Giáo trình Hình học Họa hình - Kiến trúc by Du Trần

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

BÀI MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN VỀ MÔN HỌC 1.1. Giới thiệu Trong quá trình lao động, con người đã làm việc và sáng tạo ra những sản phẩm là thực thể của không gian ba chiều. Lúc ban đầu, người suy nghĩ ra những đối tượng ba chiều đó cũng chính là người trực tiếp làm ra chúng.

Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người nhào nặn ra cái bình đó.

Dần dần, theo sự phát triển của văn minh nhân loại, việc phân công lao động đã tách quá trình : Suy nghĩ ra đối tượng trong trí óc và tạo lập đối tượng đó thành một vật thể ba chiều trên thực tế ra làm hai phần do những nhóm người khác nhau thực hiện. Hình 0-02 – Ví dụ như kiến trúc sư thiết kế ra một công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D).

Kỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng công trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên thực tế.

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D. Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế.

Như vậy, thông tin về một đối tượng trong không gian cần phải được thể hiện trên những bản vẽ giấy để những nhóm người khác nhau có thể đọc và liên tưởng trở lại hình ảnh không gian của đối tượng đó. Việc thể hiện thông tin của một đối tượng ba chiều lên trên những bản vẽ giấy hai chiều đòi hỏi phải có những phương pháp biểu diễn sao cho tất cả những thông tin về đối tượng đó đều phải được tìm thấy trên các bản vẽ hai chiều và người đọc bản vẽ có thể tái hiện lại được hình ảnh ba chiều của đối tượng đó trong trí óc. Nghiên cứu về những phương pháp biểu diễn đó để làm cơ sở lý luận cho việc xây dựng các bản vẽ là nguồn gốc lịch sử và là một trong những nội dung của môn Hình Học Họa Hình. 1.2. Định nghĩa môn học Hình học họa hình là môn học nghiên cứu cách thức biểu diễn một không gian hình học lên một không gian hình học khác (thường có chiều thấp hơn) rồi dùng các hình biểu diễn ấy để nghiên cứu không gian hình học ban đầu. Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình học Euclide ba chiêu lên không gian hình học Euclide hai chiều. 2. MỤC ĐÍCH CỦA MÔN HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC 2.1. Mục đích của môn học Việc học môn hình học họa hình nhằm tạo cơ sở để người học biết cách thể hiện các bản vẽ kỹ thuật, kiến trúc, mỹ thuật,…Đồng thời cũng giúp cho việc rèn luyện về tư duy không gian. 2.2. Phương pháp học Để có thể tiếp thu tốt môn học, người học cần phải biết kết hợp tư duy không gian (khả năng tưởng tượng) với việc vận dụng tư duy logic trên hình biểu diễn. (Xem hình 0-04) 2

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 0-04 – Phương pháp học môn hình học họa hình

3. QUI ƯỚC VỀ KÝ HIỆU BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các yếu tố hình học, ta qui ước sử dụng thống 1 nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05) - Để ký hiệu điểm, ta dùng các chữ in: A, B, C, D, E, … - Để ký hiệu đường (thẳng hoặc cong), ta dùng chữ thường: a, b, c, d, e, … - Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng chữ hoa:

, …hoặc ta để các chữ

trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), … - Để ký hiệu hình chiếu 1 của một đối tượng hình học A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A1 hoặc A2 hoặc A3, …

Hình 0-05

4. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH 2 4.1. Phép chiếu Ta có thể hiểu khái niệm về phép chiếu từ việc mô hình hóa một vật thể ba chiều đặt trước một nguồn sáng và cho bóng đổ lên trên một bề mặt nào đó. (xem hình 0-06)

Xem mục 4.1 để biết khái niệm về phép chiếu.

Phép chiếu, tương ứng 1-1 và sự suy biến là những thuật ngữ cơ bản của hình học họa hình, các thuật ngữ này có thể được định nghĩa một cách chính xác bằng các công cụ toán học ( tập hợp, ánh xạ,…), tuy nhiên các định nghĩa này khá trừu tượng. Do đó giáo trình này chỉ đưa ra các khái niệm về chúng nhằm cố gắng mô tả một cách dễ hiểu và trực quan nhất cho người đọc. 2

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Nguồn phát ra tia sáng được mô hình hóa thành một điểm gọi là nguồn chiếu (hay tâm chiếu) S. - Các tia xuất phát từ nguồn chiếu S được gọi là tia chiếu. - Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể được gọi là mặt (phẳng) hình chiếu

- Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chiếu được gọi là hình chiếu A’ hay ảnh A’ của vật thể A.

Hình 0-06

4.2. Tương ứng 1-1 Ta có thể hiểu khái niệm tương ứng 1-1 như là một sự tương đương giữa hai vấn đề A và B. Nếu biết được A thì sẽ biết được B và ngược lại. Hay nói cách khác, A và B là hai cách thức khác nhau diễn đạt cùng một vấn đề duy nhất. (Hình 0-07)

Hình 0-07

Tương ứng 1-1 là điều kiện bắt buộc trong việc truyền đạt thông tin thông qua các hình thức diễn đạt khác nhau nhằm đảm bảo cho thông tin nhận được không bị sai lệch, thêm bớt so với thông tin ban đầu.

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

4.3. Sự suy biến Hình chiếu A’ của một đối tượng hình học A gọi là bị suy biến khi có các đặc điểm sau : (xem hình 0-08 a,b) - Số chiều không gian của hình chiếu A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều không gian của đối tượng hình học A (là n). - Nếu mở rộng đối tượng hình học A trong không gian ra vô tận thì nó luôn đi qua nguồn chiếu S.

Hình 0-08 a

Hình 0-08 b

Hình 0-08 a : đường thẳng a (một chiều) có hình chiếu a’  A là một điểm (không chiều). Nếu kéo dài đường thẳng a ra vô tận thì đường thẳng a sẽ đi qua nguồn chiếu S. Do đó ta nói hình chiếu a’ bị suy biến thành một điểm. Hình 0-08 b : mặt phẳng (ABC) (hai chiều) có hình chiếu (A’B’C’) là một đường thẳng (một chiều). Nếu mở rộng mặt phẳng (ABC) ra vô tận thì nó sẽ đi qua nguồn chiếu S. Do đó ta nói hình chiếu (A’B’C’) bị suy biến thành một đường thẳng.

Sự suy biến có một vai trò rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tìm giao tuyến của hình học họa hình. Phần lớn các bài toán muốn tìm ra lời giải thì trước hết phải đi xác định (hoặc tạo lập) các yếu tố suy biến. 5. BỔ SUNG YẾU TỐ VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE 3 CHIỀU Để không gian hình học ba chiều có thể được biểu diễn đầy đủ bởi không gian giấy vẽ hai chiều, đồng thời làm đơn giản hóa khi biểu diễn các yếu tố hình học, người ta mở rộng không gian Euclide ba chiều bằng cách thêm vào yếu tố vô tận (∞) Ta có hệ tiên đề mới về yếu tố vô tận (∞) như sau : - Mỗi đường thẳng có một điểm vô tận. Những đường thẳng song song nhau thì có chung với nhau điểm vô tận. (Hinh 009)

Hình 0-09 5

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận. Những mặt phẳng song song nhau thì có chung với nhau đường thẳng vô tận. (Hinh 0-10) - Quĩ tích tất cả những điểm vô tận của không gian tạo thành một mặt phẳng vô tận. Mọi điểm vô tận và đường thẳng vô tận đều nằm trên mặt phẳng này.

Hình 0-10

➔ Ta xem các yếu tố vô tận và các yếu tố hữu hạn của không gian có vai trò bình đẳng như nhau. Sau khi bổ sung các yếu tố vô tận vào không gian hình học Euclide ba chiều, các mệnh đề liên thuộc 3 được phát biểu đơn giản hơn : - Hai đường thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung. - Một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một điểm chung. - Hai mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một đường thẳng chung. 6. CÁC PHÉP CHIẾU 6.1. Phép chiếu xuyên tâm ➔ Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11) Trong không gian ta lấy một điểm S hữu hạn làm tâm chiếu (nguồn chiếu) và một mặt phẳng

làm mặt phẳng hình chiếu.

Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không gian, để chiếu điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng

ta vẽ tia SA. Tia SA giao với

mặt phẳng

tại điểm A’. A’ được gọi là hình

chiếu của điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng

Hình 0-11

Nhờ bổ sung yếu tố vô tận mà mọi điểm của không gian Euclide ba chiều đều có hình chiếu của nó trên mặt phẳng

(trừ điểm nằm trùng với nguồn chiếu S).

Liên thuộc là một thuật ngữ của hình học họa hình dùng để chỉ mối liên hệ giữa những đối tượng có liên quan và phụ thuộc với nhau. 3

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

➔ Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm : - Hình chiếu của một điểm (không trùng tâm chiếu) là một điểm. - Hình chiếu của một đường thẳng (không đi qua tâm chiếu) là một đường thẳng. - Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng được bảo toàn: A  a  A’  a’ - Tỉ số kép giữa bốn điểm thẳng hàng được bảo toàn: (hình 0-12) AB AC A' B' A' C' : = : DB DC D' B' D' C'

Hình 0-12

Hay viết gọn hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’)

6.2. Phép chiếu song song ➔ Định nghĩa : Phép chiếu song song là phép chiếu xuyên tâm có nguồn chiếu S ở vô tận. ➔ Các tính chất của phép chiếu song song : - Hình chiếu của những đường thẳng song song nhau cũng là những đường thẳng song song nhau : a // b  a’ // b’ (hình 0-13)

MN M' N' = - Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau được bảo toàn : PQ P' Q' (Hình 0-13) - Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng được bảo toàn: Hay viết gọn hơn là (ABC) = (A’B’C’)

Hình 0-13

AB A' B' = CB C' B'

(Hình 0-14)

Hình 0-14

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

6.3. Phép chiếu thẳng góc ➔ Định nghĩa : Phép chiếu thẳng góc là phép chiếu song song có phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. ➔ Các tính chất của phép chiếu thẳng góc: - Phép chiếu thẳng góc là một trường hợp riêng của phép chiếu song song nên nó có tất cả các tính chất của phép chiếu song song. - Hình chiếu thẳng góc của một góc vuông có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu cũng là một góc vuông. (hình 0-15)

Hình 0-15

7. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH Điều kiện cơ bản để thành lập được phương pháp biểu diễn một không gian hình học lên một không gian hình học khác là giữa hai không gian này phải có tương ứng 1-1. Sau đây là các phương pháp biểu diễn không gian của hình học họa hình thường được dùng trong các ngành kỹ thuật : 7.1. Phương pháp hình chiếu thẳng góc Phương pháp này được thiết lập bằng cách chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu thông qua các phép chiếu thẳng góc. (hình 0-16 a,b) - Ưu điểm của phương pháp này là các kích thước không bị biến dạng, do đó việc đo đạc trên hình vẽ rất dễ dàng.

Hình 0-16 a

- Nhược điểm của phương pháp này là khó hình dung lại vật thể ba chiều khi vật thể có nhiều chi tiết phức tạp. ➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật : chế tạo máy, kiến trúc, xây dựng, …

Hình 0-16 b

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

7.2. Phương pháp hình chiếu trục đo Phương pháp này được thành lập bằng cách gắn vật thể ba chiều vào một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz rồi chiếu vật thể lẫn hệ trục tọa độ lên trên một mặt phẳng hình chiếu theo một hướng chiếu song song đã chọn trước. (hình 0-17) - Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng hình dung được các vật thể ba chiều (tuy nhiên, hình ảnh thu được bị biến dạng một lượng nhất định, không hoàn toàn giống với thực tế). - Nhược điểm của phương pháp này là các kích thước bị biến dạng theo một hệ số nào đó, khó đo đạc và lấy kích thước trực tiếp trên hình vẽ. Hình 0-17 ➔ Phương pháp này cũng được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật : chế tạo máy, kiến trúc, xây dựng, …Thường đi kèm với phương pháp hình chiếu thẳng góc để minh họa hình không gian của vật thể.

7.3. Phương pháp hình chiếu phối cảnh Phương pháp này được thiết lập bởi một phép chiếu xuyên tâm chiếu vật thể lên trên mặt phẳng phẳng

(thẳng đứng) và một phép chiếu thẳng góc chiếu vật thể lên trên mặt

(nằm ngang). Hình ảnh thu được trên mặt phẳng

được gọi là phối cảnh

của vật thể. (hình 0-18)

Hình 0-18 9

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng hình dung được vật thể ba chiều trong không gian. Hình biểu diễn đúng với những gì mà mắt người nhìn thấy. - Nhược điểm của phương pháp này là kích thước bị biến dạng rất nhiều, hoàn toàn không thể đo đạc và lấy kích thước trực tiếp trên hình vẽ. ➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành : hội họa, kiến trúc, … 7.4. Phương pháp hình chiếu có đánh số Phương pháp này được thiết lập bằng một phép chiếu thẳng góc chiếu vật thể lên trên mặt phẳng hình chiếu

(nằm ngang) và có kèm theo các số đo chỉ độ cao trên

các đường đồng mức. (hình 0-19)

Hình 0-19

- Ưu điểm của phương pháp này là biểu diễn được các đối tượng có hình dạng phức tạp như địa hình đồi núi, nhiệt độ, sự phân bố mây, … - Nhược điểm của phương pháp này là chỉ có thể biểu diễn được gần đúng các đối tượng hình học ba chiều chứ không thể biểu diễn chính xác hoàn toàn được. ➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành đo đạc địa chất, thủy văn, … Nhằm mục đích phục vụ cho các đối tượng có liên qua đến khối ngành kiến trúc, xây dựng nên giáo trình chỉ hạn chế trình bày các phương pháp biểu diễn của hình chiếu thẳng góc, hình chiếu trục đo và hình chiếu phối cảnh. Không trình bày phương pháp hình chiếu có đánh số. 10

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

PHẦN 1

PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC BÀI 1 : BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC BÀI 2 : BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC BÀI 3 : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU BÀI 4 : BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN BÀI 5 : BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI 1. BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC A. HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU 1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC (hình 1-01) Trong không gian, lấy hai mặt phẳng (mp) vuông góc nhau. Mặt phẳng thẳng đứng 1

gọi là mp hình chiếu đứng. Mặt phẳng nằm ngang

bằng. Hai mặt phẳng

và

gọi là mp hình chiếu

giao nhau theo một đường thẳng gọi là trục hình

chiếu x. là mp phân giác4 của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4 ) hợp bởi

Gọi và

Gọi S1∞ và S2∞ lần lượt là những hướng chiếu thẳng góc (vuông góc) với mặt phẳng 1

và

Với một vật thể bất kỳ trong không gian, ta sẽ chiếu vật thể này lên trên các mặt phẳng hình chiếu

và

bằng hai phép chiếu thẳng góc có nguồn chiếu lần lượt là S1∞

và S2∞ .

Góc phần tư 2

Góc phần tư 1

Góc phần tư 3

Góc phần tư 4 Hình 1-01

Một số tài liệu khảo sát 2 mặt phẳng phân giác – một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 1 và thứ 3) , một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4). Giáo trình này chỉ xét một mặt phẳng phân giác G duy nhất thuộc góc phần tư thứ 2 và thứ 4. 4

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

2. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM 2.1. Thành lập đồ thức của một điểm (hình 1-02) Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không gian, để thành lập hình biểu diễn của điểm A ta tiến hành như sau : - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp

ta được điểm A1 .

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp

ta được điểm A2 .

- Quay mặt phẳng

và mặt phẳng

quanh trục x đến trùng với mặt phẳng

thì điểm A2 có vị trí mới trên mặt phẳng

như hình vẽ 1-02.

Hình 1-02

Nhận thấy rằng A1 và A2 nằm trên cùng một đường gióng 5 thẳng đứng vuông góc với trục hình chiếu x. ➢ Ta định nghĩa : - Cặp điểm (A1,A2) gọi là đồ thức của điểm A.

(A1A2 ⊥ x)

- A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A - A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao điểm của A1A2 với trục x ta có : Đường gióng (hoặc dóng) là những đường thẳng phụ trợ dùng để canh chỉnh, so sánh vị trí giữa các hình chiếu của một đối tượng hình học. Đường gióng được vẽ bằng nét liền mảnh. 5

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

. Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng

Trên hình 1-02, độ cao của điểm A là đoạn thẳng AA2 = A1Ax . . Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng

Trên hình 1-02, độ xa của điểm A là đoạn thẳng AA1 = A2Ax . ➢ Lưu ý : Đồ thức của một điểm B nào đó - (B1,B2) có mối liên hệ ràng buộc duy nhất là B1B2 ⊥ x . Còn thứ tự B1 nằm trên, B2 nằm dưới hay ngược lại, hoặc cả hai hình chiếu B1 lẫn B2 cùng nằm trên hoặc nằm dưới trục x là tự do. Việc này tùy thuộc vào vị trí tương đối của điểm B trong không gian so với các mặt phẳng hình chiếu 1

và

. (Xem ví dụ hình 1-03)

Hình 1-03

2.2. Các điểm đặc biệt (hình 1-04) - Điểm B thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng trục hình chiếu x :

B

D

thì có hình chiếu đứng C1 nằm trên

 C1  x

Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác bằng D2 trùng nhau :

thì có hình chiếu bằng B2 nằm trên

 B2  x

- Điểm C thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng trục hình chiếu x : C 

thì có hình chiếu đứng D1 và hình chiếu

 D1  D2

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Trục hình chiếu x thuộc mặt phẳng phân giác hình chiếu trùng nhau : E  x

nên mọi điểm trên x cũng có hai

 E1  E2

Hình 1-04

3. ĐƯỜNG THẲNG 3.1. Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường)

Hình 1-05 15

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Ta có định nghĩa : - Đường thẳng nối 2 tâm chiếu S1∞ và S2∞ được gọi là đường thẳng tâm chiếu6. - Đường thẳng thường là đường thẳng không cắt đường thẳng tâm chiếu7. - Đồ thức của đường thẳng thường là một cặp đường thẳng không vuông góc với trục hình chiếu x. (hình 1-05) 3.2. Các đường thẳng thường gặp - Đường thẳng bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng 2

. (hình 1-06)

Hình 1-06

Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng bằng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu x. b là đường thẳng bằng  b1 // x Ghi chú : Mọi đường thẳng d nằm trên mặt phẳng hình chiêu bằng

đều có hình

chiếu đứng d1  x. Ta vẫn có thể xem d như là một đường thẳng bằng. - Đường thẳng mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

. (hình 1-07)

Do nối hai điểm vô tận S1∞ và S2∞ nên đường thẳng tâm chiếu là đường thẳng vô tận của những mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x. (ta không thể thấy được đường thẳng này trên hình vẽ) 6

Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu khi và chỉ khi nó nằm trên một mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x. Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu là những đường thẳng đặc biệt. 7

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-07

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng mặt là một đường thẳng song song với trục hình chiếu x. m là đường thẳng mặt  m2 // x Ghi chú : Mọi đường thẳng n nằm trên mặt phẳng hình chiêu đứng

đều có hình

chiếu bằng n2  x. Ta vẫn có thể xem n như là một đường thẳng mặt. ➢Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

bằng

. (hình 1-08)

Hình 1-08 17

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng bị suy biến thành một điểm : d2  A2 . Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là một đường thẳng vuông góc trục x. d là đường thẳng chiếu bằng  d2 là một điểm và d1 ⊥ x - Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng

. (hình 1-09)

Hình 1-09

Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng bị suy biến thành một điểm : a1  D1 . Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là một đường thẳng vuông góc trục x. a là đường thẳng chiếu đứng  a1 là một điểm và a2 ⊥ x - Đường thẳng cạnh là đường thẳng (thuộc mặt phẳng) vuông góc với trục hình chiếu x. (hình 1-10) Đối với đường thẳng cạnh, ta không thể biểu diễn hai hình chiếu của nó bằng ký hiệu của đường thẳng bình thường như (a1,a2), (b1,b2), … vì có rất nhiều đường thẳng cạnh khác nhau có các hình chiếu trùng nhau trên hình vẽ. Do đó để đảm bảo tương ứng 1-1, ta bắt buộc phải biểu diễn đồ thức của đường thẳng cạnh bằng đồ thức của hai điểm A, B bất kỳ thuộc nó. Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng cạnh là một cặp đường thẳng trùng nhau và cùng vuông góc với trục hình chiều x. AB là đường thẳng cạnh  (đường thẳng) A1B1  (đường thẳng) A2B2 và ⊥ x 18

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-10

4. SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG 4.1. Điểm thuộc đường thẳng thường (hình 1-11) Điểm thuộc đường thẳng thường khi và chỉ khi các hình chiếu của điểm thuộc các hình chiếu có cùng chỉ số của đường thẳng và thỏa mối liên hệ ràng buộc của điểm. Điểm I thuộc đường thẳng d  I1  d1 , I2  d2 và

I1I2 ⊥ x

Hình 1-11 19

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

4.2. Điểm thuộc đường thẳng cạnh

(hình 1-12)

Hình 1-12

Nhìn trên hình 1-12, ta có nhận xét là điểm J không thuộc đường thẳng cạnh AB nhưng vẫn có các hình chiếu J1  (đường thẳng) A1B1 và J2  (đường thẳng) A2B2 . Do đó, đối với đường thẳng cạnh cho dù các hình chiếu của điểm có thuộc các hình chiếu có cùng chỉ số của đường thẳng thì cũng chưa chắc là điểm đó thuộc đường thẳng cạnh. Ta có điều kiện để một điểm thuộc đường thẳng cạnh như sau : Điểm thuộc đường thẳng cạnh khi và chỉ khi tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó) trên hình chiếu đứng bằng tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó) trên hình chiếu bằng. Điểm I thuộc đường thẳng cạnh AB  (A1B1I1) = (A2B2I2) ➢ Dựa vào điều kiện về tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng như trên, ta có cách xét một điểm I xem có thuộc đường thẳng cạnh AB hay không bằng hình vẽ gọi là phép gióng song song : (hình 1-13) - Trên hình chiếu đứng, vẽ hai tia song song bất kỳ đi qua A1, B1 . - Trên hình chiếu bằng, vẽ hai tia song song theo một hướng bất kỳ khác đi qua A2 và B2 . - Các tia qua A1 và A2 cắt nhau tại điểm A’, Các tia qua B1 và B2 cắt nhau tại điểm B’. Nối A’B’. - Từ I1 vẽ tia song song với A1A’ cắt A’B’ tại điểm I’. - Từ I’ vẽ tia song song với A’A2 cắt A2B2 tại một điểm. Nếu điểm này trùng với vị trí của điểm I2 thì có nghĩa là trong không gian I  AB. Ngược lại là I  AB . 20

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-13

5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 5.1. Trường hợp hai đường thẳng thường Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là giao điểm của các hình chiếu có cùng chỉ số của chúng nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục x (hình 1-14). Nếu không thỏa có nghĩa là hai đường

Hình 1-14 21

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-15

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hình chiếu có cùng chỉ số của chúng cũng phải song song nhau. (hình 1-16)

Hình 1-16

5.2. Trường hợp đường thẳng thường và đường thẳng cạnh Một đường thẳng thường và một đường thẳng cạnh chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Chúng không thể song song với nhau được. 22

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Đường thẳng thường d giao với đường thẳng cạnh AB tại điểm I nếu như các hình chiếu của các điểm A, B, I thỏa tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng : (A1B1I1) = (A2B2I2) (Thỏa phép gióng song song trên hình vẽ) (hình 1-17). Nếu không thỏa có nghĩa là hai đường thẳng chéo nhau. (hình 1-18)

Hình 1-17

Hình 1-18 23

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

5.3. Trường hợp hai đường thẳng cạnh Ta chỉ xét trường hợp hai đường thẳng cạnh có các cặp hình chiếu rời nhau8. Lúc này ta có thể xem hai đường thẳng cạnh nằm trên hai mặt phẳng song song nhau và cùng vuông góc với trục hình chiếu x. Do đó chúng không thể cắt nhau. Chỉ có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. Giả sử hai đưởng thẳng cạnh AB và CD song song nhau như trên hình 1-19. Khi đó AB và CD sẽ tạo thành một mặt phẳng, và hai đường thẳng thường bất kỳ thuộc mặt phẳng này đều phải cắt nhau (ở điểm hữu hạn hoặc điểm vô tận). Chẳng hạn ta nối BD và nối AC thì AC và BD sẽ cắt nhau tại điểm I.

Hình 1-19

Trên hình vẽ ta sẽ có :

A1C1  B1D1 = I1 và

A2C2  B2D2 = I2

Như vậy : - Nếu I1I2 ⊥ x (như hình 1-19) thì có nghĩa là AC thật sự cắt BD tại I. Giả thiết ban đầu là đúng. Suy ra AB // CD. - Nếu I1I2 không thuộc cùng một đường gióng thẳng đứng thì có ngĩa là AC và BD chéo nhau. Giả thiết ban đầu là sai. Suy ra AB và CD chéo nhau. (hình 1-20)

Trường hợp hai đường thẳng cạnh có các cặp hình chiếu trùng nhau chúng ta sẽ khảo sát trong mục B-13.Vị Trí tương đối của 2 đường thẳng cạnh trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu. 8

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-20

6. MẶT PHẲNG 6.1. Thành lập đồ thức của mặt phẳng Đồ thức của mặt phẳng được xác định bằng : - Đồ thức của ba điểm không thẳng hàng (hình 1-21)

Hình 1-21 25

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Đồ thức của một điểm và đồ thức của một đường thẳng không chứa điểm đó. (hình 1-22)

Hình 1-22

- Đồ thức của hai đường thẳng cắt nhau (hình 1-23)

Hình 1-23

- Đồ thức của hai đường thẳng song song nhau (hình 1-24) 26

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-24

- Đồ thức của hai vết mặt phẳng9 (hình 1-25)

Hình 1-25

Lưu ý : Trên đây là 5 cách thức biểu diễn khác nhau của mặt phẳng. Khi dùng 1 trong 5 cách trên để biểu diễn một mặt phẳng A nào đó, ta hoàn toàn có thể biến đổi từ 9

Xem mục 7-Vết của đường thẳng và mặt phẳng

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

cách biều diễn này sang cách biểu diễn khác trong khi mặt phẳng A được biểu diễn vẫn giữ nguyên - không thay đổi (hình 1-26).

Hình 1-26

6.2. Các mặt phẳng thường gặp - Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng 1

(hình 1-27)

Tính chất : Mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng. (ABC) là mặt phẳng chiếu đứng  A1B1C1 là một đường thẳng

Hình 1-27 - Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng 2

(hình 1-28)

Tính chất : Mặt phẳng chiếu bằng có hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng. (ab) là mặt phẳng chiếu bằng  a2  b2 là một đường thẳng 28

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-28

- Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

(hình 1-29) Tính chất : Mặt phẳng bằng có hình chiếu đứng bị suy biến thành một đường thẳng và song song với trục hình chiếu x. (M,d) là mặt phẳng bằng  M1  d1 là một đường thẳng // x

Hình 1-29

- Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

(hình 1-30) 29

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Tính chất : Mặt phẳng mặt có hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng và song song với trục hình chiếu x. (p // q) là mặt phẳng mặt  p2  q2 là một đường thẳng // x

Hình 1-30

- Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x. (hình 1-31) Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của mặt phẳng cạnh là một cặp đường thẳng trùng nhau và vuông góc với trục hình chiếu x. (ABC) là mặt phẳng cạnh

 A1B1C1  A2B2C2 là một đường thẳng ⊥ x

Hình 1-31 30

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

7. VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 7.1. Vết của đường thẳng (hình 1-32) Cho một đường thẳng d bất kỳ trong không gian, kéo dài đường thẳng d đến giao với các mặt phẳng hình chiếu

và

Ta gọi :

- Vết đứng của đường thẳng d là giao điểm của d với mặt phẳng hình chiếu đứng 1.

Vết đứng của đường thẳng d là một điểm có hình chiếu bằng nằm trên trục x.

(điểm A(A1, A2) là vết đứng của đường thẳng d  A2  x) - Vết bằng của đường thẳng d là giao điểm của d với mặt phẳng hình chiếu bằng 2.

Vết bằng của đường thẳng d là một điểm có hình chiếu đứng nằm trên trục x.

