关于 Smarandache 问题 研究的新进展

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关于Smarandache问题 研究的新进展

郭晓艳 西北大学数学系

袁 霞 西北大学数学系

High American Press 2010

This book can be ordered in a paper bound reprint from: Books on Demand ProQuest Information & Learning (University of Microfilm International) 300 N. Zeeb Road P.O. Box 1346, Ann Arbor MI 48106-1346, USA Tel.: 1-800-521-0600 (Customer Service) http://wwwlib.umi.com/bod/basic

Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi , P.R.China. Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong , P.R.China. Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P.R.China.

Copyright 2010 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm

ISBN: 978-1-59973-096-7 Standard Address Number : 297-5092 Printed in the United States of America

ó êØ´ ïÄê 5Æ, AO´ ê5 Æ. l§ ) F å, Ò± ó {', Vg ß, Øä ²(kOuÙ Æ. êÆ fpdQ²`L “êÆ´ Æ å , êØK´êÆ å ”. êØ ´ P êÆÆ , P § ±J < (-P¯! , êØqé , · y3 , {(½ ê Nõ{ü5 . Ǒ,kNõ P êدK®² )û, ´qk õ #¯KØä Ñy. duNõêدK ïÄ ªþ =zǑ, êؼê5?Ø, Ï déêؼê ïÄ ´êØ¥ Ä Ǒ´ ­ ïÄ K. 1993 , 35Only Problem, Not Solutions!6 Ö¥, {7ÛêZæͶ êØ;[ F. Smarandache ÇJÑ 105 'uAÏê ! â¼ê )û êƯK9ß . Xù ¯K JÑ, NõÆöéd?1

\ ïÄ, ¿¼ Ø äk­ nØd ïĤJ. Ö´ ö3Ü Æ ÖÆ Ïm, â Ü©+ Ç ïÆ, ò8 ISÆö'u Smarandache ¯KïÄ Ü©¤J®?¤þ, ÙÌ 8 3u Öö0 'u Smarandache ¯K # ïĤJ, Ì ) Smarandache ¼ê k.5 O!þ O, AÏê , AÏ ¼ê § ) X ¯K. F"k, Öö ±éù (ØÚ#¯ K?1ïÄ, l mÿÖö À , Ú Ú-uÖöéù + ïÄ, . , é Ü©+ Ç å|±Ú9 y, [" Ö¿J ÑNõ B¿ ± ¿! ?ö 2010 12

I

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

8š 1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê 1.1 'u Smarandache Ÿê e. O . . . . . . . . . . 1.1.1 Úó9(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 ½n 1.1 y² . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Smarandache Ÿê3ĂŞ a + b Ăž e. O . . . . 1.2.1 Úó9ĂŻĂ„ Âľ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 ½n 1.2 y² . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Smarandahce Ÿê3¤ ĂŞĂŞĂž e. O . . . . . . 1.3.1 ¤ ĂŞĂŞÂ†ĂŒÂ‡(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 ½n 1.3 y² . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Smarandache Ÿê3  £Þ e. O . . . . . . 1.4.1  £0 . . . . . . . . . . . . . . . . . ½nĂšĂźÂ‡Ă­Ă˜ y² . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK 2.1 Úó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 'u Smarandache LCM Ÿê9Ă™ÊóŸê . . . . . . 2.2 2.3 Smarandache LCM Ÿê ÊóŸê† ÂƒĂ?f ĂžÂ? Š........................ 2.4 ˜‡Â?š Smarandache LCM Ÿê ÊóŸê Â?§ . . 2.5 Smarandache Ÿê† Smarandache LCM Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ ˜‡Â?š Smarandache Ÿê† Smarandache LCM Ÿê 2.6 Â?§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK 3.1 'u Smarandache ĂšŸê ފ . . . . . . . . . . . 3.1.1 Úó9(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 ½n 3.1 9½n 3.2 y² . . . . . . . . . . . 3.2 ˜aÂ?š Smarandache ĂšŸê S(n, k) Dirichlet ?ĂŞ . 3.2.1 Dirichlet ?ĂŞÂ†ĂŒÂ‡(Ă˜ . . . . . . . . . . . . 3.2.2 A‡½n y² . . . . . . . . . . . . . . . . p

II

p

1 1 1 3 5 5 5 9 9 10 13 13 14 18 18 18 22 24 30 33 37 37 37 38 42 42 43

8š 3.3 ˜aÂ?š Smarandache ĂšŸê AS(n, k) Dirichlet ?ĂŞ 46 3.3.1 ĂŒÂ‡(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 ½n y² . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 'u Smarandache Â˜Ăš ފ . . . . . . . . . . . . 51 3.4.1 ĂŻĂ„ Âľ9ĂŒÂ‡(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.2 ½n 3.13 9½n 3.14 y² . . . . . . . . . . 53 1oĂ™ 'uÂŒ\Ÿê ˜ ÂŻK 56 4.1 ˜‡# ÂŒ\Ÿê† Smarandache ĂŞ . . . . . . . . 56 4.1.1 Úó9(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.2 ߇{Ăź Ăšn . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.3 ½n 4.1 9½n 4.2 y² . . . . . . . . . . . 59 4.2 'uÂŒ\Ÿê ĂžÂ?Š . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1 ĂŒÂ‡(Ă˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.2 ½n 4.3 y² . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1ĂŠĂ™ 'u Smarandache ĂŞ 9Ă™k'ÂŻK 66 5.1 Smarandache ²Â?ĂŞ SP (n) Ăš IP (n) ފ . . . 66 5.2 Smarandache 3n-digital ĂŞ . . . . . . . . . . . . . 69 18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ 76 6.1 Â?šÂ– Smarandache ŸêĂš Smarandache LCM Ÿê Â?§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ˜‡Â?š Smarandache Ÿê†– Smarandache Ÿê Â? 6.2 § . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 'u Smarandache Ÿê ߇Ă&#x;ÂŽ . . . . . . . . . . 88 6.3 6.4 ˜‡Â?šŸê S (n) Â?§ . . . . . . . . . . . . . 93 6.5 'u Smarandache ÂŻK Â˜Â‡Ă­2 . . . . . . . . . . 100 1ÔÙ Smarandache Ÿêƒ'ÂŻK 105 7.1 Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠÂŻK . . . . . . . . . . 105 7.2 'u²Â?Ă–ĂŞ SSC(n) ߇¯K . . . . . . . . . . 109 7.3 'u Smarandache ˜Ÿê Â˜Â‡ĂžÂŠÂŻK . . . . . . . 113 7.4 'u Smarandache {ߟê . . . . . . . . . . . . . 120 7.5 Smarandache k gĂ–êŸê . . . . . . . . . . . . . 123 7.6 ˜‡Â?š Gauss Ÿê Â?§9Ă™¢ê) . . . . . . . . 127 k

III

7.7

Í Šz

IV

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? n ?›¼š"ĂŞi ê²Â?ĂšŸêÞŠ . . .

. . . . . 131 135

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê ĂŞĂ˜¼¤Â?š ˜‡­Â‡SNĂ’´ïĂ„ĂŞĂ˜Ÿê ÂˆÂŤ5Â&#x;, Ă?Âś Smarandache Ÿê S(n) ´­Â‡ ĂŞĂ˜Ÿêƒ˜, ĂŠuĂšÂ˜Âź êÊþÆ܎²Â‰ ĂŻĂ„Ăš&¢, Âż ˜X ­Â‡ (J, Ăš nĂ˜ ¤JĂŠĂŞĂ˜u Ă‘k­ÂŒÂżĂ‚. C 5, 'u Smarandache Ÿê k. 5 OÂŻK¤Ç‘ Smarandache ˜‡#, ‘K, ÊþÆÜÊÚ˜‘K‰

Ç‘ &¢, Ă™ò0 CĂ?ISÆ܂'u Smarandache Ÿê k .5 OÂŻK¤ÂŠĂ‘  #¤J. 1.1 1.1.1

'u Smarandache Ÿê e. O Úó9(Ă˜

½Ă‚ 1.1. ĂŠu?Âż ĂŞ n, Ă?Âś Smarandache Ÿê S(n) ½Ă‚ Ç‘ ê m n | m!. =Ă’´ S(n) = min{m : m ∈ N, n|m!}.

l S(n) ½Ă‚ĂŠN´íĂ‘XJ n = p p ¡ ¡ ¡ p LÂŤ n IO Š)ÂŞ, o S(n) = max {S(p )}. dd¡Â‚Ç‘Ă˜JOÂŽĂ‘ S(1) = 1, Îą1 Îą2 1 2

1≤i≤r

Îąr r

Îąi i

S(2) = 2, S(3) = 3, S(4) = 4, S(5) = 5, S(6) = 3, S(7) = 7, S(8) = 4, S(9) = 6, S(10) = 5, S(11) = 11, S(12) = 4, S(13) = 13, S(14) = 7, S(15) = 5, S(16) = 6, S(17) = 17, S(18) = 6, S(19) = 19, S(20) = 5, ¡ ¡ ¡ . S(n) , . S(n) , , , [2-6]. , [2]

w,Ÿê QĂ˜´4OŸê Ç‘Ă˜´4~Ÿê 'u ?Â˜Ăš 5Â&#x; NþÆÜǑ?1 ĂŻĂ„ Âź Ă˜ k (J ĂŤ Šz ~X ºÌ² ÂĽĂŻĂ„ Â?§ S (m1 + m2 + ¡ ¡ ¡ + mk ) =

k X

S (mi )

i=1

ÂŒ)5, |^)Ă›ĂŞĂ˜ÂĽĂ?Âś nƒê½ny² ĂŠ?Âż ĂŞ k ≼ 3, TÂ?§k ÂĄĂľ| ĂŞ) (m , m , ¡ ¡ ¡ , m ). 1

2

k

1

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Mó¸ [3] ĂŻĂ„ S(n) ŠŠĂ™ÂŻK, y² ĂŹCúª 3 2Îś 32 x 2 2 (S(n) − P (n)) = +O 3 ln x n≤x X

3

x2 ln2 x

!

,

Ù¼ P (n) LÂŤ n  ÂŒÂƒĂ?f, Îś(s) LÂŤ Riemann zeta- Ÿê. Wju Ç3Šz [4] ÂĽĂŻĂ„ S 2 (2 − 1) e. OÂŻK, ¿‰Ñ OÂŞ: p−1

p

S 2p−1 (2p − 1) ≼ 2p + 1,

Ù¼ p Ç‘?ÂżĂ›ÂƒĂŞ. ەw [5] ÂĽU? Šz [4] (Ă˜, ‰Ñ Â?r e. O. =Ă’ ´y² ĂŠ?ÂżÂƒĂŞ p ≼ 7, ¡Â‚k S 2p−1 (2p − 1) ≼ 6p + 1.

ەw [6] ¼„ïÄ S (2 ĂŞ p ≼ 7, Ă“ ÂŒ OÂŞ

p

+ 1)

e. OÂŻK, y² ĂŠ?ÂżÂƒ

S (2p + 1) ≼ 6p + 1.

¹ÞŠz¼¤ 9 ĂŞ 2 (2 − 1) kX­Â‡ ĂŞĂ˜ Âľ, ¯¢ Þê M = 2 − 1 ÂĄÇ‘rĂœZĂŞ. rĂœZQĂ&#x;ÿʤkÂƒĂŞ p, M Ç‘ ÂƒĂŞ. , ĂšÂ˜Ă&#x;Ăż 5 y´Â†Ă˜ , Ă?Ç‘ M = 2 − 1 = 23 Ă— 89 ´Â‡ĂœĂŞ. ĂŞ 2 (2 − 1) †˜‡ P ĂŞĂ˜JK — Ăł ê— ƒƒ'. ¤¢ n ´Â˜Â‡ ê´Â? n ¤k Ă?ĂŞÂƒĂš u 2n. ~ X n = 6 ´Â˜Â‡ ĂŞ, Ă?Ç‘ 12 = 2 Ă— 6 = 1 + 2 + 3 + 6. <‚ ÂŽy² ˜‡óê n ´ ĂŞ Â…= n = 2 (2 − 1), Ù¼ 2 − 1 Ç‘ÂƒĂŞ. ´ Ă„ 3Ă› ê–8´Â˜Â‡Â™)Ăť ĂŞĂ˜JK. k'SNÂŒĂŤ Šz [8] 9 [9]. ĂŠu Smarandache Ÿê3Ă™§ê Ăž e. O, ˜ ÆÜǑ?1

ĂŻĂ„, ~X, <a [7] ?Ă˜ Smarandache Ÿê3¤ ĂŞĂŞĂž e. OÂŻK, y² ĂŠ?Âż ĂŞ n ≼ 3 k OÂŞ: p−1

p

p

p

p

11

p−1

p

p−1

2

11

p

n S(Fn ) = S 22 + 1 ≼ 8 ¡ 2n + 1,

p

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê Ù¼ F = 2 + 1 Ç‘Ă?Âś ¤ ĂŞĂŞ.  C, É Šz [5]![6] 9 [7] ĂŠu§§XÂś [10] ĂŻĂ„ k'ÂŻK, Âź Â?r e. O. äN/`Ç‘Ă’´y² eÂĄ : ½n 1.1. ĂŠu?ÂżÂƒĂŞ p ≼ 17, ¡Â‚k OÂŞ 2n

n

(A). S (2p − 1) ≼ 10p + 1; (B). S (2p + 1) ≼ 10p + 1.

w,½n 1.1 ÂĽ e. O`uŠz [4]![5]![6] 9 [7] ÂĽ (Ă˜, Â…§ y²L§Â?äkE|5.

½n 1.1 y²

1.1.2

Ăš!¡Â‚|^ Â?{9|ĂœE|† ‰Ñ½n 1.1 y². ¡Â‚Â?y²½n 1.1 ÂĽ (A) ÂŞ, Ă“nÂŒĂ­Ă‘½n 1.1 ÂĽ (B) ÂŞ. d Smarandache Ÿê 5Â&#x; ĂŠu?ÂżÂƒĂŞ p | n, ¡Â‚k S(n) ≼ p Â… p | S (p ) ʤk ĂŞ Îą ¤å. y3, ĂŠu?ÂżÂƒĂŞ p ≼ 17, q Ç‘ (2 − 1) ?˜ƒĂ?f, w, q ≼ 5. u´d S(n) 5Â&#x; Îą

p

S (2p − 1) ≼ q.

(1-1)

q = 2kp + 1, k = 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ .

(1-2)

qdu q | 2 − 1, ¤¹ 2 ≥ 1 (mod q). Ă?d p ´ 2 q Â?I. ¤¹ dŠz [8] 9 [9] ÂĽÂ?I 5Â&#x; p | φ(q) = q − 1, ½Ü q = mp + 1. d u q Ç‘Ă›ÂƒĂŞ, ¤¹ m ˜½Ç‘óê, Ă?dÂŒ p

p

w, 2 − 1 Ă˜ÂŒU´Â˜Â‡ ²Â?ĂŞ. Ă„Kk 2 − 1 = u , ½Ü 2 = u + 1, ddĂ­Ă‘ 0 ≥ 2 ≥ u + 1 ≥ 2 (mod 4), gĂą. u´ 2 − 1 ke ĂŠÂŤÂŒU: (a). 2 − 1 Ç‘ÂƒĂŞ, dž5Âż p ≼ 17, ¡Â‚k S (2 − 1) ≼ 2 − 1 ≼ 10p + 1. (b). 2 − 1 T Ç‘Â˜Â‡ÂƒĂŞ q m g˜, m ≼ 3. du 2 − 1 Ă˜ÂŒ UÇ‘ ²Â?, ¤¹ m = 3, 5, ¡ ¡ ¡ . e m ≼ 5, Kdž(Ăœ (1-1) 9 (1-2) ÂŞk p

p

2

p

p

2

2

p

p

p

p

p

p

S (2p − 1) ≼ S(q m ) ≼ mq > 5(2p + 1) > 10p + 1.

3

'uSmarandache¯KïÄ #? e m = 3, K q = 2kp + 1 k ≥ 2 Ek S (2p − 1) ≥ S(q 3 ) ≥ 3q > 3(4p + 1) > 10p + 1.

w, 2 − 1 6= (2p + 1) , ÏǑ p ≥ 17 ª 2 − 1 = (2p + 1) Ø U¤á, ÏǑ 2 − 1 > (2p + 1) , XJ p ≥ 17. (c). 2 − 1 ¹ko ØÓ Ïf. d d (1-2) ª k ê÷v q = 2kp + 1 k ≥ 5, ÏǑ 2p + 1 Ú 4p + 1 Ø UÓ Ǒ ê. d Òk S (2 − 1) ≥ q ≥ 10p + 1. (d). 2 − 1 T ¹kn ØÓ Ïf, XJÙ¥ k Ï f÷v q = 2kp + 1 k ≥ 5, oÒk S (2 − 1) ≥ q ≥ 10p + 1. XJ¤ k Ïf¥ k ≤ 4, K5¿ 2p + 1 Ú 4p + 1 Ø UÓ Ǒ ê, 4p + 1 Ú 8p+1 Ø UÓ Ǒ ê, ¤± 2 −1 = (2p+1) ·(6p+1) ·(8p+1) . d β ≥ 2 ½ö γ ≥ 2 ½ö α ≥ 5 ½nw,¤á. ¤±Ø 5 b½ 2 −1 = (2p+1) ·(6p+1)·(8p+1), 1 ≤ α ≤ 4. ù« ¹Ǒ´Ø U . ÏǑXJ 2 −1 = (2p+1) ·(6p+1)·(8p+1), Kd g { 5 2 ´ ê 2p+1 9 6p+1 g {. , p ≡ 3 (mod 4) , p = = (−1) = (−1) = (−1) = −1, ù 4k + 3, d 2 ´ ê 6p + 1 g {gñ. p ≡ 1 (mod 4) , p = 4k + 1, d = (−1) = (−1) = (−1) = −1§ù 2 ´ ê 2p + 1 g {gñ. ¤± 2 − 1 T ¹kn ØÓ Ïf , ½k S (2 − 1) ≥ 10p + 1. (e). 2 − 1 T ¹kü ØÓ Ïf. d 5¿ (1-2) ª± 9 (d) ¥ y²L§ 2 − 1 Ø UÓ ¹k Ïf 2p + 1 9 6p + 1. Ó 2 − 1 ǑØ UÓ ¹k Ïf 2p + 1 Ú 4p + 1, ÏǑ ê p > 3 , ü ê 2p + 1 9 4p + 1 ¥ k 3 Ø, Ïd§ Ø U Ó Ǒ ê. ¤±d (1-2) ª 2 − 1 T ¹kü ØÓ Ïf : 2 − 1 = (2p + 1) · (8p + 1) ½ö 2 − 1 = (4p + 1) · (6p + 1) , ÏǑ 4p + 1 Ú 8p + 1 Ø UÓ Ǒ ê, Ù¥ k 3 Ø. w, β ≥ 2 ½ö α ≥ 5 k S (2 − 1) ≥ β · (6p + 1) ≥ 10p + 1 ½ö S (2 − 1) ≥ α · (2p + 1) ≥ 10p + 1. β = 1, 1 ≤ α ≤ 4 k 2 − 1 = (2p + 1) · (8p + 1) ½ö 2 − 1 = (4p + 1) · (6p + 1). e 2 −1 = (2p+1) ·(8p+1), w, α 6= 4. ÄKd 2 −1 = (2p+1) ·(8p+1) áǑíÑÓ{ª: 2 − 1 ≡ −1 ≡ (2p + 1) · (8p + 1) ≡ 1 (mod 8), g ñ. 3 2 − 1 = (4p + 1) · (6p + 1) ¤á , E,k S (2 − 1) ≥ p

3

p

p

3

3

p

p

p

p

p

p

α

β

γ

α

p

α

(6p+1)2 −1 8

2 6p+1

(2p+1)2 −1 8

2 2p+1

3p(3p+1) 2

p(p+1) 2

6k+5

2k+1

p

p

p

p

p

p

p

α

β

p

α

β

p

p

p

α

p

p

α

p

p

p

4

α

4

4

3

p

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê 3 ¡ (4p + 1) > 10p + 1. ¤¹Ă˜Â” 1 ≤ Îą ≤ 3. dž p ≼ 17 ž, ÂŞ 2 − 1 = (2p + 1) ¡ (8p + 1) ½Ü 2 − 1 = (4p + 1) ¡ (6p + 1) Ă˜ÂŒU ¤å, Ă?Ç‘ 2 − 1 > (2p + 1) ¡ (8p + 1) 9 2 − 1 > (4p + 1) ¡ (6p + 1). nĂœÂˆÂŤÂŒU¡Â‚Ă˜JĂ­Ă‘ 2 − 1 T škĂźÂ‡Ă˜Ă“ÂƒĂ?fž, S (2 − 1) ≼ 10p + 1. (Ăœ¹ÞĂŠÂŤÂœš¡Â‚ĂĄÇ‘ ¤½n 1.1 ÂĽ (A) ÂŞ y². aq/, ¡Â‚ÂŒ¹íĂ‘½n 1.1 ÂĽ (B) ÂŞ. p

3

p

p

2

3

p

2

p

p

1.2

1.2.1

Smarandache

O

Ÿê3ê a + b Þ e. p

p

Úó9ïÄ ¾

ŠǑÞ!ÂŻK Ă­2Ăšò , <‚g,ÂŹÂŽ Smarandache ŸêÊ ?Âżg,ĂŞ e. O. , ڴ˜‡›Š(J ÂŻK, Ă?Ç‘ n = p Ç‘ ÂƒĂŞÂž, S(p) = p; n = p Â… Îą ≤ p ž, S (p ) = Îą ¡ p. ¤¹ S(n) ŠŠĂ™ĂŠĂ˜Ăž!. !ò0 oÂŽĂšÂ†ĂœŠ+ Ç3ĂšÂ?ÂĄ ĂŻ Ă„(J, Ç‘Ă’´ÂŠÇ‘Šz [6] 9 [7] 5Âş, |^ 9|ĂœÂ?{ĂŻĂ„

Smarandache Ÿê S(n) 3AĂ?ĂŞ a + b Ăž e. OÂŻK, Âż ˜‡˜„5 (Ă˜. äN/`Ç‘Ă’´y² eÂĄ : ½n 1.2. p ≼ 17 Ç‘ÂƒĂŞ, KĂŠ?ÂżĂ˜Ă“ ĂŞ a 9 b, ¡Â‚ k OÂŞ Îą

Îą

p

p

S (ap + bp ) ≼ 8p + 1.

w,ڇ½nÂĽ e.´Šz [5] 9 [6] Ă­2Ăšò , AO a = 2, b = 1 ž, ¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ OÂŞ S (2 + 1) ≼ 8p + 1. Ă?d¡Â‚ Ç‘| ^Ăš! Â?{ ÂŒÂąU?Šz [4]![5] ÂĽ e.. p

1.2.2

½n 1.2 y²

Ăš!¡Â‚|^ Â?{‰Ñ½n 1.2 y². Ç‘QĂŁÂ?B, ¡Â‚Ă„k ‰ÑeÂĄ : 5

Ăšn 1.2.1. ¡Â‚k

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? p Ç‘Ă›ÂƒĂŞ, KĂŠ?Âżpƒ ĂŞ a 9 b Â… a+b 6= 0,

y²: K (h, k) = 1 Â…

2

p

ap + bp , a+b a+b

ap + bp , a+b a+b

p

=1

½Ü p.

= d, a + b = dh,

p

p

d hk = a + b = a + (dh − a) = = pdhap−1 +

p−2 X

p−1 X

ap + bp = dk, a+b

Cpi (dh)p−i (−1)i ai

i=0

Cpi (dh)p−i (−1)i ai .

(1-3)

i=0

5Âż (a, b) = 1, d Ă˜ a + b, ¤¹ (d, a) = 1. l d (1-3) ÂŞĂĄÇ‘Ă­ Ă‘ d | p, ¤¹ d = 1 ½Ü p. u´ ¤ Ăšn y². y3¡Â‚/Ă?uڇÚn5 ¤½n 1.2 y². Ă?Ç‘ a Ăš b Ç‘Ă˜Ă“ ĂŞ, ¤¹¡Â‚ÂŒ a = d ¡ a , b = d ¡ b , (a , b ) = 1, a + b = d ¡ (a + b ). d Smarandache Ÿê S(n) 5Â&#x; 1

p

p

p 1

p

1

1

1

p 1

S (ap + bp ) = S (dp ¡ (ap1 + bp1 )) ≼ S (ap1 + bp1 ) .

(1-4)

u´Ç‘y²½n 1.2, 5Âż (1-4) ÂŞ, Ă˜Â”Â˜Â„5¡Â‚ÂŒb½ (a, b) = 1, a ¡ b > 1. ĂŠu?ÂżÂƒĂŞ q | n, ¡Â‚k S(n) ≼ q Â… q | S (q ) ʤk ĂŞ Îą ¤å. y3, ¡Â‚ky² a + b Ă˜ÂŒUÇ‘ p Â?˜. eĂ˜,, K k a + b = p . du p Ç‘Ă›ÂƒĂŞ, Îą = 2 ž, du a + b > 2 > p , ¤ Âą Îą ≼ 3, d ÂĄ ĂšnĂ˜JĂ­Ă‘ a + b = p u, 1 ≤ k ≤ Îą − 2, (u, p) = 1. 2d Îą

p

p

p

p

Îą

p

p

p

k

Îą

p

p

p

p

k

= a + b = a + (up − a) = = pk+1 uap−1 +

p−2 X i=0

6

p

p−1 X

Cpi up−i pk(p−i) (−1)i ai

i=0

Cpi up−i pk(p−i) (−1)i ai

2

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê ½Ü p−2 X

Îą

p −

Cpi up−i pk(p−i) (−1)i ai = pk+1 uap−1 .

i=0

ު†>U p Ă˜, ´m>Ă˜Ua, gĂą ! ¤¹ a + b Ă˜ÂŒUÇ‘ p +b Â?˜. u´ 3ÂƒĂŞ q 6= p Â… q Ă˜ a + b . =Ă’´ a + b ≥ 0 (mod q) ½Ü (a ¡ b) ≥ −1 (mod q). l k k+2

p

p

p

p

p

p

p

(a ¡ b)2p ≥ 1 (mod q).

(1-5)

m ´ (a ¡ b) q Â?I, Kd (1-5) 9Â?I 5Â&#x; (ĂŤ Šz [8] 9 [9]) m | 2p. u´ m  þkoÂŤÂŒU: m = 1, 2, p, 2p. w, m 6= 1, 2, p. Ă?Ç‘e m = 1, K a ≥ b (mod q), † (a, b) = 1 Â… q Ă˜ a + b gĂą. e m = 2, K a ¡ b ≥ −1 (mod q) ½Ü a + b ≥ 0 (mod q). †Ún 9 q Ă˜ aa ++ bb gĂą. 2d ÂĄĂ“{ÂŞ (a ¡ b) ≥ −1 (mod q) m Ă˜ ÂŒU u p, ¤¹Â?k m = 2p. 2dÂ?I 5Â&#x; m | φ(q) = q − 1, = Ă’´ p

p

p

p

p

q − 1 = h ¡ m = h ¡ 2p,

½Ü

q = h ¡ 2p + 1.

(1-6)

u´d (1-6) ÂŞ a + b Ă˜ p ƒ , – šk 4 Â‡Ă˜Ă“ ƒĂ?fž, ˜½k˜‡ƒĂ?f q p

p

q = h ¡ 2p + 1 ≼ 4 ¡ 2 ¡ p + 1 = 8p + 1.

a + b šknÂ‡Ă˜ u p ƒĂ?f q , q 9 q ž, d (1-6) ÂŞ ¡Â‚ÂŒ q = 2h p + 1, q = 2h p + 1, q = 2h p + 1 Â… h < h < h . dž h Ăš h Ă˜ÂŒUӞǑ 1 Ăš 2. eĂ˜,, 5Âż p ≼ 11, K3 p, p = 2p + 1 Ăš p = 4p + 1 nÂ‡ÂƒĂŞÂĽ, – k˜‡U 3 Ă˜, چ p, q Ăš q Ă“ÂžÇ‘ÂƒĂŞgĂą. Ă?d h , h 9 h ¼– kÂ˜Â‡Ă˜Â” h ÂŒ u½ u 4, dž¡Â‚k q = 2h p + 1 ≼ 8p + 1. e¥¡Â‚?Ă˜ a + b škĂźÂ‡Ă˜ u p ƒĂ?f q Âœš. dž dŸê S(n) 5Â&#x;ÂŒ ¡Â‚ þÂ?I Ă„e¥ß/ÂŞ: p

p

1

1

1

1

1

1

2

2

3

2

3

3

1

2

3

2

2

2

1

p

3 p

2

3

3

3

7

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? a + b = p ¡ (2p + 1) ¡ (6p + 1) ½Ü a + b = p ¡ (4p + 1) ¡ (6p + 1) . e a + b = p ¡ (2p + 1) ¡ (6p + 1) ¤å, K β ≼ 4 ½Ü Îł ≼ 2 ž, d S(n) 5Â&#x;ÂŒ : p

p

Îą

p

β

p

Îł

Îą

β

p

p

Îą

β

Îł

Îł

S(ap + bp ) ≼ S (2p + 1)β = β ¡ (2p + 1) ≼ 4 ¡ (2p + 1) = 8p + 3 ≼ 8p + 1,

½Ü

S(ap + bp ) ≼ S ((6p + 1)Îł ) = Îł ¡ (6p + 1) ≼ 2 ¡ (6p + 1) = 12p + 2 ≼ 8p + 1.

u´¡Â‚ÂŒb½ 1 ≤ β ≤ 3, Îł = 1. y3¡Â‚y²3ڍÂœše p ≼ 17 ž, a + b Ă˜ÂŒUšk p Â?˜. eĂ˜,, Îą ≼ 2 ž, du p Ă˜ a + b, a + b = p ¡ u, (p, u) = 1. Kd ÂĄ Ăšn k = Îą ½ Ăś Îą − 1. w,d a + b = p ¡ (2p + 1) ¡ (6p + 1) k = Îą Ă˜ÂŒU¤å, Ă?Ç‘dž p Ă˜ a + b . u´ÂŒ k = Îą − 1. l d a + b = p ¡ u ÂŒ p

p

k

p

p

Îą+1

2¡

pÎąâˆ’1 2

Îą

p

p

≤2¡

β

Îł

p

Îąâˆ’1

a+b 2

p

≤ ap + bp = pÎą ¡ (2p + 1)β ¡ (6p + 1)Îł .

5Âż , Îą ≼ 2, 1 ≤ β ≤ 3, Îł = 1, ¤¹ p ≼ 17 žN´ yÞªw ,Ă˜¤å. Îą = 1 ž, du a + b ≥ a + b (mod p), ¤¹ k = Îą = 1, d ÂĄ ndÂŒ p | a + b , Ú´Ă˜ÂŒU . ¤¹ a + b Ă˜ÂŒUškƒĂ?f p. Ăš ¡Â‚ĂĄÇ‘ p

2

p

p

p

p

p

2p + 1 ≤ ap + bp = (2p + 1)β ¡ (6p + 1),

Ù¼ 1 ≤ β ≤ 3. p ≼ 17 ž, ²LOÂŽÞªĂ˜ ª´Ă˜ÂŒU¤å . Ă“nÂŒÂąy² p ≼ 17 ž, a + b = p ¡ (4p + 1) ¡ (6p + 1) Â… β = Îł = 1 ´Ă˜ÂŒU . β ≼ 2 ½Ü Îł ≼ 2 ž, d S(n) 5Â&#x; S(a + b ) ≼ 8p + 1 ´w, . y3¡Â‚?Ă˜ a + b =škÂ˜Â‡Ă˜ u p ƒĂ?f q Âœš. ¡ ‚Â?I?Ă˜: a + b = p ¡ (2p + 1) , ½Ü a + b = p ¡ (4p + 1) , ½Ü p

p

Îą

p

Îą

p

β

p

p

Îą

ap + bp = pι ¡ (6p + 1)β .

8

β

p

p

p

p

β

Îł

ea

p

+ bp = pα

1 Ù 'u Smarandache ¼ê · (2p + 1) ¤á, K β ≥ 4 , w,k Oª: β

S (ap + bp ) ≥ S (2p + 1)4 = 4 · (2p + 1) ≥ 8p + 1.

β ≤ 3 , d ¡ y²L§ p ≥ 17 , e α ≥ 1, K a + b = p ·(2p+1) Ø U¤á: Ó e α = 0, K a +b = (2p+1) 1 ≤ β ≤ 3 Ǒؤá. Ón y²1 Ú1n« ¹ a + b = p · (4p + 1) 9 a + b = p · (6p + 1) . u´ ¤ ½n y². α

β

p

p

α

p

p

p

p

p

p

β

α

β

β

1.3

Smarandahce

1.3.1

¼ê3¤ êêþ e. O

¤ êê Ì (Ø

é?¿ K ê n, Ͷ ¤ êê F ½ÂǑ F = 2 + 1. ~ X F = 3, F = 5, F = 17, F = 257, F = 65537, · · · . w, 5 ¤ êêÑ´ ê, u´¤ êÒßÿé¤k K ê n, F Ǒ ê. a¬êÆ[î.u 1732 ÞÑ ~: F = 641 × 6700417. Ïd¤ êß ´ . ¯¢þ n = 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73 , F ÑØ´ ê. XJ F Ǒ ê, · r§¡Ǒ¤ ê ê. ´Ä 3

¡õ ¤ ê ê´ )û êØJK. IêÆ[pdQy²: e F ´ ê, K F >/ ^ 59 º Ñ. ¤±¤ ê êǑk X­ AÛ µ. 'u Smarandache ¼ê3¤ êê þ e. O, <a3©z [7] ¥?1 ïÄ, ¼ r e. O. C, Á¯ [11] |^ {! 5 ±9|ÜE|U? ©z [7] ¥ (Ø, ¼ e. O. äN/`ǑÒ´y² e¡ : ½n 1.3. é?¿ ê n ≥ 3, · k Oª n

0

1

2

3

2n

n

4

n

5

n

n

n

n

S (Fn ) ≥ 12 · 2n + 1.

9

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

½n 1.3 y²

1.3.2

Ăš!¡Â‚^ Â?{! Š 5Â&#x;Âą9|ĂœE|† ‰Ñ½n 1.3 y². Ă„k5Âż F = 257, F = 65537, §Â‚Ă‘´ÂƒĂŞ. Ă?dĂŠ n = 3, 4, ¡Â‚k S (F ) = 257 ≼ 12 ¡ 2 + 1, S (F ) = 65537 > 12 ¡ 2 + 1. Ă?d Ă˜Â”Â˜Â„5¡Â‚b½ n ≼ 5. XJ F = p, Â˜Â‡ÂƒĂŞ, od S(n) 5 Â&#x;¡Â‚k S (F ) = S(p) = p = F = 2 + 1 ≼ 12 ¡ 2 + 1; XJ F ´Â˜ ‡EĂœĂŞ, o p ´ F ?ÂżÂƒĂ?f, w, (2, p) = 1. m LÂŤ 2 mod p Â?I. =Ă’´, m LÂŤÂ ĂŞ r 3

4 3

3

4

4

n

n

2n

n

n

n

n

2r ≥ 1 (mod p).

Ă?Ç‘ p | F , ¡Â‚k F = 2 + 1 ≥ 0 (mod p) ½Ü 2 ≥ −1 (mod p), 9 2 ≥ 1 (mod p). ddĂ“{ÂŞ9Â?I 5Â&#x; (ĂŤ Šz [8] ¼½ n 10.1) ¡Â‚k m | 2 , Ă?d m ´ 2 ˜‡Ă?f. m = 2 , Ă™ ÂĽ 1 ≤ d ≤ n + 1. w, p ∤ 2 − 1, XJ d ≤ n. Ă?d m = 2 Âą 9 m | φ(p) = p − 1. u´ 2 | p − 1 ½Ü n

2n

n

2n

2n+1

n+1

n+1

d

2d

n+1

n+1

p = h ¡ 2n+1 + 1.

(1-7)

y3¡Â‚Še nÂŤÂœš?Ă˜: (A). XJ F k– nÂ‡Ă˜Ă“ ƒĂ?f, Šâ (1-7) ÂŞĂ˜Â” Ç‘ p = h ¡2 + 1, i = 1, 2, 3. Ă?Ç‘ 2 +1 Ăš 2¡2 + 1 Ă˜ÂŒUĂ“ÂžÇ‘Âƒ ĂŞ (– k˜‡U 3 Ă˜), 2 + 1 Ăš 5 ¡ 2 + 1 Ă˜ÂŒUĂ“ÂžÇ‘Âƒ ĂŞ (– k˜‡U 3 Ă˜), 2 ¡ 2 + 1 Ăš 4 ¡ 2 + 1 Ă˜ÂŒUӞǑ ÂƒĂŞ (– k˜‡U 3 Ă˜), 2 + 1 Ăš 4 ¡ 2 + 1 Ă˜ÂŒUĂ“ÂžÇ‘Âƒ ĂŞ (– k˜‡U 3 ½Ü 5 Ă˜), 2 ¡ 2 + 1 Ăš 3 ¡ 2 + 1 Ă˜ÂŒUĂ“ ÂžÇ‘ÂƒĂŞ (– k˜‡U 3 ½Ü 5 Ă˜), 4 ¡ 2 + 1 Ăš 5 ¡ 2 + 1 Ă˜ ÂŒUĂ“ÂžÇ‘ÂƒĂŞ (– k˜‡U 3 Ă˜), Ăš ˜5, 3 F ¤š 3 ‡ Ă˜Ă“ÂƒĂ?fÂĽ, – k˜‡ p = h ¡ 2 + 1 ÂĽ h ≼ 6. Ă˜Â” h ≼ 6, Kd S(n) 5Â&#x; : n

i

i

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n+1

n

i

i

n+1

i

3

S(Fn ) ≼ p3 ≼ 6 ¡ 2n+1 + 1 = 12 ¡ 2n + 1.

XJ F T šßÂ‡Ă˜Ă“ ƒĂ?f, Ă˜Â”Â˜Â„5ÂŒ 2 +1 ¡ 3¡2 + 1 , ½Ü 2 ¡ 2 +1 ¡ 5¡2 ½Ü 3 ¡ 2 + 1 ¡ 4 ¡ 2 + 1 .

(B). Fn =

n+1

n

Îą

β

n+1

n+1

10

Îą

n+1

Îą

n+1

β

n+1

β +1 ,

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê XJ F = 2 + 1 ¡ 3 ¡ 2 + 1 Â… Îą ≼ 6 ½Ü β ≼ 2, od S(n) 5Â&#x;¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ OÂŞ Îą

n+1

n

n+1

β

n Îą β o S(Fn ) ≼ max S 2n+1 + 1 , S 3 ¡ 2n+1 + 1 = max Îą ¡ 2n+1 + 1 , β ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1

≼ 12 ¡ 2n + 1.

