关于一些 Smarandache 问题的研究

关于一些 Smarandache 问题的研究 Vol. 7

刘华宁 西北大学数学系

高静 西安交通大学理学院

The Educational Publisher 2011

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Peer Reviewers: Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi, P. R. China.

Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan, Shandong, P. R. China.

Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong, P. R. China.

Copyright 2011 by The Educational Publisher, translators, editors, and authors for their papers

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ISBN: 9781599731605 Standard Address Number : 297-5092 Printed in the United States of America

8 ยน รณ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท iv 1ย ร )ร รชร ร : ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1 ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1 ยง1.1 Riemann zeta ยผรช ยง1.2 Euler ร ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 2 ยง1.3 Perron รบยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 4 1 ร Smarandache รช รพย ยฉร ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 5 ยง2.1 3 gร fรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 5 ยง2.2 k-full รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 8 ยง2.3 M gย ย {รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 13 ยง2.4 Smarandache nย รงรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 16 ยง2.5 'usquarefree ย squarefull รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 19 ยง2.6 Smarandache ย รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 27 ยง2.7 k gย ร ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 30 1nร 'uย Smarandache ยผรช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 35 ยง3.1 'uSmarandache ย ยผรช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 35 ยง3.2 'un รชร ยฉยฑ9ร ย Ln ย ย m gย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 38 ยง3.3 รช m gย ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 41 ยง3.4 'uk gร รช ยก?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 42 ยง3.5 'uk gร รช ย รฐ ยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 45 ยง3.6 'uรผย ยผรช Dirichlet ?รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 48 ยง3.7 ย Euler ยผรชk' ย ย ย ยง ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 51 ยง3.8 ย aDirichlet ?รช9ร รฐ ยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 53 ยง3.9 p g รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 54 1 m

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149 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง3.11 ย Smarandache ยฒย ร fยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1oร ร รชยผรชย Smarandache ยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.1 'uยฒย ร รช ย ย รฌCรบยช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.2 ngย ย {รชย k gร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.3 'uย \k gร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.4 'u129 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.5 'uk gร รชS ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.6 k gร รชย ย ย รชร ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.7 ร รชยผรชย ย \ร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.8 'u180 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.9 'u,ย aSmarandache ยผรช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.10 'u183 ย Smarandache ยฏK ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.11 ยฒย ย รช ย ย รญ2 ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.12 'uSmarandache ย 5 รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.13 'u1 aย 5 รชS ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.14 'u รช nร /รชย { ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.15 รช k gย ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.16 ย \8>/ร รช ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.17 'uSmarandache {รผยผรช รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.18 'uSmarandache ceil ยผรช(I) ยง4.19 'uSmarandache ceil ยผรช(II) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.20 'uSmarandache ceil ยผรช รฉรณยผรช(I) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง4.21 'uSmarandache ceil ยผรช รฉรณยผรช(II) ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท 1ร ร ยผรชe (n) รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.1 ยผรชe (n) รพย 5ย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.2 ยผรชe (n) ย k gย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.3 ยผรชe (n) ย n k gย {ร ยฉ ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง3.10

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58 59 63 63 65 71 74 76 78 80 83 90 93 97 100 101 104 105 109 111 113 115 117 119 123

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127

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ยผรชe (n) ย Euler ยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.5 ย e (n) k' รชร ยผรช9ร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.6 ยผรชp รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.7 ยผรชe (n) ย รกย ร รชยผรช ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.8 'ue (n) ยทร รพย ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท รซ ยฉz ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยทยทยท ยง5.4

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Ă˜ äk­‡dŠ ¤J. F. Smarandache JĂ‘ ÂŒĂœÂŠÂŻKÑ´'uAĂ?ĂŞ !ĂŞĂ˜ÂźĂŞ . ĂŞ ! Ÿê ŠĂ?~Â´Ă˜5K , ´Ùފ% äkĂť 5Â&#x;. ĂŠĂľĂ˜ÂŠ|^) Ă›ĂŞĂ˜ÂĽ Â?{Úóä, ~XEuler ĂˆĂşÂŞ!Perron úª!Riemann zeta Ÿê 5Â&#x;, ĂŻĂ„ F. Smarandache JĂ‘ ĂŞ !Ÿê ފ, ¿‰Ñ ˜X ĂŹ Cúª. ֊â Â“ĂœÂŠ+ Ç ïÆ, ĂŠ8 |^)Ă›Â?{ĂŻĂ„Smarandache ÂŻ K ƒ'óŠ?1 XĂš o(, Ù¼ǑŽo ŠÜ9Ù¤3 ‘8| ïĤ J. ֊ǑÊÙ, ŠO0 )Ă›ĂŞĂ˜ Ă„: ÂŁ!Smarandache ĂŞ ފ!˜

Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ!Ă˜ĂŞÂźĂŞÂ†Â˜ Smarandache Ÿê ÂˇĂœĂž Š!Ÿêe (n) ފ. k, Ă–ĂśĂ?L Ă– Ă–, ÂŒÂąmÿÖÜ Ă€Â?, -uĂ– ÜÊÚ +Â? ĂŻĂ„, . Ă– ¤Äka Â“ĂœÂŠ+ Ç ÂŒĂĽ|¹¹9JĂ‘ B¿„. Ă– ŠL§¼, I[g,䮀7(?Ă’: 10901128)!p Æ ƏƉ:; ‘‰ïÄ7–# “a(?Ă’: 20090201120061)!ĂąĂœÂŽ ”;‘‰ïÄ7(?Ă’: 09JK762) Âą9ÂĽ p Ă„ ‰ï’Ö¤ ĂœÂŠâ„„Ă?, ŠÜ3dLÂŤa " p

ŠÜ 2011 7

1Â˜Ă™ )Ă›ĂŞĂ˜Ă„: Ă™0 )Ă›ĂŞĂ˜ÂĽ ˜ Ă„ VgĂš5Â&#x;, ~XRiemann zeta Ÿê!Euler Ăˆ!Perron úª " §1.1 Riemann zeta

Ÿê

½Â1.1.1. Îł = lim 3êŠÞγ = 0.5772157 ¡ ¡ ¡ . ½Â1.1.2. Γ Ÿê½ÂǑ m→∞

1 1 1 1 + + + ¡¡¡ + − log m 2 3 m

ÂĄÇ‘Euler ~ĂŞ.

∞ Y 1 s − ns Îłs = se e .

1+ Γ(s) n n=1

1 w, Γ(s) ´ Ÿê. d Γ(s) 3 ‡s Â˛ÂĄĂžĂ˜ :s = 0, −1, −2, ¡ ¡ ¡ ´)Ă› , Ăš :´Γ(s) {Ăź4:. ½Â1.1.3. Re s = Ďƒ > 1 ž, Riemann zeta ŸêΜ(s) ½ÂǑ Îś(s) =

∞ X 1 . s n n=1

Šâ½Â, Îś(s) 3ÂŒÂ˛ÂĄRe s > 1 ´)Ă› . ½n1.1.1.

Y Îś(s) =

p

1 1− s p

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,

Re s > 1.

Þª¥ǑEuler úª½Euler ð ª. ½n1.1.2. Re s > 0, N ≼ 1 ž, k

Z ∞ N X 1 N 1−s 1 −s Îś(s) = + − N +s ns s−1 2 N n=1 ¡ 1 ¡

1 2

− {u} du. us+1

1 Ù )ÛêØÄ:

2

d½n1.1.2, ζ(s) mÿ ²¡Re s > 0. d w,ζ(s) 3 ²¡Re s > 0 Ø :s = 1 ´)Û , ¿3:s = 1 k 4:, Ù3êǑ1. ½n1.1.3. ª π

− s2

Γ

s 2

ζ(s) = π

− 1−s 2

Γ

1−s 2

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¤á. þª¡Ǒζ ¼ê ¼ê §. d¼ê §, ζ(s) mÿ E²¡, Ù¥s = −2, −4, · · · , −2n, · · · ´ζ ¼ê w,":. d ζ ¼ê3 /0 ≤ Res ≤ 1 þk

¡õ w,":. e¡ Ñ'uζ(s) w,": (Ø. ½n1.1.4. ρ = β + iγ , n = 1, 2, · · · , ´ζ(s) w,":. Kk n

n

∞ X n=1

n

1 ≤ c log(|T | + 2).

1 + (T − γn )2

½n1.1.5. 3ýé~êc > 0, 3s ²¡ « Svkζ ¼ê ":. ½n1.1.6.

Re s = σ > 1 −

c log(|t| + 2)

ζ(σ + it) ≪ |t|(1−σ)/2 log |t|,

§1.2 Euler

0 ≤ σ ≤ 1,

|t| ≥ 2.

È

½Â1.2.1. êؼêf ¡Ǒ´ , XJf ØðǑ"¿ é?¿ (m, n) = 1, kf (mn) = f (m)f (n). êؼê¡Ǒ´ , XJé¤k m, n, Ñkf (mn) = f (m)f (n). ~1.2.1. -f (n) = n , Ù¥α ´ ½ Eê. Kf (n) ´ . ~1.2.2. M¨obius ¼êµ(n) ´ . ~1.2.3. Euler ¼êφ(n) ´ . α

α

α

Ăˆ

§1.2 Euler

3

~1.2.4. Liouville ŸêΝ(n) ´ ÂŒ . ~1.2.5. Ă˜ĂŞÂźĂŞĎƒ (n) = X d ´Œ . Îą

Îą

d|n

~1.2.6. Dirichlet AÆχ(n) ´ ÂŒ .

X ½n1.2.1. -f ´˜‡Œ ĂŞĂ˜ÂźĂŞ, f (n) ýÊÂù. o, Ăš ‡?ĂŞ ĂšULÂŤÇ‘3¤kÂƒĂŞĂž m Â˜Â‡Ă˝ĂŠĂ‚Ăą ÂĄ Ăˆ ∞

n=1

∞ X

Y

f (n) =

n=1

p

1 + f (p) + f (p2 ) + ¡ ¡ ¡ .

XJf ´ ÂŒ , K ĂˆÂŒ{zÇ‘ ∞ X

f (n) =

n=1

1 .

1 − f (p)

Y p

Þ¥ ĂˆÂĄÇ‘?ĂŞ Euler Ăˆ. ½n1.2.2. b X f (n)n ĂŠĎƒ > Ďƒ ýÊÂù, Â…f ´Œ Ÿê, Kk ∞

−s

Îą

n=1

∞ X f (n) n=1

ns

=

Y p

f (p) f (p2 ) 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p

XJf ´ Œ , Kk ~1.2.7.

∞ X f (n) n=1

=

ns

Îś(s) =

Y p

1 , 1 + f (p)p−s

∞ Y X 1 1 = , s n 1 − p−s n=1 p

,

Îą

Ďƒ > 1,

∞

Ďƒ > 1,

∞

Îś(s − 1) X φ(n) Y 1 − p−s = = , s 1−s Îś(s) n 1 − p n=1 p Îś(2s) X Îť(n) Y 1 = , = s Îś(s) n 1 + p−s n=1 p

L(s, χ) =

∞ X χ(n) n=1

ns

=

Y p

Îą

Ďƒ > Ďƒ ž .

X Âľ(n) Y

1 = = 1 − p−s , s Îś(s) n=1 n p

∞

Ďƒ > Ďƒ ž.

Ďƒ > 2,

Ďƒ > 1,

1 , 1 − χ(p)p−s

Ďƒ > 1.

1Â˜Ă™ )Ă›ĂŞĂ˜Ă„:

4

§1.3 Perron

úª

eÂĄ Perron úª‰Ñ ŸêΌ(x) = a †?ĂŞf (s) = n ƒm ,ÂŤ'X. ½n1.3.1. f (s) = X an Ďƒ > 1 žýÊÂù, |a | ≤ A(n), Ù¼A(n) > 0 ´n ĂźNOŸê, Â… Ďƒ → 1 ž, X

∞ X an

n

s

n=1

n≤x

∞

n=1

oĂŠu?Âż b

∞ X n=1

0

ÎŚ(x) =

X

n≤x

an =

n s

n

+

|an |nâˆ’Ďƒ = O (Ďƒ − 1)âˆ’Îą ,

≼ b > 1, T ≼ 1, x = N + 12 ,

1 2Ď€i

Z

b+iT

f (s) b−iT

Ă™ÂĽÂŒO ~ĂŞ=Â?6ub .

0

xs ds + O s

Îą > 0.

kúª

xb T (b − 1)Îą

+O

xA(2x) log x T

,

1 Ă™

Smarandache

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Ă™|^)Ă›Â?{, Â?)Euler ĂˆĂşÂŞÂ†Perron úª, ĂŻĂ„Â˜ Smarandache ĂŞ ފŠÙ5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCúª.

3 gĂ?fĂŞ

§2.1

˜‡g,ĂŞa, XJĂ˜U ?¿≼ 2 ĂŞb 3 gÂ? Ă˜, Ă’ÂĄÇ‘ 3 gĂ?f ĂŞ. lĂ˜Â?š0 Ăš1 g,ĂŞ8ĂœÂĽ, – K2 ¤k ĂŞ, – K3 ¤k ĂŞ, – K5 ¤k ĂŞ, 3 3 3

......

Ăš ˜†e , K NÂƒĂŞ 3 gÂ? ¤k ĂŞ, Ăš Ă’ÂŒ 3 gĂ?f ĂŞ Ç‘: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, ¡ ¡ ¡ .

F. Smarandache ïÆïÄ 3 gĂ?fĂŞ 5Â&#x;. !ò|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„ TĂŞ ĂŹC5Â&#x;. ½n2.1.1. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ. Kk X

a=

a∈A a≤x

3 x2 + O x 2 +Îľ , 2Îś(3)

Ù¼ξ ´?Âż ¢ê, Îś(s) Ç‘Riemann zeta Ÿê. ½n2.1.2. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ, φ(n) Ç‘Euler Ÿê. KkĂŹC úª

X Y φ(a) =

a∈A a≤x

x2 2Îś(3)

p

1−

p3

p+1 + p2 + 1

3

+ O x 2 +Îľ .

½n2.1.3. -A LÂŤ 3 gĂ?fĂŞ 8Ăœ, d(n) Ç‘Dirichlet Ă˜ĂŞÂźĂŞ. K kĂŹCúª

X a∈A a≤x

d(a) =

36x Y p2 + 2p + 3 π 4 p (1 + p)2 ¡ 5 ¡

ln x + (2Îł − 1) −

24Μ ′ (2) π2

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Smarandache

p ln p 2 (p + 2p + 3)(1 + p)

X p

Îś ′ (2) = −

∞ X ln n n=2

n2

!

1 + O x 2 +Îľ ,

.

y3y²Ú ½n. Ç‘Â?Bü„, ½ÂŸêa(n) Xe:   0, XJ n = 1, a(n) = n, XJ k ∤ n, n > 1, k ≼ 2,  0, XJ k | n, n > 1, k ≼ 2.

3 3

w,

X

a=

a∈A a≤x

X

a(n).

n≤x

f (s) = 1 +

∞ X a(n) n=1

dEuler ĂˆĂşÂŞ, k f (s) =

Y p

=

Y p

=

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ns

.

a(p) a(p2 ) 1 + s + 2s p p 1+

1 ps−1

+

1 p2(s−1)

Îś(s − 1) . Îś(3(s − 1)) 3

s0 = 0, b = 3, T = x 2 , H(x) = x, B(Ďƒ) =

ÂŒ 1 a(n) = 2Ď€i n≤x X

5¿ Ÿê

Z

3+iT

3−iT

3s = 2 k˜‡{Ăź4:, 3ĂŞÇ‘

1 , Ďƒâˆ’2

3 Îś(s − 1) xs ds + O x 2 +Îľ . Îś(3(s − 1)) s

Îś(s − 1) xs Îś(3(s − 1)) s x2 .

2Îś(3)

§2.1

l

X

a=

a∈A a≤x

X

3 gĂ?fĂŞ

a(n) =

n≤x

ÚÒy² ½n2.1.1.

3 x2 + O x 2 +Îľ .

2Îś(3)

f1 (s) = 1 + f2 (s) = 1 +

f1 (s) = = = =

n=1 ∞ X

ns

,

d(a(n)) . ns

φ(a(p)) φ(a(p2 )) 1+ + ps p2s p

Y p − 1 p2 − p 1+ s + p p2s p

Y 1 1 1 1 1 + s−1 + 2(s−1) − s − 2s−1 p p p p p

ps−1 + 1 Îś(s − 1) Y 1 − 2s−1 , Îś(3(s − 1)) p p + ps + p Y

f2 (s) = = =

=

=

|^Ă“ Â?{ÂŒ

∞ X φ(a(n))

n=1

dEuler ĂˆĂşÂŞ, k

7

d(a(p)) d(a(p2 )) + ps p2s p

Y 2 3 1 + s + 2s p p p !

2 Y 1 2 1+ s + 2s p p p   2 2 Y 1   p2s 1 + s 1 + 2  p p 1 + p1s

Îś 2 (s) Y 2 1+ s . Îś 2 (2s) p (p + 1)2 Y

1+

3 x2 Y p+1 φ(a) = 1− 3 + O x 2 +Îľ , 2 +1 2Îś(3) p + p a∈A p

X a≤x

1 Ă™

8

Smarandache

ê ފŠÙ

Âą9 X

d(a) =

a∈A a≤x

36x Y p2 + 2p + 3 π 4 p (1 + p)2 X

−4

p

ln x + (2Îł − 1) −

p ln p (p2 + 2p + 3)(1 + p)

l y² ½n2.1.2 †½n2.1.3. §2.2 k-full

!

24Μ ′ (2) π2

1 + O x 2 +Îľ .

ĂŞ

k ≼ 2 Ç‘ ĂŞ, n Ç‘g,ĂŞ. eĂŠ?ÂżÂƒĂŞp Ă‘kp ∤ n, Ă’ÂĄn Ç‘ k gĂ? fĂŞ. edp | n Â˜Â˝ÂŒĂ­Ă‘p | n, KÂĄn Ç‘k-full ĂŞ. F. Smarandache ïÆïÄ TĂŞ 5Â&#x;. !ò|^)Ă›Â?{ĂŻĂ„k-fullĂŞ ĂŹC5Â&#x;, ÂżÂ‰Ă‘Â˜ ĂŹCĂş ÂŞ. ½n2.2.1. ĂŠ?¿¢êx ≼ 1, k k

k

1

6kx1+ k Y 1 1 1+ 2k +ÇŤ n= + O x , 1 + 1 (k + 1)Ď€ 2 p (p + 1)(p k − 1) n∈A X n≤x

Ù¼Ǎ ´?¿ ¢ê. ½n2.2.2. φ(n) ǑEuler Ÿê, KÊ?¿¢êx ≼ 1, kÏCúª X

φ(n) =

n∈A n≤x

1 1 6kx1+ k Y p − pk 1 + 1 1 (k + 1)Ď€ 2 p p2+ k − p2 + p1+ k − p

1 +O x1+ 2k +ÇŤ .

½n2.2.3. Îą > 0, Ďƒ (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx ≼ 1, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

ĎƒÎą (n)

n∈A n≤x

=

1 Îą+ k



Y 6kx 1 + (kι + 1)π 2 p 

1

1

pÎą+ k (p k − 1)

1 +O xÎą+ 2k +ÇŤ .

1

(pÎą+ k

k Îą P 1

 1 1 Îą+ k k − 1 + p + p pl  i=1  1  − 1)(p + 1)(p k − 1)

§2.2 k-full

ê

9

½n2.2.4. d(n) ǑDirichlet Øê¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

d(n) =

n∈A n≤x



1 k

1

6kx Y  1 + π2 p  1

+O(x 2k +ǫ ),

k+1 P

 1 pk+1−i − kpk+ k  i=2  f(log x) 1  (p + 1)k+1 (p k − 1)2

(2p k − 1)

k+1 i

Ù¥f(y) ´'uy gêǑk õ ª. ½n2.2.5. é?¿¢êx ≥ 1, k X

σα ((m, n))

n∈A n≤x

1

=

6kx k π2

Y p∤m



  β 1 P iα k Y p p   1 i=0 1 +  1+ 1 1  (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1)  β≤k 1 k

β P

iα



p Y p β−1 i X X Y  p i i=0 − jα 1 +  × p k p + 1   k − 1) p+1 p(p β j=0 i=k p|m p km β>k

1 +O x 2k +ǫ ,

Ù¥m ´ ½ ê, (m, n) L«m n úÏê. ½n2.2.6. é?¿¢êx ≥ 1, k X

σα ((m, n))

n∈A n≤x

Y 1 1 6kx k Y 1 (pβ − pβ−1 )p k = 1+ 1+ 1 1 π2 (p + 1)(p k − 1) pβ km p(p k − 1) p∤m β≤k

β−1

×

Y

pβ km β>k

1+

X i=k

1 +O x 2k +ǫ .

1

p

− ki

i

(p − p

i−1

(pβ − pβ−1 )p k )+ 1 p(p k − 1)

y3y²ù ½n. Ǒ Bå , ½Â¼êa(n) Xe:   1, XJ n = 1; a(n) = n, XJ n ´ k-full ê;  0, XJ n Ø´ k-full ê.

!

Y p p+1 p|m

1 Ă™

10

Smarandache

ê ފŠÙ

w,k X

n=

n∈A n≤x

X

a(n).

n≤x

f(s) =

n=1

dEuler ĂˆĂşÂŞÂŒ , f (s) = = = =

∞ X a(n)

ns

.

a(pk ) a(pk+1 ) 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p !

Y 1 1 1 + k(s−1) 1 p 1 − ps−1 p Y

Y 1 1 1 + k(s−1) 1 + k(s−1) p (p + 1)(ps−1 − 1) p p

1 Îś(k(s − 1)) Y 1 + k(s−1) , Îś(2k(s − 1)) p (p + 1)(ps−1 − 1) Y

Ù¼Μ(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ˜ ÂŞ |a(n)| ≤ n,

∞

X a(n)

1

,

< Ď&#x192;

n=1 n Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; k1

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 â&#x2C6;&#x2019; k1 ´s ¢Ă&#x153;. KdPerron úªk X a(n) nâ&#x2030;¤x

ns0

=

1 2iĎ&#x20AC;

b+iT

xs ds s bâ&#x2C6;&#x2019;iT

b x B(b + Ď&#x192;0 ) +O T

log x 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x H(2x) min 1, T

x +O xâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 H(N ) min 1, , ||x||

Z

f (s + s0 )

Ă&#x2122;ÂĽN ´ Â&#x201A;Cx ĂŞ, ||x|| = |x â&#x2C6;&#x2019; N |.

1 1 1 s0 = 0, b = 2 + , T = x1+ 2k , H(x) = x, B(Ď&#x192;) = , k Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; k1

§2.2 k-full

ê

11

k X

n≤x

Ù¥

a(n) =

1 2iπ

Z

1 2+ k +iT 1 2+ k −iT

ζ(k(s − 1)) xs 1 R(s) ds + O x1+ 2k +ǫ , ζ(2k(s − 1)) s

Y R(s) = 1+

1 k(s−1) (p + 1)(ps−1 − 1)

p

Ǒ OÌ

1 2iπ

1 2+ k +iT

Z

1 2+ k −iT

.

ζ(k(s − 1))xs R(s)ds, ζ(2k(s − 1))s

· rÈ© ls = 2 + k1 ± iT £ s = 1 + 2k1 ± iT . d ¼ê ζ(k(s − 1))xs R(s) ζ(2k(s − 1))s

3s = 1 + k1 k {ü4:, 3êǑ

1 kx1+ k 1 R 1+ . (k + 1)ζ(2) k

Kk 1 2iπ

Z

1 2+ k +iT

+

1 2+ k −iT

Z

1 1+ 2k +iT

+ 1 2+ k +iT

Z

1 1+ 2k −iT

+

1 1+ 2k +iT

ζ(k(s − 1))xs R(s)ds ζ(2k(s − 1))s

1 Y kx1+ k 1 = 1+ .

1 (k + 1)ζ(2) p (p + 1)(p k − 1)

Z

1 2+ k −iT

1 1+ 2k −iT

!

×

ØJy² Oª

ζ(k(s − 1))xs

+ R(s)

1 1 ζ(2k(s − 1))s 2+ k +iT 1+ 2k −iT 1

1

2+ k

ζ(k(σ − 1 + iT )) x2+ k

R(s) dσ

ζ(2k(σ − 1 + iT )) 1 T

1+ 2k

1

2πi Z ≪

Z

1

1 1+ 2k +iT

x2+ k 1 ≪ = x1+ 2k T

Z

1 2+ k −iT

!

1 Ă&#x2122;

12

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

Â&#x2020; 1 2Ď&#x20AC;i Z â&#x2030;Ş

1 1+ 2k â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))xs R(s)ds 1 1+ 2k +iT Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1))s

T

Îś(1/2 + ikt) x1+ 2k1

dt

Îś(1 + 2ikt) t

1

Z

1

â&#x2030;Ş x1+ 2k +ÇŤ .

5Âż Îś(2) = Ď&#x20AC;6 , dĂžÂ&#x152; 2

1

6kx1+ k Y 1 1 1+ 2k +ÇŤ n= 1 + + O x .

1 (k + 1)Ď&#x20AC; 2 p (p + 1)(p k â&#x2C6;&#x2019; 1) nâ&#x2C6;&#x2C6;A X nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² ½n2.2.1. ½Ă&#x201A;

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x2020;(n) f1 (s) = , ns n=1

f3 (s) =

f5 (s) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A â&#x2C6;&#x17E; X n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A â&#x2C6;&#x17E; X n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

dEuler Ă&#x2C6;úª

d(n) , ns

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x192;Îą (n) f2 (s) = , ns n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x192;Îą ((m, n)) f4 (s) = , ns n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ď&#x2020;((m, n)) . ns

Ď&#x2020;(pk ) Ď&#x2020;(pk+1 ) f1 (s) = 1 + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p !!

Y Ď&#x2020;(pk ) 1 1 + ks = 1 p 1 â&#x2C6;&#x2019; psâ&#x2C6;&#x2019;1 p

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) Y p â&#x2C6;&#x2019; psâ&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + k(sâ&#x2C6;&#x2019;1) ; Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) p (p + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; p) Y

f2 (s) =

Îś(k(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) Îś(2k(s â&#x2C6;&#x2019; Îą))  Ă&#x2014;

Y 1 +  p

k P

 ( p1i )Îą + ps + psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1  i=1 ; (pk(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + 1)(psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) 

(psâ&#x2C6;&#x2019;Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)ps

§2.3 M

f3 (s) =

Îś k+1 (ks) Îś k+1 2ks  Ă&#x2014;

gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ k+1 P

s

(2p â&#x2C6;&#x2019; 1) Y i=2 1 +  (pks p

13

 k(k+1â&#x2C6;&#x2019;i)s (k2 +1)s p â&#x2C6;&#x2019; kp  ; k+1 s 2  + 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) k+1 i

Ď&#x192;Îą ((m, pk )) Ď&#x192;Îą ((m, pk+1 )) 1+ + + ¡¡¡ f4 (s) = pks p(k+1)s p ks Y

Îś(ks) Y p 1 = 1 + Îś(2ks) pks + 1 (pks + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) p|m pâ&#x2C6;¤m !

Y Ď&#x192;Îą (pβ ) Ă&#x2014; 1 + ks p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s ) β Y

p km βâ&#x2030;¤k

Ă&#x2014;

Y

1+

i=k

pβ km β>k

Â&#x2020;

βâ&#x2C6;&#x2019;1 X Ď&#x192;Îą (pi )

pis

Ď&#x192;Îą (pβ ) + ks p (1 â&#x2C6;&#x2019; p1s )

!

ks Y Îś(ks) Y p 1 f5 (s) = 1 + ks Îś(2ks) pks + 1 (p + 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) p|m pâ&#x2C6;¤m   β βâ&#x2C6;&#x2019;1 Y p â&#x2C6;&#x2019; p 1 +

 Ă&#x2014; ks 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 β p p km ps βâ&#x2030;¤k

Ă&#x2014;

Y

pβ km β>k



1 +

βâ&#x2C6;&#x2019;1 i X p â&#x2C6;&#x2019; piâ&#x2C6;&#x2019;1 i=k

pis

2dÂ&#x192;q Â?{Â&#x152;yĂ&#x2122;{½n.

§2.3 M

g,ĂŞ m â&#x2030;Ľ 2, ĂŞ n = p Ă&#x2122;ÂĽ

Îą1 1

 pβ â&#x2C6;&#x2019; pβâ&#x2C6;&#x2019;1 

. + pks 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s

gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ ¡ ¡ ¡ pÎąr r .

½Ă&#x201A;m gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ

am (n) = pβ1 1 ¡ ¡ ¡ pβr r , βi = min(m â&#x2C6;&#x2019; 1, Îąi ),

1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ r.

1 Ă&#x2122;

14

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

ĂŻĂ&#x2020;ĂŻĂ&#x201E;m gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ 5Â&#x;. ½Ă&#x201A;ĂźÂ&#x2021;# ĂŞĂ&#x2DC;ŸêU (n)

F. Smanrandache

Â&#x2020;V (n) Xe:

U (1) = 1,

U (n) =

Y

p,

p|n

V (1) = 1,

V (n) = V (pÎą1 1 ) ¡ ¡ ¡ V (pÎąr r ) = (pÎą1 1 â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (pÎąr r â&#x2C6;&#x2019; 1),

Ă&#x2122;ÂĽn = p ¡ ¡ ¡ p . w,U (n) Â&#x2020;V (n) Ă&#x2018;´Â&#x152; Ÿê. !|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻ Ă&#x201E;U (n) Â&#x2020;V (n) 3m gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞĂž ŠĂ&#x2122;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;ĂźÂ&#x2021;ĂŹCúª. ½n2.3.1. -A LÂŤm gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ 8Ă&#x153;. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCĂş ÂŞ Îą1 1

Îąr r

3 3x2 Y 1 U (n) = 2 1+ 3 + O x 2 +ÇŤ , 2 â&#x2C6;&#x2019;pâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x20AC; p + p nâ&#x2C6;&#x2C6;A p X nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;¼Ǎ´?Âż ¢ê. ½n2.3.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k

3 x2 Y 1 1 â&#x2C6;&#x2019; pm V (n) = 1 â&#x2C6;&#x2019; m + m+2 + O x 2 +ÇŤ . m+1 2 p p + p p nâ&#x2C6;&#x2C6;A X nâ&#x2030;¤x

y3y²Ú ½n. dEuler Ă&#x2C6;úªk

â&#x2C6;&#x17E; X U (n) f (s) = . ns n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Y U (p) U (p2 ) U (pmâ&#x2C6;&#x2019;1 ) f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (mâ&#x2C6;&#x2019;1)s p p p p

U (pm ) U (pm+1 ) + ms + (m+1)s + ¡ ¡ ¡ p p Y 1 1 1 = 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;1 + 2sâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + (mâ&#x2C6;&#x2019;1)sâ&#x2C6;&#x2019;1 p p p p

1 1 + msâ&#x2C6;&#x2019;1 + (m+1)sâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ p p   Y 1 1 1 +

 = + psâ&#x2C6;&#x2019;1 p2sâ&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 p ps

§2.3 M

=

g {ê

15

ζ(s − 1) Y ps 1+ s , ζ(2(s − 1)) p (p − 1)(p2s−1 + ps )

Ù¥ζ(s)´Riemann zeta¼ê. ´ Ø ª

|U (n)| ≤ n,

Ù¥σ > 2´s ¢Ü. 5¿ ¼ê

∞

X U (n)

1

,

<

σ

n σ−2 n=1

ps ζ(s − 1)xs Y 1+ s ζ(2(s − 1))s p (p − 1)(p2s−1 + ps )

3s = 2 k {ü4:, 3êǑ

x2 R(2), 2ζ(2)

KdPerron úª y

3 3x2 Y 1 U (n) = 2 1+ 3 + O x 2 +ǫ .

2 −p−1 π p + p n∈A p X

n≤x

ùÒy² ½n2.3.1. ½Â

dEuler Èúªk

∞ X V (n) g(s) = . ns n=1 n∈A

V (p) V (p2 ) V (pm−1 ) + + · · · + ps p2s p(m−1)s p

V (pm ) V (pm+1 ) + ms + (m+1)s + · · · p p Y p − 1 p2 − 1 pm−1 − 1 = 1+ s + + · · · + p p2s p(m−1)s p

pm − 1 pm+1 − 1 + ms + (m+1)s + · · · p p ! !

1 1 Y 1 − pm(s−1) 1 − ps−1 pm−1 1 = − − s 1 pms p 1 − ps−1 1 − p1s p !

Y pm−1 − p(m−1)s (ps − p) 1 = ζ(s − 1) 1 − m(s−1) + . p pms (ps − 1) p

g(s) =

Y

1+

2d q { y½n2.3.2.

1 Ă&#x2122;

16

Smarandache

§2.4 Smarandache

lĂ&#x2DC;Â?š0 Â&#x2020;1 g,ĂŞ8Ă&#x153;ÂĽ, â&#x20AC;&#x201C; K¤k 2 , k â&#x2030;Ľ 2; â&#x20AC;&#x201C; K¤k 3 , k â&#x2030;Ľ 2; â&#x20AC;&#x201C; K¤k 5 , k â&#x2030;Ľ 2; â&#x20AC;&#x201C; K¤k 6 , k â&#x2030;Ľ 2; â&#x20AC;&#x201C; K¤k 7 , k â&#x2030;Ľ 2; â&#x20AC;&#x201C; K¤k 10 , k â&#x2030;Ľ 2;

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

nÂ&#x160;çê

k k k k k

k

¡¡¡¡¡¡

Â?gUYe ,  ªÂ&#x152; ¤¢ Smarandache nÂ&#x160;çê : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, ¡ ¡ ¡

A L¤k nÂ&#x160;ç 8Ă&#x153;. !òïĂ&#x201E; nÂ&#x160;çê ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹ Cúª. ½n2.4.1. d(n) Ç&#x2018;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X

d(n)

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

=

â&#x2C6;&#x161; 3 â&#x2C6;&#x161; 1 1 1 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x ln x + A1 x 3 ln x + A2 x 3 ln x + A3 x 3 + A4 x ln x 4Ď&#x20AC; 139 â&#x2C6;&#x161; 1 +(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + A5 x + A6 x 3 + O x 429 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler~ĂŞ, A , A , A , A , A , A ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Â&#x2DC; Ă&#x161;n. Ă&#x161;n2.4.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k 1

X nâ&#x2030;¤x

â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤ x

3

4

5

6

139 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x 429 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[32]. Ă&#x161;n2.4.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

2

â&#x2C6;&#x161; 1 â&#x2C6;&#x161; 3 x ln2 x B1 â&#x2C6;&#x161; d(n ) = + x ln x + B x + O x 4 +ÇŤ ; 2 4Ď&#x20AC; 2 2 2

§2.4 Smarandache

nÂ&#x160;çê

17

1

X

6C0 x 3 ln3 x C1 13 2 C2 13 x ln x + x ln x d(n ) = + 27Ď&#x20AC; 4 9 3 1 1 +C3 x 3 + O x 6 +ÇŤ , 3

1

nâ&#x2030;¤x 3

Ă&#x2122;ÂĽB , B , C , C , C , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. y². ½Ă&#x201A; 1

2

0

1

2

3

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(n2 )

ns

n=1

,

Re s > 1.

dEuler Ă&#x2C6;Ă&#x161;d(n) Â&#x152; 5Â&#x152; f (s) = = = = =

Y

3 5 7 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p

â&#x2C6;&#x2019;1 Y 1 2 2 2 1â&#x2C6;&#x2019; s 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p p â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;2 !

Y 2 1 1 + s 1â&#x2C6;&#x2019; s 1â&#x2C6;&#x2019; s p p p p â&#x2C6;&#x2019;2

Y 1 1 1â&#x2C6;&#x2019; s 1+ s p p p Îś 3 (s) , Îś(2s)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zetaŸê. 3Perronúª¼ s 5Âż Ÿê

X

d(n2 ) =

n<x

1 2Ď&#x20AC;i

Z

3 2 +iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś 3 (s) xs (s â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś(2s) s 3

(2)

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Kk 1

= 0, T = x 2 , b =

1 Îś 3 (s) xs ds + O x 2 +ÇŤ . Îś(2s) s

Îś 3 (s) xs Îś(2s) s

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;3 4:, 3ĂŞÇ&#x2018; 1 lim sâ&#x2020;&#x2019;1 2!

1

0

=

3 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x, Ď&#x20AC;2

2

X nâ&#x2030;¤x

d(n2 ) =

1 3x ln2 x + B x ln x + B x + O x 2 +ÇŤ .

