关于一些 Smarandache 问题的研究

Page 1

关于一些 Smarandache 问题的研究 Vol. 7

刘华宁 西北大学数学系

高静 西安交通大学理学院

The Educational Publisher 2011

This book can be ordered in a paper bound reprint from:

The Educational Publisher Inc. 1313 Chesapeake Ave. Columbus, Ohio 43212 USA Toll Free: 1-866-880-5373 E-mail: info@edupublisher.com

Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi, P. R. China. Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong, P. R. China. Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P. R. China.

Copyright 2011 by The Educational Publisher, translators, editors, and authors for their papers

Many books can be downloaded from the following Digital Library of Science: http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/eBooks-otherformats.htm

ISBN: 9781599731605 Standard Address Number : 297-5092 Printed in the United States of America

8 ยน รณ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท iv 1ย ร )ร รชร ร : ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1 ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1 ยง1.1 Riemann zeta ยผรช ยง1.2 Euler ร ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 2 ยง1.3 Perron รบยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 4 1 ร Smarandache รช รพย ยฉร ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 5 ยง2.1 3 gร fรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 5 ยง2.2 k-full รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 8 ยง2.3 M gย ย {รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 13 ยง2.4 Smarandache nย รงรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 16 ยง2.5 'usquarefree ย squarefull รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 19 ยง2.6 Smarandache ย รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 27 ยง2.7 k gย ร ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 30 1nร 'uย Smarandache ยผรช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 35 ยง3.1 'uSmarandache ย ยผรช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 35 ยง3.2 'un รชร ยฉยฑ9ร ย Ln ย ย m gย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 38 ยง3.3 รช m gย ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 41 ยง3.4 'uk gร รช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 42 ยง3.5 'uk gร รช ย รฐ ยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 45 ยง3.6 'uรผย ยผรช Dirichlet ?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 48 ยง3.7 ย Euler ยผรชk' ย ย ย ยง ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 51 ยง3.8 ย aDirichlet ?รช9ร รฐ ยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 53 ยง3.9 p g รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 54 1 m

ยท i ยท

8 ยน

ii

149 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง3.11 ย Smarandache ยฒย ร fยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1oร ร รชยผรชย Smarandache ยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.1 'uยฒย ร รช ย ย รฌCรบยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.2 ngย ย {รชย k gร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.3 'uย \k gร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.4 'u129 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.5 'uk gร รชS ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.6 k gร รชย ย ย รชร ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.7 ร รชยผรชย ย \ร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.8 'u180 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.9 'u,ย aSmarandache ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.10 'u183 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.11 ยฒย ย รช ย ย รญ2 ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.12 'uSmarandache ย 5 รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.13 'u1 aย 5 รชS ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.14 'u รช nร /รชย { ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.15 รช k gย ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.16 ย \8>/ร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.17 'uSmarandache {รผยผรช รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.18 'uSmarandache ceil ยผรช(I) ยง4.19 'uSmarandache ceil ยผรช(II) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.20 'uSmarandache ceil ยผรช รฉรณยผรช(I) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.21 'uSmarandache ceil ยผรช รฉรณยผรช(II) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1ร ร ยผรชe (n) รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.1 ยผรชe (n) รพย 5ย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.2 ยผรชe (n) ย k gย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.3 ยผรชe (n) ย n k gย {ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง3.10

p

58 59 63 63 65 71 74 76 78 80 83 90 93 97 100 101 104 105 109 111 113 115 117 119 123

pq

123

pq

124

p

127

8 ยน

ยผรชe (n) ย Euler ยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.5 ย e (n) k' รชร ยผรช9ร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.6 ยผรชp รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.7 ยผรชe (n) ย รกย ร รชยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.8 'ue (n) ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท รซ ยฉz ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.4

p

pq

iii

129 131

eq (n)

133

q

135

p

137 143

Ăł

iv

Ăł Ă?ϐÆ[F Ă‹AQaĂł:/Â?Â‡Â˜Â€Â‰Ă†Š|UJĂ‘ÂŒĂž ÂŻK, §Ă’Âż á)¡ü; ÂŻK "yKýXĂ•ĂĄu P ÚªŽ.0 {7ÛêZĂŚĂŞĂ˜Ă†[F. Smarandache 35Only problems, not solutions6 Â˜Ă–Âą9Ă™§|ĂœÂĽ, JĂ‘ ĂŠĂľk–)Ăť êƯK. NþÆÜÊĂ™?1 ĂŻĂ„, Ă˜ äk­Â‡dŠ ¤J. F. Smarandache JĂ‘ ÂŒĂœŠ¯KĂ‘´'uAĂ?ĂŞ !ĂŞĂ˜Ÿê . ĂŞ ! Ÿê ŠĂ?~´Ă˜5K , ´Ă™ĂžÂŠ% äkĂť 5Â&#x;. ĂŠĂľĂ˜Š|^) Ă›ĂŞĂ˜ÂĽ Â?{Ăšóä, ~XEuler Ăˆúª!Perron úª!Riemann zeta Ÿê 5Â&#x;, ĂŻĂ„ F. Smarandache JĂ‘ ĂŞ !Ÿê ފ, ¿‰Ñ ˜X ĂŹ Cúª. ֊â Â“ĂœŠ+ Ç ïÆ, ĂŠ8 |^)Ă›Â?{ĂŻĂ„Smarandache ÂŻ K ƒ'óŠ?1 XĂš o(, Ù¼ǑŽo ŠÜ9Ă™¤3 ‘8| ĂŻĂ„¤ J. Ă–ŠÇ‘ĂŠĂ™, ŠO0 )Ă›ĂŞĂ˜ Ă„: ÂŁ!Smarandache ĂŞ ފ!˜

Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ!Ă˜êŸê†˜ Smarandache Ÿê ¡ĂœĂž Š!Ÿêe (n) ފ. k, Ă–ĂśĂ?L Ă– Ă–, ÂŒÂąmÿÖÜ Ă€Â?, -uĂ– ÜÊÚ +Â? ĂŻĂ„, . Ă– ¤Ă„ka Â“ĂœŠ+ Ç ÂŒĂĽ|¹¹9JĂ‘ B¿„. Ă– ŠL§¼, I[g,䮀7(?Ă’: 10901128)!p Æ ƏƉ:; ‘‰ïÄ7–# “a(?Ă’: 20090201120061)!ĂąĂœÂŽ ”;‘‰ïÄ7(?Ă’: 09JK762) Âą9ÂĽ p Ă„ ‰ï’Ö¤ ĂœŠâ„„Ă?, ŠÜ3dLÂŤa " p

ŠÜ 2011 7

1Â˜Ă™ )Ă›ĂŞĂ˜Ă„: Ă™0 )Ă›ĂŞĂ˜ÂĽ ˜ Ă„ VgĂš5Â&#x;, ~XRiemann zeta Ÿê!Euler Ăˆ!Perron úª " §1.1 Riemann zeta

Ÿê

½Ă‚1.1.1. Îł = lim 3êŠÞγ = 0.5772157 ¡ ¡ ¡ . ½Ă‚1.1.2. Γ Ÿê½Ă‚Ç‘ m→∞

1 1 1 1 + + + ¡¡¡ + − log m 2 3 m

ÂĄÇ‘Euler ~ĂŞ.

∞ Y 1 s − ns Îłs = se e . 1+ Γ(s) n n=1

1 w, Γ(s) ´ Ÿê. d Γ(s) 3 ‡s ²¥ÞĂ˜ :s = 0, −1, −2, ¡ ¡ ¡ ´)Ă› , Ăš :´Î“(s) {Ăź4:. ½Ă‚1.1.3. Re s = Ďƒ > 1 ž, Riemann zeta ŸêΜ(s) ½Ă‚Ç‘ Îś(s) =

∞ X 1 . s n n=1

Šâ½Ă‚, Îś(s) 3ÂŒ²¥Re s > 1 ´)Ă› . ½n1.1.1. Y Îś(s) =

p

1 1− s p

−1

,

Re s > 1.

Þª¥Ç‘Euler úª½Euler Ă° ÂŞ. ½n1.1.2. Re s > 0, N ≼ 1 ž, k

Z ∞ N X 1 N 1−s 1 −s Îś(s) = + − N +s ns s−1 2 N n=1 ¡ 1 ¡

1 2

− {u} du. us+1

1 Ù )ÛêØÄ:

2

d½n1.1.2, ζ(s) mÿ ²¡Re s > 0. d w,ζ(s) 3 ²¡Re s > 0 Ø :s = 1 ´)Û , ¿3:s = 1 k 4:, Ù3êǑ1. ½n1.1.3. ª π

− s2

Γ

s 2

ζ(s) = π

− 1−s 2

Γ

1−s 2

ζ(1 − s)

¤á. þª¡Ǒζ ¼ê ¼ê §. d¼ê §, ζ(s) mÿ E²¡, Ù¥s = −2, −4, · · · , −2n, · · · ´ζ ¼ê w,":. d ζ ¼ê3 /0 ≤ Res ≤ 1 þk

¡õ w,":. e¡ Ñ'uζ(s) w,": (Ø. ½n1.1.4. ρ = β + iγ , n = 1, 2, · · · , ´ζ(s) w,":. Kk n

n

∞ X n=1

n

1 ≤ c log(|T | + 2). 1 + (T − γn )2

½n1.1.5. 3ýé~êc > 0, 3s ²¡ « Svkζ ¼ê ":. ½n1.1.6.

Re s = σ > 1 −

c log(|t| + 2)

ζ(σ + it) ≪ |t|(1−σ)/2 log |t|,

§1.2 Euler

0 ≤ σ ≤ 1,

|t| ≥ 2.

È

½Â1.2.1. êؼêf ¡Ǒ´ , XJf ØðǑ"¿ é?¿ (m, n) = 1, kf (mn) = f (m)f (n). êؼê¡Ǒ´ , XJé¤k m, n, Ñkf (mn) = f (m)f (n). ~1.2.1. -f (n) = n , Ù¥α ´ ½ Eê. Kf (n) ´ . ~1.2.2. M¨obius ¼êµ(n) ´ . ~1.2.3. Euler ¼êφ(n) ´ . α

α

α

Ăˆ

§1.2 Euler

3

~1.2.4. Liouville ŸêΝ(n) ´ ÂŒ . ~1.2.5. Ă˜êŸêĎƒ (n) = X d ´ÂŒ . Îą

Îą

d|n

~1.2.6. Dirichlet AÆχ(n) ´ ÂŒ . X ½n1.2.1. -f ´Â˜Â‡ÂŒ ĂŞĂ˜Ÿê, f (n) ýÊĂ‚Ăą. o, Ăš ‡?ĂŞ ĂšULÂŤÇ‘3¤kÂƒĂŞĂž m ˜‡ýÊĂ‚Ăą ÂĄ Ăˆ ∞

n=1

∞ X

Y

f (n) =

n=1

p

1 + f (p) + f (p2 ) + ¡ ¡ ¡ .

XJf ´ ÂŒ , K ĂˆÂŒ{zÇ‘ ∞ X

f (n) =

n=1

1 . 1 − f (p)

Y p

Þ¥ ĂˆÂĄÇ‘?ĂŞ Euler Ăˆ. ½n1.2.2. b X f (n)n ĂŠĎƒ > Ďƒ ýÊĂ‚Ăą, Â…f ´ÂŒ Ÿê, Kk ∞

−s

Îą

n=1

∞ X f (n) n=1

ns

=

Y p

f (p) f (p2 ) 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p

XJf ´ ÂŒ , Kk ~1.2.7.

∞ X f (n) n=1

=

ns

Îś(s) =

Y p

1 , 1 + f (p)p−s

∞ Y X 1 1 = , s n 1 − p−s n=1 p

,

Îą

Ďƒ > 1,

∞

Ďƒ > 1,

∞

Îś(s − 1) X φ(n) Y 1 − p−s = = , s 1−s Îś(s) n 1 − p n=1 p Îś(2s) X Îť(n) Y 1 = , = s Îś(s) n 1 + p−s n=1 p

L(s, χ) =

∞ X χ(n) n=1

ns

=

Y p

Îą

Ďƒ > Ďƒ ž .

X Âľ(n) Y 1 = = 1 − p−s , s Îś(s) n=1 n p

∞

Ďƒ > Ďƒ ž.

Ďƒ > 2,

Ďƒ > 1,

1 , 1 − χ(p)p−s

Ďƒ > 1.

1Â˜Ă™ )Ă›ĂŞĂ˜Ă„:

4

§1.3 Perron

úª

eÂĄ Perron úªÂ‰Ă‘ ŸêΌ(x) = a †?ĂŞf (s) = n ƒm ,ÂŤ'X. ½n1.3.1. f (s) = X an Ďƒ > 1 žýÊĂ‚Ăą, |a | ≤ A(n), Ù¼A(n) > 0 ´n ĂźNOŸê, Â… Ďƒ → 1 ž, X

∞ X an

n

s

n=1

n≤x

∞

n=1

oĂŠu?Âż b

∞ X n=1

0

ÎŚ(x) =

X

n≤x

an =

n s

n

+

|an |nâˆ’Ďƒ = O (Ďƒ − 1)âˆ’Îą ,

≼ b > 1, T ≼ 1, x = N + 12 ,

1 2Ď€i

Z

b+iT

f (s) b−iT

Ă™ÂĽÂŒO ~ĂŞ=Â?6ub . 0

xs ds + O s

Îą > 0.

kúª

xb T (b − 1)Îą

+O

xA(2x) log x T

,

1 Ă™

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

Ă™|^)Ă›Â?{, Â?)Euler ĂˆúªÂ†Perron úª, ĂŻĂ„Â˜ Smarandache ĂŞ ފŠĂ™5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª.

3 gĂ?fĂŞ

§2.1

˜‡g,ĂŞa, XJĂ˜U ?¿≼ 2 ĂŞb 3 gÂ? Ă˜, Ă’ÂĄÇ‘ 3 gĂ?f ĂŞ. lĂ˜Â?š0 Ăš1 g,ĂŞ8ĂœÂĽ, – K2 ¤k ĂŞ, – K3 ¤k ĂŞ, – K5 ¤k ĂŞ, 3 3 3

......

Ăš ˜†e , K NÂƒĂŞ 3 gÂ? ¤k ĂŞ, Ăš Ă’ÂŒ 3 gĂ?f ĂŞ Ç‘: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ¡ ¡ ¡ . F. Smarandache ïÆïÄ 3 gĂ?fĂŞ 5Â&#x;. !ò|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„ TĂŞ ĂŹC5Â&#x;. ½n2.1.1. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ. Kk X

a=

a∈A a≤x

3 x2 + O x 2 +Îľ , 2Îś(3)

Ù¼ξ ´?Âż ¢ê, Îś(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê. ½n2.1.2. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ, φ(n) Ç‘Euler Ÿê. KkĂŹC úª X Y φ(a) =

a∈A a≤x

x2 2Îś(3)

p

1−

p3

p+1 + p2 + 1

3

+ O x 2 +Îľ .

½n2.1.3. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ, d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê. K kĂŹCúª X a∈A a≤x

d(a) =

36x Y p2 + 2p + 3 Ď€ 4 p (1 + p)2 ¡ 5 ¡

ln x + (2Îł − 1) −

24Μ ′ (2) π2

1 Ă™

6

−4

Ù¼

ĂŞ ފŠĂ™

Smarandache

p ln p 2 (p + 2p + 3)(1 + p)

X p

Îś ′ (2) = −

∞ X ln n n=2

n2

!

1 + O x 2 +Îľ ,

.

y3y²Ú ½n. Ç‘Â?Bü„, ½Ă‚Ÿêa(n) Xe:   0, XJ n = 1, a(n) = n, XJ k ∤ n, n > 1, k ≼ 2,  0, XJ k | n, n > 1, k ≼ 2. 3 3

w,

X

a=

a∈A a≤x

X

a(n).

n≤x

f (s) = 1 +

∞ X a(n) n=1

dEuler Ăˆúª, k f (s) =

Y p

=

Y p

=

3Perron úª¼

ns

.

a(p) a(p2 ) 1 + s + 2s p p 1+

1 ps−1

+

1 p2(s−1)

Îś(s − 1) . Îś(3(s − 1)) 3

s0 = 0, b = 3, T = x 2 , H(x) = x, B(Ďƒ) =

ÂŒ 1 a(n) = 2Ď€i n≤x X

5¿ Ÿê

Z

3+iT

3−iT

3s = 2 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

1 , Ďƒâˆ’2

3 Îś(s − 1) xs ds + O x 2 +Îľ . Îś(3(s − 1)) s

Îś(s − 1) xs Îś(3(s − 1)) s x2 . 2Îś(3)

§2.1

l

X

a=

a∈A a≤x

X

3 gĂ?fĂŞ

a(n) =

n≤x

ÚÒy² ½n2.1.1.

3 x2 + O x 2 +Îľ . 2Îś(3)

f1 (s) = 1 + f2 (s) = 1 +

f1 (s) = = = =

n=1 ∞ X

ns

,

d(a(n)) . ns

φ(a(p)) φ(a(p2 )) 1+ + ps p2s p Y p − 1 p2 − p 1+ s + p p2s p Y 1 1 1 1 1 + s−1 + 2(s−1) − s − 2s−1 p p p p p ps−1 + 1 Îś(s − 1) Y 1 − 2s−1 , Îś(3(s − 1)) p p + ps + p Y

f2 (s) = = =

=

=

|^Ă“ Â?{ÂŒ

∞ X φ(a(n))

n=1

dEuler Ăˆúª, k

7

d(a(p)) d(a(p2 )) + ps p2s p Y 2 3 1 + s + 2s p p p ! 2 Y 1 2 1+ s + 2s p p p   2 2 Y 1   p2s 1 + s 1 + 2  p p 1 + p1s Μ 2 (s) Y 2 1+ s . Μ 2 (2s) p (p + 1)2 Y

1+

3 x2 Y p+1 φ(a) = 1− 3 + O x 2 +Îľ , 2 +1 2Îś(3) p + p a∈A p

X a≤x

1 Ă™

8

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

Âą9 X

d(a) =

a∈A a≤x

36x Y p2 + 2p + 3 π 4 p (1 + p)2 X

−4

p

ln x + (2Îł − 1) −

p ln p (p2 + 2p + 3)(1 + p)

l y² ½n2.1.2 †½n2.1.3. §2.2 k-full

!

24Μ ′ (2) π2

1 + O x 2 +Îľ .

ĂŞ

k ≼ 2 Ç‘ ĂŞ, n Ç‘g,ĂŞ. eĂŠ?ÂżÂƒĂŞp Ă‘kp ∤ n, Ă’ÂĄn Ç‘ k gĂ? fĂŞ. edp | n ˜½ÂŒĂ­Ă‘p | n, KÂĄn Ç‘k-full ĂŞ. F. Smarandache ïÆïÄ TĂŞ 5Â&#x;. !ò|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„k-fullĂŞ ĂŹC5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCĂş ÂŞ. ½n2.2.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k k

k

1 6kx1+ k Y 1 1 1+ 2k +ÇŤ n= + O x , 1 + 1 (k + 1)Ď€ 2 p (p + 1)(p k − 1) n∈A X n≤x

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. ½n2.2.2. φ(n) Ç‘Euler Ÿê, KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

φ(n) =

n∈A n≤x

1 1 6kx1+ k Y p − pk 1 + 1 1 (k + 1)Ď€ 2 p p2+ k − p2 + p1+ k − p 1 +O x1+ 2k +ÇŤ .

½n2.2.3. Îą > 0, Ďƒ (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

ĎƒÎą (n)

n∈A n≤x

=

1 Îą+ k



Y 6kx 1 + (kÎą + 1)Ď€ 2 p 

1

1

pÎą+ k (p k − 1)

1 +O xÎą+ 2k +ÇŤ .

1

(pÎą+ k

k Îą P 1

 1 1 Îą+ k k − 1 + p + p pl  i=1  1  − 1)(p + 1)(p k − 1)

§2.2 k-full

ê

9

½n2.2.4. d(n) ǑDirichlet Øê¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

d(n) =

n∈A n≤x

1 k

1

6kx Y  1 + π2 p  1

+O(x 2k +ǫ ),

k+1 P

 1 pk+1−i − kpk+ k  i=2  f(log x) 1  (p + 1)k+1 (p k − 1)2

(2p k − 1)

k+1 i

Ù¥f(y) ´'uy gêǑk õ ª. ½n2.2.5. é?¿¢êx ≥ 1, k X

σα ((m, n))

n∈A n≤x

1

=

6kx k π2

Y p∤m

  β 1 P iα k Y p p   1 i=0 1 +  1+ 1 1  (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1)  β≤k 1 k

β P

iα

p Y p β−1 i X X Y  p i i=0 − jα 1 +  × p k p + 1   k − 1) p+1 p(p β j=0 i=k p|m p km β>k

1 +O x 2k +ǫ ,

Ù¥m ´ ½ ê, (m, n) L«m n úÏê. ½n2.2.6. é?¿¢êx ≥ 1, k X

σα ((m, n))

n∈A n≤x

Y 1 1 6kx k Y 1 (pβ − pβ−1 )p k = 1+ 1+ 1 1 π2 (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1) p∤m β≤k

β−1

×

Y

pβ km β>k

1+

X i=k

1 +O x 2k +ǫ .

1

p

− ki

i

(p − p

i−1

(pβ − pβ−1 )p k )+ 1 p(p k − 1)

y3y²ù ½n. Ǒ Bå , ½Â¼êa(n) Xe:   1, XJ n = 1; a(n) = n, XJ n ´ k-full ê;  0, XJ n Ø´ k-full ê.

!

Y p p+1 p|m

1 Ă™

10

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

w,k X

n=

n∈A n≤x

X

a(n).

n≤x

f(s) =

n=1

dEuler ĂˆúªÂŒ , f (s) = = = =

∞ X a(n)

ns

.

a(pk ) a(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p ! Y 1 1 1 + k(s−1) 1 p 1 − ps−1 p Y Y 1 1 1 + k(s−1) 1 + k(s−1) p (p + 1)(ps−1 − 1) p p 1 Îś(k(s − 1)) Y 1 + k(s−1) , Îś(2k(s − 1)) p (p + 1)(ps−1 − 1) Y

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ˜ ÂŞ |a(n)| ≤ n,

∞

X a(n)

1

,

< Ďƒ

n=1 n Ďƒ − 1 − k1

Ă™ÂĽĎƒ > 1 − k1 ´s ¢Ăœ. KdPerron úªk X a(n) n≤x

ns0

=

1 2iπ

b+iT

xs ds s b−iT b x B(b + Ďƒ0 ) +O T log x 1âˆ’Ďƒ0 +O x H(2x) min 1, T x +O xâˆ’Ďƒ0 H(N ) min 1, , ||x||

Z

f (s + s0 )

Ù¼N ´ Â‚Cx ĂŞ, ||x|| = |x − N |.

1 1 1 s0 = 0, b = 2 + , T = x1+ 2k , H(x) = x, B(Ďƒ) = , k Ďƒ − 1 − k1

§2.2 k-full

ê

11

k X

n≤x

Ù¥

a(n) =

1 2iπ

Z

1 2+ k +iT 1 2+ k −iT

ζ(k(s − 1)) xs 1 R(s) ds + O x1+ 2k +ǫ , ζ(2k(s − 1)) s

Y R(s) = 1+

1 k(s−1) (p + 1)(ps−1 − 1)

p

Ǒ OÌ

1 2iπ

1 2+ k +iT

Z

1 2+ k −iT

.

ζ(k(s − 1))xs R(s)ds, ζ(2k(s − 1))s

· rÈ© ls = 2 + k1 ± iT £ s = 1 + 2k1 ± iT . d ¼ê ζ(k(s − 1))xs R(s) ζ(2k(s − 1))s

3s = 1 + k1 k {ü4:, 3êǑ

1 kx1+ k 1 R 1+ . (k + 1)ζ(2) k

Kk 1 2iπ

Z

1 2+ k +iT

+

1 2+ k −iT

Z

1 1+ 2k +iT

+ 1 2+ k +iT

Z

1 1+ 2k −iT

+

1 1+ 2k +iT

ζ(k(s − 1))xs R(s)ds ζ(2k(s − 1))s 1 Y kx1+ k 1 = 1+ . 1 (k + 1)ζ(2) p (p + 1)(p k − 1)

Z

1 2+ k −iT

1 1+ 2k −iT

!

×

ØJy² Oª

ζ(k(s − 1))xs

+ R(s)

1 1 ζ(2k(s − 1))s 2+ k +iT 1+ 2k −iT 1

1

2+ k

ζ(k(σ − 1 + iT )) x2+ k

R(s) dσ

ζ(2k(σ − 1 + iT )) 1 T

1+ 2k

1

2πi Z ≪

Z

1

1 1+ 2k +iT

x2+ k 1 ≪ = x1+ 2k T

Z

1 2+ k −iT

!

1 Ă™

12

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

† 1 2πi Z ≪

1 1+ 2k −iT

Îś(k(s − 1))xs R(s)ds 1 1+ 2k +iT Îś(2k(s − 1))s

T

Îś(1/2 + ikt) x1+ 2k1

dt

Îś(1 + 2ikt) t

1

Z

1

≪ x1+ 2k +Ǎ .

5Âż Îś(2) = Ď€6 , dĂžÂŒ 2

1 6kx1+ k Y 1 1 1+ 2k +ÇŤ n= 1 + + O x . 1 (k + 1)Ď€ 2 p (p + 1)(p k − 1) n∈A X n≤x

ÚÒy² ½n2.2.1. ½Ă‚

∞ X φ(n) f1 (s) = , ns n=1

f3 (s) =

f5 (s) =

n∈A ∞ X n=1 n∈A ∞ X n=1 n∈A

dEuler Ăˆúª

d(n) , ns

∞ X ĎƒÎą (n) f2 (s) = , ns n=1 n∈A

∞ X ĎƒÎą ((m, n)) f4 (s) = , ns n=1 n∈A

φ((m, n)) . ns

φ(pk ) φ(pk+1 ) f1 (s) = 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p !! Y φ(pk ) 1 1 + ks = 1 p 1 − ps−1 p Îś(k(s − 1)) Y p − ps−1 = 1 + k(s−1) ; Îś(2k(s − 1)) p (p + 1)(ps − p) Y

f2 (s) =

Îś(k(s − Îą)) Îś(2k(s − Îą))  Ă—

Y 1 +  p

k P

 ( p1i )Îą + ps + psâˆ’Îą − 1  i=1 ; (pk(sâˆ’Îą) + 1)(psâˆ’Îą − 1)(ps − 1) 

(psâˆ’Îą − 1)ps

§2.3 M

f3 (s) =

Îś k+1 (ks) Îś k+1 2ks  Ă—

g˜Â?{ĂŞ k+1 P

s

(2p − 1) Y i=2 1 +  (pks p

13

 k(k+1−i)s (k2 +1)s p − kp  ; k+1 s 2  + 1) (p − 1) k+1 i

ĎƒÎą ((m, pk )) ĎƒÎą ((m, pk+1 )) 1+ + + ¡¡¡ f4 (s) = pks p(k+1)s p ks Y Îś(ks) Y p 1 = 1 + Îś(2ks) pks + 1 (pks + 1)(ps − 1) p|m p∤m ! Y ĎƒÎą (pβ ) Ă— 1 + ks p (1 − p1s ) β Y

p km β≤k

Ă—

Y

1+

i=k

pβ km β>k

†

β−1 X ĎƒÎą (pi )

pis

ĎƒÎą (pβ ) + ks p (1 − p1s )

!

ks Y Îś(ks) Y p 1 f5 (s) = 1 + ks Îś(2ks) pks + 1 (p + 1)(ps − 1) p|m p∤m   β β−1 Y p − p 1 +  Ă— ks 1 − 1 β p p km ps β≤k

Ă—

Y

pβ km β>k



1 +

β−1 i X p − pi−1 i=k

pis

2dƒq Â?{ÂŒyĂ™{½n.

§2.3 M

g,ê m ≼ 2, ê n = p Ù¼

Îą1 1

 pβ − pβ−1  . + pks 1 − p1s

g˜Â?{ĂŞ ¡ ¡ ¡ pÎąr r .

½Ă‚m g˜Â?{ĂŞ

am (n) = pβ1 1 ¡ ¡ ¡ pβr r , βi = min(m − 1, Îąi ),

1 ≤ i ≤ r.

1 Ă™

14

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

ïÆïÄm g˜Â?{ĂŞ 5Â&#x;. ½Ă‚߇# ĂŞĂ˜ŸêU (n)

F. Smanrandache

†V (n) Xe:

U (1) = 1,

U (n) =

Y

p,

p|n

V (1) = 1,

V (n) = V (pÎą1 1 ) ¡ ¡ ¡ V (pÎąr r ) = (pÎą1 1 − 1) ¡ ¡ ¡ (pÎąr r − 1),

Ù¼n = p ¡ ¡ ¡ p . w,U (n) †V (n) Ă‘´ÂŒ Ÿê. !|^)Ă›Â?{ĂŻ Ă„U (n) †V (n) 3m g˜Â?{ĂŞĂž ŠĂ™, ¿‰Ñ߇ÏCúª. ½n2.3.1. -A LÂŤm g˜Â?{ĂŞ 8Ăœ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCĂş ÂŞ Îą1 1

Îąr r

3 3x2 Y 1 U (n) = 2 1+ 3 + O x 2 +ÇŤ , 2 −p−1 Ď€ p + p n∈A p X n≤x

Ă™¼Ǎ´?Âż ¢ê. ½n2.3.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k 3 x2 Y 1 1 − pm V (n) = 1 − m + m+2 + O x 2 +ÇŤ . m+1 2 p p + p p n∈A X n≤x

y3y²Ú ½n. dEuler Ăˆúªk

∞ X U (n) f (s) = . ns n=1 n∈A

Y U (p) U (p2 ) U (pm−1 ) f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (m−1)s p p p p U (pm ) U (pm+1 ) + ms + (m+1)s + ¡ ¡ ¡ p p Y 1 1 1 = 1 + s−1 + 2s−1 + ¡ ¡ ¡ + (m−1)s−1 p p p p 1 1 + ms−1 + (m+1)s−1 + ¡ ¡ ¡ p p   Y 1 1 1 +  = + ps−1 p2s−1 1 − 1 p ps

§2.3 M

=

g {ê

15

ζ(s − 1) Y ps 1+ s , ζ(2(s − 1)) p (p − 1)(p2s−1 + ps )

Ù¥ζ(s)´Riemann zeta¼ê. ´ Ø ª

|U (n)| ≤ n,

Ù¥σ > 2´s ¢Ü. 5¿ ¼ê

∞

X U (n)

1

,

<

σ

n σ−2 n=1

ps ζ(s − 1)xs Y 1+ s ζ(2(s − 1))s p (p − 1)(p2s−1 + ps )

3s = 2 k {ü4:, 3êǑ

x2 R(2), 2ζ(2)

KdPerron úª y

3 3x2 Y 1 U (n) = 2 1+ 3 + O x 2 +ǫ . 2 −p−1 π p + p n∈A p X

n≤x

ùÒy² ½n2.3.1. ½Â

dEuler Èúªk

∞ X V (n) g(s) = . ns n=1 n∈A

V (p) V (p2 ) V (pm−1 ) + + · · · + ps p2s p(m−1)s p V (pm ) V (pm+1 ) + ms + (m+1)s + · · · p p Y p − 1 p2 − 1 pm−1 − 1 = 1+ s + + · · · + p p2s p(m−1)s p pm − 1 pm+1 − 1 + ms + (m+1)s + · · · p p ! ! 1 1 Y 1 − pm(s−1) 1 − ps−1 pm−1 1 = − − s 1 pms p 1 − ps−1 1 − p1s p ! Y pm−1 − p(m−1)s (ps − p) 1 = ζ(s − 1) 1 − m(s−1) + . p pms (ps − 1) p

g(s) =

Y

1+

2d q { y½n2.3.2.

