Математика

ПРЕДГОВОР Содржините , обработени во оваа книга се групирани и поделени во шест теми:

Тема 1 - Вектори. Транслација Тема 2 - Степен. Квадратен корен Тема 3 - Полиноми Тема 4 - Кружница и многуаголник. Плоштина Тема 5 - Функции. Пропорционалност Тема 6 - Работа со податоци Секоја тема е поделена на повеќе делови - програмски целини, а во секој од нив се обработени помали целини - лекции. Во секоја програмска целина се воведени и објаснети математичките поими и соодветните својства, предвидени со наставната програма по математика за VII одделение. Воведувањето на новите поими и соодветните својства се врши со нивно откривање низ повторување ( потсетување) и преку одбрани примери, кои најсликовито го објаснуваат соодветниот поим. Примерите и задачите се обоени со бојата на соодветната тема. Покрај решените примери стои табличка обоена со соодветната боја на темата, додека покрај задачите за самостојна работа во новите наставни содржини стои пенкало или молив со соодветната боја на темата. Текстот со кој се објаснуваат новите поими, односно текстот со кој се објаснува она што е ново во секоја лекција, е вметнат во жолта рамка. Текстот со кој се искажуваат и објаснуваат соодветни својства е вметнат во сина рамка. Текстот со кој се повторуваат поими и својства и служи и за потсетување е вметнат во рамка , обоена со бојата на соодветната тема. На крајот од секоја програмска целина се дадени задачи за вежбање со кои треба да се повторат и утврдат стекнатите знаења од соодветната целина. На крајот од секоја тема се дадени задачи за самопроверка, со кои, сам треба да ги провериш стекнатите знаења од соодветната тема. Обиди се да научиш да го користиш правилно Учебникот, односно да научиш да го користиш како извор на информации и податоци за области што тој ги обработува. Обиди се дадените задачи, прво да ги решиш сам, користејќи го стекнатото знаење. Ако не успееш веднаш, побарај помош од Учебникот. Ако и тогаш не успееш, побарај помош од твојот наставник или од некое твое другарче, но побарај само совет или упатство. Сопствениот труд и самостојната работа ќе ти помогнат подобро да ја разбереш математиката, да ги откриеш нејзините тајни и загатки и да го почувствуваш задоволството при нивното решавање. Ќе ни претставува задоволство ако овој учебник, кај тебе поттикне поголем интерес и љубов кон математиката, а можеби и ќе те насочи при изборот на твојата идна професија. На крајот се извинуваме за евентуалните печатни грешки, а забелешките, мислењата и предлозите се добредојдени и ќе бидат разгледани со посебно внимание.

АВТОРИТЕ

1. ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА 1. 1. ВЕКТОРИ 1. 1. 1. Исто насочени и спротивно насочени полуправи Точките A и B лежат на правата p (црт. 1). Познато ти е дека секоја од точките A и B ја дели правата на две полуправи: AM, AN и BM, BN. Бидејќи точката B лежи на полуправата AM, полуправата AM ја содржи полуправата BM.

N

B

A

M p

Crt. 1

Две полуправи кои лежат на една иста права се викаат исто насочени, ако едната од нив ја содржи другата.

1. Полуправите AM и BM на црт. 1 се исто насочени. Исто насочени се и полуправите AN и BN. Зошто? Две полуправи кои лежат на една иста права и не се исто насочени, се викаат спротивно насочени.

2. Провери дали се спротивно насочени паровите полуправи AM, AN; AN, BM и AM, BN, претставени на црт. 1. Точките А и B лежат на паралелните прави a и b, соодветно (црт. 2). Полуправите AM и BP лежат во иста полурамнина во однос на правата AB. Две полуправи кои лежат на паралелни прави се викаат исто насочени, ако се во иста полурамнина во однос на правата што минува низ нивните почетните точки.

Q

B

P a

N

M

A b Crt. 2

3. Дали се исто насочни паровите полуправи AM, BP и AN, BQ, претставени на црт. 2? Полуправите AM и BN на црт. 3 лежат на правите p и q кои не се паралелни. Две полуправи кои не се исто насочени се викаат различно насочени. Две различно насочени полуправи кои лежат на паралелни прави се викаат спротивно насочени.

A B

p q

M

N

Crt. 3

4. Објасни зошто се спротивно насочени паровите полуправи AN, BP и AM, BQ претставени на црт. 2.

5

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА 5. Паровите полуправи AM, CP и AM, BN, претставени на црт. 4 се исто насочени. Дали полуправите BN, CP се исто насочени? Образложи го одговорот.

P

C

Ако две полуправи се исто насочени со трета полуправа, тогаш тие се исто насочени.

B

N

A

M Crt. 4

1. 1. 2. Вектор 1. Две различни точки А и B определуваат отсечка AB (црт. 5). Кои од тврдењата се точни: а) ; в) (A, B) = (B, A)?

б) AB и BA е иста отсечка;

a

A

Crt. 5

B

Ако точно одговори на задачата 1, сигурно утврди дека само последното тврдење е неточно, бидејќи кај подреден пар од елементи на едно множество битен е редоследот на елементите. Токму тоа во практичната примена на математиката го условило појавувањето на нов математички објект, наречен вектор (црт. 5). За него е важен редоследот на крајните точки. Отсечка кај која едната крајна точка се зема за почеток, а другата за крај се вика вектор. Векторите ги означуваме на следниот начин: ,… Според договорените ознаки, векторот даден на црт. 5 со почеток A и крај B ќе го означиме со

.

При запишувањето на векторите со две букви, прво ја запишуваме почетната точка (почеток), а потоа крајната точка (крај) на векторот. Кај векторите разликуваме насока и должина (интензитет). Насоката на еден вектор е определена со насоката на полуправата на која лежи векторот и има иста почетна точка со него. Два вектори се викаат: исто насочени ако лежат на исто насочени полуправи; спротивно насочени ако лежат на спротивно насочени полуправи; различно насочени ако лежат на различно насочени полуправи.

2. На црт. 6 се дадени неколку парови на вектори. а) Кои од векторите се исто насочени? б) Кои од векторите се спротивно насочени? в) Кои од векторите се различно насочени?

6

Ако векторите

и

се исто насочени ќе го користиме записот

, додека, ако тие

се спротивно насочени ќе пишуваме . Вообичаено, за исто насочените вектори велиме дека имаат иста насока, а за спротивно насочените вектори дека имаат спротивни насоки. Должина или интензитет на векторот

се вика должината на

отсечката AB. Накусо се означува со

.

Вектор кој има должина 0 се вика нулти вектор (нула вектор) и се означува со Кај нултиот вектор почетокот и крајот се совпаѓаат, на пример 3. Нацртај два вектори вектори. а) Нацртај вектор б) Нацртај вектор

и

.

и точка E што не лежи на ниту еден од дадените и

.

и

в) Колкава е должината на векторот

A

O

B

. ?

N F

C

Q

G

Вектори кои се исто насочени или спротивно насочени се викаат колинеарни вектори. Нултиот вектор е колинеарен со секој вектор.

E D H

4. За векторите претставени на црт. 7 одговори: а) Кои вектори се спротивно насочени? б) Кои вектори се колинеарни?

M S

T

P

R L

Crt. 7

Да разгледаме некои примери на векторски величини. На пример, нека стрелата на еден стрелец се движи со . Со бројната вредност на брзината ние брзина од не ја знаеме насоката на стрелата. Ако ги опфатиме сите елементи (насока и интензитет) на величината брзина, таа ќе биде наполно определена со вектор . Притоа големината дадена со бројната вредност

всушност претставува

. интензитет на векторот ( Природно се наметнува прашањето за воведување на величини, кои се определени покрај со својата бројна вредност и со насоката. Нив ќе ги викаме векторски величини односно величини кои можат да се претстават со модел на вектор. Примери за векторски величини се: брзина, забрзување, сила, движење и слично. Играчот на црт. 8 силно ја удрил топката кон голот. За среќа на голманот топката удрила во 7

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА стативата, се одбила и притоа ја променила својата насока на движење. При ударот во стативата се смалила и брзината на движење на топката па така векторот

има помал

интензитет од векторот . Величините пак кои се наполно определени со дадена бројна вредност, односно интензитет во соодветни единици мерки се викаат скаларни величини. На пример ако речеме дека температурата во градот денес била 26 C со тоа наполно сме ја определиле величината температура со дадената бројна вредност во мерната единица - Целзиусови степени. Следните величини се примери на скаларни величини: должина, плоштина, температура, маса и слично.

1. 1. 3. Еднаквост на вектори 1. Кои од векторите на црт. 9 имаат иста насока и иста должина? Ако правилно одговори на задачата, сигурно си A добил дека:

O

B N

F

C

Q

G

За дадените парови вектори велиме дека се еднакви меѓу себе, односно: За два вектори велиме дека се еднакви ако имаат иста насока и иста должина. Накусо,

M E

D H

S

T

P

R L

Crt. 9

ако и Секои два нулти вектори се еднакви. , и се вектори. Од својствата на исто насочени Нека полуправи следува дека еднаквоста на векторите ги има следниве својства: 1.

2. Ако

;

3. Ако

, тогаш

и

, тогаш

. .

2. а) Дали два еднакви вектори се колинеарни? б) Дали векторите

и

на црт. 9 се еднакви? Образложи го твојот одговор.

3. Двајцата велосипедисти на црт. 10 возат во различни насоки со иста големина на брзината. Определи кои од векторските карактеристики (насока и интензитет) се еднакви, а кои не се. Образложи го одговорот.

8

За два вектори и велиме дека се спротивни ако имаат спротивни насоки и еднакви должини. Накусо, ако

и

.

F

A D

G

O

4. За векторите дадени на црт. 11 определи кои од нив се спротивни, а кои спротивно насочени? По што се разликуваат спротивни вектори од спротивно насочени вектори?

N

E B

C Crt. 11

H

M

Во продолжение ќе конструираме вектор со дадена почетна точка. Од дефиницијата за еднакви вектори и својствата на еднаквите вектори може M N S да се заклучи дека постојат бесконечно многу вектори кои се еднакви со даден вектор. Значи, за да конструираме вектор со R B дадена почетна точка доволно е да ја знаеме неговата насока a и должина. На црт. 12 е прикажана конструкцијата на вектор A со дадена почетна точка А, должина и насока Crt. 12 определена со полуправата RS. 5. Нацртај произволен вектор и избери точка A што не лежи на него. Со почеток во точката A конструирај вектор: а)

б)

;

6. Нацртај вектор

=

.

. Потоа избери точка

и конструирај вектор

. Започни ја постапката со конструкција на права низ Q

D

C

A

B Crt. 13

векторот

P

точката C така што Полуправите AB и CP се исто насочени. На полуправата CP конструирај точка D, таква што

Тогаш имаме

(црт. 13).

Постапката што ја изврши во претходната задача се вика пренесување на вектор во точка, односно ти го пренесе

со почеток во точката C.

7. Што е заедничко за векторите дадени на црт. 14? Ако твојот одговор е дека крајот на векторот совпаѓа со почетокот на векторот одговорил.

се

, тогаш правилно си

b a Crt. 14

9

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА

Велиме дека векторите и се надоврзани вектори, ако крајот на едниот вектор се совпаѓа со почетокот на другиот вектор.

8. Нацртај три произволни вектори и надоврзи ги еден на друг.

9. На даден вектор надоврзи го неговиот спротивен.

10. Во паралелограм ABCD за векторите а) Кои се еднакви, а кои спротивни меѓу себе? б) Кои се надоврзани вектори?

и

одговори:

1. 1. 4. Собирање на вектори 1. Нацртај два произволни вектори

и

конструирај ги векторите

и

. Во произволна точка O Q

.

B

b

c b

Векторот

P

се вика збир на векторите и

и

се

означува

a

O

A

a

со

M

N Crt. 15

или

Во равенството секој од векторите , и може да се замени со било кој вектор еднаков на него. Бидејќи во случај кога векторите не се колинерани, при конструкција на збирот на двата вектори всушност се конструира еден триаголник (со темиња O, A и B), начинот на конструкција се вика правило на триаголник.

2. За векторите дадени на црт. 16 најди ги следните збирови: а)

;

б)

в)

;

г)

b

a

;

c

d

.

Crt. 16

M

N

P S

R Crt. 17

10

Q

3. За векторите на црт. 17 најди ги збировите: а)

; б)

в)

.

;

4. Нацртај два вектори

и

најди ги збировите

и

, кои не се колинеарни, а потоа во иста почетна точка . Што забележуваш?

и се еднакви или Сигурно забележа и од црт. 18 дека векторите со други зборови важи комутативното својство за собирање на вектори. За секои два вектори

и

, важи равенството

. На црт. 18 дадено е уште едно правило за собирање на вектори, наречено правило на паралелограм. Имено, од една произволна точка О ги конструираме векторите и , а потоа го конструираме паралелограмот OABC. определен со дијагоналата на Векторот паралелограмот е збир на векторите и .

5. Конструирај го векторот

каде што

a

B b

C

b +a a +b

b a

O

b A

a Crt. 18

е произволен вектор.

Од задача 5 можеш да воочиш дека: За секој вектор

важи равенството

6. Најди го збирот на даден вектор Од задача 6 можеш да воочиш дека:

За секој вектор

Бидејќи важи комутативното . својство за собирање на вектори, . важи и со неговиот спротивен.

точно е равенството

7. Разгледај го црт. 19 и воочи дека важат равенствата и односно важи асоцијативното својство за собирање на вектори. За секои три вектори равенството

,

D

c b

+

c

a+

d

C

b b

и c важи .

A

a

B

Crt. 19

11

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА Природно се поставува прашањето за определување на збир на три или повеќе вектори. За да дојдеш до одговорот на ова прашање разгледај го црт. 20 и

збирот

е векторот

вектори

и

е векторот

d

,

итн. Збирот на четирите

е векторот

c

C

d

b

утврди ја надоврзаноста на векторите еден на друг. Притоа, збирот на векторите

D

c E

b

.

B

e

a Crt. 20

A

a

8. Нацртај пет вектори кои не се колинеарни, а потоа конструирај го нивниот збир.

9. Нека за четириаголникот ABCD важи: Најди ги збировите:

,

,

, и

,

и

,

.

.

10. Нацртај два вектори и , кои не се колинеарни, потоа со почеток во точка што не лежи на ниту еден од нив најди ги збировите: а)

б)

;

11. На црт. 21 со вектор водата, со вектор

в)

;

.

е претставена брзината на

е претставена брзината на движењето

на кајакот без дејство на водата, а со

брзината на кајакот со

дејството на водата. Најди ја големината на брзината и

, ако

.

12. Нацртај произволен вектор а)

, а потоа конструирај го векторот:

б)

;

.

Векторите што требаше да ги конструираш во претходната задача, може да се запишат во облик

и

Збирот

, односно како производ на број со вектор. го викаме производ на векторот

запишуваме со

со бројот k и накусо го

.

13. Спореди ги должините и насоките на векторите: а)

и

;

б)

и

;

в)

и

;

Ако добро работеше, сигурно воочи дека векторите тоа, за секој вектор 12

и секој k важат равенствата:

г) и

и се колинеарни. Освен

и

.

14. Нацртај два вектори

и

, а потоа конструирај го векторот

1. 1. 5. Одземање на вектори 1. Дадени се векторите

и

. Конструирај вектор

така што

(црт. 22).

При решавањето на задачата сигурно забележа дека конструкцијата на векторот ќе се изведе на тој начин што на векторот надоврзува вектор

B

се

b

, чиј што крај се совпаѓа со

крајот на векторот

со векторот

O

a

. Конструираниот вектор

се вика разлика на векторот односно:

c

b

A

a

Crt. 22

,

Разлика на вектор

со вектор

равенството

. Во тој случај пишуваме

се вика векторот

за кој важи .

2. Нацртај два неколинеарни вектори со различни почетоци и конструирај разлика на едниот од нив со другиот.

3. За векторите на црт. 23 конструирај ги векторите: а)

б)

;

a c

b

.

Crt. 23

Постои и друг начин за конструкција на разлика на два вектори. Кај скаларните величини разликата може да ја запишеме како збир на намаленикот и спротивниот на намалителот. Слично и овде разликата

b)

потоа го конструираме збирот

b

(-

го надоврзуваме векторот

случај на векторот

b

. Во тој

a+

можеме да ја запишеме како

a

,а

Crt. 24

(црт. 24).

4. За векторите на црт. 25 конструирај ги следните вектори:

a b Crt. 25

c

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

13

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА 5. Нацртај два колинеарни вектори кои се: а) еднакви; б) спротивни; а потоа конструирај ја разликата на едниот со другиот.

6. За дадени вектори а)

,

и

, конструирај ги векторите:

б)

;

.

7. Нацртај триаголник ABC, а потоа означи на неговите страни вектори така што: а) Збирот на трите вектори да биде ; б) Збирот на два од нив да биде еднаков на третиот вектор; в) Разликата на еден од нив со друг да биде еднаква на третиот вектор.

1. 1. 6. Задачи за вежбање 1. Нацртај правоаголник ABCD во кој точката О е пресечната точка на неговите дијагонали. Именувај неколку: а) исто насочени полуправи; б) спротивно насочени полуправи.

2. Што е вектор?

3. Со почеток во дадена точка A конструирај вектор определена со полуправата RS и

, таков што да има насока

= 3 cm.

4. а) Кога велиме дека два вектори се еднакви? б) Кои вектори се спротивно насочени, а кои спротивни?

5. Нацртај три колинеарни вектори, а потоа конструирај го нивниот збир.

6. Нацртај четири неколинеарни вектори векторот

, конструирај ги векторите:

8. За дадени вектори 9. На црт. 26 со

, а потоа конструирај го

и

а)

б)

;

, конструирај го векторот

е означена моментната е спротивно насочен вектор

со и запиши ја релацијата која ги поврзува овие два вектори.

. .

е означено забавувањето на автомо-

билот. Објасни зошто

14

и

,

.

7. За даден вектор

брзина, а со

,

26

1. 2. ТРАНСЛАЦИЈА. ПРИМЕНА 1. 2. 1. Транслација Мира ја поместила чашата од едно на друго место на масата (црт. 27). Значи, Мира ја придвижила својата чаша од една во друга точка, односно извршила транслација. Придвижувањето на чашата е опишано со векторот , а тоа е всушност векторот кој е определен со двете точки: почеток P што одговара на почетната положба на чашата на Мира, и крај К што одговара на положбата во која чашата се наоѓа по придвижувањето. Вакво поместување, односно придвижувањето на даден објект се вика транслација. Примери за транслација во секојдневниот живот има многу. Токму од практичните потреби, транслацијата е дефинирана и во математиката, за понатаму да најде примена во многу други науки (најчесто во физиката и нејзините гранки). Транслацијата ќе ја дефинираме на следниот начин: Нека е даден вектор. Пресликувањето кое на секоја точка M од рамнината Π придружува точка M1 така што , односно се вика транслација.

Векторот записот

се вика вектор на транслацијата, додека

е симболички запис за транслација зададена со

векторот . Во дефиницијата точката M се вика оригинал, а точката M1 се вика слика на M. Ова накусо може да се запише како M1= (M) (црт. 28).

1. За точките A и B, конструирај го векторот на транслација Најди ја сликата на точка C при таа транслација.

M1 a

M Crt. 28

за која што B= (A).

Од претходната задача и од дефиницијата на транслација заклучуваме дека: Секоја транслација е наполно определена со вектор на транслација, односно со една точка и нејзината слика при транслацијата.

15

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА

2. Дадени се точка А и вектори при транслација за вектор транслација за вектор

и

. Конструирај ја сликата А1 на точката А

. Потоа конструирај ја сликата А2 на точката А1 при

. Дали точката A2 е слика на точката А при транслација за вектор

?

3. Каква транслација определува нултиот вектор? Бидејќи почетокот и крајот на нултиот вектор се совпаѓаат, оригиналот и сликата при ваквата транслација исто така ќе се совпаднат. Според тоа, ако точно одговори на прашањето од задача 3, сигурно твојот одговор гласеше дека со нултиот вектор е определена идентичната транслација, односно транслацијата која секоја точка од рамнината ја пресликува во себе.

4. Дадени се точка А и вектор лација за вектор вектор

. Конструирај ја сликата А1 на точката А при транс-

. Потоа конструирај ја сликата на точката А1 при транслација за

. Што заклучи?

Ако точно ја реши поставената задача воочи дека со транслација пресликува во точка А1, а понатаму точката А1 со транслацијата точката А. Со други зборови, со транслација еднаш за вектор секоја точка од рамнината се пресликува во себе. за вектор 

Транслацијата

точката А се

се пресликува во

, а потоа за вектор  ,

се нарекува инверзна транслација на

.

1. 2. 2. Својства на транслациите 1. а) Дадени се отсечка AB и вектор AB при транслација за вектор

.

A1 a

A

a

B1

a d g b

B A Crt. 29

(црт. 29). Најди ја сликата A1B1 на отсечката

B

За да ја решиш задачата потребно е да извршиш транслација на секоја од крајните точки на дадената отсечка.

б) Спореди ги должините на двете отсечки. Дали оригиналот и сликата при транслацијата се паралелни отсечки?

16

При секоја транслација отсечка се пресликува во отсечка, со еднаква должина на неа и паралелна со неа, односно, ако (A)=A1 и

(B)=B1, тогаш

Навистина, на црт. 29 можеш да воочиш дека

и

.

и

се складни според

; имаат заедничка страна AB1; а аглите што ги зафаќаат

признакот САС (

тие страни се меѓусебно еднакви, односно ). Од складноста на триаголниците и

, следува дека и останатите соодветни страни и агли им се еднакви, односно и 2. Дали една транслација запазува растојание? Образложи го одговорот.

3. а) Дадени се вектор и три колинеарни точки А, B и C, така што точката B лежи меѓу точките A и C. (црт. 30). Дали се колинеарни нивните слики A1, B1, и

C1, соодветно, при транслација за вектор

? Дали точката B1 лежи меѓу точките A1 и C1?

Ако точката B лежи меѓу точките А и C, и ако (A)=A1,

(B)=B1 и

a

(C)=C1, тогаш точката B1

лежи меѓу точките A1 и C1.

A

C1

B

(B)=B1 и

B1

A1

Нека точката B лежи меѓу точките А и C, и нека (A)=A1,

a

C

Crt. 30

(C)=C1. Тогаш важи равенството

. Заради претходното својство на транслацијата добиваме дека и од каде што следува дека B1 лежи меѓу точките A1 и C1.

, односно точката

Заради претходните својства на транслацијата имаме дека:

a

При секоја транслација права се пресликува во права паралелна со неа.

D

B

A

3. Изврши транслација за вектор AB и правата CD (црт. 31).

C

Crt. 31

на отсечката a

4. Што е слика на права при транслација за вектор кој лежи на правата? Сигурно утврди дека дадената права и добиената слика при така зададената транслација, се совпаѓаат.

A

C

B

Crt. 32

17

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА Две фигури Ф и Ф1 се складни ако постои пресликување: f: Ф Ф1, такво што секоја точка од Ф1 е слика на барем една точка од Ф и за секои две точки А,В  Ф и f(A)=A1, f(B)=B1 да следува .

5. а) Најди ја сликата на при транслација за вектор (црт. 32). б) Провери дали триаголникот е складен со добиениот (со мерење).

6. На црт. 33 е прикажана транслација на паралелограмот ABCD за вектор паралелограмот A1B1C1D1 е складен со паралелограмот ABCD? a

При секоја транслација фигура се пресликува во фигура складна со неа.

6. За даден

C1

C

изврши транслација за вектор

.

D1 M1

D M

B1

7. Најди ја сликата на кружница k со радиус r и центар во точка О, при транслација за вектор

. Дали

.

B A

A1

Crt. 33

Ако ги усвои претходно докажаните својства и правилно работеше, сигурно заклучи дека дадената кружница k се пресликува во кружница k1 со радиус r и центар О1 така што .

8. Изврши транслација на

за даден вектор

.

1. 2. 3. Примена на транслацијата 1. Докажи дека збирот на внатрешните агли во триаголникот изнесува 1800.

m

Користи го црт. 34 и воочи ја врската при транс-

b

лација на аголот  за вектор аголот  за вектор

b1 g1 a1

C

и транслацијата на

. Зошто

A

b

a

B

Crt. 34

2. Запиши го векторот за кој ќе се помести топчето за билијард користејќи ја врската на векторите според точките означени на црт. 35.

3. Дадени се правите p, q и векторот (црт. 36). Конструирај точки M и M1 на правите p и q, соодветно, така што M1= 18

(M).

a

35

Да претпоставиме дека задачата е решена според скицата на црт. 36. Нека M1 е слика на точката M при транслацијата

, односно

. Тогаш:

1) Точката M1 припаѓа на сликата p1 на правата p при транслацијата

, односно

M1p1= (p); 2) Точката M1 можеш да ја конструираш како пресечна точка на правите q и p1= (p); 3) точката М можеш да ја најдеш како слика на M1 при транслацијата за вектор . Конструкцијата се состои од следниве чекори: q ta (p)

Конструираме права p1= (p);

M1

a

Ја наоѓаме пресечната точка M1qp1; M=

M

(M1).

p

Crt. 36

4. Помеѓу градовите А и B има река со паралелни страни p и q. Каде треба да се изгради мост, нормално поставен на бреговит на реката, така што патот од градот А до градот B да биде најкус (црт. 37)? p

p q

P

A

M

C

Q N

B

R

q

a

A

S

M

C

N

s B

Crt. 39

Crt. 38

Да претпоставиме дека задачата е решена според скицата на црт. 38, односно дека PQ е бараниот мост. Ако

, тогаш

APQC е паралелограм, па

Нека

Тогаш четириаголникот

За да биде патот од А до B најкус, искршената

линија CQB треба да е најкуса, а тоа е можно ако точките C, Q и B се колинеарни. Значи q. Конструкцијата се состои од следниве чекори: Конструираме права s нормална на правите p и q. Нека R Нека

каде што

Патот AMNB е најкус. Бидејќи

Тогаш

q, a

иS

(црт. 39).

(N).

е константна, патот зависи само од должините

на отсечките AM и NB, а нивниот збир е најмал кога точките C, N и B се колинеарни.

19

ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА 1. 2. 4. Задачи за вежбање 1. На црт. 40 се дадени правата AB, кружницата k и векторот t за вектор

. Изврши транслација

на правата AB и кружницата k.

B

2. Дадени се две непаралелни прави p, q и отсечка AB. Конструирај отсечка паралелна и складна со отсечката AB чии крајни точки лежат на дадените прави.

A

k O

a

3. Конструирај кружница која допира две дадени паралелни прави и минува низ дадена точка меѓу тие две прави.

Crt. 40

4. Дадени се отсечка AB, права p и кружница k. Конструирај отсечка MN која е складна и паралелна со отсечката AB, така што Mk, Np. Дали секогаш постои таква отсечка?

5. Дадени се права p, кружница k и вектор

. На правата p конструирај точка M1 која

е слика на точка M од кружницата k при транслацијата точка?

. Дали секогаш постои таква

1.3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА 1. Кои полуправи се викаат исто насочени, а кои спротивно насочени?

2. За даден вектор

конструирај го неговиот спротивен.

3. За кои вектори велиме дека се надоврзани?

4. Нацртај два спротивно насочени вектори и конструирај го нивниот збир.

5. Конструирај ја разликата на еден вектор со друг неколинеарен вектор.

6. Ако а)

е произволен вектор, колкав е интензитетот на векторот: ;

б)

7. Дадени се векторите

. и

. Конструирај го векторот

.

8. Како може да биде зададена една транслација?

9. Искажи ги својствата на транслацијата.

10. Нацртај квадрат ABCD со страна транслација за вектор .

и определи ја неговата слика при

и k2(S2, . Конструирај 11. Дадени се две неконцентрични кружници k1(S1, отсечка AB со должина d, која е паралелна со правата S1 S2 и Ak1, Bk2. Дали постои таква отсечка?

20

2. СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 2. 1. СТЕПЕН СО ПОКАЗАТЕЛ ПРИРОДЕН БРОЈ 2. 1. 1. Поим за степен 1. Збирот на еднакви собироци може да го запишеме вака:

2. Производот на еднакви множители се запишува вака:

Собирањето на еднакви собироци доведува до операцијата множење.

Множењето на еднакви множители доведува до операцијата степенување.

Производот од n еднакви множители, секој од кои е рационален број а, се нарекува степен на бројот а со показател природен број n и се означува со аn (се чита a на степен n). степенов показател - природен број

Значи,

основа на степенот - рационален број 3. Прочитај ги степените: 4. За степените:

и и

,

а) степенов показател;

определи:

б) основа на степенот.

5. Запиши ги во облик на степен производите: а)

б)

;

в)

;

.

Имаме а)

;

б)

;

в)

.

6. Бидејќи секој производ има барем два множители, според дефиницијата за степен, степеновиот показател n треба да не е помал од 2 (n  2). Заради тоа се договараме степен на

21

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН рационален број a со показател 1 да биде самиот тој број a. Во таа смисла, на пример, ;

;

;

.

7. Запиши ги во вид на степени производите: а)

б)

;

г)

д)

;

е)

в)

;

;

ѓ)

;

;

ж)

;

з)

;

.

8. Запиши го во вид на производ секој од степените: а)

б)

;

ѓ)

;

е)

;

;

в)

;

г)

ж)

;

з)

д)

;

;

ѕ)

д) 0,1;

ѓ)

;

.

9. Запиши го степенот со показател 12 и основа: а) 3;

б) 12;

в) 0,3;

г)

;

.

2. 1. 2. Вредност на степен 1. Пресметај ја вредноста на степените: а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

ѓ)

.

Вредноста на степенот на кој и да било рационален број може да ја пресметаме, откако ќе го запишеме во вид на производ. Според тоа, имаме: а) в) д)

б)

; ; ;

;

г) ѓ)

Претходната задача не упатува на заклучок, кој произлегува од својствата на множењето на рационални броеви. Степен на кој и да било рационален број е рационален број, односно, ако а4 и n², тогаш an4.

22

Слично, од својствата на множењето на рационални броеви, може да изведеме и конкретни заклучоци за знакот на степенот во зависност од знакот на основата и парноста на степеновиот показател.  Степен на позитивен број е позитивен број, односно, ако

тогаш,

.

 Степен на негативен број со парен показател е позитивен број, односно, ако

тогаш,

, за k².

 Степен на негативен број со непарен показател е негативен број, односно, ако

тогаш,

Специјално, имаме дека:

, за k².

Ако

, тогаш

Ако

, тогаш

. .

2. Спореди ги со нула степените: а)

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

.

3. Спореди го со нула бројот а, ако: а)

;

б)

;

в)

;

г)

в)

;

г)

д)

;

.

4. Пресметај ги степените: а)

б)

;

;

д)

;

.

5. Запиши ги степените и пресметај ги нивните вредности: а) основа 12 и показател 4; б) основа и показател 3; в) основа 1,6 и показател 2;

г) основа

и показател 3.

6. Заокружи што е точно: а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

.

7. Пресметај ја вредноста на бројниот израз . За редоследот на извршување на операциите собирање, одземање, множење и делење знаеш од претходните одделенија. Но, сепак да се потсетиме. Ако во бројниот израз се среќаваат четирите основни операции, тогаш операциите множење и делење ги извршуваме пред операциите собирање и одземање. Значи, имаме .

8. Пресметај ја вредноста на бројниот израз

.

23

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН Во бројниот израз се среќаваат операциите степенување, множење, делење и одземање. Направен е следниов договор: Ако во броен израз се среќават операциите степенување, множење, делење, собирање, одземање, при пресметување на неговата вредност, прво го извршуваме степенувањето, потоа множењето и делењето и на крај собирањето и одземањето. Имајќи го предвид редоследот на извршување на операциите, имаме дека .

9. Почитувајќи го редоследот на извршување на операциите пресметуваме: а)

;

б)

.

10. Пресметај ја вредноста на бројниот израз: а)

б)

;

в)

г)

;

д)

ѓ)

;

; ; .

11. Провери ја точноста на равенствата: а)

;

б)

2. 1. 3. Претставување на големи и мали броеви во вид на степен Во практиката и секојдневниот живот, луѓето постојано мерат различни величини. Но во науката, за полесно разбирање треба сите да користат еднаков систем на единици. Денес најчесто се користи Меѓународниот систем на мерки (скратено SI). Основа на овој систем се единиците:  Еден метар  Еден килограм

, како единица мерка за маса;

 Една секунда

, како единица мерка за време;

 Еден Келвин

, како единица мерка за температура;

 Еден мол  Една кандела 24

, како единица мерка за должина;

, како единица мерка за количество супстанција; како единица мерка за интензитетот на светлината.

Секојдневните потреби на луѓето, довеле до воведување на помали и поголеми единици мерки од основните. Сите поголеми и помали единици мерки, најчесто, се изведени во десетичниот броен систем.

1. Да се потсетиме на врската меѓу некои единици мерки: а)

б)

Со помош на степен можеме да запишеме: а)

б)

Броевите под а) ги запишуваме во вид на степен со основа 10, а под б) со основа 0,1. Воочи ја врската меѓу бројот на нулите во декадната единица и степеновиот показател на степенот со основа 10, како и меѓу децималните места на децималниот број и степеновиот показател на степенот со основа 0,1.

2. Следниве броеви претстави ги во вид на степен со основа 10. а)

;

б)

в)

;

.

3. Запиши го кратко со помош на степен бројот

.

Бројот не можеш да го запишеш само со степен со основа 10. Прво се запишува како производ од два броја од кои едниот ќе можеш да го запишеш како степен со основа 10. .

4. Следниве броеви претстави ги во вид на производ од природен број и степен со основа 10. а) ; б) ; в) .

5. Бројот 123 000 можеш да го запишеш како производ од два броја, од кои едниот е степен со основа 10 на повеќе начини: ;

;

;

.

6. Бројот 0,0005 запиши го како производ на два броја од кој едниот е степен со основа 0,1.

7. Запиши ги со помош на степен броевите: а) 700;

б)

;

в) 0,00039;

8. Процени ја вредноста на степенот: а) а) Имаме дека б) Од

, па според тоа

г) ;

б)

. ;

в)

, односно

. .

имаме дека 25

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 9. Процени ја вредноста на степените: а)

б)

;

.

2. 1. 4. Задачи за вежбање 1. Запиши ги во вид на степен производите: а)

б)

;

г)

в)

;

;

д)

;

.

2. Запиши ги во вид на производ степените: а)

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

ѓ)

;

.

3. Пополни ја табелата. Степен Основа на степенот Степенов показател 4. Пресметај ја вредноста на степенот: а)

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

ѓ)

;

.

5. Пресметај ја вредноста на бројниот израз: а)

;

в)

;

б)

;

ѓ)

.

6. Дадените броеви запиши ги во вид на производ од природен број и степен со основа 10. а)

б)

;

в)

;

;

г)

д)

;

.

7. Кое од следните тврдења е точно: а)

;

б)

в)

;

г)

;

.

8. Спореди ги броевите: а)

и

;

б)

и

9. Пресметај ги и спореди ги паровите од броеви: провери дали е точно: а) 26

; б)

; в)

; г)

в)

; и ; д)

;

и

;

и

.

и

. Потоа

.

10. Една машина за една секунда извршува аритметички операции. Најди го бројот на аритметичките операции што таа ги извршува за еден час и запиши го тој број во вид на степен со основа 10.

2. 2. ОПЕРАЦИИ СО СТЕПЕНИ 2. 2. 1. Множење и делење на степени со еднакви основи 1. Запиши го во вид на степен производот

.

Имаме

.

Значи, производот е степен со истата основа и степенов показател 7, кој што е збир од степеновите показатели на двата множители. Истото правило важи за производот на кои било два степени со еднакви основи, односно . Степени со еднакви основи се множат, така што основата се степенува со збирот од степеновите показатели на степените. Аналогно правило важи и за производ на повеќе од два степени, односно 2. Запиши ги во вид на степен следниве производи: а)

;

б)

;

в)

;

3. Запиши го во вид на степен количникот

г)

.

.

Имаме

. Како што забележа, количникот

е степен со истата основа и степенов показател 3, кој што е разлика од степеновиот показател на деленикот со степеновиот показател на делителот. Во општ случај, за и важи: .

Степени со еднакви основи се делат, така што основата се степенува со разликата од степеновиот показателот на деленикот со степеновиот показателот на делителот.

27

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 4. Запиши ги во вид на степен следниве количници: а)

,

б)

;

,

в)

;

,

.

5. Запиши ги во вид на степен следниве изрази: а)

,

б)

;

Имаме: а)

в)

;

.

б)

;

в)

г)

;

;

г)

;

.

6. Помножи ги степените: а)

б)

;

в)

;

г)

;

.

7. Подели ги степените: а)

б)

;

в)

;

г)

;

.

8. Пресметај ја вредноста на следниве изрази: а)

б)

;

г)

д)

;

в)

; ѓ)

;

; е)

;

.

2. 2. 2. Степенување на степен, производ и количник 1. Степенот , чија што основа е степенот запишеме како степен со основа а, односно

, можеме да го

. Сигурно забележа дека степеновиот показател е производ на двата степенови показатели. Во општ случај имаме

.

Степен се степенува кога основата на степенот се степенува со производот на степеновите показатели.

