Smarandache 未解决的问题 及其新进展

Smarandache未解决的问题 及其新进展

刘燕妮 西北大学数学系 李

玲

陕西工业职业技术学院基础部 刘宝利 西安航空职业技术学院基础部

High American Press

2008

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Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi , P.R.China.

Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong , P.R.China.

Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P.R.China.

Copyright 2008 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

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ISBN: 978-1-59973-063-9 Standard Address Number: 297-5092 Printed in the United States of America

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Ă&#x2026; f Ă&#x2020; Ă&#x2021;2 . Â&#x2018; Ă&#x2C6; Ă&#x2030; Ă&#x160; Ă&#x2039;<Ă&#x152; ½ ž Ă? Ă&#x17D; Ă?, Âż Ă&#x20AC; 1.2.5 " # $,ÂĽ x > 1, W j k lAm ¢

m

3

ci (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , k) , k=1

1.2.6 X

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t

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¢

3 2

2

S (Z(n)) =

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3

W j k lAm

x > 1,

X ci ¡ (2x) 2 Ď&#x20AC; 2 (2x) 2 â&#x2C6;&#x161; S (Z(n)) = +O ¡ â&#x2C6;&#x161; + i 18 ln 2x ln 2x nâ&#x2030;¤x i=2 X

X

m

m=

Îąk k

pÎą1 1 Îą2 2

Ď&#x20AC; (2x) ¡ â&#x2C6;&#x161; +O 18 ln 2x

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kâ&#x2030;Ľ2

3 2

x ln2 x

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S(nk ) â&#x2C6;&#x2019; kP (n)

2k 2 Μ( 32 ) x 2 = ¡ + Ok 3 ln x

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x â&#x2030;Ľ 3, 3

x2 ln2 x

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t

,

k

k X 3 2 3 ci 2 2 [S(n) â&#x2C6;&#x2019; S(S(n))] = ¡ Îś ¡x ¡ +O 3 2 lni x i=1 nâ&#x2030;¤x X

!

W j k l

2B C , O Ă&#x2018; Ă&#x2019; Ă&#x201C; O ÂŞ C Ă&#x201D; Ă&#x2022; Ă&#x2013; Â&#x2030; k. " # $ Ăś ¨ 2& ' kĂľ # $AÂĽg x > 2, U V W j k l

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1.2.7

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Riemann zeta-

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t Ă&#x2026; f Ă&#x2020; Ă&#x2021;2 , Ă&#x2014;

¢

1.2.8 X

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¢ k lAm X

s 0

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X

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u D v Smarandache B2C " # $,¥ x ≥ 3, W 3

SM (nk ) − kP (n)

£

1.2.9

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2

2k 2 ζ( 32 ) x 2 = · + Ok 3 ln x

3

¢

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Riemann zeta-

1.2.10

" # $,¥

B2C

3

!

!

.

x ≥ 3,

W j 4

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k2 x 3 ln x

!

3 x2 +O ln2 x

k2 x 3 ln x

x2 ln2 x

!

,

.

x ≥ 3,

W 3

2ζ( 32 ) x 2 · +O (SM (ak (n)) − (k − 1)P (n))2 = 3 ln x

¢

x ln2 x

ö%¨, 7& ' , ¤ Á Â4" #,$5¥)

2ζ( 32 ) x 2 (S (ak (n)) − (k − 1)P (n))2 = · +O 3 ln x ζ(s)

3 2

4

!

.

£ 2# $ µ & ' , k 2# $5ö ¨ <& ' , a " # $,¥

%o2p j k lAm

1.2.11 n x ≥ 1, n = S(nk )

þ Ø

x

x U(x) = 1=π + O (1) = +O k k ln x n≤x X

s 0 A * + Ù7W%o2p n = S(n ) <& ' Ú,Û)Ü . ¢ 1.2.12 £ n 2 # $5ö ¨ <& ' , þ Ø n∈A

x . ln2 x

k

2

W ± Ý W ¢

2

2

S(1 ) + S(2 ) + · · · + S(n ) = S n = 1, 2 1.2.13

2Þ 3 & ' µ " # $ & '

n(n + 1)(2n + 1) 6

. k,

þ Ø

S(m1 ) + S(m2 ) + · · · + S(mk ) = S(m1 + m2 + · · · + mk )

W ß à q 3 & ' µ

.

5

Smarandache

å¤âÂ&#x;ã¥ä y Â&#x161; Â&#x203A;ĂŚĂĽ,ç d|n Â&#x201E;%Â&#x2026; Â&#x2020; Â&#x2021;Êè N ĂŞ%ĂŤ D ĂŹ Â? Â? Smarandache B C ĂŻ Q Âť Âź . Ă° Ăą Ă&#x2030; ò Ăł N Ă´ Ăľ Ăś Â&#x201D; Â&#x2022; C n, á ø Ăš R

1.2.2

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S(n)

Ă­ ĂŽ , ÂŤ

X 1 S(d)

(1-1)

d|n

N Ăş 7H Â&#x2022; C Ăť D8 , ; = Ă­ Ăź,Ă&#x160; n > 1ÂŹ n 6= 8 Ă&#x2039; , Ăš R X 1 ÂŽ Ăž S(d) Ă˝

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N

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N . Ăż

Ăž

2

Ăť

D

Ă­ ĂŽ ,

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Â&#x201D;

F H Â&#x201D; Â&#x2022; C . ½ ž Ă˝ I Ăť D Ă­ ĂŽ. ĂŹ ø , ! Ăł N Ă´ D Ă˝ E Â&#x2018; Â&#x2019;A Â&#x201D; Â&#x2022; C , ; = " )½ ž, # ¢ 1.2.1 " # $ & ' n > 1, ÂŁ d|n

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Cn = 1 +

1 1 1 + + ¡¡¡ + , 2 3 n

$ Ă&#x2026; % & ' . &(' : *) + 2Ăť D ø . , š Ă´ - D Â&#x201D; Â&#x2022; C n > 1, C H Â&#x2022;5C . .AÂŽ5M C = m Â&#x17D; i = 2 ¡ l , 2 â&#x20AC; l , i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , n. /"0 M Îą = max{Îą ,N Îą , N ¡ ¡ ¡6 , Îą }. . Îą0 1 Ă&#x152; i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , n Q R"243 @5/ D 9 , ! Ăł ò Âś D% . 7 Ă˝ Â&#x17D; , . 8 0 9 ĂŹ Â&#x201D; Â&#x2022; C 1 â&#x2030;¤ r, s â&#x2030;¤ n:š Âť Îą = Îą = Îą. Â&#x2030; r 6= N s, 1 l 6= l , ;*<*0>=,C l Ăš l ?A@ D 8>05D%ĂŹ"BAC , M5ĂŞ H 2l. Â&#x2030; 1 < 2 ¡ 2l = 2 ¡ l â&#x2030;¤ n, C š 8>G 0.H Â&#x201D; I Â&#x2022; C m = 2 N ¡6 l ! Â&#x2030; 1Ăš n?>@ ÂŹ Â? 2 <IED Ă&#x201C; Â&#x2030; Îą. Ăť F Îą ;E<E " Îą D% . / 0 M u = 2 ¡ l , M = 2 ¡ l ¡ l ¡ ¡ ¡ l . .

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n

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n

1

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2

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k

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r Îą

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s

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0

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Îąâ&#x2C6;&#x2019;1

1

2

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1 1 1 1 M ¡ 1 + + ¡¡¡ + + + ¡¡¡ + 2 uâ&#x2C6;&#x2019;1 u+1 n

6

n

1 1 1 M ¡ Cn = M ¡ 1 + + ¡ ¡ ¡ + + + ¡¡¡ + 2 uâ&#x2C6;&#x2019;1 u+1

1 1 1 + + ¡¡¡ + = M ¡ 1 + + ¡¡¡ + 2 uâ&#x2C6;&#x2019;1 u+1 l1 ¡ l2 ¡ ¡ ¡ l n + .

2

(1-2)

.

M 1 + n u

1 n

(1-2)

u D v

Smarandache

B2C

!º%H C , N l · l 2· · · l ý N C , H I . ; < C ý ®Aþ N C , K L . ¢ 1.2.14 n ß þA^g` 8 , (1-1) m $ Å %)t & ' . &"' : M N , ; = ?5@PO Q I"R4S C8 ¹ G : D ì C nT U O Q I(R S C , V W n > 1¬ ô õ ö X C p, Ê p | n Ë7Ì p † n. Y Z [ ô õ ö O Q I(R S X C n, ® N.M ¶ n = p · p¹ ·G · · p \ H ] n 7O P Q R , 2 p < p < ··· < p H C . X S(n)· ý @ S(n) = S(p · p · · · p ) = p . Ê k = 1Ë , n = p H C , Ë 1

2

n

n

2

1

2

1

k

1

k

2

2

k

k

1

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S(d) S(d) S(1) S(p1 ) p1

¶

N C .

1 (1-3) R

® þ Ë , ^ ö ¼ ô ý õ ö d|p · p · · · p Ì

d|n

p1 > 1, k>1

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d|p1

1

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X

d|p1 ·p2 ···pk

1 = S(d)

X

=

d|p1 ·p2 ···pk−1

X

=

d|p1 ·p2 ···pk−1

_

2

d|p1 ·p2 ···pk−1

1 + S(d)

¶

i

X

d|p1 ·p2 ···pk−1

,

1 pk

X

d|p1 ·p2 ···pk−1

1 S(dpk )

1 p aH = X C , R · i=1

, ¹

X 1 S(d)

H AC , . ¶

(1-3)

R

d|n

k X 2i−1

k > 1,

1 + S(d)

N

(1-4)

R ý ®.þ N A C .7 ý J X 2p ! H7 C . ý ` M i=1

S(dpk ) = pk .

1 2k−1 + S(d) pk

(1-4)

i−1

k−1

X

= ······ k X 2i−1 . = pi i=1

k

(1-3)

pi

= m.

k

7

Smarandache

kâ&#x2C6;&#x2019;1 iâ&#x2C6;&#x2019;1 X 2

b c

i=1

pi

kâ&#x2C6;&#x2019;1 iâ&#x2C6;&#x2019;1 X 2

p1 ¡ p2 ¡ ¡ ¡ p k ¡

pi

â&#x2C6;&#x2019;m=

â&#x2C6;&#x2019;m

!

2kâ&#x2C6;&#x2019;1 , pk

= p1 ¡ p2 ¡ ¡ ¡ pkâ&#x2C6;&#x2019;1 ¡ 2kâ&#x2C6;&#x2019;1 .

(1-5)

R d e,ĂžaNEf i g j p Â&#x2022;Aš ­ Âş , < h e Ă˝ Ăžag p Â&#x2022;A­ , H I , 1 Â&#x17D; (1-4)R Â&#x2022; C . Â&#x2030; k " . Ă˝ ÂŽ ¢Þ H71.2.15 " # $ 1 ] pl # $ & ' Îą, n = p Âą Îą â&#x2030;¤ p (1-1) m $ Ă&#x2026; %)t & ' . & ' : Ă´ Â&#x2030; Ăľ Ăś = X C p Â&#x201D; Â&#x2022; C Îą, Ă&#x160; n = p Ă&#x2039; , M 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ p. . \ ÂŻ °8@ Ă˝ _

i=1

(1-5)

k

k

Îą

,

Îą

X 1 X 1 1 1 1 1 = = + + + ¡¡¡ + 2 S(d) S(d) S(1) S(p) S(p ) S(pι ) d|n d|pι

1 1 1 = 1+ 1 + + ¡¡¡ + .

(1-6) p 2 Îą

Âś K Âş 1.2.1 (1-6)R ÂŽ Âť Âź Ă&#x160; n = p ÂŹ 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ p Ă&#x2039; , (1-1)R ÂŽ Ăž N Â&#x2022; Ă˝ C . Â&#x2030; ¢N " š Âş 1.2.15. ²%Âł 1.2.16 ""m #%$ & ' n, p ¡ p ¡ ¡ ¡ p ¡ p *,+ n

´ Âľ m , a S(n) = p , (1-1) m $ Ă&#x2026; %)t & ' . &n' : HAI5J5K L.M n = p ¡ p ¡ ¡ ¡ p ¡ p = u ¡ p ÂŤ>^ Ăś Âź S(n) = p , 1 Â&#x17D; ; = Ă&#x152; Îą

Îą1 1

Îąkâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;1

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k

k

Îą1 1

Îą2 2

Îąkâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;1

k

k

k

X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = + = + S(d) S(d) S(dpk ) S(d) pk d|n

d|u

X 1 d(u) + , S(d) pk

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d|u

"2 8

d(u)

H ­ C%B2C

d|u

.

d|u

d|u

(1-7)

u D v

Smarandache

B2C

1 0 (1-7)R 2 _ ,Ă&#x160; d|u Ă&#x2039; , S(d) < p . 1 Â&#x17D; 0 Ă&#x152; Âş C X S(d) 2 , p q 7H Â&#x2022; C , ;E< 1 < Ă&#x160; X S(d) H7Â&#x2022; C%Ă&#x2039; , d(u) QEo"2 Ă˝ Â? X C p . RP% p k

d|u

k

k

d|n

pk | d(u) = (Îą1 + 1)(Îą2 + 1) ¡ ¡ ¡ (Îąkâ&#x2C6;&#x2019;1 + 1).

Âś Â&#x2030; p H X C ,1 Â&#x17D; p % Â&#x2022; ­ - D k

Âś IÂŹ

(Îąi + 1).

k

Smarandache

B2C, <F G

;E< ÂŽ Âť

Îąi + 1 â&#x2030;Ľ p k .

(1-8)

(1-8)

R J

S(pÎąi i ) â&#x2030;Ľ (pi â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ Îąi + 1 â&#x2030;Ľ Îąi + 1 â&#x2030;Ľ pk

(1-9)

N R H p | S(p ), R4< S(p ) > p . Ăť F S(n) = p H Ăť 1 Âś Â&#x17D;)š Âş š Âş jEr . Â&#x17D; [Es t ĂŹ , ÂŽ Âť Âź ½ ž, u v " # $ & ' n X X 1 7' ÂĄ ¸¹ Ă?ÂĄ n = 1, 8.

S(pÎąi i ) 6= pk , , 1.2.16

Îąi i

i

d|n

1.2.3

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X

S(d) = Ď&#x2020;(n)

Îąi i

k

k

S(d)

z {}| ü,ç

d|n

0 Â&#x201E; ~ Â&#x2026; , ; = ?A@ <D ĂŹ , <I Â&#x201C; X

S(d) = Ď&#x2020;(n),

2 Ď&#x2020;(n)N Euler- B C . Ăž Ăş*Â&#x20AC; Âź Â I Â&#x201C;Ă? a1 c Ă&#x152;AÂ&#x160; Â&#x201D; Â&#x2039; Â&#x2022;%C , N ; = Ă&#x152;*Â&#x201A;

Ď&#x2020;(n) = S(n )( D Â&#x192; Ăľ %Ăś A 7š Ă? ) . 0Â&#x2026;Â&#x201E; Â&#x2020; , ; =. 4Â&#x2021;>Â&#x2C6; Â&#x2030; 2 k H N ? Â&#x201D; Â&#x2022; C )I Â&#x201C;¤ 7 ¤ 7ĂŹ C < . Â&#x2C6; N Â&#x2030; Ăş Ăť ĂŹÂĄ < , Â&#x152; Â? Âť Âź n = 1  I Â&#x201C;5 2 , ; = ÂŤ Ă˝ J Ă´ Â&#x17D; Ăľ Ăť Ăś ĂŹ I š Â&#x201C; Ă&#x152; Ă&#x152;(Â?2ĂŹ . ½ ž ; = E ĂŻ IE + Ăť ĂŹ. , ? Â&#x201D; Â&#x2022; C k ?A@ 4Ăť ĂŹ I Â&#x201C;A kÂ? . ¢ 1.2.17 Ăž Ă&#x2DC; S(n) = Ď&#x2020;(n)W Â&#x2018; 3 Âľ : n = 1, 8, 9, 12. d|n

k

9

& ' :M

¶

S(n)

ù

· · · p H n <O P>RPS Q R ,

Smarandache n = pα1 1 pα2 2

αk k

S(n) = max {S(pi αi )} = S(pα ).

φ(n)

¹ G ® »

1≤i≤k

φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1) = φ(pα )φ(n1 ) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ) = S(pα ).

N I S(n) = φ(n) < . V W n > 1; = Q t ÷ ø V ½ : N ò , (I) V W α = 1 ¬ n = p, * S(n) = p 6= p − 1 = φ(n). ! ó õ* D ì X C %I S(n) = φ(n). V*W α = 1¬ n = n p,

8 0 ý S(n) = p 6= (p − 1)φ(n ) = φ(n p). 1 I O .

(II) V W α = 2, Ì S(p ) = 2p ù φ(p n ) = p(p − 1)φ(n ). 1 û,Ë Ê2¬ Ô%Ê (p − 1)φ(n ) = 2 Ì S(n) = φ(n). û8® Q>9 > " +A÷8ø : p − 1 = 1, φ(n ) = 2; p − 1 = 2, φ(n ) = 1. !"C ® » p = 2, n = 3; p = 3, n = 1. û.Ë I S(n) = φ(n)Ì 9 ì _ : n = 12, 9.

N n = 8 I .

(III) V W α = 3, Ì S(2 ) = φ(2 ) = 4, V W α ≥ 3 ¬ p > 2, ^ ö ¼ _

n=1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

3

1

3

pα−2 > 2α−2 = (1 + 1)α−2 = 1 + α − 2 + · · · + 1 > α.

C<Ì

pα−1 > αp ⇒ pα−1 (p − 1)φ(n1 ) > αp,

S(pα ) ≤ αp.

1 û I O . [ ¾Et , )÷ ø , ; = r ® » I S(n) = φ(n)Ì" 4ì n = 1, 8, 9, 12.

NEi j ¹ º 1.2.17 k " . # ¢ 1.2.2 Y Z p > 5]8 , Á Â S(p ) ≤ kp. Y Z k < p, Á Â S(p ) = kp, s 0 k 2# $a¡ ¨ <& ' . k

k

10

:

& ' ¢

u D v

Smarandache

B2C

¢ £P¤E¼ [1]). ¾ : n = 1, 24, 50.

1.2.18 ÂŚ Ă&#x2DC; Ď&#x2020;(n) = S(n )W § 3 & ' : Â&#x2019; n = p p ¡ ¡ ¡ p , Âś S(n)Ăš Ď&#x2020;(n) š G ÂŽ Âť : (

2

Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

2Îą i S(n2 ) = max{S(p2Îą i )} = S(p ),

"2 p H X C Â&#x17D;

Ď&#x2020;(n) = pÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n1 ),

Ď&#x2020;(n) = pÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n1 ),

"2 (n_ , p) = 1.N ! Ăł N ò n Ăš p k¨ Ă&#x201C; Š RPS H 1. n = 1 I Â&#x201C; Ď&#x2020;(n) = S(n ) . V W n > 1 ; = Â&#x201C; Q ÂŞ á ø V ½ : (i) Â&#x2019; Îą = 1. Âś V W p = 2, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(2 ) = 4, Ď&#x2020;(n) = (2 â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n ), S(n ) = S(2 ) = Â&#x17D; Ď&#x2020;(n ) = 4, Â&#x2030; N n = 2 Ă&#x2014; 5.

S(2 ¡ Ď&#x2020;(n) = Ď&#x2020;(n ) ÂŽ Âť Ď&#x2020;(n ) = 4, 1 ¡ Ăť ĂŹ I Â&#x201C; O .

5 ) = 10 6= Ď&#x2020;(2 Ă&#x2014; 5), R VÂŤW p â&#x2030;Ľ 3, Âś K ¡ Âş ÂŽ5Âť S(p ) = 2p, Ď&#x2020;(n) = (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n ), ^ Ăś Âź p â&#x20AC; (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n ), R Ăť ĂŹ I Â&#x201C; ! O . (ii) Â&#x2019; Îą = 2.

V W p = 2, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(2 ) = 6 = 2Ď&#x2020;(n ), O .

V W p = 3, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(3 ) = 9 = 3 Ă&#x2014; 2Ď&#x2020;(n ), O . Â&#x17D; V>N W p = 5, Â&#x2014;"Â&#x2DC; S(5 ) = 20 = 5 Ă&#x2014; 4Ď&#x2020;(n ), 1 n = 2, R ¡ n = 5 Ă&#x2014; 2 I Â&#x201C;A ) .

V W p â&#x2030;Ľ 7, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(p ) = 4p = p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n ), ^ Ăś Âź p â&#x2C6;&#x2019; 1 > 4, O . (iii) Â&#x2019; Îą = 3.

V W p = 2, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(2 ) = 8 = 4Ď&#x2020;(n ), 1 Â&#x17D; n = 3, R ¡ n = 2 Ă&#x2014; 3N I Â&#x201C;A ) .

V W p = 3, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(3 ) = 15 = 3 Ă&#x2014; 2Ď&#x2020;(n ), O .

V W p = 5, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(5 ) = 25 = 5 Ă&#x2014; 4Ď&#x2020;(n ), O .

V W p = 7, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(7 ) = 42 = 7 Ă&#x2014; 6Ď&#x2020;(n ), O Ăś .

V W p > 7, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(p ) = 6p = p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x2020;(n ), ^ Âź p â&#x2C6;&#x2019; 1 > 6, O . (iv) Â&#x2019; Îą = 4. V W p = 2, Â&#x2014; Â&#x2DC; S(2 ) = 10 = 8Ď&#x2020;(n ), O .

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11

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Smarandache

Sc (7) = 10, Sc (8) = 10, Sc (9) = 10, Sc (10) = 10, Sc (11) = 12, Sc (12) = 12, Sc (13) = 16, Sc (14) = 16, Sc (15) = 16, · · · · · · .

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14

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Smarandache

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(1-13)

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15

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(1-16)

(1-16)

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(1-17)

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1.2.24 9 Š Q Ă&#x17D;EĂ?QĂ?Š!=#A% n â&#x2030;Ľ 3, Ă&#x153;EĂ? (x , x , ¡ ¡ ¡ , x ) 0 19Ă&#x2018; Ă&#x2019;Q6uĂ&#x201C;7 (1-14), Ă&#x17E; Ă&#x; x , x , ¡ ¡ ¡ , x à âåEĂŁ Â&#x2018; & Â&#x2019; ' Â&#x201C; n â&#x2C6;&#x2019; 1ä 1. } ~ 1.2.24 ¢uÂ&#x2022; ĂĽuĂŚ çuè9Ă&#x160; Â&#x2022; . Â&#x161; n = 2, u Â&#x17E; x = x = 2, r s O 1

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16

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(1-18)

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(1-19)

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n − 2 + S (xn1 ) + S (xn2 ) ≥ nS(x1 )S(x2 ).

(1-21)

8 ðEò § ) ≤ S(x )S(x ) ðE¿Qm < > 8 ¨ S(x ) ≤ nS(x), S(x ) + S(x ¡ _ x = x = 2, Z = S(x ) > 2 S(x ) > 2, r s (1-21) ç ¾ < > . ` S(x ) = S(x ) = 2, r s x = x = 2. Z , ¾ ¿=m (1-21)Ö=< n

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(1-22)

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17

Smarandache

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2 8 8

=L Ă&#x161;Ež Âż m=ç=ž Â? jQÂ&#x2022; . Â&#x2014;ŠÂ&#x2DC; Â&#x161; n â&#x2030;Ľ 3Ă° (x , x , ¡ ¡ ¡ , x )J=KEž Âż m (114), r sAB x , x , ¡ ¡ ¡ , x ¢ZĂŞ=ĂŤA@ B n â&#x2C6;&#x2019; 1 N 1. L ÂĽ < ÂŤ2}A~ 1.2.24 Â&#x2022;

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1.2.7 ²´³ F.Smarandache ¾dœ¸¡´þdÜ"á/ø B=Ú ú [9] ¢ , Kenichiro KashiharaŸ=½ U V ]Q^9Ýâß ý ; 1

1

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(1-23)

S 2 (x) â&#x2C6;&#x2019; 5S(x) + p = x,

(1-24)

S(x) = max{S(pÎą1 1 ), S(pÎą2 2 ), ¡ ¡ ¡ , S(pÎąs s )} â&#x2030;Ą S(pÎą ),

(1-25)

Â&#x2022;ŠÂ? Ăł=Ă&#x20AC; . Ăž Ăš Ăż QÂŞ L M ­¯Ž , Â&#x201A; ç U V Ă˝ ;

ZÂ&#x2022; ÂŁ OEG H=I Ăł , Ă´ ¢ pç p I . Ă&#x2039; Â&#x2022;5ç Â&#x2021; Â&#x2C6;=Ă? Âż=Ă˝ Â&#x152;= ] ^AL n Nt­ ÂŽ , ĂŻ =ĂłQ . Ă&#x2020;Qç Ă&#x2021; =Ă&#x2C6; Ă&#x160; Â&#x2022;5 Ă&#x2030; Ă&#x160;Ă&#x152; ~ 1.2.25 Z Q 935Â&#x2022;54 }A(1-23) Ă&#x201D; =¤ ä !=#A% Ă&#x2022; x = 1. v w : 6 7 x = 1 J=KaĂťZĂź=Ă˝ Ă&#x201D; ; (1-23).

B = = d ZÂ EÂ&#x201A; Â&#x192; Â&#x201E;EG E Â&#x2018;

Â&#x2019; Â&#x201C; H I x > 1, ĂťZĂź=Ă˝ ; (1-23)ž < > . Â&#x161; x > 1 J=KaĂťZĂź=Ă˝ ; (1-23), ĂŠ x = p p ¡ ¡ ¡ p ç x Â&#x2022;2puÂ&#x2014; Ăł m , Â&#x201D;az S(x) Â&#x2022;ŠĂ&#x20AC; ĂŽ=Â?= Îą1 Îą2 1 2

Îąs s

Ă´ ¢ p | S(p ). § Â&#x201E; ¨ S (x) â&#x2C6;&#x2019; 3S(x) â&#x2C6;&#x2019; 1 = mx, p | S(x), p | x, z (1-25)

>9g2Â? Â&#x2122; p | 1, L p > 1 . Â&#x2014;ZÂ&#x2DC;dÝâß Ă˝ ; (1-23)O=Ă° ò O MANEG H I Ăł x = 1. L ÂŤ2}A~ 1.2.25.

1.2.26 p! Q Ă&#x17D;EĂ?QĂ?#"A% . $ p = 2, Ă&#x17E; Ă&#x;Š354 (1-24)% Ă&#x201D;=! # %EĂ&#x2022; ; $ p = 3, Ă&#x17E;dĂ&#x;23 4 (1-24)Ă&#x201D; =Ă&#x201D;& äA! # %EĂ&#x2022; x = 9; $ p = 5, Îą

18

3

M Smarandache 2I ' 3A4 (1-24)Ô( EÔ*) ä !Q#=% Õ x = 1, 5; $ p = 7, ' 3A4 (1-24)Ô =Ô+)5äA! # %EÕ x = 21, 483. $ p ≥ 11, Þdß23 4 (1-24)Ô =Ô& ä !=#Av9% w Õ x = A p(p − 4). 6 7 : , p = 2, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ¾ ç ý ; (1-24) ó . é x ≥ 8J K=ý ; (1-24), S(x) = S(p ), az p | x, p | S(x)q S (x)− 5S(x) + 2 = x Q ¨ p | 2. Z p = 2. é x = 2 · y q S(2 ) = 2m (m ≤ α), α 1

1

1

2

1 α

1

α

4m2 − 10m + 2 = 2α · y.

(1-26)

, -&.0/ 1 α = 1, 2, 3, 4, 5¾ J=K ý ; ý ; (1-26). _ ` α ≥ 5, § ¨ m ≤ α − 1, = ¨ x = 2 · y ≥ 2 > 4(α − 1) − 10(α − 1) + 2 ≥ 8 p = 2 : , ý ; (1-24)2 OEG H=I ó .

4m − 10m + 2. Z 8 p = 3 : , x = 1, 2, 3¾ JQK ýE; (1-24). é x ≥ 4JQK ýE; (124), S(x) = S(p ), z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + 3 = x, = O p | 3q p = 3. é x = 3 · y q S(3 ) = 3m, r s α

2

α

2

α 1

1

1 α

1

2

1

α

9m2 − 15m + 3 = 3α · y.

(1-27)

-(. / 1 α = 1, 3, 4, 5¾ J KEý=; (1-27), 3Qç 8 m = 2q y = 1 : , α = 2 J K=ý ; (1-27). α ≥ 6, r s m ≤ α − 1, O x = 3 · y ≥ 3 > 8 p = 3 : , ý ; (1-24)O 9(α − 1) − 15(α − 1) + 3 ≥ 9m − 15m + 3. Z ð ò O MANE8G H=I ó x = 9. û ~ , p = 5 : , d /ju Eýd; (1-24)OtðaòdOtndN G HtI ó x = 1q x = 5. p = 7, rus x = 1, 2¾ JQK ýE; (1-24). é x ≥ 3JQK ýE; (1-24), S(x) = S(p ), /z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + 7 = x, Q u p | 7q p = 7. é x = 7 · y, S(7 ) = 7m, r sAO α

2

2

α 1

1

α

1

α

1

é α = 1, N9G=H IEó . . é α = 3,

2

1

α

72 m2 − 35m + 7 = 7α · y.

q

5 ç ý ;

û :

(1-28)

M

ç

m = 1 y = 7 − 4 = 3. x = 21 (1-24) α = 2, m = 2 4p − 9 = py. p | 9, p ≥ 7 2 m = 3 63 − 14 = 7 y. y = 1. , x = 73

q

q

19

¬AóE E­¯® ô=° R=± ýu; (1-24) 4uM NdGQH Iuó . 8 α ≥ 4 : , § ¨ m ≤ α − 1, u O 8 x = 7 · y ≥ 7 > 49(α − 1) − 35(α − 1) + 7 ≥ 49m − 35m + 7. Z p = 7 : , ý ; (1-24) O=ð ò O=n NEG H=I ó x = 21 q x = 483.

8 p ≥ 11 : , rQs x = 1, 2¾ J KEý=; (1-24). é x ≥ 3 J KEý=; (124), S(x) = S(p ), rQs z p | x, p | S(x) q S (x) − 5S(x) + p = x, = p | p q p = p. é x = p · y, S(p ) = pm, r s Smarandache

α

2

α

α 1

1

2

1

2

1

α

1

α

p2 m2 − 5pm + p = pα · y.

(1-29)

α =6 1,7 m = 1 q y = p − 4. Z x = p(p − 4) ý § ; (1-24) 2MAN G H=I ó . α = 2, 3 ¾AJ K=ý ; (1-29). α ≥ 4, ¨ m ≤ α−1, = 8 x = p · y ≥ p > p (α − 1) − 5p(α − 1) + p ≥ p m − 5pm + p. © p ≥ 11, ý ; (1-24)O ð=ò OEM NQGAH I ó x = p(p − 4). L ¥ < «2}A~9 Z .

