Exercicios lista05 hiperestaticas gab

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

Ex. 4-5 A barra de aço mostrada na figura ao lado tem um diâmetro de 5 mm. Ela é rigidamente fixada à parede A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a extremidade da barra. Determine as reações em A e B’ para uma força axial P=20 kN aplicada à barras conforme indicado. Despreze as dimensões do colar.

Faça Eaço = 200 GPa.

Solução:

Por equilíbrio: FA + FB = 20 kN

(1) n

Pela restrição de deslocamento total de A até C:  AC   i 1

N i Li  1 mm (2) Ei Ai

Dados: Eaço = 200 GPa = 200 kN/mm2 d = 1,5 mm LAC = 400 mm LCB = 800 mm Esforços normais: NAC = FA NCB = FA – 20 Áreas das seções transversais: d 2 (5 mm ) 2 A   19,63495 mm 2 4 4 N AC L AC N CB L CB F  20  800 FA  400  AC    1 mm   AC   A 1 E aço A E aço A 200  19,63495 200  19,63495  FA  400  FA  800  20  800  200  19,63495  FA  400  800  200  19,63495  20  800  FA 

200  19,63495  16000  16,60583 kN 1200

De (1) vem que:  FB  20  16,60583  3,394174 kN Resposta: As reações em A e B são 16,6 kN e 3,39 kN, respectivamente.

www.profwillian.com

página 1

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

4.42 A coluna de concreto é reforçada com quatro barras de aço, cada uma com diâmetro de 18 mm. Determinar a tensão média do concreto e do aço se a coluna é submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço = 200 GPa e Ec = 25 GPa.

Solução: Es=200 GPa Ec=25 GPa   18 2    1017,88 mm 2 A s  4 4  

A c  300  300  A s  88982,1 mm 2 P=800 kN Pc – parte da força P no concreto Ps – parte da força P no aço

Pc  Ps  P  Pc  P  Ps

c  s 

Pc L P L  s  Ps E c A c   Pc E s A s   Ps E c A c   P  Ps E s A s  Ec Ac Es As

 Ps E c A c   PE s A s   Ps E s A s   Ps E c A c   Ps E s A s   PE s A s   Ps E c A c  E s A s   P E s A s   Ps  P

Es As Ec Ac  Es As

200000  1017,88  67072,3 N 25000  88982,1  200000  1017,88  Pc  800000  67072,3  732927,7 N  Ps  800000 

 s 

Ps 67072,3   65,9 M Pa A s 1017,88

 c 

Pc 732927,7   8,24 M Pa Ac 88982,1

Resposta: A tensão normal média do concreto é de 8,24 MPa e a tensão normal média do aço é de 65,9 MPa.

www.profwillian.com

página 2

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

4.43 A coluna mostrada na figura é fabricada de concreto com alta resistência (Ec=29 GPa) e quatro barras de reforço de aço A36. Se a coluna é submetida a uma carga axial de 800 kN, determine o diâmetro necessário a cada barra para que um quarto da carga seja sustentada pelo aço e três quartos pelo concreto.

Solução: Es=200 GPa Ec=25 GPa A c  300  300  A s P=800 kN Pc – parte da força P no concreto Ps – parte da força P no aço

Pc  Ps  P  Pc  P  Ps

Pc  P  

Ec Ac P Ec Ac P Ec Ac  Es As  c    Ec Ac  Es As P Ec Ac  Es As Pc Ec Ac

P  E E A E A A P P  1 s s  s s   1  s    1 c Pc Ec Ac E c A c Pc A c  Pc  E s

  

Ac 90000  A s 1 1 90000  Pc  E s        As  P As As  E c   Ps  E c   Ps  E c   1      Pc  E s   Pc  E s 

   1 

90000  d  90000 90000     As   4 d 4  Pc  E s         P E P Es     c  s  c     1     1  P  E   P  E   1 P E  s  c   s  c   s  c  2

90000 90000   d   36,34 mm 600 200000  Pc  E s         1    1 200 29000     P E  s  c  Resposta: O diâmetro necessário é de 36,3 mm a cada barra para que um quarto da carga seja sustentado pelo aço e três quartos pelo concreto.

www.profwillian.com

página 3

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

4.45 Os dois tubos são feitos do mesmo material e estão acoplados como mostrado abaixo. Supondo que a área da seção transversal de BC seja A e a de CD seja 2A, determinar as reações em B e D quando a força P for aplicada na junção C.