1 2 Ď&#x20AC;2

3 , 2

k

1 Ă&#x2122;

18

=Ă&#x2019;´ X

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

â&#x2C6;&#x161; 1 â&#x2C6;&#x161; 3 x ln2 x B1 â&#x2C6;&#x161; d(n ) = + x ln x + B x + O x 4 +ÇŤ .

2 4Ď&#x20AC; 2 2 2

â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤ x

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n 1Â&#x2DC;Â&#x2021;úª. ½Ă&#x201A; X g(s) =

â&#x2C6;&#x17E;

n=1

KdEuler Ă&#x2C6;k

d(n3 ) , ns

Re s > 1.

Y 7 10 4 g(s) = 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p

â&#x2C6;&#x2019;1 Y 1 3 3 3 = 1â&#x2C6;&#x2019; s 1 + s + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p p p p â&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019;2 !

Y 3 1 1 + s 1â&#x2C6;&#x2019; s 1â&#x2C6;&#x2019; s = p p p p â&#x2C6;&#x2019;2

Y 1 2 = 1â&#x2C6;&#x2019; s 1+ s p p p

Îś 4 (s) Y 1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; , Îś 2 (2s) p (ps + 1)2

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s)´Riemann zetaŸê. 2dPerronúªÂ&#x152; X

d(n3 ) =

nâ&#x2030;¤x

=Ă&#x2019;´

1 6 3 2 C x ln x + C x ln x + C x ln x + C x + O x 2 +ÇŤ , 0 1 2 3 Ď&#x20AC;4 1

X

1

nâ&#x2030;¤x 3

1 6C0 x 3 ln3 x C1 13 2 C2 13 1 3 + O d(n ) = + x ln x + x ln x + C x x 6 +ÇŤ , 3 27Ď&#x20AC; 4 9 3 3

l y² Ă&#x161;n2.4.2. y3y²½n2.4.1. dĂ&#x161;n2.4.1Â&#x2020;Ă&#x161;n2.4.2, k X

d(n)

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

=

X

nâ&#x2030;¤x

d(n) â&#x2C6;&#x2019;

X â&#x2C6;&#x161;

nâ&#x2030;¤ x

d(n2 ) â&#x2C6;&#x2019;

X

1

nâ&#x2030;¤x 3



d(n3 ) + O 

X

X

1 x 4â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤ ln ln 2 nâ&#x2030;¤x k



d(nk )

§2.5

=

X nâ&#x2030;¤x

=

d(n) â&#x2C6;&#x2019;

X

'usquarefree Â&#x2020;squarefull ĂŞ

â&#x2C6;&#x161; nâ&#x2030;¤ x

d(n2 ) â&#x2C6;&#x2019;

X

1

nâ&#x2030;¤x 3



d(n3 ) + O 

19

1

X

x 4â&#x2030;¤kâ&#x2030;¤ ln ln 2



x k +Ǎ 

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 3 x ln x 1 1 1 2 3 3 3 xâ&#x2C6;&#x2019; + A1 x ln x + A2 x ln x + A3 x + A4 x ln x 4Ď&#x20AC; 2 â&#x2C6;&#x161; 1 139 +(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + A5 x + A6 x 3 + O(x 429 +ÇŤ ),

Ă&#x2122;ÂĽA (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , 6)´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. i

§2.5

'usquarefree Â&#x2020;squarefull ĂŞ

p Ç&#x2018;Ă&#x203A;Â&#x192;ĂŞ. ĂŠ?ÂżÂ&#x2020;p pÂ&#x192; ĂŞa, áva â&#x2030;Ą 1 mod p  êf ÂĄÇ&#x2018;a ĂŠ p Â?ĂŞ. XJf = p â&#x2C6;&#x2019; 1, then a ÂĄÇ&#x2018; p Â&#x160;. ½Ă&#x201A;prim(x) Ç&#x2018; p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx Â&#x160;ĂŞ8. d[36] Â&#x152; f

prim(x) =

Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x161; x + O 2Ď&#x2030;(pâ&#x2C6;&#x2019;1) ¡ p log p , pâ&#x2C6;&#x2019;1

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x2020;(q) Ç&#x2018;Euler Ÿê, Ď&#x2030;(q) Ç&#x2018;q Ă&#x2DC;Ă&#x201C;Â&#x192;Ă?f Â&#x2021;ĂŞ. d , Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞXJĂ&#x2DC;U ?Ă&#x203A;Â&#x192;ĂŞ k gÂ&#x2DC; Ă&#x2DC;, Ă&#x2019;ÂĄÇ&#x2018;k-free (k â&#x2030;Ľ 2, Ç&#x2018; ĂŞ). Â&#x2021;L5, Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞq ÂĄÇ&#x2018;k-full, XJp|q Â&#x2026;= p |q. NĂľĂ&#x2020;ÜïĂ&#x201E; Lk-free ĂŞĂ&#x161;k-full ĂŞ 5Â&#x;. ~X, ½Ă&#x201A;Q (x) Ç&#x2018;Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx k-free ĂŞ ĂŞ8, Gegenbauer[10] Â&#x2030;Ă&#x2018; OÂŞ: k

k

Qk (x) =

x + O x1/k , Îś(k)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(k) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê. y3¡Â&#x201A; Ă&#x201E;Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefree ½squarefull Â&#x160; ĂŞ8. d[36] Â&#x152; e ÂĄ ĂźÂ&#x2021;¡K. ¡K2.5.1. p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefree Â&#x160; ĂŞ8Ç&#x2018; Ă&#x2122;ÂĽ

Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1/2 C1 x + O 2Ď&#x2030;(pâ&#x2C6;&#x2019;1) ¡ p1/4 ¡ (log p) ¡ x1/2 , pâ&#x2C6;&#x2019;1 C1 =

Y p

1 â&#x2C6;&#x2019; 1/p2 .

¡K2.5.2. p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefull Â&#x160; ĂŞ8Ç&#x2018;

Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1/3 C2 x1/2 + O 2Ď&#x2030;(pâ&#x2C6;&#x2019;1) ¡ p1/6 ¡ (log p) ¡ x1/3 , pâ&#x2C6;&#x2019;1

1 Ă&#x2122;

20

Ă&#x2122;ÂĽ

Smarandache



ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122; 

 X  1  3/2  C2 = 2  1/q  1 â&#x2C6;&#x2019; , q squallfree  p ( pq )=â&#x2C6;&#x2019;1

d

Ç&#x2018;Legendre Ă&#x17D;Ă&#x2019;. Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞn ÂĄÇ&#x2018;´ p gÂ?{, XJĂ&#x201C;{Â?§x â&#x2030;Ą n mod p k). d[33] ¡Â&#x201A;k ¡K2.5.3. p Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ, 0 < a â&#x2030;¤ 1/128, x > p Â&#x2026;b = b(a) > 0. K p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefree gÂ?{ ĂŞ8Ç&#x2018;

q p

2

1/4+b

3 x + O (x/pa ) . Ď&#x20AC;2

Þã¡KÂĽ Ă&#x2DC; Â&#x2018;Ă&#x2DC;´ . 3 !ÂĽ, ¡Â&#x201A;|^Heath-Brown[14] Ă&#x161;Yoichi Motohashi[30] ­Â&#x2021;ĂłÂ&#x160;, Âą9Dirichlet L- Ÿê 5Â&#x;5Â&#x2030;Ă&#x2018;nÂ&#x2021;Â?Z O ÂŞ. =Ă&#x2019;´y²eÂĄnÂ&#x2021;½n. ½n2.5.1. p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefree Â&#x160; ĂŞ8Ç&#x2018;

pĎ&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) x + O p9/44 x1/2+ÇŤ , 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(2)

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ Ç&#x2018;?Âż ¢ê. ½n2.5.2. p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefull Â&#x160; ĂŞ8Ç&#x2018;

2C3 pĎ&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1/2 x + O p9/44 x1/4+ÇŤ , 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś(2)

Ă&#x2122;ÂĽ C3



 1 1 + 

=  1/2 p1 â&#x2C6;&#x2019; 1 (p1 + 1) p1 6=p

  p1 Y p 1 +  .

â&#x2C6;&#x2019; 1/2 p1 p1 â&#x2C6;&#x2019; p (p1 + 1) p1 6=p Y



½n2.5.3. p Ă&#x2DC;Â&#x2021;Lx squarefree gÂ?{ ĂŞ8Ç&#x2018;

3 9/44 1/2+ÇŤ x + O p x . Ď&#x20AC;2

'usquarefree Â&#x2020;squarefull ĂŞ

§2.5

21

Ç&#x2018; ¤½n y², ¡Â&#x201A;IÂ&#x2021;AÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n2.5.1. Â&#x192;ĂŞp > 2, K

k X Âľ(k) X â&#x20AC;˛ aindn e Ď&#x2020;(k) a=1 k k|pâ&#x2C6;&#x2019;1   pâ&#x2C6;&#x2019;1 , n = Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1)  0, ,

XJ Ç&#x2018; p Â&#x160;; Ă&#x2122;§ Ă&#x2122;ÂĽind n LÂŤn ĂŠ p Âą,Â&#x2021; ½ Â&#x160;Ç&#x2018;. Â?I. y². ĂŤ Šz[38]. Ă&#x161;n2.5.2. ĂŠu q ?ÂżAĂ&#x2020;Ď&#x2021;, ¡Â&#x201A;k 3/16+ÇŤ

L(1/2 + it, Ď&#x2021;) â&#x2030;Ş (q (|t| + 1))

.

y². ĂŤ Šz[14]. Ă&#x161;n2.5.3. Ď&#x2021; Ç&#x2018; q AĂ&#x2020;, Kk Z

T

2

|L(1/2 + it, Ď&#x2021;)| dt 0   X Ď&#x2020;(q)  â&#x2C6;&#x2019; T log(qT /2Ď&#x20AC;) + 2Îł + 2 (log p)/(p â&#x2C6;&#x2019; 1) q p|q

4 â&#x2030;Ş (qT )1/3 + q 1/2 (log qT ) ,

Ă&#x2122;ÂĽ T â&#x2030;Ľ 1, Îł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[30]. Ă&#x161;n2.5.4. Ď&#x2021; Ç&#x2018; p AĂ&#x2020;, ¢êT â&#x2030;Ľ 1, ¡Â&#x201A;k Z

T

0

Ă&#x161;

Z

L(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt â&#x2030;Ş p9/44+ÇŤ

t+1 T

0

Îś(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt â&#x2030;Ş T ÇŤ .

t+1

y². 0 < u < p, dCauchy Ă&#x2DC; ÂŞ, Ă&#x161;n2.5.2 Ă&#x161;Ă&#x161;n2.5.3 k Z

T 0

L(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt

t+1

1 Ă&#x2122;

22

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

Z T

L(1/2 + it, Ď&#x2021;)

L(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt

=

dt +

t+1 t+1 0 u #1/2 1/2 "Z T Z T 2 1 |L(1/2 + it, Ď&#x2021;)| 3/16+ÇŤ 3/16 dt dt â&#x2030;Şu p + t+1 u t+1 u

1/2  Z T d R t |L(1/2 + it, Ď&#x2021;)|2 ds u  â&#x2030;Ş u3/16+ÇŤ p3/16 + T ÇŤ  t+1 u Z

u

â&#x2030;Ş u3/16+ÇŤ p3/16

1/2 + p1/3 T ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;2/3 + p1/2 T ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1 + p1/3 uÇŤâ&#x2C6;&#x2019;2/3 + p1/2 uÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ş u3/16+ÇŤ p3/16 + p1/4 uÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1/2 .

3Þª¼ u = p

1/11

aq ¡Â&#x201A;k

,

Â&#x152; Z

T

0

Z

L(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt â&#x2030;Ş p9/44+ÇŤ .

t+1 T

0

Îś(1/2 + it, Ď&#x2021;)

dt â&#x2030;Ş T ÇŤ .

t+1

y.. Ă&#x161;n2.5.5. ½Ă&#x201A;A Ç&#x2018;squarefree ĂŞ 8Ă&#x153;, Ď&#x2021; Ç&#x2018; p ?ÂżAĂ&#x2020;, Kk ( p

x X ¡ +O x , XJĎ&#x2021; ´ p Ă&#x152;AĂ&#x2020;; p + 1 Îś(2) Ď&#x2021;(n) = x Ă&#x2122;§.

O p , y². w,k X X 1/2+Ǎ

9/44 1/2+ÇŤ

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Âľ2 (n)Ď&#x2021;(n).

Ď&#x2021;(n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

½Ă&#x201A;

nâ&#x2030;¤x

f (s) =

n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

5Âż

â&#x2C6;&#x17E; X Âľ2 (n)Ď&#x2021;(n)

Y

1+

p1

2

Âľ (n)Ď&#x2021;(n) â&#x2030;¤ 1

Ă&#x161;

Ď&#x2021;(p1 ) p1 s

ns

=

,

L(s, Ď&#x2021;) .

L(2s, Ď&#x2021;2 )

â&#x2C6;&#x17E; X

2

Âľ (n)Ď&#x2021;(n) nâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192; â&#x2030;¤ Îś(Ď&#x192;). n=1

'usquarefree Â&#x2020;squarefull ĂŞ

§2.5

s

0

= Ď&#x192;0 + it0 ,

23

KdPerron úªÂ&#x152;

X Âľ2 (n)Ď&#x2021;(n) nâ&#x2030;¤x

ns0

1 2Ď&#x20AC;i

=

b+iT

f (s + s0 )

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

xs ds s

xb Îś(b + Ď&#x192;0 ) +O T

log x +O x1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 min 1, T

x â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x min 1, . ||x||

=Ă&#x2019;´ X

Z

Ď&#x2021;(n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

1 2Ď&#x20AC;i

Z

b+iT bâ&#x2C6;&#x2019;iT

L(s, Ď&#x2021;) xs ds L(2s, Ď&#x2021;2 ) s

xb Îś(b) +O T

log x +O x min 1, .

T

XJĎ&#x2021; Ç&#x2018; p Â&#x161;Ă&#x152;AĂ&#x2020;, K3Þª¼ b = 1/2, T = x , dĂ&#x161;n2.5.4 N ´ 1/2

X

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ď&#x2021;(n) â&#x2030;Ş

T

Z

0

L(1/2 + it, Ď&#x2021;) x1/2+ÇŤ

1/2+ÇŤ

L(1 + 2it, Ď&#x2021;2 ) (t + 1) dt + O x

â&#x2030;Ş p9/44 x1/2+ÇŤ .

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, XJĎ&#x2021; Ç&#x2018; p Ă&#x152;AĂ&#x2020;, duL(s, Ď&#x2021;) = Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; p T = x , ¡Â&#x201A;k

â&#x2C6;&#x2019;s

),

K b = 2,

3/2

1 Ď&#x2021;(n) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Z

2+iT

2â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;s ) xs ds + O x1/2+ÇŤ . â&#x2C6;&#x2019;2s Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; p ) s

y3rĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ls = 2 Âą iT ÂŁ s = 1/2 Âą iT . dÂ&#x17E;, Ÿê Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;s ) xs Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;2s ) s

3s = 1 ?kÂ&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2DC; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

p x . p + 1 Îś(2)

1 Ă&#x2122;

24

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

¤¹ 1 2Ď&#x20AC;i

Z

2+iT

+

2â&#x2C6;&#x2019;iT

Ă&#x2014; =

5Âż OÂŞ

Z

1/2+iT

+

2+iT

Z

1/2â&#x2C6;&#x2019;iT

+

1/2+iT

â&#x2C6;&#x2019;s

s

Z

2â&#x2C6;&#x2019;iT 1/2â&#x2C6;&#x2019;iT

!

Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; p ) x ds Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;2s ) s

p x . p + 1 Îś(2) 1 2Ď&#x20AC;i Z â&#x2030;Ş

1/2+iT

Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;s ) xs ds Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;2s ) s 2+iT

2

Îś(Ď&#x192; + it) x2+ÇŤ

Îś(2Ď&#x192; + 2it) T dĎ&#x192;

Z

1/2 2+ÇŤ

â&#x2030;Ş

x T

= x1/2+ÇŤ ,

Z 2â&#x2C6;&#x2019;iT 1 Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;s ) xs ds 2Ď&#x20AC;i 1/2â&#x2C6;&#x2019;iT Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;2s ) s

Z 2

Îś(Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; it) x2+ÇŤ

dĎ&#x192; â&#x2030;Ş

1/2 Îś(2Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 2it) T

â&#x2030;Ş

Ă&#x161;

x2+ÇŤ = x1/2+ÇŤ T

1 2Ď&#x20AC;i Z â&#x2030;Ş

0 1/2+ÇŤ

â&#x2030;Şx

Ă?dk X

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ď&#x2021;(n) =

1/2â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś(s)(1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;s ) xs ds â&#x2C6;&#x2019;2s ) s 1/2+iT Îś(2s)(1 â&#x2C6;&#x2019; p

T

Îś(1/2 + it) x1/2+ÇŤ

Îś(1 + 2it) (t + 1) dt

Z

,

p x ¡ + O x1/2+Ǎ , p + 1 Μ(2)

XJĎ&#x2021; ´ p Ă&#x152;AĂ&#x2020;.

y.. Ă&#x161;n2.5.6. ½Ă&#x201A; B Ç&#x2018;squarefull ĂŞ 8Ă&#x153;, Ď&#x2021; Ç&#x2018; p ?ÂżAĂ&#x2020;, Kk 

 2f (Ď&#x2021;)px X +O x , XJĎ&#x2021; ´ p Ă&#x152;AĂ&#x2020;; Ď&#x2021;(n) = (p + 1) Îś(2)  O p x , Ă&#x2122;§, 1/2

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B

9/44 1/4+ÇŤ

1/4+ÇŤ

2

§2.5

Ă&#x2122;ÂĽ

'usquarefree Â&#x2020;squarefull ĂŞ

 ) Ď&#x2021;(p 1 1 + .

f (Ď&#x2021;) = 1/2 p1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;(p1 ) (p1 + 1) p1 6=p Y



y². ½Ă&#x201A;Ÿêa(n) Xe:

  1, Ď&#x2021;(n), a(n) =  0,

w,

X

XJ n = 1; XJ n Ç&#x2018;squarefull ĂŞ; XJ n Ă&#x2DC;Ç&#x2018;squarefull ĂŞ. Ď&#x2021;(n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B

â&#x2C6;&#x17E; X a(n) n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk = = =

= Ď&#x192;0

,

Ď&#x2021;2 (p1 ) Ď&#x2021;3 (p1 ) 1+ + + ¡¡¡ p1 2s p1 3s p1

Y Ď&#x2021;2 (p1 ) ps 1+ ¡ s p2s p â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;(p) 1 p1

Y Ď&#x2021;2 (p1 ) Y Ď&#x2021;3 (p1 ) 1+ 1 + 2 p2s (ps1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;(p)) (p2s 1 1 + Ď&#x2021; (p)) p1 p1

L(2s, Ď&#x2021;2 ) Y Ď&#x2021;3 (p1 ) .

1 + 2 L(4s, Ď&#x2021;4 ) p (ps1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;(p)) (p2s 1 + Ď&#x2021; (p)) Y

Ă&#x161; X |a(n)| n + it , KdPerron úªÂ&#x152; â&#x2C6;&#x17E;

|a(n)| â&#x2030;¤ 1

0

ns

1

5Âż s

a(n).

nâ&#x2030;¤x

f (s) =

f (s) =

X

n=1

â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;

â&#x2030;¤ Îś(Ď&#x192;).

0

X a(n) nâ&#x2030;¤x

ns0

=

1 2Ď&#x20AC;i

Z

b+iT

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

f (s + s0 )

xs ds s

xb Îś(b + Ď&#x192;0 ) +O T

log x 1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x min 1, T

x â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192;0 +O x min 1, . ||x||

25

1 Ă&#x2122;

26

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

=Ă&#x2019;´ X

Ď&#x2021;(n)

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B b+iT

s Ď&#x2021;3 (p1 ) x L(2s, Ď&#x2021;2 ) Y ds 1+ s 2s 4 2 (p1 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;(p)) (p1 + Ď&#x2021; (p)) s bâ&#x2C6;&#x2019;iT L(4s, Ď&#x2021; ) p 1 b

x Îś(b) log x +O + O x min 1, .

T T

1 = 2Ď&#x20AC;i

Z

|^Ă&#x161;n2.5.5 ÂĽ Â?{¡Â&#x201A;Â&#x152; 

XJĎ&#x2021; ´ p Ă&#x152;AĂ&#x2020;; Ă&#x2122;§.

 2f (Ď&#x2021;)px1/2 + O x1/4+ÇŤ , Ď&#x2021;(n) = (p + 1) Îś(2)  nâ&#x2030;¤x O p9/44 x1/4+ÇŤ ,

2

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

y.. y3¡Â&#x201A;5y²½n. ½Ă&#x201A;C Ç&#x2018; p Â&#x160;Â&#x192;8. 5Âż Ď&#x2021;a,k (n) = e

aindn k

´ p AĂ&#x2020;, Ď&#x2021; Ç&#x2018;Ă&#x152;AĂ&#x2020; Â&#x2026;= k = 1. Ă?ddĂ&#x161;n2.5.1 Ă&#x161;Ă&#x161;n2.5.5 k a,k

X

=

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2C6;&#x2C6;C

k Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) X Âľ(k) Xâ&#x20AC;˛ X aindn e pâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;(k) a=1 nâ&#x2030;¤x k k|pâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A (n,p)=1

=

k Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) X Âľ(k) Xâ&#x20AC;˛ X Ď&#x2021;a,k (n) pâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;(k) a=1 nâ&#x2030;¤x k|pâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

pĎ&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) x + O p9/44 x1/2+ÇŤ .

2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(2)

ĂšĂ&#x2019;y² ½n2.5.1.

5Âż Ď&#x2021; Ç&#x2018;Ă&#x152;AĂ&#x2020; Â&#x2026;= k = 1 ½k = 2. Ă?ddĂ&#x161;n2.5.1 Ă&#x161;Ă&#x161;n2.5.6 Â&#x152; 2 a,k

X

=

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B nâ&#x2C6;&#x2C6;C

k Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) X Âľ(k) Xâ&#x20AC;˛ X aindn e pâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;(k) a=1 nâ&#x2030;¤x k k|pâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2C6;B (n,p)=1

=

k Ď&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) X Âľ(k) Xâ&#x20AC;˛ X Ď&#x2021;a,k (n) pâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x2020;(k) a=1 nâ&#x2030;¤x k|pâ&#x2C6;&#x2019;1

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

§2.6 Smarandache

=

Â&#x2013;ĂŞ

27

2C3 pĎ&#x2020;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1/2 x + O p9/44 x1/4+ÇŤ .

2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś(2)

ĂšĂ&#x2019;y² ½n2.5.2. ½Ă&#x201A;D Ç&#x2018; p gÂ?{Â&#x192;8, dĂ&#x161;n2.5.5 ¡Â&#x201A;k X

=

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2C6;&#x2C6;D

X1

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

2

1+

n x 1X n = + p 2Îś(2) 2 nâ&#x2030;¤x p nâ&#x2C6;&#x2C6;A

3 x + O p9/44 x1/2+ÇŤ .

2 Ď&#x20AC; .

ĂšĂ&#x2019; ¤ ½n2.5.3 y²

§2.6 Smarandache

Â&#x2013;ĂŞ

Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŞÂĄÇ&#x2018;´1 aSmarandache Â&#x2013;Ă&#x203A;ĂŞ, XJ§ ´óê, ´ÊĂ&#x2122;ĂŞ  Â&#x160;,Â&#x2021;Â&#x2DC;Â&#x2020; Ă&#x2019;C¤Ă&#x203A;ĂŞ. ~X 10, 12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36, 38, 50, 52, ¡ ¡ ¡

Ă&#x2018;´1 aSmarandache Â&#x2013;Ă&#x203A;ĂŞ. A LÂŤ1 aSmarandache Â&#x2013;Ă&#x203A;ĂŞ 8Ă&#x153;. aq/, Â&#x152;½Ă&#x201A;1 aSmarandache Â&#x2013;óê. XJÂ&#x2DC;Â&#x2021;Ă&#x203A;ĂŞ ĂŞÂ Â&#x160;,Â&#x2021;Â&#x2DC;Â&#x2020;Â&#x192; C¤Â&#x2DC;Â&#x2021;óê, oĂšÂ&#x2021;ĂŞ ÂĄÇ&#x2018;1 aSmarandache Â&#x2013;óê. ~X 21, 23, 25, 27, 29, 41, 43, 45, 47, 49, ¡ ¡ ¡

Ă&#x2019;´1 aSmarandacheÂ&#x2013;óê. -B LÂŤ1 aSmarandacheÂ&#x2013;óê 8Ă&#x153;. !ĂŻĂ&#x201E;ÚßaĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n2.6.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

1=

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Â&#x2020;

ln 5 1 x + O x ln 10 2

ln 5 1 1 = x + O x ln 10 .

2 nâ&#x2C6;&#x2C6;B X

nâ&#x2030;¤x

½n2.6.2. ¢êx â&#x2030;Ľ 1, d(n) Ç&#x2018;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê. KkĂŹCúª 3 d(n) = x ln x + 4 nâ&#x2C6;&#x2C6;A X

nâ&#x2030;¤x

3 ln 2 3 Îłâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 2 4

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ

1 Ă&#x2122;

28

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

Smarandache

Â&#x2020; 1 d(n) = x ln x + 4 nâ&#x2C6;&#x2C6;B X

nâ&#x2030;¤x

1 ln 2 1 Îł+ â&#x2C6;&#x2019; 2 2 4

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\ĂźÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n2.6.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ ,

1 1 1 d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x 2 +ÇŤ ), 4 4 x+1

X

nâ&#x2030;¤

2

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler~ĂŞ, ÇŤ ´?¿¢ê. y². s Ç&#x2018;EĂŞ, Re s > 1. ½Ă&#x201A;f (s)Ç&#x2018; f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk

(2n â&#x2C6;&#x2019; 1)s

Y

2 3 f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p p6=2

2 1 = Îś 2 (s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s , 2

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann ZetaŸê.

3Perron úª¼ s = 0, T = x 2nâ&#x2C6;&#x2019;1<x

d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) =

1 2Ď&#x20AC;i

5¿ Ÿê

Z

3 2 +iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018; 1 lim sâ&#x2020;&#x2019;1 1!

1 (s â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś (s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s 2 2 2

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler~ĂŞ. KÂ&#x152;

2

p6=2

1 1â&#x2C6;&#x2019; s p

2

, b = 3/2,

2 s 1 1 x 2 Îś (s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s ds + O x 2 +ÇŤ .

2 s

1 Îś (s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s 2 2

=

Y

Â&#x152;

1/2

0

X

.

xs s

!â&#x20AC;˛

2

xs s

1 1 = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)x, 4 4

1 1 1 d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) = x ln x + (2Îł + 2 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x 2 +ÇŤ ).

4 4 2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x X

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n2.6.1.

§2.6 Smarandache

Â&#x2013;ĂŞ

29

Ă&#x161;n2.6.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

ln 5 1 = O x ln 10

X

ln 5 1 = O x ln 10 .

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

Â&#x2020;

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2C6;B / 2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

y². kÇ&#x2018; ĂŞ, áv10

k

â&#x2030;¤ x < 10k+1 .

X 1 â&#x2030;¤ 5k .

w,kk â&#x2030;¤ log x < k + 1. ´y

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

l k

X

ln 5

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

aqÂ&#x201E;Â&#x152;

1 â&#x2030;¤ 5log x = x ln 10 .

X

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2C6;B / 2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n2.6.2. y3y²½n. dĂ&#x161;n2.6.2 k X

1=

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Âą9

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;B nâ&#x2030;¤x

X

2nâ&#x2030;¤x

1=

X

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

1â&#x2C6;&#x2019;

1â&#x2C6;&#x2019;

ln 5 1 = O x ln 10 .

X

1=

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

X

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

ln 5 1 x + O x ln 10 2

ln 5 1 1 = x + O x ln 10 .

2

l y² ½n2.6.1. ,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, dĂ&#x161;n2.6.1, Ă&#x161;n2.6.2 Âą9 OÂŞd(n) â&#x2030;¤ n k ÇŤ

X

d(n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X

2nâ&#x2030;¤x

=

X nâ&#x2030;¤x

d(2n) â&#x2C6;&#x2019;

d(n) â&#x2C6;&#x2019;

X

d(2n)

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

X

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019;

X

d(2n)

2nâ&#x2C6;&#x2C6;A / 2nâ&#x2030;¤x

ln 5 1 1 = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x â&#x2C6;&#x2019; x ln x â&#x2C6;&#x2019; (2Îł + 2 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x ln 10 +ÇŤ 4 4

1 Ă&#x2122;

30

=

3 x ln x + 4

aqÂ&#x201E;Â&#x152; X

nâ&#x2C6;&#x2C6;B nâ&#x2030;¤x

3 ln 2 3 Îłâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 2 4

X

d(n) =

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

=

Smarandache

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ .

d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019;

1 x ln x + 4

ĂšĂ&#x2019;y² ½n2.6.2.

§2.7 k

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

X

2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2C6;B / 2nâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2030;¤x

1 ln 2 1 Îł+ â&#x2C6;&#x2019; 2 2 4

d(2n â&#x2C6;&#x2019; 1)

ln 5 x + O x ln 10 +ÇŤ .

gÂ&#x2DC;Ă&#x2013;Ÿê

n, k Ç&#x2018; ĂŞ, Â&#x2026;k â&#x2030;Ľ 2. b (n) ÂĄÇ&#x2018;n k gÂ&#x2DC;Ă&#x2013;Ÿê, XJb (n) ´ nb (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê. ½Ă&#x201A;ĂźÂ&#x2021;# 8Ă&#x153; k

k

k

B = {n â&#x2C6;&#x2C6; N, bk (n) | n}, C = {n â&#x2C6;&#x2C6; N, n | bk (n)}.

!|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸêd(n) 3ÚßÂ&#x2021;8Ă&#x153;Ăž ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Ăź Â&#x2021;ĂžÂ&#x160;úª. ½n2.7.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k 1

X

d(n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B

1 mx m 1 m )f (log x) + O R(p x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2)

Ă&#x2122;ÂĽ 1 m

R(p ) =

p

f (y)

1 1 p m â&#x2C6;&#x2019; 1 (m + 1) + p m 1+ 1 (p + 1)m+1 (p m â&#x2C6;&#x2019; 1)2 m+1 m+1â&#x2C6;&#x2019;i  1 2 P m+1 pm p i  i=2 , â&#x2C6;&#x2019; 1 m+1 2 (p + 1) (p m â&#x2C6;&#x2019; 1)  pm

Y

´'uy ĂľÂ&#x2018;ÂŞ, gĂŞÇ&#x2018;

k+1 m= ,ÇŤ 2

´?¿ ¢ê.

§2.7 k

g Ö¼ê

31

½n2.7.2. é?¿ ¢êx ≥ 1, k

x log x Y (l + 1)(p − 1) 1 d(n) = 1− + Ax + O(x 2 +ǫ ), l+2 ζ(l + 1) p p −p n≤x X

n∈C

Ù¥

Ǒ~ê. y3y²½n. n IO Ïf©)ªǑn = p

k l= ,A 2

α1 α2 1 p2

· · · pαs s ,

Kw,k

bk (n) = bk (pα1 1 pα2 2 · · · pαs s ) = bk (pα1 1 )bk (pα2 2 ) · · · bk (pαs s ).

=b (n) ´ ¼ê. e5ïÄn = p ¹.

(1) α ≥ k, Kdb (n) ½Âkb (n) | n, l n ∈ B.

(2) α ≤ k, Kb (n) = p . dþ , α ≥ α ≤ n ∈ C. y3½Â X α

k

k

k

k−α

k

k 2

f (s) =

n∈B

dEuler Èúªk

k+1 2

n ∈ B,

d(n) . ns

Y d(pm ) d(pm+1 ) f (s) = 1 + ms + (m+1)s + · · · p p p

Y m+1 m+2 = 1 + ms + (m+1)s + · · · p p p

Y ps m+1 m+1 + = 1 + ms + ms s p p (p − 1) pms (ps − 1)2 p 2

=

Ù¥ζ(s) ´ w,k

ζ m+1 (ms) Y pm s (ps − 1)(m + 1) + ps 1 + ζ m+1 (2ms) p (pms + 1)m+1 (ps − 1)2  m+1 P m+1 m(m+1−i)s (ps − 1)2 p i  i=2 , −  (pms + 1)m+1 (ps − 1)2

¼ê

k+1 Riemann zeta ,m= .

2

∞

X d(n)

1

|d(n)| ≤ n,

≤ σ

n σ−1− n=1

1 m

,

1 Ă&#x2122;

32

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 â&#x2C6;&#x2019; m1 ´s ¢Ă&#x153;. K3Perronúª¼ s0 = 0, b =

Â&#x152;

1 d(n) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x X

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

Ă&#x2122;ÂĽ

Z

2 m +iT 2 m â&#x2C6;&#x2019;iT

2 3 , T = x 2m , m

1 Îś m+1 (ms) xs R(s) ds + O x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2ms) s

R(s) =



2

Y 1 + 

pm s ((ps â&#x2C6;&#x2019; 1)(m + 1) + ps ) â&#x2C6;&#x2019; (ps â&#x2C6;&#x2019; 1)2

m+1 P i=2

m+1 i

(pms + 1)m+1 (ps â&#x2C6;&#x2019; 1)2

p

5¿ Ÿê

 pm(m+1â&#x2C6;&#x2019;i)s  . 

Îś m+1 (ms) xs R(s) Îś m+1 (2ms) s

3s = m1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;m + 1 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

(m) R(s)xs m+1 m+1 (ms â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś (ms) m+1 Îś (2ms)s

(m) R(s)xs 1 m = lim (ms â&#x2C6;&#x2019; 1)m+1 Îś m+1 (ms) sâ&#x2020;&#x2019;1 m!

0 Îś m+1 (2ms)s

â&#x20AC;˛ (mâ&#x2C6;&#x2019;1) 1 m R(s)xs m+1 m+1 Îś (ms) + lim (ms â&#x2C6;&#x2019; 1) sâ&#x2020;&#x2019;1 m!

1 Μ m+1 (2ms)s +¡¡¡¡¡¡

(m) 1 m R(s)xs m+1 m+1 + lim (ms â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś (ms) sâ&#x2020;&#x2019;1 m! m Îś m+1 (2ms)s

1 1 mx m 1 = m+1 R f (log x) + O x 2m +ÇŤ , Îś (2) m 1 lim sâ&#x2020;&#x2019;1 m!

Ă&#x2122;ÂĽf (y) ´'uy ĂľÂ&#x2018;ÂŞ, gĂŞÇ&#x2018;k, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ă?dÂ&#x152; 1

Ă&#x2122;ÂĽ 1 R pm

X

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;B

d(n) =

1 mx m 1 m )f (log x) + O R(p x 2m +ÇŤ , Îś m+1 (2)

§2.7 k

=

Y

1+

p

g Ö¼ê

33

Pm+1 1 1 1 pm (p m − 1)(m + 1) + p m − (p m − 1)2 i=2

ùÒy² ½n2.7.1. êk ≥ 2. ½Â dEuler Èúªk

1

(p + 1)m+1 (p m − 1)2

g(s) =

m+1 i

pm+1−i

X d(n) . ns n∈C

X d(n) ns n∈C

Y d(p) d(p2 ) d(pl ) = 1 + s + 2s + · · · + ls p p p p

Y 3 l+1 2 = 1 + s + 2s + · · · + ls p p p p !

Y 1 1 1 1 1 l+1 = 1 + + + + · · · + − ps p2s p3s pls p(l+1)s 1 − p1s p !

1 Y 1 − p(l+1)s l+1 = ζ(s) − (l+1)s 1 p 1 − ps p

ζ 2 (s) Y (l + 1)(ps − 1) = 1− , ζ((l + 1)s) p p(l+2)s − ps

g(s) =

Ù¥

k l= .

2

2dPerron úª y½n2.7.2.

!

.