1 Ă™

16

Smarandache

§2.4 Smarandache

lĂ˜Â?š0 †1 g,ĂŞ8ĂœÂĽ, – K¤k 2 , k ≼ 2; – K¤k 3 , k ≼ 2; – K¤k 5 , k ≼ 2; – K¤k 6 , k ≼ 2; – K¤k 7 , k ≼ 2; – K¤k 10 , k ≼ 2;

ĂŞ ފŠĂ™

nŠçê

k k k k k

k

¡¡¡¡¡¡

Â?gUYe ,  ªÂŒ ¤¢ Smarandache nŠçê : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, ¡ ¡ ¡

A L¤k nŠç 8Ăœ. !òïĂ„ nŠçê ފ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹ Cúª. ½n2.4.1. d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

d(n)

n∈A n≤x

=

√ 3 √ 1 1 1 2 x − 2 x ln x + A1 x 3 ln x + A2 x 3 ln x + A3 x 3 + A4 x ln x 4Ď€ 139 √ 1 +(2Îł − 1)x + A5 x + A6 x 3 + O x 429 +ÇŤ ,

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler~ĂŞ, A , A , A , A , A , A ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Ă„kĂš\eÂĄ ˜ Ăšn. Ăšn2.4.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k 1

X n≤x

√ n≤ x

3

4

5

6

139 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x 429 +ÇŤ ,

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[32]. Ăšn2.4.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

2

√ 1 √ 3 x ln2 x B1 √ d(n ) = + x ln x + B x + O x 4 +ÇŤ ; 2 4Ď€ 2 2 2

§2.4 Smarandache

nŠçê

17

1

X

6C0 x 3 ln3 x C1 13 2 C2 13 x ln x + x ln x d(n ) = + 27Ď€ 4 9 3 1 1 +C3 x 3 + O x 6 +ÇŤ , 3

1

n≤x 3

Ù¼B , B , C , C , C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. y². ½Ă‚ 1

2

0

1

2

3

f (s) =

∞ X d(n2 )

ns

n=1

,

Re s > 1.

dEuler ĂˆĂšd(n) ÂŒ 5ÂŒ f (s) = = = = =

Y

3 5 7 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p −1 Y 1 2 2 2 1− s 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p p −1 −2 ! Y 2 1 1 + s 1− s 1− s p p p p −2 Y 1 1 1− s 1+ s p p p Îś 3 (s) , Îś(2s)

Ù¼Μ(s) ´Riemann zetaŸê. 3Perronúª¼ s 5Âż Ÿê

X

d(n2 ) =

n<x

1 2Ď€i

Z

3 2 +iT 3 2 −iT

Îś 3 (s) xs (s − 1) Îś(2s) s 3

(2)

Ù¼B , B ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Kk 1

= 0, T = x 2 , b =

1 Îś 3 (s) xs ds + O x 2 +ÇŤ . Îś(2s) s

Îś 3 (s) xs Îś(2s) s

3s = 1 k˜‡3 4:, 3ĂŞÇ‘ 1 lim s→1 2!

1

0

=

3 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x, π2

2

X n≤x

d(n2 ) =

1 3x ln2 x + B x ln x + B x + O x 2 +Ǎ . 1 2 π2

3 , 2

k

1 Ă™

18

=Ă’´ X

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

√ 1 √ 3 x ln2 x B1 √ d(n ) = + x ln x + B x + O x 4 +ÇŤ . 2 4Ď€ 2 2 2

√ n≤ x

ÚÒy² Ăšn 1˜‡úª. ½Ă‚ X g(s) =

∞

n=1

KdEuler Ăˆk

d(n3 ) , ns

Re s > 1.

Y 7 10 4 g(s) = 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p −1 Y 1 3 3 3 = 1− s 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p p −1 −2 ! Y 3 1 1 + s 1− s 1− s = p p p p −2 Y 1 2 = 1− s 1+ s p p p Îś 4 (s) Y 1 = 1 − , Îś 2 (2s) p (ps + 1)2

Ù¼Μ(s)´Riemann zetaŸê. 2dPerronúªÂŒ X

d(n3 ) =

n≤x

=Ă’´

1 6 3 2 C x ln x + C x ln x + C x ln x + C x + O x 2 +Ǎ , 0 1 2 3 π4 1

X

1

n≤x 3

1 6C0 x 3 ln3 x C1 13 2 C2 13 1 3 + O d(n ) = + x ln x + x ln x + C x x 6 +ÇŤ , 3 27Ď€ 4 9 3 3

l y² Ăšn2.4.2. y3y²½n2.4.1. dĂšn2.4.1†Ún2.4.2, k X

d(n)

n∈A n≤x

=

X

n≤x

d(n) −

X √

n≤ x

d(n2 ) −

X

1

n≤x 3



d(n3 ) + O 

X

X

1 x 4≤k≤ ln ln 2 n≤x k



d(nk )

§2.5

=

X n≤x

=

d(n) −

X

'usquarefree †squarefull ê

√ n≤ x

d(n2 ) −

X

1

n≤x 3



d(n3 ) + O 

19

1

X

x 4≤k≤ ln ln 2



x k +Ǎ 

√ √ 3 x ln x 1 1 1 2 3 3 3 x− + A1 x ln x + A2 x ln x + A3 x + A4 x ln x 4Ď€ 2 √ 1 139 +(2Îł − 1)x + A5 x + A6 x 3 + O(x 429 +ÇŤ ),

Ù¼A (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , 6)´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. i

§2.5

'usquarefree †squarefull ê

p Ç‘Ă›ÂƒĂŞ. ĂŠ?¿†p pƒ ĂŞa, áva ≥ 1 mod p  êf ÂĄÇ‘a ĂŠ p Â?ĂŞ. XJf = p − 1, then a ÂĄÇ‘ p Š. ½Ă‚prim(x) Ç‘ p Ă˜Â‡Lx Šê8. d[36] ÂŒ f

prim(x) =

φ(p − 1) √ x + O 2ω(p−1) ¡ p log p , p−1

Ù¼φ(q) Ç‘Euler Ÿê, ω(q) Ç‘q Ă˜Ă“ÂƒĂ?f ‡ê. d , ˜‡ ĂŞXJĂ˜U ?Ă›ÂƒĂŞ k g˜ Ă˜, Ă’ÂĄÇ‘k-free (k ≼ 2, Ç‘ ĂŞ). ‡L5, ˜‡ ĂŞq ÂĄÇ‘k-full, XJp|q Â…= p |q. NþÆÜïĂ„ Lk-free ĂŞĂšk-full ĂŞ 5Â&#x;. ~X, ½Ă‚Q (x) Ç‘Ă˜Â‡Lx k-free ĂŞ ĂŞ8, Gegenbauer[10] ‰Ñ OÂŞ: k

k

Qk (x) =

x + O x1/k , Îś(k)

Ù¼Μ(k) Ç‘Riemann zeta Ÿê. y3¡Â‚ Ă„Ă˜Â‡Lx squarefree ½squarefull Š ĂŞ8. d[36] ÂŒ e ÂĄ ߇¡K. ¡K2.5.1. p Ă˜Â‡Lx squarefree Š ĂŞ8Ç‘ Ù¼

φ(p − 1) 1/2 C1 x + O 2ω(p−1) ¡ p1/4 ¡ (log p) ¡ x1/2 , p−1 C1 =

Y p

1 − 1/p2 .

¡K2.5.2. p Ă˜Â‡Lx squarefull Š ĂŞ8Ç‘ φ(p − 1) 1/3 C2 x1/2 + O 2ω(p−1) ¡ p1/6 ¡ (log p) ¡ x1/3 , p−1

1 Ă™

20

Ù¼

Smarandache



ĂŞ ފŠĂ™ 

 X  1  3/2  C2 = 2  1/q  1 − , q squallfree  p ( pq )=−1

d

Ç‘Legendre ĂŽĂ’. ˜‡ ĂŞn ÂĄÇ‘´ p gÂ?{, XJĂ“{Â?§x ≥ n mod p k). d[33] ¡Â‚k ¡K2.5.3. p Ç‘ÂƒĂŞ, 0 < a ≤ 1/128, x > p Â…b = b(a) > 0. K p Ă˜Â‡Lx squarefree gÂ?{ ĂŞ8Ç‘ q p

2

1/4+b

3 x + O (x/pa ) . π2

Þã¡KÂĽ Ă˜ Â‘Ă˜´ . 3 !ÂĽ, ¡Â‚|^Heath-Brown[14] ĂšYoichi Motohashi[30] ­Â‡ĂłÂŠ, Âą9Dirichlet L- Ÿê 5Â&#x;5‰Ñn‡Â?Z O ÂŞ. =Ă’´y²eÂĄn‡½n. ½n2.5.1. p Ă˜Â‡Lx squarefree Š ĂŞ8Ç‘ pφ(p − 1) x + O p9/44 x1/2+ÇŤ , 2 (p − 1)Îś(2)

Ù¼Ǎ Ç‘?Âż ¢ê. ½n2.5.2. p Ă˜Â‡Lx squarefull Š ĂŞ8Ç‘ 2C3 pφ(p − 1) 1/2 x + O p9/44 x1/4+ÇŤ , 2 (p − 1) Îś(2)

Ù¼ C3



 1 1 +  =  1/2 p1 − 1 (p1 + 1) p1 6=p   p1 Y p 1 +  . − 1/2 p1 p1 − p (p1 + 1) p1 6=p Y



½n2.5.3. p Ă˜Â‡Lx squarefree gÂ?{ ĂŞ8Ç‘ 3 9/44 1/2+ÇŤ x + O p x . Ď€2

'usquarefree †squarefull ê

§2.5

21

Ç‘ ¤½n y², ¡Â‚I‡A‡Ún. Ăšn2.5.1. ÂƒĂŞp > 2, K k X Âľ(k) X ′ aindn e φ(k) a=1 k k|p−1   p−1 , n = φ(p − 1)  0, ,

XJ Ç‘ p Š; Ă™§ Ù¼ind n LÂŤn ĂŠ p Âą,‡ ½ ŠǑ. Â?I. y². ĂŤ Šz[38]. Ăšn2.5.2. ĂŠu q ?ÂżAÆχ, ¡Â‚k 3/16+ÇŤ

L(1/2 + it, χ) ≪ (q (|t| + 1))

.

y². ĂŤ Šz[14]. Ăšn2.5.3. χ Ç‘ q AÆ, Kk Z

T

2

|L(1/2 + it, χ)| dt 0   X φ(q)  − T log(qT /2Ď€) + 2Îł + 2 (log p)/(p − 1) q p|q 4 ≪ (qT )1/3 + q 1/2 (log qT ) ,

Ù¼ T ≼ 1, Îł Ç‘Euler ~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[30]. Ăšn2.5.4. χ Ç‘ p AÆ, ¢êT ≼ 1, ¡Â‚k Z

T

0

Ăš

Z

L(1/2 + it, χ)

dt ≪ p9/44+Ǎ

t+1 T

0

Μ(1/2 + it, χ)

dt ≪ T Ǎ .

t+1

y². 0 < u < p, dCauchy Ă˜ ÂŞ, Ăšn2.5.2 ÚÚn2.5.3 k Z

T 0

L(1/2 + it, χ)

dt

t+1

1 Ă™

22

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

Z T

L(1/2 + it, χ)

L(1/2 + it, χ)

dt

=

dt +

t+1 t+1 0 u #1/2 1/2 "Z T Z T 2 1 |L(1/2 + it, χ)| 3/16+ÇŤ 3/16 dt dt ≪u p + t+1 u t+1 u 1/2  Z T d R t |L(1/2 + it, χ)|2 ds u  ≪ u3/16+ÇŤ p3/16 + T ÇŤ  t+1 u Z

u

≪ u3/16+ÇŤ p3/16 1/2 + p1/3 T ÇŤâˆ’2/3 + p1/2 T ÇŤâˆ’1 + p1/3 uÇŤâˆ’2/3 + p1/2 uÇŤâˆ’1 ≪ u3/16+ÇŤ p3/16 + p1/4 uÇŤâˆ’1/2 .

3Þª¼ u = p

1/11

aq ¡Â‚k

,

ΠZ

T

0

Z

L(1/2 + it, χ)

dt ≪ p9/44+Ǎ .

t+1 T

0

Μ(1/2 + it, χ)

dt ≪ T Ǎ .

t+1

y.. Ăšn2.5.5. ½Ă‚A Ç‘squarefree ĂŞ 8Ăœ, χ Ç‘ p ?ÂżAÆ, Kk ( p x X ¡ +O x , XJχ ´ p ĂŒAÆ; p + 1 Îś(2) χ(n) = x Ă™§. O p , y². w,k X X 1/2+ÇŤ

9/44 1/2+ÇŤ

n≤x n∈A

¾2 (n)χ(n).

χ(n) =

n≤x n∈A

½Ă‚

n≤x

f (s) =

n=1

dEuler Ăˆúªk f (s) =

5Âż

∞ X Âľ2 (n)χ(n)

Y

1+

p1

2

¾ (n)χ(n) ≤ 1

Ăš

χ(p1 ) p1 s

ns

=

,

L(s, χ) . L(2s, χ2 )

∞ X

2

Âľ (n)χ(n) nâˆ’Ďƒ ≤ Îś(Ďƒ). n=1

'usquarefree †squarefull ê

§2.5

s

0

= Ďƒ0 + it0 ,

23

KdPerron úªÂŒ

X ¾2 (n)χ(n) n≤x

ns0

1 2Ď€i

=

b+iT

f (s + s0 )

b−iT

xs ds s

xb Îś(b + Ďƒ0 ) +O T log x +O x1âˆ’Ďƒ0 min 1, T x âˆ’Ďƒ0 +O x min 1, . ||x||

=Ă’´ X

Z

χ(n) =

n≤x n∈A

1 2Ď€i

Z

b+iT b−iT

L(s, χ) xs ds L(2s, χ2 ) s

xb Îś(b) +O T log x +O x min 1, . T

XJχ Ç‘ p ÂšĂŒAÆ, K3Þª¼ b = 1/2, T = x , dĂšn2.5.4 N ´ 1/2

X

n≤x n∈A

χ(n) ≪

T

Z

0

L(1/2 + it, χ) x1/2+Ǎ

1/2+ÇŤ

L(1 + 2it, χ2 ) (t + 1) dt + O x

≪ p9/44 x1/2+Ǎ .

,˜Â?ÂĄ, XJχ Ç‘ p ĂŒAÆ, duL(s, χ) = Îś(s)(1 − p T = x , ¡Â‚k

−s

),

K b = 2,

3/2

1 χ(n) = 2πi n≤x X

n∈A

Z

2+iT

2−iT

Îś(s)(1 − p−s ) xs ds + O x1/2+ÇŤ . −2s Îś(2s)(1 − p ) s

y3rĂˆŠÂ‚ls = 2 Âą iT ÂŁ s = 1/2 Âą iT . dž, Ÿê Îś(s)(1 − p−s ) xs Îś(2s)(1 − p−2s ) s

3s = 1 ?k˜‡˜ 4:, 3ĂŞÇ‘

p x . p + 1 Îś(2)

1 Ă™

24

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

¤¹ 1 2Ď€i

Z

2+iT

+

2−iT

Ă— =

5Âż OÂŞ

Z

1/2+iT

+

2+iT

Z

1/2−iT

+

1/2+iT

−s

s

Z

2−iT 1/2−iT

!

Îś(s)(1 − p ) x ds Îś(2s)(1 − p−2s ) s

p x . p + 1 Μ(2) 1 2πi Z ≪

1/2+iT

Îś(s)(1 − p−s ) xs ds Îś(2s)(1 − p−2s ) s 2+iT

2

Îś(Ďƒ + it) x2+ÇŤ

Îś(2Ďƒ + 2it) T dĎƒ

Z

1/2 2+ÇŤ

≪

x T

= x1/2+ÇŤ ,

Z 2−iT 1 Îś(s)(1 − p−s ) xs ds 2Ď€i 1/2−iT Îś(2s)(1 − p−2s ) s

Z 2

Îś(Ďƒ − it) x2+ÇŤ

dĎƒ ≪

1/2 Îś(2Ďƒ − 2it) T

≪

Ăš

x2+ÇŤ = x1/2+ÇŤ T

1 2πi Z ≪

0 1/2+ÇŤ

≪x

Ă?dk X

n≤x n∈A

χ(n) =

1/2−iT

Îś(s)(1 − p−s ) xs ds −2s ) s 1/2+iT Îś(2s)(1 − p

T

Îś(1/2 + it) x1/2+ÇŤ

Îś(1 + 2it) (t + 1) dt

Z

,

p x ¡ + O x1/2+Ǎ , p + 1 Μ(2)

XJχ ´ p ĂŒAÆ.

y.. Ăšn2.5.6. ½Ă‚ B Ç‘squarefull ĂŞ 8Ăœ, χ Ç‘ p ?ÂżAÆ, Kk   2f (χ)px X +O x , XJχ ´ p ĂŒAÆ; χ(n) = (p + 1) Îś(2)  O p x , Ă™§, 1/2

n≤x n∈B

9/44 1/4+ÇŤ

1/4+ÇŤ

2

§2.5

Ù¼

'usquarefree †squarefull ê

 ) χ(p 1 1 + . f (χ) = 1/2 p1 − χ(p1 ) (p1 + 1) p1 6=p Y



y². ½Ă‚Ÿêa(n) Xe:

  1, χ(n), a(n) =  0,

w,

X

XJ n = 1; XJ n Ç‘squarefull ĂŞ; XJ n Ă˜Ç‘squarefull ĂŞ. χ(n) =

n≤x n∈B

∞ X a(n) n=1

dEuler Ăˆúªk = = =

= Ďƒ0

,

χ2 (p1 ) χ3 (p1 ) 1+ + + ¡¡¡ p1 2s p1 3s p1 Y χ2 (p1 ) ps 1+ ¡ s p2s p − χ(p) 1 p1 Y χ2 (p1 ) Y χ3 (p1 ) 1+ 1 + 2 p2s (ps1 − χ(p)) (p2s 1 1 + χ (p)) p1 p1 L(2s, χ2 ) Y χ3 (p1 ) . 1 + 2 L(4s, χ4 ) p (ps1 − χ(p)) (p2s 1 + χ (p)) Y

Ăš X |a(n)| n + it , KdPerron úªÂŒ ∞

|a(n)| ≤ 1

0

ns

1

5Âż s

a(n).

n≤x

f (s) =

f (s) =

X

n=1

âˆ’Ďƒ

≤ Îś(Ďƒ).

0

X a(n) n≤x

ns0

=

1 2Ď€i

Z

b+iT

b−iT

f (s + s0 )

xs ds s

xb Îś(b + Ďƒ0 ) +O T log x 1âˆ’Ďƒ0 +O x min 1, T x âˆ’Ďƒ0 +O x min 1, . ||x||

25

1 Ă™

26

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

=Ă’´ X

χ(n)

n≤x n∈B b+iT

s χ3 (p1 ) x L(2s, χ2 ) Y ds 1+ s 2s 4 2 (p1 − χ(p)) (p1 + χ (p)) s b−iT L(4s, χ ) p 1 b x Îś(b) log x +O + O x min 1, . T T

1 = 2Ď€i

Z

|^Ăšn2.5.5 ÂĽ Â?{¡Â‚ÂŒ 

XJχ ´ p ĂŒAÆ; Ă™§.

 2f (χ)px1/2 + O x1/4+ÇŤ , χ(n) = (p + 1) Îś(2)  n≤x O p9/44 x1/4+ÇŤ ,

2

X

n∈B

y.. y3¡Â‚5y²½n. ½Ă‚C Ç‘ p Šƒ8. 5Âż χa,k (n) = e

aindn k

´ p AÆ, χ Ç‘ĂŒAÆ Â…= k = 1. Ă?ddĂšn2.5.1 ÚÚn2.5.5 k a,k

X

=

n≤x n∈A n∈C

k φ(p − 1) X Âľ(k) X′ X aindn e p−1 φ(k) a=1 n≤x k k|p−1

n∈A (n,p)=1

=

k φ(p − 1) X Âľ(k) X′ X χa,k (n) p−1 φ(k) a=1 n≤x k|p−1

n∈A

=

pφ(p − 1) x + O p9/44 x1/2+ÇŤ . 2 (p − 1)Îś(2)

ÚÒy² ½n2.5.1. 5Âż χ Ç‘ĂŒAÆ Â…= k = 1 ½k = 2. Ă?ddĂšn2.5.1 ÚÚn2.5.6 ÂŒ 2 a,k

X

=

n≤x n∈B n∈C

k φ(p − 1) X Âľ(k) X′ X aindn e p−1 φ(k) a=1 n≤x k k|p−1

n∈B (n,p)=1

=

k φ(p − 1) X Âľ(k) X′ X χa,k (n) p−1 φ(k) a=1 n≤x k|p−1

n∈B

§2.6 Smarandache

=

–ê

27

2C3 pφ(p − 1) 1/2 x + O p9/44 x1/4+ÇŤ . 2 (p − 1) Îś(2)

ÚÒy² ½n2.5.2. ½Ă‚D Ç‘ p gÂ?{ƒ8, dĂšn2.5.5 ¡Â‚k X

=

n≤x n∈A n∈D

X1

n≤x n∈A

=

2

1+

n x 1X n = + p 2Îś(2) 2 n≤x p n∈A

3 x + O p9/44 x1/2+Ǎ . 2 π .

ÚÒ ¤ ½n2.5.3 y²

§2.6 Smarandache

–ê

Â˜Â‡ĂŞÂĄÇ‘´1 aSmarandache –Ûê, XJ§ ´óê, ´ÊÙê  ÂŠ,‡˜† Ă’C¤Ă›ĂŞ. ~X 10, 12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36, 38, 50, 52, ¡ ¡ ¡

Ă‘´1 aSmarandache –Ûê. A LÂŤ1 aSmarandache –Ûê 8Ăœ. aq/, ÂŒ½Ă‚1 aSmarandache –óê. XJÂ˜Â‡Ă›ĂŞ ꠊ,‡˜†ƒ C¤Â˜Â‡óê, oڇê ÂĄÇ‘1 aSmarandache –óê. ~X 21, 23, 25, 27, 29, 41, 43, 45, 47, 49, ¡ ¡ ¡

Ă’´1 aSmarandache–óê. -B LÂŤ1 aSmarandache–óê 8Ăœ. !ĂŻĂ„ÚßaĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n2.6.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

1=

n∈A n≤x

†

ln 5 1 x + O x ln 10 2

ln 5 1 1 = x + O x ln 10 . 2 n∈B X

n≤x

½n2.6.2. ¢êx ≼ 1, d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê. KkĂŹCúª 3 d(n) = x ln x + 4 n∈A X

n≤x

3 ln 2 3 Îłâˆ’ − 2 2 4

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ

1 Ă™

28

ĂŞ ފŠĂ™

Smarandache

† 1 d(n) = x ln x + 4 n∈B X

n≤x

1 ln 2 1 Îł+ − 2 2 4

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\߇Ún. Ăšn2.6.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ ,

1 1 1 d(2n − 1) = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 − 1)x + O(x 2 +ÇŤ ), 4 4 x+1

X

n≤

2

Ù¼γ ´Euler~ĂŞ, ÇŤ ´?¿¢ê. y². s Ç‘EĂŞ, Re s > 1. ½Ă‚f (s)Ç‘ f (s) =

∞ X d(2n − 1) n=1

dEuler Ăˆúªk

(2n − 1)s

Y

2 3 f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p p6=2 2 1 = Îś 2 (s) 1 − s , 2

Ù¼Μ(s) ´Riemann ZetaŸê. 3Perron úª¼ s = 0, T = x 2n−1<x

d(2n − 1) =

1 2Ď€i

5¿ Ÿê

Z

3 2 +iT 3 2 −iT

3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘ 1 lim s→1 1!

1 (s − 1) Îś (s) 1 − s 2 2 2

Ù¼γ ´Euler~ĂŞ. KÂŒ

2

p6=2

1 1− s p

2

, b = 3/2, 2 s 1 1 x 2 Îś (s) 1 − s ds + O x 2 +ÇŤ . 2 s

1 Îś (s) 1 − s 2 2

=

Y

Œ

1/2

0

X

.

xs s

!′

2

xs s

1 1 = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 − 1)x, 4 4

1 1 1 d(2n − 1) = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 − 1)x + O(x 2 +ÇŤ ). 4 4 2n−1≤x X

ÚÒy² Ăšn2.6.1.

§2.6 Smarandache

–ê

29

Ăšn2.6.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

ln 5 1 = O x ln 10

X

ln 5 1 = O x ln 10 .

2n∈A / 2n≤x

†

2n−1∈B / 2n−1≤x

y². kÇ‘ ĂŞ, áv10

k

≤ x < 10k+1 . X 1 ≤ 5k .

w,kk ≤ log x < k + 1. ´y

2n∈A / 2n≤x

l k

X

ln 5

2n∈A / 2n≤x

aq„Œ

1 ≤ 5log x = x ln 10 .

X

2n−1∈B / 2n−1≤x

ÚÒy² Ăšn2.6.2. y3y²½n. dĂšn2.6.2 k X

1=

n∈A n≤x

Âą9

X

n∈B n≤x

X

2n≤x

1=

X

2n−1≤x

1−

1−

ln 5 1 = O x ln 10 .

X

1=

2n∈A / 2n≤x

X

2n−1∈A / 2n−1≤x

ln 5 1 x + O x ln 10 2

ln 5 1 1 = x + O x ln 10 . 2

l y² ½n2.6.1. ,˜Â?ÂĄ, dĂšn2.6.1, Ăšn2.6.2 Âą9 OÂŞd(n) ≤ n k ÇŤ

X

d(n) =

n∈A n≤x

X

2n≤x

=

X n≤x

d(2n) −

d(n) −

X

d(2n)

2n∈A / 2n≤x

X

2n−1≤x

d(2n − 1) −

X

d(2n)

2n∈A / 2n≤x

ln 5 1 1 = x ln x + (2Îł − 1)x − x ln x − (2Îł + 2 ln 2 − 1)x + O x ln 10 +ÇŤ 4 4

1 Ă™

30

=

3 x ln x + 4

aq„Œ X

n∈B n≤x

3 ln 2 3 Îłâˆ’ − 2 2 4

X

d(n) =

2n−1≤x

=

Smarandache

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ .

d(2n − 1) −

1 x ln x + 4

ÚÒy² ½n2.6.2.

§2.7 k

ĂŞ ފŠĂ™

X

2n−1∈B / 2n−1≤x

1 ln 2 1 Îł+ − 2 2 4

d(2n − 1)

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ .

gÂ˜Ă–Ÿê

n, k Ç‘ ĂŞ, Â…k ≼ 2. b (n) ÂĄÇ‘n k gÂ˜Ă–Ÿê, XJb (n) ´ nb (n) Ç‘k g˜  ê. ½Ă‚߇# 8Ăœ k

k

k

B = {n ∈ N, bk (n) | n}, C = {n ∈ N, n | bk (n)}.

!|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„Dirichlet Ă˜êŸêd(n) 3Ú߇8ĂœĂž ފ, ¿‰Ñß ‡ÞŠúª. ½n2.7.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k 1

X

d(n) =

n≤x n∈B

1 mx m 1 m )f (log x) + O R(p x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2)

Ù¼ 1 m

R(p ) =

p

f (y)

1 1 p m − 1 (m + 1) + p m 1+ 1 (p + 1)m+1 (p m − 1)2 m+1 m+1−i  1 2 P m+1 pm p i  i=2 , − 1 m+1 2 (p + 1) (p m − 1)  pm

Y

´'uy þ‘ª, gĂŞÇ‘

k+1 m= ,ÇŤ 2

´?¿ ¢ê.

§2.7 k

g Ö¼ê

31

½n2.7.2. é?¿ ¢êx ≥ 1, k x log x Y (l + 1)(p − 1) 1 d(n) = 1− + Ax + O(x 2 +ǫ ), l+2 ζ(l + 1) p p −p n≤x X

n∈C

Ù¥

Ǒ~ê. y3y²½n. n IO Ïf©)ªǑn = p

k l= ,A 2

α1 α2 1 p2

· · · pαs s ,

Kw,k

bk (n) = bk (pα1 1 pα2 2 · · · pαs s ) = bk (pα1 1 )bk (pα2 2 ) · · · bk (pαs s ).

=b (n) ´ ¼ê. e5ïÄn = p ¹. (1) α ≥ k, Kdb (n) ½Âkb (n) | n, l n ∈ B. (2) α ≤ k, Kb (n) = p . dþ , α ≥ α ≤ n ∈ C. y3½Â X α

k

k

k

k−α

k

k 2

f (s) =

n∈B

dEuler Èúªk

k+1 2

n ∈ B,

d(n) . ns

Y d(pm ) d(pm+1 ) f (s) = 1 + ms + (m+1)s + · · · p p p Y m+1 m+2 = 1 + ms + (m+1)s + · · · p p p Y ps m+1 m+1 + = 1 + ms + ms s p p (p − 1) pms (ps − 1)2 p 2

=

Ù¥ζ(s) ´ w,k

ζ m+1 (ms) Y pm s (ps − 1)(m + 1) + ps 1 + ζ m+1 (2ms) p (pms + 1)m+1 (ps − 1)2  m+1 P m+1 m(m+1−i)s (ps − 1)2 p i  i=2 , −  (pms + 1)m+1 (ps − 1)2

¼ê

k+1 Riemann zeta ,m= . 2

∞

X d(n)

1

|d(n)| ≤ n,

≤ σ

n σ−1− n=1

1 m

,

1 Ă™

32

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

Ă™ÂĽĎƒ > 1 − m1 ´s ¢Ăœ. K3Perronúª¼ s0 = 0, b =

Œ

1 d(n) = 2πi n≤x X

n∈B

Ù¼

Z

2 m +iT 2 m −iT

2 3 , T = x 2m , m

1 Îś m+1 (ms) xs R(s) ds + O x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2ms) s

R(s) =



2

Y 1 + 

pm s ((ps − 1)(m + 1) + ps ) − (ps − 1)2

m+1 P i=2

m+1 i

(pms + 1)m+1 (ps − 1)2

p

5¿ Ÿê

 pm(m+1−i)s  . 

Îś m+1 (ms) xs R(s) Îś m+1 (2ms) s

3s = m1 k˜‡m + 1 4:, 3ĂŞÇ‘ (m) R(s)xs m+1 m+1 (ms − 1) Îś (ms) m+1 Îś (2ms)s (m) R(s)xs 1 m = lim (ms − 1)m+1 Îś m+1 (ms) s→1 m! 0 Îś m+1 (2ms)s ′ (m−1) 1 m R(s)xs m+1 m+1 Îś (ms) + lim (ms − 1) s→1 m! 1 Îś m+1 (2ms)s +¡¡¡¡¡¡ (m) 1 m R(s)xs m+1 m+1 + lim (ms − 1) Îś (ms) s→1 m! m Îś m+1 (2ms)s 1 1 mx m 1 = m+1 R f (log x) + O x 2m +ÇŤ , Îś (2) m 1 lim s→1 m!

