Математика by Ministry of education and sience

J OVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE Skopje, 2011

Drag u~eniku! Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata. So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u~ili{te, doma, pa duri i vo tvoite igri. So ovaa kniga }e nau~i{ novi interesni sodr`ini od broevite. ]e stekne{ novi soznanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu~i{ mernite edinici za pove}e veli~ini i operaciite so niv. Knigava e podelena na ~etiri tematski celini. Tematskite celini zapo~nuvaat so nivnata sodr`ina, a nastavnite edinici vo niv se numerirani. Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnosti, obvrski i drugi sugestii, i toa:

Potseti se!

...

1. 2. 3.

Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e poznato. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa }e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata.

...

So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) koi se odnesuvaat na novi poimi.

So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvojot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoa treba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{ i razbere{. Najbitnoto e oboeno so `olta boja.

Treba da znae{

Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa, zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da go koristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.

Ovoj del sodrì pra{awa i zada~i so koi moè{ da se Proveri se? proveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za da moè{ da go primenuva{ i da go koristi{ vo sekojdnevniot ìvot.

Zada~i

Problemi

Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i. So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bide od golema polza. Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovoj del. So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei.

Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otka`uvaj se, obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo. ]e n¢ raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~en uspeh. Od avtorite

TEMA 1.

PRIRODNI BROEVI

1. Mnoèstvo. Na~ini na zapi{uvawe 2. Broj na mnoèstvo. Kone~ni mnoèstva 3. Ekvivalentni mnoèstva. Ednakvi mnoèstva. Podmnoèstvo 4. Presek, unija i razlika na mnoèstva 5. Podreden par. Dekartov proizvod 6. Niza od prirodnite broevi 7. Dekaden broen sistem 8. îtawe i zaokruùvawe na prirodni broevi 9. Instrumenti za pribirawe podatoci 10. Sobirawe 11. Odzemawe 12. Zavisnost na zbirot i razlikata od promenata na komponentite 13. Mnoèwe 14. Delewe

4 7

9 12 15 17 20 23 26 27 29

31 34 37

15. Zavisnost na proizvodot i koli~nikot od promenata na komponentite 16. Broen izraz. Ravenki 17. Aritmeti~ka sredina 18. Delivost na prirodni broevi. Delivost na zbir i razlika 19. Priznaci za delivost so 2 i so 5 20. Priznaci za delivost so 3 i so 9 21. Priznak za delivost so 4 22. Prosti i sloèni broevi. Pretstavuvawe sloèn broj kako proizvod od prosti mnoìteli 23. Zaedni~ki delitel. Najgolem zaedni~ki delitel 24. Zaedni~ki sodràtel. Najmal zaedni~ki sodràtel 25. Slikoven dijagram. Stolbest dijagram 26. U~e{e za prirodni broevi. Proveri go svoeto znaewe

40 43 47 48 51 53 55

57 60 63 66 68

MNO@ESTVO. NA^INI NA ZAPI[UVAWE

Potseti se! A

a g b

Na crteòt se pretstaveni mnoèstvoto A i mnoèstvoto V so Venovi dijagrami. Elementite na mnoèstvoto A se cvetovi. [to se elementite na mnoèstvoto V?

Neka so D e ozna~eno mnoèstvoto od site denovi vo sedmicata. Zapi{i gi site elementi na mnoèstvoto D. Dali mesecot april e element na mnoèstvoto D? Kolku elementi ima mnoèstvoto D?

Iskaì usno edno mnoèstvo A i zapi{i gi negovite elementi. Iskaì dva objekta {to ne se elementi na tvoeto mnoèstvo A. Da zapomnam! Edno mnoèstvo e opredeleno ako se znae koi se site negovi elementi.

Na crteòt e pretstaveno mnoèstvoto S so Venov dijagram. Koi broevi se elementi na mnoèstvoto S?

Mno`estvoto S mo`e da se zapi{e na tabelaren na~in (so redewe na elementite), taka {to }e se zapi{at me|u zagradi site negovi elementi, odvoeni so zapirki, t.e. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

2 6

Elementi na edno mnoèstvo R se broevite: 10, 6, 2, 8 i 4. Zapi{i go mnoèstvoto P so Venov dijagram. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najmaliot. Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najgolemiot.

Pri zapi{uvaweto na mno`estvo na tabelaren na~in, redosledot na elementite ne e biten.

Zapi{i go mnoèstvoto Y od site samoglaski vo makedonskata azbuka. Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto A od bukvi {to se upotrebeni vo zborot masa. Da zapomnam! Mnoèstvoto {m, a, s, a} pravilno se zapi{uva {m, a, s}. Istite elementi vo mnoèstvoto se zapi{uvaat samo edna{.

Semejstvoto Acevski go so~inuvaat: tatkoto Petar, majkata Biljana, sinot Dragan i }erkata Ana. Neka so A e ozna~eno mnoèstvoto od site ~lenovi na semejstvoto Acevski. Zapi{i go mnoèstvoto A na tabelaren na~in. Ako bukvata x se upotrebi kako zamena za imiwata na ~lenovite od semejstvoto Acevski, mnoèstvoto A moè da se zapi{e: A={x | x e ~len na semejstvoto Acevski}. Vaka zapi{ano mnoèstvoto A velime deka e pretstaveno na opisen na~in. Mnoèstvoto S={x | x e cifra od brojot 2638} zapi{i go:

so Venov dijagram;

na tabelaren na~in.

Na crte`ot e dadeno mno`estvoto R so Venov dijagram.

Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in. So koj od slednite zapisi mno`estvoto R e pretstaveno na opisen na~in? a) {x | x >19}.

b) {x | x e neparen broj od vtorata desetka}.

15 17

v) {x | x e priroden broj od vtorata desetka}.

Razgledaj go mno`estvoto M zapi{ano so Venoviot dijagram. Elementi na mno`estvoto M se bukvite od zborot klupa.

Velime: „Bukvata k e element na mnoèstvoto M ili k mu pripa|a na M“ „Bukvata a e element na mnoèstvoto M ili a mu pripa|a na M“ „Bukvata e ne e element na mnoèstvoto M ili e ne mu pripa|a na M“

Zapi{uvame: k∈M a∈M e∉M

l a

So koristewe na znacite ∈ ili ∉ zapi{i to~ni tvrdewa za bukvite i, s, l, u, p i mno`estvoto M.

10 Na crte`ot e pretstavena edna otse~ka a i to~kite: A, B, C,

N, L, K i S.

Zapi{i to~ni tvrdewa za to~kite ozna~eni na crte`ot i za otse~kata a so koristewe na znacite ∈ ili ∉. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ki R, P, S i L takvi {to: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

V K

S L

Treba da znae{ Proveri se! Da navede{ primeri na mno`estva;

Koga edno mno`estvo e opredeleno?

da pretstavi{ dadeno mno`estvo so Venov dijagram, na opisen i na tabelaren na~in;

Zapi{i go mno`estvoto K ~ii elementi se broevite: 1, 3, 5, 7 i 9: so Venov dijagram;

na tabelaren na~in;

na opisen na~in.

pravilno da gi koristi{ znacite ∈ i ∉.

Koj broj od prvata desetka e element, a koj ne e element na mno`estvoto K? Zapi{i go toa so koristewe na znacite ∈ ili ∉.

Zada~i Zapi{i go mno`estvoto A na tabelaren na~in, a mno`estvoto V na opisen na~in.

1. Na crte`ot se dadeni mno`estvata A i V. A

So koristewe na znacite ∈ ili ∉ zapi{i koja od bukvite: e, u, b, k e element na mno`estvoto V.

V u e p

k a

Nacrtaj edna otse~ka i ozna~i ja so a. Ozna~i to~ki M, N, C, D i Y taka {to: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

Koi bukvi se elementi na mno`estvoto A? Od bukvite {to se elementi na mno `estvoto V sostavi zbor (ime na drvo).

So Venov dijagram zapi{i mno`estva A i V takvi {to: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.

2 BROJ NA MNO@ESTVO. KONE^NI MNO@ESTVA

Potseti se! Mno`estvoto A e dadeno so Venov dijagram.

B = {x | x e den vo sedmica};

c b

Razgledaj gi mno`estvata A, V i S i odgovori na pra{awata.

A = {a, b, c};

A a

C = {x | x e priroden broj pomal od 100}.

Od koi elementi e sostaveno sekoe od mno`estvata?

Od koi elementi e sostaveno mno`estvoto A? Izbroj gi elementite na A. Kolku elementi ima mno`estvoto A?

Zapomni!

Kolku elementi ima sekoe od mnoèstvata A, V i S? Voo~iv! Mnoèstvoto A ima 3 elementi, V ima 7 elementi i mnoèstvoto S ima 99 elementi.

Brojot na elementite na dadeno mno`estvo A se vika broj na A i se ozna~uva so δA. Kolku elementi ima mno`estvoto devoj~iwa vo tvojata paralelka?

Kolku vkupno u~enici ima mno`estvoto mom~iwa vo tvojata paralelka? Kolkav e brojot na site u~enici vo tvojata paralelka?

Voo~i i zapomni! Na sekoe od ovie mnoèstva mu go odredi brojot na negovite elementi. Site ovie mnoèstva se kone~ni mnoèstva.

Najvisokata planina vo Republika Makedonija e Korab. Vrvot na Korab e visok 2 764 metri. Kolku elementi ima mno`estvoto planini vo Republika Makedonija {to se povisoki od 3 000 metri?

Odredi go brojot na mno`estvata A, V i S. A = {juni, juli, januari} C = {x | x e mesec vo godinata ~ie ime zapo~nuva so bukvata l}.

V Maj

Voo~uva{ deka mnoèstvoto planini od zada~ata 3 i mnoèstvoto S od zada~ata 4 nemaat nitu eden element. Mnoèstvoto {to nema nitu eden element se vika prazno mnoèstvo i se ozna~uva so znakot ∅. I praznoto mnoèstvo se smeta za kone~no mnoèstvo. M = {x | x e planina vo R. Makedonija povisoka od 3 000 metri} = ∅. δ∅ = 0.

Navedi eden primer za prazno mno`estvo.

Treba da znae{ Proveri se! [to e broj na mno`estvo; da navede{ primeri za kone~no i za prazno mno`estvo.

Zapi{i primer za: kone~no mno`estvo S takvo {to δS = 3; mno`estvo Y takvo {to δY = 0.

Zada~i 1. Odredi go brojot na elementite na mno`estvoto: L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x e u~enik vo V oddelenie povisok od 5 metri} K=∅ Tvoi drugari koi bile na godi{en odmor na planetata Mars.

2. Odredi go brojot na elementite na sekoe od mno`estvata A i V {to se dadeni so Venovi dijagrami. A 1

2 4

3 6

3. Odredi go brojot na elementite na sekoe od mno`estvata A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x e priroden broj i 8 ≤ x < 25}.

Problem Dali e kone~no mnoèstvoto: ìteli na Prilep; yvezdi na neboto; zrnca ìto vo edna vre}a; broevi {to moè da se zapi{at so cifrata 1?

EKVIVALENTNI MNO@ESTVA. EDNAKVI MNO@ESTVA. PODMNO@ESTVO

Potseti se!

Odredi go brojot na elementite na mno`estvoto:

Odredi go brojot na elementite na mno`estvata Y i T. Y

A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9}

C = {10, 20, 30, 40, 50}. [to zabeleùva{? Koj od znacite <, = ili > treba da se zapi{e vo kruk~eto na zapisot δT δY? Zapi{i go mnoèstvoto A = {x | x e bukva od zborot DEBAR} i mnoèstvoto B = {x | x e neparen broj od prvata desetka} na tabelaren na~in.

Odredi gi δA i δV, a potoa sporedi gi. Zapi{i mnoèstvo S {to ima broj na elementi ednakov na δA, odnosno δV. Mnoèstvata {to imaat ednakov broj elementi se vikaat istobrojni ili ekvivalentni mnoèstva. Ako mnoèstvata A i V se ekvivalentni, zapi{uvame: A ~ V.

I[, [TO SE BUN A SE AT MNO@ESTV I! TN N LE VA EKVI

Odredi go brojot na sekoe od mnoèstvata: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}. Zapi{i gi ekvivalentnite mnoèstva so znakot “~” Zapi{i mnoèstvo {to }e bide ekvivalentno so mnoèstvoto G.

Zapi{i go tabelarno mno`estvoto A ~ii elementi se bukvite na zborot me~ka i mno`estvoto V ~ii elementi se bukvite na zborot kam~e.

Voo~i! Mnoèstvata A i V imaat ist broj elementi: δA = δV. Isto taka, mnoèstvoto A e sostaveno od istite elementi, kako i mnoèstvoto V.

Dve mno`estva A i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi. Zapi{uvame: A = V

10 5

Dali se ednakvi mno`estvata A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}? Za dve mno`estva A i V {to ne se ednakvi, pi{uvame: A ≠ V.

no: {s, t, o, l} = {l, o, s, t}

Koi od slednive mno`estva se ednakvi me|u sebe: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

Razgledaj go crteòt! Elementi na mnoèstvoto M se rozi, a na mnoèstvoto S se crveni rozi.

M S

Dali sekoj element na mno`estvoto S e element na mno`estvoto M?

Za mnoèstvoto S velime deka e podmnoèstvo na mnoèstvoto M, ako sekoj element na mnoèstvoto S e element na mnoèstvoto M. Zapi{uvame: S ⊆ M. Ako mnoèstvoto S e podmnoèstvo na mnoèstvoto M i M ima elementi {to ne mu pripa|aat na mnoèstvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmnoèstvo na M. Zapi{uvame S ⊂ M.

Mnoèstvoto Y e dadeno so Venov dijagram. Dali mnoèstvoto R e podmnoèstvo na mnoèstvoto Y? Obrazloì go svojot odgovor! Dali mnoèstvoto K e vistinsko podmnoèstvo na mnoèstvoto Y? Obrazloì! Koe od slednite tvrdewa e to~no: P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?

Y 1

3 2

K 4

Voo~i! Sekoe mnoèstvo e podmnoèstvo samo na sebe. A ⊆ A. Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mnoèstvo e element na vtoroto mnoèstvo. Praznoto mnoèstvo e podmnoèstvo na sekoe mnoèstvo. ∅ ⊆ A.

Treba da znae{ Proveri se! Da navede{ primeri za ednakvi, odnosno ekvivalentni mno`estva;

Dadeno e mnoèstvoto P = {5, 10, 15, 20}. Zapi{i mnoèstvo K ekvivalentno so mnoèstvoto R.

da razlikuva{ ekvivalentni mno`estva od ednakvi mno`estva;

Zapi{i mno`estvo L ednakvo so mno`estvoto R.

da znae{ {to e podmno`estvo i {to e vistinsko podmno`estvo;

Zapi{i dve podmno`estva na mno`estvoto R.

da odredi{ podmno`estvo od dadeno mno`estvo.

Zada~i 1. Na crte`ot gi voo~uva{ mno`estvata D i N. 7 3

eto u~ili{te, R e mnoèstvoto u~enici vo {esto oddelenie, K e mnoèstvoto u~enici od tvojata u~ilnica, a elementot y si ti, u~eniku. So Venov dijagram pretstavi gi mnoèstvata U, P, K i elementot y.

2. Neka U e mno`estvoto u~enici vo tvo-

8 4

Zapi{i go mno`estvoto D na tabelaren na~in.

Ako y ∈ K i K ⊆ R, toga{ y ∈ R. Dali e to~no? Zo{to?

Zapi{i gi site podmno`estva na mno`estvoto A = {a, b, c}.

Zapi{i go mno`estvoto N na opisen na~in. Dali mno`estvata D i N se ekvivalentni? Zo{to? [to e to~no za D i N: D ⊆ N ili N ⊆ D? Zo{to?

Dosetka

I ova e matemaika!

Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me|u kupuva~ot i prodava~ot se vodel sledniot razgovor: "Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva~ot. "Deset denari#, odgovoril prodava~ot. "Za kolku pari mo`am da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva~ot. "Dvaeset denari#, odgovoril prodava~ot. "Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, ka`al kupuva~ot. "Toa }e ve ~ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva~ot?

PRESEK, UNIJA I RAZLIKA NA MNO@ESTVA

Potseti se! A

A 1 S

Dadeni se mno`estvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.

Pretstavi gi mnoèstvata A i V so Venov dijagram. Mnoèstvoto zaedni~ki elementi na A i V ozna~i go so S. Mnoèstvoto S pretstavi go na tabelaren na~in. Spored crteòt A e mnoèstvo crveni figuri, V e mnoèstvo triagolnici, a S e mnoèstvo crveni triagolnici.

Voo~i go re{enieto. C = {3, 4, 5}. C

A Zo{to mno`estvoto S e presek na mno`estvata A i V?

Mno`estvoto S e presek na mno`estvata A i V.

4 5

Presek na dve mno`estva A i V e mno`estvoto S obrazuvano od elementite {to se zaedni~ki za A i V. Zapi{uvame: C = A ∩ V i ~itame: „S e ednakvo na A presek V“. x ∈ A ∩ V, zna~i: x ∈ A i x ∈ V.

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}. Opredeli gi mnoèstvata: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A. Dali mnoèstvata A ∩ B i B ∩ A se ekvivalentni? Dali se razli~ni? Pretstavi gi mnoèstvata A, V i S so Venov dijagram, taka {to da moè da se odredat elementite na nivnite preseci.

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i D. Zapi{i gi mnoèstvata A, V i D na tabelaren na~in. Mnoèstvoto D e unija na mnoèstvata A i V.

D A

Unija na mnoèstvata A i V e mnoèstvoto D obrazuvano od site elementi na tie mnoèstva. Zapi{uvame: D = A ∪ V i ~itame: „D e ednakvo na A unija V”. x ∈ A ∪ V, zna~i: x ∈ A ili x ∈ V.

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i C so Venov dijagram. Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata:

C A

A, V i C.

2 3

C ∪ B, C ∪ A i B ∪ A.

A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A i A ∩ C.

V 5

Dadeni se mnoèstvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i V = {2, 4, 6, 8}. Odredi gi mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A. Dali mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A se razli~ni? Odredi gi mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A. Dali mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A se ednakvi?

Voo~uva{ deka: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A Presekot na dve mno`estva ima komutativno svojstvo. Unijata na dve mno`estva ima komutativno svojstvo.

Pokaì deka za presekot, odnosno za unijata, na mnoèstvata B i S od zada~ata 4 vaì komutativnoto svojstvo. Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija.

Voo~i!

Neka A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {1, 3, 5, 9}. Odredi A ∪ B, a potoa (A ∪ B) ∪ C. Odredi B ∪ C, a potoa A ∪ (B ∪ C). Dali (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Proveri dali va`i: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Problem

Unijata na tri mno`estva ima asocijativno svojstvo. Presekot na tri mno`estva ima asocijativno svojstvo.

Izberi tri mno`estva A, V i S i poka`i deka (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Ako se znae deka x ∈ A ∪ B, dali x ∈ B?

Razgledaj go crte`ot. So Venov dijagram se pretstaveni mno`estvata A i V.

5 2

8 B

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata A i V. Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto S ~ii elementi se onie elementi od mnoèstvoto A {to ne se elementi na mnoèstvoto V.

Mnoèstvoto S = {1, 2, 5, 6} dobieno na vakov na~in e razlika na mnoèstvoto A i mnoèstvoto V, odnosno S = A \ V.

Mnoèstvoto S od elementite {to mu pripa|aat na mnoèstvoto A, a ne mu pripa|aat na mnoèstvoto V se vika razlika na mnoèstvoto A so mnoèstvoto V. Zapi{uvame: S = A \ V i ~itame: „S e ednakvo na A minus V”. x ∈ A \ B zna~i: x ∈ A i x ∉ B.

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} i C = {3, 5, 7, 9, 11}. Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata: A \ B, B \ A, B \ C i A \ (B \ C). Dali A \ B = B \ A? I E EDNAKVA NA {TO L E|U NIV? M RAZLIKATA

Proveri dali e to~no: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C? Razlikata na mno`estvata nema ni komutativno ni asocijativno svojstvo.

10 Neka M = {x | x e priroden broj i x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} i P = {x | x e priroden broj od prvata desetka}. Odredi: M ∩ Y.

Y ∪ R.

M ∪ (R \ Y).

P \ M.

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ presek na dve mnoèstva; da odredi{ razlika na dve mnoèstva; da odredi{ unija na dve mnoèstva; deka presekot, odnosno unijata, ima komutativno i asocijativno svojstvo.

Zada~i 1. Na crte`ot se dadeni mno`estva so Venovi dijagrami pod a, b i v. Koi operacii se pretstaveni so oboenite delovi?

Dadeni se mno`estvata A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} i C = {b, c, e, 1}. Zapi{i gi mno`estvata: A ∩ B.

B \ C.

A ∪ B ∪ C.

Odredi δA i δM. Zapi{i gi na tabelaren na~in A ∪ M, M ∩ A i M \ A. Odredi: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) i δ(M \ A).

3. Neka R e mno`estvoto parni broevi, a Y e mno`estvoto neparni broevi od prvata desetka.

2. Dadeni se mno`estvata

A = {m, n, p, k} i M = {s, p, t, k, r}

[to pretstavuva: a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y; b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R? Obrazlo`i go svojot odgovor za sekoj od slu~aite pod a, b, v i g.

PODREDEN PAR. DEKARTOV PROIZVOD

Potseti se! Dadeni se mno`estvata {2, 3} i {3, 2}. Tie se dvoelementni, t.e. se sostaveni od par elementi. Dali {2, 3} = {3, 2}? Zo{to? No, vo nekoi slu~ai, redosledot na elementite vo parot ima bitno zna~ewe: par rakavici, par ~evli i dr.

A 1

Na crte`ot e pretstavena kino sala. Tretiot stol vo vtoriot red i vtoriot stol vo tretiot red se prazni.

Redot i stolot pretstavuvaat eden par. Neka prviot broj od parot go ozna~uva redot (2), a vtoriot broj go ozna~uva stolot (3). Toa go zapi{uvame so (2, 3) i velime deka e podreden par.

Dali podredenite parovi (2, 3) i (3, 2) ozna~uvaat isto mesto vo salata? Tie ozna~uvaat razli~ni mesta vo salata.

Parot (a, b) vo koj to~no se znae koj element e prv, a koj element e vtor se vika podreden par. Vo podredeniot par (a, b), a e prva komponenta, dodeka b e vtora komponenta.

Neka mno`estvoto A = {s, p, q}, a mno`estvoto B = {1, 2}.

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na A, a vtorata komponenta e element na V. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na V, a vtorata komponenta e element na A.

Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniot par (c, d) ako a = c i b = d i se zapi{uva (a, b) = (c, d).

Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)?

Neka A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Formiraj go mnoèstvoto ~ii elementi se site podredeni parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto A, a vtorata komponenta e od mnoèstvoto V.

Mnoèstvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element od mnoèstvoto A, a vtorata komponenta od mnoèstvoto V se vika Dekartov proizvod na mnoèstvata A i V. Se ozna~uva so A h V. Se ~ita A po V. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

Dadeno e mno`estvoto S = {1, 2, 3} i Dekartoviot proizvod S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Zapi{i go mno`estvoto R na tabelaren na~in.

Dadeno e mno`estvoto A = {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod A x A.

Voo~i i zapomni A h A e Dekartov proizvod na mno`estvoto A. Dekartoviot proizvod A h A se vika Dekartov kvadrat i se ozna~uva so A2. Se ~ita: „A na kvadrat.”

Odredi go Dekartoviot kvadrat na mno`estvoto M = {5, p}.

Treba da znae{! Proveri se! Da razlikuva{ dvoelementno mno`estvo od podreden par;

Dadeni se mno`estvata A = {a, b}, B = {5, 55}

da gi odredi{ site podredeni parovi za dve dadeni mno`estva; {to e Dekartov proizvod;

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na mno`estvoto A, a vtorata komponenta e element na mno`estvoto S.

da odredi{ prva i vtora komponenta na podreden par;

Zapi{i go mno`estvoto A h V na tabelaren na~in.

{to e Dekartov kvadrat.

Zapi{i go mno`estvoto V2.

i C = {m, n}.

Zada~i 1. Zapi{i gi podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mno`estvoto A = {2, 5}, a vtorata komponenta od mno`estvoto V = {a, b, c}.

Dadeno e mnoèstvoto Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. Odredi go mnoèstvoto Y. Odredi go mnoèstvoto R. Odredi go Dekartoviot kvadrat na

2. Koj broj treba da stoi na mestoto od za podredenite parovi da bidat ednakvi: a) (5, ) = (5, 2); b) ( , 6) = (8, 6); v) ( , 3) = (7, )?

3. A e mno`estvo imiwa:

A = {Jovan, Biljana, Dragan}. V e mno`estvo glagoli: V = {pee, spie, u~i}. Odredi go Dekartoviot proizvod A h V.

mno`estvoto Y.

Podredenite parovi }e mi bidat prosti re~enici. Na primer: Jovan pee.

NIZA OD PRIRODNITE BROEVI Prirodni broevi!

Potseti se! 1

...

Kolku klupi ima vo tvojata u~ilnica? Odredi go brojot na mom~iwata vo tvojata paralelka.

A 1

So cifri zapi{i gi broevite:

Pro~itaj gi broevite: 23, 1005, 207, 987 000.

sto pedeset i {est; devetstotini i eden;

So koi cifri e zapi{an brojot 813 265? Kolku cifri se koristat za zapi{uvawe na broevite? Koi se tie?

eden milion. Za sekoj od tie broevi velime deka e priroden broj.

Broevite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... se vikaat prirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnite broevi. Mno`estvoto prirodni broevi se ozna~uva so N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Brojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 ∉ N. Mno`estvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna~uva so N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

B 2

Na crte`ot voo~uva{ ulica i dva reda ku}i ozna~eni so broevi. So koi broevi se ozna~eni ku}ite od ednata strana na ulicata? So koi broevi se ozna~eni ku}ite od drugata strana na ulicata?

Broevite: 1, 3, 5, 7, ... se neparni broevi, a 2, 4, 6, 8, 10 ... se parni broevi. Koi od broevite: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 se parni, a koi se neparni?

Kako }e opredeli{ brojna prava? O

Raboti spored barawata i sledi go crte`ot. Nacrtaj prava a. Na pravata a ozna~i dve to~ki O i A. Na to~kata O pridru`i £ go brojot 0, a na to~kata A brojot 1.

Otse~kata OA ja zemame za edini~na otse~ka, t.e. OA = 1. Na polupravata OA, od to~kata A, prenesi ja edini~nata otse~ka OA. Krajnata to~ka ozna~i ja so S i pridru`i ñ go brojot 2. Kako }e odredi{ to~ka {to odgovara na brojot 3?

Voo~i i zapomni! Na ovoj na~in e opredelena prava na koja mo`e da se pretstavuvaat prirodnite broevi. Taa prava se vika brojna prava.

Razgledaj go crte`ot: Koj broj e za 1 pomal od brojot 6? Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6?

Brojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6. Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100? Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj?

Zapi{i eden mnogu golem priroden broj. Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al. Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi?

Na koj bilo broj mo`am da mu dodadam 1 i }e dobijam pogolem broj.

Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviot prethodnik }e mu se dodade brojot 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Sekoj priroden broj ima sledbenik. Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Ne postoi najgolem priroden broj. Ima beskone~no mnogu prirodni broevi. Mnoèstvoto N od prirodnite broevi e beskone~no mnoèstvo. Voo~i drug primer za beskone~no mnoèstvo.

Mno`estvoto od prirodni broevi ~ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 21, 31, ...}. 8

Koe od slednite mno`estva e beskone~no? Mno`estvoto na parni broevi.

Mno`estvoto na neparni broevi.

Brojot na `itelite vo R. Makedonija.

Brojot na zrnca pesok na edna pla`a.

Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettata stotka.

Treba da znae{!

JA S SU M PR ET HO DN IK !

Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj;

JA S SU M SL ED BE NI K!

da odredi{ sledbenik i prethodnik na daden priroden broj; da pretstavuva{ prirodni broevi na brojna prava; da navede{ primeri za beskone~no mno`estvo.

Proveri se! Dadeni se cifrite: 7, 4 i 0. Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri. Podredi gi broevite {to gi formira po~nuvaj}i od najgolemiot broj. Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira. Navedi primer za beskone~no mno`estvo.

Zada~i 1.

Na crte`ot ima kniga so skinati stranici.

2. 0

Koi broevi na brojnata prava treba da se zapi{at na praznite mesta? 10 20 30 40 50 60

100

120

140

160

Zapi{i go so zborovi brojot ozna~en so strelkata.

Zapi{i gi brevite na stranicite od knigata {to se skinati. So koi cifri se zapi{ani broevite na tie stranici? Zapi{i go mno`estvoto A od parnite broevi na stranicite {to nedostasuvaat vo knigata.

Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavi gi parnite broevi od 0 do 20.

Mnoèstvoto S = {x | x e neparen priroden broj}, zapi{i go na tabelaren na~in. Koj element e najmal vo mnoèstvoto Y? Dali mnoèstvoto Y ima najgolem element? Kolku elementi ima mnoèstvoto Y?

DEKADEN BROEN SISTEM

3 1 2 0 4 56 7 8 9

Potseti se! Kolku desetki ima brojot 100? Kolku iljadi ima brojot 3 865?

Kolku edinici ima brojot 128 563?

Zapi{i go so cifri brojot pretstaven na pozicionata smetalka.

Zapi{i go mno`estvoto S od site cifri so koi se zapi{uvaat prirodnite broevi.

Odredi go δS.

Ima deset cifri.

Site prirodni broevi gi zapi{uvame so desette cifri: 0, 1, ..., 9. Broevite gi zapi{uvame vo dekaden broen sistem.

Razgledaj ja tabelata vo koja e zapi{an brojot 7 143 528. Sekoja cifra na brojot e zapi{ana na odredena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesno nalevo, e zapi{ana vo odredena klasa.

KLASA MILIONI SM

KLASA ILJADI

KLASA EDINICI

Vo klasata milioni na pozicijata edinici milioni e zapi{ana cifrata 7. Koja e nejzinata poziciona vrednost?

Na koja pozicija e zapi{ana cifrata 2? Pozicionata vrednost na cifrata 4 vo brojot 7 143 528 e ~etirieset iljadi. Koja e pozicionata vrednost na cifrata 3, a koja na cifrata 8?

Se potsetiv! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetki ili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.

Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot 34 509.

Nie sme isti

34 509 Cifra

Pozicija na Poziciona Klasa koja e zapi{ana vrednost na cifrata cifrata

Iljadi

30 000

Iljadi

4 000

Edinici

500

Edinici

Jas vredam pove}e

2 20

Sostavi tabela za brojot 2 628 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra.

Voo~i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata 3 po~nuvaj}i od pozicijata na edinicite? EI

Broevite 1, 10, 100, 1 000 itn. se vikaat dekadni edinici. Zapi{i gi site dekadni edinici do 10 000 000.

⋅100 ⋅10 ⋅1 000

Zapi{i go brojot koj{to ja sodr`i cifrata 1, a po nea se dopi{ani: a) 3 nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 12 nuli; d) 18 nuli. Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)?

Zapomni! Znam za a) i b). Kako li se vikaat drugite broevi?!

Brojot, zapi{an:

1 000 000 000, se vika milijarda; 1 000 000 000 000, se vika bilion; 1 000 000 000 000 000 000, se vika trilion.

Zapi{i go so cifri brojot †Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi”. Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; 2 vo brojot 50 800 200 000?

Treba da znae{!

Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj; da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj; deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite.

Proveri se!

Razgledaj go crte`ot! Pro~itaj go brojot pretstaven na pozicionata smetalka i zapi{i go so cifri. Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetki iljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost?

Zada~i 3. Zapi{i go so cifri brojot †osum 1. Daden e brojot 5 203 478. Za sekoja od cifrite 5; 2; 7; 0 odredi:

bilioni trista i dve milijardi {eeset milioni ~etiristotini iljadi i petstotini”.

a) vo koja klasa se nao|a; b) koja e nejzinata pozicija; v) koja e nejzinata poziciona vrednost.

4. Koj broj }e dobie{ ako na eden trilion ja izbri{e{ sekoja vtora nula?

5. Kako se ~ita brojot 5, a kako 2. Sostavi tabela od klasi i pozicii vo koja }e gi zapi{e{ cifrite na brojot 7 405 906.

cifrata 5?

6. Kako se vika brojot {to ima milion milioni?

Problem Sedumcifren broj po~nuva so cifrata 7. Kako i da gi razmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva. Koj e toj broj?

8 ^ITAWE I ZAOKRU@UVAWE NA PRIRODNI BROEVI Potseti se!

Zapi{i go so zborovi brojot: 16; 23; 45; 125; 50; 200.

Zapi{i go so zborovi brojot a) 157; b) 216; v) 350.

Sporedi go tvoeto zapi{uvawe so dadenoto. a) Sto pedeset i sedum. b) Dveste i {esnaeset. v) Trista i pedeset.

Vo koi od zapi{anite broevi go upotrebi svrznikot “i”?

Voo~i go ~itaweto na broevi i upotrebata na svrznikot †i”. Svrznikot †i” ne se koristi ako brojot e od eden zbor (imeto na klasata ne se smeta). Vo sekoja klasa: edinici, iljadi, milioni, ... svrznikot †i” se koristi me|u poslednite dva zbora, t.e. dva broja (imeto na klasata ne se smeta). Svrznikot †i” se koristi i me|u klasi, ako poslednite dva zbora (broja) pripa|aat na razli~ni klasi.

pet milioni dvaeset iljadi 5 020 340 -trista i ~etirieset

300 200 - trista iljadi i dveste. osum milioni trista i dve 8 302 100 - iljadi i sto.

Zapi{i gi so zborovi broevite: 200 000;

15 - petnaeset; 700 - sedumstotini; 50 000 - pedeset iljadi. trista i dve iljadi ~etiris 302 413 - totini i trinaeset.

20 300 000;

70 112 500;

9 326 540 217.

Na eden ko{arkarski natprevar reporterot kaàl deka natprevarot go sledat okolu 2 000 gleda~i. Reporterot kaàl priDali reporterot go kaàl to~niot blièn broj na gleda~i. broj na gleda~i?

Broevite 32, 35 i 37 se pretstaveni na brojna prava.

Koi se sosedni desetki za pretstavenite broevite? Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite desetki. Do koja sosedna desetka e poblisku sekoj od broevite?

Sogledaj gi odgovorite

Za dadenite broevi brojot 30 e pomalata sosedna desetka, a 40 e pogolemata sosedna desetka. 32 - 30 = 2;

40 - 32 = 8. Brojot 32 e poblisku do 30.

37 - 30 = 7;

40 - 37 = 3. Brojot 37 e poblisku do 40.

35 - 30 = 5;

40 - 35 = 5. Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40.

Velime deka Brojot 32 e pribli`no ednakov na brojot 30. Zapi{uvame 32 ≈ 30. Brojot 37 e pribli`no ednakov na brojot 40. Zapi{uvame 37 ≈ 40. Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40. Po dogovor zapi{uvame 35 ≈ 40. Ova zapi{uvawe se vika zaokru`uvawe na broj na desetki.

Zaokru`i gi na desetki broevite: 148, 243, 2 671, 3 585 i 74 598.

Broevite: 3 435 i 3 468 se pretstaveni na brojna prava. 3 400

3 435

3 468

3 500

Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite stotki. Do koja sosedna stotka e poblisku sekoj od broevite? Zaokruì go sekoj od broevite na stotki. Sogleda deka 3 435 e poblisku do 3 400, a 3 468 do 3 500. Broevite zaokruèni na stotki se: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Koga pri zaokruùvaweto na eden broj na stotki cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista, a koga se zgolemuva za 1? Cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista ako cifrata na pozicijata desetki e broj pomal od 5, a se zgolemuva za 1 ako cifrata na pozicijata desetki e 5 ili broj pogolem od 5.

Zaokru`i gi na stotki broevite: 1 372, 2 145, 1 653 i 4 898.

Zaokru`i gi na iljadi broevite: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.

Sogledaj go re{enieto a)

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Sogleda deka pri zaokru`uvawe na nekoj broj do odredena pozicija (desetki, stotki, iljadi, ...) postapuva{ na sledniot na~in:

Cifrata na taa pozicija ostanuva ista ako po nea e nekoja od cifrite: 0, 1, 2, 3 ili 4, a taa se zgolemuva za 1 ako po nea e nekoja od cifrite 5, 6, 7, 8 ili 9.

Site cifri desno od taa pozicija se zamenuvaat so nuli. 9

Zaokru`i go brojot 35 738 na: a) desetki; b) stotki; v) iljadi;

g) desetki iljadi.

Treba da znae{! Proveri se! Pravilno da ~ita{ prirodni broevi, pomali ili pogolemi od milion;

Pro~itaj go brojot: 5 200; 45 678 350.

da zaokru`uva{ prirodni broevi na: desetki, stotki i iljadi.

Zaokru`i go na desetki; stotki; iljadi, brojot: a) 34 752; b) 224 750.

Zada~i 1. Zapi{i go so bukvi brojot: 2 345; 250; 6 400 310.

Dali postoi najgolem priroden broj? Koj e najmaliot priroden broj?

2. Zapi{i go so cifri brojot: †Trista milioni dveste i pet iljadi i osumstotini”.

Zapi{i ja cenata na avtomobilot so zborovi.

3. Koj od znacite <, = ili > treba da stoi vo kruk~eto za da bide to~no? 12 245

12 250;

12 245

12 240;

12 245

12 200;

12 245

12 300.

4. Dali brojot 24 632 e poblizu

1 216 358 den. Obidi se da re{i{!

a) do 24 700 ili do 24 600; b) do 24 000 ili do 25 000?

Zaokru`i go brojot 25 375 na: desetki; stotki; iljadi.

6. Zaokru`i go brojot 15 409 632 na iljadi.

Ne bi imalo smisla da go kaè{ kako zaokruèn broj, brojot na tvojot telefon. Obidi se da najde{ dva primera kade ne bi imalo smisla da gi zaokruì{ broevite.

S O

R A B O T A P O D A T O C I

INSTRUMENTI ZA PRIBIRAWE PODATOCI

Pribiraweto na podatoci se vr{i na pove}e na~ini: so anketirawe, nabquduvawe, merewe, broewe, od literatura i dr. Instrumenti (sredstva) za pribirawe podatoci se: pra{alnik, anketen list, objaveni pregledi i drugi statisti~ki podatoci.

Angela i @aki sprovele istra`uvawe za vonnastavnite aktivnosti na u~enicite od svojata paralelka. Tie gi pra{ale u~enicite vo koe dru{tvo ~lenuva sekoj od niv. Podatocite prvo gi zapi{ale so crti~ki, a potoa gi sredile i formirale tabela. Vo tabelata se dadeni broj na Dru{tvo Dru{tvo Broj Broj (aktivnost) (aktivnost) podatoci. Taa se vika tabela Delikates Delikates na frekvencii. 9 (ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)

(ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)

Tabela so crti~ki

13 15 3

Tabela na frekvencii

Kolku vkupno u~enici odgovorile na postavenoto pra{awe? Formiraj nova tabela na frekvencii taka {to podatocite }e gi podredi{ spored goleminata na brojot (po~nuvaj}i od najgolemiot broj).

Ilija sprovel istra`uvawe za bojata na velosipedite {to naj~esto se sre}ava vo negovoto selo. Pribiral podatoci taka {to gi nabquduval decata so velosipedi vo u~ili{niot dvor i popolnuval lista so crti~ki. Formiraj tabela na frekfencii. Boja

Broj

Podredi gi podatocite po~nuvaj}i od najmaliot.

Sina

Kolku vkupno velosipedi zabele`al Ilija?

Zelena

Koja boja na velosipedi e najzastapena?

@olta Crna Crvena

Nabquduvaweto na Ilija e eden od na~inite na koj mo`e da se priberat podatoci. Podatoci mo`at da se priberat na razli~ni na~ini: pra{uvawe po telefon, ispra}awe pra{alnik po po{ta, koristewe knigi, spisanija i dr.

Marija pribirala podatoci za omilenoto godi{no vreme na nejzinite sou~enici. Voo~i ja listata: P - prolet; L - leto; E - esen; Z - zima. P P L Z Z E P L E Z Z P L E Z Z P P L L L E Z P E E Z Z P P P L E P P Z L E

Pretstavi gi podatocite vo tabela na frekvencii i podredi gi po~nuvaj}i od najomilenoto godi{no vreme.

SOBIRAWE

Potseti se!

Presmetaj: 14 + 35

353 + 168

47 + 803

98 796 + 14 534

Mare i Mile `iveat vo Ko~ani. Na odmor oti{le vo Struga, no eden den se zadr`ale kaj baba im vo Bitola. Ko~ani

90 km Bitola Struga

68 + 37 + 3 + 916 =

190 km

Kolku kilometri pominale Mare i Mile od doma do baba im? Kolku kilometri pominale od Ko~ani do Struga?

B 2

Odredi go zbirot na broevite 52 i 34.

Potseti se i voo~i gi svojstvata na sobiraweto vo mno`estvoto N0. Ako se promeni mestoto na sobirocite zbirot ostanuva nepromenet. 52 + 34 = 86

ili

sobiroci zbir

34 + 52 = 86 sobiroci zbir

Trite sobiroci mo`at da se grupiraat na dva na~ina. Zbirot ostanuva nepromenet. (71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) = 185

+ 16 = 201

Promena na mestata na sobirocite ili komutativno svojstvo na sobiraweto. a+b=b+a

71 +

130

= 201

Koga eden od sobirocite e nula, toga{ zbirot e ednakov na drugiot sobirok.

Grupirawe na sobirocite ili asocijativno svojstvo na sobiraweto. a + (b + c) = (a + b) + c Zatoa, zagradite mo`e da se izostavat: a + b + c. Nulata pri sobiraweto. a+0=0+a=a

583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583

Presmetaj: 17 + 36 + 13 + 44 =

Koga se koristat svojstvata, sobiraweto e polesno!

Primer

12 + 81 + 9 + 38 + 27 = 161 + 234 + 439 =

27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

Grupiraj gi sobirocite na drug na~in i odredi go zbirot.

45 + (45 + 56) =

( 1 207 + 101) + 269 =

Odredi go zbirot na broevite 74, 33, 26, 48 i 57. Odredi go zbirot na broevite 140, 310, 750, 360 i 290. Na zbirot od broevite 124 i 139 dodaj go zbirot na broevite 261, 55 i 276. Odredi go prethodnikot na sekoj od broevite 372, 126 i 319 i presmetaj go zbirot od prethodnicite.

Napravi procenka na zbirot od broevite so zaokru`uvawe na stotki: a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378. Za kolku se razlikuva pribli`niot rezultat od to~niot zbir na broevite?

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ zbir na dva ili pove}e broevi; da gi primeni{ svojstvata na sobiraweto vo ednostavni primeri; da go proceni{ rezultatot od sobiraweto.

VIa 17 14 Vo tabelata se dadeni VIb 14 17 podatocite za brojot VIv 9 22 na u~enici vo VI oddelenie vo edno u~ili{te. Odredi go vkupniot broj na u~enici vo VI oddelenie vo u~ili{teto. Odredi go brojot na u~enicite vo VIa i VIb, a potoa sporedi gi. 44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

Zada~i 1. Presmetaj: 27

Paralelka Mom~iwa Devoj~iwa

171

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

+ 16

4. Napravi procenka na zbirot od bro-

+ 72

+ 93

+ 39

2. Vo eden vesnik pi{uva: „Na otvoraweto na festivalot prisustvuvale 1 300 posetiteli. Naredniot den pretstavata ja gledale 726 posetiteli”. Kolku posetiteli go posetile festivalot vo dvata dena?

3. Grupiraj gi sobirocite i odredi go zbirot: 64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

evite 7 328 i 6 435, zaokru`uvaj}i gi na: iljadi; stotki; desetki. Za kolku se razlikuvaat pribli`nite rezultati od to~niot zbir na broevite?

Problem! Brojot 2 e zapi{an sedum pati. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 Koj e najmaliot zbir {to mo`e da se dobie od sedum dvojki i dva znaka plus?

ODZEMAWE

Potseti se! Presmetaj: 475 - 232

1 852 800

2 685 - 518

9 840 - 189

Koj broj treba da stoi vo kvadrat~eto za da bide to~no? 47 -

= 19

28 +

= 47

Letnite olimpiski igri vo 2000 godina bea vo Sidnej - Avstralija. Olimpiskiot komitet pobaral da bidat rezervirani 4 830 vleznici za sve~enoto otvorawe, no slobodni bile 3 892 sedi{ta. Kolku lu|e ostanale bez vleznica? 4 830 - 3 892 =

+ 19 = 47

Namalenik Namalitel Razlika

Koristi gi podatocite vo tabelata za da odgovori{ na pra{awata. Olimpijada 1992 Ekipa

Poeni

Italija

15 760

Amerika

15 649

Polska

16 018

Kolku poeni pove}e osvoila polskata ekipa od italijanskata ekipa? Koja e razlikata me|u najgolemiot i najmaliot broj poeni?

Za da mo`eme da ja presmetame razlikata a - b na broevite a i b vo mno`estvoto N0 treba da bide a > b ili a = b.

B 3

Den

Br. lebovi

Ponedelnik

1 260

Vtornik

4 205

Sreda

4 728

Kolku vkupno leb proizveduva furnata za edna sedmica?

^etvrtok Petok

3 916 4 010

Spored podatocite vo tabelata presmetaj kolku vkupno neprodaden leb ostanalo.

Sabota

4 857

Nedela

1 376

Vo edna furna se pe~at po 5 000 leba sekoj den. Vo tabelata se dadeni podatocite za prodadeniot leb vo edna sedmica.

Proceni ja razlikata na broevite 457 i 165 zaokru`uvaj}i gi na desetki; stotki. Sporedi gi procenkite so to~nata vrednost na razlikata.

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ razlika na dva broja; da presmeta{ vrednost na broen izraz so operaciite sobirawe i odzemawe so ili bez zagradi; da ja proceni{ razlikata pri odzemaweto.

Presmetaj: (26 + 128) - 37 =

; 432 - (26 + 15) =

(439 - 195) + (270 - 36) =

;

Proceni ja razlikata na broevite 2 376 i 1 289 zaokru`uvaj}i gi na stotki.

Zada~i

Kon brojot 836 dodaj ja razlikata na broevite 299 i 173.

Razlikata na najgolemiot ~etiricifren broj i najmaliot tricifren broj zgolemi ja za 1 216.

Vesna ima 2 725 denari. Maja ima 120 denari pove}e od Vesna. Ana ima 385 denari pomalku od Vesna i Maja zaedno. Kolku denari ima Maja? Kolku denari ima Ana?

2. Vozot trgnal od Bitola za Skopje so 489 patnici. Vo Prilep od vozot slegle 120 patnici, a se ka~ile 70 patnici. Vo Veles slegle 42 patnici, a se ka~ile 98. So kolku patnici vozot stignal vo Skopje?

Asan imal 1 350 denari. Za da kupi patiki mu trebale 3 120 denari. Asan gi zaokru`il parite na stotki. Pomogni mu na Asan za da odredi u{te kolku stotki mu nedostasuvaat. Presmetaj to~no kolku pari mu nedostasuvaat na Asan.

Obidi se!

Ako zamisli{ koi bilo tri prirodni broja, dali sekoga{ me|u niv }e ima dva ~ij{to zbir e paren broj?

ZAVISNOST NA ZBIROT I RAZLIKATA OD PROMENATA NA KOMPONENTITE

Potseti se!

Dadeni se zbirot 320 + 150 = 470 i razlikata 250 - 120 = 130.

Utroto na †Denot na drvoto# se doneseni 2 600 zimzeleni sadnici i 3 100 listopadni sadnici. a) Kolku sadnici od dvata vida se doneseni toa utro?

Koj broj treba da stoi vo kvadrat~eto za da bide to~no. (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 ; (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

b) Napladne se doneseni u{te 400 zimzeleni sadnici. Za kolku }e se zgolemi brojot na sadnicite doneseni toa utro?

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; utroto se doneseni 5 700 sadnici. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Brojot na sadnicite doneseni utroto se zgolemil za 400.

Poznato e deka a + b = 200. Neka edniot od sobirocite se zgolemi za 300. Presmetaj go zbirot a + (b + 300).

Kako }e se promeni zbirot 340 + 620 = 960 a) ako edniot sobirok se namali za 60; b) ako edniot sobirok se namali za 60, a drugiot se zgolemi za 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = = 900 = 960 - 60;

a) Zbirot se namali za tolku za kolku {to se namali edniot od sobirocite.

Sogleda deka b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; zbirot ne se promeni.

Voo~i op{to za zbirot a + b = c Ako edniot sobirok se zgolemi za odreden broj, a drugiot ostane ist, toga{ i zbirot }e se zgolemi za istiot toj broj.

(a + m) + b = c + m

Ako edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiot

(a - m) + b = c - m

Zbirot nema da se promeni ako edniot sobirok se namali

(a - m) + (b + m) = c

ostane ist, toga{ i zbirot }e se namali za istiot toj broj. za odreden broj, a drugiot se zgolemi za istiot toj broj.

Dadena e razlikata 750 - 430 = 320. Presmetaj i sogledaj kako se menuva razlikata ako namalenikot a) se zgolemi za 50; b) se namali za 50.

Sekako sogleda: a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = = 370 = 320 + 50.

a) Razlikata se zgolemi za 50, t.e. isto kolku {to be{e zgolemen namalenikot.

b) Razlikata }e se namali za 50.

Dadena e razlikata 2 480 - 560 = 1 920. Kako }e se promeni razlikata, ako namalitelot: a) go namali{ za 30; b) go zgolemi{ za 30? Razlikata:

a) }e se zgolemi za 30;

b) }e se namali za 30.

Presmetaj ja razlikata 6 354 - 2 314. Kako }e se promeni razlikata ako i namalenikot i namalitelot a) se zgolemat za 120; b) se namalat za 120? Voo~i deka razlikata ostanuva ista.

Voo~i op{to za razlikata a - b = d Ako namalenikot se zgolemi (odnosno se namali) za odreden broj, a namalitelot ostane ist, toga{ i razlikata }e se zgolemi (odnosno }e se namali) za istiot toj broj. Ako namalitelot se zgolemi za odreden broj, a namale nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se namali za toj broj. Ako namalitelot se namali za odreden broj, a namalenikot ostane ist, toga{ razlikata }e se zgolemi za istiot toj broj.

Razlikata nema da se promeni ako namalenikot i namalitelot se zgolemat ili se namalat za eden ist broj.

(a + m) - b = d + m (a - m) - b = d - m a - (b + m) = d - m a - (b - m) = d + m (a + m) - (b + m) = d (a - m) - (b - m) = d

Kako }e se promeni razlikata, ako namalenikot se zgolemi za 10, a namalitelot se namali za 10?

Treba da znae{! Kako se menuva zbirot na dva broja, ako edniot sobirok: se zgolemi za daden broj; se namali za daden broj; se zgolemi za daden broj, a drugiot sobirok se namali za toj broj?

Kako se menuva razlikata na dva broja: ako namalenikot se zgolemi odnosno se namali za daden broj; ako namalitelot se namali, odnosno se zgolemi za daden broj; ako i namalenikot i namalitelot se zgolemat, odnosno se namalat, za istiot toj broj.

Proveri se!

