J OVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI
ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД
ДЕВЕТОГОДИШЊЕ ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ Skopqe, 2011
Драги ученичe! Ти си већ у шестом разреду и зашао си у тајне математике. Са математиком се сусрећеш свакодневно: у школи, кући, па чак и у твојим играма. Уз ову књигу ћеш научити нове, занимљиве ствари о бројевима. Стећи ћеш нова сазнања о геометрији. У теми Мере изучићеш мерне јединице о још неким величинама, као и математичке операције са њима. Књига је подељена на четири тематске целине. Тематске целине започињу њиховим садржајем, а наставне јединице у њима су нумерисане. У наставним јединицама су ознаке у боји, преко којих су исписане поруке, активности, обавезе и друге сугестије, и то : Podseti se!
A
,
...
B
1. 2. 3.
Наставне јединице започињу нечим што ти је познато. Треба да се потсетиш и да решиш дате захтеве. То ће ти користити код изучавања новогa у лекцијама.
...
Овим ознакама наставна јединица је подељена на делове (порције) који се односе на нове појмове.
Оваквим ознакама означене су активности, питања и задаци које ћеш решавати самостално или уз помоћ свог наставника. У овом делу учиш ново у лекцијама, зато треба да будеш пажљив и активан да би могао боље да научиш и разумеш. Најбитније је обојено жутом бојом.
Treba da zna{
Најбитније из лекције је издвојено у облику питања, задатака или тврђења. То треба да упамтиш и користиш у задацима и практичним примерима.
Овај део садржи питања и задатке помоћу којих можеш да провеProveri se?риш да ли већи део изученог наставног градива разумеш, да би могао да га примениш и користиш у свакодневном животу.
Zadaci
Problemi
Треба да решаваш ове задатке редовно и самостално. На тај начин ћеш боље разумети научено, а то ће ти бити од велике користи. Потруди се да решиш задатке и проблеме из овог дела. Тако ћеш знати више и бити богатији идејама.
Кад наиђеш на потешкоће док изучаваш математику не отказуј се, покушај поново, а твоја упорност ће ти донети резултат и задовољство. Радоваће нас ако са овом књигом заволиш још више математику и постигнеш одличан успех. Аутори
TEMA 1.
1. Скупови. Начин записивања 2. Број елемената. Коначни скупови 3. Еквивалентни скупови. Једнаки скупови. Подскупови 4. Пресек, унија и разлика скупова 5. Уређени пар. Декартов производ 6. Низ природних бројева 7. Декадни бројни систем 8. Читање и заокруживање природних бројева 9. Инструменти за прикупљање података 10. Сабирање 11. Одузимање 12. Зависност збира и разлике од промене компонената 13. Множење 14. Дељење
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ
4 7
9 12 15 17 20 23 26 27 29
31 34 37
15. Зависност производа и количника од промене компонената 16. Бројни израз. Једначине 17. Аритметичка средина 18. Дељивост природних бројева. Дељивост збира и разлике 19. Критеријуми дељивости бројевима 2и5 20. Критеријуми дељивости бројевима 3и9 21. Критеријуми дељивости бројем 4 22. Прости и сложени бројеви. Представљање сложеног броја као производ простих чинилаца 23. Заједнички делилац. Највећи заједнички делилац 24. Заједнички чинилац. Најмањи заједнички чинилац 25. Сликовит дијаграм. Стубичасти дијаграм 26. Учио си о природним пројевима. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ
3
40 43 47 48 51 53 55
57 60 63 66 68
1
4
СКУПОВИ. НАЧИН ЗАПИСИВАЊА
Podseti se! A
V
a b
g v
На цртежу су Веновим дијаграмом приказани скуп А и скуп В.
A
Нека је са D означен скуп свих дана у једној седмици.
1
Напиши све елементе скупа D! Елементи скупа А су цветови. Шта су елементи скупа В?
2
Да ли је месец април елемент скупа D? Колико елемената има скуп D?
Усмено представи један скуп А, а затим напиши његове елементе. Именуј два објекта која нису елементи твог скупа А. Да упамтим! Један скуп је одређен ако се зна који су сви његови елементи.
B
3
На цртежу је Веновим дијаграмом представљен скуп С. Који бројеви су елементи скупа С?
Скуп С може се написати и на табеларни начин (ређaњем елемената), односно у заградама се напишу сви бројеви скупа С, међусoбно одвојени зарезом, тј. С = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
4
1
7
2 6
3
4
S
5
Елементи скупа Р су бројеви: 10, 6, 2, 4 и 8. Представи скуп Р Веновим дијаграмом. Представи скуп Р на табеларни начин, тако да поређаш бројеве од најмањег до највећег. Представи скуп Р на табеларни начин, тако да поређаш бројеве од највећег до најмањег.
Код записивања скупова табеларним начином, редослед елемената није битан.
5
5
Представи скуп S чији су елементи сви самогласници у македонском језику. Прикажи скуп А на табеларни начин, а његови елементи нека буду слова из речи ЧАША. Да упамтим! Скуп { ч, а, ш, а } је правилно приказан са { ч, а, ш }. Исти елементи у једном скупу се записују само једном.
6
Породицу Ацковић сачињавају: отац Петар, мајка Биљана, син Драган и ћерка Ана. Нека са А је означен скуп чланова породице Ацковић.
Напиши скуп на табеларни начин. Ако слово x се употреби као замена за имена чланова породице Ацковић, скуп А се може записати као: A={x | x e је члан породице Ацковић}. За овако записан скуп кажемо да је представљен на описни начин.
7
Скуп S={x | x e је цифра од броја 2638} Напиши скуп: Веновим дијаграмом;
8
на табеларан начин.
На цртежу је представљен скуп Р Веновим дијаграмом. Напиши скуп Р на табеларан начин. Којим од следећих записа је скуп Р представљен описним начином? a) {x | x >19}.
11
b) {x | x је непаран број друге десетице}.
15
v) {x | x је природни број друге десетице}.
V 9
13
17
R
19
Разгледај скуп М записан Веновим дијаграмом. Елементи скупа М су слова речи клупа.
Кажемо: ,,Слово к је елемент скупа М, или к припада М“, ,, Слово а је елемент скупа М, или а припада М“, ,, Слово е није елемент скупа М, или e не припада М“,
Записујемо: k∈M a∈M e∉M
k
M
l a
u
p
Користећи знакове ∈ и ∉ напиши тачне исказе за слова и, с, л, у, ј, к, п и за скуп М.
6
a
10 На цртежу је представљена једна дуж а и тачке: А, В, C, N, L, K и М.
11
Напиши тачне исказе за тачке означене на цртежу и за дуж a, користећи знакове ∈ и ∉. Нацртај праву p и на њој означи тачке R, P, S и L тако да : R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;
V
S
K
S L
N
A
Треба да знаш Proveri se! Да наведеш неколико примера скупова; Да представиш дати скуп Веновим дијаграмом, на описни и табеларни начин. Да правилно користиш знакове ∈ i ∉.
Када је један скуп одређен? Напиши скуп К чији елементи су бројеви: 1, 3, 5, 7 и 9: Веновим дијаграмом;
на табеларни начин;
на описни начин. Који број прве десетице је елемент, а који није елемент скупа К? Запиши то користећи знакове ∈ ili ∉.
Zadaci Напиши скуп А табеларним начином, а скуп В описним начином.
1. На цртежу су дати скупови А и В. A
Користећи знаке ∈ и ∉ напиши која од слова: е, у, б, к су елемент скупа В.
V u e p
b
k a
2.
Нацртај једну дуж и означи је словом a. Означи тачке M, N, C, D и S, тако да: M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.
Од којих слова је састављен скуп А?
3 Од слова, која су елементи скупа В, састави једну реч (име дрвета).
Веновим дијаграмом означи скупове А и В, тако да: 1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B, 5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ B i 9 ∈ B.
2
7
БРОЈ СКУПОВА. КОНАЧНИ СКУПОВИ
Podseti se! Скуп А је приказан Веновим дијаграмом.
A
B = {x | x је дан у седмици};
c b
Разгледај скупове А, В и С и одговори на питања.
A = {a, b, c};
A a
1
C = {x | x је природни број мањи од 100}.
d
Од којих елемената је састављен скуп А? Изброји елементе скупа А. Колико елемената има скуп А?
Упамти!
Од којих елемената је састављен сваки скуп? Колико елемената има сваки од скупова А, B и C ? Уочио сам! Скуп А има 3 елемената, В има 7 елемената и скуп С има 99 елемената.
Број елемената задатог скупа А назива се број скупа А и означава се δA. Колико елемената има скуп девојчица у твом разреду? Колико укупно ученика има скуп дечака из твог разреда? Колики је број свих ученика у твом разреду?
2
Уочи и упамти! Сваком од скупова одредили смо број елемената. Сви ови скупови су коначни скупови.
B
3
Највиша планина у Републици Македонији је Кораб. Врх Кораб је висок 2 764 метара. Колико елемената има скуп планина у Републици Македонији, виших од 3 000 метара?
4
Одреди број скупова А, В и С. A = {јун, јул, јануар} C = {x | x је месец у години чије име почиње словом л}.
V Maj
8
Запажаш да скуп планина из трећег задатка и скуп С из четвртог задатка немају ниједан елемент. Скуп који нема ниједан елемент назива се празан скуп и означава се симболом Ø. И празан скуп се убраја у коначне скупове. M = {x | x је планина у Р. Македонији виша од 3000 метара} = ∅. δ∅ = 0.
5
Наведи један пример за празан скуп.
Treba da zna{ Proveri se! Шта је број скупа; Да наведеш неколико примера за коначан скуп и неколико за празан скуп.
Напиши пример за: Коначни скуп С, тако да δS = 3; скуп S, тако да δY = 0.
Zadaci 1. Одреди број елемената свкаом од
скупова: L = {2, 4, 6, 8, 10} S = {x | x је ученик у разреду виши од 5m} K=∅ Твоји другови који су били на годишњем одмору на планети Марс.
2. Одреди број елемената сваком од скупова А и В који су представљени Веновим дијаграмом
A 1
2 4
3 6
5
V
7
3. Одреди број елемената свкаом од скупова A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x је природни бој и 8 ≤ x < 25}.
Problem Да ли је коначан скуп: Становника Прилепа; Звезда на небу; Зрна жита у једној врећи; Бројeва који се могу написати цифром 1?
3
ЕКВИВАЛЕНТНИ СКУПОВИ. ЈЕДНАКИ СКУПОВИ.ПОДСКУПОВИ
Podseti se!
A
Одреди број елемената скупа S и скупа Т?
1
Одреди број елемената датих скупова:
9
Y
A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 5, 7, 9}
T
C = {10, 20, 30, 40, 50}. Шта примећујеш? Који од знакова <, = или > треба да упишеш у кружић записа δT δY?
2
Напиши скуп A = {x | x је слово из речи ДЕБАР} и скуп B = {x | x је непарни број прве десетице} на табеларан начин. Одреди δA i δV, а затим их упореди. Напиши скуп С чији је број елемената једнак δA, односно δV. Скупове који имаји исти број елемената називамо истобројним скуповима или еквивалентним скуповима. Ако скупови А и В су еквивалентни, тада то означавамо са A ~ V.
3
Ш? СКУПОВИ ШТА СЕ БУНИ НИ. ЕКВИВАЛЕНТ
СУ
Одреди број сваког од скупова: B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}. Напиши еквивалентне скупове користећи знак “~” Напиши еквивалентни скуп скупа G.
B 4
Напиши табеларним начином скуп А чији су елементи слова из речи мечка и скуп В чији елемнти су слова речи мачке.
Uo~i! Скупови А и В имају исти број елемената: δA = δV. Исто тако, скуп А је састављен од истих елемената као и скуп В.
Два скупа су једнака ако су састављена од истих елемената. Означавамо : А = В
10 5
Да ли су једнаки скупови A = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}? За два скупа која нису једнака, пишемо: А≠В.
6
ali: {l, a, s, t, a} = {a, s, t, a,l}
Који од следећих скупова су међусобно једнаки: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?
V 7
Разгледај цртеж! Елементи скупа М су руже, а елементи скупа С су црвене руже.
M S
Да ли је сваки елемент скупа С уједно и елемент скупа М?
За скуп С кажемо да је подскуп скупа М, ако је сваки елемент скупа С истовремено и елемент скупа М. Подскуп се означава са: S ⊆ M. Ако је скуп С подскуп скупа М и М има елементе који не припадују скупу С, онда кажемо да је скуп С прави подскуп скупа М. Прави подскуп означавамо са S ⊂ M.
8
Скуп S је задат Веновим дијаграмом. Да ли скуп Р је подскуп скупа S? Објасни свој одговор! Да ли скуп К је прави подскуп скупа S ? Објасни! Који од следећих исказа је тачан? P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?
Y 1
3 2
R
5
K 4
6
7
Uo~i! Сваки скуп је подскуп самог себе. A ⊆ A. Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, зато што је сваки елемент првог скупа такође и елемент другог скупа. Празан скуп је подскуп сваког скупа. ∅ ⊆ A.
Treba da zna{ Proveri se! Да наведеш примере за једнаке, односно за еквивалентне скупове;
11
Дат је скуп P = {5, 10, 15, 20}. Напиши скуп К који је еквивалентан скупу Р.
Да разликујеш еквивалентне скупове од једнаких скупова;
Напиши скуп L који је једнак скупу P.
Да знаш шта је подскуп и шта је прави подскуп; Напиши два подскупа скупа Р.
Да умеш да одредиш подскуп датог скупа.
Zadaci 1. На цртежу уочаваш скупове D и N. 7 3
2
скуп ученика шестог разреда, К је скуп ученика из твоје учионице, а елемент у си ти као ученик.
D
5
9
2. Нека U је скуп ученика твоје школе, Р је
1
6
8 4
10
Веновим дијаграмом представи скупове U, P, K и елемент y.
N
Напиши скуп D табеларним начином.
3.
Ако је y ∈ K i K ⊆ R, онда је y ∈ R. Да ли је тачно? Зашто?
4.
Напиши све подскупове скупа A = {a, b, c}.
Напиши скуп N описним начином. Да ли су скупови D и N еквивалентни? Зашто? Шта је тачно: D ⊆ N или N ⊆ D? Зашто?
Смицалица
I ovo je matemaika!
У једној продавници за металне производе, између купца и продавца водио се следећи разговор: „Колико новца је један?“, питао је купац. „Десет денара“, одгорио је продавац. „За колико новца могу купити дванаест?“, рекао је купац. „ Двадесет денара“, одговорио је продавац. „ Добро, дајте ми онда триста и дванаест“, рекао је купац. „То ће вас коштати, господине, тридесет денара“. Шта је купио купац ?
4
12
ПРЕСЕК, УНИЈА И РАЗЛИКА СКУПОВА
Podseti se A
S
Задати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.
1
A V
Представи скупове А и В Веновим дијаграмом. Скуп заједничких елемената скупова А и В именуј са С. Скуп С представи табеларним начином. Према датом цртежу А је скуп црвених фигура, В је скуп троуглова, а С је скуп црвених троуглова.
Уочи решење. C = {3, 4, 5}. C
A Заштоје скуп С пресек скупова А и В?
Скуп С је пресек скупова А и В. B
1
3
2
4 5
6
Пресек два скупа А и В је скуп С, формиран од елемената који су заједнички за А и В. Записујемо: C = A ∩ V и читамо: „ С је једнако А пресек В “. x ∈ A ∩ V, значи: x ∈ A и x ∈ V.
2
Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}. Одреди скупове: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A. Да ли су скупови A ∩ B i B ∩ A еквивалентни? Да ли су различити? Представи скупове А, В и С Веновим дијаграмом тако да се могу одредити елементи њихових пресека.
B
3
На цртежу задати су скупови А, В и D. Напиши А, В и D табеларним записом.
Скуп D је унија скупова А и В.
D A
V
1
3
2
6
5
7
4
10
9
8
Унија скупова А и В је скуп D састављен од свих елемената та два скупа. Унија D се обележава на следећи начин: D = A ∪ V Читамо: „ D је једнако А унија В “ x ∈ A ∪ V, значи: x ∈ A или x ∈ V.
4
На цртежу су Веновим дијаграмом представљени скупови А, В и С. Табеларним записом представи скупове А, В и С.
V
C A
A, V и C.
1
2
13
12
3
C ∪ B, C ∪ A и B ∪ A.
14
11 9
A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A и A ∩ C.
V 5
13
Задати су скупови A = {1, 2, 3, 4, 5} и V = {2, 4, 6, 8}. Одреди скупове A ∩ V и V ∩ A. Да ли скупови A ∩ V и V ∩ A су различити? Одреди скупове A ∪ V и V ∪ A. Да ли су ови скупови једнаки?
Уочаваш да: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A За пресек два скупа важи комутативни закон. За унију два скупа важи комутативни закон.
6
Покажи да за пресек два скупа, односно за унију, два скупа В и С из 4 задатка, важи комутативни закон. Провери комутативни закон код њихове уније.
7
Uo~i!
Нека A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} и C = {1, 3, 5, 9}. Одреди A ∪ B, а затим (A ∪ B) ∪ C. Одреди B ∪ C, а затим A ∪ (B ∪ C). Дали (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)? Провери да ли важи: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Problem
За унију три скупа важи асоцијативни закон. За пресек три скупа важи асоцијативни закон.
Изабери три скупа A, V и S покажи да (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S). Ако се зна да x ∈ A ∪ B, дали важи и x ∈ B?
G
8
Разгледај цртеж. Веновим дијаграмом су представљени скупови А и В. Напиши табеларним записом скуп A и V.
A
1
6
5 2
7
8 B
3
9
Напиши табеларним записом скуп С чији су елементи они елементи скупа А, који нису елементи скупа В.
Скуп С = {1, 2, 5, 6} добијен на овакав начин је разлика скупа А и скупа В, односно S = A \ V.
14
Скуп С састављен од елемената која припадају скупу А, а не припадају скупу В, назива се разлика скупа А и скупа В. Записујемо: S = A \ V и читамо „С је једнако А минус В “. x ∈ A \ B значи: x ∈ A и x ∉ B.
9
Нека A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} и C = {3, 5, 7, 9, 11}. Напиши табеларним записом скупове: A \ B, B \ A, B \ C и A \ (B \ C). Дали A \ B = B \ A? ЈЕДНАКА ЧЕМУ ЈЕ ЗМЕЋУ? И А РАЗЛИК
Провери да ли је тачно: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C? За разлику скупова не важи комутативни закон, а ни асоцијативни закон.
10 Нека M = {x | x је природни број и x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} и P = {x | x је природни број из прве десетице}. Одреди: M ∩ Y.
Y ∪ R.
M ∪ (R \ Y).
P \ M.
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш пресек два скупа; Задати су скупови A = {a, b, f, g}, B = {b, c, e, f, 1, 2} и C = {b, c, e, 1}.
Да одредиш унију два скупа; Да одредиш разлику два скупа;
Напиши скупове:
Да за пресек, односно за унију, важе комутативни и асоцијативни закон.
Zadaci 1. На цртежу су Веновим дијаграмом
представљени скупови под а, б и в. Које операције представљају обојени делови ?
A ∩ B.
B \ C.
A ∪ B ∪ C.
Одреди δA и δM. Напиши табеларним записом A ∪ M, M ∩ A и M \ A. Одреди: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) и δ(M \ A).
3. Нека је Р скуп парних бројева, а Ѕ скуп непарних бројева прве десетице.
a)
b)
2. Задати су скупови
v)
A = {m, n, p, k} и M = {s, p, t, k, r}
Шта представља: а) унија Р и Ѕ; в) разлика Р и Ѕ; б) пресек Р и Ѕ; г) разлика Ѕ и Р? Образложи свој одговор за сваки од исказа под а, б, в и г.
5
УРЕЂЕН ПАР. ДЕКАРТОВ ПРОИЗВОД
15
Podseti se!
A 1 Дати су скупови {2, 3} i {3, 2}. Они су двоелементни скупови, односно састављени су од пара елемената. Да ли {2, 3} = {3, 2}? Za{to? У неким случајима, редослед елемената у пару има битан значај: пар рукавица, пар ципела и др.
На цртежу је предстваљена биоскопска дворана. Трећа столица у другом реду и друга столица у трећем реду су празне.
Ред и столица представљају један пар. Нека првим бројем пара означимо ред (2), а другим бројем означимо столицу (3). То записујемо са ( 2, 3) и кажемо да је то уређен пар.
Да ли уређени парови (2, 3) и (3, 2)означавају иста места у дворани? Они означавају различита места.
Пар (a, b) у коме се тачно зна који елемент је први, а који елемент је други, назива се уређени пар. У yређеном пару (a, b), a је прва компонента, док је b друга компонента.
Нека скуп A = {s, p, q}, а скуп B = {1, 2}.
2
Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа А, а друга компонента је елемент скупа В. Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа В, а друга компонента је елемент скупа А.
Da upamtim! Уређени пар (a, b) је једнак уређеном пару (c, d) ако a = c и b = d и записује се (a, b) = (c, d).
Да ли је уређени пар (s, 1) је једнак са (1, s)?
B
3
Нека A = {1, 2} и B = {a, b, c}. Састави скупове чији елементи су сви уређени парови коме је прва компонента из скупа А, а друга компонента је из скупа В.
Скуп коме елементи су сви уређени парови чија прва компонента је елемент скупа А, а друга компонента је из скупа В, назива се Декартов производ скупова А и В. Означава се A h V. Чита се А пута В. A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.
4
Задат је скуп S = {1, 2, 3} и Декартов производ S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Напиши скуп Р табеларним записом.
16
5
Задат је скуп A = {a, b}. Одреди Декартов производ A x A.
Uo~i i zapamti! A h A је Декартов производ скупа А. Декартов производ АхА назива се Декартови квадрат, означава се А². Чита се „А на квадрат“.
6
Одреди Декартови производ скупа M = {5, p}.
Treba da zna{! Proveri se! Да разлукујеш двоелементни скуп од уређеног пара; Да одредиш све уређене парове за два задата скупа; Шта је Декартов производ;
Задати су скупови A = {a, b}, B = {5, 55} и C = {m, n}. Напиши све уређене парове чија је прва компонента елемент скупа А, а друга компонента - елемент скупа С.
Да одредиш прву и другу компоненту уређеног пара;
Напиши скуп АхВ табеларним записом.
Шта је Декартов квадрат.
Напиши скуп В².
Zadaci 1. Напиши уређене парове коме је прва
компонента из скупа A = {2, 5}, а друга компонента из скупа В = {a, b, с}.
4.
Задат је скуп Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}. Одреди скуп Ѕ. Одреди скуп Р.
2. Који број треба да стоји на месту да би
Одреди Декартов квадрат скупа Ѕ.
уређени парови били једнаки: a) (5, ) = (5, 2); b) ( , 6) = (8, 6); v) ( , 3) = (7, )?
3. А је скуп имена: A = {Јован, Биљана, Драган}. В је скуп глагола: В = {пева, спава, учи}. Одреди Декартов производ A х В.
Уређени парови биће ми просте реченице. На пример: Јован пева.
6
17
НИЗ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА Prirodni brojevi!
Podseti se! 1
2
3
4
5
...
Колико клупа има у твојој учионици? Одреди број дечака у твом разреду? Прочитај бројеве: 23, 1005, 207, 987 000. Којим цифрама је написан број 813 265? Колико цифара се користи за записивање бројева? Које су то?
A 1
Цифрама напиши бројеве: сто педесет и шест ; деветстотина и један; један милион.
За сваког од тих бројева кажемо да је природни број.
Бројеви: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 99, 100, 101, 9 999, 10 000, ...називају се природни бројеви, а тако поређени један после другога образују низ природних бројева. Скуп природних бројева означава се са N; N = {1, 2, 3, 4, ...}. Број 0 се не рачуна за природни број. Зато 0 ∉ N. Скуп свих природних бројева и броја 0 се означава са N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
B 2
На цртежу уочаваш улицу и два реда кућа означених бројевима. Којим бројевима су означене куће са једне стране улице? Којим бројевима су означене куће са друге стране улице?
Бројеви: 1, 3, 5, 7, ... су непарни бројеви, a 2, 4, 6, 8, 10 ... су парни бројеви. Који од бројева: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 су парни, а који непарни?
3
V
4
a
Како ћеш да одредиш бројну праву? O
A
0
1
O
A
S
0
1
2
a
Ради према захтеву и следи цртеж. Нацртај праву a. На прави a означи две тачке О и А. Тачци О придружи број 0, а тачци А - број 1.
a
18
Дуж ОА узимамо за јединичну дуж, односно, OA = 1. На полуправи ОА, из тачке А, пренеси јединачну дуж ОА. Крању тачку означи са С и придружи јој број 2. Како ћеш одредити тачку која одговара броју 3?
Uo~i i upamti! На овај је начин одређена права на којој се могу представити природни бројеви. Та права се назива бројна права. Разгледај цртеж:
5
Који број је за 1 мањи од броја 6? Који број је за 1 већи од броја 6?
0
1
2
3
4
6
Број 5 је предходник броја 6, а број 7 је следбеник броја 6.
6
Који је предходник, а који је следбеник броја 100? Како се добија предходник, а како следбеник једног броја? Напиши један много већи природни број.
7
Додај број 1броју који си написао. Да ли има већег броја од броја који си добио?
Било ком броју могу да додам 1 и доби већи број.
Сваки број из низе природних бројева, осим 1, добија се када његовом предходнику додамо број 1. 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ... Сваки природни број има свог следбеника. Природни бројеви су поређани по величини: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ... Не постоји највећи природни број. Има бесконачно много природних бројева. Скуп N од природних бројева је бесконачан скуп. Уочи други пример за бесконачан скуп.
8
Скуп природних бројева чија цифра на месту јединица је 1, односно {1, 11, 21, 31, ...}. Који од следећих скупова је бесконачан? Скуп парних бројева.
Скуп непарних бројева.
Број становника Републике Македоније.
Број зрна песка на једној плажи.
9
Напиши подређене природне бројеве треће десетице у петој стотини.
Treba da zna{!
19 Ја сам следбеник!
Ја сам претходник!
Да разликујеш шта је цифра, а шта број; Да одредиш следбеник и предходник датог природног броја; Да представиш природни број на бројној прави; Да наведеш примере за бесконачне скупове.
Proveri se! Дате су цифре: 7, 4 и 0. Напиши све троцифрене природне бројеве користићи задане цифре. Поређај бројеве које си записао почевши од највећег броја. Напиши предходник и следбеник највећег броја којег си написао. Наведи пример за бесконачан скуп.
Zadaci 1.
На цртежу је књига са поцепаним странама.
2. 0
Који бројеви на бројној прави треба да се упишу у празна места? 10 20 30 40 50 60
100
120
140
160
Напиши речима број означен стрелицом.
0
Напиши бројеве страница књиге који су поцепане. Којим цифрама су написани бројеви страница? Напиши скуп А од парних бројева страница које недостају у књизи.
10
20
30
40
50
60
70
80
3.
Нацртај бројну праву и на њој означи парне бројеве од 0 до 20.
4.
Скуп Ѕ = {х | х је непарни природни број}, напиши табеларним записом. Који елемент је најмањи у скупу Ѕ ? Да ли скуп Ѕ има највећи елемент? Колико елемената има скуп Ѕ?
7
20
ДЕСЕТИЧНИ (ДЕКАДНИ) БРОЈНИ СИСТЕМ
012 34 56 7 8 9
Podseti se! Колико десетица има број 100? Колико хиљaда има број 3 865? Колико јединица има број 128 563?
1
A
Напиши цифрама број представљен у позиционој рачунаљки.
Напиши скуп С чији су елементи све цифре којима се записују природни бројеви.
Одреди δS.
SI
2
DI
JI
S
D
Има десет цифри.
Све природнe бројеве пишемо цифрама: 0, 1, 2, ....9. Бројеве записујемо у десетичном (декадном) бројном систему.
J
Разгледај табелу у којој је уписан број 7 143 528. Свака цифра броја је написана на одређеној позицији ( месту). Свака група од три цифре, полазећи с десна на лево, је записана у одређеној класи.
KLASA MILIONA SM
DM
KLASA HILJADA
KLASA JEDINICA
JM
SH
DH
JH
S
D
J
7
1
4
3
5
2
8
У класи милиона на позицији јединица милиона је записана цифра 7. Која је њена позициона вредност?
На којој позицији је записана цифра 2? Позициона вредност цифре 4 у броју 7 143 528 је четрдесет хиљаде. Која је позициона вредност цифре 3, а која цифре 8?
Сетио сам се!
7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.
У запису бројева свака цифра показује број јединица или број десетица или број стотина итд., у сагласности са позицијом где је записана.
3
Разгледај табелу са подацима о броју 34 509.
21 Ми смо исте
34 509 Cifra
Klasa
Позиција у којој је записана цифра
Позициона вредност цифре
3
Хиљаде
DH
30 000
4
Хиљаде
JH
4 000
5
Јединице
S
500
0
Јединице
D
0
9
Јединице
J
9
Ја вредим више
2 20
Састави табелу о броју 2 628 и у њој упиши податке за сваку цифру.
4
Уочи ! За колико пута се увећала вредност цифре 3 почевши од позиције јединица?
Бројеви 1, 10, 100, 1000 итд. зову се декадне јединице (десетич-
JH
S
D
3
3
3 ⋅100 ⋅10
Напиши све декадне јединице до 10 000 000.
⋅1 000
5
B
Напиши број који садржи цифру 1, а иза ње су дописане: а) 3 нуле; б) 6 нуле; в) 9 нуле; г) 12 нула; д) 18 нула. Како се зове записани број под а, а како под б?
Upamti! Знам одговоре под а и б. Како ли се зову остали бројеви?
6
Број, записан као :
1 000 000 000, назива се једна милијарда; 1 000 000 000 000 је један билион; 1 000 000 000 000 000 је трилион.
Напиши цифрама број „педесет милијади осамстотина милиона и двеста хиљада“. Која је позициона вредност цифара 5, 8 и 2 у броју 50 800 200?
J 3
22
Treba da zna{!
Да одредиш класе вишецифрених бројева; Да одредиш позициону вредност сваке цифре датог броја; Да су цифре су знакови за писање бројева.
Proveri se!
Разгледај цртеж! Прочитај број предстаљен на позиционој рачунаљци. Која цифра је записана на позицији десетице хиљаде и која је њена позициона вредност?
JM
SH
DH
JH
S
D
J
Zadaci 3. Напиши цифрама број „осам билиона 1. Задат је број 5 203 478. За свакуод цифара 5, 2, 7, 0 одреди:
триста и две милијарди шездесет милиона четиристотине хиљада и петсто“
а) у којој се класи налази; б) која је њена позиција; в) која је њена позициона вредност.
2. Састави табелу од класе и позиције у
којој ћеш записати цифре броја 7 405 906.
4. Који ћеш број добити ако трилиону обришеш сваку другу нулу?
5. Како се чита број 5, а како цифра 5? 6. Како се зове број који има милион милиона?
Problem Седмоцифрени број почиње цифром 7. Како и да разместиш цифре тог броја, број се не мења. Који је тај број?
8
ЧИТАЊЕ И ЗАОКРУЖИВАЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A
1
Напиши речима број: 16; 23; 45; 125; 50; 200.
23
Напиши речима бројеве: a) 157; b) 216; v) 350.
Упореди твоје записивање са задатим. У којим од записаних бројева си употребио везник „и“ код изговарања?
а) сто педест и седам; б) двеста и шеснаест; в) тристотине и педесет.
Уочи читање бројева и употребу везника „и“. Везник „и“ се не користи ако је број састављен од једне речи (име класе се не рачуна).
У свакој класи: јединица, хиљада, милиона,...везник „и“ се користи између задње две речи, тј. два броја (име класе се не рачуна).
15 - петнаесет; 700 – седамстотина 50 000 - педесет хиљада. и две хиљаде 302 413 - триста четиристотина и тринаест. 5 020 340 - пет милиона двадесет хиљада триста и четрнаест
Везник „и“ се користи и међу класама, ако задње две речи (бројеви) припадају различитим класама.
2
Напиши речима бројеве: 200 000;
B
4
300 200 - триста хиљаде и двеста. милиона триста и две 8 302 100 - осам хиљаде и сто.
3
20 300 000;
70 112 500;
9 326 540 217.
На једној кошаркашкој утакмици репортер је рекао да утакмицу прати око 2 000 гледаоца. Репротер је рекао приближан Да ли је репортер је рекао тачан број број гледаоца. гледалаца?
Бројеви 32, 35 и 37 су представљени на бројној прави.
30
32
Које су суседне десетице представљених бројева? Одреди разлику сваког од бројева до суседних десетица. До које је суседне десетице ближи сваки од бројева?
35
37
40
24
Sagledaj odgovore
За дате бројеве број 30 је мања суседна десетица, а 40 је већа суседна десетица. 32 - 30 = 2;
40 - 32 = 8. Број 32 је ближи броју 30.
37 - 30 = 7;
40 - 37 = 3. Број 37 је ближи броју 40.
35 - 30 = 5;
40 - 35 = 5. Број 35 је тачно између бројева 30 и 40.
Ka`emo da Број 32 је приближно једнак броју 30. Записујемо 32 ≈ 30. Број 37 је приближно једнак броју 40. Записујемо 37 ≈ 40. Број 35 је тачно између бројева 30 и 40. По договору записујемо 35 ≈ 40. Ово записивање назива се заокруживање бројева на десетице.
5
Заокружи на десетице бројеве: 148, 243, 2 671, 3 585 и 74 598.
6
Бројеви: 3 435 и 3 468 су представљени на бројној прави.
3 400
3 435
3 468
3 500
Одреди разлику сваког од бројева до суседне стотице. До које суседне стотице је ближи сваки број? Заокружи сваки број на стотице. Сагледао си да је 3 435 је ближе до 3 400, а 3 468 - до 3 500. Бројеви зокружени на стотице су: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500. Када при заокруживању једног броја цифра на позицији стотина остаје иста, а када се увећава за 1? Цифра на позицији стотина остаје иста ако је цифра на позицији десетица број мањи од 5, а увећава се за 1 ако је цифра на позицији десетица 5 или број већи од 5.
7
Заокружи стотице код бројева: 1 372, 2 145, 1 653 и 4 898.
8
Заокружи на хиљаде бројеве: а)21 363; 47 612; 43 577. б)4 803; 13 501; 177 982.
Sagledaj re{ewe a)
25
21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000. Увидео си да код заокруживања неког броја до одређене позиције ( десетица, стотица, хиљада....) поступаш на следећи начин:
Цифра на тој позицији остаје иста ако је после ње нека од цифри: 0, 1, 2, 3 или 4, а она се увећава ако после ње следи нека од цифри: 5, 6, 7, 8 или 9.
Све цифре десно од те позиције се замењују нулама.
9
Заокружи број 35 738 на: а) десетице, б) стотице; в) хиљаде; г) десетице хиљада.
Treba da zna{! Proveri se! Да правилно читаш природне бројеве, мање или веће од милиона;
Прочитај број: 5 200; 45 678 350.
Да заокружујеш природне бројеве на: десетице, стотице и хиљаде.
Заокружи на десетице, стотице и хиљаде број: а) 34 752; б) 224 750.
Zadaci 1. Напиши речима бројеве: 2 345; 250; 6 400 310.
2.
7.
Да ли постоји највећи природни број? Који је најмањи природни број?
Напиши цифрама број „Триста милиона двеста и пет хиљада и осам стотина“.
Напиши цену аутомобила речима.
3. Који од знакова <, = или > треба да стоји у кружићу да би било тачно?
12 245
12 250;
12 245
12 245
12 200;
12 245
12 240; 12 300.
4. Да ли је број 24 375 ближе
1 216 358 den. Poku{aj da re{i{!
а) до 24 700 или до 24 600; б)до 24 000 или до 25 000?
5. Заокружи број 25 375 на: десетице; стотице; хиљаде.
6. Заокружи број 15 409 632 на хиљаде.
Не би имало смисла да кажеш број твог телефона, као заокружени број. Покушај да пронађеш два примера где не би имало смисла да заокружујеш бројеве.
a B R A D P O D A C I M A .
26
S A
9
ИНСТРУМЕНТИ ЗА САКУПЉАЊЕ ПОДАТАКА
Сакупљање података ради се на више начина: анкетирањем, посматрањем, мерењем, бројањем, узимањем из литературе и др. Инструменти (средства) за прикупљање података су: упитник, анкетни лист, објављени прегледи и други статистички подаци.
1
Анђела и Жаки су спровеле истраживање о ваннаставним активностима ученика из свог разреда. Питале су ученике у којим друштвима чланује свако од њих. Податке су прво записивале цртицама, а затим су их уредиле и направиле су табелу. Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)
Broj
Табела са цртицама
2
Dru{tvo (aktivnost) Delikates (ko{arka) Akvaten (tenis) Partizan (gimnastika) Spartak (karate)
Broj
У табели је дат број података. Она се зове табела фреквенција.
9 13 15 3
Табела фреквенција
Колико је укупно ученика одговорило на питање? Образуј нову табелу фреквенција тако да податке уредиш према величини броја (почевши од највећег)
Илија је спровео истраживање о бојама бицикла које се најчешће срећу у његовом селу. Сакупио је податке тако што је посматрао децу са бициклима у школском дворушту и попунио је листу цртицама. Образуј табелу фрекфенција Boja Плава Zelena @uta Crna Crvena
3
Broj
Поређај податке почевши од најмањег. Колико бицикла је записао Илија? Која боја бицикла је најзаступљенија? Илијино посматрање је један од начина којим се могу сакупити подаци. Подаци се могу сакупити на различите начине: преко телефона, шаљући упитнике поштом, користећи книге, часописе и др.
Марија је сакупила податке о омиљеном годишњем добу својих саученика. Уочи листу: П -пролеће; Л -лето; Ј -јесен; З -зима. P P L Z Z J P L J Z Z P L J Z Z P P L L L J Z P J J Z Z P P P L J P P Z L J
Представи податке у табели фреквенција и поређај их почевши од најомиљенијег годишњег доба.
10
27
САБИРАЊЕ
Podseti se!
A
Израчунај: 14 + 35
353 + 168
47 + 803
98 796 + 14 534
Маре и Миле живе у Кочанима. Отишли су на одмор у Стругу, али су се један дан задржалеи код баке у Битољу.
1
Ko~ani
90 km Bitoq Struga
68 + 37 + 3 + 916 =
190 km
Колико километара су прешли Маре и Миле од куће до своје баке? Колико километара су прешли од Кочана до Струге?
B 2
Одреди број збира бројева 52 и 34.
Потсети се и уочи особине сабирања у скупу N0. Ако се промени место сабирка збир остаје непромењен. Промена места сабирака или комутативни закон сабирања. 52 + 34 = 86 sabirci
ili
zbir
34 + 52 = 86 sabirci
a+b=b+a
zbir
Три сабирка могу се групирати на два начина. Збир остаје непромењен. (71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) = 185
+ 16 = 201
71 +
130
= 201
Када је један од сабирака нула, онда збир је једнак другом сабирку.
Групирање сабирака или асоцијативни закон сабирања. a + (b + c) = (a + b) + c Зато се заграде могу изоставити: a + b + c. Нула при сабирању a+0=0+a=a
583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583
3
Израчунај! 17 + 36 + 13 + 44 =
Лакше је када се користе закони сабирања!
Primer
12 + 81 + 9 + 38 + 27 = 161 + 234 + 439 =
27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89
28
Групирај податке на другачији начин и одреди збир:
4
45 + (45 + 56) =
5
V
( 1 207 + 101) + 269 =
Одреди збир бројева: 74, 33, 26, 48 и 57. Одреди збир бројева: 140, 310, 750, 360 и 290. Збиру бројева 124 и 139 додај збир бројева 261, 55 и 276. Одреди претходнике сваком од бројева 372, 126 и 319 и израчунај збир свих претходника.
Процени збир бројева заокруживањем на стотице. a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.
6
За колико се разликује приближни резултат од тачног збира бројева?
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш збир два или више бројева;
У табели су дати подаци о броју ученика у VI разреду у једној школи.
Да примениш законе сабирања у једноставним примерима;
Девојчице
VIa
17
14
VIb
14
17
VIv
9
22
Одреди број ученика VI а и VI б,а затим их упореди.
44 + 27 + 51 + 33 + 19 =
Zadaci
27
Дечаци
Одреди укупни број ученика VI разреда те школе.
Да процениш резултат сабирања.
1. Израчунај:
Разред
171
+ 72
39
1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =
+ 16
4. Направи процену збира бројева 7 328 и 6 + 93
+ 39
2. У једном часопису пише:
„ На отварању фестивала присуствовало је 1 300 посетиоца. Наредног дана представу је гледало 726 посетиоца. Колико је посетиоца посетило фестивал у два дана?
3. Групирај сабирке и одреди њихов збир: 64 + 33 + 36 + 48 + 57 =
435, заокружујући их на: хиљаде, стотице, десетице. За колико се разликују приближни резултати од тачнихг збирова бројева?
Problem! Број 2 је написан седам пута. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 Који је најмањи збир који може да се добије од седам двојки и два знака плуса?
11
29
ОДУЗИМАЊЕ
Podseti se! Израчунај: 475 - 232 -
2 685 518
1 852 - 800 -
A
9 840 189
Који број треба да стоји у квадратићу да би исказ био тачан? 47 -
= 19
28 +
= 47
Летње олимпијске игре 2000. године биле су у Сиднеју – Аустралији. Олимпијски комитет је потражио да буду резервисано 4 830 улазница за свечано отварање, али слободна су била 3 892 седишта. Колико људи је остало без улазница?
4 830 - 3 892 = Умањеник умањилац разлика
+ 19 = 47
2
1
Користи податке из табеле да би одговорио на питања.
Olimpijada 1992 Ekipa
Poeni
Italija
15 760
Amerika
15 649
Poqska
16 018
Колико поена више је освојила пољска екипа од италијанске екипе? Која је разлика између највећег и најмањег броја поена?
Да би могао да израчунаш разлику a - b бројева a i b у скупу N0 треба да је a > b ili a = b.
B 3
У једној пекари се сваког дана испеку по 5 000 хлебова. У табели су задати подаци о продатом хлебу у једној седмици. Колико укупно хлеба производи пекара за једну седмицу? Према подацима у табели израчунај колико укупно хлеба је остало непродато.
Dаn
Бр. хлебова
Ponedeqak
1 260
Utorak
4 205
Sreda
4 728
^etvrtak Petak
3 916 4 010
Subota
4 857
Nedeqa
1 376
30
4
Процени разлику бројева 457 и 165 заокружавајући бројеве на десетице и стотице. Упореди процене са тачном вредношћу разлике.
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш разлику два броја; Да израчунаш бројни израз са операцијама сабирање и одузимање са и без заграда; Да процениш разлику код одузимања.
Израчунај: (26 + 128) - 37 =
; 432 - (26 + 15) =
(439 - 195) + (270 - 36) =
;
.
Процени разлику бројева 2 376 и 1 289 заокружујући бројеве на стотине.
Zadaci
1.
Броју 836 додај разлику бројева 299 и 173. Разлику највећег четвороцифреног броја и најмањег троцифреног броја увећај за 1 216.
2. Воз је кренуо из Битоља за Скопље са 489 путника. У Прилепу је из воза сишло 120 путника, а попело се 70 путника. У Велесу су сишла 42 путника, а попела се 98. Са колико путника је воз стигао у Скопље?
3.
Весна има 2 725 денара. Маја има 210 денара више од Весне. Ана има 385 денара мање од Весне и Маје заједно. Колико денара има Маја? Колико денара има Ана?
4.
Асан је имао 1 350 денара. Да би купио патике потребно му је 3 120. Асан је заокружио паре на стотице. Помози Асану да одреди још колико му новца недостаје. Израчунај тачно колико новца недостаје Асану.
Poku{aj!
Ако замислиш било која три природна броја, да ли ћеш увек између њих имати број који је паран?
12
ЗАВИСНОСТ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ КОМПОНЕНАТА
Podseti se!
A
1
Дати су збир 320 + 150 = 470 и разлика 250 - 120 = 130.
31
Ујутру, на „Дан дрвета“ донето је 2 600 зимзелених садница и 3 100 листопадних. а) Коликоје укупно садница донешено тог јутра?
Који број треба да стоји у квадратићу да би једнакост била тачна? (320 + 30) + 150 = 470 + ; (320 - 30) + 150 = 470 ; (320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?
б) Поподне је донето још 400 зимзелених садница. За колико ће се увећати број садница донетих тог јутра?
Упореди твоје решење са датим. a) 2 600 + 3 100 = 5 700; Тог јутра донето је 5 700 садница. b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Број садница донетих тог јутра увећао се за 400.
2
Познато је да a + b = 200. Нека се један од сабирака увећа за 300. Израчунај збир a + (b + 300).
3
Како ће се променити збир 340 + 620 = 960, ако се: а) један сабирак умањи за 60; б) један сабирак умањи за 60, а други се увећа за 60? a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 = = 900 = 960 - 60;
a) Збир се умањио за онолико за колико се умањио и један од сабирака.
Uo~i da b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; збир се није променио.
Uo~i uop{teno o zbiru a + b = c Ако се један сабирак увећа за одређени број, а други остане исти, онда ће се и збир увећати за исти тај број.
(a + m) + b = c + m
Ако се један сабирак умањи за одређени број, а други остане
(a - m) + b = c - m
исти, онда ће се и збир умањити за исти тај број.
Збир се неће променити, ако се један сабирак умањи за одређе ни број, а други сабирак се увећа за исти тај број.
(a - m) + (b + m) = c
32
B
4
4.) Задата је разлика 750 - 430 = 320. Израчунај и уочи како се мења разлика ако се умањеник: а) увећа за 50; б) умањи за 50.
Свакако си уочио: a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 = = 370 = 320 + 50.
Разлика се увећала за 50, тј. за исто онолико за колико је умањеник увећао.
б) Разлика ће се умањити за 50
5
Дата је разлика 2 480 - 560 = 1 920. Како ће се променити разлика ако се умањилац: а) умањи за 30; б) увећа за 30? Разлика ће се:
6
а) увећати за 30;
б) смањити за 30.
Израчунај разлику 6 354 - 2 314. Како ће се променити разлика ако се умањеник и умањилац: а) увећају за 120;
б) умање за 120?
Уочи да разлика остаје иста.
Uo~i uop{te o razlici a - b = d се умањеник увећа (односно, умањи се) за одређени број, а Ако умањилац остане исти, онда ће се и разлика увећати (односно, умањити ) за исти тај број. се умањилац увећа за одређени број, а умањеник остане Ако ист, онда ће се и разлика умањити за исти тај број. Ако се умањилац умањи за одређени број, а умањеник остане исти, онда ће се и разлика увећати за исти тај број.
Разлика неће се променити ако умањеник и умањилац се увећају или умање за један исти број.
7
(a + m) - b = d + m (a - m) - b = d - m a - (b + m) = d - m a - (b - m) = d + m (a + m) - (b + m) = d (a - m) - (b - m) = d
Како ће се променити разлика, ако се умањеник увећа за 10, а умањилац се умањи за 10?
Treba da zna{! Како се мења збир два броја, ако се један сабирак:
Како се мења разлика два броја, ако се: умањеник увећа, односно умањи за неки број; умањилац умањи или увећа за неки број;
увећа за неки број; умањи за неки број; увећа за неки број, а други сабирак се умањи за тај број?
и умањилац и умањеник увећају, односно умање, за исти тај број.
33
Proveri se! Збир два броја износи 3 540. Колико износи збир ако се један од сабирака умањи за 140?
