Matematika_7_srb

JOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

SEDMI RAZRED OSMOGODI[WE OSNOVNO OBRAZOVAWE

OSMI RAZRED DEVETOGODI[WE OSNOVNO OBRAZOVAWE

Dragi u~eni~e! Ova }e ti kwiga pomo}i da nau~i{ predvi|ene sadr`aje programa. Nau~i}e{ nove zanimqive sadr`aje o vektorima, translaciji i rotaciji. Ste}i }e{ va`na znawa o stepenima, korenima i polinomima. Pro{iri}e{ znawa iz geometrije. Izra~unava}e{ povr{inu figura. Ste}i}e{ nova znawa o funkciji i proporcionalnosti. Kwiga je podeqena na pet tematske celine, a svaka od wih je podeqena na podteme. Tematske celine po~iwu sadr`ajem , a nastavne jedinice su numerisane. U svakoj nastavnoj jedinici ima oznaka u boji i preko wih su ispisane poruke, aktivnosti, obaveze i druge preporuke, a to :

Podseti se!

A 1. 2.

B

Nastavne jedinice po~iwu ne~im {to ti je ve} poznato. Podseti se i re{i zadate zahteve. To }e ti pomo}i kod izu~avawa novog sadr`aja lekcije. Ovim oznakama je nastavna jedinica podeqena na delove (porcije), koje se odnose na nove pojmove.

Ovakvim oznakama su ozna~ene aktivnosti, pitawa i zadaci koje }e{ samostalno re{avati ili uz pomo} nastavnika. U ovom delu u~i{ novinu u lekciji i zato treba da bude{ pa`qiv i aktivan da bi boqe razumeo i nau~io. Najbitnije je obojeno `utom bojom. Ono {to je najbitnije je izdvojeno u obliku pitawa, zadataka ili tvr|ewa. To treba{ upamtiti i primeniti u zadacima i prakti~nim primerima.

Treba da zna{:

Ovaj deo sadr`i pitawa i zadatke kojima mo`e{ da proveri{ da li si razumeo ve}i deo onog {to se u~i, da bi mogao da primeni{ i koristi{ u svakodnevnom `ivotu.

Proveri!

Zadaci Poku{aj...

Treba da redovno i samostalno re{ava{ ove zadatke. Time }e{ boqe nau~iti i oni }e ti koristiti. Potrudi se da re{ava{ zadatke i probleme u ovom delu (nije obavezno). Time }e{ znati vi{e i bi}e{ bogatiji sa idejama.

PROVERI SVOJE ZNAWE

Na kraju svake teme ima{ test sastavqen od pitawa i zadataka. Samostalno re{i test i time }e{ proveriti svoje znawe iz teme koja je u~ena.

Kada nai|e{ na pote{ko}e u izu~avawu matematike ne otkazuj se, poku{aj ponovo, a upornost donosi rezultat i zadovoqstvo. Zadovoqstvo }e nam biti ako ovom kwigom vi{e zavoli{ matematiku i postigne{ veliki uspeh. Autori

TEMA 1.

VEKTORI. TRANSLACIJA

VEKTORI I OPERACIJE SA VEKTORIMA

1. 2. 3. 4. 5.

Usmerenost poluprava. Smer Vektori Jednakost vektora Sabirawe vektora Oduzimawe vektora

4 7 11 14 19

TRANSLACIJA

6. Translacija 7. Osobine translacije 8. Primena translacije Proveri svoje znawe

Vektor. Operacije nad vektorima

22 24 27 30

3

VEKTORI. OPERACIJE NAD VEKTORIMA

1

USMERENOST POLUPRAVA. SMER

Podseti se!

A 1.

Nacrtaj pravu a i na woj ozna~i ta~ku O. Ta~ka O deli pravu a na dva dela ili dva skupa. Kako se naziva deo prave koji sadr`i ta~ku O i jedan od dva dela na kojima je razdvojena prava a sa ta~kom O ? Na crte`u je nacrtana poluprava OM sa po~etnom ta~kom O i proizvoqnom ta~kom M. M O Nacrtaj poluprave AV i A&, tako {to ta~ke A, %, i & ne le`e na istoj pravi. Nacrtaj pravu a i na woj ozna~i ta~ke M i 1? Sa pravom E na crte`u ravan je podeqena na dve poluravni, od kojih je jedna obojena. & % b $ Koje od ozna~enih ta~ki le`e na istoj poluravni ? [ta je prava E za poluravan ?

V

p

A

Koja poluprava je podskup poluprave O 1% ? Uo~io sam da: Sve ta~ke poluprave O1A pripadaju polupravi OA, t.j. 2 $ ÂŽ 2$ Sve ta~ke poluprave OB pripadaju polupravi O1%, t.j. 2% ÂŽ 2 %. Za poluprave OA i O1A ka`emo da su isto usmerene. I poluprave O% i O1% su isto usmerene. Za poluprave OA i O1% ka`emo da su suprotnog smera. I poluprave OA i O% su suprotnog smera.

Poluprave istog smera ozna~avamo znakom n n´ , a suprotno usmerene znakom n p´ Primer: 2$ n n 2 $ 2$ n p´ 2 %

Tema 1. Vektori. Translacija

1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012

$

2

a b

Koje poluprave le`e na istoj poluravni sa grani~nom pravom OO1?

4

2

O

Koja je poluprava podskup poluprave OA?

Razgledaj crte`. Uo~i paralelne prave D i E i na wima ozna~ene poluprave OA, O1V i O1S.

2.

1. Na pravi S uo~i poluprave OA, O1A, O% i 2 %

&

2

%

Uo~io sam da poluprave OA i O1% le`e na istoj poluravni, a grani~na poluprava je OO 1 .

Ka`emo da su isto usmerene poluprave OA i O1% t.j OA足足O B. 1

Poluprave OA i O1S ne le`e u istoj poluravni sa grani~nom polupravom OO1 i za wih ka`emo da su suprotno usmerene, t.j. OA n p2 &

Va`i i uop{te Za dve poluprave ka`emo da su isto usmerene (ili: imaju isti smer) ako le`e na jednoj pravi i jedna je podskup druge ili ako le`e na paralelnim pravama i pripadaju istoj poluravni sa grani~nom pravom kroz wihove po~etne ta~ke. Za dve poluprave koje le`e na istoj pravi ili na paralelnim pravama i nisu isto usmerene, ka`emo da su suprotno usmerene (ili imaju suprotne smerove).

3.

Odredi kako su usmerene:

a) poluprave OA i O1A, b) poluprave OA i O1A v) poluprave OV i O1A g) poluprave OV i O1' O1' i O1& OV i O1&

2

a)

$

b) 2 { 2

2

v) g)

%

2

$

%

$ 2 { 2

$

a

a__b

b '

2

&

Ovo ti je poznato Na crte`u su prikazani saobra}ajni znakovi koji ozna~avaju smer. KUMANOVO VELES

Objasni {ta koji znak pokazuje. Re~ smer ~esto upotrebqavamo na primer: ,, vetar duva u severnom smeru,, avion leti u smeru Skopqe-Ohrid itd.

B 4.

Nacrtaj polupravu OA i zatim: Nacrtaj dve poluprave O1A1 i O2B2 isto usmerene sa pravom OA. Kako su usmerene poluprave O1A1 i O2%2? Koliko poluprava u ravni mo`e da se konstrui{e isto usmerenih sa polupravom OA? Vektor. Operacije nad vektorima

5

Zakqu~io sam da u ravni postoje beskona~no mnogo poluprava koje su isto usmerene sa datom polupravom OA

Skup 6 jedne poluprave i sve isto usmerene poluprave na woj u ravni se naziva smer. Smer 6 predstavqamo jednom polupravom A% iz skupa isto usmerenih poluprava i ka`emo, poluprava A% ima smer 6. %

5.

6

Date su poluprave OA, O1A1 i O2A2, tako {to OA­­O A ; O A ­¯O A. polupravom OA je opredeqen smer 6, a polupravom O2A2 smer 5

$ $ 6

[ta je ta~no: O A ĂŽ S; O A ĂŽ R?

2

2

$

2

5 $

Treba da zna{:

Proveri! Da objasni{ koje dve poluprave imaju isti smer, odnosno suprotni smer. Da objasni{ {ta je smer i ~ime se smer predstavqa.

Na crte`u su prave D i E paralelne. Koje poluprave OA, O1S A O i O 1% : Su istog smera, Suprotnog smera Odre|uju isti smer ?

&

2

a

%

b

Zadaci 1. Kakvu figuru mo`e da napravi

3. Nacrtaj pravougaonik $%&' i neka O bude ta~ka preseka wegovih dijagonala. Koje poluprave : $% '& %$ $2 2& i '% su : a) istog smera, b) suprotnog smera?

presek: a) dve poluprave istog smera koje le`e na jednoj pravi, b) dve poluprave suprotnog smera koje le‘e na jednoj pravi?

2. Kakvu figuru mo`e da napravi unija: a) dve poluprave istog smera koje le‘e na jednoj pravi, b) dve poluprave suprotnog smera koje le`e na jednoj pravi?

6

4. Na pravi a su date poluprave OA,

Tema 1. Vektori. Translacija

O1A i O2A, tako {to su OA­­O 1A, 2A. Kako su usmerene D O1A­¯O poluprave OA i O2A?

2

VEKTORI

Podseti se!

A 1.

Zapisom (a, b) ozna~ujemo pore|ani par. U pore|anom paru se ta~no zna koji je prvi, a koji drugi elemenat. Za pore|ani par ta~aka, (A%), ta~ka A je prva komponenta, a ta~ka % druga komponenta. Neka pore|ani par (5,8) ozna~ava peti red i osmo sedi{te u bioskopskoj Sali. Da li pore|ani par (8,5) ozna~ava isto sedi{te ?

Neka su A i % krajwe ta~ke du`i a. a %

$

[ta je ta~no: a) $% %$ ; b) $% i %$ je ista du` v) ^$ %` ^% $`; g) $ % % $ ?

Uo~io sam da je: Ta~no pod a),b) i v) , Neta~no pod g), jer kod pore|anih parova va`i: $ % z % $ kada $ z %. Du` A% na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa $% %

Krajwe ta~ke usmerene du‘i $% predstavqaju pore|ani par $ % Usmerena du` $% na crte`u se predstavqa strelicom od po~etne ta~ke A prema krajwoj ta~ki %. Ta~ka A se zove po~etak, a ta~ka % kraj usmerene du`i $%

$

a

2. Na crte`u, poluprave $% &' i () le`e na

$

paralelnim pravama a b i c. Kako su usmerene poluprave $% &' i ()" Uporedi du`ine du`i $% i &' $% i ()

Uo~i usmerene du`i $% &' () i potrudi se da shvati{ o kojima dvema usmerenim du`ima se ka`e da su jednake. Uo~io sam da su poluprave $% &' i E) isto usmerene

& (

%

b

'

c

)

$% = &' ; $% < () .

Vektor. Operacije nad vektorima

7

Smer koji Aopredequje polupravu A% se zove smer usmerene du‘i $% Prema tome, usmerene du`i $% &' i () su isto usmerene. Du`ina du‘i A% se zove du‘ina (intenzitet) usmerene du`i

$% ozna~ava se sa _$%_ Prema tome _$%_ _&'_ D _$%_ _()_ Usmerena du`, ~iji se po~etak podudara sa krajem $$ %% se zove nulta usmerena du‘. Ona nema odre|eni smer, a wena du`ina je nula Usmerene du`i $% i &' su jednake, ako imaju jednaku du`inu i

%

$

_$%_ _&'_ i $% &' Zapisujemo $% &' .

'

&

B 3.

Neka se ta~ka O pomeri za 4 jedinice udesno po pravi S gde

*

)

2

$

%

&

'

(

je 2$ U koju ta~ku }e se pomeriti, t.j. preslikati ta~ka O na pravi p?

p

Uo~io sam da }e se ta~ka O pomeriti (preslikati) u ta~ku '. Ta~ka O je po~etna, a ta~ka ' krajwa u ovom pomerawu. [ta predstavqaju ta~ke O i '?

Ta~ke O i ' su krajwe ta~ke na usmerenoj du`i 2' One predstavqaju pore|ani par (O,').

Ovo pomerawe ta~ke u ravni je izvr{eno u odre|enom smeru i na odre|eno rastojawe. Na crte`u ga predstavqamo kao usmerenu du` OD. Neka je predstavqena jedna usmerena du` $% Koliko usmerenih du`i jednakih $% postoje? Mogu da nacrtam mnogo usmerenih du`i jednakih na $%, a ima beskona~no mnogo koje su jednake woj.

2 )

' (

'

& $

% *

Uo~i i upamti! Skup od jedne usmerene du`i i sve usmerene du`i jednake woj se naziva vektor. Skup svih nulti usmerenih du`i se zove nulti vektor.

8

Tema 1. Vektori. Translacija

+

Ovo je va`no !

a $

Na crte`u }emo vektor predstavqati sa jednom usmerenom du`i, t.j. jednim predstavnikom iz skupa jednako usmerenih du`i. Prema tome, usmerena du` }e predstavqati vektor. Vektor }emo ozna~avati sa $% ili malim slovom i strelicom

% '

b

& c )

(

iznad wega. Na crte`u su dati vektori AB = a ; CD = b i EF = c .

4.

Ozna~i ~etiri ta~ke A, % & i '. Predstavi vektore: a = AB; b = DC i c = AD.

To {to si nau~io o usmerenim du`ima, mo`e da se iska`e i o vektorima. Neka je dat vektor a sa usmerenom du‘i $% Smer usmerene du`i $% predstavqa smer vektora a .

a %

$

i ozna~ava se Du`ina usmerene du`i $% se zove du`ina (ili intenzitet) vektora a | a | ili _$%_

5.

Nacrtaj dva vektora $% i &' tako da su oni: a) isto usmereni, b) suprotno usmereni. Vektori $% i &' u zahtevima a) i b) mo`e{ da predstavi{ kao na crte`u.

a)

%

$ &

b)

$

% '

'

&

Primetio sam da: smer vektora se odre|uje na isti na~in kao i kod usmerenih du`i, jer se vektor predstavqa kao usmerena du`.

6.

Nacrtaj vektor $% i ozna~i ta~ke & i M (kao na crte`u). ­­ Nacrtaj vektor &' tako {to &' $%

%

$

­¯ Nacrtaj vektor 01 tako {to 01 $%

& 0

Uo~i i upamti! Za vektore koji imaju isti smer ili suprotan smer, ka`emo da su kolinearni. ili $% &' t.j. vektori $% i &' su kolinearni, ako $% &' ­­ ­¯ Za kolinearne vektore ka`emo da imaju isti pravac. Vektor. Operacije nad vektorima

9

Nacrtaj dva kolinearna vektora a i b tako da le`e:

7.

na paralelnim pravama i a ­­ b;

na paralelnim pravama i a ­¯ b;

na istoj pravi i a ­¯ b;

na istoj pravi i a ­­ b, | a | = 3 cm, | b | = 5 cm

Nulta usmerena du` predstavqa nulti vektor koji se ozna~ava sa Nulti vektor smatramo za kolinearan sa svakim drugim vektorom i du`inom jednakoj nuli.

Treba da zna{: Da objasni{ {ta je usmerena du` i {ta je vektor,

Da odredi{ (i objasni{ ) vektore: istog smera, suprotnih smerova i kolinearne vektore.

Proveri! Na crte`u prava S je paralelna sa pravom T. Koji su vektori predstavqeni na crte`u? d

0

a $

p

)

%

q

b

c

1

'

( &

Kakav smer imaju vektori a i b; a i c ; b i c ? Da li su vektori a i d kolinearni ? Za{to ? Da li su vektori a, b i c kolinearni ? Za{to ?

Zadaci 3. Na crte`u su dati vektori u kvadratnoj mre`i. Kako su usmereni vektori?

1. Zapi{i vektore koji su opredeqeni pore|anim parovima ta~aka : (A,%), (& ') i (E,)).

2. Poznato je da su vektori $% i &'

D $% i $&;

b) $% i ();

v) $& i ();

g) 34 i 56;

d) 01 i 7/;

|) () i 34 ?

kolinearni . Da li su kolinearni vektori: $% i '&;

%$ i '&?

& (

Tema 1. Vektori. Translacija

% ) 3

0

10

$

7

1

4

6 5 /

3

JEDNAKOST VEKTORA

Podseti se!

U paralelogramu $%&' ozna~eni su vektori $% a '& b

A 1. Za koja dva vektora $% i &' ika‘emo da imaju isti smer? [ta predstavqa du‘ina vektora $%?

$' c &% d ' c

Na pravougaoniku $%&' predstavqeni su vektori AB = a i DC = b Uporedi wihove du‘ine i odredi wihov smer.

'

d a $

%

Uporedi du‘ine i odredi smer vektora a i b odnosno vektore

&

b

&

b

c i d

a $

Uo~io sam da:

%

Suprotne strane svakog paralelograma su paralelne i jednake.

Vektori a i b imaju isti smer i jednake du‘ine. Vektori c i d imaju suprotne smerove i jednake du`ine.

Uo~i i upamti! Dva vektora a i b su jednaka ako imaju isti smer i jednake du`ine, t.j. Dva vektora c i d Za vektora

d se ka`e da je suprotan vektoru c.

Suprotan vektor

2.

a = b ako 1. a nn b i 2. _ a _ = _ b _. su suprotni ako imaju suprotne smerove i jednake du`ine. c

ozna~ava se -c, t.j. d = -c.

Nacrtaj vektor 01 jednak zadanog vektora a $%.

Prvo }e{ nacrtati vektor $% i ozna~i}e{ proizvoqnu ta~ku M. Kako }e{ odrediti ta~ku 1 za vektor 01"

Kroz ta~ku M }u povu}i polupravu M' istog smera sa polupravom A%. Na polupravi M' odredi}u ta~ku 1 tako {to 01 = $% .

Vektor. Operacije nad vektorima

11

da nacrta{ bezbroj jednakih vektora na wemu. Uo~i da za dati vektor a mo`e{ Jedan vektor D je opredeqen ako je dat wegov smer S i du`ina _ D _ r ili ako je dat pore|ani par ta~aka (A,%)- wegov po~etak A i kraj %. Nacrtaj vektor a ako je dat wegov smer S i du`ina | a | = r.

3.

Uo~i postupak i uporedi svoje re{ewe.

)

r

3

Na crte`u je dat smer S sa polupravom A% i du`inom r = 34 vektora a.

) )

Na polupravoj MD odre|ujemo ta~ku 1, tako {to 01 = r. Time je opredeqen vektor 01 D

4.

Dat je vektor $% D i ta~ka M. Nacrtaj vektor MN = -a .

6

$

5.

Prema crte`u, odredi koji od vektora su jednaki, odnosno suprotni: a) a i b ;

g) e i r ;

b) a i c ;

d) g i h ;

v) b i c;

|) c i n :

B 6.

1

% a

$

0 b

a c

n

r

e

g

h

Dat je vektor AB = a i ta~ka O. konstrui{i vektor 2& jednak vektoru

$% Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

) ) Kako si odredio ta~ku & na vektoru 2&"

Na koji na~in si konstruisao prvo polupravu O'?

% $

a

2

Uo~i i upamti! Ako je u ravni dat vektor $% D i proizvoqna ta~ka O, tada postoji jedinstveni vektor 2& sa po~etkom u ta~ki O koji je jednak vektoru D Konstruisawe vektora 2& jednak vektoru D zovemo preno{ewe vektora D u ta~ki O.

12

'

a

0

Od proizvoqne ta~ke M konstrui{emo polupravu M' isto usmerenu sa A%.

4

%

Tema 1. Vektori. Translacija

& a

'

7.

Izaberi ~etiri ta~ke O,A,% i &. U ta~ki O prenesi vektore $% i %&

8.

Dati su vektori

a i b U krajwu ta~ku vektora a prenesi vektor b .

Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.

) Prvo konstrui{i polupravu %' sa smerom b . ) Kako si odredio ta~ku & za vektor %& da je jednak b ?

% b

&

'

a b $

Uo~i i upamti! Za vektor a i preneseni vektor b ka`emo da su nadovezani. Dva vektora su nadovezana ako se kraj jednog vektora podudara sa po~etkom drugog vektora.

Treba da zna{: Proveri! Da objasni{ koja su dva vektora jednaka, odnosno suprotna; Da prenese{ dati vektor u datu ta~ku i da datom vektoru nadove`e{ drugi dati vektor.

vektor b Na vektor a nadove`i Obrazlo`i postupak.

% $

a

0

1

b

Zadaci 1. Nacrtaj dva kolinearna vektora a i b

4. Date su dve proizvoqne ta~ke A i % .

2. Nacrtaj dva suprotna vektora a i b

5. Izaberi dva vektora a = AB i b = CD.

i na vektor a nadove`i vektor b.

i vektor a nadove`i vektor b

Na vektor a nadove`i vektor b

3. Da li su jednaki vektori kolinearni? Obrazlo`i!

Da li vektor %$ je suprotan vektoru $%" Obrazlo`i!

6. Dati su vektori a, b, c i ta~ka O . Prenesi sva tri vektora u ta~ku O.

Vektor. Operacije nad vektorima

13

4

SABIRAWE VEKTORA

A 1.

Podseti se! Obrazlo`i postupak za preno{ewe datu ta~ku O. datog vektora a u Na vektor a nadove`i vektor b. Obrazlo`i postupak!

Dati su vektori a b i ta~ka O u ravni. Prenesi vektore

b

a i b tako {to 2$ a i

2 a

$% b.

Konstrui{i vektor c = OB. Uporedi svoje re{ewe sa datim i obrazlo`i postupak. Kako si preneo vektor a = OA i vektor b $%? Kako si odredio vektor c = OB? Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora c ?

b

a ) ) ) [ta predstavqa ta~ka O za vektor a i ta~ka % za vektor b ? )Uo~i i zapamti da ovako konstruisan vektor c se zove zbir vektora

%

c 2

b a

$

a i b

Ovo je va`no pravilo za sabirawe vektora! Zbir dva nadovezana vektora a vektor c ~iji se po~etak i b predstavqaju podudara sa po~etkom vektora a a kraj se podudara sa krajem vektora b tj. ako a = OA i b = AB onda a + b = OB. Izaberi drugu ta~ku 2 razli~itu od O i prenesi vektor a = O1A1 i b = A1B1 [ta predstavqa vektor O1B1

za vektore a i b "Uporedi vektore 2% i 2 %

Uo~i i zakqu~i ! Vektor

2 % 2% c

Zbir dva vektora je jednozna~no odre|en i ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O.

2. 14

Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstrui{i wihov zbir.

Tema 1. Vektori. Translacija

Kako je lak{e izvr{iti sabirawe vektora a i b jer wihov zbir ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O?

Prene}u samo vektor b , odnosno na vektor a nadoveza}u vektor b a zatim }u odrediti wihov zbir.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

1

) ) [ta predstavqa vektor AC ib? za vektore a ) Imenuj date vektore sa wihovim po~etnim i krajwim ta~kama. Kako je konstruisan vektor BC = b ?

b

Dati su vektori a, b i c

c $

a

b

%

Konstrui{i zbir: a

b + c.

a + b;

b a

0

Uo~i da odre|ivawe zbira dva vektora se svodi na konstrukciju trougla AVS. Zato ka`emo, zbir dva vektora je odre|en po pravilu trougla.

3.

&

c b

4.

a

Dati su kolinearni vektori AB = a ; CD = b i EF = c Konstrui{i zbir a) a + b ;

b) a + c ;

$

b

%

'

&

c

v) b + c

(

) '

Razgledaj re{ewe pod a) $% a ; %' b i $' a + b .

$

a

b %

Uo~i kako je primeweno pravilo za sabirawe vektora. Obrazlo`i postupak.

B 5.

a. Odredi zbir nultog vektora 0 i vektor

Uo~i da za zbir vektora AA = 0 ; AB = a po pravilu za sabirawe vektora va`i: Isto tako: a + 0 = AB + BB = AB = a . 0 + a = AA + AB = AB = a

Va`i i op{te Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine

6.

0+a=a=a+0.

$

Dati su vektori a i AA = 0 . Konstrui{i vektor 0 + a .

Vektor. Operacija nad vektorima

a

15

Nacrtaj dva suprotna vektora a i - a a zatim odredi wihov zbir.

7.

Ako a $% i - a %$ , onda po pravilu za sabirawe vektora sledi: a + (- a ) = $% %$ $$ . Isto tako: (- a a %$ $% %%

Va`i i op{te a + (- a ) = 0 = (- a ) + a . Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine Neka su data dva nekolinearna vektora a i b Konstrui{i zbirove a + b i b + a . Uporedi vektore a + b i b + a .

8.

Uporedi svoje re{ewe sa datim i uo~i postupak. sa Biramo ta~ku A. Vektor a prenosimo ) po~etkom u ta~ki A i na wega nadovezujemo vektor b tj AB = a , BC = b dobijamo AC = a + b .

' b

a

b

a b+ b a+

$ paralelogram A%&', tj. ) Konstrui{emo odre|ujemo teme '. ) Po{to su u paralelogramu suprotne stane paralelne i jednake, dobijamo:

a

)

DC = AB = a , AD = BC = b . Onda: $& $' '& b a , pa: a b b a

Va`i i op{te Za koja bilo dva vektora a , b i c je ta~na jedna~ina ( a + b ) + c = a + ( b + c ), t.j. sabirawe vektora ima komutativno svojstvo.

Prema crte`u, mo`e{ li da uo~i{ drugi na~in za sabirawe vektora a i b ?

Vektore

a i b prene}u u zajedni~ki

po~etak ($% a i $' b ), a a zatim konstruisati paralelogram A%&'. Vektor koji opredequje dijagonalu $& je zbir a + b .

Ovo pravilo za sabirawe vektora se naziva pravilo paralelograma.

16

Tema 1. Vektori. Translacija

&

a

b %

Nacrtaj dva nekolinearna vektora a i b i konstrui{i wihov zbir po pravilu paralelograma.

9.

&

' a+

Uporedi svoje re{ewe sa datim na crte`u i obrazlo`i postupak.

10.

a b

b

%

a

$

Dat je ~etvorougaonik A%&'. Neka AB = a , BC = b , &' c i $' d .

' c b a+

nadovezani.

$& &' $', t.j. ) Od '$&' mo`e{ da uo~i{ da:

$

&

a

c

a,b i c

d

b+

Poku{aj da poka`e{ da a + b ) + c = a + ( b + c ). Uo~i na crte`u da su vektori

b

b %

(a+b)+c=d.

) Od '$%' sledi: $% %' $', t.j. a + ( b + c ) = d . ) Prema tome: ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Va`i i op{te Za svaka tri vektora a , b i c je ta~na jedna~ina a + b ) + c = a + ( b + c ). t.j. za sabirawe vektora va`i asocijativno svojstvo. Zbog toga, zbir triju vektora mo`e da se zapi{e i bez zagrada a + b + c .

Uo~i i upamti Zbir tri ili vi{e nadovezanih vektora je vektor ~iji se po~etak podudara sa po~etkom prvog vektora, a wegov kraj se podudara sa krajem posledweg nadovezanog vektora.

Na crte`u je konstruisan zbir vektora a

b c i d , t.j. a + b + c + d = e

c

d

c

d

b a

b

e a

Nacrtaj tri nekolinearna vektora a , b i c a zatim konstrui{i wihov zbir.

Vektor. Operacija nad vektorima

17

Treba da zna{:

Proveri se! Da konstrui{e{ zbir dva vektora po pravilu trougla i paralelograma; Da iska`e{ i primeni{ svojstva sabirawa vektora.

Nacrtaj dva vektora a i b tako {to dati vektor c predstavqa wihov zbir. c

Zadaci

1. Dati su vektori (kao na crte`u) $% a , &' b i 33 . %

3. Dat je ~etvorougao A%&' i vektora

$% a %& b &' c i '$ d Po crte`u odredi zbir:

3

a $ &

'

b

a) a + b ;

v) a + b + c ;

b) d + a ;

g) a + b + c + d . ' c

Konstrui{i ih sa po~etkom u datoj ta~ki M, vektore: a) - a ;

b) - b ;

v) a + b ;

g) a + ;

d) - b + ;

|) a + (-a ).

&

d

b $

a

%

2. Dat je trougao A%& i vektorite $% a , %& b i &$ c. Koje su jedna~ine ta~ne?

4.

& b

c $

18

a

%

a) a + b = c ;

b) a + b = - c ;

v) a + c = a ;

g) a + b + c = ?

Tema 1. Vektori. Translacija

Nacrtaj tri kolinearna vektora a , b , c tako {to vektor b ima suprotni smer od vektora a i c Konstrui{i zbirove: a) a + b ;

b) a + c ;

v) b + c ;

g) a + b + c .

5

ODUZIMAWE VEKTORA

A 1.

Podseti se!

Dati su vektori

Dati su vektori a i b . & b

b

Konstrui{i vektor x tako {to 2

b+x=a. %

a

%

2$ a i 2% = b .

$

Nacrtaj vektor c tako {to a + b = c.

Razgledaj re{ewe (na crte`u) i obrazlo`i. Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora x?

$

a % x

b 2

$

a

Uo~io sam da vektor x treba da bude nadovezan na vektor b a kraj da mu se podudara sa krajem vektora a tj x = BA konstruisani vektor x se zove razlika vektora a i b ) aOvako - b tj x = a - b .

ozna~ava se sa

Uo~i i upamti! Razlika vektora a i b pretstavqa vektor x , takav {to b + x = a , t.j. ako b + x = a , tada x = a - b .

2.

Dati su vektori a i b . Konstrui{i vektor

c=a-b.

b

a

0

Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.

c=

Da bi konstruisao razliku a - b treba prethodno da ) vektore a i b dovede{ u proizvoqnu zajedni~ku ta~ku,

a-

b

b

$

a

%

Vektor. Operacija nad vektorima

19

ali je prakti~nije da jedan vektor prenese{ u po~etak drugog vektora.

) Ako $% a i $0 b, tada vektor a - b go konstrui{e prema zakqu~ku: 0% a - b .

a

Dati su kolinearni vektori a , b i c. Konstrui{i vektor:

3.

b

a) m = a - b ; b) n = b - c.

c

Uo~i re{ewe i obrazlo`i. Po crte`u: m

b a) 2% a ; 2$ b ; $% m

a-b;

b) 2% c ; 2$ b ; %$ n

b-c.

2

a

$ n

b 2

%

c

$

%

Nacrtaj dva vektora a i b tako {to _ a _ = 5 FP a _ b _ 3 FP i konstrui{i vektor

4.

c=a-b.

5.

&

Prema crte`u koja od slede}ih jedna~ina ta~na:

B

a) b + a = c ;

b) c - b = a ;

v) c = a - b ;

g) c - a = b "

b $

a c

%

Upoznao si se sa vektorima, wihovim svojstvima i operacijama nad wima. U daqem u~ewu matematike, fizike i drugih nauka uvide}e{ wihovu veliku primenu.

Ako zapi{e{ da je du`ina u~ionice 10 m ili je danas temperatura +120S, tada je ovim podacima potpuno odre|ena du`ina u~ionice i temperatura. Veli~ine kao {to su na primer du`ina, povr{ina, volumen, masa, temperatura i dr., celosno su brojevima odre|ene. Takve veli~ine se nazivaju skalarne veli~ine ili skalari Da li je dovoqan podatak ako ka`emo da vetar ima brzinu 20 km na ~as?

6.

Nije dovoqan podatak. Karakteristika vetra je da on ima svoj smer koji mo`e da bude severan, ju`an, isto~ni i dr. Prirodno je da veli~ine koje imaju karakteristike, osim brojevne vrednosti, jo{ i svoj smer da ih zovemo vektorske veli~ine. Koje su ti veli~ine poznate kao vektorske veli~ine?

7.

Takve veli~ine su: brzina, snaga, ubrzawe i dr.

Voda jedne reke te~e brzinom od 4 m u sekundi. Jedan ~amac polazi sa jedne obale, normalnoj drugoj obali, sopstvenom brzinom 3 m u sekundi. Odredi u kom smeru }e se kretati ~amac i kojom brzinom.

20

Tema 1. Vektori. Translacija

Razmisli o re{ewu, a zatim sagledaj slede}i postupak.

)

Sa vektorom v (_v _ = P) je pretdstavqena sopstvenata brzina ~amca u mirnoj vodi.

v (_v _ = P) je pretstavqena brzina ) Vektorom na reke. Vektor v = v v pretstavqa brzinu kretawa ) ~amca. ) Smer vektora v je smer kretawa ~amca, a du`ina

)

v

$

v

v=

v

+

v

v reka %

v

vektora v predstavqa koliko metara u sekundi se kre}e ~amac. Izmeri koliko metara u sekundi se kre}e ~amac.

Treba da zna{: Da iska‘e{ definiciju i na~in oduzimawa dvaju vektora; Da konstrui{e{ razliku dva vektora; Da objasni{ koji su skalari, a koje vektorske veli~ine.

Proveri se! Nacrtaj vektor a , a zatim predstavi ga kao razliku dva vektora. Nacrtaj dva kolinearna vektora, a zatim odredi wihovu razliku.

Zadaci 1. Dati su vektori

$% = a; &' = b i ) ' b

() = c . a $

{ta a i b su kolinearni vektori.

c

%

&

a) a - b ;

b) b - c ;

v) a - c ;

g) ( a - b ) - c .

a (

Konstrui{i razliku:

00 .

& b

a '

Konstrui{i razliku: a) a - b ;

b) a - ;

v) - a ;

g) ( a + b ) - .

c

b Konstrui{i vektora ( a + b ) - c.

2. Dati su vektorite $% a , &' b i

$

3. Dati su vektori a , b i c tako

0

4. Nacrtaj pravougaonik $%&' i stavi $% a , %& b. Preko vektora a i b izrazi vektor a) $&;

b) %'.

Vektor. Operacija nad vektorima

21

TRANSLACIJA

6

TRANSLACIJA

A 1.

Podseti se!

A, B i C. B a O d r e d i A ta~ke A1, B1 i C 1 , tako C {to vektori AA1, BB1 i CC1 da su jednaki na vektoru a . B1 A 1

Vektor predstavqamo usmerenom du‘i, a usmerenu du` na crte`u predstavqamo strelicom. a Na crte`u je predstaB vqen vektor AB = a.

A So ~ime je predstavqen vektor

a ?

Odredi ja du`inu vektora a. Za koja dva vektora a i b ka`emo da su jednaki?

U ravni je dat vektorot a i ta~ke

U p o r e d i svoje re{ewe sa datim.

a

B

A

C1

C Uo~i da je ta~ka A pomerena (preslikana) za vektor a u ta~ki A1, B vo B1 i C vo C1. Za ta~ku A1 ka`emo da je slika na ta~ke A kod tog pomerawa, a ta~ka A je original ta~ke A1. Koja ta~ka je slika ta~ke B, a koja ta~ka je original ta~ke C1? [ta predstavqa ta~ka A i A1, u odnosno B i B1, odnosno C i C1 za vektor a ?

Ta~ka A je po~etna to~ka, a slika A1 krajna ta~ka vektora a . Isto va`i i za ta~ku B i B1, odnosno C i C1.

Uo~i da svaka ta~ka X iz ravni mo‘e da se pomeri (preslika), za dati vektor a , u samo jednu ta~ku X1.

Treba da upamti{ Pomerawe (preslikavawe) u ravni , pri ~emu svaka ta~ka M odgovara ta~ki M1, tako {to, vektor MM1 je jednak datom vektoru a , zove se translacija (ili paralelno pomerawe) za vektor a .

F 22

Dati vektor a se zove vektor translacije. Translaciju za vektor a simbolom ja zapisujemo t a .

Tema 1. Vektori. Translacija

odgovaraju}e ta~ke M i M , ka`emo: M je slika M, a M je original M . jo{ ka‘emo F Za da smo ta~ki A izvr{ili translaciju za vektor a . 1

F 2.

Ako M1 e slika M zapisujemo: M t

1

a

1

M1 ili M1 = t a (M).

Dati su vektori a i b i ta~ka M u ravni. Odredi ta~ke. t a (M) i t b (M)

M a b

t a (M)

Uporedi svoje re{ewe sa datim. U ta~ku M prenesi sa vektore a i b .

F F Krajot prenesenog vektora je

t b (M)

a je to~kata t a (M).

a

M

Kako je odre|ena ta~ka t b (M)? Koje su translacije izvr{ene ta~ke M? Koliko translacija su odre|ene jednim vektorom a ?

b

Na ta~ki M su izvr{eni translacije t a i t b . Jedan vektor a odre|uje samo jedna translacija.

Uo~i da je jedna trnslacija odre|ena sa vektorom a ili sa jednim parom ta~aka (M, t a (M)), t.j. sa M - original i M1 = t a (M) - wena slika.

Razmisli kakvu translaciju odre|uje nulti vektor. Translacija za vektor 0 se zove identi~na translacija

Po~etna ta~ka nultog vektora se podudara sa krajwom ta~kom. Sledi, da translacija za vektor 0 , svaku ta~ku M preslikava sama na sebi.

Treba da zna{: Da objasni{ {ta je translacija; ^ime je odre|ena jedna translacija; Da odredi{ sliku date ta~ke kod translacije za dati vektor a .

Proveri! Odredi ta~ku A, ako je data wena slika A1 = t a (A) kod translacije za vektor a . a

t a (A)

Translacija

23

Zadaci

B

Konstrui{i vektorot laciji t.

a A

C

t(A)

ta~ki (A, t(A)).

1. Dat je vektor a i ta~ke A, B i C.

a na trans-

3. datoj ta~ki M

A

izvr{i translaciju t datoj sa pore|anim parom ta~aka A, t(A).

Izvr{i translaciju ta~ke A, B i C

7

A

2. Dat je pore|ani par

za vektora a .

t(A) M

SVOJSTVA TRANSLACIJE

Podseti se!

A 1.

Objasni kakvo pomerawe u ravni je translacija. ^ime je odre|ena jedna translacija? Za koje dve figure F1 i F2 se ka`e da su skladne?

Dat je vektor a i razli~nite ta~ke A, B i C1. C1 Odredi a ta~ke A1 = t a (A) i A B B1 = t a (B).

Razmisli da li ta~ke A1 i B1 mogu da se podudaraju kod neke translacije. Odredi ta~ku C tako da ta~ka C1, da bude wena slika kod translacije za vektor a . Da li svaka ta~ka iz ravni je slika neke ta~ke kod translacije za vektor a ? A1 C1

Razgledaj re{ewe i uo~i: Po{to AA = a , BB = a i ta~ke A i B su razli~ite, F tada i ta~ke A i B su razli~ite. Za izbranu ta~ku C , mo`e{ da konstrui{e{ vektor F CC = a , t.j. da odredi{ ta~ku C tako {to C da je 1

a

1

1

1

A

1

1

wewa slika kod translacije t a .

B1

B

C

1

Uo~i da translacija ima slede}e svojstvo. ta~ke A i V kod translacije za vektor a imaju razli~ite slike i svaka F Razli~ite ta~ka S1 iz ravni je slika neke ta~ke kod translacije t . a

2.

Data je du` AB i vektora a (na crte`u). Odredi ta~ke A1 = t a (A) i B1 = t a (B). Poka`i da je du` A1 B1 paralelna i jednaka sa du`i AB.

24

Tema 1. Vektori. Translacija

a A

B

Poka`i da je du` A1B1 slika du‘i AB kod translacije t a .

F

A1

Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.

X1

B1

a

Ta~ke A,V i wihove slike A1B1, dobijene translacijom t a , formiraju ~etvorougaonik ABB1A1.

ta.

F

Po{to AA 1 = a = BB,1 sledi da ~etvorougaonik A X ABB 1 A 1 , ima dve suprotne strane (AA 1 i BB 1 ) paralelne i jednake, pa ~etvorougaonik ABB 1A 1 je paralelogram.

F

Ako je X bilo koja ta~ka du`i AB, tada X1 = t a (X) je ta~ka du`i A1B1. (Zo{to?) Obratno: za bilo koju ta~ku X1 du`i A1B1 ima to~ka X na du`i AB, takva {to t a (X) = X1. Prema tome, du` A1B1 je slika du`i AB.

B

Uvideo si slede}e svojstvo.

F Kod svake translacije du` se pomera ( preslikava) u jednaku i paralelnu du` sa na wom, t.j. ako t a (A) = A1 i t a (B) = B1, toga{ $% = $ % i AB % A1B1. Uo~i da se kod translacije rastojawe me|u ta~kama ne mewa. Ako umesto du`i AB, nacrta{ pravu AB, tada u {ta se preslikava prava AB kod translacije t a ?

A1

a

Prava AB }e se preslikati u pravu A 1B1, paralelnu woj.

B1

A B AB || A1B1

Uop{te va`i svojstvo:

F Kod svake translacije prava se pomera (preslikava) u pravu woj paralelnu. 3.

Na crtaj du` AB, pravu CD i vektor a . Izvr{i translaciju du`i AB i na pravi CD za vektor a .

4.

Nacrtaj pravu AB i izvr{i translaciju prave AB za vektor

a = AB . U {to se

preslikava prava AB?

5.

Dat je trougao ABC i vektor

C

a.

a

Izvr{i translaciju za vektor a temena A, B i C. Neka t a (A) = A1 i t a (B) = B1 i t a (C) = C1. Poka`i da DABC @ DA1B1C1.

A

B

Translacija

25

Na crte`u je prikazana translacija za vektor a DABC.

a

Primeni svojstvo translacije na du`i i stav CCC za skladnost trouglova. Time }e{ pokazati da DABC @ DA1B1C1. Prema crte u, mo e{ da predstavi{ da je DABC pomeren (preslikan) za vektor a i podudara se sa DA1B1C1. Za DA1B1C1 ka emo da je slika DABC pri translaciji t a .

C1

C

X1

X

A

B

B1

A1

Zna~i slika datog trougla prilikom translacije je trougao, skladan sa datim. Uop{te, dve figure F i F1 su skladne ako postoji preslikavawe f: F ® F1, takvo {to svaka ta~ka od F1 e slika bar jedne ta~ke F i za svake dve ta~ke A, B Î F i f(A) = A1, f(B) = B1, da sledi $%

$ % .

Va`i slede}e svojstvo.

F

Pri translacije vektora a svaka figura F se preslikava u figuru F1 koja je skladna woj.

Uo~i da translacija za suproti vektor - a , svaka ta~ka X1 od figure F1 ja "vra}a# u po~etni polo`aj H, t.j. figura F je slika figure F prilikom translacije t- a . 1

Translacija za vektor - a (suprotan a ), predstavqa inverznu translaciju translacije za vektor a .

Proveri!

Treba da zna{: Da ka`e{ i obrazlo`i{ svojstva translacije za vektor a ; Da primeni{ svojstva translacije u zadacima.

Zadaci

Nacrtaj du` AB i na woj izvr{i translaciju vektora a = AB.

3. Nacrtaj ugao AOB i vektor a .

Izvr{i translaciju ugla AOB za vektor a .

1. Nacrtaj du` AB i zatim napravi translaciju AB za: a) dati vektor a ;

4. Data je kru`nica k sa centrom O i radius r vektora a , sa | a | = 2r. Izvr{i translaciju kru`nice k za vektor a .

b) za vektor a = BA .

2. Nacrtaj pravu p i vektor a .

Napravi translaciju prave p za vektor a .

5. Dat je DABC i vektor a . Izvr{i translaciju trougla ABC za:

a) vektor - a ; b) vektorot c = AB .

26

Tema 1. Vektori. Translacija

8

PRIMENA TRANSLACIJE

Podseti se!

Uz pomo} translacije se dokazuju ve}i broj geometrijskih teorema i re{avaju se zadaci. Kako se primewuje translacija - vidi u narednim primerima.