1.2.8 ²´³ F.Smarandache µd¶¸·+57698 ¤ B u ;: OS(n)<>=+?>@ [1, n] ¢ S(n) ªQo9I GQH I n N I ; ES(n) <A=B?A@ [1, n] ¢ S(n) ªdi I GdH I n N I . B ùtú [9] ¢ , Kenichiro Kashihara ¼=½ C>D «Z 9 E­¯®> α

α

2

2

2

2

ES(n) n−→∞ OS(n) lim

ç ?A@ B ? _=` @ B , fE} ô EGF . Á AL M ­¯® , ê H I J 2 O Ä ]Q^ , ê=ë 2 O KE¨AÅ O Á ý L ! EM ù N . O ÆQP ÈdQ R=É çAÊ- ËZ «Zç 9 E ÍQ: ¿Eý ]9^ L Mt­Z® , ï= ¨ Eó 1.2.27 Q !=#A% n > 1, S T Ô U V Ó ES(n) =O OS(n)

v"w

1 ln n

.

xdy+WYX+Z\[ ES(n) \] . 8 n > 1 : , é n = <^= n ;_*`A ó/m , r/s¸z I S(n) }tí À î

: α1 α2 p1 p2 · · · pαr r 20

M :

é

Smarandache

S(n) = S (pαi i ) = m · pi .

M = ln n,

ç W X O

m = 1, X

ES(n) =

k≤n 2|S(k)

X

kpα ≤n

X

1 ≤

M 2

1

X

1.

(1-30)

kpα ≤n

αp>M, α≥2

X

1

kpα ≤n

αp>M, α≥3

2p>M

M 2

X

√

<p≤ n

X

√ <p≤ n

X

k≤ pn2

n + p2

X

1+

pα ≤n

αp>M, α≥3

X

pα ≤n αp>M, α≥3

n pα

n + ln n

X n n + + α ln n √ p

n n n n + √ +

. ln n 2 M −1 M ln n

√ p≤ n αp>M, α≥p

n + pα

p≤ n √ α> M

p≤M

1

k≤ pnα

X

X

X

√ p≤ n αp>M, 3≤α<p

X

√ p≤ n √ p> M , α≥3

n pα

n pα (1-31)

m/¢ &4 M;d W X+e Ê fd °/ ZY[ ý . d : g R ç <>=9¾(g Å h uH I E Q JEK AG HQI k, é S(k) = S(p ),

(1-30) h i, M p ≤ M , α(p) = p−1 , α(p) Y u= pα(p) .

S(k) ≤ M

puI é

n = 2.

k≤n S(k)=S(pα ), α≥2

1+

1+

ª oEI , a b

X

S(k)≤M

kp2 ≤n

≤

z

S(n) = pi

6 7 O (1-30) m9¢ c d ,

αp>M, α≥2

a

1≤1+ X

≤ 1+

¤ B W X Z [

r s

2I

M p−1

.

α

} í M }=O p |M !, Ã i , α ≤ p ≤ p M− 1 . £ ©£QOQJ K S(k) ≤ M AG HQI k MQ} H>a u j5£EOELEÚ k 5 NQIQ¾ k gQÅ u AG I9 ZN=I , g#R=ç d(u). £a lW X O

∞ X M

α

S(k)

j

j=1

X

S(k)≤M

1 ≤

X d|u

1=

Y

p≤M

(1 + α(p)) =

Y

p≤M

1+

M p−1

21

ÂŹAĂł L Â&#x2022;E­¯Ž Â? Ă´=° R=Âą

Smarandache 

ô ¢

= exp 

X

ln 1 +

pâ&#x2030;¤M

M pâ&#x2C6;&#x2019;1

exp(y) = ey .

,

(1-32)

[3])

X M M Ď&#x20AC;(M ) = 1= +O ln M ln2 M pâ&#x2030;¤M X

ln p = M + O

pâ&#x2030;¤M

Â? Â&#x2122;

§ Â&#x201E; ¨

M = ln n,

z

M ln M

X

M M ln 1 + â&#x2030;¤ ln 1 + pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2030;¤M pâ&#x2030;¤M

X 1 = ln (p â&#x2C6;&#x2019; 1 + M ) â&#x2C6;&#x2019; ln p â&#x2C6;&#x2019; ln 1 â&#x2C6;&#x2019; p pâ&#x2030;¤M X X 1 â&#x2030;¤ Ď&#x20AC;(M ) ¡ ln(2M ) â&#x2C6;&#x2019; ln p + p pâ&#x2030;¤M pâ&#x2030;¤M

M ¡ ln(2M ) M M = =O . â&#x2C6;&#x2019;M +O ln M ln M ln M X

(1-32)

Â?

X

(1-33)

S(k)â&#x2030;¤M

mA>=ÂŚ Â&#x2122; ¨0Z [=m

c ¡ ln n 1 exp ln ln n

Ă´ ¢ c§ AÂŞ M=G pAI .c ¡ ln n n Â&#x201E; ¨ exp ln ln n ln n , Â&#x201A; ç rq Â&#x17D;>DsZ [=m : ES(n) =

22



zÂŻp I }A~9Â&#x2022;Šn m=l=m (; n oŠÚ Ăş [2]Â?

Â?

6 7

X

kâ&#x2030;¤n 2|S(k)

OS(n) + ES(n) = n,

ÂŁa z Â&#x201C; m Â? Â&#x2122;

:

,

Â?

(1-34)

(1-30), (1-31) (1-34)

n 1=O . ln n

:

(1-33)

mA>=ÂŚ

M Ã i

Smarandache

2I

OS(n) = n − ES(n) = n + O

n . ln n

n

ES(n) 1 ln n n =O = .

OS(n) ln n n+O ln n . :

O

ç ¥ < «2}A~9 Z

z E}A~ W X >=¦ ¨A 9 t u 1.2.27 Q !=#A% n, S T Ô v>w

ES(n) = 0. n−→∞ OS(n) lim

1.2.9

xAy{z7|9}/÷7~"¶¸·a÷/ø

B Æ Ç Èd¢ , ª ý & @ W X 7 a(n)` <&= n # Eý EI , = Í ¿=ý t EM OEÁ tb =c=e E ]Q^9«©M =ý I IEý ;a óQÀ , ï \ E«r ý ;EOECuD Û FQG HQI ó . g0RQç \ « 9 : 1.2.28 m 35% , Þ ß| Q !=#A% k ≥ 2, 354 a(n1 ) + a(n2 ) + · · · + a(nk ) = m · a(n1 + n2 + · · · + nk )

ÔE) + ,5. !=#A% Õ (n , n , · · · , n ). : ÆEùQ} ~d¢= m6=7( O EÀ , Q M Ød G HEI m, =ý ; çE?=OECuD Û FQG HQI ó çEM=NG u­Z® . = Q G HQI r > 2, W Xdû Ú= Y r ¡0¢ =I a (n) ¯ = G H=I k > 1, ý ; : 1

2

k

r

ar (n1 ) + ar (n2 ) + · · · + ar (nk ) = m · ar (n1 + n2 + · · · + nk )

ç ? MAO I r£0¤ ? U V O WAX ZY=[ q W X M0¥ ¦ §AR ¨ ]Q^

!

23

A¬ ó L E­¯® ô=° R=± v w : W X= =Í ¿=ý \ =OEÁ tb =c=e 0£ ¤ © ¥=<E} ~ \ ± : . ª(ª Qý , LQì W X « ¬ ­ ®u}=~ E{ p I }=~d £ ¤ ¯* ° iuI 2N ³ ^ < = < 2N = p + ¡p [ ¬ 2N­&® =}Qp ~ +: p 9p 9, ô MQ¢ N p²(, up , p ªA¾ ûA 2p I . {Ep IE} ~ : M N ² = 2o=I ³ + l< = < {=N o p I ´ q . g#R=¤ç 2N + 1 = p + p + p , ô ¢ p , p p ª o=p I .

B*W+X µ a6 ¶7 naN*·tÊA£>¤+©t¥t<\WYX }d~" & { . z a(n) } í aÀ î O a(p ) = p , a(p p ) = p p , a(n p) = p, L=ì p, p p ªA¾ ûA 2p I . z¯ m ª ¥ ¸ =ý I;jZ£+ =é m = µ , W X T ¤ 8 k 2¾ ûl¹ _=º ` . (i). k = 2: , µ ª o I;j2 µ p ª o I;j 2µ p ª i I;j2 çaz 8 ¬ ­ ®9} ~ 2µ pKQ d: O 2µ p = p + p ¡ [ 2µ p¡ = p + p p , ô/¢ p , p , p ª ¾ û =puI . 9çu n = p , n = p [ n = p , n = p p , AO Smarandache

1

2

1

2 3

1

1

2

2

3

3

1

2

1

1

3

1

1 2

2

2

2

2

1

2

2

1 2

2

2

2

1

3

1

2

2

1

2

1

2

2 3

1

1

2 3

µ2 a(n1 + n2 ) = µ2 a(2µ2 p) = µ2 · 2p = n1 + n2 = a(n1 ) + a(n2 ).

z p ª ² = 5p I , £\ (n , n )O=CQDEÛAF . g0» ý ;=O=CQDEÛ F=G H=_9I ` ó (n , n ). Z , }A~9 r£0¤=ç=G f .

8 µ pKu 9 µ ªEiuI , µ p ªEiuI . û ÚÌz ¬ ­&® }Q~u 9 : ,O µ p = p + p ¡ [ µ p = p + p p . i O 1

1

2

2

2

2

¡ [

1

2

2

2

1

2 3

µ2 a(p1 + p2 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 = a(p1 ) + a(p2 )

µ2 a(p1 + p2 p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 p3 = a(p1 ) + a(p2 p3 ).

©g 9:2ý ; 8 O CED F=G _EH=` I ó . k = 3: , µ ª o I , (ii).

AK = 9 ©o=p I pO µ p = p + p AO 2

1

ª o I . ç z¯{Qp=IQ} ~E n =p ,n =p ,n =p ,

µ2 p 2 + p3 ,

1

1

2

2

3

µ2 a(n1 + n2 + n3 ) = µ2 a(p1 + p2 + p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 + p3 = a(n1 ) + a(n2 ) + a(n3 ).

24

3

M Smarandache 2I _ ` µ ªQi9I , µ p ªQi9I . 9ç"z ¬&­(®d} ~9 K9 =p I pO µ p = 2 + p + p ¡ [ µ p = 2 + p + p p . i O 2

2

1

2

2

1

2 3

µ2 a(2 + p1 + p2 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 )

¡ [

µ2 a(2 + p1 + p2 p3 ) = µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 p3 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 p3 ).

g© 9:2ý ; 8 QAO CED F=G H=I ó (n , n , n ). (iii). k > 3 : , W X n m ¹ º T ¤ : Q _ ` 8 k ª oEI :&j5 (² E d p (a) µ ª oEI , µ p ª oEI . Eç I p, µ pQ K E , z¯{Qp=IQ} ~ ( ¼ElEmQª; 5é k ≥ 3 ª o I , E ²& t Ao IG³Q A #<;=Q< k NuoupQI&´ q )¾ ½9 9¨ µ p = p + p + · · · + p . i O 1

2

3

2

2

2

1

2

k

µ2 a(p1 + p2 + · · · + pk )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = p1 + p2 + · · · + pk = a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk ).

: n = p , n = p , · · · , n = p ï § Ep=I p E À g Q¨ W X 5}A_E~ .` 8 µ pK E : ûZÚ z¯{Qp=IQ} ~ 2 ¼ElEm -(. k ª i I , ¨ µ p = 2 + p + p + · · · + p . çAO 1

1

2

2

k

k

2

2

1

2

k−1

µ2 a(2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

n =7 2, n = p , · · · , n = p >E¦ Q¨ } ~ £ ¤ . Q REç P : ý ; ¾ _dO ` CED F=G H=I ó (n , n , · · · , n ). 8 (b) µ ªui I , µ p Qaªui I . ç k ªui I : , +² µ p, é µ p = 3 + p + p + · · · + p . i O 1

2

1

k

k−1

1

2

k

2

2

2

1

2

k−1

µ2 a(3 + p1 + p2 + · · · + pk−1 ) 25

Smarandache

¬Aó L E­¯® ô=° R=±

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 3 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(3) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

_=` k ª o I , 8

µ2 p

K = u:2 =é

µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 ,

µ2 a(2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 )

= µ2 a(µ2 p) = µ2 p = 2 + p1 + p2 + · · · + pk−1 = a(2) + a(p1 ) + a(p2 ) + · · · + a(pk−1 ).

Q R=ç PA 9 :2ý ;dû Ú O CED F=G H=I ó (n , n , · · · , n ). £rq+ c m ¹ º R ¥ < «2}A~9 > .

1.3 ¿ÁÀ Smarandache ÂÄÃÆÅÈÇÆÉµÊ ËsÌ 1.1: Í n > 1 n 6= 8 Î , Ï Ó X 1 ÑrÐ(Ñ Ò ÓA% 1

ËsÌ

1.2:

d|n

ÔGÕ 354

X

2

k

S(d)

.

S(d) = φ(n),

d|n

Ð Ð Õ Ö , × Ø Ù ÚE354 ÐrÛ Ô Ò ÓA% Õ , Ü à φ(n)! Euler- Ý % . Ë#Ì 1.3: Þ OS(n)ß à\á â [1, n] à S(n) ã äaÐrÒ&Ó ä n Ð ä ä , ES(n)ß(à>á0â [1, n] à S(n) å ä Ð Ò Ó ä n Ð ärä . ÔGÕ(Ýlä OS(n) Ï ES(n) Ðsæ>ç Örè . ËsÌ 1.4: é;êr rë Ð Ò Ó ä m, ì í a(n1 ) + a(n2 ) + · · · + a(nk ) = m · a(n1 + n2 + · · · + nk )

!>î Ô;ï>ð ñ ò Ò(Ó äuÕ . Ü à a(n)ß>à n Ð Gì ó ä . é+ê0ô õ Ò(Ó ä r > 2, S T* ÷ö ÐGø#ù ú r û ü ó0ä a (n) ø ý ô&õ0Ò Ó ä k > 1, ì í r

ar (n1 ) + ar (n2 ) + · · · + ar (nk ) = m · ar (n1 + n2 + · · · + nk )

!(î0þAÔ&ÿ Ð 26

.

SL(n)

SL(n)

! " SL(n) # $ &%('*),+ - . /1032 , 465 7 + 8 9 : ; #=<1> . ? @ ,A B6C D E F SL(n) G#IH6JLK M

SL(n) = N#IO P Q R&# S T % ' . U V , B C*W*D*XY-*Z [L\ Smarandache SL(n) # - ] ^*%_' .

2.1 `ba c(d 2.1 é ô&õ eIf(g n, Smarandache LCM SL(n) h(i"j k l # m(n k, oI7 n | [1, 2, · · · , k], p q [1, 2, · · · , k] r"s 1, 2, · · · , k #tk l u v . w x y \ SL(n) 6# - ] z { | } . ~ 2.1 ô&õ= eIf(g n,

SL(n) = max {pαi i } .

(2-1)

1≤i≤k

, SL(pα ) = pα .

~

2.2

ô&õ( (g

p,

SL(p) = S(p) = p.

~

pαi i ,

2.3

n = 12

(2-2)

n = pα1 1 pα2 2 · · · pαr r p

SL(n) = S(n), S(n) 6= n,

1 * ( g ,

eIf(g .

p1 , p 2 , · · · , p r , p i = 1, 2, · · · , r

α1 , α 2 , · · · , α r

(2-3)

* (

p>

SL(n) ¡ £¢

2.2 2.2.1

c ®

¤N¥ 2.2.1

¦*§ ¨*©,ª¬«G­ ¯ k ≥ 2 °(±1²6 e=fIg , Y ³ ´ *µ ¶6·6 1¸tg

SL(n)

x > 1, 27

Smarandache

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă Â?*Â&#x17D;

X

nâ&#x2030;¤x

k

X ci ¡ x 2 Ď&#x20AC; 2 x2 SL(n) = ¡ + +O 12 ln x i=2 lni x

° Ă&#x201A; Ă&#x192;"Ă&#x201E;" (Ă&#x2026; g .

Ă&#x2020; U"h(Ă&#x2021; Ă&#x2C6;*K_Ă&#x2030; \ w x # Ă&#x160; Ă&#x2039; 2.2.1 Â&#x20AC; Âś=¡6¸_g x > 1, Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă

x2 lnk+1 x

,

ci (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , k)

Ď&#x20AC; 2 x2 SL(n) = ¡ +O 12 ln x nâ&#x2030;¤x X

c ÂŽ

2.2.2

Â&#x20AC; Âś=¡ eIf(g

x2 ln2 x

.

Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă

n,

ln n n SL(n!) = 2 + O . n

B C ! h(Ă&#x2021; 2.2.2 #Â&#x152;Ă&#x152; Ă?"Ă&#x17D; Ă? Ă?IĂ&#x2018;IĂ&#x2019;1Ă&#x201C;Â&#x201A;Ă&#x201D; Ă&#x2C6; 7 Ă&#x2022;

Ă&#x160; Ă&#x2039; 2.2.2 Â&#x2C6; n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; Â&#x2039; , Â&#x192; Ă&#x2013; Ă&#x2014; Ă ln(SL(n!)) lim [SL(n!)] = 2 Ă&#x2DC; lim = ln 2. n 1 n

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

c ÂŽ Â?*Â&#x17D; Ă

2.2.3 X

nâ&#x2030;¤x

Îś(s)

cIÂŽ

Â&#x2022;

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Â&#x20AC; Âś=¡6¸_g

x > 1,

2 (SL(n) â&#x2C6;&#x2019; P (n))2 = ¡ Îś 5

28

5 x2 5 ¡ +O 2 ln x

5

x2 ln2 x

!

,

Ă&#x161;Ă&#x2122; g , P (n) Â?ÂťÂ&#x2018; n  Ă&#x203A;ÂťĂ&#x153;Â&#x201A;Â&#x2021; Ă?Ă&#x161;Ă&#x17E; . Âś1¡ ¹² e"f g k, Ă&#x; Â&#x20AC; Âś1¡ ¸Â&#x152;g x > 2, Ă ĂĄ Â&#x192;"ž"Âż Ă&#x20AC;

Riemann zeta2.2.4

2 [SL(n) â&#x2C6;&#x2019; S(n)]2 = ¡ Îś 3 nâ&#x2030;¤x X

Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă

k X 3 3 ci ¡ x2 ¡ +O i 2 ln x i=1

3

x2

lnk+1 x

!

,

â ã ä *

ζ(s)

c ®

Riemann zeta-

éëê

2.2.5

X

ÙÚg

å æ

SL(n)

ç è Â Ã"ÄIÅ g

, ci (i = 1, 2, · · · , k)

SL(d) = n

ì(í *î ï eIf(g ð

.

n = 1, 28.

d|n

»ñ6×Iò ï ð , ó n = 1, 3 k ¶6· e=fIg , α = 0, 1 2, ì 2 < p < · · · < p 2 p p ···p , ô tõ ë (g .

2.2.2 ¤N¥ SL(n!) ¦*§Nö ¨ ÷bø ù ® 2.2.1 ¶=· eIf(g n > 1 ú" n = p p ...p ° n û=ü ó ð Á , 6ý þ=Á cI®

é ê

2.2.6

X

S(d) =

d|n

α

1 2

k

X

SL(d)

d|n

1

k

αk k

α1 α2 1 2

SL(n) = max {pαi i }.

(2-4)

1≤i≤k

ÿ : [4]. ù ® 2.2.2 µ ¶»·(±=²» ë g pØIe f g n ≥ 1, n p ( »Á ° n = a p + a p + · · · + a p ì α > α > · · · > α ≥ 0, 1 ≤ a ≤ p − 1 (i = 1, 2, · · · , s), ¯ a(n, p) = X a 6ý þ=Á 1

α1

2

α2

s

αs

s

s−1

1

s

i

i

i=1

αp (n) = α(n) =

*

[x]

ÿ

» :

+∞ X n i=1

Û»ÜteIf(g [x] # | } È x

pi

=

1 (n − a(n, p)), p−1

.

n a1 pα 1 + a 2 pα 2 + · · · + a s pα s = pi pi  P s  aj pαj −i , αk−1 < i ≤ αk = j=k  0, i ≥ αs .

I> I>

29

Smarandache

U Îą(n) â&#x2030;Ą =

+â&#x2C6;&#x17E; X n

pi i=1 Îąj s X X j=1 k=1 s X

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

+â&#x2C6;&#x17E; X a1 pÎą 1 + a 2 pÎą 2 + ¡ ¡ ¡ + a s pÎą s = pi i=1

aj pÎąj â&#x2C6;&#x2019;k =

s X j=1

Îąj

aj (1 + p + p2 + ¡ ¡ ¡ + pÎąj â&#x2C6;&#x2019;1 ) s

1 X p â&#x2C6;&#x2019;1 = aj ¡ = (aj pÎąj â&#x2C6;&#x2019; aj ) pâ&#x2C6;&#x2019;1 p â&#x2C6;&#x2019; 1 j=1 j=1 =

1 (n â&#x2C6;&#x2019; a(n, p)). pâ&#x2C6;&#x2019;1

Ă&#x2021; 2.2.27 . c ÂŽ 2.2.7 Â&#x20AC; Âś=¡ eIf(g

Ăż

Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă

n,

ln n n SL(n!) = 2 + O . n

:

n! = pÎą1 1 pÎą2 2 ...pÎąk k

j

n!

# ! 9 S=Ă&#x17D;

.

Ă&#x2021;

2.2.2,

SL(n!) = max {pÎąi i } = pÎą .

Ì " # y h #$ è pM1m n=è n, => U=V , !

A 1â&#x2030;¤a a p % Îą >Îą > ¡ ¡ ¡ > Îą â&#x2030;Ľ 0, Âź &( a(n, p) = X a . Ă&#x2021; 2.2.2M [5], 1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤k

s

Îąs

s

1

sâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x17E;

i

n = a 1 pÎą 1 + a 2 pÎą 2 + ¡ ¡ ¡ + â&#x2030;¤ p â&#x2C6;&#x2019; 1 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s),

i

i=1

ĂŚ

Îąp (n) â&#x2030;Ą Îą(n) â&#x2030;Ą

â&#x2C6;&#x17E; X n

pi

=

1 (n â&#x2C6;&#x2019; a(n, p)). pâ&#x2C6;&#x2019;1

Ă&#x17D; '6Ă?)(+* , - -/. Ă&#x201C;10 , =

j32 n è k 4 5 p16ITIĂ&#x17D; (2-5) Ă&#x201D;17"j i=1

(2-5) k+1 p ,

Îą=

8

(2-4)

Ă&#x17D;(M

(2-5)

Ă&#x17D; Ă&#x2C6;

â&#x2C6;&#x17E; X n i=1

pi

SL(n!) = pÎą = p 30

=

s X n i=1

nâ&#x2C6;&#x2019;a(n,p) pâ&#x2C6;&#x2019;1

pi

=e

,

nâ&#x2C6;&#x2019;a(n,p) pâ&#x2C6;&#x2019;1

ln p

.

(2-5) pk â&#x2030;¤ n <

â ã ä

9 [6]7

å æ

s X n

: 9 [5]

i=1

pi

α(n) =

4 % a(n, p) =O p−1

ln n ln p

.

1 (n − a(n, p)), p−1

8 Ç

α(n, p) = α(p) =

< V , ! = ->. α H

ç è

s X n n < = , i p p−1 i=1

a(n, p) ≤

; K

SL(n)

p ln n, ln p

2.2.2

s X n

pi

i=1

7

n = +O p−1

,

ln n ln p

,

i

n αi = α(pi ) = +O pi − 1 n +O pi −1

?

pαi i = pi

@ # Õ ,A

pαi i = e pi −1

pi

n ln pi

<p B

ln n ln pi

+O(ln n)

ln n ln pi

,

.

j

ln pi ln pj < . pi − 1 pj − 1

C D ? , Î A , A p = 2 B , 2 = 2 2 = 1 + O(x). æ ) - 9, G1 HtÈ 7 α(2)

i

n n+O( ln ) ln 2

x

SL(n!) =

k E . @ # Õ+A xF l B

max pα(p)

2≤p≤n

= 2α(2) = 2 2−1 +O( ln 2 ) n

ln n

= 2n+O(ln n) h in O( lnnn ) = 2·2 31

š(S"º# _% ' M Ÿ ^ XI½

Smarandache

=

2+O

ln n n

n

ĂŚ - I1 B C7 ! + (h Ă&#x2021;6#J H . h Ă&#x2021; 2.2.7 #Â&#x152;Ă&#x152; Ă?"Ă&#x17D; Ă? Ă?IĂ&#x2018;IĂ&#x2019;1Ă&#x201C;Â&#x201A;Ă&#x201D; Ă&#x2C6; 7 Ă&#x2022; ( Ă&#x160; Ă&#x2039; 2.2.7 Â&#x2C6; n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; Â&#x2039; , Â&#x192; Ă&#x2013; Ă&#x2014; Ă Ă&#x2DC;

1

lim [SL(n!)] n = 2

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

¤N¼

2.2.3

ln SL(n)

.

ln(SL(n!)) = ln 2. nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; n lim

ÂŚ*§Â&#x161;¨ K&Ăś

Ăš ÂŽ 2.2.3 Â&#x20AC;"Âś6¡ e=fIg n > 1, L n = p p ¡ ¡ ¡ p Â? Â&#x2018; n  Ý6Ăź Ăł Ă°6Ă , 3 Îą â&#x2030;Ľ 2, Îą â&#x2030;Ľ 2, ¡ ¡ ¡ Îą â&#x2030;Ľ 2, Ă ĂĄ6Ă&#x; M N1O* n ° Ăą P=ĂŠ*Ă?tĂ&#x17E; g . L A (x)Â?ÂťÂ&#x2018; Â&#x2019; x  Íù1P ĂŠ Ă?Ă&#x161;Ă&#x17E; g  QJR , Ă&#x;ĂŤÂ&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă Îą1 Îą2 1 2

1

2

Îąs s

s

2

1

Îś( 32 ) 1 Îś( 23 ) 1 3 â&#x2C6;&#x2019; 15 5 2 3 6 x + x + O x exp â&#x2C6;&#x2019;C log x(log log x) A2 (x) = ,(2-6) Îś(3) Îś(2)

Â?*Â&#x17D;

C>0

Â&#x2022; Ă&#x2026; g

.

Ăš ÂŽ 2.2.4 p Â&#x2022; Âś=¡(Â&#x2021;(g ĂĄ Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă X

,k

Â&#x2022; Âś=¡ eIf(g . ĂŤĂ&#x; Â&#x20AC; Âś=¡6¸_g

ln p = x ln x + O (x) .

pkâ&#x2030;¤x (p, k)=1

Ăż : S T è h(Ă&#x2021;6# U . V # WIĂ&#x17D; , B C X ln p kâ&#x2030;¤x

0

X kâ&#x2030;¤x

= ln x + O (1) ,

x ln p = x + O ln x

X ln p kâ&#x2030;¤x

32

p

p2

=D+O

1 ln x

,

x â&#x2030;Ľ 1,

Ă

â ã ä Ÿ A D

- Ă&#x2C6;1X Y ĂŤ# u m1Z(è 9, G Ă&#x152; Ă? Ă&#x17D; Ă&#x2C6; 7 X

ln p =

ĂĽ ĂŚ

=

X

X

ln p

X

= x

1

kâ&#x2030;¤ x p

(p, k)=1

ln p

pâ&#x2030;¤x

x x â&#x2C6;&#x2019; 2 + O (1) p p

X ln p pâ&#x2030;¤x

p

â&#x2C6;&#x2019;x

X ln p pâ&#x2030;¤x

= x ln x + O (x) .

pIĂ&#x201D;1I17 + Ă&#x2021; 2.2.4 #J H c ÂŽ 2.2.8 Â&#x20AC; Âś=¡6¸_g X

ç è

.

pâ&#x2030;¤x

pkâ&#x2030;¤x (p, k)=1

SL(n)

p2



+O

X pâ&#x2030;¤x



ln p

. x > 1,

Ă (ĂĄ Â&#x192;IžIÂż Ă&#x20AC; Ă

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

nâ&#x2030;¤x

Ăż[

S T

\

] ^ B6C _ ` X

# , a . b ( , , S T F.Smarandache LCMĂŚ ç è SL(n) #(hIi : ! " # m n=è n, SL(n) â&#x2030;¤ n 0 ln SL(n) â&#x2030;¤ ln n, :

U(n) =

X

ln SL(n).

nâ&#x2030;¤x

X

Ă&#x2018; 0 u Ă&#x17D; , B C1c ? 7 Ă&#x2022; nâ&#x2030;¤x

Euler

U(n) â&#x2030;¤

ln SL(n) â&#x2030;¤

X

X

U(n)

ln n.

nâ&#x2030;¤x

ln n = x ln x â&#x2C6;&#x2019; x + O (ln x) = x ln x + O (x) .

(2-7)

d ? BNCe_e` X U(n) # w a . ! "f# mGnLè n > 1, \ n = 9 S Ă&#x17D; , BÂťC/g [1, n] 9 71Ă? ./h/i A 0 B. p p ¡ ¡ ¡ p r s n # 3 A ;I m(n è n. ? Ă&#x201D; - , A A r"s [1, n] 4 5 Îą â&#x2030;Ľ 2 (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s) # Îą1 Îą2 1 2

nâ&#x2030;¤x

Îąs s

i

33

¹(S"º»# %_' M ¼ ^ XI½ A ;" square-fullè ; B r»s n ∈ [1, n] A j æ h i A ë# ¼ r» s [1, n] # k m nIè n. æ - È 7 Smarandache

U(n) =

Ç

X

ln SL(n) +

n≤x n∈A

2.2.3 X

n≤x n∈A

M h1i A ë# h(i , B C X

ln SL(n) ≤

n≤x n∈A

ln n ≤

X

ln SL(n).

n≤x n∈B

X

n≤x n∈A

= ln x · A2 (x)

ln x = ln x √

X

1

n≤x n∈A

x ln x.

(2-8)

d ?

B C1_1` X h1i B ,6#J0 Î . æ SL(n)=max{p , p , · · · , p }, ; K ! "l# n ∈ B, - h

m ? - . *è p4)5 p|n% p † n. "U , SnT SL(n) ç»è&#1h i , B*C SL(np) ≥ p. U B C1c ? È 7 α1 1

α2 2

αs s

2

Ç < i

X

ln SL(n) =

n≤x n∈B

2.2.4

(2-7)

0

M

X

np≤x (n, p)=1

ln SL(np) ≥

X

ln p.

(2-9) X ln SL(n) ≥ x ln x + O (x) .

(2-10)

n≤x n∈B

B C1c ? 7 Õ Ì Í u Î

(2-10) X

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

n≤x

pIÔ1I17 + h(Ç6 #J H . w x

B

C o Ê U"Ë h(Ç È*KÚ7 Õ # Ì Í u Î , ? Ô 2.2.8 ¶=·6¸_g x > 1, à(á I¾I¿ À Á * 34

X

ln S(n) = x ln x + O(x),

n≤x

S(n)

»

Smarandache

ÙÚg

.

(2-9)

np≤x (n, p)=1

:

â ã ä ¤ ¥ N s t 0 Î

SL(n)

2.2.4

å æ

SL(n)

ç è

¦*§ ¨ prq X

1 , SL(d)

(2-11)

rYs ! n # ;* m[ !*Ñ 0 , B C+u d ")v - . m6n è n > x o (2-11)Î 7"j nIè . æ - B C [ \ K w : 1 % n 6= 36 w y z { n = 1, 36| , }( ¶ ~ / e"f g n, (2-11) Á$ 1° ï(f(g ? . / C D . -=m1 # . @ *#$ ; x +H k , B

o $ "

p # - ? 0»; 2 p .Yw %Úx ' , 4 % nH ! æI- ] O P # m(n è n, p . - m> # # . H c=® 2.2.9 ¯ n = p p · · · p n û üIó»ð*Á (N3 p < p < ß 3 1 e 6 . · · · < p ). α = 1, > æ " # m n"è n > 1, n = p p · · · p j n # 9 S ÿ :! 1

Î , S T SL(n) # | } d|n

¼ A

X d|n

α1 α2 1 2

αr r

1

1

r

α1 α2 1 2

d ?