Разлика два броја је 270. Колико износи разлика ако се: а) умањеник умањи за 27? б) умањилац увећа за 27? Израчунај 460 – 120. Одреди x у једначини: (460 + x) - (120 + 58) = 340.
Zadaci
1.
Како ће се променити збир ако један од сабирака се увећа за 234?
2.
Ако је 1 230+670 = 1 900, колико је онда (1 230- 350) + 670?
3.
Задата је разлика 6 543 - 2 732 = 3 811. За коју вредност x је тачна једнакост 6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.
4.
Ако увећаш умањилац за 25, шта треба да се уради са умањеником да би разлика остала непромењена?
5.
Ako a - b = 100, izra~unaj: a) (a - 20) - (b - 20); b) (a + 30) - (b + 30); v) (a - 10) - (b + 10); g) (a + 5) - (b - 5);
6.
Једног јутра Милица је добила извесну суму новца од свог оца и извесну суму новца од своје мајке. Од мајчиног новца је потрошила 100 денара. То вече, отац јој је дао још 200 денара и она је утврдила да има 700 денара. Колико денара је укупно тог јутра добила Милица од свог оца и своје мајке?
Problem Размисли и покушај да израчунаш усмено. Колика је разлика између збира првих сто парних бројева и збира првих сто непарних бројева?
13
34
МНОЖЕЊЕ
Podseti se! 35 ⋅ 5 =
480 ⋅ 3 =
1 260 ⋅ 38 =
4 004 ⋅ 20 =
145 ⋅ 23 =
2
1
A
Израчунај
Један аутомобил троши 7 литара бензина ако прође пут од 100 километара. Колико бензина ће потрошити аутомобил за 400 километара?
(3 ⋅ 5) ⋅ 200 =
Драган је путовао 5 дана са својим бициклом и сваког дана је пролазио по 9 километара. Зоран је путовао 6 дана са својим бициклом и сваког дана је пролазио по 8 километара. Колико је километара више прешао Зоран од Драгана? Потсети се и уочи особине множења у скупу N0.
Ако се промене места чиниоца производ остаје непромењен.
4 ⋅ 6 = 24
чиниоци
ili
производ
6 ⋅ 4 = 24 чиниоци
10 ⋅ 30
3
= =
2 ⋅
a⋅b=b⋅a
производ
Три чиниоца се могу груписати на два начина. Производ остаје непромењен. (2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)
Комутативна особина множења.
15
30
Ако је један од чиниоца број 1, онда је производ једнак другом чиниоцу. 468 ⋅ 1 = 468
Асоцијативна особина множења. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) Зато се заграде могу изоставити: a⋅ b⋅ c. Множење бројем 1 a⋅1= a
Ако је један од чиниоца нула, ондаје производ једнак нули. Множење бројем 0 0 ⋅ 235 = 0
0⋅a= 0
Када се користе особине множења, много је лакше!
Израчунај
3
2 ⋅ (50 ⋅ 9) =
35
Primer
(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =
(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700
50 ⋅ (4 ⋅ 8) = Израчунај
4
96 − 2 ⋅ (30 − 18) =
40 + (130 ⋅ 10) = (280 + 32) ⋅ 8 =
Тачке иду испред цртица
Израчунај
5
40 ⋅ (25 + 5) =
Али, прво у заградама!
i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =
Какве су вредности бројних израза? Провери да ли је тачно? (68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5 Како се образују изрази које упоређујеш? Уочи да:
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c);
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.
Овим једначинама је исказана је:
дистрибутивна особина множења у односу на сабирање; дистрибутивна особина множења у односу на одузимање. Процени производ 324 • 48, заокружујући чиниоце на десетице. За колико се разликује добијена приближна вредност од тачне?
6
320 • 50 = 16 000; 324 • 48 = 15 552; процена је за 448 већа од тачне вредности.
B
7
Јован је пешачио 4 седмице, по 4 дана седмично, по 4 километара дневно. Колико километара је прешао Јован?
Sagledaj! Производ бројева 4 • 4 • 4 кратко се записује 4³, а чита се : четири на три. Запис 4³ назива се степен са основом 4 и степеновим показаоцем 3.
Da upamtim: Производ једнаких чиниоца кратко записан назива се степен.
36
STEPENOV POKAZATEQ
4 3
STEPEN
Кратко напиши множење и производ.
OSNOVA
Множење
Кратки запис
4⋅4⋅4 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
43
Вредност 64
6⋅6 8⋅8⋅8⋅8
Шта показује основа степена?
Шта показује степенов показатељ? Напиши 108 у облику множења. Одреди вредност 14. По договору: 51 = 5; a1 = a.
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш производ два или више броја; Да примењујеш особине множења; Да процениш производ множење два броја; Да одредиш вредност степена.
Илија и Јован купили су 8 пакета, у којим је имало по 8 бомбоњера са по 8 бомбона у свакој. Колико пакета су купили Јован и Илија заједно? По колико бомбоњера је имао сваки од њих? Колико бонбона је имао Јован? Напиши број Јованових бонбона у облику степена.
Zadaci 1.
3.
Полупречник Земље износи 6 370 километара. Растојање од Земље до Месеца је веће око 60 пута од полупречника. Одреди растојање од Земље до Месеца.
4.
Процени производ 127 • 268 заокружујући на а) стотине; б) десетице. Одреди разлику тачног и процењеног производа.
Израчунај! 186 ⋅ 35 = (427 ⋅ 5) ⋅ 24 = (1 376 - 376) ⋅ 100 = 50 ⋅ (60 + 80) = 496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 = 73 = 42 + 4 + 34 - 25 =
2.
У једном збиру број 245 јавља се као сабирак 48 пута. Израчунај тај збир.
439 ⋅ ∗7
5. Које цифре треба да се
запишу на место *, да би множење било тачно израчуна
3∗73 +
∗756 2∗633
14
37
ДЕЉЕЊЕ
Podseti se! Израчунај! 14 : 7 =
22 : 2 =
396 : 3 =
20 : 10 =
88 : 22 =
A 1
1 200 : 60 =
Провери добијене резултате!
Ученици су добили 1 300 денара да купе лопте. Свака лопта коштала је по 325 денара. Колико су лопти купили? 1 300
2
Укупно 84 ученика пријавило се на турнир одбојке. За тренера екипе се пријавило 6 наставника.
:
325
Дељеник делилац
= количник
Ако је свака екипа састављена од 12 ученика, да ли је број наставника тренера довољан?
Потсети се и уочи особине дељења у скупу N0. Ако је делилац број 1, онда је количник једнак дељенику.
Дељење бројем 1 a:1=a
23 765 : 1 = 23 765 Ако је дељеник једнак делиоцу, онда је количник 1. 762 : 762 = 1 Ако је дељеник је број 0, онда је количник увек 0. 0 : 16 = 0 Број 0 не може да буде делилац.
3
Дељење броја самим собом. a : a = 1, a ≠ 0 Дељење броја бројем 0. 0 : a = 0, a ≠ 0 2:0
нема смисла!
Израчунај: (28 + 32) : 1 =
432 : 3 + 168 =
(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 = 108 : 18 + 3 485 : 85 = Одреди дељеник, ако је делилац 72, а количник број 102. Којим бројем треба да се подели број 18 712 да би се добио број 1? 76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =
Увек сам ја први
n a
Тачке иду пре цртица
38
B 4
Ивана, Бојана и Бети сакупљају поштанске марке. Сакупиле су 71 марку и хтеле су да их поделе подједнако. По колико поштанских марака је добила свака? Колико поштанских марака је остало неподељено?
Уочи да 71 = 23 ⋅ 3 + 2. Удељењу 71:3, број 23 је количник, а број 2 остатак.
Ако је у дељењу a : b, број q количник, а r је остатак, онда: a=q⋅b+r
Ako a = 77 i b = 5, одреди количник a : b и остатак r.
5
Напиши број a у облику a = b ⋅ q + r.
Одреди количник q и остатак r код дељења a : b и запиши број у облику a = b ⋅ q + r.
6
16 : 3;
50 : 15;
125 : 11.
Razmisli i odgovori! Код дељења у коме је делилац број 8, остатак може да буде: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Зашто остатак не може да буде број 8?
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш количник два броја.
Израчунај количник бројева: 1 584 : 9 = 17 472 : 84 =
Да представиш дељеник уз помоћ количника, делилоца и остатка.
Израчунај 1 510 : 125 = Дељеник представи уз помоћ количника, делиоца и остатка.
Zadaci :3
1.
Подели први број, а затим добивени резултат подели другим бројем.
:6
:7
18
42
54
84
108
98
:2
2. Који број треба да се упише у квадратић да би дељење било тачно?
72
:9 : 19 : 19
63 9
600
4
169
:
9 :
5.
Једно јато ласта прелетело је 39 око 10 000 километара док је трајала сеоба. Највећа брзина коју је достигло јато била је 40 километара на сат. Колико је најмање часова летело јато?
50
:
13 Један пуж својом највећом брзином прешао је 12 метара за 4 сата. Колико центиметара је прешао пуж за 1 минут?
Присећам се: :
:5
4 10 ⋅5
2 = 10 : 2
3. Напиши израз и израчунај његову вредност.
6. Које цифре треба да се ставити уместо *, да би дељење било тачно?
Одреди збир броја 85 и производа бројева 4 и 15. Количнику бројева 210 и 30 додај број 700. Који број је разлика између производа бројева 120 и 6 и њиховог количника?
1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗ ∗∗∗ - ∗∗∗ 0
7. Два ученика су делила један исти број: 4. У квадратић упиши број да би важила јед-
први са 16, а други са 19. Први је добио количник 22 и остатак 9. Који количник је добио други ученик?
накост:
a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + b) 2 100 = 261 ⋅
+ 12.
;
8. Збир два броја је 660. Ако већем броју
обишемо једну нулу с десна, онда ће бројеви постати исти. Који су то бројеви?
40
15
ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА И КОЛИЧНИКА ОД ПРОМЕНЕ КОМПОНЕНАТА
Podseti se!
A 1
Према којој особини је тачна једнакост: a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10; b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)? Задато је 80•5 = 400. Упиши одговарајући број у квадратић, да би једнакост била тачна. a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ; v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) =
; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 =
.
ДЕЉЕНИК
ДЕЛИЛАЦ
Упореди твоје решење са следећим. 15 ⋅ 6 = 90; a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2. Задати производ се 2 пута увећао.
96 : 24 = 4
Израчунај производ 15•6. Затим увећај први чиниоц : а) 2 пута; б) 3 пута; в) 7 пута и провери колико пута се увећао производ. Шта уочаваш?
КОЛИЧНИК
КОМПОНЕНТЕ Дељење a : b има смисао за b ≠ 0.
Увидео си да се дати производ увећао б) 3 пута; в) 7 пута.
2
Нека a ⋅ b = 50. Израчунај: a) (a ⋅ 3) ⋅ b;
3
Израчунај производ 40 • 9. Затим, први чиниоц умањи за: а) 2 пута; б) 4 пута; в) 5 пута и упореди добијен производ са задатим. Шта примећујеш? Упореди твоје решење са задатим. 40 ⋅ 9 = 360; a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.
b) a ⋅ (b ⋅ 10).
Један чинилац је умањен 2 пута и дати производ је умањен 2 пута.
Производ је умањен: б) 4 пута; в) 5 пута.
4
Ako a ⋅ b = 120, израчунај колико износи:
a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).
5
Задато је 15•16=240. Израчунај производе: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5), а затим упореди добијене производе са датим производом. Уочи да први чинилац је увећан за 2 пута, односно 5 пута, а други чинилац је умањен 2 пута, односно 5 пута. Производ се није променио.
41
Op{te o proizvodu a ⋅ b = p Ако се један чинилац увећа за одређен број пута, а други чини лац остане непромењен, производ ће се увећати за исто толико пута.
(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m
Ако се један од чинилаца умањи за одређен број пута, а други чинилац остане непромењен, онда и ће се производ умањити за исто
(a : m) ⋅ b = p : m
толико пута.
Производ се не мења када се један чинилац умањи за одређен број пута, а други се увећа за исто толико пута.
B 6
Познато ти је да 72 : 12=6. Израчунај: a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = v) (72 : 4) : (12 : 4) =
;
b) 72 : (12 ⋅ 3) =
; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) =
(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p
; 72 : (12 : 3) =
.
Уочи колико пута је увећан, односно умањен: дељеник у: а) делилац у б); дељеник и делилац у в). Упореди добијене количнике, датим количником. Шта примећујеш? Упореди решење са следећим: a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2; (72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.
Дељеник је увећан два пута, односно умањен 2 пута и количник је увећан 2 пута, односно умањен 2 пута.
Увидео си у б) да делилац је увећан (умањен) 3 пута, а количник је умањен (увећан) 3 пута. Количник у в) се није променио.
7
Познато ти је да a : b = 30. Израчунај a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3);
v) (a : 5) : (b : 5).
Op{te o koli~niku a : b = q се дељеник увећа (односно умањи) одређен број пута, а Ако делилац остане непромењен, количник ће се тада увећати (односно умањити) за исто толико пута. Ако се делилац увећа (односно умањи) за одређен број пута, а дељеник остане непромењен, количник ће се тада умањити (односно увећати) за исто толико пута.
Количник се не мења ако се и дељеник и делилац истовремено увећају (односно умањују) за исти број пута.
(a ⋅ m) : b = q ⋅ m (a : m) : b = q : m a : (b ⋅ m) = q : m a : (b : m) = q ⋅ m (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q (a : m) : (b : m) = q
;
42
Treba da zna{! Proveri se!
Како се мења производ два броја у зависности од промене чинилаца.
Одреди непознате бројеве p i m, ako: a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9; b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.
Како се мења количник два броја у зависности од промене дељеника, односно делиоца.
Знаш да је 600:30=20. Израчунај: a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4); v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).
Zadaci 1.
2.
3.
Задат је производ a ⋅ b = 60. Израчунај: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7); v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6). Задат је количник a : b = 90. Израчунај: a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6); v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12). Задато је a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Израчунај: a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).
4.
У фабрици чоколаде, две екипе су паковале чоколаду од по 100 g у једнаким кутијама. Друга екипа је спаковала укупно 1 680 чоколаде, а то је 3 пута мање кутија него што је прва екипа спаковала. Колико чоколада је спаковала прва екипа?
5.
Израчунај количник 7 680 : 240, али га пре тога сведи на дељење са једноцифреним дељитељем, користећи особине непроменљивости количника.
Zanimqiv problem!
Једна жена донела је на пијац корпу са јајима. Првом купцуи је продала половину свих јаја и пола јајета, другом купцу половину од преосталих јаја и пола јајета, трећем половину јаја од остатка и пола јајета и четвртом половину преосталих јаја и пола јајта. Када је пети купац купио половину од остатка и пола јајета, констатовало се да су сви купци већ купили цела јаја и да је жена продала сва јаја. Колико је јаја жена донела на пијац?
16
БРОЈНИ ИЗРАЗ. ЈЕДНАЧИНЕ.
Podseti se!
A 1
Израчунај! a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3; b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23. Збир два броја је 200, а један сабирак је 120. Који је други сабирак?
120
Израчунај бројни израз.
Uporedi svoje re{ewe sa zadatim
⋅ x
200
x
64
128
x
− 120
: 64
64 ⋅ x = 128 x = 128 : 64 x=2
120 + x = 200 x = 200 - 120 x = 80
Дарко је имао 120 денара. Мајка му је дала 300 денара да их подели подједнако са сестром. У књижари је купио 4 свеске од по 35 денара и шестар за 50 денара. Колико денара је остало Дарку? Састави израз од података и одговарајуће операције.
Производ два броја је 128, а први чинилац је 64. Колико износи други чинилац? +x
43
120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 = = 270 - 190 = 80. Изарз који си поставио назива се бројни израз. Резултат по извршењу свих операција у њему назива се вредност бројног израза.
Uo~i i zapamti Изрази су следећи записи: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25). Нису изрази: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).
2
Одреди вредност бројног израза: a) 85 + 15 -30;
b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;
v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.
По ком редоследу ћеш извршавати операције?
Прво ћеш извршавати операције множења и дељења, а затим сабирања и одузимања; али пре свега радиш операције у заградама.
Сабирање и одузимање називају се операције првог реда, а множење и дељење операције другог реда.
44
3
Опште о редоследу операција у извршавању Операције истог реда извршавају се редоследом како су записане у бројном изразу.
Прво се извршавају операције другог реда, а затим операције првог реда. Ако у бројном изразу има заграда, онда предност има извршавање операција у заградама.
Израчунај вредност бројног израза: a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6;
B 4
b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2;
v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.
Рифат је замислио један природан број, који, сакупљен са највећем троцифреним бројем даје број 1 234. Који је то број?
Уочи поступак и поступи по захтевима Најпре, тражени број означи словом, на пример x.
x
+ 999 = 1 234
Броју x додај највећи троцифрени број, а то је 999; тако ћеш добити збир x+999. Према условима задатка, збир x+999 је једнак броју 1 234, па x+999= 1 234. Како ћеш да одредиш непознати сабирак ове једначине?
Сабирак x ћемо одредити тако што ћемо од збира 1 234 одузети други сабирак 999. Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235. Једнакост x + 999= 1 234 којом си одредио непознати број x назива се једначина. Непознати број x зове се непозната. Одређивање непознатог броја зове се решење једначине.
5
Реши једначину: a) (x + 1) + 300 = 702;
b) 1 432 + x = 3 200 + 17.
6
Дата је једначина: a) x - 1 270 = 2 380;
b) 8 226 - x = 1 149.
45
Одговори на питања и израчунај једначине. a) Шта је непознати број x, а шта су познати бројеви 1 270 и 2 380? Како се одређује непознати умањеник код датих умањилаца и разлике? Умањеник x ћу одредити тако што ћу на разлику 2 380 додати познати умањилац 1 270.
b) Kако ћеш одредити непознатог умањиоца x у једначини где су познати умањеник 8 226 и разлика 1 149? Умањилац ћу одредити тако што ћу од умањеника 8 226 одузети разлику 1 149.
7
Реши једначине:
a) x - (1 300 + 78) = 2 630;
b) 5 273 - x = 3 700 - 37.
Опште о једначинама у којима се одређује непознати сабирак, умањеник или умањилац. Непознати сабирак се, ако су познати збир и други сабирак, одређује тако што се од збира одузима познати сабирак.
x + b = c; x = c - b (b i c су познати бројеви)
умањеник се, ако су познати разлика и умањилац, Непознати одређује тако што се разлици додаје познати умањилац.
x - b = d; x = d + b (b i d cу познати бројеви)
Непознати умањилац се, ако су познати разлика и умањеник, одређује тако што се од умањеника одузима разлика.
8
a - x = d; x = a - d (a i d cу познати бројеви)
У једној винарској визби треба да се спакује 1 392 флаша у кутије, а у свакој кутији треба да буду по 16 флаша. Колико је кутија било потребно? Ако са k означиш број потребних кутија, а у њима има по 16 флаша, онда је 16 ⋅ k = 1 392. Број 1 392 је производ чиниоца 16 и k. Како ћеш да одредиш чинилац k? Чинилац k ћу одредити тако што ћу производ 1 392 поделити са чиниоцем 16.
k = 1 392 : 16; k = 87. Флаше су биле упаковане у 87 кутија.
9
Израчунај једначину:
a) 17 ⋅ y = 595;
b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.
46
10
Како можеш да прочиташ једначину x : 25 = 47, тј. шта су познати бројеви 25 и 47, а шта је непозната x?
Затим образложи закључак да x = 47 ⋅ 25. Који број је решење? Провери своје тврђење.
11
Прочитај једначину 1 120 : x = 35 и образложи закључак x = 1 120 : 35.
12
Израчунај једначину a) x : 7 = 63;
b) (z + 4) : 10 = 8;
v) 1 080 : x = 24;
g) 50 : (x + 2) = 10.
Опште о једначинама у којима се одређују непознати чинилац, дељеник или делилац. Непознати чинилац, кад су познати производ и други чинилац, одређује се тако што се производ подели познатим чиниоцем.
a ⋅ x = p; x = p : a (a i p су познати бројеви)
Непознати дељеник, кад су познати делиоц и количник, одређује се тако што ће се количник помножити са делиоем.
x : b = q; x = q ⋅ b (b i q су познати бројеви)
Непознати делилац, кад су познати дељеник и количник, одре ђује се тако што ће се дељеник поделити са количником.
a : x = q; x = a : q (a i q су познати бројеви)
Treba da zna{! Proveri se! Да одређујеш вредност датог бројног израза;
Одреди вредност бројног израза: 17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).
Које операције у бројном изразу имају предност при њиховом извршавању;
Израчунај једначине: a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63; v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15; d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.
Да решаваш једначине према особинама аритметичких операција.
Zadaci 1.
2.
3.
У једној фирми су напунили 1 360 гајби са јабукама, од којих 420 сортом делишес, 635 ајдарет, а преостале гајбе сортом тетовска јабука. Колкико гајби је било са тетовском јабуком?
4.
Ана има 11 година. Пре 3 године њена мама је имала 4 пута више од Ане. Колико година има сада Анина мама?
5.
Јана и Јован имају исти број ораха. Зна се да би заједно имали 140 ораха, када би Јана имала 2 пута више, а Јован 5 пута више. По колико ораха имају Јана и Јован?
Одреди вредност бројног израза: a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16); b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13). Израчунај једначине: a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120; v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40; d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.
S A
R A B R A D P O D A C I M A
17 1
47
АРИТМЕТИЧКА СРЕДИНА
Саша је власник видеоклуба и издаје видеокасете. Податке о издатим касетама записује у табели. Дан
Број касета
Понедељак
12
Уторак
9
Среда
15
Четвртак
6
Петак
23
Кога дана је Саша издао највише касете? Колико више касета је било издато у петак од уторка? Колико је укупно касета било издато? Сашу је интересовало колико касета је издавао просечно на дан, а за то је било потребно да израчуна аритметичку средину бројева са табеле.
Uo~i! Укупно издатих касета Просечно издате касете сваког дана
12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65 65 : 5 = 13
У току пет радних дана у седмици Саша је издавао просечно по 13 видео касета дневно.
Број 13 је аритметичка средина бројева 12, 9, 15, 6 и 23.
Број дана
Да упамтим: аритметичка средина два или више броја је количник збира тих бројева и броја сабирака.
2
Израчунај аритметичку средину бројева: 24, 36, 42;
3
657, 890, 1 240, 121, 3 522.
На тестовима из математике Агим је постигао следеће резултате: на тесту 1 је освојио 89 поена, на тесту 2 освојио је 91 поен, на тесту 3 је освојио 100 поена и на тесту 4 је освојио 80 поена. Представи податке у табели. Колико поена просечно је освојио Агим на тестовима из математике?
18
48
ДЕЉИВОСТ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА. ДЕЉИВОСТ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ
Podseti se!
A
Осамнаест ученика из VI разреда се припрема за Дан школе. Желе да наступе тако што ће се поређати у редове са једнаким бројем ученика.
1
Израчунај: 24 : 6 = 139 : 2 =
На колико различитих начина могу да се поређају ученици? Допуни табелу са подацима о ређању ученика.
265 : 5 = 2 785 : 8 =
На колико начина може да се добије број 18 као производ два броја? Којим бројевима може се поделити број 18 тако да остатак код дељења буде број 0 (без остатка)?
У којим од дељења остатак је 0?
Broj redova
Broj u~enika u svakom redu
Ukupan broj u~enika
1
18
1 ⋅ 18
2
9
2⋅9
Да упамтим: Број 18 дели се са бројевима 1, 2, 3, 6, 9 и 18 без остатка.
3⋅6
3 3 9
1 ⋅ 18
2
Каже се: 18 је дељив са бројевима 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Ови бројеви називају се делиоци броја 18. Записује се: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Дељењем провери да ли је:
Ја сам дели лац!
број 6 делилац броја 24; број 31 дељив бројем 5; број 42 дељив бројем 6.
3
Одреди скуп D14 свих делиоца броја 14.
Уочи да, да би одредио све делиоце броја 14, треба поступно да делиш са 1, 2, 3, 7.
4
Број 4 је делилац броја 8 (4 • 2=8 или 8 : 4 = 2 и остатак 0). Напиши 5 броја који су дељиви бројем 4.
-
Сви бројеви који су дељиви бројем 4 називају се садржаоци броја 4.
49
Скуп свих садржаоца броја 4 означавамо са S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}. број b је делилац природног броја a, или је a дељив са b, ако је остатак при Природни дељењу a са b 0. 10 = 5 ⋅ 2
10 : 5 = 2 ДЕЛИЛАЦ БРОЈА 10
Записујемо: 5| 10. Читамо 5 је делилац броја 10.
број b је делилац природног броја a, ако Природни Записујемо: b | a. Читамо: b је делилац броја a.
a = b ⋅ k за неки природни број k.
Природни број a је садржалац природног броја b, ако је b делилац броја a. 35 је садржалац броја 5, пошто 5|35.
собом. Сваки природни број је дељив са101 и: 1са=самим 10 i 10 : 10 = 1 a:1=a i a:a=1
5
B
Провери да ли су дељиви са 7:
28, 42 i 28 + 42;
14, 18 i 14 + 18.
Провери да ли су дељиви са 3:
9, 24 i 24 - 9;
15, 22 i 22 - 15.
Провери да ли су дељиви са 4:
12, 15 i 12 ⋅ 15;
10, 15 i 15 ⋅ 10.
Uo~io sam u zadatku! Збир је дељив бројем 7 ако су два сабирка дељива са 7. Разлика је дељива са 3 ако су и умањеник и умањилац дељиви са 3. Производ је дељив са 4 ако је један од чиниоца дељив са 4.
Op{te Ако је број a дељив бројем m и број b је дељив бројем m, онда је и збир (a + b) дељив бројем m. 5 | (15 + 35) 5 | 15 i 5 | 35
Дељивост збира m|a i m|b m | (a + b)
Ако је број a је дељив бројем m
Дељивост разлике m|a i m|b m | (a - b)
и број b дељив бројем m, онда је и разлика (a - b) дељива са m. 3 | (21 - 9) 3 | 21 i 3 | 9
Акоје број m делилац бар једног од бројева је m делилац и производа (a ⋅ b). 2 | 8 i 2 | 15
2 | (8 ⋅ 15)
a или b, онда
Дељивост производа m | a ili m | b m | (a ⋅ b)
50
6
Од бројева: 15, 18, 25 и 28 одреди два броја, тако да је: збир дељив са 5;
разлика дељива са 3;
производ је дељив са 7, а није дељив са 5. Провери да ли су збир 12+8, односно разлика 24-9, дељиви са 5.
7
Уочи да ниједан од сабирака, односно и умањеник и умањилац нису дељиви са 5, а збир односно разлика су дељиви са 5.
Treba da zna{! Када је један природан број дељив другим природним бројем;
Proveri se! Задати су бројеви: 5, 8, 30 и 56. Који од тих бројева је дељив са 6?
Да одредиш делиоце и садржаоце задатог природног броја;
Напиши све делиоце броја 30.
Примерима да покажеш дељивост збира, разлике и производ природних бројева.
Да ли је број 5 дељив са 58?
Напиши три садржаоца броја 5. Провери без рачунања да ли је тачно: 4 | (8 + 36);
5 | (56 - 30);
5 | (30 - 5);
5 | (30 ⋅ 6).
Zadaci 1.
Који од бројева 1, 2, 3, 5 или 7 су делиоци броја 70? Одреди све делиоце броја 64.
3.
Без рачунања збира, односно разлике, одреди да ли су дељиви са 5. a) 40 + 25;
b) 27 + 20;
v) 50 - 15;
g) 35 - 29.
Провери да ли 4|12; 3|36; 10|1 000. Напиши 7 садржаоца броја 3. Колико садржаоца има број 3?
2.
4.
Напиши по један пример да би показао дељивост:
Без рачунања производа, утврди који од њих је дељив са 3, а који са 7. a) 9 ⋅ 5;
b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;
v) 5 ⋅ 12;
g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.
Збира 4 природна броја бројем; Разлику 2 природна броја бројем; Производ 3 природна броја бројем.
5.
Нека А={6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}. Напиши табеларним записом скуп В={х | х је А и 4 | х}.
19
КРИТЕРИЈУМИ ДЕЉИВОСТИ СА 2 И 5
Да би утврдио да ли је један број дељив другим бројем, довољно је да одредиш њихов количник. Дељивост може да се утврди и ако се не изврши дељење. То радимо уз помоћ правила за проверу дељивости или такозваним критеријумима дељивости.
Podseti se!
A Један природни број је дељив другим природним бројем ако је остатак при дељењу 0. Одреди који од бројева: 37, 64 и 310 су дељиви са 2. Који од бројева: 65, 800 и 237 су дељиви са 5?
1
51
Провери да ли су бројеви: 10, 70 или 270 дељиви са 2.
Mogu da uo~im!
Uo~i postupak
10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10. 70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70. 290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.
Број који завршава нулом, може се записати као производ у коме је један чинилац 10. Тај производ је дељив са 2. Сваки број коме је цифра јединица 0, дељив је бројем 2.
Uo~i postupak 2
Који од бројева: 132, 254 и 365 су дељиви са 2?
132 : 2 = (130 + 2) : 2; 254 : 2 = (250 + 4) : 2; 365 : 2 = (260 + 5) : 2;
2 | 132, зато што 2 | 130 i 2 | 2. 2 | 250, зато што 2 | 250 i 2 | 4. 2 | 365, зато што 2 | 360 i 2 | 5.
Могу да уочим! Да ли је један број је дељив са 2 или не, зависи од цифре јединица тог броја.
Upamti! Један број је дељив са 2, ако је цифра јединица тог броја 0, 2, 4, 6 или 8. Овај исказ назива се критеријум дељивости са 2.
3
Који од бројева: 530, 738, 1 336, 1 112 и 2 243 је дељив са 2?
52
B
Провери да ли су бројеви: 10, 70 и 360 дељиви са 5.
4
Uo~i postupak
10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 зато што 5 | 2 i 5 | 5. 70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 зато што 5 | 10 i 5 | 7. 360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 зато што 5 | 10 i 5 | 36.
Mogu da uo~im! Број чија је цифра јединица 0 може се записати као производ где је један чинилац 10. Тај природни број је дељив са 5. Сваки природни број коме је цифра јединица 0, дељив је са 5.
Uo~i postupak 5
Који од бројева : 65, 105 и 263 су дељиви са 5?
65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, зато што 5 | 60 i 5 | 5. 105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, зато што 5 | 100 i 5 | 5. 263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, зато што 5 | 260 i 5 | 3. Upamti!
Mogu da uo~im! Број, чија је цифра јединица 5, дељив је са 5.
Један број је дељив са 5, ако је цифра јединица тог броја 0 или 5.
Овај исказ зове се критеријум дељивости са 5.
6
Који од бројева: 180, 243, 525, 420 i 1 275 су дељиви са 5?
Treba da zna{!
Proveri se!
Да провериш да ли је неки природни број дељив са 2, односно са 5, а да не извршиш дељење. Да примениш критеријум дељивости са 2, односно са 5, у задацима.
Zadaci 1. Покушај да провериш дељивост са 2, а да не поделиш бројеве: 28, 70, 96, 797, 2 001 и 25 000.
2. Дефиниши критеријум дељивости са 5. 3. Који од бројева: 102, 275, 400, 876 и 995 су дељиви са 5?
Који од бројева: 13, 24, 15, 57, 155, 850 и 1 000 је дељив са 2;
дељив са 5;
дељив са 2 и са 5?
4.
Ана је имала више од 60, а мање од 70 бонбона. Она је поделила бонбоне својим 5 другарицама подједнако. Колико бонбона је имала Ана?
20
КРИТЕРИЈУМИ ДЕЉИВОСТИ СА 3 И 9
Podseti se!
A 1
Одреди који од бројева 9, 66, 171 и 231 су дељиви са 3. Који од бројева 18, 999, 1062 и 11 000 су дељиви са 9?
Напиши три броја чији је збир цифара дељив са 3.
2
53
Који од бројева72, 84, 297 и 373 су дељиви бројем 3? Одреди збир цифара сваког задатог броја. Утврди код којих од бројева је збир његових цифри дељив са 3. Утврди који бројеви су дељиви са 3 и код којих је бројева збир цифара дељив са 3. Шта закључујеш?
Провери да ли су бројеви које си записао дељиви са 3. Могу да уочим! Када је jедан број је дељив са 3, онда је и збир његових цифара дељив са 3.
Upamti! Један број је дељив са 3, онда када је збир цифара којима је написан дељив са 3.
Овај исказ зове се критеријум дељивости са 3. Који од бројева 111, 292, 1112 и 1 236 су дељиви са 3?
3
B
4
Који од бројева 78, 117, 348, 486 и 1 567 су дељиви са 9? Одреди збир цифара сваког броја. Утврди који од бројева има збир цифара дељив са 9. Могу да уочим! Када је један број је дељив са 9, онда је и збир његових цифара дељив са 9.
Upamti! Један број је дељив са 9, ако је збир цифара којима је написан дељив са 9.
Овај исказ се зове критеријум дељивости са 9.
5
Покушај да без дељења одредиш који од бројева: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 и 7 235 су дељиви: са 3;
са 9;
са 3 i са 9.
Могу да уочим! Бројеви 459, 774 и 6 327 су дељиви са 3 и са 9.
54
Treba da zna{!
Upamti! Сваки број који је дељив са 9, дељив је и са 3.
Proveri se!
Који број је дељив са 3;
Који од бројева: 75, 94, 258 и 347 су дељиви са 3? Која цифра треба да стоји уместо * у броју 56*3, да би се добио број дељив са 9? Напиши један број који је дељив са 3 и са 9.
Да одредиш да ли је задати број дељив са 9; Сваки природни број који је дељив са 9, дељив је и са 3.
Zadaci 1. Који од бројева 348, 512, 1 245 и 6 123 су
4.
дељиви са 3?
Замени * цифром, тако да добивени број буде дељив са 9: 3∗8;
6 ∗74;
1 8∗3;
35∗12.
2. Који од бројева 4 279, 9 126 и 540 су дељиви са 9?
5.
3. Која цифра треба да се упише уместо *, да
Која цифра треба да се упише на уместо * у броју 27 55*, да би број био дељив са 2 и 3?
би се добио број дељив са 3? 1 3∗7;
6 53∗;
3 ∗25;
24 ∗62.
Ако желиш да знаш више! Зашто је један број дељив са 9 када је збир његових цифара дељив са 9? Уочи следећи пример: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);
Израз 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 је дељив са 9 према правилу дељивости производа и збира. Из вредности израза 4 + 8 + 6 зависи да ли је број 486 дељив са 9. 4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, зато што 9 | 18. На сличан начин покажи дељивост броја 123 са 3.
Покушај да закључиш! Милица је ушла у продавницу у купила један сладолед и три чоколаде. Знала је да сладолед кошта 60 денара. Продавац јој је рекао да треба да плати 220 денара. Она је рекла да рачун није тачан. Продавац је поново израчунао и извинио јој се. Како је Милица знала да рачун није тачан, а није знала цену чоколаде?
21
КРИТЕРИЈУМ ДЕЉИВОСТИ СА 4
A 1
Podseti se! Који од бројева: 96, 300, 2 718 и 3008 су дељиви са 4?
55
Провери да ли су бројеви: 100, 500 и 1 300 дељиви са 4.
Уочи поступак
100 = 25 ⋅ 4; 4 | 100, зато што 4 | (25 ⋅ 4). 500 = 100 ⋅ 5; 4 | 500, зато што 4 | (100 ⋅ 5). 1 300 = 100 ⋅ 13; 4 | 1 300, зато што 4 | (100 ⋅ 13).
Могу да уочим! Број коме су цифре јединице и десетице нуле, може се записати и као производ у коме је један од чинилаца 100. Тај производ је дељив са 4. Сваки број коме су цифра јединице и цифра десетице 0, дељив је са 4.
2
Који од бројева 132, 916 и 283 су дељиви са 4?
Уочи поступак : 4 = (100 + 32) : 4; 132 916 : 4 = (900 + 16) : 4; 283 : 4 = (200 + 83) : 4;
4 | 132, зато што 4 | 100 i 4 | 32. 4 | 916, зато што 4 | 900 i 4 | 16. 4 | 283, зато што 4 | 200 i 4 | 83.
Могу да уочим! Да ли неки број је дељив бројем 4 или не, зависи од двоцифреног броја састављеног од цифре јединице и цифре десетице тог броја.
Upamti! Задати број је дељив бројем 4, ако је његов двоцифрени завршетак дељив са 4. Овај исказ се назива критеријум дељивости са 4.
56
3
Утврди који од бројева: 48, 108, 135 1 240, 7 732 и 9 006 је дељив са 4.
Treba da zna{!
Proveri se!
Да одредиш да ли је неки природни број дељив са 4, без претходног дељења.
Напиши број 9 996 као збир, одакле ћеш утврдити да ли је дељив са 4. Напиши два броја која су дељива са 4.
Zadaci 1. Цифрама 1, 2, 3 и 4, без њиховог понављања, напиши све четвороцифрене бројеве који су дељиви са 4.
2. Која цифра треба да се напише на месту
означеном са *, да би се добио број дељив са 4? 362∗; 4 71∗;
3. Напиши три природна броја која су дељива са 4 и 5.
4.
Напиши број из друге десетице четврте стотице који је дељив са 2, 3 и 4.
5 4∗2; 52∗0.
И ово је математика! На столу се налазило 50 зрна пасуља. Два играча наизменично узимају по једно, или по два или по три зрна пасуља. Побeђује онај играч који узима задње зрно. Колико зрна пасуља треба да узме играч који почиње први да би са сигурношћу победио? Направи победничку стратегију за играча који први узима. Направи победничку стратегију за играча који узима други, ако на столу има 20 зрна пасуља. Направи победничку стратегију ако на столу има који било број зрна пасуља и ако играчи наизменично узимају 1 до 4 или 1 до 5 зрна итд. Ако не,могу да решим овај тежак задатак, пробаћу са сличним, лакшим. Пробаћу са 10 зрна пасуља, а затим са 20 итд.
22
ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЈЕВИ. ПРЕДСТАВЉАЊЕ СЛОЖЕНОГ БРОЈА КАО ПРОИЗВОДA ПРОСТИХ ЧИНИОЦА
57
Podseti se!
A 1
Сваки природни број је дељив са 1. Сваки природни број је дељив самим собом.
Напиши три броја који имају само два делиоца. Напиши три броја који имају више од два делиоца.
Напиши све делиоце бројева: 3, 17 и 53. Одреди све делиоце бројева: 6, 12 и 15.
2 Broj
Delilac broja
1
1
2
1, 2
3
1, 3
4
1, 2, 4
5
1, 5
6
1, 2, 3, 6
Ја сам сложен!
А ја?
1 4 7
3
Разгледај табелу.
Који број има само једног делиоца? Који од бројева у табели имају само два делиоца? Који од бројева у табели имају више од два делиоца?
Upamti!
Ја сам прост!
Бројеви који имају само 2 делиоца, зову се прости бројеви. Бројеви који имају 3 или више делиоца зову се сложени бројеви. Број 1 није ни сложен, ни прост број.
Бројеви 2, 3 и 5 у табели су прости. Бројеви 4 и 6 у табели су сложени.
Напиши табеларним записом скупове: A = {x | x ∈ N i x < 20}; B = {x | x ∈ A i x e prost broj}; C = {x | x ∈ A i x e slo`en broj}.
B 4
Одреди производ простих бројева: 2, 3 i 7; 2, 3 i 5; 2, 2, 3 i 3.
58
Представи као производ сваки од бројева: 42, 50 и 75.
5
Упореди твоје решење са датим.
42 = 21 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3 ⋅ 2
Могу да уoчим! Сложени број могу представити као производ простих бројева.
50 = 25 ⋅ 2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 2 ⋅ 52 75 = 15 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅ 52
Upamti! Сваки сложени природни број може се записати као производ простих бројева, тј. може се разложити на просте чиниоце.
6
Број 36 напиши као производ простих чиниоца.
7
Разложи број 120 на просте чиниоце. Уочи поступак разлагања датог броја на просте чиниоце.
120 60 30 15 5 1
2 2 2 3 5
Прво повлачимо вертикалну црту уз број 120. Вертикалну праву замишљамо као знак дељења, а количнике записујемо испод дељеника.
Дељење почињемо са најмањим простим делиоцем датог броја и настављамо тим делиоцем, све док је могуће дељење (у овом случају, са бројем 2).
Поступак настављамо са сваким количником све док количник не буде 1.
120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 Користећи исти поступак разложи на просте чиниоце бројеве: 36, 140, 600 и 10 000.
Уочи разлагање броја 1 164.
1 164 582 291 97 1
2 2 3 97
1164 = 22 ⋅ 3 ⋅ 97
Последњи количник 97 није дељив ни са 3, ни са 5.
Нема потреба да проверавамо за наредни прости број пошто 112 > 97.
Значи, 97 је прост број.
Проверили смо и утврдили да није дељив ни са простим бројем 7.
Treba da zna{! Који бројеви су прости, а који сложени. Да разложиш задати број на просте чиниоце.
Proveri se!
59
Који од бројева 91 и 97 је сложени број? Образложи! Разложи број 152 на просте чиниоце.
Zadaci 1. Разложи на просте чиниоце
бројеве:15, 42, 38, 75 и 11 115.
3. Једна породица има непаран број деце,
прости број домаћих љубимаца, парни број аутомобила и сложени број спаваћих соба. Збор свих ових бројева је 10. Који су то бројеви?
2. Сашин број година је сложени број
мањи од 30, а већи од 20 и може да се представи као производ три једнаких простих чиниоца. Колико година има Саша?
4.
Покушај да запишеш парне бројеве веће од 2 као збир два проста броја. Пример: 8 = 3 + 5, 12 = 5 + 7, 48 = 37 + 11. Напиши као збир простих бројева број: 14, 52.
Istra`i sam! У једном хотелу има 100 сијалица. На једној табли било је прекидача за сваку сијалицу и они су били означени бројевима од 1 до 100. Ако се прекидач притисне једном, сијалица се упали, а ако се притисне по други пут она се угаси. Све сијалице су биле погашене. Домар је првог дана притиснуо све прекидаче, т.ј, упалио све сијалице. Да би уштедео електричну енергију, он је другог дана притиснуо сваки други прекидач, трећег сваки трећи и на тај начин је стотог дана притиснуо само стоти прекидач. Које сијалице, тј. сијалице са којим бројевима ће светлети након стотог дана?
Могу сам да истражујем и да решим проблем. Размислићу прво у случају са 10 сијалица, затим за 20, затим за 30 и тако ћу да закључим за све 100 сијалице.
60
23
ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ. НАЈВЕЋИ ЗАЈЕДНИЧКИ ДЕЛИЛАЦ
Podseti se! Одреди све делиоце броја 18. Скуп делиоца запиши табеларним записом и означи са D18. Одреди све делиоце броја 24. Скуп делиоца напиши табеларним записом и означи са D24. Одреди заједничке делиоце бројева 18 и 24, тј. одреди D18 ∩ D24.
A
1
Мимоза је купила бонбоне за 28 денара, а Иван је купио исте бомбоне за 42 денара. Која би могла да буде цена једне бомбоне? Која би могла да буде највиша цене једне бомбоне?
Уочи поступак и закључи!
Сви делиоци броја 28 Сви делиоци броја 42 Заједнички делиоци бројева 28 и 42
D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} D28 ∩ D42 = {1, 2, 7, 14}
Уочавам да: Ако је D28 скуп делиоца броја 28, а D42 скуп делиоца броја 42*, онда је D28 ∩ D42 скуп заједничких делиоца бројева 28 и 42.
Uo~i da:
Цена једне бомбоне би могла да буде: 1, 2, 7 или 14 денара. Највиша цена би могла да буде 14 денара. Број 14 је највећи заједнички делилац бројевима 28 и 42.
Upamti! Упамти! највећи од свих делилаца, бројева n и m назива се највећи заједнички делилац бројева m и n. Означава се: NZD(m, n).
2
Одреди скуп заједничких делиоца бројева 30 и 45. Одреди НЗД (30, 45).
61
Одреди највећи заједнички делилац бројева: a) 24 i 30; b) 9 i 14.
3
Uo~i! Заједнички делитељ бројева 9 и 14 је 1, а он је и њихов највећи заједнички делилац, тј. НЗД (9,14)=1
Upamti! Ако НЗД (a, b) =1, тада за бројеве a и b кажемо да су узајамно прости бројеви. Одреди НЗД(168, 180).
B 4
Уочи поступак и ради према захтевима.
Разложи бројеве 168 и 180 на просте чиниоце.
Представи бројеве 168 и 180 као производ простих бројева.
168 84 42 21 7 1
2 2 2 3 7
180 90 45 15 5 1
2 2 3 3 5
168 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
Uo~i! Производ заједничких простих делитља бројева 168 и 180 је њихов највећи заједнички делилац, тј. НЗД(168, 180) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.
5
Одреди НЗД(120,150) и НЗД(42,63,84). Уочи скраћени поступак за одређивање НЗД.
Одреди најмањи прости број који је делилац два броја. Одреди најмањи прости број који је делилац два добивена количника.
Поступак настављаш све док добивени количници не постану узајамно прости бројеви.
Производ заједничких простих делиоца је највећи заједнички делилац, тј.
6
NZD(120, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 i NZD(42, 63, 84) = 3 ⋅ 7 = 21.
Odredi a) NZD(72, 90);
b) NZD (150, 180, 240)
120, 150 60, 75 20, 25 4, 5
2 3 5
42, 63, 84 14, 21, 28 2, 3, 4
3 7
62
Treba da zna{!
Proveri se!
Да одредиш заједнички делилац два броја.
Разложи бројеве 36 и 60 на просте чиниоце, а затим одреди њихов НЗД.
Који су бројеви узајамно прости;
Дате су две жице од 8 m и 12 m. Која је највећа дужина којом се могу поделити ове две жице на једнаке делове?
Да одредиш највећи заједнички делилац два или више бројева, скраћеним поступком.
Zadaci
1. Одреди скуп заједничких делитоца броја
Покушај да решиш!
30 и 36.
6. Колико највише једнаких пакетића могу
да се направе од 48 чоколада, 72 бајадере и 120 бонбона, тако да у сваком пакетићу има једнаки број комада истог производа и да сви производи буду употребљени?
2. Одреди: a) NZD(12, 18);
v) NZD(60, 90, 120);
b) NZD(48, 72);
g) NZD(240, 300, 600).
3. Одреди: a) NZD (16, 25);
Користећи дате мреже, одреди и напиши одговарајуће тачке делиоца бројева: а)36 и 54; б) 28, 42 и 98.
7. b) NZD(36, 72).
Према мрежама одреди: НЗД(36, 54) и НЗД(28, 42, 98).
4. Колико највише једнаких букета могу да се направе од свих 49 белих и свих 72 црвених каранфила, тако да у сваком букету буде исти број каранфила исте боје?
28 42 98 36
2
5. Дате су две жице. Једна је дугачка 96 m, а
друга 180 m. Колико метара је највећа дужина којом се могу измерити ове жице?
NZ
D
54 2
1
3
3 1
NZ
7
D
24
ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ. НАЈМАЊИ ЗАЈЕДНИЧКИ САДРЖАЛАЦ
Podseti se!
A 1
Скуп садржаоца броја 3, напиши табеларним записом и означи са S3.
63
Два друга су се сусрела у библиотеци. Један иде у библиотеку сваког четвртог дана, а други сваког шестог дана. После колико дана ће се поново срести у библиотеци?
Скуп садржаоца броја 4 напиши табеларним записом и означи са S4. Напиши скуп заједничких садржаоца бројева 3 и 4, тј. одреди S3 ∩ S4.