A

U koju figuru prilikom translacije se preslikava: a) ta~ka; v) poluprava; d) ugao; e) trougao;

b) du`; g) prava; |) kru`nica; `) dve prave {to se seku?

Nacrtaj ugao AOB i vektor a . Izvr{i

1.

Doka i da:

a) dva ugla sa isto usmerenim krakovima su jednaki; b) dva ugla sa suprotno usmerenim krakovima su jednaki;

translaciju AOB za vektor a . Kakvi su po veli~ini AOB i wegova slika A1O1B1?

v) dva ugla, tako {to jedan par krakova su im isto usmereni, a drugi par suprotno usmereni, su suplementarni.

Razgledaj crte`e i uo~i postupak prilikom dokazivawa. a)

b)

B1

v)

B

B a O

B2

A1 O1 A

OA ­­ O1A1 OB ­­ O1B1

A1 O

B1

B O1

a B1

A2

A

OA ­¯ O1A1 OB ­¯ O1B1

A1 O

O1 A

OA ­¯ O1A1 OB ­­ O1B1

Primeni svojstvo: prilikom translacije, jedna figura se preslikava u skladnu figuru woj, pa ugao se preslikava u ugao wemu jednakom (skladni).

F a)

F b)

Neka OO1 = a . Prilikom translacije za vektor a ugao AOB se pomera u ugao A1O1B1, t.j. t a ( AOB) = A1O1B1. prema tome AOB = A1O1B1. Neka OO1 = a . Prilikom za vektor a , AOB se pomera u ugao A2O1B2, t.j. t a ( AOB) = A2O1B2. Prema tome AOB = A2O1B2.

Uo~i da A2O1B2 = A1O1B1 kao unakrsni uglovi. Mo`e{ da zaklu~i{ da AOB = A1O1B1.

F Na sli~an na~in doka`i tvr|ewe v).

Translacija

27

2.

Primenom translacije doka`i da je zbir unutra{wih uglova trougla 1800.

b1 g 1 a 1 C g

Uo~i postupak i postupi po onome {to se tra`i.

F F F F F F F 1

Neka AC = a i BC = b .

2

Uglu a izvr{i translaciju za vektor a , t.j. t

b

a a

a

(a) = a1.

b

A

B

3

Kakvi su uglovi a i a1 po veli~ini?

4

Na uglu b izvr{i translaciju za vektor b , t.e. t b (b) = b1.

5

Kakvi su uglovi b i b1 po veli~ini?

6

Temena uglova a i b se pomerena u teme C. Obrazlo`i, u {ta se preslikavaju krakovi ugla a i b.

F

Obrazlo`i, za{to a + b + g = 180o.

Za{to g = g1?

3.

Date su prave p, q i vektorot a . Na pravi q konstrui{i

8

Za{to a1 + b1 + g1 = 180o?

F

7

9

q

a

ta~ku M 1 koja je slika neke ta~ke M od prave p pri translaciji t a .

p

Analiza re{ewa Pretpostavi da je zadatak re{en (vidi crte`). Analizom uvidi postupak za konstrukciju ta~aka M i M1

F F F F F 1

Neka M1 je slika ta~ke M pri t a .

M1

q

a

p1

a M

p

2

MM1 = a . Za{to?

3

Prava p1 je slika prave p pri t a .

4

Ta~ku M 1 mo`e{ da je konstrui{e{ kao prese~nu ta~ku na p i p1.

5

Ta~ku M mo`e{ da konstrui{e{ kao sliku ta~ke M1 pri translacije za vektor - a.

28

Tema 1. Vektori. Translacija

Konstrukcija q

F F F 1

p1

Izberi ta~ke A i B na p i konstruiraj pravu p1 = t a (p).

2

M1 e prese~na ta~ka q i p1.

3

M = t- a (M1).

M1

A1

a B1

-a

p

M

A

B

Treba da zna{: Da izvr{i{ analizu datog zadatka i da proceni{ da li mo`e{ da re{i{ primenom translacije.

Proveri!

B

k

Data je prava AB, kru`nica k i vektor a . Na pravi AB konstrui{i ta~ku koja se preslikava na kru`nici k pri translaciji za

A

O a

vektor a . Koliko takvih ta~ki mo`e da ima prava AB?

Zadaci 1. Date su prave p, q i du` AB. q

2. Konstrui{i kru`nicu koja prolazi kroz datu ta~ku M i dodiruje dve paralelne prave p i q.

A B

q p

M p

Konstrui{i du` MN paralelnu i jednaku AB , ~ije krajwe ta~ke le`e na datim pravama p i q.

Translacija

29

U^I SI VEKTORIMA I TRANSLACII. PROVERI SVOJE ZNAWE

1.

Za koje dve poluprave ka`emo da su istog smera?

7.

Nacrtaj dva vektora a i b, a zatim konstrui{i: a) vektor c = a + b ;

2.

Data je poluprava OA. a) nacrtaj polupravu O 1 A 1 , istog smera sa polupravom OA. b) nacrtaj polupravu O2A2 suprotnog smera od poluprave OA.

b) vektor c = a - b .

8.

Dati su vektori a, b i MM = 0. Sa po~etka datoj ta~ki A konstrui{i vektor: a) -a + 0;

3.

Za koja dva vektora ka`emo da su kolinearni?

9.

b) 0 - b.

Dati su: ta~ke A i ta~ka A1, {ta je slika ta~ke A prilikom translacije t za vektor a. Odredi vektor a

4.

prilikom translacije t. S po~etkom datoj ta~ki A konstruiraj vektor AB, tako da ima dati smer S i |AB| = 3 cm.

10. Data je du` AB i vektor a = AB. Izvr{i translaciju t du` AB vektorot -a.

5.

Dati su vektori AB, CD i ta~ke M. Konstrui{i vektor: a) MN jednak AB.

11. Date su kru`nice k(O, r), k1(O1, r1) i

prava p. Konstrui{i pravu q paralelnu p, tako da pri preseku kru`nice ona formira jednake tetive.

b) MD suprotan CD.

6.

Nacrtaj dva suprotana vektora a i b, a zatim na vektorot a nadove`i

12.

vektor b.

30

Tema 1. Vektori. Translacija

Date su dve kru`nice k1 i k 2 koje se seku. Kroz jednu prese~nu ta~ku povuci pravu p, tako da su tetive kru`nice koje pripadaju pravi p jednake.

TEMA 2.

STEPENI. KVADRATNI KOREN

STEPEN GDE JE POKAZATEQ PRIRODNI BROJ 1. Stepen 32 2. Pretstavqawe broja u obliku stepena. Izra~unavawe brojnog izraza 35

KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA 5. Kvadrat broja. Kvadratni koren 45 6. Izra~unavawe kvadratnog koren 49 na nije obavezno

OPERACIJE SA STEPENIMA 3. Mno`ewe i deqewe stepena jednakih osnova 4. Stepenovawe stepena, proizvod i koli~nik

REALNI BROJEVI 7. Iracionalni brojevi 8. Skupovi realnih brojeva Proveri svoje znaewe

39 42

52 54 56

Sre}an 22 + 3 ˜ 4- ti ro|endan

Stepen sa pokazateqem prirodni broj

31

1

STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ STEPEN

Podseti se!

Ameba je jedno}elijski `ivi organizam. Ona se razmno‘ava prostom deobom. Svaka ameba se deli na dve nove amebe.

A

Zbir istih sabiraka se kra}e zapisuje kao proizvod. 3+3+3+3=4 3 Zapi{i slede}e zbirove kao proizvode:

1.

36 + 36 =

Jedan obojeni kru`i} neka predstavqa amebu. Uo~i broj ameba koje se dobijaju razmno`avawem jedne amebe.

120 + 120 + 120 + 120= Proizvod istih mno`ioca zapisuje se kra}e kao stepen. 6 6 6 = 63 Zapi{i slede}e proizvode kao stepene:

Prva deoba 2=2 Druga deoba 2 2 = 22 = 4

2 2 2 2 = 18 18 =

Tre}a deoba 2 2 2= 23 = 8

Zapi{i ~etvrtu deobu amebe kao proizvod jednakih mno`ioca. Zapi{i kao stepen ~etvrtu deobu amebe. Koliki je broj ameba, posle ~etvrte deobe? Proizvod 2 2 2 2 kratak zapis 24 (se ~ita "dva na ~etvrti#), a negova brojevna vrednost je 16.

Zna~i, stepen 24 je kratak zapis proizvoda od 4 mno`ioca, jednakih na broj 2.

Uop{te Proizvodot od n jednakih mno`ioca jednakih broja a se ozna~ava sa an i zove se stepen na a, t.j. a a a a = an

Stepen

n-puta

Po dogovoru: a1 = a.

2. 32

Zapi{i kao stepen proizvod: (- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);

)

n(

a(

^ita se: a na enti. Pro~itaj stepen: 712.

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Eksponent, stepenov pokazateq Osnova stepena

Stepen 34 zapi{i kao proizvod i izra~unaj wegovu vrednost. Operacija kojom se izra~unava brojna vrednost stepena nekog broja se naziva stepenovawe.

B

3.

Uo~i primere gde je izvr{eno stepenovawe.

3 = (3 ˜ 3) ˜ (3 ˜ 3) = 9 ˜ 9 = 81 ) 3 = 3 ˜ 3 ˜ 3 ˜ili 3 ˜ (3 ˜ 3 ˜ 3)= 3 ˜ 27 = 81 4

)

Koristi asocijativno svojstvo {to ti je najpogodnije.

(- 4)2 = (- 4) ˜ (- 4) = 16 (- 4)3 = (- 4) ˜ (- 4) ˜ (- 4) = 16 ˜ (- 4) = - 64

§ ¡ § ¡ § ¡ § ¡ § ¡ ¨ ¸ =¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸= Š š Š š Š š Š š Š š

=

Uo~i znak osnove i znak vrednosti stepena, a naro~ito da li je eksponent parni ili neparni broj.

Ă— =

) (-1 1)= 1=˜ (-1 ˜ 1)1 ˜˜1(-˜ 11)˜ ˜1(-˜ 11)= =1 - 1 7

3

(- 1)6 = (- 1) ˜ (- 1) ˜ (- 1) ˜ (- 1) ˜ (- 1) ˜ (- 1) = 1

) 0 =0˜0˜0˜0˜0˜0=0

Kolika je vrednost stepena sa osnovicom 1, a koliko stepena sa osnovicom (-1)? Da li vrednost stepena sa osnovicom 0, zavisi od eksponenta?

6

099 = ˜ ˜ ˜ ˜

˜ = 0 SZQN

Izra~unaj vrednost svakog stepena: (1,2) 3 =

; (- 5) 4 =

; (- 3) 3 =

;

=

; 0 =

; 16 =

;

71 =

.

Slede}a tabela }e ti pomo}i da proceni{ kakav broj je vrednost stepena u zavisnosti od osnove stepena i eksponenta stepena. Osnovica stepena Pozitivni broj 1 0

Eksponent Koji bilo prirodni broj

Vrednost stepena

Negativni broj

Parni broj Neparni broj

Pozitivni broj 1 0 Pozitivni broj Negativni broj

Koji bilo broj

1

Sam taj broj

Stepen sa pokazateqem prirodni broj

33

4.

Koriste}i pravila iz tabele, odredi kakav broj }e biti vrednost svakog stepena:

§ · § · 63; (- 6)3; ¨© ¸¹ ; ¨© ¸¹ ; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020.

Uo~i brojnu vrednost stepena (-2)3, izra~unatu digitronom:

5.

-2 y x 3 = -2

y x ili x y Ako kalkulator ima na tastaturi.

-8

=

4

=

-8

Ako kalkulator nema na tastaturi.

x y ili x y

Izra~unaj kalkulatorom: 33 =

;

0,5 10 =

;

(- 1,2) 4 =

;

(-136) =

; 152 =

Proveri!

Treba da zna{: [ta je stepen, osnovu (osnovicu) stepena i eksponent (stepenov pokazateq); Da odredi{ brojnu vrednost stepena; Da odredi{ brojnu vrednost stepena;

.

Odredi {ta je ta~no za stepen aQ. a) a je eksponent, a n je osnova stepena; b) n pokazuje koliko je puta broj a uzet kao mno`ilac; v) vrednost aQ je pozitivni broj ako a<0 i n je neparni broj. Tvr|ewe koje za aQ nije ta~no ispravi i zapi{i.

Poku{aj da odgovori{: Izraz -4 [6 nije stepen, a izraz (-4[)6 je stepen. Za{to? Zapi{i svaki izraz kao proizvod. Uo~i razliku me|u zapisima.

34

Problem sa algama

U jednoj ~a{i stoje alge. Alge su takve {to se za jedan dan wihov broj mo‘e uve}ati za dvaput. Potrebno je bilo da se za 10 dana ~a{a napuni algama. Za koliko dana je ~a{a bila napuwena algama do pola? Obrazlo`i svoj odgovor.

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Zadaci 1. Odredi osnovicu i eksponent svakog

3. Zapi{i kao stepen proizvode:

stepena:

64 =

Ăˆ [ Ă˜ p m -x p - p ; ÉÊ Ă™ ; 020. Ăš

(- x + 3)3=

;

(- 2)4 =

§ ¡ ¨ ¸ = Š š

;

2. Zapi{i kao stepen proizvode: (- 2,5) ˜ (- 2,5) =

;

x ˜ x ˜ x ˜ x ˜ x ˜ x =

;

6˜6˜6˜6˜6=

2

(m3)4 =

;

; .

Izra~unaj vrednost svakog stepena:

(- 2) =

;

§ ¡ ¨ ¸ = Š š

(- 5)2 =

;

(- 0,6 )7 =

;

5

;

§ ¡ § ¡ § ¡ ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ = Š š Š š Š š

(x + 6) ˜ (x + 6) =

§ ¡ ¨ ¸ = Š š

4.

(a + b) ˜ (a + b) ˜ (a + b) =

;

; ;

; Proveri svoj rezultat kalkulatorom.

.

PRETSTAVQAWE BROJA U OBLIKU STEPENA. IZRA^UNAVAWE BROJNE VREDNOSTI IZRAZA

A 1.

Podseti se! Proizvod 10.10.10, zapisan kao stepen je 103.

U tabeli su neke dekadne jedinice zapisane kao proizvod istih mno`ioca i kao stepeni sa osnovicom 10.

Odredi osnovicu i eksponenta stepena 103.

Dekadna jedinica

Zapi{i stepen 106 kao proizvod jednakih dvocifrenih mno`ioca.

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

Uporedi : broj nula u svakoj dekadnoj jedinici, broj mno`ioca u proizvodu i eksponenta u zapisu kao stepen.

Proizvod

Stepen

Uo~io sam da je broj nula u dekadnoj jedinici jednak pokazatequ u wegovom zapisu u obliku stepena sa osnovicom 10.

Stepen sa pokazateqem prirodni broj

35

2.

Zapi{i oblik stepena brojeva koji se sre}u u svakoj re~enici: Masa Meseca je oko

kilograma.

Masa Neptuna je oko

kilograma.

SZQN

nuli

Masa Sunca je oko deset miliona puta ve}a od mase Meseca. Zapi{i masu Sunca u obliku stepena. Ja imam 107 puta ve}u masu

3.

Zapi{i kao proizvod stepene 109, 10 11 ,10 10 .Zapi{i dekadnu jedinicu koja je jednaka stepenu 10 7.

Brojevi koji mogu da se zapi{u kao proizvod broja i dekadne jedinice, mogu da se zapi{u i kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10. Na primer: 265.000 000= 265.1 000 000= 265.106.

4.

Brzina svetlosti je 300 000 kilometara u sekundi. Zapi{i brzinu svetlosti kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10. Put koji prolazi svetlost u toku jedne godine se zove svetlosna godina. Koliko kilometara ima jedna svetlosna godina?

Podseti se! 1 godina = 365 dana; 1 dan = 24 ~asa; 1 ~as = 60 minuta; 1 minuta =60 sekundi;

Zapi{i svetlosnu godinu kao proizvod dva broja od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10 i pokazateqem 8.

1 svetlosna = 300 000 ˜ 365 ˜ 24 ˜ 60 ˜ 60 = godina

Do sada si sagledao da veliki brojevi mogu da se zapi{u kao proizvod dva broja, od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10. Na sli~an na~in, mali brojevi mogu da se zapi{u kao stepen sa osnovicom 0,1 ili proizvod broja i stepena sa osnovicom 0,1.

B 5.

36

U tabeli uo~i decimalne brojeve koji su zapisani kao proizvod jednakih mno‘ioca i kao stepeni sa osnovicom 0,1

Broj

Zapis kao proizvod

Stepen

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Uporedi broj decimalnih mesta posle zapete u broju, sa eksponentom u zapisu broja kao stepen.

6.

Uo~io sam da eksponent u zapisu kao stepen je jednak broju decimalnih mesta posle zapete u broju.

Zapi{i kao stepen sa osnovom 0,1 brojeve:0,0000000001 i 0,0000001. ; 0,19 =

Stepen sa osnovom 0,1 zapi{i kao decimalni broj.= 0,11 =

.

Svaki decimalni broj mo‘e da se napi{e kao proizvod dva mno‘ioca tako {to je jedan stepen od o,1.

7.

Uo~i primer:

0,007 = 7 ˜ 0,001 = 7 ˜ (0,1 ˜ 0,1 ˜ 0,1) = 7 ˜ 0,13

Napi{i slede}e brojeve kao proizvod celog broja i stepena sa osnovicom 0,1: 0,3 =

;

0,0008 =

;

0,000362 =

1,05 =

;

.

Potseti se!

V Ta~ke idu pre crtice.

Ali prvo u zagradi.

8. ¡ § Izra~unaj ¨ ¸ Š š

Red operacija

Brojni izraz (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) ˜ 2

Zagrade

810 : (-3)4 - (63 : 8) ˜ 2 =

Tre}i red

= 810 : 81 - (216 : 8) ˜ 2 =

Drugi red

= 10 - 27 ˜ 2 =

Prvi red

= 10 - 54 =

Rezultat

- 44

Operacije stepenovawe je operacija tre}eg reda.

Uo~i preme{tawe brojevne vrednosti izraza (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) ˜ 2.

Ja sam tre}i red, ali na prvom mestu

2

a 1

n + -

Stepen sa pokazateqem prirodni broj

3 37

Kod obra~unavawa brojne vrednosti izraza, operacija stepenovawa se vr{i pre operacije drugog reda (mno`ewe i deqewe), a na kraju su operacije prvog reda (sabirawe i oduzimawe). Naravno, treba se obratiti pa`wa na zagrade.

Odredi brojevnu vrednost izraza:

a) 620 + 3 ˜ 5 - 147 : (- 7) = 2

2

§ ¡ § ¡ ; b) 32 Ă— ¨ ¸ - 16 : ¨ ¸ + 20 : (- 1)123 = Š š Š š

.

Proveri!

Treba da zna{: Da napi{e{ velike i male brojeve u vidu stepena; Da primeni{ redosled operacija prilikom izra~unavawa brojevne vrednosti izraza.

Povr{inu Zemqe, koja iznosi oko 510 000 000 km2, napi{i kao proizvod dva mno`ioca od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10. Napi{i redosled kojim se vr{e operacije sabirawe, oduzimawe, mno`ewe, deqewe i stepenovawe u brojnom izrazu.

Zadaci

1. Napi{i brojeve koji se nalaze u svakoj re~enici ,kao proizvod dva mno`ioca, tako da je jedan stepen broja 10 (ili obratno): Masa Jupitera je oko

toni. SZQN

Mars ima masu oko 6,4 ˜ 1020 tona U ~ovekovom telu ima oko 0,1 ˜ 1015 }elija.

2. Izra~unaj:

38

435 ˜ 104 =

;

26783 ˜ 102 =

6,9 ˜ 102 =

;

0,45 ˜ 103 =

15 ˜ 0,13 =

;

0,392 ˜ 0,12 =

; ;

3. Odredi brojevnu vrednost izraza: (16 - 13)2 : 3 = =

;

;

4. Uo~i

43 + 4 Ă— (8 : 23) =

;

˜

= ˜

.

brojevnu vrednost izraza 6:3+3.32. gde treba da se napi{u zagrade tako da bude ta~na wegova brojevna vrednost? 6 : 3 + 3 ˜ 32 = 45; 6 : 3 + 3 ˜ 32 = 9; 6 : 3 + 3 ˜ 32 = 29.

.

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

OPERACIJE SA STEPENIMA

3

MNO@EWE I DEQEWE STEPENA JEDNAKIH OSNOVICA

A 1.

Potseti se!

Mno`ewe stepena

Stepen a n u obliku proizvoda se pi{e

Pisawe stepena kao proizvoda

Q UFYN

(-3)2 Â˜Ă— (-3)

Predstavi kao proizvod jednakve mno`iteqe stepena ; (- 2)2 =

Ăˆ Ă˜ Â˜Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ Ă— ÉÊ ÙÚ

.

Proizvod stepena

(2 (2 Â˜Ă— 22 Â˜Ă— 2) Â˜Ă— (2 Ă—Â˜ 2) = 23+2 = 255 22 Â˜Ă— 22 Â˜Ă— 2 Â˜Ă— 2 Ă—Â˜ 22 ((-3) Â˜Ă— (-3)) Â˜Ă— (-3) = (-3)2+1 = (-3)33 (-3) Â˜Ă— (-3) Â˜Ă— (-3) Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ š š š š š š Ă— = ÊÉ ÚÙ ˜ ÉÊ ÙÚ = Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ = =É Ă™ ÉÊ ÙÚ ĂŠ Ăš š š š š š š š (5 (5 Â˜Ă— 55 Â˜Ă— 5 Â˜Ă— 5) Â˜Ă— (5 Ă—Â˜ 5) == 54+2 = 5 55 Â˜Ă— 55 Â˜Ă— 5 Â˜Ă— 5 Ă—Â˜ 5 Ă—Â˜ 55

233 Â˜Ă— 22

D ˜ D ˜ D ˜

˜ D ; a1 = a.

73 =

Razgledaj tabelu o mno`ewu stepena.

544 Â˜Ă— 52

Uo~i da prilikom mno`ewa dva stepena sa jednakim osnovicama: ) Osnova rezultata je ista kao i mno`ioca; ) Stepenovi pokazateq rezultata je zbir pokazateqa mno`ioca. Koji stepenovi pokazateq nedostaje u posledwem slu~aju datog u tabeli? Proizvod stepena sa jednakim osnovicama je stepen sa istom osnovicom kao osnovice mno`ioca i pokazateqa jednakom zbiru pokazateqa mno`ioca.

2.

am ˜ a n = a m + n

Odredi proizvode: a4 ˜ a5; ( - 2)7 ˜ (- 2)2; (a - 3) ˜ (a - 3)6. Zapi{i rezultat mno`ewa stepena: x5 ˜ x6 =

3.

Lak{e se pamti:

; ( - k)p ˜ (- k)m =

.

Uo~i kako je izra~unat proizvod

(x ˜ x ) ˜ x (x2 ˜ x4) ˜ x3 = (x2 + 4) ˜ x3 = x6 ˜ x3 = x6 + 3 = x9 2

4

3

Predstavi vrstu stepena proizvoda: b3 Ă— (b7 Ă— b2) =

.

I ovo je lako, osnovicu prepisujem, a stepenove pokazateqe sabiram.

am ˜ an ˜ ap = am+n+p

§ ¡ § ¡ § ¡ § ¡ ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ = Š š Š š Š š Š š

.

39

Razlo`i stepen 69 na tri mno`ioca. Vide}e{ da ima tri re{ewa, ali ti napi{i samo dva. Proizvod jednog mno`ioca i a7 je jednak a97. Koji je taj mno`ilac? Koji broj je stepenovi pokazateq koji nedostaje u mno`ewu 63 ย 6 = 612 ?

4.

Podseti se!

B 5.

Ako a, b i n su prirodni brojevi i n je deliteq brojevima a i b, tada

D E

D Q . E Q

razgledaj tabelu o deqewu stepena jednakih osnovica.

Deqewe stepena

Pisawe stepena kao deqewe proizvoda

Koli~nik stepena

25 : 22

ยน ยน ยน ยน =2ร 2ร 2 =2ย 2ย 2 ยน

25-2 = 23

(-3)2 : (-3)

ยน

= (-3)

= (-3)

(-3)2-1 = (-3)

57 : 53

ยน ยน ยน ยน ยน ยน =5ร 5ร 5ร 5 =5ย 5ย 5ย 5 ยน ยน

57-3 = 54

96 : 9

ยน ยน ยน ยน ยน =9ร 9ร 9ร 9ร 9 =9ย 9ย 9ย 9ย 9

96-1 = 9

Skrati razlomke:

ยน ยน ; ; ; . ยน ยน ยน ili = = ยน = = ยน

Primer:

Primeti da prilikom deqewa dva stepena jednakih osnovica va`i slede}e: Osnovica koli~nika je ista kao i osnovica deqenika i delioca; Stepenovi pokazateq koli~nika je razlika od pokazateqa deqenika i delioca.

) )

Koji je broj stepenovi pokazateq koji nedostaje u posledwem primeru datog u tabeli? Koli~nik stepena jednakih osnovica Lak{e se pamti: (razli~iti od 0) je stepen sa istom osaz0 novicom i pokazateqem jednakog razlia m : a n = a m - n; m > n ci pokazateqa m i n, m > n, deqenika i delioca. uo~i izra~unavawe koli~nika (-6)5 : (-6)3 = . 6. (-6)5 : (-6)3 =

=

ยน

= (-6)3 + 2 - 3 = (-6)2.

ili skra}eno: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2. izra~unaj: 16 : 16 = 9

7. 40

3

;

(-3,5) : (-3,5) = 7

2

;

106

100

: 106 = 99

;

ร ร ร ร ร ร

ร ร : ร ร ร ร =

Uo~i deqewe stepena jednakih osnovica kada deqenik i delilac imaju iste eksponente. Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

.

DQ n nn = n a : a Ako z 0 tada ise, a : a =Q = 1 . jer su brojilac i imenilac jednaki. D

) ) Ako primeni{ pravilo o deqewu stepena jednakih osnova, dobi}e{:: an : an = an - n = ao

Uvidi da si u prvom slu~aju dobio 1, a u drugom a0

smatra}emo da a o = 1

Odredi koli~nik: (-6)3 : (-6)3 =

8.

;

12,02100 : 12,02100 =

;

(a -1)5 : (a -1)5 =

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ

;

Ăˆ Ă˜ : É Ă™ ĂŠ Ăš

=

.

Uo~i deqewe stepena jednakih osnova kada je pokazateq deqenika broj koji je mawi od pokazateqa delioca. (-2)6 : (-2)8 =

Izra~unaj: (-13)4 : (-13)7 =

;

=

š

=

.

Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ : ÉÊ ÙÚ =

;

Treba da zna{:

Proveri! Da ka`e{ i primeni{ pravila:

) a ˜ a = a , m, n � N; ) a a = a , a z 0 i m > n; ) a : a = D Q P , a z 0 i m < n; ) a a = a = 1, a z 0 i n � N. m

n

m+n

m

n

m-n

m

n

n

n

0

Zadaci

Ka`i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova. Objasni kako se dele stepeni jednakih osnova. Koji broj je koli~nik prilikom deqewa dva stepena jednakih osnova (razli~iti od nule) i jednakih eksponenata? Koja je brojna vrednost stepena sa kojom bilo osnovom a z 0 , i eksponent 0?

3. Izra~unaj koli~nike stepena: 1. Izra~unaj proizvode stepena: x5 ˜ x15 y100 ˜ y2

615 ˜ 6100

x3 ˜ x5 ˜ x2 (-b) ˜ (-b)5 ˜ (-b)10

2. [ta treba da se upi{e u prazne kvadrati}e da jedna~ine budu ta~ne: a6 ˜

9

p4 ˜ p ˜

a15 4

7 ˜ 7100 = 7135; p10?

174 : 172 =

;

x9 : x12 = 6

;

6

12 : 12 =

1,14 : 1,1 =

;

35 : 318 = ;

;

a3 : a 3 =

.

4. Izra~unaj brojnu vrednost svakog izraza: š

= =

;

š

;

= =

2 Ă— 32 - 6 Ă— + 5 Ă— (75 : 72) = 2 ˜ 32 - 6 ˜ + 5 ˜ (75 : 72) =

;

; .

.

41

N

k = 2 za k = -2

5.

Izra~unaj koliki je koli~nik

6.

broj bakterija se u nekom proizvodu dvaput pove}ava na svakih 6 minuta. Koliko bakterija }e imati taj proizvod za 1 ~as, ako je na po~etku imao jednu bakteriju?

4

N

Kolikobakterija ima

STEPENOVAWE STEPENA, PROIZVOD I KOLI^NIKSTEPENOVAWE

Potseti se!

A 1.

Stepen a3 se pi{e kao proizvod ovako:

[ta je osnova, a {ta eksponent stepena?

a3 = a a a

Uo~i da 23 predstavqa osnovu stepena, a zapis (23)4 -stepenovani stepen.

Napi{i stepene kao proizvod:

a) (-6)2 =

È Ø b) É Ù = Ê Ú

;

v) (x + y)3 =

Zapis (23)4 predstavqa stepen.

;

Zapi{i stepen (23)4 kao proizvod jednakih mno`ioca.

;

Napi{i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.

Stepen zapisan kao proizvod je (23)4 = 23 23 23 23

Mo`e{ li stepen (23)4da napi{e{ kao stepen sa osnovicom 2? Mo`e{ li da uvidi{ skra}eni na~in za stepenovawe stepena(23)4 ? Stepen se stepenuje tako {to se osnova stepena stepenuje sa proizvodom stepenovih pokazateqa.

Lako je!

(23)4 = 23 23 23 23 = = 23+3+3+3 = 212. ili (23)4 = 23 4 = 212.

Zna~i, osnova se prepisuje, a eksponenti mno`e.

(a m)n = a m n 2.

Uo~i primer: : (x4)2 = x4 2 = x8.

Stepenuj stepene: (0,2 ) = 3 2

42

;

ÈÈ Ø Ø ÉÊ ÉÊ ÙÚ ÙÚ =

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

;

((ab)2)4 =

.

3.

ยน ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร = ร ร ร = ร ร ร ร = ร ร ร ร . Razgledaj primer: ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร ร = ร ร ร ร

ยน

Uprosti izraze:

B 4.

=

(-4)8 : ((-4)2)4 =

;

Odredi brojnu vrednost : a) (3 ย 5)2 = i b) 32 ย 52 =

.

.

Uporedi svoje re{ewe sa datim: a) (3 ย 5)2 = 152 = 15 ย 15 = 225.

b) 32 ย 52 = (3 ย 3) ย (5 ย 5) = 9 ย 25 = 225. [ta si zakqu~io o brojnim vrednostima a) i b) Uo~i da je (3 ย 5)2 = 32 ย 52 . Uop{te, stepen proizvoda je jednak proizvodu stepenovanih mno`ioca datim pokazateqem, tj.

Zna~i: proizvod stepenujem tako {to stepenujem svaki mno`ilac i dobijene stepene mno`im.

(a ย b)n = an ย bn.

5.

a) (x ย y)3 = x3 ย y3;

Razgledaj primere:

b) (p4 ย k)2 = (p4)2 ย k2 = p8 ย k2.

Stepenuj proizvode: a) (a ย b ย c)10 =

;

b) (4xy)2 =

;

v) (-ax)4 =

;

6

g) -(ab) =

V 6.

;

2 6

d) (7x ) =

ร ร ร ร ; ; |) ร ร ร ร ร ร ยน S ร ร =

.

Odredi brojnu vrednost:

ร ร a) ร ร = ร ร

i

b)

=

.

Uporedi svoje re{ewe sa datim: ยน ยน ร ร . a) ร ร = ร ร = = ร ร ยน ยน

b)

=

ยน ยน = . ยน ยน

{ta si zakqu~io o brojnim vrednostima a) i b)?

Uo~i da je ร ร ร ร = ili (2 : 3)3 = 23 : 33. ร ร

43

Uop{te, stepen koli~nika je jednak koli~niku stepenovanog deqenika i delioca sa datim pokazateqem, tj.

Zna~i, kada stepenujem koli~nik, stepenujem deqenika i delioca (ili brojioca i imenioca) posebno i dobijene stepene delim.

Q

DQ Ăˆ DĂ˜ = ; b š 0. ÉÊ ÙÚ E = E Q ; b z 0.

Ăˆ

Ă˜

š

Ăˆ Ă˜ N N Razgledaj primere: a) É Ă™ = = ; b) É N Ă™ = N = = . ĂŠ [Ăš [ [ ĂŠ SĂš S šS S

Stepenuj koli~nike:

7.

Ăˆ [Ă˜ a) É Ă™ ĂŠ \Ăš

Ăˆ Ă˜ ; b) É Ă™ = ĂŠ [Ăš

=

; v) (c : 2)3 =

g) (x3 : y7)2 =

;

d) (2m : 3n)4 =

;

.

Uo~i upro{}avawe izraza (x4)3 : x2 primenom operacija sa stepenima.

8.

(x4)3 : x2 = x4 ˜ 3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10.

Uprosti izraze: a)

D š D

D

; b) (y13 ˜ y) : (y7)2 =

=

; v) (b4)3 : (b4 ˜ b3 ˜ b2) =

;

g) (2 ˜ 3)4 : 63 =

Izra~unaj vrednost brojnih izraza:

9.

Ăˆ Ă˜ 2 23 3 a)a) É Ă™ ˜ (3 ) ) == Ă— (3 ĂŠ Ăš

10.

; ; b) (2 ˜ 3)4 : 33 =

;

v) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 =

Date izraze napi{i kao stepene sa osnovom 2, ali predhodno razgledaj re{eni primer. a) 27 : 42 =

;

b)

š

==

.

Primer: 164 : 83 = (24)4 : (23)3 = = 24 ˜ 4 : 23 ˜ 3 = 216 : 29 = 216 - 9 = 27.

..

Treba da zna{: Da ka`e{ pravila o stepenovawu proizvoda, koli~nik i stepen Stepenovawe proizvoda (a ˜ b)n = an ˜ bn

Stepenovawe koli~nika Stepenovawe stepena (a b)n = an bn; b z 0

(am)n = am ˜ n

Da primeni{ postupke za stepenovawe proizvoda, koli~nika i stepena u zadacima.

Proveri!

Izvr{i stepenovawe svakog izraza:

3 4 5

(x y ) =

44

;

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ == [

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

;;

Ăˆ š Ă˜ ÉÊ Ă™ == Ăš

..

.

Zadaci

4. Napi{i stepen a18, kao stepen sa

1. Stepenuj proizvode: (a3b)2 =

(x4y3)7 =

;

(ay3b5)2 =

(7a6b4)9 =

;

osnovicom:

;

a) a2; b) a6;

.

5. Odredi vrednost izraza:

2. Stepenuj svaki koli~nik Ă˜

Ăˆ[ \ ÉÊ ÙÚ = D

;

Ă˜

ĂˆD F ÉÊ ÙÚ = E

ĂˆDĂ˜ ÉÊ E ÙÚ

E

;

S

Ăˆ Ă˜ ÉÊ S ÙÚ

.

;

[ \

Ăˆ D š D Ă˜ za a = 3; a) É ĂŠ D š D ÙÚ

3. Napi{i koli~nik kao stepen: D

v) a9

Ăˆ [ š [ Ă˜ b) É Ă™ za x = 2. ĂŠ [ š [Ăš

6. Date proizvode stepena, napi{i kao =

.

stepen proizvoda. a) a2b2 = ; b) 36x6 =

;

; g) 8x9 y6 =

.

v) x8 y4 z12 =

KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA

5

KVADRAT BROJA. KVADRATNI KOREN

A 1.

Potseti se! P=a˜a a

Izmeri i napi{i du`inu strane kvadrata na crte`u.

a

Izra~unaj povr{inu kvadrata i napi{i je u mm2 Izra~unaj povr{inu kvadrata sa stranom

cm.

5Ă—5=

Izra~unaj proizvode: ; (-4) Ă— (-4) =

;

Ă— =

.

Napi{i kao stepen proizvode: a) a) a)77Ă—Â˜77Ă— ˜77==

; ; b) b) b)

vv) ) c) 66 Ă—Â˜ 66 ==

;;

dd) ) xĂ—x= e) x ˜ x =

; ;

Ă— Ă— Ă— = ˜ ˜ ˜ =

gg) ) (-0,5) Ă— (-0,5) = d) (-0,5) ˜ (-0,5) = e)|) ab Ă— ab = f) ab ˜ ab =

;;

. .

8RaL Proizvod dva jednaka mno`ioca se zove kvadrat tog mno`ioca.

45

;;

Odre|ivawe brojevne vrednosti kvadrata broja, se zove kvadrirawe. Uop{te, koji bilo racionalni broj x, proizvod x x , kratko se pi{e kao stepen x2. x x = x2 (~ita se: iks na kvadrat) x2 je kvadrat racionalnog broja x.

2.

Napi{i ga u obliku proizvoda od dva jednaka mno`ioca:

3 =

;

2

4 =

;

2

(-5) =

;

2

(0,5) =

È Ø ÉÊ ÙÚ =

;

2

.

Izra~unaj: 6622==

È Ø ÉÊ ÙÚ = =

;;

2 2 ; ; (0,1) == (0,1)

-2;1;1; Kvadriraj svaki broj: 2;2;-2;

3.

2 2 ; ; (-0,1) == (-0,1)

..

-10. ; ;2 2 ; ;-10.

Izra~unaj napisane kvadrate:

3 = 3 = 2 2

; ;

È Ø ÉÊ ÙÚ = =

; ;

È Ø ÉÊ ÙÚ = =

; ;

022 = 0 =

. .

8SDPWL

Uo~i da je svaki od primera pozitivan broj

Bilo koji racionalni broj x razli~it od nule, broj x2 je pozitivan broj, a je 0 za x =0.

Uo~i primere za kvadrirawer digitronom:u

4.

b) ÉÈ ÙØ = Ê Ú

a) 72 = 7

=

49

1

5 r

;

b) (0,3)2 =

=

-0.2

0.04

Kvadriraj digitronom: a)1232 =

;

-462 =

;

È Ø ÉÊ ÙÚ= = . .

Izra~unaj vrednosti brojevnih izraza, a zatim proveri digitronom a) 4122 - 5 792 =

B 5.

.

b) 40,42 - 10 2,282 =

.

Povr{ina jednog kvadrata je 81 cm2. Odredi du`inu strane kvadrata.

46

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Uo~i crte` 81 cm2 x

Neka je du`ina strane kvadrata x . Povr{ina kvadrata je P = x ˜ x ili

x

P = x2 .

Povr{ina kvadrata je x2 = 81. Da bi izra~unao stranu kvadrata ,treba da izra~una{ jedna~inu x2 = 81.

6.

Zna~i, treba da odredim vrednost x, tako da x2 ˜ x2 = 81 Za x=9, ta~no je da 9 ˜ 9 = 81, ali i za x =(-9) ta~no je da (-9)=81.

Po{to je du`ina uvek pozitivan broj, sledi da je strana kvadrata 9 sm.

Razgledaj primer: Brojeve 4 i -4 su re{ewa jedna~ine x2 = 16, tako {to 42 = 4 ˜ 4=16 i (-4)2 =(-4) ˜ (-4)=16 Proveri da li su brojevie

Ăˆ Ă˜ 2 i ÊÉ ÚÙ re{ewa x =

Ja imam dva re{ewa.

7.

Odredi re{ewa: a) x2 = 1;

V 8.

b) xx22 ==

2

..

=a

Ja sam pozitivan.

Odredi samo pozitivna re{ewa jedna~ina: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.

Uo~i Ne negativno re{ewe jedna~ine x2 = a; a t 0, zove se kvadratni koren a i pi{e se a

Razgledaj primer:

zato {to ĂˆĂ‰ Ă˜Ă™ ĂŠ Ăš

Znak

je znak za kvadratni koren, a u zapisu a , broj a je osnova korena ili veli~ina ispod korena.

.

9.

Koji broj je kvadratni koren od: 49, 25, 16 i

10.

Doka`i da su ta~ne jednakosti: a)

= 20;

b)

= 11;

v)

= 0,2;

? g)

= 0,5.

47

Upamti! a = b (a t 0), ako

11. Uo~i i obrazlo`i datu {emu.

b2 = a (b t 0).

Kvadratni koren Zna~i, da bi izra~unao kvadratni koren od a, treba da odredim ne negativan broj b ~iji kvadrat je jednak broju a .

12.

Kvadrat

Izra~unaj brojevnu vrednost izraza: 4Ă—

13.

=

;

-2 Ă—

=

=

;

+

;

=

.

Razgledaj primere za odre|ivawe kvadratnog korena kalkulatorom. 2.5 .

7 ; b) b) 6,25

a) 49

Izra~unaj kalkulatorom: =

=

;

;

=

=

;

=

;

.

Proveri rezultate sa kvadrirawem.

Treba da zna{:

Proveri! Da odredi{ kvadrat racionalnog broja; Da odredi{ re{ewa jedna~ine tipa x2 = a

Digitronom da izra~una{ kvadrat i kvadratni koren broja.

Zadaci

;

(1,6)2 =

;

(-0,3)2 =

. Proveri da li je re{ewe jedna~ine x2 = .

2. Odredi x u jedna~inama:

a) (16 - 13)2 : 2 =

b) 82 + (4 ˜ 8 : 4) =

48

32 =

Proveri da li je ta~no:

1. Izra~unaj:

š v) š ==

Izra~unaj:

..

;

2

a) x = 144; ;

2

b) 2x = 72;

= 2,3

[ 20. v) ++ 22 == 20.

3. Izra~unaj du`inu strane kvadrata koji ima povr{inu 324 cm2 .

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Ja znam da izra~unam kvadrat broja na druga~iji na~in! Uo~i kako su izra~unati kvadrati: 22 = 3 ˜ 1 + 1 = 4;

32 = 4 ˜ 2 + 1 = 9;

42 = 5 ˜ 3 + 1 = 16;

52 = 6 ˜ 4 + 1 = 25.

Otkri koje je pravilo za izra~unavawe. Napi{i: 62, 72 i 82 na ovaj na~in. Izra~unaj 192, 312 i 992 koriste}i dati postupak. Proveri svoje rezultate sa kvadrirawem.

6

IZRA^UNAVAWE KVADRATNOG KORENA -nije obavezno

Podseti se! U tabeli su date vrednosti broja a. Odredi kvadrate tih brojeva. a a2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

100

Koriste}i vrednosti iz tabele, izra~unaj: ==

A 1.

;;

==

;;

--

==

;;

˜ Ă— ==

..

Treba da zna{ da proceni{ koliko }e cifri imati kvadratni koren datog broja. Sagledaj podatke u tabeli. Koliko cifara ima kvadratni koren broja:

Broj a

Kvadratni koren D

Jednocifreni ili Jednocifreni dvocifreni

a) 5625 ; b) 1 000 000 ;

v) 625 ˜ 108? Izra~unaj digitronom i proveri svoj odgovor brojeva a) i b).

Trocifreni ili dvocifreni ~etvorocifreni Petocifreni [estocifreni

Trocifreni

Primer = =3 3 = =5 5 = 11 = 11 = = 60 60 = = 101 101 = = 800 800

...

49

Pa`qivo primeni primer 1. nau~i}e{ da ra~una{ kvadratni koren broja bez digitrona.

B Primer 1.

)

Data veli~ina ispod korena se deli na klase sa desna na levo po dve cifre u klasi ( prva klasa u levo mo`e da ima i jednu cifru).

