Sdf · · · (Sdf (n)) · · · )),

á â Sdf k . ! 1 n, Sdf (n) ! " s$# % º p'& (*)* º'+ , . - . 7.4: / 0!1* ¥ø ù4ú k, 2 # Sdf (n)3 Sdf (k + n)46587 9 : ; º4æ4ú . -$. 7.5: g n ≥ 1, <>= Smarandachem!n @ o ?+ú Sdf (n)A BDC E!FD 1@ ú G 0.1232567491011 · · · H ú I ! H ú . Ç È J ¹ º1 ú K SmarandacheL M8N O ú . - .

k=1

88

(−1)k · Sdf (k)−1

7.7:

P Q

- .

1 Sdf (n) n=1

7.8:

Q R

Sdf (k) k→∞ θ(k)

7.9:

∞ Y

lim

&

&

.

.

& , á â

: ;!S8T ! ø ù4ú

θ(k) =

m,n,k,

X

ln(Sdf (n)).

n≤k

2 # U V

Sdf (n · m) = mk · Sdf (n) .

- . 7.10: - . 7.11: ø ù4ú [ . -$. 7.12: ú [ . - . 7.13:

â

P Q

- . - . F W

7.6:

∞ X

/ X Y è

Sdf (n)! = Sdf (n!)

!

k > 1 n > 1,

g

k > 1,

/!X Y4è

k > 1, m, n > 0.

3

/ X Y1è

/ X Y è

Z 1 ø ù4ú [

.

Sdf (nk ) = k · Sdf (n)

Sdf (nk ) = n · Sdf (k)

Sdf (nk ) = nm · Sdf (m)

Z

8 ø ù

* ø ù ú![ , á

\ ] ^

- . F W . ¿ - . F W . ¿ - . F W . ¿ - . F W . ¿ - . i$o ·*p - .

7.14:

_ `8É a b dc ?”ú Sdf (n) Ã¥ e º'& , »ZU V Smarandache

n 1 ≤ · n + 2, 1 ≤ n ≤ 1000 Sdf (n) 8

À f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?”ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.15:

1 Sdf (n) ≤ 0.73 , 1 ≤ n ≤ 1000 n n

À f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?”ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.16:

1 1 1 + < n− 4 , 2 < n ≤ 1000 n Sdf (n)

À f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?”ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.17:

5 1 < n− 4 , 1 ≤ n ≤ 1000 n · Sdf (n)

À f'»ZU V8 !8g@h'F W . Smarandache_ `8 É a b a b

n > 1000 , 7.18:

∞ X

1 , a (n) Sdf n=1

m@n

Sdf (n)

i8j*k l b

a > 0, a ∈ R

. 7.19:

< lim

n→∞

n X ln Sdf (k)

ln(k)

k=2

& ! qZr c*s4ºZt u ú v O ú

n

. 89

- .

á â á â

Smarandache 7.20:

w x y!i z|{ } m ~*

X [ Y è Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = n,

r≥2

ø ù4ú . $

Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = k · n,

r, k ≥ 2

- .

" ø ù4ú

7.21:

<

. Sdf

m Y

k=1

90

mk

!

3

m X k=1

Sdf (mk )

.

\ …*^ † ‡‰ˆ Š

‹

Smarandache-totient

a b

Smarandache-totient ŒŽ�

Â?‘Â? Â’*“ , ”*• – — † Smarandache-totient a bdi'˜4ĂŽ ™ š 8.1 8 ø Ăš4Ăş n, K Smarandache-totient ?”ú Zt(n) › Âœ Â? ž Â&#x; X Ď•(k)  $ÂĄ nĂš ¢ Z0!1* ¼ø Ăš4Ăş m, å‰â Ď•(n) Euler ?”ú .

8.1

m

k=1

ÂŁ

8.2 8.2.1

™*

Smarandache-totient ¤Œ¼ÂŽ§Š¨ª­¯Ž

°

Smarandache-totient

8.2.1

?”ú

Zt(n)

¹D²Œ³D´œ¾¸¡ºš

Âź ½Zž Âż Ă€ ½Zž*N , Ăł à ºÂ

(m, n) = 1

Ăƒ

,

Zt(m + n) 6= Zt(m) + Zt(n), Zt(m ¡ n) 6= Zt(m) ¡ Zt(n).

Ă„dĂ… : Æ Ç Ăˆ , Zt(2 + 3) 6= Zt(2) + Zt(3), Zt(2 ¡ 3) 6= Zt(2) ¡ Zt(3). ™*Âť 8.2.2 8ø Ăš4Ăş n > 1, É'ĂŠ Zt(n) > 1. Ă„ Ă… : Æ Ç Ăˆ , Ă‹ ĂŒdĂ? n > 0 ĂŽ , Ď•(n) > 0. Ă? n = 1 ĂŽ , Ď•(n) = 1. Ă? @ Ă? Ă? Ă‘ Ă’ Ă? n = 1 ĂŽ , Zt(n) = 1. ™*Âť 8.2.3 8ø Ăš4Ăş n ≼ 1, É'ĂŠ Zt(n)

X k=1

Ă„dĂ… : Ă“ Ă”

ϕ(k) ≤

Zt(n) = m. m X k=1

Zt(n) ¡ (Zt(n) + 1) . 2

Ă•1Ăž Ă?

ϕ(k) ≤

m X k=1

n≼1 k=

ĂŽ

, ϕ(n) ≤ n.

ĂŒ Ă–4ĂŹ

m ¡ (m + 1) . 2 91

Smarandache

*» ß à

×1ú

8.2.4

∞ X

1 Zt(n) n=1

ÄdÅ : *Ú Û Ü , Ó Ô

*»

k

×Zä

Ö â ã i

∞ X Zt(n)

n

n=1

k=1

ϕ(k) = a · n,

Ø*Ù

.

.

, ∞ X Zt(n)

Ì Ö*å æ á l b â ã . *» 8.2.6 n ≤ π

n

n=1

ÄdÅ : Æ Ç È , |Ë Ì

2

3

n X

≈π·

∞ X n=1

ϕ(k) ≈

ç è édiZê ë ì í n ≤ n , Ý Ö*î*ï i *» 8.2.7 X ϕ(k) ≥ n. 2

k=1

3

n

k=1

k=1

Zt(n)

p a·n

ϕ(k).

n X

92

m X

∞ ∞ X 1 1 3 X1 p ≈ > Zt(n) n=1 π a·n a · π n=1 n 3 n=1

∞ X 1 lim n→∞ n n=1

ÄdÅ : Æ Ç È

.

Ì Ö

∞ X

8.2.5

Ø*Ù

Zt(n) = m, , r π2 · a · n m≈ 3

Õ$á à

3 · m2 ≈ a · n. π2

â ã , Ý Ö Õ1þ

w x y!i z|{ } m ~*

3n2 , π2 .

∞ X 1 > . n n=1

Ý Þ

a ∈ N.

\ Â…*^ † Smarandache-totient a b Ă„ Ă… : Ă? Ă° ĂŞ Ăą*ĂĽ Ă? Ă‹ Zt(n) i'˜ Ăœ*ò Ăł Ă´ Ăľ . Æ Ç Ăˆ d m X k=1

Ă?

a=1

ĂŽ

,

m X

Ď•(k) = n.

Ď•(k) = a ¡ n, (a ∈ N).

Ă?

a>1

ĂŽ

,

k=1

m X

Ď•(k) > n.

ĂŒ Ă– ˜ ĂŠ Ă´*Ăś

Zt(n) ≈ Ď€ ¡

r

8.3

,

r a¡n n , a ∈ N. ≼ Ď€¡ 3 3

á ø*Ăš Ăş*Ăťda b , 'ĂŹ Ă– Ăź Ă˝ Ăž n i$Ăż Ăť b . ™*Âť 8.2.9 Zt(n) < n ½ 'F W . Ă„dĂ… : Zt(n) i Ă? Ă° Ăź ĂĄ Ăź : Zt(3) = 4, Zt(7) = 9 . ™*Âť 8.2.10 Zt(n) & N − {0}, N ä "!

bnc

Ă„dĂ… : Æ Ç Ăˆ , # $ % Ăť b

' Ă´

.

k=1

*™ Âť 8.2.8 Zt(n) ≼ Ď€ ¡ r n . 3 Ă„dĂ… : Ă? Ă° ĂŞ Ăą*ĂĽ Ă? Ă‹ Zt(n) i'˜ Ăœ*ò Ăł Ă´ Ăľ . Æ Ç Ăˆ m@n

,

n≈

m,

”*• ĂĽ "Ă? & Ăľ – ˜!i

n,

.

3 ¡ m2 , a∈N a ¡ Ď€2

Zt(n) = m.

ÂŁ

Smarandache-totient ¤Œ¼ÂŽ§)(+*-,

- . 8.1: / . ž Â&#x; Zt(n), Zt(n + 1), Zt(n + 2), ¡ ¡ ¡ , Zt(n + k) / 0 1dC Z 0 2" ä k. 93

w x y!i z|{ } m ~* : # Ì 1000 Ð 3 i Zt(n) i" , * ô æ k = 5, k = 4 Î , à Smarandache

Zt(514) < Zt(515) < Zt(516) < Zt(517) < Zt(518) < Zt(519),

- .

Zt(544) < Zt(545) < Zt(546) < Zt(547) < Zt(548).

/ X Y54 Zt(n) = n 6ZÊ ä [ . # Ì 1000 Ð7à 3 i Zt(n) i8 , ô æ n = 1, C 2, 5Ö 9 : ;Di x . < Ö 9 : ; Ö = > m ? x . ádÎ , * @ A B*x iD: ; 8.2:

n X

ϕ(k) = a · n, a ∈ N.

- . 8.3: " ! A Zt(n) < n EDF GHE IZä , " ! B A n EDF GHE IZä , J X lim . B - . 8.4: P L Q K M E & N O'Ê P : k=1

Zt(n) >

n→∞

dn = |Zt(n + 1) − Zt(n)| rn =

ln =

- .

|Zt(n) − Zt(m)| |n − m|

J / XQ ä

8.5: (1) Zt(n)|Zt(n + 1), (2) Zt(n + 1)|Zt(n).

# Ì

1000

Ð 3 i

Zt(n + 1) Zt(n)

Zt(n)

n,

n, m ∈ N

2 R

i" , * & õHS

(1)

i$Ï à x í

Zt(1)|Zt(2), Zt(2)|Zt(3), Zt(80)|Zt(81), Zt(144)|Zt(145), Zt(150)|Zt(151), Zt(396)|Zt(397), Zt(549)|Zt(550), Zt(571)|Zt(572), Zt(830)|Zt(831). 94

:

\ …*^ †

(2)

i$Ă? Ă x Ă­

Smarandache-totient

a b

:

Zt(34)|Zt(33), Zt(46)|Zt(45), Zt(75)|Zt(74), Zt(86)|Zt(85), Zt(90)|Zt(89), Zt(108)|Zt(107), Zt(172)|Zt(171), Zt(225)|Zt(224), Zt(242)|Zt(241), Zt(465)|Zt(464), Zt(650)|Zt(649), Zt(886)|Zt(885).