Уочи поступак и закључи!
Скуп саджаоца броја 4.
S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
Скуп саджаоца броја 6.
S6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
Скуп заједничких саджаоца бројева 28 и 42.
S4 ∩ S6 = { 12, 24, 36, ...}
Uo~i!
Два друга ће се срести у библиотеци после 12 дана, после 24, после 36 дана итд. Први пут ће се срести после 12 дана. Број 12 је најмањи заједнички садржалац бројева 4 и 6.
Upamti! Најмањи природни број n који је садржалац природних бројева a и b зове се најмањи заједнички садржалац. Означава се НЗС (a, b) = n.
2
B
Одреди скуп заједничких садржаоца бројева 3 и 5. Одреди НЗС(3, 5).
3
Одреди НЗС(12, 45). Уочи поступак за одређивање НЗС. Разложи бројеве 12 и 45 на просте чиниоце.
12 6 3 1
2 2 3
45 15 5 1
3 3 5
64
Број 12 разложен на просте чиниоце је производ бројева 22 ⋅ 3.
Најмањи заједнички садржалац је њихов производ ,тј. NZS(12, 45) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180.
Број 45 разложен на просте чиниоце је производ 32 ⋅ 5. Сви прости чиниоци бројева 12 или 45 су 2, 3 и 5. Они се појављују са највећим степеном као: 2², 3² и 5.
4
Одреди НЗС(m, n), ако је познато да: m = 22 ⋅ 33 ⋅ 5; n = 23 ⋅ 32 ⋅ 7.
5
Одреди НЗС(60, 72, 90). Уочи скраћени поступак одређивања НЗС помоћу вертикалне црте. Одреди просте делиоце, почевши од најмањег, једног или више задатих бројева.
Поступак настави са добивеним количницима и осталим преписаним бројевима који немају одговарајућег простог делиоца. Производ добивених простих делиоца је најмањи заједнички садржалац датих бројева, тј.
NZS(60, 72, 90) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 8 ⋅ 9 ⋅ 5 = 360. Одреди НЗС бројева: a) 14 i 15;
6
b) 20 i 40;
60, 72, 90 30, 36, 45 15, 18, 45 15, 9, 45 5, 3, 15 5, 1, 5 1, 1, 1
2 2 2 3 3 5
v) 60, 90 i 120.
Uo~i!
Ако су два броја узајамно проста, онда је НЗС тих бројева њихов производ, тј. NZS(14, 15) = 14 ⋅ 15 = 210;
Ако је од два броја један садржалац другог, онда је НЗС тих бројева већи број, тј. НЗС(20, 40)=40
Treba da zna{! Да одредиш скуп заједничких садржаоца два броја; Да одредиш најмањи заједнички садржалац два или више броја скраћеним поступком.
Proveri se! Представи сваки од бројева 9 и 12 као производ простих бројева, а затим одреди њихов најмањи заједнички садржалац. На школској забави су се додељивале награде на следећи начин: Значку је добијао сваки 10 посетилац; Сок је добијао сваки 15 посетилац; Капу је добијао сваки 20 посетилац. Који је први посетиоц који је добио све три награде?
65
Zadaci
1. Одреди скуп садржаоца бројева: 10 и 15, а затим одреди НЗС(10, 15).
2. Одреди: a) NZS(8, 10);
5. Милан је имао мање од 30 коцака. Ако их
ређа по 3 у једном реду, једна му остаје. Ако их ређа по 4, исто тако му остаје једна, али ако их ређа по 5, не остаје му ниједна коцка. Колико коцки је имао Милан?
v) NZS(80, 120);
b) NZS(6, 12, 18); g) NZS(120, 180, 240).
3. Са једне станице у исто преме пошла су
три аутобуса. Први се враћа на станицу сваких 50 минута, други сваких 60 минута, а трећи сваких 75 минута. За колико најмање минута ће се наћи заједно сва три аутобуса на почетној станици?
6. Три светиљке различитих боја укључене су
у исто време. Црвена се гаси сваких 5 секунди, плава светиљка се гаси сваких 4 секунди, а жута се гаси сваких 6 секунди. После колико секунди ће се угасити све три светиљке?
4. Два брода полазе истовремено са приста-
ништа. Први се враћа у пристаниште сваких 20 дана, а други сваких 24 дана. После колико најмање дана ће се бродови наћи у истом пристаништу?
Istra`i sam! По чему су слични, а по чему различити бројеви 12 и 16?
Poku{aj da izra~una{! Најмањи заједнички садржалац неког броја и броја 12 је број 24. Који је тај непознати број?
Zanimqiv problem! Два брата су хтела су да купе карте за „Забавни парк”. Прорачунали су се и једном од њих је недостајало 20 денара за две карте, а другом је за две карте недостајао један денар. Утврдили су да и њихов укупни новац није довољан за две карте. Колико је коштала једна карта за „Забавни парк” и колико денара је имао сваки од њих?
66
R A B R A D P O D A C I M A
S A
25
СЛИКОВНИ ДИЈАГРАМ. СТУБИЧАСТИ ДИЈАГРАМ
Сликовни дијаграм је начин представљања података коришћењем слика или симбола.
Продаја мајица Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3
1
Sedmica 4
У једној продавници записивана је продаја мајица током 6 седмица. Подаци су представљени сликовним дијаграмом. Разгледај дијаграм.
Sedmica 5 Sedmica 6 Znak
Представи податке у табели.
predstavqa 10 majica, a
У којој седмици је продато највећи број мајица?
5 majica.
Колико више мајица је продато у другој седмици него у првој? Колико укупно мајица је продато за шест седмица?
2
Ученици VI разреда прикупили су податке о томе када људи највише воле да слушају музику.
Када
У шетњи
Broj
30
Код куће При учењу При спортовању
50
20
25
Представи податке у табели користећи симбол Један симбол
На послу
Друго
15
40
(слушалице).
представља 10 одговора.
Када људи најчешће слушају музику? Колико укупно су одговорили на питање?
3
Уочи табелу о броју позајмљених књига из градске библиотеке. Представи податке у сликовном дијаграму ако симбол представља 50 књига. Напиши три питања у вези података и одговори их.
Дан
Бр. књига
Понедељак
350
Уторак
400
Среда
150
Четвртак Петак
100 50
4
67
Око нашег Сунца окрећу се 9 планете. Седам од планета имају своје сателите (месеце). У табели су дати подаци о броју сателита откривених до 1992 године.
Планета
Број месеца
Zemja
1
Mars
2
Jupiter
16
Saturn
18
Uran
15
Neptun
8
Pluton
1
Да би се подаци представили на стубичастом дијаграму потребно је:
Да се нацрта хоризонтална оса и да се напишу имена која се односе на податке;
Да се нацртају стубови.
Да се нацрта вертикална оса и да се напише врста јединице мере. Да се одлучи о величини јединачне мере на стубовима, тако да се сви подаци представе и да се направи стуб.
Да се напише наслов стубичастог дијаграма.
18 16 14 12 10 8 6 4 2
Z
M
J
S
U
N
P
Планете Уочи избор стуба. Зашто није практичније да се користи стуб са јединичном мером 5 или 10 у овом примеру?
20 15 10 5 0
Број месеца
0
Зашто је боље да се подаци представљају стубичастим дијаграмом него у табели? Представи податке на стубичастом дијаграму тако да стубови буду нацртани хоризонтално.
Број месеца
Број месеца
Mесеци планета
20 10 0
68
26
УЧИО СИ О ПРИРОДНИМ БРОЈЕВИМА. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ
Дати су скупови A = {x | x је непарни број друге десетице}, В = {x | x је прост број друге десетице} и C ={x | x ∈ N и 15 < x ≤ 19} а) Представи А, Б и С табеларно. б) Представи Б и С Веновим дијаграмом и напиши В∩С табеларним записом. в) Одреди који од скупова А, В, С, В∩С и В\С су еквивалентни.
1.
9.
Један коњ и један магарац носили су терет.
Ако од броја килограма који носи магарац одузмеш 9kg, добићеш 19 kg. Ако три пута умањиш број килограма које носи коњ, добићеш 13kg. Колико килограма терета носе коњ и магарац заједно?
Дати су скупови A = {a, b, cи В = {1, 5}. Одреди Декартов производ А х В и Декартов квадрат В².
2.
Задате су цифре 9, 1 и 0. а) Образуј све троцифрене бројеве користећи све три задате цифре. б) Поређај према величини бројеве које си добио, почевши од најмањег. в) Напиши претходник и следбеник најмањег добијеног броја.
3.
10. Пронађи аритметичку средину бројева: 427, 586, 386 и 485.
11. Који од бројева 105, 372, 801, 930 и 254 су дељиви са: a) 2; b) 5; v) 3; g) 9 ?
12. Коју цифру треба да упишеш на месту 4. Напиши број: „двадесет милијарди триста педесет милиона пет хиљада и седамдесет”. У којој класи и на којој позицији је цифра 3 у том броју? Која је позициона вредност цифре 3? Заокружи бројеве 6 485 и 2 539 на стотине и пронађи збир заокружених бројева. За колико се разликује тај збир од тачног збира?
5.
Како ће се променити разлика 35 648 – 18 719 ако се умањилац умањи за 300, а умањеник остане исти?
са 4:
означеном са * да би број био дељив а) 573*; б)74*2.
13. Разложи број 315 на просте чиниоце. 14. Одреди скуп D68, тј. скуп свих делиоца броја 68.
15. Одреди НЗД и НЗС бројева 18 и 24.
6.
Из две цеви тече вода у базен, при чему се у једној секунди кроз једну цев улива 9ℓ, а кроз другу 6ℓ. Колико литара воде ће се улити у базен из две цеви за 15 минута?
7.
Ана и Бојан делили су један исти број: Ана са 14, а Бојан са 18. Ана је добила количник 23 и остатак 2. Који количник је добио Бојан?
8.
16. Колико највише екипа са једнаким бројем ученика могу да се саставе од свих 12 девојчица и свих 20 дечака, тако да свака екипа има исти број девојчица и исти број дечака?
17. На једној телефонској линији стубови су били постављени на растојању од 30 m. Стубове треба разместити на растојање од 50 m. Који ће стубови телефонске линије остати на истом месту?
TEMA 2.
ГЕОМЕТРИЈСКЕ ФИГУРЕ У РАВНИ
1. Тачка и права. Основна својства праве 2. Узајамни положај правa 3. Растојање између две праве 4. Полуправа. Дуж. Дужина дужи 5. Преносење дужи 6. Изломљена линија 7. Основни и изведени појмови 8. Кружница и круг 9. Узајамни положај кружнице и тачке. Узајамни положај кружнице и праве 10. Узајамни положај две кружнице 11. Полураван и угао 12. Упоређивање углова. Врсте углова 13. Суседни, упоредни и унакрсни углови
70 73 75 77 80 83 87 89
92 94 97 100 103
14. Централни угао. Конструкција угла 15. Графичко сабирање и одузимање углова 16. Мерење углова. Угломер 17. Аритметичке операције са угловима 18. Узајемно нормалне праве. Растојање од тачке до праве 19. Симетрала дужи. Симетрала угла 20. Комплементни и суплементни углови 21. Вишеугаоник 22. Неке врсте вишеугаоника 125 23. Обим вишеугаоника 127 24. Учио си о геометријским фигурама у равни. Провери своје знање
69
105 108 110 113 116 118 120 122
130
1
70
ТАЧКА И ПРАВА. ОСНОВНА СВОЈСТВА ПРАВЕ
Podseti se! G
B
a F
D A
C
H
A
На цртежу је представљена права a и неколико тачака: Тачке: А, D и F припадају правој a. Тачке: В, С, Н и G не припадају прави a. На прави a има пуно других тачака.
1
Разгледај цртеж и упамти исказ. p
M
N
Нацртај праву b и на њој означи неколико тачака. Означи тачке које не припадају b.
Можемо рећи да права је скуп тачака.
Како замишљаш праву?
За тачку М кажемо да припада прави p или да права p пролази кроз тачку М; кратко записујемо М ∈ p.
Тачка N не припада, тј. не лежи на прави p, а може се рећи и да N лежи изван праве p. Кратко записујемо N ∉ p. Да упамтим! Тачка лежи на прави или тачка не лежи на прави.
2
Нацртај једну праву и означи је са m. Онда означи тачке А, В, С, М и N тако да: A ∈ m, B ∉ m, C ∉ m, M ∈ m i N ∈ m. Искажи речима кратке записе: A ∈ m i B ∉ m.
3
Uo~i!
На цртежу су означене права d и тачка : A ∈ d, B ∉ d, C ∉ d, D ∈ d, E ∈ d, F ∈ d i G ∉ d. На прави лежи бесконачМожеш ли да означиш и друге тачке које припадају но много тачака, али има и прави d? Колико? тачака које не леже на тој Можеш ли да означиш и друге тачке које не припадају прави. прави d? Колико? d Ово упамти као прво основно својство праве. C F E D A G B
Уочи које од означених тачака на цртежу леже на истој прави.
4
B
a
D
b
C
E
A
71
Uo~i i upamti!
За тачке које леже на истој прави кажемо да су колинеарне. На цртежу су тачке А, С и Е колинеарне тачке; и тачке В, С и Е су колинеарне тачке. Тачке А, В и D не леже на истој прави, па су оне неколинеарне.
Према цртежу утврди да ли су тачке колинеарне:
5
a) A, R i V;
g) M, Y i B;
b) M, Y i N;
d) A i V;
v) A, R i N;
|) N, P, S, M.
q
B
Записујемо: A ≡ V и кажемо „Тачке А и В се подударају“. Слова p и q на цртежу означавају исту праву. Записујемо p ≡ q и кажемо „Праве p и q се подударају”.
B
7
Кроз тачке М и N на цртежу пролази права p. Да ли можеш да повучеш неку другу праву која пролази кроз тачке М и N?
N M
8
p
m
B
S P
Слова А и В на цртежу означавају исту тачку. p A
6
M
A
n N
Uo~i i upamti! Када кажемо „означи две тачке”, „задате су две праве”, подразумевамо да су те две тачке, тј. две праве различите. Њих означавамо различитим словима.
Uo~i i upamti! Кроз две тачке М и N пролази тачно само једна права. Ово упамти као друго основно својство праве. Да упамтим! Од другог основног својства произлази да две тачке одређују једну исту праву. Зато права може да се означи и са две њене тачке и да се каже:„ права МN“ уместо „права p ”.
Означи две тачке А и В и провуци праву p која је одређена тим тачкама. Онда изабери тачку С која не лежи на прави p. Колико је правâ одређено тим трима тачкама? Напиши те праве уз помоћ тачака.
72
Uo~i i upamti!
Разгледај цртеже, размисли и закључи према захтеву.
9 a b
A
N
M c
Кроз једну тачку пролази бесконачно много правих.
Уочаваш да су повучене три праве које пролазе кроз тачку М и пет које пролазе кроз N.
За такву тачку А, као на цртежу, каже се да је заједничка тачка свих прави које пролазе кроз њу.
Можеш ли да повлачиш и друге праве тако да пролазе кроз праву М? Колико? А колико кроз тачку N?
10 Означи једну тачку Р. Нацртај три праве a, b и c, тако што ће тачка Р бити њихова заједничка тачка.
Treba da zna{!
Proveri se!
Да одредиш узајамни однос тачке и праве;
Нацртај праву а и означи тачке А, В, М и Р које леже на правој а и тачке С, D, F и N које не леже на правој a.
Да искажеш и објасниш прво и друго основно својство праве.
Означи три колинеарне тачке А, В и С.
Да разликујеш да ли су три или више тачака колинеарне или су неколинеарне.
Означи тачку М и повуци праве a, b, c и d које пролазе кроз тачку М. Колико прави можеш да повучеш, а да пролазе кроз тачку М?
Zadaci 1.
Нацртај две праве a и b и на свакој од њих означи по три тачке.
2.
Означи тачке А, В и С и нацртај три праве a, b и c, тако да права а пролази кроз тачке А и В, b кроз тачке С и В и права c кроз тачке А и С. Која је заједничка тачка правa a и c?
3.
Које од тачака на цртежу су а)колинеарне; б)неколинеарне. A
b
E D
B
a C
4.
На правој p означене су тачке М, N и Р. Како може другачије да се именује права p?
5.
Тачке А, В, С и D распореди тако да између њих нема тачака које су колинеарне. Колико прави одређују те тачке? Покажи то цртежом.
2 Podseti se!
A
a P
b
Праве a i b на цртежу имају заједничку тачку Р. Да ли могу две праве да имају више од једне заједничке тачке? Зашто?
1
73
УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ ДВЕ ПРАВИ
Напиши скраћено: a) Праве a i b се секу у тачци М. b) Пресечна тачка правa c i d је тачка L. v) Заједничка тачка правa m i n је тачка Ѕ.
2
Две праве могу да имају највише једну заједничку тачку. За праве које имају једну заједничку тачку каже се да се секу у тој тачци. Заједничка тачка назива се тачка пресека тих права. На цртежу праве a и b се секу и њихова тачка пресека је тачка Р. То се кратко записује a ∩ b = {P}
Према цртежу одреди шта је тачно. a) a ∩ b = {A}.
v) b ∩ c = {B}.
b) a ∩ c = {B}.
g) a ∩ c = {C}. c C
a
b A
B 3
Две праве могу и да немају заједничку тачку. Такве су праве a и b на цртежу.
a b То практично значи: колико и да их „продужавамо”, оне се неће сећи.
4
B
Две праве које немају заједничку тачку називају се паралелне праве. Праве a и b на цртежу су паралелне. То укратко записујемо a || b.
Узајамни положај права a, b i c на цртежу је следећи: a i b су паралелне, т.ј, a || b. a i c сe секу, t.e. a || c. b i c сe секу, t.e. b || c.
c
b a
74
Uo~i i zapamti!
Две праве или се секу; или су паралелне. За праве a i b којима су све тачке заједничке кажемо да се подударају.
a b
Када се неке праве подударају, то се сматра специјалним случајем паралелности, па зато може да се каже да је свака права паралелна себи самој. тј. a || a.
Treba da zna{!
За које две праве кажемо да се секу; Које се праве се називају паралелним; Да су праве, које се подударају, и паралелне.
Proveri se! Нацртај праву a и означи тачку R ∉ a. Кроз тачку Р повуци праву b која сече праву a. Нацртај три праве a, b i c тако да, пар за паром, немају заједничке тачке. Напиши са симболима заједничке положаје тих прави. Нацртај три праве a, b i c тако да a || b i b ∩ c = {M}.
Zadaci 1.
Нацртај три праве које имају једну заједничку тачку.
4.
Нацртај праву a, а затим нацртај праву b, тако да a || b.
5.
Нацртај праву m. Затим нацртај праве n i p тако да n || m i p || m. У каквом су узајамном положају праве n i p?
2. Да ли три праве АВ, ВС и ВD имају
заједничку тачку? Која је то тачка? Представи то цртежом.
3.
Задате су тачке А, В и С. Колико прави одређују ове тачке? Разгледај све могуће ситуације у зависности од положаја точки.
3
75
РАСТОЈАЊЕ ИЗМЕЂУ ДВЕ ТАЧКЕ Разгледај цршеж и уочи исказе!
Podseti se!
A До сада си више пута одређивао растојање од једног до другог места, од једног објекта до другог, од једне тачке до друге. То растојање исказивао си одређеним бројем центиметара (cm), метара (m), километара (km) и сл. B A На пример, растојање између тачке А и тачке В је 5 сm, растојање од Скопља до Велеса је 55km и сл. Измери растојање између тачке С и тачке D у милиметрима и напиши кратко. C
D
a
D C B A
Растојање од једне тачке А до друге тачке В је број већи од нуле или једнак нули, тај број означавамо са АВ. Значи АВ>0. Број АВ је већи од нуле када су тачке различите и једнак је нули када се тачке подударају. Према цртежу: AB = 4 cm; AB > 0;
BD = 3 cm; BD > 0;
BC = 0 cm, зато што се тачке В и С подударају.
1
2
B
A
Одреди растојање MN и NM, а затим их упореди. Напиши то симболима.
M
3
C
У вези цртежа одреди растојање AB, BC i CD.
B
D
Уo~i! Уочи: За које било две тачке А и В, растојање од А до В је једнако растојању од В до А, т.ј. АВ = ВА.
N
Ако је растојање СD= 28 cm, колико је онда растојање DС?
4
d
C
На цртежу су дате неколинеарне тачке А, В и С. Измери растојање АВ, АС и СБ. Упореди: AB so AC + CB;
A
BC so BA + AC;
Закључио сам да AB < AC + CB;
AC so AB + BC;
BC < BA + AC i AC < AB + BC.
Шта примећујеш?
B
76
5
Тачке М, N и Р на цртежу су колинеарне. Измери растојање MP, MN, NP и MP и упореди са MN + NP. Шта си закључио?
M
N
P
Закључио сам да MP = MN + NP.
За било које три тачке А, В и С, растојање од А до С је мање или једнако од збира растојања од А до В и од В до С, тј. AC < АВ + ВС. Растојање између две тачке А и В је број АВ са следећим особинама: 1) АВ > 0; 2) АВ = ВА; 3) за било коју тачку С важи: AC < АВ + ВС. Ако за три тачке М, N и Р ваши једнакост MP = MN + NP, онда те три тачке леже на истој прави. У том случају кажемо да тачка N лежи између тачака М и Р.
6
Одреди да ли тачке A, В и С леже на истој прави, ако: AC = 8 cm; AB = 5 cm; BC = 4 cm;
AC = 8 cm; AB = 25 mm; BC = 55 mm.
Treba da zna{!
Proveri se!
Растојање између две тачке је број већи од нуле ако тачке су различите, а једнак је нули ако се тачке подударају;
Да ли тачке А, В и С леже на истој прави ако AC = 56 mm, AB = 3 cm и BC = 26 mm ? Зашто?
За било које тачке А и В, АВ = ВА;
Тачке M, N и Р нису колинеарне, при томе
за било које три тачке A, В и С, AC < AB + BC.
MN = 3 cm и NP = 5 cm. Може ли MP да буде 95 mm?
Zadaci 1. Тачке А, В и С су колинеарне, при чему је тачка В између тачака А и С. Израчунај растојање између тачке А и В, ако AC = 7 cm и BC = 42 mm
2. Да ли су колинеарне тачке K, L и M ако KL = 3 cm, LM = 52 mm и KM = 82 mm?
3. Нацртај праву m и на њој означи тачке М,
N, Р и Ѕ, тако да N лежи између М и Р и да М лежи између N и Ѕ.
4. Тачке А, В и С леже на истој прави, при томе АВ=35mm и ВС=48mm. Колико износи АС?
5. На правој p тачка Р лежи између тачака М и Ѕ. МР је три пута мања од РЅ и МЅ=12. Израчунај МР И РЅ.
4
77
ПОЛУПРАВА, ДУЖ, ДУЖИНА ДУЖИ
Podseti se! a
A
O
На цртежу је дата права a и тачка О која лежи на правој. На колико делова је права a подељена тачком О? a
A B
O
C
D
Које од означених тачака леже на истој страни тачке О? Означи две тачке на правој a, између којих ће лежати тачка О.
Разгледај цртеж, уочи и запамти! p
O
V
A Права p са тачком О подељна је на два дела, тако да ни један од тих делова не садржи тачку О. За тачку О се каже да је гранична тачка сваком од делова. Сваки од делова праве, заједно са граничном тачком зове се полуправа. Гранична тачка зове се почетна тачка полуправе.
На цртежу је нацртана полуправа. Ако је тачка О почетна тачка, а М било која тачка на полуправи, онда кратко записујемо: полуправа ОМ.
M
N
O
1
Нацртај праву a и на њој означи две тачке А и В. Колико је полуправа означено на тај начин? Напиши скраћено те полуправе.
2
Уз помоћ тачака М и N на цртежу, напиши скраћено полуправе на које је подељена права m тачком О.
m
M
O
N
Uo~i! Полуправе ОМ и ОN образују једну праву. Такве полуправе називају се саставне полуправе.
3
Означи две тачке М и N. Нацртај полуправу тако да М буде њена почетна тачка, а N тачка која припада полуправи.
4
Колико је полуправа са почетном тачком О означено на цртежу? Које су од њих саставне полуправе? m A O B C
B
Права и полуправа су скуп тачака. Сваку скуп тачака назива се још и геометријска фигура.
78
C
Именуј геометријске фигуре на цртежу.
5
a p
6
M
P
Имеђу којих тачака лежи тачка Р? Постоје ли и друге тачке на правој p које леже између тачака М и N? Именуј дужи на цртежу испод а) и б). V a)
A
b)
8
D
A
N
Uo~i i zapamti!
На цртежу су означене права p и тачке М, N и Р.
7
B O
S
M
X
M
Геометријска фигура која садржи тачке М и N и све тачке које леже између њих назива се дуж. Тачке М и N називају се крајње тачке дужи MN. Тачка Х на цртежу б) и све друге тачке које леже између М и N називају се унутрашње тачке дужи MN.
N
Измери растојање између тачки А и В на цртежу и то напиши симболично.
Uo~i i zapamti! M
A
N
B
m
N
Растојање између крајних тачака М и N дужи МN назива се дужина те дужи и означава се са МN. МN=5cm.
Да упамтим! Једна дуж може се означити и малим словом. Истим словом означава се и дужина те дужи. На цртежу је дуж означена МN словом m и m = 5cm.
Uo~i i zapamti! 9
На цртежу је задата дуж АВ и на њој тачка D. Измери растојање између тачаки А и D и између тачки D и В. Шта примећујеш?
A
10
D
На цртежу AD = DB. Значи тачка D је подједнако удаљена од крајних тачака А и В дужи АВ. Таква тачка назива се средишња тачка или средина дужи.
B
Нацртај дуж РЅ и одреду њени средишњу тачку О.
11
Измери дужину дужи АВ, СD, ЕF и GH и упореди их. Које од задатих дужи имају једнаке дужине? A
79
Uo~i i zapamti!
Из упоређивања дужи на цртежу, можемо да утврдимо да: AB = EF i CD = GH
B
C
За две дужи које имају једнаке дужине кажемо да су једнаке или складне дужи.
D F E
G
H
12
ацртај дуж СD која је једнака дужи АВ са цртежа. A
B
Treba da zna{! Proveri se! да нацрташ и да означиш полуправу; Шта је полуправа;
Које од означених тачака на цртежу припадају дужи АВ? D
Да објасниш шта је дуж; Шта је дужина дужи; За које две дужи се каже да су једнаке или складне.
A
C
F
B
G
E Нацртај једну дуж АВ, а затим нацртај дуж СD која је једнака дужи АВ.
Zadaci 1. Шта је полуправа? 2. Означи три неколинеарне тачке О, А и В, а затим нацртај полуправе ОА и ОБ. Нацртај полуправу ОС која је састављена од полуправе ОВ.
3. Нацртај праву p и на њој означи две тачке М и N. На правој p означи тачке Р и Ѕ које припадају дужи МN и тачке К и L које не припадају тој дужи.
5. Које две дужи су складне дужи? 6. Означи три неколинеарне тачке А, В и С. Колико дужи одређују те тачке? Именуј дужи.
7. Означи три колинеарне тачке Е, F и G.
Колико дужи одређују те тачке? Именуј их.
8. Дужи АВ и СD су складне. Колика је дужина дужи СD, ако
4. Шта је дужина дужи АВ?
AB = 4 cm?
5
80
ПРЕНОШЕЊЕ ДУЖИ
Podseti se! O
1
A A
M
На цртежу је дата полуправа ОМ и означена је тачка А. Измери растојање између тачке О и тачке А.
Поступи према захтевима и проучи исказано. Нацртај полуправу ОМ и на њој одреди две тачке А и В, тако да OA = 1 cm i OB = 3 cm.
Да ли постоји друга тачка Аa1, осим тачке А, тако да OA1 = 1 cm? Ако је n број већи од нуле, онда полуправа
Да ли на полуправој ОМ можеш да одредиш и другу тачку која је удаљена од тачке О исто толико колико и тачка А?
ОМ лежи само на једној тачци А која је на растојању n од тачке О. Тј. OA = n. Уочи ово као једно својство тачке са полуправом.
То својство тачке са полуправом може се искористити за цртање једнаких дужи само уз помоћ лењира и шестара. Цртеж направљен само уз помоћ лењира и шестара назива се конструкција.
2
Конструиши дуж која је једнака дужи АВ.
Re{ewe: A
B O
M
S
Разгледај задато решење и ради према упутствима и цртежима. Нацртај полуправу ОЅ (цртеж а). Отвори шестар, тако да његов отвор буде једнак дужини дужи АВ, тј. „узми” дуж АВ (цртеж б).
O
Y
a)
Убоди шестар у почетак полуправе ОЅ и истим отвором означи тачку М (цртеж).
Дужи АВ и ОМ су једнаке. Овај поступак назива се још и графичко преношење дужи на датој полуправи.
v)
b) A
V
O
M
Y
3
Нацртај дуж MN и полуправу ОР. Пренеси дуж MN на полуправу ОР.
4
Дуж m ( тј. КL) и n (тј. МN) су пренесене на полуправој ОТ(на цртежу десно) тако да OP = KL и PS = MN.
81
m
n
K
L
M
N
n
m
Колика је дужина ОЅ? P
O
B
5
Одреди на графички начин, збир дужи a i b са цртежа.
Ради према упутствима и следи цртеже
a)
Пренеси дуж b на полуправој ОТ, са почетном тачком Р и крајњом тачком Ѕ (цртеж в). Дуж ОЅ представља графички збир дужи a i b, који се означава са a + b (цртеж г).
6
T
a
b
A
B
C
O
D
T a
Нацртај полуправу ОТ(цртеж а). Пренеси дуж а на полуправој ОТ (цртеж б).
S
b)
O
P a
v)
T b
O
P
S
T
S
T
a+b g)
На цртежу су дати дужи КL и МN и полуправа ОТ. Дужи КL и МN су пренешене на полуправу ОТ. На тај начин је на полуправој ОТ добивена дуж ОЅ. Колика је дужина дужи ОЅ?
O m K
L
n M
N m
7
Одреди на графички начин разлику дужи m = KL i n = MN.
O
S
n
P
T
Ради према поступку Нацртај полуправу ОТ. На полуправи ОТ пренеси дуж КL = m тако да ОР = n. Дуж МN = n пренеси на полуправој ОТ са почетком у тачци Р, према тачки О. Тако ћеш добити дуж РЅ, тако да РЅ = n. Дуж ОЅ је разлика дужи KL и MN, тј. OS = m – n.
82
Нацртај дужи a = 62 mm и b = 3 cm, = 3 cm, а затим конструиши дужи a + b i a - b.
8
Treba da zna{!
Proveri se!
За сваки број n већи од нуле, на полуправој ОЅ лежи само једна тачка А која је на рас-
Нацртај дуж АВ = 48mm и полуправу ОЅ. Пренеси дуж АВ на полуправу ОЅ.
тојању n од тачке О, тј. ОА = n; Конструиши дужи ОМ = a + 2b и Како се преноси дуж преко полуправе;
ON = 2a – b, ако a = 3 cm и b = 2 cm.
Како се графички одређује збир, односно разлика две дужи;
Zadaci 1. Нацртај полуправу ОЅ и на њој означи
4. Конструиши дужи: 2a + b и a + 2b, ако a = 25 mm и b = 22 mm.
тачке А и В, тако да ОА = 4 cm и АВ = 2 cm.
2. За који цртеж кажемо да је конструкција?
5. Конструиши дужи: a - b и a - 2b, ако
3. Конструиши дужи: ОМ = 2a и ON = Зa,
6. Конструиши дуж: a + b - c, ако a = 5 cm,
ако a = 3 cm.
a = 72 mm и b = 2 cm.
b = 3 cm и c = 4 cm.
Провери своју способност уочавања. Провери путем бројања. 1. Колико квадрата има фигура на цртежу а? 2. Колико правоугаоника има фигура на цртежу б? 3. Колико једнакостраних троуглова има фигура на цртежу в?
a)
b)
v)
6
83
ИЗЛОМЉЕНА ЛИНИЈА
Podseti se! A
За две дужи које имају заједничку само крајњу тачку кажемо да су суседне дужи.
A
B
Тачке А и В су крајње тачке дужи АВ.
P M
Шта имају заједничко дужи АВ и ВС на цртежу? A Са цртежа уочаваш да АВ и ВС не леже на истој прави. B
Дужи MN и NP на цртежу су суседне дужи. Одговори на питања.
C
На цртежима а) – д) дате су дужи АВ, ВС, CD и DE, које се надовезују једна на другу на разне начине.
На ком од цртежа две суседне дужи леже на истој прави? На ком од цртежа нема суседних дужи које леже на истој прави?
a)
C C
A
B
C
A
B
g)
A
A
D
E
d) C
B D
E
B
D
E
D
C b)
B v)
N
A
E
Upamti!
D
Ако при надовезивању дужи било које две суседне дужи леже на истој прави, онда се овако добивена геометријска фигура назива изломљена линија. Геометријске фигуре под б, г и д су изломљене линије, а под а и в - нису. Зашто?
1
Које од фигура на цртежу су изломљене линије? H
M
G
T
N
E A
B
L
C F
a)
b)
K
I v)
P
R
S g)
На цртежу је дата изломљена линија. Дужи АВ, ВС и CD називају се стране изломљене линије, а њихове крајне тачке темена.
84
D S
Са којом дужи је суседна дуж АВ, а са којом дуж ВС? Суседне дужи изломљене линије називају се суседне стране. На пример, суседне стране изломљене линије на цртежу су АВ и ВС, као и ВС и СD.
A
V
Које стране изломљене линије на цртежу нису суседне? D На цртежу је дата изломљена линија.
2
Које су суседне стране страни ВС?
A
Разгледај цршеж и проследи исказивање
B
D
a)
b)
S
E
Које стране нису суседне страни СD?
V
Uo~i i zapamti!
D За изломљену линију код које се крајње тачке подударају кажемо да је затворена.
S
E A
V
S
A≡E
B
Са цртежа а можеш да уочиш да се крајње тачке А и Е изломљене линије АВСDЕ не подударају. Крајње тачке А и Е код изломљене линије б се не подударају са тачком А.
3
Стране троугла образују затворену изломљену V линију.
S A
Које од изломљених линија на цртежу немају суседне стране које се секу? Која од изломљених линија је затворена и нема несуседне стране које се секу?
a)
b)
v)
g)
d)
ђ)
85
Uo~i!
Изломљене линије а, б и ђ немају несуседне стране које се секу. Таква линија назива се проста изломљена линија. Изломљене линије б и ђ су затворене и немају суседне стране које се секу.
Upamti!
Стране четвороугла АВСD образују полигоналну линију. C D
Затворена проста изломљена линија назива се полигонална линија.
A
V
4
Израчунај збир дужина страна изломљене линије на цртежу.
Uo~i i zapamti! Збир дужина свих страна изломљене линије назива се обим изломљене линије и означава се са L.
45 m m
2c m
D
B
C
Обим изломљене линије са цртежа је: L = AB + BC + CD + DE
4
cm
E
A
32 mm
B
L = 32 + 40 + 45 + 20, t.e. L = 137 mm.
5
Израчунај обим изломљене линије KLMNP, ако KL = 8 cm, LM = 6 cm, MN = 5 cm, NP = 7 cm и PK = 6 cm.
Treba da zna{! Да објасниш шта је затворена изломљена линија; Шта је затворена изломљена линија, тј. полигонална линија; Шта је обим изломљене линије.
Proveri se! Нацртај затворену изломљену линију АВСD. Израчунај обим затворене изломљене линије ABCDE, ако AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm, DE = 4 cm i EA = 7 cm.
86
Zadaci
1. Означи четири тачке А, В, С и D, да нема три тачке које леже на истој прави. Нацртај просту затворену изломљену линију са теменима А, В, С и D.
4. Шта је обим изломљена линије?
5. Дворна ограда АВСD има обим L = 21m. Израчунај дужину стране АВ, ако BC = 5 m, CD = 720 cm, DA = 630 cm.
2. Колико темена и колико страна има изломљена линија на цртежу? Именуј темена и стране.
6. Израчунај обим изломљене линије прика-
D
зане на цртежу. C
E
D
35 mm
28 mm
E
C A
B 25 mm
3 cm
3. Нацртај просту изломљена затворену
A
4 cm
линију са седам темена.
Poku{aj! 1. Без подизање врха оловке са хартије, покушај да нацрташ изломљену линију, којом ћеш дату фигуру а поделити на шест правоугаоних троуглова. 2. Нацртај фигуру (затворену, изломљену линију) гледајући цртеж б „једним потезом”, без подизања оловке са хартије и без поновног проласка преко већ нацртане линије. Да ли је то могуће направити са фигуром под в?
a)
b)
v)
B
7
ОСНОВНИ И ИЗВЕДЕНИ ПОЈМОВИ
87
Podseti se!
A
Изучавајући математику, до сада си учио о: броју, збиру два броја, дужи, кружници, површини правоугаоника и сл. Наведи још неколико ствари о којима си учио.
1
Upamti!
Број, збир два броја, дуж, кружница, површина правоугаоника и преломљена линија су математички појмови.
Уочи и потсети се следећих појмова које си учио: тачка;
растојање;
полуправа;
средина дужи;
права;
раван;
дуж;
преломљена линија.
Потсети се неких од ових појмова а) Геометријска фигура која садржи тачке А и В и све тачке које леже између њих назива се дуж. б) Тачка дужи која је подједнако удаљена од њене крајње тачке назива се средина дужи. в) Геометријска фигура надовезаних дужи, таквих да било које од две суседне дужи не леже на истој прави, назива се преломљена линија.
Шта исказују реченице од а до б? Реченицом под а се одређује каква је геометријска фигура дуж, тј. даје се одговор на питање „Шта је дуж?”. За реченицу под а кажемо да је то дефиниција појма дуж. Реченица под б)је дефиниција појма средишње тачке. Реченица под в је дефиниција појма преломљене линије.
2
Како се дефинише појам колинеарне тачке?
Uo~i! У дефиницији појма преломљене линије су употребљени појимови суседне дужи и праве. За дефинисање појма средишње тачке употребљени су појмови тачке и праве.
Појмове тачке и праве не дефинишемо другим појмовима. Њих само објашњавамо.
88
Прихваћено је да се узму за почетне и они се називају основни појмови. Основни појмови се не дефинишу.
Upamti! За основне појмове у геометрији узимају се: тачка, права, раван и растојање. За све остале појмове даје се дефиниција и оне се називају изведени појмови. Тако на пример, од геометријских појмова које си до сада изучавао, изведени појмови су: дуж, средишња тачка, преломљена линија, проста преломљена линија, обим преломљене линије и др.
3
Искажи дефиницију за полуправу. Који основни појмови су употребљени при дефинисању полуправе?
Treba da zna{! Proveri se! Тачка, права и раван су основни појмови у геометрији. Основни појмови се не дефинишу,
Који основни и који изведени појмови се употребљавају код дефинисања појма затворена преломљена линија?
Изведени појмови се дефинишу; Полуправа, дуж, средина дужи, преломљена линија су изведени појмови.
Zadaci 1. Наброји основне појмове у геометрији.
3. Искажи дефиницију за: а) дужину дужи; б) обим преломљене линије.
2. Који од наведених појмова су изведени појмови: тачка, права, дуж, полуправа, геометријска фигура, растојање?
4. Који појмови су употребљени за дефинисање појма геометријска фигура?
8
89
КРУЖНИЦА И КРУГ
Podseti se! Више пута до сада си цртао кружницу уз помоћ шестара. Да би нацртао кружницу, потребно је да знаш где да убодеш иглу и колико да „отвориш” шестар.
Уочио сам! Кружница је скуп тачака и све те тачке су на једнаком растојању од тачке О.
A
На цртежу је дата кружница к и на њој су означене тачке A, В, С, D, Е и F. Разгледај цртеж и поступи према захтевима.
1
Још колико тачака можеш да означиш на кружници?
E D
F
C
На каквом растојању су тачке на кружници од тачке О?
A
O B
Скуп свих тачака у равни које су на једнаком растојању од једне одабране тачке у тој равни назива се кружница. Изабрана тачка назива се центар кружнице и најчешће се означава са О.
2
Нацртај кружницу са центром О и отвором шестара од 25 mm. На кружници означи тачке А, В и С и сваку од њих повежи са центром О. C
Разгледај цртеж и одговори на питања:
r
B
Где леже крајње тачке дужи OA, OB и ОС?
O
Какве су те дужи међусобно по дужини? A
Дужи OA, OB и ОС повезују центар кружнице са тачкама кружнице и једнаке су међусобно.
Свака дуж која повезује центар са било којом тачком кружнице назива се полупречник или полупречник кружнице; и њена дужина се зове полупречник кружнице. Полупречник се најчешће означава малим словом латинице r. D
3
C
На цртежу је дата кружница k и дужи OA, OB, ОС и OD. A
Која од задатих дужи је полупречник кружнице? Зашто дуж ОС није полупречник кружнице?
O B
k
90
4
Нацртај кружницу центра О и полупречника r = 2 cm. Колико кружница можеш да нацрташ са центром у тачки О и полупречником од 2 cm?
Са датом тачком за центар и датим полупречником може да се нацрта само једна кружница. Једна кружница је потпуно одређена ако су познати њен центар и њен полупречник. Кружница k са центром О и полупречником r означава се са k (O; r). Нацртај кружницу k (O; 2 cm).
5
B 6
D
k
На цртежу је дата кружница k (O; r) и тачке А, В, С и D.
A O
C
B
Разгледај цртеж и одговори на питања. На колико делова је подељена раван кружницом k?
Можемо да кажемо да су тачке В и D изван кружнице k. Ком делу равни припадају тачке А и С? Кружница k дели раван на два дела (две области) – унутрашњи део (унутрашња област) и спољни део (спољна област). Геометријска фигура састављена од једне кружнице и њене унутрашне области назива се круг. Центар и полупречник кружнице k називају се центар и полупречник круга. Круг са центром О и полупречником r означавамо са К(О; r). Нацртај круг К(О;22 mm).
7
V
8
D
На цртежу је дата кружница k и на њој су означене тачке A, В, С и D и повучене су дужи АВ и СD.
Разгледај цртеж и одговори на постављена питања. Где леже крајње тачке дужи АВ и CD? Која од датих дужи пролази кроз центар О? На колико полупречника је једнака дуж АВ?
C A
d
B O k
Uo~i i zapamti! Дуж чије крајње тачке припадају кружници назива се тетива кружнице. Дуж АВ је тетива која пролази кроз центар. Тетива која пролази кроз центар назива се пречник или пречник кружнице. Пречник кружнице најчешће се означава са d и d = 2r.
9
91
Нацртај кружницу k (О;25cm). Израчунај пречник кружнице.
10 Нацртај кружницу k (О; r) и на њој означи две тачке
A
B
А и В. На колико делова је подељена кружница тачкама А и В?
O k C
Upamti!
Тачкама А и В кружница је подељена на два дела. Сваки од тих делова заједно са тачкама А и В назива се кружни лук и означава се са АВ, ако је то мањи кружни лук. Већи кружни лук означава се са три слова тј. АСВ. Нека тетива на кружници представља пречник. Сваки од добивених кружних лукова назива се полукружница.
11 Нацртај кружницу k (О; r), тетиву АВ и пречник CD. Које од тачака А, В, С и D одређују кружницу.
Treba da zna{! Proveri se! Да објасниш шта је кружница; Шта је кружни лук и како се означава; Шта је центар, а шта полупречник кружнице; Чиме је дефинисана кружница; Да објасниш шта је тетива кружнице и која се тетива зове пречник; Која се геометријска фигура зове круг.
Које од означених тачака на цртежу: а) припадају кружници k? б) припадају кругу К? в) су крајње тачке полупречника кружнице? E B Коликијерадијус кружнице са дијаметаром d = 32 mm?
k A
D O C
Zadaci 1.
Нацртај кружницу k (О; 2 cm). Да ли је центар О тачка кружнице?
2.
Шта је полупречник кружнице?
3.
Нацртај кружницу k дијаметра d = 4 cm и на њој тетиву АВ = 3 cm.
4.
Нацртај кружницу k(О,25mm) и на њој означи кружни лук АВ, тако да се добије тетива АВ = 3 cm.
5.
Израчунај пречник кружнице к са полупречником r = 28mm.
6.
Израчунај полупречник кружнице са пречником d = 5 cm.
92
9
УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ КРУЖНИЦЕ И ТАЧКЕ. УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ КРУЖНИЦЕ И ПРАВЕ
Podseti se!
A
B k A
F
B r
O E
C
D
a
E H
A
D O
C
G
G
На кружници k на цртежу означено је неколико тачака, а означене су и тачке које не леже на кружници. Које од означених тачака леже на кружници k? Које од означених тачака леже у унутрашњој области кружнице k? Које од означених тачака леже у спољашњој области кружнице k? Које тачке су заједничке за кружницу k и за праву a?
F
1
На цртежу су дате: кружница k(О; r) и тачке A, В, С, D, Е, F и G. Мерењем и упоређивањем утврди да су тачни дати искази: a) OA = r i OD = r; b) OB = r i OE = r; v) OC = r i OF = r.
Uo~i! Тачке А и D леже на кружници. Њихово растојање до центра О једнако је растојању r.
Тачке В и Е леже у унутрашњости кружнице k. Оне су унутрашње тачке. Растојање од тих тачака до центра О је мање од r. Тачке С, F и G леже у спољнем делу кружнице k. Оне се називају спољне тачке. Растојање између њих и центра О је веће од r.
2
Која од A, В, С, D и Е леже на кружници к О, 35 mm), ако AO = 3 cm, BO = 35 mm, CO = 4 cm, DO = 3 cm 5 mm, EO = 2 cm 8 mm?
3
Која од тачака K, L, M, N и P јe спољна, a која унутрашња тачка кружнице k (O, 3 cm), ако OK = 30 mm, OL = 28 mm, OM = 3 cm 2 mm, ON = 38 mm, OP = 2 cm 6 mm?
B 4
b
На цртежу је дата кружница k и праве a, b i c. Разгледај цртеж и одговори на питања. Колико заједничких тачака има права а са кружницом k? Која од прави има само једну заједничку тачку са кружницом k? Која од прави нема заједничке тачке са кружницом k?
S k O a c
V A
93
Uo~i i zapamti!
Права a и кружница k имају две заједничке тачке. Кажемо да је права a пресечна или секанта кружнице k. Права b и кружница k имају само једну заједничку тачку. Кажемо да је права b додирна или тангента кружнице k. Права c нема ни једну заједничку тачку са кружницом k.
5
Нацртај кружницу k и на њој означи тачку R. Нацртај праву t која додирује кружницу у тачци R.
Treba da zna{! Proveri se! Да одредиш тачку која лежи на датој кружници, у кружници или изван ње;
У каквом су узајамном положају тачка А и кружница k (О, r), ако OA = r?
Када једна права је секанта датој кружници;
У каквом су узајамном положају права m и кружница k (О, r), ако права m пролази кроз центар кружнице?
Када једна права је тангента датој кружници.
Zadaci 1.
2.
Која од тачака А, В, С и D је унутрашња тачка кружнице k (O; 3 cm), ако су OA = 25 mm, OB = 30 mm, OC = 4 cm i OD = 2 cm?
5.
У каквом узајамном положају могу да буду права и кружница?
6.
Која од прави на цртежу је тангента кружнице k? a
У каквом узајамном положају могу да буду тачка и кружница?
b c O
3.
Нацртај кружницу k (О; 8 mm) и праву a која сече кружницу.
7. 4.
