Matematika

Jovo Stefanovski Naum Cellakoski

KLASA E GJASHTË

ARSIMI FILLOR NËNTËVJEÇAR Shkup, 2011

Nxënës i dashur! Ti tani je në klasën e gjashtë dhe ke hyrë në sekretet e matematikës. Me matematikën shoqërohesh çdo ditë: në shkollë, në shtëpi, po edhe në lojërat tua. Me këtë libër do të mësosh përmbajtje të reja interesante për numra. Do të përvetësosh njohuri të reja nga gjeometria. Te tema Matja do ti mësosh njësitë matëse për shumë madhësi dhe operacione me to. Libri është ndarë në katër njësi tematike. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtjen e tyre, ndërsa njësitë mësimore në to janë të numëruara. Në njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpërmjet tyre janë shkruar porositë, aktivitete, obligime dhe sugjerime të tjera, dhe atë: Njësitë mësimore fillojnë me diçka që e ke të njohur. Duhet të kujtohesh dhe t’i zgjidhësh kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbejë gjatë të mësuarit të mësimit të ri.

Kujtohu!

A

,

B

...

1. 2. 3.

...

Duhet të dish

Testohu!

Detyra

Probleme

Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë të cilat i referohen nocioneve të reja.

Me këto shenja janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t’i zgjidhësh në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë do të mësosh mësimin e ri, prandaj duhet të kesh kujdes të jesh aktiv që më mirë të mësosh dhe të kuptosh. Kryesorja është ngjyrosur me ngjyrë të verdh. Ajo që është më me rëndësi nga mësimi është ndarë në formë të pyetjeve, detyrave ose pohimeve. Atë duhet ta mbash mend dhe ta shfrytëzosh te detyrat dhe shembuj praktik. Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrollohesh nëse pjesën më të madhe prej asaj që e ke mësuar e kupton që të mundesh ta zbatosh dhe ta shfrytëzosh në jetën e përditshme. Duhet rregullisht dhe në mënyrë të pavarur t’i zgjidhësh detyrat. Në këtë mënyrë më mirë do ta kuptosh atë që e ke mësuar, e ajo do të jetë e dobishme për ty. Përpiqu që t’i zgjidhësh detyrat dhe problemet në këtë pjesë. Me këtë do të dish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide.

Nëqoftëse has në vështirësi në të mësuarit e matematikës mos u dorëzo, përpiqu përsëri, qëndrueshmëria do të sjell rezultat dhe kënaqësi. Do të na gëzon nëqoftëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe do të arrish sukses të shkëlqyeshëm. Nga autorët

TEMA 1.

1. Bashkësia. Mënyra e të shkruarit 2. Numri i bashkësisë. Bashkësi të fundshme 3. Bashkësi ekuivalente. Bashkësi të barabarta. Nën bashkësi 4. Prerja, unioni dhe ndryshimi i bashkësive 5. Çifti i renditur. Prodhimi i Dekartit 6. Vargu i numrave natyror 7. Sistemi numerik dekadë 8. Leximi dhe rrumbullakimi i numrave natyror 9. Instrumente për mbledhjen e të dhënave 10. Mbledhja 11. Zbritja 12. Varësia e shumës dhe ndryshimit nga ndryshimi i komponentëve 13. Shumëzimi 14. Pjesëtimi

NUMRAT NATYRORË

4 7 9 12 15 17 20 23 26 27 29 31 34 37

3

15. Varësia e prodhimit dhe herësit nga ndryshimi i komponentëve 40 16. Shprehja numerike. Barazimet 43 17. Mesatarja aritmetike 47 18. Plotë pjesëtueshmëria e numrave natyror. Plotë pjesëtueshmëria e shumës dhe ndryshimit 48 19. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 2 dhe me 5 51 20. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 3 dhe me 9 53 21. Indicet për plotë pjesëtueshmërinë me 4 55 22. Numrat e përbërë dhe të thjeshtë. Paraqitja e numrave të përbërë si prodhim i numrave të thjeshtë 57 23. Pjesëtuesi i përbashkët. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët 60 24. Shumëfishi i përbashkët. Shumëfishi më i vogël i përbashkët. 63 25. Diagram me fotografi. Diagrami shtyllor 66 26. Mësove për numrat natyrorë. Kontrollo njohurinë tënde 68

1

4

BASHKËSIA. MËNYRAT E DHËNIES TË BASHKËSISË

Kujtohu! A

V

a b

g v

Në vizatim janë paraqitur bashkësia A dhe bashkësia B me diagram të Venit

A

Me D le të jetë e shënuar bashkësia e ditëve të javës.

1

Elementet e bashkësisë A janë lule.

Shkruaji të gjitha elementet e bashkësisë D.

Çfarë jenë elementet e bashkësisë B?

Muaji prill a është element i bashkësisë D? Sa elemente ka bashkësia D?

2

Trego gojarisht një bashkësi A dhe shkruaji elementet e saj. Trego dy objekte që nuk janë elemente të bashkësisë tënde A. Të mbaj mend! Një bashkësi është e përcaktuar nëse dihen të gjitha elementet e saj.

B

3

Në vizatim është paraqitur bashkësia C me diagram të Venit. Cilët numra janë elemente të bashkësisë C?

Bashkësia C mund të shënohet në mënyrë tabelare (duke i radhitur elementet), ashtu që elementet e saj shënohen ndërmjet kllapave, të ndara me presje, dmth C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

4

1

7

2 6

3

4

S

5

Elementet e një bashkësie P janë numra: 10, 6, 2, 8 dhe 4. Paraqite bashkësinë P me diagram të Venit Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të voglit. Shënoje bashkësinë P në mënyrë tabelare, ashtu që numrat radhiti duke filluar prej më të madhit.

Gjatë shënimit të elementeve të bashkësisë në mënyrë tabelare, radhitja e elementeve nuk është e rëndësishme.

5

Shkruaj bashkësi S prej të gjitha zanoreve të alfabetit të gjuhës shqipe.

5

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A të shkronjave që përdoren te fjala mami. Të mbaj mend! Bashkësia A={m, a, m, i} shkruhet drejt {m, a, i}. elementet e njëjta të bashkësisë shkruhen vetëm një herë.

6

Familjen Ahmeti e përbëjnë: Babai Ervini, Nënë Hajria, djali Bedi dhe vajza Eljesa. Me A le të shënojmë bashkësinë e të gjithë anëtarëve të familjes Ahmeti Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare. Nëse shkronja x përdoret si zëvendësim i emrave të anëtarëve të familjes Ahmeti, Bashkësia A mund të shkruhet: A={x | x është anëtar i familjes Ahmeti}. Bashkësia A e shkruar në këtë mënyrë themi se është paraqitur në mënyrë përshkruese. Bashkësinë S={x | x është shifër e numrit 2638} shkruaje:

7

me diagram të Venit;

në mënyrë tabelare.

Në vizatim është dhënë bashkësia P me diagramin e Venit.

8

Shkruaje bashkësinë P në mënyrë tabelare. Me cilën nga shënimet e mëposhtme bashkësia P është paraqitur në mënyrë përshkruese? a) {x | x >19}.

11

b) {x | x e është numër te i dhjetëshes së dytë}.

15

c) {x | x është numër natyror i dhjetëshes së dytë}.

C

9

13

17

R

19

Vëre bashkësinë M të paraqitur me diagram të Venit. Elementet e bashkësisë M janë shkronja të fjalës sport.

Themi: “Shkronja k është element i bashkësisë M ose k i takon M” “Shkronja t është element i bashkësisë M ose t i takon M” “Shkronja e nuk është element i bashkësisë M ose e nuk i takon M”

Shkruajmë: k∈M t∈M e∉M

k u

l p

M a

Duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉ shkruaj pohimet të sakta për shkronjat i, s, l, u, p dhe bashkësinë M.

6

a

10 Në vizatim është paraqitur një segment a dhe pikat: A, B, C, N, L, K dhe

S

S.

11

Shkruaj pohime të sakta për pika të shënuara në vizatim dhe për segmentin a duke i shfrytëzuar shenjat ∈ ose ∉. Vizato një drejtëz p dhe shëno pika R, P, S dhe L të atillë që: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

Duhet të dish

V K

S L

N

A

Testohu!

Të tregosh shembuj për Kur një bashkësi është e përcaktuar? Shkruaje bashkësinë K elementet e së cilës janë: 1, 3, 5, 7 dhe 9:

bashkësi; Të paraqesësh bashkësi me diagram të Venit, në mënyrë përshkruese dhe tabelare;

me diagram të Venit;

Ti zbatosh drejt shenjat

në mënyrë përshkruese.

∈ dhe ∉.

në mënyrë tabelëre;

Cili numër i dhjetëshes së parë është element, kurse cili nuk është element i bashkësisë K? Shkruaje atë duke i shfrytëzuar shenjat ∈ dhe ∉.

Detyra Shkruaje bashkësinë A në mënyrë tabelare, ndërsa bashkësinë B në mënyrë përshkruese.

1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë A dhe B. A

Me shfrytëzimin e shenjave ∈ dhe ∉ shkruaj cila prej shkronjave: e, p, b, k është element i bashkësisë B.

V u

e p

b

k a

2.

Vizato një segment dhe shënoje me a. Shëno pika M, N, C, D dhe S ashtu që: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

Cilat shkronja janë elemente të bashkësisë A? Prej shkronjave që janë elemente të bashkësisë B formo fjalë (emër të një druri).

3

Me diagram të Venit shkruaj bashkësitë A dhe B ashtu që: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.

2

7

NUMRI I BASHKËSISË. BASHKËSI TË FUNDME

Kujtohu! Bashkësia A është dhënë me diagram të Venit.

A

A b

A = {a, b, c}; B = {x | x është ditë e javës};

c

a

Shihi bashkësitë A, B dhe C dhe përgjigju në pyetjet.

1

d

Prej cilëve elemente përbëhet bashkësia A? Numëroji elementet e bashkësisë A. Sa elemente ka bashkësia A?

C = {x | x është numër natyror më i vogël se 100}. Prej cilave elemente përbëhet çdonjëra prej bashkësive? Sa elemente ka çdonjëra prej bashkësive A, B dhe C? Vëreja! Bashkësia A ka tre elemente, bashkësia B ka 7 elemente dhe bashkësia C ka 99 elemente.

Mbaj mend! Numri i elementeve të bashkësisë së dhënë A quhet numër i A dhe shënohet δA. Sa elemente ka bashkësia e vajzave në klasën tënde? Sa nxënës ka gjithsej bashkësia e meshkujve në klasën tënde? Sa është numri i të gjithë nxënësve në klasën tënde?

2

Vëre dhe mbaj mend! Secilës bashkësi ia përcaktove numrin e elementeve të tij. Të gjitha këto bashkësi janë bashkësi të fundme.

B

3

Mali më i lartë në Republikën e Maqedonisë është Korabi. Maja e Korabit është e lartë 2764 metra. Sa elemente ka bashkësia e maleve në Maqedoni që janë më të larta se 3000 metra?

4

Cakto numrin ë bashkësive A, B dhe C. A = {qershor, korrik, janar} C = {x | x është muaji i vitit emri i të cilit fillon me shkronjën l}.

V Maj

8

Vëren se bashkësia e maleve nga detyra 3 dhe bashkësia C nga detyra 4 nuk kanë asnjë element. Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi e zbrazët dhe shënohet me shenjën ∅. Edhe bashkësia e zbrazët numërohet si bashkësi e fundshme. M = {x | x është mal në R. e Maqedonisë më i lartë se 3000 metra} = ∅. δ∅ = 0.

5

Trego një shembull për bashkësinë e zbrazët.

Duhet të dish Ç’është numër i bashkësisë;

Testohu! Shkruaj shembull për:

Të tregosh shembuj për bashkësi të fundme dhe të zbrazët.

Bashkësi të fundme C ashtu që δS = 3; Bashkësi S ashtu që δY = 0.

Detyra 1. Cakto numrin e elementeve të

bashkësisë: L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x është nxënës i klasës së V më i lartë se 5 metra} K=∅ Shokët e tu që ishin për pushim në planetin Mars.

2. Cakto numrin e elementeve për secilën

bashkësi A dhe B të dhënë me diagram të Venit.

A 1

2 4

3 6

5

V

7

3. Cakto numrin e elementeve për secilën bashkësi

A = {2, 3, 4, ..., 99} dhe B = {x | x është numër natyror dhe 8 ≤ x < 25}.

Problem A është e fundme bashkësia e banorëve në Shkup; yjeve në qiell; kokrrave të grurit në thes; numrave që mund të shkruhen me shifrën 1?

3

BASHKËSITË EKUIVALENTE. BASHKËSITË E BARABARTA. NËN BASHKËSITË

Kujtohu

A

Cakto numrin e elementeve të bashkësisë T dhe S.

1

Cakto numrin e elementeve të bashkësisë:

9

Y

A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9}

T

C = {10, 20, 30, 40, 50}. Ç’vëren? Cila prej shenjave <, =, ose > duhet të shkruhet në rreth δT

δY?

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A = {x | x është shkronjë e fjalës DIBËR} dhe bashkësinë B = {x | x është numër tek i dhjetëshes së parë}.

2

Cakto δA dhe δV, dhe pastaj krahasoi. Shkruaj bashkësi C që ka numër të elementeve të barabartë me δA, përkatësisht δV. Bashkësitë që kanë numër të barabartë të elementeve quhen bashkësi me numër të njëjtë të elementeve ose bashkësi ekuivalente. Nëse bashkësitë A dhe B janë ekuivalente, atëherë shënojmë: A ~ V.

, PSE HABITESH UIVEK Ë N JA TË SI BASHKË ! ALENTE

Cakto numrin e çdo bashkësie: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} dhe G = {M, A, T, E, I, K}.

3

Cilat bashkësi janë me numër të njëjtë? Shkruaj bashkësi që do të jetë ekuivalente me bashkësinë G.

B

4

Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë A elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës azil dhe bashkësinë T elementet e së cilës janë shkronjat e fjalës liza.

Vëreni! Bashkësitë A dhe B kanë numër të njëjtë të elementeve: δA = δV. Gjithashtu, bashkësia A përbëhet prej elementeve të njëjtë sikurse bashkësia B.

Dy bashkësitë A dhe B janë të barabarta nëse përbëhen prej elementeve të njëjta. Shkruajmë: A=B

10

A janë të barabarta bashkësitë: A={1,3,5,7} dhe B={1,2,5,7}?

5

Për dy bashkësi A dhe B që nuk janë të barabarta, shkruajmë: A ≠ V.

por: {S, O, K}={K, O, S}

Cila prej këtyre bashkësive janë të barabarta ndërmjet veti: A = {x | x > 5 dhe x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

6

C

7

Shihe vizatimin! Elementet e bashkësisë M janë tulipan, kurse të bashkësisë S janë trëndafila të kuq.

M S

Çdo element i bashkësisë S a është element i bashkësisë M?

Për bashkësinë S themi se është nën bashkësi e bashkësisë M, nëse çdo element i bashkësisë S është element i bashkësisë M. Shkruajmë: S ⊆ M. Nëse bashkësia S është nën bashkësi e bashkësisë M dhe bashkësia M përmban elemente që nuk i takojnë bashkësisë S, atëherë S quhet nën bashkësisë e vërtet e bashkësisë M. Shënojmë: S ⊂ M.

8

Bashkësia S është dhënë me diagram të Venit. Bashkësia P a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro përgjigjen tënde! Bashkësia K a është nën bashkësi e bashkësisë S? Sqaro! Cila prej këtyre është e saktë: P ⊂ S; S ⊆ S dhe S ⊂ S?

Y 1

3 2

R

5

K 4

6

7

Vëre! Çdo bashkësi është nën bashkësisë e vetvetes. A ⊆ A. Shembull: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, pasi që çdo element e bashkësisë së parë është element i bashkësisë së dytë. Bashkësia e zbrazët është nën bashkësi e çdo bashkësie. ∅ ⊆ A.

Duhet të dish

Testohu!

Të tregosh shembuj për bashkësi të barabarta, përkatësisht bashkësi ekuivalente; Të dallosh bashkësitë ekuivalente prej bashkësive të barabarta; Të dish çka është nën bashkësi; Të caktosh nën bashkësi prej bashkësisë së dhënë.

11

Është dhënë bashkësia P={5, 10, 15, 20}. Shkruaj bashkësi K ekuivalente me bashkësinë P Shkruaj bashkësi L të barabartë me bashkësinë P. Shkruaj dy nën bashkësi të bashkësisë P.

Detyra 1. Në vizatim i vëren bashkësitë D dhe N. 7 3

2

tënde, P është bashkësia e nxënësve të klasës së gjashtë, K është bashkësi e nxënësve të klasës tënde, kurse elementi y je ti, nxënës. Me diagram të Venit paraqiti bashkësitë U, P, K dhe elementin y.

D

5

9

2. Le të jetë U bashkësia e nxënësve të shkollës

1

6

8 4

10

N

Shkruaje bashkësinë D në mënyrë tabelare.

3.

Nëse y ∈ K dhe K ⊆ R, atëherë y ∈ R. A është e saktë? Pse?

4.

Shënoji të gjitha nën bashkësitë të bashkësinë A = {a, b, c}.

Shkruaje bashkësinë N në mënyrë përshkruese. Bashkësitë D dhe N a janë ekuivalente? Pse? Çka është e saktë për D dhe N: D ⊆ N ose N ⊆ D? Pse?

Detyra

Provo mendjemprehtësinë tënde!

Në një shitore me prodhime metalike, mes blerësit dhe shitësit është zhvilluar biseda vijuese: “Sa para është një?, ka pyetur blerësi. “Dhjetë denarë”, është përgjigjur shitësi. “Për sa para mund ti blej dymbëdhjetë?”, ka pyetur blerësi. “Dhjet denarë”, është përgjigjur shitësi. “Mirë, atëherë mi jepni treqind e dymbëdhjetë”, ka thënë blerësi. “Kjo do të ju kushtoj, zotëri, tridhjetë denarë.” Çfarë ka blerë blerësi?

4

12

PRERJA, UNIONI DHE NDRYSHIMI I BASHKËSIVE

Kujtohu! A

A 1 S

Janë dhënë bashkësitë A={1, 2, 3, 4, 5} dhe B={3, 4, 5, 6}.

V

Paraqiti bashkësitë A dhe B me diagram të Venit. Elementet e përbashkëta të bashkësive A dhe B paraqiti me C. Bashkësinë C paraqite në mënyrë tabelare. Sipas vizatimit, bashkësia A është bashkësi e figurave të kuqe, B të trekëndëshave, kurse C e trekëndëshave të kuq.

Vëreni zgjidhjen. C = {3, 4, 5}. C

A Pse është bashkësia C prerje e bashkësive A dhe B?

Bashkësia C është prerje e bashkësisë A dhe B. B

1

3

2

4 5

6

Prerje e dy bashkësive A dhe B është bashkësia C e formuar prej elementeve të përbashkëta të A dhe B. Shënojmë: C = A ∩ V dhe lexojmë: “Çka është e barabartë me A prerje B” x ∈ A ∩ V, d.m.th: x ∈ A dhe x ∈ V.

2

Le të jetë A= {1,2,3,4}, B={2,4,5,7} dhe C={1,4,5,} Caktoji bashkësitë: A ∩ B, A ∩ C dhe B ∩ A. Bashkësitë A ∩ B dhe B ∩ A a janë ekuivalente? A janë të ndryshme? Paraqiti bashkësitë A, B dhe C me diagram të Venit, ashtu që të caktohen prerjet e tyre.

B

3

Në vizatimin janë dhënë bashkësitë A, B dhe D. Shënoji bashkësitë A, B dhe D në mënyrë tabelare.

Bashkësia D është union i bashkësive A dhe B.

D A

V

1

3

2

6

5

7

4

10

9

8

Union i bashkësive A dhe B është bashkësia D e formuar prej të gjitha elementeve të atyre bashkësive. Shënojmë: D = A ∪ V dhe lexojmë: “ D është e barabartë me A union B”. x ∈ A ∪ V, d.m.th: x ∈ A ose x ∈ V.

4

Në vizatim me diagram të Venit janë dhënë bashkësitë A, B dhe C. Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë:

V

C A

1

A, V dhe C.

13

12

14

11 9

A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A dhe A ∩ C.

5

2 3

C ∪ B, C ∪ A dhe B ∪ A.

C

13

Janë dhënë bashkësitë A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe V = {2, 4, 6, 8}. Caktoji bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A. Bashkësitë A ∩ V dhe V ∩ A a janë të ndryshme? Caktoji bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A. Bashkësitë A ∪ V dhe V ∪ A a janë të barabarta?

Vëreni se: A ∩ V = V ∩ A dhe A ∪ B = B ∪ A Prerja e dy bashkësive ka vetinë e ndërrimit (komutative). Unioni e dy bashkësive ka vetinë ndërrimit.

6

Trego se për prerjen, gjegjësisht unionin, e bashkësive B dhe C nga detyra 4 vlen vetia ndërrimit. Provo vetinë e ndërrimit për unionin e tyre.

7

Vëreni!

Le të jetë A = {3, 6, 9} , B = {2, 4, 6, 8} dhe C = {1, 3, 5, 9}. Cakto A ∪ B, pastaj (A ∪ B) ∪ C. Cakto B ∪ C, pastaj A ∪ (B ∪ C). A është (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Provo a vlen: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Problem

Unioni i tre bashkësive e ka vetinë e shoqërimit (associative). Prerja e tre bashkësive e ka vetinë e shoqërimit.

Zgjidh tre bashkësi A, B dhe C dhe trego se (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Nëse dihet që x ∈ A ∪ B, a vlen x ∈ B?

D

8

Shihe vizatimin ! Me diagram të Venit janë paraqitur bashkësitë A dhe B.

A

1

6

5 2

7 3

8 B

9 Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë A dhe B. Shënoje në mënyrë tabelare bashkësinë C elementet e së cilës janë ato elemente të bashkësisë A por që nuk janë të bashkësinë B.

Bashkësia C = {1, 2, 5, 6} e fituar në këtë mënyrë është ndryshimi i bashkësive A dhe B përkatësisht S = A \ V.

14

Bashkësia C e elementeve që i takojnë bashkësisë A, por që nuk i takojnë bashkësisë B quhet ndryshimi i bashkësisë A me bashkësinë B. Shënojmë: S = A \ V dhe lexojmë: “ C është e barabartë A minus B”. x ∈ A \ B d.m.th: x ∈ A dhe x ∉ B.

9

Le të jetë A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} dhe C = {3, 5, 7, 9, 11}. Shënoji në mënyrë tabelare bashkësitë: A \ B, B \ A, B \ C dhe A \ (B \ C). A vlen A \ B = B \ A?

TË E ÇFARË ËSH DALME Ë T R A B A BAR E? MES TYR LIMIN NË

Provo a është e saktë: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C? Ndryshimi i bashkësive nuk e ka as vetinë e ndërrimit as vetinë e shoqërimit.

10 Le të jetë M = {x | x është numër natyror dhe x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} dhe P = {x | x është numër natyror i dhjetëshes së parë}. Cakto: M ∩ Y.

Y ∪ R.

M ∪ (R \ Y).

P \ M.

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh prerjen e dy bashkësive. Të caktosh ndryshimin e dy bashkësive. Të caktosh unionin e dy bashkësive. Se prerja dhe unioni kanë vetinë e ndërrimit dhe shoqërimit.

Detyra 1. Në vizatim janë dhënë bashkësitë me diagram të Venit nën a,b dhe c. Cilat operacione janë paraqitur me pjesët e ngjyrosura?

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} dhe C = {b, c, e, 1}. Shënoji bashkësitë: A ∩ B.

B \ C.

A ∪ B ∪ C.

Cakto δA i δM. Shëno në mënyrë tabelare A ∪ M, M ∩ A dhe M \ A. Cakto: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) dhe δ(M \ A).

3. Le të jetë P bashkësi e numrave çift, kurse S është bashkësi e numrave tek të qindëshes së parë.

a)

b)

2. Janë dhënë bashkësitë

c)

A = {m, n, p, k} dhe M = {s, p, t, k, r}

Çka paraqet: a) Unioni i P dhe S; c) ndryshimi i P dhe S; b) Prerja e P dhe S; d) ndryshimi i S dhe P? Sqaro përgjigjen tënde për çdo rast a, b, c dhe d.

5

ÇIFTI I RENDITUR. PRODHIMI I DEKARDIT.

Kujtohu!

A 1

Janë dhënë bashkësitë {2, 3} dhe {3, 2}. Ato janë bashkësi dy elementësh, gjegjësisht të përbëra prej çifteve të elementeve. A vlen {2, 3} = {3, 2}? Pse? Por në disa raste, radhitja e elementeve në çifte ka rëndësi të madhe: çifti i dorëzave, çifti i këpucëve, etj.

15

Ne vizatim është paraqitur salla e kinemasë. Karrigia e tretë te rreshti i dytë dhe karrigia e dytë te rreshti i tretë janë të zbrazëta.

Rreshti dhe karrigia paraqesin një çift. Numri i parë le të paraqet rreshtin (2), kurse numri i dytë ta paraqet karrigen (3). Atë e shkruajmë me (2,3) dhe themi se është çift i renditur.

Çiftet e renditura (2,3) dhe (3,2) a paraqesin vendin e njëjtë në sallë? Ato paraqesin vendet e ndryshme në sallë.

Çifti (a, b) te i cili dihet saktë cili element është i pari, kurse cili element është i dyti quhet çift i renditur. Në çifti i renditur (a, b), a është komponent i parë, kurse b është komponent i dytë.

Le të jetë A = {s, p, q}, kurse bashkësia B = {1, 2}.

2

Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku komponent i parë është element i A, kurse komponent i dytë është e B. Shënoi të gjitha çiftet e renditura ku komponent i parë është B, kurse komponent i dytë është e A.

Ë mbaj mend! çifti i renditur (a, b) është i barabartë me çiftin e renditur (c, d) nëse a = c dhe b = d dhe shkruhet (a, b) = (c, d).

Çifti i renditur (s, 1) a është i barabartë me (1, s)?

B

3

Le të jetë A = {1, 2} dhe B = {a, b, c}. Formo bashkësinë elementet e së cilës janë të gjitha çiftet e renditura, te cila komponent i parë është elementi bashkësisë A, kurse komponent i dytë është i bashkësisë B.

Bashkësia te e cila elemente janë të gjitha çiftet e renditura, ku komponent i parë është element i bashkësia A, kurse komponent i dytë është element i bashkësia B quhet prodhim i dekartit i bashkësive A dhe B. Shkruhet A x B. Lexohet A herë B. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

4

Është dhënë bashkësia S = {1, 2, 3} dhe prodhimi i Dekartit S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Shënoni bashkësinë P në mënyrë tabelare.

16

5

Është dhënë bashkësia A = {a, b}. Cakto prodhimin e Dekartit A x A.

Vëre dhe mbaj mend! A x A është prodhimi i Dekartit i bashkësisë A. Prodhimi i Dekartit A x A quhet katrori i Dekartit dhe shënohet me A2. Lexohet: “A në katror.”

6

Cakto katrorin e Dekartit për bashkësinë M = {5, p}.

Duhet të dish! Të dallosh bashkësi dy elementësh prej çiftit të renditur; Të caktosh të gjitha çiftet e renditura për dy bashkësi të dhëna; Se çka është prodhimi i Dekartit; Të caktosh komponentin i parë dhe atë të

Testohu! Janë dhënë bashkësitë A = {a, b}, B = {5, 55} dhe C = {m, n}. Shënoni të gjitha çiftet e renditura ku komponenti i parë është element i bashkësisë A, kurse Komponenta e dytë është element i bashkësisë C. Shënoni bashkësinë A x B në mënyrë tabelare.

dytë në një çift të renditur. Se çka është katrori i Dekartit.

Shënoni bashkësinë B2.

Detyra 1. Shkruaji çiftet e renditura te të cilat kompo-

nenti i parë është nga bashkësia A = {2, 5}, ndërsa komponenti i dytë nga bashkësia V = {a, b, c}.

4.

Është dhënë bashkësia Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. Cakto bashkësinë S. Cakto bashkësinë P.

2. Cili numër duhet të qëndroj në vend të

Cakto katrorin e Dekartit të bashkësisë S.

ashtu që çiftet e renditura të jenë të barabartë a) (5, ) = (5, 2); b) ( , 6) = (8, 6); v) ( , 3) = (7, )?

3. A={Arlind, Njomza, Agon} B është bashkësi foljesh: B= { këndon, flenë, mëson} Cakto prodhimin e Dekartit A x B.

Çiftet e renditura do të më jenë fjali të thjeshta. Për shembull: Arlindi këndon.

6

17

VARGU I NUMRAVE NATYROR Numra natyror!

Kujtohu! 1 Sa është numri i bankave te klasa jote? Cakto numrin e meshkujve në klasën tënde. Lexoji numrat: 23, 1005, 207, 987 000. Me cilat shifra është shkruar numri: 813 265? Sa shifra shfrytëzohen për shkrimin e numrave? Cilat janë ato?

A

2

1

3

4

5

...

Me shifra shkruaj numrat: Njëqind e pesëdhjetë e gjashtë; Nëntëqind e një; Një milion.

Për çdonjërin e atyre numrave themi se janë numra natyrorë.

Numrat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... quhen numra natyrorë, kurse numrat e radhitur ashtu njëri pas tjetrit formojnë vargun e numrave natyrorë. Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Numrin 0 nuk e marrim si numër natyror. Prandaj 0 ∉ N. Bashkësia e të gjithë numrave natyrorë dhe numrit 0 shënohet me N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

B

2

Në vizatim vëren rrugën dhe dy rreshta me shtëpi të shënuara me numra. Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga njëra anë e rrugës? Me cilat numra janë shënuar shtëpitë nga ana tjetër e rrugës?

Numrat: 1, 3, 5, 7, ... janë numra tek. Kurse 2, 4, 6, 8, 10 ... janë numra çift. Cilët prej numrave 36, 13, 1 111, 100 000, 99 janë çift, kurse cilët janë tek?

3

C

4

a

Si do të përcaktosh drejtëzën numerike? O

A

0

1

O

A

S

0

1

2

a

Punoni sipas kërkesave dhe përcille vizatimin: Vizato drejtëz a. Në drejtëzën a shëno dy pika O dhe A. Pikës O shoqëroja numrin 0, kurse pikës A numrin 1.

a

18

Segmentin OA e marrim për segment njësi, gjegjësisht OA = 1. Në gjysmë drejtëzën OA, nga pikës A, barte segmentin njësi OA. Pikën e skajshme shënoni me C dhe shoqëroja numrin 2. Si do ta caktosh pikën që i përgjigjet numrit 3?

Vëre dhe mbaj mend! Në këtë mënyrë është përcaktuar drejtëza te e cila mund të paraqiten numrat natyrorë. Ajo quhet drejtëz numerike. Shihe vizatimin

5

Cili numër është për 1 më i vogël se numri 6? 0 Cili numër është për 1 më i madh se numri 6?

1

2

3

4

6

Numri 5 është paraardhës , kurse numri 7 është pasardhës i numrit 6.

6

Cili është paraardhësi, kurse cili pasardhësi i numrit 100? Si fitohet paraardhësi, kurse si pasardhësi i një numri? Shkruaj një numër të madh natyror.

7

Shtoja numrin 1 numrit që e ke menduar. A ka numër më të madh se numrin që e fitove?

Cilit do numër mund ti shtoj 1 dhe do të fitoj numër më të madh.

Çdo numër nga vargu i numrave natyrorë, përveç 1, fitohet kur paraardhësit të tij do t’i shtohet numri 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Secili numër natyror ka pasardhës. Numrat natyror janë të radhitura sipas madhësisë: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Nuk ekziston numri më i madh natyror. Ka pakufi shumë numra natyror. Bashkësia N e numrave natyrorë është bashkësi e pafundme. Vëre shembull tjetër për bashkësi të pafund.

8

Bashkësia e numrave natyrorë shifre e njëshave te të cilat është 1, gjegjësisht {1, 11, 21, 31, ...}. Cila nga bashkësitë vijuese është e pafund? Bashkësia e numrave çift.

Bashkësia e numrave tek.

Numri i banorëve në R. e Maqedonisë.

Numri i grimcave të rërës në një plazh.

9

Shkruaj dhe radhiti numrat natyrorë të dhjetëshes së tretë të qindëshes së pestë.

Duhet të dish!

UNË JAM PARAARDHËS!

Të dallosh ç’është shifër dhe ç’është numër;

19 UNË JAM PASARDHËS!

Të caktosh pasardhës dhe paraardhës të një numri natyrorë; Të paraqesësh numra natyrorë në drejtëzën numerike. Të tregosh shembuj për bashkësi të pafund.

Testohu! Janë dhënë shifrat 7, 4 dhe 0. Shënoni të gjithë numrat natyrorë treshifrorë duke i shfrytëzuar shifrat e dhëna. Radhiti të gjitha numrat që i fitove duke filluar prej numrit më të madh. Shënoni paraardhësin dhe pasardhësin të numrit më të madh prej tyre. Trego shembull për bashkësi të pafund.

Detyra 1.

Në vizatim ka libra me faqe të grisura.

2. 0

Cilat numra te drejtëza numerike duhet të shkruhen në vendet e zbrazëta? 10 20 30 40 50 60

100

120

140

160

Shënoje me fjalë numrin e shënuar me shigjetë.

0

Shënoni faqet e librit që janë të grisura. Me cilat shifra janë shkruar ato faqe? Shënoni bashkësinë A të numrave çift të faqeve që mungojnë në libër.

10

20

30

40

50

60

70

80

3.

Vizato drejtëzën numerike dhe në të paraqiti numrat çift prej 0 deri 20.

4.

Bashkësinë S = {x | x është numër natyror tek}, shkruaje në mënyrë tabelare. Cili element është më i vogël te bashkësia S? Bashkësia S a ka element më të madh? Sa elemente ka bashkësia S?

7

20

SISTEMI NUMERIK DEKADË

012 34 56 7 8 9

Kujtohu! Sa dhjetëshe ka numri 100? Sa mijëshe ka numri 3 865?

A

Sa njëshe ka numri 128 563?

1

Shënoni me shifra numrin e paraqitur në numëratoren pozicionuese.

Shkruaje bashkësinë C të të gjithë shifrave me të cilat shkruhen numrat natyrorë.

Cakto δS.

QM DhM NjM Q

2

Dh

Ka dhjetë shifra.

Të gjithë numrat natyrorë i shkruajmë me dhjetë shifrat 0,1,…,9. Numrat i shkruajmë në sistemin numerik dekadë.

Nj

Shihe tabelën ku është shkruar numri 7 143 528. Çdo shifër e numrit është shkruar në pozitën (vend) e caktuar. Secili grup prej tre shifrave, duke shkuar nga e djathta në të majtë, është shkruar në klasë të caktuar.

KLASA MILION

KLASA MIJËSHE

KLASA NJËSHE

QMi DhMi NjMi QM DhM NjM 7

1

4

Në cilën pozitë është shkruar shifra 2?

3

Q

Dh

Nj

5

2

8

Në klasën milion në pozitën e njësheve është shkruar shifra 7. Cila është vlera e saj pozicionale?

Vlera pozicionale e shifrës 4 te numri 7 143 528 është dyzet mijë. Cila është vlera pozicionale e shifrës 3 dhe cila e shifrës 8?

U kujtova! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

Te shënimi i numrave, çdo shifër tregon numrin e njësheve ose numrin e dhjetësheve ose numrin e qindësheve, etj, përkatësisht të pozitës (vendit) ku është shkruar.

3

Shihe tabelën me të dhëna për numrin 34 509.

21 Ne jemi të njëjtë

34 509 Shifra

Klasa

Pozita në të cilën është shkruar shifra

Vlera pozicionale e shifrës

3

Mijëshe

DhM

30 000

4

Mijëshe

NjM

4 000

5

Njëshe

Q

500

0

Njëshe

Dh

0

9

Njëshe

Nj

9

Unë vlej më shumë

2 20

Formo tabelë për numrin 2 628 dhe në të shënoji të dhënat për çdo shifër.

4

Vëre! Për sa herë zmadhohet vlera e shifrës 3 duke filluar prej pozitës së njësheve? NjM

Q

Dh

Nj

3

3

Numrat 1, 10, 100, 1 000, etj., quhen njësi dekade. 3

3

⋅100 ⋅10

Shënoi të gjitha njësitë dekade deri 10 000 000.

⋅1 000

B

5

Shkruaje numrin i cili e përmban shifrën 1, e pas saj janë shënuar: a) 3 zero;

b) 9 zero;

c) 12 zero

d) 18 zero.

Si quhet numri i shkruar nën a), e si quhet numri i shkruar nën b)?

Mbaje në mend! Di për a) dhe b). Vallë si quhen numra të tjerë?!

6

Numri i shënuar:

1 000 000 000, quhet miliardë; 1 000 000 000 000, quhet bilion; 1 000 000 000 000 000 000, quhet trilion.

Shkruaje me shifra numrin “pesëdhjetë miliard tetëqind milion dhe njëzetmijë”. Cila është vlera pozicionale e shifrave 5; 8; 2 në numrin 50 800 200 000?

22

Duhet të dish!

Të përcaktosh klasat e numrit shumë shifror; Ta përcaktosh vlerën pozicionale të secilës shifër në numrin e dhënë; Se shifrat janë shenja për të shkruar numrat.

Testohu!

Shihe vizatimin! Lexo numrin e paraqitur në numëratoren pozicionale dhe shkruaje me shifra. Cilën shifër e shkrove në pozitën e dhjetë mijësheve dhe cila është vlera pozicionale e saj?

NjMi

QM DhM NjM

Q

Dh

Nj

Detyra 3. Shkruaje me shifra numrin “tetë bilion tre1. Është dhënë numri 5 203 478. Për secilën shifër 5; 2; 7; 0 përcakto: a) Në cilën klasë gjendet; b) Cila është pozita e saj: c) Cila është vlera e saj pozicionale.

2. Përpilo tabelë të klasave dhe pozitave në të cilat do ti shkruash shifrat e numrit 7 405 906.

qind e dy miliardë gjashtëdhjetë milion katërqind mijë dhe pesëqind”.

4. Cilin numër do të fitosh nëse në një trilion do të fshish secilin zero të dytë.

5. Si lexohet numri 5, e si shifra pesë? 6. Si quhet numri që ka milion miliona?

Problem Numri shtatë shifror fillon me shifrën 7. Si do që ti zhvendosësh shifrat e atij numri, numri nuk ndryshon. Cili është ai numër?

8

LEXIMI DHE RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE NATYRORË

Kujtohu!

A

1

23

Shkruaje me fjalë numrin a) 157; b) 216 c) 350

Shkruaje me fjalë numrin 16; 23; 45; 125; 50; 200. Krahasoje shënimin tënd me atë të dhënë. a) Njëqind e pesëdhjetë e shtatë. b) Dyqind e gjashtëdhjetë; c) Treqind e pesëdhjetë.

Në cilin prej numrave të shkruar e përdorë lidhëzën “dhe”?

Vëre leximin e numrave dhe përdorimin e lidhëzës “dhe”.

Në secilën klasë: njëshe, mijëshe, milion, …lidhëza “e” shfrytëzohet mes dy fjalëve të fundit, gjegjësisht dy numrave (emri i klasës nuk llogaritet).

15 - pesëmbëdhjetë; 700 - shtatëqind; 50 000 - pesëdhjetë mijë. e dy mijë katërqind e 302 413 - treqind trembëdhjetë 5 020 340 - pesë milion njëzet mijë e treqind

Lidhëza ‘e” shfrytëzohet edhe mes klasave, nëse dy fjalë të fundit (numra) i takojnë klasave të ndryshme.

300 200 - treqind mijë e dyqind tetë milion treqind e dy mijë e 8 302 100 - njëqind.

Lidhëza “e’ nuk shfrytëzohet nëse numri është prej një fjale (emri i klasës nuk llogaritet).

2

Shkruaji me fjalë numrat: 200 000;

B

e dyzet

3

20 300 000;

70 112 500;

Në një garë basketbolli reporteri ka thënë se garën e përcjellin rreth 2 000 shikues. Reporteri ka treguar numrin e përafërt të shikuesve.

Athua reporteri e ka treguar numrin e saktë të shikuesve?

4

9 326 540 217.

Numrat 32, 35 dhe 37 janë paraqitur në drejtëzën numerike.

30

32

Cilat janë dhjetëshet fqinje të numrave të paraqitur? Cakto ndryshimin e secilit numër me dhjetëshet fqinje. Deri te cila dhjetëshe fqinje është më afër secili numër?

35

37

40

24

Vëreji përgjigjet

Për numrat e dhënë numri 30 është dhjetësha fqinje më e vogël, ndërsa 40 është dhjetësha fqinje më e madhe. 32 - 30 = 2;

40 - 32 = 8. Numri 32 është më afër me 30.

37 - 30 = 7;

40 - 37 = 3. Numri 37 është më afër me 40.

35 - 30 = 5;

40 - 35 = 5. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40.

Themi se Numri 32 është përafërsisht i barabartë me numrin 30. Shkruajmë 32 ≈ 30. Numri 37 është përafërsisht i barabartë me numrin 40. Shkruajmë 37 ≈ 40. Numri 35 është saktësisht ndërmjet numrave 30 dhe 40. Me marrëveshje shkruajmë 35 ≈ 40. Ky shënim quhet rrubmullakimi i numrit në dhjetëshe.

5

Rrumbullako në dhjetëshe numrat: 148, 243, 2 671, 3 585 dhe 74 598.

6

Numrat: 3 435 dhe 3 468 janë paraqitur në drejtëzën numerike.

3 400

3 435

3 468

3 500

Cakto ndryshimin e secilit prej numrave me qindëshet finje. Deri te cila qindëshe fqinje është më afër secili numër? Rrumbullako secilin numër në qindëshe. Ke vërejtur se 3 435 është më afër me 3 400, ndërsa 3 468 me 3 500. Numrat e rrumbullakuara në qindëshe janë: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Kur gjatë rrumbullakimit të një numri në qindëshe shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë, e kur zmadhohet për 1? Shifra e pozitës së qindësheve mbetet e njëjtë nëse shifra në pozitën e dhjetësheve është numër më i vogël se 5, ndërsa zmadhohet për 1 nëse shifra në pozitën e dhjetësheve është 5 ose numër më i madh se 5.

7

Rrumbullako në qindëshe numrat: 1 372, 2 145, 1 653 dhe 4 898.

8

Rrumbullako në mijëshe numrat: a) 21 363; 47 612; 43 577.

b) 4 803; 13 501; 177 982.

Vëre zgjidhjen nën a)

25

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Ke vërejtur se gjatë rrumbullakimit të ndonjë numri deri te pozita e caktuar (dhjetëshe, qindëshe, mijëshe, …) vepron në mënyrë vijuese:

Shifra e asaj pozite mbetet e njëjtë, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave: 0, 1, 2, 3, ose 4, ndërsa ajo zmadhohet për 1, nëse pas saj është ndonjëra prej shifrave 5, 6, 7, 8 ose 9.

Të gjitha shifrat djathtas nga ajo pozitë zëvendësohen me zero.

9

Rrumbullako numrin 35 738 në: a) Dhjetëshe; b) qindëshe; c) mijëshe;

d) dhjetë mijëshe.

Duhet të dish!

Testohu!

Drejtë ti lexosh numrat natyror, më të vegjël apo më të mëdhenj se një milion;

Lexo numrin: 5 200; 45 678 350.

Të rrumbullakosh numrat natyrorë në: dhjetëshe, qindëshe dhe mijëshe.

Rrumbullako në dhjetëshe; qindëshe; mijëshe, numrin: a) 34 752; b) 224 750

Detyra 1. Shkruaje me shkronja numrin: 2 345; 250; 6 400 310.

7.

A ekziston numri më i madh natyror? Cili është numri më i vogël natyror?

2. Shkruaje me shifra numrin: ‘Treqind milionë

Shkruaje çmimin e veturës me fjalë

dyqind e pesë mijë e tetëqind”.

3. Cila prej shenjave <, = ose > duhet të qëndroj në rreth që të jetë e saktë?

12 245

12 250;

12 245

12 245

12 200;

12 245

12 240; 12 300.

4. Athua numri 24 635 është më afër a) me 24 700 ose me 24 600; b) me 24 000 ose me 25 000?

5. Rrumbullako numrin 25 375 në: dhjetëshe; qindëshe; mijëshe.

6. Rrumbullako numrin 15 409 632 në mijëshe.

1 216 358 den. Përpiqu të zgjidhësh! Nuk ka kuptim të thuash numrin e telefonit tënd si numër i rrumbullakuar. Përpiqu të gjesh dy shembuj ku nuk ka kuptim të bësh rrumbullakimin e numrave.

26

R A P U N A T Ë D D H Ë N A

M E

9

INSTRUMENTE PËR MBLEDHJEN E TË DHËNAVE

Mbledhja e të dhënave kryhet në disa mënyra: me anketim, vështrim, matje, numërim, nga literatura etj. Instrumente (mjete) për mbledhjen e të dhënave janë: pyetësori, fletanketë, revizione të publikuara dhe të dhënat e tjera statistike.

1

Arta dhe Liriku hulumtojnë për aktivitetet e lira të nxënësve të paraleles së tyre. Ato i kanë pyetur nxënësit në cilin klub çdonjëri prej tyre është i anëtarësuar. Të dhënat së pari i kanë shënuar me viza, kurse pastaj i kanë rregulluar dhe kanë formuar tabelë. Klubi (aktivitete) Shkëndija (basketboll) Liria (tenis) Flamurtari (gjimnastikë) Spartaku (karate)

Numër

Klubi (aktivitete) Shkëndija (basketboll) Liria (tenis) Flamurtari (gjimnastikë) Spartaku (karate)

Numër 9

Në tabelë janë dhënë një numër i të dhënave. Ajo quhet tabela të efektiveve. Sa nxënës gjithsej janë përgjigjur në

13

pyetjen e drejtuar?

15

Formo tabelë të re të efektiveve

3

ashtu që të dhënat t'i radhisësh sipas madhësisë së numrit (duke fil-

Tabela me viza

2

Tabela me efektive

luar prej më të madhit).

Iliri ka bërë hulumtim për ngjyrën e biçikletave që më shpesh hasen në fshatin e tij. Ka mbledh të dhëna ashtu që i ka vërejt fëmijët me biçikleta në oborrin e shkollës dhe ka plotësuar listë me viza. Formo tabelë të efektiveve. Ngjyra

Numrij

Radhiti të dhënat duke filluar prej më të voglit.

E kaltër

Sa biçikleta gjithsej ka vërejt Iliri?

E gjelbër

Cila ngjyrë e biçikletave është më e shpeshtë?

E verdh E zezë E kuqe

3

Të vërejturit e Ilirit është njëra nga mënyrat me të cilën mundet të mblidhen të dhënat. Të dhënat mundet të mblidhen në mënyra të ndryshme duke: pyetur me telefon, dërguar pyetësor nëpërmjet postës, shfrytëzuar libra, revista etj.

Merita ka mbledhur të dhëna për stinën më të adhuruar në klasën e saj. Vëre listën: P - pranverë; V - verë; Vj - vjeshtë; D - dimër. P P V D D Vj P V Vj D D P V Vj D D P P V V V Vj D P Vj Vj D D P P P V Vj P P D V Vj

Paraqiti të dhënat në tabelën e efektiveve dhe radhiti duke filluar prej stinës më të adhuruar.

10

27

MBLEDHJA

Kujtohu!

A

Njehso: 14 + 35

353 + 168

47 + 803

98 796 + 14 534

Mere dhe Mile jetojnë në Koçan. Në pushim kanë shkuar në Strugë, por një ditë kanë qëndruar në Dibër te gjyshja e tyre.

1

Koçan

90 km Dibër Strugë

68 + 37 + 3 + 916 =

190 km

Sa kilometra ka kaluar Merita dhe Lirini prej shtëpisë deri te gjyshja e tyre? Sa kilometra kanë kaluar prej Shkupit deri në Strugë?

B 2

Cakto shumën e numrave 52 dhe 34.

Përkujtohu dhe vëreji vetitë e mbledhjes në bashkësinë N0. Nëse i ndërroni vendet mbledhëse shuma mbetet e pandryshuar. 52 + 34 = 86 mbledhëse

ili

shuma

Ndërrimi i vendeve të mbledhëseve ose vetia e ndërrimit e mbledhjes.

34 + 52 = 86 mbledhëse

a+b=b+a

shuma

Të tre mbledhëset mundet të grupohen në dy mënyra. Shuma mbetet e pandryshuar. (71 + 114) + 16 = ose 71 + (114 + 16) = 185

+ 16 = 201

71 +

130

= 201

Kur njëri prej mbledhëseve është zero, atëherë shuma është e barabartë me mbledhësin tjetër.

Grupimi i mbledhëseve ose vetia e shoqërimit e mbledhjes. a + (b + c) = (a + b) + c Prandaj, kllapat mund të largohen:: a + b + c. Zeroja gjatë mbledhjes. a+0=0+a=a

583 + 0 = 583 ose 0 + 583 = 583

3

Njehso: 17 + 36 + 13 + 44 = 12 + 81 + 9 + 38 + 27 = 161 + 234 + 439 =

Kur shfrytëzohen vetitë e mbledhjes është më lehtë!

Shembul 27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

28

4

Grupoi mbledhësit në mënyrë tjetër dhe cakto shumën. 45 + (45 + 56) =

C

5

( 1 207 + 101) + 269 =

Cakto shumën e numrave 74, 33, 26, 48, 57. Cakto shumën e numrave 140, 310, 750, 360, 170 dhe 290. Shumës të numrave 124 dhe 139 shtoja shumën e numrave 261, 55 dhe 276. Cakto paraardhësin e çdo numri 372, 126 dhe 319 dhe njehso shumën e paraardhësve.

Bëje vlerësimin e shumës së numrave me rrumbullakim në qindëshe a) 2 738 dhe 2 465; b) 4 562 dhe 5 378.

6

Për sa dallohet rezultati i përafërt nga shuma e saktë e numrave?

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh shumën e dy ose më shumë numrave; T'i zbatosh vetitë e mbledhjes te shembujt e thjeshtë; Ta vlerësosh rezultatin e mbledhjes.

VIa VIb

27

Djem

Vajza

17 14

Te tabela janë dhënë të dhënat për numrin e VIc 9 nxënësve në klasën VI të një shkolle Cakto numrin e përgjithshëm të nxënësve në klasën e VI.

14 17 22

Cakto numrin e nxënësve në VIa dhe VIb, e pastaj krahasoji.

44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

Detyra 1. Njehso.

Paralelja

171

+ 72

39

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

+ 16

4. Vlerëso shumën e numrave 7 328 dhe 6 + 93

+ 39

2. Në një gazetë shkruan: „Në hapjen e një festivali marrin pjesë 1 300 shikues. Ditën e dytë shfaqjen e kanë shikuar 726 shikues”.

Sa shikues kanë qenë për dy ditë në festival?

3. Grupoji mbledhësit dhe cakto shumat: 64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

435, duke i shfrytëzuar në: mijëshe, qindëshe; dhjetëshe. Për sa dallohen rezultatet e përafërta me ato të sakta?

Problem! Numri 2 është shkruar shtatë herë: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 Cila është shuma më e vogël që mund të fitohet nga shtatë dyshe dhe dy shenja plus?

11

29

ZBRITJA

Kujtohu! Njehso: 475 - 232 -

2 685 518

1 852 - 800 -

A

9 840 189

Cili numër duhet të qëndroj në katror që të jetë e saktë? 47 -

= 19

28 +

= 47

1

Lojërat Olimpike në vitin 2000 janë mbajtur në SidnejAustrali. Komiteti Olimpik ka kërkuar që të rezervohen 4 830 bileta për hapjen solemne, por të lira kanë qenë 3 892 karrige. Sa njerëz kanë ngelur pa bileta?

4 830 - 3 892 = I zbritshmi

+ 19 = 47

zbritësi

ndryshimi

Shfrytëzoji të dhënat në tabelë që të përgjigjesh në pyetjet.

2

Olimpiada 1992 Ekipi

Pikë

Italia

15 760

Amerika

15 649

Polonia

16 018

Sa pikë më shumë ka ekipi i Polonisë prej ekipit të Italisë? Cili është ndryshimi ndërmjet numrit më të madh dhe më të vogël të pikëve?

Që të mund ta njehsojmë ndryshimin a - b të numrave a dhe b në bashkësinë N0 duhet a > b ose a = b.

B

3

Në një furrë piqen 5 000 bukë çdo ditë. Në tabelë janë dhënë të dhënat për bukët e shitura për një javë.

Sa bukë gjithsej ka prodhuar furra për një javë? Sipas të dhënave në tabelë njehso sa bukë gjithsej kanë ngelur pa shitur?

Dita

Nr. i bukëve

E hënë

1 260

E martë

4 205

E mërkurë

4 728

E enjte

3 916

E premte

4 010

E shtunë

4 857

E diel

1 376

30

4

Vlerëso ndryshimin e numrave 457 dhe 165 duke i rrumbullakuar në dhjetëshe; qindëshe. Krahaso vlerësimet me vlerën e saktë të ndryshimit.

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh ndryshimin e dy numrave; të njehsosh vlerën e shprehjes numerike me operacionet mbledhje dhe zbritje me kllapa ose pa kllapa; të vlerësosh ndryshimin gjatë zbritjes.

Njehso: (26 + 128) - 37 =

; 432 - (26 + 15) =

(439 - 195) + (270 - 36) =

;

.

Vlerëso ndryshimin e numrave 2 376 dhe 1 289 duke i rrumbullakuar në qindëshe.

Detyra Numrit 836 shtoja ndryshimin e numrave 299 dhe l73. Ndryshimin e numrit më të madh katërshifror dhe numrit më të vogël treshifror zmadhoje për 1216.

3.

Vera ka 2 725 denarë. Merita ka 120 denarë më shumë se Vera. Arta ka 385 denarë më pak se Vera dhe Merita së bashku. Sa denarë ka Merita? Sa denarë ka Arta?

2. Treni është nisur prej Manastiri për në Shkup

4.

Arlindi ka 1 350 denarë. Që të blej atlete i duhen 3 120 denarë. Arlindi i ka rrumbullakuar parat në qindëshe. Ndihmoji Arlindit që të caktoj edhe sa qindëshe i mungojnë. Njehso saktësisht sa para i mungojnë Arlindit.

1.

me 489 udhëtarë. Në Prilep prej trenit kanë zbritur 120 udhëtarë, kurse kanë hipur 70 udhëtarë. Në Veles kanë zbritur 42 udhëtarë, kurse kanë hipur 98. Me sa udhëtarë ka ardhur treni në Shkup?

Përpiqu! Nëse i paramendon cilat do tre numra natyrorë, a do të ketë gjithmonë mes tyre dy shuma e të cilëve është numër çift?

12

VARËSIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT NGA NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE

A

Kujtohu!

1

Janë dhënë shuma 320 + 150 = 470 dhe ndryshimi 250 - 120 = 130. Cili numër duhet të qëndroj në katror që të jetë e saktë. (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 ; (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

31

Në mëngjes në :Ditën e drurit” janë sjellë 2 600 fidanë gjethembajtës dhe 3 100 fidanë gjetherënës. a) Sa fidanë të të dy llojeve janë sjellë atë mëngjes? b) Mbas dite janë sjellë edhe 400 fidanë gjethembajtëse. Për sa do të rritet numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes?

