Matematika_7_alb by Ministry of education and sience

JOVO STEFANOVSKI NAUM CELLAKOSKI

të arsimit fillor tetëvjeçar

Shkup, 2009

Nxënës i dashur! Ky libër do të ndihmon t i mësosh përmbajtjet e parashikuara te programi. Do të mësosh përmbajtje të reja interesante për vektorët , translacionin dhe rrotacionin. Do të përvetësosh njohuri të rëndësishme për fuqitë, rrënjët dhe polinomët. Do t i zgjerosh njohuritë nga gjeometria. Do të njehsosh syprina të figurave. Do të përvetësosh njohuri të reja për funksionin dhe proporcionin. Libri është ndarë në pesë tërësi tematike, kurse çdonjëra prej tyre është ndarë në nëntema. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtje, kurse njësitë mësimore tek ato janë të numëruara. Te njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpër ato janë shkruar porositë, aktivitetet, obligimet dhe sugjerime tjera dhe atë:

Njësitë mësimore fillojnë me diçka që e ke të njohur. Duhet të kujtohesh dhe t i zgjidhish kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbej gjatë të mësuarit e mësimit të ri.

Kujtohu!

A 1. 2.

, B ... ...

Me këto shenja njësia mësimore është ndarë në pjesë (porcione) të cilat janë për kuptimet e reja.

Me shenjat e këtilla janë shënuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat që do t i zgjidhish në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë e mëson të ren te mësimi, prandaj duhet të jesh i kujdesshëm dhe aktiv që më mirë ta mësojsh dhe kuptojsh. Më e rëndësishmja është ngjyrosur me ngjyrë të verdhë.

Duhet të dish:

Më e rëndësishmja nga mësimi është veçuar në formë të pyetjeve, detyra ose pohime. Atë duhet ta mbajsh mend dhe shfrytëzoje te shembujt praktik. Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrollohesh vallë pjesën më të madhe nga ajo që është mësuar e kupton që të mundesh ta zbatojsh dhe shfrytëzojsh në jetën e përditshme.

Kontrollohu!

Detyra Përpiqu

Duhet rregullisht dhe në mënyrë të pavarur t i zgjidhish këto detyra. Me këtë më mirë do ta kuptojsh atë që e ke mësuar, kurse ajo do të jetë shumë e dobishme. Përpiqu t i zgjidhish detyrat dhe problemet në këtë pjesë (kjo nuk është e obligueshme). Me këtë do të dish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide.

KONTROLLO NJOHURINË TËNDE

Në fund të çdo teme ka gjashtë teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe në mënyrë të pavarur testin me këtë do t i kontrollojsh njohuritë tua nga tema e mësuar.

Kur do të hasish në vështirësi gjatë të mësuarit e matematikës mos u largo, përpiqu përsëri, kurse këmbëngulsia do të sjelle rezultate dhe kënaqësi. Do të na gëzon nëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe të arrish sukses të shkëlqyeshëm. Nga autorët

TEMA 1.

VEKTORËT. TRANSLACIONI

VEKTORËT. OPERACIONET ME VEKTORË 1. Orientimi i gjysmëdrejtëzave. Kahja 4 2. Vektorët 7 3. Barazia e vektorëve 11 4. Mbledhja e vektorëve 14 5. Zbritja e vektorëve 19

TRANSLACIONI 6. Translacioni

7. Vetitë e translacionit

8. Zbatimi i translacionit

Kontrollo njohurinë tënde

Vektorët. Operacionet me vektorë

VEKTORËT. OPERACIONET ME VEKTORË ORIENTIMI I GJYSMËDREJTËZAVE. KAHJA

Kujtohu! Vizato drejtëz a dhe në të shëno pikë O.

Te drejtëza p vërej gjysmëdrejtëzat OA, O1A, OB dhe O1B.

Pika O e ndan drejtëzën a në dy pjesë ose dy bashkësi. Si quhet pjesa e drejtëzës e cila e përmban pikën O dhe njërën nga të dy pjesët në të cilat është ndarë drejtëza a me pikën O? Në vizatim është vizatuar gjysmëdrejtëza OM me pikën e fillimit O dhe çfarëdo pike M. M O Vizato gjysmëdrejtëza AB dhe AC, ashtu që pikat A, B dhe C nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vizato drejtëz a dhe në të shëno pikë M dhe N. Çka paraqet prerja e gjysnëdrejtëzave MN dhe NM? Me drejtëzën b te vizatimi rrafshi është ndarë në dy gjasmërrafshe prej të cilëve njëri është ngjyrosur. C B b A Cila prej pikave të shënuara shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë? Çka është drejtëza b për gjysmërrafshin?

Cila gjysmëdrejtëz është nënbashkësi e gjysmëdrejtëzës OA? Cila gjysmëdrejtëz është nënbashkësi e gjysmëdrejtëzës O1B? Vëreva se: Të gjitha pikat e gjysmëdrejtëzës O1A i takojnë gjysmëdrejtëzës OA, d.m.th O1A Í OA. Të gjitha pikat e gjysmëdrejtëzës OB i takojnë gjysmëdrejtëzës O1B, d.m.th. OB Í O 1 B. Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O1A themi se janë me kahe të njëjtë. Edhe gjysmëdrejtëzat OB dhe O1B janë me kahe të njëjtë. Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O1B themi se janë me kahe të kundërtë..Edhe gjysmëdrejtëzat OA dhe OB janë me kahe të kundërtë. Gjysmëdrejtëzat me kahe të njëjtë do t'i shënojmë me shenjën " ,kurse me kahe të kundërtë me shenjën "¯ . Shembull: OAO 1 A; OA¯O 1 B.

Shqyrto vizatimin, vërej drejtëzat paralele a dhe b dhe te ato shënoi gjysmëdrejtëzat OA, O1B dhe O1C. Cila prej gjysmëdrejtëzave shtrihet në gjysmërrafshin e njëjtë me drejtëzën kufitare OO1?

Tema 1. Vektorët. Translacioni

a b

1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 11234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012

Vëreva se gjysmëdrejtëzat OA dhe O1B shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë dhe drejtëzën kufitare OO1.

Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O1B themi se janë me kahe të njëjtë, d.m.th. OAO1B. Gjysmëdrejtëzat OA dhe O1C nuk shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë me drejtëzën kufitare OO1 dhe për ato themi se janë me kahe të kundërtë, d.m.th. OA¯O1C.

Vlen në përgjithësi Për dy gjysmëdrejtëza themi se janë me kahe të njëjtë (ose: kanë kahe të njëjtë) nëse shtrihen në një drejtëz dhe njëra është nënbashkësi e tjetrës ose nëse shtrihen në drejtëza paralele dhe i takojnë gjysmërrafshit të njëjtë me drejtëzën kufitare nëpër pikat e tyre të fillimit. Për dy gjysmëdrejtëza të cilat shtrihen në drejtëzën e njëjtë ose në drejtëza paralele dhe nuk janë me kahe të njëjtë themi se janë me kahe të kundërtë (ose: kanë kahe të kundërta).

Cakto si janë orientuar:

a) gjysmëdrejtëzat OA dhe O1A; b) gjysmëdrejtëzat OA dhe O1A; c) gjysmëdrejtëzat OB dheO1A; ç) gjysmëdrejtëzat OB dheO1D; O1D dhe O1C; OB dhe O1C.

b) O º O

c) ç)

A O º O1

a||b

b O1

Këte e ke të njohur Në vizatim ka shenja komunikacioni të cilat paraqesin kahen. KUMANOVË VELES

Sqaro çka paraqet çdonjëra nga shenjat. Fjalën kahe shpeshherë e përdorim; për shembull: ,,era fryen në kahen e veriut , ,,avioni fluturon në kahen Shkup - Ohër , etj.

Vizato gjysmëdrejtëz OA dhe pastaj: Vizato dy gjysmëdrejtëza O1A 1 dhe O2B2 me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA. Si janë orientuar gjysmëdrejtëzat O1A1 dhe O2B2? Sa gjysmëdrejtëza mund të kontsruktohen te rrafshi me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA?

Vektorët. Operacionet me vektorë

Përfundojmë se në rrafsh ekzistojnë pafund shumë gjysmëdrejtëza me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën e dhënë OA.

Bashkësia S nga një gjysmëdrejtëz dhe të gjitha gjysmëdrejtëzat me kahe të njëjtë në atë rrafsh quhet kahe. Kahen S e paraqesim me një gjysmëdrejtëz AB nga bashkësia e gjysmëdrejtëzave me kahe të njëjtë dhe themi se gjysmëdrejtëza AB ka kahe S. B

Janë dhënë gjysmëdrejtëzat OA, O1A1 dhe O2A2,ashtu që OAO1A1; O1A 1¯O2A2. Me gjysmëdrejtëzën OA është caktuar kahja S, kurse me gjysmëdrejtëzën O2A2 kahja R. Çka është e saktë: O1A1 Î S; O1A1 Î R?

Duhet të dish: të sqarojsh cilat dy gjysmëdrejtëza kanë kahe të njëjtë, përkatësisht kahe të kundërtë; të sqarojsh çka është kahe dhe me çka paraqitet kahja.

S A A S O

R A2

Kontrollohu! Në vizatim gjysmëdrejtëzat a dhe b janë paralele. Cila prej gjysmëdrejtëzave A O OA, O1C dhe O1B: janë me kahe të njëjtë; janë me kahe të kundërtë; përcaktojnë kahe të njëjtë?

Detyra 1. Çfarë figure mund të jetë prerja e:

3. Vizato drejtkëndësh ABCD dhe le të jetë O

2. Çfarë figure mund të jetë unioni i:

4. Te drejtëza a janë dhënë gjysmëdrejtëzat OA,

a) dy gjysmëdrejtëzave me kahe të njëjtë që shtrihen në një drejtëz; b) dy gjysmëdrejtëza me kahe të kundërtë që shtrihen në një drejtëz?

Tema 1. Vektorët. Translacioni

pikëprerja e diagonaleve të tija. Cila prej gjysmëdrejtëzave: AB, DC, BA, AO, OC dhe DB janë: a) me kahe të njëjtë; b) me kahe të kundërtë? O 1A dhe O 2A,ashtu që OAO 1A, kurse O1A¯O2A. Si jan\ë orientuar gjysmëdrejtëzat OA dhe O2A ?

VEKTORËT

Kujtohu! Me shënimin (a, b) shënojmë çift të renditur.

Pikat A dhe B le të jenë pikat e skajshme të segmentit a. a

te çifti i renditur saktë dihet cili është elementi i parë, kurse cili është i dyti. Për çiftin e renditur të pikave, (A, B), pika A është komponenta e parë, kurse pika B është komponenta e dytë. Çifti i renditur (5, 8) le të paraqet rreshtin e pestë dhe karriken e tetë në një kino sallë. Çifti i renditur (8, 5) a e paraqet karriken e njëjtë?

Cili nga këto gjykime është i saktë: a) $% %$ ; b) AB dhe BA është segment i njëjtë; c) {A, B} = {B, A}; ç) (A, B) = (B, A)?

Vëreva se: gjykimet nën a), b) dhe c) janë të sakta; gjykime nën ç) nuk është i saktë, pasi edhe te çiftet e renditura vlen: (A, B) ¹ (B, A), kur A ¹ B. Segmenti AB te i cili njëra pikë e skajshme, kurse pika e dytë pikë e mbarimit quhet segment i orientuar dhe shënohet me AB.

Pikat e skajshme të segmentit të orientuar AB paraqesin çift të renditur (A, B). Segmenti i orientuar AB, në vizatim, paraqitet me shigjetë prej pikës së fillimit A nga pika e mbarimit B. Pika A quhet fillimi, kurse pika B mbarimi i segmentit të orientuar AB.

Në vizatim gjysmëdrejtëzat AB, CD dhe EF shtrihen në drejtëzat paralele a, b dhe c. Si janë orientuar gjysmëdrejtëzat: AB, CD dhe EF? Krahasoi gjatësitë e segmenteve: AB dhe CD; AB dhe EF.

A C

E Vërej kahet e segmenteve AB, CD, EF dhe gjatë të shprehurit e ardhshëm përpiqu të kuptojsh për cilat dy segmente të orientuara thueht se janë të barabarta.

Vëreva se gjysmëdrejtëzat AB, CD dhe EF janë me kahe të njëjtë;

$% = &' ; $% < () .

Vektorët. Operacionet me vektorë

Kahen që e përcakton gjysmëdrejtëza AB quhet kahe e segmentit të orientuar AB. Prandaj, segmentet e orientuara AB, CD dhe EF janë me kahe të njëjtë. Gjatësia e segmentit AB quhet gjatësi (ose intenzitet) të segmentit të orientuar AB; shënohet me |AB|. Prandaj, |AB| = |CD|, kurse |AB| < |EF|. Segmenti i orientuar fillimi i të cilit puthitet me pikën e mbarimit (AA, BB, ...) quhet segment i orientuar zero. Ai nuk ka kahe të caktuar, kurse gjatësia e tij është zero. Segmentet e orientuara AB dhe CD janë të barabartë, nëse kanë gjatësi të barabartë dhe kahe të njëjtë, d.m.th.. |AB| = |CD| dhe ABCD. Shkruajmë: AB = CD.

Pika O le të zhvendoset për katër njësi në të djathtë nëpër drejtëzën p, ku

E p

2$ . Te cila pikë do të zhvendoset, d.m.th. do të pasqyrohet pika O e drejtëzës p?

Vëreva se pika O do të zhvendoset (do të pasqyrohet) te pika D. Pika O është pika e fillimit, kurse pika D pika e mbarimit në këtë zhvendosje. Çka paraqesin pika O dhe D?

Pikat O dhe D janë pikat e skajshme të segmentit të orientuar OD. Ato paraqesin çift të renditur (O, D).

Kjo zhvendosje e pikës në rrafsh është krye në kahe të caktuar dhe në largësi të caktuar. Në vizatim, atë e paraqesim me segment të

orientuar OD.

Le të jetë paraqitur një segment i orientuar AB. Sa segmenta të orientuar të barabartë me AB ekzistojnë?

Mund të vizatoj shumë segmenta të orientuar të barabartë me AB, kurse ka pa fund shumë që janë të barabartë me atë.

C A

B G

Vëre dhe mbaj mend! Bashkësia prej segmentit të orientuar dhe të gjitha segmenteve të orientuara të barabartë me atë quhet vektor. Bashkësia e të gjithë segmenteve të orientuar zero quhet zero vektor.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Kjo është e rëndësishme!

a A

Vektorin në vizatim do ta paraqesim me një segment të orientuar, d.m.th. me një përfaqësues nga bashkësia e segmenteve të barabartë. Prandaj, segmenti i orientuar do të na paraqet vektor.

B D

C c F

Vektorin do ta shënojmë me AB ose me shkronjë të vogël dhe shigjetë mbi

atë. Në vizatim janë dhënë vektorët: AB = a ; CD = b dhe EF = c .

Shëno katër pika A, B, C dhe D. Paraqiti vektorët: a = AB; b = DC ;

c = AD.

Atë që e mësove për segmentet e orientuar, mund të thuhet edhe për vektorët. Le të jetë dhënë vektori a me segmentin e orientuar AB.

Segmenti i orientuar AB paraqet kahe të vektorit a .

Gjatësia e segmentit të orientuar AB quhet gjatësia (ose intenziteti) i vektorit a dhe shënohet me | a | ose me |AB|.

Vizato dy vektor AB dhe CD, ashtu që ato të jenë: a) me kahe të njëjtë

b) me kahe të kundërtë. a) Vektorët AB dhe CD te kërkesat a) dhe b) mund t'i paraqesish si në vizatim.

A C

B D

Vëreva se: kahja e vektorit përcaktohet në të njëjtën mënyrë si te segmentet e orientuara, pasi vektori paraqet segment të orientuar.

Vizato vektor AB dhe shëno pika C dhe M (si në vizatim). Vizato vektor CD ashtu që CD AB. Vizato vektor MN ashtu që MN ¯ AB.

A C

Vëre dhe mbaj mend!

Për vektorët që kanë kahe të njëjtë ose kahe të kundërtë themi se janë kolinear, d.m.th. vektorët AB dhe CD janë kolinear, nëse AB CD ose AB ¯ CD. Për vektorët kolinear themi se kanë drejtim të njëjtë.

Vektorët. Operacionet me vektorë

Vizato dy vektor kolinear a dhe b, ashtu që ato të shtrihen: në drejtëza paralele a b;

në drejtëza paralele dhe a ¯ b;

në drejtëzën e njëjtë dhe a¯b;

në drejtëzën e njëjtë dhe a b,| a |=3cm,| b |=5 cm.

Segmenti zero i orientuar paraqet zero vektor; ai shënohet me 0. zero vektorin e llogarisim për vektor kolinear me çdo vektor tjetër dhe me gjatësi të barabartë me zero.

Duhet të dish: të sqarojsh çka është segment i orientuar dhe çka është vektor;

të caktojsh (dhe sqarojsh për) vektor me kahe të njëjtë, kahe të kundërtë dhe vektor kolinear.

Kontrollohu! Në vizatim p është paralele me drejtëzën q. Cilët vektor janë paraqitur në vizatim? d

E C

Çfarë kahe kanë vektorët: a dhe b; a dhe c ; b dhe c ? Vektorët a dhe d a janë kolinear? Pse? Vektorët a, b dhe c a janë kolinear? Pse?

Detyra

3. Në vizatim janë dhënë vektorët te rrjeta katrore.

1. Shkruaj vektorët që janë të përcaktuar me çiftet

e pikave të rregulluara: (A, B),(C, D),dhe (E, F).

2. Është e njohur se vektorët AB dhe CD janë

Si janë orientuar vektorët?

ç) PQ dhe RS;

kolinear. A janë kolinear vektorët:

AB dhe DC;

BA dhe DC?

Tema 1. Vektorët. Translacioni

d) MN dhe TL; e) EF dhe PQ ?

B F P

c) AC dhe EF;

a) AB dhe AC; b) AB dhe EF;

S R L

BARAZIA E VEKTORËVE

Kujtohu! Për cilët dy vektor AB dhe CD themi se kanë kahe të njëjtë?

Te paralelogrami ABCD janë shënuar

vektorët AB = a; DC = b; AD = c; CB = d. D

Çka paraqet gjatësia e vektorit AB? c

Te drejtkëndëshi ABCD janë paraqitur vektorët AB = a dhe DC = b. Krahasoi gjatësitë e tyre dhe cakto si janë orientuar.

b d

a A

Krahasoi gjatësitë dhe cakto se si janë orientuar D

a A

Brinjët e përballta te çdo paralelogram janë paralele dhe të barabarta.

vektorët a dhe b, përkatësisht vektorët c dhe d. Vëreva se: vektorët a dhe b kanë kahe të njëjtë dhe gjatësi të barabarta; vektorët c dhe d kanë kahe të kundërta dhe gjatësi të barabarta.

Vëre dhe mbaj mend! Dy vektor a dhe b janë të barabartë nëse kanë kahe të njëjtë dhe gjatësi të barabarta, d.m.th. a = b nëse 1. a b dhe 2. | a | = | b |. Dy vektor c dhe d janë me kahe të kundërta, nëse kanë kahe të kundërta dhe gjatësi të barabarta. Për vektorin d thuhet se është me kahe të kundërtë të vektorit c. Vektori i kundërtë i c shënohet me -c, d.m.th. d = -c.

Vizato vektor MN të barabartë me vektorin e dhënë a = AB.

Sëpari do të vizatojsh vektor AB dhe do të shënojsh çfarëdo pike M. Si do ta caktojsh pikën N për vektorin

Nëpër pikën M do të tërheq gjysmëdrejtëz MD me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën AB. Te gjysmëdrejtëza MD do të caktoj pikë N

MN?

ashtu që 01 = $% .

Vektorët. Operacionet me vektorë

Vëreve se për vektorin e dhënë a mund të vizatojsh pa numër shumë vektor të barabartë me atë. Një vektor a është përcaktuar nëse është dhënë kahja e tij S dhe gjatësia | a | = r ose nëse është dhënë çifti i rregulluar i pikave (A, B) - fillimi i tij A dhe mbarimi i tij B.

Vizato vektor a, nëse është dhënë kahja e tij S dhe gjatësia | a | = r. Vëreje mënyrën dhe krahasoe zgjidhjen tënde.

F Në vizatim është dhënë kahja S me gjysmëdrejtëzën AB dhe

gjatësinë r = 34 të vektorit a. Prej çfarëdo pike M konstruktojmë gjysmëdrejtëz MD me kahe të njëjtë me AB.

P S

F F Te gjysmëdrejtëza MD caktojmë pikë N, ashtu që 01 = r.

Është dhënë vektori AB = a dhe pika M. Vizato vektorin MN = -a .

Sipas vizatimit cakto cili prej këtyre vektorëve janë të barabartë, përkatësisht të kundërtë:

a) a dhe b ;

ç) e dhe r ;

b) a dhe c ;

d) g dhe h ;

c) b dhe c;

e) c dhe n :

Me këtë është përcaktuar vektori MN = a .

M b

a c

e g

Është dhënë vektori AB = a dhe pika O. Konstrukto vektor OC të barabartë me vektorin AB.

Shqyrto zgjidhjen dhe sqaro mënyrën.

F F Si e caktove pikën C të vektorit OC?

Në çfarë mënyre e konstruktove sëpari gjysmëdrejtëzën OD?

B A

Vëre dhe mbaj mend! Nëse te rrafshi është dhënë vektori AB = a dhe çfarëdo pikë O, atëherë ekziston vektor i vetëm OC me fillim në pikën O i cili është i barabartrë me vektorin a. Konstruktimin e vektorit OC i barabartë me vektorin a , e quajmë bartja e vektorit a te pika O.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Zgjedh katër pika O, A, B dhe C. Te pika O barti vektorët AB dhe BC.

Janë dhënë vektorët a dhe b .Te pika e mbarimit të vektorit a barte vektorin b . Shqyrto zgjidhjen dhe sqaro mënyrën.

F Sëpari konstrukto gjysmëdrejtëzën BD me kahe si të b . F Si e caktove pikën C për vektorin BC të jetë i barabartë me b ?

B b

a b A

Vëre dhe mbaj mend! Për vektorin a dhe vektori i bartur b themi se janë të lidhur. Dy vektor janë të lidhur nëse mbarimi dhe fillimi i njërit vektor puthitet me fillimin e vektorit tjetër.

Duhet të dish: të sqarojsh cilët dy vektorë janë të barabartë, përkatësisht të kundërtë; të bartish vektor të dhënë te pika e dhënë dhe në vektor të dhënë të lidhish vektor tjetër të dhënë.

Kontrollohu! Vektori a lidhe për vektorin -b. Sqaro mënyrën. A

Detyra 1. Vizato dy vektor kolinear a dhe b dhe vektorin a lidhe vektorin b.

2. Vizato dy vektorë të kundërtë a dhe b dhe vektorit a lidhja vektorin b.

3. Vektorët e barabartë a janë kolinear? Sqaro!

4. janë dhënë çfarëdo dy pika A dhe B. Vektori BA a është i kundërtë me vektorin AB? Sqaro!

5. Zgjidh dy vektorë a = AB dhe b = CD. Vektorit a lidhja vektorin b .

6. Janë dhënë vektorët a, b, c dhe pika O. Barti të tre vektorët te pika O.

Vektorët. Operacionet me vektorë

MBLEDHJA E VEKTORËVE

Kujtohu!

Sqaroe mënyrën për bartjen e vektorit të dhënë a te pika e dhënë O. Vektorit a lidhja vektorin b. Sqaro mënyrën!

Janë dhënë vektorët a, b dhe pika O në rrafsh. Barti vektorët a dhe b

ashtu që OA = a dhe

O a

AB = b.

Konstrukto vektorin c = OB. Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe mënyrën.

c O

barte vektorin a = OA dhe vektorin A a a F bSi=e AB? vektorin c = OB? F SiCilae caktove F është pika e fillimit, kurse cila pika e mbarimit e vektorit c ? pika O për vektorin a dhe pika B për vektorin b ? FVëreÇkadheparaqet mbaj mend se vektori i këtillë i konstruktuar kështu c quhet shumë e vektorëve a dhe b .

Kjo është rregullë e rëndësishme për mbledhjen e vektorëve Shuma e dy vektorëve të lidhur a dhe b paraqet vektorin c , fillimi i të cilit puthitet me fillimin e vektorit a , kurse mbarimi puthitet me mbarimin e vektorit b , d.m.th. nëse a = OA dhe b = AB , atëherë a + b = OB. Zgjedh tjetër pikë O1 e ndryshueshme nga O dhe barte vektorin a = O1A1 dhe b = A 1B1. Çka paraqet vektori O1B1 për vektorin a dhe b ? Krahasoi vektorët OB dhe O1B1.

Vëre dhe përfundo! Vektori O1B1 = OB = c. Shuma e dy vektorëve është njëvlerësisht e caktuar dhe e pavarur nga zgjedhja e pikës së fillimit O.

2. 14

Vizato dy vektor jokolinear a dhe b dhe konstrukto shumën e tyre.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Si më lehtë do ta kryejsh mbledhjen e vektorëve a dhe b, pasi shuma e tyre nuk varet nga zgjedhja e pikës së fillimit O?

Do ta bart vet vektorin b , përkatësisht vektorin a do t'ia lidh vektorit b , kurse pastaj do ta caktoj shumën e tyre.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F konstruir vektori BC = b ? F SiÇkaështë F paraqet vektori AC për vektorët a dhe b ?

Emërtoi vektorët e dhënë me pikat e tyre të fillimit. b M

Vëreve se caktimi i shumës së dy vektorëve sillet në konstruktimin e trekëndëshit ABC. Për atë themi, shuma e dy vektorëve është caktuar sipas rregullës së trekëndëshit.

Janë dhënë vektorët a, b dhe c . Konstrukto shumën: a + b;

C =

b + c.

b B

c b

janë dhënë vektorët kolinear AB = a ; CD = b dhe

EF = c. Konstrukto shumën: a) a + b ;

b) a + c ;

c) b + c

F D

shqyrtoe zgjidhjen nën a). AB = a ; BD = b dhe AD = a + b .

b B

Vëreve se si është zbatuar rregulla për mbledhjen e vektorëve. Sqaroe mënyrën.

Cakto shumën e zero vektorit 0 dhe vektorit a .

Vëreve se për shumën e vektorëve AA = 0 ; AB = a, sipas rregullës për mbledhjen e vektorëve vlen: 0 + a = AA + AB = AB = a . Gjithashtu: a + 0 = AB + BB = AB = a .

Vlen edhe në përgjithësi Për çdo vektor a janë të sakta barazimet: 0 + a = a = a + 0 .

Janë dhënë vektorët a dhe AA = 0 . Konstrukto vektorin 0 + a .

Vektorët. Operacionet me vektorë

Vizato dy vektor të kundërtë a dhe - a , kurse pastaj cakto shumën e tyre. Nëse a = AB dhe - a = BA , atëherë sipas regullës për mbledhjen e vektorëve vijon: a + (- a ) = AB + BA = AA = 0 . Gjithashtu: (- a ) + a = BA + AB = BB = 0 .

Vlen në përgjithësi Për çdo vektor a janë të sakta barazimet: a + (- a ) = 0 = (- a ) + a .

Le të jenë dhënë dy vektor jokolinear a dhe b . Konstrukto shumat a + b dhe b + a . Krahasoi vektorët a + b dhe b + a . Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe vëreje mënyrën.

F Zgjedhim pikë A.Vektorin a e bartim me fillim në

pikën A dhe në të e lidhim vektorin b , d.m.th. AB = a

BC = b; fitojmë: AC = a + b .

D b

a a b+ b a+

B A konstruktojmë paralelogramin ABCD, d.m.th. e F Ecaktojmë kulmin D. te paralelogrami brinjët e përballta janë paralele dhe të barabarta, fitojmë: F Pasi DC = AB = a , AD = BC = b .

F Atëherë: AC = AD + DC = b + a , pra: a + b = b + a . Vlen në përgjithësi Për çfarëdo dy vektor a dhe b është i saktë barazimi: a + b = b + a , d.m.th.. mbledhja e vektorëve e ka vetinë komutative.

Sipas vizatimit, a mund të vërejsh mënyrë tjetër për

Vektorët a dhe b do t'i bart te fillimi i përbashkët

mbledhjen e vektorëve a dhe

(AB = a dhe AD = b ), kurse pastaj do ta

konstruktoj paralelogramin ABCD. Vektorin që e përcakton diagonalja AC është shuma a + b .

Kjo rregullë për mbledhjen e vektorëve quhet rregulla e paralelogramit.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Vizato dy vektor jokolinear a dhe b dhe konstrukto shumën e tyre sipas rregullës së paralelogramit.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë në vizatim dhe sqaroe mënyrën.

10.

Është dhënë katërkëndëshi ABCD. Le të jetë AB = a , BC = b ,

D c

CD = c dhe AD = d .

se: AC + CD = AD, d.m.th. F Prej DACD mund të vërejsh (a+b)+c=d.

Vëre në vizatim se vektorët a , b dhe c janë të lidhur.

Përpiqu të tregojsh se ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

F Prej DABD vijon: AB + BD = AD, d.m.th. a + ( b + c ) = d . F Prandaj, ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Vlen në përgjithësi Për çdo tre vektorë a , b dhe c është i saktë barazimi: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), d.m.th. për mbledhjen e vektorëve vlen vetia asociative. Prandaj, shuma e tre vektorëve mund të shkruhet edhe pa kllapa: a+b+c.

Vëre dhe mbaj mend Shuma e tre ose më shumë vektorëve të lidhur fillimi i të cilit puthitet me fillimin e vektorit të parë, kurse mbarimi puthitet me mbarimin e vektorit të fundit të lidhur.

Në vizatim është konstruktuar shuma e vektorëve a , b , c dhe d , d.m.th. a + b + c + d = e. c

b a

Vizato tre vektor jokolinear a, b dhe c, kurse pastaj konstrkto shumën e tyre.

Vektorët. Operacionet me vektorë

Duhet ë dish:

Kontrollohu!

të konstruktojsh shumën e dy vektorëve sipas rregullës së trekëndëshit dhe të paralelogramit; t'i shprehish dhe t'i zbatojsh vetitë e mbledhjes së vektorëve.

Vizato dy vektorë a dhe b , ashtu që vektori i dhënë c të paraqet shumën e tyre.

Detyra

1. Janë dhënë vektorët (si në vizatim)

AB = a , CD = b dhe PP = 0. B P a

AB = a , BC = b , CD = c dhe DA = d . Sipas vizatimit cakto shumën:

A C

Është dhënë katërkëndëshi ABCD dhe vektorët

a) a + b ;

c) a + b + c ;

b) d + a ;

ç) a + b + c + d . D c

Konstrukto me fillim në pikën e dhënë M, vektorët: a) - a ;

b) - b ;

c) a + b ;

ç) a + 0;

d) - b + 0;

e) a + (-a ).

b A

2. Është dhënë trekëndëshi ABC dhe vektorët AB = a , BC = b dhe CA = c. Cili prej këtyre barazimeve është i saktë? C

Vizato tre vektor kolinear a , b , c , ashtu që vektori b të ketë kahe të kundërtë nga vektorët a dhe c . Konstrukto shumat:

a) a + b = c ;

b) a + b = - c ;

c) a + c = a ;

ç) a + b + c = 0 ?

Tema 1. Vektorët. Translacioni

a) a + b ;

b) a + c ;

c) b + c ;

ç) a + b + c .

ZBRITJA E VEKTORËVE

Kujtohu! Janë dhënë vektorët a dhe b . C b B

A Vizato vektor c , ashtu që a + b = c.

Janë dhënë vektorët OA = a dhe OB = b .

Konstrukto vektorin x , ashtu që b + x = a .

Shqyrto zgjidhjen (në vizatim) dhe sqaroe. Cila është pika e fillimit dhe cila e mbarimit e vektorit x ?

b O

Vëreva se vektori x duhet të jetë i lidhur me vektorin b , kurse mbarimi t'i puthitet me mbarimin e a , d.m.th. x = BA .

F Vektori i këtillë i konstruktuar x quhet ndryshimi i vektorëve a dhe b ; ai shënohet me a - b , d.m.th. x = a - b.

Vëre dhe mbaj mend Ndryshimi i vektorëve a dhe b paraqet vektorin x , ashtu që b + x = a , d.m.th. nëse b + x = a , atëherë x = a - b .

Janë dhënë vektorët a dhe b .

Konstrukto vektorin c = a - b .

Shqyrto zgjidhjen dhe vëreje mënyrën.

M b

vektorëve ta bartish në fillimin e vektorit tjetër.

Që ta konstruktojsh ndryshimin a - b duhet së pari vektorët a dhe b t'i F sjellish te çfarëdo pikë e përbashkët, por më praktike është njërin prej

Vektorët. Operacionet me vektorë

F Nëse AB = a dhe AM = b, atëherë vektorin a - b e konstrukton sipas përfundimit: MB = a - b .

Janë dhënë vektorët kolinear a , b dhe c. Konstrukto vektorin:

a) m = a - b ;

b) n = b - c.

Vëreje zgjidhjen dhe sqaroje. Sipas vizatimit: m

b O

a) OB = a ; OA = b ; AB = m = a - b ; b) OB = c ; OA = b ; BA = n = b - c .

B n

b O

Vizato dy vektor a dhe b ashtu që | a | = 5 cm, kurse | b | = 3 cm dhe konstrukto vektorin c=a-b.

Sipas vizatimit cili prej këtyre barazimeve është i saktë:

a) b + a = c ;

b) c - b = a ;

c) c = a - b ;

ç) c - a = b ?

b A

a c

Ti u njohe me vektorët, i njohe vetitë e tyre dhe disa operacione me ato. Në studimet e tua të mëtutjeshme të matemtikës, fizikës dhe shkencave tjera do ta vërejsh zbatimin e madh të tyre.

Nëse shënon se gjatësia e klasës është 10 m ose temperatura e ditës është +12oC, atëherë me këto të dhëna plotësisht janë përcaktuar gjatësia e klasës dhe temperatura. Madhësitë si kurse janë për shembull: gjatësia, syprina, vëllimi, masa, temperatura etj., plotësisht janë përcaktuar me numrat. Madhësitë e atilla quhen madhësi skalare ose skalarë.

A është e mjaftueshme e dhëna nëse themi se era ka shpejtësi 20 km në orë?

Nuk është e mjaftueshme e dhëna. Era karakteriszohet edhe me kahen e saj e cila mund të jetë veriu, jugu, lindja etj. E natyrshme është madhësitë të cilat karakterizohen, përveç me vlerën e tij numerike, edhe me kahen e tij t'i quajmë madhësi vektoriale. Cilat madhësi i ke të njohura si madhësi vektoriale?

Madhësi të atilla janë: shpejtësia, forca, nxitimi etj.

Uji në një lum rrjedh me shpejtësi 4 m në sekondë. Një bark niset nga një breg, normalisht në bregun tjetër, me shpejtësi personale prej 3 m në sekondë. cakto në cilën kahe do të lëviz barka dhe me çfarë shpejtësie.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Mendo për zgjidhjen, kurse pastaj vëreje mënyrën që vijon. vektorin v (|v | = 3 m) është paraqit shpejtësia e lumit F Me në ujin e qetë. 1

vektorin v (|v | = 4 m) është paraqitur shpejtësia e F Me lumit. Vektori v = v + v e paraqet shpejtësinë e lëvizjes së F barkës. F Kahja e vektorit v është lëvizja e barkës, kurse gjatësia e 2

v1 lumi B

vektorit v paraqet sa metro në sekondë lëviz barka.

F Mat sa metro në sekondë lëviz barka. Duhet të dish: ta shprehish përkufizimin dhe mënyrën për zbritjen e dy vektorëve; të konstrukton ndryshimin e dy vektorëve; të sqaron cilat janë madhësi skalare dhe cilat vektoriale.

Detyra 1. Janë dhënë vektorët AB = a; CD = b dhe EF = c .

a A

Konstrukto ndryshimin:

b) b - c ;

c) a - c ;

ç) ( a - b ) - c .

Vizato dy vektor kolinear, kurse pastaj cakto ndryshimin e tyre.

3. Janë dhënë vektorët a , b dhe c ashtu që a dhe b janë vektor kolinear. a

MM = 0 .

b D

Konstrukto vektorin: a) a - b ;

b) a - 0 ;

c) 0 - a ;

ç) ( a + b ) - 0.

b Konstrukto vektorin ( a + b ) - c.

2. Janë dhënë vektorët AB = a , CD = b dhe

Vizato vektor a , kurse pastaj paraqite si ndryshim të dy vektorëve.

c C

a) a - b ;

Kontrollohu!

4. Vizato drejtkëndëshin ABCD dhe vëndo AB = a , BC = b. Me vektorët a dhe b shprehe vektorin a) AC;

b) BD.

Vektorët. Operacionet me vektorë

TRANSLACIONI

Kujtohu! Vektorin e paraqesim me segment të orientuar, kurse segmenti i orientuar, në vizatim, paraqitet me shigjetë. a Në vizatim është paraqitur B me vektorin AB = a. A Me çka është përcaktuar kahja e vektorit a ? Cakto gjatësinë e vektorit a. Për cilët dy vektorë a dhe b themi se janë të barabartë?

Në rrafsh është dhënë vektori a dhe

pikat A, B dhe C. a Caktoi pikat A 1, B1 dhe C1, ashtu që vek-

torët AA1,BB1 dhe

CC1 të jenë të barabartë me vektorin a . Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

A1 B

B1 C1

Vëren se pika A është zhvendosur (pasqyruar) për vektorin a te pika A1, B në B1 dhe C në C1. Për pikën A1 themi se është pasqyrë e pikës A gjatë zhvendosjes, kurse pika A është origjinali i pikës A1. Cila pikë është pasqyra e pikës B, kurse cila pikë është origjinali i pikës C1? Çka paraqesin pikat A dhe A 1, përkatësisht B dhe B1, përkatësisht C dhe C1 për vektorin a ?

Pika A është pika e fillimit, kurse pasqyra A1 pika e mbarimit të vektorit a . Përkatësisht vlen edhe për pikat B dhe B1, përkatësisht C dhe C1.

Vëreve se çdo pikë X nga rrafshi mund të zhvendoset (pasqyrohet), për vektor të dhënë a , vetëm në një pikë X1.

Duhet të mbajsh mend Zhvendosja (pasqyrimi) në rrafsh, ku çdo pike M i përgjigjet pika M1, ashtu që, vektori MM1 është i barabartë me vektorin e dhënë a , quhet translacion (ose zhvendosje paralele) për vektor a . i dhënë a quhet vektor i translacionit. Translacionin për vektor a simbolikisht e shkruajmë F Vektori me t . a

Tema 1. Vektorët. Translacioni

Për pikat përgjegjëse M dhe M themi: M është pasqyrë e M, kurse M është origjinali i M . Themi F edhe se për pikën M kemi krye translacion për vektorin a . 1

Nëse M1 është pasqyra e M shkruajmë: M

Janë dhënë vektorët a dhe b dhe pika M në rrafsh.

M1 ose M1 = t a (M).

Caktoi pikat t a (M) dhe t b (M).

M a b

t a (M)

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Te pika M barti vektorët a dhe b .

F F Mbarimi i vektorit të bartur a është pika t (M).

t b (M) a

Si është përcaktuar pika t b (M)?

Cilat translacione të pikës M janë krye? Sa translacione janë përcaktuar me një vektor a ?

Pikës M i janë krye translacionet t a dhe t b . Një vektor a përcakton vetëm një translacion.

Vëreve se një translacion është përcaktuar me vektor a ose me një çift të pikave (M, t a (M)), d.m.th. M - origjinali i M1 = t a (M) - pasqyra e tij.

Mendo çfarë translacioni përcakton zero vektori. Translacioni për vektor 0 quhet translacioni identik.

Pika e fillimit të zero vektorit puthitet me pikën e mbarimit. Vijon se translacioni për vektorin 0 , çdo pikë M e pasqyron në vetvete.

Duhet të dish: të sqarojsh çka është translacioni me çka është përcaktuar një translacion të caktosh pasqyrën e pikës së dhënë gjatë translacionit për vektor të dhënë a .

Kontrollohu! Cakto pikë A, nëse është dhënë pasqyra e tij A1 = t a (A) gjatë translacionit për vektor a . a

t a (A)

Translacioni

Detyra

Konstrukto vektorin a të translacionit t. a A

3. Për pikën e dhënë M

kryeje translacionin t të dhënë me çiftin e rregulluar të pikave (A, t(A)).

Kryej translacion të pikave A, B dhe C për

t(A)

lluar i pikave (A, t(A)).

1. Janë dhënë vektori a dhe pikat A, B dhe C. B

2. Është dhënë çifti i rregu-

vektorin a .

t(A) M

VETITË E TRANSLACIONIT

Kujtohu!

Sqaro çfarë zhvendosje në rrafsh është translacioni. Me çka është përcaktuar një translacion?

Është dhënë vektori a dhe pikat e ndryshme A, B dhe C1. Caktoi pikat A1 = t a (A) dhe B1 = t a (B).

Për cilat dy figura F1 dhe F2 thuhet se janë të puthitshme?

a A

Mendo pikat A 1 dhe B1 a mund të puthiten gjatë ndonjë translacioni. Cakto pikë C ashtu që pika C1 të jetë pasqyra e saj gjatë translacionit për vektor a . Çdo pikë e rrafshit a mund të jetë pasqyrë e ndonjë pike gjatë translacionit për vektor a ? A1 C1

Shqyrtoe zgjidhjen dhe vëre: AA = a , BB = a edhe pikat A dhe B janë të F Pasi ndryshme, atëherë edhe pikat A dhe B janë të ndryshme. F Për pikën e zgjedhur C , mund të konstruktojsh vektor CC = a , 1

d.m.th. të caktojsh pikë C ashtu që C1 të jetë pasqyra e saj gjatë

translacionit t a . Vëreve se çdo translacion e ka këtë veti. e ndryshme A dhe B gjatë translacionit për vektor a kanë pasqyra të ndryshme dhe çdo pikë C F Pikat nga rrafshi është pasqyrë e ndonjë pike gjatë translacionit t .

Është dhënë segmenti AB dhe vektori a (në vizatim). Caktoi pikat A1 = t a (A) dhe B1 = t a (B). Trego se segmenti A1B1 është paralel dhe i barabartë me segmentin AB.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

a A

Trego se segmenti A1B1 është pasqyra e segmentit AB gjatë translacionit t a . Shqyrto zgjidhjen dhe vëreje mënyrën.

A, B dhe pasqyrat e tyre A , B , të fituara me translacion F Pikat t , formojnë katërkëndësh ABB A . 1

AA = a = BB , vijon se katërkëndëshi ABB A ka dy F Pasi brinjë të përballta (AA dhe BB ) paralele dhe të barabarta, pra 1

katërkëndëshi ABB1A1 është paralelogram. X është çfarëdo pike nga segmenti AB, atëherë X = t (X) është pikë nga segmenti A B . (Pse?) F Nëse Anasjelltas: për çfarëdo pikë X nga segmenti A B ka pikë X të segmentit AB, ashtu që t (X) = X . 1

Prandaj, segmenti A1B1 është pasqyra e segmentit AB.

E vëreve këtë veti.

F Gjatë çdo translacioni segmenti zhvendoset (pasqyrohet) në një segment të barabartë dhe paralel me atë, d.m.th. nëse t a (A) = A1 dhe t a (B) = B1, atëherë $% = $ % dhe AB || A1B1.

Vëreve se gjatë translacionit largësia ndërmjet pikave nuk ndryshon. Nëse në vend të segmentit AB, vizaton drejtëz AB, atëherë në çka do të pasqyrohet drejtëza AB me translacionin

ta?

Drejtëza AB do të pasqyrohet në drejtëz A 1B 1 paralele me të.

A B AB || A1B1

Në përgjithësi vlen vetia:

F Gjatë çdo translacioni drejtëza zhvendoset (pasqyrohet) në drejtëz paralele me të. 3.

Vizato segment AB, drejtëz CD dhe vektor a . Kryej translacionin e segemntit AB edhe të drejtëzës CD për vektor a .

Vizato drejtëz AB dhe kryej translacion të drejtëzës AB për vektor a = AB . Në çka pasqyrohet drejtëza AB?

Është dhënë trekëndëshi ABC dhe vektori a .

Kryej translacion për vektor a të kulmeve A, B dhe C. Le të jetë t a (A) = A1 dhe t a (B) = B1 dhe t a (C) = C1. Trego se DABC @ DA1B1C1.

Translacioni

Në vizatim është paraqitur translacioni për vektor a të DABC.

Zbatoje vetinë e translacionit të segmentit dhe indicit BBB për puthitshmërinë e trekëndëshave. Me këtë do të tregojsh se DABC @ DA1B1C1. Sipas vizatimit, mund të paraqitet se DABC është zhvendosur (i pasqyruar) për vektor a dhe puthitet me DA1B1C1. Për DA 1B1C1 themi se është pasqyra e DABC gjatë translacionit t a .

C1 X1

Domethënë, pasqyra e trekëndëshit të dhënë gjatë translacionit është trekëndësh, i puthitshëm me trekëndëshin e dhënë. Në përgjithësi, dy figura F dhe F1 janë të puthitshëm nëse ekziston pasqyrim f: F ® F1, ashtu që çdo pikë nga F1 është pasqyrë e të paktës një pike nga F dhe për çdo dy pika A, B Î F dhe f(A) = A1, f(B) = B1, vlen $% Vlen edhe kjo veti.

$ % .

F Gjatë translacionit për vektor a çdo figurë F pasqyrohet në figurë F që është e puthitshme me atë. 1

Vëreve se translacioni për vektorin e kundërtë - a , çdo pikë X1 nga figura F1 e ,,kthen" në pozitën paraprake X, d.m.th. figura F është pasqyrë e figurës F1 gjatë translacionit t- a . Translaconi për vektorin - a (i kundërtë i a ), paraqet translacion inverz të translacionit për vektor a .

Duhet të dish: t'i shprehish dhe sqarojsh vetitë e translacionit për vektor a ; t'i zbatojsh vetitë e translacionit te detyrat.

Detyra 1. Vizato segment AB dhe pastaj kryej translacionin të AB për: a) vektorin e dhënë a ;

b) vektor a = BA .

2. Vizato drejtëz p dhe vektor a . Kryej translacionin e drejtëzës p për vektorin a .

Kontrollohu! Vizato segment AB dhe në të kryej translacion për vektorin a = AB.

3. Vizato kënd AOB dhe vektor a . Kryej translacionin e këndit AOB për vektorin a .

4. Është dhënë vija rrethore k me qendër O dhe rreze r dhe vektor a , me | a | = 2r. Kryej translacionin e vijës rrethore k për vektorin a .

5. Është dhënë DABC dhe vektori a . Kryej translacionin e trekëndëshit ABC për:

a) vektorin - a ; b) vektorin c = AB .

Tema 1. Vektorët. Translacioni

ZBATIMI I TRANSLACIONIT

Kujtohu!

Me ndihmën e translacionit vërtetohen shumë teorema gjeometrike dhe zgjidhen detyra. Si zbatohet translacioni - vëre në shembujt që vijojnë.

Në çfarë figure, gjatë translacionit, pasqyrohet: a) pika; b) segmenti; c) gjysmëdrejtëza; ç) drejtëza; d) këndi; e) vija rrethore; f) trekëndëshi; g) dy drejtëza që priten?

Vërteto se:

a) dy kënde me krahë me kahe të njëjtë janë të barabartë;

Vizato kënd AOB dhe vektor a . Kryej transla-

b) dy kënde me krahë me kahe të kundërtë janë të

cionin e RAOB për vektorin a . Si janë sipas madhësisë RAOB dhe pasqyra e tij RA1O1B1?

barabarta; c) dy kënde, ashtu që njëri çift i krahëve janë me kahe të njëjtë, kurse çifti tjetër me kahe të kundërtë, janë

Shqyrtoe vizatimin dhe vëre mënyrën gjatë vërtetimit. a)

B a O

suplementar.

A1 O1 A

OA O1A1 OB O1B1

OA ¯ O1A1 OB ¯ O1B1

A OA ¯ O1A1 OB O1B1

Zbato vetinë: gjatë translacionit, një figurë pasqyrohet në figurë të puthitshme me të, pra këndi pasqyrohet në kënd të barabartë (puthitshëm) me të.

F a)

F b)

Le të jetë OO1 = a . Gjatë translacionit për vektor a këndi AOB zhvendoset në kënd A1O1B1, d.m.th. t a (RAOB) = RA 1O1B1. Prandaj RAOB =RA1O1B1. Le të jetë OO1 = a . Gjatë translacionit për vektor a , RAOB zhvendoset në kënd A2O1B2, d.m.th. t a (RAOB) = RA2O1B2. Prandaj RAOB = RA2O1B2. Vëreve se RA2O1B2 = RA1O1B1 si kënde kryqëzore. Mund të përfundojsh se RAOB = RA1O1B1.

F Në mënyrë të ngjashme vërteto pohimin c).

Translacioni

Me zbatimin e translacionit vërteto se shuma e këndeve të brendshme te trekëndëshi është 180o.

b1 g 1 a 1 C g

Vëre mënyrën dhe vepro sipas kërkesave.

F F F F F F F 1

Le të jetë AC = a dhe BC = b .

Për këndin a kryej translacion për vektorin a , d.m.th.

a a

t a (a) = a1.

Si janë këndet a dhe a1 sipas madhësisë?

Për këndin b kryej translacion për vektorin b , d.m.th. t b (b) = b1.

Si janë këndet b dhe b1 sipas madhësisë?

Kulmet e këndeve a dhe b janë zhvendosur në kulmin C. Sqaro, në çka janë pasqyruar krahët e këndeve a dhe b.

Sqaro, pse a + b + g = 180o.

Pse g = g 1 ?

Janë dhënë drejtëzat p, q dhe vektori a . Te drejtëza q konstrukto pikë M1

Pse a1 + b1 + g1 = 180o?

e cila është pasqyrë e ndonjë pike M nga drejtëza p gjatë translacionit t a .

Analiza e zgjidhjes Supozo se detyra është zgjidhur (shiko vizatimin). Prej analizës shqyrto supozimin për konstruksionin e pikave M dhe M1.

F F F F F 1

Le të jetë M1 pasqyra e pikës M gjatë t a .

a a M

MM1 = a . Pse?

Drejtëza p1 është pasqyra e p gjatë t a .

Pikën M1 mundesh ta konstruktojsh si pikëprerje të p dhe p1.

Pikën M mundesh ta konstruktojsh si pasqyrë të pikës M1 gjatë translacionit për vektorin - a.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

p1 p

Konstruksioni q

F F F 1

Zgjedh pika A dhe B të p dhe konstrukto drejtëzën p 1 = t a (p).

M1 është pikëprerja e q dhe p1.

M = t- a (M1).

a B1

-a

Duhet të dish: të kryejsh analizën e detyrës së dhënë dhe të vlerësojsh me zbatimin e translacionit a mund ta zgjidhish.

Kontrollohu!

Është dhënë drejtëza AB, vija rrethore k dhe vektori a . Te drejtëza AB konstrukto pikë e cila pasqyrohet te vija

rrethore k gjatë translacionit për vektor a .

Sa pika të atilla mund të ketë drejtëza AB?

Detyra 1. Janë dhënë drejtëzat p, q dhe segmenti AB. q

2. Konstrukto vijë rrethore që kalon nëpër pikën e dhënë M dhe takon dy drejtëza paralele p dhe q.

A B

q p

M p

Konstrukto segment MN paralel dhe të barabartë me AB, pika e skajshme të të cilit shtrihen te drejtëzat e dhëna p dhe q.

Translacioni

MËSOVE PËR VEKTORËT DHE TRANSLACIONIN. KONTROLLOJE NJOHURINË TËNDE

Për cilat dy gjysmëdrejtëza themi se janë me kahe të njëjtë?

Vizato dy vektor a dhe b, kurse pastaj konstrukto: a) vektorin c = a + b ;

b) vektorin c = a - b .

Është dhënë gjysmëdrejtëza OA. a) Vizato gjysmëdrejtëz O1A 1 me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA.

b) Vizato gjysmëdrejtëz O2A2 me kahe të kundërtë me gjysmëdrejtëzën OA.

Për cilët dy vektor themi se janë kolinear?

Janë dhënë vektorët a, b dhe MM = 0. Me fillim në pikën e dhënë A konstrukto vektorin: a) -a + 0;

b) 0 - b.

Janë dhënë pika A dhe pika A 1, që është pasqyra e pikës A gjatë translacionit t për vektorin a. Cakto vektorin a të translacionit t.

4. Me fillim në pikën e dhënë A konstrukto vektor AB, ashtu që të ketë kahe të dhënë S dhe |AB| = 3 cm.

Janë dhënë vektorët AB, CD dhe pika M. Konstrukto vektor: a) MN të barabartë me AB. b) MD të kundërtë meCD.

Vizato dy vektor të kundërtë a dhe b, kurse pastaj vektorin a lidhe me vektorin b.

Tema 1. Vektorët. Translacioni

10. Është dhënë segmenti AB dhe vektori a = AB.

Kryej translacion t të segmentit AB për vektorin -a.

11. Janë dhënë vijat rrethore k(O, r), k1(O1, r1)

dhe drejtëza p. Konstrukto drejtëz q paralele me p, ashtu që ajo gjatë prerjes së vijave rrethore formon korda të barabarta.

12. Janë dhënë dy vija rrethore k1 dhe k2 që priten. Nëpër njërën pikëprerje tërhiq drejtëz p, ashtu që kordat e vijave rrethore të cilat i takojnë p janë të barabarta.

TEMA 2.

FUQIA. RRËNJA KATRORE

FUQIA ME TREGUES NUMËR NATYROR 1. Fuqia 32 2. Paraqitja e numrit nëformë të fuqisë. Njehsimi i shprehjes numerike 35 OPERACIONET ME FUQI 3. Shumëzimi dhe pjesëtimi i fuqive me baza të barabarta 4. Fuqizimi i fuqisë, prodhimit dhe herësit

39 42

KATRORI DHE RRËNJA KATRORE E NUMRIT RACIONAL 5. Katrori i numrit. Rrënja katrore 45 6. Njehsimi i rrënjës katrore nuk është e obligueshme 49 NUMRAT REALË 7. Numrat iracionalë 8. Bashkësia e numrave realë Kontrollo njohurinë tënde

52 54 56

Me fat 22 + 3 × 4- ditëlindje

Fuqia me tregues numër natyror

FUQIA ME TREGUES NUMËR NATYROR FUQIA

Kujtohu!

Shuma prej mbledhësave të njëjtë shkruhet si prodhim. 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 Shkruaj këto shuma si prodhime:

Ameba është organizëm njëqelizore. Ajo shumohet me ndarje të thjeshtë në dy ameba të reja.

Një rreth i ngjyrosur le të paraqet një amebë

36+36=

Vëre numrin e amebave që fitohet gjatë shumimit të një amebe.

120+120+120+120= Prodhimi prej shumëzuesëve të njëjtë shkurtimisht shkruhet si fuqi. 6 × 6 × 6 = 63

Ndarja e parë 2=2

Shkruaj këto prodhime si fuqi:

Ndarja e dytë 2 × 2 = 22 = 4

2×2×2×2 = Ndarja e tretë

18×18 =

2 × 2 × 2= 23 = 8 Shkruaj si prodhim të shumëzuesëve të barabartë ndarjen e katërtë të amebës. Shkruaje si fuqi ndarjen e katërtë të amebës. Sa është numri i amebave pas ndarjes së katërtë? Prodhimi 2 × 2 × 2 × 2 shkurtimisht shkruhet 24 (lexohet ,,dy në të katërtën"), kurse vlera numerike e tij është 16.

Domethënë, fuqia 24 është shënimi i shkurtër i prodhimit prej 4 shumëzuesëve, të barabartë me numrin 2.

Në përgjithësi Prodhimi prej n shumëzuesëve të barabartë me numrin a shënohet me an dhe quhet fuqia e a, d.m.th. D D D D = an. Q KHUs

Me marrëveshje: a1 = a.

2. 32

Shkruaje si fuqi prodhimin: (- 3,2) × (- 3,2) × (- 3,2);

Tema 2. Fuqia. Rrënja katrore

Fuqia

Lexohet: a në en. Lexoje fuqinë: 7 12 .

Eksponenti, treguesi i fuqisë Baza e fuqisë

Fuqinë 34 shkruaje si prodhim dhe njehso vlerën e tij. Operacioni me të cilën njehsohet vlera numerike e fuqisë të ndonjë numri quhet fuqizim.

B 3.

Vërej shembujtë ku është krye fuqizimi.

(3 × 3) = 9 × 9 = 81 F 3 = 3ose× 3 × 33 ××3(3= (3× ×33)× ×3)= 3 × 27 = 81 4

Shfrytëzoe vetinë asociative ashtu si është më e përshtatshme.