2

αs s

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαr r }.

α1 = 1

% n14 5

(2-12)

- >- . m nIè . n = p · n , @ # Õ ! " # d|n % d > 1, SL(p · d) = SL(d), X d|n

1

m =

1

X d|n

=

1 =m SL(d)

X d|n1

1

1

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(p1 · d) d|n1

d|n1

X 1 X 2 1 1 1 + + −1= + − 1, SL(d) SL(d) p1 SL(d) p1 d|n1

n1 · m =

X d|n1

d|n1

n1 n1 · (1 − p1 ) + .

SL(d) p1

(2-13) 35

Smarandache

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

C D ! æ " # d|n , n 0 n · m-In=è , 3- n · (1 − p ) -In=è p (2-13) > . æ - , SL(d) I> α = 1, 1 m$ . c ® 2.2.10 I¶»· f g n > 1, SL(n) ï

g , ß / I e16 . ÿ[ : n = p p · · · p j n # 9 S*Î . > SL(n) - -/. æ -/ è , & SL(n) 1 = p 0 α = 1. n = p p · · · p = n · p . > (2-11) - ->. nIè m, @ # Õ ! " # d|n SL(p · d) = p , 1

1

1

1

1

,

1

1

α1 α2 1 2

s

αs s

α1 α2 1 2

s

1

m =

X d|n

=

X

p"q æ

1.

s

s

s

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(ps · d) d|n1

d|n1

X 1 X 1 1 d(n1 ) + = + , SL(d) ps SL(d) ps

C D ! " # = r s # Dirichlet è ç è .

- Æ È 7 d|n1

1

s

d|n1

d|n1

d(n1 ) n1 (2-14)

d|n1 ,

(2-14)

(SL(d), ps ) =

ps | d(n1 ) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αs−1 + 1).

-> I| , p | α +1, 1 ≤ i ≤ s−1. U B α +1 ≥ p α ≥ p −1. æ - ?Ip + ¡ w p ≥ p ≥ (1 + 1) > p , SL(n) = p .

- Ô H h(Ç 2.2.10. c ® 2.2.11 ¯ p ï

g"ì α °ë¶»·(e f g . n = p , ß / 1e 6 . ÿ : p- >- . è % n = p . s

i αi i

i

ps −1 i

ps −1

s

i

s

s

s

α

α

X d|n

α X 1 1 1 1 1 = = 1 + + 2 + ··· + α i SL(d) SL(p ) p p p i=0

1 + p + p2 + · · · + pα . pα

pα , 1 + p + p2 + · · · pα = 1, (2-15) .

2.2.11 =

j +

- I17Æ h(Ç6#J H \ w / h(Ç È 7 # 36

æ -

(2-15)

- - . n è - È x # . æ

â ã ä Ê1Ë

å æ

SL(n)

ç è

n °"ñ/P é Ý Þ"g ( ¢ ß> 3 e1 6 .

2.2.11 =⇒ p † n), 2

£¥¤

2.2.5

X

S(d) =

d|n

X

SL(d)

n > 1,

ì= 1¶3~ =g

p|n

¨l¦+§f¨

d|n

@ l 6# ;e # - © ª1«IT Q ¬ 0=2 Q R X

S(d) =

X

SL(d)

(2-16)

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k

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SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k } = pj j ,

C)D p ≥ p ≥ α p . =U , ! "l# m n3è n > 1, n° n = w6x D ;6 n > 1 9 j K w/± 2 p p · · · p (2 < p < · · · < p ), ¡ _1² ³ (1) A α = 0, 1, o Ô+-)´ , n = p p · · · p (a) Y

> α = α = · · · = α = 1. n = 2p p · · · p , »& ! n # " # 1! d, S(d) = SL(d), U B Q1R (2c .

16) 7

- . α ≥ 2,

& S(p ) ≤ α p , SL(p ) = p . C1D (b) >1µ Q R (2-16)U B 7 c . αj j

αi i

i i

αk k

α α1 α2 1 2

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k

2

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k

k

k

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i i

αi i

αi i

37

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Smarandache

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X

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d|n1

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X d|n1

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d|n1

S(d) + 2 − 1 +

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X d|n1

X

X

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X d|n1

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X d|n1

S(d),

X

SL(d),

X

S(6d) +

d|n1



S(d) + 4 − 1 +



SL(d) = 11 + 6

S(3d) +

d|n1



d|n1

X

X

S(4d) +

d|n1



3 − 1 +

V ÇIÈI7

X



X d|n1

X

S(12d)

d|n1



S(d) +



S(d) + 4 − 1 +

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X

S(d) =

X d|n1

X



S(d)

SL(d).

Q

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S(d) 0 SL(d) = 4 + 3 SL(d), U B Q R (2-16) 7 3 & ? Q6R (2-16)Ï6Ð m ? ! ¶ · 4 5 S(2 ) ≤ 2α, (3) A α ≥ 3 B , c .

SL(2 ) = 2 > 2α, U B Q R (2-16) 7 ¸ , ; G , Q*R (2-16) )¹»ºl¼ . m nYè*S : n = 1, 2 p p · · · p 2 ), ¼ A 2 < p < · · · < p - $ V #¯I è . p"Ô I 7 + ( α = 0, 1 h(Ç6#J H .

2.3 ½¿¾ SL(n) ÁÀÃÂÅÄ ÆÈÇ 2.1: n > 1ì n 6= 36 "úÊÉ»Á X 1 Â3Ë(°ëeIf(g . d|n

d|n1

1

d|n1

1

d|n1

1

d|n

d|n1

d|n

d|n1

α

α

α

α

1

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SL(d)

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Smarandache

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Smarandache Ă&#x2013;Ă&#x2DC;Ă&#x2014;

Ă&#x2122; Ă&#x161; S â&#x2C6;&#x2014;(n) Ă&#x192; Ă&#x201D; ç*è S (n)-ÂĽĂ&#x17E;lĂ&#x;fĂ ĂĄZâ¼ãĂ&#x153;Ă&#x203A; Ă&#x2C6;¼äÂ?ç Smarandache ç*èĂ&#x153;Ă&#x203A; Ă? Âź Ă&#x;lĂŚĂ&#x2026;Ă&#x203A;/ç+è . ĂŠ ä Â&#x160;+ĂŁlĂŞÂ&#x152;ĂŤ è ĂŹ , k Â&#x2014; Smarandache 6 ç è S(n) ĂĽÂťF Ă&#x201D; ç è Ă&#x203A;ÂŻĂ&#x17E; Ă­ â ĂŁ3ĂŽ Âł , ĂŻ Ă°)ĂŤ ĂŹ ĂĽ ĂŚ1Ăą ç è Ă&#x203A;ÂŻĂ&#x17E; Ă­ Smarandache Ă? ònóþô . Ăś Ă­1â1ĂŁ>á ø>7 Ăš>Ă? Ăş Ăť1Ăź Ă˝$Ăś Ă­ ò Ă&#x203A; óþô ĂĽ F1E Ă&#x203A; Ăž>Ăż . â&#x2C6;&#x2014;

3.1

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3.1

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3.2 2m â&#x2C6;&#x2019; 1 (2m)!! | n.

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S â&#x2C6;&#x2014; (n)

3.1

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n

, S â&#x2C6;&#x2014; (n) â&#x2030;Ľ 2.

n

k,

3.2

S â&#x2C6;&#x2014; ((2k â&#x2C6;&#x2019; 1)!(2k + 1)!) = q â&#x2C6;&#x2019; 1,

k

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3.3

DFE

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3.4

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39

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Smarandache

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DFE

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3.2.1,

n, ( n X 1, Âľ(d)S â&#x2C6;&#x2014; = d 0,

3.2.1

9

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,

.

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 Âľ(n) 1 , = e â&#x2C6;&#x2019; 1, = s n! Îś(s) n n=1 n=1

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Riemann zeta-

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â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014; (n) n=1

40

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Smarandache

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X

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,

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3.2.2

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,

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DFE

n=1

ns

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G

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.

,

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â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; Ď&#x20AC;2 X Ď&#x20AC;2 X Ď&#x20AC;2 1 1 = + + , 4 m=1 ((2m + 1)!!)2 3 m=1 ((2m)!!)2 8

â&#x2C6;&#x17E; X S â&#x2C6;&#x2014;â&#x2C6;&#x2014; (n)

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; Ď&#x20AC;4 X 1 Ď&#x20AC;4 X 1 Ď&#x20AC;4 = + + .

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n=1

Â&#x2039;

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Riemann zeta-

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n=1

n2

n4

3.2.4

& @ # ( Ă !Ă&#x201A; n,

X

S â&#x2C6;&#x2014; (d) = n.

(3-1)

d|n

41

Smarandache

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d|n

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Ñ Ò X S (d) = n ÓÕÔ×Ö ØÚÙ&Û Ü Ý&Þ °&± ²&z ³ ß@à á;z { ∗

3.2.2

d|n

X

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, S ∗ (n)

.

.

3.2.6

X

S ∗ (d) = n.

C ½(Ç&C È9I# ( É ô.õ ö@÷#ø ù æ ç z&{ 7&8 ñ&þ ÿ

5¿6¢ ¾ ý æ&ç ¦ ¿ Û

(3-2)

d|n

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1.

.

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n=

(3-2).

,

X

S ∗ (d) =

d|n X

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n,

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d|n

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42

d|m

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d|m

,

(3-3)

¦

¦

, (3-2) 1 . (ii) n = 2 · m, m . m = 1, 3, 5 n (3-3) m ≥ 7. 3 † m (3-3) X X X n = 2m = S ∗ (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) d|n

¦

S ∗ (d) =

1 = d(n),

] ` ¾ ¿Û !

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(3-2)

.

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X

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d|m

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5Âż9² ÂŚ Ă&#x20AC;

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'

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d|m

d| m 3

â&#x2030;¤ d(m) +

X

d| m

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d| m 3

m 3

3

X

m 3

3

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m

3

.

m m 9 m + ¡ â&#x2030;¤ d(m) + 6d .

2 2 3 3 m . = 3 n = 18 , 3

Âż Ă&#x20AC; 2m =

.

ž

'

Âż Â&#x2DC; &ø&Ăš

S â&#x2C6;&#x2014; (d) = S â&#x2C6;&#x2014; (1) + S â&#x2C6;&#x2014; (2) + S â&#x2C6;&#x2014; (3) + S â&#x2C6;&#x2014; (6) + S â&#x2C6;&#x2014; (9) + S â&#x2C6;&#x2014; (18)

d|18

ÂŤĂ&#x192; &Â&#x2022; z { ÂŚ Ă&#x20AC; ĂŠ u Ăś á ø&Ăš Âż (ĂŚ&ç ÂŚ Ă&#x203A; ' Âż

5Âż

= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 10,

ž

(3-3) . n = 2 ¡ m (m ), (3-2) . (iii) n = 22 ¡ m, m . m=1 n=4 (3-3) . m = 3 n = 12 , X S â&#x2C6;&#x2014; (d) = S â&#x2C6;&#x2014; (1) + S â&#x2C6;&#x2014; (2) + S â&#x2C6;&#x2014; (3) + S â&#x2C6;&#x2014; (4) + S â&#x2C6;&#x2014; (6) + S â&#x2C6;&#x2014; (12)

ç

d|12

Â&#x201D; ž

= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 = 12,

Â&#x201D;

n = 12 (3-3),

Ì ç5z {

n = 22 m =

(3-2).

X

S â&#x2C6;&#x2014; (d) =

d|n

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X d|m

1+

X

m > 3, X

S â&#x2C6;&#x2014; (d) +

d|m

S â&#x2C6;&#x2014; (6d) +

d| m 3

â&#x2030;¤ d(m) + 4

X d| m 3

X

3|m

X

d| m 3

3 = d(m) + 12d

X d| m 3

m

3

m â&#x2030;Ľ 9,

S â&#x2C6;&#x2014; (2d) +

d|m

S â&#x2C6;&#x2014; (2d) +

ÂżĂ&#x203A;

X

Âż

n

ĂŚ

S â&#x2C6;&#x2014; (4d)

d|m

S â&#x2C6;&#x2014; (12d) +

X

S â&#x2C6;&#x2014; (6d)

d| m 3

, 43

Smarandache

'

m m â&#x2030;¤ d(m) + 12d , 3 3 m > 3 3

ÂŤ $â % Ă&#x203A; Ăś á@ø.Ăš& FÂŚ ž ' Âż 4m = m + 9 ¡

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ž

[(Ă&#x192;! ÂŤ Ă&#x201E;Â?Ă&#x2026;&\&] Ă&#x2020; ^ _ Âż! 5Â&#x2DC;(') 5Ă&#x20AC;

.

m = 3 n = 36 , 3 X S â&#x2C6;&#x2014; (d) = S â&#x2C6;&#x2014; (1) + S â&#x2C6;&#x2014; (2) + S â&#x2C6;&#x2014; (3) + S â&#x2C6;&#x2014; (4) + S â&#x2C6;&#x2014; (6) + S â&#x2C6;&#x2014; (12) + S â&#x2C6;&#x2014; (9) d|36

+S â&#x2C6;&#x2014; (18) + S â&#x2C6;&#x2014; (36)

= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 = 19 6= 36.

ž

&Ă˝

n = 22 ¡ m, m

Âż

ÂŚ Â&#x201D;* Ă&#x203A;

Ì&ç

3â&#x20AC; m , n (3-3) , X X X X n = 4m = S â&#x2C6;&#x2014; (d) = S â&#x2C6;&#x2014; (d) + S â&#x2C6;&#x2014; (2d) + S â&#x2C6;&#x2014; (4d) d|n

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X

1+

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2+

X

d|m

d|m

2 = 5d(m),

d|m

4m = 5d(m) (3-3) . (iv) n = 2ι ¡ m, m

n = 22 ¡m, m

.

m=3

ÂżĂ&#x203A;

d|2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1

X

S â&#x2C6;&#x2014; (d) =

d|2Îą 3

= 2Îą + 1 + 1 + 3 2Îą 3 6= 3Îą + 2.

] ` 44

n = 12

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n = 2Îą 3 =

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, Îą â&#x2030;Ľ 3. m = 1, n = 2Îą , X X n = 2Îą = S â&#x2C6;&#x2014; (d) = 1 + S â&#x2C6;&#x2014; (2d) d|2Îą

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X

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X d|2Îą

n = 2Îą 3

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1 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 1 + 2d(2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 ) = 3Îą + 2,

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(3-3)

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S â&#x2C6;&#x2014; (n) = S â&#x2C6;&#x2014; (2Îą m) = u, m > 3.

S â&#x2C6;&#x2014; (3d)

u = 2,

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Smarandache

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6

(3-4)

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3 + (Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)

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n

.

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2Îą m â&#x2030;¤ d(m) + 6d

S â&#x2C6;&#x2014; (2d)

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d|n

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n = 2Îą m = â&#x2030;¤

S â&#x2C6;&#x2014; (d) +

2Îą m > d(m) + d 2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 m .

3|m.

S â&#x2C6;&#x2014; (n)

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X d| n2

d|m

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45

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Smarandache

n

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(3-3)

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m â&#x2030;Ľ 15,

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n = 2Îą m =

X

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i=0 d|m

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(3-5)

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X

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d|m

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' Â&#x2013;

2Îą m â&#x2030;¤ (uÎą â&#x2C6;&#x2019; 1)d(m).

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(3-4)

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(3-5)

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uâ&#x2C6;&#x2019;1 uâ&#x2C6;&#x2019;1 3u â&#x2C6;&#x2019; 3 + = .

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3 Îą

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X

S â&#x2C6;&#x2014; (d) = Ď&#x2020;(n)

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.

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S â&#x2C6;&#x2014; (d) = Ď&#x2020;(n).

d|n

ž

(3-6)

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, X S â&#x2C6;&#x2014; (n) = max{m : m â&#x2C6;&#x2C6; N, m!|n}.

S â&#x2C6;&#x2014; (d) < Ď&#x2020;(n), n = pÎą d|n

46

X

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Smarandache

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X

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(3-6)

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S ∗ (d) = φ(n)

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1, 3, 14, 84. : (1) n

n

X

n 2 . ∗ S (n) = max{m :Xm ∈ N, m!|n}, S ∗ (n) = 1, S ∗ (d) n

,

d|n

S ∗ (d) = d(n),

(3-6)

d(n) = φ(n).

d|n

(A) (B)

,

n = 1 , d(n) = φ(n) = 1, n = 1 n > 1 , n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k n : d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1),

(3-6)

.

, (3-6)

pi

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1)

= p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1).

D b c.« &² ¦ ë &

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: pα−1 (p − 1) ≥ α + 1,

(3-7)

ý ²!d &À

α = 1, p = 3, p ≥ 3. : (i) α = 1, p − 1 ≥ 2 = 1 + α p = 3; (ii) α = 2, p(p − 1) ≥ 2p ≥ 6 > 1 + α; (iii) α > 2, pα−1 (p − 1) > pα−1 ≥ 3α−1 > α + 1.

(3-6) : α (a) k = 1, n = p .

(3-7) (α + 1) = pα−1 (p − 1), pα−1 (p − 1) ≥ αX +1 α = 1, p = 3, ∗ n=3 , S (d) > φ(n). d|n

(b) k ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k.

n ≥ 15,

pi ≥ 5,

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¾ ý e ¾ Û

Ù é

piαi −1 (pi − 1) > αi + 1,

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1) < p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), 47

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _

.ë ì$0 å ¾ a' X "Z .¿ z { «Ã ',8 .ê ¿ á6z n &ë ì!f V ^

Smarandache

'

X

S ∗ (d) > φ(n).

d|n

n

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¿

d|n X

n

φ(n) = 2α−1 .

& z { « Ã . , φ(n) = 2 " & z { (3-6) «

φ(n) = 1,

S ∗ (d) = 1 + 2α

d|n

α−1

(3-6). n = 2α (B) n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k , k ≥ 1. (a) n = 2p1 p2 · · · pk , ( X 3 × 2k , p1 ≥ 5; S ∗ (d) = k+1 k−1 2 + 3 × 2 , p1 = 3.

(3-6)

,

¬ 8 R q F ] ` « ¿

,

,

.

S ∗ (d) = 1 + 2α

X d|n , S ∗ (d) = 3

2

à ,

.

d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1). ( X 6, p1 ≥ 5; (i) k = 1 , φ(n) = p1 − 1 S ∗ (d) = 7, p1 = 3.

r

¿

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(ii)

(3-6) p1 > 3 k ≥ 2

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d|n

X p1 = 7, n = 14. , S ∗ (d) = 3 × 2k

d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 4k = 2k 2k > 3 × 2k =

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(3-6). (iii) p1 = 3,

Û

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k=2 , p2 = 8,

X d|n

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X d|n

p

X d|n

S ∗ (d) = 14, φ(n) = 2(p2 − 1),

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S ∗ (d) = 7 × 2k−1 ,

,

s∗ (d)

n = 2 × 3 × p2

r

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φ(n) = 2(p2 − 1)(p3 − 1) · · · (pk − 1) > 2 × 4k−1 = 2k−1 2k 48

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Smarandache

> 7 × 2k−1 =

X d|n

(3-6).

(3-6) (b)

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S ∗ (n)

S ∗ (d),

(æ&ç 8 z « { i 5 « ) ë ì@% q!F { ¾Ã ]` u N Û n

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n = 2p1 p2 · · · pk

. n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

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« "@ )+ Û

n = 14

z

αi ≥ 2 (i = 1, 2, · · · , k),

φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), ( X 3(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 ≥ 5; S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 = 3.

¾

¿ !¢ F] `

d|n

w ? û!/ D

v

Û

p1 ≥ 5 , j = 1, 2, · · · , k pαj −1 (p − 1) ≥ αj + 1, αi ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k, piαi −1 (pi − 1) ≥ 4 × 5αi −1 > X S ∗ (d) > φ(n) (3-6).

3(1 + αi ), (i)

(ii)

¾

d|n

p1 = 3

¿

(æ&ç z { D α ≥ 2ý , ?&û /

i = 2, 3, · · · , k

i

,

φ(n) = 2 × 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ),

gxh *2 y Û p (p −1) > α +1, \ ', (æ&ç z { (3-6). ¾ α ≥ 2 ¿ , ýF¢j j = 2, · · · , k v Û 2(p − 1) · · · (p − 1), X 2 |φ(n), ¯F S (d) = (3 + 4α )2 ,

ý&ë ì

d|n

αi −2 i

α i ≥ 2, X S ∗ (d) > φ(n),

i

i

2pi 3α1 −1 > (3+4α1 ),

d|n

1

3α1 −1

Û

¿

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k

∗

1

Xd|n S ∗ (d) 6= φ(n),

d|n

αj = 1

k−1

' (æ&ç z { ] ` & z { n

k

(3-6).

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X

φ(n) =

S ∗ (d),

d|n

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n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k (3-6) . α α1 (C) n = 2 p , α ≥ 2. α α1 (a) p = 3 , n = 2 3 , X φ(n) = 2α 3α1 −1 , S ∗ (d) = 1 + 2α + 4αα1 − α1 ,

¿

d|n

49

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _ é u r $&z {

À 8 è&¬ Û ' ¾

Fxu 0 å ¿ { ¾ À r $&%&z { À + )' ¿ Smarandache

α ≥ 2,

4|φ(n),

(3-6)

,

4|

X

S ∗ (d),

d|n

4|1 + 2α + 4ααX 4|1 + 2α − α1 , α1 .

1 − α1 , ∗ α α1 −1 α1 ≥ 5 , S (d) < 4(1 + α)(1 + α1 ) < 2 3 = φ(n), d|n

5¿9z

(3-6) , (3-6) α1 1, 3. α 3 α1 = 3 , n = 2 3 , X S ∗ (d) = 14α − 2 < 9 × 2α = φ(n),

¬ (æ&¾ ç z {

d|n

¿

(3-6). α1 = 1 , n = 2α 3, X S ∗ (d) = 6α 6= 2α = φ(n),

&¬ (æ&ç z {

d|n

¿

(3-6). , p ≥ 5,

é u¾

¿Û

(b) p ≥ 5 α1 ≥ 2 pα1 −1 > (1 + α1 ), X S ∗ (d) = (1 + α1 )(1 + 2α) < 2α+1 pα1 −1 ≤ 2α−1 pα1 −1 (p − 1) = φ(n), d|n

(æ&¾ ç z {

¿

(3-6).

X α1 = 1 , S ∗ (d) = 2(1 + 2α), φ(n) = 2α−1 (p − 1), 4|φ(n),

X

S ∗ (d),

d|n

X

S ∗ (d) 6= φ(n)

(æ&ç z {

5 « 8 « Bñ z@ù{:#ë@ì % å qBF { Ã ¿ ] ` 4†

d|n

d|n

(3-6) .

(D) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

¾ 50

,

(3-6).

n = 2 α pα 1

ý

α ≥ 2

« " @z

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥ 2

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) < (1 + αk )pk (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ).

¾

d|n

¿] ` ë ì

gxh 2*y

(a) k ≥ 3 , α = 1, p = 3, p ≥ 3. α−1 α≥3 2 ≥ 1 + α,

¾

¿Û

pα−1 (p − 1) ≥ α + 1

ý&² d* À ¾ ý e

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S ∗ (n)

Smarandache

¾

Û

& ¡ ¢ 9 ¿ $m$?.û @¾ ¿ ¾ ¿

α = 2

, k ≥ 3, pi ≥ 5 i = 1, 2, · · · , k − 1, − 1) > (1 + α)(1 + αi ), αi = 1 , 2(pi − 1) ≥ 8 > αi −1 6 = (1+α)(1+αi ), αi ≥ 2 , 2pi (pi −1) ≥ 3(1+αi ) = (1+α)(1+αi ).

2α−1 piαi −1 (pi

Û

α

k−1 2α−1 p1α1 −1 p2α2 −1 · · · pk−1

−1

« í

> (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk−1 ).

f* j|x}

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¿ ¾

S

(3-8)

pk (1 + αk )2 pkαk −1 (pk − 1) αk −1 2 (i) αk = X2 , pk ≥ 11 , pk (1 + αk ) < pk (pk − 1), S ∗ (d) < φ(n), (3-6). pk = 7 , k ≥ 3,

$ @² ¦ Û l

¿

d|n

æ ç z@{

¾

f;3!4

¿

n = 2α 3α1 5α2 72 , φ(n) = 2α−1 3α1 −1 5α2 −1 7 × 6 × 2 × 4 X S ∗ (d) < 11 × (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) × 3 < φ(n),

(æ&ç z {

d|n

¿

(3-6). (ii) αk ≥ 3 ,

Û

314 ² ¦

u

(b) (i)

¾

¾

¾

pk ≥ 5,

é u

¿

(æ&ç z {

d|n

¿

k=2 ,n = 2α pα1 1 pα2 2 , X p1 6= 3 , S ∗ (d) < 3(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

é uUë ì ¬!' % ¾ ¿

3(1 + α2 ),

pkαk −2 (pk − 1) ≥ 4 × 5αk −2 > (1 + αk )2 , X S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

2α−1 p1α1 −1 (p1

(ii)

l

Û

p1 ≥ 5,

é

(æ&ç z {

− 1) > (1 + α)(1 + αX p2α2 −1 (p2 − 1) > 7α2 −1 (7 − 1) > 1 ), : S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

p1 = 3

α ≥ 2, α2 ≥ 3

ý

d|n

¿Û

,n=

3

2α 3α1 pα2 2 ,

d|n X

S ∗ (d) < 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

d|n

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1).

2α > (1 + α).

3α1 −1 p2α2 −1 (p2 −1) ≥ 4×5α2 −1 3α1 −1 > 7(1+α1 )(1+α2 ),

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) > 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) =

X

S ∗ (d).

d|n

51

Smarandache

l (æ&¾ ç z {

ý

¿

(3-6). α2 = 2, α1 ≥ 2

(æ&ç ¾ z {

d|n

ý

2

¿

α ≥ 3 , n = 2α 3p22

¾

< 2α−1 (3 − 1)p2 (p2 − 1) = φ(n).

ý

α2 = 2,

¿

α1 = 1, α = 2 , n = 22 3p22

S ∗ (d) < 4(1+2)(1+1)(1+2) = 2×36 < 4×20 < 2×2p2 (p2 −1) = φ(n).

ë ì@% « 3 & z { Ã

d|n

S ∗ (d) < 5(1 + α)(1 + 1)(1 + 2) = 15(1 + α) × 2 < 20 × 2α−1 × 2

d|n

X

,

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2 (p2 − 1) > 20 × 2α 3α1 −1 X > 7 × 3 × (1 + α)(1 + α1 ) = S ∗ (n),

(3-6). α2 = 2, α1 = 1

X

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _

: n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ,

(3-6) . α (E) n = 2 p1 p2 · · · pk−1 pk

¿ ] ` ,

]Õ`

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥

α ≥ 2, k ≥ 2.

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1).

X (a) p1 > 3 , S ∗ (d) = 2k + α2k+1 = 2k (2α + 1),

¿

d|n

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2α+1 2k 2k−2 X > 2α+1 2k > 2k (2α + 1) = S ∗ (d). (b) p1 = 3

¿ ' ,

d|n

n = 2α × 3 × p2 · · · pk−1 pk ,

φ(n) = 2α (p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2k−1 2α+1 .

X d|n

S ∗ (d) ≤ 2k + 2k α + 3 × 2k−1 × 2 + 5(α − 2)2k−1 = 2k−1 (7α − 2).

(i) 52

¾

α≥4

¿

, 2α+1 > (7α−2),

φ(n) >

X d|n

S ∗ (d)

(æ&ç z {

(3-6).

¾

(ii)

¾

¿

¢ 9

S ∗ (n)

k=2

¿¾ '

¿

X d|n

S ∗ (d) = 2k + 2k+1 + 3 × 2k = 12 × 2k−1 .

, φ(n) >

¿ '

X

S ∗ (d)

d|n 2

(æ&ç z { X

(3-6).

S ∗ (d) = 24, φ(n) = 4(p2 − 1),

$&z { À ] k v (æ&ç z {

,

n = 2 × 3p2 ,

¿

d|n

Û +

p2 = 7 , n = 48 , (3-6).

3 (iii) α = 3 , n = 2 × 3 × p2 · · · pk−1 pk X p2 = 5, φ(n) = 23 ×4×(p3 −1) · · · (pk −1), S ∗ (d) = 37×2k−2 .

5¿

¿ {

Smarandache

α = 2 , φ(n) = 22 (p2 − 1) · · · (pk − 1) ≥ 4 × 2k−1 2k−1 ,

k≥3

¾ ¾

& ¡

2

2

k+3

|φ(n),

p2 ≥ 7,

k+2

|φ(n),

q F «

¯

Ã

2

k+3

†

X

∗

S (d),

d|n 3

é ui (æ&ç z {

φ(n) = 2 (p2 − 1) · · · (pk − 1), 2

k+2

†

X d|n

∗

S (d),

ý

] ¢

.

d|n

n = 2α p1 p2 · · · pk−1 pk (α ≥ 2, k ≥ 2)

« * !=

` Ý

¿ ] ` ,

(3-6).

X

é uN¬ (æ&ç z {

(3-6) . αk−1 (F) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk α1 , α 2 , · · · , α k 1. pi αi ≥ 2 ,

d|n

S ∗ (d) = 18 × 2k−1 ,

« " + Û

α

(3-6).

≥

n = 84

2,

k

&z

≥

2,

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 −1)p2α2 −1 (p2 −1) · · · piαi −1 (pi −1)(pi+1 −1) · · · (pk −1),

¾

X

ý

d|n

S ∗ (d) < 4pk (1 + α)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿ ë ì Û ¿

pi = 6 3 αi 6= 2 , (a) αi = 2, pi = 3 X

(i)

n

:

S ∗ (d) < 8 × 2k−1 3 × (1 + α) = 24 × 2k−1 (1 + α).

¾ ¿ l (æ&ç z { d|n

FuxV ñ*p

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ), , φ(n) = 2α 3(p2 − 1) · · · (pk − 1).

α=2

,

(3-6).