Ù¼f (y) ´'uy þ‘ª, gĂŞÇ‘k, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ă?dÂŒ 1

Ù¼ 1 R pm

X

n≤x n∈B

d(n) =

1 mx m 1 m )f (log x) + O R(p x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2)

§2.7 k

=

Y

1+

p

g Ö¼ê

33

Pm+1 1 1 1 pm (p m − 1)(m + 1) + p m − (p m − 1)2 i=2

ùÒy² ½n2.7.1. êk ≥ 2. ½Â dEuler Èúªk

1

(p + 1)m+1 (p m − 1)2

g(s) =

m+1 i

pm+1−i

X d(n) . ns n∈C

X d(n) ns n∈C Y d(p) d(p2 ) d(pl ) = 1 + s + 2s + · · · + ls p p p p Y 3 l+1 2 = 1 + s + 2s + · · · + ls p p p p ! Y 1 1 1 1 1 l+1 = 1 + + + + · · · + − ps p2s p3s pls p(l+1)s 1 − p1s p ! 1 Y 1 − p(l+1)s l+1 = ζ(s) − (l+1)s 1 p 1 − ps p ζ 2 (s) Y (l + 1)(ps − 1) = 1− , ζ((l + 1)s) p p(l+2)s − ps

g(s) =

Ù¥

k l= . 2

2dPerron úª y½n2.7.2.

!

.

34

1 Ă™

Smarandache

ĂŞ ފŠĂ™

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ Ă™?Ă˜'u˜ Smarandache Ÿê Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5, ÂżÂ‰Ă‘Â˜

ð ª. §3.1

n Ç‘ ĂŞ. ĂŞm. =Ă’´

'uSmarandache ˜Ÿê ÂĄ?ĂŞ Smarandache

SP (n) = min

  

˜ŸêSP (n) ´Â?ávn | m  m

m : n | nm , m ∈ N,

Y p|n

 Y  p= p .  p|m

n Hg,êž, ÂŒ Smarandache ˜Ÿê ĂŞ {SP (n)} Xe: 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 4, 17, 6, 19, 10, ¡ ¡ ¡

ŠâSP (n) ½Ă‚, n Ç‘ÂƒĂŞÂ˜Âž, k  XJ 1 ≤ Îą ≤ p; p,     p , XJ p + 1 ≤ Îą ≤ 2p ;  SP (n) = p, XJ 2p + 1 ≤ Îą ≤ 3p ;   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡    XJ (Îą − 1)p + 1 ≤ Îą ≤ Îąp . p , n IOƒĂ?êŠ)ÂŞÇ‘n = p p ¡ ¡ ¡ p . eĂŠ NÎą (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r) kÎą ≤ p , KkSP (n) = U (n), Ù¼ 2 3

2

2

3

Îą

Îą

Îą1 Îą2 1 2

i

Îą

Îąr r

i

i

U (n) =

Y

p.

p|n

w,SP (n) Ă˜´ÂŒ Ÿê. ~X

SP (8) = 4, SP (3) = 3, SP (24) = 6 6= SP (3) Ă— SP (8).

!ïĆSP (n) k' ˜‡ ÂĄ?ĂŞ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ Ă° ÂŞ. ¡ 35 ¡

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

36

½n3.1.1. s ǑEê, ÷vRe s > 1, Kk  s 2 +1 1   ,   2s − 1 ζ(s)  ∞  s n−1 X 2 +1 1 2s − 1 (−1) µ(n) − , = s 2s − 1 ζ(s) 4s  (SP (nk ))  n=1 s s  2 +1 1 2 − 1 3s − 1    s − + , 2 − 1 ζ(s) 4s 9s

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5,

Ù¥µ(n) ǑM¨obius ¼ê, ζ(s) ǑRiemann zeta ¼ê. 5¿ ζ(2) = π6 , ζ(4) = π90 . 3½n¥ s = 2, 4, e¡ ð ª. 2

4

 10   ,   π2 ∞ X (−1)n−1 µ(n)  10 − 2 = 2  π (SP (nk ))  n=1    10 − π2

3 , 16 8 3 + , 16 81

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5,

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5. y3y²½n. 5¿ m Ǒóê , µ(2m) = 0; m ǑÛê , µ(2m) = −µ(m). Ïd  102   ,   π4 ∞ X (−1)n−1 µ(n)  102 − 4 =  π4 (SP (nk ))  n=1    102 − π4

∞ X (−1)n−1 µ(n) n=1

(SP (nk ))

s

15 , 256 15 80 + , 256 6561

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m) = − k s (SP ((2m − 1) ) (SP ((2m)k )s m=1 m=1 =

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m − 1) + . k )s k (2m − 1)k )s (SP ((2m − 1) (SP (2 m=1 m=1

k = 1 ½2 , SPµ(n) ´ ¼ê. ¯¢þé?¿p êm, n, (n ) µ(mn) = 0 , kµ(m) = 0 ½µ(n) = 0, l µ(m)µ(n) = 0. Ïd k

µ(mn) µ(m) µ(n) µ(m) µ(n) = = . k k k k SP (m n ) SP (m ) SP (n ) m n

XJµ(mn) 6= 0, Kkµ(m) 6= 0, µ(n) 6= 0, l SP (mk nk ) = SP (mk )SP (nk ) = mn.

§3.1

'uSmarandache ˜Ÿê ÂĄ?ĂŞ

Ă?d k = 1 ½2 ž,

Âľ(n) Âľ(n) = SP (nk ) n

´ÂŒ Ÿê. k = 1 ½2 ž, d ÂŞ ∞ X Âľ(n) n=1

Âą9Euler ĂˆÂŒ ∞ X (−1)n−1 Âľ(n) s

n=1

(SP (nk ))

ns

Y 1 1 = 1− s = , p Îś(s) p

∞ X

∞

X Âľ(2m − 1) Âľ(2m − 1) = + k s (SP ((2m − 1) )) (SP (2k (2m − 1)k ))s m=1 m=1 Y 1 1 Y 1 = 1− s + s 1− s p 2 p6=2 p p6=2 ∞ 1 2s + 1 X Âľ(n) 2s + 1 2s Y 1 − = = 2s 2s − 1 p ps 2s − 1 n=1 ns =

2s + 1 1 . 2s − 1 Îś(s)

ÚÒy² ½n 1Â˜ÂŤÂœš. k = 3 ž, 5Âż SP (2 ) = 4, l k (SPÂľ(1) (2 )) 3

3

Ă?d n=1

s

Âľ(2m − 1) Âľ(2m − 1) = s , 3 3 s (SP (2 (2m − 1) )) 2 (2m − 1)s

∞ X (−1)n−1 Âľ(n)

(SP (n3 ))

s

37

∞ X

=

1 , 4s

Âą9

m > 1.

∞

X Âľ(2m − 1) Âľ(2m − 1) = + 3 s (SP ((2m − 1) )) (SP (23 (2m − 1)3 ))s m=1 m=1 ∞ X

∞ X Âľ(2m − 1) 1 1 Âľ(2m − 1) = + s− s+ 3 ))s s (2m − 1)s (SP ((2m − 1) 4 2 2 m=1 m=1 Y 1 2s − 1 1 Y 1 = 1− s − + 1− s s s p 4 2 p6=2 p p6=2 2s + 1 2s Y 1 2s − 1 = 1 − − 2s 2s − 1 p ps 4s

=

2s + 1 1 2s − 1 − . 2s − 1 Îś(s) 4s

ÚÒy² ½n 1 ÂŤÂœš.

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

38

k = 4 ½5 , 5¿ SP (2 ) = 4, SP (3 ) = 9, l k k

k

µ(2) 1 = s, (SP (2k ))s 4

µ(3) 1 = − s, (SP (3k ))s 9

µ(2m − 1) µ(2m − 1) = s , (SP (2k (2m − 1)k ))s 2 (2m − 1)s

±9

µ(2m − 1) µ(2m − 1) = , k s (SP ((2m − 1) )) (2m − 1)s

m ≥ 2.

KdEuler Èúªk

∞ X (−1)n−1 µ(n) n=1

(SP (nk ))

m > 2,

s

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m − 1) = + k s (SP ((2m − 1) )) (SP (2k (2m − 1)k ))s m=1 m=1

∞ ∞ X X µ(2m − 1) µ(2m − 1) 1 1 1 1 =− s + s + + s− s+ s s (2m − 1)s 9 3 (2m − 1) 4 2 2 m=1 m=1 Y 1 1 1 2s − 1 1 Y 1 =− s + s + 1− s − + s 1− s 9 3 p 4s 2 p6=2 p p6=2 2s + 1 2s Y 1 2s − 1 3s − 1 = 1 − − + 2s 2s − 1 p ps 4s 9s

=

2s + 1 1 2s − 1 3s − 1 − + . 2s − 1 ζ(s) 4s 9s

l ¤ ½n y². §3.2

'un êÜ©±9Ø Ln m g 1 m

m Ǒ ½ ê, ¿½Â¼ê

h 1i am (n) = n m ,

Ù¥[x] L«Ø Lx ê. ~X, a (1) = 1, a (2) = 1, a (3) = 1, a (4) = 2

2

2

2

2, a2 (5) = 2, a2 (6) = 2, a2 (7) = 2, a2 (8) = 2, a2 (9) = 3, a2 (10) = 3, · · · .

n Ǒ ê, w, 3 êk ÷vk bm (n) = km ,

m

≤ n < (k + 1)m .

½Â

§3.2

=b

m (n)

'un ĂŞĂœŠ¹9Ă˜Â‡Ln  ÂŒm g˜ 1 m

39

´Ă˜Â‡Ln  ÂŒm g˜. ~X m = 2 žkb (1) = 1, b (2) = 1, 2

2

b2 (3) = 1, b2 (4) = 4, b2 (5) = 4, b2 (6) = 4, b2 (7) = 4, b2 (8) = 4, b2 (9) = 9, b2 (10) = 9, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ„'ua (n) †b (n) ߇Dirichlet ?ĂŞ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ÂŞ. ½n3.2.1. m Ç‘ ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > 1, Dirichlet ?ĂŞ m

m

∞ X (−1)n as (n) n=1 m

f (s) =

Ă‚Ăą, Â…k

∞ X (−1)n

asm (n)

=

1 2s−1

− 1 Îś(s),

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. ½n3.2.2. m Ç‘ ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > n=1

gm (s) =

∞ X (−1)n n=1

bsm (n)

=

d½nĂĄ=ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜3.2.1.

n=1 ∞ X n=1

b22 (n)

=−

1 2ms−1

− 1 Îś(ms).

∞ X (−1)n 3 = − Îś(3), 3 (n) a 4 n=1 m ∞ X (−1)n

7 4 π , 720

n=1 ∞ X

n

(−1) 31 6 =− Ď€ , 2 b3 (n) 30240

n=1

Ă­Ă˜3.2.2. s, m Ç‘ ĂŞ, Â…m ≼ 2. Kk ∞ X (−1)n n=1

bsm (n)

?ĂŞ

bsm (n)

∞ X (−1)n 1 = − Ď€2, 2 (n) a 12 n=1 m ∞ X (−1)n

Dirichlet

∞ X (−1)n n=1

Ă‚Ăą, Â…k

1 , m

=

b32 (n)

31 6 π , 30240

(−1)n 255 =− Îś(9). 3 b3 (n) 256

∞ X (−1)n n=1

=−

bm s (n)

.

y3y²Ú ½n. Ê?¿ ên, w, k(k + 1) a (n) = k. l k

m

m

∞ ∞ ∞ X X X (−1)n f (s) = = as (n) k=1 n=1 n=1 m

am (n)=k

(−1)n . ks

− km

‡ ên

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

40

k ǑÛê , k

∞ X

(−1)n −1 = s. s k k

∞ X

(−1)n 1 = s. s k k

n=1 am (n)=k

k Ǒóê , Kk

n=1 am (n)=k

nÜùü« ¹

∞ X

∞ X 1 −1 + s (2t) (2t − 1)s t=1

∞ X

1 − (2t)s

f (s) =

t=1 k=2t

=

t=1 ∞ X

=

t=1

k=2t−1

∞

∞ ∞ X 1 X 1 − ts t=1 (2t)s t=1

!

X 1 2 − . s s 2t ts t=1

w, s > 1 f (s) Âñ, k

∞ X (−1)n 1 f (s) = = − 1 ζ(s). as (n) 2s−1 n=1 m

ùÒy² ½n3.2.1. |^Ó {´y

gm (s) = =

∞ X (−1)n n=1 ∞ X k=1

=

=

∞ X

t=1 k=2t ∞ X t=1

w, s > g(s) Âñ, k 1 m

gm (s) =

l y² ½n3.2.2.

bsm (n) ∞ X

n=1 bm (n)=km

∞ X 1 −1 + ms (2t) (2t − 1)ms t=1

2 2ms tms

∞ X (−1)n n=1

(−1)n kms

bsm (n)

=

−

k=2t−1 ∞ X

1

t=1

1 2ms−1

tms

.

− 1 ζ(ms).

ĂŞ m gÂ˜ĂœŠ

§3.3

§3.3

ĂŞ m gÂ˜ĂœŠ

n, m Ç‘ ĂŞ, Â…m ≼ 2. ½Ă‚C

Ç‘ gÂ˜ĂœŠ, =Ă’´

n m m (n) n n o Cm (n) = min m : dm |n, d ∈ N . d n = pÎą1 1 pÎą2 2 ¡ ¡ ¡ pÎąs s , Cm (nm n ) 1 2 = Cm (n2 ),

Kk

Cm (n) = pι1 1 pι2 2 ¡ ¡ ¡ pιs s ,

ĂŠ?Âż ĂŞk, ½Ă‚Ÿêδ (n) Xe,

Âą9

Îąi ≤ m − 1.

k

XJ n 6= 0, XJ n = 0. A LávÂ?§C (n) = δ (n) ĂŞn 8Ăœ. = δk (n) =

max {d ∈ N : d | n, (d, k) = 1} , 0,

m

k

A = {n ∈ N : Cm (n) = δk (n)} .

!ïĆ8ĂœA k' Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ Ă° ÂŞ. ½n3.3.1. m ≼ 2 ´ ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > 1, k ∞ 1 X 1 Îś(s) Y 1 − ps = 2 , ns Îś(ms) 1 n=1 p|k 1 − pms

n∈A

Ù¼Μ(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. 5Âż p

Μ(2) = π 2 /6,

Μ(4) = π 4 /90,

d½nĂĄ=ÂŒ eÂĄ ˜ ÂŞ. Ă­Ă˜3.3.1. ½Ă‚

Μ(6) = π 6 /945,

B = {n ∈ N : C2 (n) = δk (n)},

Kk Âą9

C = {n ∈ N : C3 (n) = δk (n)}. ∞ X 1 15 Y p6 = n2 Ď€2 (p2 + 1)(p4 − 1) n=1 p|k

n∈B

∞ X 1 305 Y p10 = . n2 2Ď€ 4 (p4 + p2 + 1)(p6 − 1) n=1 p|k

n∈C

41

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

42

y3y²½n. ½Ă‚Ÿêa(n) Xe: 1, XJ n ∈ A, a(n) = 0, Ă™§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k ∞ ∞ ∞ X X 1 a(n) X 1 = < . ns ns ns n=1 n=1 n=1

n∈A

5¿ s > 1 ž

∞ X n=1

Âù, K s > 1 ž

1 ns

∞ X 1 ns n=1

Ç‘Ă‚Ăą.

y3 Ă„8ĂœA. dC (n) †δ (n) ½Ă‚ÂŒ C (n) †δ (n) Ă‘´ÂŒ Ÿê, Ă?d )Â?§C (n) = δ (n), Â?I Ă„n = p ž Âœš. n = p , (p, k) = 1 ž, C (p ) = δ (p ) k) Â…= 1 ≤ Îą ≤ m − 1. n = p , p | k ž, KC (p ) = δ (p ) k) Â…= m | Îą. dEuler Ăˆk n∈A

m

m

Îą

m

m

k

∞ X 1 ns n=1

m

k

Îą

k

k

Îą

k

Îą

Îą

Îą

Îą

=

Y p

n∈A

a(pm−1 ) a(p) a(p2 ) 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (m−1)s + ¡ ¡ ¡ p p p

a(p) a(p2 ) a(pm−1 ) + + ¡ ¡ ¡ + ps p2s p(m−1)s p∤k Y a(p) a(p2 ) a(p3 ) Ă— 1 + ms + 2ms + 3ms + ¡ ¡ ¡ p p p p|k Y 1 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (m−1)s p p p p∤k Y 1 1 1 Ă— 1 + ms + 2ms + 3ms + ¡ ¡ ¡ p p p =

Y

1+

p|k

1

Îś(s) Y 1 − ps = 2 , Îś(ms) 1 p|k 1 − pms Y Riemann zeta ,

Ù¼Μ(s) ´ y².

Ÿê

§3.4

p

LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. dd ¤ ½n

'uk gĂ–ĂŞ ÂĄ?ĂŞ

n, k Ç‘ ĂŞ, Â…k ≼ 2. a (n) ÂĄÇ‘n k gĂ–ĂŞ, XJa (n) ´ na (n) Ç‘k g˜  ê. AO/, ŠOÂĄa (n), a (n), a (n) Ç‘²Â…Ă–ĂŞ, ĂĄÂ?Ă– k

k

2

3

4

k

§3.4

'uk gĂ–ĂŞ ÂĄ?ĂŞ

ĂŞ, ogĂ–ĂŞ. !ĂŻĂ„Dirichlet ?ĂŞ ∞ X n=1

1 (nak (n))s

5Â&#x;, ¿‰ÑA‡ð ÂŞ. ½n3.4.1. s Ç‘EĂŞ, ávRe s ≼ 1. Kk ∞ X n=1

Îś 2 (2s) 1 = , (na2 (n))s Îś(4s)

Ù¼Μ(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê. ½n3.4.2. s Ç‘EĂŞ, ávRe s ≼ 1. Kk ∞ X n=1

Îś 2 (3s) Y 1 1 = 1 + 3s , (na3 (n))s Îś(6s) p p +1

Ù¼Y Ç‘LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. p

½n3.4.3. s Ç‘EĂŞ, ávRe s ≼ 1. Kk ∞ X n=1

1 Îś 2 (4s) Y 1 1 = 1 + . 1 + (na4 (n))s Îś(8s) p p4s + 1 p4s + 2

3Þã½n¼ŠO s = 1, 2, ¿5¿

π2 π4 π6 π8 , Μ(4) = , Μ(6) = , Μ(8) = , 6 90 945 9450 691π 12 3617π 16 Μ(12) = , Μ(16) = , 638512875 325641566250 Μ(2) =

l ÂŒ eÂĄ ˜ ÂŞ. Ă­Ă˜3.4.1. ∞ X n=1

∞ X

1 5 = ; na2 (n) 2

1 Îś 2 (3) Y 1 = 1+ 3 ; na3 (n) Îś(6) p p +1 n=1 Y ∞ X 1 7Y 1 1 = 1+ 4 1+ 4 . na4 (n) 6 p p +1 p p +2 n=1

43

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

44

Ă­Ă˜3.4.2. ∞ X n=1

7 1 = ; 2 (na2 (n)) 6

∞ X

715 Y 1 1 ; = 1+ 6 (na3 (n))2 691 p p +1 n=1 Y ∞ X 7293 Y 1 1 1 = 1+ 8 1+ 8 . (na4 (n))2 7234 p p +1 p p +2 n=1

y3y²½n. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = l m, Ù¼m Ç‘ ²Â?Ă?fĂŞ, K da (n) ½Ă‚k 2

2

∞ X n=1

1 (na2 (n))s

∞ X ∞ ∞ X ∞ X X |Âľ(m)| |Âľ(m)| = = 2 s (l mm) l2s m2s l=1 m=1 l=1 m=1 Y 1 Îś 2 (2s) = Îś(2s) , 1 + 2s = p Îś(4s) p

Ù¼¾(n) Ç‘M¨obius Ÿê. ÚÒy² ½n3.4.1. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = l m r, Ù¼(m, r) = 1, rm ´ ²Â…Ă?fĂŞ, K da (n) ½Ă‚k 3

2

3

∞ X n=1

1 (na3 (n))s

=

∞ X ∞ X ∞ X |Âľ(m)||Âľ(r)| (l3 m2 rmr 2 )s l=1 m=1 r=1 (m,r)=1

= Îś(3s)

∞ ∞ X |Âľ(m)| X |Âľ(r)| m3s r 3s m=1 r=1 (m,r)=1

∞ X

|Âľ(m)| Y 1 = Îś(3s) 1 + 3s m3s p m=1 =

=

=

p∤m

∞ Îś (3s) X |Âľ(m)| Y 1 3s 1 Îś(6s) m=1 m p|m 1 + p3s   Îś 2 (3s) Y  1  1+ Îś(6s) p p3s 1 + p13s   2 Y Îś (3s) 1  1 + . 1 Îś(6s) p p3s + 1 2

p3s

ÚÒy² ½n3.4.2.

'uk gÖê ð ª

§3.5

45

é?¿ ên, n = l m r t, Ù¥(m, r) = 1, (mr, t) = 1, mrt ´ ² Ïfê, Kda (n) ½Âk 4

3 2

4

∞ X

1 (na4 (n))s

n=1 ∞ X ∞ X ∞ X ∞ X

=

l=1 m=1 r=1 t=1 (m,r)=1 (mr,t)=1

= ζ(4s)

|µ(m)||µ(r)||µ(t)| (l4 m3 r 2 tmr 2 t3 )s

∞ X ∞ X |µ(m)||µ(r)|

m=1 r=1 (m,r)=1

m4s r 4s

∞ X

t=1 (mr,t)=1

|µ(t)| t4s

∞ ∞ ζ 2 (4s) X X |µ(m)||µ(r)| Y 1 = 4s 4s ζ(8s) m=1 r=1 m r 1 + p14s p|mr (m,r)=1

∞ ∞ Y ζ (4s) X X |µ(m)||µ(r)| Y 1 1 1 4s 4s ζ(8s) m=1 r=1 m r 1 + p4s p|r 1 + p14s p|m 2

=

(m,r)=1

∞ Y ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1 1 1 + ζ(8s) m=1 m4s p4s + 1 1 + p14s p|m p∤m Q 1 ∞ 2 1 + X Y 4s p p +1 ζ (4s) |µ(m)| 1 = ζ(8s) m=1 m4s 1 + p14s Q 1 + 1

=

p|m

p4s +1

p|m

=

ζ 2 (4s) Y 1 1 1 + 4s . 1 + 4s ζ(8s) p p +1 p +2

ùÒy² ½n3.4.3.

§3.5

'uk gÖê ð ª

n, k Ǒ ê, k ≥ 2. a (n) ¡Ǒn k gÖê. XJa (n) ´ na (n) Ǒk g ê. !ïÄ a (n) k' Dirichlet ?ê, ¿ Ñ ð ª. ½n3.5.1. α, β ǑEê, ÷vRe α ≥ 1, Re β ≥ 1. Kk k

k

k

k

∞ X n=1

Y 1 1 + = ζ(kα)  nα aβk (n) p

1−

1

p(k−1)α+(k−1) pα+(k−1)β − 1

2

β

 , 

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

46

Ù¼Μ(Îą) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. p

½n3.5.2. Îą, β Ç‘EĂŞ, ávRe Îą ≼ 1, Re β ≼ 1. Kk

5Âż

∞ X 2(2kÎą − 1)(2Îą+(k+1)β − 1) (−1)n = 1 − Îś(kÎą) (k+1)Îą+(k−1)β − 2Îąâˆ’(k−1)2 β Îą aβ (n) 2 n k n=1   1 1 − (k−1)Îą+(k−1)2 β  Y p 1 + . Ă— Îą+(k−1)β   p − 1 p Îś(2) =

Ď€2 , 6

Îś(4) =

Ď€4 , 90 .

Âą9

dÞã½nĂĄ=ÂŒ eÂĄ ˜ Ă° ÂŞ Ă­Ă˜3.5.1. 3Þã½nÂĽ Îą = β, k = 2, k ∞ X n=1

Îś(8) =

Ď€8 . 9450

1 Îś 2 (2Îą) = ; (na2 (n))Îą Îś(4Îą)

∞ X

1 Îś 2 (2Îą) 4Îą − 1 ¡ ; = (na2 (n))Îą Îś(4Îą) 4Îą + 1

∞ X

(−1)n Îś 2 (2Îą) 3 − 4Îą = ¡ . (na2 (n))Îą Îś(4Îą) 1 + 4Îą

n=1 2∤n

n=1

Ă­Ă˜3.5.2. 3Ă­Ă˜3.5.1 ÂĽ Îą = β = 1 ½ι = β = 2, k = 2, ÂŒ ∞ X n=1

∞ X n=1 2∤n

5 1 = , na2 (n) 2 1 3 = , na2 (n) 2

∞ X n=1

∞ X n=1 2∤n

∞ X (−1)n 1 =− , na2 (n) 2 n=1

1 7 = ; 2 (na2 (n)) 6 1 35 = ; (na2 (n))2 34

∞ X n=1

(−1)n 91 =− . 2 (na2 (n)) 102

y3y²½n. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = m l, Ù¼l Ç‘ k gĂ?fĂŞ, K da (n) ½Ă‚k k

k

∞ X n=1

X

Âľ(d)

X

Âľ(d) ∞ X ∞ ∞ X X k k 1 d |l d |l = = Îś(kÎą) Îą+(k−1)β l nÎą aβk (n) m=1 l=1 mkÎą lÎą l(k−1)β l=1

§3.5

= ζ(kα)

Y

1+

p

'uk gÖê ð ª 1

pα+(k−1)β

+

1 p2(α+(k−1)β)

1

+ ··· +

1

47

p(k−1)(α+(k−1)β)

1 − (k−1)(α+(k−1)β)  Y 1 p 1 +  α+(k−1)β   1 p p 1 − α+(k−1)β p   1 1 − (k−1)α+(k−1)2 β Y  p  , 1 + = ζ(kα)   α+(k−1)β − 1 p p = ζ(kα)

Ù¥µ(n) ǑM¨obius ¼ê. ùÒy² ½n3.5.1. , ¡, ØJy² ∞ X

1

nα aβk (n) n=1 2∤n

=

=

∞ X ∞ X

m=1 l=1 2∤mk l

X

µ(d)

dk |l

mkα lα l(k−1)

µ(d) ∞ ∞ X X k 1 d |l = kα m lα+(k−1) m=1 l=1 2∤m

2∤l

Y 2kα − 1 ζ(kα)(2α+(k−1)β − 1) 1 + 2kα 2α+(k−1)β − 2(k−1)(α+(k−1)β) p  

α

=

X

ζ(kα)(2k − 1)2α+(k−1)β Y  1 + 2 2(k+1)α+(k−1)β − 2α−(k−1) β p 

1

1−

1−

p(k−1)α+(k−1)2 β   pα+(k−1)β − 1 

1

p(k−1)α+(k−1)2 β  . pα+(k−1)β − 1 

2d½n3.5.1

∞ ∞ ∞ X X X (−1)n 1 1 = −2 β β α α α n ak (n) n=1 n ak (n) n aβk (n) n=1 n=1 2∤n

=

α

1−

2(2k − 1)(2α+(k−1)β − 1)

2(k+1)α+(k−1)β − 2(k−1)

l y² ½n3.5.2.

2

β−α

ζ(kα)

Y 1 +  p

1−

1

p(k−1)α+(k−1)2 β  . pα+(k−1)β − 1 

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

48

'u߇Ÿê Dirichlet ?ĂŞ

§3.6

ĂŠ?Âż ĂŞn, ½Ă‚ŸêZ (n) ĂšZ(n) Xe: ∗

m(m + 1) ≤n , Z∗ (n) = max m ∈ N : 2

Âą9

m(m + 1) Z(n) = min m ∈ N : n ≤ . 2

=Ă’´`, Z (n) Láv ∗

 ÂŒ ĂŞm, Z(n) Láv

m(m + 1) ≤n 2

n≤

m(m + 1) 2

 êm. ~X, Z (1) = 1, Z (2) = 1, Z (3) = 2, Z (4) = 2, Z (5) = 2, Z (6) = 3, ∗

∗

∗

∗

∗

∗

Z∗ (7) = 3, Z∗ (8) = 3, Z∗ (9) = 3, ¡ ¡ ¡ , Z(1) = 1, Z(2) = 2, Z(3) = 2, Z(4) = 3, Z(5) = 3, Z(6) = 3, Z(7) = 4, Z(8) = 4, Z(9) = 4, Z(10) = 4, ¡ ¡ ¡ .

!ïĆZ (n) ĂšZ(n) k' Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ Ă° ÂŞ. ½n3.6.1. ĂŠ?ÂżEĂŞs, ÂĄ?ĂŞ ∗

∞ X (−1)n (Z∗ (n))s n=1

†

∞ X (−1)n , s (Z(n)) n=1

s > 0 žÂù, s ≤ 0 žuĂ‘. ½n3.6.2. s Ç‘EĂŞ, ávRe s > 2, Kk †

∞ X n=1

1 = Îś(s − 1) + Îś(s) (Z∗ (n))s ∞ X n=1

1 = Îś(s − 1), (Z(n))s

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê.

'uü ¼ê Dirichlet ?ê

§3.6

½n3.6.3. n Ǒ ê, s ǑEê, Re s > 1, Kk ∞ X (−1)n 2 1 = s ζ(s) − s ζ(s) s (Z (n)) 4 2 ∗ n=1

±9

∞ X (−1)n 1 2 1 = 1 − s ζ(s) − s ζ s, , (Z(n))s 2 4 4 n=1

Ù¥ζ(s, α) ǑHurwitz zeta ¼ê. d½n3.6.3 e¡ íØ. íØ3.6.1. X ∞

n=1

y3y²½n. b

KZ (n) = m k

(−1)n π2 = − . (Z∗ (n))2 16

m(m + 1) (m + 1)(m + 2) ≤n< , 2 2

∗

), l

(m + 1)(m + 2) m(m + 1) − =m+1 2 2 ∞ X (−1)n = (Z∗ (n))s n=1

∞ X

n=1 Z∗ (n)=m

(−1)n (m + 1) . ms

m ǑÛê , þ¡ Ñ- . m Ǒóê , Kk ∞ X (−1)n (Z∗ (n))s n=1

Ón

1 1 1 (−1)n + − + · · · + + ··· 2s 4s 6s (2n)s 1 1 1 1 − + + ··· . = − s 2 1s 2s 3s = −

∞ X (−1)n 1 1 1 1 (−1)n = − + − + + · · · + + ··· . (Z(n))s 1s 3s 5s 7s (2n − 1)s n=1

l y² ½n3.6.1. b m(m + 1) 2

≤n<

(m + 1)(m + 2) , 2

49

1nร 'uย Smarandache ยผรช ยก?รช

50

KZ (n) = m k โ

(m + 1)(m + 2) m(m + 1) โ =m+1 2 2

ย ), ร d โ X n=1

โ X 1 m+1 = = ฮถ(s โ 1) + ฮถ(s). (Zโ (n))s m=1 ms

|^ร ย {ย โ X n=1

โ X 1 = (Z(n))s m=1

m(m + 1) (m โ 1)m โ 2 2 = ฮถ(s โ 1). ms

รนร yยฒ ยฝn3.6.2. e5yยฒยฝn3.6.3. ร nยดy โ X (โ 1)n (Zโ (n))s n=1

ยฑ9 โ X (โ 1)n (Z(n))s n=1

l ย ยฝn3.6.3.