(điểm B(B1, B2) là vết bằng của đường thẳng d  B1  x)

Hình 1-32

➢ Cách tìm vết của một đường thẳng thường d : (hình 1-32) - Kéo dài d1 giao với trục x tại B1. Từ B1 gióng đường thẳng đứng vuông góc trục x và giao với d2 tại điểm B2. Ta có B(B1,B2) là vết bằng của đường thẳng d. - Kéo dài d2 giao với trục x tại A2. Từ A2 gióng đường thẳng đứng vuông góc trục x và giao với d1 tại điểm A1. Ta có A(A1,A2) là vết đứng của đường thẳng d. 7.2. Vết của mặt phẳng (hình 1-33) Cho một mặt phẳng

không chứa trục x trong không gian, ta gọi :

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

với mặt phẳng hình chiếu đứng

- Giao của mặt phẳng

chính là một đường thẳng mặt m thuộc mp

- Giao của mặt phẳng

có hình chiếu bằng m2  x

với mặt phẳng hình chiếu bằng

là vết bằng của mặt

. Ký hiệu : V2

phẳng V2

là vết đứng của mặt

. Ký hiệu : V1

phẳng V1

chính là một đường thẳng bằng b thuộc mp

có hình chiếu đứng b1  x

Hình 1-33

➢ Lưu ý : V1

là hai đường thẳng hoàn toàn khác nhau cùng thuộc mặt

. Để tránh nhầm lẫn, ta nên đặt V1

phẳng mp

và V2

và đặt V2

 m là một đường thẳng mặt thuộc

 b là một đường thẳng bằng thuộc mp

➢ Tính chất của mặt phẳng vết : - Mọi đường thẳng nằm trên một mặt phẳng thì đều có các vết đường thẳng nằm trên các vết có cùng chỉ số của mặt phẳng. Trên Hình 1-33 ta thấy đường thẳng p có vết đứng C thuộc vết đứng V1 của mặt phẳng

m

. (C1  m1 và C2  m2  x), p có vết bằng D thuộc vết bằng V2

 b của mặt phẳng

. (D2  b2 và D1  b1  x).

- Vết đứng và vết bằng của mặt phẳng luôn cắt nhau tại một điểm trên trục x. 32

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

➢ Cách tìm vết của một mặt phẳng thường

: (hình 1-34)

Nếu mặt phẳng được biểu diễn bằng một trong các cách thông thường thì ta có thể chuyển sang cách biểu diễn mặt phẳng vết như sau : - Chọn trong mặt phẳng đường thẳng trên mp

hai đường thẳng thường bất kỳ a và b. (có thể vẽ thêm nếu không có sẵn hai đường thẳng thích hợp)

- Tìm vết đứng I(I1, I2) và vết bằng J(J1, J2) của đường thẳng a. - Tìm vết đứng K(K1, K2) và vết bằng L(L1, L2) của đường thẳng b. - Nối hình chiếu đứng của các vết đứng lại : Nối I1K1 ta được vết đứng V1 mặt phẳng

- Nối hình chiếu bằng của các vết bằng lại : Nối J2L2 ta được vết bằng V2 phẳng

của

của mặt

Hình 1-34

➢ Vết của một số mặt phẳng thường gặp : - Mặt phẳng chiếu bằng nó. Còn vết đứng V1 - Mặt phẳng chiếu đứng nó. Còn vết bằng V2 - Mặt phẳng bằng V2

có vết bằng V2

trùng với hình chiếu bằng suy biến của

là một đường thẳng vuông góc trục x. (hình 1-35) có vết đứng V1

trùng với hình chiếu đứng suy biến của

là một đường thẳng vuông góc trục x. (hình 1-36)

song song với trục x (mặt phẳng chiếu cạnh) có vết đứng V1

và vết

cũng song song với trục x. (hình 1-37) 33

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-35

Hình 1-36

Hình 1-37

8. SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG 8.1. Cơ sở của sự liên thuộc trên đồ thức Mệnh đề 1- Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi nó đi qua hai điểm của mặt phẳng đó. (hình 1-38) Ta thấy trên hình không gian, đường thẳng d cắt mp (ABC) tại điểm 1 thuộc cạnh AB và điểm 2 thuộc cạnh BC. Dựa theo tính chất liên thuộc của điểm thuộc đường thẳng, xét trên đồ thức, đường thẳng d thuộc mp (ABC) khi nó thỏa mãn các điều kiện sau :

d  (ABC)



11 = d1  A1B1 12 = d2  A2B2 1112 ⊥ x và

và 21 = d1  B1C1 và 22 = d2  B2C2 2122 ⊥ x (chủ yếu xét điều kiện này)

Nếu không thỏa một trong các điều kiện trên có nghĩa là d không thuộc mặt phẳng (ABC)

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 1-38 – Đường thẳng d thuộc mp (ABC)

Mệnh đề trên dùng để giải quyết các dạng bài toán sau đây : Dạng 1- Cho đồ thức của đường thẳng d và mặt phẳng (a  b) như hình vẽ 1-39. Hỏi trong không gian, đường thẳng d có thuộc mặt phẳng (a  b) hay không?

Hình 1-39 – Xét theo điều kiện của mệnh đề 1, ta thấy đường thẳng d không thuộc mp (a  b) 35

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Dạng 2- Cho một hình chiếu (đứng hoặc bằng) của đường thẳng d và đồ thức của mặt phẳng (p // q) như hình vẽ 1-40. Biết đường thẳng d đã thuộc mặt phẳng (p // q). Hãy xác định hình chiếu còn lại của đường thẳng d.

Hình 1-40 – Xét theo điều kiện của mệnh đề 1, từ d2 ta có cách tìm d1 như hình minh họa

Mệnh đề 2- Điểm thuộc mặt phẳng khi nó nằm trên một đường thẳng của mặt phẳng đó. (hình 1-41)

Hình 1-41 – Điểm I thuộc mp (ABC) 36

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Ta thấy trên hình không gian, điểm I thuộc mp (ABC) do nó nằm trên đường thẳng d của mp (ABC). Dựa theo tính chất liên thuộc của điểm thuộc đường thẳng, xét trên đồ thức, điểm I thuộc thuộc mp (ABC) khi nó thỏa mãn các điều kiện sau :

I  (ABC)



d thỏa mãn điều kiện thuộc mp (ABC) (theo mệnh đề 1) I1  d1 và I2  d2 (chủ yếu xét điều kiện này) I1I2 ⊥ x

Nếu không thỏa một trong các điều kiện trên có nghĩa là điểm I không thuộc mặt phẳng (ABC) Mệnh đề trên dùng để giải quyết các dạng bài toán sau đây : Dạng 1- Cho đồ thức của điểm M và mặt phẳng (a  b) như hình vẽ 1-42. Hỏi trong không gian, điểm M có thuộc mặt phẳng (a  b) hay không?

Hình 1-42 – Xét theo điều kiện của mệnh đề 2, ta thấy điểm M không thuộc mp (a  b) (Do M2 không thuộc d2)

Dạng 2- Cho một hình chiếu (đứng hoặc bằng) của điểm M và đồ thức của mặt phẳng (ABC) như hình vẽ 1-43. Biết Điểm M đã thuộc mặt phẳng (ABC). Hãy xác định hình chiếu còn lại của điểm M.

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 1-43 – Xét theo điều kiện của mệnh đề 2, từ hình chiếu M1, ta có cách xác định hình chiếu M2 như hình minh họa

8.2. Sự liên thuộc của điểm trên mặt phẳng vết •

Xét trường hợp mặp phẳng vết P (thường) có điểm A thuộc vết bằng V2P và điểm B thuộc vết đứngg V1P. (hình 1-44) Ta thấy A là điểm thuộc mp hình chiếu bằng P2 nên có A1 nằm trên x. B là điểm thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 nên có B2 nằm trên x Từ đó ta có các kết luận trên đồ thức của mặt phẳng vết như sau :

➔ Điểm đã biết trước một hình chiếu nằm trên vết của mặt phẳng (thường) rồi thì hình chiếu còn lại của nó sẽ nằm trên trục x. (hình 1-45) (A2  V2P  A1  x , B1  V1P  B2  x ) Hình 1-44 ➔ Ngược lại, nếu đã biết điểm thuộc mặt phẳng vết (thường) có một hình chiếu nằm trên trục x rồi thì hình chiếu còn lại của nó sẽ nằm trên vết có cùng chỉ số của mặt phẳng. (hình 1-46)

(A1  x  A2  V2P , B2  x  B1  V1P ) Lưu ý : Các kết luận trên không đúng (không được áp dụng) khi mặt phẳng vết là các mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng (không phải là mp vết thường). 38

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-45

•

Hình 1-46

Xét trường hợp mặp phẳng vết P (thường) có điểm I nằm ở vị trí bất kỳ (và không thuộc vết). (hình 1-47)

Hình 1-47

Để chứng tỏ điểm I nằm trên mặt phẳng vết P trong không gian, trên đồ thức, ta có ba cách biểu diễn liên thuộc của điểm I như sau : . Vẽ qua I một đường thẳng thường bất kỳ nằm trên mặt phẳng vết. (hình 1-48) . Vẽ qua I một đường thẳng bằng nằm trên mặt phẳng vết. (hình 1-49) . Vẽ qua I một đường thẳng mặt nằm trên mặt phẳng vết. (hình 1-50) 39

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 1-48 – Vẽ qua I một đường thẳng thường

Hình 1-49 – Vẽ qua I một đường thẳng bằng

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 1-50 – Vẽ qua I một đường thẳng mặt

Cách biểu diễn điểm I như trên được ứng dụng để giải quyết các dạng bài toán liên thuộc sau : Dạng 1- Cho đồ thức của điểm A và mặt phẳng vết Q như hình vẽ 1-51. Hỏi trong không gian, điểm A có thuộc mặt phẳng vết Q hay không?

Hình 1-51 – Xét theo điều kiện liên thuộc của điểm trên mặt phẳng vết, ta thấy điểm A không thuộc mp Q (vì A2 không nằm trên các đường thẳng gắn liên thuộc) (Do M2 không thuộc d2) 41

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Dạng 2- Cho một hình chiếu (đứng hoặc bằng) của điểm M và đồ thức của mặt phẳng vết P như hình vẽ 1-52. Biết Điểm M đã thuộc mặt phẳng vết P. Hãy xác định hình chiếu còn lại của điểm M.

Hình 1-52 – Xét theo điều kiện liên thuộc của điểm trên mặt phẳng vết, từ hình chiếu M2, ta có các cách xác định hình chiếu M1 như hình minh họa

8.3. Các ví dụ về bài toán liên thuộc của điểm - đường thẳng - mặt phẳng Bài 1 - Cho đồ thức của mp (ABC) như hình vẽ. Hãy vẽ trên mp (ABC) một đường thẳng d bất kỳ. (hình 1-53)

Hình 1-53

Bài 2 - Cho mp (p // q). Hãy vẽ trên mp (p // q) một đường thẳng bằng, một đường thẳng mặt và một đường thẳng cạnh. (hình 1-54)

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-54

Bài 3 - Cho điểm D thuộc mặt phẳng (a  b) đã có hình chiếu đứng là D1. Hãy xác định hình chiếu bằng D2. (hình 1-55)

Hình 1-55

Bài 4 - Cho hình phẳng ABC thuộc mặt phẳng (m // n) có hình chiếu bằng là A2B2C2. Biết AB // m và n. Hãy tìm hình chiếu đứng A1B1C1. (hình 1-56) Nhận xét: - Bài toán tìm hình chiếu còn lại của một hình phẳng (đa giác) có thể hiểu là bài toán tìm hình chiếu còn lại của một tập hợp các điểm là đỉnh của hình phẳng (đa giác) đó. Ta áp dụng bài toán liên thuộc (2 mệnh đề liên thuộc) lần lượt cho các điểm đỉnh của hình phẳng để tìm hình chiếu còn lại của chúng. - Khi dùng các đường thẳng gán liên thuộc cho điểm, ta có thể dùng một đường thẳng và gán liên thuộc cho nhiều điểm (thẳng hàng) cùng lúc để bài toán có cách giải gọn gàng và nhanh chóng hơn. 43

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Ta cũng có thể vận dụng các tính chất đối xứng hoặc song song của điểm, của đường thẳng để xác định hình chiếu còn lại của chúng mà không cần dùng các mệnh đề liên thuộc.

Hình 1-56

Bài 5 - Cho hình phẳng ABCD thuộc mặt phẳng vết Q có hình chiếu đứng là A1B1C1D1. Hãy tìm hình chiếu bằng A2B2C2D2. (hình 1-57)

Hình 1-57 44

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Ghi chú : Gán liên thuộc cho 2 điểm C, D, trên mặt phẳng vết, ta dùng đường thẳng bất kỳ. Gán liên thuộc cho điểm A và B (riêng biệt) trên mặt phẳng vết, ta dùng đường thẳng mặt. Bài 6 - Cho hình phẳng đa giác ABCDE có một phần hình chiếu bằng và chiếu đứng như hình vẽ. Hãy xác định các phần hình chiếu còn thiếu sót của đa giác ABCDE và vẽ hoàn chỉnh hai hình chiếu của đa giác trên. (hình 1-58) Nhận xét: Ta đã biết được đầy đủ hình chiếu ba điểm A,D,C của đa giác. Do đó, mặt phẳng chứa đa giác đã hoàn toàn được xác định. Bài toán có thể được quy về dạng : Cho mặt phẳng được xác định bởi tam giác (ADC), biết điểm B thuộc mặt phẳng có hình chiếu đứng là B1, hãy xác định hình chiếu bằng B2. Biết điểm E thuộc mặt phẳng có hình chiếu bằng là E2, hãy xác định hình chiếu đứng E1.

Hình 1-58

B. HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU 9. BỔ SUNG HÌNH CHIẾU THỨ BA VÀO HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU (hình 1-59) 45

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trong không gian, ta bổ sung thêm một mặt phẳng phẳng

và

vuông góc với cả hai mặt

gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh.

Gọi S3∞ là hướng chiếu vuông góc với mặt phẳng

Mặt phẳng

giao với mặt phẳng

theo giao tuyến là đường thẳng y.

Mặt phẳng

giao với mặt phẳng

theo giao tuyến là đường thẳng z.

Gọi O là giao điểm của ba trục x, y, z. Ta xem O như là điểm gốc tọa độ của hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu.

Hình 1-59

10. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM Giả sử có một điểm A trong không gian, để thành lập đồ thức của điểm A ta tiến hành như sau : (hình 1-60) - Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp

ta được điểm A1 .

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp

ta được điểm A2 .

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S3∞ lên mp

ta được điểm A3 .

- Quay mặt phẳng

mới trên mặt phẳng - Quay mặt phẳng

mới trên mặt phẳng

quanh trục x đến trùng với mặt phẳng 1

thì điểm A2 có vị trí

thì điểm A3 có vị trí

như hình vẽ 1-60.

quanh trục z đến trùng với mặt phẳng 1

như hình vẽ 1-60.

- A3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. 46

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Gọi Az là giao điểm của đường thẳng A1A3 với trục z thì ta nhận thấy các hình chiếu A1, A2, A3 có mối liên hệ ràng buộc như sau : A2Ax = A3Az = độ xa của điểm A. A1 và A3 nằm trên cùng một đường gióng nằm ngang vuông góc với trục z.

Hình 1-60

11. DỰNG HÌNH CHIẾU THỨ BA KHI ĐÃ BIẾT HAI HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM ➢ Từ mối liên hệ giữa ba hình chiếu của một điểm A, nếu biết cặp hình chiếu (A1,A2) ta xác định A3 như sau : (hình 1-61)

Hình 1-61 47

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Vẽ trục Oz thẳng đứng (bất kỳ) vuông góc với trục x tại điểm O và nằm về phía bên phải của cặp điểm (A1,A2). - Từ A1 ta dựng đường gióng nằm ngang vuông góc với trục Oz tại điểm Az. - Từ A2 ta dựng đường gióng nằm ngang cắt trục Oy (thẳng đứng) tại điểm Ay thứ nhất. - Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy ngược chiều kim đồng hồ để xác định điểm Ay thứ hai trên trục Oy (nằm ngang). - Vẽ qua điểm Ay thứ hai đường gióng thẳng đứng và tìm giao điểm A3 của nó với đường gióng nằm ngang đi qua A1 đã vẽ. Ta sẽ gọi bài toán này là bài toán [(1,2) →3] ➢ Từ mối liên hệ giữa ba hình chiếu của một điểm B, nếu biết cặp hình chiếu (B1,B3) ta xác định B2 như sau : (hình 1-62)

Hình 1-62

- Vẽ trục Ox nằm ngang (bất kỳ) vuông góc với trục z tại điểm O và nằm về phía bên dưới của cặp điểm (B1,B3). - Từ B1 ta dựng đường gióng thẳng đứng vuông góc với trục Ox tại điểm Bx. - Từ B3 ta dựng đường gióng thẳng đứng vuông góc với trục Oy (nằm ngang) tại điểm By thứ nhất. - Quay cung tròn tâm O, bán kính OBy thuận chiều kim đồng hồ để xác định điểm By thứ hai trên trục Oy (thẳng đứng). - Vẽ qua điểm By thứ hai đường gióng nằm ngang và tìm giao điểm B2 của nó với đường gióng thẳng đứng đi qua B1 đã vẽ. Ta sẽ gọi bài toán này là bài toán [(1,3) →2] 48

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

➢ Ghi chú : Thay vì phải thực hiện việc quay quanh tâm O đường tròn bán kính Oy để xác định các điểm By , ta có thể thay thế phép quay này bằng cách từ O dựng đường thẳng nghiêng 450 so với phương ngang và sử dụng các phép gióng thẳng đứng và nằm ngang như hình vẽ 1-63.

Hình 1-63

12. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẠNH TRONG HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU Nếu hai đường thẳng cạnh EF và GH nằm trên hai mặt phẳng cạnh khác nhau thì chúng có các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng rời nhau. Lúc này có thể xảy ra hai trường hợp : Hoặc EF và GH chéo nhau (hình 1-64a), hoặc EF và GH song song nhau. (hình 1-64b)

Hình 1-64a

Hình 1-64b 49

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Nếu hai đường thẳng cạnh AB và CD thuộc cùng một mặt phẳng cạnh thì chúng có các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng trùng nhau. Lúc này có thể xảy ra hai trường hợp : Hoặc AB và CD cắt nhau tại một điểm (hình 1-65a), hoặc AB và CD song song nhau. (hình 1-65b)

Hình 1-65a

Hình 1-65b

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng cho như hình 1-66.

Hình 1-66

Bài 2 : Cho hình chiếu đứng A1 của điểm A, hình chiếu bằng B2 của điểm B và đường thẳng cạnh CD. Hãy tìm hình chiếu bằng A2 của điểm A và hình chiếu đứng B1 của điểm B. Biết rằng A và B nằm trên một đường thẳng bằng b căt đường thẳng cạnh CD. (hình 1-67) 50

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Bài 3 : Cho bốn điểm A, B, C, D. Hãy kiểm tra xem bốn điểm này có nằm trên cùng một mặt phẳng hay không. Tìm hình chiếu bằng của điểm E thuộc mặt phẳng (ABC) biết rằng E1  D1 . (hình 1-68)

Hình 1-67

Hình 1-68

Bài 4 : Cho đường thẳng cạnh AB như hình vẽ 1-69. Hãy xác định vết đứng I(I1, I2) và vết bằng J(J1,J2) của đường thẳng AB trên đồ thức.

Hình 1-69 51

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Bài 5 : Cho mặt phẳng

(M,d) và mặt phẳng

(p // q) như hình 1-70 a,b. Hãy xác

định vết của các mặt phẳng trên.

Hình 1-70a

Hình 1-70b

Bài 6 : Cho mặt phẳng (a  b), biết rằng tam giác ABC thuộc mặt phẳng (a  b) đã có hình chiếu bằng là A2B2C2. Hãy tìm hình chiếu đứng A1B1C1 cùa nó. (hình 1-71) Bài 7 : Cho điểm M(M1, M2) trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu và trục Oz đã được chỉ định như hình vẽ 1-72. Hãy xác định hình chiếu cạnh M3 của nó.

Hình 1-71

Hình 1-72 52

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Bài 8 : Cho tam giác ABC nằm trên mặt phẳng được tạo bởi điểm M và trục x có hình chiếu đứng là A1B1C1. Hãy tìm hình chiếu bằng A2B2C2. (hình 1-73)

Hình 1-73

Bài 9 : Cho mặt phẳng vết

và một điểm M không thuộc

đường thẳng d song song với mặt phẳng vết Bài 10 : Cho vết đứng của mặt phẳng

. Hãy vẽ qua M một

và cắt trục hình chiếu x. (hình 1-74)

, vết bằng của mặt phẳng

đứng của đường thẳng m. Biết rằng m là giao tuyến của hai mặt phẳng xác định hình chiếu bằng của đường thẳng m, vết bằng của mặt phẳng của mặt phẳng

và hình chiếu và

. Hãy

và vết đứng

. (hình 1-75)

Hình 1-77a

Hình 1-74

Hình 1-77b

Hình 1-75 53

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI 2. BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC 1. SỰ THẤY-KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC Khi biểu diễn hai hay nhiều vật thể hình học, ta sẽ gặp trường hợp các vật thể khác nhau sẽ che khuất lẫn nhau trên các hình chiếu thẳng góc. Do đó, cần phải phân biệt các phần vật thể nào được thấy và phần vật thể nào bị che khuất để biểu diễn chúng bằng các nét vẽ phù hợp (nét thấy hoặc nét khuất). •

Khi xét sự thấy-khuất trên đồ thức của một điểm, ta có các qui ước sau : - Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những vật thể đục, không trong suốt. - Mắt người quan sát được đặt ở các tâm chiếu tương ứng S1 trước P1 và S2 trước P2 . - Các điểm thuộc cùng một đường thẳng chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng) thì được gọi là các điểm đồng tia chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng). ➢ Từ các qui ước trên ta có các nhận xét 1: (hình 2-01) - Nếu hai điểm thuộc cùng một tia chiếu đứng, điểm nào có độ xa lớn hơn thì điểm đó được thấy trên hình chiếu đứng. - Nếu hai điểm thuộc cùng một tia chiếu bằng, điểm nào có độ cao lớn hơn thì điểm đó được thấy trên hình chiếu bằng.

Hình 2-01 •

Khi xét sự thấy- khuất của hai mặt phẳng P và Q giao nhau theo một đường giao tuyến chung g, ta có nhận xét 2 : (hình 2-02)

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

➢ Giao tuyến g là đường phân chia ranh giới của sự thấy khuất giữa hai mặt phẳn giao nhau. Khi một trong hai mặt phẳng vượt qua giao tuyến g thì sự thấy khuất của nó bị đảo ngược. Trên hình 2-02, ta thấy: P  Q = g , phía trên g, Q thấy, khi Q vượt qua g và đi xuống phía dưới P, Q trở nên khuất (bị P che khuất).

Hình 2-02

➢ Sự thấy khuất của điểm sẽ kéo theo sự thấy khuất của đường chứa nó, sự thấy

khuất của đường đến phiên nó sẽ kéo theo sự thấy khuất của mặt chứa nó. Trên hình 2-02, ta thấy: Điểm I thuộc đường thẳng d, do đó I khuất sẽ kéo theo phần đường thẳng d ở phía sau giao thuyến g cũng bị khuất. Đường thẳng d thuộc mặt phẳng P, do đó d (phía sau giao tuyến g) khuất sẽ kéo theo phần mặt phẳng P phía sau giao tuyến g cũng bị khuất. ➔ Ta vận dụng 2 nhận xét trên để giải quyết các bài toán xét thất-khuất của hai vật thể giao nhau như ví dụ minh họa sau : Ví dụ : Cho đồ thức của hai hình phẳng (ABC) và (DEF) giao nhau theo giao tuyến IJ đã được xác định trên hình vẽ. Hãy biểu diễn phần thấy và phần khuất của hai hình phẳng (ABC) và (DEF) trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng. (hình 2-03)

Hình 2-03 55

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Để xét sự thấy-khuất của (ABC) và (DEF) trên hình chiếu đứng, theo nhận xét 1, ta chọn hai điểm đồng tia chiếu đứng là điểm 1  AB và điểm 2  DE. Trên hình chiếu bằng ta thấy điểm 12 có độ xa lớn hơn điểm 22. Do đó trên hình chiếu đứng, ta có điểm 11 phía trước sẽ che khuất điểm 21 ở phía sau. Theo nhận xét 2, Ta có 1 AB, AB  (ABC) và 2  DE, DE  (DEF). Sự thấy-khuất của các điểm 1, 2 sẽ kéo theo sự thấy-khuất của các đường AB, DE. Sự thấy-khuất của các đường AB, DE đến lượt nó sẽ kéo theo sự thấy-khuất của mặt phẳng (A1B1C1) và (D1E1F1). Do đó, ở phần phía trên của giao tuyến I1J1, hình phẳng (A1B1C1) sẽ che khuất hình phẳng phẳng (D1E1F1). Ngược lại, phía bên dưới giao tuyến I1J1, hình phẳng (D1E1F1) sẽ che khuất hình phẳng phẳng (A1B1C1). Tương tự như vậy, ta dùng hai điểm đồng tia chiếu bằng là điểm 3  AC và điểm 4  DF để xác định sự thấy khuất của (ABC) và (DEF) trên hình chiếu bằng. Kết quả, Phía bên trên của giao tuyến I2J2, hình phẳng (D2E2F2) che khuất hình phẳng (A2B2C2). Ngược lại, phía bên dưới giao tuyến I2J2, hình phẳng (A2B2C2) sẽ che khuất hình phẳng phẳng (D2E2F2). 2. BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC Khi biểu diễn một vật thể hình học ba chiều, người ta thường dùng hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu để vật thể biểu diễn đảm bảo được tương ứng 1-1 và dễ dàng hình dung không gian. Nếu vật thể phức tạp, ta có thể minh họa kèm theo hình chiếu trục đo. Cần lưu ý các phần rỗng phía bên trong của vật thể để biểu diễn nét khuất. 2.1. Biểu diễn các vật thể cơ khí-kỹ thuật

Hình 2-04

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 2-05

2.2. Biểu diễn các chi tiết kiến trúc ➢ Biểu diễn đầu cột rời

Hình 2-06

Hình 2-07

➢ Biểu diễn đầu giả cột ốp tường

Hình 2-08

Hình 2-09 57

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH ➢ Biểu diễn hốc tường - ô văng

Hình 2-10

Hình 2-11

➢ Biểu diễn tam cấp – bậc thềm

Hình 2-12

Hình 2-13

➢ Biểu diễn cầu thang bộ dạng xoắn ốc trụ

Hình 2-14 58

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

2.3. Biểu diễn các công trình kiến trúc

Hình 2-15

Hình 2-16

Khi biểu diễn các vật thể ba chiều, một vấn đề nảy sinh là ta cần phải xác định các giao tuyến giữa các khối hình học với nhau. Như ở hình 2-16 cho thấy ta cần phải xác định các giao tuyến giữa hai mái nhà. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong bài toán tìm giao tuyến. 59

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Cho hình chiếu trục đo của vật thể như hình 2-17. Hãy vẽ lại các hình chiếu thẳng góc của vật thể trên.

Hình 2-17

Bài 2 : Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một công trình kiến trúc (có ống khói và cửa đi) như hình 2-18. Hãy dựng hình chiếu thứ ba của công trình.

Hình 2-18 60

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

BÀI 3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU Yêu cầu cơ bản của các phương pháp biểu diễn vật thể trên bản vẽ là phải đảm bảo được tương ứng 1-1, còn việc các hình chiếu của vật thể đó được biểu diễn như thế nào (theo hướng chiếu và mặt phẳng hình chiếu nào) là tùy vào cách chọn cụ thể của người vẽ. Do đó cùng một vật thể có thể biểu diễn vô số hình chiếu khác nhau. Trong số các hình chiếu đó, có hình biểu diễn đơn giản, có hình biểu diễn phức tạp. Thông thường khi bị suy biến thì hình biểu diễn của vật thể trở nên đơn giản hơn.

Hình 3-01a

Hình 3-01b

Như ở hình 3-01, ta nhận thấy rằng cùng một vật thể, hình chiếu đứng ở hình 3-01a phức tạp hơn hình chiếu đứng ở hình 3-01b. Khi hình biểu diễn của vật thể ở dạng đơn giản, ta có thể thấy được dễ dàng các thông tin hình học của vật thể đó như vị trí của giao tuyến, giao điểm, các yếu tố lượng như độ dài, diện tích, số đo góc,…Do đó khi gặp một hình biểu diễn phức tạp, người ta thường cố gắng tìm cách chuyển đổi hình chiếu đó về dạng đơn giản hơn mà vẫn đảm bảo được tương ứng 1-1. Có nhiều cách thức để chuyển đổi hình chiếu phức tạp của vật thể thành hình chiếu đơn giản hơn. Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần tìm hiểu về một phép biến đổi hình chiếu cơ bản đó là : phép thay mặt phẳng hình chiếu.

PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU Phép thay mặt phẳng hình chiếu là một phép biến đổi hình chiếu trong đó, vật thể biểu diễn vẫn được giữ nguyên vị trí và hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ được thay thế bởi một hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới có vị trí tương đối so với vật thể thích hợp hơn. (Điều này tương ứng với việc người xem chọn một hướng nhìn phù hợp hơn để quan sát vật thể) 61

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ĐỨNG 1.1. Định nghĩa Thay mặt phẳng hình chiếu đứng là chọn một mặt phẳng mặt phẳng hình chiếu đứng mới, thay thế cho

vuông góc với

2 làm

và chọn hướng vuông góc với

làm hướng chiếu đứng mới. (hình 3-02)

Hình 3-02

1.2. Tính chất - Hình chiếu bằng A2 của điểm A vẫn giữ nguyên không thay đổi. - Hình chiếu bằng A2 và hình chiếu đứng mới A’1 của điểm A thuộc cùng một đường gióng vuông góc trục x’. - Độ cao cũ và độ cao mới của điểm A bằng nhau : A’1Ax’ = A1Ax 1.3. Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu đứng Đường thẳng thường AB

Thay mp

Đường thẳng mặt AB

x' // A2B2 Để biến đổi một đường thẳng thường AB thành một đường thẳng mặt, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu bằng A2B2 của đường thẳng AB. (hình 3-03) Khi cần xác định các yếu tố về độ dài thật của một đoạn thẳng thường AB hay xác định góc hợp bởi đoạn thẳng thường AB với mặt phẳng hình chiếu bằng

ta dùng

phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng để biến đổi đoạn thẳng thường AB thành đoạn thẳng mặt. Khi đó ta có A’1B’1 = AB và (A’1B’1, x’) = (AB, P2). 62

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 3-03

Đường thẳng bằng CD

Thay mp

x' ⊥ C2D2

Đường thẳng chiếu đứng CD

Để biến đổi một đường thẳng bằng CD thành một đường thẳng chiếu đứng, ta vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu bằng C2D2 của đường thẳng CD. (hình 3-04)

Hình 3-04

Mặt phẳng thường (ABC)

Thay mp

x' ⊥ h.c bằng của đ.t bằng thuộc mp (ABC)

Mặt phẳng chiếu đứng (ABC)

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Để biến đổi một mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu đứng, ta vẽ trong mặt phẳng đó một đường thẳng bằng b(b1,b2) bất kỳ. Vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu bằng b2. Khi đó hình chiếu đứng mới (A’1B’1C’1) của mặt phẳng (ABC) qua phép thay mặt phẳng

1 sẽ

bị suy biến thành một đường thẳng. (hình 3-05)

Hình 3-05

Hình 3-06

Trong trường hợp biến đổi một mặt phẳng vết để ý là vết bằng V2

thành mặt phẳng vết chiếu đứng,

cũng chính là một đường thẳng bằng thuộc mặt phẳng

. Do

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

đó ta chỉ cần vẽ trục x’ vuông góc với V2

. Chọn trên vết đứng cũ một điểm 1(11, 12)

và xác định hình chiếu đứng mới 1’1. Vết đứng mới V’1 1’1 với giao điểm của V2

là đường thẳng nối điểm

và trục x’. (hình 3-06) Thay mp

Mặt phẳng chiếu bằng (DEF)

Mặt phẳng mặt (DEF)

x' // h.c bằng suy biến của mp (DEF) Để biến đổi một mặt phẳng chiếu bằng (DEF) thành mặt phẳng mặt, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu bằng suy biến của mặt phẳng (DEF). Khi đó hình chiếu đứng mới (D’1E’1F’1) của mặt phẳng (DEF) qua phép thay mặt phẳng

sẽ có diện tích đúng

bằng diện tích thật. (hình 3-07)

Hình 3-07

2. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG 2.1. Định nghĩa Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là chọn một mặt phẳng mặt phẳng hình chiếu bằng mới, thay thế cho

vuông góc với

1 làm

và chọn hướng vuông góc với

làm hướng chiếu bằng mới. (hình 3-08)

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 3-08

2.2. Tính chất - Hình chiếu đứng A1 của điểm A vẫn giữ nguyên không thay đổi. - Hình chiếu đứng A1 và hình chiếu bằng mới A’2 của điểm A thuộc cùng một đường gióng vuông góc trục x’. - Độ xa cũ và độ xa mới của điểm A bằng nhau : A’2Ax’ = A2Ax 2.3. Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu bằng Đường thẳng thường AB

Thay mp

Đường thẳng bằng AB

x' // A1B1

Hình 3-09 66

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Để biến đổi một đường thẳng thường AB thành một đường thẳng bằng, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng A1B1 của đường thẳng AB. (hình 3-09) Thay mp 2 Đường thẳng mặt CD Đường thẳng chiếu bằng CD x' ⊥ A1B1 Để biến đổi một đường thẳng mặt CD thành một đường thẳng chiếu bằng, ta vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu đứng C1D1 của đường thẳng CD. (hình 3-10)

Hình 3-10

Mặt phẳng thường (ABC)

Thay mp

x' ⊥ h.c đứng của đ.t mặt thuộc mp (ABC)

Mặt phẳng chiếu bằng (ABC)

Hình 3-11 67

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Để biến đổi một mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu bằng, ta vẽ trong mặt phẳng đó một đường thẳng mặt m(m1,m2) bất kỳ. Vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu đứng m1. Khi đó hình chiếu bằng mới (A’2B’2C’2) của mặt phẳng (ABC) qua phép thay mặt phẳng

2 sẽ

bị suy biến thành một đường thẳng. (hình 3-11)

Hình 3-12

Trong trường hợp biến đổi một mặt phẳng vết ý là vết đứng V1

thành mặt phẳng vết chiếu bằng, để

cũng chính là một đường thẳng mặt thuộc mặt phẳng

ta chỉ cần vẽ trục x’ vuông góc với V1

. Chọn trên vết bằng cũ một điểm 1(11, 12) và

xác định hình chiếu bằng mới 1’2. Vết bằng mới V’2 với giao điểm của V1

. Do đó

là đường thẳng nối điểm 1’2

và trục x’. (hình 3-12)

Mặt phẳng chiếu đứng (DEF)

Thay mp

Mặt phẳng bằng (DEF)

x' // h.c đứng suy biến của mp (DEF)

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Để biến đổi một mặt phẳng chiếu đứng (DEF) thành mặt phẳng bằng, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng suy biến của mặt phẳng (DEF). Khi đó hình chiếu bằng mới (D’2E’2F’2) của mặt phẳng (DEF) qua phép thay mặt phẳng

2 sẽ

có diện

tích đúng bằng diện tích thật. (hình 3-13) 3. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU LIÊN TIẾP NHIỀU LẦN Trong một số trường hợp, muốn đưa các hình chiếu bình thường của đường thẳng hay mặt phẳng về các dạng đặc biệt, ta phải tiến hành thay đổi các mặt phẳng hình chiếu lần lượt và liên tiếp nhiều lần với công thức như sau:

Với phép thay mặt phẳng hình chiếu, ta có được một phương pháp giúp giải quyết hiệu quả các bài toán xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học hay xác định các yếu tố về lượng của chúng (như độ dài, diện tích, số đo góc) . Ví dụ 1: Cho đồ thức của điểm M và đường thẳng AB không chứa nó (trong không gian) như hình 3.14a. Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến đường thẳng AB. Nhận xét: Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến đường thẳng AB là đoạn thẳng MN ⊥ AB (với điểm N  AB). Giả sử AB là một đường thẳng chiếu bằng thì khi đó, đoạn thẳng MN vuông góc với nó sẽ là một đoạn thẳng bằng, và ta có độ dài hình chiếu M2N2 bằng độ dài thật MN trong không gian. M2N2 cũng chính là khoảng cách d M/AB cần xác định (hình 3-14b). Như vậy, để xác định d M/AB, trước tiên ta dùng phép thay mặt phẳng hình chiếu liên tiếp nhiều lần để biến đổi hình chiếu của AB thành đường thẳng chiếu bằng như sau:

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Khi đó hình chiếu bằng mới của đoạn thẳng AB bị suy biến thành một điểm A”2  B”2  N”2. Nối M”2N”2 ta được khoảng cách d M/AB cần tìm (hình 3-14c).

Hình 3-14a

Hình 3-14b

Hình 3-14c

Ví dụ 2: Cho đồ thức của điểm A và một đường thẳng d (trong không gian) như hình 3.15a. Hãy dựng tam giác đều ABC với 2 đỉnh B,C nằm trên đường thẳng d. Nhận xét: Để có thể dựng được tam giác đều (trong không gian) thông qua việc dựng một trong các hình chiếu thẳng góc của nó thì hình chiếu của tam giác đó phải bất biến dạng qua phép chiếu thẳng góc. Đối với các mặt phẳng đặc biệt, ta thấy có mặt phẳng mặt (hay mặt phẳng bằng) là có hình chiếu đứng (hay hình chiếu bằng) không bị biến dạng qua phép chiếu thẳng góc. Như vậy, để dựng được tam giác đều ABC, trước tiên ta dùng phép thay mặt phẳng hình chiếu liên tiếp nhiều lần để biến đổi hình chiếu đứng của mặt phẳng (A,d) thành mặt phẳng mặt như sau:

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Tiếp theo, ta dựng đường cao (cũng là đường phân giác của tam giác ABC) xuất phát từ A”1 đến vuông góc d”1 tại điểm I”1. Vẽ các đường thẳng A”1B”1 và A”1C”1 tạo với đường thẳng A”1I”1 một góc 300 (về 2 phía) và cắt d”1 tại B”1 và C”1. Khi đó ta có được hình chiếu đứng A”1B”1C”1 (không bị biến dạng) của tam giác đều ABC nằm trên mp (A,d). Cuối cùng, dùng tính chất liên thuộc của điểm - đường thẳng để xác định các hình chiếu B1, B2 và C1, C2 trên đồ thức ban đầu của đề bài. Nối A1B1C1, A2B2C2 ta được tam giác đều ABC cần dựng. (hình 3-15b)

Hình 3-15a

Hình 3-15b

-----------------------------------------------------------------------------------------------BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Cho đồ thức của mặt phẳng vết P và trục x’ như hình 3-16. Hãy xác định vết đứng mới V’1P qua phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng P’1 tương ứng với trục x’ đã cho. Bài 2 : Cho đồ thức của mặt phẳng vết P như hình 3-17. Hãy tìm vị trí của trục x’ sao cho khi thay mặt phẳng hình chiếu đứng P’1, vết đứng mới V’1P có vị trí trùng với vết bằng V2P. Bài 3 : Cho đồ thức của hai đường thẳng chéo nhau AB và CD. Bằng một lần thay mặt phẳng hình chiếu, hãy biến đổi hai hình chiếu bằng mới của hai đoạn thẳng này thành những đoạn thẳng song song nhau. (hình 3-18) 71

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Bài 4 : Cho đồ thức của đoạn thẳng AB như hình 3-19. Bằng một lần thay mặt phẳng hình chiếu, hãy biến đổi hình chiếu bằng mới và hình chiếu đứng cũ của đoạn thẳng AB đối xứng nhau qua trục x’.

Hình 3-16

Hình 3-18

Hình 3-17

Hình 3-19

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BAI 4. BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN Khi biểu diễn nhiều vật thể (hay một tổ hợp các hình khối) trên cùng một đồ thức, các vật thể hình học này sẽ giao cắt nhau, tạo nên những đường giao tuyến chung (hình 4-01). Vai trò quan trọng của các đường giao tuyến này là cung cấp thông tin về vị trí tương đối giữa các vật thể trong không gian, giúp cho người đọc bản vẽ có thể nắm bắt được mối quan hệ liên thuộc giữa các đối tượng hình học được biểu diễn, từ đó họ có cơ sở đề xuất những phương án cụ thể để xây dựng lại chính xác tổ hợp các vật thể đó trên thực tế.

Hình 4-01 Đối với những ngành nghề như cơ khí - chế tạo máy, kiến trúc - xây dựng, nghề mộc,… thì người thiết kế bắt buộc phải nắm rõ phương pháp xác định và cách thức biểu diễn giao tuyến giữa các vật thể hình học trên bản vẽ. Có như vậy, các đối tượng mà họ thiết kế mới có thể được mô tả một cách chính xác, đầy đủ và khả thi.

A. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT- XÉT BÀI TOÁN TÌM GIAO KHI ĐÃ BIẾT TRƯỚC MỘT PHẦN HÌNH CHIẾU CỦA GIAO TUYẾN Đặc điểm nhận biết của bài toán tìm giao tuyến trong trường hợp này là hình chiếu của một trong hai đối tượng hình học được biểu diễn bị suy biến. Một phần giao tuyến chung của hai đối tượng hình học đã được xác định trên hình chiếu suy biến. Để giải bài toán trong trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các phương pháp liên thuộc trên các đối tượng hình học để xác định phần giao tuyến chung trên hình chiếu còn lại của hai đối tượng hình học đó.

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH 1. GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trước tiên, ta khảo sát một vài ví dụ cụ thể sau đây:

Ví dụ 1: Cho đồ thức của đường thẳng thường d và mặt phẳng chiếu đứng (p // q) như hình 4-02. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (p // q).

Hình 4-02

Hình 4-02a

Hình 4-02b

Từ đồ thức hình 4-02, nhận xét là mặt phẳng (p // q) là mặt phẳng chiếu đứng, có hình chiếu p1  q1 suy biến thành một đường thẳng. Ta vẽ hình không gian 4-02a minh họa cho bài toán tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (p // q). Quan sát hình không gian 4-02a, giả sử ta đã biết giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (p // q), nhận xét là hình chiếu đứng I1 của giao điểm I luôn nằm trên hình chiếu đứng suy biến p1  q1 của mặt phẳng (p // q) hơn nữa I1 = (p1  q1)  d1. Như vậy, từ hình không gian 4-02a và suy ra trên đồ thức 4-02b, ta đã biết được vị trí hình chiếu I1 của của giao điểm I. Để xác định hình chiếu còn lại I2 của giao điểm I, ta áp dụng tính chất liên thuộc của điểm thuộc đường thẳng thường10 - chỉ cần gióng thẳng đứng từ I1 xuống hình chiếu bằng, vuông góc x, ta có ngay I2  d2. Vậy I(I1, I2) là giao điểm cần xác định của đường thẳng d và mặt phẳng (p // q). Để xét thấy-khuất cho d2 và (p2 // q2) trên hình chiếu bằng, ta dùng hai điểm đồng tia chiếu bằng 12  22 (1  d và 2  q). Kết quả xét thấy-khuất được chỉ rõ như trên đồ thức hình 4-02b. (Hình chiếu đứng d1 và (p1 // q1) không cần xét thấy-khuất vì hướng nhìn hình chiếu p1  q1 suy biến không che khuất d1)

Xem lại Chương 1 - Phần A - Mục 4.1. Điểm thuộc đường thẳng thường

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Ví dụ 2: Cho đồ thức của đường thẳng chiếu bằng d và mặt phẳng (ABC) như hình 4-03. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng d với mp (ABC).

Hình 4-03

Hình 4-03b

Từ đồ thức hình 4-03, nhận xét là đường thẳng chiếu bằng d có hình chiếu bằng d2 suy biến thành một điểm. Ta vẽ hình không gian 4-03a minh họa cho bài toán tìm giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC). Quan sát hình không gian 4-03a, giả sử ta đã biết giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC), nhận xét là hình chiếu bằng I2 của giao điểm I luôn nằm trùng với vị trí hình chiếu bằng suy biến của đường thẳng d ( I2  d2). Như vậy, từ hình không gian 4-03a và suy ra trên đồ thức 4-03b, ta đã biết được vị trí hình chiếu I2 của của giao điểm I. Để xác định hình chiếu còn lại I1 của giao điểm I, ta áp dụng bài toán liên thuộc của điểmđường thẳng-mặt phẳng11 – vẽ qua I2  d2 đường thẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng (ABC), chẳn hạn vẽ đường thẳng nối đỉnh A2 và I2 cắt cạnh B2C2 tại điểm 12. Gióng thẳng đứng từ 12 lên hình chiếu đứng, vuông góc x, ta có 11  B1C1. Nối 11 về A1 cắt d1 tại hình chiếu giao điểm I1. Vậy I(I1, I2) là giao điểm cần xác định của đường thẳng d và mặt phẳng (ABC). Để xét thấy-khuất cho d1 và (A1B1C1) trên hình chiếu đứng, ta dùng hai điểm đồng tia chiếu đứng 21  31 (2  d và 3  AC). Kết quả xét thấy-khuất được chỉ rõ như trên đồ thức hình 403b.

Xem lại Chương 1 - Phần A - Mục 8. Sự liên thuộc giữa điểm – đường thẳng – mặt phẳng

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

(Hình chiếu bằng d2 và (A2B2C2) không cần xét thấy khuất vì hướng nhìn hình chiếu d2 suy biến thành một điểm và không che khuất mặt phẳng (A2B2C2)) Qua 2 ví dụ trên, ta có các nhận xét sau : - Trong trường hợp đặc biệt – bài toán có chứa yếu tố suy biến, ta đã có sẵn một hình chiếu của giao điểm nằm trên hình chiếu suy biến. Để tìm hình chiếu còn lại của giao điểm, chỉ cần áp dụng bài toán liên thuộc của điểm-đường thẳng-mặt phẳng. - Việc xét thấy-khuất cho bài toán tìm giao trong trường hợp đặc biệt chỉ cần xét trên một hình chiếu (trên hình chiếu bình thường), hình chiếu có chứa yếu tố suy biến không cần xét. Từ các nhận xét trên, ta có cách giải tổng quát cho bài toán tìm giao của đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp đặc biệt – có yếu tố suy biến trên đồ thức như sau : Bước 1 – Tìm hình chiếu suy biến của một trong hai đối tượng là đường thẳng hoặc mặt phẳng đề cho. Xác định hình chiếu đã biết của giao điểm I giữa đường thẳng và mặt phẳng trên hình chiếu suy biến. Bước 2 – Từ hình chiếu đã biết của giao điểm I, áp dụng bài toán liên thuộc của điểmđường thẳng-mặt phẳng để tìm hình chiếu còn lại của I. Bước 3 – Xét thấy-khuất cho hình chiếu không bị suy biến của đường thẳng và mặt phẳng. 2. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG Đối với bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta áp dụng cách giải hai lần bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng - chọn trong mặt phẳng thường (không có yếu tố suy biến) hai đường thẳng thường bất kỳ. Lần lượt tìm giao điểm của hai đường thẳng này với mặt phẳng có chứa yếu tố suy biến, nối lại ta được giao tuyến chung cần tìm. (hình 4-04) Hình 4-04 Ví dụ 1: Cho đồ thức của mặt phẳng chiếu bằng (ABC) và mặt phẳng thường (p // q) như hình 4-05. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trên. Từ đồ thức hình 4-05, ta nhận thấy hình chiếu bằng (A2B2C2) của mặt phẳng (ABC) bị suy biến thành một đường thẳng. Như vậy, chọn trên mặt phẳng còn lại (p // q) hai đường thẳng thường bất kỳ (chọn đường p và q). Lần lượt tìm giao điểm I của đường thẳng p với mp (ABC) và giao điểm J của đường thẳng q với mp (ABC). Nối IJ lại ta có được giao tuyến g cần tìm (đồ thức 4-06ab).

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-05

Hình 4-06a

Hình 4-06b

Lưu ý, nếu quan niệm (ABC) và (p // q) là hai miếng phẳng (có giới hạn) thì sau khi xác định được giao tuyến g, ta cần giới hạn lại đoạn giao tuyến thật sự của hai miếng phẳng, đó là đoạn giao tuyến IK với K = g  AC. (hình 4-07)

Hình 4-07 77

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Để xét thấy-khuất cho hình chiếu đứng cúa hai mặt phẳng (ABC) và (p // q), ta dùng hai điểm đồng tia chiếu đứng 11  21 (1  p và 2  AC). Kết quả xét thấy-khuất được chỉ rõ như trên đồ thức hình 4-07. (Hình chiếu bằng (p2 // q2) và (A2B2C2) không cần xét thấy-khuất vì hướng nhìn hình chiếu (A2B2C2) bị suy biến thành một đoạn thẳng và không che khuất mp (p2 // q2)). Ví dụ 2: Cho đồ thức của mặt phẳng chiếu đứng (K, d) và mặt phẳng vết P như hình 4-08. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Hình 4-08

Hình 4-09a

Hình 4-09b

Khi bài toán cho một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một đường thẳng thì ta nên đổi cách xác định mặt phẳng đó thành một dạng khác vì cách xác định này thường gây khó khăn cho người đọc bản vẽ trong việc tưởng tượng hình không gian. Trên đồ thức hình 409a, trước khi giải bài toán tìm giao, ta đổi cách xác định mặt phẳng (K,d) thành mặt phẳng được cho bởi hai đường thẳng song song (d // n) bằng cách qua K1 vẽ đường thẳng n1  d1 và qua K2 vẽ n2 // d2 . Nhận thấy rằng mặt phẳng (d // n) có hình chiếu đứng bị suy biến thành một đường thẳng. Chọn trên mặt phẳng còn lại (mặt phẳng vết P) hai đường thẳng thường bất kỳ. Ta chọn đường thẳng vết đứng V1P (cũng là đường thẳng a có a1  V1P và a2  x) và đường thẳng b (vẽ thêm trên mặt phẳng P) (Đồ thức hình 4-09b). Lần lượt tìm giao điểm I của đường thẳng a với mp (d // n) và giao điểm J của đường thẳng b với mp (d // n). Nối IJ lại ta có được giao tuyến g cần tìm (đồ thức hình 4-10a).

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-10a

Hình 4-10b

Hình 4-10c

Để xét thấy-khuất cho hình chiếu bằng cúa hai mặt phẳng P và (d // n), ta dùng hai điểm đồng tia chiếu bằng 22  32 (2  V2P và 3  d). Kết quả xét thấy-khuất được chỉ rõ như trên đồ thức hình 4-10c. (Hình chiếu đứng (d1 // n1) và V1P không cần xét thấy-khuất vì hướng nhìn hình chiếu (d1 // n1) bị suy biến thành một đoạn thẳng và không che khuất mp P).

B. TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT - XÉT BÀI TOÁN TÌM GIAO KHI CHƯA BIẾT BẤT KỲ HÌNH CHIẾU NÀO CỦA GIAO TUYẾN Suy biến là yếu tố giữ vai trò quan trọng giúp ta xác định nghiệm của bài toán tìm giao tuyến. Muốn giải được bài toán tìm giao tuyến giữa các đối tượng hình học trong trường hợp tổng quát, bằng một phương pháp nào đó, ta cần phải làm xuất hiện yếu tố suy biến trong (phần lớn)12 các cách giải, từ đó mới có cơ sở để xác định được giao tuyến cần tìm. Có nhiều phương pháp làm xuất hiện yếu tố suy biến trong quá trình giải toán, chúng ta sẽ lần lượt làm quen với các phương pháp Thay mặt phẳng hình chiếu, mặt phẳng phụ trợ và hình chiếu thứ ba trong các bài toán cụ thể. 3. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG VẾT Trong trường hợp đề bài yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng vết P và Q, mặc dù cả hai mặt phẳng vết đều không có chứa yếu tố suy biến, ta vẫn có thể xác định được giao tuyến của chúng một cách dễ dàng như minh họa ở hình 4-11 ab sau đây : cũng có trường hợp bài toán ở dạng tổng quát nhưng các đối tượng hình học trong đề bài có vị trí và mối tương quan đặc biệt nên có thể giải bài toán một cách trực tiếp mà không cần dựa vào yếu tố suy biến. 12

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-11

Hình 4-11a

Hình 4-11b

Nhận xét trên hình không gian 4-11a, vết đứng V1P của mặt phẳng P và vết đứng V1Q của mặt phẳng Q đều nằm trên mặt phẳng hình chiếu đứng P1. Do đó chúng sẽ cắt nhau tại giao điểm I. Tương tự như vậy,vết bằng V2P của mặt phẳng P và vết bằng V2Q của mặt phẳng Q đều nằm trên mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Do đó chúng sẽ cắt nhau tại giao điểm J. Nối 2 giao điểm này lại ta được giao tuyến g cần xác định. Như vậy trên đồ thức hình 4-11b, ta có 2 vết đứng V1P và V1Q cắt nhau tại giao điểm I1, gióng I1 thẳng đứng xuống trục x ta có I2. Tương tự, ta có 2 vết bằng V2P và V2Q cắt nhau tại giao điểm J2, gióng J2 thẳng đứng lên trục x ta có J1. Nối I1J1  g1, nối I2J2  g2 thì g(g1, g2) là giao tuyến cần xác định của 2 mặt phẳng vết P và Q. Dựa vào hình không gian 4-11a, ta có được sự thấy-khuất của hai mặt phẳng vết P và Q như đồ thức hình 4-11b. 4. GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Xét các ví dụ sau : Ví dụ 1: Cho đồ thức của mặt phẳng (a  b) và đường thẳng d như hình 4-12. Hãy xác định giao điểm I của d với mp (a  b), xét sự thấy-khuất trên đồ thức. Cách giải 1: (hình 4-13) Để làm xuất hiện yếu tố suy biến trong quá trình giải, ta có thể dùng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu để biến mặt phẳng (a  b) thành mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng. Chẳng hạn biến (a  b) thành mặt phẳng chiếu đứng, Khi đó bài toán quay về trường hợp đặc biệt, ta có thể giải bình thường theo các kiến thức đã học ở mục 1.1. mp thường (a1  b1, a2  b2) đường thẳng d (d1,d2)

Thay P1

mp chiếu đứng (a’1  b’1, a2  b2)

x’ ⊥ hcb e2 của đường thẳng bằng e

đường thẳng d (d’1,d2) 80

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-12

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 4-13

Sau phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng (a’1  b’1) là hình chiếu suy biến. I’1 = (a’1  b’1)  d’1 là hình chiếu của giao điểm I cần tìm. Bằng các phép gióng ngược từ I’1 trở lại các hình chiếu bằng và chiếu đứng ban đầu của đường thẳng d ta có I2  d2 và I1  d1. Sau khi đã xác định được giao điểm I(I1,I2) của đường thẳng d và mp (a  b) ta áp dụng phương pháp xét thấy - khuất trên cả hai hình chiếu để có được kết quả như hình 4-13. Ví dụ 2: Cho đồ thức của mặt phẳng (ABC) và đường thẳng d như hình 4-14. Hãy xác định giao điểm I của d với mp (ABC), xét sự thấy-khuất trên đồ thức. Cách giải 2: (hình 4-15ab) Để làm xuất hiện yếu tố suy biến trong quá trình giải, ta có thể dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ - gán một mặt phẳng phụ P chiếu bằng (hoặc chiếu đứng) chứa đường thẳng d vào đồ thức đang xét. Sau đó xét bài toán phụ tìm giao tuyến g giữa mặt phẳng thường (ABC) và mặt phẳng phụ chiếu bằng P . Đây là bài toán phụ với trường hợp đặc biệt nên có thể giải được. Sau khi có được giao tuyến phụ g, ta có I = g  d chính là giao điểm chính cần tìm.

Hình 4-14 81

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-15a

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 4-15b

Trên đồ thức hình 4-15b, ta có hình chiếu suy biến V2P cắt A2C2 và B2C2 tại hai điểm 12 và 22 (g2  1222). Gióng 12 và 22 lên hình chiếu đứng ta có được 11 A1C1 và 21 B1C1 (g1  1121). Sau khi có được g(g1,g2) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng (ABC) và P, để ý là cả d và g đều nằm trên mặt phẳng phụ P (hình không gian 4-15a), do đó chúng sẽ phải cắt nhau tại giao điểm I cần tìm của mp (ABC) và đường thẳng d. Trên đồ thức hình 4-15b ta có được I1 = g1 d1. Gióng I1 xuống hình chiếu bằng ta có I2  d2. Sau khi đã xác định được giao điểm I(I1,I2) của đường thẳng d và mp (ABC) ta áp dụng phương pháp xét thấy - khuất trên cả hai hình chiếu để có được kết quả như hình 4-15b. 5. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG Ta sẽ tìm hiểu các cách xác định giao tuyến của hai mp thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho đồ thức của hai mặt phẳng (ABC) và (p // q) như hình 4-16. Hãy xác định giao tuyến g của hai mặt phẳng trên, xét sự thấy-khuất trên đồ thức. Áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ trợ cho bài toán tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng, chọn trong mặt phẳng (p // q) hai đường thẳng thường bất kỳ (trong trường hợp này ta chọn luôn hai đường thẳng p và q), lần lượt tìm 2 giao điểm I và J của p và q với mặt phẳng (ABC), nối IJ ta có được giao tuyến g cần xác định. (hình 4-17)

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-16

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 4-17

Trên P1, ta gán 2 mp phụ chiếu đứng có hình chiếu đứng là R1 p1 và H1 q1. R1 cắt A1B1 và A1C1 lần lượt tại hai điểm 11 và 21. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 12 A2B2 và 22 A2C2 . Giao tuyến phụ 1222 cắt p2 tại hình chiếu bằng I2 của giao điểm I cần tìm. Gióng I2 lên hình chiếu đứng ta có I1 p1. Tương tự, H1 cắt B1C1 và A1C1 lần lượt tại hai điểm 31 và 41. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 32 B2C2 và 42 A2C2. Giao tuyến phụ 3242 cắt q2 tại hình chiếu bằng J2 của giao điểm J cần tìm. Gióng J2 lên hình chiếu đứng ta có J1 q1. Ta có IJ(I1J1, I2J2) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng (p // q) và (ABC). Khi xét sự thấy khuất giữa hai hình phẳng (ABC) và (p // q), ta cần giới hạn lại đoạn giao tuyến thật sự tồn tại, đó là đoạn IK với K = IJ  AC. Áp dụng nguyên tắc xét thấy-khuất cho những điểm đồng tia chiếu đứng và chiếu bằng trên hai hình chiếu, ta thu được kết quả như hình 4-17.