Zbirot na dva broja iznesuva 3 540. Kolku }e iznesuva zbirot ako edniot od sobirocite se namali za 140? Razlikata na dva broja iznesuva 270. Kolku }e iznesuva razlikata a) ako namalenikot se namali za 27? b) ako namalitelot se zgolemi za 27? Presmetaj 460 - 120. Odredi go x vo ravenkata: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Zada~i

Kako }e se promeni zbirot ako eden od sobirocite se zgolemi za 234?

Ako 1 230 + 670 = 1 900, toga{ kolku e (1 230 - 350) + 670?

Dadena e razlikata 6 543 - 2 732 = 3 811. Za koja vrednost na x e to~no ravenstvoto 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

Ako namalitelot se zgolemi za 25, {to treba da se napravi so namalenikot za da ne se promeni razlikata?

Ako a - b = 100, presmetaj: a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30); v) (a - 10) - (b + 10); g) (a + 5) - (b - 5);

Edno utro Milica dobila izvesna suma pari od tatko £ i izvesna suma pari od majka £. Od parite od majka £ taa potro{ila 100 denari. Ve~erta, tatko £ i dal u{te 200 denari i taa utvrdila deka ima 700 denari. Kolku denari vkupno utroto £ dale tatko £ i majka £?

Problem Razmisli i obidi se da presmeta{ usno. Kolkava e razlikata me|u zbirot na prvite sto parni i zbirot na prvite sto neparni broevi?

MNO@EWE

Potseti se!

Presmetaj: 35 ⋅ 5 =

480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 =

4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 =

(3 ⋅ 5) ⋅ 200 =

Eden avtomobil tro{i 7 litri benzin za izminati 100 kilometri pat. Kolku litri benzin }e potro{i avtomobilot za 400 kilometri pat?

Dragan patuval 5 dena so svojot velosiped i sekoj den pominuval po 9 kilometri. Zoran patuval 6 dena so svojot velosiped i sekoj den pominuval po 8 kilometri. Kolku kilometri pove}e pominal Zoran od Dragan? Potseti se i voo~i gi svojstvata na mno`eweto vo mno`estvoto N0.

Ako se promenat mestata na mno`itelite proizvodot ostanuva nepromenet.

4 ⋅ 6 = 24

ili

6 ⋅ 4 = 24

Komutativno svojstvo na mno`eweto. a⋅b=b⋅a

mnoìteli proizvod mnoìteli proizvod Trite mnoìteli moàt da se grupiraat na dva na~ina. Proizvodot ostanuva nepromenet. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)

10 ⋅ 30

2 ⋅

Ako edniot od mnoìtelite e eden, toga{ proizvodot e ednakov na drugiot mnoìtel. 468 ⋅ 1 = 468 Ako eden od mnoìtelite e nula, toga{ proizvodot e ednakov na nula. 0 ⋅ 235 = 0

Asocijativno svojstvo na mno`eweto. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Zatoa, zagradite mo`e da se izostavat: a⋅ b⋅ c.

Mno`ewe so brojot 1 a⋅1= a

Mno`ewe so brojot 0 0⋅a= 0

Koga se koristat svojstvata, mno`eweto e polesno!

Presmetaj:

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

Primer

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

50 ⋅ (4 ⋅ 8) = Presmetaj:

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

40 + (130 ⋅ 10) = (280 + 32) ⋅ 8 = Presmetaj:

40 ⋅ (25 + 5) =

i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

To~kite odat pred crti~kite

No, prvo vo zagradite!

Kakvi se vrednostite na brojnite izrazi? Proveri dali e to~no? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Kako se formiraat izrazite {to gi sporeduva{? Voo~i deka: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c);

(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

So ovie ravenstva e iska`ano:

distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na sobiraweto. distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na odzemaweto. Proceni go proizvodot 324 ⋅ 48, zaokruùvaj}i gi mnoìtelite na desetki. Za kolku se razlikuva dobienata pribli`na vrednost od to~nata?

320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; procenkata e za 448 pove}e od to~nata vrednost.

Jovan pe{a~el 4 sedmici, po 4 dena sedmi~no, po 4 kilometri na den. Kolku kilometri pominal Jovan?

Sogledaj! Proizvodot 4 ⋅ 4 ⋅ 4 kratko se zapi{uva 43, a se ~ita: ~etiri na treti. Zapisot 43 se vika stepen so osnova 4 i stepenov pokazatel 3.

STEPENOV POKAZATEL

Da zapomnam: Proizvodot na ednakvi mno`iteli kratko zapi{an se vika stepen.

STEPEN

Kratko zapi{i go mno`eweto i proizvodot.

OSNOVA

Mno`ewe

Kratok zapis Vrednost

4⋅4⋅4 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3

6⋅6 8⋅8⋅8⋅8

[to pokaùva osnovata na stepenot? [to pokaùva stepenoviot pokazatel? Zapi{i go 108 vo vid na mnoèwe. Odredi ja vrednosta na 14. Po dogovor: 51 = 5; a1 = a.

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ proizvod na dva ili pove}e broevi; da gi primenuva{ svojstvata na mno`eweto; da go proceni{ proizvodot od mno`eweto na dva boja; da odredi{ vrednost na stepen.

Ilija i Jovan kupile po 8 paketi, vo koi imalo po 8 bonbonieri so po 8 bonboni vo sekoja bonboniera. Kolku paketi kupile Ilija i Jovan zaedno? Po kolku bonbonieri imal sekoj od niv? Kolku bonboni imal Jovan? Zapi{i go brojot na bonboni na Ilija vo vid na stepen.

Zada~i 3. 1.

Presmetaj: 186 ⋅ 35 = (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = 73 = 42 + 4 + 34 - 25 =

Vo eden zbir, brojot 245 se javuva kako sobirok 48 pati. Presmetaj go toj zbir.

Radiusot na Zemjata iznesuva 6 370 kilometri. Rastojanieto od Zemjata do Mese~inata e pogolemo okolu 60 pati od radiusot. Odredi go rastojanieto od Zemjata do Mese~inata. Proceni go proizvodot 127 ⋅ 268 zaokru`uvaj}i na: a) stotki; b) desetki. Odredi ja razlikata na to~niot i procenetiot proizvod.

5. Koi cifri treba da gi zapi{e{ na mestata od ∗, za mno`eweto da bide to~no presmetano?

439 ⋅ ∗7 3∗73 + ∗756 2∗633

DELEWE

Potseti se! Presmetaj: 14 : 7 =

22 : 2 =

396 : 3 =

20 : 10 =

88 : 22 =

1 200 : 60 =

A 1

U~enicite sobrale 1 300 denari za da kupat topki. Sekoja topka bila po 325 denari. Kolku topki kupile?

Izvr{i proverka na dobienite rezultati.

1 300

Vkupno 84 u~enici se prijavile za u~ili{niot turnir vo odbojka. Za treneri na ekipite se prijavile 6 nastavnici.

325

delenik delitel koli~nik

Ako sekoja ekipa e sostavena od 12 u~enici, dali brojot na nastavnici za treneri e dovolen? Potseti se i voo~i gi svojstvata na deleweto vo mno`estvoto N0. Ako delitel e brojot 1, toga{ koli~nikot e ednakov na delenikot. 23 765 : 1 = 23 765

Delewe so brojot 1 a:1=a

Ako delenikot e ednakov na delitelot, toga{ koli~nikot e 1. 762 : 762 = 1

Delewe na broj sam so sebe. a : a = 1, a ≠ 0

Ako delenik e brojot 0, toga{ koli~nikot e ednakov na brojot 0. 0 : 16 = 0

Delewe na brojot 0. 0 : a = 0, a ≠ 0

Brojot 0 ne mo`e da bide delitel.

2:0

nema smisla!

Presmetaj: (28 + 32) : 1 =

432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 = 108 : 18 + 3 485 : 85 = Odredi go delenikot, ako delitelot e 72, a koli~nikot e 102. So koj broj treba da se podeli brojot 18 712 za da se dobie brojot 1? 76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

Sekoga{ sum prv jas

n a

To~kite odat pred crti~kite

B 4

Ivan, Bojana i Beti sobiraat po{tenski marki. Tie imale 71 marka i sakale da si gi podelat podednakvo. Po kolku marki dobil sekoj?

Kolku marki ostanale nepodeleni?

Voo~i deka 71 = 23 ⋅ 3 + 2. Vo deleweto 71 : 3 brojot 23 e koli~nik, a brojot 2 e ostatok.

Ako vo deleweto a : b, brojot q e koli~nik, a r e ostatok, toga{: a=q⋅b+r

Ako a = 77 i b = 5, odredi go koli~nikot a : b i ostatokot r.

Zapi{i go brojot a vo forma a = b ⋅ q + r.

Odredi gi koli~nikot q i ostatokot r pri deleweto a : b i zapi{i go brojot a vo forma a = b ⋅ q + r. 16 : 3;

50 : 15;

125 : 11.

Razmisli i odgovori! Pri deleweto vo koe delitelot e brojot 8, ostatokot mo`e da bide: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Zo{to ostatokot ne mo`e da bide brojot 8?

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ koli~nik na dva broja;

Presmetaj go koli~nikot: 1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

da go pretstavi{ delenikot so pomo{ na koli~nikot, delitelot i ostatokot.

Presmetaj 1 510 : 125 = Delenikot pretstavi go so pomo{ na koli~nikot, delitelot i ostatokot.

Zada~i :3

Podeli so prviot broj, a potoa dobieniot rezultat podeli go so vtoriot broj.

108

2. Koj broj treba da se zapi{e vo kvadrat~eto za da bide to~no deleweto?

:9 : 19 : 19

63 9

600

169

9 :

Edno jato lastovici pri 39 preselbata preletalo okolu 10 000 kilometri. Najgolemata brzina {to ja dostignalo jatoto bila 40 kilometri na ~as. Kolku najmalku ~asovi letalo jatoto?

13 Eden pol`av so najgolemata negova brzina pominal 12 metri za 4 ~asa. Kolku centimetri pominal pol`avot za 1 minuta?

Se se}avam: :

4 10 ⋅5

2 = 10 : 2

3. Zapi{i izraz i presmetaj ja negovata vrednost. Odredi go zbirot na brojot 85 i proizvodot na broevite 4 i 15. Na koli~nikot od broevite 210 i 30 dodaj go brojot 700. Koj broj e razlikata me|u proizvodot na broevite 120 i 6 i nivniot koli~nik?

6. Koi cifri treba da gi zapi{e{ na mestata od ∗, za deleweto da bide to~no presmetano. 1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗ ∗∗∗ - ∗∗∗ 0

7. Dvajca u~enici delele eden ist broj: 4. Vo kvadrat~eto odredi broj za da bide to~no ravenstvoto: a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + b) 2 100 = 261 ⋅

+ 12.

prviot so 16, a vtoriot so 19. Prviot dobil koli~nik 22 i ostatok 9. Kolkav koli~nik dobil drugiot u~enik?

;

8. Zbirot na dva broja e 660. Ako na pogolemiot broj mu se izbri{e edna nula oddesno, toga{ tie se ednakvi. Koi se tie broevi?

NA PROIZVODOT I KOLI^NIKOT OD 15 ZAVISNOST PROMENATA NA KOMPONENTITE

Potseti se!

A 1

Spored koe svojstvo e to~no ravenstvoto: a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10; b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)? Dadeno e: 80 ⋅ 5 = 400. Zapi{i broj vo kvadrat~eto za da bide to~no ravenstvoto. a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ; v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) =

; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 =

Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto. 15 ⋅ 6 = 90; a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.

. Dadeniot proizvod e zgolemen 2 pati.

96 : 24 = 4

Presmetaj go proizvodot 15 ⋅ 6. Potoa, zgolemi go prviot mno`itel: a) 2 pati; b) 3 pati; v) 7 pati i proveri kolku pati se zgolemil proizvodot. [to voo~uva{?

DELENIK DELITEL KOLI^NIK KOMPONENTI

Sogleda deka dadeniot proizvod se zgolemil b) 3 pati; v) 7 pati.

Deleweto a : b ima smisla za b ≠ 0.

Neka a ⋅ b = 50. Presmetaj:

a) (a ⋅ 3) ⋅ b;

Presmetaj go proizvodot 40 ⋅ 9. Potoa, prviot mno`itel namali go: a) 2 pati; b) 4 pati; v) 5 pati i sporedi go dobieniot proizvod so dadeniot. [to zabele`uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 40 ⋅ 9 = 360; a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.

b) a ⋅ (b ⋅ 10).

Edniot mno`itel e namalen 2 pati i dadeniot proizvod e namalen 2 pati.

Proizvodot e namalen: b) 4 pati; v) 5 pati.

Ako a ⋅ b = 120, presmetaj kolku iznesuva:

a) (a : 3) ⋅ b;

Dadeno e 15 ⋅ 16 = 240. Presmetaj gi proizvodite: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5), a potoa sporedi gi so dadeniot proizvod.

b) a ⋅ (b : 5).

Voo~i deka edniot mno`itel e zgolemen 2 pati, odnosno 5 pati, a drugiot mno`itel e namalen 2 pati, odnosno 5 pati. Proizvodot ne se promenil.

Op{to za proizvodot a ⋅ b = p Ako edniot mno`itel se zgolemi odreden broj pati, a dru giot mno`itel ostane ist, toga{ i proizvodot }e se zgolemi

(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

isto tolku pati.

Ako edniot od mno`itelite se namali odreden broj pati, a drugiot ostane ist, toga{ i proizvodot }e se namali isto tolku pati.

Proizvodot ne se menuva koga edniot mno`itel se namali odreden broj pati, a drugiot mno`itel se zgolemi isto tolku pati.

B 6

Poznato ti e deka 72 : 12 = 6. Presmetaj: a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = v) (72 : 4) : (12 : 4) =

b) 72 : (12 ⋅ 3) =

;

; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) =

(a : m) ⋅ b = p : m

(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

; 72 : (12 : 3) =

Voo~i kolku pati e zgolemen, odnosno namalen: delenikot vo a); delitelot vo b); delenikot i delitelot vo v). Sporedi gi dobienite koli~nici so dadeniot. [to zabele`uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so slednovo. a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2; (72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

Delenikot e zgolemen 2 pati, odnosno namalen 2 pati i koli~nikot e zgolemen 2 pati, odnosno e namalen 2 pati.

Sogleda vo b) deka delitelot e zgolemen (namalen) 3 pati, a koli~nikot e namalen (zgolemen) 3 pati. Koli~nikot vo v) ne se promeni.

Poznato ti e deka a : b = 30. Presmetaj: a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3);

v) (a : 5) : (b : 5).

Op{to za koli~nikot a : b = q Ako delenikot se zgolemi (odnosno se namali) odreden broj pati, a delitelot ostane ist, toga{ koli~nikot }e se zgolemi (odnosno }e se namali) isto tolku pati.

Ako delitelot se zgolemi (odnosno se namali) odreden broj pati, a delenikot ostane ist, toga{ koli~nikot }e se namali (odnosno }e se zgolemi) isto tolku pati.

Koli~nikot ne se menuva ako i delenikot i delitelot

istovremeno se zgolemat (odnosno se namalat) ist broj pati.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m (a : m) : b = q : m a : (b ⋅ m) = q : m a : (b : m) = q ⋅ m (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q (a : m) : (b : m) = q

;

Treba da znae{! Proveri se!

Kako se menuva proizvodot na dva broja vo zavisnost od promenata na mno`itelite;

Odredi gi nepoznatite broevi p i m, ako: a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9; b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

kako se menuva koli~nikot na dva broja vo zavisnost od promenata na delenikot, odnosno na delitelot.

Znae{ deka 600 : 30 = 20. Presmetaj: a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4); v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).

Zada~i 1.

Daden e proizvodot a ⋅ b = 60. Presmetaj: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7); v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).

Vo fabrikata za ~okolada, dve ekipi pakuvale ~okoladi od po 100 g vo ednakvi kutii. Vtorata ekipa spakuvala vkupno 1 680 ~okoladi, a toa e 3 pati pomalku kutii otkolku prvata ekipa. Kolku ~okoladi spakuvala prvata ekipa?

Presmetaj go koli~nikot 7 680 : 240, no prethodno svedi go na delewe so ednocifren delitel, koristej}i go svojstvoto za nepromenlivost na koli~nikot.

Daden e koli~nikot a : b = 90. Presmetaj: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6); v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12). Dadeno e a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Presmetaj: a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

Zanimliv problem!

Edna èna donela na pazar ko{nica so jajca. Na prviot kupuva~ mu prodala polovinata od jajcata i polovina jajce, na vtoriot polovina od ostatokot i polovina jajce, na tretiot polovina od ostatokot i polovina jajce, na ~etvrtiot polovina od ostatokot i polovina jajce. Koga pettiot kupuva~ kupil polovina od ostatokot i polovina jajce, se konstatiralo deka site kupuva~i kupile celi jajca i ènata gi prodala site jajca. Kolku jajca donela ènata na pazar?

BROEN IZRAZ. RAVENKI

Potseti se!

A 1

Presmetaj: a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3; b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23. Zbirot na dva broja e 200, a edniot sobirok e 120. Kolku e drugiot sobirok?

120

Presmetaj go dobieniot izraz.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto

⋅ x

200

128

− 120

: 64

120 + x = 200 x = 200 - 120 x = 80

64 ⋅ x = 128 x = 128 : 64 x=2

Darko imal 120 denari. Majka mu mu dala 300 denari da si gi podelat podednakvo so sestra mu. Vo kni`arnicata kupil 4 tetratki po 35 denari i {estar za 50 denari. Kolku denari mu ostanale na Darko? Sostavi izraz od podatocite i soodvetnite operacii.

Proizvodot na dva broja e 128, a edniot mno`itel e 64. Kolku e drugiot mno`itel? +x

120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 = = 270 - 190 = 80. Izrazot {to go sostavi se vika broen izraz. Rezultatot po izvr{uvaweto na site operacii vo nego se vika vrednost na brojniot izraz.

Voo~i i zapomni Izrazi se slednive zapisi: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25). Ne se izrazi: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: a) 85 + 15 -30;

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.

Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite?

Prvo }e gi izvr{am operaciite mno`ewe i delewe, potoa sobirawe i odzemawe; no, pred s¢ - vo zagradite.

Sobiraweto i odzemaweto se vikaat operacii od prv red, a mno`eweto i deleweto se operacii od vtor red.

Op{to za redosledot na izvr{uvawe na operaciite

Operaciite od ist red se izvr{uvaat po redosledot kako {to se zapi{ani vo brojniot izraz.

Prvo se izvr{uvaat operaciite od vtor red, a potoa operaciite od prv red. Ako vo brojniot izraz ima zagradi, toga{ prednost ima izvr{uvaweto na operaciite vo zagradite.

Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz: a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6;

B 4

b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;

v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.

Rifat zamislil takov priroden broj, koj{to sobran so najgolemiot tricifren broj go dava brojot 1 234. Koj e toj broj?

Voo~i ja postapkata i postapi po barawata. Prvo, baraniot broj ozna~i go so nekoja bukva, na primer so bukvata x.

x + 999 = 1 234

Na brojot x dodaj mu go najgolemiot tricifren broj - toa e 999; taka }e go dobie{ zbirot x + 999. Spored uslovite na zada~ata, zbirot x + 999 e ednakov na 1 234, pa x + 999 = 1 234. Kako }e go odredi{ nepoznatiot sobirok od ova ravenstvo?

Sobirokot x }e go odredam ako od zbirot 1 234 go odzemam drugiot sobirok 999. Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235. Ravenstvoto x + 999 = 1 234 so koe go odredi nepoznatiot broj x se vika ravenka. Nepoznatiot broj x se vika nepoznata. Odreduvaweto na nepoznatiot broj se vika re{avawe na ravenkata.

Re{i ja ravenkata a) (x + 1) + 300 = 702;

b) 1 432 + x = 3 200 + 17.

Dadena e ravenkata:

a) x - 1 270 = 2 380;

b) 8 226 - x = 1 149.

Odgovori na pra{awata i re{i ja dadenata ravenka. a) [to e nepoznatiot broj x, a {to se poznatite broevi 1 270 i 2 380? Kako se odreduva nepoznatiot namalenik pri dadeni namaleitel i razlika? Namalenikot x }e go odredam taka {to na razlikata 2 380 }e go dodadam namalitelot 1 270.

b) Kako }e go odredi{ nepoznatiot namalitel x vo ravenkata pri dadeniot namalenik 8 226 i dadenata razlika 1 149? Namalitelot x }e go odredam taka {to od namalenikot 8 226 }e ja odzemam razlikata 1 149.

Re{i ja ravenkata:

a) x - (1 300 + 78) = 2 630;

b) 5 273 - x = 3 700 - 37.

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznat: sobirok, namalenik ili namalitel Nepoznat sobirok, pri poznat zbir i drugiot sobirok, se odreduva taka {to od zbirot se odzema poznatiot sobirok.

x + b = c; x = c - b (b i c se poznati broevi)

Nepoznat namalenik, pri poznati namalitel i razlika, se x - b = d; x = d + b dobiva koga na razlikata £ se dodade namalitelot. (b i d se poznati broevi)

Nepoznat namalitel, pri poznati namalenik i razlika se dobiva taka {to od namalenikot se odzema razlikata

a - x = d; x = a - d (a i d se poznati broevi)

Vo edna vinarska vizba vo kutii treba da spakuvaat 1 392 {i{iwa, a vo sekoja kutija treba da ima po 16 {i{iwa. Kolku kutii bile potrebni? Ako go ozna~i{ so k brojot na potrebnite kutii, toga{ vo niv }e ima 16 ⋅ k {i{iwa, pa 16 ⋅ k = 1 392. Brojot 1 392 e proizvod na mnoìtelite 16 i k. Kako }e go odredi{ mnoìtelot k? Mnoìtelot k }e go odredam ako proizvodot 1 392 go podelam so mnoìtelot 16.

k = 1 392 : 16; k = 87. [i{iwata bile spakuvani vo 87 kutii.

Re{i ja ravenkata:

a) 17 ⋅ y = 595;

b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.

Kako mo`e{ "da ja pro~ita{# ravenkata x : 25 = 47, t.e. {to se poznatite broevi 25 i 47, a {to e nepoznatata x?

Potoa obrazlo`i go zaklu~okot deka x = 47 ⋅ 25. Koj broj e re{enieto? Proveri go svoeto tvrdewe.

"Pro~itaj# ja ravenkata 1 120 : x = 35 i obrazlo`i go zaklu~okot x = 1 120 : 35.

Re{i ja ravenkata a) x : 7 = 63;

b) (z + 4) : 10 = 8;

v) 1 080 : x = 24;

g) 50 : (x + 2) = 10.

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznatiot: mnoìtel, delenik ili delitel. Nepoznatiot mnoìtel, pri poznat proizvod i drugiot mnoìtel, se odreduva taka {to proizvodot }e se podeli so

a ⋅ x = p; x = p : a (a i p se poznati)

poznatiot mno`itel.

Nepoznatiot delenik, pri poznat delitel i koli~nik, se odreduva taka {to koli~nikot }e se pomno`i so delitelot.

x : b = q; x = q ⋅ b (b i q se poznati)

Nepoznatiot delitel, pri poznat delenik i koli~nik se odreduva taka {to delenikot }e se podeli so koli~nikot.

a : x = q; x = a : q (a i q se poznati broevi)

Treba da znae{! Proveri se! Da odreduva{ vrednost na daden broen izraz;

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: 17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

koi operacii vo broen izraz imaat prednost pri nivnoto izvr{uvawe;

Re{i gi ravenkite: a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63; v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15; d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

da re{ava{ ravenki spored svojstvata na aritmeti~kite operacii.

Zada~i 1.

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz: a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16); b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13). Re{i ja ravenkata: a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120; v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40; d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.

Vo edna firma napolnile 1 360 gajbi jabolka, od koi 420 od vidot deli{es, 635 ajdaret, a ostanatite gajbi od vidot tetovsko jabolko. Kolku gajbi tetovsko jabolko bile?

Ana ima 11 godini. Pred 3 godini majka £ imala 4 pati pove}e godini od Ana. Kolku godini ima sega majka £ na Ana?

Jana i Jovan imaat po ist broj orevi. Se znae deka zaedno bi imale 140 orevi koga Jana bi imala 2 pati pove}e, a Jovan 5 pati pove}e. Po kolku orevi imaat Jana i Jovan?

S O

R A B O T A P O D A T O C I

17 1

ARITMETI^KA SREDINA

Sa{o e sopstvenik na videoklub i izdava videokaseti. Podatocite za izdadenite kaseti gi zapi{uval vo tabela. Den

Koj den Sa{o izdal najmnogu kaseti?

Broj na kaseti

Ponedelnik

Vtornik

Sreda

^etvrtok

Petok

Kolku kaseti pove}e bile izdadeni vo petok otkolku vo vtornik? Kolku vkupno kaseti bile izdadeni? Sa{o go interesiralo kolku kaseti izdaval prose~no na den, a za toa e potrebno da ja presmeta aritmeti~kata sredina na broevite od tabelata.

Voo~i! 12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65

Vkupno izdadeni kaseti Prose~no izdadeni kaseti sekoj den

65 : 5 = 13

Vo tekot na pette rabotni denovi vo sedmicata Sa{o izdaval prose~no po 13 video kaseti dnevno. Brojot 13 e aritmeti~ka sredina za broevite 12, 9, 15, 6 i 23.

Broj na denovi

Da zapomnam: Aritmeti~ka sredina na dva ili pove}e broevi e koli~nikot od zbirot na tie broevi i brojot na sobirocite.

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na broevite: 24, 36, 42;

657, 890, 1 240, 121, 3 522.

Na testovite po matematika Agim gi postignal sledive rezultati: na testot 1 osvoil 89 poeni, na testot 2 osvoil 91 poen, na testot 3 osvoil 100 poeni i na testot 4 osvoil 80 poeni. Pretstavi gi podatocite vo tabela. Kolku poeni prose~no osvoil Ace na testovite po matematika?

DELIVOST NA PRIRODNI BROEVI. DELIVOST NA ZBIR I RAZLIKA

Potseti se!

A Presmetaj: 24 : 6 = 139 : 2 =

Osumnaeset u~enici od VI oddelenie se podgotvuvaat za patroniot praznik. Tie sakaat da nastapat taka {to }e se podreduvaat vo redovi so ednakov broj u~enici.

Na kolku razli~ni na~ini mo`e da se podredat u~enicite?

265 : 5 = 2 785 : 8 =

Dopolni ja tabelata so podatocite za podreduvawe na u~enicite.

Vo koi od delewata ostatokot e 0?

Na kolku na~ini mo`e da se dobie brojot 18 kako proizvod na dva broja? So koi broevi mo`e da se podeli brojot 18 taka {to ostatok pri deleweto da bide brojot 0 (bez ostatok)?

Broj na redovi

Broj na u~enici Vkupno vo sekoj red u~enici

1 ⋅ 18

2⋅9 3⋅6

3 3 9

1 ⋅ 18

Da zapomnam: Brojot 18 se deli so broevite 1, 2, 3, 6, 9 i 18 bez ostatok.

Se veli: 18 e deliv so broevite 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Tie broevi se vikaat deliteli na brojot 18. Se zapi{uva: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

So delewe proveri dali:

JAS SUM DELITEL!

brojot 6 e delitel na brojot 24; brojot 31 e deliv so brojot 5; brojot 42 e deliv so brojot 6.

Odredi go mno`estvoto D14 na site deliteli na brojot 14. Voo~i deka za da gi odredi{ site deliteli na brojot 14 treba postapno da deli{ so 1, 2, 3, ..., 7.

Brojot 4 e delitel na brojot 8 (4 ⋅ 2 = 8 ili 8 : 4 = 2 i ostatok 0). Zapi{i 5 broevi {to se delivi so brojot 4.

Site broevi {to se delivi so brojot 4 se vikaat sodr`ateli na brojot 4.

Mno`estvoto od site sodr`ateli na brojot 4 go ozna~uvame so S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}. broj b e delitel na prirodniot broj a, ili a e deliv so b, ako osta Prirodniot tokot pri deleweto na a so b e 0. 10 = 5 ⋅ 2

10 : 5 = 2 DELITEL NA 10

Zapi{uvame: 5 | 10. ^itame: 5 e delitel na 10.

Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ako a = b ⋅ k za nekoj priroden broj k. Zapi{uvame: b | a. ^itame: b e delitel na a.

Prirodniot broj a e sodr`atel na prirodniot broj b, ako b e delitel na a. 35 e sodr`atel na 5, bidej}i 5 | 35

so sebe. Sekoj priroden broj e deliv so101: i1 sam = 10 i 10 : 10 = 1 a:1=a i a:a=1

Proveri dali se delivi so brojot 7:

28, 42 i 28 + 42;

14, 18 i 14 + 18.

Proveri dali se delivi so brojot 3:

9, 24 i 24 - 9;

15, 22 i 22 - 15.

Proveri dali se delivi so brojot 4:

12, 15 i 12 ⋅ 15;

10, 15 i 15 ⋅ 10.

Voo~iv vo zada~ata! Zbirot e deliv so brojot 7 ako dvata sobiroka se delivi so 7. Razlikata e deliva so brojot 3 ako namalenikot i namalitelot se delivi 3. Proizvodot e deliv so brojot 4 ako eden od mno`itelite e deliv so 4.

Op{to

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv so brojot m, toga{ zbirot (a + b) e deliv so brojot m. 5 | 15 i 5 | 35

5 | (15 + 35)

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv so brojot m, toga{ razlikata (a - b) e deliva so brojot m. 3 | 21 i 3 | 9

3 | (21 - 9)

Ako brojot m e delitel barem na eden od broevite a ili b, toga{ m e delitel na proizvodot (a ⋅ b). 2 | 8 i 2 | 15

2 | (8 ⋅ 15)

Delivost na zbir m|a i m|b m | (a + b) Delivost na razlika m|a i m|b m | (a - b) Delivost na proizvod m | a ili m | b m | (a ⋅ b)

Od broevite: 15, 18, 25 i 28 odredi dva broja taka {to: zbirot e deliv so 5;

razlikata e deliva so 3;

proizvodot e deliv so 7, a ne e deliv so 5. Proveri dali zbirot 12 + 8, odnosno razlikata 24 - 9, se delivi so 5.

Voo~i deka nieden od sobirocite, odnosno i namalenikot i namalitelot ne se delivi so 5, a zbirot, odnosno razlikata se delivi so 5.

Treba da znae{! Koga eden priroden broj e deliv so drug priroden broj;

Proveri se! Dadeni se broevite: 5, 8, 30 i 56. Koj od tie broevi e deliv so 6?

da odredi{ deliteli i sodr`ateli na daden priroden broj;

Zapi{i gi site deliteli na brojot 30.

so primer da ja poka`e{ delivosta na zbir, razlika i proizvod na prirodni broevi.

Dali brojot 5 e delitel na 58?

Zapi{i tri sodr`ateli na 5. Proveri bez da presmetuva{ dali e to~no: 4 | (8 + 36);

5 | (56 - 30);

5 | (30 - 5);

5 | (30 ⋅ 6).

Zada~i 1.

Koi od broevite 1, 2, 3, 5 ili 7 se deliteli na brojot 70?

Odredi gi site deliteli na brojot 64.

Bez da go presmeta{ zbirot, odnosno razlikata, odredi dali e deliv so 5. a) 40 + 25;

b) 27 + 20;

v) 50 - 15;

g) 35 - 29.

Proveri dali 4 | 12; 3 | 36; 10 | 1 000. Zapi{i 7 sodr`ateli na brojot 3. Kolku sodr`ateli ima brojot 3?

Zapi{i po eden primer za da ja poka`e{ delivosta na:

Bez da gi presmetuva{ proizvodite, utvrdi koj od niv e deliv so 3, a koj so 7. a) 9 ⋅ 5;

b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

v) 5 ⋅ 12;

g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

zbir na 4 prirodni broevi so broj; razlika na 2 prirodni broevi so broj; proizvod na 3 prirodni broevi so broj.

Neka A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. Zapi{i go tabelarno mno`estvoto B = {x | x ∈ A i 4 | x}.

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 2 I SO 5

Potseti se!

Za da utvrdi{ dali eden broj e deliv so drug broj, dovolno e da go odredi{ nivniot koli~nik.

Eden priroden broj e deliv so drug priroden broj ako ostatokot pri deleweto e 0.

Delivosta mo`e da se utvrdi i bez da se vr{i deleweto. Toa go pravime so pomo{ na kriteriumi ili takanare~eni priznaci za delivost.

Odredi koj od broevite: 37, 64 i 310 e deliv so 2. Koj od broevite: 65, 800 i 273 e deliv so 5?

Proveri dali broevite: 10, 70 i 270 se delivi so 2.

Mo`am da voo~am!

Voo~i ja postapkata

10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10. 70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70. 290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

Brojot {to zavr{uva na nula, mo`e da se zapi{e kako proizvod vo koj eden mno`itel e 10. Toj proizvod e deliv so 2. Sekoj broj na koj cifrata na edinici e 0 e deliv so 2.

Voo~i ja postapkata 2

Koi od broevite: 132, 254 i 365 se delivi so 2?

132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, bidej}i 2 | 130 i 2 | 2. 254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, bidej}i 2 | 250 i 2 | 4. 365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, bidej}i 2 | 360 i 2 | 5.

Mo`am da voo~am! Dali eden broj e deliv so 2 ili ne e, zavisi od cifrata na edinicite na toj broj.

Zapomni! Eden broj e deliv so 2, ako cifrata na edinicite na toj broj e 0, 2, 4, 6 ili 8. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 2.

Koj od broevite: 530, 738, 1 336, 1 112 i 2 243 e deliv so 2?

Voo~i ja postapkata 4

Proveri dali broevite: 10, 70 i 360 se delivi so 5.

10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 bidej}i 5 | 2 i 5 | 5. 70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 bidej}i 5 | 10 i 5 | 7. 360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 bidej}i 5 | 10 i 5 | 36.

Moàm da voo~am! Brojot ~ija cifra na edinici e nula moè da se zapi{e kako proizvod vo koj eden od mnoìtelite e 10. Toj priroden broj e deliv so 5. Sekoj priroden broj na koj cifrata na edinicite e 0 e deliv so 5.

Voo~i ja postapkata 5

Koi od broevite: 65, 105 i 263 se delivi so 5?

65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, bidej}i 5 | 60 i 5 | 5. 105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, bidej}i 5 | 100 i 5 | 5. 263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, bidej}i 5 | 260 i 5 | 3. Zapomni!

Mo`am da voo~am! Brojot ~ija cifra na edinici e 5 e deliv so 5.

Eden broj e deliv so 5, ako cifrata na edinicite na toj broj e 0 ili 5.

Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 5.

Koj od broevite: 180, 243, 525, 420 i 1 275 e deliv so 5?

Treba da znae{!

Proveri se!

Da proveri{ dali nekoj priroden broj e deliv so 2, odnosno so 5, bez da go izvr{i{ deleweto;

Koj od broevite: 13, 24, 15, 57, 155, 850 i 1 000 e deliv so 2;

da go primeni{ priznakot za delivost so 2, odnosno so 5, vo zada~i.

Zada~i 1. Bez da go izvr{i{ deleweto proveri ja delivosta so 2 na broevite: 28, 70, 96, 797, 2 001 i 25 000.

2. Iska`i go priznakot za delivost so 5. 3. Koi od broevite: 102, 275, 400, 876 i 995 se delivi so 5?

deliv so 5;

deliv so 2 i so 5?

Ana imala pove}e od 60, a pomalku od 70 bonboni. Taa gi podelila bonbonite na 5 svoi drugarki podednakvo. Kolku bonboni imala Ana?

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 3 I SO 9

Potseti se!

A 1

Odredi koi od broevite: 9, 66, 171 i 231 se delivi so 3. Koi od broevite: 18, 999, 1 062 i 11 000 se delivi so 9?

Zapi{i tri broja ~ij zbir na cifrite e deliv so 3. Proveri dali broevite {to gi zapi{a se delivi so 3. Mo`am da voo~am! Koga eden broj e deliv so 3 i zbirot na negovite cifri e deliv so 3.

Koi od broevite: 72, 84, 297 i 373 se delivi so brojot 3? Odredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite. Utvrdi kaj koi od broevite zbirot na nivnite cifri e deliv so 3. Utvrdi koi broevi se delivi so 3 i kaj koi broevi zbirot na cifrite e deliv so 3. [to zaklu~uva{?

Zapomni! Eden broj e deliv so 3, ako zbirot od cifrite so koi toj e zapi{an e broj deliv so 3.

Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 3.

Koj od broevite: 111, 292, 1 112 i 1 236 e deliv so 3?

Koi od broevite: 78, 117, 348, 486 i 1 567 se delivi so brojot 9? Odredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite. Utvrdi na koi od broevite zbirot na cifrite e deliv so 9? Mo`am da voo~am! Koga eden broj e deliv so 9 i zbirot na negovite cifri e deliv so 9.

Zapomni! Eden broj e deliv so 9, ako zbirot od cifrite so koi toj e zapi{an e broj deliv so 9.

Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 9.

Bez da deli{ opredeli koj od broevite: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 i 7 235 e deliv: so 3;

so 9;

so 3 i so 9.

Mo`am da voo~am! Broevite: 459, 774 i 6 327 se delivi so 3 i so 9.

Treba da znae{!

Zapomni! Sekoj broj {to e deliv so 9 e deliv i so 3.

Proveri se!

Koj priroden broj e deliv so 3; da odredi{ dali daden broj e deliv so 9;

Koi od broevite: 75, 94, 258 i 347 se delivi so 3?

sekoj priroden broj {to e deliv so 9 e deliv so 3.

Koja cifra treba da stoi na mestoto na ∗ vo 5 6∗3 za da se dobie broj deliv so 9? Zapi{i eden broj {to e deliv so 3 i so 9.

Zada~i 1. Koi od broevite 348, 512, 1 245 i

6 123 se delivi so 3?

Zameni ja yvezdi~kata so cifra, taka dobieniot broj da bide deliv so 9. 3∗8;

6 ∗74;

1 8∗3;

35∗12.

2. Koi od broevite 4 279, 9 126 i 540 se delivi so 9?

3. Koja cifra treba da se zapi{e na

mestoto ozna~eno so ∗, za dobieniot broj da bide deliv so 3? 1 3∗7;

6 53∗;

3 ∗25;

Koja cifra treba da zapi{e{ na mestoto ozna~eno so ∗ vo brojot 27 55∗ za brojot da bide deliv so 2 i so 3?

24 ∗62.

Ako saka{ da znae{ pove}e! Zo{to eden broj e deliv so 9 koga zbirot na negovite cifri e deliv so 9? Voo~i na sledniov primer: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);

Izrazot 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 e deliv so 9 spored praviloto za delivost na proizvod i zbir. Od vrednosta na izrazot 4 + 8 + 6 zavisi dali brojot 486 e deliv so 9. 4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, bidej}i 9 | 18.

Na sli~en na~in poka`i ja delivosta na brojot 123 so 3.

Obidi se da zaklu~i{! Milica vlegla vo prodavnica da kupi eden sladoled i tri ~okoladi. Znaela deka sladoledot ~ini 60 denari. Prodava~ot i rekol deka treba da plati 220 denari. Taa rekla deka smetkata ne e to~na. Prodava~ot povtorno presmetal i se izvinil. Kako Milica znaela deka smetkata ne e to~na, a ne ja znaela cenata na ~okoladata?

PRIZNAK ZA DELIVOST SO 4

A 1

Potseti se! Koj od broevite: 96, 300, 2 718 i 3 008 e deliv so 4?

Proveri dali broevite: 100, 500 i 1 300 se delivi so 4.

Voo~i ja postapkata

100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, bidej}i 4 | (25 ⋅ 4). 500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, bidej}i 4 | (100 ⋅ 5). 1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, bidej}i 4 | (100 ⋅ 13). Moàm da voo~am! Brojot na koj cifrite na edinicata i desetkata se nuli moèda se zapi{e kako proizvod vo koj eden od mnoìtelite e 100. Toj proizvod e deliv so 4. Sekoj broj na koj cifrata na edinicite e 0 i cifrata na desetkite e 0 e deliv so 4.

Voo~i ja postapkata 2

Koi od broevite 132, 916 i 283 se delivi so 4?

: 4 = (100 + 32) : 4; 4 | 132, bidej}i 4 | 100 i 4 | 32. 132 916 : 4 = (900 + 16) : 4; 4 | 916, bidej}i 4 | 900 i 4 | 16. 283 : 4 = (200 + 83) : 4; 4 | 283, bidej}i 4 | 200 i 4 | 83.

Mo`am da voo~am! Dali nekoj broj e deliv so brojot 4 ili ne, zavisi od dvocifreniot broj formiran od cifrata na edinicite i cifrata na desetkite na toj broj.

Zapomni! Daden broj e deliv so 4, ako negoviot dvocifren zavr{etok e deliv so 4. Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 4.

Utvrdi koj od broevite: 48, 108, 135, 1 240, 7 732 i 9 006 e deliv so 4.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da odredi{ dali nekoj priroden broj e deliv so 4 bez da go izvr{i{ deleweto.

Zapi{i go brojot 9 996 kako zbir od koj }e utvrdi{ dali e deliv so 4. Zapi{i dva broja {to se delivi so 4.

Zada~i 1. So cifrite 1, 2, 3 i 4, bez nivno povtoruvawe, zapi{i gi site ~etiricifreni broevi {to se delivi so 4.

2. Koja cifra treba da se zapi{e na mestoto ozna~eno so ∗ za brojot da bide deliv so 4? 362∗; 4 71∗;

3. Zapi{i tri prirodni broevi {to se delivi so 4 i 5.

Zapi{i go brojot od vtorata desetka na ~etvrtata stotka {to e deliv so 2, 3 i 4.

5 4∗2; 52∗0.

I ova e matematika ! Na masa se nao|aat 50 grav~iwa. Dva igra~i naizmeni~no zemaat po edno, ili po dve ili po tri grav~iwa. Pobeduva onoj igra~ koj posleden }e zeme. Kolku grav~iwa treba da zeme igra~ot {to po~nuva prv za sigurno da pobedi? Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot koj {to zema prv. Napravi pobedni~ka strategija za igra~ot {to zema vtor ako na masata ima 20 grav~iwa. Napravi pobedni~ka strategija ako na masata ima koj bilo broj grav~iwa i igra~ite naizmeni~no zemaat od 1 do 4 ili od 1 do 5 itn. Ako ne mo`am da re{am te{ka zada~a, }e probam so sli~na polesna. ]e probam so 10 grav~iwa, potoa so 20 grav~iwa itn.

PROSTI I SLO@ENI BROEVI. 22 PRETSTAVUVAWE SLO@EN BROJ KAKO PROIZVOD

OD PROSTI MNO@ITELI Potseti se!

A 1

Sekoj priroden broj e deliv so 1. Sekoj priroden broj e deliv sam so sebe.

Zapi{i tri broevi {to imaat pove}e od dva deliteli.

Zapi{i gi site deliteli na broevite: 3, 17 i 53. Odredi gi site deliteli na broevite: 6, 12 i 15.

2 Broj

Delitel na brojot

1, 2

1, 3

1, 2, 4

1, 5

1, 2, 3, 6

Zapi{i tri broevi {to imaat samo dva deliteli.

Razgledaj ja tabelata.

Koj broj ima samo eden delitel? Koi od broevite vo tabelata imaat samo dva deliteli? Koi od broevite vo tabelata imaat pove}e od dva deliteli?

Zapomni! Broevite {to imaat samo 2 deliteli se vikaat prosti broevi.

Jas sum slo`en

A Jas !?

1 4 7

Jas sum prost.

Broevite {to imaat 3 ili pove}e deliteli se vikaat slo`eni broevi. Brojot 1 ne e nitu slo`en nitu prost broj.

Vo tabelata broevite: 2, 3 i 5 se prosti. Vo tabelata broevite 4 i 6 se slo`eni.

Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata: A = {x | x ∈ N i x < 20}; B = {x | x ∈ A i x e prost broj}; C = {x | x ∈ A i x e slo`en broj}.

B 4

Odredi go proizvodot na prostite broevi: 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.

Pretstavi go kako proizvod sekoj od broevite: 42, 50 i 75. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2 50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52 75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52

Moàm da voo~am! Sloèn broj moàm da pretstavam kako proizvod od prosti broevi.

Zapomni! Sekoj sloèn priroden broj moè da se zapi{e kako proizvod od prosti broevi, t.e. da se razloì na prosti mnoìteli.

Zapi{i go brojot 36 kako proizvod od prosti broevi.

Razloì go brojot 120 na prosti mnoìteli. Voo~i ja postapkata za razloùvawe na daden broj na prosti mnoìteli.

120 60 30 15 5 1

2 2 2 3 5

povlekuvame vertikalna crta do brojot 120. Vertikalnata Prvo crta ja zamisluvame kako znak za delewe, a koli~nicite gi zapi{uvame pod delenikot. go zapo~nuvame so najmaliot prost delitel na dade Deleweto niot broj i prodol`uvame so toj delitel s¢ dodeka e mo`no (vo slu~ajov so 2). ja prodol`uvame so sekoj od koli~nicite s¢ dodeka Postapkata dobieme koli~nik 1.

120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 So koristewe na istata postapka razloì gi na prosti mnoìteli broevite: 36, 140, 600 i 10 000. Voo~i go razloùvaweto na brojot 1 164.

1 164 582 291 97 1

2 2 3 97

1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97

Posledniot koli~nik 97 ne e deliv ni so 3 ni so 5. i utvrduvame deka ne e deliv ni so naredniot Proveruvame prost broj 7. da proveruvame za naredniot prost broj 11, Nema potreba 2 bidej}i 11 > 97.

Zna~i, 97 e prost broj.

Treba da znae{!

Proveri se!

Koi prirodni broevi se prosti, a koi slo`eni;

Koj od broevite 91 i 97 e slo`en broj? Obrazlo`i!

da razlo`i{ daden broj na prosti mno`iteli.

Razlo`i go brojot 152 na prosti mno`iteli.

Zada~i 1. Razlo`i gi na prosti mno`iteli broevite: 15, 42, 38, 75 i 11 115.

3. Edno semejstvo ima neparen broj deca, prost broj doma{ni mileni~iwa, paren broj avtomobili i slo`en broj spalni sobi. Zbirot na site ovie broevi e 10. Koi se tie broevi?

2. Brojot na godinite na Sa{o e sloèn broj pomal od 30, a pogolem od 20 i moè da se pretstavi kako proizvod na tri ednakvi prosti mnoìteli. Kolku godini ima Sa{o?

Obidi se da zapi{e{ parni broevi pogolemi od 2 kako zbir na dva prosti broja. Primer: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11. Napi{i go kako zbir od prosti broevi brojot: 14; 52.

Istra`i sam! Vo eden hotel imalo 100 svetilki. Na edna tabla imalo prekinuva~i za sekoja svetilka i tie bile ozna~eni so broevi od 1 do 100. Ako prekinuva~ot se pritisne edna{, svetilkata se pali, a ako se pritisne po vtor pat taa se gasi. Site svetilki bile izgasnati. Domarot prviot den gi pritisnal site prekinuva~i, t.e. site svetilki gi zapalil. Za da za{tedi elektri~na energija, toj vtoriot den go pritisnal sekoj vtor prekinuva~, tretiot den sekoj tret i na toj na~in stotiot den go pritiskal samo stotiot prekinuva~. Koi svetilki, t.e. svetilkite so koi ozna~eni broevi }e svetat po stotiot den?

Mo`am sam da istra`am i da go re{am problemot. ]e razmislam prvo za 10 svetilki, potoa za 20, potoa za 30 i taka }e zaklu~am za 100 svetilki.

ZAEDNI^KI DELITEL. NAJGOLEM ZAEDNI^KI DELITEL

Potseti se! Odredi gi site deliteli na brojot 18. Mno`estvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D18. Odredi gi site deliteli na brojot 24. Mno`estvoto deliteli zapi{i go tabelarno i ozna~i go so D24.

Odredi gi zaedni~kite deliteli na broevite 18 i 24, t.e. odredi D18 ∩ D24.

Mimoza kupila bonboni za 28 denari, a Ivan kupil od istite bonboni za 42 denari. Koja bi mo`ela da bide cenata na edna bonbona? Koja bi mo`ela da bide najvisokata cena na edna bonbona?

Voo~i ja postapkata i zaklu~i!

Site deliteli na brojot 28. Site deliteli na brojot 42. Zaedni~kite deliteli za broevite 28 i 42.

D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}

Voo~uvam deka: Ako D28 e mnoèstvo deliteli na brojot 28, a D24, mnoèstvo deliteli na brojot 24, toga{ D28 ∩ D24 e mnoèstvoto na zaedni~kite deliteli na broevite 28 i 24.

Voo~i deka:

Cenata na edna bonbona bi mo`ela da bide: 1, ili 2, ili 7 ili 14 denari. Najvisokata cena bi mo`ela da bide 14 denari. Brojot 14 e najgolem zaedni~ki delitel za broevite 28 i 42. Zapomni! Najgolemiot od site zaedni~ki deliteli na broevite m i n se vika najgolem zaedni~ki delitel na broevite m i n. Se ozna~uva: NZD(m, n).

Odredi go mno`estvoto zaedni~ki deliteli na broevite 30 i 45. Odredi NZD(30, 45).

Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel na broevite: a) 24 i 30; b) 9 i 14.

Voo~i! Zaedni~ki delitel za broevite 9 i 14 e brojot 1, a toj e i nivniot najgolem zaedni~ki delitel, t.e. NZD (9, 14) = 1.

Zapomni! Ako NZD (a, b) = 1, toga{ za broevite a i b velime deka se zaemno prosti broevi.

B 4

Odredi NZD(168, 180). ja postapkata i raboti spored Voo~i barawata. gi broevite 168 i 180 na prosti Razlo`i mno`iteli. gi broevite 168 i 180 kako Pretstavi proizvod od prosti broevi.

168 84 42 21 7 1

2 2 2 3 7

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Voo~i! Proizvodot od zaedni~kite prosti deliteli na broevite 168 i 180 e nivniot najgolem zaedni~ki delitel, t.e. NZD(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

Odredi NZD(120, 150) i NZD(42, 63, 84). Voo~i ja skratenata postapka za odreduvawe NZD.

Odredi go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata broja. go najmaliot prost broj {to e delitel na dvata dobieni Odredi koli~nici. ja prodol`uva{ s¢ dodeka dobienite koli~nici Postapkata stanat zaemno prosti broevi. na zaedni~kite prosti deliteli e najgolemiot zaed Proizvodot ni~ki delitel, t.e. NZD(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.

Odredi a) NZD(72, 90);

b) NZD (150, 180, 240)

120, 150 60, 75 20, 25 4, 5

2 3 5

42, 63, 84 14, 21, 28 2, 3, 4

3 7

Treba da znae{!

Proveri se!

Da odredi{ zaedni~ki delitel na dva broja;

Razlo`i gi broevite 36 i 60 na prosti mno`iteli, a potoa odredi go nivniot NZD.

koi broevi se zamno prosti broevi;

Dadeni se dve ìci od 8 m i 12 m. Koja e najgolemata dolìna so koja moàt dvete ìci da se podelat na ednakvi delovi?

da odredi{ najgolem zaedni~ki delitel na dva ili pove}e broevi, po skratena postapka.

Zada~i

1. Odredi go mno`estvoto zaedni~ki

Obidi se da re{i{!

deliteli na broevite: 30 i 36.