34

1 Ă&#x2122;

Smarandache

ĂŞ ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ Ă&#x2122;?Ă&#x2DC;'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;

ð ª. §3.1

n Ç&#x2018; ĂŞ. ĂŞm. =Ă&#x2019;´

'uSmarandache Â&#x2DC;Ÿê ÂĄ?ĂŞ Smarandache

SP (n) = min

  

Â&#x2DC;ŸêSP (n) ´Â?ávn | m  m

m : n | nm , m â&#x2C6;&#x2C6; N,

Y p|n

 Y  p= p .  p|m

n Hg,ĂŞÂ&#x17E;, Â&#x152; Smarandache Â&#x2DC;Ÿê ĂŞ {SP (n)} Xe: 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 4, 17, 6, 19, 10, ¡ ¡ ¡

Â&#x160;âSP (n) ½Ă&#x201A;, n Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞÂ&#x2DC;Â&#x17E;, k  XJ 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ p; p,     p , XJ p + 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ 2p ;  SP (n) = p, XJ 2p + 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ 3p ;   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡    XJ (Îą â&#x2C6;&#x2019; 1)p + 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ Îąp . p , n IOÂ&#x192;Ă?êŠ)ÂŞÇ&#x2018;n = p p ¡ ¡ ¡ p . eĂŠ NÎą (i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , r) kÎą â&#x2030;¤ p , KkSP (n) = U (n), Ă&#x2122;ÂĽ 2 3

2

2

3

Îą

Îą

Îą1 Îą2 1 2

i

Îą

Îąr r

i

i

U (n) =

Y

p.

p|n

w,SP (n) Ă&#x2DC;´Â&#x152; Ÿê. ~X

SP (8) = 4, SP (3) = 3, SP (24) = 6 6= SP (3) Ă&#x2014; SP (8).

!ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;SP (n) k' Â&#x2DC;Â&#x2021; ÂĄ?ĂŞ, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; Ă° ÂŞ. ¡ 35 ¡

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

36

½n3.1.1. s ǑEê, ÷vRe s > 1, Kk  s 2 +1 1   ,   2s − 1 ζ(s)  ∞  s n−1 X 2 +1 1 2s − 1 (−1) µ(n) − , = s 2s − 1 ζ(s) 4s  (SP (nk ))  n=1 s s  2 +1 1 2 − 1 3s − 1    s − + , 2 − 1 ζ(s) 4s 9s

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5,

Ù¥µ(n) ǑM¨obius ¼ê, ζ(s) ǑRiemann zeta ¼ê.

5¿ ζ(2) = π6 , ζ(4) = π90 . 3½n¥ s = 2, 4, e¡ ð ª.

2

4

 10   ,   π2 ∞ X (−1)n−1 µ(n)  10 − 2 = 2  π (SP (nk ))  n=1    10 − π2

3 , 16 8 3 + , 16 81

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5,

XJ k = 1, 2; XJ k = 3; XJ k = 4, 5. y3y²½n. 5¿ m Ǒóê , µ(2m) = 0; m ǑÛê , µ(2m) = −µ(m). Ïd  102   ,   π4 ∞ X (−1)n−1 µ(n)  102 − 4 =  π4 (SP (nk ))  n=1    102 − π4

∞ X (−1)n−1 µ(n) n=1

(SP (nk ))

s

15 , 256 15 80 + , 256 6561

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m) = − k s (SP ((2m − 1) ) (SP ((2m)k )s m=1 m=1 =

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m − 1) + . k )s k (2m − 1)k )s (SP ((2m − 1) (SP (2 m=1 m=1

k = 1 ½2 , SPµ(n) ´ ¼ê. ¯¢þé?¿p êm, n, (n ) µ(mn) = 0 , kµ(m) = 0 ½µ(n) = 0, l µ(m)µ(n) = 0. Ïd k

µ(mn) µ(m) µ(n) µ(m) µ(n) = = . k k k k SP (m n ) SP (m ) SP (n ) m n

XJµ(mn) 6= 0, Kkµ(m) 6= 0, µ(n) 6= 0, l SP (mk nk ) = SP (mk )SP (nk ) = mn.

§3.1

'uSmarandache Â&#x2DC;Ÿê ÂĄ?ĂŞ

Ă?d k = 1 ½2 Â&#x17E;,

Âľ(n) Âľ(n) = SP (nk ) n

´Â&#x152; Ÿê. k = 1 ½2 Â&#x17E;, d ÂŞ â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(n) n=1

Âą9Euler Ă&#x2C6;Â&#x152; â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)nâ&#x2C6;&#x2019;1 Âľ(n) s

n=1

(SP (nk ))

ns

Y 1 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s = , p Îś(s) p

â&#x2C6;&#x17E; X

â&#x2C6;&#x17E;

X Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) = + k s (SP ((2m â&#x2C6;&#x2019; 1) )) (SP (2k (2m â&#x2C6;&#x2019; 1)k ))s m=1 m=1

Y 1 1 Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s + s 1â&#x2C6;&#x2019; s p 2 p6=2 p p6=2

â&#x2C6;&#x17E; 1 2s + 1 X Âľ(n) 2s + 1 2s Y 1 â&#x2C6;&#x2019; = = 2s 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 p ps 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 n=1 ns =

2s + 1 1 .

2s â&#x2C6;&#x2019; 1 Îś(s)

ĂšĂ&#x2019;y² ½n 1Â&#x2DC;ÂŤÂ&#x153;š. k = 3 Â&#x17E;, 5Âż SP (2 ) = 4, l k (SPÂľ(1) (2 )) 3

3

Ă?d n=1

s

Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) = s , 3 3 s (SP (2 (2m â&#x2C6;&#x2019; 1) )) 2 (2m â&#x2C6;&#x2019; 1)s

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)nâ&#x2C6;&#x2019;1 Âľ(n)

(SP (n3 ))

s

37

â&#x2C6;&#x17E; X

=

1 , 4s

Âą9

m > 1.

â&#x2C6;&#x17E;

X Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) = + 3 s (SP ((2m â&#x2C6;&#x2019; 1) )) (SP (23 (2m â&#x2C6;&#x2019; 1)3 ))s m=1 m=1 â&#x2C6;&#x17E; X

â&#x2C6;&#x17E; X Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) 1 1 Âľ(2m â&#x2C6;&#x2019; 1) = + sâ&#x2C6;&#x2019; s+ 3 ))s s (2m â&#x2C6;&#x2019; 1)s (SP ((2m â&#x2C6;&#x2019; 1) 4 2 2 m=1 m=1

Y 1 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 1 Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s â&#x2C6;&#x2019; + 1â&#x2C6;&#x2019; s s s p 4 2 p6=2 p p6=2

2s + 1 2s Y 1 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 = 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2s 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 p ps 4s

=

2s + 1 1 2s â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; .

2s â&#x2C6;&#x2019; 1 Îś(s) 4s

ĂšĂ&#x2019;y² ½n 1 ÂŤÂ&#x153;š.

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

38

k = 4 ½5 , 5¿ SP (2 ) = 4, SP (3 ) = 9, l k k

k

µ(2) 1 = s, (SP (2k ))s 4

µ(3) 1 = − s, (SP (3k ))s 9

µ(2m − 1) µ(2m − 1) = s , (SP (2k (2m − 1)k ))s 2 (2m − 1)s

±9

µ(2m − 1) µ(2m − 1) = , k s (SP ((2m − 1) )) (2m − 1)s

m ≥ 2.

KdEuler Èúªk

∞ X (−1)n−1 µ(n) n=1

(SP (nk ))

m > 2,

s

∞ X

∞

X µ(2m − 1) µ(2m − 1) = + k s (SP ((2m − 1) )) (SP (2k (2m − 1)k ))s m=1 m=1

∞ ∞ X X µ(2m − 1) µ(2m − 1) 1 1 1 1 =− s + s + + s− s+ s s (2m − 1)s 9 3 (2m − 1) 4 2 2 m=1 m=1

Y 1 1 1 2s − 1 1 Y 1 =− s + s + 1− s − + s 1− s 9 3 p 4s 2 p6=2 p p6=2

2s + 1 2s Y 1 2s − 1 3s − 1 = 1 − − + 2s 2s − 1 p ps 4s 9s

=

2s + 1 1 2s − 1 3s − 1 − + .

2s − 1 ζ(s) 4s 9s

l ¤ ½n y². §3.2

'un êÜ©±9Ø Ln m g 1 m

m Ǒ ½ ê, ¿½Â¼ê

h 1i am (n) = n m ,

Ù¥[x] L«Ø Lx ê. ~X, a (1) = 1, a (2) = 1, a (3) = 1, a (4) = 2

2

2

2

2, a2 (5) = 2, a2 (6) = 2, a2 (7) = 2, a2 (8) = 2, a2 (9) = 3, a2 (10) = 3, · · · .

n Ǒ ê, w, 3 êk ÷vk bm (n) = km ,

m

≤ n < (k + 1)m .

½Â

§3.2

=b

m (n)

'un ĂŞĂ&#x153;Š¹9Ă&#x2DC;Â&#x2021;Ln  Â&#x152;m gÂ&#x2DC; 1 m

39

´Ă&#x2DC;Â&#x2021;Ln  Â&#x152;m gÂ&#x2DC;. ~X m = 2 Â&#x17E;kb (1) = 1, b (2) = 1, 2

2

b2 (3) = 1, b2 (4) = 4, b2 (5) = 4, b2 (6) = 4, b2 (7) = 4, b2 (8) = 4, b2 (9) = 9, b2 (10) = 9, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ&#x201E;'ua (n) Â&#x2020;b (n) ĂźÂ&#x2021;Dirichlet ?ĂŞ, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ÂŞ. ½n3.2.1. m Ç&#x2018; ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > 1, Dirichlet ?ĂŞ m

m

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n as (n) n=1 m

f (s) =

Ă&#x201A;Ăą, Â&#x2026;k

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n

asm (n)

=

1 2sâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019; 1 Îś(s),

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. ½n3.2.2. m Ç&#x2018; ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > n=1

gm (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n n=1

bsm (n)

=

d½nĂĄ=Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;3.2.1.

n=1 â&#x2C6;&#x17E; X n=1

b22 (n)

=â&#x2C6;&#x2019;

1 2msâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019; 1 Îś(ms).

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n 3 = â&#x2C6;&#x2019; Îś(3), 3 (n) a 4 n=1 m â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n

7 4 Ď&#x20AC; , 720

n=1 â&#x2C6;&#x17E; X

n

(â&#x2C6;&#x2019;1) 31 6 =â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; , 2 b3 (n) 30240

n=1

Ă­Ă&#x2DC;3.2.2. s, m Ç&#x2018; ĂŞ, Â&#x2026;m â&#x2030;Ľ 2. Kk â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n n=1

bsm (n)

?ĂŞ

bsm (n)

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n 1 = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;2, 2 (n) a 12 n=1 m â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n

Dirichlet

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n n=1

Ă&#x201A;Ăą, Â&#x2026;k

1 , m

=

b32 (n)

31 6 Ď&#x20AC; , 30240

(â&#x2C6;&#x2019;1)n 255 =â&#x2C6;&#x2019; Îś(9).

3 b3 (n) 256

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n n=1

=â&#x2C6;&#x2019;

bm s (n)

.

y3y²Ú ½n. Ê?¿ ên, w, k(k + 1) a (n) = k. l k

m

m

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X X (â&#x2C6;&#x2019;1)n f (s) = = as (n) k=1 n=1 n=1 m

am (n)=k

(â&#x2C6;&#x2019;1)n . ks

â&#x2C6;&#x2019; km

Â&#x2021; ĂŞn

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

40

k ǑÛê , k

∞ X

(−1)n −1 = s. s k k

∞ X

(−1)n 1 = s. s k k

n=1 am (n)=k

k Ǒóê , Kk

n=1 am (n)=k

nÜùü« ¹

∞ X

∞ X 1 −1 + s (2t) (2t − 1)s t=1

∞ X

1 − (2t)s

f (s) =

t=1 k=2t

=

t=1 ∞ X

=

t=1

k=2t−1

∞

∞ ∞ X 1 X 1 − ts t=1 (2t)s t=1

!

X 1 2 − . s s 2t ts t=1

w, s > 1 f (s) Âñ, k

∞ X (−1)n 1 f (s) = = − 1 ζ(s). as (n) 2s−1 n=1 m

ùÒy² ½n3.2.1. |^Ó {´y

gm (s) = =

∞ X (−1)n n=1 ∞ X k=1

=

=

∞ X

t=1 k=2t ∞ X t=1

w, s > g(s) Âñ, k 1 m

gm (s) =

l y² ½n3.2.2.

bsm (n) ∞ X

n=1 bm (n)=km

∞ X 1 −1 + ms (2t) (2t − 1)ms t=1

2 2ms tms

∞ X (−1)n n=1

(−1)n kms

bsm (n)

=

−

k=2t−1 ∞ X

1

t=1

1 2ms−1

tms

.

− 1 ζ(ms).

ĂŞ m gÂ&#x2DC;Ă&#x153;Š

§3.3

§3.3

ĂŞ m gÂ&#x2DC;Ă&#x153;Š

n, m Ç&#x2018; ĂŞ, Â&#x2026;m â&#x2030;Ľ 2. ½Ă&#x201A;C

Ç&#x2018; gÂ&#x2DC;Ă&#x153;Š, =Ă&#x2019;´

n m m (n) n n o Cm (n) = min m : dm |n, d â&#x2C6;&#x2C6; N . d n = pÎą1 1 pÎą2 2 ¡ ¡ ¡ pÎąs s , Cm (nm n ) 1 2 = Cm (n2 ),

Kk

Cm (n) = pι1 1 pι2 2 ¡ ¡ ¡ pιs s ,

ĂŠ?Âż ĂŞk, ½Ă&#x201A;Ÿêδ (n) Xe,

Âą9

Îąi â&#x2030;¤ m â&#x2C6;&#x2019; 1.

k

XJ n 6= 0, XJ n = 0.

A LávÂ?§C (n) = δ (n) ĂŞn 8Ă&#x153;. = δk (n) =

max {d â&#x2C6;&#x2C6; N : d | n, (d, k) = 1} , 0,

m

k

A = {n â&#x2C6;&#x2C6; N : Cm (n) = δk (n)} .

!ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;8Ă&#x153;A k' Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; Ă° ÂŞ. ½n3.3.1. m â&#x2030;Ľ 2 ´ ½ ĂŞ. KĂŠ?¿¢ês > 1, k â&#x2C6;&#x17E; 1 X 1 Îś(s) Y 1 â&#x2C6;&#x2019; ps =

2 , ns Îś(ms) 1 n=1 p|k 1 â&#x2C6;&#x2019; pms

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;.

5Âż p

Îś(2) = Ď&#x20AC; 2 /6,

Îś(4) = Ď&#x20AC; 4 /90,

d½nĂĄ=Â&#x152; eÂĄ Â&#x2DC; ÂŞ. Ă­Ă&#x2DC;3.3.1. ½Ă&#x201A;

Îś(6) = Ď&#x20AC; 6 /945,

B = {n â&#x2C6;&#x2C6; N : C2 (n) = δk (n)},

Kk Âą9

C = {n â&#x2C6;&#x2C6; N : C3 (n) = δk (n)}. â&#x2C6;&#x17E; X 1 15 Y p6 = n2 Ď&#x20AC;2 (p2 + 1)(p4 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 p|k

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

â&#x2C6;&#x17E; X 1 305 Y p10 = . n2 2Ď&#x20AC; 4 (p4 + p2 + 1)(p6 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 p|k

nâ&#x2C6;&#x2C6;C

41

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

42

y3y²½n. ½Ă&#x201A;Ÿêa(n) Xe:

1, XJ n â&#x2C6;&#x2C6; A, a(n) = 0, Ă&#x2122;§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 a(n) X 1 = < . ns ns ns n=1 n=1 n=1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

5Âż s > 1 Â&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

Ă&#x201A;Ăą, K s > 1 Â&#x17E;

1 ns

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

Ç&#x2018;Ă&#x201A;Ăą.

y3 Ă&#x201E;8Ă&#x153;A. dC (n) Â&#x2020;δ (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; C (n) Â&#x2020;δ (n) Ă&#x2018;´Â&#x152; Ÿê, Ă?d )Â?§C (n) = δ (n), Â?I Ă&#x201E;n = p Â&#x17E; Â&#x153;š. n = p , (p, k) = 1 Â&#x17E;, C (p ) = δ (p ) k) Â&#x2026;= 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ m â&#x2C6;&#x2019; 1. n = p , p | k Â&#x17E;, KC (p ) = δ (p ) k) Â&#x2026;= m | Îą. dEuler Ă&#x2C6;k nâ&#x2C6;&#x2C6;A

m

m

Îą

m

m

k

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

m

k

Îą

k

k

Îą

k

Îą

Îą

Îą

Îą

=

Y p

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

a(pmâ&#x2C6;&#x2019;1 ) a(p) a(p2 ) 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (mâ&#x2C6;&#x2019;1)s + ¡ ¡ ¡ p p p

a(p) a(p2 ) a(pmâ&#x2C6;&#x2019;1 ) + + ¡ ¡ ¡ + ps p2s p(mâ&#x2C6;&#x2019;1)s pâ&#x2C6;¤k

Y a(p) a(p2 ) a(p3 ) Ă&#x2014; 1 + ms + 2ms + 3ms + ¡ ¡ ¡ p p p p|k

Y 1 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + (mâ&#x2C6;&#x2019;1)s p p p pâ&#x2C6;¤k

Y 1 1 1 Ă&#x2014; 1 + ms + 2ms + 3ms + ¡ ¡ ¡ p p p =

Y

1+

p|k

1

Îś(s) Y 1 â&#x2C6;&#x2019; ps =

2 , Îś(ms) 1 p|k 1 â&#x2C6;&#x2019; pms Y Riemann zeta ,

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´ y².

Ÿê

§3.4

p

LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. dd ¤ ½n

'uk gĂ&#x2013;ĂŞ ÂĄ?ĂŞ

n, k Ç&#x2018; ĂŞ, Â&#x2026;k â&#x2030;Ľ 2. a (n) ÂĄÇ&#x2018;n k gĂ&#x2013;ĂŞ, XJa (n) ´ na (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê. AO/, ŠOÂĄa (n), a (n), a (n) Ç&#x2018;²Â&#x2026;Ă&#x2013;ĂŞ, ĂĄÂ?Ă&#x2013; k

k

2

3

4

k

§3.4

'uk gĂ&#x2013;ĂŞ ÂĄ?ĂŞ

ĂŞ, ogĂ&#x2013;ĂŞ. !ĂŻĂ&#x201E;Dirichlet ?ĂŞ â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 (nak (n))s

5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;AÂ&#x2021;Ă° ÂŞ. ½n3.4.1. s Ç&#x2018;EĂŞ, ávRe s â&#x2030;Ľ 1. Kk â&#x2C6;&#x17E; X n=1

Îś 2 (2s) 1 = , (na2 (n))s Îś(4s)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê. ½n3.4.2. s Ç&#x2018;EĂŞ, ávRe s â&#x2030;Ľ 1. Kk â&#x2C6;&#x17E; X n=1

Îś 2 (3s) Y 1 1 = 1 + 3s , (na3 (n))s Îś(6s) p p +1

Ă&#x2122;ÂĽY Ç&#x2018;LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. p

½n3.4.3. s Ç&#x2018;EĂŞ, ávRe s â&#x2030;Ľ 1. Kk â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 Îś 2 (4s) Y 1 1 = 1 + .

1 + (na4 (n))s Îś(8s) p p4s + 1 p4s + 2

3Þã½n¼ŠO s = 1, 2, ¿5¿

Ď&#x20AC;2 Ď&#x20AC;4 Ď&#x20AC;6 Ď&#x20AC;8 , Îś(4) = , Îś(6) = , Îś(8) = , 6 90 945 9450 691Ď&#x20AC; 12 3617Ď&#x20AC; 16 Îś(12) = , Îś(16) = , 638512875 325641566250 Îś(2) =

l Â&#x152; eÂĄ Â&#x2DC; ÂŞ. Ă­Ă&#x2DC;3.4.1. â&#x2C6;&#x17E; X n=1

â&#x2C6;&#x17E; X

1 5 = ; na2 (n) 2

1 Îś 2 (3) Y 1 = 1+ 3 ; na3 (n) Îś(6) p p +1 n=1

Y

â&#x2C6;&#x17E; X 1 7Y 1 1 = 1+ 4 1+ 4 . na4 (n) 6 p p +1 p p +2 n=1

43

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

44

Ă­Ă&#x2DC;3.4.2. â&#x2C6;&#x17E; X n=1

7 1 = ; 2 (na2 (n)) 6

â&#x2C6;&#x17E; X

715 Y 1 1 ; = 1+ 6 (na3 (n))2 691 p p +1 n=1

Y

â&#x2C6;&#x17E; X 7293 Y 1 1 1 = 1+ 8 1+ 8 . (na4 (n))2 7234 p p +1 p p +2 n=1

y3y²½n. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = l m, Ă&#x2122;ÂĽm Ç&#x2018; ²Â?Ă?fĂŞ, K da (n) ½Ă&#x201A;k 2

2

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 (na2 (n))s

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X X |Âľ(m)| |Âľ(m)| = = 2 s (l mm) l2s m2s l=1 m=1 l=1 m=1

Y 1 Îś 2 (2s) = Îś(2s) , 1 + 2s = p Îś(4s) p

Ă&#x2122;ÂĽÂľ(n) Ç&#x2018;M¨obius Ÿê. ĂšĂ&#x2019;y² ½n3.4.1. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = l m r, Ă&#x2122;ÂĽ(m, r) = 1, rm ´ ²Â&#x2026;Ă?fĂŞ, K da (n) ½Ă&#x201A;k 3

2

3

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 (na3 (n))s

=

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X |Âľ(m)||Âľ(r)| (l3 m2 rmr 2 )s l=1 m=1 r=1 (m,r)=1

= Îś(3s)

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X |Âľ(m)| X |Âľ(r)| m3s r 3s m=1 r=1 (m,r)=1

â&#x2C6;&#x17E; X

|Âľ(m)| Y 1 = Îś(3s) 1 + 3s m3s p m=1 =

=

=

pâ&#x2C6;¤m

â&#x2C6;&#x17E; Îś (3s) X |Âľ(m)| Y 1

3s 1 Μ(6s) m=1 m p|m 1 + p3s   Μ 2 (3s) Y  1

 1+ Μ(6s) p p3s 1 + p13s   2 Y Μ (3s) 1  1 + .

1 Îś(6s) p p3s + 1 2

p3s

ĂšĂ&#x2019;y² ½n3.4.2.

'uk gÖê ð ª

§3.5

45

é?¿ ên, n = l m r t, Ù¥(m, r) = 1, (mr, t) = 1, mrt ´ ² Ïfê, Kda (n) ½Âk 4

3 2

4

∞ X

1 (na4 (n))s

n=1 ∞ X ∞ X ∞ X ∞ X

=

l=1 m=1 r=1 t=1 (m,r)=1 (mr,t)=1

= ζ(4s)

|µ(m)||µ(r)||µ(t)| (l4 m3 r 2 tmr 2 t3 )s

∞ X ∞ X |µ(m)||µ(r)|

m=1 r=1 (m,r)=1

m4s r 4s

∞ X

t=1 (mr,t)=1

|µ(t)| t4s

∞ ∞ ζ 2 (4s) X X |µ(m)||µ(r)| Y 1 = 4s 4s ζ(8s) m=1 r=1 m r 1 + p14s p|mr (m,r)=1

∞ ∞ Y ζ (4s) X X |µ(m)||µ(r)| Y 1 1 1 4s 4s ζ(8s) m=1 r=1 m r 1 + p4s p|r 1 + p14s p|m 2

=

(m,r)=1

∞ Y ζ 2 (4s) X |µ(m)| Y 1 1 1 + ζ(8s) m=1 m4s p4s + 1 1 + p14s p|m p∤m

Q 1 ∞ 2 1 + X Y 4s p p +1 ζ (4s) |µ(m)| 1

= ζ(8s) m=1 m4s 1 + p14s Q 1 + 1

=

p|m

p4s +1

p|m

=

ζ 2 (4s) Y 1 1 1 + 4s .

1 + 4s ζ(8s) p p +1 p +2

ùÒy² ½n3.4.3.

§3.5

'uk gÖê ð ª

n, k Ǒ ê, k ≥ 2. a (n) ¡Ǒn k gÖê. XJa (n) ´ na (n) Ǒk g ê. !ïÄ a (n) k' Dirichlet ?ê, ¿ Ñ ð ª. ½n3.5.1. α, β ǑEê, ÷vRe α ≥ 1, Re β ≥ 1. Kk k

k

k

k

∞ X n=1



Y 1 1 + = ζ(kα)  nα aβk (n) p

1−

1

p(k−1)α+(k−1) pα+(k−1)β − 1

2

β



 , 

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

46

Ă&#x2122;ÂĽÎś(Îą) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. p

½n3.5.2. Îą, β Ç&#x2018;EĂŞ, ávRe Îą â&#x2030;Ľ 1, Re β â&#x2030;Ľ 1. Kk

5Âż

â&#x2C6;&#x17E; X 2(2kÎą â&#x2C6;&#x2019; 1)(2Îą+(k+1)β â&#x2C6;&#x2019; 1) (â&#x2C6;&#x2019;1)n = 1 â&#x2C6;&#x2019; Îś(kÎą) (k+1)Îą+(kâ&#x2C6;&#x2019;1)β â&#x2C6;&#x2019; 2Îąâ&#x2C6;&#x2019;(kâ&#x2C6;&#x2019;1)2 β Îą aβ (n) 2 n k n=1   1 1 â&#x2C6;&#x2019; (kâ&#x2C6;&#x2019;1)Îą+(kâ&#x2C6;&#x2019;1)2 β  Y p 1 + . Ă&#x2014; Îą+(kâ&#x2C6;&#x2019;1)β   p â&#x2C6;&#x2019; 1 p Îś(2) =

Ď&#x20AC;2 , 6

Îś(4) =

Ď&#x20AC;4 , 90 .

Âą9

dÞã½nĂĄ=Â&#x152; eÂĄ Â&#x2DC; Ă° ÂŞ Ă­Ă&#x2DC;3.5.1. 3Þã½nÂĽ Îą = β, k = 2, k â&#x2C6;&#x17E; X n=1

Îś(8) =

Ď&#x20AC;8 .

9450

1 Îś 2 (2Îą) = ; (na2 (n))Îą Îś(4Îą)

â&#x2C6;&#x17E; X

1 Îś 2 (2Îą) 4Îą â&#x2C6;&#x2019; 1 ¡ ; = (na2 (n))Îą Îś(4Îą) 4Îą + 1

â&#x2C6;&#x17E; X

(â&#x2C6;&#x2019;1)n Îś 2 (2Îą) 3 â&#x2C6;&#x2019; 4Îą = ¡ . (na2 (n))Îą Îś(4Îą) 1 + 4Îą

n=1 2â&#x2C6;¤n

n=1

Ă­Ă&#x2DC;3.5.2. 3Ă­Ă&#x2DC;3.5.1 ÂĽ Îą = β = 1 ½ι = β = 2, k = 2, Â&#x152; â&#x2C6;&#x17E; X n=1

â&#x2C6;&#x17E; X n=1 2â&#x2C6;¤n

5 1 = , na2 (n) 2 1 3 = , na2 (n) 2

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

â&#x2C6;&#x17E; X n=1 2â&#x2C6;¤n

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n 1 =â&#x2C6;&#x2019; , na2 (n) 2 n=1

1 7 = ; 2 (na2 (n)) 6 1 35 = ; (na2 (n))2 34

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

(â&#x2C6;&#x2019;1)n 91 =â&#x2C6;&#x2019; .

2 (na2 (n)) 102

y3y²½n. ĂŠ?Âż ĂŞn, n = m l, Ă&#x2122;ÂĽl Ç&#x2018; k gĂ?fĂŞ, K da (n) ½Ă&#x201A;k k

k

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

X

Âľ(d)

X

Âľ(d) â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X k k 1 d |l d |l = = Îś(kÎą) Îą+(kâ&#x2C6;&#x2019;1)β l nÎą aβk (n) m=1 l=1 mkÎą lÎą l(kâ&#x2C6;&#x2019;1)β l=1

§3.5

= ζ(kα)

Y

1+

p

'uk gÖê ð ª 1

pα+(k−1)β

+

1 p2(α+(k−1)β)

1

+ ··· +

1



47

p(k−1)(α+(k−1)β)



1 − (k−1)(α+(k−1)β)  Y 1 p 1 +  α+(k−1)β   1 p p 1 − α+(k−1)β p   1 1 − (k−1)α+(k−1)2 β Y  p  , 1 + = ζ(kα)   α+(k−1)β − 1 p p = ζ(kα)

Ù¥µ(n) ǑM¨obius ¼ê. ùÒy² ½n3.5.1. , ¡, ØJy² ∞ X

1

nα aβk (n) n=1 2∤n

=

=

∞ X ∞ X

m=1 l=1 2∤mk l

X

µ(d)

dk |l

mkα lα l(k−1)

µ(d) ∞ ∞ X X k 1 d |l = kα m lα+(k−1) m=1 l=1 2∤m

2∤l



Y 2kα − 1 ζ(kα)(2α+(k−1)β − 1) 1 + 2kα 2α+(k−1)β − 2(k−1)(α+(k−1)β) p  

α

=

X

ζ(kα)(2k − 1)2α+(k−1)β Y  1 + 2 2(k+1)α+(k−1)β − 2α−(k−1) β p 

1

1−

1−



p(k−1)α+(k−1)2 β   pα+(k−1)β − 1 

1



p(k−1)α+(k−1)2 β  . pα+(k−1)β − 1 

2d½n3.5.1

∞ ∞ ∞ X X X (−1)n 1 1 = −2 β β α α α n ak (n) n=1 n ak (n) n aβk (n) n=1 n=1 2∤n

=

α

1−

2(2k − 1)(2α+(k−1)β − 1)

2(k+1)α+(k−1)β − 2(k−1)

l y² ½n3.5.2.

2

β−α

ζ(kα)



Y 1 +  p

1−

1



p(k−1)α+(k−1)2 β  . pα+(k−1)β − 1 

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

48

'uĂźÂ&#x2021;Ÿê Dirichlet ?ĂŞ

§3.6

ĂŠ?Âż ĂŞn, ½Ă&#x201A;ŸêZ (n) Ă&#x161;Z(n) Xe: â&#x2C6;&#x2014;

m(m + 1) â&#x2030;¤n , Zâ&#x2C6;&#x2014; (n) = max m â&#x2C6;&#x2C6; N : 2

Âą9

m(m + 1) Z(n) = min m â&#x2C6;&#x2C6; N : n â&#x2030;¤ .

2

=Ă&#x2019;´`, Z (n) Láv â&#x2C6;&#x2014;

 Â&#x152; ĂŞm, Z(n) Láv

m(m + 1) â&#x2030;¤n 2

nâ&#x2030;¤

m(m + 1) 2

 êm. ~X, Z (1) = 1, Z (2) = 1, Z (3) = 2, Z (4) = 2, Z (5) = 2, Z (6) = 3, â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x2014;

Zâ&#x2C6;&#x2014; (7) = 3, Zâ&#x2C6;&#x2014; (8) = 3, Zâ&#x2C6;&#x2014; (9) = 3, ¡ ¡ ¡ , Z(1) = 1, Z(2) = 2, Z(3) = 2, Z(4) = 3, Z(5) = 3, Z(6) = 3, Z(7) = 4, Z(8) = 4, Z(9) = 4, Z(10) = 4, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;Z (n) Ă&#x161;Z(n) k' Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; Ă° ÂŞ. ½n3.6.1. ĂŠ?ÂżEĂŞs, ÂĄ?ĂŞ â&#x2C6;&#x2014;

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n (Zâ&#x2C6;&#x2014; (n))s n=1

Â&#x2020;

â&#x2C6;&#x17E; X (â&#x2C6;&#x2019;1)n , s (Z(n)) n=1

s > 0 Â&#x17E;Ă&#x201A;Ăą, s â&#x2030;¤ 0 Â&#x17E;uĂ&#x2018;. ½n3.6.2. s Ç&#x2018;EĂŞ, ávRe s > 2, Kk Â&#x2020;

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 = Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) + Îś(s) (Zâ&#x2C6;&#x2014; (n))s â&#x2C6;&#x17E; X n=1

1 = Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1), (Z(n))s

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê.

'uü ¼ê Dirichlet ?ê

§3.6

½n3.6.3. n Ǒ ê, s ǑEê, Re s > 1, Kk ∞ X (−1)n 2 1 = s ζ(s) − s ζ(s) s (Z (n)) 4 2 ∗ n=1

±9

∞ X (−1)n 1 2 1 = 1 − s ζ(s) − s ζ s, , (Z(n))s 2 4 4 n=1

Ù¥ζ(s, α) ǑHurwitz zeta ¼ê. d½n3.6.3 e¡ íØ. íØ3.6.1.

X ∞

n=1

y3y²½n. b

KZ (n) = m k

(−1)n π2 = − .

(Z∗ (n))2 16

m(m + 1) (m + 1)(m + 2) ≤n< , 2 2

∗

), l

(m + 1)(m + 2) m(m + 1) − =m+1 2 2 ∞ X (−1)n = (Z∗ (n))s n=1

∞ X

n=1 Z∗ (n)=m

(−1)n (m + 1) . ms

m ǑÛê , þ¡ Ñ- . m Ǒóê , Kk ∞ X (−1)n (Z∗ (n))s n=1

Ón

1 1 1 (−1)n + − + · · · + + ··· 2s 4s 6s (2n)s

1 1 1 1 − + + ··· . = − s 2 1s 2s 3s = −

∞ X (−1)n 1 1 1 1 (−1)n = − + − + + · · · + + ··· .

(Z(n))s 1s 3s 5s 7s (2n − 1)s n=1

l y² ½n3.6.1. b m(m + 1) 2

≤n<

(m + 1)(m + 2) , 2

49

1nร 'uย Smarandache ยผรช ยก?รช

50

KZ (n) = m k โ

(m + 1)(m + 2) m(m + 1) โ =m+1 2 2

ย ), ร d โ X n=1

โ X 1 m+1 = = ฮถ(s โ 1) + ฮถ(s).

(Zโ (n))s m=1 ms

|^ร ย {ย โ X n=1

โ X 1 = (Z(n))s m=1

m(m + 1) (m โ 1)m โ 2 2 = ฮถ(s โ 1). ms

รนร yยฒ ยฝn3.6.2. e5yยฒยฝn3.6.3. ร nยดy โ X (โ 1)n (Zโ (n))s n=1

ยฑ9 โ X (โ 1)n (Z(n))s n=1

l ย ยฝn3.6.3.

1 1 1 (โ 1)n + โ + ยท ยท ยท + + ยทยทยท 2s 4s 6s (2n)s

1 1 1 1 = โ s + s + s + ยทยทยท + + ยทยทยท 2 6 10 (4n โ 2)s

1 1 1 + + s + ยทยทยท + + ยทยทยท s 4 8 (4n)s

1 1 1 1 = โ s + + ยทยทยท + + ยทยทยท 2 1s 3s (2n โ 1)s

1 1 1 1 + + ยทยทยท + + ยทยทยท + s 2 2s 4s (2n)s 2 1 = ฮถ(s) โ s ฮถ(s), 4s 2 = โ

= โ

1 1 1 (โ 1)n + โ + ยท ยท ยท + + ยทยทยท 1s 3s 5s (2n โ 1)s

1 1 1 1 = + + + ยทยทยท + + ยทยทยท 1s 3s 5s (2n โ 1)s

1 1 1 โ 2 + + ยทยทยท + + ยทยทยท 1s 5s (4n โ 3)s

1 2 1 = 1 โ s ฮถ(s) โ s ฮถ s, .

2 4 4

§3.7

§3.7

Euler ¼êk' §

51

Euler ¼êk' §

é?¿ ên ≥ 1, Euler ¼êφ(n) ´ Ø Ln n p ê ê 8. d ½ÂJ(n) Ǒ n AÆ ê8, ¿-A L«÷v § φ2 (n) = nJ(n)

ên 8Ü. !ïÄ A k' Dirichlet ?ê Âñ5, ¿ Ñ ð ª. ½n3.7.1. é?¿¢ês > 12 , k ∞ X ζ(2s)ζ(3s) 1 = , s n ζ(6s) n=1

n∈A

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê. s = 1 2, ¿5¿ ζ(2) = π 2 /6,

ζ(6) = π 6 /945,

ζ(4) = π 4 /90, ζ(12) = 691π 12 /638512875,

á= e¡ ª: ∞ X 1 315 = 4 ζ(3) n 2π n=1

±9

n∈A

∞ X 1 15015 1 = .

2 2 n 1382 π n=1

n∈A

y3y²½n. 5¿ φ(n) J(n) Ñ´ ¼ê. d? n = p , k α

J(p) = p − 1,

φ(p) = p − 1,

J(pα ) = pα−2 (p − 1)2

±9φ(p ) = p (p − 1). K ©n« ¹ Ä §φ (n) = nJ(n) ). (a) w,n = 1 ´ § ). (b) n > 1 , n = p p · · · p α ≥ 2(i = 1, 2, · · · , k). Kk α

α−1

2

α1 α2 1 2

±9

αs s

i

J(n) = pα1 1 −2 (p1 − 1)2 · · · pαk k −2 (pk − 1)2 2 φ2 (n) = pα1 1 −1 (p1 − 1)pα2 2 −1 (p2 − 1) · · · pαk k −1 (pk − 1) .