F (-(- 4)4) == (-(- 4)4)××(-(-4)4)×=(-164) = 16 × (- 4) = - 64 2

§ · § · § · § · § · ¨ ¸ =¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸= © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

Vëreje shenjën e bazës dhe shenjën e vlerës së fuqisë, por veçanërisht eksponenti a është numër çift ose numër tek.

× =

F (-1 1)= 1=× (-1 × 1)1 ××1(-× 11)× ×1(-× 11)= =1 - 1 7

(- 1)6 = (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) = 1

F 0 =0×0×0×0×0×0=0 6

Sa është vlera e fuqisë me bazë 1, kurse sa është vlera e fuqisë me bazë (- 1)?

Vlera e fuqisë me bazë 0, a varet prej eksponentit?

]HUR

Njehso vlerën e çdo fuqie:

§ · ; ¨ ¸ = ; 0 18 = ;1 6 = ;7 1 = . © ¹ Tabela që vijon do të ndihmon të vlerësojsh çfarë numri është vlera e fuqisë varësisht prej bazës dhe ekesponentit të fuqisë.

(1,2) 3 =

;(- 5) 4 =

;(-3) 3 =

Baza e fuqisë Numër pozitiv 1 0

Eksponenti cilido numër natyror

Vlera e fuqisë

Numër negativ

Numër çift Numër tek

Numër pozitiv 1 0 Numër pozitiv Numër negativ

Cilido numër

Vetë ai numër

Fuqia me tregues numër natyror

Duke i shfrytëzuar rregullat nga tabela cakto çfarë numri do të jetë vlera e çdo fuqie:

6 ;

§ · ¨ ¸ ; © ¹

(- 6) ;

§ · ¨ ¸ ; © ¹

(- 0,23) 1 ;

2 60 ;

1 103 ;

0 20 .

Vëre, vlera numerike e fuqisë (- 2)3, është njehsuar me kalkulator:

-2 y x 3 = -2

6 1;

Nëse kalkulatori ka y x tastatura.

-8

(- 1,2) 4 =

;

(-136)3 =

ose

Nëse kalkulatori nuk ka y x te tastatura.

x y te ose

Me kalkulator njehso: 33 =

;

0,5 10 =

;

Duhet të dish: çka është fuqia, baza dhe eksponenti i fuqisë (treguesi i fuqisë); të caktojsh vlerën numerike të fuqisë; ta vlerësojsh vlerën numerike të fuqisë.

; 152 =

Kontrollohu! Cakto çka është e saktë për fuqinë a n: a) a është eksponent, kurse n është baza e fuqisë; b) n tregon sa herë numri a është marrë për shumëzues; c) vlera e a n është numër pozitiv nëse a < 0 dhe n është numër tek Pohimet që për a n nuk janë të sakta, korrigjoi dhe shënoi.

Përpiqu të përgjigjesh: Shprehja - 4x6 nuk është fuqi, kurse shprehja (- 4x)6 është fuqi. Pse? Shkruaje çdonjërën prej shprehjeve si prodhim. Vëre ndryshimin ndërmjet shënimeve.

Tema 2. Fuqia. Rrënja katrore

Problemi me algjet Në një gotë ka algje. Algjet janë të atilla që për një ditë numri i tyre zmadhohet dy herë. Kanë qenë të nevojshme 10 ditë që gota të mbushet me algje. Për sa ditë gota ka qenë gjysmë e mbushur me algje? Sqaroe përgjigjen

Detyra 1. Cakto bazën dhe eksponentin për çdo fuqi: 6 ; 3 ; 4,26 ; (3p) ; (-x + 4) ; (- p ) ; 3

8 4

(

x+1 2

3. Shkruaj si prodhim fuqitë:

) ;0 .

;

x×x×x×x×x×x=

;

(x + 6) × (x + 6) =

(- 2)4 =

§ · ¨ ¸ = © ¹

;

(m3)4 =

;

; .

Njehso vlerën e çdo fuqie:

;

(- 2) =

;

§ · ¨ ¸ = © ¹

(- 5)2 =

;

(- 0,6 )7 =

;

§ · § · § · ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ = © ¹ © ¹ © ¹

;

(a + b) × (a + b) × (a + b) = 6×6×6×6×6=

(- x + 3)3=

;

§ · ¨ ¸ = © ¹

2. Shkruaj si fuqi prodhimet: (- 2,5) × (- 2,5) =

64 =

;

; ;

Provoje rezultatin tënd me kalkulator.

PARAQITJA E NUMRIT NË FORMË TË FUQISË. NJEHSIMI I VLERËS NUMERIKE TË SHPREHJES

Kujtohu! Prodhimin 10×10×10, shkruaje si fuqi 103. Cakto bazën dhe eksponentin e fuqisë 103. Shkruaje fuqinë 106 si prodhim të shumëzuesëve të barabartë dyshifrorë.

Krahasoi: numrin e zerove te çdo njëshe dekade, numrin e shumëzuesëve te prodhimi dhe eksponentin te shënimi si fuqi.

Te tabela disa njëshe dekade janë shkruar si prodhim prej shumëzuesëve të njëjtë dhe si fuqi me bazë 10.

Njëshe dekade

Prodhimi

100 10 × 10 10 000 10 × 10 × 10 × 10 100 000 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1 000 000 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Fuqia 102 104 105 106

Vëreva se numri i zerove te njëshja dekade është e barabartë me treguesin te shënimi i saj në formë të fuqisë me bazë 10.

Fuqia me tregues numër natyror

Shkruaj në formë të fuqisë numrat që hasen te çdonjëra prej fjalive: Masa e Hënës është përafërsisht

Masa e Neptunit është përafërsisht

]HUR

kilogramë.

Masa e Diellit është përafërsisht dhjetë milion herë më e madhe se masa e Hënës. Shkruaje masën e Diellit në formë të fuqisë. Unë kam 107 herë masë më të madhe

Shkruaj si prodhim fuqitë: 109; 1011; 1010. Shkruaje njëshen dekade që është e barabartë me fuqinë 107.

Numrat të cilët mund të shkruhen si prodhim të numrit dhe njëshes dekade, mund të shkruhen edhe si prodhim prej numrit dhe fuqisë me bazë 10. Për shembull: 265 000 000 = 265 × 1 000 000 = 265 × 10 6.

Shpejtësia e dritës është 300 000 kilometra në sekondë. Shkruaje shpejtësinë e dritës si prodhim prej numrit dhe fuqisë me bazë 10. Rrugën që e kalon drita për një vit quhet viti i dritës. Sa kilometra ka një vit i dritës?

Kujtohu! 1 vit = 365 ditë; 1 ditë = 24 orë; 1 orë = 60 minuta; 1 minutë =60 sekonda;

Shkruaje vitin e dritës si prodhim të dy numrave prej të cilëve njëri është fuqi me bazë 10 dhe tregues 8.

1 vit drite = 300 000 × 365 × 24 × 60 × 60 =

Deri më tani vëreve se numrat e mëdhenjë mund të shkruhen si prodhim të dy numrave, prej të cilëve njëri është fuqi me bazë 10. Në mënyrë të ngjashme, numrat e vegjël mund të shkruhen si fuqi me bazë 0,1 ose prodhit të numrit dhe fuqisë me bazë 0,1.

Te tabela vëre numrat dhjetorë që janë shkruar si prodhim të shumëzuesëve të barabartë dhe si fuqi me bazë 0,1.

Tema 2. Fuqia. Rrënja katrore

Numër

Shënimi si prodhim

Fuqia

0,01 0, 001 0,0001 0,00001

0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1

0,12 0,13 0,14 0,15

Krahasoe numrin e vendeve dhjetore pas presjes dhjetore te numri, me eksponent te shënimi i numrit si fuqi.

Vëreva se eksponenti te shënimi si fuqi është i barabartë me numrin e vendeve dhjetore pas presjes dhjetore te numri.

Shkruaje si fuqi me bazë 0,1 numrat: 0,0000000001 dhe 0,0000001. Fuqinë me bazë 0,1 shkruaje si numër dhjetor:

; 0,19 =

0,11 =

Çdo numër dhjetor mund të shkruhet si prodhim prej dy shumëzuesëve ashtu që njëri është fuqi prej 0,1.

Vëre shembullin:

0,007 = 7 × 0,001 = 7 × (0,1 × 0,1 × 0,1) = 7 × 0,13

Shkruaje si prodhim të numrit të plotë dhe fuqi me bazë 0,1 këto numra: 0,3 =

;

0,0008 =

;

Kujtohu! Por, sëpari te kllapat.

Pikat shkojnë para vizave.

Njehso:

· § 3 + ¨ ¸ - 2 = ¹ ©

0,000362 =

;

1,05 =

Operacioni fuqizim është operacion i rendit të tretë.

Vëre njehsimin e vlerës numerike të shprehjes (816-6):(-3) 4 -6 3 :8)×2.

Rendi i operacionit

Shprehja numerike ( 8 1 6 - 6 ) : ( - 3 ) 4 - ( 6 3 : 8 )×2

Kllapa

810 : (-3)4 - (63 : 8) × 2 =

Rendi i tretë

= 810 : 81 - (216 : 8) × 2 =

Rendi i dytë

= 10 - 27 × 2 =

Rendi i parë

= 10 - 54 =

Rezultati

- 44

Unë jam i rendit të tretë, por në vendin e parë.

a 1

n + -

Fuqia me tregues numër natyror

3 37

Gjatë njehsimit të vlerës numerike të shprehjes, operacioni fuqizim kryhet para operacioneve të rendit të dytë (shumëzim dhe pjesëtim), kurse në fund janë operacionet të rendit të parë (mbledhje dhe zbritje). Kuptohet, duhet pasur kujdes te kllapat.

Cakto vlerën numerike të shprehjes:

§ · § · b) 32× ¨ ¸ -16: ¨ ¸ +20:(- 1) 123 = © ¹ © ¹

a) 620+3×5 -147:(- 7) = ; 2

Kontrollohu!

Duhet të dish: të shkruajsh numra të mëdhenjë dhe të vegjël në formë të fuqisë; ta zbatojsh renditjen e operacioneve gjatë njehsimit të vlerës numerike të shprehjes.

Syprinën e Tokës, e cila përafërsisht është 510 000 000 km2, shkruaje si prodhim të dy shumëzuesëve prej të cilëve njëri është fuqi me bazë 10. Shkruaje renditjen sipas të cilës kryhen operacionet mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim te shprehja numerike.

Detyra 1. Shkruaj si prodhim prej dy shumëzuesëve, ashtu që njëri të jetë fuqi i numrit 10 (ose anasjelltas) numrat që hasen te çdonjëra prej fjalive:

3. Cakto vlerën numerike të shprehjes: (16 - 13)2 : 3 = =

Masa e Jupiterit është përafërsisht

tonelata.

;

43 + 4 × (8 : 23) =

;

]HUR

Marsi ka përafërsisht 6,4×10 20 tonelata. Te trupi i njeriut ka përafërsisht 0,1×10 15 qeliza.

2. Njehso:

435 × 104 =

;

26783 × 102 =

6,9 × 102 =

;

0,45 × 103 =

15 × 0,13 =

;

0,392 × 0,12 =

; ;

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

4. Vëreje shprehjen numerike 6:3+3×3 2. Ku

duhet të shkruhen kllapat ashtu që të jetë saktë vlera e saj numerike? 6 : 3 + 3 × 32 = 45; 6 : 3 + 3 × 32 = 9; 6 : 3 + 3 × 32 = 29.

OPERACIONET ME FUQI

SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI I FUQIVE ME BAZA TË BARABARTA

Kujtohu! Fuqia a n në formë të prodhimit shkruhet ;

D D D D Q KHUs

Shqyrtoe tabelën për shumëzimin e fuqive.

Shumëzimi i fuqive

Shënimi i fuqive si prodhim

Prodhimi i fuqive

a1 = a.

Paraqiti si prodhim të shumëzuesëve të barabartë këto fuqi: 7 3=

;(-2) 2 =

Vëre se gjatë shumëzimit të dy fuqive me baza të barabarta: baza e rezultatit është e njëjtë sikurse shumëzuesët; treguesi i fuqisë së rezultatit është shumë e treguesëve të shumëzuesëve.

F F

Cili është treguesi i fuqisë që mungon te rasti i fundit të dhëna në tabelë? Prodhimi i fuqive me baza të barabarta është fuqi me bazën e njëjtë sikurse bazat e shumëzuesëve dhe tregues të barabartë me shumën e treguesëve të shumëzuesëve.

Caktoi prodhimet:

a 4 × a5;

Mbahet lehtë në mend:

am × an = am + n

( - 2) 7 × (- 2) 2 ;

(a - 3) × (a - 3) 6 .

Shkruaje rezultatin e shumëzimit të fuqive: x5 × x6 = ; ( - k)p × (- k)m = .

Vëre se si është njehsuar prodhimi (x 2 ×x 4 )×x 3 . (x 2 ×x 4 )×x 3 =(x 2+4 )×x 3 =x 6 x 3= x 6+3= x 9

Edhe kjo është e lehtë, bazën e përshkruajmë, kurse treguesët e fuqive i mbledh.

am × an × ap = am+n+p

Paraqiti në formë të fuqisë këto prodhime: b3 × (b7 × b2) =

§ · § · § · § · ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ = © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

Operacionet me fuqi

Zbërtheje fuqinë 69 në tre shumëzuesë. Vëre se ka më shumë zgjidhje, por ti shkruaj vetëm dy. Prodhimi i një shumëzuesi dhe i a7 është e barabartë me a97. Cili është ai shumëzuesë? Cili numër është treguesi i fuqisë që mungon te shumëzimi: 63 × 6 = 612?

Kujtohu!

Nëse a, b dhe n janë numra natyrorë dhe n është pjesëtues i a dhe b, atëherë

D E

D Q . E Q

Thjeshtoi thyesat:

; ; ; . Shembull:

Shqyrtoe tabelën për pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta.

Pjesëtimi i fuqive

Shënimi i fuqive si pjesëtues të prodhimeve

25 : 22

=2×2×2

(-3)2 : (-3)

= = ose

Herësi i fuqive 25-2 = 23 (-3)2-1 = (-3)

= (-3)

57 : 53

=5×5×5×5

57-3 = 54

96 : 9

=9×9×9×9×9

96-1 = 9

= =

Vëre se gjatë pjesëtimit të dy fuqive me baza të barabarta vlen: baza e herësit është e njëjtë sikurse baza e të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit; treguesi i fuqisë është ndryshimi i treguesëve të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit.

F F

Cili numër është treguesi i fuqisë që mungon te shembulli i fundit të dhënë në tabelë? Herësi i fuqive me baza të barabarta (të ndryshme prej 0) është fuqi me bazë të njëjtë dhe tregues të barabartë me ndryshimin e treguesëve m dhe n, m > n, të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit.

Vëre njehsimin e herësit (-6)5 : (-6)3 =

Lehtë mbahet mend:

(-6)5 : (-6)3 =

Njehso: 16

7. 40

: 16

;(-3,5) (-3,5) = 7

= (-6)3 + 2 - 3 = (-6)2.

Ose shkurtimisht: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2. 9

a¹0

a m : a n = a m - n; m > n

;106

100

:106 = 99

| ;o ¸ :

Vëre pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta kur i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi kanë tregues të njëjtë.

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

= 1, pasi numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë. F DQ F Nëse e zbaton rregullën për pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta, do të fitojsh: Nëse a ¹ 0, atëherë a n : a n =

a n : a n = a n - n = a o. Vëre se në rastin e parë fitove 1, kurse në rastin e dytë a o.

Do të llogarisim se

Cakto herësin:

(-6)3 : (-6)3 =

;

12,02100 : 12,02100 =

;

(a -1)5 : (a -1)5 =

| o ¸

;

a o = 1.

| : o ¸ =

Vëre pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta kur treguesi i të pjesëtueshmit është numër që është më i vogël se treguesi i pjesëtuesit. (-2) 6 : (-2) 8 = = = .

Njehso:(-13)

: (-13)

;

| | o ¸ : o ¸ =

;

Duhet të dish:

Kontrollohu!

t'i shprehish dhe zbatojsh rregullat:

F a × a = a , për m, n Î N; F a : a = a , për a ¹ 0 dhe m > n; F a : a = D Q , për a ¹ 0 dhe m < n; F a : a = a = 1,për a ¹ 0 dhe n Î N. m

m + n

m - n

Detyra

; y100 × y2 =

x3 × x5 × x2 =

174 : 172 = ; 615 × 6100 =

; (-b) × (-b)5 × (-b)10 =

; .

2. Çka duhet të shkruhet te çdo katror që të jenë të sakta barazimet: a × 6

p ×p × 4

=a ;

7 ×7

=p ? 10

100

=7 ; 135

;

x9 : x12 =

;

126 : 126 =

1,14 : 1,1 =

;

35 : 318 = ;

;

a3 : a3 =

4. Njehso vlerën numerike të çdo shprehje:

15 4

Cili numër është herës gjatë pjesëtimit të dy fuqive me baza të barabarta (të ndryshme prej zeros) dhe eksponent të barabartë? Cila është vlera numerike e fuqisë me çfarëdo bazë a ¹ 0 dhe eksponent 0?

3. Njehso herësat e fuqive:

1. Njehso prodhimet e fuqive x5 × x15 =

Shprehe rregullën për shumëzimin e fuqive me baza të barabarta. Sqaro si pjesëtohen fuqitë me baza të barabarta.

2×3 -6× 2

;

+ 5 × (75 : 72) =

; .

Operacionet me fuqi

5. Njehso herësint 6.

N N

për k = 2 dhe për k = -2. Sa bakterje ka?

Numri i bakterjeve te ndonjë prodhim dy herë zmadhohet në çdo 6 minuta. Sa bakterje do të ketë te prodhimi për 1 orë, nëse në fillim ka pasur një bakterje?

FUQIZIMI I FUQISË, PRODHIMIT DHE HERËSIT

Kujtohu!

Fuqia a3 shkruhet si prodhim kështu: a3 = a × a × a

Vëre se 23 paraqet bazën e fuqisë, kurse shënimi (23)4 - fuqizimi i e fuqisë.

a) (-6) =

;

c) (x + y) 3 =

Shënimi (23)4 paraqet fuqi. Çka është baza, kurse çka eksponenti i fuqisë?

Shkruaj si prodhim këto fuqi: 2

| b) o ¸ =

; Shkruaje fuqinë (23)4 si prodhim të shumëzuesëve të barabartë.

;

Shkruaje rregullën për shumëzimin e fuqive me baza të barabarta.

Fuqina e shkruar si prodhim është: (2 3 ) 4 = 2 3 × 2 3 × 2 3 × 2 3 .

A mundet fuqinë (23)4 ta shkruajsh si fuqi me bazë 2? A mund të vërejsh mënyrë të shkurtër për fuqizimin e fuqisë (23)4? Fuqia fuqizohet ashtu që baza e fuqisë fuqizohet me prodhimin e treguesëve të fuqive.

Është lehtë! (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = = 23+3+3+3 = 212. Ose (23)4 = 23 × 4 = 212.

Domethënë, baza përshkruhet, kurse eksponentet shumëzohen.

(a m)n = a m × n 2.

Vëre shembullin: (x 4 ) 2 = x 4 × 2 = x 8 .

Fuqizoi fuqitë:

(0,23)2 =

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

;

| | oo ¸ ¸ =

;

((ab)2)4 =

| | | | | | | Shqyrto shembullin: o ¸ × oo ¸ ¸ = × o ¸ = × o ¸ = o ¸ = o ¸ .

Thjeshtoi shprehjet:

;(-4)8 : ((-4)2)4 =

Cakto vlerën numerike të: a)(3×5) 2 = dhe b) 3 2 × 5 2 =

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: a) (3 × 5) 2 = 15 2 = 15 × 15 = 225. b) 3 2 × 5 2 = (3 × 3) × (5 × 5) = 9 × 25 = 225. Çka përfundon për vlerat numerike të a) dhe b)? Vëren se (3 × 5) 2 = 3 2 × 5 2 . Në përgjithësi, fuqia e prodhimit është e barabartë me prodhimin e shumëzuesëve të fuqizuar me treguesin e dhënë, d.m.th.

Domethënë, prodhimin e fuqizoj ashtu që fuqizoj çdo shumëzuesë dhe fuqitë e fituara i shumëzoj.

(a × b)n = an × bn.

Shqyrtoi shembujt:

a) (x × y) 3 = x 3 × y 3 ;

b) (p 4 × k) 2 = (p 4 ) 2 × k 2 = p 8 × k 2 .

Fuqizoi prodhimet: a) (a × b × c)10 =

;

b) (4xy)2 =

;

c) (-ax)4 =

;

| | e) oo ¸ S ¸ =

ç) -(ab) =

;

d) (7x ) = 2 6

Cakto vlerën numerike të:

| a) o ¸ =

dhe

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: a) o

| × × = = . ¸ =

= .

Çka përfundon për vlerat numerike të a) dhe b)? Vëren se o

| = ose (2 : 3)3 = 23 : 33. ¸

Operacionet me fuqi

Në përgjithësi, fuqia e herësit është e barabartë me herësin e të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit të fuqizuar me treguesin e dhënë, d.m.th.

Domethënë, kur fuqizoj herës i fuqizoj të pjesëtueshmin dhe pjesëtuesin (ose numëruesin dhe emëruesin) në veçanti dhe fuqitë e fituara i pjesëtoj.

D| DQ o ¸ = Q ; b ¹ 0. E E

a) o

[| \¸

N N | N N b) o ¸ = = = . S S S S

| Shqyrtoi shembujt: a) o ¸ = = ; [ [ [ Fuqizoi herësat:

;

b) o

| ¸ = [

;

c) (c : 2)3 =

;

ç) (x3 : y7)2 =

;

d) (2m : 3n)4 =

Vëre thjeshtimin e shprehjes (x4)3 : x2 me zbatimin e operacioneve me fuqi. (x 4 ) 3 : x 2 = x 4 × 3 : x 2 = x 12 : x 2 = x 12 - 2 = x 10 . Thjeshtoi shprehjet: a)

D D D

;

b) (y13 × y) : (y7)2 =

;

c) (b4)3 : (b4 × b3 × b2) =

;

ç) (2 × 3)4 : 63 =

Njehso vlerën e shprehjeve numerike:

| a) o ¸ × (32)3 =

10.

;

b) (2 × 3)4 : 33 =

;

c) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 =

Shprehjet e dhëna shkruaj si fuqi me bazë 2, por sëpari shqyrto shembullin e zgjidhur. a) 27 : 42 =

;

Shembull: 164 : 83 = (24)4 : (23)3 = = 24 × 4 : 23 × 3 = 216 : 29 = 216 - 9 = 27.

Duhet të dish: të shprehish rregullën për fuqizimin e prodhimit, herësit dhe fuqisë Fuqizimi i fuqisë

Fuqizimi i herësit

(a × b)n = an × bn

(a : b)n = an : bn; b ¹ 0

Fuqizimi i fuqisë (am)n = am × n

t'i zbatojsh mënyrat për fuqizim të prodhimit, herësit dhe fuqisë te detyrat.

Kontrollohu!

Kryej fuqizimin e çdo shprehje: | (x3y4)5 = ; o ¸ = [

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

;

| o ¸ =

Detyra 4. Shkruaje fuqinë a18, si fuqi me bazë:

1. Fuqizoi prodhimet: (a3b)2 =

;

(ay3b5)2 =

(x4y3)7 = ;

a) a2;

;

(7a6b4)9 =

5. Cakto vlerën e shprehjeve:

)

(

;

)

D F | 5 o ¸ = E

(

(o ED ¸|) ; S o( S |¸) ; [\

6. Prodhimet e dhëna prej fuqive, shkruaj si fuqi

D D | [ [ | a) o për a = 3; b) x = 2. ¸ për b)o ¸ përpër D D [ [

3. Shkruaje herësin si fuqi:

c) a9.

2. Fuqizoi herësat: [ \ | 5 o ¸ = D

b) a6;

prej prodhimeve.

a) a2b2 =

;

c) x8 y4 z12 =

;

b) 36x6 =

;

ç) 8x9 y6 =

KATRORI DHE RRËNJA KATRORE E NUMRIT RACIONAL

KATRORI I NUMRIT. RRËNJA KATRORE

Kujtohu

S= a×a

A Mate dhe shkruaj gjatësinë e brinjës së katrorit në vizatim.

Njehso prodhimet:

5 × 5 =

;(-4)×-4) =

;

× =

Shkruaj si fuqi këto prodhime:

Njehso syprinën e katrorit dhe shkruaje në mm2. Njehso syprinën e katrorit me brinjë

cm.

a) 7 × 7 × 7 = c) 6 × 6 = d) x×x =

; ;

;

× × × =

ç) (-0,5) × (-0,5) = e) ab × ab =

;

Vëre Prodhimi i dy shumëzuesëve të barabartë quhet katror i atij shumëzuesi.

Katrori dhe rrënja katrore e numrit racional

;

Caktimi i vlerës numerike të katrorit të numrit quhet kuadrim. Në përgjithësi, për çdo numër racional x, prodhimi x × x, shkurtimisht shkruhet si fuqi x2. x × x = x2 (lexohet: ,,iks në katror") x2 është katror i numrit racional x.

Shkruaje në formë të prodhimit prej dy shumëzuesëve të barabartë:

3 =

;

4 = 2

;

(-5) =

;

| o ¸ =

(0,5) =

;

Njehso:

6 = 2

;

(0,1)2 =

(-0,1)2 =

; 2 ; -10.

Kuadroje çdonjërin prej numrave: 2; -2; 1;

;

| ¸ =

Njehsoi katrorët e shkruar:

3 = 2

;

| o ¸ =

;

| ¸ =

Vëre se te çdonjëri nga shembujt rezultati është numër pozitiv ose zero.

;

02 =

Mbaj mend: Për çdo numër racional x i ndryshueshëm nga zero, numri x2 është numër pozitiv, por është 0 për x = 0.

Vërej shembujt për kuadrim me kalkulator: a) 7 = 7

| ¸ =

b) o

: 5 ± ×

-0.2

;

0.04

Kkuadro me kalkulator:

a) 123 = 2

;

-46 =

;

b) (0,3) = 2

Njehsoi vlerat të shprehjeve numerike, kurse pastaj kryeje provën me kalkulator. a) 4122 - 5 ×792 =

b) 40,42 - 10 × 2,282 =

Syprina e një katrori është 81 cm2. Cakto gjatësinë e brinjës së katrorit.

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

| ¸ =

Vëre vizatimin

81 cm2 x

Gjatësia e brinjës së katrorit le të jetë x. Syprina e katrorit është S = x × x ose S = x2.

Domethënë duhet ta caktojmë vlerën për x, ashtu që x × x = 81. Për x = 9, është e saktë se 9 × 9 = 81, por edhe për x = (-9) është e saktë se (-9) × (-9) = 81. Pasi gjatësia është gjithmonë numër pozitiv, vijon se brinja e katrorit është 9 cm.

Syprina e katrorit është x2 = 81. Që ta njehsojmë brinjën e katrorit duhet ta zgjidhim barazimin x2 = 81.

Shqyrtoe shembullin: Numrat 4 dhe -4 janë zgjidhje të barazimit x2 = 16, pasi 42 = 4 × 4 = 16 dhe (-4)2 = (-4) × (-4) = 16. Provo vallë numrat

| dhe o . ¸ janë zgjidhje të barazimit x2 =

Cakto zgjidhjet e: a) x2 = 1;

b) x2 =

Unë kam dy zgjidhje

Unë jam pozitiv.

Caktoi vetëm zgjidhjet pozitive të barazimeve: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.

Vëre Zgjidhjet jo negative të barazimit x2 = a; a ³ 0, quhet rrënja katrore e a dhe shkruhet

Shqyrto shembullin:

| pasi o ¸

Shenja

te shënimi D , numri a është baza e rrënjës ose madhësia nënrrënjësore.

Cili numër është rrënjë katrore prej: 49, 25, 16 dhe

10.

Vërteto se janë të sakta barazimet: a)

= 20;

= 11;

është shenja për rrënjën katrore, kurse

= 0,2;

ç)

= 0,5.

Katrori dhe rrënja katrore e numrit racional

11.

Mbaj mend! D = b (a ³ 0), nëse b2 = a (b ³ 0).

Vëre dhe sqaro skemën e dhënë. NJA KATRO RRË RE

Domethënë, që të njehsoj rrënjën katrore prej a duhet ta caktoj numrin jo negativ b katrori i të cilit është i barabartë me numrin a.

KATRORI

12.

Njehso vlerën numerike të shprehjeve: 4×

13.

;

-2 ×

;

(-0,3)2 =

Shqyrtoi shembujt për caktimin e rrënjës katrore me kalkulator. 2.5 .

7 ; b) 6,25

a) 49 Njehso me kalkulator:

;

Bëje provën e rezultateve duke kuadruar.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të caktojsh numër racional; të caktojsh zgjidhje të barazimit të formës x = a; 2

me kalkulator të njehsojsh katror dhe rrënjë katrore të numrit.

1. Njehso: ;

b) 82 + (4 × 8 : 4) =

;

Provo

a është zgjidhje e barazimit x2 = .

(1,6)2 =

;

= 2,3.

2. Cakto x te barazimet:

a) (16 - 13)2 : 2 =

32 =

Provo a është e saktë:

Detyra

Njehso:

;

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

a) x = 144; 2

b) 2x = 72; 2

[ c) + 2 = 20.

3. Njehso gjatësinë e brinjës së katrorit me syprinë 324 cm2.

Unë dij të njehsoj katror të numrit në tjetër mënyrë! Vëre se si janë njehsuar katrorët: 22 = 3 × 1 + 1 = 4;

32 = 4 × 2 + 1 = 9;

42 = 5 × 3 + 1 = 16;

52 = 6 × 4 + 1 = 25.

Zbulo rregullën e njehsimit. Shkruaj: 62, 72 dhe 82 në këtë nënyrë. Njehso 192, 312 dhe 992 duke shfrytëzuar mënyrën e dhënë. Provoi rezultatet e tua duke kuadruar.

NJEHSIMI I RRËNJËS KATRORE - nuk është e obligueshme

Kujtohu! Te tabela janë dhënë vlerat për numrin a. Caktoi katrorët e atyre numrave. a a2

;

100

Duke i shfrytëzuar vlerat nga tabela njehso: =

A 1.

;

× =

Duhet të dish të vlerësojsh sa shifra do të ketë rrënja katrore e numrit të dhënë. Shqyrtoi të dhënat te tabela. Sa shifra ka rrënja katrore e numrit: a) 5625 ; b) 1 000 000 ; c) 625 × 108? Njehso me kalkulator dhe kontrolloje përgjigjen tënde për numrat a) dhe b).

Numri a

Rrënja katrore D

Njëshifrorë ose dyshifrorë

njëshifrorë

Treshifrorë ose katërshifrorë

dyshifrorë

Pesëshifrorë ose gjashtëshifrorë

treshifrorë

Shembull

= 5 = 11

= 60 = 101 = 800

...

Katrori dhe rrënja katrore e numrit racional

Me kujdes ndiqe shembullin 1. Do të mësojsh të njehsojsh rrënjë katrore të numrit pa kalkulator.

B Shembulli 1.

= 3 -9 2

e parë e rrënjës nga numri është shifra 3 dhe fitohet si numër katrori i të F Shifra cilit është më afër deri te 11 ose më i vogël se 11 (klasa e parë nga e majta). Pastaj prej klasës së parë zbritet katrori i numrit 3, d.m.th. 3×3=9.

= 34 -9 29 7 : 64 × 4 - 25 6 41

= 346 -9 29 7 : 64 × 4 - 25 6 411 6 : 686 × 6 - 411 6 0

Shembulli 2. = 23,6 -4 15 6 : 43 × 3 - 12 9 279 6 : 466 × 6 279 6 0

nënrrënjësore e dhënë ndahet në klasa prej të djathtës në të majtë F Madhësia nga dy shifra në klasa (klasa e parë nga e majta mund të ketë edhe një shifër).

te ndryshimi i fituar 2 (11 - 9 = 2) nga e djathta shkruhet klasa vijuese (97) F Deri dhe fitohet numri 297 prej të cilit ndahet shifra e fundit (7).

Numri dyshifrorë 29 pjesëtohet me prodhimin e dyfishtë të shifrës së parë nga rezultati, 3 × 2 = 6. Poashtu 29 : 6 = 4 dhe numri 4 është shifra e dytë nga rezultati. Shifra 4 përshkruhet te 6 (fitohet 64) dhe kështu numri i fituar shumëzohet me 4, kurse prodhimi i fituar zbritet prej 297.

ndryshimit nga zbritja (297 - 256 = 41) përshkruhet klasa vijuese (16). F Pranë Fitohet numri 4116 prej të cilit ndahet shifra e fundit - shifra 6 (fitohet numri

411) dhe kështu numri i fituar pjesëtohet me dyfishin e prodhimit të numrit nga shifra e parë dhe e dytë të rrënjës (34 × 2 = 68). Poashtu fitohet (411 : 68 = 6) shifra e tretë e rrënjës. Ajo përshkruhet pranë 68 dhe kështu numri i fituar shumëzohet me atë; fitohet (686 × 6 = 4116) prodhim i cili zbritet nga numri i dhënë. Mbetja nga ky pjesëtim është 0.

Mënyra e ngjashme për numrin dhjetor. Ndryshimi i vetëm është që ndarja në klasa është në dy kahe: prej presjes dhjetore nga e majta nga dy shifra dhe nga e djathta nga dy shifra. Nëse klasa e fundit nga e djathta ka vetëm një shifër, përshkruhet 0. Vëreve se para se të lëshohet klasa e parë e dhjetoreve, te rezultati vëndohet presja.

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

Nëse pas lëshimit të klasës së fundit ka mbetje, mënyra mund të vazhdohet, ashtu që shton klasa nga dy zero, kurse te rezultati vëndon presje.

Shembulli 3.

= 25,59 » 25,6

-4 25 5 : 45 × 5 - 22 5 300 0 : 505 × 5 - 252 5 4750 0 : 5109 × 9 - 4598 1 1519

Duke shtuar kështu vazhdimisht klasa nga dy zero mënyra mund të vazhdon. Rrënjën katrore të numrit e njehson deri te numër i caktuar i dhjetoreve.

Njehso: a)

;

Te rasti nën c) rrethoe rezultatin në një dhjetore.

Duhet të dish: të caktojsh rrënjë katrore të numrit të dhënë pozitiv.

Kontrollohu! Njehso:

;

Sa shifra ka numri që është rrënja katrore e numrit pesëshifrorë? Cakto dhe kontrollo rezultatin me kalkulator.

Detyra 1. Caktoi numrat katrori i të cilëve është ndërmjet: a) 4 dhe 9;

b) 9 dhe 16.

Sqaro përgjigjen.

2. Shkruaj nga dy numra të plotë që janë më afër deri te vlera e këtyre rrënjëve katrore:

;

3. Kontrollo a është e saktë

4. Kontrollo cila nga barazimet është i saktë:

;

ç)

;

5. Sa është perimetri i katrorit syprina e të cilit është 25 cm2?

Katrori dhe rrënja katrore e numrit racional

NUMRAT REALË

NUMRAT IRACIONALË

Kujtohu!

Një katror e ka syprinën 2 cm2. Sa është gjatësia e brinjës së tij?

Numrat racioalë janë numrat që mund të

D , ku a dhe b E janë numra të plotë dhe b ¹ 0. Bashkësia e numrave racionalë shënohet me Q dhe

Vëre zgjidhjen. Pasi S = a2, vlera numerike e gjatësisë së brinjës

D | a, b Î Z, b ¹ 0}. E Çdo numër racional mund të paraqitet si numër i fundshëm dhjetor ose si numër dhjetor periodik.

Por,

shkruhen në formë të thzesës

Q={

është numër i atillë që a2 = 2, d.m.th. a = a është numër i plotë?

1< < 2 pasi 12 = 1 dhe 22 = 4. Prandaj, nuk është numër i plotë.

1,4 <

= 1,666...; = 0,2777... janë numra dhjetor periodik.

Me vlerësim dhe provë mund të caktohet:

Numrat: a) 15; 4,27 janë numra të fundshëm dhjetor;

< 1,5; 1,41 <

< 1,42, ...

Domethënë, gjatësia e brinjës së katrorit është ,,numër" ndërmjet 1,41 dhe 1,42.

Me kalkulator mund të njehsohet se » 1,4142135..., d.m.th. është numër dhjetor i pafundshëm joperiodik.

Pasi çdo numër racional paraqitet si numër dhjetor i fundshëm ose numër dhjetor i pafundshëm periodik, përfundojmë se

nuk është numër racional.

Çdo numër dhjetor që ka pafund shumë dhjetore është joperiodik dhe quhet numër iracional. Kështu,

është numër iracional.

Edhe numrat: , , , - , - etj. paraqiten si numra dhjetor të pafundshëm që janë joperiodik, pra edhe ato janë numra iracionalë.

Numrat iracionalë te shënimi dhjetor i shkruajmë me vlerë të përafërtë.

Me kalkulator cakto vlerat e përafërta të numrave iracionalë në shënimin dhjetor me dy dhjetore. ; = ; = ; = . = Bashkësia e numrave iracionalë shënohet me shkronjën I.

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

Duke i shfrytëzuar vlerat e

Provo a vlen jobarazimi 10 < < 11.

Cakto vlerën e përafërtë të:

vlerëso vlerën

dhe

dhe provoe vlerësimin tënd me kalkulator.

me saktësi të një vendi dhjetor; me saktësi deri 2 vende dhjetore.

A ekziston segment gjatësia e të cilit e ka numrin matës

Shqyrtoe vizatimin dhe ndiqe sqarimin. Brinja e katrorit AKBS e ka gjatësinë 1 cm, pra syprinën e ka SAKBS = 1 × 1 = 1.

F F Diagonalja e katrorit AKBS është brinja e katrorit ABCD. të tregohet se katrori ABCD ka dy herë syprinë më të madhe nga F Mund =2×S =2 × 1 = 2. syprina e katrorit AKBS, d.m.th. S ABCD

AKBS

Cakto gjatësinë e brinjës së katrorit ABCD, nëse syprina është 2 cm2.

Domethënë, ekziston segment me gjatësi

Kujtohu te detyra 1. Katrori me syprinë 2 e ka brinjën me gjatësi

, kurse ai është AB.

Nëse dëshiron më shumë të dish...

Vëre se si është paraqitur në drejtëzën numerike numri iracional

segmentin 2$ = 1 konstruktohet katror. F Mbi Syprina e tij është 1. 1

- -2

O -1

e katrorit (gjatësia e saj) bartet në F Diagonalja drejtëzën numerike.

Largësia prej O deri te pika e fituar në kahen pozitive është

- -3

-2

-1

është - .

, kurse në kahen negative

se F Vëren 1 < < 2;

-2 < - < -1.

Numrat realë

Duhet të dish: Kontrollohu!

cili numër quhet numër iracional.

Shkruaj 4 numra që janë iracionalë.

Detyra 1.

Cilët prej numrave

;

Numrat iracionalë që janë dhënë te shprehjet numerike rrethoni në dy vende dhjetore.

janë iracionalë?

Cakto vlerën numerike të shprehjeve:

Provo zgjidhjen duke njehsuar rrënjët katrore me kalkulator.

2. Paraqiti në drejtëzën numerike këto numra: -3; - ; 0; 0,5;

a) 4 +

c) 3 ×

; 2; 3 dhe 4.

ç)

;

; ;

BASHKËSIA E NUMRAVE REALË

Kujtohu!

Deri më tani mësove të mbledhish, zbresish, shumëzojsh dhe pjesëtojsh numra, fuqi dhe rrënjën katrore të numrit.

N është bashkësia e numrave natyrorë: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Z është bashkësia e numrave të plotë: Z = { ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Njehso:

Q është bashkësia e numrave racionalë:

a) 106 - 95 =

D | a, b Î Z, b ¹ 0}. E

ç) 9 - 15 =

Q={

f) 1 : 2 =

; b) 47 × 102 = ;

;

d) 135 : 5 = g) 63 =

;

; ;

c) 316 + 316 =

;

e) 816 - 816 =

;

h)1 : 3 =

Cakto cilës bashkësi të numrave i takon vlera e çdonjërit nga shprehjet numerike. Vëreve se:

vlerat e shprehjeve a) , b), c), d) dhe g) janë elemente të N; vlerat nga a) deri te e) dhe g) janë elemente të bashkësisë Z; vlerat e të gjitha shprehjeve nga a) deri te h) janë elemente të bashkësisë Q.

Cakto zgjidhjen e barazimit x2 = 3. Barazimi x2 = 3 a ka zgjidhje që është element i bashkësisë Q? Vëreve se x2 = 3 ka zgjidhje x =

dhe x = -

është numër iracional dhe nuk është element i Q. Cilës bashkësi u takojnë numrat: , dhe ?

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

Sipas elementeve të bashkësisë: N - numrat natyrorë, Z - numrat e plotë, Q - numrat racionalë dhe I - numrat iracionalë, përgjigju në pyetjet: Çdo element nga N a i takon edhe Z?

Çdo element nga Z a i takon edhe Q?

Çdo element nga N a i takon edhe Q?

Çdo element nga Q a i takon edhe I?

Disa elemente nga Q a i takojnë edhe I?

Vëre diagramet e venit:

Për bashkësitë N, Z, Q dhe I vlen: N Ì Z Ì Q dhe Q Ç I = Æ Z

Bashkësia elementet e së cilës janë të gjithë numrat iracionalë quhet bashkësia e numrave realë dhe shënohet me R.

R=QÈI

Cakto cilës bashkësi i takon çdonjëri nga numrat: 2; 106; -53; 0,002;

E -5

Për çdo numër realë ekziston një pikë në drejtëzën numerike.

-4

-3

Te drejtëza numerike paraqiti numrat: - 2; -

Duhet të dish:

; 0;

;

; 2; 3

; 4,5.

A është i saktë pohimi: Nëse numri a është element i bashkësisë së numrave të plotë Z, atëherë ai numër është element edhe i Q edhe i R. Sqaro!

të përmendish shembuj të numrave realë.

Detyra 1. Janë dhënë numrat: ; - 2; - ; - ; 0; 1; 2; Cilët numra janë elemente të N? Cilët numra janë elemente të Z? Cilët numra janë elemente të Q? Cilët numra janë elemente të R?

1,5 2

; -

Kontrollohu!

cilët numra janë elemente të bashkësisë R;

- ; -

; 6,6666; -1028937.

Në drejtëzën numerike janë shënuar pika. Cila prej tyre i është shoqëruar numrit racional, kurse cili numrit iracional?

-2 - -1 -

; -

2. .

Çka është e saktë: a)

është numër iracional;

b) - është numër real; c) është numër iracional dhe racional; ç) 7 është numër natyrorë, numër i plotë, numër racional dhe numër real.

Numrat realë

MËSOVE PËR FUQITË. RRËNJA KATRORE. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE 1. Cili numër është baza, kurse cili eksponenti i fuqisë 53 ?

a) Paraqiti në formë të fuqive këto prodhime: 3×3×3×3×3×3 =

;

b) Paraqiti në formë të prodhimit këto fuqi: x 7=

; (-2) 3 =

a) (ab)3 =

;

b) 2,103 =

a) 8 - 2 × 3 + 4 =

b) 32 - (23 + 1) + 200 × 0,12 =

Cakto herësin e fuqive: a) a15 : a5 =

b) (a + 1)3 × (a + 1) = .

;

[ [

a) -22 ×

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

; .

[ [ shkruaje si fuqi me bazë x. [

Njehso vlerën numerike të shprehjes:

;

b)15-2 3(3 2-3 )-7 =

13. Zgjidhe barazimin b) x2 + 15 = 96.

14. Njehso me kalkulator: =

;

15. Janë dhënë numrat: ; 0,5; ; ; 3,2(7); 12. Cili prej numrave i takon: a) N; b) Z; c) Q; ç) I; d) R. -3; -

ç) §¨ ·¸ = ©D¹

;

12.

Cakto prodhimin e fuqive: a) x7 × x3 = ;

;

b) (2x3y)4 =

Shprehjen

a) 3x2 = 48;

;

11.

Cakto vlerën numerike të shprehjes: 2

c) (x2 : y)3 =

Shkruaje numrin në formë të prodhimit prej numrit natyror dhe fuqi me bazë 0,1. a) 0,00025 =

;

Shkruaje numrin në formë të prodhimit prej numrit natyror dhe fuqi me bazë 10. ;b) 7 050 000 =

;

10. Kryej fuqizimin e prodhimeve dhe herësave:

Njehso vlerën e fuqisë me bazë (-5) dhe eksponent:

a) 25 000 =

;(x - y) 5 =

a) 4; b) 3; c) 1; ç) 0.

§ § · · c) ¨ ¨ ¸ ¸ = ¨© ¹ ¸ © ¹

;

(a-1)(a-1)(a-1) =

9. Kryej fuqizimin e fuqisë.

TEMA 3.

POLINOMËT

MONOMËT DHE POLINOMËT 1. Shprehja 2. Monomët 3. Mbledhja dhe zbritja e monomëve 4. Polinomët 5. Shumëzimi dhe fuqizimi i monomëve 6. Mbledhja dhe zbritja e polinomëve 7. Shumëzimi i polinomit me monom 8. Shumëzimi i polinomëve 9. Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve 10. Katrori i binomit 11. Pjesëtimi i monomëve. Pjesëtimi i polinomit me monom

(A + B)2

58 63 67 69 73 74 76 78 81 83 86

12. Pjesëtimi i polinomit me polinom 13. Shprehjet racionale ZBËRTHIMI I POLINOMËVE NË SHUMËZUESË 14. Zbërthimi i polinomit duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapave dhe me grupim 15. Zbërthimi i polinomit të formës A2 - B2 në shumëzuesë të thjeshtë 16. Zbërthimi i polinomit të formës A2 + 2AB + B2 dhe A2 - 2AB + B2 në shumëzuesë të thjeshtë PUNA ME TË DHËNA 17. Mbledhja e të dhënave Kontrollo njohurinë tënde

88 90

93 95

97 99 102

A2 + 2AB +B2

Monomët dhe polinomët

MONOMËT DHE POLINOMËT

SHPREHJE

Kujtohu!

Shënimet: 5 × 4 - 2; 7,5 - 3,8 : 2 + 22; 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 × 2 janë shprehje numerike.

Sipas cilës radhitje do t'i kryejsh operacionet te shprehjet e dhëna numerike?

Njehso vlerën e shprehjeve: 3 × 8 - 2,5 × 6 + 8 : (-4);

. Te shprehjet e dhëna sëpari kryej operacionin shumëzim dhe pjesëtim, kurse pastaj operacionet mbledhje dhe zbritje.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 3 × 8 - 2,5 × 6 + 8 : (-4) = 24 - 15 - 2 = 9 - 2 = 7, d.m.th. vlera e shprehjes është 7; ¸

F , d.m.th. vlera e shprehjes është 3. Numri që fitohet pasi që të kryhen të gjitha operacionet te shprehja e dhënë numerike quhet vlera numerike e shprehjes.

Njehso vlerën numerike të shprehjes

Sa është vlera e shprehjes te emëruesi? Me atë numër a mund të kryhet pjesëtimi?

Vlera e shprehjes 10 : 2 - 5 = 0, me zero nuk pjesëtohet, d.m.th. pjesëtimi me zero nuk ka kuptim.

Për shprehjen numerike te e cila ka pjesëtim me zero thuhet se nuk ka vlerë numerike ose nuk ka kuptim.

Cakto cila prej shprehjeve të shkruara nuk ka vlerë numerike: 36 - 9 × 4

(3 × 5 - 15) : 8;

Tema 3. Polinomët

;

Njehso vlerën numerike të këtyre shprehjeve: a) 12 - 2 × 5 + 30 : 6;

b) 6 - 4 : 2 + 7;

c) 52 - 3 × 8 + 18 : 3.

Cilat prej shprehjeve të dhëna kanë vlera numerike të barabarta? Vëre se shprehjet a) dhe c) kanë vlera numerike të barabarta. Për shprehjet numerike të cilat kanë vlera numerike të barabarta thuhet se janë shprehje numerike të barabarta.

Është dhënë shprehja numerike 15 - 32 + 2,4 × 5 - (3,6 - 1,2) : 2. Prej çka përbëhet shprehja numerike e dhënë? Vëre se kjo shprehje numerike (edhe shprehje tjera numerike që i ke mësuar) përbëhet prej numrave, prej operacioneve: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim dhe fuqizim me eksponent numër natyror, si edhe me kllapa. Numrat: 15, 3; 2,4; 5; 3,6 janë konstante. Konstante janë edhe: thuhet se konstante janë objekte të sakta matematikore.

Kujtohu!

, këndi i drejtë, {1, 2, 3, 4}. Mund të

Le të jetë DABC: b = 9 cm dhe c = 5 cm.

Perimetri i trekëndëshit barabrinjës njehsohet me ndihmën e shprehjes 3 × a.

Sa mund të jetë gjatësia e brinjës a?

Me cilat simbole është formuar kjo shprehje? Çka paraqet çdonjëra prej këtyre shprehjeve? Çka paraqet çdonjëri prej simboleve? A mundet a të jetë: 5; 27; 3,2; ?

Cilët numra i zëvëndëson shkronja a, nëse numri i tij matës është numër natyror? Cilat jobarazime vlejnë për brinjët a, b dhe c te trekëndëshi? Gjatë zgjidhjes së detyrave zbatoi ato.

Për brinjët te trekëndëshi vlejnë jobarazimet: a < b + c dhe a > b - c.

F Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a < 9 + 5, a < 14; a > 9 - 5, a > 4.

Vëre se shkronja a është zëvëndësim për numrat: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13.

Le të jetë x shenjë për elementet e bashkësisë {1, 2, 3, 4, 5}. Cilat konstante i zëvëndëson shkronja x? Vëre se shkronja x është zëvëndësim për numrat 1, 2, 3, 4 dhe 5. Çdonjëri nga këto numrave është vlera e tij.

Monomët dhe polinomët

Ndryshorja është simbol (më së shpeshti shkronjë) e cila është shenjë e përbashkët për elementet të bashkësisë së dhënë. Bashkësia quhet domen i ndryshores (më së shpeshti shënohet me D), kurse çdo element i tij paraqet vlerë të ndryshores. Nëse nuk është dhënë domeni i ndryshores do të llogarisim se ajo bashkësi është R të numrave realë.

Cakto domenin e çdonjërës prej ndryshoreve te detyrat paraprake.

Vëre dhe mbaj mend , -9, , ... janë shprehje. Ndryshoret: x, y, z,... , a, b, c, ... janë shprehje.

Konstantet: 1, 2, 0,

[ edhe të tjera, të formurara prej konstanteteve dhe [ ndryshoreve me ndihmën e shenjave për operacione, janë shprehje.

Shënimet: 3 + 5 × 2, x + y2, x × (y - 4),

Nëse te shprehja ka ndryshore, atëherë ajo quhet shprehje me ndryshore.

Cila prej këtyre shprehjeve është shprehje me ndryshore: 3 × 8 - 42;

5x - 2;

[ - 3y;

Shprehja me ndryshore 5x - 2 mund të shënohet me A(x) = 5x - 2.

10.

Njehso vlerën e shprehjes A(x) = x2 - 2x - 3 për x = -2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. x2 - 2x - 3 = (-2)2 - 2 × (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5, d.m.th. numri 5 është vlera e shprehjes x2 - 2x - 3 për x = -2 ose A(-2) = 5. Shprehjes së dhënë me ndryshore i përgjigjet shprehje numerike përkatëse, nëse ndryshorja zëvëndësohet me vlerë të caktuar, vlera e shprehjes numerike është vlera numerike e shprehjes me ndryshore.

11.

Njehso vlerën e shprehjes. 5x - 2 për x = 2;

Tema 3. Polinomët

2x - y për x = 7,2 dhe y = 6,8.

12.

[ . [ Caktoi vlerat e A(x) dhe B(x) për x Î {-2, -1, 0, 1, 2} = D. Le të jenë dhënë shprehjet: A(x) = x2 - 4x - 5 dhe B(x) =

Vëre në tabelë zgjidhjen e detyrës.

-2

-1

A(x)

-5

-8

-1

-2

-5

-9 nuk ka vlerë

B(x)

Prej tabelës vëren se bashkësia e vlerave të shprehjes A(x) = x2 - 4x - 5 në domenin e ndryshores D = { -2, -1, 0, 1, 2} është bashkësia M = {7, 0, -5, -8, -9}. Bashkësia e vlerave të shprehjes B(x) =

[ për x Î { -2, -1, 0, 1} është N = { - , -1, -2, -5}. [

Për cilën vlerë të x Î D shprehja B(x) nuk ka vlerë?

13.

Le të jenë dhënë shprehjet: A(x) = x2 + 2x dhe B(x) = x(x + 2). Cakto bashkësinë e vlerave të A(x) dhe B(x), nëse x Î {-2, -1, 1, 2} = D. Krahasoe bashkësinë e vlerave të A(x) dhe B(x). Çka vëren?

Vëre në tabelë zgjidhjen e kësaj detyre. x

-2

-1

A(x)

-1

B(x)

-1

Vëren se për çdo vlerë të x Î D, A(x) = B(x). Shprehjet me ndryshore që kanë vlera numerike të barabarta për çdo vlerë të ndryshores nga domeni quhen shprehje identike.

14.

Janë dhënë shprehjet A(x) = x2 -3x dhe B(x) = x(x - 3), me domen D = {1, 2, 3, 4}. Provo shprehjet A(x) dhe B(x) a janë identike.

Nëse dy shprehje identike janë të lidhura me shenjën për barazim (=) fitohet barazim që quhet identitet.

15.

Shkruaje identitetin nga detyra 14.

Monomët dhe polinomët

Duhet të dish: Kontrollohu!

të njehsohet vlera e shprehjes numerike;

Njehso vlerën numerike të këtyre shprehjeve:

të dallojsh shprehje numerike prej shprehjes me ndryshore;

;

çka është: konstantja, ndryshorja dhe domeni i ndryshores.

Janë dhënë shprehjet: A(x) = 6x - 3x2 dhe B(x) = 3x (2 - x), me domen D = {1, 2, 3, 4}. Trego se barazimi A(x) = B(x) është identitet.

Detyra 1.

Njehso vlerën numerike të këtyre shprehjeve: b) - 2,5; a) 5 + 3 × 22 - 12; ; ç) . c)

;

ç)

Cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje me ndryshore:

[ ; [

b) 32 × 2 - 1; ç)

[ ?

Njehso vlerën numerike të shprehjes x2 - 3x + 5 për x = -2.

Tema 3. Polinomët

Për cilën vlerë të x shprehja vlerë?

[ nuk ka [

Te bashkësia D = {1, 2, 3, 4} janë dhënë shprehjet: A(x) = 2x2 - 4x dhe B(x) = 2x(x - 2). Trego se shprehjet A(x) dhe B(x) janë identike.

Trego se barazimi 4x2 - 4 = 4(x2 - 1), për x Î {0, 1, 2, 3}, është identitet.

Janë dhënë shprehjet: A(x) = 3x - 6, B(x) = 3(x - 2) dhe C(x) = 3(x - 6), ku x Î {0, 1, 2, 3, 4}.

Cakto cila prej këtyre shprehjeve numerike nuk ka vlerë numerike;

a) a + 2;

Cakto cili prej barazimeve: A(x) = B(x), A(x) = C(x) ose B(x) = C(x) është identitet.

MONOMËT

Kujtohu! 3a; 2x3y2; x3 - 5;

3 [ xy ; \ ;

[ [

Janë dhënë shprehjet: 5x2;

2 2 xy;

2ab2; y3; 8; z.

janë shprehur me ndryshore. Cilat janë konstante, kurse cilat ndryshore te x; z? shprehjet: 2x; 3x2y;

Prej cilave konstante dhe ndryshore është formuar çdo shprehje? Cilat operacione përfshihen te shprehjet e dhëna?

Vëre se disa shprehje janë vetëm konstante, kurse disa vetëm ndryshore. Te shprehjet tjera ndërmjet konstanteve dhe ndryshoreve ka vetëm operacion shumëzim. Disa ndryshore janë shkruar në formë të fuqisë. Shprehjet e dhëna paraqesin monome.

Në përgjithësi Monome janë: konstante, ndryshore dhe shprehje që janë prodhim i konstanteve dhe fuqive të ndryshoreve.