2. Степенувај ги степените: а) 28

;

б)

;

б)

;

г)

;

д)

.

3. Следните изрази претстави ги во вид на степен со основа x: а)

б)

;

4. Степенот

в)

;

г)

;

.

можеме да го запишеме во вид на производ од степени, користејќи

го комутативното и асоцијативното својство на множењето, на следниов начин: . Веројатно забележа дека трет степен од производот е производот од третите степени на множителите. Во општ случај имаме дека . Производ се степенува така што се степенуваат множителите и добиените степени се множат.

5. Степенувај ги производите: а)

б)

;

в)

;

.

6. Претстави го како производ од степени степенот: а)

б)

;

;

в)

;

г)

.

Ако равенството го запишеме во облик правилото за множење на степени со еднакви степенови показатели.

, го добиваме

Степени со еднакви степенови показатели се множат така што производот од основите се степенува со степеновиот показател.

6. Запиши го во вид на степен производот Имаме

.

.

7. Пресметај ја вредноста на бројниот израз: а)

;

б)

8. Степенувај го количникот

в)

;

;

г)

.

.

Количникот можеш да го запишеш како дропка дефиницијата за степен имаме

. Тогаш според

29

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН

. Веројатно забележа дека четврти степен од количник е количникот од четвртите степени на деленикот со делителот. Во општ случај имаме дека .

Степен на количник е количник од степенот на деленикот со степенот на количникот.

9. Изврши ги назначените операции: а)

б)

;

.

10. Изврши го степенувањето на следните количници: а)

;

б)

в)

;

Ако равенството

г)

;

д)

;

го запишеме во облик

.

, го добиваме правилото

за делење на степени со еднакви степенови показатели. Степени со еднакви показатели се делат така што количникот од основата на деленикот со основата на делителот се степенува со степеновиот показател.

11. Пресметај ја вредноста на бројниот израз: а)

б)

;

12. Процени ја вредноста на степенот Имаме дека

в)

;

. Тогаш

30

.

, од каде што следува и

, односно 13. Процени ја вредноста на степенот

г)

.

. Од дека

;

добиваме .

.

2. 2. 3. Задачи за вежбање 1. Помножи ги степените: а)

б)

;

в)

;

г)

;

д)

;

.

2. Подели ги степените: а)

;

б)

в)

;

3. Степенувај ги степените: ; б) ; а)

г)

;

в)

г)

;

4. Изврши го степенувањето на производите: а) ; б) ; в)

.

д)

;

.

г)

;

.

5. Изврши го степенувањето на следните количници: a)

б)

;

в)

;

6. Упрости ги изразите: г) а)

8. Пресметај:

а)

а)

;

б)

; .

в)

;

б)

;

в)

;

а)

10. Процени ја вредноста на степенот

;

г)

.

. б)

;

.

в)

ѓ)

;

9. Упрости ги изразите:

д)

;

б)

д)

;

7. Пресметај:

г)

;

.

.

2. 3. КВАДРАТ И КВАДРАТЕН КОРЕН ОД РАЦИОНАЛЕН БРОЈ 2. 3. 1. Квадрат од рационален број Користејќи ги знаењата за степен, реши ги следните задачи.

1. Пресметај: а)

,

,

,

; б)

,

,

,

;

в) , , , . Што се случува при степенување на броевите со парен степенов показател?

31

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 2. Пресметај: а)

и

б)

;

и

в)

;

и

г)

;

.

Спореди ги вредностите на степените на спротивните броеви.

3. Пресметај: а)

б)

,

,

.

Квадрат на рационален број a се вика производот на бројот a со самиот себе, односно,

.

Операцијата со која го пресметуваме бројот

, се вика квадрирање.

Во задачите 1, 2 и 3 требаше да воочиш некои својства на квадрирањето: 1. Квадрат на бројот 0 е 0. Квадрат од рационален број, различен од нула, е позитивен рационален број.

2. Квадратите на два спротивни броја се еднакви, односно .

3. Квадрат на производ од два броја е еднаков на производот на квадратите на тие броеви, односно .

4. Квадрат од количник на еден број со друг е еднаков на количникот од квадратите на едниот број со квадратот на другиот, односно

.

5. Со квадрирање на број со завршеток од нули, бројот на нули се удвојува.

6. Со квадрирање на децимален број, бројот на децималните места се удвојува.

4. Со користење на својствата за степенување пресметај: а)

;

б)

;

в)

г)

;

;

д)

ѓ)

;

;

е)

.

Табела на квадратите на броевите од 10 до 99. Е Д 1 2 3 4 5 6 7 8 9

32

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100

121 441 961 1681 2601 3721 5041 6561 8281

144 484 1024 1764 2704 3844 5184 6724 8464

169 529 1089 1849 2809 3969 5329 6889 8649

196 576 1156 1936 2916 4096 5476 7056 8836

225 625 1225 2025 3025 4225 5625 7225 9025

256 676 1296 2116 3136 4356 5776 7396 9216

289 729 1369 2209 3249 4489 5929 7569 9409

324 784 1444 2304 3364 4624 6084 7744 9604

361 841 1521 2401 3481 4761 6241 7921 9801

Квадратот на бројот 35 е запишан во заедничкото поле на третиот ред и петтата колона, односно итн.

. Слично, имаме

,

,

5. Табелата можеш да ја искористиш и за пресметување на квадрати и на други броеви. На пример: ;

; ;

.

6. Со користење на табелата, пресметај: а)

б)

в)

г)

;

7. Со користење на табелата пресметај: а)

б)

;

;

8. Пресметај ја вредноста на изразот

в) за

. .

2. 3. 2. Квадратен корен од рационален број 1. Пополни ја табелата: n

3

7

9 36

64

За да ја пополниш табелата од тебе се бара:  за броевите 3, 7 и 9 да ги најдеш нивните квадрати, а тоа се 9, 49 и 81 соодветно;  да најдеш броеви чии квадрати се 36 и 64. Второто барање е обратно од првото, односно за бројот 36 треба да најдеш број чиј квадрат е 36. Од двата броја 6 и , ненегативниот број 6 се означува со и се нарекува квадратен корен од бројот 36. Квадратниот корен од 64 е 8, бидејќи 8 е ненегативен број и Квадратен корен од рационален број a (ознака

) е ненегативен

број x, за кој што . Операцијата со која го пресметуваме квадратниот корен на даден број се вика коренување. Запишуваме: знак за квадратен корен

квадратен корен - ненегативен број поткоренова величина - рационален број 33

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН Читаме: квадратен корен од a е x.

2. Најди:

а)

а)

, бидејќи

;

, бидејќи

в) д)

б)

в)

;

и и

, бидејќи

и

.

, бидејќи

г)

;

д)

;

б)

;

, бидејќи

г)

;

и

;

и

;

.

3. Најди: а) , , ; б) , , . Сигурно забележа дека бројот на нули кај броевите со завршеток од нули двојно се намалува. Слично, кај децималните броеви двојно се намалува бројот на децималните места. ?

4. Дали постои Не, бидејќи не постои број чиј што квадрат е негативен број. Во општ случај, од следува дека

не постои (нема смисла) за

а)

5. Пресметај: г)

и затоа

д)

;

б)

;

в)

;

ѓ)

;

. ;

е)

;

.

6. Упрости го изразот: а)

; г)

;

7. Пресметај ја вредноста на изразот

за

б)

;

в)

;

д)

. .

2. 3. 3. Постапка за пресметување на квадратен корен од рационален број 1. Пресметај: a)

34

;

б)

;

в)

.

а) Постапка за пресметување на квадратен корен од природен број се делат на класи по две  Цифрите на бројот цифри оддесно налево, така што најлевата класа може да има и само една цифра;  Првата цифра од коренот е бројот 2 чиј што квадрат 4 е најблиску до 6;

4 240: 45 = 5 225 1509: 503 = 3  остаток;  1509 0 се спушта втората класа две цифри на десно (40); ја одделуваме последната цифра од така добиениот број;  (добиениот број од остатокот од првото делење со допишаните две цифри од втората класа се дели со првата цифра од коренот помножена со бројот 2); до делителот 4 се допишува цифра x, таква што да биде помало или еднакво на 240 (таква цифра во нашиот случај е 5); 5 е втора цифра на коренот; до остатокот се спушта и последната класа цифри (09);  (делител е досегашниот резултат 25, помножен со 2); до делителот се допишува цифра y таква што на 1509 (таква цифра во нашиот случај е 3);

да биде помал или еднаков

3 се допишува како трета и последна цифра на коренот, значи

.

б) Постапка за пресметување на квадратен корен од конечен децимален број Постапката за делење на цифрите од децималниот број во класи се разликува само во првиот чекор и тоа делењето започнува од децималната запирка налево по две цифри и надесно по две цифри. Ако последната класа на десно има само една цифра, тогаш можеш да допишеш нула. Зошто? Децималната запирка ја запишуваш во коренот откако ќе завршиш со коренување на целиот дел од децималниот број.

9 374: 65 =5  325 4949 : 707 =7 4949 0 2. Пресметај: а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

в) Постапка за пресметување на квадратен корен од природен број што не е квадрат на природен број со одредена точност. 4 66: 41 = 1  41 2500: 425 = 5  2125 37500: 4308 = 8  34464 3036

Во овој случај после спуштањето на последната класа од две цифри има остаток, па заради тоа допишуваме уште две нули до остатокот, во резултатот се пишува децимална запирка и постапката продолжува како во претходниот случај. Оваа постапка не завршува. Ако оваа постапка ја прекинеме до одреден број децимали, тогаш велиме дека коренот е пресметан со одредена точност. На пример, ако прекинеме на две децимали, точноста е 0,01.

35

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 3. Пресметај со точност од 0,01: а)

б)

;

в)

;

4. Процени ја вредноста на

г)

;

.

.

За да ја процениш вредноста на наједноставно е да определиш два природни броја, едниот помал од 150, а другиот поголем од 150, за кои што знаеш дека се квадрати на природни броеви. Во нашиот случај, такви броеви се Тогаш од неравенстото добиваме дека

и

имаме дека

.

, од каде што

.

5. Процени ја вредноста на , а потоа направи проверка со калкулатор. За да направиш проверка со калкулатор внеси го бројот 278, а потоа притисни го копчето со ознака

. На екранот ќе се појави приближната вредност на

.

2. 3.4. Задачи за вежбање 1. Квадрирај ги рационалните броеви: а)

б) 3;

;

2. Пресметај: а)

в)

г)

; б)

;

д)

;

ѓ)

;

в)

;

г)

;

3. Пресметај ја плоштината на квадрат со страна

. .

.

4. Провери дали: а) в)

е квадратен корен на 100; е квадратен корен на бројот

б) 0,3 е квадратен корен на 0,09; г)

;

е квадратен корен на

.

5. Најди ги квадратните корени на броевите: а) 2,25;

б) 2,56;

в) 1,69;

г)

д)

;

;

ѓ)

.

6. Пресметај ја вредноста на изразите: а)

;

б)

;

в)

г)

;

7. Пресметај ја вредноста на изразот 8. Пресметај со употреба на калкулатор: а) 9. Процени ја вредноста на 36

. за

;

б)

. ;

в)

, а потоа провери ја проценката со калкулатор.

.

2. 4. РЕАЛНИ БРОЕВИ 2. 4. 1. Ирационални броеви Производот од кои било два рационални броја е рационален број. Ако а е рационален број, тогаш и неговиот квадрат е рационален број, односно 4+. На пример: а)

б)

;

в)

;

.

Но, дали важи и обратното, односно дали секој позитивен рационален број е квадрат на некој рационален број? До одговорот ќе дојдеш самиот со решавање на следната задача: 1. Нека е даден квадрат со плоштина

. Колкава е неговата страна a?

Формулата за плоштина на квадрат е P

. Ако замениме во формулата за

. Знаејќи дека (а е должина на страна) имаме дека добиваме дека Знаејќи ја постапката за определување на корен од рационален број имаме:

.

Пресметај и со калкулатор. Каков број доби, дали бројот 1,4142... е рационален број? Знаејќи дека множеството на рационални броеви го сочинуваат конечни и периодични децимални броеви,

=1,4142... .

1 100: 24 = 4  96 400: 281 =1  281 11900:2824 = 4  11296 60400. . .

а

е бесконечен непериодичен децимален број,

4. Тоа значи дека можеш да заклучиш дека множеството на рационални броеви не е доволно за решавање на проблеми како во задача 1.

Оваа постапка не завршува. Затоа, покрај множеството 4 воведуваме ново множество на броеви, кое ќе го викаме множество на ирационални броеви и ќе го означуваме со I. Ирационални броеви се викаат бесконечните непериодични децимални броеви.

2. Најди: а) ; б) ; в) Какви броеви се вредностите на овие корени?

.

3. Најди го пресекот на множествата 4 и I. 4. Кои од тврдењата се точни? а)

4;

б)

4;

в)

;

г)

.

5. Запиши множество со 6 елементи кои се ирационални броеви. Ирационалните броеви имаат бесконечно многу децимали, кои не сме во можност ни да ги запишеме, а со тоа не можеме да ги вршиме и основните операции. Затоа најчесто ги земаме нивните приближни вредности со кусок или вишок.

37

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН Бидејќи

,

Можеш да процениш дека

и

, , бидејќи

, добиваме дека и

.

, па затоа имаме

дека n

1

1,3

1,4

2

1,5

1,6

n2

1

1,69

1,96

2

2,25

2,56

Од таблицата гледаме дека бројот

е помеѓу броевите 1,4 и 1,5, односно важи

. Затоа велиме дека 1,4 е приближна вредност на е приближна вредност на 6. Процени колку е калкулатор.

со кусок, додека 1,5

со вишок. до една децимала, а потоа провери ја твојата проценка со

2. 4. 2. Реални броеви Да се потсетиме дека во досегашното изучување на множествата броеви, прво се запозна со множеството на природни броеви ². Воочи дека во можеството на природни броеви ², збирот и производот на кои било два природни броја е природен број. Бидејќи операцијата одземање не е секогаш возможна во множеството природни броеви, тоа се прошири до множеството на цели броеви , односно ={. . . 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} Бидејќи во ова множество не е секогаш возможна операцијата делење, тоа се прошири до множеството на рационални броеви 4, односно 4={

a , b²}.

Бидејќи при воведувањето на операцијата коренување се појавија и други броеви кои не се рационални, кон множеството 4 се додаде ново множество, множеството ирационални броеви I. Значи, = 4  I. Унијата од множеството на рационални и множеството на ирационални броеви се вика множество на реалните броеви и се означува со . Веќе знаеш да ги претставуваш рационалните броеви на бројна оска. Потсети се на таа постапка, со решавање на следната задача.

2. Претстави ги на бројна оска броевите: 2, 3,

38

.

На бројната оска можеш да ги претставиш со точки и ирационалните броеви, односно реалните броеви. Тоа . Над бројната ќе го покажеме со пример за бројот оска е нацртан квадратот OABC, чија што страна има должина 1 (црт. 1). Плоштината на квадратот OBEF со страна a е два пати поголема од плоштината на квадратот OABC. Зошто?

B

Тогаш имаме или . Значи дијагоналата OB на квадратот со страна 1 е долга . Ако ја пренесеме на бројната оска со шестар се добива точката D која го претставува бројот . Со пренесување на дијагоналата OB на левата страна од O ја . добиваме точката D’ која го претставува бројот Освен тоа бројот припаѓа во секој интервал од бесконечната низа вложени интервали со должини Со конструкција на дадената низа може да ја определиме точката од . Од тука може да заклучиме дека на секој бројната права која што одговара на бројот реален број е придружена точка од бројната оска и обратно, на секоја точка од бројната оска е придружен реален број.

3. Пресметај го до втора децимала квадратниот корен на броевите 3, 5 и 6. Потоа на бројната оска претстави ги броевите: и Како и кај останатите бројни множества, и реалните броеви можеш да ги споредуваш. Притоа важи истото правило како и кај рационалните броеви; , ако точката што го претставува бројот а е лево од точката што го претставува бројот b. Во дадениот пример, воочи го споредувањето на реалните броеви. а)

;

б)

в)

;

г)

;

.

4. Подреди ги броевите по големина, почнувајќи од најмалиот: а)

5,

0,

1;

б) 4 ,

, 3,

, 1,9 .

5. Најди некој број кој е помеѓу броевите: а) 354,456323... и 354,4562345... б)  3,454657... и  3,454658...

2. 4. 3. Задачи за вежбање 1. Пресметај ја вредноста на изразите со точност до три децимали: а)

б)

;

в)

;

г)

;

.

2. Најди ја страната на квадрат чија плоштина е: a) P

;

б) P

;

в) P

.

3. Запиши пет ирационални броеви.

4. Запиши три ирационални броеви и најди го нивниот збир со точност до две децимали.

39

СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 5. Кои од тврдењата се точни: а)

4;

4;

б)

в)

4;

г)

;

д)

4.

ѓ)

;

6. Подреди ги броевите по големина, почнувајќи од најголемиот: a)

б)

;

7. Пресметај:

а)

б)

;

;

.

в)

;

.

Потоа претстави ги на бројна права дадените броеви и нивните спротивни.

2. 5. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА 1. Пополни ја табелата.

Степен Основа на степенот Степенов показател Вредност 2. Претстави го во вид на степен со основа x изразот

.

3. Пресметај ја вредноста на изразот: а)

;

б)

в)

;

3. Упрости ги изразите:

а)

г)

;

;

.

б)

.

4. Пресметај ја вредноста на изразот: а)

за

5. Пресметај:

;

б)

а)

за ;

б)

и

. ;

в)

7. Пресметај ја вредноста на изразот 9. Процени ја вредноста на

за

.

, а потоа провери ја својата проценка со калкулатор.

10. Претстави го на бројна права бројот

40

.

и неговиот спротивен.

3. ПОЛИНОМИ 3.1. МОНОМИ И ПОЛИНОМИ 3. 1. 1. Константи. Променливи. Изрази Со броевите 7; 0; 2;

; 0,9 може да се претстават разни величини. Кога ќе го

користиме само бројот 15, тоа може да бидат 15 денари, брашно или 15 момчиња a во VII одделение. Броевите со кои се претставуваат постојани величини (плоштина, должина, број на ученици итн.) се викаат константи.

1. Запиши 5 константи. Запис од конечно многу константи сврзани со знаците за операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со природен показател, се вика броен израз.

2. Бројни изрази се, на пример, 3. Запиши броен израз со константите 0, 2; 9;  6 и Бројот што се добива по извршување на операциите во бројниот израз се вика бројна вредност на изразот, или накусо само вредност на изразот.

4. Во бројниот израз ги извршуваме означените операции по правилото за редослед на извршување на операциите. а) б)

нема бројна вредност,

в) Изразот

бидејќи делењето со нула е невозможно.

Не смеам да се јавам како делител

5. Пресметај ја вредноста на изразот: a)

в)

б)

г)

6. Пресметај ја вредноста на изразот: а)

б)

в)

г) 41

ПОЛИНОМИ

Често пати, во секојдневната практика, зборуваме за величини кои може да примат различни вредности, на пример 10, 25, 20, . . .

7. На пример, кога пресметуваме периметар на квадрат со страна и

велиме дека должината на страната на квадратот може да прима вредности

и Вообичаено должината на страната на квадратот ја означуваме со a, односно буквата a ја употребуваме како заедничка ознака за сите вредности кои може да ги прими должината на страната на квадратот. Симболот (најчесто се букви: x, y, z, a, m, . . .) кој е заедничка ознака за вредностите кои може да ги прима една величина се вика променлива.

8. Запиши неколку вредности на променливата n, ако: а) n е заедничка ознака за природните броеви; б) n е заедничка ознака за парните броеви од петтата десетка. Со сврзување на конечно многу константи со знаците за операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување добиваме броен израз. Запис од конечно многу константи и променливи сврзани со знаците за операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување со показател природен број, се вика рационален израз.

9. Рационални изрази се, на пример, Првиот од изразите се состои само од променливата x, а вториот од променливата b. Изразот содржи константа 2 и променлива x кои се сврзани со знакот за множење. Во изразот

променливата y и константата 5 се сврзани со знакот за собирање, додека

во изразот

променливата x и константата 9 се сврзани со знаците за степенување и ги содржи променливите x и y, и константите 6, 2 и 5, сврзани

одземање. Изразот

со знаците за собирање, множење и делење.

10. Најди ги константите и променливите во изразите: а)

б)

в)

11. Состави рационален израз од константите  7, 12,

г)

д) и променливите x и y

којшто ги содржи знаците за операциите собирање, одземање, множење, делење и степенување.

12. Запиши го изразот за пресметување на периметар на триаголник, ако едната страна е x, втората е 2 пати поголема од x, а третата е 3 пати помала од x.

42

3. 1. 2. Цели и дробни рационални изрази

1. Рационалните изрази

и

не содржат променлива како делител

(во именителот на дробниот израз). За разлика од нив, рационалните изрази и

содржат променлива во именителот на дробниот израз.

Рационален израз кој не содржи делење со променлива (или израз што содржи променливи) се вика цел рационален израз. Рационален израз кој содржи делење со променлива (или израз што содржи променливи) се вика дробен рационален израз.

2. Цели рационални изрази се, на пример, Дробни рационални изрази се, на пример, 3. Запиши ги во еден ред целите рационални изрази, а во друг ред дробните рационални изрази: а)

б)

в)

г)

д)

Ако во рационален израз ги замениме променливите со вредности кои можат да ги примат променливите, се добива броен израз. По извршувањето на операциите во бројниот израз ја добиваме бројната вредност на рационалниот израз, соодветна на вредностите на променливите.

4. Ако во рационалниот израз бројниот израз

ја замениме променливата x со –1 го добиваме

чија што вредност е –1. За вредноста на променливата 1

го добиваме бројниот израз

чија што вредност е 3.

5. Најди ја бројната вредност на рационалниот израз: а)

за

б)

в)

за

г)

за за

43

ПОЛИНОМИ 6. Дали во дробниот рационален израз

променливата x може да прими

вредност 4? Кои вредности може да ги прими променливата x? Сигурно воочи дека за вредност на променливата –4 именителот на дробниот рационален израз е еднаков на Бидејќи со нула не се дели, променливата x во овој рационален израз не може да прими вредност –4. Во тој случај велиме дека вредноста –4 не е допуштена вредност за променливата во рационалниот израз изразот

односно

нема смисла за

Понатаму, за секоја друга вредност на променливата x именителот на дробниот израз е број различен од нула, па делењето е изводливо. Според тоа, променливата x може да ја прими секоја вредност различна од 4. За овие вредности велиме дека се допуштени вредности за променливата x, односно рационалниот израз

има смисла за секое

Вредностите кои може да ги прими променливата во еден рационален израз се викаат допуштени вредности за променливата во изразот. За рационалниот израз велиме дека има смисла за тие вредности на променливата. Множеството од сите допуштени вредности за променливата се вика домен на променливата во изразот.

7. Најди го доменот на променливата x во изразот: а)

б)

Сигурно забележа дека изразот

е цел рационален израз, додека изразот

е

дробен рационален израз. Доменот на променливата x во изразот

е множеството

од сите реални броеви. Доменот на променливата x во изразот

се сите реални

броеви, за кои именителот во дробниот израз е различен од нула, односно сите реални броеви различни од Доменот на променливата кај цел рационален е множеството од сите реални броеви. Доменот на променливата кај дробен рационален израз е множеството од сите реални броеви за кои именителот во дробниот израз е различни од нула.

8. Најди го доменот на променливата x во изразот: а)

44

б)

в)

г)

д)

.

9. Бројната вредност на рационалниот израз

, за

, е

Бројната вредност и на рационалниот израз , за ,е Воочи дека заради дистрибутивниот закон на множењето во однос на собирањето,за било која вредност на променливата, изразите

и

примаат иста вредност.

Тогаш пишуваме Рационални изрази со еднакви домени и еднакви бројни вредности за секои допуштени вредности на променливите, се викаат идентични рационални изрази.

10. Кои од рационалните изрази се идентични: а) и б) и в)

и

3. 1. 3. Мономи 1. Дадени се целите рационални изрази:

x, a, 5,

Можеш да воочиш дека во дадените цели рационални изрази се застапени само операциите множење и степенување со природен број. Цел рационален израз кој ги содржи само операциите множење и степенување со природен број се вика моном.

2. Кои од следните изрази се мономи: а)

б) 8;

в) 0;

г)

д)

3. Мономот има три променливи x, y и z. Променливата y се јавува двапати како множител, но применувајќи го комутативниот закон за множење и знаејќи ја постапката за множење на степени со исти основи, производот yy можеме да го запишеме во обик

Тогаш мономот

е

идентичен со мономот Мономот не можеме со понатамошна постапка да го запишеме со помал број на множители. За него велиме дека е запишан во нормален вид.

4. Запиши ги во нормален вид мономите: а) б) в) г)

ѓ)

При запишување на моном во нормален вид:  Размести ги множителите со помош на комутативниот закон;  Множителите означени со иста буква запиши ги во вид на степен со помош на правилото за множење на степени со иста основа.  Користи го знакот за еднакво бидејќи се добиваат идентични изрази.

;

45

ПОЛИНОМИ

Бројниот множител во нормалниот вид на еден моном се вика коефициент на мономот, а производот од променливите се вика главна вредност на мономот.

5. Најди ги коефициентот и главната вредност на мономите: а)

б)

а) Мономот

в)

г)

има коефициент 3,9 и главна вредност

б) Мономот

има коефициент 1 и главна вредност

в) Мономот

има коефициент

1 и главна вредност

има коефициент 9 и главна вредност

г) Мономот

6. Најди го коефициентот на мономите: б)

а)

в)

а) Коефициентот на мономот

е

б) Коефициентот на мономот

е

в) Коефициент на мономот

е

г) Коефициентот на мономот

е

7. Во мономот

г)

променливата x е на прв степен, а во мономот

x е на трет степен. Велиме дека мономот

променливата

е од прв степен, а мономот

е од

трет степен. Колку е степенот на мономот Мономот има три променливи и за определување на неговиот степен го наоѓаме збирот на степеновите показатели на секоја од променливите. Така степенот на дадениот моном е Збирот од степеновите показатели на променливите во мономот се вика степен на мономот.

8. Колку е степенот на мономот: а)

б)

9. Пополни ја табелата: Моном Нормален вид на мономот Коефициент на мономот Степен на мономот 46

в)

г)

д)

и се запишани во нормален вид. Освен тоа тие имаат 10. Мономите иста главна вредност, односно се разликуваат само по коефициентот. Мономите кои во нормален вид имаат иста главна вредност се викаат слични мономи. Слични се, на пример, и мономите:

и

и

и

11. Запиши ги мономите кои се слични: Пред да започнеш со споредувањето на главната вредност доведи ги мономите во нормален вид. Мономите броеви.

и

се слични мономи и имаат коефициенти што се спротивни

Слични мономи чии што коефициенти се спротивни броеви се викаат спротивни мономи.

12. Запиши ги спротивните мономи на мономите: а)

б)

в)

13. Запиши го мономот

в)

г)

во нормален вид, а потоа запиши ги нему

сличните мономи со коефициенти: 1, 1,

и 8. Спореди ги степените на добиените

мономи. Што заклучи?

3. 1. 4. Собирање и одземање на мономи 1. Мономите и еднакви собироци:

претставуваат скратени записи за збир од три, односно четири

па затоа нивниот збир можеш да го запишеш во вид:

Мономите

и

ги нарекуваме собироци, а мономот

Слично, за збирот на мономите

и

нивен збир.

имаме:

47

ПОЛИНОМИ Од примерот можеш да воочиш дека се собираат само слични мономи. Освен тоа, сигурно забележа дека: Збир на слични мономи е моном чиј што коефициент е еднаков на збирот од коефициентите на собироците, а главната вредност е еднаква на главната вредност на собироците. Од дефиницијата непосредно можеш да заклучиш дека: Збир на два слични мономи е моном сличен на нив.

2. Најди го збирот на сличните мономи: а)

и

б)

и

в)

и

3. Значи, собирањето на слични мономи се сведува на собирање на рационални броеви, па затоа важат истите својства како за собирање на рационалните броеви. На пример, за збирот на мономите

и

имаме:

односно, збирот не се менува ако собироците си ги заменат местата. Примерот упатува на заклучокот дека: За операцијата собирање на слични мономи важи комутативниот закон. Понатаму, за збирот на мономите

и

имаме

Односно, збирот не зависи од начинот на групирање на собироците. За операцијата собирање на слични мономи важи асоцијативниот закон.

4. Мономите

и

се спротивни мономи. Ако го пресметаме нивниот

збир имаме Значи, исто како и кај рационалните броеви имаме: Збир на два спротивни мономи е нула.

5. Најди го збирот на мономите: а) г)

48

и и

б) д)

и

в) и

ѓ)

и и

6. Најди ја разликата на мономот

со мономот

Се договораме дека разлика на мономот

со мономот

Воочи дека дадените мономи се слични. Мономот

е мономот

се вика намаленик, а мономот

се вика намалител. Разлика на еден моном со нему сличен моном е моном чиј што коефициент е еднаков на разликата на коефициентот на намаленикот со коефициентот на намалителот, а главната вредност е еднаква на главната вредност на намаленикот, односно намалителот. Од дефиницијата непосредно можеш да заклучиш дека: Разлика на еден моном со нему сличен моном е моном сличен на нив. Од друга страна, заради можеме да заклучиме дека да се одземе еден моном од нему сличен моном значи кон намаленикот да се додаде спротивниот моном на намалителот. Извршувањето на операциите собирање и одземање на слични мономи во рационален израз се нарекува сведување на рационалниот израз.

7. Најди ја разликата на првиот моном со вториот: а)

и x;

а)

б)

и

б)

в)

и

; ;

в) .

8. Сведи ги изразите: а)

а)

;

б)

б)

;

в)

в)

.

9. Изврши ги назначените операции. Доведување во нормален вид на мономите Поништување на спротивни мономи

Наоѓање на сличните мономи и нивно разместување

49

ПОЛИНОМИ Добиениот израз понатаму не може да се сведува бидејќи мономите не се слични.

и

10. Сведи ги изразите: a)

б)

в)

г)

д) 11. Изврши ги назначените операции: а) б)

в)

3. 1. 5. Множење и степенување на мономи 1. Најди го производот на мономите и Бидејќи мономите се цели рационални изрази кои ги содржат само операциите множење и степенување со природен број, со примена на комутативниот и асоцијативниот закон за множењето добиваме дека Мономите производ.

и

нивни

се нарекуваат множители, а мономот

Производ на два мономи е моном чиј што коефициент е еднаков на производот од коефициентите на множителите, а главната вредност е еднаква на производот од главните вредности на множителите.

2. Најди го производот на мономите: б)

а)

в)

г)

3. Заради комутативниот и асоцијативниот закон за множењето за производот на мономите

и

имаме и

Од примерот воочи дека За операцијата множење на мономи важи комутативниот закон. Слично постапуваме и во случај кога множиме три или повеќе мономи. Заради комутативниот и асоцијативниот закон за множењето, за производот на мономите и 50

имаме

Примерот не упатува на заклучокот дека: За операцијата множење на мономи важи асоцијативниот закон.

4. Најди го производот на мономите

и

Имаме 5. Најди го производот на мономите: б)

а)

в)

6. При множењето на еднакви мономи, на пример постапуваме како кај множењето на броевите, односно производот на еднаквите мономи го запишуваме во вид на степен производот

и го викаме втор степен на мономот можеме да го запишеме во вид на степен

Слично, и го викаме

трет степен на мономот Притоа, мономот го сметаме за основа. Применувајќи ги правилата за степенување со природен показател имаме: и

Степен на моном е моном чиј што коефициент е степен од коефициентот на основата, а главната вредност е степен на главната вредност на мономот.

7. Изврши го степенувањето на мономите: а)

б)

в)

а)

в)

б)

г)

г)

При решавањето на задачата можеше да воочиш и требаше да внимаваш на следното: 1) Ако коефициентот на основата е негативен број, тогаш коефициентот на степенот е:  позитивен број кога степеновиот показател е парен број;  негативен број кога степеновиот показател е непарен број.

2) Ако мономот што се степенува не е во нормален вид, како под г) од решениот пример 7, тогаш како подготовка за поедноставно степенување, мономот треба да го доведеме во нормален вид, а потоа да го извршиме степенувањето.

51

ПОЛИНОМИ 8. Изврши го степенувањето на мономите: а)

б)

в)

г)

3. 1. 6. Делење на мономи 1. Најди го количникот на мономот

со мономот

Бараниот количник го запишуваме во вид се нарекува деленик, а мономот

каде што мономот

се нарекува делител.

Бидејќи делителот е производ, според правилото за делење со производ, горното делење се извршува така што, прво деленикот се дели со првиот множител 3, потоа добиениот резултат се дели со вториот множител x и на крајот добиениот резултат се дели со третиот множител z. Меѓутоа и деленикот е производ. Затоа, за да се подели деленикот со 3 доволно е само еден негов множител, на пример коефициентот 15 да се подели со 3. На истиот начин, за да се подели добиениот резултат со x, доволно е

да се подели со x итн. Така добиваме дека: Погорниот пример упатува на правилото за делење на моном со моном. Моном се дели со моном така што коефициентот на деленикот се дели со коефициентот на делителот, а одделните степени од главната вредност на деленикот се делат со соодветните степени од делителот кои имаат иста основа, а потоа добиените количници се помножат.

2. Разгледај и објасни како се добиени количниците: а) б) 3. Најди ги количниците: а)

б)

в)

г)

При делење на моном со моном, количникот не е секогаш моном, односно цел рационален израз. Така, на пример, ако ги поделиме мономите 52

и

имаме:

Бараниот количник е

, а тоа е дробно рационален израз.

Ако во мономот делител има променлива што не се содржи во деленикот, или ако се содржи во деленикот, но степеновиот показател му е помал од соодветниот показател во делителот, тогаш количникот е дробен рационален израз, па според тоа не е моном.

4. Изврши го делењето: а)

б)

в)

г)

3. 1. 7. Полиноми 1. Дадени се коцка и квадар, како на црт. 1. Најди ја вкупната плоштина на двете тела, ако должината на работ на коцката е x, а должините на рабовите на квадарот се x, y и z. За да ја определиш вкупната плоштина на телата, треба и плоштината

да ја определиш плоштината на коцката P1

Вкупната плоштина изнесува

на квадарот P2 односно P

Добиениот израз е збир од мономи.

Цел рационален израз кој што е збир од конечно многу мономи се вика полином. Се договараме полиномите да ги означуваме со големите латински букви A, B, C, D, . . . На пример, A

B

C 2. Запиши ги рационалните изрази кои што се полиноми: а)

б)

в)

г)

д)

3. Од кои мономи е составен полиномот: а)

б)

в)

г)

д)

53

ПОЛИНОМИ 4. Полиномот

е збир од два мономи, е збир од три мономи,

и

додека полиномот

и 7.

Мономите од кои е составен полиномот се викаат членови на полиномот. Секој моном е едночлен полином. Полином со два членови се вика двочлен полином или бином. Полином со три членови се вика тричлен полином или трином, полином со четири членови се вика четиричлен итн.

5. Дадени се следните цели рационални изрази:

Кои од нив се: а) мономи;

б) биноми;

в) триноми?

6. Запиши: а) три двочлени полиноми, односно биноми; б) два тричлени полиноми, односно триноми. Коефициентите на мономите од кои што е составен полиномот се викаат коефициенти на полиномот.

се 7, 9 и

7. Коефициентите на полиномот

.

8. Кои се коефициентите на полиномот: а)

б)

в)

9. Пресметај ја бројната вредност на полиномот: а)

за

б)

за

в)

за

г)

за

и y = 0.

10. Кои мономи се викаат спротивни мономи? Ако добро си одговорил, сигурно одговорот гласеше дека спротивни мономи се оние кои имаат исти главни вредности, но спротивни коефициенти. Слично ќе го дефинираме поимот спротивни полиноми. Полиноми составени од спротивни мономи се викаат спротивни полиноми.

54

11. Полиномите и се спротивни. Ако два полиноми се спротивни велиме дека едниот од нив е спротивен на другиот. Во таа смисла, полиномот

е спротивен на полиномот

односно полиномот

е спротивен на полиномот

12. Најди го спротивниот полином на полиномот: а)

б)

в)

3. 1. 8. Степен на полином. Нормален вид на полином 1. Да го разгледаме полиномот Тој го содржи мономот е во нормален вид. Ако мономот го запишеме во нормален вид, имаме

кој што не

Знаејќи како се собираат мономи, добиениот полином можеме да го упростиме со собирање на сличните мономи, односно Добиениот полином е збир од мономи во нормален вид, меѓу кои нема слични. Во тој случај велиме дека полиномот е запишан во нормален вид. Полином е во нормален вид, ако е збир од мономи во нормален вид кои не се слични.

2. Кои од следниве полиноми се во нормален вид: а)

б)

в)

г)

3. Запиши ги во нормален вид полиномите: а)

д)

б)

ѓ)

в)

е)

г)

ж)

4. Како и кај мономите и кај полиномите можеме да дефинираме степен на полиномот. Разгледај ги следниве примери: а) Полиномот мономот

е во нормален вид. Мономот

има степен 3, додека

има степен 2. Значи, највисокиот степен на мономите во полиномот е 3.