3ù« ¹e, n Ǒ´ § ).

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

52

(c)

n = p p

Îą

1 2

r+1 ¡ ¡ ¡ pr pr+1 ¡ ¡ ¡ pιk k ,

p1 < p2 < ¡ ¡ ¡ < pr ,

Ă&#x2122;ÂĽ

Îąj > 1,

KĎ&#x2020; (n) = nJ(n) Â&#x2026;=

j = r + 1, r + 2, ¡ ¡ ¡ , k,

2

Ď&#x2020;2 (p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr ) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr J(p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr )

½Ü

(p1 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (p2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 ¡ ¡ ¡ (pr â&#x2C6;&#x2019; 1)2 = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pr (p1 â&#x2C6;&#x2019; 2)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 2) ¡ ¡ ¡ (pr â&#x2C6;&#x2019; 2).

w,p Ă&#x2DC;U Ă&#x2DC;(p â&#x2C6;&#x2019; 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) ¡ ¡ ¡ (p â&#x2C6;&#x2019; 1) . K3TÂ&#x153;/eÂ?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n)

). nĂ&#x153;¹ÞÂ&#x153;šÂ&#x152; , Â?§Ď&#x2020; (n) = nJ(n) ¤å Â&#x2026;= n = p p ¡ ¡ ¡ p , Ă&#x2122; ÂĽÎą > 1, ½Ün = 1, =A ´1 Âą9¤kSquare-full ĂŞ 8Ă&#x153;. ½Ă&#x201A;Ÿêa(n) Xe:

1, XJ n â&#x2C6;&#x2C6; A, a(n) = 0, Ă&#x2122;§. ĂŠ?¿¢ês > 0, w,k r

2

1

2

2

2

r

2

Îą1 Îą2 1 2

2

Îąs s

i

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 = . s n ns n=1 n=1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

5Âż s > 1 Â&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

=

â&#x2C6;&#x17E; X

1 ns n=1 Y p

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

Y

Ă&#x201A;Ăą, KdEuler Ă&#x2C6;Â&#x152; a(p2 ) a(p3 ) 1 + 2s + 3s + ¡ ¡ ¡ p p

1+

p

=

Y p2s â&#x2C6;&#x2019; ps + 1 p

=

Y p

=

1 1 + 3s + ¡ ¡ ¡ 2s p p

p2s

â&#x2C6;&#x2019;

ps

=

Y p

=

Y p



1 +

p3s + 1 â&#x2C6;&#x2019; 1)

1

p2s 1 â&#x2C6;&#x2019;



ps (p2s

Y 1 â&#x2C6;&#x2019; p16s p6s â&#x2C6;&#x2019; 1 = ps (p2s â&#x2C6;&#x2019; 1)(p3s â&#x2C6;&#x2019; 1) (1 â&#x2C6;&#x2019; p12s )(1 â&#x2C6;&#x2019; p

Îś(2s)Îś(3s) , Îś(6s)

1 ps



1 ) p3s

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. ĂšĂ&#x2019;y² ½n3.7.1. p

§3.8

§3.8

Â&#x2DC;aDirichlet ?ĂŞ9Ă&#x2122;Ă° ÂŞ

53

Â&#x2DC;aDirichlet ?ĂŞ9Ă&#x2122;Ă° ÂŞ

n, m Ç&#x2018; ĂŞ, Â&#x2026;m â&#x2030;Ľ 2. n m gĂ&#x2013;ĂŞb (n) ´Â? nb (n) Ç&#x2018;m g Â&#x2DC;  ê. ĂŠ?Âż ĂŞk, ½Ă&#x201A;Ÿêδ (n) Xe:

max{d â&#x2C6;&#x2C6; N : d | n, (d, k) = 1}, XJ n â&#x2030;¤ 0, δ (n) = 0, XJ n = 0.

A LávÂ?§δ (n) = b (n) ¤k ĂŞn 8Ă&#x153;. !ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;8Ă&#x153;A k ' Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; Ă° ÂŞ. ½n3.8.1. m Ç&#x2018; óê. KĂŠ?¿¢ês > 1 Âą9 ĂŞk, k m

k

k

k

â&#x2C6;&#x17E; X

n=1 nâ&#x2C6;&#x2C6;A

m

m 3 s Y 1 p 2 ms 2 1 , = ns Îś(ms) (pms â&#x2C6;&#x2019; 1) p 2 ms â&#x2C6;&#x2019; 1 Îś

p|k

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. p

d½nĂĄ=Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;3.8.1. ½Ă&#x201A;B = {n : n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}. Kk k

2

â&#x2C6;&#x17E; X 15 Y 1 p6 = . n2 Ď&#x20AC;2 (p4 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p2 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 p|k

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

Ă­Ă&#x2DC;3.8.2. ½Ă&#x201A;C = {n : n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}. Kk k

4

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 105 Y p12 = = . n2 n4 Ď&#x20AC;4 (p8 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p4 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 n=1 p|k

nâ&#x2C6;&#x2C6;C

nâ&#x2C6;&#x2C6;B

Ă­Ă&#x2DC;3.8.3. ½Ă&#x201A;C = {n : n â&#x2C6;&#x2C6; N, δ (n) = b (n)}. Kk k

4

â&#x2C6;&#x17E; X 1 675675 1 Y p18 = . n3 691 Ď&#x20AC; 6 (p12 â&#x2C6;&#x2019; 1)(p6 â&#x2C6;&#x2019; 1) n=1 p|k

nâ&#x2C6;&#x2C6;C

y3y²½n. Ê?¿¢ês > 0, w,k

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X 1 1 < . s n ns n=1 n=1

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

m

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

54

du s > 1 Â&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

Ă&#x201A;Ăą, K s > 1 Â&#x17E;

Ç&#x2018;Ă&#x201A;Ăą. y3 Ă&#x201E;8Ă&#x153;A.

â&#x2C6;&#x17E; X 1 ns n=1

n = p p ¡ ¡ ¡ p . dδ (n) Â&#x2020;b (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; δ (n) Â&#x2020;b (n) Ă&#x2018;´Â&#x152; Ÿê.

KÂ?I Ă&#x201E;n = p Â&#x153;/. b n = p Â&#x2026;(p, k) = 1, Kkδ (p ) = p , Âą9  , XJ 1 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ m;  p b (p ) = p , XJ Îą > m Â&#x2026; Îą 6= rm;  1, XJ Îą = rm, Ă&#x2122;ÂĽr ´?Âż ĂŞ , [x] LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx  Â&#x152; ĂŞ. Kδ (p ) = b (p ) Â&#x2026;= m Îą = 2 . b n = p Â&#x2026;(p, k) 6= 1, Kδ (p ) = 1. l Â?§δ (p ) = b (p ) k) Â&#x2026;= n = p , r = 0, 1, 2, ¡ ¡ ¡ . y3dEuler Ă&#x2C6;úªÂ&#x152; Îą1 Îą2 1 2

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Îąs s Îą

k

m

Îą

k

Îą

k

m

Îą

mâ&#x2C6;&#x2019;Îą

Îą m+m[ m ]â&#x2C6;&#x2019;Îą

Îą

m

k

Îą

k

Îą

Îą

m

Îą

k

m

Îą

Îą

rm

â&#x2C6;&#x17E; X 1 s n n=1

=

Y

1+

pâ&#x2C6;¤k

nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

Y

1+

p

=

Îś( m s) 2

Îś(ms)

1 m

p2s 1 m

p2s

Y p|k

Y

1+

p|k

Y p|k

1 pms

+

1 p2ms

+

1 p3ms

+ ¡¡¡

â&#x2C6;&#x2019;1 Y 1 1 1 + m 1 p2s 1 â&#x2C6;&#x2019; pms p|k

3

p 2 ms , 1 (pmsâ&#x2C6;&#x2019;1 )(p 2 ms + 1)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. ĂšĂ&#x2019;y² ½n3.8.1. p

§3.9 p

g ĂŞ

p Ç&#x2018; ½ Â&#x192;ĂŞ, n Ç&#x2018; ĂŞ. p g ĂŞ S (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: p

d ½Ă&#x201A;

Sp (n) = min{m : m â&#x2C6;&#x2C6; N, pn | m!}.

S(n) = min{m : m â&#x2C6;&#x2C6; N, n | m!}.

N´y²S(p) = p Âą9S(n) < n (Ă&#x2DC; n = 4 Âą9n = p Â&#x153;/). l k Ď&#x20AC;(x) = â&#x2C6;&#x2019;1 +

[x] X S(n) n=2

n

,

§3.9 p

g ê

55

Ù¥π(x) L«1 x m ê ê, [x] L«Ø Lx ê. !ïÄ S (n) k' Dirichlet ?ê, ¿ Ñ ð ª ìCúª. ½n3.9.1. é?¿ êp ±9Eês(Re s > 1), k p

∞ X

1

S s (n) n=1 p

=

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê.

AO/, s = 2, 4, p = 2, 3, 5, íØ3.9.1. ∞ X n=1

∞ X

1 π2 = ; 2 S2 (n) 18 4

1

=

S 4 (n) n=1 2

π ; 1350

∞ X

ζ(s) , ps − 1

1 π2 = ; 2 S3 (n) 48

n=1 ∞ X

1

S 4 (n) n=1 3

=

π4 ; 7200

∞ X

1

S 2 (n) n=1 5 ∞ X

=

π2 ; 144

1

S 4 (n) n=1 5

=

π4 .

56160

½n3.9.2. p Ǒ ½ ê. Kéu?¿¢êx ≥ 1, kìCúª ∞ X

n=1 Sp (n)≤x

1 1 = Sp (n) p−1

p ln p ln x + γ + p−1

1 + O x− 2 +ǫ ,

Ù¥γ ´Euler ~ê, ǫ Ǒ?¿ ¢ê. ½n3.9.3. k Ǒ?¿ ê. Kéu?¿ êp ±9¢êx ≥ 1, kìC úª

X ∞

Spk (n) =

n=1 Sp (n)≤x

xk+1 1 + O xk+ 2 +ǫ . (k + 1)(p − 1)

y3y²½n. m = S (n). ep l k p

∞ X n=1

1 s Sp (n)

=

α

k m,

K3ê S (n) ¥m ¬­Eα g. p

∞ ∞ X X X α α = s αs m p ms m=1 pα m=1

pα km ∞ X

(m,p)=1

α 1 ζ(s) 1 − pαs ps α=1

∞ X 1 α = 1 − s ζ(s) . p pαs α=1 =

1nÙ 'u Smarandache ¼ê ¡?ê

56

5¿ ∞ X 1 α 1 = + αs s (α+1)s p p p α=1 α=1

1 1 1 1 = s , = s+ s s p p p −1 p −1

ð ª

1 1− s p

X ∞

∞ X

1

S s (n) n=1 p

ζ(s) . ps − 1

=

ùÒy² ½n3.9.1. x ≥ 1 Ǒ?¿¢ê, ØJy² 1 2πi

∞ X

b+iT

b−iT

n=1 Sp (n)≤x

xs ds Sps−k (n)s 

∞ X

=

±9

Z

n=1 Sp (n)≤x

 Spk (n) + O  

1 2πi

Z

b+iT

b−iT



 = O 

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

∞ X

n=1 Sp (n)>x

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n)

xs ds Sps−k (n)s

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n)

Ù¥k Ǒ?¿ ê. nÜþãüªk 1 2πi =

Z

b+iT

b−iT

∞ X

 !  , ) 

∞ xs X 1 ds s−k s n=1 Sp (n)

Spk (n) + O

n=1 Sp (n)≤x

∞ X n=1

xb 1 min 1, b−k Sp (n) T ln( Spx(n) )

2d½n3.9.1

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

Spk (n)

 !  , ) 

1 = 2πi

Z

b+iT

b−iT

ζ(s − k)xs ds (ps−k − 1)s

!!

.

g ê

§3.9 p

57

1 +O xb min 1, T ln( Spx(n) )

ê

!!

.

k = −1 , b = 21 , T = x, ¿rÈ© l 12 ± iT £ − 12 ± iT . d ¼ ζ(s + 1)xs (ps+1 − 1)s

3s = 0 k 4:, 3êǑ 1 p−1

Ïdk 1 2πi

p ln p ln x + γ − p−1

.

1 2 +iT

ζ(s + 1)xs 1 p ln p ds = ln x + γ − 1 (ps+1 − 1)s p−1 p−1 2 −iT !

1 1 1 Z − 2 −iT Z − 2 +iT Z 2 +iT ζ(s + 1)xs 1 + + ds. + 1 2πi (ps+1 − 1)s − 12 −iT − 12 +iT 2 −iT

Z

ØJy² Oª

1

2πi Z ≪

1 2

− 12

≪

±9

1

Z

− 12 −iT 1 2 −iT

+

Z

1 2 +iT

− 21 +iT

!

ζ(s + 1)xs

ds

(ps+1 − 1)s

ζ(σ + 1 + iT )x1/2

(pσ+1+iT − 1)T dσ

x2 = x−1/2 , T

Z T

1 Z − 12 +iT ζ(s + 1)xs

ds ≪

2πi − 12 −iT (ps+1 − 1)s

0

ζ(1/2 + iT )x−1/2

(p1/2+iT − 1)(1/2 + t) dt

≪ x−1/2+ǫ .

l k

∞ X

n=1 Sp (n)≤x

1 1 = Sp (n) p−1

p ln p ln x + γ + p−1

+ O x−1/2+ǫ .

ùÒy² ½n3.9.2. 3 k ≥ 1 , b = k + 2 ±9T = x, ¿rÈ© ls = k + 32 £ s = k + 21 . d ¼ê ζ(s − k)x s

(ps−k − 1)s

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

58

3s = k + 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018; xk+1 . (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(k + 1)

|^Ă&#x201C; Â?{Â&#x152; â&#x2C6;&#x17E; X

Spk (n) =

n=1 Sp (n)â&#x2030;¤x

xk+1 1 + O(xk+ 2 +ÇŤ ). (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(k + 1)

l y² ½n3.9.3.

§3.10

149 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

ĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞp Âą9 ĂŞn, S (n) Ç&#x2018; S (n)! p Ă&#x2DC;  ê. ~X, S (1) = 3, S (2) = 6, S (3) = 9, S (4) = 9, S (5) = 12, S (6) = 15, p

3

3

n

p

3

3

3

3

S3 (7) = 18, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;S (n) k' Dirichlet ?ĂŞ Ă&#x201A;Ăą5, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ÂŞ. ½n3.10.1. ĂŠ?¿¢ês, k p

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n) n=1 â&#x2C6;&#x17E; X

Ă&#x2122;ÂĽ

n=1

ns

= (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) + R1 (s, p),

s>2

Ď&#x2020;(n)Sp (n) (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 2) = + R2 (s, p), s n Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1)

R1 (s, p) â&#x2030;¤ R2 (s, p) â&#x2030;¤

s > 3,

â&#x2C6;&#x17E;

p â&#x2C6;&#x2019; 1 X log n + log p , log 2 n=1 ns â&#x2C6;&#x17E;

p â&#x2C6;&#x2019; 1 X Ď&#x2020;(n)(log n + log p) . log 2 n=1 ns

Ă&#x201E;kĂ&#x161;\Â&#x2DC;Â&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n3.10.1. ĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞp Âą9 ĂŞn, k n(p â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;¤ Sp (n) â&#x2030;¤

y². Ă&#x2DC;Jy²

Sp (n)! =

Y

p1 â&#x2030;¤Sp (n)

1) pÎą(p , 1

log(np) n+ log 2

Îą(p1 ) =

(p â&#x2C6;&#x2019; 1).

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n)

m=1

pm 1

,

§3.11

Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸê

Ă&#x2122;ÂĽ Y LÂŤĂŠĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx Â&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. 5Âż p

n

p1 â&#x2030;¤x

n â&#x2030;¤ Îą(p) =

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n)

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, dp | S (n) Â&#x152; p

l k Sp (n) â&#x2030;¤

| Sp (n),

Â&#x152;

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n) Sp (n) . = m p p â&#x2C6;&#x2019; 1 m=1

Ă?d

n

â&#x2C6;¤ (Sp (n) â&#x2C6;&#x2019; 1)!.

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n) â&#x2C6;&#x2019; 1 nâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ľ pm m=1

p

pm

m=1

â&#x2030;¤

59

â&#x2030;Ľ

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n) â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; pm m=1

â&#x2030;Ľ

Sp (n) â&#x2C6;&#x2019; 1 log(np) â&#x2C6;&#x2019; . pâ&#x2C6;&#x2019;1 log 2

log(np) nâ&#x2C6;&#x2019;1+ log 2

1

m=1 pm â&#x2030;¤Sp (n)â&#x2C6;&#x2019;1

(p â&#x2C6;&#x2019; 1) + 1 â&#x2030;¤

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n. y3y²½n. dĂ&#x161;n3.10.1 Â&#x152;

â&#x2C6;&#x17E; X

log(np) n+ log 2

(p â&#x2C6;&#x2019; 1).

Sp (n) = n(p â&#x2C6;&#x2019; 1) + O((p â&#x2C6;&#x2019; 1)(log n + log p)),

l k

â&#x2C6;&#x17E; X Sp (n) n=1

Ă&#x2122;ÂĽ

ns

= (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) + R1 (s, p),

R1 (s, p) â&#x2030;¤

aqÂ&#x152;y½n3.10.1 Ă&#x2122;{úª. §3.11

s > 2,

â&#x2C6;&#x17E;

p â&#x2C6;&#x2019; 1 X log n + log p . log 2 n=1 ns

Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸê

ĂŠ?Âż ĂŞn, Â&#x2013;Smarandache ²Â?Ă?fŸêZW (n) ´Â?ávn | m  êm. w,ZW (1) = 1. n > 1 Â&#x17E;, Kk n

ZW (n) = p1 p2 ¡ ¡ ¡ pk ,

Ă&#x2122;ÂĽp , p , ¡ ¡ ¡ , p ´n Ă&#x2DC;Ă&#x201C;Â&#x192;Ă?f. !ĂŻĂ&#x201E;ZW (n) ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; Ă° ÂŞÂ&#x2020;ĂŹCúª.

1

2

k

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

60

½n3.11.1. Îą, s Ç&#x2018;¢ê, ávs â&#x2C6;&#x2019; Îą > 1 Âą9Îą > 0. Kk â&#x2C6;&#x17E; X ZW Îą (n)

ns

n=1

Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą) Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s , Îś(2s â&#x2C6;&#x2019; 2Îą) p p + pÎą

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. ½n3.11.2. ĂŠ?¿¢êι > 0 Âą9x â&#x2030;Ľ 1, k p

Îś(Îą + 1)xÎą+1 Y 1 1 ZW (n) = 1â&#x2C6;&#x2019; Îą + O xÎą+ 2 +ÇŤ . Îś(2)(Îą + 1) p p (p + 1) nâ&#x2030;¤x

X

Îą

5Âż

X

ZW 0 (n) = x + O(1)

Âą9

lim ιΜ(ι + 1) = 1,

Îąâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;0+

nâ&#x2030;¤x

d½n3.11.2 ĂĄ=Â&#x152; 4Â

1Y 1 lim 1â&#x2C6;&#x2019; Îą = Îś(2). Îąâ&#x2020;&#x2019;0+ Îą p (p + 1) p

y3y²½n. Îą, s Ç&#x2018;¢ê, ávs â&#x2C6;&#x2019; Îą > 1 Â&#x2020;Îą > 0. ½Ă&#x201A; f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X ZW Îą (n)

ns

n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk

.

# Y" 1 Y pÎą pÎą psâ&#x2C6;&#x2019;Îą f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ = 1+ p p 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p p " ! # 1 Y 1 + psâ&#x2C6;&#x2019;Îą 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s p + pÎą 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p

Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą) Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; s . Îś(2s â&#x2C6;&#x2019; 2Îą) p p + pÎą

ĂšĂ&#x2019;y² ½n3.11.1. ĂŠ?¿¢êι > 0 Âą9x â&#x2030;Ľ 1, w,k

X ZW (n)

1

|ZW (n)| â&#x2030;¤ n Âą9

,

<

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;Îą n Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ Îą

Îą

â&#x2C6;&#x17E;

Îą

Ď&#x192;

n=1

3 s0 = 0, b = Îą + , T > 2, 2

§3.11

Kk

Smarandache ² Ïf¼ê

1 ZW (n) = 2πi n≤x X

α

5¿ ¼ê

Z

α+ 32 +iT α+ 32 −iT

f (s)

3s = α + 1 k {ü4:, 3êǑ T = x,

xs f (s) ds + O s

61

3

xα+ 2 T

.

xs s

ζ(α + 1)xα+1 Y 1 1− α . ζ(2)(α + 1) p p (p + 1)

ζ(α + 1)xα+1 Y 1 1 ZW (n) = 1− α + O xα+ 2 +ǫ . ζ(2)(α + 1) p p (p + 1) n≤x X

α

ùÒy² ½n3.11.2.

62

1nĂ&#x2122; 'uÂ&#x2DC; Smarandache Ÿê ÂĄ?ĂŞ

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160; Ă&#x2122;|^)Ă&#x203A;Â?{, ĂŻĂ&#x201E;ĂŞĂ&#x2DC;ÂĽĂ?Âś Dirichlet Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Â&#x2DC; Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. §4.1

'u²Â?Ă&#x2013;ĂŞ Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª

n Ç&#x2018; ĂŞ. S(n) ÂĄÇ&#x2018;n ²Â?Ă&#x2013;ĂŞ, XJS(n) ´ nS(n) Ç&#x2018; ²Â? ĂŞ  ê. !ĂŻĂ&#x201E;Ă&#x2DC;êŸê3TĂŞ Ăž ĂŹC5Â&#x;. ½n4.1.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k X nâ&#x2030;¤x

1 d(S(n)) = c1 x ln x + c2 x + O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽd(n) ´Ă&#x2DC;êŸê, ÇŤ ´?Âż ¢ê, c1 =

c2 =

6 Y 1 1 â&#x2C6;&#x2019; , Ď&#x20AC;2 p (p + 1)2

6 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;2 p (p + 1)2 Ă&#x2014;

X p

!

2(2p + 1) ln p + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 , (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p + 1)(p + 2)

d LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;, X LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x161;, Îł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.1.1. ĂŠ?¿¢êy â&#x2030;Ľ 3, kĂŹCúª Y p

p

X nâ&#x2030;¤y

1 d(n)|Âľ(n)| = câ&#x20AC;˛1 y ln y + câ&#x20AC;˛2 y + O y 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽÂľ(n) ´M¨obius Ÿê, ~ĂŞc Â&#x2020;c ½Ă&#x201A;Xe: â&#x20AC;˛ 1

câ&#x20AC;˛1

â&#x20AC;˛ 2

36 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; , = 4 Ď&#x20AC; p (p + 1)2 ¡ 63 ¡

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

64

câ&#x20AC;˛2

=

36 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;4 p (p + 1)2 X

Ă&#x2014;

p

y².

T =

!

X 4 ln p 2 ln p + + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 . (p + 1)(p + 2) p2 â&#x2C6;&#x2019; 1 p

â&#x2C6;&#x161; y,

A(s) =

Y p

KdPerron úªk 1 d(n)|Âľ(n)| = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤y

X

Z

1+ÇŤ+iT

1+ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;iT

1â&#x2C6;&#x2019;

1 (ps + 1)2

.

1 Îś 2 (s) ys A(s) ds + O y 2 +ÇŤ , Îś 2 (2s) s

Ă&#x2122;ÂĽÂľ(n) ´M¨obius Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê.

5Âż Ÿê 3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018; Ress=1

Ă&#x2122;ÂĽ

Îś 2 (s) ys A(s) Îś 2 (2s) s

câ&#x20AC;˛1 =

câ&#x20AC;˛2

=

= câ&#x20AC;˛1 y ln y + câ&#x20AC;˛2 y,

1 36 Y 1 â&#x2C6;&#x2019; , Ď&#x20AC;4 p (p + 1)2

36 Y 1 1â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;4 p (p + 1)2 Ă&#x2014;

l k

Îś 2 (s) ys A(s) Îś 2 (2s) s

X

X p

!

X 4 ln p 2 ln p + + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 . (p + 1)(p + 2) p2 â&#x2C6;&#x2019; 1 p 1

d(n)|Âľ(n)| = câ&#x20AC;˛1 y ln y + câ&#x20AC;˛2 y + O(y 2 +ÇŤ ).

nâ&#x2030;¤y

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n4.1.1. y3y²½n. dĂ&#x161;n4.1.1 k X dâ&#x2030;¤x

d(S(n)) =

X

ak2 â&#x2030;¤x

d(S(ak2 )) =

X

ak2 â&#x2030;¤x

d(a)|Âľ(a)|

§4.2

ngÂ&#x2DC;Â?{ĂŞÂ&#x2020;k gĂ&#x2013;ĂŞ

X X

=

65

d(a)|Âľ(a)|

â&#x2C6;&#x161; x kâ&#x2030;¤ x aâ&#x2030;¤ k2

X

=

â&#x2C6;&#x161; kâ&#x2030;¤ x

câ&#x20AC;˛1

x x x ln 2 + câ&#x20AC;˛2 2 + O 2 k k k

1

x 2 +ÇŤ k1+2ÇŤ

1

= câ&#x20AC;˛1 Îś(2)x ln x + (câ&#x20AC;˛2 Îś(2) + 2câ&#x20AC;˛1 Îś â&#x20AC;˛ (2)) x + O(x 2 +ÇŤ ).

½Ă&#x201A; c1 =

câ&#x20AC;˛1 Îś(2)

Âą9

6 Y 1 = 2 1â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC; p (p + 1)2

c2 = câ&#x20AC;˛2 Îś(2) + 2câ&#x20AC;˛1 Îś â&#x20AC;˛ (2) = câ&#x20AC;˛2 Îś(2) â&#x2C6;&#x2019; 2câ&#x20AC;˛1 Îś(2) =

dĂžÂ&#x152;

X ln p p2 â&#x2C6;&#x2019; 1 p

!

X 1 2(2p + 1) ln p 6 Y 1â&#x2C6;&#x2019; + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 . Ď&#x20AC;2 p (p + 1)2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p + 1)(p + 2) p X nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.1.1. g,ĂŞn = p

1 d(S(n)) = c1 x ln x + c2 x + O x 2 +ÇŤ .

§4.2 ι1 ι2 1 p2

ÂĄÇ&#x2018;3 gÂ&#x2DC;Â?{ĂŞ, Ă&#x2122;ÂĽ

ngÂ&#x2DC;Â?{ĂŞÂ&#x2020;k gĂ&#x2013;ĂŞ ¡ ¡ ¡ pÎąr r ,

K

a3 (n) = pβ1 1 pβ2 2 ¡ ¡ ¡ pβr r

βi = min(2, ιi ),

1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ r.

k â&#x2030;Ľ 2 ´ ½ ĂŞ, XJb (n) ´ nb (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê, Ă&#x2019; ÂĄb (n) Ç&#x2018;n k gĂ&#x2013;ĂŞ. !|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;ĂŞ a (n)b (n) ĂŹC5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.2.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k k

k

k

3

X nâ&#x2030;¤x

a3 (n)bk (n) =

k

6xk+1 k+ 12 +ÇŤ R(k + 1) + O x , (k + 1)Ď&#x20AC; 2

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

66

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê. d k = 2 Â&#x17E;, Y 1+

R(k + 1) =

p

k â&#x2030;Ľ 3 Â&#x17E;, R(k + 1) k Y X = 1+ p

j=2

p3 + p 7 p + p6 â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2019; 1

.

k

X pkâ&#x2C6;&#x2019;j+3 pkâ&#x2C6;&#x2019;j+3 + (p + 1)p(k+1)j (p + 1) (p(k+1)(k+j) â&#x2C6;&#x2019; p(k+1)j ) j=1

½n4.2.2. Ď&#x2020;(n) Ç&#x2018;Euler Ÿê. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X

Ď&#x2020;(a3 (n)bk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ k = 2 Â&#x17E;, Râ&#x2C6;&#x2014; (k + 1) Y = 1+

k â&#x2030;Ľ 3 Â&#x17E;,

p

!

6xk+1 â&#x2C6;&#x2014; k+ 12 +ÇŤ R (k + 1) + O x . (k + 1)Ď&#x20AC; 2

p2 + 1 1 â&#x2C6;&#x2019; p6 + 2p5 + 2p4 + 2p3 + 2p2 + 2p + 1 p2 + p

.

k

Râ&#x2C6;&#x2014; (k + 1) =

Y p

1â&#x2C6;&#x2019; +

X pkâ&#x2C6;&#x2019;j+3 â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;j+2 1 + p2 + p j=2 (p + 1)p(k+1)j

k X j=1

pkâ&#x2C6;&#x2019;j+3 â&#x2C6;&#x2019; pkâ&#x2C6;&#x2019;j+2 (p + 1) (p(k+1)(k+j) â&#x2C6;&#x2019; p(k+1)j )

!

.

½n4.2.3. Îą > 0, Ď&#x192; (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

Ď&#x192;Îą (a3 (n)bk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ k = 2 Â&#x17E;, R(kÎą + 1) Y = 1+

k â&#x2030;Ľ 3 Â&#x17E;,

p

R(kÎą + 1) =

p p+1

Y p

1+

6xkÎą+1 kÎą+ 12 +ÇŤ R(kÎą + 1) + O x . (kÎą + 1)Ď&#x20AC; 2

pÎą + 1 (p3Îą+1 â&#x2C6;&#x2019; 1)p2Îą+1 + p4Îą â&#x2C6;&#x2019; 1 + 3(2Îą+1) p2Îą+1 (p â&#x2C6;&#x2019; p2Îą+1 )(pÎą â&#x2C6;&#x2019; 1) pkÎą+1 â&#x2C6;&#x2019; p (p + 1)(pÎą â&#x2C6;&#x2019; 1)pkÎą+1

.

.

ngÂ&#x2DC;Â?{ĂŞÂ&#x2020;k gĂ&#x2013;ĂŞ

§4.2

+

k X j=2

+

k X j=1

67

p(kâ&#x2C6;&#x2019;j+3)Îą+1 â&#x2C6;&#x2019; p (p + 1)(pÎą â&#x2C6;&#x2019; 1)p(kÎą+1)j p(kâ&#x2C6;&#x2019;j+3)Îą+1 â&#x2C6;&#x2019; p (p + 1)(pÎą â&#x2C6;&#x2019; 1) (p(k+j)(kÎą+1)j â&#x2C6;&#x2019; p(kÎą+1)j )

!

.

½n4.2.4. d(n) Ç&#x2018;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X

d(a3 (n)bk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 6x R(1)f (log x) + O x 2 +ÇŤ , Ď&#x20AC;2

Ă&#x2122;ÂĽf (y) ´'uy ĂľÂ&#x2018;ÂŞ, gĂŞÇ&#x2018;k. d k = 2 Â&#x17E;, R(1) =

p

k â&#x2030;Ľ 3 Â&#x17E;, R(1) =

Y

Y p



1 + +

y3y²½n. ½Ă&#x201A;

p3 1+ (p + 1)3

k X j=2

k X j=1

1 3p + 4 3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; p3 + p p2 p3

kâ&#x2C6;&#x2019;j+3â&#x2C6;&#x2019;

k+1 j

.

pkâ&#x2C6;&#x2019;j+1

(p + 1)k+1

kâ&#x2C6;&#x2019;j +3 1 â&#x2C6;&#x2019; k+1 jâ&#x2C6;&#x2019;1 jâ&#x2C6;&#x2019;kâ&#x2C6;&#x2019;1 (p + 1) (p â&#x2C6;&#x2019;p ) (p + 1)k+1

f (s) =

dEuler Ă&#x2C6;Â&#x152; , k = 2 Â&#x17E;k

â&#x2C6;&#x17E; X a3 (n)bk (n) n=1

ns

.

a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 ) f (s) = 1+ + + ¡¡¡ ps p2s p

Y p 1 1 1 2 = 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;2 + p + p p2s p3s 1 â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;2s p

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; k) Y ps + p = 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;2 . Îś(2(s â&#x2C6;&#x2019; k)) p (p + 1)(p2s â&#x2C6;&#x2019; 1) Y

k â&#x2030;Ľ 3 Â&#x17E;k

Y a3 (p)bk (p) a3 (p2 )bk (p2 ) f (s) = 1+ + + ¡¡¡ ps p2s p ! k ! k kâ&#x2C6;&#x2019;j Y X X pkâ&#x2C6;&#x2019;j+2 1 p 1 = 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;k + p2 + p pjs 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks j=1 p(k+j)s p j=2

!

.

1oÙ Øê¼ê Smarandache ¼ê ·Üþ

68

Y

=

1+

p

1 ps−k

k X pk−j+2

ps−k × 1+ 1 + ps−k ζ(s − k) ζ(2(s − k)) k Y X × 1+

=

p

w,kØ ª

j=2

pjs

j=2

+

k X j=1

pk−j+2 p(k+j)s − pjs

!!

k

X ps−j+2 ps−j+2 + (ps−k + 1)pjs j=1 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )

!

.

∞

X a (n)b (n)

1

m k ,

< σ

n=1

σ−k−1 n

|am (n)bk (n)| ≤ n2 ,

Ù¥σ > k + 1 ´s ¢Ü. KdPerron úª X am (n)bk (n) n≤x

ns0

=

1 2iπ

b+iT

xs ds s b−iT b

x B(b + σ0 ) +O T

log x 1−σ0 H(2x) min 1, +O x T

x −σ0 +O x H(N ) min 1, , ||x||

Z

f (s + s0 )

Ù¥N ´ Cx ê, ||x|| = |x − N |. s 1 H(x) = x , B(σ) = ,k σ−k−1

0

= 0, b = k + 2, T = x3/2 ,

2

X

am (n)bk (n) =

n≤x

Ù¥ R(s) =

k+2+iT

xs ζ(s − k) R(s) ds s k+2−iT ζ(2(s − k))

1 +O xk+ 2 +ǫ ,

1 2iπ

Z

 Y

ps + p   , 1 + s−2   (p + 1)(p2s − 1)   p    k = 2;

XJ

k k Y X X  ps−j+2 ps−j+2   1 + +   (ps−k + 1)pjs j=1 (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs )   p j=2   k ≥ 3.

XJ

!

,

ng {ê k gÖê

§4.2

69

e5 OÌ 1 2iπ

Z

k+2+iT

k+2−iT

ζ(s − k) xs R(s) ds. ζ(2(s − k)) s

rÈ© ls = k + 2 ± iT £ s = k + 1/2 ± iT . d ¼ê ζ(s − k)xs R(s) ζ(2(s − k))s

3s = k + 1 k {ü4:, 3êǑ

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

Kk 1 2iπ

Z

k+2+iT

+ k+2−iT

× =

Z

k+1/2+iT

+

k+2+iT s

Z

k+1/2−iT

+ k+1/2+iT

Z

k+2−iT

k+1/2−iT

!

ζ(s − k)x R(s)ds ζ(2(s − k))s

xk+1 R(k + 1). (k + 1)ζ(2)

ØJ Oª

1

2iπ Z ≪

≪

ζ(s − k)xs

+ R(s)ds

ζ(2(s − k))s k+2+iT k+1/2−iT

k+2

2

ζ(σ − k + iT ) R(σ − k + iT ) x dσ

T

k+1/2 ζ(2(σ − k + iT )) Z

k+1/2+iT

Z

k+2−iT

!

xk+2 1 = xk+ 2 T

1 Z k+1/2−iT ζ(s − k)xs

R(s)ds

2iπ k+1/2+iT ζ(2(s − k))s

Z T

ζ(1/2 + it)xk+1/2

≪ dt

ζ(1 + 2it)t 1 1

≪ xk+ 2 +ǫ .