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë monome dhe sqaro përgjigjen. 2x 2 y;

[ ; \

(ab) 3 ;

Kujtohu! Prodhimi i fuqive me baza të njëjta është fuqi me bazën e njëjtë dhe eksponent të barabartë me shumën e eksponenteve të shumëzuesëve. Caktoi këto prodhime: x3 × x5 × x. a4 × a2; Shumëzoi fuqitë me baza të njëjta te monomi 2a 2a 3b 2b.

x + 2;

4(z - 3) 2 ;

;

Është dhënë monomi 4xy3x2y2. Prej cilëve shumëzuesë përbëhet monomi? Me cilët shumëzuesë te monomi mund të kryhet operacioni shumëzim? Kryeje shumëzimin me ato shumëzuesë.

Nëse zbaton vetinë komutative dhe asociative të shumëzuesëve te monomi i dhënë dhe e kryen shumëzimin do të fitojsh monom identik me monomin e dhënë.

Monomët dhe polinomët

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F 4x × x × y × y = 4(x × x ) × (y × y ) = 4x y . F Vëre se monomi i fituar 4x y ka vetëm një shumëzuesë numerik dhe nuk ka fuqi me baza të barabarta. 2

3 5

Nëse te një monom është krye operacioni shumëzim me shumëzuesit e tij që është e mundur, themi se ai monom është sjellur në formën normale.

Vëre se si sillet monomi -3x2y22x3y2 në formën normale.

F -3x y 2x y = (-3 × 2)(x × x ) × (y × y ) = -6x y . 2 2

3 2

5 4

Shkruaj në formën normale këto monome: 5a2b 32a4b2;

-2x2y 33y 2x2;

2x3y3xy2(-3)xy.

Është dhënë monomi -6x5y3. Cilët shumëzuesë te monomi janë konstante, kurse cilat janë ndryshore? Vëren se monomi -6x5y3 shumëzuesi -6 është konstante, kurse ndryshoret janë x dhe y. Shumëzuesi numerik në formën normale të monomit (te rasti: -6) quhet koeficienti i monomit, kurse prodhimi nga ndryshoret (në rastin konkret: x5y3), quhet vlera kryesore e monomit.

Cakto koeficientin dhe vlerën kryesore të këtyre monomëve: 3a2b 3;

-2x2y5;

-5x2y32x3y.

Monomet: x; x2y; ab kanë koeficient një. Njëshin si koeficient nuk e shkruajmë. Cila është vlera kryesore e këtyre monomeve? Monomet: -x2; -ab; -x2y kanë koeficient -1. Shkruaje vlerën kryesore të këtyre monomeve.

Janë dhënë monomet -3x3y2 dhe 4x3y2. Vëre koeficientët dhe vlerat kryesore të dy monomëve.

Çka është e përbashkët për të dy monomët?

Tema 3. Polinomët

Të dy monomët kanë vlera kresore.

Monomët të cilët kanë vlera kryesore të barabarta quhen monomë të ngjashëm.

Cakto cili prej këtyre monomëve është i ngjashëm. 2x 5y 2;

DEF ;

[ \ ;

-2x5y2;

-3a2b5c 3;

7x5a2.

Kujtohu! Dy numra racional; me vlerë absolute të njëjtë dhe shenja të kundërta quhen numra të kundërtë.

Shkruaje numrin e kundërtë të çdonjërit prej numrave: a) -5; b) 7,8; c) ; ç) 9,25.

10.

Janë dhënë monomët e ngjashëm: -3x2y3 dhe 3x2y3. Si janë ndërmjet veti koeficientët e monomëve të dhënë?

Vëre se koeficientët e monomëve: -3x2y3 dhe 3x2y3 janë numra të kundërtë. Dy monom të ngjashëm koeficientët e të cilëve janë numra të kundërtë quhen monome të kundërtë.

11.

Shkruaje monomin e kundërtë të monomit:

12.

Cakto cil;t prej këtyre monomeve janë të kundërtë.

5a2x 3y; -7a2bc3;

-7a3b2. 7ab 2c 3;

7a2bc 3.

Te monomi 5x3y2z ndryshorja x është e shkallës së tretë, y është i shkallës së dytë dhe z i shkallës së parë. Shuma e shkallëve prej të gjitha ndryshoreve është 3 + 2 + 1 = 6; prandaj thuhet se monomi 5x3y2z është i shkallës së gjashtë.

Ç 13.

Cakto shkallën e çdo ndryshore te këto monomë: 5x 3y 2z;

2a 3b3c 2.

Vëre dhe mbaj mend Shkalla e monomit paraqet shumën e eksponenteve të ndryshoreve te monomi. Nëse monomi është konstante, atëherë llogaritet se ai ka shkallë zero.

shembull, monomi 4a bc është i shkallës së tetë, pasi 5 + 1 + 2 = 8, kurse monomi 7 është i shkallës F Për zero. 5

Monomët dhe polinomët

14.

Cakto shkallën e çdo monomi: -2x3;

5a2b;

-4x2yz;

8a2b 2c 5.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të sillet monomi në formën normale; të caktohet koeficienti dhe vlera kryesore e monomit;

Shkruaj në formën normale këto monomë; -2x2y3 × (-3)xy2 dhe caktoi koeficientët dhe vlerën kryesore të monomit;

të përkufizojsh monomë të ngjashëm dhe të kundërtë;

Është dhënë monomi -4x3y2z.

të caktojsh shkallën e monomit.

a) Shkruaj një monom të ngjashëm me monomin e dhënë. b) Shkruaj një monom të kundërtë me monomin e dhënë. c) Cakto shkallën e monomit të dhënë.

Detyra 1.

Shkruaj në formën normale këto monomë:

[ \ [\ .

-3a3b42a2c;

Cakto koeficientët dhe vlerat kryesore të këtyre monomëve:

D E F.

-4x2y3;

Shkruaj monom me koeficient -0,5 dhe vlerë kryesore a2b3.

Cakto cilët prej këtyre monomëve janë të ngjashëm:

-3a 2b2c;

[\ ] ;

2xy 2z3;

5a 2b2c.

Tema 3. Polinomët

Cakto cilët prej monomëve janë të kundërtë:

D E F;

2a2b3c;

-2ab 2c 3;

D E F.

Shkruaje monomin e kundërtë të monomit

D E F.

Cakto shkallën e çdonjërit prej këtyre monomëve: 3a2bc 3;

-2x2y;

-5a;

4x3yz.

Shkruaj dy monomë me koeficient -3 dhe ndryshore a dhe b, ashtu që njëri të jetë i shkallës së katërtë, kurse tjetri i shkallës së pestë.

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E MONOMËVE

Kujtohu!

Shuma -5 + 12 + 3 - 10 - 7 njehsohet në këtë mënyrë: -5 + 12 + 3 - 10 - 7= (-5 - 10 - 7) + + (+12 + 3) = -22 + 15 = -7.

Janë dhënë monomët: 5x2y; -2x2y dhe 3x2y.

A janë të ngjashëm ato monom? Sqaroe përgjigjen tënde. Shkruaj monomët si shumë dhe mendo se si do ta njehsojsh atë shumë.

Njehso shumën: a) 9 - 4 - 15 + 2 + 8 - 6; b) -6,5 + 2,4 + 3,1 - 4,8 - 0,5.

Vëre mënyrën për mbledhjen e monomëve të dhënë.

MËNYRA

ZGJIDHJA

Të shkruarit e shumës së monomëve:

5x2y + (-2x2y) + 3 x2y

Lirimi prej kllapave:

5x2y - 2x2y + 3 x2y

Sipas vetisë distributive

(5 - 2 + 3) x2y

Mbledhja e koeficientëve:

6x 2y

Monomi që është rezultat i mbledhjes a është i ngjashëm me monomët - mbledhësat?

Cakto shumën e monomëve: -9a3b2, 2a3b2 dhe -4a3b2.

Vëre dhe mbaj mend Shuma e monomëve të ngjashëm është monom i ngjashëm me monomët që mblidhen, me koeficient të barabartë me shumën e koeficientëve të monomëve-mbledhësave.

Cakto shumën e monomëve: 5x2y3, 4x3y2, -2x2y3 dhe -2x3y2. Te detyra ka monomë që nuk janë të ngjashëm: si do ta kryejsh mbledhjen në këtë mënyrë?

Në rastin e këtillë do t'i grupojmë monomët e ngjashëm dhe pastaj do të caktojmë shumat.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. y + 4x y - 2x y - 2x y = (5x y - 2x y ) + (4x y - 2x y ) = (5 - 2)x y + (4 - 2)x y = F 5x = 3x y + 2x y . 2 3

2 3

3 2

2 3

3 2

2 3

3 2

2 3

3 2

Monomët dhe polinomët

Kujtohu

Të zbritet numri racional b prej numrit racional a domethënë: numrit a t'i shtohet numri i kundërtë i numrit b, d.m.th. a - b = a + (-b). Njehso ndryshimin e numrave: 9 dhe -4; 9 dhe 4;

Prej monomit 9a2b4 të zbritet monomi -4a 2b 4.

Vëren se monomët që duhet të zbriten janë monomë të ngjashëm. Vëre mënyrën për zbritjen e monomëve të ngjashëm.

-9 dhe -4.

Të shkruarit e ndryshimit:

Lirimi prej kllapave

Zbatimi i vetisë distributive:

(9 + 4) a2b4

Operacioni me koeficientët:

13a2b4

9a2b4 - (-4a2b4) = 9a2b4 + (+4a2b4) 9a2b4 + 4a2b4

Monomi që është ndryshim a është i ngjashëm me monomët i zbritshmi dhe zbritësi? Të zbritet monomi B prej monomit A doemthënë monomit A t'i shtohet monomi i kundërtë i monomit B, d.m.th. A - B = A + (-B). Monomi A - B quhet ndryshimi i monomëve A dhe B.

Prej monomit 4a2b zbrite monomin 7a2b. Vëre mënyrën: 4a2b - (+7a2b) = 4a2b + (-7a2b) = 4a2b - 7a2b = (4 - 7)a2b = -3a2b.

Prej monomit 7a2x3 zbrite monomin:

a) 4a2x3;

b) -4a2x3.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të caktojsh shumën e dy dhe më shumë monom ë v e;

Cakto shumën e monomëve: -5x3y2, -2x3y2, -3xy2, 4x3y2 dhe -2xy2.

ta njehsojsh ndryshimin e dy monomëve të ngjashëm.

Prej shumës së monomëve: -2x2y3 dhe 5x2y3 zbrite monomin -x2y3.

Detyra 1.

Cakto shumën e monomëve: a) -3a2b dhe 5a2b;

b) 2x2y5, -5x2y5 dhe x2y5.

Cakto shumën e monomëve: a) 6a2b, -5a2b2, -2a2b dhe -a2b2 b) 5x2, -2x3, -3x2, -x3 dhe 6x3.

Tema 3. Polinomët

Prej monomit 3ay3 zbrite monomin -5ay3.

Prej shumës së monomëve -3x2y dhe -2x2y zbrite monomin -7x2y.

Prej shumës së monomëve 5a2b3 dhe -2a2b3 zbrite ndryshimin e tyre.

POLINOMËT

Kujtohu!

Çka është monom? Cilët monomë quhen monom të ngjashëm?

Janë dhënë shprehjet: 5x2y - 3xy2 dhe 3a3 - 2a2b + b3. Prej sa monomë është formuar çdonjëra prej shprehjeve të dhëna?

Shkruaji në formë të shumës këto monomë: 2a2b, -3ab2, 3a2b, ab2. Cakto shumën e monomëve të ngjashëm. Sa monomë ka te shuma e monomëve të dhënë?

A ka monomë të ngjashëm te çdonjëra prej shprehjeve të dhëna? Vëren se te shprehja 5x2y - 3xy2, mbledhësat janë monomët: 5x2y dhe -3xy2, të cilët nuk janë të ngjashëm.

Shuma e dy monomëve të cilët nuk janë të ngjashëm quhet binom. 3 2 2 Shprehja 3a - 2a b + ab është shumë e monomëve: 3a3, -2a2b dhe ab2, të cilët nuk janë të ngjashëm. Shuma e tre monomëve, të cilët nuk janë të ngjashëm, quhet trinom.

Cakto cili prej shprehjeve të përmendura është binom, kurse cili është trinom: 5x2y - 3xy2; 5x2 - 3x + 5; ax2 - 3a2y; 3x2y - 2xy2 + y3; 5x2y3; 7x3 - 2x2 - 3x - 7. Monomët, binomët dhe shprehjet të cilat janë shumë e tre ose më shumë monomëve quhen polinomë. Monomët prej të cilëve është formuar polinomi quhen anëtarët e polinomit.

Sa anëtarë ka çdonjëri prej këtyre polinomëve: a2b - 2ab2 + 3;

x3 + 2y3;

3x2y?

Kujtohu! Shkruaji në formën normale këto monomë: 5xy23x 3y2; -2x4y23xy2.

Shqyrto polinomin 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5. Vërej anëtarët e polinomit që nuk janë shkruar në formën normale.

Monomët që kanë vlera kryesore të barabarta quhen monomë të ngjashëm.

Shkruaj të gjithë anëtarët e polinomit në formën normale. Vëreje mënyrën e të shkruarit e anëtarëve të polinomit 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 në formën normale.

Shkruaj dy monomë që janë të ngjashëm me monomin -2x3y2.

F 3x y + 2x x y - 2xy x y - 5 = 3x y + 2x y - 2x y - 5. 2

2 2 2

2 2

4 2

3 3

Monomët dhe polinomët

Është dhënë polinomi 4x3y2 - 2x2y(3xy2) - 3x3y2xy. Shkruaje polinomin ashtu që të gjithë anëtarët e tij të jenë monomë në formën normale.

Është dhënë polinomi 3x2y - 2xy2 - 3x3y3 - 4xy2 + x2y. Te polinomi i dhënë a ka anëtarë të cilët janë monomë të ngjashëm? Grupoj monomët e ngjashëm te polinomi, kurse pastaj për monomët e ngjashëm kryej operacionet (mbledhje, përkatësisht zbritje). Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe vëreje mënyrën.

F 3x y - 2xy - 3x y - 4xy + x y = (3x y + x y) + (-2xy - 4xy ) - 3x y = 4x y - 6xy - 3x y . 2

3 3

A ka monomë të ngjashëm te polinomi i atillë i fituar?

Nëse te një polinom disa anëtarë i sjellë në formën normale ose kryen mbledhjen (ose zbritjen) e anëtarëve që janë monomë të ngjashëm, atëherë thuhet se te ai polinom është krye transformimi identik. Vëreve se te polinomi 4x2y - 6xy2 - 3x3y3 të gjithë anëtarët janë shkruar në formën normale dhe nuk ka monomë të ngjashëm.

Në përgjithësi Nëse te një polinom të gjithë anëtarët janë të shkruar në formën normale dhe nuk ka monomë të ngjashëm, thuhet se polinomi ka formë normale.

Cakto cili prej këtyre polinomëve është në formën normale. 5x2 + 3xy + 2y2;

2x2 - 3xy + y2 + 3x2;

7a2b - 2abb2 - 3a2bab2;

Transformoje në formën normale polinomin 7x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 - 3x2y3.

Është dhënë polinomi 2x2 - 3xy + 5y2.

3x3y - 2x2y2 + xy3.

Cakto koeficientin e çdo anëtari të polinomit të dhënë. Vëreve se koeficientët e anëtarëve të polinomit 2x2 - 3xy + 5y2 janë numrat: 2, -3 dhe 5. Te polinomi ax3 - bx2 + cx - 5 me ndryshore x koeficientët e anëtarëve të tij janë: a, -b, c dhe -5.

Koeficientët e monomëve që janë anëtarë të polinomit quhen koeficientët e polinomit.

Tema 3. Polinomët

10.

Caktoi koeficientët e këtyre polinomëve me ndryshore y. 4y2 - 2y - 5;

ay4 - 2by2 -4.

Kujtohu! Për cilët dy monomë thuhet se janë monomë të kundërtë? Shkruaje monomin e kundërtë të monomit -3x2y3. Shkalla e monomit paraqet shumën e eksponentëve të ndryshoreve te ai.

11.

Janë dhënë polinomët: 6x3y - 2x2y2 - 3x dhe -6x3y + 2x2y2 + 3x Vërej monomët e ngjashëm te dy polinomët. Çfarë monomë janë monomët e ngjashëm te dy polinomët? Vërej monomët e kundërtë te dy polinomët.

Cakto shkallën e monomit 2x3y2z3.

Të kundërtë janë monomët: 6x3y dhe -6x3y; -2x2y2 dhe 2x2y2, -3x dhe 3x. Për polinomët: 6x3y - 2x2y2 - 3x dhe -6x3y + 2x2y2 + 3x thuhet se janë polinomë të kundërtë.

Në përgjithësi Për dy polinomë thuhet se janë të kundërtë nëse të gjithë anëtarët e njërit polinom janë monomë të kundërtë me anëtarët e polinomot tjetër dhe anasjelltas.

12.

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit 7x2y3 - 2x3y2 + 5xy.

13.

Është dhënë polinomi -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6.

Cakto shkallën e çdo anëtari të polinomit. Cili anëtarë i polinomit ka shkallë më të madhe? I cilës shkallë është anëtari -6? Vëren se anëtari i parë (-3x3y5) është i shkallës së tetë, i dyti (2x4y2) është i shkallës së gjashtë, i treti (5x3y) është i shkallës së katërtë dhe anëtari i katërtë (-6) është i shkallës zero pasi te ai nuk ka ndryshore. Shkallë më të madhe (tetë) ka anëtari i parë. Për polinomin -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6 thuhet se është i shkallës së tetë.

Monomët dhe polinomët

Në përgjithësi Shkalla e polinomit në formën normale është shkalla më e madhe e monomëve që janë anëtarë të polinomit.

14.

Cakto shkallën e çdonjërit prej këtyre polinomëve: 2x + 3;

7x3y2 + xy3 - 2xy;

3a2b - ab3;

Duhet të dish:

5x - 7y + 2.

Kontrollohu!

të caktojsh se polinomi i dhënë a është në formën normale;

Sille në formën normale polinomin: 3x2y - 5x2y2x3y + 2x2y.

të sjellish polinomin në formën normale;

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit: 1 + 5x - 2x2 - 3x3.

të sqarojsh cilët prej polinomëve janë të kundërtë;

Radhiti sipas madhësisë së shkallëve, duke filluar prej më të madhit, anëtarët e polinomit 5x3y - 2x2y3 - 3x5y + 8. Cakto shkallën e polinomit të dhënë.

të caktojsh shkallën e polinomit dhe ta sqarojsh mënyrën për caktimin e shkallës.

Detyra 1.

Silli në formën normale anëtarët e polinomit: 2x2yxy2 - 3x3yy3x2; -5a3b2b2 + 3a2b4b - 8a2b2.

4. Cakto koeficientët e polinomit sipas ndryshores x: 5x3 - 2ax2 + bx - 3.

4a2b - 2ab2 + 3ab;

Sille në formën normale polinomin. 2x2y3 - 3x3y2 + 3x2y3 - 5x3y2

Transformoje në formën normale polinomin: 2x3y2y2 + 5x2y3 - 2x2y3 - 2x2x2y, -2x2y2 + 3x3y - 2x3y + 2x2y2 + 7xy3.

Tema 3. Polinomët

-x2y3 + 3xy2 - 2xy.

Njehso vlerën numerike të polinomit x3 + 6x2 5x - 3 për x = -2.

Cakto shkallën e polinomit:

7x3 + 2x2 - 3x - 2x3 + 2x2

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit:

9x5y2 - 2x3y2 + 2x2y4; -4a8b + 2a7b - 3a6b.

8. Te polinomi 5x2y - 2x3y2 + 3x2y4 - 7 radhiti anëtarët e tij sipas madhësisë së shkallëve.

SHUMËZIMI DHE FUQIZIMI I MONOMËVE

Kujtohu!

Prodhimni i fuqive a dhe a është m

a m × a n = a m + n. Njehsoi këto prodhime: x ×x; 5

Vërej koeficientët dhe fuqitë me baza të barabarta. Si do ta kryejsh shumëzimin?

a × a.

Njehso prodhimin e monomëve: 3x2y3 dhe 2x3y.

Fuqia fuqizohet në atë mënyrë që baza e fuqisë fuqizohet me prodhimin e treguesëve, d.m.th. (a m) n = a m × n

Mundem ndërmjet veti t'i shumëzoj koeficientët dhe fuqitë me baza të barabarta nga të dy monomët.

Njehso: a) (x2)3; b) (a2)5. Prodhimi fuqizohet me numër natyror ashtu që fuqizohen me atë numër të gjithë shumëzuesët.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

Për shembull: (a3 × b2)2 = a6b4.

3x2y3 × 2x3y = (3 × 2) × (x2 × x3) × (y3 × y) = 6x5y4. Njehso: a) (x5y2)3; b) (ab4)2.

Sqaroe mënyrën gjatë njehsimit.

Monomët shumëzohen në atë mënyrë që shumëzohen koeficientët e tyre dhe fuqitë me baza të njëjta, ku fitohet monom në formën normale.

Cakto prodhimin e monomëve: -8x2y dhe 2xy2;

[ dhe

-0,6a2b3c dhe 2,5a3bc2;

[\ ;

DE F dhe 0,5ac2.

Cakto shkallën e tretë të monomit 2x3y2. A mundesh fuqinë (2x3y2)3 ta shkruajsh si prodhim?

Shkalla e tretë e monomit është: (2x3y2)3 = (2x3y2) × (2x3y2) ×(2x3y2). Prodhimin e atillë të fituar të tre monomëve, të cilën mund ta njehsoj.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F (2x y ) = 2x y × 2x y × 2x y = (2 × 2 × 2) × (x × x × x ) × (y × y × y ) = 2 × (x ) × (y ) = 8x y . F Vëreve se: (2x y ) = 2 × (x ) × (y ) = 8x y . 3 2 3

3 2

3 2 3

Kryeje fuqizimin:

3 2

3 3

2 3

3 3

2 3

9 6

(5a2b4c)2;

(-3x 2y3z)3;

(-2a2xy3)4.

Monomët dhe polinomët

Duhet të dish: Kontrollohu!

të njehsojsh prodhimin e monomëve;

Cakto prodhimin: (2x3y2) × (-3xy2z) × (xy2z).

të fuqizojsh monom me eksponent numër natyror.

Cakto fuqinë e katërtë të monomit

Detyra 1.

-2x2yz3.

Cakto prodhimin e monomëve: 2ab2 dhe 3a2b;

-2a2b3c dhe

DEF .

Caktoi këto prodhime të monomëve:

a) -2x2y3;

(-5a3b2c) × (2a2b3c); (1,2x2y) × (-2xy2) × (3,5x3y3).

3. 4.

Trego se për prodhimin e monomëve; -3a2b3 dhe 2a3b2 vlen vetia komutative e shumëzimit.

Trego se për prodhimin e monomëve: -2a2bc, 3ab2c dhe -4abc 2 vlen vetia asociative e shumëzimit.

D EF

Kryeje fuqizimin e monomëve: (-3y2)2;

(-2,5a2b3)2;

(3x 2y 3)3;

D EF .

Njehso: (-2a2b)2 × (3ab2);

(3x3y2) × (-2x2y4)3.

Njehso: ((x 2y)2)3;

((-2a3b2)3)2.

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E POLINOMËVE

Kujtohu! Çka është polinomi? Emërtoi anëtarët e polinomit 5x3y - 2x2y2 - 3xy3. Formo polinom anëtarët e të cilit janë monomët: -5a3b3; 2a2b2 dhe 3ab. Vlera numerike e shumës së shprehjeve numerike: -12+3+18 dhe 5-9+1 njehsohet kështu: (-12 + 3 + 18) + (5 - 9 + 1) = = -12 + 3 + 18 + 5 - 9 + 1 = =(-12 - 9) + (3 + 18 + 5 + 1) = = -21 + 27 = 6. Njehso vlerën numerike të shprehjes (-9 - 4 + 15) + (-2 + 8 - 16).

Cakto fuqinë e dytë të monomit

Tema 3. Polinomët

Cakto shumën e polinomëve: 3x3y - 3x2y2 - 2xy3 dhe 4x3y - 2x2y2.

Vëreje mënyrën për mbledhjen e polinomëve të dhënë. shkruarit e (3x y - 3x y - 2xy ) + (4x y - 2x y ) F Të shumës prej F Lirimi 3x y - 3x y - 2xy + kllapave 3

2 2

+ 4x3y - 2x2y2 =

i F Grupimi monomëve të ngjashëm

e F Kryerja operacioneve

me monomë të ngjashëm:

= (3x3y + 4x3y) + + (-3x2y2 - 2x2y2) + (-2xy3) =

= 7x3y - 5x2y2 - 2xy3

Të mblidhen polinomët domethënë të shkruhen njëpasnjë (si shumë) të gjithë anëtarët e tyre me shenjat e tyre, kurse pastaj të kryhet sjellja e monomëve të ngjashëm, nëse ka.

Cakto shumën e polinomëve: a) 5x3 - 2x2 - 3x + 1 dhe 4x2 - 2x + 3;

b) 2a3 - 3a2 + 2a - 4 dhe 3a3 - 5a + 7.

Kujtohu! Prej monomit A të zbritet monomi B domethënë monomit A t'i shtohet monomi i kundërtë i monomit B, dm.th. A - B = A + (-B). Cakto ndryshimin e monomëve: 5x2y3 dhe -2x2y3.

Cakto ndryshimin e polinomëve: 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 dhe 3a3b - 2a2b2 + 3ab3.

F Të shkruarit e ndryshimit: F Lirimi prej kllapave: F Grupimi i monomëve të ngjashëm: F Kryerja e operacioneve me monomët:

(7a3b - 5a2b2 - 6ab3) - (3a3b - 2a2b2 + 3ab3) 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 - 3a3b + 2a2b2 - 3ab3 = = (7a3b - 3a3b) + (-5a2b2 + 2a2b2) + (-6ab3 - 3ab3) = 4a3b - 3a2b2 - 9ab3

Vëre dhe mbaj mend Të zbritet polinomi B prej polinomit A domethënë polinomit A t'i shtohet polinomi i kundërtë i polinomit B, d.m.th. A - B = A + (-B).

Njehso:

(3ax3 - 5bx2) - (-ax3 + 2bx2);

Duhet të dish: të njehsojsh shumën e polinomëve; të njehsojsh ndryshimin e dy polinomëve; ta sqarojsh mënyrën për mbledhjen, përkatësisht zbritjen e polinomëve.

(7x3 - 12x2 + 3x) - (5x3 - 6x2 - 2).

Kontrollohu! Transformoje në formën normale të polinomit këtë shprehje: (5a5b2 - 2a3b4) + (-a5b2 + 5a3b4) + + (2a5b2 - 3a3b4) Konstato a është i saktë barazimi: (9a3 - 4a2 - 3) - (7a3 - a2 - 3) = 2a3 - 3a2.

Monomët dhe polinomët

Detyra 1.

Njehso shumën e polinomëve:

a) 3a2b - 2ab2 dhe a2b - 3ab2,

a) 7x3 - 2x2 - 5x dhe 4x3 - 5x2 - 4x;

b) 7x3 - 4x2 + x - 3 dhe 7x2 - 3x + 5.

b) 2,5a3 - 3b3 dhe -1,8a3 - 0,6b3.

Transformoje në formën normale të polinomit këtë shprehje: a) (5x4 - 2x3 + 8) + (4x4 - x3 + 2x2 - 5);

2 2

Polinomit 5x 2y 3 - 2x 3y 2 shtoja shumën e polinomëve:

Trego se vlera e shprehjes 2

Cakto polinomin P ashtu që: P + (x2 + 2xy - 3y2) = 3x2 - 4xy - 3y2.

10. Për polinomët: A=3a2 - 4a + 1,

B = - a2 + 5a - 4 dhe C = 2a2 - a + 6 cakto:

A - (B + C);

A - (B - C).

SHUMËZIMI I POLINOMIT ME MONOM

Kujtohu! Monomi shumëzohet me monom ashtu që do të shumëzohen koeficientët e tyre dhe fuqitë me baza të barabarta, ku fitohet monom në formën normale. Për shembull: -3a2b × 2a3b2 = =(-3 × 2) × (a2 × a3) × (b × b2) = -6a5b3. Njehso: -3x 5y 2 × 4xy 2. Vetia distributive e shumëzimit në lidhje me mbledhjen shkruhet: (a + b) × c = a × c + b × c; a × (b + c) = a × b + a × c. Njehso në dy mënyra: (15 + 8) × 6 = 23 × 6 = ; (15 + 8) × 6 = 15 × 6 + 8 × 6 =

Cakto vlerën numerike të shprehjes: (3x3 - 2x2 - 4x - 1) - (-x3 + x2) për x = -2.

(3x - 2x + 5) + (-x - 2x + 1) + (-2x + 4x -2) nuk varet prej x. 2

b) (x2 - 4xy + 4y2) - (3x2 - y2).

Cakto vlerën numerike të shprehjes: (6y3 - 7y2 + y) + (-4y3 + 2y2 - y), për y = 2.

2x2y3 + x3y2 dhe x2y3 - x3y2.

Transformoje në formën normale të polinomit këtë shprehje: a) (3x2 - 2xy - 2y2) - (x2 + 2xy - 6y2);

b) (-8a b - 4a b + 3ab ) + (a b + 4a b -ab ). 3

Njehso ndryshimin e polinomëve:

Tema 3. Polinomët

Vetia distributive e shumëzimit ndaj mbledhjes mundëson prodhimi i polinomit dhe monomit të paraqitet në formën e polinomit. Vëren se si njehsohet prodhimi i polinomit 3x2 + 4y3 dhe monomit 2x3y2.

shkruarit e F Të prodhimit: i vetisë F Zbatimi distributive të shu-

(3x2 + 4y3) × (2x3y2)

mëzimit ndaj mble- = (3x2 × 2x3y2) + (4y3 × 2x3y2) dhjes:

i moF Shumëzimi nomëve te kllapat

(d.m.th. sjellja në = 6x5y2 + 8x3y5 formën normale):

Cakto prodhimin:

(3a2 - 2ab + b2) × 5a2b2.

(2x3 - 3x2 + 5x) × 4x2;

Polinomi shumëzohet me monom në atë mënyrë që çdo anëtar i polinomit do të shumëzohet me monomin dhe shuma e fituar do të paraqitet si polinom në formën normale.

Cakto prodhimin:

4ax2 × (2a3x - 5a2x2 + 3ax3);

Duhet të dish:

(2,5xy2 - 1,4x2y) × (-2x2y2).

Kontrollohu!

të shumëzojsh polinom me monom;

Njehso prodhimin: a) (-5) × (4x3 - 3x2 + x); b) (-2x3y - 3xy3 + 5) × (-2x2y2).

ta sqarojsh mënyrën e shumëzimit të polinomit me monom.

Detyra 1.

Njehso prodhimin: a) (2x2 - 3y3) × 4xy; b) (5a3b - 3a2b2 + ab3) × (-2a2b2).

Cakto prodhimin: a) 4 × (5a2 + 2a - 3); b) (-2) × (-3,5x3 + x2y2 - 3y3).

Le të jenë dhënë shprehjet: A = 2x3 - 3x2 + x, B = x3 + x2 - 3x dhe C = 5x2. Silli në polinom në formën normale këto shprehje: a) (A + B) × C; b) C × (A - B).

Paraqiti si polinom në formën normale këto shprehje: a) (3a2b - ab2) × a2b2 - 2a2b × ab3; b) (3x3 - x2 + 2x) × 5x - (4x2 - 3) × x2.

Njehso vlerën numerike të shprehjes (3x2 - 2x + 1) × 2x - (x2 - 3x + 5) × 4x për x = 2.

Caktoi këto prodhime: a)

D E DE E DE

b) [\

[ [ \ [\ \ .

Monomët dhe polinomët

SHUMËZIMI I POLINOMËVE

Kujtohu!

Polinomi shumëzohet me monom në atë mënyrë që çdo anëtar i polinomit shumëzohet me monomin dhe prodhimet e fituara mblidhen. Njehso prodhimin: a) (a + b) × c; b) x (2 + y); c) (2a2b - 3ab2 + 5) × 2ab.

Janë dhënë polinomet a + b dhe c + d. Njehso prodhimin (a + b) × (c + d). Në çka do të sillet shumëzimi, nëse binomin c + d e zëvëndëson me A?

Atëherë shumëzimi do të sillet në prodhimin (a + b)A, d.m.th. (a + b)A = aA + bA.

Çka do të fitojsh nëse A e zëvëndëson me c + d?

Do të fitoj aA + bA = a(c + d) + b(c + d).

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: + bA (ku A = c + d) F (a + b) × (c + d)==a(c(a ++ b)d) ×+Ab(c= aA + d) = ac + ad + bc + bd , d.m.th.

(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd. Prodhimi i polinomëve a+b dhe c+d është i barabartë me shumën e prodhimeve të çdo anëtari të njërit polinom me çdo anëtar të polinomit tjetër.

Njehso prodhimin (2x + 3) × (y + 5).

Trego se barazimi (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd mund të interpretohet gjeometrikisht si barasi ndërmjet syprinës së drejtkëndëshit të madh dhe shumës së syprinave të katër drejtkëndëshave të vegjël (në vizatim). Shkruaj syprinat e çdo drejtkëndëshi sipas dimenzioneve të dhëna.

4. 78

Njehso prodhimin e polinomëve: 4x2 - 5x + 3 dhe 2x - 3.

Tema 3. Polinomët

Vëreje mënyrën për shumëzimin e polinomëve të dhënë.

F Të shkruarit e prodhimit: i çdo anëtari të njërit polinom me çdo F Shumëzimi anëtar të polinomit tjetër: F Kryerja e shumëzimit: F Sjellja e polinomit në formën normale:

(4x2 - 5x + 3)(2x - 3) = 4x2 × 2x + 4x2 × (-3) - 5x × 2x - 5x (-3) + + 3 × 2x + 3 × (-3) = 8x3 - 12x2 - 10x2 + 15x + 6x - 9 = 8x3 - 22x2 + 21x - 9.

Polinomi shumëzohet me polinom në atë mënyrë që çdo anëtar i njërit polinom do të shumëzohet me çdo anëtar të polinomit tjetër dhe shuma e fituar do të paraqitet si polinom në formën normale.

Njehso prodhimin (a3 + 2a2b - 3ab2) × (5a - 3b).

Transformoje prodhimin (2x - 3) × (3x + 2) × (5x - 1) në polinom që ka formën normale. Vëre se prodhimi i dhënë, për shkak të vetisë asociative të shumëzimit, mund të shkruhet: ((2x - 3) × (3x + 2)) × (5x - 1) dhe të kryhet së pari shumëzimi i dy shumëzuesëve të parë.

Kujtohu! Numri dyshifror me shifër të dhjetësheve a dhe shifër të njësheve b në formën e zbërthyer shkruhet 10a + b. Shkruaj në formën e zbërthyer këto numra 62 dhe 68.

Rregulla për shumëzimin e polinomëve ka zbatim të madh. Qe një zbatim (të vogël) për caktimin e shpejtë të prodhimit të numrave të formës: 62 × 68; 74 × 76; 53 × 57; ato janë prodhime të numrave të dhjetëshes së njëjtë te i cili shuma e njësheve është e barabartë me 10.

Njehso prodhimin (10a + b) × (10a + c), ku b + c = 10. Duke e shfrytëzuar rezultatin e fituar, njehso 62 × 68. Vëreje mënyrën për caktimin e prodhimit (10a + b) × (10a + c), ku b + c = 10. (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = =100a2 + 10a × 10 + bc (za b + c = 10) = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.

Monomët dhe polinomët

Barazimin (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc mund ta shfrytëzojsh për zgjidhjen e detyrës. Sipas barazimit: 62 × 68 = 100 × 6 × 7 + 2 × 8 = 4200 + 16 = 4216. Prodhimi 62 × 68 mund të njehsohet edhe gojarisht në atë mënyrë që numri i dhjetësheve (6) shumëzohet me numër që është për 1 më i madh se ai (7) dhe ndaj prodhimit të fituar (42) përshkruhet prodhimi i njësheve të dy numrave (16), d.m.th. 62 × 68 = 4216.

Njehsoi gojarisht prodhimet: a) 34 × 36; b) 81 × 89; c) 53 × 57.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të caktojsh prodhim të polinomëve;

Njehso prodhimin: (4a2 - 2ab + b2) × (2a + b).

ta sqarojsh mënyrën për caktimin e prodhimit të polinomëve.

Çka mungon për barazimin që të jetë saktë: (2x2 - 3)(3x2 - 2) = 2x2 × 3x2 - 3(-2)?

Detyra 1.

Njehsoi këto prodhime: a) (2a + 3b)(a - 2b); b) (x2 + 2xy - 5y2)(2x - 3y).

Transformoe në polinom në formën normale këtë shprehje: (3x2 - 2x + 5)(4x - 3)(2x - 1).

Njehso: a) (a3 - a2b + ab2 - b3)(a + b); b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y).

Njehso vlerën e shprehjes: (x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) për x = 3.

Njehso: a) (1,2a3 - 2,5a2 + 0,2a)(a2 - 1,4);

Njehsoi gojarisht prodhimet: a) 72 × 78; b) 63 × 67.

[ [ [ [ .

Tema 3. Polinomët

PRODHIMI I SHUMËS DHE NDRYSHIMIT TË DY SHPREHJEVE

Kujtohu!

Polinomi shumëzohet me polinom ashtu që çdo anëtar i njërit polinom shumëzohet me çdo anëtar të polinomit tjetër dhe shuma e fituar paraqitet si polinom në formën normale.

Le të jenë A dhe B shprehje. Njehso prodhimin (A + B) (A - B) dhe polinomini e fituar sille në formën normale. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

+ B)(A - B) = A - AB + BA - B = A - B , F (A d.m.th. fitohet identiteti 2

Cakto prodhimin: (2a2 - 3b2)(4a - b2).

(A + B)(A - B) = A2 - B2

Shuma e dy monomëve të kundërtë është zero. Cila prej këtyre shprehjeve e ka vlerën 0: a) -3a2b + 3ab2; b) 2x3y2 - 2x3y2; c) a2b - ab2; ç) -x3y + x3y?

Mbaj mend Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të tyre.

Identiteti (A + B)(A - B) = A 2 - B2 paraqet formulë për shumëzim të shkurtuar të shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve.

Njehso prodhimin (2a + 3b)(2a - 3b) me ndihmën e formulës për shumëzimin e shkurtuar: (A + B)(A - B) = A2 - B2. Vëre me çka është e barabartë A, kurse me çka B. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe vëreje mënyrën.

F Vëre se A = 2a dhe B = 3b. F Zëvëndëso te formula për shumëzimin e shkurtuar: A me 2a dhe B me 3b: F (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a) - (3b) = 4a - 9b . 2

Me ndihmën e formulës për shumëzimin e shkurtuar njehsoi prodhimet: a) (3x - y)(3x + y);

b) (5a + 2b)(5a - 2b);

c) (a2 - 3)(a2 + 3);

ç) (40 -1 )(40 + 1).

Me ndihmën e formulës (A + B)(A - B) = A2 - B2, njehso prodhimin 42 × 38. Numri 42 mund të paraqitet si shumë i numrave 40 dhe 2, d.m.th. 42 = 40 + 2. Shkruaje numrin 38 si ndryshim të numrave të njëjtë. Vëre se si do të zbatohet formula, që të njehsohet prodhimi 42×38:

Monomët dhe polinomët

F 42 × 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40 - 2 = 1600 - 4 = 1596. 2

Kjo është një mënyrë për njehsimin e prodhimit të dy numrave, prej të cilëve njëri mund të shkruhet si shumë i dy numrave, kurse tjetri si ndryshim i numrave të njëjtë.

Me ndihmën e formulës për shumëzimin e shkurtuar, njehso: a) 43 × 37;

b) 68 × 72;

ç) 201 × 199.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të caktojsh prodhim e shumës dhe ndryshimit të dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën për caktimin e prodhimit të shumës dhe ndryshimit të dy monomëve; ta zbatojsh mënyrën për caktimin e prodhimit të shumës dhe ndryshimit të dy monomëve në zgjidhjen e detyrave.

Cakto prodhimin: (-2a2 + 3b2) × (-2a2 - 3b2) Njehso gojarisht prodhimin: 73 × 67.

Detyra 1.

Caktoi prodhimet: a) (x - 3) (x + 3);

b) (2a + 3)(2a - 3).

Paraqiti si polin om në formën normale këto shprehje: a) (3x2y - 2xy2)(3x2y + 2xy2);

a) (x - 2y)(x + 2y) + 2x2 - y2; b) (a2b + ab2)(a2b - ab2) + 2a(a3b2 - ab4).

b) (6ab3 - 5a3b)(6ab3 + 5a3b).

Cakto vlerën e këtyre shprehjeve:

Cakto vlerën e prodhimeve: a) 93 × 87;

b) 202 × 198.

Tema 3. Polinomët

Cakto prodhimin që është i barabartë me ndryshimin e katrorëve: a) x2 - 9;

a) (60 - 1)(60 + 1); b) (100 + 4)(100 - 4).

Transformoje në polinom në formën normale këtë shprehje:

Transformoje shprehjen e dhënë në binom: a) (0,2ab - c)(0,2ab + c); b)

b) 4x2 - 9y2.

[ [\ [\ [ .

Paraqite shprehjen e dhënë në polinom në formën normale. a) (z + 3)(z - 3)(z2 + 9); b) (x + y - 1)(x + y + 1).

KATRORI I BINOMIT

Kujtohu! Nëse A dhe B janë çfarëdo monomë, atëherë shprehjet (A+B)2 dhe (A-B)2 quhen katrori i shumës, përkatësisht katrori i ndryshimit të dy monomëve. Shkruaje katrorin e shumës dhe ndryshimit të monomëve: 3x dhe 2y.

Cakto katrorin e shumës A+B.

Si do të veprojsh që ta caktojsh (A+B)2? Do të shkruaj: (A + B)2 = (A+B)(A+B), kurse pastaj do të njehsoj prodhimin.

Shkruaj si prodhim fuqitë: a) a2;

b) (a + b)2; c) (a - b)2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 =A2 + 2AB + B2, d.m.th (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Vëre dhe mbaj mend! Katrori i shumës së dy monomëve është i barabartë me shumën e katrorit të monomit të parë, prodhimi i dyfishtë i monomit të parë dhe të dytë, dhe katrorit të monomit të dytë.

F Vëre mënyrën për caktimin e katrorit të shumës në këtë mënyrë:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2.

2. 3.

Caktoi katrorët e këtyre binomëve:

(3a + 2b)2;

Është dhënë katrori ABCD, me brinjën $% = a + b. Njehso syprinën e atij katrori. Vëre nësa pjesë është ndarë katrori ABCD me segmentat MN dhe PS. Vëre dimenzionet e çdo pjese. Cakto syprinën e çdo pjese. Syprina e katrorit S është shuma e syprinave S1, S2, S3 dhe S4 të pjesëve, d.m.th. S = S1 + S2 + S3 + S4. Shkruaje atë me syprinat e caktuara.

(x2 + y2)2.

D b

S S3 = ab

M a

S4 = b2 N

K S2 = ab

S1 = a2 A

Vëreve se: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Te vizatimi gjeometrikisht është paraqitur me formulën (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Monomët dhe polinomët

Me zbatimin e formulës (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 mund të njehsohet 622. Shkruaje numrin 62 në formën e zbërthyer. Zbatoje formulën. Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 62 = (60 + 2) = 60 + 2 × 60 × 2 + 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844. 2

Cakto katrorin e ndryshiit A - B. Do të veproj në këtë mënyrë: (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = = A2- 2AB + B2.

Si do të veprosh që të caktosh{ (A - B)2?

Vëren se:

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Mbaj mend! Katrori i ndryshimit të dy monomëve është i barabartë me katrorin e monomit të parë, minus prodhimit të dyfishtë të monomit të parë dhe të dytë, plus katrorin e monomit të dytë. Formulat: (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 dhe (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 quhen edhe formula për shumëzimin e shkurtuar. mënyrën për caktimin e katrorit të ndryshimit të këtij shembulli: F Shqyrtoe (5a - 2b) = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) = 25a - 20ab + 4b . 2

Cakto katrorët e këtyre polinomëve:

Me zbatimin e formulave për katrorin e ndryshimit të dy monomëve, njehso 482. Përpiqu vetë.

(3x - 4y)2;

(2a2 - b2)2.

Shkruaje numrin 48 si ndryshim të 50 dhe 2.

F Zbatoe formulën (A - B) = A - 2AB + B . 2

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F 48 = (50 - 2) = 50 - 2 × 50 × 2 + 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304. 2

Njehso: 692

372

Tema 3. Polinomët

982.

Duhet të dish: Kontrollohu!

të caktojsh katrorin e shumës së dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën për caktimin e katrorit të shumës së dy monomëve dhe ta zbatojsh te detyrat;

Cakto:

(a + 3b)2;

Cakto:

[ \ ;

të caktojsh katrorin e ndryshimit të dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën për caktimin e katrorit të ndryshimit të dy monomëve dhe ta zbatojsh te detyrat;

822.

572.

Detyra 1.

Caktoi këto katror

a) (a - 3)2; b) (3x - 2y)2; c) (4a2- b2)2.

a) (x + 4)2; b) (2x + 7y)2; c) (3x2 + 5y2)2.

Me zbatimin e formulës (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 cakto: a) 412;

b) 722;

Me zbatimin e formulës (a - b)2= a2- 2ab + b2 cakto: a) 382;

b) 592;

c) 962.

Shkruaje si polinom në formën normale këtë shprehje:

a) (a + 3)2 + (a + 4)2;

a) (3x - y)2 + (x - 2y)2;

b) (3x + 2y)2 + (2x + y)2 - (x + y)2.

b) (5a - 2b)2 - (a - b)2 + (a + 3b)2.

Cakto cili binom i katrorit është i barabartë me trinomin: a) a2 + 2ax + x2; b) 4x2 + 12xy + 9y2.

c) 1052.

Shkruaje si polinom në formën normale këtë shprehje:

Caktoi këto katror:

Zgjidhi këto barazime: a) (x + 2)2 - x2 = 16; b) (3x + 5)2 - 9x2 = 55.

Cakto cili binom i katrorit është i barabartë me trinomin: a) x2 - 4x + 4;

b) 9x2 - 12xy + 4y2.

10. Silli në formën normale këto polinome: a) (3x -1)2 + (x - 5)(x + 5); b) (2a - 3b)2 + (2a + 3b)2.

Monomët dhe polinomët

PJESËTIMI I MONOMËVE. PJESËTIMI I POLINOMIT ME MONOM

Kujtohu!

Fuqi me baza të barabarta pjesëtohen ashtu që baza përshkruhet, kurse eksponentët zbriten. Për shembull: a8 : a3 = a8 - 3 = a5.

Njehso herësin e monomëve: 6x4y5 dhe 2x2y2.

Vëreje mënyrën: 6x4y5 : (2x2y2) = (6 : 2)(x4 : x2)(y5 : y2) = 3x2y3.

Caktoi herësat: a) x7 : x2;

Sqaro se si është krye pjesëtimi i monomëve.

b) y5 : y4.

Janë pjesëtuar koeficientët dhe janë pjesëtuar fuqitë me baza të njëjta. Shkruaje pjesëtimin e monomëve në formë të thyesës, kurse pastaj cakto herësin. Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

[ \ [ \

[ \ .

Njehso herësin 12a6y7 : (-6a3y2). Monomi me monom pjesëtohet ashtu që pjesëtohet koeficienti i të pjesëtueshmit me koeficientin e pjesëtuesit, kurse fuqitë nga vlera kryesore e të pjesëtueshmit pjesëtohen me fuqitë me baza të njëjta të vlerës kryesore të pjesëtuesit dhe herësat e fituara shkruhen si prodhim.

Caktoi herësat:

[ \

-15a5x7 : (5a2x3);

Kujtohu!

Vetia distributive e pjesëtimit në lidhje me mbledhjen mund të shkruhet: (a + b) : c = a : c + b : c. Njehso: (32 + 48) : 8 = 32 : 8 + 48 : 8 =

;

(x5 + x7) : x2 = x5 : x2 + x7 : x2 =

[ \ .

Polinomin 8a5 - 4a4 + 6a3 pjesëtoe me monomin 2a2. Si do ta shfrytëzojsh vetinë distributive?

Çdo anëtar të polinomit 8a5 - 4a4 + 6a3 do ta pjesëtojsh me monomin 2a2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F (8a - 4a + 6a ) : (2a ) = (8a ) : (2a ) + (-4a ) : (2a ) + (6a ) : (2a ) = 4a - 2a + 3a. 5

Tema 3. Polinomët

Kryeje pjesëtimin e polinomit me monom: (-6x5 - 9x4 + 3x3) : (-3x2). Zbatoje vetinë distributive. Kryej pjesëtimet e përmendura Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë!

F (-6x - 9x + 3x ) : (-3x ) = (-6x ) : (-3x ) + (-9x ) : (-3x ) + (3x ) : (-3x ) = 2x + 3x - x. 5

Polinomi pjesëtohet me monom ashtu që çdo anëtar i polinomit do të pjesëtohet me monomin, kurse herësat e fituar do të mblidhen.

Njehso herësat: (18x5y3 - 24x4y4 + 12x3y5) : (6x2y2);

(4a3b2 - 8a4b3) : (-4a2b).

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të caktojsh herësin e dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën për pjesëtimin e monomit me monom;

Sille polinomin në formën normale: (-4x3y4) : (2x2y2) + (-6x5y3) : (-2x3y2) =

të pjesëtojsh polinom me monom;

Cakto herësin:

ta sqarojsh mënyrën për pjesëtimin e polinomit me monom.

Detyra 1.

a) (16x y ) : (4xy);

b) (-9a b ) : (3a b ). 3 5

2 2

Njehso: a) (1,44x y ) : (1,2x y ); D E D E . b) 5 2

Njehsoi herësat:

2 2

Silli në monom në formën normale:

b) (12a3x4 - 8a4x3 - 4a5x2) : (4a2x2).

§§ · § ·· § · b) ¨ ¨ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ ¸ ¨ [ \ ¸ . ¹ © ¹¹ © ©© ¹

Njehso vlerën e shprehjes: D E për a = -2 dhe b = 2. D E

Njehso: a) (-4x5 + 12x4y + 16x3y2) : (4x3); b) (4a2b - 12a4b3) : (4a2b).

Silli në polinom në formën normale: a) (9a2b3 - 12a4b4) : 3a2b - (2 + 3a2b) × b2;

a) ((-2a3b) × (-3ab3)) : (-6a2b2);

a) (4x5y2 - 6x4y3 - 8x3y4) : (2x3y2);

3 2

(6a5b4 - 9a4b3 + 3a3b2) : (3a3b2) =

Njehsoi herësat:

b) (x2 - 2xy) × (3x2) - (9xy3 - 12x4y2) : (3xy).

Cakto x prej barazimeve: a) 6x + (4x3 - 12x2) : 2x2 = 10; b) 6x - (14x2 - 21x3) : 7x2 = 16.

Monomët dhe polinomët

PJESËTIMI I POLINOMIT ME POLINOM

Kujtohu!

Nëse (2a2 - 5)(3a - 2) = 6a3 - 4a2 - 15a + 10, atëherë me çka është e barabartë: (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (2a2 - 5); (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (3a - 2)? Si është fituar anëtari i parë i prodhimit 6a3 - 4a2 - 15a + 10?

Polinomi 6x3 - 7x2 - 7x + 6 të pjesëtohet me polinomin 2x - 3.

Pjesëtoe anëtarin e parë të pjesëtueshmit me anëtarin e parë të pjesëtuesit. Shumëzoe pjesëtuesin 2x - 3 me herësin e fituar. Përpiqu prodhimin e fituar ta zbresish prej të pjesëtueshmit.

Nëse i kryen tre aktivitetet paraprake, ti e ke fituar anëtarin e parë 3x2 të herësit. Nëse i realizon të tre aktivitetet me mbetjen dhe pjesëtuesin do ta fitojsh anëtarin e dytë të herësit. Vëre mënyrën për pjesëtimin e polinomëve të dhënë. Vëre se atë praktikisht do ta realizojsh. Të shkruarit e pjesëtimit

Mënyrat gjatë pjesëtimit

Kryerja e operacioneve të veçanta

3 (6x3 - 7x2 - 7x + 6) : (2x - 3) = 3x2 + x - 2 Anëtari i parë 6x i të pjesëtueshmit pjesëtohet me anëtarin e parë 2x të pjesëtuesit dhe fitohet (6x3) : (2x) = 3x2 6x3 9x2 2 1 + anëtari i parë i herësist; 2x2 - 7x + 6 Pjesëtuesi 2x - 3 shumëzohet me anëtarin e 2x2 - 3x + 4 dytë 3x2 të herësit dhe prodhimi i fituar 6x3 9x2 zbritet prej të pjesëtueshmit, d.m.th. me 2 - 4x + 6 (2x - 3) × (3x2) = 6x3 - 9x2 ndryshimin e shenjave e shton shprehjen e - 4x + 6 6 + kundërtë -6x3 + 9x.

E F E F E F

Anëtari i parë 2x2 i mbetjes nga zbritja pjesëtohet me anëtarin e parë 2x të pjesëtuesit dhe fitohet anëtari i dytë i herësit;

(2x2) : (2x) = x

Pjesëtuesi 2x - 3 shumëzohet me anëtarin e dytë x të herësit dhe prodhimi i fituar zbritet nga mbetja 2x2 - 7x + 6;

(2x - 3) × x = 2x2 - 3x

Anëtari i parë -4x i mbetjes -4x + 6 pjesëtohet me anëtarin e parë 2x të pjesëtuesit 2x - 3 dhe fitohet anëtari i tretë i herësit;

(-4x) : (2x) = -2

F F F F 6

Tema 3. Polinomët

Pjesëtuesi 2x - 3 shumëzohet me anëtarin e tretë -2 të herësit dhe prodhimi i fituar zbritet nga mbetja -4x + 6. Fitohet mbetja 0, me të cilën mbetja është krye.

(2x - 3) × (-2) = -4x + 6

Sipas mënyrës që e vërejte gjatë pjesëtimit të polinomëve, përgjigju në pyetjet: Me cilin anëtar të pjesëtuesit kryhet pjesëtimi? Cilët anëtar pjesëtohen me anëtarin e parë të pjesëtuesit?

Shqyrtoje mënyrën e pjesëtimit të polinomit me polinom te shembulli (x 4 - 3x 3 + 3x 2 + 6x - 10) : (x 2 - 2). Sqaroi mënyrat prej 1 deri 6 që janë shkruar.

(x4 - 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2) = x2 - 3x + 5 x4 - 2x2 +

- 3x3 + 5x2 + 6x - 10 + 6x - 3x3 +

5x2 - 10 5x2 - 10 +

1. x4 : x2 = x2 2. (x2 - 2) × x2 = x4 - 2x2 3. (- 3x3) : x2 = -3x 4. (x2 - 2) × (-3x) = -3x3 + 6x 5. (5x2) : x2 = 5 6. (x2 - 2) × 5 = 5x2 - 10. Vëre se gjatë pjesëtimit të polinomit me polinom duhet paraprakisht anëtarët te polinomët të jenë të radhitur prej fuqisë më të madhe deri te më e vogla të njërës nga ndryshoret.

Caktoi herësat: a) (x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 1); b) (3a3 - 5a2 + 14a - 8) : (3a - 2).

Provo a është i saktë pjesëtimi i kryer: (3a4 - 2a3 - 8a2 + 6a - 3) : (a2 - 3) = 3a2 - 2a + 1.

Duhet të dish: të pjesëtojsh polinom me polinom; ta sqarojsh mënyrën për pjesëtimin e polinomit me polinom.

Kontrollohu! Cakto herësin e polinomit 2x3 + x2 - 5x + 2 dhe x + 2, kurse pastaj kontrollo a e ke kryer saktë pjesëtimin.

Detyra 1.

Nëse (a - 1)(a + 1) = a2 - 1, atëherë me çka është i barabartë a) (a2 - 1) : (a - 1); b) (a2 - 1) : (a + 1)?

3. Kontrollo a janë të sakta barazimet:

Caktoi këto herësa: a) (2a2 - 7ab + 6b2) : (a - 2b); b) (6x3 - 11x2 + 13x - 12) : (3x - 4); c) (2a3 + 5a2b - 5ab2 + b3) : (2a - b).

4. Cakto polinomin A ashtu që jetë saktë barazimi:

a) (6x3 - 11x2 + 23x - 15) : (x2 - x + 3) = = 6x - 5 b) (2a3 + 5a2 - 6a - 15) : (a2 - 3) = 2a + 5. (x3 - y3) : A = x - y.

Monomët dhe polinomët

SHPREHJET RACIONALE

Kujtohu!