55

ПОЛИНОМИ

б) Полиномот мономот

е во нормален вид. Мономот има степен

додека степенот на мономот

има степен е 1. Значи,

е 5.

највисокиот степен на мономите во полиномот

Степен на полином во нормален вид се вика највисокиот степен меѓу степените на мономите од кои е составен полиномот.

5. Кој е степенот на полиномот: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ) ж)

е)

Мономите во еден полином во нормален вид можеме да ги подредиме по големината на нивните степени во растечки или опаѓачки редослед. Разгледај го следниот пример на две подредувања на мономите во полиномот, според нивниот степен. Полиномот

е подреден така што степените на мономите опаѓаат,

додека полиномот на мономите.

е подреден по растечки редослед на степените

6. Подреди ги полиномите а) степените на мономите да растат; б) степените на мономите да опаѓаат.

и

така што:

7. Подреди го полиномот A степените на мономите: а) растат; б) опаѓаат.

така што

8. Подреди го полиномот B степените на мономите: а) опаѓаат; б) растат.

9. Состави ги сите полиноми од мономите

56

така што

и

чии што степени опаѓаат.

3. 1. 9. Собирање и одземање на полиноми 1. Најди го збирот на полиномите: и Бараниот збир на полиномите го добиваме на следниот начин:

Можеше да воочиш дека на првиот полином последователно му го додаваме секој член од вториот полином. Освен тоа бараниот збир е пак полином, во кој се вклучени сите членови на дадените полиноми со своите знаци. Добиениот полином, збир, има слични членови со дадените полиноми, собироци. Вообичено, така добиениот полином се сведува во нормален вид. Збир на два Два полинома се собираат така што кон првиот полином полиноми е се додаваат членовите (мономите) на вториот полином. полином.

2. Најди го збирот на полиномите: а) в) г)

и

б)

и

и и

Слично постапуваме кога треба да најдеме збир на три или повеќе полиноми.

3. Најди го збирот на полиномите: а)

и

б)

и

в)

и

4. Од полиномот одземи го полиномот Бараната разлика ја добиваме на следниот начин:

Полиномот

се вика намаленик, а полиномот

вика намалител. За добиениот полином

се

велиме дека е разлика

на полиномот со полиномот Можеше да воочиш дека одземањето на еден полином од друг го вршиме исто како и одземањето на моном од моном, односно кон намаленикот го додаваме секој член на полиномот намалител, со спротивен знак. Добиениот полином има слични членови со дадените полиноми. Вообичено, така добиениот полином се сведува во нормален вид.

57

ПОЛИНОМИ

Полиноми се одземаат така што кон полиномот намаленик се додаваат последователно членовите од полиномот намалител со спротивни знаци.

Разлика на полином со полином е полином.

4. Изврши го одземањето: а) б) в) 5. Дадени се полиномите A C а)

и

B

Најди ги полиномите: в)

б)

г)

Разгледај ги следниве два примери.

При собирање и одземање на полиноми, од решените примери можеш да воочиш дека дадените полиноми се запишуваат во загради, а потоа се ослободуваме од заградите. Врз основа на претходно запишаните правила за собирање и одземање на полиноми, може да се извлечат следните правила за ослободување од загради:  Ако пред заградата стои знакот ,,+”, заградата може да се избрише, а знаците пред членовите што беа во заградата остануваат непроменети.  Ако пред заградата стои знакот ,,” , знакот и заградата можат да се избришат, но сите членови во неа треба да се презапишат со спротивен знак.

6. Сведи ги полиномите во нормален вид: а)

б)

в)

г)

7. Упрости ги изразите: а) б) в)

58

8. Пресметај ја вредноста на изразот: а)

за за

б)

и

9. Покажи дека вредноста на изразот: а) б) в) не зависи од вредноста на променливата во него. Понекогаш се јавува потреба од претставување на полином како збир или разлика од полиноми.

10. Плоштината на фигурата претставена на црт. 2 ја претставуваме како збир од плоштината на фигурите од кои таа е формирана. Имаме:

Збирот од плоштините на фигурите на цртежот го определуваат полиномот Него го запишуваме како збир од полиномите x2+ xy и x+y+1. Во случај кога полиномот се претставува како збир или разлика на полиноми, треба да се користат следните правила:  Ако пред заградата во која го запишуваме полиномот го ставаме знакот ,,+”, тогаш сите членови на полиномот во заградата го задржуваат својот знак.  Ако пред заградата во која го запишуваме полиномот, го ставаме знакот ,,”, тогаш сите членови на полиномот во заградата се запишуваат со спротивни знаци.

11. Полиномот

5 претстави го како:

а) збир на два полиноми, од кои едниот е б) разлика на полином со полиноми, од кои полиномот намаленик е 12. Даден е полиномот а) збир од трином и бином; в) разлика од трином со бином.

Претстави го како: б) разлика од бином со трином;

13. Најди полином А таков што A

59

ПОЛИНОМИ

3. 1. 10. Множење на полином со моном 1. Најди го производот на полиномот

со

мономот Со примена на дистрибутивниот закон за множењето во однос на собирањето, за производот имаме:

Можеше да воочиш дека секој член од полиномот се множи со мономот, а добиените производи се собираат. Полиномот и мономот се нарекуваат множители, а добиениот полином производ. Понатаму, добиениот полином се сведува во нормален вид. Производ на полином со моном е полином.

Полином се множи со моном така што секој член од полиномот се множи со мономот, а добиените производи се собираат.

2. Изврши го множењето: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

з)

ѕ)

и)

ј)

3. Запиши го производот со полином во нормален вид: а) г)

б)

в) д)

ѓ)

4. Изврши ги означените операции: а) в) г) д) а) Имаме 60

б)

5. Најди ја вредноста на изразот: а)

за

б)

за

и

6. Покажи дека вредноста на изразот: а) б) не зависи од вредноста на променливата во него.

3. 1. 11. Множење на полином со полином 1. Најди го производот на полиномите

и

Ако вториот полином го означиме со А, односно А може да го запишеме во облик

тогаш горниот производ

А. Според правилото за множење на полином со моном имаме A 

A

A

 A.

Ако ја вратиме воведената смена, односно ако A го замениме со примена на правило за множење на полином со моном добиваме

со повторна

Како што забележуваш, на крај од постапката добиениот полином по потреба се доведува во нормален вид. Полиномите и се нарекуваат множители, а добиениот полином производ. Понатаму, добиениот полином се сведува во нормален вид. Два полиноми се множат така што секој член од едниот полином се множи со секој член од другиот полином, па потоа добиените производи се собираат.

Производ на два полиноми е полином.

61

ПОЛИНОМИ За да не правиш грешки при множење на полиноми, добро е да ги запишеш производите на првиот полином со секој член од вториот полином, или, производите на вториот полином со секој член од првиот полином.

2. Најди го производот или

3. Најди го производот Ако примени една од препораките во претходната задача сигурно доби дека:

4. Изврши го множењето: а)

б)

г)

д)

в) ѓ)

5. Претстави ги производите со полином во нормален вид: а)

б)

в)

г)

6. Упрости ги изразите: а)

б)

в)

г)

7. Претстави ги степените со полином во нормален вид: а)

б)

в)

г)

д)

Претстави ги степените во вид на производ од два, односно три множители. При множењето на полиноми можеме да ги користиме комутативниот и асоцијативниот закон. Тоа ќе ни овозможи, при множење на полиноми да ги разместиме полиномите множители и да најдеме производ на повеќе од два полиноми на поедноставен начин.

8. Изврши го множењето

62

9. Изврши го множењето: а)

б)

в)

г)

10. Покажи дека вредноста на изразот не зависи од вредноста на променливата во него.

3. 1. 12. Производ од збир A+B и разлика A-B на два мономи При множење на полиноми, во некои случаи може да се користат формули, кои што лесно се помнат и овозможуваат брзо да се пресмета производот на полиномите. Тие се наречени формули за скратено множење. Нека A и B се кои било мономи. Биномот се вика збир на мономите A и B, додека биномот се вика разлика на мономот A со мономот B. 1. На што е еднаков производот на збирот и разликата на два мономи A и B? Со примена на правилото за множење на биноми (полиноми) добиваме дека бараниот производ е

Биномот

се вика разлика на квадрати на мономот A со мономот B.

Производот од збирот на два мономи и разликата на првиот моном со вториот моном е еднаков на разликата од квадратот на првиот моном со квадратот на вториот моном. Формулата за скратено множење се вика формула за разлика на квадрати. Геометриското толкување на формулата за производ од збир и разлика на два мономи е прикажано на црт. 3. Ако од плоштината на квадрат со страна a се одземе плоштината на квадрат со страна b, се добива 63

ПОЛИНОМИ плоштината на фигурата која што е составена од два правоаголника (1) и (2). Плоштината на фигурата е еднаква на плоштината на правоаголник со страни

и

односно 2. Најди ги производите со помош на формулата за разлика на квадрати: а)

б)

в)

Со примена на формулата за разлика на квадрати добиваме а) б) в) 3. Изврши го множењето: а)

б)

в)

д)

г)

ѓ)

е)

4. Претстави ги со полином во нормален вид производите: а)

б)

в)

д)

ѓ)

е)

5. Упрости ги изразите: а)

б)

в)

д)

6. Реши ги равенките: а)

б)

в)

г)

Формулата за разлика на квадрати можеме да ја примениме за брзо пресметување на производот на два броја. Така, на пример, 7. Пресметај го на наједноставен начин производот на броевите: а)

б)

в)

г)

3. 1. 13. Квадрат на бином Нека A и B се кои било мономи. Степенот мономите A и B, односно квадрат на биномот 64

се вика квадрат од збир на

1. Трансформирај го степенот Степенот

во полином во нормален вид.

можеме да го запишеме во вид на производ. Според дефиницијата

за квадрат и правилото за множење на биноми (полиноми) за степенот

имаме

Квадрат на збир од два мономи е еднаков на збирот на квадратот на првиот моном, удвоениот производ на првиот и вториот моном и квадратот на вториот моном. Формулата за скратено множење квадрат на збир од два мономи.

се вика формула за

Геометриското толкување на формулата за квадрат на збир од два мономи е прикажано на црт. 4. Страната на квадратот е Неговата плоштина е P Од друга страна, плоштината на квадратот е збир од плоштините на квадратот со страна a, два правоаголници со страни a и b, и квадрат со страна b, односно P Од P

иP

имаме

2. Најди го квадратот на збирот: а)

б)

ѓ)

е)

в)

г)

ж)

з)

д) ѕ)

.

3. Запиши го степенот со полином во нормален вид: а)

б)

в)

г)

Формулата за квадрат на збир од два мономи можеш да ја употребиш за наоѓање на квадрат од некои броеви.

4. Пресметај го квадратот од броевите: а)

б) Имаме:

в)

г)

а) в)

65

ПОЛИНОМИ 5. Пресметај ги квадратите на броевите: а)

б)

в)

г)

д)

Нека A и B се кои било мономи. Степенот се вика квадрат на разликата на мономот А со мономот B, односно квадрат на биномот 6. Трансформирај го степенот Бидејќи мономи добиваме

во полином во нормален вид.

со примена на формулата за квадрат на збир од два

Квадрат на разлика од еден моном со друг е еднаков на збирот на квадратот на првиот моном и квадратот на вториот моном, намалени за удвоениот производ на првиот и вториот моном. Заради формулата за квадрат од разлика на еден моном со друг ја нарекуваме формула за квадрат од разлика на два мономи. Формулите за квадрат од збир на два мономи и квадрат од разлика на два мономи со заедничко име ги нарекуваме формули за квадрат на бином. На квадратот од разликата на два мономи можеме да дадеме геометриско толкување (црт. 5) Страната на квадратот е Неговата плоштина е P Од друга страна, плоштината на квадратот е P Според тоа

7. Запиши го степенот со полином во нормален вид: а)

б)

д)

ѓ)

в)

г) е)

ж)

8. Изврши го степенувањето: а)

б)

в)

г)

9. Упрости ги изразите:

66

а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

10. Реши ги равенките: а)

б)

в)

Формулата за квадрат на разлика на два мономи можеш да ја употребиш за наоѓање на квадрат од некои броеви.

11. Пресметај го квадратот од броевите: а)

б)

в)

г)

Имаме а) г) 12. Најди го квадратот на броевите: а)

б)

в)

г)

д)

3. 1. 14. Делење на полином со моном 1. Најди го количникот на полиномот

со мономот

Бараниот количник го запишуваме во облик

каде

што полиномот се нарекува деленик, а мономот се нарекува делител. Со примена на десната дистрибутивност на делењето во однос на собирањето и одземањето добиваме:

Полином се дели со моном така што секој член од полиномот се дели со дадениот моном, а добиените количници се собираат.

2. Изврши го делењето: а) г)

б)

в) д)

е)

ѓ) ж)

3. Упрости го изразот: а) в)

б) г)

д)

67

ПОЛИНОМИ Како и при делењето на моном со моном, така и при делењето на полином со моном, количникот не е секогаш полином, односно цел рационален израз. Тогаш бараниот количник претставува дропка чиј што именител содржи променлива, односно е дробен рационален израз. При запишување на дробно рационален израз секогаш се претпоставува дека променливата прима само допуштени вредности.

4. Разгледај ги решените примери. б)

а)

Како што можеше да забележиш од решените примери, ако во полиномот, односно, мономот, делителот има некоја променлива со степен што не се содржи во деленикот, или ако се содржи во деленикот, но показателот му е помал од соодветниот показател во делителот, тогаш количникот е дробен рационален израз, па според тоа не е полином, односно моном.

Количникот на полином со моном не секогаш е полином.

5. Изврши го делењето: а)

б)

6. Пресметај ја бројната вредност на изразите: а)

за

в)

б) за

за

и

;

и

3. 1. 15. Делење на полином со полином 1. Да се подели еден полином со друг, значи да се најде трет полином кој помножен со вториот го дава првиот. Разгледај ги следните решени примери. Имаме: а) б) ( x 2  y 2 ) : ( x  y ) 

бидејќи

(Притоа

x2  y2 , бидејќи не постои полином кој помножен со x y

дава како производ полиномот

(Притоа

)

Количникот при делењето на полином со полином само во ретки случаи може да се изрази во вид на полином или моном, како што беше случајот во 1. Во општ случај количникот на еден полином со друг може само да се запише во вид на дробен рационален израз, како во вториот пример.

68

)

Количникот на полином со полином не секогаш е полином.

го

За да покажеме како се дели полином со полином, прво ќе помножиме два подредени полиноми, па потоа делејќи го добиениот производ со еден од множителите, ќе покажеме како го наоѓаме количникот.

2. Да ги помножиме полиномите

и

Да разгледаме како, кога ќе го поделиме производот едниот множител Бидејќи првиот член

со

, ќе го добиеме другиот множител на деленикот е добиен како производ од првиот член

на делителот и првиот член на количникот, за да го најдеме првиот член на количникот, треба првиот член на деленикот да се подели со првиот член на делителот. Така го наоѓаме првиот член на количникот со добиениот прв член

Ако делителот го помножиме

на количникот, ќе го добиеме првиот делумен производ:

(1) Ако потоа производот (1) го одземеме од деленикот, добиениот остаток R1 ќе биде еднаков на (2)+(3). Значи првиот остаток R1, ќе биде:

Забележуваме дека првиот член

на остатокот R1 претставува производ од

првиот член на делителот и вториот член на количникот. Според тоа, за да го најдеме вториот член на количникот, првиот член на остатокот R1 ќе го поделиме со првиот член на делителот. Значи, вториот член на количникот е Потоа, ако делителот го помножиме со најдениот втор член на количникот, ќе го добиеме вториот делумен производ (2). Тој производ го одземаме од остатокот R1, па го добиваме вториот остаток R2:

69

ПОЛИНОМИ

Откако ќе го поделиме првиот член

на остатокот R2 со првиот член

на

делителот, го добиваме и третиот член на количникот Ако производот од делителот и третиот член на количникот го одземеме од остатокот R2, добиваме остаток 0, што значи дека делењето е завршено. Целата постапка на делењето ја запишуваме вака:

Ако последниот остаток не е нула, постапката се продолжува се додека не се добие остаток нула, или остаток чиј степен е помал од степенот на делителот. Во првиот случај (пример 1 а)) делењето завршува без остаток и добиениот количник е полином, а во вториот случај велиме дека делењето е со остаток (пример 1 б)).

3. Разгледај и објасни како е добиен количникот на полиномот со полиномот

Колку е остатокот?

Кога делењето е со остаток, количникот не може да се изрази во облик на полином, туку само во вид на дробен рационален израз. Во случајов имаме

Во двата примери, разгледани погоре, деленикот и делителот содржат само по една променлива. Освен тоа, тие се подредени според намалувачките степени на променливата. Ако полиномите содржат неколку променливи, тогаш пред да се почне со делењето, полиномите се подредуваат според намалувачките или растечките степени на една од променливите.

4. Разгледај и објасни како е добиен количникот на полиномот со полиномот остатокот?

70

Колку е

5. Изврши го делењето, користејќи ги формулите за скратено множење: а)

б)

в)

г)

За случајот под а) имаме 6. Изврши го делењето на полиномите: а)

б)

в) 7. Провери дали полиномот а)

б)

е делив со биномот:

в)

г)

8. Изврши ги назначените операции: а) б)

3. 1. 16. Задачи за вежбање 1. Пресметај ја бројната вредност на изразите: а)

б)

в)

2. Запиши израз за пресметување на периметар на рамнокрак триаголник. Потоа пресметај го периметарот на рамнокрак триаголник со основа

и крак

3. Запиши го изразот за пресметување на плоштина на правоаголник со страни: а) a и b; б) и b; в) 2a и 5b.

4. Состави рационален израз според текстот: а) Кон бројот x е додаден бројот -3 и добиениот број е помножен со 2,5; б) Бројот a е помножен со збирот на броевите 9 и x и добиениот број е поделен со 7; в) Бројот 2 е поделен со бројот и од добиениот број е одземен бројот 12.

71

ПОЛИНОМИ 5. Кои од рационалните изрази се цели, а кои дробни рационални изрази: б)

а)

в)

г)

6. Кои вредности за променливата во изразите не се допуштени? а)

б)

в)

г)

7. Доведи ги мономите во нормален вид и запиши ги коефициентот и главната вредност: а)

б)

в)

г)

8. Запиши ги во нормален вид мономите: б)

а)

в)

г)

Потоа одреди го степенот на секој од мономите.

9. Запиши неколку: а) слични мономи;

б) спротивни мономи.

10. Најди го збирот на мономите: а)

и

б)

и

в)

и

11. Запиши го производот со моном во нормален вид: а)

б)

в)

12. Изврши го степенувањето на мономите: а)

б)

в)

г)

13. Најди ги количниците: б)

a)

14. Од кои мономи е составен секој од полиномите: а)

б)

в)

г)

15. Доведи ги во нормален вид полиномите: а) г)

72

б)

в) д)

16. Доведи ги во нормален вид полиномите: а)

б)

в)

г)

17. Најди го степенот на полиномот: а)

б)

в)

г)

18. Пресметај ја бројната вредност на рационалниот израз: а)

за

в)

б)

за

за

19. Двајца велосипедисти тргнале од исто место, едниот кон исток, другиот кон запад и соодветно се движеле со брзина од и На кое растојание меѓу себе ќе бидат велосипедистите после t часови? Пресметај го растојанието за и 20. Со извршување на операциите, упрости ги изразите: а)

б)

в)

г)

21. Најди го мономот p во равенствата: а)

б)

в)

г)

22. Упрости ги изразите: а)

б)

в) г) 23. Упрости ги изразите: а) г)

б)

в) д)

73

ПОЛИНОМИ 24. Докажи дека вредноста на изразот од променливата x.

не зависи

25. Докажи дека вредноста на изразот секоја вредност на променливата x.

е делива со 6, за

26. Изврши го делењето: а) б) в)

г)

27. Изврши го делењето: а)

б)

в)

г)

28. Со помош на формулите за скратено множење, упрости ги изразите: а) д) ж)

б)

в)

г)

ѓ)

е) з)

ѕ)

и)

ј)

29. Изврши ги назначените операции: а)

б)

в) 3. 2. РАЗЛОЖУВАЊЕ НА ПОЛИНОМИ 3. 2. 1. Разложување на полином на прости множители со извлекување заеднички множител пред загради 1. Да се потсетиме дека простите делители на еден број се и прости множители на тој број. Разгледај го дрвото и објасни го разложувањето на бројот 12 на прости множители. Претставувањето на број во вид на производ од прости множители се вика разложување на бројот на прости множители

74

За да го разложиме бројот 12 на прости множители, со помош на признаците за деливост ќе ги најдеме последователно сите негови прости делители. Добиваме дека е разложувањето на бројот 12 на прости множители. Воочи дека постои единствено разложување на бројот 12 на прости множители.

2. Разложи ги на прости множители броевите:

а) 84;

12 : 2 = 6 6:2=3 3:3=1

б) 72;

12 2 6 2 3 3 1

в) 315.

3. Дали секој природен број може да се разложи на прости множители? Ако правилно одговори на поставеното прашање, тогаш твојот одговор бил негативен. На пример, бројот 5 не може да се разложи на производ од прости множители. Имено единственото разложување на бројот е но бројот 1 не е прост број. Ние сакаме да разложуваме полином на прости множители. Што всушност значи тоа? Врз основа на дистрибутивниот закон на 4. Нека е даден полиномот множењето во однос на собирањето имаме односно полиномот

е претставен во вид на производ од полиномите x и

Во тој случај велиме дека полиномот

е разложен на множители.

Претставувањето на полином во вид на производ од полиноми се вика разложување на полиномот на множители.

Разложувањето на полиномите на множители е слично на разложувањето на природните броеви на прости множители. Но, како што рековме не секој природен број може да се разложи на прости множители. Слично, постојат полиноми кои што не може да се разложат на множители. Такви се, на пример, полиномите Претставувањето на полином во вид на производ од полиноми кои понатаму не може да се разложуваат се вика разложување на полиномот на прости множители. Притоа, се смета дека константите не се разложуваат. Во нашиот пример, полиномот е разложен на прости множители. Постапката за разложување се заснова на дистрибутивниот закон на множењето во однос на собирањето. Со други зборови, извлекуваме заеднички множител пред заграда. Заради тоа, велиме дека станува збор за разложување на полином на прости множители со извлекување на заеднички множител пред загради.

75

ПОЛИНОМИ множење

разложување на множители со извлекување на заеднички множител 5. а) Полиномот со постапката на разложување на полином на прости множители со извлекување на заеднички множител пред загради, може да се запише како б) 6. Извлечи го заедничкиот множител пред загради: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

7. Разложи го на прости множители полиномот Бројот 5 е најголем заеднички делител на коефициентите на сите членови на полиномот (мономи), односно НЗД(15,5,15)=5. Понатаму, променливата x се содржи во сите членови на полиномот, но со различни степенови показатели. Најнизок степенов показател меѓу нив е 2. Променливата y се содржи, исто така, во сите членови на полиномот и има најнизок степенов показател 1. Променливата z не се содржи во сите членови на полиномот. Според тоа заеднички делител, односно заеднички множител за сите членови на полиномот е мономот Со така добиениот заеднички делител (множител) го делиме дадениот полином, а добиениот количник го запишуваме во загради. Имаме

Може да забележиме дека по завршувањето на постапката, членовите на полиномот во заградата не содржат друг заеднички множител.

8. Разложи го на прости множители полиномот: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

9. Разложи го на прости множители полиномот: а)

б)

Имаме а)

б)

Во овие примери како множител е извлечен и бројот (-1), за кој се запишува само знакот ,, ” пред заградата. Притоа се менуваат знаците на членовите во заградата. Ова најчесто го правиме ако првиот член на полиномот има негативен знак или сите членови како во случајот под а) се негативни.

76

10. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

Заедничкиот множител што се извлекува пред заградата може да биде и полином, а не само моном.

11. Разложи го на прости множители полиномот Имаме 12. Извлечи го заедничкиот множител пред загради: а)

б)

в)

г)

13. Разложи го на прости множители полиномот: а)

б)

в) 14. Скрати ја дропката: а)

б)

в)

При запишување на дробно рационален израз секогаш се претпоставува дека променливата прима само допуштени вредности.

3. 2. 2. Разложување на полином на прости множители со групирање Познато ти е дека при пресметување на збир од повеќе од два собироци, групирањето на собироците може да ти ги олесни пресметувањата.

1. Пресметај го на најлесен начин збирот За да ја решиш поставената задача сигурно се досети да ги групираш собироците, првиот со четвртиот и вториот со третиот. Така добиваме Слично, на постапката на групирање собироци, за да се разложи полином на прости множители, понекогаш е потребно прво да се групираат членовите на полиномот на соодветен начин. Така, познато ти е е дека: за множење

за групирање 77

ПОЛИНОМИ Тука ги групираме првиот и вториот член и од нив извлекуваме z пред заграда, потоа ги групираме третиот и четвртиот член и од нив го извлекуваме w пред заграда. Во изразот

заеднички множител е

Ваквиот начин на разложување на прости множители, се вика разложување на полином на прости множители со групирање.

2. За да се разложи полиномот 10ax+2ay by 5bx на прости множители потребно е да се групира првиот член со четвртиот член и вториот член со третиот член од дадениот полином. Имаме

Членовите на даден полином се групираат, така што секоја група има заеднички множител. По извлекување на заедничкиот множител со соодветниот знак од секоја група пред загради, во заградите треба да се добие еден ист полином. Тој полином потоа се извлекува пред загради како нов заеднички множител.

3. Разложи го полиномот на прости множители со групирање: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

4. Разложи го полиномот групирање.

на прости множители со

Задачата можеме да ја решиме на два начина: Прв начин (групирање на по два собирока):

Втор начин (групирање на по три собирока):

5. Разложи го полиномот на прости множители со групирање: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

6. Најди ја бројната вредност на полиномот, со претходно разложување на множители: а) 78

за

б)

за

и

в)

за

и

за

и

7. Скрати ги дропките: а)

б)

в)

3. 2. 3. Разложување на полином од видот A2–B2 на прости множители Познато ти е дека, за кои било два мономи важи формулата за скратено множење наречена формула за разлика на квадрати. Споменатата формула важи за кои било два полиноми. Навистина, ако A и B се два полиноми, тогаш со примена на правилото за множење на биноми (полиноми) добиваме дека бараниот производ е Со замена на левата страна од равенството со десната страна добиваме дека

Разликата на квадрат на еден полином со друг е еднаква на производот од нивниот збир и разликата на првиот полином со вториот полином.

Добиената формула може да се примени за разложување на полиноми на прости множители.

1. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

а)

б)

в)

г)

г)

2. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

79

ПОЛИНОМИ 3. Пресметај : а)

б)

в)

г)

Имаме а) Кога разложуваш разлика од квадрати за кои намалителот е полином, корисно е тој да се стави во загради, за да се избегне грешката во знаците.

4. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

a)

б)

в) 5. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

Во некои случаи за да се изврши до крај разложувањето на полиномот, потребно е да примениш последователно некои од трите начини на разложување на полиномот на прости множители.

6. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

Имаме

При разложување на полином на прости множители воочуваме:  дали членовите на полиномот имаат заеднички множител;  дали полиномот во заградата може да се разложи со групирање или со примена на формула за разлика на квадрати.

а) б)

в)

7. Разложи ги на прости множители полиномите: а) a) 80

б)

в)

г) ; б)

;

в)

;

г)

.

8. Скрати ги дропките: а)

б)

в)

3. 2. 4. Разложување на полином од видот A22AB+B2 на прости множители Познато ти е дека, за кои било два мономи важат формулите за скратено множење наречени формули за квадрат на бином. Споменатата формулата важи за кои било два полиноми. Навистина, ако A и B се два полиноми, тогаш со примена на правилото за множење на полиноми добиваме дека бараниот производ е Со замена на левата страна од равенството со десната страна добиваме Преку следните задачи ќе можеш да научиш како да ги применуваш дадените формули за скратено множење при разложување на полином на прости множители.

1. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

Во тричлениот полином

б)

воочи дека и 16 се квадрати на x и 4. Провери дека удвоениот производ од x и 4 е еднаков на

a)

односно б) Членовите на полиномот не се во вообичаениот редослед, но тоа не влијае на крајниот исход.

2. За полиномот

имаме

Полиномот не може да се разложи на прости множители според формулата за квадрат на бином, бидејќи .

81

ПОЛИНОМИ 3. Претстави ги како квадрат од бином следниве полиноми: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

ѓ)

е)

ж)

4. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

5. Пресметај ја вредноста на изразот: a)

за

б)

за

в)

за

и

6. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

7. Претстави го во вид на степен полиномот: а)

б)

.

8. Изврши го делењето: a)

б)

в)

9. Претстави го полиномот како збир од квадрати на два изрази: а)

б)

в)

10. Претстави го полиномот како разлика од квадрати на еден со друг израз: а)

б)

в)

3. 2. 5. Задачи за вежбање 1. Разложи ги полиномите на прости множители со извлекување на множител пред загради: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

2. Разложи ги полиномите на прости множители со групирање: 82

з)

а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

з)

ѕ)

3. Разложи ги полиномите на прости множители: a)

ѓ)

б)

е)

в)

ж)

г)

з)

д)

ѕ)

Користи ја формулата A2 B2= (A+B)(A B)

4. Разложи ги полиномите на прости множители: а) д) б)

ѓ) 16x248xy+36y2

в)

е)

г)

ж)

Користи ја формулата (AB)2= A22AB+B2

5. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

6. Докажи дека вредноста на изразот не зависи од вредноста на променливата y.

7. Упрости го изразот: а)

б)

в)

г)

8. Претстави ги во вид на производ изразите: а)

б)

в)

г)

9. Упрости ги изразите и пресметај ја нивната вредност: а) в)

за

б) за

за

и

и 83

ПОЛИНОМИ

3.3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА 1. Пресметај ја бројната вредност на изразот: а) б) 2. Пополни ја табелата: Моном Коефициент Главна вредност Степен Спротивен моном 3. Следните полиноми, подреди ги по степените на мономите: а)

б)

4. Претстави ги со полином во нормален вид изразите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

з)

5. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

6. Упрости ги изразите: x  0;

а) в)

б) г)

7. Разложи ги на прости множители полиномите: а)

б)

8. Пресметај ја вредноста на изразот: за

а) б)

за

и

9. Докажи дека вредноста на изразот не зависи од вредноста на променливата x.

84

в)

4. КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 1. АГЛИ ВО КРУЖНИЦА 4. 1. 1. Централен агол 1. На црт. 1 дадена е кружница k ( O, p) и определен со точката M. Темето на

аголот

лежи во центарот на кружницата и аголот го отсекува лакот AMB од кружницата. Агол чие теме е во ценатарот O на една кружница и отсекува лак AMB од таа кружница се вика централен агол над лакот AMB. Централен агол над лак во кружница определува единствена тетива, која може, но не мора да лежи во централниот агол. Така на црт. 1 тетивата AB лежи во централниот агол над лакот AMB, но не лежи во централниот агол над лакот ANB. Секоја тетива од кружницата определува два централни агли. Едниот од нив, во кој лежи тетивата е помал или еднаков на другиот и тој се нарекува централен агол над тетивата. Збирот на двата агла определени со една тетива е еднаков на 3600.

2. Која тетива определува два еднакви централни агли и по колку степени е секој од нив?

3. Нацртај две кружници со еднакви радиуси и во секоја од нив нацртај агол од 70 со теме во центарот на соодветната кружница. Секој од тие агли е централен агол, кој определува по една тетива на двете кружници. Измери ги должините на тетивите. Што забележуваш? Ако прецизно си цртал и мерел, сигурно забележа дека должините на тетивите определени со соодветните централни агли се еднакви. Помеѓу тетивите, лаците и централните агли во една или во две складни кружници важат следните својства: а) Еднакви централни агли определуваат еднакви лаци и еднакви тетиви; б) Еднакви лаци определуваат еднакви тетиви и еднакви централни агли; в) Еднакви тетиви определуваат еднакви централни агли над тетива.

4. На црт. 2 се претставени две концентрични кружници со различни радиуси. и соодветно тетивите AB Централниот агол , ги определува на кружниците и CD, како и кружните лаци AMB и CND. Со мерење можеш да забележиш дека AMB и CND и 85

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 5. Во кружница

(O,

нанесени се еднаквите тетиви MN и PQ. Ако

најди ја ја големината на 6. Колкав дел од кружницата, односно колкав кружен лак одговара на централен агол од:

а)

б) в) г) 7. Колкава е големината на централен агол на кој му одговара тетива што е еднаква на радиусот на кружницата?

8. Со две точки една кружница е разделена на два лака во однос Колкав централен агол одговара на поголемиот лак од кружницата?

9. Со четири точки кружницата е разделена на четири лаци, од кои трите се еднакви меѓу себе, а четвртиот е еднаков на нивниот збир. Колкава е големината на централните агли на кои им се соодветни така добиените кружни лаци? Направи скица на која со x ќе ги означиш аглите што се еднакви меѓу себе, а соодветно на текстот на задачата, со поголемиот агол кој е еднаков на збирот на трите помали агли.

4. 1. 2. Периферен агол Во претходната лекција се потсети на поимот централен агол, а овде ќе се запознаеш со уште еден вид на агол.

1. На црт. 3 дадена е кружница

(O,r) и

определен со точката Q. Темето на аголот лежи на кружницата и аголот го отсекува лакот PQM од кружницата. Агол чие теме лежи на дадена кружница и отсекува лак од кружницата на кој не припаѓа темето, се вика периферен агол над тој лак. Аголот

на црт. 3 ја определува и тетиватата PM и таа се наоѓа во него.

Секој периферен агол определува единствена тетива и таа се наоѓа во него. Ако АВ е тетивата определена со еден периферен агол над лак, тогаш тој се вика и периферен агол над тетивата АВ.

2. Според црт. 4, определи го односот На дадениот цртеж, триаголникот MNO е рамнокрак, од каде за аглите  и  важи Аголот  е периферен агол, додека  е централен, но за двата агла е заеднички соодветниот кружен лак, односно тие се агли над ист лак. Според 86

претходното, би можеле да претпоставиме дека постои некоја врска меѓу големината на централниот и големината на периферниот агол над ист кружен лак. Таква врска постои и таа гласи вака: Произволен периферен агол над даден лак е еднаков на половината од централниот агол над истиот лак.

3. Докажи го претходното својство. Нека  е периферен, а  централен над ист кружен лак. Треба да покажеме дека 2 = . За да го докажеме својството ги разгледуваме следните три случаи:  едниот крак на периферниот агол минува низ центарот на дадената кружница;  центарот на кружницата лежи во периферниот агол;  центарот на кружницата не лежи во периферниот агол. Првиот случај е докажан во задачата 1. Да го докажеме вториот случај. На црт. 5. нацртани се аглите  и , а потоа е нацртан дијаметарот кој минува низ темето на периферниот агол. Според црт. 5, од

и

имаме

При докажувањето на овој случај, го користевме случајот докажан во задача 1, кога кракот на периферниот агол минува низ центарот на дадената кружница.

4. Докажи го третиот случај од својството за периферните и централните агли. (види црт. 6).

5. За дадениот периферен агол над даден лак, најди ја големината на централниот агол над истиот лак. а)

б)

в)

6. Определи колкав е секој периферен агол над лак кој е

од кружницата.

7. Темињата на еден триаголник лежат на кружница. Тие ја разделуваат кружницата на три лаци од кои два се

односно

од кружницата. Пресметај ги внатрешните

агли на триаголникот?

87

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 8. Нацртај кружница со произволен радиус, а потоа нацртај во неа и една тетива. Нацртај неколку периферни агли над таа тетива. Што забележуваш за големината на аглите? Ако добро си работел, сигурно утврди дека сите периферни агли нацртани над истата тетива се еднакви меѓу себе. Ќе го воопштиме ова тврдење со својството за големината на периферните агли над ист кружен лак. Периферните агли над ист кружен лак се еднакви.

9. Докажи го својството на еднаквост на периферните агли над ист кружен лак. Користи го црт. 7 и својството за врската меѓу периферен и централен агол над ист кружен лак.

4. 1. 3. Талесова теорема 1. Најди колкав е периферен агол над лак за кој централниот агол e 2. Нацртај кружница со произволен радиус и еден нејзин дијаметар. Дијаметарот е тетива. Нацртај неколку периферни агли над дијаметарот. Измери ги нацртаните агли. Што забележуваш? Ако добро работеше сигурно утврди дека аглите се прави, односно сите се по 900. И во првата задача, користејќи ја формулата за врската меѓу големините на централниот и соодветиот периферен агол, требаше да добиеш дека периферниот агол е 900. Од двете задачи може да го извлечеш следното воопштено тврдење, познато како Талесова теорема, според античкиот математичар Талес. Секој периферен агол над дијаметарот на кружница е прав агол. При докажувањето на Талесовата теорема се користи својството за врската меѓу централен и периферен агол над ист лак. Всушнсот, Талесовата теорема е директна последица од тоа својство. Ако дијаметарот го разгледаме како два радиуси, тогаш тие се краци на централниот агол од 1800. Секој периферен агол над дијаметарот ќе биде половина од 1800, односно 900 .