ù*”*• T

C, D

U V á ø

(1)

k

(2)

i$x i$Ă° b , W B

D , n→∞ C lim

X Y [ \ X"Y

(D − C)2 . n→∞ |C 2 − D 2 | lim

Z X Y54 Zt(n + 1) = Zt(n) E 6ZĂŠ ä [ . : ”*• ] ^ Ă? Ă° : ; _ x . 8.7: Z X Zt(n + m) ` Zt(n), Zt(m)acb E ƒd„ ,  8‚ Zt(n ¡ m) ` Zt(n), Zt(m)adbQE ƒ „ . X Y 8.8: e fhg ä Zt(n)i Ď•(n). jlknmporq K s Zt(n) > Ď•(n) EDF GHE IZä , q L Zt(n) < Ď•(n) EDF GHE IZä . P Q 8.6:

K . n→∞ L lim

Ă

:

UHt u ĂŒ6a b

Zt(n)

k

Ď•(n)

i v

100

Ă° n , H

i

Zt(n) > Ď•(n) n

n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27 ¡ ¡ ¡

w Ă?

i Ă

Zt(n) < Ď•(n) n

:

n = 11, 21, 22, 23, 28, 29, 32, 35, 42, 43, 46, 49, 51 ¡ ¡ ¡

ĂŽ : ;

1 ≤ n ≤ 10000 ,

Zt(n) = Ď•(n)

Ă Ă? 9 Ă° x

:

n = 1, 40, 45, 90, 607, 1025, 1214, 2050, 5345. 95

w x y!i z|{ } m ~* W B : : ; Zt(n) = ϕ(n)Ö = à àpx ð x . y z Smarandache

ð b

.

X Y

{ | Zt(n) EQ}8!dg äpE n E ~ Zt(n) i k Q da b í : 8.9:

i i

|K − L|=0 n

.

Ztk (n) = Zt(Zt(Zt(· · · (Zt(n)) · · · )

m n Zt k . à @ W B : #!Ì Ï i n, L L Zt(n) i ô!õ ð 7 ð H L X Y 8.10: Z X Y54 Zt(n) + Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E 6ZÊ ä [ , Q f7 54pE8 N O5N Êp I . # Ì 1000 Ð 3 i Zt(n) i" , * & õHS È : ; i$x í n = 6:

Zt(6) + Zt(7) = Zt(8).

X Y

8.11:

# Ì

1000

.

Z 54

Ð 3 i

Zt(n)

Zt(n) = Zt(n + 1) + Zt(n + 2)

E 6ZÊ ä

i" , * & õHS È : ; i$x í

n = 49:

Zt(49) = Zt(50) + Zt(51).

9 : ; Ö = m ? i$x ? XDY 8.12: ZL 7 Q4 .

Zt(n) = Zt(n + 1) · Zt(n + 2)

E 6 Ê7 7 ä

# Ì 1000à ÐL3 i Zt(n) i5 , L à & õ 7 È L: ;6i'x , ë ! < Zt(n + 1) · Zt(n + 2) 9 ,: ; ñ*Ö *= å x Ð ? ö z Ý ð Lü * Û ¡ ÷ : Zt(n) , ì8¢*ö SD9 : ; _ x . XDY 8.13: ZL 7 Q4 Zt(n) · Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E 6 Ê7 7 ä . 96

ÂŁ Â… ¤ †

8ÂĽ Â? #!ĂŒ 1000Ă Ă?L3 i Zt(n) 5i , ” •L— Ă & Ăľ 7 Ăˆ “L: ;6i'x , ˜ ĂŤ 9 : ; Ă– = x ? X Y 8.14: Z ” Â?54 Zt(n) ¡ Zt(n + 1) = Zt(n + 2) ¡ Zt(n + 3) E 6 ĂŠ ä ‘ . #!ĂŒ 1000Ă Ă?L3 i Zt(n) i5 , ” •L— Ă & Ăľ 7 Ăˆ “L: ;6i'x , ˜ ĂŤ 9 : ; Ă– = x ? X Y 8.15: Z ” Â?54 Z(n) = Zt(n) E 6ZĂŠ ä ‘ , ÂŚl§ Z(n)N Pseudo-Smarandache g ä . # ĂŒ 60 Ă?73 i Zt(n) i8 , ” • & Ăľ Ăˆ “7: ;Di x Ă­ :n =Ă 1, 24, ĂŹ Z(1) = Zt(1) = 1, Z(24) = Zt(24) = 15. ˜!ĂŤ 97:7; Ă–L= > mH? x ? X"Y 8.16: Z7” Â? 4 Zt(n) = Z(n) − 1i Zt(n) = Z(n) + 1 EQ6 ĂŠ ä ‘ . # ĂŒ 60 Ă? 3 i Zt(n) i" , ”*• â ¨ : ; Zt(n) = Z(n) − 1 i Ă : Smarandache-totient

Zt(2) = Z(2) − 1, Zt(9) = Z(9) − 1,

: ;

i Ă

Zt(18) = Z(18) − 1, Zt(44) = Z(44) − 1. Zt(n) = Z(n) + 1

:

Zt(5) = Z(5) + 1, Zt(6) = Z(6) + 1, Zt(10) = Z(10) + 1, Zt(20) = Z(20) + 1,

˜ ĂŤ 9 : ; Ă– = Ă Ă px Ă° x ? XnY 8.17: ZŠÂ”ÂŞÂ?h4 Zt(n) = S(n) EÂŤ6 ĂŠÂŹ ÂŹ ¸äŠÂ‘ ,ÂŚ § S(n)N Smarandache g ä . # ĂŒ 84 Ă? 3 i Zt(n) i" , ”*• â ¨ : ; Zt(n) = S(n) i Ă : Zt(40) = Z(40) + 1, Zt(51) = Z(51) + 1.

Zt(1) = S(1), Zt(2) = S(2) = 2, 97

Smarandache

w x y!i z|{ } m ~*

ë 9 : ; Ö = > à m ? x ? X"Y 8.18: Z7 4 S(n) = Zt(n) + 1i S(n) = Zt(n) − 1 EQ6 Ê ä . # Ì 84 Ð 3 i Zt(n) "i , * â ¨ : ; S(n) = Zt(n) + 1 i à : Zt(5) = S(5) = 5, Zt(10) = S(10) = 5.

S(4) = Zt(4) + 1.

: ;

S(n) = Zt(n) − 1

i à

:

S(3) = Zt(3) − 1, S(6) = Zt(6) − 1, S(9) = Zt(9) − 1, S(17) = Zt(17) − 1, S(18) = Zt(18) − 1, S(34) = Zt(34) − 1,

ë 9 : ; Ö = > à m ? x ?Ö = à àpx ð x ? â ¨ à ® !ñ H­7BL:7; S(n) = Zt(n) − 1 iZx , ð ¯ ° i x n = 17k n = 18. Ö = > ± ²@i$x ? X Y 8.19: Z 54 S(n) = 2 · Zt(n) − Z(n) E 6ZÊ ä . # Ì 84 Ð 3 i Zt(n) i" , * â ¨ à ® ð x : S(51) = Zt(51) − 1.

S(9) = 2 · Zt(9) − Z(9), S(18) = 2 · Zt(18) − Z(18).

ë : ; i$x ³p´ i8u µ . X Y 8.20: Z 54 Zt(p) = p E 6ZÊ ä , l ¦ § pi p d N ½H¶ E8G ä . # Ì 60 Ð 3 i Zt(n) i" , * â ¨ à · ð x : 0

Zt(29) = 13, Zt(41) = 67, Zt(43) = 23.

ë : ; Ö = m ?H¸$x 98

.

0

ÂŁ Â… ¤ †

ä

.

8ÂĽ Â? 5X Y 8.21: ZH” Â? 4 Zt(p) = p E 6 ĂŠ äH‘ , r ÂŚ § pL N špÂş G # ĂŒ 60 Ă? 3 ¸ Zt(n) ¸" , ”*• â ¨ Ă ÂŽ Ă° x : Smarandache-totient

Zt(2) = 2, Zt(5) = 5.

˜ ĂŤ : ; Ă– = • – Âť ?H¸$x . X"Y 8.22: Z . ž'Â&#x; Zt(n)i Zt(k + n)acb8ÂźL½Dž7Âż7Ă€ I G*ä p E Ă Ă‚ ä k. X Y 8.23: Z ” Â?54 Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) = 0 ED ä ‘ . X Y 8.24: ” ‘!½ ĂƒLĂ„ Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) > 0. X Y 8.25: ” ‘!½ ĂƒLĂ„ Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) < 0. X Y 8.26: Ă…HÆ g ä Zt(Z(n)), Z(Zt(n))i Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) E ÇHĂˆ . X Y 8.27: ÉcĂŠ lim Z E ~ , Œ§ Z = X Zt(Z(n)), Z = 1

n→∞

X n

1

Z2

2

n

Z(Zt(n)).

X Y

8.28:

É7Ê X n

. lim

X X

Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))

n→∞

n

n

X Y

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

8.29:

É7Ê

lim

n→∞

X

!2

n

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

n

(Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)))2

X

99

Ë Ì7Í ¸7ÎÐÏ Ñ » Ò Ó Ô

Smarandache

E ~

E ~

.

X Y

É7Ê

8.30:

X

X 1 1

lim

−

n→∞

Zt(Z(n)) Z(Zt(n)) n n

.

X Y

É7Ê

8.31:

lim

E ~

n→∞

.

X Y X Y

ÅHÆ g ä É7Ê

8.32: 8.33:

lim

n→∞

E ~

.

X Y

Zt1 =

X n

Zt2 =

X n

i

Z(n) Zt(n)

1 , (Zt(n))!

X Zt(n)

X

n!

n

1

n Y

Zt4 (a) =

n

n Y

,

Z1 =

X n

Z2 =

Zt5 =

n

100

n!

n

,

Z3 =

X n

Zt(i)

:

1 , (Z(n))!

X Z(n)

,

1

n Y

,

Z(i)

i=1

n

a

,

Z4 (a) =

na , n Y Z(i) i=1

n−1

· Zt(n) , n!

X n

Zt(i)

i=1

X (−1)

.

E8ØLK ÙD~LÕ Ö

i=1

X

E5Õ Ö

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

n

Zt3 =

Z(n)

n

F (n) = S(Z(Zt(n)))

e f Ç × g ä

8.34:

X Zt(n)

Z5 =

X (−1)n−1 · Z(n) n

n!

,

ÂŁ Ăš ¤ Ă› Zt6 =

Smarandache-totient

X Zt(n) , (n + 1)! n

∞ X Zt(n) Zt7 = , (n + r)! n=r

Z6 =

X n

1

n X i=1

Zt10 (a) =

X n

Zt(i) i!

X Z(n) , (n + 1)! n

∞ X Z(n) Z7 = , (n + r)! n=r

∞ X Zt(n) Zt8 = , (n − r)! n=r

Zt9 =

ÂĽ8Â?

,

∞ X Z(n) Z8 = , (n − r)! n=r

Z9 =

X n

1

n X i=1

1

Z(i) i!

,

X 1 p p , Z10 (a) = , a a (Zt(n)) ¡ Zt(n)! Z(n)! n (Zt(n)) ¡ X 1 p Zt11 (a) = , a ¡ (Zt(n)) (Zt(n) + 1)! n X 1 p Z11 (a) = . a (Z(n) + 1)! n (Zt(n)) ¡

X Y 8.35: Ăœ Ă— n ≼ 1, d ÂŽ Â?ĂžĂ?cg ä Zt(n)Ă&#x;ĂĄĂ lâäãc6dĂĽsĂŚ ĂŠ NĂŤĂŞnè ä . mcoĂĄĂŹr ĂĄIDärN äç 0.1243549107585 ¡ ¡ ¡ N>ĂŠåè ärr Ă­ E Smarandache-totient ĂŽ ä . X Y 8.36: É7ĂŠQi Ă„ X (−1) ¡ Zt(k) i X(−1) ¡ Z(k) ∞

E ~

E ~

∞

(−1)

k

n=1

k

(−1)

n=1

.