X d|n

S ∗ (d) = 19 × 2k−1 ,

3 | φ(n)

;¯

3†

X

S ∗ (d),

d|n

53

Smarandache

¾

ý

(ii)

α≥3 k≥3

¿

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _

,

φ(n) ≥ 2α 3 × 4 × 6k−2 > 8 × 3(1 + α)2k−1 >

¾

¿ '

¾ ¿ (æ&ç ¾ z {

X

S ∗ (d).

d|n

k = 2 , n = 2α 32 p2 , φ(n) = 2α 3(p2 − 1). (iii) α ≥ 3,X p2 ≥ 7 , S ∗ (d) < 4(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) = 24(1 + α) < φ(n), d|n

ý ¿ ¾ (æ&ç z ý { ¿ ¾ Ý ¾

φ(n),

(3-6); X p2 = 5, α ≥ 4 , S ∗ (d) < 6(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) < 2α × 12 = (3-6); X α=3 , S ∗ (d) = 60 6= φ(n),

p2 = 5,

Û

(b)

pi ≥ 5

d|n

pi = 3

¿

αi ≥ 3,

g 2

Û

(æ&ç z {

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ),

> (1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿

(æ&ç z {

(i) X α ≥ 4 , 4(1 + α)pk ≤ 2α−1 pi (pk − 1), φ(n) > S ∗ (d), (3-6). (ii)

¦

Û

¾

¿

d|n

5¿

3B4j .²F¦

Û

(æ&ç z {

2α−1 pi (pk X − 1) = 2pi (pk − 1) ≥ 4 × (1 + 2) × 2, (3-9) φ(n) > S ∗ (n) (3-6). (iii)

¾

¿ '

d|n

α=3 ,

(3-9)

8

(3-9)

Û

α = 2 , n = 22 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk , X S ∗ (d) < 4(1 + 2)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2. d|n

8

(3-6).

pα1 −1 (p1 − 1) · · · piαi −2 (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk−1 − 1)

¾

ýÛ Û

d|n

f&3 4& ²

n = 23 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk ,

φ(n) = 22 p1α1 −1 (p1 − 1) · · · pαi i (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk − 1),

%

54

X d|n

S ∗ (d) < 6 × 4(1 + α1 ) · · · (1 + αi )(1 + αi+1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2.

(æ&ç z {

2α−1 pX i (pk − 1) ≥ 4 × 3 × 4 = 6(1 + 3) × 2, φ(n) > S ∗ (d), (3-6). d|n

f 3 4 ² ¦

(3-9),

& ¡ ¢ 9 ] ` ê ¬ 8&% ¾ ý « Ã 9 . *á9 ! (= « ¿ ù;: & z { 3.3 Smarandache bdcfehg S (n) i

& Á#Â É! ) Á#ÂF * C ( É

& 1 B ; 6 NH I ! .1 B ZFQ S ∗ (n)

Smarandache

α

α2 , · · · , α k

k−1 n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk , 1 ,n (3-6) . .

α ≥ 2, k ≥ 2,

α1 ,

∗

X

3.1:

S ∗ (d) = φ(n)

,

d|n

.

3.2:

Y

S ∗ (d)

,

.

d|n

55

Smarandache

¥ ¢¤£ 4.1

(

TU

4.1

ÂĽ ÂŚ

Z(n)

[(Ă&#x192;! ÂŤ Ă&#x201E;Â?Ă&#x2026;&\&] Ă&#x2020; ^ _ Smarandache §Â&#x160;¨

) *&+(0BŠ 6 ( 2&3 k

ÂŞ

n â&#x2030;¤ k(k + 1)/2,

Z(n) = min{k : n â&#x2030;¤ k(k + 1)/2}.

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F

Jozsef Sandor

Ă&#x2022; Â&#x2021; F 54 - ½

4.2 SM (1) = 1

n>1

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n,

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T

³ ´Z¾xœ.

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) *Ă&#x2022;+ Ă&#x2014;, + ¡)¸1š&Ă&#x2030; Q /

SM (n) n

¡ ¡ ¡ pιk k

n = 1 ,

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Smarandache n, n

4.3

n|mm

.

9 G [ H5 ' 8 Â&#x2022;

Smarandache .

m, m    Y Y  SP (n) = min m : n|mm , m â&#x2C6;&#x2C6; N, p= p .   p|n

Â&#x2021;mi

Â&#x2039;

56

p|m

he gfikjmlonqp Â&#x201E; Smarandache Â&#x201A;FÂ&#x192;hÂ&#x201E;FÂ&#x2026;Â&#x2021;Â&#x2020;Â&#x2030;Â&#x2C6;Â Â&#x160; Ă&#x192; ,+ Â&#x153; )@ 9 ( Â&#x17E;! & @ 5Â&#x152;Â?

4.2.1

kâ&#x2030;Ľ2

,

3

x!Ă&#x201E;*Q

ž

k

Ă&#x203A;Âż + 7&Â&#x2018; 8 Â&#x2DC;!´ Â&#x2122; b (c5ÂŁ9ÂŤ

ci (i = 2, 3, ¡ ¡ ¡ , k) , k=1

C X Y#Z.Q

x > 1,

3

X ci ¡ (2x) 2 Ď&#x20AC; 2 (2x) 2 â&#x2C6;&#x161; S (Z(n)) = ¡ â&#x2C6;&#x161; + +O i 18 ln 2x ln 2x nâ&#x2030;¤x i=2 X

SP (n) ,

Smarandache

Ă&#x201A;

4.2.1

DFE

,

SM (n) = max{ι1 p1 , ι2 p2 , ι3 p3 , ¡ ¡ ¡ , ιk pk }.

ºj½Ÿ ž

4.2

/

.

3

x2

lnk+1 x

!

,

Â&#x2122;&Â&#x161;

Â&#x; 7 ÂĄ Ă&#x2020;5ÂŤ 9 & @ 5Â&#x152;Â?

C X Y#Z.Q Smarandache

x > 1,

4.2.1

3

3

Ď&#x20AC; 2 (2x) 2 S (Z(n)) = ¡ â&#x2C6;&#x161; +O 18 ln 2x nâ&#x2030;¤x X

Â&#x2039;

Â&#x152;Â?

& @ # ( C X Y#Z.Q

n,

4.2.2 x > 1,

DFE

Â&#x2039;

Îś(s)

Ă&#x2026;

P (n)

Ă&#x2020;BĂ&#x2021;

x2 ln2 x

n

G

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Riemann zeta-

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0 16MjĂ&#x2C6;6Ă&#x2030; Â&#x17E;! & @

3 2Îś 23 x 2 2 (SM (n) â&#x2C6;&#x2019; P (n)) = +O 3 ln x nâ&#x2030;¤x X

!

,

3

x2 ln2 x

!

.

.

n, X SM (d) = n

4.2.3

d|n

T UĂ&#x2022;-

(½ Ă&#x2021; Â&#x2039; & @ # ( Â? n = 1, 28.

m

4.2.4

k > 1,

Ă !Ă&#x201A;

:

SP (n1 ) + SP (n2 ) + ¡ ¡ ¡ + SP (nk ) = m ¡ SP (n1 + n2 + ¡ ¡ ¡ + nk ),

C ¸ š Ă&#x160;,Ă&#x2039; ( Ă&#x2030; 4.2.2

:

7&< 8 rÂŤ Â&#x2039;

(n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk ).

Ă&#x152;{Ă? SM (n) Â&#x201A;FÂ&#x192;hÂ&#x201E; Ă&#x2018;Â&#x2021;Ă&#x2019; ÂŤ1Ă&#x17D; r Ă&#x2DC; ÂŤ Â&#x2022; Ă&#x; Ă / D v w

:

SM (n)

ÂŤ z { ÂŤ Â&#x2DC; Ă&#x192; â '!Ăš ,

& @ # ( Ă !Ă&#x201A; n,

4.2.5

X

SM (d) = n

(4-1)

d|n

T UĂ&#x2022;-

(½ Ă&#x2021; ô5Ăľ Ă? ` Ăš;:;Ăž Ăż x y n = 1, 28.

:

,

57

(i)

¾ ¾

n=1

,

P

SM (d) = SM (1) = 1,

n=1

(4-1)

.

d|n

À Ò Ó (ii)

[(Ã! « Ä Å&\&] Æ ^ _ ¿ % z { « Ã G z HF¿ !¦ À ÐBÑ 5 êF¿ ¦ «,Ô*Õ Ö Smarandache

,

X

n = pα SM (n)

SM (d) =

(4-1)

X

.

(4-1)

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = pα .

(4-2)

Ý (4-2) ¦ × Ø p «,Ù Ó , Ú!ØB p «,Ù Ó , s t . é{Û ¾ n Ü G Ó H5¿ (4-1)¾ ¦ À .« Þ G *[ « Ý (iii) n > 1 ý n = H; Ü 1 ¿ , n =«,pÔ*pÕ · · · p = p n ý æ&ç (4-1) ¦ , i3 (ii) 2 k ≥ 2.

SM (n) Ö d|pα

d|n

α2 1 2

αk k

1 1

X

SM (d) =

d|n

SM (d) +

d|n1

= 2

«

X

X

SM (p1 d)

d|n1

SM (d) + p1 − 1 = p1 n1 .

(4-3)

ß â À à , s*t .

5¿ (4-1) ¦ À .

3 (iii)Àaá;Ö : Faâ n ÜB@;ã Ý [ Ó , n . Z'@æ ç (41) ¦ . ú ûkùä: u&/æN åçÛ è W D . Á ü « ÔêG é Ó [ n > 1æ « ç Þ ÝæG ë (4-1), ìZ3 « Ý

[ î (ii) 1.í (iii)ï 2 ð n. n = p p · · · p , α > 1,, k 5≥ý 2.n . SM= (n) = αp. ñ Hò ñ&þ ÿ ó o Ô «]Þ î G [ ¾ d|n ¿ (A) α = 1. 5

¿ pm Ü n , ô n = n p, õ ö ÷ X Û SM (d) ≤ p − 1, ï ì SM (d) = nð Ö

(4-3)

¦

W Ø

X

d|n1

α1 α2 1 2

αk k

1

1

1

d|n

n1 p = n =

X

SM (d) =

d|n1 p

=

X d|n1

Ý

SM (d) +

X

SM (d) +

d|n1

X d|n1

p≤1+

= 2 + (2p − 1)d(n1 ) − p,

n1 + 1 < 2d(n1 ), 58

X

SM (dp)

d|n1

X d|n1 d>1

(p − 1) + pd(n1 ) (4-4)

(4-5)

ø ]7 ù Æ5« Smarandache Ò Ó úaû d(n ) Ü Dirichlet 1Ó$Ò,Ó . (4-5) ü ¾ n ≥ 7 ¿, ! &À . ï w ì n « Þ = G [ « Ý H î 1, éêÛ n = 4. ý n ≤ 6. n p = 4p, p > 3. 5

¿ ì 1

1

1

1

1

2≤ n =

1

4p =

X

SM (d) = SM (1) + SM (2) + SM (4)

d|4p

+SM (p) + SM (2p) + SM (4p)

ç

= 1 + 2 + 4 + 3p,

À á 0 å

þ

ý

¿).

p = 7 n = 28.

(B) SM (n) = αp α > 1.

(4-1) ,

Û

ü ÿ

α X X

α

n = p n1 =

¾

n = n1 pα , (n1 , p) = 1.

n

æ

SM (pi d).

Ý ë (4-1) ] .

1 < n < 8 ¿ , ë ì ñ z ïBÝ (a) n = 2, þ n = 2p (p > 2), ì (iii) * $ $2 , n = 2p ë (4-1) ;Ã ; (n , p) = 1, Û p 6= 3. (b) n = 3 ¿ , n = 3p . ì p = 2, n = 3 · 2 æ&ç Ý ë (4-1), þ i=0 d|n1

1

α

1

α

α

1

1

α

X

X

SM (d) =

ë

d|3·2α

5Bü û

SM (d) +

d|2α

2

P

;Ã

SM (d) + 3

d|2α

X

SM (3d) = 2

SM (d) + 3 = 3 · 2α ,

ï!ß Ó . é Û , n = 3 · 2 ï!Ý Ý$ë (4-1), ÿ nÞ = G [ &ÓjÜ 1,

d|2α

ï! Ó ,

X d|2α

3 · 2α

ï Ý ë æ.ç ;Ã ï Ý ë

α

(4-1) ; p > 3, n = 3 · pα (iii) , n = 3 · pα (4-1) . α n = 3 · p (p 6= 3) (4-1) . α (c) n1 = 4 , n = 4 · p (p ≥ 3), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d),

ì 2

¾

þ

¿

d|4·pα

þ

d|pα

æ&ç

Ý ë

Û ;Ã

d|pα

d|pα

ÿ

p = 3, n = 4 · 3α (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d) d|4·3α

d|3α

d|3α

d|3α

59

Smarandache = 3

ì

32 | 3

P

d|3α d>1

d|3α d>1

&ý

SM (d),

X

SM (d) + 12 = 4 · 3α ,

32 | 4 · 3 α ,

æ&ç

þ

Ä Å í ú Æ ó

(Ã!

Ý ë

ý

ï ð '

ê

32 | 12.

.

ÿ

p > 3, n = 4 · pα (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d)

d|4·pα

d|pα

= 3

Ó ,þ w ì

3 SM (d) + 8 = α(α + 1)p + 11 = 4 · pα , 2 α

3 4 · 3α − α(α + 1)p + 11 = 0.

2 1 f (x) = 4 · xα − α(α + 1)x + 11, x ≥ 3 2

¾

Ô α,

ú&û

d|pα

X d|p

þ

d|pα

¿

, f (x)

ï

Ò

3 f (x) ≥ f (3) = 4 · 3α − α(α + 1) + 11 = g(α).

2 α ≥ 2 , g(α) α .

éjÛ ¾

Ò Ó ÿ

Û

f (x) ≥ f (3) = g(α) ≥ g(2) > 0,

¿ Û ¿

¾

í

ï

¿

@&Ã ý Ö ÷ 2 ï Ý ë

¿

Ý ë

@&Ã

, x ≥ 3 , f (x) = 0 . p>3 , (4-1) . α (d) n1 = 5 , n = 5 · p (p 6= 5). p > 5, (iii) , n = 5 · pα (4-1) ; p = 2, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (5d) = 2 SM (d) + 10 = 5 · 2α ,

ÿj ì ì

d|5·2α

ê

d|2α

22 | 2

S(d),

w

(æ&ç Ý ë (4-1); p = 3, ì

5 · 2α

X

d|5·3α

60

P

d|2α

d|2α d>1

SM (d) =

22 | 5 · 2 α ,

X d|3α

SM (d) +

ý!

X d|3α

Û

d|2α d>1

22 | 10,

;Ã ê

SM (5d) = 2

ï ð ' . l

X d|3α

SM (d) + 6,

n=

ë

ø ]7 ù Æ ê 2 P SM (d) + 6ï!ß Ó ,

¾

d|3α

¿ Û ¿

Ò Ó ï Ó .

!

5·3 Smarandache α

, n = 5 · 3α

(æ&ç Ý ë

æ@ç Ý

(4-1). (e) n1 = 6 n = 2 · 3 · pα , (iii) ,n (4-1). (f) n1 = 7 , n = 7 · pα (p 6= 7). p > 7, (iii) , n = 7 · pα (4-1) ; p = 2, α ≥ 4.

X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 15,

¾

ë

ê

d|7·2α

2

] 2 ï Ý ë

ì

ÿjì Û 2

5¿ m

P

ï Ó ,

ì

d|2α

SM (d) + 15

d|2α

ì

d|2α

;Ã

ï ß Ó . l

d|2α

n = 7 · 2α

n = 7 · 2α

æ ç Ý

(4-1); p = 3, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 13,

d|7·3α

d|3α

d|3α

5)ü û 3 | 2 P SM (d),ý 3 | 7 · 3 , F)â æ ç Ý ë ï n = 7 · 3 ï Ý ë (4-1) ;Ã ; p = 5, ì α

d|3α d>1

(4-1),

ë

d|3α d>1 α

5 ü û

X

SM (d) =

d|7·5α

2

P

;þ

SM (d) +

ï ß Ó ,

d|5α

SM (d) + 8

d|5α

(4-1)

X

.

(g) n1 ≥ 8 X

¿ Û

n = n 1 · pα ,

,

X

SM (7d) = 2

d|5α

7 · 5α

ý

ï Ó . ï

pα >

X

Û

3 † 13,

.

SM (d) + 8,

d|5α

n = 7 · 5α

α(α + 1) p, 2

s t

ï Ý

ÿ

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 )

d|n1 ·pα

≤

α(α + 1) pn1 < pα n1 = n, 2

ÿ ¾ n ≥ Û 8 ¿ ,é nÛ = n p ð Ý ï ë Ý ë (4-1) ;Ã Û . W D Û 4Ô 5 Ö (4-1) ý e , þ 9 .á ;ù;: .

1

m

1

α

n = 1, 28.

ï 61

Smarandache

4.2.3

X

Ă­ Ăş Ăł

SM (d) = Ď&#x2020;(n)

! "

d|n

# $ % &&Ăť(' ) * + , - . Ă? / 0 132*Ă? ĂŤ X

SM (d) = Ď&#x2020;(n)

(4-6)

(4 5 =?>6 ĂŠ Ă&#x201C; , Ăž87 ĂŻ 9;: < : @ A3BDC E F n, G n = p p (Îą â&#x2030;Ľ 1, p < p), H n I?J K L (4-6) M84.2.1 OQP :N .(1) R3S T Îą = 1, p = 2, n = 2p UWV Ă?BĂŤ (4-6). X YZĂ&#x2019; Ă&#x201C; SM (n)Z Ď&#x2020;(n) Ă&#x201D;*Ă&#x2022; , ' ) 5 d|n

Îą

1

1

1

X

SM (d) = 3 + 2p = Ď&#x2020;(n) = p â&#x2C6;&#x2019; 1,

Ăż 5 p` = 4, [ ĂŻ \ ] ^ _ . Ă? ĂŤ p > 2, n = p p U V d|n

1

(4-6).

1

X

a b?5

SM (d) = 1 + p1 + 2p = Ď&#x2020;(n) = (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1),

c a p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) = 2p + 2p. ' ) d e ĂŻ Ă&#x2013;` á p |2p, f (p , 2) = 1, g ĂŻ p |p, [ ĂŻ R ' Ă°3) h (2) Îą > 1, p â&#x2030;Ľ 2, n = p p = n p U V (4-6).

5 d|n

1

1

1

1

X

.

k l 62

i

d|n1

1

SM (d) +

.

Îą

X X

1â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤Îą d|n1

SM (d ¡ pi )

= 1 + p1 + 2(p + 2p + ¡+)

= Ď&#x2020;(n) = (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)pÎąâ&#x2C6;&#x2019;1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1).

b

, p|Ď&#x2020;(n), p|2(p + 2p + ¡ + Îąp),

d|n

.

X

Îą

g ĂŻ p|p + 1, [ ĂŻ R Ă°Wh X ĂŻ j Ă&#x201C; , f ĂŻ Ď&#x2020;(n) ĂŻ Ă&#x; Ă&#x201C; . a b Ă? ĂŤ (4-6) R = 2b , SM (d)

p1 6= 2 p1

1

1

SM (d) =

d|n

i

1

1

ø;m ù Smarandache Ò Ó 5 =?n > o p q ' ) Ö r n = p p (α ≥ 1, p < p) R ï Ý ë (4-6) .

4.2.2 @ A3B stF n, Htu : φ(n) ≥ 4 vxw y v n 6= 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21.

O d(n)P : z {?| } [55]. ~ > 4.2.6 @ A3BDC E F n, K L (4-6)u w y u N n = 1.

O P : (I) i n = 1 b , X SM (d) = SM (1) = 1 = φ(1), ð3 n = 1 ï Ý ë (4-6) . i Ý ë (4-6) R k l .

(II) n = p , α ≥ 2 b , n , ` Ý ë (4-6)k l , ÿ 5 1

α

1

d|n

α

ú;û

X d|pα

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = φ(n) = pα−1 (p − 1),

p|φ(n), p|

`

X d|pα

SM (d),

U V Ý ë

α = 1, n = p X

d|p

g ï 5

p|1,

(4-6),

ÿ 5

[ ï R ð3h

.

SM (d) = 1 + p = φ(n) = p − 1.

,

X

SM (d) > φ(n).

c a n = p R ï Ý ë (4-6) . i (III) n = p p · · · p p = n p , ((n , p) = 1) α SM (n) = αp, ÿ d|p

α

α1 α2 1 2

X

αk α k

1

α

1

1

b

≥ 1, k ≥ 2 ,

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 ).

d|n

(A)

`

i

`

n1 n1

φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ).

' ) 5 X SM (d) < φ(n). = 2b , ? ì ' ) 4.2.1ð r n = 2p R ï Ý ë (4-6) . =6 b , 5 α = 1,

φ(n1 ) 2 ≥ (n1 6= 2, n1 6= 6), d(n1 ) 3

X

d|n

SM (d) = 9 + 4p,

d|6p

63

í ú ó

[ ï j ` , φ(n) ï ß , c a n = 6p R U V Ý ë (4-6).

(B) α > 1, SM (n) = αp. , ' ) ñ ò m 0 p q : i φ(n ) (i) p 6= 2 b , ≥ 4, ÿ 5 α(α + 1)pd(n ) ≤ p (p − 1)φ(n ), d(n ) c a X SM (d) < φ(n). i ï j b , p 6= 2. (ii) n ` p ≥ 7, α ≥ 2, p ≥ 5, α ≥ 3, ' ) 5 α(α+1)p ≤ p (p−1), (1) c a X SM (d) < φ(n). ` φ(n ) < 4, ì 4.2.1í 4.2.2Z;n o p;q ' ) l þ (2) d(n ) ÷ n = 3p` , 5p , 7p , 9p , 15p , 21p R ï ë (4-6) ð . φ(n ) (3) p = 5, α = 2 < 4, ì n o p3q n = 3 · 5 ,3 · d(n )

ï

ë 5 ,7·5 ,3·7·5 R (4-6) . `

ï

(iii) n ` 2 | n , φ(n ), p≥6=1,2. i p ≥ 7, α ≥ 2, p ≥ 5, α ≥ 3 b , ÿ d(n ) 5 α(α + 1)p ≤ p (p − 1), c a X SM (d) < φ(n). i p = 5, α = 2 b , ' ) d3e !÷ n = 2 · 7 · 5 , n = 2 · 3 · 5 n = 2 · 3 · 7 · 5 R ï ë (4-6) . ` φ(n ) < 1, n = 2 · 3, ÿ 5 n = 2 · 3 · p . d(n ) X ` φ(n ) (iv) p = 2, α ≥ 4 > 4, ÿ 5 SM (d) < φ(n). d(n ) ` α = 2, 3, ' ) d e ÷ n = 3 · 2 , n = 3 · 2 n = 5 · 2 R ï ë (4-6) . ` φ(n ) < 4, ì (II)íW 4.2.2ð n = 2 , 3 · 2 , 5 · 2 , 7 · 2 , 9 · 2 , d(n ) ë (4-6).

15 · 2 ,21 · 2 R U V # ' ) 0 ú : ` ë (4-6), ÿ 5 (1) 2kn , n = 2p · · · p p = 2n (k ≥ 2) U V Smarandache

1

α−1

1

1

1

d|n

1

α−1

d|n

1

α

α

1

α

α

α

α

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1 α−1

2

1

2

2

1

1

d|n 2

2

2

2

2

2

α

1

1

d|n

2

3

1

1

α

α

α

1

X d|n

64

α2 2

SM (d) = 2

X d|n1 d>1

αk α k

1

SM (d) + 3 = φ(n)

3

α

α

α

α

ø;m ù

# n o ë û

Smarandache

= p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1)pα−1 (p − 1). ,2

X

SM (d) + 3

R ï ë b ' ) ë d e ÷ a b ¢ ' ) d e 9;: · 3 · 5, d|n1 d>1

`

ï j , f ï .

ï , c a

φ(n)

2pα2 2 · · · pαk k pα (k ≥ 2) (4-6) 2 2 α2 (2) 2 kn1 , n1 = 2 p2 · · · pαk k (k ≥ 2). α(α + 1)p < pα−1 (p − 1), X p = 3, α ≥ 5 , SM (d) < φ(n), (4-6) .

ð

¡ i `

n=

c a

ï ë (4-6) R . ` α = 3, n = 2 ·3 ·5 n = 2 ·3 ·7 , ' ) ð £ 9;: n = 2 ·3 ·5 n =` 2 · 3 · 7 R ï ë (4-6) . φ(n ) α = 4 < 4, n = 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 n = 2 · 3 · 11, ) ' ) d e 9¤: n = d(n ï 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 n = 2 · 3 · 11 R ë (4-6) . ¥ i p 6= 3 b , ì (B) (iii) ð n = 2 · 3 · p . ì g d|n

α = 2, n = 22

2

2

2

3

2

3

2

1

2

4

2

4

2

ë

X

SM (d) = 6

d|22 ·3·pα

X d|pα d>1

(4-6) (3)

¡ i

`

X d|pα d>1

SM (d) + 17

ï j

4

4

2

2

2

6

2

3

3

1

£ í

n = 2 2 · 32 · 5

4

4

α

SM (d) + 17 = φ(n) = 4pα−1 (p − 1),

, φ(n)

ï , c a

n = 2 2 · 3 · pα

R ï

. α

2 | n1 (α ≥ 3).

) ≥ 1, g ÿ 5 α(α + 1)p < p (p − 1) Z φ(n d(n ) X ï SM (d) < φ(n), c a ë (4-6)a b?¢ . i α = 2 φ(n ) < 4 b , ' ) d e ÷ n = 2 · 3 , n = 2 · 3 · 5 R ï ë (4-6) . d(n ) i α = 3 φ(n ) < 4 b , '3)Wd e 9 : n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, d(nï ) ë .

2 · 3 , 2 · 3 · 5 R (4-6) p = 3, α ≥ 5,

1

α−1

1

d|n

1

3

2

3

2

1

1

4

3

4

3

3

3

3

3

1

65

í ú ó

i α = 4 φ(n ) < 4 b , , n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 3 , d(n ) ë · 3 · 5, 2 · 3 R U V ¥ i p = 5, α = 2, φ(n ) (4-6). ð ) R ï ë (4-6) ≥ 4 b , ì (B) (i) r Smarandache 1

24

4

5

4

3

4

3

4

4

4

1

1

.

d(n1 )

b ' ) d e 9¤:

i

φ(n1 ) <4 , n = 2 3 · 3 · 5 2 , 23 · 32 · 52 , 23 · 33 · 52 , d(n1 ) 23 · 7 · 52 , 23 · 3 · 52 · 7, 23 · 32 · 52 · 7, 24 · 3 · 52 , 24 · 32 · 52 (4-6) . , (4-6) n = 1. .

n 4 o ë \ ] 6D§

5

¦ 5 [ 7 ¨ k <8© 9;: 4.2.4 ª « SP (n) ¬ ­®!¤ # $¯% & ' ) * ° , - . / 0 1±2Q² ³ SP (n) ¶ · ¶ , 9;:(¸ ¹ : ~ > 4.2.7 @ A3BDC E F m º k > 1, K L

R ï ë

´µ

Smarandache

SP (n1 ) + SP (n2 ) + · · · + SP (nk ) = m · SP (n1 + n2 + · · · + nk ), (4-7)

u » ¼ ½t¾ C E F N (n , n , · · · , n ).

O P : i m Z k ¿ j b , k ≥ 3. À m = p p · · · p Á m ¶8 à WÄ , Å Æ3V3Ç È¤¶ É P , Ê(Ë3̤¶ÎÍWÉ W© , Ï # É q , q , · : · · · , q U V 1

2

k

α1 α2 1 2

αs s

1

2

s

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 + · · · + qk .

# 3 · (4-7) ÐDÑ ' ) l Ô 8) Õ

ni = qi (i = 1, 2, · · · , k),

Ê

SP (n)

¶ Ò3Ó Z 3·

SP (q1 ) + SP (q2 ) + · · · + SP (qk )

= q1 + q2 + · · · + qk = pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P

= pα1 1 pα2 2 · · · pαs s · p1 p2 · · · ps P = m · p1 p2 · · · ps P

= m · SP (pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 + · · · + qk ).

66

(4-8) (4-

Ö m(× ¶ Smarandache ; Ô 7 , i mZ k ¿ j b , · k l . Ái j b , ' ) Ø p q : m¿ , k¿ Ã Û3Ä , Å Æ V Ç È

(a) k = 2. À m = p p · · · p Ù3Ú m ¶t ¶8É P , ÊÜË Ì ¶DÝWÞ © ß 5 α1 α2 1 2

2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2

à Ð

αk k

q1 , q 2

Z

2p1α1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 q3 .

q3

' ) Á É . 5

SP (q1 ) + SP (q2 ) = q1 + q2 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 )

SP (q1 ) + SP (q2 q3 ) = q1 + q2 q3 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 q3 ).

(b) k = 2k1 , k1 ≥ 2.

X Y Í É © ß 5

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2.

+ , n o áãâ ¶ / ' ) ä £ 9;:8© ß 6Då ¶ . ¹ æ , '3) ç 0 pWq m ¿ èWé Á b 3· (4-7) ¶ Û ¶ ê8ë . À m =

Ã Û Ä , ' ) ¿ÎÍ p q : p p · · · p Ù Ú m ¶? i k = 2 b , ÅQÊ8Ý Þ © ß , ' ) 5 p p · · · p P . Ô 7 (I) Á , α1 α2 1 2

αk k

α1 +1 α2 +1 1 2

αk +1 k

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = p01 + q10

67

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pkαk +1 P = p01 + q10 q20 ,

à Ð P V Ç È ¶8É Ái (II) k = 2k (k 1

1

, p01 , qi0 (i = 1, 2) > 1) ,

b Å 5

Á É

.

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 3,

à Ð P V Ç È ¶8É , q (i = 1, 2, · · · , k − 1) É . Á c a 5 Á p p ···p P − 3 = q + q + ··· + q

© ß

·

k l U V Í É i , .

(III) k = 2k + 1 (k > 1) b , Å 5 i

αk +1 k

α1 +1 α2 +1 1 2

1

1

2

k−1 ,

1

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2

Z

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P − 2 = q1 + q2 + · · · + qk−1 .

Ê g k − 1 Á , á n (II). a c b · k l . Ê Ûg P Á V Ç È;¶ÎÉ , a Æ k ∀m<8© ∈ß Z Z 9;k: > 1, · 5 ¢ ð3ñ ò

6D§ (n , n , · · · , n ). [ 7 ¨ ¶ .

4.2.5 ª «µ¬ ­ SP (n) ó φ(n) !¤ # $ % & Ð , ' ) * ° , - . / 0 132 · SP (n ) = φ(n) ¶ ä Û Ò9; :(ê ë¹ ,æ ô õ k = 1, 2, 3 btö · ¶(4 5 6D§ Û . Ô 7 Á , ' ) * ¶ : ~ > 4.2.8 L SP (n) = φ(n)y u 4 DC E F N : n = 1, 4, 8, 18.

K O P : n = 1Á · SP (n) = φ(n) ¶ Û . ¹ æ ' ) Ø 0 p q · ¶ à Û : j .

1. n > 1 Á SP (n) ¶ © ÷ ä r SP (n) ø j , a b , X Y Smarandache

´

Á f Á φ(n) Á , c a SP (n) 6= φ(n).