88

Талесовата теорема наоѓа примена во различни области од математиката, техниката, градежништвото итн. Но, важи и обратната теорема на Талесовата теорема.

3. Искажи ја обратната теорема на Талесовата теорема (види црт. 8). Ако добро одговори на задачата 3, твојот одговор гласел вака: Секој прав периферен агол во една кружница е периферен агол над дијаметарот на таа кружница, односно на прав периферен агол во кружница соодветната тетива е дијаметарот на таа кружница.

4. Докажи ја обратната теорема на Талесовата теорема.

5. Најди ја должината на отсечката NP (црт. 9), ако е познато дека: е прав; точките N и P се средишни точки на тетивите AM и MB; и радиусот на кружницата е Обратната теорема на Талесовата теорема може да се искористи за конструирање на прав агол.

6. Конструирај прав агол со помош на Талесовата теорема. Најпрво ќе нацрташ отсечка со произволна должина, која ќе претставува дијаметар на кружницата на која ќе лежи темето на периферниот агол.

7. Конструирај прав агол без користење на линијар и шестар. Прав агол може да се конструира само со молив, клинци и конци со произволна должина (не многу долги). На едниот крај од едниот конец врзи го моливот, а на другиот крај врзи го клинецот. Нацртај точка О. Забоди го клинецот во точката О и со оптегнување на конецот, нацртај кружница. Избери точка А од кружницата. Исто како претходно нацртај кружница со центар во А. Нека В е една од пресечните точки. Пак како погоре нацртај кужница со центар во В. Нека С е пресечната точка на третата со првата кружница, различна од А. Тогаш отсечката АС е дијаметар на кружницата. Избери точка Х од првата кружница, која ќе биде теме на правиот агол. Во точките А, С и Х забоди клинци. Потоа оптегни конец околу забодените клинци. Ќе добиеш правоаголен триаголник, а со тоа и прав агол.

8. Нека K(O,r) е круг, а k (O,r) неговата кружница. Од дадена точка надвор од кругот, конструирај тангента на кружницата. Да се потсетиме. Тангента на кружница е права која со кружницата има само една заедничка точка.

89

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА За да ја решиш задачата послужи се со црт.

5. Аголот што го зафаќа тангентата со радиусот на кружницата во нивната допирна точка е прав агол. Допирната точка на кружницата со тангентата е теме на правиот периферен агол. Според обратната теорема на Талесовата теорема, тоа ќе биде агол над дијаметарот OA на кружницата чиј центар се наоѓа во средишната точка на отсечката OA. Конструкцијата ги содржи следните чекори:  Определуваме средишна точка O1 на отсечката OA;  Конструираме кружницата

со центар во

и радиус

 Ги наоѓаме пресечнитe точки  Ги повлекуваме тангентите

и

Сигурно забележа дека се добиваат две решенија, односно од дадена точка што е надворешна за дадена кружница, може да се повлечат две тангенти. Со точката A и допирните точки на двете тангенти и кружницата, се добиваат и кои се викаат тангентни отсечки. отсечки За нив важи следното својство: Тангентните отсечки што се конструирани од иста точка на дадена кружница се еднакви меѓу себе.

9. Страните на еден триаголник ABC се тангенти на кружница, односно кружницата е впишана во триаголникот. Допирните точки со страните на триаголникот се M, N и P. Најди го периметарот на триаголникот, ако должините на тангентните отсечки и

се:

4. 1. 4. Задачи за вежбање 1. Колкав е централниот агол над кружен лак кој е: а)

од кружницата;

б)

од кружницата;

в)

од кружницата?

2. Најди ја големината на периферен агол над тетива еднаква на радиусот на дадена кружница.

3. За дадениот периферен агол над даден лак, најди ја големината на централниот агол над истиот лак. б) в) . а) 4. За дадениот централен агол над даден лак, најди ја големината на периферните агли над истиот лак. б) в) . а) 90

5. Најди ја големината на периферен агол над кружен лак кој е

од кружницата.

6. Темињата на еден триаголник лежат на кружница. Тие ја разделуваат кружницата на три лаци од кои два се

односно

од кружницата. Пресметај ги внатрешните агли

на триаголникот?

7. Под каков агол се гледа дијаметарот на една кружница, гледано од точка на кружницата? и Докажи 8. Во остроаголен триаголник MNP повлечени се висините дека постои кружница на која и припаѓаат точките M, M1, N и N1 и најди го центарот на таа кружница.

9. За кружница

конструирај тангента од точка М која е на растојание

од центарот на кружницата.

10. Докажи го својството за тангентните отсечки.

4. 2. ТЕТИВЕН И ТАНГЕНТЕН ЧЕТИРИАГОЛНИК 4. 2. 1. Тетивен четириаголник 1. Нацртај кружница k со центар во точка О и еден конвексен четириаголник ABCD, чиишто темиња лежат на кружницата. а) Што претставуваат страните на четириаголникот за кружницата? б) Како се викаат внатрешните агли на четириаголникот, земајќи предвид дека нивните темиња лежат на кружницата? Ако добро работеше, сигурно воочи дека страните на четириаголникот се тетиви на кружницата на која лежат неговите темиња, а неговите внатрешни агли се периферни агли. Четириаголник на кој сите страни му се тетиви на една кружница се вика тетивен четириаголник.

2. Нацртај правоаголник , а потоа околу него опиши кружница. Освен правоаголникот, кои други тетивни четириаголници ги познаваш?

91

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 3. Нацртај еден тетивен четириаголник, а потоа внимателно измери ги неговите внатрешни агли. Најди ги збировите на двата пара спротивни внатрешни агли. Што забележуваш? Ако добро измери и пресмета, сигурно си добил дека збирот од два по два спротивни агли на тетивниот четириаголник е Во таа смисла, ако MNPQ е тетивен четириаголник (црт. 12) и , ,  и , се внатрешните агли во четириаголникот, тогаш

Ова тврдење ќе го искажеме вака:

Спротивните агли во тетивен четириаголник се суплементни. Навистина, ако  и  се означени централните агли за кои се соодветни кружните лаци MNP и MQP, тогаш 4. Нека во еден тетивен четириаголник се дадени големините на два агла чии темиња се соседни за четириаголникот. а)

и

б)

и

Пресметај ги големините на другите два агли во тој четириаголник.

5. Обиди се да го искажеш обратното тврдење на тврдењето за збирот на спротивните внатрешни агли во тетивен четириаголник. Твојот одговор треба да гласи вака: Ако во еден четириаголник спротивните агли се суплементни, тогаш тој четириаголник е тетивен, односно околу него може да се опише кружница.

6. Дали може да се опише кружница околу: а) квадрат; б) правоаголник; в) рамнокрак трапез; г) правоаголен трапез. Образложи го твојот одговор.

7. Во еден тетивен четириаголник еден агол е трипати поголем од неговиот спротивен, додека другите два агла се меѓусебно еднакви. Најди ги аглите на тој четириаголник.

8. Конструирај опишана кружница околу: а) квадрат; б) рамнокрак трапез. За да ги конструираш кружниците, потребно е да го определиш центарот на секоја од нив. Бидејќи по дефиниција, кружницата е множеството од точки во рамнината кои се на исто растојание од дадена фиксна точка - центарот на кружницата, а темињата на тетивниот четириаголник треба да се точки од кружницата, секое теме на тетивниот

92

четириаголник треба да е еднакво оддалечено од центарот на бараната кружница. Освен тоа, потсети се дека секоја точка од симетралата на една отсечка е еднакво оддалечена од крајните точки на таа отсечка. Според тоа, од претходната дискусија следува дека за да ја конструираме кружницата околу еден тетивен четириаголник треба да го определиме пресекот на симетралите на неговите страни, со што ќе биде исполнето барањето за еднакво растојание на темињата (точки од бараната кружница) од центарот на кружницата што ќе ја конструираме (црт. 13). Кај квадратот можеш да конструираш опишана кружница и со определување на пресекот на дијагоналите. Зошто?

9. Дали може да се конструира кружница околу четириаголник чии агли редоследно се: а)

б)

в)

4. 2. 2. Тангентен четириаголник 1. Нацртај квадрат, а потоа во него впиши кружница. Потсети се на претходно изученото, а потоа одговори што претставуваат страните на квадратот за кружницата што е впишана во него. Сигурно забележа дека страните на квадратот претставуваат збирови од тангентни отсечки за кружницата впишана во него. Со други зборови квадратот е опишан околу кружницата. Четириаголник на кој сите страни допираат една кружница се вика тангентен четириаголник.

2. На црт. 14 е даден еден тангентен четириаголник. Внимателно измери ги должините на неговите страни, а потоа пресметај ги збировите од спротивните страни. Што забележуваш?

93

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Ако добро си измерил и пресметал, сигурно си добил дека збировите од должините на спротивните страни се еднакви. Тоа е главно својство на тангентните четириаголници. Според тоа имаме дека Збировите од должините на спротивните страни на тангентен четириаголник се еднакви. Навистина, ако MNPQ е тангентен четириаголник (црт. 14), тогаш неговите страни се збирови од тангентни отсечки, па имаме дека

и

од каде што следува дека

3. Во еден тангентен четириаголник должините на три негови страни последователно се: а)

б)

в)

Пресметај ја должината на четвртата страна.

4. Во тангентен четириаголник се дадени три од неговите страни a, b и c. Определи ја четвртата страна d.

5. Докажи дека во тангентен четириаголник важи следното равенство каде што L е периметарот на тој четириаголник. Важи и обратното тврдење на претходното, односно: Ако во еден четириаголник збировите од должините на неговите спротивни страни се еднакви, тогаш тој четириаголник е тангентен, односно во него може да се впише кружница. Непосредно од последното тврдење произлегуваат неколку последици. Потсети се на четириаголниците кои имаат еднакви збирови на должините на своите спротивни страни. Такви четириаголници се, на пример, квадратот, ромбот, делтоидот итн. Во сите овие четириаголници може да се впише кружница, односно сите тие се тангентни четириаголници. За да конструираме кружница што е впишана во некој од овие четириаголници, потребно е да го определиме нејзиниот центар. Секоја од страните на четириаголникот во кој сакаме да ја конструираме кружницата треба да е еднакво оддалечена од центарот на впишаната кружница во него. Според својството на точките од симетралата на еден агол, секоја точка од симетралата на аголот е еднакво оддалечена од неговите краци.

94

Во нашиот случај, страните на четириаголникот треба да се еднакво оддалечени од центарот на впишаната кружница во него, па центарот на таквата кружница ќе биде во пресекот на симетралите на внатрешните агли на четириаголникот. За да конструираш кружница во делтоид, разгледај го црт. 15.

6. Впиши кружница во: а) квадрат; б) делтоид; в) ромб.

7. Во правоаголник со должини на страните a и b не може да се впише кружница. Зошто? Образложи го својот одговор.

4. 2. 3. Задачи за вежбање 1. Што е точно: а) Правоаголникот е тетивен четириаголник. б) Околу правоаголен трапез не може да се опише кружница. в) Ниту еден паралелограм не е тетивен четириаголник. г) Квадратот е тетивен четириаголник. д) Околу секој трапез може да се опише кружница.

2. Во тетивен четириаголник еден агол е 4 пати поголем од неговиот спротивен, а останатите два се меѓу себе еднакви. Најди ги аглите во четириаголникот.

3. Дали може да се конструира кружница околу четириаголник чии агли редоследно се: а)

б)

;

в) 4. Докажи дека околу правоаголен трапез не може да се опише кружница.

5. Искажи го својството на тангентните четириаголници.

6. Дали во четириаголник со страни: и а) може да се впише кружница?

б)

7. Периметарот на еден тангентен четириаголник е L  долги

и

и а две соседни страни се

Најди ги страните на четириаголникот.

8. Периметарот на тангентен четириаголник ABCD е 27cm. Најди ги должините на страните BC и CD, ако

и

.

95

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 3. ПРАВИЛНИ МНОГУАГОЛНИЦИ 4. 3. 1. Правилни многуаголници Со поимот многуаголник се запозна во петто одделение. Овде ќе го повториме и продлабочиме знаењето за тој поим. Кај многуаголниците разликуваме неколку основни елементи: темиња, страни, внатрешни и надворешни агли.

1. Разгледај го црт. 16 и наброј ги сличностите и разликите меѓу дадените многуаголници. Ако одговори правилно на задачата 1, забележа дека: кај правоаголникот сите агли се еднакви односно сите агли се прави агли; кај ромбот сите страни се еднакви, но аглите не се еднакви; и кај квадратот сите Црт. 16 страни се еднакви и сите агли се еднакви. Ако разгледаме еден рамностран триаголник, ќе дојдеме до истиот заклучок како кај квадратот, дека сите страни и сите агли на таквиот многуаголник се еднакви. Што е заедничко за квадратот и рамностраниот триаголник? По форма тие се различни, но и кај квадратот и кај рамностраниот триаголник сите страни се еднакви и сите агли се еднакви. Постојат и други многуаголници со овие карактеристики. Многуаголник на кој сите страни се еднакви и сите агли се еднакви се вика правилен многуаголник. Правилен многуаголник во кој внатрешните агли се еднакви на  и страните се еднакви на a, се вика правилен многуаголник со страна a и агол .

2. Кои од многуаголниците на црт. 17 се правилни многуаголници?

Како и за секој n-аголник, односно многуаголник со n страни, така и за правилен n-аголник важат следните формули за пресметување на:  Бројот на дијагоналите во едно теме:  Вкупниот број на дијагонали: 96



Збирот на внатрешните агли: Од последната формула добиваме дека аголот на правилен n-аголник е:

3. Пресметај го збирот на внатрешните агли кај правилен: а) петаголник; б) седумаголник; в) дванаесетаголник. Да се потсетиме уште дека збирот на надворешните агли на секој многуаголник е Ова својство секако важи и за правилните многуаголници.

4. Пресметај го аголот на правилен: а) петаголник; б) шестаголник.

5. Во кој правилен многуаголник големината на неговиот агол е 6. а) Дали секој многуаголник со еднакви страни е правилен? б) Дали постои многуаголник со еднакви агли, кој што не е правилен?

7. Дефинирај периметар на многуаголник.

8. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со страна Бидејќи кај правилните многуаголници, сите страни се еднакви, имаме дека: Периметарот на правилен многуаголник се пресметува со формулата L каде што n е бројот на страни на многуаголникот, а a е должината на страната на многуаголникот.

L

9. Пресметај го периметарот на следните правилни многуаголници: а) квадрат со страна 21 mm; б) рамностран триаголник со страна 3,5 cm; в) правилен петаголник со страна 2,8 cm; г) правилен шестаголник со страна

dm.

10. Пресметај ја страната a на правилен n-аголник со даден периметар, ако: а) L=12dm, n=3;

б) L=32cm, n=4;

в) L=44cm, n=8.

Со решавањето на претходната задача забележа дека преку периметарот на правилниот n-аголник, страната a може да се изрази со формулата

.

97

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

4. 3. 2. Впишана и опишана кружница 1. Нацртај рамностран триаголник, а потоа конструирај ги впишаната и опишаната кружница. Ако добро работеше, центарот на впишаната кружница го определи во пресекот на симетралите на аглите, додека центарот на опишаната кружница е точката што е пресек на симетралите на страните (црт. 18). Дали центрите на впишаната и опишаната кружница околу рамностраниот триаголник се совпаѓаат?

2. Впиши и опиши кружница околу квадрат. Искористи го црт. 19. Во двете претходни задачи, беа конструирани кружници (впишани и опишани) кај рамностран триаголник и квадрат. Заедничко за нив е тоа дека и двата многуаголници се правилни и двете кружници имаат ист центар. Ова својство е карактеристика на сите правилни многуаголници.  Околу секој правилен многуаголник може да се опише кружница.  Во секој правилен многуаголник може да се впише кружница. На почеток ќе покажеме дека околу секој правилен многуаголник може да се опише кружница. На црт. 20 а) нацртани се две страни од правилен многуаголник. Темињата А и С се соседни на темето В. На црт. 20 б), нацртани се

sA A а)

sB 

B б)

О1

О

C

A

C

SC 

sB

C



 B

в)

A

B

Црт. 20 симетралите sA и sB на внатрешните агли кај темињата А и В, при што аголот  е половина од аголот на правилниот многуаголник. Симетралите sA и sB се сечат во точката О. На црт. 20 в) истото е направено за темињата В и С. Притоа симетралите sB и sC се сечат во точкатата О1. Триаголниците АВО и ВСО1 се рамнокраки, со иста основа и ист агол при основата. Според признакот АСА за складност тие се складни, од што следува дека: 98

. Бидејќи О и О1 лежат на иста полуправа sB и се еднакво оддалечени од темето В, се добива дека точките О и О1 се совпаѓаат, односно тоа е една точка. Значи растојанијата од темињата А, В и С до точката О се еднакви, што значи дека темињата А, В и С лежат на кружницата k (O, R), каде што . Со иста дискусија се докажува дека и другото соседно теме на С лежи на k (O, R). Продолжувајќи со истата дискусија и за останатите темиња, се докажува дека сите симетрали на внатрешните агли минуваат низ точката О. Според тоа k (O, R) е кружница опишана околу правилниот многуаголник. Центарот на опишаната кружница е во пресекот на кои било две симетрали на внатрешни агли. За да докажеме дека во правилен многуаголник може да се впише кружница, ќе го искористиме црт. 21. На црт.

21 се нацртани отсечки, секоја од кои го сврзува центарот на опишаната кружница околу правилниот многуголник со темињата на многуаголникот. Од претходната дискусија следува дека Од складноста на триаголниците следува дека соодветните висини се еднакви, односно од каде што заклучуваме дека страните на правилниот многуаголник се еднакво оддалечени од точката О. Според тоа, . Значи, k(O, r) е впишана тие се тангенти на иста кружница k(O, r), каде што кружница во правилниот многуаголник. Со претходната дискусија е докажано и следното својство: Центарот на впишаната и центарот на опишаната кружница кај правилен многуаголник се совпаѓаат. Затоа, центарот на впишаната и опишаната кружница се вика и центар на правилниот многуаголник.

3. На црт. 22 се нацртани впишаната и опишаната кружница кај правилен петаголник. Центарот на петаголникот е во пресекот на две симетрали на внатрешни агли. На цртежот се забележува и дека симетралите на страните ЕА и АВ минуваат низ центарот. Центарот на произволен правилен многуаголник е еднакво оддалечен од крајните точки на која било страна на многуголникот. Тоа значи дека центарот лежи на симетралата на секоја страна од многаголникот. Симетралите на страните и симетралите на аглите во правилен многуаголник минуваат низ центарот на многуаголникот.

99

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

4. 3. 3. Карактеристичен триаголник кај правилен многуаголник Во претходната лекција видовме дека во секој правилен многуаголник може да се впише кружница. Во доказот на ова тврдење го искористивме фактот дека рамнокраките триаголници чии краци се два радиуси на опишаната кружница и основата е една од страните на правилниот многуаголник се складни меѓу себе. Со таквите складни триаголници наполно е определено за кој правилен многуаголник станува збор. Бидејќи сите такви рамнокраки триаголници се складни, за нашата работа е сеедно кој од нив ќе го земаме за разгледување. Секој од рамнокраките триаголници чии краци се два радиуси на опишаната кружница и основата е една од страните на правилниот многуаголник се вика карактеристичен триаголник на правилниот многуаголник.

1. На црт. 23 се дадени неколку правилни многуаголници со нивните карактеристични триаголници. Колку карактеристични триаголници има секој од многуаголниците на црт. 23?

Аголот при врвот на карактеристичниот триаголник на еден правилен многуаголник се вика централен агол на многуаголникот. Централниот агол на еден правилен многуаголник ќе го означуваме со .

2. На црт. 24 се означени централните агли на неколку правилни многуаголници. По колку централни агли има секој од многуаголниците на црт. 24? Ако правилно одговори на задачата 2, забележа дека секој правилен n–аголник има исто толку карактеристични триаголници, односно централни агли, колку што има темиња (страни).

3. Колку изнесува збирот на сите централни агли во правилен n-аголник? Ако правилно одговори на прашањето забележа дека збирот на сите централни 100

агли во многуаголникот е 360. Но, во задачата 2 утврдивме дека секој правилен многуаголник има n централни агли. Според тоа, формулата за пресметување на централниот агол е: Висината во карактеристичниот триаголник на правилен многуаголник се вика апотема на правилниот многуаголник. Од карактеристичниот триаголник на еден правилен многуаголник (црт. 25) ги дознаваме сите важни податоци за многуаголникот, односно: колкава е должината на страната на тој многуаголник; колкав е радиусот R на опишаната кружница; колкав е радиусот на впишаната кружница r; и колкави се аголот и централниот агол на многуаголникот.

4. Нацртај правилен многуаголник со: а) 3 страни; б) 4 страни. Потоа нацртај ги нивните карактеристични триаголниции и определи ги големините на нивните централни агли. Каков триаголник е карактеристичниот триаголник на квадрат?

5. Каква врска постои меѓу аголот на правилен многуаголник со аголот при основата на карактеристичниот триаголник? Потсети се дека карактеристичните триаголници се рамнокраки и складни меѓу себе. Користи го црт. 26. Ако добро работеше сигурно утврди дека аголот при основата на рамнокракиот триаголник  е двапати помал од аголот  на многуаголникот, односно за нив важи . Ова понатаму ќе го искористиме за цртање и конструкција на правилни многуаголници.

6. Докажи дека централниот агол и надворешниот агол на правилен многуаголник се еднакви.

7. Најди ја големината на надворешниот агол кај правилен n-аголник, ако: а)

б)

в)

г)

д)

8. Колкави се аглите на карактеристичниот триаголник во правилен: а) петаголник б) шестаголник в) десетаголник ?

9. Колку страни има правилен многуаголник со централен агол од 400 ?

10. Дали постои правилен правилен многуаголник со агол при основата на карактеристичниот триаголник од 400 ?

101

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

4.3.4. Конструкција на правилни многуаголници 1. Кои податоци за правилниот многуаголник можат да се добијат од неговиот карактеристичен триаголник? Ако точно одговори на задача 1, утврди дека од карактеристичниот триаголник може да дознаеш за должината на страната, должината на радиусите на впишаната и опишаната кружница, големината на централниот агол, големината на аголот на правилниот многуаголник (црт. 27).

2. Нацртај правилен четириаголник со страна и означи еден негов карактеристичен триаголник. Потоа опиши кружница околу него. При решавањето на задача 2 забележа дека карактеристичниот триаголник на квадратот е со крак еднаков на радиусот на опишаната кружница и агол при основата еднаков на половината од внатрешниот агол на квадратот или , каде што  е централниот агол на квадратот.

пак

Кружните лаци кои одговараат на централните агли на квадратот се еднакви. Зошто? Всушност за да конструираме правилен многуаголник впишан во кружница, наша задача е да ја поделиме кружницата на n еднакви делови.

3. Конструирај правилен шестаголник со страна За да го конструираме правилниот шестаголник ќе ги искористиме задачите 1 и 2. Според претходно кажаното, карактеристичниот триаголник е рамнокрак триаголник чија што основа е страната на многуаголникот, а краците се радиуси на опишаната кружница околу правилниот многуаголник. Значи ако го конструираме карактеристичниот триаголник (црт. 28), ќе можеме да го конструираме и шестаголникот. Но, за да го конструираме карактеристичниот триаголник, бидејќи не знаеме колкав е радиусот на опишаната кружница, потребна ни е големината на аголот  при основата на тој триаголник. Тој агол можеме да го определиме на два начини: 1.

102

, каде што  е аголот на шестаголникот;

, каде што  е централниот агол на шестаголникот.

2.

Ние ќе работиме како во 2. Најпрво ќе го определиме централниот агол на шестаголникот односно,

; а потоа аголот при основата Сега можеме да го конструираме

F

карактеристичниот триаголник на шестаголникот (позната е неговата основа и аголот при основата). Конструкцијата се состои во следните чекори:  Карактеристичен триаголник OAB;  Кружница со центар во врвот на карактеристичниот триаголник и радиус еднаков на кракот, односно   Поврзување на темињата на шестаголникот (црт. 29). Сигурно воочи дека карактеристичниот триаголник кај шестоаголник е рамностран триаголник.

4. Конструирај правилен дванаесетаголник со произволна должина на страната. Користи ја задачата 3. Кружницата лесно ќе ја поделиш на 12 еднакви делови со помош на симетралите на страните на шестаголникот.

5. Конструирај квадрат впишан во кружница со радиус 2cm. Конструкција:  

(O,

; (O,

;

(O, ;   BD дијаметар на k(O, така што  Поврзување на темињата на квадратот (црт. 30) 6. Докажи дека конструираниот четириаголник во задача 5 е квадрат. Централните агли AOB, BOC, COD и DOA се прави. Какви тетиви одговараат на еднакви централни агли? Аглите на четириаголникот ABCD можеш да ги определиш со помош на Талесовата теорема.

7. Конструирај правилен осумаголник впишан во кружница со радиус Искористи ги задачите 5 и 4.

8. Конструирај правилен осумаголник со страна 103

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 3. 5. Задачи за вежбање 1. Што е заедничко за квадрат и рамностран триаголник?

2. Пресметај го збирот на внатрешните агли на правилен многуаголник со: а) 6 страни; б) 8 страни; в) 10 страни. Провери дали збирот на надворешните агли на дадените многуаголници е 3. Колку страни има многуаголник чиј збир на внатрешните агли е 4. Што е центар на правилен многуаголник?

5. Пресметај ја апотемата на правилен шестаголник со страна 6. Колкав е аголот на правилен многуаголник со 5, 10 и 12 страни?

7. Колку страни има правилен многуаголник чиј агол е 8. Најдолгата дијагонала на еден правилен многуаголник со една од страните со која има заедничка точка зафаќа агол од 720. За кој многуаголник станува збор?

9. Секоја страна на еден квадрат е поделена на три еднакви дела како на црт. 31. Дали така добиениот многуаголник е правилен?

10. Пополни ја табелата, знаејќи дека податоците во табелата се однесуваат на правилен многуаголник:

n 3 5 ?

11. Во кружница со радиус а) триаголник;

a ?

впиши правилен: б) четириаголник;

12. Конструирај правилен шестаголник со страна

104

L ?

в) осумаголник.

4. 4. ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА 4. 4. 1. Питагорова теорема Во овој дел ќе побараме уште некои врски меѓу страните на еден вид триаголници, правоаголните триаголници.

1. Нацртај правоаголен триаголник со страни и (познат под името Египетски триаголник). Потсети се дека најдолгата страна, онаа што лежи спроти правиот агол во триаголникот се вика хипотенуза, додека другите две се викаат катети. Над страните на триаголникот нацртај квадрати со страни долги и соодветно (црт. 32). Сигурно забележа дека постои врска меѓу плоштините на квадратите нацртани над страните на триаголникот. Плоштината на квадратот над катета а долга е плоштината на квадратот над катетата b долга е а плоштината на е Од равенството квадратот над хипотенузата c долга може да заклучиме дека плоштината на квадратот нацртан над хипотенузата е еднаква на збирот од плоштините на двата квадрати нацртани над катетите.

2. Дали врската помеѓу страните на правоаголниот триаголник дадена во задача 1, важи за било кој правоаголен триаголник? Ќе покажеме дека таа врска важи за секој правоаголен триаголник. Конструираме квадрат ABCD со страна

(црт. 33). На страните AB, BC, CD и

DA избираме точки S, P, Q и R така што Тогаш

a.

b и

Триаголниците

SBP, PCQ, DQR и RAS, сите

мегу себе складни, се правоаголни со катетии a и b, и хипотенуза c. Триаголниците

и

се складни па затоа Слично, и останатите

агли во четириаголникот SPQR се прави. Според тоа четириаголникот SPQR е квадрат.

105

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Плоштината на триаголникот QCP е Плоштината на квадратот ABCD е еднаква на плоштините на квадратот SPQR зголемен за четирикратната плоштина на триаголникот QPC, односно

Од друга страна, Бидејќи левите страни на последните две равенства се еднакви, можеме да ги изедначиме од каде што по средувањето добиваме дека

и десните, односно што требаше да се докаже. Според тоа:

Во кој било правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите. Ова својство се вика Питагорова теорема, посветена на античкиот математичар Питагора.

3. Најди ја хипотенузата на правоаголен триаголник, со катети: а)

б)

в)

а) Според Питагоровата теорема, квадратот на хипотенузата е еднаков на од каде

збирот од квадратите на катетите, односно што за c имаме Значи, од формулата

добиваме дека

4. Најди ја едната катета, ако се познати другата катета и хипотенузата. а) а) Од

б)

в)

можеме да ја изразиме едната од катетите, во овој случај па

Формулата според која можеме да ја определиме едната катета m, ако се познати другата катета n и хипотенузата p гласи 5. Мирко на конец долг врзал летало. На која висина се наоѓа леталото, ако точката во која стои Мирко со точката која се наоѓа вертикално под леталото е оддалечена од него (црт. 34). Висината од конецет што го држи Мирко до точката каде што стои е 1,5m.

6. Пресметај ја хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник чија катета е 106

Црт. 34

7. Пресметај го периметарот на правоаголен триаголник со хипотенуза

и

катета 8. Покрај ѕид висок стои скала (црт. 35). Колку треба да биде долга скалата за да се качиме на ѕидот, ако со неа можеме да се приближиме на

до ѕидот?

9. Конструирај квадрат чија плоштинана е еднаква на збирот од плоштините на квадратите со страни

и

Важи и обратната теорема на Питагоровата теорема, односно:

Црт. 35

Ако квадратот на најголемата страна на еден триаголник е еднаков на збирот од квадратите на другите две страни, тогаш триаголникот е правоаголен. Со примена на ова тврдење можеме да провериме дали еден триаголник е правоаголен или не.

10. Провери дали триаголникот со дадените должини на страните е правоаголен: а)

и

б)

и

а) Триаголникот со дадените должини на страните е правоаголен бидејќи важи равенството односно квадратот на најголемата страна на триаголникот е еднаков на збирот од квадратите на другите две страни.

4. 4. 2. Примена на Питагоровата теорема 1. Пресметај ја дијагоналата на квадрат со страна За да ја решиме задачата, ќе го искористиме црт.

36. Што претставува дијагоналата AC на квадратот за правоаголниот триаголник ABC? Ако правилно одговори на поставеното прашање, за дијагоналата d доби дека како хипотенуза на правоаголниот рамнокрак триаголник со катета a, може да се пресмета по формулата

од каде што добиваме дека

.

2. Пресметај го периметарот на квадрат со дијагонала 107

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 3. Пресметај ја должината на дијагоналата на правоаголник со страни: и

а)

б)

и

в)

и

Искористи ја Питагоровата теорема во правоаголниот триаголник ABC (црт. 37) чии катети се страните на правоаголникот, а хипотенузата е неговата дијагонала.

4. Кошаркар висок 2,1m добил хотелски кревет долг 2m и широк 1m. Може ли кошаркарот да се испружи на креветот?

5. Колку метри жица е потребно за да се загради нива во форма на правоаголник со страна

и дијагонала

.

6. Во рамнокрак триаголник е дадена должината на основата и висината соодветна на неа. Пресметај ја должината на кракот на триаголникот. и

а) в)

;

б)

и

и На црт. 38 воочи го правоаголниот триаголник чии

катети се висината и половина од основата. Потсети се дека висината спуштена од врвот на рамнокрак триаголник се совпаѓа со тежишната линија спуштена кон основата, односно ја дели основата на рамнокракиот триаголник на два еднакви дела.

7. Пресметај го периметарот на рамнокрак триаголник, ако се дадени висината спуштена кон основата и кракот на тој триаголник. а)

и

б)

и

а) Да се потсетиме, формулата за пресметување на периметар на рамнокрак триаголник е a+2b каде што a е основата, а b е кракот на рамнокракиот триаголник. Од претходната задача имаме дека односно

од каде што за страната добиваме Тогаш

8. Кај рамностран триаголник, Питагоровата теорема ги поврзува страната и неговата висина со формулата Покажи дека формулата е точна (црт. 39).

9. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со висина

108

10. Најди ја висината на рамнокрак трапез ABCD, со основи крак

аи

bи

c (црт. 40).

Со отсечката DF, паралелна со кракот BC, рамнокракиот трапез е разделен на паралелограм BCDF и на рамнокрак триаголник AFD, со основа

a–b и

висина h. Бараната висина на рамнокракиот трапез е всушност висината на рамнокракиот триаголник. Заради Питагоровата теорема имаме дека односно 11. Пресметај го периметарот на рамнокрак трапез со основи

и

висина За да го пресметаш периметарот треба да ја знаеш уште должината на кракот. Воочи го правоаголниот триаголник AED на црт. 40.

12. Најди го кракот на правоаголен трапез ABCD, со основи

аи

b и крак

c (црт. 41).

Ако постапиш како во претходната задача ќе добиеш дека Воочи дека висината h кај правоаголниот трапез е всушност еднаква на должината на кракот d кој што со основите на трапезот зафаќа прав агол.

13. Пресметај го периметарот на правоаголен трапез со основи

и висина

14. Пресметај го периметарот на ромб со дијагонали

и

Потсети се, каква заемна положба имаат дијагоналите на ромб. На што е еднаква должината на отсечката AS (црт. 42)? Воочи го правоаголниот триаголник на црт. 39 со катети со должина половина од должината на едната, односно другата дијагонала и хипотенуза еднаква на страната на ромбот.

15. Пресметај ја должината на тетивата на кружница чиј радиус е

и растојанието од центарот

до тетивата е

109

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 4. 3. Конструктивни задачи со примена на Питагоровата теорема 1. Пресметај ја дијагоналата на квадрат со страна 1. Ако точно си ја решил задачата, доби дека должината на . Овој факт сега ќе го искористиме

дијагоналата е

за конструирање на отсечка со должина еднаква на избраната мерна единица (cm, dm итн.).

во

Конструкцијата е многу едноставна. Наша задача е всушност да конструираме квадрат со страна 1 (црт. 43). Со конструкцијата на отсечката со должина , понатаму ќе можеме да конструираме и други отсечки со должина изразена со некој ирационален број во определена мерна единица. Ако на цртежот на кој сме ја конструирале отсечката со должина конструираме правоаголен триаголник со и должина 1, должината на катети со должина хипотенузата на така конструираниот триаголник ќе биде еднаква на

Понатаму,

(

ако над отсечката со должина , како катета, конструираме правоаголен триаголник со другата катета со должина еднаква на 1, ќе добиеме како хипотенуза Со продолжување на ваквата отсечка со должина постапка можеме за секој природен број n да конструираме бесконечно многу отсечки со должина

(црт. 44).

2. Конструирај отсечка со должина Ирационалниот број како

можеме да го претставиме .

Од последниот запис на гледаме дека за да конструираме отсечка со бараната должина потребно е да конструираме правоаголен триаголник со катети 2 и 1 (црт. 45). Но, постои и друг начин за конструирање на отсечка со должина

, бидејќи записот

не е единствен запис со кој можеме да го изразиме На пример,

односно

сега се

јавува како катета на правоаголен триаголник со хипотенуза 3 и друга катета со должина 2 (црт. 46).

110

3. Конструирај отсечка со должина: а) б) в) г) Кога ги изучуваше рационалните броеви научи дека на секој рационален број може да му се придружи точка од бројната права. Но, дали е можно обратното? Дали на секоја точка од бројната права може да се придружи по еден рационален број? Одговорот на последното прашање е негативен и тоа ќе го поткрепиме со задачата 1 од овој дел, кога требаше да се пресмета дијагоналата на квадрат со страна 1. Добивме дека дијагоналата е со должина

а таа должина е изразена со ирационален број, односно Меѓутоа, од конструкцијата на квадрат со страна 1 на бројната оска, гледаме дека на истата таа оска има и точка која (црт. одговара на ирационалниот број 47). Како што се забележува од црт. 47, постапката за определување на точка на

се состои од конструирање бројната оска на која се придружува ирационалниот број на квадрат со страна 1, а потоа должината на неговата хипотенуза се нанесува на бројната оска. Понатаму, кога е определена точката која одговара на бројот

на бројната оска

(црт. 48). може лесно да се определи точката на која е придружен бројот На црт. 48 се претставени точките на кои им се придружуваат ирационалните броеви:

Слично може да се покаже како се одредуваат точките на бројната права на кои им се придружени реалните броеви:

итн.

Разгледувајќи го множеството на реални броеви и конструкциите дадени во овој дел, можеме да заклучиме дека на секој реален број може да му се придружи само една точка од бројната права и обратно, на секоја точка од бројната права може да се придружи само еден реален број. Затоа, за придружувањето на реален број на точка од бројната права, ќе велиме уште дека е претставување на дадениот реален број на бројната права.

111

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. Претстави ги на бројна права броевите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

5. Претстави ги на бројна права реалните броеви: а)

б)

в)

6. Конструирај квадрат со страна

4. 4. 4. Задачи за вежбање 1. Ако е дадена едната катета и хипотенузата на правоаголен триаголник, пресметај ја другата катета: б)

а)

в)

2. Најди го радиусот на опишаната кружница околу квадрат со страна 3. Столб висок 40m е врзан со челични јажиња за колчиња забиени во земјата на оддалеченост 9m од неговото подножје. Колкава е должината на челичните јажиња?