Shprehje numerike janë: 14 - 6; 25 + 3 × 6;

Janë dhënë shprehjet: a) 2a + 3b;

100-52; (1,6+3,8):(7-6,5); §¨ ·¸ etj. © ¹

b) x2 - 5x + 7;

[ \ . [ Prej cilëve konstante dhe ndryshore është formuar çdonjëri nga shprehjet e dhëna? c)

Njehso vlerën e shprehjes numerike (13,5 - 8,25) : (4 - 1,5). Shprehje me ndryshore janë:

Me cilat operacione janë lidhur konstatntet dhe ndryshoret te shprehjet e dhëna?

[ \ etj. [ \ Njehso vlerën numerike të shprehjes x2 - 2x + 1 për x = -2. x + 8; 3y2 - 5,

Vëre në tabelë konstantet, ndryshoret dhe operacionet me ato te shprehjet e dhëna.

shprehja

2a + 3b

x2 - 5x + 7

[ \ [

konstantet

2; 3

1; -5; 7

1; -2; 3

ndryshoret

a; b

x; y

operacionet

shumëzim dhe mbledhje

zbritje, shumëzim, mbledhje dhe fuqizim.

zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Prej tabelës mund të vërejsh se shprehjet e dhëna janë formuar prej konstanteve (numrave) dhe ndryshoreve (shkronjave), të lidhura me operacionet: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim me eksponent numër natyror, dhe vetëm me ato. [ \ Shprehjet si: 2a + 3b; x2 - 5x + 7 dhe quhen shprehje racionale. [ Shprehja x2 - 3 [ nuk është racionale, pasi ndryshorja x është nën shenjën për rrënjëzim.

Cilët prej këtyre shprehjeve janë shprehje racionale: x2 - 2x + 1;

[ \ ; [

[ ;

D [.

Janë dhënë këto shprehje racionale:

[ [ \ [ ; ; ; [ Te cilat prej shprehjeve racionale të dhëna ka pjesëtim me ndryshoret? 3x2 - 1;

Tema 3. Polinomët

(x2 - 1) : (x + 2).

Çka do të thotë shprehja të ketë pjesëtim me ndryshore?

Kjo do të thotë pjesëtuesi, përkatësisht emëruesi te shprehja të përmban ndryshore.

[ \ [ nuk ka pjesëtim me ndryshore. Shprehjet e dhe atilla racionale quhen shprehje të plota racionale. Vëren se te shprehjet racionale: 3x2 - 1,

[ dhe (x2 - 1) : (x + 2), te të cilat përfshihet pjesëtimi me ndryshore quhen shprehje [ thyesore racionale. Shprehjet, si

Cilët prej këtyre shprehjeve racionale janë: a) shprehje të plota racionale;

b) shprehje thyesore racionale?

[ ;

[ ; [

\ ;

; [

[ ; [

[ . [

Janë dhënë polinomët: 3x2y, 2x - 3y, x2 - 3x + 5. Cili lloj i shprehjeve racionale janë polinomët e shkruar?

Kujtohu! Cila prej këtyre shprehjeve numerike nuk ka vlerë numerike:

? Për cilën vlerë të x emëruesi i shprehjes racionale

[ është zero? [ Për x = 3 shprehja e dhënë a ka vlerë?

Njehso vlerën numerike të shprehjes racionale

Është dhënë shprehja racionale

Njehso vlerën numerike të shprehjes racionale x2 - 2x - 1 për x = -2.

Zëvëndësoe ndryshoren x me -2, çfarë shprehje do të fitojsh pas zëvëndësimit? Do të fitoj shprehje numerike: (-2)2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Vlera numerike e shprehjes x2 - 2x - 1 për x =- 2 është 7.

[ \ për x = 3 dhe y = -1. [ \

\ . \ Për cilën vlerë të ndryshores y vlera e emëruesit është zero? Cilat janë vlerat e lejuara të ndryshores y te shprehja e dhënë?

Monomët dhe polinomët

Vëren se: nëse y = -3, atëherë y + 3 = -3 + 3 = 0. Prandaj nëse y = -3, atëherë shprehja racionale

\ \

nuk ka vlerë. Bashkësia e vlerave të lejuara të kësaj shprehje R \ {-3}, d.m.th. të gjithë numrat realë përveç numrit -3.

Caktoi vlerat e lejuara të ndryshores te çdonjëri prej shprehjeve:

[ [ ; [ [

[ ; [

. [

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të përmendish shembuj për shprehjet racionale; të përkufizojsh shprehje racionale;

Çfarë shprehje racionale janë ndryshoret? cilat shprehje thyesore janë racionale?

të përkufizojsh shprehje thyesore racionale; të caktojsh vlerën numerike të shprehjes racionale; do të caktojsh vlerat e lejuara të ndryshores te shprehja racionale.

x2 - 3x + 5;

[ ; [

[ .

Caktoi vlerat e lejuara të ndryshores x te shprehja racionale

[ . [ [

Detyra 1.

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje racionale.

[ ; [

5x - 2;

2x - 3y ;

[ [ ;

[ ; [

[ . [

Cakto vlerën numerike të shprehjes racionale x2 - 3x + 5 për x = 2.

Tema 3. Polinomët

x=4.

[ për [

[ [ .

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje të plota, kurse cilat shprehje thyesore racionale. 2

[ \ ;

4. Njehso vlerën numerike të shprehjes

Për cilat vlera të ndryshores y shprehja

\ \

nuk ka kuptim?

6. Cakto bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshores te shprehja racionale [ . [ [

ZBËRTHIMI I POLINOMËVE NË SHUMËZUES

ZBËRTHIMI I POLINOMËVE ME NXJERRJEN E SHUMËZUESIT TË PËRBASHKËT PARA KLLAPËS DHE ME GRUPIM

Kujtohu!

Polinomin ax2 + ay2 shkruaje si prodhim.

Te prodhimi 60 = 4 × 15 numrat 4 dhe 15 janë shumëzuesë, kurse numri 60 prodhimi i tyre. Përkujtohu në vetinë distributive të shumëzimit.

Thuhet se te shënimi 60 = 4×15 numri 60 është zbërthye në shumëzuesë. Nëse shkruhet:60=2×2×3×5 ku shumëzuesët janë numra të thjeshtë, thuhet numri 60 është zbërthye në shumëzuesë të thjeshtë. Zbërtheje numrin 36 në shumëzuesë të thjeshtë. Zbërtheje numrin 28 në shumëzuesë të thjeshtë. Caktoi këto prodhime: a(x + y ). 2

(a + 3) (x + y).

Polinomi ax2 + ay2 fitohet kur polinomi x2 + y2 do të shumëzohet me monomin a. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhje e dhënë.

F ax + ay = a(x + y ). 2

Zbërthei në shumëzuesë këto polinome:

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin 3ax2 + 6bx2 - 12cx2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

Thuhet se me këtë transformim identik polinomi ax 2 + ay 2 është zbërthye në shumëzuesë me nxjerrjen e shumëzuesit të përbashkët para kllapave.

Cili është shumëzuesi i përbashkët për të gjithë anëtarët e polinomit të dhënë?

3a + 3b;

ax2 - bx2.

Shumëzuesi i përbashkët i të gjithë anëtarëve të polinomit është 3x 2. Domethënë që ta zgjidhish detyrën atë do ta nxjerrë para kllapave.

F 3ax + 6bx - 12cx = 3x (a + 2b - 4c). 2

Vëre se polinomin në kllapa e fitojmë duke e pjesëtuar polinomin e dhënë me shumëzuesin e përbashkët të nxjerrun para kllapave.

Zbërthej në shumëzuesë këto polinomë:

Zbërthej në shumëzuesë shprehjen 2a(x - y) - 3b(x - y).

10x3 -5x2 + 15x;

4a3b -6a2b2 + 8ab3.

Zbërthimi i polinomëve në shumëzues

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 2a(x - y) - 3b(x - y) = (x - y)(2a - 3b).

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen

5x(a + 2b) - 2y(a + 2b).

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin

ax + 3x + 3y + ay.

A kanë shumëzuesë të përbashkët të gjithë anëtarët e polinomit? Si do ta zbërthejsh polinomin në shumëzuesë?

Të gjithë anëtarët nuk kanë shumëzues të përbashkët. Do t'i grupoj anëtarin e parë me të katërtin dhe të dytin me të tretin, ose të parin me të dytin dhe të tretin me të katërtin.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F ax + 3x + 3y + ay = (ax + ay) + (3x + 3y) = a(x + y) + 3(x + y) = (a + 3) (x + y). 8.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin 2ax - 6ay + bx - 3by.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të zbërthejsh polinom në shumëzuesë duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapës dhe me grupimin e anëtarëve;

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen: 15a2b - 10ab2 + 5ab.

ta sqarojsh mënyrën për zbërthimin e polinomit në shumëzuesë duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapës.

ax(a - x) + (a - x). ax + bx + a + b.

Detyra 1.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin: a) 5a + 5x;

b) 2ax + 4ay;

c) axy - bxy.

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen: a) 2a(x - 3) - 3b(x - 3); b) 5x(5 - x) - 3y(5 - x); c) 3x(2a - 3b) - (2a - 3b).

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin: a) 12x2y - 9xy2 + 3x3y3; b) 7x3y2 - 14x2y3 + 21x3y3; c) 6a3b2 - 9a2b3 + 3a2b2.

4. Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen: a) 2a(3y - 4) - 5b(4 - 3y); udhëzim: -5b(4 - 3y) = 5b(3y - 4);

b) 3x3 - 3x2 + y2 - xy2; c) 3a2x - 2a2y - 2y + 3x.

Tema 3. Polinomët

ZBËRTHIMI I POLINOMIT TË FORMËS A2 - B2 NË SHUMËZUES TË THJESHTË

Kujtohu!

Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të shprehjes së parë dhe të dytë, d.m.th. (A + B)(A - B) = A2 - B2.

Zbërtheje në shumëzues polinomin 4a2 - 9b2. Vëren se 4a2 = (2a)2 dhe 9b2 = (3b)2. Si mundesh ta zbatojsh formulën A2 -B2 = (A + B) (A - B)?

Caktoi prodhimet: (x + 5) (x -5);

(3a - 2b)(3a + 2b). Nëse A 2 = (2a)2 dhe B2 = (3b)2 atëherë 4a2 - 9b2 = (2a)2 - (3b)2. Tani mundem ta zbatoj formulën A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Shkruaje prodhimin prej të cilit është fituar shprehja 4x2 - y2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F 4a - 9b = (2a) - (3b) = (2a + 3b)(2a - 3b). 2

Zbërthej në shumëzuesë polinomin:

9x2 - y2;

4a2 - 25x2.

Zbërtheje në shumëzues polinomin: 18x2 - 50y2. Në këtë rast nuk ka numër i cili i ngritur në katror jep 18 ose 50. Si do ta zbërthejsh këtë polinom në shumëzuesë?

Te polinomi i dhënë do të nxjerrë para kllapës 2 dhe do të fitoj 2(9x2 - 25y2), kurse pastaj për shprehjen në kllapa do ta zbatoj formulën A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 18x - 50y = 2(9x - 25y ) = 2((3x) - (5y) ) = 2(3x + 5y)(3x - 5y). 2

Vëren se polinomi 18x2 - 50y2 është zbërthye në shumëzuesë. Asnjëri prej shumëzuesëve nuk mund të zbërthehet. Prandaj thuhet se polinomi është zbërthye në shumëzues të thjeshtë.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinome: 12a2x - 27b2x;

3ax2 - 12ay2.

Zbërthimi i polinomëve në shumëzues

Zbërtheje në shumëzuesë të thjeshtë shprehjen (a + 5)2 - (b - 2)2.

Le të jetë a + 5 = A dhe b - 2 = B. Si do ta zbatojsh formulën A2 - B2 = (A + B)(A - B)?

Nëse a + 5 = A dhe b - 2 = B, atëherë (a + 5)2 = A 2 dhe (b - 2)2 = B2, kurse (a + 5)2 - (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 -b + 2).

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F (a + 5) - (b - 2) = (a + 5 + b - 2)(a + 5 - b + 2) = (a + b + 3)(a - b + 7). 2

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto shprehje: (2x - 3)2 - (3y + 2)2;

(x + y)2 - x2y2.

Duhet të dish: të zbërthejsh në shumëzuesë polinom të formës A2 - B2;

Kontrollohu! Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomet:

ta sqarojsh mënyrën për zbërthimin e polinomit të formës A 2 - B2 në shumëzuesë.

a2 - 25b2;

7a2b2 - 28;

(5a - 3b)2 - (2a - 7b)2.

Detyra 1.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: a) x2 - b2; b) 4a2 - 49y2; c) 16a4b2 - 25.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinomë: a) 5a2 - 20x2; b) 7a2x2 - 63x2b2; c) 5x - 5x. 3

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët: a) (x - 5)2 - (y - 3)2; b) (4a + 3b)2 - (a - 2b)2; c) (x2 + 6)2 - 49.

4. Njehso në mënyrë të zakonshme prodhimet: a) 642 - 362; b) 752 - 252; c) 7252 - 2752; udhëzim: 642 - 362 = (64 + 36)(64 - 36).

Tema 3. Polinomët

ZBËRTHIMI I POLINOMIT TË FORMËS A2 + 2AB + B2 DHE A2 - 2AB + B2 NË SHUMËZUESË TË THJESHTË

Kujtohu!

Nëse A dhe B janë çfarëdo monomë, atëherë (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 dhe (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Cakto (3x + y)2.

Cakto binomin A + B, ku A dhe B janë monomë, që të jetë saktë barazimi 4x2 + 12xy + 9y2 = (A + B)2.

Cilët anëtarë të polinomit 4x2 + 12xy + 9y2 paraqesin A2 dhe B2? Si do t'i caktojsh A dhe B?

Cili binom i ngritur në katror jep 9x2 - 6xy + y2?

Pasi (A + B)2 = A 2 + 2AB + B2, vijon se A2 = 4x2 dhe B2 = 9y2, prej ku A = 2x dhe B = 3y; 2AB = 2 × 2x × 3y = 12xy. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 4x + 12xy + 9y = (2x) + 2 × 2x × 3y + (3y) = (2x + 3y) ; domethënë A + B = 2x + 3y. 2

Vëren se polinomi 4x2 + 12xy + 9y2 mund të shkruhet 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2. Me këtë polinomi 4x2 +12xy + 9y2 është zbërthye në shumëzuesë të thjeshtë (2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y).

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët: x2 + 4x + 4;

4a2 + 20ab + 25b2.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin 25a2 - 20ab + 4b2. Cilën formulë do ta zbatojsh në këtë rast?

Në këtë rast do ta zbatoj formulën: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 25a - 20ab + 4b = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) = (5a - 2b) , d.m.th. 25a - 20ab + 4b = (5a - 2b) . 2

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomet:

a2 - 6ab + 9b2;

4x2 - 4x + 1.

Zbërthimi i polinomëve në shumëzues

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët 12ax2 + 12axy + 3ay2.

Si do ta zbërthejsh në shumëzuesë polinomin e dhënë kur nuk ka monom i cili i ngritur në katror jep 12ax2?

Së pari e nxjerrim para kllapave shumëzuesin e përbashkët 3a, kurse pastaj do ta zbërthej shprehjen në kllapa.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F 12ax + 12axy + 3ay = 3a(4x + 4xy + y ) = 3a((2x) + 2 × 2x × y + (y) ) = 3a(2x + y) . 2

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: 4x3 + 12x2 + 9x;

18a3 - 24a2b + 8ab2.

Duhet të dish: të zbërthejsh në shumëzuesë polinomin e formës A2 + 2AB + B2 dhe A 2 - 2AB + B2; ta sqarojsh mënyrën për zbërthimin në shumëzuesë polinomin e formës A 2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2.

Kontrollohu! Zbërthej në shumëzuesë polinomët: 25a4 + 20a2 + 4;

4x2 - 4ax + a2.

Detyra 1.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: a) a2 + 6a + 9;

b) 4x2 + 20xy + 25y2.

Transformoje shprehjen numerike, kurse pastaj njehso vlerën e tij.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: a) 25x2 - 10x + 1;

b) 4a2 - 28ab + 49b2.

Nehso në mënyrë më të shpejtë vlerën numerike të shprehjes:

a) 482 + 2 × 48 × 52 + 522;

a) 562 - 2 × 56 × 16 + 162;

b) 272 + 2 × 27 × 33 + 332.

b) 472 - 2 × 47 × 27 + 272.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinomë:

a) 2x2 + 12x + 18; b) 2xy2 + 16xy + 32x.

a) 50x2 - 20xy2 + 2y4;

Cakto monomin A ashtu që të jetë i saktë barazimi:

b) 2ax2 - 16ax + 32a.

a) 25 + 10y + y = (5 + A) ;

Cakto polinomin A ashtu që të jetë i saktë barazimi:

b) 4y4 + 4y2 + 1 = (A + 1)2.

a) 81x2 - 18xy2 + y4 = (9x - A)2;

b) 16a2 - 8a + 1 = (4a - A)2.

Tema 3. Polinomët

M E

17 A

PU NA D H Ë NA

T Ë

MBLEDHJA E TË DHËNAVE

Numri i orëve kur ka pasur diell (orët me diell) gjatë një jave është shënuar në këtë tabelë.

Dita

Më

Numri i orëve

Të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme. Në këtë shembull, ato janë mbledhur duke vërejtur dhe matur sa ka zgjatur ngjarja.

Gjithësej sa orë me diell ka pasur gjatë javës? Cilën ditë gjithë dita ka qenë e vërenjtur? Cila ditë ka qenë më me diell? Cilët ditë kanë pasur numër të njëjtë të orëve me diell?

Jetoni ka mbledhur të dhëna për llojin e adhuruesve shtëpiak që i ka çdo nxënës në paralelen e tij. Të dhënat janë dhënë në tabelën më posht. Që të mbledhish të dhëna të këtilla duke vërejtur është e nevojshme shumë kohë. Por, të dhënat mund të mblidhen duke parashtruar pyetje, plotësimi i pyetësorit.

Lloj i Mace adhuruesve Numri i 4 fëmijve

Qen

Zog

Peshq

Jetoni i ka mbledhur të dhënat me pyetësor i cili ka pasur dy pyetje: 1. A ke adhurues shtëpiak?

Shkruaje pyetjen e dytë, nga pyetësori i Jetonit. Të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme: duke pyetur me telefon, duke shfrytëzuar pyetësor, duke kërkuar nëpër revista, enciklopedi, tekste, etj. Të dhënat mund të mblidhen për madhësi me vlera numra realë. Për shembull: numri i nxënësve - me numra natyrorë; temperatura - me numra të plotë; koha - me numra racionalë etj.

Nxënësit në klasën VII3 kanë qenë të ndarë në grupe dhe çdo grup është dashur të mbledh të dhëna. Shënoe mënyrën më të përshtatshme për mbledhjen e të dhënave për çdonjërën nga detyrat e parashtruara: a) Emërat dhe lartësitë e gjashtë maleve më të larta në botë;

Puna me të dhëna

b) Emisioni për fëmijë më i shikuar nga nxënësit e klasës VII3; c) Koha në Shkup në muajin mars; ç) Ngjyra e automobilave që kanë kaluar nëpër rrugë para shkollës për 1 orë. Sqaro pse mënyra të cilën ti e zgjedhe është më e përshtatshme. Sqaro pse është më mirë të pyesish në stacionin meteorologjik për sasinë e shiut që ka ra në Prilep gjatë një muaji, në vend që të vërejsh dhe masish.

Të dhënat e mbledhura të grupohen dhe radhiten dhe mund të paraqiten në mënyra të ndryshme. Do të përkujtohemi në këto shembuj.

Orë 12 10 8

Të dhënat për atë se sa orë ka qenë koha e vërenjtur gjatë një jave janë dhënë me diagram shtyllor. Formo tabelë dhe të dhënat shënoi në të.

6 4 2

Cila ditë më e gjatë ka qenë e vërenjtur?

Më

Ditë

Koha e vërenjtur gjatë një jave.

Cila ditë përgjithësisht nuk ka qenë e vërenjtur? Ky diagram fotografik e tregon numrin e shkollave që garojnë në gara sportive. 9 garojnë në futboll (F); 6 garojnë në henboll (H); 5 garojnë në basketboll (B).

Gara shkollore F:

Një shenjë paraqet dy shkolla

H: B:

Shënoi të dhënat në tabelë dhe paraqiti me diagram shtyllor.

Koha/ h

Te diagrami vijor i dhënë janë dhënë të dhënat për atë sa orë gjatë një dite dhe nate duhet të flejnë njerëzit të grupeve të ndryshme. Të dhënat te diagrami vijor paraqiti në tabelë. Çka mund të thuhet për nevojën nga flejtja e njerëzve të moshës 15 deri 25 vjet dhe prej 30 deri 40 vjet?

16 14 12 10 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

100

Tema 3. Polinomët

Nevoja për gjum

Mosha (vite)

Të dhënat prej tabelës: populata në botë prej vitit 1900 deri 2000 dhe parashikimet e Uneskos për vitin 2020, paraqiti me diagram vijor.

Viti

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Banor miliarda

në

1,6

1,9

2,3

3,0

4,4

6,2

7,7

Mbaj mend Gjithmonë kur vizaton diagram, ke kujdes në atë se çdo diagram patjetër të ketë: Titull, i cili qartë tregon çka është paraqitur te diagrami; Emri (përshkrimi) çdo shtyllë me njësi matëse të shënuar dhe të qartë; Përshkrim i simbolit, nëse punohet për diagram fotografi; Vizatimi duhet të jetë i qartë që të mundet lehtë të lexohet.

Duhet të dish: të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme; të dhënat e mbledhura duhet të shkruhen, grupohen numërohen dhe radhiten; të dhënat duhet të paraqiten me lloje të ndryshme të diagrameve.

Detyra 1. Iliri ka dashur të konstaton sa kanë lexuar shokët

e tij muajin e kaluar. Çka është më e përshtatshme: a) Ta pyet çdo shok sa libra ka lexuar? b) Të kontrollon në bibliotekën e shkollës sa libra çdonjëri prej tyre ka huazuar muajin e kaluar?

Sqaroe përgjigjen.

2. Në një test nga matematika numri maksimal i

pikëve ka qenë 20. Testin e kanë zgjidhur 24 nxënës dhe numri i pikëve ka qenë: 15 6 19 20 18 15

10 18 18

19 10 12

5 4 15

20 13 20

17 20 5

12 18 6

Përshkruaje tabelën dhe shkruaj të dhënat e nevojshme.

Kontrollohu! Shkruaj një shembull të të dhënave që mund të mblidhen me matje. Sqaro cilët elemente duhet t'i ketë çdo diagram.

Numri i pikëve të realizuara Frekuenca (numri i nxënësve)

0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 20

Të dhënat paraqiti me diagram shtyllor. Nëse për pikë të arritura 15 - 20 pikë nota është 5, sa nxënës kanë marrë notën 5 në test?

4. Për një orë para një ndërtese shkollore kanë

kaluar: 16 automobilë me ngjyrëtë bardhë, 12 të kuq, 5 të kaltër, 7 të zi dhe 2 automobilë me ngjyrë ari. Shkruaj të dhënat në tabelë. Formo diagram shtyllor dhe paraqiti të dhënat. Ke kujdes diagrami t'i përmban të gjitha elementet e nevojshme.

Puna me të dhëna

101

MËSOVE PËR POLINOMËT. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE

Prej cilave konstante dhe prej cilave ndryshore janë formuar shprehjet: 2x;

5ab(a b) - (a b)

ab; -0,5x2y?

Paraqite si monom në formën normale këtë shprehje: 3

- 2a b . 4

Cakto shkallën e çdo monomi: 5; 2x; 3xy; x2y3.

Paraqite si polinom në formën normale këtë shprehje: (x2 - 1)(x2 + 1) - x (x3 - x2 + 2).

Njehso: a) 6a b c : (3a bc); 5 2

[ \ ] b) . [\

10. Cakto herësin: (6x5y3 - 3x4y4 + 2x3y5) : (3x3y3).

Cakto shumën dhe ndryshimin e monomëve: -2x2y i -5x2y.

11. Cakto herësin: (x5 - 3x3 - 3x2 + 2x + 6) : (x2 - 2).

Sille në polinom në formën normale këtë shprehje: (3x2 - 5xy + 4y2) + (2x2 - xy - y2) -

12. Zbërthej në shumëzuesë polinomët: a) 3a2b + 6ac;

b) 2x3y2 + 4x2y3 - x2y.

- (4x2 - 4xy + 2y2).

13. Zbërthej në shumëzuesë polinomët: 6.

a) 2a2(a - 3x) - x2(3x - a); Njehso:

b) 3ax + 3bx - 5a - 5b.

a) 3x y × (-2xy ); 2

§ · b) ¨ [ \ ] ¸ . © ¹

(3x - 2x y + xy - y ) × (-3x y ).

102

36a2 - (5a - 3)2.

15. Zbërtheje në shumëzuesë polinomin:

Cakto prodhimin: 3

14. Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen:

Tema 3. Polinomët

2 2

x4 - 6x2y + 9y2.

TEMA 4.

VIJA RRETHORE DHE SHUMËKËNDËSHI. SYPRINA

KËNDET T E VIJA RRETHORE 1. Këndi qëndror 2. Këndi periferik 3. Teorema e Talesit KATËRKËNDËSHI KORDIAK DHE TANGJENCIAL 4. Katërkëndëshi kordiak 5. Katërkëndëshi tangjencial SHUKËNDËSHAT E RREGULLT 6. Shumëkëndëshat e rregullt. Kënde dhe perimetri 7. Vetitë e shumëkëndëshit të rregullt 8. Konstruksioni i shumëkëndëshave të rregullt TEOREMA E PITAGORËS 9. Teorema e Pitagorës 10. Zbatimi i teoremës së Pitagorës te drejtkëndëshi, katrori dhe trekëndëshi barabrinjës 11. Detyra me zbatimin e teoremës së Pitagorës

104 107 110

113 115

118 121 124 126

129

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT 12. Koncepti për syprinën 134 13. Syprina e drejtkëndëshit dhe katrorit 138 14. Syprina e paralelogramit 142 15. Syprina e trekëndëshit 145 16. Syprina e trapezit dhedelltoidit 149 17. Syprina e shumëkëndëshit të rregullt 152 18. Detyra për syprinën e shumëkëndëshave 155 PERIMETRI DHE SYPRINA E RRETHIT 19. Perimetri i rrethit. Gjatësia e harkut rrethor 158 20. Syprina e rrethit, sektorit rrethor dhe unazës rrethore PUNA ME TË DHËNA 21. Diagrami sektorial 22. Mesi aritmetik. Mediana. Moda. Rangu Kontrollo njohurinë tënde

163 167 169 172

131

Këndet te vija rrethore

103

KËNDET TE VIJA RRETHORE KËNDI QENDROR

Kujtohu

Për këndin qëndror AOB dhe harkun rrethor q $$ thuhet se janë përgjegjëse ndërmjet veti.

Çdo kënd qëndror ka kordë përgjegjëse dhe hark rrethor përgjegjës. Çdo hark rrethor a ka kënd qëndror përgjegjës?

E N

F G Për cilën kordë themi se është diametri i vijës rrethore? Pikat e skajshme të një diametri e ndajnë vijën rrethore në dy gjysmëvija rrethore.

(

Vëreji harqet rrethore të tyre q $% dhe MN . Vëreve se ato janë formuar me këndet qëndrore përgjegjëse.

Dy vija rrethore janë të puthitshme nëse kanë rreze të barabarta. Në fletore vizato k(O; 2,5 cm), kurse në letrën e tejdukshme k1(O1; 2,5 cm). Pastaj trego se ato puthiten.

Vizato dy kënde qëndrore te një vijë rrethore k(O, r): RAOB dhe RMON.

Segmenti OB është rrezja e vijës rrethore. Cili prej segmentëve ON, OM, OA, MN është rreze e asaj vije rrethore?

tëve AB, CD, EF, M MN është kordë e A vijës rrethore?

Cila pikë është pikë e brendshme për vijën rrethore? Vallë M Î k?

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju: Çka është korda e një vije rrethore? C Cili prej segmen-

Shqyrto vizatimin dhe vëre:

Kulmi i RAOB është në qendrën e k(O, r). Çdo kënd i atillë quhet kënd qëndror te k.

Shqyrtoe vijën rrethore k në vizatim dhe përgjigju në pyetjet: N Cila pikë në vizatim është qendër e vijës rrethore? k M O Cila pikë shtrihet në vijën rrethore?

Po, dhe poashtu ka vetëm një kënd qëndror.

Në vizatim janë dhënë vija rrethore k(O; 2 cm).

Pikat C dhe D, në vizatim, e ndajnë vijën rrethore

(

në dy harqe rrethore; i vogël - i kuqi CD dhe më i madhi - i kaltri CGD .

104

Në letër të tejdukshme vizato k1(O1; 2 cm).

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

75 o

O k

Pse k dhed k1 janë vija rrethore të puthitshme? Vizato kënd qëndror RMO1N = 75o. Ai është i puthitshëm me RAOB. Pse? Vendos letër të tejdukshme ashtu që të puthiten vijat rrethore k dhe k1, përkatësisht këndet qëndrore RAOB dhe RMON. Çka vëren?

(

Vëreve se kordat përgjegjëse dhe harqet rrethore përgjegjëse puthiten, d.m.th. $% = 01 dhe q $% = MN .

Te vija rrethore k(O; 2 cm) janë vizatuar dy kënde qëndrore: RMON dhe RPOQ. Nëse RMON = RPOQ, vërteto se kordat

MN dhe PQ janë të barabarta, d.m.th. 01 = 34 .

Vëren se DMON dhe DPQO janë barakrahas me krahë të barabartë me rrezen e vijës rrethore. Prandaj indici BKB, trekëndëshat janë të puthitshëm. Prandaj 01 = 34 .

Vlen në përgjithësi! Nëse dy kënde qëndror, te një vijë rrethore ose te dy vija rrethore të puthitshme, janë të barabarta, atëherë kordat përgjegjëse të tyre, përkatësisht harqet rrethore përgjegjëse janë të barabarta. B

Harqet rrethore q $$ dhe q %% të vijës rrethore k, në vizatim, janë të barabarta (d.m.th. të puthitshme).

B1 O

Këndet qëndrore përgjegjëse janë shënuar me a dhe b. Trego se a = b. A Vëren se edhe kordat AA1 dhe BB1 janë të barabarta. Si do të tregojsh se a = b?

b a A1

Trekëndëshat barakrahas OAA1 dhe OB1B sipas indicit BBB janë të puthitshëm, d.m.th. DOAA1 @ DOB1B dhe për atë shkak a = b.

Në përgjithësi! Nëse dy harqe rrethore te një vijë rrethore ose në dy vija rrethore të puthitshme janë të barabarta, atëherë këndet qëndrore përgjegjëse (përkatësisht kordat përgjegjëse) janë të barabarta.

Këndet te vija rrethore

105

Vizato dy vija rrethore k(O; 2 cm) dhe k 1(O 1; 3 cm) dhe vizato këndet qëndrore RAOB = 55o dhe RA1O1B1 = 55o. Krahasoi kordat AB dhe A1B1, përkatësisht harqet rrethore q $% dhe q $ % . Çka vëren? Pse?

Sa është këndi qëndror dhe sa janë kordat që janë përgjegjëse te një gjysmëvijë rrethore k(O; 1,5 cm)?

Duhet të dish: të njohish këndin qëndror te vija rrethore e dhënë, korda e saj përgjegjëse dhe harku rrethor i tij përgjegjës; të sqarojsh se këndet qëndrore mbi harqet rrethore të barabarta (te e njëjta vijë rrethore ose të puthitshme) janë të barabarta ndërmjet veti.

Kontrollohu! Sa shkallë ka këndi qëndror që është përgjegjës i harkut rrethor: a) gjithë vija rrethore; b) gjysmëvija rrethore; c) një e treta e vijës rrethore; ç) një e katërta e vijës rrethore; d) një e gjashta e vijës rrethore? Vizato dy vija rrethore k(O; 2 cm) dhe k1(O; 2,5 cm) dhe te ato vizato korda 01 = 3 cm dhe 0 1 = 3 cm. Vallë RMON = RM1O1N1? Pse?

Detyra 1. Vizato trekëndësh barabronjës DABC dhe

jashtashkruaj vijë rrethore rreth tij. Sa shkallë ka këndi qëndror?

4. Te vija rrethore k(O; r) është brendashkruar

trekëndëshi barabrinjës ABC me bazën AB. Nëse RAOB = 135o, Caktoi RAOC dhe RBOC (RAOB, RAOC dhe RBOC formojnë zona të ndryshme nga vija rrethore).

2. Vizato një vijë rrethore dhe një kordë të saj me gjatësi të barabartë me rrezen. Sa shkallë ka këndi qëndror te i cili shtrihet ajo kordë përgjegjëse?

3. Te vija rrethore k(O; r) është brendashkruar

DABC ashtu që RAOB = 112o 24', RBOC = 98o 46' dhe ato formojnë zona të ndryshme të vijës rrethore. Sa është këndi konveks RAOC?

106

5. Me pikat A, B, C, D dhe E, vija rrethore k(O; r)

është ndarë në 5 harqe, ashtu që q $% është 5%, q %& - 15%, q &' - 20%, q '( - 25% e vijës rrethore. Caktoi këndet qëndrore përgjegjëse: RAOB, RBOC, RCOD, RDOE dhe REOA.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

KËNDI PERIFERIK

Kujtohu!

Vizato DABC dhe shënoi këndet e tij a, b dhe g. Shënoje me a1 këndin e jashtëm që i shoqërohet a. Për këndet te DABC vlen: a + b + g = 180o; a + a1 = 180o; a1 = b + g. Vizato vijë rrethore dhe mbi të një hark AB. Mbi harkun vizato këndin qëndror përkatës. Vizato vijë rrethore k(O; 2 cm) dhe mbi të një hark CD . Mbi harkun vizato disa kënde kulmi i të cilit është: a) pikë e brendshme; b) pikë e jashtme; c) pikë nga vija rrethore.

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet: Ku shtrihet kulmi i RAMB dhe çka janë krahët e tij për vijën rrethore?

Për RAMB dhe harkun q $% , zakonisht thuhet se janë përgjegjës ndërmjet

M k

veti.

A mundet të vizatohet tjetër kënd mbi harkun q $% , kurse kulmi të shtrihet te vija rrethore? Vëren te vizatimi se te një vijë rrethore ekzistojnë pakufi shumë kënde mbi harkun e njëjtë q 34 ose mbi kordën e

k O

njëjtë PQ kulmet e të cilit shtrihen te vija rrethore.

Çdo kënd kulmi i të cilit është pika nga vija rrethore, kurse krahët e këndit e prejnë vijën rrethore quhet kënd periferik.

Vizato vijë rrethore dhe shëno një diametër të saj MN. Pastaj, vizato disa kënde periferike mbi diametrin MN. Për çdo kënd të atillë thuhet se është kënd periferik mbi gjysmëvijën rrethore ose se është brendashkruar te gjysmëvija rrethore.

Vizato tre kënde periferike b1, b2 dhe b3 mbi harkun 01 nga vija rrethore k me qendër në pikën O:

a) një krah i b1 të kalon nëpër qendrën O të vijës rrethore; b) qendra O të jetë pikë e brendshme e b2; c) qendra O të jetë pikë e jashtme e b3.

k M

Këndet te vija rrethore

107

Shqyrtoe vizatimin dhe krahasoe me vizatimin tënd!

se qendra e vijës rrethore O për çdo kënd periferik: ose shtrihet te një krah i tij ose është pikë e F Vëre tij e brendshme ose është pikë e tij e jashtme.

Te harku $% , te vizatimi, janë vizatuar këndi periferik përgjegjës a dhe këndi periferik përgjegjës b ku një krah i tij kalon nëpër qendrën O (d.m.th. është diametër i vijës rrethore).

D Trego se b = .

r b r

b B

Këndi i jashtëm a është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshme jofqinjë, d.m.th. a = 2b. Domethënë,

Vëre se DOBC. Vëre se ai është barakrahas ( 2% 2& ), pra RB = RC = b. Me çka është i barabartë këndi i jashtëm a?

b =

D .

Vizato vijë rrethore k(O; 2,5 cm) dhe kënd qëndror prej 80o (me këndmatës). Si do të konstruktojsh kënd prej 40o (vetëm me vizor)?

Vizato trekëndësh kënddrejtë ABC me këndin e drejtë te kulmi C dhe jashtashkruaj vijë rrethore rreth tij (përkujtohu se qendra O e asaj vije rrethore është mesi i hipotenuzës AB). Caktoi këndet e ngushtë të DABC nëse RAOC = 110o.

Shqyrtoi vizatimet te të cilët qendra O e vijës rrethore k është pikë a) e brendshme, b) e jashtme të këndit periferik RACB. Te të dy vijat rrethore është vizatuar diametri CD. Trego se këndi periferik është gjysma e këndit qëndror, d.m.th. b = C

b C

b1 b2 k

O a a1 a2

k B

O a1 a

A D

108

D .

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

B A

A ke ide që të vërtetojsh pohimin në të dy rastet (a) dhe (b)?

Te rasti nën a) mund ta shfrytëzoj sqarimin të detyra 4. pasi është e njëjtë për DAOC dhe DOBC.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a)

F F F F

a = a1 + a2; b = b1 + b2;

a1 = 2b1; a2 = 2b2; a = a1 + a2 = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2); D a = 2b ose b = .

F F F F

RDOB = a1 + a; RDCB = b1 + b; RDOB = 2RDCB dhe a1 = 2b1; a1 + a = 2(b1 + b); 2b1 + a = 2b1 + 2b; a = 2b; ose b =

D .

I shqyrtove pohimet dhe duhet të mbajsh mend

Këndi periferik te një vijë rrethore është i barabartë me gjysmën e këndit qëndror që është mbi harkun e njëjtë rrethor.

Shqyrto vizatimin dhe përgjigju pse të gjithë këndet periferike të vizatuar janë të barabartë ndërmjet veti. O

Në përgjithësi vlen

Vizato vijën rrethore të jashtashkruar te DABC dhe te harku $% merr çfarëdo pike M. Trego

10.

Të gjithë këndet periferik mbi harkun rrethor të njëjtë janë të barabartë ndërmjet veti, pasi çdonjëri prej tyre është gjysma e këndit qëndror përgjegjës AOB!

Shuma e një këndi periferik dhe këndi qëndror i tij përgjegjës është 210o. Sa janë ato kënde?

se RAMC = RB dhe RBMC = RA.

Duhet të dish:

Kontrollo!

Trego me vizatim se mbi një hark rrethor mund të vizatohen më shumë (pafund shumë) kënde

ta shprehish raportin ndërmjet këndit periferik dhe këndit qëndror mbi harkun rrethor të njëjtë;

periferike. Si janë ato kënde ndërmjet veti?

ta sqarojsh atë raport dhe ta zbatojsh te detyrat.

Mbi brinjën AB të DABC barabrinjës është vizatuar gjysmëvija rrethore (AB është diametri i tij) që i pren dy brinjët tjera në pikat M dhe N. Caktoi këndet qëndrore x, y dhe z. Udhëzim: RMAB është kënd periferik te ajo gjysmëvija rrethore.

Vizato gjysmëvijë rrethore me r = 2 cm dhe brendashkruaj në të dy kënde periferike. Nga sa shkallë ka çdonjëri prej tyre?

C M

N x

y z O

Këndet te vija rrethore

109

Detyra

4. Nëse $% dhe &' janë harqe rrethore të vijës

1. Cili prej çifteve të këndeve:

rrethore të njëjtë nëse $% = &' , atëherë çdo kënd periferik AMB është i barabartë me

b) 35o, 70o; c) 35o, 35o a) 35o, 75o; mund të jetë çifti i këndeve periferike dhe këndi qëndror përgjegjës?

2. Një kënd periferik dhe këndi qëndror përgjegjës

çdo kënd periferik CND. Pse?

5. Nëse këndi qëndror:

a) zmadhohet tre herë; b) për 15o, sa do të zmadhohen këndet periferike mbi harkun e njëjtë rrethor?

kanë së bashku 132 . Nga sa shkallë ka çdonjëri prej tyre? o

3. Te një vijë rrethore k(O; r) janë zgjedhur pikat A

dhe B, ashtu që RAOB = 120o. Harkut më të madh prej tyre të përcaktuar me atë pikë është zgjedhur pika C, ashtu që RAOC = 110o. Njehso këndet e DABC.

6. Një kënd periferik është konstruktuar mbi harkun rrethor që është:

a) ; b) ; c) ; ç) e vijës rrethore. Sa shkallë ka ai kënd?

TEOREMA E TALESIT

Kujtohu!

Te vizatimi është dhënë vija rrethore k dhe dy O kënde: RAMB = b dhe a RAOB = a. B Përgjigju çka është e A saktë: a) a < b, b) a > b, c) a = b, ç) a = 2b, d) a = 3b. Nga sa shkallë kanë këndet a dhe b, nëse korda AB është diametri i vijës rrethore k? Në vizatim drejtëza TP është tangjenta e vijës rrethore k1 me pikëprekje te pika T. Sa është RO1TP?

P T

Në vizatim AB është diametri i vijës rrethore k. M2 M Vallë RAOB është kënd M

qëndror? Cila është korda e tij përgjegjëse? Sa shkallë ka ai kënd?

Emërtoi këndet periferike që janë konstruktuar mbi atë kordë (d.m.th. mbi diametrin AB). A mundet të vizatohen edhe kënde tjera të atilla? Për çdo kënd periferik mbi diametrin e një gjysmëvije rrethore thuhet se është brendashkruar te gjysmëvija rrethore. Pse çdo kënd i atillë është kënd i drejtë?

Mbaj mend! Çdo kënd i brendashkruar te gjysmëvija rrethore është kënd i drejtë.

110

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Kjo veti është e njohur me emrin teorema e Talesit, e quajtur sipas Talesit i cili ka jetuar para 2 500 vjet.

Konstrukto trekëndësh kënddrejtë, nëse janë dhënë hipotenuza c dhe një katetë a me ndihmën e teoremës së Talesit. Mbi hipotenuzën vizato një gjysmëvijë rrethore te e cila shtrihet kulmi i këndit të drejtë; atë kulm do ta caktojsh me ndihmën e katetës së dhënë. a

Në vizatim drejtëza a është tangjentë e vijës rrethore k me pikëprekje në pikën A; ajo është normale në rrezen OA. Nëpër pikën P, që është jashta vijës rrethore kalojnë pakufi shumë drejtëza.

Ndonjëra prej tyre a e takon vijën rrethore k, përkatësisht është tangjentë e k? Drejtëza e atillë ekziston! Mendo si ta konstruktojsh; shfrytëzoe teoremën e Talesit. Mundem të përgjigjem për këtë: 1) nëse ka drejtëz nëpër P që e takon vijën rrethore te pika T, atëherë ROTP = 90o; 2) Pasi ROTP është kënd i drejtë, sipas teoremës së Talesit, kulmi i tij T duhet të shtrihet te gjysmëvija rrethore me diametër OP dhe, sigurisht, vijës rrethore k. Domethënë T është pikëprerja e tyre; 3) Drejtëza PT është tangjentë e k me prekje në T. Pohimi është i saktë. Por, mbi OP mund të vizatohet edhe një gjysmëvijë rrethore. Domethënë, ekzistojnë dy tangjenta! Shqyrto vizatimin dhe mbaj mend radhitjen e konstruksionit. 1) Është dhënë: k (O; r) dhe P; 2) S - mesi i OP; 3) k1(S; 63 ); 4) k Ç k1 = { T1, T2}; 5) Drejtëzat PT1 dhe PT2 janë tangjentat e kërkuara.

t2 k

T2 P

S T1

Vëreve se tangjentat t1 dhe t2 janë tërhequr prej pikës P. Sipas vizatimit, përgjigju në pyetjet: Të cilit lloj janë trekëndëshat POT1 dhe POT2?

Pse 27

Si quhet brinja e përbashkët?

Cilët kënde janë përgjegjës dhe të barabartë?

Këto trekëndësha a janë të puthitshëm?

Cilët çiftet të tyre janë elemente përgjegjëse?

27 ?

Vërej segmentet PT1 dhe PT2 të tangjentave t1 dhe t2 në vizatim.

Këndet te vija rrethore

111

Segmenti i tangjentës prej pikëprekjes deri te pika prej të cilës ajo është tërhequr quhet segmenti i tangjentës. Prej puthitshmërisë së trekëndëshave OT1P dhe OT2P vëre se:

PT OT është delltoid; F Katërkëndëshi F OP është simetralja e RT OT dhe e RT PT ; 1

F 37 37 ,d.m.th.

Gjatësitë e segmenteve të tangjentave të dy tangjentave që janë tërhequr prej një pike nga vija rrethore janë të barabarta.

Vizato k(O; 3 cm) dhe pikë M, ashtu që 20 = 4 cm. Konstrukto tangjentat e vijës rrethore të tërhequra prej pikës M. Nëse ato e prekin k në pikat T1 dhe T2, cakto shumën RT1OT2 + RT1MT2.

Duhet të dish: ta sqarojsh teoremën e Talesit dhe ta zbatojsh në detyra; të konstruktojsh tangjentë të vijës rrethore prej pikës që është jashta vijës rrethore.

Kontrollohu! Vizato trekëndësh kënddrejtë me katete 3 cm dhe hipotenuzë 5 cm me ndihmën e teoremës së Talesit. Pikat A dhe B janë në anë të ndryshme të drejtëzës p dhe $% = 4 cm. Konstrukto trekëndësh kënddrejtë ashtu që AB është hipotenuza e tij, kurse kulmi C i këndit të drejtë të shtrihet te p.

Detyra 1. Pikat A dhe B nuk shtrihen në drejtëzën p. Te

drejtëza cakto pikë M e atillë që RAMB të jetë i drejtë. Sa zgjidhje ka?

2. Është dhënë drejtëza p dhe pika M që nuk

shtrihen në të. me ndihmën e teoremës së Talesit konstrukto normale të lëshuar prej pikës M në drejtëzën p. (Udhëzim: merr çfarëdo pikë N prej p dhe shfrytëzoe segmentin MN.)

4. Te vija rrethore k(O; r) janë dhënë pikat A dhe

B ku RAOB = 100o. Te A dhe B janë tërhequr tangjenta t1 dhe t2 të k(O; r) që priten te pika P. Caktoi këndet e DABP. Bëj vizatim.

5. Me pikat M1, M2 dhe M3 vija rrethore është

ndarë në tre harqe rrethore: M1, M2 është 25%, kurse M1, M2 - 35% e vijës rrethore. Nëpër M1, M2 dhe M3 tërhiq tangjenta të vijës rrethore; ato priten dy nga dy te A, B dhe C. Caktoi këndet e DABC.

3. Gjysmëvija rrethore mbi bazën e një trekëndëshi barakrahas i pret krahët te pikat që janë rrënza të lartësive të lëshuara prej kulmeve pranë bazës. Sqaroe atë.

112

6. Dy vija rrethore me qendra te pikat O dhe O1 priten te pikat A dhe B. Nëpër pikën A janë tërhequr diametrat AA1 dhe AB1 të atyre vijave rrethore. Sqaro pse pikat A1, B dhe B1 shtrihen në një drejtëz.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

KATËRKËNDËSHI KORDIAK DHE TANGJENCIAL

KATËRKËNDËSHI KORDIAK

Kujtohu! Zgjedh tre pika A, B, C te një vijë rrethore dhe vizato DABC.

Për DABC thuhet se është brendashkruar në vijën k B rrethore. Çdo trekëndësh a mund të brendashkruhet te ndonjë vijë rrethore? Cila është ajo vijë rrethore?

Çdo katërkëndësh a mund të brendashkruhet te vija rrethore? Në vizatim vërehet se çdo drejtkëndësh mund të brendashkruhet te vija rrethore (pse?); ku është qendra e saj? D

r a

C b

a k

Shumëkëndëshi kulmet e të cilit janë pika të një vije rrethore quhet shumëkëndësh kordiak.

F Këndet e tij janë kënde periferike te vija rrethore.

B1 B B2

Vëren se rombi që nuk është katror nuk mund të brendashkruhet te vija rrethore, por ndonjë trapez mundet por ndonjë nuk mundet.

F Brinjët e tij janë korda të vijës rrethore.

r A

Çdo trekëndësh, ndonjë katërkëndësh, ndonjë pesëkëndësh, ndonjë gjashtëkëndësh etj., mund të brendashkruhet te një vijë rrethore.

Njehso këndet e katërkëndëshit kordiak ABCD, nëse RB= 85o43', kurse diagonalja e tij BD është diametri i vijës rrethore të jashtashkruar rreth tij.

Shqyrto vizatimin e një katërkëndëshi kordiak dhe përgjigju në pyetjet: Sa është shuma e këndeve a, b, g dhe d të katërkëndëshit ABCD?

d a g1 1

Mendo dhe përpiqu të njehsojsh shumat a + g dhe b + d.

Katërkëndëshi kordiak dhe tangjencial

b B

113

a dhe g janë kënde periferike a është kënd qëndror përgjegjës a 1, kurse g dhe g1. Vëreve se a =

D , g=

Prandaj a + g =

dhe a1 + g1= 360o.

J D D J R + = = .

Domethënë: a + g = 180o.

Trego se edhe b + d = 180 o.

Atë që e vëreve është një veti e rëndësishme e katërkëndëshit kordiak. Te çdo katërkëndësh kordiak shuma e këndeve të përballta është 180o.

Le të jetë dhënë katërkëndëshi ABCD te i cili shuma e një çifti të këndeve të përballta është 180o, për shembull a + g = 180o. Sa është shuma e çiftit tjetër të këndeve të përballta, b + d =? Mund të tregohet se çdo katërkëndësh me këtë veti është kordiak.

Vëre dhe mbaj mend! Nëse te një katërkëndësh një çift i këndeve të përballta janë suplementar, atëherë ai katërkëndësh është kordiak. Ky pohim është indici me të cilin mundesh të konstatojsh se një katërkëndësh a është kordiak.

Kontrollohu!

Duhet të dish:

A mundet të jashtashkruhet vija rrethore rreth katërkëndëshit ABCD, nëse këndet e tij (sipas radhës të kulmeve) janë: b) 70o, 130o, 110o, 50o; a) 90o, 90o, 60o, 120o; o o o o c) 45 , 75 , 135 , 105 ?

ta sqarojsh dhe ta përkufizojsh kuptimin katërkëndësh kordiak; sqarojsh katërkëndëshin kordiak dhe ta shfrytëzojsh në detyra.

Trego se çdo trapez barakrahas është katërkëndësh kordiak.

Detyra 1. Katërkëndëshi ABCD a është kordiak nëse këndet e tij (sipas radhës së kulmeve) janë: a) 15%, 30%, 35%, 20%; b) 40%, 20%, 15%, 25%; c) 45%, 30%, 5%, 20% të këndit të plotë?

2. 114

ABCD me kënde: 3. Katërkëndëshi o o o

Prej pikës P te ndonjë kënd AOB janë lëshuar normale të krahëve rrënza e të cilës janë A1 të krahut OA dhe B1 të krahut OB. Sqaro pse katërkëndëshi OA1PB1 ështël kordiak.

a)RA = 80 , RB = 80 , RC = 100 ; b) RA = 30o, RC = 128o, RD = 150o; c) RB = 117o, RC = 121o, RD = 63o a mundet të brendashkruhet te ndonjë vijë rrethore?

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

KATËRKËNDËSHI TANGJENCIAL

Kujtohu! Zgjedh tre pika P, Q, T të një vije rrethore k dhe vizatoi tangjentat p, q, t që e prekin k në pikat P, Q, T. C P q p

D B

O t

Mbaj mend!

Drejtëzat p dhe q le të priten në A, q dhe t në B, t dhe p në C. Për DABC thuhet se është jashtashkruar rreth vijës rrethore k ose në DABC është brendashkruar vija rrethore k. Vërej segmentet e tangjentave të çdo tangjente dhe vëre vetinë e tyre (për shembull: &3 &7 ). Te çdo trekëndësh a mundet të brendashkruhet vija rrethore? Ku është qendra e saj?

5cm, %& = 3cm dhe &$ = 4 cm, njehso perimetrin e DABC.

a Në vizatim vëren se te paralelogrami që nuk është romb nuk mund të brendashkruhet vija rrethore. Te ndonjë trapez mundet, kurse te ndonjë nuk mund të brendashkruhet vija rrethore. a

Në vizatim është paraqitur një katërkëndësh tangjencial ABCD. C

b a

Vizato vijë rrethore k(O; 2,5 cm) dhe në të kordë $% = 2cm. Vizatoi tangjentat e k me pikëprekje në A dhe në B; ato le të priten në pikën C.Pse DABC është barakrahas? Çka është baza, kurse çka krahët e atij trekëndëshi?

Vija rrethore k e brendashkruar te DABC i prek brinjët e trekëndëshit, dhe atë: AB në pikën C1, BC në A 1 dhe CA në B1. Nëse $& =

D A

Katërkëndëshi brinjët e të cilit e prekin një vijë rrethore quhet katërkëndësh tangjencial.

Te katërkëndëshi a mundet të brendashkruhet vija rrethore? Në vizatim vëren se te rombi dhe delltoidi mund të brendashkruhet vija rrethore.

Vëre në vizatim se te katërkëndëshi ABCD është brendashkruar vija rrethore, d.m.th. çdo brinjë e katërkëndëshit e prek vijën rrethore.

B1 B B2

Q A

Katërkëndëshi kordiak dhe tangjencial

115

Brinjët e tij e prekin vijën rrethore të brendashkruar, dhe atë: AB në M, BC në N, CD në P dhe DA në Q.

Shkruaj disa çifte të segmentave të barabartë (sikurse %0 = %1 ) dhe sqaro pse ato janë të barabarta. Mendo dhe përpiqu të vërejsh ndonjë lidhje ndërmjet brinjëve të përballta të katërkëndëshit.

Prej vizatimit mund të vërejsh se: $0 = $4 , %0 = %1 , &3 = &1 , '3 = '4 . Shkruaje shumën e brinjëve në anën e majtë dhe shumën e brinjëve të anës së djathtë nga barazimet. Pse ato shuma janë të barabarta? Mund të shkruhet se: ( $0 + %0 ) + ( &3 + '3 ) = ( $4 + '4 ) + ( %1 + &1 ). Vëre se barazimi mund të shkruhet vetëm me brinjët e katërkëndëshit ABCD: $% + &' = $' + %&

F Kjo është vetia themelore e çdo katërkëndëshi tangjencial. Nëse katërkëndëshi ABCD është tangjencial, atëherë shumat e gjatësive të brinjëve të tija të përballta janë të barabarta, d.m.th. $% + &' = $' + %& .

Në vizatim është dhënë trapezi kënddrejtë tangjencial. Sipas të dhënave në vizatim:

a) provo a vlen $% + &' = %& + '$ ; b) njehso perimetrin e trapezit ABCD. A 2

Mund të tregohet se është i saktë edhe pohimi i anasjelltë të vetisë themelore të katërkëndëshit tangjencial.

Nëse te një katërkëndësh shuma e gjatësive të dy brinjëve të përballta është e barabartë me shumën e gjatësive të dy brinjëve tjera të përballta, atëherë katërkëndëshi është tangjencial.

Ky pohim është indici me të cilin mund të konstatojsh se njnë katërkëndësh a është tangjencial.

116

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Si do të konstatojsh se te katërkëndëshi i dhënë mund të brendashkruhet vija rrethore?

Vizato: a) katror; b) romb; c) delltoid. Pastaj te çdonjëri prej tyre, konstrukto vijë rrethore. Ndihmë. Qendra e vijës rrethore të brendashkruar është në prerjen e diagonaleve, kurse pikëprekjet të vijës rrethore me brinjët janë rrënzat e lartësive të lëshuara prej qendrës.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

ta sqarojsh dhe ta përkufizojsh kuptimin katërkëndësh tangjencial;

Bazat e një trapezi barakrahas janë 10 cm dhe 6 cm. Sa duhet të jetë krahu, që te ai të mund të brendashkruhet vija rrethore?

ta vërejsh dhe ta sqarojsh lidhjen ndërmjet shumave të gjatësive të brinjëve të përballta te katërkëndëshi tangjencial.

Detyra 1. Tre brinjë të një katërkëndëshi tangjencial janë: $% = 7 cm, %& = 12 cm dhe

Katërkëndëshi tangjencial ABCD e ka perimetrin 28 cm, $% = 7,5 cm dhe %& = 6,5 cm. Cakto gjatësitë e brinjëve CD dhe AD.

$' = 5 cm. Cakto &' .

2. Cili paralelogram është katërkëndësh edhe kordiak edhe tangjencial?

3. A është katërkëndësh tangjencial katërkëndëshi ABCD nëse gjatësitë e brinjëve të tija (të njëpasnjëshme) janë: a) 5cm, 4cm, 6cm dhe 7cm; b) 11cm, 9cm, 10cm dhe 8cm?

Vërteto se vija e mesme e trapezit tangjencial është e barabartë me

e perimetrit të tij.