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; në mëngjes janë sjellë 5 700 fidanë. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Numri i fidanëve të sjellë atë mëngjes është rritur për 400.

2

Është e njohur se a + b = 200. Njëri prej mbledhësve le të rritet për 300. Njehso shumën a + (b + 300).

3

Si do të ndryshoj shuma 340 + 620 = 960 a) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60; b) Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për 60, ndërsa tjetri zmadhohet për 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = = 900 = 960 - 60;

Shuma u zvogëlua për aq sa u zvogëlua njëri prej mbledhësve.

Vërejte se: b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; shuma nuk u ndryshua.

Vëre në përgjithësi për shumën a+b=c Nëse njëri mbledhës zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri mbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zmadhohet për atë numër të njëjtë

(a + m) + b = c + m

Nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri

(a - m) + b = c - m

mbetet i njëjtë, atëherë edhe shuma do të zvogëlohet për atë numër të njëjtë

Shuma nuk do të ndryshojë nëse njëri mbledhës zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa tjetri rritet po për atë numër.

(a - m) + (b + m) = c

32

B

4

Është dhënë ndryshimi 750 - 430 = 320. Njehso dhe vëre si ndryshon ndryshimi nëse i zbritshmi a) Zmadhohet për 50; b) zvogëlohet për 50.

Sigurisht vërejte: a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = = 370 = 320 + 50.

a) Ndryshimi u zmadhua për 50, gjegjësisht aq sa u zmadhua i zbritshmi

b) Ndryshimi do të zvogëlohet për 50.

5

Është dhënë ndryshimi 2 480 - 560 = 1 920. Si do të ndryshoj ndryshimi, nëse zbritësin: a) E zvogëlon për 30; b) e zmadhon për 30. Ndryshimi: a) do të zmadhohet për 30;

6

b) do të zvogëlohet për 30.

Njehso ndryshimin 6 354 - 2 314. Si do të ndryshojë ndryshimi nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi a) Zmadhohen për 120; b) zvogëlohen për 120?

Vëre se ndryshimi mbetet i njëjtë.

Vëre në përgjithësi për ndryshimin a-b=c i zbritshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për një numër Nëse të caktuar, ndërsa zbritësi mbetet i njëjtë, atëherë edhe ndryshimi do të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) për atë numër të njëjtë. zbritësi zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi Nëse mbetet i njëjtë, atëherë ndryshimi do të zvogëlohet për atë numër. Nëse zbritësi zvogëlohet për një numër të caktuar, ndërsa i zbritshmi mbetet i njëjtë, atëherë ndryshimi do të zmadhohet për atë numër të njëjtë.

Ndryshimi nuk do të ndryshojë nëse i zbritshmi dhe zbritësi zmadhohen apo zvogëlohen për një numër të njëjtë.

7

(a + m) - b = d + m (a - m) - b = d - m a - (b + m) = d - m a - (b - m) = d + m (a + m) - (b + m) = d (a - m) - (b - m) = d

Si do të ndryshojë ndryshimi, nëse i zbritshmi zmadhohet për 10, ndërsa zbritësi zvogëlohet për 10.

Duhet të dish! Si ndryshon shuma e dy numrave, nëse njëri mbledhës: Zmadhohet për një numër të caktuar; Zvogëlohet për një numër të caktuar; Zmadhohet për një numër të caktuar, ndërsa mbledhësi tjetër zvogëlohet për atë numër të njëjtë?

Si ndryshon ndryshimi i dy numrave: Nëse i zbritshmi zmadhohet, gjegjësisht zvogëlohet për një numër të caktuar; Nëse zbritësi zvogëlohet, gjegjësisht zmadhohet për një numër të caktuar; Nëse edhe i zbritshmi edhe zbritësi zmadhohen gjegjësisht zvogëlohen për një numër të caktuar;

33

Testohu!

Shuma e dy numrave është 3 540. Sa do të jetë shuma nëse njëri prej mbledhësve zvogëlohet për 140? Ndryshimi i dy numrave është 270. Sa do të jetë ndryshimi a) Nëse i zbritshmi zvogëlohet për 27? b) nëse zbritësi zmadhohet për 27? Njehso 460-120. Cakto x nga barazimi: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Detyra

1.

Për sa do të ndryshojë shuma nëse njëri mbledhës zmadhohet për 234?

2.

Nëse 1 230 + 670 = 1 900, atëherë sa është (1 230 - 350) + 670?

3.

Është dhënë ndryshimi 6 543 - 2 732 = 3 811. Për cilën vlerë të x-it është e saktë barazia 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

4.

Nëse zbritësi zmadhohet për 25, ç’duhet të bëhet me të zbritshmin ashtu që ndryshimi të mos ndryshojë?

5.

Nëse a - b = 100, njehso: a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30); c) (a - 10) - (b + 10); d) (a + 5) - (b - 5);

6.

Një mëngjes Merita ka marrë një shumë të caktuar të hollave nga babai i saj dhe një shumë të caktuar të hollave nga nëna e saj. Nga të hollat e nënës ajo ka shpenzuar 100 denarë. Në mbrëmje babai i ka dhënë edhe 200 denarë dhe ajo ka konstatuar se ka 700 denarë . Sa denarë gjithsej në mëngjes i kanë dhënë nëna dhe babai i saj?

Problem Mendo dhe përpiqu të njehsosh gojarisht. Sa është ndryshimi mes shumës së njëqind numrave të parë çift dhe shumës së njëqind numrave të parë tek?

13

34

SHUMËZIMI

Kujtohu!

A

Njehso: 35 ⋅ 5 =

480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 =

Një automobil për 100 kilometra të kaluara harxhon 7 litra benzinë.

4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 =

2

1

Sa litra benzinë do të harxhoji automobili nëse kalon 400 kilometra rrugë?

(3 ⋅ 5) ⋅ 200 =

Agoni ka udhëtuar 5 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 9 kilometra. Arlindi ka udhëtuar 6 ditë me biçikletën e tij dhe çdo ditë ka kaluar nga 8 kilometra. Sa kilometra më shumë ka kaluar Arlindi prej Agonit? Përkujtohu dhe vëre vetitë e shumëzimit në bashkësinë N0.

Nëse ndërrohen vendet e shumëzuesve prodhimi nuk ndryshon.

4 ⋅ 6 = 24

shumëzues

ose

prodhim

6 ⋅ 4 = 24 shumëzues

10 ⋅ 30

3

= =

2 ⋅

a⋅b=b⋅a

prodhim

Të tre shumëzues mund të grupohen në 2 mënyra. Prodhimi nuk ndryshon. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ose 2 ⋅ (5 ⋅ 3)

Vetia e ndërrimit e shumëzimit.

15

Vetia e shoqërimit e shumëzimit. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Prandaj, kllapat mundet të shlyhen: a⋅ b⋅ c.

30

Nëse njëri prej shumëzuesve është një, atëherë prodhimi është i Shumëzimi me numrin 1 barabartë me shumëzuesin tjetër. 468 ⋅ 1 = 468

a⋅1= a

Nëse njëri prej shumëzuesve është zero, atëherë prodhimi është Shumëzimi me 0 i barabartë me zero. 0 ⋅ 235 = 0

0⋅a= 0

Kur zbatohen vetitë, shumëzimi është më i lehtë!

Njehso:

3

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

35

Shembul

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

50 ⋅ (4 ⋅ 8) = Njehso:

4

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

40 + (130 ⋅ 10) = (280 + 32) ⋅ 8 =

Pikat shkojnë para vizave

Njehso:

5

40 ⋅ (25 + 5) =

Por, së pari në kllapa

i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

Si janë vlerat e shprehjeve numerike? Provo, a është e saktë? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Si formohen shprehjet që i krahason?

Vëre se:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c);

(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

Me këto barazi është shprehur:

vetia e shpërndarjes (distributive) e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. vetia e shpërndarjes e shumëzimit në lidhje me zbritjen. Njehso prodhimin 324 ⋅ 48, duke i rrumbullakuar shumëzuesit në dhjetëshe. Për sa dallohet vlera e përafërt e fituar nga ajo e saktë?

6

320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; prodhimi është për 448 më shumë se vlera e saktë.

B

7

Arditi ka udhëtuar 4 javë, nga 4 ditë në javë, nga 4 kilometra në ditë. Sa kilometra ka kaluar Arditi?

Vëre! Prodhimi 4 ⋅ 4 ⋅ 4 shkurtimisht shënohet 43, kurse lexohet 4 në të tretën. Shënimi 43 quhet fuqi me bazë 4 dhe tregues të fuqisë 3.

Të mbaj mend: Prodhimi i shumëzuesve të barabartë shkurtimisht quhet fuqi

36

Shkurtimisht shkruaje shumëzimin dhe prodhimin.

TREGUESI I FUQISË

4 3

FUQI

BAZA

Shumëzimi

Shënimi i shkurtër

4⋅4⋅4 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3

43

Vlera

64

6⋅6 8⋅8⋅8⋅8

Ç’tregon baza e fuqisë?

Ç’tregon treguesi i fuqisë? Shkruaje 108 në formë të shumëzimit. Cakto vlerën e 14. Me marrëveshje: 51 = 5; a1 = a.

Duhet të dish! Testohu! Të caktosh prodhimin e dy ose më shumë numrave; Ti zbatosh vetitë e shumëzimit; Ta vlerësosh prodhimin e shumëzimit të dy numrave të caktosh vlerën e fuqisë.

Iliri dhe Jetoni kanë blerë 8 pako, te të cilat ka pasur nga 8 kuti me nga 8 sheqerka në çdo kuti. Sa kuti kanë blerë Iliri dhe Jetoni së bashku? Nga sa kuti ka pasur çdonjëri prej tyre? Sa bonbone ka pasur Jetoni? Shkruaje numrin e bonboneve të Ilirit në formë të fuqisë.

Detyra 1.

3.

Rrezja e Tokës është 6 370 kilometra. Largesa e Tokës deri të Hëna është rreth 60 herë më e madhe se rrezja. Cakto largesën nga Toka deri të Hëna.

4.

Vlerëso prodhimin 127×268 duke rrumbullakuar në a)qindëshe; b) dhjetëshe Cakto ndryshimin e prodhimit të saktë dhe të vlerësuar.

Njehso: 186 ⋅ 35 = (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = 73 = 42 + 4 + 34 - 25 =

2.

Në një shumë, numri 245 paraqitet si mbledhës 48 herë. Njehso atë shumë.

439 ⋅ ∗7

5. Cilat shifra duhet ti shkruash në vend të *, që shumëzimi të jetë saktësisht i njehsuar?

3∗73 +

∗756 2∗633

14

37

PJESËTIMI

Kujtohu! Njehso: 14 : 7 =

22 : 2 =

396 : 3 =

20 : 10 =

88 : 22 =

Nxënësit kanë mbledh 1 300 denarë që të blejnë topa. Çdo top kushton nga 325 denarë.

A 1

1 200 : 60 =

Sa topa kanë blerë?

Kryeje provën e rezultatit të fituar

1 300

2

Gjithsej 84 nxënës janë paraqitur në turnirin e shkollës në volejboll. Për trajner të ekipeve janë paraqitur 6 arsimtar.

:

325

=

i pjesëtueshmi pjesëtuesi herësi

Nëse çdo ekip përbëhet prej 12 nxënësve, numri i arsimtarëve për trajner a është i mjaftueshëm?

Përkujtohu dhe vëre vetitë e pjesëtimit në bashkësinë N0. Nëse pjesëtuesi është 1, atëherë herësi është i barabartë me të pjesëtueshmin. 23 765 : 1 = 23 765

Pjesëtimi me numrin 1 a:1=a

Nëse i pjesëtueshmi është i barabartë me pjesëtuesin, atëherë herësi është 1 762 : 762 = 1

Pjesëtimi i numrit me vetveten. a : a = 1, a ≠ 0

Nëse i pjesëtueshmi është 0, atëherë herësi është i barabartë me 0. 0 : 16 = 0 Numri 0 nuk mundet të jetë pjesëtues.

3

Pjesëtimi i numrit 0. 0 : a = 0, a ≠ 0 2:0

nuk ka kuptim!

Njehso: (28 + 32) : 1 =

432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 = 108 : 18 + 3 485 : 85 = Njehso të pjesëtueshmin, nëse pjesëtuesi është 72, ndërsa herësi është 102. Me cilin numër duhet të pjesëtohet numri 18 712 që të fitohet numri 1? 76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

Çdo herë jam unë i pari

n a

Pikat shkojnë para vizave

38

B

4

Iliri, Blerta dhe Arta mbledhin pulla postale. Ato kanë 71 pulla dhe duan t'i ndajnë një lloj. Nga sa pulla ka marrë çdonjëri?

Sa pulla ka ngelur që nuk janë ndarë?

Vëre se 71 = 23 ⋅ 3 + 2. Nëse te pjesëtimi a : b, numri q është herës, kurse r r është mbetje, atëherë:

Te pjesëtimi 71 : 3 numri 23 është herës, kurse numri 2 mbetje.

a=q⋅b+r

Nëse a = 77 dhe b = 5, cakto herësin a : b dhe mbetjen r. Shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q + r.

5

Cakto herësin q dhe mbetjen r gjatë pjesëtimit a : b dhe shkruaje numrin a në formë të a = b ⋅ q + r.

6

16 : 3;

50 : 15;

125 : 11.

Mendohu dhe përgjigju! Te pjesëtimi te i cili pjesëtuesi është 8, mbetja mund të jetë: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pse mbetje nuk mund të jetë numri 8?

Duhet të dish! Të caktosh herës të dy numrave; Ta paraqesësh të pjesëtueshmin me ndihmën e herësit, pjesëtuesit dhe mbetjes.

Testohu! Njehso herësin: 1 584 : 9 =

17 472 : 84 =

Njehso: 1 510 : 125 = Të pjesëtueshmin paraqite me ndihmën e herësit, pjesëtuesit dhe mbetjes.

Detyra :3

1.

Pjesëto me numrin e parë, kurse pastaj rezultatin e fituar pjesëtoje me numrin e dytë.

:6

:7

18

42

54

84

108

98

:2

2. Cili numër duhet të shkruhet te katrori që të jetë i saktë pjesëtimi?

72

:9 : 19 : 19

63 9

600

4

169

:

9 :

50

:

5.

Një tufë dallëndyshe gjatë 39 shpërnguljes kanë fluturuar rreth 10 000 kilometra. Shpejtësinë më të madhe që e ka arrit tufa ka qenë 40 kilometra në orë. Sa orë më së paku ka fluturuar tufa e dallëndysheve.

13 Një kërmill me shpejtësinë e tij më të madhe ka kaluar 12 metro për 4 orë. Sa centimetra ka kaluar kërmilli për 1 minutë?

Se se}avam: :

:5

4 10 ⋅5

2 = 10 : 2

3. Shkruaj shprehje dhe njehso vlerën e saj.

6. Cilat shifra duhet ti shënosh në vend të *, që barazimi të jetë i njehsuar saktësisht.

Njehso shumën e numrit 85 dhe prodhimin e numrave 4 dhe 15. Herësit të numrave 210 dhe 30 shtoja numrin 700. Cili numër është ndryshimi ndërmjet prodhimit të numrave 120 dhe 6 dhe herësit të tyre?

1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗ ∗∗∗ - ∗∗∗ 0

7. Dy nxënës kanë pjesëtuar numrin e njëjtë: i 4. Në katror cakto numër që barazimi të jetë i

pari me 16, ndërsa i dyti me 19. I pari ka fituar herësin 22 dhe mbetjen 9. Cilin herës ka fituar nxënësi i dytë?

saktë:

a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + b) 2 100 = 261 ⋅

;

+ 12.

8. Shuma e dy numrave është 660. Nëse numrit më të madh i fshihet një zero nga e djathta, atëherë ato janë të barabartë. Cilët janë ato numra?

40

15

VARËSIA E PRODHIMIT DHE HERËSIT NGA NDRYSHIMI I KOMPONENTËVE

Kujtohu!

A 1

Sipas cilës veti është e saktë barazia: a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10; b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)? Është dhënë: 80 ⋅ 5 = 400. Shkruaj numër në katrorë ashtu që barazia të jetë e saktë. a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 =

; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) =

;

c) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) =

; d) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 =

.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen në vijim. 15 ⋅ 6 = 90; a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2. Prodhimi i dhënë është zmadhuar 2 herë.

96 : 24 = 4 I PJESËTUESHMI PJESËTUESI

Njehso prodhimin 15 • 6. Pastaj, zmadhoje shumëzuesin e parë: a) 2 herë b) 3 herë c) 7 herë dhe provo sa herë është zmadhuar prodhimi. Çfarë vëren?

HERËSI

KOMPONENTI

Ke vërejtur se prodhimi i dhënë është zmadhuar b) 3 herë c) 7 herë.

Pjesëtimi a : b ka kuptim për b ≠ 0.

2

Le të jetë a ⋅ b = 50. Njehso: a) (a ⋅ 3) ⋅ b;

b) a ⋅ (b ⋅ 10).

3

Njehso prodhimin 40 • 9. Pastaj, shumëzuesin e parë zvogëloje për: a) 2 herë; b) 4 herë c) 5 herë dhe krahaso prodhimin e fituar me atë të dhënë. %ka vëren? Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 40 ⋅ 9 = 360; a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2. Prodhimi është zvogëluar: b) 4 herë

Njëri shumëzues është zvogëluar 2 herë dhe prodhimi i dhënë është zvogëluar 2 herë.

c) 5 herë.

4

Nëse a ⋅ b = 120, njehso sa është:

a) (a : 3) ⋅ b;

5

Është dhënë 15 • 16 = 240. Njehso prodhimet: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); e pastaj krahasoje me prodhimin e dhënë.

b) a ⋅ (b : 5).

(15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),

Vëre se njëri shumëzues është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht 5 herë, ndërsa shumëzuesi i dytë është zvogëluar 2 herë, gjegjësisht 5 herë. Prodhimi nuk ka ndryshuar.

41

Në përgjithësi për prodhimin a • b = p njëri shumëzues zmadhohet numër të caktuar herë, ndërsa Nëse shumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të

(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

zmadhohet aq herë. Nëse njëri shumëzues zvogëlohet numër të caktuar herë, ndërsa shumëzuesi i dytë mbetet i njëjtë, atëherë edhe prodhimi do të zvogëlo-

(a : m) ⋅ b = p : m

het aq herë.

Prodhimi nuk ndryshon kur njëri shumëzues zvogëlohet numër të caktuar herë, ndërsa shumëzuesi i dytë zmadhohet për po aq herë.

B

6

E ke të njohur se 72 : 12 = 6. Njehso: a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = c) (72 : 4) : (12 : 4) =

;

b) 72 : (12 ⋅ 3) =

; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) =

(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

; 72 : (12 : 3) =

;

.

Vëre sa herë është zmadhuar, gjegjësisht zvogëluar: i pjesëtueshmi nën a); pjesëtuesi nën b)’ i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi nën c). Krahaso herësit e fituar me atë të dhënë. Çfarë vëren? Krahaso zgjidhjen tënde me atë vijuese. a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2; (72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

I pjesëtueshmi është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht zvogëluar 2 herë dhe herësi është zmadhuar 2 herë, gjegjësisht është zvogëluar 2 herë.

Vëre nën b) se pjesëtuesi është rritur (zvogëluar) 3 herë, ndërsa herësi është zvogëluar (zmadhuar) 3 herë. Herësi nën c) nuk u ndryshua.

7

E ke të njohur se a a : b = 30. Njehso: a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3);

c) (a : 5) : (b : 5).

Në përgjithësi për herësin a:b=q i pjesëtueshmi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër të Nëse caktuar herë, atëherë herësi do të zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) po aq herë. Nëse pjesëtuesi zmadhohet (gjegjësisht zvogëlohet) numër të caktu ar herë, ndërsa i pjesëtueshmi mbetet i njëjtë, atëherë herësi do të zvogëlohet (gjegjësisht zvogëlohet) po aq herë. nuk ndryshon nëse edhe i pjesëtueshmi edhe pjesëtuesi Herësi njëkohësisht zmadhohen (gjegjësisht zvogëlohen) numër të caktuar herë.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m (a : m) : b = q : m a : (b ⋅ m) = q : m a : (b : m) = q ⋅ m (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q (a : m) : (b : m) = q

42

Duhet të dish!

Testohu!

Si ndryshon prodhimi i dy numrave në varësi nga ndryshimi i shumëzuesve;

Cakto të panjohurat p dhe m, nëse a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9; b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

Si ndryshon herësi i dy numrave në varësi nga ndryshimi i të pjesëtueshmit gjegjësisht pjesëtuesit.

Di se 600:30=20. Njehso: a) (600 • 7) : 30; b) 600 : (30 • 4); c) 600 : (30 : 5); d) (600 : 10) : (30 : 10).

Detyra 1.

2.

3.

Është dhënë prodhimi a ⋅ b = 60. Njehso: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7); c) (a : 4) ⋅ b; d) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).

4.

Në një fabrikë të çokollatës, dy ekipe kanë paketuar çokollatat me nga 100 g në kuti të njëjta. Ekipi i dytë gjithsej ka paketuar 1 680 çokollata, e kjo është 3 herë më pak kutia se sa ekipi i parë. Sa çokollata ka paketuar ekipi i parë?

5.

Njehso herësin 7 680 : 240, por paraprakisht sille në pjesëtim me pjesëtues njëshifror, duke e shfrytëzuar vetinë për mos ndryshimin e herësit.

Është dhënë herësi a : b = 90. Njehso: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6); c) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) d) (a : 12) : (b : 12). Është dhënë a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Njehso: a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); c) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

Problem interesant!

Një grua ka sjellë në treg një shportë me vezë. Blerësit të parë ia ka shitur gjysmën e vezëve dhe gjysmë veze, të dytit gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të tretit gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze, të katërtit gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmë veze. Kur blerësi i pestë ka blerë gjysmën e vezëve të mbetura dhe gjysmën e vezës, është konstatuar se të gjithë blerësit kanë blerë vezë të plota dhe gruaja i ka shitur të gjithë vezët. Sa vezë ka sjellë gruaja në treg?

16

SHPREHJA NUMERIKE. BARAZIMET

Kujtohu!

Agoni kishte 120 denarë. Nëna i ka dhënë 300 denarë që ti ndajnë me motrën në mënyrë të barabartë. Në librari ka blerë 4 fletore nga 35 denarë dhe kompas për 50 denarë. Sa denarë i kanë mbetur Agonit?

A 1

Njehso: a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3; b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23. Shuma e dy numrave është 200, ndërsa njëri mbledhës është 120. Sa është mbledhësi i dytë? Prodhimi i dy numrave është 128, ndërsa njëri shumëzues është 64. Sa është shumëzuesi i dytë? ⋅ x

+x

120

64

200

x

128

x

− 120

: 64

64 ⋅ x = 128 x = 128 : 64 x=2

120 + x = 200 x = 200 - 120 x = 80

43

Përpilo shprehje me të dhëna dhe operacione përkatëse. Njehso shprehjen e fituar.

Krahaso zgjidhjen tënde me atë të dhënë 120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 = = 270 - 190 = 80. Shprehjen të cilën e përpilove quhet shprehje numerike Rezultati pas kryerjes së të gjitha operacioneve në të quhet vlera e shprehjes numerike.

Vëre dhe mbaj në mend Shprehje janë shënimet vijuese: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25). Nuk janë shprehje: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

2

Cakto vlerën e shprehjes numerike: a) 85 + 15 -30;

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

c) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.

Sipas cilës radhitje do ti kryesh operacionet?

Së pari do ti kryej operacionet shumëzim dhe pjesëtim, pastaj mbledhjen dhe zbritjen; por para së gjithash kryen operacionet në kllapat.

Mbledhja dhe zbritja quhen operacione të rendit të parë, ndërsa shumëzimi dhe pjesëtimi operacione të rendit të dytë.

44

3

Në përgjithësi për kryerjen e operacioneve Operacionet e rendit të njëjtë kryhen sipas radhitjes siç janë shënuar në shprehjen numerike.

Së pari kryhen operacionet e rendit të dytë, e pastaj operacionet e rendit të parë. Nëse në shprehjen numerike ka kllapa, atëherë përparësi ka kryerja e operacioneve në kllapa.

Njehso vlerën e shprehjes numerike: a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6;

B 4

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

c) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.

Beni ka menduar një numër natyror të tillë që me mbledhjen e numrit më të madh treshifror e jep numrin 1 234. Cili është ai numër?

Vëreje ecurinë dhe vepro sipas kërkesave. Së pari, numrin e kërkuar shënoje me ndonjë shkronjë, për shembull me shkronjën x.

x

+ 999 = 1 234

Numrit x shtoja numrin më të madh treshifror –ai është 999; kështu do ta fitosh shumën x + 999. Sipas kushteve të detyrës, shuma x + 999 është e barabartë me 1 234, prandaj x + 999 = 1 234. Si do ta përcaktosh mbledhësin e panjohur të kësaj barazie?

Mbledhësin x do ta caktoj nëse nga shumë 1 234 e zbresim mbledhësin e dytë 999. D.m.th., x = 1 234 - 999; x = 235. Barazia x+999=1 234 me të cilën e përcaktove numrin e panjohur x quhet barazim. Numri i menduar x quhet e panjohur. Përcaktimi i numrin të panjohur quhet zgjidhja e barazimit

5

Zgjidhe barazimin; a) (x + 1) + 300 = 702;

b) 1 432 + x = 3 200 + 17.

6

Është dhënë barazimi:

a) x - 1 270 = 2 380;

b) 8 226 - x = 1 149.

45

Përgjigju pyetjeve dhe zgjidhe barazimin e dhënë. a) Ä Çfarë është numri i panjohur x, e çfarë janë numrat e njohur 1 270 dhe 2 380? Si përcaktohet i zbritshmi i panjohur nëse është dhënë zbritësi dhe ndryshimi? Të zbritshmin x do ta përcaktoj ashtu që ndryshimit 2 380 do ti shtoj zbritësin 1 270.

b) Si do ta përcaktosh zbritësin e panjohur x në barazim nëse është dhënë i zbritshmi dhe ndryshimi? Zbritësin x do ta përcaktoj ashtu që nga i zbritshmi 8 226 do ta zbres ndryshimin 1 149.

7

Zgjidhe barazimin:

a) x - (1 300 + 78) = 2 630;

b) 5 273 - x = 3 700 - 37.

Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet: mbledhësi, i zbritshmi ose zbritësi i panjohur Mbledhësi i panjohur, gjatë shumës dhe mbledhësit tjetër të njohur, përcaktohet ashtu që nga shuma zbritet mbledhësi i njohur.

(b dhe c janë numra të njohur)

zbritshmi i panjohur, gjatë zbritësit dhe ndryshimit të njohur, fitohet Iashtu që ndryshimit do ti shtohet zbritësi.

(b dhe d janë numra të njohur)

Zbritësi i panjohur, gjatë të zbritshmit dhe ndryshimit të njohur, fitohet ashtu që nga i zbritshmi zbritet ndryshimi.

8

x + b = c; x - b = d; a - x = d;

x=c-b x=d+b x=a-d

(a dhe d janë numra të njohur)

Në një bodrum vëre nëpër kuti duhet të paketohen 1 392 shishe, e në secilën kuti duhet të ketë nga 16 shishe. Sa kuti janë nevojitur? Nëse me k e shënon numrin e kutive të nevojshme, atëherë në to do të ketë 16 ⋅ k shishe, prandaj 16 ⋅ k = 1 392. Numri 1 392 është prodhim i shumëzuesve 16 dhe k. Si do ta përcaktosh shumëzuesin k? Shumëzuesin k do ta përcaktoj nëse prodhimin 1 392 do ta pjesëtoj me shumëzuesin 16.

k = 1 392 : 16; k = 87. Shishet ishin të paketuar në 87 kutia.

9

Zgjidhe barazimin:

a) 17 ⋅ y = 595;

b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.

46

10

Si mund “ta lexosh” barazimin x : 25 = 47, gjegjësisht çfarë janë numra të njohur 25 dhe 47, e çfarë është e panjohura x?

Pastaj sqaro përfundimin se x = 47 ⋅ 25. Cili numër është zgjidhje? Provo pohimin tënd.

11

“Lexoje” barazimin 1 120 : x = 35 dhe sqaroje përfundimin x = 1 120 : 35.

12

Zgjidhe barazimin a) x : 7 = 63;

b) (z + 4) : 10 = 8;

c) 1 080 : x = 24;

d) 50 : (x + 2) = 10.

Në përgjithësi për barazimet në të cilat përcaktohet shumëzuesi, i pjesëtueshmi ose pjesëtuesi. Shumëzuesi i panjohur, gjatë prodhimit dhe shumëzuesit tjetër të njohur, përcaktohet ashtu që prodhimi do të pjesëtohet me

a ⋅ x = p; x = p : a (a dhe p janë të njohur)

shumëzuesin e njohur.

I pjesëtueshmi i panjohur, gjatë herësit dhe pjesëtuesit të njohur,

x : b = q; x = q ⋅ b (b dhe q janë të njohur)

Pjesëtuesi i panjohur, gjatë herësit dhe të pjesëtueshmit të njohur, përcaktohet ashtu që i pjesëtueshmi shumëzohet me herësin.

a : x = q; x = a : q (a dhe q janë numra të njohur)

përcaktohet ashtu që herësi do të shumëzohet me pjesëtuesin.

Duhet të dish!

Kontrollohu!

Të përcaktosh vlerën e shprehjes së dhënë numerike;

Përcakto vlerën e shprehjes numerike: 17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

cilat operacione në shprehjen numerike kanë përparësi gjatë kryerjes së tyre;

Zgjidhi barazimet: a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63; c) x : 15 = 10; d) 645 : x = 15; e) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

të zgjidhësh barazime sipas vetive të operacioneve aritmetikore.

Detyra e tyre 1.

2.

3.

Në një ndërmarrje kanë mbushur 1 360 arka me mollë, prej të cilave 420 të llojit delishese, 635 ajdaret, ndërsa arka të tjera të llojit mollë tetove. Sa arkë ishin me mollë tetove?

4.

Njomza ka 11 vjet. Para 3 viteve nëna e saj kishte 4 herë më shumë vite se Njomza. Sa vjet ka tani nëna e Njomzës?

5.

Eljesa dhe Beni kanë numër të njëjtë arrash. Dihet se bashkërisht do të kishin 140 arrë nëse Eljesa do të kishte 2 herë më shumë, ndërsa Beni 5 herë më shumë. Nga sa arra kanë Eljesa dhe Beni?

Përcakto vlerën e shprehjes numerike: a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16); b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13). Zgjidhe barazimin: a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120; c) 17 ⋅ x = 289; d) x : 30 = 40; e) 483 : x = 23; f ) 50 : (x + 2) = 10.

M E

R A P U N A T Ë D D H Ë N A

17 1

47

MESI ARITMETIK

Arlindi është pronar i video klubit dhe huazon videokaseta. Të dhënat për videokasetat e huazuara i ka shënuar në tabelë Dita

Cilën ditë Arlindi ka huazuar më shumë? Sa kaseta më tepër janë huazuar ditën e premte se sa ditën e martë? Sa kaseta gjithsej janë prodhuar?

Numri i kasetave

E hënë

12

E martë

9

E mërkurë

15

E enjte

6

E premte

23

Arlindit i ka interesuar sa kaseta ka huazuar mesatarisht në ditë, e për atë është e nevojshme të njehsohet mesatarja aritmetike e numrave në tabelë.

Vëre! Gjithsej kaseta të huazuara Kaseta të huazuara mesatarisht çdo ditë

12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65 65 : 5 = 13

Gjatë pesë ditë pune të javës Arlindi mesatarisht ka huazuar nga 13 videokaseta në ditë.

Numri 13 është mesatare aritmetike për numrat; 12, 9, 15, 6 dhe 23.

Numri i ditëve

Të mbaj mend! Mesataren aritmetike të dy apo më shumë numrave, e cila është e barabartë me herësi i shumës së atyre numrave dhe numrit të

2

Njehso mesataren aritmetike të numrave: 24, 36, 42;

3

657, 890, 1 240, 121, 3 522.

Në testet e matematikës Agoni i ka arritur këto rezultate: në testin 1 ka fituar 89 pikë, në testin 2 ka fituar 91 pikë, në testin 3 ka fituar 100 pikë dhe në testin 4 ka fituar 80 pikë.

Paraqiti të dhënat në tabelë. Sa pikë mesatarisht ka arritur Agoni në testet e matematikës?

18

48

PLOTË PJESËTUESHMËRIA E NUMRAVE NATYRORË. PLOTË PJESËTUESHMËRIE E SHUMËS DHE NDRYSHIMIT

Kujtohu!

A

1

Njehso: 24 : 6 = 139 : 2 =

Tetëmbëdhjetë nxënës të klasës VI-të janë përgatitë për festën e patronatin të shkollës. Ato duhet të paraqiten ashtu që të radhiten në rreshta me numër të njëjtë të nxënësve.

Në sa mënyra të ndryshme mundet të radhiten nxënësit?

265 : 5 = 2 785 : 8 =

Plotësoje tabelën me të dhëna për radhitjen e nxënësve.

Në cilin pjesëtim mbetja është 0?

Në sa mënyra mundet të fitohet numri 18 si prodhim i dy numrave? Me cilat numra mundet të pjesëtohet numri 18 ashtu që gjatë pjesëtimit mbetja të jetë 0 (pa mbetje)?

Numri i rreshtave

Numri i nxënësve në çdo rresht

Gjithsej nxënës

1

18

1 ⋅ 18

2

9

2⋅9 3⋅6

3 3 9

1 ⋅ 18

2

Të mbaj mend: Numri 18 pjesëtohet me numrat 1, 2, 3, 6, 9 dhe 18 pa mbetje.

Thuhet: Numri 18 plotpjesëtohet me numrat 1, 2, 3, 6, 9 dhe 18. Ato numra quhen pjesëtues të numri 18. Shkruhet: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Me pjesëtim provo:

UNË JAM PJESËTUESI

Numri 6 a është pjesëtues i numrit 24? Numri 31 a plotpjesëtohet me numrin 5? Numri 42 a plotpjesëtohet me numrin 6?

3

Cakto bashkësinë D14 e të gjitha pjesëtuesve të numrit 14. Vëre se për ti caktuar të gjithë pjesëtuesit e numrit 14 duhet hap pas hapit të pjesëtosh me 1, 2, 3, …, 7.

4

Numri 4 është pjesëtues i numrit 8 (4 ⋅ 2 = 8 ose 8 : 4 = 2 dhe mbetja 0). Shkruaj 5 numra që plotpjesëtohen me 4.

Të gjithë numrat që plotpjesëtohen me numrin 4 quhen shumëfisha të numrit 4.

49

Bashkësia e të gjithë shumëfishëve të numrit 4 e shënojmë me S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}. Numri natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, ose a është i plotpjesëtueshëm me b, nëse mbetja gjatë pjesëtimit të a me b është 0. 10 = 5 ⋅ 2

10 : 5 = 2 Pjesëtues të 10

Shkruajmë: 5 | 10. Lexojmë: 5 është pjesëtues i 10.

natyror b është pjesëtues i numrit natyror a, nëse Numri Shkruajmë: b | a. Lexojmë: b është pjesëtues i a.

a = b ⋅ k për çdo numër natyror k.

Numri natyror a është shumëfish i numrit natyror b, nëse b është pjesëtues i numrit a. 35 është shumëfish i 5, pasi 5 | 35

me vetveten. Çdo numër natyror plotpjesëtohet10me: 11=dhe 10 dhe 10 : 10 = 1 a : 1 = a dhe a : a = 1

B

5

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 7 numrat:

28, 42 dhe 28 + 42;

14, 18 dhe 14 + 18.

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 3 numrat:

9, 24 dhe 24 - 9;

15, 22 dhe 22 - 15.

Provo nëse janë të plotpjesëtueshëm me 4 numrat:

12, 15 dhe 12 ⋅ 15;

10, 15 dhe 15 ⋅ 10.

Vëreva në detyrë! Shuma plotpjesëtohet me numrin 7 nëse të dy mbledhësit plotpjesëtohen me numrin 7. Ndryshimi plotpjesëtohet me numrin 3 nëse i zbritshmi dhe zbritësi plotpjesëtohen me numrin 3. Prodhimi plotpjesëtohet me numrin 4 nëse njëri prej shumëzuesve plotpjesëtohet me numrin 4.

Në përgjithësi

Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m dhe numri b plotpjesëtohet me numrin m, atëherë shuma (a + b) plotpjesëtohet me numrin m. 5 | 15 dhe 5 | 35 5 | (15 + 35)

Plotë pjesëtueshmëria e shumës

m | a dhe m | b m | (a + b)

Nëse numri a plotpjesëtohet me numrin m edhe numri b plotpjesëto-

Plotë pjesëtueshmëria e ndryshimit

Nëse numri m plotpjesëtohet të paktën me njërin prej numrave a

Plotë pjesëtueshmëria e prodhimit

het me numrin m, atëherë ndryshimi (a - b) plotpjesëtohet me numrin m. 3 | 21 dhe 3 | 9 3 | (21 - 9) ose b, atëherë m plotpjesëtohet me numrin (a ⋅ b). 2 | 8 dhe 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15)

m | a dhe m | b m | (a - b) m | a ili m | b m | (a ⋅ b)

50

6

Prej numrave 15, 18, 25 dhe 28 formo dy numra ashtu që: shuma të jetë e plotpjesëtueshme me 5;

ndryshim të jetë i plotpjesëtueshëm me 3;

prodhim të jetë i plotpjesëtueshëm me 7, por të mos jetë i plotpjesëtueshëm me 5. Provo nëse shuma 12+8, gjegjësisht ndryshimi 24-9, janë të plotpjesëtueshëm me 5.

7

Vëre se asnjëri nga mbledhësit, gjegjësisht edhe i zbritshmi edhe zbritësi nuk janë të plotpjesëtueshëm me 5, ndërsa shuma, gjegjësisht ndryshimi janë të plotpjesëtueshëm me 5.

Testohu!

Duhet të dish! Kur një numër natyror plotpjesëtohet me numër tjetër natyror; të caktosh pjesëtues dhe shumëfish të numri të dhënë natyror; me shembull ta tregosh plotë pjesëtueshmërinë e shumës, ndryshimit dhe prodhimit të numrave natyrorë.

Janë dhënë numrat: 5, 8, 30 dhe 56. Cili prej këtyre numrave plotpjesëtohet me 6? Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrit 30. Shkruaj tre shumëfisha të numrit 5. Numri 5 a është pjesëtues i numrit 58? Provo pa njehsuar a është e saktë: 4 | (8 + 36);

5 | (56 - 30);

5 | (30 - 5);

5 | (30 ⋅ 6).

Detyra 1.

Cilët prej numrave 1, 2, 3, 5 ose 7 janë pjesëtuesit e numrit 70?

3.

Cakto pjesëtuesit e numrit 64. Provo a vlen 4 | 12; 3 | 36; 10 | 1 000. Shkruaj 7 shumëfisha të numrit 3. Sa shumëfisha ka numri 3?

2.

4.

Shkruaj nga një shembull që ta tregosh plotë pjesëtueshmërinë e: shumës së 4 numrave natyrorë me numër; ndryshimit të 2 numrave natyrorë me numër; prodhimit të 3 numrave natyrorë me numër;

5.

Pa e njehsuar shumën, gjegjësisht ndryshimin, cakto a është e plotpjesëtueshme me 5. a) 40 + 25;

b) 27 + 20;

c) 50 - 15;

d) 35 - 29.

Pa i njehsuar prodhimet, cakto cili prej tyre është i plotpjesëtueshëm me 3, e cili me 7. a) 9 ⋅ 5;

b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

c) 5 ⋅ 12;

d) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

Le të jetë A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. Shkruaje bashkësinëB = {x | x ∈ A dhe 4 | x} në mënyrë tabelare.

19

INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 2 DHE ME 5

Kujtohu!

Që të konstatosh se një numër plotpjesëtohet me numër tjetër, mjafton të caktosh herësin e tyre. Plotë pjesëtueshmëria mundet të caktohet edhe pa e kryer pjesëtimin. Atë e bëjmë me ndihmën e kritereve ose të ashtuquajturat indice të plotë pjesëtueshmëri.

A

Një numër natyror plotpjesëtohet me numër tjetër natyror nëse mbetja gjatë pjesëtimit është 0. Cili prej numrave: 37, 64 dhe 310 plotpjesëtohet me 2. Cili prej numrave: 65, 800 dhe 273 plotpjesëtohet me 5?

Vëre rregullën

10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10. 70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70. 290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

1

51

Provo nëse numrat :10, 70 dhe 270 plotpjesëtohen me 2.

Mund të vërej! Numri që mbaron me zero, mundet të shkruhet si prodhim në të cilin njëri prej shumëzuesve është 10. Ai prodhim plotpjesëtohet me 2. Çdo numër te i cili shifra e njësheve është 0 plotpjesëtohet me 2.

Vëre rregullën 2

Cilët prej numrave: 132, 254 dhe 365 plotpjesëto hen me 2?

132 : 2 = (130 + 2) : 2; 254 : 2 = (250 + 4) : 2; 365 : 2 = (260 + 5) : 2;

2 | 132, pasi që 2 | 130 dhe 2 | 2. 2 | 250, pasi që 2 | 250 dhe 2 | 4. 2 | 365, pasi që 2 | 360 dhe 2 | 5.

Mundem të vërej! Një numër a plotpjesëtohet me 2 ose jo, varet prej shifrës së njësheve të atij numri.

Mbaj mend! Një numër plotpjesëtohet me 2, nëse shifrat e njësheve të atij numri janë 0, 2, 4, 6 ose 8. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 2.

3

Cili prej numrave: 530, 738 dhe 1 336, 1 112 dhe 2 243 plotpjesëtohet me 2?

52

B

4

Provo nëse numrat: 10, 70 dhe 360 plotpjesëtohen me 5.

Vere rregullën

10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 pasi që 5 | 2 dhe 5 | 5. 70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 7. 360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 pasi që 5 | 10 dhe 5 | 36.

Mundem të vërej! Numri shifra e njësheve të të cilit është zero mundet të shkruhet si prodhim te i cili njëri prej shumëzuesve është 10. Ai numër plotpjesëtohet me 5. Çdo numër natyror ku shifra e njëshes është 0 plotpjesëtohet me 5.

Vere rregullën 5

Cilët prej numrave: 65, 105 dhe 263 plotpjesëtohen me 5?

65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, pasi që 5 | 60 dhe 105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, pasi që 5 | 100 263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, pasi që 5 | 260

5 | 5. dhe 5 | 5. dhe 5 | 3.

Mbaj mend!

Mundem të vërej! Numri shifra e njësheve të të cilit është 5 plotpjesëtohet me 5.

Një numër plotpjesëtohet me 5, nëse shifra e njësheve të atij numri është 0 ose 5.

Ku pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 5.

6

Cili prej numrave: 180, 243, 525, 420 dhe 1 275 plotpjesëtohet me 5?

Duhet të dish!

Testohu!

Të provosh nëse ndonjë numër natyror plotpjesëtohet me 2, gjegjësisht me 5, pa e kryer pjesëtimin; ta zbatosh indicin për plotë pjesëtueshmërinë me numrin 2, gjegjësisht me 5, në detyra.

Detyra 1. Pa e krye pjesëtimin provo plotë pjesëtueshmërinë me 2 për numrat: 28, 70, 96, 797, 2 001 dhe 25000. 2. Tregoje indicin për plotë pjesëtueshmërinë me 5.

3. Cili prej numrave: 102, 275, 400, 876 dhe 995 plotpjesëtohen me 5?

Cili prej numrave: 13, 24, 15, 57, 155, 850 dhe 1 000 plotpjesëtohet me 2; plotpjesëtohet me 5; plotpjesëtohet me 2 dhe 5?

4.

Njomza ka pasur më shumë se 60 bonbone, kurse më pak se 70 bonbone. Ajo u ka ndarë pesë shoqeve të saja numër të njëjtë të bonboneve. Sa bonbone ka pasur Njomza!

20

INDICET PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 3 DHE ME 9

Kujtohu!

A 1

Cakto cili prej numrave: 9, 66, 171 dhe 231 plotpjesëtohen me 3. Cili prej numrave: 18, 999, 1 062 dhe 11 000 plotpjesëtohen me 9?

Shkruaj tre numra shuma e shifrave të të cilit është e plotpjesëtueshme me 3.

2

53

Cili prej numrave: 72, 84, 297 dhe 373 plotpjesëtohet me 3? Cakto shumën e shifrave të çdo numri. Konstato te cili numër shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 3. Konstato cilët numra plotpjesëtohen me 3 dhe te cilët numra shuma e shifrave plotpjesëtohet me 3. Çka përfundon?

Provo nëse numrat që i shkruar janë të plotpjesëtueshëm me 3. Mund të vërej! Nëse një numër plotpjesëtohet me 3 atëherë edhe shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 3.

Mbaj mend! Një numër plotpjesëtohet me 3, nëse shuma e shifrave me të cilat ai është shënuar është numër i plotpjesëtueshëm me 3.

Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 3. Cili prej numrave: 111, 292, 1 112 dhe 1 236 është i plotpjesëtueshëm me 3?

3

B

4

Cili prej numrave: 78, 117, 348, 486 dhe 1 567 plotpjesëtohet me numrin 9? Cakto shumën e shifrave të çdonjërit prej numrave.? Konstato te cili numër shuma e shifrave plotpjesëtohet me 9?

Mundem të vërej! Kur një numër plotpjesëtohet me 9 atëherë edhe shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 9.

Mbaj mend! Një numër plotpjesëtohet me 9, nëse shuma e shifrave me të cilët është shkruar ai numër plotpjesëtohet me 9.

Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmërinë me 9.

5

Pa pjesëtuar cakto cili prej numrave: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 dhe 7 235 plotpjesëtohet: me 3;

me 9;

me 3 dhe me 9.

Mundem të vërej! Numrat: 459, 774 dhe 6 327 plotpjesëtohen me 3 dhe me 9.

54

Duhet të dish!

Mbaj mend! Çdo numër që plotpjesëtohet me 9 plotpjesëtohet edhe me 3.

Testohu!

Cili numër natyror plotpjesëtohet me 3; Të caktosh nëse numri i dhënë plotpjesëtohet me 9; çdo numër natyror që plotpjesëtohet me 9 plotpjesëtohet edhe me 3.

Cili prej numrave: 75, 94, 258 dhe 347 plotpjesëtohet me 3? Cila shifër duhet të qëndroj në vend të shenjës * te 5 6*3 që të fitohet numër i plotpjesëtueshëm me 9? Shkruaj një numër që plotpjesëtohet me 3 dhe me 9.

Detyra 1. Cili prej numrave 348, 512, 1 245 dhe 6 123

4.

plotpjesëtohet me 3?

Yllin zëvendësoje me shifër ashtu që numri i fituar të plotpjesëtohet me 9. 3∗8;

6 ∗74;

1 8∗3;

35∗12.

2. Cili prej numrave 4 279, 9 126 dhe 540 plotpjesëtohet me 9?

5.

3. Cila shifër duhet të shkruhet në vend të

Cila shifër duhet të qëndroj në vend të yllësit * te numri 27 55* që numri të plotpjesëtohet me 2 dhe me 3?

shenjës *, që numri i fituar të plotpjesëtohet me 3? 1 3∗7;

6 53∗;

3 ∗25;

24 ∗62.

Nëse dëshiron të dish më shumë! Pse një numër plotpjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij plotpjesëtohet me 9? Vëre në këtë shembull: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6); Shprehja 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 plotpjesëtohet me 9 sipas rregullës për plotë pjesëtueshmërinë e prodhimit dhe shumës. Nga vlera e shprehjes 4 + 8 + 6 varet nëse numri 486 plotpjesëtohet me 9.

4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, pasi 9 | 18. Në mënyrë të ngjashme trego plotë pjesëtueshmërinë e numrit 123 me 3.

Përpiqu të përfundosh! Merita ka hyrë në shitore për të blerë një akullore dhe tre çokollata. Ajo ka ditur se akullorja kushton 60 denarë. Shitësi i ka thënë se duhet të pagojë 220 denarë. Ajo ka thënë se llogaria nuk është e saktë. Shitësi përsëri ka njehsuar dhe ka kërkuar falje. Si ka ditur Merita se llogaria nuk është e saktë, e nuk e ka ditur çmimin e çokollatës?

21

INDICI PËR PLOTË PJESËTUESHMËRINË ME 4

A 1

Kujtohu! Cili prej numrave: 96, 300, 2 718 dhe 3 008 plotpjesëtohet me 4?

55

Provo nëse numrat: 100, 500 dhe 1 300 plotpjesëtohen me 4.

Vëre ecurinë

100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, pasi që 4 | (25 ⋅ 4). 500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, pasi që 4 | (100 ⋅ 5). 1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, pasi që 4 | (100 ⋅ 13).

Mundem të vërej Numri te i cili shifra e njësheve dhe dhjetësheve janë zero mundet të shkruhet si prodhim te i cli njëri prej shumëzuesve është 100. Ai prodhim plotpjesëtohet me 4. Çdo numër natyror te i cili shifra e njësheve është 0 dhe shifra e dhjetësheve është 0 plotpjesëtohet me 4.

2

Cili prej numrave: 132, 916 dhe 283 plotpjesëtohet me 4?

Vëre ecurinë : 4 = (100 + 32) : 4; 132 916 : 4 = (900 + 16) : 4; 283 : 4 = (200 + 83) : 4;

4 | 132, pasi që 4 | 100 dhe 4 | 32. 4 | 916, pasi që 4 | 900 dhe 4 | 16. 4 | 283, pasi që 4 | 200 dhe 4 | 83.

Mundem të vërej! Ndonjë numër a plotpjesëtohet me 4 ose jo, varet prej numrit dyshifror të formuar prej shifrës të njësheve dhe shifrës së dhjetësheve të atij numri.

Mbaj mend! Numri i dhënë plotpjesëtohet me 4, nëse mbaresa e tij dyshifrore plotpjesëtohet me 4. Ky pohim quhet indici për plotë pjesëtueshmëri me 4.

56

3

Konstato cili prej numrave: 48, 108, 135, 1 240, 7 732 dhe 9 006 plotpjesëtohet me 4.

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh nëse ndonjë numër natyror plotpjesëtohet me 4 pa e kryer pjesëtimin.

Shkruaje numrin 9 996 si shumë prej ku do të konstatosh nëse plotpjesëtohet me 4. Shkruaj dy numra që plotpjesëtohen me 4.

Detyra 1. Me shifrat 1, 2, 3 dhe 4, pa përsëritjen e tyre, shkruaji të gjitha numrat katërshifror që plotpjesëtohen me 4.

3. Shkruaj tre numra natyrorë që plotpjesëto-

2. Cila shifër duhet të qëndroj te vendi i

shënuar me * që numri të plotpjesëtohet me 4? 362∗; 4 71∗;

hen me 4 dhe me 5.

4.

Shkruaje numrin e dhjetëshes së dytë të qindëshes së katërtë që plotpjesëtohet me 2, 3 dhe 4.

5 4∗2; 52∗0.

Edhe kjo është matematikë! Në tavolinë gjinden 50 fasule. Dy lojtarë me radhë marrin nga një, ose nga dy, ose nga tre fasule. Fiton ai lojtar i cili i fundit do të merr. Sa fasule duhet të marrë lojtari i cili fillon i pari që të fitojë me siguri? Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i pari. Bëj një strategji fitimtare për lojtarin që merr i dyti nëse në tavolinë ka 20 fasule. Bëj një strategji fitimtare nëse në tavolinë ka çfarëdo numër të fasuleve dhe lojtarët marrin me radhë nga 1 deri 4 ose nga 1 deri 5 etj. Nëse nuk mund ta zgjidhi detyrën e vështirë, do të provoj me detyrë të ngjashme por më të lehtë. Do të filloj me 10 fasule, pastaj me 20 fasule etj.

22

NUMRA TË THJESHTË DHE TË PËRBËRË. PARAQITJA E NUMRIT TË PËRBËRË SI PRODHIM TË NUMRAVE TË THJESHTË

57

Kujtohu!

A 1

Çdo numër natyror plotpjesëtohet me 1. Çdo numër natyror plotpjesëtohet me vetveten.

Shkruaj tre numra që kanë më shumë se tre pjesëtues.

Shkruaji të gjithë pjesëtuesit e numrave: 3, 17 dhe 53. Caktoji të gjithë pjesëtueset e numrave: 6, 12 dhe 15.

2 Numër

Pjesëtues të numrit

1

1

2

1, 2

3

1, 3

4

1, 2, 4

5

1, 5

6

1, 2, 3, 6

Unë jam i përbërë

E unë!?

1 4 7

3

B

Shkruaj tre numra që kanë vetëm dy pjesëtues.

Shihe tabelën.

Cili numër ka vetëm një pjesëtues? Cilët prej numrave të tabelës kanë vetëm dy pjesëtues? Cilët prej numrave të tabelës kanë më shumë se dy pjesëtues?

Mbaj mend!

Unë jam i thjeshtë.

Numrat që kanë vetëm 2 pjesëtues quhen numra të thjeshtë. Numrat që kanë më shumë se dy pjesëtues quhen numra të përbërë. Numri 1 nuk është as numër i përbërë as numër i thjeshtë.

Numrat në tabelë: 2, 3 dhe 5 janë të thjeshtë. Numrat në tabelë: 4 dhe 6 janë të përbërë.

Shkruaji në mënyrë tabelare bashkësitë: A = {x | x ∈ N dhe x < 20}; B = {x | x ∈ A dhe x është numër i thjesht}; C = {x | x ∈ A dhe x është numër i përbërë}.

4

Cakto prodhimin e numrave të thjeshtë: 2, 3 dhe 7; 2, 3 dhe 5; 2, 2, 3 dhe 3.

58

Paraqite si prodhim çdonjërin prej numrave: 42, 50 dhe 75.

5

Krahaso zgjidhjen tënde me atë të dhënë.

42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2 50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52

Mundem të vërej! Numrin e përbërë mundem ta paraqes si prodhim të numrave të thjesht

75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52

Mbaj mend! Çdo numër i përbërë natyror mundet të shkruhet si prodhim i numrave të thjeshtë, dmth. të zbërthehet në shumëzues të thjeshtë.

6

Shkruaje numrin 36 si prodhim të numrave të thjeshtë.

7

Zbërtheje numrin 120 si shumëzues të thjeshtë. Vëreje rregullën për zbërthimin e numrit në shumëzues të thjeshtë.

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

Së pari tërheqim vizë vertikale afër numrit 120. Vizën vertikale e paramendojmë si shenjë për pjesëtim, kurse herësit i shkruajmë nën të pjesëtueshmin. Pjesëtimin e fillojmë me pjesëtuesin më të vogël të thjesht të numrit të dhënë dhe vazhdojmë me atë pjesëtues deri sa është e mundur (në rastin konkret me 2). Rregullën e vazhdojmë me çdonjërin prej herësve deri sa nuk fitojmë herës 1.

120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 Duke e shfrytëzuar rregullën e njëjtë zbërtheji në shumëzues të thjeshtë këto numra: 36, 140, 600 dhe 10 000. Vëre zbërthimin e numrit 1 164.

1 164 582 291 97 1

2 2 3 97

1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97

Herësi i fundit 97 nuk është i plotpjesëtueshëm as me 3 e as me 5. Provojmë dhe pohojmë se nuk është i plotpjesëtueshëm as me numrin e thjeshtë vijues . Nuk ka nevojë të provojmë për numrin vijues 11, pasi që 112 > 97. D.m.th, 97 është numër i thjeshtë.

