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TALLER DE CONICAS Ejemplo 1: En las siguientes ecuaciones diga que posible curva es: 1.
y2-4x2=4
4. 9x2+4y2-18x+16y-11=0 7. 4x2 –9y2=36 10. 3x2+3y2+12x-18y=-27 13. x=-2y2+3y-1 16. 2y2-3y+4x-6=0
2. x=2y2
3. 2x-3y+6=0
5. 9x2-4y2-18x-16y-43=0 8. 4x+3=0 11. y=-2 x +3 3 14. x2+y2-25=0 17. y=5x2
6. 4x2+y2=4 9. 5y-3=0 12. y=-2x2-4x+5
Soluciones: 1. Hiperbola vertical 4. Elipse
5. Hiperbola
9. Recta horizontal 12. Parábola vertical 15. Parábola vetical
6. Elipse
15. 3x2+2x-3y+5=0 18. 4x2+9y2=36
2. Parábola horizontal
3. Recta oblicua
7. Hiperbola horizontal
8. Recta vertical
10. Circunferencia
11. Recta oblicua
13. Parábola horizontal
14. Circunferencia
16. Parábola horizontal
17. Parábola vertical
18. Elipse Ejemplo 2: Encontrar una ecuación del círculo con centro en (2, -3) y un radio = 4 Solución: (x-h)2 + (y-k)2 = R2 ⇒ (x-2)2 + (y+3)2 = 42 ⇒ x2 -4x+4+y2+6y+9 = 16
x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0
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Ejemplo 3: Dada la ecuación x2 + y2 + 6x –2y –15 = 0 Mostrar que la gráfica de esta ecuación es un círculo y encontrar su centro y su radio. Solución: x2 + y2 + 6x –2y –15 = 0 ⇒ (x2 + 6y) + (y2 – 2y) = 15 ⇒ (x2 + 6x + 9) + (y2 – 2y + 1) = 15 + 9 + 1 ⇒ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 25 ( 6 )2 2
(- 2 )2 2
h =-3
k=1
C (-3 , 1)
R2
R=5
Ejemplo 4: Determinar la gráfica de la ecuación 2x2+2y2+12x-8y+31=0 Solución: 2x2 + 2y2 + 12x – 8y + 31 = 0 ⇒ ÷2 ⇒ x2 + y2 + 6x – 4y + 31/2 = 0 ⇒ (x2 + 6x) + (y2 – 4 ) = - 31/2 ⇒ (x2 + 6x + 9 ) + (y2–4y+4) = - 31/2 +9+4 ⇒ (x + 3)2 + (y – 2)2 = - 5/2 R2 = - 5/2 ⇒ R = …. ¡ (no existe) no hay gráfica Ejemplo 5: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: X2 + y2 - 16x + 2y + 65 = 0 SOLUCIÓN: Ordenando y completando trinomios cuadrados perfectos en x y y, se tiene: ( x 2 −16 x) + ( y 2 + 2 y ) + 65 = 0 ( x 2 −16 x + 64) + ( y 2 + 2 y +1) − 64 −1 + 65 = 0
( x − 8) 2 + ( y +1) 2
=0
Por lo tanto el centro y el radio de la circunferencia son respectivamente: C (8,−1) ; r = 0 ; o sea que la gráfica es sol el punto (8, -1)
Ejemplo 6: El diámetro de una circunferencia es el segmento de la recta definida por los puntos: D (-8,-2) y E (4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.
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SOLUCIÓN: El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B : x + xB − 8 + 4 h= A = = −2 2 2 y + YB − 2 + 6 k= A = =2 2 2 Por lo tanto, el centro es C (-2,2). El radio es la es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir: 2 2 r = ( − 2 − 4 ) + ( 2 − 6 ) = 36 +16 = 52 La ecuación de la circunferencia pedida es:
( x + 2 ) 2 + ( y − 2) 2
= 52
Ejemplo 7: Hallemos la ecuación de la parábola con foco (2,0) y directriz la recta X= -2. Dibujemos la grafica. Solución: Según los datos del problema tenemos que:
El eje focal es el eje x. Por lo tanto la ecuación es: = = =
Ejemplo 8: Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-5,10), hallemos su ecuación y dibujemos su grafica.
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Solución: Como el vértice es (0,0) y ele je focal es el eje x, Entonces la ecuación de la parábola es de la forma: =4px Donde desconocemos el valor de p Puesto que la parábola pasa por el punto (-5,10) entonces sus coordenadas deben satisfacer la anterior ecuación. Por tanto:
Luego la ecuación de la parábola es: Como p es negativo, entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen Ejemplo 9: Encontrar una ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y = 1 y como foco el punto F (-3, 7).