Шта је танганта кружнице?
Нацртај кружницу k и на њој означи тачку А. Нацртај тангенту t која кружницу додирује у тачци А.
10
94
УЗАЈАМНИ ПОЛОЖАЈ ДВЕ КРУЖНИЦЕ
Podseti se! 1
A C
A D
r1
r
k
O
На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) i k2(O2; r2).
k1
Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{aweto. Dali kru`nicite k1 i k2 imaat zaedni~ki to~ki?
O1
B На цртежу су дате кружнице k(O; r) i k1(O1; r1). Тачка О је центар кружнице k(O; r), а дуж ОD је полупречник те кружнице. Именуј центар и полупречник кружнице k1. Које од означених тачака припадају кружници k и кружници k1?
k1
k2
r2 r1 O2
O1
Uo~i! Кружнице k1 и k2 немају заједничке тачке. Једна кружница је у спољашној области друге кружнице.
Upamti! Растојање О1О2 између центара О1 и О2, двеју кружница k1 и k2 називамо централно растојање, које најчешће означавамо са c; c = О1О2.
2
Разгледај кружнице k1 и k2 и одговори на питања. Да ли кружнице k1 и k2 имају заједничке тачке? У којој области кружнице k1 лежи кружница k2?
k1
k2 r1
r2 O1
Uo~i! Кружнице k1 и k2 немају заједничке тачке. Једна кружница је у унутрашњој области друге кружнице.
3
На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) и k2(O1; r2). Разгледај цртеж и одговори на питања. Шта имају заједничко кружнице k1 и k2? Имају ли кружнице k1 и k2 заједничке тачке?
k1 r1
k2 r2 O1
O2
Uo~i i zapamti!
95
Кружнице k1 и k2 имају заједнички центар и немају заједничке тачке. За њих кажемо да су концентричне кружнице.
4
Нацртај две концентричне кружнице k1 и k2 са полупречницима r1= 3 cm и r2= 2 cm.
B 5
На цртежу су дате кружнице k1(O1; r1) и k2(O2; r2). r1
Разгледај цртеж и одговори на питање:
r2 M
O1
O2
Шта имају заједничко кружнице k1 и k2?
Uo~i i zapamti! Кружнице k1 и k2 имају само једну заједничку тачку. Каже се да се кружнице k1 и k2 додирују споља.
На цртежу су дате кружнице k1(O1; 2 cm) и k2(O2; 3 cm) које споља се додирују.
6
Разгледај кружнице k1(O1; r1) и k2(O2; r2) и одговори на питање:
7
r1 k1 c
Шта имају заједничко кружнице k1 и k2?
O1
r2 O2
k2
Uo~i i zapamti! Кружнице k1 и k2 имају само једну заједничку тачку. Каже се да се кружнице k1 и k2 додирују изнутра.
V
8
Разгледај цртеж и ради по упутству.
Нацртај кружницу О1О2= 4 cm. Нацртај кружницу k1(O1; 25 mm) и k2(O2; 22 mm). Означи заједничке тачке кружница k1 и k2 са A и B. Повуци полупречнике r1= O1A и r2= O2A.
A
O1
O2 V
R
Uo~i i zapamti!
96
Кружнице k1 и k2 имају две заједничке тачке А и В, односно кружнице се секу.
9
Нацртај кружнице k1 и k2 које се секу.
Treba da zna{!
Proveri se!
У којим узајамним положајима се могу наћи две кружнице;
Могу ли две кружнице да су концентричне и да се секу?
Да препознаш то на цртежу;
Две кружнице са полупречницима r1 и r2 додирују се споља. Чему је једнако њихово централно растојање?
Када две кружнице немају заједничке тачке; Када се две кружнице додирују, Када се кружнице секу.
Zadaci
1.
Нацртај две кружнице k1 (O1; 18 mm) и k2 (O2; 22 mm) које немају заједничке тачке. Колико могућности има?
2.
Нацртај две кружнице k1 (O1; r1) и k2 (O2; r2) које се додирују споља.
3.
У каквом узајамном положају су кружнице k1 (O1; 3 cm) и k2 (O2; 2 mm), ако се тачке O1 и O2 подударају?
4.
Нацртај две концентричне кружнице k1 (O1; 2 cm) и k2 (O2; 15 mm).
5.
Нацртај две кружнице k1 (O1; 25 mm) и k2 (O2; 15 mm), које се додирују изнутра.
6.
Кружнице k1 (O1; 3 cm) и k2 (O2; 18 mm) се додирују изнутра. Израчунај растојање између њихових центара.
11
97
ПОЛУРАВАН. УГАО
Podseti se!
A
На цртежу су означене права p и тачке А, В, С, Е и F које не леже на њој.
1
Које од означених тачака леже на правој p, а које не леже на њој? M p
T Q
N
У каквом су узајамном положају права p и дуж МN? Шта је тачка Q за праву p и дуж МN?
F
B
A p C
E
D
Да ли дуж АВ има заједничку тачку са правом p? Какав узајамни положај имају права p и дуж EF?
Уочи да дуж АВ нема заједничку тачку са правом p, а дуж EF сече праву p. За тачке А и В кажемо да се налазе (леже) на истој страни, а тачке Е и F на различитој страни праве. Објасни зашто тачке С и D леже на истој страни праве p, а тачке В и D су на различитој страни праве. Има ли других тачака које леже на истој, односно на различитој страни праве p? Могу да уочим да на истој страни праве p има бесконачно много тачака.
Upamti! Скуп свих тачака у равни које леже на истој дате праве p , заједно са тачкама те праве, назива се полураван. Права р назива се ивица или гранична права полуравни.
p
Помоћу праве р на цртежу формиране су две полуравни, од којих једна је обојена.
2 Које од означених тачака на цртежу леже у истој полуравни са тачком Ѕ?
M
p
S
K
P N
T L
98
Y
B
3
Нацртај две полуправe ОХ и ОY, као на цртежу.
II I
Шта имају заједничко полуправе ОХ и ОY? На колико делова је подељена раван овим полуправима?
O
X
Две полуправе са заједничким почетком деле раван на два дела.
Геометријска фигура састављена од две полуправе са заједничком почетном тачком и једним делом равни, одређеним њима, назива се угао. На цртежу су представљена два угла који су формирани полуправама ОХ и ОY. Сваки од ових углова је састављен од полуправе и обојеног дела равни.
Y
Y
X
O
X
O
Полуправе ОХ и ОY називају се краци угла, а заједнички почетак назива се теме угла.
X
O
Углови могу да се означавају:
4
њ аш
област
B
великим словом латинице којим је означено теме угла и симболом испред слова; на пример, ∢O.
α A
O
малим словом грчке азбуке, које се записује у области угла; осим α, употребљавају се и слова: β (beta), γ (gama), δ (delta) i dr.; са три велика слова латинице, где се слово које означава теме пише се у средини; на пример ∢AOB. На цртежу је представљен угао α и означене су тачке: О, A, В, С, D, Е.
Које од тих тачака припадају углу α? Које од тих тачки су унутрашње за угао α?
5
Y X
O
Uo~i da!
а
шњ трааст у Ун бл ао
ољ
Y
Сп
Део равни који припада углу, без кракова, назива се унутрашња област (или, краће, област) угла. Унутрашни део угла обележава се кружним луком. Тачке које припадају унутрашњој области називају се унутрашње тачке угла.
D E C
α O
B A
Нацртај угао са теменом Ѕ и крацима ЅР и ЅR и означи га кружним луком. Како ћеш записати симболима угао који си нацртао?
6
S
Именуј сваки од углова на цртежу.
β P
V
7
99
2
M
R
На цртежу су дати су:∢ MON са тачкама A, В, С, D из његове области и ∢ SQT са тачкама Е, F, G, Н из његове области.
Све тачке дужи АВ леже у области угла ∢ MON. Где леже дужи BC, BD, AC?
N
D C
A
B
G F Q
S H E
M
O
T
Дуж EF има тачке које припадају области и тачке које не припадају области угла ∢ SQT. Где припадају тачке дужи EG, FH, HE?
Uo~i i zapamti! За један угао кажемо да је конвексан ако за било које две тачке А и В из његове области, све тачке дужи АВ припадају тој области. На цртежу је угао MON конвексан, а угао ∢ SQT је неконвексан.
8
Нацртај један конвексан угао α и угао β који је неконвексан.
Treba da zna{! Proveri se! Шта је полураван;
Која фигура на цртежу је угао?
Шта је угао;
Која од фигура на цртежу је конквесан угао?
Шта је унутрашња област угла;
V
Zadaci
S
O
1. Који од означених тачака на цртежу
C
B
R
R
M
L
и МN. Именуј тај угао.
4. Нацртај један конквесан угао α и један β угао који није конвесан.
H
a
A
3. Нацртај угао са теменом М и крацима МР
леже у истој полуравни са тачком А?
A
K
T
Који угао је конквесан;
E D F
2. Именуј теме и краке угла на цртежу. Који од означених тачака припадају углу, а који области угла?
5.
G C
V
D
Колико углова се могу формирати са полуправама: ОА, ОВ и ОС и кружним луковима на цртежу? Именуј те углове.
E O
A
V
S O
A
12
100
УПОРЕЂИВАЊЕ УГЛОВА. ВРСТЕ УГОЛОВА
Podseti se!
Углови, као и дужи, могу се упоређивати.
A
На цртежу је дат један угао. N
P
Ради према захтевима, уочи, запамти и одговори.
1
На прозирној хартији нацртај два угла: α = ∢АОВ и β = ∢СЅD као на цртежу, а затим их исеци. D B
M
Именуј тај угао. Именуј краке и теме угла.
β
α O
S
A
C
Постави исечени угао више другог угла, на пример α више β, тако да се О подудара са теменом Ѕ, а крак ОА са краком ЅС, као на цртежу.
D
α O≡S
У којој области се налази се крак ОВ? Крак ОВ( крак угла α) лежи у области угла β.
B β A C
Uo~i! Постоје три могућности положаја крака ОВ угла α=∢АОВ у односу на угао β=∢СЅD, када су α и β постављени један преко другога. 1.) Крак ОВ се подудара са краком ОD - тада кажемо дасу угови α и β једнаки (складни).
2.) Крак ОВ се налази у унутрашњој области угла β - тада кажемо да је угао α мањи од β. D
D
3.) Крак ОВ се налази у спољашној области угла β - тада кажемо да је угао α мањи од β. B
B
D
B α O≡S
B
2
β A C
α O≡S
β A C
Разгледај угао АОВ са цртежа, размисли и одговори. Шта образују краци угла АОВ?
β O≡S
A
α A C
O
B
Uo~i i zapamti!
101
Угао чији краци образују једну праву назива се равни угао. Било која два равна угла су једнаки.
3
Нацртај раван угао MON, обележи луком и означи тачке А, В, С, D у његовој области. Које од дужи AB, AC, BC и BD потпуно леже у области угла ∢ MON? Да ли је ∢MON конквесан или неконквесан угао?
4
C
Ради према захтевима, уочи упамти и одговори. На прозирној хартији нацртај раван угао АОВ. Савиј лист у темену О, тако да се краци ОА и ОВ подударају. Онда исправи лист.
A
O
B
Уочаваш да је линија савијања равни угао поделила на два складна, односно једнака дела. Сваки од тих делова је прави угао.
Uo~i i zapamti! Угао који износи половину равног угла назива се прави угао. Угао АОС на цртежу је прави угао. Запиши други прави угао. Уочи праве углове на твом лењиру.
5
Разгледај цртеж и одговори према захтеву.
V
Нацртај полуправу ОА. Теме правог угла постави у тачку О, тако да се један од крака правоуглог лењира подудара са полуправом ОА. По другом краку правог угла троуглог лењира повуци полуправу ОВ. На тај начин си нацртао прави угао АОВ.
6
7
O
A
γ β
Измери правим углом правоуглог лењира који је од углова на цртежу прави.
α V
Разгледај углове АОВ и МРN на цртежу и упореди са правим углом. Који је од датих углова мањи од правог угла, а који је већи од правог угла?
α O
A
Uo~i i zapamti!
102
8
N
Угао који је мањи од правог угла назива се оштар угао. Угао који је већи од правог угла, а мањи од равног, назива се тупи угао.
Процени који од углова на цртежу су оштри, а који тупи, а затим провери са правим углом лењира да ли су проценио тачно.
V
9
α
Какав је узајамни положај две полуправе ОА и ОВ, ако тачка В припада полуправи ОА, као на цртежу?
β
V
Да ли полуправе ОА и ОВ деле раван на два дела?
10
γ
δ
Један је састављен од полуправа ( које се подударају) и преосталог дела равни - тај угао се назива пуни угао.
Други угао је састављен од полуправа ( које се подударају), а његова област је празан скуп -тај угао се назива нулти угао (нула угао).
Да ли је пуни угао конквесан? Образложи твој одговор.
A O
V N
P
M
Proveri se!
Који угао се назива: Равни угао?
Прави угао?
Оштри угао?
Тупи угао?
Пуни угао?
Нулти угао?
Zadaci
Које врсте углова можеш да препознаш на цртежу? Именуј те углове.
B C
Поређај према величини, почевши од најмањег, углове: α, β, γ и δ, ако је α равни угао, β прави угао, γ оштри угао и δ -тупи угао.
1. Који угао се назива раван угао? 2. Какав угао представља половину правог угла?
M
На цртежу је представљен пуни угао АОВ и нулти угао NPM.
Treba da zna{!
R
Прихватићемо да подударне полуправе одређују два угла.
A O
β
O
A
3. Какав угао образују стрелице часовника у: а) 14 часова ; б) 15 часова; в) 17 часова; г) 18 часова?
6. Нацртај тупи угао МОN и оштри
4. Нацртај оштри угао АОВ и тупи угао МРN.
103
угао NОР, тако да је ∢ МОР раван угао.
5. Нацртај три полуправе ОА, ОВ и ОС тако да је: ∢АОВ прави угао, а ∢ВОС оштри угао. Ком типу припада угао ∢АОС?
13
СУСЕДНИ, УПОРЕДНИ И УНАКРСНИ УГЛОВИ На цртежу у „потсети се” углови α и β имају заједничко теме О и заједнички крак ОВ.
Potseti se!
A C
B β
Два угла са заједничким теменом и једним заједничким краком, а без заједничких унутрашњих тачака, зову се суседни углови.
α
O
A
На цртежу у су углови α и β. Именуј краке и темена углова α и β.
1
Шта имају заједничко углови α и β?
Који од углова на цртежу су суседни углови? Образложи одговор. H
B
D
A
O C a)
B
2
G
S
N M
P
F
b)
E v)
На правој АС на цртежу је изабрана тачка О и повучена је полуправа ОВ. Шта имају заједничко углови ∢АОВ и ∢ ВОС?
V
Како називамо такав пар углова? Какав угао образују кракови ОА и ОС? A
O
S
Можеш да уочиш да су углови АОВ и ВОС суседни и да образују раван угао.
Upamti! Два суседна угла која образују раван угао називају се упоредни углови.
3
Нацртај један оштар угао МРN, а затим нацртај угао NРЅ упоредан углу МРN. Ког типа је угао NРЅ?
4
Нацртај прави угао α, а затим нацртај угао β који је напоредан углу α. Ког типа је угао β ?
104
V
Праве АС и ВD на цртежу се секу у тачци О. Тако се образују углови α, β, γ и δ. Кракови ОС и ОD угла γ су наставци кракова ОА и ОВ угла α. За такве углове кажемо да се унакрсни углови.
B
C γ
β
α
δ
A
O
D Унакрсни углови су углови β и δ на цртежу.
Нацртај оштар угао АОВ, а затим нацртај угао МОN, тако да та два угла буду унакрсна.
5
G
6
Два угла која имају заједничко теме, а кракови једног угла су наставци кракова другог угла преко темена, називају се унакрсни углови.
Нацртај на хартији или картону унакрсне углове као на цртежу. Исеци пажљиво унакрсне углове и постави их један преко другог. Уочићеш да се унакрсни углови при постављању један преко другога подударају. Због тога можемо рећи да су унакрсни углови и складни углови. На цртежу ∢AOD = ∢ВОС и ∢АОВ = ∢COD.
C
D
O
B
A
Нацртај прави угао MPN, а затим нацртај његов унакрсни угао ЅРR. Ком типу припадају углови МРЅ и NPS?
Treba da zna{! Proveri se! Да препознаш и да објасниш који углови су суседни углови;
Да ли могу и углови АОВ и ВСD да буду суседни?
Да препознаш и да објасниш који углови су упоредни углови;
Углови АОВ и ВОС су упоредни углови. Ако је ∢ АОВ прави угао, онда ком типу припада угао ВОС? Угао МРN је тупи угао. Ког типа је унакрсни угао МРN?
Да препознаш и да објасниш који углови су унакрсни углови.
Zadaci 1.
Именуј суседне углове цртежа. Буди пажљив, има четири пара суседних углова!
2.
Који од углова на цртежу је упоредан углу α? Која друга два угла су упоредна?
Нацртај тупи угао α, а затим нацртај његов упоредни угао β. Ком типу припада угао β?
4.
За која два угла кажемо да су унакрсни углови?
5.
Одреди парове унакрсних углова на цртежу.
B
C
D
3.
O
β α γ δ
A
1 4 5 8
7
6
3
2
14 Podseti se!
A 1
V На цртежу је дата кружница k, k центар О и на њој су означене тачке А и В. На колико делова је подељеO на кружница k тачкама А и В? Како се зове сваки од тих делова? Како се означава мањи од два кружна лука? Како се зове дуж АВ?
2
105
ЦЕНТРАЛНИ УГАО. КОНСТРУКЦИЈА УГЛОВА
Који од углова α, β и γ на цртежу је централни угао? Зашто угао γ није централни? β
3
На цртежу је дата кружница k са центром О и угловима α и β. C
A
D k
V
β
α O
A
Где се налази теме угла: α; β? Угао чије теме се налази у центру задате кружнице назива се централни угао.
Кракови угла α (на цртежу) секу кружницу k у тачке А и В.
α
γ O
Напиши кружни лук који образују кракови угла α и који лежи у том углу. Напиши кружни лук који образују кракови угла α и који не лежи у том углу.
V
k
α C
O
A
Upamti! Сваки централни угао у датој кружници одређује тачно један кружни лук који лежи у том углу.
За угао и за лук кажемо да су одговарајући или одговарају један другоме.
4
На цртежу је дата кружница k и центар кружнице О и два централна угла, која су складна. Замисли да се угао α окреће око тачке О у правцу кретања стрелица часовника, све док тачно не покрије угао β. Где би пала тачка А, а где тачка В? Са којим луком би се подударао лук АВ?
Уочавам да би се лук АВ подударио са луком СD.
106
Складним централним угловима у истој кружници или у различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају складни кружни лукови.
На исти начин можеш уочити да важи и обрнуто: Складним луковима у истој кружници или различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају централни углови.
5
Централни углови α и β на цртежу су складни. Какви су одговарајући лукови АВ и СD? Тетива АВ припада углу α, а тетива СD углу β. Како ћеш закључити да су ове тетиве складне (једнаке)? Могу да замислим да ће се угао α, кретањем око тачке О, подударити са углом β. Тетиве АВ и СD подудариће се, т.ј,. биће једнаке.
Va`i op{to! Складним централним угловима у кружници или у различитим кружницама са једнаким полупречницима одговарају складне (једнаке) тетиве.
6
Тетиве АВ и СD у кружници k1 и k2, са једнаким полупречницима су једнаке. Да ли је централни угао α складан са централним углом β? Уочи да је α мањи од равног угла, а β је већи од равног угла.
Uo~i da Једнаким тетивама у истој кружници или у различитим кружницама једнаких полупречника одговарају складни централни углови само онда када тетиве: или обе припадају или обе не припадају одговарајућим угловима.
7
На цртежу су задате кружнице k1 и k2, са једнаким полупречницима. У свакој од кружница означене су тетиве: AB = 2 cm, CD = 24 mm, KL = 24 mm i MN = 2 cm. Koi od ozna~enite agli se ednakvi me|u sebe? Zo{to?
B k1 A C
L
k2
α
δ
β
M
γ
D
K N
Знаш да једнаким централним угловима у кружници са једнаким полупречницима одговарају једнаки кружни лукови (односно, тетиве). То можеш да искористиш да конструираш угао, једнак датом углу, само уз помоћ лењира и шестара. Како се то ради? Погледај следећи задатак.
B 8
107
L
Задат је угао α = ∢КОL (цртеж а). Конструиши угао једнак углу α.
a)
α
Прати поступак корак по корак.
K
O
9
Нацртај полуправу РТ (цртеж б).
b)
Прроизвољно отвореним шестаром, датом углу а, нацртај део кружнице са центром у тачци О, тако да она пресече кракове ОК и ОL. Тако ћеш добити тетиву АВ која одговара углу АОВ (цртеж в). Истим отвором шестара као код цртежа в, нацртај део кружнице са центром у тачци Р (цртеж г).
Отвори шестар и “пренеси” њиме растојање АВ са цртежа в.
Убоди шиљак шестара у тачку М и другим краком пресеци претходно нацртани лук на цртежу г; тако ћеш да добијеш тачку N.
Нацртај полуправу РЅ која пролази кроз тачку N (цртеж д); тиме ћеш добити да ∢TPS = α .
P
T L B
v) α O
A
K
M
T
N
Нацртај тупи угао, а онда конструиши угао β једнак углу α.
g) P S N d)
Treba da zna{! Да објасниш који угао се назива централни угао; Какав је однос између централних углова и одговарајућих кружних лукова;
P
M
Proveri se! N
A У кружници k на цртежу, АВ = МN и АВ >СD.
Да једнаким централним угловима одговарају једнаке тетиве.
T
Који од означених углова су једнаки међусобно?
O M
B C
D
Zadaci 1. Који угао се назива централни угао? 2. Нацртај кружницу k(О; 3 cm) и једну њену тетиву АВ = 35mm. Нацртај центрлани угао α у коме лежи тетива АВ.
3. Нацртај оштри угао α, а затим конструиши угао β једнак углу α.
4. Нацртај прави угао АОВ, а затим нацртај угао МРN једнак углу АОВ.
15
108
ГРАФИЧКО САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ УГЛОВА
Podseti se!
A 1
Како ћеш конструирати угао β једнак задатом углу α!
Дати су углови α и β. Одреди графички њихив збир.
На цртежу је дат угао α и полуправа ОА.
α
O
α
β
Разгледај цртеж и ради према поступцима. C B
A
Конструиши угао АОВ једнак углу α.
β
Нацртај два угла α и β и полуправу ОА. Истим отвором шестара нацртај кружни лук углу α, углу β и полуправи ОА. Конструиши угао АОВ једнак углу α. Конструиши угао ВОС једнак углу β. Коју операцију си извршио са угловима α и β? Чему је једнак угао АОС? Напиши то симболички.
2
α
O
Из предходних активности можеш да уочиш како се графички (конструктивно) сабирају углови. Описаним поступком добили смо угао АОС, који је једнак збиру углова α и β, тј. ∢АОС=α+β. Овај поступак назива се графичко сабирање или конструкција збира два угла.
Нацртај оштри угао α и прави угао β, а затим одреди графички њихов збир.
B 3
Дати су углови α и β. Одреди графички њихову разлику. Разгледај цртеж и ради према поступцима. R N α
β
A
O
M
Нацртај тупи угао α, оштри угао β и полуправу ОМ. Истим отвором шестара нацртај кружни лук угловима α и β и полуправој ОМ. Конструиши угао МОN једнак углу α. Конструиши угао NОР једнак углу β тако да крак ОР да буде у области угла МОN.
Тако си добио угао МОР.
109
Шта представља угао МОР за углове α и β? Коју операцију си извршио са угловима α и β?
Описаним поступком добили смо ∢ МОР = α - β, њиме је извршено графичко, тј. конструктивно одузимање углова α и β.
4
Нацртај прави угао α и оштри β, а затим одреди графички њихову разлику.
Treba da zna{! Да одредиш грфафички: збир два угла;
Proveri se! У вези са цртежом напиши симболички:
разлику два угла.
B
C
Шта представља угао АОС за углове АОВ и ВОС?
O
A
Шта представља угао АОВ за углове АОС и СОВ?
Zadaci 1. Нацртај два оштра угла α и β и конструи-
4. Нацртај један тупи угао α и један оштри угао
2. Нацртај оштар угао α и конструиши угао
5. Нацртај тупи угао α и један прави угао β и
β и конструиши њихову разлику.
ши њихов збир.
конструиши њихову разлику.
2α(2α= α+α).
6. Нацртај оштри угао α и оштри угао β, β је
3. Нацртај три оштра угла α, β и γ, а затим
мањи од α, а затим конструиши 2α-β.
конструиши угао α+β + γ.
Poku{aj! Колико углова (означених луком) има на цртежу? Који пар углова су суседни?
C B
Тачка О лежи на правој АЕ.
D
Који пар углова су упоредни? A
O
E
110
16
МЕРЕЊЕ УГЛОВА . УГЛОМЕР
Podseti se!
A
И углови могу да се упоређују, па према томе, могу и да се мере.
Са којом направом се мери дужина дужи?
1 A
V
Какви су међусобно централни углови α, β и γ?
Наброји (бар три) мерне јединице за дужину.
Угао АОD је збир углова α, β и γ који су међусобно складни. Колико пута угао α је садржан у углу АОD?
Нацртај угао α и угао β који је већи од угла α. Какви су међусобно два централна угла чији су одговарајући лукови складни?
2
Лукови АВ, ВС, СD, DЕ и ЕF на цртежу су складни. Који је мерни број угла: а) АОF; б) АОС у односу на угао α?
На цртежу, лукови АВ, ВС и СD су складни.
Каже се и мерни број угла АОD у односу на угао α.
3
Разгледај на цртежу равни угао АОВ и одговарајући лук - полукружницу.
Уочи да је полукружница подељена на 180 дела. Који део равног угла је централни угао који одговара једном 180-том делу полукружнице. Угао који је 180-ти део равног угла узима се за основну јединицу меру за углове. Његова величина зове се угаони степен или кратко степен. Означава се: 1°; чита се “ један степен“. Уочио сам да се, ако раван угао се подели на 180 дела, добија угао величине 1°.
4
Колико степена има раван угао? Колико степена има прави угао?
Направа за мерење углова зове се угломер.
111
B Угломер је приказан на цртежу. Угломер може да буде направљен од танке металне плочице, од картона или од пластике. 0
Он има облик полукруга који је подељен на 180 једнаких делова и сваки део означава један степен.
На скали су означени бројеви од 0 до 180, а центар полукружнице је означен са О
5
S
Разгледај цртеж на коме је приказано мерење угла ВАС и одговори: Где је постављена тачка угломера О? Где лежи крак АВ угла ВАС? Прочитај на угломеру колико степени има ∢ВАС?
6
A 0
V
Колико степени има сваки од углова на цртежу? K
S
A
V
N
M
0
0
a)
7
b)
Уз помоћ угломера, нацртај ∢МРN = 105°.
R
M
полуправу РМ са почет Нацртај ном тачком Р. угломер тако да се тачка Постави О подудара са почетном тачком Р N
полуправом РМ.
P Означи тачку N на месту где скала угломера показује 105°.
Повуци полуправу РN.
M 0
R
M
На тај начин, уз помоћ угломера, нацртао си ∢МРN = 105°.
112
V
8
Уз помоћ угломера нацртај угао од:
а) 48°;
б) 115°.
Мање јединице за мерење углова од степена су углов минут или кратко минут (означава се 1') и углов секунд или кратко секунд (означава се 1''). Један степен има шестдесет минута, а један минут има шестдесет секунди. 1o = 60’; 1’ = 60’’; 1o = 60 ⋅ 60’’ = 3 600’’.
Ако један угао има 25 степена, 38 минута и 42 секунде, то се записује овако: α=25° 28'42''.
Претвори у минуте:
9
а) 5°;
б) 12°45';
Претвори у секунде: а)4°;
б)10°15';
в) 45°15'.
a) 5o = 5 ⋅ 60’ = 300’.
10
в)20°20'20''.
Treba da zna{! Proveri se! Која је основна јединица мере за угао; Које су мање јединице (величине) од степена; Шта је угаони степен;
Ког типа је угао који има 90°? Ком типу припада угао који има 124°? Претвори у минуте 35°17'.
Колико минута има 1°;
Претвори у секунде 15°2'13''.
Колико секунди има 1'.
Zadaci 1.
Колико степена има свакио од углова: ВОС, ВОD, СОD, ВОМ и МОN на цртежу?
2.
Измери углове на цртежу: α и β.
M
D
C
B
N O
α
β
3.
Нацртај угао од:
а) 47°;
4.
Представи у минутама: а) 25°; б) 30°15'.
б) 126°.
5.
Поређај према величини, почевши од најмањег, углове: α = 71°35'; γ = 62°58'30''; γ = 96°45'; δ =84°35'40''.
17
113
АРИТМЕТИЧЕКЕ ОПЕРАЦИЈЕ СА УГЛОВИМА
Podseti se!
A 1 Основна јединица за мерење углова је степен.
Израчунај збир углова α = 85°36'25'' и β = 32°12'20''.
Уочи поступак код решавања.
Мање јединице од степена су минут и секунда.
1. Сабери секунде: 25" + 20" = 45" 2. Сабери минуте: 36' + 12' = 48'
1° = 60'; 1 '= 60'', 1° = 3 600''.
3. Сабери степене: 85° + 32° = 117°
Претвори у степене: а) 120'; б)180'. Претвори у степене и минуте: а)86'; б) 145'
85o
36’ 25’’
32o
12’ 20’’
117o
48’ 45’’
+
2
Израчунај збир углова α = 48°32'15'' и β = 60°8'18''.
3
Израчунај разлику углова α = 78° 38' 42" и β = 26° 15' 18".
α + β = 117o 48’ 45’’.
Уочи поступак 1. Одузми секунде: 42" - 18" = 24"
78o
38’ 42’’
2. Одузми минуте: 38' - 15' = 23'
26o
15’ 18’’
52o
23’ 24’’
-
3. Одузми степене: 78° - 26° = 52°
4
Израчунај разлику углова α= 108° 52' 36" и β= 42° 24' 15".
5
Израчунај збир углова α= 84° 36' 30" и β= 35° 42' 50".
α - β = 52o 23’ 24’’.
Уочи поступак 1. 30’’ + 50’’ = 80’’ = 1’ + 20’’
84o
36’ 30’’
2. 36’ + 42’ + 1’ = 79’ = 1o + 19’
35o
42’ 50’’
120o
19’ 20’’
3. 84o + 35o + 1o = 120o
6
+
Израчунај збир углова α = 68° 35' 26" и β = 46° 42' 52".
α + β = 120o 19’ 20’’.
114
Израчунај разлику углова α= 90° 25' 18" и β= 28° 36' 35".
7
B
Уочи поступак 1. 18''<35''. Од 25' одузимамо 1';
1'=60''; 18''+60''= 78'';
2. 24'<36'. Од 90° одузимамо 1°; 1°=60'; 24'+60'= 84';
78''-35''=43'' 84'-36'=48'
3. 89°-28°=61°
-
90o
25’ 18’’
28o
36’ 35’’
61o
48’ 43’’
α - β = 61o 48’ 43’’.
8
Израчунај разлику углова α= 105° 25' 20" и β= 68° 42' 30".
9
Израчунај разлику углова α= 88° 24' и β= 25° 38' 40". Уочи разлику. Уочи поступак 1. 1’ = 60’’; 60’’ − 40’’ = 20’’
88o
24’
2. 1o =60’; 83’ − 38’ = 45’
25o
38’ 40’’
62o
45’ 20’’
-
3. 87o - 25o = 62o
10
Израчунај разлику:
а) 90° - 35° 42';
α - β = 62o 45’ 20’’.
б) 180° - 65° 25' 35".
ЗА ОНЕ КОЈЕ ЖЕЛЕ ДА ЗНАЈУ ВИШЕ
1
Израчунај 4α, ако α=28° 32' 24". Уочи поступак. 1. 4 ⋅ 24’’ = 96’’ = 1’ + 36’’ 2. 4 ⋅ 32’ + 1’ = 128’ + 1’ = 129’ = 2o + 9’ 3. 4 ⋅ 28o + 2o = 112o + 2o = 114o
2
Израчунај 5α, ако α= 20°18'28''.
4 ⋅ 28o 32’ 24’’ = 114o 4α = 114o 9’ 36’’.
9’
36’’
3
Израчунај α: 6, ако α=76° 32' 42".
115
Уочи поступак. 76o 32’ 42’’ : 6 = 12o 45’ 27’’ - 72o 4o 32’ = 272’ - 270’ 2’ 42’’ = 162’’ - 162’’ 0
4
4o 32’ = 4 ⋅ 60’ + 32’ = 272’ 2’ 42’’ = 2 ⋅ 60’’ + 42’’ = 162’’
Који угао је 4 пута мањи од угла α = 75° 34' 20"?
Treba da zna{! Proveri se! Углови се сабирају по реду, тако да прво се сабирају секунде, односно минуте, односно степени; Да сабираш углове када је збир секунди, односно минута већи од 60; Углови се одузимају по реду, тако да прво одузимаш секунде, односно минуте, односно степене;
Израчунај α + β и α – β, ако α = 68° 45' 22" и β = 30° 25' 48".
Да одузимаш углове када је број минута или секунди у умањенику мањи од истог броја у умањиоцу.
Zadaci 1. Израчунај α + β и α -β, ако α = 88° 26'32" и β = 25° 10'20". 2. Израчунај α + β и α -β, ако
α = 76° 32' 42" и β = 42° 42' 42".
3. Израчунај α који са углом α даје збир 90°, ако је: а)α= 36° 40';
б) α= 42° 42' 42"
4. Изарачунај угао β који са углом α даје збир од 180°, ако α је: а) α= 78° 30'; б) α= 65° 35' 25".
Poku{aj! На цртежу је нацртан угао од 19°.
19o
Како може без угломера, а само са шестаром и лењирем, да се конструише угао од 1°?
18
116
УЗАЈАМНО НОРМАЛНЕ ПРАВЕ. РАСТОЈАЊЕ ОД ТАЧКЕ ДО ПРАВЕ
Podseti se!
A
На цртежу су дате праве m i n. Разгледај цртеж и одговори на питања.
1
a b
n
R
Праве a i b на цртежу се секу. Оне имају једну заједничку тачку. Која је та тачка?
β α
m
Какав узајамни положај имају праве m i n? Какав угао образују углови α i β?
Upamti!
Ако α је прави угао, какав угао је β?
За две праве које се секу и образују праве углове каже се да су узајамно нормалне праве или да је једна права нормална другој прави. Симболично се записује са: m ⊥ n.
2
Да упамтим! Праве m i n се секу и образују праве углове. Оне су узајамно нормалне праве.
Нацртај праву p и означи тачку А која не лежи на тој прави. Нацртај праву s која пролази кроз тачку А и нормална је на праву p.
B 3
M
Одреди најкраће растојање од тачке М до праве p на цртежу.
Разгледај цртеж и поступи према захтевима.
Измери растојања MA, MB, МС, MD и ME и A B C упореди их. Које од наведених растојања је Да упамтим! Могу да закључим да најмање? је најмање растојање МС, а то је У каквом су узајамном односу дужина дужи која је нормална на права p и права МС? праву p.
p D
Upamti! Под растојање од тачке М до праве p подразумева се „најкраће“ растојање. Растојање од тачке М до праве p меримо по нормали повученој кроз тачку М према правој p. Растојање тачке М до праве p је дужина дужи МС, где је С пресечна тачка нормале и праве p.
E
4
5
A
Одреди растојање од тачке А до праве а на цртежу. Разгледај цртеж а и ради према поступку. Нацртај праву b која пролази кроз тачку А и нормална је правој a (користећи прави угао твог троуглог лењира).
117
a A b
Означи пресечну тачку В правих a i b. Дужина дужи АВ је растојање из тачке А до праве a. У овом
a)
a
случају је АВ = 27mm.
V
R Која од дужи на цртежу је растојање од тачке Р до праве a? Измери растојање од тачке Р до праве a. a A
6
B
C
D
Нацртај праву a и означи тачку А која је на растојању 3cm од те праве.
Treba da zna{! Proveri se! За које две праве се каже да су узајамно нормалне; Да одредиш растојање од тачке до праве.
Код једног села пролази река, удаљена од њега. На реци треба да се постави мост који треба да буде најближе селу. Објасни, према томе што си учио, како ћеш одредити место где треба да буде постављен мост на реци.
Zadaci 1. Шта је растојање од тачке до праве?
4. Нацртај праву p и означи тачку Р која је на растојању 2 cm од праве p.
2. Нацртај праву m и означи тачку М која не лежи на тој прави. Одреди растојање од тачке М до праве m. 3. Одреди растојање од тачке А до праве c на цртежу. A
S c
V D
5. Нацртај праву p и на њој означи тачку М. Кроз тачку М повуци праву q, нормалну правој p.
19
118
СИМЕТРАЛА ДУЖИ. СИМЕТРАЛА УГЛА
Podseti se! A
A 1 M
V
Дата је дуж АВ. Кроз њену средишњу тачку О повуци праву s нормалну на дуж АВ.
Тачка М је средишња тачка дужи АВ=3cm. s
Одреди АМ и МВ. Праве a i b на цртежу су узајамно нормалне. Ког типа је угао α?
b
a
A
α
O
V
Нацртај дуж АВ. средишњу тачку О дужи Одреди АВ.
Кроз тачку О повуци праву s нормалну правој АВ. На колико делова права s дели дуж АВ? У каквом су узајамном положају права s и дуж АВ?
Uo~i i upamti! Права s која је преполовила дуж АВ и нормална је истој, назива се симетрала дужи АВ. m
2
Која од прави на цртежу је симетрала дужи МΝ? R
M
3
n s N
Нацртај дуж СD, а затим нацртај њену симетралу s.
B 4
B
На цртежу је задат ∢АОВ = 68° и у његовој области повучена је полуправа ОС тако да ∢АОС = 34°.
C
Разгледај цртеж и одговори на питање. Колико степена има ∢СОВ? На какве делове полуправа ОС дели угао АОВ? Закључио сам! Полуправа ОС дели угао АОВ на два једнака дела. ∢АОВ = 68°, ∢АОС = 34°, ∢СОВ = 34°.
O
Upamti! Полуправа која дели неки угао на два једнака дела назива се симетрала тог угла.
A
5
B
Провери, која од полуправа: ОМ, ОΝ и ОР на цртежу је симетрала угла АОВ.
119
P N
6
M
Нацртај угао од 56° и уз помоћ угломера повуци његову симетралу.
O
A
Treba da zna{! Proveri se! Да објасниш: шта је симетрала дужи и шта је симетрала угла. Да нацрташ: симетралу дате дужи и симетралу датог угла.
Нацртај дуж ЕF = 48 mm као на цртежу, а затом нацртај њену симетралу. Нацрта ј∢АОВ = 100° и затим повуци њену симетралу.
Тачно по симетрали.
Колико симетрала могу да се повуку: датој дужи; датом углу? F
E
Zadaci 1. Симетрала s сече дуж АВ = 5 cm у тачци М. Израчунај АМ.
5. Полуправа ОР је симетрала ∢МОN = 84°. Колико степена има ∢МОР?
2. Симетрала s сече дуж МΝ у тачци Р, тако да МР = 35mm. Израчунај дужину дужи МN.
6. Полуправа ОС је симетрала угла ∢АОВ. Израчунај ∢АОВ, ако ∢АОС=35°.
3. Нацртај дуж АВ = 5 cm, а затим нацртај њену симетралу.
7. Нацртај угао α=76° и повуци његову 4
Нацртај изломљену линију од две дужи АВ и ВС. Нацртај симетрале дужи АВ и ВС.
симетралу.
20
120
KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI AGLI
Podseti se!
A 1 На цртежу је конструисан збир углова α = 40° и β = 50°
α = 40o
Upamti!
β α β=
Који пар од следећих угова има збир 90°? а) α = 35° и β = 55° б) α = 26° и β = 46° в) α = 48° и β = 52°
За два угла чији збир износи 90° каже се да су комплементни углови.
50o
Колики угао је збир углова α и β? Колико степена има прави угао? Колико степена имају α и β?
2
Да ли су углови α и β комплементни, ако: а) α = 25° и β = 65°; б) α = 23° и β = 77°; в) α = 44° и β = 46°?
3
B
Ако α = 32°, колико онда износи његов комплементни угао β?
4
Измери углове α и β и израчунај њихов збир. α
β
Разгледај цртеж и одговори на питања. Какав угао је збир углова α и β? Колико степена има равни угао? Колико степена има ∢АОВ, који је збир углова α и β?
S β A
Уочио сам! Збир углова α и β је 180°, тј. њихов збир представља раван угао.
α O
V
Upamti!
121
За два угла чији збир износи 180° се каже да су суплементни углови.
5
Који од углова α и β су суплементни: α = 65o i β = 115o;
6
α = 108o i β = 72o;
α = 125o i β = 65o?
Ако α = 75°, колико онда износи његов суплементни угао β?
Treba da zna{! Proveri se! За која два угла кажемо да су комплементни? За које два угла кажемо да су суплементни?
Нека ∢АОВ = 62°. Који од углова α = 38°; β = 118°; g = 28° је: комплементан са углом АОВ; суплементан са углом АОВ?
Zadaci
1. Провери да ли су углови α и β комплементни, ако:
4. Провери да ли су углови α и β суплементни, ако:
a) α = 48o i β = 52o;
a) α = 105o i β = 65o;
b) α = 32o i β = 58o;
b) α = 128o i β = 52o;
v) α = 66o i β = 24o.
v) α = 46o i β = 134o.
2. Израчунај комплементни угао α =39°.
5. Израчунај суплементни угао α = 76°.
3. Нацртај један оштар угао, а затим кон-
6. Нацртај један тупи угао, а затим конструи-
струиши његов комплементан угао.
ши његов суплементен угао.
122
21
ВИШЕУГАОНИК
Podseti se!
A 1
На цртежу су дате три изломљене линије.
На цртежу су дате затворене изломљене линије КLМNP и АВСDE. Разгледај цртеж и одговори на питања. P
D M E
a)
b)
C
v)
A
B
N Које стране изломљене линије KLMNP секу страну KL? Да ли су стране које секу страну KL њене суседне стране? Има ли несуседних страна у изломљеној линији ABCDE које се секу?
D E C A B Које од страна изломљене линије АВСD нису суседне са страном АВ?
L
K
Изломљена линија под а је отворена, а под б и в је затворена. Стране АВ и ВС изломљене линије АВСD су суседне. Оне имају заједничко теме В.
Заиста, у изломљеној линији ABCDE нема несуседних страна које се секу.
Затворена изломљена линија која нема несуседне стране које се секу назива се полигонална линија.
2
Нацртај полигоналну линију DEFGH. D
B 3
E
Разгледај на цртежу полигоналну линију ABCDEF. На колико делова полигонална линија раздваја раван? Обојени део назива се унутрашњи део или унутрашњост полигоналне линије. Изломљена линија и њена унутрашња област образују једну геометријску фигуру.
C
F
B
A
Upamti!
123
Геометријска фигура саздана од једне полигоналне линије и њене унутрашње области назива се вишеугаоник.
4
Које од фигура на цртежу су вишеугаоници?
a)
5
b)
v)
На цртежу је задат вишеугаоник ABCDE. D Тачке: А, В, С D и Е су темена вишеугаоника. Темена А и В су суседна темена – леже на истој страни. Која темена су суседна са теменом D?
E
C
Која темена нису суседна са теменом С? Дужи: АВ, ВС, СD, DЕ и ЕА називају се стране вишеугаоника ABCDE. За које стране вишеугаоника ABCDE теме В је заједничко теме?
A
B
Стране АВ и ВС имају заједничко теме В. Они се називају суседне стране.
N
6
Које стране вишеугаоника KLMNP су суседна стране страни МN?
P M
7
8
Које стране вишеугаоника KLMNP нису суседне стране страни КL?
K
L
Разгледај вишеугаоник KLMNP. Са којим полуправима је формиран угао КLМ? Колико углова формирају полуправе, на којима леже стране вишеугаоника KLMNP, у његовој унутрашњој области?
Uo~i i upamti!
124
Углови: KLM, LMN, MNP, NPK и PKL су углови вишеугаоника.
9
Нацртај вишеугаоник АВСD и означи његове углове са α, β, γ i δ.
Treba da zna{! Proveri se! Шта је полигонална линија; Која геометријска фигура се назива вишеугаоник; Шта је теме, шта страна и шта је угао вишеугаоника; Која су суседна темена, а која несуседна темена код вишеугаоника;
Зашто изломљена линија на цртежу није полигонална линија? Које стране изломљене линије ABCDE нису суседне страни СD?
C
E
B
A
Које су суседне стране, а које несуседне стране код вишеугаоника.
Zadaci
1.
D
4. Која темена вишеу-
Која од изломљених линија није полигонална линија?
D
гаоника ABCDE нису суседна теме- E на са теменом D?
C
A
B
5. Које стране вишеугаa)
b)
оника КLМNР на цртежу су суседне стране страни МN?
2. Која од геометријских фигура на
N P M K
цртежу је вишеугаоник?
L
Помози баштовану! a)
b)
3. Нацртај вишеугаоник АВСD.
v)
Један баштован је добио задатак да засади 12 садница у 6 реда, по 4 садница у сваком реду. Да ли ће баштован моћи да изврши задати задатак?
22
125
НЕКЕ ВРСТЕ ВИШЕУГАОНИКА
Podseti se! 1
A Како се зове геометријска фигура састављена од једне полигоналне линије и њене унутрашње области?
На цртежима а и б дата су два вишеугаоника и по неколико дужи чије крајње тачке припадају вишеугаоницима.
Разгледај цртеже и одговори на питања. Тачке D, E и G леже на вишеугаоноку АВСD. D H E A
Y R
G
C F
S
H
M
V
T X
G
T
O F a)
B
Још које од означених тачака леже на вишеугаонику АВСD? Које од означених тачака не леже на вишеуганику АВСD?
U
b)
Где леже све тачке дужи FG, НТ и XY? Да ли све тачке дужи: OR, ST и UV леже у вишеугаонику (цртеж под б)?
Uo~i! Код вишеугаоника (цртеж под а) све тачке дужи чије крајње тачке леже на вишеугаонику, су тачке тог вишеугаоника. За те вишеугаонике кажемо да су конвексни. Код вишеугаоника (цртеж под б) неке тачке дужи чије крајње тачке леже на вишеугаонику, не припадају том вишеугаонику. За те вишеугаонике кажемо да су неконвексни.
2
3
Који од вишеугаоника на цртежу су конвексни?
a)
v)
g)
b)
Нацртај један конвексни и један неконвексни вишеугаоник. D
Potseti se! Разгледај вишеугаоник ABCDE . Тачке: A, В,С, D и Е су темена, дужи АВ, Е ВС, CD, DE и ЕА су стране вишеугаоника. Углови: ABC, BCD, CDE, DEA и EAB cу углови вишеугаоника.
E
C
A
B
126
B
4
Колико углова,темена и стране има сваки од вишеугаоник? Како називамо вишеугаоник АВС?
N
C
Разгледај вишеугаонике на цртежу и одговори на питања.
G H
P
M
F A
B
K
E
L
Upamti! Да, он има три углова и назива се троугао.
Према броју углова (темена или страна) вишеугаоник би могао бити: троугао - вишеугаоник са три угла (темена и стране);
четвороугао - вишеугаоник са четири углова (темена и стране); петоугаоник - вишеугаоник са пет углова (темена и стране).