Katërkëndëshi kordiak dhe tangjencial

117

SHUMËKËNDËSHAT E RREGULLT

SHUMËKËNDËSHAT E RREGULLT. KËNDE DHE PERIMETRI

Kujtohu!

Sa është shuma e këndeve te një trekëndësh?

Shqyrtoi të gjitha vizatimet dhe përgjigju në pyetjet. Në sa trekëndësha është ndarë pesëkëndëshi me diagonalet të tërhequra prej një kulmi të tij?

Si sqarohet se shuma e këndeve te çdo katërkëndësh është 360o? Në sa trekëndësha është ndarë gjashtëkëndëshi me diagonalet të tërhequra prej një kulmi të tij? Mendo në sa trekëndësha do të ndahet një n-këndësh me diagonalet të tërhequra prej një kulmi të tij.

Vëreve se Pesëkëndëshi është ndarë në tre trekëndësha, d.m.th. në (5 - 2) trekëndësha, gjashtëkëndëshi në katër, d.m.th. në (6 - 2) trekëndësha, kurse n-këndëshi është ndarë në n - 2 trekëndësha, d.m.th. për dy më pak se numri i brinjëve.

Cakto shumën e këndeve të brendshme te: a) pesëkëndëshi, b) gjashtëkëndëshi, c) n - këndëshi. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F Shuma e këndeve te çdo trekëndësh është 180 . F Numri i trekëndëshave është: a) 3; b) 4; c) n - 2. F Shuma e këndeve është: a) 3 × 180 = 540 ; b) 4 × 180 = 720 ; o

c) (n - 2) × 180o.

Shuma e këndeve të brendshme te n-këndëshi është (n - 2) × 180o.

Cakto shumën e këndeve te n-këndëshi, nëse: a) n = 7; b) n = 8; c) n = 10; ç) n = 15.

Shqyrtoe pesëkëndëshin ABCDE dhe përgjigju në pyetjet.

118

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Cilët janë kënde të brendshme, kurse cilët janë kënde të jashtme te pesëkëndëshi? Pse çdo kënd i brendshëm dhe një kënd i jashtëm shoqërues janë suplementar, d.m.th. a + a1 = 180o, b + b1 = 180o? Cakto shumën e këndeve të jashtme te pesëkëndëshi.

g1 C g

D d1 d E

j j1

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

a F A F Shuma e këndeve të brendshme është: (5 - 2) × 180 = 3 × 180 = 540 . F Shuma e këndeve të jashtme është: 5 × 180 - (5 - 2) × 180 = 900 - 540 = 360 . o

Shuma e këndeve të brendshme dhe këndeve të jashtme është 5 × 180o = 900o.

Përpiqu të sqarojsh në të njëjtën mënyrë se: Shuma e këndeve të jashtme te çdo n-këndësh është 360o. Vëreje mënyrën:

n × 180o - (n - 2) × 180o = n × 180o - n × 180o + 2 × 180o = 360o.

6. Si janë ndërmjet veti brinjët, kurse si këndet e: a) trekëndëshit barabrinjës;

b) katrorit?

Për trekëndëshin barabrinjës themi se është trekëndësh i rregullt,, kurse për katrorin katërkëndësh i rregullt. Shumëkëndëshi i cili brinjët i ka të barabarta dhe të gjitha këndet i ka të barabarta quhet shumëkëndësh i rregullt.

Kujtohu! Perimetri i trekëndëshit të rregullt, me brinjë a = 5 cm është:

Si do ta njehsojsh perimetrin e n - këndëshit të rregullt me brinjë a?

P = 3 × a; P = 3 × 5; P = 15 cm. Cakto perimetrin e katërkëndëshit të rregullt me brinjë a = 9 cm.

Cakto perimetrin e tetëkëndëshit të rregullt me brinjë a = 10 cm.

Perimetrin do ta njehsoj me formulën P = n × a.

Njehso këndin e brendshëm te tetëkëndëshi i rregullt. Vëre se shuma e këndeve të brendshme është (8 - 2) × 180o = 1080o, kurse një R kënd i brendshëm është

R = 135o.

H A

a1 B

Shumëkëndëshat e rregullt

C b1

119

Vëren se: Këndi i brendshëm a i n-këndëshit të rregullt njehsohet me formulën: Si janë ndërmjet veti këndet e jashtme te shumëkëndëshi i rregullt? Si do ta njehsojsh këndin e jashtëm te n-këndëshi i rregullt?

Q R Q

Ato janë të barabartë ndërmjet veti dhe shuma e tyre është 360o. Këndi . i jashtëm është: R Q

Njehso këndin e brendshëm dhe të jashtëm te: a) 7-këndëshi i rregullt; b) 10-këndëshi i rregullt.

Duhet të dish! ta caktojsh shumën e këndeve të brendshme dhe të jashtme te një n-këndësh; të përkufizojsh shumëkëndësh të rregullt; të sqarojsh se si caktohet këndi i brendshëm, përkatësisht këndi i jashtëm i n-këndëshit të rregullt; të sqarojsh se si njehsohet perimetri i n-këndëshit të rregullt.

Detyra 1. Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të bren-

Kontrollohu! Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të brendshme është: a) 360o; b) 1800o? Cakto këndin e brendshëm, këndin e jashtëm dhe perimetrin te 12-këndëshi i rregullt.

6. Cakto perimetrin e pesëmbëdhjetëkëndëshit të rregullt nëse brinja e tij është a = 0,25 dm.

dshme është: a)1260 ,b)900 , c) 1440 ? o

2. Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të jashtme është: a) 180o, b) 360o?

3. Cakto këndin e brendshëm dhe të jashtëm te:

a) dhjetëkëndëshi, b) njëzetkëndëshi i rregullt.

7. Sa është brinja e shtatëkëndëshit të rregullt, nëse perimetri i tij është 77,7 dm?

8. Cili shumëkëndësh i rregullt me brinjë 2,2 cm e ka perimetrin 24,2 cm?

9. Për cilin n - këndësh të rregullt vlen: 4. Te cili shumëkëndësh i rregullt këndi i jashtëm është: a) 36o, b) 24o, c) 60o?

5. Sa brinjë ka shumëkëndëshi i rregullt, nëse këndi i tij i brendshëm ka: a) 144o, b) 156o?

120

a) këndi i jashtëm është i barabartë me këndin e brendshëm; b) këndi i jashtëm është dy herë më i madh se këndi i brendshëm; c) këndi i jashtëm është tre herë më i vogël se këndi i brendshëm;

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

VETITË E SHUMËKËNDËSHIT TË RREGULLT

Kujtohu!

Trekëndëshi i rregullt ka vijën rrethore të brendashkruar dhe jashtshkruar.

Prerja O e simetraleve të brinjëve të DABC paraqet qendrën e vijës rrethore të jashtashkruar te DABC. C O

Trekëndëshi EFG në vizatim është barakrahas. Çka paraqet lartësia GK për bazën EF, kurse çka për REGF pranë majës G? Si janë ndërmjet veti (. dhe .) ?

Sqaro se si caktohet qendra e vijës rrethore të jashtshkruar dhe brendashkruar te katrori.

Çka paraqet prerjat H e simetraleve të këndeve te trekëndëshi?

Te çdo shumëkëndësh i rregulltoj a mund të jashtashkruhet vija rrethore? Përgjigje është vërtetuar. Që ta vërejsh këtë, shqyrtoe vizatimin, te i cili është paraqitur 9 këndëshi i rregullt; drejtëzat s1 dhe s2 janë simetralet e dy këndeve fqinje: RKAB dhe RABC.

Tani ndiqi sqarimet.

F R1 = R2 = R3 = R4, si gjysmëkënde të dy këndeve të barabartë. F Simetralet s dhe s priten në një pikë O, pasi R2 + R3 < 180 . Për shkak R2 = R3, vijon se DABO është barakrahas, me majë O dhe F krahë 2$ = 2% . 1

gjitha kulmet tjera do t'i lidhim me pikën O, kështu fitohen 9 trekëndësha F Të me kulm të përbashkët dhe baza të barabarta.

H K

s1 O

A a

F DAOB @ DCOB (sipas indicit?), prej ku vijon 2$ = 2% = 2& . vazhdohet më tutje me krahasimin e trekëndëshave fqinjë, do të tregohet se të gjithë trekëndëshat F Nëse barakrahas, se të gjithë janë të puthitshëm ndërmjet veti, ku: 2$ = 2% = 2& = ... = 2. .

I njëjti përfundim vlen për çfarëdo shumëkëndësh të rregullt.

Shumëkëndëshat e rregullt

121

Prej kësaj mund të përfundojsh Të gjitha kulmet e shumëkëndëshit të rregullt janë njëlloj të larguara, prej një pike të tij të brendshme O, përkatësisht se shtrihen te vija rrethore me qendër O.

Në vizatim është dhënë pesëkëndëshi i rregullt dhe vija rrethore e tij e jashtashkruar. Trego se te ai mund të brendashkruhet vja rrethore.

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Sqaro pse lartësitë te të gjithë pesë trekëndëshat barakrahas ABO, BCO, ... të lëshuara prej majës së tyre të përbashkët O janë të barabarta ndërmjet veti.

C H2

H4 O

E H5

B H1

Rrënza H1 e lartësisë OH1 është mesi i brinjës AB. Pse? Prej 2+ = 2+ = ... = 2+ vijon se meset e brinjëve të pesëkëndëshit të rregullt janë një lloj të larguara prej pikës O. Domethënë ekziston vijë rrethore me qendër O që i prek brinjët e pesëkëndëshit të rregullt. Përfundimi i njëjtë vlen për çfarëdo shumëkëndësh të rregullt.

Mbaj mend Rreth çdo shumëkëndëshi të rregullt mund të jashtashkruhet vija rrethore. Te çdo shumëkëndësh i rregullt mund të brendashkruhet vija rrethore. Ato vija rrethore janë koncentrike. Për qendrën e tyre thuhet se është qendra e shumëkëndëshit të rregullt.

Vizato: a) trekëndësh të rregullt; b) katërkëndësh të rregullt, dhe konstrukto vijën rrethore të jashtashkruar dhe brendashkruar.

Te vija rrethore e dhënë me rreze R brendashkruaje: a) trekëndëshin e rregullt; b) katërkëndëshin e rregullt. O

Në vizatim është dhënë njëri prej trekëndëshave barakrahas përbërës, DAOB, të shumëkëndëshit të rregullt. Për DAOB thuhet se është trekëndësh karakteristik të n-këndëshit të rregullt.

r H1

122

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Elementet e tij e përcaktojnë n-këndëshin e rregullt: O - qendra;

RAOB =

R - këndi qëndror; Q

$% = a - brinja;

2$ = R - rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar; 2+ = h = r - rrezja e vijës rrethore të brendashkruar ose apotema, e n-këndëshit të rregullt.

Vizato trekëndësh karakteristik të: a) trekëndëshit të rregullt; b) katërkëndëshit të rregullt, nëse rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar është R = 3 cm.

Konstrukto trekëndësh karakteristik te 12-këndëshi i rregullt me brinjë 2 cm. Si do ta caktojsh këndin pranë bazës?

Duhet të dish:

Kontrollohu!

t'i tregojsh dhe sqarojsh pohimet për vijën rrethore të jashtashkruar dhe brendashkruar te shumëkëndëshi i rregullt;

Si do ta caktojsh këndin pranë bazës të trekëndëshit karakteristik nëse:

të përkufizojsh trekëndësh karakteristik, apotemën dhe këndin qëndror të shumëkëndëshit të rregullt.

Cakto këndin qëndror te: a) trekëndsëhi; b) katërkëndëshi; c) pesëkëndëshi; ç) gjashtëkëndëshi; d) tetëkëndëshi i rregullt.

a) n = 5;

b) n = 8; c) n = 9?

Detyra 1. Cakto këndin e brendshëm, të jashtëm dhe qëndror te: a) 12-këndëshi; b) 15-këndëshi; c) 20-këndëshi i rregullt.

2. A ekziston n - këndësh i rregullt te i cili këndi qëndror është: a) 40o; ç) 100o; b) 80o; d) 120o? c) 90o;

3. Te n - këndëshi i rregullt është: a) këndi qëndror 45o; b) këndi i jashtëm 30o; c) këndi i brendshëm 144o?

4. Vizato trekëndësh karakteristik të dhjetëkëndëshit të rregullt me brinjë 2 cm.

5. trego se te shumëkëndëshi i rregullt këndi i tij qëndror është i barabartë me këndin e tij të jashtëm.

Shumëkëndëshat e rregullt

123

KONSTRUKSIONI I SHUMËKËNDËSHAVE TË RREGULLT

Kujtohu! Për cilin shumëkëndësh thuhet se është i rregullt?

DOAB në vizatim është trekëndësh karakteristik i n-këndëshit të rregullt. Sa shkallë ka këndi qëndror g?

Njehso këndin qëndror g; R g = .

Sa shkallë ka këndi d?

h=r

Tërhiqe kordën AB dhe barte te vija rrethore ashtu

J ;

që $% %& &$ . (Vëre se DABO është karakteristik për trekëndëshin e rregullt, DABC.) Sqaro pse DABC është trekëndëshi i rregullt i kërkuar.

A mund të vizatohet trekëndëshi karakteristik DOAB i n-këndëshit të rregullt nëse dihet vetëm a ose vetëm R ose vetëm h = r?

O g

Vizato vijë rrethore k(O; 2,5 cm) dhe kënd qëndror g = RAOB = 120o.

R g= ; Q

Te vija rrethore me r = 2,5 cm brendashkruaje trekëndëshin e rregullt.

Vëre zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve.

Vijat rrethore e jashtashkruar dhe brendashkruar te n-këndëshit të rregullt janë koncentrik?

Konstrukto katërkëndësh të rregullt, d.m.th. katror me brinjë a = 4 cm, me ndihmën e trekëndëshit të rregullt.

Shqyrto zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve. R Njehso këndin qëndror g (g= ) dhe këndin d pranë bazës së trekëndëshit karakteristik (d = 45 o ). Vizato segment AB, $% = 4 cm dhe këndet RBAX = RABY = 45o.

Sqaro pse prerja O e krahëve AX dhe BY është qendra e katrorit. Vizato vijë rrethore k(O; 2$ ). Barte kordën AB nëpër vijën rrethore ashtu që $% %& &' Sqaro pse katërkëndëshi i fituar ABCD është katrori i kërkuar.

'$ .

C Y X O 90o 45o 45o

Trego se trekëndëshi karakteristik i gjashtëkëndëshit të rregullt është trekëndësh barabrinjës.

Sa janë këndet e trekëndëshit karakteristik te dymbëdhjetëkëndëshi i rregullt?

124

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Vizato nëntëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore me rreze R = 3 cm.

Nëntëkëndëshi i rregullt nuk mund të konstruktohet vetëm me vizor dhe kompas. Prandaj do të shfrytëzojmë edhe këndmatës. D Shqyrtoe zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve. E C Vizato vijë rrethore k(O; 3 cm) dhe kënd qëndror RAOB = 40o.

Barte kordën AB nëpër vijën rrethore ashtu që $%

m B O R=3c 40o

Pikat A dhe B janë te vija rrethore dhe ato janë dy kulme fqinje të nëntëkëndëshit.

70o

&' +. .

Sqaro pse është fituar nëntëkëndësh i rregullt.

K F

Vizato nëntëkëndësh të rregullt me brinjë a = 2 cm.

Shqyrtoe vizatimin dhe vepro sipas udhëzimeve . Vizato trekëndësh karakteristik DOAB, d.m.th. trekëndësh

barakrahas me bazë $% = a = 2 cm dhe këndet e bazës a = 70 . o

40o 70o 70o

Barte kordën AB nëpër vijën rrethore ashtu që $%

Le të jetë k(O; 2$ ).

&' +. = 2 cm.

Konstrukto gjashtëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore me R = 3 cm.

Duhet të dish: të konstruktojsh shumëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore; të sqarojsh (me trekëndëshin karakteristik) dhe ta zbatojsh mënyrën për atë konstruksion.

Detyra 1. Vizato trekëndësh të rregullt:

a) te vija rrethore me r = 4 cm; b) i jashtashkruar rreth vijës rrethore me r = 2,5 cm. 2. Vizato gjashtëkëndësh të rregullt te vija rrethore me r = 4 cm.

Vizato katror të jashtashkruar rreth vijës rrethore me r = 2,5 cm.

Kontrollo! Konstrukto trekëndësh karakteristik të dymbëdhjetëkëndëshit të rregullt. Sa janë këndet e atij trekëndëshi? Vizato pesëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore me R = 3 cm.

3. Vizato pesëkëndësh të rregullt:

a) me brinjë a = 3 cm; b) nëse dihet r e vijës rrethore të brendashkruar; b) nëse dihet R e vijës rrethore të jashtashkruar.

Shumëkëndëshat e rregullt

125

TEOREMA E PITAGORËS

Kujtohu!

Konstrukto trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzë c = 5 cm dhe katete b = 4 cm, me ndihmën e teoremës së Talesit. Mate katetën tjetër.

Çka është katrori i një numri? Si caktohet rrënja katrore e numrit të dhënë? Njehso: 52; 122; 32 + 42; 52 - 32;

Vizato një trekëndësh kënddrejtë dhe shënoi kulmet, këndet dhe brinjët.

Nëse ke matur mirë, ke fituar 3 cm.

Si quhet brinja që shtrihet përballë këndit të drejtë? Si quhen dy brinjët tjera?

Është dhënë trekëndëshi kënddrejtë me katete a = 3 cm, b = 4 cm dhe hipotenuzë c = 5 cm.

Shqyrtoe vizatimin dhe përpiqu të vërejsh një lidhje ndërmjet katrorëve të brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë. Çdonjëri prej katrorëve është ndarë në katrorzë me brinjë 1 cm. Sa katrorzë ka çdo katror?

Për numrin e katrorzëve vëren se:

F Mbi a janë 9, d.m.th. a = 3 ; a = 9; F Mbi b janë 16, d.m.th. b = 4 ; b = 16; F Mbi c janë 25, d.m.th. c = 5 ; c = 25. Çka vëren për shumën e katrorëve të kateteve dhe katrorit të hipotenuzës?

126

3 5 4

Vërej se shuma e katrorëve të kateteve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës, d.m.th. 9 + 16 = 25 ose a2 + b2 = c2.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Për trekëndëshin te i cili numrat matës të brinjëve të tij janë 3, 4 dhe 5 qysh Egjiptasit e vjetër kanë ditur se është kënddrejtë. Për këtë shkak quhet trekëndëshi i egjiptasve. Indianët e vjetër kanë ditur për trekëndëshin kënddrejtë me brinjë 5, 12 dhe 13; ai është i njohur si trekëshi i indisë. Provo a vlen barazimi a2 + b2 = c2 për trekëndëshin e indisë. Vetinë që e vëreve te trekëndëshi i indisë vlen për çdo trekëndësh kënddrejtë dhe është i njohur me emrin teorema e Pitagorës.

Teorema e Pitagorës thotë: Te çdo trekëndësh kënddrejtë katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të kateteve.

Njehso hipotenuzën c të trekëndëshit kënddrejtë, nëse katetet e tij janë a = 8 cm dhe b = 6 cm. b = 6 cm

F Skica:

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

c=?

F Është dhënë: a = 8 cm dhe b = 6 cm. a = 8 cm F Kërkohet: c = ? F Pasi trekëndëshi është kënddrejtë, sipas teoremës së Pitagorës kemi: c = a + b ; d.m.th. c = D E ; 2

c2 = 82+62; F

; F

; c = 10 cm.

Mbaj mend se te çdo trekëndësh kënddrejtë me katete a, b dhe hipotenuzë c vlen formula:

c2 = a2 + b2 B a

F Nëse janë dhënë dy katete, kurse kërkohet hipotenuza, atëherë: c2 = a2 + b2, d.m.th. c =

D E

janë dhënë hipotenuza dhe një katetë, kurse kërkohet kateta tjetër, F Nëse atëherë: a2 = c2 - b2, d.m.th. a =

F E ,

ose

b2 = c2 - a2 , d.m.th.

F D .

Për trekëndëshin kënddrejtë me katete a = 12 cm, b = 16 cm dhe hipotenuzë c = 20 cm, provoi formulat e teoremës së Pitagorës.

Teorema e Pitagorës

127

E saktë është edhe teorema e anasjelltë: Nëse te një trekëndësh vlen barazimi c2 = a2 + b2, atëherë ai trekëndësh është kënddrejtë.

Me ndihmën e teoremës së Pitagorës, provo trekëndëshi me brinjë 9, 10, 14 a është kënddrejtë.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

ta shprehish teoremën e Pitagorës; ta shprehish çdo brinjë të trekëndëshit kënddrejtë me ndihmën e të tjerave.

A është trekëndësh kënddrejtë trekëndëshi me brinjë: a) 12; 16; 21; b) 3; 1,6; 3,4? Cakto brinjën e panjohur të trekëndëshit kënddrejtë me katete a dhe b dhe hipotenuzë c: a) c = 2,9, b = 2; b) c = 1, a = 0,8.

Detyra 1. Brinjët e DABC janë: a) 7; 24; 25; b) 8; 10; 15; c) 8; 15; 17; ç) 12; 15; 20. A është DABC kënddrejtë?

Cakto perimetrin e DABC sipas të dhënave në vizatim.

B 20

A 5 D

2. Cakto brinjën e panjohur te trekëndëshi kënddrejtë me katete a, b dhe hipotenuzë c:

a) a = 56, b = 33;

b) b = 12, c = 37;

c) a = 25, b = 31;

ç) c = 2,9, a = 2;

6. Cakto perimetrin e katërkëndëshit nga vizatimi.

d) a = 0,3, c = 0,34.

3. Cakto perimetrin e trekëndëshit kënddrejtë nëse katetet e tij janë: a) 0,5 cm dhe 1,2 cm; b) 1,5 dm dhe 2 dm.

4. Cakto perimetrin e trekëndëshit kënddrejtë me

7. A mundet të tre brinjët e trekëndëshit kënddrejtë të jenë numra natyror: a) çift, b) tek? Sqaroe përgjigjen.

hipotenuzë dhe katetë: a) 1 m dhe 0,8 m; b) 0,17 dm dhe 0,15 dm.

128

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

ZBATIMI I TEOREMËS SË PITAGORËS TE DREJTKËNDËSHI, KATRORI DHE TREKËNDËSHI BARABRINJËS

Kujtohu!

Shpeshherë është e nevojshme me ndihmën e trekëndëshit kënddrejtë të zgjidhish ndonjë problem nga jeta e përditshme, teknika, gjeodezia etj. Te shumë figura gjeometrike ai mund të vërehet dhe të ndihmon që të kryejsh njehsime të caktuara.

Për brinjët e trekëndëshit kënddrejtë vlen teorema e Pitagorës. c

a b

c2 =a2 + b2 a2 =c2 - b2 b2 =c2 - a2

Në vizatim është paraqitur drejtkëndëshi ABCD me brinjë a = 12 cm dhe b = 5 cm.

D d

Vëreje diagonalen $& = d. Mendo se si do ta caktojsh gjatësinë e diagonales. Si është trekëndëshi DABC? Te cili kulm është këndi i drejtë?

Cilat janë katetet, kurse cila është hipotenuza e DABC?

Vëre se, sipas teoremës së Pitagorës: d 2 = a2 + b2; d 2 = 122 + 52 = 169; d =

; d = 13 cm.

Cakto rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar rreth drejtkëndëshit me brinjë a = 32 cm, b = 24 cm. D C

Njehso gjatësinë e diagonales së katrorit me brinjë a.

Shqyrtoe vizatimin dhe vëre:

F F Sipas teoremës së Pitagorës: d = a + a = 2a ; d = D ; d = a ;

DABC është barakrahas kënddrejtë. 2

Njehso diagonalen e katrorit me brinjë: a) a = 6 cm; b) a = 1,2 cm.

» 1,41.

Cakto rrezet e vijës rrethore të brendashkruar dhe jashtashkruar te katrori me brinjë a = 3 cm.

D A

C R

Teorema e Pitagorës

129

E dinë se diagonalja e katrorit me brinjë a është: d = a . A mundet me ndihmën e a t'i shkruajsh rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar R dhe rrezen e vijës rrethore të brendashkruar r?

Prej vizatimit përfundoj se: r=

D G D , kurse R = , R = . C

Në vizatim është paraqitur trekëndëshi barabrinjës ABC. Sipas vizatimit përgjigju në pyetjet.

h O

Çka paraqet segmenti CC1 për DABC? Çka paraqet segmenti CC1 për trekëndëshin kënddrejtë AC1C? Çka paraqesin segmentet OD, përkatësisht OB?

Pse ortoqendra O (prerja e lartësive) puthitet me pikën e rëndimit (prerja e vijave të rëndimit) te trekëndëshi barabrinjës? Me ndihmën e brinjës a shkruaj: h - lartësia; r - rrezja e vijës rrethore të brendashkruar;

r R C1

R - rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar.

Mund të tregohet se te trekëndëshi barabrinjës pikëprerja O e lartësive dhe vijave të rëndimit e ndan lartësinë (vijën e rëndimit) në pjesë: 2&

K ; 2&

Vëreje caktimin e: h, r, R te trekëndëshi barabrinjës. Prej trekëndëshit kënddrejtëk AC1C vijon:

2 D| D h = a - o ¸ = a2 = a;

Njehso h, R dhe r te trekëndëshi barabrinjës me brinjë a = 30 cm.

D h= ×

; r=

D D ; h=

Duhet të dish: ta zbatojsh teoremën e Pitagorës te drejtkëndëshi, katrori dhe trekëndëshi barabrinjës.

130

;

D h= ×

» 1,73.

; R=

Kontrollohu! Sa është rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar rreth katrorit me brinjë a = 10 cm? Cakto lartësinë dhe rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar dhe brendashkruar te trekëndëshi barabrinjës me brinjë 10 dm.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Detyra 1. Cakto diagonalen e drejtkëndëshit me brinjë: a) 0,28 dm; 0,96 dm; b) 300 cm; 160 cm.

2. Cakto perimetrin e drejtkëndëshit, të dhënë me: a) d = 13 m, a = 12 m;b) d = 8,5 dm; b = 1,3 dm.

3. Te vija rrethore me R = 10 dm është brenda4.

shkruar drejtkëndëshi me brinjë 8 dm. Cakto perimetrin e tij. Meset e brinjëve të katrorit me brinjë 10 cm janë kulmet e një katërkëndëshi. Cakto perimetrin e tij.

6. Cakto h, R dhe r te trekëndëshi barabrinjës me brinjë:

a) a = 1, b) a = 100; c) a = .

7. Te një trekëndësh barabrinjës është brendashkruar vija rrethore me r = 3,46 cm. Cakto perimetrin e tij.

A mundet diagonalja dhe brinjët e një drejtkëndëshi të kenë gjatësi: b)20, 30, 40;

c) 10, 20, 30;

ç) 150, 200, 250?

9. Janë dhënë dy katror. Njëri me brinjë a = 3 cm, kurse tjetri me brinjë b = 4 cm. Cakto brinjën c të katrorit tjetër syprina e të cilit është e barabartë me shumën e syprinave të katrorëve të dhënë.

5. Cakto rrezet e vijës rrethore të brendashkruar dhe jashtashkruar te katrori me: a) a = 10 cm; b) d = 10 cm.

a) 30, 40, 50;

DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREMËS SË PITAGORËS

Kujtohu! Për cilin trekëndësh themi se është barakrahas?

Çfarë katërkëndëshi është rombi? Cili është trapezi barakrahas? Shqyrtoi vizatimet dhe shprehi vetitë e çdo figure.

D a S

h b

a a A

d2 a

a B

B A

Db C b b h a

c a

Shqyrto trekëndëshin barakrahas në vizatim dhe përgjigju në pyetjet. C

Trekëndëshi kënddrejtë BCD a është pjesë përbërse e trekëndëshit barakrahas DABC? Cilët elemente të DABC janë katete dhe hipotenuzë e DBCD? Teorema e Pitagorës mundëson të vërehet një lidhje ndërmjet bazës, krahut dhe lartësisë së trekëndëshit barakrahas.

Vëreve se:

D| b =h + o ¸ 2

b h

a a A D D B

Teorema e Pitagorës

131

Cakto lartësinë e trekëndëshit barakrahas me bazë 10 cm dhe krah 13 cm. Bëj vizatim të trekëndëshit barakrahas ABC dhe tërhiqe lartësinë CD.

D| Prej DBCD vëre se: h =b - o ¸ ; h2=132-52=169 - 25 = 144. 2

Domethënë h2 = 144;

= 12, d.m.th. h = 12 cm.

Njehso perimetrin e trekëndëshit barakrahas nëse janë dhënë baza 14 cm dhe lartësia ndaj bazës 24 cm.

Shqyrto vizatimin dhe vëre se si do të zbatohet teorema e Pitagorës te trapezi barakrahas.

D b C

Vëreje vizatimin se si mund të caktohen gjatësitë $' = x.

D E

Vërej se

Cakto krahun e trapezit barakrahas me bazë 30 cm, 16 cm dhe lartësi 24 cm.

a=b+2x;

2x = a-b;

Vizato trapez barakrahas ABCD, shënoi elementet dhe tërhiq lartësinë DD1.

F Është dhënë: a = 30, b = 16 dhe h = 24. F Prej trekëndëshit kënddrejtë AD D te detyra 4, fitohet: 1

D E| c2 = h2 + o ¸

;

| c2 = 242 + o ¸ = 576 + 49 = 625, përkatësisht c =

= 25; c = 25 cm.

Cakto lartësinë h të trapezit barakrahas me baza 7 dm, 3 dm dhe krah 2,9 dm.

Mendo se do ta caktojsh brinjën a të rombit, nëse janë dhënë diagonalet e tij d1 dhe d2. D

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Emërto një trekëndësh kënddrejtë te rombi ABCD. Cilët elemente të rombit janë brinjët e atij trekëndëshi?

Sqaro pse

132

G | G | a =o ¸ + o ¸ .

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

a d1

Cilët janë katetet dhe hipotenuza te DABS kënddrejtë? 2

Cakto perimetrin e rombit me diagonale 24 cm dhe 10 cm. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F Është dhënë: d = 24 dhe d = 10. 1

G | G | | | a = o ¸ + o ¸ ; a2 = o ¸ + o ¸ =122 + 52 = 144 +25 = 169;

F F a = = 13 cm. F P= 4a; P = 4 × 13 = 52, d.m.th. P = 52 cm. 2

Te një romb janë dhënë brinja a = 13 cm dhe diagonalja d1 = 24 cm. Caktoe diagonalen tjetër d2.

Duhet të dish: ta zbatojsh teoremën e Pitagorës te detyra për trekëndëshin barakrahas, trapezin barakrahas, rombi dhe në shumë detyra.

Kontrollohu! Diagonalet e një rombi janë 12 cm dhe 16 cm. Njehso perimetrin e tij. Perimetri i një trekëndëshi barakrahas me krah 41 cm është 100 cm. Cato lartësinë ndaj bazës.

Detyra 1. Baza e trekëndëshit barakrahas është 24 cm,

kurse perimetri i tij 98 cm. Njehso lartësinë ndaj bazës.

5. Njehso krahun e trapezit barakrahas me baza 30 cm, 6 cm dhe lartësi 35 cm.

2. Baza e trekëndëshit barakrahas është 28 cm,

6. Cakto perimetri e trapezit barakrahas me baza

3. Diagonalet e një rombi janë:

7. Të caktohet lartësia e trapezit barakrahas me

kurse lartësia e tij është 48 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit.

a) 42 dhe 50; b) 24,6 dhe 56,8. Sa është përafërsisht brinja e rombit?

4. Brinja e rombit është 2,9 dm, kurse një diagonale është 4 dm. Cakto diagonalen tjetër.

34 cm dhe 16 cm dhe lartësi 12 cm.

baza 16 cm, 30 cm dhe krah 25 cm.

8. Një shkallë e gjatë 3 m qëndron në mur. Pjesa

e saj e poshtme është në 1,8 m nga muri. Deri në cilën lartësi do të arrin shkalla në mur?

Teorema e Pitagorës

133

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT

KUPTIMI PËR SYPRINËN

Kujtohu!

Te rrjeta katrore ka tre figura: A, B i C. B C A

Në vizatim janë dhënë: a) drejtkëndëshi P dhe katrori K; b) dy drejtkëndësha të puthitshëm Y dhe T; c) figura F, e ndarë në tre drejtkëndësha: F1, F2 dhe F3 që nuk mbulohen.

a) S1

Nëse për njësi matëse merret syprina Nj e një katrori nga rrjeti, atëherë syprina S1 e figurës A është S1 = 12Nj. Numri matës i syprinës S1, me njësin Nj është 12.

b) Y T

Sa është syprina S2 e figurës B, përkatësisht syprina S3 e figurës C, me njësinë matëse Nj? Sa herë është më e madhe syprina S1 prej syprinës S2? Sa është shuma e syprinave S2 dhe S3? Çfarë syprine fitohet nëse syprina S1 shumëzohet me 5? Cila shenjë duhet të qëndroj te rrethi që të fitohet gjykim i saktë: S2 + S 3

S1?

F F2

F1 F3

Syprina Nj e një katrori nga rrjeti është marrë për njësi matëse.

Cakto syprinën e drejtkëndëshit P dhe katrorit K; çfarë vlere (pozitive ose negative) ka numri matës i syprinës të çdonjërit prej tyre? Si janë ndërmjet veti syprinat e drejtkëndëshave Y dhe T? Cakto syprinën S të figurës F dhe syprinat S1, S2, S3 të figurave F1, F2, F3 përkatësisht. Pastaj krahasoe syprinën S me shumën S1 + S2 + S3.

134

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Çka mund të përfundojsh për syprinat e shumëkëndëshave nën a), b) dhe c) nga detyra paraprake?

Mund të përfundoj se: a) syprina e drejtkëndëshit dhe katrorit janë shprehur me numra pozitiv; b) drejtkëndëshat e puthitshëm kanë syprina të barabarta; c) Syprina e figurës F është e barabartë me shumën e syprinave të drejtkëndëshave përbërës.

Për syprinën e shumëkëndëshit në përgjithësi, vlejnë këto veti themelore.

1o Syprina e një shumëkëndëshi shprehet me numër pozitiv. 2o Nëse dy shumëkëndësha janë të puthitshëm, atëherë ato kanë syprina të barabarta. shumëkëndëshi përbëhet prej dy ose më shumë shumëkëndëshave që nuk mbulohen, atëherë 3o Nëse syprina e tij është e barabartë me shumën e syprinave të atyre shumëkëndëshave. e katrorit me brinjë 1 m merret për njësi themelre matëse; ajo quhet metër katror dhe 4o Syprina shënohet: 1 m . 2

Prej njësisë matëse 1 m2 nxirren njësitë më të vogla: 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2 dhe më të mëdhaja: 1 dam2, 1 hm2, 1 km2. Cilët prej drejtkëndëshave në vizatim kanë syprina të barabarta dhe në bazë të cilës veti?

25 cm 40 cm

b) 35 cm

35 cm

3, 5

ç)

6 3,

d) 5 3,

4 dm

2,5 dm

3, 5

Në vizatim, të dy drejtkëndëshat e figurës nën a) mbulohen, kurse nën b) - jo. Për cilën prej atyre dy figurave vlen vetia 3o, kurse për cilat nuk vlen? a)

Syprina e shumëkëndëshit

135

Në vizatim janë dhënë dy trekëndësha kënddrejtë të puthitshëm, T1 dhe T2, kurse pastaj prej tyre janë formuar, tre figura gjeometrikei: a), b), c).

T2 T1

Emërto çdonjërën prej figurave a), b) dhe c). Si janë ndërmjet veti syprinat e T1 dhe T2? Pse? Si janë ndërmjet veti syprinat e figurave a) dhe b); b) dhe c)? Pse?

Për dy figura thuhet se janë me syprina të barabarta, nëse kanë syprina të barabarta. Dy figura që mund të formohen ose mund të ndahen në numër të njëjtë përkatësisht figura të puthitshme me syprina të barabarta thuhet se kanë syprina të barabarta. Figurat a), b) dhe c) nga detyra 4 janë me syprina të barabarta.

Cakto cila prej figurave janë me syprina të barabarta.

Duhet të dish: Kontrollohu! ta sqarojsh kuptimin syprinë të shumëkëndëshit; të njeh shumëkëndëshat me syprina të barabarta; të zbërthen shumëkëndësha në pjesë dhe të formon prej tyre të tjera, figura me syprina të barabarta.

Shprehe vetinë themelore për syprinën. Nëse dy figura janë të puthitshme, atëherë ato janë me syprina të barabarta. Vallë çfarëdo dy figura me syprina të barabarta janë të puthitshme? Sqaroe! D

Si do ta zbërthejsh romboidin që të formohet drejtkëndësh nga pjesët? Sqaroe atë me vizatim. A

136

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Detyra 1. Preji dy trekëndësha kënddrejtë të puthitshëm

dhe prej tyre formo: a) trekëndësh barakrahas; b) drejtkëndësh; c) romboid. Pse të gjitha figurat e fituara janë me syprina të barabarta?

2. Katrori është prerë nëpër diagonalet. Prej

trekëndëshave të fituar formo tre shumëkëndësha konveks. Vizatoi dhe emërtoi.

7. Figurën në vizatim ndaje në katër trapeza të puthitshëm.

Përpiqu ... 8. Është dhënë katrori ABCD

3. Nëse dy shumëkëndësha janë me syprina të barabarta, a duhet të kenë patjetër numër të njëjtë të brinjëve?

(në vizatim). E, F, G, H janë meset e brinjëve të tij. Krahasoe syprinën e H katërkëndëshit KLMN me syprinën e katrorit ABCD.

4. Nëse dy trekëndësha barabrinjës kanë perimetra

C F

K E

L B

të barabartë, a duhet patjetër të kenë syprina të barabarta?

9. Te rrjeta e katrorit është vizatuar figura e lakuar. 5. Nëse dy drejtkëndësha kanë perimetra të barabartë, a duhet patjetër të kenë syprina të barabartë?

Bëj (çka është e mundshme më mirë) vlerësim për syprinën e saj S duke marrun për njësi matëse syprinën Nj të një katrori nga rrjeta.

6. Konstato a është i saktë ky gjykim.

a) Figurat e puthitshme janë me syprina të barabarta. b) Figurat me syprina të barabarta janë të puthitshme. c) Trekëndëshat barabrinjës janë të puthitshëm. ç) Trekëndëshat barabarinjës me brinjë përkatësisht të barabarta janë me syprina të barabarta. d) Katrorët me diagonale përkatëse të barabarta janë me syprina të barabarta.

Të bëjsh vlerësim për S domethënë të caktojsh dy numra, m dhe n, ashtu që mNj £ S £ nNj.

Syprina e shumëkëndëshit

1 cm2

137

SYPRINA E DREJTKËNDËSHIT DHE KATRORIT

Kujtohu!

Gjatësia e bazës AB dhe gjatësia e lartësisë BC të drejtkëndëshit ABCD (në vizatim) janë shprehur me numra të plotë:

C Të caktohet syprina e D drejtkëndëshit të dhënë domethënë nëse dihet sa katrorzë, me brinjë të barabartë me njësinë A B matëse për gjatësi, do të vendosen te drejtkëndëshi dhe do ta mbulojnë.

$% = 7 cm, %& = 4 cm.

D 4 3 2

Cilado prej brinjëve të drejtkëndëshit ABCD mund të llogaritet për bazë të tij; në këtë rast, cilado prej brinjëve fqinje të tij llogaritet për lartësi të drejtkëndëshit.

A 1 2 3 4 5 6 7B Sa katrorë me brinjë 1 cm ka te rreshti që kufizohet me bazën, kurse sa cm ka baza? Sa katror e mbulojnë drejtkëndëshin? Sa është syprina e drejtkëndëshit të shprehur në cm2?

Pas numërimit të katrorëve, sigurisht konstatove se syprina është 28 cm2. Por si mund ta fitojsh numrin e katrorëve që e mbulojnë drejtkëndëshin, por pa i numëruar?

Do t'i shumëzoj bazën dhe lartësinë dhe do të fitoj: 7×4 = 28.

Domethënë, syprina e drejtkëndëshit ABCD është e barabartë me prodhimin e bazës dhe lartësisë.

Njehso syprinën e drejtkëndëshit me bazë 15 dm dhe lartësi 6 dm në dm2 sipas të dhënave në vizatim.

Kujtohu: njësia themelore për syprinën është metër katror (m2). Metër katror është syprina e katrorit me brinjë 1 m. Njësi matëse më të mëdhaja se 1 m2 janë: ar =

1 dam2

× 100

ha =

1 hm2

× 10 000

1 km2

× 1 000 000

Sa cm2 ka në 1 dm2?

138

Njësi matëse më të vogla se 1 m2 janë:

1 m2

Sa mm2 ka në 8 cm2?

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

: 100

1 dm2

: 10 000

1 cm2

: 1 000 000

1 mm2

Sa dm2 ka në 25 cm2?

Njehso syprinën e drejtkëndëshit ABCD, ku gjatësia e bazës dhe lartësisë janë shprehur me numra dhjetor: $% = 7,5 cm dhe %& = 4,3 cm.

4,3 cm

Nëse zgjedh 1 mm si njësi matëse për gjatësitë, me cilët numra

7,5 cm

të plotë do të shprehen $% dhe %& ?

Vëreve se $% = 75 mm, %& = 43 mm. Cakto syprinën S të drejtkëndëshit në mm2. Numrin e fituar (S = 75 × 43 = 3 225; S = 3 225 mm2), shprehe në cm2 dhe krahasoe prodhimin e gjatësive të bazës dhe lartësisë: 7,5 × 4,3. Çka përfundon prej këtu? Mund të përfundoj se syprina e drejtkëndëshit fitohet si prodhim i bazës dhe lartësisë dhe në këtë rast, kur ato janë të shprehur me numra dhjetor. Vlen në përgjithësi: Syprina e drejtkëndëshit është e barabartë me prodhimin e gjatësisë së bazës dhe lartësisë:

h a

S=a×h S - syprina;

a - baza;

h - lartësia

Në veçanti, nëse a = h, atëherë drejtkëndëshi është katror, pra S = a × h = a × a = a2. Syprina e katrorit është e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së tij:

S=a

a Formula S = a × h vlen edhe kur baza dhe lartësia janë shprehur me çfarëdo numra realë. vend të ,,gjatësia e bazës", shkurtimisht thuhet vetëm:,,baza". Ngjashëm për: ,,lartësia", F Në ,,diagonalja" etj.

Njehso syprinën e drejtkëndëshit me bazë 12,4 dm dhe lartësi 7,05 dm.

Njehso syprinën e katrorit me brinjë a = 3,4 cm.

Syprina e shumëkëndëshit

139

Kujtohu

B Për DABC kënddrejtë me hipotenuzë c dhe kateta a, b vlen barazimi (teorema e Pitagorës): a c2 = a2 + b2

Njehso syprinën S të drejtkëndëshit me bazë a=12 cm dhe diagonale d =13 cm.

Nëse nuk kujtohesh, vëreje mënyrën. b

Shqyrtoe drejtkëndëshin ABCD në vizatim dhe vëreje trekëndëshin kënddrejtë DABC, te i cili hipotenuza d dhe kateta a janë të njohura, por nuk dihet kateta h.

Sa është c, nëse a = 5, b = 12? Sa është a, nëse c = 10, b = 6? Sa është c, nëse a = b = 1?

Shprehe katetën h me ndihmën e d dhe a. Vlerën e fituar për h (h = G D =

= 12) zëvëndësoe te formula S = a × h.

Njehso syprinën S të katrorit me diagonale d = 6 cm.

Krahasoe zgjidhjen tënde dhe vëreje mënyrën: K a L F Syprinën a duhet ta shprehish me diagonalen d. G F Te trekëndëshi kënddrejtë KLM, sipas teoremës së Pitagorës vlen: d = a + a ; d = 2a ; a = . 2

. Në vend të S = a2 mund të shkruajsh S = G S= ; S= ; S= ; S = 18 cm2. Vlen në përgjithësi

Syprina S e katrorit me diagonale d mund të njehsohet me formulën S=

G .

Duhet të dish: të caktojsh syprinën e drejtkëndëshit dhe katrorit sipas formulës përkatëse dhe ta shprehish në njësi matëse përkatëse; t'i shfrytëzojsh vetitë e drejtkëndëshit dhe katrorit te detyrat më të ndërlikuara për syprinën.

140

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Kontrollohu! Syprina e një drejtkëndëshi është 72 dm2, kurse lartësinë e ka 60 cm. Sa është baza? Perimetri i një katrori është 10 dm. Sa është syprina e tij? Syprina e një katrori është 18 dm2. Sa është diagonalja?

Detyra 1. Njehso syprinën e drejtkëndëshit me brinjë: a) 24 cm, 36 cm; c) 3 cm; 8 cm.

b) 7,8 dm; 4,5 dm;

2. Njehso perimetrin e katrorit, me syprinë të barabartë me drejtkëndëshin me dimenzione 63 cm dhe 28 cm.

3. Cakto syprinën e drej-

tkëndëshit të kornizës drejtkëndore sipas viza- 42 timit. Dimenzionet janë dhënë në cm.

brinjë a dhe b (cm), ku b > 1 (cm), nëse a zmadhohet për 1 (cm), kurse b zvogëlohet për 1 (cm)?

8. Sa përqind do të zmadhohet syprina e drejt-

këndëshit nëse gjatësitë e brinjëve zmadhohen nga 10%?

9. Sa herë duhet të zmadhohet brinja e katrorit që të zmadhohet syprina e tij 2,25 herë?

10. Syprina e një drejtkëndëshi është 168 cm2, kurse

njëra brinjë e tij është 24 cm. Njehso diagonalen.

4. Njehso syprinën e katrorit me:

a) brinjë 5,3 cm; b) diagonale 6,4 cm.

5. Si do të ndryshon syprina e drejtkëndëshit nëse: a) baza zmadhohet 3 herë, kurse lartësia 4 herë; b) baza dhe lartësia zvogëlohen 2 herë; c) baza të zmadhohet 4 herë, kurse lartësia të zvogëlohet 4 herë; ç) baza të zmadhohet 3 herë, kurse lartësia të ngel e njëjtë?

6. Si do të ndryshon syprina e katrorit nëse brinja e tij: a) zmadhohet 2 herë; b) zvogëlohet 3 herë; c) zmadhohet 1,5 herë; ç) zmadhohet 50%; d) zvogëlohet 50%; e) zvogëlohet 60%?

7. Si do të ndryshon syprina e drejtkëndëshit me

11. Diagonalja e një katrori është 4 cm. Njehso: a) syprinën; b) perimetrin e katrorit.

12. Perimetri i një drejtkëndëshi është 12 cm, kurse numrat matës të brinjëve të tij janë numra natyrorë. a) Sa drejtkëndësha të atillë ekzistojnë? Njehsoi syprinat e tyre. b) Cili prej tyre ka syprinë më të madhe?

13. Gjatësia e një dhome është 4,2 m, kurse gjerësia

është 5,4 m. Në dhomë ka dritare me gjerësi 1,2 m dhe lartësi 1,6 m. Drita në dhomë llogaritet e mjaftueshme, nëse syprina S1 e dritareve paraqet 20% e syprinës S të dyshemes. A është e mjaftueshme drita e dhomës?

Syprina e shumëkëndëshit

141

SYPRINA E PARALELOGRAMIT

Kujtohu!

Çfarëdo brinjë e paralelogramit mund të quhet bazë e paralelogramit.

Prej kulmeve D dhe C të paralelogramit (në vizatim) janë lëshuar lartësitë ndaj bazës AB. D

Katërkëndëshi ABCD, në vizatim është paralelogram, kurse segmentet DD1 dhe CC1 janë normale te baza AB. D

Shqyrtoi DAFD dhe DBGC dhe mendo a janë të puthitshëm. A

Mund të vërejsh se:

Si janë ndërmjet veti gjatësitë '' dhe && ?

$' = %& , RDAF = RCBG dhe F RADF = RBCG (kënde me krahë paralele).

Çka janë segmentet DD1, CC1 (dhe gjatësitë e tyre) për paralelogramin ABCD?

F DAFD @ DBGC (sipas indicit KBK).

Si janë ndërmjet veti RDAD1 dhe RCBC1? Si quhet paralelogrami ABCD, nëse: a) $% = $' ? b) RA = 90o? c) $% ¹ $' dhe RA është i ngushtë?

Trego se katërkëndëshi FGCD është drejtkëndësh Sqaro pse $% = )* . A janë me syprina të barabarta paralelogramet ABCD dhe drejtkëndëshi FGCD? Pse?

Po, pasi çdonjëri prej tyre përbëhet prej trapezit FBCD dhe nga një trekëndësh kurse ato janë të puthitshëm. Prej kësaj mund të vërejsh se: Syprina S e paralelogramit ABCD është e barabartë me syprinën e drejtkëndëshit FBCD, pra S= )* × )' = $% × )' .

Në përgjithësi vlen: D

Për paralelogramin me bazë $% = a dhe lartësi ') = h syprina është prodhimi nga baza dhe lartësia përkatëse e tij, d.m.th. S = a × h.

142

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

h A

Njehso syprinën e paralelogramit me bazë a = 6,2 cm dhe lartësi të lëshuar nga baza, h = 4,5 cm. S = a × h; S = 6,2 × 4,5; S = 27,9 cm2.

Brinjët e një romboidi janë a = 8 cm dhe b = 6 cm. Lartësia ndaj bazës a është 3 cm. Sa është lartësia ndaj brinjës b?

Brinja e një rombi është 12,5 cm, kurse syprinën e ka 40 cm2. Njehso lartësinë e rombit.

Brinja më e madhe e një paralelogrami është 41 cm, lartësia ndaj brinjës më të vogël është 40 cm, kurse diagonalja më e vogël është 50 cm. Njehso syprinën e paralelogramit. D

Që ta njehsojsh syprinën e paralelogramit në këtë rast është e domosdoshme ta zbatojsh teoremën e Pitagorës. Bën vizatim si i dhëni dhe vëre se S = $% × 40 cm2. Që të caktojsh $% ,

shqyrtoi trekëndëshat kënddrejtë AFD dhe BFD, kurse pastaj njehsoi: $) ,

)% , $% = $) + )% .

Në vizatim është paraqitur rombi ABCD. Pastaj është konstruktuar katërkëndëshi KLMN, ashtu që brinjët e tij janë paralele me diagonalet e rombit. me ndihmën e vizatimit, përpiqu të gjejsh formulë për njehsimin e syprinës së rombit nëse janë dhënë diagonalet e tij d1 dhe d2.

d2 K

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në këto pyetje Si është pozita reciproke e diagonaleve të rombit? I cilit lloj është katërkëndëshi KLMN? Sa është syprina e katërkëndëshit KLMN, e shprehur me ndihmën e d1 dhe d2? Sa herë është më e madhe syprina e katërkëndëshit KLMN nga syprina e rombit? Nëse përgjigjesh drejtë në pyetjet paraprake, mund të përfundojsh se: Syprina S e rombit me diagonale d1 dhe d2 është e barabartë me gjysmën e prodhimit të diagonaleve, d.m.th. S=

d × d2 1

Syprina e shumëkëndëshit

143

Njehso syprinën e rombit me diagonale d1 = 6 dm dhe d2 = 45 cm. S=

× 60 × 45 = 1 350;

S = 13,5 dm2.

Duhet të dish: të njehsojsh syprinën e paralelogramit (rombit dhe romboidit) sipas formulës përkatëse; ta sqarojsh saktësinë e formulave për njehsimin e syprinës së romboidit dhe rombit; t'i shfrytëzojsh vetitë e romboidit dhe rombit për zgjidhjen e detyrave më të ndërlikuara për syprinën.

Kontrollohu! Sa është syprina e romboidit me bazë 12 cm dhe lartësi 7 cm? Sa është brinja e rombit me lartësi h = 8 cm dhe syprinë S = 96 cm2? Rombi me diagonale d1 = 9 dm e ka syprinën S = 27 dm2. Sa është diagonalja tjetër?

Detyra 1. Njehso syprinën e pllakës metalike në formë të romboidit me brinjë 25,8 cm dhe lartësi nga ajo brinjë 8,4 cm.

2. Njehso syprinën e rombit me diagonale 18 cm dhe 3 dm.

3. Njehso syprinën e romboidit te i cili brinjët janë

12,5 dm dhe 32,5 cm, kurse lartësia nga brinja më e vogël është 10 cm. Pastaj, cakto lartësinë tjetër.

4. Brinjët e një paralelogrami janë 9 cm dhe 12 cm.

Njehso syprinën e tij nëse lartësia e tij më e madhe është 8 cm.

5. Njehso syprinën e paralelogramit me brinjë 6 cm dhe 8 cm, por me këndin e ngushtë prej 30o.

6. Njehso syprinën e rombit me brinjën 8,4 dm dhe këndin e gjerë prej 150o.

7. Katërkëndëshi në vizatim

8. A mundet syprina e paralelogramit të jetë e barabartë me prodhimin e bazës dhe njërës diagonale?

9. Syprina e një paralelogrami është 144 cm2. Prerja e diagonaleve të larguara prej brinjëve 3 cm dhe 4 cm. Njehso perimetrin e paralelogramit.

10. a) Si të ndahet rombi në tri pjesë, prej të cilëve mund të formohet drejtkëndësh, ashtu që baza të jetë njëra prej diagonaleve të rombit?

b) Duke e shfrytëzuar këtë, nxirre formulën që e shpreh syprinën e rombit nëpërmjet diagonaleve.

11. Brinja më e vogël e paralelogramit është 13 cm, lartësia e lëshuar ndaj brinjës më të madhe është 12 cm, kurse diagonalja më e vogël është 15 cm. Cakto syprinën e paralelogramit.

është paralelogram. Kryej matjet e domosdoshme në të dhe njehso syprinën.

144

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Përpiqu... D

B E

12. Rrënzat E dhe F të lartësive të paralelogramit ABCD, të lëshuara prej D dhe C përkatësisht, bien jashta bazës AB (si në vizatim).

Trego se syprina SABCD (e paralelogramit ABCD) është e barabartë A

me syprinën SEFCD (të drejtkëndëshit EFCD) dhe SABCD = $% × '( .

Ndihmë: SABCD + SBFC = SEFCD + SAED; DAED @ DBFC, pra SABCD = SEFCD; $% = () .

SYPRINA E TREKËNDËSHIT

Kujtohu!

Për DABC në vizatim, cilado prej brinjëve mund të merret për bazë të tij.

Paralelogrami ABCD në vizatim e ka bazën a = 9 cm dhe lartësinë h = 4 cm. A

Segmenti AD (dhe gjatësia $' = h) është lartësia, përkatëse e bazës BC.

D 4 cm

A h B

K h

9 cm

Njehso syprinën e tij. a

Shqyrto paralelogramin FGHK. Sa është syprina e tij, nëse a është baza dhe h lartësia përkatëse? Si janë ndërmjet veti DFGH dhe DHKF?

Vëre se DABC @ DCDA; si janë ndërmjet veti syprinat e atyre trekëndëshave? Sa është syprina e DABC? Pse? Sa herë ajo është më e vogël se syprina e paralelogramit? A

Në vizatim është dhënë DABC, baza e të cilit është a dhe lartësia përkatëse h.

h B

Syprina e shumëkëndëshit

145

Formula për njehsimin e syprinës së DABC është: Përpiqu ta vërtetojsh atë.

Gjatë të zgjidhurit e detyrës 1, punonje me paralelogramin ABCD si në vizatim. Kjo atë jep ide se si do të fitohet formula e kërkuar nga ajo që e din për paralelogramin?

a × h.

h B

Nëse nuk u kujtove, ndiqe këtë ide të të menduarit.

F DABC @ DCDA (Pse?) Sa është syprina e paralelogramit ABCD? F S =a×h Çfarë lidhje ka syprina e DABC me syprinën e S = S = a×h F paralelogramit ABCD? Si janë ndërmjet veti DABC dhe DCDA?

ABCD

ABC

Domethënë: syprina e DABC është S = SABC =

ABCD

a × h, kurse këtë duhet ta vërtetojsh.

Njehso syprinën e trekëndëshit me bazë a = 8 cm dhe lartësia përkatëse ha = 9 cm. S=

a ha = × 8 × 9 = 36; S = 36 cm2.

A b

Si është formula për syprinën e DABC me bazën b dhe lartësin përkatëse hb?

Vëre dhe mbaj mend

hb B

Çdo brinjë e DABC mund të merret për bazë dhe prandaj është e saktë se S=

a ha = b hb = c hc ,

d.m.th. syprina e trekëndëshit është e barabartë me gjysmëprodhimin e bazës dhe lartësia përkatëse.