Testohu!

Duhet të dish! Cilët numra natyrorë janë të thjeshtë, e cilët të përbërë; të zbërthesh numër të dhënë në shumëzues të thjeshtë.

59

Cili prej numrave 91 dhe 97 është numër i përbërë? Sqaro! Zbërtheje numrin 152 në shumëzues të thjeshtë.

Detyra 1. Zbërtheji në shumëzues të thjeshtë

këto numra: 15, 42, 38, 75 dhe 11 115.

3. Një familje ka numër tek të fëmijëve, numër

të thjeshtë të adhuruesve shtëpiak, numër çift të automobilave dhe numër të përbërë të dhomave të fjetjes. Shuma e të gjithë këtyre numrave është 10. Cilët janë ato numra?

2. Numri i viteve të Arlindit është nunër i përbërë më i vogël se 30, kurse më i madh se 20 dhe mundet të paraqitet si prodhim i shumëzuesve të thjeshtë. Sa vjet ka Arlindi?

4.

Përpiqu të shkruash numra të thjeshtë më të mëdhenj se 2 si shumë e dy numrave të thjeshtë. Shembull: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11. Shkruaje si shumë e numrave të thjeshtë numrin:14; 52.

Hulumto vet! Në një hotel kishte 100 llamba. Në një tabelë kishte ndërprerës për secilën llambë dhe ato ishin të shënuar me numra prej 1 deri 100. Nëse ndërprerësi shtypet një herë, llamba ndriçon, ndërsa nëse shtypet për së dyti ajo fiket. Të gjitha llambat ishin të fikura. Kujdestari i shtëpisë ditën e parë i ka shtypur të gjithë ndërprerësit, gjegjësisht të gjitha llambat i ka ndriçuar. Që të kursej energjinë elektrike, ai ditën e dytë ka shtypur çdo të dytin ndërprerës, ditën e tretë çdo të tretin dhe në këtë mënyrë ditën e njëqindtë ka shtypur vetëm ndërprerësin e njëqindtë. Cilat llamba, gjegjësisht llambat me cilin numër të shënuar do të ndriçojnë pas ditës së njëqindtë?

Vet mund të hulumtoj dhe ta zgjidh problemin. Së pari do të mendoj për 10 llamba, pastaj për 20, pastaj për 30 dhe kështu do të përfundoj për 100 llamba.

23

60

PJESËTUESI I PËRBASHKËT. PJESËTUESI MË I MADH I PËRBASHKËT

Kujtohu! Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 18. Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me D18. Cakto të gjithë pjesëtuesit e numrit 24. Bashkësinë e pjesëtuesve shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me D24. Cakto pjesëtuesit e përbashkët të numrave 18 dhe 24, dmth. cakto D18 ∩ D24.

A

1

Njomza ka blerë sheqerka për 28 denarë, kurse Agoni ka blerë prej të njëjtave sheqerka për 42 denarë. Cili mundet të jetë çmimi i sheqerkave? Sa mundet të jetë çmimi më i lartë i sheqerkave?

Vëre rregullën dhe përfundo!

Të gjithë pjesëtuesit e numrit 28. Të gjithë pjesëtuesit e numrit 42. Pjesëtuesit e përbashkët të numrave 28 dhe 42.

D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}

Vërej se: Nëse D28 është bashkësia e pjesëtuesve të numrit 28, kurse D24, bashkësia e pjesëtuesve të numrit 24, atëherë D28 ∩ D24 është bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 28 dhe 24.

Vëre se:

Çmimi i sheqerkave mundet të jetë: 1 den., 2 den., 7 den. ose 14 den. Çmimi më i lartë mundet të jetë 14 den. Numri 14 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët për numrat 28 dhe 42.

Mbaj mend! Më i madhi prej të gjithë pjesëtuesve të përbashkët të numrave m dhe n quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave m dhe n. Shënohet: PMP(m, n).

2

Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të përbashkët të numrave 30 dhe 45. Cakto PMP(30, 45).

61

Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numrat: a) 24 dhe 30; b) 9 dhe 14.

3

Vëre! Pjesëtues i përbashkët për numrat 9 dhe 14 është numri 1, dhe ai është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i tyre. PMP(9, 14) = 1

Mbaj mend! Nëse PMP (a, b) = 1, atëherë për numrat a dhe b themi se janë numra reciprokisht të thjeshtë.

B

4

Cakto PMP(168, 180).

Vëre rregullën dhe vepro sipas kërkesave. Zbërtheji numrat 168 dhe 180 në shumëzues të thjeshtë. Paraqiti numrat 168 dhe 180 si prodhim të shumëzuesve të thjeshtë.

168 84 42 21 7 1

2 2 2 3 7

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Vëre! Numri që është PMP(168, 180) është prodhim i pjesëtuesve të thjeshtë të tyre të përbashkët, dmth. PMP(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

5

Cakto PMP(120, 150). Dhe PMP(42, 63, 84).

6

Vëreje ecurinë e shkurtuar për caktimin e PMP. Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy numrave. Cakto numrin më të vogël të thjeshtë që është pjesëtues i të dy herësve të fituar. Rregullën e vazhdon deri sa herësit e fituar nuk janë numra reciprokisht të thjeshtë. Prodhimi i pjesëtuesve të thjeshtë të përbashkët është pjesëtuesi më madh i përbashkët, dmth PMP(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 dhe PMP(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.

Cakto a) PMP(72, 90);

b) PMP (150, 180, 240)

120, 150 60, 75 20, 25 4, 5

2 3 5

42, 63, 84 14, 21, 28 2, 3, 4

3 7

62

Testohu!

Duhet të dish!

Të caktosh pjesëtues të përbashkët të dy numrave; cilët numra janë reciprokisht të thjeshtë; të caktosh pjesëtues më të madh të përbashkët të dy ose më shumë numrave sipas ecurisë së shkurtuar.

Zbërtheji numrat 36 dhe 60 në shumëzues të thjeshtë, kurse pastaj cakto PMP të tyre. Janë dhënë dy tela me gjatësi 8 m dhe 12 m. Cila është gjatësia më e madhe me të cilën të dy telat mundet të ndahen në dy pjesë të barabarta?

Detyra

1. Cakto bashkësinë e pjesëtuesve të për-

Përpiqu të zgjidhësh!

bashkët për numrat: 30 dhe 36.

6. Sa më së shumti kuti të barabarta mund të 2. Cakto:

a) PMP(12, 18); b) PMP(48, 72);

3. Cakto:

a) PMP (16, 25);

bëhen prej 48 çokollatave, 72 karameleve dhe 120 sheqerkave, ashtu që në çdo kuti të ketë numër të njëjtë prej çdo prodhimi?

c) PMP(60, 90, 120); d) PMP(240, 300, 600).

b) PMP(36, 72).

Duke i shfrytëzuar rrjetat e mëposhtme, cakto dhe shkruaj në pikët përkatëse pjesëtuesit e numrave: a) 36 dhe 54; b) 28, 42 dhe 98.

7.

Me ndihmën e rrjetave cakto: PMP(36, 54) dhe PMP(28, 42, 96)

4. Sa më së shumti buqetë mund të bëhen prej 48 tulipanëve të bardh dhe 72 tulipanëve të kuq, ashtu që në çdo buqetë të ketë numër të njëjtë të tulipanëve me ngjyrë të njëjtë?

28 42 98 36

2

5. Janë dhënë dy tela. Njëri është i gjatë 96m, ndërsa tjetri 180m. Sa metro është gjatësia më e madhe me të cilën mund të maten të dy tela?

P

PM

54 2

1

3

3 1

P PM

7

24

SHUMËFISHI I PËRBASHKËT. SHUMËFISHI MË I VOGËL I PËRBASHKËT

Kujtohu!

A

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 3, shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me Sh3. Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4, shkruaje në mënyrë tabelare dhe shënoje me Sh4. Shkruaje bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 3 dhe 4, dmth. cakto Sh3 ∩ Sh4.

1

63

Dy shok janë takuar në bibliotekë. Njëri shkon në bibliotekë çdo të katërtën ditë, kurse tjetri çdo të gjashtën ditë. Pas sa ditëve ato do të takohen përsëri në bibliotekë?

Vëre rregullën dhe përfundo!

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 4.

S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

Bashkësinë e shumëfishave të numrit 6.

S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}

Bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 28 dhe 42.

S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}

Vëre!

Të dy shokët do të takohen në bibliotekë pas 12 ditë, 24 ditë, 36 ditë etj. Herën e parë do të takohen pas 12 ditë. Numri 12 është shumëfishi më i vogël i përbashkët për numrat 4 dhe 6.

Mbaj mend! Numri më i vogël natyror n që është shumëfish i përbashkët i numrave a dhe b quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a dhe b. Shënohet: SHVP(a, b) = n.

2

B

Cakto bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të numrave 3 dhe 5. Cakto SHVP(3, 5).

3

Cakto SHVP(12, 45). Vëre rregullën për caktimin e SHVP. Zbërtheji numrat 12 dhe 45 në shumëzues të thjeshtë.

12 6 3 1

2 2 3

45 15 5 1

3 3 5

64

Numri 12 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 22 ⋅ 3.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët është prodhimi i tyre, përkatësisht SHVP(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.

Numri 45 i zbërthyer në shumëzues të thjeshtë është prodhimi 32 ⋅ 5. Të gjithë shumëzues të thjeshtë të numrave 12 ose 45 janë 2, 3 dhe 5. Ato me fuqi më të madhe paraqiten si: 22, 32 i 5.

4

Cakto SHVP(m, n), nëse është e njohur se: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.

5

Cakto SHVP(60, 72, 90). Vëre ecurinë e shkurtuar për caktimin e SHVP me ndihmën e vijës vertikale.

Cakto pjesëtuesin e thjesht, duke filluar prej më të voglit, të një ose më tepër numrave të dhënë.

Rregullën vazhdoje për herësit e fituar dhe për numrat tjerë të përshkruar që nuk e kanë pjesëtuesin e thjeshtë përkatës. Prodhimi i pjesëtuesve të fituar të thjeshtë është shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të dhënë, drnth. SHVP(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360.

6

Cakto SHVP të numrave: a) 14 dhe 15; b) 20 dhe 40; c) 60, 90 dhe 120.

60, 72, 90 30, 36, 45 15, 18, 45 15, 9, 45 5, 3, 15 5, 1, 5 1, 1, 1

2 2 2 3 3 5

Vëre!

Nëse dy numra janë reciprokisht të thjeshtë, atëherë SHVP i atyre numrave është prodhimi i tyre, dmth SHVP(14, 15) = 14 15 = 210; Nëse prej dy numrave, njëri është shumëfish i tjetrit, atëherë SHVP i atyre numrave është më i madhi, dmth SHVP(20, 40) = 40.

Duhet të dish! Të caktosh bashkësinë e shumëfishave të përbashkët të dy numrave; të caktosh shumëfish më të vogël të përbashkët për dy ose më shumë numra, sipas ecurisë së shkurtuar.

Testohu! Paraqite çdonjërin prej numrave 9 dhe 12 si prodhim të numrave të thjeshtë, pastaj cakto shumëfishin më të vogël të përbashkët. Në patronatin e shkollës ndahen shpërblime në këtë mënyrë: medalje fiton çdo i 10-ti shikues; lëng çdo i 15-ti shikues; kapelë çdo i 20-ti shikues; Kush është shikuesi i parë që i ka fituar të tre shpërblimet?

65

Detyra

1. Cakto bashkësinë e shumëfishave të num-

rave: 10 dhe 15, e pastaj cakto SHVP(10, 15).

2. Cakto:

5. Artitoni ka pasur më pak se 30 kube. Nëse i

radhit nga 3 në një rresht një i ngel. Nëse i radhit nga 4, gjithashtu, një i ngel, por nëse i radhit nga 5 nuk i ngel asnjë kub. Sa kube ka pasur Mentori?

a) SHVP(8, 10); c) SHVP(80, 120); b) SHVP(6, 12, 18); d) SHVP(120, 180, 240).

3. Prej stacionit të njëjtë njëkohësisht janë nisur tre autobusë. I pari kthehet në stacion çdo 50 minuta, i dyti çdo 60 minuta, kurse i treti çdo 75 minuta. Pas sa më së paku minuta të tre autobusët do të gjenden së bashku në stacionin fillestar?

6. Tre llamba me ngjyrë të ndryshme janë ndezur në njëkohësisht. Llamba e kuqe shuhet pas çdo 5 sekonda, e kaltra shuhet pas çdo 4 sekonda, kurse e verdha shuhet pas çdo 6 sekonda. Në cilën sekondë njëherësh do të shuhen të tre llambat?

4. Dy anije nisen njëkohësisht prej një limani të njëjtë. I pari kthehet në liman çdo 20 ditë, kurse i dyti çdo 24 ditë. Pas sa më së paku ditë anijet do të takohen së bashku në limanin e njëjtë?

Hulumto vet! Me çfarë janë të ngjashme, e me çfarë dallohen numrat 12 dhe numri 16?

Përpiqu të njehsosh! Shumëfishi më i vogël i përbashkët i ndonjë numri dhe numrit 12 është numri 24. Cili është numri i panjohur?

Problem interesant! Dy vëllezër kanë dashur të blejnë bileta për “Park zbavitës”. Janë llogaritur dhe njërit prej tyre i kanë munguar 20 denarë për dy bileta, ndërsa tjetrit për dy bileta i ka munguar një denarë. Kanë konstatuar se edhe parat e tyre gjithsej kanë munguar për dy bileta. Sa para ka kushtuar një biletë për “Park zbavitës” dhe nga sa para kishte secili prej tyre?

66

M E

25

R A P U N A T Ë D D H Ë N A

DIAGRAMI ME FOTOGRAFI. DIAGRAMI SHTYLLOR Shitja e këmishave

Diagrami me fotografi është mënyrë e paraqitjes së të dhënave me shfrytëzimin e vizatimeve ose simboleve.

Java 1 Java 2 Java 3

1

Java 4

Në një shitore është regjistruar shitja e këmishëve në për 6 javë. Të dhënat janë paraqitur me diagram me fotografi. Shqyrto diagramin.

Java 5 Java 6 Shenja

Paraqiti të dhënat në tabelë.

paraqet 10 këmisha Ndërsa

Cilën javë është shitur numri më i madh i këmishëve.

5 këmisha

Sa këmisha më shumë janë shitur në javën e 2 se javën 1. Gjithsej sa këmisha janë shitur për 6 javë?

2

Nxënësit e klasës së VI kanë mbledhur të dhënat për atë se ku njerëzit më së shumti dëshirojnë të dëgjo një muzikë. Të dhënat janë paraqitur në tabelë. Gjatë

numri

Shëtitjes

në shtëpi

Mësimit

Sportimit

Në punë

Tjetër

30

50

20

25

15

40

Paraqiti të dhënat në tabelë me përdorimin e simbolit simbol Një simbol simbol paraqet 10 përgjigje.

(dëgjuese).

Ku më shpesh njerëzit dëgjojnë muzikë? Sa gjithsej janë përgjigjur në pyetjen e parashtruar?

3

Vëre tabelën për numrin e librave të huazuara nga biblioteka e qytetit. Paraqiti të dhënat në diagram me fotografi nëse simboli paraqet 50 libra. Shkruaj tre pyetje në lidhje me të dhënat dhe përgjigju atyre pyetjeve.

Dita

Nr. i librave

E hënë

350

E martë

400

E mër

150

E enjte E pre

100 50

4

67

Rreth Diellit rrotullohen 9 planeta. Shtatë prej tyre kanë satelitët e vet (hënat). Në tabelë janë parashtruar të dhënat për numrin e satelitëve të zbuluar deri më vitin 1992.

Planeti

Numri i hënave

Toka

1

Marsi

2

Jupiteri

16

Saturni

18

Urani

15

Neptuni

8

Plutoni

1

Që të paraqiten të dhënat në diagram shtyllor është e nevojshme:

Të vizatohet bosht horizontal dhe të shkruhen emrat që u korrespondojnë të dhënave. Të vizatohet bosht vertikal dhe të shkruhet lloji i njësisë matëse. Të vendoset për madhësinë e njësisë matëse të shkallës ashtu që të mundet të paraqiten të gjitha të dhënat dhe të formohet shkalla. Të vizatohen shtyllat. Të shkruhet titulli i diagramit shtyllor.

18 16 14 12 10 8 6 4 2

Z

M

J

S

U

N

P

Planets Vëre zgjedhjen e shkallës. Pse nuk është praktike të shfrytëzohet shkalla me njësi matëse 5 ose 10 në këtë shembull?

20 15 10 5 0

Numri i hënave

0

Pse është më mirë të paraqiten të dhënat te diagrami shtyllor se sa në tabelë? Paraqiti të dhënat në diagrantin shtyllor ashtu që shtyllat të vizatohen horizontalisht.

Numri i hënave

Numri i hënave

Hënës e planeteve

20 10 0

68

26

MËSOVE PËR NUMRA NATYRORË. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE

Janë dhënë bashkësitë A = {x | x është numër tek i dhjetëshes së dytë}, B = {x | x është numër i thjeshtë i dhjetëshes së dytë} dhe C = {x | x ∈ N dhe 15 < x ≤ 19}. a) Shkruaji bashkësitë A, B dhe C në mënyrë tabelore. b) Paraqiti B dhe C me diagram të Venit dhe shkruaje B∩C në mënyrë tabelore. c) Cakto cilat prej bashkësive A, B, C, B∩C dhe B\C janë ekuivalente.

1.

9.

Një kal dhe një gomar janë ngarkuar.

Nëse nga numri i kilogramëve që mban gomari zbresësh 9, do të fitosh 19 kilogram. Nëse tre herë e zvogëlosh numrin e kilogramëve që mban kali, do të fitosh 13 kg. Sa kilogram ngarkesë mbajnë kali dhe gomari së bashku?

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, c} dhe B = {1, 5}. Cakto prodhimin e Dekartit A x B dhe katrorin e Dekartit B2.

2.

Janë dhënë shifrat ; 9, 1 dhe 0. a) Formo të gjitha numrat treshifror me përdorimin e të gjitha shifrave të dhënë. b) Radhiti sipas madhësisë numrat e fituar, duke filluar nga më i vogli. c) Shkruaje paraardhësin dhe pasardhësin e numrit më të vogël të numrave të fituar.

3.

10. Gjeje mesataren aritmetike të numrave: 427, 586, 386 dhe 485.

11. Cilat numra 105, 372, 801, 930 dhe 254 plotpjesëtohen me: a) 2; b) 5; c) 3; d) 9 ?

12. Cilën shifër duhet ta shkruash në vend të * Shkruaje numrin “njëzet miliardë treqind e pesëdhjetë milionë pesë mijë e shtatëdhjetë”. Në cilën klasë dhe në cilën pozitë të atij numri është shifra 3? Cila është vlera pozicionale e shifrës 3?

4.

Rrumbullako numrat 6485 dhe 2539 në qindëshe dhe gjeje shumën e numrave të rrumbullakuar. Për sa dallohet ajo shumë nga shuma e saktë?

5.

Si do të ndryshoj ndryshimi 35 648-18 719 nëse zbritësi zvogëlohet për 300, ndërsa i zbritshmi mbetet i njëjtë?

6.

Prej dy gypave rrjedh uji në pishinë, ku për një sekondë prej një gypi derdhen 9l, ndërsa prej tjetrit 6l. Sa litra ujë do të derdhen në pishinë prej të dy gypave për 15 min?

7.

Njomza dhe Almiri kanë pjesëtuar një numër të njëjtë: Njomza me 14, ndërsa Almiri me 18. Njomza ka fituar herës 23 dhe mbetje 2. Cilin herës e ka fituar Almiri?

8.

që numri të jetë i plotpjesëtueshëm me 4: a) 573*; b)74*2?

13. Zbërtheje numrin 315 në shumëzues të thjeshtë.

14. Cakto bashkësinë D68, gjegjësisht bashkësinë e të gjithë pjesëtuesve të numrit 68.

15. Cakto PMP dhe SHVP për numra 18 dhe 24. 16. Sa ekipe më së shumti mund të formohen prej gjithsej 12 vajzave dhe 20 djemve, në qoftë se secili ekip do të ketë numër të njëjtë të vajzave dhe djemve.

17. Në një linje telefonike shtyllat janë vendosur në largësi prej 30 m. Shtyllat duhet të zhvendosen në largesë prej 50 m. Cilat shtylla të linjës telefonike do të mbesin në vend të njëjtë.

TEMA 2.

FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH

14. Këndi qendror. Konstruksioni i 1. Pika dhe drejtëza. Vetitë themelore të këndit drejtëzës 70 2. Pozita reciproke e dy drejtëzave 73 15. Mbledhja dhe zbritja grafike e këndeve 3. Largesa ndërmjet dy pikave 75 16. Matja e këndeve. Këndmatësi 4. Gjysmëdrejtëza. Segmenti. Gjatësia e segmentit 77 17. Operacionet aritmetike me kënde 5. Bartja e segmenteve 80 18. Drejtëzat reciprokisht normale. Largesa e pikës deri te drejtëza 6. Vija e thyer 83 7. Konceptet themelore dhe të nxjerra 87 19. Simetralja e segmentit. Përgjysmorja e këndit 8. Rrethi dhe qarku 89 20. Këndet komplementare dhe 9. Pozita reciproke e rrethit dhe pikës. suplementare Pozita reciproke e rrethit dhe drejtëzës 92 21. Shumëkëndëshi 10. Pozita reciproke e dy rrathëve 94 22. Disa lloje të shumëkëndëshave 11. Gjysmërrafshi. Këndi 97 23. Perimetri i shumëkëndëshit 24. Mësove për figurat gjeometrike 12. Krahasimi i këndeve. Llojet e në rrafsh. këndeve 100 Provo njohurinë tënde. 13. Këndet fqinje, të puqët dhe kryqëzor 103

69

105 108 110 113 116 118 120 122 125 127

130

1

70

PIKA DHE DREJTËZA. VETITË THEMELORE TË DREJTËZËS

Kujtohu! G

B

a F

D A

C

H

A

1

Në vizatim është paraqitur drejtëza a dhe disa pika: Pikat A, D dhe F i takojnë drejtëzës a. Pikat: B, C, H dhe G nuk i takojnë drejtëzës a. Te drejtëza a ka edhe shumë pika të tjera. Vizato një drejtëz b dhe në të shëno disa pika. Shëno edhe pika që nuk i takojnë drejtëzës b. Si e paramendon drejtëzën?

Shihe vizatimin dhe mbaj mend atë që është treguar. p

M

N

Mund të themi se drejtëza është bashkësi pikash. Për pikën M themi se i takon drejtëzës p ose drejtëza p kalon nëpër pikën M; shkurtimisht shkruajmë M ∈ p.

Pika N, nga ana tjetër nuk i takon, dmth. nuk shtrihet në drejtëzën p, por mund të thuhet edhe se N shtrihet jashtë drejtëzës p; shkurtimisht shkruajmë N ∉ p. Të mbaj mend! Pika shtrihet në drejtëz ose pika nuk shtrihet në drejtëz.

2

Vizato një drejtëz dhe shënoje me m. Pastaj shënoji pikat A, B, C, M dhe N ashtu që: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m dhe N ∈ m. Shprehi me fjalë shënimet e shkurtra A ∈ m dhe B ∉ m.

3

Vëre!

Në vizatim janë shënuar drejtëza d dhe pikat: A ∈ d, B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d dhe G ∉ d. Te drejtëza shtrihen shumë A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që i takojnë pika, por ka edhe pika që drejtëzës d? Sa? nuk shtrihen në atë drejtëz. A mundesh të shënosh edhe pika të tjera që nuk i takojnë drejtëzës d? Sa? d Këtë mbaje mend si veti të parë themelore të C F drejtëzës. E D A G B

Vëre cilat nga pikat e shënuara në vizatim shtrihen në drejtëzën e njëjtë.

4

B

a

D

b

C

E

A

Sipas vizatimit konstato a janë kolineare pikat: a) A, P dhe B; d) M, S dhe B; b) M, S dhe N; e) A dhe B; c) A, P dhe N; f ) N, P, S, M.

5

Shkronjat A dhe B në vizatim paraqesin pikë të njëjtë. p A

6

q

B

Shkruajmë A≡B dhe themi: „Pikat A dhe B puthiten". Shkronjat p dhe q, pra, paraqesin drejtëz të njëjtë. Shkruajmë p ≡ q dhe themi: „Drejtëzat p dhe q puthiten".

B

7

Nëpër pikat M dhe N në vizatim kalon drejtëza p. A mundet të tërhiqet edhe ndonjë drejtëz tjetër që kalon nëpër pikat M dhe N?

N M

8

p

71

Vëre dhe mbaj mend!

Për pikat që shtrihen në drejtëzën e njëjtë quhen pika kolineare. Në vizatim pikat A, C dhe D janë kolineare dhe pikat B, C dhe E janë kolineare. Pikat A, B dhe D nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë, pra ato nuk janë pika kolineare. M

m

B

S P A

n N

Vëre dhe mbaj mend! Kur themi: „shëno dy pika", ”janë dhënë dy drejtëza", do të nënkuptojmë se ato dy pika, përkatësisht ato dy drejtëza janë të ndryshme. Ato do t'i shënojmë me shkronja të ndryshme.

Vëre dhe mbaj mend! Nëpër pikat M dhe N kalon vetëm një drejtës. Këtë mbaje mend si vetia e dytë themelore e drejtëzës. Të mbaj mend! Prej vetisë së dytë themelore del se dy pika përcaktojnë një drejtëz të vetme. Prandaj drejtëza mundet të shënohet edhe me dy pika të saja dhe mundet të thuhet: „Drejtëza MN, në vend se „drejtëza p”.

Shëno dy pika A dhe B dhe tërhiq drejtëz p të përcaktuar me ato dy pika. Pastaj cakto pikën C që nuk i takon drejtëzës p. Sa drejtëza janë për caktuar me tre pika? Shkruaj ato drejtëza me ndihmën e pikave.

72

Vëre dhe mbaj mend!

Shihi vizatimet, mendo dhe përfundo sipas kërkesës.

9 a b

A

N

M c

Nëpër një pikë kalojnë pafund shumë drejtëza

Vëren se janë tërhequr tri drejtëza që kalojnë nëpër pikën M dhe pesë drejtëza që kalojnë nëpër piken N.

Për pikën e tillë A, si në vizatim, themi se është pikë e përbashkët e drejtëzave që kalojnë nëpër atë pikë.

A mundesh të tërheqësh edhe drejtëza tjera që kalojnë nëpër pikën M? Sa? Po nëpër pikën N?

10 Shëno pikë P. Vizato tri drejtëza a, b dhe c, ashtu që pika P të jetë pika e tyre e përbashkët. Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh pozitën reciproke të pikës dhe drejtëzës;

Vizato drejtëz a dhe shëno pika A, B, M dhe P që shtrihen në drejtëzën a, edhe pika C, D, F dhe N që nuk shtrihen në drejtëzën a.

të shprehish dhe të sqarosh vetinë themelore të parë dhe të dytë të drejtëzës;

Shëno tri pika kolineare A, B dhe C.

të dallosh tre ose më shumë pika a janë kolineare ose janë jo kolineare.

Shëno pikë M dhe tërhiq drejtëza a, b, c dhe d që kalojnë nëpër pikën M. Sa drejtëza mund të tërheqësh ashtu që të kalojnë nëpër pikën M?

Detyra 1.

Vizato dy drejtëza a dhe b dhe në çdonjërën prej tyre shëno nga tri pika.

2.

Shëno tre pika A, B dhe C dhe vizato tre drejtëza a, b dhe c ashtu që drejtëza a të kalon nëpër pikat A dhe B, b nëpër pikat B dhe C dhe c nëpër pikat A dhe C. Cila është pika e përbashkët e drejtëzave a dhe c?

3.

Cilat pika janë: a) kolineare; b) jo kolineare? A

b

E D

B

a C

4.

Në drejtëzën p janë shënuar pikat M, N dhe P. Si mundet të emërtohet ndryshe drejtëza p?

5.

Pikat A, B, C dhe D janë radhitur ashtu që ndërmjet tyre nuk ka tri pika që janë kolineare. Sa drejtëza përcaktojnë ato pika? Paraqite atë në vizatim.

2 Kujtohu!

A

a P

b

Drejtëzat a dhe b kanë pikë të përbashkët P. A mundet dy drejtëza të ndryshme të kenë më shumë se një pikë të përbashkët? Pse?

1

73

POZITA RECIPROKE E DY DREJTËZAVE

Shkruaj shkurtimisht: a) Drejtëzat a dhe b priten në pikën M. b) Prerja e drejtëzave c dhe d është pika L. c) Pika e përbashkët e drejtëzave

2

Dy drejtëza më së shumti mund të kenë vetëm një pikë të përbashket. Për drejtëzat që kanë vetëm një pikë të përbashkët thuhet se priten në atë pikë. Pika e përbashkët quhet preja e atyre drejtëzave. Në vizatim drejtëzat a dhe b priten dhe pika e tyre është P. Kjo shkurtimisht shkruhet a ∩ b = {P}

Sipas vizatimit cakto çka është e saktë. a) a ∩ b = {A}.

c) b ∩ c = {B}.

b) a ∩ c = {B}.

d) a ∩ c = {C}.

m dhe n është pika S.

c C

a

b A

B 3

Dy drejtëza mundet edhe të mos kenë pikë të përbashkët. Të atilla janë drejtëzat a dhe b në vizatim. a b

Kjo praktikisht do të thotë: sado që t'i „vazhdosh ", ato nuk priten.

4

B

Dy drejtëza që nuk kanë pikë të përbashkët quhen drejtëza paralele. Drejtëzat a dhe b në vizatim janë paralele. Atë shkurtimisht e shënojmë a || b.

Pozita reciproke e drejtëzave a, b dhe c në vizatim është si vijon: a dhe b janë paralele, dmth a || b. a dhe c priten, dmth. a || c. b dhe c priten, dmth. b || c.

c

b a

74

Vëre dhe mbaj mend!

Dy drejtëza ose priten; ose janë paralele; Për drejtëzat a dhe b te të cilat të gjitha pikat i kanë të përbashkëta themi se puthiten.

a b

Kur disa drejtëzat puthiten, ajo llogaritet si rast i veçantë i paralelizmit, prandaj mund të thuhet se çdo drejtëz është paralele me vetveten, dmth a || a.

Duhet të dish! Për cilat dy drejtëza themi se priten; për cilat dy drejtëza themi se janë drejtëza paralele; se drejtëzat që puthiten llogariten për drejtëza paralele.

Testohu! Vizato drejtëz a dhe shëno pikë R ∉ a. Nëpër pikën P tërhiq drejtëz b që e pretë drejtëzën a. Vizato tre drejtëza a, b dhe c ashtu që, dy nga dy, të mos kenë pika të përbashkëta. Shkruaji simbolikisht pozitat reciproke të atyre drejtëzave. Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që a || b dhe b ∩ c = {M}.

Detyra 1.

Vizato tri drejtëza a, b dhe c ashtu që të kenë një pikë të përbashkët.

4.

Vizato një drejtëz a, pastaj vizato drejtëzën b, ashtu që a || b.

5.

Vizato një drejtëz m. Pastaj vizato drejtëzat n dhe p ashtu që n || m dhe p || m. Çfarë pozite reciproke kanë drejtëzat n dhe p?

2. Të tri drejtëzat AB, BC dhe BD a mundet

të kenë pikë të përbashkët? Cila është ajo pikë? Paraqite atë me vizatim.

3.

Janë dhënë pikat A, B dhe C. Sa drejtëza përcaktojnë ato pika? Shqyrtoji të gjitha rastet e mundshme varësisht prej pozitës së pikave.

3

75

LARGESA NDËRMJET DY PIKAVE

Kujtohu!

Shihe vizatimin dhe vëre konstatimet!

A

Deri më tani shumë herë ke caktuar largesën prej një vendi deri në vendin tjetër, prej një objekti deri te tjetri, prej një pike deri te tjetra. Atë largesë e ke shprehur me një numër të caktuar të centimetrave (cm), metrave (m), kilometrave (km) etj. B A Për shembull, largesa ndërmjet pikave A dhe B është 5 cm, që shkurtimisht shkruhet , largesa prej Shkupi deri në Veles është 55 km etj Mate largesën ndërmjet pikave C dhe D në milimetra dhe shkruaje shkurtimisht.

C

D

D

a

C B A Largesa prej një pike A deri te pika tjetër B është numër më i madh se zero ose e barabartë me zero, atë numër e shënojmë me AV,dmth, AV ≥ 0. Numri AV është më i madh se zero kur pikat janë të ndryshme dhe është i barabartë me zero kur pikat puthiten. Sipas vizatimit: AB = 4 cm; AB > 0;

BD = 3 cm; BD > 0;

BC = 0 cm, pasi që pikat B dhe C puthiten.

1

A

AB, BC dhe CD.

2

Cakto largesat MN dhe NM, e pastaj krahasoi. Shkruaje atë simbolikisht.

M

3

B

C

Në lidhje me vizatimin cakto largesat

N

B

D

Vëre! Për çfarëdo dy pika A dhe B, largesa prej A deri te B është e barabartë me largesën prej B deri te A, dmth. AB = BA.

Nëse largesa CD = 28 cm, atëherë sa është largesa DC?

4

d

C

Në vizatim janë dhënë pikat jo kolineare A, B dhe C. Mati largesat AB, AC dhe CB. Krahasoji: AB me AC + CB;

A

BC me BA + AC;

Përfundova se: AB < AC + CB;

AC me AB + BC;

BC < BA + AC dhe AC < AB + BC.

Çka vëren?

B

76

5

Pikat M, N dhe P në vizatim janë kolineare.

M

N

P

Mati largesat MP, MN, NP dhe MP krahasoje me

MN + NP.

Përfundova se:

Çka përfundove?

MP = MN + NP.

Për çfarëdo tri pika A, B dhe C largesa prej A deri te C është më e vogël ose e barabartë me shumën e largesave prej A deri te B dhe prej B deri te C, dmth. AC ≤ AB + BC. Largesa ndërmjet dy pikave A dhe B është numër AV me veti vijuese: 1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) për cilën do pikë C vlen: AC ≤ AB + BC. Nëse për tri pika M, N dhe P, vlen barazia MP = MN + NP, atëherë ato tre pika shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Në atë rast thuhet se pika N shtrihet ndërmjet pikave M dhe P.

6

Cakto pikat A, B dhe C a shtrihen në drejtëzën e njëjtë, nëse: AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

Duhet të dish! Largesa ndërmjet dy pikave është numër më i madh se zero nëse pikat janë të ndryshme, kurse është e barabartë me zero nëse pikat puthiten; për çfarëdo dy pika A dhe B, AB = BA; për çfarëdo tre pika A, B dhe C, AC ≤ AB + BC.

Testohu! Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtë nëse; AC = 56 mm, AB = 3 cm dhe BC = 26 mm ? Pse? Pikat M, N dhe P nuk janë kolineare, ku MN = 3 cm dhe NP = 5 cm. A mundet MP të jetë 95 mm?

Detyra 1. Pikat A, B dhe C janë kolineare ku pika B është ndërmjet pikave A dhe C. Njehso largesën prej pikës A dhe B, nëse AC = 7 cm dhe BC = 42 mm.

2. A janë kolineare pikat K, L dhe M nëse KL = 3 cm, LM = 52 mm dhe KM = 82 mm?

3. Vizato drejtëz m dhe në të shëno pika M, N, P dhe S, ashtu që N të shtrihet ndërmjet M dhe P dhe M të shtrihet ndërmjet N dhe S.

4. Pikat A, B dhe C shtrihen në drejtëzën e njëjtë ku AB = 35 mm dhe BC = 48 mm. Sa është AC?

5. Në drejtëzën p pika P shtrihet ndërmjet pikave M dhe S, MP është tre herë më e vogël se PS dhe MS = 12 cm. Njehso MP dhe PS.

4

77

GJYSMËDREJTËZA. SEGMENTI. GJATËSIA E SEGMENTIT

Kujtohu! a

A

O

Në vizatim është dhënë drejtëza a dhe pika O që shtrihet në drejtëz. Në sa pjesë drejtëza a është ndarë me pikën O? a

A B

O

C

D

Cilat prej pikave të shënuara shtrihen në anën e njëjtë prej pikës O? Shëno dy pika në drejtëzën a, ndërmjet të cilave shtrihet pika O.

Shihe vizatimi, vëre dhe mbaj mend! p

O

V

A Drejtëza p me pikën O është ndarë në dy pjesë, ashtu që asnjëra prej atyre pjesëve nuk e përmban pikën O. Për pikën O thuhet se është pikë kufitare e të dy pjesëve. Çdonjëra pjesë e drejtëzës, së bashku me pikën kufitare quhet gjysmëdrejtëz. Pika kufitare quhet pika e fillimit ose origjinë e gjysmëdrejtëzës.

Në vizatim është vizatuar gjysmëdrejtëza. Nëse pika O është pika e fillimit, kurse M është çfarëdo pikë e gjysmëdrejtëzës, atëherë shkurtimisht shkruajmë: gjysmëdrejtëza OM.

M

N

O

1

Vizato drejtëzën a dhe në të shëno dy pika A dhe B. Sa gjysmëdrejtëza janë shënuar në atë mënyrë? Shkruaji shkurtimisht ato gjysmëdrejtëza.

2

Me ndihmën e pikave M dhe N në vizatim, shkruaji shkurtimisht të dy gjysmëdrejtëza me të cilat është ndarë drejtëza m me pikën O.

m

M

O

N

Vëre! Gjysmëdrejtëzat OM dhe ON formojnë një drejtëz. Gjysmëdrejtëzat e tilla quhen gjysmëdrejtëza përbërëse.

3

Shëno dy pika M dhe N. Vizato gjysmëdrejtëz ashtu që M të jetë pikë e saj e fillimit, kurse N pika që i takon gjysmëdrejtëzës.

4

Sa gjysmëdrejtëza me pikën e fillimit O janë shënuar në vizatim? Cilët prej tyre janë gjysmëdrejtëza përbërëse? m A O B C

B

Drejtëza dhe gjysmëdrejtëza janë bashkësi pikash. Çdo bashkësi pikash quhet edhe figurë gjeometrike.

78

a p

6

M

P

Emërtoji segmentet në vizatim a) dhe b). V A

b)

8

D

A

Vëre dhe mbaj mend!

Ndërmjet cilave pika shtrihet pika P? A ka pika tjera në drejtëzën p që shtrihen ndërmjet pikave M dhe N?

a)

B O

N

Në vizatim janë shënuar drejtëza p dhe pikat M, N dhe P.

7

C

Emërtoji figurat gjeometrike në vizatim.

5

S

M

X

M

Figura gjeometrike që i përmban pikat M dhe N dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyre quhet segment. Pikat M dhe N quhen pika të skajshme (anësore) të segmentit MN. Pika X te vizatimi nën b) dhe të gjitha pikat tjera që shtrihen ndërmjet pikave M dhe N quhen pika të brendshme të segmentit MN.

N

Mate largesën ndërmjet pikave A dhe B në vizatim dhe atë shkruaje simbolikisht.

Vëre dhe mbaj mend! M

A

N

B Të mbaj në mend! Një segment mundet të shënohet edhe me shkronjë të vogël. Me shkronjën e njëjtë shënohet edhe gjatësia e atij segmenti. Në vizatim segmenti MN është shënuar me m dhe m = 5 cm.

m

N

Largesa ndërmjet pikave të skajshme M dhe N të segmentit MN quhet gjatësia e atij segmenti dhe shënohet me MN. MN = 5 cm

Vëre dhe mbaj mend! 9

Në vizatim është dhënë segmenti AB dhe në të pika D. Matë largesat ndërmjet pikave A dhe D dhe ndërmjet pikave D dhe B. Çka vëren?

Në vizatim AD = DB. Domethënë pika D është një lloj e larguar prej pikave A dhe B të segmentit AB. Pika e atillë quhet pika e mesme ose mesi i atij segmenti.

A

10

D

B

Vizato segment PS dhe cakto mesin e tij O.

11

Mati gjatësitë e segmenteve AB, CD, EF dhe GH dhe krahasoji. Cilët prej segmenteve të dhënë kanë gjatësi të barabarta? A

79

Vëre dhe mbaj mend! Nga krahasimi i segmenteve, në vizatim mundemi të konstatojmë:

AB = EF i CD = GH Për dy segmente që kanë gjatësi të barabarta themi se janë të barabartë. Segmentet e barabartë janë edhe segmente të puthitshme.

B

C D F E

G

H

12

Vizato segment CD që është i barabartë me segmentin AB në vizatim. A

B

Duhet të dish! Testohu Të vizatosh dhe të shënosh gjysmëdrejtëz; Ç’është gjysmëdrejtëz;

Cilët prej pikave të shënuara në vizatim i takojnë segmentit AB? D

të sqarosh ç’është segment; ç’është gjatësia e segmentit; për cilët segmente themi se janë të barabartë ose të puthitshëm.

A

C

F

B

G

E Vizato segment AB, pastaj vizato segment CD që është i barabartë me segmentin AB.

Detyra 1. Ç’është gjysmëdrejtëz? 2. Shëno tri pika jo kolineare O, A dhe B, kurse pastaj vizato gjysmëdrejtëzat OA dhe OB. Vizato gjysmëdrejtëzën OC, që është pjesë përbërëse e gjysmëdrejtëzës OB. 3. Vizato drejtëzën p dhe në të shëno dy pika M

dhe N. Në drejtëzën p shëno pika P dhe S që i takojnë segmentit MN dhe pika K dhe L që nuk i takojnë atij segmenti.

5. Cilët segmente janë segmente të puthitshme?

6. Shëno tri pika jo kolineare A, B dhe C. Sa segmente përcaktojnë ato pika? Emërtoji ato segmente.

7. Shëno tri pika kolineare E, F dhe G. Sa segmente përcaktojnë ato pika? Emërtoji.

8. Segmentet AB dhe CD janë të puthitshme. Sa është gjatësia e segmentit CD, nëse

4. Ç’është gjatësia e segmentit AB?

AB = 4 cm?

5

80

BARTJA E SEGMENTEVE

A

Kujtohu! O

A

M

Në vizatim është dhënë gjysmëdrejtëza OM dhe në të është shënuar pika A. Mate largesën ndërmjet pikave O dhe A.

1

Vepro sipas kërkesës dhe shqyrtoje atë që është thënë. Vizato gjysmëdrejtëz OM dhe në të cakto dy pika A dhe B, të tilla që OA = 1 cm dhe OB = 3 cm.

A ka pikë tjetër A1, përveç A, ashtu që OA1 = 1 cm? Nëse n është numër më i madh se zero, atëherë në gjysmëdrejtëzën OM shtrihet vetëm një pikë A që është në largësi n prej pikës O, dmth. OA = n.

A mundesh në gjysmëdrejtëzën OM të caktosh edhe pikë tjetër që është e larguar prej pikës O aq sa edhe pika A?

Vëreje këtë si një veti të pikave të gjysmëdrejtëzës. Vetia e pikave të gjysmëdrejtëzës mundet të shfrytëzohet për vizatimin e segmenteve të barabartë vetëm me ndihmën e vizorit dhe kompasit. Vizatimi i bërë vetëm me vizor dhe kompas quhet konstruksion.

2

Konstrukto segment që është i barabartë me segmentin AB.

Zgjidhje: A

B O

M

S

Shqyrtoje zgjidhjen e dhënë dhe puno sipas udhëzimeve dhe vizatimeve. Vizato gjysmëdrejtëzën OS (vizatimi a). Hape kompasin, ashtu që hapja e tij të jetë e barabartë me gjatësinë e segmentit AB, dmth. "mere" segmenti AB (vizatimi b). Majën e kompasit vendose në pikën O dhe me hapje të njëjtë, shëno pikën M (vizatimi c).

O

Y

a)

Segmentet AB dhe OM janë të barabartë. Kjo ecuri quhet edhe bartja grafike e segmentit në gjysmëdrejtëzën e dhënë.

c)

b) A

V

O

M

Y

3

Vizato segment MN dhe gjysmëdrejtëzën OP. Barte segmentin MN në gjysmëdrejtëzën OP.

4

Segmentet m (dmth. KL) dhe n (dmth. MN) janë bartë në gjysmëdrejtëzën OT (në vizatim në anën e djathtë) ashtu që OP = KL dhe PS = MN.

m

81

n

K

L

M

N

n

m

Sa është gjatësia e segmentit? P

O

B

5

Cakto në mënyrë grafike, shumën e segmenteve a dhe b nga vizatimi.

Puno sipas udhëzimit dhe vizatimeve. Vizato gjysmëdrejtëzën OT (viz. a). Barte segmentin a në gjysmëdrejtëzën OT (viz. b). Barte segmentin b në gjysmëdrejtëzën OT, me pikën e fillimit P dhe pikën e skajshme S (viz. c). Segmenti OS paraqet shumën grafike të segmenteve a dhe b, që shënohet me a + b (viz. d).

6

a)

S

T

a

b

A

B

C

O

D

T a

b)

O

P a

c)

T b

O

P

S

T

S

T

a+b d)

Në vizatim janë dhënë segmentet KL dhe MN dhe gjysmëdrejtëza OT. Segmentet KL dhe MN janë bartë në gjysmëdrejtëzën OT. Në atë mënyrë në gjysmëdrejtëzën OT është fituar segmenti OS. Sa është gjatësia e segmentit OS?

O m K

L

n M

N m

7

Cakto në mënyrë grafike ndryshimin e segmenteve m = KL dhe n = MN.

O

S

n

P

T

Puno sipas ecurisë Vizato gjysmëdrejtëz OT. Në gjysmëdrejtëzën OT barte segmentin KL = m m ashtu që OP = n. Segmentin MN = n barte në gjysmëdrejtëzën OT me fillim në pikën P, kah pika O. Ashtu do ta fitosh segmentin PS, ku PS = n. Segmenti OS është ndryshimi i segmenteve KL dhe MN, dmth. OS = m – n.

82

Vizato segment a = 62 mm dhe b = 3 cm, kurse pastaj konstrukto segmentet a + b dhe a - b.

8

Duhet të dish!

Testohu!

Për çdo numër n më të madh se zero, te gjysmëdrejtëza OS shtrihet vetëm një pikë pika A që është në largësi n prej pikës O, dmth. OA = n; si bartet segmenti mbi gjysmëdrejtëz; si caktohet grafikisht shuma, përkatësisht ndryshimi i dy segmenteve.

Vizato segment AB = 48 mm dhe gjysmëdrejtëz OS. Barte segmentin AB në gjysmëdrejtëzën OS. Konstrukto segmentet OM = a + 2b dhe ON = 2a – b, nëse a = 3 cm dhe b = 2 cm.

Detyra 1. Vizato gjysmëdrejtëzën OS, dhe në të shënoi pikat A dhe B, ashtu që OA = 4 cm

4. Konstrukto segmentet: 2a + b dhe

a + 2b, nëse a = 25 mm dhe b = 22 mm.

dhe AB = 2 cm.

2. Për cilin vizatim themi se është konstruk-

5. Konstrukto segmentet: a - b dhe

3. Konstruktoi segmentet: OM = 2a dhe

6. Konstrukto segmentet: a + b - c, nëse

sion?

a - 2b, nëse a = 72 mm dhe b = 2 cm.

ON = 3a, nëse a = 3 cm.

a = 5 cm, b = 3 cm dhe c = 4 cm.

Provo aftësinë tënde të hetimit. Provo me numërim. 1. Sa katrorë ka në figurën e vizatimit a)? 2. Sa drejtkëndësha ka në figurën e vizatimit b)? 3. Sa trekëndësh barabrinjës ka në figurën e vizatimit c)?

a)

b)

c)

6

83

VIJA E THYER

Kujtohu! A

Për dy segmente që kanë vetëm pikën e skajshme të përbashkët quhen segmente fqinje.

A

B

Pikat A dhe B janë pikat e skajshme të segmentit AB.

P M

Ç’kanë të përbashkët segmentet AB dhe BC në vizatim? C A Prej vizatimit vëren se segmentet AB dhe BC nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë.

N

Segmentet MN dhe NP në vizatim janë segmente fqinjë. Përgjigju kërkesave. Në vizatimet a) – e) janë dhënë segmentet AB, BC, CD dhe DE, që lidhen njëri me tjetrën në mënyrë të ndryshme.

B

a)

Te cili vizatim dy segmente fqinjë shtrihen në drejtëzën e njëjtë? Te cili vizatim nuk ka segmente fqinje që shtrihen në drejtëzën e njëjtë?

A

B

C

D

E

C b)

B

A

C

c) C

E

d)

A

B

D A

E

e) C

B D

D B

A

E

Mbaj mend!

D

Nëse gjatë lidhjes të segmenteve, çfarëdo dy segmente fqinjë nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë, atëherë figura e fituar gjeometrike quhet vijë e thyer. Figurat gjeometrike b), d) dhe e) janë vija të thyera, kurse a) dhe c) nuk janë. Pse?

1

Cilat figura nga vizatimi janë vija të thyera? H

M

G

T

N

E A

B

L

C F

a)

b)

K

I c)

P

R

S d)

Në vizatim është dhënë një vijë e thyer. Segmentet AB, BC dhe CD quhen brinjët e vijës së thyer, kurse pikat e tyre të skajshme - kulme.

84

D S

Me cilin segment segmenti AB është fqinjë, kurse me cilin segmenti BC është fqinjë? Segmente fqinjë të vijës së thyer quhen brinjë fqinjë. Për shembull, brinjë fqinjë të vijës së thyer në vizatim janë AB dhe BC, si dhe BC dhe CD.

A

V

Cilët prej brinjëve të vijës së thyer në vizatim nuk janë fqinjë? D Në vizatim është dhënë një vijë e thyer.

2

Cilët janë brinjë fqinjë të brinjës BC? Cilët brinjë nuk janë fqinjë të brinjës CD?

A

B

Shihe vizatimin dhe përcjelle atë që është treguar D

a)

b)

S

E

V

Vëre dhe mbaj mend!

D Për një vijë të thyer te e cila pikat e skajshme puthiten thuhet se është e mbyllur.

S

E A

V

S

A≡E

B

Prej vizatimit mund të vëresh se pikat e skajshme A dhe E të vijës së thyer ABCDE nuk puthiten. Pikat e skajshme A dhe E të vijës së thyer puthiten te pika A.

3

Brinjët e trekëndëshit formojnë vijë të thyer të V mbyllur.

S A

Cila prej vijave të thyera në vizatim nuk ka brinjë fqinjë që priten? Cila prej vijave të thyera është e mbyllur dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

85

Vëre! Vijat e thyera a), b) dhe d) nuk kanë brinjë fqinjë që priten. Vija e atillë quhet vijë e thjeshtë e mbyllur. Vijat e thyera b) dhe f ) janë të thyera dhe nuk ka brinjë fqinjë që priten.

Mbaj mend!

Brinjët e katërkëndëshit formojnë vijë poligonale. C D

Vija e thyer e thjeshtë e mbyllur quhet vijë poligonale.

A

C

4

Njehso shumën e gjatësive të brinjëve të vijës së thyer në vizatim. 45 m m

2c m

D

C

B

Vëre dhe mbaj mend! Shuma e gjatësive të brinjëve të vijës së thyer quhet perimetër i vijës së thyer dhe shënohet me P. Perimetri i vijës së thyer në vizatim është: P = AB + BC + CD + DE

4

cm

E

A

32 mm

B

P = 32 + 40 + 45 + 20, përkatësisht, P = 137 mm.

5

Njehso perimetrin e vijës së thyer KLMNP, nëse: KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm dhe PK = 6 cm.

Duhet të dish!

Testohu!

Të sqarosh ç’është vijë e thyer e mbyllur;

Vizato vijën e thyer të mbyllur ABCDE.

Çfarë është vijë e thyer e thjeshtë e mbyllur, përkatësisht vijë poligonale;

mbyllur ABCDE, nëse

çfarë është perimetri i vijës së thyer

Njehso perimetrin e vijës së thyer të AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DE = 4 cm dhe EA = 7 cm.

86

Detyra

1. Shëno katër pika A, B, C dhe D, ashtu që të mos ketë tri pika që shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllur me kulme te pikat A, B, C dhe D.

4. Ç’është perimetri i vijës së thyer të mbyllur?

5. Gardhi i oborrit ABCD e ka perimetrin P = 21 m. Njehso gjatësinë e brinjës AB, nëse BC = 5 m,CD = 720 cm, DA = 630 cm.

2. Sa kulme dhe sa brinjë ka vija e thyer në vizatim? Emërtoji kulmet dhe brinjët.

6. Njehso perimetrin e vijës së thyer të paraqi-

D

tur në vizatim. C

E

D

35 mm

28 mm

E

C A

B 25 mm

3 cm

3. Vizato vijën e thyer të thjeshtë të mbyllur me

A

4 cm

shtatë kulme.

Obidi se! 1. Pa e quar majën e lapsit nga letra, vizato vijë të thyer, me të cilën figurën e dhënë a) do ta ndash në gjashtë trekëndësha kënddrejtë. 2. Vizato figura (vija të thyer të mbyllura) viz.b) “me një lëvizje”, pa e larguar majën e lapsit nga letra dhe pa kalimin e sërishëm nëpër vijën e vizatuar. A është e mundur kjo të bëhet me figurën c)?

a)

b)

c)

B

7

KUPTIMET THEMELORE DHE TË NXJERRA

Kujtohu!

A

Duke e mësuar matematikën, deri tani mësove për: numrin, shumën e dy numrave, segmentin, rrethin, syprinën e drejtkëndëshit etj. Përkujto edhe disa sende që i ke mësuar.

1

87

Mbaj në mend

Numri, shuma e dy numrave, segmenti, rrethi, syprina e drejtkëndëshit, vija e thyer janë kuptime matematike.

Vëre dhe kujtohu për këto kuptime matematike që i ke mësuar: pika;

largesa:

gjysmëdrejtëza;

mesi i segmentit;

drejtëza;

rrafshi

segmenti

vija e thyer.

Kujtohu për disa prej këtyre kuptimeve a) Figura gjeometrike që i përmban pikat A dhe B dhe të gjitha pikat që shtrihen ndërmjet tyre quhet segment. b) Pika e segmentit që është një lloj e larguar prej skajeve të tij quhet mesi i segmentit. c) Figura gjeometrike e segmenteve të lidhur, të atillë që çfarëdo dy segment fqinjë nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë quhet vijë e thyer.

Çfarë tregojnë fjalitë a) – c)? Me fjalinë nën a) përcaktohet se çfarë figure gjeometrike është segmenti, dmth jepet përgjigje në pyetjen „ç’quajmë segment?" Për fjalinë nën a) thuhet se është përkufizim i kuptimit segment. Fjalia nën b) është përkufizim i kuptimit pikë e mesme. Fjalia nën c) është përkufizim i kuptimit vijë e thyer.

2

Si përkufizohet kuptimi për pikat kolineare?

Vëre! Te përkufizimi për kuptimin vijë e thyer janë përdor kuptimet segmente fqinjë dhe drejtë. Për përkufizimin e kuptimit mesi i segmentit, përsëri përdoren kuptimet pikë dhe drejtëze.

Kuptimet pikë dhe drejtëz nuk i përkufizojmë me kuptime të tjera. Ato vetëm i sqarojmë. Është pranuar që disa kuptime të merren si fillestare dhe ato quhen kuptime themelore ose parësore.

88

Kuptimet parësore nuk përkufizohen.

