Topico 5

TÓPICO 5: HIDROSTÁTICA 5.1 – Fluidos Fluidos são corpos que não apresentam forma própria.

Quando despejamos um fluido em um recipiente, ele adquire a forma desse recipiente.

Os líquidos e os gases são considerados fluidos.

Os gases têm o volume variável e preenchem totalmente o volume do recipiente que os contém, ao passo que os líquidos têm volume quase invariável, ou seja, são praticamente incompressíveis.

5.2 – Pressão Consideremos uma superfície de área A sobre a qual se distribui perpendicularmente um sistema de forças de resultante igual a F .

Chamamos de pressão média na superfície em questão, o qüociente entre o módulo da força e a área da superfície considerada.

Pm =

F A

ex.:Faquir

Para um sistema de forças com distribuição uniforme sobre a superfície, a pressão média será igual à pressão em qualquer ponto.

No SI, a unidade de pressão é o pascal (Pa), que equivale a um Newton por metro quadrado (N/m2).

1Pa = 1N / m 2

Exemplo: Uma área de 1,5 m2 está submetida a uma pressão uniforme de 10 Pa. Qual a força total, em newtons, que age sobre a superfície?

Sol.: F = p * A ⇒ F = 10 * 1,5 ⇒ F = 15 N 5.2.1 – Pressão Atmosférica A Terra está envolta por uma camada de gases, o ar, chamada atmosfera. Como o ar também tem peso, ele exerce uma pressão sobre a superfície da Terra chamada pressão

atmosférica. No nível do mar, a pressão atmosférica vale 1,0 * 105 Pa. Este valor é chamado de pressão atmosférica normal.

Atmosfera (atm) é outra unidade usada como medida para a pressão.

1atm =1,0 * 10 5 Pa

5.3 – Densidade Consideremos um corpo de massa m e volume V. A densidade do corpo é definida como o quociente da massa pelo volume. d =

m V

A unidade para a densidade no SI é o quilograma por metro cúbico kg/m3.

Lembramos que a unidade litro (l) também é muito usada para a medida de volume, equivalendo a: 1l =1dm 3 =1,0 * 10 −3 m 3

Apresentamos, a seguir, uma tabela de densidades para vários materiais:

Exemplos: a) Um bloco de massa 20 kg ocupa um volume de 0,02 m3. Qual é o valor de sua densidade? m

20

3 3 Sol.: d = V ⇒ d = 0,02 ⇒ d = 1 * 10 kg / m b) Determine a massa de um litro de água e de um litro de mercúrio.

3 3 −3 3 Sol.: Massa de 1l de água: d água = 1,0 * 10 kg / m ⇒ Vágua = 1,0 * 10 m

m = d * V ⇒ m = 1,0 *10 3 * 1,0 * 10 −3 ⇒ m = 1,0kg

Massa de 1l de mercúrio: d mercúrio = 13,6 *10 3 kg / m 3 m = d * V ⇒ m = 13,6 * 10 3 * 1,0 * 10 −3 ⇒ m = 13 ,6kg

c) Uma força de 25 N é exercida por um martelo na cabeça de um prego, cuja área de contato com uma superfície de madeira é de 0,30 mm2. Calcule, em Pa, a pressão exercida pela ponta do prego na madeira.

Sol.: A = 0,30 mm 2 . Convertendo essa área de mm2 para m2, temos 3,0 * 10 −7 m 2 . p=

F 25 ⇒p= ⇒ p = 8,3 * 10 7 Pa −7 A 3,0 * 10

d) Para determinar a pureza de uma peça de ouro de 5,02 g, mergulhou-se a peça em um recipiente graduado contendo água. Pela diferença do nível da água antes e depois de mergulhar a peça, determinou-se o volume da peça em 0,26 cm3. A peça é realmente de ouro? −3 Sol.: m p = 5,02 g ; = 5,02 * 10 kg ; V p = 0,26 cm 3 = 2,6 *10 −7 m 3

dp =

mp Vp

⇒ dp =

5,02 * 10 −3 ⇒ d p = 1,93 * 10 4 kg / m 3 2,6 * 10 −7

Dessa forma, conclui-se que a peça é de ouro, pois apresenta a mesma densidade desse metal.

5.4 – Lei de Stevin Considerando um líquido em equilíbrio no interior de um recipiente, sendo pA e pB as pressões nos pontos A e B, a diferença das pressões é diretamente proporcional à densidade (d) do líquido, à aceleração da gravidade local (g) e à diferença de nível entre os pontos (h).

pB − p A = d * g * h

Como conseqüência dessa lei, dois pontos no mesmo nível estarão sujeitos à mesma pressão, atendendo à condição de equilíbrio do líquido.