6. Kolku najmnogu ednakvi paket~iwa mo`e da se napravat od 48 ~okoladi, 72 bajaderi i 120 bonboni, taka {to vo sekoe paket~e da ima po ednakov broj par~iwa od ist proizvod i site proizvodi da bidat upotrebeni?

2. Odredi: a) NZD(12, 18);

v) NZD(60, 90, 120);

b) NZD(48, 72);

g) NZD(240, 300, 600).

3. Odredi: a) NZD (16, 25);

Koristej}i gi dadenite mre`i, odredi gi i zapi{i gi na soodvetnite to~ki delitelite na broevite: a) 36 i 54; b) 28, 42 i 98.

7. b) NZD(36, 72).

Spored mre`ite odredi: NZD(36, 54) i NZD(28, 42, 98).

4. Kolku najmnogu ednakvi buketi mo`e da se napravat od site 48 beli i site 72 crveni karanfili, taka {to vo sekoj buket da ima ist broj karanfili od ista boja?

28 42 98 36

5. Dadeni se dve ìci. Ednata e dolga 96 m, a drugata 180 m. Kolku metri e najgolemata dolìna so koja moè da se izmerat dvete ìci?

D NZ

2 1

3 1

ZAEDNI^KI SODR@ATEL. NAJMAL ZAEDNI^KI SODR@ATEL

Potseti se! Mnoèstvoto sodràteli na brojot 3, zapi{i go na tabelaren na~in i ozna~i go so S3. Mnoèstvoto sodràteli na brojot 4 zapi{i go tabelarno i ozna~i go so S4.

A 1

Dvajca drugari se sretnale vo biblioteka. Edniot odi vo bibliotekata sekoj ~etvrti den, a drugiot sekoj {esti den. Po kolku dena tie povtorno }e se sretnat vo bibliotekata?

Zapi{i go mno`estvoto zaedni~ki sodr`ateli na broevite 3 i 4, t.e. odredi go S3 ∩ S4.

Voo~i ja postapkata i zaklu~i!

Mnoèstvoto sodràteli na brojot 4. Mnoèstvoto sodràteli na brojot 6. Mnoèstvoto zaedni~ki sodràteli

S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...} S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...} S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}

na broevite 28 i 42.

Voo~i!

Dvajcata drugari vo bibliotekata }e se sretnat po 12 dena, 24 dena, 36 dena itn. Prv pat }e se sretnat po 12 dena. Brojot 12 e najmaliot zaedni~ki sodràtel za broevite 4 i 6. Zapomni! Najmaliot priroden broj n koj e sodràtel na prirodnite broevi a i b se vika najmal zaedni~ki sodràtel na broevite a i b. Se ozna~uva: NZS(a, b) = n.

Odredi go mno`estvoto zaedni~ki sodr`ateli na broevite 3 i 5. Odredi NZS(3, 5).

Odredi NZS(12, 45). Voo~i ja postapkata za odreduvawe na NZS. Razlo`i gi broevite 12 i 45 na prosti mno`iteli.

12 6 3 1

2 2 3

45 15 5 1

3 3 5

Brojot 12 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot 22 ⋅ 3. Brojot 45 razloèn na prosti mnoìteli e proizvodot 32 ⋅ 5. Site prosti mnoìteli na broevite 12 ili2 452 se 2, 3 i 5.

Tie se javuvaat so najgolem stepen kako: 2 , 3 i 5.

proizvod, t.e. Najmaliot zaedni~ki sodr`atel e nivniot 2 2 NZS(12, 45) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180.

Odredi NZS(m, n), ako e poznato deka: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.

Odredi NZS(60, 72, 90). Voo~i ja skratenata postapka za odreduvawe na NZS so pomo{ na vertikalna crta.

go prostiot delitel, po~nuvaj}i od najmaliot, na eden ili pove}e od dade Odredi nite broevi.

Postapkata prodol`i ja so dobienite koli~nici i ostanatite prepi{ani broevi {to go nemaat soodvetniot prost delitel.

Proizvodot na dobienite prosti deliteli e najmaliot zaedni~ki sodr`atel na dadenite broevi, t.e.

NZS(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360.

Odredi NZS na broevite: a) 14 i 15;

b) 20 i 40;

60, 72, 90 30, 36, 45 15, 18, 45 15, 9, 45 5, 3, 15 5, 1, 5 1, 1, 1

2 2 2 3 3 5

v) 60, 90 i 120.

Voo~i!

Ako dva broja se zaemno prosti, toga{ NZS na tie broevi e nivniot proizvod, t.e. NZS(14, 15) = 14 ⋅ 15 = 210;

od dva broja, edniot e sodr`atel na drugiot, toga{ NZS na tie broevi e pogo Ako lemiot, t.e. NZS(20, 40) = 40.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da odredi{ mno`estvo zaedni~ki sodr`ateli na dva broja;

Pretstavi go sekoj od broevite 9 i 12 kako proizvod na prosti broevi, a potoa odredi go nivniot najmal zaedni~ki sodr`atel.

da odredi{ najmal zaedni~ki sodr`atel na dva ili pove}e broevi, po skratena postapka.

Na u~ili{nata zabava se dodeluvale nagradi na sledniot na~in: zna~ka dobival sekoj 10-ti posetitel; sok dobival sekoj 15-ti posetitel. kapa dobival sekoj 20-ti posetitel. Koj e prviot posetitel {to gi dobil site tri nagradi?

Zada~i

1. Odredi go mno`estvoto sodr`ateli na broevite: 10 i 15, a potoa odredi NZS(10, 15).

2. Odredi: a) NZS(8, 10);

v) NZS(80, 120);

5. Milan imal pomalku od 30 kocki. Ako gi redi po 3 vo eden red edna mu ostanuva. Ako gi redi po 4, isto taka, edna mu ostanuva, no ako gi redi po 5 ne mu ostanuva ni edna kocka. Kolku kocki imal Milan?

b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).

3. Od ista stanica istovremeno trgnale tri avtobusi. Prviot se vra}a vo stanicata sekoi 50 minuti, vtoriot sekoi 60 minuti, a tretiot sekoi 75 minuti. Po kolku najmalku minuti }e se najdat zaedno na po~etnata stanica site tri avtobusi?

6. Tri svetilki so razli~na boja se vklu~eni vo isto vreme. Crvenata svetilka se gasi na sekoi 5 sekundi, sinata svetilka se gasi na sekoi 4 sekundi, a `oltata svetilka se gasi na sekoi 6 sekundi. Na kolku sekundi }e izgasnat site tri svetilki?

4. Dva broda trgnuvaat istovremeno od isto pristani{te. Prviot se vra}a vo pristani{teto sekoi 20 dena, a vtoriot sekoi 24 dena. Po kolku najmalku denovi brodovite }e se najdat vo istoto pristani{te?

Istra`i sam! Po {to se sli~ni, a po {to se razli~ni broevite 12 i 16?

Obidi se da presmeta{! Najmaliot zaedni~ki sodr`atel na nekoj broj i brojot 12 e brojot 24. Koj e nepoznatiot broj?

Zanimliv problem! Dvajca bra}a sakale da kupat karti za "Zabaven park#. Se presmetale i na edniot od niv mu nedostasuvale 20 denari za dve karti, a na drugiot za dve karti mu nedostasuval eden denar. Utvrdile deka i nivnite pari vkupno nedostasuvale za dve karti. Kolku pari ~inela edna karta za "Zabavniot park# i kolku denari imal sekoj od niv?

R A B O T A P O D A T O C I

S O

SLIKOVEN DIJAGRAM. STOLBEST DIJAGRAM Proda`ba na maici

Slikoven dijagram e na~in na pretstavuvawe na podatoci so koristewe na sliki ili simboli.

Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3

Vo edna prodavnica e zapi{uvana proda`bata na maici vo 6 sedmici. Podatocite se pretstaveni so slikoven dijagram. Razgledaj go dijagramot.

Sedmica 4 Sedmica 5 Sedmica 6 Znakot

Pretstavi gi podatocite vo tabela.

pretstavuva 10 maici, a

Vo koja sedmica se prodadeni najgolem broj maici?

5 maici.

Kolku pove}e maici se prodadeni vo sedmica 2 od sedmica 1? Kolku vkupno maici se prodadeni vo {este sedmici?

U~enicite vo VI oddelenie pribrale podatoci za toa koga lu|eto najmnogu sakaat da slu{aat muzika. Podatocite se pretstaveni vo tabelata. Koga

[etawe

Broj

Doma U~ewe 50

Sportuvawe 25

Na rabota Drugo 15

Pretstavi gi podatocite vo tabela so koristewe na simbolot Eden simbol

(slu{alki).

pretstavuva 10 odgovori.

Kade lu|eto naj~esto slu{aat muzika? Kolku vkupno odgovorile na postavenoto pra{awe?

Voo~i ja tabelata za brojot na pozajmeni knigi od gradskata biblioteka.

Den

Br. knigi

Ponedelnik

350

Pretstavi gi podatocite vo slikoven dijagram ako eden simbol pretstavuva 50 knigi.

Vtornik

400

Sreda

150

Zapi{i tri pra{awa vo vrska so podatocite i odgovori gi.

^etvrtok Petok

100 50

Okolu na{eto sonce se vrtat 9 planeti. Sedum od planetite imaat svoi sateliti (mese~ini). Vo tabelava se dadeni podatocite za brojot na satelitite otkrieni do 1992 godina.

Planeta

Broj na mese~ini

Zemja

Mars

Jupiter

Saturn

Uran

Neptun

Pluton

Za da se pretstavat podatocite na stolbest dijagram potrebno e: se nacrta horizontalna oska i da se zapi{at imiwata koi se odnesuvaat na Da podatocite.

Da se nacrta vertikalna oska i da se zapi{e vidot na edini~nata merka. se odlu~i za goleminata na edini~nata merka na skalata taka {to da mo`e da Da se pretstavat site podatoci i da se formira skalata. Da se nacrtaat stolbovite. Da se zapi{e naslov na stolbestiot dijagram.

18 16 14 12 10 8 6 4 2

Pretstavi gi podatocite na stolbest dijagram taka {to stolbovite da bidat nacrtani horizontalno.

Planeti Voo~i go izborot na skalata. Zo{to ne bi bilo prakti~no da se koristi skala so edini~na merka 5 ili 10 vo ovoj primer?

20 15 10 5 0

broj na mese~ini

Zo{to e podobro da se pretstavat podatocite na stolbest dijagram otkolku vo tabela?

broj na mese~ini

Mese~ini na planetite

20 10 0

U^E[E ZA PRIRODNI BROEVI. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

Dadeni se mno`estvata A = {x | x e neparen broj od vtorata desetka}, B = {x | x e prost broj od vtorata desetka} i C = {x | x ∈ N i 15 < x ≤ 19}. a) Zapi{i gi A, B i C na tabelaren na~in. b) Pretstavi gi B i C so Venov dijagram i zapi{i go B∩C tabelarno. v) Odredi koi od mno`estvata A, B, C, B∩C i B\C se ekvivalentni.

Eden kow i edno magare nosat tovar.

Ako od brojot na kilogrami {to go nosi magareto odzeme{ 9 kg, }e dobie{ 19 kg. Ako tri pati go namali{ brojot na kilogrami {to go nosi kowot, }e dobie{ 13 kg. Kolku kilogrami tovar nosat kowot i magareto zaedno?

Dadeni se mno`edstvata A = {a, b, c} i B = {1, 5}. Odredi go dekartoviot proizvod A x B i dekartoviot kvadrat B2.

Dadeni se cifrite 9, 1 i 0. a) Formiraj gi site tricifreni broevi so koristewe na site tri dadeni cifri. b) Podredi gi po golemina broevite {to gi dobi, po~nuvaj}i od najmaliot. v) Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najmaliot broj od formiranite broevi.

4. Zapi{i go brojot „dvaeset milijardi trista pedeset milioni pet iljadi i sedumdeset“. Vo koja klasa i na koja pozicija e cifrata 3 vo toj broj? Koja e pozicionata vrednost na cifrata 3? 5.

Zaokru`i gi broevite 6485 i 2539 na stotki i najdi go zbirot na zaokru`enite broevi. Za kolku se razlikuva toj zbir od to~niot zbir?

Kako }e se promeni razlikata 35 648 - 18 719 ako namalitelot se namali za 300, a namalenikot ostane ist?

Od dve cevki te~e voda vo bazen, pri {to vo edna sekunda niz ednata cevka se vlevaat 9 l, a niz drugata 6 l. Kolku litri voda }e se vleat vo bazenot niz dvete cevki za 15 min?

Ana i Bojan delele eden ist broj: Ana so 14, a Bojan so 18. Ana dobila koli~nik 23 i ostatok 2. Koj koli~nik go dobil Bojan?

10. Najdi ja aritmeti~kata sredina na broevite: 427, 586, 386 i 485.

11. Koi od broevite 105, 372, 801, 930 i 254 se delivi so: a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?

12. Koja cifra treba da zapi{e{ na mestoto ozna~eno so * za brojot da bide deliv so 4: a) 573*; b) 74*2 ?

13. Razlo`i go brojot 315 na prosti mno`iteli.

14. Odredi go mno`estvoto D68, t.e. mno`estvoto od site deliteli na brojot 68.

15. Odredi NZD i NZS za broevite 18 i 24.

16. Kolku najmnogu ekipi so ednakov broj u~enici mo`e da se sostavat od site 12 devoj~iwa i site 20 mom~iwa, taka {to sekoja ekipa da ima ist broj devoj~iwa i ist broj mom~iwa?

17. Na edna telefonska linija stolbovite bile postaveni na rastojanie od 30 m. Stolbovite treba da se razmestat na rastojanie od 50 m. Koi stolbovi od telefonskata linija }e ostanat na isto mesto?

TEMA 2.

GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA

1. To~ka i prava. Osnovni svojstva na pravata 70 2. Zaemna polo`ba na dve pravi 73 3. Rastojanie me|u dve to~ki 75 4. Poluprava. Otse~ka. Dol`ina na otse~ka 77 5. Prenesuvawe na otse~ki 80 6. Iskr{ena linija 83 7. Osnovni i izvedeni poimi 87 8. Kru`nica i krug 89 9. Zaemna polo`ba na kru`nica i to~ka. Zaemna polo`ba na kru`nica i prava 92 10. Zaemna polo`ba na dve kru`nici 94 11. Poluramnina. Agol 97 12. Sporeduvawe agli. Vidovi agli 100 13. Sosedni, naporedni i nakrsni agli 103

14. Centralen agol. Konstrukcija na agol 105 15. Grafi~ko sobirawe i odzemawe na agli 108 16. Merewe na agli. Aglomer 110 17. Aritmeti~ki operacii so agli 113 18. Zaemno normalni pravi. Rastojanie od to~ka do prava 116 19. Simetrala na otse~ka. Simetrala na agol 118 20. Komplementni i suplementni agli 120 21. Mnoguagolnik 122 22. Nekoi vidovi mnoguagolnici 125 23. Perimetar na mnoguagolnik 127 24. U~e{e za geometriski figuri vo ramnina. Proveri go svoeto znaewe 130

TO^KA I PRAVA. OSNOVNI SVOJSTVA NA PRAVATA

Potseti se! G

a F

D A

Na crte`ot e pretstavena prava a i nekolku to~ki: To~kite: A, D i F £ pripa|aat na pravata a. To~kite: V, C, H i G ne £ pripa|aat na pravata a. Na pravata a ima i mnogu drugi to~ki. Nacrtaj prava b i na nea ozna~i nekolku to~ki. Ozna~i i to~ki {to ne £ pripa|aat na pravata b. Kako si ja zamisluva{ pravata?

Razgledaj go crte`ot i zapomni go iska`anoto. p

Mo`eme da re~eme deka pravata e mno`estvo to~ki. Za to~kata M velime deka £ pripa|a na pravata p ili deka pravata p minuva niz to~kata M; kratko zapi{uvame M ∈ p.

To~kata N, pak, ne £ pripa|a, t.e. ne leì na pravata p, a moè da se kaè i deka N leì nadvor od pravata p; kratko zapi{uvame N ∉ p. Da zapomnam! To~kata leì na pravata ili to~kata ne leì na pravata.

Nacrtaj edna prava i ozna~i ja so m. Potoa ozna~i gi to~kite A, V, S, M i N taka {to: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m i N ∈ m. Iska`i gi so zborovi kratkite zapisi A ∈ m i B ∉ m.

Na crte`ot se ozna~eni pravata d i to~kite: A ∈ d, B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d i G ∉ d. Mo`e{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ñ pripa|aat na pravata d? Kolku?

Voo~i! Na pravata le`at beskone~no mnogu to~ki, no ima i to~ki {to ne le`at na taa prava.

Mo`e{ li da ozna~i{ i drugi to~ki {to ne ñ pripa|aat na pravata d? Kolku? d Ova zapomni go kako prvo osnovno svojstvo C F na pravata. E D A G B

Voo~i koi od ozna~enite to~ki na crte`ot le`at na ista prava. B

Spored crte`ot utvrdi dali se to~kite kolinearni: a) A, R i V;

g) M, Y i B;

b) M, Y i N;

d) A i V;

v) A, R i N;

Bukvite A i V na crte`ot ozna~uvaat ista to~ka. p A q

Zapi{uvame: A ≡ V i velime: „To~kite A i V se sovpa|aat”. Bukvite p i q, pak, na crte`ot ozna~uvaat ista prava. Zapi{uvame p ≡ q i velime: „Pravite p i q se sovpa|aat“.

Niz to~kite M i N na crte`ot minuva pravata p. Dali mo`e{ da povle~e{ nekoja druga prava {to minuva niz to~kite M i N? N M

Za to~kite {to leàt na ista prava se veli deka se kolinearni. Na crteòt to~kite A, S i D se kolinearni i to~kite V, S i E se kolinearni. To~kite A, V i D ne leàt na ista prava, pa tie ne se kolinearni. M

S P

|) N, P, S, M.

Voo~i i zapomni!

n N

Voo~i i zapomni! Koga }e ka`eme: „ozna~i dve to~ki“, „dadeni se dve pravi”, }e podrazbirame deka tie dve to~ki, odnosno tie dve pravi se r a z l i ~ n i. Niv }e gi ozna~uvame so r a z l i ~ n i bukvi.

Voo~i i zapomni! Niz to~kite M i N minuva to~no edna prava. Ova zapomni go kako vtoro osnovno svojstvo na pravata. Da zapomnam! Od vtoroto osnovno svojstvo proizleguva deka dve to~ki opredeluvaat edna edinstvena prava. Zatoa prava mo`e da se ozna~i i so dve nejzini to~ki i da se ka`e: „pravata MN”, namesto „pravata p”.

Ozna~i dve to~ki A i B i povle~i prava p opredelena so tie dve to~ki. Potoa izberi to~ka S {to ne le`i na pravata p. Kolku pravi se opredeleni so tie tri to~ki? Zapi{i gi tie pravi so pomo{ na to~ki.

Voo~i i zapomni

Razgledaj gi crte`ite, razmisli i zaklu~i spored baraweto. a b

M c

Niz edna to~ka minuvaat beskone~no mnogu pravi.

Voo~uva{ deka se povle~eni tri pravi {to minuvaat niz to~kata M i pet pravi {to minuvaat niz to~kata N.

Za takva to~ka A, kako na crte`ot, se veli deka e zaedni~ka to~ka na pravite {to minuvaat niz nea.

Mo`e{ li da povle~e{ i drugi pravi taka {to da minuvaat niz to~kata M? Kolku? A niz to~kata N?

10 Ozna~i edna to~ka R. Nacrtaj tri pravi a, b i c, taka {to to~kata R da bide nivna zaedni~ka to~ka.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da opredeli{ zaemen odnos na to~ka i prava;

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ki A, V, M i R {to le`at na pravata a i to~ki C, D, F i N {to ne le`at na pravata a.

da gi iska`uva{ i objasnuva{ prvoto i vtoroto osnovno svojstvo na pravata;

Ozna~i tri kolinearni to~ki A, V i S.

da razlikuva{ dali tri ili pove}e to~ki se kolinearni ili se nekolinearni.

Ozna~i to~ka M i povle~i pravi a, b, c i d {to minuvaat niz to~kata M. Kolku pravi mo`e{ da povle~e{ {to }e minuvaat niz to~kata M?

Zada~i 1.

Nacrtaj dve pravi a i b i na sekoja od niv ozna~i po tri to~ki.

Ozna~i tri to~ki A, V i S i nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to pravata a da minuva niz to~kite A i V, b niz to~kite V i S i c niz to~kite A i S. Koja e zaedni~kata to~ka na pravite a i c?

Koi od to~kite na crte`ot se: a) kolinearni; A

b) nekolinearni? b E B

a C

Na pravata p se ozna~eni to~kite M, N i R. Kako mo`e na drug na~in da se imenuva pravata p?

To~kite A, V, S i D se rasporedeni taka {to me|u niv nema tri to~ki {to se kolinearni. Kolku pravi opredeluvaat tie to~ki? Prika`i go toa na crte`.

2 Potseti se!

a P

Dve pravi mo`e da imaat najmnogu edna zaedni~ka to~ka. Za pravite koi imaat edna zaedni~ka to~ka se veli deka se se~at vo taa to~ka. Zaedni~kata to~ka se vika prese~na to~ka na tie pravi. Na crte`ot pravite a i b se se~at i nivna prese~na to~ka e R. Toa kratko se zapi{uva a ∩ b = {P}

Spored crte`ot odredi {to e to~no.

Pravite a i b na crte`ot imaat zaedni~ka to~ka R. Dali mo`e dve pravi da imaat pove}e od edna zaedni~ka to~ka? Zo{to?

ZAEMNA POLO@BA NA DVE PRAVI

Zapi{i kratko: a) Pravite a i b se se~at vo to~kata M. b) Prese~nata to~ka na pravite c i d e to~kata L.

a) a ∩ b = {A}.

v) b ∩ c = {B}.

b) a ∩ c = {B}.

g) a ∩ c = {C}.

v) Zaedni~kata to~ka na pravite m i n e to~kata Y.

c C

b A

B 3

Dve pravi mo`e i da nemaat zaedni~ka to~ka. Takvi se pravite a i b na crte`ot. a b

Toa prakti~no zna~i: kolku i da gi „prodol`uva{“, tie ne }e se se~at.

Dve pravi koi nemaat zaedni~ka to~ka se vikaat paralelni pravi. Pravite a i b na crte`ot se paralelni. Toa kratko se zapi{uva a || b.

Zaemnata polo`ba na pravite a, b i c na crte`ot e slednava: a i b se paralelni, t.e. a || b. a i c se se~at, t.e. a || c. b i c se se~at, t.e. b || c.

b a

Voo~i i zapomni!

Dve pravi ili se se~at; ili se paralelni. Za pravite a i b na koi site to~ki im se zaedni~ki velime deka se sovpa|aat.

a b

Koga nekoi pravi se sovpa|aat, toa se smeta za specijalen slu~aj na paralelnost, pa zatoa mo`e da se ka`e deka sekoja prava e paralelna sama na sebe, t.e. a || a.

Treba da znae{!

Proveri se!

Za koi dve pravi se veli deka se se~at;

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka R ∉ a. Niz to~kata R povle~i prava b {to ja se~e pravata a.

koi dve pravi se vikaat paralelni pravi;

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to, par po par, da nemaat zaedni~ki to~ki. Zapi{i gi simboli~ki zaemnite polo`bi na tie pravi.

deka pravi {to se sovpa|aat se smetaat za paralelni.

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to a || b i b ∩ c = {M}.

Zada~i 1.

Nacrtaj tri pravi a, b i c taka {to da imaat edna zaedni~ka to~ka.

Nacrtaj prava a, a potoa nacrtaj prava b, taka {to a || b.

Nacrtaj prava m. Potoa nacrtaj pravi n i p taka {to n || m i p || m. Vo kakva zaemna polo`ba se pravite n i p?

2. Dali trite pravi AV, VS i BD imaat zaedni~ka to~ka? Koja e taa to~ka? Pretstavi go toa na crte`.

Dadeni se to~kite A, V i S. Kolku pravi opredeluvaat tie to~ki? Razgledaj gi site mo`ni slu~ai vo zavisnost od polo`bata na to~kite.

RASTOJANIE ME¿U DVE TO^KI

Potseti se! Dosega pove}e pati si odreduval rastojanie od edno mesto do drugo, od eden objekt do drug, od edna to~ka do druga. Toa rastojanie si go iska`uval so odreden broj centimetri (cm), metri (m), kilometri (km) i sl. B A Na primer, rastojanieto me|u to~kite A i V e 5 cm, {to kratko se zapi{uva AB = 5 cm, rastojanieto od Skopje do Veles e 55 km i sl. Izmeri go rastojanieto me|u to~kite S i D vo milimetri i zapi{i go kratko. C

Razgledaj go crte`ot i voo~i gi tvrdewata.

C B A Rastojanieto od edna to~ka A do druga to~ka V e broj pogolem od nula ili ednakov na nula, toj broj go ozna~uvame so AV. Zna~i, AV ≥ 0. Brojot AV e pogolem od nula koga to~kite se razli~ni i e ednakov na nula koga to~kite se sovpa|aat. Spored crte`ot: AB = 4 cm; AB > 0;

BD = 3 cm; BD > 0;

BC = 0 cm, zatoa {to to~kite V i S se sovpa|aat.

C Vo vrska so crte`ot odredi gi rastoA

janijata AB, BC i CD.

Voo~i! 2

Odredi gi rastojanijata MN i NM, a potoa sporedi gi. Zapi{i go toa simboli~ki. M

Za koi bilo dve to~ki A i V, rastojanieto od A do V e ednakvo na rastojanieto od V do A, t.e. AB = BA.

Ako rastojanieto CD = 28 cm, toga{ kolkavo e rastojanieto DC ?

Na crte`ot se dadeni nekolinearnite to~ki A, V i S. Izmeri gi rastojanijata AB, AC i CB. Sporedi gi: AB so AC + CB;

BC so BA + AC;

Zaklu~iv deka AB < AC + CB;

AC so AB + BC;

BC < BA + AC i AC < AB + BC.

[to zabele`uva{?

To~kite M, N i R na crte`ot se kolinearni.

Izmeri gi rastojanijata MP, MN, NP i MP sporedi go so MN + NP.

Zaklu~iv deka

MP = MN + NP.

[to zaklu~i? Za koi bilo tri to~ki A, V i S rastojanieto od A do S e pomalo ili e ednakvo na zbirot od rastojanijata od A do V i od V do S, t.e. AC ≤ AB + BC.

Rastojanie me|u dve to~ki A i V e broj AV so slednive svojstva: 1) AB ≥ 0; 2) AB = BA; 3) za koja bilo to~ka S vaì: AC ≤ AB + BC. Ako za tri to~ki M, N i R vaì ravenstvoto MP = MN + NP, toga{ tie tri to~ki leàt na ista prava. Vo toj slu~aj se veli deka to~kata N leì me|u to~kite M i R.

Odredi dali to~kite A, V i S le`at na ista prava, ako: AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;

AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.

Treba da znae{!

Proveri se!

Rastojanieto me|u dve to~ki e broj pogolem od nula ako to~kite se razli~ni, a e ednakov na nula ako tie se sovpa|aat;

Dali to~kite A, V i S le`at na ista prava ako AC = 56 mm, AB = 3 cm i BC = 26 mm ? Zo{to?

za koi bilo dve to~ki A i V, AB = BA;

To~kite M, N i R ne se kolinearni, pri

za koi bilo tri to~ki A, V i S,

{to MN = 3 cm i NP = 5 cm. Mo`e li MP

AC ≤ AB + BC.

da bide 95 mm?

Zada~i

1. To~kite A, V i S se kolinearni pri {to 4. To~kite A, V i S le`at na ista prava, to~kata V e me|u to~kite A i S. Presmetaj go rastojanieto me|u to~kite A i

pri {to AB = 35 mm i BC = 48 mm.

V, ako AC = 7 cm i BC = 42 mm.

Kolku e AC?

2. Dali se kolinearni to~kite K, L i M ako KL = 3 cm, LM = 52 mm i KM = 82 mm?

3. Nacrtaj prava m i na nea ozna~i to~ki

M, N, R i Y, taka {to N da le`i me|u M i R i M da le`i me|u N i Y.

5. Na pravata p to~kata R le`i me|u to~kite M i Y, MP e tripati pomalo od PS i MS = 12 cm. Presmetaj gi MP i PS.

POLUPRAVA. OTSE^KA. DOL@INA NA OTSE^KA

Potseti se! a

Na crte`ot e dadena pravata a i to~kata O {to le`i na taa prava. Na kolku delovi pravata a e podelena so to~kata O? a

A B

Koi od ozna~enite to~ki le`at na ista strana od to~kata O? Ozna~i dve to~ki na pravata a, me|u koi le`i to~kata O.

Razgledaj go crte`ot voo~i i zapomni p

A Pravata p so to~kata O e podelena na dva dela, taka {to nitu eden od tie delovi ne ja sodr`i to~kata O. Za to~kata O se veli deka e grani~na to~ka na sekoj od dvata dela. Sekoj od delovite od pravata, zaedno so grani~nata to~ka se vika poluprava. Grani~nata to~ka se vika po~etna to~ka na polupravata.

Na crte`ot e nacrtana poluprava. Ako to~kata O e po~etna to~ka, a M e koja bilo to~ka od polupravata, toga{ kratko zapi{uvame: poluprava OM.

Nacrtaj prava a i na nea ozna~i dve to~ki A i V. Kolku polupravi se ozna~eni na toj na~in? Zapi{i gi kratko tie polupravi.

So pomo{ na to~kite M i N na crte`ot, zapi{i gi kratko dvete polupravi na koi e razdelena pravata m so to~kata O.

Voo~i! Polupravite OM i ON formiraat edna prava. Takvite polupravi se vikaat sostavni polupravi.

Ozna~i dve to~ki M i N. Nacrtaj poluprava taka {to M da bide nejzina po~etna to~ka, a N to~ka {to ñ pripa|a na polupravata.

Kolku polupravi so po~etna to~ka O se ozna~eni na crte`ot? Koi od niv se sostavni polupravi? m A O B C

Pravata i polupravata se mno`estva to~ki. Sekoe mno`estvo to~ki u{te se vika geometriska figura.

Imenuvaj gi geometriskite figuri na crte`ot. a M

B O D

Na crte`ot se ozna~eni pravata p i to~kite M, N i R.

Voo~i i zapomni!

Me|u koi to~ki le`i to~kata R? Ima li drugi to~ki na pravata p {to le`at me|u to~kite M i N?

Imenuvaj gi otse~kite na crte`ot pod a) i b). V a)

Geometriskata figura {to gi sodrì to~kite M i N i site to~ki {to leàt me|u niv se vika otse~ka. To~kite M i N se vikaat krajni to~ki na otse~kata MN. To~kata H na crteòt b) i site drugi to~ki {to leàt me|u M i N se vikaat vnatre{ni to~ki na otse~kata MN.

Izmeri go rastojanieto me|u to~kite A i V na crte`ot i toa zapi{i go simboli~ki.

Voo~i i zapomni! m

M A

B Da zapomnam! Edna otse~ka moè da se ozna~i i so mala bukva. So istata bukva se ozna~uva i dolìnata na taa otse~ka. Na crteòt otse~kata MN e ozna~ena so bukvata m i m = 5 cm.

Rastojanieto me|u krajnite to~ki M i N na otse~kata MN se vika dol`ina na taa otse~ka i se ozna~uva so MN. MN = 5 cm

Voo~i i zapomni! 9

Na crte`ot e dadena otse~kata AV i na nea to~kata D. Izmeri gi rastojanijata me|u to~kite A i D i me|u to~kite D i V. [to zabele`uva{? A

Na crte`ot AD = DB. Zna~i to~kata D e podednakvo oddale~ena od krajnite to~ki A i V na otse~kata AV. Takvata to~ka se vika sredna to~ka ili sredina na taa otse~ka.

Nacrtaj otse~ka RY i odredi ja nejzinata sredna to~ka O.

Izmeri gi dol`inite na otse~kite AB, CD, EF i GH i sporedi gi. Koi od dadenite otse~ki imaat ednakvi dol`ini? A

Od sporeduvaweto na otse~kite, na crteòt, moème da utvrdime deka: AB = EF i CD = GH Za dve otse~ki {to imaat ednakvi dolìni se veli deka se ednakvi ili skladni otse~ki.

C D F E

Voo~i i zapomni!

Nacrtaj otse~ka CD {to e ednakva so otse~kata AV na crte`ot. A

Treba da znae{! Proveri se! Da crta{ i da ozna~uva{ poluprava; {to e poluprava;

Koi od ozna~enite to~ki na crte`ot £ pri pa|aat na otse~kata AV? D

da objasni{ {to e otse~ka; {to e dol`ina na otse~ka; za koi dve otse~ki se veli deka se ednakvi ili skladni.

Zada~i 1. [to e poluprava? 2. Ozna~i tri nekolinearni to~ki O, A i V, a potoa nacrtaj gi polupravite OA i OV. Nacrtaj poluprava OS, {to e sostavna na polupravata OV.

3. Nacrtaj prava p i na nea ozna~i dve

to~ki M i N. Na pravata p ozna~i to~ki R i Y {to pripa|aat na otse~kata MN i to~ki K i L {to ne ñ pripa|aat na taa otse~ka.

4. [to e dol`ina na otse~kata AV?

E Nacrtaj edna otse~ka AV, a potoa nacrtaj otse~ka CD {to e ednakva so otse~kata AV.

5. Koi dve otse~ki se skladni otse~ki? 6. Ozna~i tri nekolinearni to~ki A, V i S. Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki? Imenuvaj gi tie otse~ki.

7. Ozna~i tri kolinearni to~ki E, F i G. Kolku otse~ki odreduvaat tie to~ki? Imenuvaj gi.

8. Otse~kite AV i CD se skladni. Kol-

kava e dol`inata na otse~kata CD, ako AB = 4 cm?

PRENESUVAWE NA OTSE^KI

A 1

Potseti se! O

Na crte`ot e dadena polupravata OM i e ozna~ena to~kata A. Izmeri go rastojanieto me|u to~kite O i A.

Postapi spored baraweto i prou~i go iska`anoto. Nacrtaj poluprava OM i na nea odredi dve to~ki A i V, takvi {to OA = 1 cm i OB = 3 cm.

Dali ima druga to~ka A1, osven A, takva {to OA1 = 1 cm? Ako n e broj pogolem od nula, toga{ na polupravata OM le`i samo edna to~ka A {to e na rastojanie n od to~kata O, t.e. OA = n.

Dali na polupravata OM mo`e{ da odredi{ i druga to~ka {to e oddale~ena od to~kata O isto kolku i to~kata A?

Voo~i go ova kako edno svojstvo na to~kite od polupravata. Toa svojstvo na to~kite od polupravata mo`e da se iskoristi za crtawe ednakvi otse~ki samo so pomo{ na linijar i {estar. Crte` napraven samo so pomo{ na linijar i {estar se vika konstrukcija.

Konstruiraj otse~ka {to e ednakva na otse~kata AV.

Re{enie: A

B O

Razgledaj go dadenoto re{enie i raboti spored upatstvata i crte`ite. Nacrtaj poluprava OY (crte` a). O

Otvori go {estarot, taka {to negoviot otvor da bide ednakov na dol`inata na otse~kata AV, t.e. “zemi ja” otse~kata AV (crte` b).

Zabodi go {estarot vo po~etokot na polupravata OY i so istiot otvor ozna~i to~ka M (crte` v).

Otse~kite AV i OM se ednakvi. Ovaa postapka u{te se vika grafi~ko prenesuvawe na otse~ka na dadene poluprava.

b) A

Nacrtaj otse~ka MN i poluprava OR. Prenesi ja otse~kata MN na polupravata OR.

Otse~kite m (t.e. KL) i n (t.e. MN) se preneseni na polupravata OT (na crte`ot

Kolkava e dol`inata na otse~kata OY?

desno) taka {to OP = KL i PS = MN.

Odredi go, na grafi~ki na~in, zbirot na otse~kite a i b od crte`ot.

Prenesi ja otse~kata a na polupravata OT (crt. b). Prenesi ja otse~kata b na polupravata OT, so po~etna to~ka R i krajna to~ka Y (crt. v). Otse~kata OY pretstavuva grafi~ki zbir na otse~kite a i b, koj{to se ozna~uva so a + b (crt. g).

T b

a+b g)

O m K

n M

otse~ka OY. Kolkava e dol`inata na

otse~kata OY?

na otse~kite m = KL i n = MN.

T b

Na crte`ot se dadeni otse~kite KL i MN i polupravata OT. Otse~kite KL i MN se preneseni na polupravata OT.

Odredi ja na grafi~ki na~in razlikata

Na toj na~in na polupravata OT e dobiena

Nacrtaj poluprava OT (crt. a).

Raboti spored upatstvata i sledi gi crte`ite

m O

Raboti spored postapkata Nacrtaj poluprava OT. Na polupravata OT prenesi ja otse~kata KL = m taka {to OP = n. Otse~kata MN = n prenesi ja na polupravata OT so po~etok vo to~kata R, kon to~kata O. Taka }e ja dobie{ otse~kata PS, pri {to PS = n. Otse~kata OY e razlika na otse~kite KL i MN, t.e. OS = m – n.

Nacrtaj otse~ki a = 62 mm i b = 3 cm, a potoa konstruiraj gi otse~kite a + b i a - b.

Treba da znae{!

Proveri se!

Za sekoj broj n pogolem od nula, na polupravata OY le`i samo edna to~ka A {to e na rastojanie n od to~kata O,

Nacrtaj otse~ka AB = 48 mm i poluprava OY. Prenesi ja otse~kata AV na polupravata OY.

t.e. OA = n;

Konstruiraj gi otse~kite OM = a + 2b i

kako se prenesuva otse~ka vrz poluprava;

ON = 2a – b, ako a = 3 cm i b = 2 cm.

kako grafi~ki se odreduva zbir, odnosno razlika na dve otse~ki.

Zada~i 1. Nacrtaj poluprava OY i na nea ozna~i gi to~kite A i V, taka {to OA = 4 cm

4. Konstruiraj gi otse~kite: 2a + b i

a + 2b, ako a = 25 mm i b = 22 mm.

i AB = 2 cm.

2. Za koj crte` velime deka e konstrukcija?

3. Konstruiraj gi otse~kite: OM = 2a i

5. Konstruiraj gi otse~kite: a - b i a - 2b, ako a = 72 mm i b = 2 cm.

6. Konstruiraj ja otse~kata: a + b - c, ako

ON = 3a, ako a = 3 cm.

a = 5 cm, b = 3 cm i c = 4 cm.

Proveri ja svojata sposobnost na voo~uvawe. Proveri so broewe. 1. Kolku kvadrati ima vo figurata na crteòt a)? 2. Kolku pravoagolnici ima vo figurata na crteòt b)? 3. Kolku ramnostrani triagolnici ima vo figurata na crteòt v)?

ISKR[ENA LINIJA

Potseti se! A

Za dve otse~ki {to imaat zaedni~ka samo krajna to~ka se veli deka se sosedni otse~ki.

To~kite A i V se krajni to~ki na otse~kata AV.

P M

[to imaat zaedni~ko otse~kite AV i VS na crteòt? C Od crteòt voo~uva{ A deka otse~kite AV i VS ne leàt na ista B prava.

Otse~kite MN i NP na crte`ot se sosedni otse~ki. Odgovori na barawata. Na crte`ite a) - d) se dadeni otse~kite AV, VS, CD i DE, koi{to se nadovrzuvaat edna na druga na razni na~ini. a)

Na koi od crte`ite dve sosedni otse~ki le`at na ista prava?

Na koi od crte`ite nema sosedni otse~ki {to le`at na ista prava? C

v) C

d) C

B D

C b)

Zapomni!

Ako pri nadovrzuvaweto na otse~kite, koi bilo dve sosedni otse~ki ne le`at na ista prava, toga{ dobienata geometriska figura se vika iskr{ena linija. Geometriskite figuri b), g) i d) se iskr{eni linii, a a) i v) ne se. Zo{to?

Koi od figurite na crte`ot se iskr{eni linii? H

E A

C F

I v)

S g)

Na crte`ot e dadena edna iskr{ena linija. Otse~kite AV, VS i CD se vikaat strani na iskr{enata linija, a nivnite krajni to~ki - temiwa.

D S

So koja otse~ka e sosedna otse~kata AV, a so koja e sosedna otse~kata VS? Sosednite otse~ki na iskr{enata linija se vikaat sosedni strani. Na primer, sosedni strani na iskr{enata linija na crte`ot se AV i VS, kako i VS i CD.

Koi od stranite na iskr{enata linija na crte`ot ne i se sosedni?

Na crte`ot e dadena edna iskr{ena linija. Koi se sosedni strani na stranata VS?

Razgledaj go crte`ot i prosledi go iska`uvaweto D

Voo~i i zapomni! Za edna iskr{ena linija kaj koja krajnite to~ki se sovpa|aat se veli deka e zatvorena.

A≡E

Od crte`ot a) mo`e{ da voo~i{ deka krajnite to~ki A i E na iskr{enata linija ABCDE ne se sovpa|aat.

Stranite na triagolnikot formiraat zatvorena V iskr{ena linija.

S A

Krajnite to~ki A i E na iskr{enata linija b) se sovpa|aat vo to~kata A.

Koi strani ne se sosedni na stranata CD?

Koja od iskr{enite linii na crte`ot nema nesosedni strani {to se se~at? Koja od iskr{enite linii e zatvorena i nema nesosedni strani {to se se~at?

Voo~i!

Iskr{enite linii a), b) i |) nemaat nesosedni strani {to se se~at. Takva linija se vika prosta iskr{ena linija. Iskr{enite linii b) i |) se zatvoreni i nemaat nesosedni strani {to se se~at.

Zapomni!

Stranite na ~etiriagolnikot ABCD formiraat poligonalna linija. C D

Zatvorena prosta iskr{ena linija se vika poligonalna linija.

Presmetaj go zbirot od dol`inite na stranite na iskr{enata linija na crte`ot. 45 m

Voo~i i zapomni! Zbirot od dol`inite na stranite na iskr{enata linija se vika perimetar na iskr{enata linija i se ozna~uva so L.

L = AB + BC + CD + DE

Perimetarot na iskr{enata linija od crte`ot e:

32 mm

L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e. L = 137 mm.

Presmetaj go perimetarot na iskr{enata linija KLMNP, ako KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm i PK = 6 cm.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da objasni{ {to e zatvorena iskr{ena linija;

Nacrtaj zatvorena iskr{ena linija ABCDE.

{to e zatvorena prosta iskr{ena linija, t.e. poligonalna linija;

Presmetaj go perimetarot na zatvore-

{to e perimetar na iskr{ena linija.

AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm,

nata iskr{ena linija ABCDE, ako DE = 4 cm i EA = 7 cm.

Zada~i

1. Ozna~i ~etiri to~ki A, V, S i D, taka {to da nema tri to~ki {to le`at na ista prava. Nacrtaj prosta zatvorena iskr{ena linija so temiwa vo to~kite A, V, S i D.

4. [to e perimetar na iskr{ena linija?

5. Dvornata ograda ABCD ima perimetar L = 21 m. Presmetaj ja dol`inata na stranata AV, ako BC = 5 m,

2. Kolku temiwa i kolku strani ima is-

CD = 720 cm, DA = 630 cm.

kr{enata linija na crte`ot? Imenuvaj gi temiwata i stranite.

6. Presmetaj go perimetarot na iskr{e-

nata linija pretstavena na crte`ot. C

35 mm

28 mm

C A

B 25 mm

3 cm

3. Nacrtaj prosta zatvorena iskr{ena

4 cm

linija so sedum temiwa.

Obidi se! 1. Bez da go podigne{ vrvot na molivot od hartijata, nacrtaj iskr{ena linija, so koja dadenata figura a) }e ja podeli{ na {est pravoagolni triagolnici. 2. Nacrtaj figura (zatvorena, iskr{ena linija) crt. b) "so eden poteg#, bez krevawe na molivot od hartijata i bez povtorno minuvawe po ve}e nacrtana linija. Dali e toa mo`no da se napravi so figurata v)?

OSNOVNI I IZVEDENI POIMI

Potseti se!

So izu~uvaweto na matematikata, dosega u~e{e za: broj, zbir na dva broja, otse~ka, kru`nica, plo{tina na pravoagolnik i sl. Navedi u{te nekolku raboti {to si gi izu~uval.

Zapomni!

Broj, zbir na dva broja, otse~ka, kru`nica, plo{tina na pravoagolnik, iskr{ena linija se matemati~ki poimi.

Voo~i gi i potseti se na slednite matemati~ki poimi {to si gi izu~uval. to~ka;

rastojanie;

poluprava;

sredina na otse~ka;

prava;

ramnina;

otse~ka;

iskr{ena linija.

Potseti se za nekoi od ovie poimi a) Geometriskata figura {to gi sodrì to~kite A i V i site to~ki {to leàt me|u niv se vika otse~ka. b) To~kata na otse~kata {to e podednakvo oddale~ena od nejzinite krajni to~ki se vika sredina na otse~kata. v) Geometriskata figura od nadovrzani otse~ki, takvi {to koi bilo dve sosedni otse~ki ne leàt na ista prava se vika iskr{ena linija. [to iskaùvaat re~enicite a) - v)? So re~enicata pod a) se opredeluva kakva geometriska figura e otse~kata, t.e. se dava odgovor na pra{aweto „[to e otse~ka?” Za re~enicata pod a) se veli deka e definicija na poimot otse~ka. Re~enicata pod b) e definicija na poimot sredna to~ka. Re~enicata pod v) e definicija na poimot iskr{ena linija.

Kako se definira poimot kolinearni to~ki?

Voo~i! Vo definicijata na poimot iskr{ena linija se upotrebeni poimite sosedni otse~ki i prava. Za definirawe na poimot sredina na otse~ka , pak, se upotrebeni poimite to~ka i prava.

Poimite to~ka i prava ne gi definirame so drugi poimi. Niv samo gi objasnuvame.

Prifateno e nekoi poimi da se zemat za po~etni i tie se narekuvaat osnovni poimi. Osnovnite poimi ne se definiraat.

Zapomni! Za osnovni poimi vo geometrijata se zemaat poimite: to~ka, prava, ramnina i rastojanie. Za site drugi poimi se dava definicija i tie se vikaat izvedeni poimi. Taka na primer, od geometriskite poimi {to si gi izu~uval izvedeni poimi se: otse~ka, sredna to~ka, iskr{ena linija, prosta iskr{ena linija, perimetar na iskr{ena linija i dr.

Iska`i ja definicijata za poluprava. Koi osnovni poimi se upotrebeni pri definiraweto na poimot poluprava?

Treba da znae{! Proveri se! To~ka, prava i ramnina se osnovni poimi vo geometrijata; za osnovnite poimi ne se dava definicija; izvedenite poimi se definiraat;

Koi osnovni i koi izvedeni poimi se upotrebuvaat pri definiraweto na poimot zatvorena iskr{ena linija?

poluprava, otse~ka, sredina na otse~ka, iskr{ena linija se izvedeni poimi.

Zada~i 1. Nabroj gi osnovnite poimi vo geometrijata.

2. Koi od navedenite poimi se izvedeni poimi: to~ka, prava, otse~ka, poluprava, geometriska figura, rastojanie?

3. Iska`i ja definicijata za: a) dol`ina na otse~ka; b) perimetar na iskr{ena linija.

4. Koi poimi se upotrebeni pri definirawe na poimot geometriska figura?

KRU@NICA I KRUG

Potseti se! Pove}e pati dosega si crtal kru`nica so pomo{ na {estar. Za da nacrta{ kru`nica potrebno e da znae{ kade da ja zabode{ iglata i kolku da go „otvori{“ {estarot.

Voo~iv! Kru`nicata e mno`estvo to~ki i site tie to~ki se na ednakvo rastojanie od to~kata O.

Na crteòt e dadena kru`nica k i na nea se ozna~eni to~kite A, B, C, D, E i F. Razgledaj go crteòt i postapi spored barawata. U{te kolku to~ki moè{ da ozna~i{ na kru`nica- F ta? Na kakvo rastojanie se to~kite na kru`nicata A od to~kata O?

E D C O B

Mno`estvoto od site to~ki vo ramninata {to se na ednakvo rastojanie od edna izbrana to~ka vo taa ramnina se vika kru`nica. Izbranata to~ka se vika centar na kru`nicata i naj~esto se ozna~uva so O.

Nacrtaj kru`nica so centar O i otvor na {estarot 25mm. Na kru`nicata ozna~i to~ki A, B i C i sekoja od niv povrzi ja so centarot O. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata:

Kade le`at krajnite to~ki na otse~kite OA, OB, i OC?

Kakvi se tie otse~ki me|u sebe po dol`ina? A

Otse~kite OA, OB i OC go svrzuvaat centarot na kru`nicata so to~ki od kru`nicata i se ednakvi me|u sebe.

Sekoja otse~ka {to go svrzuva centarot so koja bilo to~ka od kru`nicata se vika radius na kru`nicata; i nejzinata dol`ina se voka radius na kru`nicata. Radiusot naj~esto se ozna~uva so bukvata r od latinicata. D

Na crte`ot e dadena kru`nicata k i otse~kite OA, OB, OC i OD.

Koja od dadenite otse~ki e radius na kru`nicata? Zo{to otse~kata OC ne e radius na kru`nicata?

O B

Nacrtaj kru`nica so centar O i radius r= 2 cm. Kolku kru`nici mo`e{ da nacrta{ so centar vo to~kata O i radius 2 cm?

So dadena to~ka kako centar i daden radius mo`e da se nacrta samo edna kru`nica. Edna kru`nica e napolno opredelena ako se dadeni centarot i radiusot na kru`nicata. Kru`nicata k so centar O i radius r se ozna~uva so k (O; r). Nacrtaj kru`nica k (O; 2 cm).

B 6

Na crte`ot e dadena kru`nica k (O; r) i to~kite A, B, C i D.

A O

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. Na kolku delovi e podelena ramninata so kru`nicata k?

Mo`eme da ka`eme deka to~kite V i D „se nadvor” od kru`nicata k. Na koj del od ramninata mu pripa|aat to~kite A i C? Kru`nicata k ja deli ramninata na dva dela (oblasti) - vnatre{en (vnatre{na oblast) i nadvore{en (nadvore{na oblast). Geometriskata figura sostavena od edna kru`nica i od nejzinata vnatre{na oblast se vika krug. Centarot i radiusot na kru`nicata k se vikaat centar i radius na krugot. Krugot so centar O i radius r go ozna~uvame so K(O; r). Nacrtaj krug K (O; 22 mm).

Na crte`ot e dadena kru`nicata k i na nea se ozna~eni to~kite A, B, C i D i se povle~eni otse~kite AB i CD.

Razgledaj go crte`ot i odgovori na postavenite pra{awa. Kade le`at krajnite to~ki na otse~kite AB i CD?

C A

B O

Koja od dadenite otse~ki minuva niz centarot O?

Na kolku radiusi e ednakva otse~kata AB?

Voo~i i zapomni! Otse~ka ~ii{to krajni to~ki ñ pripa|aat na kru`nicata se vika tetiva na kru`nicata. Otse~kata AV e tetiva {to minuva niz centarot. Tetiva {to minuva niz centarot se vika dijametar na kru`nicata. Dijametarot na kru`nicata naj~esto se ozna~uva so d i d= 2r.

Nacrtaj kru`nica k (O; 25 cm). Presmetaj go dijametarot na kru`nicata.