Ví dụ 2: Cho đồ thức của mặt phẳng (a  b) và mặt phẳng (p // q) như hình 4-18. Hãy xác định giao tuyến g của hai mặt phẳng trên. Trong bài toán này, ta cũng áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ trợ để xác định giao tuyến chung của hai mặt phẳng nhưng với nhận xét là các hình chiếu của hai mặt phẳng được biểu diễn rời nhau, do đó cách giải là chọn hai mặt phẳng phụ R và H (chiếu đứng hoặc chiếu bằng) bất kỳ cắt cả hai mp (a  b) và (p // q) lần lượt theo hai cặp giao tuyến phụ.

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 4-18

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 4-19

Từng cặp giao tuyến phụ này giao nhau sẽ xác định được hai giao điểm chính IJ thuộc giao tuyến chính g cần tìm của hai mặt phẳng. (hình 4-20) Như vậy, trên P1, ta gán 2 mp phụ chiếu đứng có hình chiếu đứng là R1 và H1 (hình 4-19). R1 cắt mp (a  b) tại hai điểm 11 a1 và 21 b1. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 12 a2 và 22 b2 . R1 cắt mp (p // q) tại hai điểm 31 p1

Hình 4-20

và 41 q1. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 32 p2 và 42 q2 . Ta có hai giao tuyến phụ 1222  3242 = I2 là giao điểm chính thứ nhất cần tìm. Gióng I2 lên hình chiếu đứng ta có I1  R1. Tương tự, H1 cắt mp (a  b) tại hai điểm 51  b1 và 61  a1. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 52  b2 và 62  a2 . H1 cắt mp (p // q) tại hai điểm 71  p1 và 81  q1. Gióng liên thuộc từ hai điểm này xuống P2 ta được 72  p2 và 82  q2 . Ta có hai giao tuyến phụ 5262  7282 = J2 là giao điểm chính thứ hai cần tìm. Gióng J2 lên hình chiếu đứng ta có I1  H1. Nối I1J1  g1 , I2J2  g2 ta có giao tuyến chính g(g1,g2) cần tìm của hai mp (a  b) và (p // q). (Vì đề bài cho đồ thức của hai mặt phẳng rời nhau nên ta không cần xét thấy-khuất trên các hình chiếu)

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Ví dụ 3: Cho đồ thức của mp (ABC) và mp có hai vết song song P như hình 4-21. Hãy xác định giao tuyến g của hai mặt phẳng trên, xét sự thấy-khuất trên đồ thức.

Hình 4-21

Hình 4-22

Cách giải 3: (hình 4-22) Nhận xét là hai vết của mặt phẳng P song song với trục x (hình 4-21), do đó áp dụng phương pháp hình chiếu thứ ba ta sẽ có được hình chiếu V3P suy biến của mặt phẳng P. Như vậy, trên đồ thức (hình 4-22), ta dựng hệ trục Oxyz biểu diễn mặt phẳng P3 và xác định vết chiếu cạnh suy biến V3P của mặt phẳng P đồng thời xác định hình chiếu thứ ba A3B3C3 của hình phẳng (ABC). Khi đó A3B3 và A3C3 lần lượt giao với hình chiếu suy biến V3P tại hai giao điểm I3 và J3 . Gióng các giao điểm I3 và J3 theo liên thuộc về hình chiếu đứng ta có I1 A1B1, J1 A1C1 . Gióng I1 vàJ1 theo liên thuộc xuống hình chiếu bằng ta có I2 A2B2, J2 A2C2 . Nối I1J1, I2J2 ta có giao tuyến IJ cần tìm của hai mặt phẳng (ABC) và P. Từ hình chiếu thứ ba ta có thể thấy phần hình chiếu B3C3J3I3 của hình phẳng (ABC) nằm ẩn “bên dưới” và “đằng sau” mpP tương ứng với các hướng chiếu S2∞⊥P2 và S1∞⊥P1. Do đó các phần hình phẳng I1J1B1C1 trên hình chiếu đứng và I2J2B2C2 trên hình chiếu bằng sẽ bị mặt phẳng P che khuất. (hình 4-22)

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng được cho như trong các hình vẽ 4-23 abc. Xét sự thấy-khuất giữa đường thẳng và mặt phẳng trên các đồ thức.

Hình 4-23a

Hình 4-23b

Hình 4-23c

Bài 2: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng được cho như trong các hình vẽ 4-24 ab. Xét sự thấy-khuất giữa hai mặt phẳng trên các đồ thức.

Hình 4-24a

Hình 4-24b 86

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Bài 3: Cho đường thẳng p và q chéo nhau và một điểm A có đồ thức như hình vẽ 4-25. Qua A, hãy vẽ đường thẳng d cắt hai đường thẳng chéo nhau p và q. Bài 4: Cho các đường thẳng a, b và c chéo nhau như hình vẽ 4-26. Hãy vẽ đường thẳng m song song với đường thẳng a và cắt hai đường thẳng chéo nhau b và c.

Hình 4-25

Hình 4-26

Bài 5: Cho các đường thẳng a, b, c thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Các đường thẳng này lần lượt cắt nhau từng đôi một tại các điểm I, J, K. Và cho ba điểm A, B, C trong không gian có đồ thức như hình 4-27. Hãy tìm tâm chiếu S trong không gian sao cho các điểm A, B, C qua tâm chiếu S lần lượt được chiếu thành các điểm A’ a, B’ b và C’ c.

Hình 4-27 87

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BAI 5. BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC Khi biểu diễn vật thể trên các hình chiếu, nhằm mục đích tạo cảm giác về chiều sâu không gian, tạo điều kiện để người đọc bản vẽ dễ dàng hình dung lại vật thể với ba chiều kích thước, ta cần vẽ thêm bóng đổ - hình 5-01.

Hình 5-01 Trong thiết kế kiến trúc, bóng đổ còn góp phần tạo nên hiệu quả thẩm mỹ theo ý đồ của kiến trúc sư – hình 5-02.

Hình 5-02- trích từ nguồn dữ liệu trên các trang web kiến trúc 88

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Đối với những ngành nghề như kiến trúc, quy hoạch, nội thất, … người thiết kế cần nắm rõ các phương pháp xác định bóng cũng như hiểu rõ bản chất của việc đổ bóng trên các hình chiếu của vật thể để có thể vận dụng chúng vào thiết kế, làm tăng tính thẩm mỹ cho các sáng tác của mình. 1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ QUY ƯỚC VỀ BÓNG Để việc xác định bóng trên các hình chiếu thẳng góc của vật thể được dễ dàng, người ta đưa ra các quy ước sau đây: -

Nguồn sáng là một điểm S (không xét trường hợp nguồn đường, nguồn mặt hay nguồn khối), điểm này có thể là điểm hữu hạn hoặc là điểm vô tận.

Tia sáng là những đường thẳng xuất phát từ nguồn sáng S và rọi đến vật thể.

Với các quy ước trên, ta có những nhận xét sau: (hình 5-03) -

Bóng của một điểm A do nguồn sáng S gây ra trên mặt P là giao điểm Ab của đường thẳng SA với mặt P.

Bóng của một đường thẳng d do nguồn sáng S gây ra trên mặt P là giao tuyến db của mặt phẳng (S,d) với mặt P.

Hình 5-03

Hình 5-04

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Khi một mặt A được đặt trước một nguồn sáng S thì mặt A sẽ có một phần sáng và một phần tối. Đường ranh giới giữa phần sáng và phần tối trên mặt A được gọi là đường bao bóng bản thân13– hình 5-04. Các tia sáng xuất phát từ nguồn S đến tiếp xúc với mặt A dọc theo đường bao bóng bản thân và tạo thành một mặt nón gọi là mặt nón tia sáng. Giao của mặt nón tia sáng này với một bề mặt P gọi là đường bao bóng đổ của mặt A trên mặt P – hình 5-04. Bóng của mặt A gây ra trên bề mặt P được xác định bởi đường bao bóng đổ. Đường bao bóng đổ cũng có thể xem là bóng của đường bao bóng bản thân. Ta có thể thấy một điểm M thuộc đường bao bóng bản thân a trên mặt A sẽ cho bóng Mb là một điểm thuộc đường bao bóng đổ ab trên bề mặt P. Do đó, nếu biết trước được đường bao bóng bản thân của một bề mặt A thì ta sẽ dễ dàng suy ra được đường bao bóng đổ thuộc bề mặt P và ngược lại.

•

Quy ước về hướng của tia sáng tới:

Trong thực tế, hướng của tia sáng tới sẽ thay đổi qua từng thời điểm khác nhau trong ngày làm cho bóng đổ trên bề mặt đối tượng hình học cũng thay đổi theo. Để vẽ bóng đơn giản và thống nhất trên mọi bản vẽ, ta quy ước chọn hướng của tia sáng tới là hướng của đường chéo hình lập phương có hai mặt song song với các mặt phẳng hình chiếu P1 và P2. Như vậy, nguồn S sẽ là nguồn vô tận phát ra những tia song song theo phương đường chéo hình lập phương quy ước – hình 5-05

Hình 5-05

Trong phần học lý thuyết về bóng đổ này, ta luôn có các đường bóng “sắc nét”, không giống với thực tế - đường phân cách giữa vùng sáng và vùng tối trên các vật thể có mặt cong là một dải chuyển dần từ sáng qua tối. Lý do là chúng ta đã lý tưởng hóa môi trường đổ bóng của vật thể, không xét đến các hiệu ứng phụ như phản quang, phản xạ bề mặt, môi trường có ánh sáng khuếch tán, … 13

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Thông thường, ta hay chọn hướng tia sáng tới là hướng đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của hình lập phương. Ta có các hình chiếu của tia sáng tới đều nghiêng một góc 450 so với trục hình chiếu x – hình 5-05. Gọi  (theta) là góc tạo bởi hướng của tia áng tới với các mặt phẳng hình chiếu, ta có: √2 tang  = . Tra bảng ta có được giá trị góc  = 35015’54”. Ít khi ta dùng thước đo độ để vẽ 2 góc  mà dùng phương pháp dựng hình bằng thước kẻ và compa để thực hiện phép quay xác định góc  như hình minh họa 5-05. 2. BÓNG CỦA MỘT ĐIỂM 2.1. Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng hình chiếu P1 và P2 - loại 1 : Cho điểm A và điểm B có đồ thức như hình vẽ 5-06. Trên hình không gian, ta nhận thấy vị trí Ab và Bb nhận được bằng cách cho một trong các hình chiếu tia sáng s1, s2 đến giao với trục hình chiếu x và gióng vuông góc lên hình chiếu còn lại. Do đó để tìm Ab(A1b,A2b) và Bb(B1b,B2b) trên đồ thức, ta cho các tia s1, s2 nghiên 450 so với x đi qua A(A1,A2) và B(B1,B2). Một trong hai tia này đến giao với trục x và gióng vuông góc lên tia còn lại ta sẽ nhận được các hình chiếu của bóng cần tìm.

Hình 5-06 Ab và Bb có được theo cách xác định như trên được gọi là các giá trị bóng thật. Ngoài bóng thật, ta còn có thể xác định thêm các vị trí Ab(ảo) và Bb(ảo) theo một điều kiện giả định rằng sau khi chạm vị trí của bóng thật, tia sáng tiếp tục đi xuyên qua một trong hai mặt phẳng hình chiếu P1 (hoặc P2) và đến chạm tới mặt phẳng hình chiếu còn lại P2 (hoặc P1) và tạo nên các bóng ảo – hình 5-07

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-07 Ta có nhận xét là bóng thật và bóng ảo (cùng loại, cùng chỉ số) của một điểm thì thẳng hàng theo phương ngang và là bốn đỉnh của hình vuông có các đường chéo là s1 và s2. Bóng ảo luông nằm bên phải của bóng thật. Có thể thấy rằng, về mặt bản chất, bóng thật và ảo của một điểm đổ lên trên các mặt phẳng hình chiếu P1, P2 là vết của đường thẳng14 tia sáng s với các mặt phẳng hình chiếu. 2.2. Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng chiếu đứng và chiếu bằng - loại 2 : Cho điểm A, điểm B và các mặt phẳng vết chiếu đứng Q, mặt phẳng vết chiếu bằng H có đồ Q H thức như hình vẽ 5-08. Trên hình không gian, ta nhận thấy vị trí AQb và Bb chính là giao điểm của đường thẳng tia sáng s với các mặt phẳng Q và H. Q

Ab có các hình chiếu AQ1b = s1  V1Q (hình chiếu suy biến), AQ2b  s2. H

Bb có các hình chiếu B2b = s2  V2H (hình chiếu suy biến), B1b  s1. Q

Do đó để tìm AQb(AQ1b,A2b ) và Bb(B1b,B2b) trên đồ thức, ta cho các tia s1, s2 nghiên 450 so với x Q đi qua A(A1,A2) và B(B1,B2). Một trong các tia này đến giao với hình chiếu (vết) suy biến của mặt phẳng Q, H và gióng vuông góc lên tia còn lại ta sẽ nhận được các hình chiếu của bóng cần tìm. Ta có nhận xét về mặt bản chất, bóng của một điểm đổ lên trên các mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp đặc biệt - có yếu tố suy biến.

Xem lại bài 1-Biểu diễn điểm-đường thẳng-mặt phẳng, mục 7.1-Vết của đường thẳng.

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-08 2.3. Điểm đổ bóng lên một mặt phẳng (nghiêng) bất kỳ - loại 3 :

Hình 5-09 93

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Cho điểm A và một mặt phẳng (nghiêng) bất kỳ Q có đồ thức như hình vẽ 5-09. Trên hình Q không gian, ta nhận thấy vị trí AQb chính là giao điểm của đường thẳng tia sáng s với mặt phẳng Q (Q là một mặt phẳng thường, không có chứa yếu tố suy biến). Q

Trong trường hợp này, muốn xác định các vị trí AQ1b và AQ2b trên đồ thức, ta cần dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ, gán mặt phẳng R chiếu bằng (hoặc chiếu đứng) chứa đường thẳng tia sáng s. Ta có nhận xét về mặt bản chất, bóng của một điểm đổ lên trên một mặt phẳng (nghiêng) bất kỳ chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp tổng quát – không có yếu tố suy biến. 3. BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 3.1. Đoạn thẳng đổ bóng lên cùng một mặt phẳng : Để tìm bóng của một đoạn thẳng AB, ta chỉ cần đổ bóng hai điểm đầu mút A và B của đoạn thẳng đó. Trong trường hợp hai điểm bóng Ab và Bb nằm trên cùng một mặt phẳng thì ta có thể nối chúng lại với nhau để được bóng AbBb của cả đoạn thẳng.

Hình 5-10 Hình 5-10 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên cùng một mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (tương tự cho trường hợp mặt phẳng hình chiếu bằng P2). Trên đồ thức, ta chỉ cần xác định vị trí Ab(A1b,A2b) và Bb(B1b,B2b) theo bóng đổ loại 1. Nối A1bB1b và A2bB2b ta có được các hình chiếu là bóng của đoạn thẳng AB cần tìm. Hình 5-11 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên cùng một mặt phẳng chiếu bằng Q (tương tự cho trường hợp mặt phẳng chiếu đứng) . Trên đồ thức, ta chỉ cần xác định vị trí Q Q Q Q Q Q Q Q Ab(A1b,A2b) và Bb(BQ1b,B2b) theo bóng đổ loại 2. Nối A1bB1b và A2bBQ2b ta có được các hình chiếu là bóng của đoạn thẳng AB cần tìm.

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-11 Hình 5-12 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên cùng một mặt phẳng nghiêng (bất Q

kỳ) Q dạng vết. Trên đồ thức, ta chỉ cần xác định vị trí Ab(A1b,A2b) và Bb(B1b,B2b) theo bóng đổ Q Q Q loại 3 - dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Nối A1bB1b và AQ2bB2b ta có được các hình chiếu là bóng của đoạn thẳng AB cần tìm.

Hình 5-12

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH 3.2. Đoạn thẳng đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng : Để tìm bóng của một đoạn thẳng AB trong trường hợp các điểm bóng Ab và Bb nằm trên hai mặt phẳng khác nhau, ta cần xác định thêm bóng ảo của một trong hai điểm A (hoặc B) sao cho điểm bóng ảo đó nằm trên cùng một mặt phẳng với điểm bóng thật còn lại B (hoặc A) – Hình 5-13. P

Nối các điểm bóng Ab(ảo)Bb (thật và ảo) có cùng chỉ số (xét trên các hình chiếu) và thuộc cùng một mặt phẳng lại với nhau ta có được một phần đoạn bóng thật cần xác định của đoạn thẳng AB (trên mặt phẳng P). Xác định giao điểm I của đoạn bóng P P Hình 5-13 Ab(ảo)Bb vừa nối với giao tuyến chung g Q của hai mặt phẳng nhận bóng, nối điểm I với điểm bóng thật còn lại Ab ta được phần bóng thật của đoạn thẳng AB nằm trên mặt phẳng Q cần tìm – Hình 5-13. Hình 5-14 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng hình chiếu P1 và P2. Điểm A đổ bóng lên P2 ta có Ab  A2b. Điểm B đổ bóng lên P1 ta có Bb  B1b. Vì các điểm bóng này không thuộc cùng một mặt phẳng nên ta cần tìm thêm một điểm bóng ảo là B2b(ảo) của điểm B thuộc mặt phẳng P2. Ta có A2b và B2b (ảo) thuộc cùng một mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và có cùng chỉ số nên có thể nối lại được đoạn bóng A2bB2b(ảo). Ta có A2bB2b(ảo)  x = I (I1b  I2b). Nối I1b về B1b ta có được phần bóng còn lại cần tìm của đoạn thẳng AB rớt trên mặt phẳng hình chiếu đứng P1.

Hình 5-14

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-15 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và mặt phẳng chiếu bằng Q. Điểm A đổ bóng lên P2 ta có Ab(A1b,A2b) là bóng đổ loại 1. Q

Điểm B đổ bóng lên mặt phẳng Q ta có Bb(B1b,B2b) là bóng đổ loại 2. Vì các điểm bóng này không thuộc cùng một mặt phẳng nên ta cần tìm thêm một điểm bóng ảo là B2b(ảo) của điểm B thuộc mặt phẳng P2. Ta có A2b và B2b (ảo) thuộc cùng một mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và có cùng chỉ số nên có Q

thể nối lại được đoạn bóng A2bB2b(ảo). Ta có A2bB2b(ảo)  V2Q = I2b, gióng I2b lên x ta có I1b. Nối Q Q Q Q A2bI2bB2b và A1bI1bB1b ta có được các đoạn bóng cần tìm của đoạn thẳng AB.

Hình 5-15

Hình 5-16

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-16 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và mặt phẳng vết H (bất kỳ). Điểm A đổ bóng lên P2 ta có Ab(A1b,A2b) là bóng đổ loại 1. H

Điểm B đổ bóng lên mặt phẳng H ta có Bb(B1b,B2b) là bóng đổ loại 3. Vì các điểm bóng này không thuộc cùng một mặt phẳng nên ta cần tìm thêm một điểm bóng ảo là B2b(ảo) của điểm B thuộc mặt phẳng P2. Ta có A2b và B2b (ảo) thuộc cùng một mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và có cùng chỉ số nên có H H thể nối lại được đoạn bóng A2bB2b(ảo). Ta có A2bB2b(ảo)  V2H = I2b , gióng I2b lên x ta có có I1b. H H H H Nối A2bI2bB2b và A1bI1bB1b ta có được các đoạn bóng cần tìm của đoạn thẳng AB. H

3.3. Các nguyên tắc đổ bóng của một đoạn thẳng dưới nguồn S∞ : Thay vì đổ bóng từng điểm trên một đối tượng hình học cho trước để xác định bóng của nó, ta áp dụng các tính chất của nguồn S∞ (phát ra tia song song) để việc đổ bóng của đối tượng hình học này được thực hiện nhanh chóng và dễ dàng hơn. P

Nguyên tắc 1: Đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng P sẽ có bóng đổ AbBb trên mặt phẳng P song song và có độ dài bóng bằng với chính nó – hình 5-17a. P

Hệ quả : Hình phẳng A song song với mặt phẳng P sẽ có bóng đổ Ab trên mặt phẳng P song song và có diện tích SAb bằng với chính nó – hình 5-17b.

Hình 5-17a

Hình 5-17b

Nguyên tắc 2: Đoạn thẳng AB và CD song song nhau và cùng đổ bóng lên mặt phẳng P thì P

bóng đổ của chúng là AbBb và CbDb trên mặt phẳng P cũng song song nhau – hình 5-18.

Hình 5-18

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH Nguyên tắc 3: Đoạn thẳng AIB đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng P và Q song song nhau. AI đổ bóng lên P và IB đổ P P

bóng lên Q. Khi đó ta có AbIb và IbBb sẽ song song nhau – hình 5-19. Nguyên tắc 4: I là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng P. Xét trường hợp AB đổ bóng lên P, Khi đó, ta có I  P Ib – hình 5-20. Hình 5-19 Nguyên tắc 5: Trên các hình chiếu thẳng góc, bóng của đường thẳng chiếu đứng và đường thẳng chiếu bằng đều là những đường thẳng nghiêng 450 so với trục hình chiếu x. Bất kể bề mặt nhận bóng là phẳng, cong hay gấp khúc – hình 5-21.

Hình 5-20

Hình 5-21 Trong hình không gian ta có thể thấy các đường bóng đổ của AB và CD gãy khúc theo các bề mặt gồ ghề, tuy nhiên, khi nhìn ở các hướng chiếu thẳng góc trên đồ thức, các đường bóng gãy khúc này bị suy biến thành những đường thẳng và nghiêng một góc 450 so với trục hình chiếu x.

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH 4. BÓNG CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC CƠ BẢN 4.1. Bóng của khối hộp

Trong trường hợp cả khối hộp chỉ đổ bóng lên mặt đất – hình 5-22 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng của cả khối hộp, ta chỉ cần đổ bóng của một điểm A thuộc mặt nắp trên của hộp và áp dụng hệ quả của nguyên tắc 1 (bóng đổ của mặt nắp trên hộp có diện tích và hình dạng giống với chính nó). Sau khi có bóng đổ của nắp hộp, ta nối các đỉnh của bóng nắp hộp về các điểm chân hộp và lấy đường viền ngoài của bóng ta có toàn bộ bóng cần tìm.

Hình 5-22

Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – hình 5-23 (bóng đổ loại 1 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng của cả khối hộp, ta chỉ cần đổ bóng của các điểm A,B,C thuộc mặt nắp trên của hộp. Áp dụng thêm nguyên tắc 1 cho các đoạn thẳng đổ bóng lên mặt phẳng song song với chúng ta có được bóng cần tìm.

Hình 5-23 100

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – hình 5-24 (bóng đổ loại 1 và loại 3 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối hộp, ta cũng tìm bóng của các điểm A,B,C thuộc mặt nắp trên của hộp trên mặt phẳng nghiêng. Áp dụng nguyên tắc 5 cho các đoạn thắng chiếu bằng đi qua các điểm A,B,C ta có bóng của khối hộp trên hình chiếu bằng. Từ vị trí các giao P

điểm của cạnh viền bóng C2C2b và A2A2b với vết bằng V2P, gióng lên trục x và nối về C1b và P A1b ta có bóng của khối hộp trên hình chiếu đứng.

Hình 5-24 4.2. Bóng của khối trụ

Hình 5-25 Trong trường hợp cả khối trụ chỉ đổ bóng lên mặt đất – hình 5-25 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng của cả khối trụ, ta chỉ cần đổ bóng của một điểm O là tâm của mặt nắp trên của khối trụ và áp dụng hệ quả của nguyên tắc 1 (bóng đổ của mặt nắp trên khối trụ có diện tích và hình dạng giống với chính nó). 101

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Sau khi có bóng đổ của nắp trụ, ta vẽ hai đường thẳng tiếp xúc từ bóng nắp trụ về đáy trụ và lấy đường viền ngoài của bóng ta có toàn bộ bóng đổ cần tìm. Tại vị trí các tiếp điểm chân bóng của đáy trụ trên hình chiếu bằng, gióng vuông góc lên hình chiếu đứng ta được hai đường bao bóng bản thân của khối trụ. Nhận xét là vị trí các tiếp điểm này nằm trên đường thẳng nghiêng 450 so với x và vuông góc với hướng tia sáng tới.

Hình 5-26

Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – hình 5-26 (bóng đổ loại 1 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng của cả khối trụ, trước tiên ta cần xác định lại các đường bao bóng bản thân của khối trụ. Trên hình chiếu bằng, qua tâm O2 vẽ đường thẳng nghiêng 450 so với x và vuông góc với hướng tia sáng tới. Đường thẳng này cắt đường tròn đáy trụ tại 2 tiếp điểm 12 và 32. Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên hình chiếu đứng ta có các đường bao bóng bản thân của khối trụ có đỉnh là 11 và 31. Chọn thêm một điểm 2(21,22) thuộc mặt nắp trụ như hình vẽ. Đổ bóng (loại 1) cả ba điểm 1,2,3 lên mặt vách và nối lại ta có phần bóng phía trên của mặt trụ là một cung elip. Theo nguyên tắc 1, tại vị trí 11b và 31b ta có bóng của mặt trụ là 2 cạnh song song vuông góc x. Theo nguyên tắc 5, trên hình chiếu bằng, qua các điểm 12 và 32, ta có bóng của mặt trụ là hai đường nghiêm 450 so với x. Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – hình 5-27 (bóng đổ loại 1 và loại 3 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối trụ, trước tiên ta cũng cần xác định các đường bao bóng bản thân đi qua điểm 1 và 3 của khối trụ và chọn thêm một điểm 2(21,22) thuộc mặt nắp trụ như hình vẽ. Đổ bóng (loại 3) cả ba điểm 1,2,3 lên mặt vách nghiêng và nối lại ta có phần bóng phía trên của mặt trụ là một cung elip. Q

Theo nguyên tắc 5, trên hình chiếu bằng, nối các điểm 1212b và 3232b, ta có đường bao bóng đổ của mặt trụ là hai đường nghiêm 450 so với x.

102

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH Q

Từ vị trí cắt nhau của các đường bóng 1212b và 3232b với vết V2Q, gióng lên x và nối về các Q Q điểm bóng tương ứng trên hình chiếu đứng là 11b và 31b ta được toàn bộ bóng đổ và bóng bản thân cần tìm của khối trụ.

Hình 5-27 4.3. Bóng của khối nón

Hình 5-28

103

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trong trường hợp cả khối nón chỉ đổ bóng lên mặt đất – hình 5-28 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng đổ của cả khối nón, ta chỉ cần đổ bóng của đỉnh nón S. Kẻ các đường tiếp xúc từ điểm bóng của đỉnh nón S2b về đáy nón ta được bóng đổ của khối nón trên hình chiếu bằng. Từ hai vị trí tiếp điểm vừa tìm của đường bao bóng đổ với đáy nón trên hình chiếu bằng, gióng lên trục x và nối về đỉnh nón S1 trên hình chiếu đứng ta có được đường bao bóng bản thân của khối nón. Lưu ý : Tùy vào góc nghiêng α của đường sinh mặt nón với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 mà ta có phần bóng đổ và bóng bản thân của mặt nón thay đổi theo. - Nếu α <  : Toàn bộ mặt nón được chiếu sáng và không có bóng - hình 5-29a. - Nếu α =  : Ta quy ước bóng của đỉnh nón rơi ngay trên đáy nón (mặt nón không có bóng đổ) và đường bao bóng bản thân của khối nón là một đường kẻ duy nhất từ đỉnh nón S về điểm bóng Sb trên đáy nón – hình 5-29b. Mặt nón này còn có tên gọi là mặt nón giới hạn, vì các mặt nón có góc α >  sẽ bắt đầu có bóng đổ. - Nếu α = 450 : Mặt nón có các đường bao bóng đổ và bóng bản thân là những đường thẳng nằm ngang và vuông góc x và chắn đúng một phần tư đường tròn (phần tư phía trên bên phải của mặt nón trên hình chiếu bằng) – hình 5-29c.