5¿ ζ(2) = π6 , dþ 2

X n≤x

a3 (n)bk (n) =

6xk+1 k+ 12 +ǫ R(k + 1) + O x . (k + 1)π 2

1oÙ Øê¼ê Smarandache ¼ê ·Üþ

70

l y² ½n4.2.1. ½Â f1 (s) = f2 (s) =

∞ X φ(a3 (n)bk (n)) n=1 ∞ X n=1

f3 (s) =

ns

,

σα (a3 (n)bk (n)) , ns

∞ X d(a3 (n)bk (n))

ns

n=1

.

dEuler Èúª±9φ(n), σ (n), d(n) ½Â , k = 2 k α

f1 (s) = = = =

φ(a3 (p)bk (p)) φ(a3 (p2 )bk (p2 )) 1+ + + ··· ps p2s p 2

Y p2 − p p − p p3 − p2 1 1+ + + ps p2s p3s 1 − p−2s p

1 1 (p2 − p)(ps + p) 1 + s−2 − s−1 + p p p3s − ps

2

s−2 ζ(s − 2) Y p (p − p)(ps + p) 1 1 + s−2 − s−1 . ζ(2(s − 2)) p p +1 p3s − ps p Y

k ≥ 3 k

f1 (s) =

Y

1+

p

+

1 ps−k

−

1 ps−k+1

k X pk−j+2 − pk−j+1 j=1

p(k+j)s − pjs

+

k X pk−j+2 − pk−j+1

pjs

j=2

!

k

X ps−j+2 − ps−j+1 1 ζ(s − k) Y = 1 − s−k+1 + ζ(2(s − k)) p p + p j=2 (ps−k + 1)pjs ! k X ps−j+2 − ps−j+1 + . (ps−k + 1)(p(k+j)s − pjs ) j=1

, k = 2 , k

ζ(s − 2α) ζ(2(s − 2α)) α

Y ps−2α p + 1 (p3α − 1)ps + p4α − 1 1 + s−2α × + . p +1 ps (p3s − ps )(pα − 1) p

f2 (s) =

'u \k gÖê

§4.3

71

k ≥ 3 k

ζ(s − kα) Y ps − ps−kα f2 (s) = 1 + s−kα ζ(2(s − kα)) p (p + 1)(pα − 1)ps k X

+

j=2

+

k X j=1

d k = 2 , k

p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)pjs p(3−j)α+s − ps−kα (ps−kα + 1)(pα − 1)(p(j+j)s − pjs )

!

.

s

ζ 3 (s) Y p3s 3p + 4 3 1 f3 (s) = 3 1+ s − − . ζ (2s) p (p + 1)3 p3s + ps p2s p3s

k ≥ 3 k



k+1

ζ (s) Y  1+ f3 (s) = k+1 ζ (2s) p +

k X j=1

k X j=2

k−j+3−

k+1 j

p(k−j+1)s

(ps + 1)k+1

1 k−j+3 − (ps + 1)k+1 (p(j−1)s − p(j−k−1)s ) (ps + 1)k+1

2dPerron úª±9y²½n4.2.1 { Ù ½n.

!

.

'u \k gÖê

§4.3

éu?¿ ên, n k gÖêb (n) ´ nb (n) Ǒk g ê. aq ½Â \k gÖêa (n). XJa (n) ´ a (n) + n Ǒk g K ê, Ka (n) ¡Ǒn \k gÖê. ~X, k = 2 , k

k

k

k

k

k

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 · · · a2 (n) = 0 2 1 0 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 · · ·

!ïÄa (n) d(a (n)) þ 5 , ¿ ÑA ìCúª. ½n4.3.1. é?¿¢êx ≥ 3, k k

k

X

ak (n) =

n≤x

k2 1 2 x2− k + O(x2− k ).

4k − 2

½n4.3.2. é?¿¢êx ≥ 3, k X n≤x

d(ak (n)) =

1 1− k

1 x ln x + 2γ + ln k − 2 + k

x

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

72

1 +O x1â&#x2C6;&#x2019; k ln x ,

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ. Ç&#x2018; y²½n, kĂ&#x161;\eÂĄ ĂźÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.3.1. ĂŠu?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k X nâ&#x2030;¤x

d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x1/2 ),

Ă&#x2122;ÂĽÎł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. y². ĂŤÂ&#x201E;Šz[1].

Ă&#x161;n4.3.2. x â&#x2030;Ľ 3 Ç&#x2018;¢ê, f (n) Ç&#x2018;Â&#x161;KĂŞĂ&#x2DC;Ÿê, ávf (0) = 0. KkĂŹ Cúª 1



[x k ]â&#x2C6;&#x2019;1

X

f (ak (n)) =

nâ&#x2030;¤x

X t=1

X

nâ&#x2030;¤g(t)

Ă&#x2122;ÂĽ[x] LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx  Â&#x152; ĂŞ, Âą9 g(t) =

f (n) + O 

kâ&#x2C6;&#x2019;1 X i i=1

k

X

nâ&#x2030;¤g([x1/k ])



f (n) ,

ti .

y². ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ĂŞM áv M k â&#x2030;¤ x < (M + 1)k .

5Âż n HÂŤm[t , (t + 1) ) ĂŞÂ&#x17E;, a (n) Ç&#x2018; HÂŤm[0, (t + 1) ĂŞ, ÂżÂ&#x2026;f (0) = 0. l k k

X

k

f (ak (n)) =

Mâ&#x2C6;&#x2019;1 X t=1

nâ&#x2030;¤x

=

Mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

X

f (ak (n)) +

tk â&#x2030;¤n<(t+1)k

X

g(t) =

X

f (ak (n))

M k â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

X

f (n) +

t=1 nâ&#x2030;¤g(t)

Ă&#x2122;ÂĽ

k

k

g(M)+M k â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2030;¤n<g(M)

kâ&#x2C6;&#x2019;1 X i i=1

k

ti .

f (n),

â&#x2C6;&#x2019; tk â&#x2C6;&#x2019; 1]

§4.3

duM =

h

i 1 xk ,

X

'u \k gÖê

73

K h

f (ak (n)) =

i 1 x k −1

X t=1

n≤x

X

n≤g(t)





X

f (n) + O 

f (n) .

n≤g([x1/k ])

ùÒy² Ún4.3.2. y3y²½n. dÚn4.3.1 ±9Euler Úúª, X

h

ak (n) =

i 1 x k −1

X

X

t=1 n≤g(t) h 1i x k −1

n≤x



n+O

X

n≤g([x1/k ])



n

1 X 2 2k−2 k t + O(x2−2/k ) 2 t=1

=

k2 x2−1/k + O(x2−2/k ).

4k − 2

=

ùÒy² ½n4.3.1. , ¡, dÚn4.3.1 Ún4.3.2, k X =

=

d(ak (n))

n≤x h 1i x k −1

X

h

X

t=1 n≤g(t) i 1 x k −1

X

kt



d(n) + O 

k−1

t=1

ln kt

k−1

X

n≤g([x1/k ])



d(n)

1 + ln 1 + O t

+(2γ − 1)ktk−1 + O(x1−1/k ln x)

=

h

i 1 x k −1

X t=1

k(k − 1)tk−1 ln t + (2γ + ln k − 1)ktk−1

+O(tk−2 ) + O(x1−1/k ln x) = k(k − 1)

h

i 1 x k −1

X

t=1 1−1/k

+O(x

ln x).

2dEuler Úúª, ØJy² X n≤x

d(ak (n)) =

tk−1 ln t + (2γ + ln k − 1)k

1 1− k

h

i 1 x k −1

X

tk−1

t=1

1 x ln x + 2γ + ln k − 2 + k

x

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

74

+O x1â&#x2C6;&#x2019;1/k ln x .

l y² ½n4.3.2.

'u129 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

§4.4

ĂŠ?Âż ĂŞn, a (n) ÂĄÇ&#x2018;n k gĂ&#x2013;ĂŞ, XJa (n) ´ na (n) Ç&#x2018;k g Â&#x2DC;  ê. n = p p ¡ ¡ ¡ p , Ka (n) = p p ¡ ¡ ¡ p , Ă&#x2122;ÂĽÎą + β â&#x2030;Ą 0(modk) Â&#x2026;β < k, i = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , m. !|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;TĂŞ ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.4.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k k

Îą1 Îą2 1 2

Îąm m

k

k β1 β2 1 2

k

βm m

i

1 X d(ak (n)) 1 = kx k g(k) + O x 2k +ÇŤ , Ď&#x2020;(ak (n)) nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ

Y g(k) = 1+ p

d(n)

kâ&#x2C6;&#x2019;1 k + 2 +kâ&#x2C6;&#x2019;3 k p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p (p â&#x2C6;&#x2019; 1)

2 + ¡ ¡ ¡ + kâ&#x2C6;&#x2019;1 , p k (p â&#x2C6;&#x2019; 1) 1 k +kâ&#x2C6;&#x2019;2

Ç&#x2018;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê, Ď&#x2020;(n) Ç&#x2018;Euler Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê.

AO/, k = 2, Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.4.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k

1 X d(a2 (n)) Y 2 1 = 2x 2 1+ â&#x2C6;&#x161; + O x 4 +ÇŤ . Ď&#x2020;(a2 (n)) p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) nâ&#x2030;¤x p

y3y²½n. ½Ă&#x201A;

f (s) =

dEuler Ă&#x2C6;úªk

â&#x2C6;&#x17E; X d(ak (n)) . Ď&#x2020;(ak (n))ns n=1

â&#x2C6;&#x17E; X d(ak (n)) f (s) = s Ď&#x2020;(a k (n))n n=1

Y d(ak (p)) d(ak (p2 )) 1+ = + + ¡¡¡ Ď&#x2020;(ak (p))ps Ď&#x2020;(ak (p2 ))p2s p

i

i

§4.4

=

=

= =

'u129 Smarandache ¯K

75

d(ak (pk )) d(ak (pk+1 )) + + + ··· φ(ak (pk ))pks φ(ak (pk+1 ))p(k+1)s Y d(pk−1 ) d(pk−2 ) 1+ + + ··· φ(pk−1 )ps φ(pk−2 )p2s p

d(pk−1 ) 1 + ··· + ks + p φ(pk−1 )p(k+1)s  Y d(pk−1 )  1

+ ··· + 1 − p1ks φ(pk−1 )ps 1 − p1ks p  d(p)

 + 1 (k−1)s φ(p)p 1 − pks

Y d(pk−1 ) d(pk−2 ) d(p) ζ(ks) 1+ + + ··· + φ(pk−1 )ps φ(pk−2 )p2s φ(p)p(k−1)s p Y k k−1 1 + k−2 + k−3 + ··· ζ(ks) s 2s p (p − 1)p p (p − 1)p p

2 + , (p − 1)p(k−1)s

Ù¥ζ(s) ´Riemann zeta ¼ê. b = k1 + log1 x , T = x , KdPerron úª

1 2k

X d(ak (n)) φ(ak (n)) n≤x

= =

1 2πi

Z

1 2πi

Z

b+iT b−iT

xs f (s) ds + O s

b+iT

f (s) b−iT

2 a = 2k1 + log1 x , k 1 2πi

Z

b+iT

+

Z

a+iT

+

xb T

+O

1

x k log x T

1 xs ds + O x 2k +ǫ . s

Z

a−iT

+

Z

b−iT

f (s)

xs ds s

a+iT a−iT b−iT s b+iT

x 1 = Res f (s) , s k

Y k k−1 1 = kx k 1 + 1/k+k−2 + 2/k+k−3 p (p − 1) p (p − 1) p

2 + · · · + (k−1)/k . p (p − 1)

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

76

5Âż OÂŞ

Z a+iT s

1 x 1

f (s)

â&#x2030;Ş x 2k +ÇŤ ;

2Ď&#x20AC;i s aâ&#x2C6;&#x2019;iT

Z bâ&#x2C6;&#x2019;iT 1 s

1 k +ÇŤ x 1

â&#x2030;Ş x

â&#x2030;Ş x 2k +ÇŤ ; f (s)

2Ď&#x20AC;i s T aâ&#x2C6;&#x2019;iT

Z b+iT 1 s

1 k +ÇŤ x 1

â&#x2030;Ş x f (s) â&#x2030;Ş x 2k +ÇŤ ,

2Ď&#x20AC;i s

T a+iT

Kk

X d(ak (n)) 1 = kx k Ď&#x2020;(a (n)) k nâ&#x2030;¤x

Y k kâ&#x2C6;&#x2019;1 2 Ă&#x2014; + + ¡ ¡ ¡ + (kâ&#x2C6;&#x2019;1)/k 1 + 1/k+kâ&#x2C6;&#x2019;2 p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p2/k+kâ&#x2C6;&#x2019;3 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p 1 +O x 2k +ÇŤ .

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.4.1.

§4.5

'uk gĂ&#x2013;ĂŞS

ĂŠ?Âż ĂŞn â&#x2030;Ľ 2, b (n) LÂŤn k gĂ&#x2013;ĂŞ, =b (n) ´ nb (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê. !|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;k gĂ&#x2013;ĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;n Â&#x2021;ĂŹCúª. ½n4.5.1. d(n) Ç&#x2018;Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª k

X

nâ&#x2030;¤x

k

k

1 d(nbk (n)) = x(A0 lnk x + A1 lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ) + O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽA , A , ¡ ¡ ¡ , A ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. d½nĂĄ=Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.5.1. a(n) Ç&#x2018;²Â?Ă&#x2013;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k 0

1

k

X nâ&#x2030;¤x

1 d(na(n)) = x(A ln2 x + B ln x + C) + O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽA, B, C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Ă­Ă&#x2DC;4.5.2. b(n) Ç&#x2018;ĂĄÂ?Ă&#x2013;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

1 d(nb(n)) = x(B1 ln3 x + C1 ln2 x + D1 ln x + E1 ) + O x 2 +ÇŤ ,

1

1

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽB , C , D , E ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ.

1

1

'uk gĂ&#x2013;ĂŞS

§4.5

77

y3y²½n. ½Ă&#x201A; f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(nbk (n))

ns

n=1

.

db (n) ½Ă&#x201A;, Ă&#x2DC;êŸê 5Â&#x;Âą9Euler Ă&#x2C6;úª, Â&#x152; k

f (s) =

Y p

= = = = =

d(pbk (p)) d(p2 bk (p2 )) 1+ + + ¡¡¡ ps p2s

d(bk (p)) d(pk ) d(p2k ) d(p2k ) 1+ + ¡ ¡ ¡ + + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ ps pks p(k+1)s p2ks p

Y k + 1 2k + 1 2k + 1 k+1 + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ + 2ks + ¡ ¡ ¡ 1+ ps p p p p !!

Y 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks 1 1 k Ă&#x2014; Ă&#x2014; 1+ 1+ 1 1 Ă&#x2014; s p 1 â&#x2C6;&#x2019; pks 1 â&#x2C6;&#x2019; ps 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks p

Y k k Îś(s) 1 + s + s ks p p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) p ks ! k X p Îś k+1 (s) Y kpks i 1 + â&#x2C6;&#x2019; , Îś k (2s) p ps (ps + 1)k (pks â&#x2C6;&#x2019; 1) 2â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤k psi (ps + 1)k Y

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k OÂŞ

â&#x2C6;&#x17E;

X d(nb (n))

1

k ,

â&#x2030;¤ Ď&#x192;

n Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 n=1

|d(nbk (n))| â&#x2030;¤ n,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ s 1 B(Ď&#x192;) = , Kk Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 Ă&#x2122;ÂĽ

1 d(nbk (n)) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x

X

R(s) =

5¿ Ÿê

Y p

Z

3 2 +iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

0

= 0, b =

3 , T = x, H(x) = x, 2

Îś k+1 (s) xs 1 R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), k Îś (2s) s

ks ! k X p kpks i 1+ s s â&#x2C6;&#x2019; . k ks si s p (p + 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) 2â&#x2030;¤iâ&#x2030;¤k p (p + 1)k Îś k+1 (s) xs R(s) Îś k (2s) s

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

78

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;k + 1 4:, 3ĂŞÇ&#x2018; 1 lim sâ&#x2020;&#x2019;1 k!

k+1 k+1

R(s)xs (s) k Îś (2s)s

(k)

(s â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś

1 k R(s)xs = lim ((s â&#x2C6;&#x2019; 1)k+1 Îś k+1 (s))(k) k sâ&#x2020;&#x2019;1 k!

0 Îś (2s)s

â&#x20AC;˛ k R(s)xs k+1 k+1 (kâ&#x2C6;&#x2019;1) + ((s â&#x2C6;&#x2019; 1) Îś (s)) 1 Îś k (2s)s +¡¡¡¡¡¡

(k) ! s k R(s)x + (s â&#x2C6;&#x2019; 1)k+1 Îś k+1 (s) k Îś k (2s)s = x(A0 lnk x + A1 lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ),

Ă&#x2122;ÂĽA , A , ¡ ¡ ¡ , A ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Ă?dÂ&#x152; 0

1

X

nâ&#x2030;¤x

k

1 d(nbk (n)) = x(A0 lnk x + A1 lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡ + Ak ) + O x 2 +ÇŤ .

ĂšĂ&#x2019; ¤ ½n4.5.1 y². §4.6 k

Ă&#x2019;´

gĂ&#x2013;ĂŞÂ&#x2020;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê

ĂŠ?Âż ĂŞn, D(n) LÂŤÂ?§n = n n Â&#x2026;(n , n ) = 1 ) Â&#x2021;ĂŞ, = 1

D(n) =

X

2

1

2

1.

d|n (d, n d )=1

w,D(n) ´Â&#x152; Ÿê. ,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, k gĂ&#x2013;ĂŞA (n) ´Â? nA (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê. !|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;ĂŞĂ&#x2DC;ŸêD(n) 38Ă&#x153;{A (n)} Ăž ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018; Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.6.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k k

k

k

X

nâ&#x2030;¤x

D(Ak (n)) =

2 6Îś(k)x ln x Y 1â&#x2C6;&#x2019; k + C(k)x Ď&#x20AC;2 p + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 p 1 +O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽC(k) ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, Îś(k) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê, Y L Ê¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. p

§4.6 k

gĂ&#x2013;ĂŞÂ&#x2020;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê

79

d½nĂĄ=Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.6.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

D(A4 (n)) =

nâ&#x2030;¤x

Y Ď&#x20AC;2 2 1 x ln x 1â&#x2C6;&#x2019; 4 + C(4)x + O(x 2 +ÇŤ ).

3 15 p + p p

Ç&#x2018; y²½n, kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.6.1. ĂŠ?Âż ĂŞn â&#x2030;Ľ 1, k

D(n) = 2Ď&#x2026;(n) ,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x2026;(n) LÂŤn Ă&#x2DC;Ă&#x201C;Â&#x192;Ă?f Â&#x2021;ĂŞ, ~X

0, XJ n = 1, Ď&#x2026;(n) = k, XJ n = p p ¡ ¡ ¡ p . y². n = p p ¡ ¡ ¡ p . 5Âż D(n) ´Â&#x152; Ÿê, Âą9D(p ) = 2, l Â&#x152; X Îą1 Îą2 1 2

Îą1 Îą2 1 2

Îąk k

Îąk k

D(n) =

d|n (d, n d )=1

Îą

1 = Ck0 + Ck1 + ¡ ¡ ¡ + Ckk = 2Ď&#x2026;(n) .

Ă&#x161;ny.. y3y²½n. ½Ă&#x201A;

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X D(Ak (n)) n=1

ns

.

w,ĂŠRe s > 1, f (s) Ă&#x201A;Ăą. KdĂ&#x161;n4.6.1 Â&#x2020;Euler Ă&#x2C6;úª, k f (s) =

Y p

= = = =

D(Ak (p)) D(Ak (p2 )) + + ¡¡¡ 1+ ps p2s

D(pkâ&#x2C6;&#x2019;1 ) D(pkâ&#x2C6;&#x2019;2 ) D(1) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ s 2s p p p p ! kâ&#x2C6;&#x2019;1 kâ&#x2C6;&#x2019;2 Y 2Ď&#x2026;(p ) 2Ď&#x2026;(p ) 2Ď&#x2026;(1) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ ps p2s p p

Y 2 2 1 2 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p p p

Y 2 2 1 + s â&#x2C6;&#x2019; ks Îś(s)Îś(ks) p p p Y

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

80

=

Îś 2 (s)Îś(ks) Y 2 1 â&#x2C6;&#x2019; ks , Îś(2s) p + p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s p

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê.

3Perron úª¼ s = 0, b = 2, T = 32 , k 0

X

D(Ak (n)) =

Ă&#x2122;ÂĽ

nâ&#x2030;¤x

1 2Ď&#x20AC;i

Z

2+iT

2â&#x2C6;&#x2019;iT

R(s) =

Y p

5¿ Ÿê

1 xs Îś 2 (s)Îś(ks) R(s) ds + O x 2 +ÇŤ , Îś(2s) s 2 1 â&#x2C6;&#x2019; ks p + p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s

.

xs Îś 2 (s)Îś(ks) R(s) Îś(2s) s

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

Y Îś(k) 2 x ln x 1â&#x2C6;&#x2019; k Îś(2) p + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 p

Ă&#x2122;ÂĽC(k) ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. ddÂ&#x152; X

D(Ak (n)) =

nâ&#x2030;¤x

+ C(k)x,

2 6Îś(k)x ln x Y 1 â&#x2C6;&#x2019; + C(k)x k + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x20AC;2 p p 1

+O(x 2 +ÇŤ ).

l y² ½n4.6.1. §4.7

Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Â&#x152;\Ă&#x2013;ĂŞ

ĂŠ?Âż ĂŞn, ²Â?Ă&#x2013;ĂŞa (n) ´Â? na (n) Ç&#x2018; ²Â?ĂŞ  ê. ~X, a (1) = 1, a (2) = 2, a (3) = 3, a (4) = 1, a (5) = 5, a (6) = 6, a (7) = 7, a (8) = 2, ¡ ¡ ¡ . aqÂ&#x152;½Ă&#x201A;Â&#x152;\²Â?Ă&#x2013;ĂŞ. ĂŠ?Âż ĂŞn, n Â&#x152;\ ²Â?Ă&#x2013;ĂŞa(n) ´Â? n + a(n) Ç&#x2018; ²Â?ĂŞ  Â&#x161;K ĂŞ, = 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a(n) = min{k : n + k = m2 ,

k â&#x2030;Ľ 0, m â&#x2C6;&#x2C6; N+ }.

~X, a(1) = 0, a(2) = 2, a(3) = 1, a(4) = 0, a(5) = 4, ¡ ¡ ¡ . !|^)Ă&#x203A;Â?{ ĂŻĂ&#x201E;Ă&#x2DC;êŸê3TĂŞ Ăž ,ÂŤĂžÂ&#x160; ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª.

X nâ&#x2030;¤x

d(n + a(n)),

§4.7

Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Â&#x152;\Ă&#x2013;ĂŞ

81

½n4.7.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, k X

d(n + a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

3 3 x ln2 x + A1 x ln x + A2 x + O(x 4 +ÇŤ ), 4Ď&#x20AC; 2

Ă&#x2122;ÂĽA , A ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.7.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k 1

2

X

d(n2 ) =

nâ&#x2030;¤x

3 1 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x + O(x 2 +ÇŤ ), Ď&#x20AC;2

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y². s = Ď&#x192; + it Ç&#x2018;EĂŞ, ¿½Ă&#x201A; 1

2

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(n2 ) n=1

ns

.

5Âż d(n ) â&#x2030;Ş n , K Re s > 1 Â&#x17E;f (s) Ă&#x201A;Ăą. dEuler Ă&#x2C6;úªÂ&#x152; 2

ÇŤ

d(p2n ) d(p2 ) d(p4 ) f (s) = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ns + ¡ ¡ ¡ p p p p

Y 5 2n + 1 3 = + ¡¡¡ 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + p p pns p

Y 1 2 = Îś (s) 1+ s p p Y

=

Îś 3 (s) . Îś(2s)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. 2dPerron úªÂ&#x152; 1 d(n ) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x X

5¿ Ÿê

2

Z

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;n 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

3 2 +iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś 3 (s) xs ds + O Îś(2s) s

Îś 3 (s) xs Îś(2s) s

3 x ln2 x + B1 x ln x + B2 x, Ď&#x20AC;2

3

x 2 +ÇŤ T

.

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

82

Ă&#x2122;ÂĽB , B ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. Ă?dk 1

2

X

d(n2 ) =

nâ&#x2030;¤x

1 3 2 x ln x + B x ln x + B x + O x 2 +ÇŤ .

1 2 Ď&#x20AC;2

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n4.7.1. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, ĂŞM áv M 2 â&#x2030;¤ x < (M + 1)2 .

Kda(n) ½Ă&#x201A;, k X

d(n + a(n))

nâ&#x2030;¤x

X

=



=

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤M

X

=

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤M

X

=



m2 â&#x2030;¤n<(m+1)2

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤Mâ&#x2C6;&#x2019;1

X

X

  

d(n + a(n)) + 

X

1 d(n + a(n)) + O(x 2 +Ǎ )

X

d((m + 1)2 ) + O(x 2 +Ǎ )

m2 â&#x2030;¤n<(m+1)2



d(n + a(n))

M 2 â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

X

m2 â&#x2030;¤n<(m+1)2





1

1

2md((m + 1)2 ) + O(x 2 +ÇŤ )

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤M

=2

X

1

md(m2 ) + O(x 2 +ÇŤ ).

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤M

A(x) = X d(n ), KdAbel ÂŞÂ&#x2020;Ă&#x161;n4.7.1 Â&#x152; 2

nâ&#x2030;¤x

X

md(m2 )

1â&#x2030;¤mâ&#x2030;¤M

Z M = M A(M ) â&#x2C6;&#x2019; A(t)d(t) + O(M 1+ÇŤ ) 1

3 2 =M M ln M + B1 M ln M + B2 M Ď&#x20AC;2

Z M 3 3 2 â&#x2C6;&#x2019; t ln t + B t ln t + B t dt + O M 2 +ÇŤ 1 2 Ď&#x20AC;2 1 1 3 3 = ¡ 2 ¡ M 2 ln2 M + C1 M 2 ln M + C2 M 2 + O(M 2 +ÇŤ ), 2 Ď&#x20AC;

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ.

1

2

§4.8

'u180 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

5Âż 0 â&#x2030;¤ x â&#x2C6;&#x2019; M2 â&#x2030;Ş

dĂžÂ&#x152;

X

d(n + a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.7.1. §4.8 F. Smarandache

â&#x2C6;&#x161;

1 ln2 x = 4 ln2 M + O xâ&#x2C6;&#x2019; 2 +ÇŤ ,

x,

3 3 2 x ln x + A x ln x + A x + O x 4 +ÇŤ .

1 2 4Ď&#x20AC; 2

'u180 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

ĂŻĂ&#x2020;ĂŻĂ&#x201E;²Â?Â&#x160;S ,

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, ¡ ¡ ¡ .

½Ă&#x201A;Þ¥ ĂŞ Ç&#x2018;a(n), w,

â&#x2C6;&#x161; a(n) = [ n],

Ă&#x2122;ÂĽ[x] LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx  Â&#x152; ĂŞ. !ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2DC; ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê3²Â?Â&#x160;ĂŞ Ăž ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.8.1. a(n) = [â&#x2C6;&#x161;n], d(n) Ç&#x2018;Ă&#x2DC;êŸê, Kk

â&#x2C6;&#x161; 1 1 3 d(a(n)) = d([ n]) = x log x + 2c â&#x2C6;&#x2019; x + O(x 4 ), 2 2 nâ&#x2030;¤x nâ&#x2030;¤x

X

X

Ă&#x2122;ÂĽc Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. y². Ă&#x2DC;J X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

â&#x2C6;&#x161; d([ n])

nâ&#x2030;¤x

X

12 â&#x2030;¤i<22

+

X â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; d([ i]) + d([ i]) + ¡ ¡ ¡ 22 â&#x2030;¤i<32

X

N 2 â&#x2030;¤i<(N +1)2

â&#x2C6;&#x161; d([ i]) + O(N ÇŤ )

= 3d(1) + 5d(2) + ¡ ¡ ¡ + [(N + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; N 2 ]d(N ) + O(N ÇŤ )

83

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

84

=

X

(2j + 1)d(j) + O(N ÇŤ ).

jâ&#x2030;¤N

A(N ) =

X

jâ&#x2030;¤N

1

d(j) = N log N + (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O(N 2 ),

Âą9f (j) = 2j + 1. dAbel ÂŞk X

jâ&#x2030;¤N

(2j + 1)d(j) = A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019;

Z

N

A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt

1

h

l Â&#x152;

1 i = N log N + (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O N 2 (2N + 1) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) Z Nh i 1 t log t â&#x2C6;&#x2019; (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)t + O(N 2 ) 2dt â&#x2C6;&#x2019; 1 Z N 3 2 2 2 = 2N log N + 2(2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O N â&#x2C6;&#x2019;2 t log tdt 1 Z N Z N 1 â&#x2C6;&#x2019;2 (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)tdt â&#x2C6;&#x2019; 2 O t 2 dt 1 1 3 1 = 2N 2 log N â&#x2C6;&#x2019; 2(2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N 2 + O N 2 â&#x2C6;&#x2019; N 2 log N 2 + N 2 2 3 2 2 â&#x2C6;&#x2019;2(2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O N

3 1 = N 2 log N + 2c â&#x2C6;&#x2019; N2 + O N 2 .

2

X

d(a(n)) =

jâ&#x2030;¤N

X

(2j + 1)d(j) + O(N ÇŤ )

jâ&#x2030;¤N

1 3 N 2 + O(N 2 ) + O(N ÇŤ ) = N log N + 2c â&#x2C6;&#x2019; 2

1 1 3 = x log x + 2c â&#x2C6;&#x2019; x + O(x 4 ).

2 2 2

½n4.8.2. a(n) = [n

1 3

], d(n)

Ç&#x2018;Ă&#x2DC;êŸê, Kk

1 1 5 d(a(n)) = d([n ]) = x log x + 2c â&#x2C6;&#x2019; x + O(x 6 ), 3 3 nâ&#x2030;¤x nâ&#x2030;¤x

X

Ă&#x2122;ÂĽc Ç&#x2018;Euler Ÿê.

X

1 3

§4.8

'u180 Smarandache ¯K

85

y². N´ X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

n≤x

1 3

X

d([i ]) +

13 ≤i<23

1

X

23 ≤i<33

ǫ

+O (N )

1

d([n 3 ]) d([i 3 ]) + · · · +

1

X

d([i 3 ])

N 3 ≤i≤x<(N +1)3

= 7d(1) + 19d(2) + · · · + [(N + 1)3 − N 3 ]d(N ) + O (N ǫ ) X = (3j 2 + 3j + 1)d(j) + O (N ǫ ) . j≤N

X

A(N ) =

±9f (j) = 3j

j≤N 2

X

+ 3j + 1.

1

d(j) = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ),

aq

(3j 2 + 3j + 1)d(j)

j≤N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) −

Z

N

A(t)f ′ (t)dt 1 1

= [N log N + (2c − 1)N + O(N 2 )](3N 2 + 3N + 1) Z N 1 − [t log t + (2c − 1)t + O(t 2 )](6t + 3)dt 1 5 3 = 3N log N + 3(2c − 1)N 3 + O N 2 + 3N 2 log N

+3(2c − 1)N 2 + N log N + (2c − 1)N − 7(2c − 1)N Z N

Z N Z N 3 − 6t2 log tdt − 6(2c − 1)t2 dt + O 6t 2 dt 1

qdu

−

Z

N

3t log tdt −

1

Z

N

1

Z

1

l k X

j≤N

1 N

1

1

3(2c − 1)tdt.

2 6t2 log tdt = 2N 3 log N − N 3 + c1 , 3

N

6(2c − 1)t2 dt = 2(2c − 1)N 3 + c2 ,

1

Z

Z

N

3 3 3t log tdt = N 2 log N − N 2 + c2 , 2 4

(3j 2 + 3j + 1)d(j)

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

86

2 = 3N 2 log N + 3(2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N 3 â&#x2C6;&#x2019; 2N 3 log N + N 3 3 5 3 2 â&#x2C6;&#x2019;2(2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O N

1 5 3 N 3 + O(N 2 ). = N log N + 2c â&#x2C6;&#x2019; 3

Ă?d

X

X

d(a(n)) =

jâ&#x2030;¤N

jâ&#x2030;¤N

X

=

1

d([n 3 ])

(3j 2 + 3j + 1)d(j) + O(N ÇŤ )

jâ&#x2030;¤N

5 1 = N log N + 2c â&#x2C6;&#x2019; N 3 + O N 2 + O (N ÇŤ ) 3

5 1 1 x + O x6 . = x log x + 2c â&#x2C6;&#x2019; 3 3 3

½n4.8.3. a(n) = [n y². Â&#x152;

Ç&#x2018;Ă&#x2DC;êŸê Kk

1 k

], d(n) , X X 1 1 d(a(n)) = d([n k ]) = x log x + O(x). k nâ&#x2030;¤x nâ&#x2030;¤x X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

1

d([n k ])

nâ&#x2030;¤x

X

1 k

d([i ]) +

1k â&#x2030;¤i<2k

X

2k â&#x2030;¤i<3k

+

X

1

d([i k ]) + ¡ ¡ ¡ 1

d([i k ]) + O(N ÇŤ )

N k â&#x2030;¤i<(N +1)k

= (2k â&#x2C6;&#x2019; 1)d(1) + (3k â&#x2C6;&#x2019; 2k )d(2) + ¡ ¡ ¡ =

X

jâ&#x2030;¤N

A(N ) =

Âą9f (j) = (j + 1)

k

X

jâ&#x2030;¤N

+((N + 1)k â&#x2C6;&#x2019; N k )d(N ) + O(N ÇŤ )

(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k d(j) + O(N ÇŤ ).

1 d(j) = N log N + (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)N + O N 2 ,

â&#x2C6;&#x2019; jk,

Kk

X

(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k d(j)

jâ&#x2030;¤N

§4.8

'u180 Smarandache ¯K Z

87

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1 h i

1 = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ) (N + 1)k − N k

−A(1)f (1) Z Nh i

1 t log t + (2c − 1)t + O(t 2 ) k(t + 1)k−1 − ktk−1 dt − 1 ! k h i X k 1 k−l = N log N + (2c − 1)N + O(N 2 ) N l l=1 !

Z Nh k−1 i X k − 1 1 −k t log t − 2(2c − 1)t + O(t 2 ) tk−l−1 dt l 1 l=1

Z N k−1 k = N k log N − ktk−1 log kdt + O(N k ) 1 1

1 k k − 1 = N k log N − N k log N + O(N k ) 1 1 = N k log N + O(N k ).

Ïd X

d(a(n)) =

n≤x

=

X

1

d([n k ])

n≤x

X

j≤N

[(j + 1)k − j k ]d(j) + O(N ǫ )

= N k log N + O(N k ) + O(N ǫ ) 1 = x log x + O(x). k

½n4.8.4. a(n) = [√n], ϕ(n) ǑEuler ¼ê, Kk X

φ(a(n)) =

n≤x

y². ´ X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X

√ 4 3 φ([ n]) = 2 x 2 + O(x log x). π n≤x X

√ φ([ n])

n≤x

X

12 ≤i<22

X √ √ φ([ i]) + φ([ i]) + · · · + 22 ≤i<32

2

2

X

√ φ([ i]) + O(N )

N 2 ≤i<(N +1)2

= 3φ(1) + 5φ(2) + · · · + [(N + 1) − N ]φ(N ) + O(N )

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

88

=

X

(2j + 1)Ď&#x2020;(j) + O(N ).

jâ&#x2030;¤N

A(N ) =

jâ&#x2030;¤N

Ď&#x2020;(j) =

jâ&#x2030;¤N

Âą9f (j) = 2j + 1, Kk X

X

3 2 N + O(N log N ), Ď&#x20AC;2

(2j + 1)Ď&#x2020;(j) = A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019;

Z

N

A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt

1

Z N 3 2 3 2 = N + O(N log N ) (2N + 1) â&#x2C6;&#x2019; t + O(t log t) 2dt Ď&#x20AC;2 Ď&#x20AC;2 1 6 2 = 2 N 3 + O(N 2 log N ) â&#x2C6;&#x2019; 2 N 3 + O(N 2 log N ) Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 4 3 2 = 2 N + O(N log N ). Ď&#x20AC;

l

X nâ&#x2030;¤x

X â&#x2C6;&#x161; Ď&#x2020;([ n]) = (2j + 1)Ď&#x2020;(j) + O(N ) jâ&#x2030;¤N

= =

½n4.8.5. a(n) = [n

4 3 N + O(N 2 log N ) + O(N ) Ď&#x20AC;2 4 32 x + O(x log x). Ď&#x20AC;2

Ç&#x2018;

1 3

Ÿê Kk

], Ď&#x2020;(n) Euler , X X 9 4 1 Ď&#x2020;(a(n)) = Ď&#x2020;([n 3 ]) = 2 x 3 + O(x log x).