Mbaj në mend! Për kuptime parësore në gjeometri merren: pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa. Për të gjitha kuptimet e tjera jepet përkufizim përkatëse dhe ato quhen kuptime të nxjerra ose kuptime dytësore. Për shembull, prej kuptimeve gjeometrike që i ke mësuar, kuptime të nxjerra janë: segmenti, mesi i segmentit, vija e thyer, vija e thjesht e thyer, perimetri i vijës së thyer etj.

3

Parashtroje përkufizimin për gjysmëdrejtëzën. Cilët kuptime parësore janë shfrytëzuar për përkufizimin e kuptimit gjysmëdrejtëz?

Duhet të dish!

Testohu

Pika, drejtëza dhe rrafshi janë kuptime themelore në gjeometri; për kuptimet parësore nuk jepen përkufizime; kuptimet dytësore përkufizohen;

Cilët kuptime parësore dhe dytësore përdoren gjatë përkufizimit të kuptimit vija e thyer e mbyllur?

gjysmëdrejtëza, segmenti mesi i segmentit, vija e thyer janë kuptime të nxjerra.

Detyra 1. Numëroji kuptimet parësore në gjeometri.

3. Shprehe përkufizimin për: a. gjatësinë e segmentit;

2. Cilët prej këtyre kuptimeve: pika, drejtëza, segmenti, gjysmëdrejtëza, figura gjeometrike, largesa janë kuptime dytësore?

b. perimetrin e vijës së thyer.

4. Cilët kuptime përdoren gjatë përkufizimit të kuptimit figurë gjeometrike?

8

89

RRETHI DHE QARKU

Kujtohu! Shumë herë deri tani ke vizatuar rreth me kompas. Që të vizatosh rrethin, është e nevojshme të dish ku të vendosësh gjilpërën dhe sa ta „hapsh " kompasin.

A

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janë shënuar pikat A, B, C, D, E dhe F. Shihe vizatimin dhe vepro sipas kërkesave.

1

Vërejta! Rrethi është bashkësi pikash dhe të gjitha ato pikat janë në largësi të barabartë prej pikës O.

Edhe sa pika mundesh të shënosh te rrethi?

E D

F

C

Në çfarë largese janë pikat e rrethit nga pika O?

A

O B

Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që janë në largësi të barabartë prej një pike të zgjedhur në atë rrafsh quhet rreth. Pika e zgjedhur quhet qendër e rrethit dhe shpesh herë shënohet me O.

2

Vizato rreth me qendër O dhe me hapje të kompasit 25 mm. Në rreth shëno pikat A, B e C dhe çdonjërën prej tyre lidhe me pikën O. Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet:

C

r

B

Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve OA, OB, dhe OC?

O

Si janë ato segmente sipas gjatësisë ndërmjet tyre? A

Segmentet OA, OB dhe OC e lidhin qendrën e rrethit me pikat e rrethit dhe janë të barabarta ndërmjet tyre.

Çdo segment që e lidh qendrën me çfarëdo pikë të rrethit quhet rreze e rrethit edhe gjatësia e saj quhet rreze e rrethit. Rrezja shpesh herë shënohet me shkronjën r. D

3

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe segmentet OA, OB, OC dhe OD.

A

Cili prej këtyre segmenteve është rreze e rrethit? Pse segmenti OC nuk është rreze e rrethit?

C

O B

k

90

4

Vizato rrethin me qendër O dhe rreze r = 2 cm. Sa rrathë mund të vizatosh me qendër në pikën O dhe rreze 2 cm?

Me pikë të dhënë si qendër dhe rreze të dhënë mundet të vizatohet vetëm një rreth. Një rreth plotësisht është e përcaktuar nëse janë dhënë qendra O dhe rrezja r e tij. Rrethi k me qendër O dhe rreze r shënohet me k (O; r). Vizato rrethin k (O; 2 cm).

5

B 6

D

k

Në vizatim është dhënë vija rrethore k (O; r) dhe pikat A, B, C dhe D.

A O

C

B

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Në sa pjesë është ndarë rrafshi me rrethin k?

Mund të themi se pikat B dhe D „janë jashtë" rrethit k. Cilës pjesë të rrafshit i takojnë pikat A dhe C? Rrethi k e ndan rrafshin në dy pjesë (zona)- e brendshme (zona e brendshme) dhe e jashtme (zona e jashtme). Figura gjeometrike që përbëhet prej një rrethi dhe prej pjesës së saj të brendshme quhet qark. Qendra dhe rrezja e rrethit k quhen qendër dhe rreze e qarkut. Qarkun me qendër O dhe rreze r e shënojmë me K(O; r). Vizato qark K(O; 22 mm).

7

C

8

D

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe në të janë shënuar pikat A, B, C dhe D dhe janë tërhequr segmentet AB dhe CD.

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet e parashtruara. Ku shtrihen pikat e skajshme të segmenteve AB dhe CD? Cili prej këtyre segmenteve kalon nëpër pikën O?? Me sa rreze është i barabartë segmenti AB?

C A

d

B O

Vëre dhe mbaj mend! Segmenti pikat e skajshme të të cilit i takojnë rrethit quhet kordë e rrethit. Segmenti AB është korda që kalon nëpër qendër. Korda që kalon nëpër qendër quhet diametër i rrethit ose qarkut. Diametri i rrethit shpeshherë shënohet me d dhe d= 2r.

k

9

91

Vizato rrethin k (O; 25 cm). Njehso diametrin e rrethit.

10 Vizato rrethin k (O; r) dhe në të shëno pikat A dhe B.

A

B

Në sa pjesë është ndarë rrethi me pikat A dhe B?

O k C

Mbaj në mend!

Me pikat A dhe B rrethi është ndarë në dy pjesë. Çdonjëra prej atyre pjesëve së bashku me pikat A dhe B quhet hark rrethor dhe shënohet me AV, nëse ai është më i vogli. Më i madhi, pra, shënohet me tri shkronja, dmth. ASV. Korda e rrethit le të jetë diametër. Secili nga harqet rrethore të fituara quhet gjysmërreth.

11 Vizato rrethin k (O; r), kordën AB dhe diametrin CD. Cila prej pikave A, B, C dhe D përcaktojnë gjysmërreth?

Duhet të dish! Të sqarosh ç’është rrethi; çfarë është hark rrethor dhe si shënohet; çfarë është qendër dhe rreze e rrethit; me çfarë është i përcaktuar një rreth; të sqarosh çfarë është kordë e rrethit dhe cila kordë quhet diametër; cila figurë gjeometrike quhet qark.

Testohu! Cilat prej pikave në vizatim: a) i takojnë rrethit k? b) i takojnë qarkut K? c) janë pikat e skajshme të qarkut? k E B

Sa është rrezja e rrethit me diametër d = 32 mm?

A

D O C

Detyra 1.

Vizato rrethin k (O; 2 cm). A është qendra O pikë e rrethit?

2.

Ç’është rrezja e rrethit?

3.

Vizato rrethin k me diametër d = 4 cm dhe në të kordën AB = 3 cm.

4.

Vizato rrethin k(O; 25 mm) dhe në të shëno hark rrethor AV, ashtu që korda përkatëse të jetë AB = 3 cm.

5.

Njehso diametrin e rrethit me rreze r = 28 mm.

6.

Njehso rrezen e rrethit me diametër d = 5 cm.

92

9

POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE PIKËS. POZITA RECIPROKE E RRETHIT DHE DREJTËZËS

Kujtohu!

A B k

A

F

B r

O E

C

D

a

E H

A

D O

C

G

G

Në rrethin k në vizatim janë shënuar disa pika, por janë shënuar edhe pika që nuk i takojnë rrethit. Cilat prej këtyre pikave shtrihen në rrethin k? Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën e brendshme të rrethit k? Cilat prej këtyre pikave shtrihen në zonën e jashtme të rrethit k? Cilat pika janë të përbashkëta për rrethit k dhe drejtëzën a?

F

1

Në vizatim janë dhënë: rrethi k (O; r) dhe pikat A, B, C, D, E, F dhe G. Me matje dhe krahasime konstato se pohimet e dhëna janë të sakta: a) OA = r dhe OD = r; b) OB = r dhe OE = r; c) OC = r dhe OF = r.

Vëre! Pikat A dhe D i takojnë rrethit. Largesa e tyre deri te qendra O është e barabartë me r.

Pikat B dhe E shtrihen në pjesën e brendshme të rrethit k. Ato janë pika të brendshme. Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e vogël se r. Pikat C, F dhe G shtrihen në pjesën e jashtme të rrethit k. Ato janë pika të jashtme. Largesa e atyre pikave deri te qendra O është më e madhe se r.

2

Cila prej pikave A, B, C, D dhe E shtrihet në rrethin k (O, 35 mm), në qoftë se AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

3

Cila prej pikave K, L, M, N dhe P është e jashtme dhe cila është pika e brendshme e rrethit k (O, 3 cm), nëse OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?

B 4

b

Në vizatim janë dhënë rrethi k dhe drejtëzat a, b dhe c.

S Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Sa pika të përbashkëta ka drejtëza a me rrethin k? Cila prej drejtëzave ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin k? Cila prej drejtëzave nuk ka asnjë pikë të përbashkët me rrethin k?

k O a c

V A

93

Vëre dhe mbaj mend! Drejtëza a dhe rrethi k kanë dy pika të përbashkëta. Themi se drejtëza a është prerëse e rrethit k. Drejtëza b dhe rrethi k kanë vetëm një pikë të përbashkët. Themi se drejtëza b është tangjente rrethit k. Drejtëza c nuk ka asnjë pikë të përbashkët me rrethin k.

5

Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë P. Vizato drejtëzën t që e takon rrethin k në pikën P.

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh pikë që shtrihet brenda rrethit, në rreth dhe jashtë tij;

Çfarë pozite reciproke kanë pika A dhe rrethi k

kur një drejtëz është prerëse e rrethit;

(O, r), nëse OA = r?

kur një drejtëz është tangjentë e rrethit.

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza m dhe vija rrethore k (O, r), nëse drejtëza m kalon nëpër qendrën e rrethit?

Detyra 1.

2.

Cila prej pikave A, B, C dhe D është pikë e brendshme e rrethit k (O; 3 cm), nëse OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm dhe OD = 2 cm?

5.

Çfarë pozite reciproke mundet të kenë drejtëza dhe rrethi?

6.

Cila prej drejtëzave në vizatim është tangjentë e rrethit k? a

Çfarë pozite reciproke mundet të kenë pika dhe rrethi?

b c O

3.

Vizato rrethin k (O; 8 mm) dhe drejtëzën a që e pret rrethin.

7. 4.

Ç’është tangjentë e rrethit?

Vizato rrethin k dhe në të shëno pikë A. Vizato tangjentë t që rrethin e takon në pikën A.

10

94

POZITA RECIPROKE E DY RRATHËVE

Kujtohu!

A C

A D

r1

r

k

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2).

1

O

k1

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen. Rrathët k1 dhe k2 a kanë pika të përbashkëta?

O1

B Në vizatim janë dhënë rrathët: k(O; r) dhe k1(O1; r1).

k1

Emërto qendrën dhe rrezen e rrethit k1. Cilët nga pikat e shënuara i takojnë rrethi k dhe cilat rrethit k1?

r1 O2

O1

Pika O është qendra e rrethit k(O; r), kurse segmenti OD është rrezja e rrethit.

k2

r2

Vëre! Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta. Njëri rreth është në zonën e jashtme të rrethit tjetër.

Mbaj mend! Largesa O1O2 ndërmjet qendrave O1 dhe O2 të rrathëve k1 dhe k2 quhet largesa qendrore dhe më së shpeshti shënohet me c; c = O1O2.

2

Shihi rrathët k1 dhe k2 dhe përgjigju në pyetjet. Rrethi k1 dhe k2 a kanë pika të përbashkëta? Në cilën zonë të rrethit k1 htrihet rrethi k2?

k1

k2 r1

r2 O1

Vëre! Rrathët k1 dhe k2 nuk kanë pika të përbashkëta. Njëri rreth është në zonën e brendshme të rrethit tjetër.

3

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O1; r2). Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2 ? A kanë rrathët k1 dhe k2 pika të përbashkëta?

k1 r1

k2 r2 O1

O2

Vëre dhe mbaj mend!

95

Rrathët k1 dhe k2 kanë qendër të përbashkët dhe nuk kanë pika të përbashkëta. Për ato themi se janë rrathë bashkëqendror.

4

Vizato dy rrathë bashkëqendror k1 dhe k2 me rreze r1= 3 cm dhe r2= 2 cm.

B

5

Në vizatim janë dhënë rrathët k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2). Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen:

r1

r2 M

O1

O2

Çfarë kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2?

Vëre dhe mbaj mend! Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se vijat rrethore k1 dhe k2 takohen prej jashtë.

Vizato rrathët k1(O1; 2 cm) dhe k2(O2; 3 cm) që të takohen nga jashtë.

6

Shihi vizatimet k1(O1; r1) dhe k2(O2; r2) dhe përgjigju në pyetjen.

7

r1 k1 c

Ç’kanë të përbashkët rrathët k1 dhe k2?

O1

r2 O2

k2

Vëre dhe mbaj mend! Rrathët k1 dhe k2 kanë vetëm një pikë të përbashkët. Thuhet se rrathët k1 dhe k2 takohen nga brenda.

C

8

Shihe vizatimin dhe puno sipas ecurisë.

Vizato segment O1O2 = 4 cm. Vizato rrathët k1(O1; 25 mm) dhe k2(O2; 22 mm). Shënoji pikat e përbashkëta të rrathëve k1 dhe k2 me A dhe B. Tërhiqi rrezet r1= O1A dhe r2= O2A.

A

O1

O2 V

R

Vëre dhe mbaj mend!

96

Rrathët k1 dhe k2 kanë dy pika të përbashkëta A dhe B, përkatësisht rrathët priten.

9

Vizato rrathët k1 dhe k2 që priten.

Testohu!

Duhet të dish! Çfarë pozite reciproke mundet të kenë dy rrathë; të dallosh prej vizatimit kur dy rrathë nuk kanë pika të përbashkëta; kur dy rrathë takohen; kur dy rrathë priten.

A mundet dy rrathë të jenë koncetrike dhe të priten? Dy rrathë me rreze r1 dhe r2 takohen nga jashtë. Në se është e barabartë largesa e tyre qendrore?

Detyra

1.

Vizato dy rrathë k1 (O1; 18 mm) dhe k2 (O2; 22 mm) që nuk kanë pika të përbashkëta. Sa mundësi ka?

2.

Vizato dy rrathë k1 (O1; r1) dhe k2 (O2; r2) ashtu që të takohen nga jashtë.

3.

Çfarë pozite reciproke kanë rrathët k1 (O1; 3 cm) dhe k2 (O2; 2 mm), nëse pikat O1 dhe O2 puthiten?

4.

Vizato dy rrathë bashkëqendrorë k1 (O1; 2 cm) dhe k2 (O2; 15 mm).

5.

Vizato dy rrathë k1 (O1; 25 mm) dhe k2 (O2; 15 mm), që takohen nga brenda.

6.

Rrathët k1 (O1; 3 cm) dhe k2 (O2; 18 mm) takohen nga brenda. Njehso largesën ndërmjet qendrave të tyre.

11

97

GJYSMËRRAFSHI. KËNDI

A

Kujtohu!

Në vizatim janë shënuar drejtëza p dhe pikat A, B, C, D, E dhe F që nuk shtrihen në të.

1

Cilat prej pikave të shënuara në vizatim shtrihen në drejtëzën p, e cilat nuk shtrihen në të? M T p

Q

N

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza p dhe segmenti MN? Ç’është pika Q për drejtëzën p dhe segmentin MN?

F

B

A p C

E

D

Segmenti AB a ka pikë të përbashkët me drejtëzën p? Çfarë pozitë reciproke kanë drejtëza p dhe segmenti EF?

Vëre se segmenti AB nuk ka pika të përbashkëta me drejtëzën p, ndërsa segmenti EF e pretë drejtëzën p. Për pikat A dhe B themi se gjinden (shtrihen) në anën e njëjtë, ndërsa pikat E dhe F –në anët e ndryshme të drejtëzës p. Sqaro pse pikat C dhe D shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës p, ndërsa pikat B dhe D shtrihen në anët e ndryshme të saj. A ka pika tjera të cilat shtrihen në anën e njëjtë, gjegjësisht në anët e ndryshme të drejtëzës p? Mund të vërej se në anën e njëjtë të drejtëzës p ka pafund shumë pika.

Mbaj mend Bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh që shtrihen në anën e njëjtë të drejtëzës së dhënë p, së bashku me pikat e asaj drejtëze, quhet gjysmërrafsh. Drejtëza p quhet teh ose kufi e gjysmërrafshit.

p

Me drejtëzën p në vizatim janë formuar dy gjysmërrafshe, prej të cilëve njëri është i ngjyrosur.

2 Cilat pika në vizatim shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë me pikën S?

M

p

S

K

P N

T L

98

B

Y

3

Vizato dy gjysmëdrejtëza OX dhe OY, si në vizatim.

II I

Ç’kanë të përbashkët gjysmëdrejtëzat OX dhe OY? Në sa pjesë është ndarë rrafshi me ato gjysmëdrejtëza?

O

X

Dy gjysmëdrejtëza me fillim të përbashkët e ndajnë rrafshin në dy pjesë.

Figura gjeometrike e formuar prej dy gjysmëdrejtëzave me pikë të fillimit të përbashkët dhe njërës pjesë të rrafshit e kufizuar me ato quhet kënd. Në vizatim janë paraqitur dy kënde që formohen me gjysmëdrejtëzat OX dhe OY. Secili prej atyre këndeve është përbërë prej gjysmëdrejtëzave dhe pjesës së ngjyrosur të rrafshit.

Y

Y

X

O

X

O

Gjysmëdrejtëzat OX dhe OY quhen krahët të këndit, kurse pika O quhet kulmi i këndit. Y e

X

O

Këndet mund të shënohen:

natyrë

B

me shkronjë të madhe të latinishtes me të cilën është shënuar kulmi i këndit dhe me simbol ∢ para saj; për shembull ∢O.

α A

O

4

me shkronjë të vogël të alfabetit grek, që shënohet në zonën e këndit; përpos α, përdoren edhe shkronjat: β (beta), γ (gama), δ (delta) etj.; Me tre shkronja të mëdha, ku shkronja e kulmit shënohet në ndërmjet; për shembull ∢AOB.

Në vizatim është paraqitur këndi α dhe janë shënuar pikat: O, A, B, C, D, E. Cilat prej atyre pikave i takojnë këndit α? Cilat prej atyre pikave janë pika të brendshme të këndit α?

5

Y X

O

Vëre se!

në

a e hm zonends br

zo na

Pjesa e rrafshit që i takon këndit, pa krahë, quhet zona e brendshme (ose shkurtimisht zonë). Zona e brendshme e këndit shënohet me hark rrethor. Pikat që i takojnë zonës së brendshme quhen pikat e brendshme të këndit.

D E C

α O

B A

Vizato kënd me kulm S dhe krahë SP dhe SR dhe shënoje me hark rrethor. Si do ta shkruash me simbole këndin që e vizatove?

6

S

Emërto çdonjërin prej këndeve në vizatim.

β P

C

M

R

Në vizatim janë dhënë: ∢MON me pikat A, B, C, D nga zona e tij dhe ∢SQT me pika E, F, G, H nga zona e tij.

7

99

2

N

D C

A

Të gjitha pikat e segmentit AB shtrihen në zonën e ∢MON. Ku shtrihen segmentet: BC, BD, AC?

B

G F Q

S H E

M

O

T

Segmenti EF ka pika që i takojnë zonës dhe pikat që nuk i takojnë zonës së ∢SQT. Kujt i takojnë pikat e segmenteve: EG, FH, HE?

Vëre dhe mbaj mend! Për një kënd themi se është i mysët (konveks), nëse për cila do dy pika A dhe B nga zona e tij, të gjitha pikat e segmentit AB i takojnë asaj zone. Në vizatim këndi MON është i mysët, kurse këndi SQT nuk është i mysët ai është i lugët.

8

Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd β që është i lugët.

Duhet të dish!

Testohu!

Ç’është gjysmërrafshi;

Cila prej figurave në vizatim është kënd?

Ç’është këndi;

Cila prej figurave në vizatim është kënd i mysët?

Ç’është zonë e brendshme e këndit;

V

Detyra

S

O

1. Cilat pika në vizatim shtrihen në të njëjtin

C

B

R

R

M

L

MN. Emërto atë kënd.

4. Vizato një kënd të mysët α dhe një kënd β që nuk të lugët.

H

a

A

3. Vizato kënd me kulm M dhe krahë MP dhe

gjysmërrafsh me pikën A?

A

K

T

cili kënd është i mysët?

E D F

2. Emërto kulmin dhe krahët e C këndit në vizatim. Cilat pika të shënuara i takojnë këndit, e cilat zonës?

5.

G V

D

Sa kënde janë formuar me gjysmëdrejtëzat: OA, OB dhe OC dhe harqet rrethore në vizatim? Emërtoji ato kënde.

E O

A

V

S O

A

12

100

KRAHASIMI I KËNDEVE. LLOJET E KËNDEVE Këndet, ashtu si edhe segmentet mund të krahasohen.

A

Kujtohu! Në vizatim është dhënë një kënd. N

P

Puno sipas kërkesave, vëre mbaj mend dhe përgjigju.

1

Në fletë të tejdukshme vizato dy kënde, α=∢AOB dhe β=∢CSD, si në vizatim, e pastaj prej. D B

M

Emërto atë kënd. Emërtoji krahët dhe kulmin e këndit.

β

α O

S

A

C

Vendose njërin këndë të prerë mbi këndin tjetër, për shembull a mbi β, ashtu që kulmi O të puthitet me kulmin S, ndërsa krahu OA me krahun SC, si në vizatim.

D

α O≡S

Në cilën zonë gjendet krahu OB? Krahu OB (i këndit) shtrihet në zonën e këndit β.

B β A C

Vëre! Ka tre mundësi për pozitën e krahut OB të këndit α=∢AOB në lidhje me këndin β=∢CSD, kur α dhe β janë të vendosur njëri mbi tjetrin. 1) Krahu OB puthitet me krahun OD –atëherë themi se këndet α dhe β janë të barabartë (puthitshëm).

2) Krahu OB gjendet në zonën e brendshme të këndit β -atëherë themi se α është më i vogël se β. D

D

3) Krahu OB gjendet në zonën e jashtme të këndit β -atëherë themi se α është më i madh se β. B

B

D

B α O≡S

B

2

β A C

α O≡S

β A C

Shqyrtoje këndin AOB në vizatim, mendohu dhe përgjigju. Çka formojnë krahët e këndit AOB?

β O≡S

A

α A C

O

B

Vëre dhe mbaj në mend!

101

Këndi krahët e të cilit formojnë një drejtëz quhet kënd i shtrirë. Çdo dy këndet të shtrirë janë të barabartë.

3

Vizato këndin e shtrirë MON, shënoje me hark dhe shëno pikat A, B, C, D në zonën e tij. Cili prej segmenteve AB, AC, BC dhe BD tërësisht shtrihen në zonën e ∢MON? A është ∢MON i mysët apo i lugët?

4

C

Puno sipas kërkesave, vëre, mbaj mend dhe përgjigju. Në fletë të tejdukshme vizato këndin e shtrirë AOB. Paloje fletën në kulmin O, ashtu që krahët OA dhe OB të puthiten. Pastaj shpalose fletën.

A

O

B

Vëren se me vijën e palosjes këndi i shtrirë është ndarë në dy pjesë të puthitshme, gjegjësisht të barabarta. Secila prej atyre pjesëve është kënd i drejtë.

Vëre dhe mbaj në mend! Këndi i cili është sa gjysma e këndit të shtrirë quhet kënd i drejtë. Këndi AOC në vizatim është kënd i drejtë. Shkruaje këndin tjetër të drejtë. Vëre këndet e drejta në vizorin tënd drejtkëndor.

5

Shqyrto vizatimin dhe vepro sipas kërkesës. Vizato gjysmëdrejtëzën OA. Kulmin e këndit të drejtë vendose te pikën O, ashtu që njëri prej krahëve të vizorit drejtkëndor të puthitet me gjysmëdrejtëzën OA. Nëpër krahun tjetër të trekëndëshit tënd tërhiq gjysmëdrejtëz OB. Në këtë mënyrë vizatove kënd të drejtë AOB.

6

7

V

O

A

γ β

Me këndin e drejtë të vizorit kënddrejtë mate cili prej këndeve në vizatim është kënd i drejtë.

α V

Shihi vizatimet AOB dhe MPN në vizatim dhe krahasoji me këndin e drejtë. Cili prej këndeve është më i vogël se këndi i drejtë, e cili është më i madh se këndi i drejtë?

α O

A

N

Vëre dhe mbaj mend!

102

Këndi që është më i vogël se këndi i drejtë quhet kënd i ngushtë. Këndi që është më i madh se këndi i drejtë, kurse më i vogël se këndi i shtrirë quhet kënd i gjerë.

8

Vlerëso cili prej këndeve në vizatim është kënd i ngushtë, e cili i gjerë, kurse pastaj provo me këndin e drejtë të vizorit tënd, a ke vlerësuar saktë.

C

9

α

Çfarë është pozita reciproke e dy gjysmëdrejtëzave OA dhe OB, nëse pika B i takon gjysmëdrejtëzës OA, si në vizatim?

β

V

Ato dy gjysmëdrejtëza OA dhe OB a e ndajnë rrafshin në dy pjesë?

10

M

γ

δ

Njëri kënd është i formuar nga gjysmëdrejtëzat (që puthiten) dhe pjesës tjetër të rrafshit-ai kënd quhet kënd i plotë;

Këndi tjetër është i formuar nga gjysmëdrejtëzat (që puthiten), ndërsa zona e tij është bashkësi e zbrazët –ai kënd quhet zero kënd.

Në vizatim është paraqitur këndi i plotë AOB dhe këndi zero NPM. A është këndi i plotë e mysët? Sqaro përgjigjen tënde.

Duhet të dish!

R

Do të pranojmë që gjysmëdrejtëzat e puthitshme të përcaktojnë dy kënde.

A O

β

A O P

V N

M

Testohu!

Cili kënd quhet: Kënd i shtrirë?

kënd i drejtë?

kënd i ngushtë?

kënd i gjerë?

kënd i plotë?

kënd zero?

Cilat lloje të këndeve mund ti njohësh në vizatim? Emërtoji ato kënde. Radhiti këndet sipas madhësisë, duke fil- C luar nga më i vogli: α, β, γ dhe δ, nëse α është kënd i shtrirë, β është kënd i drejtë, γ është kënd i ngushtë dhe δ është kënd i gjerë.

B

O

Detyra 1. Cili kënd quhet kënd i shtrirë? 2. Çfarë këndi paraqet gjysma e këndit të shtrirë?

3. Çfarë këndi formojnë akrepat e orës në: a) ora 14 ;

b) ora 15 ;

c) ora 17 ;

d) ora 18 ?

A

6. Vizato këndin e gjerë MON dhe

4. Vizato kënd të ngushtë AOB dhe kënd të

13

KËNDE PRANISHME, TË PUQËT DHE KRYQËZOR

Kujtohu!

Te vizatimi „kujtohu", këndet α dhe β e kanë kulmin e përbashkët O dhe krahun e përbashkët OB.

A

C

B β

Dy kënde me kulm të përbashkët dhe një krah të përbashkët, por që nuk kanë pikat të brendshme të përbashkëta quhen kënde të pranishme.

α

O

A

Në vizatim janë dhënë këndet α dhe β. Emërtoji krahët dhe kulmet e këndeve α dhe β. Ç’kanë të përbashkët këndet α dhe β?

1

Cilët prej këndeve në vizatim janë kënde të pranishme? Sqaroje përgjigjen. H

B

D

A

O C a)

2

G

S

N

B

103

kënd e ngushtë NOP, ashtu që ∢MOP të jetë i shtrirë.

gjerë MPN. 5. Vizato tre gjysmëdrejtëza OA, OB, dhe OC, ashtu që ∢AOB të jetë kënd i drejtë dhe ∢BOC kënd i ngushtë. I cilit lloj është këndi ∢AOC?

M

P

F

b)

E v)

Në drejtëzën p në vizatim është zgjedhur pika O dhe është tërhequr gjysmëdrejtëza OB. Ç’kanë të përbashkët ∢AOB dhe ∢BOC?

V

Si quhet çifti i këtillë i këndeve? Çfarë kënd formojnë krahët OA dhe OC? A Mundesh të vëresh se këndet e pranishme AOB dhe BOC formojnë kënd të shtrirë.

Mbaj mend! Dy kënde të pranishme që formojnë kënd të shtrirë quhen kënde të puqtë.

3

Vizato një kënd të ngushtë MPN, pastaj vizato kënd NPS i puqët me këndin MPN. I cilit lloj është këndi NPS?

4

Vizato kënd të drejt α, pastaj vizato kënd β të puqët me α. I cilit lloj është këndi β?

O

S

104

C

Drejtëzat AC dhe BD në vizatim priten te pika O. Ashtu formohen këndet α, β, γ dhe δ. Krahët OC dhe OD të këndit γ janë vazhdimet e krahëve OA dhe OB të këndit α. Për këndet e tillë themi se janë kënde të kryqëzuara. Të kryqëzuara janë edhe këndet β dhe δ, në vizatim.

γ

β

α

δ

A

O

D

Dy kënde që kanë kulm të përbashkët, kurse krahët e njërit kënd janë vazhdimet e krahëve të këndit tjetër nëpër kulm, quhen kënde kryqësore.

Vizato kënd të ngushtë AOB, kurse pastaj vizato kënd MON, ashtu që ato dy kënde të jenë kryqëzor.

5

D

6

B

C

Vizato në letër ose në kartuç kënde kryqësore si në vizatim. Prej me kujdes këndet kryqësore dhe vendosi njërin mbi tjetrin. Do të vëresh se këndet kryqësore gjatë vendosjes njërin mbi tjetrin puthiten. Prandaj mundet të thuhet se këndet kryqëze janë të puthitshëm (barabartë). Në vizatim ∢AsOD = ∢BOC dhe ∢AOB = ∢COD.

C

D

O

B

A

Vizato kënd të drejtë MPN, kurse pastaj vizato këndin e tij kryqëzor SPR. Të cilit lloj janë këndet MPS dhe NPS?

Duhet të dish!

Testohu!

Të njohësh dhe të sqarosh cilët kënde janë kënde pranishme; të njohësh dhe të sqarosh cilët kënde quhen kënde të puqtë; të njohësh dhe të sqarosh cilët kënde janë kënde kryqëzorë.

A munden të jenë këndet të pranishme këndet AOB dhe BCD? Këndet AOB dhe BOC janë kënde të puqtë. Nëse ∢AOB është i drejtë, atëherë i cilit lloj është ∢BOC? Këndi MPN është kënd i gjerë. I cilit lloj është këndi qendror ∢MPN?

Detyra 1.

Emërtoji këndet fqinje në vizatim.

3.

Ke kujdes ka katër çifte të këndeve fqinjë!

2.

B

C

Cili prej këndeve në vizatim është kënd i puqët i këndit α? Cilët këndet të tjera janë të puqtë?

D

O

β α γ δ

Vizato një kënd të gjerë α, pastaj vizato këndin e tij të puqët β. I cilit lloj është këndi β?

4.

Për cilët dy kënde themi se janë kënde të kryqëzuara?

5.

Cakto çiftet e këndeve kryqëzorë në vizatim.

A

1 4 5 8

7

6

3

2

14

A 1

Kujtohu! Në vizatim është dhënë rrethi k, qendra O dhe në të janë shënuar pikat A dhe B. Në sa pjesë është ndarë rrethi k me pikat A dhe B?

k

V

Cili prej këndeve α, β dhe γ në vizatim është kënd qendror? Pse këndi γ nuk është qendror?

A

O

β γ O

α

3

Në vizatim është dhënë rrethi k me qendër O dhe kënde α dhe β. C D k

Si quhet secila pjesë prej tyre? Si shënohet harku më i vogël i dy harqeve rrethore? Si quhet segmenti AB?

2

105

KËNDI QENDROR. KONSTRUKSIONI I KËNDIT

V

β

α O

A

Ku gjendet kulmi i këndit: α; β? Këndi kulmi i të cilit gjindet në vijën rrethore të dhënë quhet kënd qendror.

Krahët e këndit α (në vizatim) e presin rrethin k në pikat A dhe B. Shkruaje harkun rrethor të cilin e formojnë krahët e këndit α dhe shtrihet në atë kënd.

k

Shkruaje harkun rrethor të cilin e formojnë krahët e këndit α dhe nuk shtrihet në atë kënd.

C

V α O

Mbaj mend!

Çdo kënd qendror në rreth të dhënë përcakton saktësisht një hark rrethor që shtrihet në atë kënd.

Për këndin dhe harkun themi se përgjigjen ose janë përkatës njëri me tjetrin.

4

Në vizatim është dhënë rrethi k dhe qendra O dhe dy kënde qendrore, që janë të puthitshme. Përfytyro se këndi α rrotullohet rreth pikës O në kahun e lëvizjes së akrepave të orës, deri sa saktësisht e mbulon këndin β. Ku do të kishte rënë pika A, e ku pika B? Me cilin hark do të puthitet harku AB?

Vërej se harku AB do të puthitet me harkun CD.

A

106

Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të barabarta iu përgjigjen harqet rrethore të puthitshme.

Në mënyrë të njëjtë mund të vëresh se vlen edhe e anasjelltë: Harqet rrethore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të barabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme.

5

Këndet qendrore α dhe β në vizatim janë të puthitshme. Si jenë harqet përkatëse AB dhe CD? Kordës AB i takon këndit α, ndërsa korda CD këndit β. Si do të përfundosh se këto korda janë të puthitshme (barabarta)? Mund të paramendoj se këndi α, me rrotullim rreth pikës O, do të puthitet me këndin β. Kordat AB dhe CD do të puthiten, gjegjësisht ato janë të barabartë.

Në përgjithësi vlen! Këndeve qendrore të puthitshme në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të njëjtë iu përgjigjen kordat e puthitshme (përkatësisht të barabarta)

6

Kordat AB dhe CD në rrethin k1 dhe k2, me rreze të barabartë, janë të barabarta. A është këndi qendror α i puthitshëm me këndin qendror b? Vëre se α është më i vogël se këndi I shtrirë, ndërsa β është më i madh se këndi I shtrirë.

Vëre se Kordave të barabarta (puthitshme) në rrethin e njëjtë ose në rrathë të ndryshëm por me rreze të barabarta iu përgjigjen këndet qendrore të puthitshme vetëm nëse kordat: ose të dyja i takojnë ose të dyja nuk i takojnë këndeve përkatëse.

7

Në vizatim janë dhënë rrathët k1 dhe k2, me rreze të njëjtë. Te secili rreth janë shënuar kordat: AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm dhe MN = 2 cm. Cilët kënde të shënuara janë mes vete të barabartë? Pse?

B k1 A C

L

k2

α

δ

β

M

γ

D

K N

Di se këndeve qendrore të barabartë te rrathëve me rreze të barabarta iu përgjigjen harqet rrethore të barabarta (përkatësisht korda). Atë mund ta shfrytëzosh gjatë konstruktimeve të këndeve të barabarta me këndin e dhënë dhe atë vetëm me ndihmën e vizorit dhe kompasit. Si bëhet ajo? Shihe detyrën vijuese.

B 8

107

L

Është dhënë këndi a= ∢KOL (viz. a). Konstrukto kënd të barabartë me këndin α.

a)

α

Përcjelle ecurinë hap pas hapi.

K

O

Vizato gjysmëdrejtëzën PT (viz. b). Me hapje të çfarëdoshme të kompasit, në këndin e dhënë a), vizato pjesë të rrethit me qendër në pikën O, e cila do t'i pretë krahët e këndit OK dhe OL. Kështu do ta fitosh kordën AB që i përgjigjen ∢AOB (fig. c). Me hapjen e njëjtë të kompasit, si te fig. c, vizato pjesë të rrethit me qendër te pika P (viz. d). Hape kompasin dhe „mere" me të largesën AB nga fig. c. Vendose majën e kompasit te pika M dhe me krahun tjetër preje harkun paraprakisht të vizatuar në fig. d; në atë mënyrë do ta fitosh pikën N. Vizato gjysmëdrejtëzën PS që kalon nëpër pikën N (fig. e); me atë do të fitosh këndin ∢TPS = α.

b)

P

T L B

c) α O

A

K

M

T

N d) P S

9

N

Vizato këndin e gjerë α, pastaj konstrukto kënd β të barabartë me këndin α.

e)

Duhet të dish! Të sqarosh cili kënd quhet kënd qendror; Si është raporti ndërmjet këndeve qendrore të barabartë dhe harqeve rrethore përkatëse; Se këndeve qendrore të barabartë u përgjigjen korda të barabarta.

P

M

T

Testohu! N

A Te rrethi k në vizatim, AB = MN dhe AB > CD. Cilët prej këndeve të shënuar janë të barabartë ndërmjet tyre?

O M

B C

D

Detyra 1. Cili kënd quhet kënd qendror? 2. Vizato rrethin k(O; 3 cm) dhe një kordë të

saj AB = 35 mm. Vizato këndin qendror α në të cilin shtrihet korda AB.

3. Vizato kënd të ngushtë α, pastaj vizato kënd β të barabartë me këndin α.

4. Vizato kënd të drejtë AOB, pastaj vizato kënd MPN të barabartë me këndin AOB.

15

108

MBLEDHJA DHE ZBRITJA GRAFIKE E KËNDEVE

A 1

Kujtohu! Si do të konstruktosh kënd β të barabartë me këndin α? Në vizatim është dhënë këndi α dhe gjysmëdrejtëza OA.

α

O

Janë dhënë këndet α dhe β. Cakto grafikisht shumën e tyre.

α

β

Shihe vizatimin dhe vepro sipas rregullave. C B

A

Konstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α.

Vizato dy kënde α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OA. Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harkun rrethor të këndit α, të këndit β dhe gjysmëdrejtëzës OA. Konstrukto këndin AOB të barabartë me këndin α. Konstrukto këndin BOC të barabartë me këndin β. Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β? Me çka është i barabartë këndi AOC? Shkruaje atë simbolikisht.

2

B

β

α

O

A

Prej aktiviteteve paraprake mund të vëresh se si mblidhen grafikisht (në mënyrë konstruktive) këndet. Me mënyrën e përshkruar fituam kënd AOC, që është i barabartë me shumën e këndeve α dhe β, dmth. ∢AOC = α + β. Kjo rregull quhet mbledhja grafike ose konstruksioni i shumës së dy këndeve.

Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të drejtë β, e pastaj cakto grafikisht shumën e tyre.

3

Janë dhënë këndet α dhe β. Cakto grafikisht ndryshimin e tyre. Shihe vizatimin dhe vepro sipas rregullave. R N α

β

O

M

Vizato kënd të gjerë α, kënd të ngushtë β dhe gjysmëdrejtëz OM. Me hapjen e njëjtë të kompasit vizato harqe rrethore të këndeve α dhe β dhe gjysmëdrejtëzën OM. Konstrukto kënd MON të barabartë në këndin α. Konstrukto kënd NOP të barabartë me këndin β ashtu që krahu OP të jetë në zonën e këndit MON.

Ashtu e fitove këndin MOP.

109

Çka paraqet këndi MOP për këndet α dhe β? Cilin operacion e kryem me këndet α dhe β?

Me rregullën e përshkruar e fituam këndin ∢MOR = α - β; me të është kryer zbritja grafike gjegjësisht konstruktive e këndeve α dhe β.

4

Vizato kënd të drejtë α dhe kënd të ngushtë β, kurse pastaj cakto grafikisht ndryshimin e tyre.

Testohu!

Duhet të dish! Grafikisht të caktosh Shumën e dy këndeve;

Në lidhje me vizatimin shkruaj simbolikisht:

Ndryshimin e dy këndeve.

B

C

Çfarë paraqet këndi AOC për këndet AOB dhe BOC?

O

A

Çfarë paraqet këndi AOC për këndet AOC dhe COB?

Detyra 1. Vizato dy kënde të ngushtë α dhe β dhe

4. Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd të

2. Vizato kënd të ngushtë α dhe konstrukto

5. Vizato një kënd të gjerë α dhe një kënd të

ngushtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre.

konstrukto shumën e tyre.

drejtë β dhe konstrukto ndryshimin e tyre.

këndin 2α (2α = α + α).

6. Vizato kënd të ngushtë α dhe kënd të ngushtë

3. Vizato tre kënde të ngushtë α, β dhe γ, pas-

β, β është më i vogël se α, e pastaj konstrukto këndin 2α − β.

taj konstrukto këndin α + β + γ.

Përpiqu! Sa kënde (të shënuara me hark) ka në vizatim? Cilat çifte të këndeve janë pranishme? Pika O shtrihet në drejtëzën AE. Cilat çifte të këndeve janë të puqtë.

C B D A

O

E

110

16

MATJA E KËNDEVE

A

Kujtohu!

Edhe këndet mund të krahasohen dhe sipas saj edhe të maten.

Me cilën vegël matet gjatësia e segmentit?

1 A

V

Çfarë janë ndërmjet tyre këndet qendrore α, β dhe γ?

Numëro (së paku tre) njësi matëse të gjatësisë.

Këndi AOD është shumë e këndeve α, β dhe γ, të cilat janë reciprokisht të puthitshme. Sa herë këndi α përmbahet në këndin AOD?

Vizato kënd α dhe kënd β që është më i madh se α. Çfarë janë ndërmjet vete këndet qendrore harqet përkatëse të të cilëve janë të puthitshme?

2

Harqet AB, BC, CD, DE dhe EF në vizatim janë të puthitshme. Cili është numri matës i këndit: a) AOF; b) AOC në lidhje me këndin α?

Në vizatim, harqet AB, BC dhe CD janë të puthitshme.

Thuhet edhe: numri matës i këndit AOD në raport me këndin α është 3.

3

Vëreje këndin e shtrirë AOB dhe harkun përkatës të gjysmërrethit në vizatim.

Vëre se gjysmërrethi është ndarë në 180 pjesë. Cila pjesë e këndit të shtrirë është kënd qendror, të cilit i përgjigjet 180-tës pjesë e gjysmërrethit? Këndi i cili është 180-ta pjesë e këndit shtrirë merret për njësinë themelore për matjen e këndeve. Madhësia e tij quhet shkalla këndore ose shkurtimisht shkallë. Shënohet me: 1o; lexohet “një shkallë”. Kam vërejtur se: nëse këndi shtrirë ndahet në 180 pjesë, fitohet kënd prej 1o.

4

Sa shkallë ka këndi shtrirë? Sa shkallë kë këndi i drejtë?

B

Vegla për matjen e këndeve quhet këndmatës.

111

Këndmatësi është paraqitur në vizatim. Këndmatësi mund të bëhet prej pllakës së hollë metalike ose prej plastike. 0

Ai e ka formën e gjysmërrethit të ndarë në 180 pjesë të barabarta dhe çdo pjesë paraqet një shkallë.

Te shkalla janë paraqitur numra prej 0 deri më 180, kurse qendra e gjysmërrethit është shënuar me O. S 5 Shihe vizatimin te i cili është paraqitur matja e këndit BAC dhe përgjigju: Ku është vendos pika O e këndmatësit? Ku shtrihet krahu AB i këndit BAC?

A

Lexo te këndmatësi, sa shkallë ka këndi ∢BAC?

6

0

V

Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve në vizatim? K

S

A

V

N

M

0

0

a)

7

b)

Me ndihmën e këndmatësit vizato ∢MPN = 105o.

R

M

gjysmëdrejtëzën PM me Vizato pikën e fillimit P. këndmatësin ashtu që pika Vendose O të puthitet me pikën fillestare P N

të gjysmëdrejtëzës PM.

P Shëno pikë N në vendin ku shkalla e këndmatësit tregon 105o.

Tërhiq gjysmëdrejtëz PN.

M 0

R

Në atë mënyrë me ndihmën e këndmatësit, vizatove

M

∢MPN = 105o.

112

8

Me ndihmën e këndmatësit vizato kënd prej: a) 48o;

b) 115o;

Njësitë më të vogla se shkalla për matjen e këndit janë minuta këndore ose shkurtimisht minuta (shënohet 1') dhe sekonda këndore ose shkurtimisht sekonda (shënohet 1"). Një shkallë ka gjashtëdhjetë minuta, kurse një minutë ka gjashtëdhjetë sekonda.

C

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’. Nëse këndi i dhënë α ka 25 shkallë, 38 minuta dhe 42 sekonda, ajo shkruhet kështu: α = 25o 28’ 42’’. Shndërroji në minuta:

9

a) 5°;

b) 12° 45';

c) 45° 15'.

a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.

10

Shndërroji në sekonda: a) 4°;

b) 10° 15 ';

c) 20° 20' 20".

Duhet të dish!

Testohu!

Cila është njësia themelore për matjen e madhësisë së një këndi; Cilët janë njësi më të vogla se shkalla;

I cili lloj është këndi që ka 90o? I cilit lloj është këndi që ka 124o?

Çfarë është shkalla këndore; Sa minuta ka 1o;

Shndërro në minuta 35o 17’. Shndërro në sekonda 15o 2’ 13’’.

Sa sekonda ka 1’;

Detyra 1.

Sa shkallë ka çdonjëri prej këndeve: BOC, COD, BOD dhe NOM në vizatim?

2.

Mati këndet α dhe β në vizatim.

M

D

C

B

N O

α

β

3.

Vizato kënd prej: a) 47°;

4.

Paraqiti në minuta këndet: a) 25o; b) 30o 15’.

b) 126°.

5.

Radhiti këndet sipas madhësisë, duke filluar prej më të voglit: α = 71o 35’; β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’; δ = 84o 35’ 40’’.

17

113

OPERACIONE ARITMETIKE ME KËNDE

Kujtohu!

A 1

Njësia themelore për matjen e këndit është shkalla. Njësitë më të vogla se shkalla janë minuta dhe sekonda. 1o

Njehso shumën e këndeve α = 85o 36’ 25’’ dhe β = 32o 12’ 20’’.

Vëre rregullën gjatë zgjidhjes: 1. Mblidhi sekondat. 25’’ + 20’’ = 45’’

1o

2. Mblidhi minutat. 36’ + 12’ = 48’

= 60’; 1’ = 60’’; = 3 600’’. Shndërroji në shkallë: a) 120'; b) 180'; Shndërroji në shkallë dhe minuta: a) 86'; b) 145'.

3. Mblidhi shkallët. 85o + 32o = 117o 85o

36’ 25’’

32o

12’ 20’’

117o

48’ 45’’

+

2

Njehso shumën e këndeve α = 48o 32’ 15’’ dhe β = 60o 8’ 20’’.

3

Njehso ndryshimin e këndeve α = 78o 38’ 42’’ dhe β = 26o 15’ 18’’.

α + β = 117o 48’ 45’’.

Vëre rregullën. 1. Zbriti sekondat. 42’’ - 18’’ = 24’’

78o

38’ 42’’

2. Zbriti minutat. 38’ - 15’ = 23’

26o

15’ 18’’

52o

23’ 24’’

-

3. Zbriti shkallët. 78o - 26o = 52o

4

Njehso ndryshimin e këndeve α = 108o 52’ 36’’ dhe β = 42o 24’ 15’’.

5

Njehso shumën e këndeve α = 84o 36’ 30’’ dhe β = 35o 42’ 50’’.

α - β = 52o 23’ 24’’.

Vëre rregullën. 1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’

84o

36’ 30’’

2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’

35o

42’ 50’’

120o

19’ 20’’

3. 84o + 35o + 1o = 120o

6

+

Njehso shumën e këndeve α = 68o 35’ 26’’ dhe β = 46o 42’ 52’’.

α + β = 120o 19’ 20’’.

114

B

7

Njehso ndryshimin e këndeve α = 90o 25’ 18’’ dhe β = 28o 36’ 35’’. Vëre rregullën.

1. 18’’ < 35’’. Od 25’ zbresim 1’; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’ 2. 24’ < 36’. Od 90o zbresim 1o; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’ 3. 89o - 28o = 61o

-

90o

25’ 18’’

28o

36’ 35’’

61o

48’ 43’’

α - β = 61o 48’ 43’’.

8

Njehso ndryshimin e këndeve α = 105o 25’ 20’’ dhe β = 68o 42’ 30’’.

9

Njehso ndryshimin e këndeve α = 88o 24’ dhe β = 25o 38’ 40’’. Vëre rregullën 1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’

88o

24’

2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’

25o

38’ 40’’

62o

45’ 20’’

3. 87o - 25o = 62o

10

Njehso ndryshimet:

a) 90o - 35o 42’;

-

α - β = 62o 45’ 20’’.

b) 180o - 65o 25’ 35’’.

PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DINË MË SHUMË

1

Njehso 4α , nëse α = 28o 32’ 24’’. Vëre rregullën. 1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’ 2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’ 3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o

2

Njehso 5α , nëse α = 20o 18’ 28’’.

4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 4α = 114o 9’ 36’’.

9’

36’’

3

Njehso α : 6, nëse α = 76o 32’ 42’’.

115

Vëre rregullën. 76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’ - 72o 4o 32’ = 272’ - 270’ 2’ 42’’ = 162’’ - 162’’ 0

4

4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’ 2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’

Cili kënd është 4 herë më i vogël se këndi α = 75o 34’ 20’’?

Duhet te dish!

Testohu!

Këndet mblidhen ashtu që me radhë mblidhen sekondat, minutat dhe pastaj shkallët; të mbledhësh kënde kur shuma e sekondave, përkatësisht e minutave është më e madhe se 60; këndet zbriten ashtu që me radhë zbriten sekondat, minutat dhe pastaj shkallët; të zbresësh këndet kur numri i minutave ose i sekondave te i zbritshmi është më i vogël se numri i njëjtë te zbritësi.

Njehso α + β i α − β, nëse α = 68o 45’ 22’’ dhe β = 30o 25’ 48’’.

Zada~i 1. Njehso α + β i α - β, nëse α = 88o 26’ 32’’ dhe β = 25o 10’ 20’’. 2. Njehso α + β i α - β, nëse

α = 76o 32’ 42’’ dhe β = 40o 38’ 50’’.

3. Njehso këndin β i cili me këndin a jep shumën prej 90o, nëse α është: a) α = 36o 40’;

b) α = 42o 42’ 42’’.

4. Njehso këndin β i cili me këndin α jep shumën prej 180o, nëse α është: a) α = 78o 30’;

b) α = 65o 35’ 25’’.

Përpiqu! Në vizatim është vizatuar këndi prej 19o.

19o

Si mundet pa këndmatës, e vetëm me kompas dhe vizore, të konstruktohet kënd prej 1o?

18

116

DREJTËZAT RECIPROKISHT NORMALE. LARGESA E PIKËS DERI TE DREJTËZA

Kujtohu!

A

a b

Në vizatim janë dhënë drejtëzat m dhe n. Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet:

1

n

R

Drejtëzat a dhe b në vizatim priten. Ato kanë vetëm një pikë të përbashkët. Cila është ajo pikë?

β α

m

Çfarë pozite reciproke kanë drejtëzat m dhe n? Çfarë këndi formojnë këndet α dhe β?

Mbaj në mend!

Nëse α është kënd i drejtë, çfarë është këndi β?

Për dy drejtëza që priten e formojnë kënde të drejtë themi se janë drejtëza reciprokisht normale (pingule) ose themi se njëra drejtëz është normale me tjetrën. Atë simbolikisht e shënojmë: m ⊥ n.

Të mbaj mend! Drejtëzat m dhe n priten dhe formojnë kënd të drejtë. Ato janë drejtëza reciprokisht normale.

Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë A që nuk shtrihen në atë drejtëz. Vizato drejtëzën s që kalon nëpër pikën A dhe është normale me drejtëzën p.

2

B

3

M

Cakto largesën më të shkurtër prej pikës M deri te drejtëza p në vizatim.

Shihe vizatimin dhe vepro sipas kërkesave.

Mati largesat e segmenteve MA, MB, MC, MD A B C dhe ME dhe krahasoji. Cila prej këtyre largesave është Të mbaj mend! Mund të përfundoj më e vogël? se largesa më e vogël është largesa Çfarë pozite reciproke kanë MC, e ajo është gjatësia e segmentit drejtëza p dhe drejtëza MC? që është normale në drejtëzën p.

p D

E

Mbaj mend! Me largesë e pikës M deri te drejtëza p nënkuptohet „largesa më e shkurtër ". Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e normales e tërhequr prej pikës M deri te drejtëza p. Largesa e pikës M deri te drejtëza p është gjatësia e segmentit MC, ku C është prerja e normales dhe drejtëzës p.

4

5

A

Cakto largesën të pikës A deri te drejtëza a në vizatim. Shihe vizatimin a) dhe vepro sipas ecurisë. Vizato drejtëzën b që kalon nëpër pikën A dhe është normale në drejtëzën a (duke e shfrytëzuar këndin e drejtë të vizorit tënd trekëndor). Shënoje pikë prerjen B të drejtëzave a dhe b.

117

a A b

Gjatësia e segmentit AB është largesa e pikës A deri te drejtëza a.

a)

a

Në këtë rast AB = 27 mm.

V

R Cili prej segmenteve në vizatim është largesë e pikës P deri te drejtëza a? Mate largesën e pikës P deri te drejtëza a. a A

6

B

C

D

Vizato drejtëzën a dhe shëno pikë A që është 3 cm larg prej drejtëzës a.

Duhet të dish!

Testohu!

Për cilat drejtëza themi se janë reciprokisht normale? Të caktosh largesën e pikës deri te drejtëza.

Larg një fshati kalon një lum. Në lum duhet të ndërtohet urë ashtu që të jetë sa më afër fshatit. Sqaro, sipas asaj që mësove, si do ta caktosh vendin se ku duhet të vendoset ura në lum.

Detyra 1. Ç’është largesë e pikës deri te drejtëza?

4. Vizato drejtëzën p dhe shëno pikë P që është në largesë 2cm prej drejtëzës p.

2. Vizato drejtëzën m dhe shëno pikë M që nuk shtrihet në atë drejtëzën. Cakto largesën e pikës M deri te drejtëza m. 3. Cakto largesën e pikës A deri te drejtëza c në vizatim. A

S c

V D

5. Vizato drejtëzën p dhe në të shëno pikë M.

Nëpër pikën M tërhiqe drejtëzën q, normale me p.

19

118

SIMETRALJA E SEGMENTIT. PËRGJYSMORJA E KËNDIT

Kujtohu! A

A M

1

V

Pika M është mesi i segmentit AB = 3 cm. Cakto: AM dhe MB. Drejtëzat a dhe b në vizatim janë reciprokisht normale. I cilit lloj është këndi α?

Është dhënë segmenti AB. Nëpër pikën e mesme O të tërhiqe drejtëzën s që është normale me segmentin AB. s

b

a

A

α

O

V

izato segment AB. Cakto mesin O të segmentit AB.

Nëpër pikën O tërhiq drejtëzën s normale me drejtëzën AB. Si janë pjesët që drejtëza s e ndan segmentin AB? Çfarë pozite reciproke kanë drejtëza s dhe segmenti AB?

Vëre dhe mbaj mend! Drejtëza s e cila përgjysmon segmentin AB dhe është normale me të quhet simetrale e segmentit AB. m

2

Cila prej drejtëzave në vizatim është simetrale e segmentit MN? R

M

3

B

n s N

Vizato segment CD dhe pastaj vizato simetralen e tij s.