Quando a superfície do líquido está sujeita à ação da pressão atmosférica, o cálculo da pressão no ponto P é realizado com base na seguinte fórmula: p = p atm + d * g * h

A parcela d * g * h da equação acima é chamada pressão hidrostática ou efetiva, e p, pressão total ou absoluta.

p total = p atm + p hidrostáti

Exemplos:

ca

a) Um peixe de água salgada está submerso no mar a 50 m de profundidade, em um local onde a pressão atmosférica é de 1,0 atm. Sabendo- se que a densidade da água do mar é d = 1,03 * 103 kg/m3 e g = 10m/s2 , determine a pressão a que o peixe está submetido.

Sol.: p = p atm + d * g * h e p atm = 1,0 * 10 5 Pa p = 1,0 * 10 5 +1,03 * 10 3 * 10 * 50 ⇒ p = 6,15 * 10 5 Pa

b) Um tubo foi enchido com dois líquidos diferentes, água e óleo. Após o equilíbrio do sistema, temos a situação abaixo:

Calcule a densidade do óleo usado no sistema.

px = pa t m+ d 0 * g * h1  −2 3 −2 −2 Sol.:  px = p y ⇒ d0 * g * (9 *1 0 ) = 1,0 *1 0* g * (1 *41 0 − 8 *1 0 ) p y = pa t m+ d a * g * h2  d 0 = 6,7 * 10 2 kg / m 3

c) Sabendo-se que o barômetro é um instrumento usado para a medida da pressão atmosférica, baseado na lei de Stevin e de acordo com a figura abaixo, determine a pressão local (SI). Dados: densidade do mercúrio d = 13.600kg/m3 , g = 10m/s2 e h = 50 cm.

4 −2 4 Sol.: p atm = d * g * h ⇒ p atm = 1,36 *10 *10 * 50 *10 ⇒ p atm = 6,8 *10 Pa

d) Na figura ao lado, vemos um recipiente com gás rarefeito e um medidor de pressão (manômetro) de mercúrio acoplado. Calcule a pressão do gás (SI) utilizando d e g do exemplo anterior.

Sol.: p = d * g * h ⇒ p = 1,36 * 10 4 *10 * 18 * 10 −2 p = 2,4 * 10 4 Pa

4.5 – Princípio de Pascal Tome-se uma esfera oca provida de orifícios tampados com material adequado e cheia de líquido, sendo possível aplicar pressão por meio de um êmbolo, conforme mostra a figura a seguir. Ao ser acionado o êmbolo em um determinado instante, todos os tampões se soltam simultaneamente, provando que a pressão exercida pelo êmbolo se transmite uniformemente por todo o líquido e paredes do recipiente.

O princípio de Pascal é uma conseqüência da lei de Stevin.

“A variação da pressão provocada em um ponto de um líquido se transmite integralmente a todos os pontos do líquido e as paredes do recipiente que o contém” Este princípio tem aplicação prática na prensa hidráulica, esquematizada abaixo, largamente utilizada no dia-a-dia.

Aplicando-se sobre a superfície S1 uma força F1, haverá sobre o líquido um acréscimo de pressão dado por: F1 , O acréscimo de pressão se transmite para o S1 Líquido e exerce pressão sobre a superfície maior S2.

F2 F F ⇒ 1 = 2 Assim, temos: ∆P = S2 S1 S 2 ∆P =

As forças atuantes na prensa hidráulica têm intensidades diretamente proporcionais às áreas dos êmbolos.

A prensa hidráulica é utilizada em situações onde é necessário, com a aplicação de uma força de pequena intensidade, obter forças de grande intensidade, como nos elevadores de postos de troca de óleo para veículos, prensas de fardos etc.

Observe que o volume de líquido deslocado do primeiro recipiente, após o movimento dos êmbolos, passa a ocupar o recipiente maior. Logo, o deslocamento dos êmbolos será inversamente proporcional à suas respectivas áreas: ∆x1 * S1 = ∆x 2 * S 2

Exemplos: a) Uma prensa hidráulica consta de dois tubos cujas áreas são 10 cm2 e 50 cm2, respectivamente.

Aplica-se no êmbolo do cilindro menor uma força de intensidade 50 N. Determine a força exercida pelo êmbolo maior e o seu deslocamento para cada 5,0 cm do êmbolo menor.

Sol.: Para o cálculo da força exercida pelo embolo maior, temos: F1 F2 50 = ⇒ F2 = * 50 ⇒ F2 = 250 N S1 S 2 10 Para o deslocamento solicitado, temos: ∆x1 * S1 = ∆x 2 * S 2 ⇒ S 2 =

5,0 * 10 ⇒ S 2 = 1,0cm 50

b) Um elevador de veículos é acionado por um cilindro de 45 cm 2 de área útil, no qual se pode aplicar uma força máxima de 1.200 N. O óleo pelo qual é transmitida a pressão é comprimido em um outro cilindro de 765 cm2. Qual é a capacidade de levantamento do elevador? Dê a resposta em quilogramas. Use g = 10 m/s2 .