2Ď&#x20AC; nâ&#x2030;¤x nâ&#x2030;¤x

y². Â&#x152; X

Ď&#x2020;(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X nâ&#x2030;¤x

X

1 3

Ď&#x2020;([i ]) +

13 â&#x2030;¤i<23

1

Ď&#x2020;([n 3 ]) X

23 â&#x2030;¤i<33

1

Ď&#x2020;([i 3 ]) + ¡ ¡ ¡ + 3

3

X

N 3 â&#x2030;¤i<(N +1)3

= 7Ď&#x2020;(1) + 9Ď&#x2020;(2) + ¡ ¡ ¡ + [(N + 1) â&#x2C6;&#x2019; N ]Ď&#x2020;(N ) + O(N ) X = (3j 2 + 3j + 1)Ď&#x2020;(j) + O(N ). jâ&#x2030;¤N

A(N ) =

X

jâ&#x2030;¤N

Ď&#x2020;(N ) =

1

Ď&#x2020;([i 3 ]) + O(N )

3 2 N + O(N log N ), Ď&#x20AC;2

'u180 Smarandache ¯K

§4.8

±9f (j) = 3j

2

89

Kk

+ 3j + 1, X (3j 2 + 3j + 1)φ(j) j≤N

Z

N

= A(N )f (N ) − A(1)f (1) − A(t)f ′ (t)dt 1

3 2 N + O(N log N ) (3N 2 + 3N + 1) = π2

Z N 3 2 − t + O(t log t) (6t + 3)dt π2 1 9 9 = 2 N 4 − 2 N 4 + O(N 3 log N ). π 2π

Ïd

X

1

φ([i 3 ]) =

n≤x

X

(3j 2 + 3j + 1)φ(j) + O(N )

j≤N

9 N 4 + O(N 3 log N ) + O(N ) 2π 2 9 4 = 2 x 3 + O(x log x).

2π =

½n4.8.6. a(n) = [n y².

X

X

φ(a(n)) =

n≤x

=

X

], φ(n)

ǑEuler ¼ê, Kk k+1 6k x k + O(x log x).

2 (k + 1)π

1

φ([n k ]) =

n≤x

φ(a(n)) =

n≤x

=

1 k

X

1

φ([n k ])

n≤x

X

1 k

X

φ([i ]) +

1

1k ≤i<2k

2k ≤i<3k

X

k

j≤N

(j + 1)k − j

A(N ) =

±9f (j) = (j + 1)

k

φ([i k ]) + · · · +

N k ≤i<(N +1)k

φ(j) + O(N ).

X

j≤N

Kk

φ(j) =

3 2 N + O(N log N ), π2

− jk, X

(j + 1)k − j k φ(j)

j≤N

X

1

φ([i k ]) + O(N )

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

90

Z

N

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019; A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt 1

3 2 = N + O(N log N ) (N + 1)k â&#x2C6;&#x2019; N k 2 Ď&#x20AC;

Z k 3 2 â&#x2C6;&#x2019; t + O(t log t) k[(t + 1)kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; tkâ&#x2C6;&#x2019;1 ]dt Ď&#x20AC;2 1 3k k(k â&#x2C6;&#x2019; 1) 3 k+1 = 2 N k+1 + O(N k log N ) â&#x2C6;&#x2019; N Ď&#x20AC; k + 1 Ď&#x20AC;2 6k = N k+1 + O(N k log N ). (k + 1)Ď&#x20AC; 2

Ă?d

X

Ď&#x2020;(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

1

Ď&#x2020;([i k ])

nâ&#x2030;¤x

X

jâ&#x2030;¤N

k

(j + 1) â&#x2C6;&#x2019; j k Ď&#x2020;(j) + O(N )

6k N k+1 + O(N k log N ) + O(N ) (k + 1)Ď&#x20AC; 2 k+1 6k = x k + +O(x log x).

2 (k + 1)Ď&#x20AC; =

§4.9

'u,Â&#x2021;aSmarandache Ÿê

n â&#x2030;Ľ 2 Ç&#x2018; ĂŞ, a(n) = [n ]. d ½Ă&#x201A;aSmarandache ŸêXe: 1 k

S1 (x) = min{m â&#x2C6;&#x2C6; N : x â&#x2030;¤ m!},

x â&#x2C6;&#x2C6; (1, â&#x2C6;&#x17E;).

!ĂŻĂ&#x201E;aSmarandache Ÿê3a(n) Ăž ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;ĂźÂ&#x2021;ĂŹCúª. ½n4.9.1. ¢êx â&#x2030;Ľ 2, ĂŞk â&#x2030;Ľ 2, Kk X

S1 (a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

x log x 1 + O k log log x k

½n4.9.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, Kk x log2 x d(n)S1 (n) = log log x nâ&#x2030;¤x

X

Ă&#x2122;ÂĽd(n) Ç&#x2018;Ă&#x2DC;êŸê.

1

x(log x)(log log log x k ) 1 (log log x k )2

1+O

log log log x log log x

,

.

'u,Â&#x2021;aSmarandache Ÿê

§4.9

91

Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ ĂźÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.9.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, k x log x S1 (n) = +O log log x nâ&#x2030;¤x

X

x(log x)(log log log x) (log log x)2

.

y². dS ½Ă&#x201A;, Â&#x152; e(m â&#x2C6;&#x2019; 1)! < n â&#x2030;¤ m!, KkS (n) = m. ĂŠ u(m â&#x2C6;&#x2019; 1)! < n â&#x2030;¤ m!, Ăź> ĂŠĂŞk 1

1

mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

|^Euler Ă&#x161;úª, Â&#x152; m X i=1

l

i=1

log i < log n â&#x2030;¤

m X

log i.

i=1

log i = m log m â&#x2C6;&#x2019; m + O(log m) =

mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

log i,

i=1

log n = m log m â&#x2C6;&#x2019; m + O(log m),

? k

m=

UY ĂŠĂŞ, Â ÂŞÂ&#x152; m=

log n + O(1). log m â&#x2C6;&#x2019; 1

log n +O log log n

2|^Euler Ă&#x161;úª, k OÂŞ X

S1 (n) =

nâ&#x2030;¤x

X

X

(log n)(log log log n) (log log n)2

.

m

nâ&#x2030;¤x (mâ&#x2C6;&#x2019;1)!<nâ&#x2030;¤m!

X log n (log n)(log log log n) = +O log log n (log log n)2 nâ&#x2030;¤x

X log n x(log x)(log log log x) = +O log log n (log log x)2 nâ&#x2030;¤x

x log x x(log x)(log log log x) = +O . log log x (log log x)2

Ă&#x161;n4.9.1 y.. Ă&#x161;n4.9.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2, k X nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÎł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ.

â&#x2C6;&#x161; d(n) = x log x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O( x),

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

92

y². ĂŤ Šz[1]. y3y²½n. da(n) ½Ă&#x201A;k X

S1 (a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

S1

nâ&#x2030;¤x

X

S1 (1) +

1k â&#x2030;¤i<2k

h

X

2k â&#x2030;¤i<3k

+

X

1

nk

i

S1 (2) + ¡ ¡ ¡

S1 (N ) + O(N kâ&#x2C6;&#x2019;1+ÇŤ )

N k â&#x2030;¤i<(N +1)k

X

=

1â&#x2030;¤jâ&#x2030;¤N

(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k S1 (j) + O(N kâ&#x2C6;&#x2019;1+ÇŤ ).

x log x A(x) = S1 (n) = +O log log x nâ&#x2030;¤x X

Âą9f (j) = (j + 1)

k

X

Âżb N

â&#x2C6;&#x2019; jk,

k

x(log x)(log log log x) (log log x)2

â&#x2030;¤ x < (N + 1)k .

,

dAbel Ă&#x161;úªÂ&#x152;

S1 (a(n))

nâ&#x2030;¤x

Z

N

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(2)f (2) â&#x2C6;&#x2019; A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt + O(N kâ&#x2C6;&#x2019;1+ÇŤ ) 2

N log N N (log N )(log log log N ) = +O (N + 1)k â&#x2C6;&#x2019; N k 2 log log N (log log N )

Z N â&#x20AC;˛ t log t t(log t)(log log log t) â&#x2C6;&#x2019; +O (t + 1)k â&#x2C6;&#x2019; tk dt 2 log log t (log log t) 2 k

k N log N N (log N )(log log log N ) = +O log log N (log log N )2

1 x(log x)(log log log x k ) x log x = .

1 + O 1 k log log x k (log log x k )2

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.9.1. ,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, dĂ&#x161;n4.9.1 Â&#x2020;Ă&#x161;n4.9.2 k X

d(n)S1 (n)

nâ&#x2030;¤x

=

X

X

d(n)m

nâ&#x2030;¤x (mâ&#x2C6;&#x2019;1)!<nâ&#x2030;¤m!

=

X nâ&#x2030;¤x

d(n)

log n +O log log n

(log n)(log log log n) (log log n)2

X log n (log n)(log log log n) = d(n) +O d(n) log log n (log log n)2 nâ&#x2030;¤x nâ&#x2030;¤x X

!

.

§4.10

X

A(x) =

nâ&#x2030;¤x

Âą9 f1 (t) =

dAbel Ă&#x161;úªÂ&#x152; X

'u183 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

93

â&#x2C6;&#x161; d(n) = x log x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O( x),

log t , log log t

f2 (t) =

(log t)(log log log t) . (log log t)2

d(n)S1 (n)

nâ&#x2030;¤x

Z

x

A(t)f1â&#x20AC;˛ (t)dt = A(x)f1 (x) â&#x2C6;&#x2019; A(2)f1 (2) â&#x2C6;&#x2019; 2

Z x â&#x20AC;˛ +O A(x)f2 (x) â&#x2C6;&#x2019; A(2)f2 (2) â&#x2C6;&#x2019; A(t)f2 (t)dt 2

x log2 x x(log2 x)(log log log x) = +O log log x (log log x)2

x log2 x log log log x = 1+O . log log x log log x

l y² ½n4.9.2.

§4.10

'u183 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

ĂŠ?Âż ĂŞn, m (n) = [n ]. ~X, m (1) = 1, m (2) = 1, m (3) = 1, m (4) = 1, ¡ ¡ ¡ , m (2 ) = 2, m (2 + 1) = 2, ¡ ¡ ¡ , m (3 ) = 3, ¡ ¡ ¡ . !ĂŻĂ&#x201E;T ĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.10.1. m Ç&#x2018; ĂŞ, Îą Ç&#x2018;¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª 1 k

q

q

q

X

k

q

Ď&#x192;Îą ((mq (n), m)) =

nâ&#x2030;¤x

q

k

q

q

q

k

(2k â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) 1 + O(x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ ), 1â&#x2C6;&#x2019;Îą m

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; (n) = X d , ÇŤ ´?¿¢ê. Îą = 0 Â&#x2020;1, Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.10.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k Îą

Îą

d|n

X

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

d((mq (n), m)) =

(2k â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x192;(m) 1 x + O(x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ ), m 1

Ď&#x192;((mq (n), m)) = (2k â&#x2C6;&#x2019; 1)d(m)x + O(x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ ).

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

94

Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.10.1. m Ç&#x2018; ĂŞ, Îą Ç&#x2018;¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª X

1 Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) x + O x 2k +ÇŤ , m1â&#x2C6;&#x2019;Îą

Ď&#x192;Îą ((n, m)) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; (n) = d , ÇŤ ´?Âż ¢ê. y². ½Ă&#x201A; X Îą

X

Îą

d|n

â&#x2C6;&#x17E;

g(s) =

n=1

Ď&#x192;Îą ((m, n)) . ns

m Â&#x2030;½Â&#x192; , f (n) = (m, n) ´Â&#x152; Ÿê, l Ď&#x192; ((m, n)) Ç&#x2018;´Â&#x152; Ÿê. dEuler Ă&#x2C6;úª ,k

Îą

Ď&#x192;Îą (f (p)) Ď&#x192;Îą (f (p2 )) + + ¡¡¡ ps p2s p

Y 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p p pâ&#x2C6;¤m   β β+1 P P i Îą i Îą (p ) (p ) Îą Y   i=0 1 + 1 + p + ¡ ¡ ¡ + i=0  Ă&#x2014; + + ¡ ¡ ¡   s βs (β+1)s p p p β

g(s) =

Y

1+

p km

=

1 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s pâ&#x2C6;¤m 

Y Ă&#x2014;

ι Y  1 + 1 + p + ¡ ¡ ¡ +  ps β

p km

= Îś(s)

Y

pβ km

´y Oª

1+

1

psâ&#x2C6;&#x2019;Îą

+

βâ&#x2C6;&#x2019;1 P

(pi )Îą

i=0

1

p2(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą)

pβs

+ ¡¡¡ +

Ă&#x2122;ÂĽk Â?Â&#x2020;m Ă&#x161;Îą k', Îą > 1 ´s ¢Ă&#x153;. s |x â&#x2C6;&#x2019; N |. dPerron úªk 1 Ď&#x192;Îą (f (n)) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x

(pi )Îą

i=0

pβs

1 pβ(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą)



1   1 â&#x2C6;&#x2019; p1s 

.

â&#x2C6;&#x17E;

X Ď&#x192; ((m, n))

K

Îą = B(Ď&#x192;),

< Ď&#x192;

n=1

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 n

|Ď&#x192;Îą ((m, n))| < K = H(x),

X

+

β P

Z

2+iT

2â&#x2C6;&#x2019;it

Îś(s)R(s)

0

= 0, b = 2, T = x3/2 , ||x|| =

xs ds + O(x1/2+ÇŤ ), s

'u183 Â&#x2021;Smarandache ÂŻK

§4.10

Ă&#x2122;ÂĽ

Y R(s) = 1+ pβ km

e5 OĂ&#x152;Â&#x2018;

1 2Ď&#x20AC;i

1 psâ&#x2C6;&#x2019;Îą

Z

1

+

+ ¡¡¡ +

p2(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą)

2+iT

Îś(s)R(s) 2â&#x2C6;&#x2019;it

95

1 pβ(sâ&#x2C6;&#x2019;Îą)

.

xs ds. s

rĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ls = 2 Âą it ÂŁ s = 1/2 Âą it. dÂ&#x17E;Ÿê Îś(s)R(s)

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, l Â&#x152; 1 2Ď&#x20AC;i

Z

2+iT

+ 2â&#x2C6;&#x2019;it

T = x , k

Z

1/2+iT

+

2+it

Z

1/2â&#x2C6;&#x2019;iT

+

1/2+it

xs s

Z

2â&#x2C6;&#x2019;iT

1/2â&#x2C6;&#x2019;it

!

Îś(s)R(s)

xs ds = R(1)x. s

3/2

1

2Ď&#x20AC;i Z â&#x2030;Ş

2

1/2

Ă&#x2DC;Jy²

Z

1/2+iT

+ 2+it

Z

2â&#x2C6;&#x2019;iT 1/2â&#x2C6;&#x2019;it

!

xs

Îś(s)R(s) ds

s

2

x

Îś(Ď&#x192; + iT )R(s) dĎ&#x192;

T

x2 1 = x2 . â&#x2030;Ş T

Z T

1 Z 1/2â&#x2C6;&#x2019;iT xs

Îś(s)R(s) ds â&#x2030;Ş

2Ď&#x20AC;i 1/2+iT s

1 1

Âą9

â&#x2030;Ş x 2 +ÇŤ ,

R(1) =

Y

1+

pβ km

=

l k

1

1 2

Îś( + it)R(s) x dt

2 t

X nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n4.10.1.

1 p1â&#x2C6;&#x2019;Îą

+

1 p2(1â&#x2C6;&#x2019;Îą)

+ ¡¡¡ +

1 pβ(1â&#x2C6;&#x2019;Îą)

Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) . m1â&#x2C6;&#x2019;Îą Ď&#x192;Îą (f (n)) =

1 Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) x + O x 2 +ÇŤ . m1â&#x2C6;&#x2019;Îą

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

96

y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ĂŞN áv N k â&#x2030;¤ x < (N + 1)k .

dm (n) ½Ă&#x201A;k q

X

Ď&#x192;Îą ((mq (n), m)) =

nâ&#x2030;¤x

X

1

Ď&#x192;Îą (([n k ], m))

nâ&#x2030;¤x

=

X

1

Ď&#x192;Îą (([i k ], m)) +

1k â&#x2030;¤i<2k

X

1

Ď&#x192;Îą (([i k ], m))

2k â&#x2030;¤i<3k

+¡¡¡ +

X

1

Ď&#x192;Îą (([i k ], m)) + O(N ÇŤ )

N k â&#x2030;¤i<(N +1)k

= (2k â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x192;Îą ((1, m)) + (3k â&#x2C6;&#x2019; 2k )Ď&#x192;Îą ((2, m))

+ ¡ ¡ ¡ + ((N + 1)k â&#x2C6;&#x2019; N k )Ď&#x192;Îą ((N, m)) + O(N ÇŤ ) X = [(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k ]Ď&#x192;Îą ((j, m)) + O(N ÇŤ ), jâ&#x2030;¤N

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê. ½Ă&#x201A;

A(N ) =

X

jâ&#x2030;¤N

dĂ&#x161;n4.10.1 Â&#x152; A(N ) =

X

Ď&#x192;Îą ((j, m)) =

jâ&#x2030;¤N

f (j) = (j + 1)

k

X

jâ&#x2030;¤N

Ď&#x192;Îą ((j, m)).

â&#x2C6;&#x2019; jk,

Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) 1 N + O(N 2 +ÇŤ ).

1â&#x2C6;&#x2019;Îą m

dAbel Ă&#x161;úªk

[(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k ]Ď&#x192;Îą ((j, m)) Z

N

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019; A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt 1

Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) 1 +ÇŤ = N + O(N 2 ) (N + 1)k â&#x2C6;&#x2019; N k 1â&#x2C6;&#x2019;Îą m â&#x2C6;&#x2019;A(1)f (1)

Z N

Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) 1 +ÇŤ 2 â&#x2C6;&#x2019; t + O(t ) k(t + 1)kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; ktkâ&#x2C6;&#x2019;1 dt.

1â&#x2C6;&#x2019;Îą m 1

qd Â&#x2018;ª½nÂ&#x152; X

jâ&#x2030;¤N

[(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k ]Ď&#x192;Îą ((j, m)) =

(2k â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) k kâ&#x2C6;&#x2019; 12 +ÇŤ N + O N . m1â&#x2C6;&#x2019;Îą

§4.11

²Â?Â&#x160;ĂŞ Â&#x2DC;Â&#x2021;Ă­2

97

l k X

Ď&#x192;Îą ((mq (n), m)) =

nâ&#x2030;¤x

=

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.10.1.

1

Ď&#x192;Îą (([n k ], m))

nâ&#x2030;¤x

X

jâ&#x2030;¤N

=

X

[(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k ]Ď&#x192;Îą ((j, m)) + O(N ÇŤ )

(2k â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x192;1â&#x2C6;&#x2019;Îą (m) 1 x + O(x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ ). m1â&#x2C6;&#x2019;Îą

§4.11

²Â?Â&#x160;ĂŞ Â&#x2DC;Â&#x2021;Ă­2

g,ĂŞ ²Â?Â&#x160;ĂŞ a(n) Ç&#x2018;:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, ¡ ¡ ¡

=a(n) = [n ]. ¡Â&#x201A;rÞ¥ ĂŞ Â&#x160;Ă­2Ç&#x2018;: 1 2

b(n) = [n1/k ].

!|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;Ď&#x192; (b(n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. ½n4.11.1. ĂŠ?¿¢êx > 1 Â&#x2020; ĂŞn â&#x2030;Ľ 1, k  kÎś(Îą + 1)   x + O(x ), XJ Îą > 0;   Îą + k   1 X x log x + O(x), XJ Îą = 0; Ď&#x192; (b(n)) = k    Îś(2)x + O(x ), XJ Îą = â&#x2C6;&#x2019;1;    ), XJ Îą < 0 Â&#x2026; Îą 6= â&#x2C6;&#x2019;1, Îś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O(x Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; (n) = X d ´Ă&#x2DC;êŸê, Îś(n) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê, β = max(1, Îą), δ = max(0, 1 + Îą), ÇŤ > 0 ´?Âż ¢ê. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.11.1. Îą > 0 Ç&#x2018;Â&#x2030;½ ¢ê. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª Îą

β+kâ&#x2C6;&#x2019;1 k

Îą+k k

Îą

k+ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1 k

nâ&#x2030;¤x

δ+kâ&#x2C6;&#x2019;1 k

Îą

Îą

d|n

X

nâ&#x2030;¤x

Ď&#x192;Îą (n) =

Μ(ι + 1) ι+1 x + O(xβ ), ι+1

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

98

X nâ&#x2030;¤x

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;Îą (n) =

Μ(ι + 1)x + O(xδ ), Μ(2)x + O(log x),

XJ Îą â&#x2030;¤ 1, XJ Îą = 1,

Ă&#x2122;¼β = max(1, Îą), δ = max(0, 1 â&#x2C6;&#x2019; Îą), Îś(n) ´Riemann zeta Ÿê. y². ĂŤ Šz[1]. y3y²½n. ¡Â&#x201A;ĂŠÎą ŠnÂŤÂ&#x153;š Ă&#x201E;. Â&#x153;/1. Îą > 0 Â&#x17E;k X

Ď&#x192;Îą (b(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

Ď&#x192;Îą ([n1/k ])

nâ&#x2030;¤x

X

1k â&#x2030;¤n<2k

+

X

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) +

2k â&#x2030;¤n<3k

X

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) + O(N β )

N k â&#x2030;¤n<(N +1)k

=

X

jâ&#x2030;¤N

A(n) =

(j + 1) â&#x2C6;&#x2019; j k Ď&#x192;Îą (j) + O(N β ).

X

Ď&#x192;Îą (j)

Âą9

jâ&#x2030;¤n

f (j) = (j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k .

dAbel Ă&#x161;úªÂ&#x2020;Ă&#x161;n4.11.1 Âą9½n4.8.3 k X

Ď&#x192;Îą (b(n))

nâ&#x2030;¤x

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019;

Z

N

A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt + O(N β ) 1

Z N kÎś(Îą + 1) Îą+k Îś(Îą + 1) Îą+k+1 â&#x2C6;&#x2019; k(k â&#x2C6;&#x2019; 1) dt = N t Îą+1 Îą+k 1 +O(N β+kâ&#x2C6;&#x2019;1 ) kÎś(Îą + 1) Îą+k = N + O(N β+kâ&#x2C6;&#x2019;1 ) Îą+k β+kâ&#x2C6;&#x2019;1 kÎś(Îą + 1) Îą+k = x k +O x k . Îą+k

Â&#x153;/2. Îą = â&#x2C6;&#x2019;1 Â&#x17E;k X nâ&#x2030;¤x

=

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 (b(n)) = X

1k â&#x2030;¤n<2k

X nâ&#x2030;¤x

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 ([n1/k ])

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 ([n1/k ]) +

X

2k â&#x2030;¤n<3k

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

§4.11

²Â?Â&#x160;ĂŞ Â&#x2DC;Â&#x2021;Ă­2 X

+

N k â&#x2030;¤n<(N +1)k

=

X

(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 (j) + O(N ÇŤ ).

jâ&#x2030;¤N

X

A(n) =

jâ&#x2030;¤n

Â&#x152; X nâ&#x2030;¤x

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 ([n1/k ]) + O(N ÇŤ )

Âą9

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 (j)

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 (b(n)) =

X

nâ&#x2030;¤x

f (j) = (j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k .

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 ([n1/k ])

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019;

= Îś(2)N k + O N k+ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1 k+ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1 = Îś(2)x + O x k ,

Z

N

A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt + O(N ÇŤ ) 1

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ > 0 ´?Âż ¢ê. Â&#x153;/3. Îą < 0 Â&#x2026;Îą 6= â&#x2C6;&#x2019;1 Â&#x17E;, k X

Ď&#x192;Îą (b(n)) =

nâ&#x2030;¤x

=

X

Ď&#x192;Îą ([n1/k ])

nâ&#x2030;¤x

X

X

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) +

1k â&#x2030;¤n<2k

2k â&#x2030;¤n<3k

X

+

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) + ¡ ¡ ¡

Ď&#x192;Îą ([n1/k ]) + O(N δ )

N k â&#x2030;¤n<(N +1)k

=

X

jâ&#x2030;¤N

A(n) =

(j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k Ď&#x192;Îą (j) + O(N δ ).

X

Ď&#x192;Îą (j)

jâ&#x2030;¤x

Â&#x152; X

nâ&#x2030;¤x

Ď&#x192;Îą (b(n)) =

X

Âą9

f (j) = (j + 1)k â&#x2C6;&#x2019; j k .

Ď&#x192;Îą ([n1/k ])

nâ&#x2030;¤x

= A(N )f (N ) â&#x2C6;&#x2019; A(1)f (1) â&#x2C6;&#x2019;

Z

N

A(t)f â&#x20AC;˛ (t)dt + O(N δ ) 1

= kÎś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)N k + O(N δ+kâ&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2C6;&#x2019; (k â&#x2C6;&#x2019; 1)Îś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)N k = Îś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)N k + O(N δ+kâ&#x2C6;&#x2019;1 )

99

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

100

δ+kâ&#x2C6;&#x2019;1 = Îś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x k .

nÞ¤ã, k

 β+kâ&#x2C6;&#x2019;1 kÎś(Îą + 1) Îą+k   k x , + O x k    Îą+k    1 X x log x + O(x), Ď&#x192;Îą (b(n)) = k k+ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;1   nâ&#x2030;¤x Îś(2)x + O x k ,    δ+kâ&#x2C6;&#x2019;1    Îś(1 â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x k ,

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.11.1.

§4.12

XJ Îą > 0; XJ Îą = 0; XJ Îą = â&#x2C6;&#x2019;1; XJ Îą < 0 Â&#x2026;

'uSmarandache Â&#x2013;5 ĂŞ

Îą 6= â&#x2C6;&#x2019;1.

Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞ ÂĄÇ&#x2018;Â&#x2013;5 ĂŞ, XJʧ ĂŞÂ Â&#x2030;,Â&#x2021;Â&#x2DC;Â&#x2020;(Â?)Ă° Â&#x2DC;Â&#x2020;) C¤5 ĂŞ. ~X: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 51, 52, ¡ ¡ ¡ . A LÂŤÂ&#x2013;5 ĂŞ 8Ă&#x153;. !ĂŻĂ&#x201E;TĂŞ ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.12.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ

f (n) =

X

nâ&#x2030;¤x

ln 8 f (n) + O M x ln 10 ,

M = max {|f (n)|}.

1â&#x2030;¤n<x

ŠO f (n) = d(n) Â&#x2020;â&#x201E;Ś(n), Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.12.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln 8 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x ln 10 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ă­Ă&#x2DC;4.12.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽB ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ.

â&#x201E;Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

x , ln x

§4.13

'u1 aÂ&#x2013;5 ĂŞS

101

y3y²½n. 10 â&#x2030;¤ x < 10 , =k â&#x2030;¤ log x < k + 1. dA ½Ă&#x201A;Â&#x152; , 8 Ă&#x2DC;3A ÂĽ ĂŞ Â&#x2021;ĂŞÂ ĂľÇ&#x2018;8 + 8 + ¡ ¡ ¡ + 8 = 7 (8 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;¤ 8 . du k

k+1

2

k

8k â&#x2030;¤ 8log x = 8log8 x

Â&#x152;

log1 10 8

k

k+1

1

ln 8

= (x) log8 10 = x ln 10 ,

ln 8 8k = O x ln 10 .

M Ç&#x2018;|f (n)| (n â&#x2030;¤ x) Ăž., Kk X

n6â&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln 8 f (n) = O M x ln 10 .

l Â&#x152; X

f (n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X

f (n) â&#x2C6;&#x2019;

X

ln 8 f (n) + O M x ln 10 .

nâ&#x2030;¤x

=

nâ&#x2030;¤x

½n4.12.1 y.. d½n4.12.1 Âą9ĂŹCúª X nâ&#x2030;¤x

X

f (n)

n6â&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

1

d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x 2 )

Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;4.12.1. 2d½n4.12.1 Âą9ĂŹCúª X

â&#x201E;Ś(n) = x ln ln x + Bx + O

nâ&#x2030;¤x

Â&#x152; Ă­Ă&#x2DC;4.12.2.

§4.13

x log x

'u1 aÂ&#x2013;5 ĂŞS

Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞ ÂĄÇ&#x2018;Â&#x2013;5 ĂŞ, XJʧ ĂŞÂ Â&#x2030;,Â&#x2021;Â&#x2DC;Â&#x2020;(Â?)Ă° Â&#x2DC;Â&#x2020;) C¤5 ĂŞ. aq/Â&#x152;½Ă&#x201A;1 aÂ&#x2013;5 ĂŞ. Â&#x2DC;Â&#x2021; ĂŞ ÂĄÇ&#x2018;1 aÂ&#x2013;5 ĂŞ, XJ§ Ă&#x2DC;´5 ĂŞ, ´Ê§ ĂŞÂ Â&#x160;,Â&#x2021;Â&#x2DC;Â&#x2020; Ă&#x2019;C¤5 ĂŞ"Ç&#x2018;Â?B ĂĽÂ&#x201E;, A LÂŤÂ&#x2013;5 ĂŞ 8Ă&#x153;, B LÂŤ1 aÂ&#x2013;5 ĂŞ 8Ă&#x153;. !ĂŻĂ&#x201E;1 aÂ&#x2013;5 ĂŞS ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª.

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

102

½n4.13.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k

ln 8 16 ln 5 d(n) = x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + + O x ln 10 +ÇŤ , 25 2 nâ&#x2C6;&#x2C6;B X

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽd(n) ´Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê, Îł ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\ĂźÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.13.1. q = 1 ½q Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X

d(qn) =

nâ&#x2030;¤x

1 2â&#x2C6;&#x2019; q

ln q 1 x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + + O(x 2 +ÇŤ ), 2q â&#x2C6;&#x2019; 1

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ, ÇŤ Ç&#x2018;?Âż ¢ê. y². eq = 1, dŠz[1] ÂĽ ½n3.3 ĂĄ=Â&#x152; Ă&#x161;n. y3 q Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. ½ Ă&#x201A; X â&#x2C6;&#x17E;

f (s) =

n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(qn) n=1

=

ns

d(qn) . ns

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X d(q Îą+1 n1 ) q sÎą ns1 Îą=0 n =1

=

1

(n1 ,q)=1

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X 2 + Îą X d(n1 ) q sÎą n =1 ns1 Îą=0 1

(n1 ,q)=1

=

!

1 1 + 1 â&#x2C6;&#x2019; q1s (1 â&#x2C6;&#x2019; q1s )2

Y d(p) d(p2 ) d(pk ) Ă&#x2014; 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ + ks + ¡ ¡ ¡ p p p p (p,q)=1

1 1 = 1 + 1 â&#x2C6;&#x2019; qs (1 â&#x2C6;&#x2019; q1s )2

1 2 = Îś (s) 2 â&#x2C6;&#x2019; s . q

2dPerron úªÂ&#x152; X nâ&#x2030;¤x

d(qn) =

Ă&#x161;n4.13.1 y..

1 2â&#x2C6;&#x2019; q

!

1 Îś (s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s q 2

2

ln q 1 x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + + O(x 2 +ÇŤ ).

2q â&#x2C6;&#x2019; 1

§4.13

'u1 aÂ&#x2013;5 ĂŞS

103

Ă&#x161;n4.13.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln 8

d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x ln 10 +ÇŤ ).

y². ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, 3Â&#x161;K ĂŞk áv10 Ă&#x201A;Â&#x152;

k

X

n6â&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

1 â&#x2030;¤ 8 + 82 + 83 + ¡ ¡ ¡ + 8k â&#x2030;¤

â&#x2030;¤ x < 10k+1 .

dA ½

8k+2 64 64 ln 8 â&#x2030;¤ 8k â&#x2030;¤ x ln 10 .

7 7 7

5Âż d(n) â&#x2030;Ş n Âą9 lnln108 > 1/2. dĂ&#x161;n4.12.1 k ÇŤ

X

d(n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

X nâ&#x2030;¤x

=

X

nâ&#x2030;¤x

=

X nâ&#x2030;¤x

d(n) â&#x2C6;&#x2019;

X

d(n)

n6â&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x





X ÇŤ  d(n) + O  n   n6â&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

ln 8 d(n) + O x ln 10 +ÇŤ

ln 8 = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x ln 10 +ÇŤ .

Ă&#x161;n4.13.2 y.. y3y²½n. dA Â&#x2020;B ½Ă&#x201A;Â&#x152; A â&#x2C6;&#x2019; B Â&#x2020;4.13.2 Â&#x152; X

d(n) =

nâ&#x2C6;&#x2C6;B nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2C6;&#x2C6;A nâ&#x2030;¤x

d(n) â&#x2C6;&#x2019;

X

ĂŞ}. dĂ&#x161;n4.13.1

={5

d(5n)

5nâ&#x2030;¤x

ln 8 = x ln +(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x ln 10 +ÇŤ

ln 5 9 â&#x2C6;&#x2019; x ln x â&#x2C6;&#x2019; ln 5 + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 25 9

ln 8 16 ln 5 = x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + + O x ln 10 +ÇŤ .

25 2

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.13.1.

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

104

§4.14

'u ĂŞ nĂ&#x2020;/ĂŞÂ?{

ĂŠ?Âż ĂŞn, a(n) ´n nĂ&#x2020;/ĂŞÂ?{. = ,

a(n) = n â&#x2C6;&#x2019;

Ă&#x2122;ÂĽk ´áv

k(k + 1) , 2

k(k + 1) â&#x2030;¤n 2

 Â&#x152; ĂŞ. ~X,

a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 0, a(4) = 1, a(5) = 2, a(6) = 0, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ&#x201E;TĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.14.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k

â&#x2C6;&#x161; 2 32 a(n) = x + O(x).

3 nâ&#x2030;¤x X

½n4.14.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k

3 1 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 d(a(n)) = x ln x + 2Îł + + O x2 , 2 2 nâ&#x2030;¤x

X

Ă&#x2122;ÂĽd(n) ´Dirichlet Ă&#x2DC;êŸê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, ĂŞM áv Kda(n) ½Ă&#x201A;k X

a(n) =

nâ&#x2030;¤x

=

(M + 1)(M + 2) M (M + 1) â&#x2030;¤x< .

2 2

M X

M X k=1

X

k(k+1) (k+1)(k+2) â&#x2030;¤n< 2 2



X

k=1 iâ&#x2030;¤( (k+1)(k+2) â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; k(k+1) ) 2 2

=

M X k X k=1 i=0

i + O M2

a(n) â&#x2C6;&#x2019;

 i+O

X

a(n)

(M +1)(M +2) x<n< 2

X

+2) +1) sâ&#x2030;¤( (M +1)(M â&#x2C6;&#x2019; M (M ) 2 2



 s

§4.15

ĂŞ k gÂ?Ă&#x153;Š

105

M

1X k(k + 1) + O M 2 2 k=1

1 = M3 + O M2 .

6

=

5Âż OÂŞ

M M2 3 â&#x2030;¤xâ&#x2C6;&#x2019; < M + 1.

2 2 2

l Â&#x152; ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.14.1 |^aq/Â?{Â&#x152; X

X

nâ&#x2030;¤x

d(a(n)) =

X

nâ&#x2030;¤x

Â&#x152; X

M X k X k=1 i=0

nâ&#x2030;¤x

2dÏCúª

a(n) =

â&#x2C6;&#x161;

2 32 x + O(x).

3

d(i) +

X

d(a(n)).

M (M +1) <nâ&#x2030;¤x 2

1

d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x 3 ),

d(a(n))

nâ&#x2030;¤x

 M

X 1 = k ln k + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)k + O(k 3 ) + O  k=1

=

X

+1) iâ&#x2030;¤xâ&#x2C6;&#x2019; M (M 2

1 2 1 1 4 M ln M â&#x2C6;&#x2019; (M 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)M 2 + O(M 3 ).

2 4 2



d(i)

nÞ¤ã, k

1 ln 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 3 d(a(n)) = x ln x + 2Îł + + O(x 2 ).

2 2 nâ&#x2030;¤x X

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.14.2.

§4.15

ĂŞ k gÂ?Ă&#x153;Š

n Ç&#x2018; ĂŞ, k > 1 Ç&#x2018; ĂŞ. ½Ă&#x201A;a(n) Ç&#x2018;Ă&#x2DC;Â&#x2021;Ln  Â&#x152;k gÂ&#x2DC;, b(n) Ç&#x2018; Ă&#x2DC; un  k gÂ&#x2DC;. ~X, k = 2 Â&#x17E;ka(1) = a(2) = a(3) = 1, a(4) =

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

106

a(5) = a(6) = a(7) = 4, ¡ ¡ ¡ , b(1) = 1, b(2) = b(3) = b(4) = 4, b(5) =

k = 3 Â&#x17E;, a(1) = a(2) = ¡ ¡ ¡ = a(7) = 1,

b(6) = b(7) = b(8) = 8, ¡ ¡ ¡ .

a(8) = a(9) = ¡ ¡ ¡ = a(26) = 8, ¡ ¡ ¡ , b(1) = 1, b(2) = b(3) = ¡ ¡ ¡ = b(8) = 8,

b(9) = b(10) = ¡ ¡ ¡ = b(27) = 27, ¡ ¡ ¡ .

!ĂŻĂ&#x201E;ÚßÂ&#x2021;ĂŞ 5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.15.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 kk!