4

B

Në vizatim është dhënë ∢AOB = 68o dhe në zonën e tij është tërhequr gjysmëdrejtëza OC ashtu që ∢AOC = 34o.

C

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjen. Sa shkallë ka ∢COB? Si janë pjesët që gjysmëdrejtëza OC e ndan këndin AOB? Përfundova! Gjysmëdrejtëza OC e ndan këndin AOB në dy pjesë të barabartë. ∢AOB = 68o, ∢AOC = 34o dhe ∢COB = 34o.

O

Mbaj mend! Gjysmëdrejtëza që e ndan këndin në dy kënde të barabartë quhet përgjysmore ose simetrale e atij këndi.

A

5

B

Provo, cila prej gjysmëdrejtëzave: OM, ON dhe OP në vizatim është përgjysmore e këndit AOB.

119

P N

6

M

Vizato kënd prej 56° dhe me ndihmën e këndmatësit tërhiq përgjysmoren e tij.

Duhet të dish!

O

A

Testohu!

Të sqarosh: Ç’është simetralja e segmentit dhe ç’është përgjysmorja e këndit. Të vizatosh: simetrale të segmentit të dhënë dhe përgjysmore të këndit të dhënë.

Vizato segmentin EF = 48 mm si në vizatim, pastaj vizato simetralen e tij. Vizatoj ∢AOV = 100o dhe pastaj tërhiq përgjysmoren e tij.

Pikërisht pas simetralja!

Sa simetrale mundet të tërhiqen: për segmentin e dhënë;

për këndin e dhënë?

F

E

Detyra 1. Simetralja s e pret segmentin AB = 5 cm në pikën M. Njehso: AM.

5. Gjysmëdrejtëza OP është përgjysmore e ∢MON = 84o. Sa shkallë ka ∢MON?

2. Simetralja s e pret segmentin MN në pikën P, ashtu që MP = 35 mm. Njehso gjatësinë e segmentit MN.

6. Gjysmëdrejtëza OC është përgjysmore e ∢AOB. Njehso ∢AOB, nëse ∢AOC = 35o.

3. Vizato segment: AB = 5 cm, pastaj vizato simetralen e tij.

7. Vizato kënd α = 76o dhe tërhiqe përgjys4

Vizato vijë të thyer me dy segmenteve AB dhe BC. Vizato simetralet e segmenteve AB dhe BC.

more e tij.

20

120

KËNDET KOMPLEMENTARE DHE SUPLEMENTARE

Kujtohu!

A 1

Cili prej çifteve të këndeve kanë shumë 90o? a) α = 35o dhe β = 55o;

Në vizatim është konstruktuar shuma e këndeve α = 40o dhe β = 50o.

b) α = 26o dhe β = 46o; c) α = 48o dhe β = 52o.

α = 40o

Mbaj mend!

β α β=

Për dy kënde shuma e të cilëve është 90° thuhet se janë kënde komplementare.

50o

Sa është shuma e këndeve α dhe β? Sa shkallë ka këndi i drejtë?

2

Sa shkallë ka këndi α + β?

Këndet α dhe β a janë komplementar, nëse: a) α = 25o dhe β = 65o; b) α = 23o dhe β = 77o; c) α = 44o dhe β = 46o?

3

B

Nëse α = 32o, atëherë sa është këndi i tij komplementar β?

4

Mati këndet α dhe β dhe njehso shumën e tyre. α

β

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Çfarë këndi është shuma e α dhe β?

S

Sa shkallë ka këndi i shtrirë? Sa shkallë ka ∢AOB, që është shuma e këndeve α dhe β?

β A

Kam vërejtur: Shuma e këndeve α dhe β është 180o, dmth. shuma e tyre është e njëjtë me këndin e shtrirë.

α O

V

Mbaj mend!

121

Për dy kënde shuma e të cilëve është 180o thuhet se janë kënde suplementare.

5

Cilët prej këndeve α dhe β janë suplementare: α = 65o dhe β = 115o;

6

α = 108o dhe β = 72o;

α = 125o dhe β = 65o?

Nëse α = 75o, atëherë sa është këndi i tij suplementar β?

Duhet të dish!

Testohu!

Për cilin çift të këndeve themi se janë kënde komplementare? Për cilët çift të këndeve themi se janë kënde suplementare?

Nëse ∢AOV = 62o. Cili prej këndeve: α = 38o; β = 118o; γ = 28o është: komplementar me këndin AOB; suplementar në këndin AOB?

Detyra 1. Provo këndet α dhe β a janë komplementar, nëse:

a) α = 48o dhe β = 52o; b) α =

32o

dhe β =

58o;

c) α =

66o

dhe β =

24o.

2. Njehso këndin komplementar të këndit α = 39o.

4. A janë këndet α dhe β suplementare, nëse: a) α = 105o dhe β = 65o;

b) α = 128o dhe β = 52o; c) α = 46o dhe β = 134o.

5. Njehso këndin suplementar të këndit α = 76o.

3. Vizato një kënd të ngushtë, pastaj konstrukto 6. Vizato një kënd të gjerë, pastaj konstrukto këndin e tij komplementar.

këndin e tij suplementar.

21

122

SHUMËKËNDËSHI

Kujtohu!

A

1

Në vizatim janë dhënë tre vija të thyera.

Në vizatim janë dhënë vijat e thyera të mbyllura KLMNP dhe ABCDE. Shqyrtoje vizatimin dhe përgjigju në pyetje. P

D M E

a)

b)

c)

C A

B

N

Brinjët AB dhe BC të vijës së thyer ABCDE janë fqinje. Ato kanë kulm të përbashkët B.

Cilat brinjë të vijës së thyer KLMNP e presin brinjën KL? Brinjët që e presin brinjën KL a janë brinjët fqinje të saj? A ka brinjë jo fqinje te vija e thyer ABCDE që priten?

D E C A B Cilët prej brinjëve të vijës së thyer ABCDE nuk janë fqinje me brinjën AB?

L

K

Vija e thyer nën a) është e hapur, kurse nën b) dhe c) është e mbyllur.

Me të vërtetë te vija e thyer ABCDE nuk ka brinjë jo fqinje që priten.

Vija e thyer e mbyllur ku nuk ka brinjë jo fqinje që nuk priten quhet vijë poligonale.

2

Vizato vijë poligonale DEFGH. D

B

3

E

Shihe vijën poligonale ABCDEF në vizatim. Në sa pjesë vija poligonale e ndan rrafshin?

C

F

Pjesa e hijesuar quhet pjesa e brendshme ose zona e brendshme e vijës poligonale B Vija poligonale dhe zona e saj e brendshme formojnë një figurë gjeometrike.

A

Mbaj mend!

123

Figura gjeometrike e formuar prej një vije poligonale dhe pjesës së saj të brendshme quhet shumëkëndësh.

4

Cila prej figurave në vizatim është shumëkëndësh?

a)

5

b)

c)

Në vizatim është dhënë shumëkëndëshi ABCDE. D Pikat: A, B, C, D dhe E janë kulme të shumëkëndëshit. Kulmet A dhe B janë kulme fqinje - shtrihen në të njëjtë brinjë. Cilat kulme janë kulme fqinje me kulmin D? Cilat kulme nuk janë fqinje me kulmin C? Segmentet: AB, BC, CD, DE dhe EA quhen brinjë të shumëkëndëshit ABCDE. Për cilat brinjë të shumëkëndëshit ABCDE kulmi B është kulm i përbashkët? Për brinjët AB dhe BC pika B është kulm i përbashkët. Ato quhen brinjë fqinje.

E

C

A

B

N

6

Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP janë brinjë fqinjë të brinjës MN?

P M

7

8

Cilat brinjë të shumëkëndëshit KLMNP nuk janë brinjë fqinjë të brinjës KL?

K

L

Shihe shumëkëndëshin KLMNP. Me cilat gjysmëdrejtëza është formuar këndi KLM? Sa kënde formojnë gjysmëdrejtëzat, në të cilat shtrihen brinjët e shumëkëndëshit KLMNP në zonën e tij të brendshme?

Vëre dhe mbaj mend!

124

Këndet: KLM, LMN, MNP, NPK dhe PKL janë kënde të shumëkëndëshit.

9

Vizato shumëkëndësh ABCD dhe shënoji këndet e tij me α, β, γ dhe δ.

Duhet të dish!

Testohu!

Ç’është vija poligonale? Cila figurë gjeometrike quhet shumëkëndësh? Ç’është kulmi, ç’është brinja dhe ç’është këndi i shumëkëndëshit? Cilat janë kulme fqinje dhe cilat janë kulme jo fqinje të shumëkëndëshit? Cilat janë brinjë fqinje dhe cilat janë brinjë jo fqinje të shumëkëndëshit?

Detyra 1.

C

Pse vija e thyer në vizatim E nuk është vijë poligonale? Cilat brinjë të vijës së thyer ABCDE nuk janë brinjë fqinje me brinjën CD? A

B D

4. Cilat kulme të

Cilat prej vijave të thyera janë vija poligonale?

D

shumëkëndëshit E ABCDE nuk janë fqinje me kulmin D?

C

A

B

5. Cilat brinjë të a)

b)

shumëkëndëshit KLMNP, në vizatim janë fqinje me brinjën MN?

2. Cila prej figurave gjeometrike në viza-

N P M K

tim është shumëkëndësh?

L

Ndihmoji kopshtarit! a)

b)

3. Vizato shumëkëndëshin ABCD.

c)

Një kopshtar ka marrë për detyrë të mbjellë 12 fidan në 6 rreshta, nga 4 fidan në çdo rresht. A do të mundet kopshtari ta kryej detyrën.

22

125

DISA LLOJE TË SHUMËKËNDËSHAVE

Kujtohu!

A

1

Si quhet figura gjeometrike që është formuar prej një vije poligonale dhe zonës së saj të brendshme?

Te vizatimet a) dhe b) janë dhënë dy shumëkëndësha dhe disa segmente pikat e skajshme të të cilave u takojnë shumëkëndëshave.

Shihi vizatimet dhe përgjigju në pyetjet. Pikat D, E dhe G shtrihen te shumëkëndëshi ABCD. D

Y

H E A

R

G

C F

S

H

M

V

T X

G

T

O F a)

B

Edhe cilat prej pikave të shënuara shtrihen te shumëkëndëshi ABCD? Cilat prej pikave të shënuara nuk shtrihen te shumëkëndëshi ABCD?

U

b)

Ku shtrihen të gjitha pikat e segmenteve FG, HT dhe XY? Vallë të gjitha pikat e segmenteve: OR, ST dhe UV shtrihen te shumëkëndëshi nën b)?

Vëre! Te shumëkëndëshi nën a) të gjitha pikat e segmenteve ku pikat e skajshme shtrihen te shumëkëndëshi, janë pika të atij shumëkëndëshi. Për shumëkëndëshat e atillë thuhet se janë të mysët (konveks). Te shumëkëndëshi nën b) disa pika të segmenteve pikat e skajshme të të cilave shtrihen te shumëkëndëshi, nuk i takojnë shumëkëndëshit. Për atë shumëkëndësh thuhet se është të lugët.

2

3

Cilët prej shumëkëndëshave në vizatim janë të mysët?

a)

c)

d)

b)

Vizato një shumëkëndësh të mysët dhe një të lugët. D

Kujtohu! Shihe shumëkëndëshin ABCDE në vizatim. Pikat: A, B,C, D dhe E janë kulme, segmentet AB, BC, CD, DE dhe E a janë brinjët e shumëkëndëshit. Këndet: ABC, BCD, CDE, DEA dhe EAB janë kënde të shumëkëndëshit.

E

C

A

B

126

B

4

N

C

Shihi shumëkëndëshat në vizatim dhe përgjigju në pyetjet.

G H

Sa kënde, kulme dhe brinjë ka çdonjëri prej shumëkëndëshave? Si quhet shumëkëndëshi ABC?

P

M

F A

B

K

E

L

Mbaj mend! Po, ai ka tre kënde dhe quhet trekëndësh.

Sipas numrit të këndeve (kulmeve ose brinjëve) shumëkëndëshi mund të jetë:

trekëndësh - shumëkëndësh me tre kënde (kulme dhe brinjë); katërkëndësh - shumëkëndësh me katër kënde (kulme dhe brinjë); pesëkëndësh - shumëkëndësh me pesë kënde (kulme dhe brinjë).

5

Cili shumëkëndësh quhet gjashtëkëndësh? b)

a)

6

Vizato shumëkëndësh me shtatë brinjë. Si quhet shumëkëndëshi i tillë?

7

Cakto llojin e çdo shumëkëndëshi në vizatim.

c)

Më tutje, me shumëkëndësh do të nënkuptojmë shumëkëndësh e mysët, nëse nuk është thënë ndryshe.

Duhet të dish! Cili shumëkëndësh quhet i mysët? Cili shumëkëndësh quhet i lugët jo konveks? Si ndahen shumëkëndëshat sipas numrit të këndeve (kulmeve, brinjëve)?

D

Testohu! Pse shumëkëndëshi ABCD në vizatim është i lugët? Si quhet shumëkëndëshi që ka 8 brinjë?

C A

B

Detyra 1.

Cili shumëkëndësh quhet shumëkëndësh i mysët?

2.

Vizato pesëkëndësh ABCDE. Cilët kulme janë fqinje me kulmin B? Cilët brinjë janë jo fqinje me brinjën BC?

3. Cilët prej pikave të shënuara në

vizatim shtrihen te shumëkëndëshi ABCD?

4. Shëno pesë pika A, B, C, D dhe E si në vizaD

E

D

C

C

N

A

E

H

G

F M

127

tim, e pastaj vizato pesëkëndësh ABCDE që është I lugët.

A

B

23

B

PERIMETRI I TREKËNDËSHIT

Kujtohu!

A

C

A 1

Shihe shumëkëndëshin ABCD në vizatim. Në të janë dhënë gjatësitë e segmenteve prej të cilëve përbëhet vija poligonale e shumëkëndëshit.

V

Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC. Njehso perimetrin e katrorit me brinjë a = 5 cm.

C 4 cm D

3 cm

2 cm 4 cm

A

B

Njehso perimetrin e vijës poligonale ABCD. Perimetri i vijës poligonale që e formon shumëkëndëshin quhet perimetër i shumëkëndëshit dhe shënohet me P.

Vëre! Perimetri i shumëkëndëshit ABCDE në vizatim është: P = AB + BC + CD + DA; P = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, dmth. P = 13 cm.

2

S

Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCDE, nëse: AB = 4 cm, BC = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm i EA = 3 cm.

B

3

b

a

Njehso perimetrin e trekëndëshit ABC në vizatim nëse: a = 28 mm, b = 32 mm dhe c = 40 mm. A

c

V

128 4

P = AB + BC + CA, gjegjësisht P = a + b + c.

Mbaj mend!

Njehso brinjën a të trekëndëshit ABC, nëse janë dhënë: a) P = 22 cm, b = 9 cm dhe c = 6 cm;

b) P = 30 cm, b = 12 cm dhe c = 8 cm;

Përcjelle zgjidhjen:

Kujtohu!

a) P = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15, a = 22 - 15; a = 7 cm.

Cili trekëndësh quhet trekëndësh barakrahës?

Zgjidhe detyrën nën b).

5

Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës ABC me bazë AB = a = 4 cm dhe krah AC = BC = b = 3 cm.

Vëreje mënyrën!

C

P = AB + BC + AC, P = a + b + c;

L = a + b + b, dmth.

b

P = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, dmth. P = 10 cm.

6

Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazë a = 8 cm dhe krah b = 6 cm.

7

Njehso bazën a të trekëndëshit barakrahës, nëse janë dhënë: a) perimetri P = 23 cm dhe krahu b = 7 cm; b) perimetri P = 30 cm dhe krahu b = 9 cm.

a

A

B

c

Përcjelle zgjidhjen nën a)!

P = a + b + b,

P=a+2⋅b

Mbaj mend! 23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm; F

8

ΔAVS është trekëndësh barabrinjës me brinjë a = 5 cm.

a

Njehso perimetrin e ΔAVS. D

a a

E

Përcjelle zgjidhjen!

P = AB + BC + CA, P = a + a + a,

129

Mbaje mend!

P=3⋅a

P = 3 ⋅ 5; P = 15 cm.

Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 8 cm.

9

Njehso brinjën e trekëndëshit barabrinjës me perimetër: a) P=18; b) P=36cm.

Duhet të dish!

Përcjelle zgjidhjen! P = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.

Testohu!

Çka është perimetër i shumëkëndëshit; të njehsosh perimetrin e shumëkëndëshit; të njehsosh perimetrin e trekëndëshit; të njehsosh një brinjë të shumëkëndëshit, nëse është dhënë perimetri dhe brinjët tjera të tij;

Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazë a = 4 cm dhe krah b = 5 cm. Njehso brinjën a të trekëndëshit ΔAVS, nëse P = 24 cm, b = 7 cm dhe c = 9 cm.

Detyra 1.

Njehso perimetrin e shumëkëndëshit ABCD, nëse: AB = 3 cm, BC = 34 mm, CD = 46 mm dhe DA = 5 cm.

2.

3.

4.

Njehso perimetrin e ΔAVS, nëse: a = 8 cm, b = 12 cm dhe c = 9 cm. Njehso brinjën e ΔAVS, nëse: P = 42 cm, b = 12 cm dhe c = 15 cm. Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahës me bazë a = 8 cm dhe krah b = 11 cm.

5. Perimetri i një trekëndëshi barakrahës është 34 cm, njehso bazën a të atij trekëndëshi, nëse krahu është b = 12 cm.

6. Trekëndëshi barakrahës me bazë a = 12 cm e ka perimetrin P = 32 cm. Njehso krahun e atij trekëndëshi.

7. Njehso perimetrin e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 18 cm.

8. Trekëndëshi barabrinjës e ka perimetrin P = 27 cm. Njehso brinjën e atij trekëndëshi.

9. Gjatësitë e katër brinjëve të një pesëkëndëshi janë: 32mm, 25mm, 28mm dhe 35mm, ndërsa perimetri i tij është P=150mm. njehso gjatësinë e brinjës së pestë.

24

130

MËSOVE PËR FIGURA GJEOMETRIKE NË RRAFSH. KONTROLLOJE DIJENINË TËNDE

Vizato drejtëzat p e q, dhe shëno pikat A, B dhe C që shtrihen në drejtëzën p dhe pikat C, D dhe E që shtrihen në drejtëzën q. Shkruaj me simbole ∈ dhe ∉ cilat prej atyre pikave i takojnë, e cilat prej atyre pikave nuk i takojnë drejtëzës p, përkatësisht drejtëzës q.

1.

2.

A janë kolineare pikat A, B dhe C, nëse AB = 4 cm, BC = 76 mm dhe

Në vizatim emërtoji të gjitha kënde të shënuara me hark. Ndërmjet tyre cilat lloje të këndeve i njohësh?

9.

10. Vizato kënd α = ∢AOB, si në vizatim. Pastaj, vizato kënd β që është i puqët me AOB.

CA = 36 mm?

3.

Ç’është segmenti?

4.

Vizato dy segmente, a dhe b, si në vizatim.

11. Vizato kënd të gjerë α, e pastaj konstrukto kënd β të barabartë me këndin α.

a

b

12. Vizato këndin e ngushtë α dhe këndin e

Pastaj konstrukto segmentin: a) a + b; b) a - b.

drejtë β. Pastaj, konstruktoi këndet α + β dhe α - β.

Cakto cilat prej vijave të thyera në vizatim janë poligonale. Sqaro pse vijat tjera të thyera nuk janë poligonale.

5.

13. I cilit lloj është këndi që ka 90o 35'? Shndërroji në minuta 90o 35'.

14. Njehso këndin β i cili me këndin α = 45o 35' 45’’ jep shumën 90o. 1

2

3

4

5

Vizato rrethin k(O; 27 mm) dhe në të shëno harkun rrethor AB, ashtu që korda përkatëse të jetë AB = 35 mm. Sa është diametri i atij rrethi?

15. Vizato drejtëz p dhe shëno pikë M që është në largesë 3cm nga drejtëza p.

6.

16. Ç’është simetralja e segmentit? 17. Provo nëse këndet α = 105o 45' dhe

Vizato rrethin k1(O1; 30 mm), e pastaj rrethin k2(O2; r2) i cili do ta takojë k1 nga brenda, ndërsa largesa qendrore të jetë 10 mm.

7.

β = 75o 15' janë suplementare.

18. Perimetri i një katërkëndëshi është 64m, e 8.

a) Ç’është këndi? b) Ç’është zona e brendshme e këndit?

tre brinjët e tij kanë gjatësi: 24m, 13m dhe 14m. Sa është gjatësia e brinjës së katërt?

TEMA 3.

THYESA. NUMRAT DHJETOR

9. Llojet e diagramit. Zgjedhja e

1. Thyesa. Leximi dhe shënimi i

thyesës 2. Llojet e thyesave

132 135

3. Paraqitja e thyesave në boshtin

numerik. Barazia e thyesave

140

4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave

me emërues të barabartë

131

143

5. Thjeshtimi dhe zgjerimi i

diagramit

157

10. Mbledhja e numrave dhjetorë

160

11. Zbritja e numrave dhjetorë

163

12. Shumëzimi i numrave dhjetorë

166

13. Pjesëtimi i numrave dhjetorë

170

14. Shndërrimi i thyesës në numër

dhjetor

175

146

15. Rrumbullakimi i numrit dhjetorë

178

6. Thyesa dhjetore. Numri dhjetor

149

16. Zgjedhja e modelit

180

7. Vetitë e numrave dhjetorë

153

17. Mësove për thyesa. Numrat

thyesave

dhjetorë. Kontrollo njohurinë

8. Paraqitja e numrave dhjetor në

tënde

drejtëzën numerik. Krahasimi i numrave dhjetor

155

182

1

132

THYESA. LEXIMI DHE SHËNIMII THYESAVE

Kujtohu!

A 1

Në vizatim figurat janë ndarë në pjesë me syprina të barabarta.

2

Në një shitore ka vetëm bukë të plota. Si do të vepron shitësi nëse kërkon të blesh gjysmë buke?

Sa gjysma ka një e plotë? Sa të treta ka një e plotë?

3

Në sa pjesë të barabarta është ndarë çdonjëra prej figurave?

Në një byrektore ka një pite të plotë të byrekut. Si do të vepron shitësi nëse kërkon të blesh të katërtën e byrekut?

Piten e byrekut shitësi do ta ndan në katër pjesë të barabarta.

Emërto një pjesë të çdo figure. Shprehe dhe shkruaje pjesën e ngjyrosur të çdo figure.

Një e plotë është ndarë në katër pjesë të barabarta, dmth. është caktuar sa është 1 : 4.

Vëre! Herësit 1 : 4 nuk është numër natyror, pasi asnjë numër natyror i shumëzuar me 4 nuk jep 1. Megjithatë, është e kuptueshme të themi se ai herës është i barabartë me një të katërtën dhe të përvetësojmë se edhe një e katërta është numër. 1 1 Shkruajmë __ , t.e. 1 : 4 = __ . 4 4

4

Tre fëmijë si do t'i ndajnë një lloj dy çokollata? Shihe vizatimin.

Në sa pjesë është ndarë çdo çokollatë? Cilën pjesë të çokollatës do ta merr çdo fëmijë?

Sa pjesë do të merr çdo fëmijë?

Vëre!

133

2 2 2 : 3 = __ ; __ lexohet: dy të treta ose 2 thye për 3. 3 3 2 është numër, i shkruar në formë të thyesës, por nuk është Mundemi të themi se __ 3 numër natyror.

5

Shkruaj herësit 1:2; 4:5 dhe 11 : 15 në formë të thyesave dhe lexoni.

6

Cili prej këtyre herësve nuk është numër natyror? a) 6 : 3; b) 1 : 3; c) 5 : 6; d) 8:4? Te cili herës i pjesëtueshmi është i plotpjesëtueshëm me pjesëtuesin?

Vëre dhe mbaj mend! Herësit 1:3 dhe 5:6 nuk janë numra natyrorë Nëse n nuk është pjesëtues i m, atëherë m : n nuk është numër natyror, m Herësin m : n e shkruajmë __ . n Prandaj, përveç numrave natyrorë do të mësosh edhe numra të tjerë të cilat quhen thyesa. Thyesa është herës i dy numrave natyrorë.

B

Shihe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet.

7

Në sa pjesë është ndarë e plota? Shkruani thyesë që tregon pjesën e ngjyrosur. Si quhen numrat me të cilat është shkruar thyesa? Çka tregojnë numrat me të cilat është shkruar thyesa?

Në përgjithësi

Thyesa

m __ është herës i numrave natyrorë m dhe n. Lexohet: m të n-tat. n

me të cilat është shkruar thyesa quhen: m - numërues dhe n - emërues. Ato janë ndarë me Numrat vizë e cila quhet vija thyesore. Ajo e zëvendëson shenjën e pjesëtimit.

m __ n

numërues vija thyesore emërues

n tregon në sa pjesë të barabarta është ndarë e plota. Numëruesi m tregon numrin e Emëruesi atyre pjesëve që janë marrë prej të plotës.

134

9

8

5 Ç’tregon numëruesi dhe emëruesi te thyesa __ ? 6

Shkruaje dhe lexoje thyesën e cila paraqet tetë të 15-tat pjesë të një vere të plotë.

Duhet të dish!

Testohu!

Të shprehish ç’paraqet një thyesë; të lexosh dhe të shkruash thyesa; të sqarosh ç’paraqet numëruesi dhe emëruesi i një thyese.

5 Vizato katror dhe hijezo __ e katrorit. 8 Çka tregon numëruesi, kurse çka emëruesi 5 i thyesës __ ? 8 Cila pjesë e l cm është 1 m? Shkruaj si thyesë 7 dl të një 1 l.

Detyra 1. Shkruaj herësit në formë të thyesave dhe lexoji.

7 : 9;

12 : 23;

4 : 121.

a 2. Shkruaj dhe lexo tre thyesa __ , ku a, b ∈ {7, 9, 28, 105}.

3.

4.

b

Shpreh ç’tregon numëruesi dhe emëruesi i thyesës: 5 12 38 __ ; __ ; __ . 8 19 125 4 Vizato katror dhe vizo __ të saj. 9

Cila pjesë është: a) 1 dm në 1 m c) 1 g në 1 kg

5. Shkruaj:

a) 3 cm në dm ; c) 9 dl në l;

b) 28 cm në m; d)15 g në kg.

6. Shkruaj: 1 a) __ m në cm; 4 2 c) __ l në dl; 5

3 b) __ m në dm; 5 8 d) __ kg në g. 25

7. Prej 36 nxënësve të një klasë 21 janë të

shkëlqyeshëm. Paraqite me thyesë pjesën e nxënësve të shkëlqyeshëm të asaj klase.

8. Në 8 paketa të njëjta ka gjithsej 5 kg sheqer. Sa kilogramë sheqer ka në çdo paketë?

b) 1 cl në 1 l d) 1 dm2 në 1 m2

2

135

LLOJETE THYESAVE

Kujtohu!

A 1 gjysma;

Shkruaj një të plotë te: e treta;

e shtata.

Vëre! 2 7 3 __ = 1, __ = 1, __ = 1. 2 7 3 n Në përgjithësi, për një thyesë __ n , me numërues dhe emërues të barabartë, ku n është numër natyror kemi: n n __ = n : n = 1, konkretisht __ = 1. n n

Sa gjysma ka një e plotë? Sa të treta ka një e plotë? Sa gjysma ka në: dy të plota, pesë të plota?

2 3

Shkruaje numrin 1 si thyesë:

me emërues 8;

me numërues 12.

Njehso herësit: 2 : 1; 9 : 1 dhe n : 1 (n numër natyror) dhe paraqiti si thyesa. Shkruan:

Barabartë

2 9 n __ = 2 : 1 = 2; __ = 9 : 1= 9; __ = n : 1 = n. 1 1 1

Çdo numër natyror n munde të paraqitet me thyesë me numërues n dhe emërues 1.

4

5

Shkruaje numrin 8 si thyesë me numërues 8. Shkruaje numrin 15 si thyesë me emërues 1. Shkruaj dy të plota si thyesë me emërues tre. 3 3 6 6 është e barabartë me numrin natyVëre: 2 = 1 + 1 = __ + __ = __ . Mund të themi se thyesa __ 3 3 3 3 ror 2. Kjo mënyrë e shënimit të numrit natyror si thyesë me emërues të dhënë nuk është praktik për numrat më të mëdhenj. Vëre mënyrën tjetër më të shkurtër. Si mund të shënohet numrin 5 në formë të thyesës me emërues 4? Sa të katërta ka në 5 të plota?

Në 5 të plota ka 4 ⋅ 5 të katërtat, 4⋅5 20 konkretisht; 5 = ____ = __. 4 4

Cilido numër natyror m mund të shkruhet në formë të thyesës me emërues numër natyror n. m⋅n m = ____ n

136

Paraqite numrin 8 në të pestat dhe numrin 12 në të shtatat.

6

Te e cila thyesë vijuese emëruesi është pjesëtues i numëruesit? 3 4 3 15 18 5 21 Cila prej tyre është numër natyror: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ? 5 2 6 3 9 10 7

Mbaj mend! a Thyesa __ paraqet numër natyror nëse b është pjesëtues i a. b Thyesa me të cilën është paraqitur numri natyror quhet thyesë e dukshme. Cilët prej këtyre thyesave janë të dukshme: 1 ; __ 4 ; __ 5 ; __ 6 ; __ 3 ; 14 __ __; 25 __ ; 22 __ ; 31 __ ? 2 2 1 6 4 7 4 2 8

7

Secili numër natyror mund të llogaritet për thyes. Ka thyesa që nuk paraqesin numër natyror. Prandaj, bashkësia e numrave natyror është nënbashkësi e bashkësisë së thyesave.

B

8

1 Në vizatim janë formuar figura prej pjesëve të barabarta që paraqesin __ e një rrethi. 4

I a)

b)

c)

II d)

e)

f)

g)

Sa të katërta ka çdo figurë nga rreshti i parë? Sa të katërta ka çdo figurë te rreshti i dytë? Cilat prej figurave paraqesin më pak se një të plotë dhe cila më shumë se një të plotë? Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të parë. Krahaso numëruesit me emëruesit e thyesës. Çfarë konstaton?

Paraqiti me thyesë figurat e rreshtit të dytë. Krahasoji numëruesit me emëruesit e thyesave. Çfarë konstaton?

137

Vëre! 1 2 3 Figurat e rreshtit të parë paraqiten me thyesat: a) __ , b) __ dhe c) __ . 4 4 4 Numëruesi i çdonjërës prej atyre thyesave është më i vogël se emëruesi, që do të thotë se ato përmbajnë më pak pjesë se që ka një e plotë. Ato thyesa janë më të vogla se 1. 2 7 9 28 Thyesa të atilla janë thyesat: __ , __ , __ , __ etj. Ato i quajmë thyesa të drejta. 5 9 11 31 Mbaj mend për thyesat e drejta: a a __ __ Te cilado thyesë (a, b ∈ N), nëse a < b, atëherë < 1. b b

5 6 7 9 Figurat e rreshtit të dytë paraqiten me thyesat: d) __ , e) __ , f ) __ , dhe g) __ 4 4 4 4 Te çdonjëra prej këtyre thyesave numëruesi është më i madh se emëruesi, që do të thotë se ato përmbajnë shumë pjesë se sa ka një e plota. Ato thyesa janë më të mëdhenj se 1. 9 11 25 38 Thyesa te atilla janë: __ , __ , __ , __ etj. Ato i quajmë thyesa jo te drejta. 4 3 13 19 Mbaj mend për thyesat jo të drejta: a a Te cilado thyesë __ (a, b ∈ N), nëse a > b, atëherë __ > 1. b b Thyesat më të vogla se 1 quhen edhe thyesa të pastra, kurse thyesat më të mëdha se 1 quhen thyesa jo të pastra.

9

10

7 5 14 5 5 1 Është dhënë bashkësia M = { __ , __ , __ , __ , __ , __ }. 7 11 9 8 3 2 Shkruaj në mënyrë tabelare bashkësitë A = {x | x ∈ M dhe x < 1} dhe B = {x | x ∈ M dhe x > 1}. 3 E cilit lloj është thyesa __ ? 2 3 __ Shkruaje thyesën si shumë të gjysmave me dy mbledhës. 2 3 Shkruaje thyesën __ si shumë të gjysmave me tre mbledhës. 2

Ndjeke zgjidhjen

138

3 Thyesa __ është më e madhe se 1 dhe mundet të paraqitet si shumë e gjysmave, 2 1 1 1 1 1 1 3 dmth. __ = __ + __ + __ = 1 + __. Shuma 1 + __ Shkurtimisht shkruhet 1 __ . 2 2 2 2 2 2 2 3 1 . Mund të shkruajmë __ = 1 __ 2 2

Numri i përzier përmban të plotë dhe thyesë.

Lexojmë: tre të dytat është e barabartë me një të plotë e një të dytat. Thyesat më të mëdha se 1 të shkruara me të plota dhe thyesat quhen numra të përzier.

C

11

Pse çdo thyesë më e madhe se 1 mundet të shkruhet si numër i përzier?

32 Thyesën __ ta shkruajmë si numër të përzier. 5

Përcille zgjidhjen Nëse e pjesëton numëruesin me emëruesin, atëherë herësi i fituar është pjesë e plotë e numrit të përzier. Pse?

32 : 5 = 6; -30 2

Mbetja e fituar është numëruesi i thyesës më të vogël se 1, kurse emëruesi ngel i njëjtë.

12

32 2 2 ; = 32 : 5 = 6 + = 6 5 5 5

32 2 =6 5 5

132 80 48 15 8 6 Shkruaje thyesën në numër të përzier: a) __ , b) __ , c) __ , d) __ , e) __ , f ) ___ . 17 13 11 4 3 5 Numrin e përzier mund ta shkruajmë si thyesë.

3 Numrin e përzier 2 __ ta shkruajmë si thyesë. 4

Vëre zgjidhjen! 3 Të caktojmë sa të katërta ka numri i përzier 2 __ . 4

Sa të katërta përmbajnë 2 të plota? Thyesa më e vogël se 1 përmban edhe 3 të katërta. 2⋅4+3 11 3 _______ = __ 2 __ = 4 4 4

2 ⋅ 4 katërta 2 ⋅ 4 + 3 katërta

Numri i përzier paraqitet si thyesë ashtu që emëruesi shumëzohet me të plotën dhe ai numër i shtohet numëruesit. Atë e shkruaj për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë.

13

Numrat e përzier:

2 3 __ , 5

5 4 __ , 7

139

9 8 __ shkruaj në formë të thyesës. 11

Duhet të dish!

Testohu!

Të njohësh llojet e thyesave: thyesa më të 9 6 3 2 Cila prej thyesave: __ , __ , __, __ , 8 3 2 3 9 është më e vogël se 1, më e madhe se 1 9 , __ __ 3 10 ose thyesë e dukshme? 13 Sa të plota ka thyesa __ ? Shkruaje si numër të 3 përzier. 4 Sa të pesta ka në 3 __ ? Shkruaje numrin e përzier 5 në formë të thyesës.

vogla se 1 (thyesat e drejta), thyesa më të mëdha se 1 (thyesat jo të drejta), thyesa të dukshme dhe numra të përzier. Të shkruash numër natyror në formë të thyesës me emërues të caktuar. Të paraqesësh thyesë më të madhe se 1 në numër të përzier dhe anasjelltas.

Detyra 1. Numrat natyrorë: 2, 5, 7, 8 dhe 11 shkruaj në formë të thyesës me emërues: a) 1; b) 3; c) 7.

2. Sa thyesa më të vogla se 1 mundesh të

shkruash me emërues 5 dhe numërues numër natyror?

3. Shkruaj dy thyesa më të vogla se 1 me

4.

Shkruaj dy thyesa më të mëdha se 1 me numërues 12.

5.

Thyesat: shndërroji në numra të përzier. 28 __ , 17 __ , 21 __ , 29 __ , 125 __ . 3 4 8 5 9

6. Numrat e përzier: shndërroi në thyesa.

emërues 7.

3 3 8 , 1 __ 1 __ , 15 __ . 8 __ , 3 9 10 4 4

Provo mendjemprehtësinë tënde! Një fushë po vërshohej me ujë. Çdo ditë vërshohet dyfish më shumë se ditën paraprake. Ditën e gjashtë u vërshua e gjithë fusha. Në fund të cilës ditë ishte vërshuar gjysma e fushës?

3

140

PARAQITJA E THYESAVE NË DREJTËZËN NUMERIKE. BARAZIA E THYESAVE

Kujtohu!

A

Vizato drejtëz numerike me segment njësi 2 cm. Numrit 3 shoqëroja pikën C.

1

Në vizatim është vizatuar drejtëza p dhe në të dy pika A dhe B. A

B

0

1

p Numrit 5 shoqëroja pikën D, ndërsa numrit 7 pikën E. Cakto gjatësinë e segmentit CE. Sa herë duhet ta bartësh segmentin njësi që të caktosh pikë për numrin 14?

Cili numër i shoqërohet pikës A, e cili pikës B? Në vizatim është përcaktuar drejtëza numerike me segment njësi AB = 1.

Çdo numër natyror mund të paraqitet në drejtëzën numerike.

2

Vizato segment AB me gjatësi 6 cm. Te segmenti AB cakto pikë C ashtu që 2 AC = __ AB. Cakto gjatësinë e segmentit AC. 3

Shihe vizatimin! Segmentin AB është ndarë në 3 pjesë. Secila pjesë ka gjatësi 2 cm, ndërsa segmenti AC ka dy pjesë të atilla.

A

C

B

AC = 4 cm. Si do ta caktosh pikën D, ashtu që AD =

1 __ AB. Cakto gjatësinë e segmentit AD? 3

Thyesat, si edhe numrat natyrorë, mundet të paraqiten në drejtëzën numerike.

3

1 Paraqite thyesën __ në drejtëzën numerike. 4 1 Vëre se thyesa __ është më e vogël se 1? 4 1 __ Ku gjendet thyesa në drejtëzën numerike? 4 Segmentin njësi AB prej 0 gjer te 1 duhet ta ndash në 4 pjesë të barabarta. Në fund të pjesës së parë është pika M 1 . dhe asaj i është shoqëruar thyesa __ 4 3 1 Në drejtëzën numerike paraqiti thyesat __ dhe __. 4 2

p A

B

C

0

1

2

p A M

B

C

1 0 __ 4

1

2

1 Thyesa __ gjendet në 4 segmentin AB.

10 __ Në drejtëzën numerike me segment njësi 3 cm paraqite thyesën 3 .

4

141

Në ecurinë përgjigju kërkesave. Vizato drejtëz numerike dhe në të shëno pika me numrat prej 0 gjer te 6. 10 10 Shkruaj thyesë __ si numër të përzier. Ndërmjet cilëve numra do të jetë thyesa __ ? 3 3 Ndërmjet cilave numra segmentin do ta ndash në tre pjesë? Sa pjesë do të ndash që të caktosh pikë 10 4 11 për thyesën __ ? Në drejtëzën e njëjtë numerike paraqiti thyesat __ dhe __. 3 3 3

B

5

2 1 e pites byrek, ndërsa Afërdita __ Mimoza ka blerë __ e pites byrek me madhësi të njëjtë. 8 4 Cila prej tyre ka blerë pjesën më të madhe të pites byrek. Vepro sipas kërkesave.

Paraqiti dy pite byrek me dy rrathë me rreze të njëjtë (si në vizatim).

1 __ 4

2 __ 8

Njërin rreth ndaje në 4 pjesë, ndërsa tjetrin në 8 pjesë. 1 2 Nga rrethi i parë ngjyros __, ndërsa nga i dyti __ . 4 8 Krahaso pjesët e ngjyrosur.

Gazmendi

Lindita ka ngjyrosur pjesë të tre shiritave të njëjtë, ndërsa Gazmendi pjesët e tre katrorëve të njëjtë.

Lindita

6

Mund të përfundoj! 1 2 __ = __ 4 8

Në sa pjesë është ndarë çdonjëri prej shiritave? Sa pjesë është e ndarë në çdo kuti? Cila pjesë e çdo shiriti është ngjyrosur, gjegjësisht çdo katrori është ngjyrosur? Krahaso pjesët e ngjyrosura të shiritave, gjegjësisht katrorëve. 1 2 4 Pjesët e ngjyrosura të shiritave janë të barabarta dhe thyesat __, __ dhe __ janë të 2 4 8 barabartë. 1 2 1 4 2 4 Prandaj mundemi të shkruajmë: __ = __ ; __ = __ ; __ = __ . 2 4 2 8 4 8

142

Pjesët e ngjyrosura të katrorëve janë të barabartë. 6 4 2 Prandaj: __ = __ = __ . 9 6 3

Vëre rregullën që vlen te thyesat e barabarta.

1 2 __ = __ , va`i: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 2 4

4 2 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4; 8 4 2 4 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4; 3 6

Të mbaj mend! Te thyesat e barabarta vlen: nëse shumëzon në mënyrë të kryqëzuar do të fitosh prodhime të barabarta.

4 6 __ = __ . Provo dhe shkruaj. 6 9 a c a c Rregulla vlen për çfarëdo thyesa të barabarta __ dhe __ , dmth. __ = __ , nëse vlen a ⋅ d = b ⋅ c. b d b d

7

6 3 2 11 6 44 80 90 Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta: a) __ dhe __ ; b) __ dhe __ ; c) __ dhe __ ; d) __ dhe __ ? 15 7 5 10 14 40 81 91

Duhet të dish!

Testohu!

Të vizatosh drejtëz numerike me segmentin njësi të dhënë; të paraqesësh thyesa në drejtëzën numerike; me ndihmën e rregullës për barazinë e thyesave të caktosh nëse dy thyesa janë të barabarta.

Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C te drejtëza numerike? A B C 0 1 2 3 Vizato drejtëzën numerike me segment njësi 1 cm dhe në të 7 cakto pikën A, e cila i përgjigjet thyesës __. 3 Cili numër duhet të shkruhet te katrori që të jenë të barabarta 2 6 thyesat __ = __ ? 3

Detyra

1. Cilat thyesa u përgjigjen pikave A, B dhe C te drejtëza numerike? A B 0

1

1 7 27 5 1 28 9 9 , __ __ dhe __ , __ dhe __ dhe __ ; __ dhe __ ? 6 37 30 2 40 11 19 10

C 2

3

4. Cilat prej këtyre thyesave janë të barabarta:

4

2. Vizato drejtëzën numerike me segment njësi

5. Duke e shfrytëzuar rregullën për barazinë e

2 cm dhe në të cakto numrat a) 5; b) 7; 1 3 ; d) 6 __ c) 4 __ . 2 4

thyesave cakto x ashtu që thyesat të jenë të barabartë. x 7 35 2 10 100 2 x a) __ = __ ; b) __ = __ ; c) __ = __ ; d) __ = __ . x x 9 27 11 3 12 40

3. Vizato drejtëzën numerike me segment njësi

6. Në drejtëzën numerike janë paraqitur num-

3 , __ 9 , __ 9, 4 cm dhe në të cakto thyesat __ 4 8 4 7. __ 2

3 rat __ dhe 1. Paraqiti numrat: 4 5 ; 3 __ 1 dhe 17 3 __ __ . __ 4 2 4 4

1

4

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E THYESAVE ME EMËRUESË TË BARABARTË

Kujtohu!

A

Eljesa dhe Bariu kanë ndarë një rreth në 4 pjesë të barabartë. Eljesa ka ngjyrosur 1 2 __ e rrethit, kurse Bariu __ e rrethit të njëjtë. 4 4 Cilën pjesë të rrethit e kanë ngjyrosur Eljesa

1

143

3 4 Cakto shumën e thyesave __ dhe __ . 5 5

Vëre se si do ta sqarojmë mbledhjen e thyesave me emërues të barabartë me ndihmën e vetisë të shpërndarjes të pjesëtimit në lidhje me mbledhjen.

dhe Bariu së bashku? Puno sipas këtyre rregullave dhe krahasoji zgjidhjet.

Vizato rreth dhe shkruaji pjesët e ngjyrosura. 2 1 Njehso __ + __ . 4 4

Zbato vetinë distributive të

Njehso sa ka ngjyrosur Bariu më shumë, 2 1 dmth. __ - __ . 4 4

Ndryshoji anët e barazive të fituara.

shprehjes (3 + 4) : 5 =

Zbato vetinë e shpërndarjes të pjesëtimit në lidhje me mbledhjen (12 + 9) : 3 = .

2

(3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5

3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5

Shkruaji herësit në formë të thyesave.

4 3 3+4 __ + __ = _____ 5 5 5

Njehso shumën dhe paraqite si numër të përzier.

3 __ + 5 7 __ = 5

4 3+4 __ = _____ = 5 5 2 1__ . 5

4 3 Shihe vizatimin dhe sqaro si është paraqitur shuma __ + __ në drejtëzën numerike. 5 5 3 __ 4 2 __ + = 1__ 5 5 5 0

3 __ 5

1 4 __ 5

a __ b _____ a+b __ + = , c c c a, b, c ∈ N, dmth. shuma e numëruesve shkruhet për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë. Të mbaj mend: Thyesat me emërues të barabartë mblidhen kështu:

3

3 1 Cakto shumën 2__ + __. 5 5

2

Vëre se shuma mundet të paraqitet në dy mënyra. Mënyra I

144

3 Shndërroje numrin e përzier 2 __ si thyesë më e madhe se 1. 5 1 13 Cakto shumën __ + __ . 5 5

14 Shkruaje shumën __ si numër të përzier. 5

Mënyra II

3 Shkruaje numrin e përzier 2 __ si shumë të të plotave dhe thyesës më të vogël se 1. 5 1 3 __ __ Te shprehja 2 + + cakto shumën e thyesave më të vogla se 1. 5 5 4 Shkruaje shumën 2 + __ si numër të përzier. 5

4

2 4 Cakto shumën 3 __ + 1 __ në dy mënyra. 7 7 Cakto shumën e thyesave: 7 5 4 5 a) __+ __ ; b) __ + __ ; 9 9 7 7

5

1 3 c) 2 __+ __ . 4 4

8 11 Një traktorist për një orë ka lëvruar __ e një are, kurse orën e dytë ka lëvruar __ e arës. 20 20

6

Cilën pjesë të arës e ka lëvruar traktoristi për dy orë? Cila pjesë e arës ka ngel e pa lëvruar?

B

7

Cila thyesë duhet të shkruhet në vend të x që të vlen:

5 7 __ __ = + x? 9 9

Vëre! 5 2 7 Thyesës __ duhet t'i shtohet thyesa __ që të fitohet thyesa __ . 9 9 9 7- 5 2 5 7 5 7 2 Thyesa __ është ndryshimi i thyesave: __ dhe __ ; shkruajmë: __ - __ = ____ = __. 9 9 9 9 9 9 9

Të mbaj mend: Thyesa me emërues të barabartë zbriten kështu: a __ c ____ a- c __ = , a > c, b b b dmth. ndryshimi i numëruesve shkruhet për numërues, kurse emëruesi ngel i njëjtë.

8 9

11 7 Njehso ndryshimin: a) __ - __ ; 12 12

16 11 b) __ - __ ; 25 25

3 5 c) 3 __ - 1 __ . 8 8

145

3 Gjatësia e njërës brinjë të një drejtkëndëshi është e 5 __ cm, kurse 5 2 gjatësia e brinjës fqinje është 1 __ cm më e vogël. 5 Cakto gjatësinë e brinjës fqinje. Cakto perimetrin e drejtkëndëshit.

Duhet të dish!

Testohu!

Të caktosh shumën e thyesave me emërues të njëjtë; Të njehsosh ndryshimin e thyesave me emërues të njëjtë.

Njehso: 5 4 1 a) __ + __ + --. 9 9 9 c) 3

3 __ 7 __ + . 8 8

7 11 +4 12 12

b)

1 2 1 __ + 2 __. 3 3

d)

4 7 2 +1 +3 15 15 15

7 3 9 9

d) 3 -1

4. Shumën e numrave 3 5 dhe 2 1 zvogëlo7 7 5 je për 5 . 7

5. Një nxënës ditën e parë ka lexuar 3 e një 10 5 libri, kurse ditën e dytë e librit të njëjtë. 10

2. Njehso: a)

3 1 2 __ + 1 __. 4 4

2 4 __ Cili numër është për 2 __ më i vogël se numri 3 ? 9 9

Detyra 1.

Cakto shumën, pastaj shkruaje si numër të përzier.

3 5

b)

17 15 19 19 e) 3

3 1 c) 5 - 2 4 4

2 4 5 -2 + 11 11 11

Cilën pjesë të librit e ka lexuar për dy ditë? Cila pjesë e librit i ka ngelur e pa lexuar pas ditës së dytë?

3. Një rezervuar mbushet prej tri gypave. Për 1 një orë gypi i parë mbush e rezervuar12 5 4 it, i dyti dhe i treti , e rezervuarit. 12 12 Cilën pjesë të rezervuarit do ta mbushin të tre gypat për një orë? Cila pjesë e rezervuarit do të ngel i pambushur?

7

3

6. Arlindi ka 10 vjet, kurse Njomza ka 15 12 12 vjet.

Sa vjet do të ketë Arlindi pas 3

5 vjet? 12

Për sa vjet do të jetë më e vjetër Njomza nga Arlindi pas 3

5 vjet? 12

5

146

ZGJERIMI DHE THJESHTIMI I THYESAVE

Kujtohu!

A 1

Cili numër duhet të shënohet në katror që të jetë e saktë barazia. 12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅

).

Vëre katrorët me brinjë të barabartë. Te njëri katror pjesa e ngjyrosur është 3 , ndërsa te tjetri 6 . 4 8 Krahaso pjesët e ngjyrosura.

Cila veti e pjesëtimit është zbatuar? Provo a janë të barabarta thyesat? 5.3 4 8 5 ; dhe . ; dhe 6 3 5 10 6

3 6 3 6 Hetove se pjesët e ngjyrosura janë të barabartë, gjegjësisht = . Po ashtu, = , 4 8 4 8 pasi që 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6. 6 3⋅2 3 3 3⋅2 6 Mund të vëresh se = . Nga kjo dhe nga = fitohet se = . 8 4⋅2 4 4 4⋅2 8 Numëruesi dhe emëruesi i thyesës 3 janë shumëzuar me 2. Ndërsa vlera e saj nuk u 4 ndryshua. Numëruesin dhe emëruesin e thyesës 5 shumëzoji me: 2, 3 dhe 4. Provo nëse thyesat e fituara 6 5 janë të barabarta me thyesën . 6

2

Vëre se

5 5 = 6 6 5 5 = 6 6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 10 = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10; 2 12 3 15 = . Kjo barazi vlen pasi 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15. 3 18

Vetinë e konstatuar mundesh ta sqarosh edhe prej vetisë së pjesëtimit a a⋅n a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). prandaj: = ; a, b, n ∈ N. b b⋅n

Vlen në përgjithësi! Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me një numër të njëjtë, të ndryshueshëm prej zeros, fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë.

3

Kjo rregull quhet zgjerimi i thyesave. Zgjeroji thyesat: a)

5 me 3; 6

b)

3 7 me 10. me 4; c) 10 8

B

4

4 Numëruesin dhe emëruesin e thyesës __ pjesëtoje me 2. 6

147

4 Provo nëse thyesa e fituar është e barabartë me thyesën __ . 6 4 4:2 2 2 Njehsove se = , gjegjësisht = . Kjo barazi vlen pasi që 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2. 6 6:2 3 3 Numëruesi dhe emëruesi i thyesës saj nuk u ndryshua.

4 janë pjesëtuar me numër të njëjtë, ndërsa vlera e 6

15 Numëruesin dhe emëruesin e thyesës __ pjesëtoji me pjesëtuesin e tyre të përbashkët. 20 Provo barazinë e thyesës së dhënë me thyesat e fituara.

5

Vetinë e konstatuar të thyesave mundesh ta sqarosh prej vetisë së pjesëtimit për pandryshueshmërinë e herësit, gjegjësisht. a : b = (a : n) : (b : n) ku a, b, n janë numra natyrorë a a:n dhe n është pjesëtues i a dhe b. Prandaj: = . b b:n

Në përgjithësi vlen! Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me pjesëtuesin e tyre të përbashkët (më të madh se 1), atëherë fitohet thyesë e barabartë me thyesën e dhënë.

6

Kjo rregull quhet thjeshtimi i thyesave. 36 Thyesën __ thjeshtoje gradualisht me pjesëtuesit e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit. 60

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 36 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3 = = = = . 60 60 : 2 30 : 2 15 : 3 5 Cakto pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin e thyesës 36 . 60 Thjeshto thyesën me PMP(36, 60). Njehsove se PMP(36,60) = 12.

36 36 : 12 3 = = . 60 60 : 12 5

3 nuk mundet të thjeshtohet, pasi numëruesi dhe emëruesi janë numra reciprokisht të 5 thjesht. Thyesa e këtillë quhet thyesë e pa thjeshtuar. Thyesa

Vërejte se një thyesë mund ta thjeshtosh gradualisht me pjesëtuesit e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit të saj ose më thjeshtë, numëruesin dhe emëruesin ti pjesëtosh me PMP e tyre

Të mbaj mend! Thjeshtimin e thyesës ta kryej gjer te thyesa e pa thjeshtuar.

148

7

Thjeshto thyesat:

a)

12 ___ ; 16

b)

25 ___ ; 50

c)

72 ___ ; 90

d)

27 ___ . 999

Testohu!

Duhet të dish! Të zgjerosh thyesë; Të thjeshtosh thyesë;

4 1 Shkruaji thyesat __ dhe __ në: 5 2 a) dhjetëshe; b) qindëshe Cakto x në barazi me ndihmën e thjeshtimit të 12 x thyesave. __ = __ . 18 3 x Në shënimin __ cakto x që thyesa të jetë e pa 3 thjeshtuar dhe më e vogël se 1.

Cila thyesë është e pathjeshtueshme?

Detyra 1. Zgjeroje me 2 dhe me 5 thyesën: 2 3 11 15 __ __ __ __ a) ; b) ; c) ; d) . 5 7 12 17

2. Shkruaj tre thyesa të barabartë me 6 thyesën __ . 9

7. Duke e shfrytëzuar vetinë për thjeshtimin dhe zgjerimin e thyesave, cakto x. 11 33 8 24 x 7 20 x __ __ __ a) __ = __ ; b) __ = __; c) __ x = 33 ; d) 17 = x . 9 54 7 28 3 5 8. Thyesat __ dhe __ zgjeroi ashtu që të kenë 4 6 emërues të njëjtë.

3. Sa qindëshe ka secila prej thyesave 9 24 __ 3 17 4 __ __ __ __ ; ; ; ; ? 5 10 20 25 50

4. Cilat nga thyesat vijuese janë të pa 2 17 21 29 111 3 thjeshtuar __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; ___ ? 5 25 27 36 999 6

5. Thjeshto thyesat: 5 __ 8 36 54 100 __ ; ; __ ; ___ ; ___ . 15 12 54 144 120

90 6. Thjeshto thyesën ___ : 126

a) Gradualisht; b) me PMP(90, 126).