5
Који вишеугаоник називамо шестугаоник? b)
a)
6
Нацртај вишеугаоник са седам страна. Како називамо овај вишеугаоник?
7
Одреди тип сваког од вишеугаоника на цртежу.
v)
Даље, под вишеугаоник подразумеваћемо конвексан вишеугаоник, ако није речено другачије.
Treba da zna{!
D
Proveri se! Који вишеугаоник се зове конвексан; Који вишеугаоник се зове неконвексан; Како се деле вишеугаоници према броју углова (темена, страна)?
Зашто је вишеугаоник АВСD на цртежу неконвексан? Како називамо вишеугаоник који има 8 страна?
C A
Zadaci 1.
Који вишеугаоник се назива конвексан вишеугаоник?
2.
Нацртај петоугаоник АВСDE. Која темена су суседна темену В? Које стране нису суседне страни ВС?
B
3. Које од означених тачака на
4. Означи пет тачака А, В, С, D и Е као на
цртежу леже на вишеугаонику АВСD?
D
E
D
C
C
N
A
E
H
G
F M
127
цртежу, а затим нацртај петоугаоник ABCDE који је неконвексан.
A
B
23
B
ОБИМ ВИШЕУГАОНИКА
Potseti se! C
A
A 1
Разгледај вишеугаоник ABCD на цртежу. На њему су дате дужине дужи од којих је састављена полигонална линија вишеугаоника.
V
Израчунај обим троугла АВС. Израчунај обим квадрата са страна (а=5cm).
C 4 cm D
3 cm
2 cm 4 cm
A
B
Израчунај обим полигоналне линије ABCD. Обим полигонале линије од које је састављен вишеугаоник назива се обим вишеуугаоника и означава се са L.
Uo~i! Обим вишеугаоника АВСDE на цртежу је: L=AB + BC + CD + DA; L=4 + 3 + 4 + 2=13 cm, тј. L = 13 cm.
2
S
Израчунај обим вишеугаоника АВСDE, ако: АВ = 4 cm, ВС = 25 mm, CD = 3 cm, DE = 35 mm и EA = 3 cm.
B
3
b
Израчунај обим троугла АВС на цртежу, ако: a = 28 mm, b = 32 mm i c = 40 mm. A
a
c
V
128 4
Upamti!
L = AB + BC + CA, t.e. L = a + b + c.
Израчунај страну a троугла АВС, ако су дати: a) L = 22 cm, b = 9 cm i c = 6 cm;
b) L = 30 cm, b = 12 cm i c = 8 cm;
Prati re{ewe:
Podseti se!
a) L = a + b + c; 22 = a + 9 + 6; 22 = a + 15, a = 22 - 15; a = 7 cm.
Који троугао се назива једнакокраки троугао?
Реши задатак под b).
5
Израчунај обим једнакокраки троугла АВС са основом AB = a = 4 cm и крацима AC = BC = b = 3 cm.
Uo~i postupak:
C
L = AB + BC + AC, L = a + b + c;
L = a + b + b, t.j.
b
L = a + 2 ⋅ b; L = 4 + 2 ⋅ 3 = 4 + 6 = 10 cm, t.j. L = 10 cm.
6
Израчунај обим једнакокраки троугла са основом a = 8 cm и краком b = 6 cm.
7
Израчунај основу a једнакокраки троугла, ако су дате:
a
A
B
c
a) обим L = 23 cm и крак b = 7 cm; b) обим L = 30 cm и крак b = 9 cm.
Sledi re{ewe pod a)!
Upamti!
L = a + b + b, L = a + 2 ⋅ b
23 = a + 2 ⋅ 7; 23 = a + 14; a = 23 - 14; a = 9 cm; F
8
ΔАВС је једнакострани троугао са страном a = 5 cm.
a
Израчунај обим ΔAVS. D
a a
E
Sledi re{ewe:
L = AB + BC + CA, L = a + a + a,
129
Упамти
L=3⋅a
L = 3 ⋅ 5; L = 15 cm.
Израчунај обим једнакостраног троугла са страном a = 8 cm.
9
Израчунај страну једнакостраног троугла са периметром: а) L = 18 cm; б) L = 36 cm.
Sledi re{ewe: L = 3 ⋅ a; 18 = 3 ⋅ a; a = 18 : 3; a = 6 cm.
Treba da zna{! Proveri se! Шта је обим вишеугаоника; Да израчунаш обим вишеугаоника;
Израчунај страну једнакокраки троугла са основом a = 4 cm и краком b = 5 cm.
Да израчунаш обим троугла; Да израчунаш једну страну вишеугаоника, ако је дат обим и друге његове стране.
Израчунај страну a ΔAVS, ako L = 24 cm, b = 7 cm i c = 9 cm.
Zadaci
1.
Израчунај обим вишеугаоника ABCD, ako: AB = 3 cm,
6. Равнокрак троугао са основа a =12cm има обим L=32cm. Израчунај крак тог троугла.
BC = 34 mm, CD = 46 mm i DA = 5 cm.
2.
3.
4.
Израчунај обим ΔАВС, ако су: a = 8 cm, b = 12 cm i c = 9 cm.
7. Израчунај обим једнакостраног троугла са
Израчунај страну а ΔАВС, ако су: L = 42 cm; b = 12 cm i c = 15 cm.
8. Једнакостран троугао има обим L = 27 cm.
страном a = 18 cm.
Израчунај страну тог троугла.
Израчунај обим једнакокраки троугла са основом a = 8 cm и краком b = 11 cm.
9. Дужине четири стране једног петоугаоника 5. Обим једног једнакокракиог троугла је 34cm. Израчунај основу a ако један крак b = 12 cm.
су: 32 mm, 25 mm, 28 mm и 35 mm, а обим му је L = 150mm. Израчунај дужину пете стране.
24
130
УЧИО СИ О ГЕОМЕТРИЈСКИМ ФИГУРАМА У РАВНИ. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ
Нацртај праву p и праву q, и означи тачке А, В и С које леже на правој p и тачке С, D и Е које леже на правој q. Напиши помоћу симбола ∈ и ∉ које од тих тачки припадају, а које не припадају прави p, односно правој q.
1.
2.
Да ли су колинеарне тачке А, В и С, ако АВ = 4cm, ВС = 76mm и СА = 36mm?
Именуј све углове на цртежу означеним луком. Које врсте углова препознајеш међу њима?
9.
10. Нацртај угао α=АОВ, као на цртежу. Затим нацртај угао β који је упредан са АОВ.
3.
Шта је дуж?
4.
Нацртај две дужи, a i b, као на цртежу. a
11. Нацртај тупи угао α, а затим конструиши угао β једнак са углом α.
b
12. Нацртај оштри угао α и прави угао β.
Затим конструиши дуж: a) a + b;
Затим конструиши углове α + β и α - β.
b) a - b.
Одреди које од изломљених линија на цртежу су полигоналне. Објасни зашто друге линије нису полигоналне.
5.
13. Од које врсте је угао који има 90°35̕ ? Претвори у минуте: 90o 35'.
14. Израчунај угао β који са углом α = 45° 35̕ 45̕̕ даје збир 90°.
1
2
3
4
5
Нацртај кружницу k(О; 27mm) и на њој означи кружни лук АВ, тако да одговарајућа тетива буде АВ = 35 mm. Колики је пречник те кружнице?
15. Нацртај праву p и означи тачку М која је на растојању 3cm од праве p.
6.
16. Шта је симетрала дужи? 17. Провери да ли су углови α = 105°45̕ и
Нацртај кружницу k1(О; 30mm), а затим кружницу k2(O2; r2) која ће додиривати кружницу k1 изнутра, а да централно растојање буде 10mm?
7.
8.
а) Шта је угао? б) Шта је унутрашња област једног угла?
β = 75°15̕ суплементни.
18. Обим једног четвороугла је 64m, а три његове стране имају дужину: 24 m, 13 m и 14 m. Колико износи дужина четврте стране?
TEMA 3.
РАЗЛОМЦИ. ДЕЦИМАЛНИ БРОЈЕВИ
131
9. Врсте дијаграма. Избор дијаграма
157
132
10. Сабирање децималних бројева
160
2. Врсте разломака
135
11. Одузимање децималних бројева
163
3. Представљање разломака на бројној прави. Једнакост разломака
140
12. Множење децималних бројева
166
4. Сабирање и одузимање разломака са једнаким имениоцем
13. Дељење децималних бројева
170
143
5. Проширавање и скраћивање разломака
14. Претварање разломка у децимални број
175
146
15. Заокруживање децималног броја
178
1. Разломци. Читање и писање разломака
6. Децимални разломак. Децимални број
149
7. Својства децималних бројева
153
8. Представљање децималних бројева на бројној прави. Упоређивање децималних бројева
155
16. Избор примера. Анализа и закључак 17. Учио су о разломцима. О децималним бројевима. Провери своје знање
180
182
132
1
РАЗЛОМЦИ. ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ
Podseti se!
A 1
На цртежу фигуре су подељене на једнаке делове према површини.
2
У једној продавници има само целих хлебова. Како ће поступити продавац ако потражиш да купиш пола хлеба?
Колико половина има у једном целом? Колико трећина има у једном целом?
3
На колико једнаких делова је подељена свака фигура?
У једној бурегџионици имају једну целу питу бурека. Како ће поступити продавац ако потражиш да купиш четвртину бурека?
Продавац ће питу бурека да подели на четири једнака дела.
Именуј један део сваке фигуре. Искажи и напиши обојени део сваке фигуре.
Једно цело је подељено на четири једнака дела, тј. одређено је колико је 1 : 4.
Uo~i! Количник 1:4 није природни број, зато што ниједан природни број помножен са 4 не даје 1. Ипак, разумно је да кажемо да је тај количник је једнак једној четвртини и да прихватимо да и једна четвртина је број. 1 , tj . 1 : 4 = __ 1. Записујемо __ 4 4
4
Како ће три детета поделити подједнако две чоколаде? Разгледај цртеж.
На колико делова је подељена свака чоколада? Који део једне чоколаде ће добити свако дете?
Колико делова је добило свако дете?
Uo~i!
133
2 2 2 : 3 = __ ; __ чита се : две трећине или 2 кроз 3. 3 3 2 Можемо да кажемо да __ је број , записан у облику разломка, али није природни 3 број.
5
Напиши количнике 1 : 2; 4 : 5 и 11 : 15 у облику разломака и прочитај их.
6
Који од следећих количника није природни број? a) 6 : 3; b) 1 : 3; v) 5 : 6; g) 8 : 4. У ком количнику дељеник је дељив са делиоцем?
Uo~i i zapamti! Количници 1 : 5 и 5: 6 нису природни бројеви. Количник m : n није природни број, ако n није делитељ броја m. m Количник m : n записујемо __ . n Тиме ћеш, поред природних бројева, изучити и друге бројеве које се називају разломци. Разломак је количник два природна броја.
B
7
Разгледај цртеж и одговори на питања. На колико делова је подељено цело? Представи помоћу разломка обојени део целог. Како се називају бројеви који су записани у разломку? Шта показују бројеви са којима је записан разломак?
Op{te
Разломак
m __ је количник природних бројева m i n. Чита се: m кроз n. n
Бројеви којима је записан разломак називају се: m - бројилац и n - именилац. Они су одвојени цртицом која се назива разломачка црта. Она замењује знак дељења.
m __ n
Бројилац Разломачка црта Именилац
n показује на колико је једнаких делова подељено цело. Бројилац m показује број Именилац тих делова, односно колико таквих делова су узети из целог.
134
9
8
5 Шта показује бројилац, а шта именилац, у разломку __ ? 6
Напиши и прочитај разломак који означава осам 15-тих делова једног целог?
Treba da zna{!
Proveri se!
Да искажеш шта представља један разломак; Да читаш и да записујеш разломке; Да објасниш шта представља бројилац, а шта именилац у једном разломку.
5 Нацртај квадрат и шрафирај __ квадрата. 8 Шта показује бројилац, а шта именилац у 5 једначини __ ? 8 Који део је 1cm од 1m? Напиши 7 dl у l.
Zadaci 1. Напиши количнике у облику разломака и прочитај их. 7 : 9;
12 : 23;
4 : 121.
a , 2. Напиши и прочитај три разломка __ b где a, b ∈ {7, 9, 28, 105}.
3.
4.
Искажи шта показује именилац, а шта бројилац у разломцима: 5 12 38 __ ; __ ; __ . 8 19 125 4 Нацртај квадрат и ишрафирај __ квадра9 та.
Који део је a) 1 dm od 1 m v) 1 g od 1 kg
5. Напиши
a) 3 cm у dm ; v) 9 dl у l;
b) 28 cm у m; g)15 g у kg.
6. Напиши: 1 a) __ m у cm; 4 2 v) __ l у dl; 5
3 b) __ m у dm; 5 8 g) __ kg у g. 25
7. Од 36 ученика у једном разреду 21 су одлични. Представи разломком део одличних ученика у разреду.
8. У 8 једнаким врећама има укупно 5кg b) 1 cl od 1 l g) 1 dm2 od 1 m2
шећера. Колико кg шећера има у свакој врећи?
2
135
ВРСТЕ РАЗЛОМАКА
Podseti se!
A 1
Изрази једно цело у:
половинама;
трећинама;
седминама.
Uo~i! 2 7 3 __ = 1, __ = 1, __ = 1. 2 7 3 n __ Уопште узевши, за разломак n , са једнаким бројиоцем и имениоцем, где је n природни број имамо: n n __ = n : n = 1, t.j. __ = 1. n n
Колико половина има једно цело? Колико трећина има једно цело? Колико половина има у два цела, пет цела?
2 3
Напиши број 1 као разломак:
са имениоцем 8;
са бројиоцем 12.
Израчунај количнике: 2 : 1; 9 : 1 и n :1 (n је природни број) и представи их као количнике.
Записујеш:
Jednako
2 9 n __ = 2 : 1 = 2; __ = 9 : 1= 9; __ = n : 1 = n. 1 1 1
Сваки природни број n може се представити као разломак са бројиоцем n и имениоцем 1.
4
5
Напиши број 8 као разломак са бројиоцем 8. Напиши број 15 као разломак са имениоцем 1. Напиши два цела као разломак са имениоцем три. 3 3 6 6 Sagledaj: 2 = 1 + 1 = __ + __ = __ . Можемо да кажемо да је разломак __ једнак природ3 3 3 3 ном броју 2. Овај начин записивања природног броја као разломак са датим имениоцем није практичан за већину бројева. Уочи следећи краћи начин: Како можеш број 5 да запишеш у облику једначине са имениоцем 4? Колико четвртина има у 5 целих?
У 5 целих има 4 ⋅ 5 четвртина, тј. 4 ⋅ 5 20 5 = ____ = __ . 4 4
Било који природни број m може да се запише у облику разломка са имениоцем природним бројем n. m⋅n m = ____ n
136
Представи број 8 у петинама и број 12 у седминама.
6
Коме од следећих разломака именилац је делилац бројиоца? 3 4 3 15 18 5 21 Који од следећих разломака је природни број: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; __ ? 5 2 6 3 9 10 7
Upamti! a Разломак __ представља природни број услучају када је b је делилац броја a. b Разломак са којим је представљен природни број назива се привидни разломак. Који од следећих разломака су привидни разломци: 1 ; __ 4 ; __ 5 ; __ 6 ; __ 3 ; 14 __ __; 25 __ ; 22 __ ; 31 __ ? 2 2 1 6 4 7 4 2 8
7
Сваки природни број може да се сматра разломк0м. Постоје разломци који не представљају природни број. Према томе, скуп природних бројева је подскуп скупа разломака.
B
1 На цртежу су састављене фигуре од једнаких делова које представљају __ једног 4 круга.
8
I a)
b)
v)
II g)
d)
ђ)
e)
Колико четвртина има свака фигура првог реда? Колико четвртина има свака фугура другог реда? Које фигуре представљају мање од целог, а које веће од једног целог? Представи разломцима фигуре првог реда. Упореди бројиоце са њиховим одговарајућим имениоцем. Шта закључујеш?
Представи разломком фигуре из другог реда. Упореди бројиоце са њиховим одговарајућим имениоцем. Шта закључујеш?
137
Uo~i! 1 2 3 Фигуре првог реда представљају се разломцима: a) __ , b) __ i v) __ . 4 4 4 Бројилац сваког разломка је мањи од имениоца, што значи да они садрже мање делова него што има једно цело. Ти разломци су мањи од 1. 2 7 9 28 Такав тип разломака су; __, __ , __ , __ , итд. Њих називамо правилним разломцима. 5 9 11 31 Упамти о правилним разломцима: a a За било који било разломак __ (a, b ∈ N), ако је a < b, онда је __ < 1. b b 7 и е) __ 9. 6 , ђ) __ 5 , д) __ Фигуре из другог реда се представљају разломцима: г) __ 4 4 4 4 Свакоме од ових разломака бојилац је већи од имениоца, што значи да садржи више делова него што има једно цело. Ти разломци су већи од 1. 9 11 25 38 Такви су следећи разломци : __ , __ , __ , __ итд. Њих називамо неправилним разломцима. 4 3 13 19 Упамти о неправилним разломцима: a a У било ком разломку __ (a, b ∈ N), ако је a > b, онда је и __ > 1. b b Разломци мањи од 1 називају се још и чисти разломци, а разломци већи од 1 називају се нечисти разломци.
9
10
7 5 14 5 5 1 Дат је скуп M = { __ , __ , __ , __, __ , __ }. 7 11 9 8 3 2 Напиши табеларним записом скупове A = {x | x ∈ M i x < 1} i B = {x | x ∈ M i x > 1}. 3 Ком типу припада разломак __ ? 2 3 __ Напиши разломак као збир половина са два сабирка. 2 3 Напиши разломак __ као збир половина са три сабирка. 2
Prosledi re{ewe
138
3 Разломак __ је већи од 1 и може се представити као збир половина, 2 1 1 1 1 1 1 3 t.j. __ = __ + __ + __ = 1 + __ . Zbir 1 + __ кратко се записује са: 1 __. 2 2 2 2 2 2 2 3 1 . Можемо да запишемо да је __ = 1 __ 2 2
Мешовит број садржи цело и разломак.
Читамо: три половине једнако на једно цело и једну половину. Разломке веће од 1 записани целим бројем и чистим разломком називамо мешовитим бројевима.
V 11
Зашто сваки разломак већи од 1 може да се напише као мешовити број? 32 Разломак __ напиши као мешовити број. 5
Prati re{ewe: Ако поделиш бројилац разломка имениоцем, онда је добивени количник цели део мешовитог броја. Зашто?
32 : 5 = 6; -30 2
Добивени остатак је бројилац разломка мањег од 1, а именилац остаје исти.
12
6 Напиши као разломак мешовите бројеве: a) __ 5
32 2 2 ; = 32 : 5 = 6 + = 6 5 5 5 8 b) __ 3
15 v) __ 4
48 g) __ 11
32 2 =6 5 5 80 d)__ 13
132 |)___ . 17
Мешовити број може да се запише као разломак.
3 Мешовити број 2 __ напишимо као разломак. 4
Prati re{ewe: Одредимо колико четвртина садржи мешовити 3 број 2 __ . 4 Колико четвртина садрже два цела? Разломак мањи од 1 садржи још 3 четвртине. 2⋅4+3 11 3 _______ = __ 2 __ = 4 4 4
2 ⋅ 4 четвртине 2 ⋅ 4 + 3 четвртине
Мешовити број представља се као разломак тако што се именилац се множи са целим и тај број се додаје бојиоцу. Тај број се записује као бројилац, а именилац остаје исти.
13
2 Мешовите бројеве: 3 __ , 5
5 4 __ , 7
139
9 8 __ напиши као разломке. 11
Treba da zna{! Proveri se! Да препознајеш врсте разломака: разломке мање од 1(правилне разломке), разломке веће од 1(неправилне разломке), привидне разломке и мешовите бројеве.
9 6 3 2 Који од следећих разломака: __ , __ , __, __, 8 3 2 3 9 , __ 9 је мањи од 1, већи од 1, привидни раз__ 3 10 ломак? 13 Колико целих има разломак __ ? Напиши га 3 као мешовити број. 4 Колико петина има у 3 __ ? Напиши мешовити 5 број у облику разломка.
Да запишеш природни број у облику разломка са одређеним имениоцем; Да представиш разломак већи од 1 у мешовит број и обратно.
Zadaci 1. Сваки од природних бројева: 2, 5, 7, 8 и 11 напиши у облику разломка са имениоцем: a) 1;
b) 3;
4.
Напиши два разломка већа од 1 са имениоцем 12.
5.
Претвори у мешовите бројеве разломке: 28 __ , 17 __ , 21 __ , 29 __ , 125 __ . 3 4 8 5 9
v) 7.
2. Колико разломака мањих од 1 можеш
да напишеш са имениоцем 5, а бројиоцем природним бројем?
3. Напиши два разломка мањих од 1 са имениоцем 7.
6. Претвори у разломке мешовите бројеве: 3 3 8 , 1 __ 1 __ , 15 __ . 8 __ , 3 9 10 4 4
Smicalica! Једно поље је поплављено водом и свакога дана је поплављивано дупло више од претходног дана. Шестог дана је било поплаљено читаво поље. На крају кога дана је била поплављена половина поља?
3
140
ПРЕДСТАВЉАЊЕ РАЗЛОМАКА НА БРОЈНОЈ ПОЛУПРАВИ. ЈЕДНАКОСТ РАЗЛОМАКА
Podseti se! На цртежу је нацртана права р и на њој су означене две тачке А и В. A
B
0
1
A
Нацртај бројну праву са јединицом дужи од 2 cm.
1
Броју 3 придружи и тачку С.
p
Који број је придружен тачци А, а који тачци В? На цртежу је опредељена бројна полуправа са јединицoм дужи AB = 1.
Броју 5 придружи тачку D, а броју 7 тачку Е. Одреди дужину дужи СЕ. Колико пута треба да пренесеш јединицу дужи да би одредио тачку за број 14?
Сваки природни број се може представити на бројној прави.
2
Нацртај дуж АВ дужине 6 cm. На дуж АВ одреди тачку С тако да 2 AC = __ AB. Одреди дужину дужи АС. 3
Razgledaj crte`! Дуж АВ је подељена на 3 дела. Сваки део има дужину од 2 cm, а дуж АС има 2 таква дела.
A
C
B
AC = 4 cm. 1 __ Како ћеш одредити тачку D тако да AD = 3 AB. Одреди дужину дужи АD? Разломци се, као и природни бројеви, могу представити на бројној прави.
3
1 Представи разломак __ на бројној прави p. 4 1 Уочи да разломак је __ мањи од 1. 4 1 Где се налази разломак __ на бројној прави p? 4 Јединицу дужи АВ од 0 до 1 треба да поделиш на 4 једнака дела. На крају првог дела је тачка М и њој је при1 дружен разломак __ . 4 1 3 На бројној прави представи разломке __ и __ . 2 4
p A
B
C
0
1
2
1 Разломак __ налази се 4 на бројној прави AV. p A M
B
C
1 0 __ 4
1
2
10 На бројној прави са јединицом дужи 3 cm представи разломак __ . 3
4
141
У поступцима одговори на захтеве. Нацртај бројну праву и на њој одреди тачке са бројевима од 1 до 6. 10 10 Напиши разломак __ као мешовити број. Између којих бројева ће бити разломак __ ? 3 3 Између којих бројева ћеш дуж поделити на 3 дела? Колико делова ћеш одвојити да би одредио 4 11 10 тачку за разломак __ ? На истој бројној прави представи разломке __ и __ . 3 3 3
B
5
1 2 Милица је купила __ пите бурека, а Теута __ пите бурека исте величине. 4 8 Која од њих је купила већи део пите бурека? Поступи према захтеву.
Представи пите бурека са два круга једнаких полупречника (као на цртежу).
1 __ 4
Један круг подели на 4, а други на 8. 2 1 Првом кругу обоји __ , а другом __ . 8 4 Упореди обојене делове.
Милица је обојила делове на три једнаке траке, а Јован делове на три једнака квадрата.
Jovan
Milica
6
Могу да закључим! 1 2 __ = __ 4 8
На колико делова је подељена свака трака? На колико делова је подељен сваки квадрат? Који део сваке траке, односно сваког квадрата, је обојен? Упореди обојене делове трака, односно квадрата. 1 , __ 2 Обојени делови траке су једнаки и разломци __ 2 4 1 2 1 Према томе, можемо да напишемо: __ = __ ; __ = 2 4 2
4 су једнаки. и __ 8 4 2 4 __ ; __ = __ . 8 4 8
2 __ 8
142
Обојени делови квадрата су једнаки. 6 4 2 Према томе: __ = __ = __ . 9 6 3
Сагледај правило које важи код једнаких разломака.
1 2 __ = __ , va`i: 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 2 2 4
4 2 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4; 8 4 2 4 __ = __ , va`i: 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4; 3 6
Да упамтим! Код једнаких разломака важи: ако помножиш унакрсно, добићеш једнаки производ.
4 6 __ = __ . Провери и напиши. 6 9 a c a c Правило важи за било које једнаке разломке __ i __ , односно, __ = __, ako va`i a ⋅ d = b ⋅ c. b d b d
7
2 6 3 6 11 44 80 90 Који од следећих разломака су једнаки: a) __ i __ ; b) __ i __ ; v) __ i __ ; g) __ i __ ? 5 15 7 14 10 40 81 91
Treba da zna{! Proveri se! Да нацрташ бројну праву са датом јединицом дужи; Да представиш разломак на бројној прави; Да одредиш да ли су разломци једнаки уз помоћ правила за једнакост разломака.
Који разломци одговарају тачкама А, В и С на бројној прави? A
B
C
0 1 2 3 Нацртај бројну праву са јединицом дужи од 1 cm и на њој 7 одреди тачку А која одговара разломку __ . 3 Који број треба да се упише у квадратић да би једначине 2 6 Zadaci __ = __ биле једнаке ? 3 1. Који разломци одговарају тачкама А, В и С 4. Који од следећих бројева су једнаки: са бројне праве? 1 5 1 9 7 28 9 27 __ i __ , __ i __ , __ i __ ; __ i __ ? A B C 6 30 2 19 10 40 11 37 0
1
2
3
4
5. Користећи правило за једнакост разлома-
2. Нацртај бројну праву са јединицом дужи од 2 cm и на њој представи бројеве 3 1 a) 5; b) 7; v) 4 __ ; g) 6 __ . 4 2
ка одреди х, тако да би разломци били једнаки : x 7 35 2 10 100 2 x a) __ = __ ; b) __ = __ ; v) __ = __ ; g) __ = __ . x 9 27 11 x 3 12 40
3. Нацртај бројну праву са јединицом дужи
6. На бројној прави представљени су бројеви
од 4 cm и на њој представи разломке: 3 , __ 9 , __ 9 , __ 7 . __ 4 8 4 2
3 __ i 1. Представи бројеве: 4 5 1 17 __ ; 3 __ i __ . 4 2 4
3 __ 4
1
4
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА СА ЈЕДНАКИМ ИМЕНИОЦЕМ
Podseti se!
143
3 Пронађи збир бројева __ i 5 4 __ . 5 Уочи како ћеш објаснити сабирање разломака
A 1 Биљана и Саша поделили су један круг на 4 једнака дела. Биљана је обојила 1 2 __ круга, а Саша __ истог круга. 4 4 Колики део круга су обојили Биљана и
са једнаким имениоцем уз помоћ дистрибутивног својства дељења у односу на сабирање.
Саша заједно? Ради према следећим поступцима и упореди решења.
Нацртај круг и означи обојене делове. Израчунај
Примени дистрибутивно својство у изразу (3 + 4) : 5 = 3 : 5 + 4 : 5 (3 + 4) : 5 =
2 1 __ __ + . 4 4
Израчунај колико је више обојио Саша, 2 1 t.j. __ - __ . 4 4 Примени дистрибутивну особину дељења у односу на сабирање (12 + 9) : 3 = .
2
Промени стране добиве3 : 5 + 4 : 5 = (3 + 4) : 5 них једнакости. Напиши количнике у облику разломка.
4 3 3+4 __ + __ = _____ 5 5 5
Израчунај збир и представи га као мешовити број.
3 __ + 5 7 __ = 5
4 3+4 __ = _____ = 5 5 2 1__ . 5
4 3 Разгледај цртеж и објасни како је представљен збир __ + __ на бројној прави. 5 5 3 __ 4 2 __ + = 1__ 5 5 5 0
3 __ 5
1 4 __ 5
a __ b _____ a+b , Да упамтим: Разломци са једнаким имениоцем се сабирају овако: __ + = c c c a, b, c ∈ N, тј. збир бројиоца се уписује као бројилац, а именилац остаје исти.
3
3 1 Одреди збир 2__ + __. 5 5
2
Уочи да збир може да се израчуна на два начина.
144
I na~in
3 Претвори мешовити број 2 __ у разломак већи од 1. 5 1 13 Одреди збир __ + __ . 5 5
14 Напиши збир __ као мешовит број. 5
II na~in
3 Напиши мешовит број 2 __ као збир целих и разломка мањег од 1. 5 3 __ 1 __ У изразу 2 + + одреди збир разломака мањих од 1. 5 5 4 Напиши збир 2+ __ као мешовит број. 5
4
4 2 Одреди збир 3 __ + 1 __ на два начина. 7 7
5
Одреди збир разломака: 7 5 4 5 a) __ + __ ; b) __ + __ ; 9 9 7 7
1 3 v) 2 __ + __ . 4 4
11 8 Један тракториста је за један сат изорао __ једне њиве, а за други сат изорао је __ 20 20 њиве.
6
Који део њиве изорао је тракториста за два сата? Колики део њиве је остао неизоран?
B
7
Који разломак треба да се упише уместо x да би важила једнакост:
Uo~i! 5 2 7. Разломку __ треба да се додâ разломак __ да би се добио разломак __ 9 9 9 75 2 5 7 5 7 2 Разломак __ је разлика разломака __ i __ ; Записује се __ - __ = ____ = __ . 9 9 9 9 9 9 9
Да упамтим! Разломци са једнаким имениоцем одузимају се овако: a __ c ____ a- c __ = , a > c, b b b тј. разлика бројилаца записује се као бројилац, а именилац остаје ист.
5 7 __ __ = + x? 9 9
8 9
11 7 a) __ - __ ; 12 12
Израчунај разлику:
16 11 b) __ - __ ; 25 25
3 5 v) 3 __ - 1 __ . 8 8
145
3 Дужина једне стране правоугаоника је 5 __ cm, 5 2 __ а дужина суседне стране је за 1 cm мања. 5 Одреди дужину суседне стране. Одреди обим правоугаоника.
Treba da zna{!
Proveri se!
Да одредиш збир разломака са једнаким имениоцем; Да израчунаш разлику разломака са једнаким имениоцем.
Израчунај: 5 4 1 a) __ + __ + --. 9 9 9 v) 3
3 __ 7 __ + . 8 8
3 1 2 __ + 1 __. 4 4
2 4 Који број је за 2 __ мањи од броја 3 __ ? 9 9
Zadaci 1.
Одреди збир, а затим запиши га као мешовити број.
7 11 +4 12 12
b)
1 2 1 __ + 2 __. 3 3
g)
4 7 2 +1 +3 15 15 15
4. Збир бројева 3 5 i 2 1 умањи за 5 5 . 7
7
5. Један ученик првог дана је прочитао 3 једне књиге, другог дана
2. Израчунај: 7 3 a) 9 9 g) 3 - 1
3 5
књиге. 17 15 b) 19 19 d) 3
1 3 v) 5 - 2 4 4
2 5 4 -2 + 11 11 11
три цеви за један сат? Колики део базена ће остати ненапуњен?
10 5 исте те 10
Који део књиге је прочитао за два дана? Колики део књиге му је остао за читање?
3. Један базен се пуни из три цеви. За један сат прва цев пуни 1 друга 5 , а 12 12 4 трећа базена. 12 Колики део базена ће напунити све
7
3
7
6. Саша има 10 12 година, Биљана 15 12 година. Колико ће година имати Саша након 3 5 12 године? За колико година ће Биљана бити ста5 рија од Саше након 3 година? 12
5
146
ПРОШИРАВАЊЕ И СКРАЋИВАЊЕ РАЗЛОМАКА
Podseti se!
Уочи квадрате са једнаким странама. Једном квадрату обојени 6 део је 3 , а другом . 8 4
A 1
Који број треба да се упише у квадратић да би једнакост била тачна? 12 : 5 = (12 ⋅ 3) : (5 ⋅
).
Упореди обојене делове.
Које својство дељења је примењено? Провери да ли разломци су једнаки: 4 8 5 5.3 i ; i ; 5 10 6 6.3
3 6 Сагледао си да су обојени делови једнаки, тј. = . Исто тако, 4 8 зато што 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6. 6 3⋅2 3 6 Можеш да уочиш да је = . Из тога и из = добија се: 8 4⋅2 4 8
3 6 = , 4 8 3 3⋅2 = . 4 4⋅2
Бројилац и именилац разломка 3 се помножи са 2, а његова вредност се не 4 промени. Бројилац и имениоц разломка 5 помножи са: 2, 3 и 4. Провери да ли су добивени разломци 6 5 једнаки разломку . 6
2
Уочи да
5 5 ⋅ 2 10 = = . Ова једнакост важи, пошто: 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10; 6 6 ⋅ 2 12 5 5 ⋅ 3 15 = = . Ова једнакост важи, пошто: 5 ⋅ 18 = 6 ⋅ 15. 6 6 ⋅ 3 18
Уочено својство разломака можеш да објасниш помоћу својства дељења: a a⋅n a : b = (a ⋅ n) : (b ⋅ n). Према томе: = ; a, b, n ∈ N. b b⋅n
Va`i op{te! Ако се бројилац и именилац једног разломка помноже једним истим бројем, различитим од 0, добија се разломак једнак датом.
3
Овај поступак назива се проширавање разломака. Прошири разломке:
a) 5 so 3; 6
b)
7 so 4; 8
v)
3 so 10. 10
B 4
4 Бројилац и именилац разломkа __ подели са 2. 6
147
4 Провери да ли је добивени разломак једнак са разломком __ . 6 4 4:2 2 2 Израчунај = , tj. = . Ова једнакост важи зато што 4 ⋅ 3 = 6 ⋅ 2. 6 6:2 3 3 Бројилац и именилац разломка се није променила.
4 подељени су истим бројем, а његова вредност 6
15 Бројилац и имениоц __ подели њиховим заједничким делиоцем. 20 Провери једнакост датог и добијеног разломка.
5
Уочено својство разломка објасни помоћу својства дељења о непроменљивости количника, т.ј. a : b = (a : n) : (b : n) где су a, b, n су природни бројеви и n је делилац бројевима a i b. Према томе: a = a : n . b b:n
Va`i op{te! Ако бројилац и именилац једног разломка поделимо са њиховим заједничким делиоцем (већим од један), онда се добија разломак једнак датом разломку.
6
Овај поступак се назива скраћивање разломака. 36 Разломак __ скрати поступно са заједничким делиоцем бројиоца и имениоца. 60
Упореди твоје решење са датим. 36 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3 = = = = . 60 60 : 2 30 : 2 15 : 3 5 Одреди највећи заједнички делилац бројиоцу и имениоцу разломка 36 . 60 Скрати разломак са НЗД(36, 60). 36 36 : 12 3 Израчунај да је НТД(36, 60) = 12. = = . 60 60 : 12 5 3 Разломак не може да се скрати, зато што су бројилац и имениоц разломка узајамно прости 5 бројеви. Овакав разломак назива се нескратљив разломак. Уочи да један разломак можеш поступно да скраћујеш до нескратљивог разломка заједничким делиоцем његовог бројиоца и имениоца или, једноставније, да бројилац и именилац поделиш њиховим НЗД.
Да упамтим! Скраћивање разломака се изводи до нескратљивог разломка.
148
7
Скрати разломке:
a)
12 25 72 27 ___ ___ ___ ___ ; b) ; v) ; g) . 16 50 90 999
Treba da zna{!
Proveri se!
Да прошираваш разломке; Да скраћујеш разломке; Који разломак је нескратљив разломак.
Zadaci 1. Прошири са 2 и са 5 разломке: 2 3 11 15 a) __ ; b) __ ; v) __ ; g) __ . 5 7 12 17
2. Напиши три разломка једнака разломку 6 . __ 9
3. Колико стотинки има сваки од разломака:
4 1 Напиши једначине __ i __ 2 5 а)у десетинама; б) у стотинама . Одреди x у једначини уз помоћ скраћивања 12 x разломака. __ = __ . 18 3 x У запису __ одреди x да би разломак био 3 нескратљив и мањи од 1.
7. Користећи својство скраћивања и проширивања разломака, одреди x. 11 33 8 24 x 7 20 x __ __ __ a) __ = __ ; b) __ = __ ; v) __ x = 33 ; g) 17 = x . 9 54 7 28 3 5 4 6 исти именилац.
8. Разломке __ и __ прошири тако да имају
Problemi!
9 24 __ 17 __ 3 __ 4 __ __ ; ; ; ; ? 5 10 20 25 50
4. Који од следећих разломака су нескратљи2 17 21 29 111 3 ви: __ ; __ ; __ ; __ ; __ ; ___ ? 5 25 27 36 999 6
5. Скрати разломке: 5 __ 8 36 54 100 __ ; ; __ ; ___ ; ___ . 15 12 54 144 120
90 6. Скрати разломак ___ : 126
а) поступно;
б) са НЗД(90,126).
У једној кофи било је воде, а у другој вино. Напуњена је чаша из кофе са вином и сипана у кофу са водом, а затим иста чаша је напуњена из кофе са мешавином од воде и вина и сипана је у кофу са вином. Чега има више, воде у кофи са вином или вина у кофи са водом? Милица и Јован ималу су укупно 909 3 __ денара. Када је Милица потрошила 4 4 __ њеног новца, а Јован је потрошио 5 његовог новца, онда је обома остала иста сума новца. Колико денара су имали на почетку?
6
149
ДЕЦИМАЛНИ РАЗЛОМАК. ДЕЦИМАЛНИ БРОЈ
Podseti se! Како се називају бројеви: 1, 10, 100, 1000 ...? Којим мерним јединицама меримо дужину, а којим масу?
A
1
Напиши следећи мање јединице као делове већих: 1 cm у dm; 5 dm у m;
Напиши следеће веће мерне јединице у мање: 1 dm у cm; 5 m у dm; 8 dag у g; 1 m у cm; 7 m у cm; 1 kg у g; 9 km у m.
8 g у dag;
1 cm у m;
7 cm у m;
1 g у kg;
9 m у km.
Упореди твоје решење са задатим: 5 8 1 __ __ __ dm; 5 dm = m; 8g= dag; 10 10 10 1 9 _____ _____ 1g= kg; 9 m = km. 1 000 1 000 1 cm =
1 cm =
1 ___ m; 100
7 cm =
7 ___ m; 100
Уочи и упамти! Мерни бројева којима су изражене мање мерне јединице у веће су разломци. Имениоци ових разломака су декадне јединице: 10, 100, 1000,... 1 __ 5 __ 8 ___ 1 ___ 7 _____ 1 9 __ _____ Разломци: , , , , , , , ... којима су имениоци декадне 10 10 10 100 100 1 000 1 000 јединице називају се децимални разломци. Децимални разломак се може скраћено записати без имениоца у запису названом децимални запис или децимални број.
Разгледај примерe!
Децимални разломак 1 __ 10 5 __ 10 1 ___ 100 3 1 __ 10
Записује се децимални број
Чита се децимални број
0,1
Нула целих и 1 десетина
0,5
Нула целих и 5 десетина
0,01
Нула целих и 1 стотина
1,3
Једно цело и 3 десетина
150
Још неколико примера:
30 + 5 30 5 3 5 35 ______ ___ ___ __ ___ ___ = = + = + 100 100 100 10 100 100 35 Разломак ___ садржи 3 десетинке и 5 стотинке, т.ј,. 35 стотинке. 100 35 ___ Записује се 0,35 и чита се нула целих и 35 стотинки. 100 20 + 9 20 9 2 9 29 ______ _____ _____ ___ _____ _____ = = + = + 1 000 1 000 1 000 100 1 000 1 000 29 Разломак _____ садржи 2 стотинке и 9 хиљадитих. 1 000 29 _____ Записује се 0,029 и чита се: нула целих и 29 хиљадитих. 1 000 324 24 ____ ____ =3 записује се 3,24 и чита се 3 целих и 24 стотинки. 100 100 7 2 ____ записује се 2,07 и чита се 2 цела и 7 стотинки. 100
Уочи и запамти начин записивања децималних разломака у децималне бројеве. 17 9 Децимални разломци 2 ____ i 3 _____ запишимо као децималне бројеве. 100 1 000
Postupak
Za:
17 2 ____ 100
3
9 _____ 1 000
Прво се записују цели бројеви.
2
3
Записује се зарез, који се назива децимални зарез.
2,
3,
2,17
3,009
Записује се бројилац децималног разломка, ако он има толико цифри колико има нула у имениоцу. У другом разломку испред бројиоца се записују две нуле. Бројилац треба да има толико цифара, колико именилац има нула. 17 2 ___ = 2,17; 100
9 3 _____ = 3,009. 1 000
Да упамтим! Сваки децимални разломак може да се запише као децимални број.
Напиши као децималне бројеве следеће децималне разломке: 3 ___ 25 ___ 9 79 3 __ ; ; ; 3 _____; 15 _____ . 10 100 100 1 000 1 000
2
151
десетине
Децимални зарез дели број на два дела.
Део испред зареза су цели бројеви.
Децимални број 3,14 има 3 целих и две децимале.
стотине
3 celi
Део после зареза назива се децимални део.
,
14 decimale
Места цифри у децималном делу називају се децимална места, а цифре децимале.
2
CELI DEO
B 3
,
0
1
7
DECIMALNI ZARAEZ
3,14 : 3 цела и 14 стотинки; 17,005 : 17 целих и 5 хиљадитих дела. Напиши децимални број 3,25 као децимални разломак.
Уочи поступак:
DECIMALNI DEO
Прочитај следеће децималне бројеве: 0,5 ; 3,14 ; 2,03 ; 17, 005.
0,5 : нула целих и 5 десетинке;
4
Прочитај и напиши речима број 3,25.
МИЛИОНИТИ ДЕО
1
СТО ХИЉАДИТИ ДЕО
J
ДЕСЕТ ХИЉАДИТИ ДЕО
D
ХИЉАДИТИ ДЕО
S
SH DH JH
СТОТИНКЕ
КЛАСА КЛАСА ХИЉАДА ЈЕДИНИЦА
ДЕСЕТИНКЕ
Записивање децималних бројева приказано је у следећој табели, на примеру 17 12 _____ = 12,017. 1 000
Треба да добијеш: Три цела и 25 стотинке. Добивени текст напиши као децимални разломак.
152
Да упамтим: децимални број записује се у децимални разломак према правилном читању.
25 Treba da dobije{: 3 ___ . 100 Уочуваш да: децимални број се записује у облику децималног разломка на следећи начин: Цели део децималног броја се записује као цели део разломка. Децимални део записује се за бројилац децималног разломка. Имениоца се записује декадна јединица са толико нули, колико има децимала. Re{eni primeri:
0,5 =
17 32 5 ____ ___ __ ; ; 12,017 = 12 ; 1,32 = 1 1 000 100 10
Treba da zna{!
Proveri se!
Децимални број је посебан запис децималног разломка; Да запишеш децимални разломак као децимални број и обрнуто; Да правилно читаш децималне бројеве.
Напиши и прочитај децималан број који има 23 цели и 105 за децималан део. 3 ___ Напиши 7 100 као децималан број и 0,012 као децимални разломак.
Zadaci 1. Који од следећих разломака су децимални
4. Напиши децималне разломке као децималне бројеве:
разломци: a)
12 3 7 131 6 ____ __ ___ ___ ____ ; b) ; v) ; g) ; d) ? 1 001 10 200 200 1 000
2. Напиши три децимална разломка са бројиоцем 13, а различитим имениоцем.
3. Колико целих и колико децимала има децимални број:
a) 36,08; b) 3,0031; v)138,05?
a)
6 9 29 3 ___ ___ _____ ____ ; b) 2 ; v) 11 ; g) 14 . 100 100 1 000 1 000
5. Прочитај децималне бројеве: a) 2,03; b) 12,015; v) 0,0035.
6. Напиши децималним разломцима следеће децималне бројеве:
a) 0,2; b) 1,05; v) 4,003; 1,0017.
7
153
СВОЈСТВА ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A 2 Разломак __ прошири са 10, а онда са 10 100. 30 Разломак ___ скрати са 10. 100
1
3 __ прошири са 10, 10 100 i 1 000. Разломак
Треба да добијеш следеће решење: 3 3 ⋅ 10 30 __ ______ ___ = = ; 10 10 ⋅ 10 100
3 3 ⋅ 100 _____ 300 __ ______ = = ; 10 10 ⋅ 100 1 000
Представи децималне разломке као децималне бројеве.
Mo`e{ da zapi{e{:
3 30 300 3 000 __ ___ _____ ______ = = = , tj. 0,3 = 0,30 = 0,300 = 0,3000. 10 100 1 000 10 000
Uo~i! Децимални бројеви су једнаки, а разликују се по томе што са десне стране имају по једну или више нула. То је једно својство децималних бројева. Децимални број се не мења ако му се дода било колико нула са десне стране.
2
Децималне бројеве напиши тако да имају исти број децимала: a) 0,8 ; 4,25 ; 28,05 ; 6,028; b) 2,3 ; 0,03 ; 23,012 ; 5,4207. Број 5 напиши у облику разломка са имениоцем 1.
3
Тај разломак прошири са 10, 100 и 1 000. Добијене разломке напиши као децималне бројеве.
Уочио си да:
5=
5 __ . 1
5 ⋅ 10 50 _____ = ___ = 5,0; 1 ⋅ 10 10
5 ⋅ 1 000 5 000 5 ⋅ 100 500 ______ = ___ = 5,00; ________ = _____ = 5,000. 1 ⋅ 100 100 1 ⋅ 1 000 1 000
То што си уочио за број 5,важи за сваки природни број. Сваки природни број може да се запише као децимални број на тај начин шта се одваја зарезом и дописују се нуле као децимале.
154
4
B 5
Напиши природне бројеве 6, 12 и 135 као децималне бројеве. а) са једном децималом; б) са две децимале. 80 Децимални разломак ___ скрати са 10. 100 Дати и скраћени разломак напиши као децимални број.
Добио си решење:
80 80 : 10 8 ___ = _______ . = ___; 0,80 = 0,8. 100 100 : 10 10
Уочи исти поступак за разломак
3 200 _____ . 1 000
3 200 3 200 : 100 32 _____ = __________ . = ___ ; 3,200 = 3,2. 1 000 1 000 : 100 10
Децимални број који са десна има нуле се не мења, ако се оне изоставе.
6
Изоставите нуле, тако да децимални бројеви не промене своју вредност: a) 2,90; b) 0,03500; v) 1,0030; g) 28,102000; d) 7,0.
Treba da zna{! Proveri se! Да ли ће се променити децимални број ако са десне стране допишеш, односно изоставиш, једну или више нула.. Да запишеш природни број у облику децималног броја;
Напиши бројеве 1, 2; 15 и 0,40 са три децимале. Изостави нуле у бројевима, тако да се њихова вредност не промени. a) 3,0250;
b) 12,00;
v) 0,10200.
Zadaci 1. Бројеве 1,3000; 0,5; 1000 напиши са две децимале.
2. Да ли ће се променити вредност броја 1,05
ако се изостави нула и он се запише се 1,5?