6 kĎ&#x20AC; 2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

A0 x lnk x + A1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Akâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x + Ak x + O x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽA , A , ¡ ¡ ¡ , A Ç&#x2018;~ĂŞ, AO k = 2 Â&#x17E;kA ¿¢ê. ½n4.15.2. ĂŠ?¿¢êx > 1, k 0

1

X

k

0

d(b(n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 kk!

6 kĎ&#x20AC; 2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

= 1. d(n)

Ç&#x2018;Ă&#x2DC;êŸê, ÇŤ ´?

A0 x lnk x + A1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Akâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x + Ak x + O x1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ .

Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\Â&#x2DC;Â&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.15.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

k

d(n ) =

nâ&#x2030;¤x

1 k!

6 Ď&#x20AC;2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

B0 x lnk x + B1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Bkâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x + Bk x + O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽB , B , ¡ ¡ ¡ , B Ç&#x2018;~ĂŞ, AO k = 2 Â&#x17E;kB y². s = Ď&#x192; + it Ç&#x2018;EĂŞ, ¿½Ă&#x201A; 0

1

k

0

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X d(nk ) n=1

ns

= 1. ÇŤ

´?¿ ¢ê.

.

5Âż d(n ) â&#x2030;Ş n , K Re s > 1 Â&#x17E;, f (s) Ă&#x201A;Ăą. dEuler Ă&#x2C6;úª¹9d(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; k

f (s) =

ÇŤ

Y p

d(pk ) d(p2k ) d(pnk ) 1+ + + ¡ ¡ ¡ + + ¡¡¡ ps p2s pns

§4.15

ĂŞ k gÂ?Ă&#x153;Š

107

Y

k + 1 2k + 1 kn + 1 = 1+ + + ¡¡¡ + + ¡¡¡ ps p2s pns p

Y 1 2 = Îś (s) 1 + (k â&#x2C6;&#x2019; 1) s p p ! kâ&#x2C6;&#x2019;1 Y 1 1 1 2 2 = Îś (s) 1+ s â&#x2C6;&#x2019; Ckâ&#x2C6;&#x2019;1 2s â&#x2C6;&#x2019; ¡ ¡ ¡ â&#x2C6;&#x2019; (kâ&#x2C6;&#x2019;1)s p p p p =

Îś k+1 (s) g(s), Îś k+1 (2s)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, Y LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;. dPerron úªk p

1 d(n ) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x X

k

rĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ÂŁĂ&#x201E;Â&#x2013;Re s =

1 k!

6 Ď&#x20AC;2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

1 2

Z

+ ÇŤ.

2+iT 2â&#x2C6;&#x2019;iT

xs Îś k+1 (s) g(s) ds + O Îś kâ&#x2C6;&#x2019;1 (2s) s

3s = 1 ? 3ĂŞÇ&#x2018;

x2+ÇŤ T

.

B0 x lnk x + B1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡ + Bkâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x + Bk x,

Ă&#x2122;ÂĽB , B , ¡ ¡ ¡ , B Ç&#x2018;~ĂŞ, Â&#x2026; k = 2 Â&#x17E;kB = 1. 5Âż 12 â&#x2030;¤ Ď&#x192; < 1 Â&#x17E; kÎś(s) = Îś(Ď&#x192; + it) â&#x2030;¤ |t| . l ,3^Ă&#x2C6;ŠÂ&#x201A;Ăž Ă&#x2C6;ŠÂ&#x152; OÇ&#x2018; 0

1

k

0

1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x192; 2 +ÇŤ

O x

T = x , nĂžÂ&#x152;

1 2 +ÇŤ

x2 + T

.

3 2

X

k

d(n ) =

nâ&#x2030;¤x

1 k!

6 Ď&#x20AC;2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

B0 x lnk x + B1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡

1 +Bkâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x + Bk x + O x 2 +ÇŤ .

Ă&#x161;n4.15.1 y.. y3y²½n. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ĂŞM áv Kda(n) ½Ă&#x201A;k X

nâ&#x2030;¤x

d(a(n)) =

M k â&#x2030;¤ x < (M + 1)k .

M X

X

m=2 (mâ&#x2C6;&#x2019;1)k â&#x2030;¤n<mk

d(a(n)) +

X

M k â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

d(a(n))

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

108

Mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

=

X

d(mk ) +

m=1 mk â&#x2030;¤n<(m+1)k

Mâ&#x2C6;&#x2019;1 X

=

d(M k )

M k â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤x

Ck1 mkâ&#x2C6;&#x2019;1 + Ck2 mkâ&#x2C6;&#x2019;2 + ¡ ¡ ¡ + 1 d(mk )

m=1



X

+O 

M k â&#x2030;¤nâ&#x2030;¤(M+1)k

= k

X

M X



d(M k )

mkâ&#x2C6;&#x2019;1 d(mk ) + O(M kâ&#x2C6;&#x2019;1+ÇŤ ).

m=1

B(y) =

d(nk ).

nâ&#x2030;¤y

dAbel úª¹9Ă&#x161;n4.15.1 Â&#x152; M X

X

mkâ&#x2C6;&#x2019;1 d(mk )

m=1

= M kâ&#x2C6;&#x2019;1 B(M ) â&#x2C6;&#x2019; (k â&#x2C6;&#x2019; 1) =M

kâ&#x2C6;&#x2019;1

1 k!

kâ&#x2C6;&#x2019;1

6 Ď&#x20AC;2 Z M

Z

M

y kâ&#x2C6;&#x2019;2 B(y)dy + O(1) 1 k

B0 M ln M + B1 M ln

kâ&#x2C6;&#x2019;1

M + ¡ ¡ ¡ + Bk M

!

kâ&#x2C6;&#x2019;1 1 6 â&#x2C6;&#x2019;(k â&#x2C6;&#x2019; 1) B0 y kâ&#x2C6;&#x2019;1 lnk y + B1 y kâ&#x2C6;&#x2019;1 lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 y 2 k! Ď&#x20AC; 1

kâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + Bk y dy

+O(M kâ&#x2C6;&#x2019;1/2+ÇŤ ) kâ&#x2C6;&#x2019;1 1 6 = B0 M k lnk M + C1 M k lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 M + ¡ ¡ ¡ + Ckâ&#x2C6;&#x2019;1 M k kk! Ď&#x20AC; 2 +O(M kâ&#x2C6;&#x2019;1/2+ÇŤ ).

l k X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 kk!

6 Ď&#x20AC;2

kâ&#x2C6;&#x2019;1

B0 M k lnk M + C1 M k lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 M + ¡ ¡ ¡ + Ckâ&#x2C6;&#x2019;1 M k

+O(M kâ&#x2C6;&#x2019;1/2+ÇŤ ),

Ă&#x2122;ÂĽB , C , ¡ ¡ ¡ , C Ç&#x2018;~ĂŞ. ´y OÂŞ 0

1

kâ&#x2C6;&#x2019;1

0 â&#x2030;¤ x â&#x2C6;&#x2019; M k < (M + 1)k â&#x2C6;&#x2019; M k = kM kâ&#x2C6;&#x2019;1 + Ck2 M kâ&#x2C6;&#x2019;2 + ¡ ¡ ¡ + 1

§4.16

=M

kâ&#x2C6;&#x2019;1

Â&#x2020;

k+

Ck2

1 1 + ¡ ¡ ¡ + kâ&#x2C6;&#x2019;1 M M

lnk x = kk lnk M + O

nĂžÂ&#x152; X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 kk!

Â&#x152;\8>/Ă&#x2013;ĂŞ

6 kĎ&#x20AC; 2

lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x 1 xk

kâ&#x2C6;&#x2019;1

0

= B0 .

â&#x2030;Şx

kâ&#x2C6;&#x2019;1 k

,

1 = kk lnk M + O xâ&#x2C6;&#x2019; k +ÇŤ .

A0 x lnk x + A1 x lnkâ&#x2C6;&#x2019;1 x + ¡ ¡ ¡ + Akâ&#x2C6;&#x2019;1 x ln x

1 1â&#x2C6;&#x2019; 2k +ÇŤ

+Ak x + O x

Ă&#x2122;ÂĽA

!

109

,

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.15.1. aqÂ&#x152;y½n4.15.2. §4.16

Â&#x152;\8>/Ă&#x2013;ĂŞ

n Ç&#x2018; ĂŞ. e 3 ĂŞm n = m(2m â&#x2C6;&#x2019; 1), Ă&#x2019;ÂĄn Ç&#x2018;8>/ĂŞ. , Â&#x2DC;Â?ÂĄ, n k gĂ&#x2013;ĂŞb (n) ´Â? nb (n) Ç&#x2018;k gÂ&#x2DC;  ê. aq/, Â&#x152; ½Ă&#x201A;Â&#x152;\8>/ĂŞa(n) Ç&#x2018;: a(n) ´ a(n) + n Ç&#x2018;8>/ĂŞ  Â&#x161;K ĂŞ. ~ X, n = 1, 2, ¡ ¡ ¡ , 15 Â&#x17E;, Â&#x152; a(n) = 0, 4, 3, 2, 1, 0, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. !ĂŻĂ&#x201E;Ÿêd(a(n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.16.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k k

k

â&#x2C6;&#x161; 2 2 32 a(n) = x + O(x).

3 nâ&#x2030;¤x X

½n4.16.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k 1 d(a(n)) = x log x + 2 nâ&#x2030;¤x

X

3 1 log 2 + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 2 2

Ă&#x2122;ÂĽÎł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Â&#x2DC; Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.16.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 3, k X nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÎł Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ.

1

d(x) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O(x 3 ),

3 + O x2 ,

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

110

y². Í Šz[1].

Ă&#x161;n4.16.2. x â&#x2030;Ľ 3 Ç&#x2018;¢ê, f (n) Ç&#x2018;Â&#x161;K ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê, ávf (0) = 0. Kk ĂŹCúª   X

f (a(n)) =

1 x2 2

m=1

nâ&#x2030;¤x

 X    f (i) + O  f (i) ,   1 iâ&#x2030;¤4m

X X

iâ&#x2030;¤4

Ă&#x2122;ÂĽ[x] LÂŤĂ&#x2DC;Â&#x2021;Lx  Â&#x152; ĂŞ. y². ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, ĂŞM áv 5Âż n HÂŤm

x2 2

M (2M â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;¤ x < (M + 1)(2M + 1).

[m(2m â&#x2C6;&#x2019; 1), (m + 1)(2m + 1))

Â&#x17E;, a(n) Ç&#x2018; HÂŤm[0, 4m]. Kk X

X

f (a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

nâ&#x2030;¤M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)

=

M X X

m=1 iâ&#x2030;¤4m

5Âż Â&#x2020;

X

f (a(n)) +

f (a(n))

M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)<nâ&#x2030;¤x



f (i) + O 

X

iâ&#x2030;¤xâ&#x2C6;&#x2019;M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)



f (i) .

x â&#x2C6;&#x2019; M (2M â&#x2C6;&#x2019; 1) < (M + 1)(2M + 1) â&#x2C6;&#x2019; M (2M â&#x2C6;&#x2019; 1) = 4M + 1 1 x2 M= , 2

Â&#x152; X

f (a(n)) =

1 x2 2



 X    f (i) + O  f (i) .  1  iâ&#x2030;¤4m

X X

m=1

nâ&#x2030;¤x



iâ&#x2030;¤4

x2 2

Ă&#x161;n4.16.2 y.. y3y²½n. da(n) ½Ă&#x201A;Âą9Euler Ă&#x161;úªk X

nâ&#x2030;¤x

a(n) =

X

nâ&#x2030;¤M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)

a(n) +

X

M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)<nâ&#x2030;¤x

a(n)

'uSmarandache {ߟê ĂžÂ&#x160;

§4.17

M X X

=

i+

m=1 iâ&#x2030;¤4m M X

=

X

111

i

iâ&#x2030;¤xâ&#x2C6;&#x2019;M(2Mâ&#x2C6;&#x2019;1)

2m(4m + 1) + O

m=1

(4M )2 2

4 M (M + 1)(2M + 1) + O(M 2 ) 3â&#x2C6;&#x161; 2 2 32 x + O(x).

3

= =

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.16.1. ,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, dĂ&#x161;n4.16.1, 4.16.2 Âą9Abel ÂŞÂ&#x152; !

X

d(a(n)) =

nâ&#x2030;¤x

M X X

d(i) + O

m=1 iâ&#x2030;¤4m

X

d(i)

iâ&#x2030;¤4M

M

X 1 = 4m log 4m + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)4m + O((4m) 3 ) m=1

1 +O 4M log 4M + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)4M + O((4M ) 3 ) X X = (8 log 2 + 4(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)) m+4 m log m mâ&#x2030;¤M

X

+O

mâ&#x2030;¤M

1

m3

!

mâ&#x2030;¤M

+ O(4M log 4M )

1 2 M + O(M ) 2

= (8 log 2 + 4(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)))

1 2 1 4 +4 M log M â&#x2C6;&#x2019; (M 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) + O(M log M ) + O(M 3 ) 2 4 4

= 2M 2 log M + (4 log 2 + 2(2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 1)M 2 + O(M 3 )

2 1 3 1 = x log x + log 2 + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; x + O x3 .

2 2 2

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.16.2. §4.17 Smarandache

Â&#x2020;

'uSmarandache {ߟê ĂžÂ&#x160;

{Ăź\5Ÿê ½Ă&#x201A;Xe:

p(x) = min m â&#x2C6;&#x2C6; N+ : px â&#x2030;¤ m!

pâ&#x2C6;&#x2014; (x) = min m â&#x2C6;&#x2C6; N+ : m! â&#x2030;¤ px .

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

112

!|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;ÚßÂ&#x2021;Ÿê ĂŹC5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;ĂźÂ&#x2021;ĂŹCúª. ½n4.17.1. p Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2030;½ Â&#x192;ĂŞ. KĂŠu?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2030;¤x

d(p(n)) = x(ln x â&#x2C6;&#x2019; ln ln x) + O(x).

½n4.17.2. p Ç&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;Â&#x2030;½ Â&#x192;ĂŞ. KĂŠu?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2030;¤x

d(pâ&#x2C6;&#x2014; (n)) = x(ln x â&#x2C6;&#x2019; ln ln x) + O(x).

Ç&#x2018; ¤½n y², Ă&#x201E;kĂ&#x161;\AÂ&#x2021;Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.17.1. ĂŠu?¿¢êx > 1, k X

nâ&#x2030;¤x

â&#x2C6;&#x161; d(n) = x ln x + (2c â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O( x),

Ă&#x2122;ÂĽc Ç&#x2018;Euler ~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[1]. Ă&#x161;n4.17.2. ĂŠu?¿¢êx > 1, k

x X ln i i=1

1 = ln2 x + A + O i 2

Ă&#x2122;ÂĽA Ç&#x2018;~ĂŞ. y². ĂŤ Šz[1]. e5y²½n. dd(n) 9p(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; X

d(p(n)) =

nâ&#x2030;¤x

du

X nâ&#x2030;¤x

nâ&#x2C6;&#x2C6;

X

ln(m â&#x2C6;&#x2019; 1)! ln(m)! , ln p ln p

ÂĽÂ Â&#x152; ĂŞÇ&#x2018;Â&#x2DC;½ u ux, u´

ln(m)! â&#x2030;¤ x, ln p

.

d(m).

ln(mâ&#x2C6;&#x2019;1)! <mâ&#x2030;¤ ln(m)! ln p ln p

ln(m â&#x2C6;&#x2019; 1)! ln(m)! , ln p ln p

Â&#x17E;, p(n) = m, qĂ?Ç&#x2018;n â&#x2030;¤ x, oÂŤm

ln x x

§4.18

'uSmarandache ceil Ÿê(I)

113

=ln(m)! â&#x2030;¤ x ln p. (Ă&#x153;Euler Ă&#x161;úª, =Â&#x152; ln(m)! Ă&#x152;Â&#x2018;Ç&#x2018; m ln m, Âż Â&#x2026;m ln m â&#x2030;¤ x ln p.

XJx v Â&#x152;, oln m ĂŹCuln x, u´k mâ&#x2030;¤

Â&#x160;âÞ¥ ŠĂ&#x203A;Â&#x152; X

d(p(n)) =

nâ&#x2030;¤x

X

nâ&#x2030;¤x

= = = = = =

X

ln(mâ&#x2C6;&#x2019;1)! <mâ&#x2030;¤ ln p

x ln p . ln x

X ln m d(m) + O(x ln p) d(m) = ln p x ln p ln(m)! mâ&#x2030;¤

ln p

ln x

X X ln m 1 d(m) + O(x) = ln(un) + O(x) ln p ln p mâ&#x2030;¤ xlnlnxp unâ&#x2030;¤ xlnlnxp X

X 2 ln u 1 + O(x) ln p x ln p x ln p uâ&#x2030;¤ ln x nâ&#x2030;¤ u ln x

X

2 x ln p ln u ¡ + O(x) ln p u ln x uâ&#x2030;¤ xlnlnxp X

2x ln u + O(x) ln p u x ln p uâ&#x2030;¤ ln x

2x 1 2 (ln x + ln ln p â&#x2C6;&#x2019; ln ln x) + O(x) ln p 2 x(ln x â&#x2C6;&#x2019; 2 ln ln x) + O(x).

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.17.1. aqÂ&#x152;y½n4.17.2. §4.18

'uSmarandache ceil Ÿê(I)

k, n Ç&#x2018; ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă&#x201A;Xe: k

Sk (n) = min m â&#x2C6;&#x2C6; N : n | mk .

Â&#x152;yS (n) ´Â&#x152; Ÿê. !ĂŻĂ&#x201E;d(S (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.18.1. ĂŞk â&#x2030;Ľ 2. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª k

k

1 6Îś(k)x ln x Y 1 d(Sk (n)) = 1 â&#x2C6;&#x2019; + Cx + O x 2 +ÇŤ , 2 k + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x20AC; p nâ&#x2030;¤x p

X

Ă&#x2122;ÂĽC ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê.

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

114

3½n4.18.1 ÂĽ k = 2 Â&#x2020;k = 4, Âż5Âż Îś(2) =

Ď&#x20AC;2 , 6

Îś(4) =

l Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.18.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k

Ď&#x20AC;4 , 90

Y

1 1 + C1 x + O x 2 +ÇŤ , d(S2 (n)) = x ln x 1â&#x2C6;&#x2019; 2 p +p nâ&#x2030;¤x p

1 X Ď&#x20AC; 2 x ln x Y 1 d(S4 (n)) = 1â&#x2C6;&#x2019; 4 + C x + O x 2 +ÇŤ , 2 3 15 p + p nâ&#x2030;¤x p X

Ă&#x2122;ÂĽC , C ´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. d k = 1 Â&#x17E;, ´y 1

2

X

d(S1 (n)) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n.

X nâ&#x2030;¤x

1 d(n) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x 2 ,

f (s) =

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

Y p

= = = = = =

â&#x2C6;&#x17E; X d(Sk (n)) n=1

ns

.

d(Sk (p)) d(Sk (p2 )) 1+ + + ¡¡¡ ps p2s

d(p) d(p) d(p2 ) d(p2 ) 1 + s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p p p

Y 2 2 3 1 + s + ¡ ¡ ¡ + ks + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p p p

!

Y 1 â&#x2C6;&#x2019; p1ks 2 3 1+ Ă&#x2014; + + ¡¡¡ ps p(k+1)s 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p

Y 1 1 1 Îś(s) 1 + s Ă&#x2014; 1 + ks + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p p

Y 1 1 Îś(s)Îś(ks) 1 â&#x2C6;&#x2019; ks + s p p p

Îś(s) Y 1 1 â&#x2C6;&#x2019; ks , Îś(s)Îś(ks) Îś(2s) p p + p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s

Y

§4.19

'uSmarandache ceil Ÿê(II)

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k |d(Sk (n))| â&#x2030;¤ n,

â&#x2C6;&#x17E;

X

d(S (n)) 1

k ,

â&#x2030;¤

Ď&#x192;

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1

n n=1

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ s 1 d(Sk (n)) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x X

Ă&#x2122;ÂĽ

Z

R(s) = ÇŤ

3 2 +iT 3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

Y p

´?¿ ¢ê.

5¿ Ÿê

115

0

= 0, b =

3 , T = x, 2

Â&#x152;

Îś 2 (s)Îś(ks) xs 1 R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), Îś(2s) s 1 1 â&#x2C6;&#x2019; ks p + p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s

,

Îś 2 (s)Îś(ks) xs R(s) Îś(2s) s

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

â&#x20AC;˛ 2 xs 2 Îś (s)Îś(ks) lim (s â&#x2C6;&#x2019; 1) R(s) sâ&#x2020;&#x2019;1 Îś(2s) s â&#x20AC;˛ s

2 x 2 Îś (s)Îś(ks) R(s) = lim (s â&#x2C6;&#x2019; 1) sâ&#x2020;&#x2019;1 Îś(2s) s

2 s Îś (s)Îś(ks) sx ln x â&#x2C6;&#x2019; xs 2 +(s â&#x2C6;&#x2019; 1) R(s) Îś(2s) s2

6Îś(k)x ln x Y 1 = 1â&#x2C6;&#x2019; k + Cx, 2 Ď&#x20AC; p + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 p

Ă&#x2122;ÂĽC Ç&#x2018;Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. l k

1 6Îś(k)x ln x Y 1 d(Sk (n)) = 1 â&#x2C6;&#x2019; + Cx + O x 2 +ÇŤ .

2 k + pkâ&#x2C6;&#x2019;1 Ď&#x20AC; p p nâ&#x2030;¤x

X

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.18.1.

§4.19

'uSmarandache ceil Ÿê(II)

k, n Ç&#x2018; ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018;: k

Sk (n) = min x â&#x2C6;&#x2C6; N : n|xk

(â&#x2C6;&#x20AC;n â&#x2C6;&#x2C6; Nâ&#x2C6;&#x2014; ).

!?Â&#x2DC;Ă&#x161;ĂŻĂ&#x201E;Ď&#x192; (S (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. Îą

k

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

116

½n4.19.1. Îą > 0, Ď&#x192; (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 2 Â&#x2020; ĂŞk â&#x2030;Ľ 2, kĂŹCúª Îą

Îą

d|n

X

6xÎą+1 Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) â&#x2C6;&#x2019; Îą) R(Îą + 1) (Îą + 1)Ď&#x20AC; 2

Ď&#x192;Îą (Sk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

+O(xÎą+1/2+ÇŤ ),

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê¹9 R(Îą + 1) =

Y p

y3y²½n. ½Ă&#x201A;

1 1 â&#x2C6;&#x2019; k(Îą+1)â&#x2C6;&#x2019;Îą p â&#x2C6;&#x2019; p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)(Îą+1)

f (s) =

n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

Y

1+

p

=

= = = =

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x192;Îą (Sk (n))

ns

.

.

Ď&#x192;Îą (Sk (p)) Ď&#x192;Îą (Sk (p2 )) Ď&#x192;Îą (Sk (pk )) + + ¡¡¡ + + ¡¡¡ s 2s p p pks

Ď&#x192;Îą (p) Ď&#x192;Îą (p2 ) Ď&#x192;Îą (p) + ¡ ¡ ¡ + + (k+1)s + ¡ ¡ ¡ ps pks p p

Ď&#x192;Îą (p2 ) Ď&#x192;Îą (p3 ) + 2ks + (2k+1)s + ¡ ¡ ¡ p p !

1 Y 1 â&#x2C6;&#x2019; pks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą 1+ + + ¡¡¡ ps p(k+1)s 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s p

Y 1 1 1 1 Îś(s) 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;Îą 1 + ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą + 2(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + 3(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p p

Y 1 1 Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą) 1 â&#x2C6;&#x2019; ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą + sâ&#x2C6;&#x2019;Îą p p p

1 Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą) Y 1 â&#x2C6;&#x2019; ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą , Îś(2(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) p â&#x2C6;&#x2019; p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s p Y

1+

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ&#x2DC; ÂŞ |Ď&#x192;Îą (Sk (n))| â&#x2030;¤ n,

â&#x2C6;&#x17E;

X Ď&#x192; (S (n))

1

Îą k

< Ď&#x192;

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; n n=1

Îą+1 k

,

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(I)

§4.20

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 + Îą +k 1 ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ s 1 x , H(x) = x, B(Ď&#x192;) = ,k Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;Îą

0

= 0, b = Îą +

117

3 ,T = 2

Îą+ 12

X

Ď&#x192;Îą (Sk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 2Ď&#x20AC;i

Ă&#x2122;ÂĽ R(s) =

Y p

5¿ Ÿê

Îą+ 32 +iT

Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą) xs R(s) ds Îś(2(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) s Îą+ 32 â&#x2C6;&#x2019;iT

+O xÎą+1/2+ÇŤ ,

Z

1 1 â&#x2C6;&#x2019; ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą p â&#x2C6;&#x2019; p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s

.

Îś(s)Îś(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą) xs R(s) Îś(2(s â&#x2C6;&#x2019; Îą)) s

3s = Îą + 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) â&#x2C6;&#x2019; Îą) R(Îą + 1)xÎą+1 . (Îą + 1)Îś(2)

Ă?dk X

Ď&#x192;Îą (Sk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

6xÎą+1 Îś(Îą + 1)Îś(k(Îą + 1) â&#x2C6;&#x2019; Îą) R(Îą + 1) + O(xÎą+1/2+ÇŤ ). (Îą + 1)Ď&#x20AC; 2

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.19.1.

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(I)

§4.20

k, n Ç&#x2018; ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018; k

Sk (n) = min x â&#x2C6;&#x2C6; N : n | xk .

y3½Ă&#x201A;S (n) ÊóŸêXe: k

SÂŻk (n) = max x â&#x2C6;&#x2C6; N : xk | n .

Â&#x152;ySÂŻ (n) Ç&#x2018;´Â&#x152; Ÿê. !ĂŻĂ&#x201E;d(SÂŻ (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.20.1. k â&#x2030;Ľ 2 Ç&#x2018; ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx > 1, kĂŹCúª k

k

X

nâ&#x2030;¤x

1 d(SÂŻ1 (n)) = x ln x + (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1)x + O x 3

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

118

Â&#x2020; X

d(SÂŻk (n)) = Îś(k)x + Îś

nâ&#x2030;¤x

1 1 1 x k + O x k+1 , k

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler ~ĂŞ, Îś(s) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê. d½nÂ&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;4.20.1. ĂŠ?¿¢êx > 1, k Ď&#x20AC;2 x+Îś d(SÂŻ2 (n)) = 6 nâ&#x2030;¤x X

1 1 1 x 2 + O(x 3 ).

2

Ď&#x20AC;4 d(SÂŻ4 (n)) = x+Îś 90 nâ&#x2030;¤x

1 1 1 x 4 + O(x 5 ).

4

Ă­Ă&#x2DC;4.20.2. ĂŠ?¿¢êx > 1, k X

Ç&#x2018; y²½n, Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n4.20.1. x â&#x2030;Ľ 1, s â&#x2030;Ľ 0 Â&#x2026;s 6= 1. Kk

X 1 x1â&#x2C6;&#x2019;s = + Îś(s) + O(xâ&#x2C6;&#x2019;s ), s n 1 â&#x2C6;&#x2019; s nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ

1 â&#x2C6;&#x2019;s Îś(s) = 1 + sâ&#x2C6;&#x2019;1

Z

â&#x2C6;&#x17E; 1

t â&#x2C6;&#x2019; [t] dt. ts+1

y². Í Šz[1].

ÂŻ y3y²½n. w,kS (n) = n, l Â&#x152;y½n 11 ÂŞ. e5b k â&#x2030;Ľ 2, 1

k

X

d(SÂŻk (n)) =

1.

ÂŻk (n) nâ&#x2030;¤x d|S

nâ&#x2030;¤x

dSÂŻ (n) ½Ă&#x201A;Â&#x152;

X X

k

�d δ = x

d | SÂŻk (n) â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; dk | n, X

d(SÂŻk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

1 k+1

,

nâ&#x2030;¤x dk |1

dĂžÂ&#x152;

X nâ&#x2030;¤x

d(SÂŻk (n)) =

XX

X

dk lâ&#x2030;¤x

1

1=

X

dk lâ&#x2030;¤x

1.

§4.21

=

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

X

X

1+

1â&#x2030;¤dk â&#x2030;¤Î´ k 1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤x/δ k

=

X

X

1+

1â&#x2030;¤dâ&#x2030;¤Î´ 1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤x/δ k

X

X

1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤Î´ 1â&#x2030;¤dk â&#x2030;¤x/l

X

X

1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤Î´ 1â&#x2030;¤dk â&#x2030;¤x/l

1â&#x2C6;&#x2019;

X

1â&#x2030;¤dk â&#x2030;¤Î´ k

1 â&#x2C6;&#x2019; [δ]2

119

1

X

1

1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤Î´

X hxi X x 1/k = + â&#x2C6;&#x2019; (δ2 â&#x2C6;&#x2019; 2δ{δ} + {δ}2 ). k d l 1â&#x2030;¤dâ&#x2030;¤Î´ 1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤Î´

dĂ&#x161;n4.20.1 k

X 1 X 1

+ x1/k + O(δ) â&#x2C6;&#x2019; δ2 + O(δ) k l/k d l nâ&#x2030;¤x 1â&#x2030;¤dâ&#x2030;¤Î´ 1â&#x2030;¤lâ&#x2030;¤Î´

1â&#x2C6;&#x2019;k 1â&#x2C6;&#x2019; 1 1 1 δ δ k + Îś =x + Îś(k) + O(δâ&#x2C6;&#x2019;k ) + x1/k + O δâ&#x2C6;&#x2019; k 1â&#x2C6;&#x2019;k k 1 â&#x2C6;&#x2019; k1 X

d(SÂŻk (n)) = x

â&#x2C6;&#x2019;δ2 + O(δ).

5¿ x = δ X

k+1

,

Kk

δ2 δ2 1 1 + Îś(k)x + + Îś x k â&#x2C6;&#x2019; δ2 + O(δ) 1â&#x2C6;&#x2019;k k 1 â&#x2C6;&#x2019; k1

1 1 = Μ(k)x + Μ x k + O(δ) k

1 1 1 = Îś(k)x + Îś x k + O x k+1 . k

d(SÂŻk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.20.1. §4.21

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

k, n Ç&#x2018; ĂŞ. Smarandache ceil ŸêS (n) ½Ă&#x201A;Ç&#x2018; k

Sk (n) = min x â&#x2C6;&#x2C6; N : n | xk .

y3½Ă&#x201A;S (n) ÊóŸêXe: k

SÂŻk (n) = max x â&#x2C6;&#x2C6; N : xk | n .

Â&#x152;ySÂŻ (n) Ç&#x2018;´Â&#x152; Ÿê. !ĂŻĂ&#x201E;Ď&#x192; (SÂŻ (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. ½n4.21.1. Îą â&#x2030;Ľ 0, Ď&#x192; (n) = X d . KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1 Âą9?Âż k

Îą

k

Îą

Îą

d|n

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

120

ĂŞk â&#x2030;Ľ 2, kĂŹCúª  Îą+1 Îą+1   kÎś( k ) x Îą+1 k X + O x 2k +ÇŤ , Îą+1 Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n)) =

  Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x 12 +ÇŤ , nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă&#x201A; f (s) =

n=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

Y p

=

Y p

â&#x2C6;&#x17E; X Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n))

ns

XJ Îą > k â&#x2C6;&#x2019; 1, XJ Îą â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1,

.

Ď&#x192;Îą (SÂŻk (pk )) Ď&#x192;Îą (SÂŻk (p)) + ¡¡¡ + + ¡¡¡ 1+ ps pks 1+

Ď&#x192;Îą (1) Ď&#x192;Îą (1) + ¡ ¡ ¡ + (kâ&#x2C6;&#x2019;1)s ps p

Ď&#x192;Îą (p) Ď&#x192;Îą (p) Ď&#x192;Îą (p2 ) + ks + ¡ ¡ ¡ + (2kâ&#x2C6;&#x2019;1)s + 2ks + ¡ ¡ ¡ p p p

!

1 1 Y 1 â&#x2C6;&#x2019; pks 1 â&#x2C6;&#x2019; pks 1 + pÎą 1 + pÎą + p2Îą = + + ¡¡¡ 1 + 1 ks ks p p 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; s s p p p

Y 1 1 1 = Îś(s) 1 + ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą + 2(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + 3(ksâ&#x2C6;&#x2019;Îą) + ¡ ¡ ¡ p p p p

= Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą),

Ă&#x2122;ÂĽÎś ´Riemann zeta Ÿê. w,kĂ&#x2DC; ÂŞ

â&#x2C6;&#x17E;

X 1 Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n))

<

n=1

Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; nĎ&#x192;

Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n)) â&#x2030;¤ n,

Îą+1 k

,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; > 1 + Îą +k 1 ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ s0 = 0, b =

Kk

Îą+1 Îą+1 1 1 + , T = x 2k , H(x) = x, B(Ď&#x192;) = k ln x Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;

1 Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n)) = 2iĎ&#x20AC; nâ&#x2030;¤x X

Z

b+iT bâ&#x2C6;&#x2019;iT

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

Îą+1 k

Îą+1 xs ds + O x 2k +ÇŤ . s

,

§4.21

'uSmarandache ceil Ÿê ÊóŸê(II)

Îą > k â&#x2C6;&#x2019; 1 Â&#x17E;, Ÿê

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

3s = Îą +k 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018; l k

xs s

kÎś Îą+1 Îą+1 k x k . Îą+1

Îą+1 kÎś Îą+1 Îą+1 k ÂŻ x k + O x 2k +ÇŤ . Ď&#x192;Îą (Sk (n)) = Îą+1 nâ&#x2030;¤x

X

e0 â&#x2030;¤ Îą â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1, KŸê

Îś(s)Îś(ks â&#x2C6;&#x2019; Îą)

xs s

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x. aqÂ&#x152; ĂŹCúª X nâ&#x2030;¤x

ĂšĂ&#x2019;y² ½n4.21.1.

1 Ď&#x192;Îą (SÂŻk (n)) = Îś(k â&#x2C6;&#x2019; Îą)x + O x 2 +ÇŤ .

121

122

1oĂ&#x2122; Ă&#x2DC;êŸêÂ&#x2020;Smarandache Ÿê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160; p

ĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞp, e (n) LÂŤn ÂĽÂ?šÂ&#x192;ĂŞp  Â&#x152;Â?ĂŞ, = p

ep (n) = max {Îą : pÎą | n} .

Ă&#x2122;ĂŻĂ&#x201E;Â&#x2020;Ÿêe (n) k' eZĂžÂ&#x160;ÂŻK, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. p

Ÿêe

§5.1

pq (n)

p, q ´ßÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ, e

ĂžÂ&#x160;5Â&#x;

LÂŤn ÂĽÂ?špq  Â&#x152;Â?ĂŞ, =

pq (n)

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} .

!ĂŻĂ&#x201E;Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;ŠĂ&#x2122;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. ½n5.1.1. p, q ´ßÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª pq

X

epq (n) =

nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă&#x201A;

1 x + O x 2 +ÇŤ , pq â&#x2C6;&#x2019; 1

f (s) =

de

pq (n)

â&#x2C6;&#x17E; X epq (n)

ns

n=1

½Ă&#x201A;Âą9Euler Ă&#x2C6;úª, k f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X

.

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X Îą Îą + Îą+t q Îą n )s Îą q Îą+t n )s (p (p 1 1 =1 Îą=0 t=1 n =1

Îą=0 t=1 n1 (n1 ,pq)=1

+

â&#x2C6;&#x17E; X â&#x2C6;&#x17E; X

Îą=0 n1 =1 (n1 ,pq)=1

â&#x2C6;&#x17E; X

1

(n1 ,pq)=1

Îą (pÎą q Îą n

â&#x2C6;&#x17E; Îą X 1 = (pq)Îąs t=1 pts Îą=0

s 1)

â&#x2C6;&#x17E; X

n1 =1 (n1 ,pq)=1

¡ 123 ¡

1 ns1

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

124

p

â&#x2C6;&#x17E; X

â&#x2C6;&#x17E; Îą X 1 + (pq)Îąs t=1 q ts Îą=0

+

=

â&#x2C6;&#x17E; X

â&#x2C6;&#x17E; X

Îą (pq)Îąs Îą=0

â&#x2C6;&#x17E; X

n1 =1 (n1 ,pq)=1

n1 =1 (n1 ,pq)=1

1 ns1

1 ns1

Îś(s) , (pq)s â&#x2C6;&#x2019; 1

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê. w,k epq (n) â&#x2030;¤ logpq n â&#x2030;¤ ln n,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼ s 1 , Â&#x152; Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;1 1 epq (n) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x

X

5¿ Ÿê

3 2 +iT

Z

3 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

0

â&#x2C6;&#x17E;

X e (n)

1

pq ,

â&#x2030;¤

n=1 nĎ&#x192; Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 1

= 0, b =

3 , H(x) = ln x, B(Ď&#x192;) = 2

Îś(s) xs ds + O (pq)s â&#x2C6;&#x2019; 1 s

3

x 2 +ÇŤ T

.