Solução:

FB

Por equilíbrio: FB + FD = P

FD

(1) n

Pela restrição de deslocamento total de B até D:  BD   i 1

N i Li  0 (2) Ei Ai

Esforços normais: NBC = FB NCD = FB – P L FB  P  L FB  N BCL BC N CDL CD 2 2 0  BD   0 EA E2A  EA E2A  F  P   0  FB  B 2 2F  FB  P   B  0  3FB  P  0 2 P  FB  3

De (1) vem que:

 FD  P  FB  P 

P 2P  3 3

Resposta: As reações em B e D são P/3 e 2P/3, respectivamente. www.profwillian.com

página 4

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

4.53 A coluna central B da estrutura mostrada na figura tem um comprimento original de 124,7 mm, enquanto as colunas A e C têm comprimentos de 125 mm. Se as vigas do topo e da base forem consideradas rígidas, determine a tensão normal média atuante em cada coluna. As colunas são feitas de alumínio e tem área de seção transversal média de 400 mm². Considere Eal=70 GPa.

Solução: Equações de equilíbrio estático:  Fy  0  FA  FB  FC  P  0  FA  FB  FC  P

M

B

(1)

 0  FA  0,2  FC  0,2  0

 FA  FC

(2)

FA

FB

FC

Equação de compatibilidade de deslocamentos:  A   C   B  0,3 mm FA 125 FB 124,7   0,3 mm EA EA FA 125 mm FB 124,7 mm   0,3 mm kN kN 2 2 P = 800 kN/m × 0,2 m 70  400 mm 70  400 mm mm 2 mm 2 kN   FA 125 mm  FB 124,7 mm  0,3 mm   70  400 mm 2  2  mm   125 FA  124,7 FB  8400 (3)  A   B  0,3 

Resolvendo as equações (1), (2) e (3): FA  FC  75,726 kN FB  8,5470 kN

Assim:  A  C 

FC 75,726 kN kN   0,1893 2 A 400 mm mm 2

FB 8,5470 kN kN   0,02137 2 A 400 mm mm 2 Resposta: As tensões normais médias atuantes nas colunas A, B e C são 189 MPa, 21,4 MPa e 189 MPa, respectivamente. B 

www.profwillian.com

página 5

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

4.115 O conjunto consiste em duas barras AB e CD do mesmo material, com módulo de elasticidade E1 e coeficiente de expansão térmica 1, e uma barra EF com módulo de elasticidade E2 e coeficiente de expansão térmica 2. Todas as barras têm o mesmo comprimento L e área da seção transversal A. Se a viga rígida estiver inicialmente horizontal na temperatura T1, determinar o ângulo que ela faz com a horizontal quando a temperatura aumenta para T2.

Solução:

F  0  F  F  F  0  F  F  F  M  0   F (d )  F ( d )  0  F  F y

A

C

A



FA

C FC

E

FE

C

A

E

A

C

E

E

A

E

 A   AB T   AB F  1 LT2  T1  

FA L E1A

 C   CD T   CD F  1 LT2  T1  

FC L E1A

 E   EF T   EF F   2 LT2  T1  

FE L E2A

0

(1) (2)

Compatibilidade geométrica:

 E   A  E  C   A   A   E   E  C   E   A  2 E  2C  C  E 2d d 2 2 FL FL  2 LT2  T1   E  1LT2  T1   A FL E2A E1A 1LT2  T1   C  (3) E1A 2

Resolvendo as equações 1, 2 e 3 simultaneamente, temos: E E AT2  T1  2  1  FA  FE  1 2 5E 2  E1

FC  2 

E1 E 2 AT2  T1  2  1  5E 2  E1

Assim: tg()   

E  A 2d

 

3E 2 LT2  T1  2  1  d5E 2  E1 

Resposta: O ângulo que a viga rígida faz com a horizontal é: www.profwillian.com

(

)( (

) ) página 6

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

7) Uma barra tem seção reduzida como se vê na figura ao lado, está engastada entre suportes rígidos (indeslocáveis), e suporta uma força axial, P. Calcular as reações de apoio em A e B, supondo A1= área da seção transversal na parte esquerda e A2 = área da seção transversal direita. (Usar os seguintes valores numéricos: P= 76 kN; A1=500 mm2; A2=750 mm2; a=140 mm; b=420 mm; E=140GPa).