4. Пресметај ја висината на рамнокрак триаголник со основа и крак 5 Пресметај ја висината на рамностран триаголник со основа

6. Пресметај ја должината на кракот на рамнокрак трапез со основи и висина 7. Пресметај ја должината на кракот што зафаќа прав агол со основите на правоаголен трапез со основи

и висина

8. Пресметај го периметарот на ромб со дијагонали

и

9. Пресметај го периметарот на рамностран триаголник со висина 10. Конструирај триаголник со страни

и

11. Претстави ги на бројна права следните броеви: а)

б)

12. Претстави ги на бројна права броевите: а)

112

б)

в) в)

4. 5. ПЛОШТИНА НА МНОГУАЛНИК 4. 5. 1. Поим за плоштина Знаеш дека една проста затворена искршена линија ја дели рамнината на два дела, внатрешен дел и надворешен дел. Искршената линија заедно со внатрешниот дел е многуаголник. Како што отсечкит имаат должини, така и многуаголниците имаат своја карактеристика која се вика плоштина. Секоја површина има своја карактеристика, односно плоштина. Најчесто за единица мерка за мерење плоштина на површина, се зема плоштината на квадрат со страна еднаква на единица мерка за мерење должина, кој се вика единечен квадрат (црт. 49). Плоштина на многуаголник е бројот на единечни квадрати кои би го покриле многуаголникот без преклопување. Единици мерки за мерење плоштина во зависност од единицата мерка за должина се: милиметар квадратен центиметар квадратен дециметар квадратен метар квадратен километар квадратен итн. На црт. 49 се претставени единиците мерки и Колку милиметри квадратни има во еден центиметар квадратен? На црт. 50 можеш да ги воочиш врските меѓу мерните единици за плоштина.

1 dm 1 dm

1 dm2

10 cm

1m

1010 cm2 10 cm

1 dm2=100 cm2 1m 1m

1m

2

1m

1 m2

10 dm 1010 dm2 10 dm

1 m2=100 dm2

100 cm 100100 cm2 100 cm

1 m2=10000 cm2

Пресметувањето на плоштината е многу важно во секојдневниот живот, науката, техниката, земјоделството, градежништвото и многу други области на човековото живеење.

Црт. 50

113

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Поради огромната примена во праксата се користат и други единици за мерење на плоштина, како што се: ар (a), декар (dek) и хектар (ha). Овде ќе ја дадеме врската на овие мерни единици со метри квадратни:

1. а) Изрази ги во центиметри квадратни следните мерни броеви на плоштината дадени во метри квадратни: 1m2; 5m2; 1,5m2; 12,75m2. б) Изрази ги во метри квадратни следните мерни броеви на плоштината дадени во дециметри квадратни: 2. Пресметај во квадратни центиметри: а) б) 3. Пополни ја пирамидата така што во полето е впишан збирот од полињата под него:

4. На црт. 52 се дадени неколку геометриски фигури. Нека едно квадратче е единица мерка за плоштина. Колкава е плоштината на секоја од фигурите на дадениот цртеж? Дали на цртежот има фигури со ист број на квадратчиња кои ги зафаќаат на квадратната основа? Сигурно забележа дека фигурите B и E имаат еднаква плоштина, што е последица на складноста на овие две фигури (и двете се правоаголници со должини на страните 2 и 5 . Ќе воопштиме до: Складни фигури имаат еднакви плоштини. За фигурите кои имаат еднакви плоштини велиме дека се еднаквоплоштни фигури. И фигури кои не се складни може да имаат еднакви плоштина, а тоа е можно заради разложување (составување) на (од) складни фигури. На црт. 53 се дадени квадрат со

114

страна 4 единици и правоаголник со страни 2 единици и 8 единици, за кои ќе покажеме дека имаат еднакви плоштини. За да дојдеме до еднаквоплоштноста на дадените четириаголници, ќе го разложиме едниот од нив на два помали правоаголници. Да го разложиме правоаголникот, на тој начин што ќе го поделиме, ,,расечеме” по симетралата на страната со должина 8 единици, на два дела. Добиваме 2 правоаголници со должини на страните 2 единици и 4 единици. Сега ако ги составиме овие мали правоаголничиња, односно ако ги споиме по должината на страната која е 4 единици, добиваме квадрат со страна 4 единици, што секако е складен со дадениот квадрат (црт. 53).

5. Дали на црт. 54 има еднаквоплоштни фигури?

6. Дали должина на отсечка може да биде изразена со негативен број? Ако точно си одговорил на прашањето твојот одговор бил негативен. Слично на тоа, плоштината на многуаголник не може да биде изразена со негативен број, односно: плоштината на секој многуаголник се изразува со позитивен број во некоја од мерните единици за плоштина.

4. 5. 2. Плоштина на квадрат, правоаголник и правоаголен триаголник 1. Најди ја плоштината на квадратот со страна a даден на црт. 51, ако 1 квадратче од мрежата има должина на страната

односно плоштина

Со колку единечни квадрати може да се покрие квадратот на црт. 55, без преклопување? Ако правилно одговори на претходната задача, сигурно утврди дека во еден ред можат да се наредат онолку единечни квадратчиња, колку што изнесува мерниот број на должината на страната на квадратот. Значи, во еден ред можат да се наредат a единечни 115

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА квадрати. Но, имаме a такви редови, па вкупниот број на квадратчиња наредени над квадратот ќе биде a редови по a единечни квадратчиња во секој таков ред, односно единечни квадрати кои ја покриваат површината на квадратот. Плоштината на секој квадрат е еднаква на квадратот од должината на неговата страна. Според тоа плоштината на квадрат со страна a е: Кога пресметуваш плоштина на некоја фигура сите димензии на фигурата треба да ги изразиш во иста мерна единица.

2. Пресметај ја плошината на квадрат со страна: а)

б)

в)

Изрази ги добиените вредности за плоштината во метри квадратни. Слично, за плоштината на правоаголник со страни a и b имаме: Плоштината на секој правоаголник е еднаква на производот од должините на неговите две соседни страни.

3. Пресметај ја плоштината на правоаголен градежен терен со должина ширина

и

а потоа изрази ја во ари.

4. Еден земјоделец имал градина во форма на квадрат. За да ја загради нивата потрошил

жица. Колку садници од градинарското растение му се потребни за да

ја засади целата нива, ако тој знае дека за култура.

ќе потроши 18 садници од градинарската

5. Колку пати ќе се зголеми плоштината на квадрат, ако неговата страна се зголеми 3 пати? Означи ја со a страната на помалиот, а со 3a страната на поголемиот квадрат.

6. Пресметај ја плоштината на правоаголен триаголник со катети а и b. За да ја решиме задачата ќе го искористиме црт.

56. Ако над хипотенузата на триаголникот поставиме друг триаголник, складен со дадениот, добиваме правоаголник. Според тоа, добиваме дека плоштината на правоаголен триаголник со катети a и b е еднаква на половина од плоштината на правоаголникот со страни a и b, односно: 116

Плоштината на секој правоаголен триаголник е еднаква на полупроизводот од должините на неговите катети.

7. Во табелата се дадени некои од елементите на правоаголен триаголник. Пополни ја табелата. Катета a

Катета b

110cm ?

?

8. Нива со плоштина

Плоштина P ?

има форма на правоаголник со должина на едната страна

Пресметај ја должината на другата страна.

9. На планот на еден град (црт. 57) улиците ,,Кирил и Методиј” и ,,Гоце Делчев” се сечат под прав агол. Должината на улицата ,,Кирил и Методиј” е

а на

Пресметај ја плоштината улицата ,,Гоце Делчев” е на градскиот квартал заграден од улиците ,,Кирил и Методиј”, ,,Гоце Делчев” и булеварот ,,Македонија”.

4. 5. 3. Плоштина на триаголник За да ја пресметаме плоштината на било кој триаголник, не само на правоаголен, ќе ја искористиме формулата за плоштина на правоаголен триаголник и разложувањето, односно делењето на триаголникот на правоаголни триаголници. На црт. 58 е даден триаголник ABC со страни a, b и c, и висина спуштена кон страната c, означена со hc. Подножната точка на висината е означена со D. Да ги разгледаме триаголниците ACD и BCD. Овие два триаголници се правоаголни, и тоа, првиот со катети AD и CD, а другиот со катети DB и CD. Според формулата за пресметување на плоштина на правоаголен триаголник за нивните плоштини имаме и Од друга страна за плоштината на триаголникот ABC имаме дека односно: 117

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

Според договорените ознаки, имаме дека Слично, може да се покаже дека

и

Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на полупроизводот од должините на страната и висината спуштена кон неа. Според тоа плоштината на триаголник со страни a, b и c, и висини ha, hb и hc, спуштени кон страните a,b и c соодветно, се пресметува по формулата 1. Пресметај ја плоштината на триаголник ако се дадени следните негови елементи: а)

б)

в)

а) 2. За дадените елементи на триаголникот, најди: а)

ако

и

в)

ако

и

б) b, ако

и

3. а) Колку пати ќе се намали плоштината на еден триаголник, ако неговата страна се намали 4 пати, а висината остане иста. б) Два триаголника имаат по една страна со иста должина. Колку пати е поголема соодветната висина на едниот триаголник, ако неговата плоштина е 3 пати поголема од плоштината на другиот триаголник.

4. Периметарот на еден рамнокрак триаголник е

Пресметај ја неговата

плоштина, ако кракот е 5. Изрази ја формулата за плоштина на рамностран триаголник, само преку неговата страна. Користи ја Питагоровата теорема која ги поврзува страната и висината на еден рамностран триаголник, односно користи дека Ако правилно работиш, за пресметување на плоштинатата на рамностран триаголник со страна a ќе ја добиеш формулата:

118

6. Даден е рамностран триаголник со страна a, висина h и плоштина P. Пополни ја табелата Страна a

Плоштина P ?

Висина h ?

? ?

?

?

7. Според дадените податоци на црт. 59, кој претставува скица на една цветна градина, пресметај ја плоштината на тревникот. Црт. 59 4. 5. 4. Плоштина на четириаголници Плоштина на паралелограм На почеток ќе ја изведеме формулата за пресметување на плоштина на паралелограм. За да го направиме тоа, паралелограмот ABCD на црт. 60 ќе го разделиме на два триаголници,

и

Добиените триаголници

се складни по признакот САС, бидејќи и . Од складноста на двата триаголници следува дека тие се еднаквоплошни фигури. Според тоа, за да ја пресметаме плоштината на паралелограмот, доволно е да ја пресметаме плоштината на еден од триаголниците и да ја зголемиме двапати. Имаме дека

Слично се покажува дека (црт. 61)

Значи, плоштината на паралелограм со страна a и соодветна висина ha, односно страна b и висина hb се пресметува по формулата: Плоштината на секој паралелограм е еднаква на производот од должината на едната од страните и соодветната висина.

1. Пресметај ја плоштината на паралелограм, за кој се дадени: а)

б)

в) 119

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 2. Пополни ја табелата, во која се дадени некои од елементите на паралелограм: плоштина P

страна a

висина ha

плоштина P

страна b

?

висина hb

?

?

?

Плоштина на ромб и делтоид Бидејќи, секој ромб е паралелограм со еднакви страни, плоштината на ромб со страна a и висина h може да ја пресметуваме по формулата: Плоштината на секој ромб е еднаква на производот од должината на страната и висината. Но, за пресметување на плоштината на ромб многу често се користи и друга формула која сега ќе ја изведеме. Нека е даден ромбот ABCD со должина на страната a и дијагонали d1 и d2 (црт.

62). Пресечната точка на дијагоналите на ромбот ќе ја означиме со S. Знаеме дека дијагоналите на ромбот се заемно нормални и дека се преполовуваат во нивната пресечна точка. Бидејќи ССС, страната AC е заедничка и

(по признакот ). За

плоштината на ромбот имаме

Плоштината на ABC e

, па за плоштината на

ромбот имаме Плоштината на секој ромб е еднаква на полупроизводот од должините на неговите дијагонали. Според тоа плоштината на ромбот се пресметува по формулата: Дадената формула за пресметување на плоштината на ромб важи за сите четириаголници чии дијагонали се заемно нормални. Значи формулата ќе важи и за делтоид. Плоштината на секој делтоид е еднаква на полупроизводот од должините на неговите дијагонали.

120

Според тоа плоштината на делтоид со дијагонали d1 и d2 (црт. 63) се пресметува по формулата : 3. Пресметај ја плоштината на четириаголниците, според дадените податоци за нив: а) ромб со страна

и висина

б) ромб со дијагонали

и

в) делтоид со дијагонали

и

4. Даден квадрат има страна со должина Еден ромб има иста должина на страната и плоштина како и квадратот. Пресметај ја висината на ромбот.

5. Пресметај ја должината на една од дијагоналите на делтоид ако е позната неговата плоштина и должината на другата дијагонала: а)

и

в)

и

;

б)

и

.

а) Од формулата за плоштина на делтоид имаме дека односно 6. Пресметај ја плоштината на четириаголниците дадени на црт. 64. Од црт. 64 се забележува дека плоштината на кој било Можам да го расечам четириаголник може да се определи со ,,делење” на четириаголникот на четириаголникот на два триаголника чии плоштини два триаголници. лесно ќе ги пресметаме.

7. Според податоците дадени на црт. 65 пресметај ја плоштината на дадените фигури.

121

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Плоштина на трапез Се поставува прашањето како ќе ја определиме плоштината на даден трапез. За да ја определиме формулата по која ќе можеме да ја пресметуваме плоштината на трапез, ќе го разгледаме трапезот ABCD со основи a и b и висина h (црт. 66). Да ја повлечеме дијагоналата на трапезот BD и да ја означиме со Е подножната точка на висината од темето D. Ги добиваме триаголниците АBD и BCD. За да ја пресметаме плоштината на трапезот потребно е да го определиме збирот од плоштините на триаголниците АBD и BCD. Имаме

Бидејќи полузбирот од должините на основите на еден трапез е еднаков на должината на неговата средна линија, односно

плоштината на трапез ја пресметуваме по

формулата: Плоштината на секој трапез е еднаква на производот од должините на неговата средна линија и висината.

8. Пресметај ја плоштината на трапез според дадените податоци за него: а)

б)

в) 9. Плоштината на еден трапез е неговата висина.

а основите му се

Од формулата за плоштина на трапез

и

Пресметај ја

имаме дека

од каде што со заменување на дадените должини добиваме 10. Пополни ја табелата во која податоците се однесуваат на трапез. Основа a

Основа b

? ?

Средна линија m ?

Висина h

Плоштина P ? ? ?

11. Во која фигура преминува трапезот, ако должината на страната b се намалува до должина 0, односно се сведе на една точка? Проследи го процесот на менување

122

на формулата за пресметување на плоштина на трапез и одговори во која формула преминува.

12. Пресметај ја плоштината на секоја од фигурите дадени на црт. 67.

13. На црт. 68 е даден напречниот пресек на насип Н и канал К. Според податоците дадени на цртежот, провери дали со ископувањето на земјиштето од каналот ќе може да се направи насипот.

Твојата задача всушност е да провериш дали плоштината на напречниот пресек на насипот е помала од плоштината на каналот.

4. 5. 5. Плоштина на правилни многуаголници За да ја определиме формулата за пресметување на плоштината на правилен многуаголник, ќе се потсетиме на поимот карактеристичен триаголник. Колку карактеристични триаголници има еден n-аголник? Земајќи во вид дека карактеристичните триаголници се складни, како и дека во еден n-аголник има исто толку карактеристични триаголници колку што има темиња, односно страни, со користење на формулата за плоштина на триаголник можеме да ја определиме плоштината на секој правилен многуаголник.

123

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Да разгледаме еден карактеристичен триаголник на правилен n- аголник. Ако се познати апотемата и страната на правилниот многуаголник, неговата плоштина е , каде што a е страната, а h e апотема на правилниот многуаголник (црт. 69). Но, правилниот многуаголник се состои од n такви триаголници, па за неговата плоштина имаме

.

Плоштината на секој праилен многуаголник е еднаква на полупроизводот од неговиот периметар и должината на апотемата. Значи плоштината на правилен многуаголник со страна a и апотема h се пресметува по формулата : Како што забележа во вториот дел од формулата се јавува периметарот L на правилниот многуаголник. Значи, ако ги знаеме периметарот и апотемата, без да знаеме за кој многуаголник се работи и колкава е должина на неговата страна, може да ја пресметаме плоштината на многуаголникот.

1. Пополни ја табелата во која дадените податоци се однесуваат на правилен многуаголник. Број на темиња 8 21 17

Страна

Апотема

Плоштина

2cm

2. Пресметај ја должината на страната на правилен седумаголник со плоштина и апотема Од формулата за пресметување на плоштина на правилен многуаголник се добива од каде што добиваме дека

. Со заменување на познатите величини

во оваа формула се добива дека 3. Пресметај ја апотемата на правилен 13-аголник со страна

и плоштина

4. Запиши ја формулата со која ја реши претходната задача.

5. Периметарот на правилен многуаголник е ако се знае дека апотемата на шестаголникот е долга

124

Пресметај ја неговата плоштина

6. а) Како ќе се зголеми должината на страната на правилен многуаголник, ако неговата апотема се зголеми 3 пати ? б) Колку пати ќе се зголеми плоштината на еден правилен многуаголник, ако неговата страна се зголеми 4 пати?

7. Пресметај ја плоштината на правилен шестаголник со периметар Карактеристичниот триаголник на правилен шестаголник е рамностран триаголник. Потсети се на формулата за пресметување на плоштина на рамностран триаголник.

8. Радиусот на опишаната кружница околу правилен деветаголник е периметарот е

и

Пресметај ја плоштината на деветаголникот.

9. Централниот агол на правилен многуаголник е

Пресметај ја плоштината на и апотемата

многуаголникот ако се познати уште неговата страна

4. 5. 6. Задачи за вежбање 1. Во градината на Љупка, (црт. 70), означени се 7 m2 засадени со карфиол. Пресметај ја плоштината засадена со други градинарски растенија.

2. Пресметај ја дијагоналата на делтоид со плоштина и една дијагонала долга 30cm.

3. Пресметај ја плоштината на многуаголниците: а) правилен дванаесетаголник со страна

и

апотема б) рамностран триаголник со висина в) ромб со страна

и дијагонала

г) трапез со средна линија

и висина

4. Според црт. 71 пресметај ја плоштината на делот од еден парк со цвеќиња, ако е познато дека тревникот и цветниот дел се правилни деветаголници, со апотеми и

соодветно.

Црт. 71

125

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 6. ПЕРИМЕТАР И ПЛОШТИНА НА КРУГ 4. 6. 1. Периметар на круг. Должина на кружен лак Во секојдневниот живот често пати се појавува потребата од пресметување на периметарот на круг (обиколка на тркалото на еден велосипед или автомобил, обиколка на дното на некое буре, обрачи за гимнастика и сл.). Но, јасно е дека периметарот на еден круг не може да се измери со помош на линијар. Земи три чаши различни по големина, а потоа со нерастеглив конец определи го периметарот на кружните пресеци на секоја од нив. Запиши ги вредностите за добиените периметри и

и

(

и

а потоа пресметај ги количниците

се дијаметри на чашите, соодветно). Што забележуваш?

Ако добро си работел, си утврдил дека бараните количници се со еднакви или приближни вредности, што значи дека односот меѓу периметарот и дијаметарот на секој круг е еден ист број. Тој број се означува со . Бројот  е ирационален број, и во нашите пресметувања ќе ја земаме неговата приближна вредност, односно   3,14. Количникот од периметарот L на кругот и неговиот дијаметар 2r е еден ист број за секој круг. Тоа е бројот . Според тоа, периметарот на круг се пресметува по формулата: 1. Пресметај го периметарот на круг со радиус: а)

б)

в)

г)

2. Пресметај го периметарот на круг со дијаметар: а)

б)

в)

3. Пресметај го радиусот на круг со периметар: а) а) Заради

б) имаме

односно

4. Најди го растојанието што го поминува тркало при едно полно завртување, ако има радиус Колкаво растојание поминува при 2 завртувања, а колкаво при 3 завртувања?

5. Колку пати треба да заврти помалиот запчаник со радиус радиус 126

за поголемиот запчаник со да заврти еднаш?

г)

Да забележиме дека границата на еден круг е кружница. Периметарот на еден круг е во исто време и должина на неговата кружница. Многу често во пракса се јавува потреба за мерење делови од кружница, односно кружни лаци. Да го разгледаме црт. 72. Нацртана е кружница со центар во О и радиус r и централен агол . Сакаме да ја пресметаме должината на кружниот лак за . На почеток ќе ја разделиме кружницата на 360 еднакви делови, односно кружни лаци. На секој од тие лаци одговара централен агол од 10 .

Црт. 72

Бидејќи кружниот лак што одговара на аголот од е добиен со делење на кружницата на 360 еднакви делови, неговата должина ќе биде 360-ти дел од периметарот на кружницата, односно

. Големината на централниот агол мерена во

степени ќе ја означиме со истата ознака . Тогаш бараната должина на кружниот агол е: Според тоа,

Должина на кружен лак l од кружница со радиус r, кој одговара на централен агол со големина  се пресметува по формулата

6. Пресметај ја должината на кружниот лак ако се дадени: а)

б)

7. Пресметај го радиусот на кружница во кој на централен агол од 72 му одговара кружен лак долг 15, 7cm. Од формулата

имаме дека

Со замена на дадените вредности

добиваме 8. Пресметај ја големината на централниот агол , ако 9. Пресметај ја должината на кружниот лак l, ако

и и

127

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА

4. 6. 2. Плоштина на круг Плоштината на кругот даден на црт. 73 а) може да ја определиме, ако кругот го поставиме на квадратна мрежа, која е составена од единечни квадрати, а потоа преброиме со колку такви квадрати е покриен кругот (црт. 73 б)).

Црт. 73

Црт. 74

Но, ваквата постапка не е секогаш изводлива, па и овде е потребно да определиме некоја формула според која ќе може побрзо и поедноставно да се пресмета плоштината на кругот. За да дојдеме до формулата за пресметување на плоштината на круг, ќе го искористиме црт. 74. На црт. 74 а) кружницата е разделена со точките A1, A2, A3, . . . , A12 на 12 кружни лаци со еднакви должини. Многуаголникот што се добива со поврзување на овие точки е правилен дванаесетаголник. Неговата плоштина според веќе познатата формула е На црт. 74 а) можеш да воочиш дека плоштината на дванаесетаголникот е приближно еднаква на плоштината на кругот. Да го разгледаме црт. 74 б). Плоштината на шеснаесетаголникот впишан во кругот (чија плоштина сакаме да ја определиме), е (a и h се страната и висината на правилниот шеснаесетаголник, соодветно). Од црт. 74 б) се забележува дека правилниот шеснаесетаголник уште повеќе се ,,приближува’’ кон кружницата. Значи со зголемување на бројот n, вредноста на периметарот на правилниот n–аголник сé повеќе се ,,приближува’’ до вредноста на периметарот на кругот, додека должината на апотемата на n–аголникот се ,,приближува’’ до должината на радиусот на кругот. Од претходната дискусија можеме да заклучиме дека за доволно голем број n, плоштината на соодветниот правилен n–аголник впишан во кружницата се ,,приближува’’ до плоштината на кругот. Тоа ни дава за право во формулата за пресметување на плоштина на правилен n–аголник да го замениме периметарот на многуаголникот со периметарот на кругот и апотемата на n–аголникот со радиусот на кругот. Според тоа, плоштината на кругот е: Плоштината на круг е еднаква на производот од бројот  и квадратот на неговиот радиус.

128

1. Пресметај ја плоштината на круг за кој: а)

б)

в)

2. Најди го радиусот на круг со плоштина: а)

б)

За да го пресметаме радиусот на кругот, ќе ја искористиме формулата која ги сврзува радиусот и плоштината на тој круг. Од

имаме

односно

4. 6. 3. Плоштина на кружен исечок и кружен прстен

Со рамнинските геометриски фигури кружен исечок и кружен прстен кои се во насловот, досега не си се сретнал. Затоа, на почетокот ќе ги дефинираме со помош на веќе изучувани фигури. Пресекот на еден круг со негов централен агол се нарекува кружен исечок. Разликата на поголемиот со помалиот круг од два концентрични кругови, со различни радиуси, се вика кружен прстен. На црт. 75 а) е нацртан кружен исечок, а на црт. 75 б) е нацртан кружен прстен. а)

б)

Црт. 75 Од дефиницијата и црт. 75, се гледа дека: границата на еден кружен исечок е составена од еден кружен лак и два радиуса на кругот, а границата на кружен исечок се состои од две кружници. Изведувањето на формулата за пресметување плоштината на кружен прстен е слично со изведувањето на формулата за пресметување на должината на кружен лак.

129

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА Имено, плоштината на кружен исечок кој одговара на централен агол од

е

Според тоа, ако

големината на централниот агол на кружниот исечок чија плоштина треба да ја определиме, изразена во степени е , тогаш:

Плоштината на кружен исечок е еднаква на полупроизводот од должината на соодветниот кружен лак и радиусот на кругот.

3. Пресметај ја плоштината на кружен исечок, ако се дадени радиусот и соодветниот централен агол: а)

б)

в)

4. Пресметај ја плоштината на кружен исечок ако се дадени должината на соодветниот кружен лак и радиусот на кругот: а)

б)

5. Кружен исечок со радиус 5cm има плоштина 39,25cm2. Најди ја големината на централниот агол кој одговара на кружниот исечок.

6. Пресметај ја плоштината на кружниот прстен, ако

и

(црт. 77).

За да ја определиш бараната плоштина, од плоштината на големиот круг одземи ја плоштината на помалиот круг. Плоштината на кружен прстен е еднаква на производот од бројот  и разликата од квадратот на радиусот на поголемиот круг со квадратот на радиусот на помалиот круг.

7. Периметрите на два концентрични кругови се и Пресметај ја плоштината на кружниот прстен што го образуваат круговите.

8. Пресметај ги периметарот и плоштината на фигурата дадена на црт. 78.

130

в)

.

4. 6. 4. Задачи за вежбање 1. Една циркуска арена во форма на круг има радиус периметар.

Пресметај го нејзиниот

2. Пресметај ја должината на Екваторот ако неговиот радиус е 3. Колкав е дијаметарот на круг со периметар 4. Колкав радиус има тркало кое со едно завртување поминува пат од 5. Даден е круг со радиус лак на кој одговара централен агол од: а)

Пресметај ја должината на кружен

б)

в)

6. Колкава е оддалеченоста на половите на Земјината топка од Екваторот, движејќи се по меридијан?

7. Колкав централен агол одговара на кружен лак со должина еднаква на радиусот на кругот.

8. Пресметај го периметарот на обоената фигура прикажана на црт. 79.

9. Пресметај ја плоштината на круг со периметар: б)

а)

в)

10. Пресметај ја плоштината на кружен исечок на кој во круг со радиус одговара централен агол од:

му

а) б) в) 11. Пресметај ја плоштината на фигурите дадени на црт.

80.

4. 7. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА 1. Одговори на следните прашања: а) Што е централен агол? б) Што е периферен агол?

2. Пресметај го периферниот агол ако централниот агол над истиот кружен лак изнесува: а)

б)

в)

131

КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 3. Користејќи го својството за зависноста на големината на периферниот агол од големината на централниот, нацртај агол што е: а) 2 пати поголем од даден агол; б) 4 пати помал од даден агол.

4. Нека  и  се два централни агли над иста тетива во дадена кружница, но нивните темиња се на различни страни на тетивата. Докажи дека  и  се суплементни агли.

5. Од дадена точка надвор од даден круг конструирај тангента на неговата кружница.

6. Дали околу четириаголник со агли, редоследно: а)

и

б)

и

;

може да се опише кружница?

7. Пресметај го периметарот на тангентен четириаголник ако е познато дека збирот на две негови спротивни страни е 8. а) Опиши кружница околу правоаголник; б) Впиши кружница во делтоид.

9. Пресметај го периметарот на правилен многуаголник со страна централен агол од 10. Во кружница со радиус впиши правилен: а) осумаголник; б) шеснаесетаголник; 11. Еден пливач сакал да преплива река широка

в) 24-аголник. . Речната

низводно. (црт. 81). Колкаво растојание

струја го одвела испливал пливачот?

12. Пресметај ја висината на зградата која има профил даден на црт. 82.

13. Претстави ги на бројна права следните реални броеви: а)

б)

в)

14. Пресметај ја должината на тетива на круг со радиус и растојанието на центарот до тетивата од 15. Пресметај ги дијагоналите на делтоид со плоштина P=54cm2 и една дијагонала 30cm.

16. Колкава е плоштината на горниот дел од завртката во форма на правилен шестаголник ако дијаметарот на опишаната кружница околу него е

(црт. 83).

17. Пресметај ја плоштината на фигурата дадена на црт. 84.

132

5. ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 5. 1. ПРАВОАГОЛЕН КООРДИНАТЕН СИСТЕМ ВО РАМНИНА 5. 1. 1. Декартов производ За да можеш да ја воочиш врската помеѓу броевите и точките од рамнината, мора прво да се потсетиш што во математиката значи поимот пар со кој се сретна во претходните одделенија. Овој поим го среќаваш и во секојдневниот живот.

1. Имаме пар чорапи и пар чевли. Човекот има пар раце, пар нозе, пар очи и пар уши. Што е тогаш тоа пар? Кога ќе речеме пар чорапи значи две чорапи, пар очи значи две очи итн. Значи, парот го сочинуваат два елементи. Според тоа, пар се разгледува како множество од два елементи.

2. Секоја отсечка е определена со своите две крајни точки, со пар точки. Така отсечката на црт.

1 е определена со точките M и N, но можеме да речеме дека истата отсечка е определена и со парот точки N и M. Отсечката можеме да ја определиме и со парот точки M и N и со парот точки N и M, бидејќи паровите, односно двоелементните множества и

се еднакви. Затоа должината на отсечката на црт. 1 ја означуваме со

или

. За да го запишеш секој двоцифрен број користиш две цифри. Значи за запишување на двоцифрен број се користи пар од цифри.

3. Бројот триесет и седум се запишува со парот цифри 3 и 7. А како ќе го запишеш бројот седумдесет и три? Секако со истиот пар на цифри, но не по истиот редослед, прво цифрата 7, а потоа цифрата 3. Значи, од задача 3 можеш да воочиш дека при запишување на двоцифрен број не е важно само со кој пар на цифри се запишува двоцифрениот број, важен е уште и редоследот на запишување, односно кој елемент од тој пар е прв, а кој втор. Пар во кој точно се знае кој елемент е прв, а кој втор се вика подреден пар. Подреден пар од два елементи a и b, за кој a е прв елемент, а b втор елемент се означува со За даден елемент a велиме дека и

. е подреден пар.

4. Подредениот пар во кој бројот 7 е прв елемент, а бројот 9 е втор елемент се запишува како

. Од парот броеви 7 и 9 може да запишеме два подредени пара и

тоа: и . Овие два пара ги запишуваме со исти елементи, но редоследот на тие елементи е различен и затоа тие подредени парови се различни. Притоа запишуваме .

133

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 5. Подредените парови

и

елемент им е еднаков

имаат еднаков прв елемент, но и вториот . За нив велиме дека се еднакви и пишуваме

. Два подредени пара

и

6. Кои од подредените парови: и

се еднакви ако и само ако ,

и

.

,

се еднакви?

7. Нека иB . Најди ги сите подредени парови за кои елементите од A се први, а елементите од B се втори. Бараните подредени парови се: (1,m), (1,n), , , и . Подредените парови можеме да ги земеме како елементи од множеството . Тоа множество се означува со A и се вика Декартов производ на A со B. Шемата на Декартовиот производ е дадена на црт. 2. Дадени се множествата A и B. Множеството од сите подредени парови каде што Aи B се вика Декартов производ на множеството A со множеството B и се означува со A. Накусо, A 10. Нека а) табеларно;

Аи

B}.

иN Запиши го множеството M б) со Декартова шема.

11. Даден е Декартовиот производ на множествата A и B табеларно: . Запиши ги множествата A и B табеларно.

5. 1. 2. Координатна рамнина Кога ги изучувавме реалните броеви виде како на тие броеви можат да им се придружат точки од бројната права.

1. а) Напиши ги броевите соодветни на точките O, A, B, C и D од бројната права на црт. 3, ако O е координатен почеток. б) Посочи ги точките од бројната права од црт.

3 соодветни на броевите 3, 1, 0, 6 и 7.

134

Со решавање на задачата 1, се потсети дека на секој број одговара само една точка од бројната права и на секоја точка од бројната права се придружува само еден број од множеството на реални броеви. Притоа на точката А одговара бројот 6, а бројот 6 е координата на точката А од бројната права или точката А има координата 6. Накратко запишуваме A(6).

2. Нацртај бројна права, на која за единечна отсечка ќе земеш точките A(4), B(–2), C(–1), D(5), E(1),

Нацртај ги

и G(–4).

На сличен начин може да се воспостави врска помеѓу подредените парови на броеви и точките од рамнината. Во рамнината избираме подреден пар на бројни прави кои се заемно нормални. Првата бројна права е со нулта точка O и единечна отсечка OA. Таа права ја означувачуваме со x и ја викаме x-оска или апсцисна оска. Втората права, на која точката O (црт. 2) е исто така нулта точка е со единечна отсечка OB, така што , и е нормална на x оската, ја означуваме со y и ја викаме y-оска или ординатна оска. Точката B е на позитивниот дел од y-оската. За позитивен дел на y-оската секогаш ќе го земаме нејзиниот дел кој е во горната полурамнина определена со x-оската. Бројните прави x и y нормални една на друга во рамнината прават една целина  систем, кој се вика Декартов правоаголен координатен систем во рамнината. Бројните прави x и y се викаат координатни оски, а нивниот пресек координатен почеток. Рамнината во која е зададен Декартов правоаголен координатен систем се вика координатна рамнина. Понатаму, под координатен систем ќе подразбираме Декартов правоаголен координатен систем. Даден координатен систем во рамнината се означува скратено, на тој начин што прво се запишува ознаката на првата координатна оска, потоа ознаката за координатниот почеток и на крајот ознаката за другата координатна оска. Според тоа координатиот систем на црт. 4 ќе го означиме со xOy. Често пати ќе сретнеш x и y оските соодветно да се означени со Ox-оска и Oy-оска. За да видиш како со помош на координатниот систем се воспоставува врска помеѓу броевите и точките од системот, ќе го земеме подредениот пар

На x-оската

Низ точката повлекуваме означуваме точка права паралелна со y-оската. Потоа, на y-оската Низ точката означуваме точка права паралелна со x-оската.

повлекуваме

135

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Правите a1 и a2 се нормални меѓу себе и имаат една заедничка точка која ќе ја означиме со А. До точката А дојдовме на опишаниот начин, тргнувајќи од подредениот пар

Значи на подредениот пар

придружуваме точката А и пишуваме

му ја Положбата

на точката А е одредена со парот и затоа велиме дека елементите на подредениот пар се координати на точката А. Првиот елемент на подредениот пар односно 3 е прва координата на точката A и се вика апсциса на точката A. Вториот елемент, бројот 2 е втора координата на точката A и се вика ордината на точката A. Во општ случај, ако на подредениот пар

му е придружена точката A, запишуваме

A Тогаш бројот x е прва координата или апсциса на точката А, а бројот y е втора координата на точката А или ордината.

3. Нацртај координатен систем xOy и претстави ги точките: , , , и

.

4. Во координатниот систем xOy

се

прикажани точките: ,

,

,

.

Двете координатни оски ја делат рамнината на четири дела кои се викаат квадранти. На црт. 7 е даден редниот број на секој квадрант и знакот на координатите на точките во секој од квадрантите.

5. Запиши ги координатите на неколку точки кои лежат на x и y оските. Во координатниот систем xOy (црт. 8) дадена е точката M. За да се најдат нејзините координати, цртаме низ точката M нормала на x-оската и нормала на y-оската (црт.

8). Соодветно ги добиваме точките

и

Точката

е оддалечена од точката O во негативна насока по x-оската за 5 единици, според тоа M1(5). Точката M2 е оддалечена од точката O во позитивна насока по y-оската за 3 единици, па М2(3). Тогаш на точката M и се придружува подредениот пар броеви . Значи, на секоја точка од координатната рамнина и се придружува еден подреден пар.

136

6. Најди ги координатите на точките A, B, C, D, E, F, G и H дадени во координатниот систем на црт. 9.

5. 1. 3. Задачи за вежбање 1. Кои подредени парови можеш да ги запишеш од броевите 4 и 7?

2. За која вредност на x, подредените парови 3. Дадено е множеството A претстави го со Декартова шема.

и

се еднакви?

. Најди го Декартовиот производ АА и

4. Запиши ги множествата M и N табеларно, ако нивниот Декартов производ е МN 5. Во кој квадрант се наоѓа секоја од точките: и 6. Во координатен систем xOy претстави ги точките:

и

7. Нацртај координатен систем и претстави ги: а) точките со апсциса 4 и ордината: 2, –1, 0, 1, 2, 3, соодветно; б) точките со ордината 5 и апсциса: 3, 1, 0, 1, 2, 3, соодветно. Што забележуваш?