Îś(s) xs (pq)s â&#x2C6;&#x2019; 1 s x . pq â&#x2C6;&#x2019; 1

KkĂŹCúª ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.1.1.

X

epq (n) =

nâ&#x2030;¤x

§5.2

1 x + O x 2 +ÇŤ . pq â&#x2C6;&#x2019; 1

Ÿêe

pq (n)

p, q ´ßÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ, e

pq (n)

Â&#x2020; k gÂ&#x2DC;

LÂŤn ÂĽÂ?špq  Â&#x152;Â?ĂŞ, =

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} .

,Â&#x2DC;Â?ÂĄ, ĂŞn ÂĄÇ&#x2018; k gÂ&#x2DC;, XJdp k n Â&#x152; k | Îą. A LÂŤ k g Â&#x2DC; 8Ă&#x153;. !ĂŻĂ&#x201E;Ÿêe (n) 38Ă&#x153;A Ăž ĂžÂ&#x160;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. Îą

pq

§5.2

Ÿêe

pq (n)

Â&#x2020; k gÂ&#x2DC;

125

½n5.2.1. p, q ´ßÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

Ă&#x2122;ÂĽ

1 epq (n) = Cp,q kx + O x 2k +ÇŤ , 1 k

X

Cp,q =

â&#x2C6;&#x17E;

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) X n pq (pq)n n=1

´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ, ÇŤ ´?Âż ¢ê. y3y²½n. ½Ă&#x201A;Ÿêa(n) Xe:

1, XJ n ´ k gÂ&#x2DC;; a(n) = 0, Ă&#x2122;§. Ă&#x201E;kĂ&#x161;\eÂĄ Ă&#x161;n. Ă&#x161;n5.2.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k y². ½Ă&#x201A;

1

X

a(n) = x k

nâ&#x2030;¤x (n,pq)=1

â&#x2C6;&#x17E; X

f (s) =

n=1 (n,pq)=1

dEuler Ă&#x2C6;úªk f (s) =

1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) + O x 2k +ÇŤ . pq

Y

1+

P (P,pq)=1

a(n) , ns

Re s > 1.

a(P k ) a(P 2k ) + + ¡¡¡ P ks P 2ks

1 1 1 1 = 1 + ks + 2ks + ¡ ¡ ¡ Ă&#x2014; 1 â&#x2C6;&#x2019; ks Ă&#x2014; 1 â&#x2C6;&#x2019; ks P P p q P

1 1 = Îś(ks) 1 â&#x2C6;&#x2019; ks 1 â&#x2C6;&#x2019; ks , p q Y Riemann zeta , .

Y

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´ Ÿê LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6; 3Perron úª¼ s = 0, b = k1 + log1 x , T = x , H(x) = x Âą9B(Ď&#x192;) = 1 , Â&#x152; Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019; P

1 2k

0

1 k

X

nâ&#x2030;¤x (n,pq)=1

1 a(n) = 2Ď&#x20AC;i

Z

b+iT bâ&#x2C6;&#x2019;iT

1 (pks â&#x2C6;&#x2019; 1)(q ks â&#x2C6;&#x2019; 1) xs Îś(ks) ds + O x 2k +ÇŤ . (pq)ks s

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

126

p

Ç&#x2018; OĂ&#x152;Â&#x2018;, rĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;lb = k1 + log1 x ÂŁ a = 2k1 + log1 x . l k 1 2Ď&#x20AC;i

b+iT

Z

Z

+ bâ&#x2C6;&#x2019;iT b+iT

xs 1 . = Res f (s) , s k

5Âż

+

a+iT

Z

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

+

a+iT

Z

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

f (s)

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

xs ds s

lim Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1) = 1,

sâ&#x2020;&#x2019;1

Â&#x152;

xs 1 1 1 1 = xk 1 â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; .

Res f (s) , s k p q

2d OÂŞ

Z

1

2Ď&#x20AC;i

´y

a+iT

+ b+iT

X

Z

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

+

a+iT

1

ĂšĂ&#x2019;y² Ă&#x161;n5.2.1. y3y²½n. de

pq (n)

X

epq (n) =

nâ&#x2030;¤x nâ&#x2C6;&#x2C6;A

=

X

log x Îąâ&#x2030;¤ pq k

X

½Ă&#x201A;Âą9Ă&#x161;n5.2.1 k Îą

X

x nâ&#x2030;¤ (pq) Îą

k|Îą

(n,pq)=1

kÎą

xs

1 f (s) ds â&#x2030;Ş x 2k +ÇŤ , s

1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) + O x 2k +ÇŤ . pq

Îąâ&#x2030;¤logpq x

bâ&#x2C6;&#x2019;iT

aâ&#x2C6;&#x2019;iT

a(n) = x k

nâ&#x2030;¤x (n,pq)=1

Z

x (pq)kÎą

k1

a(n)

(p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) +O pq

 â&#x2C6;&#x17E; X n 1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1)  = kx k â&#x2C6;&#x2019;  pq (pq)n n=1

X

Îą>

logpq x k

x (pq)kÎą

2k1 +ÇŤ !!



1 ι  + O x 2k +Ǎ  (pq)ι

h i  logpq x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; Îą+ X X k n 1 1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1)   h log x i = kx k â&#x2C6;&#x2019; pq n Îą pq (pq) (pq) k n=1 Îą=1 (pq) 1 +O x 2k +ÇŤ

1

1 1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) = kx k ap,q + O xâ&#x2C6;&#x2019; k log x + O x 2k +ÇŤ pq 1 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(q â&#x2C6;&#x2019; 1) 1 = ap,q kx k + O x 2k +ÇŤ , pq

Ÿêe (n) Â&#x2020;n k gÂ?{Ă&#x153;Š

§5.3

127

p

Ă&#x2122;ÂĽ ap,q =

â&#x2C6;&#x17E; X n=1

´Â&#x152;OÂ&#x17D; ~ĂŞ. ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.2.1.

n (pq)n

Ÿêe (n) Â&#x2020;n k gÂ?{Ă&#x153;Š

§5.3

p

ĂŠ?Âż ĂŞn, n = u v, Ă&#x2122;ÂĽv ´ k gĂ?fĂŞ. Ÿêb (n) = v, =b (n) LÂŤn k gÂ?{Ă&#x153;Š. !ĂŻĂ&#x201E;e (b (n)) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹC úª. ½n5.3.1. p Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ, k Ç&#x2018; ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª k

k

k

p

X

ep (bk (n)) =

nâ&#x2030;¤x

k

pk â&#x2C6;&#x2019; p kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; k k (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p â&#x2C6;&#x2019; 1

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê.

3½nÂĽ k = 2, Â&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;. Ă­Ă&#x2DC;5.3.1. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

ep (b2 (n)) =

nâ&#x2030;¤x

y3y²½n. ½Ă&#x201A;

f (s) =

1 x + O x 2 +ÇŤ ,

1 1 x + O x 2 +ÇŤ . p+1

â&#x2C6;&#x17E; X ep (bk (n))

ns

n=1

.

ĂŞn = p n , Ă&#x2122;ÂĽ(n , p) = 1. Kde (n) Â&#x2020;b (n) ½Ă&#x201A;, k Îą

1

1

p

k

ep (bk (n)) = ep (bk (pÎą n1 )) = ep (bk (pÎą )).

2dEuler Ă&#x2C6;úªÂ&#x152; f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X ep (bk (n))

ns

n=1

1 = Îś(s) 1 â&#x2C6;&#x2019; s p

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X ep (bk (pÎą )) = pÎąs ns1 Îą=0 n =1 1

(n1 ,p)=1

X â&#x2C6;&#x17E;

ep (bk (pÎą )) . pÎąs Îą=1

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

128

p

´y A =

â&#x2C6;&#x17E; X ep (bk (pÎą )) Îą=1

=

=

1 2 kâ&#x2C6;&#x2019;1 1 2 kâ&#x2C6;&#x2019;1 + + ¡ ¡ ¡ + (kâ&#x2C6;&#x2019;1)s + (k+1)s + (k+2)s + ¡ ¡ ¡ + (2kâ&#x2C6;&#x2019;1)s ps p2s p p p p 1 2 kâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ ¡ ¡ + (uk+1)s + (uk+2)s + ¡ ¡ ¡ + (uk+kâ&#x2C6;&#x2019;1)s + ¡ ¡ ¡ p p p â&#x2C6;&#x17E; kâ&#x2C6;&#x2019;1 X 1 X r u=0

=

l k

pÎąs

puks

r=1

prs

1 1 1 ¡ 1 â&#x2C6;&#x2019; pks 1 â&#x2C6;&#x2019; p1s

1â&#x2C6;&#x2019;

1

p(kâ&#x2C6;&#x2019;1)s

ps â&#x2C6;&#x2019; 1

kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; ks p

!

.

â&#x2C6;&#x17E; X ep (bk (n))

f (s) =

n=1

=

ns

pks â&#x2C6;&#x2019; ps kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; (pks â&#x2C6;&#x2019; 1)(ps â&#x2C6;&#x2019; 1) pks â&#x2C6;&#x2019; 1

duÎś(s) 3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;1, KŸê f (s)

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

3Perron úª¼ s

Îś(s).

xs s

kâ&#x2C6;&#x2019;1 pk â&#x2C6;&#x2019; p â&#x2C6;&#x2019; k k (p â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p â&#x2C6;&#x2019; 1

x.

Â&#x152;

3 = 0, b = , T > 1, 2 3 Z 32 +iT X 1 xs x2 ep (bk (n)) = f (s) ds + O .

2Ď&#x20AC;i 32 â&#x2C6;&#x2019;iT s T nâ&#x2030;¤x 0

rĂ&#x2C6;ŠÂ&#x201A;ÂŁ Re s = 12 + ÇŤ, Âż T = x, k X nâ&#x2030;¤x

ep (bk (n)) =

pk â&#x2C6;&#x2019; p kâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; x (pk â&#x2C6;&#x2019; 1)(p â&#x2C6;&#x2019; 1) pk â&#x2C6;&#x2019; 1 Z 12 +ÇŤ+iT 1 1 xs f (s) ds + O x 2 +ÇŤ + 2Ď&#x20AC;i 12 +ÇŤâ&#x2C6;&#x2019;iT s

§5.4

¼êe (n) Euler ¼ê ·Üþ p

129

pk − p k−1 = − x (pk − 1)(p − 1) pk − 1 Z T

1 +ǫ 1

x2 1

+O f + ǫ + it dt + O x 2 +ǫ

1 + |t| 2 −T

1 pk − p k−1 − x + O x 2 +ǫ . = (pk − 1)(p − 1) pk − 1

ùÒy² ½n5.3.1.

¼êe (n) Euler ¼ê ·Üþ

§5.4

p

!ïÄe (n) Euler ¼êφ(n) ·Üþ , ¿ Ñ ìCúª. ½n5.4.1. p Ǒ ê, φ(n) ǑEuler ¼ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCú p

ª

X

ep (n)φ(n) =

n≤x

3 3p 2 x + O x 2 +ǫ . (p2 − 1)π 2

Ǒ y²½n, ÄkÚ\e¡ ü Ún. Ún5.4.1. p Ǒ ½ ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª X

n≤x (n,p)=1

y². ½Â dEuler Èúªk

φ(n) =

3 3p 2 x + O x 2 +ǫ . (p + 1)π 2

∞ X φ(n) f (s) = , ns n=1

Re s > 1.

(n,p)=1

∞ YX φ(q m ) q ms q6=p m=0

Y q − 1 q2 − q q3 − q2 = 1 + s + 2s + + ··· q q q 3s q6=p

!

Y 1 − 1q 1 1 = 1 + s−1 1 + s−1 + 2(s−1) + · · · q q q q6=p !

Y 1 − 1q q s−1 = 1 + s−1 s−1 q q −1 q6=p

f (s) =

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

130

p

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p , Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1

=

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) Ç&#x2018;Riemann zeta Ÿê. 3Perron úª¼ s Â&#x152; Z X Ď&#x2020;(n) 1 = s n 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x

5 2 +iT

5 2 â&#x2C6;&#x2019;iT

(n,p)=1

5¿ Ÿê

0

= 0, T = x

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs ds + O Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s

5

x2 T

Âą9b = 52 ,

.

Îś(s â&#x2C6;&#x2019; 1) ps â&#x2C6;&#x2019; p xs Îś(s) ps â&#x2C6;&#x2019; 1 s

3s = 2 kÂ&#x2DC;Â&#x2021;{Ăź4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

3px2 . (p + 1)Ď&#x20AC; 2

Kk

X

Ď&#x2020;(n) =

nâ&#x2030;¤x (n,p)=1

3 3p 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p + 1)Ď&#x20AC; 2

Ă&#x161;n5.4.1 y.. Ă&#x161;n5.4.2. p Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

y². Ă&#x2DC;J X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

Îą pÎą

Îą p â&#x2C6;&#x2019;1 = + O x log x ; pÎą (p â&#x2C6;&#x2019; 1)2

1 1

Îą p2 â&#x2C6;&#x2019;2 + O x log x . Îą = 1 p2 (p 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2

â&#x2C6;&#x17E; X X Îą t = â&#x2C6;&#x2019; pt pÎą log x t=1 Îą> log p

h i log x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; +t X X log p t 1 = â&#x2C6;&#x2019; log x pt p[ log p ] t=1 pt t=1 i  h  log x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X log p t t  = + O xâ&#x2C6;&#x2019;1  + t p pâ&#x2C6;&#x2019;1 pt t=1 t=1

=

p + O xâ&#x2C6;&#x2019;1 log x , 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)

Â&#x2020;e

§5.5

Âą9 X

x Îąâ&#x2030;¤ log log p

Îą Îą p2

pq (n)

k' ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;

131

â&#x2C6;&#x17E; X X Îą t = Îą t â&#x2C6;&#x2019; p2 p2 log x t=1 Îą> log p

h i log x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; +t X X log p t 1 = t â&#x2C6;&#x2019; t 1 log x p2 p2 p 2 [ log p ] t=1 t=1 i  h  log x â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X t t  xâ&#x2C6;&#x2019; 12  1log p + = t + O t p2 p 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 t=1 p 2 t=1 1 1

p2 â&#x2C6;&#x2019;2 + O x log x .

1 (p 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2

=

Ă&#x161;n5.4.2 y.. y3y²½n. dĂ&#x161;n5.4.1 Â&#x2020;Ă&#x161;n5.4.2 Â&#x152; X

ep (n)Ď&#x2020;(n) =

X X

pÎą â&#x2030;¤x

nâ&#x2030;¤x

ÎąĎ&#x2020;(pÎą u) =

pÎą uâ&#x2030;¤x

X

ÎąĎ&#x2020;(pÎą )

2

(u,p)=1

3p x x +O 2 Îą (p + 1)Ď&#x20AC; p pÎą Îąâ&#x2030;¤ log p   X Îą 3(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 X Îą 3  = x + O x 2 +ÇŤ Îą Îą (p + 1)Ď&#x20AC; 2 p p2 log x log x Îąâ&#x2030;¤ log p Îąâ&#x2030;¤ log p

3(p â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 p â&#x2C6;&#x2019;1 = x + O x log x (p + 1)Ď&#x20AC; 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1)2

1 1

p2 3 +ÇŤ â&#x2C6;&#x2019;2 2 +O x + O x log x 1 (p 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 3 3p 2 = 2 x + O x 2 +ÇŤ . (p â&#x2C6;&#x2019; 1)Ď&#x20AC; 2 =

pâ&#x2C6;&#x2019;1 X ÎąpÎą p log x

Ď&#x2020;(u)

uâ&#x2030;¤ pxÎą

pÎą â&#x2030;¤x

(u,p)=1

X

32 +ÇŤ !!

ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.4.1. §5.5

Â&#x2020;e

pq (n)

p, q ´ßÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ, e

k' ĂŞĂ&#x2DC;Ÿê9Ă&#x2122;ĂžÂ&#x160;

pq (n)

y3½Ă&#x201A;#Ÿê

LÂŤn ÂĽÂ?špq  Â&#x152;Â?ĂŞ, =

epq (n) = max {Îą : (pq)Îą | n} . bpq (n) =

X t|n

epq

n t

epq (t).

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

132

p

!|^)Ă&#x203A;Â?{ĂŻĂ&#x201E;b (n) ĂžÂ&#x160;5Â&#x;, ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. ½n5.5.1. p, q Ç&#x2018;ĂźÂ&#x2021;Ă&#x2DC;Ă&#x201C; Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª pq

X

bpq (n) =

nâ&#x2030;¤x

x ln x 1 â&#x2C6;&#x2019; 2Îł â&#x2C6;&#x2019; pq + 2pqÎł â&#x2C6;&#x2019; 2pq ln(pq) + x 2 (pq â&#x2C6;&#x2019; 1) (pq â&#x2C6;&#x2019; 1)3 1 +O x 2 +ÇŤ ,

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ½Ă&#x201A; f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X epq (n) n=1

w,k

ns

,

g(s) =

â&#x2C6;&#x17E; X bpq (n) n=1

ns

.

g(s) = f 2 (s).

Ă&#x2DC;Jy² f (s) =

d w,k

Âą9

Îś(s) (pq)s â&#x2C6;&#x2019; 1

g(s) =

Îś 2 (s) . ((pq)s â&#x2C6;&#x2019; 1)2

â&#x2C6;&#x17E;

X b (n)

1

pq ,

â&#x2030;¤

n=1 nĎ&#x192; Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 2

bpq (n) â&#x2030;¤ logpq n â&#x2030;¤ n ln n,

Ă&#x2122;ÂĽĎ&#x192; (â&#x2030;Ľ 2) ´s ¢Ă&#x153;. 3Perron úª¼

5 1 s0 = 0, b = , H(x) = x ln x, B(Ď&#x192;) = , 2 Ď&#x192;â&#x2C6;&#x2019;2

k

1 bpq (n) = 2Ď&#x20AC;i nâ&#x2030;¤x

Ă&#x2122;ÂĽ

X

Z

5/2+iT

xs Îś (s)R(s) ds + O s 2

5/2â&#x2C6;&#x2019;iT

R(s) =

5Âż Ÿê 3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

x3/2+ÇŤ T

1 . â&#x2C6;&#x2019; 1)2

((pq)s

Îś 2 (s)R(s)

xs s

x ln x 1 â&#x2C6;&#x2019; 2Îł â&#x2C6;&#x2019; pq + 2pqÎł â&#x2C6;&#x2019; 2pq ln(pq) + x, 2 (pq â&#x2C6;&#x2019; 1) (pq â&#x2C6;&#x2019; 1)3

,

§5.6

Ÿêp

eq (n)

ĂžÂ&#x160;

133

Ă&#x2122;ÂĽÎł ´Euler Ÿê. l Â&#x152; X

bpq (n) =

nâ&#x2030;¤x

x ln x 1 â&#x2C6;&#x2019; 2Îł â&#x2C6;&#x2019; pq + 2pqÎł â&#x2C6;&#x2019; 2pq ln(pq) + x 2 (pq â&#x2C6;&#x2019; 1) (pq â&#x2C6;&#x2019; 1)3 1

+O(x 2 +ÇŤ ).

ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.5.1.

Ÿêp ĂžÂ&#x160; eq (n)

§5.6

p, q ´ßÂ&#x2021;Â&#x192;ĂŞ, !ĂŻĂ&#x201E;ĂžÂ&#x160;X p , ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC;Â&#x2021;ĂŹCúª. ½n5.6.1. p, q Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ, ávq â&#x2030;Ľ p. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª eq (n)

nâ&#x2030;¤x

X

peq (n)

nâ&#x2030;¤x

 qâ&#x2C6;&#x2019;1 1  x + O(x 2 +ÇŤ ),  qâ&#x2C6;&#x2019;p

= pâ&#x2C6;&#x2019;1 pâ&#x2C6;&#x2019;1 p+1 1   x ln x + (Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) + x + O(x 2 +ÇŤ ), p ln p p ln p 2p

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê, Îł ´Euler ~ĂŞ. y3y²½n. ½Ă&#x201A; X f (s) =

â&#x2C6;&#x17E;

n=1

peq (n) . ns

ĂŠ?Âż ĂŞn, w,e (n) ´Â&#x152;\Ÿê, l p Âą9Euler Ă&#x2C6;úªk q

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E; X peq (n) n=1

ns

=

Y p1

eq (n)

m â&#x2C6;&#x17E; X peq (p1 ) pms 1 m=0

XJq > p; XJq = p,

´Â&#x152; Ÿê. de (n) ½Ă&#x201A; q

!

!

2 peq (p1 ) = 1+ + 2s + ¡ ¡ ¡ ps1 p1 p1

Y

p p2 1 1 = 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ q q p1 p1 p 6=q Y

p

eq (p1 )

1

qs â&#x2C6;&#x2019; 1 = Îś(s) s . q â&#x2C6;&#x2019;p

3Perron úª¼ s

Â&#x152;

= 0, b = 2, T = x3/2 , Z 2+iT X 1 xs 1 eq (n) p = Îś(s)R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), 2Ď&#x20AC;i 2â&#x2C6;&#x2019;iT s nâ&#x2030;¤x 0

1ÊÙ ¼êe (n) þ

134

p

Ù¥

qs − 1 , qs − p

R(s) =

d ǫ ´?¿ ¢ê. e5 OÌ

1 2πi

2+iT

Z

ζ(s)R(s)

2−iT

rÈ© l2 ± iT £ 1/2 ± iT .

XJq > p, K¼ê

ζ(s)R(s)

3s = 1 k {ü4:, l k 1 2πi

Z

2+iT

+ 2−iT

Z

1/2+iT

+

2+iT

xs ds. s

xs s

1/2−iT

Z

+

1/2+iT

Z

2−iT

1/2−iT

!

ζ(s)R(s)

xs ds s

= R(1)x.

T = x , 3/2

1

2πi Z ≪

2

Z

±9

x T

+ 2+iT

Z

2−iT 1/2−iT

!

1

= x 2 +ǫ ,

Z T

1 Z 1/2−iT xs

ζ(s)R(s) ds ≪

2πi 1/2+iT s

1 1

5¿

xs

ζ(s)R(s) ds

s

2

ζ(σ + iT )R(s) x dσ

T

1/2 2+ǫ

≪

1/2+iT

1/2

ζ(1/2 + it)R(s) x dt

t

≪ x 2 +ǫ .

R(1) =

á= ìCúª X

n≤x

peq (n) =

XJq = p, K¼ê

q−1 , q−p

1 q−1 x + O x 2 +ǫ , q−p ζ(s)R(s)

xs s

q > p.

§5.7

Ÿêe (n) Â&#x2020;ĂĄÂ?Ă&#x2013;êŸê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

135

q

3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:

LÂŤĂ&#x2122;3ĂŞ Kk

xs . Res Îś(s)R(s) , s

s

s â&#x20AC;˛ xs p â&#x2C6;&#x2019;1 2x Res Îś(s)R(s) = lim Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1) sâ&#x2020;&#x2019;1 s ps â&#x2C6;&#x2019; p s s

s â&#x20AC;˛ p â&#x2C6;&#x2019;1 x = lim Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1) (s â&#x2C6;&#x2019; 1) sâ&#x2020;&#x2019;1 ps â&#x2C6;&#x2019; p s s

p â&#x2C6;&#x2019;1 xs â&#x20AC;˛ (s â&#x2C6;&#x2019; 1) (Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1)) . + ps â&#x2C6;&#x2019; p s

5Âż

â&#x20AC;˛ ps â&#x2C6;&#x2019; 1 p+1 (s â&#x2C6;&#x2019; 1) = , lim sâ&#x2020;&#x2019;1 ps â&#x2C6;&#x2019; p 2p lim Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1) = 1,

sâ&#x2020;&#x2019;1

Âą9

lim(Îś(s)(s â&#x2C6;&#x2019; 1))â&#x20AC;˛ = Îł,

sâ&#x2020;&#x2019;1

l Â&#x152; Ă?dk X nâ&#x2030;¤x

p

xs Res Îś(s)R(s) s

eq (n)

pâ&#x2C6;&#x2019;1 = x ln x + p ln p

ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.6.1. §5.7

pâ&#x2C6;&#x2019;1 = x ln x + p ln p

pâ&#x2C6;&#x2019;1 p+1 (Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) + p ln p 2p

pâ&#x2C6;&#x2019;1 p+1 (Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) + p ln p 2p

1

x + O(x 2 +ÇŤ ),

Ÿêe (n) Â&#x2020;ĂĄÂ?Ă&#x2013;êŸê ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

x.

q = p.

q

ĂŠ?Âż ĂŞn, n ĂĄÂ?Ă&#x2013;ĂŞb(n)X´Â? nb(n) Ç&#x2018; ĂĄÂ?ĂŞ  ê. p, q Ç&#x2018;ĂźÂ&#x2021;Â&#x192;ĂŞ. !ĂŻĂ&#x201E;ĂžÂ&#x160; p , ÂżÂ&#x2030;Ă&#x2018;Â&#x2DC; ĂŹCúª. eq (b(n))

nâ&#x2030;¤x

½n5.7.1. p, q Ç&#x2018;ĂźÂ&#x2021;Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª X nâ&#x2030;¤x

peq (b(n)) =

Ă&#x2122;ÂĽÇŤ ´?Âż ¢ê. d½nÂ&#x152; eÂĄ Ă­Ă&#x2DC;.

q 2 + p2 q + p 1 x + O(x 2 +ÇŤ ), 2 q +q+1

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

136

p

Ă­Ă&#x2DC;5.7.1. q Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

1

q eq (b(n)) = qx + O(x 2 +ÇŤ ).

nâ&#x2030;¤x

y3y²½n. ĂŞn = u v w, Ă&#x2122;ÂĽv, w ´ ²Â?Ă?fĂŞ, Â&#x2026;(v, w) = 1.

Kdb(n) ½Ă&#x201A;Â&#x152; b(n) = vw . ´yĂŠ?ÂżÂ&#x192;ĂŞp Âą9Â&#x161;K ĂŞm, k   1, XJ m = 3t, p , XJ m = 3t + 1, b(p ) =  p, XJ m = 3t + 2. ½Ă&#x201A; X 3 2

2

m

2

f (s) =

â&#x2C6;&#x17E;

n=1

peq (b(n)) . ns

due (n) ´Â&#x152;\Ÿê, b(n) ´Â&#x152; Ÿê. Ă?dp Ă&#x201A;Âą9Euler Ă&#x2C6;úªÂ&#x152; q

â&#x2C6;&#x17E; X peq (b(n))

f (s) =

n=1

=

= =

Ă&#x2122;ÂĽ

=

p1

´Â&#x152; Ÿê. de (n) ½

m â&#x2C6;&#x17E; X peq (b(p1 )) pms 1 m=0

q

!

!

2 â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X p peq (p1 ) peq (p1 ) + + (3t+1)s (3t+2)s p3ts 1 p1 t=0 t=0 p1 t=0 p1 ! â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; X X X 1 p2 p + + q 3ts q (3t+1)s q (3t+2)s t=0 t=0 t=0

Y 1 1 Ă&#x2014; 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ p1 p1 p1 6=q

1 q 3s + p2 q 2s + pq s Y 1 1 + s + 2s + ¡ ¡ ¡ q 3s â&#x2C6;&#x2019; 1 p1 p1 p1 6=q 2s

q + p2 q s + p Îś(s) . q 2s + q s + 1 Y

=

3Perron úª¼ s

ns

Y

eq (b(n))

â&#x2C6;&#x17E; X

eq (1)

k

= 0, b = 2, T = x3/2 , Z 2+iT X 1 xs 1 eq (b(n)) p = Îś(s)R(s) ds + O(x 2 +ÇŤ ), 2Ď&#x20AC;i 2â&#x2C6;&#x2019;iT s nâ&#x2030;¤x 0

R(s) =

¹9Ǎ ´?¿ ¢ê.

q 2s + p2 q s + p , q 2s + q s + 1

§5.8

'ue (n) ·Üþ

137

p

5¿ ¼ê ζ(s)R(s)

xs s

3s = 1 k {ü4:, 3êǑR(1)x. Kk X

peq (b(n)) =

n≤x

q 2 + p2 q + p 1 x + O(x 2 +ǫ ).

2 q +q+1

ùÒy² ½n5.7.1.

'ue (n) ·Üþ

§5.8

p

n Ǒ ê, P (n) L«n ¤k Ïê È, = d

Pd (n) =

Y

d.

d|n

~XP (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 8, · · · . !ïÄe (P (n)) þ 5 , ¿ Ñ ìCúª. ½n5.8.1. p Ǒ ê. Ké?¿¢êx ≥ 1, kìCúª d

d

X

d

ep (Pd (n)) =

n≤x

+

d

p

d

x ln x p(p − 1)

(p − 1)3 (2γ − 1) − (2p4 + 4p3 + p2 − 2p + 1) ln p x p(p − 1)4 1

+O(x 2 +ǫ ),

Ù¥γ ´Euler ~ê, ǫ ´?¿ ¢ê.

3½n¥©O p = 2, 3, e¡ íØ. íØ5.8.1. é?¿¢êx ≥ 1, k X

e2 (Pd (n)) =

1 2γ − 65 ln 2 − 1 1 x ln x + x + O(x 2 +ǫ ); 2 2

X

e2 (Pd (n)) =

1 8γ − 137 ln 3 − 4 1 x ln x + x + O(x 2 +ǫ ).

6 24

n≤x

n≤x

Ǒ y²½n. ÄkÚ\e¡ A Ún. Ún5.8.1. é?¿ ên, k Pd (n) = n

Ù¥d(n) ´Øê¼ê.

d(n) 2

,

1Ă&#x160;Ă&#x2122; Ÿêe (n) ĂžÂ&#x160;

138

p

y². Ú´Šz[21] ÂĽ Ă&#x161;n1. Ă&#x161;n5.8.2. ĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, k X

nâ&#x2030;¤x (n,m)=1



 2 X ln p Y 1   d(n) = x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 1â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;1 p p|m

p|m

1

+O(x 2 +ÇŤ ),

Ă&#x2122;ÂĽY LÊ¤kÂ&#x192;ĂŞ Ă&#x2C6;, Îł ´Euler Ÿê, ÇŤ ´?Âż ¢ê. p

y².

1/2

T =x

,

A(s) =

p

dPerron úªÂ&#x152; X

nâ&#x2030;¤x (n,m)=1

Y

1 d(n) = 2iĎ&#x20AC;

Z

Ă&#x2122;ÂĽÎś(s) ´Riemann zeta Ÿê.

5Âż Ÿê 3s = 1 kÂ&#x2DC;Â&#x2021; 4:, 3ĂŞÇ&#x2018;

1 1â&#x2C6;&#x2019; s p

3/2+iT

Îś 2 (s)A(s) 3/2â&#x2C6;&#x2019;iT

Îś 2 (s)A(s)



2

.

xs 1 ds + O(x 2 +ÇŤ ), s

xs s

 2 X ln p Y 1   x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 .

1â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;1 p

l k X

nâ&#x2030;¤x (n,m)=1

p|m



p|m

 2 X ln p Y 1  d(n) = x ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 1â&#x2C6;&#x2019; pâ&#x2C6;&#x2019;1 p p|m

p|m

1

+O(x 2 +ÇŤ ),

Ă&#x161;n5.8.2 y.. Ă&#x161;n5.8.3. p Ç&#x2018;Â&#x192;ĂŞ. KĂŠ?¿¢êx â&#x2030;Ľ 1, kĂŹCúª

X Îą p x = +O , Îą 2 p (p â&#x2C6;&#x2019; 1) px Îąâ&#x2030;¤x

'ue (n) ·Üþ

§5.8

139

p

X α2

p2 + p = +O pα (p − 1)3 α≤x

x2 px

,

p3 + 4p2 + p = +O pα (p − 1)4 α≤x

x3 px

X α3

y². 1 ª´w, , Ïd y üª. f=

X

.

α2 /pα .

α≤n

5¿ f

1 1− p

=

n X α2 α=1

=

n X α2 − pα α=1 pα+1 n−1

X (α + 1)2 − α2 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1 n−1

=

±9 f =

1 1− p

2

n−1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

X 2α + 1 1 n2 − n+1 + p p pα+1 α=1

!

n−1

=

1 1− p

n

1 1 n2 − n2 p X 2α + 1 X 2α − 1 − 2+ + − α+1 p p pn+2 p pα+1 α=1 α=2 n−1

= =

l k f

=

=

Ïd

1 2 n2 − n2 p X 2 n2 − n2 p − (2n − 1)p + 2+ + + p p pn+2 pα+1 pn+2 α=2 1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + . p p − pn pn+2

1 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + n+1 + p p − pn pn+2

1

1−

p 2(pn−1 − 1) n2 − (n2 + 2n − 1)p + + . (p − 1)2 pn−2 (p − 1)3 pn (p − 1)2 X α2

α≤x

pα

=

p 2p + +O 2 (p − 1) (p − 1)3

x2 px

1 p

2

1ÊÙ ¼êe (n) þ

140

p

=

, ¡, ½Â

p2 + p +O (p − 1)3 g=

X

x2 px

.

α3 /pα .

α≤n

5¿

1 g 1− p n n 3 X X α α3 − = pα α=1 pα+1 α=1 n−1

=

X (α + 1)3 − α3 1 n3 − n+1 + p p pα+1 α=1 n

= =

=

l k

X 3α2 − 3α + 1 1 n3 − n+1 + p p pα+1 α=2

1 pn−1 − 1 2 n pn−2 − 1 n3 3 − − + − n+1 + n+1 p p p − pn p2 pn+1 pn+1 − pn 1 − 1p !

3 4 n2 5 2n − 1 2(pn−3 − 1) 1 + − + − n+1 + n+1 p2 pn+1 p3 p p − pn 1 − p1 1 − p2 + 4p + 10 3n − 3n2 + pn−1 − 1 + (3 − 6n)p + p(p − 1)2 pn (p − 1) 3 n−3 − 1) − 3(pn−2 − 1)(p − 1) n 6p(p − n+1 + . p pn−1 (p − 1)3

X α3

α≤x

1 p

=

pα

=

p2 + 4p + 10 1 9 − 3p + + 2 p(p − 1) p(p − 1) p(p − 1)3 3 x p3 + 4p2 + p + O 4 (p − 1) px

p +O p−1

Ún5.8.3 y.. y3y²½n. dP (n) e (n) ½Â, ±9 ¡ 3 Ún d

X

p

ep (Pd (n))

n≤x

=

X (α + 1)α X (α + 1)α X d(l) = d(l) 2 2 α pα l≤x pα ≤x

(p,l)=1

l≤x/p (p,l)=1

x3 px

§5.8

=

X

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

(Îą + 1)Îą 2

'ue (n) ¡Ă&#x153;ĂžÂ&#x160;

141

p

x pÎą

x 2 ln p ln Îą + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + p pâ&#x2C6;&#x2019;1

1 1â&#x2C6;&#x2019; p

2 !

1

+O(x 2 +ÇŤ )

2

2 ln p x 1 1â&#x2C6;&#x2019; ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + = 2 p pâ&#x2C6;&#x2019;1

Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

(Îą + 1)Îą pÎą

(Îą + 1)Îą 1 + O(x 2 +ÇŤ ) pÎą Îąâ&#x2030;¤ln x/ ln p

2

2 ln p x 1 = ln x + 2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1â&#x2C6;&#x2019; 2 p pâ&#x2C6;&#x2019;1 2 2 p ln x p +p Ă&#x2014; + +O 3 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) x 3 3 2 2 p +p ln x x ln p p + 4p + p 1 â&#x2C6;&#x2019; + +O + O(x 2 +ÇŤ ) 4 3 2 (p â&#x2C6;&#x2019; 1) (p â&#x2C6;&#x2019; 1) x x ln x (p â&#x2C6;&#x2019; 1)3 (2Îł â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; (2p4 + 4p3 + p2 â&#x2C6;&#x2019; 2p + 1) ln p = + x p(p â&#x2C6;&#x2019; 1) p(p â&#x2C6;&#x2019; 1)4 â&#x2C6;&#x2019;

x ln p 2

2

X

1

X

+O(x 2 +ÇŤ ).

ĂšĂ&#x2019;y² ½n5.8.1.

142

1ÊÙ ¼êe (n) þ p

ë ©z

143

ë ©z [1] T. M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1976.

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Research on Some Smarandache Problems Vol. 7

Huaning LIU Department of Mathematics Northwest University Xi'an, Shaanxi P. R. China

Jing GAO School of Science Xi'an Jiaotong University Xi'an, Shaanxi P. R. China

The Educational Publisher 2011