2. n > 1 Á . d e ù 9 n = 2 R SP (n) = φ(n) ¶ Û , (1) n = 2 , α ≥ 1. Á Û Q

· i n = 4, 8 Á SP (n) = φ(n) ¶ . α ≥ 4, (α − 2)2 ≥ α, Ô φ(n) 2 | (2 ) b , n | ( ) , g Á SP (n) ≤ 2 < φ(n). +

1

2

k

k

α

α−2

α

68

α−2 2α−2

φ(n) 2

φ(n) 2

Ă&#x2013;;m(Ă&#x2014; Âś Smarandache  Â&#x160; Ă Ă? p j Ă&#x2030; Â&#x160; ,p (2) n = 2 p p ¡ ¡ ¡ p , Ă Îą â&#x2030;Ľ 1, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k, Îą â&#x2030;Ľ 2, k â&#x2030;Ľ 1. a b , Îąk k

Îą Îą1 Îą2 1 2

i

< p2 < ¡ ¡ ¡ < p k ,

1

i

Ď&#x2020;(n) = 2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 p1Îą1 â&#x2C6;&#x2019;1 p2Îą2 â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ ¡ ¡ pkÎąk â&#x2C6;&#x2019;1 (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (pk â&#x2C6;&#x2019; 1).

i

b X Y Smarandache ´  Â&#x160; b X Y Ď&#x2020;(n) Âś?Ă&#x2019; Ă&#x201C; 5 Îą â&#x2030;Ľ 2. Ă&#x2026; 5

r

n â&#x20AC; (Ď&#x2020;(n))Ď&#x2020;(n) , SP (n) 6= Ď&#x2020;(n). n | (Ď&#x2020;(n))Ď&#x2020;(n) , (i) 2Îą . Îą â&#x2030;Ľ 2,

i

Ă&#x2020; g

(Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)

g à ä Â&#x2013;

SP (n)

œ Š á ' ) ä

k

Ď&#x2020;(n) pk â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ľ (Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 pkÎąk â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ľ (Îą â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ 2 ¡ 3 â&#x2030;Ľ 6(Îą â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 2 â&#x2030;Ľ 3Îą > Îą,

`

c a

Ď&#x2020;(n)

2Îą | (2(Îąâ&#x2C6;&#x2019;1) ) 2 .

2Îą | ( Ď&#x2020;(n) ) 2 Îąi pi | n. Îąi = 1, (ii)

Ă&#x2020; g

Ă&#x160; g

Ď&#x2020;(n) 2

.

Ď&#x2020;(n) pk â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ľ 2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 pkÎąk â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ľ2¡3=6>1 2 2

Ă Ă? p | (Ď&#x2020;(n)) Ă&#x201D; ` Îą â&#x2030;Ľ 2, Ď&#x2020;(n)

i

pi |

Ď&#x2020;(n) , 2

' ) Ăş Ăľ

pi | ( Ď&#x2020;(n) ) 2

Ď&#x2020;(n) 2

.

i

(Îąi â&#x2C6;&#x2019; 1)

ä Â&#x2013;

Ď&#x2020;(n) pi â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ľ (Îąi â&#x2C6;&#x2019; 1)2Îąâ&#x2C6;&#x2019;1 piÎąi â&#x2C6;&#x2019;1 2 2 â&#x2030;Ľ (Îąi â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ 2 ¡ 3 â&#x2030;Ľ 6(Îąi â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;Ľ 3Îąi > Îąi ,

c a p |( ) . 4 ÂŁ , Ă&#x2020; èWĂŠ p | n, p | ) . ( Ăť Ăź (i) Z (ii), '3) lĂ˝Ă&#x201D; Â&#x2013; Ă&#x2022; i n | (Ď&#x2020;(n)) b , Ă&#x2026; 5 n|( ) . c a SP (n) â&#x2030;¤ Ď&#x2020;(n) < Ď&#x2020;(n).

2 Ă j Ă&#x2030; Â&#x160; , p < p < ¡ ¡ ¡ < p , Îą â&#x2030;Ľ 1, (3) n = 2p p ¡ ¡ ¡ p , Ă? p Ă i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k, k â&#x2030;Ľ 1. [ b , Ď&#x2020;(n) 2

(Îąi â&#x2C6;&#x2019;1)

pÎąi i | (pi

)

Ď&#x2020;(n) 2

Ď&#x2020;(n) 2

Îąi i

.

Ď&#x2020;(n) 2

Ď&#x2020;(n) 2

Îąi i

Îąi i

Ď&#x2020;(n) 2

Ď&#x2020;(n)

r

Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

i

1

2

k

Ď&#x2020;(n) 2

i

i

Ď&#x2020;(n) = p1Îą1 â&#x2C6;&#x2019;1 p2Îą2 â&#x2C6;&#x2019;1 ¡ ¡ ¡ pkÎąk â&#x2C6;&#x2019;1 (p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (pk â&#x2C6;&#x2019; 1).

b Ăž X Y ´ÿ Â&#x160; b Ă&#x160; Âś?Ă&#x2019; Ă&#x201C; ' ) 5

n â&#x20AC; (Ď&#x2020;(n))Ď&#x2020;(n) , Smarandache SP (n) SP (n) 6= Ď&#x2020;(n). n | (Ď&#x2020;(n))Ď&#x2020;(n) , Ď&#x2020;(n) , Îąk â&#x2030;Ľ 2.

i

œ ŠÞá ä 69

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

' ) * 9;: n | ( ) . \ æ , 5 , 2 | ( ) . \ æ φ(n) 2

(i) k ≥ 2.

à Ð

φ(n) 2

, ∀pαi i | n,

i

αi = 1

φ(n) pk − 1 ≥ pkαk −1 (pi − 1) ≥3·2=6>1 2 2 pi | (φ(n))φ(n) (αi − 1)

Ô

φ(n) 2

φ(n) 2

Ô

pi |

φ(n) 2 ,

' ) ä £ ú õ

pi | ( φ(n) 2 )

φ(n) 2

.

i

b

,

αi ≥ 2

b

,

φ(n) pk − 1 ≥ (αi − 1)pkαk −1 (p1 − 1) ≥ (αi − 1) · 5 · 2 · 2 2 2 ≥ 20(αi − 1) ≥ 10αi > αi ,

c a

φ(n)

(αi −1)

φ(n)

g Á 5

) 2 . pαi i | ( φ(n) ) 2 . , n | ( φ(n) ) 2 2 φ(n) SP (n) ≤ < φ(n).

2 (ii) k = 1. , n = 2pα1 1 , α1 ≥ 2, φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1).

0 (ii) p1 ≥ 5, α1 ≥ 2, pαi i | (pi

Ô

φ(n) 2

,

a b?5 Ê g

φ(n) (α1 − 1) p1 −1 = (α1 − 1)p1α1 −1 2 ≥ (α1 − 1) · 5 · 2 2

Ô 5

≥ 10(α1 − 1) ≥ 5α1 > α1 ,

c a p | ( ) . Ô φ(n) , 7 Á SP (n) ≤ ) < φ(n). Ô p = 3, n = 2 · 3 .

(α1 −1)

pα1 1 | (p1

, n | ( φ(n) p1 −1

)

φ(n) p1 −1 2

.

α1 1

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

2

00

φ(n)

, 2 | ( φ(n) p1 −1 ) 2

c a c a

φ(n) p1 −1 2

.

g Á

α1 (ii) 1 α1 = 1, φ(n) = φ(6) = 2, SP (n) = SP (6) = 6, SP (n) 6= φ(n).

SP (n) = φ(n). α1 = 2, φ(n) = φ(18) = 6, SP (n) = SP (18) = 6, φ(n) α1 −2 φ(n) φ(n) φ(n) α −2 2·3 α1 ≥ 3, ( 3 ) 3 = (2 · 3 1 ) , n | ( 3 ) 3 , SP (n) ≤ φ(n) < φ(n).

3 (1), (2) (3), n , SP (n) = φ(n) n = 4, 8, 18. , 4.2.8 .

c a

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Ô

' ) ä i b U V · Z ¶ Á Û ¿ n 4 o ' ) ¨ k <8© ß 9;: ¶ + , áãâ ¶ / ' ) ä £ 9;:(¹ æ Ø ] © ß ~ > 4.2.9 K L SP (n ) = φ(n) y u 3 DC E F N : n = 1, 8, 18. ~ > 4.2.10 K L SP (n ) = φ(n) y u 3 DC E F N : n = 1, 16, 18.

2

3

70

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 Â&#x160; : \ , Ă&#x2020; è ĂŠ Ă´ Š ÂśĂ&#x17D;6 § Â&#x160; k â&#x2030;Ľ 4, ' ) Â&#x2DC; ¡ SP (n ) = ] 6D§ Â&#x160; Ă&#x203A; . Ď&#x2020;(n) 5 5 4.3 Smarandache 4.1: v n > 1w n 6= 24 , Âş! X 1 I#"!$&%tC E F . Âś

Smarandache

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4.2:

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X

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4.3: 3 ( ) Z(n) M&4657+#8 , -29;: X Z(n) M6< =2> 4.4: @ A3BDC E F m Âş k > 1, ?&@,A B K L : d|n

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(n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk ).

71

Smarandache

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5.1 SPAC(n)

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5.2 SPAC(n) _a`cbed ~ L

5.2.1

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5.3

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k,l A3B!m M?C E F k, nUo

Smarandache

5.2.1

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[ v Â&#x160; Âś

p â&#x2C6;&#x2019; k, p â&#x2C6;&#x2019; k + 1, p â&#x2C6;&#x2019; k + 2, ¡ ¡ ¡ , p â&#x2C6;&#x2019; 1, p.

Smarandache

Ă&#x2030; Â&#x160; ä wUx Â&#x160; Â&#x17D; y Ă

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72

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SPAC(n)

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Smarandache

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,

7 12

7

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7

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5.2.2

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x π (x) = +O ln x

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5.2.2

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x ln2 x

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n

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2

3

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X

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(pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) .

2

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X

pi+1 ≤n pi <a≤pi+1

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≥

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X

SPAC(a)

pm <a≤n

X (pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) 2

pi+1 ≤n

73

Smarandache

ì Û ¶ ê ë í à î ï

1 X (pi+1 − pi )2 − 2 pi+1 ≤n 1 X = (pi+1 − pi )2 − 2 p ≤n =

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X

pi+1 ≤n

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= 

(5-2)



(pi+1 − pi ) ≤ 

pi+1 ≤n

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2

X

pi+1 ≤n

Ä | é

pi+1 ≤n

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An

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pi+1 ≤n

1

An

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(pm − 2)2 . (pi+1 − pi ) ≥ π(n) ≤n

X

pi+1

1 2

(pi+1 − pi )2  (π(n)) 2 .

2

¶ © ÷ ä

1 pm − 2 An ≥ (pm − 2) −1 .

2n π(n)

5.2.1

| é Ä

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7

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+ O(1) ≥ 2 2n2 n 2n lnnn + O lnn2 n + O n2 ln n

=

1 ln n + O (1) .

2

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n→∞

74

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X

1 (pm − 2)2 1 1 pm − 2 nAn ≥ − (pm − 2) = (pm − 2) −1 2 π(n) 2 2 π(n)

, ß

c ¿

1  2

X

2

ä R . Ä Êxa í

i+1

1 X (pi+1 − pi ) 2

1 ln n + O (1) = +∞, 2

ln n

Ö,z × { g

4 £

SPAC(n)

lim An = +∞.

k <8© ß ¶ 9;: . ÁU U ¶ . g Á ¨ SPAC(n) n→∞

An

5.3

5.1:

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1, 0, 0, ±1, 0, ±1, 0, −1, ±2, 1, 0, ±1, 0, −1, ±2, · · ·

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75

Smarandache

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Smarandache ¸ºšº

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6.1

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6.2 6.2.1

Zw(n) _a`cbed Zw(n)

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n % UĂŤ,ĂŹ Ă­ÂĽĂŽ2è~ , Zw(n) = n. â ø 6.2.3 ĂŁUä7ĂĽ2ĂŚ ç&è n, Zw(n) â&#x2030;¤ n. â ø 6.2.4 #è Îą1 Îą2 1 2

1 2

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,

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6.2.7

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,

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6.2.8 6.2.9 6.2.10

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nâ&#x2030;Ľ1 ,0<

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6.2.11 6.2.12

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6.2.15

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6.2.16

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Smarandache

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6.2.2

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6.2.18

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U(n) =

n X ln(Zw(k)) k=2

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â&#x2030;¤

n X ln k k=2

ln k

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(6-1)

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i

i

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78

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â&#x2030;Ľ

n X ln(Zw(k)) k=2

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Smarandache

1 X 1 X ln(Zw(k)) + ln(Zw(k)). ln n ln n

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Â&#x203A; Â&#x153; hÂ?Â? Â&#x2013; A 3#ĂĄ i Â&#x17E; Â&#x; A"Â&#x161; Â&#x2030; Â&#x160; Ă&#x2122; Ă&#x201D; p _ ` : kâ&#x2C6;&#x2C6;A

X

kâ&#x2C6;&#x2C6;A

UĂ&#x203A; Ă&#x153;*Ă?6Ă&#x17E;3Ă&#x;WĂ

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ln(Zw(k)) â&#x2030;¤

X

kâ&#x2C6;&#x2C6;A

kâ&#x2C6;&#x2C6;B

Â&#x2039;Â&#x2022;Â p

ln k â&#x2030;¤

Square-full

â&#x2C6;&#x161;

(6-2)

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n ¡ ln n.

(6-3)

¢"ÂŁ  Ă&#x153; ¤ , wNÂ&#x2122;By z n â&#x2C6;&#x2C6; B, ÂŁ ĂĄ ÂĽÂ ÂŚ ÂŁ Â&#x17D;Nr!Ă p, § ¨ p|nŠ p, n = p 1. q)g ªÂ?z ÂŤÂĄr[Ă \孏Ž3 ¯¥° jÂąqB²Â? ( ³Ž´ ¾¥œ [2] ­ ĂĄ ÂŹ 4.10, Âľ Âś [3]7 [8]): X ln p kâ&#x2030;¤n

X

7

kâ&#x2030;¤n

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p

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X ln p

=D+O

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p2

kâ&#x2030;¤n

X

X

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kâ&#x2C6;&#x2C6;B

=

X

= n

ln p =

7

X ln p

p

ln k

â&#x2030;Ľ

(ln p + ln(Zw(k)))

â&#x2C6;&#x2019;n

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X ln p pâ&#x2030;¤n

1

kâ&#x2030;¤ n p

p2

¸ š j k ¨  _ `

n X ln(Zw(k))

X

ln p

n n â&#x2C6;&#x2019; 2 + O(1) p p

= n ln n + O(n).

(6-2), (6-3) (6-4)

k=2

X pâ&#x2030;¤n

ln p

pâ&#x2030;¤n

,

pkâ&#x2030;¤n (p, k)=1

pkâ&#x2030;¤n (p, k)=1

X

X

ln(Zw(pk)) =

pâ&#x2030;¤n

U(n) =

1 ln n

pkâ&#x2030;¤n (p, k)=1

â&#x2030;Ľ

h



+O

X pâ&#x2030;¤n



ln p

(6-4)

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79

0 1 2"3 465 7 8 9 : ;

Smarandache

Âş Â&#x2013;

(6-2)

7

â&#x2030;Ľ

n

â&#x2C6;&#x161; 1 . (n ln n + O(n)) + O n ln n = n + ln n ln n

(6-5)

¸ š Âť Âź l mž½ ÂżBĂ&#x20AC;

(6-5)

:

n

1 X ln(Zw(k)) =1+O n ln k k=2

1 ln n

Â&#x2122; Â&#x161; Ă Â&#x152;NĂ&#x201A;WĂĄ ÂŹ 3Â&#x2022;Ă&#x192; Ă&#x201E; . ÂŚ Ă&#x160; a Ă&#x2039; Ă&#x2026; ĂĄ ÂŹNÂ&#x2039;Â&#x2022;Ă&#x2020; n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, Âť Ă&#x2021;>¨ ÂŤ Ă&#x2C6; Â&#x201A; l Ă&#x2030; 6.2.18 Ă&#x152; Ă?BĂ&#x17D; Ă? Ă? Ă&#x2018; n, X Y Ă&#x2019; Ă&#x201C;

.

n

1 X ln(Zw(k)) lim = 1. nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; n ln k k=2

6.2.3

OQPÂŽĂ&#x201D;)R

Ă&#x2013; Ă&#x2014; K L MN/

6.2.19

Ă&#x2022; SQTVUVW

Zw(k) θ(k)

Ă&#x152; Ă? Ă&#x17D; Ă? Ă? Ă&#x2018;

k > 1,

Ă&#x2DC;

\ ] : d)e a , Nw y z)e Ă&#x2122; Ă&#x2122; Âľ(n) 3bĂ&#x17E; Ă&#x; :

|Âľ(n)| =

Ă ÂŞ z ÂŤ

â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n)

¸ š p

n=1

nâ&#x2030;¤x

|Âľ(n)| = =

XX

nâ&#x2030;¤x

n2

Âľ(d)

d2 |n

X

md2 â&#x2030;¤x

80

x > 1

Âľ(d)

=

X

X

ln (Zw(n)),

nâ&#x2030;¤k

Zw(k) Zw(k) =X =O θ(k) ln (Zw(n)) nâ&#x2030;¤k

X

θ(k) =

1 ln k

Ă&#x161;Ny z){"| Ă&#x2122; Âľ(d)

d2 |n

1 6 = 2 Îś(2) Ď&#x20AC;

X Y

.

n,

Ă&#x203A; Ă&#x153;

M¨obius

Ă?

ĂĄ =

X

Smarandache

â&#x2C6;&#x161; dâ&#x2030;¤ x

=

X

1

mâ&#x2030;¤ dx2

Âľ(d)

â&#x2C6;&#x161; dâ&#x2030;¤ x



X

Âľ(d)

â ĂŁ äbĂĽÂ Ă?>Ă&#x2122;

x

d2

+ O(1)

   X Âľ(d) X +O = x â&#x2C6;&#x2019; |Âľ(d)| d2 d2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; d=1 d> x dâ&#x2030;¤ x

â&#x2C6;&#x161; 6 1 = x +O â&#x2C6;&#x161; +O x 2 Ď&#x20AC; x â&#x2C6;&#x161; 6 = x + O x . Ď&#x20AC;2 â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(d)

Â&#x201A;Â?¤Â?¸vš ĂŚvçÂ?èÂ?Â&#x17D; Âş Ă&#x2030;vĂŠÂ?Ă&#x192;ĂŞĂ&#x201E;NĂŤÂĄÂŹ Zw(n) = n, ĂŹ p θ(k) =

X

.

wÂ?y zv Â?â ã¹ä ĂĽÂ?Ă&#x2122;

n,

ln (Zw(n))

nâ&#x2030;¤k

â&#x2030;Ľ â&#x2030;Ľ

X nâ&#x2030;¤k â&#x2C6;&#x161;

|Âľ(n)| ln n

X

kâ&#x2030;¤nâ&#x2030;¤k

â&#x2C6;&#x161; |Âľ(n)| ln( k)

X 1 = |Âľ(n)| ln k 2 â&#x2C6;&#x161; kâ&#x2030;¤nâ&#x2030;¤k   X X 1 = ln k  |Âľ(n)| â&#x2C6;&#x2019; |Âľ(n)| .

2 â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤k

äÂ&#x2022;Ă­ p



nâ&#x2030;¤ k



1 ln k  |Âľ(n)| â&#x2C6;&#x2019; |Âľ(n)| 2 â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤k nâ&#x2030;¤ k

â&#x2C6;&#x161; 1 6 â&#x2030;Ľ ln k k + O( k) 2 Ď&#x20AC;2 â&#x2C6;&#x161; 3 = k ¡ ln k + O( k ¡ ln k). Ď&#x20AC;2

θ(k) â&#x2030;Ľ

X

(6-6)

X

(6-7)

81

0 1 2"3 465 7 8 9 : ; ÂŞ z ÂŤ Zw(n) â&#x2030;¤ n, Â&#x2122; Â&#x161; ¸ š Âť Ă&#x2021;>¨ ÂŤ Smarandache

Zw(k) 0< â&#x2030;¤ θ(k)

ĂŽ

k â&#x2C6;&#x161; =O 3 k ¡ ln k + O( k ¡ ln k) 2 Ď&#x20AC; Zw(k) =O θ(k)

1 ln k

1 ln k

.

è ĂŻ Ă Â&#x152;NĂ&#x201A;>ĂŤ ÂŹ 3Â&#x2022;Ă&#x192; Ă&#x201E; . Ă&#x203A; Ă&#x160; Ă&#x153;Ă&#x2039; ĂŤ ÂŹ ¸ š Âť Ă&#x2021;>¨ ÂŤ Ă&#x2C6; Â&#x201A; Âş Ă&#x2030; : 6.2.19 Ă&#x152; Ă?BĂ&#x17D; Ă? Ă? Ă&#x2018; k, X Y Ă°BĂą ò>Ăł Zw(k) = 0. kâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; θ(k) lim

Zw(n)

6.3

ĂžxĂż

ôÜþøáúÚøÝýß

Zw(n) = Zw(n + 1) + Zw(n + 2) w 1000 u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 . ĂžxĂż 6.2: Zw(n) + Zw(n + 1) = Zw(n + 2) w 1000 u '3 Zw(n) 3 , p Š p 6Â&#x17D; 1 6.1:

.

.

Zw(1) + Zw(2) = Zw(3), Zw(3) + Zw(4) = Zw(5), Zw(15) + Zw(16) = Zw(17), Zw(31) + Zw(32) = Zw(33),

ĂžxĂż

Zw(127) + Zw(128) = Zw(129), Zw(225) + Zw(256) = Zw(257).

Zw(n) = Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , Â&#x161; w  pN3 f n, ĂŁ Â&#x161; Â&#x152;Bw Âť 1000 ? ÂŞÂ z ÂŤ Ă&#x2C6; n Â&#x161; "Ă&#x2122; , aBĂ&#x2026; ã Bp"1 . d e a , n Â&#x161; "Ă&#x2122;­g Zw(n) Â&#x161; BĂ&#x2122; , Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) Â&#x161; BĂ&#x2122; . í­g , ĂŁ  j Â&#x152; Âť . Ă&#x2C6; n, n + 1, n + 2 Â&#x161; â ĂŁ äbĂĽ Ă&#x2122; , ĂŹ p n = n + 3n + 2, Â&#x203A; Â&#x153; è j Â&#x152; Âť Ă&#x2021; ĂŁ p 1 .

6.3:

2

82

, ,

ĂžxĂż

ĂĄ

Smarandache

â ĂŁ äbĂĽÂ Ă?>Ă&#x2122;

Zw(n) ¡ Zw(n + 1) = Zw(n + 2) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , Â&#x161; w  pN3 f n, ĂŁ Â&#x161; Â&#x152; wÂť 1000 ? ÂŞBz"ÂŤ Ă&#x2C6; n Â&#x161; Ă&#x2122; , a Ă&#x2026;BĂŁ p 1 . d"e a , n Â&#x161; Ă&#x2122; g , Zw(n) Â&#x161; BĂ&#x2122; , Zw(n + 1) ¡ Zw(n + 2) Â&#x161; BĂ&#x2122; . í­g , ĂŁ  j Â&#x152; Âť . Ă&#x2C6; n, n + 1, n + 2 Â&#x161; â ĂŁ äbĂĽ Ă&#x2122; , ĂŹ p n + n = n + 2, Â&#x203A; Â&#x153; è j Â&#x152; Âť , Ă&#x2021; ĂŁ p 1 . ĂžÂ&#x2022;Ăż 6.5: ! ' Zw(n) ¡ Zw(n + 1) = Zw(n + 2) ¡ Zw(n + 3) . u '3 Zw(n) 3 , ĂŁ p 1 , Â&#x161; w  pN3 n, ĂŁ Â&#x161; Â&#x152; Âťw 1000 ? ĂžxĂż 6.6: Zw(n) = S(n) , C)D S(n)" Smarandache # Ă&#x2018; . ĂžxĂż 6.7: $ I %'& bĂ? Ă? Ă&#x2018; k, ( ) Zw(n), ¡ ¡ ¡ , Zw(n + k) D+* , - $ H Ă&#x2018; . Ăž'Ăż 6.8: . ' Zw(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zw(n)) = 0 , C D Z(n)" / Smarandache #žĂ&#x2018; . ĂžxĂż 6.9: 'AB/ Zw(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zw(n)) > 0 . ĂžxĂż 6.10: 'AB/ Zw(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zw(n)) < 0 . ĂžxĂż 6.11: '#žĂ&#x2018; 6.4:

2

10

Zw(Z(n)), Z(Zw(n)), Zw(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zw(n)) .

Ăž Ăż 6.12: " 243 5 687Â Ă?"Ă? Ă&#x2018; Zw(n) 9 : . ĂžxĂż 6.13: "' 2 3 5 Ă? Ă&#x2018; k > 1; : .

m, n, k,

n>1

( )

( )

Zw(m ¡ n) = mk ¡

Zw(n)k = kZw(n ¡ k)

9 83

þxÿ

Smarandache

6.14:

0 1 2"3 465 7 8 9 : ;

Zw(n)r + Zw(n)r−1 + · · · + Zw(n) = n

C)D r " Ï Ð Ñ , <

84

r ≥ 2.

= > ?

B C D

Smarandache

@ A s Ă?>Ă&#x2122;

Smarandache E

FHG IKJ

LNM è ÂŁ Ă? Ă&#x2122;BÂ&#x161; O P Q R S'T U V Ă&#x2122; Ă&#x2030; ÂŁ W _ X F.Smarandache Y ZBd ÂŚ [  Ă

b

c U­ Problems, Not Solutions ^ Â&#x2039; ` a­3 , š egf h 3b3]Ă&#x17E; \ Ă&#x;Only ! i j , ¸ š kNm Smarandache @ A s Ă?>Ă&#x2122; 3 ĂŤ i Ă&#x2013; l 7.1 Ă&#x152; Ă? Ă&#x17D; Ă?BĂ? Ă&#x2018; n, Smarandachem n1o.#bĂ&#x2018; Sdf (n)p'q r <>= Sdf (n)!! s t nĂ? u 1%'& bĂ? Ă? Ă&#x2018; .

7.2 Smarandache vxwzy ôÜþøá|{~}Â&#x20AC; Â&#x201A; Ă&#x2022;Â&#x2030;Â&#x2C6;Â&#x2039;Â&#x160;Â?Â&#x152;Â&#x2021;Â&#x17D; 7.2.1 Smarandache Â&#x192;Â&#x2026;Â&#x201E;Â&#x2021;Â&#x2020;ÂąĂ&#x201D;)R Ă&#x2013; Ă&#x2014; 7.2.1 Ă&#x152;!Â?bĂ?BĂ&#x17D; H Ă&#x2018; p, Sdf (p) = p. Ă&#x2013; Ă&#x2014; 7.2.2 Ă&#x152;!Â?bĂ?BĂ&#x17D; Â? Â&#x2018; gÂ&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C;4Â&#x2022; Ă&#x2018; n, X Y Â&#x2013; 7.1

Sdf (n) = 2 ¡ max{p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk }

C)D

" n >H.Â&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C; . \ ] : j Â&#x2014; ÂŁ4Â&#x2DC; Ă&#x17E; , ¸ š Â&#x192; n = p ¡ p ¡ p , Â&#x2122; Â&#x2039; p > p > p Š p = 2. Ă&#x2C6; Ă&#x2122;Â&#x2030;Â&#x161; A sBÂ&#x161; n Â&#x161; Â&#x203A;BĂ&#x2122; , Â&#x153;'Â? Â&#x2018; Â&#x2019; 2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ m Â&#x17E;4Â&#x; n|  'Â&#x161; ÂĄ ¢ { | Ă&#x2122; mÂ&#x161; 2 ¡ p . d e a w Â&#x2122; m = 2 ¡ p , ¸ š p : {p1 , p2 , p3 , . . . pk }

1

3

2

3

3

2

1

1

3

2 ¡ 4 ¡ 6 ¡ 2 ¡ p2 ¡ 2 ¡ p3 = (2 ¡ p2 ¡ p3 )(4 ¡ 6 ¡ 2 ¡ 2) = k ¡ (2 ¡ p2 ¡ p3 ), k â&#x2C6;&#x2C6; N

Ă&#x2013; Ă&#x2014;

7.2.3

Ă&#x152;!Â?bĂ?BĂ&#x17D; Â? Â&#x2018; gÂ&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C; Ă&#x2018;

n,

X Y Â&#x2013;

Sdf (n) = max{p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk },

C)D

" n >H.Â&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C; . \ ] : j Â&#x2014; ÂŁ4Â&#x2DC; Ă&#x17E; , ¸ š Â&#x192; n = p ¡ p , Â&#x2122; Â&#x2039; p Ă&#x161; p Â&#x161; Â? Â&#x17D; jNq4Â&#x161;>r Ă&#x2122; Š p > p ÂŁ . ÂŁ ÂŁ ÂŤ p Â&#x161; Ă&#x2122; n Â&#x161;8A s ¤ Â&#x161; nÂ&#x2021; Â&#x161;ÂĽÂ&#x203A; Ă&#x2122; , ä Â&#x2021;Bf p < p g è Â&#x17D; A s ĂŤ8ÂŚ § p ¡ p Â&#x161;Â&#x2022;t , ¨ ĂŻ Â&#x161; n Â&#x161;1A s : 1 ¡ 3 ¡ 5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ p ¡ p . {p1 , p2 , p3 , ¡ ¡ ¡ , pk }

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

85

Smarandache

Ö ×

7.2.4

³'Ñ

©4ª «' ¬®­ ¯ ° ± ² " ´ µ

∞ X

1 Sdf (n) n=1

.

\ ] : è "ë ¬ v h6ÚB X 1p 1¶ · Þ £ ¸ ¨B«! , ­ p y z r Ù . d e a , h¾ë ¬ 7.2.1 ¨ X Sdf1(k) > X 1p , è ï Á NÂ>ë ¬! à Ä. Ö × 7.2.5 Sdf (n)¹ º #¾Ñ "!»1 8¼ #¾Ñ . ½ ¾8" ¿ (n, m) = 1 À p ∞

p

k=1

Sdf (n + m) 6= Sdf (n) + Sdf (m).

\ ] : d e a , Á È :Sdf (2 + 15) 6= Sdf (2) + Sdf (15). Ö × 7.2.6 Sdf (n)¹ º #¾Ñ "!»1 og#¾Ñ . ½ ¾8" ¿ (n, m) = 1 À Sdf (n · m) 6= Sdf (n) · Sdf (m).

\ ] : d e a , Á È :Sdf (3 · 4) 6= Sdf (3) · Sdf (4). Ö × 7.2.7 Sdf (n) ≤ n. \ ] : d e a , f n 4 â ã äbå Ù g , h¾ë ¬ 7.2.1, 7.2.2Ú ë ¬ 7.2.3, p Sdf (n) ≤f n. f n j  â ã ä å h ÙN£ g , hx Ý'Ù Sdf (n) ¡ à £ ë j à n, ¸ ¹ Æ « n 1A s , ë n Ù . Ö × 7.2.8 ³'Ñ X Sdf (n) " ´ µ . n \ ] : d e a , X Sdf (k) > X Sdf (p) , P y z r Ù . h6 r k p Ù pp Â Ä Å Æ , à © Sdf (p) = p, ä í X Sdfp(p) ¶ · . Ö × 7.2.9 Ì ÍBÎ Ï Ð Ñ , Ç4È Sdf (n) ≥ 1. ∞

n=1

∞

∞

k=1

p=2

∞

p=2

86

= > ?