5. 2. ПРЕСЛИКУВАЊЕ И ФУКЦИЈА 5. 2. 1. Поим за релација До сега во математиката и секојдневниот живот ни се познати различни примери со кои се кажува некоја врска или однос или уште велиме релација помеѓу елементите на множествата. На пример, со зборовите: помал, поголем, еднаков, се дадени релации помеѓу елементите на множеството реални броеви; со зборовите: е паралелна, е нормална, се укажува на односи помеѓу правите; со зборовите: е роднина, е брат со, е татко на, се дадени роднински односи или релации меѓу луѓето. За сите овие релации битно е да се знае кој елемент е прв, а кој е втор. Значи, во врската или релацијата меѓу елементите од множеството е важен редоследот, бидејќи елементот x може да биде во релација со елементот y, а обратното да не важи.

137

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 1. За релацијата ,, … е татко на ... ” , aко Симе е татко на Томе, тогаш не важи обратното дека Томе е татко на Симе. Една релација ја означуваме најчесто со R. Запишуваме x R y и читаме: x е во релација R со y.

2. а) Нека се дадени множествата и Да ја разгледаме релацијата ,, ... е делител на ...” од елементите на множеството A кон елементите на множеството B, означена со R. За оваа релација, запишуваме, x R y ако xy . Ваквиот начин на задавање на релацијата се нарекува описен начин. Множеството од сите парови за кои првиот елемент е во релација со вториот елемент го означуваме со и го нарекуваме график на релацијата R. Во овој пример, {(x, y)xA, yB и x е делител на y} или поинаку запишано, {(x, y)xA, yB и xy}. Со вакво запишување на графикот на R велиме дека релацијата е зададена описно . Со испишување на сите парови од

, добиваме: ={ б) Со испишување на сите елементи од дека релацијата е зададена табеларно.

}. велиме

в) Релацијата R од множеството A кон B може да се прикаже и со стрелки како на црт. 10.

3. Во множеството е дадена релацијата R: ,, ... е за 2 поголем од ...”. a) Табеларен начин: б) Описен начин: ={(x, y)x,yA, y = x–2}; в) На црт. 11 релацијата R е прикажана со граф.

4. Табеларно прикажи ја релацијата R: ,,... е за 2 помал од...”, од множеството A кон множеството B, ако

и

.

5. На црт. 12 даден е графот на релацијата R на множествато релацијата на: а) табеларен начин;

. Прикажи ја б) описен начин.

6. а) Запиши го Декартовиот производ на множествата и б) Запиши ја на табеларен начин релацијата R: ,, ... е за 4 помал од... “ од множеството A кон множеството B. Што забележуваш?

138

Со решавање на задача 6 можеш да воочиш дека графикот на релацијата R: ,, ... е за 4 помал од ...” од множествато A кон множеството B, е подмножество од Декартовиот производ на множествата A и B, односно АB. Графиците на сите релации R од A кон B се подмножество од Декартовиот производ на A со B, односно Истото важи ако релацијата е меѓу елементите на едно множество. Графиците на сите релации R од A кон A се подмножества од Декартовиот квадрат на A, односно 7. На црт. 13, е дадена релација меѓу елементите на множеството P, претставена со граф. Запиши го графикот на релацијата: а) табеларно; б) описно.

5. 2. 2. Поим за пресликување 1. На црт. 14 претставени се релациите R1, R2 и R3 од множеството A кон множеството B, со стрелки. Ако ја разгледаш секоја од нив можеш да воочиш дека:

 За релацијата R1, во множеството А има елемент кој е во релација со два различни елементи од множеството В; односно од кој излегуваат две стрелки.  За релацијата R2, во множеството А има елемент кој не е во релација со ниту еден елемент од множеството В; односно од кој не излегува ниедна стрелка.  За релацијата R3, во множеството А секој елемент е во релација со точно еден елемент од множеството В; односно од секој елемент од множеството А излегува точно по една стрелка. Една релација од A кон B, како R3, за која од секој елемент од множеството А излегува точно по една стрелка, се вика пресликување или функција од A во B. Релација од A кон B се вика пресликување или функција, ако за секој aA, постои единствен елемент bB, така што a е во релација со b. Притоа, множеството A се вика домен на пресликувањето, неговите елементи се викаат оригинали, а множеството B се вика кодомен на пресликувањето. Ако a е во релација со b, тогаш b се вика слика на елементот a.

139

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Во 1. в) домен е

а кодомен е B

2. Утврди кои од релациите на црт. 15 се пресликувања:

3. За релациите во задача 2 дадени на црт. 15, за кои воочи дека се пресликувања (функции), запиши го доменот и кодоменот.

4. Нека и се неколку вредности на радиус на кружница. Со помош на формулата L пресметај ги вредностите за периметарот на кружницата. Дали должината на кружницата се менува во зависност од промената на радиусот? Нека А и В се две непразни множества. Со x ги означуваме елементите на множеството А, а со y ги означуваме елементите на множеството В. Кога е дадено пресликување од множеството А во множеството В, тогаш на секој елемент од А му се придружува единствен елемент од B. Тоа придружување го означуваме со некоја буква, на пример f, g, h,... Ако сакаме на кратко да запишеме дека е дадено пресликување, функција, f од A кон B тогаш означуваме f: AB. Ако сакаме да ги истакнеме елементите од множествата A и B кои се меѓусебе поврзани, тогаш тоа го запишуваме со y=f(x) или xf(x). Кога промената на една величина зависи од промената на друга величина, велиме дека меѓу тие величини има функционална зависност. Во задача 4 промената на вредностите на едната променлива величина (периметар), која ќе ја викаме зависна променлива величина или функција се определува со промената на вредноста на другата променлива величина (радиус), која се вика независна променлива или аргумент (x).

5. Кој е доменот, а кој кодоменот на функцијата во задача 4? Доменот во задача 4 е +. Доменот уште се вика дефиниционо множество или дефинициона област на разгледуваната функција и вообичаено се означува со D. Тоа е всушност множеството вредности кои може да ги има независната променлива (аргументот) при даденото правило. Кодомен во задача 4 е . Со правилото, односно формулата за пресметување на периметар на кружница е зададена функција f која на секој елемент r + му придружува елемент L . Тоа може да се запише: итн.

140

+ , односно, r2r. Притоа

6. Кои вредности ги добива зависно променливата величина L во задача 4? .

Сигурно воочи дека вредностите што ги добива зависно променливата величина L се само позитивни реални броеви +. Вредностите што ги добива функцијата за секоја вредност на аргументот од дефиниционото множество се вика множество вредности на функцијата. Се означува најчесто со V. Може да се случи VB или V=B, каде што B е кодоменот на пресликувањето.

7. На црт. 16 со стрелки е дадена функцијата f. а) Најди ги доменот и кодоменот на f. б) Колку е f(6), f(12) и f(15)? в) Најди го множеството вредности на функцијата f.

8. Нека

и

Со правилото

е зададена функција

АB. Најди ги дефиниционото множество, кодоменот и множеството вредности на функцијата f. Сигурно воочи дека дефиниционото множество D=A, f(–2) = 2(–2) = –4 а кодомен е B. Според правилото x2x, за да го најдеш f(–1,5) = 2(–1,5) = –3 множеството вредности на функцијата V, треба да ја најдеш вредноста на функцијата за секоја вредност на аргументот. f(0) = 2(0) = 0 =V Во овој случај V=B. f(1) = 2(1) = 2 f(2) = 2(2) = 4 9. Нека f(3) = 2(3) = 6 и АB, зададено со Најди го множеството вредности на функцијата.

5. 2. 3. Начини на задавање на функција Функциите чиј домен е конечно множество, обично се задаваат со табели. Такви примери среќаваме не само во математиката, туку и во секојдневниот живот. Во продавниците има табели за производите кои со вагање се продаваат во различни количини. Во банките се среќаваме со табела на странската валута во однос на денарот итн.

1. Во табелата е дадена температурата на Петар во 0 C, мерена на секои 3 часа. час температура

6 37

9 38

12 37,5

15 37,5

18 38

21 39,5

24 39

141

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Од табелата одреди: а) Колкава температура имал Петар во 21 часот? б) Колку е f(9) и f(15)? в) Кога немал промена на температурата? Ако сите вредности на аргументот и соодветните вредности на функцијата се дадени во табела, тогаш велиме дека функцијата е зададена на табеларен начин.

2. На секој елемент x од множеството

му е придружен елемент y од

множеството што е негов содржател. а) Претстави ја функцијата табеларно; б) Најди го множеството вредности на функцијата.

3. Ако x е природен број, тогаш парните и непарните броеви можат да се изразат како функција од x, на следниот начин: парните броеви се

, при

непарните броеви се

; при

.

Една функција велиме дека е дадена на аналитички начин, ако со алгебарски израз е искажано правилото по кое на произволна вредност на аргументот му се придружува соодветна вредност на функцијата.

4. Најди ја дефиниционата област на функциите: б)

а)

в)

;

.

Функциите се дадени на аналитички начин, без да биде дадена дефиниционата област. Тоа значи дека дефинициони области се множествата од допуштени вредности на аргументот во соодветните изрази: а) За б) За

D = . , D е множеството од сите реални броеви различни од нула (D= \{0}). , D се сите реални броеви различни од 5 или D= \{5}.

в) За

Значи ако дефиниционата област на една функција не е зададена, тогаш значи дека таа ќе ги содржи сите реални броеви за аргументот x, за кои можат да се извршат операциите посочени со правилото f.

5. Периметарот на квадратот и плоштината на квадратот запиши ги како функција од страната x на квадратот.

6. Познато ти е дека секој подреден пар реални броеви одредува една точка од координатната рамнина. На црт. 17 нанесени се во координатен систем подредените парови од табелата: x y=f(x) 142

1 0

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 7

9 8

10 9

Множеството од сите парови и

каде што xA

B, односно од сите парови

се

вика график на една функција AB. Се означува со Gf. Притоа: Gf = {(x, y)xA, yB и y=f(x)}. Една функција велиме дека е дадена на графички начин, ако подредените точки добиени со правилото f се претставени во координатен систем. Графичкото задавање на една функција дава прегледна претстава за нејзината промена соодветно на произволно избраните вредности на аргументот.

7. Функцијата f дадена со табелата, претстави ја графички. x y=f(x)

–3 –6

–2 –4

–1 –2

0 0

8. Претстави ја графички функцијата

1 2

2 4

3 6

4 8

при x{–2, –1, 0, 1, 2}.

5. 2. 4. Задачи за вежбање 1. Во множеството е дадена релацијата R: ,, ... е за 2 пати поголем од ...”. Прикажи ја релацијата на: а) табеларен начин; б) описен начин; в) со граф.

2. Една страна на правоаголникот e 2 cm подолга од другата страна. Изрази ја плоштината на правоаголникот како функција од: а) помалата страна; б) поголемата страна.

3. Најди ја дефиниционата област на аналитички зададените функции: а)

б)

в)

4. На секој елемент x од множеството

г) му е придружен елемент y од

што е негов делител. множеството а) Претстави ја функцијата табеларно; б) Најди го множеството вредности на функцијата.

5. Нацртај го графикот на функцијата множеството

чиј што домен е зададен со

, а кодоменот е множеството реални броеви.

143

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 5. 3. ПРОПОРЦИЈА. ПРОПОРЦИОНАЛНИ ВЕЛИЧИНИ 5. 3. 1. Поим за размер Често пати во математиката и во секојдневниот живот се среќаваме со проблеми кои од нас бараат да пресметаме: а) Колку пати една величина е поголема од друга, или б) Колкав дел од едната величина претставува другата величина?

1. а) За да пресметаме колку пати бројот 18 е поголем од 6, потребно е 18 да се подели со 6, односно да го пресметаме количникот на бројот 18 со бројот 6. Имаме дека

што значи бројот 18 е 3 пати поголем од бројот 6. вода, за да пресметаме колкав дел од садот зафаќаат

б) Ако еден сад се полни со

вода треба да го најдеме количникот

Заради

имаме дека водата зафаќа

една половина од садот. Количникот (или ), на мерните броеви на две истородни величини се вика размер или однос на тие величини. Бројот а се вика прв член, a бројот b втор член на размерот. Вредноста на количникот

се вика вредност на размерот.

Размерот , освен на познатиот начин (a делено со b) се чита и како ,,a спрема b’’ или ,,a се однесува спрема b’’.

2. Колку пати е поголем бројот: а) 72 од бројот 8;

б) 7 од бројот 1,5;

в) 36 од бројот

?

3. Дали се различни размерите: а)

и

б)

и

Ќе ја пресметаме вредноста на секој од размерите: a)

б)

Двата размера имаат еднакви вредности и велиме дека се еднакви.

Двата размера имаат различна вредност и велиме дека не се еднакви.

За два размера велиме дека се еднакви ако имаат еднаква вредност.

144

4. Запиши го размерот

така што вториот член на добиениот размер да биде 52.

вториот член 13 го замениме со 52, тоа значи дека 13 е Ако во размерот помножен со 4. За да не се измени вредноста на размерот треба и бројот 5 да се помножи со 4. Имаме 5. Запиши го размерот 18:24, така што неговите членови да бидат најмали природни броеви. За членовите на размерот 18:24 треба да најдеме најголем заеднички делител. За да не се измени неговата вредност треба и двата члена на размерот да се поделат со нивниот најголем заеднички делител. Имаме НЗД

, па според тоа

Вредноста на размерот не се менува ако неговите членови се помножат или поделат со еден ист реален број, различен од нула.

6. Дали се еднакви размерите: а)

и

б)

;

и

7. Секој од размерите запиши го така што неговите членови да бидат најмали природни броеви. а)

б)

в)

8. Во кој размер се должината и ширината на еден правоаголник со должина и ширина 9. Подот на една училница е во форма на правоаголник со страни и Колкава ќе биде должината и ширината на подот ако во тетратката го нацрташ во размер За да можеш да го нацрташ подот, потребно е да ги намалиш страните според размерот 300 пати. Да ги означиме со a и b, соодветно, страните на подот во училницата. Имаме

10. Лента со должина од раздели ја во размер Од размерот можеш да видиш дека должината треба да се раздели на 5 еднакви делови (

збир од членовите на размерот), а потоа одделуваме 3 и 2 дела (црт. 18).

145

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 11. Најди го растојанието меѓу два града, ако на географската карта во размер

тие се

оддалечени Од дадениот размер можеме да заклучиме дека растојанието помеѓу градовите e 300000 пати поголемо од растојанието на картата. Имаме

Според тоа, растојанието меѓу градовите е односно

5. 3. 2. Поим за пропорција. Својство на пропорции 1. За да провериме дали два размерa се еднакви потребно е да се провери дали тие имаат еднакви вредности. Така, на пример, размерот има вредност 1,5, но и размерот има вредност 1,5. Значи размерите и се еднакви. Ако меѓу нив го ставиме знакот за равенство имаме Да разгледаме два размерa

(

)и

). Што може да кажеме кога тие

(

Последното равенство покажува дека имаат еднакви вредности, односно кога колку пати a е поголемо (помало) од b, толку пати е c поголемо (помало) од d, односно колкав дел е a од b (b од a) толкав дел е c од d (d од c). Во тој случај велиме дека a и b се пропорционални на c и d, а равенството

Два размери

(

) се нарекува пропорција.

(

)и

(

) со еднакви вредности, сврзани

со знакот за равенство велиме дека сочинуваат пропорција. Запишуваме

(

).

Броевите a, b, c и d се викаат членови на пропорцијата. Специјално, a и d се викаат надворешни членови, а членовите b и c внатрешни членови на пропорцијата. Пропорцијата освен на познатиот начин (a делено со b е еднакво на c делено со b) се чита и како ,,a спрема b се однесува како c спрема d’’.

надворешни членови

a : b = c : d внатрешни членови

2. Во пропорцијата надворешни членови се броевите 3 и 12, а внатрешни членови се броевите 12 и 8. Ако го пресметаме производот на надворешните членови видиме дека тие се еднакви.

146

и производот на внатрешните членови

ќе

Пропорцијата и десната страна со

можеме да ја запишеме како имаме

. Со множење на левата

, а тоа е исто што и

со што

е докажано основното својство на пропорциите. Производот на надворешните членови на една пропорција е еднаков на производот на внатрешните членови, односно, ако ( и ), тогаш 3. Користејќи го својството на пропорцијата, определи кои од равенствата се пропорција: а)

б) Пропорцијата не се менува ако надворешните членови си ги сменат местата, односно ако , тогаш

в)

г)

Пропорцијата не се менува ако внатрешните членови си ги сменат местата, односно ако , тогаш

или

или

4. За броевите 12, 4, 15 и 5 точно е равенството . Значи, од нив можеме да составиме пропорција Дали е пропорција Колку пропорции можеш да составиш? Со делење на левата и десната страна на равенството пропорцијата

, а тоа е исто што и

со

ја добиваме

со што е докажано обратното

својство на основното својство на пропорциите. Ако за броевите a, b, c и d е точно равенството и

тогаш од нив можат да се состават пропорциите:

5. Провери дали од броевите 5, 6, 5 и 12 можеш да составиш пропорција.

147

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 6. Во пропорцијата за да го определиме непознатиот член ќе го користиме својството на пропорциите.

7. Во пропорцијата да примениме:

за да го определиме непознатиот член можеме б) множење со производот на именителите

а) накрсно множење

8. Најди го непознатиот член во пропорциите: а)

б)

в)

г)

д)

ѓ)

е)

ж)

5. 3. 3. Геометриска средина 1. Ако во пропорцијата внатрешните или надворешните членови се еднакви, односно ако: и

За членот b велиме дека е геометриска средина на членовите a и d.

и

За членот a велиме дека е геометриска средина на членовите b и c.

Со други зборови, ако внатрешните членови во една пропорција се еднакви, односно ако 148

тогаш внатрешниот член b е геометриска средина за надворешните

членови a и d. Со примена на основното својство на пропорциите, геометриската средина односно може да се запише како Слично, ако надворешните членови во една пропорција се еднакви, односно ако , тогаш надворешниот член a е геометриска средина за внатрешните членови b и c. Тогаш геометриската средина може да се запише како

односно

2. Пресметај ја геометриската средина на броевите 18 и 8. Составуваме пропорција во која геометриската средина е непознат I. член. Непознатиот член може да го избереш да биде внатрешен или надворешен. И во двата случаи ќе добиеш иста вредност за геометриската средина. Тоа ни дава за право да ја воведеме следнава дефиниција.

II.

Геометриска средина b на два позитивни броја a и c се нарекува квадратниот корен од нивниот производ, односно 3. Пресметај ја геометриската средина на броевите 25 и 36.

5. 3. 4. Продолжена пропорција 1. Размерите и има иста вредност 1,5. Тоа значи дека колку пати бројот 3 е поголем од бројот 2, толку пати бројот 9 е поголем од бројот 6, а исто толку пати бројот 12 е поголем од бројот 8. Во тој случај запишуваме Нека се дадени размерите

(

),

(

покажува дека колку пати е

поголемо (помало) од

колкав дел е (

од

равенството

од

(

од

). Во тој случај велиме дека (

(

). Равенството

е поголемо (помало) од

и исто толку пати ), толкав дел е

) и

од и

е поголемо (помало) од (

од

толку пати односно

) и исто толкав дел е

се пропорционални на

од

и

а

) се нарекува продолжена пропорција.

149

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Три или повеќе размери

(

),

(

), … ,

(

)

со еднакви вредности, сврзани со знакот за равенство велиме дека сочинуваат продолжена пропорција. Запишуваме (

).

2. За должините на страните на еден триаголник важи периметар е

а неговиот

Колку се долги страните на триаголникот? и

Од условите дадени во задачата имаме дека продолжената пропорција имаме и

и

од каде што добиваме дека

Тогаш односно

Од

Знаеме дека

Според тоа

па

и

страните на триаголникот се долги

односно

и

3. Колкави се внатрешните агли во еден триаголник, ако тие се однесуваат како

4. Во една кутија има 1116 бели, црвени и сини топчиња. По колку топчиња има од секоја боја, ако бројот на бели и црвени топчиња се однесуваат како

а бројот

на црвени и сини топчиња се однесуваат како Да ги означиме со b, c и s бројот на бели, црвени и сини топчиња соодветно. Тогаш имаме

и

За да составиме продолжена пропорција

потребно е да најдеме НЗС за броевите 6 и 4. Бидејќи НЗС

првиот размер ќе

го помножиме со бројот 2, а вториот размер со 3. Ги добиваме пропорциите Така ја добиваме продолжената пропорција Ако постапиш како во задача 1 ќе најдеш дека во кутијата има 360 бели топчиња, 432 црвени топчиња и 324 сини топчиња.

5. Од една оранжерија дневно се собираат 1376 жолти, црвени и бели рози. По колку рози од секоја боја се собираат, ако бројот на жолти рози и црвени рози се однесуваат како

150

а бројот на црвени и бели рози се однесуваат како

5. 3. 5. Правопропорционални величини

1. Соња имала 15 јајца и ги однела на пазар. Дневната цена на чинење на едно јајце била 6 денари. Колку денари заработила? Ако пресметаме дека добила 90 денари, бидејќи 15 по 6 денари е 90 денари, тогаш тоа може да биде, но и не мора. Не можеме така да одговориме бидејќи во задачата не е кажано колку продала, а може некое или пак сите јајца се скршиле. Притоа, можеме да заклучиме дека ако Соња не продала ниту едно јајце, тогаш заработила 0 денари, ако продала 1 јајце заработила 6 денари, ако продала 2 јајца 12 денари, итн., а ако ги продала сите 15 јајца, заработила 90 денари. Значи, добиените пари зависат од бројот на продадените јајца. Ако бројот на продадени јајца ги означиме со x, а бројот на заработените пари со y, тогаш претходно кажаното можеме да го претставиме како во табела 1. Табела 1 0 0

x y

1 6

2 12

3 18

4 24

5 30

6 36

7 42

8 48

9 54

10 60

11 66

12 72

13 78

14 84

15 90

Очигледно дека y зависи од големината на x. За да најдеме колку пари се заработени кога се продадени x јајца, треба да се помножи бројот на продадени јајца со цената на едно јајце, односно со 6 денари. Според тоа, е правилото со кое се пресметуваат заработените пари y во зависност од бројот на продадени јајца x. Значи имаме функција која е дадена со формулата Oд табелата може да воочиш дека за 2 пати повеќе продадени јајца се заработуваат 2 пати повеќе пари, за 3 пати повеќе продадени јајца се заработуваат 3 пати повеќе пари итн. Значи, заработените пари се во размер со бројот на продадени јајца.

2. Колку е периметарот на рамностран триаголник со страна a? Знаеме дека периметарот на триаголник е збир од должините на трите страни на триаголникот. Бидејќи станува збор за рамностран триаголник a кај кој сите страни се еднакви, периметарот на триаголникот е L a Периметарот зависи од должината на страната a, што значи имаме функција со која, на секоја должина на страната a се придружува a периметарот на тој триаголник. Табела 2 a L

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

6 18

7 21

Од табела 2 може да се види дека триаголник со 2 пати поголема страна има 2 пати поголем

периметар; со 3 пати поголема страна има 3 пати поголем периметар итн.

151

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Значи, периметарот на триаголникот е во размер со должината на страната на триаголникот, а формулата со која тоа е искажано е L Како што видовме во претходните задачи, може да се каже дека постои размер меѓу вредноста на аргументот x и соодветната вредност на функцијата y, само тогаш кога правилото за зависност меѓу x и y може да се запише со формулата реален број различен од 0.

каде k е

Секоја зависно променлива величина y, чија зависност од вредноста на аргументот може да се запише со формулата право пропорционална величина. Бројот k се вика коефициент на пропорционалност.

3. Доменот D на функцијата

D4, зададена со формулатa

се вика

е

Најди ја вредноста на функцијата y за секоја вредност на аргументот x. Дали y е право пропорционална величина?

4. Должината на страната на квадрат a и неговиот периметар L се право пропорционални величини. а) Кој е коефициентот на пропорционалност на овие две величини? б) Запиши ја зависноста со формула. ²4,

5. Дадена е функција

со формулата

која за вредност на

аргументот има вредност на функцијата пропорционалност k?

Колку е коефициентот на

Во формулата

добиваме

заменувајќи за

што следува дека 6. Дадена е функција

и за

од каде

или ²4, со формулата

пропорционалност k, ако за

. Колку е коефициентот на

вредноста на y e 3?

Право пропорционалните величини често ги користиме за решавање на проблеми од секојдневниот живот.

7. За 30 литри бензин, Тони платил 1560 денари. Колку литри бензин би можел да купи за 2152 денари? Нека x е количество бензин во литри, а y е износот на денари кои треба да се платат за таа количина бензин. Можеш да воочиш дека станува збор за право пропорционални величини. Исто како во претходните задачи, и тука можеме да го најдеме коефициентот на пропорционалноста k.

152

Ако во

замениме за

а за

имаме

од каде

што следува дека

Значи, Бидејќи со y го означивме износот на пари за купување x литри бензин, тогаш со заменување на

во

имаме дека

8. За функцијата од табела 3 може да се формираат подредените парови:

Табела 3 −2 −4

x y

−1 −2

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

Ако подредените парови ги претставиме во координатен систем како на црт. 19, може да се каже дека графички сме ја претставиле функцијата Сите точки кои ги означивме со крукчиња се точки од графикот на функцијата f и тие лежат на една права. Ако избираме се поблиски вредности на променливата x, ќе добиваме нови точки, но сите тие ќе лежат на истата права. Значи, графикот на право пропорционалната величина дадена со формулата е права. Бидејќи секоја права е определена со две точки, за да го нацртаме графикот на правата пропорционалност доволно е да ja нацртаме правата низ две негови точки.

9. Нацртај го графикот на функцијата: а)

б)

в)

5. 3. 6. Обратнопропорционални величини 1. Нека е даден квадрат со површина од

Колку правоаголници можеш да нацрташ

со површина од

На црт. 20 се дадени 5 такви правоаголници. Очигледно е дека можеме да нацртаме многу такви правоаголници, чија плоштина е

Ако должината на секој правоаголник

ја означиме со x, а ширината со y, тогаш имаме 153

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ Ако произволно ја избираме должината на секој правоаголник, тогаш нивната ширина y зависи од избраната должина. Таа зависност може да се запише со формулата

2. Еден земјоделец купил 2 трактори. Со нив работата ја вршел за еден месец. За колку време ќе ја заврши работата ако има 1 трактор, 2 трактори, 3 трактори, 4 трактори? Ако со x го означиме бројот на трактори а со y бројот на месеци, за извршување на работата ја добиваме табелата 1. Табела 1 x

1

2

y

2

1

3

4

Од табелата 1 можеш за забележиш дека производот на вредноста на аргументот x и соодветната вредност на y е 2, односно

5

од каде што следува дека Во претходните примери видовме дека производот од вредноста на аргументот x и соодветната вредност на y е еднаков на некоја константа, која можеме да ја означиме со k. Со други зборови,

односно

.

Секоја зависно променлива величина y, чија зависност од вредноста се вика

на аргументот може да се запише со формулата

обратно пропорционална величини. Бројот k се вика коефициент на обратна пропорционалност.

3. Провери дали функцијата дадена со табелата 2 е обратно пропорционална. Табела 2 x

1

2

3

4

5

6

7

8

y

а) Колку е коефициентот на обратна пропорционалност k? б) Запиши ја дадената функција со формула.

4. Дадена е обратно пропорционалната функција за

154

има вредност

²4 со формулата

. Колку е коефициентот k?

, која

Со замена за

и

, во формулата

, од каде следува дека

добиваме дека

.

5. Дадена е обратно пропорционалната функција за

односно

има вредност

²4 со формулата

, која

. Колку е коефициентот k?

6. Пет работници можат да извршат една работа за 7 дена. За колку денови ќе ја извршат истата работа 10 работници? Со зголемување на бројот на работници, се намалува бројот на потребни денови за извршување на истата работа, и обратно, со намалување на бројот на работици се зголемува бројот на потребни денови за извршување на истата работа. Значи, станува збор за обратно пропорционални величини. Ако со x го означиме бројот на работници, а со y бројот на потребни денови за извршување на работата, тогаш имаме Ако замениме за

и за

од каде следува формулата

во

, имаме дека

односно

Значи, обратно пропорционалноста може да се запише со .

Ако бројот на работниците е 10, имаме

Значи, 10 работници истата

работа ќе ја завршат за 3,5 дена.

7. За да се поплочи една просторија потребни се 600 плочки во форма на квадрат со страна

Колку плочки се потребни за поплочување на истата просторија, ако

должината на нивната страна е 8. Претстави ја графички функцијата Табела 3 x

−3

y

−1

−2

−1

0

−3

3

1

2

3

1

Ако вредностите прикажани во табела 3 ги претставиме во координатен систем како на црт. 21, може да се каже дека графички сме ја претставиле функцијата

Сите точки кои ги означивме со крукчиња се точки од графикот на 155

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ функцијата f и тие лежат на една крива која е централно симетрична во однос на координатниот почеток. Ако избираме поблиски вредности на променливата x, ќе добиваме нови точки, но сите тие ќе лежат на истата крива. За да го скицираме графикот на обратната пропорционалност потребно е да нацртаме неколку негови точки.

9. Дадена е функцијата Прикажи ја функцијата со:

а) табела;

со формулата б) график.

.

5. 3. 7. Просто тројно правило Како што и претходно споменавме, својствата на правата пропорционалност и обратната пропорционалност имаат голема примена во решавање на проблеми од секојдневната практика. Во таа смисла, ако за две величини се утврди дека се право пропорционални или обратно пропорционални, тогаш можеме да ја најдеме непозната вредност на едната величина соодветна на познатата вредност на другата величина. Методот на решавање на проблеми од овој вид се вика просто тројно правило.

1. Ана платила 1260 денари за 50 тетратки. Колку тетратки може да купи Ана за 3780 денари? Во задачата се појавуваат две величини, тетратките и сумата на денари платена за нив. Ќе постапиме на следниот начин: Бидејќи за 50 тетратки Ана платила 1260 денари ќе запишеме: 50 тетратки 1260 денари Но, колку тетратки ќе купи Ана за 3780 денари? Ако со x го означиме бараниот број на тетратки слично како погоре се добива: x тетратки 3780 денари Бидејќи со поголема сума денари, Ана може за 50 тетратки 1260 денари да купи повеќе тетратки, со растење на едната за x тетратки 3780 денари величина расте и другата, па можеме прегледно да запишеме вака: На крајот ја составуваме пропорцијата Значи, за 3780 денари Ана може да купи 150 тетратки.

2. За

млеко треба да се платат 576 денари. Колку денари треба да се платат за млеко?

3. Еден купувачот подготвил определена сума за да купи

електричен кабел,

Кога отишол до продавницата цената кој се продавал по цена од 80 денари за на кабелот била променета и изнесувала 125 денари за еден метар. Колку метри електричен кабел може да купи со предвидената сума?

156

Во задачата се појавуваат две величини, должината на кабелот и цената на чинење од кабелот. Ќе постапиме на следниот начин:

на

електричен кабел по цена од 80 денари за Купувачот може да купи 120 m 80 денари Колку метри електричен кабел ќе купи, ако новата цена е 125 денари за 1m ? Ако со x ги означиме метрите кои може да ги купи се добива: xm 125 денари Двете величини се обратно пропорционални, за 120 m 80 денари односно со растење на едната величина опаѓа за x m 125 денари другата, па можеме прегледно да запишеме вака: На крајот ја составуваме пропорцијата Значи, купувачот може да купи електричен кабел.

4. Страните на еден правоаголник се долги

и

Колку треба да се зголеми плоштината на

помалата страна, за по намалувањето на поголемата страна за правоаголникот да остане непромената?

5. 3. 8. Задачи за вежбање 1. Најди го растојанието меѓу два града, чие растојание на географската карта во размер

изнесува

2. Состави ги сите пропорции од броевите 2, 8, 16 и 64.

3. Најди го непознатиот член во пропорциите: а)

б)

в)

г)

4. Пресметај ја геометриската средина на броевите 64 и 4.

5. Подели го бројот 370 на три делови кои се однесуваат како 44, со формулата

6. Дадена е функцијата пропорционалност k, ако за

вредноста на функцијата е со формулата

7. Дадена е функцијата Прикажи ја функцијата со:

. Колку е коефициентот на

а) табела;

.

б) график.

8. Цената на 5 сликички е 17 денари. Колку денари чинат 15 такви сликички?

9. Колку пати треба да се зголеми помалиот множител во производот намалувањето на поголемиот множител за 14 производот да остане непроменет?

за по

157

ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 5. 4. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА 1. Во координатен систем xOy претстави ги точките: и 2. Во множеството е дадена релацијата R: ,, ... е за 5 поголем од ...”. Прикажи ја релацијата на: а) табеларен начин; б) описен начин; в) со граф.

3. Една страна на правоаголникот е за подолга од другата страна. Изрази го периметарот на правоаголникот како функција од: а) помалата страна; б) поголемата страна.

4. Запиши ги сите пропорции кои може да се состават од множителите на производот 5. Провери дали се еднакви непознатите членови во пропорциите: а)

и

б)

и

в)

и

и

6. Колкави се внатрешните агли во еден триаголник, ако тие се однесуваат како 7. Кои од функциите се право пропорционални: а)

б)

в)

г)

8. Провери дали величините дадени со табелата се обратно пропорционални. x

1

2

y

4

2

3

4

5

6

7

1

а) Најди го коефициентот на обратната пропорционалност. б) Запиши ја формулата за обратната пропорционалност. в) Најди го доменот и множеството вредности на функцијата.

9. Дадена е функцијата формулата а) табела;

. Прикажи ја функцијата со: б) график.

изминува пат од 10. Еден автомобил за и притоа се движи со иста брзина. Колку пат ќе измине за ако се движи со истата брзина?

11. Седум работници извршиле една работа за 4 дена. За колку денови би ја извршиле истата работа 12 работници?

158

со

6. РАБОТА СО ПОДАТОЦИ 6. 1. ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ НА ПОДАТОЦИ 6. 1. 1. Прибирање податоци Да се потсетиме на некои поими во врска со работа со податоци. Истражувањата во кои вршиме прибирање, средување, претставување (прикажување) и анализа на податоци, се викааат статистички истражувања. Едно статистичкото истражување, при решавање на одреден проблем, е многу обемна и сложена активност. Затоа е потребно: А. Прецизно постaвување на задачата (проблемот) што го истражуваме, заедно со прашањата за кои истражувањето треба да ни даде одговори; Б. Прибирање и средување на податоците; В. Претставување на податоците; и Г. Анализа на податоците и донесување соодветни заклучоци. Ќе разгледаме неколку примери 1. Да ја поставиме задачата за производство на млеко во една фарма со крави. Сакаме да испитаме: а) Колку млеко се добива дневно? Колку млеко се добива од секоја крава посебно? б) Зависноста на добиеното количество млеко во зависност од исхраната? в) Зависноста на добиеното количество млеко во зависност од возраста? г) Зависноста на добиеното количество млеко во зависност од сортата? За решавање на оваа задача потребен е подолг период, секојдневно да се прибираат податоците за добиеното млеко од секоја крава. Потоа, податоците да се средат и да се групираат во зависност од возраста, сортата и видот на исхраната. На крајот, со анализа на средените податоци да се извлечат соодветни одговори на поставените прашања.

2. Да ја поставиме задачата за успехот по предметот математика на учениците од 7 одделение во едно училиште на полугодие и на крај на учебната година. Да се одговори на ова прашање, доволное е да се приберат податоците за успехот по математика на секој ученик од 7 одделение од училиштетото на полугодието и на крајот на учебната година, да се средат и да се анализираат.

3. Да ја поставиме задачата за густината на сообраќајот на една раскрница, во одредени периоди од денот. За одговор на ова прашање треба да се приберат податоците за бројот на возила кои минуваат на раскрсницата во одредените периоди од неколку денови, со набљудување и броење. Со средување и анализа на добиените податоци може да се одговори на поставеното прашање. Да забележиме дека податоци може да се прибираат за величини како количеството млеко во задача 1, каде што вредностите се менуваат во множеството реални броеви, или за успехот на учениците во задача 2, каде вреднистите се од множеството природни броеви.

159

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ

6.1.2. Средување на податоците Во зависност од природата на истражуваната задача, прибирањето на податоците можеш да го направиш на повеќе начини: со мерење, прашалник, броење, набљудување, анкетирање и др. Прибраните податоци на еден од наведените начини претставуваат само почетна основа за понатамошно истражување. Несредените податоци, посебно ако нивниот број е голем, не кажуваат многу за поставените прашања во истражувањето. Затоа е потребно да се средат. Почетна операција во средувањето на “суровите” податоци се состои во нивно распоредување (подредување) односно групирање во соодветни групи. Најчесто:  податоците чии вредности се дадени описно (со зборови) се класифицираат во категории;  податоците чии вредности се дадени нумерички (со бројки) се подредуваат по големина, од најмалиот до најголемиот, или се групираат во одредени интервали.