10 Nacrtaj kru`nica k (O; r) i na nea ozna~i dve

to~ki A i B.

Na kolku delovi e podelena kru`nicata so to~kite A i B?

O k C

Zapomni!

So to~kite A i B kru`nicata e podelena na dva dela. Sekoj od tie delovi zaedno so to~kite A i B se vika kru`en lak i se ozna~uva so AV, ako toa e pomaliot. Pogolemiot, pak, se ozna~uva so tri bukvi, t.e. ASV. Neka tetivata na kru`nicata pretstavuva dijametar. Sekoj od dobienite kru`ni laci se vika polukru`nica.

11 Nacrtaj kru`nica k (O; r), tetiva AV i dijametar CD. Koi od to~kite A, V, S i D opredeluvaat polukru`nica?

Treba da znae{! Proveri se! Da objasni{ {to e kru`nica; {to e kru`en lak i kako se ozna~uva;

Koi od ozna~enite to~ki na crte`ot:

{to e centar, a {to radius na kru`nica;

b) pripa|aat na krugot K?

so {to e zadadena edna kru`nica;

a) ñ pripa|aat na kru`nicata k? v) se krajni to~ki na radiusot na kru`nicata? E

da objasni{ {to e tetiva na kru`nica i koja tetiva se vika dijametar;

Kolkav e radiusot na kru`nicata so dijametar d = 32 mm?

k A

D O C

koja geometriska figura se vika krug.

Zada~i 1.

Nacrtaj kru`nica k (O; 2 cm). Dali centarot O e to~ka od kru`nicata?

[to e radius na kru`nica?

Nacrtaj kru`nica k so dijametar d = 4 cm i na nea tetiva AB = 3 cm.

Nacrtaj kru`nica k(O; 25 mm) i na nea ozna~i kru`en lak AV, taka {to za soodvetnata tetiva da bide AB = 3 cm.

Presmetaj go dijametarot na kru`nicata so radius r = 28 mm.

Presmetaj go radiusot na kru`nicata so dijametar d = 5 cm.

ZAEMNA POLO@BA NA KRU@NICA I TO^KA. ZAEMNA POLO@BA NA KRU@NICA I PRAVA

Potseti se!

B k A

B r

O E

E H

D O

Na kru`nicata k na crte`ot se ozna~eni nekolku to~ki, a ozna~eni se i to~ki koi ne le`at na kru`nicata.

Na crte`ot se dadeni: kru`nicata k (O; r) i to~kite A, B, C, D, E, F i G. So merewe i sporeduvawe utvrdi deka se to~ni dadenite tvrdewa:

Koi od ozna~enite to~ki le`at na kru`nicata k?

a) OA = r i OD = r;

Koi od ozna~enite to~ki le`at vo vnatre{nata oblast na kru`nicata k?

v) OC = r i OF = r.

Koi od ozna~enite to~ki le`at vo nadvore{nata oblast na kru`nicata k? Koi to~ki se zaedni~ki za kru`nicata k i pravata a?

b) OB = r i OE = r;

Voo~i! To~kite A i D le`at na kru`nicata. Nivnoto rastojanie do centarot O e ednakvo na r.

To~kite B i E le`at vo vnatre{nosta na kru`nicata k. Tie se vnatre{ni to~ki. Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pomalo od r. To~kite C, F i G le`at vo nadvore{nosta na kru`nicata k. Tie se nadvore{ni to~ki. Rastojanieto na tie to~ki do centarot O e pogolemo od r.

Koja od to~kite A, B, C, D i E le`i na kru`nicata k (O, 35 mm), ako AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?

Koja od to~kite K, L, M, N i P e nadvore{na, a koja vnatre{na to~ka na kru`nicata k (O, 3 cm), ako OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?

B 4

Na crte`ot e dadena kru`nica k i pravite a, b i c. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. Kolku zaedni~ki to~ki ima pravata a so kru`nicata k? Koja od pravite ima samo edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k? Koja od pravite nema zaedni~ki to~ki so kru`nicata k?

S k O a c

V A

Voo~i i zapomni!

Pravata a i kru`nicata k imaat dve zaedni~ki to~ki. Velime deka pravata a e prese~ka ili sekanta na kru`nicata k. Pravata b i kru`nicata k imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Velime deka pravata b e dopirka ili tangenta na kru`nicata k. Pravata c nema nitu edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata k.

Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~i to~ka R. Nacrtaj prava t {to ja dopira kru`nicata k vo to~kata R.

Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ to~ka {to le`i na dadena kru`nica, vo kru`nicata ili nadvor od nea;

Vo kakva zaemna polo`ba se to~kata A i kru`nicata k (O, r), ako OA = r?

koga edna prava e sekanta na dadena kru`nica;

Vo kakva zaemna polo`ba se pravata m i kru`nicata k (O, r), ako pravata m minuva niz centarot na kru`nicata?

koga edna prava e tangenta na dadena kru`nica.

Zada~i 1.

Koja od to~kite A, V, S i D e vnatre{na to~ka za kru`nicata k (O; 3 cm), ako OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm i OD = 2 cm?

Vo kakva zaemna polo`ba mo`e da bidat prava i kru`nica?

Koja od pravite na crte`ot e tangenta na kru`nicata k? a

Vo kakva zaemna polo`ba mo`e da bidat to~ka i kru`nica?

b c O

Nacrtaj kru`nica k (O; 8 mm) i prava a {to ja se~e kru`nicata.

7. 4.

[to e tangenta na kru`nica?

Nacrtaj kru`nica k i na nea ozna~i to~ka A. Nacrtaj tangenta t koja kru`nicata ja dopira vo to~kata A.

ZAEMNA POLO@BA NA DVE KRU@NICI

Potseti se!

A C

A D

Na crte`ot se dadeni kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O2; r2).

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{aweto. Dali kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki to~ki?

B k1

Na crte`ot se dadeni kru`nicite k(O; r) i k1(O1; r1). To~kata O e centar na kru`nicata k(O; r), a otse~kata OD e radius na taa kru`nica. Imenuvaj gi centarot i radiusot na kru`nicata k1. Koi od ozna~enite to~ki £ pripa|aat na kru`nicata k i na kru`nicata k1?

r2 r1 O2

Voo~i! Kru`nicite k1 i k2 nemaat zaedni~ki to~ki. Ednata kru`nica e vo nadvore{nata oblast na drugata kru`nica.

Zapomni! Rastojanieto O1O2 me|u centrite O1 i O2 na kru`nicite k1 i k2 se vika centralno rastojanie i naj~esto se ozna~uva so c; c = O1O2.

Razgledaj gi kru`nicite k1 i k2 i odgovori na pra{awata. Dali kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki to~ki? Vo koja oblast na kru`nicata k1 le`i kru`nicata k2?

k2 r1

r2 O1

Voo~i! Kru`nicite k1 i k2 nemaat zaedni~ki to~ki. Ednata kru`nica e vo vnatre{nata oblast na drugata kru`nica.

Na crte`ot se dadeni kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O1; r2). Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. [to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ? Imaat li kru`nicite k1 i k2 zaedni~ki to~ki?

k1 r1

k2 r2 O1

Voo~i i zapomni!

Kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki centar i nemaat zaedni~ki to~ki. Za niv velime deka se koncentri~ni kru`nici.

Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici k1 i k2 so radiusi r1= 3 cm i r2= 2 cm.

Na crte`ot se dadeni kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O2; r2).

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{aweto:

r2 M

[to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ?

Voo~i i zapomni! Kru`nicite k1 i k2 imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Se veli deka kru`nicite k1 i k2 se dopiraat odnadvor.

Nacrtaj kru`nici k1(O1; 2 cm) i k2(O2; 3 cm) koi se dopiraat odnadvor.

Razgledaj gi kru`nicite k1(O1; r1) i k2(O2; r2) na crte`ot i odgovori na pra{aweto.

r1 k1 c

[to imaat zaedni~ko kru`nicite k1 i k2 ?

r2 O2

Voo~i i zapomni! Kru`nicite k1 i k2 imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Se veli deka kru`nicite k1 i k2 se dopiraat odnatre.

Razgledaj go crte`ot i raboti spored postapkata. A

Nacrtaj otse~ka O1O2 = 4 cm. Nacrtaj kru`nici k1(O1; 25 mm) i k2(O2; 22 mm). Ozna~i gi zaedni~kite to~ki na kru`nicite k1 i k2 so A i B. Povle~i gi radiusite r1= O1A i r2= O2A.

O2 V

Voo~i i zapomni!

Kru`nicite k1 i k2 imaat dve zaedni~ki to~ki A i V, odnosno kru`nicite se se~at.

Nacrtaj kru`nici k1 i k2 {to se se~at.

Treba da znae{!

Proveri se!

Vo koi zaemni polo`bi mo`at da se najdat dve kru`nici;

Mo`e li dve kru`nici da se koncentri~ni i da se se~at?

da prepoznae{ na crte`:

Dve kru`nici so radiusi r1 i r2 se dopiraat odnadvor. Na {to e ednakvo nivnoto centralno rastojanie?

koga dve kru`nici nemaat zaedni~ki to~ki; koga dve kru`nici se dopiraat; koga dve kru`nici se se~at.

Zada~i

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; 18 mm) i k2 (O2; 22 mm) koi nemaat zaedni~ki to~ki. Kolku mo`nosti ima?

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; r1) i k2 (O2; r2) taka {to da se dopiraat odnadvor.

Vo kakva zaemna polo`ba se kru`nicite k1 (O1; 3 cm) i k2 (O2; 2 mm), ako to~kite O1 i O2 se sovpa|aat?

Nacrtaj dve koncentri~ni kru`nici k1 (O1; 2 cm) i k2 (O2; 15 mm).

Nacrtaj dve kru`nici k1 (O1; 25 mm) i k2 (O2; 15 mm), koi se dopiraat odnatre.

Kru`nicite k1 (O1; 3 cm) i k2 (O2; 18 mm) se dopiraat odnatre. Presmetaj go rastojanieto me|u nivnite centri.

POLURAMNINA. AGOL

Potseti se!

Na crte`ot se ozna~eni pravata p i to~kite A, B, C, D, E i F {to ne le`at na nea.

Koi od ozna~enite to~ki na crteòt leàt na pravata p, a koi ne leàt na nea? M T p

Vo kakva zaemna polo`ba se pravata p i otse~kata MN? [to e to~kata Q za pravata p i otse~kata MN?

A C

Dali otse~kata AB ima zaedni~ka to~ka so pravata p? Kakva zaemna polo`ba imaat pravata p i otse~kata EF?

Voo~i deka otse~kata AB nema zaedni~ka to~ka so pravata p, a otse~kata EF ja se~e pravata p. Za to~kite A i B velime deka se nao|aat (leàt) na ista strana, a to~kite E i F na razli~ni strani od pravata p. Objasni zo{to to~kite C i D leàt na ista strana od pravata p, a to~kite B i D leàt na razli~ni strani od nea. Ima li drugi to~ki koi leàt na ista strana, odnosno na razli~na strana od pravata p? Moàm da voo~am deka na ista strana od pravata p ima beskone~no mnogu to~ki.

Zapomni! Mno`estvoto od site to~ki vo ramninata {to le`at na ista strna od dadena prava p, zaedno so to~kite od taa prava, se vika poluramnina. Pravata p se vika rab ili grani~na prava na poluramninata.

So pravata p na crte`ot se formirani dve poluramnini od koi ednata e oboena.

Koi od ozna~enite to~ki na crte`ot le`at vo ista poluramnina so to~kata S?

P N

T L

Nacrtaj dve polupravi OX i OY, kako na crte`ot.

II I

[to imaat zaedni~ko polupravite OX i OY? O

Na kolku delovi e podelena ramninata so tie polupravi?

Dve polupravi so zaedni~ki po~etok ja razdeluvaat ramninata na dva dela. Geometriskata figura formirana od dve polupravi so zaedni~ka po~etna to~ka i edniot del od ramninata, opredelen so niv, se vika agol. Na crte`ot se pretstaveni dvata agla {to se obrazuvani od polupravite OX i OY. Sekoj od tie agli e sostaven od polupravite i oboeniot del od ramninata.

Polupravite OX i OY se vikaat kraci na agolot, a O se vika teme na agolot. a

{n re t a Vn last ob

N ad vo re { na

Delot od ramninata {to mu pripa|a na agolot, bez kracite, se vika vnatre{na oblast (ili kuso oblast) na agolot. Vnatre{nata oblast na agolot se obele`uva so kru`en lak. To~kite {to £ pripa|aat na vnatre{nata oblast se vikaat O vnatre{ni to~ki na agolot.

Y X

Voo~i deka! Aglite mo`at da se ozna~uvaat:

oblast

so golema latinska bukva so koja e ozna~eno temeto na agolot i

simbolot pred nea; na primer, O.

so mala bukva od gr~kata azbuka, {to se zapi{uva vo oblasta na agolot; pokraj α, se upotrebuvaat i bukvite: β (beta), γ (gama), δ (delta) i dr.; so tri golemi bukvi od latinicata, pri {to bukvata za temeto se pi{uva na sredinata; na primer AOB.

Na crte`ot e pretstaven agol α i se ozna~eni to~ki: O, A, B, C, D, E. Koi od tie to~ki mu pripa|aat na agolot α? Koi od tie to~ki se vnatre{ni za agolot α?

D E C

Nacrtaj agol so teme S i kraci SP i SR i ozna~i go so kru`en lak. Kako }e go zapi{e{ so simboli agolot {to go nacrta?

Imenuvaj go sekoj od aglite na crte`ot.

β P

Na crte`ot se dadeni: MON so to~kite A, B, C, D od negovata oblast i SQT so to~kite E, F, G, H od negovata oblast.

Site to~ki od otse~kata AB le`at vo oblasta na MON. Kade le`at otse~kite: BC, BD, AC?

D C

G F Q

H E

Otse~kata EF ima to~ki {to pripa|aat na oblasta i to~ki {to ne pripa|aat na oblasta od SQT. Kade pripa|aat to~kite od otse~kite: EG, FH, HE?

Voo~i i zapomni! Za eden agol velime deka e konveksen ako za koi bilo dve to~ki A i V od negovata oblast, site to~ki od otse~kata AV £ pripa|aat na taa oblast. Na crte`ot agolot MON e konveksen, a agolot SQT e nekonveksen.

Nacrtaj eden konveksen agol α i agol β {to e nekonveksen.

Treba da znae{! Proveri se! [to e poluramnina;

Koja od figurite na crte`ot e agol?

{to e agol;

Koja od figurite na crte`ot e konveksen agol?

{to e vnatre{na oblast na agol;

Zada~i

1. Koi od ozna~enite to~ki na crte`ot

3. Nacrtaj agol so teme M i kraci MP i 4. Nacrtaj eden konveksen agol α i eden agol β {to ne e konveksen.

MN. Imenuvaj go toj agol.

le`at vo ista poluramnina so to~kata A? A

koj agol e konveksen.

E D F

2. Imenuvaj gi temeto i kracite na agolot na crte`ot. Koi od ozna~enite to~ki mu pripa|aat na agolot, a koi na oblasta?

G C

Kolku agli se obrazuvani so polupravite: OA, OB i OC i kru`nite laci na crte`ot?

Imenuvaj gi tie agli.

E O

V O

100

SPOREDUVAWE AGLI. VIDOVI AGLI

Potseti se!

Aglite, kako i otse~kite mo`e da se sporeduvaat.

Na crte`ot e daden eden agol. N

Raboti spored barawata, voo~i, zapomni i odgovori. Na proyirna hartija nacrtaj dva agla, α = AOB i β = CSD, kako na crte`ot, a potoa izre`i gi.

D B

Imenuvaj go toj agol. Imenuvaj gi kracite i temeto na agolot.

α O

Postavi go edniot izre`an agol vrz drugiot agol, na primer α vrz β, taka {to temeto O da se sovpadne so temeto S, a krakot OA so krakot SC, kako na crte`ot.

α O≡S

Vo koja oblast se nao|a krakot OB? Krakot OB (od agolot α) le`i vo oblasta na agolot β.

B β A C

Voo~i! Ima tri mo`nosti za polo`bata na krakot OB od agolot α = AOB vo odnos na agolot β = CSD, koga α i β se postaveni eden vrz drug. 1) Krakot OB se sovpa|a so krakot OD - toga{ velime deka aglite α i β se ednakvi (skladni).

2) Krakot OB se nao|a vo vnatre{nata oblast na agolot β - toga{ velime deka α e pomal od β. D

3) Krakot OB se nao|a vo nadvore{nata oblast na agolot β - toga{ velime deka α e pogolem od β. B

B α O≡S

β A C

α O≡S

β O≡S

A C

Razgledaj go agolot AOV na crte`ot, razmisli i odgovori. [to obrazuvaat kracite na agolot AOB?

α A C

Voo~i i zapomni!

101

Agol ~ii{to kraci obrazuvaat edna prava se vika ramen agol. Koi bilo dva ramni agli se ednakvi.

Nacrtaj ramen agol MON, obele`i go so lak i ozna~i to~ki A,B,C, D vo negovata oblast. Koi od otse~kite AB, AC, BC i BD celosno le`at vo oblasta na MON? Dali MON e konveksen ili nekonveksen agol? C

Raboti spored barawata, voo~i, zapomni i odgovori. Na proyirna hartija nacrtaj ramen agol AOB. Previtkaj go listot vo temeto O, taka {to kracite OA i OB da se sovpadnat. Potoa odvitkaj go listot.

Voo~uva{ deka so linijata na previtkuvawe ramniot agol e podelen na dva skladni, odnosno ednakvi delovi. Sekoj od tie delovi e prav agol.

Voo~i i zapomni! Agol koj e polovina od ramniot agol se vika prav agol. Agolot AOC na crte`ot e prav agol. Zapi{i go drugiot prav agol. Voo~i gi pravite agli na tvojot triagolen linijar.

Razgledaj go crte`ot i postapi spored baraweto.

Nacrtaj poluprava OA. Temeto na praviot agol postavi go vo to~kata O, taka {to eden od kracite na pravoagolniot linijar da se sovpa|a so polupravata OA.

Po drugiot krak od praviot agol na triagolniot linijarpovle~i poluprava OB. Na toj na~in nacrta prav agol AOB.

γ β

Izmeri so praviot agol na pravoagolniot linijar koj od aglite na crte`ot e prav agol.

α V

Razgledaj gi aglite AOB i MPN na crte`ot i sporedi gi so praviot agol. Koj od dadenite agli e pomal od praviot agol, a koj e pogolem od praviot agol?

α O

Voo~i i zapomni!

102

Agol {to e pomal od praviot agol se vika ostar agol.

Agol {to e pogolem od praviot agol, a pomal od ramniot, se vika tap agol.

Proceni koi od aglite na crte`ot se ostri, a koi tapi, a potoa proveri so prav agol od linijarot dali si procenil to~no.

Kakva e zaemnata polo`ba na dve polupravi OA i OV, ako to~kata V £ pripa|a na polupravata OA kako na crte`ot? A

]e prifatime sovpadnatite polupravi da opredeluvaat dva agla.

Edniot agol e sostaven od polupra-

vite (koi{to se sovpa|aat) i ostanatiot del od ramninata - toj agol se vika poln agol; vite (koi{to se sovpa|aat), a negovata oblast e prazno mno`estvo - toj agol se vika nulti agol (nula - agol). A

Na crte`ot e pretstaven poln agol AOV i nulti agol NPM.

Dali polniot agol e konveksen? Obrazlo`i go tvojot odgovor.

Treba da znae{!

drugiot agol e sostaven od polupra-

Dali tie polupravi OA i OV ja delat ramninata na dva dela?

V N

Proveri se!

Koj agol se vika: ramen agol?

prav agol?

ostar agol?

tap agol?

poln agol?

nulti agol?

Zada~i

Koi vidovi agli mo`e{ da gi prepoznae{ na crte`ot? Imenuvaj gi C tie agli. Podredi gi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot, aglite: α, β, γ i δ, ako α e ramen agol, β e prav agol, γ e ostar agol i δ e tap agol.

1. Koj agol se vika ramen agol? 2. Kakov agol pretstavuva polovinata od praviot agol?

3. Kakov agol obrazuvaat strelkite na ~asovnikot vo: a) 14 ~asot; v) 17 ~asot;

b) 15 ~asot; g) 18 ~asot?

4. Nacrtaj ostar agol AOB i tap agol MPN.

6. Nacrtaj tap agol MON i ostar

103

agol NOP, taka {to MOP da bide ramen agol.

5. Nacrtaj tri polupravi OA, OB, i OC,

taka {to AOB e prav agol i BOC e ostar agol. Od koj vid e AOC?

SOSEDNI, NAPOREDNI I NAKRSNI AGLI

Potseti se!

Na crte`ot vo „potseti se”, aglite α i β imaat zaedni~ko teme O i zaedni~ki krak OV.

B β

Dva agla so zaedni~ko teme i eden zaedni~ki krak, a nemaat zaedni~ki vnatre{ni to~ki se vikaat sosedni agli.

Na crte`ot se aglite α i β. Imenuvaj gi kracite i temiwata na aglite α i β.

[to imaat zaedni~ko aglite α i β?

Koi od aglite na crte`ot se sosedni agli? Obrazlo`i go odgovorot. H

O C a)

N M

E v)

Na pravata AS na crte`ot e izbrana to~kata O i e povle~ena polupravata OV. [to imaat zaedni~ko AOB i BOC?

Kako go vikame takviot par agli? Kakov agol obrazuvaat kracite OA i OS?

Mo`e{ da voo~i{ deka aglite AOV i VOS se sosedni agli i obrazuvaat ramen agol.

Zapomni! Dva sosedni agli {to obrazuvaat ramen agol se vikaat naporedni agli.

Nacrtaj eden ostar agol MPN, a potoa nacrtaj agol NPS naporeden na agolot MPN. Od koj vid e agolot NPS?

Nacrtaj prav agol α, a potoa nacrtaj agol β naporeden na α. Od koj vid e agolot β?

104

Pravite AS i BD na crteòt se se~at vo to~kata O. Taka se obrazuvani aglite α, β, γ i δ. Kracite OC i OD na agolot γ se prodolènija na kracite OA i OV na agolot α. Za takvi agli velime deka se nakrsni agli. Nakrsni agli se i aglite β i δ, na crteòt.

Dva agli {to imaat zaedni~ko teme, a kracite na edniot agol se prodol`enija na kracite od drugiot agol niz temeto, se vikaat nakrsni agli.

Nacrtaj ostar agol AOV, a potoa nacrtaj agol MON, taka {to tie dva agli da se nakrsni.

Nacrtaj na hartija ili na karton nakrsni agli kako na crteòt. Ise~i gi vnimatelno nakrsnite agli i postavi gi eden na drug. ]e voo~i{ deka nakrsnite agli pri postavuvaweto eden na drug se sovpa|aat. Poradi toa moè{ da kaè{ deka nakrsnite agli se skladni (ednakvi). Na crteòt AOD = BOC i AOB = COD.

Nacrtaj prav agol MPN, a potoa nacrtaj go negoviot nakrsen agol SPR. Od koj vid se aglite MPS i NPS?

Treba da znae{! Proveri se! Da prepoznae{ i da objasni{ koi agli se sosedni agli;

Dali mo`at da bidat sosedni aglite AOV i BCD?

da prepoznae{ i objasni{ koi agli se vikaat naporedni agli;

Aglite AOV i VOS se naporedni agli. Ako AOV e prav, toga{ od koj vid e VOS?

da prepoznae{ i da objasni{ koi agli se nakrsni agli.

Agolot MPN e tap agol. Od koj vid e nakrsniot agol na MPN?

Zada~i 1.

Imenuvaj gi sosednite agli na crte`ot. Vnimavaj ima ~etiri para sosedni agli!

3. B

Koj od aglite na crte`ot e naporeden na agolot α? Koi drugi dva agli se naporedni?

β α γ δ

Nacrtaj eden tap agol α, a potoa nacrtaj go negoviot naporeden agol β. Od koj vid e agolot β?

Za koi dva agli se veli deka se nakrsni?

Odredi gi parovite nakrsni agli na crte`ot.

1 4 5 8

A 1

Potseti se! V Na crte`ot e dadena kru`k nica k, centar O i na nea se ozna~eni to~kite A i V. A Na kolku delovi e podeO lena kru`nicata k so to~kite A i V? Kako se vika sekoj od tie dva dela? Kako se ozna~uva pomaliot od dvata kru`ni laci? Kako se vika otse~kata AV?

105

CENTRALEN AGOL. KONSTRUKCIJA NA AGOL

Koj od aglite α, β i γ na crte`ot e centralen agol? Zo{to agolot γ ne e centralen? β γ O

Na crte`ot e dadena kru`nica k so centar O i aglite α i β. C D k

α O

Kade se nao|a temeto na agolot: α; β? Agol ~ie{to teme se nao|a vo centarot na dadena kru`nica se vika centralen agol.

Kracite na agolot α (na crte`ot) ja se~at kru`nicata k vo to~kite A i B. Zapi{i go kru`niot lak {to go obrazuvaat kracite na agolot α i le`i vo toj agol.

Zapi{i go kru`niot lak {to go obrazuvaat kracite na agolot α i ne le`i vo toj agol.

V α O

Zapomni! Sekoj centralen agol vo dadena kru`nica opredeluva to~no eden kru`en lak {to le`i vo toj agol. Za agolot i za lakot velime deka se soodvetni ili si odgovaraat eden na drug.

Na crte`ot e dadena kru`nica k i centar O i dva centralni agli, koi{to se skladni. Zamisli deka agolot α se vrti okolu to~kata O vo nasoka na dvi`eweto na strelkite na ~asovnikot, s¯ dodeka to~no go pokrie agolot β. Kade bi padnala to~kata A, a kade to~kata V? So koj lak bi se sovpadnal lakot AV?

Voo~uvam deka lakot AV bi se sovpadnal so lakot CD.

106

Na skladni centralni agli vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni kru`ni laci.

Na ist na~in mo`e{ da voo~i{ deka va`i i obratnoto: Na skladni laci vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni centralni agli.

Centralnite agli α i β na crte`ot se skladni. Kakvi se soodvetnite laci AB i CD? Tetivata AV mu pripa|a na agolot α, a tetivata CD - na β. Kako }e zaklu~i{ deka ovie tetivi se skladni (ednakvi)? Mo`am da zamislam deka agolot α, so vrtewe okolu to~kata O, }e se sovpadne so agolot β. Tetivite AV i CD }e se sovpadnat, t.e. tie se ednakvi.

Va`i op{to! Na skladni centralni agli vo kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni (t.e. ednakvi) tetivi.

Tetivite AV i CD vo kru`nicite k1 i k2, so ednakvi radiusi, se ednakvi. Dali centralniot agol α e skladen so centralniot agol β? Voo~i deka α e pomal od ramniot agol, a β e pogolem od ramniot agol.

Voo~i deka Na ednakvi tetivi vo ista kru`nica ili vo razli~ni kru`nici so ednakvi radiusi im odgovaraat skladni centralni agli samo koga tetivite: ili dvete pripa|aat ili dvete ne pripa|aat na soodvetnite agli.

Na crte`ot se dadeni kru`nicite k1 i k2, so ednakvi radiusi. Vo sekoja od kru`nicite se ozna~eni tetivi:

AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i

MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me|u sebe? Zo{to?

k1 α

K N

B 8

Znae{ deka na ednakvi centralni agli vo kru`nici so ednakvi radiusi odgovaraat ednakvi kru`ni laci (odnosno tetivi). Toa mo`e{ da go iskoristi{ da konstruira{ agol, ednakov na daden agol, samo so pomo{ na linijar i {estar . Kako se pravi toa? Vidi ja slednata zada~a. Daden e agolot α = KOL (crt. a). Konstruiraj agol ednakov na agolot α.

107

L a)

Sledi ja postapkata ~ekor po ~ekor.

Nacrtaj poluprava RT (crt. b). So proizvolen otvor na {estarot, na dadeniot agol a),

nacrtaj del od kru`nicata so centar vo to~kata O {to }e gi prese~e kracite OK i OL. Taka }e ja dobie{ tetivata AV {to odgovara na AOB (crt. v)

So istiot otvor na {estarot, kako pri crt. v, nacrtaj del

T L B

v) α

od kru`nicata so centar vo to~kata R (crt. g).

Otvori go {estarot i „zemi go“ so nego rastojanieto AB od Zabodi go {ilecot na {estarot vo to~kata M i so drugiot Nacrtaj ja polupravata RY {to minuva niz to~kata N (crt.

d); so toa }e dobie{ TPS = α.

S N d)

Treba da znae{! Da objasni{ koj agol se vika centralen agol; kakov e odnosot me|u ednakvite centralni agli i soodvetnite kru`ni laci; deka na ednakvi centralni agli odgovaraat ednakvi tetivi.

krak prese~i go prethodno nacrtaniot lak na crt. g; taka }e ja dobie{ to~kata N.

Nacrtaj tap agol α, a potoa konstruiraj agol β ednakov na agolot α.

crt. v.

Proveri se! N

A Vo kru`nicata k na crte`ot, AB = MN i AB > CD. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me|u sebe?

O M

B C

Zada~i 1. Koj agol se vika centralen agol? 2. Nacrtaj kru`nica k(O; 3 cm) i edna nejzina tetiva AB = 35 mm. Nacrtaj go centralniot agol α vo koj le`i tetivata AV.

3. Nacrtaj ostar agol α, a potoa konstruiraj agol β ednakov so agolot α.

4. Nacrtaj prav agol AOV, a potoa nacrtaj agol MPN ednakov so agolot AOV.

108

GRAFI^KO SOBIRAWE I ODZEMAWE NA AGLI

Potseti se!

A 1

Kako }e konstruira{ agol β ednakov na daden agol α?

Dadeni se aglite α i β. Odredi go grafi~ki nivniot zbir.

Na crte`ot e daden agol α i poluprava OA.

Razgledaj go crte`ot i raboti spored postapkite. C B

Konstruiraj agol AOV ednakov na agolot α.

β O

Nacrtaj dva agla α i β i poluprava OA. So ist otvor na {estarot nacrtaj kru`en lak na agolot α, na agolot β i na polupravata OA. Konstruiraj agol AOV ednakov na agolot α. Konstruiraj agol VOS ednakov na agolot β. Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β? Na {to e ednakov agolot AOS? Zapi{i go toa simboli~ki.

α A

Od prethodnite aktivnosti mo`e{e da voo~i{ kako grafi~ki (konstruktivno) se sobiraat agli. So opi{anata postapka dobivme agol AOS, koj e ednakov na zbirot od aglite α i β, t.e. AOS = α + β. Ovaa postapka se vika grafi~ko sobirawe ili konstrukcija na zbir na dva agla.

Nacrtaj ostar agol α i prav agol β, a potoa odredi go grafi~ki nivniot zbir.

Dadeni se aglite α i β. Odredi ja grafi~ki nivnata razlika. Razgledaj go crte`ot i raboti spored postapkite. R N α

Nacrtaj tap agol α, ostar agol β i poluprava OM. So ist otvor na {estarot nacrtaj kru`ni laci na aglite α i β i na polupravata OM. Konstruiraj agol MON ednakov na agolot α. Konstruiraj agol NOP ednakov na agolot β taka {to krakot OR da bide vo oblasta na agolot MON.

Taka go dobi agolot MOR.

109

[to pretstavuva agolot MOR za aglite α i β? Koja operacija ja izvr{i so aglite α i β?

So opi{anata postapka go dobivme MOR = α - β; so nea e izvr{eno grafi~ko t.e. konstruktivno odzemawe na aglite α i β.

Nacrtaj prav agol α i ostar agol β, a potoa odredi ja grafi~ki nivnata razlika.

Treba da znae{! Da odredi{ grafi~ki zbir na dva agla;

Proveri se! Vo vrska so crte`ot zapi{i simboli~ki:

razlika na dva agla.

[to pretstavuva agolot AOS za aglite AOV i VOS?

[to pretstavuva agolot AOV za aglite AOS i SOV?

Zada~i 4. Nacrtaj eden tap agol α i eden ostar

1. Nacrtaj dva ostri agli α i β i kon-

agol β i konstruiraj ja nivnata razlika.

struiraj go nivniot zbir.

5. Nacrtaj tap agol α i prav agol β i kon-

2. Nacrtaj ostar agol α i konstruiraj go

struiraj ja nivnata razlika.

agolot 2α (2α = α + α).

6. Nacrtaj ostar agol α i ostar agol β, β e

3. Nacrtaj tri ostri agli α, β i γ, a potoa

pomal od α, a potoa konstruiraj go agolot 2α − β.

konstruiraj go agolot α + β + γ.

Obidi se! Kolku agli (ozna~eni so lak) ima na crte`ot?

C B

Koi parovi agli se sosedni?

To~kata O le`i na pravata AE. Koi parovi agli se naporedni? A

110

MEREWE AGLI. AGLOMER

Potseti se! So koja naprava se meri dol`inata na otse~kata? A

Agolot AOD e zbir od aglite α, β i γ, koi{to se skladni me|u sebe. Kolku pati agolot α se sodr`i vo agolot AOD?

Nacrtaj agol α i agol β {to e pogolem od α. Kakvi se me|u sebe dva centralni agli ~ii{to soodvetni laci ima se skladni?

Lacite AB, BC, CD, DE i EF na crte-

Na crte`ot, lacite AB, BC i CD se skladni. Kakvi se me|u sebe centralnite agli α, β i γ?

Nabroj (barem tri) merni edinici za dol`ina.

I aglite mo`at da se sporeduvaat i, spored toa, mo`at da se merat.

Se veli i: merniot broj na agolot AOD vo odnos na agolot α e 3.

`ot se skladni. Koj e merniot broj na agolot: a) AOF; b) AOC vo odnos na agolot α?

Razgledaj go ramniot agol AOV i soodvetniot lak - polukru`nicata na crte`ot.

Voo~i deka polukru`nicata e podelena na 180 delovi. Koj del od ramniot agol e centralniot agol {to mu soodvetstvuva na eden 180-ti del od polukru`nicata? Agolot koj{to e 180-ti del od ramniot agol se zema za osnovna edinica za merewe agli. Negovata golemina se vika agolen stepen ili kuso stepen. Se ozna~uva: 1o; se ~ita "eden stepen#. Voo~iv deka: ako ramen agol se podeli na 180 dela, se dobiva agol so golemina od 1o.

Kolku stepeni ima ramniot agol? Kolku stepeni ima praviot agol?

Napravata za merewe agli se vika aglomer.

111

Aglomerot e prikaàn na crteòt. Aglomerot moè da bide napraven od tenka metalna plo~ka, od karton ili od plastika. 0

Toj ima forma na polukrug koj e podelen na 180 ednakvi delovi i sekoj del ozna~uva eden stepen.

Na skalata se ozna~eni broevi od 0 do 180, a centarot na polukru`nicata e ozna~en so O. S 5 Razgledaj go crteòt na koj e prikaàno mereweto na agolot VAS i odgovori: Kade e postavena to~kata O od aglomerot? Kade leì krakot AV od agolot VAS? Pro~itaj na aglomerot kolku stepeni ima VAS.

A 0

Kolku stepeni ima sekoj od aglite na crte`ot? K

So pomo{ na aglomer, nacrtaj MPN = 105o.

poluprava RM so po Nacrtaj ~etna to~ka R. go aglomerot taka {to Postavi to~kata O da se sovpadne so

po~etnata to~ka R na polupravata RM.

P Ozna~i to~ka N na mestoto kade {to skalata na aglomerot poka`uva 105o.

M 0

Povle~i poluprava PN. Na toj na~in so pomo{ na aglomer, nacrta MPN = 105o.

112

So pomo{ na aglomer nacrtaj agol od:

a) 48o;

b) 115o;

Pomali edinici od stepenot za merewe agli se agolna minuta ili kuso minuta (se ozna~uva 1’) i agolna sekunda ili kuso sekunda (se ozna~uva 1’’). Eden stepen ima {eeset minuti, a edna minuta {eeset sekundi. 1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.

Ako daden agol α ima 25 stepeni, 38 minuti i 42 sekundi, toa se zapi{uva vaka: α = 25o 28’ 42’’.

Pretvori gi vo minuti:

a) 5o;

b) 12o 45’;

v) 45o 15’.

a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.

Pretvori gi vo sekundi: a) 4o; b) 10o 15’; v) 20o 20’ 20’’.

Treba da znae{! Proveri se! Koja e osnovnata edinica za merewe golemina na agol;

Od koj vid e agolot {to ima 90o?

koi se pomali edinici od stepen;

Od koj vid e agolot {to ima 124o?

{to e agolen stepen;

Pretvori vo minuti 35o 17’.

kolku minuti ima 1o;

Pretvori vo sekundi 15o 2’ 13’’.

kolku sekundi ima 1’.

Zada~i 1.

Kolku stepeni ima sekoj od aglite: VOS, BOD, COD, BOM i MON na crte`ot? Izmeri gi aglite α i β na crte`ot.

N O

Nacrtaj agol od: a) 47o;

Pretstavi gi vo minuti: a) 25o; b) 30o 15’.

b) 126o.

Podredi gi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot, aglite: α = 71o 35’; β = 62o 58’ 30’’; γ = 96o 45’; δ = 84o 35’ 40’’.

113

ARITMETI^KI OPERACII SO AGLI

Potseti se!

A 1

Osnovna edinica za merewe agli e stepen.

Presmetaj go zbirot na aglite α = 85o 36’ 25’’ i β = 32o 12’ 20’’.

Voo~i ja postapkata pri re{avaweto.

Pomali edinici od stepenot se minuta i sekunda.

1. Soberi gi sekundite: 25’’ + 20’’ = 45’’

1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 3 600’’.

2. Soberi gi minutite: 36’ + 12’ = 48’ 3. Soberi gi stepenite: 85o + 32o = 117o

Pretvori gi vo stepeni: a) 120’; b) 180’. Pretvori gi vo stepeni i minuti: a) 86’; b) 145’.

85o

36’ 25’’

32o

12’ 20’’

117o

48’ 45’’

α + β = 117o 48’ 45’’.

Presmetaj go zbirot na aglite α = 48o 32’ 15’’ i β = 60o 8’ 20’’.

Presmetaj ja razlikata na aglite α = 78o 38’ 42’’ i β = 26o 15’ 18’’. Voo~i ja postapkata. 1. Odzemi gi sekundite: 42’’ - 18’’ = 24’’ 2. Odzemi gi minutite: 38’ - 15’ = 23’

3. Odzemi gi stepenite: 78o - 26o = 52o

78o

38’ 42’’

26o

15’ 18’’

52o

23’ 24’’

α - β = 52o 23’ 24’’.

Presmetaj ja razlikata na aglite α = 108o 52’ 36’’ i β = 42o 24’ 15’’.

Presmetaj go zbirot na aglite α = 84o 36’ 30’’ i β = 35o 42’ 50’’. Voo~i ja postapkata. 1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’ 2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’ 3. 84o + 35o + 1o = 120o

84o

36’ 30’’

35o

42’ 50’’

120o

19’ 20’’

Presmetaj go zbirot na aglite α = 68o 35’ 26’’ i β = 46o 42’ 52’’.

α + β = 120o 19’ 20’’.

114

Presmetaj ja razlikata na aglite α = 90o 25’ 18’’ i β = 28o 36’ 35’’. Voo~i ja postapkata.

1. 18’’ < 35’’. Od 25’ odzemame 1’; 1’ = 60’’; 18’’ + 60’’ = 78’’; 78’’ - 35’’ = 43’’ 2. 24’ < 36’. Od 90o odzemame 1o; 1o = 60’; 24’ + 60’ = 84’; 84’ - 36’ = 48’ 3. 89o - 28o = 61o

90o

25’ 18’’

28o

36’ 35’’

61o

48’ 43’’

α - β = 61o 48’ 43’’.

Presmetaj ja razlikata na aglite α = 105o 25’ 20’’ i β = 68o 42’ 30’’.

Presmetaj ja razlikata na aglite α = 88o 24’ i β = 25o 38’ 40’’. Voo~i ja postapkata. 1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’ 2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’

3. 87o - 25o = 62o

Presmetaj gi razlikite:

a) 90o - 35o 42’;

88o

24’

25o

38’ 40’’

62o

45’ 20’’

α - β = 62o 45’ 20’’.

b) 180o - 65o 25’ 35’’.

ZA ONIE [TO SAKAAT DA ZNAAT POVE]E 1

Presmetaj 4α , ako α = 28o 32’ 24’’. Voo~i ja postapkata. 1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’ 2.

4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’

3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o

Presmetaj 5α , ako α = 20o 18’ 28’’.

4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 4α = 114o 9’ 36’’.

9’

36’’

Presmetaj α : 6, ako α = 76o 32’ 42’’.

115

Voo~i ja postapkata. 76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’ - 72o 4o 32’ = 272’ - 270’ 2’ 42’’ = 162’’ - 162’’ 0

4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’ 2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’

Koj agol e 4 pati pomal od agolot α = 75o 34’ 20’’?

Treba da znae{! Proveri se! Agli se sobiraat taka {to po red }e se sobiraat sekundite, odnosno minutite, odnosno stepenite; da sobira{ agli koga zbirot na sekundite, odnosno minutite e pogolem od 60;

Presmetaj α + β i α − β, ako α = 68o 45’ 22’’ i β = 30o 25’ 48’’.

agli se odzemaat taka {to po red }e se odzemaat sekundite, odnosno minutite, odnosno stepenite; da odzema{ agli koga brojot na minutite ili na sekundite vo namalenikot e pomal od istiot broj vo namalitelot.

Zada~i 1. Presmetaj α + β i α - β, ako

α = 88o 26’ 32’’ i β = 25o 10’ 20’’.

2. Presmetaj α + β i α - β, ako

α = 76o 32’ 42’’ i β = 40o 38’ 50’’.

3. Presmetaj go agolot β koj{to so agolot α dava zbir od 90o, ako α e: a) α = 36o 40’;

b) α = 42o 42’ 42’’.

4. Presmetaj go agolot β koj{to so agolot α dava zbir od 180o, ako α e: a) α = 78o 30’;

b) α = 65o 35’ 25’’.

Obidi se! Na crte`ot e nacrtan agol od 19o.

19o

Kako mo`e bez aglomer, a samo so {estar i linijar, da se konstruira agol od 1o?

116

ZAEMNO NORMALNI PRAVI. RASTOJANIE OD TO^KA DO PRAVA

Potseti se!

A 1

Na crte`ot se dadeni pravite m i n. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata:

a b

β α

Pravite a i b na crte`ot se se~at. Tie imaat samo edna zaedni~ka to~ka. Koja e taa to~ka?

Kakva zaemna polo`ba imaat pravite m i n? Kakov agol formiraat aglite α i β?

Zapomni!

Ako α e prav agol, kakov e agolot β?

Za dve pravi {to se se~at i obrazuvaat pravi agli se veli deka se zaemno normalni pravi ili deka ednata prava e normala na drugata prava. Toa simboli~ki se zapi{uva: m ⊥ n.

Da zapomnam! Pravite m i n se se~at i obrazuvaat pravi agli. Tie se zaemno normalni pravi.

Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka A {to ne le`i na taa prava. Nacrtaj prava s {to minuva niz to~kata A i e normalna na pravata p.

B 3

Odredi go najkratkoto rastojanie od to~kata M do pravata p na crte`ot.

Razgledaj go crte`ot i postapi spored barawata.

Izmeri gi rastojanijata MA, MB, MC, MD

p A

i ME i sporedi gi.

Koe od navedenite rastojanija e najmalo? Vo kakva zaemna polo`ba se pravata p i pravata MC?

Zapomni!

Da zapomnam! Mo`am da zaklu~am deka najmalo e rastojanieto MC, a toa e dol`inata na otse~kata {to e normalna na pravata p.

Pod rastojanie od to~ka M do prava p se podrazbira „najkusoto” rastojanie. Rastojanieto od to~kata M do pravata p go merime po normalata povle~ena niz to~kata M kon pravata p. Rastojanie na to~kata M do pravata p e dol`inata na otse~kata MC, kade {to C e prese~nata to~ka na normalata i pravata p.

Odredi go rastojanieto od to~kata A do pravata a na crte`ot. Razgledaj go crte`ot a) i raboti spored postapkata.

Nacrtaj prava b koja minuva niz to~kata A i e normalna

117

na pravata a (koristej}i go praviot agol na tvojot triagolen linijar).

Ozna~i ja prese~nata to~ka B na pravite a i b. Dol`inata na otse~kata AB e rastojanieto od to~kata A

b a)

do pravata a. Vo slu~ajov AB = 27 mm.

R Koja od otse~kite na crte`ot e rastojanie od to~kata P do pravata a? Izmeri go rastojanieto od to~kata P do pravata a.

a A

Nacrtaj prava a i ozna~i to~ka A {to e na rastojanie 3 cm od taa prava.

Treba da znae{! Proveri se! Za koi dve pravi se veli deka se zaemno normalni;

Kaj edno selo minuva reka, oddale~ena od nego. Na rekata treba da se postavi most taka {to da bide najblisku do seloto.

da odredi{ rastojanie od to~ka do prava.

Objasni, spored toa {to u~e{e, kako }e go odredi{ mestoto kade {to treba da bide postaven mostot na rekata.

Zada~i 1. [to e rastojanie od to~ka do prava? 2. Nacrtaj prava m i ozna~i to~ka M {to ne le`i na taa prava. Odredi go rastojanieto od to~kata M do pravata m.

3. Odredi go rastojanieto od to~kata A do pravata c na crte`ot. A

S c

V D

4. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka P {to e na rastojanie 2 cm od pravata p.

5. Nacrtaj prava p i na nea ozna~i to~ka M. Niz to~kata M povle~i prava q, normalna na p.

118

SIMETRALA NA OTSE^KA. SIMETRALA NA AGOL

Potseti se! A

A 1 M

To~kata M e sredna to~ka na otse~kata AB = 3 cm.

Dadena e otse~kata AV. Niz nejzinata sredna to~ka O povle~i prava s {to e normalna na otse~kata AV. s

Odredi gi AM i MB. Pravite a i b na crte`ot se zaemno normalni. Od koj vid e agolot α?

a α

Nacrtaj otse~ka AB. ja srednata to~ka O na Odredi otse~kata AB.

Niz to~kata O povle~i prava s normalna na AB. Na kakvi delovi pravata s ja deli otse~kata AB? Vo kakva zaemna polo`ba se pravata s i otse~kata AB? Voo~i i zapomni! Pravata s {to ja prepolovuva otse~kata AB i e normalna na nea vika simetrala na otse~kata AB. m

Koja od pravite na crte`ot e simetrala na otse~kata MN? R

n s N

Nacrtaj otse~ka CD i potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala s.

B 4

Na crte`ot e daden AOB = 68o i vo negovata oblast e povle~ena poluprava OC taka {to AOC = 34o.

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{aweto. Kolku stepeni ima COB? Na kakvi delovi polupravata OC go deli agolot AOB? Zaklu~iv! Polupravata OC go deli agolot AOB na dva ednakvi dela. AOB = 68o, AOC = 34o i COB = 34o.

Zapomni! Polupravata {to go deli eden agol na dva ednakvi agli se vika simetrala na toj agol.

Proveri, koja od polupravite: OM, ON i OP na crte`ot e simetrala na agolot AOB.

119

P N

Nacrtaj agol od 56o i so pomo{ na aglomer povle~i ja negovata simetrala.

Treba da znae{! Proveri se! Da objasni{: {to e simetrala na otse~ka i {to e simetrala na agol; da nacrta{: simetrala na dadena otse~ka i simetrala na daden agol.

To~no po simetrala!

Nacrtaj otse~ka EF = 48 mm kako na crte`ot, a potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala. Nacrtaj AOV = 100o i potoa povle~i ja negovata simetrala. Kolku simetrali mo`e da se povle~at: na dadena otse~ka;

na daden agol? F

Zada~i 1. Simetralata s ja se~e otse~kata AB = 5 cm vo to~kata M. Presmetaj go AM.

5. Polupravata OP e simetrala na MON = 84o. Kolku stepeni ima MOP?

2. Simetralata s ja se~e otse~kata MN vo to~kata P, taka {to MP = 35 mm. Presmetaj ja dol`inata na otse~kata MN.

6. Polupravata OC e simetrala na

AOB. Presmetaj go AOB, ako AOC = 35o.

3. Nacrtaj otse~ka AB = 5 cm, a potoa nacrtaj ja nejzinata simetrala.

7. Nacrtaj agol α = 76o i povle~i ja 4

Nacrtaj iskr{ena linija od dve otse~ki AB i BC. Nacrtaj gi simetralite na otse~kite AB i BC.

negovata simetrala.

120

KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI AGLI

Potseti se!

A 1

Koi od parovite agli imaat zbir 90o? a) α = 35o i β = 55o;

Na crte`ot e konstruiran zbirot na aglite α = 40o i β = 50o.

b) α = 26o i β = 46o; v) α = 48o i β = 52o.

α = 40o

Zapomni!

β α

Za dva agla ~ij zbir iznesuva 90o se veli deka se komplementni agli.

β = 50o

Kolkav agol e zbirot na aglite α i β? Kolku stepeni ima praviot agol?

Kolku stepeni ima α + β?

Dali aglite α i β se komplementni, ako: a) α = 25o i β = 65o; b) α = 23o i β = 77o; v) α = 44o i β = 46o?

Ako α = 32o, toga{ kolku iznesuva negoviot komplementen agol β?

Izmeri gi aglite α i β i presmetaj go nivniot zbir. α

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata.

Kakov agol e zbirot na aglite α i β? Kolku stepeni ima ramniot agol? Kolku stepeni ima AOV, koj{to e zbir od aglite α i β?

β A

Voo~iv! Zbirot na aglite α i β e 180o, t.e. nivniot zbir pretstavuva ramen agol.

α O

Zapomni!

121

Za dva agli ~ij{to zbir iznesuva 180o se veli deka se suplementni agli.

Koi od aglite α i β se suplementni: α = 65o i β = 115o;

α = 108o i β = 72o;

α = 125o i β = 65o?

Ako α = 75o, toga{ kolku iznesuva negoviot suplementen agol β?

Treba da znae{! Proveri se! Za koi dva agla velime deka se komplementni? Za koi dva agla velime deka se suplementni?

Neka AOV = 62o. Koj od aglite: α = 38o; β = 118o; γ = 28o e: komplementen so agolot AOV; suplementen so agolot AOV?

Zada~i

1. Proveri dali aglite α i β se komplementni, ako:

4. Proveri dali se suplementni aglite α i β, ako:

a) α = 48o i β = 52o;

a) α = 105o i β = 65o;

b) α = 32o i β = 58o;

b) α = 128o i β = 52o;

v) α = 66o i β = 24o.

v) α = 46o i β = 134o.

2. Presmetaj go komplementniot agol na

5. Presmetaj go suplementniot agol na

3. Nacrtaj eden ostar agol, a potoa kon-

6. Nacrtaj tap agol, a potoa konstruiraj go

agolot α = 39o.

struiraj go negoviot komplementen agol.

agolot α = 76o.

negoviot suplementen agol.

122

MNOGUAGOLNIK

Potseti se!

A 1

Na crte`ot se dadeni tri iskr{eni linii.

Na crte`ot se dadeni zatvoreni iskr{eni linii KLMNP i ABCDE. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. P D M E

v) L

Iskr{enata linija pod a) e otvorena, a pod b) i v) e zatvorena.