1 1 1 (โ 1)n + โ + ยท ยท ยท + + ยทยทยท 2s 4s 6s (2n)s 1 1 1 1 = โ s + s + s + ยทยทยท + + ยทยทยท 2 6 10 (4n โ 2)s 1 1 1 + + s + ยทยทยท + + ยทยทยท s 4 8 (4n)s 1 1 1 1 = โ s + + ยทยทยท + + ยทยทยท 2 1s 3s (2n โ 1)s 1 1 1 1 + + ยทยทยท + + ยทยทยท + s 2 2s 4s (2n)s 2 1 = ฮถ(s) โ s ฮถ(s), 4s 2 = โ

= โ

1 1 1 (โ 1)n + โ + ยท ยท ยท + + ยทยทยท 1s 3s 5s (2n โ 1)s

1 1 1 1 = + + + ยทยทยท + + ยทยทยท 1s 3s 5s (2n โ 1)s 1 1 1 โ 2 + + ยทยทยท + + ยทยทยท 1s 5s (4n โ 3)s 1 2 1 = 1 โ s ฮถ(s) โ s ฮถ s, . 2 4 4

§3.7

§3.7

Euler ¼êk' §

51

Euler ¼êk' §

é?¿ ên ≥ 1, Euler ¼êφ(n) ´ Ø Ln n p ê ê 8. d ½ÂJ(n) Ǒ n AÆ ê8, ¿-A L«÷v § φ2 (n) = nJ(n)

ên 8Ü. !ïÄ A k' Dirichlet ?ê Âñ5, ¿ Ñ ð ª. ½n3.7.1. é?¿¢ês > 12 , k ∞ X ζ(2s)ζ(3s) 1 = , s n ζ(6s) n=1

n∈A

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê. s = 1 2, ¿5¿ ζ(2) = π 2 /6,

ζ(6) = π 6 /945,

ζ(4) = π 4 /90, ζ(12) = 691π 12 /638512875,

á= e¡ ª: ∞ X 1 315 = 4 ζ(3) n 2π n=1

±9

n∈A

∞ X 1 15015 1 = . 2 2 n 1382 π n=1

n∈A

y3y²½n. 5¿ φ(n) J(n) Ñ´ ¼ê. d? n = p , k α

J(p) = p − 1,

φ(p) = p − 1,

J(pα ) = pα−2 (p − 1)2

±9φ(p ) = p (p − 1). K ©n« ¹ Ä §φ (n) = nJ(n) ). (a) w,n = 1 ´ § ). (b) n > 1 , n = p p · · · p α ≥ 2(i = 1, 2, · · · , k). Kk α

α−1

2

α1 α2 1 2

±9

αs s

i

J(n) = pα1 1 −2 (p1 − 1)2 · · · pαk k −2 (pk − 1)2 2 φ2 (n) = pα1 1 −1 (p1 − 1)pα2 2 −1 (p2 − 1) · · · pαk k −1 (pk − 1) .

3ù« ¹e, n Ǒ´ § ).

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

52

(c)

n = p p

Îą

1 2

r+1 ¡ ¡ ¡ pr pr+1 ¡ ¡ ¡ pιk k ,

p1 < p2 < ¡ ¡ ¡ < pr ,

Ù¼

Îąj > 1,

Kφ (n) = nJ(n) …=

j = r + 1, r + 2, ¡ ¡ ¡ , k,

2

φ2 (p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr J(p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr )

½Ü

(p1 − 1)2 (p2 − 1)2 ¡ ¡ ¡ (pr − 1)2 = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr (p1 − 2)(p2 − 2) ¡ ¡ ¡ (pr − 2).

w,p Ă˜U Ă˜(p − 1) (p − 1) ¡ ¡ ¡ (p − 1) . K3TÂœ/eÂ?§Ď† (n) = nJ(n)

). nĂœ¹ÞÂœšÂŒ , Â?§Ď† (n) = nJ(n) ¤å Â…= n = p p ¡ ¡ ¡ p , Ă™ ÂĽÎą > 1, ½Ün = 1, =A ´1 Âą9¤kSquare-full ĂŞ 8Ăœ. ½Ă‚Ÿêa(n) Xe: 1, XJ n ∈ A, a(n) = 0, Ă™§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k r

2

1

2

2

2

r

2

Îą1 Îą2 1 2

2

Îąs s

i

∞ ∞ X X 1 1 = . s n ns n=1 n=1

n∈A

5Âż s > 1 ž ∞ X 1 ns n=1

=

∞ X

1 ns n=1 Y p

n∈A

=

Y

Ă‚Ăą, KdEuler ĂˆÂŒ a(p2 ) a(p3 ) 1 + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p

1+

p

=

Y p2s − ps + 1 p

=

Y p

=

1 1 + 3s + ¡ ¡ ¡ 2s p p

p2s

−

ps

=

Y p

=

Y p



1 +

p3s + 1 − 1)

1 p2s 1 −



ps (p2s

Y 1 − p16s p6s − 1 = ps (p2s − 1)(p3s − 1) (1 − p12s )(1 − p

Îś(2s)Îś(3s) , Îś(6s)

1 ps



1 ) p3s

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. ÚÒy² ½n3.7.1. p

§3.8

§3.8

˜aDirichlet ?ĂŞ9Ùð ÂŞ

53

˜aDirichlet ?ĂŞ9Ùð ÂŞ

n, m Ç‘ ĂŞ, Â…m ≼ 2. n m gĂ–ĂŞb (n) ´Â? nb (n) Ç‘m g ˜  ê. ĂŠ?Âż ĂŞk, ½Ă‚Ÿêδ (n) Xe: max{d ∈ N : d | n, (d, k) = 1}, XJ n ≤ 0, δ (n) = 0, XJ n = 0. A LávÂ?§δ (n) = b (n) ¤k ĂŞn 8Ăœ. !ïĆ8ĂœA k ' Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ Ă° ÂŞ. ½n3.8.1. m Ç‘ óê. KĂŠ?¿¢ês > 1 Âą9 ĂŞk, k m

k

k

k

∞ X

n=1 n∈A

m

m 3 s Y 1 p 2 ms 2 1 , = ns Îś(ms) (pms − 1) p 2 ms − 1 Îś

p|k

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. p

d½nĂĄ=ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜3.8.1. ½Ă‚B = {n : n ∈ N, δ (n) = b (n)}. Kk k

2

∞ X 15 Y 1 p6 = . n2 Ď€2 (p4 − 1)(p2 − 1) n=1 p|k

n∈B

Ă­Ă˜3.8.2. ½Ă‚C = {n : n ∈ N, δ (n) = b (n)}. Kk k

4

∞ ∞ X X 1 1 105 Y p12 = = . n2 n4 Ď€4 (p8 − 1)(p4 − 1) n=1 n=1 p|k

n∈C

n∈B

Ă­Ă˜3.8.3. ½Ă‚C = {n : n ∈ N, δ (n) = b (n)}. Kk k

4

∞ X 1 675675 1 Y p18 = . n3 691 Ď€ 6 (p12 − 1)(p6 − 1) n=1 p|k

n∈C

y3y²½n. Ê?¿¢ês > 0, w,k

∞ ∞ X X 1 1 < . s n ns n=1 n=1

n∈A

m

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

54

du s > 1 ž

∞ X 1 ns n=1

Âù, K s > 1 ž

Ç‘Ă‚Ăą. y3 Ă„8ĂœA.

∞ X 1 ns n=1

n = p p ¡ ¡ ¡ p . dδ (n) †b (n) ½Ă‚ÂŒ δ (n) †b (n) Ă‘´ÂŒ Ÿê. KÂ?I Ă„n = p Âœ/. b n = p Â…(p, k) = 1, Kkδ (p ) = p , Âą9  , XJ 1 ≤ Îą ≤ m;  p b (p ) = p , XJ Îą > m Â… Îą 6= rm;  1, XJ Îą = rm, Ù¼r ´?Âż ĂŞ , [x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  ÂŒ ĂŞ. Kδ (p ) = b (p ) Â…= m Îą = 2 . b n = p Â…(p, k) 6= 1, Kδ (p ) = 1. l Â?§δ (p ) = b (p ) k) Â…= n = p , r = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ . y3dEuler ĂˆúªÂŒ Îą1 Îą2 1 2

n∈A

Îąs s Îą

k

m

Îą

k

Îą

k

m

Îą

mâˆ’Îą

Îą m+m[ m ]âˆ’Îą

Îą

m

k

Îą

k

Îą

Îą

m

Îą

k

m

Îą

Îą

rm

∞ X 1 s n n=1

=

Y

1+

p∤k

n∈A

=

Y

1+

p

=

Îś( m s) 2

Îś(ms)

1 m

p2s 1 m

p2s

Y p|k

Y

1+

p|k

Y p|k

1 pms

+

1 p2ms

+

1 p3ms

+ ¡¡¡

−1 Y 1 1 1 + m 1 p2s 1 − pms p|k

3

p 2 ms , 1 (pms−1 )(p 2 ms + 1)

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. ÚÒy² ½n3.8.1. p

§3.9 p

g ĂŞ

p Ç‘ ½ ÂƒĂŞ, n Ç‘ ĂŞ. p g ĂŞ S (n) ½Ă‚Ç‘: p

d ½Ă‚

Sp (n) = min{m : m ∈ N, pn | m!}. S(n) = min{m : m ∈ N, n | m!}.

N´y²S(p) = p Âą9S(n) < n (Ă˜ n = 4 Âą9n = p Âœ/). l k Ď€(x) = −1 +

[x] X S(n) n=2

n

,

§3.9 p

g ê

55

Ù¥π(x) L«1 x m ê ê, [x] L«Ø Lx ê. !ïÄ S (n) k' Dirichlet ?ê, ¿ Ñ ð ª ìCúª. ½n3.9.1. é?¿ êp ±9Eês(Re s > 1), k p

∞ X

1

S s (n) n=1 p

=

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê. AO/, s = 2, 4, p = 2, 3, 5, íØ3.9.1. ∞ X n=1

∞ X

1 π2 = ; 2 S2 (n) 18 4

1

=

S 4 (n) n=1 2

π ; 1350

∞ X

ζ(s) , ps − 1

1 π2 = ; 2 S3 (n) 48

n=1 ∞ X

1

S 4 (n) n=1 3

=

π4 ; 7200

∞ X

1

S 2 (n) n=1 5 ∞ X

=

π2 ; 144

1

S 4 (n) n=1 5

=

π4 . 56160

½n3.9.2. p Ǒ ½ ê. Kéu?¿¢êx ≥ 1, kìCúª ∞ X

n=1 Sp (n)≤x

1 1 = Sp (n) p−1

p ln p ln x + γ + p−1

1 + O x− 2 +ǫ ,

Ù¥γ ´Euler ~ê, ǫ Ǒ?¿ ¢ê. ½n3.9.3. k Ǒ?¿ ê. Kéu?¿ êp ±9¢êx ≥ 1, kìC úª X ∞

Spk (n) =

n=1 Sp (n)≤x

xk+1 1 + O xk+ 2 +ǫ . (k + 1)(p − 1)

y3y²½n. m = S (n). ep l k p

∞ X n=1

1 s Sp (n)

=

α

k m,

K3ê S (n) ¥m ¬­Eα g. p

∞ ∞ X X X α α = s αs m p ms m=1 pα m=1

pα km ∞ X

(m,p)=1

α 1 ζ(s) 1 − pαs ps α=1 ∞ X 1 α = 1 − s ζ(s) . p pαs α=1 =

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

56

5¿ ∞ X 1 α 1 = + αs s (α+1)s p p p α=1 α=1 1 1 1 1 = s , = s+ s s p p p −1 p −1

ð ª

1 1− s p

X ∞

∞ X

1

S s (n) n=1 p

ζ(s) . ps − 1

=

ùÒy² ½n3.9.1. x ≥ 1 Ǒ?¿¢ê, ØJy² 1 2πi

∞ X

b+iT

b−iT

n=1 Sp (n)≤x

xs ds Sps−k (n)s 

∞ X

=

±9

Z

n=1 Sp (n)≤x

 Spk (n) + O  

1 2πi

Z

b+iT

b−iT

 = O 

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

∞ X

n=1 Sp (n)>x

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n)

xs ds Sps−k (n)s

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n)

Ù¥k Ǒ?¿ ê. nÜþãüªk 1 2πi =

Z

b+iT

b−iT

∞ X

 !  , ) 

∞ xs X 1 ds s−k s n=1 Sp (n)

Spk (n) + O

n=1 Sp (n)≤x

∞ X n=1

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n) )

2d½n3.9.1

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

Spk (n)

 !  , ) 

1 = 2πi

Z

b+iT

b−iT

ζ(s − k)xs ds (ps−k − 1)s

!!

.

g ê

§3.9 p

57

1 +O xb min 1, T ln( Spx(n) )

ê

!!

.

k = −1 , b = 21 , T = x, ¿rÈ© l 12 ± iT £ − 12 ± iT . d ¼ ζ(s + 1)xs (ps+1 − 1)s

3s = 0 k 4:, 3êǑ 1 p−1

Ïdk 1 2πi

p ln p ln x + γ − p−1

.

1 2 +iT

ζ(s + 1)xs 1 p ln p ds = ln x + γ − 1 (ps+1 − 1)s p−1 p−1 2 −iT ! 1 1 1 Z − 2 −iT Z − 2 +iT Z 2 +iT ζ(s + 1)xs 1 + + ds. + 1 2πi (ps+1 − 1)s − 12 −iT − 12 +iT 2 −iT

Z

ØJy² Oª

1

2πi Z ≪

1 2

− 12

≪

±9

1

Z

− 12 −iT 1 2 −iT

+

Z

1 2 +iT

− 21 +iT

!

ζ(s + 1)xs

ds

(ps+1 − 1)s

ζ(σ + 1 + iT )x1/2

(pσ+1+iT − 1)T dσ

x2 = x−1/2 , T

Z T

1 Z − 12 +iT ζ(s + 1)xs

ds ≪

2πi − 12 −iT (ps+1 − 1)s

0

ζ(1/2 + iT )x−1/2

(p1/2+iT − 1)(1/2 + t) dt

≪ x−1/2+ǫ .

l k

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

1 1 = Sp (n) p−1

p ln p ln x + γ + p−1

+ O x−1/2+ǫ .

ùÒy² ½n3.9.2. 3 k ≥ 1 , b = k + 2 ±9T = x, ¿rÈ© ls = k + 32 £ s = k + 21 . d ¼ê ζ(s − k)x s

(ps−k − 1)s

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

58

3s = k + 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘ xk+1 . (p − 1)(k + 1)

|^Ă“ Â?{ÂŒ ∞ X

Spk (n) =

n=1 Sp (n)≤x

xk+1 1 + O(xk+ 2 +ÇŤ ). (p − 1)(k + 1)

l y² ½n3.9.3.

§3.10

149 ‡Smarandache ¯K

ĂŠ?ÂżÂƒĂŞp Âą9 ĂŞn, S (n) Ç‘ S (n)! p Ă˜  ê. ~X, S (1) = 3, S (2) = 6, S (3) = 9, S (4) = 9, S (5) = 12, S (6) = 15, p

3

3

n

p

3

3

3

3

S3 (7) = 18, ¡ ¡ ¡ .

!ïĆS (n) k' Dirichlet ?ĂŞ Ă‚Ăą5, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ÂŞ. ½n3.10.1. ĂŠ?¿¢ês, k p

∞ X Sp (n) n=1 ∞ X

Ù¼

n=1

ns

= (p − 1)Îś(s − 1) + R1 (s, p),

s>2

φ(n)Sp (n) (p − 1)Îś(s − 2) = + R2 (s, p), s n Îś(s − 1)

R1 (s, p) ≤ R2 (s, p) ≤

s > 3,

∞

p − 1 X log n + log p , log 2 n=1 ns ∞

p − 1 X φ(n)(log n + log p) . log 2 n=1 ns

Ă„kĂš\Â˜Â‡Ăšn. Ăšn3.10.1. ĂŠ?ÂżÂƒĂŞp Âą9 ĂŞn, k n(p − 1) ≤ Sp (n) ≤

y². Ă˜Jy²

Sp (n)! =

Y

p1 ≤Sp (n)

1) pÎą(p , 1

log(np) n+ log 2

Îą(p1 ) =

(p − 1).

∞ X Sp (n)

m=1

pm 1

,

§3.11

–Smarandache ²Â?Ă?fŸê

Ù¼ Y LÂŤĂŠĂ˜Â‡Lx ÂƒĂŞ Ăˆ. 5Âż p

n

p1 ≤x

n ≤ ι(p) =

∞ X Sp (n)

,˜Â?ÂĄ, dp | S (n) ÂŒ p

l k Sp (n) ≤

| Sp (n),

Œ

∞ X Sp (n) Sp (n) . = m p p − 1 m=1

Ă?d

n

∤ (Sp (n) − 1)!. ∞ X Sp (n) − 1 n−1 ≼ pm m=1

p

pm

m=1

≤

59

≼

∞ X Sp (n) − 1 − pm m=1

≼

Sp (n) − 1 log(np) − . p−1 log 2

log(np) n−1+ log 2

1

m=1 pm ≤Sp (n)−1

(p − 1) + 1 ≤

ÚÒy² Ăšn. y3y²½n. dĂšn3.10.1 ÂŒ

∞ X

log(np) n+ log 2

(p − 1).

Sp (n) = n(p − 1) + O((p − 1)(log n + log p)),

l k

∞ X Sp (n) n=1

Ù¼

ns

= (p − 1)Îś(s − 1) + R1 (s, p),

R1 (s, p) ≤

aqÂŒy½n3.10.1 Ă™{úª. §3.11

s > 2,

∞

p − 1 X log n + log p . log 2 n=1 ns

–Smarandache ²Â?Ă?fŸê

ĂŠ?Âż ĂŞn, –Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) ´Â?ávn | m  êm. w,ZW (1) = 1. n > 1 ž, Kk n

ZW (n) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pk ,

Ù¼p , p , ¡ ¡ ¡ , p ´n Ă˜Ă“ÂƒĂ?f. !ĂŻĂ„ZW (n) ފ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ Ă° ª†ÏCúª. 1

2

k

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

60

½n3.11.1. Îą, s Ç‘¢ê, ávs − Îą > 1 Âą9Îą > 0. Kk ∞ X ZW Îą (n)

ns

n=1

Îś(s)Îś(s − Îą) Y 1 = 1− s , Îś(2s − 2Îą) p p + pÎą

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. ½n3.11.2. ĂŠ?¿¢êι > 0 Âą9x ≼ 1, k p

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1 ZW (n) = 1− Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p p (p + 1) n≤x

X

Îą

5Âż

X

ZW 0 (n) = x + O(1)

Âą9

lim ιΜ(ι + 1) = 1,

Îąâˆ’â†’0+

n≤x

d½n3.11.2 ĂĄ=ÂŒ 4 1Y 1 lim 1− Îą = Îś(2). ι→0+ Îą p (p + 1) p

y3y²½n. Îą, s Ç‘¢ê, ávs − Îą > 1 †ι > 0. ½Ă‚ f (s) =

∞ X ZW Îą (n)

ns

n=1

dEuler Ăˆúªk

.

# Y" 1 Y pÎą pÎą psâˆ’Îą f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ = 1+ p p 1 − p1s p p " ! # 1 Y 1 + psâˆ’Îą 1 = 1− s p + pÎą 1 − p1s p Îś(s)Îś(s − Îą) Y 1 = 1− s . Îś(2s − 2Îą) p p + pÎą

ÚÒy² ½n3.11.1. ĂŠ?¿¢êι > 0 Âą9x ≼ 1, w,k

X ZW (n)

1

|ZW (n)| ≤ n ¹9

,

<

Ďƒâˆ’Îą n Ă™ÂĽĎƒ ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ Îą

Îą

∞

Îą

Ďƒ

n=1

3 s0 = 0, b = Îą + , T > 2, 2

§3.11

Kk

Smarandache ² Ïf¼ê

1 ZW (n) = 2πi n≤x X

α

5¿ ¼ê

Z

α+ 32 +iT α+ 32 −iT

f (s)

3s = α + 1 k {ü4:, 3êǑ T = x,

xs f (s) ds + O s

61

3

xα+ 2 T

.

xs s

ζ(α + 1)xα+1 Y 1 1− α . ζ(2)(α + 1) p p (p + 1)

ζ(α + 1)xα+1 Y 1 1 ZW (n) = 1− α + O xα+ 2 +ǫ . ζ(2)(α + 1) p p (p + 1) n≤x X

α

ùÒy² ½n3.11.2.

62

1nĂ™ 'u˜ Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ Ă™|^)Ă›Â?{, ĂŻĂ„ĂŞĂ˜ÂĽĂ?Âś Dirichlet Ă˜êŸê†˜ Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. §4.1

'u²Â?Ă–ĂŞ Â˜Â‡ĂŹCúª

n Ç‘ ĂŞ. S(n) ÂĄÇ‘n ²Â?Ă–ĂŞ, XJS(n) ´ nS(n) Ç‘ ²Â? ĂŞ  ê. !ĂŻĂ„Ă˜êŸê3TĂŞ Ăž ĂŹC5Â&#x;. ½n4.1.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k X n≤x

1 d(S(n)) = c1 x ln x + c2 x + O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼d(n) ´Ă˜êŸê, ÇŤ ´?Âż ¢ê, c1 =

c2 =

6 Y 1 1 − , Ď€2 p (p + 1)2

6 Y 1 1− Ď€2 p (p + 1)2 Ă—

X p

! 2(2p + 1) ln p + 2Îł − 1 , (p − 1)(p + 1)(p + 2)

d LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ, X LÊ¤kÂƒĂŞ Ăš, Îł Ç‘Euler ~ĂŞ. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.1.1. ĂŠ?¿¢êy ≼ 3, kĂŹCúª Y p

p

X n≤y

1 d(n)|¾(n)| = c′1 y ln y + c′2 y + O y 2 +Ǎ ,

Ù¼¾(n) ´M¨obius Ÿê, ~ĂŞc †c ½Ă‚Xe: ′ 1

c′1

′ 2

36 Y 1 1− , = 4 Ď€ p (p + 1)2 ¡ 63 ¡

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

64

c′2

=

36 Y 1 1− Ď€4 p (p + 1)2 X

Ă—

p

y². T =

! X 4 ln p 2 ln p + + 2Îł − 1 . (p + 1)(p + 2) p2 − 1 p

√ y,

A(s) =

Y p

KdPerron úªk 1 d(n)|Âľ(n)| = 2Ď€i n≤y

X

Z

1+ÇŤ+iT

1+ÇŤâˆ’iT

1−

1 (ps + 1)2

.

1 Îś 2 (s) ys A(s) ds + O y 2 +ÇŤ , Îś 2 (2s) s

Ù¼¾(n) ´M¨obius Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. 5Âż Ÿê 3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘ Ress=1

Ù¼

Îś 2 (s) ys A(s) Îś 2 (2s) s

c′1 =

c′2

=

= c′1 y ln y + c′2 y,

1 36 Y 1 − , Ď€4 p (p + 1)2

36 Y 1 1− Ď€4 p (p + 1)2 Ă—

l k

Îś 2 (s) ys A(s) Îś 2 (2s) s

X

X p

! X 4 ln p 2 ln p + + 2Îł − 1 . (p + 1)(p + 2) p2 − 1 p 1

d(n)|¾(n)| = c′1 y ln y + c′2 y + O(y 2 +Ǎ ).

n≤y

ÚÒy² Ăšn4.1.1. y3y²½n. dĂšn4.1.1 k X d≤x

d(S(n)) =

X

ak2 ≤x

d(S(ak2 )) =

X

ak2 ≤x

d(a)|Âľ(a)|

§4.2

ng˜Â?{ê†k gĂ–ĂŞ

X X

=

65

d(a)|Âľ(a)|

√ x k≤ x a≤ k2

X

=

√ k≤ x

c′1

x x x ln 2 + c′2 2 + O 2 k k k

1

x 2 +ÇŤ k1+2ÇŤ

1

= c′1 Μ(2)x ln x + (c′2 Μ(2) + 2c′1 Μ ′ (2)) x + O(x 2 +Ǎ ).

½Ă‚ c1 =

c′1 Μ(2)

Âą9

6 Y 1 = 2 1− Ď€ p (p + 1)2

c2 = c′2 Îś(2) + 2c′1 Îś ′ (2) = c′2 Îś(2) − 2c′1 Îś(2) =

dĂžÂŒ

X ln p p2 − 1 p

! X 1 2(2p + 1) ln p 6 Y 1− + 2Îł − 1 . Ď€2 p (p + 1)2 (p − 1)(p + 1)(p + 2) p X n≤x

ÚÒy² ½n4.1.1. g,ĂŞn = p

1 d(S(n)) = c1 x ln x + c2 x + O x 2 +ÇŤ .

§4.2 ι1 ι2 1 p2

ÂĄÇ‘3 g˜Â?{ĂŞ, Ù¼

ng˜Â?{ê†k gĂ–ĂŞ ¡ ¡ ¡ pÎąr r ,

K

a3 (n) = pβ1 1 pβ2 2 ¡ ¡ ¡ pβr r

βi = min(2, ιi ),

1 ≤ i ≤ r.

k ≼ 2 ´ ½ ĂŞ, XJb (n) ´ nb (n) Ç‘k g˜  ê, Ă’ ÂĄb (n) Ç‘n k gĂ–ĂŞ. !|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„ĂŞ a (n)b (n) ĂŹC5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.2.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k k

k

k

3

X n≤x

a3 (n)bk (n) =

k

6xk+1 k+ 12 +ÇŤ R(k + 1) + O x , (k + 1)Ď€ 2

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

66

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. d k = 2 ž, Y 1+

R(k + 1) =

p

k ≼ 3 ž, R(k + 1) k Y X = 1+ p

j=2

p3 + p 7 p + p6 − p − 1

.

k

X pk−j+3 pk−j+3 + (p + 1)p(k+1)j (p + 1) (p(k+1)(k+j) − p(k+1)j ) j=1

½n4.2.2. φ(n) Ç‘Euler Ÿê. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

φ(a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¼ k = 2 ž, R∗ (k + 1) Y = 1+

k ≼ 3 ž,

p

!

6xk+1 ∗ k+ 12 +ÇŤ R (k + 1) + O x . (k + 1)Ď€ 2

p2 + 1 1 − p6 + 2p5 + 2p4 + 2p3 + 2p2 + 2p + 1 p2 + p

.

k

R∗ (k + 1) =

Y p

1− +

X pk−j+3 − pk−j+2 1 + p2 + p j=2 (p + 1)p(k+1)j

k X j=1

pk−j+3 − pk−j+2 (p + 1) (p(k+1)(k+j) − p(k+1)j )

!

.

½n4.2.3. Îą > 0, Ďƒ (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

ĎƒÎą (a3 (n)bk (n)) =

n≤x

Ù¼ k = 2 ž, R(kι + 1) Y = 1+

k ≼ 3 ž,

p

R(kÎą + 1) =

p p+1

Y p

1+

6xkÎą+1 kÎą+ 12 +ÇŤ R(kÎą + 1) + O x . (kÎą + 1)Ď€ 2

pÎą + 1 (p3Îą+1 − 1)p2Îą+1 + p4Îą − 1 + 3(2Îą+1) p2Îą+1 (p − p2Îą+1 )(pÎą − 1) pkÎą+1 − p (p + 1)(pÎą − 1)pkÎą+1

.

.

ng˜Â?{ê†k gĂ–ĂŞ

§4.2

+

k X j=2

+

k X j=1

67

p(k−j+3)Îą+1 − p (p + 1)(pÎą − 1)p(kÎą+1)j p(k−j+3)Îą+1 − p (p + 1)(pÎą − 1) (p(k+j)(kÎą+1)j − p(kÎą+1)j )

!

.

½n4.2.4. d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

d(a3 (n)bk (n)) =

n≤x

1 6x R(1)f (log x) + O x 2 +Ǎ , π2

Ù¼f (y) ´'uy þ‘ª, gĂŞÇ‘k. d k = 2 ž, R(1) =

p

k ≼ 3 ž, R(1) =

Y

Y p



1 + +

y3y²½n. ½Ă‚

p3 1+ (p + 1)3

k X j=2

k X j=1

1 3p + 4 3 − − p3 + p p2 p3

k−j+3−

k+1 j

.

pk−j+1

(p + 1)k+1

k−j +3 1 − k+1 j−1 j−k−1 (p + 1) (p −p ) (p + 1)k+1

f (s) =

dEuler ĂˆÂŒ , k = 2 žk

∞ X a3 (n)bk (n) n=1

ns

.

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 ) f (s) = 1+ + + ¡¡¡ ps p2s p Y p 1 1 1 2 = 1 + s−2 + p + p p2s p3s 1 − p−2s p Îś(s − k) Y ps + p = 1 + s−2 . Îś(2(s − k)) p (p + 1)(p2s − 1) Y

k ≼ 3 žk

Y a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 ) f (s) = 1+ + + ¡¡¡ ps p2s p ! k ! k k−j Y X X pk−j+2 1 p 1 = 1 + s−k + p2 + p pjs 1 − p1ks j=1 p(k+j)s p j=2

!

.

1oÙ Øê¼ê Smarandache ¼ê ·Üþ

68

Y

=

1+

p

1 ps−k

k X pk−j+2

ps−k × 1+ 1 + ps−k ζ(s − k) ζ(2(s − k)) k Y X × 1+

=

p

w,kØ ª

j=2

pjs

j=2

+

k X j=1

pk−j+2 p(k+j)s − pjs

!!

k

X ps−j+2 ps−j+2 + (ps−k + 1)pjs j=1 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )

!

.

∞

X a (n)b (n)

1

m k ,

< σ

n=1

σ−k−1 n

|am (n)bk (n)| ≤ n2 ,

Ù¥σ > k + 1 ´s ¢Ü. KdPerron úª X am (n)bk (n) n≤x

ns0

=

1 2iπ

b+iT

xs ds s b−iT b x B(b + σ0 ) +O T log x 1−σ0 H(2x) min 1, +O x T x −σ0 +O x H(N ) min 1, , ||x||

Z

f (s + s0 )

Ù¥N ´ Cx ê, ||x|| = |x − N |. s 1 H(x) = x , B(σ) = ,k σ−k−1

0

= 0, b = k + 2, T = x3/2 ,

2

X

am (n)bk (n) =

n≤x

Ù¥ R(s) =

k+2+iT

xs ζ(s − k) R(s) ds s k+2−iT ζ(2(s − k)) 1 +O xk+ 2 +ǫ ,

1 2iπ

Z

 Y ps + p   , 1 + s−2   (p + 1)(p2s − 1)   p    k = 2;

XJ

k k Y X X  ps−j+2 ps−j+2   1 + +   (ps−k + 1)pjs j=1 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )   p j=2   k ≥ 3.

XJ

!

,

ng {ê k gÖê

§4.2

69

e5 OÌ 1 2iπ

Z

k+2+iT

k+2−iT

ζ(s − k) xs R(s) ds. ζ(2(s − k)) s

rÈ© ls = k + 2 ± iT £ s = k + 1/2 ± iT . d ¼ê ζ(s − k)xs R(s) ζ(2(s − k))s

3s = k + 1 k {ü4:, 3êǑ

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

Kk 1 2iπ

Z

k+2+iT

+ k+2−iT

× =

Z

k+1/2+iT

+

k+2+iT s

Z

k+1/2−iT

+ k+1/2+iT

Z

k+2−iT

k+1/2−iT

!

ζ(s − k)x R(s)ds ζ(2(s − k))s

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

ØJ Oª

1

2iπ Z ≪

≪

ζ(s − k)xs

+ R(s)ds

ζ(2(s − k))s k+2+iT k+1/2−iT

k+2

2

ζ(σ − k + iT ) R(σ − k + iT ) x dσ

T

k+1/2 ζ(2(σ − k + iT )) Z

k+1/2+iT

Z

k+2−iT

!

xk+2 1 = xk+ 2 T

1 Z k+1/2−iT ζ(s − k)xs

R(s)ds

2iπ k+1/2+iT ζ(2(s − k))s

Z T

ζ(1/2 + it)xk+1/2

≪ dt

ζ(1 + 2it)t 1 1

≪ xk+ 2 +ǫ .