== 33

)

== 34 34

)

-9 9 2 2

-9 9 29 7 :: 64 64 Ă—Â˜ 4 4 29 7 - 25 25 66 41 41

Prva cifra korena od broja je cifra 3 i dobija se kao broj ~iji kvadrat je najbli`e do 11 i mawi od 11 (prva klasa sa leva). Zatim se od prve klase oduzima kvadrat broja 3, tj. 3 ˜ 3 = 9 Do dobijene razlike 2 (11-9=2) s desna se zapisuje naredna klasa (97) i dobija se broj 297 od koga se odvaja posledwa cifra (7). Dvocifreni broj 29 se deli sa dvojnim proizvodom prve cifre od rezultata, 3 ˜ 2 = 6. Pritom, 29:6=4 i broj 4 je druga cifra od rezultata. Cifra 4 se dopisuje do 6 (dobija se 64) i tako dobijeni broj se mno`i sa 4, a dobijeni proizvod se oduzima od 297.

== 346 346

-9 9 29 29 7 7 :: 64 64 Ă—Â˜ 4 4 - 25 25 66 411 686 Ă—Â˜ 6 6 411 66 :: 686 - 411 411 66 00

)

Do razlike od oduzimawa (297 - 256=41) zapisuje se naredna klasa (16). Dobija se broj 4116 od koga se izdvaja posledwa cifra - cifra 6 (dobija se broj 411) i tako dobijeni broj se deli sa dvojnim proizvodom broja od prve i druge cifre korena (34 ˜ 2 = 68). Pritom se dobija (411:68=6) tre}a cifra korena. Ona se dopisuje do 68 i tako dobijeni broj se mno`i sa wom; dobija se (686 ˜ 6 = 4116) proizvod koji se oduzima od datog broja. Ostatak od ovog deqewa je = 0.

Primer 2. = 23,6 -4 15 6 : 43 Ă— 3 - 12 9 279 6 : 466 Ă— 6 279 6 0

50

Za decimalni broj je sli~an postupak. Jedina razlika je {to deqewe klasa je u dva smera: od decimalnog zareza ulevo po dve cifre i udesno po dve cifre. Ako posledwa klasa sa desna ima samo jednu cifru, dopisuje se 0.

Uo~i da pre nego {to se spusti prva klasa decimala, u rezultatu se stavqa zarez.

Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren

Ako posle spustawa posledwe klase ima ostatak, postupak mo`e da se produ`i, tako {to dodaje{ klasu od dve nule, a u rezultatu stavqa{ zarez.

Primer 3

Daqim dodavawem klase od dve nule postupak mo`e da se produ`i. Kvadratni koren broja izra~unava{ do odre|enog broja decimala.

2.

= 25,59 | 25,6 -4 25 5 : 45 ˜ 5 - 22 5 300 0 : 505 ˜ 5 - 252 5 4750 0 : 5109 ˜ 9 - 4598 1 1519

Izra~unaj: a)

=

v)

=

;

=

=

;

;

;

=

b)

=

=

;

;

.

U slu~aju pod v) zaokru`i rezultat na jednu decimalu.

Treba da zna{: Da odredi{ kvadratni koren datog pozitivnog broja.

Proveri! Izra~unaj: =

;

=

.

Koliko cifara ima broj koji je kvadratni koren od petocifrenog broja? Odredi i proveri rezultat digitronom.

Zadaci

1. Odredi brojeve ~iji je kvadrat izme|u: a) 4 i 9;

b) 9 i 16

a)

Obrazlo`i odgovor.

2. Napi{i po dva cela broja najbli`a do vrednosti slede}ih kvadratnih korena:

;

4. Proveri koja je jedna~ina ta~na:

;

š

š ;

b) š

š ;

v)

;

g)

.

.

5. Koliko je obim kvadrata ~ija je 3. Proveri da li je ta~no

.

povr{ina 25 cm2

51

REALNI BROJEVI

7

IRACIONALNI BROJEVI

Podseti se!

A 1.

Racionalni brojevi su brojevi koji mogu da se napi{u u obliku razlomka

Uo~i re{avawe. Po{to 3= a 2, brojevna vrednost du`ine stranice je broj tako {to

a , gde a i b su celi brojevi i b z . b Skup racionalnih brojeva se ozna~ava 4 i 4 ^

Jedan kvadrat je povr{ine od 2 FP 2. Kolika je du`ina wegove stranice?

a2 =2 ,tj.

a=

.

Ali da li je celi broj"

D _ a b Â? = b z ` E

1<

Svaki racionalni broj mo`e da se predstavi kao kona~an decimalani broj ili periodi~ni decimalni broj.

< 2 zato {to 12 = 1 i 22 = 4. Prema

tome

nije cel broj.

Procenom i proverom mo`e da se odredi: 1,4 < < 1,5; 1,41 < < 1,42, ... Zna~i, du`ina stranice kvadrata je ,,broj,, izme|u i

Brojevi: a) 15; 4,27 su kona~ni decimalni brojevi;

= 1,666...; = 0,2777... Su periodi~ni decimalni brojevi. b)

Digitronom mo`e da se izra~una da je | 1,4142135..., t.j. je beskona~no neperiodi~ni decimalni broj.

Po{to se svaki racionalni broj predstavqa kao kona~an decimalni broj ili beskona~ni periodi~ni decimalni broj, mo`emo da zakqu~imo da nije racionalni broj. Svaki decimalni broj koji ima beskona~no decimala i neperiodi~an je, zove se iracionalni broj. Tako, je iracionalni broj.

I brojevi: , , , - , - itd prikazuju se kao beskona~ni decimalni brojevi koji su neperiodi~ni, pa su i oni iracionalni brojevi.

Iracionalne brojeve kao decimalne brojeve zapisujemo kao pribli`ne vrednosti.

2.

Uz pomo} digitrona odredi pribli`ne vrednosti iracionalnih brojeva u obliku decimalnih sa dve decimale. ; = ; = . = ; = Skupovi iracionalnih brojeva se ozna~avaju slovom ,.

52

proceni vrednost i proveri digitronom da li

3.

Koriste}i vrednosti od i si dobro procenio.

4.

Proveri da li va`i nejedna~ina

5.

Odredi pribli`nu vrednost:

< 11.

preciznost sa 1 decimalnim mestom; preciznost sa dva decimalna mesta; Da li postoji du` ~ija du`ina ima merni broj "

6.

C

Razgledaj crte‘ i vidi obrazlo‘ewe. Strana kvadrata $.%6 ima du`inu 1 FP, wegova povr{ina je 3$.%6=1 1=1. Dijagonala kvadrata $.%6 je strana kvadrata $%&'.

) ) Mo`e da se vidi da kvadrat $%&' ima dvaput ve}u povr{inu ) od =2Ă—P =2 Ă— 1 = 2. povr{ine kvadrata $.%6, tj. P ABCD

B

A

1

AKBS

Odredi du`inu strane kvadrata $%&', ako je povr{ina FP

1 K

Zna~i postoji du‘ du‘ine , a ona je $%.

Podseti se na zadatak 1. Kvadrat povr{ine 2 ima stranu du‘ine Ako `eli{ da zna{ vi{e....

B 7.

S

D

Uo~i kako je na brojnoj pravi predstavqen iracionalni broj

1

-

-1

A

O

-2

0

1

)

Iznad du`i 2$ se konstrui{e kvadrat. Wegova je povr{ina

)

Dijagonala kvadrata (wena du`ina) se prenosi na brojnoj pravi.

2

Rastojawe od O do dobijene ta~ke u pozitivnom

-3

-2

-1

1

smeru

negativnom smeru je

0

2

3

)

je

a

Mo`e{ da vidi{ da 1<

< 2;

-2 < - < -1.

Realni brojevi

53

u

Treba da zna{:

Proveri! Koji se broj naziva iracionalni broj. Napi{i 4 broja koji su iracionalni.

Zadaci Koji su od brojeva ;

1.

;

;

;

3.

Zaokru`i na dva decimalna mesta iracionalne brojeve koji su dati u brojnim izrazima. Odredi brojnu vrednost izraza:

iracionalni?

b)

8

+

v) 3 Ă—

2. Predstavi brojeve na brojnoj pravi: -3; - ; 0; 0,5;

=

a) 4 +

Proveri re{ewe izra~unavawem kvadratnog korena digitronom.

g)

; 2; 3 i 4.

=

+

-

; ;

=

+

=

Dosada si nau~io da sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{ brojeve, da odredi{ stepen i kvadratni koren broja.

A

1 je skup prirodnih brojeva: 1 ^ ` = je skup celih brojeva: = ^ `

1.

Izra~unaj:

4 je skup racionalnih brojeva:

a) 106 - 95 =

D 4 = ^ E _ a b Â? = b z `

g) 9 - 15 = e) 1 : 2 =

; b) 47 ˜ 102 = ;

;

d) 135 : 5 = `) 63 =

; v) 316 + 316 =

;

; |) 816 - 816 =

;

;

Odredi kom skupu brojeva pripada vrednost svakog brojnog izraza. Primeti da:

vrednosti izraza a), b), d) i ‘) su elementi 1 Vrednosti iz a) do |) i ‘) su elementi skupa = Vrednosti svih izraza od a) do z) su elementi skupa 4

Odredi re{ewe jedna~ine x2 = 3. Da li jedna~ina [2=3 ima re{ewe koje je element skupa 4" Uo~i da [2=3 ima re{ewe x =

ix=-

.

je iracionalni broj i nije element skupa Q Kom skupu pripadaju brojevi: , i ?

54

.

SKUPOVI REALNIH BROJEVA

Podseti se!

2.

;

z) 1 : 3 =

.

Prema elementima skupova: 1 -prirodni brojevi, = -celi brojevi, 4 -racionalni brojevi i ,-iracionalni brojevi, odgovori na pitawa:

3.

Da li svaki element skupa 1 pripada i skupu =?

Da li svaki element iz skupa = pripada skupu 4?

Da li svaki element skupa 1 pripada i skupu 4?

Da li svaki element iz skupa 4 pripada skupu ,?

Da li neki elementi skupa 4 pripadaju i skupu ,?

5

Uo~i venov dijagram:

)

4

Za skupove 1 = 4 i , va`i: 1 � = � 4 i 4 ˆ , = ‡ =

Skupovi ~iji elementi su svi racionalni i iracionalni brojevi se zove skup realnih brojeva i ozna~ava se sa 5.

,

1

5 4 ‰ , Odredi kom skupu pripada svaki od slede}ih brojeva: 2; 106; -53; 0,002;

4.

; - ;

( -5

6.

5.

Za svaki realni broj postoji ta~ka na brojnoj pravi.

B

-4

'

-3

-2 -

Na brojnoj pravi ozna~ene su ta~ke. Koja od wih je pridru`ena racionalnom, a koja iracionalnom broju? $

&

0

-1 -

Na brojnoj pravi predstavi brojeve:

1

1,5 2

; -

%

)

; 0; ;

33 ; 2; 3

4

5

; 4,5.

Treba da zna{: Proveri!

Koji brojevi su elementi skupa 5;

Da li je ta~no: Ako je broj a element skupa celih brojeva Z , tada je taj broj element i skupa Q i 5. Obrazlo`i!

Da navede{ primere realnih brojeva.

Zadaci 1. Dati su brojevi: - ; Koji Koji Koji Koji

2.

; - 2; - ; - ; 0; 1; 2; brojevi brojevi brojevi brojevi

.

su elementi skupa N? su elementi skupa Z? su elementi skupa Q? su elementi skupa R?

Od onog {to je navedeno, {ta je ta~no:

je iracionalni broj; b) - je realni broj;

a)

v) je iracionalni i racionalni broj; g)7 je prirodni broj, a ceo broj je racionalni broj i realni broj.

Realni brojevi

55

U^IO SI O STEPENIMA, KVADRATNOM KORENU. PROVERI SVOJE ZNAWE 1. Koji broj je osnova, a koji eksponent stepena 5 3?

2.

a) a) Predstavi ih u obliku stepenovih proizvoda: 3˜3˜3˜3˜3˜3=

x7 =

; (-2)3 =

;

(x - y)5 =

a) (ab)3 =

5.

6.

b) 7 050 000 =

=

12.

Izra~unaj brojnu vrednost izraza:

b) 15 - 23(32-3 ) - 7 =

.

Odredi brojnu vrednost izraza:

=

; .

13. Re{i jedna~inu: a) x ;

a) 8 - 2 ˜ 3 + 4 =

.

Izraz [ ˜ [ napi{i kao stepen sa [ osnovom x

a) 0,00025 =

b) 2,103 =

;

g) §¨ ¡¸ = ŠDš

;

a) -22 Ă—

;

;

b) (2x3y)4 =

;

Napi{i broj u obliku proizvoda od prirodnih brojeva i stepen sa osnovom 0,1.

2

b) x

;

b) 32 - (23 + 1) + 200 ˜ 0,12 =

7.

.

.

v) (x2 : y)3 =

sa

Napi{i broj u obliku proizvoda od prirodnih brojeva i stepen sa osnovom 10. ;

koli~nika:

11.

a) 25 000 =

b)

;

10. Napravi stepenovawe proizvoda i

a) 4; b) 3; v) 1; g) 0.

4.

=

.

Izra~unaj vrednost stepena osnovicom (-5) i eksponent:

§ § ¡ ¡ v) ¨ ¨ ¸ ¸ = ¨Š š ¸ Š š

;

(a - 1)(a - 1)(a - 1) = ; b) Predstavi ih u obliku proizvoda stepena:

3.

9. Napravi stepenovawe stepena:

.

14. Izra~unaj digitronom: a)

Odredi proizvod stepena:

=

;

b)

=

a) x ˜ x b) a + ˜ a +

15. Dati su brojevi: 8.

a) a15 : a5 =

56

-3; -

Odredi koli~nik stepena: ;

b)

[ [

.

Tema 2. Stepeni. Kvadratni koren

; 0,5;

;

; 3,2(7); 12.

Koji brojevi pripadaju a) 1 b) = v) 4 g) I d) 5

.

TEMA 3.

POLINOMI

MONOMI I POLINOMI 1. Izrazi 2. Monomi 3. Sabirawe i oduzimawe monoma 4. Polinomi 5. Mno`ewe i stepenovawe monoma 6. Sabirawe i oduzimawe polinoma 7. Mno`ewe polinoma sa monomom 8. Mno`ewe polinoma 9. Proizvod zbira i razlike dva izraza 10. Kvadrat binoma 11. Deqewe monoma. Deqewe polinoma sa monomom

(A + B)2

58 63 67 69 73 74 76 78 81 83 86

12. Delewe polinoma sa polinomom 88 13. Racionalni izrazi 90 RAZLAGAWE POLINOMA NA MNO@IOCE 14. Razla`ewe polinoma izvla~ewem zajedni~kog mno`ioca ispred zagrade i grupirawem 93 15. Razlagawe polinoma tipa 95 $ - % na proste mno`ioce 16. Razlagawe polinoma tipa $ + $% + % i $ - $% + % na proste mno`ioce 97 RAD SA PODACIMA 17. Prikupqawe podataka 99 Proveri svoje znawe 102

A2 + 2AB +B2

Monomi i polinomi

57

MONOMI I POLINOMI

1

IZRAZI

Podseti se!

A 1.

Izra~unaj vrednost izraza: 3 Ă— 8 - 2,5 Ă— 6 + 8 : (-4);

Zapise ĂŽ 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 ˜ 2 su brojevni izrazi.

š . U datim izrazima, prvo treba da izvr{im operacije mno‘ewe i deqewe, a zatim operacije sabirawe i oduzimawe.

Kojim redosledom treba da izvr{i{ operacije u datim brojevnim izrazima? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

) ˜ - ˜ -

- - - , tj. vrednost izraza je 7.

- ˜ - = = = , tj. vrednost izraza je 3. + +

)

Broj koji se dobija posle vr{ewa svih operacija u datom brojevnom izrazu se zove brojevna vrednost izraza. Izra~unaj vrednost izraza

2.

˜

Koja je vrednost imenioca izraza ? Da li tim brojem mo‘e{ da izvr{i{ deqewe?

Vrednost izraza 10:2-5=0, ne deli se sa nulom, tj. deqewe sa nulom nema smisla.

Za brojni izraz u kome ima deqewe sa nulom, se ka`e da nema brojnu vrednost ili da nema smisla.

3.

Odredi koji od navedenih izraza nema brojevnu vrednost: 36 - 9 Ă— 4

58

(3 Ă— 5 - 15) : 8;

Tema 3. Polinomi

; ˜

. ˜

4.

Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ih izraza: a) 12 - 2 ˜ 5 + 30 : 6;

b) 6 - 4 : 2 + 7;

v) 52 - 3 ˜ 8 + 18 : 3.

Koji izrazi imaju jednake brojevne vrednosti? Uo~i da izrazi a) i v) imaju jednake brojevne vrednosti. Brojni izrazi koji imaju jednake brojne vrednosti, ka`emo da su jednaki brojevni izrazi.

5.

Dat je brojevni izraz: ĂŽ brojevni izraz?

Od ~ega je sastavqen dati

Uvidi da je ovaj brojevni izraz ( i drugi brojevni izrazi koje si u~io) sastavqen od brojeva, znakova za operacije: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe i deqewe i stepenovawe sa eksponentom prirodni broj, kao i od zagrada. Brojevi: su konstante. Konstante su i: pravi ugao {1, 2, 3, 4}. Mo`e da se ka`e da su konstante ta~no odre|eni matemati~ki objekti.

Podseti se! Obim ravnostranog trougla izra~unava uz pomo} izraza ˜ a

B 6.

Kolika mo`e da bude du`ina strane a?

se

Kojim simbolima je sastavqen ovaj izraz? [ta ozna~ava svaki simbol? ? Mo`e li a da bude: 5; 27; 3,2;

Neka u DABC: b = 9 cm i c = 5 cm.

Koje brojeve zamewuje slovo a, ako je wen merni broj, prirodan broj? Koje nejedna~ine va`e za strane a E i F u trouglu? Primeni ih prilikom re{avawa zadataka.

Za strane trougla va`e nejedna~ine: a < b + c i a > b - c.

) Uporedi svoje re{avawe sa zadatim. a a a ! - a !

Uo~i da je slovo a zamena za brojeve: i

7.

Neka je [ oznaka za elemente skupa {1, 2, 3, 4, 5} Koje konstante zamewuje slovo x? Uo~i da je slovo [ zamena za brojeve: 1,2,3,4 i 5. Svaki broj je wena vrednost.

Monomi i polinomi

59

Promenqiva je simbol (naj~e{}e slovo) koji predstavqa zajedni~ku oznaku za elemente datog skupa. .Skup se zove domen promenqive (naj~e{}e se ozna~ava sa ', a svaku wegov element predstavqa vrednost promenqive. Ako nije zadat domen promenqive smatra}emo da je on skup R realnih brojeva.

8.

Odredi domen svake promenqive u prethodna dva zadatka.

Uoo~i i zapamti , -9, , ... su izrazi. Promenqive: x, y, z,... , a, b, c, ... su izrazi. [ Zapisi: 3 + 5 ˜ 2, x y x ˜ y - i drugi, sostaveni od konstante i promenqive [ uz pomo} znakova za operacije, su izrazi.

Konstante: 1, 2, 0,

Ako u izrazu ima promenqive, tada se on zove izraz sa promenqivom.

9.

Koji od slede}ih izraza je sa promenqivom: 3 Ă— 8 - 4 2;

[ - 3y;

5x - 2;

.

Izraz sa promenqivom 5 [ -2 mo`e da se ozna~i sa A( x) = 5x - 2.

V 10.

Izra~unaj vrednost izraza A(x) = x2 - 2x - 3 za x = -2.

Uporedi svoje re{avawe sa zadatim. x - x - - - ˜ - - - , t.j. broj 5 je vrednost izraza A(x) = x2 - 2x - 3 za x = -2. Datom izrazu sa promenqivom odgovara odgovaraju}i brojevni izraz, ako se promenqiva zameni sa odre|enom vredno{}u; vrednost brojevnog izraza je brojevna vrednost izraza sa promenqivom.

11.

Izra~unaj vrednost izraza 5x - 2 za x = 2;

60

2x - y za x = 7,2 i y = 6,8.

Tema 3. Polinomi

12.

Neka su dati izrazi: A(x) = x2 - 4x - 5 i B(x) =

[ . [

Odredi vrednosti A(x) i B(x) za x ĂŽ {-2, -1, 0, 1, 2} = D.

Uo~i u tabeli re{avawe ovog zadatka.

x

-2

-1

0

1

$ x

7

0

-5

-8

-1

-2

% x

2

-9 nema -5 vrednost

Iz tabele mo`e{ da uo~i{ da je skup vrednosti izraza A([ [ [ -5 u domenu promenqive D = { 2, 1, 0, 1, 2} , je skup M = {7, 0, -5, -8, -9}. Skup vrednosti izraza B(x) =

[ za x ĂŽ { -2, -1, 0, 1} e N = { - , -1, -2, -5}. [

Za koju vrednost x Â? ' izraz B(x ) nema vrednost?

13.

Neka su dati izrazi: A(x) = x2 + 2x i B(x) = x(x + 2). Odredi skupove vrednosti A(x) i B(x), ako x ĂŽ {-2, -1, 1, 2} = D. Uporedi skupove vrednosti A([ i % ([ ). [ta prime}uje{?

Uo~i re{avawe ovog zadatka u tabeli. x

-2

-1

1

2

$ x

0

-1

3

8

% x

0

-1

3

8

Prime}ue{ da za svaku vrednost x Â? ' $ x % x Izrazi sa promenqivom koji imaju jednake brojevne vrednosti, za svaku vrednost promenqive od domena se zovu identi~ni izrazi.

14.

Dati su izrazi $ x x - x i % x x x - a domenom ' ^ `. Proveri dali su izrazi $ x i % x identi~ni.

Ako dva identi~na izraza se ve`u znakom za jednakost (=) dobija se jedna~ina koja se zove identitet.

15.

Napi{i identitet iz zadatka br. 14.

Monomi i polinomi

61

Treba da zna{: Proveri! Da izra~una{ vrednost brojevnog izraza; Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ih izraza:

Da razlikuje{ brojevni izraz od izraza sa promenqivom;

˜ ;

[ta je: konstanta, promenqiva i domen promenqive.

.

Dati su izrazi: $ x x - x i % x x (2 - x), so domenom ' ^ `. Poka`i da je jedna~ina $ x % x

identitet.

Zadaci

1.

2.

3.

Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ih izraza: b) ˜ - 2,5; a) 5 + 3 Ă— 22 - 12; ˜ ˜ ; g) . v)

a)

˜ ;

b)

;

v)

˜ ˜

g)

. ˜

Koji je od slede}ih izraza sa promenqivom

v)

62

[ ; [

b) 32 Ă— 2 - 1; g)

[ ?

Izra~unaj brojevnu vrednost izraza x - x za x - .

Tema 3. Polinomi

x Za koju vrednost nema x vrednost?

6.

U skupu ' ^ ` dati su izrazi: $ x x x i % x x x - . Poka`i da su izrazi $ x i % x

identi~ni.

7.

Poka`i da je jedna~ina x - x za x Â? ^0 ` , je identitet.

8.

Dati su izrazi: $ x x - % x x i & x x - pri {to x Â? ^0 `.

Odredi koji od slede}ih brojevnih izraza nema vrednost

a) a + 2;

4.

5.

Odredi koja jedna~ina: $ x % x $ x & x ili % x & x e identitet.

2

MONOMI

Podseti se! 3 [ [ xy ; \ ; su [ izrazi sa promenqivom. [ta su konstante, a {ta su promenqive u izrazima. 2x ; 3x2y; x; z?

A 1.

3a; 2x3y2; x3 - 5;

Dati su izrazi: 5 x2;

2 2 xy;

-2ab2; y3; 8; z. Od kojih je konstanti i promenqivih sastavqen svaki izraz? Koje su operacije zastupqene u datim izrazima?

Uo~i da su neki izrazi samo konstante, a neki promenqive. U drugim izrazima me|u konstantama i promenqivima ima samo operacija mno`ewe. Neke promenqive su napisane u obliku stepena. Dati izrazi predstavqaju monome.

Op{to Monomi su: konstante, promenqive i izrazi koji su proizvod od konstanta i stepena promenqive.

2.

Odredi koji od slede}ih izraza su monomi i obrazlo`i odgovor. 2x2y;

[ ; \

(ab)3; x + 2; 4(z - 3)2; ; y.

Podseti se!

B 3. Proizvod stepena sa istim osnovama je stepen sa istom osnovom i eksponentom jednakom zbiru eksponenata mno`ioca. Odredi slede}e proizvode x3 ˜ x5 ˜ x. a 4 ˜ a2 ; Pomno`i sa istim osnovama u monom a a b b

Dat je monom xy x y . Od kojih mno`ioca je sastavqen monom? Sa kojim mno`iocima u monomu mo`e da se izvr{i operacija mno`ewe? Uradi mno`ewe sa tim mno`iocima.

Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo mno`ioca u datom monomu i uradi{ mno`ewe, dobi}e{ identi~an monom datom.

Monomi i polinomi

63

Uporedi svoje re{avawe sa datim.

) 4x x y y = 4(x x y y = 4x y Uo~i da dobijeni monom 4[ y ima samo jednog brojevnog mno`ioca i nema stepene ) jednakih osnova.

5

Ako je u jednom monomu ura|ena operacija mno`ewe sa wegovim mno`iocima sa kojima je mogu}e, ka`emo da je taj monom sveden u standardni oblik. Uo~i kako se svodi monom x y x y u standardni oblik.

4.

) -3x y x y = (-3 2)(x

5.

x (y y -6x y

Napi{i kao standardni oblik monome: - x y y x

a b a b

x y xy xy

Dat je monom - x y .

6.

Koji mno`ioci u monomu su konstante, akoji promenqive? Primeti da u monomu x y mno‘ilac je konstanta, a promenqiva je x i y Brojevni mno`ilac u standardnom obliku monoma ( u slu~aju -6) se zove koeficijent monoma,a proizvod od promenqivih (u slu~aju [ y3) se zove glavna vrednost monoma.

7.

Odredi koeficijent i glavnu vrednost slede}ih monoma: a b

- x y

- x y x y

Monomi: x; x y; ab imaju koeficient jedan. Jedinicu kao koeficijent ne zapisujemo. Koja je glavna vrednost ovih monoma? Monome: -x ; -ab; -x y imaju koeficient - . Napi{i glavnu vrednost ovih monoma.

V 8.

Dati su monomi - x y i x y . Uo~i koeficijente i glavne vrednosti oba monoma.

[ta je zajedni~ko za oba monoma?

64

Tema 3. Polinomi

Oba monoma imaju jednake glavne vrednosti.

Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi.

9.

Odredi koji slede}i monomi su sli~ni: 2x5y2;

DEF ;

[ \ ;

-2x5y2;

-3a2b5c3;

7x5a2.

Podseti se! Dva racionalna broja koji imaju istu apsolutnu vrednost i suprotne znakove, zovu se suprotni brojevi. Napi{i suprotni broj svakog slede}eg broja: a) -5; b) 7,8; v) ; g) 9,25.

10.

Dati su sli~ni monomi: - x y i x y . Kakvi su me|u sebom kojeficienti datih monoma?

Uo~i da kojeficient monoma: - x y i x y su suprotni brojevi. Dva sli~na monoma ~iji su koeficijenti suprotni brojevi, nazivaju se suprotni monomi. a x y

11.

Napi{i suprotan monom monomu

12.

Odredi koji od slede}ih monoma su suprotni.

G 13.

- a b - a bc

ab c

a bc

U monomu x y z promenqiva je x tre}eg stepena, y je od drugog stepena i z od prvog stepena. Zbir stepena svih promenqivih je 3 + 2 + 1 = 6; zato se ka`e da monom x y z je od {estog stepena. Odredi stepen svakoj od promenqivih u slede}im monomima: x y z

a b c

Uo~i i zapamti Stepen monoma predstavqa zbir eksponenta promenqivih u monomu. Ako je monom konstanta, tada se smatra da on ima nulti stepen.

)

Na primer, monom a bc je od osmog stepena, jer , a monom je od nultog stepena.

Monomi i polinomi

65

14.

Odredi stepen svakog monoma: - x

a b

- x yz

a b c

Treba da zna{: Proveri! Da svede{ monom u standardni oblik; Da odredi{ koeficijent i glavnu vrednost monoma;

Napi{i u standardni oblik monom - x y ˜ - xy i odredi kojeficient i glavnu vrednost monoma;

Da defini{e{ sli~ne i suprotne monome;

Dat je monom - x y z.

Da odredi{ stepen monoma.

a) napi{i sli~ni monom datom. b) napi{i suprotni monom datom monomu. v) odredi stepen datog monoma.

Zadaci 1.

Napi{i u standardni oblik: - a b a c

2.

x y xy .

D E F.

3.

Napi{i monom sa kojeficient -0,5 i glavne vrednosti a2b3.

4.

Odredi koji su od slede}ih monoma sli~ni: -3a2b2c; 2xy z ; 2 3

[\ ] ; 5a b c. 2 2

Tema 3. Polinomi

Odredi koji su od slede}ih monoma suprotni.

D E F;

Odredi koeficijente i glavne vrednosti slede}im monomima: - x y

66

5.

2a2b 3c;

-2ab2c3;

6.

D E F.

Napi{i suprotini monom monoma

D E F.

7.

Odredi stepen svakome od slede}ih monoma: a bc

8.

- x y

- a

x yz

Napi{i dva monoma sa kojeficientom -3 i promenlive a i b, tako da jedan bude od ~etvrtog stepena, a drugi od petog stepena.

3

SABIRAWE I ODUZIMAWE MONOMA

Podseti se!

A 1.

Zbirot -5 + 12 + 3 - 10 - 7 se ra~una na slede}i na~in: -5 + 12 + 3 - 10 - 7= (-5 - 10 - 7) + + (+12 + 3) = -22 + 15 = -7. Izra~unaj zbir: a) 9 - 4 - 15 + 2 + 8 - 6; b) -6,5 + 2,4 + 3,1 - 4,8 - 0,5.

Da li su ti monomi sli~ni? Obrazlo`i svoj odgovor. Napi{i monome u zbiru i razmisli kako }e{ izra~unati taj zbir. Uo~i postupak za sabirawe datih sli~nih monoma.

POSTUPAK 1

Zapis zbira monoma

2

Osloba|awe od zagrada

3

Po distributivnom svojstvu

4

Sabirawe koeficijenata

Dati su monomi: 5x2y; -2x2y i 3x2y.

RE[AVAWE 5x2y + (-2x2y) + 3 x2y 5x2y - 2x2y + 3 x2y (5 - 2 + 3) x2y 6x 2y

Da li monom koji je rezultat sabirawa je sli~an monomima-sabircima?

2.

Odredi zbir monoma: -9a3b2, 2a3b2 i -4a3b2.

Uo~i i zapamti Zbir sli~nih monoma je monom sli~an monomima koji se sabiraju, sa koeficijentom jednakim zbiru koeficijenata monoma-sabiraka.

3.

Odredi zbir monoma: 5x2y3, 4x3y2, -2x2y3 i -2x3y2. U zadatku ima monoma koji nisu sli~ni: kako }e{ ih sabrati u ovom slu~aju?

U ovom slu~aju, izvr{i}u grupirawe sli~nih monoma i zatim odrediti zbirove.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F

5x2y3 + 4x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 = (5x2y3 - 2x2y3) + (4x3y2 - 2x3y2) = (5 - 2)x2y3 + (4 - 2)x3y2 = = 3x2y3 + 2x3y2.

Monomi i polinomi

67

Podseti se!

B 4.

Od monoma 9a 2b 4 da se oduzme monom -4a2b4.

Da se oduzme racionalni broj b od racionalnog broja a zna~i: broju a da se doda suprotni broj broja b tj a - b = a+ (-b).

Uvideo si da monomi koji treba da se oduzmu su sli~ni monomi.

Izra~unaj razliku brojeva: 9 i 4; 9 i -4; -9 i -4.

Uvidi postupak za oduzimawe sli~nih monoma.

1

Zapisivawe razlike

2

Osloba|awe od zagrade

3

Primena distributivnog svojstva

4

Operacija sa koeficijentima

9a2b4 - (-4a2b4) = 9a2b4 + (+4a2b4) 9a2b4 + 4a2b4 (9 + 4) a2b4 13a2b4

Da li monom koji je razlika je sli~an monomima umawenika i umawioca? Da se oduzme monom B od monoma A zna~i da se monomu A doda suprotni monom monomu B, tj. A-B=A+(-B). Monom A-B se zove razlika monoma A i B.

5.

Od monoma 4a2b oduzmi monoma 7a2b. Uvidi postuapak: 4a2b - (+7a2b) = 4a2b + (-7a2b) = 4a2b - 7a2b = (4 - 7)a2b = -3a2b.

6.

Od monoma 7a2x3 oduzmi monom:

a) 4a2x3; b) -4a2x3.

Treba da znae{:

Proveri!

Da odredi{ zbir dva ili vi{e monoma;

Odredi zbir monoma: -5x3y2, -2x3y2, -3xy2, 4x3y2 i -2xy2.

Da izra~una{ razliku dvaju sli~nih monoma.

Od zbira monoma: -2x2y3 i 5x2y3 oduzmi monoma -x2y3.

Zadaci 1.

Odredi zbir monoma: a) -3a2b i 5a2b;

2.

b) 2x2y5, -5x2y5 i x2y5.

Odredi zbir monoma: a) 6a2b, -5a2b2, -2a2b i -a2b2 b) 5x2, -2x3, -3x2, -x3 i 6x3.

68

Tema 3. Polinomi

3.

Od monoma 3ay3 oduzmi monom -5ay3.

4.

Od zbira monoma -3x2y i -2x2y oduzmi monom -7x2y.

5.

Od zbira monoma 5a 2b 3 i -2a 2b 3 oduzmi nihovu razliku.

4

POLINOMI

A 1.

Podseti se! [ta je monom? Koji monomi se zovu sli~ni monomi?

Dati su izrazi: 5x2y - 3xy2 i 3a3 - 2a2b + b3. Od koliko monoma je formiran svaki dati izraz?

Napi{i zbir monoma: 2a2b, -3ab2, 3a2b, ab2.

Ima li sli~nih monoma u svakom datom izrazu? Uvi|a{ da u izrazu 5x2y - 3xy2, sabirci su monomi: 5x2y i -3xy2, koji nisu sli~ni.

Odredi zbir sli~nih monoma. Koliko monoma ima u zbiru datih monoma?

Zbir dva monoma koji nisu sli~ni se zove binom. 3 2 2 3 Izraz 3a - 2a b + ab je zbir monoma: 3a , -2a2b i ab2, koji nisu sli~ni. Zbir od tri monoma, koji ni su sli~ni, zovu se trinom.

2.

Odredi koji od navedenih izraza je binom, a koji trinom: 5x2y - 3xy2; 5x2 - 3x + 5; ax2 - 3a2y; 3x2y - 2xy2 + y3; 5x2y3;

7x3 - 2x2 - 3x - 7.

Monomi, binomi i izrazi koji su zbir tri ili vi{e monoma se zovu polinomi. Monomi od kojih se formira polinom se zovu ~lanovi polinoma.

3.

Koliko ~lanova ima svaki dati polinom: a2b - 2ab2 + 3;

x3 + 2y3;

3x2y?

Podseti se!

B 4.

Napi{i u standardni oblik slede|e monome: 5xy23x3y2; -2x4y23xy2. Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi. Napi{i dva monoma koji su sli~ni monomu -2x3y2.

F 3x y + 2x x y 2

2 2 2

Razgledaj polinom 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5. Uvidi ~lanove polinoma koji nisu zapisani u standardni oblik.

Uvidi ~lanove polinoma u standardni oblik. Uvidi postupak zapisivawa ~lanova polinoma 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 u standardni oblik.

- 2xy2x2y - 5 = 3x2y + 2x4y2 - 2x3y3 - 5.

Monomi i polinomi

69

5.

Dat je polinom 4x3y2 - 2x2y(3xy2) - 3x3y2xy. Napi{i polinom tako da svi wegovi ~lanovi budu monomi u standarnom obliku.

6.

Dat je polinom 3x2y - 2xy2 - 3x3y3 - 4xy2 + x2y. Dali u datom polinomu ima ~lanova koji su sli~ni monomi? Grupiraj sli~ne monome u polinomu, a zatim sa sli~nim monomima izvr{i operacije (sabirawe, odnosno oduzimawe). Uporedi . svoje re{ewe sa datim i uvidi postupak.

F 3x y - 2xy 2

2

- 3x3y3 - 4xy2 + x2y = (3x2y + x2y) + (-2xy2 - 4xy2) - 3x3y3 = 4x2y - 6xy2 - 3x3y3.

Da li ima sli~nih monoma u tako dobijenom polinomu?

Ako u jednom polinomu neke ~lanove svede{ u stndardni oblik ili izvr{i{ sabirawe (ili oduzimawe) ~lanova koji su sli~ni monomi, tada se ka‘e da je na tom polinomu izvr{ena identi~na transformacija. Mo‘e{ da uvidi{ da u polinomu 4x2y - 6xy2 - 3x3y3 svi ~lanovi su zapisani u standrardni oblik i nema sli~nih monoma.

Op{te Ako su u jednom polinomu svi ~lanovi zapisani u standardnom obliku i nema sli~nih monoma ka`e se da polinom ima standardni oblik.

7.

Odredi koji su od slede}ih polinoma u standardnom obliku. 5x2 + 3xy + 2y2;

2x2 - 3xy + y2 + 3x2;

7a2b - 2abb2 - 3a2bab2;

3x3y - 2x2y2 + xy3.

8.

Transformiraj u standardni oblik, polinom 7x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 - 3x2y3.

9.

Dat je polinom 2x2 - 3xy + 5y2. Odredi koeficijent svakog ~lana datog polinoma. Mo`e{ da primeti{ da su koeficijenti ~lanova polinoma 2x2 - 3xy + 5y2 brojevi 2, -3 i 5. U polinomu ax3 - bx2 + cx - 5 sa promenqivom x koeficijenti wegovih ~lanova su: a, -b, c i -5. Koeficijenti monoma koji su ~lanovi polinoma se zovu koeficijenti polinoma.

70

Tema 3. Polinomi

10.

Odredi koeficijente slede}ih polinoma sa promenqivom y. 4y2 - 2y - 5;

ay4 - 2by2 -4.

V

Podseti se! Za koja dva monoma ka`emo da su suprotni monomi? Napi{i suprotni monom monoma -3x2y3. Stepen monoma predstavqa zbir od eksponenata promenqive u wemu. Odredi stepen monoma 2x3y2z3.

11.

Dati su polinomi: 6x3y - 2x2y2 - 3x i -6x3y + 2x2y2 + 3x Primeti sli~ne monome u oba polinoma. Kaji monomi su sli~ni monomi iz oba polinoma? Uo~i suprotne monome u dva polinoma.

Suprotni su monomi: 6x3y i -6x3y; -2x2y2 i 2x2y2, -3x i 3x. Za polinome: 6x3y - 2x2y2 - 3x i -6x3y + 2x2y2 + 3x se ka`e da su suprotni polinomi.

Op{te Za dva polinoma se ka`e da su suprotni ako svi ~lanovi jednog polinoma su suprotni monomi sa ~lanovima drugog polinoma i obrnuto.

12.

Napi{i suprotni polinom polinoma 7x2y3 - 2x3y2 + 5xy.

G 13.

Dat je polinom -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6.

Odredi stepen svakog ~lana polinoma. Koji ~lan polinoma ima najve}i stepen? Od kog stepena je ~lan -6? Prime}uje{ da je prvi ~lan (-3x3y5) osmog stepena, drugi (2x4y2) je {estog stepena, tret}i (5x3y) je ~etvrti stepena i ~etvrti ~lan je nultog stepena jer u wemu nema promenlive. Najve}i stepen (osmi) ima prvi ~lan. Za polinom -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6 se ka`e da je osmog stepena.

Monomi i polinomi

71

Op{to Stepen polinoma u standardnom obliku je najve}i od stepena monoma koji su ~lanovi polinoma.

14.

Odredi stepen svakog slede}eg polinoma: 2x + 3;

7x3y2 + xy3 - 2xy;

3a2b - ab3;

Treba da zna{:

5x - 7y + 2.

Proveri!

Da odredi{ da li je dati polinom u standardnom obliku;

Dovedi polinom u standardni oblik: 3x2y - 5x2y2x3y + 2x2y.

Da dovede{ polinom u standardni oblik; Da objasni{ koji su polinomi suprotni;

Napi{i suprotni polinom polinoma: 1 + 5x - 2x2 - 3x3. Pore|aj po veli~ini stepene, po~ev{i od najve}eg, ~lanove polinoma 5x3y - 2x2y3 - 3x5y + 8. Odredi stepen datog polinoma.

Da odredi{ stepen polinoma i objasni{ postupak za odre|eni stepen.

Zadaci 1.

Svedi u standardni oblik ~lanove polinoma: 2x2yxy2 - 3x3yy3x2; -5a3b2b2 + 3a2b4b - 8a2b2.

2.

Svedi u

4. 5.

3.

2

3

Izra~unaj brojevnu vrednost polinoma x + 6x - 5x - 3 za x = -2.

7.

Odredi stepen polinoma

2

Transformi{i u standardni oblik polinom: 2x3y2y2 + 5x2y3 - 2x2y3 - 2x2x2y, -2x2y2 + 3x3y - 2x3y + 2x2y2 + 7xy3.

72

Tema 3. Polinomi

-x2y3 + 3xy2 - 2xy.

6.

7x + 2x - 3x - 2x + 2x 3

5x3 - 2ax2 + bx - 3. Napi{i suprotan polinom polinoma: 4a2b - 2ab2 + 3ab;

standardni oblik polinom.

2x2y3 - 3x3y2 + 3x2y3 - 5x3y2

Odredi koeficijent polinoma po promenqivoj x:

9x5y2 - 2x3y2 + 2x2y4; -4a8b + 2a7b - 3a6b.

8. U polinomu 5x 2y - 2x 3y 2 + 3x 2y 4 - 7

pore}aj wegove ~lanove po veli~ini stepena.

5

MNO@EWE I STEPENOVAWE MONOMA

Podseti se!

A 1.

Proizvod stepena a i a je m

n

a m × a n = a m + n. Izra~unaj slede}e proizvode: x5 × x3;

Izra~unaj proizvod monoma: 3x2y3 i 2x3y. Primeti koeficijente i stepene jednakih osnova. Kako }e{ uraditi mno`ewe?

a3 × a.

Stepen se stepenuje na taj na~in {to osnova stepena se stepenuje sa proizvodom pokazateqa, t.j. (a m) n = a m × n

Mogu da izme|u sebe pomno im koeficijente i stepene jednakih osnova dva monoma.

Izra~unaj: a) (x2)3; b) (a2)5. Proizvod se stepenuje sa prirodnim brojem tako {to se stepenuju sa tim brojem svi mno`ioci. Na primer: (a3 × b2)2 = a6b4.

Uporedi svoje re{avawe sa datim. 3x2y3 × 2x3y = (3 × 2) × (x2 × x3) × (y3 × y) = 6x5y4.

Izra~unaj: a) (x5y2)3; b) (ab4)2.

Objasni postupak prilikom ra~unawa.

Monomi se mno e na taj na~in {to se mno e wihovi koeficijenti i stepeni istih osnova, pri tom se dobija monom u normalni vid.

2.

Odredi proizvod monoma: -8x2y i 2xy2;

B 3.

-0,6a2b3c i 2,5a3bc2;

[ i [\ ;

DE F i 0,5ac2.