X Y

8.37:

É7ĂŠ ∞ Y

1 Zt(n) n=1

i

∞ Y

1 Z(n) n=1

.

101

Smarandache

X Y

1 E ~ , ÂŚl§ S = X a(k) , Z(k), Zt(k) g ä@Ăƒ , e Ă° LĂą ò ä F N O5N ä . X Y 8.39: N O8ž Âż ĂłDĂ´ ä m, n, kĂľ R

ĂŚ Ăś

ï É

Ă‹ ĂŒ7Ă? ¸7ĂŽĂ?Ă? Ă‘ Âť Ă’ Ă“ Ă”

8.38:

F = π 4S

a(k) = S(k),

k

Zt(m ¡ n) = mk ¡ Zt(n) .

ĂŽ ĂŻ , # ĂŒ m = 1, ĂĄ@ĂŽ Zt(1ç ¡è n) = Zt(n), ĂŹQ9 : ; Ă _ x Ă° ĂŒ . # ĂŒ n = 1, ĂĄ@ĂŽ Zt(m ¡ 1)Ă = m , Ă?ZĂ‘ Ă’ Ă? Zt(m) = m, k = 1 ĂŽ , m Ă– „ Ă° ĂŒ . 9 : ; Ă– = > Âť ? ĂŒ . X Y 8.40: á F Zt(n) = m, ÂŚl§ m 5Ăľ R Zt(k) = n E øHÂś5ED ä k E IZä . Ă…HÆ g ä F Zt(n) E5Ă• Ă– , Â? ĂŻ É : k

lim

E ~ . X Y

m→∞

8.41:

N O8ž ¿ ä

m X F Zt(k)

k

k=1

m

k > 1, n > 1,

Ăš8Ăş Â?54

Zt(n)k = k ¡ Zt(n ¡ k).

X Y EDĂ˝ Ă™ X YĂ•

8.42:

Ă…HÆ Ă­ ∞ X

1 ZtÎą (n) n=1

. 8.43:

Ăť i Ă—Zä ÂŚl§ ÎąN 2 Ă— Ă´ E"šLÂş Ăź|ä

Smarandache-totient

Ă…HÆ*Ă—Zä ∞ X xn+1 − xn

EDĂ˝ Ă™ Ă• . l ÂŚ § x N / 0 H ä ĂŁ ,Ăž

n=1

n

102

Zt(xn )

lim xn = ∞.

n→∞

ÂŁ Ăš ¤ Ă› X Y

8.44:

Smarandache-totient

ÂŽQÂ? Ăż Â’ lim

N O Ă˝ Ă— I pE$ä ĂŽ ä X Y 8.45: ” ‘7Â?54

n→∞

n X ln(Zt(k))

ln(k)

k=2

n

.

Zt(n)r + Zt(n)r−1 + ¡ ¡ ¡ + Zt(n) = n Zt(n)r + Zt(n)r−1 + ¡ ¡ ¡ + Zt(n) = k ¡ n

X Y

X Y

8.46: 8.47:

ÂĽ8Â?

ÂŽQÂ?

Zt

” ‘7�54

m Y

mk

k=1

: j

e

Ď•(n)

k

!

i

m X

r, k ∈ N,

Zt(mk )

k=1

adbQE ÇHĂˆ

r, k ≼ 2. .

− Zt(n) = 0.

: ; à „ Ă° ĂŒ

1 ≤ n ≤ 5000 ,

r ∈ N, r ≼ 2.

n = 2,

Ă? Ă° ĂŒ = „

?

103

Smarandache

Ă‹ ĂŒ7Ă? ¸7ĂŽĂ?Ă? Ă‘ Âť Ă’ Ă“ Ă” Smarandache

, Ă› Smarandache ÂĽ8Â? ¸"!$# %'& 9.1 Ăœhš Âş)(+*', n, Ă­ Smarandache -., Ăş X k 465 n*87 9 Ă Ă‚ 9:( *$, m.

9.1

m

Z(n)

/1032hĂš

k=1

9.2 9.2.1

;

H

Smarandache <>= ?A@CBEDGF

IKJ>LKMON1P'Q Ăœ šLÂşS( *$, n, T$U V Ă­ Smarandache -W,

Smarandache

% R 9.2.1 Z(n) ≼ 1. X.Y : Z [8\S] ^K_ `W!$# a b c d . e f d : h g ij n = 1 , k Z(n) = 1. % R 9.2.2 Ăœ l8mS( *$, n, Z(n) < n ø n5ĂŚ Ăś . X.Y : o p : Z(2) = 3, Z(4) = 7, Z(8) = 15. % R 9.2.3 Ăœ l8m$q$, p ≼ 3, Z(p) = p − 1. XrY : s Z(p) = m, tvu m xw yxz . `|{ X k = m(m + 1) , } ~ 2 !$# ^ m $€  m(m + 1) p| 2 ‚6ƒx„ wSy z . Â… † , p ‡ !Syjˆ m‰ Š m + 1, €  Â‹ ÂŒ Â? ‚6ƒx„Ž‚ z p = m + 1‰ Š p − 1 = m, g p 6= 2. Â? Â? , ‘ p = 2, Â?$k Z(2) = 3. %jR 9.2.4 Ăœ.lvmÂŽqÂŽ, p ≼ 3Â’ k ∈ N, TÂŽU.V Z(p ) = p − 1. “ p = 2 ” , •"V Z(2 ) = 2 − 1. m

k=1

k

k

104

k+1

k

Smarandache

hz

X Y : s Z(p ) = m, tKu m [8w$y z . `W{ X k = m(m + 1) , 2 } ~x!$# ^ m $ m(m + 1) p | 2 6 x wSy z . , p .!xy m m + 1, j $ r v z. p = m + g 1 p − 1 = m, p 6= 2. , p = 2, $k Z(2) = 3. % R 9.2.5 l8m" , n, T$U V Z(n) = max{Z(m), K m|n}. X.Y : ¡ ¢ n $£ z , ¤. S\S]j¥S¦ : Z(n) ≥ max{Z(m), tru m|n}. s Z(n) = p, Z(m) = q, tru m|n. ¢ q > p, { $k m

k

k=1

k

k

k

k

n|

§ R

p(p + 1) q(q + 1) , m| . 2 2

¨ ø ©Sª 9 , þ Z(m+n) ø n «8¬ Z(n)+Z(m). ¨ ø © ­j9 þ Z(m · n) ø n «8¬ Z(n) · Z(m). X Y : o p : . (1) Z(n) ,

9.2.6 (2) Z(n)

Z(2 + 3) = Z(5) = 4 6= 5 = Z(3) + Z(2),

§ R

Z(2 · 3) = Z(6) = 3 6= 2 · 3 = Z(2) · Z(3).

ÿr®

n X

1 Z(k)

¯ ° . X Y :

. ± ²$³ , } ~. hz Z(n) !$# k 9.2.7

n X k=1

´ µ ¶

,

lim

n→∞

k=1

n X X X 1 1 1 1 > = > . Z(k) p=3 Z(p) p−1 p 3≤p≤n

. 6º ¤ p · ¸ ¹

X1 p

,

n X k=1

1 Z(k)

3≤p≤n

» · ¸ ¹

.

105

Âź$½xž ‚x¿à Ă€ Ă‚ t Ăƒ Ă„ Ă…

Smarandache

§ R

ÆrŽ

n X Z(k)

¯ ° . X Y :

. Âą ²$Âł , } ~.šhz Z(n) ‚ !$# k 9.2.8

n X Z(k) k=1

k

lim

n→∞

>

k

k=1

n X Z(p) p=3

p

X p−1 X 1 > . p p

=

3≤p≤n

3≤p≤n

‚ . 6Âş ¤ , X Z(k) ‚ . `Ă { ¡ ¸ š k Âť ¡ ¸ š § R 9.2.9 Â? l8m m ≼ 1, Ç ĂˆÂŽĂ‰$ĂŠ n ≼ 1, Ă‹ ĂŒ Z(n) = m. 9.2.2 Ă?)ĂŽ3H Smarandache IKJ>LvĂ?OĂ? , Âœ!.#K‡.[KĂƒ ‚ Ă‘KĂ’ šxz U(n)prĂ“ : U(1) = 1. Ă” ‚:Ă• Ă– Ă— Âş:z Ă˜ ½ َÚ , !$# : g 1 n = p p ¡¡¡p ÂŚ n n

X 1 p 3≤p≤n

Îą1 Îą2 1 2

k=1

n >

Îąs s

U(n) = max{ι1 p1 , ι2 p2 , ¡ ¡ ¡ , ιs ps }.

Z [.Ăž šhz „$k. Ă&#x;.ڂhĂ Âť$Ă› ĂĄ+Ăœ âà ŒÂ‚

^ Ă?jšhz . ¡ ĂŁ ä ĂĽ ĂŚ Ă‚ ç è ĂŠ8ĂŞ$ç ĂŤ

Smarandache

Z(n) = U(n)

Z(n) + 1 = U(n)

‚ Âľ x ‚ ^ ½ ĂŹ , Ă­ ĂŽ c ĂŻ|Z Ă° [ k wSy z ½ , Ăą ò Ăł Ă´ Âť Ăľ ¡$Ăśrá ĂŻ ‚ ç ĂŤ Ă“ ø : § R 9.2.10 Â? l8mS( *$, n > 1 $Ăš -W,ÂŽĂş"Ăť Z(n) = U(n)

Ăź Ă˝ ÿ“ Ăž '“ n = p ¡ m, Â&#x;K p 2 Sq$,ÂœĂš m 2 p + 1 96l8m $ÂŹ 1 9 Ăż, . 2 ¨ m | p + 1 Ăž m > 1. 2 XÂœY : Âą.²xÂł , Ă” n = 1 Ăš , Z(n) = U(n) = 1

. Ă” n = 2, g Â… † n .€r ç8ĂŤ 3, 4, 5 Ăš , Z(n) = U(n). { Âœ ÂĄ ! n ≼ 6 €r ç ç ĂŤ ¡ 106

hz Õ Ö × º zjØ ½ Ù , í Z(n) = U(n), ¢ n = p p · · · p ¦ n së U(n) = U (p ) = αp. { · ` z Z(n)Â U(n) ! # ^x αp · . wSy z c n Ó ø j y Ù : Smarandache

α1 α2 1 2

αs s

α

öK÷

n|

αp(αp + 1) , 2

(9-1)

pα | n.

Ù u

α = 1.

pα |

αp(αp + 1) . 2

(9-1)

±x² ³ p

α > 1,

`

pα | n

(9-2)

` . { (p, αp + 1) = 1, µ _r`"³ Ù p | α. Ô p ¦ × z Ú (9-2) Ù .^ , º8¦8¤'Ú p 4 ×>5 α, p | αµ . Ô p = · 2Ú , α = 2. Z Ú (9-2) Ù r¦ 4 | = 10, ! _ (9-1) Ù 2 × g u K!jk α = 1 p ¦ z . ¤OÚx ^K ¢ n = p · m. 1` (9-1) Ù ^ p(p + 1) p+1 p·m | = p − 1, , ¥ 2 õ · m | 2 . m 6= 1. pn+=1p, "Z(p) ! f$# { 1 U(p) = p Z(n) = U(n) ! rÔ n = p · m, m ¦ 2 n > 1g º:zjÚ , Z(n) = p, U(n) =g p,i µ _| !Sk Z(n) =p +U(n). % 'ç ë Z(n) = U(n) Ô Ô n = p · m, m ¦ 2 1 &! f # { 1 º:z . { · ïh! ( 9.2.10 ör÷ . § R 9.2.11 l8mS( *$, n ù$-W, ú"û α−1

α−1

ü ý ÿþ ' ¨

m|

p−1 . 2

α−1

Z(n) + 1 = U(n) n = p · m,

K p 2 Sq$, ù m 2

p−1 2

96l8mS( ÿ, .