1. При истражување на брзината на реакција на Брзина на Дете група од 15 деца, со набљудување, добиени се реакција следните податоци. Притоа тие се дадени без некаква Перо брзо систематичност и прегледност. Доколку бројот на деца Томе бавно беше поголем, прегледноста ќе беше уште помала. Ангела брзо Со броење, се одредува која вредност (брзо, бавно) Ристо брзо колку пати се јавува. Составена е следната табела: Кире бавно Табела 1. Симе бавно Ана брзо Брзина на Знак Број Миле брзо реакција на деца Иле бавно Брзо реагира 9 Весна брзо Бавно реагира 6 Сашо бавно Вкупно: 15 Никола брзо Од извршеното табеларно средување може да се заклучи дека испитуваната група како целина, брзо реагира.

Соња Коста Горан

бавно брзо брзо

2. На еден натпревар во трчање на 800 m, 84 ученици од VII одделение ги постигнале следните резултати во секунди: 127 148 120 123 123 131

149 147 130 120 129 117

129 137 131 127 131 144

132 127 145 117 133 123

129 123 129 138 131

130 129 132 130 127

127 130 123 118 132

123 150 127 127 118

144 127 123 143 127

133 143 123 137 141

118 132 120 138 130

131 130 141 123 144

127 131 120 129 143

131 137 120 127 138

133 120 144 118 138

130 120 129 127 129

Податоците се прибрани со мерење. Вака дадените „сурови податоци” не кажуваат 160

ништо за вредноста на резултатот на некој ученик во рамките на групата ниту за карактеристиките на целата група. Со броење е утврден бројот на појавувања на вредностите кои се прикажани во следната табела:

138

141

143

144

145

147

148

150

12 8

137

9

133

7

132

127

4

131

123

2

130

120

129

118

Постигнат резултат

117

Табела 2: Средени податоци од натпреварот

7

7

4

3

3

4

2

4

3

2

1

1

1 1.2

1.2

1.2

2.4

3.6

4.8

2.4

3.6 4.8

3.6

4.8

8.3

9.5 8.3

14.3

10.7

2.4

Број на ученици во %

8.3

Број на ученици

4.8

Знак

n=84 100 %

Во 1. се јавуваат вкупно 2 различни вредности: брзо реагира, бавно реагира. Во 2., од табеларно средените податоци се гледа дека како постигнат резултат во трчање се јавуваат 19 различни вредности. Очигледно, бројот на различните вредности како и интервалот во кој се јавуваат вредностите можеше да биде и поголем.

десна

двете

двете

10 11 12 13 14 15 16 лева

9

десна

8

десна

7

десна

лева

6

лева

5

двете

4

лева

3

десна

2

лева

Доминантна рака

десна

1

десна

Дете

десна

3. При едно испитување за доминантната рака кај 16 деца во една паралелка од забавиште биле добиени следните податоци:

а) Среди ги табеларно податоците. б) Која рака е доминантна? в) Дали можеш да донесеш и други заклучоци?

4. Во една свињарска фарма е извршено мерење на масата на 105 свињи и притоа се добиени следните вредности во kg: 86 92 93 93 92 85 88

90 93 88 91 85 90 90

90 90 86 85 92 89 88

92 87 90 92 91 88 90

90 90 89 85 86 90 91

93 88 88 85 90 87 93

90 90 89 91 86 88 89

91 93 91 92 93 86 91

91 87 88 89 87 88 89

86 88 85 87 91 91 90

86 93 91 89 87 91 87

86 90 92 92 85 93 91

86 91 92 90 87 86 92

87 88 90 87 89 87 92

87 89 90 90 87 91 91

а) Најди ја масата на најголемата свиња; б) Податоците среди ги во табела; в) Со која маса има најмногу свињи и колкав е нивниот процент од сите свињи?

161

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ

6.1.3. Графичко претставување на податоците За да можат табеларно средените податоци да станат лесно воочливи и достапни, тие се претставуваат, односно се прикажуваат со помош сликовити дијаграми и графици. Дијаграмите и графиците имаат задача на сликовит начин да прикажат сé она што е во табелите, а исто така и она што сакаме посебно да го нагласиме. Графичкото (сликовито) претставување на податоците често помага при нивната анализа. Еден познат психолог рекол: „Една слика вреди колку илјада зборови“. При графичкото претставување на податоците се користат геометриски фигури. Изборот на кој начин ќе ги претставиме податоците најмногу зависи од видот и природата на истражувањето. А. Линиски дијаграм За прикажување на податоците со линиски дијаграм се користи координатен систем. Најчесто, од четирите квадранти се користи првиот (I) квадрант, меѓутоа има случаи кога за прикажување на податоците се користат и другите квадранти.

1. Во Табела 1 дадена е зависноста меѓу мерките за должина: центиметри и милиметри. Табела 1. cm

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

mm

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

За да ги прикажеш податоците графички на координатен систем, на хоската нанеси ги центиметрите, а на уоската милиметрите. За да прочитаме од црт. 2, димензија од 35 cm во mm, на xоската се нанесува 35 cm и од таа точка се издигнува нормала. Низ пресечната точка М на нормалата и линискиот дијаграм се повлекува права, паралелна со хоската која во пресекот со уоската ја дава точката која одговара на 35 cm во mm. Од црт. 2 може да се воочи дека меѓу вредностите на должината изразена во центиметри и изразена во милиметри постои правопропорционалност и таа може да се запише: y=10x, каде што е: y  вредност на должината изразена во милиметри, x  вредност на должината изразена во центиметри. а) Од црт. 2 прочитај го бројот на центиметри изразен во милиметри за следните вредности. а) 50; б) 72; в) 888. б) Од црт. 2 прочитај го бројот на милиметри изразен во центиметри за следните вредности: а) 200; б) 320; в) 470.

162

100 80 [km]

2. Фамилијата Петровски патувала од градот А кон градот В, кои биле на растојание од 100 km. На црт. 3 е дадено растојанието што го поминале во дадено време. Најди го: а) растојанието поминато во првиот час; б) растојанието поминато во вториот час; в) вкупно поминатото растојание; г) вкупно потрошеното време за патување.

60 40 20 0

0

1

2

Црт. 3

3

4 [h]

Б. Столбест дијаграм Површинските дијаграми во кои се користат серија од правоаголници за прикажување на податоците, со еднаква основа а висините им зависат од бројот на појавување, се викаат столбести дијаграми. Столбовите можат да бидат залепени или одвоени. Одвоените (разделените) столбови (3. а) обично се употребуваат за прикажување на описно дадени податоци како на пример: податоци за полот (машки-женски), државјанство, место на раѓање, брачна состојба, вработеност (вработен-невработен), крвна група, итн. Залепените столбови (3. б) се употребуваат за прикажување на нумерички дадени податоци, како на пример: висината на учениците, тежината, димензии на производи, температура, цена на некој производ со тек на време итн.

3.

а)

Со столбестиот дијаграм на 3.а) се прикажани податоците за просечната надморска височина на неколку рамнини во Р. Македонија. Најмала просечната надморска височина има Гевгелиско-валандовското Поле. Кое поле има најголема просечна надморска височина?

б)

Со површинскиот дијаграм на 3.б) се прикажани податоците за цената на моторниот бензин 98 во периодот јануари-октомври 2000 година. Цената била највисока во октомври. Кога била најниска?

163

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ В. Површински дијаграм Многу често податоците се претставуваат и со површински дијаграми. Основна карактеристика на површинските дијаграми е што графичкото претставување се врши со површината. Притоа, најчесто се користат квадратот и кругот.

4. Од училишната библиотека во последните 3 години биле подигнати следниот број на книги: Табела 3. Година

2007

2008

2009

Број на книги

458

718

1003

а) прикажи ги податоците со помош на квадрати и тоа: 1) квадратите да бидат еден до друг; 2) квадратите да бидат еден во друг. б) прикажи ги податоците со помош на кругови.

а) За 2007 година имаме:

За 2008 година имаме:

P=458; а=

=

За 2009 година имаме:

P=718; а=

=21,4

=

P=1003; а=

=26,8

=

=31,7

Со овие податоци конструираме 3 квадрати, еден до друг. Цртањето може да се направи во која било должинска единица (mm, cm, dm ит.н.)

1)

2009

1)

2009 2008 2007

2008 2007

Р=458

Р=718

Р=1003

a=21,4

a=26,8

a=31,7 црт. 5

б) За 2007 година имаме:

За 2008 година имаме:

P=458;

P=718;

=458  r=12,1

=718  r=15,1

Со овие податоци конструираме 3 круга, еден до друг. Радиусот може да се биде во која било должинска единица (mm, cm, dm итн.)

164

2007 Р=458 r=12,1 црт. 6

За 2009 година имаме: P=1003; =1003  r=17,9 2008 Р=718 r=12,1

2009

Р=1003 r=12,1

Исто така се користат и површински дијаграми со форма на квадратна мрежа, најчесто за податоци дадени во проценти.

5. Колкав процент е обоен?

6. Претстави ги процентите: 9%, 37%, 49% , 86%, 99% со дијаграм во форма на квадрат.

Г. Кружен (секторски) дијаграм За да ги прикажеш податоците, често пати можеш да користиш круг. Таквиот дијаграм се вика кружен дијаграм. Кружниот дијаграм често се нарекува и секторски дијаграм. Тој најчесто се користи кога бројот на категории кои се разгледуваат при средувањето на податоците не е многу голем.

7. Во едно одделение има 36 ученици од кои, 15 се девојчиња, а 21 момчиња. Има две категории: момчиња и девојчиња. Значи, кружниот дијаграм ќе биде поделен на два дела (сектори). За да се определи големината на секој од деловите, прво ќе се одреди аголот на делот со кој се претставува еден ученик 360o : 36 = 10o. Деловите во кружниот дијаграм ќе ги имаат следните агли: ● за девојчиња 10o  15 = 150o ● за момчиња 10o  21 = 210o

момчиња девојчиња

Црт. 7 Застапеност на момчиња и девојчиња во едно одделение

8. Во табелата 1 е дадена распределбата на приходот од лотарија. Во табела 2 се пресметани аглите за соодветните проценти. Податоците се прикажани со кружниот дијаграм.

Награди Данок

Распределба на приходот од лотарија 10% 5%

%

%

Агол

45

45

0,45·3600=1620

40

40

0

40%

0

0,40·360 =144

Комисии

5

5

0,05·360 =18

Останато

10

10

0,10·3600=360

0

данок награди комисии останато

0

45%

9. Најди го аголот на делот (секторот) кој во кружен дијаграм ќе одговара на процентите: а) 30%; б) 15%; в) 35%; г) 12,5%.

165

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ 6. 1. 4. Задачи за вежбање 1. Претстави ја зависноста на податоците А и В од табелата со линиски дијаграм.

A

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

B

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2. Претстави ги податоците од задача 3 од 6.1.2. со столбест дијаграм.

3. Висината на 50 ученици во cm изнесува: 153

145

156

154

153

157

155

145

146

153

158

146

158

146

155

146

153

148

151

159

157

146

154

159

147

153

154

157

146

148

153

154

153

147

147

159

159

152

148

153

159

155

148

148

158

148

157

146

153

159

а) Среди ги податоците во табела. б) Групирај ги и среди ги податоците со табела во три групи за висини: пониски од 145; од 145 до 150; и повисоки од 150 центиметри, а потоа истите претстави ги со столбест и кружен дијаграм. Стопанства 1 2 3 4 4. Во следната табела даден е бројот Активни на активните членови во 4 индивидуални 200 350 1310 1470 членови стопанства во еден регион. а) прикажи ги податоците со помош на квадрати и тоа: 1) квадратите да бидат еден до друг; 2) квадратите да бидат еден во друг б) прикажи ги податоците со помош на кругови.

5. За секој од следните дијаграми запиши го процентот на секој од обоените делови. а)

б)

6. Дропките

,

и

в)

претстави ги со дијаграм во форма на квадратна мрежа.

7. Кој дијаграм е најсоодветен за претставување на секои од податоците, под а), б) и в)? Потоа истите претстави ги со таков дијаграм. а)

166

Храна 20% Картон 30% Хартија 15% Стакло 20% Метал 15%

б)

1981 1982 1983 1984 1985

7,5% 11,0% 11,9% 10,8% 10,1%

в)

12722 денари 20123 денари 16159 денари 17900 денари 9700 денари

6.2. АНАЛИЗА НА ПОДАТОЦИ 6.2.1. Аритметичка средина. Ранг 1 2 1

1. Симе ја мерел температурата на воздухот 15 денови по ред во април, секогаш во 14h , и притоа ги добил следните температури во оС.

18 24 17

2 2 2

21 20 20

2 2 2

Симе ја пресметал просечната температура за тие денови:

Просечната темпертура во тие 15 денови во 14h била 20,87оС. Аритметичка средина на два или повеќе броеви е број, кој се добива кога нивниот збир ќе се подели со бројот на собироците. Често пати за аритметичка средина велиме просечна вредност или само просек. Со пресметување на аритметичката средина можеме да одговориме и на други прашања во врска со податоците (на пример, колкав е твојот просечен успех на крајот од учебната година).

2. Најди ја аритметичката средина на броевите 4, 7, 9, 9 и 11 . Аритметичката средина е

.

Забележуваме дека аритметичката средина на некои броеви се наоѓа меѓу најмалиот и најголемиот од тие броеви.

3. а) Која е највисоката, а која е најниската температура што ја измерил Симе? б) Одреди ја разликата на највисоката со најниската температура? Највисоката температура е 26oC, а најниската е 15oC. Разликата на највисоката со најниската температура изнесува 26oC  15 oC = 11oC. За дадени бројни податоци, разликата на највисоката со најниската вредност од податоците се вика ранг или опсег.

4. Најди аритметичката средина и ранг на податоците: а) 22, 4, 5, 9 и 17;

б) 7, 17 и 54;

в) 4, 2 и 6 ;

г) 2,18; 5,38; 10,2 и 18,6.

5. Еден ученик бил оценет вака: македонски јазик - 4, математика - 4, историја - 5, географија - 3, биологија - 4, физичко 5 и ликовно воспитување - 3. Најди го средниот успех на ученикот.

6. Во една просторија имало 16 луѓе чија просечна возраст била 20 години, а во друга просторија имало 24 луѓе чија просечна возраст била 40 години. Колкава е просечната возраст на сите тие 40 луѓе? Внимавај!

167

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ

6. 2. 2. Мода и медијана 1. Да го разгледаме повторно примерот 1 од 6.2.1 . Меѓу температурите што ги измерил, Симе забележал дека 20oC е вредноста која се појавува најголем број пати, (3 пати), а сите други вредности се појавуваат помал број пати. Исто така, Симе ги подредил измерените температури, почнувајќи од најмалата до најголемата. Притоа, забележал дека на средината од добиената низа се наоѓа вредноста 21оС .

15oC, 17oC, 18oC, 18oC, 20oC, 20oC, 20oC, 21oC, 21oC, 22oC, 23oC, 23oC, 24oC, 25oC, 26oC. Ќе разгледуваме множества од податоци, при што податоците се броеви или мерни броеви. Такво множество податоци, откога податоците се подредат од најмалиот до најголемиот, се вика и низа податоци. Ако постои број кој се појавува најчесто, односно најголем број пати, во низа податоци, тогаш тој број се вика нејзина мода, и се означува со Мо. Ако бројот на податоци во подредена низа податоци е непарен, тогаш бројот кој се наоѓа на средината од таа низа, се вика нејзина медијана и се означува со Ме. Ако бројот на податоци во подредена низа податоци е парен, тогаш аритметичката средина на двата броја што се наоѓаат на средината од таа низа, се вика нејзина медијана и се означува со Ме.

2. Најди мода и медијана за податоците: а) 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 8; б) 10, 10, 11, 13, 14, 18, 19, 20, 20, 22. а) Мо = 7, Ме = 4;

б) Мо нема.

Медијаната на подредена низа податоци е таков број, кој е поголем или еднаков на половина од податоците и е помал или еднаков од другата половина податоци.

3. Најди ги аритметичката средина, рангот, модата и медијаната за податоците: а) 2, 12, 5, 4, 8, 6, 5; б) 143, 167, 285, 306, 199; в) 10, 12, 13, 15, 11, 5, 5; г) 0,8; 0, 3; 0,4; 0,8; 0,6; 2,3; 1,7.

4. Најди ја медијаната за податоците: а) 7, 5, 10, 6, 5, 8, 8, 9, 7;

б) 2, 6, 5, 7, 3, 6, 4, 3, 5, 4.

5. Во текстилна фабрика бил испитуван бројот на грешки на 50 женски фустани и биле добиени следните податоци: 1 2 3 1 1 2 0 4 1 0 0 1 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 0 1 1 1 3 1 1 5 1 2 0 4 0 1 2 0 1 0 1 3 0 1 4 1 3 1 1 5 Со кој број грешки е најголемиот број фустани? Кој заклучок може да се изведе од ова испитување?

168

Аритметичката средина, рангот, модата и медијаната на низа податоци со едно име се викаат нејзини бројни карактеристики.

6. Најди ги аритметичката средина и медијаната за податоците: а) 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9; б) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 38. Аритметичката средина на низа податоци, најчесто се означува со а. а) а = 5, Ме = 5,5; б) а = 5, Ме = 1. Забележуваме дека двете низи имаат иста аритметичка средина, ама различна медијана. Од овде можеме да заклучиме дека само една бројна карактеристика не е доволна за да се даде вистинска слика на низата податоци.

7. Оцените по математика на учениците во едно одделение од 25 ученици се: 3

2 5 5 5 3 5 3 3 5 5 5 3 3 3 5 2 2 5 5 3 3 3 4 5

Со помош на бројните карактеристики аритметичка средина и медијана, извлечи заклучок за тоа дали само просечната оцена ја дава вистинската слика за успехот по математика во одделението.

8. Дали само висината на просечната плата ја дава вистинската слика за платите на вработените луѓе во Република Македонија?

6. 2. 3. Задачи за вежбање 1. Најди аритметичка средина, ранг, медијана и мода за следните податоци: а) 9, 7, 13, 14, 6, 13, 11, 10, 12; б) 4,2; 6,4; 2,9; 3,7; 3,3; 5,4; 5,8; 2,7; в) 16, 8, 7, 13, 15, 10, 9, 14, 11, 8, 12, 16.

2. Дадени се бодовите од тестот по математика во едно одделение: 0 7 9 12 18

2 1 10 12 3 12 15 10 3 2 18 8 8 7 2 9 5 14 10 13

12 9 6 9 8 18 3 1 10 19 18 9 17 8 8 16 14 6 6 6 0 14 8 0 17

а) Среди ги податоците во табела; б) Изрази ги податоците во проценти; в) Претстави ги податоците со столбест дијаграм и со негова помош најди ја модата; г) Најди ги аритметичката средина и медијаната. Што заклучуваш?

3. Направи анкета за денот во кој е роден секој ученик во твоето одделение. Добиените податоци претвори ги во бројни податоци, со замена на имињата на деновите од седмицата со броеви: понеделник1, вторник2, среда3, четврток4, петок5, сабота6 и недела7. a) Така добиените податоци среди ги во табела и претстави ги со столбест дијаграм. б) Најди ја модата на податоците. Што заклучуваш ?

169

РАБОТА СО ПОДАТОЦИ

6. 3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА

1. Со столбестите дијаграми е претставена продажбата на обични и мобилни телефони во 2001 година (црт. 1) и 2008 година (црт. 2). а) Податоците внеси ги во табелата 1. б) Податоците претстави ги со кружни дијаграми.

Црт. 1 обични

Црт. 2 мобилни

Вкупно

обични во %

мобилни во %

2001 2008 Вкупно 2. Претстави ги со кружен дијаграм податоците од табелата: Агол

% Житни полиња

10

Ливади

35

Пустини

15

Шуми Снежни површини

30

3. Најди аритметичка средина ранг, медијана и мода за податоците:

,

a)

,

,

,

,

:

б) 7,9; 6,3; 3; 9; 9; 8,7; 3,8; 11; 2.

10

4. Најди ги аритметичката средина, медијаната и модата за табеларно дадените податоци: а)

вредност 5 10 15 20

170

број на појавувања 1 4 5 3

б)

вредност 5 4 3 2

број на појавувања 8 5 4 4

АЗБУЧНИК

А апотема, 101 апсциса, 136 аргумент, 140 аритметичка средина, 167 асоцијативно својство, 7

Б бином, 54 броен израз, 41 бројна вредност на изразот, 41 бројни карактеристики, 169

В вектор, 2 векторски величини, 3 вектор на транслација, 11 внатрешни членови, 146 вредност на степен, 22

Г геометриска средина, 149 главна вредност на моном, 46 график на релација, 138

Д Декартов производ, 134 Декартов правоаголен координатен систем, 135 деленик, 67 делител, 67 должина, 2 должина на кружен лак, 127 домен (дефинициона област), 139 допуштена вредност, 44 дробен рационален израз, 43

Е еднакви вектори, 4 еднаквоплошни фигури, 114

З збир, 6, 48

И идентична транслација, 12 идентични рационални изрази, 45 инверзна транслација, 12 интензитет, 2 ирационални броеви, 37 истонасочени вектори, 2 истонасочени полуправи, 1

К карактеристичен триаголник, 100 квадрат на рационален број, 32 квадратен корен, 33 квадрант, 136 кодомен, 139 коефициент на моном, 46 коефициент на полином, 54 коефициент на пропорционалност, 152 колинеарни вектори, 3 количник, 52, 67 комутативно својство за собирање на вектори, 7 константи, 41 координатна оска (почеток), 135 кружен исечок, 129 кружен прстен, 129 кружен дијаграм, 164

Л линиски дијаграм, 162

М медијана, 168 мода, 168 множители, 60 множество вредности, 141 моном, 45

Н надоврзани вектори, 6 надворешни членови, 146 насока, 2 нулти вектор, 3 нормален вид, 45, 55

О обратнопропорционални величини, 154 ордината, 136 оригинал, 11, 139 основа на степен, 22

П периферен агол, 86 Питагорова теорема, 106 плоштина, 113 површински дијаграм, 164 подреден пар, 133 полином, 53 правило на триаголник, 6 правило на паралелограм, 7 правилен многуаголник, 96 првопропорционални величини, 152 пренесување на вектор во точка, 5 пресликување, 139 приближна вреност, 38 продолжена пропорција, 149 производ на вектор со број, 8 производ на мономи, 49 производ на полиноми, 61 променлива, 42 просто тројно правило, 156 пропорција, 146

Р разлика, 9, 49 различно насочени вектори, 2 различно насочени полуправи, 1 разложување на прости множители, 75

размер, 144 ранг, 167 рационален израз, 42 реален број, 38 релација, 138

С сведување, 49 скаларни величини, 4 слика, 11, 139 слични мономи, 47 спротивни вектори, 5 спротивни мономи, 47 спротвни полиноми, 54 спротивно насочени вектори, 2 спротивно насочени полуправи, 1 статистички истражувања, 159 степен, 21, 46, 51 степенов показател, 22 столбест дијаграм, 163

Т транслација, 11 трином, 54 Талесова теорема, 88 тангентен четириаголник, 93 тангентни отсечки, 90 тетивен четириаголник, 91

Ф формули за скратено множење, 63 функција, 140

Ц цел рационален израз, 43 централен агол, 85, 100 центар на правилен многуаголник, 99

Ч членови на полином, 54

ПОЕНИ ЗА ЗАДАЧИТЕ ЗА САМОПРОВЕРКА На крајот од секоја тема се дадени задачи за самопроверка, во кои секоја задача носи одреден број на поени, а вкупниот број на поени е 100. Еден наш предлог да го извршиш самооценувањето е следниот: 0 - 29 = недоволен (1); 30 - 47 = доволен (2); 48 - 65 = добар (3); 66 - 83 = мн. добар (4); 84 - 100 = одличен (5). Задачите се вреднувани на следниот начин: Задачи за самопроверка од ТЕМА 1 1. 6 поени; 2. 5 поени; 3. 4 поени; 4. 9 поени; 5. 10 поени; 6. 6 поени; 7. 14 поени; 8. 8 поени; 9. 10 поени; 10. 13 поени; 11. 15 поени. Задачи за самопроверка од ТЕМА 2 1. 9 поени; 2. 6 поени; 3. 10 поени; 4. 10 поени; 5. 6 поени; 6. 15 поени; 7. 10 поени; 8. 18 поени; 9. 16 поени. Задачи за самопроверка од ТЕМА 3 1. 9 поени; 2. 8 поени; 3. 8 поени; 4. 10 поени; 5. 15 поени; 6. 12 поени; 7. 12 поени; 8. 10 поени; 9. 16 поени. Задачи за самопроверка од ТЕМА 4 1. 4 поени; 2. 3 поени; 3. 6 поени; 4. 6 поени; 5. 6 поени; 6. 4 поени; 7. 4 поени; 8. 5 поени; 9. 5 поени; ; 10. 9 поени; 11. 5 поени; 12. 7 поени; 13. 9 поени; 14. 5 поени; 15. 4 поени; 16. 5 поени; 17. 10 поени. Задачи за самопроверка од ТЕМА 5 1. 4 поени; 2. 10 поени; 3. 9 поени; 4. 7 поени; 5. 7 поени; 6. 10 поени; 7. 4 поени; 8. 11 поени; 9. 11 поени; ; 10. 13 поени; 11. 14 поени. Задачи за самопроверка од ТЕМА 6 1. 30 поени; 2. 30 поени; 3. 20 поени; 4. 20 поени.

ɈȾȽɈȼɈɊɂ ɇȺ ɇȿɄɈɂ ɈȾ ɁȺȾȺɑɂɌȿ

1 ȼȿɄɌɈɊɂ, ɌɊȺɇɋɅȺɐɂȳȺ 1.1.1 5. ȼɢɞɢ ɞɟɮɢɧɢɰɢʁɚ 1.1.2 2. ɚ) ɢɫɬɨɧɚɫɨɱɟɧɢ: ɜɬɨɪɢɨɬ ɡɧɚɤ, ɛ) ɫɩɪɨɬɢɜɧɨɧɚɫɨɱɟɧɢ- ɩɨɫɥɟɞɧɢɨɬ ɡɧɚɤ, ɜ) ɪɚɡɧɨɧɚɫɨɱɟɧɢ- ɩɪɜɢɨɬ ɡɧɚɤ. 4. ɚ) OA np OB , CD np EF , GH np EF ; ɛ) ɤɨɥɢɧɟɚɪɧɢ ɫɟ: CD, GH ɢ EF ; OA, OB , RS ɢ LT ; MN ɢ PQ .

1.1.3. 3. ȿɞɧɚɤɜɢ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɫɟ ɢɧɬɟɧɡɢɬɟɬɨɬ ɧɚ ɛɪɡɢɧɢɬɟ, ɧɨ ɧɢɜɧɢɬɟ ɩɪɚɜɰɢ ɢ ɧɚɫɨɤɢ ɫɟ ɪɚɡɥɢɱɧɢ.

4. ɫɩɪɨɬɢɜɧɢɬɟ ɜɟɤɬɨɪɢ ɢɦɚɚɬ ɢɫɬ ɢɧɬɟɡɢɬɟɬ, ɚ ɫɩɪɨɬɢɜɧɚ ɧɚɫɨɤɚ; ɫɩɪɨɬɢɜɧɨɧɚɫɨɱɟɧɢɬɟ ɜɟɤɬɨɪɢ ɢɦɚɚɬ ɫɩɪɨɬɢɜɧɚ ɧɚɫɨɤɚ, ɚ ɢɧɬɟɧɡɢɬɟɬɨɬ ɦɨɠɟ ɞɚ ɛɢɞɟ ɪɚɡɥɢɱɟɧ. 10. ɚ) AD

BC , AB CD ɛ) AB, BC ɢ CD

1.1.4. 9. a b

0 , 13. a) a 3a , a nn 3a

AC , b c

BD, d c

CA, a b c

AD, a b c d

1.1.5. 5. ɪɚɡɥɢɤɚɬɚ ɧɚ ɫɩɪɨɬɢɜɧɢɬɟ ɜɟɤɬɨɪɢ ɟ ɜɟɤɬɨɪ ɞɜɚɩɚɬɢ ɩɨɝɨɥɟɦ ɩɨ ɞɨɥɠɢɧɚ ɨɞ ɞɚɞɟɧɢɬɟ ɜɟɤɬɨɪɢ Ɂɚɛɚɜɭɜɚʃɟɬɨ ɟ ɜɟɤɬɨɪ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɫɨ ɧɚɦɚɥɭɜɚʃɟɬɨ ɧɚ ɛɪɡɢɧɚɬɚ ɜɨ ɟɞɢɧɢɰɚ ɜɪɟɦɟ (ɚɤɨ ɫɟ

1.1.6. 8.

ɢɫɬɨɧɚɫɨɱɟɧɢ, ɫɨ ɫɨɛɢɪɚʃɟ ɧɚ ɞɜɚɬɚ ɜɟɤɬɨɪɢ ʅɟ ɫɟ ɞɨɛɢɟ ɛɪɡɢɧɚ ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɨɞ ɩɪɟɞ ɡɚɛɚɜɭɜɚʃɟɬɨ, ɨɞɧɨɫɧɨ ɩɨɛɪɡɨ ʅɟ ɡɚɛɚɜɭɜɚ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɨɬ) 1.2.1. 1. ȼɟɤɬɨɪ ɧɚ ɬɪɚɧɫɥɚɰɢʁɚ ɟ ɜɟɤɬɨɪɨɬ ɱɢʁɚ ɩɨɱɟɬɧɚ ɬɨɱɤɚ ɟ ɬɨɱɤɚɬɚ B, ɚ ɤɪɚʁɧɚ- t (B ) . b

1.2.2. 4. Ʉɨɪɢɫɬɢ ɝɢ ɡɚɞɚɱɢɬɟ 1. ɢ 2.

1.2.3. 5. AC 1.2.4. 2. t

AB

AB BC ; AC ɟ ɜɟɤɬɨɪɨɬ ɧɚ ɬɪɚɧɫɥɚɰɢʁɚ (ɩɨɦɟɫɬɭɜɚʃɟ ɧɚ ɬɨɩɱɟɬɨ ɡɚ ɛɢɥɢʁɚɪɞ) ( p ) q {B}, B q; t

ɨɬɫɟɱɤɚ ɟ MN ɤɚɞɟ ɲɬɨ N

AB

( B)

G ( p ) k , ɬɨɝɚɲ ɛɚɪɚɧɚɬɚ A p 4. Aɤɨ ɩɨɫɬɨɢ ɬɨɱɤɚ M t JJJ AB

G ( M ). t JJJ AB

2. ɋɌȿɉȿɇ. ɄȼȺȾɊȺɌȿɇ ɄɈɊȿɇ §1· 2.1.1. 7. ɚ) 7 4 ɛ) ( 4) 2 ɜ) ¨ ¸ ©2¹

8.

ɚ) 9 9

1 1 ɞ) 2 2 4 4

ɛ) 0,2 0,2 0,2 ɼ) 10 10 10

5

§x· ɝ) ( 0,7) 3 ɞ) x 6 ɼ) ( a ) 3 ɟ) ¨ ¸ ©2¹

ɜ) 6 6 6 6 6

ɟ) a a a a

4

ɠ) (a b) 5 ɡ) (ab ) 7

ɝ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

ɠ) b b b b b b

ɡ) a b a b a b a b a b a b a b

ɾ)

x x x x x

y y y y y

175

ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ОД ЗАДАЧИТЕ 12

9. ɚ) 312

§4· ɝ) ¨ ¸ ©7¹

ɛ) ( 12)12 ɜ) 0,312

§ 2· 0 ɝ) ( 1,5)135 0 ɞ) ¨ 1 ¸ © 3¹

2.1.2. 2. ( 25) 83 ! 0 ɛ) ( 15) 26 ! 0 ɜ) 0 81

ɜ) -0,00032

ɝ) -27 ɞ)

10. ɚ) 513

16 81

5. ɚ) 12 4

1 ɞ) ( 0,1)12 ɼ) ( 1 )12 4

20736 ɛ) 7

3

ɜ) 39 0,1

5

ɜ) ( 6 y ) ( 6 y ) ( 6 y ) ɝ) ɝ) 2

2,56 ɝ) 1,2

2

1,44

7 108

ɛ) 5 10 9 ɜ) 6 1011

7. ɚ) 7 10 2

ɛ) 5 10 4

ɝ) 223 10 6

§1· ɚ) 3 5 ɛ) ( 2) 3 ɜ) 5,76 ɝ) ¨ ¸ ©4¹

2.1.4. 1.

! 0 4. ɚ) -0,001 ɛ) 0 ,016

343 ɜ) 1,6 2

ɛ) 3498 ɜ) -279 ɝ) 10,875 ɞ) -117,613 ɼ) 2

2.1.3. 2. ɚ) 103 ɛ) 1011 ɜ) 104 4. ɚ) 4 10 7

54

8

ɞ) ( 0,3) 3 2. ɚ) x x x x x ɛ) 5a 5a 5a 5a 5a 5a 5a

2 2 2 2 2 2

ɼ) 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 4. ɚ) -32 7 7 7 7 7 7

10 ɞ) 0,064 ɼ) 6,25 5. ɚ) -513 ɛ) 3498 ɜ) 7,168 27

ɼ) 2

ɛ) 81

11 6. ɚ) 8 10 4 ɛ) 32 10 2 16

ɜ)

1 16

ɜ) 12 10 2

8. ɚ) 1 2,4 2 1,3 ɛ) 3 6 ! 9,2 ɜ) 3 ! 2 10. 36 10 6 4

2

2

2.2.1. 2. ɚ) x10 ɛ) 10040 ɜ) x 1

32

ɝ) 5

11

7. ɚ) y 3 ɛ) (-5)2 ɜ) 0,25 ɜ) 1 8. ɚ) 2 ɛ) 3 ɜ) 2.2.2. 3.

10. ɚ)

ɚ) x 21 ɛ) x 54

2

4. ɚ) x 5 ɛ) y 11 ɜ) b 3 6. ɚ) x12 ɛ) 3

12

ɜ) 410 ɝ) 312

1 1 ɝ) 16 ɞ) 3 ɼ) 64 ɟ) 16 8

ɜ) x 24 ɝ) x 54 6. ɚ) x 7 y 7 ɛ) x 30 y 50 ɜ) x 4 y 8 z 12 7. ɚ) 100 ɛ) 128 ɜ) -1 ɝ) 1

32 243x 5 y10 a12 81x 8 x4 ɞ) ɛ) ɜ) ɝ) 11. ɚ) 512 ɛ) 64 ɜ) 27 x5 32 z 5 b9 y4 y12

2.2.3 5. ɚ)

( a b) 3 243 1 x3 5 x10 (a 2 b 8 ) 4 x 44 9 4 4 30 30 ɛ) ɜ) ɝ) ɞ) 8 4 6. ɚ) 3 ɛ) a ɜ) a ɝ) 3 x ɞ) 3 5 25 3 4 b y y (a b ) x y x 2 5

9 8 2a 3b

1125 y 3 b4 7. ɚ) 1024 ɛ) 243 ɜ) ɝ) 625 8. ɚ) 630 ɛ) 336 ɜ) 0,09 9. ɚ) ɛ) 125 3125 27 x 9 4a 4 x 2 6

ɼ)

2.3.1. 1. ɚ) 81; 8100; 810000; 81000000 ɛ)25; 0,25; 0,0025; 0,000025 ɜ) 9; 0,09; 0,0027; 0,000027 2.