Solucion: P= 3 ⇒ LR = QQ’ = |4P| = 12; ⇒ Ec. → (x-h)2 = 4p (y-k) ⇒ (x+3)2 = 4x3 (y-4); ⇒ x2 + 6x + 9 = 12y - 48 x2 + 6x - 12y + 57 = 0
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Ejemplo 10: Dada la parábola que tiene por ecuación y 2 + 6x + 8y + 1 = 0 encontrar el vértice, el foco, una ecuación de la directriz, una ecuación del eje, y la longitud del lado recto. Trazar la gráfica. Solución: y2 + 6x + 8y + 1 = 0 ⇒ (y2 + 8y) = - 6x –1 ⇒ (y2 + 8y + 16) = -6x – 1 + 16 ⇒ (y + 4) = - 6x + 15 ⇒ (y + 4)2 = - 6 (x – 15 /6) 5 1 4 p = −6 ⇒p = −1 ⇒v ,−4 2 2 1 2 2
•v
Ejemplo 11: Determinar la gráfica de la ecuacion 25x 2+16y2+150x+128y-1119=0. Encontrar los vértices, focos, excentricidad y extremos del eje menor. Solucion: 25x2+16y2+150x+128y -1119=0; ⇒ (25x2+150x) + (16y2 +128y ) = 1119; ⇒ 25 (x2+ 6x) + 16(y2 + 8y) = 1119; ⇒ 25 (x2+ 6x +9) + 16(y2 + 8y+16) = 1119 + 25x9 +16x16; ⇒ 25 (x+3)2 + 16(y+4)2 = 1600 ⇒ ÷ 1600 → 25(x +3)2 + 16(y+4)2 = 1600 1600 1600 1600 2 2 ⇒ (x+3) + (y+4) = 1 → c(-3,-4) 64 100 ↓ ↓ 2 b a2 ⇓ ⇓ b=8 a=10
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a2 =b2+c2 ⇒100=64 + c2 ⇒ c= 6; e = c/a = 6/10 = 0,6; Ejemplo 12: Encontrar una ecuación de la elipse para la cual los focos están en (-8, 2) y (4, 2) y la excentricidad es 2/3. Hacer un dibujo de la elipse. Solución: La distancia entre los focos es 12; por lo tanto “c” = 6 y e = c/a = 2/3 ⇒ 6/a =2/3 ⇒a = 6*3/2 = 9 ; ⇒ a=9; ⇒ a2 = b2 + c2; ⇒ 81=b2+36; ⇒b =
45 ≈ 6.8
Ecuac. de la elipse→ (x+2) 2 + (y-2) 2 =1 81 45 ↓ ↓ a2 b2
⇒ 5(x2+4x+4)+9(y2-4y+4) =405 ⇒ 5x2+20x+20 +9y2 -36y+36 =405 405 5x2+9y2+20x-36y+369 =0 Ejemplo 13: Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5,0),V1(4,0)yV2(-4,0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.
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SOLUCIÓN: Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: x2 y2 − =1 a2 b2 En este caso: a = 4; c = 5, de donde b = 25 −16 = 3 En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es:
x2 y2 − =1 16 9
Ahora,
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:
y=
3 x 4
y,
y =−
3 x 4
Ejemplo 14: Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: 7 y 2 − 9 x 2 = 63 Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. SOLUCIÓN: La ecuación: 7 y 2 − 9 x 2 = 63 puede escribirse en las formas equivalentes:
La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje “y” En este caso: a = 3, b = 7 Luego, c = 9 + 7 = 4 Con estos datos, se tiene: F(0, 4),
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F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).
y2 x2 − = 0 se deduce que las ecuaciones de las 9 7 3 3 x x asíntotas son las rectas de ecuación: y = e y =− 7 7
Además de la ecuación:
Ejemplo 15: Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN: Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:
Las coordenadas de los focos son: x = h ± c y y = 3 ; Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = h ± a y y = 3 Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).
Además, de la ecuación:
que:
se deduce
y
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son las ecuaciones de las asíntotas. Ejemplo 16: Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y 2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN: La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:
Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: c = a 2 + b2 = 4
Las coordenadas de los focos son: x = 2 e y =1 ± 4 . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e y =1 ± 2 . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1). Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: y −1 = −
1 ( x − 2) 3
y −1 =
1 ( x − 2) 3
e,
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