Stranite AB i BC na iskr{enata linija ABCDE se sosedni. Tie imaat zaedni~ko teme B.

Koi strani na iskr{enata linija KLMNP ja se~at stranata KL? Dali stranite {to ja se~at stranata KL se nejzini sosedni strani?

D E

Ima li nesosedni strani vo iskr{enata linija ABCDE {to se se~at?

C B A Koi od stranite na iskr{enata linija ABCDE ne se sosedni so stranata AB?

Navistina vo iskr{enata linija ABCDE nema nesosedni strani koi se se~at.

Zatvorena iskr{ena linija vo koja nema nesosedni strani {to se se~at se vika poligonalna linija.

B 3

Nacrtaj poligonalna linija DEFGH. D

Razgledaj ja poligonalnata linija ABCDEF na crte`ot. Na kolku delovi poligonalnata linija ja razdeluva ramninata? Oboeniot del se vika vnatre{en del ili vnatre{na oblast na poligonalnata linija. Poligonalnata linija i nejzinata vnatre{na oblast obrazuvaat edna geometriska figura.

Zapomni!

123

Geometriskata figura obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinata vnatre{na oblast se vika mnoguagolnik.

Koja od figurite na crte`ite e mnoguagolnik?

Na crte`ot e daden mnoguagolnikot ABCDE. D To~kite: A, B, C, D i E se temiwa na mnoguagolnikot. Temiwata A i B se sosedni temiwa - le`at na ista strana.

Koi temiwa se sosedni so temeto D? Koi temiwa ne se sosedni na temeto C? Otse~kite: AB, BC, CD, DE i EA se vikaat strani na mnoguagolnikot ABCDE.

Za koi strani na mnoguagolnikot ABCDE temeto B e zaedni~ko teme? Stranite AB i BC imaat zaedni~ko teme B. Tie se vikat sosedni strani.

Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP se sosedni strani na stranata MN?

P M

Koi strani na mnoguagolnikot KLMNP ne se sosedni strani na stranata KL?

Razgledaj go mnoguagolnikot KLMNP. So koi polupravi e obrazuvan agolot KLM? Kolku agli obrazuvaat polupravite, na koi le`at stranite na mnoguagolnikot KLMNP, vo negovata vnatre{na oblast?

Voo~i i zapomni!

124

Aglite: KLM, LMN, MNP, NPK i PKL se agli na mnoguagolnikot.

Nacrtaj mnoguagolnik ABCD i ozna~i gi negovite agli so α, β, γ i δ.

Treba da znae{! Proveri se! [to e poligonalna linija; koja geometriska figura se vika mnoguagolnik; {to e teme, {to e strana i {to e agol na mnoguagolnik; koi se sosedni temiwa, a koi se nesosedni temiwa kaj mnoguagolnik;

Zo{to iskr{enata E linija na crte`ot ne e poligonalna linija? Koi strani na iskr{enata linija ABCDE ne se sosedni na stranata CD?

koi se sosedni strani, a koi se nesosedni strani kaj mnoguagolnik.

Zada~i D

4. Koi od temiwata 1.

Koja od iskr{enite linii e poligonalna linija?

na mnoguagolnikot ABCDE ne se E sosedni so temeto D?

B N

5. Koi strani na mnoa)

2. Koja od geometriskite figuri na crte`ot e mnoguagolnik?

guagolnikot KLMNP, na crte`ot, se sosedni na stranata MN?

P M K

Pomogni mu na gradinarot! a)

3. Nacrtaj mnoguagolnik ABCD.

Eden gradinar dobil zada~a da posadi 12 sadnici vo 6 reda, po 4 sadnici vo sekoj red. ]e mo`e li gradinarot da ja izvr{i zada~ata?

125

NEKOI VIDOVI MNOGUAGOLNICI

Potseti se!

A 1

Kako se vika geometriskata figura {to e obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinata vnatre{na oblast? To~kite D, E i G le`at na mnoguagolnikot ABCD. D M H C E F G A

Razgledaj gi crte`ite i odgovori na pra{awata. Y

Koi od ozna~enite to~ki ne le`at na mnoguagolnikot ABCD?

T X

O F a)

U{te koi od ozna~enite to~ki le`at na mnoguagolnikot ABCD?

Na crte`ite a) i b) se dadeni dva mnoguagolnika i po nekolku otse~ki ~ii{to krajni to~ki pripa|aat na mnoguagolnicite.

Kade le`at site to~ki od otse~kite FG, HT i XY? Dali site to~ki od otse~kite: OR, ST i UV le`at vo mnoguagolnikot pod b)?

Voo~i! Vo mnoguagolnikot pod a) site to~ki na otse~kite ~ii{to krajni to~ki le`at na mnoguagolnikot, se to~ki od toj mnoguagolnik. Za takvite mnogagolnici se veli deka se konveksni. Vo mnoguagolnikot pod b) nekoi to~ki od otse~kite ~ii{to krajni to~ki le`at na mnoguagolnikot, ne mu pripa|aat na mnoguagolnikot. Za toj mnoguagolnik se veli deka e nekonveksen.

Koi od mnoguagolnicite na crte`ot se konveksni?

Nacrtaj eden konveksen i eden nekonveksen mnoguagolnik. D

Potseti se! Razgledaj go mnoguagolnikot ABCDE na crte`ot. To~kite: A, B,C, D i E se temiwa, otse~kite AB, BC, CD, DE i EA se strani na mnoguagolnikot. Aglite: ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se agli na mnoguagolnikot.

126

Razgledaj gi mnoguagolnicite na crte`ot i odgovori na pra{awata.

G H

Kolku agli, temiwa i strani ima sekoj od tie mnoguagolnici?

Kako se vika mnoguagolnikot AVS?

Zapomni! Spored brojot na aglite (temiwata ili stranite) mnoguagolnikot mo`e da bide:

Da, toj ima tri agli i se vika triagolnik..

triagolnik -mnoguagolnik so tri agli (temiwa i strani); ~etiriagolnik -mnoguagolnik so ~etiri agli (temiwa i strani); petagolnik -mnoguagolnik so pet agli (temiwa i strani).

Koj mnoguagolnik se vika {estagolnik? b)

Nacrtaj mnoguagolnik so sedum strani. Kako se vika takviot mnoguagolnik?

Odredi go vidot na sekoj od mnoguagolnicite na crte`ot.

Natamu, pod mnoguagolnik }e podrazbirame konveksen mnoguagolnik, ako ne e re~eno poinaku.

Treba da znae{!

Proveri se! Koj mnoguagolnik se vika konveksen; koj mnoguagolnik se vika nekonveksen; kako se delat mnoguagolnicite spored brojot na aglite (temiwata, stranite).

Zo{to mnoguagolnikot ABCD na crte`ot e nekonveksen?

Kako se vika mnoguagolnikot {to ima 8 strani? A

Zada~i 1.

Koj mnoguagolnik se vika konveksen mnoguagolnik?

Nacrtaj petagolnik ABCDE. Koi temiwa se sosedni na temeto B? Koi strani ne se sosedni na stranata BC?

3. Koi od ozna~enite to~ki na

crte`ot le`at na mnoguagolnikot ABCD?

4. Ozna~i pet to~ki A, B, C, D i E kako D

F M

127

na crte`ot, a potoa nacrtaj petagolnik ABCDE koj e nekonveksen.

PERIMETAR NA MNOGUAGOLNIK

Potseti se! C

A 1

Razgledaj go mnoguagolnikot ABCD na crte`ot. Na nego se dadeni dol`inite na otse~kite od koi e sostavena poligonalnata linija na mnoguagolnikot.

C 4 cm

Presmetaj go perimetarot na triagolnikot AVS.

Presmetaj go perimetarot na kvadrat so strana a = 5 cm.

2 cm

3 cm

4 cm

Presmetaj go perimetarot na poligonalnata linija ABCD. Perimetarot na poligonalnata linija {to go formira mnoguagolnikot se vika perimetar na mnoguagolnikot i se ozna~uva so L.

Voo~i! Perimetarot na mnoguagolnikot ABCDE na crte`ot e: L = AB + BC + CD + DA; L = 4 + 3 + 4 + 2 = 13 cm, t.e. L = 13 cm.

Presmetaj go perimetarot na mnoguagolnikot ABCDE, ako: AB = 4 cm, BC = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm i EA = 3 cm.

Presmetaj go perimetarot na triagolnikot AVS na crte`ot ako: a = 28 mm, b = 32 mm i c = 40 mm. A

128 4

Zapomni!

L = AB + BC + CA, t.e. L = a + b + c.

Presmetaj ja stranata a na triagolnikot AVS, ako se dadeni: a) L = 22 cm, b = 9 cm i c = 6 cm;

b) L = 30 cm, b = 12 cm i c = 8 cm;

Sledi go re{enieto:

Potseti se!

a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15, a = 22 - 15; a = 7 cm.

Koj triagolnik se vika ramnokrak triagolnik?

Re{i ja zada~ata pod b).

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik ABC so osnova AB = a = 4 cm i kraci AC = BC = b = 3 cm.

Voo~i ja postapkata:

L = AB + BC + AC, L = a + b + c; L = a + b + b, t.e.

L = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, t.e. L = 10 cm.

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = 8 cm i krak b = 6 cm.

Presmetaj ja osnovata a na ramnokrak triagolnik, ako se dadeni: a) perimetarot L = 23 cm i krakot b = 7 cm; b) perimetarot L = 30 cm i krakot b = 9 cm.

Sledi go re{enieto na a)!

L = a + b + b, L = a + 2 ⋅ b

Zapomni 23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm; F

ΔAVS e ramnostran triagolnik so strana a = 5 cm.

Presmetaj go perimetarot na ΔAVS. D

a a

Sledi go re{enieto:

L = AB + BC + CA, L = a + a + a,

129

Zapomni

L=3⋅a

L = 3 ⋅ 5; L = 15 cm.

Presmetaj go perimetarot na ramnostran triagolnik so strana a = 8 cm.

Sledi go re{enieto:

Presmetaj ja stranata na ramnostran triagolnik so perimetar: a) L = 18 cm; b) L = 36 cm.

L = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.

Treba da znae{! Proveri se! [to e perimetar na mnoguagolnik; da presmeta{ perimetar na mnoguagolnik; da presmeta{ perimetar na triagolnik; da presmeta{ edna strana na mnoguagolnik, ako e daden perimetarot i drugite negovi strani.

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = 4 cm i krak b = 5 cm. Presmetaj ja stranata a na ΔAVS, ako L = 24 cm, b = 7 cm i c = 9 cm.

Zada~i

Presmetaj go perimetarot na mnoguagolnikot ABCD, ako: AB = 3 cm, BC = 34 mm, CD = 46 mm i DA = 5 cm.

Presmetaj go perimetarot na ΔAVS, ako: a = 8 cm, b = 12 cm i c = 9 cm.

6. Ramnokrak triagolnik so osnova a = 12 cm ima perimetar L = 32 cm. Presmetaj go krakot na toj triagolnik.

7. Presmetaj go perimetarot na ramnostran triagolnik so strana a = 18 cm.

Presmetaj ja stranata a na ΔAVS, ako: L = 42 cm, b = 12 cm i c = 15 cm.

8. Ramnostran triagolnik ima perimetar

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = 8 cm i krak b = 11 cm.

9. Dol`inite na ~etiri strani od eden

5. Perimetarot na eden ramnokrak tria-

golnik e 34 cm. Presmetaj ja osnovata a na toj triagolnik, ako krakot b = 12 cm.

L = 27 cm. Presmetaj ja stranata na toj triagolnik.

petagolnik se: 32 mm, 25 mm, 28 mm i 35 mm, a perimetarot mu e L = 150 mm. Presmetaj ja do`inata na pettata strana.

GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA. 24 U^E[E ZAPROVERI GO SVOETO ZNAEWE

130

Nacrtaj prava p i prava q, i ozna~i to~ki A, B i C {to le`at na pravata p i to~ki C, D i E {to le`at na pravata q. Zapi{i so simbolite ∈ i ∉ koi od tie to~ki pripa|aat, a koi ne pripa|aat na pravata p, odnosno na pravata q.

Imenuvaj gi site agli ozna~eni so lak, na crte`ot. Koi vidovi agli prepoznava{ me|u niv?

Dali se kolinearni to~kite A, B i C, ako AB = 4 cm, BC = 76 mm i CA = 36 mm?

10. Nacrtaj agol α = AOB,

[to e otse~ka?

Nacrtaj dve otse~ki, a i b, kako na crte`ot. a

kako na crte`ot. Potoa, nacrtaj agol β {to e naporeden so AOB.

11. Nacrtaj tap agol α, a potoa kon-

struiraj agol β ednakov so agolot α.

12. Nacrtaj ostar agol α i prav agol β.

Potoa konstruiraj ja otse~kata: a) a + b; b) a - b.

α - β.

Potoa, konstruiraj gi aglite α + β i

Odredi koi od iskr{enite linii na crte`ot se poligonalni. objasni zo{to drugite iskr{eni linii ne se poligonalni.

13. Od koj vid e agolot {to ima 90o 35'? Pretvori gi vo minuti 90o 35'.

14. Presmetaj go agolot β koj{to so

agolot α = 45o 35' 45’’ dava zbir 90o.

Nacrtaj kru`nica k(O; 27 mm) i na nea ozna~i kru`en lak AB, taka {to soodvetnata tetiva da bide AB = 35 mm. Kolku e dijametarot na taa kru`nica?

Nacrtaj kru`nica k1(O1; 30 mm), a potoa kru`nica k2(O2; r2) {to }e ja dopira k1 odnatre, a centralnoto rastojanie da bide 10 mm.

a) [to e agol? b) [to e vnatre{na oblast na agol?

15. Nacrtaj prava p i ozna~i to~ka M {to e na rastojanie 3 cm od pravata p.

16. [to e simetrala na otse~ka? 17. Proveri dali aglite α = 105o 45' i β = 75o 15' se suplementni.

18. Perimetarot na eden ~etiriagolnik e 64 m, a trite negovi strani imaat dol`ini: 24 m, 13 m i 14 m. Kolku e dol`inata na ~etvrtata strana?

TEMA 3.

DROPKI. DECIMALNI BROEVI

1. Dropka. ^itawe i pi{uvawe na dropki 2. Vidovi dropki

132

9. Vidovi dijagrami. Izbor na dijagram

157

135

10. Sobirawe na decimalni broevi

160

11. Odzemawe na decimalni broevi

163

12. Mno`ewe na decimalni broevi

166

13. Delewe na decimalni broevi

170

14. Pretvorawe na dropka vo decimalen broj

175

15. Zaokru`uvawe na decimalen broj

178

3. Pretstavuvawe dropki na brojna prava. Ednakvost na dropki

140

4. Sobirawe i odzemawe na dropki so ednakvi imeniteli

143

5. Pro{iruvawe i skratuvawe na dropki

146

6. Decimalna dropka. Decimalen broj

149

7. Svojstva na decimalnite broevi

153

8. Pretstavuvawe na decimalnite broevi na brojna prava. Sporeduvawe na decimalnite broevi

131

155

16. Izbor na primerok. Analiza i zaklu~ok 17. U~e{e za dropki. Decimalni broevi. Proveri go svoeto znaewe

180 182

132

DROPKA. ^ITAWE I PI[UVAWE NA DROPKI

Potseti se!

A 1

Na crte`ot figurite se podeleni na delovi ednakvi po plo{tina.

Vo edna prodavnica ima samo celi lebovi. Kako }e postapi prodava~ot ako pobara{ da kupi{ polovina leb?

Kolku polovini ima edno celo? Kolku tretini ima edno celo? Vo edna burek~ilnica ima edna cela pita burek. Kako }e postapi prodava~ot ako pobara{ da kupi{ ~etvrtina burek?

Na kolku ednakvi delovi e podelena sekoja od figurite? Imenuvaj eden del na sekoja od figurite. Iska`i go i zapi{i go oboeniot del na sekoja figura.

Pitata burek prodava~ot }e ja podeli na ~etiri ednakvi delovi. Edno celo e podeleno na ~etiri ednakvi delovi, t.e. odredeno e kolku e 1 : 4.

Sogledaj! Koli~nikot 1 : 4 ne e priroden broj, za{to nieden priroden broj pomno`en so 4 ne dava 1. Sepak, razumno e da ka`eme deka toj koli~nik e ednakov na edna ~etvrtina i da prifatime deka i edna ~etvrtina e broj. 1 1 Zapi{uvame __ , t.e. 1 : 4 = __ . 4 4

Kako tri deca }e podelat podednakvo dve ~okoladi? Razgledaj go crte`ot.

Na kolku dela e podelena sekoja ~okolada? Koj del od edna ~okolada }e dobie sekoe dete?

Kolku dela }e dobie sekoe dete?

Voo~i!

133

2 2 2 : 3 = __ ; __ se ~ita: dve tretini ili 2 vrz 3. 3 3 2 Mo`eme da ka`eme deka __ e broj, zapi{an vo vid na dropka, no ne e pri3 roden broj.

Zapi{i gi koli~nicite 1 : 2; 4 : 5 i 11 : 15 vo vid na dropki i pro~itaj gi.

Koj od slednite koli~nici ne e priroden broj? a) 6 : 3; b) 1 : 3; v) 5 : 6; g) 8 : 4. Vo koj koli~nik delenikot e deliv so delitelot?

Voo~i i zapomni! Koli~nicite 1 : 3 i 5 : 6 ne se prirodni broevi. Koli~nikot m : n ne e priroden broj, ako n ne e delitel na m. m Koli~nikot m : n go zapi{uvame __ . n So toa, pokraj prirodnite broevi, }e izu~uva{ i drugi broevi koi se vikaat dropki. Dropka e koli~nik na dva prirodni broja.

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. Na kolku delovi e podeleno celoto? Zapi{i go so dropka oboeniot del od celoto. Kako se vikaat broevite so koi e zapi{ana dropkata? [to poka`uvaat broevite so koi e zapi{ana dropkata?

Op{to m

Dropkata __n e koli~nik na prirodnite broevi m i n. Se ~ita: m vrz n. Broevite so koi e zapi{ana dropkata se vikaat: m - broitel i n - imenitel. Tie se oddeleni so crti~ka koja se vika drobna crta. Taa go zamenuva znakot za delewe.

m __ n

broitel drobna crta imenitel

Imenitelot n poka`uva na kolku ednakvi delovi e podeleno celoto. Broitelot m go poka`uva brojot na tie delovi, odnosno kolku takvi delovi se zemeni od celoto.

134

5 [to poka`uva broitelot, a {to imenitelot, vo dropkata __ ? 6

Zapi{i i pro~itaj dropka koja ozna~uva osum 15-ti delovi od edno celo.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da iska`e{ {to pretstavuva edna dropka; da ~ita{ i da zapi{uva{ dropki; da objasni{ {to pretstavuva broitelot, a {to imenitelot vo edna dropka.

5 Nacrtaj kvadrat i {rafiraj __ od kvadratot. 8 [to poka`uva broitelot, a {to imeni5 telot vo dropkata __ ? 8 Koj del e 1 cm od 1 m? Zapi{i 7 dl vo l.

Zada~i 1. Zapi{i gi koli~nicite vo vid na dropki i pro~itaj gi. 7 : 9; 12 : 23;

4 : 121.

a , 2. Zapi{i i pro~itaj tri dropki __ b kade {to a, b ∈ {7, 9, 28, 105}.

Iska`i {to poka`uva imenitelot, a {to broitelot na dropkite: 5 12 38 __ ; __ ; __ . 8 19 125 Nacrtaj kvadrat i {rafiraj go 4. delot __ 9

5. Zapi{i:

a) 3 cm vo dm; v) 9 dl vo l;

b) 28 cm vo m; g)15 g vo kg.

6. Zapi{i: 1 a) __ m vo cm; 4 __ v) 2 l vo dl; 5

3 b) __ m vo dm; 5 __ g) 8 kg vo g. 25

7. Od 36 u~enici vo edno oddelenie 21 se odli~ni. Pretstavi go so dropka delot na odli~nite u~enici vo oddelenieto.

8. Vo 8 ednakvi vre}i~ki ima vkupno 4. Koj del e:

a) 1 dm od 1 m v) 1 g od 1 kg

b) 1 cl od 1 l g) 1 dm2 od 1 m2

5 kg {e}er. Kolku kilogrami {e}er ima vo sekoja vre}i~ka?

135

VIDOVI DROPKI

Potseti se!

A 1

Zapi{i edno celo vo:

polovini;

tretini;

sedmini.

Voo~i! 2 7 3 __ = 1, __ = 1, __ = 1. 2 7 3 n __ Voop{to, za dropka n , so ednakov broitel i imenitel, kade {to n e priroden broj imame: n n __ = n : n = 1, t.e. __ = 1. n n

Kolku polovini ima edno celo? Kolku tretini ima edno celo? Kolku polovini ima vo: dve celi, pet celi?

Zapi{i go brojot 1 kako dropka:

Presmetaj gi koli~nicite: 2 : 1; 9 : 1 i n : 1 (n e priroden broj) i pretstavi gi kako dropki.

so imenitel 8;

so broitel 12.

Ednakvo

2 9 n Zapi{uva{: __ = 2 : 1 = 2; __ = 9 : 1= 9; __ = n : 1 = n. 1

Sekoj priroden broj n mo`e da se pretstavi kako dropka so broitel n i imenitel 1.

Zapi{i go brojot 8 kako dropka so broitel 8. Zapi{i go brojot 15 kako dropka so imenitel 1. Zapi{i dve celi kako dropka so imenitel tri. 3 3 6 6 Sogledaj: 2 = 1 + 1 = __ + __ = __ . Moème da kaème deka dropkata __ e ednakva 3 3 3 3 na prirodniot broj 2. Ovoj na~in na zapi{uvawe priroden broj kako dropka so daden imenitel ne e prakti~en za pogolemi broevi. Voo~i go sledniot pokus na~in. Kako moè{ brojot 5 da go zapi{e{ vo vid na dropka so imenitel 4? Kolku ~etvrtini ima vo 5 celi?

Vo 5 celi ima 4 ⋅ 5 ~etvrtini, 4⋅5 20 t.e. 5 = ____ = __ . 4 4

Koj bilo priroden broj m mo`e da se zapi{e vo vid na dropka so imenitel priroden broj n. m⋅n m = ____ n

136

Pretstavi go brojot 8 vo pettini i brojot 12 vo sedmini. Na koja od slednite dropki imenitelot e delitel na broitelot? 3 4 3 15 18 5 21 Koja od niv e priroden broj: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ? 5 2 6 3 9 10 7

Zapomni! a Dropkata __ pretstavuva priroden broj ako b e delitel na a. b Dropkata so koja e pretstaven priroden broj se vika prividna dropka.

Koi od slednive dropki se prividni dropki: 1 ; __ 4 ; __ 5 ; __ 6 ; __ 3 ; 14 __ __; 25 __ ; 22 __ ; 31 __ ? 2 2 1 6 4 7 4 2 8 Sekoj priroden broj moè da se smeta za dropka. Ima dropki koi ne pretstavuvaat priroden broj. Spored toa, mnoèstvoto prirodni broevi e podmnoèstvo od mnoèstvoto dropki.

1 Na crte`ot se formirani figuri od ednakvi delovi {to pretstavuvaat __ 4 od eden krug.

I a)

II g)

Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od prviot red? Kolku ~etvrtini ima sekoja figura od vtoriot red? Koi od figurite pretstavuvaat pomalku od edno celo, a koi pove}e od edno celo? Pretstvi gi so dropki figurite od prviot red. Sporedi gi broitelite so nivnite soodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{?

Pretstavi gi so dropka figurite od vtoriot red. Sporedi gi broitelite so nivnite soodvetni imeniteli. [to zaklu~uva{?

137

Voo~i! 1 2 3 Figurite od prviot red se pretstavuvaat so dropkite: a) __ , b) __ i v) __ . 4 4 4 Broitelot na sekoja od ovie dropki e pomal od imenitelot, {to zna~i deka tie sodr`at pomalku delovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pomali od 1. 9 28 2 7 Takov vid se dropkite: __ , __ , __ , __ itn. Niv gi vikame pravilni dropki. 9 11 31 5 Zapomni za pravilni dropki: a a Vo koja bilo dropka __ (a, b ∈ N), ako a < b, toga{ __ < 1. b b 5 6 7 9 . Figurite od vtoriot red se pretstavuvaat so dropkite: g) __ , d) __ , |) __ i e) __ 4 4 4 4 Na sekoja od ovie dropki broitelot e pogolem od imenitelot, {to zna~i, sodr`i pove}e delovi otkolku {to ima edno celo. Tie dropki se pogolemi od 1. 9 11 25 38 Od takov vid se dropkite: __ , __ , __ , __ itn. Niv gi vikame nepravilni dropki. 3 13 19 4 Zapomni za nepravilni dropki: a a Vo koja bilo dropka __ (a, b ∈ N), ako a > b, toga{ __ > 1. b b Dropkite pomali od 1 u{te se vikaat ~isti dropki, a dropkite pogolemi od 1 se vikaat ne~isti dropki.

1 5 5 7 5 14 Dadeno e mno`estvoto M = { __ , __ , __ , __, __ , __ }. 2 3 8 7 11 9 Zapi{i gi na tabelaren na~in mno`estvata A = {x | x ∈ M i x < 1} i B = {x | x ∈ M i x > 1}. 3 Od koj vid e dropkata __ ? 2 3 Zapi{i ja dropkata __ kako zbir od polovini so dva sobiroka. 2 3 __ Zapi{i ja dropkata kako zbir od polovini so tri sobiroka. 2

Prosledi go re{enieto

138

3 Dropkata __ e pogolema od 1 i mo`e da se pretstavi kako zbir od polovini, 2 1 1 1 1 1 1 3 t.e. __ = __ + __ + __ = 1 + __ . Zbirot 1 + __ kratko se zapi{uva 1 __ . 2 2 2 2 2 2 2 3 1 Mo`eme da zapi{eme __ = 1 __ . 2 2

Me{an broj sodr`i celo i dropka.

^itame: tri polovini e ednakvo na edno celo i edna polovina. Dropkite pogolemi od 1 zapi{ani so celo i ~ista dropka se vikaat me{ani broevi.

V 11

Zo{to sekoja dropka pogolema od 1 mo`e da se zapi{e kako me{an broj? 32 __

Dropkata 5 da ja zapi{eme kako me{an broj. Sledi go re{enieto: 32 : 5 = 6; -30

Ako go podeli{ broitelot so imenitelot, toga{ dobieniot koli~nik e celot del na me{aniot broj. Zo{to?

2 Dobieniot ostatok e broitel na dropkata pomala od 1, a imenitelot ostanuva ist.

6 Zapi{i ja dropkata vo me{an broj: a) __ 5

32 2 2 ; = 32 : 5 = 6 + = 6 5 5 5 8 b) __ 3

15 v) __ 4

48 g) __ 11

32 2 =6 5 5

80 d) __ 13

132 |) ___ . 17

Me{an broj mo`e da se zapi{e kako dropka. 3 __

Me{aniot broj 2 4 da go zapi{eme kako dropka. Sledi go re{enieto Da opredelime kolku ~etvrtini sodrì me3 {aniot broj 2 __ . 4 Kolku ~etvrtini sodràt 2 celi? Dropkata pomala od 1 sodrì u{te 3 ~etvrtini. 2⋅4+3 11 3 _______ = __ 2 __ = 4 4 4

2 ⋅ 4 ~etvrtini 2 ⋅ 4 + 3 ~etvrtini

Me{an broj se pretstavuva kako dropka taka {to imenitelot se mno`i so celoto i toj broj se dodava na broitelot. Toj broj se zapi{uva za broitel, a imenitelot ostanuva ist.

9 5 2 Me{anite broevi: 3 __ , 4 __ , 8 __ 11 7 5

139

zapi{i gi vo vid na dropka.

Treba da znae{! Proveri se! Da gi prepoznava{ vidovite dropki: dropki pomali od 1 (pravilni dropki), dropki pogolemi od 1 (nepravilni dropki), prividni dropki i me{anite broevi.

2 3 6 9 Koja od slednite dropki: __ , __ , __ , __ , 8 3 2 3 9 9 __ , __ e pomala od 1, pogolema od 1, pri3 10 vidna dropka? 13 Kolku celi ima dropkata __ ? Zapi{i ja 3 kako me{an broj. 4 Kolku pettini ima vo 3 __ ? Zapi{i go 5 me{aniot broj vo vid na dropka.

Da zapi{e{ priroden broj vo vid na dropka so odreden imenitel. Da pretstavi{ dropka pogolema od 1 vo me{an broj i obratno.

Zada~i 1. Sekoj od prirodnite broevi: 2, 5, 7, 8 i 11 zapi{i go vo vid na dropka so imenitel: a) 1;

b) 3;

Zapi{i dve dropki pogolemi od 1 so broitel 12.

Pretvori gi vo me{ani broevi dropkite: 28 __ , 17 __ , 125 __ . __ , 21 __ , 29 3 4 8 5 9

v) 7.

Kolku dropki pomali od 1 mo`e{ da zapi{e{ so imenitel 5, a broitel priroden broj?

3. Zapi{i dve dropki pomali od 1 so imenitel 7.

6. Pretvori gi vo dropki me{anite broevi: 1 8 3 3 8 __ , 3 __ , 1 __ , 15 __ . 4 9 10 4

Dosetka! Edno pole go zafatila poplava so voda i sekoj den bilo poplavuvano dvojno pove}e otkolku vo prethodniot den. [estiot den bilo poplaveno celoto pole. Na krajot od koj den bilo poplaveno polovina od poleto?

140

PRETSTAVUVAWE DROPKI NA BROJNA PRAVA. EDNAKVOST NA DROPKI

Potseti se! Na crte`ot e nacrtana pravata p i na nea ozna~i dve to~ki A i B. A

Koj broj e pridru`en na to~kata A, a koj na to~kata V? Na crte`ot e opredelen brojna prava so edine~na otse~ka AB = 1.

Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka 2 cm.

Na brojot 3 pridruì £ ja to~kata C. Na brojot 5 pridruì ja to~kata D, a na brojot 7 to~kata E. Odredi ja dolìnata na otse~kata CE. Kolku pati treba da ja prenese{ edini~nata otse~ka za da odredi{ to~ka za brojot 14?

Sekoj priroden broj mo`e da se pretstavi na brojna prava.

Nacrtaj otse~ka AB so dol`ina 6 cm. Na otse~kata AB odredi to~ka C taka {to 2 AC = __ AB. Odredi ja dol`inata na otse~kata AC. 3

Razgledaj go crte`ot! Otse~kata AB e podelena na 3 dela. Sekoj del ima dol`ina 2 cm, a otse~kata AC ima 2 takvi dela.

AC = 4 cm. 1 Kako }e ja odredi{ to~kata D, taka {to AD = __ AB. Odredi ja dol`inata na otse~3 kata AD? Dropkite, kako i prirodnite broevi, mo`at da se pretstavuvaat na brojna prava.

1 Pretstavi ja dropkata __ na brojnata prava p. 4 1 Voo~i deka dropkata __ e pomala od 1. 4 1 Kade se nao|a dropkata __ na brojnata prava p? 4 Edini~nata otse~ka AB od 0 do 1 treba da ja podeli{ na 4 ednakvi dela. Na krajot od prviot del 1 e to~kata M i na nea e pridru`ena dropkata __ . 4 1 3 Na brojnata prava pretstavi gi dropkite __ i __ . 2 4

p A

1 Dropkata __ se nao|a 4 na otse~kata AV. p A M

1 0 __ 4

10 Na brojna prava so edini~na otse~ka 3 cm pretstavi ja dropkata __ . 3

141

Vo postapkata odgovori na barawata. Nacrtaj brojna prava i na nea odredi to~ki so broevite od 1 do 6. 10 10 Zapi{i ja dropkata __ vo me{an broj. Pome|u koi broevi }e bide dropkata __ ? 3 3 Me|u koi broevi otse~kata }e ja podeli{ na 3 dela? Kolku delovi }e odvoi{ za da 11 4 10 odredi{ to~ka za dropkata __ ? Na istata brojna prava pretstavi gi dropkite __ i __ . 3 3 3

1 2 Milica kupila __ od pita burek, a Teuta __ od pita burek so ista golemina. 4 8 Koja od niv kupila pogolem del od pita burek? Postapi spored barawata.

Pretstavi gi dvete piti burek so dva kruga so ednakvi radiusi (kako na crte`ot).

1 __ 4

2 __ 8

Edniot krug podeli go na 4 dela, a drugiot na 8 dela. 1 2 Od prviot krug oboj __ , a od vtoriot __ . 4 8 Sporedi gi oboenite delovi.

Milica oboila delovi na tri ednakvi lenti, a Jovan delovi na tri ednakvi kvadrati.

Jovan

Milica

Mo`am da zaklu~am! 1 2 __ = __ 4 8

Na kolku delovi e podelena sekoja od lentite? Na kolku delovi e podelen sekoj od kvadratite? Koj del od sekoja lenta, odnosno sekoj kvadrat e oboen? Sporedi gi oboenite delovi na lentite, odnosno na kvadratite. 1 , __ 2 i __ 4 se ednakvi. Oboenite delovi od lentite se ednakvi i dropkite __ 2 4 8 1 2 1 4 2 4 Spored toa mo`eme da zapi{eme: __ = __ ; __ = __ ; __ = __ . 2 4 2 8 4 8

142

Oboenite delovi na kvadratite se ednakvi. 6 4 2 Spored toa: __ = __ = __ . 6 9 3

Sogledaj go praviloto {to va`i kaj ednakvite dropki. 1 __

2 __

4 __

2 __

4 __

2 = 4 , va`i: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2

Da zapomnam! Kaj ednakvite dropki va`i: ako pomno`i{ vkrsteno }e dobie{ ednakvi proizvodi.

4 = 8 , va`i: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4;

4 6 __ = __ . Proveri i zapi{i. 6 9 a c a c Praviloto va`i za koi bilo ednakvi dropki __ i __ , t.e. __ = __ , ako va`i a ⋅ d = b ⋅ c. b d b d

3 = 6 , va`i: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4;

2 6 3 6 11 44 80 90 Koi od slednive dropki se ednakvi: a) __ i __ ; b) __ i __ ; v) __ i __ ; g) __ i __ ? 5 15 7 14 10 40 81 91

Treba da znae{! Proveri se! Da nacrta{ brojna prava so dadena edini~na otse~ka;

Koi dropki odgovaraat na to~kite A, B i C na brojnata prava? A B C

da pretstavuva{ dropki na brojna prava;

0 1 2 3 Nacrtaj brojna prava so edini~na otse~ka 1 cm i na 7 nea odredi to~ka A {to odgovara na dropkata __ . 3 Koj broj treba da bide zapi{an vo kvadrat~eto za da 2 6 bidat ednakvi dropkite __ = __ ? 3

da odredi{ dali dve dropki se ednakvi so pomo{ na praviloto za ednakvost na dropki.

Zada~i

1. Koi dropki odgovaraat na to~kite A, B i C od brojnata prava? A B 0

1 5 1 9 7 28 9 27 __ i __ , __ i __ , __ i __ ; __ i __ ? 6 30 2 19 10 40 11 37

C 3

4. Koi od slednite dropki se ednakvi:

5. So koristewe na praviloto za ednak-

2. Nacrtaj brojna prava so edini~na

vost na dropki odredi go x za dropkite da bidat ednakvi 2 x 7 35 2 x 10 100 a) __ = __ ; b) __ = __ ; v) __ = __ ; g) __ = __ . 3 12 x 9 x 40 27 11

3. Nacrtaj brojna prava so edini~na

6. Na brojna prava pretstaveni se broe-

otse~ka 2 cm i na nea pretstavi gi 1 3 broevite a) 5; b) 7; v) 4 __ ; g) 6 __ . 2 4

otse~ka 4 cm i na nea pretstavi gi 3 9 9 7 dropkite __ , __ , __ , __ . 4 8 4 2

3 vite __ i 1. Pretstavi gi brevite: 4 5 1 17 3 1 __ ; 3 __ __ i __ . 4 2 4 4

SOBIRAWE I ODZEMAWE NA DROPKI SO EDNAKVI IMENITELI

Potseti se!

A 1

3 Najdi go zbirot na dropkite __ i 5 4 __ . 5 Voo~i kako }e go objasnime sobiraweto na dropki so ednakvi imeniteli so pomo{ na distributivnoto svojstvo na deleweto vo odnos na sobiraweto.

Biljana i Sa{ko razdelile eden krug na 4 ednakvi delovi. Biljana oboila 1 2 __ od krugot, a Sa{ko __ od istiot 4 4 krug. Koj del od krugot oboile Biljana i Sa{ko zaedno?

Raboti spored slednite postapki i sporedi go re{enieto.

Nacrtaj krug i zapi{i gi oboenite delovi. 2 1 + __ Presmetaj __ . 4 4

Primeni go distributivnoto svojstvo na izrazot (3 + 4) : 5 =

Presmetaj kolku pove}e oboil Sa{ko, 2 1 t.e. __ - __ . 4 4

Promeni gi stranite na 3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5 dobienoto ravenstvo.

Primeni go distributivnoto svojstvo na deleweto vo odnos na sobiraweto (12 + 9) : 3 = .

143

(3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5

Zapi{i gi koli~nicite vo vid na dropka.

3 4 3+4 __ + __ = _____ 5 5 5

Presmetaj go zbirot i pretstavi go vo me{an broj.

4 3 3+4 __ + __ = _____ = 5 5 5 2 7 __ __ = 1 . 5 5

3 4 Razgledaj go crte`ot i objasni kako e pretstaven zbirot __ + __ na brojnata prava. 5 5 3 __ 4 2 __ + = 1__ 5 5 5 0

3 __ 5

1 4 __ 5

a __ b _____ a+b, Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se sobiraat vaka: __ + = c c c a, b, c ∈ N, t. e. zbirot od broitelite se pi{uva za broitel, a imenitelot ostanuva ist.

3 1 Odredi go zbirot 2__ + __. 5 5

Voo~i deka zbirot mo`e da se presmeta na dva na~ina.

144

I na~in 3 __

Pretvori go me{aniot broj 2 5 vo dropka pogolema od 1. 13 1 Odredi go zbirot __5 + __5 . Zapi{i go zbirot __5 vo me{an broj. 14

II na~in

Zapi{i go me{aniot broj 2 __5 kako zbir od celite i dropkata pomala od 1. 1 3 Vo izrazot 2 + __5 + __5 odredi go zbirot na dropkite pomali od 1. 4 Zapi{i go zbirot 2 + __5 vo me{an broj. 3

2 4 Odredi go zbirot 3 __ + 1 __ na dva na~ina. 7 7

4 5

Odredi go zbirot na dropkite: 7 5 4 1 5 3 a) __ + __ ; b) __ + __ ; v) 2 __ + __ . 9 9 7 4 4 7 8 11 __ Eden traktorist za eden ~as izoral __ od edna niva, a vtoriot ~as izoral od 20 20 nivata.

Koj del od nivata izoral traktoristot za dvata ~asa? Koj del od nivata ostanal neizoran?

7 5 Koja dropka treba da se zapi{e namesto x za da va`i: __ = __ + x? 9 9

Voo~i! 5 treba da £ se dodade dropkata __ 2 za da se dobie dropkata __ 7. Na dropkata __ 9 9 9 7- 5 5 2 7 2 7 5 Dropkata __ e razlika na dropkite __ i __ ; zapi{uvame: __ - __ = ____ = __. 9 9 9 9 9 9 9

Da zapomnam: Dropki so ednakvi imeniteli se odzemaat vaka: c ____ a __ a- c __ = , a > c, b b b t.e. razlikata na broitelite se zapi{uva za broitel, a imenitelot ostanuva ist.

8 9

11 7 Presmetaj ja razlikata: a) __ - __ ; 12 12

16 11 b) __ - __ ; 25 25

3 5 v) 3 __ - 1 __ . 8 8

145

3 Dolìnata na ednata strana na eden pravoagolnik e 5 __ cm, 5 2 a dolìnata na sosednata strana e za 1 __ cm pomala. 5 Odredi ja dolìnata na sosednata strana. Odredi go perimetarot na pravoagolnikot.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da odredi{ zbir na dropki so ednakvi imeniteli;

Odredi go zbirot, a potoa zapi{i go vo me{an broj. 3 __ 7 __ + . 8 8

da presmeta{ razlika na dropki so ednakvi imeniteli.

2 4 __ Koj broj e za 2 __ pomal od brojot 3 ? 9 9

Zada~i 1.

4. Zbirot na broevite 3 5 i 2 1 namali

Presmetaj: 5 4 1 a) __ + __ + --. 9 9 9

1 2 1 __ + 2 __. 3 3

7 11 +4 12 12

4 7 2 +1 +3 15 15 15

v) 3

2. Presmetaj: a)

7 3 9 9

g) 3 - 1

3 1 2 __ + 1 __. 4 4

3 5

17 15 19 19 d) 3

3 1 v) 5 - 2 4 4

5 2 4 -2 + 11 11 11

Koj del od bazenot }e go napolnat

5. Eden u~enik prviot den pro~ital 3 od 10 5 edna kniga, a vtoriot den od ista10 ta kniga. Koj del od knigata pro~ital za dvata dena? Koj del od knigata mu ostanal nepro~itan po vtoriot den?

3. Eden bazen se polni od tri cevki. Za 1 eden ~as prvata cevka polni od 12 4 5 bazenot, vtorata , a tretata od 12 12 bazenot.

5 go za 5 . 7

6. Sa{ko ima 10 12 godini, a Biljana 15 12 godini. Kolku godini }e ima Sa{ko po 3

5 12

godini?

trite cevka za eden ~as? Koj del od bazenot }e ostane ne napolnet?

Za kolku godini }e bide postara Biljana od Sa{ko po 3

5 godini? 12

146

PRO[IRUVAWE I SKRATUVAWE NA DROPKI

Potseti se!

A 1

Koj broj treba da se zapi{e vo kvadrat~eto za da bide to~no ravenstvoto. 12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅

Koe svojstvo na deleweto e primeneto? Proveri dali dropkite se ednakvi: 4 8 5 5.3 i ; i ; 5 10 6 6.3

Voo~i gi kvadratite so ednakvi strani. Na edniot kvadrat 6 3 oboeniot del e , a na drugiot . 8 4 Sporedi gi oboenite delovi.

3 6 3 6 Sogleda deka oboenite delovi se ednakvi, t.e. = . Isto taka = , 4 8 4 8 bidej}i 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6. 6 3⋅2 3 3 3⋅2 6 Mo`e{ da voo~i{ deka = . Od toa i od = se dobiva deka = . 8 4⋅2 4 4 4⋅2 8 Broitelot i imenitelot na dropkata

3 se pomno`eni so 2, a nejzinata 4

vrednost ne se promeni. 5 pomno`i gi so: 2, 3 i 4. Proveri dali 6 5 dobienite dropki se ednakvi so dropkata . 6

Broitelot i imenitelot na dropkata

Voo~i deka

5 5 ⋅ 2 10 = = . Ova ravenstvo va`i bidej}i 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10; 6 6 ⋅ 2 12 5 5 ⋅ 3 15 = = . Ova ravenstvo va`i bidej}i 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15. 6 6 ⋅ 3 18

Sogledanoto svojstvo na dropkite mo`e{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto a a⋅n a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). Spored toa: = ; a, b, n ∈ N. b b⋅n

Va`i op{to! Ako broitelot i imenitelot na edna dropka se pomno`at so eden ist broj, razli~en od nula, se dobiva dropka ednakva na dadenata.

Ovaa postapka se vika pro{iruvawe na dropkite. 5 so 3; Pro{iri gi dropkite: a) 6

7 so 4; 8

3 so 10. 10

B 4

4 Broitelot i imenitelot na dropkata __ podeli gi so 2. 6

147

4 Proveri dali dobienata dropka e ednakva so dropkata __ . 6 4 4:2 2 2 Presmeta deka = , t.e. = . Ova ravenstvo va`i bidej}i 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2. 6 6:2 3 3 Broitelot i imenitelot na dropkata

4 se podeleni so ist broj, a nejzi6

nata vrednost na se promeni. 15 Broitelot i imenitelot na dropkata __ podeli gi so nivniot zaedni~ki delitel. 20 Proveri ja ednakvosta na dadenata i dobienite dropki.

Sogledanoto svojstvo na dropkite mo`e{ da go objasni{ od svojstvoto na deleweto za nepromenlivosta na koli~nikot, t.e. a : b = (a : n) : (b : n) kade a, b, n se prirodni broa a:n evi i n e delitel na a i b. Spored toa: = . b b:n

Va`i op{to! Ako broitelot i imenitelot na edna dropka se podelat so nivniot zaedni~ki delitel (pogolem od eden), toga{ se dobiva dropka ednakva na dadenata.

Ovaa postapka se vika skratuvawe na dropkite.

36 Dropkata __ skrati ja postapno so zaedni~kite deliteli na broitelot i imenitelot. 60 Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 36 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3 = = = = . 60 60 : 2 30 : 2 15 : 3 5 Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel za broitelot i imenitelot na dropkata Skrati ja dropkata so NZD(36, 60). Presmeta deka NZD(36, 60) = 12. 36 = 36 : 12 = 3 . 60 60 : 12 5 3 ne mo`e da se skrati, bidej}i broitelot i imenitelot na dropkata se 5 zaemno prosti broevi. Vakva dropka se vika neskratliva dropka. Dropkata

Voo~i deka edna dropka mo`e{ postapno da ja skrati{ do neskratliva dropka so zaedni~kite deliteli na nejziniot broitel i imenitel ili poednostavno, broitelot i imenitelot da gi podeli{ so nivniot NZD.

Da zapomnam! Skratuvaweto na dropkite se vr{i do neskratliva dropka.

36 . 60

148

12 25 72 27 Skrati gi dropkite: a) ___ ; b) ___ ; v) ___ ; g) ___ . 16 50 90 999

Treba da znae{!

Proveri se!

Da pro{iruva{ dropki; da skratuva{ dropki; koja dropka e neskratliva.

Zada~i 1. Pro{iri ja so 2 i so 5 dropkata: 2 3 11 15 a) __ ; b) __ ; v) __ ; g) __ . 5 7 12 17

2. Napi{i tri dropki ednakvi na drop6 kata __ . 9

3. Kolku stotinki ima sekoja od drop-

1 4 Zapi{i gi dropkite __ i __ vo: 5 2 a) desetinki; b) stotinki. Odredi go x vo ravenstvoto so pomo{ na 12 x skratuvawe na dropki. __ = __ . 18 3 x Vo zapisot __ odredi go x za dropkata da 3 bide neskratliva i pomala od 1.

7. Koristej}i go svojstvoto za skratuvawe i pro{iruvawe na dropki, odredi go x. x 20 7 x 8 24 11 33 a) __ = __ ; b) __ = __ ; v) __ = __ ; g) __ = __ x x . 7 28 9 54 33 17 3 5 4 6 {to da imaat ist imenitel.

8. Dropkite __ i __ pro{iri gi taka

Problemi!

4 3 17 24 9 kite __ ; __ ; __ ; __ ; __ ? 5 10 20 25 50

4. Koi od slednive dropki se neskrat2 17 21 29 111 3 livi __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; ___ ? 6 5 25 27 36 999

5. Skrati gi dropkite: 5 __ 8 36 54 100 __ ; ; __ ; ___ ; ___ . 15 12 54 144 120

90 126

6. Skrati ja dropkata ___ : a) postapno; b) so NZD(90, 126).

Vo edna kofa imalo voda, a vo druga vino. Napolneta e ~a{a od kofata so vino i e sipana vo kofata so voda, a potoa istata ~a{a e napolneta od kofata so me{avinata od voda i vino i e sipano vo kofata so vino. [to ima pove}e, voda vo kofata so vino ili vino vo kofata so voda? Milica i Jovan imale vkupno 909 3 denari. Koga Milica potro{ila __ od 4 4 nejzinite pari, a Jovan potro{il __ 5 od negovite pari, toga{ i na dvajcata im ostanale ista suma pari. Po kolku denari imale na po~etokot?

149

DECIMALNA DROPKA. DECIMALEN BROJ

Potseti se!

Kako se vikaat broevite: 1, 10, 100, 1 000, ...? So koi merni edinici merime dol`ina, a so koi masa?

Zapi{i gi slednite pomali merni edinici kako delovi od pogolemite: 1 cm vo dm; 5 dm vo m;

Zapi{i gi slednite pogolemi merni edinici vo pomali: 1 dm vo cm; 5 m vo dm; 8 dag vo g; 1 m vo cm; 7 m vo cm; 1 kg vo g; 9 km vo m.

8 g vo dag;

1 cm vo m;

7 cm vo m;

1 g vo kg;

9 m vo km.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: 5 8 1 __ __ __ dm; 5 dm = m; 8g= dag; 10 10 10 1 9 _____ _____ 1g= kg; 9 m = km. 1 000 1 000

1 cm =

1 ___ m; 100

7 cm =

7 ___ m; 100

Voo~i i zapomni! Mernite broevi so koi se izrazeni pomalite merni edinici vo pogolemi se dropki. Imenitelite na ovie dropki se dekadnite edinici: 10, 100, 1 000, ... 1 5 8 1 7 1 9 Dropkite: __ , __, __ , ___ , ___ , _____ , _____ , ... na koi imenitelite se dekadni 10 10 10 100 100 1 000 1 000 edinici se vikaat decimalni dropki. Decimalna dropka mo`e skrateno da se zapi{e bez imenitel vo zapis nare~en decimalen zapis ili decimalen broj.

Razgledaj gi primerite!

Decimalna dropka 1 __ 10 5 __ 10 1 ___ 100 3 1 __ 10

Se zapi{uva vo decimalen broj

Se ~ita decimalniot broj

0,1

Nula celi i 1 desetinka

0,5

Nula celi i 5 desetinki

0,01

Nula celi i 1 stotinka

1,3

Edno celo i 3 desetinki

150

U{te nekolku primeri:

30 + 5 30 5 3 5 35 ______ ___ ___ __ ___ ___ = = + = + 100 100 100 10 100 100 35 Dropkata ___ sodr`i 3 desetinki i 5 stotinki, t.e. 35 stotinki. 100 35 ___ se zapi{uva 0,35 i se ~ita nula celi i 35 stotinki. 100 20 + 9 20 9 2 9 29 ______ _____ _____ ___ _____ _____ = = + = + 1 000 1 000 1 000 100 1 000 1 000 29 Dropkata _____ sodr`i 2 stotinki i 9 iljadinki ili 29 iljadinki. 1 000 29 _____ se zapi{uva 0,029 i se ~ita: nula celi i 29 iljadinki. 1 000 324 24 ____ ____ =3 se zapi{uva 3,24 i se ~ita 3 celi i 24 stotinki. 100 100 7 2 ____ se zapi{uva 2,07 i se ~ita 2 celi i 7 stotinki. 100 Voo~i go i zapomni go na~inot na zapi{uvawe na decimalna dropka vo decimalen broj.

17 9 Decimalnite dropki 2 ____ i 3 _____ da gi zapi{eme kako decimalen broj. 100 1 000

Postapka

Za:

17 2 ____ 100

9 _____ 1 000

Prvo se zapi{uvaat celite.

Se zapi{uva zapirka, koja se vika decimalna zapirka.