Problem! Në një kovë kishte ujë, kurse në tjetrën venë. Është mbushur gota nga kova me venë dhe është derdhur në kovën me ujë, e pastaj gota e njëjtë është mbushur nga kova në të cilën është përzier uji dhe vena dhe është derdhur në kovën me venë. Çka ka më shumë, ujë në kovën me venë ose venë në kovën me ujë? Zana dhe Valoni gjithsej kishin 909 denarë. 3 Kur Zana ka shpenzuar __ e pareve të saja, e 4 4 Valoni ka shpenzuar __ e pareve të tij, 5 atëherë që të dyve i ka mbetur shuma e njëjtë të parave. Nga sa denarë kanë pasur në fillim?

6

149

THYESA DHJETORE. NUMRI DHJETOR

Kujtohu!

A

Si quhen numrat: 1, 10, 100, 1 000, …?

1

Shkruaj njësitë vijuese më të vogla si pjesë e njësive më të mëdha matëse: 1 cm në dm; 5 dm në m;

Me cilat njësi matëse masim gjatësinë, kurse me cilën masën? Shkruaj njësitë vijuese më të mëdha në ato më të vogla matëse: 1 dm në cm; 5 m në dm; 8 dag në g; 1 m në cm; 7 m në cm; 1 kg në g; 9 km në m.

8 g në dag;

1 cm në m;

7 cm në m;

1 g në kg;

9 m në km.

Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: 5 8 1 __ __ __ dm; 5 dm = m; 8g= dag; 10 10 10 1 9 _____ _____ 1g= kg; 9 m = km. 1 000 1 000 1 cm =

1 cm =

1 ___ m; 100

7 cm =

7 ___ m; 100

Vëre dhe mbaj mend! Numrat matës me të cilët janë shprehur njësitë matëse më të vogla në ato më të mëdha janë thyesat. Emëruesit e këtyre thyesave janë njësi dekade: 10, 100, 1 000,... 1 5 8 1 7 1 9 Thyesat: __ , __, __ , ___ , ___ , _____, _____, ... te të cilët emëruesit janë njësi dekade 10 10 10 100 100 1 000 1 000 quhen thyesa dhjetore. Thyesa dhjetore shkurtimisht mundet të shkruhet pa emërues në shënim të quajtur shënim dhjetor ose numër dhjetor.

Shqyrto shembuj!

Thyesa dhjetore 1 __ 10 5 __ 10 1 ___ 100 3 1 __ 10

Shkruhet si numër dhjetor

Lexohet numri dhjetor

0,1

Zero të plota dhe 1 të dhjetat

0,5

Zero të plota dhe 5 të dhjetat

0,01

Zero të plota dhe 1 të qindtat

1,3

Një e plotë dhe 3 të dhjetat

150

Edhe disa shembuj:

30 + 5 30 5 3 5 35 ______ ___ ___ __ ___ ___ = = + = + 100 100 100 10 100 100 35 Thyesa ___ përmban 3 dhjetëshe dhe 5 qindëshe, gjegjësisht 35 të qindtat. 100 35 ___ shkruhet 0,35 dhe lexohet zero të plotat dhe 35 të qindta. 100 20 + 9 20 9 2 9 29 ______ _____ _____ ___ _____ _____ = = + = + 1 000 1 000 1 000 100 1 000 1 000 29 Thyesa _____ përmban 2 të qindtat dhe 9 mijëshe ose 29 mijëshe. 1 000 29 _____ shkruhet 0,029 dhe lexohet: zero të plotat dhe 29 të mijtat. 1 000 324 24 ____ ____ =3 shkruhet 3,24 dhe lexohet 3 të plotat dhe 24 të qindtat. 100 100 7 2 ____ shkruhet 2,07 dhe lexohet 2 të plotat dhe 7 të qindtat. 100

Vëre dhe mbaj mend mënyrën e të shkruarit të thyesës dhjetore si numër dhjetor. 9 17 Thyesat dhjetore ____ dhe _____ ti shkruajmë si numër dhjetor. 1 000 100

Ecuria

Për:

17 2 ____ 100

3

9 _____ 1 000

Së pari shkruhen të plotat.

2

3

Shkruhet presja e cila quhet presja dhjetore.

2,

3,

2,17

3,009

Shkruhet numëruesi i thyesës dhjetore, nëse ai ka aq shifra sa ka zero te emëruesi. Në thyesën e dytë para numëruesit shkruajmë dy zero. Numëruesi duhet të ketë aq shifra sa ka zero të emëruesi. 17 2 ___ = 2,17; 100

9 3 _____ = 3,009. 1 000

Të mbaj mend! Secilën thyes dhjetore mund ta shkruaj si numër dhjetor.

Shkruaj si numra dhjetor thyesa dhjetore në vijim: 3 ___ 25 ___ 9 79 3 __ ; ; ; 3 _____; 15 _____ . 10 100 100 1 000 1 000

2

151

të dhjetat

të qindtat

Presja dhjetore e ndan numrin dhjetor në dy pjesë. Te pjesa para presjes janë të plotat. Pjesa pas presjes dhjetore quhet pjesa dhjetore. Vendet e shifrave në pjesën decimale quhen vendet dhjetore, ndërsa shifrat quhen dhjetore. Numri dhjetor 3,14 ka 3 të plota dhe dy dhjetore.

3 të plota

,

14 dhjetore

2

PJESA E PLOTË

B 3

7

Lexoji këto numra dhjetor: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.

3,14 : tre të plota dhe 14 të qindtat; 17,005 : shtatëmbëdhjetë të plota dhe 5 të mijtat. Shkruaje numrin dhjetor 3,25 si thyesë dhjetore.

Vëreje ecurinë:

1

PRESJA DHJETORE

0,5 : zero të plota dhe 5 të dhjetat;

4

0

,

Lexo dhe shkruaje me fjalë numrin 3,25.

PJESA DHJETORE

TË MILIONTAT

1

TË QINDËMIJËTAT

Nj

TË DHJETËMIJTAT

Dh

TË MIJTAT

Q

TË QINDTAT

QM DhM NjM

KLASA E NJËSHEVE

KLASA E MIJËSHEVE

TË DHJETAT

Të shkruarit e numrave dhjetor është paraqitur në tabelën vijuese, në shembullin 17 12 _____ = 12,017. 1 000

Duhet të fitosh: Tre të plota dhe 25 të qindtat. Tekstin e fituar shkruaje si thyesë dhjetore.

152

Duhet të fitosh: 3

Vëren se: Numri dhjetor shkruhet në formë të thyesës dhjetore në këtë mënyrë:

25 ___ . 100

Të plotat e numrit dhjetor shkruhen për të plota të thyesës. Pjesa dhjetore shkruhet për numërues te thyesa dhjetore. Për emërues shkruhet njësia dekade me aq zero sa ka dhjetore. Të mbaj mend: Numri dhjetor shkruhet si thyesë dhjetore sipas leximit të drejt.

Shembuj të zgjidhur! 0,5 =

17 32 5 ____ ___ __ ; ; 12,017 = 12 ; 1,32 = 1 1 000 100 10

Testohu!

Duhet të dish! Numri dhjetor është shënim i veçantë i thyesës dhjetore; Të shkruash thyesë dhjetore si numër dhjetor dhe anasjelltas; Të lexosh drejt numra dhjetorë.

Shkruaj dhe lexo numër dhjetor që ka 23 të plota dhe 105 për pjesë dhjetore. 3 Shkruaj 7 ___ si numër dhjetor dhe 0,012 si 100 thyesë dhjetore.

Detyra 1. Cilat prej këtyre thyesave janë thyesa

4. Shkruaj thyesat dhjetore si numra dhjetor:

dhjetore: a)

12 3 7 131 6 ____ __ ___ ___ ____ ; b) ; c) ; d) ; e) ? 1 001 10 200 200 1 000

2. Shkruaj tre thyesat dhjetore me numërues 13, ndërsa me emërues të njëjtë;

3. Sa të plota dhe sa dhjetore ka numri dhjetor: a) 36,08; b) 3,0031; c)138,05?

a)

6 9 ___ ___ ; b) 2 ; 100 100

c) 11

29 3 _____ ____ ; d) 14 . 1 000 1 000

5. Lexoji numrat dhjetor: a) 2,03; b) 12,015; c) 0,0035.

6. Shkruaj si thyesa dhjetore këto numra dhjetor: a) 0,2; b) 1,05; c) 4,003; 1,0017.

7

153

VETITË E NUMRAVE DHJETORË

Kujtohu! Thyesën

A

1

2 __ zgjeroje me 10, kurse pastaj 10

3 __ zgjeroje me 10, 100 10 dhe 1 000. Thyesën

Duhet ta fitosh këtë zgjidhje:

me 100. 30 Thyesën ___ thjeshtoje me 10. 100

3 3 ⋅ 10 30 __ ______ ___ = = ; 10 10 ⋅ 10 100

3 3 ⋅ 100 _____ 300 __ ______ = = ; 10 10 ⋅ 100 1 000

Shkruaji thyesat dhjetore si numra dhjetorë.

Mundesh të shkruash: 3 30 300 3 000 __ ___ _____ ______ = = = , gjegjësisht 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000. 10 100 1 000 10 000

Vëre! Numrat dhjetor janë të barabartë, kurse ndryshojnë sipas asaj nga ana e djathtë kanë nga një ose më shumë zero.

Numri dhjetor nuk ndryshon nëse nga ana e djathtë i përshkruhen sa do qoftë zero.

2

Numrat dhjetorë shkruaj ashtu që të kenë numër të njëjtë të dhjetoreve: a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028;

b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.

Numri 5 shkruaje në formë të thyesës me emërues 1.

3

Atë thyesë zgjeroje me 10, 100 dhe 1 000. Thyesat e fituara shkruaj si numra dhjetor.

Vëren se:

5=

5 __ . 1

5 ⋅ 10 50 _____ = ___ = 5,0; 1 ⋅ 10 10

5 ⋅ 100 500 5 ⋅ 1 000 5 000 ______ = ___ = 5,00; ________ = _____ = 5,000. 1 ⋅ 100 100 1 ⋅ 1 000 1 000

Atë që e ke vërejtur për numrin 5, vlen për çfarëdo numër natyror. Çdo numër natyror mundet të shkruhet si numër dhjetor në atë mënyrë që ndahet me presje dhe përshkruhen zerot si dhjetore.

154

B

Shkruaj numrat dhjetor 6, 12 dhe 135 si numra dhjetor

4

a) me një dhjetore;

5

b) me dy dhjetore.

80 Thyesën dhjetore ___ thjeshtoje me 10. 100 Thyesën e dhënë dhe të thjeshtuar shkruaji si numra dhjetor. 3 200 Vëreje të njëjtën rregull për thyesën: _____

E fitove zgjidhjen:

80 80 : 10 8 ___ = _______ . = ___; 0,80 = 0,8. 100 100 : 10 10

1 000

3 200 3 200 : 100 32 _____ = __________ . = ___ ; 3,200 = 3,2. 1 000 1 000 : 100 10

Numri dhjetor që nga ana e djathtë ka zero, nuk ndryshon nëse ato shlyen.

6

Shlyej zerot, ashtu që numrat dhjetor të mos të ndryshojnë vlerën: a) 2,90 ; b) 0,03500 ; c) 1,0030 ; d) 28,102000; e)7,0.

Duhet të dish!

Testohu!

A do të ndryshoj numri dhjetor nëse nga ana e djathtë i përshkruajmë, gjegjësisht i shlyejmë, një ose më shumë zero; Të shkruash numër natyror si dhjetor.

Shkruaj numrat 1,2 ; 15 dhe 0,40 me tre dhjetore. Shlyej zerot te numrat, kurse vlera e tyre të mos ndryshon. a) 3,0250; b) 12,00; c) 0,10200.

Detyra 1. Numrat: 1,300; 0,5; 23; 1 000 shkruaj me dy dhjetore.

2. A do të ndryshon vlera e numrit 1,05 nëse shlyhet zeroja dhe shkruhet 1,5?

3. Te numrat dhjetorë: 0,5000; 0,5020; 1,2020300 shlyej zerot, kurse ato të mos e ndryshojnë vlerën.

4. Numrat; 8; 1,2; 3,25 shkruaj ashtu që të kenë nga tre dhjetore.

Problem! Vëllai dhe motra kanë numër të njëjtë të arrave. Vëllai i ka dhënë motrës katër arra. Sa arra më shumë ka tani motra se i vëllai?

8

PARAQITJA E NUMRAVE DHJETORË NË BOSHTIN NUMERIK. KRAHASIMI I NUMRAVE DHJETORË

Kujtohu! 2 Paraqite në boshtin numerik thyesën 2 __ . 4 Si krahasohen numrat natyrorë: a) me numra të ndryshëm të shifrave;

A

1

8 4 Thyesat dhjetore: __ , 1___ 10 100

30 dhe 2 ___ paraqiti në boshtin numerik. 100

Shqyrtoje zgjidhjen!

b) me numër të njëjtë të shifrave?

8 __ 10

0

Vëre!

155

0,8 1

1

4 __ 10

2

1,4

2

30 ___ 100

2,3

3

Numrat dhjetorë i paraqesim në boshtin numerik në të njëjtën mënyrë si thyesat. 8 . Numrin dhjetor 0,8 e shkruajmë si thyesë dhjetore, dmth. 0,8 = __ 10 Largesën prej 0 gjer te 1 e ndajmë në 10 pjesë të barabarta dhe numrin dhjetorë 0,8 ia shoqërojmë pikës që e shënon pjesën e tetë. 4 Cilën largesë e ndajmë në 10 pjesë të barabarta që ta paraqesim numrin dhjetorë 1 __ ? 10 Si do ta caktojmë pikën që i përgjigjet? 3 30 30 Thyesa ___ mundet të thjeshtohet me 10, dmth. ___ = __ . Si do ta caktojmë pikën në 10 100 100 30 boshtin numerik që i përgjigjet numrit 2 ___ ? 100

2

3

Cakto pika në boshtin numerik (A, B dhe C) të cilave u janë shoqëruar numrat dhjetorë: 0,2; 1,9 dhe 3,00. Në boshtin numerik janë dhënë pikat; A, B, C dhe D. Cakto numrin që mundet t'i shoqërohet çdonjërës prej pikave.

B 4

Mund të përfundoj! Çdo numër dhjetor mundet të paraqitet në boshtin numerik. A 0

1 1 Thyesën dhjetore __ zgjeroje me 10. Pastaj, thyesën ___ 100 10 1 _____ zgjeroje me 10 dhe thyesën zgjeroje me 10. 1 000 Thyesat e fituara nga zgjerimi shkruaji si numra dhjetorë.

B C 1

2

D 3

4

156

Shqyrto zgjidhjen dhe vëre çka është përfunduar!

10 1 10 1 10 1 ___ ___ _____ ____ ______ __ = ; = ; = , përkatësisht; 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010. 10 100 100 1 000 1 000 10 000 Një e dhjeta ka 10 të qindtat; një e qindta ka 10 të mijtat etj.

Në përgjithësi Vlera pozicionale e çdo shifre te pjesa dhjetore është 10 herë më e madhe se vlera pozicionale e shifrës pas saj. Atë që e përfundove, shfrytëzoje për krahasimin e numrave dhjetorë. Krahasoji numrat dhjetorë: a) 7,2 dhe 9,3;

5

b) 12,8 dhe 12,4;

c) 15,369 dhe 15,38.

Gjatë krahasimit të dy numrave dhjetorë së pari krahasohen të plotat.

Numrat 7,2 dhe 9,3 kanë të plota të ndryshme, dmth. 9 > 7, prandaj 9,3 > 7,2. Te numrat që kanë të plota të njëjta, krahasohet pjesa dhjetore.

Numrat 12,8 dhe 12,4 kanë të plota të njëjta, por pjesët dhjetore të ndryshme, dmth. 8 > 4. Prandaj 12,8 > 12,4. Numri 15,38 ka pjesën dhjetore më të madhe se numri 15,369, pasi 38 të qindtat janë 380 të mijtat, kurse 380 > 369. Prandaj, 15,38 > 15,369.

6

Krahasoji numrat dhjetor: a) 18,43 dhe 19,15; b) 35,6 dhe 35,49;

Duhet të dish!

c) 4,1001 dhe 4,101.

Testohu!

Të paraqesësh numra dhjetorë në boshtin numerik;

Në boshtin numerik paraqiti

prej numrave dhjetorë që kanë të plota të ndryshme, më i madh është ai që ka numër më të madh të të plotave;

numrat dhjetorë 0,5 dhe 1,400

nëse numrat dhjetorë që krahasohen kanë të plota të njëjta, më i madh është ai që ka pjesën dhjetore më të madhe.

a) 25,9 dhe 26,3;

nëse dy numra kanë pjesën e plotë dhe pjesën dhjetore të barabartë, atëherë ato janë të barabartë.

c) 14,101 dhe 14,1010.

Krahasoji numrat dhjetorë:: b) 17,2002 dhe 17, 202;

Detyra 1. Paraqiti në boshtin numerik këto numra: 40 . 0,6; 1,7; 3 ___ 100

2. Krahasoji numrat: 2,01 dhe 1,86; 6,29 dhe 6,172; 9,121 dhe 9,101; 0,1031 dhe 0,1028.

3. Radhiti sipas madhësisë (duke

4. Në boshtin numerik, pikës A i është shoqëruar

filluar prej më të voglit) numrat:

numri 131,102, kurse pikës B numri 131,120. Cila prej këtyre pikave është më afër pikës të cilës i përgjigjet numrit 100?

5 . 0,05; 0,050; 5; _____ 1 000

157

Problem! Cila shenjë duhet të vendoset ndërmjet numrave 2 dhe 3 që të fitohet numri më i madh se 2, ndërsa më i vogël se 3.

M E

9 1

R A P U N A T Ë D D H Ë N A

LLOJET E DIAGRAMIT. ZGJEDHJA E DIAGRAMIT Merita dhe Afërdita kanë kopshte me perime me madhësi të njëjtë. Secila në kopshtin e vet ka mbjell domate, speca dhe lakra. Në tabelë janë paraqitur të dhënat për pjesën e kopshteve e mbjell me perime të ndryshme. Kopshte me perime Kopshti i Kopshti i Perime Meritës Afërditës Domate

2 __ 5

1 __ 6

Speca

1 __ 10

1 __ 3

Lakra

1 __ 5

4 __ 12

E sata pjesë e kopshtit të Meritës ishte mbjellur me perime? E sata pjesë e kopshtit të Afërditës ishte mbjell me perime? E sata pjesë e që të dy kopshteve ka mbetur e pa mbjell? Te cili kopsht pjesa e pa mbjell është më e madhe?

Së pari paraqiti të dhënat në diagramin shtyllor. Shkallët e diagramit le të jenë: një e plotë e ndarë në 10 pjesë të barabartë dhe një e plotë e ndarë në 12 pjesë të barabartë; 2 4 Formo shtyllat por ki kujdes: __ = __ ... 5

2

10

Në tabelë janë paraqitur të dhënat për temperature për 5 ditë, të matur tre herë.

158

3

Cila është temperatura mesatare të hënën? Cilën ditë dhe në sa ora temperatura është më e lartë? Sa është temperatura mesatare për pesë ditë pasdite? Cila ditë ka ndryshim më të madh të temperaturës?

Temperatura për 5 ditë Ora 7

Ora 12

Ora 19

E hënë

18 oS

24 oS

23 oS

E martë

23 oS

29 oS

23 oS

E enjte

15 oS

17 oS

22 oS

E premte

17 oS

22 oS

20 oS

E diel

22 oS

28 oS

25 oS

Në klasën VI2 në një shkollë ka 32 nxënës. Përgjigjet në pyetjen për llojin e ushqimit të preferuar janë paraqitur tabelë. Ushqimi i preferuar Lloji i Numri i Pjesa e të ushqimit nxënësve plotës 1 __ Perime 16 2 1 __ Pemë 8 4 1 __ Mish 8 4

Të gjithë nxënësit paraqesin një të plotë. (Paraqite me rreth, si në vizatim). Ndaje rrethin në dy gjysma. Njërën gjysmë ngjyrose me të gjelbër, ndërsa tjetrën ndaje në dy pjesë të barabartë ) çerekë. Ngjyrosi çerekët. Me cilën ngjyrë është ngjyrosur pjesa e nxënësve që preferojnë perime? 1 __ 2 Perime

Diagrami i paraqitur në vizatim quhet diagram sektorial. Diagrami sektorial tregon raportin ndërmjet pjesëve të një të plote.

4

Ditët

1 __ 4 Pemë

1 __ 4 Mish

Ushqimi i preferuar i 32 nxënësve.

Me ndihmën e diagramit sektorial paraqiti të dhënat: Në një paralele ka 28 nxënës. Lëng prej 3 __ limoni preferojnë e nxënësve, ndërsa 4 1 boronicë preferojnë __ e nxënësve. 4

1 Gjatë një shëtitjeje __ e nxënësve kanë luajtur 6 2 symbyllas, __ e nxënësve kanë luajtur futboll, 6 1 __ kanë vrapuar nëpër mal, ndërsa pjesa tjetër 6 kanë mbledhur fryte të maleve.

Me diagram paraqiten të dhënat në mënyra të ndryshme. Diagramet janë të lehta për ti lexuar dhe për ti kuptuar. Ka lloje të ndryshme të diagrameve: shtyllor, me fotografi, sektorial, dhe secili prej tyre ka përparësi dhe mangësi.

Kjo është interesante! Nëse dëshiron të dish më shumë.

Numri i nxënësve

Sporti i preferuar

Diagrami shtyllor

☺ Përparësitë:

35 30 25 20 15 10 5 0

159

lehtë lexohen të dhënat; lehtë krahasohen madhësitë

Mangësitë: F

B

H

nëse shtyllat janë me madhësi të përafërt vështir lexohen të dhëna:

Gj

Sport F-Futboll; B-Basketboll; H-Hendboll, Gj-gjimnastikë

varësisht prej shkallës mund të fitohet përshtypje e gabuar e ndryshimeve të mëdha. Diagram me fotografi

☺ Përparësitë:

Sporti i preferuar

F B H Gj

lehtë lexohen të dhënat; lehtë krahasohen.

Mangësitë: Një shenjë

er ut j p m Ko

Sportiv

Që të tregohet numër i saktë patjetër duhet të shfrytëzohen pjesë të simboleve dhe shenjave;

shënon dy studentëve

që të konstatohet numri i saktë patjetër duhet të njehsohet.

Diagrami sektorial j xo e L

☺ Përparësitë:

Film

shumë mirë krahasohen e plota dhe pjesët e të plotës.

Mangësitë:

Muzikë

vështir është të shfrytëzohet kur pjesët e të plotës janë të vogla.

5

Në tabelë janë paraqitur të dhënat për atë se si Agoni e kalon kohën për një ditë (24 orë).

Dita e Agonit

6

Paraqiti të dhënat me diagram shtyllor.

Ditët

Koha në orë

Shkollë

6

ku

Mësim

3

Përpiqu të dhënat t'i paraqesësh me

Gjumë

9

diagram sektorial.

Ngrënie

2

Lojë

4

Paraqiti të dhënat me diagram fotografish shenja paraqet 2 orë.

Shkruaji përparësitë dhe mangësitë e çdo mënyre të paraqitjes së të dhënave se si Agoni e kalon kohën.

10

160

MBLEDHJA E NUMRAVE DHJETOËE

Kujtohu!

A

1

Paraqiti si numra dhjetorë thyesat: 3 3 156 ____ , ___ dhe 6 ___ 100 1 000 10 Numrin 2047,0138 shkruaje në tabelë. M

Q Dh Nj

Duhet të njehsosh:

b) 2,6 m?

2,37 m + 1,52 m

Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre zgjidhjen.

, dh q m dhm Qm

numrat matës si Paraqiti thyesa dhjetore.

Sa centimetra ka në 2m? Sa ka në 3m? E sa ka në: a) 2,5 m?

Mimoza ka blerë 2,37 m shirit të kuq dhe 1,52 m shirit të kaltër për mbështjelljen e dhuratave të vitit të ri. Sa metër shirit ka blerë gjithsej Mimoza?

c) 2,58 m?

2,37 =

237 152 ___ ___ ; 1,52 = . 100 100

Cakto shumën e tyre.

237 152 389 ___ ___ ___ + = 100 100 100

paraqite si Shumën numër dhjetor.

389 ___ = 3,89 100

2,37 + 1,52 3,89

Vëren se:

Vëre mbledhjen e numrave dhjetorë në mënyrë tjetër.

Shndërroji metrat në centimetra

2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm 237 cm + 152 cm 389 cm

shumën e gjatësive të shiritave Cakto (në centimetra)

Shndërroje shumën në metro

389 cm = 3,89 m

Më praktik!

Vëre dhe mbaj mend! Numrat dhjetorë mblidhen po ashtu si edhe numrat natyrorë. Presjet dhjetore te mbledhësit dhe shuma të jenë në një vijë vertikale.

Nj

, dh q

2 , 3 7 +

1 , 5 2 3 , 8 9

nën Njëshe . h njës e

ën at n dtat hjet in Të d at. Të q t. a hjet qindt d ë t të nën

Praktikisht

161

Që të njehsosh shumën e numrave dhjetorë duhet t'i shkruash njërin nën tjetrin dhe atë: plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nën të dhjetëshe etj.); nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, të dhjetore qindtat nën të qindtat etj); dhjetore të mbledhësve dhe të shumës të jenë në presjet një vijë vertikale; e shumës caktoji në mënyrë të njëjtë si edhe gjatë shifrat mbledhjes të numrave natyrorë.

2

Më praktikisht

Vëre si është njehsuar shuma e numrave 42,6 dhe 5,931.

Dh Nj

, dh q m

4 2 , 6 Në mënyrë praktike njehso: 134,62 + 0,691.

3

5 , 9 3 1

+

1

15 3 1

4 8 , 5 3 1

Autobusi orën e parë ka kaluar 62,3 km, orën e dytë ka kaluar 4,62 km më shumë se orën e parë. Sa ka kaluar autobusi për dy orë?

Kujtohu! Provo a është e saktë: 362 + 8 = 8 + 362; 4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168; 174 + 0 = 0 + 174; (72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44). Cilat veti të mbledhjes të numrave natyrorë i shfrytëzove? Paraqite si numër dhjetor numrin 15.

5

1 42,6 + 5,931 48,531

B

4

Provo a është e saktë: 0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54 Njehso shumat: 0,54 3,2 + 3,2 dhe + 0,54

Shuma e dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nëse mbledhësit i ndërrojnë vendet. Kjo është vetia e ndërrimit për mbledhjen e numrave dhjetorë.

Shprehja (3,4 + 12,9) + 4,2 ka vlerë

16,3 + 4,2 = 20,5

Njehso vlerën e shprehjes 3,4 + (12,9 + 4,2). Vlerën e fituar krahasoje me vlerën 20,5 të shprehjes paraprake. Për mbledhjen e numrave dhjetorë vlen vetia e shoqërimit. Shprehe!

162

6

Numrin 5,6 zmadhoje për 2. Duhet ta njehsosh shumën e numrave 5,6 dhe 2. Paraqite numrin 2 si numër dhjetor. Shkruaj mbledhësit njërin nën tjetrin dhe njehso shumën. Numri dhjetor mblidhet me numër natyror ashtu që numri natyror do të shndërrohet në numër dhjetor dhe pastaj të dy numrat do të mblidhen.

7 - numër natyror 7,0 7,00

7

}

Njehso:

numra dhjetorë

15,6 + 0

Shuma e numrit dhjetor dhe zeros është e barabartë me numrin dhjetor.

0 + (2,6 + 4)

24,8 + 0,0 24,8

Testohu!

Duhet të dish! Të njehsosh shumë të numrave dhjetorë, të shkruar në rresht ose, njëri nën tjetrin.

Njehso: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8; 9,24 + 12.

Të shkruash numër natyror si numër dhjetor dhe të njehsosh shumën e numrit natyror me numrin dhjetor.

Provo a është: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7. Shprehe vetinë e ndërrimit për mbledhjen e numrave dhjetor.

Të shfrytëzosh vetinë e ndërrimit dhe e shoqërimit për lehtësim gjatë mbledhjes së numrave dhjetor. Se shuma e numrit dhjetor dhe 0 është e barabartë me numrin dhjetor.

Njehso 6,4 + (12,8 + 3,6) dhe (6,4 + 12,8) + 3,6. Krahasoji rezultatet e fituara. Shprehe vetinë e shoqërimit të mbledhjes së numrave dhjetorë.

Detyra 1. Numrin 100,075 zmadhoje për:

a) 63,3; b) 5; c) shumën e numrave 4,78 dhe 56,3; d) 0.

2. Njehso:

3. Zgjidhi barazimet: x - 156,6 = 1,54;

x - 4,0245 = 0,81.

4. Parashutisti bien për 4 s me parashutë të mbyllur. Në sekondën e parë ka kaluar 4,9 m, kurse në çdo sekondë pasardhëse nga 9,8 m më shumë. Sa metro ka kaluar për 4 s?

5,6 + 25,8 = 0,142 + 6,71 = 4 + 4,48 + 4,886 = 362,003 + 54 + 0,72 =

5. Shkruaj katër numra ku i pari është 3,69, kurse çdo pasardhës është për 3,69 më i madh se paraardhësi.

11 Kujtohu!

A 24 3 1 ___ + 6 ___ + ___ . 100 100 100

Njehso: Provo nëse: Njehso:

163

ZBRITJA E NUMRAVE DHJETORË

7 70 __ = ___ 10 100 841 523 a) ___ - ___ ; 100 100 b) c)

612 ___ - 549 ___ ; 10 10 263 ___ - 0. 100

1

Njehso:

2,78 - 0,24

Vepro sipas këtyre kërkesave!

Shndërroji numrat dhjetorë si thyesa dhjetore: 278 24 2,78 = ___ ; 0,24 = ___ . 100 100

Cakto ndryshimin e tyre:

278 24 254 ___ ___ ___ = . 100 100 100

Shndërroje ndryshimin e fituar si numër dhjetor: 254 ___ = 2,54. 100

D.m.th:

2,78 - 0,24 2,54

2

Të mbaj mend: Numrat dhjetorë zbriten sikurse zbriten numrat natyrorë.

Gjatë të shkruarit njërin nën tjetrin duhet presjet e të zbritshmit dhe zbritësit të jenë vertikalisht në një vijë.

Kompania “Kopshtari” në treg ka dërguar 2,745 t patate, kurse ka shitur 1,423 t. Sa tonelata patate kanë ngelur pa u shitur?

Duhet të zbritet sasia e shitur e patateve prej sasisë së përgjithshme. Cilët numra duhet të zbriten?

Shndërroji tonelatat e patateve në kilogramë. Zbriti numrat matës që i tregojnë kilogramët. Shndërroje në tonelata ndryshimin e fituar. numrat dhjetor njëri nën tjetrin dhe Shkruaj njehso ndryshimin.

2,745 t - 1,423 t, t.e.

-

2,745 1,423

2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg. 2 745 - 1 423 1 322 Mbetja është: 1322 kg = 1,322 t. -

2,745 1,423 1,322

164

Praktikisht:

27,48 - 0,36 27,12 kahja e zbritjes

3

të dhjetat nën të dhjetat, të qindtat nën të qindtat

të plotat nën të plotat

Që ta njehsosh zbritjen e dy numrave dhjetorë duhet t'i shkruash njërin nën tjetrin, dhe atë: plotat nën të plota (njëshe nën njëshe, dhjetëshe nën tëdhjetëshe, etj.; nën dhjetore (të dhjetat nën të dhjetat, të qindtat nën dhjetore të qindta etj.); dhjetore, të të zbritshmit, zbritësit dhe ndryshimit të jenë presjet në një vijë vertikale. e ndryshimit caktoi në mënyrë të njëjtë si te zbritja e Shifrat numrave natyrorë.

Udhëtari duhet të kalon 12 km. Orën e parë ka kaluar 4,28 km. Edhe sa kilometra i kanë ngelur?

Që të njehsosh sa kilometra duhet të kalon udhëtari, duhet rrugën e kaluar ta zbresësh prej gjatësisë së përgjithshme të rrugës.

Bëje këtë:

Të mbaj mend: Gjatë zbritjes të Të zbritshmin 12 shkruaje si numër dhjetor (me dy zero pas presjes dhjetore);

numrit natyror dhe numrit

shkruaji numrat dhjetorë njërin nën tjetrin dhe bëje zbritjen.

si numër dhjetor me aq zero sa

4

Numrin 29,563 zvogëloje për 15.

dhjetor, numri natyror shkruhet dhjetore ka numri dhjetor.

Prej numrit dhjetor duhet të zbresësh numër natyror. Vepro në këtë mënyrë: zbritësin 15 shkruaje si numër dhjetor me 3 zero si dhjetore; shkruaji të dy numrat dhjetor njërin nën tjetrin dhe bëje zbritjen.

5

Njehso 6,84 - 0. Vepro sipas këtyre kërkesave. Paraqite të zbritshmin si thyesë dhjetore dhe bëje zbritjen. Ndryshimin e fituar shndërroje si numër dhjetor.

Të mbaj mend! Gjatë zbritjes së 0 prej numrit dhjetor si ndryshim fitohet numri dhjetor i njëjtë.

-

5,2 0,0 5,2

Duhet të dish!

Testohu!

Drejt t'i shkruash të zbritshmin dhe zbritësin njërin nën tjetrin dhe ta kryesh zbritjen;

165

Njehso: a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849.

Kur i zbritshmi ose zbritësi është numër natyror, atë duhet ta paraqesësh si numër dhjetor me aq zero sa dhjetore ka numri dhjetor;

Numrin 7 zvogëloje për 0,7.

Zbritjen ta bësh prej anës së djathtë nga ana e majtë.

Shumën e numrave 8,8 zvogëloje për 0.

Numrin 6,5 zvogëloje për 5.

Kur zbritësi është 0, ndryshimi është i barabartë me të zbritshmin.

Detyra 1. Njehso: 26,3 - 5,2 1042,07 - 148,396 5,68 - 2

4. 5,96 - 4,87

Numrin 64 zmadhoje për ndryshimin e numrave 6,4 dhe 4,64;

343 - 3,27 846,825 - 0

5. 2. Për sa është: 56,62 më i madh se 46,31? 100 më i vogël se 301,62? 54 më i madh se 25,64?

I zbritshmi është 24,6, kurse ndryshimi është 2,6. Cakto zbritësin. Zbritësi është 6,2, kurse ndryshimi është 2,6. Cakto të zbritshmin. Ndryshimi është 64,3. Ai është për 3 më i madh se zbritësi. Cakto të zbritshmin.

3,8 më i madh se 0?

3. Gypi i ujit me gjatësi 6 m është ndarë në 3

pjesë. Gjatësitë e të dy pjesëve janë nga: 3,2 m dhe 2,46 m. Sa metro është e gjatë pjesa e tretë?

6. Vaji dhe shishja së bashku kanë 1,23 kg. Shishja e ka masën 462 g. Sa kilogramë është masa e vajit?

Problem!

Shuma e një numri natyror dyshifror dhe një numri dhjetor është 26,3. Merita gjatë mbledhjes së atyre numrave presjen dhjetore te numri dhjetor gabimisht e ka vendosur për një vend në të majtë dhe ka fituar shumë 13,43. Cilat numra i ka mbledhur Merita?

12

166

SHUMËZIMI I NUMRAVE DHJETORË

Kujtohu!

A 1

Njehso: 10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526. Sqaro çka ndodh me numrin e zerove te prodhimi i shumëzimeve paraprake.

Këmbësori për 1 orë ka kaluar 3,635 km. Sa kilometra do të kalon për 10 orë nëse ec pa u ndal dhe me shpejtësi të njëjtë? Duhet të njehsosh 3,635 km ⋅ 10.

Vëre hapat e zgjidhjes. Zhvendosu për një vend!

Të mbaj mend: Numri dhjetor shumëzohet me 10 ashtu që presja dhjetore e atij numri zhvendoset për një vend në anën e djathtë.

2

Shndërroji kilometrat në metro.

3,635 km = 3635 m.

Njehso prodhimin me 10 (në metro).

3635 m ⋅ 10 = 36350 m.

shndërroje në Prodhimin kilometra.

Vëren se te prodhimi i

numrave dhjetorë, presja dhjetore është zhvendosur për një vend në të djathtë.

36350 m = 36,35 km

36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km

Njehso prodhimin e numrit 1,438 me 10, 100 dhe 1000. Mundesh të përdorësh llogaritës (ku në vend të presjes ka pikë dhjetore, kurse në vend të shenjës “•” ka “x”). Me llogaritës fitohen:

1

0

x

1

.

4

3

8

=

1

0

0

x

1

.

4

3

8

=

1

0

0

0

x

1

.

4

3

8

14.38 143.8 =

1438.

Voo~i! Gjatë shumëzimit të numrit dhjetor me 10, 100, 1000,... presja dhjetore e tij zhvendoset përkatësisht për një, dy, tre,... vende në të djathë sa zero ka njësia dekade.

3

Njehso gojarisht: 1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.

Kujtohu!

B 4

Njehso: 2,3 + 2,3 + 2,3. Shkurtimisht si mundesh ta shkruash këtë shumë?

Hapi i Bashkimit është 0,74 m. Sa metro ka kaluar Bashkimi kur ka bërë 4 hapa?

167

Duhet të njehsosh 4 ⋅ 0,74 m.

Provo a është e saktë 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?

Mbaj mend! Puno sipas këtyre kërkesave dhe vëre!

Shndërroji metrat në centimetra. Bëje shumëzimin me 4 (në cm). Prodhimin shndërroje në metro. Vëre si është fituar prodhimi.

0,74 m = 74 cm 4 ⋅ 74 cm = 296 cm 296 cm = 2,96 m 4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m

Numri dhjetor shumëzohet me numër natyror ashtu si shumëzohen numrat natyrorë. Numri i dhjetoreve te prodhimi është i barabartë me numrin e dhjetoreve te numri dhjetor.

Njehso prodhimin e numrit 9 me numrat

5

2400,8;

C

6

5612,9;

428,27;

20,3;

0,9.

Njehso syprinën S të drejtkëndëshit me brinjë a = 4,6 cm dhe b = 3,2 cm. Sipas formulës për syprinën e drejtkëndëshit (S = a ⋅ b), duhet ta caktosh prodhimin e numrave matës 4,6 dhe 3,2 dhe ta shkruash në centimetër katror. Vërej kërkesat dhe mënyrën e zgjidhjes:

Shndërroji gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit në milimetra.

Njehso syprinën e drejtkëndëshit (në milimetër katror). Shndërroje syprinën në centimetër katror. Vëre prodhimin e panjësuar dhe të njehsuar të numrave matës dhe sqaro se si

4,6 cm = 46 mm 3,2 cm = 32 mm 46 ⋅ 32 = 1472 R = 1472 mm2 R = 14,72cm2 4,6 ⋅ 3,2 = 14,72

shumëzohen numrat dhjetorë.

Dy numra dhjetorë shumëzohen ashtu sikurse shumëzohen numrat natyrorë, kurse te prodhimi ndahen aq vende dhjetore sa ka dhjetore te të dy shumëzuesit së bashku.

Njehso: 0,04 ⋅ 0,23. Përcjelle zgjidhjen!

0,2 ⋅ 0,03 = 0,006 Pse ka dy zero para shifrës 6?

Kujtohu!

D

Njehso: 0,6 . 6,1 =

8

Njehso:

2 + 1

=

3

7,04 ⋅ 20,6;

20,6 ⋅ 7,04

Vëre!

0,6 . 9,9 =

Prodhimi i dy numrave dhjetorë nuk ndryshon nëse shumëzuesit i ndërrojnë vendet e tyre, dmth. për çfarëdo dy numra dhjetor a dhe b vlen: a ⋅ b = b ⋅ a (vetia komutative).

0,6 . (6,1 + 9,9) = Krahasoji rezultatet.

9

4,56 ⋅ 3,7 = 16,879

Numri i dhjetoreve te prodhimi është 3, kurse ka vetëm një shifër (shifrën 6). Prandaj, të dy vendet dhjetore plotësohen me zero.

Numri i dhjetoreve te prodhimi

7

Shuma e numrit të dhjetoreve te shumëzuesit

168

Njehso dhe krahasoji prodhimet:

2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) =

;

(2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 =

Prodhimi i numrave dhjetorë nuk varet prej mënyrës së grupimit të shumëzuesve, dmth. për çfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (vetia asociative).

10

Shprehe vetinë e shpërndarjes të shumëzimit të numrave natyrorë në lidhje me mbledhjen. Provo a vlen ajo veti edhe për numrat dhjetorë 3,48; 1,01 dhe 5,2. (3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2.

Vëre! Për çfarëdo numra dhjetorë a, b dhe c vlen: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (vetia e shpërndarjes).

11

Njehso:

a)

3,76 ⋅ 0;

(5,2 + 8,03) ⋅ 0;

5,6 - 0 ⋅ 0,3;

b)

9,8 ⋅ 1;

(7 - 0,4) ⋅ 1 ;

2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)

.

Vëre!

169

Për çfarëdo numër natyror vlen: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0;

Duhet të dish!

a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

Testohu! Njehso:

Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor me njësi dekade. Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor me numër natyror. Të njehsosh prodhim të numrit dhjetor me numër dhjetor. T'i zbatosh vetitë e shumëzimit.

a)

4,286 ⋅ 100 =

b)

3,7 ⋅ 7 =

c)

9,6 ⋅ 3,01 =

;

8000 ⋅ 0,03 = 6 ⋅ 2,005 =

; ;

;

;

0,004 ⋅ 6,03 =

.

Sqaro a është e saktë pa njehsuar: 6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34; (1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01); (4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.

Detyra 5. Njehso vlerën e shprehjeve:

1. Njehso: 0,748 ⋅ 10 = 3,6 ⋅ 100 =

10 ⋅ 9,4 =

;

;

100 ⋅ 10,006 =

;

0,2 ⋅ 1 000 =

;

2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 =

;

0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 =

.

.

6. Njehso prodhimin e shumës dhe ndryshimit 2.

3.

Zmadhoje 10 herë çdonjërin prej numrave: 1,8; 0,0072; 1 000,01. Zmadhoje 1 000 herë çdonjërin prej numrave: 3,4; 0,007; 96,006. Cili numër është 2 000 herë më i madh se numri 2 000,2? Njehso: 6,405 ⋅ 7 = 0,0063 . 3 =

të numrave 16,009 dhe 9,0016.

7. Mimoza ka 6000 denarë. 0,65 të parave i ka

shpenzuar për ushqim, kurse 0,2 për fletore dhe mjete shkollore. Sa para i kanë ngelur ?

8. Krahaso shprehjet: 315,002 ⋅ 12 =

;

;

4,65 ⋅ 0,524 dhe 5,24 ⋅ 0,465.

.

4. Njehso syprinën e dyshemesë së klasës që i ka dimensionet 6,8 m dhe 9,4 m.

9. Shkruaj katër numra ku i pari është 1,6, kurse çdo pasardhës është 1,5 më i madh se paraardhësi.

170

13

PJESËTIMI I NUMRAVE DHJETORË

Kujtohu!

A

Njehso:

1

Cakto prodhimet: 6,25 ⋅ 10 =

34,7 ⋅ 10 =

2,136 ⋅ 100 =

;

5,432 ⋅ 100 =

;

;

412 : 100 =

;

.

Njehsove se

Prej barazisë 148 ⋅ 23 = 3 404 cakto herësin: 3 404 : 23 =

;

1,3458 ⋅ 1 000 =

Cakto herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit: 265 : 10 =

;

6,25 ⋅ 10 = 62,5;

.

5,432 ⋅ 100 = 543,2; 1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8.

Vëre numrin e zerove te njësia dekade dhe zhvendosja e presjes dhjetore te prodhimi. Çka vëren? Prej barazive të fituara njehso: 62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = .

Vëre! 62,5 : 10 = 6,25; 543,2 : 100 = 5,432; 1 345,8 : 1 000 = 1,3458. Si është zhvendosur presja në secilin herës sipas të pjesëtueshmit dhe njësisë dekade?

Kam vërejtur se: Numër dhjetor do të pjesëtoj me 10 ashtu që presjen dhjetore do ta zhvendos për një vend në të majtë.

: 10 6,2 , 5

Mbaj mend! Herësi i numrit dhjetor dhe njësisë dekade (10, 100, 1 000,...) fitohet me zhvendosjen e presjes dhjetore te numri dhjetor në të majtë për aq vende sa ka zero njësia dekade .

2

Njehso: 34,7 : 10 =

3

Njehso:

;

257,1 : 100 =

6,3 : 10 =

;

17 845,32 : 1 000 =

.

dhe 3,2 : 100 = .

Vëre dhe mbaj mend! 0,63 ⋅ 10 = 6,3; 0,032 ⋅ 100 = 3,2;

6,3 : 10 = 0,63 3,2 : 100 = 0,032

Nëse gjatë zhvendosjes së presjes dhjetore në të majtë nuk ka vende të mjaftueshme, atëherë shtohet numër i mjaftueshëm i zerove.

4

171

Cakto herësit e numrave: 2 685,7; 3,78; 12 dhe 0,06 me: 10, 100 dhe 1 000.

Kujtohu!

B

5

Cakto herësin dhe mbetjen gjatë pjesëtimit të numrave: a) 3728 me 16; b) 6412 me 24.

Shiritin me gjatësi 7,23 m ndaje në 3 pjesë të barabarta. Cakto gjatësinë e çdo pjese. Duhet të njehsosh:

7,23 : 3 =

.

Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen. 7,23 m = 723 cm

Gjatësinë e shiritit shndërroje në centimetra. Njehso herësin në centimetra.

723 cm : 3 = 241 cm 12 3

Shndërroje herësin e fituar në metra.

241 cm = 2,41 m

Vëren se: 7,23 : 3 = 2,41, pasi 2,41. 3 = 7,23. Si mundet të njehsohet 7,23 m : 3; pa u shndërruar metrat në centimetra?

Bëj pjesëtimin e 7,23 me 3 pa presjen dhjetore.

Pas mbarimi të pjesëtimit te herësi vendos presjen atje ku mbarove me të plotat.

7,23 : 3 = 2,41 453,6 -6 - 28 12 173 - 12 - 168 3 56 -3 Së pari lëshojmë 0 dhjetoren e parë…;

: 28 = 16,

Mbaj mend!

…, e pastaj në herës vendosim presjen.

Vepro sipas këtyre kërkesave.

Gjatë pjesëtimit të numrit dhjetor me numër natyror vepro si të pjesëtosh numra natyrorë. Kur do ta lëshosh dhjetoren e të dhjetave, atëherë te herësi vendos presjen.

6

Njehso 292 : 16 pa mbetje. Veproni kështu: Paraqite të pjesëtueshmin si numër dhjetor. Bëje pjesëtimin, por tani si pjesëtim të numrit dhjetor me numër natyror.

56,0 : 35 = 1,6 - 35 210 - 210 0

172

7

Njehso:

2 728 : 4 =

;

Nëse e plota është më e vogël se pjesëtuesi, atëherë te herësi shkruhet 0 të plota. Njehso:

;

27,28 : 4 = . .

Shembull:

Mbaj mend!

8

272,8 : 4 =

10,626 : 23 = 0,9768 : 37 = 0,06723 : 9 =

4,752 : 6 = 0,792 - 0 47 - 42 55 - 54 12 - 12 0

Zero të plota

3,45 : 5 =

Kujtohu! Njehso pa mbetje: 365,4 : 9; 27,0 : 4. Njehso herësin e numrave 78 dhe 12 pa mbetje. Po ashtu ka nevojë numrin 78 ta paraqesësh si numër dhjetor (78,0). Çfarë do të ndodh nëse i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi shumëzohen me një numër të njëjtë?

C

9

Syprina e një drejtkëndëshi është 1,38 dm2, kurse gjerësia e tij është 0,6 dm2. Cakto gjatësinë e drejtkëndëshit.

Duhet të njehsosh

1,38 : 0,6 =

.

Puno sipas kërkesave. Vëre zgjidhjen. decimetër katror në centimetër katror, kurse Shndërro decimetrat në centimetra.

1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm

Cakto gjatësinë e drejtkëndëshit (në centimetra).

138 cm : 6 = 23 cm

Shndërro gjatësinë e drejtkëndëshit në decimetra.

23 cm = 2,3 dm

Vëre!

1,38 : 0.6 = 2,3.

Caktuam se herësi i 1,38 dhe 0,6 është numri 2,3, dmth. 2,3 ⋅ 0,6 = 1,38. Numri 2,3 mundet të fitohet edhe pa i shndërruar decimetrat në centimetra.

Puno sipas kërkesave!

Zmadhoi 10 herë të pjesëtueshmin dhe pjesëtuesin; Pasi tani është numër natyror cakto herësin e numrit dhjetor (13,8) dhe numrit natyror(6).

Shembull: 23,12 : 3,4 = 23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34; 231,2 : 34 = 6,8 272 0

Të mbaj mend: Numri dhjetor pjesëtohet me numër dhjetor ashtu që: presjet dhjetore zhvendosen në anën e djathtë te i pjesëtueshmi dhe te pjesëtuesi për aq vende sa që është e nevojshme pjesëtuesi të bëhet numër natyror. Pastaj pjesëtohen numrat e fituar (ashtu që pjesëtohet numri i dhënë me numrin natyror).

10

Njehso:

a) 3,4 : 0,017 =

b) 0,64 : 0,0032 =

;

173

.

Kujdes! Numri i dhjetoreve te i pjesëtueshmi është më i vogël se numri i dhjetoreve te pjesëtuesi. Prandaj mendo dhe përgjigju: Sa zero duhet të përshkruhen te i pjesëtueshmi nga ana e djathtë që të mundet të zhvendosen presjet dhjetore?

Duhet të dish!

Testohu!

Të njehsosh herës të numrit dhjetor dhe njësisë dekade. Të njehsosh herës të numrit dhjetor dhe numrit natyror. Të njehsosh herës te i cili pjesëtuesi është numër dhjetor.

Njehso:

34,6 : 10 =

6,485 : 1000 =

;

;

62,17 : 100 =

.

Njehso 257,52 : 12 dhe bëje provën e zgjidhjes. Për sa duhet të zhvendoset presja dhjetore në anën e djathtë te i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi që të njehsohet: 12,031 : 1,6 =

Detyra

0,345 : 0,025 =

1. Cili numër është më i vogël se 4,76: a) 10 herë; b) 100 herë; c) 1000 herë?

;

3,101 : 0,08 = .

4. Njehso: 6 : 0,2 =

;

48 : 0,12 =

2. Njehso:

0,75 : 0,15 = ;

;

735 : 35 = 27 : 1 125 =

4:5= ;

;

1,836 : 0,204 =

3,417 : 0,85 =

0,6 : 3 =

;

;

0,044 : 0,25 =

; .

;

1,95 : 15 =

;

;

23,45 : 37 =

në 4 dhjetore;

341,3 : 12 =

në 2 dhjetore.

5. Sa herë 0,14 është më e vogël se 0,7? 6. Njehso dhe bëje provën e zgjidhjes: 34 : 0,085 =

;

12,4 : 0,031 =

3. Njehso në 6 dhjetore: 1:7=

;

4:7=

;

7. Zgjidhni barazimet:

2:7=

;

5:7=

;

100 ⋅ x = 2,416;

3:7=

;

6:7=

;

156,12 : x = 10;

Çka përfundon për dhjetoret e herësit?

33 : 1,28 = ;

0,018 = 18 ⋅ x; 0,0625 ⋅ x = 3,1275.

0,0108 : 1,6 =

; .

174

8. Një udhëtar ka kaluar 14,730 km për

10. Në klasën VI3 ka pasur 34 nxënës. Në

5 orë. Sa kilometra, mesatarisht, ka kaluar për 1 orë?

9. Cakto vlerën e shprehjeve: (6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 = 2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =

fund të vitit shkollor suksesi nga lënda e matematikës ka qenë kështu:: 15 nxënës me sukses të shkëlqyeshëm, 9 nxënës me sukses shumë të mirë, 7 me mirë dhe 3 me notë të mjaftueshme. Njehso notën mesatare të paraleles nga lënda e matematikës në 2 dhjetore.

PËR ATO QË DËSHIROJNË TË DIJNË MË SHUMË

1. Provo a janë të saktë barazitë:

(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4) (2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.

2. Cili numër mund të pjesëtohet me secilin numër dhjetor të ndryshueshëm nga zero pa mbetje? 3. Si do të ndryshon: a) shuma e dy numrave nëse njërin mbledhës e zmadhojmë për 2,3, kurse tjetrin e zmadhojmë për 3,2; b) zbritësi nëse i zbritshmi zmadhohet për 5,8, kurse ndryshimi zvogëlohet për 5,8; c) prodhimi i dy numrave nëse njërin e shumëzojmë me 8,75, kurse tjetrin në 0,72;

4. Prej l kg miell fitohet 1,252 kg bukë. Sa bukë fitohet prej 576 kg miell? 5. Cilit numër duhet t'i shtohet 2,2 që të fitohet numër që është 3,5 më i madh se 9,2? 6. Për sa syprina e katrorit me brinjë 15,34 m është më e madhe se syprina e drejtkëndëshit me brinjë 16,12 m dhe 12,03 m?

7. Zgjidhi barazimet: 5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21;

x : 8,04 = 5,05;

3,48 : x = 1,45;

(x - 2,5) : 5,1 = 0,8.

14

SHNDËRRIMI I THYESËS NË NUMËR DHJETOR

Kujtohu!

Sqaro: si shndërrohet thyesa dhjetore si numër dhjetor?

2

1

Zgjero thyesën me 25. Thyesën e fituar dhjetore shndërroje si numër dhjetor. 3 Sigurisht e keni fituar __ = 0,75. 4 Njehso 3 : 4. Krahasoni rezultatet e fituara.

Me zgjerimi ose me thjeshtimin, këto thyesa shndërroji si thyesa dhjetore e pastaj në numra 132 164 1 3 5 dhjetor: __ , __ , __ , ___ dhe ___ . 300 400 2 5 8 Shembull:

5 Thyesën __ zgjeroje me 125. 8 Thyesën dhjetore të fituar shndërroje si numër dhjetor. Njehso

3

Shndërroje si numër dhjetor 3 thyesën __ . 4 Puno sipas kërkimeve:

A

Cilin operacion e paraqet vija thyesore? 3 Te thyesa __ zëvendësojeni vijën thyesore me 4 atë shenjë dhe kryejeni operacionin. 3 Lexoje thyesën ___ dhe shkruaje si numër 100 dhjetor.

175

5:8=

.

11 3 __ 1 __ 5 __ __ , , dhe nuk mundet të shndërrohet si thyesë dhjetore? 20 5 4 6 5 Sigurisht konstatuat se është thyesa __. 6 Cila prej thyesave

Mbaj mend! Vetëm thyesa e pa thjeshtuar emëruesi i së cilës zbërthehet në shumëzues 2 ose 5, mundet të paraqitet si thyesë dhjetore. Çdo thyesë e cila mundet të paraqitet si thyesë dhjetore paraqet numër të fundmë dhjetor.

4

23 7 5 Cila prej thyesave __ , __ ose __ paraqet numër të fundmë dhjetor? 40 15 12 Konstato cila prej thyesave mundet të zgjerohet deri në thyesë dhjetore me emërues 1000; ose pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato cili prej herësve të fituar është numër të fundmë dhjetor.

176

B 5

Thyesat

11 1 15 __ __ __ , dhe shndërroji si numra dhjetorë. 37 3 11

Puno sipas kërkesave: Konstato emëruesit a zbërthehen si shumëzues 2 dhe 5, përkatësisht numrat dhjetor a do të jenë të fundmë apo jo. Pjesëto numëruesin e thyesës me emëruesin. Sigurisht fitove: 11 1 15 __ = 0,333...; __ = 1,363636...; __ = 0,297297..... 13 3 11 Numrat dhjetor të fituar kanë pafund shumë decimale. Numra të tillë quhen numra dhjetorë të pafundmë.