5¿ ζ(2) = π6 , dþ 2

X n≤x

a3 (n)bk (n) =

6xk+1 k+ 12 +ǫ R(k + 1) + O x . (k + 1)π 2

1oÙ Øê¼ê Smarandache ¼ê ·Üþ

70

l y² ½n4.2.1. ½Â f1 (s) = f2 (s) =

∞ X φ(a3 (n)bk (n)) n=1 ∞ X n=1

f3 (s) =

ns

,

σα (a3 (n)bk (n)) , ns

∞ X d(a3 (n)bk (n))

ns

n=1

.

dEuler Èúª±9φ(n), σ (n), d(n) ½Â , k = 2 k α

f1 (s) = = = =

φ(a3 (p)bk (p)) φ(a3 (p2 )bk (p2 )) 1+ + + ··· ps p2s p 2 Y p2 − p p − p p3 − p2 1 1+ + + ps p2s p3s 1 − p−2s p 1 1 (p2 − p)(ps + p) 1 + s−2 − s−1 + p p p3s − ps 2 s−2 ζ(s − 2) Y p (p − p)(ps + p) 1 1 + s−2 − s−1 . ζ(2(s − 2)) p p +1 p3s − ps p Y

k ≥ 3 k

f1 (s) =

Y

1+

p

+

1 ps−k

−

1 ps−k+1

k X pk−j+2 − pk−j+1 j=1

p(k+j)s − pjs

+

k X pk−j+2 − pk−j+1

pjs

j=2

!

k

X ps−j+2 − ps−j+1 1 ζ(s − k) Y = 1 − s−k+1 + ζ(2(s − k)) p p + p j=2 (ps−k + 1)pjs ! k X ps−j+2 − ps−j+1 + . (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) j=1

, k = 2 , k

ζ(s − 2α) ζ(2(s − 2α)) α Y ps−2α p + 1 (p3α − 1)ps + p4α − 1 1 + s−2α × + . p +1 ps (p3s − ps )(pα − 1) p

f2 (s) =

'u \k gÖê

§4.3

71

k ≥ 3 k

ζ(s − kα) Y ps − ps−kα f2 (s) = 1 + s−kα ζ(2(s − kα)) p (p + 1)(pα − 1)ps k X

+

j=2

+

k X j=1

d k = 2 , k

p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)pjs p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)(p(j+j)s − pjs )

!

.

s ζ 3 (s) Y p3s 3p + 4 3 1 f3 (s) = 3 1+ s − − . ζ (2s) p (p + 1)3 p3s + ps p2s p3s

k ≥ 3 k

k+1

ζ (s) Y  1+ f3 (s) = k+1 ζ (2s) p +

k X j=1

k X j=2

k−j+3−

k+1 j

p(k−j+1)s

(ps + 1)k+1

1 k−j+3 − (ps + 1)k+1 (p(j−1)s − p(j−k−1)s ) (ps + 1)k+1

2dPerron úª±9y²½n4.2.1 { Ù ½n.

!

.

'u \k gÖê

§4.3

éu?¿ ên, n k gÖêb (n) ´ nb (n) Ǒk g ê. aq ½Â \k gÖêa (n). XJa (n) ´ a (n) + n Ǒk g K ê, Ka (n) ¡Ǒn \k gÖê. ~X, k = 2 , k

k

k

k

k

k

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 · · · a2 (n) = 0 2 1 0 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 · · ·

!ïÄa (n) d(a (n)) þ 5 , ¿ ÑA ìCúª. ½n4.3.1. é?¿¢êx ≥ 3, k k

k

X

ak (n) =

n≤x

k2 1 2 x2− k + O(x2− k ). 4k − 2

½n4.3.2. é?¿¢êx ≥ 3, k X n≤x

d(ak (n)) =

1 1− k

1 x ln x + 2γ + ln k − 2 + k

x

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

72

1 +O x1− k ln x ,

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ. Ç‘ y²½n, kĂš\eÂĄ ߇Ún. Ăšn4.3.1. ĂŠu?¿¢êx ≼ 3, k X n≤x

d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O(x1/2 ),

Ù¼γ Ç‘Euler ~ĂŞ. y². ̈́Šz[1]. Ăšn4.3.2. x ≼ 3 Ç‘¢ê, f (n) ǑšKĂŞĂ˜Ÿê, ávf (0) = 0. KkĂŹ Cúª 1



[x k ]−1

X

f (ak (n)) =

n≤x

X t=1

X

n≤g(t)

Ù¼[x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  ÂŒ ĂŞ, Âą9 g(t) =

f (n) + O 

k−1 X i i=1

k

X

n≤g([x1/k ])



f (n) ,

ti .

y². ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ĂŞM áv M k ≤ x < (M + 1)k .

5¿ n Hm[t , (t + 1) ) êž, a (n) Ǒ Hm[0, (t + 1) ê, ¿…f (0) = 0. l k k

X

k

f (ak (n)) =

M−1 X t=1

n≤x

=

M−1 X

X

f (ak (n)) +

tk ≤n<(t+1)k

X

g(t) =

X

f (ak (n))

M k ≤n≤x

X

f (n) +

t=1 n≤g(t)

Ù¼

k

k

g(M)+M k −x≤n<g(M)

k−1 X i i=1

k

ti .

f (n),

− tk − 1]

§4.3

duM =

h

i 1 xk ,

X

'u \k gÖê

73

K h

f (ak (n)) =

i 1 x k −1

X t=1

n≤x

X

n≤g(t)

X

f (n) + O 

f (n) .

n≤g([x1/k ])

ùÒy² Ún4.3.2. y3y²½n. dÚn4.3.1 ±9Euler Úúª, X

h

ak (n) =

i 1 x k −1

X

X

t=1 n≤g(t) h 1i x k −1

n≤x

n+O

X

n≤g([x1/k ])

n

1 X 2 2k−2 k t + O(x2−2/k ) 2 t=1

=

k2 x2−1/k + O(x2−2/k ). 4k − 2

=

ùÒy² ½n4.3.1. , ¡, dÚn4.3.1 Ún4.3.2, k X =

=

d(ak (n))

n≤x h 1i x k −1

X

h

X

t=1 n≤g(t) i 1 x k −1

X

kt

d(n) + O 

k−1

t=1

ln kt

k−1

X

n≤g([x1/k ])

d(n)

1 + ln 1 + O t

+(2γ − 1)ktk−1 + O(x1−1/k ln x)

=

h

i 1 x k −1

X t=1

k(k − 1)tk−1 ln t + (2γ + ln k − 1)ktk−1

+O(tk−2 ) + O(x1−1/k ln x) = k(k − 1)

h

i 1 x k −1

X

t=1 1−1/k

+O(x

ln x).

2dEuler Úúª, ØJy² X n≤x

d(ak (n)) =

tk−1 ln t + (2γ + ln k − 1)k

1 1− k

h

i 1 x k −1

X

tk−1

t=1

1 x ln x + 2γ + ln k − 2 + k

x

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

74

+O x1−1/k ln x .

l y² ½n4.3.2.

'u129 ‡Smarandache ¯K

§4.4

ĂŠ?Âż ĂŞn, a (n) ÂĄÇ‘n k gĂ–ĂŞ, XJa (n) ´ na (n) Ç‘k g ˜  ê. n = p p ¡ ¡ ¡ p , Ka (n) = p p ¡ ¡ ¡ p , Ù¼ι + β ≥ 0(modk) Â…β < k, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , m. !|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„TĂŞ ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.4.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k k

Îą1 Îą2 1 2

Îąm m

k

k β1 β2 1 2

k

βm m

i

1 X d(ak (n)) 1 = kx k g(k) + O x 2k +Ǎ , φ(ak (n)) n≤x

Ù¼

Y g(k) = 1+ p

d(n)

k−1 k + 2 +k−3 k p (p − 1) p (p − 1) 2 + ¡ ¡ ¡ + k−1 , p k (p − 1) 1 k +k−2

Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê, φ(n) Ç‘Euler Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. AO/, k = 2, ÂŒ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.4.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k

1 X d(a2 (n)) Y 2 1 = 2x 2 1+ √ + O x 4 +ÇŤ . φ(a2 (n)) p(p − 1) n≤x p

y3y²½n. ½Ă‚

f (s) =

dEuler Ăˆúªk

∞ X d(ak (n)) . φ(ak (n))ns n=1

∞ X d(ak (n)) f (s) = s φ(a k (n))n n=1 Y d(ak (p)) d(ak (p2 )) 1+ = + + ¡¡¡ φ(ak (p))ps φ(ak (p2 ))p2s p

i

i

§4.4

=

=

= =

'u129 Smarandache ¯K

75

d(ak (pk )) d(ak (pk+1 )) + + + ··· φ(ak (pk ))pks φ(ak (pk+1 ))p(k+1)s Y d(pk−1 ) d(pk−2 ) 1+ + + ··· φ(pk−1 )ps φ(pk−2 )p2s p d(pk−1 ) 1 + ··· + ks + p φ(pk−1 )p(k+1)s  Y d(pk−1 )  1 + ··· + 1 − p1ks φ(pk−1 )ps 1 − p1ks p  d(p)  + 1 (k−1)s φ(p)p 1 − pks Y d(pk−1 ) d(pk−2 ) d(p) ζ(ks) 1+ + + ··· + φ(pk−1 )ps φ(pk−2 )p2s φ(p)p(k−1)s p Y k k−1 1 + k−2 + k−3 + ··· ζ(ks) s 2s p (p − 1)p p (p − 1)p p 2 + , (p − 1)p(k−1)s

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê. b = k1 + log1 x , T = x , KdPerron úª 1 2k

X d(ak (n)) φ(ak (n)) n≤x

= =

1 2πi

Z

1 2πi

Z

b+iT b−iT

xs f (s) ds + O s

b+iT

f (s) b−iT

2 a = 2k1 + log1 x , k 1 2πi

Z

b+iT

+

Z

a+iT

+

xb T

+O

1

x k log x T

1 xs ds + O x 2k +ǫ . s

Z

a−iT

+

Z

b−iT

f (s)

xs ds s

a+iT a−iT b−iT s b+iT x 1 = Res f (s) , s k Y k k−1 1 = kx k 1 + 1/k+k−2 + 2/k+k−3 p (p − 1) p (p − 1) p 2 + · · · + (k−1)/k . p (p − 1)

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

76

5Âż OÂŞ

Z a+iT s

1 x 1

f (s)

≪ x 2k +Ǎ ;

2Ď€i s a−iT

Z b−iT 1 s

1 k +ÇŤ x 1

≪ x

≪ x 2k +Ǎ ; f (s)

2Ď€i s T a−iT

Z b+iT 1 s

1 k +ÇŤ x 1

≪ x f (s) ≪ x 2k +Ǎ ,

2Ď€i s

T a+iT

Kk

X d(ak (n)) 1 = kx k φ(a (n)) k n≤x Y k k−1 2 Ă— + + ¡ ¡ ¡ + (k−1)/k 1 + 1/k+k−2 p (p − 1) p2/k+k−3 (p − 1) p (p − 1) p 1 +O x 2k +ÇŤ .

ÚÒy² ½n4.4.1.

§4.5

'uk gĂ–ĂŞS

ĂŠ?Âż ĂŞn ≼ 2, b (n) LÂŤn k gĂ–ĂŞ, =b (n) ´ nb (n) Ç‘k g˜  ê. !|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„k gĂ–ĂŞ 5Â&#x;, ¿‰Ñn ‡ÏCúª. ½n4.5.1. d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜êŸê. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª k

X

n≤x

k

k

1 d(nbk (n)) = x(A0 lnk x + A1 lnk−1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ) + O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼A , A , ¡ ¡ ¡ , A ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. d½nĂĄ=ÂŒ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.5.1. a(n) Ç‘²Â?Ă–ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k 0

1

k

X n≤x

1 d(na(n)) = x(A ln2 x + B ln x + C) + O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼A, B, C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Ă­Ă˜4.5.2. b(n) Ç‘ĂĄÂ?Ă–ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

1 d(nb(n)) = x(B1 ln3 x + C1 ln2 x + D1 ln x + E1 ) + O x 2 +ÇŤ ,

1

1

n≤x

Ù¼B , C , D , E ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. 1

1

'uk gĂ–ĂŞS

§4.5

77

y3y²½n. ½Ă‚ f (s) =

∞ X d(nbk (n))

ns

n=1

.

db (n) ½Ă‚, Ă˜êŸê 5Â&#x;Âą9Euler Ăˆúª, ÂŒ k

f (s) =

Y p

= = = = =

d(pbk (p)) d(p2 bk (p2 )) 1+ + + ¡¡¡ ps p2s

d(bk (p)) d(pk ) d(p2k ) d(p2k ) 1+ + ¡ ¡ ¡ + + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ ps pks p(k+1)s p2ks p Y k + 1 2k + 1 2k + 1 k+1 + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ + 2ks + ¡ ¡ ¡ 1+ ps p p p p !! Y 1 − p1ks 1 1 k Ă— Ă— 1+ 1+ 1 1 Ă— s p 1 − pks 1 − ps 1 − p1ks p Y k k Îś(s) 1 + s + s ks p p (p − 1) p ks ! k X p Îś k+1 (s) Y kpks i 1 + − , Îś k (2s) p ps (ps + 1)k (pks − 1) 2≤i≤k psi (ps + 1)k Y

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k OÂŞ

∞

X d(nb (n))

1

k ,

≤ Ďƒ

n Ďƒâˆ’1 n=1

|d(nbk (n))| ≤ n,

Ă™ÂĽĎƒ ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ s 1 B(Ďƒ) = , Kk Ďƒâˆ’1 Ù¼

1 d(nbk (n)) = 2πi n≤x

X

R(s) =

5¿ Ÿê

Y p

Z

3 2 +iT 3 2 −iT

0

= 0, b =

3 , T = x, H(x) = x, 2

Îś k+1 (s) xs 1 R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), k Îś (2s) s

ks ! k X p kpks i 1+ s s − . k ks si s p (p + 1) (p − 1) 2≤i≤k p (p + 1)k Îś k+1 (s) xs R(s) Îś k (2s) s

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

78

3s = 1 k˜‡k + 1 4:, 3ĂŞÇ‘ 1 lim s→1 k!

k+1 k+1

R(s)xs (s) k Îś (2s)s

(k)

(s − 1) Îś 1 k R(s)xs = lim ((s − 1)k+1 Îś k+1 (s))(k) k s→1 k! 0 Îś (2s)s ′ k R(s)xs k+1 k+1 (k−1) + ((s − 1) Îś (s)) 1 Îś k (2s)s +¡¡¡¡¡¡ (k) ! s k R(s)x + (s − 1)k+1 Îś k+1 (s) k Îś k (2s)s = x(A0 lnk x + A1 lnk−1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ),

Ù¼A , A , ¡ ¡ ¡ , A ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Ă?dÂŒ 0

1

X

n≤x

k

1 d(nbk (n)) = x(A0 lnk x + A1 lnk−1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ) + O x 2 +ÇŤ .

ÚÒ ¤ ½n4.5.1 y². §4.6 k

Ă’´

gĂ–ĂŞÂ†Â˜Â‡ĂŞĂ˜Ÿê

ĂŠ?Âż ĂŞn, D(n) LÂŤÂ?§n = n n Â…(n , n ) = 1 ) ‡ê, = 1

D(n) =

X

2

1

2

1.

d|n (d, n d )=1

w,D(n) ´ÂŒ Ÿê. ,˜Â?ÂĄ, k gĂ–ĂŞA (n) ´Â? nA (n) Ç‘k g˜  ê. !|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„ĂŞĂ˜ŸêD(n) 38Ăœ{A (n)} Ăž ފ5Â&#x;, ¿‰Ñ ˜ ĂŹCúª. ½n4.6.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k k

k

k

X

n≤x

D(Ak (n)) =

2 6Îś(k)x ln x Y 1− k + C(k)x Ď€2 p + pk−1 p 1 +O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼C(k) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, Îś(k) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê, Y L Ê¤kÂƒĂŞ Ăˆ. p

§4.6 k

gĂ–ĂŞÂ†Â˜Â‡ĂŞĂ˜Ÿê

79

d½nĂĄ=ÂŒ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.6.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

D(A4 (n)) =

n≤x

Y Ď€2 2 1 x ln x 1− 4 + C(4)x + O(x 2 +ÇŤ ). 3 15 p + p p

Ç‘ y²½n, kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.6.1. ĂŠ?Âż ĂŞn ≼ 1, k

D(n) = 2Ď…(n) ,

Ù¼υ(n) LÂŤn Ă˜Ă“ÂƒĂ?f ‡ê, ~X 0, XJ n = 1, Ď…(n) = k, XJ n = p p ¡ ¡ ¡ p . y². n = p p ¡ ¡ ¡ p . 5Âż D(n) ´ÂŒ Ÿê, Âą9D(p ) = 2, l ÂŒ X Îą1 Îą2 1 2

Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

Îąk k

D(n) =

d|n (d, n d )=1

Îą

1 = Ck0 + Ck1 + ¡ ¡ ¡ + Ckk = 2Ď…(n) .

Ăšny.. y3y²½n. ½Ă‚

f (s) =

∞ X D(Ak (n)) n=1

ns

.

w,ĂŠRe s > 1, f (s) Ă‚Ăą. KdĂšn4.6.1 †Euler Ăˆúª, k f (s) =

Y p

= = = =

D(Ak (p)) D(Ak (p2 )) + + ¡¡¡ 1+ ps p2s

D(pk−1 ) D(pk−2 ) D(1) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ s 2s p p p p ! k−1 k−2 Y 2Ď…(p ) 2Ď…(p ) 2Ď…(1) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ ps p2s p p Y 2 2 1 2 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p p p Y 2 2 1 + s − ks Îś(s)Îś(ks) p p p Y

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

80

=

Îś 2 (s)Îś(ks) Y 2 1 − ks , Îś(2s) p + p(k−1)s p

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. 3Perron úª¼ s = 0, b = 2, T = 32 , k 0

X

D(Ak (n)) =

Ù¼

n≤x

1 2Ď€i

Z

2+iT

2−iT

R(s) =

Y p

5¿ Ÿê

1 xs Îś 2 (s)Îś(ks) R(s) ds + O x 2 +ÇŤ , Îś(2s) s 2 1 − ks p + p(k−1)s

.

xs Îś 2 (s)Îś(ks) R(s) Îś(2s) s

3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘

Y Îś(k) 2 x ln x 1− k Îś(2) p + pk−1 p

Ù¼C(k) ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. ddÂŒ X

D(Ak (n)) =

n≤x

+ C(k)x,

2 6Îś(k)x ln x Y 1 − + C(k)x k + pk−1 Ď€2 p p 1

+O(x 2 +ÇŤ ).

l y² ½n4.6.1. §4.7

Ă˜êŸê†Œ\Ă–ĂŞ

ĂŠ?Âż ĂŞn, ²Â?Ă–ĂŞa (n) ´Â? na (n) Ç‘ ²Â?ĂŞ  ê. ~X, a (1) = 1, a (2) = 2, a (3) = 3, a (4) = 1, a (5) = 5, a (6) = 6, a (7) = 7, a (8) = 2, ¡ ¡ ¡ . aqÂŒ½Ă‚ÂŒ\²Â?Ă–ĂŞ. ĂŠ?Âż ĂŞn, n ÂŒ\ ²Â?Ă–ĂŞa(n) ´Â? n + a(n) Ç‘ ²Â?ĂŞ  ÂšK ĂŞ, = 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a(n) = min{k : n + k = m2 ,

k ≼ 0, m ∈ N+ }.

~X, a(1) = 0, a(2) = 2, a(3) = 1, a(4) = 0, a(5) = 4, ¡ ¡ ¡ . !|^)Ă›Â?{ ĂŻĂ„Ă˜êŸê3TĂŞ Ăž ,ÞŠ ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª.

X n≤x

d(n + a(n)),

§4.7

Ă˜êŸê†Œ\Ă–ĂŞ

81

½n4.7.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, k X

d(n + a(n)) =

n≤x

3 3 x ln2 x + A1 x ln x + A2 x + O(x 4 +ÇŤ ), 4Ď€ 2

Ù¼A , A ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.7.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k 1

2

X

d(n2 ) =

n≤x

3 1 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x + O(x 2 +Ǎ ), π2

Ù¼B , B ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y². s = Ďƒ + it Ç‘EĂŞ, ¿½Ă‚ 1

2

f (s) =

∞ X d(n2 ) n=1

ns

.

5Âż d(n ) ≪ n , K Re s > 1 žf (s) Ă‚Ăą. dEuler ĂˆúªÂŒ 2

ÇŤ

d(p2n ) d(p2 ) d(p4 ) f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ns + ¡ ¡ ¡ p p p p Y 5 2n + 1 3 = + ¡¡¡ 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + p p pns p Y 1 2 = Μ (s) 1+ s p p Y

=

Îś 3 (s) . Îś(2s)

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. 2dPerron úªÂŒ 1 d(n ) = 2Ď€i n≤x X

5¿ Ÿê

2

Z

3s = 1 k˜‡n 4:, 3ĂŞÇ‘

3 2 +iT 3 2 −iT

Îś 3 (s) xs ds + O Îś(2s) s

Îś 3 (s) xs Îś(2s) s

3 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x, π2

3

x 2 +ÇŤ T

.

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

82

Ù¼B , B ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. Ă?dk 1

2

X

d(n2 ) =

n≤x

1 3 2 x ln x + B x ln x + B x + O x 2 +Ǎ . 1 2 π2

ÚÒy² Ăšn4.7.1. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, ĂŞM áv M 2 ≤ x < (M + 1)2 .

Kda(n) ½Ă‚, k X

d(n + a(n))

n≤x

X

=



=

1≤m≤M

X

=

1≤m≤M

X

=



m2 ≤n<(m+1)2

1≤m≤M−1

X

X

  

d(n + a(n)) + 

X

1 d(n + a(n)) + O(x 2 +Ǎ )

X

d((m + 1)2 ) + O(x 2 +Ǎ )

m2 ≤n<(m+1)2



d(n + a(n))

M 2 ≤n≤x

X

m2 ≤n<(m+1)2





1

1

2md((m + 1)2 ) + O(x 2 +ÇŤ )

1≤m≤M

=2

X

1

md(m2 ) + O(x 2 +ÇŤ ).

1≤m≤M

A(x) = X d(n ), KdAbel ª†Ún4.7.1 ÂŒ 2

n≤x

X

md(m2 )

1≤m≤M

Z M = M A(M ) − A(t)d(t) + O(M 1+ÇŤ ) 1 3 2 =M M ln M + B1 M ln M + B2 M Ď€2 Z M 3 3 2 − t ln t + B t ln t + B t dt + O M 2 +ÇŤ 1 2 Ď€2 1 1 3 3 = ¡ 2 ¡ M 2 ln2 M + C1 M 2 ln M + C2 M 2 + O(M 2 +ÇŤ ), 2 Ď€

Ù¼C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. 1

2

§4.8

'u180 ‡Smarandache ¯K

5Âż 0 ≤ x − M2 ≪

dĂžÂŒ

X

d(n + a(n)) =

n≤x

ÚÒy² ½n4.7.1. §4.8 F. Smarandache

√

1 ln2 x = 4 ln2 M + O x− 2 +ÇŤ ,

x,

3 3 2 x ln x + A x ln x + A x + O x 4 +ÇŤ . 1 2 4Ď€ 2

'u180 ‡Smarandache ¯K

ïÆïIJÂ?ŠS ,

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, ¡ ¡ ¡ .

½Ă‚Þ¥ ĂŞ Ç‘a(n), w,

√ a(n) = [ n],

Ù¼[x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  ÂŒ ĂŞ. !ĂŻĂ„Â˜ ĂŞĂ˜Ÿê3²Â?Šê Ăž ފ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.8.1. a(n) = [√n], d(n) Ç‘Ă˜êŸê, Kk √ 1 1 3 d(a(n)) = d([ n]) = x log x + 2c − x + O(x 4 ), 2 2 n≤x n≤x

X

X

Ù¼c Ç‘Euler ~ĂŞ. y². Ă˜J X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

√ d([ n])

n≤x

X

12 ≤i<22

+

X √ √ d([ i]) + d([ i]) + ¡ ¡ ¡ 22 ≤i<32

X

N 2 ≤i<(N +1)2

√ d([ i]) + O(N ÇŤ )

= 3d(1) + 5d(2) + ¡ ¡ ¡ + [(N + 1)2 − N 2 ]d(N ) + O(N ÇŤ )

83

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

84

=

X

(2j + 1)d(j) + O(N ÇŤ ).

j≤N

A(N ) =

X

j≤N

1

d(j) = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ),

Âą9f (j) = 2j + 1. dAbel ÂŞk X

j≤N

(2j + 1)d(j) = A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt

1

h

l Œ

1 i = N log N + (2c − 1)N + O N 2 (2N + 1) − A(1)f (1) Z Nh i 1 t log t − (2c − 1)t + O(N 2 ) 2dt − 1 Z N 3 2 2 2 = 2N log N + 2(2c − 1)N + O N −2 t log tdt 1 Z N Z N 1 −2 (2c − 1)tdt − 2 O t 2 dt 1 1 3 1 = 2N 2 log N − 2(2c − 1)N 2 + O N 2 − N 2 log N 2 + N 2 2 3 2 2 −2(2c − 1)N + O N 3 1 = N 2 log N + 2c − N2 + O N 2 . 2

X

d(a(n)) =

j≤N

X

(2j + 1)d(j) + O(N ÇŤ )

j≤N

1 3 N 2 + O(N 2 ) + O(N ÇŤ ) = N log N + 2c − 2 1 1 3 = x log x + 2c − x + O(x 4 ). 2 2 2

½n4.8.2. a(n) = [n

1 3

], d(n)

Ç‘Ă˜êŸê, Kk

1 1 5 d(a(n)) = d([n ]) = x log x + 2c − x + O(x 6 ), 3 3 n≤x n≤x

X

Ù¼c Ç‘Euler Ÿê.

X

1 3

§4.8

'u180 Smarandache ¯K

85

y². N´ X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

n≤x

1 3

X

d([i ]) +

13 ≤i<23

1

X

23 ≤i<33

ǫ

+O (N )

1

d([n 3 ]) d([i 3 ]) + · · · +

1

X

d([i 3 ])

N 3 ≤i≤x<(N +1)3

= 7d(1) + 19d(2) + · · · + [(N + 1)3 − N 3 ]d(N ) + O (N ǫ ) X = (3j 2 + 3j + 1)d(j) + O (N ǫ ) . j≤N

X

A(N ) =

±9f (j) = 3j

j≤N 2

X

+ 3j + 1.

1

d(j) = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ),

aq

(3j 2 + 3j + 1)d(j)

j≤N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt 1 1

= [N log N + (2c − 1)N + O(N 2 )](3N 2 + 3N + 1) Z N 1 − [t log t + (2c − 1)t + O(t 2 )](6t + 3)dt 1 5 3 = 3N log N + 3(2c − 1)N 3 + O N 2 + 3N 2 log N

+3(2c − 1)N 2 + N log N + (2c − 1)N − 7(2c − 1)N Z N Z N Z N 3 − 6t2 log tdt − 6(2c − 1)t2 dt + O 6t 2 dt 1

qdu

−

Z

N

3t log tdt −

1

Z

N

1

Z

1

l k X

j≤N

1 N

1

1

3(2c − 1)tdt.

2 6t2 log tdt = 2N 3 log N − N 3 + c1 , 3

N

6(2c − 1)t2 dt = 2(2c − 1)N 3 + c2 ,

1

Z

Z

N

3 3 3t log tdt = N 2 log N − N 2 + c2 , 2 4

(3j 2 + 3j + 1)d(j)

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

86

2 = 3N 2 log N + 3(2c − 1)N 3 − 2N 3 log N + N 3 3 5 3 2 −2(2c − 1)N + O N 1 5 3 N 3 + O(N 2 ). = N log N + 2c − 3

Ă?d

X

X

d(a(n)) =

j≤N

j≤N

X

=

1

d([n 3 ])

(3j 2 + 3j + 1)d(j) + O(N ÇŤ )

j≤N

5 1 = N log N + 2c − N 3 + O N 2 + O (N ÇŤ ) 3 5 1 1 x + O x6 . = x log x + 2c − 3 3 3

½n4.8.3. a(n) = [n y². ÂŒ

Ç‘Ă˜êŸê Kk

1 k

], d(n) , X X 1 1 d(a(n)) = d([n k ]) = x log x + O(x). k n≤x n≤x X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

1

d([n k ])

n≤x

X

1 k

d([i ]) +

1k ≤i<2k

X

2k ≤i<3k

+

X

1

d([i k ]) + ¡ ¡ ¡ 1

d([i k ]) + O(N ÇŤ )

N k ≤i<(N +1)k

= (2k − 1)d(1) + (3k − 2k )d(2) + ¡ ¡ ¡ =

X

j≤N

A(N ) =

Âą9f (j) = (j + 1)

k

X

j≤N

+((N + 1)k − N k )d(N ) + O(N ÇŤ ) (j + 1)k − j k d(j) + O(N ÇŤ ).

1 d(j) = N log N + (2c − 1)N + O N 2 ,

− jk,

Kk

X (j + 1)k − j k d(j)

j≤N

§4.8

'u180 Smarandache ¯K Z

87

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1 h i 1 = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ) (N + 1)k − N k

−A(1)f (1) Z Nh i 1 t log t + (2c − 1)t + O(t 2 ) k(t + 1)k−1 − ktk−1 dt − 1 ! k h i X k 1 k−l = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ) N l l=1 ! Z Nh k−1 i X k − 1 1 −k t log t − 2(2c − 1)t + O(t 2 ) tk−l−1 dt l 1 l=1 Z N k−1 k = N k log N − ktk−1 log kdt + O(N k ) 1 1 1 k k − 1 = N k log N − N k log N + O(N k ) 1 1 = N k log N + O(N k ).