ɚ) 2 2

4 ɢ 2

2

4 ɛ) 8 2

3. ɚ) 9b 2 , 4x 2 , 25 y 2 , a 2 b 2 ɛ)

64 ɢ 8

2

64 ɜ) 10 2

100 ɢ 10

2

100 ɝ) 0 2

1 4 a2 , , 7. ɚ) 6777 ɛ) 531 ɜ) 2915 16 25 b 2

2.3.2. 5. ɛ) 5 ɜ) 0,5 ɝ) 13 ɞ) 13 ɼ) 51 ɟ)

1 3 1 5 5 12 6. ɛ) 0 ɜ) 7. 595 ɝ) 2 ɞ) 30 2( 2 5 ) 1 2 5 6 a

2.3.3. 2. ɚ) 569 ɛ) 41,62 ɜ) 16,673332 ɝ) 0,24 3. ɚ) 11,11 ɛ) 7,97 ɜ) 29,77 ɝ) 12,97

176

0

2.3.4. 1. ɚ) 1

2

3. 33

1 ɛ) 32 =9 ɜ) 5

2

25 ɝ)

9 4

2

1 9 2· § ɞ) ɼ) ¨ 3 ¸ 16 © 3 ¹ 4

2

13

25 289 961 4 2. ɚ) ɛ) ɜ) 36 225 1225 9

1 1 1 1 1 cm 2 5. ɚ) 1,5 ɛ) 1,6 ɜ) 1,3 ɝ) 1 ɞ) 2 ɼ) 3 6. ɚ) 24 ɛ) 11 ɜ) 5 ɝ) 132 16 5 3 3 4

2.4.1. 2. ɚ) 1,732050808 ... ɛ) 2,236067978 ... ɜ) 2,645751311 ... 4. ɚ) ɬɨɱɧɨ ɛ) ɧɟɬɨɱɧɨ ɜ) ɬɨɱɧɨ

ɝ) ɧɟɬɨɱɧɨ 2.4.2. 4. ɚ) 8 ; 2 ; 1; 0; 6 ; 5 ɛ) 5 ; 3 ; 1,9; 3; 4 2.4.3. 2. ɚ) a

2;

2,24cm ɛ) a

3 7. ɚ) ɤɚɬɟɬɚ 8

3,32cm ɜ) a

4,12cm 6. ɚ) 7 ; 3 ;

3 2 12 , ɛ) ɯɢɩɨɬɟɧɭɡɚ

18

1 2 1 ; 3 ; 5 ; S ɛ) 7 ; ; 0,4; ; 3 3 5

32 32 , ɜ) ɤɚɬɟɬɚ

62 22

32

ɆɈɇɈɆɂ ɂ ɉɈɅɂɇɈɆɂ 3.1.1. 5. ɚ) 183 ɛ) -23 ɜ) 441 ɝ) 43 6. ɚ) 1

3 18 1 ɛ) 4 ɜ) 1 ɝ) 12. L 34 35 2

x 2x

x 3

7 8 ɝ) 8. ɚ) x z 7 ɛ) x z 5 ɜ) x z 0 ɝ) x z 4 ɞ) x z 2, x 3 10. ɛ) ɢ ɜ) 30 15 7 4xy 3.1.3. 2. ɛ), ɜ), ɞ), ɼ) 8. ɚ) ɫɟɞɦɢ, ɛ) ɬɪɟɬɢ ɜ)15-ɬɢ ɝ) ɩɟɬɬɢ ɞ) ɩɟɬɬɢ 12. xy ; y ; ; ababxy ; ax 8 5 3.1.2. 5. ɚ) 12 ɛ) 9 ɜ)

3.1.4. 5. ɚ) 5x 2 ɛ) 0 ɜ) 11x 3 ɝ) 6xy 3 ɞ) 14x 2 ɼ) 17 x 4 yz 10. ɚ) 3,2 x 2 ɛ) 0 ɜ) 2 x 2 y ɝ) ( 4 a 5b 7 ) xy 4 11. ɚ) 6 x 3 y 3 x 4 yz ɛ) 11x 5 y 2 4 xy ɜ) x 2 y 2 7 x 2 2 x 3.1.5. 2. ɚ) 12x 4 ɛ)

1 1 5 3 x y ɜ) 5,4 x 5 y 3 z 6 ɝ) 14 abx 5 y 3 8. ɚ) 125 x 15 y 12 z 15 ɛ) x 6 y 6 ɜ) 0,4096 x 12 y 28 z 12 9 2

3 ɝ) 3 x 6 y 6 z 6 8 3.1.6. 3. ɚ) 2 xy 2 z ɛ)

by 2 xy 7z 3x 3 ay 1 ɜ) 1 ɝ) 4. ɚ) ɛ) ɜ) ɝ) 4 3 3cx 4y 2 2 z y

3.1.7. 2. ɚ), ɛ), ɝ) 5. ɚ) ɦɨɧɨɦɢ: 3x 2 , 3a 2 x , 6 y 2 , 12ab 2 ; ɛɢɧɨɦɢ: 5a 2 6a , 3 x 2 5 y 2 , 2 y 2 9 y , 7 a 2 y 2 5 y ; ɬɪɢɧɨɦɢ: 7 x 2 2 y 9 , 4 x 2 7 x 9 , 9a 2 5a 4 , 4abxy 9bx c 9. ɚ) -8 ɛ) 8 ɜ) 0 ɝ) 0

12. ɚ) 5 x 5 3x 3 3x 2 ɛ) 7a 2 x 5 3a 2 x 4 ax 3 ɜ) 3by 6 2cx 4 0,3cx 1.

1 2 2 2 2 2 2 2 3.1.8. 2. ɚ), ɛ), ɝ) 3. ɚ) 1 3a x ɛ) 4 x y 2 1 ɜ) x 3x 4 ɝ) 9 x y z 5 x yz

ɞ) 2 x 4 yz 4 x 2 y 2 5 x 2 yz ɼ) yz 2 ɟ) 2 x 2 y 2 5 x 3 y 3 2 x 3 ɠ) 4 ax 2 y 2 z 0,6bx 2 y ab 5. ɚ) ɩɪɜ ɛ) ɜɬɨɪ ɜ) ɬɪɟɬ ɝ) ɜɬɨɪ ɞ) ɩɟɬɬɢ ɼ) ɫɟɞɦɢ ɟ) ɫɟɞɦɢ ɠ) ɨɫɦɢ 7. ɚ) 19 x 2 y 3 12 x 4 y 18 xy 6 7 x 3 y 4 16 x 9

177

ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ОД ЗАДАЧИТЕ ɛ) 16 x 9 7 x 3 y 4 18 xy 6 12 x 4 y 19 x 2 y 3 3.1.9. 2. ɚ) 9 x 2 7 x 11 ɛ) 7 x 3 x 4 ɜ) x 5 4 x 2 4 x 4 y 2 x 2 y 2 3 xy 3 xy 4 y 5

ɝ) 6 y 3 9 x 2 y 4 xy 5 x 5 y 7 3. ɚ) 23x 4 6 x 3 9 x 2 7 x 3 ɛ) 3 x 3 y 3 9 xy 7 y 3 2 xy 3 2 x 7 ɜ) 5 x 2 17 x 7 14 xy 2 14 xy 6 5. ɚ) A B C

x 2 2 xy y 2 6 x 3 y

ɛ) A B C

9 x 2 4 xy y 2 3 y 6 x 10 ɜ) A B C

7 x 2 6 x 3 y y 2 8

ɝ) A B C

3 x 2 2 xy y 2 3 y 6 x 10 7. ɚ) 3 x 2 26 x 18 ɛ) 3,7 y 2 3 y 0,4 ɜ) z 3

3 2 13 z z 10 50

8. ɚ) -42 ɛ) -1 11. ɚ) 5 x 2 y 4 x 2 ( 6 xy 2 95) ɛ) 5 x 2 y 4 x 2 (6 xy 2 95) 13. A x 3 6 x 2 6 x 3.1.10. 2. ɚ) 15x 9 ɛ) 49 x 105 ɜ) 4 x 12 ɝ) 3x 7,5 ɞ) 7bx 42b ɼ) 9b 2 y 27b 2 ɟ) 2ax 8a 2bx 8b

2 ɠ) 12 x 2 28 x ɡ) x 2 xy ɾ) x 2 y 2 xy 4 y ɢ) 1,5 x 5 3x 4 1,5 x 3 1,5 x ʁ) 2 x 5 3x 3 5. ɚ) ɡɚ x 0, 0 , 3 1 1 1 ɡɚ x 1, 11 , ɡɚ x , 3 ɛ) 2 4 2 3.1.11. 5. ɚ) x 3 8 x 2 7 x 18 ɛ) 2 x 4 8 x 3 5 x 2 23x 12 ɜ) 10 x 4 x 3 4 x 2 27 x 8 ɝ) 1 0,7 x 0,32 x 2 0,08 x 3 7. ɚ) x 2 2 x 1 ɛ) 4 x 2 12 x 9 ɜ) x 3 6 x 2 12 x 8 ɝ) 125x 3 150 x 2 60 x 8 ɞ) x 2 2 xy y 2 10 x 10 y 25 9. ɚ) 8 x 4 8 x 3 14 x 2 2 x 4 ɛ) x 6 x 5 x 4 x 2 x 1 ɜ) 32 y 7 32 y 5 2 y 3 2 y ɝ) 125a 4 x 6 50a 4 x 5 100a 4 x 4 80 x 2 32 x 64 3.1.12. 4. ɚ) x 4 25 ɛ) 81a 2 b 4 ɜ) 25 x 4 4 y 6 ɞ) x 2 y 2 ɼ) 4a 2 b 2 ɟ) 49 x 2 9 y 2 5. ɚ) x 2 9 ɛ) 8a 2 1 ɜ) 5 x 4 ɝ) 16 x 2 a 2 2ax 16 x 7. ɝ) 1,2 0,8

(1 0,2) (1 0,2)

x4 1 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 x y

4 xy z

36 z a x

2 abx y

b y 3.1.13. 3. ɚ) 4 x 121 44 x ɛ) ɜ) 9 ɝ) 4 x y z y z 2

7. ɚ) x 2 10 x 25 ɛ) 100 20 x x 2 ɜ) 16a 2 8ax x 2 ɝ) 9 x 2 30 xy 25 y 2 ɞ)

x 2 2 xy y 2

ɼ) 9 9 9

1 4 1 2 2 1 4 2 1 x x b b ɟ) x 4 y 6 x 3 y 3 x 2 ɠ) 0,25 x 2 1,2 xy 2 1,44 y 4 10. ɚ) x 4 3 9 3 9 2 3.1.14. 3. ɚ) 5 y 3 xy ɛ) 6 xy ɜ) 2 x ɝ) 0 ɞ) 1 5. ɚ)

6. ɚ) 3,1 ɛ)

2 1 ɛ) y 1 ɜ) x 3 2

1 4

18 6 x 10 x 13x 3 2 ɛ) 2 x y y 2y y

1 ɜ) 1 130

3.1.15. 5. ɚ) x 1 ɛ) x 2 ɜ) 1 3x ɝ) 3 2 x 6. ɚ) x 2 x 1 ɛ) 2a 2 b 3ab 2 b 3 ɜ) 3x 3 2 x 2 x 1 8. ɚ) 3a 3 6a 2 b 2b 2 4a 3b ɛ) 5 x 2a 6 x 2 8a 2 x 2 3.1.16. 3. ɚ) P

ɜ) x z

ab ɛ) P

a 3 b

ɜ) P 10 ab 5. ɰɟɥɢ: ɚ), ɛ); ɞɪɨɛɧɢ: ɜ), ɝ) 6. ɚ) x z 7 ɛ) a z 0

5 1 ɝ) x z 4 8. ɚ) 8 x 7 , ɫɟɞɦɢ ɫɬɟɩɟɧ, ɛ) 16 x13 , ɬɪɢɧɚɟɫɟɬɬɢ ɫɬɟɩɟɧ, ɜ) x10 , ɞɟɫɟɬɬɢ ɫɬɟɩɟɧ, 2 2

1 ɝ) 2 x 3 y 3 , ɲɟɫɬɢ ɫɬɟɩɟɧ 11. ɚ) 14,4 xy 3 z 3 ɛ) 0,378 x 6 y 2 z 2 ɜ) 3a 2 x 3 y 13. ɚ) 162ax 2 z ɛ) 3 y 4 z 2 5

178

15. ɚ) 18x 11 ɛ) 9 x 2 7 x 6 ɜ)

7 2 3 1 2 2 2 1 2 x 16 x 1 ɝ) 2,5 x 5 3 x 4 x 3 x ɞ) x y x z 17. ɚ) ɜɬɨɪ 5 2 3 12 16

ɛ) ɩɪɜ ɜ) ɱɟɬɜɪɬ ɝ) ɫɟɞɦɢ 19. 425 km 22. ɚ) 2 x 2 3x 6 ɛ) 14 x 2 15 x 1 ɜ) 29 x 6 y 39 z

3 1 18 x ɜ) x 2 x 6 ɝ) 6 y 4 4 y 3 16 y 2 2 y 4 ɝ) 6 x 2 9bx 4b 2 23. ɚ) 4 x 4 8 x 2 4 x ɛ) 5 x 3 1 x 2 5 5 25 ɞ) 3 x 4 y 2 6 x 3 y 23 x 2 y 23 x 3 x 2 30 25. x ( x 5) ( x 3) ( x 2)

6( x 1) ɨɞ ɤɚɞɟ ɲɬɨ ɫɥɟɞɭɜɚ ɞɟɤɚ

ɞɚɞɟɧɢɨɬ ɢɡɪɚɡ ɟ ɞɟɥɢɜ ɫɨ 6, ɡɚ ɫɟɤɨʁɚ ɜɪɟɞɧɨɫɬ ɧɚ ɩɪɨɦɟɧɥɢɜɚɬɚ x 27. ɚ) 3x 2 2 x 11

25 x 75 2 x 2 3x 5

ɛ) y 2 2 yz z 2 ɜ) 3x 2 5 x 2 ɝ) 2 x 3 2 2 2 3.2.1. 6. ɚ) 7( x z ) ɛ) 6( x 2) ɜ) x(2 x 1) ɝ) y ( x y ) ɞ) y (9 y 2 y 1) ɼ) x(2 x 2 xy y )

ɟ) a ( x 2 x 1) 8. ɚ) 15 x 2 ( x 2 y )( x 2 y ) ɛ) ax 2 ( x 2a ) ɜ) 2 x 2 (3 2 x 5 x 2 ) ɝ) 2 xy (6 y 3 x 3 y x) ɞ) 8 x 3 y 6 ( x 3 3 x 2 y y 2 ) ɼ) 6 xy ( 2 x 3 5 y 2 ) 10. ɚ) x( 14 x 2 y 7 2 x) ɛ) 2 xy ( x 2 x y 2 ) ɜ) 2 x ( abx 3 z 3 4ay 6 z 2bx 2 y ) 12. ɚ) ( x 3)(5 x) ɛ) ( x y )(2 x 3 y ) ɜ) ( y x)( 2 y 2 x 2 ) ɝ) ( y x)(2 x 3 y ) 14. ɚ) 2( 2 3 x x 3 ) ɛ)

1 ɜ) 2( y 2)( y 4) 3

3.2.2. 3. ɚ) ( y x)(1 2 x) ɛ) (a b)( x 1) ɜ) (8 x)(a b) ɝ) (n 5)( x y ) ɞ) ( x y )( x 3) ɼ) (a 2 x)(1 3 x) 5. ɚ) ( x 2)(5ax x 1) ɛ) ( z xy )( xy 3 x 3 y 4 1) ɜ) x(a b c)( x 1) ɝ) ( a 2 2 xy )(3ax 4ay 5 xy )

ɞ) ( x 2 3)( ax by c) ɼ) (3m 2n)(4 x 2 3 y 5) 7. ɚ) x a ɛ) 3x 5 ɜ) 3(1 3x)(7 x 4) 3.2.3. 5. ɚ) ( x 2)( x 4) ɛ) 4 x(1 x) ɜ) (5 a z )(5 a z ) ɝ) (5b 3 x)( 3b 3 x) ɞ) 5 x(5 x 6 y )

ɼ) ( x 3 y )(3x y ) 8. ɚ) a 1 ɛ) a x ɜ) 2 x 3.2.4. 4. ɚ) ( x 1) 2 ɛ) ( x 4 y ) 2 ɜ) (7 a 2b) 2 ɝ) ( x 1) 2 ɞ) (3x

1 2 1 y ) ɼ) ( a b) 2 6. ɚ) x( 2 x y ) 2 6 2

ɛ) ( x 2)( x 1) 2 ɜ) xy ( x 2) 2 ɝ) ( x 5a )( x 5a 2 z ) ɞ) (3 x 5)( 27 x 3 135 x 2 225 x 125) 7. ɚ) ( x 2 y ) 3 ɛ) (3 x 1) 2 8. ɚ) x 2 ɛ) 1 ɜ) ( x 2 y 2 ) 10. ɚ) 5 2 ( x y ) 2 ɛ) (9 x) 2 (3 y z ) 2 ɜ) ( a b) 2 (c d ) 2 3.2.5. 2. ɚ) (a b)( x 1) ɛ) ( x y )( x z ) ɜ) ( x y )(a 1) ɝ) (m x)( m 2 x 2 ) ɞ) ( x y )(a b)

ɼ) x(1 x)(1 x) 2 ɟ) (a b)(7 x) ɠ) (3a 2b)(2 x 5 y ) ɡ) ( y 1)(5 y z ) ɾ) x( x 3 3 x 2 3a 9) 6. ( y 2 3) 2 ( y 2)( y 2 4)( y 2) 6(5 y 2 )

ɜ) (

5 8. ɚ) (11x 13 y )(17 x y ) ɛ) ( 4 y 1)(4 x 2 y 1)

2 1 1 1 7 2 x 4 y )(1 x 3 y ) ɝ) ( x y z )( x y ) 15 3 15 3 3 5

179

ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ОД ЗАДАЧИТЕ 4. ɄɊɍɀɇɂɐȺ ɂ ɆɇɈȽɍȺȽɈɅɇɂɄ. ɉɅɈɒɌɂɇȺ 4.1.1 2. ɞɢʁɚɦɟɬɚɪɨɬ, 180q ɫɟɤɨʁ ɚɝɨɥ 5. POQ = 37q 6. ɚ)

1 1 1 5 , ɛ) , ɜ) , ɝ) 7. 60q 8. 108o 4 2 8 8

9. ɧɚʁɝɨɥɟɦɢɨɬ ɟ 180 o , ɚ ɬɪɢɬɟ ɫɟ ɩɨ 60 o 4.1.2 4. D

D1 D 2 , E E1 E 2 , 2D

2(D1 D 2 )

2D 1 2D 2

E1 E 2

E 5. ɚ) 106q ɛ) 113q8'

ɜ) 149q5'48" 6. 36q 7. 60q, 45q, 75q 4.1.3 5. 3cm 9. L=18cm 4.1.4 1. ɚ) 60q ɛ) 150q ɜ) 270q 2. 30q 3. ɚ) 128q ɛ) 65q38' ɜ) 235q22'46" 4. ɚ) 77q ɛ) 49q24'

ɜ) 66q25'51" 5. 40q 6. 67q30' , 72q, 40q30' 7. 90q 8. MM 1 N

NN1M 90q , ɚɝɥɢ ɧɚɞ ɞɢʁɚɦɟɬɚɪ MN ,

ɰɟɧɬɚɪ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɟ ɫɪɟɞɢɲɧɚɬɚ ɬɨɱɤɚ ɧɚ MN 10. ɩɨɤɚɠɢ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬ ɧɚ ɞɜɚɬɚ ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɰɢ ɨɛɪɚɡɭɜɚɧɢ ɨɞ ɪɚɞɢɭɫɨɬ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ, ɬɚɧɝɟɧɬɧɢɬɟ ɨɬɫɟɱɤɢ ɢ ɨɬɫɟɱɤɚɬɚ ɤɨʁɚ ɝɨ ɫɜɪɡɭɜɚ ɰɟɧɬɚɪɨɬ ɧɚ ɤɪɭɠɧɢɰɚɬɚ ɫɨ ɬɨɱɤɚɬɚ ɨɞ ɤɨʁɚ ɫɟ ɩɨɜɥɟɱɟɧɢ ɬɚɧɝɟɧɬɢɬɟ 4.2.1 4. ɚ) 93q,132q ɛ) 117q, 75q 6. ɚ)ɞɚ, ɛ) ɞɚ, ɜ) ɞɚ ɝ) ɧɟ; 7. D

J

90q, E

45q, G 135q 9. ɚ)ɧɟ, ɛ) ɞɚ, ɜ)

ɧɟ 4.2.2. 3. ɚ) 15cm ɛ) 6cm ɜ) 18,6cm 4. d

ɞɨɞɚɞɟɦɟ b d ɢɦɚɦɟ a c b d

a c b 5. ɚɤɨ ɧɚ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɬɨ a c

b d b d

2(b d )

b d ɨɞ ɞɜɟɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɦɭ

L , ɨɞ ɤɚɞɟ ɲɬɨ ɫɥɟɞɭɜɚ ɞɟɤɚ

L 2

b d

a c

7. ɨɞ azb ɢɦɚɦɟ 2az2b, ɡɧɚɱɢ ɡɛɢɪɨɜɢɬɟ ɨɞ ɞɨɥɠɢɧɢɬɟ ɧɚ ɫɩɪɨɬɢɜɧɢɬɟ ɫɬɪɚɧɢ ɧɟ ɫɟ ɟɞɧɚɤɜɢ, ɨɞɧɨɫɧɨ ɜɨ

ɩɪɚɜɨɚɝɨɥɧɢɤɨɬ ɧɟ ɦɨɠɟ ɞɚ ɜɩɢɲɟ ɤɪɭɠɧɢɰɚ 4.2.3. 1. ɬɨɱɧɢ ɫɟ: ɚ), ɛ), ɝ) 2. D 144q, E 90q, J

ɪɟɞɨɫɥɟɞɧɨ D, E, J, G ɢ D G

36q, G

90q 3. ɚ)ɧɟ, ɛ) ɧɟ, ɜ) ɞɚ 4. ɧɟɤɚ ɚɝɥɢɬɟ ɫɟ

90q , E 90q, J ! 90q , ɬɨɝɚɲ D J ! 180q , E G 180q 6. ɚ) ɞɚ, ɛ) ɧɟ

7. 10cm, 7cm, 9cm,12cm 8. CD

4,5cm; BC

8,1cm

4.3.1 3. ɚ) 540q , ɛ) 900q , ɜ) 1800q 4. ɚ) 108q ; ɛ) 120q 5. ɞɜɚɧɚɟɫɟɬɚɝɨɥɧɢɤ 10. ɚ) 4dm ; ɛ) 8cm

ɜ) 5,5cm 4.3.3 6. ɨɞ ɤɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɱɧɢɨɬ ɬɪɢɚɝɨɥɧɢɤ ( ɰɪɬ.26) 2 J D 180 o , ɨɞ ɞɪɭɝɚ ɫɬɪɚɧɚ ɩɚɤ ɧɚɞɜɨɪɟɲɧɢɨɬ ɚɝɨɥ D1

180q E 180q 2J

D 7. ɚ) 72q; ɛ) 60q; ɜ) 45q; ɝ) 36q; ɞ) 24q 8. ɚ) 720, 54ɨ, 54ɨ, ɛ) ɫɢɬɟ ɫɟ ɩɨ 60ɨ,

ɜ) 36ɨ, 72ɨ, 72ɨ 4.3.5 2. ɚ) 720q; ɛ) 1080q; ɜ) 1440q 3. 9 ɫɬɪɚɧɢ 5. h

4,33cm 7. 15 ɫɬɪɚɧɢ 9. ɞɚ

4.4.1 5. 16m 6. 8 2cm 7. 30 dm 10. ɛ) ɞɚ 4.4.2 4. ɞɚ 5. 146m ɠɢɰɚ 6. ɛ) 5 cm ɜ) 5 cm 9. L 14 3cm 11. L 4.4.3. 4. ɚ) ɯɢɩɨɬɟɧɭɡɚ 5 13

180

2 2 12 ɛ) ɤɚɬɟɬɚ

32 2 2 ɼ) ɯɢɩɨɬɟɧɭɡɚ

85

3

30 cm 14. L 164 cm 15. t

2 2 12 ɜ) ɤɚɬɟɬɚ 7

9 2 2 2 5. ɤɨɧɫɬɪɭɢɪɚʁ

48 mm

4 2 32 ɞ) ɯɢɩɨɬɟɧɭɡɚ

3 ɧɚ ɛɪɨʁɧɚɬɚ ɩɪɚɜɚ, ɚ ɩɨɬɨɚ ɞɨɞɚʁ 1

4.4.4 2.

3 2 cm 3. 41m 4. 40cm 7. 5cm 8. L 20 cm 9. L 2

20 3cm

4.5.1 2. ɚ) 6840; 25;1,25; 0,005 (cm 2 ) , ɛ) 452; 5,6; 26,48 (cm 2 ) 5. ɧɟ 4.5.2 3. 15,12 a (ɚɪɢ) 4. 7200 ɫɚɞɧɢɰɢ 5. 9 ɩɚɬɢ 8. 50 m 9. 0,36 km 2 4.5.3 2. ɚ) 2,6dm ɛ) 10 cm ɜ) 480 cm 3.ɚ) 4 ɩɚɬɢ , ɛ) 3 ɩɚɬɢ 4. 48 dm 2 7. 47,75 m 2 4.5.4 3. ɚ) 9,6 cm 2 ɛ) 391cm 2 ɜ) 6,3 dm 2 6. 66,36 13. ɞɚ; 4,5 m 2 ! 4m 2 4.5.5. 3. 8 cm 6. ɚ) 4 ɩɚɬɢ ɛ) ɧɚɦɚɥɢ 3 ɩɚɬɢ 7. P | 23,355 cm 2 8. 108cm 2 9. 45cm 2 4.5.6 1. 185 m 2 2. 3,6 cm 2 4. 58,5 m 2 ɫɚɦɨ ɬɪɟɜɚ 4.6.1 1. ɚ) 6S cm ɛ) 10S cm ɜ) 8,6S cm ɝ) 156S mm 2. ɚ) 24,56S cm ɛ) 86,22S dm ɜ) 2,8S dm ɝ) 64S cm 4. 25,12 dm ɡɚ ɟɞɧɨ ɡɚɜɪɬɭɜɚʃɟ, 50,24 dm ɡɚ ɞɜɟ ɡɚɜɪɬɭɜɚʃɚ, 75,36 dm 3 ɡɚɜɪɬɭɜɚʃɚ 5. (2,7) ɩɪɢɛɥɢɠɧɨ 3 ɡɚɜɪɬɭɜɚʃɚ 8. 114q39' 9. 9,16 cm 4.6.2. 1. a) 9S cm 2 ɛ) 18,0864 cm 2 , ɜ) 50,24 dm 2 2. ɚ) 6 cm , ɛ) 25 cm 2 4.6.3. 3. a) 9,81 cm 2 , ɛ) 32,5 cm 2 , ɜ) 0,065 dm 2 4. ɜ) 5,0625 dm 2 5. 180q 8. L 12,56 cm, P

6,28 cm 2

4.6.4. 2. 40053,84 km 4. 3,98 m 7. 57q19' 8. 37,68 cm 11. ɚ) 3S cm 2 ɛ) 8 cm 2

5. ɎɍɇɄɐɂɂ. ɉɊɈɉɈɊɐɂɈɇȺɅɇɈɋɌ

§ 10 · ¨1, ¸ , ( 2 6,7) © 2¹

5.1.1. 6. (1,5) 10. M u N

8,7

{(12, m), (12, n), (12, p ), (12, q ), (14, m), (14, n), (14, p ), (14, q ), (15, m), (15, n), (15, p ), (15, q )}

11. A={12,18}, B={3,6} 5.1.2. 6. A( 4,3) , B ( 3,2) , C ( 2,1) , D (2, 2) , E (0, 2) , F ( 4,0) , G ( 2,0) , H (0,1) 5.1.3. 1. ( 4,7), (7,4) 2. x 5.2.1. 4. R

6 4. M

{a, b} , N

{m, n, p} 5. A III , B IV , C I , D II , E IV ɤɜɚɞɪɚɧɬ.

5. a) R {(3,6), (3,9), (3,12), (3,15), (3,18), (6,9), (6,12), (6,15), (6,18), (9,12), (9,15), (9,18), (12,15), (12,18), (15,18)}

ɛ) R {( x, y ) x, y A, x y} 7. a) R {(3,3), (3,5), (5,5), (5,7), (7,7)} ɛ) R

{( x, y ) x, y A, x

y ɢɥɢ x e ɡɚ 2 ɩɨɦɚɥ ɨɞ y }

5.2.3. 7. ɞɨɦɟɧ M, ɤɨɞɨɦɟɧ N, f (6) 5.2.4. 2. ɚ)

6, f (12) 12, f (15) 15 ; V

x

7

9

16

24

y

14

18

32

48

5.2.5. 2. ɩɨɝɨɥɟɦɚ ɫɬɪɚɧɚ ɧɟɤɚ ɟ a

b 2 ; ɚ) P (b)

ɛ) V

{6,12,15} 9. V

{14,18,32,48}

b 2 2b , ɛ) P (a )

{4,9,16}

5. L

4 x, P

x2

a 2 2a

181

ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ОД ЗАДАЧИТЕ 3. ɚ) D= ɛ) D= ɜ) D= \{-6}, ɝ) D= \{2,3} 4. f ( x) {(9,3), (16,4), ( 25,5)}, V

N

5.3.1. 6. ɚ) ɟɞɧɚɤɜɢ ɫɟ ɛ) ɧɟ ɫɟ ɟɞɧɚɤɜɢ 7. ɚ) 19 : 17 ɛ) 8 : 13 ɜ) 7 : 8 8. 5 : 3 5.3.2. 8. ɚ) x

24 ɛ) x 15 ɜ) x 18 ɝ) x

24 ɞ) x

68 ɼ) x

2,5 ɟ) x

39 ɠ) x

27,5

5.3.4. 5. 320 ɠɨɥɬɢ, 384 ɰɪɜɟɧɢ, 672 ɛɟɥɢ ɪɭɠɢ

5.3.5. 3. ɞɚ 4. ɚ) 4 ɛ) L

5.3.6. 3. ɞɚ, k

4 x 6. k

3 7

2 5. ɚ) k x

2, y

2 7. 575

9.

x

1

2

3

4

6

8

12

24

y

24

12

8

6

4

3

2

1

5.3.7. 2. 792 ɞɟɧɚɪɢ 4. ɫɬɪɚɧɚɬɚ ɬɪɟɛɚ ɞɚ ɫɟ ɡɝɨɥɟɦɢ ɡɚ 14cm 5.3.8. 1. 67,5 km 2. 16 3. 111, 74, 185 8. 51ɞɟɧɚɪ 9. ɞɜɚ ɩɚɬɢ

6. РАБОТА СО ПОДАТОЦИ доминантна рака лева десна двете

6.1.2. 3. a)

број на појавување 5 8 3 S=16

знак |||| |||| ||| |||

б) Десна. в) Во испитуваната паралелка, децата со доминантна десна рака се помногубројни во споредба со другите две категории. Децата со двете доминантни раце се најмалку застапени во таа паралелка.

6.1.3. 2. а) 65 км б) 90 км в)100 км г) 1 час и 90 мин.

6.

9%

37%

9. а)

б)

в)

49%

г)

6.1.4. 3.

182

вредност

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

бр.појавување

2

7

3

6

0

0

1

1

9

4

3

1

4

3

6

а)

4.

вредност

пониски од 145 cm

од 145 до 150cm

повисоки од 150cm

бр.појавување

0

18

32

а) 1)

2)

б)

6.

6.2.1. 4. а) а=11, 18- опсег, б) а=39, опсег 47, в) a  6

1 1 , 4 ранг г) а=9,09, опсег 16,42 4 2

6. 32 години

183

ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ОД ЗАДАЧИТЕ 6.2.2. 3. а) Мо=5, Ме=5, а=6, ранг- 10 б) Мо нема, Ме=199, а=220, ранг- 163 в) Мо=5, Ме=11, а=10,1, ранг- 10 г) Мо=0,8, Ме=0,8, а=0,99, ранг- 2. 7. а=3,8, Ме=3 6.2.3. 2. а)

Бр.бод Бр.учен.

0 3

1 2

2 3

3 3

4 0

5 1

6 4

7 2

8 6

9 5

10 4

11 0

12 4

13 1

14 3

15 1

16 1

17 2

18 4

19 1

бр. учен.

б) процентите се дадени редоследно според табелата: 6%, 4%, 6%, 6%, 0%, 2%,8%, 4%, 12%, 10%, 8%, 0%, 8%, 2%, 6%, 2%, 2%, 4%, 8%, 2%. в) Мо=8, а=9,04, Ме=9

бр. бод.

184

СОДРЖИНА

1. ВЕКТОРИ. ТРАНСЛАЦИЈА 1. 1. ВЕКТОРИ 1. 1. 1. Исто насочени и спротивно насочени полуправи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. 1. 2. Вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. 1. 3. Еднаквост на вектори. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 1. 4. Собирање на вектори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. 1. 5. Одземање на вектори. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. 1. 6. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1. 2. ТРАНСЛАЦИЈА. ПРИМЕНА 1. 2. 1. Транслација. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1. 2. 2. Својства на транслациите. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1. 2. 3. Примена на транслација . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. 2. 4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1. 3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. СТЕПЕН. КВАДРАТЕН КОРЕН 2. 1. СТЕПЕН СО ПОКАЗАТЕЛ ПРИРОДEН БРОЈ 2.1.1. Поим за степен. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Вредност на степен. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Претставување на големи и мали броеви во вид на степен. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. ОПЕРАЦИИ СО СТЕПЕНИ 2.2.1. Множење и делење на степени со еднакви основи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Степенување на степен, производ и количник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. КВАДРАТ И КВАДРАТЕН КОРЕН ОД РАЦИОНАЛЕН БРОЈ 2.3.1. Квадрат н рационален број. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2. Квадратен корен од рационален број. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. 3. Постапка за пресметување на квадратен корен од рационален број. . . . . . . . . . . 34 2.3.4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2. 4. РЕАЛНИ БРОЕВИ 2. 4. 1. Ирационални броеви. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. 2. Реални броеви. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.3. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3. ПОЛИНОМИ 3.1. МОНОМИ И ПОЛИНОМИ 3. 1. 1. Константи. Променливи. Изрази. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 3. 1. 2. Цели и дробни рацинални изрази. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 3. 1. 3. Мономи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3. 1. 4. Собирање и одземање на мономи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3. 1. 5. Множење и степенување на мономи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 3. 1. 6. Делење на мономи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3. 1. 7. Полиноми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. 1. 8. Степен на полином. Нормален вид на полином. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3. 1. 9. Собирање и одземање на полиноми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3. 1. 10. Множење на полином со моном. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3. 1. 11. Множење на полином со полином. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 3. 1. 12. Производ од збир A+B и разлика A−B на два мономи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 3. 1. 13. Квадрат на бином. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3. 1. 14. Делење на полином со моном. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 3. 1. 15. Делење на полином со полином. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3. 1. 16. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 3. 2. РАЗЛОЖУВАЊЕ НА ПОЛИНОМИ 3. 2. 1. Разложување на полином на прости множители со извлекување заеднички множител пред загради. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3. 2. 2. Разложување на полином на прости множители со групирање. . . . . . . . . . . . . . .77 3. 2. 3. Разложување на полином од видот A2–B2 на прости множители. . . . . . . . . . . . . .79 3. 2. 4. Разложување на полином од видот A2 ±2AB+B2 на прости множители. . . . . . . 81 3. 2. 5. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4. КРУЖНИЦА И МНОГУАГОЛНИК. ПЛОШТИНА 4. 1. АГЛИ ВО КРУЖНИЦАТА 4. 1. 1. Централен агол. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4. 1. 2. Периферен агол. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4. 1. 3. Талесова теоема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4. 1. 4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4. 2. ТЕТИВЕН И ТАНГЕНТЕН ЧЕТИРИАГОЛНИК 4. 2. 1. Тетивен четириаголник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4. 2. 2. Тетивен четириаголник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4. 2. 3. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

4. 3. ПРАВИЛНИ МНОГУАГОЛНИЦИ 4. 3. 1. Правилни многуаголници. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 4. 3. 2. Впишана и опишана кружница. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4. 3. 3. Карактеристичен триаголник кај правилен многуаголник. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4. 3. 4. Конструкција на правилни многуаголници . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4. 3. 5. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4. 4. ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА 4. 4. 1. Питагорова теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 4. 4. 2. Примена на Питагорова теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 4. 4. 3. Конструктивни задачи со примена на Питагорова теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . .110 4. 4. 4. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 4. 5. ПЛОШТИНА НА МНОГУАГОЛНИК 4. 5. 1. Поим за плоштина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4. 5. 2. Плоштина на квадрат, правоаголник и правоаголен триаголник. . . . . . . . . . . . . 115 4. 5. 3. Плоштина na триаголник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4. 5. 4. Плоштина на четириаголници. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 4. 5. 5. Плоштина на правилни многуаголници. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 4. 5. 6. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 4. 6. ПЕРИМЕТАР И ПЛОШТИНА НА КРУГ 4. 6. 1. Периметар на круг. Должина на кружен лак. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4. 6. 2. Плоштина на круг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4. 6. 3. Плоштина на кружен исечок и на кружен прстен. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4. 6. 3. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.7. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5. ФУНКЦИИ. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 5. 1. ПРАВОАГОЛЕН КООРДИНАТЕН СИСТЕМ ВО РАМНИНА 5. 1. 1. Декартов производ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5. 1. 2. Координатна рамнина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5. 1. 3. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5. 2. ПРЕСЛИКУВАЊЕ И ФУНКЦИЈА 5. 2. 1. Поим за релација. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5. 2. 2. Поим за пресликување. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5. 2. 3. Начини на задавање на функција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 5. 2. 4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5. 3. ПРОПОРЦИЈА. ПРОПОРЦИОНАЛНИ ВЕЛИЧИНИ 5. 3. 1. Поим за размер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5. 3. 2. Поим за пропорција. Својства на пропорции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

5. 3. 3. Геометриска средина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 5. 3. 4. Продолжена пропорција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 5. 3. 5. Правопропорционални величини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 5. 3. 6. Обратнопропорционални величини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 5. 3. 7. Просто тројно правило. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 5. 3. 8. Задачи за вежбање.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 5. 4. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 6. РАБОТА СО ПОДАТОЦИ 6. 1. ПРИБИРАЊЕ И СРЕДУВАЊЕ НА ПОДАТОЦИ 6. 1. 1. Прибирање податоци. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6. 1. 2. Средување на податоци. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6. 1. 3. Графичко претставување на податоците. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6. 1. 4. Задачи за вежбање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.2. АНАЛИЗА НА ПОДАТОЦИ 6.2. 1. Аритметичка средина. Ранг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 6. 2.2. Мода и медијана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 6. 2. 3. Задачи за вежбање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3. ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 АЗБУЧНИК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 ПОЕНИ ЗА ЗАДАЧИТЕ ЗА САМОПРОВЕРКА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 ОДГОВОРИ НА НЕКОИ ЗАДАЧИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175