Odredi tre}i stepen monoma 2x3y2. Mo`e{ li stepen (2x3y2)3 da napi{e{ kao proizvod?

Tre}i stepen monoma je: (2x3y2)3 = (2x3y2) × (2x3y2) ×(2x3y2). Tako dobijam proizvod tri monoma, koji mogu da izra~unam.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F (2x y ) = 2x y × 2x y × 2x y = (2 × 2 × 2) × (x F Uo~i da: (2x y ) = 2 × (x ) × (y ) = 8x y . 3 2 3

3 2

3 2 3

4.

3 2

3 2

3

Uradi stepenovawe:

3 3

2 3

(5a2b4c)2;

3

× x3 × x3) × (y2 × y2 × y2) = 23 × (x3)3 × (y2)3 = 8x9y6.

9 6

(-3x 2y3z)3;

(-2a2xy3)4.

Monomi i polinomi

73

Treba da zna{: Proveri!

Da izra~una{ proizvod monoma; Da stepenuje{ monom sa eksponentom prirodni broj.

Odredi proizvod: (2x3y2) × (-3xy2z) × (xy2z). Odredi ~etvrti stepen monoma:

Zadaci 1.

-2x2yz3.

Odredi proizvod monoma: 2ab2 i 3a2b;

2.

5.

DEF . -2a2b3c i

Odredi slede}e proizvode monoma:

a) -2x2y3;

6.

(-5a3b2c) × (2a2b3c); (1,2x2y) × (-2xy2) × (3,5x3y3).

3. 4.

6

Poka`i da za proizvod monoma; -3a2b3 i 2a3b2 va`i komutativno svojstvo mno`ewa.

7.

Poka`i da za proizvod monoma: 2a 2 bc, 3ab 2 c i -4abc 2 va`i asocijativno svojstvo mno`ewa.

8.

D EF

b)

Uradi stepenovawe monoma (-3y2)2;

(-2,5a2b3)2;

(3x 2y 3)3;

D EF .

Izra~unaj: (-2a2b)2 × (3ab2);

(3x3y2) × (-2x2y4)3.

Izra~unaj: ((x 2y)2)3;

((-2a3b2)3)2.

SABIRAWE I ODUZIMAWE POLINOMA

Podseti se! [ta je polinom? Imenuj ~lanove polinoma 5x3y - 2x2y2 - 3xy3. Formiraj polinom ~iji ~lanovi su monomi: -5a3b3; 2a2b2 i 3ab. Brojevna vrednost zbira brojnih izraza: -12 + 3 + 18 i 5 - 9 + 1 se izra~unava ovako: (-12 + 3 + 18) + (5 - 9 + 1) = = -12 + 3 + 18 + 5 - 9 + 1 = =(-12 - 9) + (3 + 18 + 5 + 1) = = -21 + 27 = 6. Izra~unaj brojnu vrednost izraza (-9 - 4 + 15) + (-2 + 8 - 16).

74

Odredi drugi stepen monoma

Tema 3. Polinomi

A 1.

Odredi zbir polinoma: 3x3y - 3x2y2 - 2xy3 i 4x3y - 2x2y2.

Uvidi postapak za sabirawe datih polinoma. (3x y - 3x y - 2xy ) + (4x y - 2x y ) F Zapisivawe zbira F Osloba|awe 3x y - 3x y - 2xy + od zagrada 3

2 2

3

3

3

2 2

3

2 2

+ 4x3y - 2x2y2 =

F Gs rluip ~i sna iw eh monoma

r { e w e F Voperacija sa sli~nim monomima

= (3x3y + 4x3y) + + (-3x2y2 - 2x2y2) + (-2xy3) =

= 7x3y - 5x2y2 - 2xy3

Da se saberu polinomi, zna~i da se zapi{u jedno za drugim (kao zbir) svi wihovi ~lanovi sa wihovim znakovima, a zatim da se izvr{i svo|ewe sli~nih monoma, ako ih ima.

2.

Odredi zbir polinoma a) 5x3 - 2x2 - 3x + 1 i 4x2 - 2x + 3;

B

b) 2a3 - 3a2 + 2a - 4 i 3a3 - 5a + 7.

Podseti se! Od monoma A da se oduzme monom B zna~i monomu A da se doda suprotni monoma od monoma B, t.e. A - B = A + (-B). Odredi razliku monoma: 5x2y3 i -2x2y3.

3.

Odredi razliku polinoma: 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 i 3a3b - 2a2b2 + 3ab3.

F Zapisivawe razlike F Osloba|awe od zagrade F Grupisawe sli~nih monoma F Vr{ewe operacija sa monomima

(7a3b - 5a2b2 - 6ab3) - (3a3b - 2a2b2 + 3ab3) 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 - 3a3b + 2a2b2 - 3ab3 = = (7a3b - 3a3b) + (-5a2b2 + 2a2b2) + (-6ab3 3ab3) 3 2 2 = 4a b - 3a b - 9ab3

Uo~i i zapamti Da se oduzme polinom B od polinoma A, zna~i da se polinomu A doda suprotni polinom od polinoma B, tj. A-B=A+(-B).

4.

Izra~unaj:

(3ax3 - 5bx2) - (-ax3 + 2bx2);

Treba da zna{: Da izra~una{ zbir polinoma; Da izra~una{ razliku dva polinoma; Da objasni{ postupak sabirawa, odnosno oduzimawe polinoma.

(7x3 - 12x2 + 3x) - (5x3 - 6x2 - 2).

Proveri! Transformi{i u standardni oblik polinoma, izraz: (5a5b2 - 2a3b4) + (-a5b2 + 5a3b4) + + (2a5b2 - 3a3b4) Utvrdi da li je ta~na jedna~ina (9a3 - 4a2 - 3) - (7a3 - a2 - 3) = 2a3 - 3a2.

Monomi i polinomi

75

Zadaci 1.

6.

Izra~unaj zbir polinoma: a) 3a2b - 2ab2 i a2b - 3ab2,

a) 7x3 - 2x2 - 5x i 4x3 - 5x2 - 4x;

b) 7x3 - 4x2 + x - 3 i 7x2 - 3x + 5.

b) 2,5a3 - 3b3 i -1,8a3 - 0,6b3.

2.

Transformi{i u standardni oblik polinoma, izraz: 4 a) (5x - 2x3 + 8) + (4x4 - x3 + 2x2 - 5);

7.

2 2

3

3

2 2

3

3.

Odredi brojevnu vrednost izraza: (6y - 7y2 + y) + (-4y3 + 2y2 - y), za y = 2.

b) (x2 - 4xy + 4y2) - (3x2 - y2).

8.

3

Polinomu 5x 2y 3 - 2x 3 y 2 dodaj polinoma:

zbir

2x2y3 + x3y2 i x2y3 - x3y2.

5.

Poka`i vrednost izraza 2

7

9.

Odredi polinom P tako {to: P + (x2 + 2xy - 3y2) = 3x2 - 4xy - 3y2.

10. Za polinome: A=3a2 - 4a + 1,

B = - a2 + 5a - 4 i C = 2a2 - a + 6 odredi:

2

A - (B + C);

A - (B - C).

MNO@EWE POLINOMA SA MONOMOM

Podseti se! Monom se mno`i sa monomom tako {to se pomno`e wihovi koeficijenti i stepeni koji su iste osnove, time se dobija monom u standardnom obliku. Na primer: -3a2b × 2a3b2 = =(-3 × 2) × (a2 × a3) × (b × b2) = -6a5b3. Izra~unaj: -3x5y2 × 4xy2. Distributivno svojstvo mno`ewa u odnosu na sabirawe se zapisuje: (a + b) × c = a × c + b × c; a × (b + c) = a × b + a × c. Izra~unaj na dva na~ina: (15 + 8) × 6 = 23 × 6 = ; (15 + 8) × 6 = 15 × 6 + 8 × 6 =

76

Odredi brojevnu vrednost izraza: (3x3 - 2x2 - 4x - 1) - (-x3 + x2) za x = -2.

(3x - 2x + 5) + (-x - 2x + 1) + (-2x + 4x -2) ne zavisi od x. 2

Transformi{i u standardni oblik polinoma izraz: a) (3x2 - 2xy - 2y2) - (x2 + 2xy - 6y2);

b) (-8a b - 4a b + 3ab ) + (a b + 4a b -ab ). 3

4.

Izra~unaj razliku polinoma:

.

Tema 3. Polinomi

A

1.

Distributivno svojstvo mno`ewa prema sabirawu, omogu}uje proizvod polinoma i monoma da se predstavi u obliku polinoma. Uvidi kako se ra~una proizvod polinoma 3x2 + 4y3 i monoma 2x3y2.

apisivawe F Zproizvoda r i m e n a F Pdistributivnog

(3x2 + 4y3) × (2x3y2)

s v o j s t v a = (3x2 × 2x3y2) + (4y3 × 2x3y2) mno`ewa prema sabirawu

F Mno`ewe monoma u

zagradi(tj. svo|ewe na standardni oblik)

= 6x5y2 + 8x3y5

2.

Odredi proizvod:

(2x3 - 3x2 + 5x) Ă— 4x2;

(3a2 - 2ab + b2) Ă— 5a2b2.

Polinom se mno`i sa monomom na taj na~in {to svaki ~lan polinoma se mno‘i sa monomom i dobijeni zbir se predstavqa kao polinom u standardnom obliku.

3.

Odredi proizvod:

4ax2 Ă— (2a3x - 5a2x2 + 3ax3);

Treba da zna{:

(2,5xy2 - 1,4x2y) Ă— (-2x2y2).

Proveri!

Da mno‘i{ polinom i monom;

Izra~unaj proizvod: a) (-5) Ă— (4x3 - 3x2 + x); b) (-2x3y - 3xy3 + 5) Ă— (-2x2y2).

Da objasni{ postupak mno`ewa polinoma sa monomom.

Zadaci 1.

Izra~unaj proizvod: a) (2x2 - 3y3) Ă— 4xy; b) (5a3b - 3a2b2 + ab3) Ă— (-2a2b2).

2.

Odredi proizvod a) 4 Ă— (5a2 + 2a - 3); b) (-2) Ă— (-3,5x3 + x2y2 - 3y3).

3.

4.

Dati su izrazi: A = 2x3 - 3x2 + x, B = x3 + x2 - 3x i C = 5x 2 . Svedi ih na polinom u standardni oblik izraze: a) (A + B) Ă— C; b) C Ă— (A - B).

5.

Pretstavi kao polinom u standardni oblik izraze: a) (3a2b - ab2) Ă— a2b2 - 2a2b Ă— ab3; b) (3x3 - x2 + 2x) Ă— 5x - (4x2 - 3) Ă— x2.

6.

Izra~unaj brojevnu vrednost izraza (3x2 - 2x + 1) Ă— 2x - (x2 - 3x + 5) Ă— 4x za x = 2.

Odredi slede}e proizvode: a)

D E DE E ˜ DE

b) [\ ˜

[ [ \ [\ \ .

Monomi i polinomi

77

8

MNO@EWE POLINOMA

A 1.

Podseti se! Polinom se mno`i sa monomom na taj na~in {to svaki ~lan polinoma se mno`i sa monomom i dobijeni proizvodi se sabiraju. Izra~unaj proizvod: a) (a + b) × c; b) x (2 + y); v) (2a2b - 3ab2 + 5) × 2ab.

Dati su polinomi: a + b i c + d. Izra~unaj proizvod (a + b) × (c + d). Na {to se svodi mno`ewe, ako binom c + d zameni{ sa A?

Tada se mno`ewe svodi na proizvod (a + b)A, t.j. (a + b)A = aA + bA.

[ta dobija{ ako A zameni{ sa c + d?

Dobi}u: aA + bA = a(c + d) + b(c + d).

Uporedi svoje re{ewe sa datim: (a + b) × A = aA + bA F (a + b) × (c + d) == a(c + d) + b(c + d)

(pri ~emu A = c + d)

= ac + ad + bc + bd , t.e.

(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd. Proizvod polinoma a+b i c+d je jednak zbiru proizvoda svakog ~lana jednog polinoma sa svakim ~lanom drugog polinoma.

2.

Izra~unaj proizvod (2x + 3) × (y + 5).

3.

Poka`i da jedna~ina (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd mo`e da se tuma~i geometrijski kao jednakost izme|u: povr{ine velikog pravougaonika i zbira povr{ina ~etiri mawa pravougaonika (na crte`u). Zapi{i povr{ine svakog pravougaonika prema datim dimenzijama.

4. 78

Izra~unaj proizvod polinoma: 4x2 - 5x + 3 i 2x - 3.

Tema 3. Polinomi

d

c

a

b

Primeti postupak mno`ewa datih polinoma.

F Zapisivawe proizvoda svakog ~lana jednog polinoma sa F Mno`ewe svakim ~lanom iz drugog polinoma: F Mno`ewe: F Svo|ewe polinoma u standardni oblik

(4x2 - 5x + 3)(2x - 3) = 4x2 × 2x + 4x2 × (-3) - 5x × 2x - 5x (-3) + + 3 × 2x + 3 × (-3) = 8x3 - 12x2 - 10x2 + 15x + 6x - 9 = 8x3 - 22x2 + 21x - 9.

Jedan polinom se mno`i sa drugim na taj na~in {to se svaki ~lan iz jednog mno`i sa svakim ~lanom iz drugog polinoma i dobijeni zbir se predstavqa kao polinom u standardni oblik.

5.

Ira~unaj proizvod (a3 + 2a2b - 3ab2) × (5a - 3b).

6.

Transformi{i proizvodot (2x - 3) × (3x + 2) × (5x - 1) u polinom koji }e imati standardni oblik. Primeti da dati proizvod, zbog asocijativnog svojstva mno`ewa, mo`e da se zapi{e: ((2x - 3) × (3x + 2)) × (5x - 1) da se izvr{i prvo mno`ewe prva dva mno`ioca.

Podseti se! Dvocifreni broj sa cifrom desetice a i cifrom jedinice b u razvijenoj formi se pi{e 10a+b. Napi{i u razvijenoj formi brojeve 62 i 68.

7.

B

Pravilo mno`ewe polinoma ~esto se primewuje. Evo jedne primene za brzo odre|ivawe proizvoda brojeva tipa: 62 × 68; 74 × 76; 53 × 57; To su proizvodi brojeva iste desetice kojima je zbir jedinica jednak 10.

Izra~unaj proizvod (10a + b) × (10a + c), pri ~emu b + c = 10. Koriste}i dobijeni rezultat, izra~unaj 62 × 68. Primeti postupak odre|ivawa proizvoda (10a + b) × (10a + c), Gde je b + c = 10. (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = =100a2 + 10a × 10 + bc (za b + c = 10) = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.

Monomi i polinomi

79

Jedna~ine (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc mo`e{ da iskoristi{ za re{avawe zadatka. Po toj jedna~ini: 62 Ă— 68 = 100 Ă— 6 Ă— 7 + 2 Ă— 8 = 4200 + 16 = 4216. Proizvod 62 Ă— 68 mo`e da se izra~una i usmeno na taj na~in {to broj desetica (6) se mno`i sa brojem koji je za 1 ve}i od wega (7) i dobijenom proizvodu (42) se dopisuje proizvod od jedinica oba broja (16), t.j. 62 Ă— 68 = 4216.

8.

Izra~unaj usmeno proizvode: a) 34 Ă— 36; b) 81 Ă— 89; v) 53 Ă— 57.

Treba da zna{:

Proveri!

Da odredi{ proizvod polinoma

Izra~unaj proizvod: (4a2 - 2ab + b2) Ă— (2a + b).

Da objasni{ postupak za odre|ivawe proizvoda polinoma.

[ta nedostaje jedna~ini da bude ta~na: (2x2 - 3)(3x2 - 2) = 2x2 Ă— 3x2 - 3(-2)?

Zadaci 1.

Izra~unaj proizvod: a) (2a + 3b)(a - 2b); b) (x2 + 2xy - 5y2)(2x - 3y).

4.

Izvr{i transformaciju u polinom standardnog oblika, izraz: (3x2 - 2x + 5)(4x - 3)(2x - 1).

2.

Izra~unaj: a) (a3 - a2b + ab2 - b3)(a + b); b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y).

5.

Izra~unaj vrednost izraza: (x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) za x = 3.

3.

Izra~unaj: a) (1,2a3 - 2,5a2 + 0,2a)(a2 - 1,4);

6.

Usmeno izra~unaj proizvode: a) 72 Ă— 78; b) 63 Ă— 67.

b)

80

[ [ [ [ .

Tema 3. Polinomi

9

PROIZVOD ZBIRA I RAZLIKE DVA IZRAZA

Podseti se!

A 1.

Jedan polinom se mno`i sa drugim na taj na~in {to se svaki ~lan iz jednog mno`i sa svakim ~lanom iz drugog polinoma i dobijeni zbir se predstavqa kao polinom u standardni oblik. Izra~unaj proizvod: (2a2 - 3b2)(4a - b2).

Neka su A i B izrazi. Izra~unaj proizvod (A+B) (AB) i dobijeni polinom svedi na standardni oblik. Uporedi svoje re{ewe sa datim:

(A + B)(A - B) = A - AB + BA - B F t.j. se dobija se identitet 2

2

= A2 - B2,

(A + B)(A - B) = A2 - B2

Zbirot dva suprotna monoma je nula. Koji izraz od navedenih izraza ima vrednost 0: a) -3a2b + 3ab2; b) 2x3y2 - 2x3y2; v) a2b - ab2; g) -x3y + x3y?

Zapamti Proizvod zbira i razlike dva izraza je jednak razlici wihovih kvadrata.

Identitetot (A + B)(A - B) = A2 - B2 predstavqa formulu za skra}eno mno`ewe zbira i razlike dva izraza.

2.

Izra~unaj proizvod (2a + 3b)(2a - 3b) uz pomo} formule za skra}eno mno`ewe: (A + B)(A - B) = A2 - B2. Uvidi ~emu je jednakvo A, a ~emu B. Uporedi svoje re{ewe sa datim i uvidi postupak.

F Uvidi da je A = 2a i B = 3b. F U formuli formulata za skra}eno mno`ewe zameni: A sa 2a i B sa 3b: F (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a) - (3b) = 4a - 9b . 2

3.

2

2

2

Uz pomo} formule za skra}eno mno`ewe izra~unaj proizvod: a) (3x - y)(3x + y);

B 4.

b) (5a + 2b)(5a - 2b);

v) (a2 - 3)(a2 + 3);

g) (40 -1 )(40 + 1).

Uz pomo} formule (A + B)(A - B) = A2 - B2, izra~unaj proizvod 42 Ă— 38. Brojot 42 mo`e da se predstavi kao zbir brojeva 40 i 2, t.j. 42 = 40 + 2. Napi{i broj 38 kao razliku istih brojeva. Uvidi kako }e se primeniti formula, da se izra~una proizvod 42 Ă— 38:

Monomi i polinomi

81

F 42 Ă— 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40 - 2 = 1600 - 4 = 1596. 2

2

Ovo je jedan na~in za izra~unavawe proizvoda od dva broja, od kojih jedan mo`e da se zapi{e kao zbir dva broja, a drugi kao razlika istih brojeva.

5.

Uz pomo} formule za skra}eno mno`ewe izra~unaj: a) 43 Ă— 37;

b) 68 Ă— 72;

v) 201 Ă— 199.

Treba da zna{:

Proveri!

Da odredi{ proizvod zbira i razlike dva monoma;

Odredi proizvod:

Da objasni{ postupak za odre|ivawe proizvoda zbira i razlike dva monoma;

(-2a2 + 3b2) Ă— (-2a2 - 3b2) Izra~unaj usmeno proizvod: 73 Ă— 67.

Da primeni{ postupak za odre|ivawe proizvoda zbira i razlike dva monoma u re{avawu zadataka.

Zadaci 1.

a) (x - 3) (x + 3);

2.

5.

Odredi proizvode: b) (2a + 3)(2a - 3).

Predstavi kao polinom u standardnom obliku izraze: a) (3x2y - 2xy2)(3x2y + 2xy2);

a) (x - 2y)(x + 2y) + 2x2 - y2; b) (a2b + ab2)(a2b - ab2) + 2a(a3b2 - ab4).

6.

b) (6ab3 - 5a3b)(6ab3 + 5a3b).

3.

Odredi vrednost slede}ih izraza:

Odredi vrednost proizvoda: a) 93 Ă— 87;

82

b) 202 Ă— 198.

Tema 3. Polinomi

Odredi proizvod koji je jednak razlici kvadrata: a) x2 - 9;

7.

a) (60 - 1)(60 + 1); b) (100 + 4)(100 - 4).

4.

Izvr{i transformaciju u polinom standardnog oblika, izraz:

Izvr{i transformaciju datog izraza u binom: a) (0,2ab - c)(0,2ab + c); b)

8.

b) 4x2 - 9y2.

[ [\ [\ [ ˜ .

Predstavi kao polinom u standard nom obliku date izraze: a) (z + 3)(z - 3)(z2 + 9); b) (x + y - 1)(x + y + 1).

10

KVADRAT NA BINOM

Podseti se! Ako a A i B koji bilo monomi, tada izrazi (A+B) 2 i (A-B)2 zovu kvadrat zbira, odnosno kvadrat razlike dva monoma. Napi{ite kvadrat od zbira i razlike na monoma: 3x i 2y. Napi{i kao proizvod stepene: a) a2;

b) (a + b)2;

v) (a - b)2.

A 1.

Odredi kvadrat zbira A+B. Kako treba da postupi{ odredi{ (A+B)2?

Napisa}u: (A + B)2 = (A+B)(A+B), a zatim }u izra~unati proizvod.

Uporedi svoje re{ewe sa datim: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 =A2 + 2AB + B2, t.e. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Uo~i i zapamti! Kvadrat zbira dva monoma je jednak zbiru kvadrata prvog monoma, udvojenog proizvoda prvog i drugog monoma, i kvadrat drugog monoma.

F

Uvidi postupak za odre|ivawe kvadrata zbira na slede}em primeru:

2.

Odredi kvadrate slede}ih binoma:

3.

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 Ă— 2x Ă— 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2. (3a + 2b)2;

Dat je kvadrat ABCD, sa stranom $% = a + b. Izra~unaj povr{inu tog kvadrata. Uvidi na koliko delova je podeqen kvadrat ABCD sa du`inama MN i PS. Uvidi dimenziju svakog dela. Odredi povr{inu svakog dela. Povr{ina kvadrata P je zbir povr{ine P1, P2, P3 i P4 delova, t.j. P = P1 + P2 + P3 + P4. Napi{i to sa odre|enim povr{inama.

(x2 + y2)2.

D b

S P3 = ab

M a

P4 = b2 N

K P2 = ab

P1 = a2 A

C

a

P

b

B

Mo`e{ da uvidi{ da: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Na crte`u je geometrijski prikazana formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Monomi i polinomi

83

4.

Primenom formule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 mo`e da se izra~una 622. Napi{i broj 62 vo razvijenoj formi. Primeni formulu. Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F

622 = (60 + 2)2 = 602 + 2 × 60 × 2 + 22 = 3600 + 240 + 4 = 3844.

B 5.

Odredi kvadrat razlike A-B. Postupi}u na slede}i na~in: (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = = A2- 2AB + B2.

Kako treba da postupa{ da odredi{ (A - B)2?

Mo`e{ da uvidi{ da:

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Upamti! Kvadrat razlike dva monoma je jednak kvadratu prvog monoma, minus udvojeni proizvod prvog i drugog monoma, plus kvadrat drugog monoma. Formule: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 i (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 se zovu formule za skra}eno mno`ewe. postupak za odre|ivawe kvadrata razlike na slede}em primeru: F Razgledaj (5a - 2b) = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) = 25a - 20ab + 4b . 2

6. 7.

2

2

2

Odredi kvadrate slede}im polinomima:

2

(3x - 4y)2;

(2a2 - b2)2.

Primenom formule za kvadrat razlike dva monoma, izra~unaj 482. Poku{aj sam. Napi{i broj 48 kao razliku od 50 i 2.

F

Primeni formulu (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 8.

84

Izra~unaj: 692

482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 × 50 × 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304. 372

982.

Tema 3. Polinomi

Treba da zna{: Proveri!

Da odredi{ kvadrat zbira dva monoma; Da objasni{ postupak za odre|ivawe kvadrata zbira dva monoma i da primeni{ u zadacima;

Odredi:

(a + 3b)2;

Odredi:

Da odredi{ kvadrat razlike dva monoma; Da objasni{ postupak za odre|ivawe kvadrata razlike dva monoma i da primeni{ u zadacima.

822.

[ \ ;

572.

Zadaci 1.

Odredi slede}e kvadrate:

6.

a) (a - 3)2; b) (3x - 2y)2; v) (4a2- b2)2.

a) (x + 4)2; b) (2x + 7y)2; v) (3x2 + 5y2)2.

2.

Primeni formulu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 odredi: a) 412; b) 722;

3.

4.

Primeni formulu (a - b)2= a2- 2ab + b2 odredi: a) 382;

8.

b) 592;

v) 962.

Predstavi kao polinom u standardnom obliku izraz:

a) (a + 3)2 + (a + 4)2;

a) (3x - y)2 + (x - 2y)2;

b) (3x + 2y)2 + (2x + y)2 - (x + y)2.

b) (5a - 2b)2 - (a - b)2 + (a + 3b)2.

Odredi koji binom na kvadrat je jednak trinomu: a) a + 2ax + x ; 2

2

b) 4x2 + 12xy + 9y2.

5.

7.

v) 1052.

Predstavi kao polinom u standardnom obliku izraz:

Odredi slede}e kvadrate:

Re{i slede}e jedna~ine: a) (x + 2)2 - x2 = 16; b) (3x + 5)2 - 9x2 = 55.

9.

Odredi koji binom na kvadrat je jednak trinomu: a) x2 - 4x + 4;

b) 9x2 - 12xy + 4y2.

10. Svedi na normalni oblik, polinom: a) (3x -1)2 + (x - 5)(x + 5); b) (2a - 3b)2 + (2a + 3b)2.

Monomi i polinomi

85

11

DEQEWE MONOMA. DEQEWE POLINOMA SA MONOMOM

Podseti se! Stepeni jednakih osnova se dele tako {to se osnova prepisuje, a eksponenti stepena se oduzimaju. Na primer a8 : a3 = a8 - 3 = a5. Odredi koli~nike: a) x7 : x2;

A

1.

Izra~unaj koli~nik monoma: 6x4y5 i 2x2y2.

Uvidi postupak: 6x4y5 : (2x2y2) = (6 : 2)(x4 : x2)(y5 : y2) = 3x2y3. Objasni kako se dele monomi.

b) y5 : y4.

Podeqeni su koeficijenti i podeqeni su stepeni istih osnova. Napi{i deqewe monoma u obliku razlomka, a zatim odredi koli~nik. Uporedi svoje re{ewe sa datim:

2.

[ \ [ \

[ \ ˜ ˜ [ \

[ \ .

Izra~unaj koli~nik 12a6y7 : (-6a3y2). Jedan monom se deli sa drugim tako {to se podeli koeficijent deqenika sa koeficijentom delioca, a stepeni glavne vrednosti deqenika se dele sa stepenima istih osnova glavne vrednosti delioca i dobijeni koli~nici se pi{u kao proizvod.

3.

Odredi koli~nike:

-15a5x7 : (5a2x3);

Podseti se! Distributivno svojstvo delewa sa desna u odnosu na sabirawe mo`e da se napi{e: (a + b) : c = a : c + b : c. Izra~unaj: (32 + 48) : 8 = 32 : 8 + 48 : 8 =

;

(x5 + x7) : x2 = x5 : x2 + x7 : x2 =

.

[ \

B

4.

[ \ . Polinom 8a5 - 4a4 + 6a3 podeli sa monomom 2a2. Kako }e{ iskoristiti distributivno svojstvo?

Svaki ~lan polinoma 8a5 - 4a4 + 6a3 podeli}u sa monomom 2a2.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F (8a

5

86

- 4a4 + 6a3) : (2a2) = (8a5) : (2a2) + (-4a4) : (2a2) + (6a3) : (2a2) = 4a3 - 2a2 + 3a.

Tema 3. Polinomi

5.

Podeli polinom sa monomom: (-6x5 - 9x4 + 3x3) : (-3x2). Primeni distributivno svojstvo. Izvr{i deqewe. Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F (-6x

5

- 9x4 + 3x3) : (-3x2) = (-6x5) : (-3x2) + (-9x4) : (-3x2) + (3x3) : (-3x2) = 2x3 + 3x2 - x.

Polinom se deli sa monomom tako {to svaki ~lan polinoma se deli sa ~lanom monoma, a dobijeni koli~nici se sabiraju.

6.

Izra~unaj koli~nike: (18x5y3 - 24x4y4 + 12x3y5) : (6x2y2);

(4a3b2 - 8a4b3) : (-4a2b).

Treba da zna{:

Proveri!

Da odredi{ koli~nik dva monoma; Svedi slede}i izraz na polinom standardnog oblika:

Da objasni{ postupak deqewa monoma;

(-4x3y4) : (2x2y2) + (-6x5y3) : (-2x3y2) =

Da podeli{ polinom sa monomom;

Odredi koli~nik:

Da objasni{ postupak deqewa polinoma sa monomom.

(6a5b4 - 9a4b3 + 3a3b2) : (3a3b2) =

Zadaci 1.

a) (16x y ) : (4xy);

2.

5.

Izra~unaj slede}e koli~nike: 3 2

2 2

Izra~unaj: a) (1,44x y ) : (1,2x y ); b) D E D E . 5 2

3.

2 2

Svedi slede}i izraz na polinom standardnog oblika:

§§ · § ·· § · b) ¨ ¨ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ ¸ ¨ [ \ ¸ . ¹ © ¹¹ © ©© ¹

Izra~unaj vrednost izraza: D E za a = -2 i b = 2. D E

Izra~unaj slede}e koli~nike: b) (12a3x4 - 8a4x3 - 4a5x2) : (4a2x2).

6.

Izra~unaj: a) (-4x5 + 12x4y + 16x3y2) : (4x3); b) (4a2b - 12a4b3) : (4a2b).

7.

Svedi slede}e izraze na polinom standardnog oblika: a) (9a2b3 - 12a4b4) : 3a2b - (2 + 3a2b) × b2;

a) ((-2a3b) × (-3ab3)) : (-6a2b2);

4.

.

a) (4x5y2 - 6x4y3 - 8x3y4) : (2x3y2);

b) (-9a b ) : (3a b ). 3 5

.

b) (x2 - 2xy) × (3x2) - (9xy3 - 12x4y2) : (3xy).

8.

Odredi h u jedna~inama: a) 6x + (4x3 - 12x2) : 2x2 = 10; b) 6x - (14x2 - 21x3) : 7x2 = 16.

Monomi i polinomi

87

12

DEQEWE POLINOMA SA POLINOMOM

Podseti se!

A 1.

Ako je (2a2 - 5)(3a - 2) = 6a3 - 4a2 - 15a + 10, tada ~emu je jednako: (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (2a2 - 5); (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (3a - 2)? Kako je dobijen prvi ~lan proizvoda 6a3 - 4a2 - 15a + 10?

Polinom 6x3 - 7x2 - 7x + 6 da se podeli sa polinomom 2x - 3.

Podeli prvi ~lan deqenika sa prvim ~lanom delioca. Pomno`i delioca 2h -3 sa dobijenim koli~nikom. Poku{aj da dobijeni proizvod oduzme{ od deqenika.

Ako si uradio prve tri aktivnosti, dobio si prvog ~lana 3h2 od koli~nika. Ako produ`i{ te tri aktivnosti sa ostatkom i deqenikom, dobija{ drugog ~lana koli~nika. Uvidi postupak o deqewu datih polinoma. Uvidi kako se prakti~no izvodi. Zapisivawe deqewa

Postupci prilikom deqewa

Izvr{avawe pojedinih operacija

(6x3 - 7x2 - 7x + 6) : (2x - 3) = 3x2 + x - 2 6x3 9x2 2 1 + -

Pravi ~lan 6h3 deqenika se deli sa prvim ~lanom_delioca i dobija se prvi ~lan koli~nika

(6x3) : (2x) = 3x2

-

E F E F E F

2x2 - 7x + 6 2x2 - 3x +

- 4x + 6 - 4x + 6 +

-

4

2

6

0

3

F F F F 4

5

88

Deqenik 2h -3.se mno`i sa prvim ~lanom 3h koli~nika i dobijeni proizvod 6h3 -9h2 se oduzima od deqenika,tj. promenom znakova se dobija suprotni izraz -6h3 -9h. Prvi ~lan 2h2 ostatka od oduzimawa se deli sa prvim ~lanom 2h delioca i dobija se drugi ~lan koli~nika;

(2x2) : (2x) = x

Deliteq 2h -3 se mno`i sa drugim ~lanom h koli~nika i dobijeni proizvod se oduzima od ostatka 2h27h +6;

(2x - 3) Ă— x = 2x2 - 3x

Prvi ~lan -4h ostatka -4h+6 se deli sa prvim ~lanom 2h delioca 2h -3 i dobija se tre}i ~lan koli~nika;

(-4x) : (2x) = -2

6

Delilac 2h -3 se mno`i sa tre}im ~lanom -2 koli~nika i dobijeni proizvod se oduzima od ostatka 4h +6.

7

Dobija se ostatak 0, ~ime je deqewe zavr{eno.

Tema 3. Polinomi

(2x - 3) Ă— (3x2) = 6x3 - 9x2

(2x - 3) Ă— (-2) = -4x + 6

Uporedi postupak koji si uvideo prilikom deqewa polinoma, odgovori na pitawa: Sa kojim ~lanom deliteqa se radi deqewe? Koji ~lanovi se dele sa prvim ~lanom deliteqa?

2.

Razgledaj postupak deqewa polinoma sa polinomom na primeru (x4- 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2). Objasni postupke od 1 do 6 koji su napisani.

(x4 - 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2) = x2 - 3x + 5 x4 - 2x2 +

-

- 3x3 + 5x2 + 6x - 10 + 6x - 3x3 +

-

5x2 - 10 5x2 - 10 +

-

0

1. x4 : x2 = x2 2. (x2 - 2) Ă— x2 = x4 - 2x2 3. (- 3x3) : x2 = -3x 4. (x2 - 2) Ă— (-3x) = -3x3 + 6x 5. (5x2) : x2 = 5 6. (x2 - 2) Ă— 5 = 5x2 - 10. Uvidi da prilikom deqewa polinoma sa polinomom prethodno ~lanovi u polinomu treba da su pore|ani od najve}eg do najmaweg stepena jedne od promenqivih..

3.

Odredi koli~nike: a) (x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 1); b) (3a3 - 5a2 + 14a - 8) : (3a - 2).

4.

Proveri da li je deqewe ta~no ura|eno: (3a4 - 2a3 - 8a2 + 6a - 3) : (a2 - 3) = 3a2 - 2a + 1.

Treba da zna{: Da deli{ polinom sa polinomom; Da objasni{ postupak deqewa polinoma sa polinomom.

Proveri! Odredi koli~nik polinoma 2x3 + x2 - 5x + 2 i x + 2, a zatim proveri da li si ta~no podelio.

Zadaci 1.

2.

Ako je (a - 1)(a + 1) = a2 - 1, tada ~emu je jednako a) (a2 - 1) : (a - 1); b) (a2 - 1) : (a + 1)?

3. Odredi da li su ta~ne jedna~ine:

Odredi slede|e koli~nike: a) (2a2 - 7ab + 6b2) : (a - 2b); b) (6x3 - 11x2 + 13x - 12) : (3x - 4); v) (2a3 + 5a2b - 5ab2 + b3) : (2a - b).

4. Odredi polinom A tako da jedna~ina

a) (6x3 - 11x2 + 23x - 15) : (x2 - x + 3) = = 6x - 5 b) (2a3 + 5a2 - 6a - 15) : (a2 - 3) = 2a + 5. bude ta~na: (x3 - y3) : A = x - y.

Monomi i polinomi

89

13

RACIONALNI IZRAZI

Podseti se! Brojevni izrazi su: 14 - 6; 25 + 3 Ă— 6; 100 - 52; (1,6 + 3,8) : (7 - 6,5);

A 1.

Dati su izrazi: a) 2a + 3b; b) x2 - 5x + 7;

[ \ . [ Od kojih konstanta i promenqivih je formiran svaki izraz?

§ ¡ itn. ¨ ¸Â˜ Š š Izra~unaj vrednost brojevnog izraza (13,5 - 8,25) : (4 - 1,5).

v)

Izrazi sa promenqivom su:

Sa kojim operacijama su vezane konstante i promenqive u datim izrazima?

[ \ itd. [ \ Izra~unaj brojevnu vrednost izraza x2 - 2x + 1 za x = -2. x + 8; 3y2 - 5,

Uvidi konstante u tabeli, promenqive i operacije sa wima u datim izrazima.

izraz

2a + 3b

x2 - 5x + 7

[ \ [

konstante

2; 3

1; -5; 7

1; -2; 3

promenqive

a; b

operacije

x

mno`ewe i sabirawe

Oduzimawe Mno‘ewe, Sabirawe i stepenovawe

x; y oduzimawe, mno`ewe i deqewe.

U tabeli se vidi da su dati izrazi formirani od konstanti (brojevi) i promenqivih (slova), vezane operacijama: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe, deqewe i stepenovawe sa eksponentom prirodni broj, i samo sa wima. [ \ Izraz kao: 2a + 3b; x2 - 5x + 7 i se zovu racionalni izrazi. [ Izraz x2 - 3 [ nije racionalni, jer je promenqiva x e pod znakot za korenovawe.

2.

Koji izrazi su racionalni izrazi: x2 - 2x + 1;

B 3.

[ \ ; [

˜ [ ;

D [.

Dati su slede}i racionalni izrazi:

[ [ \ [ ; ; ; (x2 - 1) : (x + 2). [ U kojima od datih racionalnih izraza ima deqewe sa promenqivom? 3x2 - 1;

90

Tema 3. Polinomi

[ta zna~i da izraz ima deqewe sa promenqivom?

To zna~i da delilac, odnosno imenilac u izrazu da sadr‘i promenqivu.

[ \ [ nema deqewa sa proi menlivom. Takvi racionalni izrazi se zovu celi racionalni izrazi.

Vidi{ da u racionalnim izrazima: 3x2 - 1,

[ i (x2 - 1) : (x + 2), u kojima je zastupqeno deqewe sa promeqivom se [ zovu razlomqeni racionalni izrazi.

Izrazi, kao

4.

Koji su od slede}ih racionalnih izraza: a) celi racionalni izrazi; b) razlomqeni racionalni izrazi.

[ ;

5.

; [

\ ;

[ ; [

[ ; [

[ . [

Dati su polinomi: 3x2y, 2x - 3y, x2 - 3x + 5. Kojeg su tipa racionalnih izraza navedeni polinomi?

Podseti se!

V 6.

Koji od slede}ih brojevnih izraza nema brojevnu vrednost:

˜ ? ˜ Koja

vrednost

racionalnog izraza

na

x

Zameni promenqivu h sa -2, kakav izraz dobija{ posle zamene?

imenioca

[ je nula? [

Da li za x = 3 dati izraz ima vrednost?

Izra~unaj brojevnu vrednost racionalnog izraza x2 - 2x - 1 za x = -2.

Dobi}u brojni izraz (-2)2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Brojevna vrednost izraza x2 - 2x - 1 za x =- 2 e 7.

7.

Izra~unaj brojevnu vrednost racionalnog izraza

8.

Dat je racionalni izraz

[ \ za x = 3 i y = -1. [ \

\ . \ Za koju vrednost promenqive u vrednost imenioca je nula?

Koje su dopu{tene vrednosti promenqive u u datom izrazu?

Monomi i polinomi

91

Mo`e{ da uo~i{ da: ako y = -3, tada y + 3 = -3 + 3 = 0. prema tome ako y = -3, tada racionalni izraz

\ nema vrednost. Skup dopu{tenih vrednosti ovog izraza je R \ \

{-3}, t.j. svi realni brojevi osim broja -3.

9.

Odredi dopu{tene vrednosti promenqive u svakom izrazu:

[ ; [

[ [ ; [ [

. [

Treba da zna{:

Proveri!

Da navede{ primere za racionalne izraze; Da definira{ celi racionalni izraz; Da definira{ razlomqeni racionalni izraz; Da odredi{ brojevnu vrednost racionalnog izraza; Da odredi{ dopu{tene vrednosti promenqive u racionalnom izrazu.

Kakvi racionalni izrazi su polinomi? Koji od navedenih racionalnih izraza su celi, a koji razlomqeni racionalni izrazi? [ [ x2 - 3x + 5; . ; [ Odredi dopu{tene vrednosti promenlivata x vo racionalnom izrazu [ . [ [

Zadaci 1.

Odredi koji su od slede}ih izraza racionalni izrazi: 5x - 2;

2.

92

[ \ ;

[ . [

Odredi brojevnu vrednost racionalnog izraza x2 - 3x + 5 za x = 2.

Tema 3. Polinomi

Izra~unaj brojnu vrednost na izraza

[ za x = 4. [

[ [ .

Odredi koji su od slede}ih izraza su celi, a koji razlomqeni racionalni izrazi. [ [ 2x2 - 3y2; ;

[ ; [

3.

[ ; [

4.

5.

Za koju vrednost promenqive y izraz \ nema smisla? \

6. Odredi skup dopu{tene vrednosti

promenlive u racionalnom izrazu [ . [ [

RAZLAGAWE POLINOMA NA MNO@IOCE

14

RAZLAGAWE POLINOMA SA IZVLA^EWEM ZAJEDNI^KOG MNO@IOCA ISPRED ZAGRADA I GRUPIRAWEM

Podseti se!

A 1.

Polinom ax2 + ay2 napi{i kao proizvod.

U proizvodu 60=4.15 brojevi 4 i 15 su mno`ioci, a broj 60 wihov proizvod.

Podseti se na distributivno svojstvo mno`ewa.

Ka`e se da je u zapisu 60=4.15 broj 60 razlo`en na mno`ioce. Ako se napi{e: 60=2.2.3.5 gde su mno`ioci prosti brojevi, ka e se da je broj 60 razlo`en (rastavqen) na proste mno`ioce.

Polinom ax2 + ay2 se dobija koda se polinom x 2 + y 2 pomno`i sa monomom a.

Razlo`i broj 36 na mno`ioce. Razlo`i broj 28 na proste mno`ioce.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

a(x + y ). 2

+ ay2 = a(x2 + y2).

2

Ka`e se da sa ovom identi~nom transformacijom polinom ax2 + ay2 je razlo`en na mno`ioce sa izvla~ewem zajedni~kog mno`ioca ispred zagrade.

Odredi slede}e proizvode: 2

F ax

(a + 3) (x + y).

2.

Razlo i na mno ioce slede}e polinome:

3.

Razlo`i na mno`ioce polinomom 3ax2 + 6bx2 - 12cx2.

3a + 3b;

Zajedni~ki mno`ilac za sve ~lanove polinoma je 3x2. Zna~i da bi re{io zadatak wega izvla~im ispred zagrada.

Koji je zajedni~ki mno`ilac za sve ~lanove datog polinoma? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

ax2 - bx2.

F 3ax

2

+ 6bx2 - 12cx2 = 3x2(a + 2b - 4c).

Primeti da polinom u zagradama dobijamo deqewem datog polinoma sa zajedni~kim mno`iocem, izvu~enog ispred zagrada.

4.

Razlo`i na mno`ioce slede}e polinome:

5.

Razlo`i na mno`ioce izraz 2a(x - y) - 3b(x - y).

10x3 -5x2 + 15x;

4a3b -6a2b2 + 8ab3.