XrY : n = 1 Z(n) + 1 = U(n). { ç ë Z(n) + 1 = U(n), í$ç s ë U(n) = UÂ (p ) = αp. { · U(n) ^ c Z(n) = αp − 1. )v`h hz Z(n) U(n) !$# ^ (

α

`|{

n|

αp(αp − 1) , 2

µ _8` Ø * + , ë

(p, αp − 1) = 1, 9.2.10

pα | n.

8¢ n > 2g · ` Z(n) + 1 = (9-3)

Ù g $ × p µ | α. % ã ä öv÷ ! ¦ z . |_ ^ ¢ n = p · m. )

(9-3) α=1 p

α−1

107

Smarandache

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å

m | p − 1 . rÔ n = p · m, m ¦ p − 1 "! f w º z $ Ù , ã Ú ,ä -$.0/ n Z(n)2 + 1 = U(n). µ _ Z(n)2 + 1 = U(n) Ô g i1 Ô nµ ö =2 p · xm, ç më ¦ p −2 1 &! f w º:z . { ç · ë ' ïh! ( Â ör÷ . ³ , ¿$ xÀ ! ($3 48½.¾Kï çxë Z(n) = U(n) Z(n) + 1 = U(n) ^ ½Kì . ï ZKð [ ç Aë @Ck6B 5 7988[ w.y » K õ . · + ö ÷ zK½ , ír vï :r ;K[v½ ñKò9< Ù ! =?> [1, 100] u , ç Z(n) = U(n) k 9 [ ½ , :$ Ø > n = 1, 6, 14, 15, 22, 28, 33, 66, 91. D@EB ·[1, 50] u8k 19[ ½ , :v )Ø?> n = ë Z(n) + 1 = U(n) ç ë · (9-3)

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47.

F G)H Smarandache IKJ>LEH IKJML A N$O [9] u , Kenichiro KashiharaP Qx] 2 ï $z Z(n) $R å æ ì S , TSÚ » U ï6Ó ø ð [ ¿Á À6µ V (A). W Z(n) = S(n) kxµ wSy z ½ ; ç ë (B). W Þ ßKç Së à Z(n) á â6 + 1 = S(n) kxwSy z ½ .(A)Â (B) ^ ½8ì , í î c ï|Z ð [ ç ë µ kx· wSã y äxz å8½ æx, ç ñ è ò é.ó ê ô ç » ëõ ·$ör÷ ï6Ó ø V § R 9.2.12 l8mS( *$, n > 1, -W, ú"û

9.2.3

Z(n) = S(n)

üxý Áþ 3 n = p · m, p 2 q , , m 2 p + 1 9hljmM ¬ 1 9M Á, . 2 ¨ m | p + 1 þ m > 1. X Y : ±x2² ³.Ô n = 1 Ú , Z(n) = S(n) . Ô n = 2, 3, 4, 5 Ú , x ç ë ¡j! n ≥ 6g x Z(n) = S(n). { Z(n) = S(n), Â

ç ë ·

ç ë 8¢ Z(n) = S(n) = k. ` z Z(n) S(n) ! # ^x k · . w y z c n Ó ø ð [ yj Ù : n|

k(k + 1) , 2

n | k!.

(9-4)

(9-4) Ù.u k +1 ^ ¦ × z . ± ²$³ p k +1 ¦ × z , ö ÷ r x¢ k + 1 = p, { · n | p(p 2− 1) u Ô (n, p) = 1 Ú , n | p −2 1 . 108

ย ย ย ย

Smarandache

ย hz

Z k = p โ 1 ยฆ ย ย ย )ย wjyKz6 c n | k(k 2+ 1) ! ร (n, p) > 1 ร , `|ย { p ยฆ ร z , ยต _ ยต p | n. ) ` { n | k! c d p|k!. Z ยท ^ , ยบ ยฆ p =ร k + 1, _ p ^ "y ย (p โ 1)!. % รถrรท รฏ (9-4) ร .u k + 1 ^ ยฆ z ร . t X รถย รท (9-4) ร Ku ร k ยฆ xzrร k ย 8!8ยฆ z . ยฑย ยฒ ยณrย ร k ยฆ z.ร k +2 1 ยฆSy z , ย k ยฆSยฃ z , ย jร k ^v_|ร ยฝ รฐ [$ 6T|y z ร Y , xยข k = a ยท b Z a > 1, b > 1g a 6= b. { ยท e f d k, k +2 1 = 1, , k = a ยท b | (k โ 1)!, k + 1 | (k โ 1)!ร k(k + 1) | (k โ 1)!. )v`ร { ny 2 2 x ย ย ย ย wSy z c n|k! . k(k + 1) ย 2 g ร n|(k โ 1)!. Z$ k ร k ยฆSยฃ z ยฆSย xย z ย รง [ ร ย , ยข k = g ยทp g ฮฑ โ ฅ 2. `W{ k ยฆ z Z ยต \ { k โ 1 ; [xz$] y ย (k โ 1)!, { ยทยทยท, p _ p โ ฅ 3, % p, 2p, `_ n|(k โ 1)!. Z k ย 0a b ! ยต _Sร k ยทยฆ + 1) ^ ย ` ny.ย k(k v ^ _ zjร "ย a ยฆ 2 ร z ! \ร ยฃ _.ยณ+รฐdcAeDfAgdh i_ ร k ยฆE 3z ย ร v k k = p, ยค ร ny ย ย p! ny'ย p(p 2+ 1) . j ยท ร ny'ย p +2 1 ร , k S(n) < p; ร n = ยต _0g h.^O_Sยข n = p ยท m, t'u m p + 1 ย ! ย # p ร Z(n) 6= S(n). ยท 2 { 1 ย Mยบ: z . # { 1 ย ยบ z ร , p + 1 ย ! g h ร n = p ยท m, tOu m ย รท ยฑ.ยฒxยณ8ยคย ร ย 8ย k ยท S(pm) 2 ย a k Z(n) =รถOS(n). = S(p) = p. ยบ ยฆ m yOย X i = p(p 2โ 1) , ย Kย 9 myOย p +2 1 ! ยต _ Z(pm) = p, % Z(pm) = S(pm). ย k , g h m z k xc Z(n) = S(n) = k. g h n l o รถย . ยก รท a l $m z k = 2m c Z(n) = S(n) = k =รค 2m,รถxรจย 8 Z 8 ย \ ] รถvรท `p $ย $z ย Z(n)ร S(n) ย a b ^ย nyKร ย k(k 2+ 1) = m(2m + 1)ร (2m)!. ` รธ ร M*.^ 2m + 1 j^9 jยฆ z , ย .ย ย ร (n, 2m + 1) = 1 ร , ny ย X i = m(2m โ 1), ย ย Z 2m ยท ย jย ย w y8z$ xc nyrย m(2m + ร z ย รฌ S$ _ p = 2m + 1 | n, % 1) ! ร (n, 2m + 1) > 1 ร , ` % n' y ย

pโ 2 X i=1

i =

(p โ 1)(p โ 2) . 2

ฮฑ

ฮฑโ 1

pโ 1

i=1

2mโ 1

i=1

109

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å )O` n | (2m)!c.d p = 2m + 1|(2m)!, $ 9! _ µ _ 2m + 1 8^6 8¦ × ¦$£xz , - . × n | (2m − 1)!, 2m · z , 'T& qxw.^ yv_ z`öv K÷ mc n ^ | (2m)! ! %6 m ¦ z p, k = 2p. { · &!^  c n | p(2p + 1)! n|(2p)! Z S(n) = Z(n)! f = 2p. j · Ô næ { p(2p + 1) .ºhz.Ú0' ] · a ^ ! » õ · ô r k | p(2p + 1), ^ k S(k) = 2p. { ·§ R ï ( 9.2.12 ör÷ . 9.2.13 l8mts u v n ù wxv ú"û Smarandache

¨

üjý 6þ$1 m|

p−1 2 .

Z(n) + 1 = S(n) n = p · m,

' p

y q$v

, m

y

p−1 2

9Slrm? &v

.

z { , Z | } ~ _ # + . ¡ a w X Y : a ( 9.2.12 öK÷:ç è ë $` + 1 = S(n), íx¢ Z(n) + 1 = S(n) = k. { y z n 8Â çxë "Z(n) · z Z(n) S(n) a b , 6_ k · x wSy z c n|

k(k − 1) , 2

n | k!.

(9-5)

(9-5) Ù.u$Ô k t¦ zjÚ" a ¦ × z ! ^ 6_ n | (k − 1)!, k w y8z$ xc n | k! × z . ))` n | p(p − 1) í· e . º"¤ k = p ¦ f S p − 1 < p, $ 9_ n = p · m, m ¦ p − 1 ! xw.º"z 2. - . / 2 2 p − 1 &! p · m, m ¦ w º:zjÚ , n ç ë a Z(n)× + 1 = S(n). ö Ô nÔ =(9-5) 2 m Ù. u k = 2m ¦ zjÚ , k − 1 = 2m − 1 µ ¦ z , % ^ = 2m. l Z q g w$i y z n c Z(n) + 1 = S(n) _ ç ë Z(n)' + 1 = p − 1 ! S(n) rÔ xw.º"z . { · Kï a ( 9.2.13 Ô . n = p · m, tvu m ¦ 2 O gAör h ÷ a (A3 43½ ¾ ï ¿jÀ (A)_ Â (B). »3õ ·'ö ÷ ïrZ ðO[ ç3ë ]'k 5 7 8 [ w'y zO½ , íd~ ï`:dhD;3[3½ ñ3ò @ B <+Ù ! = > [1, 100] u , Z(n) = S(n) k 9 [+½ , :dh Ø ¿ À (B), O 3 ç ë > · n = 1, 6, 14, 15, K22, 28, 33, 66, 91. r { @ B [1, 50] uvk 19[ ½ , :Ah1Ø > n = Z(n) + 1 = S(n) ç+ë ·

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47. 110

Smarandache

hz

FAG)H Smarandache IKJ>L` A { Smarandache z Z(n)ì S c ï xÄjÅ , j ^ l ¿ÁÀ ! ¦ ï {$k & ér ê Ä Ä é8ê , Z ·| g h R 8 hz Z(n)k r¿ÁÀ p Ó V N O [9] u , Kenichiro KashiharaP Q g h é8ê

9.2.4

a). |Z(n + 1) − Z(n)|, Z(n + 1) b). Z(n) . , . 9.2.1 k h (h, k) = 1, , n = 0, 1, 2, 3, · · · . : Dirichlet , [7].

$ ß u g h ½x¾SZ [ ¿ÁÀ ¥ g h · Þ$ k Ó ø R ¨ l8mts u v þ õ · 6ör Á÷ È$ 0v nk+h Ç È a ( ¥ N O X.¡ Y ¢SÊ$Z q v £ ¤. K § R 9.2.14· ¦ § ¨6l8mts u v M , V$ ¡ ¢SÊts u v n © ¦ Z(n + 1) >M Z(n)

|Z(n + 1) − Z(n)| > M.