F1 1200 * 765 = 20,4 *10 3 Sol.: F2 = * S 2 ⇒ F2 = S1 45 C=

20 ,4 * 10 3 N ⇒ C = 2,04 * 10 3 kg ou 2,04 ton 10 kg / s 2

c) Uma bomba de alta pressão bombeia óleo hidráulico por um encanamento que o leva a um pistão de área útil 80 cm2. Sabendo-se que o óleo é mantido pela bomba a uma pressão de 500 N/cm2 , determine a força que o pistão tem condições de exercer. Considere quaisquer perdas desprezíveis.

Sol.: p =

F ⇒ F = 500 * 80 ⇒ F = 4 * 10 4 N S

4.6 – Princípio de Arquimedes Um corpo, ao ser mergulhado em um líquido, aparentemente tem seu peso diminuído, chegando às vezes a ser totalmente anulado quando o corpo flutua. Esse fenômeno ocorre devido a uma força que atua de baixo para cima, aplicada pelo líquido sobre o corpo, sempre que o mesmo é mergulhado. A essa força chamamos empuxo (E).

Tomando um recipiente graduado contendo água, conforme a figura abaixo, mergulha-se nele um corpo. É possível observar que a presença do corpo deslocou um determinado volume (V) de líquido.

Com base nessa experiência, Arquimedes estabeleceu o seguinte princípio: “Um corpo mergulhado em um fluido em equilíbrio, recebe um empuxo vertical, de baixo para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.”

Tomando um fluido de densidade constante, temos: E = Pf , Onde Pf é o peso do fluido deslocado.

Sendo V1 o volume do fluido deslocado e df , a densidade do fluido, temos:

Pf = d f * V f * g

Logo:

E = d f *V f * g

Para o caso de mergulho de corpos em líquidos, temos três situações distintas: a) O corpo é mais denso que o líquido, logo, o mesmo fica totalmente imerso e o volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo.

Pc > E ⇒ d c > d L , Onde Pc é o peso do corpo, dc, a densidade do corpo, e dL, a densidade do líquido. b) O corpo tem a mesma densidade do líquido, logo, o mesmo fica totalmente imerso e o volume do líquido deslocado é igual ao volume do corpo.

Pc = E ⇒ d c = d L

As forças que agem sobre o corpo são nulas, seja qual for a profundidade do corpo imerso. c) O corpo é menos denso que o líquido; logo, o corpo ficará parcialmente imerso e sujeito, de início, à ação de uma força resultante de baixo para cima, denominada força ascensional, até que, à medida que o corpo vai emergindo e o volume do líquido deslocado diminui – e, por conseguinte, a força ascensional também diminui –, o equilíbrio é atingido. Quando o equilíbrio é atingido, o volume do líquido deslocado será menor que o volume do corpo.

Pc < E ⇒ d c < d L

Exemplos: a) Um corpo de 300 cm3 está totalmente submerso em água, apoiado no fundo de um recipiente.

Sabendo-se que a densidade do corpo é igual a 6.000kg/m3 , determine a força que o corpo exerce no fundo desse recipiente. Considere g = 10m/s2 .

Sol.: A força solicitada será o peso do corpo, subtraído do empuxo ao qual o mesmo está submetido. Logo: F = P−E F = m * g = d c * Vc * g

P = 6000 * 300 * 10 −6 * 10 ⇒ P = 18 N

E = d L * VL * g E = 1000 * 300 * 10 −6 * 10 ⇒ E = 3 N F = 18 − 3 ⇒ F = 15 N

b) Um bloco com peso Pc = 2.700 N, flutua com 60% de seu volume submerso. Determine a densidade do líquido (dL) no qual o bloco está parcialmente submerso.

Sol.: Pc = E = 2700 N E = d L * VL * g ⇒ V L = 0,6 * 0,5 = 0,3m 3 dL =

2700 ⇒ d L = −900 kg / m 3 0,3 * 10

c) Um corpo totalmente imerso em mercúrio está em equilíbrio. Calcule o peso desse corpo, sabendo-se que o volume deslocado foi de 30 cm3. Considere g = 10m/s2 .

3 3 Sol.: E = Pc ⇒ d c = d L = 13,6 * 10 kg / m Vc = Vdeslocado = 30cm 3 Pc = E = d L * V L * g ⇒ Pc = 13,6 * 10 3 * 30 * 10 −6 *10 ⇒ Pc = 4,08 * 10 −1 N