XJ F = 2 + 1 = 2 + 1 ¡ o5Âż n ≼ 5, ¡Â‚kĂ“{ÂŞ 2n

n

n+1

3 ¡ 2n+1 + 1 = 3 ¡ 22n+2 + 2n+3 + 1,

n

0 ≥ 22 + 1 − 1 = 3 ¡ 22n+2 + 2n+3 ≥ 2n+3 (mod 2n+4 ). n . , Fn = 22 + 1 6= 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 . 2 Fn = 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 = 3 ¡ 23n+3 + 3 ¡ 22n+3 + 3 ¡ 2n+1 + 22n+2 + 2n+2 + 1,

gĂą Ă?d XJ

o¡Â‚E,k

n

0 ≥ 22 + 1 − 1 = 3 ¡ 23n+3 + 3 ¡ 22n+3 + 3 ¡ 2n+1 + 22n+2 + 2n+2 ≥ 3 ¡ 2n+1 (mod 2n+2 ). 2 n . , Fn = 22 + 1 6= 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 . 3 n Fn = 22 + 1 = 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 , 2 n 22 + 1 ≥ 3 ¡ 2n+1 + 1 ≥ 3 ¡ 2n+2 + 1 (mod 2n+4 ),

gĂą Ă?d XJ

o

½Ü

2 n 0 ≥ 22 ≥ 3 ¡ 2n+1 + 1 − 1 ≥ 3 ¡ 2n+2 (mod 2n+4 ).

چ 2 ∤ 3 ¡ 2 gĂą. XJ F = 2 + 1 = n+4

n+2

o

4 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 , 4 ≥ 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 − 1 ≥ 3 ¡ 2n+1 (mod 2n+3 ).

n

n

0 ≥ 22

2n

چ 2 ∤ 3 ¡ 2 gĂą. XJ F = 2 + 1 = 2 n+3

n+1

n

n

0 ≥ 22

n+1

چ 2 ∤ 2 gĂą, Ă?Ç‘ n ≼ 5. XJ F = 2 ¡ 2 + 1 ¡ 5 ¡ 2 od S(n) 5Â&#x;k 2n+2

o

5 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 , 5 ≥ 2n+1 + 1 ¡ 3 ¡ 2n+1 + 1 − 1 ≥ 2n+4 (mod 22n+2 ). 2n

n+4

n

n+1

n S(Fn ) ≼ max S

Îą

n+1

β +1

Â… Îą ≼ 3 ½Ü β ≼ 2,

ι β o 2 ¡ 2n+1 + 1 , S 5 ¡ 2n+1 + 1

11

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? = max Îą ¡ 2 ¡ 2n+1 + 1 , β ¡ 5 ¡ 2n+1 + 1

≼ 12 ¡ 2n + 1.

XJ F

o¡Â‚k

n = 22 + 1 = 2 ¡ 2n+1 + 1 ¡ 5 ¡ 2n+1 + 1 ,

n

n

Fn = 22 + 1 = 5 ¡ 22n+3 + 7 ¡ 2n+1 + 1.

l ÂŒĂ­Ă‘Ă“{ÂŞ n

0 ≥ 22 = 5 ¡ 22n+3 + 7 ¡ 2n+1 ≥ 7 ¡ 2n+1 (mod 22n+3 ).

Ú´Ă˜ÂŒU , Ă?Ç‘ 2 XJ F = 2 + 1 = ÂŞ

2n+3

2n

n

∤ 7 ¡ 2n+1 . 2 2 ¡ 2n+1 + 1 ¡ 5 ¡ 2n+1 + 1 ,

o¡Â‚kĂ“{

2 n 0 ≥ 22 = 2 ¡ 2n+1 + 1 ¡ 5 ¡ 2n+1 + 1 − 1 ≥ 5 ¡ 2n+1 (mod 2n+3 ).

Ú´Ă˜ÂŒU , Ă?Ç‘ 2 ∤ 5 ¡ 2 . (C). XJ F T k˜‡ƒĂ?f, ڞ F Ç‘ÂƒĂŞÂž, ½n 1.3 w ,¤å. u´¡Â‚b½ F = 2 +1 ½Ü F = 2 ¡ 2 + 1 , Îą ≼ 2. XJ F = 2 + 1 , o Îą ≼ 6 ž½n 1.3 w,¤å. XJ Îą = 1, +1 , 2, 3, 4 ½Ü 5, odĂ“{ÂŞĂ˜JĂ­Ă‘gĂą. Ă?d F 6= 2 1 ≤ Îą ≤ 5. XJ F = 2 ¡ 2 + 1 , o Îą ≼ 3 žd S(n) 5Â&#x;ÂŒ ½n 1.3 w,¤å. XJ Îą = 1, o F Ç‘ÂƒĂŞ, ½n 1.3 Ç‘¤å. F = 2 ¡ 2 + 1 ž, dĂ“{ÂŞ n+3

n+1

n

n

Îą

n+1

n

Îą

Îą

n+1

n

n+1

n

n

n+1

n

n

Îą

n

2

n+1

n

0 ≥ 22 = (2n+2 + 1)2 − 1 ≥ 2n+3 (mod 22n+2 ).

ĂĄÇ‘Ă­Ă‘gĂą. Ă?Ç‘ n ≼ 5 ž, 2 ∤ 2 . (Ăœ¹ÞnÂŤÂœš, ¡Â‚ĂĄÇ‘ ¤ ½n 1.3 y². 2n+2

12

n+3

n+1

Îą

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê 1.4

Smarandache

1.4.1

Ÿê3  £Þ e. O

 £0

½Ă‚ 1.2. ĂŠu ĂŞ n, /X n!Âą1 ĂŞÂĄÇ‘  £ (shifted

factorial).

 C, J. S´andor Ăš F. Luca [12] Šâ C. L. Stewart [13] k'  £ n! + 1 ƒĂ?ĂŞÂ?ÂĄ (Jy² : lim sup n→∞

S(n! + 1) ≼ 5.5. n

(1-8)

S(n! + 1) = ∞. n

(1-9)

Ӟ, Šz [12] „Šâ M. Murthy Ăš S. Wong [14] k' abc− Ă&#x;ÂŽ b 5(Jy² : XJ abc− Ă&#x;ÂŽ¤å, K lim inf n→∞

Ăšp abc− Ă&#x;ÂŽ´Â?d J. Oesterl´e [15] Ăš D. W. Masser [16] JĂ‘ Ă?ÂśĂ&#x;ÂŽ: pƒ ĂŞ a, b, c ¡Ăœ a + b = c ž, ĂŠu?Âż ĂŞ ÇŤ, Ăˆ abc Ă˜Ă“ÂƒĂ?ĂŞ Ăˆ rad(abc) áv c < C(ÇŤ)(rad(abc)) , Ă™ ÂĽ C(ÇŤ) ´=† ÇŤ k' ÂŒk OÂŽ ~ĂŞ. Ú´Â˜Â‡ĂŽ8 ™)Ăť JK (̈́Šz [17] ÂŻK B19).  C, HĂ˝S$^ Â?{y² Âą e ^‡ Â› (J: ½n 1.4. n > 10 ž, 1+ÇŤ

3

S(n! ¹ 1) log n ≼ , n log log n

Ù¼ [Îą] L¢ê Îą ĂŞĂœŠ. ŠâÞã½n† ÂŒ ÂąeĂ­Ă˜: Ă­n 1.4.1. S(n! Âą 1) lim

n→∞

n

= ∞.

(1-10)

(1-11)

w,, Ă­Ă˜ 1.4.1 Ă˜ 3 Â&#x;ĂžU? (J (1-8), Â…3 ^‡ Â› Âœšey² (J (1-9).

13

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? , , $^Þ¥½nÂ„ÂŒÂąÂ‰Ă‘k'  £ ƒĂ?ĂŞ e.. P ´ n! + 1  ÂŒÂƒĂ?ĂŞ. ĂŠd, P. Erd¨os Ăš C. L. Stewart [18] y ² : 3 ¥þ‡ ĂŞ n ÂŒ P > 2n. d , Šz [13] ?Â˜Ăšy²

: ĂŠu?Ă› ĂŞ ÇŤ, ÂŒ P > (5.5 − ÇŤ)n ¤å ĂŞ n äk —Ç. d , Šz [14] 3b½ abc− Ă&#x;ÂŽ¤å ^‡ey² : n

n

n

lim inf n→∞

Pn = ∞. n

Šâ !½nÂŒ Âąe(J: Ă­n 1.4.2. n > 10 ž, n! Âą 1 7kƒĂ?ĂŞ p áv 3

pr log n ≼ , n log log n

(1-12)

Ù¼ r ´ p 3 n! Âą 1 IOŠ)ÂŞÂĽ gĂŞ. 1.4.2

½nĂšĂźÂ‡Ă­Ă˜ y²

Ă„k¡Â‚0 A‡½ny²I‡ Ăšn: Ăšn 1.4.1. XJ a = p ¡ ¡ ¡ p ´ a IOŠ)ÂŞ, K S(a) = rk k

r1 1

max{S(pr11 ), ¡ ¡ ¡ , S(prkk }.

Ăšn 1.4.2. ĂŠuÂƒĂŞ p Ăš ĂŞ r, 7k p ≤ S(p ) ≤ pr. Ăšn 1.4.1 ÚÚn 1.4.2 y²Íϊz [19]. Ăšn 1.4.3. x , x , ¡ ¡ ¡ , x ´ k (k > 1) ‡™½ . ĂŠu r

ĂŞ m,

1

2

(x1 + x2 + ¡ ¡ ¡ + xk )m =

Ù¼ “Pâ€? LÂŤĂŠÂ?§

k

X

m n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk

!

xn1 1 xn2 2 ¡ ¡ ¡ xnk k ,

n1 + n2 + ¡ ¡ ¡ + nk = m, ni ∈ Z, ni ≼ 0, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k

14

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê ¤k) (n , n , ¡ ¡ ¡ , n ) Ăš, 1

2

k

m n1 , n2 , ¡ ¡ ¡ , nk

!

=

m! n1 !n2 ! ¡ ¡ ¡ nk !

Ă‘´ ĂŞ, ¥Ǒþ‘ªXĂŞ. y²: ̈́Šz [20] 1 1.2.2 ! ½n B. Ăšn 1.4.4. x Ăš y ´¡Ăœ (x + 1)x+1 >

ê. y > 10 ž, 7k

y e

(1-13)

3

(x + 1) >

Œ

log y . log log y

(1-14)

y²: XJ x + 1 ≤ (log y)/ log log y, K3 (1-13) Ăź> ĂŠĂŞ log y (log log y − log log log y) > log y − 1. log log y

(1-15)

log log y > (log y)(log log log y).

(1-16)

y > 10 ž, Ă?Ç‘ log log y > 0, ¤¹l (1-15) ÂŒ 3

z = log log y, l (1-16) Πz log log y z 1 = z < = . 2 log y e z + z /2 1 + z/2

(1-17)

Ă?dl (1-16) Ăš (1-17) ÂŒ z 1 > (1 + ) log z. 2

(1-18)

, , du y > 10 , ¤¹ z > 1.93 Â… log z > 0.65, l (1-18) ÂŒ 1 > 1.27 ĂšÂ˜gĂą. ddÂŒ : y > 10 ž, Ă˜ ÂŞ (1-14) ¤å. Ăš ny . Âąe¡Â‚ʽnĂšĂ­Ă˜?1y². 3

3

15

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ½n 1.4 y²: m = S(n! Âą 1). Šâ Smarandache Ÿê ½ Ă‚: S(n) = min{k : k ∈ N, n | k!}, ÂŒ m! = (n! Âą 1)a, a ∈ N.

(1-19)

m = nq + s, s ∈ Z, 0 ≤ s < n.

(1-20)

b = s!(n!)q .

(1-21)

l (1-19) ÂŒ m > n. q = [m/n]. dž q 7Ç‘ ĂŞ, Â…|^‘{ Ă˜{ÂŒ

Ă?Ç‘l (1-20) Ăš (1-21) ÂŒ

!

m! m! = = b s!n! ¡ ¡ ¡ n!

m s, n, ¡ ¡ ¡ , n

(1-22)

´þԻXĂŞ, ¤¹lĂšn 1.4.3 ÂŒ m!/b ´ ĂŞ. Ӟ, 3Ăšn 1.4.3 ÂĽ x = x = ¡ ¡ ¡ = x Âą9 k = q + 1, KŠâĂšn 1.4.3, l (1-20) Ăš (1-22) ÂŒ 1

2

,˜Â?ÂĄ, Ă?Ç‘l 1) = 1. duŽ²y²

k

m! < (q + 1)m . b (1-20) s < n, b | m!, (1-19)

Πl

(1-23)

¤¹l (1-21) ÂŒ gcd(b, n! Âą ÂŒ b | a. Ă?dl (1-19) ÂŒ

m! a = (n! ¹ 1) ≼ n! ¹ 1. b b

(1-24)

(q + 1)m ≼ n!.

(1-25)

(Ăœ (1-23) Ăš (1-24) ĂĄ

Šâ Stirling úªÂŒ n! > (n/e) , ¤¹l (1-25) ÂŒ n

n (q + 1)m > ( )n . e

(1-26)

dul (1-20) ÂŒ m < n(q + 1), ¤¹l (1-26) ÂŒ (q + 1)q+1 >

16

n . e

(1-27)

n > 10

3

1Â˜Ă™ 'u Smarandache Ÿê ž, ŠâĂšn 1.4.4, l (1-27) ÂŒ log n . log log n

(1-28)

log n q≼ . log log n

(1-29)

n! ¹ 1 = pr11 ¡ ¡ ¡ prkk

(1-30)

q+1>

q� q ´ ê, l (1-28) å

Ă?Ç‘l (1-20) ÂŒ m ≼ nq, l (1-29) ÂŒ (1-10). ½ny . Ă­Ă˜ 1.4.1 y²: ´ n! Âą 1 IOŠ)ÂŞ, q p ´ (1-30) ÂĽÂŒ S(p )  ÂŒ ÂƒĂŞÂ? ˜, = S(p ) = max{S(p ), ¡ ¡ ¡ , S(p )}. ŠâĂšn 1.4.1 ÂŒ r

r

r1 1

r

rk k

S(n! Âą 1) = S(pr ).

(1-31)

S(n! Âą 1) < pr.

(1-32)

qlĂšn 1.4.2 ÂŒ S(p ) < pr, l (1-31) ÂŒ r

u´, Š⠊½n¤ (Ă˜ (1-10), l (1-32) ÂŒ (1-12) ¤å. Ă­Ă˜ y .

17

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜

¯K Úó

2.1

Ă™ò0 ˜X 'u Smarandache LCM Ÿê9§ ÊóŸê  #ĂŻĂ„¤J, Ă„k¡Â‚5w߇½Ă‚: ½Ă‚ 2.1. ĂŠ?Âż ĂŞ n, Ă?Âś Smarandache LCM Ÿê SL(n) ½Ă‚Ç‘ ê k, n | [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k], = SL(n) = min{k : k ∈ N, n | [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k]},

Ăšp [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k] LÂŤ 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k  ú ĂŞ. ~X, SL(6) = 3, SL(10) = 5, SL(12) = 4, SL(20) = 5, ¡ ¡ ¡ . AO n IOŠ)ÂŞ Ç‘ n = p p ¡ ¡ ¡ p ž, Ă˜J y Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

SL(n) = max{pι1 1 , pι2 2 , ¡ ¡ ¡ , pιk k }.

½Ă‚ 2.2. ¡Â‚½Ă‚Ÿê SL(n) ÊóŸê SL(n) XeÂľ SL(n) = min{pÎą1 1 , pÎą2 2 , ¡ ¡ ¡ , pÎąk k }.

~X, ڇŸê A‘Ǒ SL(1) = 1, SL(6) = 2, SL(12) = 3, SL(20) =

4, ¡ ¡ ¡ .

2.2

'u Smarandache LCM Ÿê9Ă™ÊóŸê

'u SL(n) ڇŸê 5Â&#x;, NþÆÜ?1 ĂŻĂ„, Âż Ă˜ ­Â‡ (J, ĂŤ Šz [21-25]. ~X, Â?èR [21] ĂŻĂ„ SL(n) ŠŠ Ù¯K, y² ĂŹCúª: 2 (SL(n) − P (n))2 = ¡ Îś 5 n≤x X

18

5 5 x2 ¡ +O 2 ln x

5

x2 ln2 x

!

,

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK Ù¼ P (n) LÂŤ n  ÂŒÂƒĂ?f. Le Maohua [22] ?Ă˜ Â?§ SL(n) = S(n) ÂŒ)5, Âż )Ăť

TÂŻK. =Ă’´y² : ?Ă›ávTÂ?§ ĂŞÂŒLÂŤÇ‘ n = 12 ½ Ăś n = p p ¡ ¡ ¡ p p, Ù¼ p , p , ¡ ¡ ¡ , p , p ´Ă˜Ă“ ÂƒĂŞÂ… Îą , Îą , ¡ ¡ ¡ , Îą ´áv p > p , i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r ĂŞ. ĂŤ [23] ĂŻĂ„ ĂžÂ?Š SL(n) − â„Ś(n) ĂŹC5Â&#x;, ‰Ñ ĂŹ Cúª¾ Îą1 Îą2 1 2

Îąr r Îąi i

r

1

2

r

1

2

2

X

n≤x

2 4 SL(n) − â„Ś(n) = Îś 5

5 5 k X 5 x2 ci ¡ x 2 ¡ + +O 4 ln x i=2 lni x

5

x2

lnk+1 x

!

,

Ù¼ Îś(n) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê, c Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, â„Ś(n) Ç‘ÂŒ\Ÿê, ½Ă‚Ç‘: â„Ś(n) = X Îą p , XJ n IOŠ)ÂŞÇ‘ n = p p ¡ ¡ ¡ p . i

k

Îą1 Îą2 1 2

j j

Îąk k

j=1

'u SL(n) ĂšÂ˜#Ÿê 5Â&#x;, ¡Â‚–8 $ , $– Ă˜ § ފŠĂ™5Â&#x;. !ĂŒÂ‡8 ´0 AÂĄ_ [26] óŠ, = |^ 9|ĂœÂ?{ĂŻĂ„¡ĂœĂžÂŠ X SL(n) n≤x

(2-1)

SL(n)

ĂŹC5Â&#x;, Âży² eÂĄ (Ă˜: ½n 2.1. ĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚kĂŹCúª¾ X SL(n)

n≤x

x = +O SL(n) ln x

x(ln ln x)2 ln2 x

.

w,ڇ½nÂĽ Ă˜ ‘´Âš~f , Ç‘Ă’´`Ă˜ Â‘Â†ĂŒÂ‘= ˜‡ (lnlnlnxx) Ă?f, ´Ă„ 3 (2-1) ÂŞ ˜‡ r ĂŹCúªÇ‘´Â˜Â‡ k ÂŻK, ïÆk, Ă–Ăś?Â˜ĂšĂŻĂ„. y²: Âąe¡Â‚† ‰Ñ½n 2.1 y². ¯¢Þ¡Â‚ò¤k u½ u x ĂŞ n ŠÇ‘ÂąenÂŤÂœš?Ă˜: A = {n : ω(n) = 1, n ≤ x}; B = {n : ω(n) = 2, n ≤ x}; C = {n : ω(n) ≼ 3, n ≤ x}, Ù¼ ω(n) L 2

19

'uSmarandache¯KïÄ #? « n ¤kØÓ Ïf ê. y3· ©O O¼ê SL(n) 3ùn SL(n) 8Üþ þ . 5¿ ê½n [27]

π(x) =

X p≤x

· k X SL(n) = SL(n)

n∈A

=

x 1= +O ln x

x , ln2 x

X SL(pα ) X SL(p) X SL(pα ) = + SL(pα ) SL(p) SL(pα ) α α

p ≤x

X

p≤x

1+

p≤x

X

1=

pα ≤x α≥2

x = +O ln x

x ln2 x

p ≤x α≥2

x +O ln x

x ln2 x

 X +O

X  1

1 2≤α≤ln x p≤x α

.

(2-2)

y3· OÌ Ø . n ∈ B , · k n = p q , Ù¥ p 9 q ǑØÓ ê. Ø p < q , 5¿ ìCúª (ë ©z [8]) α β

α

X1 p≤x

· k X SL(n) SL(n)

=

n∈B

p

β

= ln ln x + C1 + O

X p + qβ √ α

X

pα qβ

p ≤ x pα <q β ≤ pxα

X

X

p ≤ x pα <q β ≤ pxα α≥2

 X  X X p X 1   +O p 2 ln x + O  pα ln ln x q   √ √ √ x α X

√ √ x <p≤ x ln x

20

,

pα qβ

p≤ x p<q≤ p

=

X

√ p≤ x p<q β ≤ xp

=

1 ln x

X SL(pα ) X = SL(q β ) √ α β α

p q ≤x pα <q β

=

p≤ x

p ≤ x α≥2

X p X Xp x + +O ln2 x √ x q x q x

p<q≤ p

p≤ ln x q≤ p

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK =

X

x 1 x ln ln x p ln ln − ln ln p + O +O p ln x ln2 x

X

ln x − ln p p ln +O ln p

√ √ x <p≤ x ln x

=

√ √ x <p≤ x ln x

x ln ln x ln2 x

ln x − 12 ln x + ln ln x x ln ln x + ≪ p ln 1 ln2 x √ √ 2 ln x − ln ln x x <p≤ x ln x X 4 ln ln x x ln ln x p ln 1 + + ≪ ln x − 2 ln ln x ln2 x √ √ x X

ln x

≪

√

<p≤ x

X

x <p≤ ln x

√

x

p ln ln x x ln ln x x ln ln x + ≪ . 2 ln x − 2 ln ln x ln x ln2 x

(2-3)

n ∈ C ž, ¡Â‚Âą ω(n) = 3 Ç‘~‰ƒy². Ă˜Â” n = p p p Â… p < p < p . u´dÞª OÂ?{¡Â‚k β 2

Îą 1

X

β Îł pÎą 1 p2 p3 ≤x

ι β γ 1 2 3

Îł 3

SL(pÎą1 ) SL(pÎł3 )

X

=

1

3 pι 1 ≤x

β γ pι 1 <p2 <p3

X

pÎą1

pβ2 pÎł3 ≤ pxÎą 1

pβ2 <pγ3



 X = O p1 1

p1 ≤x 3

≪

1 pÎł3

X

√

X

x p1 <p2 ≤ √px p2 <p3 ≤ p1 p2 1

X √xp1 x ln ln x ln ln x ≪ . ln x ln2 x 1



1  p3 (2-4)

p1 ≤x 3

5Âż ĂŞ n ¤kĂ˜Ă“ÂƒĂ?f ‡ê ω(n) ≪ ln ln n, u´Â‡EA ^ (2-4) ª¡Â‚Ă˜JĂ­Ă‘ OÂŞ X SL(n) SL(n)

=

X

n≤x 3≤ω(n)≤ln ln x

n∈C

≪

x(ln ln x)2 . ln2 x

SL(n) = SL(n)

X

3≤k≤ln ln x

X SL(n) SL(n)

n≤x ω(n)=k

(2-5)

21

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? y3(Ăœ (2-2)!(2-3) 9 (2-5) ª¡Â‚Ă­Ă‘ OÂŞ X SL(n)

n≤x

x = +O SL(n) ln x

u´ ¤ ½n 2.1 y². 2.3

Smarandache LCM

�f Þ�Š

x(ln ln x)2 ln2 x

.

Ÿê ÊóŸê† Âƒ

Ăž!¡Â‚?Ă˜ Smarandache LCM Ÿê†ÙÊóŸê 'Ç'X, Âź ˜‡ f ފúª. !UY?Ă˜ Smarandache LCM Ÿê ÊóŸê Ă™§5Â&#x;, Ç‘Ă’´|^ 9)Ă›Â?{ĂŻĂ„ĂžÂ?Š X

n≤x

2 SL(n) − p(n)

(2-6)

ĂŹC5Â&#x;§Ă™ÂĽ p(n) LÂŤ n  ÂƒĂ?f. ~X p(20) = 2, p(21) = 3. 'u (2-6) ÂŞ ފ5Â&#x;, –8q vk<ĂŻĂ„, – ¡Â‚vk3yk ŠzÂĽw . , , ĂšÂ˜ÂŻK´k¿Â , Ă?Ç‘ (2-6) ÂŞ ĂŹC5‡N

Ú߇ŸêŠŠĂ™ 5Æ5. ! ĂŠĂšÂ˜ÂŻK?1 ĂŻĂ„, ¿‰Ñ

˜‡k ފúª. äN/`Ç‘Ă’´y² eÂĄ (Ă˜: ½n 2.2. k Ǒ‰½ ĂŞ. oĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚k ĂŹCúª: [28]

X

n≤x

k 2 X ci ¡ x 2 +O SL(n) − p(n) = i ln x i=1 5

5

x2

lnk+1 x

!

,

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c = 45 . w,½n 2.2 ÂĽ Ă˜ ‘´Âš~f , Ç‘Ă’´`Ă˜ Â‘Â†ĂŒÂ‘= 1 ˜‡ ln x Ă?f, ´Ă„ 3 (2-6) ÂŞ ˜‡ r ĂŹCúªÇ‘´Â˜Â‡k ÂŻK. ïÆk, Ă–Ăś?Â˜ĂšĂŻĂ„. i

22

1

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK y²: e¥¡Â‚(Ăœ 9)Ă›Â?{† ‰Ñ½n 2.2 y². ¯¢Þ¡Â‚ò¤k u½ u x ĂŞ n ŠÇ‘Âąe߇8Ăœ?Ă˜: A = {n : ω(n) = 1, n ≤ x}; B = {n : ω(n) ≼ 2, n ≤ x}, Ù¼ ω(n) L ÂŤ n ¤kĂ˜Ă“ÂƒĂ?f ‡ê. y3¡Â‚ŠO OŸê SL(n) − p(n) 3Ú߇8ĂœĂž ފ. 5Âż ĂŠ?Âż ĂŞ k, dŠz [27] ¼½n 3.2 ÂŒ 2

Ď€(x) =

X

1=

p≤x

Ù¼ a Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… a z [8] ¼½n 4.2) ÂŒ i

p4

=

√

p≤ x

=

=

i

ln x

i=1

1

X

k X ai ¡ x

= 1.

√ x2 ¡ Ď€ x − 3

x

+O

k+1

ln

Z

2

√

x

y 3 ¡ Ď€(y)dy

√ ! √ k X a ¡ x x i x2 +O i√ k+1 ln x ln x i=1 ! Z √x k X a ¡ y y i −3 y3 ¡ +O dy i k+1 ln y ln y 2 i=1 ! 5 5 k X ci ¡ x 2 x2 +O , (2-7) lni x lnk+1 x i=1

i

n∈A

,

u´A^ Abel Ăšúª (ĂŤ Š

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c u´A^ (2-7) ª¡Â‚k X

x

1

2 SL(n) − p(n) =

=

X

pι ≤x

X p≤x

=

2 SL(pÎą ) − p

(p − p)2 +

X X

pι ≤x ι≼2

(p2 − p)2 +

√ p≤ x

=

X

√ p≤ x



p4 + O 

4 = . 5

(pÎą − p)2

X

pι ≤x ι≼3

X

√ p≤ x

(pÎą − p)2 





 X 6 p3  + O  p  1

p≤x 3

23

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? =

5 k X ci ¡ x 2

5

+O

lni x

i=1

x2 lnk+1 x

!

.

(2-8)

y3¡Â‚ OĂŒÂ‡Ă˜ ‘. n ∈ B ž, du ω(n) ≼ 2, ¡Â‚Ă˜Â” SL(n) = q , n = q n , Ù¼ SL(n ) > q . XJ Îą = 1, o SL(n) − p(n) = 0. u´ SL(n) − p(n) 6= 0 žk Îą ≼ 2 Â…kĂ˜ ÂŞ q < √ n < n , l A^ Abel Ăš¡Â‚Ă˜J : Îą

Îą

1

Îą

1

2

Îą

1

X

n∈B

2 SL(n) − p(n) =

≪

X

√ qÎą ≤ x

X √

(q Îą − p(qn1 ))2

n1 ≤ qxι SL(n1 )>q ι

X

n1 ≤ xq

q≤ x

≪ x

X

(q − q)2 +

SL(n1 )>q

X

1 q≤x 4

X X

q6

x 1 q≤x 4 n1 ≤ q 2

5

4

9 4

q ≪x ≪

x2

lnk+1 x

.

(2-9)

y3(Ăœ (2-8) 9 (2-9) ª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ĂŹCúª X

n≤x

X 2 2 X 2 SL(n) − p(n) = SL(n) − p(n) + SL(n) − p(n) n∈A

=

n∈B

k X ci ¡ x i=1

5 2

lni x

+O

x

lnk+1 x

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c ². i

2.4

5 2

1

!

4 = . 5

,

u´ ¤(Ă˜ y

˜‡Â?š Smarandache LCM Ÿê ÊóŸ ĂŞ Â?§

Ăź!¡Â‚ĂŒÂ‡ĂŻĂ„ † Smarandache LCM Ÿê ÊóŸ ĂŞ SL(n) k' ފ5Â&#x;, ĂšÂ˜!¡Â‚?Ă˜Â˜Â‡Â?š SL(n) Â?§, ?Â˜Ăš&¢ Smarandache LCM Ÿê ÊóŸê ÂŽĂŞ5Â&#x;. 24

1 Ù 'u Smarandache LCM ¼ê ¯K ïÄuy¼ê SL(n) ¼ê SL(n) kNõ q 5 , ~X, n Ǒ ê , SL(n) = SL(n). éu SL(n) ¼ê9î.¼ê ϕ(n), ² P u · uy 3 õ ê n SL(d) > ϕ(n). ¯¢þ, ´ íÑ n = p Ǒ ê , · k d|n

α

X

SL(d) =

X d|pα

d|n

SL(d) = 1 + p + · · · + pα > pα − pα−1 = ϕ(n),

Ó q 3 õ ê n, P SL(d) < ϕ(n). ~X, n Ǒü ØÓÛ ê È , = n = p · q, e 5 ≤ p < q Ǒ ê, o d|n

X

SL(d) =

d|n

X

d|p·q

SL(d) = 1 + 2p + q < (p − 1) · (q − 1) = ϕ(n).

u´· g, , éu= ê n ¬k § X

SL(d) = ϕ(n).

(2-10)

d|n

¤á, Ù¥ X L«é n ¤k Ïê Ú, ϕ(n) Ǒî.¼ê. d|n

! Ì 8 Ò´0 I [29] ¤J, =|^ {ïÄ § (2-10) )5, ¿¼ T § ¤k ê). äN/`Ò´ y² e¡ : ½n 2.3. § X SL(d) = ϕ(n) k =kÊ ê) n = d|n

1, 75, 88, 102, 132.

Ǒ ¤½n y², ÄkI ü {ü Ún. Ún 2.4.1. Ø ª ϕ(n) < 4d(m) ¤á = m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 56, 60, 72, 80, 84, 96, 120, 144, 168, 288. ùp d(m) Ǒ Dirichlet Øê¼ê. y²: - m = p p · · · p L« m IO©)ª. · ©±eA « ¹5?1?Ø: α1 α2 1 2

αk k

25

'uSmarandache¯KïÄ #? i) XJ©)ª¥ 3Ïf 2 α ≥ 6, Kk α

αi 1 k k 2α−1 ϕ(m) Y pi (1 − pi ) Y pαi i −1 (pi − 1) = = ≥ > 4, d(m) α + 1 α + 1 α + 1 i i i=1 i=1

= ϕ(m) ≥ 4d(m). ii) XJ©)ª¥ 3Ïf 3 α ≥ 3, Kk α

3α−1 · 2 ϕ(m) ≥ > 4, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 4d(m). iii) XJ©)ª¥ 3Ïf 5 α ≥ 2, Kk α

5α−1 · 4 ϕ(m) ≥ > 4, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 4d(m). iv) XJ©)ª¥ 3Ïf 7 α ≥ 2, Kk α

ϕ(m) 7α−1 · 6 ≥ > 4, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 4d(m). v) XJ©)ª¥ 3Ïf p p ≥ 11, Kk α

pα−1 · (p − 1) ϕ(m) ≥ > 4, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 4d(m). Ïd· I3 m = 2 · 3 · 5 · 7 (0 ≤ α ≤ 5, 0 ≤ β ≤ 2, γ = δ = 0 ½ 1) ¥Ïé÷v^ ϕ(m) < 4d(m) ê m = , ²L y, ѱe 35 ÷v^ m : m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 56, 60,72, 80, 84, 96, 120, 144, 168, 288. u´ ¤ Ún 2.4.1 y². Ún 2.4.2. m عk Ïf 2 , Ø ª ϕ(m) < 6d(m) ¤á = m = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 27, 33, 35, 45, 63, 105. y²: - m = p p · · · p L« m IO©)Ϫ, Ù¥ p ≥ 3 (i = 1, 2, · · · , k). · ©±eA« ¹5?1?Ø: α

α1 α2 1 2

26

αk k

β

γ

δ

i

1 Ù 'u Smarandache LCM ¼ê ¯K i) XJ©)ª¥ 3Ïf 3 α ≥ 4, Kk α

ϕ(m) 3α−1 · 2 ≥ > 6, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 6d(m). ii) XJ©)ª¥ 3Ïf 5 α ≥ 2, Kk α

5α−1 · 4 ϕ(m) ≥ > 6, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 6d(m). iii) XJ©)ª¥ 3Ïf 7 α ≥ 2, Kk α

ϕ(m) 7α−1 · 6 ≥ > 6, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 6d(m). iv) XJ©)ª¥ 3Ïf 11 α ≥ 2, Kk α

ϕ(m) 11α−1 · (p − 1) ≥ > 6, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 6d(m). v) XJ©)ª¥ 3Ïf p p ≥ 13, Kk α

ϕ(m) pα−1 · (p − 1) ≥ ≥ 6, d(m) α+1

= ϕ(m) ≥ 6d(m). Ïd· I3 m = 2 · 3 · 5 · 7 (0 ≤ α ≤ 5, 0 ≤ β ≤ 2, γ = δ = 0 ½ 1) ¥Ïé÷v^ ϕ(m) < 6d(m) ê m = , ²L y, ѱe 14 ÷v^ m : m = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 27, 33, 35, 45, 63, 105. u´ ¤ Ún 2.4.2 y². ½n y²: y3· |^ùü Ún5 ѽn y². N´ y n = 1 ´ § ). n > 1 n = p p · · · p ´ n IO©) ª, ÏǑ n = p Ø÷v §, ¤± n ÷v § k k ≥ 2. y3 α

β

γ

α1 α2 1 2

δ

αk k

α

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k } = pα . 27

'uSmarandache¯KïÄ #? Ǒ Bå n = mp ÷v §, d Ak: α

X

SL(d) =

α X X

i

SL(dp ) =

i=0 d|m

d|n

X

SL(d) +

SL(dpi )

i=1 d|m

d|m

= pα−1 (p − 1)ϕ(m).

α X X

ÏǑ d | m , SL(dp ) ≤ p , ¤± i

pα−1 (p − 1)ϕ(m) ≤ =

X

i

SL(d) +

i=1 d|m α

d|m

X

α X X

SL(d) +

d|m

þªü>Óر p

α−1

ϕ(m) ≤ ≤

X d|m

(p − 1),

pi =

X d|m

SL(d) + d(m) ·

p(p − 1) d(m). p−1

α X

pi

i=1

¿5¿ d | m SL(d) ≤ p , ¤±k i

SL(d) p(pα − 1) + d(m) pα−1 (p − 1) pα−1 (p − 1)2

p 2 p(p − 1) + p2 p · d(m) + ( ) · d(m) = · d(m). p−1 p−1 (p − 1)2

p > 2 , þªCǑ ϕ(m) < 4ϕ(m), p = 2 , þªCǑ ϕ(m) ≤ 6d(m). =e n = mp ÷v §, p > 2 , Ak ϕ(m) < 4d(m), Ǒ Ò´ ϕ(m) ≥ 4d(m) , n = mp Ø´ § ); ½ p = 2 , A k ϕ(m) ≤ 6d(m), ǑÒ´ ϕ(m) > 6d(m) , n = m · 2 Ø´ § ). dÚn 2.4.1 , ϕ(m) < 4d(m) = m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 56,60, 72, 80, 84, 96, 120, 144, 168, 288. dÚn 2.4.2 , p = 2 , ϕ(m) ≤ 6d(m) = m = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 21, 27, 33, 35, 45, 63, 105. e¡ I?Ø 3þã Þ m ¥, n = mp ÷v §= . 1) m = 1 , n = p , ùp p ´?¿ ê. α

α

α

α

α

X d|pα

SL(d) = 1 + p + p2 + · · · + pα > pα − pα−1 = ϕ(pα ),

= n = p Ø´ § (2-10) ). α

28

1 ร 'u Smarandache LCM ยผรช ย ยฏK 2) m = 2 ย , n = 2p , รนp p โ ฅ 3. ฮฑ

X

SL(d) =

d|2pฮฑ

X

d|2pฮฑ

X

SL(d) +

d|pฮฑ

X

SL(2d) =

d|pฮฑ

X

SL(d) + 2(ฮฑ + 1)

d|pฮฑ

= 1 + p + p2 + ยท ยท ยท + pฮฑ + 2(ฮฑ + 1),

SL(d) > ฯ (2pฮฑ ) = ฯ (2)ฯ (pฮฑ ) = pฮฑ โ pฮฑโ 1 .