2,17

3,009

Se zapi{uva broitelot na decimalnata dropka, ako toj ima tolku cifri kolku {to ima nuli vo imenitelot. Vo vtorata dropka pred broitelot zapi{uvame dve nuli. Broitelot treba da ima tolku cifri kolku {to ima nuli imenitelot. 17 2 ___ = 2,17; 100

9 3 _____ = 3,009. 1 000

Da zapomnam! Sekoja decimalna dropka mo`am da ja zapi{am kako decimalen broj.

Zapi{i gi kako decimalni broevi slednite decimalni dropki: 9 79 3 25 ___ 3 ___ __ ; ; ; 3 _____; 15 _____ . 1 000 1 000 10 100 100

151

desetinki stotinki

zapirka go deli decimalniot broj na Decimalnata dva dela.

3 , 14

Delot pred zapirkata se celite. Delot po zapirkata se vika decimalen del. Mestata na cifrite vo decimalniot del se

celi

decimali

vikaat decimalni mesta, a cifrite se vikaat decimali.

Decimalniot broj 3,14 ima 3 celi i dve decimali.

CEL DEL

B 3

DECIMALNA ZAPIRKA

DECIMALEN DEL

Pro~itaj gi slednite decimalni broevi: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.

0,5 : nula celi i 5 desetinki; 3,14 : tri celi i 14 stotinki; 17,005 : sedumnaeset celi i pet iljadinki.

Zapi{i go decimalniot broj 3,25 kako decimalna dropka. Voo~i ja postapkata:

Pro~itaj go i zapi{i go so zborovi brojot 3,25.

MILIONINKI

STOILJADINKI

DESETILJADINKI

ILJADINKI

STOTINKI

SI DI EI

KLASA EDINICI

KLASA ILJADI

DESETINKI

Zapi{uvaweto na decimalnite broevi e prika`ano vo slednata tabela, na primerot 17 12 _____ = 12,017. 1 000

Treba da dobie{: Tri celi i 25 stotinki.

152

Dobieniot tekst zapi{i go kako decimalna dropka. Treba da dobie{:

Da zapomnam: Decimalen broj se zapi{uva vo decimalna dropka spored pravilnoto ~itawe.

25 ___ . 100

Voo~uva{ deka: Decimalen broj se zapi{uva vo vid na decimalna dropka na sledniot na~in: Celite od decimalniot broj se zapi{uvaat za celi na dropkata. Decimalniot del se zapi{uva za broitel na decimalnata dropka. Za imenitel se zapi{uva dekadna edinica so tolku nuli kolku {to ima decimali. Re{eni primeri:

0,5 =

17 32 5 ____ ___ __ ; ; 12,017 = 12 ; 1,32 = 1 1 000 100 10

Treba da znae{!

Proveri se!

Decimalen broj e poseben zapis na decimalna dropka;

Zapi{i i pro~itaj decimalen broj koj ima 23 celi i 105 za decimalen del.

da zapi{e{ decimalna dropka vo decimalen broj i obratno;

3 Zapi{i 7 ___ vo decimalen broj i 0,012 100 vo decimalna dropka.

pravilno da ~ita{ decimalni broevi.

Zada~i

1. Koi od slednite dropki se decimalni

4. Zapi{i gi decimalnite dropki vo decimalni broevi:

dropki: a)

3 12 7 131 6 ____ __ ___ ___ ____ ; b) ; v) ; g) ; d) ? 1 001 10 200 200 1 000

2. Zapi{i tri decimalni dropki so broitel 13, a razli~ni imeniteli.

3. Kolku celi i kolku decimali ima decimalniot broj: a) 36,08; b) 3,0031; v)138,05?

6 9 29 3 ___ ___ _____ ____ ; b) 2 ; v) 11 ; g) 14 . 100 100 1 000 1 000

5. Pro~itaj gi decimalnite broevi: a) 2,03; b) 12,015; v) 0,0035.

6. Zapi{i gi vo decimalni dropki slednite decimalni broevi:

a) 0,2; b) 1,05; v) 4,003; 1,0017.

SVOJSTVA NA DECIMALNITE BROEVI

Potseti se!

2 __ pro{iri ja so 10, a 10 potoa so 100. 30 Dropkata ___ skrati ja so 10. 100

Dropkata

153

3 __ pro{iri ja so 10, 10 100 i 1 000. Dropkata

Treba da go dobie{ slednoto re{enie: 3 3 ⋅ 10 30 __ ______ ___ = = ; 10 10 ⋅ 10 100

3 3 ⋅ 100 _____ 300 __ ______ = = ; 10 10 ⋅ 100 1 000

Zapi{i gi decimalnite dropki vo decimalni broevi.

Mo`e{ da zapi{e{:

3 30 300 3 000 __ ___ _____ ______ = = = , t.e. 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000. 10 100 1 000 10 000 Voo~i! Decimalnite broevi se ednakvi, a se razlikuvaat po toa {to od desnata strana imaat po edna ili pove}e nuli. Toa e edno svojstvo na decimalnite broevi. Decimalniot broj ne se menuva ako od desnata strana mu se dopi{at kolku bilo nuli.

Decimalnite broevi zapi{i gi taka {to da imaat ist broj decimali: a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028; b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207.

Brojot 5 zapi{i go vo vid na dropka so imenitel 1. Taa dropka pro{iri ja so 10, 100 i 1 000. Dobienite dropki zapi{i gi vo decimalni broevi. Voo~uva{ deka: 5 __

5= 1 .

5 ⋅ 10

= ___ = 5,0; _____ 1 ⋅ 10 10

5 ⋅ 100 500 5 ⋅ 1 000 5 000 ______ = ___ = 5,00; ________ = _____ = 5,000. 1 ⋅ 100 100 1 ⋅ 1 000 1 000

Toa {to go voo~i za brojot 5, va`i za koj bilo priroden broj. Sekoj priroden broj mo`e da se zapi{e kako decimalen broj na toj na~in {to se oddeluva so zapirka i se dopi{uvaat nuli kako decimali.

154

Zapi{i gi prirodnite broevi 6, 12 i 135 kako decimalni broevi a) so edna decimala; b) so dve decimali.

B 5

80 Decimalnata dropka ___ skrati ja so 10. 100 Dadenata i skratenata dropka zapi{i gi kako decimalni broevi. 3 200 Voo~i ja istata postapka za dropkata _____ . 1 000

Si go dobil re{enieto: 80 ___

80 : 10 _______

8 ___

100 = 100. : 10 = 10 ; 0,80 = 0,8.

3 200 _____

3 200 : 100 __________

32 ___

. = ; 3,200 = 3,2. 1 000 = 1 000 : 100 10

Decimalen broj koj oddesno ima nuli, ne se menuva, ako tie se izostavat.

Izostavi gi nulite, taka {to decimalnite broevi da ne ja promenat vrednosta: a) 2,90; b) 0,03500; v) 1,0030; g) 28,102000; d) 7,0.

Treba da znae{! Proveri se! Dali }e se promeni decimalniot broj ako od desnata strana mu dopi{e{, odnosno izostavi{, edna ili pove}e nuli; da zapi{e{ priroden broj vo decimalen.

Zapi{i gi broevite 1,2 ; 15 i 0,40 so tri decimali. Izostavi gi nulite vo broevite, a nivnata vrednost da ne se promeni. a) 3,0250;

b) 12,00;

v) 0,10200.

Zada~i 1. Broevite: 1,300; 0,5; 23; 1 000 zapi{i gi so dve decimali.

2. Dali }e se promeni vrednosta na brojot 1,05 ako se izostavi nulata i se zapi{e 1,5?

3. Vo decimalnite broevi: 0,5000; 0,5020; 1,2020300 izostavi gi site nuli, a tie da ne ja promenat vrednosta.

4. Broevite; 8; 1,2; 3,25 zapi{i gi taka {to da imaat po tri decimali.

Problem! Bratot i sestrata imaat ist broj orevi. Bratot £ dal na sestrata ~etiri orevi. Kolku orevi ima sestrata pove}e od bratot?

PRETSTAVUVAWE NA DECIMALNITE BROEVI NA BROJNA PRAVA. SPOREDUVAWE NA DECIMALNITE BROEVI

Potseti se! 2 Pretstavi go na brojna prava brojot 2 __ . 4

155

4 8 Decimalnite dropki: __ , 1 ___ 100 10

Kako se sporeduvaat prirodnite broevi:

30 i 2 ___ pretstavi gi na brojna prava. 100

a) so razli~en broj cifri;

Razgledaj go re{enieto!

b) so ist broj cifri?

Voo~i!

4 __ 10

8 __ 10

0,8 1

1,4

30 ___ 100

2,3

Decimalnite broevi gi pretstavuvame na brojna prava na ist na~in kako8 i dropkite. __ Decimalniot broj 0,8 go zapi{uvame kako decimalna dropka, t.e. 0,8 = 10 . Rastojanieto od 0 do 1 go delime na 10 ednakvi delovi i decimalniot broj 0,8 go pridru`uvame na to~kata {to go ozna~uva osmiot del.

Koe rastojanie go delime na 10 ednakvi delovi za da go pretstavime decimalniot 4 __ broj 1 ? Kako }e ja odreduvame to~kata {to mu odgovara? 10 3 30 30 __ ___ ___ Dropkata mo`e da se skrati so 10, t.e. = . Kako }e ja odredime to~kata na 100 100 10 30 brojnata prava {to mu odgovara na brojot 2 ___ ? 100

Odredi to~ki na brojnata prava (A,V i S), na koi im se pridru`eni decimalnite broevi: 0,2; 1,9 i 3,00.

Na brojnata prava se dadeni to~kite A, V, S i D. Odredi go brojot {to mo`e da se pridru`i na sekoja od to~kite.

B 4

Mo`am da zaklu~am! Sekoj decimalen broj mo`e da se pretstavi na brojna prava. A 0

B C 1

D 3

1 1 Decimalnata dropka __ pro{iri ja so 10. Potoa, dropkata ___ 100 10 1 pro{iri ja so 10 i dropkata _____ pro{iri ja so 10. 1 000 Dobienite dropki od pro{iruvaweto zapi{i gi vo decimalni broevi.

156

Razgledaj go re{enieto i voo~i go toa {to e zaklu~eno.

10 1 ___ 10 1 10 1 ______ __ ___ _____ ____ = ; = ; = , t.e. 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010. 10 100 100 1 000 1 000 10 000 Edna desetinka ima 10 stotinki; edna stotinka ima 10 iljadinki itn. Op{to

Pozicionata vrednost na sekoja cifra vo decimalniot del e 10 pati pogolema od pozicionata vrednost na cifrata zad nea. Toa {to go zaklu~i, koristi go za sporeduvawe na decimalni broevi.

Sporedi gi decimalnite broevi: a) 7,2 i 9,3;

b) 12,8 i 12,4;

v) 15,369 i 15,38.

Pri sporeduvawe na dva decimalni broja prvo se sporeduvaat celite.

Broevite 7,2 i 9,3 imaat razli~ni celi, t.e. 9 > 7, spored toa 9,3 > 7,2. Kaj broevite koi imaat isti celi, se sporeduva decimalniot del.

Broevite 12,8 i 12,4 imaat isti celi, no razli~en decimalen del, t.e. 8 > 4. Spored

toa 12,8 > 12,4. Brojot 15,38 ima pogolem decimalen del od brojot 15,369, bidej}i 38 stotinki e 380 iljadinki, a 380 > 369. Spored toa, 15,38 > 15,369.

Sporedi gi decimalnite broevi: a) 18,43 i 19,15; b) 35,6 i 35,49; v) 4,1001 i 4,101.

Treba da znae{!

Proveri se!

Da pretstavuva{ decimalni broevi na brojna prava; od decimalnite broevi {to imaat razli~ni celi, pogolem e onoj {to ima pogolem broj celi; ako decimalnite broevi {to se sporeduvaat imaat isti celi, pogolem e onoj {to ima pogolem decimalen del; ako dva decimalni broja imaat isti celi i ednakov decimalen del, toga{ tie se ednakvi.

Na brojna prava pretstavi gi decimalnite broevi 0,5 i 1,400. Sporedi gi decimalnite broevi: a) 25,9 i 26,3; b) 17,2002 i 17, 202; v) 14,101 i 14,1010.

Zada~i 1. Pretstavi gi na brojna prava slednite broevi: 0,6; 1,7; 3

40 ___ . 100

2. Sporedi gi broevite: 2,01 i 1,86; 6,29 i 6,172; 9,121 i 9,101; 0,1031 i 0,1028.

3. Podredi gi po golemina (po~-

4. Na brojnata prava, na to~kata A £ e

nuvaj}i od najmaliot) broe5 vite: 0,05; 0,050; 5; _____ . 1 000

pridru`en brojot 131,102, a na to~kata V brojot 131,120. Koja od ovie to~ki e poblisku do to~kata na koja £ odgovara brojot 100?

157

Problem! Koj znak treba da se postavi me|u broevite 2 i 3 za da se dobie broj pogolem od 2, a pomal od 3?

S O

9 1

R A B O T A P O D A T O C I

VIDOVI DIJAGRAMI. IZBOR NA DIJAGRAM

Maja i Ana imaat zelen~ukovi gradini ednakvi po golemina. Sekoja posadila vo gradinata domati, piperki i zelka. Vo tabelata se dadeni podatocite za delot od gradinite zasaden so razli~en vid zelen~uk. Zelen~ukovi gradini Gradinata Gradinata Zelen~uk na Maja na Ana Domati

2 __ 5

1 __ 6

Piperki

1 __ 10

1 __ 3

Zelka

1 __ 5

4 __ 12

Kolkav del od gradinata na Maja bil posaden so zelen~uk? Kolkav del od gradinata na Ana bil posaden so zelen~uk? Kolkav del od dvete gradini ostanal neposaden? Vo ~ija gradina neposadeniot del e pogolem?

Prvo pretstavi gi podatocite na stolbesti dijagrami. Skalite na dijagramite neka se: edno celo podeleno na 10 ednakvi delovi i edno celo podeleno na 12 ednakvi delovi; 2

Formiraj gi stolbovite, no vnimavaj: __ = __ ...

Vo tabelata se dadeni podatoci za temperaturite vo 5 dena, mereni tripati na den.

158

Koja e prose~nata temperatura vo ponedelnik? Koj den i vo kolku ~asot temperaturata e najvisoka? Kolkava e prose~nata temperatura vo pette dena napladne? Koj den ima najgolema temperaturna razlika?

Denovi

7 ~asot 12 ~.

19 ~.

Ponedelnik

18 oS

24 oS

23 oS

Vtornik

23 oS

29 oS

23 oS

^etvrtok

15 oS

17 oS

22 oS

Petok

17 oS

22 oS

20 oS

Nedela

22 oS

28 oS

25 oS

Vo VI2 oddelenie vo edno u~ili{te ima 32 u~enici. Odgovorite na pra{aweto za omileniot vid hrana se zapi{ani vo tabelata.

Omilena hrana Vid na Broj na Del od hrana u~enici celoto 1 __ Zelen~uk 16 2 1 __ Ovo{je 8 4 1 __ Meso 8 4

Site u~enici pretstavuvaat edno celo. (Pretstavi go so krug, kako na crte`ot.) Podeli go krugot na 2 polovini. Oboj ja ednata polovina zeleno, a drugata podeli ja na dva ednakvi delovi (~etvrtini). Oboj gi ~etvrtinite. So koja boja e oboen delot od u~enicite {to sakaat zelen~uk?

Dijagramot prikaàn na crteòt se vika sektorski dijagram. Sektorskiot dijagram pokaùva soodnos me|u delovite od celoto.

Temperaturi vo 5 denovi

1 __ 2 Zelen~uk 1 1 __ __ 4 4 Ovo{je Meso

Omilena hrana na 32 u~enici

So pomo{ na sektorski dijagram pretstavi gi podatocite: Vo edna paralelka ima 28 u~enici. 3 Sok od limon sakaat __ od u~eni4 1 cite, a od borovinki sakaat __ od 4 u~nicite.

1 Za vreme na eden izlet __ od u~enici6 2 __ te igrale krienka, od u~enicite 6 1 igrale fudbal, __ tr~ale niz {umata, 6 a ostanatite sobirale {umski plodovi.

So dijagrami se pretstavuvaat podatoci na razni naOva e interesno! ~ini. Dijagramite se lesni za ~itawe i razbirawe. Ako saka{ pove}e Ima razni vidovi dijagrami: stolbest, slikoven, da znae{. sektorski, a sekoj od niv ima prednosti i nedostatoci. Voo~i!

Broj na u~enici

Omilen sport

Stolbest dijagram

159

☺ Prednosti:

35 30 25 20 15 10 5 0

lesno se ~itaat podatocite; ednostavno se sporeduvaat goleminite.

Nedostatoci: G

ako stolbovite se so bliska golemina te{ko se ~itaat podatocite;

F - fudbal; K - ko{arka; R - rakomet; G - gimnastika

zavisno od skalata mo`e da se dobie pogre{en vpe~atok na golemite razliki.

Sport

Slikoven dijagram

☺ Prednosti:

Omilen sport

F K R G

lesno se ~itaat podatocite; ednostavno se sporeduvaat.

Nedostatoci: Eden znak

Za da se poka`e to~en broj mora da se koristat delovi od simboli i znaci;

ozna~uva 2 u~enika

Sektorski dijagram er

j mp

Sport

e aw t ^i m Fil

Muzika

☺ Prednosti:

za da se utvrdi to~en broj mora da se presmetuva.

odli~no se sporeduvaat celoto i delovi od celoto.

Nedostatoci: te{ko e da se koristi koga delovite od celoto se mali.

Vo tabelata se dadeni podatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto vo eden den (24 ~asa). Denot na Miki

Denovi

Vreme vo ~asovi

Pretstavi gi podatocite so stolbest dijagram.

U~ili{te

Pretstavi gi podatocite so slikoven

U~ewe

dijagram kade {to

Spiewe

Jadewe

Obidi se podatocite da gi pretstavi{ na sektorski dijagram.

Igrawe

pretstavuva 2 ~asa.

Zapi{i gi prednostite i nedostatocite na sekoj od na~inite na koj se pretstaveni podatocite za toa kako Miki go pominuva vremeto.

160

SOBIRAWE NA DECIMALNI BROEVI

Potseti se!

Pretstavi gi kako decimalni broevi dropkite: 3 156 3 ____ , ___ i 6 ___ 1 000 10 100 Brojot 2047,0138 zapi{i go vo tabela. EI S

E , d

i di si

Kolku centimetri ima vo 2 m? Kolku ima vo 3 m? A kolku ima vo: a) 2,5 m? b) 2,6 m? v) 2,58 m?

Mimoza kupila 2,37 m crvena lenta i 1,52 m sina lenta za pakuvawe na novogodi{ni podaroci. Kolku metri lenta vkupno kupila Mimoza? 2,37 m + 1,52 m

Treba da presmeta{:

Raboti spored slednite barawa i voo~i go re{avaweto. gi merni Pretstavi te broevi kako de-

2,37 =

cimalni dropki.

237 152 ___ ___ ; 1,52 = . 100 100

go nivniot Odredi zbir.

237 152 389 ___ ___ ___ + = 100 100 100

pretstavi go Zbirot kako decimalen broj.

389 ___ = 3,89 100

2,37 + 1,52 3,89

Voo~uva{ deka:

Voo~i go re{avaweto na zada~ata na drug na~in.

Pretvori gi metrite vo centimetri

2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm

Odredi go zbirot na dol`inite na

237 cm + 152 cm 389 cm

Pretvori go zbirot vo metri

389 cm = 3,89 m

lentite (vo centimetri)

Poprakti~no

Voo~i i zapomni! Decimalni broevi se sobiraat kako {to se sobiraat i prirodni broevi. Pritoa treba decimalnite zapirki vo sobirocite i vo zbirot da bidat na ista vertikalna prava.

E , d s 2 , 3 7 +

1 , 5 2 3 , 8 9

i pod Edinic ici n i ed

pod i inksitotinik t e s De inki, tink o destpod st

Prakti~no

161

Za da presmeta{ zbir na decimalni broevi treba da gi zapi{e{ eden pod drug, i toa: pod celi (edinici pod edinici, desetki celi pod desetki itn.); pod decimali (desetinki pod decimali desetinki, stotinki pod stotoinki itn.); zapirki na sobirocite i na zbirot decimalnite da bidat na ista vertikalna prava; na zbirot odredi gi na ist na~in kako cifrite koga sobira{ prirodni broevi.

Na prakti~en na~in presmetaj: 134,62 + 0,691.

Poprakti~no

Voo~i kako e presmetan zbirot na broevite 42,6 i 5,931.

D E , d s 4 2 , 6

5 , 9 3 1

15 3 1

4 8 , 5 3 1

Avtobus prviot ~as pominal 62,3 km, vtoriot ~as pominal 4,62 km pove}e od prviot ~as. Kolku kilometri pominal avtobusot za dvata ~asa?

Potseti se! Proveri dali e to~no: 362 + 8 = 8 + 362; 4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168; 174 + 0 = 0 + 174; (72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44). Koi svojstva na sobiraweto na prirodni broevi gi iskoristi? Pretstavi go kako decimalen broj brojot 15.

1 42,6 + 5,931 48,531

B 4

Proveri dali e to~no: 0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54 Presmetaj gi zbirovite: 0,54 3,2 + 3,2 i + 0,54

Zbirot na dva decimalni broja ne se menuva ako sobirocite gi promenat mestata. Ova e komutativno svojstvo na sobiraweto decimalni broevi.

Izrazot (3,4 + 12,9) + 4,2 ima vrednost 16,3 + 4,2 = 20,5 Presmetaj ja vrednosta na izrazot 3,4 + (12,9 + 4,2). Dobienata vrednost sporedi ja so vrednosta 20,5 na prethodniot izraz. Za sobiraweto na decimalni broevi va`i asocijativnoto svojstvo. Iska`i go!

162

Brojot 5,6 zgolemi go za 2. Treba da go presmeta{ zbirot na broevite 5,6 i 2. Pretstavi go brojot 2 kako decimalen broj. Zapi{i gi sobirocite eden pod drug i presmetaj go zbirot. Decimalen broj se sobira so priroden broj taka {to prirodniot broj }e se pretvori vo decimalen broj, a potoa dvata broja }e se soberat.

7 - priroden broj 7,0 7,00

}

Presmetaj:

decimalni broevi 15,6 + 0

Zbirot na decimalen broj i nula e ednakov na decimalniot broj.

0 + (2,6 + 4)

24,8 + 0,0 24,8

Proveri se!

Treba da znae{! Da presmeta{ zbir na decimalni broevi, zapi{ani vo red ili, pak, eden pod drug;

Presmetaj: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8; 9,24 + 12.

da zapi{e{ priroden broj kako decimalen i da presmeta{ zbir na priroden i decimalen broj;

Proveri dali e: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7. Iska`i go komutativnoto svojstvo na sobiraweto decimalni broevi.

da gi koristi{ komutativnoto i asocijativnoto svojstvo za olesnuvawe pri sobiraweto na decimalni broevi;

Presmetaj 6,4 + (12,8 + 3,6) i (6,4 + 12,8) + 3,6. Sporedi gi dobienite rezultati. Iska`i go asocijativnoto svojstvo na sobiraweto decimalni broevi.

Deka zbirot na decimalen broj i 0 e ednakov na decimalniot broj.

Zada~i 1. Brojot 100,075 zgolemi go za: a) 63,3; b) 5; v) zbirot na broevite 4,78 i 56,3; g) 0.

2. Presmetaj: 5,6 + 25,8 =

3. Re{i gi ravenkite x - 156,6 = 1,54;

x - 4,0245 = 0,81.

4. Padobranec pa|a 4 s so zatvoren padobran. Vo prvata sekunda preletal 4,9 m, a vo sekoja naredna sekunda po 9,8 m pove}e. Kolku metri preletal za tie 4 s?

0,142 + 6,71 = 4 + 4,48 + 4,886 = 362,003 + 54 + 0,72 =

5. Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e 3,69, a sekoj nareden e za 3,69 pogolem od prethodniot.

163

ODZEMAWE NA DECIMALNI BROEVI

Potseti se! Presmetaj:

A 24 1 3 ___ + 6 ___ + ___ . 100 100 100

7 70 Proveri dali: __ = ___ 10 100 841 523 Presmetaj: a) ___ - ___ ; 100 100 612 ___ - 549 ___ ; 10 10 263 v) ___ - 0. 100

Presmetaj:

2,78 - 0,24

Postapi spored slednite barawa

Pretvori gi decimalnite broevi vo

278 24 decimalni dropki: 2,78 = ___ ; 0,24 = ___ . 100 100 278

254

___ ___ = . Odredi ja nivnata razlika: ___ 100 100 100

Pretvori ja dobienata razlika vo decima254 len broj: ___ = 2,54. 100

Zna~i:

2,78 - 0,24 2,54

Da zapomnam: Decimalni broevi se odzemaat kako {to se odzemaat prirodni broevi.

Pri zapi{uvaweto eden pod drug treba decimalnite zapirki na namalenikot i namalitelot da bidat na ista vertikalna prava.

Pretprijatieto „Gradinar” odnelo na pazar 2,745 t kompiri, a prodalo 1,423 t. Kolku toni kompiri ostanale neprodadeni?

Treba da se odzeme prodadenoto koli~estvo kompiri od vkupnoto. Koi broevi treba da se odzemat?

Pretvori gi tonite kompiri vo kilogrami. Odzemi gi mernite broevi {to gi poka`uvaat kilogramite.

Pretvori go vo toni dobieniot ostatok. gi decimalnite broevi eden pod Zapi{i drug i presmetaj ja razlikata.

2,745 t - 1,423 t, t.e.

2,745 1,423

2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg. 2 745 1 423 1 322 Ostatokot e: 1322 kg = 1,322 t. -

2,745 1,423 1,322

Prakti~no:

27,48 - 0,36 27,12

desetinki pod desetinki, stotinki pod stotinki

celi pod celi

164

nasoka na odzemaweto

Za da ja presmeta{ razlikata na dva decimalni broja treba da gi zapi{e{ eden pod drug, i toa: pod celi (edinici pod edinici, desetki pod de celi setki itn.); pod decimali (desetinki pod desetinki, sto decimali tinki pod stotinki itn.); zapirki na namalenikot, namalitelot i decimalnite razlikata da bidat na ista vertikalna prava. na razlikata odredi gi na ist na~in kako {to Cifrite se odreduvaat pri odzemawe na prirodni broevi.

Pe{akot treba da pomine 12 km. Prviot ~as pominal 4,28 km. U{te kolku kilometri mu ostanale da pomine? Za da presmeta{ kolku kilometri treba da pomine pe{akot, treba pominatiot pat da go odzeme{ od vkupnata dol`ina na patot. Izvr{i go slednoto:

namalenikot 12 zapi{i go kako decimalen broj (so dve nuli zad decimalnata zapirka);

gi decimalnite broevi eden zapi{i pod drug i izvr{i go odzemaweto.

Da zapomnam: Pri odzemawe na priroden broj i decimalen broj, prirodniot broj se zapi{uva kako decimalen broj so onolku nuli kolku {to ima decimali decimalniot broj.

Brojot 29,563 namali go za 15. Od decimalen broj treba da odzeme{ priroden broj. Postapi na sledniot na~in: namalitelot 15 zapi{i go kako decimalen broj so 3 nuli kako decimali; zapi{i gi dvata decimalni broja eden pod drug i izvr{i go odzemaweto.

Presmetaj 6,84 - 0. Postapi spored slednite barawa.

Da zapomnam: Pri odzemawe na 0 od decimalen broj kako razlika se dobiva istiot toj decimalen broj.

Pretstavi go namalenikot kako decimalen broj i izvr{i go odzemaweto. Dobienata razlika pretvori ja vo decimalen broj.

5,2 0,0 5,2

Treba da znae{! Proveri se! Pravilno da gi zapi{uva{ namalenikot i namalitelot eden pod drug i da go izvr{uva{ odzemaweto; koga namalenikot ili namalitelot e priroden broj, nego treba da go pretstavi{ kako decimalen broj so onolku nuli kolku {to ima decimali decimalniot broj; odzemaweto da go izvr{uva{ oddesno nalevo;

165

Presmetaj: a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849. Brojot 7 namali go za 0,7. Brojot 6,5 namali go za 5. Zbirot na broevite 8 i 8,8 namali go za 0.

koga namalitelot e 0, razlikata e ednakva na namalenikot.

Zada~i 1. Presmetaj: 26,3 - 5,2

5,96 - 4,87

1042,07 - 148,396

343 - 3,27

5,68 - 2

846,825 - 0

2. Za kolku e: 56,62 pogolem od 46,31? 100 pomal od 301,62? 54 pogolem od 25,64? 3,8 pogolem od 0?

3. Vodovodna cevka {to ima dol`ina

6 m e podelena na 3 dela. Dol`inite na dvata dela se: 3,2 m i 2,46 m. Kolku metri e tretiot del?

Brojot 64 zgolemi go za razlikata na broevite 6,4 i 4,64.

Namalenikot e 24,6, a razlikata e 2,6. Odredi go namalitelot. Namalitelot e 6,2, a razlikata e 2,6. Odredi go namalenikot. Razlikata e 64,3. Taa e za 3 pogolema od namalitelot. Odredi go namalenikot.

6. Masloto i {i{eto zaedno imaat 1,23 kg. [i{eto ima masa 462 g. Kolku kilogrami e masata na masloto?

Problemi!

Zbirot na eden dvocifren priroden broj i eden decimalen e 26,3. Milica pri sobiraweto na tie broevi decimalnata zapirka vo decimalniot broj pogre{no ja postavila za edno mesto vo levo i dobila zbir 13,43. Koi broevi gi sobirala Milica?

166

MNO@EWE NA DECIMALNI BROEVI

Potseti se!

A 1

Presmetaj: 10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526. Objasni {to se slu~uva so brojot na nulite vo proizvodot pri gornite mno`ewa.

Pe{ak za 1 ~as pominuva 3,635 km. Kolku kilometri }e pomine za 10 ~asa ako se dvi`i bez zastanuvawe i so ista brzina? Treba da presmeta{ 3,635 km ⋅ 10.

Voo~i gi ~ekorite i re{avaweto. Pomesti se vdesno za edno mesto!

gi kilome Pretvori trite vo metri.

3,635 km = 3635 m.

Presmetaj go proiz-

3635 m ⋅ 10 = 36350 m.

Proizvodot pretvori

36350 m = 36,35 km

vodot so 10 (vo metri).

Da zapomnam: Decimalen broj se mno`i so 10 taka {to decimalnata zapirka na toj broj se pomestuva nadesno za edno mesto.

go vo kilometri.

Voo~uva{ deka vo proizvodot decimalnata zapirka e pomestena nadesno za edno mesto.

36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km

Presmetaj go proizvodot na brojot 1,438 so 10, 100 i 1000. Mo`e{ da koristi{ kalkulator (kade {to namesto decimalna zapirka ima decimalna to~ka, a namesto znakot “⋅” ima “h”). So kalkulator se dobiva:

14.38 143.8 =

1438.

Voo~i! Pri mno`ewe na decimalen broj so 10, 100, 1000, ... negovata decimalna zapirka se pomestuva soodvetno za edno, dve, tri, ... mesta nadesno, odnosno za onolku mesta nadesno kolku {to ima nuli dekadnata edinica.

Presmetaj usno: 1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.

Potseti se!

B 4

Presmetaj: 2,3 + 2,3 + 2,3. Kako mo`e{ skrateno da go zapi{e{ ovoj zbir?

^ekorot na Zoran ima 0,74 m. Kolku metri pominal Zoran koga napravil 4 ~ekori?

167

Treba da presmeta{ 4 ⋅ 0,74 m.

Proveri dali e 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?

Zapomni! Raboti spored slednite barawa i voo~uvaj.

Pretvori gi metrite vo centimetri. 0,74 m = 74 cm Izvr{i go mno`eweto so 4 (vo cm). 4 ⋅ 74 cm = 296 cm Proizvodot pretvori go vo metri. 296 cm = 2,96 m Voo~i kako e dobien proizvodot. 4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m 5

Decimalen broj se mno`i so priroden broj taka kako {to se mno`at prirodni broevi. Brojot na decimalite vo proizvodot e ednakov so brojot na decimalite vo decimalniot broj.

Presmetaj go proizvodot na brojot 9 so broevite 2400,8;

V 6

5612,9;

428,27;

20,3;

0,9.

Presmetaj ja plo{tinata R na pravoagolnik so strani a = 4,6 cm i b = 3,2 cm. Spored formulata za plo{tina na pravoagolnik (R = a ⋅ b), treba da go odredi{ proizvodot na mernite broevi 4,6 i 3,2 i da go zapi{e{ vo kvadratni centimetri. Voo~i gi barawata i na~inot na re{avaweto:

Pretvori gi dol`inite na stranite na pravoagolnikot vo milimetri.

4,6 cm = 46 mm 3,2 cm = 32 mm

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot (vo kvadratni milimetri).

46 ⋅ 32 = 1472 R = 1472 mm2

Pretvori ja plo{tinata vo kvadratni centimetri. Voo~i gi nepresmetaniot i presmetaniot proizvod na mernite bro-

R = 14,72cm2 4,6 ⋅ 3,2 = 14,72

evi i objasni kako se mno`at decimalni broevi.

Dva decimalni broja se mnoàt taka kako {to se mnoàt prirodni broevi, a vo proizvodot se oddeluvaat onolku decimalni mesta kolku {to imaat decimali dvata mnoìteli zaedno.

Presmetaj: 0,04 ⋅ 0,23. Prosledi go re{enieto!

0,2 ⋅ 0,03 = 0,006 Zo{to ima dve nuli pred cifrata 6?

Potseti se!

Presmetaj: 0,6 . 6,1 =

Presmetaj:

2 + 1

7,04 ⋅ 20,6;

20,6 ⋅ 7,04

Voo~i!

0,6 . 9,9 = 0,6 . (6,1 + 9,9) = Sporedi gi rezultatite.

4,56 ⋅ 3,7 = 16,879

Brojot na decimali vo proizvodot e 3, a ima samo edna cifra (cifrata 6). Zatoa, dvete decimalni mesta se dopolnuvaat so nuli.

Broj na decimali vo proizvodot

Zbir na brojot na decimali vo mno`itelite

168

Proizvodot na dva decimalni broja ne se menuva ako mno`itelite gi razmenat svoite mesta, t.e. za koi bilo dva decimalni broja a i b va`i: a ⋅ b = b ⋅ a (komutativno svojstvo).

Presmetaj i sporedi gi proizvodite:

2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) =

;

(2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 =

Proizvodot na decimalni broevi ne zavisi od na~inot na grupirawe na mno`itelite, t.e. za koi bilo decimalni broevi a, b i c va`i: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (asocijativno svojstvo).

Iskaì go distributivnoto svojstvo na mnoèweto na prirodni broevi vo odnos na sobiraweto. Proveri dali toa svojstvo vaì za decimalnite broevi 3,48; 1,01 i 5,2, t.e. dali (3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2. Voo~i! Za koi bilo decimalni broevi a, b i c vaì: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (distributivno svojstvo).

Presmetaj: a)

3,76 ⋅ 0;

(5,2 + 8,03) ⋅ 0;

5,6 - 0 ⋅ 0,3;

9,8 ⋅ 1;

(7 - 0,4) ⋅ 1 ;

2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)

Voo~i!

169

Za koj bilo decimalen broj a e to~no: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0;

a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.

Treba da znae{! Proveri se!

Da presmeta{ proizvod na decimalen broj i dekadna edinica;

Presmetaj: a)

4,286 ⋅ 100 =

da presmeta{ proizvod na decimalen broj i priroden broj;

3,7 ⋅ 7 =

9,6 ⋅ 3,01 =

da presmeta{ proizvod na decimalen broj i decimalen broj;

8000 ⋅ 0,03 =

;

6 ⋅ 2,005 =

; ;

;

0,004 ⋅ 6,03 =

Objasni dali e to~no (bez da presmetuva{: 6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34;

da gi primenuva{ svojstvata na mno`eweto.

(1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01); (4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.

Zada~i

5. Presmetaj ja vrednosta na izrazite:

1. Presmetaj: 0,748 ⋅ 10 = 3,6 ⋅ 100 =

10 ⋅ 9,4 =

;

100 ⋅ 10,006 =

;

0,2 ⋅ 1 000 =

;

2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 =

;

0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 =

6. Odredi go proizvodot od zbirot i raz2.

Zgolemi go 10 pati sekoj od broevite: 1,8; 0,0072; 1 000,01. Zgolemi go 1 000 pati sekoj od broevite: 3,4; 0,007; 96,006. Koj broj e 2 000 pati pogolem od brojot 2 000,2?

Presmetaj: 6,405 ⋅ 7 = 0,0063 . 3 =

likata na broevite 16,009 i 9,0016.

7. Mimoza imala 6000 denari. 0,65 od pa-

rite potro{ila za rol{ui, a 0,2 za tetratki i u~ili{ten pribor. Kolku pari ñ ostanalo?

8. Sporedi gi izrazite: 315,002 ⋅ 12 =

;

4,65 ⋅ 0,524 i 5,24 ⋅ 0,465.

4. Presmetaj ja plo{tinata na podot na

u~ilnicata koja ima dimenzii 6,8 m i 9,4 m.

9. Zapi{i ~etiri broja od koi prviot e 1,6, a sekoj nareden e 1,5 pati pogolem od prethodniot.

170

DELEWE NA DECIMALNI BROEVI

Potseti se!

A 1

Odredi gi proizvodite: 6,25 ⋅ 10 =

Presmetaj: 34,7 ⋅ 10 =

2,136 ⋅ 100 =

;

5,432 ⋅ 100 =

;

412 : 100 =

;

1,3458 ⋅ 1 000 =

Odredi gi koli~nikot i ostatokot pri deleweto: 265 : 10 =

;

Presmeta deka

Od ravenstvoto 148 ⋅ 23 = 3 404 odredi go koli~nikot:

6,25 ⋅ 10 = 62,5;

3 404 : 23 =

5,432 ⋅ 100 = 543,2;

1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8. Voo~i go brojot na nulite vo dekadnite edinici i pomestuvaweto na decimalnata zapirka vo proizvodot. [to zabele`a? Od dobienite ravenstva odredi gi koli~nicite: 62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = . Voo~i! 62,5 : 10 = 6,25; 543,2 : 100 = 5,432; 1 345,8 : 1 000 = 1,3458. Kako e pomestena zapirkata vo sekoj koli~nik spored delenikot i dekadnata edinica?

Voo~iv deka: Decimalen broj }e podelam so 10 taka {to decimalnata zapirka }e ja pomestam za edno mesto nalevo.

: 10 6,2 , 5

Zapomni! Koli~nik na decimalen broj i dekadna edinica (10, 100, 1 000, ...) se dobiva so pomestuvawe na zapirkata vo decimalniot broj nalevo za onolku mesta kolku {to ima nuli dekadnata edinica.

Presmetaj: 34,7 : 10 =

Presmetaj:

;

257,1 : 100 =

6,3 : 10 =

i 3,2 : 100 =

;

17 845,32 : 1 000 =

Voo~i i zapomni! 0,63 ⋅ 10 = 6,3;

6,3 : 10 = 0,63

0,032 ⋅ 100 = 3,2;

3,2 : 100 = 0,032

Ako pri pomestuvaweto na decimalnata zapirka nalevo nema dovolno mesta, toga{ se dodava potreben broj nuli.

171

Odredi gi koli~nicite na broevite: 2 685,7; 3,78; 12 i 0,06 so: 10, 100 i 1 000.

Potseti se!

Odredi gi koli~nikot i ostatokot pri delewe na brojot: a) 3728 so 16;

Lenta so dol`ina 7,23 m razdeli ja na 3 ednakvi dela. Odredi ja dol`inata na sekoj del. Treba da presmeta{: 7,23 : 3 =

b) 6412 so 24.

Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto.

Dol`inata na lentata pretvori ja vo centrimetri.

7,23 m = 723 cm

Presmetaj go koli~nikot vo centimetri.

723 cm : 3 = 241 cm 12 3

Pretvori go dobieniot koli~nik vo metri.

241 cm = 2,41 m

Voo~uva{ deka: 7,23 : 3 = 2,41 , zatoa {to 2,41 . 3 = 7,23.

Raboti spored slednite barawa:

Izvr{i delewe na 7,23 so 3 ne obrnuvaj}i vnimanie na decimalnata zapirka.

zavr{uvawe so deleweto vo ko Po li~nikot stavi zapirka tamu kade {to si zavr{il so delewe na celoto.

7,23 : 3 = 2,41 453,6 : 28 = 16, -6 - 28 12 173 - 12 - 168 3 56 -3 Prvo ja spu{ta0 me prvata decimala ...

Zapomni!

..., a potoa vo koli~nikot stavame zapirka.

Kako mo`e da se presmeta 7,23 m : 3; bez da se pretvoraat metrite vo centimetri?

Pri delewe na decimalen broj so priroden broj postapi kako da deli{ prirodni broevi. Koga }e ja spu{ti{ decimalata na desetinkite, toga{ vo koli~nikot stavi zapirka.

Presmetaj 292 : 16 bez ostatok. Napravi go slednoto: Pretstavi go delenikot kako decimalen broj. Izvr{i go nazna~enoto delewe, no sega kako delewe na decimalen broj so priroden broj.

56,0 : 35 = 1,6 - 35 210 - 210 0

172

Presmetaj:

2 728 : 4 =

Ako celoto e pomalo od delitelot, toga{ vo koli~nikot se zapi{uva 0 celi. Presmetaj:

272,8 : 4 =

;

27,28 : 4 = . .

4,752 : 6 = 0,792 - 0 47 - 42 55 - 54 12 - 12 0

Nula celi

Primer:

Zapomni!

;

10,626 : 23 = 0,9768 : 37 = 0,06723 : 9 =

3,45 : 5 =

Potseti se! Presmetaj bez ostatok: 365,4 : 9;

27,0 : 4.

Odredi go koli~nikot na broevite 78 i 12 bez ostatok. Pritoa ima potreba brojot 78 da go pretstavi{ kako decimalen broj (78,0).

[to }e se slu~i so koli~nikot ako delenikot i delitelot se pomno`at so ist broj?

Plo{tinata na eden pravoagolnik e 1,38 dm2, a negovata {irina e 0,6 dm. Odredi ja dol`inata na pravoagolnikot.

Treba da presmeta{ 1,38 : 0,6 =

Raboti spored barawata. Voo~i go re{avaweto. gi kvadratnite decimetri vo kvadratni 1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm Pretvori centimetri, a decimetrite vo centimetri. ja dol`inata na pravoagolnikot (vo cen Odredi timetri).

138 cm : 6 = 23 cm

ja dol`inata na pravoagolnikot vo de Pretvori cimetri.

23 cm = 2,3 dm

Voo~i!

1,38 : 0.6 = 2,3.

Presmetavme deka koli~nik na 1,38 i 0,6 e brojot 2,3,t.e. 2,3 ⋅ 0,6 = 1,38. Brojot 2,3 mo`e da se dobie i bez pretvorawe na decimetrite vo centimetri. Raboti spored barawata

Zgolemi gi 10 pati delenikot i delitelot; sega delitelot e priroden broj odredi Bidej}i go koli~nikot na decimalniot 13,8 i prirodniot broj 6.

Primer: 23,12 : 3,4 = 23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34; 231,2 : 34 = 6,8 272 0

Da zapomnam: Decimalen broj se deli so decimalen broj taka {to: decimalnite zapirki se pomestuvaat nadesno vo delenikot i vo delitelot za tolku mesta kolku {to e potrebno delitelot da stane priroden broj. Potoa se delat dobienite broevi (taka kako {to se deli daden broj so priroden broj).

Presmetaj: a) 3,4 : 0,017 =

;

b) 0,64 : 0,0032 =

173

Vnimavaj! Brojot na decimalite vo delenikot e pomal od brojot na decimalite vo delitelot. Zatoa razmisli i odgovori: Kolku nuli treba da se dopi{at na delenikot oddesno za da mo`e potoa da se pomestat decimalnite zapirki?

Treba da znae{! Proveri se! Da presmeta{ koli~nik na decimalen broj i dekadna edinica;

Presmetaj:

34,6 : 10 =

6,485 : 1000 =

da presmeta{ koli~nik na decimalen broj i priroden broj;

;

62,17 : 100 =

Presmetaj 257,52 : 12 i napravi proverka na re{enieto.

da presmeta{ koli~nik vo koj delitelot e decimalen broj.

Za kolku mesta treba da se pomesti decimalnata zapirka nadesno vo delenikot i delitelot za da se presmeta: 12,031 : 1,6 =

Zada~i

0,345 : 0,025 =

1. Koj broj e pomal od brojot 4,76

;

3,101 : 0,08 = .

4. Presmetaj:

a) 10 pati; b) 100 pati; v) 1 000 pati?

6 : 0,2 =

;

48 : 0,12 =

2. Presmetaj:

0,75 : 0,15 = ;

;

735 : 35 = 27 : 1 125 =

4:5= ;

;

1,836 : 0,204 =

3,417 : 0,85 =

0,6 : 3 =

;

0,044 : 0,25 =

; .

;

1,95 : 15 =

;

5. Kolku pati 0,14 e pomalo od 0,7? 6. Presmetaj i izvr{i proverka na re{e-

23,45 : 37 =

na 4 decimali;

341,3 : 12 =

na 2 decimali.

nieto: 34 : 0,085 =

;

12,4 : 0,031 =

3. Presmetaj na 6 decimali: 1:7=

;

4:7=

;

2:7=

;

5:7=

;

100 ⋅ x = 2,416;

3:7=

;

6:7=

;

156,12 : x = 10;

[to zaklu~uva{ za decimalite na koli~nicite?

33 : 1,28 = ;

7. Re{i gi ravenkite:

0,018 = 18 ⋅ x; 0,0625 ⋅ x = 3,1275.

0,0108 : 1,6 =

; .

174

8. Eden patnik pominal 14,730 km

10. Vo VI3 oddelenie imalo 34 u~enici.

za 5 ~asa. Kolku kilometri, prose~no, pominuval za 1 ~as?

Na krajot na godinata uspehot po matematika bil sledniot: 15 u~enici so odli~na ocenka, 9 u~enici so mnogu dobra, 7 so dobra i 3 so dovolna ocenka. Presmetaj go sredniot uspeh po matematika vo paralelkata na 2 decimali.

9. Odredi ja vrednosta na izrazite: (6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 = 2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =

ZA ONIE [TO SAKAAT DA ZNAAT POVE]E

1. Proveri dali se to~ni ravenstvata:

(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4) (2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.

2. Koj broj moè da se podeli so sekoj decimalen broj razli~en od nula bez ostatok? 3. Kako }e se promeni: a) zbirot na dva broja ako edniot sobirok go zgolemime za 2,3, a drugiot go zgolemime za 3,2; b) namalitelot ako namalenikot se zgolemi za 5,8, a razlikata se namali za 5,8; v) proizvodot na dva broja ako edniot go pomnoìme so 8,75, a drugiot so 0,72; g) koli~nikot ako delenikot go pomnoìme so 1,25, a delitelot go namalime 4 pati?

4. Od 1kg bra{no se dobiva 1,252 kg leb. Kolku leb se dobiva od 576 kg bra{no? 5. Kon koj broj treba da se dodade 2,2 za da se dobie broj {to e 3,5 pati pogolem od 9,2? 6. Za kolku plo{tinata na kvadrat so strana 15,34 m e pogolema od plo{tinata na pravoagolnik so strani 16,12 m i 12,03 m?

7. Re{i gi ravenkite: 5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21;

x : 8,04 = 5,05;

3,48 : x = 1,45;

(x - 2,5) : 5,1 = 0,8.

14 PRETVORAWE NA DROPKA VO DECIMALEN BROJ Potseti se!

A 1

Koja operacija ja ozna~uva drobnata crta? 3 Vo dropkata __ zameni ja drobnata 4 crta so toj znak i izvr{i ja operacijata. 3 Pro~itaj ja dropkata ___ i zapi{i ja 100 kako decimalen broj. Objasni: kako se pretvora decimalna dropka vo decimalen broj.

Pretvori ja vo decimalen broj 3 __ dropkata . 4 Raboti spored barawata: Pro{iri ja dropkata so 25. Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj. 3 Sigurno dobi deka __ = 0,75. 4 Presmetaj 3 : 4. Sporedi gi dobienite rezultati.

So pro{iruvawe ili skratuvawe, slednite dropki pretvori gi vo decimalni 132 164 1 3 5 dropki, a potoa vo decimalni broevi: __ , __ , __ , ___ i ___ . 300 400 2 5 8 Primer:

5 Dropkata __ pro{iri ja so 125. 8 Dobienata decimalna dropka pretvori ja vo decimalen broj. Presmetaj 5 : 8 =

175

11 3 __ 1 __ 5 __ __ , , i ne mo`e da se pretvori vo decimalna dropka? 20 5 4 6 5 Sigurno voo~i deka toa e dropkata __ . 6 Koja od dropkite

Zapomni! Samo neskratliva dropka ~ij imenitel se razloùva na proizvod od mnoìtelite 2 ili 5, moè da se pretstavi kako decimalna dropka. Sekoja dropka koja moè da se pretstavi kako decimalna dropka pretstavuva kone~nodecimalen broj.

23 7 5 Koja od dropkite __ , __ ili __ pretstavuva kone~nodecimalen broj? 40 15 12 Utvrdi koja od dropkite mo`e da se pro{iri do decimalna dropka so imenitel 1 000; ili podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi koj od dobienite koli~nici e kone~nodecimalen broj.

176

B 5

Dropkite

11 15 1 __ __ __ , i pretvori gi vo decimalni broevi. 37 3 11

Raboti spored barawata: Utvrdi dali imenitelite se razlo`uvaat na mno`iteli 2 i 5, odnosno dali decimalnite broevi }e imaat kone~en broj decimali ili ne. Podeli go broitelot na dropkata so imenitelot. Sigurno dobi: 11 1 15 __ = 0,333...; __ = 1,363636...; __ = 0,297297..... 13 3 11 Dobienite decimalni broevi imaat beskone~no mnogu decimali. Takvi broevi se vikaat beskone~nodecimalni broevi. Voo~i! Vo sekoj od broevite, neposredno po decimalnata zapirka, edna ili pove}e cifri se povtoruvaat po ist redosled. Zapomni! Vakvite decimalni broevi se vikaat ~isto periodi~ni decimalni broevi. Brojot {to go obrazuvaat cifrite {to se povtoruvaat se vika period na decimalniot broj. Vo prviot broj period e 3, vo vtoriot 36, a vo tretiot 297. 0,333.... = 0,(3). Se ~ita: nula celi i 3 kako period; 1,3636... = 1,(36). Se ~ita: edno celo i 36 kako period....

5 679 7 Dropkite __ , ___ i __ pretvori gi vo decimalni broevi. 18 495 12 Raboti spored slednite barawa: razgledaj gi imenitelite na dropkite i utvrdi dali decimalniot broj e kone~no decimalen; podeli go broitelot so imenitelot i utvrdi dali decimalniot broj e periodi~en. So upotreba na digitron se dobiva: 5 679 7 __ = 0,2777...; ___ = 1,3717171...; __ = 0,58333... 18 495 12

Voo~i! Dobienite decimalni broevi se periodi~ni, no pred periodot ima edna ili dve cifri. Vakvite decimalni broevi se vikaat me{ano periodi~ni decimalni broevi.