Në vizatim është dhënë trekëndëshi kënddrejtë DABC me katete a dhe b.

Çka është lartësia përkatëse e katetëse a? Shkruaje formulën për njehsimin e syprinës së tij.

146

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Njehso syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a = 10 dm dhe b = 7 dm. Syprina e trekëndëshit kënddrejtë me katete a dhe b mund të njehsohet me formulën: S=

ab. C

Njehso syprinën S të trekëndëshit barakrahas me bazë a = 10 cm dhe krah b = 13 cm.

Mendo se si do ta caktojsh lartësinë h = &' për ta zbatuar formulën

ah. Shfrytëzoe vetinë për trekëndëshin barakrahas: lartësia e lëshuar prej majës

F është simetrale e bazës, pra

$' = %' .

Njehso syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 8 cm.

DK D = ;

K .

D| D h =a - o ¸ = ;

Është dhënë DABC me brinjët a = 7 cm, b = 9 cm dhe c = 12 cm. Sa është syprina e tij?

Kujtohu se për trekëndëshin barabrinjës vlen: 2

D a

D| h = b - o ¸ .

F Zbatoe teoremën e Pitagorës: 7.

D ;

Syprina e trekëndëshit me brinjë a, b dhe c mund të njehsohet edhe sipas formulës b S=

V V D V E V F

ku s është gjysmëshuma e brinjëve, d.m.th.

, c

D E F .

Kjo formulë quhet formula e Heronit (sipas emrit të matematikanit antik Heron).

= 14;

; S » 31,3 cm 2 .

Syprina e shumëkëndëshit

147

Duhet të dish të caktojsh syprinën e trekëndëshit me bazën dhe lartësitë përkatëse të dhëna;

ta sqarojsh formulën S = ah, për syprinën e trekëndëshit; të zgjidhish detyra më të ndërlikuara për syprinën e trekëndëshit.

Kontrollohu! Syprina e një trekëndëshi është 56 cm2, kurse një brinjë e tij është 14 cm. Sa është lartësia përkatëse? Te një trekëndësh kënddrejtë, njëra katetë është 12 mm, kurse hipotenuza është 13 mm. Sa është syprina?

Detyra 1. Cakto syprinën e trekëndëshit me bazë a dhe lartësinë përkatëse h nëse:

5. Njehso syprinën e trekëndëshit barakrahas me bazë 18 cm dhe krahun 41 cm.

a) a = 7 cm, h = 8 cm; b) a = 6 dm, h = 12 cm; c) a = 18,4, h = 13,5.

2. Sa do të ndryshon syprina e trekëndëshit nëse: a) baza zmadhohet tre herë, kurse lartësia të zvogëlohet dy herë; b) baza të zvogëlohet dy herë dhe lartësia të zvogëlohet pesë herë?

3. Sa përqind do të zmadhohet syprina e trekën-

dëshit nëse baza zmadhohet 50%, kurse lartësia të zvogëlohet 30%?

6. Njehso syprinën e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a = 8 cm.

7. Cakto syprinën e trekëndëshit nëse janë dhënë të tre brinjët: a) a = 6 cm,

b = 8 cm;

c = 10 cm;

b) a = 13 dm,

b = 14 dm;

c = 15 dm;

c) a = 7 cm,

b = 11 cm;

c = 12 cm.

8. Cakto syprinën e trekëndëshi barakrahas

kënddrejtë, nëse gjatësia e hipotenuzës së tij është c.

Përpiqu ...

4. Njehso syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katete a dhe b, nëse:

a) a = 15, b = 9; b) a = 20 dhe njëri prej këndeve është 45o.

148

9. Cakto syprinën e trekëndëshit barakrahas, nëse

lartësia, e lëshuar ndaj bazës është 30 cm, kurse lartësia e lëshuar nga brinja anësore është 36 cm.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

SYPRINA E TRAPEZIT DHE DELLTOIDIT

Kujtohu! Katërkëndëshi ABCD në vizatim është trapez, ku AB P DC.

A D

Në vizatim është dhënë trapezi me baza 12 cm dhe 8 cm, dhe lartësi 5 cm. D 8 cm

5 cm

Emërtoi: bazat, krahët dhe lartësitë e trapezit.

× 12 × 5 + × 8 × 5 = 50;

× 12 × 5 + × 8 × 5 mund

× 5. Cilat operacione janë krye me elementet e dhëna të trapezit? të shkruhet

Nëse akoma nuk je kujtuar, qe një ide: ndaje trapezin (me një diagonale) në dy trekëndësha - si detyra te ,,Kujtohu", për shembull, me DB; do të fitojsh:

nëse $% = 8 cm, '& = 5 cm, ') = 4 cm.

Vëren se shprehja

12 cm

A Cakto syprinën e tij.

Njehso a) syprinën e DABD; b) syprinën e DBCD,

S= SABD + SBCD =

S = 50 cm2. Syprina e trapezit është njehsuar ashtu që gjysmëshuma prej bazave është shumëzuar me lartësinë.

Është dhënë trapezi me baza a dhe b, dhe lartësi h. Trego se syprina e tij mund të njehsohet me formulën:

D E K,

d.m.th syprina e trapezit është e barabartë me gjysmëprodhimin e bazave të tij dhe lartësisë D

Shqyrto trapezin ABCD, i cili është ndarë me diagonalen BD në dy trekëndësha. Në çfarë lidhje është syprina S e trapezit me syprinat SABD dhe SBCD (i DABD dhe DBCD)? Me ndihmën e a, b dhe h, shkruaj sa është SABD dhe sa është SBCD, kurse pastaj mblidhi shprehjet e fituara.

h A

Syprina e shumëkëndëshit

149

Vëreve se nga dy kërkesat paraprake vijon: S = SABD + SBCD =

D K E K D E K , d.m.th. formula që kërkoheshte. + =

Njehso syprinën e trapezit me baza 5 dm dhe 4 dm, dhe lartësi 25 cm.

Katërkëndëshi ABCD në vizatim është trapez kënddrejtë. Kryej matjet e domosdoshme sa është e mundshme precize, dhe njehso syprinën. Cila është lartësia e trapezit?

Njehso syprinën e trapezit barakrahas me baza a = 48 cm, b = 30 cm dhe krah 41 cm. D

Përpiqu vet, kurse pastaj ndiqe udhëzimin.

F Vizato trapez barakrahas ABCD si në vizatim. F Që ta caktojsh lartësinë h, sëpari duhet ta caktojsh x = $) . D E Vëren se $) = *% = x, pra x = = = 9. F F Pastaj, që ta caktojsh lartësinë h, zbatoe teoremën e Pitagorës. B

Kujtohu!

Katërkëndëshi ABCD në vizatim është delltoid

Njehso syprinën S të delltoidit ABCD (në vizatim), nëse diagonalet janë:

B A

B Cilat brinjë janë të barabarta ndërmjet veti?

C D

Si janë ndërmjet veti diagonalet e tij? Si janë ndërmjet veti DABC dhe DADC?

150

h x

Nëse $& = 10 cm dhe %' = 6 cm, sa është syprina e a) DACD; b) DABC?

$& = 14 cm, %' = 8 cm.

(me: $% = $' ). D A

Njehso syprinën SABC, pastaj syprinën SADC dhe, në fund, njehso: S = S ABC + SADC.

Cakto formulë për njehsimin e syprinës së delltoidit me ndihmën e diagonaleve të tij d1 dhe d 2.

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Mendo vet, kurse pastaj shqyrto delltoidin ABCD në vizatim dhe ndiqe sqarimin.

F DABC @ DADC; F 6% = 6' = d ; S =S = × $& × 6' = d × d = dd. F S=S = S +S = dd + dd = dd. F

D d1

ABC

ADC

ABCD

ABC

ADC

1 2

Vëre dhe mbaj mend: Syprina e delltoidit është e barabartë me gjysmëprodhimin e diagonaleve të tij, d.m.th. d2 d1

G G .

Me formulën e njëjtë mund të njehsohet syprina e çfarëdo katërkëndëshi tjetër me diagonale reciprokisht normale d1 dhe d2.

Është dhënë delltoidi me syprinë 90 dm2, kurse njëra diagonale e tij është 15 dm. Sa është diagonalja tjetër?

Duhet të dish: të njehsojsh syprinën e trapezit dhe delltoidit.

Kontrollohu! Njehso syprinën e trapezit me baza a = 9 dm dhe b = 5 dm dhe lartësi 8 cm. Një delltoid e ka syprinën 90 cm2, kurse njëra diagonale është 20 cm. sa është diagonalja tjetër?

Detyra 1. Bazat e një trapezi janë 8 cm dhe 4 cm, kurse syprina e tij është 42 cm2. Njehso lartësinë.

2. Syprina e një trapezi është 150 cm2, njëra bazë

është 11 cm, kurse lartësia është 10 cm. Sa është baza tjetër?

3. Njehso gjatësinë e vijës së mesme të trapezit, syprina e të cilit është180 cm2, kurse lartësia është 12 cm.

4. Njehso syprinën e një trapezi kënddrejtë, nëse baza më e vogël është 7 cm, kurse krahët janë 4 cm dhe 5 cm.

5. Njehso syprinën e trapezit barakrahas me baza

9 cm dhe 15 cm, kurse njëri prej këndeve pranë bazës është 45o.

6. Njehso syprinën e trapezit barakrahas me:

a) baza 17 cm dhe 7 cm, dhe krah 13 cm; b) baza më e vogël 16 cm, krahu 25 cm dhe lartësia 24 cm.

Syprina e shumëkëndëshit

151

7. Njehso syprinën e delltoidit me diagonale 15 cm

dhe 4 cm.

Njehso syprinën e delltoidit me brinjë 16 cm dhe 20 cm, kurse diagonalja e cila nuk është simetralja e këndeve të tija është 24 cm.

a) Mbi bazë te vizatimi, konstato se trapezi është me syprinë të barabartë me trekëndëshin AMD. b) Nxirre formulën për syprinën e trapezit, duke shfrytëzuar formulën për syprinën e trekëndëshit.

Njnehso syprinën e trapezit bazat e të cilit janë 11 cm dhe 9 cm, kurse njëri prej krahëve është 10 cm dhe formon me bazën kënd prej 30o.

10. Në vizatim është dhënë trapezi ABCD, ku pika S është mesi i krahut CB.

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT TË RREGULLT

Kujtohu! Shumëkëndëshi brinjët e të cilit janë të barabarta dhe të gjitha këndet i ka të barabarta quhet shumëkëndësh i rregullt. Në vizatim është dhënë gjashtëkëndësh i rregullt ABCDEF. Prej qendrës së tij O është tërhequr rrezja deri te ndonjë kulm i tij. E

D O

F a

Njehso syprinën e tij S, nëse janë dhënë brinja a = 3 cm dhe apotema h = 2 cm. Sa herë syprina e pesëkëndëshit është më e madhe se syprina e trekëndëshit karakteristik?

O C

h A

A B Në sa trekëndësha është ndarë gjashtëkëndëshi? Cilido prej atyre trekëndëshave, për shembull DABO, quhet trekëndësh karakteristik për gjashtëkëndëshin. Si quhet lartësia e tij h? Si quhet brinja e tij OA? Sa është perimetri P i gjashtëkëndëshit me brinjën a = 4 cm?

Në vizatim është paraqitur pesëkëndësh i rregullt.

Nëse nuk je kujtuar, ndiqe mënyrën. Lidhe çdo kulm të pesëkëndëshit ABCDE me qendrën e tij O, si në vizatim - do të fitojsh pesë trekëndësha të puthitshëm.

h A

Njehso syprinën e DABO karakteristik. Njehso:

152

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

D K

= 3.

C B

Çdo trekëndësh karakteristik i pesëkëndëshit e ka syprinën 3 cm2. Si do ta njehsojsh syprinën e pesëkëndëshit?

Syprina S e pesëkëndëshit është pesë herë më e madhe se S= 5 ×

D K , d.m.th.

D K = 5 × 3; S = 15 cm2.

Vëre se vlen në përgjithësi: Syprina e n-këndëshit të rregullt me brinjën e dhënë a dhe apotemën h fitohet syprina kur karakteristik të n-këndëshit të rregullt shumëzohet me n, d.m.th.

D K e trekëndëshit

D K

Është dhënë n-këndëshi i rregullt me kulme K, L, M, N, ..., brinja a dhe apotema h. Prej qendrës së tij O janë tërhequr rrezet deri te kulmet, si në vizatim. Shprehe syprinën S të n-këndëshit të rregullt me ndihmën e perimetrit të tij P.

M h

Vëre se n-këndëshi është ndarë në n trekëndësha të puthitshëm. Syprina e çdonjërit prej atyre trekëndëshave është Syprina e n-këndëshit është n × Pasi na = P, vijon se S =

D K , d.m.th.

D K . Q D K .

Ph.

Vlen në përgjithësi: Syprina e shumëkëndëshit të rregullt është e barabartë me gjysmëprodhimin e perimetrit dhe apotemës së tij, d.m.th. S =

Ph.

Njehso syprinën e gjashtëkëndëshit të rregullt me brinjën 3,5 dm dhe apotemën 0,3 m.

Syprina e shumëkëndëshit

153

Cakto brinjën e dhjetëkëndëshit të rregullt me syprinë S = 769 cm2 dhe apotemën h = 15,38 cm. S = 10 ×

D D K ; 769 = 10 × ; 769 = 76,9 a; a = 10 cm.

R 4 cm

Cakto syprinën S të gjashtëkëndëshit të rregullt me brinjën 4 cm. Vëre se RAOB = 360o : 6 = 60o.

F se te gjashtëkëndëshi i rregullt rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar është e barabartë me brinjën F Vëre e tij, d.m.th. R = a. Trekëndëshi karakteristik ABO është trekëndësh barabrinjës. Pse?

D .

F D Syprina e gjashtëkëndëshit të rregullt është: S= 6 × . S= a . F Për a = 4 cm, S = ×4 × = × 16 × = 24 ; S » 24 × 1,73; S » 41,52 cm . F Syprina e trekëndëshit karakteristik është:

Duhet të dish: ta shprehish syprinën e n-këndëshit të rregullt me ndihmën e brinjës dhe apotemës dhe anasjellta; të zgjidh detyra për syprinën e shumëkëndëshit të rregullt.

Kontrollohu! Shkruaje formulën sipas të cilës do të njehsohet syprina e shtatëkëndëshit të rregullt. Sa teneqe nevoitet për të bërë tabelën STOP (gjashtëkëndësh i rregullt) me brinjë a = 32 cm dhe apotemë h = 38,62 cm?

STOP

Detyra 1. Njehso syprinën e n-këndëshit të rregullt me brinjë a dhe apotemë h:

a) n = 3; a = 8 cm; h = 2,31 cm. b) n = 4; a = 6 cm; h = 3 cm.

3. Cakto syprinën e dhjetëkëndëshit të rregullt me perimetër 14 dm dhe apotemë k.

4. Cakto syprinën e trekëndëshit të rregullt me:

c) n = 5; a = 4 cm; h = 2,74 cm.

a) brinjë 6 cm;

ç) n = 8; a = 16,6 cm; h = 2 dm.

b) apotemë 3 cm;

2. Cakto brinjën e pesëkëndëshit të rregullt me

c) perimetër 24 cm.

syprinë S = 61,5 cm2 dhe apotemë 4,1 cm.

154

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

5. Cakto syprinën e gjashtëkëndëshit të rregullt me: a) brinjë 12 cm; b) rreze të vijës rrethore të jashtashkruar 6 cm;

Përpiqu ... nuk është e obligueshme

7. Cakto gjatësinë e brinjës a të gjashtëkëndëshit

të rregullt me syprinë të barabartë me syprinën e trekëndëshit barabrinjës me perimetër 36 cm.

c) apotemë 2 cm; ç) perimetër 48 cm.

6. Dhjetëkëndëshi i rregullt e ka perimetrin 40 dhe

8. Vërteto se: nëse një trekëndësh i rregullt dhe një gjashtëkëndësh i rregullt kanë perimetra të barabarta, atëherë syprina e trekëndëshit është

syprinën 40k. Caktoe apotemën.

e syprinës së gjashtëkëndëshit.

DETYRA PËR SYPRINËN E SHUMËKËNDËSHAVE

Kujtohu! Për njehsimin e syprinës së shumëkëndëshave të ndryshëm mund të shfrytëzojsh formula përkatëse: a

drejtkëndsëshi:

S =a × h

a c

V V D V E V F ,

h a

trapezi:

trekëndëshi:

S =

paralelogrami:

D K

S = a×b

katror, romb dhe delltoid

D E F

d1 d2

S =

G G

D E S = h

b h a

n - këndëshi i rregullt S=

Q D K ; 6

3 K

h a

Syprina e shumëkëndëshit

155

Sa dekar ka ara me formë të drejtkëndëshit (si në vizatim)

C m 130

me brinjë $% = 120 m dhe diagonale $& = 130 m? Që ta njehsojsh syprinën, duhet ta caktojsh gjatësinë e brinjës BC. Njehso %& prej DABC kënddrejtë:

%& =

Duhet të fitojsh: S = 120 × 50 = 6 000, d.m.th. S = 6 000 m2;

120 m

1 da = 1 000 m2, pra S = 6 da.

Njehso syprinën e një kopshti me formë të drejtkëndëshit ku njëra prej brinjëve është 65 m dhe diagonale 97 m. Shprehe syprinën S në: a) metër katror; b) ari; c) dekarë.

Diagonalja më e shkurtër e një rombi ka gjatësi të njëjtë sikurse brinja. Njehso syprinën e rombit, nëse diagonalja më e gjatë është 12 cm.

S 6

Shqyrto rombin ABCD nga vizatimi, te i cili '% = $% = a dhe $& = 12 cm. Shprehe syprinën S të rombit me ndihmën e diagonaleve të tija (ose si shumë të syprinave të DABD dhe DBCD).

D B

Që ta caktojsh brinjën a, zbatoje teoremën e Pitagorës për DABS. Nëse zgjidh drejtë, sigurisht fitove: S = 6 a ; a = 4 ; S = 24 cm2 . Zgjidhe detyrën drejtpërdrejt duke shfrytëzuar formulat për syprinën e trekëndëshit barabrinjës.

Dy vëllezër duhet ta ndajnë arën me formë të trekëndëshit, në dy trekëdësha me syprina të barabarta. A mundesh ta kryejsh ndarjen? h

Pse DADC dhe DDBC kanë syprina të barabarta?

Me cilën formulë mund të njehsohet syprina e trekëndëshit brinjët e të cilit janë dhënë?

156

0m 14

Njehso syprinën e parcelës me formë të katërkëndëshit, të paraqitur në vizatim. Syprina S e katërkëndëshit është e barabartë me shumën e syprinave S1 dhe S2 të dy trekëndëshave në të cilët është ndarë.

13 0

90 m

120 m

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

150 m

Nëse është ndihma e domosdoshme, shqyrto DABC në vizatim; h është lartësia, kurse CD është vija e rëndimit ndaj brinjës AB.

s1 =

( 90 + 120 + 130) = 170; S1 = » 5 215; s2 = ( 130 + 140 + 150) = 210; S2

= = 8 400; S = S1 + S2 » 13 615 m2.

Detyra 1. Syprina e parkut nacional Galiçica është 23 000 ha. Sa kilometër katror është ai?

2. Parcela me formë të drejtkëndëshit me brinjë

9. Cakto syprinën e parcelës në ari, nëse plani i saj

është dhënë në vizatim. Në vizatim gjatësitë janë dhënë në milimetër, kurse çdo milimetër paraqet 1 m në natyrë.

140 m dhe 180 m është mbjellur me misër. Gjatë mbjelljes është shpenzuar mesatarisht 115 kg në 1 ha. Sa farë gjithësej është përdorur?

3. Te një korridor drejtkëndor me dimenzione 5,1 m dhe 2,7 m duhet të vendosen pllaka katrore me brinjë 15 cm. Sa pllaka janë përdor për atë?

20 20

4. Sa speca do të fitohen prej parcelës me formë të drejtkëndëshit dimenzionet e të cilit janë 250 m dhe 180 m, nëse të ardhurat janë 14,5 t në 1 ha?

10. Te trapezi ABCD janë tërhequr diagonalet. Vërteto se:

5. Vendi i oborrit me formë të drejtkëndëshit ABCD

e ka syprinën 2 000 m2 dhe brinjë $% = 80 m; prej tij, me drejtëz paralele me brinjën AD të ndahet parcella me syprinë 750 m2.

6. Konstrukto katror me diagonale 5 cm; pastaj konstrukto katror që ka dy herë syprinë më të vogël. 7. Sa herë është më e madhe syprina e katrorit të jashtashkruar nga syprina e katrorit të brendashkruar në një vijë rrethore?

8. Cakto lartësinë më të madhe të trekëndëshit brinjët e të cilit janë 13, 84, 85.

a) DABD ka syprinë të barabartë me DABC; b) DACD ka syprinë të barabartë me DBDC; c) DASD ka syprinë të barabartë me DBSC. Për a): vëre se trekëndëshat kanë bazë të përbashkët AB dhe lartësi të barabarta, pra SABD = SABC. Për c): SASD = SABD - SABS = SABC - SABS = SBSC.

Syprina e shumëkëndëshit

157

PERIMETRI DHE SYPRINA E RRETHIT

PERIMETRI I RRETHIT. GJATËSIA E HARKUT RRETHOR

Kujtohu!

Në vizatim është paraqitur katrori me brinjë a dhe gjashtëkëndëshi i rregullt me brinjë a.

Shkruaje formulën për njehsimin e perimetrit të çdonjërës prej figuravee. Mati brinjët e katrorit dhe cakto perimetrin e tij P (në mm).

Në vizatim është dhënë vija rrethore me qendër O dhe rreze r. Çka është segmenti AB për vijën rrethore? Mate dhe kraha- A soe me r.

Si quhet figura e formuar prej vijës rrethore dhe zonës së saj të brendshme? Pasi rrethi është pjesë e rrafshit, i kufizuar me vijën rrethore, për gjatësinë e vijës rrethore zakonisht thuhet se është perimetri i rrethit.

Shëno pikë O dhe me hapje të lirë të kompasit vizato rreth me qendër O. Mate: a) rrezen; b) diametrin e rrethit. Mendo se do ta masish ose njehsojsh gjatësinë e vijës rrethore, d.m.th. perimetrin e rrethit. Sigurisht kjo detyrë është më e vështir se detyra për perimetrin e katrorit ose gjashtëkëndëshit. Te detyra që vijon do ta vërejsh përgjigjen.

158

Forma rrethore kanë sende të ndryshme (për shembull: kofa, gota, monedhat metalike, sende me forma cilindrike).

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Në vizatim është paraqitur saksia hapja e të cilës e ka formën rrethore; hapjen e saj e llogarisim për rreth.

k r

Cilat matje (dhe si) duhet të kryhen që të njehsohet herësi P : 2r, ku P është perimetri, kurse 2r është diametri i rrethit? Shqyrtoe vizatimin dhe vëre mënyrat pe (ose shirit) dhe me metër do ta masim gjatësinë (P) të vijës F Me rrethore k.

F Gjatësin e diametrit (2r) do ta masim me metër. F Do ta njehsojmë herësin P : 2r. (Do të fitohet numër që është pak më i madh se 3.) 4.

Cakto tre (ose më shumë) modele të rrethit. Kryej matjet e domosdoshme, vizato tabelë sikurse është treguar dhe plotësoe. Për herësat P : 2r ke fituar numra të këtillë: 3; 3,1; 3,14; etj., që varet nga preciziteti yt.

2×r P P : 2r

Matematikanët që e kanë zgjidhur këtë problem kanë ardhur deri te përfundimi se: Për çfarëdo rreth, herësi i perimetrit P dhe diametrit 2r është numër konstant. Ai numër është iracional dhe përafërsisht është: 3,14159... Shënohet me shkronjën greke p (lexohet: ,,pi") Domethënë për çdo rreth vlen: P : 2r = p, d.m.th. P = 2rp.

Vëre dhe mbaj mend Perimetri i rrethi është i barabartë me prodhimin e diametrit të tij dhe numrit p.

L = 2rp

p » 3,14

Gjatë njehsimeve praktike, zakonisht merret: p » 3,14. Matematikani antik Arhimedi për numrin p ka marrë

Perimetri dhe syprina e rrethit

159

Njehso perimetrin e rrethit me: a) rreze 4 cm; b) diametër 10 cm. a) P= 2 × r × p = 2 × 4 × p » 8 × 3,14; P » 25,12 cm. b) P = 2 × r × p = 10 × p » 10 × 3,14; P » 31,4 cm.

Perimetri i ndonjë rrethi është 25,12 cm. Sa është rrezja e tij? Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: P = 2 × r × p;

3 ; U

= 4;

r » 4 cm.

Në vizatim janë paraqitur tre vija rrethore me rreze r = 2 cm, kënde qëndrore dhe harqe rrethore përkatëse. B

Sa pjesë të gjatësisë së vijës rrethore paraqet gjatësia e harkut rrethor:

(

r = 2 cm

P r=

(

AB , CD dhe EF . Njehso gjatësitë e harqeve

(

rrethore AB , CD dhe EF .

r»

2c m

3 U S

r = 2 cm Q 180o

Si do ta njehsojsh gjatësinë e harkut rrethor " te vija rrethore me rreze r, nëse këndi përkatës qëndror është a? Shqyrtoe vizatimin dhe ndiqe të menduarit. Paramendo se vija rrethore është ndarë në 360 harqe të barabarta - harqe rrethore me kënd qëndror 1o. Gjatësia " e harkut rrethor me këndin qëndror 1o është 360 herë më i vogël se gjatësia e vijës rrethore, d.m.th. "

r a

ose

Nëse , tani, harkut rrethor i përgjigjet këndi a, atëherë gjatësia e tij do të jetë a herë më e madhe se

Vëre dhe mbaj mend

160

d.m.th.

Gjatësia e harkut rrethor njehsohet me formulën:

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Gjatësia e harkut rrethor njehsohet me formulën:

Te vija rrethore me rreze r = 12 cm, njehso gjatësinë e harkut rrethor me këndin qëndror: a) a = 30o; b) a = 30o 45'. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

" = 2p cm ose " » 6,28 cm. F a) " = § · F b) Së pari duhet a = 30 45' ta shndërrojsh në shkallë 45' = ¨© ¸¹ = 0,75 , pra a = 30,75 ; R

" =

10.

= 2,05p; " = 2,05p ose Si mundet prej formulës

" =

" » 6,437 cm. ta njehsojsh:

a) rrezen r, nëse janë dhënë a dhe " ;

b) këndi qëndror a, nëse janë dhënë r dhe " ?

Zgjidhjen tënde krahasoe me zgjidhjen e dhënë. Prej " =

F 11.

fitohet rpa = 180 " , pra:

Njehso: a) rrezen e vijës rrethore, nëse këndit qëndror prej 40o i përgjigjet harku rrethor me gjatësi 6,28 cm; b) këndi qëndror, nëse janë dhënë r = 6 cm dhe " =7,85 cm.

Duhet të dish: të sqarojsh çka paraqet numri p; të shkruajsh perimetrin e rrethit me ndihmën e rrezes dhe numrit p;

Sa është herësi i perimetrit dhe diametrit të rrethit të dhënë? Si duhet të jetë gjatësia e thuprës së hekurit që të mundet prej saj të bëhet unazë me rreze 45 cm? Brinja e katrorit është 4 cm. Njehso gjatësinë e harkut AB të vijës rrethore të brendashkruar. Sa është gjatësia e

B M

(

ta caktojsh njërën prej madhësive: gjatësinë e harkut rrethor, këndin qëndror, rrezen, nëse duhen dy madhësi.

Kontrollohu!

AMB ?

Perimetri dhe syprina e rrethit

161

Detyra 1. Njehso perimetrin e rrethit me rreze: a) 3 cm; b) 0,5 dm; c) 4

9. Perimetri i një rrethi është 62,8 cm. Sa është

perimetri i rrethit rrezja e të cilit është më e vogël për 1 cm?

cm.

2. Njehso rrezen e rrethit nëse perimetri është: a) 31,4 cm; b) 18,84 cm; c) 8p cm.

10. Njehso gjatësinë " të harkut rrethor me rreze r = 18 cm dhe kënd qëndror a: a) 15o; b) 120o; c) 25o36'.

3. Vizato dy rrath të ndryshëm, kryej matjet e nevojshme dhe njehsoi perimetrat.

11. Cakto këndin qëndror nëse: a) r = 5 cm, " = 6,28 cm;

4. Përshkruaje dhe plotësoe tabelën te e cila janë dhënë disa elemente të rrethit. r cm Pcm

b) r = 3 cm, " = 2p cm.

12. Njehso rrezen e vijës rrethore nëse janë dhënë:

3,14

a) a = 150o, " = 31,4 cm; 10p 25,12

5. Njehso gjatësinë e vijës rrethore a) të brendashkruar te katrori me brinjë 11 cm; b) të jashtashkruar rreth katrorit me brinjë 11 cm;

6. Sa do të jetë diametri i unazës të bërë prej shiritit metalik me gjatësi 31,4 dm?

b) a = 80o, " = 18 cm.

13. Diametri i rrotës të një lokomotive është 1 m. Për 2,5 minuta ajo rrotullohet 500 herë. Njehso shpejtësinë e lëvizjes së lokomotivës.

14. Korda e një vije rrethore është e barabartë me

rrezen. Njehso gjatësinë e harkut rrethor përkatës më të vogël, nëse rrezja është 2,5 cm.

7. Njehso gjatësinë e ekuadorit (duke menduar për

15. Këndi periferik prej 37o30' formon hark rrethor

8. Rrethi me perimetër 25,12 cm është brenda-

16. Harku rrethor që i përgjigjet këndi qëndror prej

vijën rrethore) nëse rrezja e Tokës merret 6 370 km.

shkruar në katror. Njehso perimetrin dhe syprinën e atij katrori.

162

me gjatësi 15,7 cm. Njehso rrezen e vijës rrethore.

150o te vija rrethore me rreze 12 cm, është lakuar në vijë rrethore. Njehso rrezen e asaj vije rrethore.

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

SYPRINA E RRETHIT, SEKTORI RRETHOR DHE UNAZA RRETHORE

Kujtohu!

Syprina e shumëkëndëshit të rregullt njehsohet

Shumëkëndëshin e rregullt ndaje në trekëndësha h të ndryshëm, si në vizatim, dhe pastaj syprinën e shumëkëndëshit njehsoe si shumë të syprinave të trekëndëshave, d.m.th. S =

QDK = Ph.

O Si e gjejmë mënyrën (formulën) me të cilën e caktojmë numrin që do ta paraqet syprinën e rrethit?

me formulën S = Ph, ku P është perimetri, kurse h është apotema. Si fitohet ajo formulë?

Është dhënë rrethi me rreze r.

Do të përdorim mënyrën e ngjashme sikurse te shumëkëndëshat. Vëreje iden dhe mënyrën. A mundemi rrethin ta ndajmë në trekëndësha? O se nuk munF Edet,qartë por mundemi të

brendashkruajmë shu-

mëkëndësh të rregullt të trekëndëshave të puthitshëm barakrahas, si në vizatim.

Shumëkëndëshi i rregullt i brendashkruar në rreth e ka syprinën S1 =

P h. 1 1

Mendo se te rrethi është brendashkruar shumëkëndëshi i rregullt edhe me numër më të madh të brinjëve (si në vizatim). Ai do të kishte perimetrinr P2, apotemën h2 dhe syprinën S2. Vlerëso dhe radhiti sipas madhësisë, duke filluar prej më të voglit: a) perimetrin P të rrethit, P1 dhe P2; b) rrezen r të rrethit, h1 dhe h2. Nëse numri i brinjëve të shumëkëndëshit të brendashkruar pafundësisht zmadhohet, atëherë:

F perimetri i shumëkëndëshit do të dallohet pak prej perimetrit të rrethit; F apotema e shumëkëndëshit do të jetë përafërsisht e barabartë me rrezen e rrethit. F Pasi perimetri i rrethit është P = 2pr, mund të përfundojmë se: Syprina S e rrethit mund të njehsohet me formulën:

3 U

SU U

d.m.th.

S = r2p

Perimetri dhe syprina e rrethit

163

Për shembull, syprina e rrethi me rreze r = 3 cm është: S = r2 p; S = 32p » 3 × 3 × 3,14 = 28,26; S » 28,26 cm2.

Përshkruaje dhe plotësoe këtë tabelë.

r cm

S cm2

28,26

0,5

Pjesa e rrethit (në vizatim) e kufizuar me rrezet OA, OB dhe harkun rrethor AB quhet sektor rrethor.

Këndi AOB = a është këndi qëndror i sektorit rrethor.

B O

a A

Vizato rreth me rreze 3 cm, kurse pastaj në të sektor rrethor me kënd qëndror: a) 90o; b) 60o; c) 180o. Sektori rrethor me kënd qëndror prej 180o, në realitet, është gjysmërreth, pra syprina e tij është e barabartë me gyjsmën e syprinës së rrethit. Cila pjesë e syprinës së rrethit është syprina e sektorit rrethor me kënd qëndrorl: a) 90o; b) 60o? Njehso syprinën e çdonjërit nga ato sektor rrethor.

Mendo se si ta njehsojsh syprinën e sektorit rrethor i cili e ka rrezen r dhe këndin qëndror a. Shqyrto vizatimin dhe mendo se rrethi është ndarë në 360 sektor rrethor të barabartë, çdonjëri me kënd qëndror 1o. Vëreje këtë që vijon:

r a

FSyprina S e njër psektori rrethor të atillë është 360 - ta pjesë nga syprina e rrethit, 1

d.m.th. S1 =

360

a, atëherë sektori rrethor do të ketë a herë syprinë më të madhe se S , F Nëse këndi qëndror është r p d.m.th. S = S1 × a =

360

× a.

Mbaj mend Te rrethi me rreze r, syprina e sektorit rrethor me kënd qëndror a njehsohet me formulën

5. 164

Njehso syprinën e sektorit rrethor nëse r = 3 cm dhe a = 40o.

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

r3 p S = 360 × a

Te rrethi me rreze 4 cm, është dhënë sektori rrethor harku rrethor i të cilit e ka gjatësinë " = 6,28 cm. Njehso syprinën e sektorit rrethor.

Përkujtohu se gjatësia e harkut rrethor njehsohet me: rpa " = 180 dhe vëre se syprina e sektorit rrethor është:

U U SD U SD U U SD U " U " = = × = ; S= ;

= 2 × 6,28 = 12,56; S = 12,56 cm2.

Njehso syprinën e sektorit rrethor, nëse: a) r = 2 cm, " = 3,14 cm;

b) r = 3 cm, " =

p cm. 2

Vizato dy rrathë koncentrik, njëri me rreze r1 = 2 cm, kurse tjetri me rreze r2 = 4 cm. Njehso ndryshimin e syprinave të tyre. B Dy rrath koncentrik me rreze r1 = 4& dhe r2 = 2% (r1 < r2) kufizojnë pjesë të rrafshit e cila quhet unazë rrethore (pjesa e ngjyrosur në vizatim). Syprina e unazës rrethore është e barabartë me ndryshimin e syprinave të rrathëve, d.m.th.

S = U S U S ;

r2 O r 1

S = U U S

Njehso syprinën e unazës rrethore, nëse rrezet e rrathëve janë 6 cm dhe 5 cm.

Duhet të dish: të njehsojsh syprinën e: rrethit, sektorit rrethor dhe unazës rrethore.

Kontrollohu! Brinja e një katrori është 2,5 cm. Sa është syprina e rrethit të brendashkruar? Njehso këndin qëndror dhe syprinën e sektorit rrethor nëse rrezja është 6 cm, kurse gjatësia e harku rrethor përkatës është " = 3,14 cm.

Perimetri dhe syprina e rrethit

165

Detyra

10. Sa përqind e syprinës së tërë rrethit është syprina e sektorit rrethor me kënd qëndror 108o?

1. Njehso syprinën e rrethit me: a) rreze 8 cm; b) diametër 9 cm; c) perimetër 18,84 cm.

2. Cakto rrezen e rrethit me syprinë 200,96 cm2.

11. Njehso syprinën e unazës rrethore që e formojnë vija rrethore e jashtashkruar dhe e brendashkruar: a) te katrori me brinjë a = 4 cm; b) te trekëndëshi barabrinjës me brinjë 2 cm; c) te gjashtëkëndëshi i rregult me brinjë 6 cm.

3. Sa herë do të zmadhohet syprina e rrethit nëse rrezja e tij zmadhohet 10 herë?

4. Dy vija rrethore, njëra me rreze 6 cm, kurse

tjetra me 2 cm, takohen prej brenda. Njehso syprinën e figurës të kufizuar me ato dy vija rrethore.

5. Katetet e trekëndëshit kënddrejtë janë 9 cm dhe 12 cm. Njehso syprinën dhe perimetrin e rrethit të jashtashkruar rreth trekëndëshit.

6. Janë dhënë dy rrathë me rreze 6 cm dhe 8 cm.

Cakto rrezen e rrethit syprina e të cilit është e barabartë : a) me shumën e syprinave të tyre b) me ndryshimin e syprinave të tyre.

7. Njehso syprinën e sektorit rrethor, nëse janë dhënë: a) r = 6 cm dhe a = 45o; b) r = 4,8 cm dhe a = 80o; c) r = 9 cm dhe a = 45o 30';

ç) r = 7,8 cm dhe " = 10 cm.

P ë r p i q u ...

12. Në vizatim është dhënë DABC barakrahas

kënddrejtë. Mbi hipotenuzën AB, si mbi diametrin, është jashtashkruar gjysmëvija rrethore, por edhe hark rrethor me qendër C dhe rreze c &$ . Trego se A B pjesët e hijezuara kanë sypa a rina të barabarta. C 13. Figurat e ngjyrosura mbi katetet quhen hënat e Hipokratit. Ato janë të kufizuara me gjysmëvija rrethore te të cilat diametrat janë brinjët e trekëndëshit kënddrejtë EFG. Vërteto se shuma e syprinave të hënave është e barabartë me syprinën e trekëndëshit.

8. Sektori rrethor me rreze 10 cm e ka syprinën 78,5 cm2. Cakto këndin qëndror.

9. Te rrethi me rreze 6 cm është dhënë sektori E

166

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

rrethor me kënd qëndror 70o. Njehso gjatësinë e harkut rrethor të tij dhe syprinën e tij.

M E

T Ë

P U NA D H Ë NA

DIAGRAMI SEKTORIAL

Kujtohu!

Të dhënat të dhëna në përqindje ose si pjesë e tërësisë shpeshherë paraqitet me digram sektorial. Mënyra e udhëtimit Numri i nxënësve

Vëre!

Të dhënat për mënyrën që udhëtojnë deri në shkollë 90 nxënës, janë dhënë në tabelë. Në Biçikletë Autokëmbë bus 11

Taksi

Automobil

Këto të dhëna mund të paraqiten me diagram sektorial. Qe se si do ta njehsojsh këndin te diagrami sektorial. Këndi i plotë ka 360o; kurse numri i nxënësve është 90. 360o : 90 = 4o. Këndit prej 4o te diagrami i përgjigjet një nxënës. Çfarë këndi i përgjigjet nxënësve që shkojnë në këmbë? Pasi 11 nxënës shkojnë në këmbë, vijon se 11 × 4o = 44o dhe 44o është këndi që i përgjigjet pjesës së nxënësve që shkojnë në këmbë në shkollë. Këndi te diagrami sektorial

Në këmbë

11 × 4

44o

Biçikletë

26 × 4

104o

Autobus

33 × 4

132

Taksi

12 × 4

Autmobil

8×4

32o

Gjithësej

90 × 4

360o

Automobil Biçikletë Taksi

Numri i nxënësve

Mënyra e udhëtimit

48o 44o

Në këmbë

104o 132o

Autobus

Mbaj mend ! Që të paraqiten të dhënat me diagram sektorial duhet: 1o të caktohet numri i përgjithshëm i të dhënave që duhet të paraqiten; 2o të pjesëtohet 360o (shkallët e këndit të plotë) me numrin e përgjithshëm të fituar; 3o Çdonjëra prej të dhënave shumëzohet me herësin e fituar, me të cilën fitohet këndi i sektorit për atë të dhënë.

Puna me të dhëna

167

Të dhënat për kohën ku fillojnë me punë 1800 të punësuar te konfeksioni ,,Moda". Paraqiti të dhënat me diagram sektorial. Vëren se: sektori te diagrami sa më i madh është, aq më i madh është edhe numri i të dhënave që janë paraqitur me atë sektor. Nëse te diagrami sektorial dihet numri i të dhënave të paraqitura me njërin prej sektorëve, ose numri i përgjitshëm i të dhënave, lehtë mund të caktohet numri i sektorëve tjerë.

Koha

Numri

Ndërmjet 5 h dhe 6 h

240

Ndërmjet 6 h dhe 7h

180

Ndërmjet 7 h dhe8 h

768

Ndërmjet 8 h dhe 9 h

612

Gjithësej

1800

Në një bibliotekë ka pasur 720 libra. Ato kanë qenë të grupuara si: lektura, libra shkencore, tekste, doracak dhe fotografi. Të dhënat janë paraqitur me diagram sektorial më posht.

60o

Lektura

70o 40o 80o Libra shkencor Fotografi

Doracaki

Tek st

Gjithësej ka pasur 720 libra. Domethënë 360 : 720 = 0,5, një libri i përgjigjet 0,5o nga rrethi. Sektori për tekste e ka këndin 60o,domethënë 60 : 0,5 = 120, përkatësisht ka pasur 120 tekste. Cakto numrin e doracakëve, librave shkencore dhe fotografive te biblioteka shkollore. Sa shkallë është këndi i sektorit që i paraqet lekturat? Sa është numri i lekturave në bibliotekë?

Detyra 1. Të dhënat në tabelë tregojnë në çfarë mënyre ndoten oqeanet. 1% = 3,6o Ndotësit

Përqindja

Ndotësit prej lumejve

54%

Ndotësit prej ajrit

33%

Ndotësit prej peshkimit

12%

Prodhimi i naftës

Gjithësej

100%

2. Në një qendër sportive ka njerëz të moshave të ndryshme, dhe atë:

Më të rinj prej 20 vjet

30 persona

prej 20 deri 29 vjet

15 persona

prej 30 deri 39 vjet

29 persona

prej 40 deri 49 vjet

14 persona

më të vjetër se 50 vjet

12 persona

Sa anëtar ka gjithësej te qendra sportive? Të dhënat paraqiti me diagram sektorial.

Paraqiti të dhënat me diagram sektorial.

168

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

3. Te diagrami sektorial më posht janë paraqitur të dhënat për lloje të ndryshme

Benzinë

të lëndëve djegëse të shitur te një pompë e benzinës. Janë shitur 2415 " dizel.

230o

Sa benzinë pa plumb është shitur?

105o Be

Sa benzinë është shitur? Sa lëndë djegëse gjithësej janë shitur? Një agjension turistik ka mbledhur të dhëna për interesimin për pushimet vjetore. Janë pyetur 720 intervistor dhe përgjigjet e tyre janë paraqitur me diagram sektorial. Mati këndet e çdo sektori;

Në shtëpi

Sa shkallë paraqet një intervistor?

i rq Tu

Nga sa intervistor janë deklaruar për çdo vend për pushim vjetor? Nga sa intervistor janë deklarua për pushim vjetor jashta vendit?

Ohër

Bullgari

n. pa pl um b

Dizel

Greqi

MESI ARITMETIK. MEDIANA. MODA. RANGU

Kujtohu!

Anëtarët e seksionit të artit janë pyetur nga sa orë i punojnë vizatimet e fundit. Ato janë përgjigjur: 2, 3, 4, 3, 5, 10, 5, 6, 3. I radhisim të dhënat duke filluar prej atij me vlerë numerike më të vogël: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10. E dhëna që më së shpeshti paraqitet është numri 3. Numri 3 është moda për këto të dhëna. Numri 4 është e dhëna që gjendet në mesin e vargut pas radhitjes. Numri 4 është mediana për këto të dhëna.

= , » 4,55, vlera 4,55 është mesi aritmetik për këto të dhëna.

Mesi aritmetik, mediana dhe moda janë vlera që shfrytëzohen për përshkrimin e ,,qendrës", d.m.th. mesi i të dhënave të vargut. Ato quhen njësitë për tendencat qëndrore.

Mesi aritmetik ose vlera mesatare njehsohet ashtu që shuma prej vlerave numerike të vargut të të dhënave pjesëtohet me numrin e të dhënave. Njehso mesin aritmetik të vargut: a) 8, 11, 14, 8, 9; b) 18, 14, 18, 14, 18, 17; c) 9, 12, 10, 9, 9, 11, 12, 11; ç) 21, 46, 29, 27, 42, 34, 25; d) 9, 8, 9, 8, 9, 8.

Puna me të dhëna

169

E dhëna e cila gjendet në mesin e vargut, kur anëtarët e vargut do të radhiten duke filluar prej më të voglit është mediana. Cakto medianën te vargjet a, b dhe ç te detyra 1. Ke kujdes, mediana për vargun me numër çift të të dhënave është mesi aritmetik i të dy të dhënave në mes.

E dhëna që paraqitet më së shpeshti në një varg të të dhënave quhet moda. Një bashkësi e të dhënave mund të mos ketë modë, të ketë vetëm një modë ose të ketë më shumë se një modë. Cakto modën për vargjet a, b, c, ç, d te detyra 1.

Është dhënë vargu i numrave: 61, 57, 55, 60 dhe 62. Cakto mesin aritmetik dhe medianën. Numrin 62 zëvëndësoe me 262 dhe për vargun e atillë të fituar cakto mesin aritmetik dhe medianën. Te vargu i dhënë në fillim, zëvëndësoe numrin 55 me 5 dhe për vargun e këtillë të fituar cakto mesin atitmetik dhe medianën. Krahasoi vlerat e fituara të mesit aritmetik dhe medianës. Në çka më së shumti ndikon vlera e madhe ose e vogël e të dhënës: mesit aritmetik ose medianës?

Shëno: vargu prej 5 numrave mediana e së cilës është 7, kurse moda është 6; vargu prej 5 numrave me medianë 8 dhe mesi aritmetik 7; vargu prej 5 numrave me modë 4 dhe mes aritmetik 6.

Shkruaj 6 numra të cilët formojnë varg te i cili mediana është numër më i vogël se 10, mesi aritmetik i vargut është 10 dhe më i madhi prej gjashtë numrave është 25.

Kujtohu! Një ditë në Manastir është matur temperatura më e lartë 17 oC, kurse më e ulta -9oC. Ndryshimi ndërmjet temperaturës më të lartë dhe më të ulët ka qenë 26oC. 17 - (-9) = 26. Ndryshimi ndërmjet vlerës më të madhe të të dhënave dhe vlerës më të vogël të të dhënave quhet rang. Rangu = (vlera më e madhe) - (vlera më e vogël)

170

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Vëreje shembullin. Është dhënë vargu i numrave: 29, 61, 17, 80, 32. Vlera më e madhe është 80.

Vlera më e vogël është 17.

Rangu = 80 - 17 = 63.

Cakto rangun e vargut të numrave: a) 107, 15, 36, 94, 27, 100; b) 3,26; -0,24; -5,15; 1,13; 7.

Dhjetë nxënës në testin e matematikës i kanë fituar këto pikë: Nxënës

N 10

Pikë

Cakto rangun ndërmjet nxënësit me numër më të madh të pikëve të fituara dhe nxënësit me numër më të vogël të pikëve të fituara. Për çdo nxënës në veçanti, cakto rangun ndërmjet numrit të pikëve të fituara dhe 100 pikë (numri më i madh i pikëve që janë parashikuar për testin).

Tetëmbëdhjetë atletë kanë garuar në 20 km. Koha e tyre në minuta ka qenë kështu: 96, 90, 115, 112, 111, 96, 100, 112, 117, 90, 98, 100, 101, 95, 99, 110, 98, 119. Cila është koha më e mirë e vrapimit? Cila është koha më e dobët e arritur në vrapim?

Detyra 1.

Në 7 sënduqe të barabarta ka pasur pjeshka. Numri i pjeshkëve te çdo sënduk - përkatësisht ka qenë: 35, 45, 46, 37, 55, 37, 32. Sa është numri mesatar i pjeshkëve në një sënduk? Cakto medianën. Cili numër është modë? Sa është rangu?

Prej 5 testeve, Teuta ka fituar mesatarisht 66 pikë. Që të ketë pesëshe, mesatarja e saj duhet të jetë 70 pikë prej 6 testeve. Sa pikë më pak duhet të fiton Teuta në testin e gjashtë?

Jetoni dhe Iliri kanë garuar në pikado, me nga 6 shigjeta. Rezultatet e tyre (largësia prej qendrës në centimetra) janë dhënë në këtë tabelë. Shigjeta

Jetoni

Iliri

Njehso largësinë mesatare deri te qendra për çdo garues. Cakto rangun e çdo garuesi. Cili garues është më i suksesshëm? Sqaroe përgjigjen tënde.

Puna me të dhëna

171

MËSOVE PËR RRETHIN, SHUMËKËNDËSHIN DHE SYPRINAT E TYRE. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE 1.

Shuma e një këndi periferik dhe këndit të tij përkatës qëndror është 180o. Cakto madhësinë e këndeve.

Është dhënë trekëndëshi këndngushtë ABC. Gjysmëvija rrethore mbi brinjën AB i pret dy brinjët tjera në pikat M dhe N. Konstrukto ortoqendrën H të DABC vetëm me vizor.

10. Njehso syprinën e katrorit me diagonale 6 cm.

Sa dërrasa me gjatësi 3 m dhe gjerësi 25 cm nevoiten për mbulimin e dyshemes me formë drejtkëndore, me dimenzione 6 m dhe 3,5 m?

11. Brinjët e një romboidi janë a = 12 cm dhe 3.

Te katërkëndëshi kordiak ABCD janë të njohur RA = 108o dhe RB = 98o. Cakto RC dhe RD.

Për katërkëndëshin tangjencial ABCD dihet R $% = 7 cm, %& = 12 cm,

b = 8 cm. Lartësia ndaj brinjës a është 4 cm. Sa është lartësia ndaj brinjës b?

12. Njehso syprinën e trekëndëshit kënddrejtë me katetë 24 cm dhe hipotenuzë 30 cm.

$' = 5 cm. Cakto &' .

13. Njehso syprinën e trapezit barakrahas me baza 18 cm dhe 10 cm, kurse krahu 5 cm.

Sa brinjë ka shumëkëndëshi i rregullt, nëse këndi i tij i jashtëm është: a) 135o; b) 150o; c) 140o?

Vizato pesëkëndësh të rregullt me apotemë h = 2,5 cm.

Cila katetë është më e madhe, a ose b, te trekëndëshi kënddrejtë të dhënë me a = 7 dm dhe c = 25 dm?

15. Sa herë rrotullohet rrota e një traktori, e cila e

Cakto perimetrin e trekëndëshit barakrahas me bazën a = 1 dm dhe lartësinë ndaj bazës h = 1,2 dm.

16. Te një romb me perimetër 48 cm është

172

14. Nëntëkëndëshi i rregullt me brinjë

a = 8 cm ka syprinën S = 395,28 cm2. Sa është apotema e tij?

ka rrezen 40 cm, në rrugën prej 2512 m?

brendashkruar rreth me syprinë 25p cm 2. Njehso syprinën e rombit.

Tema 3. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

TEMA 5.

FUNKSIONI. PROPORCIONI

SISTEMI KËNDDREJT KOORDINATIV NË RRAFSH 1. Prodhimi i deakrtit 176 2. Rrafshi koordinativ 178

PROPORCIONI 6. Raporti 7. Proporcioni 8. Mesi gjeometrik. Proporcioni i vazhduar

192 197 201

PASQYRIMI (FUNKSIONI) 3. Relacionet 4. Pasqyrimi (funksioni) 5. Mënyra e dhënëjes së pasqyrimit

MADHËSITË PROPORCIONALE 9. Madhësitë proporcionale të drejta 10. Madhësitë proporcionale të zhdrejta 11. Rregulla e thjeshtë e treshit Kontrollo njohurinë tënde

204 208 212 215

183 185 189

3:1

Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

173

SISTEMI KËNDDREJTË KOORDINATIV NË RRAFSH

PRODHIMI I DEKARTIT

Kujtohu! Në klasën V mësove... Çifti te i cili a është elementi i parë, kurse b është elementi i dytë quhet çifti i renditur dhe shënohet me (a, b).

Çifti i renditur grafikisht paraqetet me shigjetë prej komponentes së parë nga komponenta e dytë.

Në vizatim me shigjeta janë paraqitur çiftet e renditura (a, b), (c, c) dhe ( h, g). b

Elementet e çiftit të renditur quhen komponenta. Dy çfte të renditura janë të barabartë nëse komponentat përkatëse janë të barabarta. Cakto x dhe y ashtu që (x, 2) = (5, y).

Prodhimi i Dekartit A x B i bashkësive A dhe B është bashkësia e të gjitha çifteve të renditura ashtu që komponenta e parë është element i bashkësisë A, kurse e dyta nga bashkësia B. Le të jenë A = {2, 3}, B = {5, 10, 15}. Cakto bashkësinë A x B dhe paraqite në mënyrë tabelare.

h g

Vërej çiftet e renditura në vizatim.

Shkruaj të gjitha çiftet e renditura.

6 8

A është paraqitur çifti i renditur (4, 5)?

Bashkësia A x A ose A quhet katrori i dekartit.

Prej cilës bashkësi janë komponentet e para të çifteve të renditura?

Le të jetë A = {a, b}. Cakto A 2.

A ka çift të renditur ku komponenta e parë është nga bashkësia B?

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b} dhe B = {m, n, p}. Paraqiti me diagram të venit. Elementet e prodhimit të dekartit A x B paraqiti me shigjeta. Vëreje këtë në vizatim dhe krahasoe zgjidhjen tënde.

prodhimin e dekartit të paraqitur në këtë mënyrë themi se është dhënë F Për me graf. i dekartit grafikisht mund të paraqitet edhe me skemë koordinative F Prodhimi në këtë mënyrë:

174

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

a b

m n p

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

Më praktike

AxB

B m n

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

Prodhimin e dekartit G x H i bashkësive G = {1, 2, 3, 4} dhe H = {a, b} paraqite me graf

në mënyrë tabelare

AxB

me skemë koordinative

Te skema koordinative prodhimi i dekartit A x B, janë shkruar elementet (1,n), (2, m) dhe (3, p).

AxB

B p

(3, p) (1, n)

Shkruaj elementet e bashkësisë A dhe të bashkësisë B.

(2, m)

Shkruaje prodhimin e dekartit A x B në mënyrë tabelare.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

F Elementi (1, n) Î A x B, që nuk është shënuar te skema, tregon se edhe 1 Î A dhe n Î B. F Në mënyrë të ngjashme vëre se 2 Î A, m Î B, 3 Î A dhe p Î B. Domethënë A = {1, 2, 3}, B = {m, n, p}. F A x B = {(1, m), (1, n), (1, p), (2, m), (2, n), (2, p), (3, m), (3, n), (3, p)}. 5.

Paraqiti me graf dhe me skemë koordinative katrorin e dekartit të bashkësisë a) M = {1, 2}; b) P = {a, b, c}. Vëre grafin dhe skemën koordinative të M2 dhe krahasoe zgjidhjen tënde. M M2 1

2 1

(1, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(2, 1)

Është dhënë prodhimi i dekartit K x L = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Shkruaji tabelarisht bashkësitë K dhe L.

Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

175

Duhet të dish

Kontrollohu!

grafikisht të paraqesish çiftin e renditur;

Cilat çifte të renditura janë dhënë në vizatim?

të paraqesish prodhimin e dekartit me graf dhe me skemë koordinative.

Paraqite me graf katrorin e dekartit të bashkësisë P = { 1, 5}.

Detyra

4. Shkruaj bashkësitë A dhe B sipas skemës

1. Vizato grafin e çdo çifti të rendit

koordinative të prodhimit të dekartit A x B.

(1, 5), (m, 2) dhe (4, 4).

2. Le të jetë A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Shënoi elementet e bashkësive A dhe B.

(3, p) (a, 2)

3. Paraqite me skemë koordinative prodhimin e dekartit të bashkësive A = { ¡, *, D} dhe B = {d, m, p, s}.

Kujtohu! -2

-1

Si quhet numri që i është shoqëruar pikës së dhënë nga boshti numerik? a

Në drejtëzën numerike a me shigjetë është shënuar kahja pozitive. Drejtëza numerike quhet edhe boshti numerik.

A -3

-2

B -1

C 1

2 3 a 2

Vëre pikën A në boshtin numerik. Ajo ka koordinatë - 2, d.m.th. A(- 2).

Pikës O i është shoqëruar numri 0, kurse pikës A numri 2.

Shënoi pikat B dhe C me koordinatat e tyre.