ยคยฑ n = 2p (p โ ฅ 3) ร ยดย ยง (2-10) ). 3) m = 3 ย , n = 3p , รนp p 6= 3, e p = 2, ฮฑ

ฮฑ

X

SL(d) =

d|3ยท2ฮฑ

X

SL(d) +

d|2ฮฑ

รฉ ฮฑ ^รชร 8B{ย y 2 X

d|3ยท2ฮฑ

X

SL(3d) = 2ฮฑ+1 + 3ฮฑ + 1.

d|2ฮฑ

ฮฑ+1

+ 3ฮฑ + 1 > 3 ยท 2ฮฑโ 1 ,

=

SL(d) > ฯ (3 ยท 2ฮฑ ).

e p = 5, ฮฑ = 1 ย , n = 15 ร ยดย ยง (2-10) ); ฮฑ = 2 ย , n = 75 รทvย ยง (2-10), ร ยดย ยง (2-10) ); ฮฑ โ ฅ 3 ^รชร 8B {ย y X

d|3ยท5ฮฑ

SL(d) = 1 + 5 + 52 + ยท ยท ยท + 5ฮฑ + 3(ฮฑ + 1) < 2(5ฮฑ โ 5ฮฑโ 1 ) = ฯ (3 ยท 5ฮฑ ).

dย n = 3 ยท 5 ร ยดย ยง (2-10) ). e p โ ฅ 5 ย , ร รพย y n = 3 ยท p ร ยดย ยง (2-10) ). 4) m = 4 ย , n = 4p , K p โ ฅ 3, ยฉ p = 3, p = 5, p = 7, p = 11, p = 13 9 p > 13 8ยซย ยน^รพยก ย {?ร n = 4p ร ร ยดย ยง (2-10) ). 5) m = 5 ย , ยฉ p = 2, p = 3, p > 5 ?ร n = 5p ร ร ยดย ยง (2-10) ). 6) m = 6 ย , n = 6p , K p โ ฅ 5. ยฒL y p = 17, ฮฑ = 1 ย , n = 102 ยดย ยง (2-10) ), ร ย ยนร ร ยดย ยง (2-10) ). 7) m = 7, 8, 9, 10 ย , ร รพย y n = m ยท p ร ร ยดย ยง (2-10) ). 8) m = 11 ย , dร n 2.4.2 , p = 2, dย n = 11 ยท 2 , Nยด y ฮฑ = 3 ย n = 88 ยดย ยง (2-10) ), รฉ ฮฑ ร ย n ร ร ยด ย ยง (2-10) ). ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

ฮฑ

29

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? 9) m = 12 ž, K n = 12¡p , dž p ≼ 5. N´ y p = 11, Îą = 1 ž, n = 132 ´Â?§ (2-10) ), ĂŠ p 9 Îą Ă™ Š n Ă‘Ă˜´Â? § (2-10) ). 10) m = 27, 33, 35, 45, 63, 105 ž, p = 2, ÂŒÂą yڞ n = m ¡ 2 Ă‘Ă˜´Â?§ (2-10) ). 11) m = 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 56, 60, 72, 80, 84, 96, 120, 144, 168, 288, Ă“ĂžÂŒÂą yڞ n = m ¡ p Ă‘Ă˜´Â? § (2-10) ). nÞ¤ã, Â?§ P SL(d) = Ď•(n) kÂ…=kʇ ĂŞ) n = 1, 75, 88, 102, 132. ÚÒ ¤ ½n y². Îą

Îą

Îą

d|n

2.5

Smarandache

ĂŞ ¡ĂœĂžÂŠ

Ÿê† Smarandache LCM Âź

'u Smarandache Ÿê9 Smarandache LCM Ÿê ˜ 5Â&#x;, 3 ¥Ž²Â‰ Ă˜ ĂŻĂ„. , , k'Ú߇ŸêŠ 'ǯKl™k<J . Ç‘Ă’´ÞŠ X S(n) SL(n)

(2-11)

n≤x

ĂŹC5Â&#x;. ĂšÂ˜ÂŻK´k¿Â , Ă?Ç‘ (2-11) ÂŞ ĂŹC5‡N Úß Â‡ŸêŠŠĂ™ 5Æ5, XJĂŹCúª X S(n) âˆźx SL(n) n≤x

¤å, o¡Â‚Ă’ÂŒ¹ä½Ÿê S(n) † SL(n) ŠA ??ƒ . ! ò0 ²^ [30] (J, Ç‘Ă’´ ĂŠĂšÂ˜ÂŻK?1 ĂŻĂ„, Âży²

§ (5. äN/`Ç‘Ă’´y² e¥ß‡ (Ă˜: ½n 2.4. ĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚kĂŹCúª: X S(n) x ln ln x =x+O . SL(n) ln x n≤x

30

1 Ù 'u Smarandache LCM ¼ê ¯K ½n 2.5. é?¿¢ê x > 1, · kìCúª: X P (n) x ln ln x =x+O , SL(n) ln x n≤x

Ù¥ P (n) L« n Ïf. ,ùü ½n¥ Ø Ǒ´ ~f , ´Ä 3 r ì CúªǑ´ k ¯K. y²: ±e· ò ѽn y². · y²½n 2.4, aq , · Ǒ ±íѽn 2.5. ¯¢þ²L{üC/· áǑ : X S(n) X S(n) − SL(n) X 1 = + SL(n) SL(n) n≤x

n≤x

= x+O

n≤x

X |SL(n) − S(n)|

SL(n)

n≤x

!

.

(2-12)

y3· |^¼ê S(n) 9 SL(n) 5 ±9 |Ü {5 O (212) ª¥ Ø . d SL(n) 5 n IO©)ªǑ p p · · · p k: α1 α2 1 2

αk k

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k }.

e SL(n) Ǒ ê p, o S(n) ǑǑ ê p. Ïd, 3ù« ¹e k SL(n) − S(n) = 0. ¤±3 (2-12) ª Ø ¥, ¤k " 7 Ñy3 SL(n) Ø u ê ê n ¥. ǑÒ´`µ SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k } ≡ pα , α ≥ 2.

A Ǒ«m [1, x] ¥¤k÷vþª^ n 8Ü, é?¿ n ∈ A, n = p p · · · p = p · n , Ù¥ (p, n ) = 1. y3· ©ü« ¹? Ø: A = B + C, Ù¥ n ∈ B XJ SL(n) = p ≥ 9(lnlnlnxx) ; n ∈ C X J SL(n) = p < 9(lnlnlnxx) . u´· k α1 α2 1 2

αk k

α

1

1

2

α

2

2

α

2

X |SL(n) − S(n)|

n≤x

SL(n)

=

X |SL(n) − S(n)| X |SL(n) − S(n)| + SL(n) SL(n)

n∈B

n∈C

31

'uSmarandache¯KïÄ #? ≤

X

X

1+

9x(ln ln x)2 ln2 x x ≤pι ≤ n n≤ ln2 x 9(ln ln x)2

X

1

n∈C

ι≼2

≥ R1 + R2 .

y3¡Â‚ŠO O (2-13) ÂŞÂĽ ˆ‘. Ă„k O R . 5Âż p žk Îą ≤ 4 ln ln x. u´dƒê½n¡Â‚k

Îą

1

X X

R1 ≤

x n≤ lnx4 x pι ≤ n ι≼2

X

≪

n≤ lnx4 x

X

≪

n≤ lnx4 x

X

√ x ι≤ln x

r

X

n

1

X

1+

X

ln x)2 x ≤n≤ 9x(ln ln4 x ln2 x

x ln x + n ln ln x

≤ ln4 x

x pι ≤ n ι≼2

ln x)2 x ≤n≤ 9x(ln ln4 x ln2 x

X

p≤

X

1+

(2-13)

X

ln x)2 x ≤n≤ 9x(ln ln4 x ln2 x

p≤

r

X

√ x ι≤4 ln ln x n

1

x x ln ln x ≪ . (2-14) n ln x

y3¡Â‚ O R , 5Âż 8Ăœ C ÂĽÂ?š ƒ Â‡ĂŞĂ˜ÂŹÂ‡L ĂŞ p p ¡ ¡ ¡ p ‡ê, Ù¼ Îą ≤ 2 ln ln x, p ≤ 3 lnlnlnx x , i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ . u´5Âż ƒêŠĂ™úª 2

Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

¡Â‚k

X

i

y ln y

ln p = y + O

p≤y

R2 =

X

n∈C

≪

1≤

Y

ln x p≤ 3 ln ln x



Y

ln x p≤ 3 ln ln x

i

 

− ln 1 −

X

−1

X

ln x p≤ 3 ln ln x





ι

p

0≤ι≤2 ln ln x

1 1− ln p

3 ≪ exp  ln x + 4

,

1 ln p

≤

exp 2 ln ln x 

âˆź

1 , ln p

Y

ln x p≤ 3 ln ln x

X

ln x p≤ 3 ln ln x

1  x ≪ , ln p ln x

p2 ln ln x 1 − ln1p 

ln p

(2-15)

Ù¼ exp(y) = e . (Ăœ (2-13)!(2-14) 9 (2-15) ª¡Â‚Ă­Ă‘ OÂŞ y

X |SL(n) − S(n)| n≤x

32

SL(n)

≪

x ln ln x . ln x

(2-16)

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK |^ (2-12) 9 (2-16) ÂŞĂĄÇ‘Ă­Ă‘ĂŹCúª: X S(n) x ln ln x =x+O . SL(n) ln x n≤x

u´ ¤ ½n 2.4 y². 5Âż SL(n) = p Ç‘ÂƒĂŞÂž, S(n) = P (n) = p; SL(n) Ă˜Ç‘ ÂƒĂŞÂž, P (n) ≤ S(n) ≤ SL(n), u´dy²½n 2.4 Â?{ĂĄÇ‘Ă­Ă‘½ n 2.5. 2.6

˜‡Â?š Smarandache Ÿê† Smarandache LCM Ÿê Â?§

LCM ĂžÂ˜!¡Â‚0 Smarandache Ÿê S(n) 9 Smarandache X S(n) Ÿê SL(n) Ú߇ŸêŠ 'ǯK, Ç‘Ă’´ÞŠ SL(n) ĂŹC 5Â&#x;, l(JÂŒ¹ä½Ÿê S(n) † SL(n) ŠA ??ƒ . S(n) † SL(n) Ă˜ kڇ5Â&#x;ƒ , „kÂ&#x;o ĂŠXQ? !ò0 Â? I [31] ĂŻĂ„¤J, äN `Ă’´|^ 9|ĂœÂ?{ĂŻĂ„Â?§ n≤x

X d|n

S(d) =

X

SL(d)

(2-17)

d|n

ÂŒ)5, ¿Ÿ § ¤k ĂŞ). =y² eÂĄ ½n: ½n 2.6. ÂŞ (2-17) k ¥þ‡ ĂŞ), = n = 1, 2 p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ k ´Â˜Â‡?Âż ĂŞ, Îą = 0, 1 ½Ü 2, p , p , ¡ ¡ ¡ , p ´Ă˜Ă“ ÂƒĂŞÂ…áv 2 < p < p < ¡ ¡ ¡ < p . A LávÂ?§ (2-17) ¤k ĂŞ n 8Ăœ, oÂŒÂą eÂĄ ½n. ½n 2.7. ĂŠu?ÂżEĂŞ s Â… Re(s) > 1, k Îąk k

Îą Îą1 Îą2 1 2 1

2

k

1

2

k

X 1 Îś(s) 4s + 2s + 1 = , ns Îś(2s) 4s + 2s

n∈A

33

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Ù¼ Îś(s) ´ Riemann zeta- Ÿê. ½n 2.8. ĂŠu?¿¢ê x ≼ 1, kĂŹCúª X

1=

n≤x n∈A

√ 7 x + O( x). Ď€2

5Âż Ăš u´d½n 2.7 ÂŒÂą Ă‘ eÂĄ Ă­Ă˜ Ă­Ă˜ 2.6.1. 3½n 2.7 ÂĽ, - s = 2, 4, KkĂ° ÂŞ X 1 X 1 63 28665 = 9 = . n 4Ď€ n 272Ď€ Ď€4 Ď€2 Îś(2) = , Îś(4) = 6 90 .

2

Ď€8 Îś(8) = , 9450

2

4

n∈A

4

n∈A

½n y²: Âąe¡Â‚5 ¤½n y². Ă„k, y²½n 2.6. ÂŻ ¢Þ, dŸê S(n) Ăš SL(n) ½Ă‚ÂŒ , n = 1 ´Â?§ (2-17) ˜‡ ). n IOŠ)ÂŞÇ‘ n = p p ¡ ¡ ¡ p , d S(n) Ăš SL(n) ½Ă‚Ăš 5Â&#x;ÂŒÂą S(n) = max{S(p ), S(p ), ¡ ¡ ¡ , S(p )} = S(p ) ≤ Îą p , SL(n) = max{p , p , ¡ ¡ ¡ , p } = p , w, p ≼ p ≼ Îą p . ¤¹, ĂŠ ?Âż ĂŞ n > 1, - n = 2 p p ¡ ¡ ¡ p (2 < p < ¡ ¡ ¡ < p ), ÂŒ¹ò n Š¤nÂŤÂœš?1?Ă˜: 1) ĂŠ Îą = 0, 1, k (a) XJ Îą = Îą = ¡ ¡ ¡ = Îą = 1, = n = p p ¡ ¡ ¡ p ½Ü n = 2p p ¡ ¡ ¡ p , ĂŠu n ?ÂżĂ?f d, k S(d) = SL(d), §Â‚´Â?§ (217) ). (b) XJ– k˜‡ Îą (i ≼ 2), k S(p ) ≤ Îą p , SL(p ) = p , §Â‚Ă˜ávÂ?§ (2-17). 2) ĂŠ Îą = 2, Îą = Îą = ¡ ¡ ¡ = Îą = 1, k (c) XJ p = 3, = n = 4 Ă— 3n (12 ∤ n ), Kk Îą1 Îą2 1 2 Îą1 1

Îą1 1

1

1 2

Îąj Îąk j k Îą Îą1 Îą2 1 2

Îą2 2

2

Îą2 2

Îąi i

1

i i

i i k

k

1 2

Îąi i

2

S(d) =

1

X

S(d) +

d|n1

+

X d|n1

X

S(2d) +

d|n1

S(6d) +

i i

k

1

34

Îąi i

k

k

1

d|n

Îąk k

Îąj j

Îąk k

i

X

Îąk k

1

X d|n1

X d|n1

S(12d)

S(4d) +

X d|n1

S(3d)

Îąi i

Îąi i

1 Ă™ 'u Smarandache LCM Ÿê ˜ ÂŻK X

=

d|n1

S(d) + (2 − 1 +

(3 − 1 + = 11 + 6

X d|n1

X

X d|n1

S(d)) + (4 − 1 +

S(d)) + (3 − 1 +

X d|n1

X

S(d)) +

d|n1

S(d)) + (4 − 1 +

X

S(d))

d|n1

S(d),

d|n1

Ӟk SL(d) = 11 + 6 X SL(d). Ă„ X S(d) = X SL(d), § ‚´Â?§ (2-17) ). X (d) XJ p > 3, = n = 4 Ă— n (4 ∤ n ), ÂŒÂą S(d) = X X X 4+3 S(d) Ăš SL(d) = 4 + 3 SL(d), §Â‚´Â?§ (2-17) ). 3) XJ Îą ≼ 3, ÂŒÂą – 3˜‡gĂŞ Îą ≼ 2, S(2 ) ≤ 2Îą, SL(2 ) = 2 > 2Îą, u´ §Â‚Ă˜´Â?§ (2-17) ). (Ăœ¹ÞAÂŤ?Ă˜ Âœš, ÂŒÂą Â?§ (2-17) 3 êþ‡ ĂŞ), §Â‚´ n = 1, 2 p p ¡ ¡ ¡ p ( Îą = 0, 1 ½ 2 ), Ù¼ 2 < p < ¡ ¡ ¡ < p LÂŤĂ˜Ă“ ÂƒĂŞ, –d¡Â‚ ¤ ½n 2.6 y². y3¡Â‚5y²½n 2.7. lĂŽ. Ăˆúª („Šz [8] ½n 11.7) Ăš$'ÂżdŸê 5Â&#x;Âą9 Riemann zeta- Ÿê ½Ă‚, ¡Â‚ÂŒÂą X d|n

d|n1

d|n1

1

1

d|n1

1

d|n

d|n1

d|n

d|n1

Îą

Îą

Îą

Îą

1 2

k

1

k

X 1 ns

n∈A

Y 1 1+ s ∞ ∞ p X |Âľ(n)| 1 X |Âľ(n)| Y 1 1 p = + = 1 + + ns 4s n=1 ns ps 4s 1 + 21s p n=1 2†n

= 1+

Y 1 1 Îś(s) 4s + 2s + 1 1 + = . 4s + 2s p ps Îś(2s) 4s + 2s

Ăš Ă’ ¤ ½n 2.7 y². y3y²½n 2.8. l$'ÂżdŸê 5Â&#x;ÂŒÂą : X

n≤x n∈A

1 =

X

n≤x

|Âľ(n)| +

X

n≤ x4 2†n

|Âľ(n)| =

XX

n≤x d2 |n

Âľ(d) +

XX

n≤ x4 2†n

Âľ(d)

d2 |n

35

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? X

=

Âľ(d) +

=

=

Âľ(d)

1≤l≤ dx2

X

x

= x

Âľ(d)

X

X

Âľ(d)

d2 ≤ x4 1≤l≤ 4dx2 2†d 2†l

1

1≤l≤ 4dx2

d2 ≤ x4 2†d

2†l

d ≤4 2†d

d ≤x

X Âľ(n)

n2

6 = 2 +O π

n∈A

=

d ≤4 2†d

d≤ 2 2†d

X 1 Âľ(n) 8 1 , = 2 +O √ , x n2 Ď€ x √ x

6 1 = x +O π2 n≤x X

d ≤4 2†d

X Âľ(d) x X Âľ(d) √ + + O( x), 2 2 d 8 √x d √

d≤ x

u´k

n≤ 2 2†n

√ 1 x 8 1 √ + + O + O( x) x 8 Ď€2 x

√ 7 x + O( x). 2 Ď€

Ăš Ă’ ¤ ½n 2.8 y².

36

X

X

X x Âľ(d) 2 + O(1) + Âľ(d) + O(1) d 8d2 2 x

d ≤x

n≤x

Âľ(d) +

X Âľ(d) X X Âľ(d) X + O( |Âľ(d)|) + x + O( |Âľ(d)|) d2 8d2 2 2 2 x 2 x

= x

Ù¼

1+

X X

d2 ≤x 1≤l≤ dx2

2†d2 l

X

d2 ≤x

d2 ≤x

Âľ(d) =

d2 l≤ x4

d2 l≤x

X

X

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻ K 3.1 3.1.1

'u Smarandache ĂšŸê ފ Úó9(Ă˜

ĂŠ?Âż ĂŞ n 9‰½ ĂŞ k > 1, M. Bencze Q½Ă‚ Ăź ‡ Smarandache ĂšŸê S(n, k) 9 AS(n, k) Xe: S(n, k) =

9

X

(n − ik)

|n−ki|≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

AS(n, k) =

X

|n−ki|≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

|n − ik|.

~X, S(9, 4) = 9 + (9 − 4) + (9 − 8) + (9 − 12) + (9 − 16) = 5; S(11, 5) =

11 + (11 − 5) + (11 − 10) + (11 − 15) + (11 − 20) = 5; AS(9, 4) = 9 + |9 − 4| + |9 − 8| + |9 − 12| + |9 − 16| = 25; AS(11, 5) = 11 + |11 − 5| + |11 − 10| + |11 − 15| + |11 − 20| = 31. M. Bencze S(n, k) AS(n, k) , [32] [33]. , , . , , n k . , {S(n, k)} , n k , S(n, k) = 0? ? . , , . . , [8] [9]. S(n, k) AS(n, k) , . :

Ӟ 㕮<╀ Ÿê 9 ÂŽĂŞ5Â&#x; ĂŤ Šz 9 'uĂšÂ˜ ÂŻK –8q vk<ĂŻĂ„ – ¡Â‚vk3yk Šz¼„ , ŠÜ Ç‘Ú߇Ÿê´k¿Â – ÂŒÂąÂ‡NĂ‘ ĂŞ 3 ĂŞĂŞ ÂĽ ŠĂ™5Â&#x; d 3ĂŞ ÂĽ ĂŞ Ăš áv Â&#x;o^‡ž UĂ„Ç‘xĂ‘Ăša ĂŞ AÆ Ăš Ă‘´kÂż Ă‚ ĂŻĂ„SN  C ĂŤ ĂŻĂ„ ĂšÂ˜ÂŻK Âź ˜ ? !ò 0 Ăš  #óŠ Š¼¤ 9 pd Ÿê 5Â&#x; ÂŒĂŤ Šz 9 ! ĂŒÂ‡8 ´|^ Â?{Âą9pd Ÿê 5Â&#x;ĂŻĂ„Âź ĂŞ 9 ފ5Â&#x; ‰Ñ߇k ފúª äN/` Ç‘Ă’´y²e¥ß‡(Ă˜ 37

½n 3.1. ÏCúª

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? k > 1 Ǒ‰½ ĂŞ, oĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚k

1 S(n, k) = 4 n≤x X

3 + (−1)k 1− 2k

x2 + R(x, k),

Ù¼ |R(x, k)| ≤ 78 k + 5k8 x. ½n 3.2. k > 1 Ǒ‰½ ĂŞ, oĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚k ĂŹCúª 2

1 3 1 7 + (−1)k AS(n, k) = 1+ x2 + R1 (x, k), x + 3k 4 2k n≤x X

Ù¼ |R (x, k)| ≤ 78 k + 87 kx + 6kx + x2 . w,Ú߇ÏCúª´' oá , |^ Ç‘ )Ă›ĂŞĂ˜Â?{kÂŒ U Â?°( ĂŹCúª. 2

1

3.1.2

½n 3.1 9½n 3.2 y²

Ăš!¡Â‚|^ Â?{Âą9pd Ÿê 5Â&#x;† ‰Ñ½n y ². Ă„k¡Â‚^pd ŸêòŸê S(n, k) ?1{z, L¤Â?{Ăź /ÂŞ. 5Âż |n − ki| ≤ n Â…= −n ≤ n − ki ≤ n ½Ü 0 ≤ i ≤ , Ù¼ [x] Ç‘pd Ÿê, =Ă’´ [x] LÂŤĂ˜ÂŒu x  ÂŒ ĂŞ. u´Ÿ ĂŞ S(n, k) ÂŒLÂŤÇ‘: 2n k

S(n, k) =

[ 2n k ] X (n − ik) = (n − ki)

X

|n−ki|≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

= = 38

i=0

2n k 2n 2n n+n¡ − +1 k 2 k k 2 ! 2 2n k 4n 4n 2n 2n 2n 2n −n − − + + − k 2 k k k k k k

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK =

2n2 + +n k 2n k n − k 2

2n k

2

−

2n k

!

,

(3-1)

Ù¼ {x} = x − [x] LÂŤ x ŠêĂœŠ, 0 ≤ {x} < 1. y3ĂŠ?Âż ĂŞ x > 1, x = k + r, Ăšp 0 ≤ r < k. u´ ĂŠ (3-1) ÂŞ ĂšÂŒ : x k

X

n≤k [

=

x k

X

n≤k [

x k

S(n, k) ] n ]

[ ] X x k

=

2n k

X

=

2n k

k − 2

2n k

(n + (i − 1)k)

i=1 1≤n≤k

=

k − 2

n

i=1 (i−1)k<n≤ik

[ xk ] X X

2

2n k

−

2n k

2n k

!!

2

2n k

2n k

2

−

k − 2

!!

−

2n k

!!

[ xk ] X X 2n k 4n2 2n (n + (i − 1)k) − − k 2 k2 k k i=1 1≤n< 2

[ ] X X 2n − k k (2n − k)2 2n − k + (n + (i − 1)k) − − k 2 k2 k i=1 k x k

2

<n<k

[ ] X X x k

=

i=1 1≤n<k

=

[ xk ] X k(k − 1) 2

i=1

=

(n + (i − 1)k)

(2i − 1) −

k(k − 1) h x i2 2

k

2n k − k 2

2

4n 2n − 2 k k

−

[ kx ] X X i=1

k ≤n<k 2

(ik − n)

X hxi X k h x i h x i +1 1+ n 2 k k k k k 2

≤n<k

2

≤n<k

hxi X k h x i2 X k hxi X − 1− 1+ n. (3-2) 2 k k 2 k k k k 2

≤n<k

2

≤n<k

2

≤n<k

39

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? u´d (3-2) ÂŞ 2|k žkĂ° ÂŞ: X

S(n, k) =

n≤k [ xk ]

k 2 − 2k h x i2 k 2 − 2k h x i + . 4 k 8 k

(3-3)

k 2 − k h x i2 (k − 1)2 h x i + . 4 k 8 k

(3-4)

k ǑÛêžkð ª: X

n≤k [

x k

S(n, k) = ]

0 ≤ r ≤ k − 1 žk 0≤ =

k[

X

1≤n≤r

=

X

1≤n≤r 2

5Âż :

≤

(Ăœúª

x k

X

S(n, k)

]<n≤k[ ]+r h x i 2n n+k − k k h x i 2n n+k + k k x k

!! 2n 2 2n − k k 2 ! k k 1 2n − − 8 2 k 2

k 2

5k k + x. 8 2

(3-5)

x2 2x n x o n x o2 − + , k k2 k k k (3-2), (3-3) (3-5) k h x i2

9

X

S(n, k) =

n≤x

=

¡Â‚ĂĄÇ‘ Ç‘óêžkĂŹCúª:

X

n≤k [

=

1 4

x k

S(n, k) + k[

]

1−

2 k

x k

X

S(n, k)

]<n≤k[ ]+r x k

x2 + R(x, k),

Ù¼ |R(x, k)| ≤ 78 k + 5k8 x. (Ăœúª (3-2), (3-4) 9 (3-5) ÂŒ k ǑÛêžkĂŹCúª: 2

X

n≤x

40

S(n, k) =

X

n≤k [

x k

S(n, k) + ]

k[

x k

X

S(n, k)

]<n≤k[ ]+r x k

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK 1 = 4

1 1− k

x2 + R(x, k),

Ù¼ |R(x, k)| ≤ 78 k + 5k8 x. u´y² ½n 3.1. y3¡Â‚y²½n 3.2. d ÂĄOÂŽ S(n, k) y²Â?{¡Â‚k 2

AS(n, k)

X

=

|n−ki|≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

=

[ nk ] X i=0

=

=

|n − ik| =

|n − ki| +

[ 2n k ] X

i=[

[ 2n k ] X i=0

|n − ki|

|n − ki|

]+1 h i h i k n h n i 2n n n+n − +1 −n − + k 2 k k k k 2n k h n i h n i k 2n + +1 − +1 2 k k 2 k k n n o2 n2 2n −k +n−n k k k n n o k 2n 2 k 2n +k + − . (3-6) k 2 k 2 k n k

hni

¤¹d½n 3.1 (Ă˜ÂŒ : X

AS(n, k)

n≤x

= =

! n n o2 n n o k 2n 2 k 2n n2 2n +n−n −k +k + − k k k k 2 k 2 k n≤x ! X 2 X n2 2n k 2n k 2n +n − n − + − k k 2 k 2 k n≤x n≤x n n o X n n o2 − k −k . k k X

n≤x

5Âż OÂŞÂľ

0 ≤ −k

n n o2

k

+k

nno

k

≤

k , 4 41

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? u´Ê?Âż ĂŞ x, k > 1 Ç‘ êžkĂŹCúª¾ 1 3 1 7 + (−1)k AS(n, k) = x + 1+ x2 + R1 (x, k), 3k 4 2k n≤x X

Ù¼ |R (x, k)| ≤ 78 k 1

3.2

3.2.1

2

x x 7 + kx + + . 8 6k 2

u´ ¤ ½n 3.2 y².

˜ a Â? š Smarandache Ăš Âź ĂŞ Dirichlet ?ĂŞ Dirichlet

S(n, k)

?ĂŞÂ†ĂŒÂ‡(Ă˜

! ĂŒÂ‡8 ´|^ Â?{Âą9 Ÿê 5Â&#x;ĂŻĂ„Âź ĂŞ S(n, k) ÂŽâ5Â&#x;Âą9˜aÂ?š S(n, k) Dirichlet ?ĂŞ OÂŽ ÂŻK. ¤¢ Dirichlet ?ĂŞĂ’´Â?/X X an , Ù¼ a Ç‘EĂŞ, s Ç‘EC Ăž. ĂšÂ˜?ĂŞ3)Ă›ĂŞĂ˜ĂŻĂ„ÂĽĂ“k›Š­Â‡ / , NĂľĂ?Âś ĂŞĂ˜ JKXx nâĂ&#x;ÂŽ!ƒêŠĂ™!iĂšb Ă‘Â†ÂƒÂ—ÂƒÂƒ', Ă?dk ' Dirichlet ?ĂŞ5Â&#x; ĂŻĂ„äk­Â‡ nĂ˜ÂżĂ‚9Æâ Âľ. !X ­0 ï² [34] (J, Ç‘Ă’´Ê, AĂ? ĂŞ k > 1, ‰Ñ? ĂŞ X S(n,n k) ˜‡äN OÂŽúª. äN/`Ç‘Ă’´y²eÂĄA‡( Ă˜: ½n 3.3. ĂŠ?ÂżEĂŞ s Â… Re(s) > 2, ¡Â‚kĂ° ÂŞ ∞

n s

n

n=1

∞

s

n=1

∞ X S(n, 4) n=1

ns

1 = 2

1 1 1 1 − s−1 Îś(s − 1) + 1 − s Îś(s), 2 2 2

Ù¼ Îś(s) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê. ½n 3.4. ĂŠ?ÂżEĂŞ s Â… Re(s) > 3, ¡Â‚kĂ° ÂŞ ∞ X S(n2 , 8) n=1

42

ns

1 = 4

1 3 1 1 − s−2 Îś(s − 2) + 1 − s Îś(s). 2 4 2

1nÙ 'u Smarandache Ú¼ê ¯K AO s = 4 , 5¿ ζ(2) = π6 , ζ(4) = π90 , · kð ª 2

4

∞ X S(n2 , 8)

n4

n=1

=

π 2 5π 4 + . 32 604

½n 3.5. é?¿Eê s Re(s) > 3, · kð ª ∞ X S(n2 , 16)

ns

n=1

=

1 7 1 1 + 1 + s−1 1 − s−2 ζ(s−2)+ 1 − s ζ(s). 2 2 8 2s−1 2

1

AO s = 4 · kð ª

∞ X S(n2 , 14)

n4

n=1

=

9π 2 17π 4 + . 64 1440

½n 3.6. é?¿Eê s Re(s) > 3, · kð ª ∞ X S(n2 , 6) n=1

ns

1 = 3

1 2 1 1 − s−2 ζ(s − 2) + 1 − s ζ(s). 3 3 3

AO s = 4 · kð ª

∞ X S(n2 , 6)

n4

n=1

=

4π 2 16π 4 + . 81 2187

½n 3.7. p > 2 Ǒ ê, Ké?¿Eê s Re(s) > p, · k ð ª ∞ X S np−1 , p 2 1 2 1 = 1 − s−p+1 ζ(s − p + 1) + 1 − 1 − s ζ(s). ns p p p p n=1

3.2.2

A ½n y²

ù!· |^ {±9pd ¼ê 5 Ñù ½n y². Äk· ^pd ¼êò¼ê S(n, k) ?1{z, 5¿ (3-1) ªµ S(n, k) = n

2n k

k k + − 8 2

2n k

1 − 2

2

.

(3-7) 43

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Ù¼ {x} = x − [x] LÂŤ x ŠêĂœŠ, 0 ≤ {x} < 1. Ă?Ç‘ 2nk = 2nk , XJ k > 2n. ¤¹ k > 2n žd (3-7) ÂŞkĂ° ÂŞÂľ 2n2 k 4n2 2n − − k 2 k2 k 2 ! 2n 2n − ≼ 0, k k

S(n, k) =

= n.

qdu ¤¹5Âż 0 ≤ k−1 , Šâ (3-7) ª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ k < 2n žk OÂŞ: k k − 2

0 ≤ S(n, k) ≤ n −

n k + . k 8

2n k

≤

(3-8)

d (3-8) ÂŞĂ˜JĂ­Ă‘ Re(s) > 2 ž, Dirichlet ?ĂŞ F (s) = X S(n,n k) ýÊĂ‚Ăą, AOĂŠ k = 4, 5Âż k|2n žk S(n, k) = 0; n Ç‘Ă› êžk S(n, 4) = n +2 1 ; Îś(s) = X n1 = X (2n)1 + X (2n −1 1) = X X 1 1 1 1 Îś(s) + ½Ü (2n − 1) = 1 − 2 Îś(s), ¤¹¡Â‚k 2 (2n − 1) Ă° ÂŞ: ∞

k

s

n=1

∞

∞

∞

s

∞

∞

s

s

n=1

n=1

s

s

n=1

s

n=1

s

n=1

F4 (s) = =

∞ X S(n, 4) n=1 ∞ X

ns

=

∞ X S(2n, 4) n=1

2s ns ∞

+

∞ X S(2n − 1, 4) n=1

(2n − 1)s

S(2n − 1, 4) X n = s (2n − 1) (2n − 1)s n=1 n=1

∞ ∞ 1X 1X 1 1 = + s−1 2 n=1 (2n − 1) 2 n=1 (2n − 1)s 1 1 1 1 = 1 − s−1 Îś(s − 1) + 1 − s Îś(s), 2 2 2 2

(3-9)

Ù¼ Îś(s) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê. u´y² ½n 3.3. y3¡Â‚y²½n 3.5. aq/ÂŒ¹íĂ‘½n 3.4. Re(s) > 3 ž, d (3-7) ª¡Â‚k ∞ X S(n2 , 16) n=1

44

ns

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK 2

∞ n X

=

n 2o n 8

−

16 2

∞ X

=

n=1

+ =

∞ X

=

1 8 1 8

n

(2n−1)2 8

o

2s−2 (2n − 1)s−2

n 2 o n 8

−

o

−

∞ 8 X

n

(2n−1)2 2

o2

−

n

(2n−1)2 2

o

2s (2n − 1)s n o2 n o (2n−1)2 (2n−1)2 − ∞ 8 8 8 X n=1

− (2n − 1)s−2 n=1 (2n − 1)s X X ∞ ∞ 1 1 7 1 1 + + s−1 + s−1 s−2 2 (2n − 1) 8 2 (2n − 1)s n=1 n=1 1 1 7 1 1 1 − s−2 Îś(s − 2) + 1 − s Îś(s). + s−1 + 2 2 8 2s−1 2

n=1

(2n−1)2 2

n 8

ns

n=1

n

n o 2 2

u´ ¤ ½n 3.5 y². k = 6 ž, 5Âż 3 Ă˜ Ă˜ n žk n ≥ 1 (mod 3), ¤ n 1 Âą 3 = 3 . 3 Ă˜ n žk n3 = 0. ¤¹d (3-7) ª¡Â‚ k 2

2

2

∞ X S(n2 , 6) n=1

2

=

∞ n X

ns n 2o n 3

−

=

= =

n

(3n−1)2 3

n o 2 2 n 3

−

ns

n=1

∞ X

6 2

o

∞ X

n

n 2 o n 3

(3n−1)2 3

o2

−

n

(3n−1)2 3

o

−3 s−2 (3n − 1) (3n − 1)s n=1 n=1 n o n o2 n o (3n−2)2 (3n−2)2 (3n−2)2 ∞ ∞ − X X 3 3 3 + −3 s−2 s (3n − 2) (3n − 2) n=1 n=1 ! ! ∞ ∞ ∞ ∞ 1 X 1 1 X 1 2 X 1 1 X 1 − + − 3 n=1 ns−2 3s−2 n=1 ns−2 3 n=1 ns 3s n=1 ns 1 1 2 1 1 − s−2 Îś(s − 2) + 1 − s Îś(s). 3 3 3 3 45

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? u´y² ½n 3.6. Ç‘y²½n 3.7, ¡Â‚5Âż ĂŠ?ÂżÂƒĂŞ p ≼ 3 Âą9 ĂŞ n Â… (n, p) = 1, dĂ?Âś Euler(½ Fermat) ½n n ≥ 1 (mod p). u ´k 2np = p2 . u´dúª (3-7) p−1

p−1

=

∞ X S np−1 , p ns n=1 n n o o2 n p−1 o p 2np−1 p−1 2np−1 −2 − 2np ∞ n p p X

ns

n=1

X ∞ ∞ 1 1 2 X 2 = + 1− . s−p+1 p n=1 n p ns n=1 (n, p)=1

(n, p)=1

du

∞ X

n=1 (n, p)=1

1 = ns

1 1− s p

Îś(s),

dÞª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘Ă° ÂŞÂľ

∞ X S np−1 , p 2 1 2 1 = 1 − s−p+1 Îś(s − p + 1) + 1 − 1 − s Îś(s). ns p p p p n=1

u´ ¤ ¤k½n y². 3.3

3.3.1

˜ a Â? š Smarandache Ăš Âź ĂŞ Dirichlet ?ĂŞ

AS(n, k)

ĂŒÂ‡(Ă˜

ĂžÂ˜!0 ˜aÂ?š S(n, k) Dirichlet ?ĂŞ OÂŽÂŻK, ! òUY0 Â? 'u AS(n, k) Dirichlet ?ĂŞ OÂŽÂŻK ĂŻĂ„¤J, dŠĂ™ÂŽ ĂœHÂŒĂ†Ă† š^. Â? |^ Â?{Âą9 Ÿê 5Â&#x; ĂŻĂ„ ˜aÂ?š AS(n, k) Dirichlet ?ĂŞ OÂŽÂŻK, ¿Ê, AĂ? 46

1nÙ 'u Smarandache Ú¼ê ¯K ê k > 1, ÑT?ê äN O úª. äN/`ǑÒ´y² e¡A (Ø: ½n 3.8. é?¿Eê s Re(s) > 3, · kð ª ∞ X AS(n, 2) n=1

ns

1

= 2ζ(s − 2) +

2s−1

ζ(s − 1),

Ù¥ ζ(s) Ǒ Riemann zeta– ¼ê. ½n 3.9. é?¿Eê s Re(s) > 5, · kð ª ∞ X AS(n2 , 8)

ns

n=1

1 1 3 1 1 1 + + = ζ(s−4)+ ζ(s−2)+ 1 − s ζ(s). 8 4 2s 8 2s−1 2

π , · kð AO s = 6 , 5¿ ζ(2) = π6 , ζ(4) = π90 , ζ(6) = 945 ª X 2

4

6

∞

π 2 49π 4 AS(n2 , 8) 7π 6 = + + . 4 n 48 5760 43008 n=1

½n 3.10. é?¿Eê s Re(s) > 5, · kð ª

∞ X AS(n2 , 4) n=1

ns

1 = ζ(s − 4) + 4

AO s = 6 · kð ª

∞ X AS(n2 , 4)

n4

n=1

1 1 + s−1 2 2

=

1 1 ζ(s − 2) + 1 − s ζ(s). 4 2

π 2 17π 4 π6 + + . 24 2880 3840

½n 3.11. é?¿Eê s Re(s) > 5, · kð ª ∞ X AS(2n2 , 6) n=1

ns

2 = ζ(s − 4) + 3

AO s = 6 · kð ª ∞ X AS(2n2 , 6) n=1

n4

2 4 + s−1 3 3

2 ζ(s − 2) + 3

1 1 − s ζ(s). 3

π2 83π 4 1456π 6 = + + . 9 10935 2066751 47

½n 3.12. ð ª

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? p > 2 Ç‘ÂƒĂŞ. KĂŠ?ÂżEĂŞ s Â… Re(s) > p, ¡Â‚k