^itame: 0,2777... = 0,2(7) - nula celi, 2 desetinki i 7 kako period. 1,37171... = 1,3(71) - edno celi, 3 desetinki i 71 kako period. 0,58333... = 0,58(3) - nula celi, 58 stotinki i 3 kako period.

Zapomni!

177

Ako od desnata strana na eden priroden broj ili nulata, se zapi{e zapirka i potoa se dopi{at cifri, se dobiva zapis na broj koj{to se narekuva decimalen broj.

Sekoj od broevite 2, 3 i 58 vo primerite se vika pretperiod.

Treba da znae{! Da oceni{, spored imenitelot na dropkata, dali taa se pretvora vo kone~nodecimalen broj ili, pak, vo beskone~nodecimalen (periodi~en) broj;

Proveri se! Oceni, bez da gi deli{ broitelot so 2 imenitelot, dali dropkata __ pret20 stavuva kone~en decimalen broj.

{to e ~isto periodi~en decimalen broj;

Pretvori gi vo decimalen broj 3 7 12 4 dropkite __ , __ , __ i __ . 5 8 7 9 Odredi gi periodite i pretperiodite vo slednite decimalni broevi:

{to e me{ano periodi~en decimalen broj;

2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ; 126,120404...

koj broj e kone~nodecimalen; da objasni{ {to e period, a {to pretperiod;

deka dropka mo`e da se pretvori: - ili vo kone~nodecimalen broj; - ili vo periodi~en decimalen broj; deka postojat i drugi beskone~nodecimalni broevi koi ne se periodi~ni. Za niv }e u~i{ vo VIII oddelenie.

Zada~i

3. Odredi gi periodot i pretperiodot vo decimalnite broevi:

1. Pro{iri gi ili skrati gi dropkite taka {to vo imenitelot da se pojavi 10, 100 ili 1000, a potoa pretvori gi vo decimalni broevi: 3 ___ 18 24 37 229 23 11 83 __ , , __ , __ , ___ , __ , __ , __ . 5 200 20 25 125 80 32 64

2. Pretvori gi vo decimalni broevi dropkite: 2 __ 9 __ 3 19 24 1 5 37 2 __ , , , __ , __, __ , __ , __ , ___ . 3 11 5 20 20 27 15 18 275

0,378787... ; 6,543023023... .

4. Spored oznakata za period na decimalen broj zapi{i gi broevite: 4,636363... ;

0,102102... ;

3,54034034... ;

4,27117117... .

5. Zapi{i go kako beskone~nodecimalen broj brojot: a) 3,6(54) ;

v) 6,(53) ;

b) 0,77(2401) ;

g) 0,06(5231).

178

ZAOKRU@UVAWE NA DECIMALNI BROEVI

Potseti se!

A 1

Brojot 3 128 zaokruèno na iljadi iznesuva 3 000, t.e. 3 128 ≈ 3 000. “ ≈ “, se ~ita: pribli`no ednakvo so. Zaokruì go brojot 3 128 na stotki. Kako glasi postapkata za zaokruùvawe na priroden broj? Dali treba 135 ≈ 130 ili 135 ≈ 140? Objasni!

Edna parcela od 123 m2 ja ureduvaat u~enicite od VIa oddelenie. Vo paralelekata ima 32 u~enici. Po kolku kvadratni metri, vo prosek, ureduva sekoj u~enik?

Treba da presmeta{ 123 : 32. Odredi go koli~nikot; Oceni go prakti~noto zna~ewe na dobienite kvadratni metri po u~enik. Sigurno dobi 123 : 32 = 3,84375, t.e. deka sekoj u~enik treba da uredi po 3,84375 m2.

Brojot ima prakti~no zna~ewe samo do vtorata decimala (vo dm2), t.e. da se izvr{i zaokru`uvawe na decimalniot broj na dve decimali. Decimalni broevi so dve decimali {to se najblisku do brojot 3,84375 se: 3,84 i 3,85, t.e. 3,84 < 3,84375 < 3,85 Zna~i: 3,84375 ≈ 3,84 (~itame: 3,84375 e pribli`no ednakov so 3,84) i 3,84375 ≈ 3,85.

Odredi gi dvata najbliski decimalni broja na brojot 1,37268 {to imaat po edna decimala. Utvrdi kolkava e napravenata gre{ka pri zaokru`uvawe na brojot 1,37268 na edna decimala.

Sigurno utvrdi deka baranite broevi se 1,3 i 1,4 t.e. 1,3 < 1,37268 i 1,37268 < 1,4. Kolkava e napravenata gre{ka pri sekoe od zaokru`uvawata: 1,37268 ≈ 1,3 i 1,37268 ≈ 1,4, }e utvrdi{ ako gi sporedi{ razlikite:

1,37268 - 1,3 = 0,07268 i 1,4 - 1,37268 = 0,02732 Do koja od to~kite za broevite 1,3 ili 1,4 e poblisku to~kata na brojot 1,37268?

0,07268 1,3

0,02732

1,37268

1,4

Zapomni! Vo dvata slu~aja napravenata gre{ka e pomala od 0,1. Velime: Brojot 1,37268 sme go zaokruìle so to~nost do 0,1, odnosno so to~nost na edna decimala. Razlikata {to pokaùva za kolku dadeniot broj e pogolem ili pomal od svojata pribli`na vrednost ja vikame gre{ka na zaokruùvaweto. Pri zaokruùvawe nastojuvaj da napravi{ {to pomala gre{ka.

Voo~uva{ deka zaokruùvaweto (zamenuvaweto) na brojot 1,37268 so brojot 1,4 e so pomala gre{ka otkolku so brojot 1,3. Pri zaokruùvawe na decimalen broj po~ituvaj go slednoto pravilo na zaokruùvawe:

179

prvata ispu{tena cifra e pomala od 5, toga{ poslednata zadr`ana cifra ne ako se menuva; prvata ispu{tena cifra e 5 ili pogolema od 5, toga{ poslednata zadr`ana ako cifra se zgolemuva za 1.

Brojot 4,8162704 zaokru`i go so to~nost: a) na edna decimala, t.e. do 0,1; g) do 0,0001; b) do 0,01; d) do 0,0001. v) do 0,001;

Treba da znae{! Proveri se! Da se zaokru`i nekoj broj so dadena to~nost zna~i toj broj da se zameni so drug broj {to e pogolem ili pomal od nego, zaradi odredeni prakti~ni potrebi;

Brojot 0,315 zaokru`i go na dve decimali. 7 Dropkata __ pretvori ja vo 34 decimalen broj so to~nost do 0,001.

da zaokru`i{ daden broj so odredena to~nost spored praviloto za otfrlawe na cifri od brojot;

Odredi ja gre{kata na zaokru`uvaweto ako 1,47 ≈ 1,47328.

da objasni{ kako se zaokru`uva decimalen broj so odredena to~nost.

Zada~i 1. Zaokru`i gi na tri decimali bro-

4. Presmetaj: 2 4,26 + __ - 1,00312 so to~nost do 0,01. 7

evite: 2,7145; 3,03277; 0,01523. 7 34 decimalen broj so to~nost do: 0,1; 0,01; 0,0001.

2. Dropkata __ pretvori ja vo

5. Napravi tabela, zaokru`i gi broevite vo nea so nazna~enata to~nost i odredi ja gre{kata na zaokru`uvaweto. Broj

3. Zbirot na broevite 4,7125 i 3,3914 presmetaj go so to~nost do 0,001.

0,0374 0,5386 426,4235 6,0141

Zaokru`. so Gre{ka Zaokru`. so Gre{ka to~n. do 0,01 na zaok. to~n. do 0,001 na zaok.

R A B O T A

180

16 1

S O

P O D A T O C I

IZBOR NA PRIMEROK. ANALIZA I ZAKLU^OK

Koristi ja tabelata za da odgovori{ na nekolku pra{awa. Razlikata na najgolemite brzini na najbrzata i najbavnata trka zaokru`i ja so to~nost do 0,1. Kolku pobavno odel pobednikot na trkata vo 2 000 godina od pobednikot na trkata vo 1 998 godina? Koja bi bila prose~nata najgolema brzina na dvete najbrzi trki?

Godina 1996 1997 1998 1999 2000

Pobednik Mihael [umaher Mihael [umaher Dejvid Kulthard Mika Hakinen Mihael [umaher

Najgolema brzina (km/h)

Koja e prose~nata najgolema brzina na site pet trki (aritmeti~ka sredina)?

310,36

Na edna trka vo 1912 god. e postignata najgolema brzina koja e 4 pati pomala od najgolemata brzina vo 2000 godina. Kolku iznesuva taa brzina?

344,44

294,06

Patni~ki avion postignuva 3 do 3,5 pati pogolema brzina od najgolemata brzina {to e postignata vo 1999 godina. Vo koi granici se dvi`i brzinata na avionot so to~nost do edna decimala?

312,56

Analiza na podatocite. Me|u koi dve godini razlikata na brzinite e:

326,78

a) najmala;

b) najgolema;

v) okolu 50 km na ~as?

Sostavi stolbest dijagram za brzinite spored podatocite {to se dadeni vo tabelata.

B 2

Vo u~ili{teto kade {to u~i Aco ima 1 200 u~enici. Aco sakal u~ili{teto da ima nov sportski teren. Se obidel da otkrie kolku u~enici se zainteresirani za nov sportski teren. Namesto da go pra{a sekoj u~enik, Aco odlu~il da pra{a del od u~enicite. Aco odlu~il da pra{a 100 u~enici od site oddelenija, t.e. izbral primerok. Brojot 100 pretstavuva golemina na primerokot. Negativno Pozitivno Ako Aco pra{a 1 200 ]e znae kolku to~no ☺ Potrebno e pove}e vreme u~enici: u~enici sakaat nov teren Ako Aco pra{a 12 u~enici:

Za kratko vreme }e Dobiva mal broj odgovori, {to ne e

☺gi dobie odgovorite dovolno za pravilna procenka ☺ Potro{enoto vreme

Ako Aco pra{a 100 u~enici:

e optimalno

☺ Dobiva dovolen broj odgovori za pravilna procenka

☺

Vo izborot na primerok, osven goleminata, va`no e i koj }e go so~inuva primerokot.

181

Zapi{i svoe razmisluvawe za toa {to e pozitivno, a {to e negativno vo slednive slu~ai: ako Aco pra{a samo u~enici od I do IV oddelenie; ako Aco pra{a samo u~enici {to se zainteresirani za sport; ako Aco pra{a slu~ajno izbrani u~enici od site oddelenija od negovoto u~ili{te.

Odgovorite na pra{aweto za noviot sportski teren Aco gi pretstavil vo tabela, napravil analiza i izvel zaklu~ok. Nov sport. teren/prim.

Mislewe

Broj

Odnos

60 ___ = 0,6 100

Ne znam

Voo~i! Aco utvrdil deka 0,6 od primerokot sakaat nov sportski teren. Toj presmetal: 0,6 od 1 200 e 0,6 ⋅ 1 200 = 720

Aco predvidel deka: ako gi pra{al site 1 200 u~enici, pribli`no 720 od niv bi odgovorile deka se zainteresirani za nov sportski teren.

Odredi go odnosot za drugite dva odgovora. Presmetaj kolkav broj od u~enicite bi odgovorile deka ne sakaat nov sportski teren, a kolku u~enici od u~ili{teto bi bile neodlu~ni.

Sopstvenikot na eden videoklub sakal da utvrdi koj vid filmovi se najpopularni vo gradot. Gradot imal 20 000 `iteli. Prodava~ot zapi{al podatoci za 400 ~lenovi na videoklubot.

Najpopularni videokaseti Vid na Broj Odnos film Detski 40 40:400=0,1 Nau~en

Komedija

152

Stari fil.

100

Muzi~ki

Koi broevi treba da se zapi{at vo delot od tabelata so naslov „odnos”? So pomo{ na presmetanite odnosi odredi go brojot na ìtelite vo gradot za koi moè da se kaè deka bi bile zainteresirani za razli~ni vidovi filmovi. Za {to bi moèle da mu posluàt dobienite informacii na sopstvenikot na videoklubot?

182

U^E[E ZA DROPKI. DECIMALNI BROEVI. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

Nacrtaj otse~ka AB = 6 cm. a) Odredi to~ka C na otse~kata AB 2 taka {to: AC = __ AB. 3 b) Ako AD = 2 cm, toga{ koj broj treba da stoi na mestoto na za da bide AD = AB.

Vo osum ednakvi kutii ima vkupno 12 kg bonboni. Kolku kilogrami bonboni ima vo edna kutija?

Brojot 5 prestavi go kako dropka so broitel 5.

imenitel 5.

11. Ako namalenikot 3,24 se zgolemi za 0,24, a namalitelot 0,324 se namali za 0,24, toga{ razlikata }e se zgolemi za 2 ⋅ 0,24. Proveri.

12. So sobirawe proveri dali e pravilno izvr{eno odzemaweto 59,216 - 11,11 = 48,106.

13. Proveri dali e to~no izvr{eni

mno`eweto 12 346 ⋅ 24 = 296 304. Potoa, bez da presmetuva{, odredi go proizvodot 1,2346 ⋅ 24.

12,346 ⋅ 2,4.

0,12346 ⋅ 0,24.

Zapi{i dropka so broitel 2 koja e pogolema od 1. koja e pomala od 1.

Pretstavi go na brojna prava zbirot 3 2 1 4 __ __ + __ ; + __ . 8 8 5 5

14. Presmetaj go koli~nikot 55,56 : 2,4.

15. Presmetaj gi proizvodite 5,32 ⋅ 20 i

0,64 ⋅ 1,2, a potoa, bez da presmetuva{ odredi go koli~nikot 106,4 : 5,32.

84 Skrati ja dropkata ____ do neskra210 tliva dropka.

9. 10.

0,768 : 1,2.

16. Re{i ja ravenkata

2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2. x : 0,5 = 13,5 : 0,25.

Skrati ja dropkata

56 ____ so 7. 126

0,84375 : 0,27.

45 ____ so NZD(45, 270). 270

7 Pro{iri ja dropkata __ so 8. 8 Presmetaj go zbirot 26,4 + 2,64 + 0,0264.

Izvr{i go sobiraweto i proveri dali e to~no: 0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048 Odredi ja razlikata na dobienite zbirovi.

17. Presmetaj ja brojnata vrednost na

izrazot (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5.

18. Zapi{i ja kako decimalen broj dropkata 126 ____ . 15

629 ____ . 495

19. Po zaokru`uvaweto na brojot 2,861254 e dobien brojot 2,8613. So kolkava to~nost e zaokru`en ovoj broj? 73 20. Dropkata ___ pretvori ja vo deci-

8 malen broj i zaokru`i ja so to~nost do 0,01.

TEMA 4.

MEREWE

1. Merki za dol`ina, masa i te~nost 184 2. Merki za vreme i temperatura 187 3. Imenuvan broj 189 4. Pretvorawe na pove}eimen broj vo ednoimen broj 192 5. Pretvorawe na ednoimen broj vo pove}eimen broj 194

6. Operacii so imenuvani broevi 7. Merki za plo{tina 8. Merki za volumen 9. Volumen na kvadar i kocka 10. U~e{e za merewe. Proveri go svoeto znaewe

183

196 201 203 206 210

184

MERKI ZA DOL@INA, MASA I TE^NOST

Potseti se!

Na linijarot poka`i dol`ini od 1 dm, 3 cm, 8 mm i 4 cm 6 mm.

Koja merka se koristi za merewe dol`ina na pati{tata i rastojanie me|u dve naseleni mesta?

MERKI ZA DOL@INA

Proceni gi dol`inite na otse~kite AB i CD i na iskr{enata linija PQRST, a potoa, so merewe proveri ja to~nosta na tvojata procenka. S

V D

Kolku dekagrami ima vo 1 kg?

Koja merka se koristi za merewe masa na ruda iskopana od rudnik?

Kolku dl ima vo 1 l?

Koi merni edinici gi upotrebi? Nabroj i drugi merki za dol`ina {to gi znae{.

Osnovna merna edinica za dol`ina e metar (m). Pogolemi i pomali merni edinici od metarot se prika`ani vo slednata tabela. Pogolemi merni edinici od metarot se: dekametar (dam) hektometar (hm) kilometar (km)

⋅ 10

1 dam 1 hm

⋅ 100

1 km

⋅ 1000

: 100

1 dm 1 cm

Pomali merni edinici od metarot se: decimetar (dm) centimetar (cm)

: 1000

1 mm

milimetar

: 10

(mm)

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za dol`ina! 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m 1 hm = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m

Da zapomnam! Sekoja merna edinica za dol`ina e 10 pati pomala od mernata edinica {to e neposredno pogolema od nea.

1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm

Koja merka bi trebalo da stoi na mestoto na “∗”. Za 1 ~as, Petar mo`e da izodi okolu 4 ∗. Mimoza vo tetratkata nacrtala kvadrat so dol`ina na stranata 30 ∗.

Kolku dekametri ima vo a) 90 m? b) 300 m? v) 1700 m?

Vo 1 dm ima 0,1 m. Kolku metri ima vo 1 cm?

B 5

185

MERKI ZA MASA Nabroj gi mernite edinici za masa {to gi znae{. Koja e osnovna merna edinica za masa? Kolku kilogrami ima 1 t?

[to e pogolemo 8 dag ili 1 kg?

Koja merka za masa bi trebalo da stoi na mestoto od “∗” vo slednite re~enici: So kamion e prevezeno 6 ∗ jaglen.

Koko{kata {to ja kupil Darko ima masa 2 ∗.

Osnovna merna edinica za masa e kilogram (kg). Pogolema merka od kilogram e ton (t). 1 t = 1 000 kg Pomali merni edinici od kilogramot se dadeni vo slednava tabela.

1 kg

: 10

1 hg

Hektogram

(hg)

: 100

1 dag Dekagram

(dag)

: 1 000

Gram

: 10 000

1 dg

Decigram

(dg)

: 100 000

1 cg

Centigram

(cg)

: 1 000 000

1 mg Miligram

(mg)

(g)

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za masa! 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dg = 10 cg = 100 mg 1 dag = 10 g 1 cg = 10 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg

Za da izmeri par~e meso, mesarot na edniot tas od vagata stavil tegovi od 1 kg, 2 kg i 1 kg, a na tasot so meso teg od 10 g. Kolku e masata na mesoto?

V 8

Da zapomnam! Sekoja merna edinica za masa e 10 pati pomala od mernata edinica {to e neposredno pogolema od nea.

MERKI ZA TE^NOST Nabroj gi merkite za te~nost {to gi zapozna dosega. Kolku dl ima 1 l?

Dali zapozna merka za te~nost pogolema od 1 l?

Osnovna merna edinica za te~nost e litar (l). Pogolemi i pomali merni edinici za merewe te~nost se dadeni vo slednava tabela. Pogolemi merni edinici od litar se: Dekalitar (dal) Hektolitar (hl) Kilolitar (kl)

⋅ 10

1 dal 1 hl

⋅ 100

1 kl

⋅ 1000

: 100

1 dl 1 cl

: 1000

1 ml

: 10

Pomali merni edinici od litar se: Decilitar (dl) Centilitar (cl) Mililitar (ml)

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u merkite za te~nost!

186

1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l 1 hl = 10 dal = 100 l 1 dal = 10 l

1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml

Da zapomnam! Sekoja merka za te~nost e 10 pati pomala od merkata {to e neposredno pogolema od nea.

1 l mineralna voda ~ini 20 denari. Kolku denari ~ini 2 dl (edna ~a{a) mineralna voda?

Naredi gi po golemina slednite broevi: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 l, 3 cl.

Treba da znae{! Proveri se! Koja e osnovnata edinica za merewe: dol`ina;

masa;

te~nost;

da gi navede{ pomalite i pogolemite merki za: dol`ina;

masa;

a) 1 m e pogolem od 1 cm? b) 1 dm e pomal od 1 hm?

Kolkupati:

a) 1 kg e pogolem od 1 g? b) 1 dag e pomal od 1 hg?

Kolkupati:

a) 1 hl e pogolem od 1 dal? b) 1 ml e pomal od 1 dl?

te~nost;

da go objasni{ soodnosot ma|u merkite za: dol`ina;

Kolkupati:

te~nost.

Zada~i

Nacrtaj otse~ki bez merewe so dol`ini: 1 cm, 1 dm, 25 cm i 75 cm.

3. Podredi gi otse~kite so dol`ini

9 dm, 2 m, 48 cm, 94 mm, 4 dm 7 cm, po~nuvaj}i od najkratkata.

Proveri so merewe i utvrdi za kolku si pogre{il.

Podredi gi po golemina: 5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag.

Izmeri ja dol`inata na tvojot ~ekor vo centimetri. Izmeri go so ~ekori rastojanieto me|u dva objekta. Proceni kolku metri e toa rastojanie. Proveri ja, so merewe, to~nosta na tvojata procenka.

Podredi gi po golemina: 5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.

6. Vo edna ovo{na gradina se nabrani 4,5 t jabolka i bile prodadeni po 17 denari za eden kilogram. Kolku denari se dobieni?

187

MERKI ZA VREME I TEMPERATURA

Potseti se!

MERKI ZA VREME

Kolku minuti ima 1 ~as? Navedi dve merki za vreme pogolemi od ~as.

Koe vreme poka`uva ~asovnikot vo ~asovi, minuti i sekundi?

Koja merna edinica se koristi za merewe na dnevnata temperatura? Dali vo istata merna edinica se iska`uva i temperaturata na bolniot?

Navedi gi merkite za vreme {to si gi izu~uval. Koja e najmalata merka za vreme {to si ja izu~uval?

Zapomni! Osnovna merna edinica za vreme e sekunda (s). Pogolemi merki od sekunda se: minuta (min), ~as (h), den (d), sedmica, mesec, godina, decenija, vek (stoletie) i milenium. Postojat i pomali merki od sekunda.

Voo~i gi vrskite me|u merkite za vreme! 1 min = 60 s;

1 h = 60 min = 3600 s;

1 sedmica = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s.

Pretvori:

5 dena vo ~asovi;

1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s; 1 mes. = 30 d;

8 ~asa vo minuti;

25 minuti vo sekundi.

Voo~i! 1 den ima 24 ~asa; 5 dena imaat 5 ⋅ 24 ~asa = 120 ~asa. Kolku minuti ima 1 ~as?

Kolku sekundi ima 1 minuta?

Pretvori 147 ~asa vo denovi i ~asovi.

147 ~asa : 24 = 6 dena i ostatok 3 ~asa 4

Pretvori 5 godini 8 meseci 13 dena vo denovi.

MERKI ZA TEMPERATURA

Pro~itaj ja temperaturata {to e prika`ana na termometarot. Vo koja merna edinica se iska`uva temperaturata?

1 god = 365 d.

Osnovna merna edinica za temperatura e kelvin (K).

188

Vo sekojdnevniot `ivot se upotrebuva mernata edinica celziusov stepen (oS). [vedskiot fizi~ar i astronom Anders Celzius (1701-1744) vovel skala kade {to vodata mrzne na 0 oS, a vrie na 100 oS. Stotiot del od skalata se vika celziusov stepen. Promenata na temperaturata za eden celziusov stepen e ednakva na eden kelvin. No, na temperaturnata skala, na 0 oS odgovaraat 273,16 K.

Taka, vodata mrzne na 0 oS, t.e. na 273,16 K, a vrie na 100 oS, t.e. na 373,16 K.

Zapoznaj se poop{irno Temperaturata izrazena vo kelvini se vika apsolutna temperatura. Po~etokot na mereweto na apsolutnata temperatura e nula kelvini ili -273,16 oS. Taa najniska mo`na temperatura se vika apsolutna nula. Ako temperaturata na nekoe telo e izrazena vo celziusovi stepeni, toga{ apsolutnata temperatura, ozna~ena so T, se presmetuva po formulata T(K) = t (oC) + 273,16

Napravi tabela kako dadenata i popolni ja (oS - celziusovi stepeni, K - kelvini).

12,84

K 277,16 320,16

36,5 290

340,4

Treba da znae{! Proveri se! Koja e osnovnata merna edinica za vreme; da gi navede{ merkite za vreme pogolemi od sekunda i vrskite me|u niv; koja e osnovnata merna edinica za temperatura; koja e vrskata me|u kelvin i celziusov stepen.

Kolku pati 1 s e pomala od: a) 1 min; b) 1 h? Kolku ~asovi ima 1 d? Kolku K odgovaraat na 0 oS na temperaturnata skala? Edno telo ima temperatura od 20 oS. Kolku e apsolutnata temperatura na toa telo?

Zada~i

3. Ribarski brod isplovil od edno

1. Vozot, spored vozniot red, stignuva vo 13 h 55 min. Ako docni 1 h 32 min, vo kolku ~asot }e stigne?

2. Za edna priredba bila predvidena programa vo traewe od 1 h 20 min. Izvedbata traela 120 minuti. Kolku minuti pove}e traela izvedbata od planiranoto?

pristani{te na 8 septemvri vo 6 h, a se vratil vo pristani{teto na 17 septemvri vo 18 h (istata godina). Izrazi go vremeto na brodot od isplovuvaweto do vra}aweto: a) vo denovi; b) vo ~asovi; v) vo sedmici i denovi.

4. Presmetaj 15 god. 8 mes. 9 d vo denovi. 5. Kolku e apsolutnata temperatura na telo {to ima: a) 37 oS;

b) -50 oS?

189

IMENUVAN BROJ

Potseti se!

A 1

Izbroj gi i zapi{i gi: - brojot na klupite vo tvojata u~ilnica; - brojot na stol~iwata vo tvojata u~ilnica. Izmeri ja dol`inata na tvojot moliv. Zapi{i go merniot broj i mernata edinica {to se rezultat na tvoeto merewe. Koi se merni edinici za: a) dol`ina; b) masa?

Sostavi tabela i vo nea za sekoja sliki~ka zapi{i go soodvetniot broj. Zapi{i gi vo tabelata odgovorite spored pra{awata vo sliki~kite. 1

Kolku centimetri ima otse~kata?

Voo~i !

A AB = ?

Sekoj odgovor sodr`i meren broj i merna edinica. Merniot broj so mernata edinica se odredeni so broewe ili so merewe. (so broewe: 4 kru{i, 3 ovci, ...; so merewe: 2 cm; 2 kg...).

Imenuvan broj

3 cm

Kolku kilogrami bra{no? Kolku ovci ima?

Kolku stepeni e agolot?

α=?

Kolku denari?

Meren broj

Na sekoja od numeriranite deset sliki~ki e postaveno pra{awe. Dadeni se i odgovorite na sekoe od pra{awata.

Kolku voda sobira {i{eto?

Kolku kru{i ima?

3 ovci 6 knigi 4 kru{i 46o 38,5o S 2 cm

Kolku knigi ima?

1l 2 kg

Kolku e ~asot?

Kolku e tem-

10 peraturata?

2 ~asot 10 denari

Merna edinica

Zapomni! Imenuvaniot broj e sostaven od neimenuvan broj i merna edinica zapi{ana do nego. Imenuvaniot broj {to e zapi{an so eden neimenuvan broj i edna merna edinica u{te se vika i ednoimen broj.

Zapi{i ednoimen broj {to go poka`uva: brojot na u~enicite vo tvojata paralelka; kolkava e tvojata visina (vo centimetri). Dadeni se broevite:

a) 5 kg, 3 kg, 126 kg;

[to imaat zaedni~ko broevite pod a)? Kakvi se mernite edinici na broevite pod b)?

brojot na tvoite godini;

b)3 m, 5 kg, 7 l, 15 kanti.

190

Zapomni!

Imenuvani broevi {to se zapi{ani so isti merni edinici se vikaat istoimeni broevi. Broevite pod a) se istoimeni . Broevite pod b) ne se istoimeni. Pokraj nazivot merna edinica se upotrebuvaat nazivite: edinica za merewe ili skrateno merka.

Koi dva od broevite 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg se istoimeni? [to treba da stoi na mestoto na ∗ vo zapisite 2∗, 3∗ i 17∗ za tie da bidat istoimeni so brojot 5 km? Dadeni se broevite: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl. [to se meri so merkite na tie broevi?

Dali vo istite merki e iska`an i brojot 6 dal? A dali brojot 8 cm?

Zapomni!

Dva ili pove}e imenuvani broja {to se iska`ani so merkite za ista veli~ina se vikaat imenuvani broevi od ist vid. Broevite 4 l, 6 ml, 9 hl i 116 cl se imenuvani broevi od ist vid.

Zapi{i po 2 imenuvani broja od ist vid vo edinicite za merewe: a) dol`ina; b) masa. Brojot {to sodr`i dva ili pove}e ednoimeni broevi od ist vid se vika pove}eimen broj. Edniomenite broevi se vikaat ~lenovi na pove}eimeniot broj.

Brojot 2 kg 3 cg 5 mg e pove}eimen; 2 kg; 3 cg i 5 mg se negovi ~lenovi. B

Dol`inata na edna prostorija e 3 m 6 dm, a {irinata 4 m 2 dm 5 cm. So kakvi broevi se zapi{ani dimenziite na prostorijata?

Zapi{i po eden pove}eimen broj vo merkite za: a) dol`ina; b) masa; v) vreme.

Zapomni! Mo`e{ da zapi{e{: 4 m + 5 cm = 4 m 5 cm 3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g

Da zapomnam! Pove}eimen broj pretstavuva zbir na dva ili pove}e ednoimeni broevi od ist vid.

Pove}eimeniot broj 6 m2 3 dm2 2 cm2 pretstavi go kako zbir. Zbirovite: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl pretstavi gi kako pove}eimeni broevi.

Treba da znae{!

191

Proveri se! Da razlikuva{ imenuvan od neimenuvan broj; da prepoznava{ istoimeni broevi; koi imenuvani broevi se od ist vid; da objasni{ koj broj e ednoimen, a koj pove}eimen.

1 , 7 deca 2 i 8 e imenuvan, a koj neimenuvan? Koi od broevite 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m i 4 dm se: a) istoimeni b) od ist vid? Koj od broevite: 4 knigi, 6 cm, 4

Navedi primer na pove}eimen broj so 3 ~lena vo merkite za te~nost.

Zada~i 1. Zapi{i dva imenuvani i dva neimenuvani broja.

Izbroj gi knigite na policata. Zapi{i go toa kako imenuvan broj.

3. Zapi{i dva pove}eimeni broja:

- edniot vo merkite za vreme; - drugiot vo merkite za te~nost. Zapi{i go vremeto (izrazeno vo ~asovi, minuti i sekundi) {to go poka`uva ~asovnikot.

Kakov broj zapi{a?

2 1

den.

den. den. deni

Denarite i denite zapi{i gi kako pove}eimen broj.

6. Zapi{i dva istoimeni broja. 7. Zapi{i tri pove}eimeni broja koi se od ist vid.

8. Dadeni se broevite:

5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m; 29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l; 8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2. Napravi tabela i zapi{i gi broevite spored barawata: neimenuvani;

ednoimeni;

pove}eimeni;

istoimeni.

I ova e matematika! Se sretnale dvajca prijateli To{e i Petar. To{e go pra{al Petar: "Kade si prijatele, ne te gledam ~esto?# Petar odgovoril: "^esto odam vo razli~ni gradovi da gi zapoznaam ubavinite na Makedonija.# To{e pra{al: "Koi gradovi gi poseti?# Petar vedna{ mu odgovoril: "Prvata sabota vo eden mesec bev vo Berovo, a vtorata sabota vo istiot mesec po prviot petok bev vo Strumica. Prvata sabota vo sledniot mesec bev vo Debar, a vtorata sabota vo istiot mesec po prviot petok bev vo Ohrid.# "Koj datum be{e vo Ohrid?#, pra{al To{e. Petar go poglednal i odgovoril: "Datumot mo`e{ sam da go odredi{.# Na koj datum Petar bil vo Ohrid?

192

PRETVORAWE NA POVE]EIMEN BROJ VO EDNOIMEN BROJ

Potseti se!

A 1

1 m = 10 dm, t.e. 1 m e 10 pati pogolem od od 1 dm. Kolku pati e pogolem: a) 1 m od 1cm? b) 1 kg od 1 g? v) 1 h od 1 min?

Voo~i ja najmalata merna edinica vo brojot. so pogolema merna edinica ^lenovite pretvori gi vo najmalata merna edinica. Pretstavi go pove}eimeniot broj vo vid na zbir od istoimeni broevi (vo cm).

Izvr{i go nazna~enoto sobirawe.

Pove}eimeniot broj 4 m 2 dm 7 cm pretvori go vo ednoimen broj. Raboti spored postapkata i sporedi go re{enieto:

Toa e centimetar (cm) 4 m = 400 cm 2 dm = 20 cm 400 cm + 20 cm + 7 cm 400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm

Voo~i vtor na~in na pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj koristej}i gi slednite dve tvrdewa. merkite za dol`ina, masa i te~nost sekoja merna edinica e 10 pati pomala od Vo neposredno pogolemata merna edinica. dekaden broen sistem pozicijata na sekoja cifra e 10 pati pogolema od pozicijata Vo na prethodnata cifra.

4 m

2 dm

4 2 7 cm

Objasni zo{to 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g.

Voo~i i zapomni! Ako vo pove}eimeniot broj vo merkite za dol`ina, masa ili te~nost nedostasuva po red nekoja merna edinica, na nejzinoto mesto se stava 0.

7 cm =

Da zapomnam! Ovie pove}eimeni broevi lesno gi zapi{uvam vo ednoimen broj. Gi bri{am pogolemite merni edinici, a ostanuva najmalata. Treba da vnimavam dali treba da stavam 0 i kade.

Pretvori go vo ednoimen broj brojot 4 dm 5 mm, primenuvaj}i gi dvete prika`ani postapki.

Pretvori gi vo ednoimeni broevi vo najmala edinica:

a) 5 god 3 mes. 2 dena;

193

b) 4 mes. 2 sedm. 3 dena 5 ~asa;

v) 2 h 34 min 15 s. (1 god = 365 dena, 1 mes. = 30 dena). Voo~i deka pove}eimen broj vo merki za vreme ne mo`e{ da go pretvori{ vo ednoimen spored prika`aniot vtor na~in. Zo{to?

Pretvori go brojot 5 m 3 dm 8 cm vo: a) decimetri; b) metri.

Voo~i gi i zapomni gi postapkite! a) Vo decimetri: 5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm 8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm 5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm = = 53,8 dm.

b) Vo metri: 3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m 8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m 5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m = = 5,38 m.

Voo~i go vtoriot (skraten) na~in za pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj.

5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.

5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.

Zabele`a! Mo`e{ da gi izbri{e{ mernite edinici, da stavi{ zapirka po merniot broj na mernata edinica vo koja se bara da go pretvori{ pove}eimeniot broj i na krajot da ja zapi{e{ taa merna edinica. Ako vo redosledot nedostasuva nekoja merna edinica, na nejzino mesto se stava nula.

Pretvori go brojot 8 l 7 dl 3 ml vo decilitri. Da zapomnam! Ako pove}eimen broj pretvoram vo ednoimen broj vo merna edinica {to ne e najmala, toga{ merniot broj e decimalen.

Pretvori go brojot 4 kg 6 dag 5 g vo kilogrami.

Treba da znae{! Proveri se! Da pretvori{ pove}eimen broj vo ednoimen, vo koja bilo merna edinica i da koristi{ poprakti~ni postapki za pretvorawe; deka pri pretvorawe na pove}eimen vo ednoimen broj, vo najmala merna edinica od pove}eimeniot broj, merniot broj e priroden broj, a vo drugi slu~ai e decimalen.

Pretvori gi vo ednoimeni broevi slednite pove}eimeni broevi: a) 3 m 2 dm 5 mm (vo mm); b) 9h 26 min 54 s (vo sekundi; vo minuti). Pretvori go brojot 6 kg 5g vo ednoimen broj vo: a) g; b) dag.

194

Zada~i

4. Pretvori: a) 8 m 3 dm 4 cm vo dm; b) 8 km 9 dam 7 m vo km; v) 5 t 8 kg 7 hg 5 g vo kg; g) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg vo g; d) 8 l 5 dl 6 ml vo dl.

1. Pretvori go vo ednoimen broj (vo najmalata merka vo brojot) brojot: a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml; v) 4 t 6 kg 5 dag; g) 9 dena 8 h 7 min.

2. Korab e visok 2 km 7 hm 6 dam 4 m. Zanimlivo pra{awe

Kolku metri e visok Korab?

3. Vremeto me|u dve polni mese~ini

Ako vo 24 ~asot pa|a do`d, dali po 48 ~asovi vremeto mo`e da bide son~evo?

iznesuva 29 dena 12 h 44 min 3 s. Kolku sekundi ima ovoj period.

5 PRETVORAWE NA EDNOIMEN BROJ VO POVE]EIMEN BROJ A

Potseti se! Brojot 428 se zapi{uva vo razviena forma na sledniot na~in: 428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8. Zapi{i gi broevite 764 i 8 053 vo razviena forma.

Merniot broj pretstavi go vo razviena

forma taka {to imenuvaniot broj da bide zbir na istoimeni broevi (vo cm).

Spored razvienata forma na merniot broj

pretvori gi centimetrite vo pogolemi merni edinici i toa zapi{i go kako pove}eimen broj.

Ednoimeniot broj 364 cm pretvori go vo pove}eimen broj. Raboti spored postapkata i sporedi go re{enieto.

364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm 3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm = = 3 m 6 dm 4 cm

Poprakti~no!

Voo~i!

5 427 mm = 5

364 cm = 3 m 6 dm 4 cm Seto ova e to~no samo za imenuvani broevi vo merkite za dol`ina, masa i te~nost.

5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm

Voo~i! Me|u cifrite od brojot treba da se ostavat prazni mesta; do cifrata na pozicijata edinici treba da se zapi{e najmalata merka (toa e mm); do cifrata na desetki treba da se zapi{e 10 pati pogolemata merka (toa e cm) itn.

Pretvori go vo pove}eimen broj, brojot: a) 5034 g; b) 2014 dl; v) 60308 mm.

Pretvori go brojot 4837154 s vo pove}eimen broj.

195

Voo~i ja postapkata i sporedi go re{enieto: Ako brojot na sekundite go podeli{ so 60, 4837154 s : 60 = 80619 min i ostatok 14 s }e dobie{ minuti i ostatok vo sekundi. Ako brojot na minutite go podeli{ so 60, }e dobie{ ~asovi i ostatok vo minuti.

80619 min : 60 = 1343 h i ostatok 39 min

Ako ~asovite gi podeli{ so 24, toga{ {to 1343 h : 24 = 55 dena i ostatok 23 h e koli~nikot, a {to ostatokot?

Voo~i! 4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s.

Voo~iv deka: ^lenovi na baraniot pove}eimen broj se: posledniot koli~nik (55 d) i trite ostatoci (23 h, 39 min i 14 s)

Pretvori gi ednoimenite broevi: 324 min; 4526 dena; 6462 g; i 4142 l vo pove}eimeni broevi.

Pretvori go vo metri brojot 8,2 cm. Voo~i gi postapkite i sporedi go re{enieto.

I na~in 8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.

km hm dam m dm cm mm

II na~in Vnesi go brojot vo tabela so merni edinici.

stavi ja zad mernata edinica vo koja Zapirkata pretvorame (m). Zna~i, 8,2 cm = 0,082 m. 6

Pretvori go brojot 6,384 m vo pove}eimen broj. km hm dam m dm cm mm

Sostavi tabela so merni edinici i vo nea vnesi go brojot. Pro~itaj go brojot.

Od tabelata se ~ita: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.

Brojot {to e vo tabelata pretstavi go: a) kako pove}eimen broj; b) vo dg; v) vo kg.

hg dag g

dg cg

196

Treba da znae{!

Proveri se! Pretvori go vo poeve}eimen broj brojot:

Da pretvori{ ednoimen broj vo pove}eimen broj i da koristi{ poprakti~ni postapki za pretvorawe.

a) 6 475 mm;

b) 3 604 ml;

v) 24 300 s.

Zada~i 1. Ednoimeniot broj pretvori go vo pove}eimen: a) 3 402 mm; v) 47 063 dg; d) 1 035 ml;

3. Pretvori go brojot vo pove}eimen broj bez da koristi{ tabela: a) 22,05 m; b) 5 302,67 g; v) 43,15 l; g) 0,237 kg.

b) 4 007 cm; g) 47 632 mg; |) 35 007 dl.

2. Ednoimeniot broj vnesi go vo tabela,

4. Mese~inata ja obikoluva Zemjata za

a potoa zapi{i go vo pove}eimen broj: a) 387,25 m; b) 30,02 dam; v) 320,05 g; g) 401,53 dl.

2 551 443 sekundi. Pretvori go ovoj broj vo pove}eimen (vo: denovi, ~asovi, minuti i sekundi).

OPERACII SO IMENUVANI BROEVI

Potseti se!

A 1

Nabroj gi merkite za dol`ina, masa, te~nost, vreme i temperatura. Koja e osnovnata merna edinica za sekoja od merkite? Zapi{i: a) 8 m 4 dm 3 mm vo milimetri; b) 7 kg 5 dag 4 g vo gramovi; v) 7 dal 7 l 5 dl vo decilitri; g) 3 d 2 h 8 min vo minuti. Zapi{i go brojot vo pove}eimen broj: a) 3 507 g; b) 7 402 dl; v) 4 005 m; g) 5 032 min.

gi pove}eimenite broevi taka {to istoimenite Zapi{i ~lenovi da bidat eden pod drug

Presmetaj go zbirot na sekoj par istoimeni ~lenovi.

Edna letva ima 2 m 7 dm 4 cm, a druga 3 m 2 cm. Kolkava e vkupnata dolìna na letvite? Potrebno e da se presmeta zbirot od dolìnite na dvete letvi. Toa moè da se napravi na dva na~ina. Voo~i ja postapkata i sporedi go re{enieto.

2 m 7 dm 4 cm 3 m 0 dm 2 cm 2 m 7 dm 4 cm + 3 m 0 dm 2 cm 5 m 7 dm 6 cm

Voo~i!

2 m 7 dm 4 cm +

197 2 cm =

5 m 7 dm 6 cm

+ Zbirot na pove}eimenite broevi go odrediv taka {to sobrav centimetri so centimetri, decimetri so decimetri i metri so metri.

5 dm 9 cm Voo~i go zbirot na broevite 5 dm 9 cm + 3 dm 4 cm 8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm i 3 dm 4 cm.

Ako nekoj ~len vo zbirot sodr`i pogolema merna edinica, toga{ taa se dodava na ~lenot pred nego.

II. Raboti spored barawata i voo~i drug na~in na re{avawe: gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni broevi Pretvori vo najmalata merna edinica taka {to tie da bidat

2 m 7 dm 4 cm = 274 cm 3 m 2 cm = 302 cm

istoimeni.

Odredi go zbirot na dobienite ednoimeni broevi. ednoimen broj pretvori go vo pove}eimen Dobieniot broj.

Voo~i

274 cm +302 cm = 576 cm 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm

Presmetaj: 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm. Raboti spored slednite upatstva: Presmetaj go zbirot na broevite 4 m 5 dm 3 mm i 7 m 9 cm 8 mm. Od presmetaniot zbir odzemi go brojot 3 m 3 dm 2 mm. 6 dm

Voo~i ja razlikata na broevite 7 dm 4 cm i 2 dm 6 cm.

B 3

Presmetaj

10 cm

7 dm 4 cm - 2 dm 6 cm 4 dm 8 cm

Zabele`a deka: 4 cm e pomalo od 6 cm; od 7 dm odzede 1 dm; 1 dm = 10 cm; 10 cm + 4 cm = 14 cm; 14 cm - 6 cm = 8 cm; 6 dm - 2 dm = 4 dm.

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Mo`e da se presmeta na dva na~ina:

I. Sekoj ~len na pove}eimeniot broj pomno`i go so 3.

pri mno`eweto dobie{ broj {to sodr`i pogolema merna edinica, nea Ako dodaj ja na soodvetnata pogolema merna edinica.

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm

198

Voo~i drug na~in na re{avawe.

II. Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj (vo mm);

dobieniot ednoimen broj pomno`i go so 3; dobieniot proizvod pretvori go vo pove}eimen broj.

2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm. Presmetaj 12 km 9 dam 6 m : 3. Mo`e da se presmeta na dva na~ina:

4 I.

Sekoj ~len vo pove}eimeniot broj podeli go so 3;

12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m Vaka e poprakti~no:

II.

Pove}eimeniot broj pretvori go vo ednoimen broj; presmetaj go koli~nikot na ednoimeniot broj i brojot 3; dobieniot koli~nik pretvori go vo pove}eimen broj. 12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m. Presmetaj: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.

Presmetaj: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g. Zbirot mo`e{ da go presmeta{ na dva na~ina. Postapi spored barawata:

I. na~in

II. na~in

Zapi{i gi pove}eimenite broevi eden

gi pove}eimenite broevi vo Pretvori ednoimeni broevi vo nejmalata merna

pod drug, taka {to istoimenite broevi da bidat na ista vertikalna prava.

Izvr{i go sobiraweto na istoimenite broevi.

Ako vo zbirot ima pogolema merna

edinica (vo gramovi).

Izvr{i go sobiraweto. zbir pretvori go vo Presmetaniot pove}eimen broj.

edinica nea dodaj ja na soodvetnata pogolema merna edinica.

Zbir ili razlika na pove}eimeni broevi od merkite za masa i od merkite za te~nost se odreduva na ist na~in kako {to se odreduvaat i za pove}eimenite broevi od merkite za dol`ina. Na ist na~in se mno`i, odnosno deli, pove}eimen broj od tie merki so imenuvan broj.

199

Presmetaj: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Voo~i deka, za da gi sobere{ dvata pove}eimeni broevi spored vtoriot na~in, potrebno e dvata pove}eimeni broevi da gi pretvori{ vo ednoimeni so ista merna edinica. 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.

Odredi ja vrednosta na izrazot: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.

Brojot 5 t 642 kg 8 dag zgolemi go 4 pati. 5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4. Izvr{i go mno`eweto i dobieniot ednoimen broj zapi{i go vo pove}eimen.

10 Presmetaj: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.

11 Mimoza se rodila koga Kire imal 6 g 3 mes 8 dena. Sega Mimoza ima 10 g. 11 mes. 24 dena. Kolku godini ima Kire?

Za da ja odredi{ starosta na Kire, treba da postapi{ na sledniot na~in.

Odredi go zbirot na pove}eimenite broevi. merni edinici dodaj gi na Pogolemite soodvetnata povisoka merna edinica.

6 g. + 10 g. 16 g.

17 g. 12

3 mes. 11 mes.

8 dena 24 dena

14 mes. 32 dena 1 g. 2 mes. 1 mes. 2 dena 3 mes.

2 dena

Presmetaj: 5 g. 6 mes.12 dena ⋅ 3 - 3 g. 5 mes. 6 dena : 9. Postapi spored barawata: Pretvori gi pove}eimenite broevi vo ednoimeni (vo denovi).

5 g. 6 mes. 12 dena = 2017 dena 3 g. 5 mes. 6 dena = 1251 den

Izvr{i gi nazna~enite operacii so dobienite ednoimeni broevi.

2017 dena ⋅ 3 - 1251 den : 9 = = 6051 den - 139 dena = 5912 dena

Dobieniot rezultat pretvori go vo pove}eimen broj.

5912 dena : 365 = 16 g. i ostatok 72 dena 5912 dena = 16 g. 2 mes. 12 dena

13 Simo prestojuval vo stranstvo 8 g. 7 mes., a negoviot sin Zoran 5 pati pokuso vreme. Kolku vreme Zoran prestojuval vo stranstvo?

200

Treba da znae{! Proveri se!

Da presmeta{ zbir i razlika na pove}eimeni broevi od merkite za dol`ina, masa te~nost i vreme;

Presmetaj: 7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm - 6 dm 8 cm 7 mm;

sobiraweto i odzemaweto na pove}eimenite broevi da go izveduva{ na dva na~ini: sobirawe, odnosno odzemawe, na istoimenite ~lenovi ili so pretvorawe na pove}eimenite broevi vo ednoimen;

7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg; 7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl; 13 g. 6 mes. 7 den. - 10 g. 8 mes. 20 den. Presmetaj: 5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3;

da presmeta{ proizvod, odnosno koli~nik na pove}eimen broj so neimenuvan broj na dva na~ina: so mno`ewe, odnosno delewe na ~lenovite na pove}eimeniot broj so neimenuvaniot, ili so pretvorawe na pove}eimeniot broj vo ednoimen.

2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2; 4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9; 6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9den. : 9.

Zada~i 1. Presmetaj:

6. Vo prodavnicata e doneseno 6 hl 3 dal 5 l sok koj }e se prodava po 45 denari za 1 l, i 154 kg jabolka po 30 denari za 1 kg. Kolku denari ~inat sokot i jabolkata zaedno?

a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm; b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m; v) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.

2. Presmetaj: a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm;

7. Presmetaj:

b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm;

12 kg 42 g : 9;

v) 9 m 7 cm 2 mm : 8;

12 t 632 kg : 8.

5 l 7 dl 4 cl : 7;

g) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.

3. Presmetaj: A + B - C ako:

8. Doma}inkata potro{ila 13 kg 4 hg 4 dag bra{no za 6 dena.

a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag C = 205 kg 6 dag.

Kolku bra{no prose~no tro{ela dnevno? Kolku bra{no potro{ila prvite 5 dena?

b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl C = 1 l 2 dl 3 ml.

4. Ako e M = 6 l 3 cl, kolku e:

a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9.

5. Pretprijatieto dobilo 8 sandaci

stoka. Sekoj sandak ima 1 t 136 kg. Odredi ja masata na nabavenata stoka.

Vozot, spored vozniot red stignuva vo 18 h 45 min. Ako docni 1 h 42 min, vo kolku ~asot }e stigne?

201

MERKI ZA PLO[TINA

Potseti se!

A 1

Odredi ja plo{tinata na pravoagolnikot, spored dadenite dimenzii.

Odredi ja plo{tinata na figurata na crte`ot. Vo koja merna edinica ja presmeta plo{tinata na figurata? 1 cm 2 cm

3 cm

2 cm 1 cm

5 cm Vo koja merna edinica ja izrazi plo{tinata na pravoagolnikot?

Plo{tinata na Ohridskoto Ezero e 349 km2. So koja merka e iska`ana plo{tinata na Ohridskoto Ezero? Nabroj i drugi merki za plo{tina.

Zapomni Osnovna merna edinica za plo{tina e kvadraten metar (m2). Kvadraten metar e plo{tinata na kvadrat so strana 1 m. Pogolemi i pomali merni edinici od kvadraten metar se navedeni vo slednava tabela.

Pogolemi merni edinici od kvadraten metar se:

Pomali merni edinici od kvadraten metar se:

kvadraten dekametar (dam2)

1 dam2

⋅100

kvadraten hektometar (hm2)

1 hm2

⋅10000

kvadraten kilometar (km2)

1 km2

⋅1000000

1 m2

:100

1 dm2

kvadraten decimetar (dm2)

:10000

1 cm2

kvadraten centimetar (cm2)

:1000000

1 mm2

kvadraten milimetar (mm2)

Za merkite hm2 i dam2 se upotrebuvaat imiwata hektar (ha) i ar (a), t.e. 1 ha = 1 hm2 i 1 a = 1 dam2.

Voo~i gi i zapomni gi vrskite me|u kvadraten metar i drugite merki za plo{tina. 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1 a = 100 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 cm2 = 100 mm2

202

Konstruiraj kvadraten decimetar, podeli go na kvadratni centimetri i oboj go kako na crte`ov.