ÿ` ¤ ^ , |Z(n + 1) − Z(n)| Z(nZ(n)+ 1) · 5 . a ( . ±x² ³ , r ! f w$y z M , g ª ( o X Y : g h h m 8 2 > M . ã « e ä f d 2 öK÷ , 2 + 1 = 1, º ¤ }x~ Dirichlet a ( , g h .¥hc d : z 2 k + 2 + 1, tru k = 0, 1, 2, · · · u l 5$7 8"a [ × z . {× · , l " $a [xb wSy z k 2 k + 2 + 1 = P · × z . r { z P , } ~ Z(n) k 2m+1

m

2m+1

m

m

0

2m+1

0

m

Z(P ) = P − 1 = 22m+1 k0 + 2m ,

º ¦

Z(P − 1) = Z(22m+1 k0 + 2m ) = Z(2m (2m+1 k0 + 1)). 2m+1 Xk0 i=1

2m+1 k0 (2m+1 k0 + 1) i= 2 111

Smarandache

m

2 (2

m+1

k0 + 2

m

) \ yj

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å

2m+1 Xk0 i=1

i,

{ · k

Z(P − 1) ≤ 2m+1 k0 .

º6¤

22m+1 k0 + 2m Z(P ) > > 2m > M. Z(P − 1) 2m+1 k0

µ _ 5 T ( ^ c Z(P ) Z(P −1)

.

|Z(P ) − Z(P − 1)| ≥ |Z(P )| − |Z(P − 1)|

≥ 22m+1 k0 + 2m − 2m+1 k0

= 2m+1 k0 (2m − 1) + 2m > 2m > M.

. 5 ºS¦Sk 5 7$8 [8w$y » z · m 2 > M , º:¤ » ' k 5 7$a 8 [8 w$y z n |Z(n + 1) − Z(n)| Z(nZ(n)+ 1) · 5 . Z õ ï ( ör÷ . º6¤

9.3

|Z(P ) − Z(P − 1)|

¬

m

Smarandache ­¯®±°K²±³µ´

§$¶ 9.2: Z (n) = Z(Z(n)), · ¸M¹ , Z (n) = Z(Z(· · · Z(n) · · · )), º » wxv Z ¼ ½`¾ k ¿ . À&Á 9.1: ¬" à ¨0· Ä u v k, m ∈ N, Å$Æ$©"¦jú û Z (n) = m ¨0Ç0È s u v É . À Á 9.2: Æ8ú$û S(Z(n)) = Z(S(n)) ¨ Ç È s u v É . Ê Ë Ìjú û Í$¢ÎÈ È ® Êts u v É . À Á 9.3: Ï Ð Ñ Ò Ó&Ä v Ô9Õt¨ Ö × (1) Z(m + n) Ø Z(m), Z(n), (2) Z(mn) Ø Z(m), Z(n). À Á 9.4: Ù Æ Ñ ÒSú"û ¨0Ç0È s u v É 2

k

k

(1) Z(n) = Z(n + 1),

112

u Ú

Smarandache

(2) Z(n) Z(n + 1), (3) Z(n + 1) Z(n).

r {

&p 50 Û Ü , g h Ý ÞS

(2)

&ß

:

à á

Z(6)|Z(7), Z(22)|Z(23), Z(28)|Z(29), Z(30)|Z(31), Z(46)|Z(47).

ã

Z(10)|Z(9), Z(18)|Z(17), Z(26)|Z(25), Z(42)|Z(41), Z(50)|Z(49).

(3)

â ß

:

g h ä ß$å Þ à á Z(n) = Z(n + 1) â"ætç è À Á 9.5: Ù Æ Ñ ÒSú"û ¨0Ç0È s u v É

,

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

u v v

Z(n)

u Ú

hz

ÀÎÁ

Z(n) + Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) + Z(n + 2), Z(n) · Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) · Z(n + 2), 2Z(n + 1) = Z(n) + Z(n + 2), Z(n + 1) · Z(n + 1) = Z(n) · Z(n + 2),

r¬"é ê Â Ã ¨"s$u v

9.6:

n.

ÎÀ Á 9.7: ¨0Ç0È s u v n, (2) Ù Æ © ¦ n.

r î

.

Z(n)

Ù Æ ©0¦

Z(n) = m

¨ Ç È$s

ë ì Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3) ë í6¨ Ç È s u

(1)

â p

35

Ù Æ ©0¦

m,

Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3)

Û Ü , g h ß ï ð è ñ

:

Z(6) = 3 < Z(7) = 6 < Z(8) = 15, Z(21) = 6 < Z(22) = 11 < Z(23) = 22,

ß ï ò è ñ

Z(30) = 15 < Z(31) = 30 < Z(32) = 63. : Z(8) = 15 > Z(9) = 8 > Z(10) = 4, 113

Smarandache

Âź$½xž â ¿à Ă€ Ă‚ Ăł Ăƒ Ă„ Ă…

Z(13) = 12 > Z(14) = 7 > Z(15) = 5,

Ă€`Ă

Z(16) = 31 > Z(17) = 16 > Z(18) = 8.

¨9ô¾þ ÜEáiø9ĂšKĂş Ăš.Â?DĂˆßÝ nĂ˝ n = ĂžtĂż ÂŹ ¡ Ăť nĂ˝ n = 2 , Ăˆ Z(n) = Ăˆ Z(n) ¨ ĂŽ Ă´ Ăš Ă‚ ĂŽĂ´ w6v

9.8: Z(n) √ m(m + 1) , Z(n) = m < 2n. 2 2Îą+1 − 1 = 2n − 1.

Ăˆ

X

n≤x

Z(n),

X

n≤x

Îą

ln(Z(n)),

1 Z(n) n≤x X

¨"¡ ĂŠ . À‹à 9.9: Æ Ăş"Ăť Z(n) = φ(n) ¨0Ç0Ăˆ s u v É , φ(n) y Euler w v . Âş ¡vĂž Ăş8Ăť6Ăˆ  ¢jĂŠ s`uMv9É , Ă˝ n y!MvÂş p " 6Š$ÂŚ)Ăş8Ăť . 4) " , n #MŠ0ÂŚ ĂŒÂŽĂşSĂť . Ăš9ž Ăť%$'& É)(vĂš+*-, . n)Ăˆ = 2p/ s pu ≥v 1(mod É *$¡ 0ĂŠ 1 ¨ 243 . ĂŠ$Ă‹tĂŒxĂş"Ăť 50Ăˆ n = 1 6 7'8%9MĂ“ : É .

114

; <%= > %R ?Mâ A B D EGFCH I C LNMPORQ

10.1

[]\

10.1:

Smarandache

@ ñ

Smarandache J

K

Smarandache SUTVQWOYX Z

6 1 `^ _%a b

Smarandache

c%d0a!e`f-g

111, 1221, 13331, 144441, 1555551, 16666661, 177777771,

+h i @ ñ-jlk%m n n o p'q r's n t%q u%k-j v w%xzy'{ | 1. i'} @ ~' % ! ) 'k l ! ' ! > k) ) ! n + 2. z n + 2 > % k , ; n % > zk . 3 []\ 10.2: 6 n ^`_%a b Smarandache c%d0a!e% lf-g 1888888881, 19999999991, 1101010101010101010101, · · ·

2

2

n1n, n22n, n333n, n4444n, n55555n, n666666n,

n ' k . ] ¡ @ ~-j ¢% . []\ 10.3: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f%f-g

n7777777n, n88888888n, · · ·

1, 21, 123, 4321, 12345, 654321, 1234567,

v' ¨ h 1 o%p'u'©'k ª%« k . w ¨ h 1 o%p q%u'¬'k ª%« jl­z@®%¯ k . °z±'² @ ³ ®%~ ¯ ! @ ~ % z ]´k n % n k . µl¶ ·+¸ ¹%º % > » ¼'k% z % ' m(m + 1) . 2 []\ 10.4: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f)½ azf-g (SACRP ) 87654321, 123456789, 10987654321, 1234567891011, · · ·

2, 32, 235, 7532, 235711, 13117532, 2357111317, 115

Smarandache

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã ?zÄ Å

lh i @ ~)©)k' )v)y h 2 o p)u 'ª «- 'k . ¬)k' !Æ) 'ª « 'k Ç z­z@ j , wzy h 2 o p . ®%¯ @ ~ ! % zk ? ° ± ²%³ > È j0»%¼ k' ' ) ' k . - z % ' k'u)É ± j » ¼'k%°z±) z %¸ '¹ Æ%º % zk ? ®%¯ È @ ”~ |' % zÊ k ” %ËzÌ% zk%Í u%Îz» ,¼'Ëzk%Ì% zÏ %Îz ' Æ%. % zk . []\ 10.5: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f Fibonaccif-g 1917117532, 23571113171923, · · ·

1, 11, 112, 3211, 11235, 853211, 11235813,

Ð Ñ []\

2113853211, 112358132134, · · ·

j Ò , ¯ 'Ó Ô0Õ Ö × ? Smarandache Ø Ù)Ú'Û`f-g .

a(n) n→∞ a(n + 1) lim

10.6:

1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196,

°z± ' º h+i Í Îz@ ~-jl > jl» ¼'k% z % Ü ¶ Í Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? []\ 10.7: Smarandache Ø Ù)ß'Û`f-g . 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, · · ·

°z± ' º h+i Í Îz@ ~-jl > jl» ¼'k% z % Ü ¶ Ï Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? Ð Ñ%%à ázâ'ã j > ä å æ j Ò :

.

1, 8, 125, 512, 1000, 1331, 8000, 19683, 35937, · · ·

a(1) +

ç @ ~ 116

a(n) .

Smarandache

b(1) a(2) +

.

b(2) a(3)+

º |'Í)Î @)~

b(3) b(4) a(5)+···

a(4)+

, b(n)

.

Smarandache

º |'Ï)Î

[]\

´ è = z> È ? j Smarandache@ ~ Smarandache Øzé Ú'Û`f-g .

10.8:

°z± ' º h+i @ ~-jl > jl» ¼'k% z %ê Ü ¶ Í Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? ®%¯ @ ~ ! ' º |%Í Î%k ? []\ 10.9: Smarandache Øzé Fibonacci a g . 1, 4, 9, 49, 144, 289, · · ·

°z± ' º h+i @ ~-jl > jl» ¼'k% z %ê Ü ¶ ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? ¯ k%~z ! ' % zk ? []\ 10.10: ë%ì a g . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·

.

k

Fibonacci .

z> ä ¸z¹ : í m , m %k ~ jlî'x% , ï µ k ≥ 3 ð , m ñ'ò î'x º h ù m , m ú . ó+û üjl¯ôzê j ) õ ö ÷ . k ≥ 3 j ø% % '{ @ ~-jlýzþ . []\ 10.11: Smarandache Øzé a g . 2, 3, 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54, · · · 1

2

k

1

2

1, 24, 369, 481216, 510152025, 61218243036,

+h i @ ~ ´ n ' · h à k'q ÿ º ¯ ~z ! ' % zk ? Ð Ñ lim X a(k + 1) j Ò .

7142128354249, 816243240485664

[]\

k→∞

k

10.12:

n, 2 · n, 3 · n, · · · n · n.

a(k)

Smarandache

− lazf-g

.