@ A8É Ý>Ù ÊgË : è ÆBë ¬ .Ì Í Ý Ùg 'ë Î £ ¸ ¨ « . Ï Ð Ñ , Ò n = 1 Ó , Ô Õ ë Î ¡ ¢ Ö ×BÙ ØBë Ù 1. Ò n 6= 1 Ó , Í Ú 1 A É ØBë Û Ù n Ù , Ü.Ì Sdf (n) ≥ 1. Ö × 7.2.10 Ì ÍBÎ Ï Ð Ñ , Ç4È 0 < Sdf (n) ≤ 1. n Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Ý 7.2.7Ú ë4Ý 7.2.9£ ¸ ß à . Ö × 7.2.11 Sdf (p ) = 2p , á â p ã'ä4å k º4æ Ñg o ç . Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Ý 7.2.2£ ¸ ß à . Ö × 7.2.12 è Sdf (n) = 1 'é ê8º Ï Ð Ñ . n Ê Ë : è Æ ë Ý ÞëÌ'Íbë Ý 7.2.1£ ¸ ß'à . Ï'Ð Ñ , ì  Ä'Å4Æ'í Ù Ô Õ ã . Ö × 7.2.13 #¾Ñ Sdf (n)î ï ð1 ñ » ò . ó ¾8" Sdf ( ) = , Sdf ( ð ) = ð . Ê!Ë : è Æ ë4Ý Þ Ì Í¾ë4Î £ ¸ ß à . Ö × 7.2.14 ô õ ö¥ è Sdf (n) = Sdf (n + 1)÷1 ø ù4ú . Ê Ë : Ï Ð Ñ , Û Ü"ë Ý 7.2.13, nÚ Sdf (n) Þ û ü Ø ý . ä>í Ò n þ8 Ù Ó , Sdfß (n) ¨ Ù Ù , n + 1Ù Ù , Sdf (n + 1)Ù Ù . í!Ó ã  ª . ÿ+Ý Þ , Ò n þ8 Ù Ó , ã  ª .

7.3 Smarandache vxwzy ôöõø÷úùøûýü þxÿ 7.1: ó |Sdf (n + 1) − Sdf (n)|"'2 . þ>ÿ 7.2: $ 4è Sdf (n + 1) = k, Sdf (n) = k 1ø ù ú' .

Sdf (n) Sdf (n + 1) á â k " 8ø ù4ú , 4 < ! å - º è n > 1.

: = Ø4 Æ Â ª . # k

Smarandache

k

# k

87

þxÿ

©4ª «' ¬®­ ¯ ° ± ² Ç4È p q Sdf (n) k !r :

Smarandache 7.3:

Sdf k (n) = Sdf (Sdf (Sdf · · · (Sdf (n)) · · · )),

á â Sdf k . ! 1 n, Sdf (n) ! " s$# %

º p'& (*)* º'+ , .

- . 7.4: / 0!1* ¥ø ù4ú k, 2 # Sdf (n)3 Sdf (k + n)46587 9 : ; º4æ4ú .

-$. 7.5: g n ≥ 1, <>= Smarandachem!n @ o ?+ú Sdf (n)A BDC E!FD 1@ ú G 0.1232567491011 · · · H ú I ! H ú . Ç È J ¹ º1 ú K SmarandacheL M8N O ú .

- .

k=1

88

(−1)k · Sdf (k)−1

7.7:

P Q

- .

1 Sdf (n) n=1

7.8:

Q R

Sdf (k) k→∞ θ(k)

7.9:

∞ Y

lim

&

&

.

.

& , á â

: ;!S8T ! ø ù4ú

θ(k) =

m,n,k,

X

ln(Sdf (n)).

n≤k

2 # U V

Sdf (n · m) = mk · Sdf (n) .

- . 7.10: - . 7.11: ø ù4ú [ .

-$. 7.12: ú [ .

- . 7.13:

â

P Q

- .

- .

F W

7.6:

∞ X

/ X Y è

Sdf (n)! = Sdf (n!)

!

k > 1 n > 1,

g

k > 1,

/!X Y4è

k > 1, m, n > 0.

3

/ X Y1è

/ X Y è

Z 1 ø ù4ú [

.

Sdf (nk ) = k · Sdf (n)

Sdf (nk ) = n · Sdf (k)

Sdf (nk ) = nm · Sdf (m)

Z

8 ø ù

* ø ù ú![ , á

\ ] ^

- .

F W . ¿ - .

F W . ¿ - .

F W . ¿ - .

F W . ¿ - . i$o ·*p - .

7.14:

_ `8Ã&#x2030; a b dc ?Â&#x201D;ú Sdf (n) Ã¥ e º'& , »ZU V Smarandache

n 1 â&#x2030;¤ · n + 2, 1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 1000 Sdf (n) 8

Ã&#x20AC; f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?Â&#x201D;ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.15:

1 Sdf (n) â&#x2030;¤ 0.73 , 1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 1000 n n

Ã&#x20AC; f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?Â&#x201D;ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.16:

1 1 1 + < nâ&#x2C6;&#x2019; 4 , 2 < n â&#x2030;¤ 1000 n Sdf (n)

Ã&#x20AC; f'»ZU V8 !8g@h'F W . dc ?Â&#x201D;ú Sdf (n) Ã¥ e 'º & , »ZU V

n > 1000 , 7.17:

5 1 < nâ&#x2C6;&#x2019; 4 , 1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 1000 n · Sdf (n)

Ã&#x20AC; f'»ZU V8 !8g@h'F W .

Smarandache_ `8 Ã&#x2030; a b a b

n > 1000 , 7.18:

â&#x2C6;&#x17E; X

1 , a (n) Sdf n=1

m@n

Sdf (n)

i8j*k l b

a > 0, a â&#x2C6;&#x2C6; R

.

7.19:

< lim

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

n X ln Sdf (k)

ln(k)

k=2

& ! qZr c*s4ºZt u ú v O ú

n

.

89

- .

á â á â

Smarandache 7.20:

w x y!i z|{ } m ~*

X [ Y è Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = n,

r≥2

ø ù4ú . $

Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = k · n,

r, k ≥ 2

- .

" ø ù4ú

7.21:

<

.

Sdf

m Y

k=1

90

mk

!

3

m X k=1

Sdf (mk )

.

\ Â&#x2026;*^ Â&#x2020; Â&#x2021;Â&#x2030;Â&#x2C6; Â&#x160;

Â&#x2039;

Smarandache-totient

a b

Smarandache-totient Â&#x152;Â&#x17D;Â?

Â?Â&#x2018;Â? Â&#x2019;*Â&#x201C; , Â&#x201D;*Â&#x2022; Â&#x2013; Â&#x2014; Â&#x2020; Smarandache-totient a bdi'Â&#x2DC;4Ă&#x17D; Â&#x2122; Â&#x161; 8.1 8 ø Ăš4Ăş n, K Smarandache-totient ?Â&#x201D;Ăş Zt(n) Â&#x203A; Â&#x153; Â? Â&#x17E; Â&#x; X Ď&#x2022;(k)  $ÂĄ nĂš ¢ Z0!1* ¼ø Ăš4Ăş m, ĂĄÂ&#x2030;â Ď&#x2022;(n) Euler ?Â&#x201D;Ăş .

8.1

m

k=1

ÂŁ

8.2 8.2.1

Â&#x2122;*Âť

Smarandache-totient ¤Œ¼Â&#x17D;§Š¨ª­¯Ž

°

Smarandache-totient

8.2.1

?Â&#x201D;Ăş

Zt(n)

¹D²Œ³D´œ¾¸¡ºš

Âź ½Zž Âż Ă&#x20AC; ½Zž*N , Ăł Ă ÂşĂ&#x201A;

(m, n) = 1

Ă&#x192;

,

Zt(m + n) 6= Zt(m) + Zt(n), Zt(m ¡ n) 6= Zt(m) ¡ Zt(n).

Ă&#x201E;dĂ&#x2026; : Ă&#x2020; Ă&#x2021; Ă&#x2C6; , Zt(2 + 3) 6= Zt(2) + Zt(3), Zt(2 ¡ 3) 6= Zt(2) ¡ Zt(3). Â&#x2122;*Âť 8.2.2 8ø Ăš4Ăş n > 1, Ă&#x2030;'Ă&#x160; Zt(n) > 1. Ă&#x201E; Ă&#x2026; : Ă&#x2020; Ă&#x2021; Ă&#x2C6; , Ă&#x2039; Ă&#x152;dĂ? n > 0 Ă&#x17D; , Ď&#x2022;(n) > 0. Ă? n = 1 Ă&#x17D; , Ď&#x2022;(n) = 1. Ă? @ Ă? Ă? Ă&#x2018; Ă&#x2019; Ă? n = 1 Ă&#x17D; , Zt(n) = 1. Â&#x2122;*Âť 8.2.3 8ø Ăš4Ăş n â&#x2030;Ľ 1, Ă&#x2030;'Ă&#x160; Zt(n)

X k=1

Ă&#x201E;dĂ&#x2026; : Ă&#x201C; Ă&#x201D;

Ď&#x2022;(k) â&#x2030;¤

Zt(n) = m. m X k=1

Zt(n) ¡ (Zt(n) + 1) .

2

Ă&#x2022;1Ăž Ă?

Ď&#x2022;(k) â&#x2030;¤

m X k=1

nâ&#x2030;Ľ1 k=

Ă&#x17D;

, Ď&#x2022;(n) â&#x2030;¤ n.

Ă&#x152; Ă&#x2013;4ĂŹ

m ¡ (m + 1) .

2 91

Smarandache

*» ß à

×1ú

8.2.4

∞ X

1 Zt(n) n=1

ÄdÅ : *Ú Û Ü , Ó Ô

*»

k

×Zä

Ö â ã i

∞ X Zt(n)

n

n=1

k=1

ϕ(k) = a · n,

Ø*Ù

.

.

, ∞ X Zt(n)

Ì Ö*å æ á l b â ã . *» 8.2.6 n ≤ π

n

n=1

ÄdÅ : Æ Ç È , |Ë Ì

2

3

n X

≈π·

∞ X n=1

ϕ(k) ≈

ç è édiZê ë ì í n ≤ n , Ý Ö*î*ï i *» 8.2.7 X ϕ(k) ≥ n.

2

k=1

3

n

k=1

k=1

Zt(n)

p a·n

ϕ(k).

n X

92

m X

∞ ∞ X 1 1 3 X1 p ≈ > Zt(n) n=1 π a·n a · π n=1 n 3 n=1

∞ X 1 lim n→∞ n n=1

ÄdÅ : Æ Ç È

.

Ì Ö

∞ X

8.2.5

Ø*Ù

Zt(n) = m, , r π2 · a · n m≈ 3

Õ$á à

3 · m2 ≈ a · n. π2

â ã , Ý Ö Õ1þ

w x y!i z|{ } m ~*

3n2 , π2 .

∞ X 1 > . n n=1

Ý Þ

a ∈ N.

\ Â&#x2026;*^ Â&#x2020; Smarandache-totient a b Ă&#x201E; Ă&#x2026; : Ă? Ă° ĂŞ Ăą*ĂĽ Ă? Ă&#x2039; Zt(n) i'Â&#x2DC; Ă&#x153;*ò Ăł Ă´ Ăľ . Ă&#x2020; Ă&#x2021; Ă&#x2C6; d m X k=1

Ă?

a=1

Ă&#x17D;

,

m X

Ď&#x2022;(k) = n.

Ď&#x2022;(k) = a ¡ n, (a â&#x2C6;&#x2C6; N).

Ă?

a>1

Ă&#x17D;

,

k=1

m X

Ď&#x2022;(k) > n.

Ă&#x152; Ă&#x2013; Â&#x2DC; ĂŠ Ă´*Ăś

Zt(n) â&#x2030;&#x2C6; Ď&#x20AC; ¡

r

8.3

,

r a¡n n , a â&#x2C6;&#x2C6; N. â&#x2030;Ľ Ď&#x20AC;¡ 3 3

á ø*Ăš Ăş*Ăťda b , 'ĂŹ Ă&#x2013; Ăź Ă˝ Ăž n i$Ăż Ăť b . Â&#x2122;*Âť 8.2.9 Zt(n) < n ½ 'F W . Ă&#x201E;dĂ&#x2026; : Zt(n) i Ă? Ă° Ăź ĂĄ Ăź : Zt(3) = 4, Zt(7) = 9 . Â&#x2122;*Âť 8.2.10 Zt(n) & N â&#x2C6;&#x2019; {0}, N ä "!

bnc

Ă&#x201E;dĂ&#x2026; : Ă&#x2020; Ă&#x2021; Ă&#x2C6; , # $ % Ăť b

' Ă´

.

k=1

*Â&#x2122; Âť 8.2.8 Zt(n) â&#x2030;Ľ Ď&#x20AC; ¡ r n .

3 Ă&#x201E;dĂ&#x2026; : Ă? Ă° ĂŞ Ăą*ĂĽ Ă? Ă&#x2039; Zt(n) i'Â&#x2DC; Ă&#x153;*ò Ăł Ă´ Ăľ . Ă&#x2020; Ă&#x2021; Ă&#x2C6; m@n

,

nâ&#x2030;&#x2C6;

m,

Â&#x201D;*Â&#x2022; ĂĽ "Ă? & Ăľ Â&#x2013; Â&#x2DC;!i

n,

.

3 ¡ m2 , aâ&#x2C6;&#x2C6;N a ¡ Ď&#x20AC;2

Zt(n) = m.

ÂŁ

Smarandache-totient ¤Œ¼Â&#x17D;§)(+*-,

- . 8.1: / . Â&#x17E; Â&#x; Zt(n), Zt(n + 1), Zt(n + 2), ¡ ¡ ¡ , Zt(n + k) / 0 1dC Z 0 2" ä k.

93

w x y!i z|{ } m ~* : # Ì 1000 Ð 3 i Zt(n) i" , * ô æ k = 5, k = 4 Î , à Smarandache

Zt(514) < Zt(515) < Zt(516) < Zt(517) < Zt(518) < Zt(519),

- .

Zt(544) < Zt(545) < Zt(546) < Zt(547) < Zt(548).

/ X Y54 Zt(n) = n 6ZÊ ä [ . # Ì 1000 Ð7à 3 i Zt(n) i8 , ô æ n = 1, C 2, 5Ö 9 : ;Di x . < Ö 9 : ; Ö = > m ? x . ádÎ , * @ A B*x iD: ; 8.2:

n X

ϕ(k) = a · n, a ∈ N.

- . 8.3: " ! A Zt(n) < n EDF GHE IZä , " ! B

A n EDF GHE IZä , J X lim .

B - . 8.4: P L Q K M E & N O'Ê P : k=1

Zt(n) >

n→∞

dn = |Zt(n + 1) − Zt(n)| rn =

ln =

- .

|Zt(n) − Zt(m)| |n − m|

J / XQ ä

8.5: (1) Zt(n)|Zt(n + 1), (2) Zt(n + 1)|Zt(n).

# Ì

1000

Ð 3 i

Zt(n + 1) Zt(n)

Zt(n)

n,

n, m ∈ N

2 R

i" , * & õHS

(1)

i$Ï à x í

Zt(1)|Zt(2), Zt(2)|Zt(3), Zt(80)|Zt(81), Zt(144)|Zt(145), Zt(150)|Zt(151), Zt(396)|Zt(397), Zt(549)|Zt(550), Zt(571)|Zt(572), Zt(830)|Zt(831).

94

:

\ Â&#x2026;*^ Â&#x2020;

(2)

i$Ă? Ă x Ă­

Smarandache-totient

a b

:

Zt(34)|Zt(33), Zt(46)|Zt(45), Zt(75)|Zt(74), Zt(86)|Zt(85), Zt(90)|Zt(89), Zt(108)|Zt(107), Zt(172)|Zt(171), Zt(225)|Zt(224), Zt(242)|Zt(241), Zt(465)|Zt(464), Zt(650)|Zt(649), Zt(886)|Zt(885).

Ăą*Â&#x201D;*Â&#x2022; T

C, D

U V á ø

(1)

k

(2)

i$x i$Ă° b , W B

D , nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; C lim

X Y [ \ X"Y

(D â&#x2C6;&#x2019; C)2 . nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; |C 2 â&#x2C6;&#x2019; D 2 | lim

Z X Y54 Zt(n + 1) = Zt(n) E 6ZĂ&#x160; ä [ .

: Â&#x201D;*Â&#x2022; ] ^ Ă? Ă° : ; _ x .

8.7: Z X Zt(n + m) ` Zt(n), Zt(m)acb E Â&#x192;dÂ&#x201E; ,  8Â&#x201A; Zt(n ¡ m) ` Zt(n), Zt(m)adbQE Â&#x192; Â&#x201E; .

X Y 8.8: e fhg ä Zt(n)i Ď&#x2022;(n). jlknmporq K s Zt(n) > Ď&#x2022;(n) EDF GHE IZä , q L Zt(n) < Ď&#x2022;(n) EDF GHE IZä . P Q 8.6:

K . nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; L lim

Ă

:

UHt u Ă&#x152;6a b

Zt(n)

k

Ď&#x2022;(n)

i v

100

Ă° n , H

i

Zt(n) > Ď&#x2022;(n) n

n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27 ¡ ¡ ¡

w

Ă?

i Ă

Zt(n) < Ď&#x2022;(n) n

:

n = 11, 21, 22, 23, 28, 29, 32, 35, 42, 43, 46, 49, 51 ¡ ¡ ¡

Ă&#x17D; : ;

1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 10000 ,

Zt(n) = Ď&#x2022;(n)

Ă Ă? 9 Ă° x

:

n = 1, 40, 45, 90, 607, 1025, 1214, 2050, 5345.

95

w x y!i z|{ } m ~* W B : : ; Zt(n) = ϕ(n)Ö = à àpx ð x . y z

Smarandache

ð b

.

X Y

{ | Zt(n) EQ}8!dg äpE n E ~ Zt(n) i k Q da b í : 8.9:

i i

|K − L|=0 n

.

Ztk (n) = Zt(Zt(Zt(· · · (Zt(n)) · · · )

m n Zt k . à @ W B : #!Ì Ï i n, L L Zt(n) i ô!õ ð 7 ð H L X Y 8.10: Z X Y54 Zt(n) + Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E 6ZÊ ä [ , Q f7 54pE8 N O5N Êp I . # Ì 1000 Ð 3 i Zt(n) i" , * & õHS È : ; i$x í n = 6:

Zt(6) + Zt(7) = Zt(8).

X Y

8.11:

# Ì

1000

.

Z 54

Ð 3 i

Zt(n)

Zt(n) = Zt(n + 1) + Zt(n + 2)

E 6ZÊ ä

i" , * & õHS È : ; i$x í

n = 49:

Zt(49) = Zt(50) + Zt(51).

9 : ; Ö = m ? i$x ?

XDY 8.12: ZL 7 Q4 .

Zt(n) = Zt(n + 1) · Zt(n + 2)

E 6 Ê7 7 ä

# Ì 1000à ÐL3 i Zt(n) i5 , L à & õ 7 È L: ;6i'x , ë ! < Zt(n + 1) · Zt(n + 2) 9 ,: ; ñ*Ö *= å x Ð ? ö z Ý ð Lü * Û ¡ ÷ : Zt(n) , ì8¢*ö SD9 : ; _ x .

XDY 8.13: ZL 7 Q4 Zt(n) · Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E 6 Ê7 7 ä .

96

ÂŁ Â&#x2026; ¤ Â&#x2020;

8ÂĽ Â? #!Ă&#x152; 1000Ă Ă?L3 i Zt(n) 5i , Â&#x201D; Â&#x2022;LÂ&#x2014; Ă & Ăľ 7 Ă&#x2C6; Â&#x201C;L: ;6i'x , Â&#x2DC; ĂŤ 9 : ; Ă&#x2013; = x ?

X Y 8.14: Z Â&#x201D; Â?54 Zt(n) ¡ Zt(n + 1) = Zt(n + 2) ¡ Zt(n + 3) E 6 Ă&#x160; ä Â&#x2018; . #!Ă&#x152; 1000Ă Ă?L3 i Zt(n) i5 , Â&#x201D; Â&#x2022;LÂ&#x2014; Ă & Ăľ 7 Ă&#x2C6; Â&#x201C;L: ;6i'x , Â&#x2DC; ĂŤ 9 : ; Ă&#x2013; = x ?

X Y 8.15: Z Â&#x201D; Â?54 Z(n) = Zt(n) E 6ZĂ&#x160; ä Â&#x2018; , ÂŚl§ Z(n)N Pseudo-Smarandache g ä . # Ă&#x152; 60 Ă?73 i Zt(n) i8 , Â&#x201D; Â&#x2022; & Ăľ Ă&#x2C6; Â&#x201C;7: ;Di x Ă­ :n =Ă 1, 24, ĂŹ Z(1) = Zt(1) = 1, Z(24) = Zt(24) = 15. Â&#x2DC;!ĂŤ 97:7; Ă&#x2013;L= > mH? x ?

X"Y 8.16: Z7Â&#x201D; Â? 4 Zt(n) = Z(n) â&#x2C6;&#x2019; 1i Zt(n) = Z(n) + 1 EQ6 Ă&#x160;

ä Â&#x2018; . # Ă&#x152; 60 Ă? 3 i Zt(n) i" , Â&#x201D;*Â&#x2022; â ¨ : ; Zt(n) = Z(n) â&#x2C6;&#x2019; 1 i Ă : Smarandache-totient

Zt(2) = Z(2) â&#x2C6;&#x2019; 1, Zt(9) = Z(9) â&#x2C6;&#x2019; 1,

: ;

i Ă

Zt(18) = Z(18) â&#x2C6;&#x2019; 1, Zt(44) = Z(44) â&#x2C6;&#x2019; 1.

Zt(n) = Z(n) + 1

:

Zt(5) = Z(5) + 1, Zt(6) = Z(6) + 1, Zt(10) = Z(10) + 1, Zt(20) = Z(20) + 1,

Â&#x2DC; ĂŤ 9 : ; Ă&#x2013; = Ă Ă px Ă° x ?

XnY 8.17: ZŠÂ&#x201D;ÂŞÂ?h4 Zt(n) = S(n) EÂŤ6 Ă&#x160;ÂŹ ÂŹ ¸äŠÂ&#x2018; ,ÂŚ § S(n)N Smarandache g ä . # Ă&#x152; 84 Ă? 3 i Zt(n) i" , Â&#x201D;*Â&#x2022; â ¨ : ; Zt(n) = S(n) i Ă : Zt(40) = Z(40) + 1, Zt(51) = Z(51) + 1.

Zt(1) = S(1), Zt(2) = S(2) = 2, 97

Smarandache

w x y!i z|{ } m ~*

ë 9 : ; Ö = > à m ? x ?

X"Y 8.18: Z7 4 S(n) = Zt(n) + 1i S(n) = Zt(n) − 1 EQ6 Ê

ä . # Ì 84 Ð 3 i Zt(n) "i , * â ¨ : ; S(n) = Zt(n) + 1 i à : Zt(5) = S(5) = 5, Zt(10) = S(10) = 5.

S(4) = Zt(4) + 1.

: ;

S(n) = Zt(n) − 1

i à

:

S(3) = Zt(3) − 1, S(6) = Zt(6) − 1, S(9) = Zt(9) − 1, S(17) = Zt(17) − 1, S(18) = Zt(18) − 1, S(34) = Zt(34) − 1,

ë 9 : ; Ö = > à m ? x ?Ö = à àpx ð x ? â ¨ à ® !ñ H­7BL:7; S(n) = Zt(n) − 1 iZx , ð ¯ ° i x n = 17k n = 18. Ö = > ± ²@i$x ?

X Y 8.19: Z 54 S(n) = 2 · Zt(n) − Z(n) E 6ZÊ ä . # Ì 84 Ð 3 i Zt(n) i" , * â ¨ à ® ð x : S(51) = Zt(51) − 1.

S(9) = 2 · Zt(9) − Z(9), S(18) = 2 · Zt(18) − Z(18).

ë : ; i$x ³p´ i8u µ .

X Y 8.20: Z 54 Zt(p) = p E 6ZÊ ä , l ¦ § pi p d N ½H¶ E8G ä . # Ì 60 Ð 3 i Zt(n) i" , * â ¨ à · ð x : 0

Zt(29) = 13, Zt(41) = 67, Zt(43) = 23.

ë : ; Ö = m ?H¸$x 98

.

0

ÂŁ Â&#x2026; ¤ Â&#x2020;

ä

.

8ÂĽ Â?

5X Y 8.21: ZHÂ&#x201D; Â? 4 Zt(p) = p E 6 Ă&#x160; äHÂ&#x2018; , r ÂŚ § pL N špÂş G # Ă&#x152; 60 Ă? 3 ¸ Zt(n) ¸" , Â&#x201D;*Â&#x2022; â ¨ Ă ÂŽ Ă° x :

Smarandache-totient

Zt(2) = 2, Zt(5) = 5.

Â&#x2DC; ĂŤ : ; Ă&#x2013; = Â&#x2022; Â&#x2013; Âť ?H¸$x .

X"Y 8.22: Z . Â&#x17E;'Â&#x; Zt(n)i Zt(k + n)acb8ÂźL½Dž7Âż7Ă&#x20AC; I G*ä p E Ă Ă&#x201A; ä k.

X Y 8.23: Z Â&#x201D; Â?54 Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n)) = 0 ED ä Â&#x2018; .

X Y 8.24: Â&#x201D; Â&#x2018;!½ Ă&#x192;LĂ&#x201E; Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n)) > 0.

X Y 8.25: Â&#x201D; Â&#x2018;!½ Ă&#x192;LĂ&#x201E; Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n)) < 0.

X Y 8.26: Ă&#x2026;HĂ&#x2020; g ä Zt(Z(n)), Z(Zt(n))i Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n)) E Ă&#x2021;HĂ&#x2C6; .

X Y 8.27: Ă&#x2030;cĂ&#x160; lim Z E ~ , Œ§ Z = X Zt(Z(n)), Z = 1

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

X n

1

Z2

2

n

Z(Zt(n)).

X Y

8.28:

Ă&#x2030;7Ă&#x160; X n

. lim

X X

Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n))

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

n

n

X Y

|Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n))|

8.29:

Ă&#x2030;7Ă&#x160;

lim

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

X

!2

n

|Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n))|

n

(Zt(Z(n)) â&#x2C6;&#x2019; Z(Zt(n)))2

X

99

Ë Ì7Í ¸7ÎÐÏ Ñ » Ò Ó Ô

Smarandache

E ~

E ~

.

X Y

É7Ê

8.30:

X

X 1 1

lim

−

n→∞

Zt(Z(n)) Z(Zt(n)) n n

.

X Y

É7Ê

8.31:

lim

E ~

n→∞

.

X Y X Y

ÅHÆ g ä É7Ê

8.32: 8.33:

lim

n→∞

E ~

.

X Y

Zt1 =

X n

Zt2 =

X n

i

Z(n) Zt(n)

1 , (Zt(n))!

X Zt(n)

X

n!

n

1

n Y

Zt4 (a) =

n

n Y

,

Z1 =

X n

Z2 =

Zt5 =

n

100

n!

n

,

Z3 =

X n

Zt(i)

:

1 , (Z(n))!

X Z(n)

,

1

n Y

,

Z(i)

i=1

n

a

,

Z4 (a) =

na , n Y Z(i) i=1

n−1

· Zt(n) , n!

X n

Zt(i)

i=1

X (−1)

.

E8ØLK ÙD~LÕ Ö

i=1

X

E5Õ Ö

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

n

Zt3 =

Z(n)

n

F (n) = S(Z(Zt(n)))

e f Ç × g ä

8.34:

X Zt(n)

Z5 =

X (−1)n−1 · Z(n) n

n!

,

ÂŁ Ă&#x161; ¤ Ă&#x203A; Zt6 =

Smarandache-totient

X Zt(n) , (n + 1)! n

â&#x2C6;&#x17E; X Zt(n) Zt7 = , (n + r)! n=r

Z6 =

X n

1

n X i=1

Zt10 (a) =

X n

Zt(i) i!

X Z(n) , (n + 1)! n

â&#x2C6;&#x17E; X Z(n) Z7 = , (n + r)! n=r

â&#x2C6;&#x17E; X Zt(n) Zt8 = , (n â&#x2C6;&#x2019; r)! n=r

Zt9 =

ÂĽ8Â?

,

â&#x2C6;&#x17E; X Z(n) Z8 = , (n â&#x2C6;&#x2019; r)! n=r

Z9 =

X n

1

n X i=1

1

Z(i) i!

,

X 1 p p , Z10 (a) = , a a (Zt(n)) ¡ Zt(n)!

Z(n)! n (Zt(n)) ¡ X 1 p Zt11 (a) = , a ¡ (Zt(n)) (Zt(n) + 1)! n X 1 p Z11 (a) = . a (Z(n) + 1)! n (Zt(n)) ¡

X Y 8.35: Ă&#x153; Ă&#x2014; n â&#x2030;Ľ 1, d

Â&#x17D; Â?Ă&#x17E;Ă?cg ä Zt(n)Ă&#x;ĂĄĂ lâäãc6dĂĽsĂŚ ĂŠ NĂŤĂŞnè ä . mcoĂĄĂŹr ĂĄIDärN äç 0.1243549107585 ¡ ¡ ¡ N>Ă&#x160;åè ärr Ă­ E Smarandache-totient ĂŽ ä .

X Y 8.36: Ă&#x2030;7Ă&#x160;Qi Ă&#x201E; X (â&#x2C6;&#x2019;1) ¡ Zt(k) i X(â&#x2C6;&#x2019;1) ¡ Z(k) â&#x2C6;&#x17E;

E ~

E ~

â&#x2C6;&#x17E;

(â&#x2C6;&#x2019;1)

k

n=1

k

(â&#x2C6;&#x2019;1)

n=1

.

X Y

8.37:

Ă&#x2030;7Ă&#x160; â&#x2C6;&#x17E; Y

1 Zt(n) n=1

i

â&#x2C6;&#x17E; Y

1 Z(n) n=1

.

101

Smarandache

X Y

1 E ~ , ÂŚl§ S = X a(k) , Z(k), Zt(k) g ä@Ă&#x192; , e Ă° LĂą ò ä F N O5N ä .

X Y 8.39: N O8ž ¿ óDô ä m, n, kþ R

ĂŚ Ăś

ĂŻ Ă&#x2030;

Ă&#x2039; Ă&#x152;7Ă? ¸7Ă&#x17D;Ă?Ă? Ă&#x2018; Âť Ă&#x2019; Ă&#x201C; Ă&#x201D;

8.38:

F = Ď&#x20AC; 4S

a(k) = S(k),

k

Zt(m ¡ n) = mk ¡ Zt(n) .

ĂŽ ĂŻ , # Ă&#x152; m = 1, ĂĄ@Ă&#x17D; Zt(1ç ¡è n) = Zt(n), ĂŹQ9 : ; Ă _ x Ă° Ă&#x152; . # Ă&#x152; n = 1, ĂĄ@Ă&#x17D; Zt(m ¡ 1)Ă = m , Ă?ZĂ&#x2018; Ă&#x2019; Ă? Zt(m) = m, k = 1 Ă&#x17D; , m Ă&#x2013; Â&#x201E; Ă° Ă&#x152; . 9 : ; Ă&#x2013; = > Âť ? Ă&#x152; .

X Y 8.40: á F Zt(n) = m, Œl§ m 5þ R Zt(k) = n E øHœ5ED

ä k E IZä . Ă&#x2026;HĂ&#x2020; g ä F Zt(n) E5Ă&#x2022; Ă&#x2013; , Â? ĂŻ Ă&#x2030; : k

lim

E ~ . X Y

mâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

8.41:

N O8ž ¿ ä

m X F Zt(k)

k

k=1

m

k > 1, n > 1,

Ăš8Ăş Â?54

Zt(n)k = k ¡ Zt(n ¡ k).

X Y EDĂ˝ Ă&#x2122; X YĂ&#x2022;

8.42:

Ă&#x2026;HĂ&#x2020; Ă­ â&#x2C6;&#x17E; X

1 ZtÎą (n) n=1

.