Vëre! Te çdonjëri prej numrave, pas presjes dhjetore, një ose më shumë shifra përsëriten sipas radhës së njëjtë.

Mbaj mend! Numrat dhjetorë të këtillë quhen numra dhjetor periodik të njëjtë. Numrin që e formojnë shifrat që përsëriten quhet periodë e numrit dhjetor.

Te numri i parë perioda është 3, te i dyti 36, kurse te i treti 297. 0,333.... = 0,(3). Lexohet: zero të plota dhe 3 si periodë; 1,3636... = 1,(36). Lexohet: një e plotë dhe 36 si periodë....

C

6

5 679 7 Thyesat __ , ___ dhe __ shndërroji si numra dhjetor. 18 495 12 Puno sipas këtyre kërkesave: shqyrtoi emëruesit e thyesave dhe konstato numri dhjetor a është i fundmë; pjesëtoje numëruesin me emëruesin dhe konstato numri dhjetor a është periodik. Duke e përdor kalkulatorin fitohet; 679 7 5 __ = 0,2777...; ___ = 1,3717171...; __ = 0,58333... 495 12 18

Vëre! Numrat e dhjetor të fituar janë periodik, por para periodës ka një ose dy shifra. Numrat e këtillë dhjetor quhen numra të përzier dhjetorë periodik.

Lexojmë: 0,2777... = 0,2(7) - zero të plota 2 të dhjetat dhe 7 në periodë. 1,37171... = 1,3(71) - një e plotë, 3 të dhjetat dhe 71 në periodë. 0,58333... = 0,58(3) - zero të plota, 58 të qindtat dhe 3 në periodë Çdonjëri prej numrave 2, 3 dhe 58 te shembullit quhen para periodë.

Duhet të dish! Të vlerësosh, sipas emëruesit të thyesës, ajo a mundet të shndërrohet si numër dhjetor të fundmë ose në numër dhjetor të pa fundmë periodik. Cili numër dhjetor është i fundmë? Të sqarosh çka është periodë, kurse çka para periodë. Ç’është numri dhjetor periodik i pastër. Ç’është numër dhjetor i përzier periodikë. Se thyesa mund të shndërrohet: - ose si numër dhjetor i fundmë; - ose si numër dhjetor i pafundmë periodik. Se ekzistojnë edhe numra dhjetor të pafundmë periodik të tjerë që nuk janë periodik. Për ato do të mësojmë në klasën VIII.

Detyra 1. Zgjeroji dhe thjeshtoji thyesat ashtu që te emërtuesi të paraqitet 10, 100 ose 1000, kurse pastaj shndërroji si numra dhjetor: 3 ___ 18 24 37 229 23 11 83 __ , , __ , __ , ___ , __ , __ , __ . 5 200 20 25 125 80 32 64

2. Shndërroji si numra dhjetorë këto thyesa: 2 __ 9 __ 3 19 24 1 2 5 37 __ , , , __ , __, __ , __ , __ , ___ . 3 11 5 20 20 27 15 18 275

Mbaj mend!

177

Nëse nga ana e djathtë e numrit natyror ose zeros, shkruhet presja dhjetore dhe pastaj përshkruhen shifrat, fitohet shënimi i numrit që quhet numër dhjetor.

Testohu! Vlerëso, pa e pjesëtuar numëruesin me 2 emëruesin, vallë thyesa __ paraqet numër 20 dhjetor të fundmë. 3 , Shndërroji si numra dhjetor këto thyesa __ 5 4 7 , 12 __ dhe __ __ . 9 7 8 Cakto periodën dhe para periodën te këto numra dhjetorë: 2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ; 126,120404...

3. Cakto periodën dhe para periodën te numrat dhjetor: 0,378787... ; 6,543023023... .

4. Sipas shënimit për periodën e numrit dhjetor shkruaj numrat: 4,636363... ;

0,102102... ;

3,54034034... ;

4,27117117... .

5. Shkruaje si numra dhjetor të pamundshëm këto numra: a) 3,6(54) ; b) 0,77(2401) ;

c) 6,(53) ; d) 0,06(5231).

178

15

RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE DHJETORË

Kujtohu! Numrin 3 128 i rrumbullakuar është 3 000, dmth. 3 128 ≈ 3 000. " ≈ ", lexohet: përafërsisht i barabartë. Rrumbullakoje numrin 3 128 në qindëshe. Si është rregulla për rrumbullakimin e numrave natyrorë? A duhet 135 ≈ 130 ose 135 ≈ 140? Sqaro!

A

1

Një parcelë prej 123 m2 e rregullojnë nxënësit e klasës VIa. Në paralele ka 32 nxënës. Nga sa metra katror, mesatarisht, rregullon secili nxënës?

Duhet të njehsosh 123 : 32. Cakto herësin; Cakto praktikisht rëndësinë e metrove katror për nxënës. Sigurisht fitove 123 : 32 = 3,84375, dmth. se çdo nxënës duhet të rregullon nga 3,84375 m2.

Numri ka rëndësi praktike vetëm deri te dhjetorja e dytë (në dm2), dmth të bëhet rrumbullakimi i numrit dhjetor në dy dhjetore (në të qindta). Numrat dhjetorë me dy dhjetore që janë më afër numrit 3,84375 janë: 3,84 dhe 3,85, dmth. 3,84 < 3,84375 < 3,85 Domethënë: 3,84 ≈ 3,84375 (lexojmë: 3,84 përafërsisht është i barabartë me 3,84375) dhe 3,84375 ≈ 3,85.

2

Caktoji të dy numrat dhjetorë më afër numrit 1,37268 që kanë nga një dhjetore. Konstato sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit të numrit 1,37268 në një dhjetore.

Sigurisht konstatove se numrat e kërkuar janë 1,3 dhe 1,4 dmth. 1,3 < 1,37268 dhe 1,37268 < 1,4. Sa është gabimi i bërë gjatë rrumbullakimit: 1,3 7268 ≈ 1,3 dhe 1,37268 ≈ 1,4, do të konstatosh nëse i krahason ndryshimet: 1,37268 - 1,3 = 0,07268 dhe 1,4 - 1,37268 = 0,02732 Deri te cila pikë për numrat 1,3 ose 1,4 pika është më afër numrit 1,37268?

0,07268 1,3

0,02732

1,37268

1,4

Mbaj mend! Në të dy rastet gabimi i bërë është më i vogël se 0,1. Themi: Numrin 1,37268 e kemi rrumbullakuar me saktësi gjer më 0,1, përkatësisht me saktësi gjer në një dhjetore. Ndryshimi që tregon për sa numri i dhënë është më i madh ose më i vogël se vlera e tij e përafërt quhet gabim absolut. Gjatë rrumbullakimit përpiqu të bësh gabim absolut më të vogël.

Vëren se rrumbullakimi (zëvendësimi) i numrit 1,37268 me numrin 1,4 është me gabim absolute më i vogël se sa me numrin 1,3. Gjatë rrumbullakimit të numrit dhjetor respekto rregullën e rrumbullakimit:

179

nëse shifra e parë e shlyer është më e vogël se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngel 3

nuk ndryshon; nëse shifra e parë e shlyer është 5 ose më e madhe se 5, atëherë shifra e fundit që ka ngelur zmadhohet për 1. Numrin 4,8162704 rrumbullakoje me saktësi: a) në një dhjetore, dmth deri 0,1; d) deri 0,0001; b) deri 0,01; e) deri 0,0001. c) deri 0,001;

Duhet të dish!

Testohu!

Të. rrumbullakohet ndonjë numër me saktësi të dhënë domethënë ai numër të zëvendësohet me numër tjetër më të madh ose më të vogël se ai, për nevoja të caktuara praktike. Të rrumbullakosh numër të dhënë me saktësi të caktuar sipas rregullës për shlyerjen e shifrave të numrit. Të sqarosh se si caktohet rrumbullakimi i numrit dhjetor me saktësi të caktuar.

Numrin 0,315 rrumbullakoje në dy dhjetore. 7 Thyesën __ shndërroje si numër dhjetor me 34 saktësi 0,001. 0,001. Cakto gabimin absolut nëse 1,47 ≈ 1,47328.

Detyra 1. Rrumbullako në tre dhjetore numrat:

4. Njehso: 2 4,26 + __ - 1,00312 me saktësi deri 0,01. 7

2,7145; 3,03277; 0,01523. 7 2. Thyesën __ shndërroje në numër 34 dhjetor te saktësi deri: 0,1; 0,01;

5. Bëj tabelë, rrumbullako numrat në të me saktësinë e shënuar dhe cakto gabimin absolut.

0,0001. Numër

3. Shumën e numrave 4,7125 dhe 3,3914 njehso me saktësi deri 0,001.

0,0374 0,5386 426,4235 6,0141

rrumb. më Gabimi rrumb. më Gabimi saktë deri 0,01 absolut saktë deri 0,01 absolut

R A P U N A

180

A

16 1

M E

T Ë D D H Ë N A

CAKTIMI I ZGJEDHJES. ANALIZA DHE PËRFUNDIMI

Shfrytëzo tabelën që të përgjigjesh në disa pyetje. Ndryshimin i shpejtësive më të shpejta dhe më të ngadalshme të garave me formula rrumbullakoje me saktësi deri 0,1. Sa më ngadalë ka shkuar fituesi në gara me formula në vitin 2 000 prej fituesit të garave në vitin 1 998 ? Cila do të jetë shpejtësia më e madhe mesatare e të dy garave më të shpejta së bashku?

Viti 1996 1997 1998 1999 2000

B 2

Fitues Mihael Shumaher Mihael Shumaher Dejvid Kulthard Mika Hakinen Mihael Shumaher

Shpejtësia më e madhe (km/h)

310,36 344,44 326,78 294,06 312,56

Cila është shpejtësia mesatare më e madhe gjatë pesë garave (mesatarja aritmetike)? Në një garë në vitin 1912 është arritur shpejtësia më e madhe e cila është 4 herë më e vogël se shpejtësia në vitin 2000. Sa është ajo shpejtësi? Aeroplani i udhëtarëve ka arritur 3 deri 3,5 herë shpejtësi më të madhe prej shpejtësisë më të radhë që është arritur në vitin 1999. Në cilat kufij gjendet shpejtësia e aeroplanit me saktësi deri në një dhjetore ? Analiza e të dhënave. Ndërmjet cilave dy vite ndryshimi i shpejtësive është: a) më i vogël; b) më i madh; c) rreth 50 km në orë? Formo diagram shtyllor për shpejtësitë sipas të dhënave në tabelë;

Në shkollën ku mëson Agimi ka 1 200 nxënës. Agimi dëshiron që shkolla e tij të ketë fushë të re sportive. Është përpjekur të zbulon sa nxënës janë të interesuar për fushë të re sportive. Në vend që të pyet çdo nxënës, Agimi ka vendosur që të komunikon vetëm me një pjesë të nxënësve, përkatësisht zgjedhë disa nxënës. Agimi ka vendos të komunikon me 100 nxënës nga të gjitha klasat, me të ka caktuar zgjedhjen (mostrën). Numri 100 paraqet madhësinë e zgjedhjes, efektivin e zgjedhjes. Pozitiv Nëse Agimi ka pyetur 1 ☺ Do të dijë sa nxënës 200 nxënës: saktësisht duan fushë të re Nëse Agimi pyet 12 nxënës:

Për një kohë të shkurtër

☺ do t'i merr përgjigjet ☺ Koha e shpenzuar

Nëse Agimi pyet 100 nxënës:

është optimale ☺ Fiton numër të mjaftueshëm të përgjigjeve për vlerësim të drejtë

Negativ

Është e nevojshme më shumë kohë

Fiton numër të vogël të përgjigjeve,që nuk është i mjaftueshëm për vlerësim të drejtë.

☺

Në caktimin e zgjedhje, përveç madhësisë, është e rëndësishme kush do ta përbën ekzemplarin.

181

Shkruaj mendimin tënd për atë që është pozitive, kurse ç’është negative te këto raste: Nëse Agimi pyet vetëm nxënës të klasës I deri IV; nëse Agimi pyet vetëm nxënës që janë të interesuar për sport; nëse Agimi pyet rastësisht disa nxënës nga të gjitha klasat e shkollës së tij.

3

Përgjigjet e pyetjeve për fushën e re sportive Agimi i ka paraqit në tabelë.

Fusha e re sportive. Zgjedhja

Mendimi

Numër

Raporti

Po

60

60 ___ = 0,6 100

Jo

23

Nuk di

17

Vëre! Agimi ka konstatuar se 0.6 nga zgjedhja duan fushë të re sportive. Ai ka njehsuar: O,6 prej 1 200 është 0,6 . 1 200= 720.

Agimi ka supozuar: nëse i pyet 1 200 nxënës, përafërsisht 720 prej tyre do të përgjigjen se janë të interesuar për fushë të re sportive.

Cakto raportin për dy përgjigjet tjera. Njehso sa nxënës do të përgjigjen se nuk duan fushë të re sportive, kurse sa nxënës të shkollës do të jenë të pavendosur.

4

Pronari i një video klubi dëshiron të konstatoj cilat filma janë më të popullarizuar në qytet. Qyteti ka 20 000 banorë. Shitësi ka shënuar të dhëna për 400 anëtarë të video klubit.

Videokasetat më të popullarizuara Lloji i filmit

numri

raporti

Për fëmijë

40

40:400=0,1

Shkencor

36

Komedi

152

Filma të vjetër

100

Muzikor

72

Cilat numra duhet të shkruhen te pjesa e tabelës me titull „Raporti"? Me ndihmën e raporteve të njehsuara cakto numrin e banorëve në qytet për të cilët mund të thuhet se do të jenë të interesuar për lloje të filmave të ndryshëm. Për çfarë do të mund t'i shërbejnë informatat e fituara pronarit të video klubit?

17

182

MËSOVE PËR THYESA. NUMRA DHJETORË. PROVO DIJENIN TËNDE

Vizato segment AB = 6 cm. a) Cakto pikë C në segmentin AB ashtu që: 2 __ AC = AB. 3

1.

b) Nëse AD = 2 cm, atëherë cili numër duhet të qëndroj në vendin që të jetë AD = AB.

2.

Në tetë kuti të barabartë ka gjithsej 12 kg bonbone. Sa kilogram bonbone ka në një

kuti?

3.

11. Nëse i zbritshmi 3,24 zmadhohet për 0,24, ndërsa zbritësi 0,324 zvogëlohet për 0,24, atëherë ndryshimi do të zmadhohet për 2 ⋅ 0,24. Provo.

12. Me mbledhje provo nëse është kryer drejtë zbritja 59,216 - 11,11 = 48,106.

13. Provo nëse është kryer drejtë shumëzimi 12 346 • 24 = 296 304 . Pastaj, pa njehsuar, cakto prodhimin.

Numrin 5 paraqite si thyesë me numërues 5

Emërues 5.

1,2346 ⋅ 24.

12,346 ⋅ 2,4.

0,12346 ⋅ 0,24.

4.

Shkruaj thyesë me numërues 2 që është më e madhe se 1. që është më e vogël se 1.

5.

Paraqite në boshtin numerik shumën 3 2 1 4 __ __ + __ ; + __ . 8 8 5 5

14. Njehso herësin 55,56 : 2,4.

0,84375 : 0,27.

15. Njehso prodhimet 5,32 • 20 dhe 0,64 • 1,2, e pastaj pa njehsuar cakto herësin 106,4 : 5,32.

6.

7.

84 deri te thyesa e pa Thjeshto thyesën ____ 210 thjeshtuar. Thjeshto thyesën

56 ____ me 7. 126

8. 9.

45 ____ me PMP(45, 270). 270

7 Zgjero thyesën __ me 8. 8 Njehso shumën 26,4 + 2,64 + 0,0264.

Kryeje shumën dhe provo nëse është e saktë: 0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048 Cakto ndryshimin e shumës së fituar.

10.

0,768 : 1,2.

16. Zgjidhe barazimin

2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2. x : 0,5 = 13,5 : 0,25.

17. Njehso vlerën numerike të shprehjes (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5.

18. Shkruaje si numër dhjetor thyesën 126 ____ . 15

629 ____ . 495

19. Pas rrumbullakimit të numrit 2,861254 është fituar numri 2,8613. Me çfarë saktësi është rrumbullakuar numri? 73 shndërroje në numër dhjetor 20. Thyesën ___ 8

dhe rrumbullakoje me saktësi deri 0,01.

TEMA 4.

MATJA

1. Njësit për gjatësi, masë dhe lëngje 2. Njësit për kohën dhe temperaturën 3. Numër i emërtuar 4. Shndërrimi i numrit shumë emëror në një emëror 5. Shndërrimi i numrit një emëror në numër shumë emëror

6. Operacione me numra të emëruar 184 7. Njësit për syprinë 187 8. Njësit për Vëllimin 189 9. Vëllimi i kuboidit dhe kubit 10. Mësove për matje. Kontrollo 192 diturinë tënde 194

183

196 201 203 206 210

1

184

NJËSITË PËR GJATËSI, MASË DHE LËNGJE

Kujtohu!

A

Te vizorja trego gjatësi prej 1 dm, 3 cm, 8 mm dhe 4 cm 6 mm. Cila njësi shfrytëzohet për matjen e gjatësisë së rrugëve dhe largesave ndërmjet dy vendeve? Sa dekagram ka në 1kg? Cila njësi përdoret për matjen e masës së mineraleve të nxjerrë nga miniera. Sa dl ka në 1l?

1

NJËSITË PËR GJATËSI Vlerëso gjatësinë e segmenteve AB dhe CD dhe të vijës së thyer PQRST, pastaj me matje provo saktësinë e vlerësimit tënd. S

Q

V D C A

R

P

T

Cilat njësi matëse i përdore? Numëro edhe njësi të tjera për gjatësi.

Njësia themelore matëse për gjatësi është metri (m).

Njësitë matëse më të mëdha dhe më të vogla se metri janë të paraqitura në tabelën e më poshtme. Njësitë matëse më të mëdha se metri janë: dekametri (dam) hektometri (hm) kilometri (km)

⋅ 10

1 dam 1 hm

⋅ 100

1 km

⋅ 1000

: 10

1m

: 100 : 1000

Njësitë matëse më të vogla se metri janë: (dm) 1 dm decimetri 1 cm centimetri (cm) (mm) 1 mm milimetri

Shqyrto dhe vëre lidhjet mes njësive për gjatësi! 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m 1 hm = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m

Të mbaj mend! Çdo njësi matëse për gjatësi është 10 herë më e vogël se njësia matëse që është më e madhe pas saj.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm

2

Cila njësi duhet të qëndroj te “∗”. Për 1 orë, Petriti mund të ec rreth 4 ∗. Njomza në fletore ka vizatuar katror me gjatësi të brinjës 30 ∗.

3

Sa dekametër ka në: a) 90 m? b) 300 m? c) 1700 m?

4

Në 1 dm ka 0,1 m. Sa metro ka në 1 cm?

B

185

NJËSITE PËR MASËN Numëroji njësitë matëse për masën që i njeh.

5

Cila është njësia matëse themelore për masën? Sa kilogramë ka 1 t?

Ç’është më e madhe 8 dag ose 1 kg?

Cila njësi për masën duhet të qëndrojë në vend të "*" te këto fjali:

6

Me kamion është bartë 6 * qymyr.

Pulën që e bleu Agoni ka masën 2 *

Njësia matëse themelore për masën është kilogrami (kg). : 10

Njësia më e madhe se kilogrami është tonelata (t). 1 t = 1 000 kg

: 100

1 kg

Njësitë më të vogla se kilogrami janë dhënë në tabelën vijuese.

1 hg

Hektogrami

1 dag Dekagrami 1g

Gram

: 10 000

1 dg

Decigrami

(dg)

: 100 000

1 cg

Centigrami

(cg)

1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dg = 10 cg = 100 mg 1 dag = 10 g 1 cg = 10 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg

8

(g)

1 mg Miligrami

Shqyrto, vëre dhe mbaj mend lidhjet mes njësive për masën!

Që të masë një copë mish, mishtari në njërën enë të peshores vendosi pesha prej 1 kg, 2 kg dhe 1 kg, kurse në enën tjetër peshën prej 50 g. Sa është masa e mishit?

C

(dag)

: 1 000

: 1 000 000

7

(hg)

(mg)

Të mbaj mend! Çdo njësi matëse për masën është 10 herë më e vogël se njësia matëse që është menjëherë më e madhe se ajo.

NJËSI PËR LËNGJE Numëroji njësitë për lëngje që i njeh deri më tani. A njeh më herët njësi më të madh se 11?

Sa dl ka 11?

Njësia matëse themelore për lëngjet është litri (l).

Njësi matëse më të mëdha dhe më të vogla se litri janë dhënë në tabelën e mëposhtme. Njësi matëse më të mëdha se litri janë: Dekalitri (dal) Hektolitri (hl) Kilolitri (kl)

⋅ 10

1 dal 1 hl

⋅ 100

1 kl

⋅ 1000

: 100

1 dl 1 cl

: 1000

1 ml

: 10

1l

Njësi matëse më të vogla se litri janë: Decilitri (dl) Centilitri (cl) Mililitri (ml)

Vëre dhe mbaj mend lidhjet ndërmjet njësive të lëngjeve!

186

1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l 1 hl = 10 dal = 100 l 1 dal = 10 l

9

10

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml

1 l ujë mineral kushton 20 denarë. Sa denarë kushton 2 dl (një gotë) ujë mineral?

Të mbaj mend! Çdo njësi për lëng është për 10 herë më e vogël se njësia që është më e madhe se ajo.

Radhiti sipas madhësisë këto numra: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 1, 3 cl.

Duhet të dish!

Testohu!

Cila është njësi themelore matëse? Gjatësi;

Masë;

Lëng

Ti caktoni njësitë më të mëdha dhe më të vogla për: Gjatësi;

Masë;

Masë;

a)1m më i madh se 1cm? b) 1 dm më i vogël se 1hm?

Për sa është:

a) 1kg më i madh se 1g? b) 1 dag më i vogël se 1hg?

Për sa është:

a) 1hl më i madh se 1dal? b) 1 ml më i vogël se 1dl?

Lëng

Ti shpjegoni marrëdhëniet mes njësive për: Gjatësi;

Për sa është:

Lëng

Detyra 1.

2.

Vizato segmente pa matje me gjatësi : 1 cm, 1 dm, 25 cm i 75 cm. Provo me matje dhe konstato për sa ke gabuar.

3. Radhiti segmentet me gjatësi 9 dm, 2 m, 48

cm, 94 mm, 4 dm 7 cm, duke filluar nga më i shkurtri.

4.

Radhiti sipas madhësisë: 5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag;

5.

Radhiti sipas madhësisë: 5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.

Mate gjatësinë e hapit tënd në centimetra. Me hapa mate largesën ndërmjet dy objekteve. Cakto sa metra është ajo largesë. Provo, me matje, saktësinë e vlerësimit tënd.

6. Në një pemishte janë mbledhur 4,5t mollë dhe janë shitur nga 17 denarë për një kilogram. Sa denarë janë fituar?

2

187

NJËSITE PËR KOHËN DHE TEMPERATURËN

A

Kujtohu!

NJËSITË PËR KOHËN

Sa minuta ka 1 orë? Trego dy njësi për kohën, të cilat janë më të mëdha se 1 orë.

Cilën kohë e tregon ora në: orë, minuta dhe sekonda?

1

Cila njësi matëse përdoret për matjen e temperaturës? Temperatura e të sëmurit a shprehet me njësi të njëjtë?

Tregoi njësitë për kohën që i ke mësuar. Cila është njësia më e vogël për kohën që e ke mësuar?

Mbaj mend! Njësia matëse themelore për kohën është sekonda (s). Njësi më të mëdha se sekonda janë: minuta (min), ora (h), dita (d), java, muaji, viti, dekada, shekulli dhe mileniumi. Ekzistojnë edhe njësi më të vogla se sekonda.

Shqyrto, vëre dhe mbaj mend! 1 min = 60 s;

1 h = 60 min = 3600 s;

1 java = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s.

2

Shndërro:

5 ditë në orë;

1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s; 1 muaj. = 30 d;

8 orë në minuta;

Vëre! 1 ditë ka 24 orë; 5 ditë kanë 5 ⋅ 24 orë= 120 orë. Sa minuta ka 1 orë?

3

Sa sekonda ka 1 orë?

Shndërroji 147 orë në ditë dhe orë.

147 orë: 24=6 ditë dhe mbetja 3 orë 4

B 5

Shndërroji 5 vjet 8 muaj 13 ditë në ditë.

NJËSI PËR TEMPERATURË Lexo temperaturën që është treguar në termometër. Në cilën njësi matëse është ngritur temperatura?

1 vit = 365 d.

25 minuta në sekonda.

Njësia themelore për temperaturën është kelvini (K).

188

Por, në jetën e përditshme përdoret shkalla e celsiusit (°C). Fizicienti dhe astronomi

suedez Anders Celzius (1701-1744) shpiku shkallën te e cila uji ngrihet në 0°C, ndërsa vlon ne 100°C. Pjesa e qindtë e shkallës quhet shkalla e celsiusit. Dallimi në temperaturë për një shkallë celsius është njëlloj si një Kelvin. Por, në shkallën termike në 0°C i përgjigjet 273,16 K Kështu që uji ngrihet ne 0°C gjegjësisht në 273,16 K, ndërsa vlon në 100°C, gjegjësisht në 373,16 K.

Njoftohu më gjerësisht! Temperatura e shprehur në Kelvin quhet temperaturë absolute. Matja e temperaturës absolute fillon me zero apo -273,16 °C. Temperatura më e ulët e mundshme quhet zeroja absolute. Nëse temperatura e ndonjë trupi është shprehur në shkallë të celsiusit, atëherë temperatura e saj absolute, e shprehur me T, njehsohet me formulën: T(K) = t (oC) + 273,16

6

Bëni tabelë sikurse është dhënë dhe plotësoje ( °C shkallë celsius, K - kelvin).

oS

4

K 277,16 320,16

12,84

36,5 290

340,4

Duhet të dish! Testohu! Cila është njësia themelore për kohën; Të caktosh njësitë më të mëdha se sekonda dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre; Cila është njësia themelore për temperaturën; Cila është lidhja mes shkallës së kelvinit dhe celsiusit.

Për sa është 1s më e vogël se : a) 1 min; b) 1 h? Sa orë ka në 1d? Sa K i takojnë 0°C në shkallën termike? Një trup ka temperaturë prej 20 °C. Sa është temperature absolute e atij trupi?

Detyra

3. Anija e peshkatarëve është nisur nga një

1. Sipas orarit treni arrije në 13 h 55 min. Nëse treni vonohet 1 h 32 min, atëherë në ora sa do të arrijë?

2. Për një shfaqje ishte paraparë program me kohëzgjatje prej 1h 20 min. Shfaqja u realizua për 120 minuta. Sa minuta më shumë është vazhduar shfaqja prej asaj që ishte paraparë.

port më 8 shtator në ora 6 h, ndërsa është kthyer në port më 17 shtator në ora 18h (vitin njëjtë). Shprehe kohën e lundrimit të anijes nga nisja deri në kthim: a) ditë b) në orë c) në javë dhe ditë.

4. Paraqiti 15 vite 8 muaj dhe 9 d në ditë. 5. Sa është temperature absolute e trupit që ka: a) 37°C ; b) -50 °C?

3

189

NUMRA TË EMËRTUAR

Kujtohu!

A 1

Për dhjetë fotografitë të numëruar është parashtruar pyetje. Janë dhënë edhe përgjigjet e çdo pyetjeje.

Numëroji dhe shkruaji: - numrin e bankave në klasën tënde; - numrin e karrigeve në klasën tënde.

Formo tabelë dhe për çdo fotografi në të shkruaj numrin përkatës.? Shkruaj në tabelë përgjigjet sipas pyetjeve në fotografi.

Mate gjatësinë e lapsit tënd. Shkruaje numrin e matur dhe njësinë matëse që janë rezultat i matjes tënde. Cilët janë njësitë matëse për: a) gjatësi;

1

b) masë?

Vëre! Çdo përgjigje përmban edhe numrin matës dhe njësi matëse. Numrat matës me njësinë matëse i caktove duke numëruar ose duke matur. (me numërim: 4 dardhë, 3 dele,...; me matje: 2 cm; 2 kg...)

7 përmban V

shishja? Sa dardhë

8 ka?

4

3 dele 6 libra 4 dardhë 46o 38,5o S 2 cm

miell? Sa dele?

Sa libra

9 ka?

1l 2 kg

Sa është

Numër i emërtuar

3 cm

Sa

3 kilogramë

α

Sa ujë

Sa centimetra ka segmenti?

A AB = ?

Sa shkallë ka këndi?

α=?

Sa denarë?

2

Numër matës

6

5 ora?

Sa është

10 temperatura?

2 ora 10 denarë

Njësi matëse

Mbaj mend! Numri i emërtuar përbëhet prej numrit të paemërtuar dhe njësisë matëse i shkruar pranë tij. Numri i emërtuar që është shkruar me një numër të pa emërtuar dhe një njësi matëse quhet edhe numër një emëror.

2

3

Shkruaj një numër një emëror që ka: numri i nxënësve në paralelen tënde; sa është lartësia jote (në centimetra). Janë dhënë numrat:

a) 5 kg, 3 kg, 126 kg;

Çfarë kanë të përbashkët numrat nën a)? Si janë njësitë matëse të numrave nën b)?

numri i viteve tua;

b) 3 m, 5 kg, 7 l, 15 kuti.

190

Mbaj mend!

Numrat e emërtuar të cilët janë shkruar me të njëjtat njësi matëse quhen numra emëror të njëjtë. Numrat nën a) emëror të njëjtë. Numrat nën b) nuk janë numra emëror të njëjtë. Përveç emrit njësi matëse përdoren edhe emrat: njësia për matje ose shkurtimisht njësi.

4

Cilët dy numra 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg janë numra emëror të njëjtë? Çka duhet të qëndrojë në vend të * te numrat 2*, 3* dhe 17*, që ato të jenë numra emëror të njëjtë?

5

Janë dhënë numrat: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl. Çka matet me njësitë matëse të atyre numrave? Te njësitë e njëjtë a është shprehur edhe numri 6 dal? A është shprehur edhe 8 cm?

Mbaj mend!

Dy ose më shumë numra të emërtuar që shprehin madhësi të lloji të njëjtë quhen numra të emërtuar të llojit të njëjtë. Numrat 4 l, 6 ml, 9 hl dhe 116 cl janë numra të emërtuar të llojit të njëjtë. Shkruaj dy numra të emërtuar të llojit të njëjtë për matjen e: a) gjatësisë; b) masës.

6

Numri që përmban dy ose më shumë numra një emëror të llojit të njëjtë quhet numër shumë emëror. Numrat një emëror quhen anëtarë të numrit shumë emëror.

Numri 2 kg 3 cg 5 mg është shumë emëror; 2 kg; 3 cg dhe 5 mg janë anëtarët e tij. B

7

Gjatësia e një dhome është 3 m 6 dm, kurse gjerësia 4 m 2 dm 5 cm. Me çfarë numra janë shkruar përmasat e dhomës?

8

Shkruaj nga një numër shumë emëror te njësitë për: a) gjatësi; b) masë; c) kohë.

Mbaj mend! Mundesh të shënosh: 4 m + 5 cm = 4 m 5 cm 3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g

9

Të mbaj mend! Numri shumë emëror paraqet shumë të dy ose më shumë numrave një emëror të llojit të njëjtë.

Numrin shumë emëror 6 m2 3 dm2 2 cm2 paraqite si shumë. Shumat: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl paraqiti si numra shumë emëror.

Duhet të dish!

191

Testohu!

Të dallosh numër të emërtuar prej numrit të paemërtuar; t'i njohësh numrat emëror të njëjtë; cilët prej numrave të emërtuar janë të llojit të njëjtë; të sqarosh cili numër është një emëror, kurse cili shumë emëror.

1 Cili prej numrave: 4 libra, 6 cm, 4 , 7 fëmijë 2 dhe 8 është i emërtuar, kurse cili jo i emërtuar? Cili prej numrave 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m dhe 4 dm janë: a) një lloj të emërtuar b) të llojit të njëjtë? Trego një shembull të numrit shumë emëror me 3 anëtarë të njësitë për lëngje.

Detyra 1. Shkruaj dy numra të emërtuar dhe dy të paemërtuar.

2.

Numëroji librat në raft, shkruaje atë si numër të emërtuar.

3. Shkruaj dy numra shumë emëror:

8. Janë dhënë numrat:

5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m; 29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l; 8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2. Bën tabelë dhe shkruaj numrat sipas kërkesave: Të paemërtuar

Një emëror

Shumë emëror

Emëror të njëjtë

Edhe kjo është matematikë!

- njëri në njësitë për kohën; - tjetri në njësitë për syprinën.

Janë takuar dy shokë. Arditi dhe Petriti. Arditi e

4.

Shkruaje kohën (të shprehur në orë, minuta dhe sekonda) që e tregon ora.

pyeti Petriti: “Ku je o mik, nuk të shoh shpesh?” Petriti u përgjigj: “Shpesh shkoj në qytete të ndryshme që të njoh bukuritë e Maqedonisë” Arditi pyeti: Cilat qytete i vizitove?” Petriti menjëherë u përgjigj: “Të shtunën e parë të një

Çfarë numër shënove?

muajit isha ne Berovë, ndërsa të shtunën e dytë

5.

5

2 1

den.

den.

të muajit të njëjtë pas të premtes së parë isha në 50

den. deni

Denarët dhe denët shkruaji si numra shumë emëror.

6. Shkruaj dy numra një lloj të emërtuar. 7. Shkruaj tre numra shumë emëror që nuk janë të llojit të njëjtë.

Strumicë. Të shtunën e parë të muajit të ardhshëm isha në Dibër, ndërsa të shtunën e dytë të muajit të njëjtë pas të premtes së parë isha në Ohër.” “Me cilën datë ishe në Ohër?”, pyeti Arditi. Petriti e shikoi dhe u përgjigj: “Datën mundesh vet ta caktosh” Më cilën datë ishte Petriti në Ohër?

192

4

SHNDËRRIMI I NUMRIT SHUMËEMËROR NË NUMËR NJËEMËROR

A

Kujtohu!

1

1 m = 10 dm, gjegjësisht 1m është 10 herë më i madh se 1 dm. Për sa herë është më i madh: a) 1 m prej 1 cm?; b) 1 kg prej 1 g?; c) 1 h prej 1 min?

Vëre njësinë më të vogël matëse te numri. me njësi më të madhe shndërroji në njësi Anëtarët më të vogël matëse. numrin shumë emëror si shumë e numrave Paraqite një emërorë (në cm).

Kryeje shumën e kërkuar.

Numrin shumë emëror 4 m 2 dm 7 cm shndërroje në numër një emëror. Puno sipas rregullës dhe krahasoje zgjidhjen:

Ai është centimetri (cm) 4 m = 400 cm 2 dm = 20 cm 400 cm + 20 cm + 7 cm 400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm

Vëreni mënyrën e dytë të shndërrimit të numrit shumë emërorë në numër një emërorë duke shfrytëzuar 2 pohimet vijuese:

Te njësitë për gjatësi, masë dhe lëng secila njësi matëse është 10 herë më e vogël se njësi matëse e ardhshme më e madhe.

Në sistemin dhjetor të numrave pozita e secilës shifër është 10 herë më e madhe se pozita e shifrës paraprake.

2

4 m

2 dm

4 2 7 cm

Sqaro pse 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g.

Vëre dhe mbaj mend! Nëse te numri shumë emëror mungon me radhë ndonjë njësi matëse, në vendin e saj shëno 0.

3

7 cm =

Të mbaj mend! Këto numra shumë emëror shkruaj në numra një emëror. I fshij njësitë matëse më të mëdha, dhe mbetet më e vogla. Duhet të kem kujdes a duhet të shënohet 0 dhe ku.

Shndërroje si numër një emëror numrin 4 dm 5 mm, duke i zbatuar të dy rregullat e treguara.

Shndërroji në numrat një emërorë në njësinë më të vogël: a) 5 vjet 3 muaj 2 ditë; b) 4 muaj 2 javë 3 ditë 5 orë; c) 2 h 34 min 15 s. (1 vit = 365 ditë, 1 muaj = 30 ditë).

4

193

Vëre se numrat shumë emëror në njësi të kohës nuk mund ti shndërrosh në një emëror sipas mënyrës së dytë të treguar.

B

5

Shndërro numrin 5 m 3 dm 8 cm në: a) decimetra; b) metro.

Vëre dhe mbaj mend rregullat! a) Në decimetra: 5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm 8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm 5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm = = 53,8 dm.

b) Në metra: 3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m 8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m 5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m = = 5,38 m.

Vëreni mënyrën ë dytë ( të shkurtuar) për shndërrimin e numrit shumë emërorë në një emërorë.

5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.

5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.

Vërejtje! Mund t’i mos përfillni njësitë matëse, të vendosni presje pas numrit matës të njësisë matëse, te e cila kërkohet shndërrimi i numrit shumë emërorë dhe në fund ta shënoni atë njësi matëse. Nëse në radhitje mungon ndonjë njësi matëse, në vendin e saj shënohet zero.

6

Shndërroje numrin 8l 7 dl 3 ml në decilitra. Të mbaj mend! Nëse numrin shumë emëror e shndërroj në numër një emëror me njësi matëse që nuk është më e vogël, atëherë numri matës është dhjetor.

7

Shndërroje numrin 4 kg 6 dag 5 g në kilogram.

Duhet të dish! Të shndërrosh numër shumë emëror në një emëror, në cilëndo njësi matëse dhe të shfrytëzosh rregulla më praktike për shndërrim; se gjatë shndërrimit të numrit shumë emëror në një emëror, në njësinë më të vogël matëse të numrit shumë emëror, numri matës është numër natyror, kurse në rastet tjera është dhjetor;

Testohu! Shndërroji numrat një emëror në numra shumë emërorë: a) 3 m 2 dm 5 mm (në mm); b) 9 h 26 min. 54 s (në sekonda; në minuta). Shndërroje numrin 6 kg 5g në numër një emëror në: a) g; b) dag.

194

Detyra

4. Shndërro: a) 8 m 3 dm 4 cm në dm; b) 8 km 9 dam 7 m në km; c) 5 t 8 kg 7 hg 5 g në kg; d) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg në g; e) 8 l 5 dl 6 ml në dl.

1. Shndërroji në numra një emëror, (në njësinë më të vogël të numrit) këto numra: a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml; c) 4 t 6 kg 5 dag; d) 9 ditë 8 h 7 min.

2. Korabi është i lartë 2 km 7hm 6 dam 4 m. Sa Pyetje interesante

metra është i lartë Korabi?

3. Koha ndërmjet dy hënave të plota është 29 d 12 h 44 min 3 s. Sa sekonda ka në këtë numër?

5

Nëse në orën 24 bie shi, vallë mbas 48 orëve koha a do të përmirësohet?

SHNDËRIM I NUMRIT NJËEMËROR NË SHUMEMËROR

A

Kujtohu! Numri 248 shënohet në formë të zbërthyer si në mënyrën e mëposhtme: 428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8.

9

Numrin një emëror 364 cm shndërroje në numër shumë emëror. Puno sipas rregullës dhe krahasoje zgjidhjen.

Shënoni numrat 764 dhe 8 053 në formë të zbërthyer.

Numrin matës paraqite në formën e zbërthyer

ashtu që numri i emërtuar të jetë shumë i numrave një lloj të emërtuar (në cm).

Sipas formës së zbërthyer të numrit matës

shndërroi centimetrat në madhësi më të mëdha matëse dhe atë shkruaje si numër shumë emëror.

3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm = = 3 m 6 dm 4 cm

Më praktik!

Vëre!

5 427 mm = 5

364 cm = 3 m 6 dm 4 cm E gjithë ajo është e saktë vetëm për numra të emërtuar në njësitë për gjatësi, masë dhe lëng.

364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm

4

2

7

5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm

Vëre! Ndërmjet shifrave të numrit duhet të ketë vende të zbrazëta; pranë shifrës në pozitën e njësheve duhet të shkruhet njësia më e vogël (ajo është mm); pranë shifrës së dhjetësheve duhet të shkruhet njësia 10 herë më e madhe (ajo është cm) etj.

2

Shndërro në numër shumë emërorë, numrin: a) 5034 g; b) 2014 dl; c) 60308 mm.

3

Shndërroje numrin 4837154 s në numër shumë emëror.

195

Vëreni kërkesat dhe caktoni zgjidhjen: Nëse numrin e sekondave e pjesëton me 60, do të fitoni minuta dhe mbetja në sekonda. Nëse numrin e minutave e pjesëtoni me 60. Do të fitoni orë dh mbetje në minuta. Nëse numrin e orëve e pjesëtoni me 24, atëherë çka është herësi e çka mbetja?

Vëre! 4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s.

4837154 s : 60 = 80619 min dhe mbetja 14 s 80619 min : 60 = 1343 h dhe mbetja 39 min 1343 h : 24 = 55 dena dhe mbetja 23 h

Kam vërejtur se: Anëtarët e numrit të kërkuar shumë emëror janë: Herësi i fundit (55d) dhe tre mbetjet e tjera (23h, 39min dhe 14s)

Shndërroji numrat një emërorë: 324 min, 4526 ditë, 6462 g; 541203 m2 dhe 4142 l në numra shumë emërorë.

4

B

5

Shndërroje në metra numrin 8,2 cm. Vëreji rregullat dhe krahasoje zgjidhjen.

Mënyra I 8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.

km hm dam m dm cm mm

Mënyra II Vendose numrin në tabelë me njësitë matëse.

0

vendose pas njësisë matëse në të cilën Presjen shndërrojmë (m). Domethënë, 8,2 cm = 0,082 m. 6

0

0

0

,

0

8

,

2

Shndërroje numrin 6,384 m në numër shumë emëror. Formo tabelë me njësi matëse dhe vendos në të numrin. Lexoje numrin.

km hm dam m dm cm mm 0

0

0

6

,

3

8

4

mg

Prej tabelës lexohet: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.

7

Numri që është në tabelë paraqiteni si : a) Numër shumë emëror; b) Në dg; c) Në kg.

kg

hg dag g

dg cg

0

9

3

7

5

0

2

196

Testohu!

Duhet të dish!

Shndërroje në numër shumë emëror numrin:

Të shndërrosh numër një emëror në shumë emëror dhe të shfrytëzosh rregulla më praktike për shndërrim.

a) 6 475 mm; b) 3 604 ml; c) 24 300 s.

Detyra 1. Numrin një emëror shndërroje në numër shumë emëror: a) 3 402 mm; b) 47 063 dg; c) 1 035 ml;

3. Shndërro numrin në shumë emëror pa përdorur tabelë: a) 22.20 m; b) 43, 15 l;

d) 4 007 cm; e) 47 632 mg; f ) 35 006 dl.

2. Numrin një emëror vendose në tabelë,

4. Hëna lëviz rreth Tokës për 2 551 443 s.

pastaj shënoje si numër shumë emërorë: a) 387, 25 m; c) 30, 02 dam; b) 320, 05 g; d) 401, 53dl.

6

c) 5 302,67 g; d) 0, 237 kg.

Shndërroje këtë numër në shumë emëror (në ditë, orë, minuta dhe sekonda).

OPERACIONE ME NUMRA TË EMËRTUAR

Kujtohu!

A

Numëroni njësitë për gjatësi, masë, lëng, kohë dhe temperaturë. Cila është njësia themelore matëse për secilën matje? Shëno: a) 8 m 4 dm 3 mm në milimetra; b) 7 kg 5 dag 4 g në gram; c) 7 dal 7 l 5 dl në decilitra; d) 3 d 2 h 8 min në minuta.

1

Një dërrasë ka 2 m 7 dm 4 cm kurse tjetra 3 m 2 cm. Sa është gjatësia e përgjithshme e dërrasave? Është e nevojshme të caktohet shuma e gjatësive të dy dërrasave. Ajo mundet të bëhet në dy mënyra Vëre rregullën dhe krahasoje zgjidhjen.

Shënoni numrat si numër shumë emëror: a) 3 507 g; b) 7 402 dl; c) 4 005 m; d) 5 032 min.

I.

numrat shumë emërorë ashtu që anëtarët të jenë njëri pas Shkruaji tjetrit

Njehso shumën e çdo çifti të anëtarëve emëror të njëjtë.

2 m 7 dm 4 cm 3 m 0 dm 2 cm 2 m 7 dm 4 cm + 3 m 0 dm 2 cm 5 m 7 dm 6 cm

Vëre!

+

2 m 7 dm 4 cm +

3m

197 2 cm =

5 m 7 dm 6 cm

+ Shumën e numrave shumë emërorë e caktova ashtu që i mblodha centimetra me centimetra, decimetra me decimetra dhe metra me metra.

Vëre shumën e numrave 5 dm 9 cm dhe 3 dm 4 cm .

5 dm 9 cm + 3 dm 4 cm 8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm

Nëse një anëtar te shuma përmban njësi matëse më të madhe, atëherë ajo i shtohet anëtarit para tij.

II. Puno sipas kërkesës dhe vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes: numrat shumë emërorë në numra një emëror në njësi Shndërroji më të vogël matëse ashtu që ato të jenë një lloj të emërtuar.

Cakto shumën e numrave një emëror të fituar. Numrin një emëror të fituar shndërroje në shumë emëror. Vëre!

2

2 m 7 dm 4 cm = 274 cm 3 m 2 cm = 302 cm 274 cm +302 cm = 576 cm 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

Njehso: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm. Puno sipas këtyre udhëzimeve: Njehso shumën e numrave 4 m 5 dm 3 mnt dhe 7 m 9 cm 8 mm. Prej shumës së fituar zbrite 3 m 3 dm 2 mm. 6 dm

Vëre ndryshimin e numrave 7 dm 4 cm dhe 2 dm 6 cm.

B

3 I.

Njehso

10 cm

7 dm 4 cm - 2 dm 6 cm 4 dm 8 cm

Ke vërejtur se: 4 cm është më i vogël se 6 cm; prej 7 dm zbrite 1 dm; 1 dm = 10 cm; 10 cm + 4 cm = 14 cm; 14 cm - 6 cm = 8 cm; 6 dm - 2 dm = 4 dm.

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Mund të njehsohet në dy mënyra:

Secilin anëtar të numrit shumë emëror shumëzoje me 3. Nëse gjatë shumëzimit fiton numër që përmban njësi më të madhe matëse, atë shtoja njësisë më të madhe përkatëse.

198

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm

Vëre mënyrë tjetër të zgjidhjes.

II.

Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror (në mm); F numrin e fituar një emëror shumëzoje me 3; prodhimin e fituar shndërroje në numër shumë emëror. 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm. Njehso 12 km 9 dam 6 m :3. Mundet të njehsohet në dy mënyra:

4 I.

Çdo anëtarë të numrit shumë emëror pjesëtoje me 3;

12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m Kështu është më praktike:

II.

Numrin shumë emëror shndërroje në numër një emëror; njehso herësin e numrin një emëror dhe numrit 3; herësin e fituar shndërroje në numër shumë emëror. 12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m. Njehso: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.

5

C

6

Njehso: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g. Shumën mundet ta njehsosh në dy mënyra. Vepro sipas kërkesave:

MËNYRA I. numrat njërin nën tjetrin, ashtu që Shkruaj numrat e njëjtë emëror të jenë në të njëjtën

vijë vertikale. Kryeje mbledhjen e numrave të njëjtë emërorë Nëse te shuma ka njësi matëse të madhe atë shtoja njësisë matëse më të madhe përkatëse.

MËNYRA II. numrat shumë emërorë në numra Shndërroji një emërorë në njësi matëse më të vogël (në gramë).

Kryeje mbledhjen. Shumën e fituar shndërroje në numër

Shuma ose ndryshimi i numrave shumë emërorë të njësive për masë dhe të njësive për lëng caktohet në të njëjtën mënyrë sikurse caktohet edhe për numra shumë emërorë te njësive për gjatësi. Në mënyrë të njëjtë shumëzohet, gjegjësisht pjesëtohet, numri shumë emëror të atyre njësive me numër të emërtuar.

199

Njehso: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.

7

Krahaso zgjidhjen tënde me atë të dhënë: 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Vëre se, që të mbledhësh dy numra shumë emëror sipas mënyrës së dytë, është nevojshme të dy numra shumë emërorë ti shndërrosh në një emërorë me njësi të njëjtë matëse. 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

8

Cakto vlerën e shprehjes: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.

9

Numrin 5 t 642 kg 8 dag zmadhoje për 4 herë. 5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4. Kryeje shumëzimin dhe numrin e fituar një emëror shkruaje në atë shumë emëror.

10 Njehso: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.

D

11 Njomza ka lindur kur Agoni ka pasur 6 vjet 3 muaj 8 ditë. Tani Njomza ka 10 vjet 11 muaj 24 ditë. Sa vjet ka Agoni.

Që të caktosh moshën e Agonit, duhet të veprosh në këtë mënyrë.

6 vjet 3 muaj + 10 vjet 11 muaj

Cakto shumën e numrave shumë emërorë. Njësitë matëse më të mëdha mblidhi me njësitë matëse përkatëse më të mëdha.

16 vjet 14 muaj 32 ditë 1 vjet 2 muaj 1 muaj 2 ditë

17 vjet 12

8 ditë 24 ditë

3 muaj

2 ditë

Njehso: 6 vjet 3 muaj 8 ditë – 3 vjet 5 muaj 6 ditë : 9. Vepro sipas kërkesave. Shndërroji numrat shumë emëror në numra një emëror (në ditë). Kryeji operacionet e shënuara me numrat e fituar një emëror. Rezultatin e fituar shndërroje në numër shumë emëror 5912 ditë:

5 vjet 6 muaj 12 ditë = 2017 ditë 3 vjet 5 muaj 6 ditë = 1251 ditë 2017 ditë 3 - 1251 ditë : 9 = = 6051 ditë - 139 ditë = 5912 ditë 365 = 165 vjet dhe mbetja 72 ditë 5912 ditë = 16 vjet 2 muaj 12 ditë

13 Gazmendi qëndroi jashtë vendit gjithsej 8 vjet 7 muaj, kurse djali i tij Arbëri jeton 5 herë më pak kohë. Sa kohë Arbëri ka jetuar jashtë vendit?

200

Duhet të dish!

Testohu!

Të njehsosh shumën dhe ndryshimin e numrave shumë emërorë të njësive për gjatësi, masë, lëngje dhe kohë;

Njehso: 7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm - 6 dm 8 cm 7 mm;

Shumën dhe ndryshimin e numrave shumë emëror ta kryesh në dy mënyra: mbledhja, gjegjësisht zbritja, e anëtarëve një lloj të emërtuar ose me shndërrimin e numrave shumë emërorë në një emërorë;

7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg; 7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl; 13 v. 6 muaj. 7 ditë. - 10 v. 8 muaj. 20 ditë Njehso:

Të njehsosh prodhimin, gjegjësisht herësin e numrit shumë emëror me numër të paemëruar në dy mënyra: me shumëzim, gjegjësisht pjesëtim të anëtarëve të numrit shumë emërorë me numrin e paemëruar, ose me shndërrimin e numrave shumë emërorë në një emërorë.

5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3; 2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2; 4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9; 6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9.

Detyra 1. Njehso:

6. Në shitore është sjell 6 hl 3 dal 5 l lëng i cili

do të shitet nga 45 denarë për 1l, dhe 154 kg mollë nga 30 denarë për 1 kg. Sa denar kushtojnë lëngu dhe molla së bashku?

a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm; b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m; c) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.

2. Njehso: a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm;

7. Njehso:

b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm;

12 kg 42 g : 9;

c) 9 m 7 cm 2 mm : 8;

12 t 632 kg : 8.

5 l 7 dl 4 cl : 7;

d) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.

3. Njehso: A + B – C, nëse

8. Amvisja ka shpenzuar 13 kg 4 hg 4 dag miell për 6 ditë.

a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag; C = 205 kg 6 dag. b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl; C = 1 l 2 dl 3 ml.

Sa miell mesatarisht ka shpenzuar amvisja? Sa miell ka shpenzuar 5 ditët e parë.

4. Nëse M = 6 l 3 cl, sa është:

a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9.

5. Firma ka fituar 8 arka me mall. Secila arkë ka 1t 136 kg. Cakto masën e mallit të fituar.

9.

Treni sipas orarit mbërrin në ora 18,45 min. Nëse vonohet 1 orë e 42 min, në ora sa do të mbërrij treni.

7

201

NJËSITË PËR SYPRINË

Kujtohu!

A 1

Cakto syprinën e figurës në vizatim. Me cilën njësi matëse e njehsove syprinën e figurës?

Cakto syprinën e drejtkëndëshit, sipas përmasave të dhëna.

1 cm 2 cm

3 cm

2 cm 1 cm

5 cm Me cilën njësi matëse e shprehe syprinën e drejtkëndëshit?

2

Syprina e Liqenit të Ohrit është 349 km2. Me cilën njësi është shprehur syprina e Liqenit të Ohrit? Numëro edhe njësi tjera për matjen e syprinës.

Mbaj mend! Njësia themelore matëse për syprinën është metër katrori (m2). 1 metër katror është syprina e katrorit me brinjë 1 m. Njësitë matëse më të mëdha dhe të më vogla se metri katrori janë dhënë në tabelën që vijon. Njësitë matëse më të mëdha se 1 metër katror janë: dekametër katror (dam2) hektometër katror (hm2) kilometër katror (km2)

Njësitë matëse më të vogla se 1 metër katror janë: 1 dam2

⋅100

1 hm2

⋅10000

1 km2

⋅1000000

1 m2

:100

1 dm2

decimetër katror (dm2)

:10000

1 cm2

centimetër katror (cm2)

:1000000

1 mm2

milimetër katror (mm2)

Për njësitë dam2 dhe hm2 përdoren emrat hektar (ha) dhe ar (a), dmth. 1 ha = 1 hm2 dhe 1 a = 1 dam2.

Vëre dhe mbaj në mend lidhjet ndërmjet metër katrorit dhe njësive tjera për syprinë. 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1 a = 100 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 cm2 = 100 mm2

202

3

Konstrukto 1 decimetër katror, ndaje në centimetër katror dhe ngjyrose si në vizatim.

1 2

Sa cm2 ka në 1 dm2? Cila syprinë është më e madhe: 1 m2 ose 100 dm2?

4

3 4

Cila njësi duhet të qëndroj te shenja * që të jetë e saktë: 1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2 1 m2 = ∗ cm2 1 dm2 = ∗ mm2 2 2 1 m = ∗ mm 1 cm2 = ∗ mm2

5 6

Të mbaj mend! Çdo njësi për syprinë është 100 herë më e vogël se njësia që është menjëherë më e madhe se ajo.

1 dm2

7 8 9

1 mm2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 cm2

Duhet të dish! Cila është njësia themelore matëse për syprinë; Të numërosh njësitë më të mëdha dhe ato më të vogla se metër katror; Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matëse për syprinë.

Testohu! Sa a) decimetra katror; b) centimetra katror ka në 5 m2? Sa a) hektometra katrorë (hm2); b) dekametra katrorë (dam2); c) sa metra katror (m2) ka në 3km2? Sa km2 ka në 200 ha?