Ïd X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

1

d([n k ])

n≤x

X

j≤N

[(j + 1)k − j k ]d(j) + O(N ǫ )

= N k log N + O(N k ) + O(N ǫ ) 1 = x log x + O(x). k

½n4.8.4. a(n) = [√n], ϕ(n) ǑEuler ¼ê, Kk X

φ(a(n)) =

n≤x

y². ´ X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X

√ 4 3 φ([ n]) = 2 x 2 + O(x log x). π n≤x X

√ φ([ n])

n≤x

X

12 ≤i<22

X √ √ φ([ i]) + φ([ i]) + · · · + 22 ≤i<32

2

2

X

√ φ([ i]) + O(N )

N 2 ≤i<(N +1)2

= 3φ(1) + 5φ(2) + · · · + [(N + 1) − N ]φ(N ) + O(N )

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

88

=

X

(2j + 1)φ(j) + O(N ).

j≤N

A(N ) =

j≤N

φ(j) =

j≤N

Âą9f (j) = 2j + 1, Kk X

X

3 2 N + O(N log N ), π2

(2j + 1)φ(j) = A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt

1

Z N 3 2 3 2 = N + O(N log N ) (2N + 1) − t + O(t log t) 2dt Ď€2 Ď€2 1 6 2 = 2 N 3 + O(N 2 log N ) − 2 N 3 + O(N 2 log N ) Ď€ Ď€ 4 3 2 = 2 N + O(N log N ). Ď€

l

X n≤x

X √ φ([ n]) = (2j + 1)φ(j) + O(N ) j≤N

= =

½n4.8.5. a(n) = [n

4 3 N + O(N 2 log N ) + O(N ) π2 4 32 x + O(x log x). π2

Ç‘

1 3

Ÿê Kk

], φ(n) Euler , X X 9 4 1 φ(a(n)) = φ([n 3 ]) = 2 x 3 + O(x log x). 2π n≤x n≤x

y². ÂŒ X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X n≤x

X

1 3

φ([i ]) +

13 ≤i<23

1

φ([n 3 ]) X

23 ≤i<33

1

φ([i 3 ]) + ¡ ¡ ¡ + 3

3

X

N 3 ≤i<(N +1)3

= 7φ(1) + 9φ(2) + ¡ ¡ ¡ + [(N + 1) − N ]φ(N ) + O(N ) X = (3j 2 + 3j + 1)φ(j) + O(N ). j≤N

A(N ) =

X

j≤N

φ(N ) =

1

φ([i 3 ]) + O(N )

3 2 N + O(N log N ), π2

'u180 Smarandache ¯K

§4.8

±9f (j) = 3j

2

89

Kk

+ 3j + 1, X (3j 2 + 3j + 1)φ(j) j≤N

Z

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1 3 2 N + O(N log N ) (3N 2 + 3N + 1) = π2 Z N 3 2 − t + O(t log t) (6t + 3)dt π2 1 9 9 = 2 N 4 − 2 N 4 + O(N 3 log N ). π 2π

Ïd

X

1

φ([i 3 ]) =

n≤x

X

(3j 2 + 3j + 1)φ(j) + O(N )

j≤N

9 N 4 + O(N 3 log N ) + O(N ) 2π 2 9 4 = 2 x 3 + O(x log x). 2π =

½n4.8.6. a(n) = [n y². X

X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X

], φ(n)

ǑEuler ¼ê, Kk k+1 6k x k + O(x log x). 2 (k + 1)π

1

φ([n k ]) =

n≤x

φ(a(n)) =

n≤x

=

1 k

X

1

φ([n k ])

n≤x

X

1 k

X

φ([i ]) +

1

1k ≤i<2k

2k ≤i<3k

X

k

j≤N

(j + 1)k − j

A(N ) =

±9f (j) = (j + 1)

k

φ([i k ]) + · · · +

N k ≤i<(N +1)k

φ(j) + O(N ).

X

j≤N

Kk

φ(j) =

3 2 N + O(N log N ), π2

− jk, X (j + 1)k − j k φ(j)

j≤N

X

1

φ([i k ]) + O(N )

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

90

Z

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1 3 2 = N + O(N log N ) (N + 1)k − N k 2 Ď€ Z k 3 2 − t + O(t log t) k[(t + 1)k−1 − tk−1 ]dt Ď€2 1 3k k(k − 1) 3 k+1 = 2 N k+1 + O(N k log N ) − N Ď€ k + 1 Ď€2 6k = N k+1 + O(N k log N ). (k + 1)Ď€ 2

Ă?d

X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X

1

φ([i k ])

n≤x

X

j≤N

k

(j + 1) − j k φ(j) + O(N )

6k N k+1 + O(N k log N ) + O(N ) (k + 1)Ď€ 2 k+1 6k = x k + +O(x log x). 2 (k + 1)Ď€ =

§4.9

'u,‡aSmarandache Ÿê

n ≼ 2 Ç‘ ĂŞ, a(n) = [n ]. d ½Ă‚aSmarandache ŸêXe: 1 k

S1 (x) = min{m ∈ N : x ≤ m!},

x ∈ (1, ∞).

!ĂŻĂ„aSmarandache Ÿê3a(n) Ăž ފ5Â&#x;, ¿‰Ñ߇ÏCúª. ½n4.9.1. ¢êx ≼ 2, ĂŞk ≼ 2, Kk X

S1 (a(n)) =

n≤x

x log x 1 + O k log log x k

½n4.9.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, Kk x log2 x d(n)S1 (n) = log log x n≤x

X

Ù¼d(n) Ç‘Ă˜êŸê.

1

x(log x)(log log log x k ) 1 (log log x k )2

1+O

log log log x log log x

,

.

'u,‡aSmarandache Ÿê

§4.9

91

Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ ߇Ún. Ăšn4.9.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, k x log x S1 (n) = +O log log x n≤x

X

x(log x)(log log log x) (log log x)2

.

y². dS ½Ă‚, ÂŒ e(m − 1)! < n ≤ m!, KkS (n) = m. ĂŠ u(m − 1)! < n ≤ m!, Ăź> ĂŠĂŞk 1

1

m−1 X

|^Euler Ăšúª, ÂŒ m X i=1

l

i=1

log i < log n ≤

m X

log i.

i=1

log i = m log m − m + O(log m) =

m−1 X

log i,

i=1

log n = m log m − m + O(log m),

? k

m=

UY ĂŠĂŞ, Â ÂŞÂŒ m=

log n + O(1). log m − 1

log n +O log log n

2|^Euler Ăšúª, k OÂŞ X

S1 (n) =

n≤x

X

X

(log n)(log log log n) (log log n)2

.

m

n≤x (m−1)!<n≤m!

X log n (log n)(log log log n) = +O log log n (log log n)2 n≤x X log n x(log x)(log log log x) = +O log log n (log log x)2 n≤x x log x x(log x)(log log log x) = +O . log log x (log log x)2

Ăšn4.9.1 y.. Ăšn4.9.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 2, k X n≤x

Ù¼γ ǑEuler ~ê.

√ d(n) = x log x + (2Îł − 1)x + O( x),

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

92

y². ĂŤ Šz[1]. y3y²½n. da(n) ½Ă‚k X

S1 (a(n)) =

n≤x

=

X

S1

n≤x

X

S1 (1) +

1k ≤i<2k

h

X

2k ≤i<3k

+

X

1

nk

i

S1 (2) + ¡ ¡ ¡

S1 (N ) + O(N k−1+ÇŤ )

N k ≤i<(N +1)k

X

=

1≤j≤N

(j + 1)k − j k S1 (j) + O(N k−1+ÇŤ ).

x log x A(x) = S1 (n) = +O log log x n≤x X

Âą9f (j) = (j + 1)

k

X

Âżb N

− jk,

k

x(log x)(log log log x) (log log x)2

≤ x < (N + 1)k .

,

dAbel ĂšúªÂŒ

S1 (a(n))

n≤x

Z

N

= A(N )f (N ) − A(2)f (2) − A(t)f ′ (t)dt + O(N k−1+ÇŤ ) 2 N log N N (log N )(log log log N ) = +O (N + 1)k − N k 2 log log N (log log N ) Z N ′ t log t t(log t)(log log log t) − +O (t + 1)k − tk dt 2 log log t (log log t) 2 k k N log N N (log N )(log log log N ) = +O log log N (log log N )2 1 x(log x)(log log log x k ) x log x = . 1 + O 1 k log log x k (log log x k )2

ÚÒy² ½n4.9.1. ,˜Â?ÂĄ, dĂšn4.9.1 †Ún4.9.2 k X

d(n)S1 (n)

n≤x

=

X

X

d(n)m

n≤x (m−1)!<n≤m!

=

X n≤x

d(n)

log n +O log log n

(log n)(log log log n) (log log n)2

X log n (log n)(log log log n) = d(n) +O d(n) log log n (log log n)2 n≤x n≤x X

!

.

§4.10

X

A(x) =

n≤x

Âą9 f1 (t) =

dAbel ĂšúªÂŒ X

'u183 ‡Smarandache ¯K

93

√ d(n) = x log x + (2Îł − 1)x + O( x),

log t , log log t

f2 (t) =

(log t)(log log log t) . (log log t)2

d(n)S1 (n)

n≤x

Z

x

A(t)f1′ (t)dt = A(x)f1 (x) − A(2)f1 (2) − 2 Z x ′ +O A(x)f2 (x) − A(2)f2 (2) − A(t)f2 (t)dt 2 x log2 x x(log2 x)(log log log x) = +O log log x (log log x)2 x log2 x log log log x = 1+O . log log x log log x

l y² ½n4.9.2.

§4.10

'u183 ‡Smarandache ¯K

ĂŠ?Âż ĂŞn, m (n) = [n ]. ~X, m (1) = 1, m (2) = 1, m (3) = 1, m (4) = 1, ¡ ¡ ¡ , m (2 ) = 2, m (2 + 1) = 2, ¡ ¡ ¡ , m (3 ) = 3, ¡ ¡ ¡ . !ĂŻĂ„T ĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.10.1. m Ç‘ ĂŞ, Îą Ç‘¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª 1 k

q

q

q

X

k

q

ĎƒÎą ((mq (n), m)) =

n≤x

q

k

q

q

q

k

(2k − 1)Ďƒ1âˆ’Îą (m) 1 + O(x1− 2k +ÇŤ ), 1âˆ’Îą m

Ă™ÂĽĎƒ (n) = X d , ÇŤ ´?¿¢ê. Îą = 0 †1, ÂŒ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.10.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k Îą

Îą

d|n

X

n≤x

X

n≤x

d((mq (n), m)) =

(2k − 1)Ďƒ(m) 1 x + O(x1− 2k +ÇŤ ), m 1

Ďƒ((mq (n), m)) = (2k − 1)d(m)x + O(x1− 2k +ÇŤ ).

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

94

Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.10.1. m Ç‘ ĂŞ, Îą Ç‘¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª X

1 Ďƒ1âˆ’Îą (m) x + O x 2k +ÇŤ , m1âˆ’Îą

ĎƒÎą ((n, m)) =

n≤x

Ă™ÂĽĎƒ (n) = d , ÇŤ ´?Âż ¢ê. y². ½Ă‚ X Îą

X

Îą

d|n

∞

g(s) =

n=1

ĎƒÎą ((m, n)) . ns

m ‰½Âƒ , f (n) = (m, n) ´ÂŒ Ÿê, l Ďƒ ((m, n)) Ç‘´ÂŒ Ÿê. dEuler Ăˆúª ,k Îą

ĎƒÎą (f (p)) ĎƒÎą (f (p2 )) + + ¡¡¡ ps p2s p Y 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p p∤m   β β+1 P P i Îą i Îą (p ) (p ) Îą Y   i=0 1 + 1 + p + ¡ ¡ ¡ + i=0  Ă— + + ¡ ¡ ¡   s βs (β+1)s p p p β

g(s) =

Y

1+

p km

=

1 1 − p1s p∤m 

Y Ă—

ι Y  1 + 1 + p + ¡ ¡ ¡ +  ps β

p km

= Îś(s)

Y

pβ km

´y Oª

1+

1

psâˆ’Îą

+

β−1 P

(pi )Îą

i=0

1

p2(sâˆ’Îą)

pβs

+ ¡¡¡ +

Ù¼k Â?†m Úι k', Îą > 1 ´s ¢Ăœ. s |x − N |. dPerron úªk 1 ĎƒÎą (f (n)) = 2Ď€i n≤x

(pi )Îą

i=0

pβs

1 pβ(sâˆ’Îą)



1   1 − p1s 

.

∞

X Ďƒ ((m, n))

K

Îą = B(Ďƒ),

< Ďƒ

n=1

Ďƒâˆ’1 n

|ĎƒÎą ((m, n))| < K = H(x),

X

+

β P

Z

2+iT

2−it

Îś(s)R(s)

0

= 0, b = 2, T = x3/2 , ||x|| =

xs ds + O(x1/2+ÇŤ ), s

'u183 ‡Smarandache ¯K

§4.10

Ù¼

Y R(s) = 1+ pβ km

e5 OĂŒÂ‘

1 2Ď€i

1 psâˆ’Îą

Z

1

+

+ ¡¡¡ +

p2(sâˆ’Îą)

2+iT

Îś(s)R(s) 2−it

95

1 pβ(sâˆ’Îą)

.

xs ds. s

rĂˆŠÂ‚ls = 2 Âą it ÂŁ s = 1/2 Âą it. džŸê Îś(s)R(s)

3s = 1 k˜‡{Ăź4:, l ÂŒ 1 2Ď€i

Z

2+iT

+ 2−it

T = x , k

Z

1/2+iT

+

2+it

Z

1/2−iT

+

1/2+it

xs s

Z

2−iT

1/2−it

!

Îś(s)R(s)

xs ds = R(1)x. s

3/2

1

2πi Z ≪

2

1/2

Ă˜Jy²

Z

1/2+iT

+ 2+it

Z

2−iT 1/2−it

!

xs

Îś(s)R(s) ds

s

2

x

Îś(Ďƒ + iT )R(s) dĎƒ

T

x2 1 = x2 . ≪ T

Z T

1 Z 1/2−iT xs

Μ(s)R(s) ds ≪

2Ď€i 1/2+iT s

1 1

Âą9

≪ x 2 +Ǎ ,

R(1) =

Y

1+

pβ km

=

l k

1

1 2

Îś( + it)R(s) x dt

2 t

X n≤x

ÚÒy² Ăšn4.10.1.

1 p1âˆ’Îą

+

1 p2(1âˆ’Îą)

+ ¡¡¡ +

1 pβ(1âˆ’Îą)

Ďƒ1âˆ’Îą (m) . m1âˆ’Îą ĎƒÎą (f (n)) =

1 Ďƒ1âˆ’Îą (m) x + O x 2 +ÇŤ . m1âˆ’Îą

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

96

y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ĂŞN áv N k ≤ x < (N + 1)k .

dm (n) ½Ă‚k q

X

ĎƒÎą ((mq (n), m)) =

n≤x

X

1

ĎƒÎą (([n k ], m))

n≤x

=

X

1

ĎƒÎą (([i k ], m)) +

1k ≤i<2k

X

1

ĎƒÎą (([i k ], m))

2k ≤i<3k

+¡¡¡ +

X

1

ĎƒÎą (([i k ], m)) + O(N ÇŤ )

N k ≤i<(N +1)k

= (2k − 1)ĎƒÎą ((1, m)) + (3k − 2k )ĎƒÎą ((2, m))

+ ¡ ¡ ¡ + ((N + 1)k − N k )ĎƒÎą ((N, m)) + O(N ÇŤ ) X = [(j + 1)k − j k ]ĎƒÎą ((j, m)) + O(N ÇŤ ), j≤N

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. ½Ă‚

A(N ) =

X

j≤N

dĂšn4.10.1 ÂŒ A(N ) =

X

ĎƒÎą ((j, m)) =

j≤N

f (j) = (j + 1)

k

X

j≤N

ĎƒÎą ((j, m)).

− jk,

Ďƒ1âˆ’Îą (m) 1 N + O(N 2 +ÇŤ ). 1âˆ’Îą m

dAbel Ăšúªk

[(j + 1)k − j k ]ĎƒÎą ((j, m)) Z

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1 Ďƒ1âˆ’Îą (m) 1 +ÇŤ = N + O(N 2 ) (N + 1)k − N k 1âˆ’Îą m −A(1)f (1) Z N Ďƒ1âˆ’Îą (m) 1 +ÇŤ 2 − t + O(t ) k(t + 1)k−1 − ktk−1 dt. 1âˆ’Îą m 1

qd ‘ª½nÂŒ X

j≤N

[(j + 1)k − j k ]ĎƒÎą ((j, m)) =

(2k − 1)Ďƒ1âˆ’Îą (m) k k− 12 +ÇŤ N + O N . m1âˆ’Îą

§4.11

²Â?Šê Â˜Â‡Ă­2

97

l k X

ĎƒÎą ((mq (n), m)) =

n≤x

=

ÚÒy² ½n4.10.1.

1

ĎƒÎą (([n k ], m))

n≤x

X

j≤N

=

X

[(j + 1)k − j k ]ĎƒÎą ((j, m)) + O(N ÇŤ )

(2k − 1)Ďƒ1âˆ’Îą (m) 1 x + O(x1− 2k +ÇŤ ). m1âˆ’Îą

§4.11

²Â?Šê Â˜Â‡Ă­2

g,ĂŞ ²Â?Šê a(n) Ç‘:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, ¡ ¡ ¡

=a(n) = [n ]. ¡Â‚rÞ¥ ĂŞ Ší2Ç‘: 1 2

b(n) = [n1/k ].

!|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„Ďƒ (b(n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. ½n4.11.1. ĂŠ?¿¢êx > 1 † ĂŞn ≼ 1, k  kÎś(Îą + 1)   x + O(x ), XJ Îą > 0;   Îą + k   1 X x log x + O(x), XJ Îą = 0; Ďƒ (b(n)) = k    Îś(2)x + O(x ), XJ Îą = −1;    ), XJ Îą < 0 Â… Îą 6= −1, Îś(1 − Îą)x + O(x Ă™ÂĽĎƒ (n) = X d ´Ă˜êŸê, Îś(n) Ç‘Riemann zeta Ÿê, β = max(1, Îą), δ = max(0, 1 + Îą), ÇŤ > 0 ´?Âż ¢ê. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.11.1. Îą > 0 Ǒ‰½ ¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª Îą

β+k−1 k

Îą+k k

Îą

k+ÇŤâˆ’1 k

n≤x

δ+k−1 k

Îą

Îą

d|n

X

n≤x

ĎƒÎą (n) =

Μ(ι + 1) ι+1 x + O(xβ ), ι+1

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

98

X n≤x

Ďƒâˆ’Îą (n) =

Μ(ι + 1)x + O(xδ ), Μ(2)x + O(log x),

XJ ι ≤ 1, XJ ι = 1,

Ă™¼β = max(1, Îą), δ = max(0, 1 − Îą), Îś(n) ´Riemann zeta Ÿê. y². ĂŤ Šz[1]. y3y²½n. ¡Â‚ĂŠÎą ŠnÂŤÂœš Ă„. Âœ/1. Îą > 0 žk X

ĎƒÎą (b(n)) =

n≤x

=

X

ĎƒÎą ([n1/k ])

n≤x

X

1k ≤n<2k

+

X

ĎƒÎą ([n1/k ]) +

2k ≤n<3k

X

ĎƒÎą ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

ĎƒÎą ([n1/k ]) + O(N β )

N k ≤n<(N +1)k

=

X

j≤N

A(n) =

(j + 1) − j k ĎƒÎą (j) + O(N β ).

X

ĎƒÎą (j)

Âą9

j≤n

f (j) = (j + 1)k − j k .

dAbel ĂšúªÂ†Ăšn4.11.1 Âą9½n4.8.3 k X

ĎƒÎą (b(n))

n≤x

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt + O(N β ) 1

Z N kÎś(Îą + 1) Îą+k Îś(Îą + 1) Îą+k+1 − k(k − 1) dt = N t Îą+1 Îą+k 1 +O(N β+k−1 ) kÎś(Îą + 1) Îą+k = N + O(N β+k−1 ) Îą+k β+k−1 kÎś(Îą + 1) Îą+k = x k +O x k . Îą+k

Âœ/2. Îą = −1 žk X n≤x

=

Ďƒâˆ’1 (b(n)) = X

1k ≤n<2k

X n≤x

Ďƒâˆ’1 ([n1/k ])

Ďƒâˆ’1 ([n1/k ]) +

X

2k ≤n<3k

Ďƒâˆ’1 ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

§4.11

²Â?Šê Â˜Â‡Ă­2 X

+

N k ≤n<(N +1)k

=

X

(j + 1)k − j k Ďƒâˆ’1 (j) + O(N ÇŤ ).

j≤N

X

A(n) =

j≤n

Œ X n≤x

Ďƒâˆ’1 ([n1/k ]) + O(N ÇŤ )

Âą9

Ďƒâˆ’1 (j)

Ďƒâˆ’1 (b(n)) =

X

n≤x

f (j) = (j + 1)k − j k .

Ďƒâˆ’1 ([n1/k ])

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − = Îś(2)N k + O N k+ÇŤâˆ’1 k+ÇŤâˆ’1 = Îś(2)x + O x k ,

Z

N

A(t)f ′ (t)dt + O(N Ǎ ) 1

Ù¼Ǎ > 0 ´?Âż ¢ê. Âœ/3. Îą < 0 Â…Îą 6= −1 ž, k X

ĎƒÎą (b(n)) =

n≤x

=

X

ĎƒÎą ([n1/k ])

n≤x

X

X

ĎƒÎą ([n1/k ]) +

1k ≤n<2k

2k ≤n<3k

X

+

ĎƒÎą ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

ĎƒÎą ([n1/k ]) + O(N δ )

N k ≤n<(N +1)k

=

X

j≤N

A(n) =

(j + 1)k − j k ĎƒÎą (j) + O(N δ ).

X

ĎƒÎą (j)

j≤x

ΠX

n≤x

ĎƒÎą (b(n)) =

X

Âą9

f (j) = (j + 1)k − j k .

ĎƒÎą ([n1/k ])

n≤x

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt + O(N δ ) 1

= kÎś(1 − Îą)N k + O(N δ+k−1 ) − (k − 1)Îś(1 − Îą)N k = Îś(1 − Îą)N k + O(N δ+k−1 )

99

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

100

δ+k−1 = Îś(1 − Îą)x + O x k .

nÞ¤ã, k

 β+k−1 kÎś(Îą + 1) Îą+k   k x , + O x k    Îą+k    1 X x log x + O(x), ĎƒÎą (b(n)) = k k+ÇŤâˆ’1   n≤x Îś(2)x + O x k ,    δ+k−1    Îś(1 − Îą)x + O x k ,

ÚÒy² ½n4.11.1.

§4.12

XJ Îą > 0; XJ Îą = 0; XJ Îą = −1; XJ Îą < 0 Â…

'uSmarandache –5 ê

Îą 6= −1.

˜‡ ĂŞ ¥Ǒ–5 ĂŞ, XJʧ ꠉ,‡˜†(Â?)Ă° ˜†) C¤5 ĂŞ. ~X: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 51, 52, ¡ ¡ ¡ . A L–5 ĂŞ 8Ăœ. !ĂŻĂ„TĂŞ ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.12.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

n∈A n≤x

Ù¼

f (n) =

X

n≤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 ,

M = max {|f (n)|}. 1≤n<x

ŠO f (n) = d(n) †ℌ(n), ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.12.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

n∈A n≤x

ln 8 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x ln 10 +ÇŤ ,

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ă­Ă˜4.12.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

n∈A n≤x

Ù¼B ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ.

â„Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

x , ln x

§4.13

'u1 a–5 êS

101

y3y²½n. 10 ≤ x < 10 , =k ≤ log x < k + 1. dA ½Ă‚ÂŒ , 8 Ă˜3A ÂĽ ĂŞ ‡ê þǑ8 + 8 + ¡ ¡ ¡ + 8 = 7 (8 − 1) ≤ 8 . du k

k+1

2

k

8k ≤ 8log x = 8log8 x

Œ

log1 10 8

k

k+1

1

ln 8

= (x) log8 10 = x ln 10 ,

ln 8 8k = O x ln 10 .

M Ǒ|f (n)| (n ≤ x) Þ., Kk X

n6∈A n≤x

ln 8 f (n) = O M x ln 10 .

l ΠX

f (n) =

n∈A n≤x

X

f (n) −

X

ln 8 f (n) + O M x ln 10 .

n≤x

=

n≤x

½n4.12.1 y.. d½n4.12.1 Âą9ĂŹCúª X n≤x

X

f (n)

n6∈A n≤x

1

d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O(x 2 )

ÂŒ Ă­Ă˜4.12.1. 2d½n4.12.1 Âą9ĂŹCúª X

â„Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

n≤x

ÂŒ Ă­Ă˜4.12.2.

§4.13

x log x

'u1 a–5 êS

˜‡ ĂŞ ¥Ǒ–5 ĂŞ, XJʧ ꠉ,‡˜†(Â?)Ă° ˜†) C¤5 ĂŞ. aq/ÂŒ½Ă‚1 a–5 ĂŞ. ˜‡ ĂŞ ÂĄÇ‘1 a–5 ĂŞ, XJ§ Ă˜´5 ĂŞ, ´Ê§ ꠊ,‡˜† Ă’C¤5 ĂŞ"Ç‘Â?B ü„, A L–5 ĂŞ 8Ăœ, B LÂŤ1 a–5 ĂŞ 8Ăœ. !ĂŻĂ„1 a–5 ĂŞS ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª.

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

102

½n4.13.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k

ln 8 16 ln 5 d(n) = x ln x + 2Îł − 1 + + O x ln 10 +ÇŤ , 25 2 n∈B X

n≤x

Ù¼d(n) ´Dirichlet Ă˜êŸê, Îł ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\߇Ún. Ăšn4.13.1. q = 1 ½q Ç‘ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X

d(qn) =

n≤x

1 2− q

ln q 1 x ln x + 2Îł − 1 + + O(x 2 +ÇŤ ), 2q − 1

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ Ç‘?Âż ¢ê. y². eq = 1, dŠz[1] ÂĽ ½n3.3 ĂĄ=ÂŒ Ăšn. y3 q Ç‘ÂƒĂŞ. ½ Ă‚ X ∞

f (s) =

n=1

dEuler Ăˆúªk f (s) =

∞ X d(qn) n=1

=

ns

d(qn) . ns

∞ ∞ X X d(q Îą+1 n1 ) q sÎą ns1 Îą=0 n =1

=

1

(n1 ,q)=1

∞ ∞ X 2 + Îą X d(n1 ) q sÎą n =1 ns1 Îą=0 1

(n1 ,q)=1

=

! 1 1 + 1 − q1s (1 − q1s )2 Y d(p) d(p2 ) d(pk ) Ă— 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ p p p p (p,q)=1

1 1 = 1 + 1 − qs (1 − q1s )2 1 2 = Îś (s) 2 − s . q

2dPerron úªÂŒ X n≤x

d(qn) =

Ăšn4.13.1 y..

1 2− q

!

1 Îś (s) 1 − s q 2

2

ln q 1 x ln x + 2Îł − 1 + + O(x 2 +ÇŤ ). 2q − 1

§4.13

'u1 a–5 êS

103

Ăšn4.13.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

n∈A n≤x

ln 8

d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O(x ln 10 +ÇŤ ).

y². ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, 3šK ĂŞk áv10 Ă‚ÂŒ

k

X

n6∈A n≤x

1 ≤ 8 + 82 + 83 + ¡ ¡ ¡ + 8k ≤

≤ x < 10k+1 .

dA ½

8k+2 64 64 ln 8 ≤ 8k ≤ x ln 10 . 7 7 7

5¿ d(n) ≪ n ¹9 lnln108 > 1/2. dÚn4.12.1 k Ǎ

X

d(n) =

n∈A n≤x

X n≤x

=

X

n≤x

=

X n≤x

d(n) −

X

d(n)

n6∈A n≤x





X ÇŤ  d(n) + O  n   n6∈A n≤x

ln 8 d(n) + O x ln 10 +ÇŤ

ln 8 = x ln x + (2Îł − 1)x + O x ln 10 +ÇŤ .

Ăšn4.13.2 y.. y3y²½n. dA †B ½Ă‚ÂŒ A − B †4.13.2 ÂŒ X

d(n) =

n∈B n≤x

X

n∈A n≤x

d(n) −

X

ĂŞ}. dĂšn4.13.1

={5

d(5n)

5n≤x

ln 8 = x ln +(2Îł − 1)x + O x ln 10 +ÇŤ ln 5 9 − x ln x − ln 5 + 2Îł − 1 + 25 9 ln 8 16 ln 5 = x ln x + 2Îł − 1 + + O x ln 10 +ÇŤ . 25 2

ÚÒy² ½n4.13.1.

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

104

§4.14

'u ê nÆ/ê�{

ĂŠ?Âż ĂŞn, a(n) ´n nÆ/ĂŞÂ?{. = ,

a(n) = n −

Ù¼k ´áv

k(k + 1) , 2

k(k + 1) ≤n 2

 ÂŒ ĂŞ. ~X,

a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 0, a(4) = 1, a(5) = 2, a(6) = 0, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ„TĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.14.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k

√ 2 32 a(n) = x + O(x). 3 n≤x X

½n4.14.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k 3 1 ln 2 − 3 d(a(n)) = x ln x + 2Îł + + O x2 , 2 2 n≤x

X

Ù¼d(n) ´Dirichlet Ă˜êŸê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, ĂŞM áv Kda(n) ½Ă‚k X

a(n) =

n≤x

=

(M + 1)(M + 2) M (M + 1) ≤x< . 2 2

M X

M X k=1

X

k(k+1) (k+1)(k+2) ≤n< 2 2



X

k=1 i≤( (k+1)(k+2) −1− k(k+1) ) 2 2

=

M X k X k=1 i=0

i + O M2

a(n) −

 i+O

X

a(n)

(M +1)(M +2) x<n< 2

X

+2) +1) s≤( (M +1)(M − M (M ) 2 2



 s

§4.15

ĂŞ k gÂ?ĂœŠ

105

M

1X k(k + 1) + O M 2 2 k=1 1 = M3 + O M2 . 6

=

5Âż OÂŞ

M M2 3 ≤x− < M + 1. 2 2 2

l ÂŒ ÚÒy² ½n4.14.1 |^aq/Â?{ÂŒ X

X

n≤x

d(a(n)) =

X

n≤x

ΠX

M X k X k=1 i=0

n≤x

2dÏCúª

a(n) =

√

2 32 x + O(x). 3

d(i) +

X

d(a(n)).

M (M +1) <n≤x 2

1

d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O(x 3 ),

d(a(n))

n≤x

 M X 1 = k ln k + (2Îł − 1)k + O(k 3 ) + O  k=1

=

X

+1) i≤x− M (M 2

1 2 1 1 4 M ln M − (M 2 − 1) + (2Îł − 1)M 2 + O(M 3 ). 2 4 2



d(i)

nÞ¤ã, k

1 ln 2 − 3 3 d(a(n)) = x ln x + 2Îł + + O(x 2 ). 2 2 n≤x X

ÚÒy² ½n4.14.2.

§4.15

ĂŞ k gÂ?ĂœŠ

n Ç‘ ĂŞ, k > 1 Ç‘ ĂŞ. ½Ă‚a(n) Ç‘Ă˜Â‡Ln  ÂŒk g˜, b(n) Ç‘ Ă˜ un  k g˜. ~X, k = 2 žka(1) = a(2) = a(3) = 1, a(4) =

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

106

a(5) = a(6) = a(7) = 4, ¡ ¡ ¡ , b(1) = 1, b(2) = b(3) = b(4) = 4, b(5) =

k = 3 ž, a(1) = a(2) = ¡ ¡ ¡ = a(7) = 1,

b(6) = b(7) = b(8) = 8, ¡ ¡ ¡ .

a(8) = a(9) = ¡ ¡ ¡ = a(26) = 8, ¡ ¡ ¡ , b(1) = 1, b(2) = b(3) = ¡ ¡ ¡ = b(8) = 8,

b(9) = b(10) = ¡ ¡ ¡ = b(27) = 27, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ„Ú߇ê 5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.15.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

d(a(n)) =

n≤x

1 kk!

6 kπ 2

k−1

A0 x lnk x + A1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Ak−1 x ln x + Ak x + O x1− 2k +ÇŤ ,

Ù¼A , A , ¡ ¡ ¡ , A Ç‘~ĂŞ, AO k = 2 žkA ¿¢ê. ½n4.15.2. ĂŠ?¿¢êx > 1, k 0

1

X

k

0

d(b(n)) =

n≤x

1 kk!

6 kπ 2

k−1

= 1. d(n)

Ç‘Ă˜êŸê, ÇŤ ´?

A0 x lnk x + A1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Ak−1 x ln x + Ak x + O x1− 2k +ÇŤ .

Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\Â˜Â‡Ăšn. Ăšn4.15.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

k

d(n ) =

n≤x

1 k!