Razlogawe polinoma na mno`ioce

93

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 2a(x - y) - 3b(x - y) = (x - y)(2a - 3b).

6.

Razlo`i na mno`ioce slede}i izraz: 5x(a + 2b) - 2y(a + 2b).

7.

Razlo`i na mno`ioce polinom: ax + 3x + 3y + ay. Da li imaju zajedni~kog mno`ioca svi ~lanovi polinoma? Kako }e{ da razlo`i{ polinom na mno`ioce?

Svi ~lanovi nemaju zajedni~kog mno`ioca. Grupira}u prvi sa ~etvrtim i drugi sa tre}im ~lanom, ili : prvi sa drugim i tre}i sa ~etvrtim.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F ax + 3x + 3y + ay = (ax + ay) + (3x + 3y) = a(x + y) + 3(x + y) = (a + 3) (x + y). 8.

Razlo`i na mno`ioce polinoma 2 ax - 6ay + bx - 3by.

Treba da zna{:

Proveri se!

Da razlo`i{ polinom na mno`ioce sa izvla~ewem zajedni~kog mno`ioca ispred zagrada i grupirawem ~lanova;

Razlo`i na mno`ioce slede}e izraze: 15a2b - 10ab2 + 5ab.

Da objasni{ postupak razlagawa polinoma na mno`ioce sa izvla~ewem zajedni~kog mno`ioca ispred zagrada.

ax(a - x) + (a - x). ax + bx + a + b.

Zadaci 1.

Razlo‘i na mno‘ioce slede}e polinome: a) 5a + 5x;

2.

b) 2ax + 4ay;

v) axy - bxy.

Razlo`i na mno`ioce slede}e polinome a) 12x2y - 9xy2 + 3x3y3; b) 7x3y2 - 14x2y3 + 21x3y3; v) 6a3b2 - 9a2b3 + 3a2b2.

3.

Razlo`i na mno`ioce slede}e izraze: a) 2a(x - 3) - 3b(x - 3); b) 5x(5 - x) - 3y(5 - x); v) 3x(2a - 3b) - (2a - 3b).

4. Razlo`i na proste mno`ioce slede}e izraze:

a) 2a(3y - 4) - 5b(4 - 3y); upatstvo: -5b(4 - 3y) = 5b(3y - 4);

b) 3x3 - 3x2 + y2 - xy2; v) 3a2x - 2a2y - 2y + 3x.

94

Tema 3. Polinomi

15

RAZLOAGAWE POLINOMA TIPA A2 - B2 NA PROSTE MNO@IOCE

Podseti se!

A 1.

Proizvod zbira i razlike dva izraza je jednak razlici kvadrata prvog i drugog izraza, tj. (A + B)(A - B) = A2 - B2.

Uvidi da 4a2 = (2a)2 i 9b2 = (3b)2. Kako mo`e{ da primeni{ formulu A2 -B2 = (A + B) (A - B)?

Odredi proizvode: (x + 5) (x -5);

Razlo`i na mno`ioce polinom 4a2 - 9b2.

(3a - 2b)(3a + 2b). Ako je A2 = (2a)2 i B2 = (3b)2 toda 4a2 - 9b2 = (2a)2 - (3b)2. Seda mogu da primenim formulu A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Napi{i proizvod kojeg je dobijen izraz 4x2 - y2.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 4a 2.

- 9b2 = (2a)2 - (3b)2 = (2a + 3b)(2a - 3b).

2

Razlo`i na mno‘ioce slede}e polinome:

B 3.

9x2 - y2;

4a2 - 25x2.

Razlo`i na mno`ioce polinom 18x2 - 50y2. U ovom slu~aju ne postoji broj dignut na kvadrat koji daje 18 ili 50. kako }e{ da razlo`i{ ovaj polinom na mno‘ioce?

Udatom polinomu }u izvu}i istred zagrade 2 i dobi}u 2(9x2 - 25y2), a zatim za izraz u zagradi }u primeniti formulu A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 18x

2

- 50y2 = 2(9x2 - 25y2) = 2((3x)2 - (5y)2) = 2(3x + 5y)(3x - 5y).

uvidi da je polinom 18x2 - 50y2 razlo`en na mno`ioce. Ni jedan od mno`ioca ne mo`e da se razlo`i. Zato se ka`e da je polinom razlo`en na proste mno`ioce.

4.

Razlo`i na proste mno`ioce slede}e polinome 12a2x - 27b2x;

3ax2 - 12ay2.

Razlogawe polinoma na mno`ioce

95

V 5.

Razlo`i na proste mno`ioce izraz: (a + 5)2 - (b - 2)2. Neka a + 5 = A i b - 2 = B. Kako }e primeniti formulu A2 - B2 = (A + B)(A - B)?

Ako a + 5 = A i b - 2 = B, tada (a + 5)2 = A2 i (b - 2)2 = B2, a (a + 5)2 - (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 -b + 2).

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F (a + 5) 6.

2

- (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 - b + 2) = (a + b + 3)(a - b + 7).

Razlo`i na proste mno`ioce slede}e izraze: (2x - 3)2 - (3y + 2)2;

(x + y)2 - x2y2.

Treba da zna{: da razlo`i{ na mno`ioce polinom tipa A2 - B2;

Proveri! Razlo`i na proste mno`ioce polinome:

Da objasni{ postupak razlagawa polinoma tipa A2 - B2 na mno`ioce.

a2 - 25b2;

7a2b2 - 28;

(5a - 3b)2 - (2a - 7b)2.

Zadaci 1.

Razlo`i na proste mno`ioce polinome: a) x2 - b2; b) 4a2 - 49y2; v) 16a4b2 - 25.

2.

Razlo`i na proste mno`ioce slede}e polinome: a) 5a2 - 20x2; b) 7a2x2 - 63x2b2; v) 5x - 5x. 3

3.

Razlo`i na proste mno`ioce polinome: a) (x - 5)2 - (y - 3)2; b) (4a + 3b)2 - (a - 2b)2; v) (x2 + 6)2 - 49.

4. Razlo‘i na proste mno`ioce polinome:

a) 642 - 362; b) 752 - 252; v) 7252 - 2752; uputstvo: 642 - 362 = (64 + 36)(64 - 36).

96

Tema 3. Polinomi

16

RAZLAGAWE POLINOMA TIPA A2 + 2AB + B2 I A2 - 2AB + B2 NA PROSTE MNO@IOCE

Podseti se!

A 1.

Ako su A i B bilo koji monomi, tada (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 i (A - B)2 = A2 - 2AB + B2. Odredi (3x + y)2.

Odredi binom A + B, gde su A i B se monomi, da bude ta~no jedna~ina 4x2 + 12xy + 9y2 = (A + B)2. Koji ~lanovi polinomu 4x2 + 12xy + 9y2 pretstavuqaju A2 i B2? Kako }e{ da odredi{ A i B?

Koji binom dignut na kvadrat daje 9x2 - 6xy + y2?

Po{to je (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, sledi da je A2 = 4x2 i B2 = 9y2, odakle je A = 2x i B = 3y; 2AB = 2 × 2x × 3y = 12xy. Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 4x + 12xy + 9y = (2x) + 2 × 2x × 3y + (3y) = (2x + 3y) ; zna~i A + B = 2x + 3y. 2

2

2

2

2

Uvideo si da polinom 4x2 + 12xy + 9y2 mo`e da se napi{e 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2. Sa tim polinomom 4x2 +12xy + 9y2 je razlo`en na proste mno`ioce. (2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y).

2.

Razlo i na proste mno ioce slede}e polinome: x2 + 4x + 4;

B 3.

4a2 + 20ab + 25b2.

Razlo i na mno ioce polinom: 25a2 - 20ab + 4b2. Koju }e{ formulu primeniti u ovom slu~aju?

U ovoj slu~aju primeni}e se formula: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 25a - 20ab + 4b = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) 2

4.

2

2

2

= (5a - 2b)2, t.e. 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a - 2b)2.

Razlo`i na mno`ioce slede}e polinome:

a2 - 6ab + 9b2;

4x2 - 4x + 1.

Razlogawe polinoma na mno`ioce

97

V 5.

Razlo`i polinom mno`ioce: 12ax2 + 12axy + 3ay2. Kako }e{ razlo`iti na mno`ioce dati polinom kada nema monoma koji dignut na kvadrat daje 12ax2?

Prvo }u izvu}i ispred zagrada zajedni~kog mno`ioca 3a, a zatim razlo iti izraz u zagradama.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F 12ax

2

6.

+ 12axy + 3ay2 = 3a(4x2 + 4xy + y2) = 3a((2x)2 + 2 × 2x × y + (y)2) = 3a(2x + y)2.

Razlo i na mno ioce slede}e polinome: 4x3 + 12x2 + 9x;

18a3 - 24a2b + 8ab2.

Treba da zna{: da razlo`i{ mno`ioce polinom tipa A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2; da ja objasni{ postapka razloagawa na mno`ioce polinoma tipa A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2.

Proveri! Razlo`i na mno`ioce slede}e polinome: 25a4 + 20a2 + 4;

4x2 - 4ax + a2.

Zadaci 1.

Razlo`i na mno`ioce polinome: a) a2 + 6a + 9;

2.

3.

4.

b) 4x2 + 20xy + 25y2.

Transformi{i brojevni izraz, a zatim izra~unaj wegovu vrednost.

5.

Razlo`i na mno`ioce polinome: a) 25x2 - 10x + 1;

6.

b) 4a2 - 28ab + 49b2.

Izra~unaj kra}im putem brojevnu vrednost izraza:

a) 482 + 2 × 48 × 52 + 522;

a) 562 - 2 × 56 × 16 + 162;

b) 272 + 2 × 27 × 33 + 332.

b) 472 - 2 × 47 × 27 + 272.

Razlo`i na proste mno`ioce slede}e polinome:

7.

Razlo`i na proste mno`ioce polinome:

a) 2x2 + 12x + 18; b) 2xy2 + 16xy + 32x.

a) 50x2 - 20xy2 + 2y4;

Odredi monom A tako da je jedna~ina ta~na:

b) 2ax2 - 16ax + 32a.

8.

a) 25 + 10y + y = (5 + A) ;

Odredi polinom A tako da je jedna~ina ta~na

b) 4y4 + 4y2 + 1 = (A + 1)2.

a) 81x2 - 18xy2 + y4 = (9x - A)2;

2

4

2

b) 16a2 - 8a + 1 = (4a - A)2.

98

Tema 3. Polinomi

R A D P O D A C I M A

S A

17

PRIBIRAWE PODATAKA

A 1.

Broj ~asova u kojima je sunce grejalo (sun~ani ~asovi) u jednoj sedmici je napisan u slede}oj tabeli

Dan

P

U

S

^

P

S

N

Br. ~asova

3

4

2

0

5

8

4

Podaci se pribiraju na razli~ite na~ine. U ovom primeru, oni su pribrani posmatrawem i merewem du`ine trajawa doga|aja.

Koliko je ukupno sun~anih ~asova bilo u toku sedmice? Koji dan je bio obla~an u toku celog dana?

Koji je dan bio najsun~aniji?

Koji su dani imali jednaki broj sun~anih ~asova?

2.

Jovan se sakupqao podatke o vrstama doma}ih miqenika koje je imao svaki u~enik u razredu. U tabeli su dati podaci. Da bi sakupio ovakve podatke posmatrawem, potrebno je du`e vremena. Ali, podaci se mogu pribirati i postavqawem pitawa

Vrste Ma~ka Pas miqenika Broj 4 9 dece

Ptica Ribe 12

5

Jovan je sakupio podatke upitnikom koji je sadr`ao dva pitawa: 1. Da li ima{ doma}eg miqenika? Da Ne Napi{i drugo pitawe iz Jovanovog upitnika. Pribirawe podataka se vr{i na vi{e na~ina: pitawa telefonom, kori{}ewem upitnika, istra‘ivawe u novinama, enciklopediji, uxbenik i drugo. Podaci se mogu pribirati o veli~inama sa vrednostima realnih brojeva. Na primer: broj u~enika- prirodnim brojevima; temperatura- celim brojevima,; vreme racionalnim brojevima i drugo.

3.

U~enici iz VII 3 razreda su bili podeqeni u grupe i svaka grupa je trebala da sakupqa podatke. . Napi{i odgovaraju}i na~in prikupqawa podataka za svaki postavqeni zadatak: a) Imena i visine {est najvi{ih planina u svetu;

Rad sa podacima

99

b) Najgledanija de~ija emisija u~enika tog razreda; v) Vreme u Skopqu u toku marta meseca; g) Boja automobila koji su pro{li ulicom ispred {kole u toku 1 sata. Objasni za{to je na~in koji si ti izabrao najodgovaraju}i. Objasni za{to je boqe da pita{ u meteorolo{koj stanici o koli~ini ki{e koja je pala u Prilepu u toku jednog meseca, umesto da posmatra{ i meri{.

B

4.

Sakupqeni podaci treba da se grupiraju i pore|aju i mogu se predstaviti na razli~ite na~ine. Podseti}emo se primerima.

U stup~astom dijagramu su dati podaci koliko ~asova je bilo obla~no u toku jedne sedmice. Sastavi tabelu i podatke napi{i u woj.

~asovi 12 10 8 6 4 2

Koga dana je najdu`e bilo obla~no?

5.

P

U

S

^

P

S

N

Dan

Obla~no vreme u toku jedne sedmice

Koga dana nije uop{te bilo obla~no? Ovaj slikoviti dijagram pokazuje broj {kola koje su se takmi~ile na me|u{kolskoj sportskoj utakmici. 9 su se takmi~ile u fudbalu (F); 6 su se takmi~ile u rukometu (R); 5 su se takmi~ile u ko{arci (K).

Me|u{kolska utakmica F: R:

Jedan znak predstavqa dve {kole.

K:

Upi{i podatke u tabelu i predstavi ih stup~astim dijagramom.

Vreme / h

6.

Na linijskom dijagramu su dati podaci o tome koliko ~asova u toku jednog danono}ja treba qudi da spavaju iz razli~itih starosnih grupa.

16

Podatke iz linijskog dijagrama predstavi tabelarno.

10

[ta mo`e da se ka`e o potrebi qudi za spavawem od 15 do 25 godina, i od 30 do 40 godi{we uzrasti.

100

Tema 3. Polinomi

14 12 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Vozrast (godina)

Potreba za spavawem

7.

Podatke iz tabele: populacija u svetu od 1900 do 2000 godine i predvi|awe UNESKO za 2020 godinu, predstavi linijskim dijagramom.

Godina

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Stanovni{tvo 1,6 u milijardama

1,9

2,3

3,0

4,4

6,2

7,7

Upamti Uvek kada crta{ dijagram, pazi da svaki dijagram mora da ima: Naslov, koji jasno govori {ta je predstavqeno na dijagramu; Ime (opis) na svakoj od osi sa jasno nazna~enom mernom jedinicom; Opis simbola, ako se radi o opisnom dijagramu; Crte` treba biti jasan da bi mogao lako da se ~ita.

Treba da zna{: Podaci se mogu pribirati na razli~ite na~ine; Pribrani podaci treba da se zapi{u, grupiraju, izbroje i pore|aju; Podaci se predstavqaju na razne dijagrame.

Zadaci 1. Ilija je hteo da utvrdi koliko su wegovi

drugovi ~itali pro{log meseca. [ta je odgovaraju}e: a) da pita svakog druga koliko je kwiga pro~itao? b) da proveri u {kolskoj biblioteci koliko je svaki drug uzeo kwiga pro{log meseca? Objasni svoj odgovor.

2. Na testu iz matematike je maksimalni broj poena bio 20. Test je re{avalo 20 u~enika i wihov broj poena je bio: 15 6 19 20 18 15

10 18 18

19 10 12

5 4 15

20 13 20

17 20 5

12 18 6

Prepi{i tabelu i napi{i potrebne podatke.

Proveri! Napi{i jedan primer o podacima koji se sakupqaju merewem. Objasni koje podatke treba da ima svaki dijagram.

Broj osvojenih 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 20 pojena Frekfencija (broj u~enika)

Podatke predstavi dijagramom.

stup~astim

Ako je za postignutih 15-20 poena ocena 5, koliko je u~enika dobilo 5 na testu?

3. U toku 1 ~asa, ispred {kolske zgrade

je pro{lo: 16 belih automobila, 12 crvenih, 5 plavih, 7 crnih i 2 automobila srebrne boje. Napi{i podatke u tabeli. Sastavi stup~asti dijagram i predstavi podatke. Pazi da dijagram sadr`i sve elemente.

Rad sa podacima

101

U^IO SI O POLINOMIMA. PROVERI SVOJE ZNAWE

1.

Od kojih konstanti i promenqivih su formirani izrazi: 2x;

2.

2 ab; -0,5x y?

Predstavi kao polinom u standardnom obliku izraz: (x2 - 1)(x2 + 1) - x (x3 - x2 + 2).

Predstavi kao monom u standardnom obliku izraz:

9.

Izra~unaj: a) 6a b c : (3a bc); 5 2

5ab(a3b) - (a2b)2 - 2a4b2.

3.

8.

Odredi stepen svakog monoma: 5; 2x; 3xy; x2y3.

3

[ \ ] b) . [\

10. Odredi koli~nik: (6x5y3 - 3x4y4 + 2x3y5) : (3x3y3).

4.

Odredi zbir i razliku monoma: -2x2y i -5x2y.

11. Odredi koli~nik: (x5 - 3x3 - 3x2 + 2x + 6) : (x2 - 2).

5.

Svedi na polinom u standardni oblik izraz: (3x2 - 5xy + 4y2) + (2x2 - xy - y2) -

12. Razlo`i na mno ioce polinome: a) 3a2b + 6ac;

b) 2x3y2 + 4x2y3 - x2y.

- (4x2 - 4xy + 2y2).

13. Razlo`i na mno`ioce polinome: 6.

a) 2a2(a - 3x) - x2(3x - a); Izra~unaj:

b) 3ax + 3bx - 5a - 5b.

a) 3x y × (-2xy ); 2

7.

3

§ · b) ¨ [ \ ] ¸ . © ¹

(3x - 2x y + xy - y ) × (-3x y ).

102

2

36a2 - (5a - 3)2.

15. Razlo`i na mno`ioce polinome:

Odredi proizvod: 3

14. Razlo`i na mno`ioce izraz:

2

3

Tema 3. Polinomi

2 2

x4 - 6x2y + 9y2.

TEMA 4.

KRU@NICA I MNOGOUGAO, POVR[INA

UGLOVI U KRU@NICI 1. Centraleni ugao 104 2. Perifereni ugao 107 3. Talesova teorema 110 TETIVNI I TANGENTNI ^ETVOROUGAONIK 4. Tetivni ~etvorougao 113 5. Tangentni ~etvorougao 115 PRAVILNI MNOGUILOVI 6. Pravilni mnogougao. Uglovi i obim 118 7. Svojstva pravilnog mnogougla 121 8. Konstrukcija pravilnih mnogougla 124 PITAGORINA TEOREMA 9. Pitagorina teorema 126 10. Primena Pitagorine teoreme kod pravougaonika, kvadrata i ravno129 stranog trougla 11. Zadaci sa primenom Pitagorine teoreme 131

POVR[INA MNOGOUAGAONIKA 12. Pojam povr{ine 13. Povr{ina pravougaonika i kvadrata 14. Povr{ina paralelograma 15. Povr{ina trougla 16. Povr{ina trapeza i deltoida 17. Povr{ina pravilnog mnogougla 18. Zadaci o povr{ini mnogougla

134 138 142 145 149 152 155

OBIM I POVR[INA KRUGA 19.Obim kruga. Du`ina kru`nog luka 158 20.Povr{ina kruga, kru nog ise~ka i 163 kru nog prstena RAD SA PODACIMA 21. Sektorski dijagram 167 22.Aritmeti~ka sredina. Medijana. Moda. Rang 169 Proveri svoje znawe 172

Uglovi u kru`nici

103

1

UGLOVI U KRU@NICA CENTRALI UGAO

A 1.

Podseti se!

Teme AOB je u centru k(O, r). Svaki takav ugao se zove centralni ugao u k.

B

r=

2

cm

Razgledaj kru`nicu k na crte`u i odgovori na pitawa: N Koja je ta~ka na crte`u centar kru`nice? k M O Koja ta~ka le`i na kru`nici?

A

r

A

( (

Svaki centralni ugao ima odgovaraju}u tetivu i odgovaraju}i kru`ni luk. Da li svaki kru`ni luk ima odgovaraju}i centralni ugao?

E N

F

(

(

Ta~ke C i D, crte`, dele kru`nicu na dva kru`na luka; mali - crveni

104

O

Za centralni ugao AOB i kru`ni luk AB se ka`e da su odgovaraju}i me|u sebom.

dijametar kru`nice? Krajwe ta~ke jednog dijametra, dele kru`nicu na dve polukru`nice.

CD i ve}i - plavi CGD

r

(

Dve kru`nice su skladne ako imaju jednake radijuse. Nacrtaj u svesci k (O, 2,5 sm), a na prozirnoj hartiji k1 (O, 2,5 sm). Zatim poka`i da se podudaraju. D

B

k Nacrtaj dva razli~ita centralna ugla u kru`nici k(O, r): AOB i MON. Uvidi wihove kru`ne lukove AB i MN Primeti da su zauzeti sa odgovaraju}im centralnim uglovima.

Koja ta~ka je unutra{wa ta~ka kru`nice? Dali M Î k? Du` OB je radijus kru`nice Koja du` ON, OM, OA, MN je radijus te kru`nice?

Razgledaj crte` i odgovori. [ta je tetiva kru`nice? C Koja od du` O M AB, CD, EF, MN A je tetiva B kru`nice? k G Koja tetiva je

Razgledaj crte` i uvidi:

Da, i pri tom ima samo jedan centralni ugao.

2.

Na crte`u je d a t a kru`nica k(O; 2 cm). Na prozirnoj hartiji nacrtaj k1(O1; 2 cm).

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

B

75 o

A

O k

Za{to su k i k1 skladne kru`nice? Nacrtaj centralni ugao MO1N = 75o. On je skladan sa AOB. Za{to? Stavi prozirni list tako da se podudaraju kru nice k i k1, odnosno centralni

ugovi AOV i MON. [ta prime}uje{?

Prime}uje se da se odgovaraju}e tetive i odgovaraju}e kru`ni lukovi podudaraju, tj. q q $% = 01 i $% = 01 .

B

3.

M

k

U kru`nici k(O; 2 cm) nacrtana su dva centralna ugla: MON i POQ. Ako MON = POQ, doka`i

N

da su tetive MN i PQ su jednake, t.j. 01 = 34 . Uvidi da su DMON i DPQO ravnokraki sa krakovima jednakih radiusa kru`nice. Prema stavu SAS, trouglovi su skladni.

O

Prema tome 01 = 34 .

P

Q

Va`i uop{te! Ako su dva centralna ugla, u jednoj kru`nici ili dve skladne kru`nice, jednaki, tada wihove odgovaraju}e tetive, odnosno odgovaraju}i kru`ni lukovi su jednaki. B

(

(

4.

Kru`ni lukovi AA1 i BB1 kru `nice k, na crte`u, su jednaki (t.j. skladni).

k

B1 O

Odgovaraju}i centralni uglovi su ozna~eni sa a i b. Poka`i da je a = b. A Uvidi da su tetive AA1 i VV1 su jednakve. Kako }e{ pokazati da je a = b ?

b a A1

Ravnokraki trouglovi OAA 1 i OB 1 B prema stavu SSS su skladni, t.j. DOAA1 @ DOB1B i zbog toga a = b.

Uop{te! Ako su dva kru`na luka u jednoj kru`nici ili dve skladne kru`nice jednaki, tada su i odgovaraju}i centralni uglovi (odgovaraju}e tetive) jednaki.

Uglovi u kru`nici

105

Nacrtaj dve kru`nice k(O; 2 cm) i k 1 (O 1 ; 3 cm) i nacrtaj centralne uglove AOB = 55o i A1O1B1 = 55o. Uporedi tetive AB i A1B1, odnosno lukove kru`ne AB i A1B1 . [ta prime}ue{? Za{to?

6.

Koliki je centralni ugao i tetiva koji odgovaraju jednom polukrugu k(O; 1,5 cm)?

(

5.

(

Treba da zna{: Da prepoznaje{ centralni ugao u datoj kru`nici, wegovu odgovaraju}u tetivu i wegov odgovaraju}i kru`ni luk; Da objasni{ da su centralni uglovi iznad jednakih kru`nih lukova ( u istoj ili skladnoj kru`nici) jednaki me|u sobom.

Proveri! Koliko stepeni ima centralni ugao koji je odgovara kru`nom luku: a) Cela kru`nica b) Polukrug v) Tre}ina kruga g) ^etvrtina kruga d) [estina kruga? Nacrtaj dve kru`nice k(O; 2 cm) i k1(O; 2,5 cm) u wima tetive 01 = 3 cm i 0 1 = 3 cm. Dali MON = M1O1N1? Za{to?

Zadaci 1. Nacrtaj ravnostran DABC i opi{i

kru`nicu oko wega. Koliko stepeni ima centralni ugao nad jedwe wegove strane koja le`i na wemu?

4. U kru`nici k(O; r) je upisan ravnokrak trougao ABC sa osnovama AB. Ako AOB = 135o, odredi AOC i BOC ( AOB, AOC i BOC zahvataju razli~ne oblasti kru`nice).

2. Nacrtaj jednu kru`nicu i wenu tetivu

(

106

(

da AOB = 112o 24', BOC = 98o 46' i oni zahva}aju razli~ne oblasti kru`nice. Koliki je konveksni ugao AOC?

je podeqena na 5 luka, tako da AB iznosi 5% BC , - 15%, CD - 20%, DE -

(

3. U kru`nici k(O; r) je upisan DABC tako

5. Ta~kama A, B, C, D i E, kru`nica k(O; r)

(

sa du`ine jednakom radiusu. Koliko stepeni ima centralni ugao u kome le`i odgovraju}a tetiva?

25% kru`nice. Na|i odgovaraju}e centralne uglove: AOB, BOC, COD, DOE i EOA.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

2

PERIFERANI UGAO

A 1.

Podseti se! Nacrtaj DABC i ozna~i wegove uglove a, b i g.

M

(

Za “AMB i luk AB , obi~no se ka`e da su podudarni

(

Ozna~i sa a1 spoqni ugao koji je pra}en sa a. Za uglove u DABC va`i: a + b + g = 180o; a + a1 = 180o; a1 = b + g.

Razgledaj crte` i odgovori na pitawa: Gde le~i teme “AMB i {ta su wegovi krakovi za kru`nicu?

(

B

sobom.

O

Dali mo`e{ da nacrta{ drugi ugao

A

iznad luka AB , a teme da le`i na kru`nici? Uvidi na crte`u da u jednoj kru`nici postoji beskona~no mnogo uglova iznad istog luka PQ ili nad tetivom PQ ~ija temena le`e na kru`nici.

k O

(

Nacrtaj kru`nicu k(O; 2 cm) i na woj jedan luk CD . Iznad luka nacrtaj nekoliko ugla ~ije teme je: a) Unutra{wa ta~ka; b) Spoqna ta~ka; v) Ta~ka u kru`nici.

k

(

Nacrtaj kru`nicu i u woj jedan luk AB . Iznad luka nacrtaj podudarni centralni ugao

me|u

Q

P

Svaki ugao ~ije teme je ta~ka kru`nice, a krakovi ugla seku kru`nicu, se zove periferni ugao.

2.

Nacrtaj kru`nicu i ozna~i wen pre~nik MN. Zatim, nacrtaj nekoliko perifernih uglova iznad pre~nika MN. Za svaki takav ugao se ka‘e da je periferni ugao u polukrugu ili da je upisan u polukrugu.

(

B 3.

Nacrtaj tri periferna ugla b1, b2 i b3 iznad luka MN od

b2

kru`nice k sa centrom u to~ki O:

b3

a) jeden krak b1 da prolazi kroz centra O kru`nice; b) centar O da je unutra{na ta~ka b2; v) centar O da je spoqna ta~ka b3.

b1

O

k M

Uglovi u kru`nici

N

107

Razgledaj crte` i uporedi sa svojim crte`om!

da centar kru`nice O za svaki periferni ugao: ili le`i na jednom wegovom F Uvidi kraku ili na wegovoj unutra{woj ili spoqnoj ta~ki. C

(

4.

Na laku

AB , na crte`u, su nacrtani odgovaraju}i centralni ugao

a i periferni ugao b pri ~emu jedan wjegov krak prolazi kroz

O

centar O (t.j. je pre~nik kru`nice).

a

k

D Poka`i da b = .

r b

A

r

b B

Spolni ugao a je jednak zbiru dva unutra{wa nesusedna ugla,

Uvidi DOBC. Sagledaj da je ramnokrak ( 2% 2& ), pa B = C = b. ^emu je jedan spoqni ugao a?

t. j. a = 2b. Zna~i, b =

D .

5.

Nacrtaj kru`nicu k(O; 2,5 cm) u centralni ugao od 80o (uglomerom). Kako }e{ konstruisati ugla od 40o (samo lewirom)?

6.

Nacrtaj pravougaoni trougao ABC sa pravim uglom u teme C i opi{i kru`nicu oko wega (podseti se da je centar O na toj kru`nici sredina hipotenuze AB). Na|i o{tre uglove DABC ako AOC = 110o.

V 7.

Razgledaj crte`e u kojima centar O na kru`nici k je a) unutra{wa, b) spoqa{na ta~ka perifernog ugla ACB. U obe kru`nice je nacrtan dijametar CD.

D .

Poka`i da je periferni ugao pola od centralnog, t.j. b = C

a)

b)

b C

b 1 b2 k

O a a1 a2 A D

108

k B

O

b1

a1 a

D

b

B A

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Ima{ li ideju da doka`e{ tvr|ewe u oba slu~aja a) i b)?

U slu~aju pod a) mogu da koristim obja{wewe iz zadatka 4. jer je isto za DAOC i DOBC.

Uporedi svoje re{ewe sa datim i uvidi postupak. a)

F F F F

a = a1 + a2; b = b1 + b2;

b)

a1 = 2b1; a2 = 2b2; a = a1 + a2 = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2); D a = 2b ili b = .

F F F F

DOB = a1 + a; DCB = b1 + b; DOB = 2 DCB i a1 = 2b1; a1 + a = 2(b1 + b); 2b1 + a = 2b1 + 2b; a = 2b; ili b =

D .

Uvideo si tvr}ewe i treba da upamti¡

Periferni ugao jedne kru`nice je jednak polovini centralnog ugla koji je iznad istog kru`nog luka.

8.

Razgledaj crte` i odgovori za{to su svi nacrtani periferni uglovi jednaki me|u sobom. O

Va`i uop{te Svi periferni uglovi iznad istog kru`nog luka su jednaki me|u sobom, jer svaki od wih je upola od odgovaraju}eg centralnog ugla AOB! Nacrtaj na opisanoj kru`nici DABC i na luku AB uzmi proizvoqnu ta~ku M. Poka`i da AMC = B i BMC = A.

(

9.

Treba da zna{: Da iska`e{ odnos izme|u perifernog ugla i centralnog ugla iznad istog kru`nog luka; Da objasni{ taj odnos i da primeni{ u zadacima.

Proveri!

10.

B

A

Zbir jednog perifernog ugla i wegovog odgovaraju}eg centralnog ugla je 2100. Koliki su uglovi?

Crte`om poka`i da iznad jednog kru`nog luka mogu da se nacrtaju

vi{e (beskona~no) perifernih uglova. Kakvi su me|u sobom uglovi? Nacrtaj polukrug sa r = 2 cm i upi{i dva C periferna ugla. Kolko stepena ima svaki od uglova? Na strani AB na ravnostranog DABC je nacrtana polukrug (AB je wen pre~nik) koji se~e druge dvae strane u ta~kama M i N. Odredi centralne uglove x, y i z. Uputstvo: MAB je periferni ugao u polukrugu.

M

N x

A

y z O

Uglovi u kru`nici

B

109

(

4. Ako AB i CD

2. jedan periferni ugao i odgovaraju}i centralni ugao zajedno imaju 132 . Koliko svaki ima stepena? 0

3. Na jednoj kru`nici k(O; r) su izabrane

ta~ke A i V, tako {to “AOB = 120o. Na ve}em luku odre|enim tim ta~kama je izabrana S, tako {ta “AOC = 110o. Izra~unaj uglove DABC.

(

a) 35o, 75o; b) 35o, 70o; v) 35o, 35o mo`e biti par perifernog ugla i odgovaraju}eg centralnog ugla?

kru`ni lukovi iste kru`nice i ako AB = CD , tada svaki periferni ugao AMB je jednak sa svakim

(

1. Koji od para uglova:

3

(

Zadaci

perifernim uglom CND. Za{to?

5. Ako su centralni ugao:

a) uve}ao tri puta; b) za 15o, koliko }e se uve}ati periferni uglovi iznad istog kru`nog luka?

6. Jedan periferni ugao je konstruisan iznad kru‘nog luka {to je:

; v) ; g) a) ; b) Od kru`nice. Koliko stepeni ima taj ugao?

TALESOVA TEOREMA

Podseti se! Na crte`u je data kru`nica k i dva ugla: “AMB = b i “AOB = a. Odgovori {ta je A ta~no: a) a < b, b) a > b, v) a = b, g) a = 2b, d) a = 3b.

M

A 1.

k

b O a

B

Po koliko stepena imaju uglovi a i b, ako tetive AB je pre~nik kru`nice k? Na crte`u prava TP je tangenta na kru`nice k1 sa dodirom u ta~ke T. Koliki je “O1TP?

P T

O1

k1

Na crte`u kru`nice k.

Da li je “AOB je centralni ugao? Koji je wegova adekvatna tetiva? Koliko stepena ima taj ugao?

AB

k A

M3

je

pre~nik M2 M 1

O

B

Imenuj periferne uglove koji su konstruisani iznad te tetive ( pre~nika AV ). Da li se mogu nacrtati i drugi takvi uglovi? Za svaki periferni ugao iznad pre~nika u jednom polukrugu se ka`e da je upisan u polukrugu. Za{to svaki takav ugao je pravi ugao?

Zapamti! Svaki ugao upisan u polukrug je pravi ugao

110

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Ovo je svojstvo poznato kao Talesova teorema, nazvano po Talesu koji je iveo pre vi{e od 2500 godina.

2.

Uz pomo} Talesove teoreme, konstrui{i pravougli trougao ako su date hipotenuza c i jedna kateta a. Iznad hipotenuze nacrtaj jedan polukrug na kome le`i teme pravog ugla; to teme odre|uje{ uz pomo} date katete. a

B 3.

Na crte`u prava a je tangenta kru`nice k sa dodirom u ta~ku A; ona je normalna radijusu OA. Kroz ta~ku P, koja je izvan kru`nice prolazi beskona~no mnogo prava.

P

A O

T

Da li neka od wih dodiruje kru`nicu k, odnosno je tangenta k? Takva prava postoji! Razmisli kako da je konstrui{e{, koristi Talesovu teoremu. Mogu da uvidim slede}e: 1) ako ima prave koja prolazi kroz R koja dodiruje kru`nicu u ta~ki T, tada OTP = 90o 2) Po{to OTP je pravi ugao, po Talesovoj teoremi, wegovo teme T treba da le`i na polukrugu pre~nika OP i , svakako, na kru`nici k. Zna~i T je prese~na ta~ka; 3) Prava PTje tangenta k sa dodirom u T. Tvr|ewe je ta~no. Ali, iznad OP mo`e da se nacrta jo{ jedan polukrug. Zna~i postoje dve tangente! Razgledaj crte` i upamti redosled konstrukcije. 1) Dato: k (O; r) i P; 2) S - sredina OP; 3) k1(S; 63 ); 4) k Ç k1 = { T1, T2}; 5) prave PT1 i PT2 su tra`ene tangente.

t2 k

T2 P

O

t1

S T1

k1

Uvidi se da tangente t1 i t2 su povu~ene iz ta~ke P. Po crte`u, odgovori na pitawa: Kojeg tipa su trouglovi POT1 i POT2? Kako se zove zajedni~ka strana?

Za{to 27 27 ? Koji su im uglovi odgovaraju}e jednaki?

Da li su ovi trouglovi skladni?

Koji wihovi parovi su odgovaraju}i elementi?

Uvidi du`i PT1 i PT2 na tangentama t1 i t2 na crte`u.

Uglovi u kru`nici

111

Du` tangente od dodirne ta~ke do ta~ke od koje je povu~ena se zove tangentna du`. Iz skladnosti trougla OT1P i OT2P uvidi da:

F ^etvorougaonik PT OT je deltoid. F OP je simetrala T OT i T PT ; 1

2

1

2

1

2

F 37

37 , t.j.

Du`ina tangentnih du`i dve tangente koje su povu~ene od jedne ta~ke prema kru`nici su jednake. Nacrtaj k(O; 3 cm) i ta~ku M, tako da = 4 cm. Konstrui{i tangente kru`nica povu~ene iz ta~ke M. Ako one dodiruju k u ta~ke T1 i T2odredi zbir T1OT2 + T1MT2.

4.

Treba da zna{: Da objasni{ Talesovu teoremu i primeni{ u zadacima; Konstrui{e{ tangentu na kru`nici od ta~ke koja je izvan kru`nice.

Proveri! Nacrtaj pravougaoni trougao sa katetom 3 cm i hipotenuzu 5 sm uz pomo} Talesove teoreme. Ta~ke A i B su sa razli~itih strana prave p i $% = 4 cm.. Konstrui{i pravougaoni trougao tako da AV je wegova hipotenuza, a teme S pravog ugla da le`i na p.

Zadaci 1. Ta~ke A i B ne le`e na pravi p. Na

pravi odredi ta~ki M tako da AMB bude pravi. Koliko re{ewa ima?

2. Data je prava p i ta~ka M koja ne le`i

Na kru`nici k(O; r) su date ta~ke A i V pri ~emu AOB = 100o . . U A i V su povu~ene tangente t1 i t2 na k(O; r) {to se seku u ta~ki R. Na|i uglove DABP. Napravi crte`.

(

5. Sa ta~kama M 1, M2 i M 3 kru`nica je

podeqena na tri kru`na luka: M1M2iznosi 25%, a M2M3 - 35% od kru`nice. Kroz M 1, M2 i M 3 povuci tangentu na kru`nici; one se seku dve po dve u A, B i C. Na|i uglove DABC.

(

na woj. Uz pomo} Talesove teoreme konstrui{i normalu spu{tenu od M na pravi p. (Uputstvo: uzmi proizvoqnu ta~ku N od p i iskoristi du` MN.)

4.

3. polukrug

iznad osnove jednog pravougaonog trougla se~e krakove u ta~ke koje su podno`ja visina spu{tenih od temena prema osnovi. Objasni.

112

6. Dve kru`nice sa centrima u ta~kama O

i O1 se seku u ta~ke A i B. Kroz to~ku A su povu~ene pre~nici AA1 i AB1 na te kru`nica. Objasni za{to ta~ke A1, B i B1 le`e na jednoj pravi.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

TETIVNI I TANGENTNI ^ETVOROUGAONIK

4

TETIVNI ^ETVOROUGAONIK

Podseti se! Izberi tri ta~ke A, B, C na jedne kru`nici i nacrtaj DABC.

C

A

A

Za DABC se ka`e da je upisan u kru`nicu.

Svaki trougao, neki ~etvorougao, neki petougao, neki {estougao itd mo e da se upi{e u jednu kru`nicu.

k

Da li svaki ~etvorougao mo`e da se upi{e u kru`nicu? Prime}uje{ na crte`u da svaki praougaonik mo`e da se upi{e u kru`nicu (za{to?); gde je wen centar? D

A

r a

r

C b

k

B

D

a k

a

C

k

uglovi su periferni uglovi u F Wegovi kru`nici.

B1 B B2

Prime}uje{ da romb koji nije kvadrat ne mo`e da se upi{e u kru`nicu, a neki trapez mo`e, a neki ne.

B 2.

Mnogougao ~ija su temena ta~ke jedne kru`nice se zove tetivni vi{eugaonik.

F Wegove strane su tetive kru`nice.

r A

r

r

B Da li svaki trougao mo e da se upi{e u neku kru nicu? Koja je ta kru nica?

1.

Izra~unaj uglove tetivnog ~etvorougla ABCD, ako B= 85o43', a wegova dijagonala _je pre~nik kru`nice opisane oko wega.

D

Razgledaj crte` jednog tetivnog ~etvorougla i odgovori na pitawa: Koliki je zbir uglova a, b, g i d ~etvorougla ABCD?

A

a

d a g1 1

Razmisli i poku{aj da izra~una{ zbirove a + g i b + d.

Tetivni i Tangentni ~etvorougao

g

C

b B

113

a i g su periferni uglovi i a odgovara centralnom uglu a1, a g na g1. Uo~i da

J D , g= i a1 + g1= 360o. D J D J R Uvidi da a + g = + = = . a=

Zna~i: a + g = 180o.

Poka`i da i b + d = 180o.

To ÂĄto si uvideo je jedno va`no svojstvo tetivnog ~etvorougla. U svakom tetivnom ~etvorouglu, zbir suprotnih uglova je 1800.

3.

Dat je ~etvorougao ABCD u kome je zbir jednog para suprotnih uglova 180o, na primer a + g = 180o. Kolki je zbir na drugog para suprotnih uglova, b + d =? Mo‘e da se ka`e da je svaki ~etvorougao sa ovim svojstvom tetivni.

Uo~i i zapamti! Ako su u jednom ~etvorouglu jedan par suprotnih uglova suplementarni, tada je taj ~etvorougao tetivni. .Ovo tvr|ewe je stav kojim mo`e{ da utvrdi{ da li je jedan ~etvorougao tetivni.

Treba da zna{: Da objasni{ i definira{ pojam tetivnog ~etvorougla; Ovo tvr|ewe je stav kojim mo‘e{ da utvrdi{ da li je jedan ~etvorougao tetivni.

Zadaci 1. Da li je ~etvorougao ABCD tetivni

ako wegovi uglovi (po redu temena) iznose a) 15%, 30%, 35%, 20%; b) 40%, 20%, 15%, 25%; v) 45%, 30%, 5%, 20% od punog ugla?

2. Iz ta~ke P u nekom uglu AOB su

spu{tene normale na krakove ~ija

114

Proveri! Mo`e li da se opi{e kru`nica oko ~etvorougla ABCD, ako wegovi uglovi (po redu temena) su: a) 90o, 90o, 60o, 120o; b) 70o, 130o, 110o, 50o; v) 45o, 75o, 135o, 105o? Poka`i da je svaki ravnokraki trapez tetivni ~etvorougao. podno`ja su A1 na kraku OA i B1 na kraku OB. Objasni za{to je ~etvorougao OA1PB1 tetivni.

3. Dali je ~etvorougao ABCD sa

uglovima: a) “A = 80o, “B = 80o, “C = 100o; b) “A = 30o, “C = 128o, “D = 150o; v) “B = 117o, “C = 121o, “D = 63o mo`e da se upi{e u neku kru`nicu.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

5

TANGENTNI ^ETVOROUGAO

Podseti se! Izaberi tri ta~ke P, Q, T na jednom krugu k i nacrtaj gi tangente p, q, t koje dodiruju k u ta~kama P, Q, T. C P q p

A

O

D B

k

O t

Q

Upamti!

&3 &7 ). Da li u svakom trouglu mo`e da se upi{e kru`nica? Gde je wen centar?