∞ X AS(np−1 , p)

ns

n=1

1 1 = 1 − s−2p+2 Îś(s − 2p + 2) p p 2 1 1 1 + 1− 1 − s−p+1 Îś(s − p + 1) + 1 − s Îś(s). p p p p

3.3.2

½n y²

¡Â‚|^ Â?{Âą9pd Ÿê 5Â&#x;† ‰ÑA‡½n y². Ă„k¡Â‚^pd ŸêòŸê AS(n, k) ?1{z, L¤ . 5Âż |n − ki| ≤ n Â…= −n ≤ n − ki ≤ n ½ Â?{Ăź /ÂŞ Ăś 0 ≤ i ≤ , Ù¼ [x] Ç‘pd Ÿê, =Ă’´ [x] LÂŤĂ˜ÂŒu x  ÂŒ ĂŞ. u´Ÿê AS(n, k) ÂŒLÂŤÇ‘: 2n k

AS(n, k) =

X

|n−ki|≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

|n − ik| =

[ 2n k ] X i=0

|n − ki| =

[ nk ] X i=0

|n − ki| +

2n [X k ]

]+1 i=[ n k

|n − ki|

h i k h n i h n i 2n n = n+n¡ − +1 −n − k 2 k k k k h i h i k 2n k n 2n n + +1 − +1 2 k k 2 k k n n o2 n n o k 2n 2 k 2n n2 2n +n−n = −k +k + − , k k k k 2 k 2 k (3-10) hni

Ù¼ {x} = x − [x] LÂŤ x ŠêĂœŠ, 0 ≤ {x} < 1. Ă?Ç‘ 2nk = 2nk , XJ k > 2n. ¤¹ k > 2n žd (3-10) ÂŞkĂ° ÂŞ: AS(n, k) = 48

n2 2n2 n2 2n2 +n− − +n+ − n = n. k k k k

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK !

qdu − ≼ 0, ¤¹5Âż 0 ≤ k−1 , Šâ (3-10) ª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ k < 2n žk OÂŞ: k

k − 2

2n k

2

2n k

2n k

n2 0 ≤ AS(n, k) ≤ + n. k

≤

(3-11)

d (3-11) ÂŞĂ˜J Ă­Ă‘ Re(s) > 3 ž§Dirichlet ?ĂŞ F (s) = X AS(n, k) ýÊĂ‚Ăą, AOĂŠ k = 2, 5Âż 2|n žk AS(n, 2) = n X 1 1 n n + n; n ǑÛêžk AS(n, 2) = + n + ; Îś(s) = = 2 2 2 n k

∞

s

n=1 2

∞

2

s

∞ X

∞ ∞ X X 1 1 1 1 + = Îś(s) + (2n)s n=1 (2n − 1)s 2s (2n − 1)s n=1 n=1 1 1 − s Îś(s), : 2

¤¹¡Â‚kĂ° ÂŞ

F2 (s) = =

∞ X AS(n, 2)

ns

n=1 ∞ (2n)2 X 2 n=1

=

(2n)s n=1 ∞ (2n−1)2 X 2

+ 2n + (2n)s n=1

∞ X 2n2 n=1

=

∞ X AS(2n, 2)

ns

+

∞ X

+

n=1

½Ü X (2n −1 1) ∞

=

s

n=1

∞ X AS(2n − 1, 2) n=1

(2n − 1)s

+ 2n − 1 + (2n − 1)s

1 2

1 (2n)s−1 n=1

= 2Îś(s − 2) +

1

2s−1

Îś(s − 1),

Ù¼ Îś(s) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê. u´y² ½n 3.8. y3¡Â‚y²½n 3.10. aq/ÂŒ¹íĂ‘½n 3.9. Re(s) > 3 ž, d (3-10) ª¡Â‚k ∞ X AS(n2 , 4) n=1

=

4 ∞ n X 4

n=1

ns

2

2

+n −n

n

n2 2

o

−4

n 2 o2 n 4

+4

ns

n 2o n 4

+2

n 2 o2 n 2

−2

n 2o n 2

49

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? =

∞ 1X 1 1 Îś(s − 4) + Îś(s − 2) − 4 2 n=1 (2n − 1)s−2 n o2 n o n o2 n o (2n−1)2 (2n−1)2 (2n−1)2 (2n−1)2 ∞ ∞ − − X X 4 4 2 2 −4 +2 s s (2n − 1) (2n − 1) n=1 n=1

∞ ∞ 1X 1 1 1 1X Îś(s − 4) + Îś(s − 2) − = + s−2 4 2 n=1 (2n − 1) 4 n=1 (2n − 1)s 1 1 1 1 1 = Îś(s − 4) + + Îś(s − 2) + 1 − s Îś(s). 4 2 2s−1 4 2

u´ ¤ ½n 3.10 y². k = 6 ž, 5Âż 3 Ă˜ Ă˜ n žk n ≥ 1 (mod 3), ¤ Âą n3 = 13 . 3 Ă˜ n žk n3 = 0. ¤¹d (3-10) ª¡Â‚ k 2

2

2

∞ X AS(2n2 , 6) n=1

=

ns

2 2 ∞ (2n ) X 6

n=1

2

2

+ 2n − 2n

n

2n2 3

o

∞ X

−6

2

n

n

n2 3

o2

+6

ns

2(3n−1)2 3

o

n 2o n 3

∞ X

+3 n

n

o2

−3

o2

n

2n2 3

(3n−1)2 3

−

n

50

o

(3n−1)2 3

2 Îś(s − 4) + 2Îś(s − 2) − −6 3 (3n − 1)s−2 (3n − 1)s n=1 n=1 n o2 n o n o 2(3n−1)2 2(3n−1)2 2(3n−2)2 ∞ ∞ − 2 X X 3 3 3 +3 − (3n − 1)s (3n − 2)s−2 n=1 n=1 n o2 n o n o2 n o (3n−2)2 (3n−2)2 2(3n−2)2 2(3n−2)2 ∞ ∞ − − X X 3 3 3 3 −6 + 3 (3n − 2)s (3n − 2)s n=1 n=1 ! ∞ ∞ 2 4 X 1 1 X 1 = Îś(s − 4) + 2Îś(s − 2) − − 3 3 n=1 ns−2 3s−2 n=1 ns−2 ! ∞ ∞ 2 X 1 1 X 1 + − 3 n=1 ns 3s n=1 ns 2 2 4 2 1 = Îś(s − 4) + + Îś(s − 2) + 1 − s Îś(s). 3 3 3s−1 3 3 =

2n2 3

o

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK u´y² ½n 3.11. Ç‘y²½n 3.12, ¡Â‚5Âż ĂŠ?ÂżÂƒĂŞ p ≼ 3 Âą9 ĂŞ n Â… (n, p) = 1, dĂ?Âś Euler(½ Fermat) ½n n ≥ 1 (mod p). u ´k 2np = p2 . u´dúª (3-10) p−1

p−1

∞ X AS(np−1 , p) n=1

=

∞ X n=1

p 2

+

ns



n2p−2  p



n

2np−1 p

+ np−1 − np−1 o2

−

p 2

ns

n

2np−1 p

n

2np−1 p

o

ns

−p

n

np−1 p

o2

+p

n

np−1 p

o

o  

X ∞ ∞ ∞ 1 X 2 1 X 1 1 1 = + 1 − + . s−p+1 s p n=1 ns−2p+2 p n p n n=1 n=1 (n,p)=1

du

∞ X

n=1 (n, p)=1

1 = ns

(n,p)=1

1 1− s p

Îś(s),

(n,p)=1

dÞª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘Ă° ÂŞ:

∞ X AS(np−1 , p)

ns 1 1 = 1 − s−2p+2 Îś(s − 2p + 2) p p 2 1 1 1 + 1− 1 − s−p+1 Îś(s − p + 1) + 1 − s Îś(s). p p p p n=1

u´ ¤ Ăœ½n y².

'u Smarandache Â˜Ăš ފ

3.4 3.4.1

ĂŻĂ„ Âľ9ĂŒÂ‡(Ă˜

3 A!ÂĽ, ¡Â‚0 Smarandache ĂšŸê S(n, k) 9 AS(n, k), 51

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ¿‰Ñ A‡ÞŠúª¹9Â?š S(n, k) Dirichlet ?ĂŞ. !¼¡Â‚ ½Ă‚߇# Smarandache Ÿê, ÂĄÇ‘ Smarandache Â˜ĂšŸê P (n, k) 9 AP (n, k) Xe: P (n, k) =

X

(n − k i )

|n−k i |≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

9

AP (n, k) =

X

|n−k i |≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

|n − k i |.

~X, P (12, 2) = (12 − 1) + (12 − 2) + (12 − 4) + (12 − 8) + (12 − 16) = 29, P (9, 4) = (9−1)+(9−4)+(9−16) = 6; P (11, 5) = (11−1)+(11−5) = 16; AP (12, 2) = |12−1|+|12−2|+|12−4|+|12−8|+|12−16| = 37; AP (9, 4) = |9 − 1| + |9 − 4| + |9 − 16| = 20; AP (11, 5) = |11 − 1| + |11 − 5| = 16. , , . , , n k . , P (n, k) AP (n, k) , . :

' uÚ߇Ÿê ÂˆÂŤÂŽĂŞ5Â&#x; ¡Â‚q ˜ ¤ – vk3yk Š z¼„ , ¡Â‚ Ç‘Ú߇Ÿê´k¿Â – ÂŒÂąÂ‡NĂ‘ ĂŞ 3 Â?Â˜ĂŞ ÂĽ ŠĂ™5Â&#x; !Ă„uĂœ> óŠ |^ Â? 9 ފ5Â&#x; {Âą9pd Ÿê 5Â&#x;ĂŻĂ„Ÿê ‰Ñ߇k ފúª äN/`Ç‘Ă’´y²e¥ß‡(Ă˜ ½n 3.13. k > 1 Ǒ‰½ ĂŞ, oĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚kĂŹ Cúª X

P (n, k) =

n≤x

x2 ¡ ln x + R(x, k), 2 ln k

+ 2x . Ù¼ |R(x, k)| ≤ x4 + x2 lnlnk2 + k −1 1 ¡x− k x− 1 + 2x ln(2x)2+lnln(2x) k 2

2

2

½n 3.14. k > 1 Ǒ‰½ ĂŞ, oĂŠ?¿¢ê x > 1, ¡Â‚kĂŹ Cúª X

AP (n, k) =

n≤x

Ù¼ |R (x, k)| ≤ 2x 1

52

2

+

x2 ¡ ln x + R1(x, k), 2 ln k

x x2 (1 + ln 4) − . k−1 4 ln k

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK leÂĄ y²L§Ç‘Ă˜JwĂ‘Ú߇½n O¢SÞ´Êoá , ´Ă„ 3Â?°( ĂŹCúªÇ‘´Â˜Â‡k ÂŻK.

½n 3.13 9½n 3.14 y²

3.4.2

Ăš!¡Â‚|^ Â?{Âą9pd Ÿê 5Â&#x;† ‰Ñ½n y². Ă„k¡Â‚^pd ŸêòŸê P (n, k) ?1{z, L¤ Â?{Ăź /ÂŞ |n − k | ≤ n Â…= −n ≤ n − k ≤ n ½ h . 5Âż i Ăś0≤i≤ , Ù¼ [x] Ç‘pd Ÿê, =Ă’´ [x] LÂŤĂ˜ÂŒu x  ÂŒ ĂŞ. u´Ÿê P (n, k) ÂŒLÂŤÇ‘: i

i

ln(2n) ln k

P (n, k) [ ln(2n) ln k ] X i (n − k ) = (n − k i )

X

=

i=0

|n−k i |≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

ln(2n) ln(2n) k [ ln k ]+1 − 1 = n+n¡ − ln k k−1 ln(2n) n ¡ ln(2n) 2nk ¡ k −{ ln k } − 1 ln(2n) = − +n−n ln k ln k k−1 ln(2n) ln(2n) n ¡ ln(2n) 1 2nk ¡ k −{ ln k } +n+ −n ,(3-12) = − ln k k−1 ln k k−1

Ù¼ {x} = x − [x] LÂŤ x ŠêĂœŠ, 0 ≤ {x} < 1. y3ĂŠ?Âż ĂŞ x > 1, d Euler Ăšúª (ĂŤ Šz [8] ¼½n 4.9) ÂŒ : ½Ü

Z

x 1

X n ¡ ln(2n) y ¡ ln(2y) dy ≤ ≤ ln k ln k n≤x

Z

x+1 1

y ¡ ln(2y) dy, ln k

X n ¡ ln(2n) x2 x2 ¡ ln(2x) − ≤ 2 ln k 4 ln k n≤x

≤

(x + 1)2 (x + 1)2 ¡ ln(2x + 2) − . (3-13) 2 ln k 4 53

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? u´d (3-13) ÂŞĂĄÇ‘ OÂŞ:

X n ¡ ln(2n) 2 2

x x

2x ln(2x) + ln(2x) + 2x − ¡ ln(2x) + ≤ .(3-14)

ln k 2 ln k 4 2 ln k n≤x

u´(Ăœ (3-12) 9 (3-14) ÂŞÂŒ X

P (n, k)

n≤x

=

X

n≤x

=

X n ¡ ln(2n)

n≤x 2

=

! ln(2n) ln(2n) 2nk ¡ k −{ ln k } − ln k k−1 ! ln(2n) 1 ln(2n) 2nk ¡ k −{ ln k } +n−n − k−1 ln k k−1

n ¡ ln(2n) 1 +n+ −n ln k k−1 +

ln k

X

n≤x

x ¡ ln(2x) + R(x, k), 2 ln k

+ 2x Ù¼ |R(x, k)| ≤ x4 + k −1 1 ¡ x − k x− 1 + 2x ln(2x)2+lnln(2x) . u´ k y² ½n 3.13. y3¡Â‚y²½n 3.14. †y²½n 3.13 aq, ¡Â‚kĂŠ AP (n, k) ?1{z. d AP (n, k) ½Ă‚¡Â‚k 2

AP (n, k) =

2

X

|n−k i |≤n i=0, 1, 2, ¡¡¡

=

ln n [X ln k ]

i=0

[ ln(2n) ln k ] X

n − k i

n − k i =

(n − k i ) +

i=0

[ ln(2n) ln k ] X

(k i − n) n i=1+[ ln ln k ]

ln n [X [ ln(2n) ln k ] ln k ] X i (n − k ) + (k i − n) = 2

i=0

i=0

ln n ln n k [ ln k ]+1 − 1 ln(2n) = 2n + 2n ¡ −2¡ −n−n¡ ln k k−1 ln k ln(2n) k [ ln k ]+1 − 1 + k−1

54

1nĂ™ 'u Smarandache ĂšŸê ˜ ÂŻK n ¡ ln(n/2) 1 ln(2n) ln n = +n+ +n − 2n ln k k−1 ln k ln k ln(2n) ln n 2nk ¡ k −{ ln k } − k −{ ln k } . + (3-15) k−1

u´d (3-15) ÂŞ9 Euler ĂšúªåÇ‘ OÂŞ X

AP (n, k)

n≤x

=

X n ¡ ln(n/2)

n≤x

+ =

Ù¼ ².

ln k

1 +n+ +n k−1

X 2nk ln(2n) ln n ¡ k −{ ln k } − k −{ ln k } k−1 n≤x

x2 ¡ ln x + R1 (x, k), 2 ln k

ln(2n) ln k

x x2 (1 + ln 4) |R1 (x, k)| ≤ 2x + − . k−1 4 ln k 2

− 2n

ln n ln k

u´ ¤ ½n 3.14 y

55

'uSmarandache¯KïÄ #?

1oÙ 'u \¼ê ¯K # \¼ê Smarandache ê

4.1 4.1.1

Úó9(Ø

é?¿ ê n, · ¡ â¼ê f (n) ´ \ , XJé?¿ ê m, n (m, n) = 1 k f (mn) = f (m) + f (n). ¡ f (n) ´ \ , XJé?¿ ê r 9 s Ñk f (rs) = f (r) + f (s). ½Â 4.1. · ½Â # ê¼ê F (n) Xe: F (0) = 0, n > 1 n IO©)ªǑ n = p p · · · p , ½Â F (n) = α1 α2 1 2

α1 p1 + α2 p2 + · · · + αk pk .

¯¢þ m = p

9

αk k

· k l d ½Âk ¤± ´ \¼ê 3 êØ¥ ÷v \5 â¼êéõ ~X I ¼ê 9é O©)ªǑ ê¼ê Ñ´ \¼ê d ê ¤kØÓ Ï ê ê ´ \¼ê Ø´ \¼ê 'u \¼ ê5 ïÄ 3 êر9 ê©Ù¯K¥Ók ©­ N õͶ êØJKÑ ' Ï ÙïÄó ´ék¿Â k '¼ê 9 5 ë ©z 9 ! Ì 8 ´ïÄ \¼ê 3, AÏê þ þ ©Ù¯K ¿|^ { ü r ìCúª Ǒd · k0 a ê 9 3©z 9 ¥ {7 ÛêZæêØ;[ ÇÚ\ Nõêؼê9ê ¿ JÑ Ø )û ¯K 9 Ò´Ù¥ ü k ê L« ¤k Ïê È L« ¤k u êÏf È =Ò´ · · · pαk k n = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβk k , mn = F (n) F (mn) = (α1 + β1 )p1 + F (n) (α2 + β2 )p2 + · · · + (αk + βk )pk = F (m) + F (n). . , , n αk α1 α2 n = p1 p2 · · · pk , Ω(n) = α1 + α2 + · · · + αk f (n) = ln n . , n ω(n) = k , . , , , . Ω(n) ω(n) , [35] [36]. F (n) , . , Smarandache {Pd (n)} {qd (n)}. [1] [37] , F. Smarandache , , {Pd (n)} {qd (n)} , Pd (n) n , qd (n) n n . Y Y d(n) d(n) Pd (n) = d=n 2 ; qd (n) = d = n 2 −1 , α1 α2 1 p2 α1 +β1 α2 +β2 αk +βk p1 p2 · · · pk ,

d|n

56

d|n,d<n

1oĂ™ 'uÂŒ\Ÿê ˜ ÂŻK Ù¼ d(n) Ç‘ Dirichlet Ă˜êŸê, = n ¤k Ă?ĂŞ ‡ê. 3Šz [1] ÂĽ, F. Smarandache ÇïÆ¡Â‚ĂŻĂ„ĂŞ {P (n)} 9 {q (n)} 5Â&#x;. 'uĂšÂ˜ÂŻK, NþÆÜ?1LĂŻĂ„, Âź ˜X k (Ă˜, ĂŤ Šz [38] 9 [39]. !|^ 9)Ă›Â?{ĂŻĂ„ Âź ĂŞ F (n) 3ĂŞ {P (n)} 9 {q (n)} Ăž ފ¯K, ¿‰Ñ ߇ r ފúª. äN/`Ç‘Ă’´y² eÂĄ : ½n 4.1. N Ǒ‰½ ĂŞ, KĂŠ?¿‰½ ¢ê x > 1, ¡Â‚ kĂŹCúª d

d

d

d

N X

x2 F (Pd (n)) = di ¡ i + O ln x n≤x i=1 X

x2 lnN+1 x

,

Ù¼ d (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… d = Ď€72 . ½n 4.2. N Ǒ‰½ ĂŞ, KĂŠ?¿‰½ ¢ê x > 1, ¡Â‚ kĂŹCúª 4

i

1

N X

x2 F (qd (n)) = hi ¡ i + O ln x i=1 n≤x X

Ù¼ h

i

(i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N)

Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ…

x2 lnN+1 x

,

Ď€4 Ď€2 − . h1 = 72 12

߇{ß Ún

4.1.2

Ç‘ ¤½n y², ¡Â‚I‡Xe {ßÚn: Ăšn 4.1.1. ĂŠ?¿¢ê x > 1, Ď€(x) L¤kĂ˜ÂŒu x ÂƒĂŞ ‡ê, KĂŠ?Âż ĂŞ k, ¡Â‚kĂŹCúª: k X

x 1= ci ¡ i + O Ď€(x) = ln x i=1 p≤x X

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c y²: ĂŤ Šz [27] ÂĽ1nĂ™½n 2Š i

x lnk+1 x

1

,

= 1.

57

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? N Ǒ‰½ ĂŞ, KĂŠ?¿‰½ ¢ê x > 1, ¡

Ăšn 4.1.2. ‚kĂŹCúª

N X

x2 F (n) = di ¡ i + O ln x i=1 n≤x X

x2 lnN+1 x

,

Ù¼ d (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… d = Ď€12 . y²: ĂŠ?Âż ĂŞ n, P (n) LÂŤ n  ÂŒÂƒĂ?f. y3¡Â‚½ Ă‚Xe߇8Ăœ: 2

i

1

A = {n : n ≤ x, P (n) ≤

√ n};

B = {n : n ≤ x, P (n) >

√ n}.

n ∈ A ž, d F (n) ½Ă‚N´íĂ‘ F (n) ≪ √n ln n. u´ÂŠ â Abel Ă° (ĂŤ Šz [8] ½n 4.2) ¡Â‚ÂŒ : X

n≤x n∈A

F (n) ≪

X√ n≤x

3

n ln n ≪ x 2 ln x.

(4-1)

ĂŠu8Ăœ B, 5Âż F (n) ÂŒ\5Â&#x;, dĂšn 4.1.1 9 Abel Ă° ¡Â‚k N x x Z xk X x2 p=Ď€ ¡ − Ď€(y)dy = ri ¡ 2 i k k k ln 1 i=1 p≤ x

X

x k

k

Ù¼ r (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… r u´|^Þª¡Â‚Ă˜JĂ­Ă‘ i

1

X

F (n) =

X X

√ x k≤ x k<p≤ k

=

58

"N X X

√ k≤ x



p+O

x2 ri ¡ 2 i k ln i=1

X

F (n) =

n≤x √ p|n, p> n

n∈B

=

X

√ x k≤ x k<p≤ k

+O



k =

x2 k 2 lnN+1

x k

!

,

1 = . 2 X X

(F (k) + p)

√ x k≤ x k<p≤ k

pk≤x p>k

X X

x k

F (pk) =

+O

x2 k 2 lnN+1

X X √

k≤ x

x k

!#

k<p≤ xk

3

p+O

x2 ln x

!

1oĂ™ 'uÂŒ\Ÿê ˜ ÂŻK N X

x2 = di ¡ i + O ln x i=1

x2 lnN+1 x

,

(4-2)

Ù¼ d (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… d (Ăœ (4-1) 9 (4-2) ĂĄÇ‘ ĂŹCúª: i

1

1 π2 = Μ(2) = . 2 12

N X

x2 F (n) = F (n)) + F (n) = di ¡ i + O ln x n≤x n≤x n≤x i=1 X

X

X

n∈A

n∈B

u´y² Ăšn 4.1.2.

x2 lnN+1 x

.

½n 4.1 9½n 4.2 y²

4.1.3

Ăš!¡Â‚|^ Â?{Âą9Š nĂ˜Â‰Ă‘½n 4.1 9½n 4.2 y ². ¡Â‚Ă„ky²½n 4.1. dĂŞ {P (n)} ½Ă‚Âż5¿Š Ă° (ĂŤ Šz [8] ¼½n 3.17) ¡Â‚k d

X

F (Pd (n))

n≤x

d(n) X 1 F n 2 = d(n)F (n) 2 n≤x n≤x X 1 X 1 X = F (mn) = (F (m) + F (n)) = F (n) 2 2 nm≤x nm≤x mn≤x     X X X X X X F (m) ¡  1 . = F (n) + F (n) − 

=

X

√ x m≤ x n≤ m

√ x n≤ x m≤ n

√ m≤ x

√ n≤ x

(4-3)

dĂšn 4.1.2 ¡Â‚k X X √

m≤ x

x n≤ m

F (n) =

X

√

m≤ x N X

"N X

x2 di ¡ 2 i m ln i=1

x2 = ui ¡ i + O ln x i=1

x m

+O

x2 lnN+1 x

,

x2 m2 lnN+1 x

#

(4-4) 59

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Ù¼ u (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… u A^ Abel Ă° 9Ăšn 4.1.2 ¡Â‚k OÂŞ i

1

= d1 ¡ Μ(2) = 



X F (n) X F (n) +O n √ √ n≤ x n≤ x ! 3 x2 = O . ln x

X X

F (n) = x ¡

√ x n≤ x m≤ n

Ď€4 . 72

(4-5)

Ă“ w,Ç‘k OÂŞ  

X

√

m≤ x

 

F (n) ¡ 

X

√ n≤ x



3

x2 1 ≪ . ln x

(4-6)

(Ăœ (4-3), (4-4), (4-5) 9 (4-6) ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ĂŹCúª: N X

x2 F (Pd (n)) = ui ¡ i + O ln x i=1 n≤x X

x2 lnN+1 x

,

Ù¼ u (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… u = Ď€72 . u´y² ½ n 4.1. 5Âż ½n 4.1 ÂżA^Ă“ Â?{¡Â‚Ç‘ÂŒÂą 4

i

X

1

X d(n)

X 1X d(n)F (n) − F (n) 2 2 n≤x n≤x n≤x N N X X x2 x2 x2 ui ¡ i − di ¡ i + O = ln x ln x lnN+1 x i=1 i=1 N X x2 x2 = hi ¡ i + O , ln x lnN+1 x i=1

F (qd (n)) =

n≤x

− 1 F (n) =

Ù¼ h = u − d (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… h u´ ¤ ½n 4.2 y². i

60

i

i

1

=

Ď€4 Ď€2 − . 72 12

1oÙ 'u \¼ê ¯K

4.2

'u \¼ê þ

4.2.1

Ì (Ø

þ !· ïÄ ¼ê F (n) 3 AÏê þ þ 5 , ¼

ü r ìCúª. Ǒù ó ò , !· ļê F (n) ©Ù5 . =Ò´ïÄþ (F (n) − P (n)) þ 5 , ¿|^ {±9 ê©ÙnØ Ñ (F (n) − P (n)) r þ ú ª. äN/`ǑÒ´y²e¡ : ½n 4.3. N Ǒ ½ ê, Ké?¿ ½ ¢ê x > 1, · kìCúª 2

2

X

n≤x

2

(F (n) − P (n)) =

N X i=1

ci ·

x2 lni+1 x

+O

x2 lnN+2

√ x

,

Ù¥ c (i = 1, 2, · · · , N) Ǒ O ~ê c = π6 . ½n 4.3 ¿Â3u§U `²¼ê F (n) Ì 8¥3 ê n Ïfþ. Ïdù &E · Jø ¼ê F (n) ­ å». 2

i

1

½n 4.3 y²

4.2.2

ù!· |^ {±9 ê©ÙnØ Ñ½n 4.3 y ². · æ^©z [3] ¥ g . Äk½Âo 8Ü A, B, C, D Xe: A = {n, n ∈ N, n T k Ïf p ÷v n = kp, p > n , k ¤k Ïf q ÷v q < n }; B = {n, n ∈ N, n k Ïf p ÷v n = p · k, p > n > k}; C = {n, n ∈ N, n kü Ïf p 9 p ÷v n = p p k, p > p > n > k}; D = {n, n ∈ N, n ¤k Ïf p ÷v p ≤ n }, Ù ¥ N L«¤k ê 8. u´d8Ü A, B, C 9 D ½Â 1 3

1 3

2

1 3

2

X

n≤x

1

1

1 3

(F (n) − P (n))2 =

2

1 2

1 3

X

n≤x n∈A

(F (n) − P (n))2 +

X

n≤x n∈B

(F (n) − P (n))2 61

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? +

X

n≤x n∈C

(F (n) − P (n))2 +

X

n≤x n∈D

(F (n) − P (n))2

≥ W1 + W2 + W3 + W4 .

(4-7)

y3¡Â‚|^ Â?{Âą9ƒêŠĂ™nĂ˜5 O (4-7) ÂĽ ˆ‘. Ă„k ¡Â‚ O W . 5Âż F (n) Ç‘ ÂŒ\ŸêÂ… n ∈ A Â… n = pk, k ¤kƒĂ?f q áv q ≤ n ž, F (k) ≤ n ln n Âą9ƒêŠĂ™½n (ĂŤ Šz [27] ÂĽ1nĂ™½n 2) 1

1 3

Ù¼ c

k X

x Ď€(x) = 1= ci ¡ i + O ln x i=1 p≤x X

Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ…

x lnk+1 x

(i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k) c1 = 1. X X = (F (n) − P (n))2 = (F (pk) − p)2 i

W1

1 3

n≤x n∈A

=

,

(4-8)

¡Â‚k OÂŞ:

pk≤x (pk)∈A

X

pk≤x (pk)∈A

F 2 (k) ≪

2

≪ (ln x)

√ x k≤ x k<p≤ k

k≤ x

X

n≤x n∈B

(F (n) − P (n))2 =

X

1

X

k≤x 3 k<p≤

≪

W4 =

X

2

k3

√ k≤ x

X

X

1 k≤x 3

X

n≤x n∈D

x 3 2

√x

k ln x

≪

2 F (p2 k) − p

p2 k≤x p>k

k

3 2

(4-9)

X

(F (k) + p)2 ≪

X

1

X

k≤x 3 k<p≤

√x

p2

k

3 2

x . ln x

(F (n) − P (n))2 ≪

(4-10)

X

n≤x

2

5

n 3 ln2 n ≪ x 3 ln2 x.

(4-11)

 ¡Â‚ OĂŒÂ‘ W . 5Âż n ∈ C ž, n = p p k, Ù¼ p > p n > k. XJ k < p < n , ڍÂœšåu W O. XJ k < p 3

1 3

62

1

1 2

1 3

2

p3

k<p≤ xk

2 3

√

=

2

(pk) 3 ln2 (pk) ≤ (ln x)2

x 5 1 5 3 2 3 k x ≪ x ln x. k ln k

X

W2 =

X X

1

2

1 1

> <

p2

1oĂ™ 'uÂŒ\Ÿê ˜ ÂŻK < n , ڍÂœšåu W O. u´A^ (4-8) ª¡Â‚k

W3

1 3

4

=

X

(F (n) − P (n)) =

n≤x n∈C

=

X

X

X

X

1

k≤x 3 k<p1 ≤

=

1

k≤x 3 k<p1 ≤



√x p

X

√x p

X

1

k≤x 3 k<p1 ≤

X

X

p1 p2 k≤x p2 >p1 >k

X

√x p k

x 1 <p2 ≤ p k 1

N X

√ k<p1 ≤ xk 5 X 2 3 +O x ln x − 1 k≤x 3

X

1

k≤x 3 k<p1 ≤



X +O 

1 k≤x 3

5Âż ¡Â‚k

Ď€2 Îś(2) = , 6 X

1 k≤x 3

=

X

1

k<p1 ≤

=

=

X

√x p k

2



 kp1  x p1 k

X

√ x p2 ≤p1 k 

x 1 <p2 ≤ p k 1

+O

x p1 k lnN+1 x

!

p21

 kp1  .

(4-12)

A^ Abel ð (Í Šz [8] ¼½n 4.2) 9 (4-8) ª X

k<p1 ≤

√x

p21

√x

X

1

p≤p1

k

X

k≤x 3 k<p1 ≤ N X

X

5 3

(F (p1 p2 k) − p2 ) + O x ln x

x ci ¡ p1 k lni i=1

p21

5 p21 + O x 3 ln2 x

x 1 <p2 ≤ p k 1

k

2

5 F 2 (k) + 2p1 F (k) + p21 + O x 3 ln2 x

X

x 2≤ p k 1

k

X +O 

=

X

2

p21

N X ci ¡ p1 i

i=1

k

ln p1

+O

ln

p1 N+1



p1

! 

X ci ¡ p31 p31  X + O   i N+1 ln p ln p √ √ 1 1 1 1 x x i=1 k≤x 3 k<p1 ≤ k k≤x 3 k<p1 ≤ k   N X X X ci ¡ p3 p31  X X 1 + O   √ x lni p1 √ x lnN+1 p1 1 1 i=1 X

X

k≤x 3 p1 ≤

k

k≤x 3 p1 ≤

k

63

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? N X X

=

i=1

3

ci x 2 p π 3 k 2 lni xk

1

k≤x 3



X +O 

1

X

k≤x 3 p1 ≤

i

p31

√ x ln

N+1

p1

k

 

N 2 N X di ¡ x 2 2 ¡x +O , i+1 N+2 ln x ln x i=1

=

Ù¼ d

r Z √ x 3 ! k x ci y − Ď€(y)d k lni y 2 

Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… d

(i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) X

1

X

k≤x 3 k<p1 ≤

√x p k

X

x 1 <p2 ≤ p k 1

kp1 ≪

1 k≤x 3

1

X

k

1

p1 ≤

x

X

1 k≤x 3

=

Ď€2 . 6

√x

p1 ¡

x p1 k ln x

k

3 2

5

x3 √ ≪ . ln2 x k ln2 x

X x2 x2 p1 x ≪ ≪ . √ x k lnN+1 x k 2 lnN+2 x lnN+2 x 1

X

k<p1 ≤

X

k≤x 3

≪ X

(4-13)

(4-14)

(4-15)

k≤x 3

k

Ă“nA^ Abel Ă° , (4-8) ÂŞÂą9 (4-13) y²Â?{¡Â‚Ç‘ÂŒÂą ĂŹ CÂŞ X

1

X

k≤x 3 k<p1 ≤

=

X 1 k 1

k≤x 3

=

N X i=1

ai ¡

√x

p21

x p1 k ln px1 k

k

xp1 x √ x ln kp1

X

k<p1 ≤

x2 lni+1 x

k

+O

x2 lnN+2 x

,

(4-16)

Ù¼ a (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… a = Ď€3 . u´(Ăœ (4-7), (4-9), (4-10), (4-11), (4-12), (4-13), (4-14), (4-15) 9 (4-16) ¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘ĂŹCúª: 2

i

X

n≤x

64

1

2

(F (n) − P (n))

N X

N X di ¡ x 2 x2 = ai ¡ i+1 − +O i+1 N+2 √ ln x ln x ln x i=1 i=1

x2

1oĂ™ 'uÂŒ\Ÿê ˜ ÂŻK =

N X i=1

hi ¡

x2 lni+1 x

+O

x2 lnN+2

√ x

,

Ù¼ h = a − d (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… h Ď€ Ď€ Ď€ − = . u´ ¤ ½n 4.3 y². 3 6 6 2

i 2

i

2

i

1

= a1 − d1 =

65

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

1ÊÙ 'u Smarandache ê 9Ùk'¯ K 5.1

Smarandache

Š

²Â?ĂŞ SP (n) Ăš IP (n) Ăž

½Ă‚ 5.1. ĂŠ?¿šK ĂŞ n, ¡Â‚^ SP (n) LÂŤ n Smarandache  ²Â?ĂŞ, =Ă’´ÂŒu½ u n  ²Â?ĂŞ. ~XTĂŞ A‘Ǒ: 0, 1, 4, 4, 4, 9, 9, 9, 9, 9, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 25, ¡ ¡ ¡ . ½Ă‚ 5.2. ^ IP (n) LÂŤ n Smarandache  ÂŒ²Â?ĂŞ, =Ă’´Ă˜ ‡L n  ÂŒ ²Â?ĂŞ. ڇê A‘Ǒ¾0, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 25, ¡ ¡ ¡ . Sn = (SP (1) + SP (2) + ¡ ¡ ¡ + SP (n)) /n; In = (IP (1) + IP (2) + ¡ ¡ ¡ + IP (n)) /n; p Kn = n SP (1) + SP (2) + ¡ ¡ ¡ SP (n); p Ln = n IP (1) + IP (2) + ¡ ¡ ¡ IP (n).

3Šz [1] ÂĽ, F. Smarandache ÇJĂ‘ Ú߇ê , ¿ïÆ< ╀§ ÂˆÂŤ5Â&#x;, k'Ăš SNĂšk' ¾Í Šz [1]![37]![40] 9 [41]. 3Šz [40] ÂĽ, F Kenichiro Kashihara Ə2gÊÚ߇ê ) , , ӞJĂ‘ ĂŻĂ„4 SI !(S − I )! KL 9 (K − L ) ùÑ5ÂŻK, XJĂ‚Ăą, Âż Ă™4 . 3Šz [41] ÂĽ, ÂƒĂ„gĂŻĂ„

ĂšA‡ÞŠ ĂŹC5ÂŻK, Âż|^ 9)Ă›Â?{y² eÂĄA‡(Ă˜: ½n A. ĂŠu?¿¢ê x > 2, kĂŹCúª n

n

X

n6x

X

n6x

66

n

3 x2 SP (n) = + O x2 ; 2

IP (n) =

3 x2 + O x2 . 2

n

n

n

n

n

1ÊÙ 'u Smarandache ê 9Ùk'¯K dd½náǑíÑe¡ íØ: íØ 1. é?¿ ê n, kìCª S S =1+O n 94 ª lim = 1. I I − 12

n

n

n→∞

n

íØ 2. é?¿ ê n, kìCª K K =1+O n 94 ª lim L L − 12

n

n

n→∞

n

n

n

= 1, lim (Kn − Ln ) = 0. n→∞

, , 'u S − I ìC5¯K, q vk3©z [41] ¥ 9 . , , · Ǒù ¯K´k , Ù Ï3u ¡§ )û ±é© z [40] ¥ ¯K ± £ , xþ ÷ éÒ; , ¡ ±Ǒ xÑü«ê SP (n) 9 IP (n) «O. !Qão®Ú [42] ó , Äu©z [41] ¥ g ¿(ÜÓa Ü¿±9Ø °(?n, ¨ïÄ S − I ìC5¯K, ¼ r ìCúª, äN/` ǑÒ´y² e¡ : ½n 5.1. éu?¿ ê n > 2§· kìCúª n

n

n

n

Sn − In =

4√ n + O (1) . 3

w, ©¥ (J Ö ©z [41] ¥ Øv, Ó ò©z [40] ¥é ê S 9 I JÑ ¤k¯K )û. ,, dd½n· ± íÑe¡ 4 : S −I 4 = . lim (S − I ) = 1 9 lim √ n 3 n

n

n

n→∞

n

1 n

n

n

n→∞

y²: e¡· ^ {9 Euler Úúª (ë ©z [8]) © Oé S 9 I ?1 ~°( O, ª|^ü °( O ѽ n 5.1 y². é?¿ ê n > 2, w, 3 ê M ÷v: M < n 6 (M + 1) , = M = n + O(1). u´k n

n

Sn =

1 2

2

2

1X 1 X 1 SP (k) = SP (k) + n n n 2 k6n

k6M

X

SP (k)

M 2 <k6n

67

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? =

1 X n

X

SP (k) +

h6M (h−1)2 <k6h2

1 n

X

(M + 1)2

M 2 <k6n

1 X 2 1 h − (h − 1)2 h2 + n − M 2 (M + 1)2 n n h6M 1 1 X = 2h3 − h2 + n − M 2 (M + 1)2 n n

=

h6M

M 2 (M + 1)2 M (M + 1) (2M + 1) 1 − + = n − M 2 (M + 1)2 2n 6n n 2 M M (M + 1) (2M + 1) (M + 1)2 = (M + 1)2 − − . (5-1) 6n 2n

Ă“n, Šâ IP (n) ½Ă‚, ¡Â‚Ç‘kOÂŽúª: In

= = = =

1X 1 X 1 X IP (k) = IP (k) + IP (k) n n n 2 k6n k<M 2 M 6k6n X 1 X 1 X IP (k) + M2 n n h6M (h−1)2 6k<h2 M 2 6k6n 1 X 2 1 h − (h − 1)2 (h − 1)2 + n − M2 + 1 M2 n n h6M 1 1 X 2h3 − 5h2 + 4h − 1 + n − M2 + 1 M2 n n h6M

=

=

M 2 (M + 1)2 5M (M + 1) (2M + 1) − 2n 6n n − M2 + 1 M2 2M (M + 1) M − + + n n n 2 2 M (M − 2M − 3) 5M (M + 1) (2M + 1) M2 − − 2n 6n 2M 2 + M + . n

u´d (5-1) 9 (5-2) ÂŞÂŒ Sn − In = (M + 1)2 − 68

M (M + 1) (2M + 1) M 2 (M + 1)2 − 6n 2n

(5-2)

1ÊÙ 'u Smarandache ê 9Ùk'¯K

M 2 (M 2 − 2M − 3) 5M (M + 1) (2M + 1) 2M 2 + M − M − − + 2n 6n n 3 2M + 7M = 2M + 1 − . (5-3) 3n 2

5Âż M = n

1 2

+ O(1),

Sn − In = 2M −

d (5-3) ª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘

2M 4 4√ + O(1) = M + O(1) = n + O(1). 3 3 3

u´ ¤ ½n 5.1 y².