1, 21, 213, 4213, 42135, 642135, 6421357, 86421357, 10864213579, 1086421357911, 121086421357911, · · · . 117

ž Âż)Ă€!j)Ă Ă‚%Ăƒ ™ Ă„ Ă… ÂŻ “ ~ n 1 o p ,

zv%¨%| Âś k , Âś wz¨%| . ÂŻ “ ~ n 1 o Âś k , Âś wz¨%| . ,

zv%¨%| ÂŻ “ ~ ´ n ‚% n “ k%u ÂŻ n “ k-j ÂŽ Ăą ò n(n + 1) . ‡'Â&#x; ˆ  ]ÂŻÂŻ Â“Ăˆ ‚ j k% ÂŒ %k%~ 1, 1, 3, 3, 5, 5, ,2 7, , 9, ¡ ¡ ¡ . ¸ ÂŻ “ k%k%~z~- !j ¢%€ ‚ a(n). ‚'ƒ%„zk ? Âş Âą ‡ j ˆ ‰ k! ÂŒ òù nò =5 u (2 ¡ kÂą + 1)¸ ¡ –!5ÂŽ ƒ n =“ (2„ ¡k k .+ !1)u!¡ 5Âť)+Âź-1k!j ‚Œ a(n), Â?!ÂŽ “ “ ÂŻ ´ ¸ 3 j k jz‚›Æ –-š ƒ Âś „ k , Æ • ƒ ò k-~ n ‚ › ™ n ¡ (n + 1) = 3 ¡ m, m ƒ k . 2 []\ 10.13: Smarandache − lazf-g . Smarandache

p

ƒ

1, 12, 312, 3124, 53124, 531246, 7531246, 75312468,

¯ “ ~ n 1 o p ,

%wz¨%| Âś k , Âś v%¨%| . ÂŻ “ ~ ´ n %‚ n “ k%u ÂŻ n “ k-j ÂŽ Ăą ò n(n + 1) . ‡´ ˆ ÂŻ Ăˆ ‚ !j " )k'ÂŒ# 'k'~ 2, 2, 4, 4, 6, 6,2, 8, , 0, ¡ ¡ ¡ u#$ Ă? ‚Ñ Ăą % ò 1.ÂŻ “ â ĂĽ ĂŚ â & ĂŚ ~-j ÂŽ j Ă’ . ò []\ 10.14: Smarandache − ½ azf-g . 975312468, 97531246810, ¡ ¡ ¡ .

2, 32, 325, 7325, 732511, 13732511, 1373251117, 191373251117,

¯ “ ~ n%„zk 2 o p ,

zv%¨%|'„zk , Âś wz¨%| ÂŞ ›j`„zk ´ n‚ jlÂť Âź'k%ÂŒzÂ?%ÂŽ"' Ăą ò n . ÂŻ “ k%~ š !€  Â‚'ƒ%„zk ? 2 ¡ ln(n) ÂŻ “ k%~z !€  Â‚'ƒ Âş |'„zk ? []\ 10.15: Smarandache − z½ azf-g . 19137325111723, 2919137325111723, ¡ ¡ ¡ . 2

118

.

´ è ( Ăˆ j

~

Smarandache

2, 23, 523, 5237, 115237, 11523713, 1711523713, 171152371319,

¯ “ ~ n%„zk 2 o p ,

%wz¨%|'„zk , Âś v%¨%| ÂŞ ›j`„zk . ÂŻ “ k%~ š ! €  Â‚'ƒ%„zk ? Ă­ a(n)Ă? ƒ Ă‘%Smarandache v −w „zä k â ĂĽ ~ ĂŚ , b(n)ƒ Smarandache w −v % Ă ĂĄ „zk ~ . Smarandache j Ă’ : 23171152371319, 2317115237131929, ¡ ¡ ¡ .

a(1) +

[]\

b(1) a(2) +

10.16: Smarandache a(n) n ≼ 1 . :

h Ă 'kĂ­ q Ăż ƒ

j œ � ~ �

b(2)

.

b(3) a(3)+ b(4) a(4)+ a(5)+¡¡¡

� − — ˜lf-g

. Smarandache

v − w ) š ~ ƒ ¡

a(1), a(1)a(2), a(3)a(1)a(2), a(3)a(1)a(2)a(4), a(5)a(3)a(1)a(2)a(4), ¡ ¡ ¡

ÂŻ “ ~ Ăş#* a(1)+z !€  Â‚ , ò %k ~ a(n)? []\ 10.17: Smarandache − ' — ˜lf-g . Â? Smarandache w − v ) š ~ ƒ ¡ Ă­ a(n) ƒ n ≼ 1 j Âœ Â? ~ . Â? h Ă k'q Ăż :

a(1), a(2)a(1), a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3)a(5), ¡ ¡ ¡

ÂŻ “ ~ Ăş#* a(1)+z !€  Â‚ , ò k%~ []\ 10.18: 'ÂĽ ÂŚ f-g .

a(n)?

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789,

¯ “ ~ š !€  “ „zk

12345678910, 1234567891011, 123456789101112, 12345678910111213, ¡ ¡ ¡ . ? 119

[]\

Smarandache 10.19:

-/. f-g

ž Âż)Ă€!j)Ă Ă‚%Ăƒ ™ Ă„ Ă…

.

1, 12, 21, 123, 231, 312, 1234, 2341, 3412, 4123, 12345, 23451, 34512, 45123, 1234, 123456, 234561, 45612,

¯ “ ~ š ! €  “ „zk ? []\ 10.20: 0"1 f-g .

456123, 561234, 612345, 1234567, 2345671, 3456712 ¡ ¡ ¡ .

1, 11, 121, 1221, 12321, 123321, 1234321, 2344321, 123454321, 1234554321, 12345654321, 123456654321, 1234567654321, 12345677654321, 123456787654321, 1234567887654321, 12345678987654321, 123456789987654321, 12345678910987654321, 234567891010987654321,

¯ “ ~ š !€  “ „zk ? []\ 10.21: c%d`f-g .

123456789101110987654321, 2345678910111110987654321, ¡ ¡ ¡ .

12, 1342, 135642, 13578642, 13579108642, 135791112108642, 1357911131412108642, 13579111315161412108642, 135791113151718161412108642,

ÂŻ “ ~ š ƒ%ĂŠ Ă‹zĂŒ 2 k ? °zÂą 3 465 7 []\ 10.22: Ă&#x;'Ă› ĂŤ a g .

1357911131517192018161412108642, ¡ ¡ ¡ !

2, 9, 217, 13825, 1728001, 373248001, 128024064001, 65548320768001, ¡ ¡ ¡ 120

´ è ( È j Smarandache ~ c ´ k Ï Î%k . C = 1 + c c ···c , ¯ ~ ! zk ? []\ 10.23: 8lé ë a g . n

1 2

n

k

2, 3, 13, 289, 34561, 24883201, 125411328001,

f ´ k / 9 %ô k ¯ ~ ! zk ? []\ 10.24: a g'b;:)g . a) < = >%k%~ .

5056584744960001, · · ·

Fn = 1 + f1 f2 · · · fn ,

k

.

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

b)

< ? >%k%~

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, · · · .

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

c)

< = @ A >%k%~

.

1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

d)

< ? @ A >%k%~

.

5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6 · · ·

e)

< = B >%k%~

.

1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · · 121

Smarandache f)

< ? B >%k%~

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã Ä Å

.

1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · ·

g)

C D >%k%~

.

1, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,

E F +h i %k ~-j ¢ æ . []\ 10.25: G HI la g .

1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 6, 4, 2, · · ·

1, 22, 333, 4444, 55555, 666666, 7777777, 88888888, 999999999, 10101010101010101010, 1111111111111111111111, 121212121212121212121212, 13131313131313131313131313,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.26: G H%½ a%a g

1414141414141414141414141414, 51515151515151515151515151515, · · ·

.

2, 23, 235, 2357, 235711, 23571113, 2357111317,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.27: § J G H%½ a%a g

235711131719, 23571113171923, · · ·

.

2, 32, 532, 7532, 117532, 13117532, 1713117532,

û ü ¯ ~ jlýzþ

191713117532, 23191713117532, · · ·

122

.

[]\

10.28:

´ è ( È j G H#K0a%a g .

Smarandache

~

1, 13, 135, 1357, 13579, 1357911, 135791113,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.29: G H Lza%a g

13579111315, 1357911131517, · · ·

.

2, 24, 246, 2468, 246810, 24681012,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.30: § J G H Lza%a g

2468101214, 246810121416, · · ·

.

2, 42, 642, 8642, 108642, 12108642,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.31: G H Ú'Û0a g

1412108642, 161412108642, · · ·

.

1, 14, 149, 14916, 1491625, 149162536,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Í Î%k ? []\ 10.32: § J G H Ú'Û0a g .

14916253649, 1491625364964, · · ·

1, 41, 941, 16941, 2516941, 362516941,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Í Î%k []\ 10.33: G H ß'Û0a g .

49362516941, 6449362516941, · · · ?

123

Smarandache

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã Ä Å

1, 18, 1827, 182764, 182764125,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Ï Î%k ? []\ 10.34: § J G H ß'Û0a g .

182764125216, 182764125216343, · · ·

1, 81, 2781, 642781, 125642781,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Ï Î%k ? []\ 10.35: G H6MONOP Q a g .

216125642781, 343216125642781, · · ·

1, 11, 112, 1123, 11235, 112358, 11235813,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ "RTS% U%k × ? []\ 10.36: § J G H6MONOP Q a g

1123581321, 112358132134, · · ·

.

1, 11, 211, 3211, 53211, 853211, 13853211,

û ü ¯ ¯ ~ " ~ RTjlS%ýzþ .U%k × ? []\ 10.37: V W Smarandache PiercedX µ n ≥ 1 ð , c(n) = 101 × (10 + 10 Smarandache Pierced Z . î [z Y :

2113853211, 342113853211, · · ·

4n−4

4n−8

. + · · · + 104 + 1)

101, 1010101, 10101010101, 101010101010101, 1010101010101010101, · · · · · · 124

¸%¹ Y

´ è ( Ăˆ j Smarandache ~ Ăť Ăź ÂŻ “ ~- jlĂ˝zĂž . ÂŽ ~ c(n) š €› Â“ „çk ? Kashihara Kenichiro\^] ÂŽ^_ 101 ` [9] š Ă‹zĂŒ%Âż)Ă€ * ÂŻ “ Ă Ă‚ , q u a6b * ÂŽ ~ c(n) š 7 '„zk . 101 Ă— Âľ n ≼ 2 Ă° , ~ c(n) ƒ Ă?%Ă? ĂŽ cd> ~ °zÂą ? ” e f 10.37: ò 101 n g h 9 | n, 9 | c(n). i Âś (101, 9) = 1, Âœ c ÂĄ Â?'9ž ” Ăş k c(n) . 101 j k 10.37: %Ă?)Ăž'€ “ ž ” k nl%‰ c(n) –%ƒ Ă?%Ă? ĂŽ Âą cd¸)>%š k . 101 # ¸ s ° mon : ° Âą p q Ăą / ĂŽ r Ă‹ ” j atb . /° Âą k-free k ” ¸ Ă­Â’ k ≼ 2 ƒ u j ž k . ò Â? Âœ)Â? ž °)k Âą n > 1, B Y nƒ k-freek , ‘ ò Âœ!Y Â?!„)k pg/h p|n,Âł Â? ÂŽ °zp Âą †w n.x B s 2-freek i Âś Ă? Ă?!v ĂŽ c > k ¸ T 3-free k Ă?%Ă? ĂŽ cd>%k . a6b . y

k

‘ ’

a ≥ b(mod m),

Â? Â?