6 π2

k−1

B0 x lnk x + B1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Bk−1 x ln x + Bk x + O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼B , B , ¡ ¡ ¡ , B Ç‘~ĂŞ, AO k = 2 žkB y². s = Ďƒ + it Ç‘EĂŞ, ¿½Ă‚ 0

1

k

0

f (s) =

∞ X d(nk ) n=1

ns

= 1. ÇŤ

´?¿ ¢ê.

.

5Âż d(n ) ≪ n , K Re s > 1 ž, f (s) Ă‚Ăą. dEuler Ăˆúª¹9d(n) ½Ă‚ÂŒ k

f (s) =

ÇŤ

Y p

d(pk ) d(p2k ) d(pnk ) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ ps p2s pns

§4.15

ĂŞ k gÂ?ĂœŠ

107

Y

k + 1 2k + 1 kn + 1 = 1+ + + ¡¡¡ + + ¡¡¡ ps p2s pns p Y 1 2 = Îś (s) 1 + (k − 1) s p p ! k−1 Y 1 1 1 2 2 = Îś (s) 1+ s − Ck−1 2s − ¡ ¡ ¡ − (k−1)s p p p p =

Îś k+1 (s) g(s), Îś k+1 (2s)

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ. dPerron úªk p

1 d(n ) = 2πi n≤x X

k

rĂˆŠÂ‚£Ä–Re s =

1 k!

6 π2

k−1

1 2

Z

+ ÇŤ.

2+iT 2−iT

xs Îś k+1 (s) g(s) ds + O Îś k−1 (2s) s

3s = 1 ? 3ĂŞÇ‘

x2+ÇŤ T

.

B0 x lnk x + B1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡ + Bk−1 x ln x + Bk x,

Ù¼B , B , ¡ ¡ ¡ , B Ç‘~ĂŞ, Â… k = 2 žkB = 1. 5Âż 12 ≤ Ďƒ < 1 ž kÎś(s) = Îś(Ďƒ + it) ≤ |t| . l ,3^ĂˆŠÂ‚Ăž ĂˆŠÂŒ OÇ‘ 0

1

k

0

1âˆ’Ďƒ 2 +ÇŤ

O x

T = x , nĂžÂŒ

1 2 +ÇŤ

x2 + T

.

3 2

X

k

d(n ) =

n≤x

1 k!

6 π2

k−1

B0 x lnk x + B1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Bk−1 x ln x + Bk x + O x 2 +ÇŤ .

Ăšn4.15.1 y.. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ĂŞM áv Kda(n) ½Ă‚k X

n≤x

d(a(n)) =

M k ≤ x < (M + 1)k .

M X

X

m=2 (m−1)k ≤n<mk

d(a(n)) +

X

M k ≤n≤x

d(a(n))

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

108

M−1 X

=

X

d(mk ) +

m=1 mk ≤n<(m+1)k

M−1 X

=

d(M k )

M k ≤n≤x

Ck1 mk−1 + Ck2 mk−2 + ¡ ¡ ¡ + 1 d(mk )

m=1



X

+O 

M k ≤n≤(M+1)k

= k

X

M X



d(M k )

mk−1 d(mk ) + O(M k−1+ÇŤ ).

m=1

B(y) =

d(nk ).

n≤y

dAbel úª¹9Ăšn4.15.1 ÂŒ M X

X

mk−1 d(mk )

m=1

= M k−1 B(M ) − (k − 1) =M

k−1

1 k!

k−1

6 π2 Z M

Z

M

y k−2 B(y)dy + O(1) 1 k

B0 M ln M + B1 M ln

k−1

M + ¡ ¡ ¡ + Bk M

!

k−1 1 6 −(k − 1) B0 y k−1 lnk y + B1 y k−1 lnk−1 y 2 k! Ď€ 1 k−1 + ¡ ¡ ¡ + Bk y dy

+O(M k−1/2+ÇŤ ) k−1 1 6 = B0 M k lnk M + C1 M k lnk−1 M + ¡ ¡ ¡ + Ck−1 M k kk! Ď€ 2 +O(M k−1/2+ÇŤ ).

l k X

d(a(n)) =

n≤x

1 kk!

6 π2

k−1

B0 M k lnk M + C1 M k lnk−1 M + ¡ ¡ ¡ + Ck−1 M k

+O(M k−1/2+ÇŤ ),

Ù¼B , C , ¡ ¡ ¡ , C Ç‘~ĂŞ. ´y OÂŞ 0

1

k−1

0 ≤ x − M k < (M + 1)k − M k = kM k−1 + Ck2 M k−2 + ¡ ¡ ¡ + 1

§4.16

=M

k−1

†

k+

Ck2

1 1 + ¡ ¡ ¡ + k−1 M M

lnk x = kk lnk M + O

nĂžÂŒ X

d(a(n)) =

n≤x

1 kk!

ÂŒ\8>/Ă–ĂŞ

6 kπ 2

lnk−1 x 1 xk

k−1

0

= B0 .

≪x

k−1 k

,

1 = kk lnk M + O x− k +ÇŤ .

A0 x lnk x + A1 x lnk−1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak−1 x ln x

1 1− 2k +ÇŤ

+Ak x + O x

Ù¼A

!

109

,

ÚÒy² ½n4.15.1. aqÂŒy½n4.15.2. §4.16

ÂŒ\8>/Ă–ĂŞ

n Ç‘ ĂŞ. e 3 ĂŞm n = m(2m − 1), Ă’ÂĄn Ç‘8>/ĂŞ. , ˜Â?ÂĄ, n k gĂ–ĂŞb (n) ´Â? nb (n) Ç‘k g˜  ê. aq/, ÂŒ ½Ă‚ÂŒ\8>/ĂŞa(n) Ç‘: a(n) ´ a(n) + n Ç‘8>/ĂŞ  ÂšK ĂŞ. ~ X, n = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , 15 ž, ÂŒ a(n) = 0, 4, 3, 2, 1, 0, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. !ĂŻĂ„Ÿêd(a(n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.16.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k k

k

√ 2 2 32 a(n) = x + O(x). 3 n≤x X

½n4.16.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k 1 d(a(n)) = x log x + 2 n≤x

X

3 1 log 2 + (2Îł − 1) − 2 2

Ù¼γ Ç‘Euler ~ĂŞ. Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ ˜ Ăšn. Ăšn4.16.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 3, k X n≤x

Ù¼γ ǑEuler ~ê.

1

d(x) = x ln x + (2Îł − 1)x + O(x 3 ),

3 + O x2 ,

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

110

y². ĂŤ Šz[1]. Ăšn4.16.2. x ≼ 3 Ç‘¢ê, f (n) ǑšK ĂŞĂ˜Ÿê, ávf (0) = 0. Kk ĂŹCúª   X

f (a(n)) =

1 x2 2

m=1

n≤x

 X    f (i) + O  f (i) ,   1 i≤4m

X X

i≤4

Ù¼[x] LÂŤĂ˜Â‡Lx  ÂŒ ĂŞ. y². ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, ĂŞM áv 5Âż n HÂŤm

x2 2

M (2M − 1) ≤ x < (M + 1)(2M + 1).

[m(2m − 1), (m + 1)(2m + 1))

ž, a(n) Ǒ Hm[0, 4m]. Kk X

X

f (a(n)) =

n≤x

n≤M(2M−1)

=

M X X

m=1 i≤4m

5¿ †

X

f (a(n)) +

f (a(n))

M(2M−1)<n≤x



f (i) + O 

X

i≤x−M(2M−1)



f (i) .

x − M (2M − 1) < (M + 1)(2M + 1) − M (2M − 1) = 4M + 1 1 x2 M= , 2

ΠX

f (a(n)) =

1 x2 2



 X    f (i) + O  f (i) .  1  i≤4m

X X

m=1

n≤x



i≤4

x2 2

Ăšn4.16.2 y.. y3y²½n. da(n) ½Ă‚Âą9Euler Ăšúªk X

n≤x

a(n) =

X

n≤M(2M−1)

a(n) +

X

M(2M−1)<n≤x

a(n)

'uSmarandache {ߟê ފ

§4.17

M X X

=

i+

m=1 i≤4m M X

=

X

111

i

i≤x−M(2M−1)

2m(4m + 1) + O

m=1

(4M )2 2

4 M (M + 1)(2M + 1) + O(M 2 ) 3√ 2 2 32 x + O(x). 3

= =

ÚÒy² ½n4.16.1. ,˜Â?ÂĄ, dĂšn4.16.1, 4.16.2 Âą9Abel ÂŞÂŒ ! X

d(a(n)) =

n≤x

M X X

d(i) + O

m=1 i≤4m

X

d(i)

i≤4M

M X 1 = 4m log 4m + (2Îł − 1)4m + O((4m) 3 ) m=1

1 +O 4M log 4M + (2Îł − 1)4M + O((4M ) 3 ) X X = (8 log 2 + 4(2Îł − 1)) m+4 m log m m≤M

X

+O

m≤M

1

m3

!

m≤M

+ O(4M log 4M )

1 2 M + O(M ) 2

= (8 log 2 + 4(2Îł − 1))) 1 2 1 4 +4 M log M − (M 2 − 1) + O(M log M ) + O(M 3 ) 2 4 4

= 2M 2 log M + (4 log 2 + 2(2Îł − 1) − 1)M 2 + O(M 3 ) 2 1 3 1 = x log x + log 2 + (2Îł − 1) − x + O x3 . 2 2 2

ÚÒy² ½n4.16.2. §4.17 Smarandache

†

'uSmarandache {ߟê ފ

{Ăź\5Ÿê ½Ă‚Xe:

p(x) = min m ∈ N+ : px ≤ m! p∗ (x) = min m ∈ N+ : m! ≤ px .

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

112

!|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„Ú߇Ÿê ĂŹC5Â&#x;, ¿‰Ñ߇ÏCúª. ½n4.17.1. p Ǒ˜‡‰½ ÂƒĂŞ. KĂŠu?¿¢êx ≼ 1, k X

n≤x

d(p(n)) = x(ln x − ln ln x) + O(x).

½n4.17.2. p Ǒ˜‡‰½ ÂƒĂŞ. KĂŠu?¿¢êx ≼ 1, k X

n≤x

d(p∗ (n)) = x(ln x − ln ln x) + O(x).

Ç‘ ¤½n y², Ă„kĂš\A‡Ún. Ăšn4.17.1. ĂŠu?¿¢êx > 1, k X

n≤x

√ d(n) = x ln x + (2c − 1)x + O( x),

Ù¼c Ç‘Euler ~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[1]. Ăšn4.17.2. ĂŠu?¿¢êx > 1, k

x X ln i i=1

1 = ln2 x + A + O i 2

Ù¼A Ç‘~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[1]. e5y²½n. dd(n) 9p(n) ½Ă‚ÂŒ X

d(p(n)) =

n≤x

du

X n≤x

n∈

X

ln(m − 1)! ln(m)! , ln p ln p

ÂĽÂ ÂŒ ĂŞÇ‘Â˜½ u ux, u´

ln(m)! ≤ x, ln p

.

d(m).

ln(m−1)! <m≤ ln(m)! ln p ln p

ln(m − 1)! ln(m)! , ln p ln p

ž, p(n) = m, q�Ǒn ≤ x, om

ln x x

§4.18

'uSmarandache ceil Ÿê(I)

113

=ln(m)! ≤ x ln p. (ĂœEuler Ăšúª, =ÂŒ ln(m)! ĂŒÂ‘Ç‘ m ln m, Âż Â…m ln m ≤ x ln p. XJx v ÂŒ, oln m ĂŹCuln x, u´k m≤

ŠâÞ¥ ŠĂ›ÂŒ X

d(p(n)) =

n≤x

X

n≤x

= = = = = =

X

ln(m−1)! <m≤ ln p

x ln p . ln x

X ln m d(m) + O(x ln p) d(m) = ln p x ln p ln(m)! m≤

ln p

ln x

X X ln m 1 d(m) + O(x) = ln(un) + O(x) ln p ln p m≤ xlnlnxp un≤ xlnlnxp X X 2 ln u 1 + O(x) ln p x ln p x ln p u≤ ln x n≤ u ln x X 2 x ln p ln u ¡ + O(x) ln p u ln x u≤ xlnlnxp X 2x ln u + O(x) ln p u x ln p u≤ ln x 2x 1 2 (ln x + ln ln p − ln ln x) + O(x) ln p 2 x(ln x − 2 ln ln x) + O(x).

ÚÒy² ½n4.17.1. aqÂŒy½n4.17.2. §4.18

'uSmarandache ceil Ÿê(I)

k, n Ç‘ ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă‚Xe: k

Sk (n) = min m ∈ N : n | mk .

ÂŒyS (n) ´ÂŒ Ÿê. !ĂŻĂ„d(S (n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.18.1. ĂŞk ≼ 2. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª k

k

1 6Îś(k)x ln x Y 1 d(Sk (n)) = 1 − + Cx + O x 2 +ÇŤ , 2 k + pk−1 Ď€ p n≤x p

X

Ù¼C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê.

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

114

3½n4.18.1 ÂĽ k = 2 †k = 4, Âż5Âż Îś(2) =

Ď€2 , 6

Îś(4) =

l ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.18.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k

Ď€4 , 90

Y

1 1 + C1 x + O x 2 +ÇŤ , d(S2 (n)) = x ln x 1− 2 p +p n≤x p 1 X Ď€ 2 x ln x Y 1 d(S4 (n)) = 1− 4 + C x + O x 2 +ÇŤ , 2 3 15 p + p n≤x p X

Ù¼C , C ´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. d k = 1 ž, ´y 1

2

X

d(S1 (n)) =

n≤x

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n.

X n≤x

1 d(n) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x 2 ,

f (s) =

dEuler Ăˆúªk f (s) =

Y p

= = = = = =

∞ X d(Sk (n)) n=1

ns

.

d(Sk (p)) d(Sk (p2 )) 1+ + + ¡¡¡ ps p2s

d(p) d(p) d(p2 ) d(p2 ) 1 + s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p p p Y 2 2 3 1 + s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p p ! Y 1 − p1ks 2 3 1+ Ă— + + ¡¡¡ ps p(k+1)s 1 − p1s p Y 1 1 1 Îś(s) 1 + s Ă— 1 + ks + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p p Y 1 1 Îś(s)Îś(ks) 1 − ks + s p p p Îś(s) Y 1 1 − ks , Îś(s)Îś(ks) Îś(2s) p p + p(k−1)s

Y

§4.19

'uSmarandache ceil Ÿê(II)

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k |d(Sk (n))| ≤ n,

∞

X

d(S (n)) 1

k ,

≤

Ďƒ

Ďƒâˆ’1

n n=1

Ă™ÂĽĎƒ > 1 ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ s 1 d(Sk (n)) = 2Ď€i n≤x X

Ù¼

Z

R(s) = ÇŤ

3 2 +iT 3 2 −iT

Y p

´?¿ ¢ê. 5¿ Ÿê

115

0

= 0, b =

3 , T = x, 2

Œ

Îś 2 (s)Îś(ks) xs 1 R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), Îś(2s) s 1 1 − ks p + p(k−1)s

,

Îś 2 (s)Îś(ks) xs R(s) Îś(2s) s

3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘

′ 2 xs 2 Îś (s)Îś(ks) lim (s − 1) R(s) s→1 Îś(2s) s ′ s 2 x 2 Îś (s)Îś(ks) R(s) = lim (s − 1) s→1 Îś(2s) s 2 s Îś (s)Îś(ks) sx ln x − xs 2 +(s − 1) R(s) Îś(2s) s2 6Îś(k)x ln x Y 1 = 1− k + Cx, 2 Ď€ p + pk−1 p

Ù¼C Ç‘ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. l k

1 6Îś(k)x ln x Y 1 d(Sk (n)) = 1 − + Cx + O x 2 +ÇŤ . 2 k + pk−1 Ď€ p p n≤x

X

ÚÒy² ½n4.18.1.

§4.19

'uSmarandache ceil Ÿê(II)

k, n Ç‘ ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă‚Ç‘: k

Sk (n) = min x ∈ N : n|xk

(∀n ∈ N∗ ).

!?Â˜ĂšĂŻĂ„Ďƒ (S (n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. Îą

k

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

116

½n4.19.1. Îą > 0, Ďƒ (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 2 † ĂŞk ≼ 2, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

6xÎą+1 Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) − Îą) R(Îą + 1) (Îą + 1)Ď€ 2

ĎƒÎą (Sk (n)) =

n≤x

+O(xÎą+1/2+ÇŤ ),

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê¹9 R(Îą + 1) =

Y p

y3y²½n. ½Ă‚

1 1 − k(Îą+1)âˆ’Îą p − p(k−1)(Îą+1)

f (s) =

n=1

dEuler Ăˆúªk f (s) =

Y

1+

p

=

= = = =

∞ X ĎƒÎą (Sk (n))

ns

.

.

ĎƒÎą (Sk (p)) ĎƒÎą (Sk (p2 )) ĎƒÎą (Sk (pk )) + + ¡¡¡ + + ¡¡¡ s 2s p p pks

ĎƒÎą (p) ĎƒÎą (p2 ) ĎƒÎą (p) + ¡ ¡ ¡ + + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ ps pks p p ĎƒÎą (p2 ) ĎƒÎą (p3 ) + 2ks + (2k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p ! 1 Y 1 − pks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą 1+ + + ¡¡¡ ps p(k+1)s 1 − p1s p Y 1 1 1 1 Îś(s) 1 + sâˆ’Îą 1 + ksâˆ’Îą + 2(ksâˆ’Îą) + 3(ksâˆ’Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p p Y 1 1 Îś(s)Îś(ks − Îą) 1 − ksâˆ’Îą + sâˆ’Îą p p p 1 Îś(s)Îś(s − Îą)Îś(ks − Îą) Y 1 − ksâˆ’Îą , Îś(2(s − Îą)) p − p(k−1)s p Y

1+

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ˜ ÂŞ |ĎƒÎą (Sk (n))| ≤ n,

∞

X Ďƒ (S (n))

1

Îą k

< Ďƒ

Ďƒâˆ’1− n n=1

Îą+1 k

,

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(I)

§4.20

Ă™ÂĽĎƒ > 1 + Îą +k 1 ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ s 1 x , H(x) = x, B(Ďƒ) = ,k Ďƒâˆ’1âˆ’Îą

0

= 0, b = Îą +

117

3 ,T = 2

Îą+ 12

X

ĎƒÎą (Sk (n)) =

n≤x

1 2Ď€i

Ù¼ R(s) =

Y p

5¿ Ÿê

Îą+ 32 +iT

Îś(s)Îś(s − Îą)Îś(ks − Îą) xs R(s) ds Îś(2(s − Îą)) s Îą+ 32 −iT +O xÎą+1/2+ÇŤ ,

Z

1 1 − ksâˆ’Îą p − p(k−1)s

.

Îś(s)Îś(s − Îą)Îś(ks − Îą) xs R(s) Îś(2(s − Îą)) s

3s = Îą + 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) − Îą) R(Îą + 1)xÎą+1 . (Îą + 1)Îś(2)

Ă?dk X

ĎƒÎą (Sk (n)) =

n≤x

6xÎą+1 Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) − Îą) R(Îą + 1) + O(xÎą+1/2+ÇŤ ). (Îą + 1)Ď€ 2

ÚÒy² ½n4.19.1.

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(I)

§4.20

k, n Ç‘ ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă‚Ç‘ k

Sk (n) = min x ∈ N : n | xk .

y3½Ă‚S (n) ÊóŸêXe: k

SÂŻk (n) = max x ∈ N : xk | n .

ÂŒySÂŻ (n) Ç‘´ÂŒ Ÿê. !ĂŻĂ„d(SÂŻ (n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.20.1. k ≼ 2 Ç‘ ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª k

k

X

n≤x

1 d(SÂŻ1 (n)) = x ln x + (2Îł − 1)x + O x 3

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

118

† X

d(SÂŻk (n)) = Îś(k)x + Îś

n≤x

1 1 1 x k + O x k+1 , k

Ù¼γ ´Euler ~ĂŞ, Îś(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê. d½nÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜4.20.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k Ď€2 x+Îś d(SÂŻ2 (n)) = 6 n≤x X

1 1 1 x 2 + O(x 3 ). 2

π4 d(S¯4 (n)) = x+Μ 90 n≤x

1 1 1 x 4 + O(x 5 ). 4

Ă­Ă˜4.20.2. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

Ç‘ y²½n, Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn4.20.1. x ≼ 1, s ≼ 0 Â…s 6= 1. Kk

X 1 x1−s = + Îś(s) + O(x−s ), s n 1 − s n≤x

Ù¼

1 −s Îś(s) = 1 + s−1

Z

∞ 1

t − [t] dt. ts+1

y². ĂŤ Šz[1]. ÂŻ y3y²½n. w,kS (n) = n, l ÂŒy½n 11 ÂŞ. e5b k ≼ 2, 1

k

X

d(SÂŻk (n)) =

1.

¯k (n) n≤x d|S

n≤x

dSÂŻ (n) ½Ă‚ÂŒ

X X

k

�d δ = x

d | S¯k (n) �⇒ dk | n, X

d(SÂŻk (n)) =

n≤x

1 k+1

,

n≤x dk |1

dĂžÂŒ

X n≤x

d(SÂŻk (n)) =

XX

X

dk l≤x

1

1=

X

dk l≤x

1.

§4.21

=

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

X

X

1+

1≤dk ≤δ k 1≤l≤x/δ k

=

X

X

1+

1≤d≤δ 1≤l≤x/δ k

X

X

1≤l≤δ 1≤dk ≤x/l

X

X

1≤l≤δ 1≤dk ≤x/l

1−

X

1≤dk ≤δ k

1 − [δ]2

119

1

X

1

1≤l≤δ

X hxi X x 1/k = + − (δ2 − 2δ{δ} + {δ}2 ). k d l 1≤d≤δ 1≤l≤δ

dĂšn4.20.1 k

X 1 X 1 + x1/k + O(δ) − δ2 + O(δ) k l/k d l n≤x 1≤d≤δ 1≤l≤δ 1−k 1− 1 1 1 δ δ k + Îś =x + Îś(k) + O(δ−k ) + x1/k + O δ− k 1−k k 1 − k1 X

d(SÂŻk (n)) = x

−δ2 + O(δ).

5¿ x = δ X

k+1

,

Kk

δ2 δ2 1 1 + Îś(k)x + + Îś x k − δ2 + O(δ) 1−k k 1 − k1 1 1 = Îś(k)x + Îś x k + O(δ) k 1 1 1 = Îś(k)x + Îś x k + O x k+1 . k

d(SÂŻk (n)) =

n≤x

ÚÒy² ½n4.20.1. §4.21

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

k, n Ç‘ ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă‚Ç‘ k

Sk (n) = min x ∈ N : n | xk .

y3½Ă‚S (n) ÊóŸêXe: k

SÂŻk (n) = max x ∈ N : xk | n .

ÂŒySÂŻ (n) Ç‘´ÂŒ Ÿê. !ĂŻĂ„Ďƒ (SÂŻ (n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. ½n4.21.1. Îą ≼ 0, Ďƒ (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 1 Âą9?Âż k

Îą

k

Îą

Îą

d|n

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

120

ĂŞk ≼ 2, kĂŹCúª  Îą+1 Îą+1   kÎś( k ) x Îą+1 k X + O x 2k +ÇŤ , Îą+1 ĎƒÎą (SÂŻk (n)) =   Îś(k − Îą)x + O x 12 +ÇŤ , n≤x

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă‚ f (s) =

n=1

dEuler Ăˆúªk f (s) =

Y p

=

Y p

∞ X ĎƒÎą (SÂŻk (n))

ns

XJ Îą > k − 1, XJ Îą ≤ k − 1,

.

ĎƒÎą (SÂŻk (pk )) ĎƒÎą (SÂŻk (p)) + ¡¡¡ + + ¡¡¡ 1+ ps pks 1+

ĎƒÎą (1) ĎƒÎą (1) + ¡ ¡ ¡ + (k−1)s ps p

ĎƒÎą (p) ĎƒÎą (p) ĎƒÎą (p2 ) + ks + ¡ ¡ ¡ + (2k−1)s + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p ! 1 1 Y 1 − pks 1 − pks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą = + + ¡¡¡ 1 + 1 ks ks p p 1 − 1 − s s p p p Y 1 1 1 = Îś(s) 1 + ksâˆ’Îą + 2(ksâˆ’Îą) + 3(ksâˆ’Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p

= Îś(s)Îś(ks − Îą),

Ù¼Μ ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ˜ ÂŞ

∞

X 1 ĎƒÎą (SÂŻk (n))

<

n=1

Ďƒâˆ’1− nĎƒ

ĎƒÎą (SÂŻk (n)) ≤ n,

Îą+1 k

,

Ă™ÂĽĎƒ > 1 + Îą +k 1 ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ s0 = 0, b =

Kk

Îą+1 Îą+1 1 1 + , T = x 2k , H(x) = x, B(Ďƒ) = k ln x Ďƒâˆ’1−

1 ĎƒÎą (SÂŻk (n)) = 2iĎ€ n≤x X

Z

b+iT b−iT

Îś(s)Îś(ks − Îą)

Îą+1 k

Îą+1 xs ds + O x 2k +ÇŤ . s

,

§4.21

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

Îą > k − 1 ž, Ÿê

Îś(s)Îś(ks − Îą)

3s = Îą +k 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘ l k

xs s

kÎś Îą+1 Îą+1 k x k . Îą+1 Îą+1 kÎś Îą+1 Îą+1 k ÂŻ x k + O x 2k +ÇŤ . ĎƒÎą (Sk (n)) = Îą+1 n≤x

X

e0 ≤ Îą ≤ k − 1, KŸê

Îś(s)Îś(ks − Îą)

xs s

3s = 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘Îś(k − Îą)x. aqÂŒ ĂŹCúª X n≤x

ÚÒy² ½n4.21.1.

1 ĎƒÎą (SÂŻk (n)) = Îś(k − Îą)x + O x 2 +ÇŤ .

121

122

1oĂ™ Ă˜êŸê†Smarandache Ÿê ¡ĂœĂžÂŠ

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ p

ĂŠ?ÂżÂƒĂŞp, e (n) LÂŤn ÂĽÂ?šÂƒĂŞp  ÂŒÂ?ĂŞ, = p

ep (n) = max {Îą : pÎą | n} .

ÙïĆŸêe (n) k' eZފ¯K, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. p

Ÿêe

§5.1

pq (n)

p, q ´ßÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ, e

ފ5Â&#x;

LÂŤn ÂĽÂ?špq  ÂŒÂ?ĂŞ, =

pq (n)

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} .

!ĂŻĂ„Ÿêe (n) ފŠĂ™, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. ½n5.1.1. p, q ´ßÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª pq

X

epq (n) =

n≤x

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă‚

1 x + O x 2 +ÇŤ , pq − 1

f (s) =

de

pq (n)

∞ X epq (n)

ns

n=1

½Ă‚Âą9Euler Ăˆúª, k f (s) =

∞ X ∞ X ∞ X

.

∞ X ∞ X ∞ X Îą Îą + Îą+t q Îą n )s Îą q Îą+t n )s (p (p 1 1 =1 Îą=0 t=1 n =1

Îą=0 t=1 n1 (n1 ,pq)=1

+

∞ X ∞ X

Îą=0 n1 =1 (n1 ,pq)=1

∞ X

1

(n1 ,pq)=1

Îą (pÎą q Îą n

∞ Îą X 1 = (pq)Îąs t=1 pts Îą=0

s 1)

∞ X

n1 =1 (n1 ,pq)=1

¡ 123 ¡

1 ns1

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

124

p

∞ X

∞ Îą X 1 + (pq)Îąs t=1 q ts Îą=0

+

=

∞ X

∞ X

Îą (pq)Îąs Îą=0

∞ X

n1 =1 (n1 ,pq)=1

n1 =1 (n1 ,pq)=1

1 ns1

1 ns1

Îś(s) , (pq)s − 1

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k epq (n) ≤ logpq n ≤ ln n,

Ă™ÂĽĎƒ ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼ s 1 , ÂŒ Ďƒâˆ’1 1 epq (n) = 2Ď€i n≤x

X

5¿ Ÿê

3 2 +iT

Z

3 2 −iT

3s = 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

0

∞

X e (n)

1

pq ,

≤

n=1 nĎƒ Ďƒ − 1

= 0, b =

3 , H(x) = ln x, B(Ďƒ) = 2

Îś(s) xs ds + O (pq)s − 1 s

3

x 2 +ÇŤ T

.

Îś(s) xs (pq)s − 1 s x . pq − 1

KkĂŹCúª ÚÒy² ½n5.1.1.

X

epq (n) =

n≤x

§5.2

1 x + O x 2 +ÇŤ . pq − 1

Ÿêe

pq (n)

p, q ´ßÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ, e

pq (n)

† k g˜

LÂŤn ÂĽÂ?špq  ÂŒÂ?ĂŞ, =

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} .

,˜Â?ÂĄ, ĂŞn ÂĄÇ‘ k g˜, XJdp k n ÂŒ k | Îą. A LÂŤ k g ˜ 8Ăœ. !ĂŻĂ„Ÿêe (n) 38ĂœA Ăž ފ, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. Îą

pq

§5.2

Ÿêe

pq (n)

† k g˜

125

½n5.2.1. p, q ´ßÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª n≤x n∈A

Ù¼

1 epq (n) = Cp,q kx + O x 2k +ÇŤ , 1 k

X

Cp,q =

∞

(p − 1)(q − 1) X n pq (pq)n n=1

´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă‚Ÿêa(n) Xe: 1, XJ n ´ k g˜; a(n) = 0, Ă™§. Ă„kĂš\eÂĄ Ăšn. Ăšn5.2.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k y². ½Ă‚

1

X

a(n) = x k

n≤x (n,pq)=1

∞ X

f (s) =

n=1 (n,pq)=1

dEuler Ăˆúªk f (s) =

1 (p − 1)(q − 1) + O x 2k +ÇŤ . pq

Y

1+

P (P,pq)=1

a(n) , ns

Re s > 1.

a(P k ) a(P 2k ) + + ¡¡¡ P ks P 2ks

1 1 1 1 = 1 + ks + 2ks + ¡ ¡ ¡ Ă— 1 − ks Ă— 1 − ks P P p q P 1 1 = Îś(ks) 1 − ks 1 − ks , p q Y Riemann zeta , . Y

Ù¼Μ(s) ´ Ÿê LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ 3Perron úª¼ s = 0, b = k1 + log1 x , T = x , H(x) = x Âą9B(Ďƒ) = 1 , ÂŒ Ďƒâˆ’ P

1 2k

0

1 k

X

n≤x (n,pq)=1

1 a(n) = 2Ď€i

Z

b+iT b−iT

1 (pks − 1)(q ks − 1) xs Îś(ks) ds + O x 2k +ÇŤ . (pq)ks s

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

126

p

Ç‘ OĂŒÂ‘, rĂˆŠÂ‚lb = k1 + log1 x ÂŁ a = 2k1 + log1 x . l k 1 2Ď€i

b+iT

Z

Z

+ b−iT b+iT xs 1 . = Res f (s) , s k

5Âż

+

a+iT

Z

a−iT

+

a+iT

Z

b−iT

f (s)

a−iT

xs ds s

lim Îś(s)(s − 1) = 1,

s→1

Œ

xs 1 1 1 1 = xk 1 − 1− . Res f (s) , s k p q

2d OÂŞ

Z

1

2Ď€i

´y

a+iT

+ b+iT

X

Z

a−iT

+

a+iT

1

ÚÒy² Ăšn5.2.1. y3y²½n. de

pq (n)

X

epq (n) =

n≤x n∈A

=

X

log x ι≤ pq k

X

½Ă‚Âą9Ăšn5.2.1 k Îą

X

x n≤ (pq) ι

k|Îą

(n,pq)=1

kÎą

xs

1 f (s) ds ≪ x 2k +Ǎ , s

1 (p − 1)(q − 1) + O x 2k +ÇŤ . pq

ι≤logpq x

b−iT

a−iT

a(n) = x k

n≤x (n,pq)=1

Z

x (pq)kÎą

k1

a(n)

(p − 1)(q − 1) +O pq

 ∞ X n 1 (p − 1)(q − 1)  = kx k −  pq (pq)n n=1

X

Îą>

logpq x k

x (pq)kÎą

2k1 +ÇŤ !!