Smarandache 3n-digital

5.2

ĂŞ

½Ă‚ 5.3. ĂŠ?Âż ĂŞ n, Ă?Âś Smarandache 3n-digital ĂŞ {a } ½Ă‚Ç‘: {a } = {13, 26, 39, 412, 515, 618, 721, ¡ ¡ ¡ }. =, ĂŠ? Âż ĂŞ b ∈ {a }, §ÂŒ¹ŠÇ‘ĂźÂ‡ĂœŠ, Ù¼1 ĂœŠ´1Â˜ĂœŠ 3 . ~X, a = 2884, a = 35105, a = 104312, ¡ ¡ ¡ . 3Šz [1] ÂĽ F. Smarandache ïÆ¡Â‚ĂŻĂ„ĂŞ {a(n)} 5Â&#x;. ' uĂšÂ˜ĂŞ ÊþÆ܎²?1 ĂŻĂ„Âż ˜X ¤J. 3Šz [43] ÂĽ, Š¥¹Ăš [ ĂŻĂ„ ĂšÂ˜ĂŞ ފ¯K, ‰Ñ Âąe½n: ½n 5.2. ĂŠ?¿¢ê N > 1, kĂŹCúª n

n

n

28

35

104

X n 3 = ¡ ln N + O (1) . an 10 ln 10

n≤N

y²: ¡Â‚^ Â?{ ¤½n y². Ă„k, ĂŠ?Âż ĂŞ n, - 3n = b b ¡ ¡ ¡ b b , Ù¼ 1 ≤ b ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k(n) − 1. d a ½Ă‚ÂŒ a ÂŒ Ç‘: 2 1

k(n) k(n)−1

n

u´k

k(n)

i

n

an = n ¡ 10k(n) + 3n = n ¡ (10k(n) + 3). X n X 1 = . k(n) an 10 + 3 n≤N n≤N

69

'uSmarandache¯KïÄ #? w,e N ≤ 3, K

X n 3 − log10 N an 10

n≤N

´Â˜Â‡~ĂŞ. Ă?d, Ă˜Â”Â˜Â„5, ¡Â‚b N > 3. dž, 3 ĂŞ M 33 ¡ ¡ 33} < N ≤ 33 ¡ ¡ 33} . | ¡{z | ¡{z M

M+1

5Âż , ĂŠ?Âż ĂŞ n, e

33 ¡ ¡ 33} < n ≤ |33 ¡{z ¡ ¡ 33}, | ¡{z

u u−1 ¡ ¡ ¡ b2 b1 .

X n an n≤N X 1 n≤3

10 + 3

+

=

=

X

3<n≤33

1 + 2 10 + 3

M

X

33<n≤333

1

33 ¡ ¡ 33}<n≤33 ¡ ¡ 33} | ¡{z | ¡{z M−1

=

u´k

X

+

=

u

u−1

K 3n = b b =

10M

+3

+

1 + ¡¡¡ +3 X

103

33 ¡ ¡ 33}<n≤N | ¡{z

1 10M+1

+3

M

M

30 300 3 ¡ 10M−1 N − 10 3 −1 3 + 2 + 3 + ¡¡¡ + + M+1 10 + 3 10 + 3 10 + 3 10M + 3 10 +3 M 2 3 M N − 10 3 −1 3 10 10 10 10 + + + ¡¡¡ + M + M+1 10 10 + 3 102 + 3 103 + 3 10 + 3 10 +3 3 3 3 3 1− + 1− 2 + 1− 3 + ¡¡¡ 10 10 + 3 10 + 3 10 + 3 M N − 10 3 −1 3 + 1− M + M+1 10 + 3 10 +3 3 3 3 3 3 M− + + + ¡¡¡ + M 10 10 + 3 102 + 3 103 + 3 10 + 3 M

N − 10 3 −1 + M+1 10 +3

M M N − 10 3 −1 3 9 X 1 = ¡M − ¡ + M+1 10 10 i=1 10i + 3 10 +3

70

(5-4)

1ÊÙ 'u Smarandache ê 9Ùk'¯K =

3 ¡ M + O(1). 10

(5-5)

y3¡Â‚5 O M , d (5-4) ÂŞÂŒ 10M − 1 < 3N ≤ 10M+1 − 1 1 1 M ln 10 + ln 1 − M < ln(3N) ≤ (M + 1) ln 10 + ln 1 − M+1 10 10 1 ) ln(3N) ln(1 − 101M ) ln(3N) ln(1 − 10M+1 − −1≤M < − . ln 10 ln 10 ln 10 ln 10 1 N → +∞ , ln(1 − 10M+1 ) âˆź 101M , ln(1 − 101M ) âˆź 101M .

5Âż

ž

ln 3N −1−O ln 10

Ă? ,

1 10M

(ĂœdÂŞĂš (5-5) ÂŞ, ĂĄÇ‘Ă­Ă‘

ln 3N ≤M < −O ln 10

1 10M

.

X n 3 = ¡ ln N + O (1) . an 10 ln 10

n≤N

ÚÒ ¤ ½n y². 'uĂšÂ˜ĂŞ , ĂœŠ+ DŽJĂ‘ XeĂ&#x;ÂŽ: Ă&#x;ÂŽ. 3 Smarandache 3n-digital ĂŞ ÂĽĂ˜ 3 ²Â?ĂŞ. =, Â? § an = m2

(5-6)

vk ĂŞ). 3Šz [44] ÂĽ, əïÄ ĂšÂ˜ÂŻKÂży² : n ´ ²Â?ĂŞ Ăš ²Â?Ă?fêž, a Ă˜´ ²Â?ĂŞ. ĂŠĂ™{ ĂŞ n, ĂœŠ+ Ç Ă&#x;ÂŽ´Ă„ (E´Â˜Â‡Ăşm ÂŻK.  C, ² [45] ĂŠĂšÂ˜ÂŻK?1

ĂŻĂ„, ?Â˜ĂšĂœŠ)Ăť ĂšÂ˜Ă&#x;ÂŽ, =‰Ñ eÂĄ ½n: ½n 5.3. Â?§ (5-6) k ĂŞ), Â…Ă™ĂœŠ)ÂŒLÂŤÇ‘: n

n=

n12 ¡ (10p (p−1) i+k0 + 3) , p2 71

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? √ √ 30 p 3p + 3), < n1 < , i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ . 30 3

Ù¼ p | (10 ½n 5.4. ĂŠ?Âż ĂŞ k ≼ 1, 3 Smarandache kn-digital ĂŞ {a (n)} ÂĽ 3  Â‡ ²Â?ĂŞ. Ù¼, Â?§ a (n) = m ĂœŠ) ÂŒLÂŤÇ‘ 2

p (p−1) i+k0

k

2

k

Ù¼

n12 ¡ (10p (p−1) i+k0 + k) n= , p2 √ √ 10 k p kp < n1 < , i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ . p2 | (10p (p−1) i+k0 + k), 10 k k

d¹Þ ½n´ Ă‘ÂąeĂ­Ă˜: Ă­Ă˜ 5.2.1. ĂŠ?Âż ĂŞ b, e b

2

| (10k0 + 3),

KÂ?§ (5-6) )Ç‘

n12 ¡ (10k0 + 3) n= , b2

Ù¼

√ √ 30 b 3b < n1 < . 30 3

Ç‘

Ă­Ă˜ 5.2.2. ĂŠ?Âż ĂŞ b, e b n=

Ù¼

√ √ 10k b kb < n1 < . 10k k

2

| (10k0 + k),

K�§ (5-6) )

n12 ¡ (10k0 + k) , b2

Ç‘ ¤½n y², ¡Â‚I‡¹eA‡Ún: Ăšn 5.2.1. ĂŠÂƒĂŞ p, e p | (10 + 3), K p 2

k0

2

i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ .

| (10p (p−1) i+k0 + 3),

y²: ´ p | (10 +3) ž, (p 6= 2, 5), u´ (10, p ) = 1. d Euler ½n, 10 ≥ 1 (mod p ). 5Âż p | (10 + 3), u´ 10 ≥ −3 (mod p ), Ù¼ i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ , l p | (10 + 3), Ù¼ i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ . k

φ(p2 )

2

2

p (p−1)i+k0

2

72

p (p−1)i+k0

2

2

k0

1ĂŠĂ™ 'u Smarandache ĂŞ 9Ă™k'ÂŻK ÚÒ ¤ Ăšn 5.2.1 y². Ăšn 5.2.2. ĂŠÂƒĂŞ p, e p ∤ (10 − 1), K 3˜‡ ê p δ 10 ≥ 1 (mod p ). y²: - δ = min{ d : 10 ≥ 1 (mod p), d | ( p − 1 ) }. Ă?Ç‘ p ∤ (10 − 1), ¤¹ p ∤ (10 − 1) Â… 2

pδ

p−1

2

d

p−1

2

2

δ

1 + 10δ + 102δ + ¡ ¡ ¡ + 10(p−1)δ ≥ p ≥ 0 (mod p), (10δ − 1) (10(p−1)δ + 10(p−2)δ + ¡ ¡ ¡ + 10δ + 1) ≥ 10p δ − 1 ≥ 0 (mod p2 ).

XJ 3,˜‡ ĂŞ u p | (10 − 1) Â… u < p δ, K δ < u < p δ. w, δ | u. - u = k δ(1 < k < p), Ă?Ç‘ 1+10 +10 +¡ ¡ ¡+10 ≥ k 6≥ 0 (mod p), ¤¹ p ∤ (1 + 10 + 10 + ¡ ¡ ¡ + 10 ), Â… p ∤ (10 − 1), u´k p ∤ (10 − 1)(1 + 10 + 10 + ¡ ¡ ¡ + 10 ), = p ∤ (10 − 1), gĂą. ÚÒ ¤ Ăšn 5.2.2 y². Ăšn 5.2.3. 3ÂƒĂŞ p Ăš ĂŞ k p | (10 + 3). y²: ĂŠ?Âż ĂŞ k, ò k ŠÇ‘Xen‡m: A = {k | 10 + 3 = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼– 3Â˜Â‡Îą ≼ 2, 1 ≤ i ≤ r}, B = {k | 10 + 3 = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼– 3˜‡p , 1 ≤ i ≤ ráv p ∤ (10 − 1)}, C = {k | 10 + 3 = p p ¡ ¡ ¡ p , ĂŠ?Âż p , 1 ≤ i ≤ r, áv p | (10 − 1)}. ¡Â‚Š¹eAÂŤÂœš5?Ă˜: Âœš 1. XJ k ∈ A, K 3˜‡ ĂŞ Îą ≼ 2 (1 ≤ i ≤ r), u ´ p | (10 + 3). Ăšn 5.2.3 y. Âœš 2. XJ k ∈ B, 3 p , p , . . . , p ¼– 3Â˜Â‡ÂƒĂŞ p, p ∤ (10 − 1). ´ p | (10 + 3) Â… (p, 10) = 1. dĂšn 5.2.2 , p ∤ (10 − 1) Â… 10 ≥ −3(mod p), Ù¼ i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k ≥ k (mod δ). ĂŠ?Âż i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ , p − 1, 10 p + 3 H{ p Â?{X. 2

u

δ

δ

2

δ

2δ

δ

2δ

Îą1 Îą2 1 2

k

2 i

(k−1)δ

(k−1)δ

2

(k−1)δ

kδ

k0

Îąr r

1 2

δ

2

2

0

k

2δ

i

r

i

p−1

k

1 2

r

2 i

i

p−1

i

2 i

k

1

2

2

p−1

2

r

k

δ

δ i+k1

1

δ i+k1

73

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? d , e 3 i, j 10 p + 3 ≥ 10 p + 3 (mod p), Ă™ ÂĽ 0 ≤ i < j < p − 1, K p | 10 (10 − 1), u´ p | (10 − 1). =, 10 ≥ 1 (mod p ), 1 ≤ j − i ≤ p − 1. dĂšn 5.2.2 , p δ ´/ X 10 ≥ 1 (mod p ) ÂĽ  ê, Â… p δ | δ(j − i), = p | (j − i), gĂą. u´¡Â‚ ˜‡ i (0 ≤ i < p−1) 10 p + 3 ≥ 0 (mod p), = p | (10 + 3), Â…e k = δ i + k , K δ i+k1

2

δ(j−i)

δ i+k1

δ j+k1

δ(j−i)

2

δ(j−i)

2

pδ

2

δ i0 +k1

0

2

0

δ i0 +k1

0

0

1

p2 | (10k0 + 3).

Âœš 3. ĂŠ?ÂżÂƒĂŞ p, 3 p , p , . . . , p ÂĽ, XJ k ∈ C Â… p | (10 − 1), K 10 + 3 ≥ 10 + 3 (mod p ) (j = 0, 1, ¡ ¡ ¡ ). =, p ∤ (10 + 3), j = 0, 1, ¡ ¡ ¡ . nĂž, ´ A 6= Ă˜ ½ B 6= Ă˜. d , k ∈ C Â… 10 + 3 = p p ¡ ¡ ¡ p . ĂŠ?Âż p (1 ≤ i ≤ r), p | (10 − 1). Ú´Ă˜ÂŒU . ~X, k = 34 ž 49 | (10 + 3), k ∈ A. k = 1 ž k ∈ B, ÚÒ ¤ Ăšn 5.2.3 y². ½n y²: e¥¡Â‚ò ¤½n y². Ă„k, y²½n 5.3. - n ´ k ?› ĂŞ, u´l {a } ½Ă‚ , 1

p−1

2

(p−1)j+k

2

2

r

k

2

(p−1)j+k

k

1 2

r

2 i

i

pi −1

34

n

an = n ¡ (10k+1 + 3),

½

an = n ¡ (10k+2 + 3).

(ĂœĂ‰Â™ [44] (J, N´ Ă‘Âąe(Ă˜: XJ 10 +3 ½ 10 +3 ´Â˜Â‡ ²Â?Ă?fĂŞ, K a Ă˜´Â˜Â‡ ²Â?ĂŞ. l , e a ´Â˜Â‡ ²Â?ĂŞ, K 10 + 3 ½ 10 + 3 7L´²Â?ĂŞ. y3, ¡Â‚Ă?L²Â? ĂŞ 10 + 3 ½ 10 + 3 EÂ?§ (5-6) ĂŞ). lĂšn 5.2.1 ÚÚn 5.2.3 , 3ÂƒĂŞ p Ăš ĂŞ k p | (10 + 3), Ù¼ i = 0, 1, 2, . . . . k+1

k+2

n

k+1

k+1

n

k+2

k+2

0

2

74

p (p−1) i+k0

1ÊÙ 'u Smarandache ê 9Ùk'¯K e

10p (p−1) i+k0 + 3 , p2 √ √ 30 p 3p 3 n2 < n1 < ), 3n = 21 ¡(10p (p−1) i+k0 +3), 30 3 p n = n12 ¡

=

1 3 n2 < 21 < 1 ( 10 p

u´

K

10p (p−1) i+k0 + 3 ¡ (10p (p−1) i+k0 + 3) p2 10p (p−1) i+k0 + 3 2 = n12 ¡ p2 ¡ ( ) . p2

an = n12 ¡

e

10p (p−1) i+k0 + 3 m = n1 ¡ , p

Ù¼

√ √ 30 p 3p i = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ , < n1 < , 30 3 (5-7) 5.3 .

u´ (5-7) ´Â?§ (5-6) ), ÚÒ ¤ ½n y² ^aq Â? {=ÂŒy²½n 5.4.

75

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ 6.1

Â?šÂ– Smarandache ŸêĂš Smarandache LCM Ÿê Â?§

31 Ă™¼¡Â‚‰Ñ Smarandache LCM Ÿê ½Ă‚, =ĂŠ? Âż ĂŞ n, SL(n) ½Ă‚Ç‘ ê k, n | [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k], Ăš p [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k] LÂŤ 1, 2, ¡ ¡ ¡ , k  ú ĂŞ. Ă˜J y, n I OŠ)ÂŞÇ‘ n = p p ¡ ¡ ¡ p ž, Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

SL(n) = max{pι1 1 , pι2 2 , ¡ ¡ ¡ , pιk k }.

e¥¡Â‚0 ÂąeڇŸê: ½Ă‚ 6.1. – Smarandache Ÿê Z(n) ½Ă‚Ç‘ ê k, n | k(k 2+ 1) , =

m(m + 1) Z(n) = min m : m ∈ N, n | 2

.

'uڇŸê 5Â&#x;, Ç‘,¡Â‚–8 Ă˜Ăľ, ÂŽĂĄĂš Ă˜ ÆÜ?1ĂŻĂ„, ¿Ÿ ˜ kdŠ ĂŻĂ„¤J. ~X, Kenichiro Kashihara Ăš David Gorski ĂŻĂ„ Ÿê Z(n) 5Â&#x;, ¿…y² ˜

k (JÂľ ĂŠ?Âż ÂƒĂŞ p ≼ 3, Z(p) = p − 1; ĂŠ?Âż ÂƒĂŞ p ≼ 3 Ăš?Âż k ∈ N, Z(p ) = p − 1; ĂŠ?Âż k ∈ N, Z(2 ) = 2 − 1; ĂŠ?Âż ĂŞ k > 0, XJ n Ă˜ULÂŤÇ‘ 2 /ÂŞ, o Z(n) < n. oçï [46] ĂŻĂ„ Â?§ k

k

k

k+1

k

Z(n) = SL(n), Z(n) + 1 = SL(n)

ÂŒ)5, Âż|^ 9)Ă›Â?{Âź Ú߇Â?§ ¤k ĂŞ). äN/`Ç‘Ă’´y² e¥ß‡(Ă˜: 76

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § ½n 6.1. é?¿ ê n > 1, § Z(n) = SL(n)

¤á = n = p · m, Ù¥ p ǑÛ ê, a ≥ 1, 9 m Ǒ p 2+ 1 ? ¿ u 1 Ïê. ½n 6.2. é?¿ ê n > 1, § a

a

Z(n) + 1 = SL(n)

¤á = n = p · m, Ù¥ p ǑÛ ê, a ≥ 1, 9 m Ǒ p 2− 1 ? ¿Ïê. y²: ±e· ò ѽn y². Äk· y²½n 6.1. n = 1, w,k Z(n) = SL(n). ² y n = 2, 3, 4, 5 , n Ø÷ v § Z(n) = SL(n), u´b½ n ≥ 6 ÷v § Z(n) = SL(n), Ø n = p p · · · p Ǒ n IO©)ª, p < p < p · · · < p , ¿ - Z(n) = SL(n) = k, d¼ê Z(n) 9 SL(n) ½Â k ´ ê n ÷ve¡ ü ت: a

a

a1 a2 1 2

ar r

1

n | [1, 2, · · · , k], n |

2

3

r

k(k + 1) . 2

d ¼ ê SL(n) 5 : é ? ¿ ê n, k SL(n) = max {p , p , · · · , p }, dd ±íÑ k = p . I. k ´Ûê : (1) a = 1, ´ Z(n) = SL(n) = p, â SL(n) þã5 , - n = p · m, m = p p · · · p , Ù¥ a ≥ 0 p ≥ p , i = a1 1

a2 2

ar r

a

a1 a2 1 2

ai i

i

ai i

1, 2, 3, · · · , r − 1.

d w,k SL(n) = p, qk n | k(k 2+ 1) , , p · m | p(p 2+ 1) ,

= m | p +2 1 . m = 1 , n = p, Z(p) = p − 1, SL(p) = p w, Z(n) 6= SL(n), ¤± m = 1 Ø÷v §. m 6= 1 , SL(p · m) = p Z(p · m) = p, ù´ÏǑ m Ø p(p − 1) Ø 2 , ÄK m | p +2 1 gñ. 77

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ¤¹ Z(m ¡ p) = SL(m ¡ p) = p, n = p ¡ m, m | (p +2 1) Â… m > 1. (2) a 6= 1, ¡Â‚k Z(n) = SL(n) = p , Ă“nÂŒ- n = p ¡m , m = p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ a ≼ 0 Â… p ≼ p , i = 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ , r − 1. d (1) , a

pa11 a22

ai i

i

a

a

1

1

ai i

pa + 1 m1 | , 2 m1 = 1 , n = pa , Z(pa ) = pa − 1, SL(pa ) = pa , Z(n) 6= SL(n), m1 = 1 . a m1 6= 1 , SL(p ¡m1 ) = pa Z(pa ¡m1 ) = pa , m1 a a a p (p − 1) p − 1 pa + 1 , (m1 , pa ) = 1, , m1 | m1 | , , 2 2 2 . (pa + 1) Z(pa ¡ m1 ) = SL(pa ¡ m1 ), n = pa ¡ m1 , m1 | 2 m1 > 1. II. k : Z(n) = SL(n) = k, k = pa : 2Ă—3 (1) a = 1, Z(n) = SL(n) = 2, n| , n | 3, 2 n=1 n = 3, n≼6 . p=2 , . a a (2) a 6= 1, Z(n) = SL(n) = 2 , n = 2 ¡m2 , m2 = a1 a2 ai ai a p1 p2 ¡ ¡ ¡ pi , ai ≼ 0 2 ≼ pi , i = 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ , r − 1. : a a a 2 (2 − 1) (2 − 1) , . 2a m | m| 2 2 a m=1 ,n=2 , Z(2a ) = 2a+1 − 1, SL(2a ) = 2a , 2a+1 − 1 = 2a , a = 0, n = 1, n≼6 . p=2 . m 6= 1 , SL(2a ¡ m) = 2a , Z(2a m) = 2a , a a 2 (2 − 1) , Z(n) : 2a m | 2m | 2a − 1, . 2 p = 2a .

ž w, ¤¹ Ă˜ávÂ?§ ž Â… Ú´Ă?Ç‘ Ă˜ Ă˜ Ă„K d ´ چ gĂą ¤¹ Â… ´óêž d ¡Â‚k du = ½ w,چ gĂą ¤¹ ž Â?§ ) ¡Â‚k Ă“nÂŒĂ™ÂĽ Â… XÞã = ž w,k ‡á = چ gĂą ¤ vÂ?§7Lk Âą Â?§ ) ž w, ‡ávÂ?§I‡ d ½Ă‚ u´k w,Ă˜¤å ¤¹ Â?§ ) y3y²½n 6.2. †½n 6.1 y²Â?{ƒq, ĂšpÂ?Â‰Ă‘ÂŒV y²L§. w, n = 1, 2 Ă˜ávÂ?§ Z(n) + 1 = SL(n). u´b½ n ≼ 3 ž…ávÂ?§ Z(n) + 1 = SL(n), Ă˜Â” n = p p ¡ ¡ ¡ p Ç‘ n IO Š)ÂŞ, Âż- Z(n) + 1 = SL(n) = k, dŸê Z(n) 9 SL(n) ½Ă‚ÂŒ k ´ ê n áveÂĄ ߇ Ă˜ÂŞ: a1 a2 1 2

n | [1, 2, ¡ ¡ ¡ , k], n | 78

k(k − 1) . 2

ar r

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ dŸê SL(n) 5Â&#x;: ddÂŒ¹íĂ‘ k = p I. k ´Ă›ĂŞÂž: (1) a = 1, ¡Â‚k Z(n) + 1 = SL(n), Šâ SL(n) Þã5 Â&#x;, ÂŒ- n = p ¡ m, m = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ a ≼ 0 Â… p ≼ p , i = a

a1 a2 1 2

ai i

ai i

i

1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ , r − 1.

džw,k SL(n) = p, qk n | k(k 2− 1) , ÂŒ , p ¡ m | p(p 2− 1) ,

= m | p −2 1 . m = 1 ž, n = p, Z(p − 1) = p − 1, SL(p) = p, w, Z(n) + 1 = SL(n), ¤¹ m = 1 ávÂ?§. m 6= 1 ž, SL(p ¡ m) = p Â… Z(p ¡ m) = p − 1, Ú´Ă?Ç‘d pm | p(p − 1) Z(n) ≤ p − 1, Šâ Z(n) 5Â&#x;: Z(n) ≼ max{Z(m) : 2 m | n}, ´ Z(n) ≼ Z(p) = p − 1, Z(p) = p − 1. džávÂ? § Z(n) + 1 = SL(n). (2) a 6= 1, ¡Â‚k Z(n) + 1 = SL(n) = p , Ă“nÂŒ- n = p ¡m , m = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ a ≼ 0 Â… p ≼ p , i = 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ , r−1. džw,k SL(p) = p Ăš m | p 2− 1 . m = 1 ž, n = p , Z(p ) = p − 1, SL(p ) = p , w, Z(n)+1 = SL(n), ¤¹ m = 1 ávÂ?§. m 6= 1 ž, SL(p ¡ m ) = p Â… Z(p ¡ m ) = p − 1, Ú´Ă? Ç‘d p m | p (p 2− 1) , Z(n) ≤ p − 1, Šâ Z(n) 5Â&#x;: Z(n) ≼ max{Z(m) : m | n}, ´ Z(n) ≼ Z(p ) = p − 1, Z(p ) = p − 1. d žávÂ?§ Z(n) + 1 = SL(n). II. k ´óêž: d Z(n) + 1 = SL(n) = k, k = p : 1Ă—2 , n=1 (1) a = 1, ¡Â‚k Z(n) + 1 = SL(n) = 2, du n | 2 † n ≼ 3, gĂą. w,Ă˜ávÂ?§. ¤¹ p = 2 ž, Â?§ ). (2) a 6= 1, ¡Â‚k Z(n) + 1 = SL(n) = 2 , Ă“nÂŒ- n = 2 ¡m , m = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ a ≼ 0 Â… 2 ≼ p , i = 1, 2, 3, ¡ ¡ ¡ , r−1. XÞã : 2 m | 2 (2 2− 1) , = m | (2 2− 1) . ¤¹ p = 2 ž, Â?§ ). nĂœ¹ÞAÂŤÂœš, ¡Â‚ĂĄÇ‘ ¤½n 6.2 y². a

a

1

a1 a2 1 2

1

ai i

i

a

1

a

1

ai i

a

a

a

a

a

a

1

a

1

a

a

a

a

1

a

a

1

a

1

a

a

a

a

a

a

a

2

2

a

a1 a2 1 2 a

a

ai i

i

a

a

ai i

'u– Smarandache Ÿê Z(n) Ăš Smarandache LCM Ÿê SL(n), 79

'uSmarandache¯KïÄ #? Ç! [47] ǑéÙ?1 ïÄ, ¿ Ñ § Z(n) + SL(n) = n

¤k ê), = Ñ e¡ ½n: ½n 6.3. é?¿ ê n, § Z(n) + SL(n) = n

¤k ê) L«Ǒ: n = 2 p , Ù¥ p > 2 ´ ê, k Ú α ´÷v ±e^ ê: 1. 2 > p , p | (2 − 1). 2. 2 < p , 2 | (p − 1), 2 ∤ (p − 1). y²: e¡· ò^ {¿(ÜÓ{g ¤½n y². w, n = 6 ´ § Z(n) + SL(n) = n ). y3· b ½ n = 2 · s, Ù¥ s ǑÛê, e¡©A« ¹5?Ø: (a). e n ǑÛê, K k = 0, n = s. (1) - s = 1, K Z(1) = 1, SL(1) = 1. u´ Z(1) + SL(1) = 2 6= 1. (2) - s = p, p ´Û ê, K SL(p) = p, Z(p) = p − 1. u´ k α

k

α

α

k

k

α

k

α

k+1

α

k

Z(p) + SL(p) = 2p − 1 6= p.

´Û ê Ǒ ê u´ l k Ù¥ ê ´ ê =

(3) s = pα , p ,α , SL (pα ) = pα , Z(pα ) = Z(pα ) + SL(pα ) = 2pα − 1 6= pα . pα − 1. (4) s = pα · pα1 1 pα2 2 · · · pαr r , p, p1 , p2 , · · · , pr ,α α ,p s . ,

´Û ê Ǒ

pα = max {pα , pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαr r } .

- p p · · · p = t, K s = p · t. u´ SL(n) = p . e Z(n) = n − SL(n) = p (t − 1), d Z(n) ½Â , α1 α2 1 2

αr r

α

α

α

pα · t |

pα (t − 1)[pα (t − 1) + 1] . 2

t | (p − 1). d , e m = p − 1, Ó n = p · t Ø m(m2+ 1) . 5¿ p − 1 < p (t − 1). Ï 3d ¹e § ). α

α

α

80

α

α

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ d (1)-(4) ÂŒ Â?§ Ûê). (b). e n Ç‘óê, K k 6= 0. (1) - s = 1, K n = 2 , u´ Z(2 ) = 2 − 1, SL(2 ) = 2 . l k

k

k+1

k

k

Z(2k ) + SL(2k ) = 3 ¡ 2k − 1 6= 2k .

- s = p, K n = 2 ¡ p, p Ç‘Ă›ÂƒĂŞ, k Ç‘ ĂŞ. dž, e 2 > p, K SL(n) = 2 , eáv Z(n) + SL(n) = n, K k

(2)

k

k

Z(n) = m = n − SL(n) = 2k p − 2k = 2k (p − 1).

d Z(n) ½Ă‚ÂŒ ,

2k ¡ p |

2k (p − 1)(2k (p − 1) + 1) . 2

u´ÂŒ p | (2 − 1). y3¡Â‚5y² m = 2 (p − 1) ´áv Z(n) ½Ă‚  ÂŠ. d Z(n) 5Â&#x; , Z(n) ≼ 2 − 1, Â… Z(n) ÂŒU p−1 Š0u 2 − 1 Ăš 2 ¡ 2 ƒm, kXeߍ: k

k

k+1

k+1

k+1

p−1 − 1. 2 p−1 2k+1 ¡ s1 − 1, s1 ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , }. 2

A. 2k+1 − 1, 2k+1 ¡ 2 − 1, ¡ ¡ ¡ , 2k+1 ¡

PĂš|ĂŞÇ‘

Œ 1 ≤ 2s

1

B. 2

k+1

, 2

k+1

PĂš|ĂŞÇ‘

2k+1 ¡ s1 − 1 ≥ 2s1 − 1 (mod p). − 1 ≤ p − 2.

¡ 2, ¡ ¡ ¡ , 2

k+1

u´ p ∤ (2 p−1

k+1

¡(

¡ s1 − 1).

− 1). 2 p−1 2k+1 ¡ s2 , s2 ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , − 1}. 2 2k+1 ¡ s2 ≥ 2s2 (mod p).

ÂŒ 2 ≤ 2s ≤ p − 3. u´ p ∤ 2 ¡ s . e 2 < p, K SL(n) = p, eáv Z(n) + SL(n) = n, K 2

k+1

2

k

Œ

Z(n) = m = n − SL(n) = p(2k − 1). n = 2k ¡ p |

p(2k − 1)(p(2k − 1) + 1) . 2 81

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Ă? , 2 | [(2 − 1)p + 1]. =, 2 | (p − 1), 2 ∤ (p − 1). ey m = p(2 − 1) ´áv Z(n) ½Ă‚  ÂŠ. d Z(n) 5Â&#x; , Z(n) ≼ p − 1, Z(n) 3 p − 1 Ăš p(2 − 1) ƒm ÂŒUŠǑ: C. p − 1, p ¡ 2 − 1, ¡ ¡ ¡ , p ¡ (2 − 1) − 1. PĂš|ĂŞÇ‘ p ¡ s − 1, s ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , 2 − 1}. k+1

k

k

k+1

k

k

k

1

k

1

p ¡ s1 − 1 ≥ s1 − 1 (mod 2k ).

ÂŒ 0 ≤ s − 1 ≤ 2 − 2. s − 1 = 0 ž, s | (p − 1). l gĂą. 2 ∤ (p ¡ s − 1). D. p, p ¡ 2, ¡ ¡ ¡ , p ¡ (2 − 2). PĂš|ĂŞÇ‘ p ¡ s , s ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , 2 − 2}. k

1

2

k+1

1

1

k

= 1,

u´ m = p − 1,

1

k

2

k

2

p ¡ s2 ≥ s2 (mod 2k ).

ÂŒ 1 ≤ s ≤ 2 − 2. u´ 2 ∤ p ¡ s . (3) - s = p , n = 2 ¡ p , p Ç‘Ă›ÂƒĂŞ, k !Îą Ç‘ ĂŞ. dž, e 2 > p , K SL(n) = 2 . Z(n) + SL(n) = n ž, ÂŒ Z(n) = m = n − SL(n) = 2 (p − 1). d Z(n) ½Ă‚ , k

2 Îą

k

k

k

2

Îą

Îą

k

k

2k ¡ pι |

Îą

2k (pÎą − 1)(2k (pÎą − 1) + 1) . 2

Ă?d p | (2 − 1). ey m = 2 (p − 1) ´áv Z(n) ½Ă‚  ÂŠ . d Z(n) 5Â&#x;, p −1 k Z(n) ≼ 2 − 1, Z(n) 3 2 − 1 Ăš 2 ¡ 2 ƒm ÂŒUŠk: Îą

k

k

Îą

k+1

k+1

k+1

Îą

pÎą − 1 − 1. 2Îą p −1 }. 2k+1 ¡ s1 − 1, s1 ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , 2

A. 2k+1 − 1, 2k+1 ¡ 2 − 1, ¡ ¡ ¡ , 2k+1 ¡

PĂš|ĂŞÇ‘

Œ 1 ≤ 2s

1

2k+1 ¡ s1 − 1 ≥ 2s1 − 1 (mod pÎą ). − 1 ≤ pÎą − 2.

u´ p p −1

B. 2k+1, 2k+1 ¡ 2, ¡ ¡ ¡ , 2k+1 ¡ (

PĂš|ĂŞÇ‘

Îą

Îą

∤ (2k+1 ¡ s1 − 1).

− 1). 2 Îą p −1 2k+1 ¡ s2 , s2 ∈ {1, 2, ¡ ¡ ¡ , − 1}. 2 2k+1 ¡ s2 ≥ 2s2 (mod pÎą ).

82

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § 2 ≤ 2s ≤ p − 3. u´ p ∤ 2 · s . e 2 < p , K SL(n) = p , d Z(n) + SL(n) = n íÑ Z(n) = m = n − SL(n) = p 2 − 1 . Ï , α

2

k

α

k+1

2

α

α

k

pα 2k − 1 (pα 2k − 1 + 1) n=2 ·p | . 2 k

α

dd´íÑ 2 | (p − 1) 2 ∤ (p − 1). ey m = p (2 − 1) ´÷v Z(n) ½Â . d Z(n) ½Â, k Z(n) ≥ p − 1, Z(n) 3 p − 1 Ú p (2 − 1) m U Ǒ: C. p − 1, p · 2 − 1, · · · , p · (2 − 1) − 1. Pù|êǑ p · s − 1, s ∈ {1, 2, · · · , 2 − 1}. k

α

α

k+1

α

k

α

α

α

α

α

α

α

1

k

k

k

1

pα · s1 − 1 ≡ s1 − 1 (mod 2k ).

0 ≤ s − 1 ≤ 2 − 2. s − 1 = 0 , s = 1, m = p | (p − 1). dd· gñ. Ï 2 ∤ (p · s − 1). D. p , p · 2, · · · , p · (2 − 2). Pù|êǑ p · s , s ∈ {1, 2, · · · , 2 − 2}. k

1

2

k+1

1

α

α

k

α

α

α

2

α

1

α

− 1,

1

k

k

2

pα · s2 ≡ s2 (mod 2k ).

1 ≤ s ≤ 2 − 2. u´ 2 ∤ p · s . (4) - n = 2 · s, Ù¥ s = p · p p · · · p , p, p , p , · · · , p ´ Û ê, α Ǒ ê, p ´ s ê . =, 2 k

k

k

α

α

2

α1 α2 1 2

αr r

1

2

r

α

pα = max {pα , pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαr r } .