Segmenti OE është segment njësi, d.m.th.

Paraqiti pikat M(-1

2( = 1.

176

RRAFSHI KOORDINATIV

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

numerik.

) dhe P(3, 4) të boshtit

Në vizatim janë treguar emrat e nxënësve të një klase, si ulen në klasë. Në vijën vertikale OB janë shënuar numrat rendor të rreshtave, kurse në vijën horizontale OA - numrat rendor të shtyllave.

B 7

Bashkim

Drita

Dona

Mentor

Merita

Petrit

Maliq

Zylfo

Verim

Neire

Vera

Loni

Lisa

Leon

Labi

Lenard

Kastriot

Elona

Ema

Dashe

Ku ulet Jetoni? Si do ta paraqesish 2 vendin e tij? 1

Laura

Agim

Jeton

Nora

Ilir

Lirik

Arta

Gëzim

Si mund të paraqitet vendi në të cilën ulet nxënësi i caktuar?

Jetoni ulet në vendin e shtyllës së 3-të dhe rreshtin e 2-të. Kjo mund të paraqitet me çiftin e renditur (3, 2).

Cakto vendin e nxënësit sipas shtyllës dhe rreshtit dhe shënoe si çift të renditur: a) Ilir; b) Neire; c) Dona; ç) Lenard. Emërto nxënësin që ulet në vendin: a) (2, 1); b) (2, 3); c) (4, 7); ç) (3, 5). Përshkruaje pozitën e vendeve te të cilat ulen nxënësit Labi dhe .Shënoi çiftet e renditura të atyre vendeve. Çka vëren për ato çifte?

Shkruaje vendin si çift i renditur në të cilën ti ulesh në klasën tënde.

Në vizatim janë dhënë dy boshte numerike reciprokisht normalet x dhe y, me segment njësi të barabarta. Ato priten te pika O. Në rrafshin e boshteve janë objektet (pikat) A, B, C, D dhe E. Shtegu deri te çdo objekt ,,niset" prej O. Ajo është shënuar me ngjyrë.

Vërei shtigjet deri te A është: 3 njësi në kahen F Shtegu pozitive të boshtit x (d.m.th. +3), kurse pastaj 2 njësi në kahen pozitive të boshtit y (d.m.th. +2).

Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

177

F Shkurtimisht mund të shkruhet{ A(+3, +2) ose A(3, 2). F Shtegu deri te B, e shkruar shkurtimisht është B(+1, +3) ose B(1, 3). deri te C: 2 njësi në kahen negative të boshtit x (d.m.th. -2), kurse pastaj 3 njësi në kahen pozitive F Shtegu të boshtit y (d.m.th. +3) . F Shënimi i shkurtër: C(-2, +3) ose C(-2, 3). Komponentat e çiftit të renditur (-2, 3) quhen koordinata të pikës C.

Shënoi shkurtimisht shtigjet deri te objektet D dhe E. Rrugën e kaluarat e shënojmë me + ose -, varësisht prej asaj vallë lëvizim në kahen pozitive ose negative të boshtit.

Mbaj mend! y

Për pikën P që e ka abshisën a dhe ordinatën b shkruajmë P(a, b).

abshisa

Për pikën M (në vizatim) themi se e ka abshisën +4 dhe ordinatën +3. Shkruajmë M(+4, +3) ose vetëm M(4, 3).

ordinata

Koordinatatat e pikës quhen abshisa dhe ordinata.Ato paraqesin çift të renditur ku abshisa është komponenta e parë, kurse ordinata e dytë.

Boshtet numerike reciprokisht normale quhen boshte koordinative, kurse prerja e tyre quhet fillimi i koordinatave. Njëri bosht koordinativ quhet boshti i abshisave ose boshti x, kurse tjetr boshti i ordinatave ose boshti y. Dy boshte numerike reciprokisht normale, me segmente njësi të barabarta dhe me pikë zero të përbashkët (fillimi i koordinatave), formojnë tërësi (sistem). Ai quhet sistemi kënddrejt koordinativ i dekartit (sipas Rene Dekart matematikan, fizikan dhe filozof françez që i pari e futi në përdorim këtë sistem) Shkurtimisht thuhet sistemi koordinativ dhe shënohet: Oxy.

Rrafshi në të cilin është dhënë sistemi kënddrejt koordinativ i dekatrit quhet rrafshi koordinativ. Boshtet koordinative e ndajnë rrafshin në katër kënde të drejta, të cilat janë të numeruara si në vizatim. Ato quhen kuadranta.

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

(- , +) -3 -2 -1

III

(- , -) 178

Rene Dekart 1596 - 1650

3 2 1

(+ , +)

1 2 3 -1 -2 -3

(+ , -)

Mbaj mend Në kuadrantin I : abshisa dhe ordinata janë pozitive. Në kuadrantin II: abshisa është negative, kurse ordinata pozitive. Në kuadrantin III : abshisa dhe ordinata janë negative. Në kuadrantin IV : abshisa është pozitive, kurse ordinata negative.

3. Cakto në cilin kuadrant gjendet çdonjëra prej këtyre pikave A(+3, +5), B(-2, -1), C(+4,2; -6 ), D(-1, +5). Vëren se:

F Abshisa dhe ordinata e A janë pozitive, d.m.th. pika A gjendet në kuadrantin I. Pika B gjendet në kuadrantin III. Sqaro pse. Vepro në mënyrë të ngjashme për pikat C dhe D.

Kjo është e rëndësishme Çdo pike nga rrafshi koordinativ që i përgjigjet vetëm një abshisë dhe ordinatë janëçift koordinatash. Çdo çifti të koordinatave i përgjigjet vetëm një pikë nga rrafshi koordinativ.

Paraqiti në rrafshin koordinativ këto pika:

y B

, 2), C(2, -1), D(2,5; 1,5). Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

A(-1, -2), B(-

1,5

Pikat nga boshti x e kanë ordinatën 0.

-2

-1

Pikat nga boshti y e kanë abshisën 0. Fillimi i koordinatave e ka abshisën 0 dhe ordinatën 0.

0 -1

2 2,5 3 x C

-2

Paraqiti në rrafshin koordinativ pikat A(0, -3), B(-2, 0), C(0, 0), D(0, 1), E(2, 0).

Caktoi koordinatat e pikave A1 dhe B1 që janë simetrike me pikat A(-2, 5) dhe B(4, 7) në lidhje me a) boshtin x; b) boshtin y. Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

179

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të sqarojsh si është formuar sistemi kënddrejtë koordinativ; çka është rrafshi koordinativ;

Cila prej pikave P(3, 8) ose S(5,1) është më afër boshtit x? Çka është rrafshi koordinativ?

çka janë koordinatat e pikës;

Në cilin kuadrant shtrihet pika A(2, -4)?

të paraqesish pikë në rrafshin koordinativ.

Në cilën prej boshteve koordinative shtrihet pika M(0, -1)?

Detyra 1. Caktoi pikat në rrafshin koordinativ që u përgjigjen çifteve të renditura: (3, 2);

(-1, -

);

(- , 2);

(-4, 1);

(-3, -1);

(-2,4; 0).

5. Caktoi koordinatat e pikave A, B, C, D, E dhe F sipas vizatimit:

y 5

(1, -1);

(0, -2);

2. Caktoi koordinatat e pikës që është simetrike me

E 2 x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-1

pikën M(2, -1) në lidhje me: a) boshtin e abshisave dhe shënoe me M1; b) boshtin e ordinatave dhe shënoe me M2; c) fillimin e koordinatave dhe shënoe me M3.

-2 -3

-4 -5

3. Vizato segment AB nëse A(-1,3), B(-4, -2).

6. Vizato DABC, kurse pastaj cakto gjatësitë e brinjëve të tij nëse:

a) A1(-4, 0), B1(0, 1), C1(-1, 3);

4. Vizato trekëndësh ABC, nëse:

a) A1(-2, -1), B1(3, -2), C1(-1, 3); b) A2(-3, 0), B2(0, -4), C2(3, 1);

b) A 2(-1, -3), B2(4, 0), C2(3, -4).

7. Te rrafshi koordinativ paraqite pikën M me abshisë

dhe ordinatë - .

Pastaj vizato DABC: A( , 1), B(-3,

180

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

), C(-2, -3).

PASQYRIMI (FUNKSIONI)

RELACIONET

Kujtohu! Me skemën koordinative është paraqitur katrori i dekartit në bashkësinë A = { 1, 2, 3, 4, 5}. A 5 4 3 2 1

AxA R2

Janë dhënë basahkësitë A = {Dritoni, Iliri, Selveri} dhe B = {matematikë, fizikë, kimi, biologi}. Ndërmjet elementeve të bashkësisë A dhe B është dhënë lidhja (relacioni): "... ka notë të shkëlqyeshme nga ...", e cila te grafi është paraqitur me shigjeta prej A nga B. A

Dritoni Iliri

1 2 3 4 5

Vërej nënbashkësitë R1 dhe R2 për të cilët vlen: R1 Ì A x A dhe R2 Ì A x A. R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Për elementet R1 vlen: komponenta e parë është për 1 më e vogël se nga komponenta e dytë. Shkruaje tabelarisht bashkësinë R2. Shprehe ndonjë lidhje (relacion) ndërmjet komponenteve te çiftet e radhitura të bashkësisë R 2.

Selveri

Sa elemente ka prodhimi i dekartit A x B dhe cilët janë ato? Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë R prej çifteve të radhitura për të cilët vlen relacioni "... ka notë të shkëlqyeshme nga ...". Paraqiti bashkësitë A x B dhe R në skemën koordinative. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. B AxB

matematikë

fizikë

Selveri

biologji

Iliri

Nëse çifti i renditur i takon R, atëherë ai i takon edhe A x B, d.m.th. R Ì A x B.

kimi

Dritoni

Çdo çift i renditur që i takon R, a i takon edhe AxB? Çka paraqet bashkësia R për prodhimin e dekartit AxB?

matematikë fizikë kimi biologji

Pasqyrimi (funksioni)

181

Mbaj mend Cilado nënbashkësi R nga prodhimi i dekartit A x B quhet relacion prej A nga B. Le të jetë R Í A x B.

çifti i radhitur (x, y) Î R, shpeshherë shkruhet x R y; lexojmë: x është në relacion R me y. F Nëse F bashkësia e të gjitha çifteve të renditura të cilat i takojnë R quhet edhe grafik i relacionit R dhe shënohet me 5 , d.m.th. 5 = {(x, y) | x Î A, y Î B dhe x R y}.

Relecioni R: "... është më i vogël për 2 se ..." prej bashkësisë A = {1, 4, 7, 12} nga bashkësia B = {3, 6, 14, 20} është paraqitur me graf.

A 1

B 3

Paraqite prodhimin e dekartit A x B me skemë koordinative.

Shkruaj çiftet e renditura që janë elemente të grafikut 5 .

Trego se grafiku 5 është nënbashkësi e prodhimit të dekartit A x B.

Në vizatim është dhënë bashkësia A x A dhe relacioni R në bashkësinë A. Provo me relacionin R a është paraqitur kjo lidhje ndërmjet elementeve "... është më i vogël se ...", d.m.th. vallë R = {(x, y) | x, y Î A dhe x < y}.

5 4

Ax A R

3 2 1

Paraqite relaconin me graf.

(1,5) (2,5)

Një familje ka pesë anëtarë: babai - Miron, nëna - Lule dhe fëmijët: Blerta, Jetoni dhe Selveri. Paraqite me graf relacionin R: a) "... është nëna e ..."; b) "... është vëllau i ...";

Duhet të dish: të sqarojsh çka është relacioni prej bashkësisë A nga bashkësia e dhënë B; të paraqesish relacionin e dhënë me graf, me grafik dhe me skemë koordinative.

182

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Kontrollohu! Në bashkësinë A = {1, 2, 3, 4} është dhënë relacioni R: "... është për 2 më i madh se ...". Paraqite relacionin R me graf dhe me grafik.

Detyra 1. Me graf paraqite relacionin R prej bashkësisë A = {12, 16, 22, 28, 32} nga bashkësia B = {17, 21, 27, 33, 37}, nëse:

a) R: " < "; b) R: "...është për 5 më i vogël se ...".

2. Te bashkësia

A = {a, b, c, d, e} me graf është dhënë relacioni R. Shkruaje grafikun e relacionit R në mënyrë tabelare.

a) Paraqite relacionin R me graf. b) Grafikun e relacionit paraqite në" mënyrë tabelare.

4. Paraqite me graf dhe me skemë koordinative relacionin e dhënë me:

5 = {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 5), (1, 5)} prej A = {0, 1, 2, 3} nga B = {1, 3, 5}.

5. Në bashkësinë M = {1, 2, 3, 4, 5} është dhënë c

relacioni R me:

5 = {(x, y) | x, y Î M dhe y = 6 - x}.

a) Shkruaje grafikun e R tabelarisht b) Paraqite relacionin R me graf. c) Paraqite relacionin R me skemën koordinative.

3. Te bashkësia S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} është dhënë relacioni R me:

5 = {(x, y) | x, y Î S dhe y = 2x}.

PASQYRIMI (FUNKSIONI)

Kujtohu! Relacioni prej A nga B është çdo nënbashkësi e prodhimit të dekartit A x B të bashkësisë A dhe B. Shqyrtoi relacionet R1 dhe R2. R1 B A A

Do të shqyrtojmë vetëm relacione të atilla ndërmjet dy bashkësive ku çdo element nga bashkësia e parë është në relacion vetëm me nga një element nga bashkësia e dytë.

Prej bashkësisë A = {1, 2, 3, 4} nga bashkësia B = {2, 4, 6, 8, 10} ështëdhënë relacioni R: ... është 2 herë më i vogël se.. Vërej skemën koordinative dhe grafin e relacionit.

Sqaro për cilin prej relacioneve R1 ose R2 vlen kjo: element prej A është në relacion me eleF çdo ment prej B; element prej A është në relacion vetëm F çdo me nga një element prej B.

B 10 8 6 4 2

AxB R

1 2 3 4

Pasqyrimi (funksioni)

183

Mund të vërejsh se çdo element prej A është në relacion vetëm me nga një element prej B. Për relacionin e atillë thuhet se është pasqyrim.

Mbaj mend Nëse çdo element nga bashkësia A është në relacion R vetëm me nga një element të bashkësisë B, relacioni i atillë quhet pasqyrim (ose funksion) prej A në B. Nëse çdo element prej A ka vetëm një shigjetë nga ndonjë element të B.

Prej grafit të relacionit R prej A nga B si do ta caktojsh a është ai pasqyrim? Cili prej relacioneve R1, R2 dhe R3 është pasqyrim? A

vetëm relacioni R2 është pasqyrim. R1 nuk është pasqyrim, pasi prej 4 ka dy shigjeta. R3 nuk është pasqyrim, pasi prej 2 nuk ka shigjetë nga element i B.

Pasqyrimi f prej bashkësisë A në bashkësinë B është relacioni prej A nga B ku çdo element nga A është në lidhje vetëm me një element nga B dhe shënohet me: f : A ® B ose $ o % I

F Bashkësia A quhet domen ose bashkësia e përkufizimit. F Bashkësia B quhet kodomen e pasqyrimit f. 2.

Është dhënë me graf (në vizatim) pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 12, 18, 24, 30, 32}. Kush është domeni, kush është kodomeni i këtij pasqyrimi? Elementi 1 Î A është në relacion f me elementin 6 Î B. Thuhet se: elementit 1 është shoqëruar me f elementi 6 ose 6 është pasqyra e 1 gjatë pasqyrimit f . Shkruajmë o ose f(1) = 6. Për 1 thuhet se është origjinali për 6 gjatë pasqyrimit f. I

184

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Shkruaj pasqyrat e elementeve 2, 3 dhe 4 nga A, gjatë pasqyrimit f. Vëreve se V Í B. Për V themi se është bashkësi pasqyrash, d.m.th. bashkësia e vlerave të f. Do të shkruajmë: f(1) = 6;

f(2) = 12; f(3) = 18; f(4) = 24.

Cilat numra janë pasqyra të numrave 3 dhe 4?

Në përgjithësi Bashkësia elementet e të cilës janë pasqyrat e elementeve nga domeni gjatë pasqyrimit të dhënë quhet bashkësia e vlerave të pasqyrimit. Nëse y Î B është vlera e x Î A,d.m.th. y është pasqyra e x gjatë pasqyrimit f , shkruajmë f : x ® y ose y = f (x). Bashkësia e të gjitha çifteve të renditura të relacionit f prej A nga B që paraqet pasqyrim quhet grafik i pasqyrimit f dhe shënohet me Gf . Domethënë f : A ® B, atëherë Gf = {(x, y) | x Î A dhe y = f (x)}.

Me graf është paraqitur pasqyrimi f : "... është 3 herë më i vogël se ... , prej bashkësisë A = {1, 3, 5, 7} nga bashkësia B = {3, 9, 15, 18, 21, 24}.

Shkruaje tabelarisht grafikun e f . Cakto domenin, kodomenin dhe bashkësinë e vlerave të f . Shkruaj me çka është e barabartë: f (3). Të sqarojsh çka është pasqyrim

Duhet të dish: pasqyrimin; të paraqesish pasqyrimin me graf dhe grafik; të sqarojsh çka është domeni, kodomeni dhe bashkësia e vlerave të pasqyrimit.

Pasqyrimi (funksioni)

185

Kontrollohu!

A B

Me cilën prej vizatimeve është dhënë pasqyrim prej A nga B? Prej grafikut Gf = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (6, 7), (8, 11)} cakto domenin dhe bashkësinë e vlerave dhe të pasqyrimit f.

Detyra 1.

Sqaro pse relacioni R, që është dhënë me graf, nuk është pasqyrim. A

B b)

Është dhënë pasqyrimi f : A ® B, ku A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, ..., 10, 11, 12}, me rregullën f : x ® 2x, d.m.th. f (x) = 2x. Cakto: f (0); f (3) dhe f (5). Shkruaje bashkësinë e vlerave të funksionit.

2. Me graf është dhënë funksioni f : A ® B. A

Cakto:

domenin; kodomenin; bashkësinë e vlerave të funksionit f.

3. Pasqyrimi f : A ® B, ku

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 20, 22} është përcaktuar me relacionin: "... është për 5 më i vogël se ... , d.m.th. f (x) = x + 5. cakto a te barazimi: f (1) = a; f (5) = a; f (9) = a; f (a) = 8; f (a) = 12.

186

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

5. Pikat e gjysmëvijës rrethore P pasqyrohen në

pikat e diametrit D ashtu që pasqyra Y e pikës X Î P gjendet në prerjen e normales prej pikës X nga diametri. Cakto domenin, kodomenin dhe bashkësinë e vlerave të këtij pasqyrimi X P

MËNYRA E DHËNËJES SË PASQYRIMEVE

Kujtohu!

Në çfarë mënyre deri më tani jepeshte pasqyrimi? A f B Pasqyrimi f : A ® Bështë dhënë -2 me grafin . 4 -1 1 Shënoe grafikun Gf të 2 1 pasqyrimit f. Shkruaj elementet e Gf në tabelë

1. Le të jetë A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {6, 7, 8,

9, 10}. Pasqyrimi f : A ® B, është dhënë me rregullën: x është për 5 më i vogël se y Sipas rregullës së dhënë formo tabelë të origjinaleve dhe pasqyrave gjatë këtij pasqyrimi. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

Paraqite pasqyrimin me skemë koordinative.

se pasqyra y është për 5 më e madhe se F Vëre origjinali x.

Prandaj: f : 1 ® 1 + 5, d.m.th. f (1) = 1 + 5; f (1) = 6;

f : 2 ® 2 + 5, d.m.th. f (2) = 2 + 5; f (2) = 7.

Ngjashëm vijon: f (3) = 8; f (4) = 9; f (5) = 10.

F i fitove çiftet e renditura prej origjinaleve dhe fotografive: (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10). x 1 2 3 4 5 në tabelë ashtu që në një rresht të jenë F vendosi origjinalet, kurse te tjetri pasqyrat e tyre. y = f (x)

Pasqyrimi mund të jetë i dhënë me tabelë te e cila janë vendosur origjinalet (d.m.th. elementet nga domeni) dhe pasqyrat e tyre (d.m.th. elementet përkatëse nga kodomeni). Dhënëja e atillë quhet mënyra tabelare e dhënëjes së pasqyrimit.

Pasqyrimi f është dhënë me tabelë te i cili përfshihet domeni dhe kodomeni. x

-1

-3

- 10

y = f (x)

Shkruaj a) grafikun; b) domenin; c) bashkësinë e vlerave të pasqyrimit.

Është dhënë pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3,. .., 20} me rregullën x është 4 herë më i vogël se y . Sipas rregullës, shkruaj formulë me të cilën fitohen pasqyrat gjatë këtij pasqyrimi. Cakto bashkësinë e vlerave të pasqyrimit. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Vëreve se pasqyra y është 4 herë më e madhe se origjinali x.

Pasqyrimi (funksioni)

187

Zbatoe atë që të caktojsh pasqyrat e elementeve të bashkësisë A. f : 1 ® 4 × 1, d.m.th. f (1) = 4 × 1 = 4; f : 2 ® 4 × 2 d.m.th.f (2) = 4 × 2 = 8; etj f : 5 ® 4 × 5, d.m.th. f (5) = 4 × 5 = 20.

Në përgjithësi për çfarëdo element x Î A, dhe pasqyrën e tij y = f (x) vlen: f : x ® 4 × x, d.m.th. f (x) = 4x. Shënimi f (x) = 4x paraqet mënyrën e përgjithshme (formulë) sipas të cilës kryhet pasyrimi.

Vëre se Pasqyrimi mund të jepet me formulë sipas të cilës caktohen vlerat e pasqyrimit. Kjo quhet mënyra analitike e dhënëjes së pasqyrimit.

Pasqyrimi f : A ® B, ku A ={-5, -4, -3, 0, 2, 4, 5}, B ={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} është dhënë me formulë f(x) = x + 1. Shkruaje: a) grafikun Gf; b) bashkësin e vlerave f.

Pasqyrimi f : A ® B ku A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, është dhënë me grafik në skemën koordinative.

Cakto elementet e bashkësisë së vlerave V Í B të f. Cilat numra duhet të qëndrojnë në vend të pikëpyetjeve: a) f (?) = 3; b) f (?) = 0; c) f (4) = ?

y 5 4 3 2 1 0

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

2 3 4 5

Pikat e shënuara në vizatim kanë koordinata: (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 5) dhe (5, 2). Elementet e bashkësisë së vlerave V janë koordinatat e dyta të pikave. Domethënë V = {3, 1, 0, 5, 2} f : 1 ® 3, d.m.th. f (1) = 3; f : 2 ® 1, d.m.th. f (2) = 1; f : 3 ® 0, d.m.th. f (3) = 0;

f : 4 ® 5, d.m.th. f (4) = 5; f : 5 ® 2, d.m.th. f (5) = 2.

Pasqyrimi mund të jepet grafikisht me skemën koordinative. Në rastin e këtillë themi se ai është dhënë grafikisht.

y 5 4 3 2 -4 -3 -2 -1 0

Pasqyrimi f : A ® B, A = {x | x Î Z, -3 £ x £ 5} dhe B = Z është dhënë në vizatim me grafik, në skemën koordinative. Paraqite grafikun Gf të pasqyrimit f tabelarisht. Formo tabelë të pasqyrimit.

188

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

1 -1 -2 -3

Duhet të dish: t'i sqarojsh mënyrat me të cilat mund të jepet një pasqyrim.

Kontrollohu! Pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} është dhënë me rregullën f : x ® x - 2. Formo tabelën e atij pasqyrimi. Shkrauje grafikun tabelarisht. Pastaj, pikat nga grafiku paraqiti në rrafshin koordinativ.

4. Paraqite grafikisht funksionin f(x) të dhënë

Detyra 1. Pasqyrimi f : A ® B është dhënë me tabelë. Në të janë dhënë elementet prej A dhe B.

x -2 -1 0

f(x) 0

x -3 -2 -1 0

f(x) -1 -1 -1 0

f(x)

Cakto domenin dhe bashkësia e vlerave të f.

2. Grafiku i pasqyrimit f është:

Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}. Cakto sa është f(1) dhe f (3). Për cilën vlerë të x është f (x) = 1?

3. Pasqyrimi f : A ® B, ku A = {-5, -2, -1, 0, 2}, kurse B = Q,e dhënë me rregullën I [ o tabelarisht.

[ . Shkruaje grafikun Gf

analitikisht f(x) = x - 1, ku domeni dhe kodomeni është bashkësia R (për këtë funksion themi se është funksion real). Vepro sipas kërkesave.

Plotësoe tabelën x

- 2

0,5

f(x) Çiftet e renditura të fituara te tabela shkruaj si koordinata të pikave, me radhë: A, B, C dhe D. Paraqiti pikat A, B, C dhe D në rrafshin koordinativ. Provo me vizor se pikat a shtrihen në të nëjjtën drejtëz. Zgjedh në mënyrë arbitrare disa vlera për x. Caktoi pasqyrat e tyre f(x) dhe çiftet e renditura të fituara paraqiti në vizatimin e njëjtë. Provo edhe ato pika a shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vëre se grafiku i funksionit f(x) = x - 1 është: Gf = {(x, y) : x Î R dhe y = x - 1} dhe atë, të paraqitur grafikisht është drejtëz.

Pasqyrimi (funksioni)

189

PROPORCIONI

RAPORTI

Kujtohu! Njehso herësin 28 : 7. Çka tregon vlera (4) te ky herës? Shkruaj herës sipas fjalisë: "I pjesëtueshmi është 42 dhe ai është 3 herë më i madh se pjesëtuesi".

Njehso 27 : 3;

: 6;

9,6 : 1,2.

Për çdonjërin prej tre herësave thuhet se është raport ose përpjesë ndërmjet numrave të dhënë. Lexohet: "27 ndaj 3 , "

ndaj 6 ,...

Në përgjithësi Nëse a dhe b janë dy numra ku b z 0, atëherë raporti ose përpjesa e numrit a ndaj numrit b quhet

D ); a quhet anëtari i parë , kurse b - anëtari i dytë i raportit. Nëse a : b = k, numri E k quhet vlera e raportit.

herës a : b (ose

Cakto vlerën e raportit: Çka tregon vlera e tij?

a) 255 : 17;

b) 17 : 255.

Krahasoe përgjigjen tënde me përgjigjen e dhënë. a) 255 : 17 = 15. Vlera15 tregon se numri 255 është 15 herë më i madh se numri 17. b) 17 : 255 =

. Vlera tregon se numri 17 është pjesë e numrit 255.

Krahasoi numrat: a) 184 dhe 23;

Vlera e një raporti është 5. Cakto anëtarin e parë, nëse anëtari i dytë është 8.

Janë dhënë raportet 18:3 dhe

b) 16 dhe 48.

. Caktoi vlerat e tyre dhe krahasoi.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Raporti i parë 18:3 e ka vlerën 6. Edhe raporti i dytë e ka vleën 6, d.m.th.

190

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Raportet që kanë vlera të barabarta quhen raporte të barabarta.

Provo a janë të barabarta këto raporte: a) 4 : 25 dhe

Kujtohu Vlera reciproke e numrit 5 është numri

është . i

, kurse

Cila është vlera reciproke e numrit 0,4? Cakto prodhimin e numrit dhe vlerës së tij reciproke.

Shkruaje raportin e anasjelltë të raportit: a) 5 : 8, b) 1 : 4.

;

b) 1,4 : 3,5 dhe 0,2 : 0,5.

Raportet 3 : 5 dhe 5 : 3 dallolhen sipas vendeve të anëtarëve të tyre. Shkruaj një raport të dy numrave. Pastaj, formo raportin e numrave të njëjtë, por me renditje të anasjelltë nga raporti paraprak.

Mbaj mend Raportet a : b dhe b : a (a ¹ 0, b ¹ 0) quhen raporte reciprokisht të anasjelltë, d.m.th. raporti a : b është i anasjelltë i raportit b : a, kurse raporti b : a është i anasjelltë i raportit a : b.

Cakto prodhimin e çdonjërit prej raporteve të dhëna me raportin e anasjelltë. Krahasoe zgjidhjen tënde për a). Raporti i anasjelltë i 5 : 8 është raporti 8 : 5. (5 : 8) × (8 : 5) =

= 1.

Vlen në përgjithësi Prodhimi i një raporti a : b me raportin e anasjelltë b : a është 1, d.m.th. (a : b) × (b : a) = 1, (a ¹ 0, b ¹ 0) .

Si do ta sqarojsh se raportet a : b dhe

, a ¹ 0, b ¹ 0 janë reciprokisht të anasjelltë? D E

Ndihmë. Raportin e dytë shkruaje si thyesë dyfishore dhe thjeshtoe.

10.

a) Drejtkëndëshi në vizatim ka 6 cm2.

Çka është matur te drejtkëndëshi dhe është fituar numri 6 cm2? 1 cm2

Proporcioni

191

b) Liriku është matur në peshoren e shtëpisë dhe ka konstatuar se ka 46 kg. Çka ka matur Liriku në peshore dhe ka fituar 46 kg? c) Janë dhënë segmentet $% = 6 cm dhe &' = 2 cm. Segmenti AB është për 4 më i madh se segmenti CD, prandaj $% - &' = 6 cm - 2 cm = 4 cm.

Çka krahason te të dy segmentet dhe e ke fituar numrin 4 cm?

Krahasoi përgjigjet tua me këto Numri 6 cm2 paraqet syprinë të drejtkëndëshit; Liriku në peshore ka matur masën e tij; te segmentet AB dhe CD i krahasuam gjatësitë e tyre.

Si konstatove se qesja ka 3 kg sheqer?

Qesen e vëndova në peshore dhe masën e saj e krahasova me masën e peshave për matje. Peshorja ishte në baraspeshë kur vendosa 3 pesha matjeje prej nga 1 kg.

Mbaj mend Sypria, masa, gjatësia, vëllimi, temperatura, koha, shpejtësia... paraqesin madhësi. Karakteristika e madhësive është se ato mund të maten. Të matet një madhësi domethënë ajo të krahasohet me njësi matëse përkatëse dhe të caktohet sa herë njësia matëse përfshihet te ajo madhësi, d.m.th. të caktohet numri matës i madhësisë.

11.

Sa herë segmenti $% = 6 cm është më i gjatë se segmenti &' = 2 cm?

Këtë e ke të njohur Segmenti prej 6 cm është 3 herë më i gjatë se segmenti prej 2 cm,

d.m.th. 6 cm : 2 cm = 3. Segmenti prej 2 cm është prej segmentit prej 6 cm, d.m.th. 2 cm : 6 cm = .

192

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

6 cm 2 cm

2 cm

Vëre Krahasimin e gjatësive të segmenteve e kryem nëpërmjet krahasimit të numrave të tyre matës. Vlera e raportit të dy gjatësive është numër i paemërtuar. Krahasohen vetëm madhësitë e llojit të njëjtë.

Vëre dhe mbaj mend Raporti ose përpjesa e dy madhësive të një llojta quhet herësi i numrit matës të njërës madhësi dhe numrit matës të madhësisë tjetër, të matura me njësi matëse të njëjtë. Vlera e raportit gjithmonë është numër i paemërtuar.

12.

Cilët prej këtyre herësave janë raporte: a) 3 : 31; b) 12 m2 : 4 m2;

Pse herësi 6 m : 3 është raport? A mundet 8 min : 5 s të llolgaritet për raport?

13.

c) 6 m : 3;

ç) 8 min : 5 s?

Vlera e herësit 6 m : 3 është 2 m, kurse ky është numër i emërtuar. Prandaj ky herës është raport. Herësi 8 min : 5 s mund të llogaritet për raport nëse anëtarët e tij paraqiten me njësi të njëjtë matëse.

Cakto vlerën e raporteve: a) 72 : 4;

b) 4 kg : 60 kg;

Kujtohu! zgjeroe me 5. Thyesën thjeshtoe me 4.

Thyesën

c) 5 km : 200 m;

ç) 2 6 : 5 d6.

14.

Është dhënë raporti 12 : 8.

Cakto vlerën e tij. Anëtarët e raportit shumëzoi së pari me 2, kurse pastaj me 4, dhe njehso vlerën e çdonjërit nga raportet e fituara. Krahasoi vlerat e raporteve.

Çka vëren?

Vlerat e të tre raportevea janë të barabarta 1,5.

Proporcioni

193

Vlen në përgjithësi Vlera e k te raporti a : b nuk ndryshon nëse anëtarët e tij shumëzohen ose, pjesëtohen me numër të njëjtë m ¹ 0, (a × m) : (b × m) = k zgjerimi i raportit

(a : m) : (b : m) = k, (m ¹ 0) thjeshtimi i raportit

Kjo është vetia themelore e raportit.

15.

Anëtarët e raportit (ose numrat matës te ato) shkruaj me numra natyror. 4,8 : 0,12;

16.

1,5 kg : 5 kg;

: 2,5;

450 m : 2,5 km.

Këto raporte janë barazuar me vlerat e tyre. Caktoe të panjohurën te barazimi: a) x : 3 = 5;

b) a : 12 = 20; c) 6 : y = 2; ç) 25 : b = 12,5.

Nsiqe zgjidhjen për a) dhe c). a) x është i pjesëtueshmi. I pjesëtueshmi është i barabartë me prodhimin e pjesëtuesit dhe herësit, d.m.th. x = 3 × 5; x = 15. c) y është pjesëtues; y = 6:2; y = 3.

Duhet të dish: të sqarojsh çka është raport, çka janë anëtarët dhe çka është vlera e raportit; ta shprehish dhe shfrytëzojsh vetinë themelore të raportit; cilët raporte janë të barabarta, kurse cilët janë reciprokisht të anasjelltë; të caktojsh raportin e dy madhësive.

Kontrollohu Cakto vlerën e raportit 27 : 36. Provo raportet 6 : 5 dhe 90 : 75 a janë të barabartë. Raportin 3 : 10 zgjeroe me 4. Pse 15 m3 : 5 m2 nuk është raport? Cakto x nëse a) x : 2=20; b) 8 : x = 32.

Detyra 1. Gjyshi ka 63 vjet, kurse mbesa ka 9 vjet.

194

2. A janë të barabartë raportet:

Për sa vjet gjyshi është më i vjetër se mbesa?

Sa herë gjyshi është më i vjetër se mbesa?

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

dhe 27 m3 :10 m3?

dhe 76 : 55?

3. Cili raport është i anasjelltë: a) 96 : 24;

b) 3,4 : 3

6. Shkruaje raportin ashtu që anëtari i parë të jetë 1:

4. Cilët prej herësave paraqesin raport: a) 4 m : 24;

b) 3 kg : 8 kg;

c) 5 km : 5 cm;

ç)

a) 4 : 5;

c) 90 min :

kg : 8 cm?

a) [

d) 1 dm : 1 m;

;

c) x : 0,1 = 0,01;ç) 2,7 : x = b) 4,74 : 3;

; c) 2,7 m :12 cm.

7. Njehso anëtarin e panjohur x:

5. Cakto vlerën e raportit: a) 324 : 4;

ç) 6 km : 600 m.

;

Në çfarë raporti janë: a) syprinat;

e) 1 km : 1 m;

[

b) vëllimet;

e dy kubeve me tehe 4 m, përkatësisht 6 m?

f) 1 m : 1 ar. 2

PROPORCIONI

Kujtohu!

Cakto vlerën e raporteve 32 : 8 dhe 20 : 5. Si janë ndërmjet veti ato dy raporte? Cilin barazim të saktë ndërmjet tyre mund ta shkruajsh?

Raporti 24 : 8 është i barabartë me raportin 45 : 15. Prandaj mund ta shkruajsh (saktë) barazimin numerik 24 : 8 = 45 : 15, d.m.th.

Shkruaj dy raporte të barabarta dhe formo (saktë) barazim ndërmjet tyre.

Mbaj mend Barazia e dy raporteve quhet proporcion. Raportet a : b dhe c : d që kanë vlera të barabarta, d.m.th. a : b = k dhe c : d = k e formojnë proprcionin a : b = c : d, t.e.

D E

F . G

Lexohet: "a ndaj b qëndron njëjtë si c ndaj d". a, b, c dhe d janë anëtarët e proporcionit. a është anëtari i parë, b është i dytë, c është i tretë, d është i katërti a dhe d quhen anëtar të jashtëm, kurse b dhe d quhen anëtar të brendshëm.

anëtar i parë

anëtar i dytë

anëtar i tretë

anëtar i katërt

anëtarët e brendshëm

anëtarët e jashtëm

Proporcioni

195

Çdo anëtar i proporcionit quhet proporcionalja e katërtë gjeometrike për tre anëtarët tjerë. Vlera e k të raporteve quhet koeficienti i proporcionalitetit.

Te proporcioni 17 : 68 = 21 : 84 në vend të çdonjërit prej raporteve shkruaje raportin e tij të anasjelltë dhe bindu se barazimi i fituar është proporcion.

Vlen në përgjithësi Nëse a, b, c, d ¹ 0 dhe a : b = c : d është proporcion, atëherë edhe barazimi b : a = d : c është proporcion. Vëreje sqarimin.

. N

F F Prej c : d = k, vijon se b : a = N . F Raportet b : a dhe d : c janë të barabartë, pra b : a = d : c është proporcion. Prej a : b = k, vijon se b : a =

Provo a fitohet përsëri proporcion nëse te proporcioni 15 : 9 = 90 : 54 ndrrohet vendet: 15 dhe 54;

15 dhe 90;

9 dhe 90;

E pa obligueshme

Vërej

Me zhvendosjen e anëtarëve të një proporcioni a : b = c : d fitohen edhe 7 proporcione.

vijon 3 × 20 = 5 × 12. [ Cakto x te barazimi ashtu që do të kryejsh "shumëzimi i kryqëzuar". x × 27 = 3 × 8, d.m.th. x =

196

a:b=c:d c:d=a:b d:b=c:a a:c=b:d

Kujtohu! Vëre: prej

9 dhe 54.

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

c:a=d:b d:c=b:a b:a=d:c b:d=a:c

Shkruaj raportet në proporcon 4 : 5 = 28 : 35 në formë të thyesës. Kryej shumëzim të kryqëzuar dhe krahasoi prodhimet e fituara. Çka vëren?

vijon 4 × 35 = 5 × 28 = 140, d.m.th. prodhimi nga anëtarët e jashtëm të proporcionit është i barabartë me prodhimin e anëtarëve të brendshme. Vëreva: prej

Vlen në përgjithësi

a:b=c:d

Te proporcioni a : b = c : d prodhimi i anëtarëve të jashtëm është i barabartë me prodhimin e anëtarëve të brendshëm. Kjo quhet vetia kryesore e proporcionit.

× ×

a×d=b×c

Ndiqe sqarimin. Raportet e barabarta kanë vlera të barabarta: a : b = k; c : d = k, d.m.th. a = kb; c = kd.

F Prodhimi i anëtarëve të jashtëm a dhe d është: a × d = (k × b) × d = k × (b × d). (Pse?) F Prodhimi i anëtarëve të brendshëm b dhe c është: b × c = b ×(k × d) = k × (b × d). (Pse?) Domethënë a × d = k × (b × d) = b × c.

Cakto anëtarin e panjohur x te proporcioni: x : 12 = 9 : 4;

15 : x = 3 : 5;

[

Që ta caktojsh x te çdonjëri prej tre proporcioneve shfrytëzoe vetinë themelore të proporcionit.

Cakto proporcionalen e katërtë gjeometrike për anëtarët e proporcionit: a) 2 : 3 = 5 : x;

b) 2 : 7 = x : 77.

Për numrat 3, 4, 9 dhe 12 është e saktë 3 × 12 = 4 × 9. Formo proporcion anëtarët e të cilit do të jenë 3, 4, 9 dhe 12. Një zgjidhje 3 : 4 = 9 : 12. Ka 8 zgjidhje. Cakto edhe ndonjë.

Për shembull: 3 : 9 = 4 : 12; 12 : 4 = 9 : 3; 12 : 9 = 4 : 3 etj.

Vlen në përgjithësi Nëse për katër numra a, b, c dhe d, që janë të ndryshëm prej zeros, prodhimi i dy prej atyre numrave është i barabartë me prodhimin e dy numrave tjerë, atëherë ato katër numra janë anëtar të proporcionit.

Proporcioni

197

Formo proporcion (nëse është i mundshëm) prej numrave: a) 3; 16; 6; 8;

b) 3; 0,4; 0,5; 2,4;

c) 2; 3; 4; 5.

Duhet të dish:

Kontrollohu!

të sqarojsh çka është proporcioni dhe të emërtojsh anëtarët e tij; ta shprehish vetinë themelore të proporcionit;

Shprehe vetinë themelore të proporcionit. A është e saktë se 2 :

të caktojsh anëtar të panjohur te proporcioni.

=3: ?

Cakto x te proporcioni 1 : 5 = x : 4. Numri 3 a është proporcionalja e katërtë gjeometrike për numrat 5, 12 dhe 20?

Detyra 1. Lexoe proporcionin dhe emërtoi anëtarët e jashtëm dhe të brendshëm: a) 0,2 : 3 = 1 : 15;

6. Formo proporcion prej numrave në barazimin: a) 6 × 8 = 16 × 3;

b) a : x = b : y.

2. Formo proporcion për të cilin 5 është koeficienti i proporcionalitetit.

7. A mundet të formohet proporcion prej numrave:

3. Janë dhënë proporcionet: . Shkëmbeni vendet e anëtarëve të çdo raporti.

a) 14 : 56 = 23 : 92;

Provo a fitove përsëri proporcion.

4. Te proporcioni

c) 3, 5, 8 dhe 13;

b) 1, 5, 17 dhe 85;

ç)

dhe ?

8. Anëtari i parë te një proporcion është 7,5 herë shkëmbej

; b) 4 dhe 8; c) dhe 8. A fitohet gjithmonë proporcion?

vendet: a) 4 dhe

5. Cakto x te proporcioni:

198

a) 3, 4, 9 dhe 12;

a) x : 63 = 8 : 21;

ç) 2 : x = 5 : 30;

b) 304 : 456 = x : 768;

d) 3,03 : x = 5,05 : 6;

c) 2x : 3,7 = 8 : 7,4;

e) 3,4 : 17 = 0,1x : 4.

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

më i madh prej anëtarit të dytë. Nëse anëtari i tretë është

, cakto anëtarin e katërtë.

9. Numri i anëtarëve të rinjë te seksioni

"Matematikan të rinjë" qëndron si 5 : 2. Nëse numri i natyralistëve të rinjë është 24, sa është numri i matematikanëve të rinjë?

MESI GJEOMETRIK. PROPORCIONI I VAZHDUAR

Kujtohu!

Me ndihmën e vetisë themelore të proporcionit, provo a është proporcion: a) 1 : 3 = 3 : 9;

Njehso anëtarin e panjohur x te proporcioni: a) 3 : x = x : 27; b) x : 4 = 36 : x

b) 5 : 2 = 12,5 : 5.

ashtu që anëtarët të jenë pozitiv.

Ndiqe zgjidhjen nën a).

F Zbatoe vetinë themelore të proporcionit: 3 : x = x : 27; 3 × 27 = x × x; x = 81. F Njehso vlerën e x: x = + , x = - ; x = 9, x = -9. F Cakto zgjidhjen sipas kushtit: x = 9. 2

Çka vëren te anëtarët e të dy proporcioneve?

Te proporcioni i parë anëtarët e brendshëm janë të barabartë, kurse te e dyta - anëtarët e jashtëm janë të barabartë.

Mbaj mend Nëse te një proporcion anëtarët e brendshëm janë të barabartë (a : b = b : c), anëtari që përsëriten quhet mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) për dy anëtarët tjerë.

a:b=b:c F b=

a:b=c:a

b është mesi gjeometrik për a dhe c.

a është mesi gjeometrik për b dhe c.

Cakto mesin gjeometrik të numrave: 4 dhe 16;

dhe 8;

4 dhe 9;

1 dhe 49.

Cili numër pozitiv është mesi gjeometrik për numrat 4 dhe 16?

F a=

Krahasoi vlerat e raporteve:

: 5;

Ai është numri sisht numri 8.

, përkatë-

dhe 3 : 20.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

: 5 = 0,15;

= 24 : 160 = 0,15;

F F F 3 : 20 = 0,15. F Domethënë, vlerat e të tre raporteve janë të barabarta. 8:

Proporcioni

199

Mund të shkruajsh:

:5=8: = 3 : 20.

Vlen në përgjithësi Nëse tre ose më shumë raporte, për shembull a : a1, b : b1 dhe c : c1, janë të barabarta, atëherë ato mund të shkruhen në formë të proporcionit të vazhduar a : a1 = b : b1 = c : c1, d.m.th.

a : b : c = a1 : b1 : c1

Shkurtimisht shkruhet:

D E F = = . D E F

anëtarët e parë

anëtarët e dytë

Shkruaje shkurtimisht proporcionin e vazhduar: 2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21;

: 5 = 21,25 : 100 = : 4.

Është dhënë proporcioni i vazhduar 3 : 5 =

: = 2,4 : 4.

Formo raport anëtari i parë i të cilit është shuma e anëtarëve të parë të proporcionit, kurse anëtari i dytë - shuma e anëtarëve të dytë. Krahasoe vlerën e këtij raporti me vlerën e cilitdo raport të proporcionit të vazhduar. Çka vëren? Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

F F Të gjitha raportet janë të barabarta. Vlera e tyre është 3 : 5 = 0,6. F Vlera e raportit të fituar është e barabrtë me vlerën e cilitdo raport nga proporcioni i vazhduar. Vlen në përgjithësi Te proporcioni i vazhduar shuma e anëtarëve të parë të proporcionit ndaj shumës të të gjithë anëtarëve të dytë është e barabartë me cilindo raport nga proporcioni i vazhduar. Për shembull, nëse a : a1 = b : b1 = c : c1 = d : d1 = k, atëherë (a + b + c + d) : (a1 + b1 + c1 + d1) = k, d.m.th. Kjo quhet vetia themelore e proporcionit të vazhduar.

200

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

D E F G D E F G

Te një trekëndësh këndet e brendshme a, b dhe g qëndrojnë si: a) 2 : 3 : 4;

b) 1 : 5 : 12.

Caktoi këndet a, b dhe g. Puno sipas udhëzimit dhe krahasoe zgjidhjen. Shkruaje shumën e këndeve te trekëndëshi: a + b + g = 180O . . . . (1)

F proporcionin e vazhduar (nëpërmjet raporteve të barabarta) a:2=b:3=g:4. F Shkruaje të jetë k vlera e çdo raporti. Shprehi këndet a, b dhe g me ndihmën e k. F Le a : 2 = k, d.m.th. a = 2k; b : 3 = k, d.m.th. b = 3k; g : 4 = k, d.m.th. g = 4 k. F F Zëvëndësoi shprehjet për a, b dhe g te barazimi (1) dhe njehso k. F

2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. Cakto këndet a, b dhe g. a =(2 × 20) o ; a = 40 o; b = (3 × 20) o , b = 60 o ;g = 80 o .

Duhet të dish të njehsojsh mesin gjeometrik të dy numrave ose të dy madhësive; të sqarojsh çka është proporcioni i vazhduar; ta shprehish dhe zbatojsh vetinë themelore të proporcionit të vazhduar;

Kontrollo! Si quhet anëtari a te proporcioni 8 : a = a : 32? A është 6 mesi gjeometrik i numrave 1 dhe 36? Provo vallë shënimet: 3 : 9 = 5 : 15 = 28 : 84 dhe 3 : 5 : 28 = 9 : 15 : 84 paraqesin proporrcion të njëjtë të vazhduar.

Detyra

4. Numrin 2 160 paraqite si shumë të 3 numrave të cilët do të qëndrojnë: 1 : 5 : 12;

1. Cakto x te proporcioni: a) x : 8 = 50 : x;

Është dhënë proporcioni i vazhduar 3 : 2 = 15 : 10 = 105 : 70 ku çdo raport e ka vlerën 1,5. Pa njehsuar, cakto vlerën e raportit (3 + 15 + 105) : (2 + 10 + 70).

b) x : 15 = 15 :

c) 6 : x = x : 24.

2. Formo proporcion anëtarët e të cilit do të jenë 8, 12, 18 dhe 12.

3. Caktoi numrat a, b dhe c ashtu që a + b + c = 39 dhe a : b : c = 3 : 4 : 6.

1 : 10 : 25.

5. Për mbledhjen e prodhimeve verore në një fermë kanë punuar organizatat A, B dhe C. Ato kanë realizuar përkatësisht 16 000, 20 000 dhe 30 000 orë pune. Për punën e kryer ferma u ka paguar gjikthësej 330 000 denarë, proporcionalisht sipas orëve të punës së realizuar. Nga sa denarë ka fituar çdo organizatë?

Proporcioni

201

MADHËSITË PROPORCIONALE

MADHËSITË PROPORCIONALE TË DREJTA

Kujtohu!

Si do të ndryshon perimetri P i katrorit nëse brinja e tij a: a) zmadhohet; b) zvogëlohet?

Është dhënë raporti 21 : 7. Shkruaj tre raporte që janë të narabarta me atë. Vlera e raporit a : b është 5. Nëse anëtari b është 8, sa është anëtari a? Nëse b zvogëlohet 4 herë, si do të ndryshon a?

Vëreje atë ndryshim në këtë tabelë: a (cm)

2,5

P (cm)

Vëren se ka dy madhësi të ndryshueshme (ose vetëm me: ndryshore): brinja e katrorit dhe perimetri i katrorit. Vëreje tabelën sa herë do të zmadhohet perimetri, nëse brinja zmadhohet dy herë paraqesin proporcion të njëjtë të vazhduar. (për shembull: prej 2 në 4 ose prej 2,5 dhe 5).

Një automobil lëviz drejtvizorisht dhe kalon 2 km për 1 min. Sa kilometra do të jetë rruga e kaluar nëse kohëzgjatja e lëvizjes sëhtë 2 min; 4 min; 5 min? Nëse zmadhohet kohëzgjatja e lëvizjes, çka ndodh me rrugën e kaluar?

Vëren se kjo detyrë ka dy ndryshore: kohëzgjatja e lëvizjes së automobilit (ta shënojmë me x) dhe gjatësia F eEdhe rrugës së kaluar (ta shënojmë me y).

x dhe y janë ndërmjet veti të varura, pasi ndryshimi i vlerës së njërës ndikon në vlerën e F Ndryshoret ndryshores tjetër. F Varësia e ndryshoreve x dhe y shihet më mirë nga kjo tabelë:

202

x (min)

y (km)

3,5

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

6,5

10 10,5 12

Vlerat e ndryshores x janë dhënë çfarëdo prej 1 deri 15.Vlerat përkatëse të y janë fituar duke njehsuar. Vërehet se çdo vlerë e y është dy herë më e madhe se vlera përkatëse për x.

Çka vëren te vlerat e ndryshores x, kurse çka te vlerat e y?

Mund të shkruajsh se y : x = 2 ose y = 2x. Si ka ndryshuar gjatësia e rrugës kur kohëzgjatja e lëvizjes së automibilit zmadhohet 2 herë ( prej 3 min. deri në 6 min.) ose 3 herë (prej 5 min. në 15 min.)?

Gjatësia e rrugës është zmadhuar aq herë sa është zmadhuar kohëzgjatja e lëvizjes: dy herë (prej 6 km. në 12 km.) ose tre herë (prej 10 km. në 30 km.).

Thuhet se: zmadhimit (përkatësisht zvogëlimit) të vlerës së njërës ndryshore i përgjigjet zmadhimi proporcional (përkatësisht zmadhimi proporcional) i vlerës së ndryshores tjetër. Varësia e atillë ndërmjet dy madhësive quhet proporcionalja e drejtë, kurse ndryshoret x dhe y thuhet se është madhësia e drejtë proporcionale.

Në përgjithësi Për madhësinë e ndryshueshme y thuhet se është proporcionale e madhësisë x nëse për çdo çift të vlerave përkatëse të y dhe x, herësi

\ [

\ është e barabartë me një numër të njëjtë k (k ¹ 0). [

N , d.m.th. y = k × x

Numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit, kurse barazimi y = kx funksion (ose formulë) i proporcionalitetit. Barazimi y = kx mund të shkruhet edhe në formën [ koeficient të proporcionalitetit

\ . Në këtë rast x është në proporcion me y, me N

. N

Çmimi i 1 kg mollë është 20 denarë. Sa para janë të nevojshme për 4,5 kg mollë Sa kilogramë mollë mund të blehen për 330 denarë? Ndiqe zgjidhjen dhe vëreje mënyrën:

F Shënoe me x masën e mollëve në kg, kurse me y shumën përkatëse denarë. Madhësitë proporcionale

203

, mund të shkruajsh y = 20x. Për 4,5 kg mollë janë të nevojshme y = 20 × 4,5 = 90; 90 denarë.

F Për shkak [

\ , për y = 330 denarë mund të blehen [ N

Pasi [

Që të lyhet 15 m2 e banesës janë të nevojshme 2,4 l ngjyrë. Sa ngjyrë është e nevojshme që të lyhen 70 m 2?

x = 16,5 kg mollë.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

F x - syprina (në m ), y - herësi ngjyra (në l). \ F [ është koeficienti i proporcionalitetit. F Për x = 70 m fitohet y = 0,16 × 70 = 11,2; d.m.th. e nevojshme është 11,2 l ngjyrë. 2

[ është dhënë proporcioni i drejtë ndërmjet madhësive x dhe y.

Me formulën \

Përshkruaje tabelën e dhënë dhe shkruaj në të vlerat përkatëse për y. x

-2

-1

-1 -0,5

3 2

Paraqiti çiftet (x, y): (-2, -1), (-1, -0,5), etj. (gjithësej 7) si pika në rrafshin koordinativ. Vizatimi yt duhet të jetë si vizatimi i dhënë.

1 -2

-1 0

Me ndihmën e vizorit bindu se pikat e fituara në vizatim shtrihen në drejtëzën e njëjtë.

-1

Si vlera për x merri numrat 0,5; -1; 2; 3; 4.

Njehsoi përkatësisht vlerat e y. Shkruaj çiftet e renditura të fituara të numrave racional dhe paraqiti në rrafshin koordinativ.

3 2

Bindu se ato janë kolineare me pikat paraprake.

1 -2 Edhe më shumë, çdonjëra nga pikat me abshisë x dhe ordinatë y = 0,5x, për x Î R shtrihet në drejtëzën e njëjtë nga vizatimi.

204

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

-1 -1,2

0 0,5 1 -1

3 3,4 4

Mbaj mend Grafiku i proporcionit së drejtë që është dhënë me formulën y = 0,5x është drejtëz.

Vizato grafikun e proporcionit të drejtë të dhënë me formulën y = 2x.

Duhet të dish: të sqarojsh kur dy madhësi themi se janë në proporcion të drejtë; ta njohish formulën për proporcionin e drejtë; ta vizatojsh grafikun e proporcionit të drejtë.

Kontrollohu! Është dhënë proporcioni i drejtë i dy madhësive x dhe y me formulën y = 4x. Formo tabelë. Pastaj vizato grafikun e proporcionit të drejtë për

½ [ ® ¾ . ¿ ¯

Detyra 1. Cilët prej këtyre madhësive janë në proporcion të drejtë?

4. Paraqite me grafik proporcionin e drejtë a) y : x = 1 : 2;

b) y = 3x.

a) Brinja e katrorit me perimetrin e katrorit. b) Rrezja e rrethit me syprinën e rrethit. c) Rruga e kaluar dhe shpejtësia gjatë lëvizjes drejtvizore ç) Numri i punëtorëve dhe koha e nevojshme për kryerjen e punës. d) Tehu i kubit dhe syprina e kubit.

2. Madhësitë x dhe y janë proporcionale me koeficientin e proporcionalitetit k = 3. a) Shkruaje formulën e proporcionit të drejtë. b) Cakto vlerat përkatëse për y nëse x Î {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Shkruaje formulën për perimetrin e: a) katrorit me brinjë a; b) vijës rrethore me rreze r; c) trekëndëshit barabrinjës me brinjë y.

Për çdo formulë cakto koeficientin e proporcionalitetit dhe sqaro a është kjo formula e proporcionit të drejtë.

5. Në vizatim është dhënë grafiku i drejtëzës së proporcionit të drejtë të madhësive x dhe y. y 2 1 -2

-1 0

-1

Formo tabelë, sipas vizatimit. Cakto koeficientin e proporcionalitetit. Shkruaje formulën e proporcionit të drejtë.

Madhësitë proporcionale

205

MADHËSITË PROPORCIONALE TË ZHDREJTA

Kujtohu! Le të jenë x dhe y madhësi proporcionale të drejta, të lidhura me formulën Për x = 4, Sa është y?

\ [

Nëse vlera e x zmadhohet 5 herë (për shembull: prej 4 në 20) si do të ndryshon vlera e y?