3. У децималним бројевима 0,5000; 0,5020; 1,2020300 изостави све нуле, тако да бројеви не промене вредност.
4. Бројеви: 8, 1,2; 3,25 напиши тако да имају по три децимале.
Problem! Брат и сестра имају исти број ораха. Брат је сестри дао четири орахе. Колико ораха више има сестра од брата?
8
ПРЕДСТАВЉАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА НА БРОЈНОЈ ПРАВИ. УПОРЕЂИВАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A
2 Представи на бројној прави број 2 __ . 4
1
155
8 4 Децималне разломке : __ , 1 ___ 10 100
30 i 2 ___ представи на бројној прави. 100
Како се упоређују природни бројеви: а) са различитим бројем цифри;
Razgledaj re{ewe!
б) са истим бројем цифри? 8 __ 10
Uo~i!
0
0,8 1
1
4 __ 10
2
1,4
2
30 ___ 100
2,3
3
Децималне бројеве на бројној прави представљамо на исти начин као и разломке; 8 . Децимални број 0,8 записујемо као децимални разломак, тј. 0,8 = __ 10 од 0 до 1 делимо на 10 једнака дела и децимални број 0,8 придружујемо тачци која Растојање означава осми део. 4 Које растојање делимо на 10 једнака дела да би приказали децимални број 1 __ ? Како ћеш 10 одредити тачку која му одговара? 30 може да се скрати за 10, тј. ___ 30 = __ 3 . Како одређујемо тачку на бројној прави Разломак ___ 100 100 10 30 која одговара броју 2 ___ ? 100
2
Одреди тачке на бројној прави (А, В и С), којима су придружени децимални бројеви: 0,2; 1,9 и 3,00.
3
На бројној прави дате су тачке А, В, С и D. Одреди број који може се придружи свакој од тачака.
B 4
Могу да закључим! Сваки децимални број може да се представи на бројној правој. A 0
B C 1
2
D 3
1 1 Децималан разломак __ прошири са 10. Затим разломак ___ прошири са 100 10 1 _____ 10 и разломак прошири са 10. 1 000 Добијене проширене разломке напиши као децималне бројеве.
4
156
Разгледај решење и уочи оно што је закључено.
1 ___ 10 1 10 1 10 __ ___ _____ ____ ______ = ; = ; = , tj. 0,1 = 0,10; 0,01 = 0,010; 0,001 = 0,0010. 10 100 100 1 000 1 000 10 000 Једна десетина има 10 стотинки; једна стотинка има 10 хиљадита дела итд.
Op{te Позициона вредност сваке цифре у децималном броју је 10 пута већа од позиционе вредности цифре иза ње. То што си закључио искористи за упоређивање децималних бројева. Упореди децималне бројеве: a) 7,2 i 9,3;
5
b) 12,8 i 12,4;
v) 15,369 i 15,38.
Код упоређивања два децимална броја прво се упоређују цели делови.
Бројеви 7,2 и 9,3 имају различите целе делове, тј. 9 > 7, па према томе 9,3 > 7,2. Код бројева који имају исте целе делове, упоређује се децимални део.
Бројеви 12,8 и 12,4 имају исте целе делове, али различите децималне делове, т.ј, 8>4. Према томе, 12,8>12,4. Број 15,38 има већи децимални део од броја 15,369, зато што су 38 стотинки исто што и 380 хиљадита дела, а 380>369. Према томе, 15,38 > 15,369.
6
Упореди децималне бројеве: a) 18,43 i 19,15; b) 35,6 i 35,49; v) 4,1001 i 4,101.
Treba da zna{!
Proveri se!
Да представљаш децималне бројеве на бројној прави; Од децималних бројева који имају различите целе делове, већи је онај који има већи број целог дела; Ако децимални бројеви који се упоређују имају исте целе делове, већи је онај који има већи децимални део; Ако два децимална броја имају исте целе делове и једнак број децималних делова, онда су они једнаки.
На бројној прави представи децималне бројеве 0,5 и 1,400. Упореди децималне бројеве: a) 25,9 i 26,3; b) 17,2002 i 17, 202; v) 14,101 i 14,1010.
Zadaci 1. Представи на бројној прави следеће бројеве: 0,6; 1,7; 3
40 ___ . 100
2. Упореди бројеве: 2,01 i 1,86; 6,29 i 6,172; 9,121 i 9,101; 0,1031 i 0,1028.
3. Поређај према величини
4. На бројној правој тачка А је придружена броју 131,102, а тачка В је број 131,120. Која од ових тачака је ближе тачци која одговара броју 100?
(почевши од најмањег), бројеве: 5 . 0,05; 0,050; 5; _____ 1 000
157
Problem! Који знак треба да се постави између бројева 2 и 3 да би се добио већи број од 2, а мањи од 3?
S A
9 1
R A B R A D P O D A C I M A
ВРСТЕ ДИЈАГРАМА. ИЗБОР ДИЈАГРАМА Маја и Ана имају повртњаке једнаких величина. Свака је посадила у повртњаку парадајз, паприке и купус. У табели дати су подаци о делу повртњака посађеног различитим врстама поврћа. Повртњак Мајин повртњак
Анин повртњак
Парадајз
2 __ 5
1 __ 6
Паприке
1 __ 10
1 __ 3
Купус
1 __ 5
4 __ 12
Поврће
Колики део Мајиног повртњака је био засађен поврћем? Колики део Аниног повртњака је био засађен поврћем? Колики део оба повртњака је остао непосађен? У чијем повртњаку је непосађени део већи?
Представи податке стубичастим дијаграмом. Стубови у дијаграму нека су: једно цело подељено на 10 једнака дела и једно цело подељено на 12 једнаких делова. 2 4 Састави стубове, али пази: __ = __ ... 5
2
10
У табели су дати подаци о температури за 5 дана, мерени три пута на дан.
158
3
Која је просечна температура у понедељак? Који дан и у колико сати је температура била највиша? Колика је просечна температура свих пет дана у подне? Који дан има највећу температурну разлику?
Дани
7 сати 12 сати 19 сати
Понедељак
18 oS
24 oS
23 oS
Уторак
23 oS
29 oS
23 oS
Четвртак
15 oS
17 oS
22 oS
Петак
17 oS
22 oS
20 oS
Недеља
22 oS
28 oS
25 oS
У VI2 разреду једне школе има 32 ученика. Одговори на питања о омиљеној врсти хране унешени су у табели. Омиљена храна Врста Број Делови хране ученика целог 1 __ Поврће 16 2 1 __ Воће 8 4 1 __ Месо 8 4
Сви ученици представљају једно цело. (Представи кругом, као на цртежу.) Подели круг на две половине. Обоји једну половину у зелено, а другу подели на два једнака дела (четвртине). Обоји четвртине. Којом бојом је обојен део ученика који воле поврће? 1 __ 2 Поврће
Дијаграм приказан на цртежу назива се секторски дијаграм. Секторски дијаграм показује однос између делова целог.
4
Температура у 5 дана
1 1 __ __ 4 4 Воће Месо
Омиљена храна 32 ученика
Уз помоћ секторског дијаграма, представи податке: У једном разреду има 28 ученика. 3 Сок од лимуна воле __ ученика, а од 4 1 __ боровнице воли ученика. 4
1 За време једног излета __ ученика је играла 6 2 1 жмурке, __ ученика су играли ногомет, __ је 6 6 трчала кроз шуму, а остали су сакупљали шумске плодове.
Дијаграмом су представљени подаци на разне начине. Дијаграми су лаки за читање и разумевање. Има разних врста дијаграма: стубичасти, сликовити, кружни, а сваки од њих има своје предности и недостатке. Уочи!
Ово је занимљиво! Ако желиш да знаш више.
Broj u~enika
Омиљени спорт
Стубичасти дијаграм:
☺ Предности:
35 30 25 20 15 10 5 0
159
Лако се читају подаци; једноставно се упоређују величине;
Недостаци: F
K
R
Ако су стубови блиских величина, тешко се читају подаци;
G
Спорт
У зависности од скале, може се добити погрешан утисак о величини разлике.
F - fudbal; K - ko{arka; R - rukomet; G - gimnastika
Сликовни дијаграм
☺ Предност:
Омиљени спорт
F K R G
Лако се читају подаци; једноставни се упоређују.
Недостаци: Jedan znak
ер
јут мп
Ко
ozna~ava 2 u~enika Кружни (секторски) дијаграм
е ањ т чи
Sport
m Fil
☺ Предности:
Да би се показао тачан број мора да се користе делови симбола и знакова. Да би се утврдио тачан број мора да се рачуна.
Одлично се упоређују целина и њени делови.
Недостаци:
Muzika
Тешко се користи када су делови целине мали.
5
У табели су дати подаци о томе како Мики проводи време у једном дану (24 часова.)
Микијев дан
6
Представи податке стубичастим дијаграмом.
Дани
Време у сатима
Школа
6
Представи податке и сликовним дијаграмом
Учење
3
где ће
Спавање
9
Једење
2
Покушај да податке представиш и кружним дијаграмом.
Играње
4
представљати 2 сата.
Напиши предности и недостатке сваког од начина којим су представљени подаци о томе како Мики проводи време.
160
10
САБИРАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A Представи као децималне бројеве разломке: 3 156 3 ____ , ___ i 6 ___ 1 000 10 100 Број 2047,0138 унеси у табелу. JH S
D
J , d
s
1
Мимоза је купила 2,37 m црвене траке и 1,52 m плаве траке за паковање новогодишњих поклона. Колико метара траке је укупно купила Мимоза?
Треба да израчунаш:
2,37 m + 1,52 m
Ради према следећим захтевима и уочи решавање.
h dh sh
Колико центиметара има у 2 m? Колико има у 3 m? А колико у: a) 2,5 m? b) 2,6 m? v) 2,58 m?
мерне Представи бројеве као децималне
2,37 =
разломке.
237 152 ___ ___ ; 1,52 = . 100 100
Одреди њихив збир
237 152 389 ___ ___ ___ + = 100 100 100
представи као Збир децимални бrој.
389 ___ = 3,89 100
2,37 + 1,52 3,89
Уочаваш да:
Уочи решење задатка на друг начин.
Претвори метре у центиметре
2,37 m = 237 cm; 1,52 m = 152 cm
збир бројева дужине ленти (у Одреди центиметрима)
Претвори збир у метре
389 cm = 3,89 m
Практичније
Уочи и упамти! Децимални бројеви се сабирају као што се сабирају и природни бројеви. При томе, децимални зарези у сабирцима и у збиру треба цда буду на истој вертикали.
237 cm + 152 cm 389 cm
J , d s 2 , 3 7 +
1 , 5 2 3 , 8 9
под ица ис Једин и ц е . једин
од исп од ице це исп т е с и Де . Стот . тице тотица с десе
Prakti~no
161
Да би израчунао збир децималних бројева треба да запишеш бројеве један испод другог, и то: део испод целог дела, (јединице испод јединице, цели десетице испод десетица итд.);
децимале испод децимале (десетице испод десетица, 2
стотице испод стотица итд.) децималне зарезе сабирака и збира треба да буду на истој страни вертикалне праве; цифре збира одреди на исти начин као кад сабираш природне бројеве.
Практичније
Уочи како је прорачунат збир бројева 42,6 и 5,931.
D J , d s
h
4 2 , 6 На практичнији начин израчунај: 134,62 + 0,691.
3
5 , 9 3 1
+
1
15 3 1
4 8 , 5 3 1
Аутобус је првог сата вожње прешао 62,3 km, а другог је сата прешао 4,62 више од првог. Колико километара је прешао аутобус за два сата?
Potseti se! Провери да ли је тачно: 362 + 8 = 8 + 362; 4 + 168 + 6 = 4 + 6 + 168; 174 + 0 = 0 + 174; (72 + 56) + 44 = 72 + (56 + 44). Која особине сабирања природних бројева си искористио? Представи број 15 као децимални број.
5
1 42,6 + 5,931 48,531
B 4
Провери да ли је тачно: 0,54 + 3,2 = 3,2 + 0,54 Израчунај збирове: 0,54 3,2 + 3,2 i + 0,54
Збир два децималних бројева се не мења ако сабирци промене своја места. Ово је комутативни закон сабирања децималних бројева.
Израз (3,4 + 12,9) + 4,2 има вредност 16,3 + 4,2 = 20,5 Израчунај вредност израза 3,4 + (12,9 + 4,2). Добијену вредност упореди са вредношћу 20,5 из претходног израза. За сабирање децималних бројева важи асоцијативни закон. Искажи га!
162
Број 5,6 увећај за 2.
6
Израчунај збир бројева 5,6 и 2. Представи број 2 као децималан број. Напиши сабирке једен испод другог и израчунај збир. Децимални број се сабира са природним бројем тако што се природни број претвори у децимални број, а онда се два броја саберу.
7 - природни број 7,0 7,00
7
}
Израчунај:
Децимални бројеви
15,6 + 0
Збир децималног број и нуле је једнак децималном броју.
0 + (2,6 + 4)
24,8 + 0,0 24,8
Proveri se!
Treba da zna{! Да израчунаш збир децималних бројева, записаних у реду или једен испод другог; да запишеш природни број као децимални број и да израчунаш збир природног и децималног броја; да користиш комутативни и асоцијативни закон за олакшавање сабирања децималних бројева; да је збир децималног броја и 0 једнак децималном броју.
Израчунај: 03,4 + 4,2; 56,37 + 2,8; 9,24 + 12. Провери да ли је: 6,7 + 2,4 = 2,4 + 6,7. Искажи комутативни закон сабирања децималних бројева. Израчунај: 6,4 + (12,8 + 3,6) и (6,4 + 12,8) + 3,6. Упореди добивене резултате. Искажи асоцијативан закон собирања децималних броева.
Zadaci 1. Број 100,075 увећај за: a) 63,3; b) 5; v) збир бројева 4,78 i 56,3; g) 0.
2. Израчунај:
3. Реши једначине: x - 156,6 = 1,54;
x - 4,0245 = 0,81.
4. Падобранац пада 4 ѕ са затвореним падобраном. У првој секунди прелетао је 4,9 m, а сваке друге секунде за 9,8 m више. Колико метара је прелетео за тих 4 ѕ?
5,6 + 25,8 = 0,142 + 6,71 = 4 + 4,48 + 4,886 = 362,003 + 54 + 0,72 =
5. Напиши четири броја од којих је први 3,69, а сваки наредни је за 3,69 већи од претходног.
11 Podseti se!
1
A Израчунај:
24 3 1 ___ + 6 ___ + ___ . 100 100 100
7 70 Провери да ли је: __ = ___ 10 100 841 523 a) ___ - ___ ; Израчунај: 100 100 612 ___ - 549 ___ ; 10 10 263 v) ___ - 0. 100
b)
Zna~i:
2,78 - 0,24 2,54
Израчунај:
2,78 - 0,24
Поступи према следећим захтевима:
Претвори децималне бројеве у децималне 278 24 разломке: 2,78 = ___ ; 0,24 = ___ . 100 100
Одреди њихову разлику:
278 24 254 ___ ___ ___ = . 100 100 100
Претвори добијену разлику у децимални број:
2
163
ОДУЗИМАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
254 ___ = 2,54. 100
Да упамтим! Децимални бројеви одузимају се као што се одузимају и природни бројеви.
Код записивања броја један испод другога треба децимални зарези умањеника и умањиоца да буду на истој вертикалној линији.
Предузеће ,,Баштован“, на пијац је однело 2,746 t кромпира, а продато је 1,423 t. Колико тона кромпира је остало непродато?
Треба да се одузме продана количина кромпира од укупне количине. Који бројеви треба да се одузму?
Претвори тоне кромпира у килограме. Одузми мерне бројеве које показују килограми. Претвори у тоне добивени резултат. децималне бројеве један испод Напиши другог и израчунај разлику.
2,745 t - 1,423 t, t.j.
-
2,745 1,423
2,745 t = 2745 kg; 1,423 t = 1423 kg. 2 745 - 1 423 1 322 Остатак јe: 1322 kg = 1,322 t. -
2,745 1,423 1,322
Prakti~no:
27,48 - 0,36 27,12
Цели делови испод целих; десетице испод десетица,
стотице испод стотица
164
Правац одузимања
3
Да би израчунао разлику два децимална броја, треба да их запишеш један испод другог, и то :
цели део испод целог (јединице испод јединица, десетице испод десетица итд.); Децимале испод децимала (десетинке испод десетинки, стотинке испод стотинки итд.); Децимални зарез умањеника, умањиоца и разлике треба да буде на истој вертикалној линији. Цифре разлике одреди на исти начин као што се одређују код одузимања природних бројева.
Пешак треба да пређе 12 km. Првог сата прешао је 4,28km. Још колико му је остало да пређе?
Да би израчунао колико километара треба да пређе пешак, треба минули пут да одузмеш од укупне дужине пута.
Изврши следеће:
Умањеник 12 напиши као децимални број (са две нуле иза децималног зареза);
Напиши децималне бројеве један испод другога и изврши одузимање.
4
Број 29,563 умањи за 15.
Да упамтим! Код одузимања природног броја и децималног броја, природни број записује се као децимални број са онолико нула колико децимални број има децимала.
Од децималног броја треба да одузмеш природни број. Поступи на следећи начин:
умањилац 15 напиши као децимални број са 3 нуле као децимале; напиши оба децимална броја један испод другог и изврши одузимање. 5
Израчунај 6,84 – 0. Поступи према следећим захтевима:
Да упамтим: Код одузимања 0 од децималног броја се за разлику добија исти децимални број.
представи умањеник као децимални број и изврши одузимање. Добиену разлику претвори у децимални број.
-
5,2 0,0 5,2
Treba da zna{! Proveri se! Правилно да запишеш умањеник и умањилац један испод другог и да извршиш одузимање;
165
Израчунај!
Када је умањеник или умањилац природни број, њега треба да представиш као децимални броја са онолико нула колико децимала има децимални број;
Број 7 умањи за 0,7.
Одузимање изврши са десна на лево
Збир бројева 8 и 8,8 умањи за 0.
a) 6,27 - 5,12; b) 43,7 - 5,849. Број 6,5 умањи за 5.
Када је умањитељ 0, разлика је једнака умањенику.
Zadaci 1. Израчунај! 26,3 - 5,2 1042,07 - 148,396 5,68 - 2
4.
Број 64 увећај за разлику бројева 6,4 и 4,64.
5.
Умањеник је 24,6, а разлика је 2,6. Израчунај колики је умањиоц. Умањилац је 6,2, а разлика је 2,6. Израчунај колики је умањеник.
5,96 - 4,87 343 - 3,27 846,825 - 0
2. За колико је: 56,62 већи од 46,31? 100 мањи од 301,62? 54 већи од 25,64? 3,8 већи од 0?
3. Водоводна цев, која има дужину 6 m,
подељена је на 3 дела. Дужине два дела су: 3,2 m и 2,46 m. Колико метара је трећи део?
Разлика е 64,3. Она је за 3 већа од уманиоца. Израчунај колики је умањеник.
6. Уље и флаша заједно имају 1,23 kg. Флаша има масу 462 g. Колико килограма је маса уља?
Problemi!
Збир једног двоцифреног природног броја и једног децималног је 26,3. Милица је код сабирања тих бројева децимални зарез код децималног броја поставила погрешно за једно место у лево и добила је збир 13,43. Које бројеве је сабирала Милица?
12
166
МНОЖЕЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A 1
Израчунај: 10 ⋅ 526; 100 ⋅ 526; 1000 ⋅ 526. Објасни шта се дешава са бројем нула у производима код претходних множења.
Пешак за 1 сат прелази 3,635 km. Колико километара ће прећи за 10 сати ако се креће без застоја и истом брзином? Треба да израчунаш 3,635 km ⋅ 10.
Уочи кораке и решавање. Помери се удесно за једно место!
Да упамтим: Децимални број се множи са 10 тако што се децимални зарез тог броја помери удесно за једно место.
2
Претвори километре у метре.
3,635 km = 3635 m.
Израчунај производ са 10 (у метрима).
3635 m ⋅ 10 = 36350 m.
претвори у Производ километре.
36350 m = 36,35 km
Уочаваш да се у
производу децимални зарез померио у десно за једно место.
36,35 km ⋅ 10 = 363,5 km
Израчунај производ броја 1,438 са 10, 100 и 1000. Можеш да користиш дигитрон где уместо децималног зареза постоји децимална тачка, а уместо ”•” има “х“ Помоћу калкулатора се добија:
1
0
x
1
.
4
3
8
=
1
0
0
x
1
.
4
3
8
=
1
0
0
0
x
1
.
4
3
8
14.38 143.8 =
1438.
Uo~i! Код множења децималног броја са 10, 100, 1000... се његов децимални зарез помера одговарајуће за једно, два, три... места удесно, односно за онолико места у десно, колико има нула декадна јединица.
3
Израчунај усмено: 1 ⋅ 0,06; 10 ⋅ 0,06; 100 ⋅ 0,06; 1 000 ⋅ 0,06; 10 000 ⋅ 0,006.
Podseti se!
B 4 Израчунај: 2,3 + 2,3 + 2,3. Како можеш скраћено да запишеш овај збир?
Зоранов корак има 0,74 m. Колико метара је прешао зоран када је направио 4 корака?
167
Треба да израчунаш! 4 ⋅ 0,74 m.
Провери да ли је 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,1?
Upamti! Ради према следећим захтевима и уочавај.
Претвори метре у центиметре. Изврши множење са 4 (у cm). Производ претвори у метре. Уочи како је добијен производ.
0,74 m = 74 cm 4 ⋅ 74 cm = 296 cm 296 cm = 2,96 m 4 ⋅ 0,74 m = 2,96 m
Децимални број се множи природним бројем као што се множе природни бројеви. Број децимала у производу је једнак броју децимала у децималном броју.
Израчунај производ броја 9 са бројевима:
5
2400,8;
V 6
5612,9;
428,27;
20,3;
0,9.
Израчунај површину Р правоугаоника страна a = 4,6 cm i b = 3,2 cm. Према формули за површину правоугаоника (R = a ⋅ b), треба да одредиш производ мерних бројева 4,6 и 3,2 и да их напишеш у квадратним центиметрима. Уочи захтеве и начин решавања.
Претвори дужине страна правоугаоника у милиметре.
Израчунај површину правоугаоника (у квадратним милиметрима). Претвори површину у квадратне центиметре. Уочи неизрачунати и израчунати производ мерних бројева и објасни како
4,6 cm = 46 mm 3,2 cm = 32 mm 46 ⋅ 32 = 1472 R = 1472 mm2 R = 14,72cm2 4,6 ⋅ 3,2 = 14,72
се множе децимални бројеви.
Два децимaлна броја се множе као што се множе и природни бројеви, а у производу се одваја онолико децималних места колико имају децимала оба чиниоца заједно.
Израчунај: 0,04 ⋅ 0,23. Проследи решење!
0,2 ⋅ 0,03 = 0,006 Зашто има две нуле испред цифре 6?
Podseti se!
G 8
Израчунај: 0,6 . 6,1 =
Израчунај:
2 + 1
=
3
7,04 ⋅ 20,6;
20,6 ⋅ 7,04
Uo~i!
0,6 . 9,9 =
Производ два децимална броја се не мења ако чиниоци размене своја места, тј. за било која два децимална броја a i b важи: a ⋅ b = b ⋅ a (комутативно својство).
0,6 . (6,1 + 9,9) = Упореди резултате.
9
4,56 ⋅ 3,7 = 16,879
Број децимала у производу је 3, а има само једну цифру (цифру 6). Зато, два децимална места се допуњавају нулама.
Број децимала у производу.
7
Збир броја децимала у множиоцима
168
Израчунај и упореди производе:
2,3 ⋅ (7,2 ⋅ 0,1) =
;
(2,3 ⋅ 7,2) ⋅ 0,1 =
.
Производ децималних бројева не зависи од начина груписања чиниоца, тј. за која било два децимална броја a, b i c важи: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c (асоцијативно својство).
10
Искажи дистрибутивно својство множења природних бројева у односу на сабирање. Провери да ли то својство важи за децималне бројеве 3,48; 1,01 и 5,2, т.ј., да ли је: (3,48 + 1,01) ⋅ 5,2 = 3,48 ⋅ 5,2 + 1,01 ⋅ 5,2.
Uo~i! За било које децималне бројеве a, b i c важи: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; c ⋅ (a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (дистрибутивно својство).
11
Израчунај: a) b)
3,76 ⋅ 0;
(5,2 + 8,03) ⋅ 0;
5,6 - 0 ⋅ 0,3;
9,8 ⋅ 1;
(7 - 0,4) ⋅ 1 ;
2,3 + 1 ⋅ (8,7 + 2)
Uo~i!
169
За било који децимални број a је тачно: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0;
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.
Treba da zna{! Proveri se! Израчунај:
Да израчунаш производ децималног броја и декадне јединице; Да израчунаш производ децималног броја и природног броја; Да израчунаш производ децималног броја и децималног броја;
Објасни да ли је тачно (без да рачунаш):
Да примениш својства множења.
6,34 ⋅ 0,1 = 0,1 ⋅ 6,34;
a)
4,286 ⋅ 100 =
b)
3,7 ⋅ 7 =
v)
9,6 ⋅ 3,01 =
;
8000 ⋅ 0,03 = 6 ⋅ 2,005 =
; ;
;
;
0,004 ⋅ 6,03 =
.
(1,2 ⋅ 5,6) ⋅ 0,01 = (1,2 ⋅ 0,01) ⋅ 5,6 = 1,2 ⋅ (5,6 ⋅ 0,01); (4,1 + 2,5 - 6) ⋅ 0,04 = 4,1 ⋅ 0,04 + 2,5 ⋅ 0,04 - 6 ⋅ 0,04.
Zadaci
5. Израчунај вредност израза:
1. Израчунај: 0,748 ⋅ 10 = 3,6 ⋅ 100 =
10 ⋅ 9,4 =
;
;
100 ⋅ 10,006 =
;
0,2 ⋅ 1 000 =
;
2,4 ⋅ 12 + 6 ⋅ 5,412 - 16 =
;
0,004 ⋅ 25 + 6,1 ⋅ 10 + 5 =
.
.
6. Одреди производ збира и разлике бројева 2.
16,009 и 9,0016.
Увећај 10 пута сваки од бројева: 1,8; 0,0072; 1 000,01. Увећај за 1000 пута сваки од бројева: 3,4; 0,007; 96,006. Који број је 2 000 пута већи од броја 2 000,2?
3.
7. Мимоза је имала 6000 денара. Од тога је
0,65 потрошила је на ролере, а 0,2 за свеске и школски прибор. Колико новца јој је остало?
Израчунај: 6,405 ⋅ 7 = 0,0063 . 3 =
8. Uporedi izraze: 315,002 ⋅ 12 =
;
;
4,65 ⋅ 0,524 i 5,24 ⋅ 0,465.
.
4. Израчунај површину пода учионице која има димензије 6,8 m и 9,4 m.
9. Напиши четири броја од којих је први 1,6, а сваки наредни је за 1,5 већи од предходног.
170
13
ДЕЉЕЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se!
A 1
Израчунај:
Одреди производ: 6,25 ⋅ 10 =
34,7 ⋅ 10 =
2,136 ⋅ 100 =
;
5,432 ⋅ 100 =
;
;
412 : 100 =
;
.
Израчунао си да
Из једнакости 148 ⋅ 23 = 3 404 одреди количник: 3 404 : 23 =
;
1,3458 ⋅ 1 000 =
Одреди количник и остатак при дељењу: 265 : 10 =
;
6,25 ⋅ 10 = 62,5; 5,432 ⋅ 100 = 543,2;
.
1,3458 ⋅ 1 000 = 1 345,8. Уочи број нула у декадним јединицама и померање децималног зареза у производу. Шта си приметио? Из добивених једнакости одреди количнике: 62,5 : 10 = ; 543,2 : 100 = ; 1 345,8 : 1 000 = . Uo~i! 62,5 : 10 = 6,25; 543,2 : 100 = 5,432; 1 345,8 : 1 000 = 1,3458. Како се помера зарез у сваком количнику према дељенику и декадној јединици?
Уочи сам да: Децимални број ћу поделити са 10 тако што ћу децимални зарез да померим за једно место у лево.
: 10 6,2 , 5
Upamti! Количник децималног броја и декадне јединице (10, 100, 1000,...) добија се померањем зареза у децималном броју улево за онолико места колико има нула у декадној јединици.
2
Израчунај: 34,7 : 10 =
3
Израчунај:
;
257,1 : 100 =
6,3 : 10 =
i 3,2 : 100 =
;
17 845,32 : 1 000 =
.
.
Uo~i i zapamti! 0,63 ⋅ 10 = 6,3; 0,032 ⋅ 100 = 3,2;
6,3 : 10 = 0,63 3,2 : 100 = 0,032
Ако код померања децималног зареза улево нема довољно места, онда се додаје потребан број нула.
4
171
Одреди количнике бројева: 2 685,7; 3,78; 12 и 0,06 са: 10, 100 и 1 000.
Podseti se! 5
B Одреди количник и остатак при дељењу броја: a) 3728 so 16;
Траку дужине 7,23 m подели на 3 једнака дела. Одреди дужину сваког дела. Треба да израчунаш: 7,23 : 3 =
.
b) 6412 so 24.
Ради према захтевима. Уочи решавање. Дужину траке претвори у центиметре.
7,23 m = 723 cm
Израчунај количник у центиметрима.
723 cm : 3 = 241 cm 12 3
Претвори добивени количник у метре.
241 cm = 2,41 m
Уочаваш да: 7,23 : 3 = 2,41 , зато што 2,41 . 3 = 7,23. Како може да се израчуна 7,23 m : 3, без претварања метара у центиметре?
дељење броја 7,23 са 3, не Изврши обаћајући пажњу на децималне зарезе. завршетку дељења у количник стави По зарез тамо где си завршио са дељењем целог.
7,23 : 3 = 2,41 453,6 -6 - 28 12 173 - 12 - 168 3 56 -3 Прво спустамо 0 прву децималу...
Upamti!
: 28 = 16,
а затим у количник стављамо зарез.
Ради према следећим захтевима:
Код дељења децималног броја природним бројем поступи као да делиш природни број. Када спустиш децималу десетинки, онда у количник стави зарез.
6
Израчунај 292 : 16 без остатка. Уради следеће: Представи дељеник као децимални број. Изврши назначено дељење, али сада као дељење децималног броја природним бројем.
56,0 : 35 = 1,6 - 35 210 - 210 0
172
7
Израчунај:
2 728 : 4 =
;
Ако је цели број мањи од делитоца, онда се количник се записује са 0 целих. Израчунај:
;
27,28 : 4 = . .
Пример:
Upamti!
8
272,8 : 4 =
10,626 : 23 = 0,9768 : 37 = 0,06723 : 9 =
4,752 : 6 = 0,792 - 0 47 - 42 55 - 54 12 - 12 0
Nula celih
3,45 : 5 =
Podseti se! Израчунај без остатка: 365,4 : 9; 27,0 : 4. Одреди количник бројева 78 и 12 без остатка. Притом има потребе да број 78 представиш као децимални број ( 78,0). Шта ће се догодити са количником, ако се дељеник и делилац помноже истим бројем?
V 9
Површина једног правоугаоника је 1,38 dm², а његова ширина је 0,6 dm. Одреди дужину правоугаоника.
Треба да израчунаш
1,38 : 0,6 =
.
Ради према захтевима.Уочи решавање. квадратне дециметре у квадратне Претвори центиметре, а дециметре у центиметре.
1,38 dm2 = 138 cm2; 0,6 dm = 6 cm
Одреди дужину правоугаоника (у центиметрима).
138 cm : 6 = 23 cm
Претвори дужину правоугаоника (у дециметрима).
23 cm = 2,3 dm
Uo~i!
1,38 : 0.6 = 2,3.
Израчунали смо да је количник бројева 1,38 и 0,6 број 2,3, тј. 2,3 • 0,6 = 1,38. Број 2,3 се може добити и без претварања дециметара у центиметре.
Ради према захтевима
Увећај 10 пута дељеник и делилац; Пошто је сада делилац природни број, одреди
количник децималног броја 13,8 и природног броја 6.
Пример: 23,12 : 3,4 = 23,12 ⋅ 10 = 231,2; 3,4 ⋅ 10 = 34; 231,2 : 34 = 6,8 272 0
Да упамтим: Децимални број се дели децималним бројем тако што: децималне зарезе померамо у десно и у дељенику и у делиоцу за онолико места колико је потребно делиоцу да постане природни број. Затим делимо добијене бројеве (као што се дели дати број природним бројем).
10
Израчунај: a) 3,4 : 0,017 =
;
b) 0,64 : 0,0032 =
173
.
Пази! Број децимала у дељенику је мањи од броја децимала у делиоцу. Зато размисли и одговори: Колико нула треба дописати са десна да би децимални зарези могли да се помере?
Treba da zna{! Proveri se! Да израчунаш количник децималног броја и декадне јединице; Да израчунаш количник децималног броја и природног броја;
Израчунај:
34,6 : 10 =
6,485 : 1000 =
;
;
62,17 : 100 =
Израчунај 257,52 : 12 и направи проверу решења.
Да израчунаш количник у коме је делилац децималан број.
За колико места треба да се помери децимални зарез удесно у дељенику и делиоцу да би се израчунало: 12,031 : 1,6 =
Zadaci
0,345 : 0,025 =
1. Који број је мањи од броја 4,76
;
3,101 : 0,08 = .
6 : 0,2 =
;
48 : 0,12 =
2. Израчунај:
0,75 : 0,15 = ;
735 : 35 = 27 : 1 125 =
4:5= ;
;
0,044 : 0,25 =
; .
;
1,95 : 15 = ;
23,45 : 37 =
на 4 децимале;
341,3 : 12 =
на 2 децимале.
;
5. Колико пута је 0,14 мањи од 0,7? 6. Израчунај и изврши проверу решења: 34 : 0,085 =
;
12,4 : 0,031 =
3. Израчунај на 6 децимале: 1:7=
;
4:7=
;
2:7=
;
5:7=
;
100 ⋅ x = 2,416;
3:7=
;
6:7=
;
156,12 : x = 10;
Шта закључујеш о децималама у количнику?
;
1,836 : 0,204 =
3,417 : 0,85 = ;
;
4. Израчунај:
а)10 пута; б)100 пута; в)1000 пута?
0,6 : 3 =
.
33 : 1,28 = ;
7. Реши једначине:
0,018 = 18 ⋅ x; 0,0625 ⋅ x = 3,1275.
0,0108 : 1,6 =
; .
174
8. Један путник прешао је 14,730 km
10. У VI3 разреду било је 34 ученика. На
за 5 сата. Колико километара је, просечно, прелазио за 1 сат?
9. Одреди вредност израза: (6,72 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,21 + 8,375 = 2,5 + 0,39 : 0,5 + (2,31 + 0,058) : 3,2 =
крају школске године успех из математике је био следећи: 15 ученика са одличном оценом, 9 ученика са врло добром, 7 са добром и 3 са довољном оценом. Израчунај средњи успех из математике у разреду до 2 децимале.
ЗА ОНЕ КОЈИ ЖЕЛЕ ВИШЕ ДА ЗНАЈУ
1. Провери да ли је тачна једнакост:
(5,6 + 4,4) ⋅ (5,6 - 4,4) = 5,62 - 4,42; (5,62 = 5,6 ⋅ 5,6; 4,42 = 4,4 ⋅ 4,4) (2,4 - 1,8)2 = 2,42 - 2 ⋅ 2,4 ⋅ 1,8 + 1,82.
2. Који број може да се подели са сваким децималним бројем различитим од 0 без остатка? 3. Како ће се променити: а) збир два броја, ако један сабирак увећаш за 2,3, а други увећаш за 3,2; б) умањилац ако се умањеник увећа за 5,8, а разлика се умањи за 5,8; в) производ два броја, ако једног помножимо са 8,75, а другог са 0,72; г) количник, ако дељеник помножимо са 1,25, а делилац умањимо 4 пута?
4. Од 1 kg брашна добија се 1.252 kg хлеба. Колико се хлеба добија од 575 kg брашна? 5. Ком броју треба додати 2,2 да би се добио број 3,5 пута већи од 9,2? 6. За колико је већа површина квадрата стране 15,34 m од површине правоугаоника страна 16,12 m и 12,03 m?
7. Реши једначине: 5,7x + 3,1x + 0,4 = 34,21;
x : 8,04 = 5,05;
3,48 : x = 1,45;
(x - 2,5) : 5,1 = 0,8.
14
ПРЕТВАРАЊЕ РАЗЛОМКА У ДЕЦИМАЛНИ БРОЈ
Podseti se!
A 1
175
3 Претвори разломак __ у 4 децимални број.
Коју операцију означава разломачка црта? 3 У разломку __ промени разломачку црту 4 тим знаком и изврши операцију. 3 Прочитај разломак ___ и напиши га као 100 децимални број. Објасни како се претвара децималан разломак у децимални број.
2
Проширавањем или скраћивањем, следеће разломке претвори у децималне разломке, а 132 164 1 3 5 затим у децималне бројеве: __ , __ , __ , ___ i ___ . 300 400 2 5 8 Пример:
5 Прошири разломак __ са 125. 8 Добивени децимални разломак претвори у децимални број. Израчунај 5 : 8 =
3
Ради према захтевима: Прошири разломак са 25. Добивени децимални разломак претвори у децимални број. 3 __ Сигурно си добио да = 0,75. 4 Израчунај 3:4. Упореди резултате.
.
11 3 __ 1 __ 5 __ __ , , i не може да се претвори у децимални број? 20 5 4 6 5 Сигурно си уочио да то је разломак __ . 6
Који од разломака
Upamti! Само разломак који се не скраћује и чији се именилац разлаже на чиниоце 2 или 5, може да се представи као децимални разломак. Сваки разломак који може да се представи као децимални разломак представља коначни децимални број.
4
23 7 5 Који од разломака __ , __ ili __ представља коначни децимални број? 40 15 12 Утврди који од разломака може да се прошири до децималног разломка имениоца1000; или подели бројилац имениоцем и утврди који од добивених количника је коначни децимални број.
176
B 5
Разломке
11 1 15 __ __ __ , i претвори у децималне бројеве. 37 3 11
Ради према захтевима: Утврди да ли се имениоци разлажу на чиниоце 2 и 5, односно да ли ће децимални бројеви имати коначан број децимала или не. Подели бројилац разломка имениоцем. Сигурно си добио: 1 15 __ = 0,333...; __ = 1,363636...; 3 11
11 __ = 0,297297..... 13
Добивени децимални бројеви имају бесконачно много децимала. Ти бројеви називају се бесконачни децимални бројеви. Uo~i! У сваком од бројева, непосрдено иза дециманог зареза, једна или више цифри се понавља истим редоследом. Upamti! Ови децимални бројеви називају се чисти децимални бројеви. Број који образују цифре које се понављају назива се период децималног броја.
У првом броју период је 3, у другом 36, а у трећем 297. 0,333...=0,(3) Чита се :нула целих и 3 као период; 1,3636...=1,(36). Чита се један цели и 36 као период...
V 6
5 679 7 __ , ___ i __ претвори у децималне бројеве. 18 495 12 Ради према следећим захтевима: Разгледај имениоце разломака и утврди да ли је децимални број коначно децималан; Подели бројиоца имениоцем и утврди да ли је децимални број периодичан. Разломке
Употребом дигитрона добија се: 679 5 __ = 0,2777...; ___ = 1,3717171...; 495 18
7 __ = 0,58333... 12
Uo~i! Добивени децимални бројеви су периодични, али испред периода има једна или две цифри. Овакве децималне бројеве називамо мешовито периодичним децималним бројевима.
Читамо: 0,2777... = 0,2(7) - нула целих, 2 десетих и 7 као период. 1,37171... = 1,3(71) - један цели, 3 десетих и 71 као период. 0,58333... = 0,58(3) - нула целих, 58 стотих и 3 као период. Сваки од бројева 2, 3 и 58 у примерима називају се предпериодима.
Treba da zna{! Да оцениш, према имениоцу разломка, да ли се разломак претвара у коначни децимални број или у бесконачни децимални (периодични) број; Који број је коначни децимални број; Да објасниш шта је период, а шта предпериод; Шта је чисти периодични децимални број; Шта је мешовити периодични децимални број; Да разломак може да се претвори: - Или у коначни децимални број, - Или у периодични децимални број; Да постоје и други бесконачни децимални бројеви који нису периодични. О њима ћеш учити у VII разреду.
Zadaci
Upamti!
177
Ако се са десне стране једног природног броја или нуле, стави зарез и затим се допишу цифре, онда се добија запис броја који се назива децимални број.
Proveri se! Процени, без дељења бројиоца 2 имениоцем, да ли разломак __ 20 представља коначан децималан број. Претвори у децималне бројеве 3 __ 7 12 4 __ __ __ разломке: , , i . 5 8 7 9 Одреди периоде и предпериоде у следећим децималним бројевима: 2,777..... ; 0,64786478... ; 1,527373... ; 126,120404...
3. Одреди период и предпериод децималних бројева:
1. Прошири или скрати разлмке тако да се у имениоцу појаве 10, 100 или 1000, а затим их претвори у децималне бројеве: 3 , ___ 18 , 24 229 , 23 11 , __ 83 . __ __ , 37 __ , ___ __ , __ 5 200 20 25 125 80 32 64
2. Претвори у децималне бројеве разломек:
0,378787... ; 6,543023023... .
4. Према ознаци о периоду децималног броја запиши бројеве: 4,636363... ;
0,102102... ;
3,54034034... ;
4,27117117... .
5. Напиши као бесконачни децимални број следеће бројеве:
2 __ 9 __ 3 19 24 1 2 5 37 __ , , , __ , __, __ , __ , __ , ___ . 3 11 5 20 20 27 15 18 275
a) 3,6(54) ;
v) 6,(53) ;
b) 0,77(2401) ;
g) 0,06(5231).
178
15
ЗАОКРУЖИВАЊЕ ДЕЦИМАЛНИХ БРОЈЕВА
Podseti se! Број 3 128 заокружен на хиљаде износи 3 000, тј. 3 128 ≈ 3000. Знак „≈“ се чита „приближно једнако са“. Заокружи број 3 128 на стотине. Како гласи поступак заокруживања природног броја? Да ли треба 135≈130 или 135≈140? Објасни!
A 1
Једну парцелу од 123 m² уређују ученици VIa разреда. У разреду има 32 ученика. По колико квадратних метара, у просеку, уређује сваки ученик?
Треба да израчунаш 123 : 32. Одреди количник. Оцени практично значење добивених квадратних метара по ученику. Сигурно си добио 123 : 32 = 3,84375, тј. да сваки ученик треба да уреди по 3,84375 m².
Број има практично значење само до друге децимале (у dm²), тј. треба да се изврши заокруживање децималног броја на две децимале. Децимални бројеви са две децимале који су најближи броју 3,84375 су: 3,84 и 3,85, тј. 3,84 < 3,84375 < 3,85 Значи: 3,84375 ≈ 3,84 (читамо: 3,84375 је приближно једнак са 3,84) и 3,84375 ≈ 3,85.
2
Одреди, броју 1,37268 два најближа децимална броја који имају по једну децималу. Утврди колика је грешка направљена код заокруживања броја 1,37268 на једну децималу.
Сигурно си утврдио да су тражени бројеви 1,3 и 1,4, тј. 1,3 < 1,37268 и 1,37268 < 1,4. Колика је направљена грешка код сваког заокруживања: 1,37268 ≈1,3 и 1,37268 ≈1,4, утврдићеш ако упоредиш разлике: 1,37268 - 1,3 = 0,07268 и 1,4 - 1,37268 = 0,02732. До које од тачака за бројеве 1,3 или 1,4 је 1,3 ближа тачка 1,37268?
0,07268
0,02732
1,37268
1,4
Upamti! У оба случаја направљена грешка је мања од 0,1. Кажемо: Број 1,37268 заокружили смо са тачношћу до 0,1 , односно са тачношћу до једне децимале. Разлика која показује за колико дати број је већи или мањи од своје ближе вредности се зове грешка заокруживања. Код заокруживања настојавај да направиш што мању грешку.
Уочаваш да је заокруживање (замењивање) броја 1,37268 бројем 1,4 мања грешка, него бројем 1,3. Код заокруживања децималног броја, поштуј следеће правило заокруживања:
179
Ако је прва пропуштена цифра мања од 5, онда се последња 3
цифра не мења; Ако је прва пропуштена цифра 5 или је већа од 5, онда се последња цифра увећава за 1. Број 4,8162704 заокружи са тачношћу: a) на једну децималу, тј. до 0,1; b) do 0,01; v) do 0,001;
g) do 0,0001; d) do 0,0001.
Treba da zna{! Proveri se! Да се заокружи неки број са датом тачношћу, значи да се тај број замени другим бројем који је већи или мањи, због одређених практичних потреба; Да заокружиш задати број са одређеном тачношћу према правилу за одбацивање цифре од броја; Да објасниш како се заокружава децимални број са одређеном тачношћу.
Број 0,315 заокружи на две децимале. 7 Разломак __ претвори у децимални број 34 са тачношћу до 0,001. Одреди грешку у следећем заокруживању: 1,47≈1,47328.
Zadaci 1. Заокружи на три децимале бројеве:
4. Израчунај: 2 4,26 + __ - 1,00312 са тачношћу до 0,01. 7
2,7145; 3,03277; 0,01523. 7 2. Разломак __ претвори у
34 децимални број са тачношћу до 0,1; 0,01; 0,001.
5. Направи табелу, заокружи бројеве у њој са назначеном тачношћу и одреди грешке код заокруживања. Broj
3. Збир бројева 4,7125 и 3,3914 израчунај са тачношћу до 0,001.
0,0374 0,5386 426,4235 6,0141
Заокруживање са тачношћу до 0,01
Грешка заок.
Заокруживање са тачношћу до 0,001
Грешка заок.
R A B R A D
180
A
16 1
S A
P O D A C I M A
ИЗБОР ПРИМЕРКА. АНАЛИЗА И ЗАКЉУЧАК
Користи табелу да би одговорио на неколико питања. Разлику брзина најбрже и најспорије трке заокружи са тачношћу до 0,1. Колико спорије је трчао победник на трци 2 000. године од победника на трци 1 998. године? Која је била просечна највећа брзина двеју најбржих трка?
Godina 1996 1997 1998 1999 2000
Pobednik Mihael [umaher Mihael [umaher Dejvid Kulthard Mika Hakinen Mihael [umaher
Највећа брзина (km/h)
310,36 344,44 326,78 294,06 312,56
Која је просечна највећа брзина свих пет трка? На једној трци 1 912. године, постигнута је највећа брзина која је 4 пута мања од највеће брзине у 2000. години. Колико износи та брзина? Путнички авион постигао је 3 до 3,5 пута већу брзину од највеће брзине која је постигнута у 1 999. години. У којим се границама креће брзина авиона са тачношћу до једне децимале? Анализа података. Између две године разлика брзина је: а) најмања; б) највећа; в) око 50 km на сат? Састави стубичасти дијаграм за брзине према подацима из табеле.
B 2
У школи у којој учи Аца има 1 200 ученика. Аца је хтео да школа има нови спортски терен. Покушао је да открије колико су ученици заинтересовани за нови спортски терен. Уместо да пита сваког ученика, Аца је одлучио да пита део ученика. Питао је 100 ученика свих разреда, тј., изаобрао је примерак. Број 100 представља величину примерка. Ако Аца пита 1 200 ученика: Ако Аца пита 12 ученика:
☺ Знаће колико тачно Потребно је веће време ученика желе нови терен За кратко време ће Добија мали број одговора, што ☺ добити одговоре није довољно за правилну процену
☺ Потрошено време Ако Аца пита 100 ученика:
Negativno
Pozitivno
је оптимално.