1 2

Kolku cm2 ima vo 1 dm2? Koja plo{tina e pogolema: 1 m2 ili 100 dm2?

Koj meren broj treba da stoi na mestoto na ∗ za da bide to~no: 1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2 2 2 1 m = ∗ cm 1 dm2 = ∗ mm2 1 m2 = ∗ mm2 1 cm2 = ∗ mm2

Da zapomnam! Sekoja merka za plo{tina e 100 pati pomala od merkata {to e neposredno pogolema od nea.

5 6

1 dm2

8 9

1 mm2

1 cm2

Treba da znae{!

Proveri se!

Koja e osnovnata merna edinica za plo{tina;

Kolku a) kvadrtani decimetri; b) kvadrtani centimetri ima vo 5 m2?

da gi nabroi{ pogolemite i pomalite merki za plo{tina od kvadraten metar;

Kolku a) kvadrtani hektometri (hm2); b) kvadrtani dekametri (dam2); v) kvadrtani metri (m2) ima vo 3 km2?

koi se vrskite me|u mernite edinici za plo{tina.

Kolku km2 ima vo 200 ha?

Zada~i 1. Kolku a) kvadratni centimetri;

3. Se prodava edna niva od 2 ha.

b) kvadratni milimetri ima vo 7 dm2?

Sopstvenikot ja prodal taka {to za sekoj m2 dobil po 240 denari. Kolku vkupno dobil za nivata?

2. U~ili{niot dvor so forma na

4. Dol`inata na edna pravoagolna soba

pravoagolnik ima dol`ina 65 m i {irina 45 m. Kolku a) kvadratni metri; b) ari ima toj dvor?

e 8 m, a {irinata e 6 m. Sobata treba da se poplo~i so kvadratni plo~ki od po 100 cm2. Kolku takvi plo~ki se potrebni za poplo~uvawe na sobata?

203

MERKI ZA VOLUMEN

Potseti se!

A 1

Na crte`ot e pretstavena kocka Y i kvadar T. Kvadarot T e sostaven od kocki, ednakvi so kockata Y.

Kvadratot K na crte`ot se sodr`i to~no 8 pati vo pravoagolnikot P.

Kolku e merniot broj na pravoagolnikot P vo odnos na kvadratot K? Tuka kvadratot K e zemen za „edini~en kvadrat”, t.e. kako merka za merewe na pravoagolnikot P. [to pretstavuvaat 8-te kvadrati K za pravoagolnikot P? Koi merki za plo{tina znae{?

Utvrdi so broewe, od kolku takvi kocki e sostaven kvadarot T (t.e. kolku pati kockata Y se sodr`i vo kvadarot T).

Voo~i! Kvadarot T zafa}a to~no 6 kocki, ednakvi so kockata Y, zatoa velime deka: merniot broj na kvadarot T vo odnos na kockata Y e 6, ili: volumenot na kvadarot T e 6 vo odnos na kockata Y.

Kockata Y e zemena za „edini~na kocka”, t.e. kako merka za sporeduvawe na zafatninata na kvadarot T so zafatninata na kockata Y. Da zapomnam! Za da izmeram volumen na nekoj kvadar, treba da izbrojam kolku edini~ni kocki mo`am da slo`am vo toj kvadar.

Zapomni! Kockata {to ja izbravme za merewe na kvadarot se vika edini~na kocka. Merniot broj na toj kvadar vo odnos na edini~nata kocka se vika volumen (ili zafatnina) na kvadarot. Osnovna edinica za merewe volumen e kuben metar. Zapi{uvame: 1 m3, ~itame: eden kuben metar. Kuben metar e volumen {to go zafa}a kocka so rab 1 m. Se upotrebuvaat i pomali edinici od kuben metar. Voo~i ja tabelata. Pomali merni edinici od kuben metar:

1 m3

: 1 000 : 1000000

1 dm3 1 cm3

kuben decimetar (dm3)

: 1000000000

1 mm3

kuben milimetar (mm3)

kuben centimetar (cm3)

204

Da zapomnam! Edna merka za volumen e 1 000 pati pogolema od neposredno pomalata merka.

Vo pregledot e daden odnosot me|u mernite edinici za volumen. 1 m3 = 1 000 dm3

1 dm3 = 1 000 cm3

= 1 000 000 cm3

= 1 000 000 mm3

= 1 000 000 000 mm3

1 cm3 = 1 000 mm3

Objasni zo{to 1 dm3 ima 1 000 cm3. Voo~i go crte`ot i raboti spored postapkata. Kolku kocki so volumen 1 cm3 mo`e{ da naredi{ edna do druga po rabot na kocka so volumen 1 dm3? Kolku takvi redovi ti se potrebni za da ja pokrie{ osnovata na kockata od 1 dm3? Kolku takvi sloevi ti se potrebni za da ja ispolni{ kockata od 1 dm3?

10 9 8 7 6 5 4

9 8 7

3 5

2 1

Voo~i!

205

ti trebaat 10 redovi po 10 cm3; t.e. 100 cm3; ti trebaat 10 sloevi po 100 cm3, t.e. 1000 cm3.

Po rabot mo`e{ da naredi{ 10 kocki so volumen 1 cm3;

So broewe utvrdi od kolku kocki so volumen 1 cm3 e sostavena ovaa figura (kvadar). Od 12 kocki so volumen 1 cm3 sostavi kvadar. Toa mo`e{ da go napravi{ na u{te 3 na~ini pokraj prika`aniot. Obidi se!

Treba da znae{!

Proveri se!

Koja e osnovnata merna edinica za volumen;

Kolku pati mernata edinica 1 m3 e pogolema od 1 cm3?

da gi nabroi{ pogolemite i pomalite merki za volumen od eden kuben metar;

Kolku pati mernata edinica za volumen e pogolema od neposredno pomalata merna edinica?

koi se vrskite me|u mernite edinici za volumen.

Zada~i

Problemi!

1. Nabroj gi mernite edinici za volumen {to se pomali od m3.

2. Kolku dm3 ima vo 4 m3? 3. Kolku m3 ima vo: a) 7 000 dm3; v) 200 000 cm3?

Kolku a) dm3; b) cm3 ima vo 5 m3?

b) 500 dm3;

4. 27 650 mm3 zapi{i gi vo cm3.

Ima{ dva sada od 3 l i 5 l. So pomo{ na ovie sadovi izmeri 4 l voda.

206

VOLUMEN NA KVADAR I KOCKA

Potseti se!

A 1

So broewe na kockite od koi e sostaven kvadarot, odredi go negoviot volumen.

Presmetaj go volumenot na kvadarot od crte`ot, ako dol`inite na negovite rabovi se 3 cm, 4 cm i 2 cm.

1 cm

1 cm 1 cm3

Kvadarot 1 e sostaven od 12 kocki so volumen 1 cm3. Spored toa kvadarot 1 ima volumen V1 = 12 cm3. Odredi gi volumenite na kvadarot 2 i kvadarot 3 .

1 cm

Voo~i gi na gornata plo~a „zelenata”, „`oltata” i „sinata” pra~ka. Po kolku edini~ni kocki, t.e. po kolku kubni centimetri ima sekoja? Voo~i deka i vo dolnata („crvenata”) plo~a ima isto tolku edini~ni kocki, t.e. isto tolku kubni centimetri. Kolku vkupno edini~ni kocki, t.e. kubni centimetri ima vo kvadarot?

Voo~i i zapomni! Vo kvadarot ima (3 ⋅ 4) ⋅ 2 edini~ni kocki, t.e. (3 ⋅ 4) ⋅ 2 kubni centimetri. Volumenot na kvadarot e 24 edini~ni kocki, odnosno 24 cm3. Zapi{uvame: V = 24 cm3 kade {to V e oznaka za volumen, a 24 e meren broj na volumenot. Sigurno voo~i deka toj e ednakov na proizvodot od mernite broevi na tri sosedni raba na ovoj kvadar; tie se vikaat dol`ina, {irina i visina (ili kuso dimenzii) na kvadarot.

Odredi go volumenot na kvadar so dimenzii: a) 5 cm, 6 cm i 10 cm;

b) 16 cm, 2 dm i 5 dm;

v) a cm, b cm i c cm.

U~ilnicata ima forma na kvadar so dol`ina 11 m, {irina 7 m i visina 3 m. Kolku kubni metri prostor ima u~ilnicata?

Zapomni! Volumenot V na kvadar so dol`ina na rabovite a, b i c se

207

b a

presmetuva po formulata V = a ⋅ b ⋅ c. Voo~iv deka volumen na kvadar }e presmetam, ako gi pomno`am negovite dimenzii.

Rabovite na eden kvadar se: a = 6 dm, b = 8 dm i c = 9 dm. So pomo{ na formulata presmetaj go volumenot na kvadarot.

B 5

Potseti se! Figurata na crte`ot e formirana od ednakvi kocki so rab 1 cm.

Presmetaj go volumenot na kocka so rab 5 cm.

Kakvi se rabovite na kockata me|u sebe? Voo~i deka kockata e kvadar na kogo rabovite mu se ednakvi a = b = c.

Voo~i gi rabovite na figurata. Kakvi se me|u sebe? Dali ovaa figura mo`e da se imenuva kako kvadar so ednakvi dimenzii?

Iskoristi ja formulata za volumen na kvadar i so pomo{ na nea presmetaj volumen na kocka. V = a ⋅ a ⋅ a ili V = a3

Kako e to~no imeto na ovaa figura? So broewe utvrdi od kolku kocki e sostavena taa.

a3 se ~ita “a na treti” ili “a na kub”.

Zapomni! Volumenot V na kocka so dol`ina na rabot a se presmetuva po formulata V = a3.

Presmetaj go volumenot na kocka {to ima rab: a) 6 cm;

b) 30 cm vo dm3;

v) 24 dm vo m3.

1 dm3

Upatstvo: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3, odnosno V = 27 dm3.

[to ima pogolem volumen - kocka so rab 14 cm ili kvadar so rabovi 13 cm, 14 cm i 15 cm?

208

V 1l

Potseti se! 1 dm3

Kako se vika osnovnata merka za te~nost? Dali kutija vo forma na kocka so rab 1 dm sobira 1 l mineralna voda? Proveri go ova doma, ako ima{ mo`nost.

a) Kolku kubni decimetri ima vo 12 l?

Zapomni! Osnovnata merka za te~nost se vika litar, t.e. litar e drugo ime za kuben decimetar.

b) Kolku litri ima vo 60 dm3?

Treba da znae{! Proveri se! Kako se presmetuva volumen na kvadar; da presmeta{ volumen na kvadar ako se zadadeni negovite dimenzii; deka kockata e kvadar ~ii{to rabovi se ednakvi me|u sebe; da presmeta{ volumen na kocka ako e zadaden eden nejzin rab.

Kolku e volumenot na kvadar so rabovi 2 m, 3 m i 10 m? Kolku e volumenot na kocka so rab 7 cm? Kolku litri sobira kutija vo forma na kocka so rab 3 dm?

Zada~i 1.

Edniot rab na kvadar e 8 cm, a drugite dva se ednakvi i pomali od prviot za 3 cm. Kolkav e volumenot na kvadarot? Najdi kutija za ~evli, izmeri {to e potrebno i presmetaj go nejziniot volumen.

4. Edna kocka ima plo{tina 24 cm2. Kolku e nejziniot volumen?

5. Greda od ela ima dol`ina 7 m. Na kraevite ima forma na kvadrat so rab 30 cm. Kolku kubni metri ima gredata?

6. Edna kocka ima volumen 8 dm3. Presmetaj ja plo{tinata na kockata.

Volumenot na edna prostorija vo forma na kvadar e 108 m3. Dol`inata e 9 m, a {irinata e 3 m. Kolku metri e visinata na prostorijata?

7. Akvarium so dol`ina 70 cm, {irina 40 cm i visina 35 cm, napolnet e so voda do 30 cm visina. Kolku litri voda ima vo akvariumot?

Istra`i sam!

209

Edno semejstvo izvr{ilo proverka na tro{ocite za voda vo prvite 9 meseci vo godinata. Vo tabelata e dadena potro{uva~kata na voda za sekoj mesec vo m3. Mesec Potro{uva~ka na voda vo m3

Januari Fevruari Mart April Maj Juni Juli Avgust Septemvri

Presmetaj: Kolku kubni metri voda potro{ilo semejstvoto za 9 meseci? Najdi aritmeti~ka sredina na potro{enata voda za devette meseci. Kolku kubni metri voda, prose~no, tro{i semejstvoto sekoj mesec? Napravi tabela na podatoci za potro{eni pari~ni sredstva na semejstvoto za sekoj mesec. Cenata na vodata e 29,5 denari za m3. Najdi aritmeti~ka sredina na pari~nite sredstva, {to gi tro{i semejstvoto sekoj mesec? Sostavi stolbest dijagram za potro{uva~kata na voda (vo m3), vo tekot na devette meseci. Pretstavi ja na nego aritmeti~kata sredina. Odredi od dijagramot vo koi meseci potro{uva~kata e povisoka od aritmeti~kata sredina.

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina (sredna vrednost) na uspehot po matematika vo tvojata paralelka. Presmetaj go tvojot sreden uspeh na krajot na u~ebnata godina.

210

U^E[E ZA MEREWE. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

[to treba da stoi na mestoto na ∗, za da bide to~no? a) 6 m = 60 ∗; b) ∗ km = 1 200 cm; v) ∗ l = 3 000 ml; g) 2 dl = 200 ∗.

Pretvori: a) 1 m 5 dm 3cm vo centimetri; b) 3 l 3 cl vo decilitri; v) 2 kg 3 hg 4 mg vo dekagrami; g) 6 h vo denovi.

Pretvori 6 dal vo dl.

10. Pretvori go vo pove}eimen broj [to treba da stoi na mestoto na ∗, za da bide to~no? a) 4 kg = 400 ∗; b) ∗ s = 6 min; v) 2 h = ∗ min; g) 5 OC = ∗ K.

Pretvori 2 m 5 cm vo decimetri.

Zapi{i imenuvan broj {to e od ist vid so dadeniot broj, a da ne e istoimen so nego: a) 4 kg; b) 7 km; v) 36 min.

brojot: a) 3 126 cm;

b) 12 488 hg;

v) 231 dal.

11. Izvr{i gi operaciite: a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g; b) 12 488 hg - 12 kg; v) 12 km - 6 dam 9 cm; g) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.

12. Brojot: a) 6 t 228 kg namali go 9 pati; b) 2 km 8 dm zgolemi go 5 pati.

Pretvori go pove}eimeniot broj vo ednoimen, vo najmalata zapi{ana merna edinica. a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm; v) 9 dal 8 l 5 dl; g) 2 h 17 min 14 s.

13. Zapi{i tri merki za plo{tina pogolemi od 1 cm2.

14. Kolku pati 2 m2 e pogolemo od 4 cm2? Objasni go odgovorot .

a) Pretvori 6 h 12s vo minuti. b) Pretvori 7 dal 3 l 5 cl vo deci-

litri. v) Pretvori 4 km 7 m 14 dm vo dekametri. g) Pretvori 6 dag 12 g vo gramovi.

15. Zapi{i tri merki za volumen pomali od 1 m3.

16. Edna prostorija ima dimenzii 4 m; 5 m; 3,5 m. Odredi go volumenot na taa prostorija.

Kolku pati e pogolemo: a) 4 km od 400 m; b) 6 t od 300 kg; v) 2 l od 200 ml?

17. Edna kocka ima volumen 27 cm3. Odredi ja plo{tinata na edna strana od kockata.

ODGOVORI I RE[ENIJA NA

TEMA 1.

PRIRODNI BROEVI

buka; A = {e, p}; 1 1. A:V =e,{xp;| x V:e bukva od zborot buka};

b, u, k ∈ V; e ∉ V. M

a N

A 1

3 5

3. A × B = {(Jovan, pee), (Jovan, spie), (Jovan, u~i), (Biljana, pee), (Biljana, spie), (Biljana, u~i), (Dragan, pee), (Dragan, spie), (Dragan, u~i)}.

(M - mno`estvoto tvoi drugari {to bile na Mars). 3. δA = 98; δB = 17.

4. S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}. 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 6 1. 163, 171, 172, 173, 174; zapi{ani se so cifrite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i 0; A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.

Problem. Mno`estvata od prvite tri pra{awa se kone~ni, a mno`estvoto od ~etvrtoto pra{awe ne e kone~no.

3 2.

1. D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x e paren broj pomal od 11}; D i N se ekvivalentni, za{to imaat ednakov broj: δD = 5 i δN = 5. P

1. (2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).

2. a) 2; b) 8; v) 7 i 3.

2 1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 2. δA = 5; δB = 4.

a) P ∪ S e mnoèstvoto na site broevi od prvata desetka; b) P ∩ S e prazno mnoèstvo; v) P \ S e mnoèstvoto P; g) S \ P e mnoèstvoto S.

B 4

211

zada~ite

K y 3. To~no e deka y ∈ P, za{to K e podmno`estvo od R, pa sekoj element od K (me|u niv i y) mu pripa|a na mno`estvoto R. 4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Problem. Kupuva~ot kupil brojki 1, 2 i 3 za ku}en broj 312.

4 1. a) Unija. b) Razlika. v) Presek.

2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r}; δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.

2. 70, 80, 90, 110, 130, 150; so strelka e poso~en brojot 35 (trieset i pet) i brojot 59 (pedeset i devet). 3.

0 2 4 6 8 10

14 16

4. S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 e najmal vo S; S nema najgolem element; S ima beskone~no mnogu elementi.

a) 5 e vo klasata milioni, 2 - vo ilja7 1. di, 7 - vo edinici, 0 - vo iljadi.

b) 5 e na pozicijata edinici milioni (EM), 2 e na stotki iljadi (SI), 7 e na desetki (D), 0 e na desetki iljadi (DI). v) 5 ima poziciona vrednost 5 000 000, 2 ima 200 000, 7 ima 70, 0 ima 0 ⋅ 10 000 = 0. 2.

klasa milioni

klasa iljadi

klasa edinici

SM DM EM SI DI EI 7

3. 8 302 060 400 500.

4. 1 000 000 000, edna milijarda.

212

5. Brojot 5 se ~ita: "pet#; cifrata 5 se ~ita: "petka#.

6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000; bilion. Problem. 7 777 777.

8 1. Dve iljadi trista ~etirieset i pet;

dveste i pedeset; {est milioni ~etiristotini iljadi trista i deset. 2. 300 205 800.

3. <; >; >; <.

4. Poblisku e: a) do 24 600; b) do 25 000. 5. 25 380; 25 400; 25 000.

6. 15 410 000.

7. Ne postoi; 1; (eden) milion dveste i {esnaeset iljadi trista pedeset i osum denari. Obidi se da re{i{. Na primer: 1) brojot na tvojot omilen televiziski kanal; 2) brojot na patna isprava (paso{).

187; 99; 171. 2.

9 060. 4.

2 026. 3.

238; 174;

13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;

to~niot zbir e: 13 763. Problem. 22 + 22 + 222 = 266.

14 1.

:3 :6 18 6 1

:7 :2 42 6 3

108 36

2. 8; 171; 76; 7; 12; 13. 3. 145; 707; 700. 4. 20; 8. 5. Jatoto letalo najmalku 250 ~asovi. Pol`avot pominal 5 cm za edna minuta. Re{enie. Bidej}i pol`avot pominal 12 m za 4 ~asa, toj pominuval po 3 m na ~as, t.e. 300 cm za 60 minuti, a toa zna~i 5 cm (= 300 : 60) za 1 minuta. 6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.

15 1. a) 180; b) 420; v) 15; g) 60. 2. a) 450; b) 15; v) 90; g) 90. 3. a) 16; b) 4; v) 16. 4. 5 040.

5. 32. Re{enie. 7 680 : 240 =

768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32. Zanimliv problem! 31 jajce. Upatstvo. Pettiot kupuva~ kupil 1 jajce, ~etvrtiot kupil 2 ⋅ 1 + 1 = 3 jajca, tretiot kupil 2 ⋅ 3 + 1 = 7 jajca, itn.

16 1. a) 48; b) 225. 2. a) x = 110; b) x = 200;

11 1. 962; 11 115. 2. 495. 3. 2 845; 5 185.

v) x = 17; g) x = 120; d) x = 21; |) x = 3.

4. Pribli`no: 16 stotki; to~no: 1 770 den. Obidi se: Da.

18 1. 1, 2, 5 i 7. Site deliteli na 64 se:

3. Za x = 13. 4. Namalenikot treba da se

1, 2, 4, 8, 16, 32 i 64. To~no e deka 4 | 12, 3 | 36 i 10 | 1 000. Sodr`ateli na 3 se, na primer: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, a ima bezbroj mnogu.

zgolemi za 25. 5. a) 100; b) 100; v) 80; g) 110.

2. Primer 1): 4 e delitel na sekoj od broevi-

6. 600 denari.

te 8, 20, 28 i 36; nivniot zbir e brojot 92, a 92 : 4 = 23, t.e. i 92 e deliv so 4. Zna~i, 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Primer 2): 12 | (48 - 36), za{to 12 | 48 i 12 | 36. Primer 3): 7 | 21 ⋅ 5 ⋅ 6, za{to 7 | 21.

12 1. Zbirot }e se zgolemi za 234. 2. 1 550. Problem! 100. Re{enie.

(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.

13 1. 6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;

343; 69. 2. 11 760.

3. 382 200 km.

4. a) 30 000; b) 35 100; to~no: 34 036; procenetiot proizvod vo a) e pomal od to~niot za 4 036, a vo b) e pogolem za 1 064. 5. Po redosled na pojavuvawe na ∗: 4, 0, 1, 0; 439 ⋅ 47 = 20 633.

3. 305 gajbi.

4. 35 godini.

4. Po 20 orevi.

3. a) i v) da; b) i g) ne. 4. a), v) i g) so 3; b) i g) so 7. 5. B = {16, 24, 32}. 70, 96 i 25 000 se delivi so 2, za{to 19 1. 28, zavr{uvaat na 0, 6 ili 8. 3. 275, 400 i 995. 4. 65.

20 1. 348, 1 245 i 6 123. 2. 9 126 i 540. 3. 1, 4 ili 7; 1, 4 ili 7; 2, 5 ili 8; 1, 4 ili 7. 4. 7; 1; 6; 7.

5. 2 ili 8.

213

18 3

54 28 42 98 27 4

D NZ 21 49 14

6 2

7 1

1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 i 4 312.

Vnimavaj: so cifrite 1, 2, 3 i 4 mo`e{ da formira{ 24 ~etiricifreni broevi; od niv samo gornite {est broevi se delivi so 4. 2. 0, 4 ili 8; 2 ili 6; 1, 3, 5, 7 ili 9; 0, 2, 4, 6 ili 8. 3. Na pr.: 20; 160; 3 240.

4. 312.

I ova e matematika! Igra~ot {to zema prv treba da zeme 2 grav~iwa i na igra~ot {to zema vtor da mu ostavi 48 grav~iwa, t.e broj deliv so 4. Potoa, kolku i da zeme vtoriot igra~, prviot mu ostava broj deliv so 4, t.e. prviot igra~ dopolnuva do 4 (vtoriot 1, prviot 3; ili vtoriot 2, prviot 2; ili prviot 3, vtoriot 1) itn. Brojot 20 e deliv so 4, pa sekoga{ pobeduva igra~ot {to zema vtor. Ako se zemaat od 1 do 4 grav~iwa, odnosno od 1 do 5 grav~iwa, toga{ se vodi smetka za delivost so 5 odnosno delivost so 6.

36 D

Obidi se da zaklu~i{! Brojot 60 e deliv so 3 i vrednosta na 3 ~okoladi, nezavisno od nivnata cena, e deliva so 3. Spored toa, mora i vkupnata suma da e deliva so 3. No, vkupnata suma (220) ne e deliva so 3.

1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;

75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.

2. 27.

3. 1 (dete), 3 (galeni~iwa), 2 (avtomobila) i 4 (spalni).

4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =

5. 25. Pomo{. Zapi{i gi sodràtelite (do 30) na sekoj od broevite 3, 4, 5, a potoa proveri koj od sodràtelite na 5 e pogolem za 1 i od sodràtel na 3 i od sodràtel na 4, istovremeno. 6. 60 s. Istraì sam! Sli~nosti na broevite 12 i 16: dvata se sloèni; dvata se parni; dvata se delivi so 4. Razliki: brojot 16 e kvadrat na broj (16 = 42), a 12 ne e; 12 ima paren broj deliteli (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), a 16 ima neparen broj deliteli (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}). Obidi se da presmeta{! 8; 24 = NZD(8, 12). Zanimliv problem! Edna karta ~inela 10 denari; edniot od niv nemal pari (t.e. " imal 0 denari#), a drugiot imal 19 denari. Test:

23 1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. v) 30. g) 60.

5. 12 m.

a) A = {11, 13, 15, 17, 19};

B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19}, B

C 11

Istra`i sam! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Upatstvo: Voo~i deka }e ostanat da svetat onie svetilki ~ij{to prekinuva~ e pritisnat neparen broj pati, a toa se svetilkite ~ij{to broj ima neparen broj deliteli. (Takvi broevi se kvadratite na prirodnite broevi: 12, 22, 32, 42 itn.).

6. 24 [= NZD (48, 72, 120)].

2. a) 40. b) 36. v) 240. g) 720. 3. 300. 4. 120.

41 + 11 = 29 + 23.

3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= NZD (48, 72)].

24 1. {30, 60, 90, ...}; NZS (10, 15) = 30.

17 19

v) B ~ C, B ∩ C ~ B \ C.

B ∩ C = {17, 19}. 2.

A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1), (c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.

a) 910, 901, 190, 109;

b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Najmal e 109; prethodnik e 108, a sledbenik 110. 4. 20 350 005 070; cifrata 3 e vo klasata milioni, na pozicijata stotki milioni i ima brednost 300 000 000.

214

Zbirot na zaokru`enite broevi e 9 000; toj e pomal od to~niot zbir za 24.

12. a) 2 ili 6; b) 1, 3, 5, 7 ili 9. 13. 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 14. D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}.

Razlikata }e se zgolemi za 300.

15. NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72.

13 500 l.

16. 4 ekipi po 8 u~enici, od koi 3 devoj~iwa

324.

18; brojot {to go delele e

67 kg; magareto nosi 28 kg, a kowot

39 kg. 10. 471.

17. NZS(30, 50) = 150, 150 : 30 = 5. Na isto

11. a) 372, 930 i 254;

mesto }e ostanat stolbovite: prviot, pettiot, desetiot itn.

b) 105 i 930; v) 105, 372, 801 i 930; g) 801.

TEMA 2.

GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA 4.

b B

A 2.

M B

To~kata A.

a) Tokite: A, B i C; D, B i E. b) To~kite: A, B i E; A, D i B; D, B i C.

Prava MN, prava MP, prava NP. A B D

I slu~aj: II slu~aj:

Zaedni~ka to~ka na pravite AB, BC i BD e to~kata B.

P b

To~kite A, B, C i D opredeluvaat 6 pravi.

c A

C edna prava. B

tri pravi.

C 5.

a || b.

t.e. AV = 28 mm.

MR = 3 cm, RY = 9 cm.

od pravata ograni~en so edna nej4 1. Del zina to~ka. A C

p M P

N L

4. Dol`ina na otse~kata AV e rastojanieto me|u krajnite to~ki A i V na otse~kata. 5. Dve otse~ki {to imaat ednakvi dol`ini se skladni otse~ki. 6.

V To~kite A, V i S obrazuvaat 3 otse~ki: AV, AS i VS.

S 7. F

E 8.

CD = 4 cm.

p To~kite E, F i G obrazuvaat 3 otG se~ki: EF, EG i FG.

5 1. O

B S

2. Konstrukcija se vika crte` napraven samo so linijar i {estar. 3. OM = 6 cm; ON = 9 cm. a

b OA = 2a + b

To~kite K, L i M se kolinearni. (30 mm + 52 mm = 82 mm). m S

p n || p. n

3 1. AV = 70 - 42 = 28 2.

AV = 83 mm.

i 5 mom~iwa; NZD(12, 20) = 4.

A H MN = a + 2b b

2. Radius na kru`nica e otse~ka {to gi povrzuva centarot so koja bilo to~ka od kru`nicata; i nejzinata dol`ina e radius na kru`nicata.

b OA = a - b

a-b O

A a - 2b

H PM = a - 2b

c OA = a + b - c

a+b-c O

Proveri... 1. 14 kvadrati. 2. 15 pravoagolnici.

5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e. d = 56 mm.

215

r = 50 : 2 = 25, t.e. r = 25 mm.

9 1. Vnatre{ni se to~kite: A i D. 2. To~kata da le`i (da pripa|a) na kru`nicata i to~kata da ne le`i (da ne pripa|a) na kru`nicata. k

3. 20 ramnostrani

4. Tangenta e prava koja ima samo edna zaedni~ka to~ka so kru`nicata.

O a

triagolnici.

6 1. D

C 2.

A 3.

B E D

C A

Iskr{enata linija ima: 5 temiwa - A, B, C, D i E 5 strani - AB, BC, CD, DE i EA. Perimetar na iskr{ena linija e zbir od dol`inite na nejzinite strani.

6. Pravata a.

10 1.

L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158, t.e. L = 158 mm.

7 1. To~ka, prava, ramnina i rastojanie. 2. Izvedeni poimi se: otse~ka, poluprava i geometriska figura. 3. a) Dolìna na otse~ka e rastojanieto pome|u krajnite to~ki na otse~kata. b) Perimetar na iskr{ena linija e zbir od dolìnite na nejzinite strani. 4. Mnoèstvo i to~ka. k To~kata O ne £ pripa|a na 1. kru`nicata. O

7. k1

k2 t

5. AB = 250 cm.

Obidi se! 1. Re{enieto e dadeno na crte`ot. 2. Figurata v) ne mo`e da se nacrta "so eden poteg#.

5. Pravata ja se~e kru`nicata - imaat dve zaedni~ki to~ki; pravata ja dopira kru`nicata - imaat samo edna zaedni~ka to~ka; pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

II 2. k1

k2 k1

k2 O2

3. k1 i k2 se koncentri~ni kru`nici - nemaat zaedni~ki to~ki. k1 k1 k2 6. O1O2 = 12 mm. k2 5. 4. O2

O 1 = O2

11 1. Vo ista poluramnina so to~kata A le`at to~kite: V, E, S i N.

2. Teme O i kraci OA i OV; A, O, B, D i E se to~ki od agolot; D i E se to~ki od oblasta. P

Agol NMP.

3. M

5. Polupravite OA, OV i OS obrazuvaat 3 agli i toa: AOV, VOS i AOS.

216

5. Tap agol ili ostar agol.

M β

AOB = α - β

2. Naporeden agol na α e agolot β. Naporedni se i aglite γ i δ.

AOB = 2α - β

5. Nakrsni se aglite: 1 i 3; 2 i 4; 5 i 7 i 6 i 8. ~ie{to teme se nao|a vo centarot 14 1. Agol na dadena kru`nica se vika centralen agol. 2. V

α N

2. α = 50o i β = 125o. V

2. B

AOB = α + β

4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’; b) 30o 15’ = 1 815’. 5. β, α, δ, γ.

126o A

N M o

17 1. α + β = 113 36’ 52’’; α - β = 63 16’ 12’’.

N β

BOC = 60 , BOD = 95 , COD = 35 , 16 1. BOM = 124 i MON = 56 .

3. O

Obidi se! Ima 10 agli: AOB, AOC, AOD, AOE, BOC, BOD, BOE, COD, COE, DOE. Ima 6 para sosedni agli: AOB i BOC; AOB i BOD; AOB i BOE; BOC i COD; BOC i COE; COD i DOE. Ima 3 para naporedni agli: AOB i BOE; AOC i COE; AOD i DOE.

47o O

β e ostar agol

4. Nakrsni agli se dva agli {to imaat zaedni~ko teme i kracite na edniot se prodol`enija na kracite od drugiot agol niz temeto.

AOB = α - β

AOS i SOD; AOV i BOD.

13 1. AOV i VOS; VOS i COD;

15 1.

B O

O B

2. Agol {to e polovina od prav agol e ostar agol. 4.

AOB = α + β + γ

~ii{to kraci obrazuvaat edna 12 1. Agol prava se vika ramen agol.

3. a) Ostar agol; b) prav agol; v) tap agol; g) ramen agol.

AOB = 2α

2. α + β = 117o 11’ 32’’; α - β = 35o 53’ 52’’.

3. a) 53o 20’; b) 47o 17’ 18’’.

4. a) β = 101o 30’;

b) β = 114o 24’ 35’’.

Obidi se! Nacrtaj kru`nica so centar vo temeto na agolot AOB = 19o. Bidej}i 19 ⋅ 19 = 361, a polniot agol ima 360o, sleduva deka, ako agolot od 19o go prenese{ 19 pati po kru`nicata so teme vo to~kata O, }e dobie{ razlika od 1o.

18 1. Rastojanie od to~ka M do prava p e

dol`inata na otse~kata MN, kade {to N e prese~nata to~ka na pravata p i normalata na p {to minuva niz M. M

22 1. Mnoguagolnik na koj site to~ki na ot-

N MN = 10 mm

se~kite ~ii{to krajni to~ki le`at na mnoguagolnikot, se to~ki od mnoguagolnikot, se vika konveksen D mnoguagolnik.

m S PS = 2 cm

AD = 16 mm

19 1. AM = 25 mm.

MN = 7 cm.

7. B

MOP = 42o

AOB = 70o O

α A

2. β = 90o - 39o = 51o. 4. Suplementni se aglite pod b) i v). 3. 5. β = 180o - 76o = 104o. β α 6. α β α + β = 180o. α + β = 90o. linija e iskr{enata li21 1. Poligonalna nija pod b). Mnoguagolnici se iskr{enite linii pod b) i pod v). D

A 5.

3. a = 15 cm.

4. L = 30 cm.

5. a = 10 cm.

6. b = 10 cm.

7. L = 54 cm.

8. a = 9 cm.

9. 30 mm.

Test:

4. Ne se sosedni so temeto D temiwata A i V.

Sosedni strani na stranata MN se stranite ML i NP.

A, B ∉ q. 5. i

3. C

23 1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.

20 1. Komplementni se aglite pod b) i pod v).

3. Na mnoguagolnikot ABCD le`at to~kite: A, M, V, S, D, F i G.

2. Sosedni temiwa na V: A i S. Ne sosedni strani na VS: AE i ED.

217

Pomogni mu na gradinarot! Gradinarot treba da gi posadi sadnicite kako na crte`ot.

A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q; 2.

Da; BC = CA + AB.

Poligonalni se

10.

. Ne se poligonalni:

(ne se zatvoreni); (ima nesosedni

strani {to se se~at). 9.

54 mm.

AOB - ostar; AOC - tap; AOD - poln. B

13. Agolot e tap; 90o 35’ = 5 435’.

β α

14. β = 44o 24’ 15’’.

C O A AOC e ramen.

17. Ne se suplementni. 18. 13 m.

218

TEMA 3.

DROPKI

__ - 12 vrz 23; 1 1. __9 - sedum devettini; 12 23 7

poka`uva deka celoto e podeleno na 19 ednakvi delovi, a broitelot - deka se zemeni 12 od tie delovi. 1 1 1 1 ___ ____ __ ; v) ; g) ___ . 4. a) ; b) 100 1000 100 10

15 28 9 3 ____ ___ __ __ kg. m; v) l; g) dm; b) 1000 100 10 10 21 __ . 36

6. a) 25 cm; b) 6 dm; v) 4 dl; g) 320 g. 7. 8.

5 __ kg. 8

6 21 11 _ 15 __ . b) ; __ ; ; 2 1. a) 2_1 ; 5_1 ; 7_1 ; 8_1 ; __ 3 3 1 3 77 24 __ 35 __ 49 __ 56 __ . v) 14 __ ; 33 ; ; ; __ ; __ . 7 7 7 7 3 7 3 1 _ ; 7

3. Na pr.: 4

1 6 13 _ _. __ 36 ; __ . 5. 9 ; 4. Na pr.: 3 7 12 12

1 5 4 8 _ _ ; 2 ; 5 _ ; 13 _ . 4 8 5 9

Dosetka! Pettiot den. 3 4 __ 4

2. 0 3. 0

1 3 __ 4

4 9 __ 8 1

1 6 __ 2 5

9 __ 4 2

7 __ 2 3

3 1 __ 4

1. a)

5. a) x = 8; b) x = 8;

3 3

1 __ 2

17 __ 4 4

6 13 10 4 __ __ b) 4; v) 8 __ ; g) 4 . 2. a) __ ; ; 12 15 9 9 2 3 2 2 10 b) __ ; v) 3 _ ; g)1 _ ; d)1 __ . 3. __ napolnet, 5 11 19 4 12 2 8 1 __ nenapolnet. 4. _ __ delovi 5. . 12 10 7 8 2 pro~itani; __ dela nepro~itani. 6. 13 __ ; 12 10 4 __ 5 . 12 4 10 6 15 22 __ __ __ __ __ 55 __ , ; b) , ; v) , ; 1. a) 10 25 14 35 24 60 30 2 12 __ 75 __ __ __ 18 __ g) , . 2. Primer , , . 34 85 3 18 27 2 17 __ __ 29 __ , , . 3. 80, 30, 85, 96, 18 stotinki. 4. 5 25 36 1 __ 2 __ 2 __ 3 __ 5 5 __ __ ; , , , . 6. b) . 5. 3 3 3 8 6 7

7. a) x = 5; b) x = 42; v) x = 11; g) x = 51. 8.

33 35 13 63 6. __ ; __ ; __ ; __ . 4 9 10 4

3 1. a) __23 ; 1 __23 ; 3 __13 .

7 1 28 5 __ __ __ __ i . i ; 6 30 10 40

v) x = 6; g) x = 110; 5 __ 6. 4

4 7 ___ - 4 vrz 121. 2. Na primer: __ - sedum 121 9 105 7 devettini; ___ - 105 vrz 28; __ - sedum 28 7 12 sedmini. 3 Imenitelot na dropkata __ 19

3 9 5 10 __ __ __ __ = ; = . 4 12 6 12

Problem! Ednakvo. Upatstvo: Vo ~a{ata so me{avina od vino i voda {to e sipana vo vinoto ima tolku voda kolku {to ostanalo vino vo kofata so voda. Milica - 404 denari; Jovan - 505 denari. 1 Upatstvo: Bidej}i __ od parite na Milica e 4 1 __ ednakvo so od parite na Jovan, mo`eme da 5 zaklu~ime slednoto: ako edno celo go podelime na 9 dela i od tie delovi napravime dve 4 5 1 celi __ i __ , toga{ __ od edniot del e 4 5 4

1 ednakov na __ od drugiot del. 5 1 Spored toa 909 : 9 = 101 e __ od parite na 4 1 __ Milica, odnosno od parite na Jovan. 5 Milica imala 4 ⋅ 101 denari, Jovan imal 5 ⋅ 101 denari.

devet pati pogolema od prirodniot broj, t.e. prirodniot broj e 108 : 9 = 12. Voo~i vtor na~in na re{avawe so odreduvawe cifra po cifra.

219

12 1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200. 2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006; 4 000 400. 3. 44,835; 3780,024; 0,0189. 4. 63,92 m2.

13 ______ 13 __, ___ , . 5. 45 272; 66,1. 6. 175,25927844. 7. 900 den. 6 1. Pod a) i g). 2. Na pr.: 13 10 100 10 000 3. a) 36 celi i 2 decimali. b) 3 celi i 4 decimali. v) 138 celi i 2 decimali. 4. a) 0,06. b) 2,09. v) 11,029. g) 14,003.

8. Ednakvi se na 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4.

13 1. a) 0,476. b) 0,0476. v) 0,00476.

5. a) Dve celi i tri stotinki. b) Dvanaeset celi i petnaeset iljadinki. v) Nula celi i trieset i pet desetiljadinki. 2 5 3 17 6. a) __ ; b) 1 __ ; v) 4 ____ ; d) 1 _____ . 10 10 1 000 10 000

2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44.

4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176. 1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.

Da.

3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428; 5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Site koli~nici se sostaveni od istite cifri. 5. 5.

6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.

3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.

7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04. 8. 2,946 km.

Problem: 8 orevi.

9. 18,375; 4,02.

8 1.

0,6

1,7

3,4

0 1 2 3 2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101; 0,1031 > 0,1028. 5 ____ = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5. 1 000 4. Poblisku e 131,102. Problem: zapirka. 3.

10 1. a) 163,375. b) 105,075. v) 161,155. g) 100,075.

2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723. 3. 158,14; 4,8345.

4. 78,4 m.

11 1. 21,1; 893,674; 3,68;

1,09; 339,73; 846,825.

5. 3,69; 7,38; 11,07; 14,76.

14 1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875; 0,34375; 1,296875.

2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...; 0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... . 3. Pretperiod e 3, period e 78; pretperiod e 54, period e 302. 4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711). 5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...; g) 0,06523152315... .

0,21; 15 1. 2,715; 3,033; 0,015. 2. 0,2; 0,2059. 3. 8,104.

2. 10,31; 201,62; 28,36; 3,8;

10. 4,05.

4. 3,54.

5. So to~nost Gre{. So to~nost Gre{. do 0,01 na zaok. do 0,001 na zaok.

3. 0,34 m. 4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.

Broj

6. 0,768 kg. Problem: 12 i 14,3. Upatstvo:

0,0374

0,04

0,0026

0,037

0,0004

Ako pogre{niot zbir 13,43 go pomno`ime so 10, }e dobieme broj 134,3 koj go sodr`i to~niot decimalen broj i 10 pati pogolem broj od prirodniot broj. Razlikata 134,3 - 26,3 = 108 e

0,5386

0,54

0,0014

0,539

0,0004

426,4235

426,42

0,0035

426,424

0,0005

6,0141

6,01

0,0041

6,014

0,0001

220

Test:

a) C

A 1 2. b) __ . 3 2 __ . 5. 3

12 __ kg. 8

3 __ 8

2 __ ; 1

5 __ 8

29,0664.

10. Da; 0,006.

56 __ . 64

11. To~no.

13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.

14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64.

16. 2,14; 27.

17. 21,85.

19. 0,0001.

18. 8,4; 1,2(70).

20. 9,13.

TEMA 4.

MEREWE

1 3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m. 4.

8 1 __ ; __ . 18 6

12. Da.

2 __ 8

1 4 __ + __ 5 5

2 __ . 5

5 25 __ ; __ . 1 5

12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg. 5.

6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl. 6.

8 ml,

76 500 den.

2 1. 15 h 27 min. 2. 40 min. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 sedm. 2,5 d.

5724 d.

a) 310,16 K; b) 223,16 K.

s; imenuvan 3 2. 12 knigi; 4. 1brojh 50{tomine 45pove}eimen. 5. 18 denari 50 deni;

2 551 443 s.

v) 5 008,705 kg; g) 9 075,008 mg; d) 85,06 dl. Zanimlivo pra{awe!

Odgovor: Ne mo`e da

5 1. a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm; v) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; g) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg; d) 1 l 3 cl 5 ml; |) 3 kl 5 hl 7 dl. 2. a)

6. Primer: 6 kg, 138 kg.

hm dam

3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm.

7. 3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm; 12m2 3 dm2 9 cm2.

hm dam

3 hm 2 dm.

5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4 7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl; Ednoimeni 14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2 Pove}eimeni 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dm Neimenuvan

dag

3 hg 2 dag 5 cg.

7 m i 4 m; 8 hl i 9 hl; 4 kg i 3 kg; 14 l Istoimeni i 5 l; 8 m2 i 15 m2; 4m 2dm i 6 m 5 dm

I ova e matematika! Odgovor: 8 mart.

dal

4 kl 1 dal 5 l 3 dl.

4 1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml; v) 400 605 dag; g) 13 447 min. 2.

a) 83,4 dm; b) 8,097 km;

gree sonce. ]e bide polno}.

3. 2 764 m.

a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg;

v) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; g) 2 hg 3 dag 7 g.

9 1. 200 cm . 3. 4 m. 4. 8 cm .

29 dena 12 h 44 min 3 s.

6 1. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;

b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; v) 3 m 8 cm. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm;

b) 4 dm 3 cm 2 mm; v) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm; b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml. 4.

1 t 579 kg;

8 dl 2 cl. 8.

11 kg 2 hg. 9.

2 kg 2 hg 4 dag;

20 h 27 min.

a) 2 925 m , b) 29,25 a. 3.

4 800 plo~ki.

4 000 dm3.

v) 0,2 m3. 4.

600 dl.

24 dm .

221

84 l.

a) dm; b) 0,012; v) 3; g) ml. 3. 4.

a) dag; b) 360; v) 120;

20,5 dm.

a) Primer: 5 t;

a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; v) 985 dl; a) 360,2 min; b) 730,5 dl;

v) 400,84 dam; g) 72 g.

a) 10 pati;

b) 20 pati; v) 10 pati.

a) 153 cm; b) 30,3 dl;

v) 230,0004 dag; g) 0,25 dena. 10.

4 800 000 den.

a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;

v) 2 kl 3 hl 1 dal.

11.

a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;

b) 1 t 236 kg 8 hg; v) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;

8 1. 1 dm , 1 cm ; 1 mm . 3

g) 8 234 s.

a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.

0,63 m . 6.

Test:

9 t 88 kg.

1 kg 3 hg 3 dag 8 g;

33 195 den. 7.

b) Primer: 2 m; v) Primer: 15 s.

a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;

b) 6 l 2 cl 8 ml; v) 6 dl 7 cl. 5.

g) 278,16.

g) 2 dm 8 cm. 3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;

g) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.

a) 7 m3; b) 0,5 m3;

12. a) 692 kg; b) 10 km 4 m.

14. 5 000 pati. Objasnenie: 2 m2 = 20 000 cm2,

27,65 cm3.

a 20 000 : 4 = 5 000.

16. 70 m3.

17. 9 cm2.

Problem! Upatstvo: 3l

PREGLED NA POIMI A agol, i 98 - komplementni, 120 - konveksen, 99 - kraci na, 98 - merewe na, 110 - nakrsni, 104 - naporedni, 103 - ostar, 102 - poln, 102 - prav, 101 - sosedni, 103 - suplementni, 121 - tap, 102

- teme na, 98 - centralen, 105 apsolutna gre{ka, 178 aritmeti~ka sredina, 47 B broj (evi) - decimalen, 149 - me{ano periodi~en, 176 - period na, 176 - pretperiod na, 177 - ~isto periodi~en, 176 - ednoimen, 191 - zaemno prosti, 61 - imenuvan, 191

- istoimeni, 192 - meren, 191 - neimenuvan, 191 - neparen, 17 - paren, 17 - pove}eimen, 192 - priroden, 17 - prost, 57 - slo`en, 57 brojna prava, 18 D dekaden broen sistem, 20 dekadna edinica, 21 Dekartov proizvod, 15

222 Dekartov kvadrat, 16 delenik, 37 delewe, - so ostatok, 38 delivost, 49 - na zbir, 49 - na proizvod, 49 - na razlika, 49 - priznaci za, 51 delitel, i - zaedni~ki, 60 - najgolem zaedni~ki, 60 decimala, 151 decimalna zapirka, 150 dijagram, - slikoven 159 - stolbest 158 drobna crta, 133 dropka, 133 - broitel na, 133 - decimalna, 149 - neskratliva, 147 - ne~ista (nepravilna) 137 - prividna, 136 - pro{iruvawe na, 146 - skratuvawe na, 147 - ~ista (pravilna) 137 Z zapi{uvawe na mno`estvo, - na tabelaren na~in 4 - na opisen na~in 5 I iskr{ena linija 83 - strana na, 84 - teme na, 84 - zatvorena 84 - prosta 85 K kru`nica, i 89 - koncentri~ni, 95 - radius na, 89 - tetiva na, 90 - centar na, 90 - dijametar na, 90 kru`en lak 91

L linija - iskr{ena 83 - strana na, 84 - zatvorena, 84 - poligonalna 85 - perimetar na, 85 litar, 187

otse~ka, i - ednakvi (skladni) 79 - zbir 81 - prenesuvawe 80 - razlika 81 - sosedni 83 - dol`ina na, 78 - zbir na, 81

M merka, - za masa, 187 - za dol`ina, 186 - za vreme, 189 - za te~nost, 187 - za temperatura, 189 - za plo{tina, 203 - za volumen, 205 merna edinica, 191 metar, - kvadraten, 203 - kuben, 205 me{an broj, 138 minuta, 189 mnoguagolnik, 122 - konveksen, 125 - nekonveksen, 125 - perimetar na, 127 - teme na, 123 - sosedni strani na, 123 - sosedni temiwa na, 123 - strani na, 123 mno`estvo, a, - broj na, 7 - ednakvi, 10 - ekvivalentni, 9 - kone~no, 7 - prazno, 8 - presek na, 12 - razlika na, 14

P podmno`estvo, 10 podreden par, 15 poim, 87 - izveden, 88 - matemati~ki, 87 - osnoven, 88 poluprava, i 77 - sostavni, 77 polukru`nica, 91 poluramnina, 97 prava, i - grani~na (rab), 97 - zaemnonormalni, 116 - kolinearni, 71

O oblast, - vnatre{na, 90 - nadvore{na, 90 osnova na stepen 36

R rastojanie, 76 - centralno, 94 ravenka, 44 S svojstvo, - asocijativno, 13 - distributivno, 168 - komutativno, 13 sekanta (prese~ka), 93 simetrala - na agol, 118 - na otse~ka, 118 sodr`atel, 49 - zaedniki, 63 - najmal zaedni~ki, 63 sredina, - na otse~ka, 78 - aritmeti~ka, 47 stepen, 35 - osnova na, 36

223 - pokazatel na, 36 T tangenta (dopirka), 93 to~ka, i, 54

- vnatre{na, 92 - grani~na, 77 - krajna, 78 - nadvore{na, 92

- po~etna, 77 - sredna (sredina), 78 U unija na mno`estva, 13

SODR@INA TEMA 1.

PRIRODNI BROEVI

TEMA 2.

GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA

TEMA 3.

DROPKI

131

TEMA 4.

MEREWE

183

ODGOVORI I RE[ENIJA

211

PREGLED NA POIMI

221

CIP - Katalogizacija vo Publikacija Narodna i univerzitetska biblioteka „Sv.Kliment Ohridski“ - Skopje

Matematika za VI oddelenie devetgodi{no osnovno obrazovanie Avtori: Jovo Stefanovski i d-r Naum Celakoski Recenzenti: d-r Jordanka Mitevska, redoven profesor na PMF - Skopje Zorica Nasevska, nastavnik vo OU „Ko~o Racin“ - Skopje Dobre Trajkovski, nastavnik vo OU „T. Karpo{“ - Kumanovo Glaven urednik: Jovo Stefanovski Lektor: Suzana Stojkovska Kompjuterska obrabotka: Dragan [opkoski

Издавач: Министерство за образование и наука за Република Македонија Печати: Графички центар дооел, Скопје Тираж: 15.500 Со Одлука за одобрување и употреба на учебник по предметот Математика за 6-то одделение во деветгодишно осниовно образование со бр. 22-1110/1 од 22.06.2011 година донесена од Национална комисија за учебници CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје АВТОР: Стефановски, Јово - автор ОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - автор НАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образование ИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011 ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 см ISBN: 978-608-226-273-4 УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3 ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатена ИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011 COBISS.MK-ID: 89052426