Detyra! 1. Sa a) centimetra katror; b) milimetra

3. Shitet një livadh prej 2 ha. Pronari e ka

2. Oborri i shkollës në formë të drejtkëndëshit

4. Gjatësia një dhome në formë të

katror ka në 7 dm2?

ka gjatësi 65m dhe gjerësi 45m. Sa a) metra katror; b) ari ka ai oborr?

shitur ashtu që për çdo m2 ka fituar nga 240 denarë. Sa denarë gjithsej ka fituar për livadhin.

drejtkëndëshit është 8 m, ndërsa gjerësia është 6 m. Dhoma duhet të shtrohet me pllaka katrore me nga 100 cm2. Sa pllaka të atilla janë të nevojshme për shtrimin e dhomës me pllakë.

8

203

NJËSITË PËR VËLLIMIN

Kujtohu!

A 1

Në vizatim është paraqitur kubi S dhe kuboidit T. Kuboidi T përbëhet prej kubeve të barabartë me kubin S.

Katrori K në vizatim përmbahet 8 herë te drejtkëndëshi D. K

D

T Y

Sa është numri matës i drejtkëndëshit D në lidhje me katrorin K? Këtu katrori K është marrë për „njësi katror", dmth. si njësi për matjen e drejtkëndëshit D.

Konstato me numërim, prej sa kubeve të atillë përbëhet kuboidi T (gjegjësisht sa herë kubi S përmbahet në kuboidin T).

Vëre! Çfarë paraqesin 8-katrorët K për drejtkëndëshin D? Cilët njësi për syprinë i di?

Kuboidi T përfshin saktësisht 6 kube, të barabartë me kubin S, prandaj themi se: numri matës i kuboidit T në lidhje me kubin S është 6, ose: vëllimi i kuboidit T është 6 në lidhje me kubin S.

Kubi S është marrë për „kub njësi", dmth. si njësi për krahasimin e vëllimit të kuboidit me vëllimin e kubit S. Të mbaj mend! Që të masim vëllimin e ndonjë kuboidi, duhet të numëroj sa kube njësi mundem të vendos te kuboidi.

Mbaj mend! Kubin që e zgjodhëm për matjen e kuboidit quhet kub njësi. Numri matës i atij kuboidi në lidhje me kubin njësi quhet vëllim i kuboidit. Njësia themelore për matjen e vëllimit quhet metër kub. Shkruajntë: 1 m3, Lexojmë: një metër kub. Metër kub është vëllimin që e përfshin kubi me brinjë 1 m. Përdoren edhe njësi të njohura më të vogla se metër kub. Shihe tabelën. Njësi matëse më të vogla se metër kub:

1 m3

: 1 000 : 1000000

1 dm3 1 cm3

decimetër kub (dm3)

: 1000000000

1 mm3

milimetër kub (mm3)

centimetër kub (cm3)

204

Të mbaj mend! Një njësi për vëllim është 1 000 herë më i madh se njësia paraprake e saj.

Te pasqyra e dhënë për lidhjen ndërmjet njësive matëse për vëllimin kemi: 1 m3 = 1 000 dm3

1 dm3 = 1 000 cm3

= 1 000 000 cm3

= 1 000 000 mm3

= 1 000 000 000 mm3

2

1 cm3 = 1 000 mm3

Sqaro pse 1 dm3 ka 1 000 cm3. Vëre vizatimin (në faqen që vijon) dhe puno sipas rregullës. Sa kube me vëllim 1 cm3 mundesh të radhisësh njërën pranë tjetrës nëpër tehun e kubit me vëllim 1 dm3? Sa rreshta të atillë të nevojiten që të mbulosh bazën e kubit prej 1 dm3? Sa shtresa të atilla të nevojiten që ta plotësosh kubin prej 1 dm3?

10 9 8 7 6 5 4

9 8 7

3 5

2 1

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

6

10

Vëre!

205

Nëpër teh mund të radhisësh 10 kube me vëllim 1 të duhen 10 rreshta nga 10 cm3; dmth. 100 cm3; të duhen 10 shtresa nga 100 cm3, dmth. 1000 cm3.

cm3;

3

Duke numëruar konstato prej sa kube me vëllim 1 cm3 përbëhet figura (kuboidi)? Prej 12 kubeve me vëllim 1 cm3 formo një kuboid. Atë mundesh ta bësh edhe në tre mënyra përveç kësaj që është treguar. Përpiqu!

1c m3

Testohu!

Duhet të dish! Cila është njësia themelore matëse për vëllim; Ti numërosh njësitë më të mëdha dhe ato më të vogla për vëllim se një metër kub; Cilat janë lidhjet ndërmjet njësive matëse për vëllim.

Detyra

Sa herë njësia matëse 1 m3 është më e madhe se 1 cm3? Sa herë njësia matëse për vëllim është më e madhe nga njësia paraprake matëse? Sa a) dm3; b) cm3 ka në 5 m3?

Problemet!

1. Numëro njësitë matëse për vëllim që janë më të vegjël se m3.

Ke dy enë prej 3 l dhe 5 l. Me ndihmën e këtyre enëve mati 4 l ujë.

2. Sa dm3 ka në 4 m3? 3. Sa m3 ka në:

a) 7 000 dm3; c) 200 000 cm3?

b) 500 dm3;

4. 27 650 mm3 shkruaje në cm3.

3l

5l

206

9

VËLLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT

Kujtohu!

A 1

Duke i numëruar kubet prej të cilëve përbëhet kuboidi, cakto vëllimin e tij.

1

Njehso vëllimin e kuboidit në vizatimi, nëse gjatësitë e teheve të tij janë: 3 cm, 4 cm dhe 2 cm.

1 cm

2

1 cm 1 cm3

3

Kuboidi 1 përbëhet prej 12 kubeve me vëllim prej 1 cm3. Prandaj kuboidi 1 e ka vëllimin V1 = 12 cm3. Cakto vëllimin e kuadrit 2 dhe kuadrit 3 .

1 cm

Vëre në pllakën e sipërme shirita të “gjelbër”, „të verdh" dhe „kaltër”. Nga sa kube njësi, konkretisht nga sa centimetër kub ka çdonjëri? Ke vërejtur se edhe në pllakën e poshtme („të kuqe") ka aq kube njësi, dmth. po aq centimetër kub. Gjithsej sa kube njësi ka, dmth. centimetër kub ka kuboidi?

Vëre dhe mbaj në mend! Në kuadër ka (3 ⋅ 4) ⋅ 2 kube njësi, gjegjësisht (3 ⋅ 4) ⋅ 2 centimetër kub. Vëllimi i kuadrit është 24 kube njësi, gjegjësisht 24 cm3. Shkruajmë: V = 24 cm3 ku V është shenja për vëllim, ndërsa24 është numri matës i vëllimit. Sigurisht vërejte se ai është i barabartë me prodhimin e numrave matës të tre teheve fqinje të këtij kuadri, ato quhen gjatësia, gjerësia dhe lartësia (ose shkurtimisht dimensionet) e kuadrit.

2

Cakto vëllimin e kuboidit me përmasa: a) 5 cm, 6 cm dhe 10 cm;

3

b) 16 cm, 2 dm dhe 5 dm;

c) a cm, b cm dhe c cm.

Klasa e ka formën e kuboidit me gjatësi 11 m, gjerësi 7 m dhe lartësi 3 m. Sa metër kub ka hapësira e klasës?

Mbaj mend! c Vëllimi V i kuboidit me përmasa a, b dhe c njehsohet me formulën V = a ⋅ b ⋅ c.

207

b a

Vrojtove se vëllimin e kuboidit do ta njehsosh, nëse i shumëzon përmasat e tij.

4

Tehet e një kuboidi janë: a = 6 dm, b = 8 dm dhe c = 9 dm. Me ndihmën e formulës njehso vëllimin e kubit.

B 5

Kujtohu!

Njehso vëllimin e kubit me teh 5 cm.

Figura në vizatim është formuar prej kubeve të barabartë me teh 1 cm.

Si janë tehet e kubit ndërmjet veti?

Vëre tehet e figurës. Si janë ndërmjet veti?

Konstatove se kubi është kuboid, i cili i ka tehet e barabartë; a = b = c.

A mundet kjo figurë të emërtohet si kuboid me përmasa të barabarta?

Shfrytëzoje formulën për vëllimin e kuadrit dhe me ndihmën e saj njehso vëllimin e kubit. V = a ⋅ a ⋅ a ose V = a3 a3 lexohet “a në të tretën” ose “a në kub”.

Si është emri i saktë i asaj figure? Duke numëruar konstato se prej sa kubeve përbëhet ajo figurë?

Mbaj mend! Vëllimi V i kubit me gjatësi të tehut a njehsohet sipas formulës V = a3. a

a

a

6

Njehso vëllimin e kubit me përmasa: a) 6 cm;

b) 30 cm në dm3;

v) 24 dm në m3.

1 dm3

Udhëzim: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3, përkatësisht V = 27 dm3.

7

Cili ka vëllim më të madh – kubi me teh 14 cm apo kuadri me përmasa 12 cm, 14 cm dhe 15 cm?

208

C 1l

Kujtohu!

1 dm3

Si quhet njësia themelore për lëng? Kutia në formë të kubit me teh 1 dm a zë 1 l ujë mineral? Provoje këtë në shtëpi sipas mundësive.

8

a) Sa decimetër kub ka në 12 l?

Duhet të dish!

Mbaj mend! Njësia themelore për lëng quhet litër, dmth. litri është emër tjetër për decimetër kub

b) Sa ka në 60 dm3?

Testohu!

Si njehsohet vëllimi i kuboidit; të njehsosh vëllimin e kuboidit, nëse janë dhënë përmasat e tij; se kubi është kuboidit tehet e të cilit janë të barabartë ndërmjet veti; të njehsosh vëllimin e kubit nëse është dhënë një teh i tij;

Sa është vëllimi i kuboidit me përmasa 2 m, 3 m dhe 10 m? Sa është vëllimi i kubit me teh 7 cm? Sa litra ujë zë ena në formë të kubit me tehun 3 dm?

Detyra 1.

2.

Njëri teh i kuboidit është 8 cm, kurse dy të tjerë janë të barabartë dhe më të vegjël se i pari për 3 cm. Sa është vëllimi i kuadrit? Gjej kuti për këpucë, mat çka është e nevojshme dhe njehso vëllimin e saj

4. Një kub e ka syprinën 24 cm2. Sa është vëllimi i tij?

5. Një tra prej pishës ka gjatësinë 7 m. Në skaje ka formën e katrorit me dimension 30 cm. Sa metër kub ka trau?

6. Një kub e ka vëllimin 8 dm3. Njehso syprinën e kubit.

3.

Vëllimi i një hapësire në formë të kuboidit është 108 m3. Gjatësia është 9 m, ndërsa gjerësia 3m. Sa metra është e lartë hapësira?

7. Akuariumi me gjatësi 70 cm, gjerësi 40 cm dhe 108 m3. është mbushur me ujë deri në 30m lartësi. Sa litra ujë ka akuariumi?

Hulumto vet!

1

209

Një familje ka bërë kontroll për shpenzimet e ujit për 9 muajt e parë të vitit. Në tabelë janë dhënë shpenzimet e ujit për çdo muaj në m3. Muaji Shpenzimi i ujit në m3

Janar 29

Shkurt Mars 24

23

Prill Maj Qershor Korrik Gusht 25

27

28

31

27

Shtator 27

Njehso! Sa metër kub ujë ka shpenzuar familja për 9 muaj? Cakto mesataren aritmetike të ujit të shpenzuar për nëntë muaj. Sa metër kub ujë, mesatarisht shpenzon familja çdo muaj? Bëj tabelë e të dhënave për paratë e shpenzuara të familjes për çdo muaj. Çmimi i ujit është 29,9 denarë për m3. Cakto mesataren aritmetike për paratë, që i shpenzon familja çdo muaj? Bëj diagram shtyllor për ujin e shpenzuar (në m3), gjatë nëntë muajve. Paraqite në të mesataren aritmetike. Cakto nga diagrami në cilin muaj shpenzimi i ujit ka qenë më i lartë se mesatarja aritmetike.

2

Njehso mesataren aritmetike të suksesit nga lënda e matematikës në paralelen tënde. Njehso suksesin tënd mesatar në fund të vitit shkollor.

210

17

MËSOVE PËR MATJE. KONTROLLO DIJENIN TËNDE.

Çka duhet të qëndroj në vend të *, që të jetë e saktë? a) 6 m = 60 *; b) * km = 1 200 cm; c) * l = 3 000 ml; d) 2 dl = 200 *.

1.

2.

9.

Shndërro: a) 1 m 5 dm 3cm në centimetra; b) 3 l 3 cl në decilitra; c) 2 kg 3 hg 4 mg në dekagram; d) 6 h në ditë.

Shndërro 6 dal në dl.

10. Shndërro në numër shumë emëror në Çka duhet të qëndroj në vend të **, që të jetë e saktë? a) 4 kg = 400 *; b) * s = 6 min; c) 2 h = * min; d) 5 OC = ∗ K.

3.

numrin: a) 3 126 cm; b) 12 488 hg;

11.

c) 231 dal

Kryeji operacionet: a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g;

4.

Shndërro 2 m 5 cm në decimetra.

b) 12 488 hg - 12 kg; c) 12 km - 6 dam 9 cm;

Shkruaj numër të emëruar që është i llojit të njëjtë me numrin e dhënë, por të mos jetë një emëror me të: a) 4 kg; b) 7 km; c) 36 min.

d) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.

5.

Shndërro numrin shumë emëror në një emëror, në njësinë më të vogël matëse të shkruar. a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm; c) 9 dal 8 l 5 dl; d) 2 h 17 min 14 s.

6.

12.

Numrin: a) 6 t 228 kg zvogëloje 9 herë; b) 2 km 8 dm zmadhoje 5 herë.

13. Shëno tre njësi për syprinë më të mëdhenj se 1 cm2.

14. Sa herë 2 m2 është më e madhe se 4 cm2? Sqaro përgjigjen.

7.

a) shndërro 6 h 12s në minuta b) Shndërro 7 dal 3 l 5 cl në decilitra.

c) Shndërro 4 km 7 m 14 dm në dekametra.

15. Shëno tre njësi për vëllim më të vegjël se 1 m3.

d) Shndërro 6 dag 12 g në gramë.

16. Një hapësirë ka dimensione 4 m; 5 m; 3,5 m. Cakto vëllimin e asaj hapsire.

8.

Sa herë është më e madhe: a) 4 km nga 400 m; b) 6 t nga 300 kg; c) 2 l nga 200 ml?

17. Një kub ka vëllim 27 cm3. Cakto syprinën e njërës faqe të kubit.

PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE TË

NUMRA NATYRORË

TEMA 1.

1

1. A: a, r; plepi;A={a,r}; B = {x | x është shkronjë e fjalës plepi}; e, p ∈ B; b, k ∉ B. M

2.

C

a N

3.

3 5

2

D

2

6

7

3. A × B = {(Arlindi, këndon), (Arlindi, fle), (Arlindi, mëson), (Njomza, këndon), (Njomza, fle), Njomza, mëson), Agoni, këndon), (Agoni fle), (Agoni mëson)}.

9

3. δA = 98; δB = 17.

4. S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.

6

Problem: Bashkësia e tre pyetjeve të parë janë të fundme, kurse bashkësia e pyetjes së katërtë nuk është e fundme.

3 2.

1. D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x është numër çift më i vogël se 11}; D dhe N janë ekuivalente, pasi kanë numër të barabartë : δD = 5 dhe δN = 5. P

U

1. (2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).

2. a) 2; b) 8; c) 7 dhe 3.

1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 (M - bashkësia e shokëve të që ishin për pushim në planetin Mars.).

2. δA = 5; δB = 4.

a) P ∪ S është bashkësia e të gjithë numrave të dhjetëshes së parë; b) P ∩ S është bashkësi e zbrazët; c) P \ S është bashkësia P; d) S \ P është bashkësia S.

B 4

8

3.

5

S

A 1

211

detyrave

K y

1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174; janë shkruar me shifrat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dhe 0; A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.

2. 70, 80, 90, 110, 130, 150; me shigjetë është treguar numri 35 (tridhjetë e pesë) dhe numri 59 (pesëdhjetë e nëntë). 3.

0 2 4 6 8 10

14 16

20

4. S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 është më i vogël te S; S nuk ka element më të madh; S ka pafund shumë elemente.

7

4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

1. a) 5 është në klasën e milionët, 2- në mijëshe, 7- në njëshe, 0- në mijëshe. b) 5 është në pozitën e njësheve milion (NjMi), 7 është te dhjetëshet (Dh), 0 është në dhjetëshe mijësheve (DhM) c) 5 ka vlerë pozicionale 5 000 000, 2 ka 200 000, 7 ka 70, 0 ka 0×10 000=0.

Problem. Blerësi ka blerë numrat 1, 2 dhe 3 për numrin e shtëpisë 312.

2.

3. Është e saktë se y ∈ P, pasi K është nën bashkësi e P, pra për çdo element K (ndërmjet tyre edhe y) i takojnë bashkësisë P.

4

1. a)Unioni b) ndryshimi. c) Prerje.

2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r}; δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.

klasa milion klasa mijëshe klasa njëshe QMi DhMi NjMi QM DhM NjM

7

4

3. 8 302 060 400 500.

0

5

Q

Dh

Nj

9

0

6

14

4. 1 000 000 000, një miliardë.

212

5. Numri 5 lexohet: ”pesë’; shifra 5 lexohet: “pesë”.

6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000; bilion. Problem. 7 777 777.

8

1. Dy mijë treqind e dyzet e pesë; dyqind e

pesëdhjetë; gjashtë milion katërqind mijë treqind e dhjetë. 2. 300 205 800.

3. <; >; >; <.

1.

:3 :6 18 6 1

:7 :2 42 6 3

54

18

3

84

12

6

108 36

6

98

14

7

2. 8; 171; 76; 7; 12; 13. 3. 145; 707; 700. 4. 20; 8. 5. Tufa e dallëndysheve ka fluturuar më së paku 250 orë. Kërmilli ka kaluar 5 cm për një minutë. Zgjidhje. Pasi kërmilli ka kaluar 12 m për 4 orë, ai ka kaluar nga 3 m në orë, dmth. 300 cm për 60 minuta, kurse kjo do të thotë 5 cm (= 300 : 60) për 1 minutë.

4. Është më afër: a) me 24 600; b) me 25 000. 5. 25 380; 25 400; 25 000.

6. 15 410 000.

7. Nuk ekziston; (një milion e dyqind e gjashtëmbëdhjetë mijë e treqind e pesëdhjetë e 8 denarë. Përpiqu të zgjedhësh. Për shembull: 1) Numri i kanalit tënd të preferuar televiziv. 2) numri i pasaportës.

10

1.

187; 99; 171. 2.

9 060. 4.

2 026. 3.

238; 174;

13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;

shuma e saktë është: 13 763. Problem. 22 + 22 + 222 = 266.

11

1. 962; 11 115.

2. 495. 3. 2 845; 5 185.

4. Përafërsisht: 16 qindëshe; saktësisht: 1 770 den. Përpiqu: Po.

12

6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.

15

1. a) 180; b) 420; c) 15; g) 60.

b) 15; c) 90; d) 90. 4. 5 040.

2. a) 450;

3. a) 16; b) 4; c) 16.

5. 32. Zgjidhje. 7 680 : 240 =

768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32. Problem interesant! 31 vezë. Udhëzim. Blerësi i pestë ka blerë 1 vezë, i katërti ka blerë 2 • 1 + 1 = 3 vezë, i treti ka blerë 2 • 3 + 1 = 7 vezë etj.

16

1. a) 48; b) 225.

2. a) x = 110; b) x = 200;

c) x = 17; d) x = 120; e) x = 21; f ) x = 3. 3. 305 arka.

18

4. 35 vjet.

4. Nga 20 arra.

1. 1, 2, 5 dhe 7. Të gjithë pjesëtuesit e numrit 64

3. Za x = 13. 4. I zbritshmi duhet të zmadhohet

janë: 1, 2, 4, 8,16, 32 dhe 64. Është saktë 4 | 12, 3 | 36 dhe 10 | 1 000. Shumëfisha të numrit 3 janë, për shembull: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, kurse ka shumë të panumërta.

për 25.

2. Shembulli 1): 4 është pjesëtues i çdonjërit prej

1. Shuma do të zmadhohet për 234. 2. 1 550.

5. a) 100; b) 100; c) 80; d) 110.

6. 600 denarë.

Problem! 100. Zgjidhje.

(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.

13

1.

6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;

343; 69. 2. 11 760.

3. 382 200 km.

4. a) 30 000; b) 35 100; saktë: 34 036; prodhimi i vlerësuar nën a) është më i vogël se i sakti për 4 036,, ndërsa nën b) është më i madh për 1064. 5. Sipas radhës së paraqitjes së *: 4, 0, 1, 0; 439 • 47 = 20 633.

numrave 8, 20, 28 dhe 36; shuma e tyre është numri 92, kurse 92 : 4 = 23, dmth. edhe 92 plotpjesëtohet me 4. Domethënë 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Shembulli 2): 8 | (48 36), sepse 8 | 48 dhe 8 | 36. Shembulli 3): 7| 21 • 5 • 6, sepse 7| 21. 3. a) dhe c) po; b) dhe d) jo. 4. a) c) dhe d) me 3; b) dhe d) me 7

19

5. B = {16, 24, 32}.

1. 28, 70, 96 dhe 25 000 plotpjesëtohen me 2, pasi mbarojnë me 0, 6 ose 8 275, 400 dhe 995. 4. 65. 3.

20

1. 348, 1 245 dhe 6 123. 2. 9 126 dhe 540.

3. 1, 4 ose 7; 1, 4 ose 7; 2, 5 ose 8; 1, 4 ose 7.

2

4. 7; 1; 6; 7. 5. 2 ose 8. Përpiqu të përfundosh! Numri 60 është i plotpjesëtueshëm me 3 dhe vlera e tre çokollatave pavarësisht nga çmimi i tyre është e plotpjesëtueshme me tre. Prandaj, edhe shuma e përgjithshme duhet të plotpjesëtohet me tre. Por, shuma e përgjithshme (220) nuk është e pjesëtueshme me tre.

21

1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 dhe 4 312.

Kujdes: me shifrat 1, 2, 3 dhe 4 mund të formosh 24 numra katërshifror; prej tyre vetëm 6 numrat e mësipërm janë të plotpjesëtueshëm me 4. 2. 0, 4 ose 8; 2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 9; 0, 2, 4, 6 ose 8.

3. Na pr.: 20; 160; 3 240.

4. 312.

Edhe kjo është matematikë! Lojtari i cili merr i pari duhet të merr 2 fasule dhe lojtarit që merr i dyti ti lë 48 fasule, gjegjësisht numër të plotpjesëtueshëm me 4. Pastaj, sado që të merr lojtari i dytë, i pari i lë numër të plotpjesëtueshëm me 4, gjegjësisht lojtari i parë plotëson deri në 4 (i dyti 1, i pari 3; ose i dyti 2, i pari 2; ose i pari 3, i dyti 1) etj. Numri 20 është i plotpjesëtueshëm me 4, prandaj gjithmonë fiton lojtari i cili merr i dyti. Nëse merren prej 1 deri 4 fasule, gjegjësisht prej 1 deri 5 fasule, atëherë kujdesemi për për plotë pjesëtueshmërinë me 5 gjegjësisht plotë pjesëtueshmërinë me 6.

22

1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;

75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.

2. 27.

3. 1( fëmijë), 3 (adhurues), 2 (automobil) dhe 4(dhoma të fjetjes).

4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =

Hulumto vet! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Udhëzim: Vëre së mbetën të ndriçojnë ato llamba, ndërprerësi i të cilave është shtypur numër tek herë, e ato janë llambat numri i të cilave ka numër tek të pjesëtuesve. (Numra të atillë janë katrorët e numrave natyrorë: 12, 22, 32, 42 etj.).

23

1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. c) 30. d) 60.

3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= PMP (48, 72)] 6. 24 [= PMP (48, 72, 120)].

5. 12 m.

6 1

36

18 3

9

213

P PM 54

28 42 98 P PM 21 49 14

27 4

6 2

3

7 1

24

1. {30, 60, 90, ...}; PMP (10, 15) = 30.

2. a) 40. b) 36. c) 240. d) 720.

3. 300. 4. 120.

5. Ndihmë. shkruaji shumëfishat (deri më 30) të çdonjërit prej numrave 3, 4, 5, kurse pastaj provo cili prej shumëfishave të 5 është më i madh për 1 edhe prej shumëfishave të 3 edhe prej shumëfishit të 4, njëkohësisht. 6. 60 s. Hulumto vet! Ngjashmëritë e numrave 12 dhe 16: që të dy janë të përbërë; që të dy janë çift; që të dy janë të plotë pjesëtueshëm me 4. Ndryshimet; numri 16 është katrori i numrit (16 = 42), ndërsa 12 nuk është. 12 ka numër çift të pjesëtuesve (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), ndërsa 16 ka numër tek të të pjesëtuesve (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}). Përpiqu të njehsosh! 8; 24=PMP(8, 12). Problem interesant! Një biletë ka kushtuar 10 denarë; njëri prej tyre nuk ka pasur pare (gjegjësisht “kishte 0 denarë”), ndërsa tjetri kishte 19 denarë. Test:

1.

a) A = {11, 13, 15, 17, 19};

B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19}, b)

41 + 11 = 29 + 23.

12

4

7.

B

C 11 13

17 19

16

c) B ~ C, B ∩ C ~ B \ C.

18

B ∩ C = {17, 19}. 2.

A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1), (c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.

3.

a) 910, 901, 190, 109;

b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Më i vogli është 109; paraardhësi është 108, ndërsa pasardhësi është 110. 4. 20 350 005 070; Shifra 3 është në klasën e milionët, në pozitën e qindësheve milionave dhe ka vlerë 300 000 000.

Shuma e numrave të rrumbullakuar është 9 000; ai është më i vogël se shuma e saktë për 24.

5.

214

12. 2 ose 6; 1, 3, 5, 7 ose 9 13. 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 14. D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}.

6.

Ndryshimi do të zmadhohet për 300.

15. NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72.

7.

13 500 l.

16. 4 ekipe nga 8 nxënës, prej të cilëve 3 vajza dhe 5

është 324.

67 kg. gomari mban 28kg, ndërsa

9.

kali 39kg.

18; numrin që e kanë pjesëtuar

8.

471.

10.

11. a) 372, 930 dhe 254;

FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH

TEMA 2.

a

1.

2.

4.

b B

A

C

c

N

M B

a

A

P

Pikat A.

b

4.

a) Pikat: A, B dhe C; D, B dhe E. b) Pikat: A, B dhe E; A, D dhe B; D, B dhe C. Drejtëza MN, Drejtëza MP, Drejtëza NP. A

5.

B D

2

P

C

Rasti i I:

B

c A

B

C

A

D

një drejtëz. B

Rasti i II:

4.

2. 3.

tre drejtëza.

a

C 5.

a || b.

b

3

E njëjtë, 2. Pika e përbashkët në drejtëzat AB, BC dhe BD është pika B.

A

2.

a b

3.

Pikat A, B, C dhe D përcaktojnë 6 drejtëza.

C

1.

N

A C

3.

O

p M P

K

B

S

N L

4. Gjatësia e segmentit AB është largesa ndërmjet pikave të skajshme A dhe B. 5. Dy segmente që kanë gjatësi të barabarta quhen segmente të puthitshëm. 6.

V Pikat A, B dhe C formojnë 3 segmente: AB, AC dhe BC.

A

S 7. F

E 8.

CD = 4 cm.

5

1.

p Pikat E, F dhe G formo janë 3 segmente: EF, EG G dhe FG.

O

A

B S

2. Konstruksion quhet vizatim që bëhet me vizor dhe kompas. 3. OM = 6 cm; ON = 9 cm. a

4.

b OA = 2a + b

M P

MR = 3 cm, RY = 9 cm.

5.

Pjesë e drejtëzës e kufizuar me pikën e saj.

1.

a

O

Pikat K, L dhe M janë kolineare. (30 mm + 52 mm = 82 mm). m M

m

p n || p. n

1. AV = 70 - 42 = 28 t.e. AV = 28 mm.

S

4

AV = 83 mm.

2.

C 3.

17. SHVP(30, 50)=150, 150:30=5. Në vend të njëjtë do të mbesin shtyllat: e parë, e pestë, e dhjetë etj.

b) 105 dhe 930; c) 105, 372, 801 dhe 930; d) 801.

1

djem; PMP(12, 20)=4.

a

a

b

b

A H MN = a + 2b b

N

R

a

5.

2. Rrezja e rrethit është segment që e lidh qendrën me çdo pikë të rrethit dhe gjatësia e saj është rreze e rrethit.

b OA = a - b

a-b O

A a - 2b

R

b

H PM = a - 2b

b

M

b

Y

a

6.

b

c OA = a + b - c

a+b-c O

5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e. d = 56 mm.

9

2. Pika të shtrihet (ti takoj) në vijën rrethore dhe pika të mos shtrihet (mos ti takoj) në vijën rrethore.

2. 15 drejtkëndësha;

3. 20 trekëndësh

barabrinjës.

6

C

1. D

2.

A 3.

F

B E D

G

C A

6.

B

4.

Vija e thyer ka: 5 kulme - A, B, C, D dhe E. 5 brinjë - AB, BC, CD, DE dhe EA. Perimetri i vijës së thyer D është shuma e gjatësive të brinjëve të saj.

L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158, t.e. L = 158 mm.

1. Pika, drejtëza, rrafshi dhe largesa.

2. Koncepte të nxjerra janë: segmenti, gjysmëdrejtëza dhe figura gjeometrike. 3. a) Gjatësia e segmentit është largesa ndërmjet pikave të skajshme të segmentit. b) Perimetri i vijës së thyer është shuma e gjatësive të brinjëve të tij. 4. Bashkësi pikash.

8

a

5. Drejtëza e pret rrethin - kanë dy pika të përbashkëta; drejtëza e takon rrethin- kanë vetëm një pikë të përbashkët; drejtëza dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta. 6. Drejtëza a.

10

k1

I

1.

k

7.

O

k2 t

O2

A

O1 II 2. k1

O2

O1

k2 k1

k2 O2

O1

3. k1 dhe k2 janë rrathë bashkëqendror - nuk kanë pika të përbashkëta. k1 k1 k2 6. O1O2 = 12 mm. k2 5. 4. O 2

O1 = O2

11

O1

1. Në gjysmërrafshin e njëjtë me pikën A shtrihen pikat: B, E, C dhe H.

2. Kulmi O dhe krahët OA dhe OB; A, O, B, D dhe E janë pika nga zona.

k Pika O nuk i takon rrethit.

1.

4. Tangjente është drejtëza që ka një pikë të përbashkët me rrethit.

O

5. AB = 250 cm.

Përpiqu! 1. Zgjidhja është dhënë në vizatim. 2. Figura c) nuk mund të vizatohet” me një lëvizje”.

7

k

3.

1. 14 katrorë;

r = 50 : 2 = 25, t.e. r = 25 mm.

6.

1. Pikat e brendshme janë A dhe D.

A

Provo…

215

P

Këndi NMP.

3. O M

N

4.

α

β

5. Gjysmëdrejtëzat OA, OB dhe OC formojnë 3 kënde dhe atë: ∢AOB, ∢BOC dhe ∢AOC.

216

12

P

M

O

M

4.

15

O

N

A

β

α

1.

β

P

M

α

2. B

B

O

A

∢AOB = α + β

O

A

∢AOB = 2α

B

β

α

∢AOB = 2α - β

O

A

Përpiqu! Ka 10 kënde ∢AOB, ∢AOC, ∢AOD, ∢AOE, ∢BOC, ∢BOD, ∢BOE, ∢COD, ∢COE, ∢DOE. Ka 5 çifte kënde fqinje: ∢AOB dhe ∢BOC; ∢AOB dhe ∢BOD; ∢AOB dhe ∢BOE; ∢BOC dhe ∢COD; ∢BOC dhe ∢COE; ∢COD dhe ∢DOE. Ka tre çifte të këndeve të puqëta: ∢AOB dhe ∢BOE; ∢AOC dhe ∢COE; ∢AOD dhe ∢DOE.

16

1. ∢BOC = 60o, ∢BOD = 95o, ∢COD = 35o, ∢BOM = 124o dhe ∢MON = 56o. 2. α = 50o dhe β = 125o. 4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’; b) 30o 15’ = 1 815’. V N 3. 5. β, α, δ, γ. 126o 47o O

17

N

M

A

6.

B

α

O

O

∢AOB = α - β

3.

A

β

α

5.

1. Këndi kulmi i të cilit gjendet në qendrën e rrethit quhet kënd qëndror.

O

A B

A

5. Të kryqëzuar janë këndet: 1 dhe 3; 2 dhe 4; 5 dhe 7 dhe 6 dhe 8.

α

O

∢AOB = α - β

4. Kënde të kryqëzuar janë dy kënde që kanë kulm të përbashkët dhe krahët e njërit janë vazhdimet e këndit tjetër nëpër kulm.

2. V

A

β

α

4.

N

1. ∢AOV dhe ∢VOS; ∢VOS dhe ∢COD; ∢AOS dhe ∢SOD; ∢AOV dhe ∢BOD. 2. Kënd i puqët i α është 3. këndi β. Të puqët janë β α edhe këndet γ dhe δ. β është kënd i ngushtë

14

O B

2. Këndi që është sa gjysma e këndit të drejtë është kënd i ngushtë.

13

B

γ

∢AOB = α + β + γ

1. Këndet krahët e të cilit formojnë një drejtëz quhet kënd shtrirë.

V 3. a) Kënd i ngushtë; 4. b) Kënd i drejtë; c) Kënd i gjerë; O d) Kënd shtrirë; 6. N 5. Kënd i gjerë ose kënd i R ngushtë;

β

α

3.

A

P

M

1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’.

2. α + β = 117o 11’ 32’’; α - β = 35o 53’ 52’’.

3. a) 53o 20’; b) 47o 17’ 18’’.

4. a) β = 101o 30’;

b) β = 114o 24’ 35’’.

Përpiqu! Vizato rrethin me qendër në kulmin e këndit ∢AOB = 19o. Pasi që 19 ⋅ 19 = 361, e këndi i plotë është 360o, rrjedh se, nëse këndin prej 19o e bartësh 19 herë nëpër rrethi me kulm në pikën O, do të fitosh ndryshim pre 1o.

18

1. Largesa e pikĂŤs M deri tĂŤ drejtĂŤza p ĂŤshtĂŤ gjatĂŤsia e segmentit MN, ku N ĂŤshtĂŤ prerje e drejtĂŤzĂŤs p dhe normales sĂŤ p qĂŤ kalon nĂŤpĂŤr M. M

2.

22

N MN = 10 mm

S PS = 2 cm

AM = 25 mm.

1.

1. ShumĂŤkĂŤndĂŤshi te i cili tĂŤ gjitha pikat e segmentit pikat e skajshme tĂŤ tĂŤ cilit shtrihen te shumĂŤkĂŤndĂŤshi, janĂŤ pika tĂŤ shumĂŤkĂŤndĂŤshit quhet shumĂŤkĂŤndĂŤsh konveks. D

m

AD = 16 mm

19

2.

E

2. Kulme fqinje tĂŤ B: A dhe C. BrinjĂŤt jo fqinje tĂŤ BC: AE dhe ED.

MN = 7 cm.

C

s

3. A

A

s2

C

7. B

s1

A

B

20

5.

âˆ˘MOP = 42o

6.

âˆ˘AOB = 70o O

23

C Îą A

1. KĂŤnde komplementare janĂŤ b) dhe nĂŤn c).

2. β = 90o - 39o = 51o. 4. KÍnde suplementar janÍ nÍn b) dhe c). 3. 5. β = 180o - 76o = 104o. β ι 6. ι β ι + β = 180o. ι + β = 90o.

21

1. VijĂŤ poligonale ĂŤshtĂŤ vija e thyer nĂŤn b).

2.

ShumĂŤkĂŤndĂŤsha janĂŤ vijat e thyera nĂŤn b) dhe nĂŤn c). D

A

4. Nuk janĂŤ fqinje me kulmin D kulmet A dhe B.

B

BrinjĂŤ fqinje tĂŤ brinjĂŤs MN janĂŤ B brinjĂŤt ML dhe NP.

1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.

3. a = 15 cm.

4. L = 30 cm.

5. a = 10 cm.

6. b = 10 cm.

7. L = 54 cm.

8. a = 9 cm.

9. 30 mm. Test:

1.

A, B ∉ q. 5.

A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q; 2.

Po; BC = CA + AB.

Poligonale janĂŤ dhe . Nuk janĂŤ poligonale:

dhe (nuk janĂŤ tĂŤ mbyllura); (ka brinjĂŤ jo fqinje qĂŤ priten). 9.

3. C

B

3. Te shumĂŤkĂŤndĂŤshi ABCD shtrihen pikat: A, M, B, C, D, F dhe G.

V

M

4.

5.

217

P

4.

m

3.

Ndihmoji kopshtarit! Kopshtari duhet ti mbjellĂŤ fidanĂŤt si nĂŤ vizatim.

6.

âˆ˘AOB- i ngushtĂŤ; âˆ˘AOC- i gjerĂŤ; âˆ˘AOD- i plotĂŤ. 13. KĂŤndi ĂŤshtĂŤ i gjerĂŤ; 90o 35’ = 5 435’.

B

10.

β ι C

54 mm.

O

âˆ˘AOC ĂŤshtĂŤ kĂŤnd shtrirĂŤ;

14. β = 44o 24’ 15’’. A

17. Nuk janĂŤ suplementar. 18. 13 m.

218

1

1.

THYESA

TEMA 3. 7 __ - shtatë të nëntat; 9

12 __ - 12 thye për 23; 23

4 7 ___ - 4 të 121 2. Për shembull: __ - shtatë të 121 9 105 7 nëntat; ___ - 105 thye për 28; __ - shtatë 28 7 12 të shtatat. 3 Emëruesi i thyesës __ tregon se e 19 plota është ndarë në 19 pjesë të barabarta, kurse numëruesi- se janë marrë 12 prej atyre pjesëve.

4. a)

5.

a)

15 28 9 3 ____ ___ __ __ kg. m; c) l; c) dm; b) 1000 100 10 10

8.

5 __ kg. 8

2

1. a)

2 11 _ 5 _ 7 _ 8 ; ; ; _ ; __ . 1 1 1 1 1

b)

6 21 _ 15 __ ; __ ; ; 3 3 3

77 24 __ 35 __ 49 __ 56 __ . c) 14 __ ; 33 ; ; ; __ ; __ . 7 7 7 7 3 7 3 1 6 _ 3. Shembull: _ ; . 7 7

21 __ . 36

7.

2.

4.

13 36 4. Shembull: __ ; __ . 12 12

1 1 5 4 8 _ _ _ _ _. 5. 9 ; 4 ; 2 ; 5 ; 13 3 4 8 5 9

33 35 13 63 6. __ ; __ ; __ ; __ . 4 9 10 4

2 2 1 __ __ __ ;1 ;3 . 3 3 3

1. a)

3 4 __ 4

2. 0 3. 0

1 3 __ 4

4 9 __ 8 1

1 6 __ 2 5

7

9 __ 4 2

7 __ 2 3

0

3 1 __ 4

2

3 3

1 __ 2

17 __ 4 4

5

6 13 10 4 __ __ b) 4; c) 8 __ ; d) 4 . 2. a) __ ; ; 12 15 9 9 2 3 2 2 10 b) __ ; c) 3 _ ; d)1 _ ; e)1 __ . 3. __ i mbushur, 5 11 19 4 12 2 8 1 __ __ pjesë të i pambushur. 4. _ . 5. 12 10 7 8 2 __ 6. 13 __ ; lexuar; pjesë të palexuar. 12 10 4 __ 5 . 12 4 __ 10 6 __ 15 22 __ 55 __ __ __ 1. a) , ; b) , ; c) , ; 10 25 14 35 24 60 2 12 30 __ __ 18 __ __ 75 __ , , . d) , . 2. Shembull 3 18 27 34 85 2 __ 17 __ 29 __ , , . 3. 80, 30, 85, 96, 18 qindëshet. 4. 5 25 36 1 __ 2 __ 2 __ 3 __ 5 5 __ __ ; , , , . 6. b) 5. . 3 3 3 8 6 7 1. a)

5

7. a) x = 5; b) x = 42; c) x = 11; d) x = 51. 3 9 5 10 __ __ __ __ = ; = . 8. 4 12 6 12 Problem! Barabartë. Udhëzim; Në gotën me përzierje të venës dhe ujit që është derdhur te vena ka aq ujë sa ka mbetur vena në kovën me ujë.

Provo mendjemprehtësinë: Ditën e pestë.

3

1 7 5 __ 28 __ __ dhe ; dhe __. 5. a) x = 8; b) x = 8; 6 30 10 40

c) x = 6; d) x = 110; 5 __ 6. 4

4

1 1 1 1 ___ ____ ___ __ ; c) ; d) . ; b) 100 1000 100 10

6. a) 25 cm; b) 6 dm; c) 4 dl; d) 320 g.

4.

4

Zana - 404 denarë; Valbeni - 505 denarë. 1 Udhëzim: Pasi që __ e pareve të Zanës është e 1 4 barabartë me __ e pareve të Valbenit m mund të për5 fundojmë këtë: nëse një të plotë e ndajmë në 9 pjesë 5 4 dhe prej atyre pjesëve bëjmë dy të plotat __ dhe __ , 5 4 1 e njërës pjesë është e atëherë __ 4

1 barabartë me __ e pjesës tjetër. 5 1 Prandaj 909 : 9 = 101 është __ e pareve të Zanës, 4 1 __ gjegjësisht e pareve të Valbenit. Zana kishte 4 ⋅ 5 101 denarë, Valbeni kishte 5 ⋅ 101 denarë.

6

madhe se numri natyror, gjegjësisht numri natyror është 108 : 9 = 12. Vëre mënyrën e dytë të zgjidhjes së detyrës me caktimin e shifrës për shifër.

12

219

1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.

2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006; 4 000 400. 3. 44,835; 3780,024; 0,0189. 4. 63,92 m2.

13 13 ______ 13 __ , ___ , . 5. 45 272; 66,1. 6. 175,25927844. 7. 900 den. 1. Nën a) dhe d) 2. Për she. : 10 100 10 000 8. Janë të barabartë me 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4. 3. a) 36 të plota dhe 2 dhjetore. b) 3 plota dhe 4 dhjetore. c) 138 të plota 2 dhjetore. 1. a) 0,476. b) 0,0476. c) 0,00476. 4. a) 0,06. b) 2,09. c) 11,029. d) 14,003.

13

5. a) Dy të plota dhe tre të qindtat. b) Dymbëdhjetë të plota dhe pesëmbëdhjetë të mijtat. c) Zero të plota dhe tridhjetë e pesë të mijtat. 2 5 3 17 6. a) __ ; b) 1__ ; c) 4 ____ ; d) 1 _____ . 10 10 1 000 10 000

7

2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44. 3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428; 5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Të gjithë herësit janë të përbërë prej shifrave të njëjtë. 4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176.

1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.

2.

Po.

5. 5.

6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.

3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.

7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04. 8. 2,946 km.

Problem: 8 arra.

9. 18,375; 4,02.

8

1.

0,6

1,7

3,4

0 1 2 3 2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101; 0,1031 > 0,1028. 5 ____ = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5. 1 000 4. Është më afër 131,102. Problem: presja. 3.

10

1. a) 163,375. b) 105,075. c) 161,155. d) 100,075.

2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723. 3. 158,14; 4,8345.

11

4. 78,4 m.

5. 3,69; 7,38; 11,07; 14,76.

1. 21,1; 893,674; 3,68; 2. 10,31; 201,62; 1,09; 339,73; 846,825. 28,36; 3,8;

14

10. 4,05.

1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875; 0,34375; 1,296875.

2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...; 0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... . 3. Para perioda është 3, perioda është 78; Para perioda është 54, perioda është 302. 4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711). 5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...; c) 0,06523152315... .

15

1. 2,715; 3,033; 0,015. 2. 0,2; 0,21; 0,2059. 3. 8,104. 4. 3,54. 5.

3. 0,34 m. 4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.

Numër

Me saktësi deri 0,01

Gabimi Me saktësi absolut deri 0,01

Gabimi absolut

6. 0,768 kg. Problem 12 dhe 14,3. Udhëzim: Nëse

0,0374

0,04

0,0026

0,037

0,0004

shumën e gabuar 13,43 e shumëzojmë me 10, do të fitojmë numër 134,3 i cili e përmban numrin e saktë dhjetor dhe 10 herë më i madh se numri natyror. Ndryshimi 134,3 - 26,3 = 108 është nëntë herë më e

0,5386

0,54

0,0014

0,539

0,0004

426,4235

426,42

0,0035

426,424

0,0005

6,0141

6,01

0,0041

6,014

0,0001

220

Test:

a)

1.

C

A 1 2. b) __. 3 2 __ . 5. 3

12 __ kg. 8 3 __ 8

4.

2 __ ; 1

2 __ 8

+

5 __ 8

0 1 4 __ + __ 5 5

9.

29,0664.

1

8 1 __ ; __ . 18 6

7.

12. po

8.

10. po; 0,006.

56 __ . 64

11. Ivërtetë

13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.

14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64.

16. 2,14; 27.

17. 21,85.

19. 0,0001.

18. 8,4; 1,2(70).

20. 9,13.

1

0

TEMA 4.

1

2 __ . 5

B

5 25 __ ; __ . 1 5

3.

6.

3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m.

MATJA 3. 2 551 443 s.

4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km;

4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg. 5. 8 ml,

c) 5 008,705 kg; d) 9 075,008 mg; e) 85,06 dl.

6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl. 6. 76 500 den.

Pyetja interesante!

2

1. 15 h 27 min. 2. 40 min.

3. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 java. 2,5 d. 4. 5724 d.

3

5. a) 310,16 K; b) 223,16 K.

2. 12 libra;

4. 1 h 50 min 45 s; numër shumë emëror.

5. 18 denarë 50 deni;

të nxeh. Do të jetë mesnatë.

5

1. a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm;

c) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; d) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg; e) 1 l 3 cl 5 ml; f ) 3 kl 5 hl 7 dl. 2. a)

km 0

6. Shembull: 6 kg, 138 kg.

7. 3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm; 12m2 3 dm2 9 cm2. 8.

Përgjigje: Nuk mundet dielli

hm dam 3

8

Një lloj emëror

7 m dhe 4 m; 8 hl dhe 9 hl; 4 kg dhe 3 kg; 14 l dhe 5 l; 8 m2 dhe 15 m2; 4m 2dm dhe 6 m 5 dm

Edhe kjo është matematikë!

4

Përgjigja: 8 marsi.

1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml;

c) 400 605 dag; d) 13 447 min.

2. 2 764 m.

dm

cm

mm

7

2

5

0

3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm. b)

km 0

hm dam 3

0

m

dm

cm

mm

0

2

0

0

3 hm 2 dm.

I paemërtuar

5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4 7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl; Një emëror 14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2 Shumë emëror 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dm

m

c)

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

0

3

2

0

0

5

0

3 hg 2 dag 5 cg. d)

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

4

0

1

5

3

0

0

4 kl 1 dal 5 l 3 dl. 3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg; c) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; d) 2 hg 3 dag 7 g.

9

4. 29 den 12 h 44 min 3 s.

6

2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm; b) 4 dm 3 cm 2 mm; c) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm;

1 t 579 kg;

2 kg 2 hg 4 dag;

7. 84 l.

a) dm; b) 0,012; c) 3; g) ml. a) dag; b) 360; c) 120;

3. 4.

20,5 dm.

a) Shembull: 5t; b)

5.

a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; c) 985 dl; a) 360,2 min; b) 730,5 dl;

7.

c) 400,84 dam; d) 72 g.

8.

a) 10 herë;

b) 20 herë; c) 30 herë;

9.

a) 153 cm; b) 30,3 dl;

c) 230,0004 dag; d) 0,25 dena. 1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.

10.

2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a. 3. 4 800 000 den. 4. 4 800 pllaka.

8

600 dl.

d) 8 234 s.

1 kg 3 hg 3 dag 8 g;

11 kg 2 hg. 9. 20 h 27 min.

7

2.

6.

5. 9 t 88 kg.

8 dl 2 cl. 8.

1.

221

Shembull: 2m; c) Shembull: 15s;

b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml. 4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;

7.

Test:

d) 278,16.

3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;

6. 33 195 den.

2

5. 0,63 m . 6. 24 dm .

b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; c) 3 m 8 cm.

b) 6 l 2 cl 8 ml; c) 6 dl 7 cl.

3. 4 m. 4. 8 cm3.

3

1. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;

d) 2 dm 8 cm.

1. 200 cm3.

c) 0,2 m3.

c) 2 kl 3 hl 1 dal.

11.

a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;

b) 1 t 236 kg 8 hg; c) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;

1. 1 dm3, 1 cm3; 1 mm3.

2. 4 000 dm3.

a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;

d) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.

3. a) 7 m3; b) 0,5 m3;

12. a) 692 kg; b) 10 km 4 m.

14. 5 000 herë. Sqarim: 2 m2 = 20 000 cm2, ndërsa

4. 27,65 cm3.

20 000 : 4 = 5 000.

16. 70 m3.

17. 9 cm2.

Problem! Udhëzim; 3l

3

0

3

1

1

0

3

0

5l

0

3

3

5

0

1

1

4l

PASQYRA E KONCEPTEVE B

D

Barazimi, 44 Bashkësia - numri i, 7 - e barabartë, 10 - ekuivalente, 9 – - e fundme, 7 - e zbrazët, prerja e , 12 - ndryshimi i, 14 Baza e fuqisë, 36

Drejtëza dhe - kufitare (tehu), 97 - reciprokisht normale, 116 - kolineare, 71 Diagram, - figurash, 159, - shtyllor, 158 Drejtëza numerike, 18 Dh Dhjetore, 151

- baza e, 36 - treguesi i, 36 G gabimi absolut, 178 Gj Gjysmëdrejtëza dhe, 77 - përbërëse, 77 Gjysmërrethi, 91 Gjysmërrafshi, 97

Ç Çifti i renditur, 15

F

H

Fuqia, 35

Hark rrethor, 91

222 I I pjesëtueshmi, 37 K Koncepti,87 - i nxjerrë, 88 - matematik, 87 - themelor, 88 Katrori i Dekartit, 16 Korda, prerëse), 93 Këndi, dhe 98 - Komplementar, 120 - Mysët, 99 - Krahët e, 98 - matja e, 110 - i kryqëzuari, 104 - i puqët, 103 - i ngushtë, 102 - i plotë, 102 - i drejtë, 101 - fqinjë, 103 - suplementar, 121 - i gjerë, 102 - kulmi i 98 - qendror, 105 L Largesa, 76 - qendrore, 94 Litri, 187 M Mesi - i segmentit, 78 - aritmetik, 47 Metri - katror, 203 - kub, 205 Masa, - për masën, 187 - për gjatësinë, 186 - për kohën, 189 - për lëng, 187 - për temperaturën, 189 - për syprinën, 203 - për vëllimin, 205 Mesi aritmetikor, 47 Minuta, 189 N numër

- dhjetor , 149 - periodik i përzier, 176 - periodë e, 176 - para perioda e, 177 - i njëjtë periodik, 176 - një emëror, 191 - reciprokisht të thjeshtë, 61 - i emërtuar, 191 - një lloj i emërtuar, 192 - matës 191 - i paemërtuar, 191 - tek, 17 - çift,17 - shumë emëror, 192, - natyror, 17 - i thjeshtë, 57 - i përbërë, 57 Nën bashkësi, 10 Nj Njësia dhjetore, 21 Njësia matëse, 191

- Ndryshimi 81 - Fqinje 83 - Gjatësia e, 78 - Shuma e, 81 Sistemi numerik dekad, 20 Sh Shumëfishi, 49 - i përbashkët, 63 - më i vogël i përbashkët, 63 Shumëkëndëshi, 125 - mysët, 125 - lugët, 107 - perimetri i, 127 - kulmi i, 123 - brinjët fqinje të, 123 - kulme fqinje të, 123 - brinjë e, 123 - Të shkruarit e bashkësisë, - në mënyrë tabelore, 4 - në mënyrë përshkruese,5 T

P Pika i, 54 - e brendshme, 92 - kufitare, 77 - e jashtme, 92 - fillestare, 77 - e mesme (mesi), 78 Presja decimale, 150 Plotë pjesëtueshmëria, 49 - e shumës, 49 - e prodhimit, 49 - e ndryshimit, 49 - indicet për, 51 Pjesëtimi, - me mbetje, 38 pjesëtuesi, dhe - i përbashkët, 60 - më i madh i përbashkët, 60 Prodhimi i Dekartit, 15 S Simetralja - e këndit, 118 - e segmentit, 118 Segment, dhe - të barabartë (puthitshëm), 79 - Shuma, 81 - Bartja 80

Tangenta (takuesja), 93 Th Thyesa, 133 - numëruesi i, 133 - dhjetore, 149 - e pathjeshtueshme, 147 - jo e pastër (jo e rregullt) 137 - e dukshme, 136 - zgjerimi i, 146 - thjeshtimi i, 147 - e pastër (e drejtë) 137 U Unioni i bashkësive, 13 V Vetia. - shoqërimit, 13 - shpërndarjes, 168 - ndërrimit, 13 Vija - e thyer 83 - brinja e, 84 - e mbyllur, 84 - poligonale 85 - perimetri i, 85

223 - Rrethi - bashkëqendrorë, 95 - rrezja e, 89 - korda e, 90 - qendra e, 90 - diametri i 90

- Rrethi, 133 - brinja e, 84 – - kulmi i, 84 - e mbyllur, 84 - e thjeshtë , 85 Vija e thyer,

Z Zona, - e brendshme, 90 - jashtme, 90

PËRMBAJTJA TEMA 1.

NUMRAT NATYRORË

TEMA 2.

FIGURAT GJEOMETRIKE NË RRAFSH

TEMA 3.

THYESAT

131

TEMA 4.

MATJA

183

3

69

PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE

211

PASQYRË E KONCEPTEVE

221

CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје АВТОР: Стефановски, Јово - автор ОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - автор НАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образование ИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011 ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 см ISBN: 978-608-226-273-4 УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3 ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатена ИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011 COBISS.MK-ID: 89052426

224

Botues: Ministria për arsim dhe shkencë e R. së Maqedonisë Matematika për klasën e VI Arsimi fillor nëntëvjeçar Autorë: Jovo Stefanovski dhe d-r Naum Cellakoski Recenzentë: d-r Jordanka Mitevska, profesor i rregullt në FShM, Shkup Zorica Nasevska, arsimtar në ShF „Koço Racin” - Shkup Dobre Trajkovski, arsimtar në ShF „H. T. Karposh” – Kumanovë Redaktor kryesor: Jovo Stefanovski Lektor: Suzana Stojkovska Përpunim kompjuterik: Dragan Shopkoski Përkthyes: Pranvera Xhaferi Redaktor: Prof. Dr. Ilir Spahiu Lektor: Murtez Sejdiu Shtypi: Graficki centar dooel, Shkup Tirazhi: 8.300

Me vendim për lejimin dhe përdorimin të librit mësimor në lëndën e Matematikës për kl. E 6të në shkollimin fillor nëntëvjeçar me nr. 22-1110/1 nga data 22-1110/1 të sjellë nga Komisioni nacional për tekste mësimore