8.43:

Ăť i Ă&#x2014;Zä

ÂŚl§ ÎąN 2 Ă&#x2014; Ă´ E"šLÂş Ăź|ä

Smarandache-totient

Ă&#x2026;HĂ&#x2020;*Ă&#x2014;Zä â&#x2C6;&#x17E; X xn+1 â&#x2C6;&#x2019; xn

EDĂ˝ Ă&#x2122; Ă&#x2022; . l ÂŚ § x N / 0 H ä ĂŁ ,Ăž

n=1

n

102

Zt(xn )

lim xn = â&#x2C6;&#x17E;.

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

ÂŁ Ă&#x161; ¤ Ă&#x203A; X Y

8.44:

Smarandache-totient

Â&#x17D;QÂ? Ăż Â&#x2019; lim

N O Ă˝ Ă&#x2014; I pE$ä ĂŽ ä X Y 8.45: Â&#x201D; Â&#x2018;7Â?54

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

n X ln(Zt(k))

ln(k)

k=2

n

.

Zt(n)r + Zt(n)râ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + Zt(n) = n Zt(n)r + Zt(n)râ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + Zt(n) = k ¡ n

X Y

X Y

8.46: 8.47:

ÂĽ8Â?

Â&#x17D;QÂ?

Zt

Â&#x201D; Â&#x2018;7Â?54

m Y

mk

k=1

: j

e

Ď&#x2022;(n)

k

!

i

m X

r, k â&#x2C6;&#x2C6; N,

Zt(mk )

k=1

adbQE Ă&#x2021;HĂ&#x2C6;

r, k â&#x2030;Ľ 2. .

â&#x2C6;&#x2019; Zt(n) = 0.

: ; Ă Â&#x201E; Ă° Ă&#x152;

1 â&#x2030;¤ n â&#x2030;¤ 5000 ,

r â&#x2C6;&#x2C6; N, r â&#x2030;Ľ 2.

n = 2,

Ă? Ă° Ă&#x152; = Â&#x201E;

?

103

Smarandache

Ă&#x2039; Ă&#x152;7Ă? ¸7Ă&#x17D;Ă?Ă? Ă&#x2018; Âť Ă&#x2019; Ă&#x201C; Ă&#x201D; Smarandache

, Ă&#x203A; Smarandache ÂĽ8Â? ¸"!$# %'& 9.1 Ă&#x153;hš Âş)(+*', n, Ă­ Smarandache -., Ăş X k 465 n*87 9 Ă Ă&#x201A; 9:( *$, m.

9.1

m

Z(n)

/1032hĂš

k=1

9.2 9.2.1

;

H

Smarandache <>= ?A@CBEDGF

IKJ>LKMON1P'Q Ă&#x153; šLÂşS( *$, n, T$U V Ă­ Smarandache -W,

Smarandache

% R 9.2.1 Z(n) â&#x2030;Ľ 1.

X.Y : Z [8\S] ^K_ `W!$# a b c d . e f d : h g ij n = 1 , k Z(n) = 1. % R 9.2.2 Ă&#x153; l8mS( *$, n, Z(n) < n ø n5ĂŚ Ăś .

X.Y : o p : Z(2) = 3, Z(4) = 7, Z(8) = 15. % R 9.2.3 Ă&#x153; l8m$q$, p â&#x2030;Ľ 3, Z(p) = p â&#x2C6;&#x2019; 1.

XrY : s Z(p) = m, tvu m xw yxz . `|{ X k = m(m + 1) , } ~ 2 !$# ^ m $Â&#x20AC; Â m(m + 1) p| 2 Â&#x201A;6Â&#x192;xÂ&#x201E; wSy z . Â&#x2026; Â&#x2020; , p Â&#x2021; !SyjÂ&#x2C6; mÂ&#x2030; Â&#x160; m + 1, Â&#x20AC; Â Â&#x2039; Â&#x152; Â? Â&#x201A;6Â&#x192;xÂ&#x201E;Â&#x17D;Â&#x201A; z p = m + 1Â&#x2030; Â&#x160; p â&#x2C6;&#x2019; 1 = m, g p 6= 2. Â? Â? , Â&#x2018; p = 2, Â?$k Z(2) = 3. %jR 9.2.4 Ă&#x153;.lvmÂ&#x17D;qÂ&#x17D;, p â&#x2030;Ľ 3Â&#x2019; k â&#x2C6;&#x2C6; N, TÂ&#x17D;U.V Z(p ) = p â&#x2C6;&#x2019; 1. Â&#x201C; p = 2 Â&#x201D; , Â&#x2022;"V Z(2 ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 1. m

k=1

k

k

104

k+1

k

Smarandache

hz

X Y : s Z(p ) = m, tKu m [8w$y z . `W{ X k = m(m + 1) ,

2 } ~x!$# ^ m $ m(m + 1) p | 2 6 x wSy z . , p .!xy m m + 1, j $ r v z. p = m + g 1 p − 1 = m, p 6= 2. , p = 2, $k Z(2) = 3. % R 9.2.5 l8m" , n, T$U V Z(n) = max{Z(m), K m|n}.

X.Y : ¡ ¢ n $£ z , ¤.

S\S]j¥S¦ : Z(n) ≥ max{Z(m), tru m|n}. s Z(n) = p, Z(m) = q, tru m|n. ¢ q > p, { $k m

k

k=1

k

k

k

k

n|

§ R

p(p + 1) q(q + 1) , m| .

2 2

¨ ø ©Sª 9 , þ Z(m+n) ø n «8¬ Z(n)+Z(m). ¨ ø © ­j9 þ Z(m · n) ø n «8¬ Z(n) · Z(m).

X Y : o p : .

(1) Z(n) ,

9.2.6 (2) Z(n)

Z(2 + 3) = Z(5) = 4 6= 5 = Z(3) + Z(2),

§ R

Z(2 · 3) = Z(6) = 3 6= 2 · 3 = Z(2) · Z(3).

ÿr®

n X

1 Z(k)

¯ ° .

X Y :

. ± ²$³ , } ~. hz Z(n) !$# k 9.2.7

n X k=1

´ µ ¶

,

lim

n→∞

k=1

n X X X 1 1 1 1 > = > .

Z(k) p=3 Z(p) p−1 p 3≤p≤n

. 6º ¤ p · ¸ ¹

X1 p

,

n X k=1

1 Z(k)

3≤p≤n

» · ¸ ¹

.

105

Âź$½xž Â&#x201A;x¿à Ă&#x20AC; Ă&#x201A; t Ă&#x192; Ă&#x201E; Ă&#x2026;

Smarandache

§ R

Ă&#x2020;rÂŽ

n X Z(k)

¯ ° .

X Y :

. Âą ²$Âł , } ~.Â&#x161;hz Z(n) Â&#x201A; !$# k 9.2.8

n X Z(k) k=1

k

lim

nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

>

k

k=1

n X Z(p) p=3

p

X pâ&#x2C6;&#x2019;1 X 1 > . p p

=

3â&#x2030;¤pâ&#x2030;¤n

3â&#x2030;¤pâ&#x2030;¤n

Â&#x201A; . 6Âş ¤ , X Z(k) Â&#x201A; . `Ă { ¡ ¸ š k Âť ¡ ¸ š § R 9.2.9 Â? l8m m â&#x2030;Ľ 1, Ă&#x2021; Ă&#x2C6;Â&#x17D;Ă&#x2030;$Ă&#x160; n â&#x2030;Ľ 1, Ă&#x2039; Ă&#x152; Z(n) = m.

9.2.2 Ă?)Ă&#x17D;3H Smarandache IKJ>LvĂ?OĂ? , Â&#x153;!.#KÂ&#x2021;.[KĂ&#x192; Â&#x201A; Ă&#x2018;KĂ&#x2019; Â&#x161;xz U(n)prĂ&#x201C; : U(1) = 1. Ă&#x201D; Â&#x201A;:Ă&#x2022; Ă&#x2013; Ă&#x2014; Âş:z Ă&#x2DC; ½ Ă&#x2122;Â&#x17D;Ă&#x161; , !$# : g 1 n = p p ¡¡¡p ÂŚ n n

X 1 p 3â&#x2030;¤pâ&#x2030;¤n

Îą1 Îą2 1 2

k=1

n >

Îąs s

U(n) = max{ι1 p1 , ι2 p2 , ¡ ¡ ¡ , ιs ps }.

Z [.Ă&#x17E; Â&#x161;hz Â&#x201E;$k. Ă&#x;.Ă&#x161;Â&#x201A;hĂ Âť$Ă&#x203A; ĂĄ+Ă&#x153; âà ŒÂ&#x201A;

^ Ă?jÂ&#x161;hz . ¡ ĂŁ ä ĂĽ ĂŚ Ă&#x201A; ç è ĂŠ8ĂŞ$ç ĂŤ

Smarandache

Z(n) = U(n)

Z(n) + 1 = U(n)

Â&#x201A; Âľ x Â&#x201A; ^ ½ ĂŹ , Ă­ ĂŽ c ĂŻ|Z Ă° [ k wSy z ½ , Ăą ò Ăł Ă´ Âť Ăľ ¡$Ăśrá ĂŻ Â&#x201A;

ç ĂŤ Ă&#x201C; ø : § R 9.2.10 Â? l8mS( *$, n > 1 $Ăš -W,Â&#x17D;Ăş"Ăť Z(n) = U(n)

Ăź Ă˝ ĂżÂ&#x201C; Ăž 'Â&#x201C; n = p ¡ m, Â&#x;K p 2 Sq$,Â&#x153;Ăš m 2 p + 1 96l8m $ÂŹ 1 9 Ăż, .

2 ¨ m | p + 1 Þ m > 1.

2 XÂ&#x153;Y : Âą.²xÂł , Ă&#x201D; n = 1 Ă&#x161; , Z(n) = U(n) = 1

. Ă&#x201D; n = 2, g Â&#x2026; Â&#x2020; n .Â&#x20AC;r ç8ĂŤ 3, 4, 5 Ă&#x161; , Z(n) = U(n). { Â&#x153; ÂĄ ! n â&#x2030;Ľ 6 Â&#x20AC;r ç ç ĂŤ ¡ 106

hz Õ Ö × º zjØ ½ Ù , í Z(n) = U(n), ¢ n = p p · · · p ¦ n së U(n) = U (p ) = αp. { · ` z Z(n)Â U(n) ! # ^x αp · . wSy z c n Ó ø j y Ù : Smarandache

α1 α2 1 2

αs s

α

öK÷

n|

αp(αp + 1) , 2

(9-1)

pα | n.

Ù u

α = 1.

pα |

αp(αp + 1) .

2

(9-1)

±x² ³ p

α > 1,

`

pα | n

(9-2)

` . { (p, αp + 1) = 1, µ _r`"³ Ù p | α. Ô p ¦ × z Ú

(9-2) Ù .^ , º8¦8¤'Ú p 4 ×>5 α, p | αµ . Ô p = ·

2Ú , α = 2. Z Ú (9-2) Ù r¦ 4 | = 10, ! _ (9-1) Ù 2 × g u K!jk α = 1 p ¦ z . ¤OÚx ^K ¢ n = p · m. 1` (9-1) Ù ^

p(p + 1) p+1 p·m | = p − 1, , ¥ 2 õ · m | 2 . m 6= 1. pn+=1p, "Z(p) ! f$# { 1 U(p) = p Z(n) = U(n) ! rÔ n = p · m, m ¦ 2 n > 1g º:zjÚ , Z(n) = p, U(n) =g p,i µ _| !Sk Z(n) =p +U(n).

% 'ç ë Z(n) = U(n) Ô Ô n = p · m, m ¦ 2 1 &! f # { 1 º:z . { · ïh! ( 9.2.10 ör÷ . § R 9.2.11 l8mS( *$, n ù$-W, ú"û α−1

α−1

ü ý ÿþ ' ¨

m|

p−1 .

2

α−1

Z(n) + 1 = U(n) n = p · m,

K p 2 Sq$, ù m 2

p−1 2

96l8mS( ÿ, .

XrY : n = 1 Z(n) + 1 = U(n). { ç ë Z(n) + 1 = U(n), í$ç s ë U(n) = UÂ (p ) = αp. { · U(n) ^ c Z(n) = αp − 1. )v`h hz Z(n) U(n) !$# ^ (

α

`|{

n|

αp(αp − 1) , 2

µ _8` Ø * + , ë

(p, αp − 1) = 1, 9.2.10

pα | n.

8¢ n > 2g · ` Z(n) + 1 = (9-3)

Ù g $ × p µ | α. % ã ä öv÷ ! ¦ z . |_ ^ ¢ n = p · m. )

(9-3) α=1 p

α−1

107

Smarandache

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å

m | p − 1 . rÔ n = p · m, m ¦ p − 1 "! f w º z $ Ù

, ã Ú ,ä -$.0/ n Z(n)2 + 1 = U(n). µ _ Z(n)2 + 1 = U(n)

Ô g i1 Ô nµ ö =2 p · xm, ç më ¦ p −2 1 &! f w º:z . { ç · ë ' ïh! ( Â ör÷ . ³ , ¿$ xÀ ! ($3 48½.¾Kï çxë Z(n) = U(n) Z(n) + 1 = U(n) ^ ½Kì . ï ZKð [ ç Aë @Ck6B 5 7988[ w.y

» K õ . · + ö ÷ zK½ , ír vï :r ;K[v½ ñKò9< Ù ! =?> [1, 100] u , ç Z(n) = U(n) k 9 [ ½ , :$ Ø > n = 1, 6, 14, 15, 22, 28, 33, 66, 91.

D@EB ·[1, 50] u8k 19[ ½ , :v )Ø?> n = ë Z(n) + 1 = U(n) ç ë · (9-3)

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47.

F G)H Smarandache IKJ>LEH IKJML A N$O [9] u , Kenichiro KashiharaP Qx] 2 ï $z Z(n) $R å æ ì S , TSÚ » U ï6Ó ø ð [ ¿Á À6µ V (A). W Z(n) = S(n) kxµ wSy z ½ ;

ç ë (B). W Þ ßKç Së à Z(n) á â6 + 1 = S(n) kxwSy z ½ .(A)Â (B) ^ ½8ì , í î c ï|Z ð [ ç ë µ kx· wSã y äxz å8½ æx, ç ñ è ò é.ó ê ô ç » ëõ ·$ör÷ ï6Ó ø V § R 9.2.12 l8mS( *$, n > 1, -W, ú"û

9.2.3

Z(n) = S(n)

üxý Áþ 3 n = p · m, p 2 q , , m 2 p + 1 9hljmM ¬ 1 9M Á, .

2 ¨ m | p + 1 þ m > 1.

X Y : ±x2² ³.Ô n = 1 Ú , Z(n) = S(n) . Ô n = 2, 3, 4, 5 Ú ,

x ç ë ¡j! n ≥ 6g x Z(n) = S(n). { Z(n) = S(n), Â

ç ë ·

ç ë 8¢ Z(n) = S(n) = k. ` z Z(n) S(n) ! # ^x k · . w y z c n Ó ø ð [ yj Ù : n|

k(k + 1) , 2

n | k!.

(9-4)

(9-4) Ù.u k +1 ^ ¦ × z . ± ²$³ p k +1 ¦ × z , ö ÷ r x¢ k + 1 = p, { · n | p(p 2− 1) u Ô (n, p) = 1 Ú , n | p −2 1 .

108

ย ย ย ย

Smarandache

ย hz

Z k = p โ 1 ยฆ ย ย ย )ย wjyKz6 c n | k(k 2+ 1) ! ร (n, p) > 1 ร , `|ย { p ยฆ ร z , ยต _ ยต p | n. ) ` { n | k! c d p|k!.

Z ยท ^ , ยบ ยฆ p =ร k + 1, _ p ^ "y

ย (p โ 1)!. % รถrรท รฏ (9-4) ร .u k + 1 ^ ยฆ z ร . t X รถย รท (9-4) ร Ku ร k ยฆ xzrร k ย 8!8ยฆ z . ยฑย ยฒ ยณrย ร k ยฆ z.ร k +2 1 ยฆSy z , ย k ยฆSยฃ z , ย jร k ^v_|ร ยฝ รฐ [$ 6T|y z ร Y , xยข k = a ยท b Z a > 1, b > 1g a 6= b. { ยท e f d k, k +2 1 = 1, , k = a ยท b | (k โ 1)!, k + 1 | (k โ 1)!ร k(k + 1) | (k โ 1)!. )v`ร { ny 2 2

x ย ย ย ย wSy z c n|k! . k(k + 1) ย 2 g ร n|(k โ 1)!. Z$ k ร k ยฆSยฃ z ยฆSย xย z ย รง [ ร ย , ยข k = g ยทp g ฮฑ โ ฅ 2. `W{ k ยฆ z Z ยต \ { k โ 1 ; [xz$] y ย (k โ 1)!, { ยทยทยท, p _ p โ ฅ 3, % p, 2p, `_ n|(k โ 1)!. Z k ย 0a b ! ยต _Sร k ยทยฆ + 1) ^ ย ` ny.ย k(k v ^ _ zjร "ย a ยฆ 2 ร z ! \ร ยฃ _.ยณ+รฐdcAeDfAgdh i_ ร k ยฆE 3z ย ร v k k = p, ยค ร ny ย ย p! ny'ย p(p 2+ 1) . j ยท ร ny'ย p +2 1 ร , k S(n) < p; ร n = ยต _0g h.^O_Sยข n = p ยท m, t'u m p + 1 ย ! ย # p ร Z(n) 6= S(n). ยท 2 { 1 ย Mยบ: z . # { 1 ย ยบ z ร , p + 1 ย !

g h ร n = p ยท m, tOu m ย รท ยฑ.ยฒxยณ8ยคย ร ย 8ย k ยท S(pm) 2 ย a k Z(n) =รถOS(n). = S(p) = p. ยบ ยฆ m yOย X i = p(p 2โ 1) , ย Kย 9 myOย p +2 1 ! ยต _ Z(pm) = p, % Z(pm) = S(pm). ย k , g h

m z k xc Z(n) = S(n) = k. g h n

l o รถย . ยก รท a l $m z k = 2m c Z(n) = S(n) = k =รค 2m,รถxรจย 8 Z 8 ย

\ ] รถvรท `p $ย $z ย Z(n)ร S(n) ย a b ^ย nyKร ย k(k 2+ 1) = m(2m + 1)ร (2m)!. ` รธ ร M*.^ 2m + 1 j^9 jยฆ z , ย .ย ย ร (n, 2m + 1) = 1 ร , ny ย X i = m(2m โ 1), ย ย Z 2m ยท ย jย ย w y8z$ xc nyrย m(2m + ร z ย รฌ S$ _ p = 2m + 1 | n, % 1) ! ร (n, 2m + 1) > 1 ร , ` % n' y ย

pโ 2 X i=1

i =

(p โ 1)(p โ 2) .

2

ฮฑ

ฮฑโ 1

pโ 1

i=1

2mโ 1

i=1

109

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å )O` n | (2m)!c.d p = 2m + 1|(2m)!, $ 9! _ µ _ 2m + 1 8^6 8¦ × ¦$£xz , - . × n | (2m − 1)!, 2m · z , 'T& qxw.^ yv_ z`öv K÷ mc n ^ | (2m)! ! %6 m ¦ z p, k = 2p. { · &!^  c n | p(2p + 1)! n|(2p)!

Z S(n) = Z(n)! f = 2p. j · Ô næ { p(2p + 1)

.ºhz.Ú0' ] · a ^ ! » õ · ô r k | p(2p + 1), ^ k S(k) = 2p. { ·§ R ï ( 9.2.12 ör÷ .

9.2.13 l8mts u v n ù wxv ú"û Smarandache

¨

üjý 6þ$1 m|

p−1 2 .

Z(n) + 1 = S(n) n = p · m,

' p

y q$v

, m

y

p−1 2

9Slrm? &v

.

z { , Z | } ~ _ # + . ¡ a w X Y : a ( 9.2.12 öK÷:ç è ë $` + 1 = S(n), íx¢ Z(n) + 1 = S(n) = k. { y z n 8Â çxë "Z(n) · z Z(n) S(n) a b , 6_ k · x wSy z c n|

k(k − 1) , 2

n | k!.

(9-5)

(9-5) Ù.u$Ô k t¦ zjÚ" a ¦ × z ! ^ 6_ n | (k − 1)!, k w y8z$ xc n | k! × z . ))` n | p(p − 1) í· e

. º"¤ k = p ¦ f S p − 1 < p, $ 9_ n = p · m, m ¦ p − 1 ! xw.º"z 2. - . / 2 2 p − 1 &! p · m, m ¦ w º:zjÚ , n ç ë a Z(n)× + 1 = S(n). ö Ô nÔ =(9-5) 2 m Ù. u k = 2m ¦ zjÚ , k − 1 = 2m − 1 µ ¦ z , % ^

= 2m. l Z q g w$i y z n c Z(n) + 1 = S(n) _ ç ë Z(n)' + 1 = p − 1 !

S(n) rÔ xw.º"z . { · Kï a ( 9.2.13 Ô . n = p · m, tvu m ¦ 2 O gAör h ÷ a (A3 43½ ¾ ï ¿jÀ (A)_ Â (B). »3õ ·'ö ÷ ïrZ ðO[ ç3ë ]'k 5 7 8 [ w'y zO½ , íd~ ï`:dhD;3[3½ ñ3ò

@ B <+Ù ! = > [1, 100] u , Z(n) = S(n) k 9 [+½ , :dh Ø ¿ À (B), O 3 ç ë > · n = 1, 6, 14, 15, K22, 28, 33, 66, 91. r { @ B [1, 50] uvk 19[ ½ , :Ah1Ø > n = Z(n) + 1 = S(n) ç+ë ·

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47.

110

Smarandache

hz

FAG)H Smarandache IKJ>L` A { Smarandache z Z(n)ì S c ï xÄjÅ , j ^ l ¿ÁÀ ! ¦ ï {$k & ér ê Ä Ä

é8ê , Z ·| g h R 8 hz Z(n)k r¿ÁÀ p Ó V N O [9] u , Kenichiro KashiharaP Q g h é8ê

9.2.4

a). |Z(n + 1) − Z(n)|, Z(n + 1) b).

Z(n) . , .

9.2.1 k h (h, k) = 1, , n = 0, 1, 2, 3, · · · . : Dirichlet , [7].

$ ß u g h ½x¾SZ [ ¿ÁÀ ¥ g h

· Þ$ k

Ó ø R ¨ l8mts u v þ õ · 6ör Á÷ È$ 0v nk+h Ç È a ( ¥ N O X.¡ Y ¢SÊ$Z q v £ ¤. K § R 9.2.14· ¦ § ¨6l8mts u v M , V$ ¡ ¢SÊts u v n © ¦ Z(n + 1) >M Z(n)

|Z(n + 1) − Z(n)| > M.

ÿ` ¤ ^ , |Z(n + 1) − Z(n)| Z(nZ(n)+ 1) · 5 . a ( . ±x² ³ , r ! f w$y z M , g ª ( o X Y : g h h m 8 2 > M . ã « e ä f d 2 öK÷ , 2 + 1 = 1, º ¤ }x~ Dirichlet a ( , g h .¥hc d : z 2 k + 2 + 1, tru k = 0, 1, 2, · · · u l 5$7 8"a [ × z . {× · , l " $a [xb wSy z k 2 k + 2 + 1 = P · × z . r { z P , } ~ Z(n) k 2m+1

m

2m+1

m

m

0

2m+1

0

m

Z(P ) = P − 1 = 22m+1 k0 + 2m ,

º ¦

Z(P − 1) = Z(22m+1 k0 + 2m ) = Z(2m (2m+1 k0 + 1)).

2m+1 Xk0 i=1

2m+1 k0 (2m+1 k0 + 1) i= 2 111

Smarandache

m

2 (2

m+1

k0 + 2

m

) \ yj

¼$½x¾ x¿ÁÀ  t Ã Ä Å

2m+1 Xk0 i=1

i,

{ · k

Z(P − 1) ≤ 2m+1 k0 .

º6¤

22m+1 k0 + 2m Z(P ) > > 2m > M. Z(P − 1) 2m+1 k0

µ _ 5 T ( ^ c Z(P ) Z(P −1)

.

|Z(P ) − Z(P − 1)| ≥ |Z(P )| − |Z(P − 1)|

≥ 22m+1 k0 + 2m − 2m+1 k0

= 2m+1 k0 (2m − 1) + 2m > 2m > M.

.

5

ºS¦Sk 5 7$8 [8w$y » z · m 2 > M , º:¤ » ' k 5 7$a 8 [8 w$y z n |Z(n + 1) − Z(n)| Z(nZ(n)+ 1) · 5 . Z õ ï ( ör÷ . º6¤

9.3

|Z(P ) − Z(P − 1)|

¬

m

Smarandache ­¯®±°K²±³µ´

§$¶ 9.2: Z (n) = Z(Z(n)), · ¸M¹ , Z (n) = Z(Z(· · · Z(n) · · · )), º » wxv Z ¼ ½`¾ k ¿ . À&Á 9.1: ¬" à ¨0· Ä u v k, m ∈ N, Å$Æ$©"¦jú û Z (n) = m ¨0Ç0È s u v É . À Á 9.2: Æ8ú$û S(Z(n)) = Z(S(n)) ¨ Ç È s u v É . Ê Ë Ìjú û Í$¢ÎÈ È ® Êts u v É . À Á 9.3: Ï Ð Ñ Ò Ó&Ä v Ô9Õt¨ Ö × (1) Z(m + n) Ø Z(m), Z(n), (2) Z(mn) Ø Z(m), Z(n). À Á 9.4: Ù Æ Ñ ÒSú"û ¨0Ç0È s u v É 2

k

k

(1) Z(n) = Z(n + 1),

112

u Ú

Smarandache

(2) Z(n) Z(n + 1), (3) Z(n + 1) Z(n).

r {

&p 50 Û Ü , g h Ý ÞS

(2)

&ß

:

à á

Z(6)|Z(7), Z(22)|Z(23), Z(28)|Z(29), Z(30)|Z(31), Z(46)|Z(47).

ã

Z(10)|Z(9), Z(18)|Z(17), Z(26)|Z(25), Z(42)|Z(41), Z(50)|Z(49).

(3)

â ß

:

g h ä ß$å Þ à á Z(n) = Z(n + 1) â"ætç è

À Á 9.5: Ù Æ Ñ ÒSú"û ¨0Ç0È s u v É

,

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

u v v

Z(n)

u Ú

hz

ÀÎÁ

Z(n) + Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) + Z(n + 2), Z(n) · Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) · Z(n + 2), 2Z(n + 1) = Z(n) + Z(n + 2), Z(n + 1) · Z(n + 1) = Z(n) · Z(n + 2),

r¬"é ê Â Ã ¨"s$u v

9.6:

n.

ÎÀ Á 9.7: ¨0Ç0È s u v n, (2) Ù Æ © ¦ n.

r î

.

Z(n)

Ù Æ ©0¦

Z(n) = m

¨ Ç È$s

ë ì

Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3) ë í6¨ Ç È s u

(1)

â p

35

Ù Æ ©0¦

m,

Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3)

Û Ü , g h ß ï ð è ñ

:

Z(6) = 3 < Z(7) = 6 < Z(8) = 15, Z(21) = 6 < Z(22) = 11 < Z(23) = 22,

ß ï ò è ñ

Z(30) = 15 < Z(31) = 30 < Z(32) = 63. : Z(8) = 15 > Z(9) = 8 > Z(10) = 4, 113

Smarandache

Âź$½xž â ¿à Ă&#x20AC; Ă&#x201A; Ăł Ă&#x192; Ă&#x201E; Ă&#x2026;

Z(13) = 12 > Z(14) = 7 > Z(15) = 5,

Ă&#x20AC;`Ă

Z(16) = 31 > Z(17) = 16 > Z(18) = 8.

¨9ô¾þ ÜEáiø9ĂšKĂş Ăš.Â?DĂ&#x2C6;ßÝ nĂ˝ n = ĂžtĂż ÂŹ ¡ Ăť nĂ˝ n = 2 , Ă&#x2C6; Z(n) = Ă&#x2C6; Z(n) ¨ Ă&#x17D; Ă´ Ăš Ă&#x201A; Ă&#x17D;Ă´ w6v

9.8: Z(n) â&#x2C6;&#x161; m(m + 1) , Z(n) = m < 2n.

2 2Îą+1 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 2n â&#x2C6;&#x2019; 1.

Ă&#x2C6;

X

nâ&#x2030;¤x

Z(n),

X

nâ&#x2030;¤x

Îą

ln(Z(n)),

1 Z(n) nâ&#x2030;¤x X

¨"¡ Ă&#x160; . Ă&#x20AC;Â&#x2039;Ă 9.9: Ă&#x2020; Ăş"Ăť Z(n) = Ď&#x2020;(n) ¨0Ă&#x2021;0Ă&#x2C6; s u v Ă&#x2030; , Ď&#x2020;(n) y Euler w v . Âş ¡vĂž Ăş8Ăť6Ă&#x2C6;  ¢jĂ&#x160; s`uMv9Ă&#x2030; , Ă˝ n y!MvÂş p " 6Š$ÂŚ)Ăş8Ăť .

4) " , n #MŠ0ÂŚ Ă&#x152;Â&#x17D;ĂşSĂť . Ă&#x161;9ž Ăť%$'& Ă&#x2030;)(vĂš+*-, . n)Ă&#x2C6; = 2p/ s pu â&#x2030;Ąv 1(mod Ă&#x2030; *$¡ 0Ă&#x160; 1 ¨ 243 . Ă&#x160;$Ă&#x2039;tĂ&#x152;xĂş"Ăť 50Ă&#x2C6; n = 1 6 7'8%9MĂ&#x201C; : Ă&#x2030; .

114

; <%= > %R ?Mâ A B D EGFCH I C LNMPORQ

10.1

[]\

10.1:

Smarandache

@ ñ

Smarandache J

K

Smarandache SUTVQWOYX Z

6 1 `^ _%a b

Smarandache

c%d0a!e`f-g

111, 1221, 13331, 144441, 1555551, 16666661, 177777771,

+h i @ ñ-jlk%m n n o p'q r's n t%q u%k-j v w%xzy'{ | 1. i'} @ ~' % ! ) 'k l ! ' ! > k) ) ! n + 2. z n + 2 > % k , ; n % > zk .

3 []\ 10.2: 6 n ^`_%a b Smarandache c%d0a!e% lf-g 1888888881, 19999999991, 1101010101010101010101, · · ·

2

2

n1n, n22n, n333n, n4444n, n55555n, n666666n,

n ' k . ] ¡ @ ~-j ¢% . []\ 10.3: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f%f-g

n7777777n, n88888888n, · · ·

1, 21, 123, 4321, 12345, 654321, 1234567,

v' ¨ h 1 o%p'u'©'k ª%« k . w ¨ h 1 o%p q%u'¬'k ª%« jl­z@®%¯ k . °z±'² @ ³ ®%~ ¯ ! @ ~ % z ]´k n % n k . µl¶ ·+¸ ¹%º % > » ¼'k% z % ' m(m + 1) .