3ù« ¹e, · y²e n k n ØÓ Ïf , § Z(n)+ SL(n) = n ). - a = 2 · p p · · · p , K n = 2a · p , α ≥ 1, (2a, p ) = 1, p Ǒ ê p ≥ 3. e¡· ©ü« ¹5?Ø: e 2 > p , K SL(n) = 2 . = Z(n) = n − 2 §k ê). l (2a, p ) = 1 · Ó{ § k−1

k

α

α1 α2 1 2

αr r

α

k

α

k

α

4ax ≡ 1 (mod pα ) 83

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? k ĂŞ), u´Ă“{Â?§ 16a2 x2 ≥ 1 (mod pÎą )

k ĂŞ). )Ç‘ y, p1 ≤−y1≤ p − 1, K p − y ½Ç‘Â?§ ). l ÂŒ 1 ≤ y ≤ 2 . l 16a y ≥ 1 (mod p ) ÂŒ p (4ay − 1) ½ p | (4ay + 1). A. e p | (4ay − 1), K Îą

Îą

Îą

2 2

Îą

Îą

Îą

|

Îą

n = 2a ¡ pι |

Œ

4ay(4ay − 1) . 2

4a(pÎą − 1) Z(n) = m ≤ 4ay − 1 ≤ − 1 = n − 2a − 1. 2

B.

ep

Îą

| (4ay + 1),

K

n = 2a ¡ pι |

Œ

4ay(4ay + 1) . 2

4a(pÎą − 1) Z(n) = m ≤ 4ay ≤ = n − 2a. 2

w, 2 < a, Z(n) = n − 2 , Z(n) > n − a. džÂ?§ ). e 2 < p , K SL(n) = p . = Z(n) = n − p = p (2a − 1) žÂ? §k ĂŞ). l (2a, p ) = 1 ÂŒ Ă“{Â?§ k

k

k

Îą

Îą

Îą

Îą

Îą

k ĂŞ), u´Ă“{Â?§

pι x ≥ 1 (mod 2a)

p2ι x2 ≥ 1 (mod 2a)

k ĂŞ). )Ç‘2ay, − 1 1 ≤ y ≤ 2a − 1, K 2a − y Ç‘Ç‘Â?§ ĂŞ ). ÂŒ 1 ≤ y ≤ 2 . d p x ≥ 1 (mod 2a) ÂŒ 2a | (p y − 1) ½ 2a | (p y + 1). 2Îą 2

84

Îą

Îą

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ C. e 2a | (p y − 1), K Îą

y

Ç‘óê. ÂŒ D.

y

n = 2a ¡ pι |

pÎą y(pÎą y − 1) . 2

Z(n) = m ≤ pÎą y − 1 ≤ pÎą ¡

e 2a | (p y + 1), K

2a − 1 − 1. 2

Îą

Ç‘óê. ÂŒ

n = 2a ¡ pι |

pÎą y(pÎą y + 1) . 2

Z(n) = m ≤ pÎą y ≤ pÎą ¡

2a − 1 . 2

u´ Z(n) = n − p Ă˜´áv Z(n) ½Ă‚  ÂŠ. džÂ?§ ĂŞ). ÚÒ ¤ ½n y². Îą

6.2

˜‡Â?š Smarandache Ÿê†– Smarandache Ÿê Â?§

ĂžÂ˜!ĂŻĂ„ ߇Â?š Smarandache LCM Ÿê†– Smarandache Ÿê Â?§, ĂšĂœŠ¡Â‚UY&?Â?§ ÂŒ)5ÂŻK. Ă„uŠz [48] Ă„ gÂŽ, ¡Â‚ĂŒÂ‡0 o ĂšÂƒÂ‘| ĂŻĂ„¤J, =|^ Ăš|Ăœ Â?{ĂŻĂ„ŸêÂ?§ Z(n) + S(n) = kn

(6-1)

ÂŒ)5, Ù¼ k Ç‘?Âż ĂŞ. äN`Ă’´y² eÂĄ ½n: ½n 6.4. k = 1 ž, n = 6, 12 ´Â?§ (6-1) =k ߇AĂ? ĂŞ); džÙ§ ĂŞ n ávÂ?§ (6-1) Â…= n = p¡u ½ p−1 Ăś n = p ¡ 2 ¡ u, Ù¼ p ≼ 7 Ç‘ÂƒĂŞ, 2 | p − 1, u ´ 2 ?ÂżÂ˜Â‡ÂŒ u 1 ÛêĂ?f. Îą

Îą

Îą

85

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ½n 6.5. k = 2 ž, n = 1 ´Â?§ (6-1) ˜‡AĂ?); Ă™§ ĂŞ n ávÂ?§ (6-1) Â…= n = p ¡ u, Ù¼ p ≼ 5 Ç‘ÂƒĂŞ, u ´ p −2 1 ?ÂżÂ˜Â‡óêĂ?f. 5Âż , Z(n) ≤ 2n − 1 9 S(n) ≤ n, ¤¹ k > 2 ž, Â?§ (6-1) v k ĂŞ). l½n 6.4 ĂŠN´ÊÂŽ Fermat ÂƒĂŞ, =/X F = 2 + 1 ÂƒĂŞ, Ù¼ n ≼ 1 Ç‘ ĂŞ. ~X, F = 5, F = 17, F = 257, . d½ n 6.4 Ă˜JĂ­Ă‘eÂĄ Ă­Ă˜: Ă­Ă˜ 6.2.1. k = 1 ž, XJ n šk Fermat ƒĂ?f, K n Ă˜ÂŒU ávÂ?§ (6-1). ½n y²: ¡Â‚|^ 9|ĂœÂ?{5 ¤½n y². Ă„ky ²½n 6.4. ڞ k = 1. 5Âż Z(1)+S(1) = 2 6= 1, Z(2)+S(2) = 5 6= 3, Z(3) + S(3) = 5 6= 3, Z(4) + S(4) = 11 6= 4, Z(5) + S(5) = 9 6= 5, Z(6) + S(6) = 6, ¤¹ n = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , 5 Ă˜ávÂ?§ (6-1), n = 6 áv Â?§ (6-1), u´ Ă™§ n ávÂ?§ (6-1) ž˜½k n ≼ 7, n = p p ¡ ¡ ¡ p Ç‘ n IOŠ)ÂŞ, džd Smarandache Ÿê 5Â&#x; n

1

Îą1 Îą2 1 2

2

2n

3

Îąk k

S(n) = max {S(pÎąi i )} = S(pÎą ) = u ¡ p, 1≤i≤k

Ù¼ p Ç‘,˜ p , Îą Ç‘,˜ Îą , u ≤ Îą. y35Âż p | n 9 S(n) = u ¡ p, ¤¹ÂŒ n = p Â?§ (6-1) žk i

i

Îą

¡ n1 .

n áv

Z(n) + u ¡ p = pι ¡ n1 .

(6-2)

Ă„ky²3 (6-2) ÂŞÂĽ Îą = 1. Ă„Kb½ Îą ≼ 2, u´d (6-2) ÂŞĂĄÇ‘ Ă­Ă‘ p | Z(n) = m. d Z(n) = m ½Ă‚ n = p ¡ n Ă˜ m(m2+ 1) , (m, m + 1) = 1, ¤¹ p | m. l d (6-2) ÂŞĂ­Ă‘ p | S(n) = u ¡ p, = p | u, l p ≤ u. ´,˜Â?ÂĄ, 5Âż S(n) = S(p ) = u ¡ p, d Smarandache Ÿê S(n) 5Â&#x; u ≤ Îą, ¤¹ p ≤ u ≤ Îą. dÂŞĂŠ Ă›ÂƒĂŞ p w,Ă˜¤å. XJ p = 2, K Îą ≼ 3 ž, p ≤ u ≤ Îą Ç‘Ă˜¤ ĂĄ. u´Â?kÂ˜ÂŤÂŒU: u = Îą = 2. 5Âż n ≼ 5 Âą9 S(n) = 4, ¤¹d žÂ?kÂ˜ÂŤÂŒU: n = 12, n = 12 ´Â?§ (6-1) ˜‡). ¤¹XJĂ™ § ĂŞ n ávÂ?§ (6-1), K (6-2) ÂŞÂĽ7k S(n) = p, Îą = u = 1. 3 ڍÂœše, - Z(n) = m = p ¡ v, K (6-2) ª¤Ç‘ Îą

1

Îą

Îąâˆ’1

Îą

Îąâˆ’1

Îą

Îąâˆ’1

Îąâˆ’1

v + 1 = n1 , 86

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § ½ö n = v + 1, = n = p · (v + 1), Z(n) = p · v. 2d Z(n) ½Â n = p · (v + 1) Ø 1

Z(n)(Z(n) + 1) pv · (pv + 1) = , 2 2

½ö (v + 1) Ø

Z(n)(Z(n) + 1) v · (pv + 1) = . 2 2

5¿ (v + 1, v) = 1, ¤± v Ǒóê dþªáǑíÑ v+1 | p−1 p−1 pv + p − p + 1, = v + 1 | p − 1 ½ö v + 1 | . w,é 2 ?¿ u 1 ÛêÏf r, n = p · r ´ § (6-1)2 ). ÏǑd k Z(p · r) = p · (r − 1). v ǑÛê , d (v + 1) Ø Z(n)(Z(n) + 1) v · (pv + 1) = , 2 2

dd íÑ

v+1|

(pv + 1) (p − 1)(v + 1) + v − p + 2 = . 2 2 p − 1 = (2k + 1) · (v + 1).

u´ p − 1 = 2 · h, Ù¥ h ǑÛê, K v 2+ 1 Ǒ u h ÛêÏf. N ´ yé?¿Ûê r | h r < h, n = p · 2 · r Ǒ § (6-1) ). ÏǑ d k β

β β

Z(p · 2β · r) = p · (2β · r − 1).

¯¢þ, 5¿ r | h, ÄkN´íÑ p · 2

β

·r

Ø

p · (2β · r − 1) · (p · (2β · r − 1) + 1) . 2

Ùg m < p · (2 d Z(n) ½Â

β

· r − 1)

, Ø Uk p · 2

β

·r

Ø m(m2+ 1) . u´

Z(p · 2β · r) = p · (2β · r − 1). 87

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? u´y² ½n 6.4. y3y²½n 6.5. dž5Âż k = 2, ¤¹ n = 1 ž, k Z(1) + S(1) = 2, = n = 1 ´Â?§ (6-1) ˜‡). XJÂ?§ (6-1) „kĂ™§ ĂŞ) n > 2, Kd½n 6.4 y²Â?{Ă˜JĂ­Ă‘ n = p ¡ u, Ù¼ p ≼ 5 Ç‘ÂƒĂŞ, S(u) < p. “\Â?§ (6-1) ÂŒ Z(p ¡ u) + S(p ¡ u) = 2p ¡ u.

ddÂŞĂĄÇ‘Ă­Ă‘ p Ă˜ Z(p¡u). Z(p¡u) = p¡v, K v = 2u−1. d Z(n) − 1) + 1) p−1 ½Ă‚ p ¡ u Ă˜ p(2u − 1)(p(2u , l u Ă˜ . d , 2 2 u Ç‘ p −2 1 ?˜Œu 1 ÛêĂ?êž, Z(p ¡ u) = p ¡ (u − 1), ¤¹d ž n = p ¡ u Ă˜´Â?§ (6-1) ĂŞ); u Ç‘ p −2 1 ?˜óêĂ?ĂŞ žk Z(p ¡ u) = p ¡ (2u − 1),

dž

Z(p ¡ u) + S(p ¡ u) = 2p ¡ u.

u´ ¤ ½n 6.5 y². d½n 6.4 Ă˜JĂ­Ă‘Š¼ Ă­Ă˜. ¯¢Þ½n 6.4 ÂĽ ÂƒĂŞĂ˜ÂŒU ´ Fermat ÂƒĂŞ, Ă?Ç‘ p Ç‘ Fermat ÂƒĂŞÂž, p − 1 vkÂŒu 1 ÛêĂ? f. 6.3

'u Smarandache Ÿê ߇Ă&#x;ÂŽ Šz [49] Ăš? Smarandache p‡Ÿê S (n): ½Ă‚ 6.2. S (n) ½Ă‚Ç‘áv y | n! Â… 1 ≤ y ≤ m  ÂŒ ĂŞ m, c

=

c

Sc (n) = max{m : y | n!, 1 ≤ y ≤ m, m + 1 ∤ n!}.

~X, S (n) A‡ŠǑ: S (1) = 1, S (2) = 2, S (3) = 3, S (4) = c

c

c

c

c

4, Sc (5) = 6, Sc (6) = 6, Sc (7) = 10, Sc (8) = 10, Sc (9) = 10, Sc (10) = 10, Sc (11) = 12, Sc (12) = 12, Sc (13) = 16, Sc (14) = 16, Sc (15) = 16, ¡ ¡ ¡ . 88

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ Šz [49] ĂŻĂ„ S (n) 5Â&#x;, Âży² Âąe(Ă˜: e S (n) = x, Â… n 6= 3, K x + 1 ´ÂŒu n  ÂƒĂŞ. Šz [50] Ăš? – Smarandache ÊóŸê Z (n): ½Ă‚ 6.3. Z (n) ½Ă‚Ç‘áv P k Ă˜ n  ÂŒ ĂŞ m, = c

c

∗

m

∗

k=1

m(m + 1) Z (n) = max m : |n . 2 ∗

Šz [51] ĂŻĂ„ Z (n) 5Â&#x;, ˜ ­Â‡ (J. Šz [52] ÂĽĂŻĂ„ Ăšn‡Ÿêƒm 'XÂ?§ Z(n) + Z (n) = n † S (n) = Z (n) + n, ˜ ­Â‡ (J, ÂżJĂ‘ ˜ „™)Ăť Ă&#x;ÂŽ: Ă&#x;ÂŽ 1. Â?§ Z(n) + Z (n) = n kk Â‡óê), Ç‘N=kÂ˜Â‡Ăł ĂŞ)Ç‘ n = 6. Ă&#x;ÂŽ 2. Â?§ S (n) = Z (n) + n )Ç‘ p , Ù¼ p Ç‘ÂƒĂŞ, 2 ∤ Îą, p + 2 Ç‘Ç‘ÂƒĂŞ. ĂŻĂ„ ¹Þ ÂŻK, eÂĄ ߇½n: ½n 6.6. n Ç‘óêž, Â?§ Z(n) + Z (n) = n )Â?k n = 6. ½n 6.7. Â?§ S (n) = Z (n) + n )Ç‘ p , Ù¼ p Ç‘ÂƒĂŞ, 2 ∤ Îą, p + 2 Ç‘Ç‘ÂƒĂŞ, Âą9áv^‡ a(2a − 1) ∤ n (a > 1), n + 2 Ç‘ÂƒĂŞ, n Ç‘ ĂŞ. 3y²½nƒ , ¡Â‚k‰ÑeÂĄ : Ăšn 6.3.1. e S (n) = x ∈ Z, Â… n 6= 3, K x + 1 Ç‘ÂŒu n  ÂƒĂŞ. y²: „Šz [49]. ddŒ„, S (n) Ă˜ 3 n = 1, n = 3 ǑÛê , 3Ă™{Âœše Š Ă‘´óê. ∗

∗

c

∗

∗

∗

c

Îą

Îą

∗

c

∗

Îą

Îą

c

c

89

'uSmarandache¯KïÄ #? Ún 6.3.2.

(

Z ∗ (pα ) =

2, p 6= 3, 1, p = 3.

y²: ©z [51]. Ún 6.3.3. e n ≡ 0 (mod a(2a − 1)), Kk Z (n) ≥ 2a > 1. y²: ©z [51]. Ún 6.3.4. √ ∗

8n + 1 − 1 . 2

Z ∗ (n) ≤

y²: ©z [51]. Ún 6.3.5. n = p Ǒ n IO©)ª , k

α0 α1 α2 0 p1 p2

Z(n) ≤ n −

· · · pαk k (p0 = 2, pi ≥ 3, k ≥ 1, αi ≥ 1) n

min{pα0 0 , pα1 1 , pα2 2 , · · ·

, pαk k }

.

y²: n = p p p · · · p (p = 2, p ≥ 3, k ≥ 1, α ≥ 1) ǑÙ IO©)ª , ©ü« ¹5y²: (i) n = 2kp , α ≥ 1, (2k, p ) = 1, p ≥ 3 Ǒ ê, dÓ{ § 4kx ≡ 1 (mod p ) k), Ó{ § 16k x ≡ 1 (mod p ) k), Ù)Ø Ǒ y, K p 1−≤1 y ≤ p − 1, q p − y ½Ǒ ¡Ó{ § ), K 1 ≤ y ≤ 2 . d 16k x ≡ 1 (mod p ), K p | (4ky − 1)(4ky + 1), (4ky − 1, 4ky + 1) = 1, u´ p | 4ky − 1 ½ p | 4ky + 1. e p | 4ky − 1, K n = 2kp | 4ky(4ky2 − 1) , l αk k

α0 α1 α2 0 1 2

α

0

i

i

α

α

2 2

α

α

α

α

2 2

α

α

α

α

α

α

4k(pα − 1) 1 − 1 ≤ n − 2k − 1 ≤ (1 − α )n 2 p n ≤ n− . min{pα0 0 , pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k }

Z(n) = m ≤ 4ky − 1 ≤

ep

α

| 4ky + 1,

K n = 2kp

Z(n) = m ≤ 4ky ≤ 90

α

|

4ky(4ky + 1) , 2

l Ǒk

4k(pα − 1) 1 ≤ n − 2k = (1 − α )n 2 p

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ ≤ n−

n min{pι0 0 , pι1 1 , pι2 2 , ¡ ¡ ¡

† Ç‘Ă“{Â?§ =ÂŒ Ă„K Â… ávĂ“{Â?§ Â?§¼7k˜‡áv ½ e

, pÎąk k }

.

KĂ“{Â?§ Ăž7k) …ǑÛê ) e K K ߇Ó{ ) K K

n = 2Îą (2k + 1), (Îą ≼ 1, k ≼ 1), (2k + 1)x ≥ (ii) 1 (mod 2Îą+1 ) (2k + 1)x ≥ −1 (mod 2Îą+1 ) , , Îą Îą+1 Îą (2k + 1)x ≥ 1 (mod 2 ) , 1 ≤ a ≤ 2 − 1, a Îą Îą+1 Îą+1 Îą+1 Îą Îą , 2 +1 ≤ a ≤ 2 − 1, 2 −a ≤ 2 − 2 − 1 = 2 − 1, Îą+1 Îą+1 2 −a (2k + 1)x ≥ −1 (mod 2 ), 1 ≤ a ≤ 2Îą − 1 a, 2Îą+1 | (2k + 1)a + 1 2Îą+1 | (2k + 1)a − 1, 2Îą+1 | (2k + 1)a + 1, 2Îą+1(2k + 1) | [(2k + 1)a + 1](2k + 1)a,

l 2

1 Z(n) ≤ a(2k + 1) ≤ (2Îą − 1)(2k + 1) ≤ (1 − Îą )n 2 n ≤ n− . min{pÎą0 0 , pÎą1 1 , pÎą2 2 , ¡ ¡ ¡ , pÎąk k } Îą+1

| (2k + 1)a − 1 Z(n) ≤ (1 −

ž, ÓnǑk

1 n . )n ≤ n − Îą Îą 0 1 2Îą min{p0 , p1 , pÎą2 2 , ¡ ¡ ¡ , pÎąk k }

nĂœ (i), (ii), ¡Â‚k, n = p 1, Îą ≼ 1) Ç‘Ă™IOŠ)ªž, K

Îą0 Îą1 Îą2 0 p1 p2

¡ ¡ ¡ pÎąk k (p0 = 2, pi ≼ 3, k ≼

i

Z(n) ≤ n −

n min{pι0 0 , pι1 1 , pι2 2 , ¡ ¡ ¡

, pÎąk k }

.

e¥¡Â‚‰Ñ½n y². ½n 6.6 y²: ¡Â‚ŠßÂœš5y². (1) n – knÂ‡Ă˜Ă“ ƒĂ?fž, = n = p p p ¡ ¡ ¡ p 2, k ≼ 1, Îą ≼ 1) ´ Ă™ I O Š ) ÂŞ, Ç‘ Ă– Â? B, min{p , p , p , ¡ ¡ ¡ , p }, K Îą0 Îą1 Îą2 0 1 2

i

Îą0 0

Îą1 1

n i p2Îą i

Îą2 2

Îąk k

Îą

+

Îąk k

(p0 = =

pÎąi i

Îą

i−1 i+1 pÎą0 0 pÎą1 1 pÎą2 2 ¡ ¡ ¡ pi−1 pi+1 ¡ ¡ ¡ pÎąk k 1 1 = + Îąi > 2. Îąi Îąi pi pi pi

91

'uSmarandache¯KïÄ #? l Ún

4n2 4n , 2αi + αi + 1 > 8n + 1, pi pi 6.3.5,

k

?

n > pαi i

n Z(n) + Z (n) ≤ n − αi + pi ∗

√ 8n + 1 − 1 , 2

u´dÚn 6.3.4

√ 8n + 1 − 1 < n. 2

Ǒ ê ©ü« ¹5y² K e ´ u Ûê K þ´ êg p gñ l Ǒóê K q u´ e Ǒ § ) K ? Kk gñ d Ø´ § ) e K d k u´ e Ǒ § ) K ? Ï Kk ½ gñ K l u´ q ù q©ü« ¹ e k K k l K = Ǒ § ) e K l K

(2) n = 2α q β (α ≥ 1, β ≥ 0, q ≥ 3 ). . ∗ α β (i) Z (n) = 2a, a(2a + 1) | 2 q . a 1 , a 2a + 1 q , a 2a + 1 , a , α γ β γ+1 β a|2 , a = 2 (0 ≤ γ ≤ α), (2a + 1) | q , (2 + 1) | q . ∗ α β α β n Z(n) + Z (n) = n , Z(2 q ) = 2 q − 2γ+1 , 2α+1 q β | (2α q β − 2γ+1 )(2α q β − 2γ+1 + 1), q β | 2γ+1 − 1 . n . (ii) Z ∗ (n) = 2a − 1, a(2a − 1) | 2α q β . (a, 2a − 1) = 1, γ β γ+1 a = 2 (0 ≤ γ ≤ α), (2a − 1) | q , (2 − 1) | q β . n ∗ α β α β γ+1 α+1 β Z(n) + Z (n) = n , Z(2 q ) = 2 q − 2 + 1, 2 q | α β γ+1 α β γ+1 α β γ+1 α β γ+1 (2 q −2 +1)(2 q −2 +2). (2 q −2 +1, 2 q −2 +2) = 1, q β | 2γ+1 −1 q β | 2γ+1 −2. q β | 2γ+1 −2 (2γ+1 −1) | q β , β γ+1 β γ+1 α β α β q |2 − 1. q =2 − 1 = 2a − 1, Z(2 q ) = (2 − 1)q . α+1 α β γ+1 2 | (2 q − 2 + 2), . α+1 α β α γ = α, 2 | (2 q +2), 2 | 2, α = 1, a = 2, q β = 3, n = 6. Z(6) + Z ∗ (6) = 3 + 3 = 6, n=6 . γ α−1 β α 0 ≤ γ ≤ α − 1, a = 2 ≤ 2 , q = 2a − 1 ≤ 2 − 1, α β α β ∗ α β Z(2 q ) ≤ 2 (q − 1), Z (2 q ) = q β , Z(2α q β ) + Z ∗ (2α q β ) ≤ 2α (q β − 1) + q β ≤ 2α (q β − 1) + 2α − 1 = n − 1,

d n Ø´ § ). ½n 6.7 y²: · ©Ê« ¹5y². (1) n = 1 , Z (1) = 1, S (1) = 1, K 1 ØǑÙ). (2) n = 3 (α ≥ 1), dÚn 6.3.2, Z (3 ) = 2, e n = 3 ´ § ), K S (3 ) = 2 + 3 , ÏǑ 3 | 3 + 2 + 1, l 3 + 2 + 1 Ø UǑ ê Ún 6.3.1 gñ, n = 3 Ø´ § ). (3) n = p (α ≥ 1, p ≥ 5Ǒ ê), dÚn 6.3.2, Z (p ) = 1, e n = p ´ § ), K S (p ) = 1 + p , Ï p ≥ 5 , 3 | p + 2, dÚ ∗

c

α

c

∗

α

α

α

α

α

α

α

α

α

92

∗

c

α

α

α

2β

18Ă™ ˜ Â?š Smarandache Ÿê Â?§ n 6.3.1, Îą Ă˜UÇ‘óê, Â… p + 2 (2 ∤ Îą) Ç‘ÂƒĂŞÂž, n = p (Îą ≼ 1, p ≼ 5Ç‘ÂƒĂŞ) áv Â?§. m(m + 1) | 2 , Ă? (m, m + 1) = 1, K m = 1, (4) n = 2 (Îą ≼ 1), e 2 Z (2 ) = 1, e n = 2 ´ Â?§ ), K S (2 ) = 1 + 2 , Ă? 2 | (2 + 1 + 1), †Ún 6.3.1 gĂą, n = 2 (Îą ≼ 1) Ă˜´ Â?§ ). (5) n = p p ¡ ¡ ¡ p (k ≼ 2, Îą ≼ 1) Ç‘Ă™IOŠ)ÂŞ. ¡Â‚qŠß ÂŤÂœš5y². (i) 2 ∤ n, K 2 ∤ p ž, l 2 | S (n), e n ‡áv Â?§, K7 L 2 ∤ Z (n). y Ă„ Z (n), e 3 ĂŞ a (a > 1), a(2a − 1) | n, K Z (n) ≼ 2a− 1, e 3 ĂŞ a (a > 1), a(2a+1) | n, K Z (n) ≼ 2a, l Îą

Îą

Îą

Îą

∗

Îą

Îą

c

Îą

Îą

Îą

Îą

Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

i

Îąi i

∗

c

∗

∗

∗

Z ∗ (n) = max {max {2k : k(2k + 1) | n} , max {2k − 1 : k(2k − 1) | n}} .

2ŠnÂŤÂœš5?Ă˜: 1˜, e Z (n) = 2a − 1 > 1, K a(2a − 1) | n, k a | n, a | [n + (2a − 1) + 1]. e n ‡áv Â?§, K S (n) = 2a − 1 + n. S (n) + 1 Ă˜Ç‘ÂƒĂŞ, †Ún 6.3.1 ƒgĂą. 1 , e Z (n) = 2a > 1, K a(2a + 1) | n, k a | n, (2a + 1) | n. e n ‡áv Â?§, K S (n) = 2a + n. S (n) + 1 Ă˜Ç‘ÂƒĂŞ, †Ún 6.3.1 gĂą.  , e Z (n) = 1, d a > 1, K a(2a − 1) ∤ n, l e n + 2 Ă˜´ ÂƒĂŞ, dĂšn 6.3.1, Ăš n Ă˜´ Â?§ ). e n + 2 Ç‘ÂƒĂŞ, dĂš n 6.3.1, Ăš n Ç‘ Â?§ ). = a(2a − 1) ∤ n, n + 2 Ç‘ÂƒĂŞÂž ĂŞ n Ç‘ Â?§ ). (ii) 2 | n, e n áv Â?§, K7L Z (n) Ç‘óê, Â… Z (n) ≼ 2, Z (n) = m ≼ 2, m(m2+ 1) | n, K (m+1) | n, ? (m+1) | (n+m+1), Ăš S (n) = n + m + 1 Ă˜´ÂƒĂŞ, †Ún 6.3.1 gĂą. ÚÒ ¤ ½n y². ∗

c

c

∗

c

c

∗

∗

∗

∗

c

6.4

˜‡Â?šŸê S (n) Â?§ k

!¡Â‚UY0 Â?š Smarandache Ÿê Â?§ÂŒ)5ÂŻK. 93

'uSmarandache¯KïÄ #? ½Â 6.4. éu ½ ê n, k k ≥ 2, Ͷ Smarandache Ceil ¼ê S (n) ½ÂǑ ê x n|x , = k

k

½Â 6.5. x |n, =

Sk (n) = min{x : x ∈ N, n|xk }. Sk (n)

k

éó¼ê S (n) ½ÂǑ ê x k

Sk (n) = max{x : x ∈ N, xk |n}.

~X, k = 2 , S (n) A ´ S (1) = 1, S (2) = 2, S (3) = 3, S (4) = 2, S (5) = 5, S (6) = 6, S (7) = 7, S (8) = 4, S (9) = 3, · · · . S (n) A ´ S (1) = 1, S (2) = 1, S (3) = 1, S (4) = 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2, S2 (5) = 1, S2 (6) = 1, S2 (7) = 1, S2 (8) = 2, S2 (9) = 3, · · · .

'u S (n) Ú S (n) 5 , NõÆöǑ?1 ?Ø, ¿ Ñ k (Ø, k'ù SNë ©z [53-55]. ~X, 3©z [53] ¥, [,y² éu÷v (a, b) = 1 ü ê a, b, k k

k

Sk (ab) = max{m : m ∈ N, mk |a}·max{m : m ∈ N, mk |b} = Sk (a)·Sk (b),

Ú

α

Sk (pα ) = p⌊ k ⌋ .

Ù¥ ⌊x⌋ ½ÂǑ u u x ê. éu?¿ ê n, X J n = p p · · · p L« n IO©)ª, u´

α1 α2 1 2

αr r

⌊

α1

⌋ ⌊

α2 ⌋

⌊ αkr ⌋

Sk (pα1 1 pα2 2 · · · pαr r ) = p1 k p2 k · · · pr

= Sk (pα1 1 )Sk (pα2 2 ) · · · Sk (pαr r ).

lù 5 · ± S (n) ´ ¼ê, Ó · Ú?ü ¼ê ω(n) Ú Ω(n), e n = p p · · · p , · ½Â ω(n) Ǒ n ¤k ØÓ Ïf ê, Ø ) Ïf ­ê, = ω(n) = ω(p p · · · p ) = r. Ω(n) ½ÂǑ n ¤k Ïf êÚ, = Ω(n) = Ω(p p · · · p ) = k α1 α2 1 2

αr r

α1 1 α1 1

α2 2 α2 2

αr r αr r

α1 + α2 + · · · + αr .

§

3 ® ÜH ÆÆ ¹^ o¡ò Ø©¥, ¨ïÄ ¼ê X d|n

94

Sk (d) = ω(n)Ω(n).

(6-3)

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § )5, ¿ Ñ T § ¤k ê). äN/`Ò´y² e¡ ½n: ½n 6.8. § (6-3) k ¡õ ê), ¿ z )áue~ ¹ : 1). n = p p ½ö p p , Ù¥ 1 ≤ α, β ≤ k − 1; 2). n = p p p ½ö n = p p p ½ö n = p p p ; 3). n = p p p p . Ù¥ p < p < p < p ǑÛ ê. y²: e¡· |^ 9|Ü {5 ¤½n y² . ÄkÏ X Ǒ S (n) ´ ¼ê, ¤±d ¼ê 5 S (d) Ǒ´ ¼ê, y3 ±©XeA« ¹ ¹5y²· (Ø . X (i). n = 1 , é¤k k ≥ 2, S (d) = S (1) = 1, ω(n)Ω(n) = 0, ª (6-3) ؤá, Ïd n = 1 ¿Ø´ § (6-3) ). (ii). n = p , Ù¥ 1 ≤ α ≤ k − 1, p ´ ê. d¼ê S (n) ½Â· k β 1 2

α 1 2 2 1 2 3

2 1 2 3

1 2 3 4

1

2

2 1 2 3

3

4

k

k

d|n

k

k

d|n

α

X d|pα

k

Sk (d) = Sk (1) + Sk (p) + · · · + Sk (pα ) = α + 1.

d ω(n) = 1, Ω(n) = α, ω(n)Ω(n) = α, X S (d) 6= ω(n)Ω(n), Ïd n = p ǑØ´ § (6-3) ). (iii). X n = p ·p · · · p , Ù¥ 1 ≤ α ≤ k−1, i = 1, 2, · · · , r, S (d) ´ ¼ê, · k r ≥ 2, du k

d|n

α

α1 1

α2 2

αr r

i

k

d|n

X

Sk (d) =

α α r d|p1 1 p2 2 ···pα r

Ó ,

X

α d|p1 1

Sk (d) ·

X

α d|p2 2

Sk (d) · · ·

X

Sk (d)

r d|pα r

= (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αr + 1).

ω(n) = r, Ω(n) = α1 + α2 + · · · + αr , ω(n)Ω(n) = r(α1 + α2 + · · · + αr ), (6-3) :

d §

Ǒ

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αr + 1) = r(α1 + α2 + · · · + αr ).

(6-4) 95

'uSmarandacheยฏKรฏร #? eยกยทย lXeAยซย ยนรฉยคk รช r (r โ ฅ 2) ?1?ร : X (a). e r = 2, S (d) = (ฮฑ + 1)(ฮฑ + 1), ฯ (n)โ ฆ(n) = 2(ฮฑ + ฮฑ ), ยทย )ย ยง (ฮฑ + 1)(ฮฑ + 1) = 2(ฮฑ + ฮฑ ) ฮฑ = 1 ยฝรถ ฮฑ = 1. ยค ยฑ n = p p ร n = p p รทv (6-3), ร ยฅ 1 โ ค ฮฑ, ฮฒ โ ค k โ 1. (b). e r = 3, รทvย ยง (6-4) ยชว : k

1

2

1

2

d|n

1

2 ฮฒ 1 2

ฮฑ 1 2

1

2

1

2

(ฮฑ1 + 1)(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1) = 3(ฮฑ1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 ).

(6-5)

eยกยทย รฉ ฮฑ ย ?1?ร , ร ยฅ i = 1, 2, 3. i). e (6-5) ยชยฅkย =kย ย ฮฑ รทv ฮฑ = 1, ยทย ร ย - ฮฑ 1, ฮฑ , ฮฑ > 1, dย k i

i

2

i

1

=

3

2(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1) = 3(1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 ).

du 2(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1) โ 3(1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 )

= 2ฮฑ2 ฮฑ3 โ ฮฑ2 โ ฮฑ3 โ 1

= ฮฑ2 (ฮฑ3 โ 1) + ฮฑ3 (ฮฑ2 โ 1) โ 1 > 0.

รนร yยฒ 2(ฮฑ + 1)(ฮฑ + 1) oยดย u 3(1 + ฮฑ + ฮฑ ), ร dย ยง (6-3) 3dยซย ยนe ). ii). e (6-5) ยชยฅkรผย ฮฑ รทv ฮฑ = 1, ยทย ย ยฑ ฮฑ = ฮฑ = 1, ฮฑ > 1, )ย ยง 4(ฮฑ + 1) = 3(2 + ฮฑ ), ฮฑ = 2, uยด n = p p p ยฝรถ n = p p p ยฝรถ n = p p p รทvย ยง (6-3), ยดยง ). iii). eยคk ฮฑ ร รทv ฮฑ = 1, ย ยง (6-5) ร ยครก, dย ย ยง (6-3)

). iv). eยคk ฮฑ รทv ฮฑ > 1, ยทย ย ยฑรฉNยด yยฒeยก ร ยช ยครก: 2

3

2

i

3

3

2 1 2 3

i

ร ว

i

3

1

3

2 2 1 2 3

2 1 2 3

i

=

3

i

i

(ฮฑ1 + 1)(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1) > 3(ฮฑ1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 ),

ฮฑ1 ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ1 ฮฑ2 + ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ1 ฮฑ3 + 1 > 2ฮฑ1 + 2ฮฑ2 + 2ฮฑ3 .

(ฮฑ1 ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ1 ฮฑ2 + ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ1 ฮฑ3 + 1) โ (2ฮฑ1 + 2ฮฑ2 + 2ฮฑ3 ) 96

18ร ย ย ยน Smarandache ยผรช ย ยง = ฮฑ1 ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ1 (ฮฑ2 โ 2) + ฮฑ2 (ฮฑ3 โ 2) + ฮฑ3 (ฮฑ1 โ 2) + 1

โ ฅ ฮฑ1 ฮฑ2 ฮฑ3 + 1 > 0.

รนร yยฒ (6-5) ยช ย >oยดย um>, ร dย ยง (6-3) 3รนยซย ยนe ว ยด ) . (c). k = 4, ยทย k (ฮฑ1 + 1)(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1)(ฮฑ4 + 1) = 4(ฮฑ1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 + ฮฑ4 ).

(6-6)

eยกยทย รฉย ยง (6-6) ยฅ ฮฑ ย ?1?ร , ร ยฅ i = 1, 2, 3, 4. i). ย ยง (6-6) ยฅkย ย kย ย ฮฑ รทv ฮฑ = 1, ยทย ย ยฑ ฮฑ 1, ฮฑ > 1, ฮฑ > 1, ฮฑ > 1, รน (6-6) ยชCว i

i

2

3

i

1

=

4

2(ฮฑ2 + 1)(ฮฑ3 + 1)(ฮฑ4 + 1) = 4(1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 + ฮฑ4 ),

=

ฮฑ2 ฮฑ3 ฮฑ4 + ฮฑ2 ฮฑ3 + ฮฑ2 ฮฑ4 + ฮฑ3 ฮฑ4 = 1 + ฮฑ2 + ฮฑ3 + ฮฑ4 .

ร ว ฮฑ > 1, ฮฑ > 1, ฮฑ > 1, รน ยทย ย ยฑรฉNยด yยฒ (6-6) ยช ย >oยดย um>, dย ย ยง ). ii). ย ยง (6-6) ยฅkรผย ฮฑ รทv ฮฑ = 1, ร ย - ฮฑ = ฮฑ = 1, ฮฑ > 1, ฮฑ > 1, ยทย k 2

3

4

i

i

1

2

3

4

(ฮฑ3 + 1)(ฮฑ4 + 1) = 2 + ฮฑ3 + ฮฑ4 .

w,รนย ยชร ยครก, ร d3รนยซย ยนeย ยง ). iii). ย ยง (6-6) ยฅknย ฮฑ รทv ฮฑ = 1, ย - ฮฑ 1, ฮฑ > 1, (6-6) ยชCว i

i

1

= ฮฑ2 = ฮฑ3 =

4

2(ฮฑ4 + 1) = 3 + 4ฮฑ4 .

ยฟ ฮฑ = 1/2, รนยดร ย U , dย ย ยง (6-3) ). iv). ย ยง (6-6) ยฅยคk ฮฑ รทv ฮฑ = 1, dย (6-6) ยชยครก, ร d n = p p p p ยดย ยง (6-3) ). v). eยคkoย ฮฑ รพรทv ฮฑ > 1, du ฮฑ > 1, ฮฑ > 1 ย , (ฮฑ + 1)(ฮฑ + 1) > 2(ฮฑ + ฮฑ ). ร nย ฮฑ > 1, ฮฑ > 1 ย , (ฮฑ + 4

i

i

1 2 3 4

i

1

2

1

i

2

1

3

2

4

3

1)(ฮฑ4 + 1) > 2(ฮฑ3 + ฮฑ4 ).

97

'uSmarandache¯KïÄ #? u´· k (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)(α4 + 1) > 4(α1 + α2 )(α3 + α4 ) = 4(α1 α3 + α1 α4 + α2 α3 + α2 α4 ) > 4(α1 + α2 + α3 + α4 ).