☺ Добија се довољан
број одговора за правилну процену.
☺
У избору примерка, осим величине, важно је и ко ће сачињавати примерак. Напиши своје размишљање о томе шта је позитивно, а шта негативно у следећим
181
случајима: Ако Аца пита само ученике од I до IV ; Ако Аца пита само ученике заинтересоване за спорт; Ако Аца пита случајно изабране ученике из свих разреда његове школе.
3
Одговоре на питање о новом спортском терену Аца је представио у табели, направио је анализу и извео закључак. Нови спортски терен/примерак.
Мишљење
Број
Однос
DA
60
60 ___ = 0,6 100
NE
23
Ne znam
17
Uo~i! Аца је утврдио да 0,6 од примерака желе нови спортски терен. Он је израчунао: 0,6 od 1 200 je 0,6 ⋅ 1 200 = 720
Аца је предвидео да: ако пита свих 1200 ученика, приближно 720 њих би одговорили да су заинтересовани за нови спортски терен.
Одреди однос за друга два одговора. Израчунај колики број ученика би одговорили да не желе нови спорски терен, а колико ученика из школе би били неодлучни.
4
Власник једног видеоклуба хтео је да утврди које врсте филмова су најпопуларнији у граду. Град има 20 000 становника. Продавац је записао податке за 400 члана видеоклуба.
Најпопуларније видеокасете Врста Број Однос филма Дечији 40 40:400=0,1 Nau~ni
36
Komedija
152
Stari fil.
100
Muzi~ki
72
Који бројеви треба да се унесу у део табеле са насловом„ однос“? Уз помоћ израчунатих односа одреди број становника града за које се може рећи да би били заинтересовани за различите врсте филмова? За шта би могле да послуже добивене информације власнику видеоклуба?
17
182
УЧИО СИ РАЗЛОМКЕ. ДЕЦИМАЛНЕ БРОЈЕВЕ. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ
Нацртај дуж AB = 6 cm. a) одреди тачку С код дужи АВ, тако да: 2 __ AC = AB. 3 b) ако је АD = 2 cm, који број треба да стоји на
1.
11. Ако се умањеник 3,24 увећа за 0,24, а умањилац 0,324 се умањи за 0,24, онда ће се разлика увећати за 2•0,24. Провери!
месту да би било тачна једнакост AD = AB.
12. Сабирањем провери да ли је правилно
У осам једнаких кутија има укупно 12 kg бомбона. Колико килограма бомбона има у једној кутији?
13. Провери да ли је тачно извршено
2.
3.
извршено одузимање 59,216 - 11,11 = 48,106. множење 12 346 •24 = 296 304. Притом, без да рачунаш, одреди производе:
Број 5 представи као разломак са: бројиоцем 5 ;
имениоцем 5.
1,2346 ⋅ 24.
12,346 ⋅ 2,4.
0,12346 ⋅ 0,24.
4.
Напиши разломак са бројиоцем 2: који је мањи од 1; који је већи од 1.
5.
Представи на бројној прави збир 3 2 1 4 __ __ + __ ; + __ . 8 8 5 5
14. Израчунај количнике: 55,56 : 2,4.
0,84375 : 0,27.
15. Израчунај производе: 5,32 • 20 и 0,64 • 1,2 , а затим без рачунања одреди количнике 106,4 : 5,32.
6.
7.
84 Скрати разломак ____ до нескратљивог 210 разломка. Скрати разломке:
56 ____ sa 7. 126
8. 9.
45 ____ sa NZD(45, 270). 270
7 Прошири разломак __ sa 8. 8 Прорачунај збир 26,4 + 2,64 + 0,0264.
Изврши сабирање и провери да ли је тачно: 0,628 + 12,91 < 5,496 + 8,048. Одреди разлику добивених збирова.
10.
0,768 : 1,2.
16. Реши једначине:
2,5 ⋅ x = 6,42: 1,2. x : 0,5 = 13,5 : 0,25.
17. Израчунај бројну вредност израза: (9,12 - 0,6) : 1,2 + 29,5 ⋅ 0,5.
18. Напиши као децималан број разломак: 126 ____ . 15
629 ____ . 495
19. После заокруживања броја 2,861254, добијен је број 2,8613. Са колико тачности је заокружен број? 73 претвори у децимани број 20. Разломак ___ 8 и заокружи са тачношћу до 0,01.
TEMA 4.
MEREWE
1. Мере за дужину, масу и течност 2. Мере за време и температуру 3. Именован број 4. Претварање вишеименованог броја у једноименовани број 5. Претварање једноименованог броја у вишеименовани број
6. Операције са именованим бројевима 7. Мере за површину 8. Мере за запремину 192 9. Запремина квадра и коцке 10. Учио си о мерама. Провери 194 своје знање
184 187 189
183
196 201 203 206 210
184
1
МЕРЕ ЗА ДУЖИНУ, МАСУ И ТЕЧНОСТ
Podseti se!
МЕРЕ ЗА ДУЖИНУ
A На лењиру покажи дужину од 1dm, 3 cm, 8 mm и 4 cm 6mm. Која мера се користи за мерење дужине путева и растојања између два насељена места? Колико декаграма има у 1 kg? Која мера се користи за мерење масе руде ископане из рудника? Колико dl има у 1l?
1
Процени дужину дужи АВ и СD и изломљене линије PQRST, а затим мерењем провери тачност твоје процене. S
Q
V D C A
R
P
T
Које мерне јединице си употребио? Наброји и друге мере за дужину које знаш?
Основна мерна јединица за дужину је метар (m).
Веће и мање мерне јединице од метра приказане су у следећој табели. Веће мерне јединице од метра су: dekametar (dam) hektometar (hm) kilometar (km)
⋅ 10
1 dam 1 hm
⋅ 100
1 km
⋅ 1000
: 10
1m
: 100 : 1000
Мање мерне јединице од метра су: 1 dm decimetar (dm) 1 cm centimetar (cm) 1 mm milimetar (mm)
Уочи и упамти везе и мере за дужину! 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m 1 hm = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m
Да упамтим! Свака мерна јединица за дужину је 10 пута мања од мерне јединице која је непосредно већа од ње.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm
2
Која мера би требало да стоји на месту “∗”. За један сат Петар може да пређе пешице око 4 ∗. Мимоза је нацртала у свесци квадрат са дужином стране 30 ∗.
3
Колико декаметара има у a) 90 m? b) 300 m? v) 1700 m?
4
У 1 dm има 0,1m. Колико метара има у 1cm?
185
МЕРЕ ЗА МАСУ
B
Наброј мерне јединице за масу које знаш.
5
Која је основна мерна једница за масу? Колико килограма има 1 t?
Шта је веће 8 dag или 1 kg?
Која мера за масу би требало да стоји на месту „*“ у следећим реченицама: Камионом је превезено 6* угља. Кокошка коју је купио Дарко има масу 2*?
6
Основна јединица мере за масу је килограм (kg). : 10
Већа мера од килограма је тон (t). 1 t = 1 000 kg
: 100
Hektogram
1 dag Dekagram Gram
: 10 000
1 dg
Decigram
(dg)
: 100 000
1 cg
Centigram
(cg)
(g)
1 mg Miligram
Уочи и упамти везу између мера за масу! 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g 1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg 1 hg = 10 dag = 100 g 1 dg = 10 cg = 100 mg 1 dag = 10 g 1 cg = 10 mg 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10 000 dg = 100 000 cg = 1 000 000 mg Да би измерио парче месо, месар је на једном тасу ваге ставио тегове од 1 kg, 2 kg и 1 kg, а на тас са месом тег од 10 g. Колика је маса меса?
(mg)
Да упамтим! Свака мерна јединица за масу је 10 пута мања од мерне јединице која је непосредно већа од ње.
МЕРЕ ЗА ТЕЧНОСТ
V 8
(dag)
1g
: 1 000 000
7
(hg)
: 1 000
1 kg
Мање мерне једнице од килограма дате су у следећој табели.
1 hg
Наброј мере за течност које си упознао сада. Да ли си упознао мере за течност веће од 1l?
Колико dl има у 1l?
Основна мерна јединица за течност је литар (l).
Веће и мање мерне јединице за мерење течности дате су у следећој табели. Веће мерне јединице литра су: Dekalitar (dal) Hektolitar (hl) Kilolitar (kl)
⋅ 10
1 dal 1 hl
⋅ 100
1 kl
⋅ 1000
: 100
1 dl 1 cl
: 1000
1 ml
: 10
1l
Мање величине литра су: Decilitar (dl) Centilitar (cl) Mililitar (ml)
Уочи и запамти везе између мере за течности!
186
1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l 1 hl = 10 dal = 100 l 1 dal = 10 l
9
10
1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml 1 dl = 10 cl = 100 ml 1 cl = 10 ml
1 l минералне воде кошта 20 денара. Колико денара кошта 2 dl (једна чаша) минералне воде?
Да упaмтим! Свака мера за течност 10 пута је мања од мере која је непосредно већа од ње.
Поређај по величини следеће бројеве: 6 dal, 5 hl, 8 dl, 4 ml, 9 l, 3 cl.
Treba da zna{! Proveri se! Која је основна јединица за мерење: дужине,
масе,
Колико пута: a) 1 m је већи од 1 cm? b) 1 dm је мањи од 1 hm?
течности.
Да наведеш мање и веће мере за : дужину;
масу;
Колико пута: a) 1 kg је већи од 1 g? b) 1 dag је мањи од 1 hg?
течност.
Да објасниш однос између мера за: дужину;
масу;
Колико пута: a) 1 hl је већи од 1 dal? b) 1 ml је мањи од 1 dl?
течност.
Zadaci
1.
2.
Нацртај дужи без мерења дужине од: 1 cm, 1 dm, 25 cm и 75 cm. Провери мерењем и утврди за колико си погрешио.
Измери дужину твог корака у центиметрима. Измери растојање између два објеката корацима. Процени колико метара је то растојање. Провери тачност твоје процене, мерењем.
3. Поређај дужи дужине од:
9 dm, 2 m, 48 cm, 94 mm, 4 dm 7 cm, почевши од најкраће.
4.
Поређај према величини: 5 hg, 1 kg, 10 g, 12 mg, 8 dag.
5.
Поређај према величини: 5 dal, 2 hl, 6 dl, 8 ml, 1 l.
6. У једном воћњаку сакупљено је 4,5 t јабука и продато по 17 денара за један килограм. Колико денара је добивено?
2
187
МЕРЕ ЗА ВРЕМЕ И ТЕМПЕРАТУРУ
Podseti se!
МЕРЕ ЗА ВРЕМЕ
A Колико минута има 1сат? Наведи две мере за време веће од 1
Које време показује сат у сатима, минутима и секундима?
1
сата. Које мерне јединице се користе за мерење дневне температуре? Да ли се истом мерном јединицом
Наведи мере за време које си изучавао.
исказује и температура болесника? Која је најмања мера за време коју си изучио?
Upamti! Основна мерна јединица за време је секунда (ѕ). Веће мере од секунде су: минут (min), час(h), дан (d), седмица, месец, година, деценија, век (столеће) и миленијум. Постоје и мање мере од секунде.
Уочи везе између мера за време! 1 min = 60 s;
1 h = 60 min = 3600 s;
1 sedmica = 7 d = 168 h = 10080 min = 604800 s.
2
Претвори:
5 дана у часове;
1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s; 1 mes. = 30 d;
8 часа у минуте;
25 минута у секунде.
Uo~i! 1 дан има 24 сата; 5 дана имају 5 ⋅ 24 ~asa = 120 ~asa. Колико минута има 1 сат?
3
Колико секунди има 1 минут?
Претвори 147 сата у дане и сате.
147 сата : 24 = 6 дана и остатак 3 сата 4
B 5
Претвори 5 година 8 месеци и13 дана у дане. МЕРЕ ЗА ТЕМПЕРАТУРУ Прочитај температуру која је приказана на термометру. Којом мерном јединицом се исказује температура?
1 god = 365 d.
Основна мерна јединица за температуру је келвин (К). У свакодневном животу употребљава се мерна јединица целзијусов степен (°С). Шведски физичар и астроном Андрес Целзијус (1701-1744) увео је скалу према
188
температури где се вода смрзава - 0°С и где кључа - 100 °С. Овај интервал је подељен на 100 дела. Стоти део скале назива се целзијусов степен. Промена температуре за један целзијусов степен је једнака једном келвину. Али, на температурној скали 0°С одговара на 273,16 К. Тако, вода мрзне на 0°С, тј. на 273,16 К, а кључа на 100°С, тј. на 373,16 К.
Упознај се опширније Температура изражена у келвинима назива се апсолутна температура. Почетак мерења апсолутне температуре је нула келвина или -273,16 °С. Та најнижа могућа температура назива се апсолутна нула. Ако је температура неког тела је изражена у целзијусовим степенима, онда се апсолутна температура, означена са Т, рачуна према следећој формули: T(K) = t (oC) + 273,16
6
Направи табелу као приказану и попуни је (°С - целзијусови степени, К - келвини).
oS
4
12,84
K 277,16 320,16
36,5 290
340,4
Treba da zna{! Proveri se! Која је основна мерна јединица за време; Да наведеш мере за време веће од секунде и везу између њих; Која је основна мерна јединица за температуру; Која је веза између келвина и целзијусовог степена.
Колико пута 1ѕ је мања од а) 1 min; б) 1h? Колико часова има 1d? Колико К одговара 0°С на темературној скали? Једно тело има температуру од 20°С. Колика је апслоутна температура тог тела?
Zadaci
3. Рибарски брод испловио је из једног
1. Воз према возном реду стиже у 13h 55min. Ако касни 1h 32min, у колико сати ће стићи?
2. За једну приредбу био је предвиђен програм у трајању од 1h 20min. Извођење је трајало 120 min. Колико је минута више трајало извођење од планираног?
пристаништа 8 септембра у 6 h, а вратио се у пристаниште 17 септембра у 18 h (исте године). Изрази време од испловљавања брода до враћања: а) у данима; б) у сатима; в) у седмицама и данима.
4. Изачунај 15 год. 8 мес. 9 d у данима. 5. Колика је апсолутна температура тела која има: a) 37 oS;
b) -50 oS?
3
189
ИМЕНОВАН БРОЈ
Podseti se!
На свакој од нумерираних 10 сличица постављено је једно питање. Дати су и одговори на свако питање.
A 1
Изброји и запиши: - Број клупа у твојој учионици; - Број столица у твојој учионици.
Састави табелу и у њој за сваку сличицу напиши одговарајући број. Унеси у табелу одговоре према питањима са сличицама.
Измери дужину твоје оловке. Напиши мерни број и мерну јединицу који су резултат твог мерења. 1
Које су јединице мере за: а) дужину;
6
α=?
Колико денара?
б) масу?
Колико центиметара има дуж?
2
Uo~i !
A AB = ?
Сваки одговор садржи мерни број и мерну јединицу. Мерни број и мерна јединица су одређени бројањем или мерењем. (бројањем: 4крушке, 3 овце,...; мерењем: 2 сm; 2 кg...).
4
7
V
Колико килогама брашна?
3
Колико има оваца?
Колико степени је угао?
8
α
Колико воде скупља флаша? Колико крушака има?
3 ovcaca 6 kwiga 4 kru{aka 46o 38,5o S 2 cm
9
Колико књига има?
1l 2 kg
Именовани број Мерни број
3 cm
5
Колико је сати?
10
Колика је температура?
2 sata 10 denara
Мерна јединица
Zapomni! Именовани број је састављен од неименованог броја и мерне јединице записане уз њега. Именовани број који је записан једним неименованим бројем и једном мерном јединицом назива се још и једноимени број.
2
3
Напиши једноимени број који показује: Број ученика у твом разреду; колика је твоја висина (у центиметрима). Дати су бројеви:
a) 5 kg, 3 kg, 126 kg;
Шта имају заједничко бројеви под а? Какве су мерне јединице бројевима под б?
број твојих година;
b)3 m, 5 kg, 7 l, 15 kanti.
190
Upamti!
Именовани бројеви који су записани истим јединицама називају се истоимени бројеви. Бројеви под а су истоимени бројеви. Бројеви под б нису истоимени бројеви. Поред назива мерна јединица употребљавају се и називи: јединица за мерење или скраћено мера.
4
Која два од бројева 2 m, 6 km, 46 m, 23 kg су истоимени? Шта треба да стоји на месту означеном са * у записима 2*, 3* и 17* да би они били истоимени са бројем 5 km?
5
Дати су бројеви: 4 l, 6 ml, 9 hl, 116 cl. Шта се мери са мерама ових бројева? Да ли је у истим мерама исказан и број 6 dal? А да ли је број 8 cm?
Upamti!
Два или више именованих бројева који су исказани мерама за исту величину називају се именовани бројеви исте врсте. Бројеви 4 l, 6 ml, 9 hl i 116 cl су именовани бројеви исте врсте. Напиши два именована броја исте врсте у јединици за мерење: а) дужине ; б) масе.
6
Број који садржи два или више једноимена броја исте врсте назива се вишеимени број. Једноимени бројеви називају се и чланови вишеимених бројева.
Бројот 2 kg 3 сg 5 mg је вишеименован; 2 kg; 3 сg и 5 mg су његови чланови. B 8
7
Дужина једне просторије је 3 m 6 dm, а ширина 4 m 2 dm 5 сm. Којим бројевима су записане димензије просторије?
Напиши по један вишеимени број у мерама за: а) дужину; б )масу; в) време.
Upamti! Можеш да запишеш: 4 m + 5 cm = 4 m 5 cm 3 kg + 2 dag + 5 g = 3 kg 2 dag 5 g
9
Да упамтим! Вишеименовани број представља збир два или више једноимених бројева исте врсте.
Вишеименовани број 6 m2 3 dm2 2 cm2 представи као збир. Збирове: a) 6 kg + 4 dag + 2 g; b) 5 l + 4 dl + 3 cl представи као вишеимене бројеве.
Treba da zna{!
191
Proveri se! Да разликујеш именовани од неименованог броја; Да препознајеш истоимене бројеве; који су именовани бројеви из исте врсте; Да објасниш који је број једноимени, а који вишеимени.
Који од бројева: 4 књиге, 6 cm, 4 1 , 7 детета и 8 2 су именовани, а који неименовани? Који од бројева 3 kg, 6 dm, 8 g, 5 m и 4 dm cу: а) истоимени; б) из исте врсте? Наведи пример вишеименованог броја са 3 члана у мерама за течност.
Zadaci 8. Дати су бројеви:
1. Напиши два именована и два
5; 7 m; 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 8 hl; 4 m; 29,6; 4 kg, 6 m 5 dm; 74; 3 kg; 9 hl; 7; 14 l; 8 m2; 5 l; 8; 12; 4; 15 m2. Направи табелу и напиши бројеве према захтевима:
неименована броја.
2.
Изброји књиге на полици.Напиши то као именовани број.
3. Напиши два вишеименована броја: - Једног у мерама за време; - Другог у мерама за течност.
Напиши време (изражено у сатима, минутама и секундама) које показује часовник.
4.
Каков број си записао?
5.
5 den.
2 1
50
den. den. deni
Денаре и дени напиши као вишеименовани број.
6. Напиши два истоимена броја. 7. Напиши три истоимена броја који су исте врсте.
неименовани;
вишеимени;
једноимени;
истоимени.
И ово је математика! Срела су се два пријатеља, Тоша и Петар. Тоша је питао Петра:„Где си пријатељу, не виђам те често?” Петар је одговорио: „ Често идем у различите градове да упознам лепоте Македоније.” Тоша је питао: „ Које градове си посетио?” Петар је одмах одговорио: „Прве суботе у једном месецу био сам у Берову, а друге суботе истог месеца после првог петка био сам у у Струмици. Прве суботе у следећем месецу био сам у Дебру, а друге суботе у истом месецу после првог петка био сам у Охриду.” Ког датума си био у Охриду?”, питао је Тоша. Петар га је погледао и одговорио:”Датум можеш сам да одредиш”. Ког датума је Петар био у Охриду?
192
4
ПРЕТВАРАЊЕ ВИШЕИМЕНОГ У ЈЕДНОИМЕНИ БРОЈ
Podseti se!
A 1
1 m = 10 dm, тј. 1 m је 10 пута већи од 1 dm. Колко пута је већи: а) 1 m од 1 сm? б) 1 kg од 1g? в) 1 h од 1min?
Уочи најмању мерну јединицу броја. са већом мерном јединицом претвори у Чланове најмању мерну јединицу. вишеимени број у облику збира Представи истоимених бројева (у cm).
Вишеимени броја 4 m 2 dm претвори у једноимени број. Ради према поступку и упореди решење.
То је центиметар (cm) 4 m = 400 cm 2 dm = 20 cm 400 cm + 20 cm + 7 cm
Изврши назначено сабирање.
400 cm + 20 cm + 7 cm = 427 cm
Уочи други начин претварања вишеименог у једноимени број, користећи следећа два исказа:
У мерама за дужину, масу и течнос,т свака мерна јединица је 10 пута мања од непосредне веће мерне јединице.
У декадном бројном систему позиција сваке цифре је 10 пута већа од позиције претходне цифре.
2
4 m
2 dm
4 2 7 cm
Објасни зашто 5 hg 3g = 5 hg 0 dag 3 g = 503 g.
Uo~i i zapamti! Ако у вишеименовам броју у мерама за дужину, масу или течност недостаје у реду нека мерна јединица, на њено место се ставља 0.
3
7 cm =
Да упамтим! Ове вишеимене бројеве лакше записујем као једноимене бројеве. Бришем веће мерне јединице, а остаје најмања. Треба да пазим да ли треба да запишем 0 и где.
Претвори у једноимени број, број 4 dm 5 mm, примењујући два исказана поступка.
Претвори једноимене бројеве у њиховe најмањe јединицe:
4
a) 5 god 3 mes. 2 dana;
193
b) 4 mes. 2 sedm. 3 dana 5 sati;
v) 2 h 34 min 15 s. (1 god = 365 dana, 1 mes. = 30 dana). Уочи да вишеимени број у мери за време не можеш да претвориш у једноимени прем приказаном другом поступку. Зашто?
B
5
Претвори број 5 m 3 dm 8 cm у: а) дециметрима; б) метрима.
Уочи и упамти поступке! a) У дециметрима: 5 m = 5 ⋅ 10 dm = 50 dm 8 cm = (8 : 10) dm = 0,8 dm 5 m 3 dm 8 cm = 50 dm + 3 dm + 0,8 dm = = 53,8 dm.
b) У метрима: 3 dm = (3 : 10) m = 0.3 m 8 cm = (8 : 100) m = 0,08 m 5 m 3 dm 8 cm = 5 m + 0,3 dm + 0,08 m = = 5,38 m.
Уочи други (скраћени) начин претварања вишеименог у једноимени број.
5 m 3 dm 8 cm = 53,8 dm.
5 m 3 dm 8 cm = 5,38 m.
Запазио си! Можеш да избришеш мерне јединице, да ставиш зарезе после мерног броја мерне јединице у којој се тражи да претвориш вишеимени број и на крају да запишеш ту мерну јединицу. Ако у редоследу недостаје нека мерна јединица, на њено место записује се нула.
6
Претвори број 8 l 7 dl 3 ml u decilitri. Да упамтим! Ако вишеимени број претворим у једноимени број у мерној јединици која није најмања, онда је мерни број децималан.
7
Претвори број 4 kg 6 dag 5 g у килограме.
Treba da zna{! Proveri se! Да претвориш вишеимени број у једноимени, у било коју мерну јединицу, и да користиш практичније поступке за претварање; Да при претварању вишеименог у једноимени број у најмању мерну јединицу из вишеименог броја, мерни број је природни број, а у другим случајима је децимални број.
Претвори у једноимене бројеве следеће вишеимене бројеве: а) 3 m 2 dm 5 mm (у mm); б) 9h 26 min 54 s (у секундама; у минутама). Претвори број 6 kg 5g у једноимени број у: а) g; б) dag.
194
Zadaci
4. Претвори: a) 8 m 3 dm 4 cm vo dm; b) 8 km 9 dam 7 m vo km; v) 5 t 8 kg 7 hg 5 g vo kg; g) 9 kg 7 dag 5 g 8 mg vo g; d) 8 l 5 dl 6 ml vo dl.
1. Претвори у једноимени број (у најмању меру броја) број: a) 5 km 2 dam 5 m; b) 7 hl 8 dal 4 ml; v) 4 t 6 kg 5 dag; g) 9 dana 8 h 7 min.
2. Кораб је висок 2 km 7 hm 6 dam 4m. Zanimqivo pitawe
Колико метара је висок Кораб?
3. Време између два пуна месеца износи 29 дана 12h 44 min 3 ѕ. Колико секунди има овај период?
5
Ако у 24 сата пада киша, да ли после 48 сати време може бити сунчано?
ПРЕТВАРАЊЕ ЈЕДНОИМЕНОГ У ВИШЕИМЕНИ БРОЈ
Podseti se!
A
Број 428 напиши у развијеном облику на следећи начин: 428 = 400 + 20 + 8 = 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8.
9
Једноимени број 362 cm претвори у вишеимени број. Ради према поступку и упореди решење.
Напиши бројеве 764 и 8 053 у развиену форму.
Мерни број представи у развијеном облик тако
да именовани број буде збир истоимених бројева (у сm). Према развијеном облику мерног броја претвори центиметре у веће мерне јединице и напиши то као вишеимени број.
3 ⋅ 1 m + 6 ⋅ 1 dm + 4 cm = = 3 m 6 dm 4 cm
Prakti~nije!
Uo~i!
5 427 mm = 5
364 cm = 3 m 6 dm 4 cm Све ово је тачно само за именоване бројеве у мерама за дужину, масу и течност.
364 cm = 3 ⋅ 100 cm + 6 ⋅ 10 cm + 4 cm
4
2
7
5 427 mm = 5 m 4 dm 2 cm 7 mm
Uo~i! Између цифара броја треба да се оставе празна места; до цифре на позицији јединица треба да се запише најмања мера (то су mm); до цифре десетица треба да се запише 10 пута већа мера (то су сm) итд.
2
Претвори у вишеимени број следеће бројеве: a) 5034 g; b) 2014 dl; v) 60308 mm.
3
Претвори број 4837154 ѕ у вишеимени број.
195
Уочи поступак и упореди решење. Ако број секунди поделиш са 60, добиђеш 4837154 s : 60 = 80619 min и остатак 14 s минуте и остатак у секундама. Ако број минутита поделиш са 60, добиећеш 80619 min : 60 = 1343 h и остатак 39 min сате и остатак минута. Ако сате поделиш са 24, онда шта је количник, 1343 h : 24 = 55 dena и остатак 23 h а штa остатак?
Uo~i! 4837154 s = 55 d 23 h 39 min 14 s.
Уочио сам да: Чланови вишеименог броја су последњи количник (55 d) и три остатка (23 h, 39 min и 14ѕ).
Претвори једноимене бројеве: 324 min; 4526 дана; 6462 д; и 4142ℓ у вишеимене бројеве.
4
5
B
Претвори у метре број 8,2сm. Уочи поступке и упореди решење.
I na~in 8,2 cm = (8,2 : 100) m; 8,2 cm = 0,082 m.
km hm dam m dm cm mm
II na~in Унеси број у табелу са мерним јединицама.
0
стави иза мерне јединице у којој претварамо Зарез (m). Значи, 8,2 cm = 0,082 m 6
0
0
0
,
0
8
,
2
Претвори број 6,384 m у вишеимени број. Састави табелу cа мерним јединицама и у њу унеси број. Прочитај број.
km hm dam m dm cm mm 0
0
0
6
,
3
8
4
mg
Из табеле чита се: 6,384 m = 6 m 3 dm 8 cm 4 mm.
7
Број који је представљен у табели представи : a) као вишеимени број; б) у dg; в) у kg.
kg
hg dag g
dg cg
0
9
3
7
5
0
2
196
Treba da zna{!
Да претвориш једноимени број у вишеимени број и да користиш практичније поступке за претварање.
Proveri se! Претвори у вишеимени број, следеће бројеве: a) 6 475 mm;
b) 3 604 ml;
v) 24 300 s.
Zadaci 1. Једноимени број претвори у вишеимени: a) 3 402 mm; v) 47 063 dg; d) 1 035 ml;
3. Претвори број у вишеимени број без коришћења табеле: a) 22,05 m; v) 43,15 l;
b) 4 007 cm; g) 47 632 mg; |) 35 007 dl.
2. Једноимени број унеси у табелу, а затим
4. Месец заобиколи Земљу за 2 551 443
исти напиши као вишеимени број: a) 387,25 m; b) 30,02 dam; v) 320,05 g; g) 401,53 dl.
6
секунди. Претвори овај број у вишеимени број (у дане, сате, минуте, секунде).
ОПЕРАЦИЈЕ CА ИМЕНОВАНИМ БРОЈЕВИМА
Podseti se! Наброј мере за дужину, масу, течност, време и температуру. Која је основна мерна јединица за сваку од ових мера? Напиши: a) 8 m 4 dm 3 mm у милиметрима; b) 7 kg 5 dag 4 g у грамовима; v) 7 dal 7 l 5 dl у децилитрима; g) 3 d 2 h 8 min у минутима. Напиши број у вишеимени број: a) 3 507 g; b) 7 402 dl; v) 4 005 m; g) 5 032 min.
I.
b) 5 302,67 g; g) 0,237 kg.
A 1
Једна летва има 2 m 7 dm 4 cm, а друга 3 m 2 cm. Колика је укупна дужина летви? Потребно је да се израчуна збир дужина обадвеју летава. То може да се уради на два начина. Уочи поступак и упореди решење.
вишеименоване бројеве тако да истоимени чланови буду Напиши један испод другог
Израчунај збир сваког пара истоимених чланова.
2 m 7 dm 4 cm 3 m 0 dm 2 cm 2 m 7 dm 4 cm + 3 m 0 dm 2 cm 5 m 7 dm 6 cm
Uo~i!
+
2 m 7 dm 4 cm +
3m
197 2 cm =
5 m 7 dm 6 cm
+ Збир бројева вишеимених бројева одредио сам тако што сам сабирао центиметре са центиметрима, дециметре са дециметрима и метре са метрима.
Уочи збир бројева 5 dm 9 cm и 3 dm 4 cm.
5 dm 9 cm + 3 dm 4 cm 8 dm 1 3 cm = 9 dm 3 cm
Ако неки члан у збиру садржи већу мерну јединицу онда она се додаје члану испред њега.
II. Ради према захтевима и уочи други начин решавања. вишеимене бројеве у једноимене бројеве у најмању Претвори мерну јединицу тако да буду истоимени.
Одреди збир добивених једноимених бројева. Добивени једноимени број претвори у вишеимени број. Uo~i
2
2 m 7 dm 4 cm = 274 cm 3 m 2 cm = 302 cm 274 cm +302 cm = 576 cm 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm
2 m 7 dm 4 cm + 3 m 2 cm = 274 cm + 302 cm = 576 cm = 5 m 7 dm 6 cm
Израчунај 4 m 5 dm 3 mm + 7 m 9 cm 8 mm - 3 m 3 dm 2 mm. Ради према следећим упутствима: Израчунај збир бројева 4 m 5 dm 3 mm и 7 m 9 cm 8 mm. Од добијеног збира, одузми број 3 m 3 dm 2 mm. 6 dm
Уочи разлику бројева 7 dm 4 cm i 2 dm 6 cm.
B 3 I.
10 cm
7 dm 4 cm - 2 dm 6 cm 4 dm 8 cm
Приметио си да: 4 cm јe мање од 6 cm; od 7 dm одузео си 1 dm; 1 dm = 10 cm; 10 cm + 4 cm = 14 cm; 14 cm - 6 cm = 8 cm; 6 dm - 2 dm = 4 dm.
Израчунај 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3. Може да се рачуна на два начина:
Сваки члан вишеименог броја помножи са 3. код множења добијеш број који садржи већу мерну јединицу, њу додај Ако одговарајућој већој мерној јединици.
198
2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 6 m 12 cm 9 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm
Уочи други начин решавања.
II.
Вишеимени број претвори у једноимени број (у mm); Добивени једноимени број помножи са 3; Добивени производ претвори у вишеименовани број. 2 m 4 cm 3 mm ⋅ 3 = 2043 mm ⋅ 3 = 6129 mm = 6 m 1 dm 2 cm 9 mm. Израчунај 12 km 9 dam 6 m : 3. Може да се израчуна на два начина:
4 I.
Сваки члан вишеименог броја подели са 3;
12 km 9 dam 6 m : 3 = 4 km 3 dam 2 m Овако је практичније:
II.
Вишеимени број претвори у једноимени број; израчунај количник једноименог броја са бројем3; добивени количник претвори у вишеимени број. 12 km 9 dam 6 m : 3 = 12096 m : 3 = 4032 m = 4 km 3 dam 2 m.
5
Израчунај: 4 m 5 dm 3 mm - 9 dm 6 cm : 3.
V 6
Израчунај: 5 kg 7 dag 8 g + 9 hg 8 dag 4 g. Збир можеш да израчунаш на два начина. Поступи према захтевима:
I. na~in
II. na~in
Напиши вишеимене бројеве један испод
Претвори вишеимене бројеве у
другог, тако да истоимени бројеви буду на истој вертикалној линији. Изврши сабирање истоимених бројева.
Ако збир има већу мерну јединицу, додај је
једноимене бројеве у најмању мерну јединицу (у грамовима). Изврши сабирање. Прорачунати збир претвори у вишеименовани број.
одговарајућој већој мерни јединици.
Збир или разлика вишеименованих бројева мерâ за масу и мерâ за течност, одређују се на исти начин као и вишеименовани бројеви мерâ за дужину. На исти начин се множи, односно дели, вишеименовани број тих мера са именованим бројем.
199
Израчунај: 4 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl.
7
Упореди своје решење са датим; 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml. Уочи да је, да би сабрао два вишеимена броја по другом начину, потребно да се оба вишеимена броја претворе у једноимене са истом мерном јединицом. 5 l 5 dl 5 ml + 6 dal 4 dl = 5 505 ml + 60 400 ml = 65 905 ml = 6 dal 5 l 9 dl 5 ml.
8
Одреди вредност израза: a) 24 kg - 6 dag 3 g + 9 kg 8 hg 5 dag; b) 7 kl 5 dal 6 l 9 dl - 7 hl 8 l 5 dl + 6 kl 4 dal 4 dl.
9
Број 5 t 642 kg 8 dag увећај 4 пута: 5 t 642 kg 8 dag ⋅ 4 = 564 208 dag ⋅ 4. Изврши множење и добивени једноимени број претвори у вишеимени.
10 Израчунај: a) 2 kg 2 hg 5 dag 4 g : 49; b) 32 l 5 cl ⋅ 5 + 6 dal 2 l 6 dl 5 cl : 35.
G
11 Мимоза се родила када је Ћира имао 6 г. 3 мес. 8 дана. Сада Мимоза има 10 г. 11 мес. 24 дана. Колико година има Ћира?
Да би одредио старост Ћири, треба да поступиш на следећи начин:
6 g. + 10 g.
Одреди збор вишеимених бројева. Веће мерне јединице додај одговарајућој вишој мерној јединици.
16 g.
17 g. 12
3 mes. 11 mes.
8 dаna 24 dаna
14 mes. 32 dаna 1 g. 2 mes. 1 mes. 2 dаna 3 mes.
2 dаna
Израчунај: 5 g. 6 mes.12 dena ⋅ 3 - 3 g. 5 mes. 6 dаna : 9. Поступи према захтевима: Претвори вишеимене бројеве у једноимене (у дане). Изврши назначене операције са добивеним једноименим бројевима. Добивени резултат претвори у вишеимени број.
5 g. 6 mes. 12 dana = 2017 dana 3 g. 5 mes. 6 dana = 1251 dаn 2017 dana ⋅ 3 - 1251 den : 9 = = 6051 dаn - 139 dana = 5912 dana 5912 dana : 365 = 16 g. i ostatak 72 dana 5912 dana = 16 g. 2 mes. 12 dana
13 Сима је боравио у иноземству 8г. 7мес., а његов син Зоран 5 пута краће времена. Колико времена је Зоран боравио у иноземству?
200
Treba da zna{! Proveri se!
Да израчунаш збир и разлику вишеимених бројева мерâ за дужину, масу, течност и време;
Израчунај: 7 m 2 cm 5 mm + 4 m 3 dm 2 cm - 6 dm 8 cm 7 mm;
Сабирање и одузимање вишимених бројева да изведеш на два начина: сабирање, односно одузимање, истоимених чланова или претварањем вишеимених бројева у једноимене;
7 t 5 kg 8 g + 435 kg 9 g - 2 t 125 kg; 7 hl 7 l 4 ml + 5 dal 3 l 6 cl; 13 g. 6 mes. 7 dаn. - 10 g. 8 mes. 20 dаn. Израчунај:
Да израчунаш производ, односно количник вишеименог броја са неименованим бројем на два начина: множењем, осносно дељењем чланова вишеименог броја са неименованим, или претварањем вишеименог броја у једноимени.
5 m 3 dm 2 cm ⋅ 7; 9 m 6 cm 3 mm : 3; 2 t 3 kg 4 dag : 9 + 654 kg 3 dag ⋅ 2; 4 l 3 cl 2 ml ⋅ 5 - 2 l 5 cl 2 ml : 9; 6 g. 9 mes. + 15g. 8 mes. 9dаn. : 9.
Zadaci 1. Израчунај:
6. У продавници је донешено 6 hl 3 dal 5 l
сока који ће се продавати по 45 денара за 1 l. и 154 kg јабука по 30 денара за 1 kg. Колико денара коштају сок и јабуке заједно?
a) 2 m 8 dm + 6 dm 4 cm + 5 cm 9 mm; b) 4 km 3 dam 5 m - 8 dam 6 m; v) 9 m - 6 m 3 dm 5 cm + 4 dm 3 cm.
2. Израчунај: a) M ⋅ 4, ako M = 6 m 7 dm 3 mm;
7. Израчунај:
b) P : 2, ako P = 8 dm 6 cm 4 mm;
12 kg 42 g : 9;
v) 9 m 7 cm 2 mm : 8;
12 t 632 kg : 8.
5 l 7 dl 4 cl : 7;
g) (246 cm - 2 dm 2 cm) : 8.
3. Израчунај: A + B - C ako:
8. Домаћица је потрошила 13kg 4hg 4dag брашна за 6 дана.
a) A = 3 t 3 kg; B = 305 dag C = 205 kg 6 dag.
Колико брашна је просечно трошила сваког дана? Колико брашна је потрошила првих 5 дана?
b) A = 3 l 2 cl; B = 2 dal 2 dl C = 1 l 2 dl 3 ml.
4. Ако јe M = 6 l 3 cl, колико јe:
a) M ⋅ 4; b) M - 2 ml; v) M : 9.
5. Предузеће је добило 8 сандука робе.
Сваки сандук има 1t 136 kg. Одреди масу набављене робе.
9.
Воз, према возном реду, стиже у 18 h 4 5min. Ако касни 1 h 42 min., у колико сати ће стићи?
7
201
МЕРЕ ЗА ПОВРШИНУ
Podseti se!
A 1
Одреди површину фигуре на цртежу. У којој мерној јединици си израчунао површину фигуре?
Одреди површину правоугаоника, према задатим димензијама.
1 cm 2 cm
3 cm
2 cm 1 cm
5 cm У којој мерној јединици си изразио површину правоугаоника?
2
Површина Охридског језера је 349 кm². Којом мером је исказана површина Охридског језера? Наброј и друге мере за површину.
Upamti Основна мерна јединица за површину је квадратни метар (m²). Квадратни метар је површина квадрата стране 1m. Веће и мање мерне јединице од квадратног метара су наведене у следећој табели: Веће мерне јединице од квадратног метара су:
Мање мерне јединице од квадратног метара су:
kvadratan dekametar (dam2)
1 dam2
⋅100
kvadratan hektometar (hm2)
1 hm2
⋅10000
kvadratan kilometar (km2)
1 km2
⋅1000000
1 m2
:100
1 dm2
kvadratan decimetar (dm2)
:10000
1 cm2
kvadratan centimetar (cm2)
:1000000
1 mm2
kvadratan milimetar (mm2)
За мерне јединице hm2 и dam2 употребљава се израз хектар (ha) и ар (а), тј. 1 ha = 1 hm2 i 1 a = 1 dam2.
Уочи и запамти везе између квадртног метара и других мера за површину. 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 ha = 100 a = 10 000 m2 1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1 cm2 = 100 mm2
202
3
Конструиши квадратни дециматар, подели га на квадратне центиметре и обоји као на цртежу.
1 2
Колико cm² има у 1dm²? Која површина је већа: 1 m2 или 100 dm2?
4
3 4
Који мерни број треба да стоји на месту * да би била једнакост тачна: 1 m2 = ∗ dm2 1 dm2 = ∗ cm2 1 m2 = ∗ cm2 1 dm2 = ∗ mm2 2 2 1 m = ∗ mm 1 cm2 = ∗ mm2
5 6
Да упамтим! Свака мера за површину је 100 пута мања од мере која је непосредно већа од ње.
7
1 dm2
8 9
1 mm2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 cm2
Treba da zna{! Која је основна мерна јединица за површину; да набројиш веће и мање мере од квадратног метара за површину; које су везе између мерних јединица за површину.
Proveri se! Колико: а)квадратних дециметара; б) квадратних центиметара има у 5 m2? Колико: а) квадртаних хектометара (hm2); б) квадртаних декаметара (dam2); в) квадртаних метара (m2) има у 3 km2? Колико кm² има у 200 ha?
Zadaci 1. Колико квадратних центиметара; б)
3. Продаје се њива од 2 ha. Власник је
2. Школско двориште у облику
4. Дужина једне правоугаоне собе је 8 m, а
колико квадратних милиметара има у 7 dm²?
правоугаоника има дужину 65m и ширину 45m. Колико: а)квадратних метара б) ари има то двориште?
продао тако да је за сваки m² добио по 240 денара. Колико је укупно добио за њиву?
ширина 6 m. Соба треба да се поплоча квадратним плочицама од по 100 cm². Колико је таквих плочица потребно за поплочавање?
8
203
МЕРЕ ЗА ЗАПРЕМИНУ
Podseti se!
На цртежу је представљена коцка Ѕ и квадар Т. Квадар Т је састаљен од коцки, једнаких коцки Ѕ.
A 1
Квадрат К на цртежу садржи се тачно 8 пута у правоугаонику П.
T
P
K
Y Колики је мерни број правоугаоника П у односу на квадрат К? Овде је квадрат К узет као “јединачна мера”,т.ј,. као мера за мерење правоугаоника П. Шта представљају 8 квадрата К за правоугаоник П? Које мере за површину знаш?
Утврди бојењем, од колико таквих коцака је састављен квадар Т (тј. колико пута се коцка Ѕ садржи у квадру Т).
Uo~i! Квадар Т захвата тачно 6 коцака, једнаких коцки Ѕ, па зато кажемо: мерни број квадра Т у односу на коцку Ѕ је 6, или запремина квадра Т је 6 у односу на коцку Ѕ.
Коцка Ѕ је узета за “јединачну коцку”, тј. као мера за упоређивање запремине квадра Т са запремином коцке Ѕ. Да упамтим! Да би измерио запремину неког квадра, треба да избројим колико јединачних коцки могу да сложим у тај квадар.
Upamti! Коцку коју смо изабрали за мерење квадра називамо јединачном коцком. Мерни број тог квадра у односу на јединачну коцку називамо запремином квадра. Основна јединица за мерење запремине је кубни метар. Записујемо 1m³, читамо: један кубни метар. Кубни метар је запремина коју захвата коцка ивице 1m. Употребљавају се и мање јединице од кубног метра. Уочи табелу. Мање јединице од кубног метра
1 m3
: 1 000 : 1000000
1 dm3 1 cm3
Кубни centimetar (cm3)
: 1000000000
1 mm3
Кубни milimetar (mm3)
Кубни decimetar (dm3)
204
Да упамтим! Једна мера за запремину је 1000 пута већа од непосредно мање мере.
У прегледу је дат однос између мерних јединица за запремину. 1 m3 = 1 000 dm3
1 dm3 = 1 000 cm3
= 1 000 000 cm3
= 1 000 000 mm3
= 1 000 000 000 mm3
2
1 cm3 = 1 000 mm3
Објасни зашто 1 dm3 ima 1 000 cm3. Уочи цртеж и ради према поступку. Колико коцака запремине 1сm³ можеш да наређаш једну до друге по ивици коцке запремине 1 dm? Колико је таквих редова потребно да би покрио основну коцке од 1 dm2? Колико је таквих слојева потребно да би испунио коцку од 1 dm³?
10 9 8 7 6 5 4
9 8 7
3 5
2 1
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
6
10
Uo~i!
205
По ивици можеш да наређаш 10 коцки запремине 1 cm³; треба ти 10 реда по 10 cm³, тј. 100 cm³; Треба ти 10 слоја по 100 cm³, т.ј., 1000 cm³. 3
Бројањем утврди од колико коцака запремине 1 cm³ је састављена фигура (квадар). Од 12 коцака запремине 1cm³ састави квадар. То можеш да урадиш на још 3 начина изузев приказаног. Покушај!
Treba da zna{!
1c m3
Proveri se!
Koja је основна мерна јединица за запремину; Да набројиш веће и мање мере за запремину од једног кубног метра; Које су везе између мерних јединица за запремину.
Zadaci
Колико пута је мерна јединица 1 m³ већа од 1 cm³? Колико пута мерна јединица за запремину је већа од непосредно мање мерне јединице? Колико: a) dm3; b) cm3 ima vo 5 m3?
Problemi!
1. Наброј мерне јединице за запремину које су мање од m3.
Имаш две посуде од 3 l i 5 l. Уз помоћ ових посуда измери 4 l воде.
2. Kolku dm3 ima vo 4 m3? 3. Колико m3 ima u: a) 7 000 dm3; v) 200 000 cm3?
b) 500 dm3;
4. 27 650 mm3 напиши у cm3.
3l
5l
206
9
ЗАПРЕМИНА КВАДРА И КОЦКЕ
Podseti se!
A 1
Бројањем коцака од којих је састављен квадар, одреди његову запремину.
1
Израчунај запремину квадра са цртежа ако су дужине његових ивица: 3 cm, 4 cm и 2 cm.
1 cm
2
1 cm 1 cm3
3
Квадар 1 је састављен од 12 коцака запремине 1cm³. Према томе, квадар 1 има запремину V1 = 12 cm3. Одреди запремину квадра 2 и квадра 3 .
1 cm
Уочи на горњој плочи „зелени“, „жути“ и „плави“ прут. Колико јединачних коцака, тј. по колико кубних центиметара има сваки од њих? Уочи да и доња (црвена) плоча има исто толико јединачних коцки, тј. исто толико кубних метара. Колико укупно јединачних коцки, тј. кубних центиметара има у квадру?
Uo~i i zapamti! У квадру има (3 ⋅ 4) ⋅ 2 јединачних коцки, тј. (3 ⋅ 4) ⋅ 2 кубних центиметара. Запремина квадра је 24 јединачних коцки, односно 24 cm³. Записујемо: V = 24 cm3 где V је ознака за запремину, а 24 је мерни број запремине. Сигурно си уочио да он је једнак производу мерних бројева три суседне ивице овог квадра; То су дужина, ширина и висина (или, краће, димензије) квадра.