P A

B a

b

Solução: Tornando a barra isostática, tirando o apoio B, podemos calcular o deslocamento total que é a soma dos deslocamentos de cada trecho (tomando as seções à direita).

N  L1 N 2  L 2  1  A P B E1  A1 E 2  A 2 

 R B  b  R B  P   a  E  A2 E  A1

RA

 b a  Pa      R B   E  A E  A E  A1 2 1  

RB a

b

No entanto, para que o apoio exista, esse deslocamento total deve ser nulo:  b  b a  Pa a  Pa      0  R B    R B    A1  E  A 2 E  A1  E  A1  A 2 A1 

 420 140  76000  140 RB   500  750 500   R B  25333,33 N Através da equação da isostática podemos encontrar o valor de RA F  0  RA  RB  P  0 

R A  25333,33  76000  0  R A  50666,67 N

Resposta: As reações em A e B são 50,7 kN e 25,3 kN, respectivamente.

www.profwillian.com

página 7

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

8) Uma barra de aço A36, de 5 cm de diâmetro, se encaixa entre dois suportes rígidos, à temperatura ambiente. Calcular as reações de apoio, quando a temperatura aumenta 20°C. Admitir o coeficiente de dilatação térmica do aço  = 12 × 10-6 °C-1 e o módulo de elasticidade longitudinal do aço E = 200 GPa.

A

B 50 cm

Solução:

RA

B

A

RB

50 cm

F

 0  RA  RB  0  RA  RB  R (1) Caso não existisse o apoio B, teríamos o encurtamento devido à força R:  AB R  R L EA y

Caso não existisse o apoio B, teríamos o alongamento devido à variação de temperatura T:  AB T   L T Como o apoio existe, não temos alongamento nem encurtamento da barra, daí a equação de compatibilidade de deslocamentos:  AB R   AB T  R L   L T EA  R  E A  T Assim:

kN 5 cm    12  10 6 o C1  20o C 2 cm 4  R  94,2477796 kN 2

R  20000

Resposta: As reações em A e B são de compressão iguais a 94,2 kN.

www.profwillian.com

página 8

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

9) O tubo de aço de 500 mm de comprimento é preenchido com concreto e sujeito a uma força compressiva de 80 kN. Determine as tensões no concreto e no aço devidas a este carregamento. O tubo de aço tem diâmetro externo de 80 mm e um diâmetro interno de 70 mm. Considere Eaço=200 GPa e Econc=24 GPa

80kN

Solução: P=força no tubo Pc=parte da força P no concreto Ps=parte da força P no aço

P  Pc  Ps Compatibilidade de deslocamentos PL PL Pc P P  Ps P P P P c  s  c  s   s   s  s  s  EcAc EsAs EcAc EsAs EcAc EsAs EsAs EcAc EcAc  Ps

E A  EsAs E A  EsAs 1 1 P P    Ps c c   Ps c c P EsAs EcAc EcAc EsAsEcAc EcAc EsAs

 Ps  P

EsAs EcAc  EsAs

Como: E s  200 kN / mm 2 As 

e

E c  24 kN / mm 2

 2 80  70 2  1178,097 mm 2 4



Assim:



e

Ac 

 2 70  3848,451 mm 2 4

200  1178,097  57,471 kN 24  3848,451  200  1178,097 Pc  P  Ps  80  57,471  22,529 kN Ps  80 

Então as tensões no aço e no concreto são: P 57471 N s  s   48,8 M Pa A s 1178,097 mm 2 c 

Pc 22529 N   5,85 M Pa A c 3848,451 mm 2

Resposta: A tensão normal média do concreto é de 5,85 MPa e a tensão normal média do aço é de 48,8 MPa.

www.profwillian.com

página 9

Resistência dos Materiais

Exercícios de Barras Estaticamente Indeterminadas

10) Qual seria a reação, R, da barra engastada da figura abaixo, se ao invés de uma variação de temperatura T, a barra tivesse um comprimento inicial a L+L em lugar de L. (Admitir a distância entre os suportes igual a L.)

R

R

L

L

R Solução: Retirando o apoio superior e aplicando a reação R como uma carga, podemos calcular o deslocamento  na extremidade da barra: R. L (1)  E. A mas sabemos que este deslocamento é L, ou melhor: =L (2) R. L combinando (1) e (2), temos que: L  E. A L portanto a reação é: R  E. A. L

Resposta: As reações de apoio são compressivas iguais a www.profwillian.com



página 10