LOGICA 1
LÓGICA Tradicional o no formal: son los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico y métodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto mediante la experiencia humana, ya sea por el conocimiento o por la observación de su entorno. 2
LÓGICA Formal o simbólica: Es la encargada de investigar, desarrollar y establecer reglas de inferencia, que conducen a formas puras y rigurosas de pensamiento. La lógica simbólica, manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su sentido. La lógica pretende que sus razonamientos se caractericen por: 1. Precisión: mediante el uso de signos 2. Claridad: en la medida que el usuario se familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico en su forma (representación simbólica) y su significado. 3. Generalidad: mediante el lenguaje simbólico artificial, el usuario, por una parte simplifica argumentos lógicos complicados y por otra parte, establece reglas que le permiten generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 3
LENGUAJE Sistema de signos que expresan ideas y se utilizan para establecer comunicación. Lenguaje natural: Nace de las capacidades lingüísticas de una comunidad. Lenguaje artificial: Es aquel que utiliza signos para obtener una comunicación más precisa y clara.
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Proposiciรณn Expresiรณn de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposiciรณn es una sentencia (oraciรณn) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oraciรณn del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados. 5
Ejemplos – 1 + 4 = 5 (Verdad) – La Pampa es una nación. (Falso) – 8 + 23 (no es proposición) – María (ídem anterior) Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?
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Proposición Atómica o simple Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa. Ejemplos: – La casa es grande. (es atómica) – La casa no es grande. ( no es atómica) – Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)7
Proposición Molecular o compuesta Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace. 8
Proposiciones Moleculares Ejemplos – – – – –
Vamos en bicicleta o vamos a pie. No es cierto que Juan llegó temprano Juan no llegó temprano Luis es arquitecto y Martín es médico. La medalla no es de plata y el diploma parece falso. – Matías aprobó pero Lucas no. 9
Simbolización Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. Ejemplo: – El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr.Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p. 10
Simbolización Para simbolizar un proposición – Identificar las proposiciones simples o atómicas – Simbolizar las proposiciones simples o atómicas encontradas. – Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.
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Conectores l贸gicos Son s铆mbolos que permiten el enlace l贸gico de 2 proposiciones simples para convertirlas en compuestas
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Simbolización Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q – No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : ∼ p 13
Simbolización Ejemplo – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización:∼ p ^ q
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Simbolización Ejemplo – Matías aprobó el examen y Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^ ∼ s
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La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C. 16
Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposici贸n molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones at贸micas que la componen.
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Negación p V F
∼p
∼∼ p
F V p
Indique el valor de verdad de: – El número 9 no es divisible por 3. – No es cierto que los perros vuelan. 18
Conjunción p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Indique el valor de verdad de : – 6 es un número par y divisible por 3. –(2+5=7) y(2*3=9)
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Disyunción p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Indique el valor de verdad de : – 2 es primo o es impar. – (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5) 20
Construcción de tablas de verdad ¿Cuántas filas tiene la tabla? – – – – –
1 proposición 2 proposiciones 3 proposiciones ......... n proposiciones
2 valores (V o F) 4 valores de verdad 8 valores de verdad
2n valores de verdad.
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Ejemplos Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p^ ∼ q (pvq)^∼
p
(p ^ ∼ r ) v ( ∼ p ^ q) 22
Equivalencia Lógica Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) Ejemplo: ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
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Ejemplo:
∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
p
q
pvq
∼ (p ∨ q)
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
p
q
∼p
∼q
∼p∧ ∼q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
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Proposición condicional Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos entonces aprenderemos matemática p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos " q = "aprenderemos matemática" Simbolizando: p ⇒ q 25
ProposiciĂłn condicional Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p ⇒ âˆź q 26
Tabla de verdad del condicional p
q
V
V
p⇒q V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso
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Proposición Condicional Existen distintas formas de leer un condicional: – “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”.
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Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par – Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par – Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par – Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4. 29
Proposición condicional La contra positiva de la proposición condicional p ⇒ q es la proposición ∼q⇒∼ p Muestre la equivalencia lógica:
p⇒q ≡∼q⇒∼p 30
ProposiciĂłn bicondicional p V V F F
q V F V F
p⇔ q V F F V
Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos. 31
p ⇔ q ≡ (p⇒ q) ^ (q ⇒ p) p
q
p⇒ q
q⇒ p
(p ⇒ q) ^ (q⇒ p)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
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