Drejtkëndëshi me brinjë a dhe b e ka syprinën 36 cm2, d.m.th. a × b = 36. Te tabela janë dhënë gjatësitë e brinjëve të disa drejtkëndëshave me syprinë 36 cm2. a (cm)

b (cm)

7,2

Si ndryshon gjatësia e brinjës b kur brinja a zmadhohet: a) 2 herë (për shembull: prej 1 në 2; prej 2 në 4); b) 3 herë (për shembull: prej 1 në 3; prej 2 në 6)?

Vëreva se sa herë zmadhohet brinja a, aq herë brinja b zvogëlohet.

Nëse 24 punëtorë me aftësi pune të barabartë një punë mund ta kryejnë për 16 ditë, për sa ditë punën e njëjtë do ta kryejnë: 2 herë më pak (d.m.th. 12) punëtorë; 4 herë më pak (d.m.th. 6) punëtorë; 2 herë më shumë (d.m.th. 48) punëtorë? Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:

F 2 herë më pak (d.m.th. 12) punëtorë do ta kryejnë punën për 2 herë më shumë (d.m.th. 32 )ditë; F 4 herë më pak (d.m.th. 6) punëtorë do ta kryejnë punën për 4 herë më shumë (d.m.th. 64) ditë; F 2 herë më shumë, (d.mth. 48) punëtorë do ta kryejnë punën për 2 herë më pak (d.m.th. 8) ditë. F Vëre se: 24 × 16 = 12 × 32 = 6 × 64 = 48 × 8 = 384. Në përgjithësi N [ (k - konstante), d.m.th. prodhimi i vlerave të ndryshores x dhe vlerës përkatëse të ndryshores y është konstant. Nëse numri i punëtorëve është x, kurse numri i ditëve është y, atëherë x × y = k ose \

Për dy madhësi të këtilla thuhet se janë në proporcion të zhdrejtë.

206

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Prej shembujve vëreve Me zmadhimin e vlerës së njërës ndryshore m herë, vlera përkatëse e ndryshores tjetër zvogëlohet m herë. Thuhet: zmadhimit të vlerës së njërës ndryshore i përgjigjet zvogëlimi proorcional i vlerës së ndryshores tjetër. Varësia e dy madhësive të atilla quhet proporcion i zhdrejtë.

Mbaj mend Për x dhe y thuhet se janë madhësi proporcionale të zhdrejta, me koeficient të proporcionit të zhdrejtë k (k > 0), nëse x × y = k.

N [

Barazimi \

quhet funksion (ose formula) e proporcionit të zhdrejtë.

Për çdo çift të vlerave përkatëse për x dhe y cakto prodhimin y × x dhe konstato se madhësitë x dhe y janë në proporcion të zhdrejtë. a)

4,8

Proporcioni i zhdrejtë ndërmjet madhësive x dhe y është dhënë me formulën \

Formo tabelë duke marrë x Î {-12, -8, -6, -4, -3, -2, -1

. [

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6, 8, 12}.

Çiftet e radhitura të fituara paraqiti si pika në rrafshin koordinativ. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë

-12

[

-1 -

-6

-4

-3

-2

-3

-4

-6

-8

-12 12

-1

Madhësitë proporcionale

207

Vëre

F Vlerave pozitive të x u përgjigjen vlera pozitive për y. F Vlerave "të mëdhaja të x u përgjigjen vlera "të vogla të y dhe anasjelltas. Shembull: për x = 12: y = 1; për x = 120: y = 0,1; kurse për x = 12 000: y = 0,001. për x = 2: y = 6; për x = 0,2: y = 60; kurse për x = 0,002: y = 6000.

F Vlerave negative të x u përgjigjen vlera negative për y. . [

Është dhënë funksioni i proporcionit të zhdrejtë \

Për x Î {-6, -4, -3, -2, -1

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6} formo tabelë të vlerave përkatëse.

Çiftet e fituara të renditura (x, y) nga tabela, paraqiti si pika te sistemi kënddrejtë koordinativ. Vizato grafikun e funksionit \

. [

Pika A(2 400; 0,0025) a i takon atij grafiku? Krahasoe grafikun tënd me grafikun e dhënë në vizatim.

Cili numër duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjes në tabelë, nëse dihet se x dhe y janë madhësi proporcionale të zhdrejta? a)

-3

-2

Shkruaje formulën e proporcionit të zhdrejtë te rastet a), b), c).

208

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Kontrollohu!

Duhet të dish: të sqarojsh kur dy madhësi janë në proporcion të zhdrejtë;

Prej tabelës veço dy çifte të vlerave për madhësitë proporcionale të zhdrejta X dhe Y dhe formo proporcion.

të shkruajsh formulë për proporcionin e zhdrejtë; të konstatojsh se proporcioni i zhdrejtë i dy madhësive sipas vlerave të dhëna (tabela dhe të ngjashme); të vizatohet grafiku i proporcionit të zhdrejtë të dy madhësive.

Vizato grafikun e funksionit të proporcionit të

, pasi që të formojsh tabelën, duke [ marrë për x Î {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}.

zhdrejtë \

Detyra 1. Konstato cilët prej këtyre madhësive janë në

proporcion të drejtë, kurse cilët në proporcion të zhdrejtë: a) prerja tërthore e gypit prej të cilit mbushet rezervuari dhe koha për të cilën mbushet; b) rruga e kaluar e automobilit dhe benzina e shpenzuar; c) masa e trupit dhe nxitimi që e fiton gjatë veprimit të forcës me fuqi konstante;

3. proporcioni i zhdrejtë është dhënë me formulën . [ a) Caktoi vlerat për madhësinë y përkatësisht vlerat për x Î {-5, -4, -2, 2, 4, 5, }. \

b) cakto vlerat për x përkatësisht për vlerat e y Î {-2, -1, -

ç) syprina e katrorit dhe gjatësisë së brinjës së

, , 1, 4}.

tij.

2. Madhësitë x dhe y janë në proporcion të zhdrejtë

me koeficientin e proporcionalitetit k = -4. Cakto vlerat për y nëse x Î {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

4. Paraqite grafikisht proporcionin e zhdrejtë: a) \

; b) \ [

; c) \ [

Madhësitë proporcionale

. [

209

RREGULLA E THJESHTË E TRESHIT

Kujtohu! Mironi është ngjitur për një kodre. Kur pjerrësia ka qenë më e madhe, Mironi është ngjitur më ngadal. Në vendet ku kodrat kanë qenë më të lehta, Mironi e ka shpejtuar ngjitjen. Si janë ndërmjet veti madhësitë: shpejtësia e ngjitjes së Mironit dhe pjerrësia e kodrës? Mironi ka udhëtuar me automobil. Për 2 orë ai ka arritur në vendin ku ka udhëtuar. Nëse me automobilin lëviste më shpejtë, ai do të arrinte për më pak se 2 orë.

Një automobil që lëviz drejtvizorisht, për 3 orë ka kaluar 216 km.Sa kilometra do të kalon i njëjti automobil për 7 orë?

Mimoza dhe Rezarta e kanë zgjidhur në mënyrë të pavarur, çdonjëra në mënyrën e vet. Mimoza Për një orë automobili ka kaluar 216 : 3 = 72, d.m.th. 72 km. Për 7 orë ai ka kaluar 7 × 72 = 504, d.m.th. 504 km. Rezarta

Si janë ndërmjet veti madhësitë: shpejtësia e automobilit të Mironit dhe kohëzgjatja e udhëtimit deri te vendi i caktuar?

Nëse x është rruga që duhet ta kalon me auttomobil, atëherë për 3 orë automobili do të kalon d.m.th. 216 =

Vëre

504 km.

e rrugës x,

× x, x = = 504, d.m.th.

Madhësitë rruga dhe koha te detyra janë në proporcion të drejtë. Nëse x është gjatësia e rrugës së kërkuar, atëherë raporti 3 orë : 7 orë është i barabartë me 216 km : x km, d.m.th. 3 : 7 = 216 : x, 3x = 7 × 216, x = 504, d.m.th. 504 km. Më e qartë shkruhet në këtë mënyrë: 3 orë

216 km

7 orë

x km

F Në rreshtin e parë shkruhen anëtarët e njohur 3 orë .... 216 km. rreshti i dytë shkruhet anëtari tjetër i njohur dhe i panjohuri, duke pasur llogari gjatë të shkruarit njëri F Te nën tjetrin numrat e emërtuar të jenë të llojit të njëjtë. Rreshti i të njohurave quhet qëndrimi kushtor, kurse rreshti që e përmban anëtarin e panjohur F qëndrimi pyetësor. F Vëndo shigjetë prej anëtarit të panjohur deri te ai.

210

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

shigjetë para dy anëtarëve të njohur (në shtyllën e dytë) me kahe të njëjtë me shigjetën para x F Vëndo nëse madhësitë janë në proporcion të drejtë, kurse me kahe të kundërtë nëse ato janë në proporcion të zhdrejtë.

proporcion prej dy çifteve ashtu që te çdonjëri prej raporteve anëtari i parë të jetë ai që është në F Formo fillim, kurse i dyti ai që është në fund prej shigjetës: x : 216 = 7 : 3. e anëtarit të panjohur të proporcionit është zgjidhje e detyrës; 3x = 216 × 7, F Vlera x = 504 km.

Mbaj mend Parashtrimi i proporcionit sipas skemës së treguar quhet rregulla e treshit të thjeshtë.

Për 6 ditë rrobaqepësi mund të qep 2 kostume. a) Sa kostume do të mund të qep rrobaqepësi për 24 ditë? b) Për sa ditë ai rrobaqepës do të qep 9 kostume?

Ndonjë dorëshkrim prej 126 faqe ka nga 45 rreshta në çdo faqe. Sa faqe do të ketë dorëshkrimi nëse në çdo faqe ka nga 35 rreshta? Qe si e kanë zgjidhur Jetoni dhe Bashkimi..

Jetoni

Bashkimi

Nëse çdo faqe ka nga 35 rreshta, dorëshkrimi do të ketë 126 faqe dhe (126 × 10) rreshta = 1 260 rreshta; 1260 : 35 = 36 faqe. Gjithësej do të ketë 126 + 36 = 162, d.m.th. 162 faqe.

Numri i rreshtave dhe numri i faqeve janë në proprcion të zhdrejtë. Nëse x është numri i faqeve të dorëshkrimit me nga 35 rreshta të çdo faqe, atëherë 45 : 35 = x :126; 35x = 45 × 126; x = 162, d.m.th. 162 faqe.

Më e qartë 126 faqe x faqe

E qëndrimi kushtor 35 rreshta E qëndrimi pyetësor

45 rreshta

x : 126 = 45 : 35; x = 162 faqe.

Te qëndrimi pyetësor (rreshti i dytë) parashtrohet pyetja: Nëse numri i rreshtave te një faqe duhet të zvogëlohet (prej 45 në 35), çka do të ndodh me numrin e faqeve të atij dorëshkrimi? Përgjigje: Numri i faqeve do të zmadhohet. Domethënë, madhësitë: numri i rreshtave te një faqe dhe numri i faqeve (për dorëshkrimin e njëjtë) janë në proporcion të zhdrejtë.

Madhësitë proporcionale

211

Firma "Ushqimi i shëndosh i ka lëvruar sipërfaqet me 6 traktor, për të cilat ka lëndë djegëse për 15 ditë. Pas 5 ditë janë përfshirë edhe 4 traktor të atillë. Për sa ditë rezervat e lëndëve djegëse do të shpenzohen nëse traktorët kanë të njëjtin shpenzim?

Ndihmë Sa ditë kanë lëvruar 6 traktorë, kurse sa 10 traktorë? Shqyrto dy situata për 10 ditët tjera: 1) kur do të lëvronjin 6 traktorë do të ketë për 10 ditë; 2) kur do të lëvrojnë (6 + 4) traktorë për sa ditë do të ketë lëndë djegëse?

Kontrollohu!

Duhet të dish: t'i shkruajsh anëtarët e proporcionit në dy rreshta, ashtu që në njërin prej tyre të përfshihet anëtari që kërkohet; me qëndrimin pyetësor të caktojsh si është proporcioni - i drejtë ose i zhdrejtë; të parashtrojsh proporcion dhe ta caktojsh anëtarin e panjohur te ai.

Detyra 1.

Nëse 17 kg mish kushton 3 060 denarë, atëherë sa denarë kushton 71 kg prej mishit të njëjtë?

2. Një punë 24 punëtorë mund ta kryejnë

për 8 ditë. Për sa ditë, me kushte të njëjta, punën mund ta kryejnë 16 punëtorë?

3. Një automobil shpenzon 22,5 l që të kalon

250 km rrugë. Sa kilometra do të kalon automobili me 90 l?

212

Tema 5. Funksioni. Proporcioni

Nëse 12 kg kafe kushton 2 160 denarë, atëherë sa denarë kushton 23 kg kafe? Formoe skemën! Vendos shigjeta. Njehso anëtarin e panjohur te proporcioni.

4. Një automobil lëviz me 60 km/h dhe për 6 orë e ka kaluar

largësinë prej vendit A deri te vendi B. Për sa orë automobili do ta kalon largësinë prej A deri te B nëse lëviz me shpejtësi prej 80 km/h?

5. Tre murator 14 ditë mund të bëjnë 150 m3 mur. Për sa

ditë 7 muratorë me kushte të njëjta mund të bëjnë 375 m 3 mur? Udhëzim: zbatoe dy herë rregullën etreshit të thjeshtë.

orë nxjerrë 360 hl ujë në lartësi prej 25 m. Sa hektolitra ujë pompa do të nxjerrë për 8 orë në lartësi prej 10 m?

6. Një pompë për

MËSOVE PËR FUNKSIONIN DHE PROPORCIONIN. KOLNTROLLO NJOHURINË TËNDE 1.

Me graf duhet të paraqitet katrori i dekartit të bashkësisë A = {a, b, c}. Sa shigjeta mungojnë? Cilat janë ato?

Numëroi mënyrat me të cilat është dhënë pasqyrimi. Cakto anëtarin e panjohur te barazimi: a) x : 0,5 = 2,5; b) 3 × x = 4 .

Cilat dy shigjeta duhet të fshihen që të fitohet pasqyrimi prej A në B?

Vizato DABC, A (3,1), B(-1,2), C(-2,-3) në rrafshin koordinativ.

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b, c, d, e, f }, B = {1, 2, 3, 4, 5}.

10. Formo proporcion anëtarët e të cilit do të jenë

Paraqite prodhimin e dekartit A x B me skemën koordinative.

11. Njehso anëtarin e panjohur x te proporcioni

Te skema koordinative janë treguar relacioni R, e ndrshueshme nga A x B.

12. Madhësitë x dhe y, që

Te bashkësia T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} është dhënë relacioni R = {(1, 1), (1, 2),(3, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (6, 6)}. Paraqite relacionin R në skemën koordinative.

Me graf është dhënë relacioni R në bashkësinë A = {1, 2, 3}. Shënoe grafikun e tij.

AxB R1

1 2 3 4 A

B 5 4 3 2 1

3 : 8 = x : 60.

janë dhënë me tabelë janë në proporcion të drejtë.

7 14 21 ?

Cakto koeficientin e proporcionalitetit. Çka duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjes në tabelë?

13. Madhësitë x dhe y janë në proporcion të

zhdrejtë me koeficientin e proporcionalitetit k = 20. Çka duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjeve në tabelë?

Cili prej relacioneve R1 ose R2 është pasqyrim (funksion) prej A në B? B 5 4 3 2 1

shumëzuesët te barazimi 7 × 24 = 6 × 28.

AxB R2

x y

4 800 120

14. Për 5 ditë 12 nxënës kanë mbjellur 940 bredha. a) Për sa ditë të njëjtën punë do ta kryejnë 30 nxënës?

1 2 3 4 5 6 A

b) Sa nxënës të njëjtën punë do ta kryejnë për një ditë? Kontrollo njohurinë tënde

213

PËRGJIGJE DHE ZGJIDHJE detyrave

të

VEKTORËT, TRANSLACIONI DHE RROTACIONI

TEMA 1. 1.

a) gjysmëdrejtëz, b) pika, segmenti ose Æ.

a) gjysmëdrejtëza, b) drejtëza ose "drejtëza e ndërprerë".

a) AB dhe DC; AO dhe OC; b) AB dhe BA; DC dhe BA. c)

Po; po.

b C

1. a) -a c)

a c b

(a +

b) -

b a+b

a -a

a+b

a b

c a+c

b+c

214

0-a

b a +

-b + 0

c) M

0 2. b) dhe ç). 3. a) AC; b) DB; c) -d; ç) 0; 4.

ç)

-b b

M ç)

a-0 a

a-b

b) -

b) M

(a +

b 2.

ç)

Me kahe të njëjtë janë vektorët nën b), ç), d). Me kahe të kundërtë janë vektorët nën a), c). Kahet e vektorëve nën e) nuk krahasohen. a

b-c

AB, CD, EF.

OA ¯ O2A. 1.

1. a)

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

a) AC = a + b ;

b) BD = b - a . B1

a A

2. A

t(A) a

A1 C 3.

t(A) M1

A M

7 b)

1. a)

2. a

O1 k

4. a

b A

O C1

Udhëzim.Krye translacionin t në drejtëzën p për vektor BA. le të jetë p1 = t(p), atëherë p Ç p1 = {M}. Pasqyra e pikës M gjatë translacionit për vektor AB është pika N. Udhëzim. Konstrukto vijë rrethore k1 e cila i prek drejtëzat p dhe q.

O k 1 q

b) A M 10.

vektor M2M.

b A1

9. A

-b

a-b

a A1

B1 k2

A a

B k1

vizatimit). a || p . t(k) = k2; k1 Ç k2 = {A, B}. Drejtëza AB është drejtëza e kërkuar q. 12. Udhëzim. Vijat rrethore k1 le të kenë rreze r1 dhe qendër O1, k2 rreze r2 dhe qendër O2. Le të jetë k1 Ç k2 = {A, B}. Translacioni i k1për vektor 2O1A është vija rrthore k3. k2 Ç k3 = {A, M}. Me pikat A dhe M është përcaktuar drejtëza p. Drejtëza AB është zgjidhje e dytë.

FUQITË. RRËNJA KATRORE

1. Baza: 6; 3; 4,26; 3p; (-x + 4); -p8; Eksponenti: 3, 6, 7, m, p, 4, 3 dhe 20.

b) a

a) -a

11.

Shikoe faqen 9.

TEMA 2.

Udhëzim: Kryej translacionin e k për vektor a (sipas

(një zgjidhje). Zgjidhja e dytë: Kryej translacionin e k1 për

Shikoe faqen 5.

a+ A

k O

n Ç k1 = {M1, M2}. Krye translacionin e k1 për vektor M1M

-a

Nëpër pikën M tërhiq drejtëz n paralele me p.

Testi:

p M

b a

O1 A1

5. a)

O k

[ dhe 0. 2. (-2,5)2;

19 × 1023;

;

]HUR

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

215

4 350 000;

690;

0,015;

2 678 300;

c) 3 × 1,73 + 1,41 = 6,60; ç) 2,65 - 1,73 + 1,41 = 2,33;

0,00392. 3. 3; 12; 68; 3.

450;

4. (6 : 3 + 3) × 32 = 45; 6 : (3 + 3) × 32 = 9; (6 : 3) + (3 × 32) = 29.

2 dhe p. 3.

1; 1. 4. 4;

x10; (-b)16. 2.

x20; y102; 6115;

35;

; 1 679.

a; ; ; [ 6. 1024.

172; 1,13; 5. 4; 4.

[ \ ; D

1. a6b2; x28y21; a2y6b10; 79a54b36.

1. a) numrat ndërmjet 2 dhe 3;b) Numrat ndërmjet 3 dhe 4.

është e saktë 4. Barazime të sakta nën 5. 20 cm.

1. Numra iracional janë: -3

0 0,5

dhe

1. a) 5; b) -1

[ [ ; . [

5. për x = 5. 6. A(1) = B(1) = -2; A(2) = B(2) = 0; A(3) = B(3) = 6; A(4) = B(4) = 16.

216

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

a) a10; b) x9.

§ · ¸ . © ¹

10. a) a3b3;

9. a) 512; b) 0,26; c) ¨ b) 16x12y4; c)

[ ; ç) . 11. x4. D \

12. a) -12;

b) 1. 13. a) x = 4 dhe x = -4; b) x = 9 dhe x = -9. 14. a) a = 49; b) 5,4.

15. a)

; 0,5; d) të gjithë numrat e dhënë.

; 12; c) -3; -

; 12;

; 3,2(7); 12; ç)

;

POLINOMËT 7.

2 3 4x - 4 -4 0 12 32

Barazimi 4x2 - 4 = = 4(x2 - 1) është identitet.

4(x2 - 1) -4 0 12 32

8. Identitet është

2. Nuk kanë vlerë numerike shprehjet nën b) dhe nën c).

4. 15.

6. a) 0; b) 2.

; c) 6 ; ç) 1 .

3. Shprehje me ndryshore janë: a + 2;

4. a) 25 × 10 3 ; b) 705 × 10 4 .

7. a) x10; b) (a + 1)4.

b) -3;

TEMA 3.

3. a) 625; b) -125;

5. a) 25 × 0,15; b) 2103 × 0,13;

3. 18 cm.

10 dhe 11.

5 - baza; 3 - eksponenti.

a) 36; (a - 1)3; b) x x x x x x x; (-2)(-2)(-2);

c) -5; ç) 1.

2. a) x = 12 ose x = -12;

4 dhe 5;

(x - y)(x - y)(x - y)(x - y)(x - y).

7 dhe 8;

E saktë është nën b) dhe ç).

1. a) 4,5; b) 72; c) 1.

Elementete e N janë numrat: 1 dhe 2;

Elementet e Z janë numrat: -2, 0, 1 dhe 2; Elementet e Q janë numrat: - , -2, - , 0, 1 dhe 2; Elementet e R janë të gjithë numrat e dhënë.

Testi:

b) x = 6 ose x = -6; c) x = 6 ose x = -6.

§ D · § · § [ · 4. a) (a2)9; ¨E¸ ; ¨ ¸ ; ¨ \ ¸ . S © ¹ © ¹ © ¹ b) (a6)3; c) (a9)2. 5. a) 6. a) (ab)2; ; b) 64. b) (3x)6; c) (x2yz3)4; ç) (2x3y2)3.

D F E

3. a) 4 + 3 = 7; b) 6 + 1,73 = 7,73;

barazimi A(x) = B(x).

dhe

- 6a5b4c;

3 4 x y . 2. Koeficientët: -4

; vlerat kryesore: x2y3 dhe a2b3c.

3. - 0,5a2b3.

4. Monome të ngjashëm janë:-3a2b2c dhe 5a2b2c;2xy2z3dhe 23 2 3 xy z .5. Monome të kundërtë janë: a b c dhe 2 3 2 3 a b c 6. - a b c. 7. 3a2 bc 3është i shkallës gjashtë , - 2x2y është i shkallës së tretë, - 5a është i shkallës . së parë dhe 4x3yz është i shkallës së pestë.

8. - 3a 3 bdhe -3a 2 b 3 .

1. a) 2a2b; b)- 2x2y5. 3

5x2y3 - 8x3y2;

2x y + 3x y - 2x y.

5, - 2a, b dhe - 3.

2 3

- 5a3b4 + 3a2b5 - 8a2b2.

2x3y3 - 3x5y4;

3 4

5. - 4a b .

6a3b3;

2. a) a4 - b4; b) x4 - y4.

3. a)1,2a5 - 2,5a4 - 1,48a3 + +

3 x - 1 x2 + x. 4. 24x4 - 46x3 + 69x2 - 56x + 15. 5. 20.

3,5a2 - 0,28a; b) 3x4 + 1

- 4a2b + 2ab2 - 3ab;

-a3b4c6. 2.

1. a) x2 - 9; b) 4a2 - 9.

b) 36 a2b6 - 25a6b2.

-10a5b5c2; -8,4x6y6.

2. a) 9x4y2 - 4x2y4;

3. a) 3599; b) 9984.

4. a)8091;

b)39996. 5. a) 3x - 5y ; b) 3a b - 3a b . 2

x y + 7xy . 3

x2y3 - 3xy2 + 2xy. 6. 23. 7. 9x5y2 - 2x3y2 + 2x2y4 shkalla e shtatë , kurse - 4a8b + 2a7b - 3a6b shkalla e nëntë . 8. 3x2y4 - 2x3y2 + 5x2y - 7.

1. a) 2a2 - ab - 6b2; b)2x3 + x2y - 16xy2 + 15y3.

(x - 3); b) (2x + 3y)(2x -3y).

5x3 + 4x3 - 3x.

2 3

5. a) 3a4b3

6. a) 5616; b) 4221. 2. a) 4a2b - 6a2b2;

b) 2x + 3x . 3. 8ay . 4. 2x y. 2

4. a)15x5 - 10x4 - 10x3; b) 5x5 - 20x4 + 20x3. - 3a3b4; b) 11x4 - 5x3 + 13x2. 6. 12.

4 2

2 4

6. a) (x + 3) 7. a) 0,04a2b2 - c2;

[ [ \ . 8. a) z4 - 81; b) (x + y )2 - 1.

1. a) x2 + 8x + 16; b) 4x2 + 28xy + 49y2. 2. a) 412 = (40 + 1)2 = 1681;

c) 9x4 + 30x2y2 + 25y4.

b) 722 = (70 + 2)2 = 5184; c) 1052 = (100 + 5)2 = 11025. 3. a)2a2 + 14a + 25; b) 12x2 + 14xy + 4y2. 4. a)(a + x)2; b) (2x + 3y)2.

5. a) x = 3; b) x = 1.

3. (- 3a2b3) × (2a3b2) = - 6a5b5; (2a3b2) × (- 3a2b3) = - 6a5b5.

6. a) a2 - 6a + 9; b) 9x2 - 12xy + 4y2; c) 16a4- 8a2b2 + b4.

4. ((- 2a2bc) × (3ab2c)) × (- 4abc2) = (- 6a3b3c2) × (-4abc2) = 24a4b4c4; (- 2a2bc) × ((3ab2c) × (- 4abc2)) = (- 2a2bc) × 4 2 6 ×(-12a2b3c3) = 24a4b4c4. 5. a) 4x4y6; b) abc. 6. 9y4; 6,25a4b6; 27x6y9. a8b4c12. 9 14 12a5b4 ; - 24x y . 8. x12y6 ; 64a18b12 . 7.

7. a) 382 = (40 - 2)2 = 1444; b) 3481;c) 9216.

1. a) 4a2b - 5ab2; b) 7x3 + 3x2 - 2x + 2.

2. a) 9x4 - 3x3 + 2x2 + 3; b) - 7a3b + 2ab3.

3. - 4.

4. 8x y - 2x y . 5. (3x - 2x + 5) + (- x - 2x + 1)+ 3 2 3 3 + (-2x2 + 4x - 2) = 4. 6. a) 3x + 3x - x; b)4,3a - 2,4b . 7. a) 2x2 - 4xy + 4y 2; b) - 2x2 - 4xy + 5y 2. 8. - 37. 2 3

3 2

9. 2x2 - 6xy. 10.

2a2 - 8a - 1;

6a2 - 10a + 11.

1. a) 8x y - 12xy ; b)-10a b + 6a b - 2a b . 3

5 3

4 4

3 5

2. a) 20a2 + 8a - 12; b) 7x3 - 2x2y2 + 6y3. 3. a) a3b2 - 2a2b3 -

4 ab ; b) 2x4y - x3y2 + 3x2y3 - 4xy4.

8. a) 10x2 - 10xy + 5y2; b) 25a2 - 24ab + 12b2. 9. a)(x - 2)2; b) (3x - 2y)2.

10. a)10x2 - 6x - 24;

b) 8a2 + 18b2.

2. a) 1,2x3 ; b) - a2. 1. a) 4x2y; b) -3ab3. 3 3 x y . 4. 36. 5. a) 2x2 - 3xy - 4y2; b) 3. a) -a2b2; b) 6. a) -x2 + 3xy + 4y2; b) 1 - 3a2b2. 3ax2 - 2a2x - a3.

7. a) b2 - 7a2b3;

b) 3x4 - 2x3y - 3y2.

8. a) x = 2;

b) x = 2.

1. a) a + 1; b) a - 1.

2x2 - x + 3; c) a2 + 3ab - b2. b) e saktë.

Udhëzim (x

2. a) 2a - 3b; b) 3. a) e saktë;

x 2 + xy + y 2 . - y ):(x - y) = A. 3

1. Shprehje racionale janë: 5x - 2; [ \ .

[ dhe [

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

217

2. Shprehje të plota racionale janë : 2x2 - 3y2; dhe [ \ ; kurse shprehje thyesore racionale janë: [ [ , + 4. 3. 3. 4. 10. 5. Për y = -2. [ [

6. R \ {2, -5}.

1. a) 5(a + x); b) 2a(x + 2y); c) xy(a - b).

2. a) 3xy(4x - 3y + x2y2); b) 7x2y2(x - 2y + 3xy); c) 3a2b2(2a - 3b + 1).

3. a) (x - 3)(2a - 3b);

1. a) (a + 3)2; b) (2x + 5y)2.

1002 = 10 000; b) (27 + 33)2 = 602 = 3 600. 3. a) 2(x + 3)2; b) 2x(y + 4)2. 4. a) A = y2; b) A = 2y2. 5. a) (5x - 1)2; b) (2a - 7b)2.

4. Shuma: -7x2y; ndryshimi: 3x2y.

4. a) (3y - 4)(2a + 5b); b) (x - 1)(3x2 - y2);

5. x2 - 2xy + y2.

c) (4a2b + 5)(4a2b - 5). 2. a) 5(a + 2x)(a - 2x); b) 7x2(a - 3b)(a + 3b); c) 5x(x + 1)(x - 1). 3. a) (x - 5 + y - 3)(x - 5 - y + 3) = (x + y - 8)(x - y - 2); b) (4a + 3b + a - 2b)(4a + 3b - a + 2b) = (5a + b)(3a + 5b); c) (x2 + 6 + 7)(x2 + 6 - 7) = (x2 + 13)(x - 1)(x + 1). 4. a)(64 + 36)(64 - 36) = 100 × 28 = 2 800; b) (75 + 25)(75 - 25) = 100 × 50 = 5 000; c) 450 000.

TEMA 4.

1. 120o. 2. 60o. 3. 148o 50'. 4. nga112o 30'.

1. b). 2. 44o dhe 88o. 3 . RA = 65o;RB = 55o;

RC = 60o. 5. a) tre herë ; b) për 7o dhe 30'.

6. a) 30o;

b) 22o30'; c) 15o; ç) 10o.

1. Udhëzim. Vizatoni vijë rrethore me diametër AB; pikëprerja e saj me p është pika e kërkuar M; detyra ka 2, 1 ose asnjë zgjidhje. 2. Konstrukto vijë rrethore me diametër MN. 4. RA = R B = 50o, R P = 80o. 5. 36o, 54o, 90o. 6. RA1BA = RB1BA = 90o; Pse 2. Kënde të kundërtë

RA1 = RB1 = 90o. 3. a) Po; b) jo; c) po.

218

-9x5y2 + 6x4y3 - 3x3y4 + 3x2y5.

a) 2a2b; b) 8xy3z.

11. x3 - x - 3.

6 9 3 xyz.

x3 - 2x - 1.

10. 2x2 - xy +

12. a) 3a(ab + 2c);

2 y.

b) x y(2xy + 4y -1).

13. a) (a - 3x)(2a2 + x2);

b) (3x - 5) (a + b).

14. (6a + 5a - 3)(6a - 5a + 3) =

= (11a - 3)(a + 3).

15. (x2 - 3y)2.

b) jo.

5. 18o, 54o, 72o, 90o dhe 126o.

1. a) Po; b) jo; c) po.

6. a) -6x3y4; b)

VIJA RRETHORE DHE SHUMËKËNDËSHI. SYPRINA

7. a) 2(5x - y2)2;

Testi: 1. Konstante: 3; ; -0,5; ndryshore:x,a,b,y. 2. 2a4b2 . 3. Shkalla zero, e parë, e dytë, e pestë.

1. a) (x - b)(x + b); b) (2a - 7y)(2a + 7y);

6. a) (56 - 16)2=402=

1 600; b) (47 - 27)2 = 202 = 400. b) 2a(x - 4)2. 8. a) A = y2; b) A = 1.

b) (5 - x)(5x - 3y); c) (2a - 3b)(3x - 1). c) (3x - 2y)(a2 + 1).

2. a) (48 + 52)2 =

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

1. &' = 10 cm. 2. Katrori

3. a) Po;

4. &' = 6,5 cm; $' = 7,5 cm.

1. a) Nëntëkëndësh; b) shatëkëndësh; c) dhjetëkëndësh. 2. a) asnjë; b) çdonjëri. 3. a) 144o dhe 36o; b) 162o dhe 18o. 4. a)Dhjetëkëndësh; b) pesëmbëdhjetëkëndësh; c) gjashtëkëndësh. 5. a) Dhjetë;b)pesëmbëdhjetë. 6. 3,75 dm. 7. 11,1 dm.

8. Njëmbëdhjetëkëndëshi 9. a) n = 4;

b) n = 3; c) n = 8.

1. a) 150o, 30o, 30o; b) 156o, 24o, 24o; c) 162o, 18o, 18o. 2. a) n = 9; b) jo; c) n = 4; ç) jo; d) n = 3.

3. a) tetëkëndësh; b) dymbëdhjetëkëndëshi; c) dhjetëkëndëshi.

» 27,08 cm2. 2. 168 cm. 3. 972 cm2. 4. a) 28,09 cm2;

gëlohet 4 herë; c) nuk ndryshonn; ç)do të zmadhohet 3 herë. 6. a) Do të zmadhohet 4 herë; b) do të zvogëlohet 9 herë; c) dhe ç) do të zmadhohet 2,25 herë. d) do të zvogëlohet 4 herë;e) do të zvogëlohet 6,25 herë.

2. a) 65; b) 35; 1. a) Po; b) jo; c) po; ç) jo. 3. a) 3 cm; b) 6 dm. c) » 39,8; ç) 2,1; d) 0,16. 4. a) 2,4 m; b) 0,4 dm. 5. 54. 6. 32. 1. a) 1 dm; b) 340 cm.

2. a) 34 m; b) 19,4 dm.

3. » 52,6 dm. 4. 20 cm. 5. a) R = 5 cm; 6. a) h = , r = 5 cm; b) R = 5 cm; r = cm.

;R= ; b) h = 50 , r = ;R= ; 7. 36 cm. 8. a) po; c) h = , r = ; R = 1. b) jo; c) jo; ç) po. 9. c2 = a2 + b2; c = 5 cm.

1. 35. 2. 128. 3. a) 32,6; b) » 30,95.

4. 4,2 dm. 5. 37 cm. 6. 80 cm. 7. 24 cm. 8. 2,4 m.

1. Të gjitha figurat e fituara përbëhen prej nga dy 2. Trekëndësh trekëndësha përkatës të puthitshëm. drejtkëndësh, romboid.

b) 20,48 dm2. 5. a) Do të zmadhohet 12 herë; b) do të zvo-

7. S=ab, S'=(a + 1)(b - 1)=ab + b - a -1; 1) Nëse b > a + 1, atëherë syprina do të zmadhohet për b - a - 1; 2) nëse b = a + 1, syprina nuk do të ndryshon; 3) nëse b < a + 1, syprina do të zvogëlohet për a + 1 - b. 8. 21%. 10. 25 cm.

2 cm

1 cm

4. Po, patjetër. Nëse a dhe b janë brinjët e atyre trekëndëshave, atëherë 3a = 3b, prej ku a = b, pra, trekëndëshat janë të puthitshëm. 5. Nuk është e thënë; për shembull:

4 cm 3 cm 6. a) Po; b) jo; c) jo; ç) po; d) po. 8. Syprina e KLMN është e syprinës së katrorit ABCD. 9. 16Nj < S < 36Nj; S » ; S » 26Nj.

1. a) 864 cm2; b) 35,1 dm2; c) 27 cm2;

11. a) 16 cm2; b) 16 cm.

12. a ) T r e

drejtkëndësha me brinjë: 5 cm dhe 1 cm (S = 5 cm2); 4 cm dhe 2 cm (SP = 8 cm2); 3 cm dhe 3 cm (S = 9 cm2); b) Katrori (brinja 3 cm; S = 9 cm2). 13. Dhoma nuk është mjaftë e ndriçuar. Përkatësisht: S. S = 22,68 m2, kurse S1 = 3,84 m2 < 4,556 m2 =

1. 216,72 cm2. 2. 270 cm2. 3. 325 cm2;

2,6 cm. 4. 72 cm2. 5. 24 cm2. 6. 35,28 dm2. 7. » 320 mm2. 8. P o ; 10. a) 1'

3. Jo; shihe, për shembull, detyrën 1.

9. 1,5 herë.

3 1 2

9. 84 cm. b)

G . 1. a) 28 cm2; b) 360 cm2; c) 124,2.

× 11. 168 cm2.

2. a) do të zmadhohet 1,5 herë; b) do të zvogëlohet 10 herë. 3. 5%. 4. a) 67,5; b) 200. 5. 360 cm2. 6. 16 cm2. 7. a) 24 cm2; b) 84 dm2;

F 8. . 9. 675 cm2. c) 12 cm2 » 37,9 cm2. Ndihmë: S = 15a dhe S = 18b, ku a është baza dhe b është

§ · §D· §D· a; b2 = ¨ ¸ + 900; ¨ D ¸ = = ¨ ¸ + © ¹ © ¹ © ¹ D 2 D - =900; 900; a = 900, a = 45 cm. 1. 7 cm. 2. 19 cm. 3. 15 cm. 4. 34 cm2.

krahu, pra b =

5. 36 cm2. 6. a) 144 cm2; b) 552 cm2. 8. (192 +

7. 30 cm2.

48) cm2 » 319 cm2. 9. 50

cm 2 .

Ndihmë: Te trekëndëshi kënddrejtë me kënd prej 30o, kateta përballë atij këndi është gjysma e hipotenuzës.

Përgjigje dhe zgjidhjet e detyrave

219

10. a) 1,5p cm; b) 12p cm; c) 2,56p cm » 8,04 cm.

1. a) 27,72 cm2; b) 36 cm2; c) 27,4 cm2; 2. 6 cm. 3. 7k dm. 4. a) 9 cm2 »

ç) 1 328 cm2.

» 15,57 cm ( » 1,73); b) 27 cm » 46,71 cm . Ndihmë: 2

Shqyrtoe vizatimin. Apotema është 2' = 3 cm, kurse lartësia e DABC është &' = 3 2' = 9 cm, pra prej DADC: C

Kështu, S =

Ph = × 3 × 6 × 3.

c) 16 cm 2 .

a A

O B

6. 2k.

8. Ndihmë. Nëse a është brinja e gjashtëkëndëshit, kurse b është brinja e trekëndëshit, atëherë prej 3b = 6a fitohet b = 2a. Syprina S3 e trekëndëshit është S3 = = D

1. a) 64p cm2; b) 20,25p cm2 » 63,59 cm2;

b) » 5,3 cm. 7. a) 4,5p cm2; b) 5,12p cm2;

7. S = 36 cm ; a = 24 cm, a » 4,9 cm. 2

13. 628 m/min. 14. 2,6 cm. 15. 12 cm. 16. 5 cm.

5. P= 15p cm, S = 56,25p » 176,6 cm2. 6. a) 10 cm;

5. a) 216 cm ; b) 54 cm ; c) 24 cm2; ç) 96 cm2.

12. a) 12 cm; b) 12,9 cm.

c) 9p cm2. 2. 8 cm. 3. 100 herë. 4. 32p cm2.

11. a) 72o; b) 120o.

E D =

, kurse syprina S6 e gjashtëkëndëshit është

c) »10,24p cm2;ç) 39 cm2. 8. 90o. 9. 6» 7,33 cm, 10. 30%. 11. a) 4p cm2; b) p cm2;

S»22 cm2.

c) 9p cm2. 12. Syprinat e figurave nga vizatimi le të shënohen në këtë mënyrë: ST - të DABC; SM - të hënës së ngjyrosur; SO - të hënës jo të ngjyrosur; SI - të sektorit rrethor CAB; SP - të gjysmërrethit mbi diametrin AB.

Atëherë: ST =

D S6 = 6 × = × D = P3. Domethënë: S3 = S6.

D S D + = ST.

1. 230 km2. 2. 289,8 kg. 3. 612. 4. 65,25 t.

5. 30 m dhe 25 m. 6. Meset e brinjëve të katrorit me

diagonale 5 cm zgjedhi për kulme. 7. Dvapati. 8. 84. 9. 2291 m2.

1. a) 6p cm » 18,84 cm; b) p dm; c) 9p cm. r cm

P cm 6p

3,14

6,28p 10p 25,12

13.

Testi: 1.

0,5 p

5. a) 11p cm » 34,54 cm; b) 11 p cm » 48,7 cm.

60o dhe 120o.

2. Vijon nga teorema e Talesit.

2. a) 5 cm; b) 3 cm; c) 4 cm. 4.

3. R C = 7 2 o , R D = 8 2 o .

N H

&' = 10 cm.

a) 8; b) 12; c) 9.

3,6 dm. 9.

10. 18 cm2. 11. 6 cm.

28.

b = 24 dm; b > a.

6. a) 10 dm. 7. 40 003,6 km (p » 3,14).

12. 216 cm2. 13. 42 cm. 14. 10,98 cm.

8. P= 32 cm; S = 64 cm2.

15. 1 000 herë 16. 120 cm2.

220

9. 18p cm » 56,52 cm.

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

FUNKSIONI. PROPORCIONI

TEMA 5.

1 3.

5 m

C1 A x B

( D , d)

4. a) dhe b)

A = {a, b, c}, B = {1}.

A2 -4 -3 -2 -1

¡ d

A = {1, 3, 4, m, n, a, 5}, B = {p, 2}.

1. (-

y , 2)

-3

-2

-1 (-1, - ) (-3,-1)

-1

-1 -2 -3 B2 -4

A1 -4 -3 -2 -1 0

x 0

(1, -1)

(0, -2) -2

M3(-2, 1) -2 -1

M2(-2, -1)

y 1

-4 -3 -2 -1 B

4 3 2 B 11 -1 -2 -3 -4

P B2 1 2 3 4

$ % , $ & , % & Për gjatësitë e brinjëve të DA2B2C2 kemi:

$ %

Për gjatësitë e brinjëve të DA1B1C1 kemi:

M1(2, 1) x

0 1 -1

1 2 3 4

(-2,4; 0) -4

5. A(-5, 3), B(-4, 0), C(-2, -4), D(5, -1), E(0, 2), F(6, 3).

(-4,1)

5 4 3 2 1

(3, 2)

4 3 2 x 1 0 1 -1

, % &

. y

, $ &

x 1

-1

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

221

1. a) A 12 16 22 28 32

B b) A

17 21 27 33 37

12 16 22 28 32

17 21 27 33 37

3. Gf = {(-5; -2,5), (-2, -1), (-1; -0,5), (0, 0), (2, 1)}. 4. a) A = {-4, -3, -1, 1, 3, 4, 5}, V = {0, 1, 2, 3, 4}.

3. a) S

b) 5 = {(1, 2), (2, 4), (4, 8), (3, 6), (6, 12)}.

4. B

5. a) 5 = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}.

d) po; e) për x = 1 dhe x = 3.

Për 54 vjet. 7 herë 2. a) Po. b) Jo. : 3,4. 3. a) 24 : 96. b) 3 4. b) dhe c). Për c), 5 km : 5 cm = 500 000 cm : 5 cm. 5. a) 81. b) 1, 58. 6. a) 1 : 1,25. c) 2. ç) 10. d) 0,1. e) 1 000. f) 0,01. 7. a) ; b) b) 1: 7, 5. c) 1 : . ; c) 0,001; ç) 9,45. 8. a) 4 : 9; b) 8 : 27.

MxM

1. a) Domeni është A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}, bashkësia e

vlerave V = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b) A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}, V = {-1, 0, 1}. c) A = {0, 1, 2, 3}, V = {0, 5, 10, 15}. 2. f(1) = 3; f(3) = 7. Për x = 0.

2. R = {(a, c), (c, b), (d, e)}.

1. a) Anëtarët e jashtëm 0,2 dhe 15, kurse të brend-

dshëm 3 dhe 1; b) Anëtarë të jashtëm a dhe y, kurse të bren3. a) 56 : 14 = 92 : 23 (=4). dshëm b dhe x. § · Në të dy rastet: po. b) ¨ ¸. © ¹ = 8 : 4 = 2; po. b) 8 : 4. a) ¹4: - jo. c) 4 : 8 = - po. 5. a) 24. b) 512.c) 2. 7. a) Po; 3 : 4 = 9 : 12; ç) 12. d) 3,6. e) 8. b) da. 1 : 5 = 17 : 85; c) jo; ç) po; : x; x = . x = 60 (matematikan të rinj).

8. 7,5 :1 =

1. a) Elementi 3 Î A nuk ka pasqyrë të vet në B.

9. 5 :2 = x : 24;

1. a) x = -20 dhe x = 20; b) x = 80; c) x = -12 dhe

120 + 600 + 1 440 = 2 160.

b) Elementet e A kanë më shumë se një pasqyrë. 2. Dom. është A. Kodom. është B. Bashkësia e 3. evlerave f e {3, 5, 7} f(1) = .6; a = 6.

x = 12. 2. 8 : 12 = 12 : 18. 3. a = 9, b = 12, c = 18.

f(5) = 10; a = 10. f(9) = 14; a = 14.

+ 1 500 = 2 160. 5. A - ka fituar 80 000 denarë;

f(a) = 12; a = 7.

f(a) = 8; a = 3;

f(0) = 0; f(3) = 6, f(5) = 10. V = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. 5. Domeni është bashkësi e

pikave nga gjysmëvija rrethore AB; kodomeni është bashkësia e pikave prej diametrit AB. Kodomeni njëkohësisht është edhe bashksësi e vlerave të pasqyrimit.

222

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

60 + 600 +

B - ka fituar 100 000 den. dhe C - ka fituar 150 000 den.

1. Madhësi proporcionale të drejta janë a),c),ç). 2. a) y = 3x;

-2

-1

-6

-3

a) y =

[

a) P = 4a; b) P = 2rp; c) P = 3y.

a) k = 4; b) k = 2p; c) k = 3. Të gjitha formulat janë për proporcionin [ ; 4. a) y = e drejtë. y x -2 0 2 4 2 y -1 0 1 2 -2 -1 0 1 1 2 3 4 x -1

y 3 2 -2 -1 0 1

b) y = 3x;

-1

-3

-2

-1

1 2 -1 -2 -3 k= ; y= x;

1. Proporcion i drejtë është madhësia nën b).

Proporcion i zhdrejtë janë madhësitë nën a) dhe c). Madhësitë nën ç) nuk janë as proporcion i drejtë as i zhdrejtë. 2. a) y = x -6 -5 -4 -3 -2 -1 y

3. a)

x y -

b) x =

-5

; [

4 -4 -2 -

-4

-2

-4

4 -1 -

6 -

1. 12 780den.

4. 4 h 30 min.

2. Për 12 ditë.

5. 15 ditë.

3. 1 000 km.

6. 1 600 hl.

1. a) Le të kemi 1 200 topa (Numri i nxënësve) dhe 365 kutia (numri i ditëve në vit). 1 200 = 365 × 3 + 105. 105 topat tjerë do të vendosen në kutijat që tanimë kanë nga tre topa . Domethënë, të paktën në njërën prej kutijave do të ketë më shumë se tre topa, d.m.th. do të ketë më shumë se tre nxënës të cilët festojnë ditëlindje në të njëjtën ditë. b) Inicijale të ndryshme mund të kenë 31 × 31 = 961 persona. Të tjerët 1 200 - 961 = 239 persona kanë inicijale që janë të barabartë me inicijalet e disave nga personat paraprak.

2. Shkupi ka më shumë se l 500 000 banorë. Ndërmjet tyre mund të ketë persona që nuk kanë asnjë qime në kokë, pastaj persona me një qime në kokë, me dy qime etj. Kështu banorët e Shkupit, sipas numrit të qimeve në kokë, mund të ndahen në 200 001 grupe. Të supozojmë se në Shkup ka saktë 500 000 persona. 500 000 = 200 001 × 2 + 99 998. Domethënë 99 998 persona kanë numër të njëjtë të qimeve në kokë si disa nga banorët paraprak, d.m.th. ka të paktën tre persona me numër të njëjtë të qimeve në kokë.

-2

-1 -

-4

-8 -16 16

3. Udhëzim. 37 = 12 × 3 + 1. Nëse çdo muaj kanë lindur nga tre nxënës, atëherë prej 12 × 3 = 36 dhe 37 - 36 = 1, vijon se ka nxënës të cilët kanë lindur në muajin e njëjtë me një nga tre nxënës paraprak. 4. Udhëzim. 25 = 8 × 3 + 1. Puno si te detyra paraprake.

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

223

Testi: 1.

Mungojnë shigjetat: prej a nga c, prej c nga b dhe prej b nga b.

y 4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 0

(a, 5)

1 2 3 4

5. R = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.

-1 -2 -3 -4

6. Relacioni R2.

7. (a, n) dhe (b, r); ose (a, n)

dhe (b, q); ose (a, m) dhe (b, q); ose (a, m) dhe (b, r). 8. Me formulë (analitikisht), me tabelë dhe me grafik 9.

(skema koordinative).

AxB

x = . 10. 7 : 6 = 28 : 24. 11. x = 22,5.

12.

k = 3,5.

24,5.

13. x y

4 5

14. a) Dy ditë; b) 60 nxënës.

4 800

120

PASQYRA E KONCEPTEVE A apotema, 123 abshisa, 178 B binomi, 69 boshti, 178 - abshisa, 178 - koordinative, 178 - ordinatës, 178 Ç çifti i renditur, 7 D drejtkëndëshi, 138, - syprina e, 139 delltoidi, - syprina, 150

224

diagrami - vijor 100 - fotografik, 100 - shtyllor, 100 E eksponenti, 32 ekzemplari, 213 F figura,, 136 - me syprina të barabarta, 136 formula e Heronit,147 funksioni, 184 - vlera e, 18 -bashkësia, 185 fuqia, 32 - vlera e, 33 - herësi, 40 - baza, 32

Pasqyra e koncepteve

- prodhim i, 39 - fuqizimi, 42 fuqizimi, 33 GJ gjasa, 220 gjysmëdrejtëza, 4 - me orientim të njëjtë, 5 H harku rrethor, 104 - gjatësia , 159 herësi, 43 - fuqia, 43 - fuqizimi i, 43 I identiteti, 61 K kahja, 5

- e njëjtë, 5 - e kundërtë, 5 kuadrant, 178 katror, 139 - syprina, 139 katërkëndëshi - i rregullt, 119 - tangjencial, 115 - kordiak 113 kënd, 104 - periferik, 107 - qëndror, 104 kuadrimi, 46 konstante, 59 M madhësia, 192 - nënrrënjësore, 47

- vektoriale, 20 - proporcionale e zhdrejtë, 207 - proporcional -drejtë, 203 - ndryshore, 202 - skalare, 19 mediana, 169 mesi aritmetik,169 mesi gjeometrik, 199 moda, 169 monomi, 63 - vlera kryesore e, 64 - pjesëtimi, 86 - shuma, 67 - identik, 63 - koeficienti, 63 - shumëzimi, 73 - forma normale, 64 - zbritja, 68 - ndryshimi, 68 - të ngjashme 65 - mbledhja, 67, - të kundërtë, 65 - shkalla , 65 mesi, - aritmetik, 169 - gjeometrik, 199 N ndryshore 60 - vlera , 60 - domen, 60 - shprehja, 60 - shkalla, 43 - fuqizimi i, 43 ngjarja e rastit, 214 numër, 52 - iracional, 52 - katroi i, 45 - natyror 54 - racional, 54 - real, 55 - kundërt, 65 - i plotë, 54 O ordinata, 178 origjinal, 22, 184 P paralelogram,, 142

- syprina, 142 pasqyra 22, 184 pasqyrimi, 184 - vlera, 185 - bashkësia 185 - grafik , 185 - domen , 187 - kodomen, 184 polinom, 69 - pjesëtimi, 88 - katrori, 33 - koeficienti i, 70 - shumëzimi 79 - forma normale, 70 - zbritja, 75 - prodhimi, 78 -zbërthimitendenca - qëndrore - njësitë e, 169 93, 95 - mbledhja, 75 - të kundërtë, 71 - shkalla, 72 - anëtarët, 69 popullata, 213 prodhim, 42 - i dekartit, 174 proporcioni, 195 - vetia themelore, 197 - e vazhduar, 200 proporcional, 203 - koeficienti , 203 - funksioni, 203 proporcionalja, - e katërtë gjeometrike,196 - mesi gjeometrik 199 - me orientim të kundërtë, 5 R raport, 190, 193 - vlera e, 190 - të barabartë, 191 - reciprokisht i anasjelltë, 191 - anasjelltë, 191 - vetia themelore,194 rang, 170 relacioni, 182 - grafiku i, 182 RR rrafshi koordinativ, 178 rrënja, 47

- katrore, 47 - baza e, 47 rregulla - e paralelogramit, 16 - e trekëndëshit, 14 - e treshit të thjeshtë, 221 rrethi, 158 - perimetri i, 158 - syprina e, 171 S sektori rrethor, 164 - syprina e, 164 sistemi koordinativ178 - kënddrejtë i dekartit, 178 skalar, 20 skema koordinative, 175 segmenti, 7 - gjatësia, 7 - të barbartë 8 - orientuar , 7 - zero, 7 - tangjenten, 112 - gjatësia 112 T translacioni, 22 - vektor, 22 - identik, 23 - inverz, 26 transformacioni, - identik, 70 trapez, 149 - syprina, 149 trekëndësh, - egjiptas, 127 - i indis 127 - karakteristik,122 - syprina, 145 - i rregullt, 119 trinomi, 69 tendenca qëndrore - njësitë e, 169 U unaza rrethore, 156 - syprina e, 165 V vektor, 8 - gjatësia,9 - të barabartë, 11 - shuma 14

- kolinear, 9 - i lidhur 13 - kahja e, 9 - zero, 10 - bartja e, 12 - ndryshimi, 18 - të kundërtë, 11 SH shprehje 60 - numerike, 58 - vlera numerike, 58, 60 - të barabartë, 59 - identik, 61 - racional, 90 - thyesor, 91 - i plotë, 91 - me ndryshore, 60 shumëkëndëshi, 113 - syprina 135 - i rregullt, 119 - tangjenten, 115 - kordiak, 113 Z zgjedhja e rastit, 214

Pasqyra e koncepteve

225

Botues:

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E REPUBLIKËS SË MAQEDONISË Rr. Mito Haxhi-Vasilev Jasmin p.n. Shkup

Recensues: Dr. Nikita Shekutkovski kryetar Shaban Alia anëtar Gordana Andonova anëtare

So Re{enie na Ministerot za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija br. 10-1621/1 od 19.06.2009 godina, se odobruva upotrebata na ovoj u~ebnik. Me Vendim të Ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 10-1621/1 të datës 19.06.2009, lejohet përdorimi i këtij libri shkollor.

Jovo Stefanovski, d-r Naum Celakoski: MATEMATIKA za VII oddelenie za osumgodi{no osnovno obrazovanie * Urednik na izdanieto: Jovo Stefanovski * Prevod: Muzafer Be}iri * Kompjuterska obrabotka: Dragan [opkoski * Podgotovka za pe~at: PROSVETNO DELO AD, ul. Dimitrija ^upovski 15 - Skopje * Pe~ati: Grafi~ki centar - Skopje * Tira`: 8.000 primeroci.

Jovo Stefanovski, Dr. Naum Celakoski: MATEMATIKA për klasën VII të arsimit fillor tetëvjeçar * Redaktor i botimit: Jovo Stefanovski * Përkthyes: Muzafer Beqiri * Përpunimi kopjuterik: Dragan Shopkoski * Përgatitja për shtyp: PROSVETNO DELLO SHA, rr. Dimitrija Çupovski 15 - Shkup * U shtyp në shtypshkronjën: Grafiçki centar - Shkup * Tirazhi: 8.000 kopje.

CIP - Katalogizacija vo publikacija Nacionalna i univerzitetska biblioteka Sv. Kliment Ohridski , Skopje 373.3.016:51(075.2)=163.3 STEFANOVSKI, Jovo Matematika za VII oddelenie za osnovno osumgodi{no obrazovanie / Jovo Stefanovski, Naum Celakoski. Skopje : Ministerstvo za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija, 2009. - 239 str. : ilustr. Vo boja ; 24 sm ISBN 978-608-4575-05-4 1. Celakovski, Naum [avtor] COBISS.MK-ID 79204362