Da li u ~etvorouglu mo`e da se upi{e kru`nica? Na crte`u prime}uje{ da u rombu i deltoidu mo`e da se upi{e kru`nica. a b b a

a

a

a Na crte`u prime}uje{ da u paralelogramu koji nije romb ne mo`e da se upi{e kru`nica. U nekom trapezu mo`e, a u nekom ne mo`e da se upi{e kru`nica. a C D b

b a

C

T

Neka p i q se seku u A, q i t u B, t i p u C. Za DABC se ka`e da je opisan oko kru`nice k ili da u DABC je upisan kru`nicu k. Uvidi tangentne du`i svake tangente i sagledaj nihovo svojstvo (na primer:

a

Uvidi na crte`u da u ~etvorouglu ABCD je upisana kru`nica, tj. svaka strana ~etvorougla dodiruje krug.

A

^etvorougao ~ije strane dodiruju jedanu kru`nicu se zove tangentni ~etvorougao.

1.

Krug k je upisan u DABC i dodiruje strane trougla, i to: AB u ta~ki C1, BC u A, A1 i CA vo B1. Ako = 5cm, = 3cm i = 4 cm, presmetaj perimetar DABC.

2.

Nacrtaj kru‘nicu k(O; 2,5 cm) i u wemu tetivu $%= 2cm.. Nacrtaj tangente na k sa dodirom u A i V; neka se seku u ta~ki k. Za{to DABC je ravnokrak? [ta je osnova, a {ta su krakovi tog trougla?

B 3.

Na crte`u je predstavqen jedan Tangentni ~etvorougao ABCD. C N

P

B

D A

B1 B B2

B

A

Q A

M

Tetivni i Tangentni ~etvorougao

115

Wegove strane dodiruju opisanu kru`nicu, i to: AB u M, BC u N, CD u P i DA u Q.

Napi{i nekoliko para jednakihdu`i (kao %0 = %1 ) i objasni za{to su jednake. Razmisli i poku{aj da uvidi{ neku vezu izme|u suprotnih strana ~etvorougla.

Iz crte`a mo`e{ da uvidi{ da $0 = $4 , %0 = %1 , &3 = &1 , '3 = '4 . Napi{i zbir levih strana i zbir desnih strana iz jedna~ina. Za{to su zbirovi jednaki? Mo`e{ da napi{e{ da: ( $0 + %0 ) + ( &3 + '3 ) = ( $4 + '4 ) + ( %1 + &1 ). Uvidi da se jedna~ine mogu napisati samo sa stranama ~etvorougla ABCD: $% + &' = $' + %&

F To je osnovno svojstvo svakog tangentnog ~etvorougla. Ako je ~etvorougao ABCD je tangenteni, tada zbirovi du`ina wegovih suprotnih strana su jednaki, t.j. $% + &' = $' + %& .

4.

Na crte u je dat tangentni pravougli trapez. Prema podacima crte a:

D

C

1

a) proveri dali va`i $% + &' = %& + '$ ; b) izra~unaj obim trapeza ABCD. A 2

V

4

Mo e da se poka e da je ta~no i obrnuto tvr|ewe osnovnog svojstva tangentnog ~etvorougla. Ako je u jednom ~etvorouglu zbir du`ina suprotnih strana jednak zbiru du`ina drugih dveju suprotnih strana, tada je ~etvorougao tangentni.

Ovo tvr|ewe je stav kojim mo`e{ da utvrdi{ da li je jedan ~etvorougao tangentan.

116

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

B

5.

Kako }e{ utvrditi da li u datom ~etvorouglu mo`e da se upi{e kru`nica?

6.

Nacrtaj: a) kvadrat; b) romb; v) deltoid. Zatim, u svakom od wih, konstrui{i kru`nicu. Pomo}. Centar upisane kru`nice je u preseku dijagonala, a dodirne ta~ke kru`nice sa stranama, su podno`ja visina spu{tenih iz centra.

Treba da zna{:

Proveri!

Da objasni{ i definira{ pojam tangentnog ~etvorougla;

Osnove jednog ravnokrakog trapeza su 10 cm i 6 cm. Koliki treba da je krak, da se u wemu mo‘e upisati kru`nica?

Da uvidi{ i objasni{ vezu izme|u zbirova suprotnih strana tangentnog ~etvorougla.

Zadaci 1. Tri strane

jednog

tangentnog

~etvorougla su: $% = 7 cm, %& = 12 cm

4.

Tangentni ~etivorougao ABCD ima obim 28 cm, $% = 7,5 cm i %& = 6,5 cm. Odredi du`ine strana CD i AD.

i $' = 5 cm. Odredi &' .

2. Koji paralelogram je tetivni i tangentni ~etvorougao?

5.

3. Da li je tangentni ~etvorougao ABCD

ako su du`ine wegovih strana ( jedno za drugim): a) 5cm, 4cm, 6cm i 7cm; b) 11cm, 9cm, 10cm i 8cm?

Doka`i da je sredwa linija tangentnog trapeza je jednaka na obima.

od wegovog

Tetivni i Tangentni ~etvorougao

117

PRAVILNI MNOGOUGLOVI (VI[EUGLOVI)

6

PRAVILNI MNOGOUGLOVI. UGLOVI I OBIM

Podseti se!

A 1.

Koliki je zbir uglova u jednom trouglu?

Razgledaj crte`e i odgovori na pitawa. Na koliko trouglova je podeqen petougao sa dijagonalama povu~enim iz wegovog temena?

Kako se obja{wava da je zbir uglova u svakom ~etvorouglu 3600. Na koliko trouglova je podeqen {estougao sa dijagonalama povu~enim iz wegovog temena? Razmisli na koliko trouglova }e se podeliti jedan n-ugao sa dijagonalama povu~enim iz wegovog temena?

Uvideo si da Petougao je podeqen na tri trougla, tj. na (5-2) trougla, {estougao na ~etiri, tj. (6-2) trougla, a n-ugao je podeqen na n-2 trougla, tj. za dva mawe od broja strana.

2.

Odredi zbir unutra{wih uglova u: a) petouglu, b) {estouglu, v) n-uglu. Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F U svakom trouglu, zbir uglova je 180 . F Broj trouglova je: a)3, b) 4; v) n -2. F Zbir uglova je: a) 3 Ă— 180 0

o

Zbir unutra{wih uglova u n-uglu iznosi ( n -2) Ă— 180o

3.

Na|i zbir na uglova u n-uglu, ako: a) n = 7; b) n = 8; v) n = 10; g) n = 15.

4.

Razgledaj petougao ABCDE i odgovori na zahteve.

118

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Koji su uglovi unutra{wi, a koji spoqni kod petougla? d1

Za{to su svaki unutra{wi ugao i wegov prate}i spoqni ugao suplementarni, tj. a + a1 = 180o, b + b1 = 180o? Odredi zbir unutra{wih uglova petougla.

E

j j1

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F F Zbir unutra{wih uglova je (5 - 2) Ă— 180 = 3 Ă— 180 = 540 . F Zbir spoqnih uglova je 5 Ă— 180 - (5 - 2) Ă— 180 = 900 - 540 = 360 . Zbir unutra{wih i spoqnih uglova je 5 Ă— 180o = 900o. o

o

5.

o

o

o

o

g1 C g

D d

o

b a A

b1 B

a1

o

Poku{aj da objasni{ na isti na~in da: Zbir spoqnih uglova svakog n-ugla je 360o. Uvidi postupak: n Ă— 180o - (n - 2) Ă— 180o = n Ă— 180o - n Ă— 180o + 2 Ă— 180o = 360o.

B 6. Kakve su me|usobno strane, a kakvi uglovi: a) jednakostranog trougla; b) kvadrata? Za ravnostrani trougao ka`emo da je pravilni trougao, a za kvadrat pravilni ~etvorougao.. Mnogougao kome su sve strane jednake i svi uglovi jednaki zove se pravilni mnogougao.

7.

Podseti se! Obim pravilnog trougla sa stanicom a = 5 cm e: L = 3 Ă— a;

L = 3 Ă— 5;

Kako }e{ izra~unati obim pravilnog n -ugla stranice a?

L = 15 cm.

Odredi obim pravilnog ~etvorougla strane a = 9 cm.

8.

Odredi obim pravilnog osmougla strane a = 10 cm.

Izra~una}u obim formulom L = n Ă— a.

Izra~unaj unutra{wi ugao pravilnog osmougla. Uvidi da zbir unutra{wih uglova (8 - 2) Ă— 180o = 1080o, a jedan

³³ RR 1 unutra{wi ugao iznosi

RR = 135o.

H A

a

a1 B

Pravilni mnogouglovi

C b1

119

Uvidi da: Unutra{wi ugao pravilnog n-ugla se izra~unava formulom:

9.

F

a=

Q ยน R Q

Kakvi su me|usobno spoqni uglovi pravilnog mnogougla?

Oni su jednaki i nihov zbir je 360 o. Spoqni

Kako }e{ izra~unati spoqni ugao pravilnog n -ugla.

ugao je:

R . Q

Izra~unaj unutra{wi ugao i spoqni ugao pravilnog: a) 7-ugla; b) 10-ugla.

Treba da zna{:

Proveri!

Da odredi{ zbir unutra{wih i spoqnih uglova jednog n-ugla; Da definira{ pravilni mnogougao; Da objasni{ kako se odre|uje unutra{wi i spoqni ugao pravilnog nugla; Da objasni{ kako se ra~una obim pravilnog n-ugla.

Zadaci 1. Kod kog mnogougla zbir unutra{wih

Kod kog mnogougla zbir unutra{wih uglova iznosi: a) 3600; b) 1800? Odredi unutra{wi ugao, spoqni ugao i obim pravilnog 12-ugla.

6. Odredi obim pravilnog petnestougla ako je wegova strana a = 0,25 dm.

uglova iznosi: a) 1260 , b) 900 , o

o

v) 1440o?

2. Kod kog mnogougla zbir unutra{wih uglova iznosi a) 180o, b) 360o?

3. Odredi unutra{wi i spoqni ugao kod pravilnog: a) desetougla, b) dvadesetougla.

4. Kod kog pravilnog mnogougla spoqni ugao je a) 36o, b) 24o, v) 60o?

5. Koliko strana ima pravilni

mnogougao ako wegov unutra{wi ugao ima: a) 144o, b) 156o?

120

7. Kolika je strana pravilnog sedmougla ako je wegov obim 77,7 dm?

8. Koji pravilni mnogougao sa stranom 2,2 cm ima obim 24,2 cm?

9. Za koji pravilni n-uglao va`i: a)

spoqni ugao je jednak unutra{wem uglu; b) spoqni ugao je dvaput ve}i od unutra{weg; v) spoqni ugao je triput mawi od unutra{weg.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

7

SVOJSTVA PRAVILNOG MNOGOUGLA A 1.

Podseti se! Presek O simetrala strana DABC predstavqa centar opisane kru`nice DABC. C O A

K

F

Trougao EFG sa crte`a je ravnokrak. [ta predstavqa visina GKza osnovu EF, a {ta za EGF pri vrhu G? Kakve su me|usobno (. i .) ?

O

Objasni kako se odre|uje centar opisane i upisane kru`nice na kvadratu.

B

G

E

O

H

[ta predstavqa presek N simetrala uglova trougla?

Pravilni trougao ima opisanu i upisanu kru`nicu.

2.

O

Da li svaki pravilni mnogougao ima opisanu kru`nicu? Odgovor je potvrdan. Da bi to uvideo, razgledaj crte` na kom je predstavqen 9-ugao; prave s 1 i s2 su simetrale dva susedna ugla: KAB i ABC.

Sada prati obja{wewe.

F F F F

1 = 2 = 3 = 4, kao polu uglovi dva jednaka ugla. Simetrale s1 i s2 se seku u jednu ta~ku O, jer 2 + 3 < 180o. Zbog 2 = 3, sledi da DABO je jednakokrak, sa vrhom O i krakovima 2$ = 2% .

H K

Sva druga temena povezujemo ta~kom O; tako se dobijaju 9 trougla sa istim temenom i jednakim osnovama.

F

G

a

E

s2

s1 O

12

3

A a

D

4

a

C

B

F DAOB @ DCOB ( po kom pravilu?) , odakle sledi 2$ = 2% = 2& . se produ`i daqe sa upore|ewem susednih trouglova, pokaza}e se da su oni F Ako ravnokraki trouglovi, da su svi me|usobno skladni, pri tom 2$ = 2% = 2& = ... = 2. .

Isti zakqu~ak va`i za koji bilo pravilni mnogougao

Pravilni mnogouglovi

121

Odatle mo`e{ da zakqu~i{: Sva temena pravilnog mnogougla su jednako udaqena od jedne wegove unutra{we ta~ke O, odnosno da le`e na kru`nici sa centrom O.

B 3.

Na crte`u je dat pravilni petougao i wegova opisana kru‘nica. Poka`i da se u wemu mo`e upisati kru`nica.

Razgledaj crte` i odgovori na zahteve. Objasni za{to su visine svih pet jednakokrakih trouglova ABO, BCO, spu{tene od wihovog zajedni~kog vrha O jednake me|u sobom

H3

D

C H2

H4 O

E H5

B H1

A

Podno`je H1 visine OH1 je sredina strane AB. Za{to? Od 2+ = 2+ = ... = 2+ sledi da sredine strana pravilnog petougla su jednako udaqene od ta~ke O. Zna~i postoji kru`nica sa centrom u O {to dodiruje sve strane pravilnog petougla. Isti zakqu~ak va`i za bilo koji pravilni mnogougao.

Upamti Oko svakog pravilnog mnogougla se mo‘e opisati kru`nica. U svakom pravilnom mnogouglu se mo`e upisati kru‘nica. Ovi krugovi su koncentri~ni. Wihov centar se naziva centar pravilnog mnogougla.

4.

Nacrtaj: a) pravilni trougao; b) pravilni ~etvorougao, i konstrui{i kru`nicu spoqa i iznutra.

5.

U datu kru`nicu sa radijusom R upi{i: a) pravilni trougao; b) pravilni ~etvorougao. O

V

Na crte`u je dat jedan od sastavnih jednakokrakih trouglova, DAOB, pravilnog mnogougla. Za DAOB se ka`e da je karakteristi~an trougao pravilnog n-ugla.

R

A

r H1

D

122

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

R

B

Wegovi elementi odre|uju n-ugaonik: O - centar;

“AOB =

R - centralni ugao; Q

2$ = R - radijus opisane kru`nice; apotema, pravilnog n-ugla.

$% = a - stranicu;

2+ = h = r - radijus upisane kru`nice ili

6.

Nacrtaj karakteristi~ni trougao na: a) pravilnom trouglu; b) pravilnom ~etvorouglu, ako je radijus opisane kru`nice R = 3 cm..

7.

Konstruiraj karakteristi~ni trougao na pravilnom 12-uglu strane 2 cm. Kako }e{ odrediti ugao kod osnovice?

Treba da zna{:

Proveri!

Da iska`e{ i objasni{ tvr}ewe o opisanoj i upisanoj kru`nici pravilnog mnogoula.

Kako }e{ odrediti ugao kod osnovice karakteristi~nog trougla ako:

da defini{e{ karakteristi~ni trougao apotemu i centralni ugao pravolnog mnogoula.

Odredi centralni ugao pravilnog: a) trougla; b) ~etvorougla; v)petougla; g) {estougla; d) osmougla.

a) n = 5;

b) n = 8;

v) n = 9?

Zadaci 1. Odredi unutra{wi, spoqni i

centralni ugao pravilnog: a) 12-ugla; b) 15-ugla; v) 20-ugla.

2. Da li postoji pravilni n-ugao u kom je centralni ugao g) 100o; a) 40o; b) 80o; d) 120o? v) 90o;

3. Koji pravilni n-ugao ima:

a) centralni ugao od 45o; b) spoqni ugao od 30o; v) unutra{wi ugao od 144o?

4. Nacrtaj karakteristi~ni trougao na

pravilnom desetouglu stranice 2 cm

5. Poka‘i da u svakom pravilnom

mnogouglu wegov centralni ugao je jednak wegovom spoqnom uglu.

Pravilni mnogouglovi

123

8

KONSTRUKCIJA PRAVILNIH MNOGOUGLA

Podseti se!

A 1.

Koji mnogougao je pravilni?

Razgledaj re{ewe na crte‘u i postupi po uputstvu.

Da li opisana i upisana kru‘nica na pravilnom n-uglu su koncentri~ni?

C

DOAB na crte‘u je karakteristi~ni trougao pravilnog n-ugla. Koliko stepeni ima centralni ugao n?

Izra~unaj centralni ugao g: g=

Koliko stepeni ima ugao d? O

A

d

h=r

R

a

R d= d

R .

O g A

B

Nacrtaj kru‘nicu k(O; 2,5 cm) i centralni ugao g = “AOB = 120o.

R g= ; Q

g

U kru‘nicu sa r = 2,5 upi{i pravilni trougao.

Povuci tetivu AB i prenesi na krug‘nicu tako da AB = BC = CA . (uvidi da je DABO karakteristi~an za pravilni trougao, DABC.)).

R J ;

Objasni za{to DABC je tra‘eni pravilni trougao.

B

Da li se mo‘e nacrtati karakteristi~ni DOAB na pravilnom n-uglu ako se zna samo a ili samo R ili samo h = r?

2.

Konstrui{i pravilni ~etvorougao, tj. kvadrat sa stranicom a = 4 cm uz pomo} karakteristi~nog trougla.

Razgledaj re{ewe na crte‘u i postupi po uputstvu. Izra~unaj centralni ugao g (g = (d = 45o).

R ) i ugao d kod osnovice karakteristi~nog trougla

Nacrtaj du` AB, $% = 4 cm i uglove “BAX = “ABY = 45o.

D

Objasni za{to presek O na kracima AX i BY je centar kvadrata. Nacrtaj kru`nicu k(O; 2$ ). Prenesi tetivu AB po kru`nici tako da $% %& &' '$ . Objasni za{to je dobijeni ~etvorougao ABCD je tra~eni kvadrat.

A

C Y X O 90o 45o 45o

B

3.

Poka`i da karakteristi~ni trougao pravilnog {estougla je jednakostran trougao.

4.

Koliki su uglovi karakteristi~nog trougla pravilnog dvanaestougla?

124

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

B 5.

Nacrtaj pravilni devetougao upisan u kru`nici radijusa R = 3 cm.

Pravilni devetougao ne mo`e da se konstrui{e samo {estrom i lewirom. Zato koristimo uglomer. D Razgledaj re{ewe na crte`u i postupi po uputstvu. E C Nacrtaj kru`nicu k(O; 3 cm)i centralni ugao “AOB = 40o.

h

Prenesi tetivu AB po kru`nici tako da $%

%&

m B O R=3c 40o

F

Ta~ke A i B su na kru`nici i one su dva susedna temena devetougla.

70o

G

A

&' +. .

H

Objasni za{to je pravilan dobijeni devetougao.

6.

K F

Nacrtaj pravilni devetougao sa stranicom a = 2 cm.

G

E

Razgledaj crte` i postupi po uputstvu. Nacrtaj karakteristi~ni trougao DOAB,tj. ravnokrak trougao sa osnovicom AB = a = 2 cmi uglove na osnovi a = 70o.

H

O 40o 70o 70o

Prenesi tetivu AB po krugu tako da

7.

%&

C

K

Nacrtaj k(O; 2$ ). $%

D

A

&' +. = 2 cm.

Konstrui{i pravilni {estougao upisanog u kru`nici sa R = 3 cm.

Treba da zna{: Da konstrui{e{ pravilne mnogouglove upisane u kru`nicu; Da objasni{ (sa karakteristi~nim trouglom) i da primeni{ postupak za konstrukciju.

Zadaci 1. Nacrtaj pravilni trougao:

a) kru`nici sa r = 4 cm; b) opisan oko kru`nice r = 2,5 cm.

2. Nacrtaj pravilni {estougao u kru`nici sa r = 4 cm.

8.

B

Nacrtaj kvadar opisan oko kru`nice sa r = 2,5 cm.

Proveri! Konstrui{i karakteristi~ni trougao na pravilnom dvanaestouglu. Koliki su uglovi trougla? Nacrtaj pravilni petougaonik upisan u krugu sa r = 3 cm.

3. Nacrtaj pravilni trougao:

a) so strana a = 3 cm; b) ako se zna r upisane kru`nice; v) ako se zna R opisane kru`nice.

Pravilni mnogouglovi

125

PITAGORINA TEOREMA

9

PITAGORINA TEOREMA

A 1.

Podseti se!

Konstrui{i pravilni trougao sa hipotenuzom c = 5 cm, i katetom b = 4 cm, uz pomo} Talesove teoreme. Izmeri drugu katetu.

[ta je kvadrat jednog broja? Kako se odre|uje kvadratni koren datog broja? Izra~unaj: 52; 122; 32 + 42; 52 - 32;

.

Ako si dobro izmerio, dobio si 3 cm.

Nacrtaj pravilni trougao i ozna~i temena, uglove i stranice. Kako se zove stranica koja le`i nasuprot pravog ugla? Kako se zovu druge dve strane?

2.

3

Dat je pravougli trougao sa katetama a = 3 cm, b = 4 cm i hipotenuzom c = 5 cm.

4

Razgledaj crte` i poku{aj da uvidi{ jednu vezu me|u kvadratima stranica pravouglog trougla. Svaki kvadrat je podeqen na kvadrati}e sa stranicom 1 sm. Koliko svaki kvadrat ima kvadrati}e? O broju kvadrati}a si uvideo da:

F Nad a su 9, t.j. a = 3 ; a = 9; F Nad b su 16, t.j. b = 4 ; b = 16; F Nad c su 25, t.j. c = 5 ; c = 25. 2

[ta prime}uje{ u zbiru kvadrata kateta i kvadrata hipotenuze?

126

5

3 5 4

2

2

2

2

2

2

2

2

Prime}ujem da je zbir kvadrata kateta jednak kvdratu hipotenuze, t.j. 9 + 16 = 25 ili a2 + b2 = c2.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Za trougao ~iji merni brojevi stranica su 3,4 i 5 jo{ stari Egip}ani su znali da je pravougli. Zbog toga se zove egipatski trougao. Stari Indijci su znali za pravougli trougao sa stranicama 5,12 i 13; on je poznat kao indijski trougao. Proveri da li va`i jedna~ina a2 + b2 = c2 za indijski trougao. Uvideo si da svojstvo egipatskog i indijskog trougla va`i za svaki pravougli trougao i poznato je pod imenom Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema glasi: Kod svakog pravouglog trougla, kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta

3.

Izra~unaj hipotenuzu c pravouglog trougla, ako su wegove tatete a = 8 cm i b = 6 cm. b = 6 cm

F Skica:

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

c=?

F Dato je: a = 8 cm i b = 6 cm. a = 8 cm F Tra`i se: c = ? F Po{to je trougao pravougli, prema Pitagorinoj teoremi imamo c = a + b ; t.j. 2

c=

B

D E ;

2

2

c2 = 82+62; F ; F ; c = 10 cm.

Upamti da u svakom pravouglom trouglu sa katetama a, b i hipotenuzom va`i formula: c2 = a2 + b2

B a C

c b

F Ako su date dve katete, a tra‘i se hipotenuza, tada c2 = a2 + b2, t.e.

A

c=

D E .

su dati hipotenuza i jedna kateta, a tra`i se druga F Ako kateta, tada a2 = c2 - b2 , t.j.

4.

a=

F

E

,

ili

b2 = c2 - a2 , t.j.

b=

F

D .

Za pravougli trougao sa katetama a = 12 cm, b = 16 cm i hipotenuzom c = 20 cm, proveri formule po Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema

127

Ta~no je i obrnuta Pitagorina teorema: Ako za svaki pravilni trougao va`i jedna~ina c2 = a2 + b2,, tada je taj trougao pravougli.

5.

Uz pomo} Pitagorine teoreme, proveri da li je trougao sa stranicama 9, 10, 14 pravougli.

Treba da zna{:

Proveri!

Da ka`e{ Pitagorinu teoremu; Da izrazi{ svaku stranu pravouglog trougla uz pomo} ostalih.

Da li je pravougli trougao sa stranicama: a) 12; 16; 21; b) 3; 1,6; 3,4? Na|i nepoznatu stranicu pravouglog trougla sa katetama a i b hipotenuzom c: a) c = 2,9, b = 2; b) c = 1, a = 0,8.

Zadaci 1. Stranice se DABC : a) 7; 24; 25; b) 8; 10; 15; v) 8; 15; 17; g) 12; 15; 20. Da li je DABC pravougli?

5.

Na|i obim DABC po podacima iz crte‘a.

B 20

x

A 5 D

16

C

2. Na|i nepoznatu stranicu pravouglog trougla sa katetama a, b i hipotenuzom

a) a = 56, b = 33;

b) b = 12, c = 37;

v) a = 25, b = 31;

g) c = 2,9, a = 2;

3

6. Na|i obim ~etvorougla sa crte`a.

4

12

d) a = 0,3, c = 0,34.

3. Na|i obim pravouglog trougla sa

katetama: a) 0,5 cm i 1,2 cm; b) 1,5 dm i 2 dm.

4. Na|i obim pravouglog trougla sa

7. Mogu li sve strane pravouglog

trougla da budu: a) parne, b) neparni prirodni brojevi? Objasni odgovor.

hipotenuzom i katetom: a) 1 m i 0,8 m; b) 0,17 dm i 0,15 dm.

128

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

10

PRIMENA PITAGORINE TEOREME KOD PRAVOUGAONIKA, KVADRATA I RAVNOSTRANO TROUGLA

Podseti se!

^esto puta je potrebno da uz pomo} pravouglog trougla re{i{ neki problem iz svakodnevnog `ivota, tehnike, geodezije i drugo. Mo`e se uvideti da postoji u mnogim geometrijskim figurama i da pomogne prilikom izra~unavawa.

A

Za strane pravouglog trougla va‘i Pitagorina teorema. c

a b

1.

c2 =a2 + b2 a2 =c2 - b2 b2 =c2 - a2

D

Na crte`u je predstavqen pravougaonik ABCD sa stranicama a = 12 cm i b = 5

C d

Primeti dijagonalu $& = d. Razmisli kako }e{ odrediti du`inu dijagonale. Kakav trougao je DABC? U kom temenu je pravi ugao?

a

A

Koje su katete, a koja hipotenuza DABC?

b

B

Primeti da po Pitagorinoj teoremi: d 2 = a2 + b2; d 2 = 122 + 52 = 169; d =

2.

B

; d = 13 cm.

Na|i radijus kru`nice opisane oko pravougaonika sa stranicama a = 32 cm, b = 24 cm. D

3.

Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata sa stranicom a

C d

Razgledaj crte` i primeti da:

F F Po Pitagorinoj teoremi:

DABC je ravnokrak pravougli.

4.

5.

a

A d2 = a2 + a2 = 2a2;

d=

D ;

Izra~una du`inu dijagonale kvadrata sa stranicom: a) a = 6 cm; b) a = 1,2 cm. Odredi radijuse upisane i opisane kru`nice kvadrata sa strane a = 3 cm.

a B

d=a ;

Âť 1,41.

D

C

D A

R

r

O a

Pitagorina teorema

d B

129

Zna{ da je dijagonala kvadrata sa stranom a e: d = a . Mo`e{ li uz pomo{ a da napi{e{ radijuse R na opisane i radiuse r upisane kru`nice?

Od crte`u mo`e{ da odgovori{ da: r =

D G D ,aR= ,R= . C

V

6.

Na crte`u je predstavqen ravnostran trougao ABC. Prema crte`u, odgovori na pitawa.

a

h O

[ta predstavqa du‘ CC1 za DABC? [ta predstavqa du` CC1 za pravougli trougao AC1C? [ta predstavqaju du`i OD, odnosno OB? Za{to ortocentar O ( presek visina) se podudara sa te`i{tem ( presek te`i{nih linija) u ravnostanom trouglu? Uz pomo} stranice _ napi{i: h - visinu; r - radijus na upisanog kruga;

A

D

D

r R C1

B

R - radius upisane kru`nice.

Mo`e da se poka`e da u ravnostranom trouglu prese~ena ta~ka O visina i te`i{ne linije deli visinu (te`i{na linija) na delove: 2&

K ; 2& K .

Uvidi odre|ivawe u: h, r, R ravnostranom trouglu. Iz pravouglog trougla AC1C sledi:

F

2 D Ăˆ DĂ˜ h = a - ÉÊ ÙÚ = a2 = a;

F

r=

2

7.

2

D h= Ă—

; r=

D

.

h=

D D ; h=

F

R=

;

Âť 1,73.

D h= Ă—

; R=

D

.

Izra~unaj h, R i r ravnostranog trougla sa stranicom a = 30 cm.

Treba da zna{: Da primeni{ Pitagorinu teoremu u pravougaoniku, kvadratu i ravnostranom trouglu.

130

Proveri se! Koliki je radijus opisane kru`nice oko kvadrata sa stranicom a = 10 cm? Odredi visinu i radijuse opisane i upisane kru`nice ravnostranog trougla sa stranicom 10 dm.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Zadaci 1. Odredi dijagonalu pravougaonika sa stranicama: a) 0,28 dm; 0,96 dm; b) 300 cm; 160 cm.

2. Odredi obim pravougaonika, datog sa: a) d = 13 m, a = 12 m; b) d = 8,5 dm; b = 1,3 dm.

6. Odredi h, R i r ravnostranog trougla sa stranicom: a) a = 1, b) a = 100 ; v) a = .

7. U jednom ravnostranom trouglu je upisana kru`nica sa r = 3,46 cm. Odredi wegov obim.

3. U kru`nici sa R = 10 dm je upisan pravougaonik sa stranicom 8 dm. Odredi wegov obim.

8. Da li dijagonala i stranice jednog pravougla mogu da imaju du`inu: a) 30, 40, 50; b)20, 30, 40; v) 10, 20, 30; g) 150, 200, 250?

4. Sredine stranica kvadrata sa stranicom R = 10 su temena jednog ~etvorougla. Odredi wegov obim.

9. Data su dva kvadrata. Jedan sa

stranicom a = 3 cm, a drugi sa stranicom b = 4 cm. Odredi stranicu tre}eg kvadrata ~ija je povr{ina jednaka zbiru povr{ina datih kvadrata.

5. Odredi radijuse upisane i opisane kru`nice oko kvadrata sa stranicom a) a = 10 cm; b) d = 10 cm

11

ZADACI SA PRIMENOM PITAGORINE TEOREME

0

Podseti se! Za koji trougao ka`emo da je ravnokrak?

C

Kakav ~etvorougao je romb? Koji trapez je ravnokrak? Razgledaj crte`e i iska`i svojstva svake figure.

A 1.

D a S

b

d1

h b

a a A

A

C

d2 a

c

B

a B

A

a

Db C b b h a

c a

B

Razgledaj ravnokrak trougao na crte`u i odgovori na pitawa. C

Da li je pravougaoni trougao BCD sastavni deo ravnokrakog trougla DABC? Koji elementi DABC su katete i hipotenuza DBCD? Pitagorina teorema omogu}uje da se uvidi jedna veza izme|u osnove, kraka i visine ravnokrakog trougla. Prime}ue{ da:

È DØ b2 = h2 + ÉÊ ÙÚ

b

b h

a a D D B A

.

Pitagorina teorema

131

2.

Odredi visinu ravnokrakog trougla sa osnovicom 10 sm krakom 13 sm. Napravi crte` ravnokrakog trougla ABC i povuci visinu CD.

Ăˆ DĂ˜ Od DBCD uvidi da: h2 = b2 - ÉÊ ÙÚ ; h2 = 132 - 52= 169 - 25 = 144. Zna~i h2 = 144;

3.

h=

= 12, t.j. h = 12 cm.

Izra~unaj obim ravnokrakog trougla ako su date osnovica 14 sm i visina prema osnovi 24 sm

B

4.

Razgledaj crte` i uvidi kako }e se primeniti Pitagorina teorema kod ravnokrakog trapeza.

D b C

Uvidi iz crte‘a kako se mogu na}i du`ine

c

$' = x.

D E

c

h x

b

F

Uvidi da a = b + 2x; 2x = a - b;

5.

Odredi krak ravnokrakog trapeza sa osnovicom 30 cm, 16 cm i visina 24 cm.

x=

.

A

D1

a

x

B

Nacrtaj ravnokraki trapez ABCD, ozna~i elemente i povuci visinu DD1.

F F

Dato je: a = 30, b = 16 i h = 24. Od pravoaugaonog trougla AD1D u zadatku 4, se dobija:

Ăˆ D EĂ˜ c = h + ÉÊ Ă™ Ăš 2

2

;

Ăˆ Ă˜ c = 24 + ÉÊ Ă™ = 576 + 49 = 625, odnosno c = Ăš 2

6.

2

= 25; c = 25 cm.

Na|i visinu h ravnokrakog trapeza sa osnovicama 7 dm, 3 dm i krakom 2,9 dm.

V 7.

Razmisli kako }e{ na}i stranicu a romba, ako su poznate wegove dijagonale d1 i d2. D C Razgledaj crte` i odgovori na pitawa. U rombu ABCD. imenuj jedan pravougli trougao. Koji elementi romba su stranice tog trougla?

d1

Koje su katete i hipotenuza u pravougaonom DABS?

Objasni za{to

132

ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ a2 = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ

.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

S

a

A

d2

a

B

8.

Izra~unaj obim romba sa dijagonalama 24 cm i 10 cm. Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F Dato je: d = 24 i d = 10. ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ Ăˆ Ă˜ a = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ ; a = ÉÊ ÙÚ F 1

2

2

F a= 9.

= 13 cm.

2

Ăˆ Ă˜ + ÉÊ ÙÚ =122 + 52 = 144 +25 = 169;

F L = 4a; L = 4 Ă— 13 = 52, t.e. L = 52 cm.

U jednom rombu su date stranica a = 13 cm i dijagonala d1 = 24 cm. Odredi drugu dijagonalu d2.

Treba da zna{: Da primeni{ Pitagorinu teoremu u zadacima ravnokrakog trougla, ravnokrakog trapeza, romba i drugim zadacima.

Proveri! Dijagonale jednog romba su 12 cm i 16 cm.. Izra~unaj wegov obim. Obim ravnokrakog trougla sa krakom 41 cm iznosi 100 cm. Na|i visinu prema osnovi.

Zadaci 1. Osnovica ravnokrakog trougla je 24 cm, a wegov obim 98 cm.Izra~unaj visinu prema osnovi.

5. Izra~unaj krak ravnokrakog trapeza

osnovice 30 cm, 6 cm i visine 35 cm.

2. Osnovica ravnokrakog trougla je 28

6. Izra~unaj obim ravnokrakog trapeza

3. Dijagonale jednog romba su: a) 42 i

7. Na|i visinu ravnokrakog trapeza sa

cm, a wegova visina 48 cm. Na|i obim trougla.

50; b) 24,6 i 56,8. Koliko pribli`no iznosi stranica romba?

4. Stranica romba je 2,9 dm, a jedna dijagonala je 4 dm. Na|i drugu dijagonalu.

date osnovice 34 cm i 16 cm i visine 12 cm.

osnovicom 16 cm, 30 cm i kraka 25 cm.

8. Jedne lestvice du`ine 3 m su

naslowene na zid. Wen dowi deo je 1,8 m od zida. Do koje je visine stigla lestvica na zidu?

Pitagorina teorema

133

POVR[INA MNOGOUGLA

12

POJAM ZA POVR[INU

Podseti se!

A 1.

Na crte`u su dati: A) pravougaonik P i kvadrat K. b) dva skladna pravougaonika Y i T; v) figura Frazdvojena na tri pravougaonika: F1, F2 i F3 koji se ne preklapaju.

Na kvadratnoj mre`i ima tri figure: A, B i C B C A

a) P1

P2

P3

Ako se za mernu jedinicu uzme povr{ina E jednog kvadrati}a iz mre`e, tada povr{ina P1, figure A iznosi P1 = 12E. Merni broj povr{ine P1, kod jedinice E je 12. Kolika je povr{ina P2, figure B, odnosno povr{ina P 3 figure C, kod merne jedinice E? Koliko je puta ve}a povr{ina P1, od povr{ine P2? Koliki je zbir povr{ina P2 i P3? Kolika se povr{ina dobija ako se povr{ina P1 pomno`i sa 5? Koji znak treba da se stavi u kru`i} da bi se dobio ta~an iskaz: P2 + P3

P 1?

P

E

K

E

b) Y T

v)

F F2

F1 F3

Povr{ina E jednog kvadrati}a iz mre`e je uzeta za mernu jedinicu

Odredi povr{inu pravougaonika P i kvadrata K; kakvu vrednost (pozitivnu ili negativnu) ima merni broj povr{ine svakog od wih? Kakvi su me|u sobom povr{ina i pravougaonici Y i T? Odredi povr{inu P figure F i povr{ine P1, P2, P3 figura F1, F2, F3 kako odgovara. Zatim uporedi povr{inu P sa zbirom P1 + P2 + P3.

134

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

[ta se zakqu~uje o p o v r { i n i mnogougla pod a), b) i v) iz p r e t h o d n o g zadatka?

Mo‘e da se zakqu~i da: a) povr{ina pravougaonika i kvadrata su iskazane pozitivnim brojevima; b) skladni pravougaonici imaju jednake povr{ine; v) povr{ina figure F je jednaka zbiru povr{ina sastavnih pravougaonika.

O povr{ini mnogougla uop{te va`e slede}a svojstva.

1o 2o 3o

Povr{ina jednog mnogougla se iskazuje pozitivnim brojem

4o

Povr{ina kvadrata stranice od 1 m se uzima za osnovnu mernu jedinicu; ona se zove kvadratni metar i ozna~ava se sa 1 m2.

Ako su dva mnogougla skladna, tada imaju jednaku povr{inu. Ako je mnogougao sastavqen od dva ili vi{e mnogougla koja se ne preklapaju, tada wegova je povr{ina jednaka zbiru povr{ina tih mnogouglova.

Iz merne jedinice 1 m2 se izvode mawe merne jedinice: 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2 i ve}e 1 dam2, 1 hm2, 1 km2. Koji pravougaonici na crte`u imaju jednake povr{ine i na osnovu kojeg svojstva?

25 cm 40 cm

3.

b) 35 cm

a)

35 cm

v)

3, 5

dm

g)

6 3,

dm

d) 5 3,

4 dm

2.

2,5 dm

3, 5

dm

dm

Na crte`u, dva pravougaonika figure pod a) se poklapaju, a pod b)- ne. Za koju od dveju figura va`i svojstvo 3o a za koju ne va`i? a)

b)

Povr{ine mnogougla

135

B 4.

Na crte`u su dva skladna pravougla trougla, T1 i T2, a zatim suod wih sastavqene, tri geometrijske figure: a), b), v).

T2 T1

T2

T1

T2

T1

a)

T2

T1

b)

v)

Imenuj svaku figuru a), b) i v). Kakve su me|u sobom povr{ine T1 i T2? Za{to? Kakve su me|usobno povr{ine figura a) i b); b) i v)? Za{to?

Dve figure koje imaju jednake povr{ine ka`emo da su jednake. Dve figure koje mogu da se sastave ili razdvoje na isti broj odgovaraju}e skladne figure ka‘emo da su jednake povr{ine. Figurite a), b) i v) iz zadataka 4 su jednakih povr{ina.

5.

Odredi koje figure sa crte`a imaju jednake povr{ine.

a)

b)

v)

Treba da zna{: Proveri! Da objasni{ pojam povr{ine mnogougla; Da prepozna{ mnogouglove jednakih povr{ina; Da razlo`i{ mnogouglove na delove i da sastavi{ od wih druge, figure jednake povr{ine.

136

Ka`i osnovna svojstva povr{ine. Ako su dve figure skladne, tada su jednake povr{ine. Da li su dve figure jednake povr{ine i skladne? Objasni! Kako }e{ razlo`iti romboid da bi sastavio pravougaonik od delova? Objasni crte`.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

D

A

C

B

Zadaci 1. Izre`i dva skladna pravougaona

trougla i od wih sastavi: a) ravnokrak trougao; b) pravougaonik; g) romboid. Za{to su sve dobijene figure jednake povr{ine?

2. Kvadrat je razrezan po dijagonali. Od dobijenih trouglova sastavi tri konveksna mnogougla. Nacrtaj ih i imenuj.

3. Ako su dva mnogougla jednake povr{ine, da li mora da imaju isti broj strana?

4. Ako dva ravnostrana trougla imaju

7. Figuru sa crte`a podeli na ~etiri skladna trapeza.

Poku{aj...

8. Dat je kvadrat ABCD

D

G

C

(na crte`u). E, F, G, H M N su sredine wegovih F stranica. Uporedi H povr{inu ~etvorougla L K KLMN sa povr{inom A E B kvadrata ABCD

jednake obime, da li moraju da imaju i jednake povr{ine?

9. U kvadratnoj mre`i je nacrtana 5. Ako dva pravougaonika imaju jednake

obime, da li mora da imaju jednake povr{ine?

6. Utvrdi da li je iskaz ta~an:

a) skladne figure su jednake povr{ine. b) figure jednakih povr{ina su i skladne. v) ravnostrani trouglovi su i skladni. g) ravnostrani trouglovi sa odgovaraju}e jednakim stranicama su jednakih povr{ina. d) Kvadrati sa odgovaraju}e jednakim dijagonalama su jednakih povr{ina.

krivolinijska figura. Napravi({to mogu}e boqe) procenu o wenoj povr{ini R uzimaju}i za mernu jedinicu povr{inu E jednog kvadrati}a iz mre`e.

Napravi procenu za P zna~i da na|e{ dva broja, m i n, takve {to mE ÂŁ P ÂŁ nE.

Povr{ine mnogougla

1 cm2

137

13

POVR[INA PRAVOUGAONIKA I KVADRATA

Podseti se!

A 1.

Du`ina osnovice AB i du ina visine BC pravougaonika ABCD ( na crte`u) su izra`ene celim brojevima:

C Da se na|e povr{ina D datog pravougaonika, zna~i da se dozna koliko kvadrati}a stranicom jednakom A B izabrane merne jedinice za du inu, smesti }e se u pravougaonik i pokri}e ga.

$% = 7 cm, %& = 4 cm. D

C

4 3 2

Koja bilo stranica pravougaonika ABCD mo`e da se smatra za wegovu osnovicu u tom slu~aju, koja bilo od susednih stranica se smatra za visinu pravougaonika

1

A 1 2 3 4 5 6 7B

Brojawem kvadrati}a, utvrdi}e{ da je povr{ina 28 cm2.. ali, kako mo`e{ da izra~una{ broj kvadrati}a u pravougaoniku bez brojawa?

Koliko kvadrati}a sa stranicom 1 cm ima u redu koji se grani~i sa osnovicom, a koliko cm ima osnovica? Koliko kvadrati}a ispuwavaju pravougaonik? Kolika je povr{ina pravougaonika izra ena u cm2? Pomno`i}e{ osnovicu i visinu i dobija se : 7 × 4 = 28.

Zna~i, povr{ina pravougaonika 28 cm2 je jednaka proizvodu osnovice i visine.

2.

Izra~unaj povr{inu pravougaonika sa osnovicom 15 dm i visinom 6 dm u dm2 prema podacima na crte`u.

B

Podseti se: osnovna merna jedinica za povr{inu je kvadratni metar (m2). Kvadratni metar je povr{ina kvadrata stranice 1 m. Ve}e merne jedinice od 1 m2 su: ar = 1 dam2 ha = 1 hm2 1 km2

Koliko cm2 ima u 1 dm2?

138

Mawe merne jedinice od 1 m2 su: × 100 × 10 000 × 1 000 000

1 m2

Koliko mm2 ima u 8 cm2?

: 100

1 dm2

: 10 000

1 cm2

: 1 000 000

1 mm2

Koliko dm2 ima u 25 cm2?

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

3.