Hình 5-29a

Trong trường hợp mặt nón úp ngược, phần bóng bản thân của những mặt nón có góc nghiêng α >  sẽ ngược lại với phần bóng của bản thân của mặt nón bình thường – hình 5-30.

Hình 5-29b

Hình 5-29c

Hình 5-30 104

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trong trường hợp cả khối nón đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau – hình 5-31 (bóng đổ loại 1 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và mặt phẳng hình chiếu bằng P2), để tìm bóng đổ của cả khối nón, ta cần tìm bóng đổ thật của đỉnh nón S1b rớt trên mặt phẳng P1 và bóng đổ ảo S2b (ảo) của đỉnh nón rớt trên mặt phẳng P2 . Trên hình chiếu bằng, nối các đường bao bóng đổ của khối nón từ đỉnh S2b (ảo) về tiếp xúc đáy nón. Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên x và nối về đỉnh S1 ta được các đường bao bóng bản thân của khối nón trên hình chiếu đứng. Trên hình chiếu bằng, từ vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với trục hình chiếu x, nối về đỉnh bóng thật S1b trên hình chiếu đứng ta được phần bóng đổ còn lại của khối nón.

Hình 5-31

Trong trường hợp khối nón đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau – hình 5-32 (bóng đổ loại 1 và loại 3 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2 và mặt phẳng nghiêng bất kỳ), để tìm bóng của cả khối nón, trước tiên ta cũng cần xác định bóng đổ thật Q

của đỉnh nón Sb(S1b,S2b) rớt trên mặt phẳng nghiêng Q (loại 3) và bóng đổ ảo S2b (ảo) (loại 1) của đỉnh nón rớt trên mặt phẳng P2 . Trên hình chiếu bằng, nối các đường bao bóng đổ của khối nón từ đỉnh S2b (ảo) về tiếp xúc đáy nón. Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên x và nối về đỉnh S1 ta được các đường bao bóng bản thân của khối nón trên hình chiếu đứng. Trên hình chiếu bằng, từ vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với vết Q V2Q, nối về đỉnh bóng thật S2b ta được phần bóng đổ của khối nón trên hình chiếu bằng. Cũng từ vị trí các giao điểm của hai đường bao bóng đổ của mặt nón với vết V2Q, gióng vuông góc

105

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH Q

lên trục hình chiếu x và nối về đỉnh bóng thật S1b ta được phần bóng đổ của khối nón trên hình chiếu đứng.

Hình 5-32

4.4. Bóng của khối cầu Trong trường hợp cả khối cầu chỉ đổ bóng lên mặt đất – hình 5-33 (bóng đổ loại 1 – đổ lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2). Ta có thể xem bóng đổ của mặt cầu là giao tuyến của mặt trụ tia sáng (bao quanh mặt cầu) với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Như vậy, giao tuyến bóng đổ này là một elip eb. Mặt trụ tia sáng bao quanh mặt cầu sẽ tiếp xúc với mặt cầu theo một đường tròn, đường tròn này cũng chính là đường bao bóng bản thân của mặt cầu e.

Hình 5-33 Để xác định các đường bao bóng bản thân e và đường bao bóng đổ eb của mặt cầu được dễ dàng, ta thực hiện phép thay mặt

106

HĂ&#x152;NH Háť&#x152;C Háť&#x152;A HĂ&#x152;NH

CHUYĂ&#x160;N NGĂ&#x20AC;NH KIáşžN TRĂ&#x161;C

pháşłng hĂŹnh chiáşżu Ä&#x2018;áťŠng sao cho Pâ&#x20AC;&#x2122;1 song song váť&#x203A;i hĆ°áť&#x203A;ng tia sĂĄng â&#x20AC;&#x201C; hĂŹnh 5-34. NhĆ° váşy, trong háť&#x2021; tháť&#x2018;ng máť&#x203A;i nĂ y, tia sĂĄng sáş˝ lĂ nháťŻng Ä&#x2018;Ć°áť?ng tháşłng máşˇt vĂ nghiĂŞng váť&#x203A;i tráťĽc xâ&#x20AC;&#x2122; máť&#x2122;t gĂłc ď ą. BĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; e2b cáť§a máşˇt cáş§u lĂ máť&#x2122;t elip cĂł tĂ˘m O2b lĂ bĂłng (loáşĄi 1) cáť§a tĂ˘m cáş§u, cĂł tráťĽc ngáşŻn CD vuĂ´ng gĂłc váť&#x203A;i hĆ°áť&#x203A;ng tia sĂĄng táť&#x203A;i vĂ cĂł Ä&#x2018;áť&#x2122; dĂ i báşąng hai láş§n bĂĄn kĂnh r cáť§a máşˇt cáş§u. TráťĽc dĂ i AB cáť§a elip trĂšng váť&#x203A;i hĆ°áť&#x203A;ng tia sĂĄng táť&#x203A;i vĂ cĂł Ä&#x2018;áť&#x2122; dĂ i đ?&#x2018;&#x; báşąng 2a (váť&#x203A;i a = xĂŠt đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192; trong tam giĂĄc vuĂ´ng cĂ˘n IJK). TáťŤ hĂŹnh chiáşżu Ä&#x2018;áťŠng máť&#x203A;i cáť§a máşˇt cáş§u, báşąng liĂŞn thuáť&#x2122;c ta cĹŠng xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh Ä&#x2018;Ć°áťŁc láş§n lĆ°áťŁt cĂĄc Ä&#x2018;Ć°áť?ng bao bĂłng báşŁn thĂ˘n cáť§a máşˇt cáş§u lĂ e2 trĂŞn hĂŹnh chiáşżu báşąng vĂ e1 trĂŞn hĂŹnh chiáşżu Ä&#x2018;áťŠng. Ta sáş˝ cháťŠng minh CĂĄc Ä&#x2018;áş§u mĂşt tráťĽc ngáşŻn vĂ tráťĽc dĂ i cáť§a elip bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; khi náť&#x2018;i láşĄi sáş˝ táşĄo thĂ nh cĂĄc tam giĂĄc Ä&#x2018;áť u.

HĂŹnh 5-34

TrĂŞn hĂŹnh 5-34, xĂŠt tam giĂĄc BDC, tam giĂĄc nĂ y cĂł Ä&#x2018;Ć°áť?ng cao O2bB = a, cĂł Ä&#x2018;ĂĄy CD = 2r. TrĆ°áť&#x203A;c tiĂŞn ta cĂł nháşn xĂŠt Ä&#x2018;Ă˘y lĂ máť&#x2122;t tam giĂĄc cĂ˘n táşĄi Ä&#x2018;áť&#x2030;nh B (do tĂnh Ä&#x2018;áť&#x2018;i xáťŠng cáť§a elip). GĂłc đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; Ě&#x201A; = 2Îą. TáťŤ tam giĂĄc vuĂńg O2bBD ta cĂł tgÎą = , táťŤ tam giĂĄc vuĂńg IJK ta láşĄi cĂł sinď ą = đ??śđ??ľđ??ˇ đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x; 1 . NhĆ° váşy, ta cĂł tgÎą = sinď ą = . Váť&#x203A;i gĂłc ď ą Ä&#x2018;ĂŁ biáşżt ta tĂnh Ä&#x2018;Ć°áťŁc sinď ą = tgÎą = ď&#x192;&#x17E; Îą = 300 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;3 Ě&#x201A; = 2Îą = 600. NhĆ° váşy tam giĂĄc CDB lĂ máť&#x2122;t tam giĂĄc Ä&#x2018;áť u. vĂ GĂłc đ??śđ??ľđ??ˇ TáťŤ cháťŠng minh trĂŞn, ta cĂł cĂĄch váş˝ bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; cáť§a máşˇt cáş§u gáť?n hĆĄn nhĆ° sau : XĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh bĂłng cáť§a tĂ˘m cáş§u O2b (hoáşˇc O1b cho trĆ°áť?ng háťŁp máşˇt cáş§u Ä&#x2018;áť&#x2022; bĂłng lĂŞn P1). qua O2b dáťąng tráťĽc ngáşŻn elip vuĂńg gĂłc hĆ°áť&#x203A;ng tia sĂĄng vĂ cĂł Ä&#x2018;áť&#x2122; dĂ i báşąng 2r. Ä?áť&#x192; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh tráťĽc dĂ i cáť§a elip, táťŤ 2 Ä&#x2018;áş§u mĂşt cáť§a tráťĽc ngáşŻn, ta dáťąng cĂĄc gĂłc 600 cáť§a tam giĂĄc Ä&#x2018;áť u Ä&#x2018;áşżn cáşŻt tráťĽc dĂ i táşĄi váť&#x2039; trĂ cĂĄc Ä&#x2018;áş§u mĂşt cĂ˛n láşĄi cáş§n tĂŹm.

107

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Đối với các đường bao bóng bản thân e1, e2 của mặt cầu. Tương tự như trên, người ta cũng chứng minh được các đầu mút trục ngắn và trục dài của elip bóng bản thân sẽ tạo thành các tam giác đều và cách xác định nhanh các đường bóng này hoàn toàn giống cách xác định đường bao bóng đổ của mặt cầu. Ta sẽ ứng dụng cách xác định nhanh bóng của mặt cầu như trên vào trường hợp mặt cầu đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm ngang phía sau – hình 5-35 (bóng đổ loại 1 - đổ lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và và mặt phẳng hình chiếu bằng P2). Trước tiên ta cần xác định O2b thật và O1b (ảo) là bóng của tâm mặt cầu. Để vẽ bóng đổ của mặt cầu trên hình chiếu bằng, qua tâm O2b, ta dựng trục ngắn của elip vuông góc hướng tia sáng và có độ dài bằng 2r. Dựng trục dài elip qua tâm O2b theo hướng tia sáng và có các đầu mút được xác định bằng góc 600 của các tam giác đều như hình vẽ. Dựng elip bóng đổ của mặt cầu qua các đầu mút của trục dài và trục ngắn. Với cách làm tương tự cho bóng đổ của Hình 5-35 mặt cầu trên hình chiếu đứng, ta xác định được elip với tâm O1b (ảo). Hai elip bóng đổ của mặt cầu trên các hình chiếu giao nhau tại hai điểm trên trục hình chiếu x. Tổng hợp phần bóng chung của 2 elip như trên hình vẽ ta được toàn bộ bóng đổ của mặt cầu lên trên các mặt phẳng hình chiếu. Để xác định các elip bóng bản thân của mặt cầu trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, ta cũng áp dụng cách làm tương tự của elip bóng đổ với lưu ý rằng ta có trục dài của elip trước tiên, sau đó vận dụng một nữa góc 600 của tam giác đều (góc 300) để đi tìm 2 điểm đầu mút trên trục ngắn. Ngoài ra ta cũng có thể tìm thêm 4 điểm phụ trợ thuộc elip bằng các đường gióng đứng và ngang từ 2 điểm đầu mút trục dài elip đến giao với trục đứng và ngang của mặt cầu. Cách trình bày được chỉ rõ như trên hình vẽ 5-35.

108

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

5. CÁC PHƯƠNG PHÁP VẼ BÓNG THƯỜNG DÙNG TRONG KIẾN TRÚC 5.1. Phương pháp mặt trụ và mặt nón tiếp xúc Đối với mặt trụ và mặt nón, việc tìm bóng bản thân của các khối hình học này trên hình chiếu đứng có thể được xác định bằng phương pháp dựng hình đặc trưng mà không cần dùng đến hình chiếu bằng. Hình 5-36a chỉ rõ cách xác định bóng bản thân của khối trụ trên hình chiếu đứng - Dựng nữa đường tròn tâm đặt tại điểm 1 trên đáy trụ và có bán kính bằng với bán kính của mặt trụ. Từ vị trí điểm 1 trên đáy trụ, ta vẽ hai đường 12 và 13 nghiêng 450 so với phương ngang và đến cắt nữa đường tròn vừa dựng. Từ các giao điểm 2 và 3, ta gióng vuông góc lên đáy trụ và xác định được vị trí 2 đường bao bóng bản thân của mặt trụ tại đó. Nhận xét là các điểm xác định bóng bản thân của mặt trụ có tỉ lệ chia đoạn thẳng là 7-3 tính từ tâm trụ ra ngoài. Ta cũng có thể xác định các đường bao bóng bản thân của mặt trụ bằng cách dựng tam giác vuông cân (như chỉ rõ trên hình vẽ nắp trên của mặt trụ).

Hình 5-36a

Hình 5-36b

Hình 5-36c

Hình 5-36bc chỉ rõ cách xác định bóng bản thân của khối nón thuận và nghịch trên hình chiếu đứng – Từ tâm 0 trên đáy nón, dựng nữa đường tròn có bán kính bằng bán kính đáy nón. Từ điểm 1- đỉnh của nữa đường tròn, dựng đường thẳng song song với cạnh biên của mặt nón (có góc nghiêng α so với phương ngang) đến cắt đáy nón tại vị trí điểm 2. Từ vị trí điểm 2, dựng các đường thẳng 23 và 24 nghiêng 450 so với phương ngang và đến giao với đường tròn vừa dựng. Từ các giao điểm 3 và 4 trên đường tròn, gióng vuông góc lên đáy nón và nối về đỉnh nón S1 ta xác định được các đường bao bóng bản thân của mặt nón.

109

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Từ cách xác định bóng bản thân của khối trụ và khối nón như trên, ta đề xuất phương pháp mặt tiếp xúc dùng để xác định bóng bản thân của các vật thể có dạng tròn xoay như hình 537.

Hình 5-37a (hình chiếu thẳng góc)

Hình 5-37b (hình không gian)

Đặt các mặt nón và mặt trụ tiếp xúc với mặt tròn xoay sao cho trục của các mặt nón và mặt trụ trùng với trục của mặt tròn xoay. Khi đó mặt trụ sẽ tiếp xúc với mặt tròn xoay theo một đường tròn vĩ tuyến (chỗ phình to nhất của mặt tròn xoay). Vị trí hai đường bao bóng bản thân của mặt trụ sẽ cắt đường tròn vĩ tuyến này tại hai điểm thuộc đường bao bóng bản thân của mặt tròn xoay. Đối với các mặt nón tiếp xúc, đường giao tuyến (tiếp xúc) với mặt tròn xoay chính là các đường tròn đáy nón. Vị trí chân các đường bao bóng bản thân của mặt nón (nằm trên đáy nón) cũng chính là các điểm thuộc đường bao bóng bản thân của mặt tròn xoay. Ta dùng các mặt nón đặc biệt như mặt nón có góc nghiên 450 giúp xác định các điểm chuyển thấy-khuất và dùng mặt nón có góc nghiên  giúp xác định các điểm cao nhất và thấp nhất trên đường bao bóng bản thân của mặt tròn xoay. 5.2. Phương pháp mặt phẳng cắt phụ trợ Giả sử cần đổ bóng của mặt A lên mặt B như hình 5-38, Với nguồn S∞ ta có đường bao bóng bản thân trên mặt A là a và đường bao bóng bản thân trên mặt B là b. Dùng mặt phẳng phụ trợ P có phương song song với tia sáng tới cắt mặt A theo giao tuyến  và cắt mặt B theo giao tuyến . Dễ thấy rằng Các tiếp điểm I, J của tia sáng tới với giao tuyến  thuộc đường bao bóng bản thân a của mặt A. Các tiếp điểm M, N của tia sáng tới với giao tuyến  thuộc đường bao bóng bản thân b của mặt B.

110

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH Các điểm Ib, Jb trên giao tuyến  cũng là các điểm thuộc đường bao bóng đổ ab của mặt A rớt lên trên mặt B. Do đó nếu dùng lần lượt nhiều mặt phẳng cắt song song với hướng tia sáng như P ta sẽ thu được nhiều điểm thuộc đường bao quanh bóng bản thân của hai mặt A, B và nhiều điểm bóng đổ của mặt A lên mặt B.

Hình 5-38

Cách chọn các mặt phẳng cắt P theo phương tia sáng như trên có thể tìm được các điểm bóng đổ của mặt A lên mặt B một cách trực tiếp và nhanh chóng. Tuy nhiên, thường thì các giao tuyến phụ  và  của mặt phẳng cắt P với các bề mặt A và B là phức tạp và khó xác định chính xác. Do đó, người ta thường chọn các mặt phẳng phụ song song nhau R, H, Q, … cắt qua bề mặt nhận bóng đổ B sao cho các lát cắt giao tuyến  = R  B,  = H  B,  = Q  B, … là các đường dễ xác định (trên các hình chiếu) như đường thẳng, đường tròn. Đổ bóng mặt A lần lượt lên các mặt phẳng cắt R, H, Q, …ta có các bóng (ảo) của A cắt các giao tuyến , , , … lần lượt tại các điểm bóng thật trên bề mặt B. Nối các điểm bóng thật này lại ta có được đường bao bóng đổ ab cần tìm của mặt A rớt lên mặt B – Hình 5-39.

Hình 5-39 111

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH 5.3. Phương pháp tia ngược

Để tìm bóng đổ của một mặt A lên một mặt B, trong trường hợp tìm bóng đổ trực tiếp là phức tạp, ta có thể chọn cách đổ bóng gián tiếp cả hai mặt A và B lên một mặt thứ ba C bất kỳ (thường là mặt phẳng) sao cho bóng đổ của A và B lên mặt C là đơn giản và dễ tìm. Từ phần chung và giao nhau của Ab và Bb trên mặt C, bằng tính chất liên thuộc và áp dụng các C

tia gióng ngược hướng tia sáng trở về lại mặt nhận bóng B, ta có được bóng đổ aBb cần tìm của mặt A lên mặt B – hình 5-40.

Hình 5-40 6. BÓNG ĐỔ CỦA CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC 6.1. Bóng của mái nhà lên mặt đất. Xét trường hợp đổ bóng của một ngôi nhà nhỏ như hình 5-41. Vì các điểm của mái đổ bóng lên mặt đất (lên mặt phẳng hình chiếu bằng P2) nên đây là trường hợp của bóng đổ loại 1. Chọn đổ bóng phần đầu hồi phía sau của nhà với các điểm 4, 5, 6. Ta có dạng bóng đổ 4242b52b62b62. Nhận xét là phần đầu hồi phía trước của nhà (123) song song và có hình dạng giống với phần hình dạng đầu hồi phía sau nhà. Do đó, theo hệ quả của nguyên tắc 1 - đổ bóng đoạn thẳng, ta có phần bóng đổ của đầu hồi phía trước nhà 1212b(ảo)22b(ảo)32b32 hoàn toàn giống với phần bóng đổ 4242b52b62b62 của phần đầu hồi phía sau nhà. Hình 5-41 112

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Nối các điểm bóng của các cạnh mái nhà song song mặt đất 12b(ảo)42b, 22b(ảo)52b, 32b62b và lấy đường (viền ngoài) bao bóng đổ 4242b52b62b32b32 ta được phần bóng đổ của toàn bộ ngôi nhà xuống mặt đất. Vì đường bao bóng đổ là bóng của đường bao bóng bản thân trên vật thể nên ta suy ra các đoạn thẳng 45,56,63 và hai đoạn thẳng chiếu bằng tại vị trí 3 và 4 sẽ là các đoạn đường bao bóng bản thân của ngôi nhà. Trên hình chiếu đứng, mặt bên chứa cạnh 3161 của ngôi nhà và mặt đầu hồi phía sau được tô bóng bản thân. Lưu ý, trong trường hợp này, mặt mái nghiêng (2563) của ngôi nhà hoàng toàn được chiếu sáng. Ta có thể nhận biết được mặt nghiêng (2563) của mái nhà có bóng bản thân hay không bằng cách quan sát bóng đổ của ngôi nhà trên mặt đất – hình 5-42. Nếu phần bóng đỉnh mái tại đầu hồi phía sau (điểm bóng 52b) gãy khúc thì mặt nghiêng (2563) của mái nhà không có bóng bản thân. Ngược lại, nếu không có đoạn gãy khúc thì mặt nghiêng (2563) của mái nhà có bóng bản thân. 6.2. Bóng của ống khói và cửa sổ mái trên mái nghiêng.

Hình 5-42

Cho ống khói trên mái nhà có đồ thức thẳng góc như hình 5-44. Để tìm bóng đổ của ống khói lên mái nhà nghiêng (M), ta cần đổ bóng các điểm 1, 2, 3 thuộc mặt nắp trên của ống khói xuống mái nhà. Đây là bóng đổ loại 3 – điểm đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng.

Hình 5-43 113

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Trước tiên cần xác định M bóng đổ của điểm 3 là 3b bằng phương pháp gán mặt phẳng phụ trợ R chiếu bằng chứa tia sáng như M hình minh họa 5-43. Nối 3b về chân của ống khói đường thẳng chiếu bằng có đỉnh là điểm số 3. Hình 5-44

Nhận xét là trên hình chiếu

đứng, bốn đường thẳng chiếu bằng là các cạnh của ống khói (có các đỉnh 1, 2, 3, 4) đều song song nhau nên theo nguyên tắc 2 – đổ bóng của đoạn thẳng, ta có bóng của các đoạn thẳng Hình 5-44 này đều song song nhau, hơn nữa chúng đều nghiêng một góc  so với phương ngang (đây cũng là góc nghiêng hợp bởi các mặt phẳng mái nhà với mặt đất). Dựa vào nhận xét trên, ta có thể xác định bóng đổ của các điểm còn lại là 1, 2 trên hình chiếu đứng bằng cách vẽ từ chân của các cạnh ống khói có đỉnh là điểm tương ứng một đường nghiêng góc  so với phương ngang và cắt các tia s1 (nghiêng 450) từ điểm đó xuống tại các M M M M M M ví trí bóng 11b và 21b cần xác định. Có 11b và 21b , ta dễ dàng xác định được 12b và 22b trên hình chiếu bằng. M

Nối các điểm chân ống khói trên mái nhà về các điểm bóng 1b, 2b và 3b như hình 5-44 ta có được bóng đổ cần tìm của ống khói lên mái nhà nghiêng. Với nhận xét : bóng đổ của các đường thẳng chiếu bằng trên mái nhà nghiêng một góc  so với mặt đất cũng là những đường thẳng nghiêng một góc  so với phương ngang trên hình chiếu đứng, ta có thể vận dụng vẽ bóng của các dạng ống khối và cửa sổ mái trên hình chiếu đứng mà không cần phải có hình chiếu bằng. Các ví dụ minh họa trên hình 5-45, 5-46, 5-47, 5-48 chỉ rõ cách vẽ bóng của các dạng ống khối và cửa sổ mái trên mái nhà nghiêng.

Hình 5-45

Hình 5-46 114

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-47

Hình 5-48

6.3. Bóng của tam cấp – cầu thang Xét tam cấp có đồ thức được cho như hình 5-49. Tam cấp này có hai vùng bóng đổ, một vùng do phần lan can đổ xuống bậc thang phía bên trái và một phần do bậc thang đổ xuống mặt đất và vách tường phía sau ở bên phải. Xét phần bóng đổ của bậc thang xuống mặt đất. Ta chọn đổ bóng – loại 1 các điểm 1, 2, 3 được các điểm 1b, 2b, 3b. Tại mỗi vị trí ở các điểm bóng này, ta có phần bóng của một đường thẳng chiếu bằng (cạnh đứng đối bậc) có bóng nghiêng 450 trên hình chiếu bằng.

Hình 5-49

Và bóng của một đường thẳng chiếu đứng (cạnh rìa mặt bậc) có bóng song song chính nó trên hình chiếu bằng. Đường thẳng chiếu đứng 3I một phần đổ bóng lên mặt đất, một phần đổ bóng lên mặt tường phía sau. Tìm bóng đổ của điểm I và điểm 4 lên mặt tường – bóng đổ v v loại 2, ta được Ib4b. Điểm 5 nằm ngay trên mặt tường phía sau nên có bóng trùng chính nó. Nối các điểm bóng tìm được trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, ta được bóng của bậc thang rớt lên mặt đất và vách tường phía sau như hình vẽ 5-49.

115

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Xét phần bóng của lan can đổ xuống bậc thang. Chọn đổ bóng điểm 6 – loại 2 xuống mặt bậc B

thứ nhất (mp B) ta được 6b . Trên hình chiếu bằng, cạnh vách đứng của lan can đi qua điểm B

6 là một đường thẳng chiếu bằng, do đó bóng của nó trên hình chiếu bằng là đoạn thẳng 6262b nghiêng 450. Tại vị trí giao điểm của đoạn thẳng này với mặt phẳng đối bậc đầu tiên (đường ngang đi qua 12), gióng lên hình chiếu đứng ta được đoạn bóng thẳng đứng song song với cạnh vách đứng của lan can (trên mặt đối bậc đầu tiên). Để tìm bóng đổ của cạnh nghiêng 6-11 của lan can đổ xuống các mặt bậc thang, ta áp dụng nguyên tắc 4-đổ bóng của đoạn thẳng. Mở rộng mặt phẳng B (mặt bậc thứ nhất) và kéo dài B cạnh lan can 6-11 cắt nhau tại điểm J. J là điểm có bóng trùng chính nó. Nối đường bóng Jb6b V

kéo dài cắt mặt đối bậc thứ hai (mp V) tại điểm 7b cần tìm. (Việc xác định điểm J2 trên hình chiếu bằng được thực hiện bởi phép gióng song song) Để tìm bóng đổ của cạnh nghiêng 6-11 của lan can đổ xuống các mặt đối bậc, ta cũng áp dụng lại nguyên tắc 4-đổ bóng của đoạn thẳng một lần nữa bằng việc mở rộng mặt phẳng đối bậc V lên trên và cắt cạnh lan can 6-11 tại điểm K (K1 được xác định bằng phép gióng xong V song). K có bóng trùng chính nó, nối đường bóng Kb7b kéo dài cắt mặt bậc thứ hai tại điểm V 8b cần tìm. Vì các mặt phẳng mặt bậc song song nhau và các mặt phẳng đối bậc song song nhau nên B theo nguyên tắc 3 – bóng đổ của đoạn thẳng, ta có hướng song song của các đọan bóng 6b V V V 7b và 7b 8b được lặp lại trên các đối bậc và mặt bậc tiếp theo cho đến điểm bóng 11b (bóng đổ loại 2) thì kết thúc. Bóng đổ của cạnh ngang lan can qua điểm 11 (đường thẳng chiếu đứng) trên hình chiếu đứng là đường nghiêng 450 (nguyên tắc 5). Trên hình chiếu bằng, bóng của nó song song chính nó do đây là đường thẳng song song mặt đất (nguyên tắc 1). Các điểm 12b và 13b được xác định như hình vẽ 5-49 chỉ rõ. Nối các điểm bóng tìm được trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, ta được bóng của lan can rớt lên các bậc thang như hình vẽ 5-49 chỉ rõ. Trong một số trường hợp chỉ cần tìm bóng trên mặt đứng của cầu thang, ta có thể tận dụng hình chiếu thứ ba (hình chiếu cạnh) của cầu thang để xác định bóng trên mặt đứng. Hình 550 chỉ rõ cách vẽ. Lưu ý rằng, trong hướng nhìn của hình chiếu cạnh, các mặt phẳng mặt bậc và đối bậc đều bị suy biến (bóng đổ của các điểm cần tìm là loại 2).

Hình 5-50 116

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH 6.4. Bóng của hốc tường

Trường hợp mặt trong của hốc tường là một mặt phẳng song song với mặt tường ngoài như các hình vẽ 5-51, 5-52, 5-53, bóng đổ của hốc tường sẽ song song và có hình dạng giống với phần gờ tường bao xung quanh hốc (hệ quả nguyên tắc 1 – bóng đổ của đoạn thẳng). Do đó ta chỉ cần xác định bóng đổ (loại 2) của một điểm bất kỳ trên phần gờ tường bao xung quanh hốc xuống mặt tường trong và vẽ hình đồng dạng với phần gờ tường là được bóng đổ cần tìm.