Ïd ª (6-6) >o´ um>, ¤± § (6-3) 3d« ¹e ). (d). r > 4, 1 ≤ i ≤ r, ±y² § (6-3) >o´ um >. = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αr + 1) > r(α1 + α2 + · · · + αr ).

¤± § (6-3) 3ù« ¹e ). e¡· ^êÆ8B{y²þãØ ª¤á. r = i , Ø ª¤ á, = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αi + 1) > i(α1 + α2 + · · · + αi ).

K k = i + 1 ,

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αi + 1)(αi+1 + 1) > i(α1 + α2 + · · · + αi )(αi+1 + 1).

qÏǑ

i(α1 + α2 + · · · + αi )(αi+1 + 1) − (i + 1)(α1 + α2 + · · · + αi + αi+1 )

= i(α1 + α2 + · · · + αi )(αi+1 + 1) − i(α1 + α2 + · · · + αi ) − iαi+1 −(α1 + α2 + · · · + αi ) − αi+1

= (iαi+1 − 1)(α1 + α2 + · · · + αi ) − (i + 1)αi+1

> (iαi+1 − 1)(α1 + α2 + · · · + αi ) − (i + 1)(iαi+1 − 1) > (iαi+1 − 1)(α1 + α2 + · · · + αi − i − 1) > 0.

¤±, k = i + 1 , Ø ª½¤á, l 3ù« ¹e § (6-3) ). (iv). n = p Ú α ≥ k, d · ½Â α = kβ + γ n = p , Ù¥ β ≥ 1, 0 ≤ γ < k, · k α

X

d|pkβ+γ

98

Sk (d)

kβ+γ

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § = Sk (1) + Sk (p) + · · · + Sk (pk−1 ) + Sk (pk ) + · · · +

Sk (p2k−1 ) + Sk (p2k ) + · · · + Sk (pk(β−1)−1) + Sk (pk(β−1) )

+ · · · + Sk (pkβ−1 ) + Sk (pkβ ) + Sk (pkβ+1 ) + · · · + Sk (pkβ+γ )

= |1 + ·{z · · + 1} + p + · · · + p + p2 + · · · + p2 + | {z } | {z } k

k

β−1

··· + p |

Ó ,

k

β−1

+ ··· + p {z k

2

}

ÏǑ (γ + 1)p

+ p + · · · + pβ {z } | γ+1

β−1

= k(1 + p + p + · · · + p k(pβ − 1) = + (γ + 1)pβ . p−1 ω(n)Ω(n) = kβ + γ,

β

) + (γ + 1)pβ

§ (6-3) ±CǑ:

k(pβ − 1) + (γ + 1)pβ = kβ + γ. p−1

β

> γ,

±9

k(pβ − 1) − (p − 1)kβ = kpβ − k − kpβ + kβ

= k(pβ − pβ) + k(β − 1) > 0.

u´· k(pp −−11) + (γ + 1)p > kβ + γ, d § ). (v). e n = p p · · · p Ú α ≥ k, i = 1, 2, · · · , r, · - α = p ···p , Ï kβ + γ , β ≥ 1, 0 ≤ γ < k n = p Ǒ S (n) ´ ¼ê, · k β

β

α1 α2 1 2

i

i

i

αr r

i

i

kβ1 +γ1 kβ2 +γ2 1 2

i

kβr +γr r

k

X

Sk (d)

α α r d|p1 1 p2 2 ···pα r

=

X

Sk (d)

kβ1 +γ1 kβ2 +γ2 r +γr p2 ···pkβ r

d|p1

=

X

d|pkβ1 +γ1

Sk (d) ·

X

d|pkβ2 +γ2

Sk (d) · · ·

X

Sk (d)

d|pkβr +γr

k(pβ1 − 1) k(pβ2 − 1) β1 β2 = + (γ1 + 1)p · + (γ2 + 1)p p−1 p−1 k(pβr − 1) βr · ··· · + (γr + 1)p . p−1

99

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Ӟ, ω(n)â„Ś(n) = r [k(β Ă?dÂ?§ÂŒCÇ‘

1

k(pβ1 −1) p−1

+ β2 + ¡ ¡ ¡ + βr ) + γ1 + γ2 + ¡ ¡ ¡ + γr ] .

β 2 + (Îł1 + 1)pβ1 ¡ k(pp−1−1) + (Îł2 + 1)pβ2 ¡ ¡ ¡ ¡ βr k(p −1) βr ¡ + (Îłr + 1)p p−1

= r [k(β1 + β2 + ¡ ¡ ¡ + βr ) + γ1 + γ2 + ¡ ¡ ¡ + γr ] .

(6-7)

ÂŒÂąy² (6-7) ª†>o´ÂŒum>. ¡Â‚|^êÆ8B{?1y²: r = i, Ă˜ ª¤å, =

k(pβ1 −1) p−1

β 2 + (Îł1 + 1)pβ1 ¡ k(pp−1−1) + (Îł2 + 1)pβ2 ¡ ¡ ¡ ¡ β k(p i −1) βi ¡ + (Îłi + 1)p p−1

> i [k(β1 + β2 + ¡ ¡ ¡ + βi ) + γ1 + γ2 + ¡ ¡ ¡ + γi ] .

K r = i + 1 ž,

β 2 + (Îł1 + 1)pβ1 ¡ k(pp−1−1) + (Îł2 + 1)pβ2 ¡ ¡ ¡ ¡ β βi+1 i ¡ k(pp−1−1) + (Îłi + 1)pβi ¡ k(p p−1−1) + (Îłi+1 + 1)pβi+1 βi+1 k(p −1) βi+1 > i [k(β1 + β2 + ¡ ¡ ¡ + βi ) + Îł1 + Îł2 + ¡ ¡ ¡ + Îłi ] + (Îłi+1 + 1)p p−1 k(pβ1 −1) p−1

> (i + 1) [k(β1 + β2 + ¡ ¡ ¡ + βi+1 ) + γ1 + γ2 + ¡ ¡ ¡ + γi+1 ] .

¤¹ k = i + 1 ž, Ă˜ ª¤å. (vi). e n = p p ¡ ¡ ¡ p p p ¡¡¡p , Ù¼ Îą > k (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r), 1 ≤ Îą < k (r + 1 ≤ j ≤ r + t), l¹Þ ?Ă˜ÂŒ , d ÂŤÂœšeÂ?§ (6-3) ). nĂœ¹Þ?Ă˜, ¡Â‚ ¤ ½n y². Îą1 Îą2 1 2

Îąr Îąr+1 Îąr+2 r r+1 r+2

Îąr+t r+t

i

j

6.5

'u Smarandache ÂŻK Â˜Â‡Ă­2

Ă˜½Â?§ (½Â?§|) ´CÞê‡êþuÂ?§Â‡ĂŞ, Â…CĂž êŠ Â?§ (½Â?§|). Ă˜½Â?§´êĂ˜ÂĽ P q­Â‡ ˜‡Š|, ~X Ă?Âś Fermat ÂŒ½nĂ’´Ă˜½Â?§ ˜‡;.“L, Ă™SN†y“ê 100

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § Æk éX. F. Smarandache Ç3©z [1] 1 50 ¯K¥ïÆ· ïÄ § 1 1

xa x + ax = 2a x .

(6-8)

)5, ¿ T § ¤k¢ê) 'uù ¯K, Ü©+ Ç3©z [56] ¥?1 ïÄ. äN/`, = y²e¡ (Ø: ½n. é¤k a ∈ R\{−1, 0, 1}, § (6-8) k =k ¢ê ) x = 1. !ò § (6-8) ?1 í2Úò , = Ä n − 1 Cþ ¹, Ñ § 1

1

1

x1 a x1 + x2 a x2 + · · · + xn−1 a xn−1 +

1 ax1 x2 ···xn−1 = na (6-9) x1 x2 · · · xn−1

¤k K¢ê), ½=y² e¡ ½n. ½n 6.9. é?¿¢ê a ∈ R\{0}, § (6-9) k =k | K ¢ê) [59]

x1 = x2 = · · · = xn−1 = 1.

n = 2 , § (6-9) CǑ x a + a = 2a, =©z [56] ¥¤ ?Ø ¹. Ïd © (J´©z [56] ¥½n í2Úò . y²: |^©z [56] ¥ g ѽny². ǑdI e¡ ü (Ø: (Ø 1. é?¿ ¢ê a , a , · · · , a , kØ ª 1

1

2

1 x1

1 x1 x1

n

√ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an . n

õ ¼ê 4 7 ^ : ¼ê z = f (x , x , · · · , x ) 3 : (x , x , · · · , x ) äk ê 4 , K§3T: ê7Ǒ", = ( Ø 2. f (x , x , · · · , x ) = f (x , x , · · · , x ) = · · · = 1

′

1

′

2

′

n

n

x1

′

2

′

′

1

′

2

′

n

x2

′

1

′

2

′

n

′

fxn (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0.

101

'uSmarandache¯KïÄ #? ±þü (Ø y² ë ©z [9]![57] 9 [58]. y3|^±þü (Ø5y²é¤k a ∈ R\{0}, § 1

1 ax1 x2 ···xn−1 = na x1 x2 · · · xn−1

1

1

x1 a x1 + x2 a x2 + · · · + xn−1 a xn−1 +

¤á, = x = x = · · · = x = 1. y3ò a ©¤n« ¹ a ≥ 1, 0 < a < 1 9 a < 0 ?Ø. ¯¢þ, a ≥ 1 , dþ¡ Ä Ø ª 1

2

n−1

1 1 1 + + ··· + + x1 x2 · · · xn−1 ≥ a. x1 x2 xn−1

u´k 1

1

1

x1 a x1 + x2 a x2 + · · · + xn−1 a xn−1 + q ≥n

n

1

a x1

þª¤á = x

+ x1 +···+ x

1

2

1 +x1 x2 ···xn−1 n−1

√ ≥ n n an ≥ na,

= x2 = · · · = xn−1 =

0 < a < 1 , Ǒ Bå , x 1

n

=

½ö x = =k | ¢ê

1 x1 x2 · · · xn−1 (6-9)

Q a ≥ 1 , §

x2 = · · · = xn−1 = 1. x1 = x2 = · · · = xn−1 = 1.

)

1 x1 x2 ···xn−1 x1 x2 ···xn−1 a

1 , x1 x2 · · · xn−1 1

1

¿-¼ê 1

f (x1 , x2 , · · · , xn−1 ) = x1 a x1 + x2 a x2 + · · · + xn−1 a xn−1 1 + ax1 x2 ···xn−1 − na, x1 x2 · · · xn−1

Ï Ǒ ¼ ê f (x , x , · · · , x ) 3 (0, +∞) þ ´ , é f (x , x , · · · , x ) ©O'u x , x , · · · , x ê, 1

1

2

2

n−1

1 ∂f ln a = a x1 (1 − )+ ∂x1 x1 1 ln a = a x1 (1 − )+ x1 1 ∂f ln a = a x2 (1 − )+ ∂x2 x2

102

n−1

1

2

n−1

1 1 1 ln aax1 x2 ···xn−1 − ax1 x2 ···xn−1 x1 x1 x1 x2 · · · xn−1 1 x1 a n (ln a − xn ), x1 1 x1 a n (ln a − xn ), x2

18Ù ¹ Smarandache ¼ê § ··· 1 ∂f ln a 1 x1 = a xn−1 (1 − )+ a n (ln a − xn ). ∂xn−1 xn−1 xn−1

©O- ∂x∂f , ∂x∂f , · · · , ∂x∂f 1

2

= 0,

n−1

K

1

1

1

1

a x1 (ln a − x1 ) = a xn (ln a − xn ), a x2 (ln a − x2 ) = a xn (ln a − xn ), a

1 xn−1

···

1

(ln a − xn−1 ) = a xn (ln a − xn ).

¼ê u(x) = a (ln a − x), Ù¥ 0 < a < 1. e¡y²d¼êǑüN¼ ê. 1 x

′

1 ln a(x − ln a) − 1] x2 1 ln a 2 ln a ) − + 1] = −a x [( x x 1 ln a 1 2 3 = −a x [( − ) + ] < 0. x 2 4 1

u (x) = a x [

u(x) 3 (0, +∞) þ´üN4~¼ê, ¤±éAuÓ ¼ê u(x ), k =k x ¤á. ¤±d 0

0

1

1

1

a x1 (ln a − x1 ) = a x2 (ln a − x2 ) = · · · = a xn (ln a − xn)

Ñ x = x = · · · = x = q. K (q, q, · · · , q) Ǒ ¼ ê f (x , x , · · · , x ) U 4 :, =kù 4 :. d q = 1 q = 1, (1, 1, · · · , 1) Ǒ¼ê 4 :, d 4 Ǒ 0. ¯¢þ, b ¼ê f (x , x , · · · , x ), kÙ 4 :, Ǒ (x , x , · · · , x ), Kdõ ¼ê4 3 7 ^ , 3ù :7k x = x = · · · = x = 1 ª¤á, üN¼êÓ ¼ê éA gCþgñ. ¼ê k: (1, 1, · · · , 1) ù 4 :. =d ¼ê 1

1

2

2

n

n

n−1

1

2

′

n−1

′

1

′

2

n−1

′

′

1

2

′

n−1

1

1

1

f (x1 , x2 , · · · , xn−1 ) = x1 a x1 + x2 a x2 + · · · + xn−1 a xn−1 1 + ax1 x2 ···xn−1 − na, x1 x2 · · · xn−1 103

'uSmarandache¯KïÄ #? 4 , 4 Ǒ 0. Q = x = x = · · · = x § )´ 1

2

n−1

=1

,

x1 = x2 = · · · = xn−1 = 1.

a < 0 , § (6-9) e k), K xp , x , · · · , x 7Ǒkn ê, ÏǑKêØUm nêg , x = q , (p , q ) = 1, Ù¥ i = 1, 2, · · · , n. e a k¿Â, K p 7ǑÛê, p p · · · p ǑǑÛê, e 3 q Ǒóê, Kd® ^ k pq ·· ·· ·· pq ·· ·· ·· qp = 1, ù p ǑÛêgñ. ¤± q q · · · q ǑǑÛê, q ǑÛê, ¤±k a = −|a| , u´ § zǑ 1 i

i

qi pi

i

i

1 2

i

n

2

n−1

i

i

1 2

1

i

n

1

i

n

1 xi

i

n

i

1 xi

1 ax1 x2 ···xn−1 x1 x2 · · · xn−1 1 + |a|x1 x2 ···xn−1 . x1 x2 · · · xn−1 1

1

n|a| = −na = −x1 a x1 − · · · − xn−1 a xn−1 − 1

1

= x1 |a| x1 + · · · + xn−1 |a| xn−1

d , d ¡?Ø ü« ¹ , § (6-9) )E,´ x1 = x2 = · · · = xn−1 = 1.

nþ¤ã, Ñ § (6-9) ¤k K¢ê)Ǒ x1 = x2 = · · · = xn−1 = 1.

u´, ¤ ½n y².

104

1ÔÙ

1ÔÙ 7.1

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

Smarandache

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

Ÿê ¡ĂœĂžÂŠÂŻK

3 ¥Ž²0 L Smarandache Ÿê S(n) 9Ă?fĂˆĂŞ {P (n)} ½Ă‚, = d

S(n) = min{m : m ∈ N, n | m} Pd (n) = n

d(n) 2

.

'uÚ߇Ÿê ÂˆÂŤ5Â&#x;, ÂŽkNĂľ<?1ĂŻĂ„. ֊Ü3 < ĂŻĂ„¤JĂž EÂż )Ăť ˜‡# ¡ĂœĂžÂŠÂŻK („Šz [60]), äN`Ă’´|^ 9)Ă›Â?{ĂŻĂ„ ¡ĂœĂžÂŠ 2 X 1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) 2 n≤x

ĂŹC5Â&#x;§¿Â‰Ă‘ ˜‡ r ĂŹCúª. ½n 7.1. N ≼ 1 Ǒ‰½ ĂŞ. ĂŠu?¿¢ê x > 1, ¡Â‚k ĂŹCúª X

n6x

2 X 3 N 1 x2 S (Pd (n)) − d (n) P (n) = ci ¡ i + O 2 ln x i=1

3

x2

lnN+1 x

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… Ç‘ Riemann zeta- Ÿê. Ç‘ y²Ú‡(Ă˜, k‰ÑA‡Ún. Ăšn 7.1.1. n ≼ 1 Ç‘ ĂŞâˆš, K (i) XJ n k˜‡ƒĂ?f p > n§K S (P (n)) = √ (ii) XJ n = n p p Â… n < p < p 6 n§K ¡p ; (iii) XJ n = n p Â… p > n , Kk S (P (n)) −

,

3 Μ 4 32 c1 = ¡ , Μ(n) 2 Μ(3)

i

d(n) 2

d

1 1 2

d(n) 2

!

1 3

1

2

¡ p; S (Pd (n)) =

2

1

3 pd (n1 ) . 2

2

1

d

1 d (n) P 2

(n) =

105

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? y ²: ĂŠ ? Âż ĂŞ n, n = p p ¡ ¡ ¡ p Ç‘ n I O Š ) ÂŞ. u ´ d Smarandache Âź ĂŞ 5 Â&#x; ÂŒ S(n) = max{S (p ) , S (p ) , ¡ ¡ ¡ , S (p )}. u´ √ 1 (i). n k˜‡ƒĂ?f p > n ž, 5Âż dž p ≼ d(n), 2 d Smarandache Ÿê 5Â&#x;9ÂŽ ^‡k Îąk k

Îą1 Îą2 1 2

Îą1 1

Îąk k

Îą2 2

d(n) d(n) d (n) ¡ p. S (Pd (n)) = S n 2 = S p 2 = 2 √ 1 (ii). n = n1 p1 p2 n 3 < p1 < p2 6 n , Smarandache S (m1 p1 p2 ) = p2 , d(n) d(n) d(n) d(n) d(n) 2 2 2 S (Pd (n)) = S m1 p1 p2 = S p2 2 = ¡ p2 . 2

ĂŞ 5Â&#x;ÂŒ d

Â…

žd

¤¹

Âź

Â… p > n ž, džw,k n < p 6 √n. u´ Ÿê 5Â&#x;Âż5Âż d(n) = 3d(n ) ¡Â‚k:

(iii). n = n1 p2 Smarandache

1 3

1

1

3 1 d (n) 1 1 − pd (n) = pd n1 p2 = p¡d (n1 ) . S (Pd (n))− d (n) P (n) = 2p¡ 2 2 2 2 2

u´y² Ăšn 7.1.1. Ăšn 7.1.2. - p Ç‘ÂƒĂŞ, m Ç‘ ĂŞ, Â… m 6 x , KkĂŹCúª 1 3

3 N 2 x 2 X ci ¡ lni−1 m 2 p = +O 3 m 23 i=1 lni x √x

X

m6p6

3

x2 3

m 2 lnN+1 x

!

+O

m

m3 , ln m

Ù¼ c Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c = 1. y²: w,dƒê½n¡Â‚k²Â… OÂŞ: i

1

X

p6m

2

2

p = m Ď€(m) −

Z

m

2yπ(y)dy = O

2

u´dŠz [3] Âą9 Abel Ăšúª¡Â‚ĂĄÇ‘Ă­Ă‘: X

√x

m6p6

106

m

p2 =

X

√x

p6

m

p2 + O

m3 ln m

x = ¡Ď€ m

r

m3 ln m

x m

−

.

Z √x

m

2

2yπ(y)dy

1ÔÙ

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

3 N 2 x 2 X ci ¡ lni−1 m = +O 3 m 23 i=1 lni x

3

x2 3

m 2 lnN+1 x

!

+O

m3 ln m

,

Ù¼ c Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… c = 1. u´ ¤ Ăšn 7.1.2 y². Ăšn 7.1.3. ĂŠ?¿¢ê x > 3, A L¤kĂš ĂŞ n 8 Ăœ¾Ê?ÂżÂƒĂŞ p, p|n Â…= p ≤ n . KkXe OÂŞ: i

1

1 3

2 X 4 1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) ≪ x 3 ln2 x. 2

n6x n∈A

y²: 5Âż ĂŠ?Âż ĂŞ n ∈ A§w,d Smarandache Ÿê S(n) 1 1 5Â&#x; p|n ž, XJ S(n) = p, K S (P (n)) = 2 d(n)P (n) = 2 d(n)¡p, džk d

1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) 2

XJ S (P (n)) 6= 12 d(n)P (n), OÂŞ: X

= 0.

S(n) = S(pÎą ).

d

n≤M

2

Kw,k ι ≼ 2. 5¿

d2 (n) ≪ M ¡ ln3 M.

u´dƒê½n (ĂŤ Šz [8] 9 [27]) ¡Â‚k

2 X X 1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) ≪ p2 d2 (n) 2 2

n6x n∈A

≪

X

1

p≤x 3

np ≤x p≤n

p2

X

4

p<n≤ px2

d2 (n) ≪ x 3 ln2 x.

l y² Ăšn 7.1.3. ½n y²: ŠâĂšn 7.1.1 (i) ÂŞ ĂŠ?Âż ĂŞ n, XJ 3 ÂƒĂŞ p|n Â… p > √n, K S (P (n)) − d (n) ¡ P (n) = 0. u´(ĂœĂšn 7.1.1 2 (ii) ªÚÚn 7.1.3 Âż5Âż Riemann zeta- Ÿê Ă° ÂŞÂľ d

∞ X d2 (n) 3

n=1

n2

Îś 4 32 = , Îś(3)

107

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ¡Â‚ĂĄÇ‘ X

2 1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) 2 n6x 2 X 1 = S (Pd (n)) − d (n) P (n) + 2 n6x √ p|n, p> n

X

(S (Pd (n))

n6x √ p|n, p6 n

2 1 − d (n) P (n) 2 2 X 1 = S (Pd (n)) − d (n) P (n) 2 n6x √ p|n, p6 n

X

=

n6x 1

2 1 S (Pd (n)) − d (n) P (n) + 2

p|n, p6n 3

X

(S (Pd (n))

n6x 1 √ p|n, n 3 <p6 n

2 1 − d (n) P (n) 2 4 X 1 2 2 2 2 2 3 = S Pd n1 p − d n1 p P n1 p + O x ln x 2 2 n1 p 6x n1 <p

X

=

1

X

n6x 3 n<p≤

√x

n

9 X 2 = d (n) 4 1 n6x 3

N X

3 2

3 pd (n) 2

X

n<p≤

x = ci ¡ i + O ln x i=1

2

4 + O x 3 ln2 x

4 2 3 p + O x ln x 2

√x

n

3

x2 lnN+1 x

!

,

Ù¼ c (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , N) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞÂ… l ¤

½n y². ½n3Ă?Âś Smarandache Ÿê S(n) 9Ă?fĂˆĂŞ {P (n)} Ă„ :Ăž, E ˜‡ŽâŸê† ÂŒÂƒĂ?fŸê¿|^ Â?{ĂšÂƒê½ nĂŻĂ„ §Â‚ ¡ĂœĂžÂŠÂŻK, ¿‰Ñ §Â‚ ˜‡ r ĂŹ?úª. i

3 Μ 4 32 c1 = ¡ . 2 Μ(3)

d

108

1ÔÙ Smarandache ¼ê '¯K k, Öö ±æ aq {, 5 E õ ¼ê, ¿ïħ ·Ü þ .

'u² Öê SSC(n) ü ¯K

7.2

F. Smarandache :

Ç3©z [1] ¥ JÑ ±eù Smarandache

² Öê¼ê ½Â 7.1. é?¿ ê n, Ͷ Smarandache ² Öê¼ ê SSC(n) ½ÂǑ ê m m · n Ǒ ² ê, =Ò´ SSC(n) = min{m : m · n = k 2 , m, k ∈ Z ∗ }.

d

½Â· ØJO Ñ

A Ǒ:

SSC(n) SSC(n) SSC(1) = 1, SSC(2) = 2, SSC(3) = 3, SSC(4) = 1, SSC(5) 5, SSC(6) = 6, SSC(7) = 7, SSC(8) = 2, SSC(9) = 1, SSC(10) 10, SSC(11) = 11, SSC(12) = 3, SSC(13) = 13, SSC(14) 14, SSC(15) = 15, SSC(16) = 1, SSC(17) = 17, SSC(18) 2, SSC(19) = 19, SSC(20) = 5, · · · .

= = = =

'u SSC(n) 5 , NõÆö?1 ïÄ, éõkd ¤J. ~X, Russo [61] é SSC(n) ?1 ïÄ, Ñ 'u SSC(n) 5 : 5 1. éu?¿ ê n, k SSC(n) ≤ n. 5 2. éu?¿ ê n, XJ n IO©)ªǑ n = p p · · · p , o α1 α2 1 2

αs s

odd(α1 ) odd(α2 ) p2

SSC(n) = p1

Ù¥ α ≥ 0, p i

i

s) · · · podd(α , s

´pØ Ó ê, ¼ê odd(n) ½ÂǑ: ( 1, en´Ûê; odd(n) = 0, en´óê.

(i = 1, 2, · · · , s)

109

'uSmarandache¯KïÄ #? Russo ӞJÑXe¯K: n X ln SSC(k)

ÂŻK 1. OÂŽ4Â

n→∞

ÂŻK 2. OÂŽ4Â

SSC(n) , n→∞ θ(n)

lim

k=2

ln k

n

lim

.

Ù¼ θ(n) = P ln SSC(k). k≤n

'uÚ߇¯K, –8q vk<ĂŻĂ„, – ¡Â‚vkw Lk'Â? ÂĄ Ă˜Š.  C RÂ&#x; [62] )Ăť Ú߇¯K, Ă‘ Âąe(Ă˜: ½n 7.2. ĂŠu?Âż ĂŞ n ≼ 1, k OÂŞ n ln SSC(k) P ln k 1 k=2 =1+O . n ln n

Ă­Ă˜ 7.2.1. ĂŠu?Âż ĂŞ n ≼ 1, k4 n ln SSC(k) P ln k lim k=2 = 1. n→∞ n

½n 7.3. ĂŠu?Âż ĂŞ n ≼ 1, k OÂŞ SSC(n) =O θ(n)

1 ln n

.

Ă­Ă˜ 7.2.2. ĂŠu?Âż ĂŞ n ≼ 1, k4 lim

n→∞

SSC(n) = 0. θ(n)

Ç‘ ¤½n y², I‡¹eA‡Ún: 110

1ÔÙ Smarandache Ÿêƒ'ÂŻK ĂŠu?¿¢ê x ≼ 2, kĂŹCúª

Ăšn 7.2.1.

X

Âľ2 (n) =

n≤x

√ 6 x + O x . Ď€2

(7-1)

5Âż Îś(2) = Ď€6 , Ă?d (7-1) ÂŞÂŒ Ç‘ 2

X

Âľ2 (n) =

n≤x

√ x +O x , Îś(2)

(7-2)

Ù¼ Îś(n) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê. Ăšn 7.2.2. ĂŠu?¿¢ê x ≼ 2, kĂŹCúª X

n≤x

ln SSC(n) = x ln x − Ax + O

√ x ln2 x ,

(7-3)

Ù¼ A Ç‘~ĂŞ. y²: XJ^ A L¤k ²Â?Ă?fĂŞ 8Ăœ, od Abel Ăš úª (ĂŤ Šz [8] ¼½n 4.2!Ăšn 1 95Â&#x; 2), k X

ln SSC(n)

n≤x

X

=

ln SSC(m2 l) =

m2 l≤xl∈A

=

X X

√ x m≤ x l≤ m2

X

ln l

m2 l≤xl∈A

ln l ¡ ¾2 (l)

) √ Z x √ m2 1 x 1 x x t = ln 2 +O − +O t dt m Îś(2) m2 m t Îś(2) √ 1 m≤ x √ X x ln x 1 2x ln m x 1 x ln x = − − +O . (7-4) Îś(2) m2 Îś(2) m2 Îś(2) m2 m √ X

(

m≤ x

5Âż e A‡ÏCúª

[8]

X1 1 = ln x + C + O , n x n≤x

:

Ù¼C Ǒ~ê; 111

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #?

Z

∞

1

X 1 1 1 = Îś(2) − + O ; 2 n x x2 n≤x X ln n ln x 1 ln x = B − , − + O n2 x x x2 n≤x

Ù¼B

=

1 +

Ç‘~ĂŞ.

(t − [t])(t − 2t ln t) dt t4 (7-4) ,

d

ÂŞk

X

n≤x

ln SSC(n) =

x ln x X 1 2x X ln m − 2 Îś(2) Îś(2) √ m2 √ m m≤ x

m≤ x

√ x X 1 2 − + O x ln x Îś(2) √ m2 m≤ x

√ 2 Bx − x + O x ln2 x Îś(2) √ = x ln x − Ax + O x ln2 x ,

= x ln x −

2B + 1 Ç‘~ĂŞ. Ù¼ A = Îś(2) u´ ¤ Ăšn 7.2.2 y². ½n y²: 3ĂšÂ˜ĂœŠ, ^ Â?{‰Ñ½n y². Ă„ky² ½n 7.2. ˜Â?ÂĄ, d5Â&#x; 1, k n ln SSC(k) n ln k P P ln k ln k n−1 k=2 ≤ k=2 = < 1. n n n

(7-5)

,˜Â?ÂĄ, dĂšn 7.2.2, k n ln SSC(k) P ln k k=2 n

112

n

1 X > ln SSC(k) n ln n k=2 A ln n = 1− +O √ ln n n 1 = 1+O . ln n

(7-6)

1ÔÙ Smarandache Ÿêƒ'ÂŻK (Ăœ (7-5)!(7-6) ÂŞ, k n ln SSC(k) P ln k 1 k=2 =1+O . n ln n

u´ ¤ ½n 7.2 y². Ă­Ă˜ 7.2.1 ÂŒn)Ç‘½n 7.2 ÂĽ n → ∞ ž 4 . y3y²½n 7.3. d5Â&#x; 1!Ăšn 7.2.2 9 SSC(n) ½Ă‚, k SSC(n) n 0< < =O θ(n) θ(n)

d (7-7) ÂŞ, k

SSC(n) =O θ(n)

1 ln n

1 . ln n

.

(7-7)

u´y² ½n 7.3. Ă­Ă˜ 7.2.2 ÂŒn)Ç‘½n 7.3 ÂĽ n → ∞ ž 4 . ¹Þ¡Â‚Ă?L|^ 9)Ă› Â?{ĂŻĂ„ ln SSC(n) ŠŠĂ™5 Â&#x;, l ò Russo [61] JĂ‘ ߇4 ¯K”.)Ăť. 'u Smarandache ²Â?Ă–êŸê SSC(n) 5Â&#x;8 ƒ$ , „kNþ¯Kk–k, ÆÜ?1ĂŻĂ„. ~X, ÂŻK 1. Â?§ S(n) + Z(n) = SSC(n) ¤k ĂŞ). ÂŻK 2. ĂŻĂ„Ÿê SSC(Z(n)) 9Ÿê Z(SSC(n)) 5Â&#x;. k

7.3

k

k

'u Smarandache ˜Ÿê Â˜Â‡ĂžÂŠÂŻK

½Ă‚ 7.2. ĂŠ?Âż ĂŞ n, Ă?Âś Smarandache ˜Ÿê SP (n) ½ Ă‚Ç‘ ê m n|m , Ù¼ m Ăš n kÂƒĂ“ ƒĂ?f. =Âľ m

   Y Y  SP (n) = min m : n|mm , m ∈ N, p= p ,   p|n

p|m

113

'uSmarandache¯KïÄ #? Ù¥ N L«¤kg,ê 8Ü. ~X, SP (n) A Ǒ: SP (1) = 1,

SP (2) = 2, SP (3) = 3, SP (4) = 2, SP (5) = 5, SP (6) = 6, SP (7) = 7, SP (8) = 4, SP (9) = 3, SP (10) = 10, SP (11) = 11, SP (12) = 6, SP (13) = 13, SP (14) = 14, SP (15) = 15, SP (16) = 4, SP (17) = 17, SP (18) = 6, SP (19) = 19, SP (20) = 10, · · · .

Ç3©z [1] ¥ïÆ· ïÄ SP (n) 5 . ½Â éN´ e¡ (Ø: e n = p , Ù¥ p Ǒ

F. Smarandache SP (n) ,

l ê, Kk

  p,     2   p , SP (n) = p3 ,    ···     pα ,

α

1 ≤ α ≤ p; p + 1 ≤ α ≤ 2p2 ; 2p2 + 1 ≤ α ≤ 3p3 ; ··· (α − 1)pα−1 + 1 ≤ α ≤ αpα .

- n = p p · · · p L« n ê ©)ª. w,, SP (n) Ø´ ¼ê. ~X, SP (8) = 4, SP (3) = 3, SP (24) = 6 6= SP (3) × SP (8). éA ¤k m Ú n (m, n) = 1, Ñk SP (mn) = SP (m) · SP (n). 3©z [63] ¥, M󸮲ïÄ SP (n) þ 5 , ¿¼ r ìCúªµ α1 α2 1 2

X

n≤x

αr r

3 1 2Y 1 SP (n) = x 1− + O x 2 +ǫ , 2 p(p + 1) p

Ù¥ ǫ L«?¿ ½ ê, Y L«é¤k ê p È. p

ïÄ ¹ SP (n) ¡?ê Âñ5¯ K, ¿y² é?¿ Eê s ÷v Re(s) > 1, k Zhou Huanqin [64]

114

 s 2 +1 1   , k = 1, 2;  s − 1 ζ(s)  2  ∞  2s + 1 1 X 2s − 1 (−1)µ(n) − , k = 3; = k ))s 2s − 1 ζ(s) 4s  (SP (n  n=1   2s + 1 1 2s − 1 3s − 1   s − + , k = 4, 5. 2 − 1 ζ(s) 4s 9s

1ÔÙ Smarandache ¼ê '¯K X¥ 3©z [65] ¥|^ {ïÄ SP (n) ²;êؼê î.¼ê φ(n) 'X, =ïÄ § SP (n ) = φ(n) )5, ¿ Ñ

k = 1, 2, 3 ¤k ê), =e¡ (Ø: (1) SP (n) = φ(n) k =k 4 ê) n = 1, 4, 8, 18. (2) § SP (n ) = φ(n) k =k 3 ê) n = 1, 8, 18. (3) § SP (n ) = φ(n) k =k 2 ê) n = 1, 16. k

2 3

Ü©Ì 8 ´|^)Û {ïÄ SP (n) k g ©Ù5 P P , Ñ n (SP (n)) 9 (k > 0, l ≥ 0) ìCúª, í 2 ©z [63] (Ø. ½n 7.4. é?¿ ¢ê x ≥ 3 9 ½ ¢ê k, l (k > 0, l ≥ 0), kìCúª l

k

n≤x

n≤x

(SP (n))k nl

[67]

X

n≤x

Y 1 ζ(k + 1) 1 k+l+1 x n (SP (n)) = 1− k +O xk+l+ 2 +ε , (k + l + 1)ζ(2) p (1 + p) p l

k

X (SP (n))k n≤x

nl Q

Y 1 ζ(k + 1) 1 k−l+1 = x 1− k +O xk−l+ 2 +ε , (k − l + 1)ζ(2) p (1 + p) p

Ù¥, L«é¤k ê p È, ε L«?¿ ê, ζ(s) L« Riemann zeta- ¼ê. íØ 7.3.1. é?¿ ¢ê x ≥ 3 9 ½ ¢ê k > 0, kìCúª p

′

X

(SP (n))

n≤x

1 ′ k

′

=

′

6k ζ( 1+k ′ ) k (k ′ + 1)π 2

AO/,

x

′ k +1 ′ k

Y p

1−

1 1

p k′ (1 + p)

9ζ( 43 ) 4 Y 1 (SP (n)) = x3 1− 1 2 2π p 3 (1 + p) p n≤x X

1 3

!

4ζ( 32 ) 3 Y 1 (SP (n)) = x2 1− 1 2 π p 2 (1 + p) p n≤x X

1 2

!

!

+O x

′ k +2 ′ +ε 2k

,

5 + O x 6 +ε , + O x1+ε .

115

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ĂŠ?¿¢ê x ≼ 3 9‰½ ¢ê, kĂŹCúª

Ă­Ă˜ 7.3.2. X

n≤x

3 Y 1 1 l+2 n (SP (n)) = x 1− + O xl+ 2 +Îľ , (l + 2) p(1 + p) p l

5 6Îś(3) l+3 Y 1 n (SP (n)) = x 1 − + O xl+ 2 +Îľ , 2 (1 + p) (l + 3)Ď€ 2 p p n≤x 7 X Y Ď€2 1 l 3 l+4 n (SP (n)) = x 1− 3 + O xl+ 2 +Îľ . 15(l + 4) p (1 + p) p n≤x X

l

2

Ç‘ ¤½n y², I‡e Ăšn. s = Ďƒ + it, Îś(s) Ç‘ Riemann zeta- Ÿê, kQ> 0, l ≼ 0 Ǒ‰½ Ăź ‡¢ê, p Ç‘ÂƒĂŞ. - n = p p ¡ ¡ ¡ p , U(n) = p. Îą1 Îą2 1 2

Îąr r

p|n

Ăšn 7.3.1. ĂŠ?Âż ¢ê x ≼ 1 9‰½ ¢ê k ≼ 1, kĂŹCúª

X

n≤x

Îś(k + 1) k+1 Y 1 k+ 21 +Îľ (U(n)) = 1− k +O x . x (k + 1)Îś(2) p (1 + p) p k

y²: - A(t) = P (U(n)) , du U(n) ´Ăˆ5Ÿê, ŠâŠz [66] n ÂĽ Euler ĂˆŠª, Ďƒ > k + 1 ž, ÂŒ k

∞

n=1

s

" ∞ # m k Y X (U(p )) A(s) = = s n pm p m=0 n=1 Y pk pk Îś(s)Îś(s − k) Y 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ = 1− k . s−k ) p p Îś(2s − 2k) p (1 + p p p ∞ X (U(n))k

- h(s) =

∞ X (U(n))k n=1

nĎƒ

116

p

1 1− k , p (1 + ps−k )

< Îś(Ďƒ − k),

X a(n)

n≤x

Y

ns0

Ďƒ > k + 1 ž, |U(n)| ≤ n,

dŠz [66] ¼ Perron úª ,

1ÔÙ

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

b xs x B(b + Ďƒ0 ) A(s + s0 ) ds + O s T b−iT lg x x 1âˆ’Ďƒ0 âˆ’Ďƒ0 +O x H(2x) min(1, ) + O x H(N) min(1, ) , T T kxk

1 = 2Ď€i

Z

b+iT

Ù¼, N Ç‘l x  C ĂŞ, x Ç‘ÂŒĂ›ĂŞÂž, N = x − 12 , kxk = 3 |x − N|. a(n) = (U(n)) , s = 0, b = k + , T = x , H(x) = 2 x, B(Ďƒ) = Îś(Ďƒ − k), K k

1 (U(n)) = 2πi n≤x X

k

òĂˆŠÂ‚l

Z

k+ 32 +iT

k+ 23 −iT

s

xs Îś(s)Îś(s − k) k+ 21 +Îľ h(s) + O x . Îś(2s − 2k) s

ÂŁ k + 12 Âą iT , d ž Âź 3 s = k + 1 ?k˜‡˜ 4:, Ă™3ĂŞÇ‘

s = k +

− k) x ĂŞ Îś(s)Îś(s h(s) Îś(2s − 2k) s

k+ 21

0

3 Âą iT 2

Îś(s)Îś(s − k) xs L(x) = Res h(s) s=k+1 Îś(2s − 2k) s Îś(s)Îś(s − k) xs = lim (s − k − 1) h(s) s→k+1 Îś(2s − 2k) s Îś(k + 1) k+1 = x h(k) (k + 1)Îś(2) Y 1 , h(k) = 1− k . , p (1 + p) p Z k+ 1 +iT Z k+ 1 −iT Z k+ 3 +iT ! 2 2 2 1 1 Îś(s)Îś(s − k) xs + + h(s) ≪ xk+ 2 +Îľ . 2Ď€i Îś(2s − 2k) s k+ 23 +iT k+ 21 +iT k+ 21 −iT

Ù¼

¤¹,

X

n≤x

N´ O

1 Îś(k + 1) k+1 Y 1 (U(n)) = x 1− k + O xk+ 2 +Îľ . (k + 1)Îś(2) p (1 + p) p k

Ăšn 7.3.1 y. Ăšn 7.3.2. ĂŠ?Âż ¢ê x ≼ 3!‰½ ¢ê k > 0 9 ĂŞ Îą, k X pÎą ≤x Îą>p

(ιp)k ≪ ln2k+1 x.