10 ≥ 1(mod 9). an ≥ bn (mod m)

ò ‹ “ ž ” k

n,

: ;

°'¹

104n−4 ≥ 1(mod 9), 104n−8 ≥ 1(mod 9), ¡¡¡¡¡¡

i Âś

104n ≥ 1(mod 9).

c ÂĄ

1 ≥ 1(mod 9). , c(n) = 104n−4 + 104n−8 + ¡ ¡ ¡ + 104 + 1 ≥ n(mod 9). 101

°zÂą Ă? z`‰'Š

c(n) ≥ 104n−4 + 104n−8 + ¡ ¡ ¡ + 104 + 1 ≥ n ≥ 0(mod 9). 101

cd>%k

¡ Ă? Ă?'ĂŽ{c!> k j z¸ š ÂŽ ]h i %Ă˝ Ăž °%Âą'Âş ‰ Âľ .

9|n,

c(n) 101

– ƒzĂ? Ă?'ĂŽ 125

Smarandache

ÂŻ •%Ă‹ * T¸ s j a6b 10.2 10.2.1

—

e Â?

ž Âż)Ă€!j)Ă Ă‚%Ăƒ ™ Ă„ Ă…

.

|~}€ ‚ „ƒ U S T … †ˆ‡^‰ˆŠ ‹vŽ Œ � �

Â’ “ ½za%f g , ½za Ă&#x;)Ă› 8]f g ” p bO˜ ™ š › a x . Âœ ~-j ĂŽ [z‚ j Ă’ Y : xn n

‘

10.2.1 {pn } − 1 ≥ 0(mod pn+1 )

{xn }

•)˜ ^ –

n

2, 4, 6, 10, 12, 4, 9, 22, 7, 10, 4, 10, 7, 46, 13,

Ăť Ăź ÂŻ “ Â?#ž 1: Â&#x;'~ ½zjla Ă˝zĂ&#x;)Ăž Ă› . 8]f g

29, 60, 66, 70, 18, 39, 82, 88, ¡ ¡ ¡ .

Lza

.

{xn }

 ,£ ¥ ¢¼¤ Œ#§O¨/Š , ª  §T ­

Â?"ž 2: Â&#x; ½ a)Ă&#x;'Ă›/8+f-g {x }  , ÂŽ#ÂŻ ° Âą ² ½ a . Â? ž 3: Â&#x; ½ a)Ă&#x;'Ă›/8+f-g {x }  , ÂŽ#ÂŻ ° Âą ²zĂš'Ă›0a " e Â? 10.2.2 ‘ {s }’”“zĂš)Ă›0f g s = n , Ăš)Ă› 8]f g – — sÂœ − 1 ≥ 0(mod s Y ) bO˜ ™ š › a y . ~-j ĂŽ [z‚ j Ă’ : n n

n

yn n

2

n

n+1

. {yn }

•)˜ ^

n

1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, 17, ¡ ¡ ¡ .

Ăť Ăź ÂŻ “ e f 10.2.1 ~ 0 jlW Ă˝zĂš'Ăž Ă›/. 8+f-g , TÂł ´ ÂŽ yn =

m n

:

(

k, n = 2k − 1, 2k + 1, n = 2k

& Âľ Ă? ĂŽ O9 ~ j ¸ š , z° Âą

n2y − 1 = (n2 − 1)(n2y−2 + n2y−4 + ¡ ¡ ¡ + n2 + 1) ≥ 0(mod (n + 1)2 ). 126

´ è ( Ăˆ j Âś (n − 1, n + 1) = 1, ĂŻ

~

Smarandache

n2y−2 + n2y−4 + ¡ ¡ ¡ + n2 + 1 ≥ 0(mod (n + 1))

c ÂĄ ºœ ‰ y = n + 1. (n − 1, n + 1) = 2, ĂŻ n

2y−2

+n

2y−4

n+1 + ¡ ¡ ¡ + n + 1 ≥ 0 mod 2 2

c ÂĄ ÂŻÂş ‰ y = n* +2¸T1s . %• Ă‹ j a6b . 10.2.2 ¡ ¸šÂ… †ˆ‡oÂş Šš½ŸIžo¿šĂ€Âˆà ¸%Âœ š Â?çY ž ” k n, Ă­ ” {c }Ă‚vĂƒ-Ă? Λk›~ , z c = n . ‘ Ă? ĂŽ 9 k › ~ {x } Y 5 Ăľ!Ăś-j ž k x 'l ‰ c ≥ 1(mod c ). Ă„ k'~ {x } j ĂŽ# [ ‚ x = 1, x = 6, x = 16, x = 50, x% = 6, x = 98, x = 64,° x = 54, x = 50, x = 242, x = 12, ¡ ¡ ¡ . ò ÂŽ"k!_ ~` {x š } j Ă˝ Ăž , ÂŻ ÂąÂˆĂ… ĂŽ#Æ › 7 ! Ăť Ăź Ç j!' y *  ¯ , Ăˆ É ĂŠ Ă‹  * % Ă +Ă‚ ! 9 [9] , Kenichiro “ 3 Kashihara ĂŒÂ”Ă? ! k ~ , Ăł'Ă°TĂŽ Ă? ĂŽ ! k ~ {x } j x ò 4 : š Ăş#* ´ ‚ + , ™ Ă? ‚'{%ƒzÂŹ%k ; (A): k%~ {x } ÂŽ k%~ {x } š¼%Ă? ÂŽ Ă? Ă” € “ Ă? ĂŽ%k . (B): Ă‘oĂ’ j Ă“ÂŁĂ” Ă… j!ÂƒÂŁĂ• pvq Ăą ĂŽÂŁr Ăť Ăź kç~ {x } j Ă‘ÂŁĂ– Ă %Ă‚ , q p , °Â›Âą Ă‹Â›ĂŒ Âż u * * x j/Ă—6Ă˜6Ă‚oĂƒ6A ĂŚ . Ă™ Y  Ă‘ _^hzĂš i Â’ j “ Ă›t # Ăœ Ă? * 3 364 , ) Ă€4 Kenichiro Kashihara \ÂŁ] ĂŽ j x z • ƒ Ăž a b 3 4 (B) ƒ ž j ! Ă— Ă˜ Ă&#x;" %Æz• ƒTa6b * Ă %ĂĄ j : (A) Ăƒ e f 10.2.2. 0 Ă /ĂĄ š › a n, {x } •'˜Oâ ĂŁ , ä ÂłT´ ÂŽ Â’ “"ĂĽ (a). x = (n + 1) , â#ĂŚ n ≥ 1 (mod 6) ç è n ≥ 3 (mod 6), (b). x = 2(n + 1) , â#ĂŚ n ≥ 0 (mod 6) ç è n ≥ 4 (mod 6), (c). x = ¡ (n + 1) , â#ĂŚ n ≥ 5 (mod 6), (d). x = ¡ (n + 1) , â#ĂŚ n ≥ 2 (mod 6). i Âś ¡ ÂĄ ¸ s Ă?{ʔê  ú£* x + , ™ É!ø- x (n > 1)m Y ÂŹ-k . “ Ă‹)ĂŒ Ă?!ĂŽ k . n# Ă‹)ĂŒ Âż-Ă€ Ăł* Ă° ¡`¸"s j (a))Æ k ~ {x }ĂŤ/ Ï Ă?-Ăž € Kenichiro Kashihara \ ]TĂŽ jlx “ 3 4 ! n

n

xn n

n

1

8

2

9

3

10

3

n

n+1

4

n

5

6

11

7

n

n

n

n

n

n

n

2

n

2

n

n

n

1 3 2 3

2

2

1

n

n

127

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã Ä Å 3 4 (A) j í/î#a^b . ï Û"ð# ! k mvn : # /u / í y õ)ö ñ0 ò l% Smarandache

ï ·

n > 1,

n3y ≡ 1(mod (n + 1)3 ).

(10-1)

(10-1)

æ Ã"ó æ ¸Ts%º

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y ≡ (−1)3y − 1 ≡ (−1)y − 1 ≡ 0 (mod (n + 1)).

· ð æ "Ï é ê y '¸"Y ¬ ò ! øoô µ n > 1 ð , x '¸"Y ¬ ò . ò a£b * 3 4 (A). Ñ Ö x ñ ×/Ø Ò , ° ± õ ã Ý p ó Ï æ (10-1)Ã ó) æ ¸#s q"ö Y / yY ¬ ò º : n

n

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y − 1 3y(3y − 1) ≡ · (n + 1)2 − 3y(n + 1) 2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ).

· ð æ Æ º ô÷ê ó Ï æ

− 3y(n + 1) ≡ 0 (mod (n + 1)2 ).

° ± å £ µ · (10-3)æ Ïoé£ê [ ø v ùoú£ o û ü : (3, n + 1) = 1 ð , ò . ý y = k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º Y k ' k(n + 1),

(10-2)

(10-3) y =

3k(3k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − 3k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ). (10-4) 2

· ò y Y ¬ ò , øvô µ n+1 Y ¬ ò ð , (10-4)æ ñ õ)ö% ò ¿ Y k = n+1. ¡ ðdö ' 2|n + 1, (3, n + 1) = 1, n = 6t + 1 %÷ n = 6t + 3, t Y ò ò . øvô µ n Y A 6t + 1 %÷ 6t + 3 ñ0ò òY ( t Y ' ) ð , g h n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ õ)ö% x x = (n + 1) . ò ò æ µ Y Y ó n+1 © ð , ö- y ¬ ø ô (10-4) ñ õ ö ò ¿ Ü Y k = 2(n + 1). ¡ / ð ö ò (6, nµ + Y 1) = 1, £ n = 6t Y ø ô n A 6t ÷ 6t + 4 ñz /÷ nò =( 6t +t Y 4, ! t / !ò ) ð , g#h n . ¹ ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ0õ ö) ò Y 3xn

3

3xn

xn

128

xn = 2(n + 1)2 .

n

n

3

2

´ è ( È ñ

Smarandache

~

z` 3 | n+1 ð , · (10-3) æ Ï é ê k Y ' ò . ý y = 1 k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º 3

µ

1 y = k(n+1), 3

(3, n+1) > 1,

k(k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ). 2

(10-5)

i ¶çµ 2|n + 1 ð , g/h (10-5) æ ñ õ-ö ò k = n + 1. ¡ ð ö! 6|n + 61,ò z n = 6tÏ + 5, øÞô µ n Y A 6t + 5 ñ' {ò ( t Y ò x Y x = ) ð · ,(ng{+h 1)ó . Î n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ%õçö µ (2, n + 1) = 1 ð , ö ' y Y ¬ ò , øvô÷g h (10-5)æ ñ õ)ö% ò k = 2(n + 1). ¡ ðOö ! 3|n + 1, (2, n + 1) = 1, z n = 6t + 2, ø ô µ n Y A 6t + 2 ñ £ò ( t {Y ò çY £ò ) 2ð , g6h ó Ï Î ·

n ≡ 1 (mod (n + 1) ) zñ õ ö-* x x = · (n + 1) . ò n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) ø% ¶ ò , %3Ë * ¸Ts ñ a b ! 3xn

n

3xn

n

1 3

3

2

3

n

n

2

129

Smarandache

ž Âż)Ă€ Ăą)Ă Ă‚%Ăƒ ™ Ă„ Ă…

Smarandache

"!$#$%'&)($*$+-,

11.1 (1)

.0/ pxn+1 − pxn = 1

132 p 64 5 n7 809 . : 0.5; 1<>= , ?0.0/A@CB6D6E F n = 1 G , .0/A@AH I0E . JLK 4 : n

F PRQ

.