Hình 5-51

Hình 5-52

Hình 5-53

Trường hợp mặt trong hốc tường là các mặt trụ, lăng trụ và cạnh gờ trên BC của hốc tường là một đoạn thẳng nằm ngang song song mặt đất như hình 5-54, 5-55, ta có bóng đổ trên mặt trong hốc tường sẽ là dạng lặp lại phần lõm của hốc tường trên hình chiếu bằng. Phần bóng đổ của hốc tường có thể xem như là lát cắt giao tuyến của mặt phẳng tia sáng chứa cạnh trên BC và nghiêng đều với các mặt phẳng hình chiếu.

Hình 5-54

Hình 5-55 117

HĂ&#x152;NH Háť&#x152;C Háť&#x152;A HĂ&#x152;NH

CHUYĂ&#x160;N NGĂ&#x20AC;NH KIáşžN TRĂ&#x161;C

TrĆ°áť?ng háťŁp máşˇt trong háť&#x2018;c tĆ°áť?ng lĂ máşˇt nĂłn (hay máşˇt thĂĄp) nhĆ° hĂŹnh 5-56, Ä&#x2018;áť&#x192; Ä&#x2018;áť&#x2022; bĂłng cáť§a pháş§n gáť? tĆ°áť?ng bao xung quanh háť&#x2018;c (Ä&#x2018;Ć°áť?ng trĂ˛n Ä&#x2018;ĂĄy nĂłn e) lĂŞn máşˇt trong cáť§a háť&#x2018;c, ta ĂĄp dáťĽng phĆ°ĆĄng phĂĄp tia ngĆ°áťŁc. Cháť?n máşˇt pháşłng vĂĄch tĆ°áť?ng lĂ máşˇt nháşn bĂłng vĂ Ä&#x2018;áť&#x2022; bĂłng áşŁo (theo hĆ°áť&#x203A;ng ngĆ°áťŁc láşĄi hĆ°áť&#x203A;ng tia sĂĄng) cáť§a máşˇt nĂłn vĂ Ä&#x2018;ĂĄy nĂłn lĂŞn máşˇt tĆ°áť?ng. Khi Ä&#x2018;Ăł Ä&#x2018;ĂĄy v nĂłn e sáş˝ cĂł bĂłng eb trĂšng chĂnh nĂł vĂ bĂłng (áşŁo) cáť§a máşˇt nĂłn Ä&#x2018;Ć°áťŁc xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh nhĆ° trĂŞn hĂŹnh váş˝ 5-56. TáťŤ pháş§n chung giao nhau cáť§a bĂłng v (áşŁo) máşˇt nĂłn vĂ eb, xĂŠt liĂŞn thuáť&#x2122;c cho v v cĂĄc Ä&#x2018;Ć°áť?ng bĂłng S1bC1 vĂ S1bD1 (lĂ bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; cáť§a cĂĄc Ä&#x2018;Ć°áť?ng SC vĂ SD). v v v CĂĄc Ä&#x2018;Ć°áť?ng nĂ y cáşŻt cung A1bB1b trĂŞn e1b láş§n lĆ°áťŁt táşĄi cĂĄc Ä&#x2018;iáť&#x192;m 11 vĂ 21. GiĂłng táťŤ cĂĄc Ä&#x2018;iáť&#x192;m 11 vĂ 21 theo phĆ°ĆĄng tia sĂĄng láş§n lĆ°áťŁt lĂŞn cĂĄc cáşĄnh v v S1C1 vĂ S1D1 ta Ä&#x2018;Ć°áťŁc cĂĄc Ä&#x2018;iáť&#x192;m bĂłng 11b

HĂŹnh 5-56 v

vĂ 21b cáş§n tĂŹm. CĂšng váť&#x203A;i cĂĄc Ä&#x2018;iáť&#x192;m bĂłng tiáşżp xĂşc trĂŞn Ä&#x2018;ĂĄy nĂłn lĂ A1b vĂ B1b, náť&#x2018;i cĂĄc Ä&#x2018;iáť&#x192;m bĂłng v v A1b21b11bB1b ta cĂł Ä&#x2018;Ć°áťŁc pháş§n bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; cáť§a gáť? tĆ°áť?ng bao xung quanh lĂŞn máşˇt trong háť&#x2018;c tĆ°áť?ng. TrĆ°áť?ng háťŁp máşˇt trong háť&#x2018;c tĆ°áť?ng lĂ máşˇt cáş§u nhĆ° hĂŹnh 5-57. Ta cĂł tháť&#x192; xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh ngay pháş§n bĂłng báşŁn thĂ˘n cáť§a háť&#x2018;c tĆ°áť?ng lĂ 1/2 cung elip cĂł tráťĽc dĂ i AB nhĆ° hĂŹnh váş˝15. TáťŤ Ä&#x2018;Ă˘y ta biáşżt Ä&#x2018;Ć°áťŁc cung trĂ˛n ACDB trĂŞn pháş§n gáť? tĆ°áť?ng bao xung háť&#x2018;c sáş˝ cho bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; trĂŞn máşˇt trong cáť§a háť&#x2018;c tĆ°áť?ng. XĂŠt bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; táşĄi váť&#x2039; trĂ Ä&#x2018;iáť&#x192;m D lĂŞn máşˇt trong cáť§a háť&#x2018;c tĆ°áť?ng. Ă p dáťĽng phĆ°ĆĄng phĂĄp máşˇt pháşłng cáşŻt pháťĽ tráťŁ, ta gĂĄn máşˇt pháşłng R chiáşżu Ä&#x2018;áťŠng cháťŠa tia sĂĄng vĂ Ä&#x2018;i qua Ä&#x2018;iáť&#x192;m D. Máşˇt pháşłng nĂ y cáşŻt háť&#x2018;c tĆ°áť?ng theo giao tuyáşżn lĂ náťŻa Ä&#x2018;Ć°áť?ng trĂ˛n cĂł Ä&#x2018;ĂĄy lĂ Ä&#x2018;Ć°áť?ng kĂnh DI. Báşąng phĂŠp thay máşˇt pháşłng hĂŹnh chiáşżu báşąng song song váť&#x203A;i phĆ°ĆĄng tia sĂĄng táť&#x203A;i, ta tráşŁi pháşłng Ä&#x2018;Ć°áťŁc lĂĄt cáşŻt nĂ y trĂŞn máşˇt pháşłng hĂŹnh chiáşżu vĂ xĂĄc Ä&#x2018;áť&#x2039;nh Ä&#x2018;Ć°áťŁc váť&#x2039; trĂ bĂłng Ä&#x2018;áť&#x2022; Dâ&#x20AC;&#x2122;2b cáť§a Ä&#x2018;iáť&#x192;m D lĂŞn máşˇt trong háť&#x2018;c tĆ°áť?ng. XĂŠt tam giĂĄc vuĂ´ng Oâ&#x20AC;&#x2122;2Dâ&#x20AC;&#x2122;2bH, trong Ä&#x2018;Ăł ta biáşżt Oâ&#x20AC;&#x2122;2Dâ&#x20AC;&#x2122;2b báşąng bĂĄn kĂnh Ě&#x201A; rD cáť§a Ä&#x2018;Ć°áť?ng trĂ˛n lĂĄt cáşŻt giao tuyáşżn vĂ gĂłc (đ??ˇ â&#x20AC;˛ 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201A;â&#x20AC;˛ 2 đ??ť) = 2ď ą (gĂłc ngoĂ i báşąng hai láş§n gĂłc trong khĂ´ng káť nĂł). Ta tĂnh Ä&#x2018;Ć°áťŁc Ä&#x2018;áť&#x2122; dĂ i Oâ&#x20AC;&#x2122;2H = rD. cos(2ď ą) = rD. (1-2.sin2ď ą) = rD.(1-2/3) = 1/3.rD. TáťŤ Ä&#x2018;Ă˘y ta cĂł tháť&#x192; rĂşt ra káşżt luáşn, váť&#x2039; trĂ Ä&#x2018;iáť&#x192;m bĂłng rĆĄi cáť§a máť&#x2122;t Ä&#x2018;iáť&#x192;m báşĽt káťł trĂŞn cung A1D1C1B1 vĂ o máşˇt trong cáť§a háť&#x2018;c tĆ°áť?ng sáş˝ cĂĄch tráťĽc A1B1 (nghiĂŞng theo phĆ°ĆĄng tia sĂĄng) 1/3 láş§n bĂĄn kĂnh cáť§a náťŻa Ä&#x2018;Ć°áť?ng trĂ˛n lĂĄt cáşŻt tia sĂĄng Ä&#x2018;i qua Ä&#x2018;iáť&#x192;m Ä&#x2018;Ăł. 15

Xem láşĄi máťĽc 4.4. BĂłng cáť§a kháť&#x2018;i cáş§u

118

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Trên hình vẽ có thể thấy ví dụ tương tự về cách xác định điểm C1b của điểm C1 thuộc cung A1D1C1B1. Với nhiều lát cắt, ta sẽ xác định được nhiều điểm bóng rơi bên trong hốc tường, nối lại ta được đường bao bóng đổ A1C1bD1bB1 cần tìm. Ứng dụng cách vẽ bóng của hốc tường dạng cầu, ta có thể vẽ bóng của một hốc tường dạng hõm trụ kết hợp với hai bán cầu trên và dưới như hình 5-58. Sau khi vẽ đường bao bóng bản thân của hốc tường (là các phần đường bao bóng bản thân của khối trụ và khối cầu kết hợp), ta xác định được phần gờ tường bao xung quanh hốc cho bóng đổ bên trong hốc là các đường GFEDCBA. Cách xác định bóng đổ của các điểm này vào trong hốc tường được chỉ rõ như trên hình vẽ 5-58.

Hình 5-57

Hình 5-58

6.5. Bóng của đầu cột và đầu giả cột ốp tường Đối với cột có dạng thân trụ hoặc lăng trụ và mũ cột hình lăng trụ vuông như hình 5-59, 5-60, bóng đổ của mũ cột lên thân cột sẽ lặp lại hình dạng mặt bằng của thân cột. Thật vậy, mặt phẳng tia sáng chứa cạnh b phía trước của mũ cột sẽ nghiêng đều với các mặt phẳng hình chiếu, do đó, lát cắt giao tuyến của nó với thân cột (cũng là bóng đổ của mũ cột lên thân cột) có hình chiếu đứng lặp lại hình dạng mặt bằng của thân cột. Để đổ bóng của mũ cột lên thân cột, ta chỉ cần đổ bóng một điểm (bất kỳ) trên cạnh b phía trước của mũ cột xuống thân cột (bóng đổ loại 2) và xác định lại vị trí phần hình dạng bóng đổ lặp lại đi qua điểm đó. 119

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-59 Trường hợp các dạng cột này chỉ gồm có nữa phần phía trước và gắn lên vách tường, ta có các đầu giả cột. Bóng đổ của các đầu giả cột khi đó còn xét đến phần bóng đổ của nó lên mặt tường như hình 5-61. Lúc này, ta đổ bóng lần lượt phần mũ cột dạng lăng trụ vuông và phần thân cột xuống mặt tường và lấy đường viền bao bóng đổ phía bên ngoài. Đối với phần mủ cột, ta chỉ cần xác định bóng đổ của một điểm J (loại 2) xuống mặt tường, các cạnh đứng và ngang giao tại J sẽ cho bóng là những đoạn đứng và ngang song song với nó. Bóng đổ tại các điểm K và A là bóng của những đường thẳng chiếu đứng nên nghiêng 450 so với phương ngang.

Hình 5-60

Để đổ bóng của phần thân cột lên tường, trước tiên ta đổ bóng phần đáy dưới (dạng chữ nhật, nữa đường tròn và hình thang tương ứng với hình vẽ các đầu cột trên hình 5-61). Cách xác định bóng của phần đáy dưới các thân cột này dựa trên hình chiếu bằng và được chỉ rõ như trên hình vẽ. Sau khi có bóng phần đái dưới của thân cột trên vách tường, ta xác định đường bao bóng đổ thẳng đứng qua vị trí của điểm Ib. Tổng hợp kết quả với phần bóng đổ của mũ cột lên mặt tường và lấy đường viền bao bóng đổ phía bên ngoài ta được toàn bộ phần bóng cần tìm. 120

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 5-61 Trong một số trường hợp đặc biệt với cột có thân dạng mặt nón hay cầu, ta có kỹ thuật xác định bóng đổ của mũ cột lên thân cột trên hình chiếu đứng một cách trực tiếp mà không cần dùng đến hình chiếu bằng như hình 5-62, 5-63.

Hình 5-62 Xét các cạnh AB và BC trên mũ cột. Cạnh AB là đường thẳng chiếu đứng và cạnh BC là đường thẳng mặt. Hai cạnh này vuông góc nhau và đối xứng qua mặt phẳng chứa điểm B và trục của mặt cầu (hay mặt nón). Xét mặt phẳng tia sáng chứa cạnh AB. Bóng đổ của cạnh AB với mặt cầu (mặt nón) có thể xem là một phần của lát cắt giao tuyến elip của mặt phẳng tia sáng này với mặt cầu (mặt nón). Đây là elip chiếu đứng có hình chiếu đứng suy biến với trục dài 1121 và trục ngắn 31  41. Tương tự, xét mặt phẳng tia sáng chứa cạnh BC. Bóng đổ của cạnh BC với mặt cầu (mặt nón) có thể xem là một phần của lát cắt giao tuyến elip của mặt phẳng tia sáng này với mặt cầu (mặt nón). Vì hai cạnh AB và BC đối xứng nhau qua mặt phẳng chứa điểm B và trục của của mặt cầu (hay mặt nón) nên ta có thể xem lát cắt giao tuyến elip của mặt phẳng tia sáng đi qua cạnh BC là kết quả của việc quay lát cắt elip của mặt phẳng tia sáng đi qua cạnh AB một góc 900.

121

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH Như vậy, trục dài 1121 của elip chiếu đứng thông qua phép quay quanh trục của mặt cầu (mặt nón) sẽ giúp xác định trục 5161 của elip giao tuyến tạo bởi mặt phẳng tia sáng chứa cạnh BC. Trục 7181 của elip này được xác định như sau: Đối với mặt cầu, trục 7181 nằm ngang đi qua vị trí 31  41 và có độ dài bằng trục 1121. Đối với mặt nón, trục 7181 nằm ngang đi qua vị trí 31  41 và có độ dài bằng hai lần khoảng cách từ vị trí 31  41 hạ xuống đường tròn là lắt cắt giao tuyến trên măt phẳng bằng đi qua vị trí 7181 với mặt nón (đã trải phẳng lên mặt phẳng hình chiếu). Phần bóng đổ của mũ cột lên các mặt cầu (nón) là kết quả giao nhau của hai elip giao v tuyến kể trên tại vị trí B1b như chỉ rõ trên hình vẽ.

Hình 5-63

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm bóng đổ của các vật thể hình học được cho như hình vẽ 5-64 abc.

Hình 5-64a

Hình 5-64b

Hình 5-64c

122

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Bài 2: Tìm bóng đổ của các hốc tường được cho như hình vẽ 5-65 abc.

Hình 5-65a

Hình 5-65b

Hình 5-65c

Bài 3: Tìm bóng đổ của các đầu giả cột ốp tường được cho như hình vẽ 5-66 ab và 5-67 abc.

Hình 5-66a

Hình 5-67a

Hình 5-66b

Hình 5-67b

Hình 5-67c 123

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Bài 4: Tìm bóng đổ của các vật thể hình học được cho như hình vẽ 5-68 ab.

Hình 5-68a

Hình 5-68b

Bài 5: Tìm bóng đổ của công trình được cho như hình vẽ 5-90

Hình 5-90 124

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

PHẦN 2

PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH BÀI 6:

BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH - DỰNG PHỐI CẢNH TỪ HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC THEO PHƯƠNG PHÁP KIẾN TRÚC SƯ

BÀI 7: BÀI TOÁN TÌM BÓNG ĐỔ TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH

125

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI 6. BIỂN DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH - DỰNG PHỐI CẢNH TỪ HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC THEO PHƯƠNG PHÁP KIẾN TRÚC SƯ Hình chiếu phối cảnh là phương pháp biểu diễn vật thể dựa trên phép chiếu xuyên tâm, tâm chiếu S của nguồn chiếu đặt trùng với vị trí điểm nhìn của người quan sát (hình 6 - 01). Do đó hình biểu diễn của phương pháp này cho một hình ảnh trên mặt phẳng hình chiếu P (mặt tranh) gần giống với mắt thường chúng ta quan sát vật thể đó trong thực tế.

Hình 6- 01

Hình chiếu phối cảnh được dùng rộng rãi cho các chuyên ngành đào tạo Kiến trúc Quy hoạch - Nội thất - Cảnh quan...Nhằm mô tả một cách trực quan nhất đối với vật thể cần biểu diễn, đồng thời thông qua phương pháp này cũng sẽ hỗ trợ tốt hơn cho sinh viên trong việc phác thảo bằng tay tìm ý tưởng dưới dạng hình chiếu của nó. Phối cảnh có thể biểu diễn trên mặt tranh phẳng thẳng đứng hoặc nghiêng, cũng có thể biểu diễn trên mặt tranh là mặt nón, mặt trụ hoặc mặt cầu. Trong giáo trình này chúng ta chỉ nghiên cứu cách thức biểu diễn hình chiếu phối cảnh trên mặt tranh phẳng thẳng đứng. (hình 6 - 01) 1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH

(hình 6-02)

Trong không gian, chọn một mặt phẳng nằm ngang song song với mặt đất, người ta gọi là mặt phẳng vật thể V (nơi đặt các vật thể biểu diễn) và một mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với mặt phẳng vật thể V gọi là mặt tranh T (nơi biểu diễn hình chiếu của vật thể đó). Hai mặt phẳng này giao nhau theo một giao tuyến đ gọi là đường đáy tranh. Ngoài ra, người ta vẽ thêm một mặt phẳng phụ trợ gọi là mặt phẳng tầm mắt M, mặt phẳng này song song với mặt phẳng vật thể cắt mặt tranh theo giao tuyến t gọi là đường chân trời / đường tầm mắt. 126

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Ở trên mặt phẳng M này người ta chọn ra một điểm M gọi là điểm nhìn, chiếu thẳng góc điểm nhìn M này lên đường chân trời gọi là điểm chính M', và chiếu thẳng góc M xuống mặt phẳng vật thể được M2 gọi là chân điểm nhìn. Khoảng cao độ MM2 = h (khoảng cách giữa M và V) người ta gọi là cao độ điểm nhìn và khoảng cách từ M cho đến đường chân trời là k ta gọi là khoảng cách chính.

Hình 6- 02

Một hệ thống hình chiếu phối cảnh trên mặt phẳng thẳng đứng gồm các yếu tố sau đây: (hình 6 - 02) T : Mặt tranh

M : Điểm nhìn

V : Mặt phẳng vật thể

M2 : Điểm nhìn chính

M : Mặt phẳng tầm mắt (phụ trợ)

M' : Điểm chính

đ = T ∩ V : đường đáy tranh

MM2 =h : Cao độ điểm nhìn

t = T ∩ M : đường chân trời / tầm mắt

MM' =k : Khoảng cách chính

2. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM 2.1. Thành lập đồ thức của một điểm (hình 6 - 03) Giả sử trong không gian (phía trước điểm nhìn M) có một điểm A bất kỳ, để biểu diễn đồ thức phối cảnh của điểm A ta tiến hành như sau: Đầu tiên dùng phép chiếu thẳng góc có nguồn S∞ chiếu điểm A xuống mặt phẳng vật thể V ta thu được A2 nằm trên mặt phẳng đó. A2 gọi là chân của điểm A. Sau đó, dùng phép chiếu xuyên tâm có tâm chiếu trùng với vị trí điểm nhìn M lần lược chiếu đi qua A và A2, lấy giao điểm của hai tia chiếu đó với mặt tranh T sẽ cho chúng ta phối cảnh của điểm A. 127

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

A' được gọi là phối cảnh của A và A'2 được gọi là phối cảnh chân của A.

Hình 6 - 03

Như vậy, cặp điểm A'A'2 được gọi là đồ thức phối cảnh của điểm A khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau: - A'A'2 vuông góc t và đ - A'2 luôn luôn có vị trí nằm từ đường chân trời t trở xuống. 2.2. Các điểm đặc biệt Điểm đặc biệt là những điểm nằm ở các vị trí như mặt tranh, mặt phẳng vật thể hoặc ở xa vô tận. Đây là những điểm thường gặp trong quá trình làm bài tập cũng như dựng phối cảnh. Do đó chúng ta cần phải nắm rõ các đặc điểm của từng loại điểm khi biểu diễn chúng lên trên mặt tranh. • Điểm B thuộc mặt tranh T (hình 6 - 04) Ta có vị trí chân B2 của nó luôn nằm trên đường đáy tranh đ. Bằng cách biểu diễn đồ thức của điểm B, ta có B  B', B2  B'2  đ và BB2 = B'B'2 = chiều cao thật của điểm B đến mặt phẳng vật thể V.

Hình 6 - 04 128

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

• Điểm C nằm trên mặt phẳng vật thể V (hình 6 - 04) Ta có vị trí chân C2  C thuộc mặt phẳng vật thể V. Và bằng cách biểu diễn đồ thức của điểm C, ta có C'2  C'. • Điểm F∞ ở xa vô tận bất kỳ trong không gian (hình 6 - 05)

Ta có chân F2∞ của điểm đó luôn là điểm ở xa vô tận và nằm trên mặt phẳng vật thể V. Bằng cách biểu diễn đồ thức của điểm F∞, ta có F'2  t (F'2 luôn luôn nằm trên đường chân trời t, còn vị trí phối cảnh F' phụ thuộc vào vị trí tương đối của F∞ trong không gian). Lưu ý : Đối với những điểm ở xa vô tận chúng ta không kí hiệu nó bằng một chấm mà kí hiệu nó theo một mũi tên chỉ phương nhất định như hình 6 - 05.

Hình 6 - 05

3. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 3.1. Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường) (hình 6 - 06)

Hình 6 – 06 129

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Để biểu diễn phối cảnh của một đường thẳng (thường), ta sẽ chọn trên đường thẳng đó ra hai điểm bất kỳ, biểu diễn lần lượt phối cảnh của từng điểm và nối lại, chúng ta sẽ có được đồ thức phối cảnh của một đường thẳng (thường). Trên hình 6-06, ta chọn trên đường thẳng d hai điểm A,B. Biểu diễn phối cảnh A(A’,A’2) và B(B’,B’2). Nối A’B’ ta có phối cảnh d’. Nối A’2B’2 ta có phối cảnh chân d’2. Cặp (d’,d’2) là đồ thức phối cảnh cần tìm của đường thẳng d. 3.2. Vết tranh và điểm tụ của một đường thẳng Để dễ dàng biểu diễn phối cảnh của một đường thẳng trên mặt tranh T. Người ta đưa ra hai khái niệm vết tranh & điểm tụ của một đường thẳng như sau: - Giao điểm K của đường thẳng với mặt tranh gọi là vết tranh K' của đường thẳng đó (K  K', K2  K'2  đ). - Phối cảnh điểm vô tận F∞ của một đường thẳng được gọi là điểm tụ của đường thẳng đó (F'2  t).

Hình 6 – 07a

Hình 6 – 07b

➢ Khi biểu diễn đồ thức phối cảnh của một đường thẳng, người ta thường biểu diễn bởi vết tranh và điểm tụ của đường thẳng đó. Như vậy, thay vì biểu diễn phối cảnh của đoạn thẳng AB (hình 6 - 07a) thì chúng ta có thể biểu diễn nó thông qua hai điểm đặt biệt đó là vết tranh & điểm tụ của đoạn thẳng AB (hình 6-07b). Nhận xét: F' & F'2 là điểm kết thúc (biến mất) của phối cảnh đường thẳng do đó không được phép vẽ phối cảnh của đường thẳng vượt qua khỏi vị trí của F' & F'2. Vì các đường thẳng song song nhau có chung điểm ở vô tận nên trên hình vẽ phối cảnh, những đường thẳng nào song song nhau thì phối cảnh của chúng sẽ có chung điểm tụ F’ và phối cảnh chân của chúng sẽ có chung chân điểm tụ F’2 .

130

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

3.3. Các đường thẳng đặc biệt Khi biểu diễn đồ thức phối cảnh của đường thẳng, chúng ta cần quan tâm đến hai đường thẳng đặc biệt đó là đường thẳng bằng và đường thẳng chiếu phối cảnh, đây là hai đường thẳng đặc biệt làm cơ sở để chúng ta dựng phối cảnh về sau. Đường thẳng bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng vật thể (hình 6 - 08).

Hình 6 - 08

Tính chất : - Đường thẳng bằng có phối cảnh và phối cảnh chân của điểm tụ trùng nhau trên đường chân trời F'  F'2 - Tại vị trí cắt mặt tranh (vết tranh) của đườg thẳng bằng chính là chiều cao thật của nó so với mặt phẳng vật thể V. Ta có K'K'2 = h (h là chiều cao thật của b so với mặt phẳng vật thể). b là đường thẳng bằng  F'  F'2  t và K'K'2 = h Đường thẳng chiếu phối cảnh là đường thẳng khi kéo dài ra vô tận thì nó sẽ đi qua nguồn chiếu S (vị trí điểm nhìn M mắt của người quan sát). (hình 6 - 09)

Hình 6 - 09 131

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

.Tính chất : Đường thẳng chiếu phối cảnh có phối cảnh của nó bị suy biến thành một điểm và phối cảnh chân là một đường thẳng vuông góc với t và đ. c là đường thẳng chiếu phối cảnh 

c'  F'  K'

và

c'2 ⊥ t, đ.

4. DỰNG PHỐI CẢNH TỪ HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC THEO PHƯƠNG PHÁP KIẾN TRÚC SƯ 4.1. Dựng phối cảnh của một điểm Giả sử trong không gian ta có điểm A và điểm M nằm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu thẳng góc P1, P2 (hình 6-10a). Điểm A là đối tượng cần biểu diễn hình chiếu phối cảnh và điểm M đóng vai trò là vị trí điểm nhìn của mắt người quan sát. Từ hệ thống này chúng ta có thể xác định độ cao của điểm A thông qua hình chiếu đứng A1 và vị trí A2 trên hình chiếu bằng. Điểm M cũng vậy, M1 là cao độ điểm nhìn trên hình chiếu đứng P1 và M2 là vị trí điểm nhìn trên

Hình 6 - 10a

hình chiếu bằng P2. Sau đó, ta đưa hệ thống hình chiếu phối cảnh lồng vào bên trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu thẳng góc nói trên, (hình 6 - 10b) lúc này vị trí mặt tranh T có thể trùng P1 hoặc nằm ở vị trí bất kì. Tuy nhiên, mặt phẳng vật thể V phải nằm tại vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu bằngP2 (P2  V) với mục đích để xác định vị trí đường tầm mắt (đường chân trời) t trên mặt tranh T đúng với độ cao M1, đồng thời việc đặt độ cao của điểm A lên trên mặt tranh T cũng trở nên dễ dàng bởi lúc này cao độ của điểm A cũng chính là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng vật thể V. Từ hệ thống này hình 6 - 10b tại vị trí điểm nhìn theo phương của mặt tranh chiếu thẳng góc vào mặt tranh T và thẳng góc xuống mặt phẳng vật thể V chúng ta thu được hình ảnh 6 - 10c, phía trên là mặt tranh nơi biểu diễn hình chiếu phối cảnh có đường tầm mắt t, đường đáy tranh đ  x và cũng là nơi đặt vị trí hình chiếu đứng A1 cao độ của nó. Còn hình bên dưới là nơi đặt vị trí hình chiếu bằng A2, điểm nhìn M2 và lúc này do hướng chiếu từ trên xuống vuông góc nên ta có mặt tranh T bị suy biến T2  t2  đ2. 132

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 6-10b

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6-10c

Lưu ý: Trong trường hợp này chúng ta không thể tìm hình chiếu phối cảnh A'A'2 của điểm A trên mặt tranh thông qua định nghĩa đã học, bởi việc xác định tọa độ hình chiếu phối cảnh của nó trên mặt tranh sẽ trở nên khó khăn. Do đó với đồ thức thẳng góc cho trước A1A2 chúng ta có thể biểu diễn hình chiếu phối cảnh của nó bằng một trong cách sau: a) Dựng phối cảnh một điểm theo cách dùng hai đường thẳng bằng Để biểu diễn hình chiếu phối cảnh của A ta xem điểm A là giao điểm của hai đường thẳng bằng, do đó trên mặt tranh T ta chỉ cần vẽ phối cảnh của hai đường thẳng bằng và giao điểm của nó trên mặt tranh T chính là phối cảnh của điểm A. Chẳng hạn qua A (hình 6 - 11a) ta vẽ hai đường thẳng bằng a và b, sau đó kéo dài a và b, a2 và b2 cho cắt mặt tranh T ta có vết tranh lần lượt của nó là K' K'2 và L' L'2 (nguyên tắc đặt độ cao). Gọi F∞, G∞ lần lượt là 2 điểm ở xa vô tận trên 2 đường thẳng a và b đó, bằng cách biểu diễn điểm ở vô tận lên trên mặt tranh ta có F' F'2, G' G'2 lần lượt là các điểm tụ của nó và thuộc đường tầm mắt t. Tương ứng (hình 6 - 11b) trên mặt bằng đặt vật thể ta có a2 và b2 đi qua A2 cắt mặt tranh T2 lần lượt tại K2 và L2. Thông qua nguyên tắc đặt độ cao trên hình chiếu đứng từ A1 gióng ngang, K2 và L2 ta gióng thẳng đứng lên trên mặt tranh ta có được K'K'2 = L'L'2 là vị trí vết tranh của 2 đường thẳng bằng a và b. Sau khi có vết tranh, tại vị trí M2 ta kẻ lần lượt 2 tia song song với a2 và b2 cắt mặt tranh T2 lần lượt tại F2, G2 và cũng gióng thẳng đứng lên mặt tranh T ta có được F'  F'2, G'  G'2 nằm trên đường chân trời t. Có vết tranh và điểm tụ của hai đường thẳng đó:

133

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Nối K'F' lại ta có a' là phối cảnh của đường thẳng a, nối K'2F'2 ta có a'2 là phối cảnh chân của nó. Tương tự, nối L'G' ta có được b' là phối cảnh của đường thẳng b, nối L'2G'2 ta có được b'2 là phối cảnh chân của đường thẳng b. Sau đó, lần lượt xác định giao điểm A' = a ' b' và giao điểm A'2 = a'2  b'2 trên mặt tranh T. Vậy A'A'2 là phối cảnh của điểm A cần xác định.