D

Izra~unaj povr{inu pravougaonika ABCD, gde je du`ina osnovice i visine izra`ena decimalnim brojevima: $% = 7,5 cm i %& = 4,3 cm.

C

4,3 cm

Ako izbere{ 1 mm kao jedinicu meru za du`inu, kojim

7,5 cm

A

celim brojevima }e se izraziti $% i %& ?

B

Uo~i da $% = 75 mm, %& = 43 mm. Na|i povr{inu P na pravougaonika u mm2. Dobijeni broj (P = 75 × 43 = 3 225; P = 3 225 mm2), izrazi u cm2 i uporedi sa proizvodom du`ine osnovice i visine: 7,5 × 4,3. [ta se mo`e iz ovoga zakqu~iti? Mo`e se zakqu~iti da se povr{ina pravougaonika dobija kao proizvod osnovice i visine i u ovom slu~aju, kada su izra`eni decimalnim brojevima. Va i i op{te: Povr{ina pravougaonika je jednaka proizvodu du ine osnovice i visine:

h a

P=a×h P - povr{ina;

a - osnova;

h - visina

Posebno, ako a = h, tada pravougaonik je kvadrat, pa P = a × h = a × a = a2. Povr{ina kvadrata je jednaka kvadratu du`ine wegove stranice:

a

P=a

2

a Formula P = a × h va`i i kada osnovica i visina su izra`eni kojim bilo realnim brojevima.

,,du`ina osnovice,, ukratko se ka`e i samo: ,,osnovica,,. Sli~no za ,,visinu,, F Umesto ,,dijagonalu,, i drugo.

4.

Izra~unaj povr{inu pravougaonika osnovice 12,4 dm i visine 7,05 dm

5.

Izra~unaj povr{inu kvadrata sa stranicom a = 3,4 cm.

Povr{ine mnogougla

139

Podseti se!

V 6.

Za pravougaoni DABC sa B hipotenuzom c i katetama a, b va`i jedna~ina (Pitagorinaa teorema): C

c2 = a2 + b2

Izra~unaj povr{inu R pravougaonika sa osnovicom a = 12 cm i dijagonalom d = 13 cm.

c Ako se ne seti{, uvidi postupak. b

A

Razgledaj pravougaonik ABCD na crte`u i uvidi pravougaoni DABC u kome hipotenuza d i kateta a su poznate, a nije poznata kateta h.

Koliko iznosi c, ako a = 5, b = 12? Koliko je a, ako c = 10, b = 6? Koliko je c, ako a = b = 1?

D

C

Izrazi katetu h uz pomo} d i a. Dobijenu vrednost za h (h = G

d

D =

=

A

= 12) zameni u formuli P = a Ă— h.

7.

Izra~unaj povr{inu P kvadrata sa dijagonalom d = 6 cm.

h

a

B

N

M d

Uporedi svoje re{ewe i uo~i postupak: povr{inu a da izrazi{ sa dijagonalom d. F Treba F U pravouglom trouglu KLM, po Pitagorinoj teoremi va`i: d 2

F

2

a

K a L 2 2 = a + a ; d = 2a ; a = 2

2

2

G G . Umesto P = a2 mo`e{ da zapi{e{ P = . G P= ; P= ; P= ; P = 18 cm2.

Va`i op{te: Povr{ina P kvadrata sa dijagonalom d mo`e da se izra~una formulom P=

G .

Treba da zna{: Da odredi{ povr{inu pravougaonika i kvadrata odgovaraju}om formulom i da je izrazi{ u odgovaraju}e merne jedinice; Da koristi{ svojstva pravougaonika i kvadrata u slo`enijim zadacima za povr{inu.

140

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Proveri! Povr{ina jednog pravougaonika je 72 dm2a visina 60 cm.. Koliko je osnovica? Obim jednog kvadrata je 10 dm. Kolika je wegova povr{ina? Povr{ina jednog kvadrata je 18 dm2. Kolika je dijagonala?

Zadaci 1. Izra~unaj ja povr{nu pravougaonika sa strane: a) 24 cm, 36 cm; b) 7,8 dm; 4,5 dm; cm; 8 cm. v) 3

2. Izra~unaj obim kvadrata, jednake

povr{ine sa pravougaonikom dimenzija 63 cm i 28 cm.

3. Na|i

povr{inu pravougaonog rama na crte`u. 42 Dimenzije su date u cm.

30

46

56 4. Izra~unaj povr{inu kvadrata sa: a) stranicom 5,3 sm; b) dijagonalom 6,4 dm.

5. Kako }e se promeniti povr{ina

pravougaonika ako: a) osnovica se uve}a 3 puta, a visina 4 puta; b) osnovica i visina se umawe za 2 puta; v) osnovica se uve}a 4 puta, a visina umawi 4 puta; g) osnovica se uve}a 3 puta, a visina ostane ista?

6. Kako }e se promeniti povr{ina kvadrata ako wegova stranica: a) se uve}a 2 puta; b) umawi 3 puta; v) uve}a 1,5 puta; g) uve}a 50%; d) umawi 50%; |) umawi 60%?

7. Kako }e se promeniti povr{ina pravougaonika sa stranicama a i b (cm) gde b > 1 (cm), ako se a uve}a za 1 (cm), a b se umawi za 1(cm)?

8. Za koliki procenat }e se pove}ati

povr{ina pravougaonika ako se du`ine stranica pove}aju za 10%?

9. Koliko puta treba da se uve}a stranica kvadrata da bi se wegova povr{ina pove}ala 2,25 puta?

10. Povr{ina jednog pravougaonika je 168

cm 2 , a jedna stranica je 24 cm. Izra~unaj dijagonalu.

11. Dijagonala jednog kvadrata je 4 cm. Izra~unaj: a) povr{inu; b) obim kvadrata.

12. Obim nekog pravougaonika je 12 cm ,

merni brojevi wegovih stranica su prirodni brojevi. a) Koliko takvih pravougaonika postoji? Izra~unaj wihove povr{ine. b) Koji od wih ima najve}u povr{inu?

13. Du`ina jedne sobe je 4,2 m, a {irina

5,4 m. U sobi postoje dva prozora {irine 1,2 m i visine 1,6 m. Soba se smatra da je dovoqno osvetqena, ako povr{ina R prozora predstavqa 20% od povr{ine R1 poda. Da li je dovoqno soba osvetqena?

Povr{ine mnogougla

141

14

POVR[INA PARALELOGRAMA

Podseti se!

A 1.

Koja bilo stranica paralelograma mo`e da se nazove osnovicom paralelograma.

Iz temena D i C paralelograma ( na crte u) su spu{tene visine prema osnovici AV. D

C

^etvorougao ABCD, na crte`u je paralelogram, a du`i DD 1 i CC 1 su normalne na osnovicu AB. D

C

A

G

B

F

Razgledaj DAFD i DBGC i razmisli da li su skladni. C1 B A D1 Kakve su me|u sobom du`ine '' i && ?

[ta su du`i DD1 i CC1 (i wihove du`ine) za paralelogram ABCD? Kakvi su me|u sobom DAD1 i CBC1? Kako se zove paralelogram ABCD, ako: a) $% = $' ? b) A = 90o?

Mo`e{ da uvidi{ da: $' = %& , DAF = CBG i ADF = BCG F (uglovi sa paralelnim krakovima).

F DAFD @ DBGC (sprema stavu ASA). Poka`i da ~etvorougao pravougaonik.

FGCD

je

Objasni za{to $% = )* . Da li su jednake povr{ine paralelogram ABCD i pravougaonik FGCD? Za{to?

v) $% ¹ $' i A je o{tar?

Da, jer je svaki sastavqen od trapeza FBCD i od po jednog trougla, a ti trouglovi su skladni. Povr{ina P paralelograma ABCD je jednaka sa povr{inom pravougaonika FBCD, pa

P = )* × )' = $% × )' .

Va`i op{te: D

Za paralelogram sa osnovicom $% = a i visinom ') = h povr{ina je proizvod wegove i odgovaraju}e visine, t.j. P = a × h.

142

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

C

h A

F

a

B

2.

Izra~unaj povr{inu paralelograma sa osnovicom a = 6,2 cm i visinom spu{tene prema osnovici h = 4,5 cm. P = a × h; P = 6,2 × 4,5; P = 27,9 cm2.

3.

Stranice jednog romboida su a = 8 cm i b = 6 cm. Visina prema stranici a e 3 cm. Kolika je visina prema stranici b?

4.

Stranica jednog romboida je 12,5 cm a povr{ina 40 cm2. Izra~unaj visinu romba.

5.

Ve}a stranica jednog paralelograma je 41 cm, visina prema mawoj stranici je 40 cm, a mawa dijagonala je 50 cm. Izra~unaj povr{inu paralelograma. D

Da bi se izra~unala povr{ina paralelograma u ovom slu~aju se primewuje Pitagorina teorema. Napravi crte` kao {to je dat i uvidi da P = $% × 40 cm2. Da bi na{la $% , razgledaj pravougaone trouglove AFD i BFD, a zatim

C

50

41

40

izra~unaj: $) , )% , $% = $) + )% . A

B 6.

Na crte`u je predstavqen romb ABCD. Zatim je konstruisan ~etvorougao KLMN, tako da su wegove stranice paralelne sa dijagonalama romba. Uz pomo} crte`a, poku{aj da na|e{ formulu za izra~unavawe povr{ine romba ako su date wegove dijagonale d1 i d2.

B

F

N

D

M

d1

A

C

d2 K

B

L

Razgledaj crte` i odgovori na slede}i pitawa Kakav je uzajamni polo`aj dijagonala romba? Koji tip je ~etvorougaonik KLMN? Koliko iznosi povr{ina ~etvorougla KLMN, izra`ena uz pomo} d1 i d2? Koliko je puta ve}a povr{ina ~etvorougla KLMN od povr{ine romba? Ako si odgovorio ta~no na pitawa, mo`e{ da se zakqu~i{ da: Povr{ina P romba sa dijagonalama d1 i d2 je jednaka polovini proizvoda dijagonala, tj. P=

d ×d 1 2

d1

d2

Povr{ine mnogougla

143

7.

Izra~unaj povr{inu romba sa dijagonalama d1 = 6 dm i d2 = 45 cm. P=

Ă— 60 Ă— 45 = 1 350;

P = 13,5 dm2.

Treba da zna{: Da izra~una{ povr{inu paralelograma (romba i romboida) prema odgovaraju}oj formuli; Da objasni{ ta~nost formula za izra~unavawe povr{ine romboida i romba; Da koristi{ svojstva romboida i romba za re{avawe slo`enijih zadataka za povr{inu.

Proveri! Koliko je povr{ina romboida sa osnovicom 12 cm i visinom 7 cm? Kolika je stranica romba visine h = 8 cm i povr{ine P = 96 cm2? Romb sa dijagonalom d 1 = 9 dm ima povr{inu P = 27 dm2. Kolika je druga dijagonala?

Zadaci 1. Izra~unaj povr{inu metalne plo~e u

obliku romboida sa stranicom 25,8 cm i visine prema toj stranici 8,4 cm.

2. Izra~unaj

povr{inu romba dijagonalama 18 cm i 3 dm

sa

3. Izra~unaj povr{inu romboida sa 12,5 dm i 32,5 cm, a visina prema mawoj stranici je 10 cm. Zatim na|i drugu visinu.

4. Stranice jednog paralelograma su 9 cm

i 12 cm. Izra~unaj wegovu povr{inu ako je ve}a od wegovih visina 8 cm.

5. Izra~unaj povr{inu paralelograma sa

stranicama 6 cm i 8 cm, a sa o{trim uglom od 30o. . povr{inu romba koji ima 6. Izra~unaj stranicu 8,4 dm i tupi ugao od 1500.

7. ^etvorougao na crte`u je paralelogram. Izmeri {ta je potrebno i izra~unaj povr{inu.

144

8. Mo`e li povr{ina paralelograma da bude jednaka proizvodu osnovice i jedne dijagonale?

9. Povr{ina jednog paralelograma je 144 cm2. Presek dijagonala je udaqen od stranica 3 cm i 4 cm. Izra~unaj obim paralelograma.

10. a) Kako da se podeli zadati romb na

tri dela, od kojih mo`e da se sastavi pravougaonik, tako da mu osnova bude jedna od dijagonale romba? b) Koriste¢i to, izvedi formulu koja izra`ava povr{inu romba preko wegovih dijagonale.

11. Mawa stranica paralelograma je 13

cm, visina spu{tena prema ve}oj stranici je 12 cm, a mawa dijagonala je 15 cm. Na|i povr{inu paralelograma.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao Povr{ina

Poku{aj... D

C

B E

F

12. Podno ja E i F od visine paralelograma ABCD spu{tena iz D i C odgovaraju}e, padaju izvan osnovice AB (kao na crte`u).

Poka i da je povr{ina PABCD ( paralelograma ABCD) jednaka sa povr{inom PEFCD ( pravougaonika EFCD) i

A

PABCD = $% × '( . Pomo}:

PABCD + PBFC = PEFCD + PAED; DAED @ DBFC, pa PABCD = PEFCD; $% = () .

15

POVR[INA TROUGLA

Podseti se!

A 1.

Za DABC na crte`u, koja bilo stranica mo`e da se uzme za osnovicu.

Paralelogram ABCD na crte`u ima osnovu a = 9 cm i visinu h = 4 cm. A

Du` AD (i du`ina $' = h) je visina, odgovaraju}e osnovici BC.

D 4 cm

F

A h B

D

K h

C

G

B

9 cm

C

Izra~unaj wegovu plo{tinu. a

H

Razgledaj paralelogram FGHK. Kolika je wegova plo{tina, ako a je osnovica i h odgovaraju}a visina? Kakvi su me|u sobom DFGH i DHKF?

Uvidi da DABC @ DCDA; kakve su me|u sobom povr{ine tih trouglova? Kolika je povr{ina DABC? Za{to? Koliko puta je mawa od povr{ine paralelograma? A

2.

Na crte`u je dat DABC, ~ija osnovica je a i odgovaraju}a visina h.

h B

a

C

Povr{ine mnogougla

145

Formula za izra~unavawe povr{ine je DABC je: P =

a × h.

Poku{aj da to doka`e{.

D

A

Prilikom re{avawa zadatka 1, radio si sa paralelogramom ABCD kao na crte`u. Da li ti to daje ideju kako da se dobije formula od onog {to zna{ o paralelogramu?

h B

a

C

Ako se nisi setio, prati slede}e razmi{qawe. Kakvi su me|usobno DABC i DCDA? Koliko je povr{ina paralelograma ABCD? Kakvu vezu ima povr{ina DABC sa povr{inom paralelograma ABCD? Zna~i: povr{ina DABC e P = PABC =

3.

F DABC @ DCDA (Za{to?) F P =a×h P = P = a×h F ABCD

ABC

ABCD

a × h, a to si trebao da doka`e{.

Izra~unaj povr{inu trougla sa osnovicom a = 8 cm i odgovaraju}om visinom ha = 9 cm. P=

4.

a ha = × 8 × 9 = 36; P = 36 cm2.

A b

Kako glasi formula za povr{inu DABC sa osnovicom b i odgovaraju}om visinom hb?

Uo~i i zapomti

hb B

C

Svaka strana DABC mo`e da se uzme za osnovu i zatoa je ta~no da P=

a ha = b hb = c hc ,

t.j. povr{ina trougla je jednaka sa poluproizvodu osnove i odgovaraju}e visine.

5.

A

Na crte`u je dat pravougli DABC sa katetama a i b.

b

[ta je odgovaraju}a visina katete a? Napi{i formulu za izra~unavawe wegove povr{ine.

146

Tema 4. Kru`nica i mnogougao Povr{ina

B

a

C

Izra~unaj povr{inu pravouglog trougla sa katetama a = 10 dm i b = 7 dm. Povr{ina pravouglog trougla sa katetama a i b mo`e da se izra~una formulom: P=

B 6.

ab. C

Izra~unaj povr{inu P ramnokrakog trougla sa osnovicom a = 10 cm i krakom b = 13 cm. b

Razmisli kako }e{ na}i visinu h = &' da bi primenio

ah. Iskoristi svojstvo na ravnokrakog trougla: visina spu{tena

b

h

formulu P =

F od vrha je simetrala osnove, pa F 7.

A

$' = %' .

D

Ăˆ DĂ˜ h = b - ÉÊ ÙÚ .

Primeni Pitagorinu teoremu:

2

2

Izra~unaj povr{inu ramnostranog trougla sa stranom a = 8 cm.

a

h

8.

D Ăˆ DĂ˜ h2 = a2 - ÉÊ ÙÚ = ;

h=

D ;

P=

a

a

Podseti se da za ravnostrani trougao va`i:

F

B

D a

DK D = ;

P=

K .

Dat je DABC sa stranama a = 7 cm, b = 9 cm i c = 12 cm. Kolika je wegova povr{ina? Povr{ina trougla sa stranama a, b i c mo`e da se izra~una i po formuli

P=

b

a

V š V D V E V F ,

gde s je poluzbir od strana, t.j.

V

c

D E F .

Ovaa formula se zove Heronova formula (po imenu anti~kog matemati~ara Heron).

V

= 14;

³ 3 ¡³ ( ³ 14 ¡³ 7 ³ ¡³ 5 ³¡³ 2 = ¡ ( ¡³( ==

; P Âť 31,3 cm2.

Povr{ine mnogougla

147

Treba da zna{: Da odredi{ povr{inu trougla sa datom osnovicom i odgovaraju}im visinama;

da objasni{ formulu P = ah, za povr{inu trougla; Da re{ava{ slo‘enije zadatke za povr{inu trougla.

Proveri se! Povr{ina jednog trougla je 56 cm2, a jedna wegova strana je 14 cm. Kolika je adekvatna visina? U jednom pravougaonom trouglu, jedna kateta je 12 mm, a hipotenuza je 13 mm. Kolika je povr{ina?

Zadaci 1. Na|i povr{inu trougla sa osnovicom a i odgovaraju}om visinom h ako:

a) a = 7 cm, h = 8 cm; b) a = 6 dm, h = 12 cm; v) a = 18,4, h = 13,5.

2. Koliko }e se promeniti povr{ina trougla ako: a) osnovica se uve}a tri puta, a visina smawi dva puta; b) osnovica se smawi dva puta i visina mu se smawi pet puta?

3. Koliko procenata }e se uve}ati

povr{ina trougla ako se osnovica uve}a 50%, a visina umawi 30%.

5. Izra~unaj povr{inu ravnokrakog

trougla sa osnovicom 18 cm i krakom 41 cm

6. Izra~unaj povr{inu ravnostranog trougla sa stranicom a = 8 cm.

7. Na|i povr{inu trougla ako su date tri stranice: a) a = 6 cm,

b = 8 cm;

b) a = 13 dm, v) a = 7 cm,

b = 14 dm; b = 11 cm;

c = 10 cm; c = 15 dm; c = 12 cm.

8. Na|i povr{inu ravnokrakog pravouglog trougla, ako hipotenuze c.

je

du`ina

wegove

Poku{aj...

4. Izra~unaj povr{inu pravouglog trougla sa katetama a i b, ako:

a) a = 15, b = 9; b) a = 20 i jedan ugao je 45o.

148

9. Na|i povr{inu ravnokrakog trougla,

ako visina spu{tena prema osnovici je 30 cm, a visina spu{tena prema bo~noj stranici je 36 cm.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao Povr{ina

16

POVR[INA TRAPEZA I DELTOIDA

Podseti se!

A 1.

^etvorougao ABCD na crte`u je trapez, pri ~emu AB % DC.

D

A

C

F

Na crte`u je prikazan trapez sa osnovicama 12 cm i 8 cm, i visine 5 cm. D 8 cm C 5 cm

B

Imenuj: osnovice, krakove i visinu trapeza.

ako $% = 8 cm, '& = 5 cm, ') = 4 cm.

Uvidi da izrazi

Ako se nisi setio, evo ti ideja: odvoji trapez (sa jednom dijagonalom) na dva trougla-kao za zadatku ,,Podseti se,, na primer, sa DB; dobi}e{:

Ă— 12 Ă— 5 + Ă— 8 Ă— 5 = 50;

Ă— 12 Ă— 5 + Ă— 8 Ă— 5 mogu

Ă— 5. Koje operacije ura|ene sa datim elementima trapeza?

da se napi{u

2.

B

Odredi wegovu povr{inu.

Izra~unaj: a) povr{inu DABD; b) povr{inu DBCD,

P = PABD + PBCD =

12 cm

A

P = 50 cm2.

Povr{ina trapeza je izra~unata tako da poluzbir osnovice je pomno`en sa visinom.

Dat je trapez sa osnovicama a i b, i visine h. Poka`i da se wegova povr{ina mo`e izra~unati formulom: P=

D E šK,

t.j. povr{ina trapeza je jednaka proizvodu poluzbira wegovih osnovica i visine. D

Razgledaj trapez ABCD, koji je podeqen dijagonalom BD na dva trougla. U kakvoj je vezi povr{ina P trapeza povr{ine PABD i PBCD (na DABD i DBCD)? Uz pomo} a, b i h napi{i koliko je PABD i koliko je PBCD, a zatim saberi dobijene izraze.

C

b

h A

a

Povr{ine mnogougla

B

149

Uvidi da od prethodna dva zahteva proizilazi slede}e: P = PABD + PBCD =

DยนK EยนK D E ยน K , t.j. tra`ena formula. + =

3.

Izra~unaj povr{inu trapeza sa osnovicom 5 dm i 4 dm i visine 25 cm.

4.

^etvorougao ABCD na crte`u je pravougli trapez. Izvr{i potrebna merewa kolko mo`e{ preciznije i izra~unaj povr{inu. Koja je visina trapeza?

5.

C

D

B

A

Izra~unaj povr{inu ravnostranog trapeza sa osnovicama a = 48 cm, b = 30 cm i karakom 41 cm. D 30 C Poku{aj sam, a zatim sledi uputstvo.

F Nacrtaj ravnokrak trapez ABCD kao na crte`u. F Da bi na{ao visinu h, prvo treba da odredi{ x = $) . D E = = 9. Uo~i da $) = *% = x, pa x = F F Zatim, da bi odredio visinu a h, primeni Pitagorinu teoremu. B 6.

Podseti se! ^etirougao ABCD na crte`u je deltoid

S

A

F

48

G

B

B C

A

B Koje su strane me|usobno jednake?

D

Kakve su me|usobne wegove dijagonale? Kakvi su me|u sobom DABC i DADC?

150

x

Izra~unaj povr{inu P na deltoida ABCD ( na crte`u), ako

C

Ako $& = 10 cm i %' = 6 cm, kolika je povr{ina a) DACD; b) DABC?

h

dijagonale su: $& = 14 cm, %' = 8 cm.

(sa: $% = $' ). D A

41

Izra~unaj prvo povr{inu PABC, zatim povr{inu PADC i, na kraju, presmetaj: P = P ABC + PADC.

7.

Na|i formulu za izra~unavawe na povr{ine deltoida uz pomo} wegovih dijagonala d1 i d2.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao Povr{ina

Razmisli sam, a zatim razgledaj deltoid ABCD na crte`u i vidi obja{wewe.

F F F F

DABC @ DADC;

C

6% = 6' = d2;

D d1

S

A

B

PABC = PADC = × $& × 6' = d1 × d2 = dd. 1 2 P = PABCD = PABC + PADC =

d2

d1d2 + d1d2 = dd. 1 2

Uvidi i upamti: Povr{ina deltoida je jednaka poluproizvodu wegovih dijagonala, tj. d2 d1

8.

F

P=

G ¹ G .

Istom formulom mo`e se izra~unati povr{ina bilo kog ~etvorougla sa uzajamno normalnim dijagonalama d1 i d2.

Dat deltoid ima povr{inu 90 dm2, a jedna je dijagonala 15 dm. Kolika je druga dijagonala?

Treba da zna{: Da izra~una{ povr{inu trapeza i deltoida.

Zadaci 1. Osnovice jednog trapeza su 8 cm i 4 cm

a wegova povr{ina je 42 cm2. izra~unaj visinu.

2. Povr{ina jednog trapeza je 150 cm2 jedna

osnovica je 11 cm,, a visina je 10 cm. Kolika je druga osnovica?

3. Izra~unaj du`inu sredwe linije trapeza, ~ija je povr{ina 180 cm 2, a visina 12 cm.

Proveri! Izra~unaj povr{inu trapeza sa osnovicama a = 9 dm i b = 5 dm i visine 8 cm. Jedan deltoid ima povr{inu 90 cm2, a jedna dijagonala je 20 cm. Kolika je duga dijagonala?

4. Izra~unaj povr{inu jednog pravouglog trapeza, ako je mawa osnovica 7 cm, a krakovi 4 cm i 5 cm.

5. Izra~unaj povr{inu jednog ravnokrakog trapeza sa osnovicama 9 cm i 15 cm, a jedan od uglova kod osnovice 45o

6. Izra~unaj povr{inu jednog

ravnokrakog trapeza sa: a) osnoviconm 17 cm i 7 cm, i krak 13 cm; b) mawa osnovica 16 cm, krak 25 cm i visina 24 cm.

Povr{ine mnogougla

151

D

7. Izra~unaj povr{inu deltoida sa dijagonalama 15 cm i 4 cm.

S

Izra~unaj povr{inu deltoida sa stranicama 16 cm i 20 cm, a dijagonala koja nije simetrala wegovih uglova je 24 cm.

8.

9.

Izra~unaj povr{inu trapeza ~ije osnovice su 11 cm i 9 cm, a jedan krak ima 10 cm i sa osnovicom formira ugao od 30o.

10. Na crte`u je dat trapez ABCD, gde je ta~ka S sredina raka CB.

17

A

B

M

a) na osnovu crte`a, utvrdi da je trapez jednake povr{ine sa trouglom AMD. b) Izvodi formulu za povr{inu trapeza, koriste}i formulu za povr{inu trougla

POVR[INA PRAVILNOG MNOGOUGLA

Podseti se! Mnogougao kod koga su sve strane jednake i svi uglovi jednaki se zove pravilni mnogougao. Na crte`u je dat pravilni {estougao ABCDEF. Iz wegovog centra O je povu~en radijus do svakog wegovog temena. E

D O

F a

O C

h A

B

A B Na koliko je trougla podeqen {estougao? Koji bilo od tih trouglova, na primer DABO se zove karakteristi~an trougao za {estougao. Kako se zove wegova visina h? Kako se zove wegova strana OA? Koliki je obim L {estougla ako strana mu je a = 4 cm?

152

C

A 1.

Na crte`u je predstavqen pravilni petougao. Izra~unaj wegovu povr{inu R, ako je data stranica a = 3 cm i apotema h = 2 cm. Koliko je puta povr{ina petougla ve}a od povr{ine karakteristi~nog trougla?

Ako se nisi setio, vidi postupak. Pove`i svako teme petougla ABCDE sa wegovim centrom O, kao na crte`u-dobi}e{ skladne trouglove.

D O

E a

C

h A

B

Izra~unaj povr{inu karakteristi~nog DABO. DยนK ยน = 3. Izra~unaj:

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Svaki karakteristi~ni trougao petougla ima povr{inu od 3 cm2. kako }e{ izra~unati povr{inu petougla?

Povr{inata P petougla je pet puta ve}a od D ¹ K , t.j. D¹K = 5 × 3; P = 15 cm2. P=5×

Uvidi da va`i i op{te: Plo{tinata pravilnog n-ugla sa datom stranom a i apotemom h se dobija kada povr{tina

D³ ·hK karakteristi~nog trougla n-ugla se pomno`i sa n, t.j P=n×

2.

D¹K .

N

Dat je pravilni n-ugao sa temenima K, L, M, N, stranice a i apoteme h. Iz wegovog centra su povu~eni radijusi do temena, kao na crte`u. Izrazi povr{inu P jednog n-ugla uz pomo} wegovog obima L.

O

M h

K

a

L

Uo~i da n-ugao je podeqen na h skladnih trouglova. Povr{ina svakog trougla je Povr{ina n-ugla je n ×

D³ ·hK .

³K D ·h

, t.j Q ¹ D K .

Po{to na = L, sledi da P =

Lh.

Va`i uop{te: Povr{ina pravilnog mnogougla je jednaka poluproizvodu wegovog obima i apotemi, tj.

P=

3.

Lh.

Izra~unaj povr{inu pravilnog {estougla sa stranicom 3,5 dm i apotemom 0,3 m.

Povr{ine mnogougla

153

4.

Na|i stranicu pravilnog desetougla povr{ine P = 769 cm2 i apoteme h = 15,38 cm. P = 10 Ă—

5.

D š DšK ; 769 = 10 Ă— ; 769 = 76,9 a; a = 10 cm

O

R 4 cm

Na|i povr{inu R pravilnog {estougla sa stranicom 4 cm. Uvidi da “AOB = 360o : 6 = 60o.

A

F F

Karakteristi~ni trougao ABO je ravnostran trougao. Za{to?

F F F

Povr{ina karakteristi~nog trougla je:

D .

Povr{ina pravilnog {estoula je: P = 6 Ă—

D

a

B

Uvidi da u pravilnom {estouglu radijus opisane kru`nice je jednak wegovoj strani, t.j. R = a.

Za a = 4 cm, P =

Ă— 42 Ă—

=

Ă— 16 Ă—

Da re{ava{ zadatke o povr{ini pravilnog mnogougla.

Zadaci

P=

2 a

Proveri! Napi{i formulu po kojoj se izra~unava povr{ina pravilnog sedmougla. Koliko lima je potrebno da se izradi tabla STOP (pravilni osmougao) sa stranicom a = 32 cm i apotemom h = 38,62 cm?

1. Izra~unaj povr{inu pravilnog n-ugla sa stranicom a i apotemom h:

a) n = 3; a = 8 cm; h = 2,31 cm. b) n = 4; a = 6 cm; h = 3 cm.

STOP

3. Izra~unaj povr{inu pravilnog

desetougla obima 14 dm i apoteme k.

4. Na|i povr{inu pravilnog trougla sa:

v) n = 5; a = 4 cm; h = 2,74 cm.

a) stranicom 6 cm;

g) n = 8; a = 16,6 cm; h = 2 dm.

b) apotemom 3 cm;

2. Na|i stranicu pravilnog petougla

v) obima 24 cm.

povr{ine P = 61,5 cm2 i apotema 4,1 cm.

154

.

= 24 ; P Âť 24 Ă— 1,73; P Âť 41,52 cm2.

Treba da zna{: Da izrazi{ povr{inu pravilnog n-ugla uz pomo} stranice i apoteme i obrnuto;

.

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

5. Na|i povr{inu pravilnog {estougla sa:

a) stranicom 12 cm; b) radijusom opisane kru`nice 6 cm;

Poku{aj ...nije obavezno

7. Na|i du`inu stranice a pravilnog

{estougla povr{ine jednake povr{ini ravnostranog trougla sa obimom 36 cm.

v) apoteme 2 cm; g) obim 48 cm.

8. Doka`i da: ako jedan pravilni trougao i jedan pravilni {estougao imaju jednake obime, tada povr{ina trougla je od povr{ine {estougla.

6. Pravilni desetougao ima obim 40 i povr{inu 40k.Na|i apotemu.

18

ZADACI O POVR[INI MNOGOUGLA

Podseti se! Za izra~unavawe povr{ine raznih vrsti mnogouglova mo‘e{ da koristi{ odgovaraju}e formule: Pravougaonik:

h

P=aĂ—h

d

a c

V V D V E V F ,

d1

b

h a

V

D E F

d1

d2

G

trapez:

Trougao:

P=

d

P=

a

Paralelogram:

³K D ¡h

a

b

P=aĂ—b

P=

Kvadrat , romb i deltoid

d2

P=

dG1 ³¡dG2

D E P= h

b h a

pravilni n -ugao P=

QšDšK /šK ;P=

h a

Povr{ine mnogougla

155

A

1.

D

Koliko dekari ima wiva forme na pravoaonika

C m 130

(kao na crte`u) sa stranom $% = 120 m i dijagonalom $& = 130 m?

Da bi izra~unao povr{inu treba da odredi{ du‘inu stranice BC. Izra~unaj %& pravougaonika DABC: %& =

B

.

Treba da dobije{: P = 120 Ă— 50 = 6 000, t.j. P = 6 000 m2;

2.

120 m

A

1 da = 1 000 m2, pa P = 6 da.

Izra~unaj povr{inu jedne ba{te forme pravougaonika kojem je jedna od stranica 65 m i dijagonala je 97 m.. Izrazi povr{inu R u: a) kvadratnim metrima; b) arima; v) dekarima.

3.

D

Kra}a dijagonala jednog romba ima istu du`inu kao stranica. Izra~unaj povr{inu romba, ako je du`a dijagonala 1 2 cm.

Razgledaj romb ABCD sa crte`a, kome '% = $% = a i $& = 12 cm. Izrazi povr{inu P romba uz pomo} wegovih dijagonala (ili zbir povr{ina DABD i DBCD).

C S

6

A

a

D B

Da odredi{ stranicu a, primeni Pitagorinu teoremu DABS. Ako si re{avao pravilno, sigurno si dobio: P = 6 a ; a = 4 ; P = 24 cm2 . Re{i zadatak direktnim kori{}ewem formule za povr{inu ravnostranog trougla. Dvojica bra}a treba da podele wivu u formi trougla, na dva trougla jednakih povr{ina. Mo`e{ li da podeli{?

Za{to DADC i DDBC imaju jednake povr{ine?

5.

D

B

0m 14

Izra~unaj povr{inu zemqi{ne parcele u formi ~etvorougla, predstavqene na crte`u. Povr{ina R ~etvorougla je jednaka zbiru povr{ina P1 i P2 dva trougla na koja je podeqen. Kojom formulom se izra~unava povr{ina trougla ~ije su stranice date?

156

A

13 0

m

120 m

Tema 4. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

150 m

Ako ti je potrebna pomo}, razgledaj DABC na crte`u; h je visina, a CD je te`i{na linija prema stranici AB.

h

90 m

4.

C

s1 =

( 90 + 120 + 130) = 170; P1 = ¡³80  5 215; s2 = ( 130 + 140 + 150) = 210; ³ ³ ¡ 50 ¡40

P2 = ¡³ 80 ³¡70 ¡60 ³ = 8 400; P = P1 + P2  13 615 m2.

Zadaci 1. Povr{ina nacionalnog parka Gali~ica je 23 000 ha. Koliko je to kvadratnih kilometara?

2. Parcela u formi pravougaonika sa stranicama 140 m i 180 m je nasejana kukuruzom. Prilikom sejawa je u proseku potro{eno 115 kg na 1 ha Koliko je semena ukupno upotrebqeno?

3. U jedan pravougaoni hodnik 5,1 m i 2,7 m treba da se postave kvadratne plo~ice sa stanicom 15 cm. Koliko je potrebno plo~ica za to?

9. Na|i povr{inu parcele u arima, ako je wen plan dat na crte`u. Na crte`u su du`ine date u milimetrima, a svaki milimetar ozna~ava 1 m u prirodi.

20 20

30

18

25

25

18

16

4. Koliko }e se dobiti paprika iz parcele forme pravougaonika dimenzija 250 m i 180 m, ako prinos iznosi 14,5 t na 1 ha?

10. U trapezu ABCD su povu~ene dijagonale. Doka`i da: D

5. Dvori{te u obliku pravougaonika ABCD

ima povr{inu 2 000 m2 i stranicu AV = 80 m;; od wega sa pravom paralelnom stranici AD da se odvoji parcela povr{ine 750 m2.

6. Konstrui{i kvadrat dijagonale 5 cm; zatim konstrui{i kvadrat dva puta mawe povr{ine. 7. Koliko puta je ve}a povr{ina opisanog kvadrata od povr{ine upisanog kvadrata u jednu kru`nicu?

8. Odredi najve}u visinu trougla ~ije strane su 13, 84, 85.

C S

A

B

a) DABD je jednake povr{ine DABC; b) DACD je jednake povr{ine DBDC; v) DASD je jednake povr{ine DBSC. Za a) uvidi da trouglovi imaju zajedni~ku osnovu AB i jednake visine, pa PABD = PABC. Za v): PASD = PABD - PABS = PABC - PABS = PBSC.

Povr{ine mnogougla

157

OBIM I POVR[INA KRUGA

19

OBIM KRUGA. DU@INA KRU@NOG LUKA

Podseti se!

A 1.

Na crte`u je predstavqen kvadrat sa stranicom a i pravilni {estougao sa stranicom a..

a

a

Napi{i formulu za izra~unavawe obima svake figure. Izmeri stranice kvadrata i odredi wegov obim L (u mm)

2.

Na crte`u je data kru`nica sa centrom O i radijusom r. [ta je du` AB za kru`nicu? Izmeri du` i uporedi sa r

r A

k

O

B

Kako se zove figura formirana od kru`nice i wene unutra{we oblasti? Po{to je krug deo ravni, ograni~en kru`nicom, za du`inu kru`nice je uobi~ajeno da se ka`e da je obim (perimetar) kruga.

Ozna~i ta~ku O i proizvoqnim otvorom {estara nacrtaj krug sa centrom O. Izmeri: a) radijus; b) obim kruga. Razmisli kako bi izmerio ili izra~unao du`inu kru`nice,tj.obim kruga. Svakako da je ovaj zadatak te`i od zadatka o obimu kvadrata ili {estougla. U narednom zadatku }e{ na}i odgovor.

3.

158

Kru`ni oblici postoje kod vi{e predmeta (na primer: kofa, ~a{a, metalni novac, predmeti cilindri~nog oblika).

Tema 3. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

Na crte`u je predstavqena saksija ~iji otvor ima kru ni oblik; wen otvor smatramo za krug.

r

k r

Koja merewa (i kako) treba da se izvr{e da bi se izra~unao koli~nik L : 2r, gde je L obim, a 2r je dijametar kruga? Razgledaj crte` i uvidi postupak. ili lentom i metrom merimo du`inu (L) F Koncem kru nice k..

F Du`inu dijametra (2r) merimo metrom. F Izra~una}emo koli~nik L : 2r. Dobi}e se broj koji je malo ve}i od 3.) 4.

Prona|i tri (ili vi{e) modela kruga. Izvr{i potrebna merewa, nacrtaj tablicu kako je pokazana i popuni Za koli~nike L : 2r si dobio ove brojeve: 3;3,1; 3,14; itd., {to zavisi od preciznosti merewa.

2×r L L : 2r

Matemati~ari su re{avawem ovog problema do{li do slede}eg zakqu~ka: Za koji bilo krug, koli~nik obima L i dijametar 2r je postojan broj. Taj broj je iracionalni i pribli`no iznosi: 3,14159.. Se ozna~uva sa gr~kom bukvom p ( ~ita se: "pi#) Zna~i da za svaki krug va`i: L : 2r = p, t.j. L = 2rp.

Uo~i i upamti! Obim kruga je jednak proizvodu wegovog dijametra i broja p.

L = 2rp

p » 3,14

U prakti~nom izra~unavawu, obi~no se uzima: p » 3,14. Anti~ki matemati~ar Arhimed za broj p je uzeo

.

Obim i povr{ina kruga

159

5.

Izra~unaj obim kruga sa : a) radijusom 4 cm; b) dijametrom 10 cm. a) L = 2 Ă— r Ă— p = 2 Ă— 4 Ă— p Âť 8 Ă— 3,14; L Âť 25,12 cm.

6.

b) L = 2 Ă— r Ă— p = 10 Ă— p Âť 10 Ă— 3,14; L Âť 31,4 cm.

Obim nekog kruga je 25,12 cm. Koliki je wegov radijus? Uporedi svoje re{ewe sa datim: L = 2 Ă— r Ă— p;

rÂť

= 4;

r Âť 4 cm.

Na crte`u su prikazane tri kru`nice sa radijusima r = 2 cm, centralnim uglovima i odgovaraju}im kru`nim lukovima. B

Koliki deo du`ine kru`nice predstavqa du`inu kru`nog luka:

P

(

O

r = 2 cm

A

r=

(

(

AB, CD i EF ?

2c m

B 7.

L L 2r = p ; r = ; 2p

C

60

o

r = 2 cm Q 180o

F

D

(

(

(

Izra~unaj du`ine kru`nih lukova

E

AB, CD i EF ?

8.

Kako }e{ da izra~una{ du`inu 6 kru‘nog luka u kru`nici sa radijusom r, ako odgovaraju}i centralni ugao je a? Razgledaj crte` i prati razmi{qawe. Zamisli da je kru`nica podeqena na 360 jednakih delova-kru`ni lukovi sa centralnim uglom 1o.

6

r a

1o

O Du`ina 61 kru`nog luka sa centralnim uglom od 1o je 360 puta SU US mawa od du`ine kru`nice, tj. 61 = ili 61 = . Ako kru`nom luku odgovara ugao a, tada wegova du`ina }e biti a puta ve}a od 61, t.j. US 6= Ă— a.

Uo~i i upamti! Du`ina kru`nog luka se izra~unava formulom:

160

Tema 3. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

6=

USD .

61

9.

U kru`nici sa radijusom r = 12 cm, izra~unaj du`inu kru`nog luka sa centralnim uglom: a) a = 30o; a) a = 30o 45Â’. Uporedi svoje re{ewe sa datim: U SD ˜ S ˜ = = 2p; 6 = 2p cm ili 6 Âť 6,28 cm. a) 6 =

F F 10.

R

§ ¡ b) Prvo treba a = 30o 45' da pretvori{ u stepene; 45' = ¨ ¸ = 0,75o, pa a = 30,75o; Š š ˜ S ˜ 6= = 2,05p; 6 = 2,05p ili 6 Âť 6,437 cm.

rp Kako mo`e{ po formuli 6 = 180 da izra~una{: a) radiusot r, ako su dati a i 6; b) centralni ugao a, ako su dati r i 6?

rpa Uporedi svoje re{ewe sa datim. Od 6 = 180 dobija se rpa = 1806, pa:

F 11.

r=

" . rp QB

F

a=

" . rp QU

Izra~unaj: a) radijus kru`nice, ako centralnom uglu od 40o pripada kru`ni luk du`ine 6,28 cm; b) centralni ugao, ako su dati r = 6 cm i 6 = 7,85 cm.

Treba da zna{: Da objasni{ {ta predstavqa broj p; Da napi{e{ obim kruga uz pomo} radijusa i broja p;

Koliki je koli~nik od obima i dijametra datog kruga? Kolika treba da bude du`ina gvozdenog pruta da bi od wega mogao da se napravi obru~ sa radijusom 45 cm? Stranica kvadrata je 4 cm. Izra~unaj du`inu luka AB upisane kru`nice. Koja je du`ina AMB

B M

(

Da odredi{ jednu od veli~ina: du`inu kru`nog luka , centralni ugao, radijus, ako su poznate druge dve.

Proveri!

O

Obim i povr{ina kruga

A

161

Zadaci 1. Izra~unaj obim kruga sa radijusom: a) 3 cm; b) 0,5 dm; v) 4

9. Obim jednog kruga je 62,8 cm. Koliki je obim kruga ~iji je radijus mawi za 1 cm?

cm.

2. Izra~unaj radijus kruga ako je obim: a) 31,4 cm; b) 18,84 cm; v) 8p cm.

3. Nacrtaj dva razli~ita kruga, napravi potrebna merewa i izra~unaj im obime.

4. Prepi{i i popuni tablicu u kojoj su

10. Izra~unaj du`inu 6 kru‘nog luka u kru`nici sa radijusom r = 18 cm i centralnim uglom a) 15o;

b) 120o;

v) 25o36'.