117

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? y²: Ď€(x) = P 1, dŠz [27] , p≤x

x π(x) = +O ln x

d Abel ÂŞ, ÂŒ

x

p = Ď€(x)x − k

lnk x = + O lnk−1 x − k (k + 1)

Z

ln x

p≤x

p≤ln x

k

p

x ln2 x

Z

X

X

k

k

.

Ď€(t)tk−1 dt.

2

2

Z

tk dt + O ln t

ln x 2

tk dt ln2 x

lnk x + O lnk−1 x . k+1

=

Ă?Ç‘ Îą > p, ¤¹ p

p

< pι ≤ x. p<

q

X

o

ln x ln x < ln x, ι ≤ . ln p ln p nk =

n≤x

l X

(Îąp)k

pι ≤x ι>p

=

X

pk

p≤ln x

≪ lnk+1 x

xk+1 + O xk . k+1 X

x ι≤ ln ln p

X

p≤ln x

ιk ≪ lnk+1 x

X

p≤ln x

pk lnk+1 p

pk ≪ ln2k+1 x.

Ăšn 7.3.2 y. ½n y²: - A = {n|n = p p ¡ ¡ ¡ p , Îą ≤ p , i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r}, n ∈ A ž, k SP (n) = U(n), n ∈ N ž, k SP (n) ≼ U(n), l Îą1 Îą2 1 2

X

(SP (n))k −

n≤x

118

X

(U(n))k =

n≤x

Îąr r

i

i

X (SP (n))k − (U(n))k ≪

n≤x

X

n≤x SP (n)>U(n)

(SP (n))k .

1ÔÙ Smarandache ¼ê '¯K d©z [63] , 3 ê α 9 ê p, SP (n) < αp, âÚ n 7.3.2 X

X

(SP (n))k <

n≤x SP (n)>U(n)

n≤x SP (n)>U(n)

X

n≤x

(SP (n))k −

dÚn 7.3.1 , X

(αp)k ≪

X

XX

n≤x pα ≤x α>p

(αp)k ≪ x ln2k+1 x.

(U(n))k ≪ x ln2k+1 x.

n≤x

(SP (n))k

n≤x

1 ζ(k + 1) k+1 Y 1 = 1− k + O xk+ 2 +ε + O x ln2k+1 x x (k + 1)ζ(2) p (1 + p) p ζ(k + 1) k+1 Y 1 k+ 21 +ε = 1− k +O x . x (k + 1)ζ(2) p (1 + p) p

B(x) = P (SP (n)) , |^ Abel Úúª, k

n≤x

X

nl (SP (n))k

n≤x l

Z

x

B(t)tl−1 dt 1 1 ζ(k + 1) k+l+1 Y k+l+ 21 +ε x 1− k +O x = (k + 1)ζ(2) p (1 + p) p Z x Z x lζ(k + 1) Y 1 k+l k+l− 12 +ε − 1− k t dt + O t dt (k + 1)ζ(2) p p (1 + p) 1 1 Y 1 ζ(k + 1) 1 k+l+1 = x 1− k + O xk+l+ 2 +ε , (k + l + 1)ζ(2) p (1 + p) p = x B(x) − 1 − l

X (SP (n))k

n≤x −l

nl

= x B(x) − 1 + l

Z

x

B(t)t−l−1 dt

1

119

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Îś(k + 1) k−l+1 Y 1 k−l+ 21 +Îľ = x 1− k +O x (k + 1)Îś(2) p (1 + p) p Z x Z x lÎś(k + 1) Y 1 k−l k−l− 12 +Îľ + 1− k t dt + O t dt (k + 1)Îś(2) p p (1 + p) 1 1 Y Îś(k + 1) 1 k−l+1 k−l+ 21 +Îľ = x 1− k +O x . (k − l + 1)Îś(2) p (1 + p) p

½n y. Šâ½n, l = 0, k = k1 , =ÂŒ Ă­Ă˜ 7.3.1; k = 1, 2, 3, Ă„ Îś(2) = Ď€ /6, Îś(4) = Ď€ /90, =ÂŒy Ă­Ă˜ 7.3.2. ÂŒÂąwĂ‘, T½n´ ʊz [63] Ă­2. ′

2

4

'u Smarandache {ߟê

7.4

F. Smarandache :

Ç3Šz [1] ÂĽ1 42 ‡¯K½Ă‚ Smarandache

{ߟêXe ½Ă‚ 7.3. n Ç‘ ĂŞ, Smarandache {ߟê S (n) ½Ă‚Ç‘: á v p |m!  ê m ∈ N, =Âľ p

n

Sp (n) = min {m : pn |m!, m ∈ N} .

Šz [68] ½Ă‚ Smarandache {ߟê \{aqŸêXe: ½Ă‚ 7.4. S (n) = min {m : p ≤ m!!, m ∈ N} (n ∈ (1, ∞)) Ăš S (n) = max {m : m!! ≤ p , m ∈ N} (n ∈ (1, ∞)), KÂĄ S (n) Ăš S (n) Ç‘ Smarandache {ߟê \{aq. w,, e (m − 2)!! < p ≤ m!!, S (n) = m, Ù¼ m > 2. 'u S (n) 5Â&#x;, NþÆÜÑ?1 ĂŻĂ„, ̈́Šz [69-72]. XŠz [72] ĂŻĂ„

d(S (n)) ފ5Â&#x;, Ă‘ ĂŹCúª: n

p

∗ P ∗ p

n

n

p

p

p

X

n≤x

120

d(S p (n)) = 2x(ln x − 2 ln ln x) + O (x ln p) .

p

1ÔÙ

Ÿêƒ'ÂŻK !ĂŒÂ‡ĂŻĂ„ Ďƒ (S (n)) ĂŹC5Â&#x;, Ù¼ Ďƒ (n) = P d ´Ă˜ĂŞĂšÂź ĂŞ, ¿… ߇ Ç‘°( ĂŹCúª. ½n 7.5. p Ǒ˜‡‰½ ÂƒĂŞ , ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1, k  Ď€ x ln p 2x ln p x   ln +O , XJÎą = 1,   ln x  3 ln x ln x X Îą

Smarandache

p

Îą

Îą

d|n

[73]

2

2

2

2

ĎƒÎą (S p (n)) =

n≤x

Μ(ι + 1) 2   ι+1   

2

Îą+1 Îą+1

Îą

x ln p 2x ln p ln Îą+1 ln x ln x

xÎą+1 +O , lnÎą+1 x Îą 6= 1.

XJ

½n 7.6. p Ǒ˜‡‰½ ÂƒĂŞ , ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1, k  Ď€ x ln p 2x ln p x   ln +O , XJÎą = 1,   ln x  3 ln x ln x X [73]

2

2

2

2

∗ ĎƒÎą (S p (n))

n≤x

=

2

Μ(ι + 1) 2   ι+1   

Îą+1 Îą+1

Îą

x ln p ln Îą+1 ln x

2x ln p ln x

xÎą+1 +O lnÎą+1 x Îą 6= 1.

XJ

Ăšn 7.4.1. ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1, k X

Ďƒ1 (n) =

n≤x

Ď€2 2 x + O (x ln x) . 12

Ăšn 7.4.2. ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1 Ăš Îą > 0, Îą 6= 1, k X

ĎƒÎą (n) =

n≤x

Μ(ι + 1) ι+1 + O xβ , x ι+1

Ù¼ β = max{1, Îą}. Ăšn 7.4.1 ÚÚn 7.4.2 y²Â„Šz [8]. ln(m − 2)!! ln m!! ½n y²: d S (n) ½Ă‚ , n ∈ ln p , ln p ,

2x ln p k S (n) = m. e (m − 2)!! < p ≤ m!!, K

m − ln x

≪ ln ln x. dÚ n 7.4.1 Ú Abel ª, k p

x

p

X

Ďƒ1 (S p (n))

n≤x

121

,

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? =

X

X

m≤ 2xlnlnx p ln(m−2)!! <n≤ lnlnm!! ln p p

=

X

m≤ 2xlnlnx p

=

X

m≤ 2xlnlnx p

=

X

m≤ 2xlnlnx p

1 = ln p

Ďƒ1 (m)

2x ln p <m< 2xlnlnx p +ln ln x ln(m−2)!! <n≤ lnlnm!! ln x ln p p



ln m  Ďƒ1 (m) + O  ln p 2x ln p ln x



X

<m< 2xlnlnx p +ln ln x

ln x  Ďƒ1 (m) ln p

ln m Ďƒ1 (m) + O (x ln ln x) ln p   ln m  X  Ďƒ1 (m) + O  Ďƒ1 (m) + O (x ln ln x) ln p 2x ln p m≤

X

ln mĎƒ1 (m) + O

m≤ 2xlnlnx p



X

X

Ďƒ1 (m) +

1  2x ln p = ln ln p ln x

X

m≤ 2xlnlnx p

ln x

x2 ln2 x

Ďƒ1 (m) −

Z



2x ln p ln x

2 1X x  Ďƒ1 (t)dt + O t ln2 x

1

m≤t

Z 2x ln p 2 ln x 1 2x ln p Ď€ 2 4x2 ln2 p 1 1 Ď€ 2 ln t + O (t ln t) dt = − ln p ln x 12 ln2 x ln p 1 t 12 2 x +O ln2 x 2 Ď€ 2 x2 ln p 2x ln p x ln = +O . 2 3 ln x ln x ln2 x

XJ Îą 6= 1, dĂšn 7.4.2 Ăš Abel ÂŞ, k X

ĎƒÎą (S p (n))

n≤x

=

X

X

m≤ 2xlnlnx p ln(m−2)!! <n≤ lnlnm!! ln p p

=

X

m≤ 2xlnlnx p

=

X

m≤ 2xlnlnx p

122



ln x

X

2x ln p <m< 2xlnlnx p +ln ln x ln(m−2)!! <n≤ lnlnm!! ln x ln p p

ln m  ĎƒÎą (m) + O  ln p 2x ln p

X

ĎƒÎą (m) +

X

<m< 2xlnlnx p +ln ln x







ln x  ĎƒÎą (m) ln p

ln m  X  ĎƒÎą (m) + O  ĎƒÎą (m) + O (x ln ln x) ln p 2x ln p m≤

ln x

ĎƒÎą (m)

1ÔÙ 1 = ln p

X

ln mĎƒÎą (m) + O

m≤ 2xlnlnx p



1  2x ln p ln ln p ln x

=

Smarandache

X

m≤ 2xlnlnx p

Ÿêƒ'ÂŻK

xÎą+1 lnÎą+1 x

ĎƒÎą (m) −

Z

2x ln p ln x

1



1X  ĎƒÎą (t)dt t m≤t

xÎą+1 +O lnÎą+1 x 1 2x ln p Îś(Îą + 1) 2Îą+1 xÎą+1 lnÎą+1 p = ln ln p ln x Îą+1 lnÎą+1 x Îą+1 2x ln p Z ln x 1 1 Îś(Îą + 1) 2 x Îą − t + O (t ) dt + O ln p 1 t Îą+1 lnÎą+1 x 2x ln p xÎą+1 Îś(Îą + 1) 2Îą+1xÎą+1 lnÎą+1 p = ln +O . Îą+1 ln x lnÎą+1 x lnÎą+1 x

ÚÒ ¤ ½n 7.5 y². ^Ă“ Â?{ÂŒÂąy²½n 7.6. Smarandache k

7.5

gĂ–êŸê

½Ă‚ 7.5. k ≼ 2 Ç‘ ĂŞ, ĂŠu?Âż ĂŞ n ≼ 2, e A (n) ´ áv A (n) Ă— n Ç‘ k gÂ?  ê, ÂĄ A (n) Ç‘ n k g Ă–êŸê, Ç‘ÂĄ A (n) Ç‘ n k gĂ–ĂŞ. ~X, A (1) = 1, A (2) = 2, A (3) = 3, A (4) = 1, A (5) = 5, A (6) = 6, A (7) = 7, A (8) = 2, ¡ ¡ ¡ , = A (2) = 2 , A (3) = 3 , A (2 ) = 1, ¡ ¡ ¡ . ½Ă‚ 7.6. ĂŠ?Âż ĂŞ k ≼ 2, a (n) ´áv a (n) + n Ç‘ k g Â?  ê, ÂĄ a (n) Ç‘ n k gÂŒ\ Ă–êŸê, Ç‘ÂĄ a (n) Ç‘ n k gÂŒ\Ă–ĂŞ. ½Ă‚ 7.7. ĂŠ?Âż ĂŞ n, f (n) = min{r : 0 ≤ r = n − m , m ∈ N}, ÂĄ f (n) Ç‘ n k g~{Ă–Ÿê, = f (n) ´ÂšK ĂŞ, n − f (n) ´Â˜ ‡ k gÂ??ۚKÂŽêŸê h(n)  ê. ½¥ f (n) Ç‘ n k g~{Ă–ĂŞ. k

k

k

k

2

k

2 k−1

2

2

k−1

k

k

2 k

2

k

2

2

k

k

k

k

k

k

k

k

k

123

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ½Ă‚ 7.8. ĂŠ ĂŞ n, eĂ™IOŠ)ÂŞÇ‘ n = p p ¡ ¡ ¡ p , ½Ă‚ ( Îą + Îą + ¡ ¡ ¡ + Îą , n > 1, â„Ś(n) = 0, n = 1. ĂŠ Smarandache k gÂ?Ă–ĂŞÂŻK, kÊþÆ܎²Â‰LĂŻĂ„¿Ÿ

˜ k (J , XŠz [74] ĂŠÂŒ\ k gÂ?ÂŒ\Ă–ĂŞ a (n) ‰ Ă‘ ĂŹCúª: ĂŠ?¿¢ê x ≼ 3, Îą1 Îą2 1 2

1

2

Îąk k

k

[74−76]

X

k

ak (n) =

n≤x

1 2 k2 x2− k + O x2− k . 4k − 2

1 1 1 d(ak (n)) = (1 − )x ln x + (2Îł + ln k − 2 + ) + O x1− k ln x , k k n≤x X

Ù¼ d(n) Ç‘ Dirichlet Ă˜êŸê, Îł Ç‘ĂŽ.~ĂŞ. 3Šz [74] Ă„:Ăž, !$^ Ăš)Ă›Â?{ĂŻĂ„ n − f (n) ފ9Ăš 5Â&#x;, Âź ˜ k ĂŹCúª („Šz [78]), * F. Smarandache Ç3 [1] Â˜Ă–¼¤ 9ÂŻK ïÄóŠ. ½n 7.7. ĂŠu?Ă›¢ê x > 1, keÂĄ ĂŹCúª k

x â„Ś(n − fk (n)) = kx ln ln x + k(A − ln k)x + A2 x + O , ln x n≤x X

Ù¼, A = Îł + X(ln(1 − 1p ) + p −1 1 ), P LÂŤÂƒĂŞÂƒĂš, Îł ´Î.~ĂŞ. ½n

p

p

ĂŠ u ? Ă› ¢ ĂŞ x ≼ 3 Ăš ĂŞ k ≼ 2, ĂŠ ? Îą ≤ 1 ž, ?ê´uĂ‘ ; Îą > 1 ž, ?ĂŞ

7.8. 1 , Îą n=1 (n − fk (n)) ,

ĂŞ ´Ă‚Ăą Â… ∞ P

∞ X

1 = Ck1 Îś(kÎą − k + 1) + Ck2 Îś(kÎą − k + 2) + ¡ ¡ ¡ Îą (n − f (n)) k n=1 +Ck2 Îś(kÎą − 2) + Ck1 Îś(kÎą − 1) + Îś(kÎą),

Ù¼, Îś(s) ´ Riemann zeta- Ÿê, AO k = Îą = 2, 9 k = Îą = 3, ÂŒ Ă­Ă‘ X ∞

1 = 2Îś(3) + Îś(4), (n − f2 (n))2 n=1

124

1ÔÙ

Ÿêƒ'ÂŻK

Smarandache

∞ X

1 = 3Îś(7) + 3Îś(8) + Îś(9)2Îś(3) + Îś(4). 3 (n − f (n)) 3 n=1

‡ ¤½n y²I‡¹eĂšn: Ăšn 7.5.1. ĂŠ?¿¢ê x ≼ 1, kĂŹCúª X

â„Ś(n) = x ln ln x + Ax + O

n≤x

x , ln x

Ù¼, A = Îł + X(ln(1 − 1p ) + p −1 1 ), P LÂŤÂƒĂŞÂƒĂš, Îł ´Î.~ĂŞ. p

p

y²: „Šz [77]. ½n y²: Ă„k5y²½n 7.7. ĂŠu?Âż ĂŞ x ≼ 2, 3 ĂŞ M , M ≤ x < (M + 1) , ÂŒ¹íä, - M = [x ], Âż5Âż x − M = O(1), ĂŠ?ÂżÂƒĂŞ p 9Ă™­ê Îą, 5Âż â„Ś(p ) = Îąp 9 k

k

1/k

1/k

Îą

k

(x + 1) =

X

n≤x

â„Ś(n − fk (n))

M−1 X

X

M−1 X

X

t=1 tk ≤n≤(t+1)k

=

t=1 tk ≤n≤(t+1)k

=

Cki xk−i,

i=0

ÂŒ¹íä =

k X

M−1 X t=1



â„Ś(n − fk (n)) + O  

â„Ś((t + 1)k ) + O 

X

M k ≤n<x

X



â„Ś(n − fk (n))

M k ≤n<(M+1)k



â„Ś((M + 1)k )

k(Ck1 tk−1 + Ck2 tk−2 + Ck3 tk−3 + ¡ ¡ ¡ + Ck1 t1 + 1)â„Ś(t + 1)

+O x(k−1)/k + Îľ

= k2

M−1 X t=1

(t + 1)k−1â„Ś(t + 1) + O x(k−1)/k + Îľ

125

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? M X = k (t)k−1 â„Ś(t) + O x(k−1)/k + Îľ , 2

t=1

ℌ(n) ≪ nξ ,

- A(x) = P â„Ś(n), ^ Abel Ăšúª´ M X

(t)k−1 â„Ś(t)

t=1

=

= =

M

′

A(M ) − A(t)((t)k−1 ) dt + O (1) 2 M k−1 M ln ln M + AM + O M ln M Z M t − t ln ln t + At + O (k − 1)tk−2 dt + O (1) ln t 2 k M M k ln ln M + AM k + O ln M Z M − ((k − 1)tk−1 ln ln t + A(k − 1)tk−1 )dt 2 k k−1 M k k k k (M ln ln M + AM ) + O M ln ln M + AM − k ln M k 1 k A M M ln ln M + M k + O , k K ln M

= M =

Z

k−1

du 0 ≤ x − M

k

< (M + 1)k − M k = Ck1 M k−1 + Ck2 M k−2 + Ck3 M k−3 + ¡ ¡ ¡ + Ck1 M 1 + 1 ≤ x(k−1)/k , ln k + ln ln M ≤ ln ln x < ln k + ln ln(M + 1) < ln k + ln ln M + O x−1/k ,

l k

M x X 1 (t)k−1 â„Ś(t) = x ln ln M + (A − ln k)xk + O , k ln x t=1

X

n≤x

â„Ś(n − fk (n)) = x ln ln x + k(A − ln k)x + O

ÚÒ ¤½n 7.7 y². 126

x . ln x

1ÔÙ Smarandache Ÿêƒ'ÂŻK ey½n 7.8. ĂŠ?Âż ĂŞ n ≼ 1, 3 ĂŞ m, m ≤ n < (m + 1) , ÂŒ¹íä, áv n − f (n) = m ÂŞ n k ((m + 1) − m ), k

k

∞ X

k

k

k

k

∞ X 1 (m + 1)k − mk = (n − fk (n))Îą mkÎą n=1 m=1

∞ X Ck1 mk−1 + Ck2 mk−2 + + ¡ ¡ ¡ + Ck2 m2 + Ck1 m1 + 1 = mkÎą m=1

d ‘?ĂŞ"Ăą{ ĂŠ?Ă›¢ê Îą ≤ 1, ?ê´uĂ‘ , XJ Îą > 1, ?ê´Ă‚Ăą , ÙÚǑ

Ck1 Îś(kÎąâˆ’k+1)+Ck2 Îś(kÎąâˆ’k+2)+¡ ¡ ¡+Ck2 Îś(kÎąâˆ’2)+Ck1 Îś(kÎąâˆ’1)+Îś(kÎą).

ÚÒ ¤½n 7.8 y². 3½n 7.8 ÂĽ k = Îą = 2 9 k = Îą = 3 = Ă­Ă˜.

7.6

˜‡Â?š Gauss Ÿê Â?§9Ă™¢ê) QJĂ‘XeÂŻK: Ă? Â?§

F. Smarandache 1.

ÂŻK

xy − [x] = y

(7-8)

¤k¢ê), Ù¼ [x] ´Ă˜Â‡L x  ÂŒ ĂŞ. ĂŠdÂŻKR, Smarandache ¿™ )Ăť. ~XÂąeÂœšÿ™?Ă˜: (a) y ∈

; Q m Q (b) y = ∈ ; n Z

5: Smarandache Â?Ă‘e y ´ÂŒu 1 Ûê, Kk 1

x = (y + 1) y .

(7-9)

ĂŠudÂœš, ÂŞ (7-9) Ă˜Ă‰ Â›. Ă?e y > 0, Kk y + 1 < (1 + 1)y = 2y . 127

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ò ÂŞ (7-9) “\Â?§ (7-8), u´k y

1

xy − [x] = (y + 1) y − ⌊(y + 1) y ⌋ = y + 1 − 1 = y.

(7-10)

ÂŞ (7-10) L² 0 < y ∈ R ž, Â?§ (7-8) )Ç‘ x = (y + 1) . y < 0 ž, Ă?Ǒ‡ Ă„ EĂŞ, ¤¹Ă? Â?§ (7-8) )ÂŹ' (J, Ăšk–¡Â‚?Â˜Ăš?Ă˜. ÂŻK 2. Ă? Â?§ x − [x] = y ¤k¢ê). ÂŻK 3. Ă? Â?§ x − [x] = x ¤k¢ê). ÂŻK 4. Ă? Â?§ x[y] − [x]y = |x − y| ¤k¢ê). ÂŻK 5. Ă? Â?§ x − y = |x − y| ¤k¢ê). ÂŻK 4 ÂŽ Ăżt“ )Ăť, „Šz [79].  C, <a [80] |^ Â?{ĂŠÂ?§ x − [x] = x ÂŒ)5?1 ĂŻĂ„, ӞA^ Mathematic 5.0 ^Â‡ÂŒÂą yTÂ?§3z‡m [n, n + 1] (n ∈ N) ÞÑ 3¢ê). du x, y Cz5š~ÂŒ, ĂŠJ‰ÑÂ?§¤k) äN/ÂŞ, ¤¹¨= Ă„ x, y > 0 ž Âœš. ĂŠu x, y < 0 ž Âœš, ÂŒÂą|^ĂŠÂĄ Ă‘. 3 y ≼ 1 ž, Â?§Þk¢ê). ĂŠu y ĂŠ êž, ÂŒÂą ½ y Š, rÂ?§=zÇ‘'u x Â?§, , )Ă‘ x. äN`Ă’´y² Âąe : 7.6.1. ngÂ?§ s Ăšn s x r− px − q = 0 (p, q > 0) ¢ê)Ç‘ x = r 1 y

y

y

y

y

y

[y]

[x]

y

3

q + 2

3

q p ( )2 − ( )3 + 2 3

3

q − 2

q p ( )2 − ( )3 . 2 3

½n 7.9. ĂŠ?Âż ĂŞ N, M 9‰½ y ∈ Q \{0 < y ≤ 2}, Â? § x − [x] = x 3ÂŤm [N, M ] ĂžkÂ…Â?k M − N + O(1) ‡¢ê). y²: - f (x) = x −[x] −x. y > 2 ž, 3ÂŤm [n, n+1) (n ∈ Z ) S, f (n) = n − n − n < 0, q lim f (x) = (n + 1) − n − n − 1 = 1 y n (1 + ) − n − n − 1, Ă?Ç‘ (1 + ) > 1 + , lim f (x) = n n +

y

y

y

y

y

+

y

y

y

x→(n+1)−

y

1 y n

y

y

x→(n+1)−

1 ny (1 + )y − ny − n − 1 > ny + yny−1 − ny − n − 1 = yny−1 − n − 1 > 0. n 0 < δ < 1, n < x < n + δ , f (x) > 0 .

= 3 128

ž

¤å

1ÔÙ

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

Ӟ- f (θ) = (n + θ) − n − y (0 ≤ θ < 1), f (θ) = y(n + θ) > 0. ¤¹Ÿê f (x) 3 [n, n + δ] SĂŤY4O. |^": 3½n ÂŒ , 3z‡m [n, n + δ] Ăž, f (x) = 0 kÂ…Â?k˜‡). Ç‘Ă’´`, x ∈ [N, M ], N, M ∈ N ž, Â?§ x −[x] = x kÂ…Â?k M −N +O(1) ‡¢ê). Ă?dÂ?§ x − [x] = x k ¥þ¢ê). y

′

y

y−1

+

y

y

y

y

Ă­Ă˜ 7.6.1. Â?§ x

y

− [x]y = x

k¢ê)

(

x ∈ [0, 1), y = 1.

y²: y = 1 ž, Â?§ x − [x] = x CÇ‘ (x − [x] = x, = [x] = 0. ¤¹ x ∈ [0, 1). u´Â?§ x − [x] = x k¢ê) xy =∈ [0,1. 1), y

y

Ă­Ă˜

9

y

y

�§

7.6.2. xy − [x]y  √ 1 + 1 + 4n2  x= (n ∈ N+ ), 2  y = 2.

= x

k¢ê)

(

x=0 y=2

y²: y = 2 ž, Â?§ x − [x] = x =Ǒ˜ gÂ?§ x − [x] − x = 0. e x = 0 ž( , Â?§ x − [x] − x = 0 w,¤å, ¤¹Â? § x − [x] = x k¢ê) xy == 2.0, e x√∈ [n, n + 1), x − [x] = x Â?§CÇ‘ x − x − n = 0. )ƒ, y

2

2

y

y

2

2

y

y

y

2

2

1 + 4n2 (n ∈ N+ ). 2 √ √ 1 + 1 + 4n2 , 2n < 1 + 4n2 < 2n + 1. √ 2 √ 1 + 1 + 4n2 1 + 1 + 4n2 − 2n n + 1 − n = > 0, 2 √ √ 2 2n + 2 − 1 − 1 + 4n2 1 + 1 + 4n2 n≤x= > 0 (n ∈ N+ ), 2 2 √ 1 + 1 + 4n2 n + 1, x = (n ∈ N+ ) x2 − x − n2 = 2  √ 1 + 1 + 4n2  x= (n ∈ N+ ) xy − [x]y = x . 2  y=2

x=

1+

w,

=

du

Â… ¤¹ ávÂ?§ ´Â?§

− = < 0,

¢ê)

129

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? Â?§

Ă­Ă˜ 7.6.3.

xy − [x]y = x

k¢ê) (

x=0 y=3

 

r

9 x =

3

n3 2

y = 3.

+

q

n6 4

−

1 27

+

r 3

n3 2

−

q

n6 4

−

1 27

(n ∈ N+ ),

y²: y = 3 ž, Â?§ ( x − [x] = x =Ç‘ x − x − [x] Â?§ x − [x] = x k¢ê) xy == 3.0, e x ∈ [n, n + 1) (n ∈ N ), Â?§ x − [x]r = x qCÇ‘ x x = 0, |^ĂšnÂŒ x = A + B, Ù¼: A = + − r y

y

y

3

y

y

3

n3 2

−

= 0,

3

− n3 −

y

+

3

3

q

w,

n6 4

−

n3 2

n6 4

1 27 ,

B =

1 27 .

s

r

s

r 3 3 n 1 n6 1 A+B = + − + − − 2 4 27 2 4 27 v ! ! r r u 6 3 6 u n3 1 1 n n n 3 > t + − − − + 2 4 27 2 4 27 3

n3

n6

= n,

Ă?Ç‘ (A + B) = A + B ¤¹ A + B ≼ n. Ă?Ç‘ 3

3

s

3

+ 3A2 B + 3AB 2 = n3 + (A + B), A > 0, B > 0,

130

r

s

r 3 3 n 1 n6 1 + − + − − 2 4 27 2 4 27 v ! r u u n3 n6 1 3 < 2t + − 2 4 27 " 1/3 1/6 # 3 6 n n 1 < 2 + + 2 4 27 3

n3

n6

1ÔÙ < 2

Ÿêƒ'ÂŻK

Smarandache

n √ + n < n + 2n = 3n, 3 2

(A + B) =rn + (Aq+ B) < n +r3n < q(n + 1) , = A + B < n + 1. l x = + − + − − ∈ [n, n + 1), = 3

3

3

  

´�§ x

y

n

7.7

x=

n3 2

r 3

3

n3 2

n6 4

+

y = 3.

− [x]y = x

q

3

1 27

n6 4

−

3

1 27

+

n3 2

r 3

n3 2

n6 4

−

q

n6 4

1 27

−

1 27

(n ∈ N+ ),

¢ê).

?›¼š"ĂŞi ê²Â?ĂšŸêÞŠ

Ç3Šz [1] ÂĽJĂ‘ 1 22 ‡¯K´ â€œĂŻĂ„Â› ?›¼êiÂƒĂšĂŞ 5Â&#x;â€?. Šz [81-83] òÚÂ˜ÂŻK˜„z, ĂŒÂ‡ ĂŻĂ„ n ?›¼êiÂƒĂšŸê!ĂŞi²Â?ĂšŸê ފ. ĂŠwĂš1 ÂŻ [84] 3dĂ„:Ăž, Ă?LĂ­nĂ˜y‰Ñ n ?›¼š"ĂŞi ê²Â?Ăš Ÿê a(m, n) ފ, = A(m, n) °(OÂŽúª. Ç‘ QĂŁÂ?B, Ăš\ Xe½Ă‚: ½Ă‚ 7.9. n (n ≼ 2) Ǒ˜‰½ ĂŞ, ĂŠ?˜ ĂŞ m, b ½ m 3 n ?›¼LÂŤÇ‘ m = a n + a n + ¡ ¡ ¡ + a n , Ù¼11 ≤ a1 ≤ n − 1, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s, k > k > ¡ ¡ ¡ > k ≼ 0, KÂĄ a(m, n) = + + a a P 1 ¡¡¡ + Ç‘ n ?›¼š"ĂŞi ê²Â?ĂšŸê, A(N, n) = a(m, n) a Ç‘Ÿê a(m, n) ފ. Ç‘ {zúª, P Ď• ( n1 ) = X i1 . F. Smarandache

1

1

k1

2

2

k2

s

ks

s

i

2 1

2 s

2 2

m<N

n−1

r

r

½n 7.10. N = a n

Ù¼

+ a2 nk2 + ¡ ¡ ¡ + as nks , 1 ≤ ai < n, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , s, k1 > k2 > ¡ ¡ ¡ > ks ≼ 0,    i−1 s  X X ki ai Ď•2 ( n1 ) 1 1  ki  A(N, n) = n . + Ď•2 ( ) + ai  n ai a2  i=1 j=1 j 1

k1

i=1

Kk

131

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? AO n = 2 ž, kXeĂ­Ă˜: Ă­Ă˜ 7.7.1. N = 2 +2 +¡ ¡ ¡+2 , Ù¼ k > k K X k1

k2

s

A(N, 2) =

i=1

ks

1

2

> ¡ ¡ ¡ > ks ≼ 0,

ki + (i − 1) 2ki . 2

Ç‘ ¤½n y², I‡Ú\e¥ß‡Ún: Ăšn 7.7.1. 1 y²:

A(nk , n) = knk−1 Ď•2 ( ). (7-11) n X k = 1 , =A(n, n) = a(m, n) = a(1, n) +

ž †>

m<N

1 1 1 1 a(2, n) + ¡ ¡ ¡ + a(n − 1, n) = 2 + 2 + ¡ ¡ ¡ + = Ď• ( )= 2 1 2 (n − 1)2 n .

¡K¤å b k = p ž¡K¤å, =

1 A(np , n) = pnp−1 Ď•2 ( ). n

o k = p + 1 ž, A(np+1 , n) =

X

m>,

(7-12)

a(m, n)

m<np+1

=

X

a(m, n) +

m<np

=

X

np ≤m<2np

a(m, n) +

m<np

+

X

X

0≤m<np

X

0≤m<np

a(m, n) + ¡ ¡ ¡ +

X

(n−1)np ≤m<np+1

a(m + np , n) + ¡ ¡ ¡

a(m + (n − 1)np , n)

X 1 = a(m, n) + a(m, n) + 2 + ¡ ¡ ¡ 1 p p m<n 0≤m<n X 1 + a(m, n) + (n − 1)2 0≤m<np X 1 1 1 = n a(m, n) + + 2 + ¡¡¡ + np 2 2 1 2 (n − 1) m<np X

132

a(m, n)

1ÔÙ

Smarandache

Ÿêƒ'ÂŻK

1 = nA(np , n) + Ď•2 ( )np . n

(7-13)

d (7-12) ÂŞĂš (7-13) ÂŞ, 1 1 1 A(np+1 , n) = npnp−1 Ď•2 ( ) + Ď•2 ( )np = (p + 1)Ď•2 ( )np . n n n

¤¹, k = p + 1 ž¡K¤å. u´ ¤ Ăšn 7.7.1 y². Ăšn 7.7.2.

1 1 A(bnk , n) = bknk−1 Ď•2 ( ) + Ď•2 ( )nk , n b

Ù¼ b Ǒg,ê.

y²: A(bnk , n) =

X

a(m, n)

m<bnk

=

X

a(m, n) +

m<nk

=

X

nk ≤m<2nk

a(m, n) +

m<nk

+

X

X

0≤m<nk

X

0≤m<nk

a(m, n) + ¡ ¡ ¡ +

X

a(m, n)

(b−1)nk ≤m<bnk

a(m + nk , n) + ¡ ¡ ¡

a(m + (b − 1)nk , n)

X 1 = a(m, n) + 2 + ¡ ¡ ¡ a(m, n) + 1 m<nk 0≤m<nk X 1 + a(m, n) + (b − 1)2 0≤m<nk X 1 1 1 a(m, n) + = b + 2 + ¡¡¡ + nk 2 2 1 2 (b − 1) k X

m<n

1 = bA(nk , n) + Ď•2 ( )nk . b

(7-14)

d (7-11) ÂŞĂš (7-14) ÂŞ,

1 1 A(bnk , n) = bknk−1 Ď•2 ( ) + Ď•2 ( )nk . n b

(7-15)

u´ ¤ Ăšn 7.7.2 y².

133

'uSmarandacheÂŻKĂŻĂ„ #? ½n y²: A(N, n) =

X

a(m, n)

m<N

X

=

m<a1 nk1

+

X

a(m, n) + X

a1 nk1 ≤m<a1 nk1 +a2 nk2

a(m, n) + ¡ ¡ ¡

a(m, n)

N−as nks ≤m<N

1 = a(m, n) + a(m, n) + 2 + ¡ ¡ ¡ a1 k k 1 2 m<a1 n 0≤m<a2 n ! s−1 X X 1 + a(m, n) + a2 i=1 i 0≤m<as nks   s s i−1 X X X 1  = A(ai nki , n) + ai nki . 2 a j=1 j i=1 i=1 X

X

(7-16)

d (7-15) ÂŞĂš (7-16) ÂŞ,

  X s s i−1 X X 1 1 1  A(N, n) = ai ki nki −1 Ď•2 ( ) + Ď•2 ( )nki + ai nki 2 n a a i i=1 i=1 j=1 j    i−1 s X X ai ki Ď•2 ( n1 ) 1 1   ki   = + Ď•2 ( ) + ai n . n ai a2 j=1 j i=1

u´ ¤ ½n y².

134

Í Šz

ĂŤ Šz [1] F. Smarandache, Only Problems, Not Solutions, Chicago: Xiquan Publishing House, 1993. [2] Liu Yaming, On the solutions of an equation involving the Smarandache function, Scientia Magna, 2(2006), No. 1, 76-79. , Smarandache , , 49(2006), No. 5, 1009-1012. [3] [4] Le Mohua, A lower bound for S 2p−1 (2p − 1) , Smarandache Notions Journal, 12(2001), No. 1-2-3, 217-218. [5] , Smarandache , , 22(2009), No. 1, 133-134. [6] , Smarandache , , 24(2008), No. 4, 706-708. [7] Wang Jinrui, On the Smarandache function and the Fermat numbers, Scientia Magna, 4(2008), No. 2, 25-28. [8] Tom. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York: SpringerVerlag, 1976. , , , , 2007. [9] [10] , Smarandache , , 26(2010), No. 3, 413-416.

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Yuan Xia Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shaanxi, 710127, P. R. China

High American Press 2010

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