Hình 6-11b

Hình 6-11c

b) Dựng phối cảnh một điểm theo cách dùng một đường thẳng bằng và một đường thẳng chiếu phối cảnh Ngoài cách biểu diễn phối cảnh của điểm A thông qua hai đường thẳng bằng như đã trình bày trên, ta cũng có thể xác định vị trí của nó thông qua cách 2 đó là xem điểm A là giao điểm của một đường thẳng bằng và một đường thẳng chiếu phối cảnh. Từ 2 đường thẳng bằng a, b giao nhau tại điểm A ở hình 6 - 11ab ta có thể bỏ đi một đường và giữ lại một đường, chẳng hạn bỏ đi đường thẳng bằng b và giữ lại đường thẳng bằng a đồng thời vẽ thêm một đường thẳng chiếu phối cảnh c đi qua điểm A (hình 6 - 12a). Tức là ta nối MA và nó cũng chính là đường thẳng c (theo định nghĩa của đường thẳng chiếu phối cảnh) c  T = L'  G' nên phối cảnh c' bị suy biến (theo tính chất của đường thẳng chiếu phối cảnh) nên ta có L' G'  c' mà đường thẳng c bị suy biến nên mọi điểm nó đi qua trong đó có điểm A đều cho hình chiếu phối cảnh cũng trùng trên hình chiếu suy biến do đó ta có được L' G' c'  A'. Áp dụng tính chất liên thuộc của điểm - đường thẳng trong phép chiếu xuyên tâm ta có A  a thì A'  a' mà L' G'c' A' nên vị trí suy biến của đường thẳng c cũng thuộc a'. Do đó trên hình 6 - 12b từ M2 ta kẻ một tia đi qua A2 cắt mặt tranh T2 tại vị trí L2 134

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

đây chính là vị trí suy biến của đường thẳng c (đường thẳng chiếu phối cảnh) trên mặt bằng đặt vật thể, từ đó gióng thẳng góc lên mặt tranh T ta sẽ có c'  A'  a' và A'2  a2 chính là phối cảnh của A cần xác định.

Hình 6-12b

Hình 6-12c

4.2. Dựng phối cảnh của một hình hộp chữ nhật a) Dựng phối cảnh hai điểm tụ của khối hộp Trên hình 6 - 13ab bằng hai phương pháp trên, chúng ta dựng phối cảnh hai điểm tụ của khối hộp như sau: Trong trường hợp này thay vì chúng ta dựng phối cảnh của một điểm thì bây giờ ta sẽ dựng phối cảnh cho tập hợp các điểm 1, 2, 3, 4 đây là các điểm cần thiết trên khối hộp để dựng phối cảnh. Khối hộp này được đặt trên mặt phẳng vật thể V nên có các vị trí các điểm chân tương ứng là 12, 22, 32 và 42 như hình vẽ. Đầu tiên ta dựng phối cảnh của điểm 1, tương tự như ở trên theo cách 1 ta vẽ qua điểm 1 hai đường thẳng bằng a và b sao cho đường thẳng a đi qua 4 1 và đường thẳng b đi qua 1 2, tương ứng trên mặt đất (mặt phẳng vật thể V) hình 9 - 04b là a2 đi qua 4212 và b2 đi qua 1222. Ta dễ dàng có được phối cảnh của điểm 1 là 1', 1'2 trên mặt tranh T thông qua vết tranh và điểm tụ của hai đường thẳng này (đường thẳng bằng a có vết tranh K'K'2 và điểm tụ là F'  F'2  t và đường thẳng bằng b có vết tranh L'L'2 và điểm tụ là G'  G'2  t ). Tiếp tục vẽ đường thẳng bằng c đi qua 3 2, tương ứng trên hình 9 - 04b là c2 đi qua 32 22 cắt mặt tranh T2 tại vị trí N2 sau đó gióng thẳng góc lên mặt tranh T ta có N'N'2 là vết tranh của đường thẳng bằng c. Đồng thời do hai đoạn thẳng 3 2 và 4 1 song song với nhau nên đường thẳng bằng c sẽ nhận F'  F'2 làm điểm tụ chung. Sau đó

135

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

nối N' F' và N'2 F'2 lại ta có được phối cảnh của đường thẳng bằng c là c' c'2. Trên mặt tranh T : b'  c' = 2' và b'2  c'2= 2'2 là phối cảnh của điểm số 2 cần xác định.

Hình 6-13a

Để xác định tiếp vị trí phối cảnh của điểm 4 thì ta chỉ cần vẽ thêm một đường thẳng chiếu phối cảnh đi qua nó theo cách 2 (hoặc theo cách 1 đường thẳng bằng), bởi vì qua 4 ta đã có đường thẳng bằng a đi qua, vậy thì theo cách 2 từ M ta kẻ một tia đi đến 4 (tương ứng hình 6 - 13b nối M242), tia này cắt mặt tranh T2 tại một điểm, điểm này là điểm suy biến trên mặt tranh T, gióng lên mặt tranh T ta có 4' a' và 4'2  a'2 là phối cảnh điểm số 4 cần xác định. Từ hình không gian (hình 6 - 13a) ta thấy rằng vị trí của điểm số 3 chính là giao điểm của hai đoạn thẳng bằng 4 3 và 2 3 mà trên mặt tranh T ta đã có đường thẳng bằng đi qua 2 3 nên chỉ cần vẽ thêm một đường thẳng bằng đi qua 4 3 (hoặc đường thẳng chiếu phối cảnh đi qua 3) thì sẽ xác định được vị trí của 3' và 3'2. Vậy thì qua 4 3 ta vẽ đường thẳng bằng đi qua, đường này song song với 1 2 nên cũng sẽ nhận điểm tụ G ' G'2 của đoạn 1 2 làm điểm tụ chung, tức là hướng tụ của đường thẳng bằng c. Do đó, trên mặt tranh T từ 4' 4'2 lần lượt ta nối về G'G'2 sẽ có 136

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

được đường thẳng bằng đi qua 4 3 trên mặt tranh và nó sẽ cắt c' tại 3', cắt c'2 tại 3'2 là phối cảnh điểm số 3 cần xác định. Sau khi biểu diễn những điểm cần thiết trên khối hộp, nối lại để có được hình chiếu phối cảnh cần biễu diễn. (hình 6 - 13ab)

Hình 6-13b

b) Dựng phối cảnh một điểm tụ của khối hộp Với khối hộp trên để dựng phối cảnh một điểm tụ ta thực hiện như sau: Xoay khối hộp đến một vị trí sao cho các cạnh của khối hộp 1 2 và 3 4 trở thành các đường thẳng vuông góc với mặt tranh T, hoặc ta có thể di chuyển mặt tranh T đến một vị trí sao cho nó song song với một trong những bề mặt của khối hộp (hình 10 05a, b). Thì lúc đó hình biểu diễn trên mặt tranh T sẽ cho ta hình chiếu phối cảnh một điểm tụ, bởi các cạnh vuông góc với mặt tranh T lúc này sẽ có chung một điểm tụ chính là điểm chính M ' ta có M ' F' F'2  t. (hình 6 - 14ab) Các đoạn thẳng còn lại song song với t, đ sẽ có điểm tụ G'∞  G'2∞. Cách xác định vết tranh của các đoạn thẳng bằng, tọa độ vị trí các điểm cần thiết trên khối hộp để biểu diễn nó trên mặt tranh T chúng ta thực hiện tương tự như trường hợp trên. 137

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 6-14a

Hình 6-14b 138

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

5. PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẶT TRANH VÀ ĐIỂM NHÌN Để phối cảnh sau khi dựng không bị biến dạng, có hình ảnh cân đối, dễ nhìn, chúng ta cần chọn lựa vị trí đặt mặt tranh và điểm nhìn phù hợp. 5.1. Chọn mặt tranh

Hình 6 - 15

Vị trí mặt tranh ta có thể chọn bất kỳ, tuy nhiên để dựng phối cảnh được nhanh, đẹp, to và rõ ràng thì vị trí mặt tranh được chọn theo nguyên tắc sau: Ưu tiên biểu diễn mặt đứng chính của công trình mặt đẹp nhất do đó góc α tạo bởi mặt tranh và mặt bên của công trình đó nằm trong khoảng từ 30° đến 90° (30° ≤ α ≤ 90°). Nếu α = 90° thì phối cảnh nhận được là phối cảnh một điểm tụ (phối cảnh chính diện). Mặt bằng của vật thể đặt trước mặt tranh để hình biểu diễn được phóng to và có một điểm nằm trên đường đáy tranh đ (ít nhất một cạnh của vật thể thuộc mặt tranh) để đặt độ cao được dễ dàng. Hình 6 - 15 mô tả vị trí mặt tranh và mặt bằng đặt vật thể được chọn theo nguyên tắc trên.

139

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

5.2. Chọn vị trí điểm nhìn (trên mặt bằng)

Hình 6-16

Hình 6-17

Với một vị trí mắt người quan sát cụ thể ta sẽ có một hình ảnh phối cảnh tương ứng. Do đó để vẽ phối cảnh có góc nhìn cân đối đẹp mắt thì vị trí điểm nhìn của mắt người quan sát không nên lấy quá gần hoặc quá xa vật thể. Quá gần sẽ gây nên biến dạng hình biểu diễn mà xa quá thì việc dựng hình trở nên khó khăn. Vậy nên khoảng cách hợp lí nhất đối với điểm nhìn phụ thuộc vào góc β tạo bởi hai tia chiếu ngoài cùng gọi là góc nhìn, và ta nên lấy sao cho góc nhìn β trên mặt bằng đặt vật thể (hình 6 – 15) nằm trong khoảng từ 18° đến 45° và tốt nhất là 28°( đối với không gian nội thất có thể lớn hơn khoảng 60°). Hình 6 – 16 cho phối cảnh đẹp mắt do vị trí điểm nhìn so với vật thể biểu diễn có khoảng cách hợp lí ( khoảng cách M212 ≥ d = đường kính lớn nhất của vật thể). Hình 6 – 17 có phối cảnh bị biến dạng do vị trí điểm nhìn quá gần với vật thể biểu diễn - góc nhìn β=60° là quá lớn đối với phối cảnh ngoại thất công trình. 5.3. Chọn cao độ điểm nhìn Tùy thuộc vào quy mô, độ lớn và từng trường hợp cụ thể của đối tượng biểu diễn mà ta chọn cao độ điểm nhìn (đường tầm mắt) cho phù hợp.

140

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 – 18 bao gồm năm hình vẽ mô tả phối cảnh của một công trình tương ứng với năm vị trí có cao độ điểm nhìn khác nhau.

Hình 10-09d Hình 10-09c

Hình 6 – 18a (hình dưới cùng) với đường tầm mắt khá thấp, cao độ điểm nhìn thấp hơn đường đáy tranh đ. Trường hợp này thích hợp dùng để vẽ phối cảnh đối với các công trình đặt trên địa hình đồi núi. Hình 6 – 18b cao độ điểm nhìn trùng với đường đáy tranh đ. Trong trường hợp này chúng ta hạn chế sử dụng bởi khoảng đáy của công trình bị suy biến nên hình biểu diễn không đẹp, đồng thời việc dựng hình cũng trở nên khó khăn hơn.

Hình 10-09b

Hình 10-09a

Hình 10-09

Hình 6 – 18c độ cao điểm Hình 6-18 nhìn được chọn gần bằng với mắt người quan sát công trình đó. Nên vị trí đường tầm mắt này thường dùng nhiều để vẽ phối cảnh cho các công trình nhỏ, đơn lẻ .v.v.. Hình 6 – 18 d,e cao độ điểm nhìn được chọn khá cao thích hợp cho việc vẽ phối cảnh các công trình lớn, khu hoặc tiểu khu gồm nhiều công trình.v.v.. 6. CÁC PHƯƠNG PHÁP HỖ TRỢ DỰNG HÌNH PHỐI CẢNH 6.1. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ Trên hình 6 - 19a mô tả cách chia đoạn thẳng AB thành 4 phần (hoặc n phần) bằng nhau theo định lý Thales. Tương ứng trên hình chiếu phối cảnh và phối cảnh chân của đoạn thẳng AB ta có thể thực hiện cách chia đó như sau : (hình 6 - 19b).

141

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Qua A'2 vẽ đoạn thẳng 01 có độ dài là a song song với đáy tranh đ và t, muốn chia AB thành 4 đoạn bằng nhau ta vẽ thêm ba đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau với độ dài là a tại các mút điểm 2, 3 và 4. Gọi F’ = 4B'2  t là điềm tụ của đường thẳng 4B'2 khi kéo dài ra vô tận (F’ t). Theo quy luật của hình chiếu phối cảnh các đường thẳng song song đi qua các điểm 1, 2, 3 và 4 sẽ có chung điểm tụ là F’ nên từ F’ ta nối về các điểm 1, 2, 3. Các tia nối này sẽ cắt đoạn thẳng A'2B'2 phối cảnh chân của AB tại các điểm chia 1'2, 2'2, 3'2 với độ dài bằng nhau là a'2. Áp dụng tính chất liên thuộc của điểm và đường thẳng gióng lên trên ta được các điểm chia tương ứng 1’, 2’ và 3’ với độ dài bằng nhau là a’ trên A’B’.

Hình 9-10a Hình 6-19a

Hình 6 - 19c ví dụ về việc áp dụng phương pháp chia đoạn thẳng theo tỉ lệ để bố trí các thành theo phương dọc và phương ngang (cao độ các tầng) trên mặt đứng, mặt bên của một công trình kiến trúc khi biểu diễn hình chiếu phối cảnh của nó.

Hình 10-10b Hình 9-10b

Hình 6-19b

Hình 6-19c 142

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

6.2. Xây dựng lưới ô vuông trong không gian nội thất Trong trường hợp vẽ phối cảnh của một không gian nội thất, nếu không gian đó có quá nhiều vật dụng trang trí hoặc nhiều chi tiết. Việc vẽ phối cảnh chỉ đòi hỏi tính tương đối không cần phải chính xác thì người ta thường sử dụng đến lưới ô vuông để hỗ trợ trong quá trình dựng hình. Lưới ô vuông được phủ đều lên trên mặt bằng nội thất công trình, sau đó người ta biểu diễn hình chiếu phối cảnh của hệ lưới ô vuông và dựa vào đó để vẽ phối cảnh nội thất bên trong. Vị trí của lưới ô vuông phụ thuộc vào mặt bằng đặt vật thể của không gian nội thất, có thể các cạnh của hệ lưới vuông góc hoặc tạo một góc α nào đó so với mặt tranh. Hình 6 - 20a là trường hợp lưới ô vuông có các đường vuông góc với măt tranh, (phối cảnh một điểm tụ) các đường này tụ vào một điểm F'  F'2  t. Sau khi vẽ phối cảnh các đường vuông góc với mặt tranh ta tiếp tục vẽ đường chéo hình vuông có điểm tụ là D’. Đường chéo này cắt các đường vuông góc với tranh tại các mút điểm giúp ta vẽ phối cảnh các đường song song với đáy tranh.

Hình 6 - 20a 143

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 6 - 12b trường hợp các cạnh của lưới ô vuông tạo một góc 30°, 60° so với mặt tranh (phối cảnh hai điểm tụ). Trong trường hợp này ta có thể vẽ lưới ô vuông thông qua phương pháp chia đoạn thẳng theo tỉ lệ, các mút điểm được chia ta nối về điểm tụ G'  G'2, sau đó ta vẽ phối cảnh đường chéo hình vuông có điểm tụ là D’. Giao của đường chéo với các đường thẳng nối về G'  G'2 cho phép ta vẽ phối cảnh các đường thẳng tụ về F' F'2. Sau khi lưới ô vuông được thiết lập thì việc vẽ phối cảnh cho các thành phần tiêp theo bên trong không gian nội thất cần biểu diễn trở nên dễ dàng hơn.

Hình 6 - 20b 144

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

6.3. Dùng tường bên đặt độ cao Để tránh nhầm lẫn khi vẽ phối cảnh một vật thể hoặc một công trình có nhiều độ cao khác nhau, người ta thường dùng một mặt phẳng chiếu bằng bất kì hay còn gọi là tường bên để đặt độ cao. Mặt phẳng chiếu bằng này giao với mặt tranh theo một giao tuyến và như chúng ta biết giao tuyến đó chính là chiều cao thật của đối tượng khi vẽ trên mặt tranh. Như vậy thông qua tường bên ta sẽ thực hiện việc đặt độ cao của vật thể trên mặt tranh như sau : (hình 6 - 21) Gọi A, B, C là ba điểm nằm trên vật thể tại ba vị trí có độ cao khác nhau. Để đặt độ cao của ba điểm A, B, C ta vẽ một mặt phẳng chiếu bằng Q bất kì cắt mặt tranh theo các đoạn giao tuyến 0 1, 1 2 và 2 3 tương ứng với độ cao của các điểm A, B và C khi ta gióng ngang qua. Trên mặt phẳng Q lần lượt vẽ các đường thẳng bằng a, b, c đi qua các điểm 1, 2, 3. Giả sử ta đã vẽ được phối cảnh chân A'2, B'2, C'2 của các điểm A, B, C thông qua các đường thẳng bằng đi qua nó. Như vậy để xác định A’ thì qua A'2 vẽ một đường thẳng song song đáy tranh đ đến cắt đường thẳng chân tường bên tại một điểm ta gióng thẳng đứng lên đường thẳng bằng a sau đó kẻ ngang qua. Từ A'2cũng gióng thẳng đứng lên cắt đường kẻ ngang qua tại một điểm chính là phối cảnh A’. Làm tương tự đối với điểm B và C ta có được B’ và C’.

Hình 6 - 21 145

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Sau khi vẽ phối cảnh của các điểm A’, B’, C’ ta nối về các điểm tụ F’, G’ đồng thời kết hợp với phối cảnh chân của vật thể ta gióng thẳng đứng lên các đường tụ về F’ và G’ để giới hạn lại các thành phần cần dựng của vật thể. Phối cảnh của vật thể sẽ được dựng một cánh nhanh chóng thông qua phương pháp này. 7. ỨNG DỤNG DỰNG MỘT TỔ HỢP KHỐI CƠ BẢN VÀ CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC 7.1. Dựng một tổ hợp khối dạng bố cục hình học Trên hình 6 - 22 trình bày cách vẽ phối cảnh của một tổ hợp khối bố cục hình học theo mặt tranh, điểm nhìn và cao độ điểm nhìn chọn trước. Từ vị trí điểm nhìn và mặt bằng đặt vật thể ta dễ dàng xác định được hai hướng tụ F ' F'2 và G'  G'2. Như vậy để đặt độ cao các tọa độ điểm cần dựng của vật thể ta dùng các đường thẳng bằng đi qua và kết hợp với đường thẳng chiếu phối cảnh hoặc đường thẳng bằng thứ hai theo hai cách đã học để xác định vị trí các điểm cần dựng trên mặt tranh. Trong trường hợp này chúng ta cũng có thể sử dụng đến phương pháp tường bên đặt độ cao để dựng.

Hình 6 - 22

7.2. Dựng một tổ hợp khối dạng tượng đài Tương tự, hình 6 - 23 trình bày cách dựng phối cảnh một tổ hợp khối dạng tượng đài thông qua hai cách dùng trên. Ngoài ra, người ta cũng có thể dùng thêm phương pháp chia đoạn thẳng theo tỉ lệ để xác định các bậc giật cấp có khoảng cách bằng nhau. Riêng đối với cổng vòm phần phía trên là hình bán nguyệt ta cần xác định phối cảnh hình chữ nhật ngoại tiếp nữa đường tròn để có tương ứng với 5 vị trí nút điểm (nhờ 146

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

vào hai đường chéo và ba vị trí tiếp xúc) cho phép chúng ta vẽ cung elip trên măt tranh.

Hình 6 - 23 7.3. Dựng vật thể trong nội thất - bộ bàn ghế sofa

Hình 6 - 24 147

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 6 - 24 trình bày cách dựng phối cảnh trong không gian nội thất - bộ bàn ghế sofa, người ta thường dùng đến hệ lưới ô vuông trong việc xác định các vị trí điểm cần dựng của vật thể, còn độ cao của các điểm đó được xác định nhờ phương pháp tường bên hoặc dùng nguyên tắc đặc độ cao thông qua các đường thẳng bằng. 7.4. Dựng tam cấp cầu thang

Hình 6 - 25

Hình 6-25 trình bày cách dựng phối cảnh bậc tam cấp tương tự như dựng phần đế của tổ hợp khối dạng tượng đài cũng thông qua phương pháp chia đoạn thẳng theo tỉ lệ kết hợp với một trong hai cách đã học (vẽ hai đường thẳng bằng hoặc một đường thẳng bằng và một đường thẳng chiếu phối cảnh).

-----------------------------------------------------------------------------------BÀI TẬP TỰ LUYỆN Hãy vẽ hình chiếu phối cảnh của các vật thể thông qua hai hình chiếu thẳng góc đã bố trí như các hình vẽ từ 6-26 đến 6-30.

148

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 - 26

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

149

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 - 27

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

150

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 - 28

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

151

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 - 29

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

152

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 6 - 30

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

153

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

BÀI 7. BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH 1. CÁC LOẠI NGUỒN SÁNG ĐIỂM TRONG HỆ THỐNG HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH Theo quy ước trong trường hợp chung về nguồn sáng, tia sáng mà chúng ta đã học thì hình chiếu của nguồn sáng được xem như là một điểm và tia sáng là một đường thẳng. Do đó, việc tìm bóng đối với nguồn sáng điểm là hữu hạn hay vô tận về nguyên tắc đều giống nhau. 1.1. Nguồn sáng điểm hữu hạn

Hình 7 - 01

Hình 7 - 02

Nguồn sáng điểm hữu hạn là nguồn sáng phát ra chùm tia đi đến mọi hướng như một bóng đèn hoặc một ngọn đuốc (nguồn xuyên tâm), nguồn này thường xuyên được sử dụng để đổ bóng cho các vật dụng trong không gian nội thất công trình. Đối với nguồn sáng hữu hạn ta có hai vị trí để đặt nguồn sáng, mỗi vị trí nó sẽ quyết định đến hướng bóng đổ khác nhau, vị trí thứ nhất nguồn sáng S hữu hạn trước mặt người quan sát (hình 7 - 01) và vị trí thứ hai nguồn sáng S hữu hạn thuộc mặt phẳng trung hòa H (hình 7 - 02). Mặt phẳng trung hòa H (hình 7 - 06) là mặt phẳng đi qua vị trí điểm nhìn M vuông góc với mặt phẳng vật thể V và song song với mặt tranh T. Do đó, nguồn sáng S hữu hạn thuộc H sẽ có hình biểu diễn trên mặt tranh là cặp tia S'∞ và S'2 ∞ như hình vẽ hình 7 - 02. 1.2. Nguồn sáng điểm vô tận Nguồn sáng điểm vô tận là nguồn sáng Mặt trời phát ra các tia song song dùng để đổ bóng ngoại thất công trình. Khi quan sát công trình, vị trí mặt trời có thể ở phía trước hoặc phía sau, bên trái hoặc bên phải công trình đó. Nên ta có ba trường hợp đặt nguồn sáng điểm vô tận như sau: Nguồn sáng S∞ trước mặt người quan sát (hình 7 - 03). Nguồn sáng S∞ thuộc mặt phẳng trung hòa H (hình 7 - 04). Nguồn sáng S∞ phía sau lưng người quan sát (hình 7 - 05).

154

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 7 - 03

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 7 - 04

Hình 7 - 05 Hình 7 - 06

2. BÓNG ĐỔ CỦA MỘT ĐIỂM 2.1. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng vật thể

Hình 7 - 07

Hình 7 - 08

Giả sử ta có một nguồn sáng S hữu hạn và một điểm A trên mặt tranh (hình 10 - 07), để tìm bóng của điểm A thông qua nguồn sáng S hữu hạn này ta thực hiện như sau:

155

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Từ nguồn S ta kẻ một tia sáng đi qua A, tương ứng với việc trên mặt tranh nối S'A' và S'2A'2, ta có S'A'  S'2A'2 = A'b chính là bóng của điểm A cần xác định. Lưu ý trường hợp này chỉ đúng khi nguồn sáng điểm hữu hạn có khoảng cách so với mặt phẳng vật thể V ở vị trí cao hơn vị trí của điểm A tức là H' > h'. Trường hợp ngược lại H' < h'chúng ta không cần phải xác định, do bóng của nó không tồn tại trên mặt phẳng vật thể V. Tương tự, cách tìm bóng đối với nguồn sáng điểm vô tận (hình 7 - 08) ta cũng nối S'A' và S'2A'2 hai tia này cắt tại điểm A'b , chính là bóng cần tìm của điểm A. Và trong trường hợp này bóng của điểm A luôn luôn tồn tại trên mặt phẳng vật thể V. Như vậy, thông qua trường hợp điểm đổ bóng lên mặt phẳng vật thể chúng ta có các nhận xét sau: - Vị trí của đoạn thẳng S'S'2 trên t qui định hướng của tia sáng - Độ dài S'S'2 qui định độ dốc của tia sáng - Mặt phẳng chứa tia sáng S'A', S'2A'2 là mặt phẳng chiếu bằng Từ 3 nhận xét trên người ta có thể suy ra phương pháp đổ bóng chủ động trên hình chiếu phối cảnh. 2.2. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng chiếu bằng

Hình 7 - 09a

Hình 7 - 09b

Để bóng của điểm A rớt lên trên mặt phẳng chiếu bằng người ta chọn nguồn sáng S∞ phía sau lưng người quan sát như hình 7 - 09a. Sau đó, nối S'A' và S'2A'2 chúng sẽ cắt nhau tại A'b (hình 7 - 09b). Tuy nhiên trong trường này A'b chỉ mang tính chất ảo, bóng của nó không có thật bởi mặt phẳng chiếu bằng đã hứng nó. Do đó, để xác định A'b thật nằm trên mặt phẳng chiếu bằng thì theo nhận xét thứ 3 ở tiểu mục 2.1 mặt phẳng chứa tia sáng S' A', S'2A'2 cũng là mặt phẳng chiếu bằng nên ta dễ dàng xác định được giao tuyến giữa hai mặt phẳng đó, giao tuyến này giúp ta dễ dàng xác định được vị trí A'b thật (hình 7 - 09b).