2 []\ 10.4: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f)½ azf-g (SACRP ) 87654321, 123456789, 10987654321, 1234567891011, · · ·

2, 32, 235, 7532, 235711, 13117532, 2357111317, 115

Smarandache

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã ?zÄ Å

lh i @ ~)©)k' )v)y h 2 o p)u 'ª «- 'k . ¬)k' !Æ) 'ª « 'k Ç z­z@ j , wzy h 2 o p . ®%¯ @ ~ ! % zk ? ° ± ²%³ > È j0»%¼ k' ' ) ' k . - z % ' k'u)É ± j » ¼'k%°z±) z %¸ '¹ Æ%º % zk ? ®%¯ È @ ”~ |' % zÊ k ” %ËzÌ% zk%Í u%Îz» ,¼'Ëzk%Ì% zÏ %Îz ' Æ%. % zk . []\ 10.5: Smarandache £]¤%¥'¦ §%f Fibonaccif-g 1917117532, 23571113171923, · · ·

1, 11, 112, 3211, 11235, 853211, 11235813,

Ð Ñ []\

2113853211, 112358132134, · · ·

j Ò , ¯ 'Ó Ô0Õ Ö × ?

Smarandache Ø Ù)Ú'Û`f-g .

a(n) n→∞ a(n + 1) lim

10.6:

1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196,

°z± ' º h+i Í Îz@ ~-jl > jl» ¼'k% z % Ü ¶ Í Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? []\ 10.7: Smarandache Ø Ù)ß'Û`f-g .

225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, · · ·

°z± ' º h+i Í Îz@ ~-jl > jl» ¼'k% z % Ü ¶ Ï Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? Ð Ñ%%à ázâ'ã j > ä å æ j Ò :

.

1, 8, 125, 512, 1000, 1331, 8000, 19683, 35937, · · ·

a(1) +

ç @ ~ 116

a(n) .

Smarandache

b(1) a(2) +

.

b(2) a(3)+

º |'Í)Î @)~

b(3) b(4) a(5)+···

a(4)+

, b(n)

.

Smarandache

º |'Ï)Î

[]\

´ è = z> È ? j Smarandache@ ~ Smarandache Øzé Ú'Û`f-g .

10.8:

°z± ' º h+i @ ~-jl > jl» ¼'k% z %ê Ü ¶ Í Î%k ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? ®%¯ @ ~ ! ' º |%Í Î%k ? []\ 10.9: Smarandache Øzé Fibonacci a g .

1, 4, 9, 49, 144, 289, · · ·

°z± ' º h+i @ ~-jl > jl» ¼'k% z %ê Ü ¶ ¯ %k ~z %Ý)Þ' 0 × ? ¯ k%~z ! ' % zk ? []\ 10.10: ë%ì a g .

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·

.

k

Fibonacci .

z> ä ¸z¹ : í m , m %k ~ jlî'x% , ï µ k ≥ 3 ð , m ñ'ò î'x º h ù m , m ú . ó+û üjl¯ôzê

j ) õ

ö ÷ . k ≥ 3 j ø% % '{ @ ~-jlýzþ . []\ 10.11: Smarandache Øzé a g .

2, 3, 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54, · · · 1

2

k

1

2

1, 24, 369, 481216, 510152025, 61218243036,

+h i @ ~ ´ n ' · h à k'q ÿ º ¯ ~z ! ' % zk ? Ð Ñ lim X a(k + 1) j Ò .

7142128354249, 816243240485664

[]\

k→∞

k

10.12:

n, 2 · n, 3 · n, · · · n · n.

a(k)

Smarandache

− lazf-g

.

1, 21, 213, 4213, 42135, 642135, 6421357, 86421357, 10864213579, 1086421357911, 121086421357911, · · · .

117

ž Âż)Ă&#x20AC;!j)Ă Ă&#x201A;%Ă&#x192; Â&#x2122; Ă&#x201E; Ă&#x2026; ÂŻ Â&#x201C; ~ n 1 o p ,

zv%¨%| Âś k , Âś wz¨%| . ÂŻ Â&#x201C; ~ n 1 o Âś k , Âś wz¨%| . ,

zv%¨%| ÂŻ Â&#x201C; ~ ´ n Â&#x201A;% n Â&#x201C; k%u ÂŻ n Â&#x201C; k-j Â&#x17D; Ăą ò n(n + 1) . Â&#x2021;'Â&#x; Â&#x2C6;  ]ÂŻÂŻ Â&#x201C;Ă&#x2C6; Â&#x201A; j k% Â&#x152; %k%~ 1, 1, 3, 3, 5, 5, ,2 7, , 9, ¡ ¡ ¡ . ¸ ÂŻ Â&#x201C; k%k%~z~- !j ¢%Â&#x20AC; Â&#x201A; a(n). Â&#x201A;'Â&#x192;%Â&#x201E;zk ? Âş Âą Â&#x2021; j Â&#x2C6; Â&#x2030; k! Â&#x152; òù nò =5 u (2 ¡ kÂą + 1)¸ ¡ Â&#x2013;!5Â&#x17D; Â&#x192; n =Â&#x201C; (2Â&#x201E; ¡k k .+ !1)u!¡ 5Âť)+Âź-1k!j Â&#x201A;Â&#x152; a(n), Â?!Â&#x17D; Â&#x201C; Â&#x201C; ÂŻ ´

¸

3 j k jzÂ&#x201A;Â&#x203A;Ă&#x2020; Â&#x2013;-Â&#x161; Â&#x192; Âś Â&#x201E; k , Ă&#x2020; Â&#x2022; Â&#x192; ò k-~ n Â&#x201A; Â&#x203A; Â&#x2122; n ¡ (n + 1) = 3 ¡ m, m Â&#x192; k .

2 []\ 10.13: Smarandache â&#x2C6;&#x2019; lazf-g .

Smarandache

p

Â&#x192;

1, 12, 312, 3124, 53124, 531246, 7531246, 75312468,

ÂŻ Â&#x201C; ~ n 1 o p ,

%wz¨%| Âś k , Âś v%¨%| . ÂŻ Â&#x201C; ~ ´ n %Â&#x201A; n Â&#x201C; k%u ÂŻ n Â&#x201C; k-j Â&#x17D; Ăą ò n(n + 1) . Â&#x2021;´ Â&#x2C6; ÂŻ Ă&#x2C6; Â&#x201A; !j " )k'Â&#x152;# 'k'~ 2, 2, 4, 4, 6, 6,2, 8, , 0, ¡ ¡ ¡ u#$ Ă? Â&#x201A;Ă&#x2018; Ăą % ò 1.ÂŻ Â&#x201C; â ĂĽ ĂŚ â & ĂŚ ~-j Â&#x17D; j Ă&#x2019; . ò []\ 10.14: Smarandache â&#x2C6;&#x2019; ½ azf-g .

975312468, 97531246810, ¡ ¡ ¡ .

2, 32, 325, 7325, 732511, 13732511, 1373251117, 191373251117,

ÂŻ Â&#x201C; ~ n%Â&#x201E;zk 2 o p ,

zv%¨%|'Â&#x201E;zk , Âś wz¨%| ÂŞ ÂŤÂ&#x203A;j`Â&#x201E;zk ´ nÂ&#x201A; jlÂť Âź'k%Â&#x152;zÂ?%Â&#x17D;"' Ăą ò n . ÂŻ Â&#x201C; k%~ Â&#x161; !Â&#x20AC;  Â&#x201A;'Â&#x192;%Â&#x201E;zk ? 2 ¡ ln(n) ÂŻ Â&#x201C; k%~z !Â&#x20AC;  Â&#x201A;'Â&#x192; Âş |'Â&#x201E;zk ? []\ 10.15: Smarandache â&#x2C6;&#x2019; z½ azf-g .

19137325111723, 2919137325111723, ¡ ¡ ¡ .

2

118

.

´ è ( Ă&#x2C6; j

~

Smarandache

2, 23, 523, 5237, 115237, 11523713, 1711523713, 171152371319,

ÂŻ Â&#x201C; ~ n%Â&#x201E;zk 2 o p ,

%wz¨%|'Â&#x201E;zk , Âś v%¨%| ÂŞ ÂŤÂ&#x203A;j`Â&#x201E;zk . ÂŻ Â&#x201C; k%~ Â&#x161; ! Â&#x20AC;  Â&#x201A;'Â&#x192;%Â&#x201E;zk ? Ă­ a(n)Ă? Â&#x192; Ă&#x2018;%Smarandache v â&#x2C6;&#x2019;w Â&#x201E;zä k â ĂĽ ~ ĂŚ , b(n)Â&#x192; Smarandache w â&#x2C6;&#x2019;v % Ă ĂĄ Â&#x201E;zk ~ .

Smarandache j Ă&#x2019; : 23171152371319, 2317115237131929, ¡ ¡ ¡ .

a(1) +

[]\

b(1) a(2) +

10.16: Smarandache a(n) n â&#x2030;Ľ 1 . :

h Ă 'kĂ­ q Ăż Â&#x192;

j Â&#x153; Â? ~ Â?

b(2)

.

b(3) a(3)+ b(4) a(4)+ a(5)+¡¡¡

Â? â&#x2C6;&#x2019; Â&#x2014; Â&#x2DC;lf-g

.

Smarandache

v â&#x2C6;&#x2019; w ) š ~ Â&#x192; ¡

a(1), a(1)a(2), a(3)a(1)a(2), a(3)a(1)a(2)a(4), a(5)a(3)a(1)a(2)a(4), ¡ ¡ ¡

ÂŻ Â&#x201C; ~ Ăş#* a(1)+z !Â&#x20AC;  Â&#x201A; , ò %k ~ a(n)? []\ 10.17: Smarandache â&#x2C6;&#x2019; ' Â&#x2014; Â&#x2DC;lf-g . Â? Smarandache w â&#x2C6;&#x2019; v ) š ~ Â&#x192; ¡ Ă­ a(n) Â&#x192; n â&#x2030;Ľ 1 j Â&#x153; Â? ~ . Â? h Ă k'q Ăż :

a(1), a(2)a(1), a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3)a(5), ¡ ¡ ¡

ÂŻ Â&#x201C; ~ Ăş#* a(1)+z !Â&#x20AC;  Â&#x201A; , ò k%~ []\ 10.18: 'ÂĽ ÂŚ f-g .

a(n)?

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789,

ÂŻ Â&#x201C; ~ Â&#x161; !Â&#x20AC; Â Â&#x201C; Â&#x201E;zk

12345678910, 1234567891011, 123456789101112, 12345678910111213, ¡ ¡ ¡ . ?

119

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Smarandache 10.19:

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1, 12, 21, 123, 231, 312, 1234, 2341, 3412, 4123, 12345, 23451, 34512, 45123, 1234, 123456, 234561, 45612,

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1, 11, 121, 1221, 12321, 123321, 1234321, 2344321, 123454321, 1234554321, 12345654321, 123456654321, 1234567654321, 12345677654321, 123456787654321, 1234567887654321, 12345678987654321, 123456789987654321, 12345678910987654321, 234567891010987654321,

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12, 1342, 135642, 13578642, 13579108642, 135791112108642, 1357911131412108642, 13579111315161412108642, 135791113151718161412108642,

ÂŻ Â&#x201C; ~ Â&#x161; Â&#x192;%Ă&#x160; Ă&#x2039;zĂ&#x152; 2 k ? °zÂą 3 465 7 []\ 10.22: Ă&#x;'Ă&#x203A; ĂŤ a g .

1357911131517192018161412108642, ¡ ¡ ¡ !

2, 9, 217, 13825, 1728001, 373248001, 128024064001, 65548320768001, ¡ ¡ ¡ 120

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1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, · · · .

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

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1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

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.

5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6 · · ·

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.

1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · · 121

Smarandache f)

< ? B >%k%~

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1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · ·

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1, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,

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1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 6, 4, 2, · · ·

1, 22, 333, 4444, 55555, 666666, 7777777, 88888888, 999999999, 10101010101010101010, 1111111111111111111111, 121212121212121212121212, 13131313131313131313131313,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.26: G H%½ a%a g

1414141414141414141414141414, 51515151515151515151515151515, · · ·

.

2, 23, 235, 2357, 235711, 23571113, 2357111317,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.27: § J G H%½ a%a g

235711131719, 23571113171923, · · ·

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2, 32, 532, 7532, 117532, 13117532, 1713117532,

û ü ¯ ~ jlýzþ

191713117532, 23191713117532, · · ·

122

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Smarandache

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1, 13, 135, 1357, 13579, 1357911, 135791113,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.29: G H Lza%a g

13579111315, 1357911131517, · · ·

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2, 24, 246, 2468, 246810, 24681012,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.30: § J G H Lza%a g

2468101214, 246810121416, · · ·

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2, 42, 642, 8642, 108642, 12108642,

û ü ¯ ~-jlýzþ . []\ 10.31: G H Ú'Û0a g

1412108642, 161412108642, · · ·

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1, 14, 149, 14916, 1491625, 149162536,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Í Î%k ? []\ 10.32: § J G H Ú'Û0a g .

14916253649, 1491625364964, · · ·

1, 41, 941, 16941, 2516941, 362516941,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Í Î%k []\ 10.33: G H ß'Û0a g .

49362516941, 6449362516941, · · · ?

123

Smarandache

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã Ä Å

1, 18, 1827, 182764, 182764125,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Ï Î%k ? []\ 10.34: § J G H ß'Û0a g .

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1, 81, 2781, 642781, 125642781,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ ! ËzÌ%Ï Î%k ? []\ 10.35: G H6MONOP Q a g .

216125642781, 343216125642781, · · ·

1, 11, 112, 1123, 11235, 112358, 11235813,

û ü ¯ ~-jlýzþ . ¯ ~ "RTS% U%k × ? []\ 10.36: § J G H6MONOP Q a g

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1, 11, 211, 3211, 53211, 853211, 13853211,

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101

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Smarandache

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Smarandache

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Â&#x192; Ă&#x17E; a b 3 4 (B) Â&#x192; Â&#x17E; j ! Ă&#x2014; Ă&#x2DC; Ă&#x;" %Ă&#x2020;zÂ&#x2022; Â&#x192;Ta6b * Ă %ĂĄ j : (A) Ă&#x192; e f 10.2.2. 0 Ă /ĂĄ Â&#x161; Â&#x203A; a n, {x } Â&#x2022;'Â&#x2DC;Oâ ĂŁ , ä ÂłT´ ÂŽ Â&#x2019; Â&#x201C;"ĂĽ (a). x = (n + 1) , â#ĂŚ n â&#x2030;Ą 1 (mod 6) ç è n â&#x2030;Ą 3 (mod 6), (b). x = 2(n + 1) , â#ĂŚ n â&#x2030;Ą 0 (mod 6) ç è n â&#x2030;Ą 4 (mod 6), (c). x = ¡ (n + 1) , â#ĂŚ n â&#x2030;Ą 5 (mod 6), (d). x = ¡ (n + 1) , â#ĂŚ n â&#x2030;Ą 2 (mod 6). i Âś ¡ ÂĄ ¸ s Ă?{ĂŠÂ&#x201D;ĂŞ  ú£* x + , Â&#x2122; Ă&#x2030;!ø- x (n > 1)m Y ÂŹ-k . Â&#x201C; Ă&#x2039;)Ă&#x152; Ă?!Ă&#x17D; k . n# Ă&#x2039;)Ă&#x152; Âż-Ă&#x20AC; Ăł* Ă° ¡`¸"s j (a))Ă&#x2020; k ~ {x }ĂŤ/ Ï Ă?-Ă&#x17E; Â&#x20AC; Kenichiro Kashihara \ ]TĂ&#x17D; jlx Â&#x201C; 3 4 ! n

n

xn n

n

1

8

2

9

3

10

3

n

n+1

4

n

5

6

11

7

n

n

n

n

n

n

n

2

n

2

n

n

n

1 3 2 3

2

2

1

n

n

127

¾ ¿)À!j)Á Â%Ã Ä Å 3 4 (A) j í/î#a^b . ï Û"ð# ! k mvn : # /u / í y õ)ö ñ0 ò l% Smarandache

ï ·

n > 1,

n3y ≡ 1(mod (n + 1)3 ).

(10-1)

(10-1)

æ Ã"ó æ ¸Ts%º

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y ≡ (−1)3y − 1 ≡ (−1)y − 1 ≡ 0 (mod (n + 1)).

· ð æ "Ï é ê y '¸"Y ¬ ò ! øoô µ n > 1 ð , x '¸"Y ¬ ò . ò a£b * 3 4 (A). Ñ Ö x ñ ×/Ø Ò , ° ± õ ã Ý p ó Ï æ (10-1)Ã ó) æ ¸#s q"ö Y / yY ¬ ò º : n

n

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y − 1 3y(3y − 1) ≡ · (n + 1)2 − 3y(n + 1) 2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ).

· ð æ Æ º ô÷ê ó Ï æ

− 3y(n + 1) ≡ 0 (mod (n + 1)2 ).

° ± å £ µ · (10-3)æ Ïoé£ê [ ø v ùoú£ o û ü : (3, n + 1) = 1 ð , ò . ý y = k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º Y k ' k(n + 1),

(10-2)

(10-3) y =

3k(3k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − 3k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ). (10-4) 2

· ò y Y ¬ ò , øvô µ n+1 Y ¬ ò ð , (10-4)æ ñ õ)ö% ò ¿ Y k = n+1. ¡ ðdö ' 2|n + 1, (3, n + 1) = 1, n = 6t + 1 %÷ n = 6t + 3, t Y ò ò . øvô µ n Y A 6t + 1 %÷ 6t + 3 ñ0ò òY ( t Y ' ) ð , g h n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ õ)ö% x x = (n + 1) . ò

ò

æ

µ Y Y

ó

n+1 © ð , ö- y ¬

ø ô (10-4) ñ õ ö ò ¿ Ü Y k = 2(n + 1). ¡ / ð ö ò (6, nµ + Y 1) = 1, £ n = 6t

Y ø ô n A 6t ÷ 6t + 4 ñz /÷ nò =( 6t +t Y 4, ! t / !ò ) ð , g#h n . ¹ ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ0õ ö) ò Y 3xn

3

3xn

xn

128

xn = 2(n + 1)2 .

n

n

3

2

´ è ( È ñ

Smarandache

~

z` 3 | n+1 ð , · (10-3) æ Ï é ê k Y ' ò . ý y = 1 k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º 3

µ

1 y = k(n+1), 3

(3, n+1) > 1,

k(k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ).

2

(10-5)

i ¶çµ 2|n + 1 ð , g/h (10-5) æ ñ õ-ö ò k = n + 1. ¡ ð ö!

6|n + 61,ò z n = 6tÏ + 5, øÞô µ n Y A 6t + 5 ñ' {ò ( t Y

ò x Y x = ) ð · ,(ng{+h 1)ó . Î n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ%õçö µ (2, n + 1) = 1 ð , ö ' y Y ¬ ò , øvô÷g h (10-5)æ ñ õ)ö%

ò k = 2(n + 1). ¡ ðOö ! 3|n + 1, (2, n + 1) = 1, z n = 6t + 2, ø ô µ n Y A 6t + 2 ñ £ò ( t {Y ò çY £ò ) 2ð , g6h ó Ï Î ·

n ≡ 1 (mod (n + 1) ) zñ õ ö-* x x = · (n + 1) . ò n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) ø% ¶ ò , %3Ë * ¸Ts ñ a b !

3xn

n

3xn

n

1 3

3

2

3

n

n

2

129

Smarandache

ž Âż)Ă&#x20AC; Ăą)Ă Ă&#x201A;%Ă&#x192; Â&#x2122; Ă&#x201E; Ă&#x2026;

Smarandache

"!$#$%'&)($*$+-,

11.1 (1)

.0/ pxn+1 â&#x2C6;&#x2019; pxn = 1

132 p 64 5 n7 809 . : 0.5; 1<>= , ?0.0/A@CB6D6E F n = 1 G , .0/A@AH I0E . JLK 4 : n

F PRQ

.

3x â&#x2C6;&#x2019; 2x = 1, x = 1;

n = 31

G , 0. /A@AHNMOE . LJ K 4

:

127x â&#x2C6;&#x2019; 113x = 1, x = 0.567148 ¡ ¡ ¡ = a0 .

, Andrica

U0VAWCX Y

SAT

1

1

2 An = pn+1 â&#x2C6;&#x2019; pn2 < 1

132 a < a .

132 k â&#x2030;Ľ 2.

1Z2 a < a [ n \ ] I . ^N_0`CaNb 7 c0d e 809 f0g F G h i 4Aj f0g .

4Aj6k :NlOF m 9 n0o _ a; n), pAq F n â&#x2030;Ľ n G , (4)i0f0g .

GOr s f g . Jozsef Sandort uwvRx y{zN| ?6SAT } ~Â&#x20AC; 0Â 11.2 Smarandache Â&#x201A;Â&#x201E;Â&#x192;"Â&#x2026;Â&#x2021;Â&#x2020;Â&#x2030;Â&#x2C6;-Â&#x160; U0Â&#x2039; Â&#x152;0Â? Â&#x17D; (SDS)4 : Smarandache (2) Bn = pan+1 â&#x2C6;&#x2019; pan < 1, 1 1 2 k â&#x2C6;&#x2019; pnk < , (3) Cn = pn+1 k 1 a a (4) Dn = pn+1 â&#x2C6;&#x2019; pn < , n , n = n(a) . (a) a0 < a < 1 , n0 ( (b) pn+1 5 (5) â&#x2030;¤ , n=2 pn 3 ( [56]).

0

0

1, 23, 456, 7891, 23456, 789123, ¡ ¡ ¡ .

130

0

5 D0 A_ Smarandache e D0 0 A U C N C 4 : 1, 32, 654, 1987, 65432, · · · , Q Smarandache 2 @ bO 6 4 809 .

11.3 Smarandache % X : ^A§ ¨A© ¥ e lOm 9 m, @ Smarandache ¡£¢ ¤L9 ¥6¦ L: Z→Z

L(x, m) = (x + c1 ) · · · (x + cϕ(m) )

132 ϕ4 Euler ¤L9 , c , · · · , c 64 ª m e «0¬A­ ¢ ® ¯C° Smarandache ¡£¢ ¤L9 e 0± ² .

1

11.4

ϕ(m)

.

Smarandache ϕ ³ ´

^A§ ¨ lOm 9 132 ϕ4 Euler ¤L9 5 DA» :

z, m,

[

m 6= 0,

µ6@

aϕ(ms )+s ≡ as (mod m),

, ms

; sU0¶ ·

Smarandache ϕ

¸A¹ q º

:

A := a M := m i := 0

5 ¼ » : ½0F ¸ d = (A, M ), M = Md .

F d 6=5A1¾ G » , ¿: Ad:== d,1 G M, ¿ =sM= ,i,i m:= i=+M1, ,À 5 ¼ » . e VAW : Euler ¥6Á ^A§ ¨ lOm 9 a, m, [ (a, m) =X 1, µ6@ a ≡ 1(modm).

Smarandache totient ¤L9 ¥6¦ : 0

s

0

0

ϕ(m)

sϕ : Z 2 → Z 2 131

Â6ENà e AÄ 1 Å0Æ Ç F m 6= 0, sϕ(a, m) = (m , s) G , @ a m). ¯È° Smarandache ϕ ¥ÉÁ , Smarandache ϕ¸ ≡¹ a ,(mod Smarandache totient ¤L9 .

Smarandache

ϕ(ms )+s

s

11.5

s

Smarandacheials

^A§ ¨ lOm 9

n, k,

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

!n!k =

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤n i=0, 1, 2,···

Ë Ì

: F (1) k = 1 G

: Y

!n!1 = !n! =

(n − i) = n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

0<|n−i|≤n i=0, 1, 2,···

(−1)(−2) · · · (−n + 2)(−n + 1)(−n)

= (−1)n (n!)2 .

PRQ

,

!5! = 5(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3) · · · (5 − 9)(5 − 10)

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · (−1) · (−2) · (−3) · (−4) · (−5) = −14400.

? eRÍ Î X

:

4, −36, 576, −14400, 518400, −25401600, 1625702400,

−131681894400, 13168189440000, −1593350922240000,

229442532802560000, −38775788043632640000,

7600054456551997440000, −1710012252724199424000000, · · ·

(2) (a)

F

: F kn OX =Ï 2 G 9 G ,@ !n!2 =

Y

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

132

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (3)(1)

5 D0 A_

Smarandache

e D0 0 A

(−1)(−3) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n)

= (−1)

F n OX Ð 9 G ,@

(b)

(n+1) 2

(n!!)2 .

Y

!n!2 =

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (4)(2)

(−2)(−4) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n) n

= (−1) 2 (n!!)2 .

PRQ , !3! = 3(3−2)(3−4)(3−6) = 9, !4! ? eRÍ Î X : 2

2

= 4(4−2)(4−6)(4−8) = 64.

9, 64, −225, −2304, 11025, 147456, −893025, (3)

F

−14745600, 108056025, 2123366400, · · ·

G

k=3

:

!n!3 =

Y

0<|n−3i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 3i) = n(n − 3)(n − 6) · · ·

PRQ , !7! = 7(7 − 3)(7 − 6)(7 − 9)(7 − 12) = 7(4)(1)(−2)(−5) = 280. ? eRÍ Î X : 3

−8, 40, 326, 280, −2240, −26244, −22400, (4)

F

−246400, 3779136, 3203200, −44844800, · · ·

k=4

G

:

!n!4 =

Y

0<|n−4i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 4i) = n(n − 4)(n − 8) · · ·

PRQ , !9! = 9(9 − 4)(9 − 8)(9 − 12)(9 − 16) = 9(5)(1)(−3)(−7) = 945. ? eRÍ Î X : 4

−15, 144, 105, 1024, 945, −14400, −10395, 133

Smarandache

(5)

−147456, −135135, 2822400, 2027025, · · ·

F

k=5

G

: Y

!n!5 =

PRQ

Â6ENÃ e AÄ 1 Å0Æ Ç

0<|n−5i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 5i) = n(n − 5)(n − 10) · · ·

, !11!5 = 11(11 − 5)(11 − 10)(11 − 15)(11 − 20) = 11(6)(1)(−4)(−9) = 2376.

? eRÍ Î X

:

−24, −42, 336, 216, 2500, 2376, 4032,

−52416, −33264, −562500, −532224,

−891072, 16039296, · · ·

D6ÑAÒ , A^ § ¨ lOm 9

n, k,

!n!mk =

Ë Ì

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤m i=0, 1, 2,···

: !7!32 = (7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)(7 − 10) = (3)(1)(−1)(−3) = 9. !7!92 = 7(7 − 2)(7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)

(7 − 10)(7 − 12)(7 − 14)(7 − 16)

= 7(5)(3)(1)(−1)(−3)(−5)(−7)(−9) = −99225.

11.6

Smarandache & Ó"Ô Õ-Ö$×

FÙØ Ú e 7N9 Û Ü3G , Ý Þ3ßLà áNâ ã ; E ä Ø Ú e ® ØAÚ cAë . dache t6u åAæ0çAè 90¹Aé ê 134

. Smaran-

5 Â? D0Â? Â&#x2018;A_

Smarandache

Ă&#x2DC; Ă&#x161; S , S , ¡ ¡ ¡ S e 7 9 Ă&#x160; n â&#x2030;Ľ 2 ĂŠNĂŞ U Ă° e . i0cAĂŤ .

C eĂ&#x2122;Ă´OĂľ Ăś Â&#x152; . ĂŽtC@u>Ă&#x2DC;AùóĂ&#x161; ò Ă&#x161; S Ă&#x160; , S1 â&#x2030;¤, ¡k¡ ¡â&#x2030;¤, Sn, Smarandache eRĂš )Ăş X 0. Ăť 7 Ă?AĂ&#x17E; Ă&#x;Â&#x20AC;Ăź6@ 2 7 Ă˝0cAĂŤ Ăś Â&#x152; , J X e Ă&#x161; .

F n = 3 G , Ă?AĂ&#x17E; Ă&#x;ÂŁĂŠ ĂŞ Ă&#x152; : 1

i1

i2

ik

n

11.7

2

n

Â&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C; e D0Â&#x2022;0Â&#x2013;AÂ&#x2014; ĂŹ Â&#x2022; Ă&#x2DC; Ă&#x161; :NĂ? Ă&#x17E;>Ă&#x; 2NĂ­ĂŻĂŽ @ 2 Ă&#x2DC; : 9 i i ¡ ¡ ¡ i ĂŠ>ĂŞ Ă? Ă&#x17E; Ă&#x; eÂ&#x20AC;áAĂś ( JLK 4 , ĂŽ @ Ă&#x2DC;AĂ&#x161; eĂ&#x2122;ø 9 12 ¡ ¡ ¡ n eÂ&#x20AC;Ăž6Ăż 9 2 k 7 9 ,

1 2

k

Smarandache Â&#x2021;,

D2 37 Ă´ Ă&#x160;Ă&#x2030;ÂŽ Î&#x17E; X Smarandachej Ă­ ÂĽ e {, Ă­ 1 2 k : D37 Ă´ Ă&#x160; , : Î&#x17E; ÂĄ6GLĂŠ X ZòÂ&#x20AC;fAg Ă˝AfAg , Â&#x2122; h e . " i0# ĂŠ NĂ˝AfAg ø . ÂŻĂŹ 3e ÂŽ . Smarandache !OT + 3 K 4 $&% ( Ă&#x2020; , * + . ² , 1 { 2 e ° ĂŹ ÂŽ 9( ' ÂŽ)Smarandache 4 , 5 687 .-)/ ^.0 e &< = > Ă ? E . h , Smaran 2 dache ! T 4 - 9 :;! Ă´ T eCD B.DAE . Ă&#x17D;AG , X

D A 7 C @ @ Smarandache j ÂĽ Ă&#x160; F =

Smarandache <,H Ă&#x2019; , ^ § ¨Cm 9 n â&#x2030;Ľ 2, @ Smarandache n-I ?{eCJ)K . L.F.MaoŠ ò | D Ă&#x2018; Âą e $L% Smarandache n-? I O ? e X . š Ă&#x17D; (}NG M  [57]; [58]), L.F.Mao $8% 2- Ă? Smarandache I Ă&#x2019;3Ă&#x; .

135

Ă&#x201A;6ENĂ&#x192; e Â&#x2019;Â&#x201D;Â&#x201C;AĂ&#x201E; 1 Ă&#x2026;0Ă&#x2020; Ă&#x2021; U Ă­QP ç 9)' Ă&#x161; e .Nš , J6Š ÂĽ D Ă&#x2018; Âą Ă&#x2019; $ % Smarandache ; ÂŽ

<.H Ă&#x2019; , U Ă­ Ă˝PĂ&#x2030;ÂĄĂ&#x2122;ÂŽ <Ă&#x2030;=OD 7 E Ă&#x161;(R e $ , Ă&#x2020;A* q Âş Smarandache

ÂŽ

, ç SmarandacheS = . š ,E JAŠ>X ¼ n7 . ýó¥ e&B,D )T(U E = A , A , ¡ ¡ ¡ , A , ¼6Œ D67 n-S = Smarandache

1

2

n

X

Â

=

n [

Ai .

>e S E =Â&#x20AC;I U k : , Ă&#x2039; Ă&#x152; , V0ç x W69 ' 20eYX(ZQ[(ZQ\ ;^]_U ĂŹ E = , $8% S X(Z S [(Z S \ ; S`]_U E = , V0ç Ă&#x161; ! T $8% Ă&#x161; I ? ø ÂŻ ° 1 h eba Â&#x152; R $ , Ă&#x2020;A* c.d Ă&#x161; , a Â&#x152; Ă&#x17D;;G r . e b8f.g (}AM [59]).

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