2
Одреди запремину квадра следећих димензија: a) 5 cm, 6 cm i 10 cm;
3
b) 16 cm, 2 dm i 5 dm;
v) a cm, b cm i c cm.
Учионица има облик квадра дужине 11 m, ширине 7 m и висине 3 m. Колико кубних метара има учионица?
Upamti! c Запремина квадра, V, дужине ивица a, b i c рачуна се по формули
207
b a
V = a ⋅ b ⋅ c. Уочио сам да ћу запремину квадра израчунати ако помножим његове димензије.
4
Ивице једног квадра су: a = 6 dm, b = 8 dm i c = 9 dm. Уз помоћ формуле израчунај запремину квадра.
Podseti se!
B 5
Фигура на цртежу је образована од једнаких коцака, ивице од 1 cm. Уочи ивице фигуре. Какве су међусобно? Да ли ова фигура може да се именује као квадар са једнаким димензијама? Како је тачно име те фигуре? Бројањем утврди од колико коцака је састављена.
Израчунај запремину коцке са ивицом од 5cm.
Какве су ивице коцке међусобно? Уочи да је коцка квадар коме су ивице једнаки: a = b = c. Искористи формулу за запремину и уз помоћ ње израчунај запремину коцке. V = a ⋅ a ⋅ a ili V = a3 a3 се чита “a на трећи” ili “a на куб”.
Upamti! Запремина коцке, V, са дужином ивице a рачуна се по формули V = a3. a
a
a
6
Израчунај запремину коцке ивице: a) 6 cm;
b) 30 cm у dm3;
v) 24 dm у m3.
Uputstvo: b) a = 30 cm = 3 dm; V = 33 dm3, odnosno V = 27 dm3.
7
Шта има већу запремину – коцка ивице 14cm или квадар ивице 13 cm, 14 cm и 15 cm?
1 dm3
208
V 1l
Podseti se! 1 dm3
Како се зове основна мера за течност? Да ли кутија у облику коцке ивице 1dm сакупља 1 l минералне воде? Провери ово кући, ако имаш могућности.
8
a) Колико кубних дециметара има у 12 l?
Upamti! Основна мера за течност назива се литар, тј. литар је друго име за кубни дециметар.
b) Колико литара има у 60 dm3?
Treba da zna{! Proveri se! Како се рачуна запремина квадра; Да израчунаш запремину квадра ако су задате његове димензије; Да је коцка квадар чије су ивице једнаке међусобно; Да израчунаш запремину коцке ако је дата њена ивица.
Колика је запремина квадра ивица 2 m, 3 m и 10m? Колика је запремина коцке ивице 7 cm? Колико литара сакупља кутија у облику коцке са ивицом 3 dm?
Zadaci 1.
2.
Једна ивица квадра је 8 cm, а друга два су једнака и мања од првог за 3cm. Колика је запремина квадра? Пронађи кутију за ципеле, измери шта је потребно и израчунај запремину.
4. Једна коцка има површину од 24 m². Колика је њена запремина?
5. Једна греда јеле има дужину 7 m. На крајевима има облик квадрата ивице 30 cm .Колико кубних метара има греда?
6. Једна коцка има запремину 8 dm³. Израчунај површину коцке.
3.
Запремнина једне просторије у облику квадра је 108 m³. Дужина је 9 m, а ширина 3 m. Колико метара је висина просторије?
7. Акваријум дужином од 70 cm, ширином 40 cm и висином од 35 cm, напуњен је водом до висине од 30 cm. Колико литара воде има у акваријуму?
Istra`i sam!
1
209
Једна породица извршила је проверу потрошње воде у прва 9 месеца у години. У табели је дата потрошња воде за сваки месецу m³. Mesec Потрошња воде у m3
Januar
29
Februar Mart April Maj Jun
24
23
25
27
28
Jul Avgust Septembar
31
27
27
Израчунај: Колико кубних метара воде је потрошено у породици за 9 месеци? Пронађи аритметичку средину потрошене воде за девет месеци. Колико кубних метара воде, просечно, троши породица сваког месеца? Направи табелу података о потрошеном новцу породице за сваки месец. Цена воде је 29,5 денара за m³. Пронађи аритметичку средину паричних средстава, које је породица потрошила сваког месеца? Састави стубичасти дијаграм о потрошњи воде (m³) у току девет месеци. Представи на дијаграму и аритметичку средину. Одреди са дијаграм у којим месецима је потрошња воде већа од аритметичке средине.
2
Израчунај аритметичку средину (средњу вредност) успеха из математике у твом разреду. Израчунај твој средњи успех на крају шкоске године.
210
17
УЧИО СИ О МЕРАМА. ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ
Шта треба да стоји на месту *, да би било тачно? a) 6 m = 60 ∗; b) ∗ km = 1 200 cm; v) ∗ l = 3 000 ml; g) 2 dl = 200 ∗.
1.
2.
9.
Претвори: a) 1 m 5 dm 3cm у центиметре; b) 3 l 3 cl у децилитре; v) 2 kg 3 hg 4 mg у декаграме; g) 6 h у дане.
Претвори 6 dal у dl.
10. Претвори у вишеимени број, бројеве: Шта треба да стоји на месту *, да би било тачно? a) 4 kg = 400 ∗; b) ∗ s = 6 min; v) 2 h = ∗ min; g) 5 OC = ∗ K.
3.
4.
a) 3 126 cm;
a) 6 t 23 kg 2 dag + 247 kg - 7hg - 3 g; b) 12 488 hg - 12 kg; v) 12 km - 6 dam 9 cm; g) 2 l + 6 dl - 8 cl 7 ml.
5.
Претвори вишеимени број у једноимени, у најмању наведену мерну јединицу. a) 2 t 40 kg 14 dag; b) 4 km 7 dam 14 dm; v) 9 dal 8 l 5 dl; g) 2 h 17 min 14 s.
6.
v) 231 dal.
11. Изврши операције:
Претвори 2 m 5 cm у дециметре.
Напиши именовани број који је исте врсте са датим бројем, а да није истоимени с њим: a) 4 kg; b) 7 km; v) 36 min.
b) 12 488 hg;
12.
Број: а) 6 t 228 kg умањи 9 пута; б) 2 km 8 dm увећај 5 пута.
13. Напиши три мере за површину веће од 1 cm2.
14. Колико пута је 2 m2 веће од 4 cm2? Објасни одговор.
7.
а) Претвори 6 h 12 s у минуте. б) Претвори 7 dal 3 l 5 cl у децилитре.
в) Претвори 4 km 7 m 14 dm у декаметре.
15. Напиши три мере за запремину мању од 1 m3.
г) Претвори 6 dag 12 g у грамове.
16. Једна просторија има димензије 4 m; 5 m; 3,5 m. Одреди запремину те просторије.
8.
Колико пута јe веће: a) 4 km od 400 m; b) 6 t od 300 kg; v) 2 l od 200 ml?
17. Једна коцка има запремину 27 cm3. Одреди површину једне стране коцке.
ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА
211
zadataka
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ
TEMA 1.
1
1. A: e, p; V: buka; A = {e, p}; V = {x | x је слово из речи бука}; b, u, k ∈ V; e ∉ V. M
2.
C
a N
3.
5
S
A 1
3 5
2
D
2
6
7
3. A × B = {(Јован, пева), (Јован, спава), (Јован, учи), (Биљана, пева), (Биљана, спава), (Биљана, учи), (Драган, пева), (Драган, спава), (Драган, учи)}.
9
3. δA = 98; δB = 17.
4. S = { 0, 1, 2}; P = {m}; S2 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.
6
Проблем. Скупови из прва три питања су коначни, а скуп из четвртог питања није.
3 2.
1. D = {1, 3, 5, 7, 9}; N = {x | x је парни број и мањи од 11}; D i N су еквивалентни, зато што имају једнаки број: δD = 5 i δN = 5. P
U
K y 3. Тачно је да y ∈ P, зато К је подскуп скупа Р, па сваки елемент из К( међу њима и y) припада скупу Р. 4. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Проблем. Купац је купио бројеве 1, 2 и 3 за кућни број 312.
4
1. (2, a), (2, b), (2, c), (5, a), (5, b), (5, c).
2. a) 2; b) 8; v) 7 i 3.
1. δL = 5; δS = 0; δK = 0; δM = 0 (М - скуп твојих другова који су били на Марсу).
2. δA = 5; δB = 4.
a) P ∪ S је скуп свих бројева прве десетице. б) Р ⋂ Ѕ је празан скуп; b) P ∩ S је празан скуп; v) P \ S је скуп P; g) S \ P је скуп S.
B 4
8
3.
1. a) Unija. b) Razlika. v) Presek.
2. δA = 4, δM = 5; A ∪ M = { m, n, p, k, s, t, r}, M ∩ A = { p, k}, M \ A = { s, t, r}; δ(M ∪ A) = 7, δ(A ∩ M) = 2, δ(M \ A) = 3.
1. 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174; записани су цифрама 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i 0; A = { 164, 166, 168, 170, 172, 174}.
2. 70, 80, 90, 110, 130, 150; стрелицом је показан број 35 (тридесет и пет) и број 59 (педесет и девет). 3.
0 2 4 6 8 10
14 16
20
4. S = { 1, 3, 5, 7, ...}; 1 је најмањи у Ѕ; Ѕ нема највећи елемент; Ѕ има бесконачно много елемената.
7
1. a) 5 – у класи милиона, 2 - у хиљадама, 7 - у јединицама, 0 -у хиљадама 5 је на позицији јединица милиона (ЈМ), 2 на стотицама хиљада (СХ), 7 на десетицама (Д), 0 је на десетицама хиљада (ДХ). в) 5 има позициону вредност 5 000 000, 2 има 200 000, 7 има 70, 0 има 0-10 000 = 0 2.
klasa miliona
klasa hiqada
SM DM JM SH DH JH 7
4
3. 8 302 060 400 500.
0
5
klasa jedinici S
D
J
9
0
6
4. 1 000 000 000, једна милијарда.
212
5. Број 5 се чита: „пет"; цифра 5 чита се: „пет".
6. 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000; bilion. Problem. 7 777 777.
8
14
1. Две хиљаде триста четрдесет и пет;
двеста и педесет; шест милиона четиристотина хиљада триста и десет. 2. 300 205 800.
3. <; >; >; <.
1.
:3 :6 18 6 1
:7 :2 42 6 3
54
18
3
84
12
6
108 36
6
98
14
7
2. 8; 171; 76; 7; 12; 13. 3. 145; 707; 700. 4. 20; 8. 5. Јато је летело најмање 250 сати. Пуж је прешао 5 cm за један минут. Решење. Пошто је пуж прешао 12 m за 4 часа, он је прелазио по 3 m на сат, т.ј. 300 cm за 60 минута, а то значи 5 cm (= 300 : 60) за 1 минут.
4. Ближе је: a) do 24 600; b) do 25 000. 5. 25 380; 25 400; 25 000.
6. 15 410 000.
7. He постоји; 1; (један) милион двеста и шеснаесет хиљада триста педесет и осам денара. Покушај да решиш. На пример: 1) број твог омиљеног телевизијског канала; 2) број путне исправе (пасоша).
10
1.
187; 99; 171. 2.
9 060. 4.
2 026. 3.
238; 174;
13 000; 13 700; 13 770; 763; 63; 7;
1. 962; 11 115.
2. 495. 3. 2 845; 5 185.
4. Приближно: 16 стотица; тачно: 1 770 ден. Покушај: Да.
12
15
1. a) 180; b) 420; v) 15; g) 60. 2. a) 450;
b) 15; v) 90; g) 90. 3. a) 16; b) 4; v) 16. 4. 5 040.
5. 32. Решење. 7 680 : 240 =
768 : 24 = (768 : 3) : (24 : 3) = 256 : 8 = 32. Занимљиви проблем! 31 јаје. Упутство. Пети купац купио је 1 јаје, четврти је купио 2-1+1=3 јаја, трећи је купио 2-3 + 1=7јаја, итд.
16
тачни збир је: 13 763. Problem. 22 + 22 + 222 = 266.
11
6. 1 755 : 45 = 39. 7. 19. 8. 600 i 60.
1. a) 48; b) 225.
2. a) x = 110; b) x = 200;
v) x = 17; g) x = 120; d) x = 21; |) x = 3. 3. 305 gajbi.
18
4. 35 godine.
4. Po 20 oraha.
1. 1, 2, 5 и 7. Сви делиоци броја 64 су: 1, 2, 4,
3. Za x = 13. 4. Умањилац треба да се увећа
8, 16, 32 и 64. Тачно је да 4 | 12, 3 | 36 и 10 | 1 000. Садржаоци броја 3 су, на пример: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, а има их безброј.
за 25.
2. Пример 1): 4 је делилац сваком од бројева 8, 20,
1. Збир ће се увећати за 234.
2. 1 550.
5. a) 100; b) 100; v) 80; g) 110.
6. 600 denara.
Проблем! 100. Решење.
(2 + 4 + 6 + ... + 200) - (1 + 3 + 5 ... + 199) = (2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (200 - 199) = 100.
13
1.
28 и 36; њихов збир је број 92, a 92 : 4 = 23, тј. и 92 је дељив са 4. Значи, 4 | (8 + 20 + 28 + 36). Пример 2): 12 | (48 - 36), зато што 12 | 48 и 12 | 36. Пример 3): 7 | 21 -5-6, зато што 7 | 21.
6 510; 51 240; 100 000; 7 000; 4 800;
343; 69. 2. 11 760.
3. 382 200 km.
4. a) 30 000; b) 35 100; тачно: 34 036; процењен производ у a) је мањи од тачног за 4 036, а у b) је већи за 1 064. 5. По редоследу појављивања ∗: 4, 0, 1, 0; 439 ⋅ 47 = 20 633.
3. a) i v) da; b) i g) ne. 4. a), v) i g) so 3; b) i g) so 7. 5. B = {16, 24, 32}.
19
1. 28, 70, 96 и 25 000 су дељиви са 2, зато што завршавају на 0, 6 или 8. 275, 400 i 995. 4. 65. 3.
20
1. 348, 1 245 i 6 123.
2. 9 126 i 540.
3. 1, 4 ili 7; 1, 4 ili 7; 2, 5 ili 8; 1, 4 ili 7. 4. 7; 1; 6; 7.
2
6
5. 2 ili 8.
Покушај да закључиш! Број 60 је дељив са 3 и вредност 3 чоколадa, независно од њихове цене, је дељива са 3. Према томе, мора и укупна сума да буде дељива са 3. Но, укупна сума (220) није дељива са 3.
21
12
4
7.
1
36
18 3
9
NZ
213
D
54 28 42 98 27 4
D NZ 21 49 14
6 2
3
7 1
1. 1 324, 1 432, 3 124, 3 412, 4 132 i 4 312.
Пази: са цифрама 1, 2, 3 и 4 можеш да саставиш 24 четвороцифрена броја; од њих само ових шест броја су дељивa са 4. 2. 0, 4 ili 8; 2 ili 6; 1, 3, 5, 7 ili 9; 0, 2, 4, 6 ili 8. 3. Na pr.: 20; 160; 3 240.
4. 312.
24
1. {30, 60, 90, ...}; NZS (10, 15) = 30.
2. a) 40. b) 36. v) 240. g) 720. 3. 300. 4. 120. 5. Помоћ. Напиши садржаоце (до 30) сваком од бројева 3, 4, 5, а затим провери који од садржаоца броја 5 је већи од 1 и од садржаоца броја 3 и од садржаоца броја 4, истовремено.
И ово је математика! Играч који узима први треба да узме 2 зрна пасуља и играчу који узима други да остави 48 зрна пасуља, тј. број дељив бројем 4. Затим, колико и да узме други играч, први му је оставио број који је дељив са 4, тј. први играч допуњава до 4 (други 1, први 3; или други 2, први 2; или први 3, други 1) итд. Број 20 је дељив са 4, па увек победи играч који узима други. Ако се узимају зрна пасуља од 1 до 4, односно од 1 до 5, онда се води рачуна о дељивости са 5, односно са 6.
Истражи сам! Сличност бројева 12 и 16: оба су сложена; оба су парна; оба су дељива са 4. Разлике: број 16 је квадрат броја (16 = 42), a 12 није ; 12 има паран број делиоца (D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}), 16 има непаран број делиоца (D16 = {1, 2, 3, 4, 8, 16}).
22
Занимљив проблем! Једна карта коштала је 10 денара; један од њих није имао новца (т.е. „ имао је 0 денара"), а други је имао 19 денара.
1. 15 = 3 ⋅ 5; 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7; 38 = 2 ⋅ 19;
75 = 3 ⋅ 52; 11 115 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 ⋅ 19.
2. 27.
3. 1 (дете), 3 (љубимци), 2 (аутомобила) и 4 (спаваће собе).
4. 14 = 11 + 3 = 7 + 7; 52 = 47 + 5 =
Истражи сам! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Упутство: Уочи да ће остати оне сијалице чији је прекидач притиснут непаран број пута, а то су сијалице чији број има непаран број делиоца. (Такви бројеви су квадрати природних бројева: 12, 22, 32, 42 itn.). 1. {1, 2, 3, 6}. 2. a) 6. b) 24. v) 30. g) 60.
3. a) 1. b) 36. 4. 24 [= NZD (48, 72)]. 6. 24 [= NZD (48, 72, 120)].
Покушај да израчунаш! 8; 24 = NZD(8, 12).
Test:
5. 12 m.
1.
a) A = {11, 13, 15, 17, 19};
B = {11, 13, 15, 17, 19}, C = {16, 17, 18, 19}, b)
41 + 11 = 29 + 23.
23
6. 60 s.
B
C 11 13
17 19
16
v) B ~ C, B ∩ C ~ B \ C.
18
B ∩ C = {17, 19}. 2.
A x B = {(a, 1), (a, 5), (b, 1), (b, 5), (c, 1), (c, 5)}; B2 = {(1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5)}.
3.
a) 910, 901, 190, 109;
b) 109 < 190 < 901 < 910; b) Најмњи је 109; предходник е 108, а следбеник 110. 4. 20 350 005 070; цифра 3 је у класи милиона, на позицији стотине милиона и има вредност 300 000 000.
Збир заокружених бројева је 9 000; он је мањи од тачног збира за 24.
5.
214 6.
Разлика ће бити увећана за 300.
7.
13 500 l.
324.
16. 4 екипа по 8 ученика, од којих 3 девојчице и 5 дечака; НЗД(12, 20) = 4.
67 kg; магарац носи 28 kg, а коњ
9.
39 kg. 10. 471.
17. НЗС(30, 50) = 150, 150 : 30 = 5. На истом месту
11. a) 372, 930 i 254;
остаће први, пети, десети стуб итд.
b) 105 i 930; v) 105, 372, 801 i 930; g) 801.
ГЕОМЕТРИЈСКЕ ФИГУРЕ У РАВНИ
TEMA 2.
1
a
1.
2.
4.
b B
A
C
c
N
M B
a
A
P
Тачка A.
b
4.
а) Тачке: A, B и C; D, B и E. б) Тачке A, B и E; A, D и B; D, B и C.
1.
P
C
I slu~aj:
3.
B
c A
B
C
A
D
Једна права B три праве.
a
C 5.
a || b.
b
2.
Заједничка тачка правих АВ, ВС и BD је тачка В.
A
2.
a
II slu~aj:
3
Тачке A, B, C и D одређују 6 правих.
C
b
4.
O
N
6.
p M P
K
B
S
N L
V Тачке A, В и С образују 3 дужи: АВ, AC и ВС.
A
S 7.
P
F
E 8.
CD = 4 cm.
5
1.
p Тачке Е, F и G образују 3 дужи: EF, EG и FG. G
O
A
B S
2. Конструкција се зове цртеж направљен само лењиром и шестаром. 3. OM = 6 cm; ON = 9 cm. a
4.
b OA = 2a + b
a
O
Тачките К, L и М су колинеарне. (30 mm + 52 mm = 82 mm). m M
m
p n || p. n
1. AV = 70 - 42 = 28 t.e. AV = 28 mm.
S
3.
5. Две дужи које имају једнаке дужине су складне.
D
3.
A
4. Дужина дужи АВ је растојање између крајњих тачака А и В дужи АВ.
A B
2
MR = 3 cm, RY = 9 cm.
5.
Део праве ограничен једном њеном тачком.
1.
C
Права MN, права MP, права NP.
5.
4
AV = 83 mm.
2.
C 3.
13. 315 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7. 14. D68 = {1, 2, 4, 17, 34, 68}. 15. NZD(18, 24) = 6; NZS(18, 24) = 72.
18; број који су делили је
8.
12. a) 2 ili 6; b) 1, 3, 5, 7 ili 9.
M
a
a
b
b
A H MN = a + 2b b
N
R
a
5.
2. Полупречник кружнице је дуж која повезује центар са било којом тачком кружнице; и њена дужина је полупречник кружнице.
b OA = a - b
a-b O
A a - 2b
R
H PM = a - 2b
b
M
b
b
Y
a
6.
b
c OA = a + b - c
a+b-c O
5. d = 2 ⋅ 28 = 56, t.e. d = 56 mm.
9
1. 14 kvadrata.
2. 15 правоугаоника
2. тачка да лежи (припада) на кружници и тачка да не лежи (не припада).
6
C
1. D
2.
A 3.
F
B E D
G
C A
6.
Изломљена линија има 5 темена - А, В, С, D и Е 5 стране - AB, ВС, CD, DE и ЕА.
B
4.
Обим изломљене линије је збир дужина њених страна.
L = 40 + 25 + 28 + 35 + 30 = 158, t.e. L = 158 mm.
1. Тачка, права, раван и растојање.
3. а) Дужина дужи је растојање између крајњих тачака дужи. б) Обим изломљене линије је збир дужина њених страна. 4. Скуп и тачка.
5. Права сече кружницу - имају две заједничке тачке; права додире кружницу - имају само једну заједничку тачку; права и кружница немају заједничких тачака. 6. Prava a.
10
k1
I
1.
k
7.
O
k2 t
O2
A
II 2. k1
O2
O1
k2 k1
k2 O2
O1
3. k1 i k2 су концентричне кружнице - немају заједничких тачака. k1 k1 k2 6. O1O2 = 12 mm. k2 5. 4. O 2
O1 = O2
11
O1
1. У истој полуравни са тачком А леже тачке: В, Е, С и Н.
2. Теме О и краци OA и OB; А, О, В, D и Е су тачке угла; D и Е су тачки области.
k Тачка О не припада кружници.
1.
a
5. AB = 250 cm.
2. Изведени појими су: дуж, полуправа и геометријска фигура.
8
4. Тангента је права која има само једну заједничку тачку са кружницом.
O
O1
Покушај! 1. Решење је дато на цртежу. 2. Фигура в) не може да се нацрта „једним потезом".
7
k
3.
3. 20 једнакостраних
троуглова.
r = 50 : 2 = 25, t.e. r = 25 mm.
6.
1. Унутрашње су тачке: А и D.
A
Proveri...
215
P
Угао NMP.
3.
O M
N
4.
α
β
5. Полуправе OA, OB и OC образују 3 угла и то: ∢АОВ, ∢ВОС и ∢АОС.
216
12
3. а) Оштри угао; б) прави угао; в) тупи угао; г) равни угао. 5. Тупи угао или оштри угао.
V
4.
P
A
O
∢АОВ = α - β O
M
3.
2. V
4.
∢АОВ = 2α - β
16
V
N
A
17
N β
O
β
P
M
M
A
∢АОВ = α + β
O
5. β, α, δ, γ.
126o A
P
M
1. α + β = 113o 36’ 52’’; α - β = 63o 16’ 12’’.
2. α + β = 117o 11’ 32’’; α - β = 35o 53’ 52’’.
3. a) 53o 20’; b) 47o 17’ 18’’.
4. a) β = 101o 30’;
b) β = 114o 24’ 35’’.
Покушај! Нацртај кружницу са центром у темену угла ∢АОВ = 19°. Пошто 19 - 19 = 361, а пуни угао има 360°, следи да, ако угао од 19° пренесеш 19 пута по кружници са теменом у тачци, добићеш разлику од 1°.
α
2. B
B
O
4. a) 25o = 25 ⋅ 60’ = 1 500’; b) 30o 15’ = 1 815’.
N
47o O
A
1. ∢ ВОС = 60°, ∢ BOD = 95°, ∢СOD = 35°, ∢ BOM = 124° и ∢MON = 56°.
2. α = 50o i β = 125o.
A
O
Покушај! Има 10 угла: ∢AOB, ∢AOC, ∢AOD, ∢АOE, ∢BOC, ∢BOD, ∢BOE, ∢COD, ∢COE, ∢DOE. Има 6 пара суседних углова: ∢АОВ и ∢ВОС; ∢AOB И ∢BOD; ∢АОВ И ∢ВОЕ; ∢ВОС И ∢COD; ∢ВОСи∢СОЕ; ∢CODM И ∢DOE. Има 3 пара упоредних углова: ∢АОВ и ∢ВОЕ; ∢АОСи∢СОЕ; ∢AODM И ∢DOE.
3. O
B
β
α
B
α
A
6.
1. Угао чије теме се налази у центру дате кружнице назива се централни угао.
O
A
β
α
5.
5. Унакрсни углови су: 1 i 3; 2 i 4; 5 i 7 i 6 i 8.
α
O
M
4. Унакрсни углови су два угла која имају заједничко теме и краци једнога су наставак крака другог угла кроз теме.
1.
β
α
4.
∢АОВ = α - β
1. ∢АОВ и ∢ВОС; ∢ВОС и ∢ COD; ∢АОС и ∢COD; ∢АОВ и ∢BOD. 2. Упоредни угао углу α је 3. угао β. Упоредни су и β α углови γ и δ Оштри угао.
15
A
B
N
N
6.
R
α
O
B O
13
14
B
γ
∢АОВ = α + β + γ
1. Угао чији краци образују једну праву назива се равни угао.
2. Угао који је половина правог угла је оштри угао.
β
α
3.
A
∢АОВ = 2α
18
1. Растојање из тачке М до праве p је дужина MN, где N је пресечна тачка праве p и нормалне праве праве p која пролази кроз М. M
2.
22
N MN = 10 mm
S PS = 2 cm
AM = 25 mm.
1.
1. Вишеугаоник коме све тачке дужи, чије крајње тачке леже на вишеуганику, су тачке вишеугаоника, назива се конвексним вишеугоником. D
m
AD = 16 mm
19
2.
A
MN = 7 cm.
s2
C
7. B
s1
A
B
20
5.
∢МОР = 42o
6.
∢АОВ = 70o
23
C α
O
A
1. Комплементни cу углови под б) и в).
2. β = 90o - 39o = 51o. 4. суплементни су углови под б) и в). 3. 5. β = 180o - 76o = 104o. β α 6. α β α + β = 180o. α + β = 90o.
21 2.
1. Полигонална линија је изломљена линија под б). Вишеугаоници су изломљене линије под б) и под в).
3. C
D
A 5.
C
A
B
3. На вишеуганику ABCD леже тачке: А, М, В, С, D, F и G.
V
M
E
2. Суседна темена темену В су темена : А и С. Heсуседне стране страни ВС су: АЕ и ED.
s
3.
4.
217
P
4.
m
3.
Помози баштовану! Баштован треба да посади саднице као на цртежу.
4. А и В нису суседна темена са теменом D .
B
Суседне стране страни MN су стране ML и NP.
1. L = 160 mm = 16 cm. 2. L = 29 cm.
3. a = 15 cm.
4. L = 30 cm.
5. a = 10 cm.
6. b = 10 cm.
7. L = 54 cm.
8. a = 9 cm.
9. 30 mm.
Test:
1.
A, B ∉ q. 5.
A, B, C, ∈ p; D, E ∉ p; C, D, E, ∈ q; 2.
Da; BC = CA + AB.
Полигонални ce i . Hису полигонални:
i (и затворени); (има несуседне стране које се секу). 9.
6.
∢АОВ - оштри; ∢АОС - туп; ∢AOD - пун. 13. Угао је туп; 90o 35’ = 5 435’.
B
10.
β α C
54 mm.
O
14. β = 44o 24’ 15’’. A
∢AOC јe раван
17. Hису суплементни. 18. 13 m.
218
1
1.
РАЗЛОМЦИ
TEMA 3. 7 __ - седам деветина; 9
12 __ - 12 кроз 23; 23
0
12 sedminа. 3 Именилац разломка __ показује 19 да је цело подељено на 19 једнаких делова, а бројилац да су узета 12 таква дела.
5.
a)
1 1 1 1 ___ ____ __ ; v) ; g) ___ . ; b) 100 1000 100 10
15 28 9 3 ____ ___ __ __ kg. m; v) l; g) dm; b) 1000 100 10 10 21 __ . 36
6. a) 25 cm; b) 6 dm; v) 4 dl; g) 320 g. 7. 8.
5 __ kg. 8
2
1. a)
2 6 21 11 _ 5 _ 15 _ 7 _ 8 __ ; ; ; _ ; __ . b) ; __ ; ; 1 1 1 1 1 3 3 3
77 24 __ 35 __ 49 __ 56 __ . v) 14 __ ; 33 ; ; ; __ ; __ . 7 7 7 7 3 7 3 1 _ ; 7
3. Na pr.:
2.
4.
1 6 13 _ _. __ 36 ; __ . 5. 9 ; 4. Na pr.: 3 7 12 12
1 5 4 8 _ _ 4 ; 2 ; 5 _ ; 13 _ . 4 8 5 9
3 4 __ 4
2. 0 3. 0
1 3 __ 4
4 9 __ 8 1
1 6 __ 2 5
7
9 __ 4 2
5. a) x = 8; b) x = 8;
3 1 __ 4
2
3 3
1 __ 2
17 __ 4 4
5
6 13 10 4 __ __ b) 4; v) 8 __ ; g) 4 . 2. a) __ ; ; 12 15 9 9 2 3 2 2 10 b) __ ; v) 3 _ ; g)1 _ ; d)1 __ . 3. __ напуњен; 5 11 19 4 12 2 8 1 __ __ ненапуњен. прочитаних 4. _ . 5. 12 10 7 8 2 делова; __ непрочитаних делова 6. 13 __ ; 12 10 4 __ 5 . 12 4 __ 10 6 __ 15 22 __ 55 __ __ __ , ; b) , ; v) , ; 1. a) 10 25 14 35 24 60 2 12 30 __ __ 18 __ __ 75 __ , , . g) , . 2. Primer 3 18 27 34 85 2 __ 17 __ 29 __ , , . 3. 80, 30, 85, 96, 18 stotinki. 4. 5 25 36 1 __ 2 __ 2 __ 3 __ 5 5 __ __ ; , , , . 6. b) . 5. 3 3 3 8 6 7 1. a)
5
7. a) x = 5; b) x = 42; v) x = 11; g) x = 51. 3 9 5 10 __ __ __ __ = ; = . 4 12 6 12
Проблем! Једнако. Упутство: У чаши са мешавином вина и воде која је сипана у вино има толико воде колико је остало вина у кофи са водом.
2 2 1 __ __ __ ;1 ;3 . 3 3 3
1. a)
4
8.
33 35 13 63 6. __ ; __ ; __ ; __ . 4 9 10 4
Смицалица! Пети дан.
3
1 7 5 28 __ __ __ __ i i . ; 6 30 10 40
v) x = 6; g) x = 110; 5 __ 6. 4
4 7 ___ - 4 кроз 121. 2. Na primer: __ - седам 121 9 105 7 деветина , ___ - 105 кроз 28; __ - sedаm 28 7
4. a)
4.
7 __ 2 3
4
Milica - 404 denarа; Jovan - 505 denarа. 1 __ Упутство: Пошто Миличиног новца је једнака 4 1 __ Јовановог новца, можемо да закључимо 5 следеће: ако једно цело поделимо на 9 једнаких 4 5 делова и од тих делова направимо __ и __ , онда је 4 5 1 __ једног дела једнака 4
1 __ другог дела. 5 1 Према томе 909 : 9 = 101 је __ Миличиног новца, 4 1 односно __ Јовановог новца. Милица је 5 имала 4•101 денар, а Јован 5•101 денар.
6
13 13 ______ 13 __, ___ , . 1. Pod a) i g). 2. Na pr.: 10 100 10 000
3. а)36 целих и 2 децимале; б)3 целих и 4 децимале; в) 138 целих и 2 децимале. 4. a) 0,06. b) 2,09. v) 11,029. g) 14,003. 5. а.) два цела и три стотинке; б)дванаест целих и петнаест хиљадитих; в) нула целих и тридесет и пет десетхиљдитих. 2 5 3 17 6. a) __ ; b) 1 __ ; v) 4 ____ ; d) 1 _____ . 10 10 1 000 10 000
7
тј. природни број је 108 : 9 = 12. Уочи други начин решавања, одређивањем цифре за цифром.
12
1. 7,48; 94; 360; 1 000,6; 200.
2. 18; 0,072; 10 000,1; 3 400; 7; 96 006; 4 000 400. 3. 44,835; 3780,024; 0,0189. 4. 63,92 m2. 5. 45 272; 66,1.
6. 175,25927844. 7. 900 den.
8. Ednakvi se na 2,4366. 9. 1,6; 2,4; 3,6; 5,4.
13
1. a) 0,476. b) 0,0476. v) 0,00476.
2. 0,2; 0,8; 21; 0,13; 0,024; 0,6337; 28,44. 3. 1 : 7 = 0,142857; 2 : 7 = 0,285714; 3 : 7 = 0,428571; 4 : 7 = 0,571428; 5 : 7 = 0,714285; 6 : 7 = 0,857142. Сви количници су састављени од истих цифри. 4. 30; 5; 400; 9; 4,02; 0,176.
1. 1,30; 0,50; 23,00; 1 000,00.
2.
Da.
219
5. 5.
6. 400; 25,78125; 400; 0,00675.
3. 0,5; 0,502; 1,20203. 4. 8,000; 1,200; 3,250.
7. 0,02416; 15,612; 0,001; 50,04. 8. 2,946 km.
Problem: 8 ораха.
9. 18,375; 4,02.
8
1.
0,6
1,7
3,4
0 1 2 3 2. 2,01 > 1,86; 6,29 > 6,172; 9,121 > 9,101; 0,1031 > 0,1028. 5 ____ = 0,005 < 0,05 = 0,050 < 5. 1 000 Problem: зарез. 4. Ближи је 131,102. 3.
10
1. a) 163,375. b) 105,075. v) 161,155. g) 100,075.
2. 31,4; 6,852; 13,366; 416,723. 3. 158,14; 4,8345.
11
4. 78,4 m.
5. 3,69; 7,38; 11,07; 14,76.
1. 21,1; 893,674; 3,68; 2. 10,31; 201,62; 1,09; 339,73; 846,825. 28,36; 3,8;
14
10. 4,05.
1. 0,6; 0,09; 1,2; 1,48; 1,832; 0,2875; 0,34375; 1,296875.
2. 0,666...; 0,81818...; 0,6; 0,95; 1,2; 0,037037...; 0,1333...; 0,2777...; 0,1345454... . 3. Предпериод је 3, период је 78; Предпериод је 54, а период 302. 4. 4,(63); 0,(102); 3,5(403); 4,2(711). 5. a) 3,654545...; b) 0,77240124012...; g) 0,06523152315... .
15
1. 2,715; 3,033; 0,015. 2. 0,2; 0,21; 0,2059. 3. 8,104. 4. 3,54. 5. Заокруж. са Грешка Заокруж. са Грешка тачн. до 0,01 заокруж. тачн. до 0,001 заокруж.
3. 0,34 m. 4. 65,76. 5. 22; 8,8; 125,6.
Broj
6. 0,768 kg. Проблем: 12 и 14,3. Упутство:
0,0374
0,04
0,0026
0,037
0,0004
0,5386
0,54
0,0014
0,539
0,0004
426,4235
426,42
0,0035
426,424
0,0005
6,0141
6,01
0,0041
6,014
0,0001
Ако погрешни збир 13,43 помножимо са 10, добићемо број 134,3 који содржи тачан децимален број и 10 пута већи број од природног броја. Разлика 134,3 - 26,3 = 108 је девет пута већа од природног броја,
220
Test:
a)
1.
C
A 1 2. b) __ . 3 2 __ . 5. 3
12 __ kg. 8
3.
3 __ 8
+
4.
2 __ ; 1
5 __ 8
29,0664.
1
8.
10. Da; 0,006.
56 __ . 64
11. To~no.
13. 29,6304; 29,6304; 0,0296304.
14. 23,15; 3,125. 15. 20; 0,64.
16. 2,14; 27.
17. 21,85.
19. 0,0001.
18. 8,4; 1,2(70).
20. 9,13.
1
0
TEMA 4.
1
9.
8 1 __ ; __ . 18 6
7.
12. Da.
2 __ 8
1 4 __ + __ 5 5
2 __ . 5
B
5 25 __ ; __ . 1 5
0
6.
MEREWE
3. 94 mm, 4 dm 7 cm, 48 cm, 9 dm, 2 m.
3. 2 551 443 s.
4. a) 83,4 dm; b) 8,097 km;
4. 12 mg, 10 g, 8 dag, 5 hg, 1 kg. 5. 8 ml,
v) 5 008,705 kg; g) 9 075,008 mg; d) 85,06 dl.
6 dl, 1 l, 5 dal, 2 hl. 6. 76 500 den.
Занимљиво питање!
2
1. 15 h 27 min. 2. 40 min.
3. a) 9,5 d; b) 228 h; v) 1 sedm. 2,5 d. 4. 5724 d.
3
5. a) 310,16 K; b) 223,16 K.
2. 12 књига;
4. 1 h 50 min 45 s; именовани број који је вишеименован.
5. 18 denara 50 deni;
Сунце. Биће поноћ.
5
1. a) 3 m 4 dm 2 mm; b) 4 dam 7 cm;
v) 4 kg 7 hg 6 g 3 dg; g) 4 dag 7 g 6 dg 3 cg 2 mg; d) 1 l 3 cl 5 ml; |) 3 kl 5 hl 7 dl. 2. a)
km 0
6. Primer: 6 kg, 138 kg.
7. 3 kg 2 hg 4 dag; 4 m 5 dm 6 cm; 12m2 3 dm2 9 cm2.
hm dam 3
8
m
dm
cm
mm
7
2
5
0
3 hm 8 dam 7 m 2 dm 5 cm. b)
km 0
hm dam 3
0
8.
m
dm
cm
mm
0
2
0
0
3 hm 2 dm.
Неименовани Једноимени Вишеимени Истоимени
5; 29,6; 74; 7; 8; 12; 4 7 m; 8 hl; 4 m; 4 kg; 3 kg; 9 hl; 14 l; 8 m2; 5 l; 15 m2 12 kg 3 dag; 4 m 2 dm; 6 m 5 dm 7 m i 4 m; 8 hl i 9 hl; 4 kg i 3 kg; 14 l i 5 l; 8 m2 i 15 m2; 4m 2dm i 6 m 5 dm
И oво јe машемашика!
4
Одговор: не може да греје
Одговор: 8 март.
v)
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
0
3
2
0
0
5
0
3 hg 2 dag 5 cg. g)
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
4
0
1
5
3
0
0
4 kl 1 dal 5 l 3 dl. 1. a) 5 025 m; b) 780 004 ml;
v) 400 605 dag; g) 13 447 min. 2. 2 764 m.
3. a) 2 dam 2 m 5 cm; b) 5 kg 3 hg 2 g 6 dg 7 cg; v) 4 dal, 3 l 1 dl 5 cl; g) 2 hg 3 dag 7 g.
9
4. 29 dаna 12 h 44 min 3 s.
6
2. a) 2 dam 6 m 8 dm 1 cm 2 mm; b) 4 dm 3 cm 2 mm; v) 1 m 1 dm 3 cm 4 mm;
600 dl.
7. 84 l.
a) dm; b) 0,012; v) 3; g) ml. 3. 4.
a) dag; b) 360; v) 120;
20,5 dm.
5.
a) Primer: 5 t;
a) 204 014 dag; b) 40 714 dm; v) 985 dl;
g) 8 234 s.
1 kg 3 hg 3 dag 8 g; 2 kg 2 hg 4 dag;
11 kg 2 hg. 9. 20 h 27 min.
a) 360,2 min; b) 730,5 dl;
7.
v) 400,84 dam; g) 72 g.
8.
a) 10 пута;
b) 20 пута; v) 10 пута.
9.
a) 153 cm; b) 30,3 dl;
v) 230,0004 dag; g) 0,25 дана.
1. a) 700 cm2; b) 70 000 mm2.
10.
2. a) 2 925 m2, b) 29,25 a. 3. 4 800 000 den. 4. 4 800 plo~а.
a) 3 dam 1 m 2 dm 6 cm; b) 1 t 248 kg 8 hg;
v) 2 kl 3 hl 1 dal.
11.
a) 6 t 269 kg 3 hg 1 dag 7 g;
b) 1 t 236 kg 8 hg; v) 11 km 9 hm 3 dam 9 m 9 dm 1 cm;
1. 1 dm3, 1 cm3; 1 mm3.
2. 4 000 dm3.
2.
6.
b) 6 l 2 cl 8 ml; v) 6 dl 7 cl. 5. 9 t 88 kg.
8
1.
g) 2 l 5 dl 1 cl 3 ml.
3. a) 7 m3; b) 0,5 m3;
12. a) 692 kg; b) 10 km 4 m.
14. 5 000 пута. Објашњење: 2 m2 = 20 000 cm2,
v) 0,2 m3. 4. 27,65 cm3.
a 20 000 : 4 = 5 000.
16. 70 m3.
17. 9 cm2.
Problem! Uputstvo: 3l
3
0
3
1
1
0
3
0
5l
0
3
3
5
0
1
1
4l
ПРЕГЛЕД ПОЈМОВА А аритметичка средина, 47 апсолутна гешка, 178 Б број(еви) - вишеимен, 192 - децималан, 149 - именован, 191 - истоимен, 192 - једноимен, 191 - мерни, 191 - мешовито периодичан, 176 - неименован, 191
221
b) Primer: 2 m; v) Primer: 15 s.
b) 2 dal 2 l 1 cl 7 ml. 4. a) 2 dal 4 l 1 dl 2 cl;
7
Test:
g) 278,16.
g) 2 dm 8 cm. 3. a) 2 t 800 kg 9 hg 9 dag;
8 dl 2 cl. 8.
2
5. 0,63 m . 6. 24 dm .
b) 3 km 9 hm 4 dam 9 m; v) 3 m 8 cm.
1 t 579 kg;
3. 4 m. 4. 8 cm3.
3
1. a) 3 m 4 dm 9 cm 9 mm;
6. 33 195 den. 7.
1. 200 cm3.
- непарани 17 - паран, 17 - периода, 176 - предпериода, 177 - природан, 17 - прост, 57 - сложен, 57 - узајамно прости, 61 - чисто периодичан, 176 бројна права, 18 В вишеугаоник, 122 - конвексан, 125
- неконвексан, 125 - обим, 127 - суседне стране, 123 - суседна темена, 123 - стране, 123 - теме, 123 Д декадна јединица, 21 декадни бројни систем, 20 Декартов квадрат, 16 Декартов производ, 1 дељеник, 37 делилац,
222 - заједнички, 60 - највећи заједнички, 60 децимала, 151 децималан зарез, 150 дељење, - са остатком, 38 дељивост, 49 - критеријуми, 51 - збира, 49 - производа, 49 - разлике, 49 дијаграм - сликован,159 - стубичаст 158 - скраћивање, 147 - чист (правилан) ,137 дуж - дужина, 78 - једнаке (складне), 79 - збир, 81 - преношење, 80 - разлика, 81 - суседни, 83
Л линија - изломљена, 83 - обим, 85 - полигонална, 85 - затворена, 84 литар, 187
разломак,133 - бројилац, 133 - децималан, 149 - нескратљив/а, 147 - нечист(неправилан) 137 - привидан, 136 - проширавање, 146
М мере, - за време, 189 - за дужину, 186 - за масу, 187 - за површину, 203 - за течност, 187 - за температуру, 189 - за запремину, 205 мерна јединица, 191 метар, - квадратни, 203 - кубни, 205 мешовит број, 138 минут, 189
З записивање - описно 5 - табеларно 4
О област, - спољашна, 90 - унутрашња, 90 основа степена, 36
С својство, - асоцијативно, 13 - дистрибутивно, 168 - комутативно, 13 секанта (пресечна), 93 симетрала - дужи, 118 - угла, 118 садржалац, 49 - најмањи заједнички, 63 - заједнички, 63 средина, - аритметичка, 47 - дужи, 78 скуп, - број, 7 - еквивалентни, 9 - једнаки, 10 - коначан, 7 - празан, 8 - пресек, 12 - разлика, 14 степен, 35 - основа, 36 - показатељ, 36
И изломљена линија 83 - проста 85 - страна, 84 - теме, 84 - затворена 84 Ј једначина, 44 К кружница, 89 - концентрична, 95 - полупречник, 89 - пречник, 90 - тетива, 90 - центар, 90 кружни лук 91
П подскуп, 10 појам, 87 - изведен, 88 - математички, 87 - основни, 88 полуправа, 77 - саставне, 77 полукружница, 91 полураван, 97 права - гранична (ивица), 97 - колинеарне, 71 - узајамно нормалне, 116 Р растојање, 76 - централно, 94 разломачка црта, 133
Т тангента, 93 тачка, и, 54 - гранична, 77 - крајња, 78 - почетна, 77 - средишња , 78 - спољашна, 92 - унутрашња, 92 У угао, и 98 - комплементан, 120 - конвексан, 99
223 - кракови, 98 - мерење, 110 - оштар, 102 - пун, 102 - прав, 101
- суседан, 103 - суплементан, 121 - теме, 98 - туп, 102 - унакрсан, 104
- упоредан, 103 унија скупова, 13 уређени пар, 15
САДРЖАЈ TEMA 1.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ
TEMA 2.
ГЕОМЕТРИЈСКЕ ФИГУРЕ У РАВНИ
TEMA 3.
РАЗЛОМЦИ
131
TEMA 4.
МЕРЕ
183
3
69
ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА
211
ПРЕГЛЕД ПОЈМОВА
221
CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје АВТОР: Стефановски, Јово - автор ОДГОВОРНОСТ: Целакоски, Наум - автор НАСЛОВ: Математика за шесто одделение : деветгодишно основно образование ИМПРЕСУМ: Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2011 ФИЗИЧКИ ОПИС: 224 стр. : илустр. ; 25 см ISBN: 978-608-226-273-4 УДК: 373.3.016:51(075.2)=163.3 ВИД ГРАЃА: монографска публикација, текстуална граѓа,печатена ИЗДАВАЊЕТО СЕ ПРЕДВИДУВА: 07.11.2011 COBISS.MK-ID: 89052426
224
Izdava~: Министарство за образовање и науку Р. Македоније Математика за VI разред деветогодишњег основног образовања Autori: Jovo Stefanovski i d-r Naum Celakoski Recenzenti: д-р Јорданка Митевска, редовни професор ПМФ у Скопљу Зорица Насевска, наставник ОШ „Кочо Рацин“ у Скопљу Добре Трајковски, наставник ОШ „X. Т. Карпош“ у Куманову Glavni urednik: Jovo Stefanovski Lektor: Suzana Stojkovska Kompjuterska obrada: Dragan [opkoski Превод: Милица Утковска Стручна редакција: проф. др Ружица Манојловић Лектура: м-р Стефанија Маџоска Штампано: Графички центар - Скопје Тираж : 50
Одлуком за одобравање и употребу уџбеника из предмета Математика за 6 разред деветогодишњег основног образовања са бр. 22-1110/1 од 22.06.2011 године донесене од Националне комисије за уџбенике