1 ι  + O x 2k +Ǎ  (pq)ι

h i  logpq x ∞ ∞ Îą+ X X k n 1 1 (p − 1)(q − 1)   h log x i = kx k − pq n Îą pq (pq) (pq) k n=1 Îą=1 (pq) 1 +O x 2k +ÇŤ 1 1 1 (p − 1)(q − 1) = kx k ap,q + O x− k log x + O x 2k +ÇŤ pq 1 (p − 1)(q − 1) 1 = ap,q kx k + O x 2k +ÇŤ , pq

Ÿêe (n) †n k gÂ?{ĂœŠ

§5.3

127

p

Ù¼ ap,q =

∞ X n=1

´ÂŒOÂŽ ~ĂŞ. ÚÒy² ½n5.2.1.

n (pq)n

Ÿêe (n) †n k gÂ?{ĂœŠ

§5.3

p

ĂŠ?Âż ĂŞn, n = u v, Ù¼v ´ k gĂ?fĂŞ. Ÿêb (n) = v, =b (n) LÂŤn k gÂ?{ĂœŠ. !ĂŻĂ„e (b (n)) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹC úª. ½n5.3.1. p Ç‘ÂƒĂŞ, k Ç‘ ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª k

k

k

p

X

ep (bk (n)) =

n≤x

k

pk − p k−1 − k k (p − 1)(p − 1) p − 1

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. 3½nÂĽ k = 2, ÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜. Ă­Ă˜5.3.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

ep (b2 (n)) =

n≤x

y3y²½n. ½Ă‚

f (s) =

1 x + O x 2 +ÇŤ ,

1 1 x + O x 2 +ÇŤ . p+1

∞ X ep (bk (n))

ns

n=1

.

ĂŞn = p n , Ù¼(n , p) = 1. Kde (n) †b (n) ½Ă‚, k Îą

1

1

p

k

ep (bk (n)) = ep (bk (pÎą n1 )) = ep (bk (pÎą )).

2dEuler ĂˆúªÂŒ f (s) =

∞ X ep (bk (n))

ns

n=1

1 = Îś(s) 1 − s p

∞ ∞ X X ep (bk (pÎą )) = pÎąs ns1 Îą=0 n =1 1

(n1 ,p)=1

X ∞

ep (bk (pÎą )) . pÎąs Îą=1

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

128

p

´y A =

∞ X ep (bk (pÎą )) Îą=1

=

=

1 2 k−1 1 2 k−1 + + ¡ ¡ ¡ + (k−1)s + (k+1)s + (k+2)s + ¡ ¡ ¡ + (2k−1)s ps p2s p p p p 1 2 k−1 + ¡ ¡ ¡ + (uk+1)s + (uk+2)s + ¡ ¡ ¡ + (uk+k−1)s + ¡ ¡ ¡ p p p ∞ k−1 X 1 X r u=0

=

l k

pÎąs

puks

r=1

prs

1 1 1 ¡ 1 − pks 1 − p1s

1−

1

p(k−1)s

ps − 1

k−1 − ks p

!

.

∞ X ep (bk (n))

f (s) =

n=1

=

ns

pks − ps k−1 − (pks − 1)(ps − 1) pks − 1

duÎś(s) 3s = 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘1, KŸê f (s)

3s = 1 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

3Perron úª¼ s

Îś(s).

xs s

k−1 pk − p − k k (p − 1)(p − 1) p − 1

x.

Œ

3 = 0, b = , T > 1, 2 3 Z 32 +iT X 1 xs x2 ep (bk (n)) = f (s) ds + O . 2Ď€i 32 −iT s T n≤x 0

rĂˆŠÂ‚ÂŁ Re s = 12 + ÇŤ, Âż T = x, k X n≤x

ep (bk (n)) =

pk − p k−1 − x (pk − 1)(p − 1) pk − 1 Z 12 +ÇŤ+iT 1 1 xs f (s) ds + O x 2 +ÇŤ + 2Ď€i 12 +ÇŤâˆ’iT s

§5.4

¼êe (n) Euler ¼ê ·Üþ p

129

pk − p k−1 = − x (pk − 1)(p − 1) pk − 1 Z T 1 +ǫ 1

x2 1

+O f + ǫ + it dt + O x 2 +ǫ

1 + |t| 2 −T 1 pk − p k−1 − x + O x 2 +ǫ . = (pk − 1)(p − 1) pk − 1

ùÒy² ½n5.3.1.

¼êe (n) Euler ¼ê ·Üþ

§5.4

p

!ïÄe (n) Euler ¼êφ(n) ·Üþ , ¿ Ñ ìCúª. ½n5.4.1. p Ǒ ê, φ(n) ǑEuler ¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCú p

ª

X

ep (n)φ(n) =

n≤x

3 3p 2 x + O x 2 +ǫ . (p2 − 1)π 2

Ǒ y²½n, ÄkÚ\e¡ ü Ún. Ún5.4.1. p Ǒ ½ ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

n≤x (n,p)=1

y². ½Â dEuler Èúªk

φ(n) =

3 3p 2 x + O x 2 +ǫ . (p + 1)π 2

∞ X φ(n) f (s) = , ns n=1

Re s > 1.

(n,p)=1

∞ YX φ(q m ) q ms q6=p m=0 Y q − 1 q2 − q q3 − q2 = 1 + s + 2s + + ··· q q q 3s q6=p ! Y 1 − 1q 1 1 = 1 + s−1 1 + s−1 + 2(s−1) + · · · q q q q6=p ! Y 1 − 1q q s−1 = 1 + s−1 s−1 q q −1 q6=p

f (s) =

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

130

p

Îś(s − 1) ps − p , Îś(s) ps − 1

=

Ù¼Μ(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê. 3Perron úª¼ s ÂŒ Z X φ(n) 1 = s n 2Ď€i n≤x

5 2 +iT

5 2 −iT

(n,p)=1

5¿ Ÿê

0

= 0, T = x

Îś(s − 1) ps − p xs ds + O Îś(s) ps − 1 s

5

x2 T

Âą9b = 52 ,

.

Îś(s − 1) ps − p xs Îś(s) ps − 1 s

3s = 2 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

3px2 . (p + 1)Ď€ 2

Kk

X

φ(n) =

n≤x (n,p)=1

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď€ 2

Ăšn5.4.1 y.. Ăšn5.4.2. p Ç‘ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

x ι≤ log log p

X

x ι≤ log log p

y². Ă˜J X

x ι≤ log log p

Îą pÎą

Îą p −1 = + O x log x ; pÎą (p − 1)2

1 1 Îą p2 −2 + O x log x . Îą = 1 p2 (p 2 − 1)2

∞ X X Îą t = − pt pÎą log x t=1 Îą> log p

h i log x ∞ ∞ +t X X log p t 1 = − log x pt p[ log p ] t=1 pt t=1 i  h  log x ∞ ∞ X X log p t t  = + O x−1  + t p p−1 pt t=1 t=1

=

p + O x−1 log x , 2 (p − 1)

†e

§5.5

Âą9 X

x ι≤ log log p

Îą Îą p2

pq (n)

k' ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ

131

∞ X X Îą t = Îą t − p2 p2 log x t=1 Îą> log p

h i log x ∞ ∞ +t X X log p t 1 = t − t 1 log x p2 p2 p 2 [ log p ] t=1 t=1 i  h  log x ∞ ∞ X X t t  x− 12  1log p + = t + O t p2 p 2 − 1 t=1 p 2 t=1 1 1 p2 −2 + O x log x . 1 (p 2 − 1)2

=

Ăšn5.4.2 y.. y3y²½n. dĂšn5.4.1 †Ún5.4.2 ÂŒ X

ep (n)φ(n) =

X X

pι ≤x

n≤x

ιφ(pι u) =

pι u≤x

X

ιφ(pι )

2

(u,p)=1

3p x x +O 2 Îą (p + 1)Ď€ p pÎą ι≤ log p   X Îą 3(p − 1) 2 X Îą 3  = x + O x 2 +ÇŤ Îą Îą (p + 1)Ď€ 2 p p2 log x log x ι≤ log p ι≤ log p 3(p − 1) 2 p −1 = x + O x log x (p + 1)Ď€ 2 (p − 1)2 1 1 p2 3 +ÇŤ −2 2 +O x + O x log x 1 (p 2 − 1)2 3 3p 2 = 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p − 1)Ď€ 2 =

p−1 X ÎąpÎą p log x

φ(u)

u≤ pxι

pι ≤x

(u,p)=1

X

32 +ÇŤ !!

ÚÒy² ½n5.4.1. §5.5

†e

pq (n)

p, q ´ßÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ, e

k' ĂŞĂ˜Ÿê9Ùފ

pq (n)

y3½Ă‚#Ÿê

LÂŤn ÂĽÂ?špq  ÂŒÂ?ĂŞ, =

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} . bpq (n) =

X t|n

epq

n t

epq (t).

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

132

p

!|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„b (n) ފ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. ½n5.5.1. p, q Ç‘ĂźÂ‡Ă˜Ă“ ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª pq

X

bpq (n) =

n≤x

x ln x 1 − 2Îł − pq + 2pqÎł − 2pq ln(pq) + x 2 (pq − 1) (pq − 1)3 1 +O x 2 +ÇŤ ,

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ½Ă‚ f (s) =

∞ X epq (n) n=1

w,k

ns

,

g(s) =

∞ X bpq (n) n=1

ns

.

g(s) = f 2 (s).

Ă˜Jy² f (s) =

d w,k

Âą9

Îś(s) (pq)s − 1

g(s) =

Îś 2 (s) . ((pq)s − 1)2

∞

X b (n)

1

pq ,

≤

n=1 nĎƒ Ďƒ − 2

bpq (n) ≤ logpq n ≤ n ln n,

Ă™ÂĽĎƒ (≼ 2) ´s ¢Ăœ. 3Perron úª¼

5 1 s0 = 0, b = , H(x) = x ln x, B(Ďƒ) = , 2 Ďƒâˆ’2

k

1 bpq (n) = 2πi n≤x

Ù¼

X

Z

5/2+iT

xs Îś (s)R(s) ds + O s 2

5/2−iT

R(s) =

5Âż Ÿê 3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘

x3/2+ÇŤ T

1 . − 1)2

((pq)s

Îś 2 (s)R(s)

xs s

x ln x 1 − 2Îł − pq + 2pqÎł − 2pq ln(pq) + x, 2 (pq − 1) (pq − 1)3

,

§5.6

Ÿêp

eq (n)

ފ

133

Ù¼γ ´Euler Ÿê. l ÂŒ X

bpq (n) =

n≤x

x ln x 1 − 2Îł − pq + 2pqÎł − 2pq ln(pq) + x 2 (pq − 1) (pq − 1)3 1

+O(x 2 +ÇŤ ).

ÚÒy² ½n5.5.1.

Ÿêp ފ eq (n)

§5.6

p, q ´ßÂ‡ÂƒĂŞ, !ïÄފX p , ÂżÂ‰Ă‘Â˜Â‡ĂŹCúª. ½n5.6.1. p, q Ç‘ÂƒĂŞ, ávq ≼ p. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª eq (n)

n≤x

X

peq (n)

n≤x

 q−1 1  x + O(x 2 +ÇŤ ),  q−p = p−1 p−1 p+1 1   x ln x + (Îł − 1) + x + O(x 2 +ÇŤ ), p ln p p ln p 2p

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ½Ă‚ X f (s) =

∞

n=1

peq (n) . ns

ĂŠ?Âż ĂŞn, w,e (n) ´ÂŒ\Ÿê, l p Âą9Euler Ăˆúªk q

f (s) =

∞ X peq (n) n=1

ns

=

Y p1

eq (n)

m ∞ X peq (p1 ) pms 1 m=0

XJq > p; XJq = p,

´ÂŒ Ÿê. de (n) ½Ă‚ q

!

! 2 peq (p1 ) = 1+ + 2s + ¡ ¡ ¡ ps1 p1 p1 Y p p2 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ q q p1 p1 p 6=q Y

p

eq (p1 )

1

qs − 1 = Îś(s) s . q −p

3Perron úª¼ s

Œ

= 0, b = 2, T = x3/2 , Z 2+iT X 1 xs 1 eq (n) p = Îś(s)R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), 2Ď€i 2−iT s n≤x 0

1ÊÙ ¼êe (n) þ

134

p

Ù¥

qs − 1 , qs − p

R(s) =

d ǫ ´?¿ ¢ê. e5 OÌ

1 2πi

2+iT

Z

ζ(s)R(s)

2−iT

rÈ© l2 ± iT £ 1/2 ± iT . XJq > p, K¼ê

ζ(s)R(s)

3s = 1 k {ü4:, l k 1 2πi

Z

2+iT

+ 2−iT

Z

1/2+iT

+

2+iT

xs ds. s

xs s

1/2−iT

Z

+

1/2+iT

Z

2−iT

1/2−iT

!

ζ(s)R(s)

xs ds s

= R(1)x.

T = x , 3/2

1

2πi Z ≪

2

Z

±9

x T

+ 2+iT

Z

2−iT 1/2−iT

!

1

= x 2 +ǫ ,

Z T

1 Z 1/2−iT xs

ζ(s)R(s) ds ≪

2πi 1/2+iT s

1 1

5¿

xs

ζ(s)R(s) ds

s

2

ζ(σ + iT )R(s) x dσ

T

1/2 2+ǫ

≪

1/2+iT

1/2

ζ(1/2 + it)R(s) x dt

t

≪ x 2 +ǫ .

R(1) =

á= ìCúª X

n≤x

peq (n) =

XJq = p, K¼ê

q−1 , q−p

1 q−1 x + O x 2 +ǫ , q−p ζ(s)R(s)

xs s

q > p.

§5.7

Ÿêe (n) †åÂ?Ă–êŸê ¡ĂœĂžÂŠ

135

q

3s = 1 k˜‡ 4:

LÙ3ê Kk

xs . Res Îś(s)R(s) , s s s ′ xs p −1 2x Res Îś(s)R(s) = lim Îś(s)(s − 1) s→1 s ps − p s s s ′ p −1 x = lim Îś(s)(s − 1) (s − 1) s→1 ps − p s s p −1 xs ′ (s − 1) (Îś(s)(s − 1)) . + ps − p s

5Âż

′ ps − 1 p+1 (s − 1) = , lim s→1 ps − p 2p lim Îś(s)(s − 1) = 1,

s→1

Âą9

lim(Îś(s)(s − 1))′ = Îł,

s→1

l ÂŒ Ă?dk X n≤x

p

xs Res Îś(s)R(s) s

eq (n)

p−1 = x ln x + p ln p

ÚÒy² ½n5.6.1. §5.7

p−1 = x ln x + p ln p

p−1 p+1 (Îł − 1) + p ln p 2p

p−1 p+1 (Îł − 1) + p ln p 2p

1

x + O(x 2 +ÇŤ ),

Ÿêe (n) †åÂ?Ă–êŸê ¡ĂœĂžÂŠ

x.

q = p.

q

ĂŠ?Âż ĂŞn, n ĂĄÂ?Ă–ĂŞb(n)X´Â? nb(n) Ç‘ ĂĄÂ?ĂŞ  ê. p, q Ç‘ĂźÂ‡ÂƒĂŞ. !ïÄފ p , ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª. eq (b(n))

n≤x

½n5.7.1. p, q Ç‘ĂźÂ‡ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X n≤x

peq (b(n)) =

Ù¼Ǎ ´?Âż ¢ê. d½nÂŒ eÂĄ Ă­Ă˜.

q 2 + p2 q + p 1 x + O(x 2 +ÇŤ ), 2 q +q+1

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

136

p

Ă­Ă˜5.7.1. q Ç‘ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

1

q eq (b(n)) = qx + O(x 2 +ÇŤ ).

n≤x

y3y²½n. ĂŞn = u v w, Ù¼v, w ´ ²Â?Ă?fĂŞ, Â…(v, w) = 1. Kdb(n) ½Ă‚ÂŒ b(n) = vw . ´yĂŠ?ÂżÂƒĂŞp Âą9šK ĂŞm, k   1, XJ m = 3t, p , XJ m = 3t + 1, b(p ) =  p, XJ m = 3t + 2. ½Ă‚ X 3 2

2

m

2

f (s) =

∞

n=1

peq (b(n)) . ns

due (n) ´ÂŒ\Ÿê, b(n) ´ÂŒ Ÿê. Ă?dp Ă‚Âą9Euler ĂˆúªÂŒ q

∞ X peq (b(n))

f (s) =

n=1

=

= =

Ù¼

=

p1

´ÂŒ Ÿê. de (n) ½

m ∞ X peq (b(p1 )) pms 1 m=0

q

!

! 2 ∞ ∞ X X p peq (p1 ) peq (p1 ) + + (3t+1)s (3t+2)s p3ts 1 p1 t=0 t=0 p1 t=0 p1 ! ∞ ∞ ∞ X X X 1 p2 p + + q 3ts q (3t+1)s q (3t+2)s t=0 t=0 t=0 Y 1 1 Ă— 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p1 p1 p1 6=q 1 q 3s + p2 q 2s + pq s Y 1 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ q 3s − 1 p1 p1 p1 6=q 2s q + p2 q s + p Îś(s) . q 2s + q s + 1 Y

=

3Perron úª¼ s

ns

Y

eq (b(n))

∞ X

eq (1)

k

= 0, b = 2, T = x3/2 , Z 2+iT X 1 xs 1 eq (b(n)) p = Îś(s)R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), 2Ď€i 2−iT s n≤x 0

R(s) =

¹9Ǎ ´?¿ ¢ê.

q 2s + p2 q s + p , q 2s + q s + 1

§5.8

'ue (n) ·Üþ

137

p

5¿ ¼ê ζ(s)R(s)

xs s

3s = 1 k {ü4:, 3êǑR(1)x. Kk X

peq (b(n)) =

n≤x

q 2 + p2 q + p 1 x + O(x 2 +ǫ ). 2 q +q+1

ùÒy² ½n5.7.1.

'ue (n) ·Üþ

§5.8

p

n Ǒ ê, P (n) L«n ¤k Ïê È, = d

Pd (n) =

Y

d.

d|n

~XP (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 8, · · · . !ïÄe (P (n)) þ 5 , ¿ Ñ ìCúª. ½n5.8.1. p Ǒ ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª d

d

X

d

ep (Pd (n)) =

n≤x

+

d

p

d

x ln x p(p − 1)

(p − 1)3 (2γ − 1) − (2p4 + 4p3 + p2 − 2p + 1) ln p x p(p − 1)4 1

+O(x 2 +ǫ ),

Ù¥γ ´Euler ~ê, ǫ ´?¿ ¢ê. 3½n¥©O p = 2, 3, e¡ íØ. íØ5.8.1. é?¿¢êx ≥ 1, k X

e2 (Pd (n)) =

1 2γ − 65 ln 2 − 1 1 x ln x + x + O(x 2 +ǫ ); 2 2

X

e2 (Pd (n)) =

1 8γ − 137 ln 3 − 4 1 x ln x + x + O(x 2 +ǫ ). 6 24

n≤x

n≤x

Ǒ y²½n. ÄkÚ\e¡ A Ún. Ún5.8.1. é?¿ ên, k Pd (n) = n

Ù¥d(n) ´Øê¼ê.

d(n) 2

,

1ĂŠĂ™ Ÿêe (n) ފ

138

p

y². Ú´Šz[21] ÂĽ Ăšn1. Ăšn5.8.2. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k X

n≤x (n,m)=1



 2 X ln p Y 1   d(n) = x ln x + 2Îł − 1 + 2 1− p−1 p p|m

p|m

1

+O(x 2 +ÇŤ ),

Ù¼Y LÊ¤kÂƒĂŞ Ăˆ, Îł ´Euler Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. p

y².

1/2

T =x

,

A(s) =

p

dPerron úªÂŒ X

n≤x (n,m)=1

Y

1 d(n) = 2iπ

Z

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. 5Âż Ÿê 3s = 1 k˜‡ 4:, 3ĂŞÇ‘

1 1− s p

3/2+iT

Îś 2 (s)A(s) 3/2−iT

Îś 2 (s)A(s)



2

.

xs 1 ds + O(x 2 +ÇŤ ), s

xs s

 2 X ln p Y 1   x ln x + 2Îł − 1 + 2 . 1− p−1 p

l k X

n≤x (n,m)=1

p|m



p|m

 2 X ln p Y 1  d(n) = x ln x + 2Îł − 1 + 2 1− p−1 p p|m

p|m

1

+O(x 2 +ÇŤ ),

Ăšn5.8.2 y.. Ăšn5.8.3. p Ç‘ÂƒĂŞ. KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª X Îą p x = +O , Îą 2 p (p − 1) px ι≤x

'ue (n) ·Üþ

§5.8

139

p

X α2

p2 + p = +O pα (p − 1)3 α≤x

x2 px

,

p3 + 4p2 + p = +O pα (p − 1)4 α≤x

x3 px

X α3

y². 1 ª´w, , Ïd y üª. f=

X

.

α2 /pα .

α≤n

5¿ f

1 1− p

=

n X α2 α=1

=

n X α2 − pα α=1 pα+1 n−1

X (α + 1)2 − α2 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1 n−1

=

±9 f =

1 1− p

2

n−1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

!

n−1

=

1 1− p

n

1 1 n2 − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − α+1 p p pn+2 p pα+1 α=1 α=2 n−1

= =

l k f

=

=

Ïd

1 2 n2 − n2 p X 2 n2 − n2 p − (2n − 1)p + 2+ + + p p pn+2 pα+1 pn+2 α=2 1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1

1−

p 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + + . (p − 1)2 pn−2 (p − 1)3 pn (p − 1)2 X α2

α≤x

pα

=

p 2p + +O 2 (p − 1) (p − 1)3

x2 px

1 p

2

1ÊÙ ¼êe (n) þ

140

p

=

, ¡, ½Â

p2 + p +O (p − 1)3 g=

X

x2 px

.

α3 /pα .

α≤n

5¿

1 g 1− p n n 3 X X α α3 − = pα α=1 pα+1 α=1 n−1

=

X (α + 1)3 − α3 1 n3 − n+1 + p p pα+1 α=1 n

= =

=

l k

X 3α2 − 3α + 1 1 n3 − n+1 + p p pα+1 α=2 1 pn−1 − 1 2 n pn−2 − 1 n3 3 − − + − n+1 + n+1 p p p − pn p2 pn+1 pn+1 − pn 1 − 1p ! 3 4 n2 5 2n − 1 2(pn−3 − 1) 1 + − + − n+1 + n+1 p2 pn+1 p3 p p − pn 1 − p1 1 − p2 + 4p + 10 3n − 3n2 + pn−1 − 1 + (3 − 6n)p + p(p − 1)2 pn (p − 1) 3 n−3 − 1) − 3(pn−2 − 1)(p − 1) n 6p(p − n+1 + . p pn−1 (p − 1)3

X α3

α≤x

1 p

=

pα

=

p2 + 4p + 10 1 9 − 3p + + 2 p(p − 1) p(p − 1) p(p − 1)3 3 x p3 + 4p2 + p + O 4 (p − 1) px

p +O p−1

Ún5.8.3 y.. y3y²½n. dP (n) e (n) ½Â, ±9 ¡ 3 Ún d

X

p

ep (Pd (n))

n≤x

=

X (α + 1)α X (α + 1)α X d(l) = d(l) 2 2 α pα l≤x pα ≤x

(p,l)=1

l≤x/p (p,l)=1

x3 px

§5.8

=

X

ι≤ln x/ ln p

(Îą + 1)Îą 2

'ue (n) ¡ĂœĂžÂŠ

141

p

x pÎą

x 2 ln p ln Îą + 2Îł − 1 + p p−1

1 1− p

2 !

1

+O(x 2 +ÇŤ ) 2 2 ln p x 1 1− ln x + 2Îł − 1 + = 2 p p−1

ι≤ln x/ ln p

(Îą + 1)Îą pÎą

(Îą + 1)Îą 1 + O(x 2 +ÇŤ ) pÎą ι≤ln x/ ln p 2 2 ln p x 1 = ln x + 2Îł − 1 + 1− 2 p p−1 2 2 p ln x p +p Ă— + +O 3 2 (p − 1) (p − 1) x 3 3 2 2 p +p ln x x ln p p + 4p + p 1 − + +O + O(x 2 +ÇŤ ) 4 3 2 (p − 1) (p − 1) x x ln x (p − 1)3 (2Îł − 1) − (2p4 + 4p3 + p2 − 2p + 1) ln p = + x p(p − 1) p(p − 1)4 −

x ln p 2

2

X

1

X

+O(x 2 +ÇŤ ).

ÚÒy² ½n5.8.1.

142

1ÊÙ ¼êe (n) þ p

ë ©z

143

ë ©z [1] T. M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976. [2] J. Du. A number theoretic function and its mean value. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 115-117. [3] X. Du. On the integer part of the M -th root and the largest m-th power not exceeding N . Scientia Magna, 2006, 2(4): 91-94. [4] J. Gao. On the 49-th Smarandache’s problem. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 203-204. [5] J. Gao. On the additive analogues of the simple function. Scientia Magna, 2006, 2(3): 88-91. [6] N. Gao. A number theoretic function and its mean value. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 49-52. [7] N. Gao. A hybrid number theoretic function and its mean value. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 107-109. [8] N. Gao. On the 83-th problem of F. Smarandache. Scientia Magna, 2005, 1(1): 83-87. [9] N. Gao. On the second class pseudo-multiples of 5 sequences. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 83-86. [10] L. Gegenbauer. Asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. Denkschriften Akad. Wiss. Wien, 1885, 49: 37-80. [11] J. Guo and Y. He. Several asymptotic formulae on a new arithmetical function. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 115-118. [12] X. He and J. Guo. On the 80-th problem of F. Smarandache. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 74-79. [13] X. He and J. Guo. Some asymptotic properties involving the Smarandache ceil function. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 133-137. [14] Heath-Brown. Hybrid bounds for Dirichlet L-functions. II. The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 1980, 31: 157-167. [15] W. Huang. An arithmetical function and the k-th power complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 123-126. [16] Y. Ji. On the triangle number part residue of a positive integer. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 127-129. [17] C. Li and C. Yang. On the additive hexagon numbers complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 71-74.

144 [18] H. Liu.

ĂŤ Šz 'uF. Smarandache {ߟê ފ. Ý£Â“Â‰Ă† Æ ,

2011, 27(3): 24-25.

[19] H. Liu and J. Gao. Mean value on the pseudo-Smarandache squarefree function. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 9-11. [20] H. Liu and Y. Lou. A note on the 29-th Smarandache’s problem. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 156-158. [21] H. Liu and W. Zhang. On the divisor products and proper divisor products sequences. Smarandache Notions Journal, 2002, 13: 128-133. [22] H. Liu and W. Zhang. On the squarefree and squarefull integers. Journal of Mathematics of Kyoto University, 2005, 45: 247-255. [23] Y. Liu. On the Smarandache pseudo number sequence. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2006, 21(4): 581-584. [24] Y. Liu and P. Gao. Mean value of a new arithmetic function. Scientia Magna, 2005, 1(1): 187-189. [25] Y. Lou. An asymptotic formula involving square complement numbers. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 227-229. [26] Y. Lou. A class of Dirichlet series and its identities. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 87-89. [27] Y. Lu. On a dual function of the Smarandache ceil function. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 55-57. [28] C. Lv. On the mean value of an arithmetical function. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 89-92. [29] Y. Ma and T. Zhang. On the m-power residues numbers sequence. Scientia Magna, 2005, 1(1): 53-56. [30] Yoichi Motohashi. A Note on the Mean Value of the Zeta and L-functions. II. Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences, 1985, 61: 313-316.

É, ÂŤJ. ĂŞĂ˜. ÂŽ: ÂŽÂŒĂ†Ă‘Â‡ , 1992. [32] É, ÂŤJ. )Ă›ĂŞĂ˜Ă„:. ÂŽ: ‰Æч , 1999. [31]

[33] O. V. Popov. On quadratic and nonresidues in the sequence of squarefree numbers (Russian). Vestn. Mosk. Univ., 1989, Ser.I: 81-83. [34] D. Ren. On the Smarandache ceil function and the Dirichlet divisor function. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 51-54. [35] G. Ren. A number theoretic function and its mean value. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 19-21. [36] H. N. Shapiro. Introduction to the theory of numbers. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1983. [37] F. Smarandache. Only problems, not solutions. Chicago: Xiquan Publishing House, 1993.

ë ©z

145

[38] Juping Wang. On Golomb’s Conjecture. Science in China, Series A, 1987, 9: 927. [39] X. Wang. On the Smarandache pseudo-multiples of 5 sequence. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 17-19. [40] Z. Xu. On the k-full number sequences. Smarandache Notions Journal, 159-163.

2004, 14:

[41] Z. Xu. On the additive k-th power complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 13-16. [42] Z. Xu. Some arithmetical properties of primitive numbers of power p. Scientia Magna, 2006, 2(1): 9-12. [43] X. Xue. On the mean value of the Dirichlet divisor function in some special sets. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 13-17. [44] Q. Yang and M. Yang. An arithmetical function and the perfect k-th power numbers. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 91-94. [45] W. Yao. On the k-power complement sequence. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 43-46. [46] W. Yao. The additive analogue of Smarandache function. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 99-102. [47] W. Yao. On the generalization of the floor of the square root sequence. Scientia Magna, 2005, 1(1): 183-186. [48] Y. Yi. An equation involving Euler’s function. Research on Smarandache Problems in Number Theory II, 2005: 5-7. [49] Y. Yi and F. Liang. On the asymptotic property of divisor function for additive complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 65-68. [50] P. Zhang. Some identities on k-power complement. Scientia Magna, 2006, 2(2): 60-63. [51] T. Zhang. On the cubic residues numbers and k-power complement numbers. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 147-152. [52] T. Zhang. An arithmetic function and the divisor product sequences. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 21-26. [53] W. Zhang. Identities on the k-power complements. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 61-64. [54] X. Zhang and Y. Lou. The Smarandache irrational root sieve sequences. Research on Smarandache Problems in Number Theory, 2004: 27-31. [55] X. Zhao and Z. Ren. On m-th power free part of an integer. Scientia Magna, 2005, 1(1): 39-41. [56] J. Zheng. On the inferior and superior k-th power part of a positive integer and divisor function. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 88-91.

146

Í Šz

[57] H. Zhou. An infinite series involving the Smarandache power function SP (n). Scientia Magna, 2006, 2(3): 109-112. [58] W. Zhu. On the cube free number sequences. Smarandache Notions Journal, 2004, 14: 199-202.

Research on Some Smarandache Problems Vol. 7

Huaning LIU Department of Mathematics Northwest University Xi'an, Shaanxi P. R. China

Jing GAO School of Science Xi'an Jiaotong University Xi'an, Shaanxi P. R. China

The Educational Publisher 2011

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.