156

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

2.3. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng bất kỳ

Hình 7 - 10

Đối với trường hợp điểm đổ bóng lên mặt nghiêng bất kỳ ta làm tương tự, tuy nhiên trong trường hợp này để xác định giao tuyến chung của mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng chứa tia sáng S' A', S'2 A'2 thì cần đến sự hổ trợ của mặt phẳng dựng đứng phía sau lưng mặt phẳng nghiêng (là mặt phẳng chiếu bằng) từ đó ta dễ dàng xác định được giao tuyến chung của nó và vị trí A'b thật sẽ được xác định (hình 7 - 10). 3. BÓNG ĐỔ CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 3.1. Bóng đổ của đoạn thẳng rớt trên một mặt phẳng

Hình 7 - 11

Để đổ bóng của đường thẳng ta chỉ cần lấy trên đường thẳng đó ra 2 điểm bất kỳ A, B và lần lượt tìm bóng của từng điểm một dựa vào cách vẽ bóng của điểm ở trên ta sẽ có bóng cần vẽ của đoạn thẳng AB (hình 7 - 11).

157

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

3.2. Bóng đổ của đoạn thẳng rớt trên hai mặt phẳng khác nhau

Hình 7 -12a

Hình 7 - 12b

Để bóng đổ của đoạn thẳng rớt lên hai mặt phẳng khác nhau người ta đặt vị trí của đoạn thẳng AB, mặt phẳng nghiêng bất kỳ và vị trí nguồn sáng S∞ như hình vẽ (hình 7 - 12a). Trong trường hợp này bóng của đoạn thẳng AB sẽ có một phần nằm trên mặt phẳng vật thể V phần còn lại nằm hoàn toàn trên mặt phẳng nghiêng bất kỳ (hình 7 - 12b). Và cách xác định như sau: Nối hai tia S'A' và S'2A'2 chúng cắt nhau tại A'b là bóng của điểm A nằm trên mặt đất (mặt phẳng vật thể), tương tự với điểm B ta cũng kẻ hai tia S'B' và S'2B'2 chúng cắt nhau tại B'b cũng nằm trên mặt phẳng vật thể V. Ta nối A'b B'b chính là bóng của đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn trên mặt đất và trường hợp này chỉ đúng khi không tồn tại phẳng nghiêng bất kỳ, do đó B'b chỉ mang tính chất ảo như trường hợp đã xét ở trên. Tuy nhiên nhờ vào phần bóng giả định mang tính chất ảo này mà ta biết được một phần bóng của đoạn thẳng AB nằm trên mặt phẳng vật thể và vị trí bóng gãy khúc của đoạn thẳng AB như hình vẽ. Ta chỉ cần xác định thêm vị trí B'b thật nằm trên mặt phẳng nghiêng (theo hướng dẫn ở trên tiểu mục 2.3) sau đó nối về vị trí gãy khúc sẽ xác định được phần bóng còn lại của AB nằm trên mặt phẳng nghiêng. 3.3. Các nguyên tắc đổ bóng của đoạn thẳng dưới nguồn vô tận (hình 7 - 13) Nguyên tắc 1: Trên mặt tranh nếu như ta có một đường thẳng a song song với mặt phẳng Q, đường thẳng a đồng thời đổ bóng lên mặt phẳng Q thì từ hai điều kiện này ta có thể suy ra bóng của đường thẳng a song song với chính nó. Nguyên tắc 2: Trên hình chiếu phối cảnh ta có hai đường thẳng a và b song song nhau, hai đường thẳng này cùng đổ bóng lên mặt phẳng Q thì ta có thể suy ra bóng của đường thẳng a và b cũng song song nhau.

158

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Nguyền tắc 3: Có hai mặt phẳng P và Q song song nhau và một đoạn thẳng ACB cùng lúc đổ bóng lên hai mặt phẳng đó thì ta có thể suy ra bóng của đoạn thẳng ABC đó nằm trên hai mặt phẳng P và Q cũng song song nhau. Nguyên tắc 4: Trên mặt tranh ta có phối cảnh của đường thẳng d và mặt phẳng Q. Nếu ta kéo dài đường thẳng d cho cắt với mặt phẳng Q tại một điểm A, đồng thời bóng của đường thẳng d đổ lên mặt phẳng Q đó thì ta có thể suy ra tại vị trí giao điểm A của d và Q có bóng của A trùng chính nó. Lưu ý: thuật ngữ song song trong phối cảnh có nghĩa là có chung một điểm tụ.

Hình 7 - 13

4. THỰC HÀNH ĐỔ BÓNG CÁC KHỐI HÌNH HỌC CƠ BẢN & CHI TIẾT KIẾN TRÚC 4.1. Bóng đổ của khối hộp

Hình 7 - 14

159

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 7 - 14 trình bày cách đổ bóng của khối hộp. Với vị trí đặt nguồn sáng S∞ như hình vẽ ta dễ dàng xác định được ranh giới sáng tối và vùng bóng bản thân nằm phía bên phải của khối hộp. Đường ranh giới sáng tối được ký hiệu 1'2', 2'3', 3'4' và 4'5' hay còn gọi là đường bao bóng bản thân của vật thể, bóng của nó chính là bóng đổ của khối hộp được thực hiện như sau: Ta có 1'  1'b và 5'  5'b, bóng của nó trùng với chính nó theo nguyên tắc 4. Sau đó, áp dụng cách tìm bóng của một điểm đối với các điểm 2', 3' và 4' ta sẽ có lần lượt các vị trí 2'b, 3'b và 4'b. Nối các điểm bóng đó lại với nhau ta sẽ có bóng đổ của khối hộp cần tìm. Lưu ý rằng trong trường hợp này đối với các điểm 3', 4' chúng ta cũng có thể áp dụng theo nguyên tắc 1 để xác định bóng đổ của nó. 4.2. Bóng đổ của khối trụ

Hình 7 - 15

Đối với khối trụ (hình 7 - 15) ta thực hiện như sau: đầu tiên từ S'2 kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đáy của khối trụ, tại vị trí tiếp xúc này cho ta đường ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối của vật thể (hay còn gọi là đường bao bóng bản thân của vật thể). Lần lược ta ký hiệu các nút điểm 1', 2', 3', 4' và 5' ở trên đường ranh giới trên nắp trụ, tương ứng phối cảnh chân của nó ở đáy trụ là 1'2, 2'2, 3'2, 4'2 và 5'2. Sau đó áp dụng cách xác định điểm đổ bóng lên mặt phẳng vật thể đối với từng điểm một và nối lại ta có bóng cần tìm. 4.3. Bóng đổ của khối nón Riêng đối với cách tìm bóng của khối nón thì ta chỉ cần xác định bóng đổ của đỉnh nón O' trên mặt phẳng vật thể (hình 7 - 16), tại vị trí O'b ta cũng kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đáy nón tại hai điểm 1' và 2' sau đó nối lên đỉnh O' ta sẽ có vùng bóng đổ và bóng bản thân cần tìm của khối nón. 160

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 7 - 16

4.4. Bóng đổ của ô văng, hốc tường

Hình 7 - 17

Hình 7 - 17 trình bày cách tìm bóng đổ của ô văng và hốc tường: đầu tiên để đổ bóng cho hốc tường ta lấy điểm 1' như hình vẽ, áp dụng cách tìm bóng của điểm rớt lên mặt phẳng chiếu bằng ta có 1'b nằm bên trong hốc tường. Qua 1' ta có hai cạnh cho bóng đi qua nó, một cạnh nằm ngang và cạnh thẳng đứng. Do đó, tương ứng với vị trí 1'b ta vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai cạnh đi qua 1', ta sẽ có phần bóng đổ bên trong hốc tường cần tìm. Đối với phần bóng của ô văng đưa ra ta thấy rằng một phần bóng của nó rớt vào bên trong hốc tường, phần còn lại nằm hoàn toàn trên mặt tường và cách xác định vị trí của nó như sau: các cạnh 7' 3', 3' 4', 4' 5' và 5' 6' sẽ là các thành phần cho bóng đổ của ô văng lên trên mặt tường và hốc tường. Theo nguyên tắc 4 ta có 6'  6'b, 7'  7'b, 161

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

ngoài ra áp dụng cách tìm bóng của điểm rớt lên mặt phẳng chiếu bằng đối với các điểm còn lại 3', 4' và 5' ta sẽ có các vị trí cần tìm của 3'b, 4'b, 5'b, nối lại ta có phần bóng của ô văng đổ lên mặt tường. Tuy nhiên, riêng đối với cạnh 4' 5' chúng ta cần lưu ý sẽ có một phần bóng của nó rơi vào bên trong, phần bóng này được xác định bằng cách lấy một điểm 8' bất kỳ trên cạnh 4' 5', sau đó tìm vị trí của 8'b nằm mặt trong hốc tường, qua vị trí 8'b này ta vẽ một đoạn thẳng song song với cạnh 4' 5' ta sẽ có được phần bóng đổ nằm bên trong. 4.5. Bóng đổ của một không gian nội thất

Hình 7 - 18

Đối với không gian nội thất người ta thường sử dụng đến nguồn sáng S (S', S'2) hữu hạn là một bóng đèn để đổ bóng. Trong không gian này (hình 7- 18) ta cần đổ bóng của 5 thành phần sau: Tủ, giường và Tab đầu giường, đôn ghế tròn và hốc tường. Với vị trí S(S', S'2) theo đề ra thì ta dễ dàng xác định được bóng bản thân và các cạnh của tủ cho bóng, cạnh tủ 1' 2' và 2' 3', đối với 1' 2' (thông qua cách tìm bóng của điểm đổ lên mặt phẳng chiếu bằng) sẽ có một phần bóng của nó nằm trên nền nhà và phần còn lại nằm trên tường kết thúc bởi 2'b, từ 2'b nối về 3'  3'b ta có bóng cần tìm của tủ như hình vẽ. Tương tự, đối với giường và tab đầu giường ta cũng xác định các vùng bóng bản thân và các cạnh sẽ cho bóng đổ lên nền đó là 4' 5', 5' 6', 6' 7', và 7' 8'. Và ta có 4'  4'b, 8' 162

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

 8'b, ta xác định thêm bóng đổ của 5', 6', 7' (thông qua cách tìm bóng của điểm đổ lên mặt phẳng vật thể) ta có 5'b, 6'b, 7'b và nối lại. Lưu ý đối với hai cạnh 4' 5' và 7' 8' ta áp dụng nguyên tắc 1 để xác định phần bóng nằm trên mặt tường. Đôn ghế tròn tương tự như cách tìm bóng của khối trụ nên ta có thể xem cách trình bày ở tiểu mục 4.2. Hốc tường ta cũng có thể tham khảo cách trình bày ở tiểu mục 4.4. 4.6. Bóng đổ của mái nhà, cửa sổ mái và ống khói

Hình 7 - 19

Hình 7 - 19 trình bày cách xác định bóng của mái nhà, của sổ mái và ống khói. Đối với ống khói ta xác định phần bóng bản thân và bóng đổ giống như cách đi tìm bóng của khối hộp, bằng cách xác định vị trí phối cảnh chân 5'2, 6'2, 7'2 của các điểm 5', 6', 7' trên đường bao bóng bản thân của ống khói như hình vẽ. Sau đó áp dụng cách tìm bóng của điểm đổ lên mặt phẳng vật thể ta có vị trí của 5'b, 6'b, 7'b, và tại vị trí 5'b và 7'b ta nối về phối cảnh chân 5'2 và 7'2 ta có phần bóng cần tìm của ống khói, riêng trong trường hợp này ta cần xác định thêm một phần bóng nhỏ của nó nằm trên mặt mái phía trước bằng cách từ phối cảnh chân 5'2 ta nối về S'2, tia này cắt mặt phẳng đi qua đỉnh mái tại một điểm, từ điểm đó ta gióng thẳng lên trên đỉnh mái cạnh 2' 3' sau đó nối về 4'  4'b sẽ có phần bóng nhỏ của ống khói trên mái cần tìm. Tiếp tục phần mái ta xác định bóng của nó bởi hai cạnh 1' 2' và 2' 3', ta có 1'  1'b, nối 2'2 với S'2 và 2' với S' ta xác định được 2'b. Nối 1'b với 2'b ta có bóng của cạnh 1' 2'. Cạnh 2' 3' trên đỉnh mái song song với mặt phẳng vật thể nên theo nguyên tắc 1 từ 2'b ta nối về điểm tụ F'  F'2 sẽ có bóng đi tiếp của cạnh 2' 3' tại vị trí 2'b. Giao hai thành phần bóng đổ của ống khói và mái nhà ta có kết quả cuối cùng như hình vẽ phía bên phải (hình 7 - 19). Đối với cửa sổ mái bóng của nó sẽ đổ hoàn toàn lên mặt mái nhà phía trước thông qua hai cạnh 8' 9' và 9' 10'. Ta đã có 8'  8'b và 10'  10'b (theo nguyên tắc 4). Áp dụng 163

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

cho trường hợp điểm đổ bóng lên mặt nghiêng bất kỳ đối với 9' ta có 9'b và nối về 8'b, 10'b ta có phần bóng của sổ mái cần tìm. Phần mái cao tương tự cửa sổ mái ta cũng có 2 cạnh 11' 12' và 12' 13' sẽ cho bóng đổ. Đối với cạnh 11' 12' ta áp dụng cách tìm bóng của điểm 12' rớt lên mặt phẳng nghiêng bất kỳ để xác định một phần bóng của nó nằm trên mặt đất và một phần nằm trên mặt mái nghiêng thông qua vị trí 12'b ảo và 12'b thật. Phần bóng đi tiếp trên mái nghiêng tại vị trí 12'b sẽ được xác định thông qua nguyên tắc 4 khi ta mở rộng mặt phẳng nhận bóng (mặt mái nhỏ phía trước) cho cắt cạnh cho bóng 12' 13' tại điểm 14' có bóng trùng chính nó và nối về 12'b trên mái nghiêng ta sẽ có phần bóng đi tiếp tại vị trí 12'b của cạnh 12' 13'. 4.7. Bóng đổ của tam cấp, cầu thang

Hình 7 - 20

Hình 7 - 20 trình bày cách vẽ bóng đổ bậc tham cấp theo nguồn sáng S∞ thuộc mặt phẳng trung hòa H cho hướng ánh sáng từ trái qua phải. Với hướng sáng này ta dễ dàng xác định được đường bao bóng bản thân của vật thể theo thứ tự các nút điểm được ký hiệu từ 1' đến 11' như hình vẽ. Đầu tiên ta xác định bóng đổ cạnh 1' 2' bằng cách từ 2'2 kẻ đường song song với S'2∞ và 2' kẻ song song S'∞ ta sẽ xác định được vị trí 2'b và nối về 1'  1'b ta có bóng của cạnh 1' 2'.

164

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Cạnh 2' 3' song song với mặt phẳng vật thể nên từ 2'b ta nối về G'  G'2 (theo nguyên tắc 1) và từ 3' nối về S'∞ (kẻ song song) ta sẽ giới hạn được đoạn bóng đổ của 2' 3' là 2'b 3'b như hình vẽ. Các cạnh 3' 4', 5' 6' ta xác định tương tự như cạnh 1' 2' và cạnh 4' 5' ta làm tương tự như cạnh 2' 3'. Riêng đối với cạnh 6' 7' chúng ta cần lưu ý sẽ có một phần bóng nằm trên mặt phẳng vật thể và phần còn lại trải dài trên mặt tường chắn kết thúc tại điểm 7'  7'b. Với các cạnh 8' 9', 9' 10' và 10' 11' của bức tường chắn bên trái sẽ cho bóng đổ lên nhiều mặt phẳng khá nhau và chúng lần lượt được xác định như sau: 8'b 9'b của cạnh 8' 9' chúng ta xác định tương tự như cạnh 1' 2'. Tại vị trí 9'b ta tiếp tục đổ bóng đi tiếp của cạnh 9' 10' bằng cách nhờ vào 10'b (ảo). Các thành phần bóng đổ tiếp theo của cạnh 9' 10' lên các mặt bậc được xác định đều thông qua nguyên tắc 4 khi ta mở rộng các mặt đó ra cho cắt cạnh cho bóng 9' 10' tại các điểm bóng trùng chính nó như: P' (giúp ta xác định bóng đổ trên mặt dựng đứng của bậc thứ nhất) M' (giúp ta xác định bóng đổ ở mặt trên của bậc thứ nhất) N' (giúp ta xác định bóng đổ trên mặt dựng đứng của bậc thứ hai) và O' (giúp ta xác định bóng đổ ở mặt trên của bậc thứ hai) đến khi nào kết thúc phần bóng của nó tại ví trí 10'b thật như hình vẽ. Cạnh 10' 11' lúc này song song với các mặt bậc còn lại nên ta dễ dàng xác định phần bóng trên các mặt bậc này khi ta nối về điểm tụ G'  G'2 thông qua nguyên tắc 1. Tại vị trí bóng trên mặt dựng đứng của bậc thứ 3 ta làm tương tự như bậc 1 và 2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Hãy vẽ bóng trên hình chiếu phối cảnh của các vật thể được bố trí như các hình vẽ từ 7-21 đến 7-27

165

Hình 7 - 21

Hình 7 - 22

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

166

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 7 - 23

Hình 7 - 25

Hình 7 - 24

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

167

Hình 7 - 26

Hình 7 - 27

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

168

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hình học họa hình (tập 1) - Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Môn - Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội, 2015. 2. Hình học họa hình (tập 2) - Nguyễn Đình Điện, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn Tuấn - Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội, 1996. 3. Hình học họa hình Bóng - Phối cảnh - Văn Đình Thông - Đại học Kiến Trúc TP.HCM, 1999. 4. Hình học họa hình (tập 2) - Nguyễn Quang Cự, Đoàn Như Kim, Dương Tiến Thọ - Nhà xuất bản Giáo Dục, Hà Nội, 2009. 5. Hướng dẫn giải bài tập hình học họa hình - Nguyễn Quang Cự, Nguyễn Mạnh Dũng - Nhà xuất bản Xây Dựng, Hà Nội, 2012. 6. Vẽ phối cảnh kiến trúc và CAD - Vũ Tiến Đạt - Nhà xuất bản Xây Dựng, Hà Nội, 2014. 7. Vẽ bóng kiến trúc và CAD - Vũ Tiến Đạt - Nhà xuất bản Xây Dựng, Hà Nội, 2014. 8. Hình học họa hình – Hình chiếu phối cảnh - Trần Hữu Anh tuấn - Đại học Kiến Trúc TP.HCM, 2008.

169

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

MỤC LỤC BÀI MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………………..1 1. TỔNG QUAN VỀ MÔN HỌC ................................................................................ 1 1.1. Giới thiệu ................................................................................................................... 1 1.2. Định nghĩa môn học ................................................................................................... 2

2. MỤC ĐÍCH CỦA MÔN HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC ...................................... 2 2.1. Mục đích của môn học ............................................................................................ 2 2.2. Phương pháp học ...................................................................................................... 2

3. QUI ƯỚC VỀ KÝ HIỆU BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC ............................. 3 4. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH ..................................... 3 4.1. Phép chiếu ............................................................................................................... 3 4.2. Tương ứng 1-1 ........................................................................................................ 4 4.3. Sự Suy Biến ............................................................................................................. 5 5. BỔ SUNG YẾU TỐ VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE 3 CHIỀU ................................................................................................................................... 5 6. CÁC PHÉP CHIẾU ................................................................................................ 6 6.1. Phép chiếu xuyên tâm............................................................................................ 6 6.2. Phép chiếu song song............................................................................................ 7 6.3. Phép chiếu thẳng góc ............................................................................................ 8 7. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH . 8 7.1. Phương pháp hình chiếu thẳng góc ..................................................................... 8 7.2. Phương pháp hình chiếu trục đo .......................................................................... 9 7.3. Phương pháp hình chiếu phối cảnh ..................................................................... 9 7.4. Phương pháp hình chiếu có đánh số ................................................................. 10

PHẦN 1 - PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

BÀI 1. BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC.………………………………………………...12 A. HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU………………………………………...12 170

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC .................. 12 2. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM ...................................................................................... 13 2.1. Thành lập đồ thức của một điểm ................................................................... 13 2.2. Các điểm đặc biệt.......................................................................................... 14 3. ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................................................ 15 3.1. Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường) ....................................... 15 3.2. Các đường thẳng thường gặp....................................................................... 16 4. SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ............................................. 19 4.1. Điểm thuộc đường thẳng thường .................................................................. 19 4.2. Điểm thuộc đường thẳng cạnh ...................................................................... 20 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ..................................................... 21 5.1. Trường hợp hai đường thẳng thường ........................................................... 21 5.2. Trường hợp đường thẳng thường và đường thẳng cạnh ............................ 22 5.3. Trường hợp hai đường thẳng cạnh .............................................................. 24 6. MẶT PHẲNG ............................................................................................................... 25 6.1. Thành lập đồ thức của mặt phẳng................................................................. 25 6.2. Các mặt phẳng thường gặp .......................................................................... 28 7. VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ........................................................ 31 7.1. Vết của đường thẳng .................................................................................... 31 7.2. Vết của mặt phẳng ........................................................................................ 31 8. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG ........................ 34 8.1. Cơ sở của sự liên thuộc trên đồ thức ............................................................ 34 8.2. Sự liên thuộc của điểm trên mặt phẳng vết ................................................... 38 8.3. Các ví dụ về bài toán liên thuộc của điểm - đường thẳng - mặt phẳng ......... 42 B. HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU……………………………………….....45 9. BỔ SUNG HÌNH CHIẾU THỨ BA VÀO HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ........................................................................................................................................... 45

10. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM .................................................................................... 46 11. DỰNG HÌNH CHIẾU THỨ BA KHI ĐÃ BIẾT HAI HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM ..... 47

171

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

12. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẠNH TRONG HỆ THỐNG BA MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ........................................................................................ 49

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 50

BÀI 2. BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC……………………………......54 1. SỰ THẤY-KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC .................................................................. 54 2. BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC ..................................................................... 56 2.1. Biểu diễn các vật thể cơ khí - kỹ thuật ........................................................... 56 2.2. Biểu diễn các chi tiết kiến trúc ....................................................................... 57 2.3. Biểu diễn các công trình kiến trúc ................................................................. 59

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 60 BÀI 3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU…………………………………....61 PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU…………………………………………...........61 1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ĐỨNG .................................................... 62 1.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 62 1.2. Tính chất ....................................................................................................... 62 1.3. Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu đứng........................................... 62 2. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG ..................................................... 65 2.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 65 2.2. Tính chất ....................................................................................................... 66 2.3. Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu bằng ........................................... 66 3. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU LIÊN TIẾP NHIỀU LẦN ........................ 69

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 71 BÀI 4. BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN..………………………………………….73 A. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT- XÉT BÀI TOÁN TÌM GIAO KHI ĐÃ BIẾT TRƯỚC MỘT PHẦN HÌNH CHIẾU CỦA GIAO TUYẾN.……………………………………………..73 1. GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................................. 74 2. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................ 76 172

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

B. TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT- XÉT BÀI TOÁN TÌM GIAO KHI CHƯA BIẾT BẤT KỲ HÌNH CHIẾU NÀO CỦA GIAO TUYẾN…………………………………………….79 3. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG VẾT ..................................................................... 79 4. GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................................. 80 5. GIAO CỦA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................ 82

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ...................................................................................................... 86 BÀI 5. BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC..…….88 1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ QUY ƯỚC VỀ BÓNG ....................................................... 89 2. BÓNG CỦA MỘT ĐIỂM .............................................................................................. 91 2.1. Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng hình chiếu P1 và P2 - loại 1 ..................... 91

2.2. Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng chiếu đứng và chiếu bằng - loại 2 ............ 92 2.3. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng bất kỳ - loại 3 .................................... 93 3. BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG ............................................................................. 94 3.1. Đoạn thẳng đổ bóng lên cùng một mặt phẳng ............................................... 94

3.2. Đoạn thẳng đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng ......................................... 96 3.3. Các nguyên tắc đổ bóng của đoạn thẳng dưới nguồn S∞ ............................. 98 4. BÓNG CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC CƠ BẢN........................................................ 100 4.1. Bóng của khối hộp ...................................................................................... 100

4.2. Bóng của khối trụ ....................................................................................... 101 4.3. Bóng của khối nón ...................................................................................... 103 4.4. Bóng của khối cầu ...................................................................................... 106 5. CÁC PHƯƠNG PHÁP VẼ BÓNG THƯỜNG DÙNG TRONG KIẾN TRÚC ........ 109 5.1. Phương pháp mặt trụ và mặt nón tiếp xúc ................................................... 109

5.2. Phương pháp mặt phẳng cắt phụ trợ .......................................................... 110 5.3. Phương pháp tia ngược .............................................................................. 112 6. BÓNG CỦA CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC ................................................................ 112 6.1. Bóng của mái nhà lên mặt đất..................................................................... 112

6.2. Bóng của ống khói và cửa sổ mái trên mái nghiêng.................................... 113 6.3. Bóng của tam cấp - cầu thang..................................................................... 115 6.4. Bóng của hốc tường.................................................................................... 117 173

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

6.5. Bóng của đầu cột và đầu giả cột ốp tường ................................................. 119

BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................................... 122

PHẦN 2 - PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH

BÀI 6. BIỂU DIỄN ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH – DỰNG PHỐI CẢNH TỪ HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC THEO PHƯƠNG PHÁP KIẾN TRÚC SƯ…………………...126 1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH................... 126 2. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM ............................................................................... 127 2.1. Thành lập đồ thức của một điểm ................................................................. 127 2.2. Các điểm đặc biệt........................................................................................ 128 3. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ............................................................ 129 3.1. Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường) ..................................... 129 3.2. Vết tranh và điểm tụ của một đường thẳng ................................................ 130 3.3. Các đường thẳng đặc biệt .......................................................................... 131 4. DỰNG PHỐI CẢNH TỪ HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC THEO PHƯƠNG PHÁP KIẾN TRÚC SƯ ................................................................................................. 132 4.1. Dựng phối cảnh một điểm .......................................................................... 132 4.2. Dựng phối cảnh của một hình hộp chữ nhật ............................................... 135 5. PHƯƠNG PHÁP CHỌN MẶT TRANH VÀ ĐIỂM NHÌN..................................... 139 5.1. Chọn mặt tranh............................................................................................ 139 2.2. Chọn vị trí điểm nhìn ................................................................................... 140 5.3. Chọn cao độ điểm nhìn ............................................................................... 140 6. CÁC PHƯƠNG PHÁP HỖ TRỢ DỰNG HÌNH PHỐI CẢNH ............................. 141 6.1. Chia đoạn thẳng tỉ lệ ................................................................................... 141 6.2. Xây dựng lưới ô vuông trong không gian nội thất ....................................... 143 6.3. Dùng tường bên đặt độ cao ........................................................................ 145 7. ỨNG DỤNG DỰNG MỘT TỔ HỢP KHỐI CƠ BẢN VÀ CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC ................................................................................................................. 146 7.1. Dựng một tổ hợp khối dạng bố cục hình học .............................................. 146 7.2. Dựng một tổ hợp khối dạng tượng đài ........................................................ 146 174

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

7.3. Dựng vật thể trong nội thất - bộ bàn ghế sofa ............................................. 147 7.4. Dựng tam câp - cầu thang ........................................................................... 148

BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................................... 148 BÀI 7. BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH………154 1. CÁC LOẠI NGUỒN SÁNG ĐIỂM TRONG HỆ THỐNG HÌNH CHIẾU PHỐI CẢNH ............................................................................................................................... 154 1.1. Nguồn sáng điểm hữu hạn ........................................................................... 154 1.2. Nguồn sáng điểm vô tận .............................................................................. 154 2. BÓNG ĐỔ CỦA MỘT ĐIỂM .............................................................................. 155 2.1. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng vật thể........................................................... 155 2.2. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng chiếu bằng .................................................... 156 2.3. Điểm đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng bất kỳ .............................................. 157 3. BÓNG ĐỔ CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG ............................................................... 157 3.1. Bóng đổ của đoạn thẳng rớt lên một mặt phẳng ......................................... 157 3.2. Bóng đổ của đoạn thẳng rớt lên hai mặt phẳng khác nhau ......................... 158 3.3. Các nguyên tắc đổ bóng của đoạn thẳng dưới nguồn vô tận ...................... 158 4. THỰC HÀNH ĐỔ BÓNG CÁC KHỐI HÌNH HỌC CƠ BẢN VÀ CHI TIẾT KIẾN TRÚC ................................................................................................................. 159 4.1. Bóng đổ của khối hộp.................................................................................. 159 4.2. Bóng đổ của khối trụ ................................................................................... 160 4.3. Bóng đổ của khối nón.................................................................................. 160 4.4. Bóng đổ của ô văng, hốc tường .................................................................. 161 4.5. Bóng đổ của một không gian nội thất .......................................................... 162 4.6. Bóng đổ của mái nhà, cửa sổ mái và ống khói............................................ 163 4.7. Bóng đổ của tam cấp, cầu thang ................................................................. 164

BÀI TẬP TỰ LUYỆN .................................................................................................... 165 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………..169

175