3x − 2x = 1, x = 1;

n = 31

G , 0. /A@AHNMOE . LJ K 4

:

127x − 113x = 1, x = 0.567148 ¡ ¡ ¡ = a0 .

, Andrica

U0VAWCX Y

SAT

1

1

2 An = pn+1 − pn2 < 1

132 a < a . 132 k ≼ 2. 1Z2 a < a [ n \ ] I . ^N_0`CaNb 7 c0d e 809 f0g F G h i 4Aj f0g . 4Aj6k :NlOF m 9 n0o _ a; n), pAq F n ≼ n G , (4)i0f0g . GOr s f g . Jozsef Sandort uwvRx y{zN| ?6SAT } ~€ 0 11.2 Smarandache ‚„ƒ"…‡†‰ˆ-Š U0‹ ÂŒ0Â? ÂŽ (SDS)4 : Smarandache (2) Bn = pan+1 − pan < 1, 1 1 2 k − pnk < , (3) Cn = pn+1 k 1 a a (4) Dn = pn+1 − pn < , n , n = n(a) . (a) a0 < a < 1 , n0 ( (b) pn+1 5 (5) ≤ , n=2 pn 3 ( [56]).

0

0

1, 23, 456, 7891, 23456, 789123, ¡ ¡ ¡ . 130

0

5 D0 A_ Smarandache e D0 0 A U C N C 4 : 1, 32, 654, 1987, 65432, · · · , Q Smarandache 2 @ bO 6 4 809 . 11.3 Smarandache % X : ^A§ ¨A© ¥ e lOm 9 m, @ Smarandache ¡£¢ ¤L9 ¥6¦ L: Z→Z

L(x, m) = (x + c1 ) · · · (x + cϕ(m) )

132 ϕ4 Euler ¤L9 , c , · · · , c 64 ª m e «0¬A­ ¢ ® ¯C° Smarandache ¡£¢ ¤L9 e 0± ² . 1

11.4

ϕ(m)

.

Smarandache ϕ ³ ´

^A§ ¨ lOm 9 132 ϕ4 Euler ¤L9 5 DA» :

z, m,

[

m 6= 0,

µ6@

aϕ(ms )+s ≡ as (mod m),

, ms

; sU0¶ ·

Smarandache ϕ

¸A¹ q º

:

A := a M := m i := 0

5 ¼ » : ½0F ¸ d = (A, M ), M = Md . F d 6=5A1¾ G » , ¿: Ad:== d,1 G M, ¿ =sM= ,i,i m:= i=+M1, ,À 5 ¼ » . e VAW : Euler ¥6Á ^A§ ¨ lOm 9 a, m, [ (a, m) =X 1, µ6@ a ≡ 1(modm). Smarandache totient ¤L9 ¥6¦ : 0

s

0

0

ϕ(m)

sϕ : Z 2 → Z 2 131

Â6ENà e AÄ 1 Å0Æ Ç F m 6= 0, sϕ(a, m) = (m , s) G , @ a m). ¯È° Smarandache ϕ ¥ÉÁ , Smarandache ϕ¸ ≡¹ a ,(mod Smarandache totient ¤L9 . Smarandache

ϕ(ms )+s

s

11.5

s

Smarandacheials

^A§ ¨ lOm 9

n, k,

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

!n!k =

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤n i=0, 1, 2,···

Ë Ì

: F (1) k = 1 G

: Y

!n!1 = !n! =

(n − i) = n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

0<|n−i|≤n i=0, 1, 2,···

(−1)(−2) · · · (−n + 2)(−n + 1)(−n)

= (−1)n (n!)2 .

PRQ

,

!5! = 5(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3) · · · (5 − 9)(5 − 10)

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · (−1) · (−2) · (−3) · (−4) · (−5) = −14400.

? eRÍ Î X

:

4, −36, 576, −14400, 518400, −25401600, 1625702400,

−131681894400, 13168189440000, −1593350922240000,

229442532802560000, −38775788043632640000,

7600054456551997440000, −1710012252724199424000000, · · ·

(2) (a)

F

: F kn OX =Ï 2 G 9 G ,@ !n!2 =

Y

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

132

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (3)(1)

5 D0 A_

Smarandache

e D0 0 A

(−1)(−3) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n)

= (−1)

F n OX Ð 9 G ,@

(b)

(n+1) 2

(n!!)2 .

Y

!n!2 =

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (4)(2)

(−2)(−4) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n) n

= (−1) 2 (n!!)2 .

PRQ , !3! = 3(3−2)(3−4)(3−6) = 9, !4! ? eRÍ Î X : 2

2

= 4(4−2)(4−6)(4−8) = 64.

9, 64, −225, −2304, 11025, 147456, −893025, (3)

F

−14745600, 108056025, 2123366400, · · ·

G

k=3

:

!n!3 =

Y

0<|n−3i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 3i) = n(n − 3)(n − 6) · · ·

PRQ , !7! = 7(7 − 3)(7 − 6)(7 − 9)(7 − 12) = 7(4)(1)(−2)(−5) = 280. ? eRÍ Î X : 3

−8, 40, 326, 280, −2240, −26244, −22400, (4)

F

−246400, 3779136, 3203200, −44844800, · · ·

k=4

G

:

!n!4 =

Y

0<|n−4i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 4i) = n(n − 4)(n − 8) · · ·

PRQ , !9! = 9(9 − 4)(9 − 8)(9 − 12)(9 − 16) = 9(5)(1)(−3)(−7) = 945. ? eRÍ Î X : 4

−15, 144, 105, 1024, 945, −14400, −10395, 133

Smarandache

(5)

−147456, −135135, 2822400, 2027025, · · ·

F

k=5

G

: Y

!n!5 =

PRQ

Â6ENÃ e AÄ 1 Å0Æ Ç

0<|n−5i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 5i) = n(n − 5)(n − 10) · · ·

, !11!5 = 11(11 − 5)(11 − 10)(11 − 15)(11 − 20) = 11(6)(1)(−4)(−9) = 2376.

? eRÍ Î X

:

−24, −42, 336, 216, 2500, 2376, 4032,

−52416, −33264, −562500, −532224,

−891072, 16039296, · · ·

D6ÑAÒ , A^ § ¨ lOm 9

n, k,

!n!mk =

Ë Ì

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤m i=0, 1, 2,···

: !7!32 = (7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)(7 − 10) = (3)(1)(−1)(−3) = 9. !7!92 = 7(7 − 2)(7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)

(7 − 10)(7 − 12)(7 − 14)(7 − 16)

= 7(5)(3)(1)(−1)(−3)(−5)(−7)(−9) = −99225.

11.6

Smarandache & Ó"Ô Õ-Ö$×

FÙØ Ú e 7N9 Û Ü3G , Ý Þ3ßLà áNâ ã ; E ä Ø Ú e ® ØAÚ cAë . dache t6u åAæ0çAè 90¹Aé ê 134

. Smaran-

5 � D0� ‘A_

Smarandache

Ă˜ Ăš S , S , ¡ ¡ ¡ S e 7 9 ĂŠ n ≼ 2 ĂŠNĂŞ U Ă° e . i0cAĂŤ . C eÙôOĂľ Ăś ÂŒ . ĂŽtC@u>Ă˜AùóĂš ò Ăš S ĂŠ , S1 ≤, ¡k¡ ¡â‰¤, Sn, Smarandache eRĂš )Ăş X 0. Ăť 7 Ă?AĂž Ă&#x;ۧ6@ 2 7 Ă˝0cAĂŤ Ăś ÂŒ , J X e Ăš . F n = 3 G , Ă?AĂž Ă&#x;ÂŁĂŠ ĂŞ ĂŒ : 1

i1

i2

ik

n

11.7

2

n

’”“ e D0•0–A— ĂŹ • Ă˜ Ăš :NĂ? Ăž>Ă&#x; 2NĂ­ĂŻĂŽ @ 2 Ă˜ : 9 i i ¡ ¡ ¡ i ĂŠ>ĂŞ Ă? Ăž Ă&#x; e€áAĂś ( JLK 4 , ĂŽ @ Ă˜AĂš eĂ™ø 9 12 ¡ ¡ ¡ n e€Þ6Ăż 9 2 k 7 9 ,

1 2

k

Smarandache ‡,

D2 37 Ă´ ÊɎ Ξ X Smarandachej Ă­ ÂĽ e {, Ă­ 1 2 k : D37 Ă´ ĂŠ , : Ξ ÂĄ6GLĂŠ X Zò€fAg Ă˝AfAg , ™ h e . " i0# ĂŠ NĂ˝AfAg ø . ÂŻĂŹ 3e ÂŽ . Smarandache !OT + 3 K 4 $&% ( Æ , * + . ² , 1 { 2 e ° ĂŹ ÂŽ 9( ' ÂŽ)Smarandache 4 , 5 687 .-)/ ^.0 e &< = > Ă ? E . h , Smaran 2 dache ! T 4 - 9 :;! Ă´ T eCD B.DAE . ĂŽAG , X D A 7 C @ @ Smarandache j ÂĽ ĂŠ F = Smarandache <,H Ă’ , ^ § ¨Cm 9 n ≼ 2, @ Smarandache n-I ?{eCJ)K . L.F.MaoŠ ò | D Ă‘ Âą e $L% Smarandache n-? I O ? e X . š ĂŽ (}NG M  [57]; [58]), L.F.Mao $8% 2- Ă? Smarandache I Ă’3Ă&#x; . 135

Ă‚6ENĂƒ e ’”“AĂ„ 1 Ă…0Æ Ç U Ă­QP ç 9)' Ăš e .Nš , J6Š ÂĽ D Ă‘ Âą Ă’ $ % Smarandache ; ÂŽ <.H Ă’ , U Ă­ Ă˝Pɥَ <É=OD 7 E Ăš(R e $ , ÆA* q Âş Smarandache ÂŽ , ç SmarandacheS = . š ,E JAŠ>X ÂĽ n7 . ýó¥ e&B,D )T(U E = A , A , ¡ ¡ ¡ , A , ÂĽ6ÂŚ D67 n-S = Smarandache

1

2

n

X

Â

=

n [

Ai .

>e S E =€I U k : , Ă‹ ĂŒ , V0ç x W69 ' 20eYX(ZQ[(ZQ\ ;^]_U ĂŹ E = , $8% S X(Z S [(Z S \ ; S`]_U E = , V0ç Ăš ! T $8% Ăš I ? ø ÂŻ ° 1 h eba ÂŒ R $ , ÆA* c.d Ăš , a ÂŒ ĂŽ;G r . e b8f.g (}AM [59]).

136

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137

Smarandache

Â6ENÃ e AÄ 1 Å0Æ Ç

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Smarandache Unsolved Problems and New Progress Liu Yanni Department of Mathematics, Nowthwest University, Xi’an, Shaanxi, 710127, P. R. China. Li Ling Department of Basic Course, Shaanxi Polytechnic Institute, Xianyang, Shaanxi, 712000, P. R. China. Liu Baoli Department of Basic Course, Xi’an Aeronautical Polytechnic Institute, Yanliang, Shaanxi, 710089, P. R. China.

High American Press 2008

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