11. Odredi centralni ugao ako: a) r = 5 cm, 6 = 6,28 cm; b) r = 3 cm, 6 = 2p cm.

dati neki elementi kruga. r cm

3

L cm

12. Izra~unaj radijus kru`nice ako su dati:

3,14 10p 25,12

p

5. Izra~unaj du`inu kru`nice

a) upisane u kvadratu sa stanicom 11 cm; b) opisane oko kvadrata sa stranicom 11 cm.

6. Koliki }e biti dijametar obru~a

napravqenog od metalne lente du`ine 31,4 dm?

a) a = 150o, 6 = 31,4 cm; b) a = 80o, 6 = 18 cm.

13. Dijametar to~ka jedne lokomotive je 1 m. Za 2,5 minuta on se okre}e 500 puta. Izra~unaj brzinu kretawa lokomotive.

14. Tetiva jedne kru`nice je jednaka

radijusu. Izra~unaj du`inu maweg odgovaraju}eg kru`nog luka, ako je radijus 2,5 cm.

7. Izra~unaj

15. Periferni ugao od 37o30' zahvata

8. Krug obima 25,12 cm je upisan u

16. Kru`ni luka koji odgovara centralnom

du`inu ekvatora smatraju}i ga za kru`nicu) ako je radijus Zemqe 6 370 km.

kvadratu. Izra~unaj obim i povr{inu tog kvadrata.

162

kru`ni luk du`ine 15,7 cm. Izra~unaj radijus kru`nice.

uglu od 150o u kru‘nici sa radijusom 12 cm, smotan je u kru`nicu. Izra~unaj radijus kru`nice.

Tema 3. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

20

POVR[INA KRUGA, KRU@NOG ISE^KA I KRU@NOG PRSTENA

Podseti se! Pover{ina

A 1.

pravilnog mnogougla se

Pravilni mnogougao podeli na trouglove, h kao na crte u, i zatim povr{inu mnogougla izra~unaj kao zbir povr{ina trouglova, t.j. P =

QDK = Lh.

r

O Kako da na|emo na~in (formulu) kojom }emo odrediti broj koji predstavqa povr{inu kruga?

izra~unava formulom P = Lh, gde je obim L je perimetar, a h je apotema. Kako se ta formula dobija?

Dat je krug sa radijusom r.

Primeni}emo sli~an postupak kao za pravilne mnogouglove. Uvidi ideju i postupak. Mo emo li krug da podelimo na trouglove? je da F O~igledno ne mo emo, ali

O h

mo`emo da

upi{emo pravilni mnogougao podeqen na skladne ravnokrake trouglove, kao na crte`u.

F

Pravilni mnogougao upisan u krugu ima povr{inu P1 =

L h. 1 1

Zamisli da je u krugu upisan pravilni mnogougao sa jo{ vi{e stranica (kao na crte`u). On bi imao obim L2,, apotemu h2 i povr{inu P2 Procenite i doredite po veli~ini po~ev{i od najmaweg: a) obim L1 i L b) radijus r kruga h1 i h2. Ako broj stranica upisanog pravilnog mnogougla se neograni~eno pove}ava, tada:

F Obim mnogougla se zanemarqivo razlikuje od obima kruga; F Apotema mnogougla bi bila pribli`no jednaka radijusu kruga. F Po{to obim kruga je L = 2pr, mo`emo da zakqu~imo da: Povr{ina R kruga mo`e da se izra~una formulom:

P=

2p / U Q U U = ,

t.e.

P = r2p

Obim i povr{ina kruga

163

Na primer, povr{ina kruga sa radijusom r = 3 cm e: P = r2 p;

2.

P = 32p » 3 × 3 × 3,14 = 28,26; P » 28,26 cm2.

Prepi{i i popuni slede}u tablicu:

r cm

3

P cm2

28,26

2

10

0,5

Deo kruga (na crte`u) ograni~enog sa radijusima OA, OB i kru`nim lukom AB se zove kru`ni ise~ak.

B

B

Ugao AOB = a je centralni ugao kru`nog ise~ka.

3.

1

O

a A

Nacrtaj krug sa radijusom 3 cm, a zatim u wemu kru`ni ise~ak sa centralnim uglom: a) 90o; b) 60o; v) 180o. Kru`ni ise~ak sa centralnim uglom od 180o, je u stvari polukrug, pa wegova povr{ina je jednaka polovini povr{ine kruga. Koliki deo povr{ine kruga je povr{ina kru`nog ise~ka sa centralnim uglom: a) 90o; b) 60o? Izra~unaj povr{inu svakog kru`nog ise~ka.

4.

Razmisli kako }e{ izra~unati povr{inu kru`nog ise~ka koji ima radijus r i centralni ugao a.

r O

Razgledaj crte` i zamisli da je krug podeqen na 360 jednakih kru`nih ise~aka, svaki centralni ugao 1o .Uvidi slede}e:

F Povr{ina P

1

a

1o

jednog takvog kru`nog ise~ka je 360 - ti deo povr{ine kruga.

t.j. P1 =

F Ako

U S .

je centralni ugao a, tada kru ni ise~ak ima a

od P1, t.j. P = P1 × a =

puta ve}u povr{inu

Q U p × a.

Zapomti U krugu sa radijusom r, povr{ina kru nog ise~ka sa centralnim uglom a se izra~unava formulom

5. 164

Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka ako r = 3 cm i a = 40o.

Tema 3. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

U S P= ×a

6.

U krugu sa radijusom 4 cm, dat je kru`ni ise~ak ~iji kru`ni luk ima du`inu 6 = 6,28 cm.. Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka.

O

Podseti se da se du`ina kru`nog luka izra~unava sa:

r

U QB rpa 6= i uvidi da je povr{ina kru`nog ise~ka

7.

P=

U ˜ U SD U SD U U ˜A U ˜A U SD = = Ă— = ; P= ; ˜

P=

˜ = 2 Ă— 6,28 = 12,56; P = 12,56 cm2.

Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka, ako: a) r = 2 cm, 6 = 3,14 cm;

8.

6

b) r = 3 cm, 6 =

pQ cm.

Nacrtaj dva koncentri~na kruga, jedan sa radijusom r1 = 2, a drugi sa r2 = 4 cm. Izra~unaj razliku wihovih povr{ina. B Dva koncentri~na kruga jedan sa radiusom r1 = 4& i r2 = 2% (r1 < r2) ograni~uje deo ravni koja se zove kru`ni prsten (obojeni deo na crte`u). Povr{ina kru‘nog prstena je jednaka razlici povr{ine krugova., P = U S U S ;

9.

r2 O r 1

A

P = U U S

Izra~unaj povr{inu kru`nog prstena, ako radijusi krugova su 6 cm i 5 cm .

Treba da zna{: Da izra~una{ povr{inu: kruga, kru`nog ise~ka i kru`nog prstena.

Proveri! Strana jednog kvadrata je 2,5 cm. Kolika je povr{ina upisanog kruga? Izra~unaj centralni ugao i povr{inu kru`nog ise~ka ako je radijus 6 cm, a odgovaraju}i luk 6 = 3,14 cm.

Obim i povr{ina kruga

165

Zadaci 1. Izra~unaj povr{inu kruga sa: a) radijusom 8 cm; b) dijametrom 9 cm; v) obim 18,84 cm.

2. Odredi radijus kruga povr{ine 200,96 cm 2 .

10. Koliko procenata od povr{ine celog kruga je povr{ina kru`nog ise~ka sa centralnim uglom 108o?

11. Izra~unaj povr{inu kru`nog prstena koji formiraju opisana i upisana kru`nica: a) kvadrata sa stranicom a = 4 cm; b) ravnostranog trougla sa stranicom 2 cm;; v) pravilnog {estougla sa stranicom 6 cm.

3. Koliko puta }e se pove}ati povr{ina kruga ako wegov radijus se uve}a 10 puta?

4. Dve kru`nice, jedna sa radijusom 6

cm, a druga 2 cm, se iznutra dodiruju. Izra~unaj povr{inu figure ograni~ene tim kru`nicama?

5. Katete pravouglog trougla su 9 cm i 12 cm. Izra~unaj povr{inu i obim opisanog kruga oko trougla.

6. Data su dva kruga sa radijusima 6 cm i 8 cm. Na|i radijus kruga ~ija je povr{ina jednaka: a) zbiru wihovih povr{ina; b) razlici wihovih povr{ina.

7. Izra~unaj povr{inu kru`nog ise~ka, ako su dati a) r = 6 cm i a = 45o; b) r = 4,8 cm i a = 80o; v) r = 9 cm i a = 45o 30'; g) r = 7,8 cm i 6 = 10 cm.

8. Kru‘ni ise~ak sa radijusom 10 cm ima

Poku{aj ...

12. Na crte`u je dat ravnokraki pravougli

DABC.. Iznad hipotenuze AB kao iznad dijametra, opisan je polukrug, a kru`ni luk sa centrom C i radijus SA. Poka`i da o b o j e n i c delovi imaju A B j e d n a k e povr{ine. a a

C 13. Obojene figure nad katetama su nazvane Hipokratovi polumeseci. One su ograni~ene polukrugovima kojima su dijametri stranice pravouglog trougla EFG. Doka`i da zbir povr{ina polumeseca je jednak povr{ini trougla.

povr{inu od 78,5 cm2. odredi centralni ugao.

G

9. U krug sa radijusom 6 cm je dat kru`ni

ise~ak sa centralnim uglom od 70o. Izra~unaj du`inu wegovog luka i wegovu povr{inu.

166

a

b

E

Tema 3. Kru`nica i mnogougao. Povr{ina

c

F

RAD SA PODACIMA

21

SEKTORSKI DIJAGRAM

A 1.

Podseti se! Podaci koji su dati u procentima ili kao delovi celog, naj~e{}e se predstavqaju sektorskim dijagramom.

Uvidi!

Podaci o na~inu putovawa do {kole 90 u~enika su dati u slede}oj tabeli.

Na~in bicikl AutoAutoPe{ice Taksi putovawa bus mobil Broj 11 33 8 26 12 u~enika

Ovi podaci se mogu predstaviti sektorskim dijagramom. Evo kako }e{ izra~unati ugao u sektorskom dijagramu. Puni ugao ima 360o a broj u~enika je 90. 360o : 90 = 4o. Ugao od 4o dijagramu odgovara jednom u~eniku. Koliki }e ugao odgovarati u~enicima koji idu pe{ice? Po{to 11 u~enika idu pe{ice, sledi da 11 × 4o = 44o i 44o je ugao koji odgovara delu u~enika koji idu pe{ice u {kolu. Na~in putovawe

Broj u~enika

Ugao u sektorskom dijagramu 11 × 4

44

bicikl

26

26 × 4

104o

Autobus

33

33 × 4

132

Taksi

12

12 × 4

48

Automobil

8

8×4

32o

Ukupno

90

90 × 4

360o

Taksi

o

o

Bicikl o

11

Automobil

32

Pe{ice

o

48o 44o

Pe{ice

104o 132o

Autobus

Upamti postupak Da bi se podaci predstavili sektorskim dijagramom treba: 1o da se odredi ukupni broj podataka koji treba da se predstave; 2o da se podeli 3600 (punog ugla) sa dobijenim ukupnim brojem; 3o svaki podatak da se pomno`i sa dobijenim koli~nikom, ~ime se dobija ugao sektora za taj podatak

Rad sa podacima

167

2.

Podaci o vremenu u koje po~iwu sa radom 1 800 zaposlenih u konfekciji ,,Moda,,. Pretstavi podatke sa sektorskim dijagramom. Uvi|a{ da: koliko je ve}i sektor u dijagramu, toliko je ve}i i broj podataka predstavqenih sa tim sektorom. Ako je u sektorskom dijagramu poznat broj podataka predstavqenih sa jednim od sektora, ili ukupni broj podataka, lako se mo`e utvrditi broj u drugim sektorima.

B

3.

Vreme

Broj

Izme|u 5 h i 6 h

240

Izme|u 6 h i 7 h

180

Izme|u7 h i 8 h

768

Izme|u 8 h i 9 h

612

Ukupno

1800

U biblioteci ima 720 kwiga. One su grupirane kao: lektire, nau~ne kwige, uxbenici, priru~nici i slikovnice. Podaci su predstavqeni sektorskim dijagramom.

Lektire

60o 70o

40o 80o Nau~ne

Prira~nici

Uxb eni ci

Slikovnice

ukupno je bilo 720 kwiga. Zna~i 360:720=0,5, jednoj kwizi odgovara 0,5o od kruga. Sektor za uxbenike ima ugao 60 o ,zna~i 60:0,5=120, odnosno bilo je 120 uxbenika. Odredi broj priru~nika, nau~nih kwiga i slikovnica u {kolskoj biblioteci Koliko je stepeni ugao sektora koji predstavqa lektire? Koliki je broj lektira u biblioteci?

Zadaci 1. Podaci u tabeli pokazuju na koji se na~in zaga|uju okeani 1% = 3,6o Zaga|iva~i

Procent

Zaga|ivawe iz reke

54%

Zaga|ivawe iz vazduha

33%

Zaga|ivawe od ribarstva

12%

Proizvodwa nafte

1%

Ukupno

100%

Predstavi podatke sektorskim dijagramom

168

2. U jednom sportskom centru u~laweni su qudi razli~ite uzrasti, i to: Mla|i od 20 godina 30 lica Od 20 do 29 godina 15 lica Od 30 do 39 godina 29 lica Od 40 do 49 14 lica Stariji od 50 godina 12 lica

Koliko ukupno ~lanova ima sportski centar? Podatke predstavi sektorskim dijagramom

Tema 3. Kru`nica i mnogougoonik. Povr{ina

3. Na sektorskom dijagramu su predstavqeni podaci razne

vrste goriva potro{enog na jednoj benzinskoj pumpi. Bilo je nato~eno 2415 6 dizel goriva.

Benzin

230o

Koliko je bezolovnog benzina prodato?

105o B e

Koliko je benzina prodato? Koliko je ukupno goriva prodato?

4.

zo lo ve n

Dizel

Jedna turisti~ka agencija je sakupila podatke o interesu za godi{wi odmor. Pitano je 720 ispitanika i odgovori su predstavqeni sektorskim dijagramom.

Doma

Ohrid

Izmeri uglove svakog sektora; Po koliko se ispitanika izjasnilo o svakom mestu za godi{wi odmor?

22

ja ci r Tu

Koliko se ispitanika izjasnilo za godi{wi odmor izvan na{e zemqe?

Bugarija

Koliko stepeni predstavqa jedan ispitanik?

Grcija

ARITMETI^KA SREDINA. MEDIJANA. MODA. RANG

Podseti se!

A

^lanovi likovne sekcije su pitani po koliko ~asova su radili svoje posledwe crte`e. Oni su odgovorili: 2,3,4,3,5,10,5,6,3. Re|amo podatke po~ev{i od najmawe brojevne vrednosti: 2,3,3,3,4,5,5,6,10. Podatak koji se naj~e{}e pojavquje je broj 3. Broj 3 je moda za ove podatke. Broj 4 je podatak koji se nalazi u sredini nize posle re|awa. Broj 4 je medijana za ove podatke.

Aritmeti~ka sredina, medijana i moda su vrednosti koji se koriste za opisivawe ,,centra,, tj. sredina nize podataka. Oni se zovu mere centralne tendencije.

1.

Aritmeti~ka sredina ili prose~na vrednost se izra~unava tako {to se zbir brojevne vrednosti nize podataka podeli sa brojem podataka. Izra~unaj aritmeti~ku sredinu nize: a) 8, 11, 14, 8, 9;

= ,

b) 18, 14, 18, 14, 18, 17;

Âť 4,55, vrednost 4,55 je aritmeti~ka sredina za ove podatke.

g) 21, 46, 29, 27, 42, 34, 25;

v) 9, 12, 10, 9, 9, 11, 12, 11; d) 9, 8, 9, 8, 9, 8.

Rad sa podacima

169

2.

Podatak koji se nalazi u sredini nize, kada se ~lanovi nize pore|aju po~ev{i od najmaweg se naziva medijana. Odredi medijanu u nizu pod a,bi g u zadatku 1 Pazi, medijana za nizu parnih brojeva podataka je aritmeti~ka sredina dva podatka u sredini.

3.

Podatak koji se naj~e{}e javqa u jednoj nizi podataka se zove moda. Jedan skup podataka mo`e da nema modu, da ima jednu modu ili vi{e od jedne mode. Odredi modu u nizama a,b,v,g,d u zadatku 1.

4.

Data je niza brojeva: 61,57,55,60 i 62. Odredi aritmeti~ku sredinu i medijanu. Broj 62 zameni sa 262 i za tako dobijeni niz odredi aritmeti~ku sredinu i medijanu. U datom nizu u po~etku, zameni broj 55 sa 5i za takav niz odredi aritmeti~ku sredinu i medijanu. Uporedi vrednosti dobijenih aritmeti~kih sredina i medijana. Na {ta vi{e uti~e ve}a ili mawa vrednost podatka: aritmeti~ku sredinu ili medijanu?

5.

Napi{i: Nizu od 5 brojeva ~ija je medijana 7, a moda 6; Niz od 5 brojeva sa medijanom 8 i aritmeti~kom sredinom 7; Niz od 5 brojeva sa modom 4 i aritmeti~kom sredinom 6.

6.

B

Napi{i 6 brojeva koji formiraju niz u kojem medijana je broj mawi od 10, aritmeti~ka sredina nize je 10 i najve}i od {est broja je 25.

Podseti se! Jednog dana je u Bitoqu bila izmerena najvi{a temperatura 17oC, a najni`a - -9oC. Razlika izme|u najvi{e i najni`e temperature je bila 26oC 17 - (-9) = 26. Razlika izme|u najve}e vrednosti podataka i najmawe vrednosti podataka se zove rang (opseg). Rang = (najve}a vrednost)- ( najmawa vrednost)

170

Tema 3. Kru`nica i mnogougoonik. Povr{ina

7.

Uvidi primer Dat je niz brojeva: 29,61,17,80,32. Najmawa vrednost je 17

Najve}a vrednost je 80

Odredi rang nizi brojeva: a) 107,15,36,94,27,100.;

8.

rang=80-17=63

b)3,26; -0,24; -5,15; 1,13; 7.

Deset je u~enika na testu iz matematike osvojilo slede}e bodove: U~enik

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

U8

U9

U10

Bodovi

78

80

65

56

87

94

29

63

55

56

Odredi rang izme|u u~enika sa najve}im osvojenim bodovima i u~enika sa najmawim brojem bodova. Posebno za svakog u~enika odredi rang izme|u broja osvojenih bodova i 100 bodova (najve}i broj bodova predvi|enih za test).

9.

Osamnaest atleti~ara se takmi~ilo na 20 km. Wihova vremena izra`ena u minutima su slede}a: 96, 90, 115, 112, 111, 96, 100, 112, 117, 90, 98, 100, 101, 95, 99, 110, 98, 119. Koje je postignuto najboqe vreme na trci? Koje je najslabije vreme postignuto na trci?

Zadaci 1.

U 7 jednakih gajbi je bilo breskve. Broj breskva u svakoj gajbi_odgovaraju}e je bio: 35,45,46,37,55,37,32. Koliko je prose~no broj breskvi u jednoj gajbi? Odredi medijanu. Koji je broj moda? Koliki je rang?

2.

Sa 5 testa, Tina je osvojila prose~no 66 boda. Da bi imala peticu, wen prosek treba da bude 70 bodova sa 6 testa. Koliko najmawe bodova na {estom testu treba Tina da osvoji?

3.

Jovan i Ilija su se takmi~ili u pikadu sa po 6 strelica. Wihovi rezultati (rastojawe od centra u centimetrima) su dati u tabeli. Strelica

1

2

3

4

5

6

Jovan

10

4

5

5

7

8

Ilija

12

11

5

6

10

6

Izra~unaj prose~no rastojawe do centra za svakog takmi~ara. Odredi rang svakom takmi~aru. Koji je takmi~ar uspe{niji? Objasni odgovor.

Rad sa podacima

171

U^IO SI O KRUGU, MNOGOUGLU I WIHOVIM POVR[INAMA PROVERI SVOJE ZNAWE

1.

Zbor jednog perifernog ugla i wegovog odgovaraju}eg centralnog ugla je 180o. Odredi veli~inu uglova.

2.

Dat je o{trougli trougao ABC. Polukrug nacrtan nad stranicom AB se~e druge dve stranice u ta~kama M i N. Konstrui{i ortocentar DABC samo sa lewirom

3.

U tetivnom ~etvoruglu ABCD se poznati A = 108o i B = 98o. Na|i C i D.

4.

Za tangentni ~etvorougao ABCD je poznato $% = 7 cm, %& = 12 cm,

9.

Koliko daski du ine 3 m i {irine 25 cm je potrebno za pokrivawe poda pravougaonog oblika, dimenzija 6 m i 3,5 m?

10. Izra~unaj povr{inu kvadrata sa dijagonalom 6 cm.

11. Stranice jednog romboida su a = 12 cm

i b = 8 cm. Visina prema stranici a je 4 cm. Kolika je visina prema stranici b?

12. Izra~unaj povr{inu pravouglog trougla sa katetom hipotenuzom 30 cm.

24

cm

i

$' = 5 cm. Na|i &' .

13. Izra~unaj povr{inu ravnokrakog trapeza sa osnovicama 18 cm i 10 cm, a krak 5 cm.

5.

Koliko stranica ima pravilni mnogougao, ako wegov unutra{wi ugao ima : a) 135o; b) 150o; v) 140o?

6.

Nacrtaj pravilni apotemom h = 2,5 cm.

7.

Koja kateta je ve}a, a ili b, kod pravougaonog trougla datog sa a = 7 dm i c = 25 dm?

15. Koliko puta }e se okrenuti to~ak

Odredi obim ravnokrakog trougla sa osnovicom a = 1 dm. i visine osnove h = 1,2 dm.

16. U jednom rombu obima 48 cm je upisan

8.

172

petougao

sa

14. Pravilni devetougao sa stranicom a

= 8 cm ima povr{inu P = 395,28 cm2. Koliko je wegova apotema?

jednog traktora, koji ima radijus 40 cm, na putu od 2512 m?

krug povr{ine 25p cm 2 . Izra~unaj povr{inu romba.

Tema 3. Kru`nica i mnogougoonik. Povr{ina

TEMA 5.

FUNKCIJA, PROPORCIONALNOST

PRAVOULI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI 1. Dekartovi proizvod 174 2. Koordinatna ravan 176 PRESLIKAVAWE (FUNKCIJA) 3. Relacije 4. Preslikavawe (funkcije) 5. Na~ini zadavawe preslikavawa

181 183 187

PROPORCIJA 6. Razmer 7. Proporcija 8. Geometrijska sredina. Produ`ena proporcija PROPORCIONALNE VELI^INE 9. Pravo proporcionalne veli~ine 10. Obratno proporcionalne veli~ine 11. Prosto trojno pravilo Proveri svoje znawe

190 195 199 202 206 210 213

3:1

Pravougli

koordinatni

sistem

u

ravni

173

PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI

1

DEKARTOVI PROIZVOD

A

Podseti se! U V razred si u~io... Par u kojem je a prvi element, a b je drugi element se zove pore|ani par i ozna~ava se sa (a, b).

Pore|ani par se grafi~ki predstavqa strelicom od prve do druge komponente.

Na crte`u strelicama su predstavqeni pore|ani parovi (a, b), (c, c) i ( h, g). b

Elementi pore|anog para se zovu komponente. Dva pore|ana para su jednaka ako odgovaraju}e komponente su im jednake. Odredi x i y tako da (x, 2) = (5, y). Dekartovi proizvod a A x B skupova A i B je skup svih pore|anih parova tako da je prva komponenta element skupa A, a druga B.

a

1.

Skup A x A ili A se zove dekartovi kvadrat. Neka A= {a, b}. Odredi A2. 2

g

c

Uvidi pore|ane parove na crte`u

Neka A = {2, 3}, B = {5, 10, 15}. Odredi skup A x B i predstavi ga na tabelaran na~in.

2.

h

A

2

1

4

3

Napi{i sve pore|ane parove.

B

6 8

5

Da li je predstavqen pore|ani par (4,5)? Iz kog skupa su prve komponente pore|anih parova? Da li ima pore|ani par ~ija prva komponenta je iz skupa B?

Dati su skupovi A = {a, b} i B = {m, n, p}. Predstavi ove skupove venovim dijagramom. Elemente dekartovog proizvoda A x B predstavi strelicom. Uvidi to na crte`u i uporedi sa svojim re{ewem.

ovako predstavqen dekartovi proizvod, ka`emo da je dat F Za sa grafom. proizvod grafi~ki mo`e da se predstavi i F Dekartovi koordinatnom {emom na slede}i na~in:

174

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

A

a b

m n p

B

B

m n p

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

Prakti~nije:

AxB

B m n

a

b

p

A

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

b

a

3.

A

Dekartovi proizvod G x H skupova G = {1, 2, 3, 4} i H = {a, b} predstavi na tabelarni na~in;

4.

AxB

grafom;

koordinatnom {emom.

U koordinatnoj {emi dekartovog proizvoda A x B, su napisani elementi (1, n), (2, m) i (3, p).

AxB

B p

(3, p) (1, n)

n

Napi{i elemente skupa A i skupa B.

(2, m)

m

Napi{i dekartovi proizvod A x B na tabelarni na~in.

1

Uporedi svoje re{ewe sa datim:

2

A

3

F Element (1, n) Î A x B, napisanog u {emi, pokazuje da 1 Î A i n Î B. F Na sli~an na~in uvidi da 2 Î A, m Î B, 3 Î A i p Î B. Zna~i A = {1, 2, 3}, B = {m, n, p}. F A x B = {(1, m), (1, n), (1, p), (2, m), (2, n), (2, p), (3, m), (3, n), (3, p)}. 5.

Predstavi grafom i koordinatnom {emom dekartovi kvadrat skupa: a) M = {1, 2}; b) P = {a, b, c}. Uo~i Graf i koordinatnu {emu M2 i uporedi svoje re{ewe. M M2 1

2

2 1

(1, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(2, 1)

1

6.

2

M2

M

Dat je dekartovi proizvod K x L = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Napi{i tabelarno skupove K i L.

Pravougli

koordinatni

sistem

u

ravni

175

Treba da zna{:

Proveri!

Grafi~ki da predstavi{ pore|ani par;

Koji su pore|ani parovi dati na crte`u?

Da predstavi{ dekartovi proizvod sa grafom i koordinatnom {emom.

Predstavi grafom dekartovi kvadrat P2 skupa P = { 1, 5}.

Zadaci

m

a

n

b

4. Napi{i skupove A i V prema

1. Nacrtaj Graf svakog pore|anog para

koordinatnoj {emi proizvoda A x B.

(1,5), (m,2) i (4,4).

2. Neka su A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Napi{i elemente skupova A i B.

B

dekartovog

(3, p) (a, 2)

3. Predstavi koordinatnom {emom dekartovi proizvod skupova A = { ยก, *, D} i B = {d, m, p, s}.

2

1

4

m

5A

n

KOORDINATNA RAVAN

Podseti se! -2

-1

O

E

A

0

1

2

Kako se zove broj pridru`en datoj ta~ki sa brojevne ose. A

a

-3

Na brojevnoj pravi strelicom je ozna~en pozitivni smer. Brojevna prava se zove i brojevna osa.

-2

B -1

0

C 1

2 3 a 2

Uvidi ta~ku A na brojevnoj osi. Ona ima koordinatu -2, tj. A(-2).

Ta~ki O je pridru`en broj 0, a ta~ki A broj 2.

Napi{i ta~ke V i S sa wihovim koordinatama.

Du`

Pretstavi

OE

2( = 1.

176

2

je

jedini~na

du`,

tj

ta~ke

P(3, 4) na brojevnoj osi.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

M(-1

)

i

A

Na crte`u su prikazana imena u~enika jednog razreda kako sede u u~ionici. Na vertikalnoj liniji OV su ozna~eni redni brojevi redova, a na horizontalnoj liniji OA - redni brojevi kolona. Kako se mo`e predstaviti mesto na kojem sedi odre|eni u~enik? Gde sedi Jovan? Kako }e{ predstaviti wegovo mesto?

Jovan sedi u 3 koloni i 2 redu. To se predstavqa pore|anim parom (3,2).

B 7

Bojan

Dare

Done

Mirko

6

Mare

Pero

Mile

Zoran

5

Vlado

Nada

Vera

Petko

4

Maja

To{e

Ice

Darko

3

Kire

Eli

Ema

Donka

2

Mira

Alek

Jovan

Rajna

1

Igor

Ivo

Ana

Goran

1

2

3

4

O

A

Odredi mesto u~enika prema koloni i redu i napi{i ga kao pore|ani par: a) Igor; b) Nada; v) Done; g) Darko. Imenuj u~enika koji sedi na mestu: a) (2,1); b) (2,3); v) ( 4,7); g) ( 3,5). Opi{i polo`aj mesta na kojima sede u~enici Ice i Donka. Napi{i pore|ane parove na tim mestima. [ta prime}uje{ o tim parovima?

y

Napi{i mesto kao pore|ani par na kom sedi{ u svojoj u~ionici.

2.

Na crte`u su date dve uzajamno normalne brojevne ose x i y i z, jednakih jedini~nim du‘ima. One se seku u ta~ki O. U ravni osa su objekti (ta~ke) A,B,C,D, i E. Putawa do svakog objekta ,,polazi,, od O. Ona je ozna~ena bojom.

x

Uvidi putawe do A je: 3 jedinice u F Putawa pozitivni smer ose h (tj. +3), a

zatim 2 jedinice u pozitivnom smeru ose u (tj. +2). Pravougli

koordinatni

sistem

u

ravni

177

F Mo`e{ skra}eno da napi{e{ A(+3, +2) ili A(3,2). F Putawa do V napisana skra}eno je V(+1, +3) ili V(1,3). do S:2 jedinice u negativnom smeru ose h (tj. -2), a zatim 3 jedinice u F Putawa pozitivnom smeru ose u (tj. +3). F Skra}eni zapis: S(-2,+3) ili S(-2,3). Komponente pore|anog para (-2,3) se zovu koordinate ta~ke S.

Napi{i skra}eno putawe do objekata D i E. Pre|eni put ozna~ujemo sa + ili - u zavisnosti od toga da li se kre}emo u pozitivnom ili negativnom smeru ose.

Zapamti! y

M

M2

Za ta~ku P koja ima apscisu a i ordinatu b zapisujemo P(a, b).

apscisa

Za ta~ku M (na crte`u) ka`emo da ima apscisu +4 i ordinatu +3. Zapisujemo M(+4, +3) ili samo M(4, 3).

O

ordinata

Koordinate ta~ke se zovu apscisa i ordinata. One predstavqaju pore|ani par u kome je apscisa prva komponenta, a ordinata druga.

M1

x

Uzajamno normalne brojevne ose se zovu koordinatne ose, a wihov presek se zove koordinatni po~etak. Jedna koordinatna osa se zove apscisna osa ili h x-osa, a druga ordinatna osa ili y -osa. Dve uzajamno normalne brojevne ose, su jednake jedini~ne du`i i sa zajedni~kom nula ta~kom (koordinatni po~etak), formiraju celinu (sistem). To se zove dekartovi pravougaoni koordinatni sistem (prema Reneu Dekartu- francuskom matemati~aru, fizi~aru i filozofu koji je prvi uveo upotrebu ovog sistema). Skra}eno se ka`e koordinatni sistem i ozna~ava se : O xy.

B

Ravan u kojoj je dat dekartovi pravougaoni koordinatni sistem se zove koordinatna ravan. Koordinatne ose dele ravan na ~etiri prava ugla, koji su numerisani kao na crte`u. One se zovu kvadranti.

II

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

y

(- , +) -3 -2 -1

III

(- , -) 178

Rene Dekart 1596 - 1650

0

3 2 1

I

(+ , +)

1 2 3 -1 -2 -3

IV

x

(+ , -)

Zapamti! U I kvadrantu: apscisa i ordinata su pozitivne. U II kvadrantu: apscisa je negativna, a ordinata pozitivna. U III kvadrantu: apscisa i ordinata su negativne. U IV kvadrantu: apscisa je pozitivna, a ordinata negativna.

3.

Odredi u kom kvadrantu se nalazi svaka ta~ka A(+3, +5), B(-2, -1), C(+4,2; -6 D(-1, +5).

),

Uvi|a{ da:

F Apscisa i ordinata A su pozitivne, tj. ta~ka A se nalazi u I kvadrantu. Ta~ka B se nalazi u III kvadrantu. Objasni za{to. Postupi sli~no sa ta~kama C i D.

Ovo je va`no Svakoj ta~ki u koordinatnoj ravni odgovara samo jedan par koordinata. Svakom paru koordinata odgovara samo jedna ta~ka iz koordinatne ravni.

4.

Predstavi

ta~ke

u

koordinatnoj

ravni

y

A(-1, -2), B(- , 2), C(2, -1), D(2,5; 1,5). Uporedi svoje re{ewe sa datim. Ta~ke iz x-ose imaju ordinatu 0.

B

2

D

1,5

1

-2

-1

Ta~ke iz y-ose imaju apscisu 0. Koordinatni po~etak ima apscisu 0 i ordinatu 0.

A

0 -1

1

2 2,5 3 x C

-2

5.

Predstavi ta~ke u koordinatnoj ravni A(0, -3), B(-2, 0), C(0, 0), D(0, 1), E(2, 0).

6.

Odredi koordinate ta~aka A1 i B1 koje su simetri~ne sa ta~kama A(-2,5) i B(4,7) u odnosu na a) x -osa; b) y -ose. Pravougli

koordinatni

sistem

u

ravni

179

Treba da zna{:

Proveri!

Da objasni{ kako je formiran pravougaoni koordinatni sistem; [ta je koordinatna ravan;

Koja ta~ka R(3,8) ili S (5,1) je bli`a xosi. [ta je koordinatna ravan?

[ta su koordinate ta~ke;

U kom kvadrantu le`i ta~ka A(2,-4)?

Da predstavi{ ta~ku u koordinatnoj ravni.

Na kojoj koordinatnoj osi le`i ta~ka M(0,-1)?

Zadaci 1. Odredi ta~ke u koordinatnoj ravni koje odgovaraju (3, 2);

pore|anim

(-1, -

);

(- , 2);

(-4, 1);

(-3, -1);

(-2,4; 0).

parovima

5. Odredi koordinate ta~aka A,B,C,D,E i F prema crte`u:

y 5

(1, -1);

4

(0, -2);

2. Odredi koordinate ta~ke koja je

simetri~na sa ta~kom M(2,-1) u odnosu na: a) apscisnu osu i ozna~i sa M1; b) ordinatnu osu i ozna~i sa M2; v) koordinatni po~etak i ozna~i sa M3.

A

F

3

E 2 x

1

B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

-1

5

6

D

-2 -3

C

-4 -5

3. Nacrtaj du` AV ako A(-1,3), V(-4,-2).

6. Nacrtaj DABC, a zatim odredi du`ine wegovih stranica ako:

a) A1(-4, 0), B1(0, 1), C1(-1, 3);

4. Nacrtaj trougao ABC, ako:

a) A1(-2, -1), V1(3, -2), S1(-1, 3); b) A2(-3, 0), V2(0, -4), S2(3, 1);

b) A2(-1, -3), B2(4, 0), C2(3, -4).

7. U koordinatnoj ravni predstavi ta~ku M sa apscisom

i ordinatom - .

Zatim nacrtaj DABC: A( , 1), V(-3,

180

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

), S(-2, -3).

PRESLIKAVAWE (FUNKCIJA)

3

RELACIJE

A 1.

Podseti se! Koordinatnom {emom je predstavqen dekartovi kvadrat skupa A = { 1, 2, 3, 4, 5}. A 5 4 3 2 1

R1

AxA R2

1 2 3 4 5

A

Uvidi podskupove R1 i R2 za koje va`i: R1 Ì A x A i R2 Ì A x A. R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Za elemente R1 va`i: prva komponenta je za 1 mawa od druge komponente. Napi{i skup R2. tabelarno. Poka`i neku vezu (relaciju) me|u komponentama u pore|anim parovima skupa R2.

A

Dati su skupovi A = {Dragan, Ilija, Sa{o} i V = {matematika, fizika, hemija, biologija }. Me|u elementima skupova A i B je data veza (relacija):.. ,,ima odli~nu ocenu iz...,,koja je na grafu predstavqena strelicama od A ka B. B Dragan matematika fizika Ilija hemija Sa{o biologija

Koliko elemenata ima dekartovi proizvod A x B i koji su to? Napi{i na tabelarni na~in skup R od pore|anih parova za koje va i relacija,, ima odli~nu ocenu iz ..,,. Predstavi skupove A x B i R u koordinatnoj {emi. Uporedi svoje re{ewe sa datim. B AxB

matematika

Sa{o

biologija

Ilija

Ako podredeniot par pripada R, tada taj pripada A x B, t.j. R Ì A x B.

hemija

Dragan

Da li svaki pore|ani par koji propada R, pripada i AxB? [ta predstavqa skup R za dekartovi proizvod AxB?

R

fizika

A

Preslikavawe (funkcija)

181

Upamti! Koji bilo skup R iz dekartovog proizvoda A x B se zove relacija od A ka V Neka R Í A x B.

pore|ani par (x, y) Î R, ~esto pi{emo x R y; ~itamo: x je u relaciji R sa y. F Ako koji pripadaju R jo{ se naziva grafik relacije R i F Skupovi svih pore|anih5 parova = {(x, y) | x Î A, y Î B i x R y}. ozna~ava se ca 5 , t.j.

Relecija R: "... je mawa za 2 od ...# skupa A = {1, 4, 7, 12} ka skupu B = {3, 6, 14, 20} je pretstavqena grafom.

2. A 1

R

B 3

Predstavi dekartovi proizvod A x B koordinatnom {emom.

4

6

Napi{i pore|ane parove koji su elementi grafika 5 .

7

14

Poka`i da grafik 5 je podskup dekartovog proizvoda A x B.

12

20

3.

Na crte`u je dat skup A x A i relacija R u skupu A. Proveri da li je sa relacijom R predstavqena slede}a veza me|u elementima ,..je mawi od...,, tj. da li R = {(x, y) | x, y Î A i x < y}. Predstavi relaciju grafom

4.

5

(1,5) (2,5)

4

Ax A R

3 2 1 1

2

3

4

5

Jedna porodica ima 5 ~lanova: otac-Mirko, majka-Cveta i deca: Biqana, Jovan i Sa{o. Predstavi grafom relaciju R: a) ,..je majka ..,, b) ,,..je brat ..,,;

Treba da zna{: Da objasni{ {ta je relacija datog skupa A ka datom skupu B; Da predstavi{ datu relaciju sa grafom, grafikonom i koordinatnom {emom.

182

Proveri! U skupu A = {1, 2, 3, 4} je data relacija R: ,,.. je za 2 ve}i od..,,.predstavi relaciju R grafom i grafikonom.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Zadaci 1. Grafom predstavi relaciju R skupa

A = {12, 16, 22, 28, 32} ka skupu B = {17, 21, 27, 33, 37}, ako:

a) R: " < #;

b) R: "... je za 5 mawi od ...#.

2. U skupu A = {a, b, c, d, e} sa grafom je data relacija R. Napi{i grafikon relacije R na tabelarni na~in.

A

a

a) Predstavi relaciju R sa grafom. b) Grafikon relacije predstavi na tabelaran na~in.

4. Pretstavi grafom i koordinatnom {emom relaciju datu sa:

b

5 = {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 5), (1, 5)} od A = {0, 1, 2, 3} kon B = {1, 3, 5}.

e

5. U skupu M = {1, 2, 3, 4, 5} je data relacija c

R sa:

d

5 = {(x, y) | x, y Î M i y = 6 - x}.

3. U skupu S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} je data

a) napi{i grafikon R tabelarno. b) Predstavi relaciju R so grafom. v) Predstavi relaciju R koordinatnom {emom.

relacija R sa:

5 = {(x, y) | x, y Î S i y = 2x}.

4

PRESLIKAVAWE ( FUNKCIJA)

Podseti se! Relacija od A ka V je koji bilo podskup dekartovog proizvoda A x B skupu A i V. Razgledaj relacije R1 i R2. R2 R1 B A A

B

A

1.

Razgleda|eemo samo relacije izme|u dva skupa ~as je svaki elemenat prvog skupa u ralaciji samo sa pojedinih elemenata iz drugog skupa. Od skupa A = {1, 2, 3, 4} prema skupu B = {2, 4, 6, 8, 10} je data relacija R: ... je 2 puta mawa od...

Uo~i koordinatnu {emu i grafom na relaciju. Objasni za koju relaciju R1 ili R2 va`i slede}e: element iz A je u relaciji sa F Svaki elementom B; element iz A je u relaciji F Svaki samo sa jednim elementom iz B.

R

B 10 8 6 4 2

AxB R

1 2 3 4

A

A

Preslikavawe (funkcija)

B

183

Mo`e{ da uvidi{ da je svaki element iz A u relaciji samo sa jednim elementom iz B. Za takvu relaciju se ka`e da je preslikavawe.

Upamti Ako je svaki element iz skupa A u relaciji R samo sa jednim elementom iz skupa B, takva relacija se zove preslikavawe (ili funkcija) od A u B. Ako svaki element iz A ima samo jednu strelicu ka nekom elementu iz B.

Kako od grafa na relaciji R od A ka B da odredi{ je ona preslikavawe? Koja od relacija R1, R2 i R3 je preslikavawe? A

R1

B

R2

A

B

A

R3

B

Samo relacija R2 je preslikavawe. R1 nije preslikavawe, jer od 4 ima dve strelice. R3 nije preslikavawe, jer od 2 nema strelicu ka elementu iz B.

B

Preslikavawe f od skupa A u skup B je relacija od A ka B gde svaki element iz A je u vezi sa samo jednim elementom iz B i ozna~ava se sa I o% f : A ® B ili $

F Skup A se zove domen ili definicioni skup. F Skup B se zove kodomen preslikavawa f. 2.

Dato je so grafom (na crte`u) preslikuvawe f : A ® B, gde je A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 12, 18, 24, 30, 32}. Koji je domen, a koji kodomen ovog preslikavawa? Element 1 Î A u relaciji f sa elementom 6 Î B. Ka`e se: element 1 je pridru`en sa f elementom 6 ili 6 je slika 1 kod preslikuvawa f . Pi{emo o ili f(1) = 6. Za 1 se ka`e da je original za 6 prilikom preslikuvawa f. I

184

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

A

B

f

V

Napi{i slike elemenata 2, 3 i 4 iz A, prilikom preslikavawa f. Uo~i da V Í B. Za V ka`emo da je skup slika, t.j. skup vrednosti f. Napi{i: f(1) = 6; f(2) = 12; f(3) = 18; f(4) = 24. Koji brojevi su slike brojeva 3 i 4?

Uop{te Skup ~iji elementi su slike elemenata domena kod datog preslikavawa se zove skup vrednosti preslikavawa. Ako y Î B je vrednost x Î A, t.j. y je slika x prikom preslikavawe f , zapisujemo f : x ® y ili y = f (x). Skup svih pore|anih parova relacije f od A prema B {to pretstavqa preslikavawe se zove grafik preslikavawa f i se ozna~ava sa Gf . Zna~i ako f : A ® B, onda Gf = {(x, y) | x Î A i y = f (x)}.

3.

Grafom je pretstavqeno preslikavawe f : "... je 3 puta mawe od ... , od skupa A = {1, 3, 5, 7} prema skupu B = {3, 9, 15, 18, 21, 24}.

A

B

Napi{i tabelarno grafikon f . Odredi domen, kodomen i skup vrednosti f . Napi{i ~emu je jednako f (3).

Treba da zna{: Da objasni{ {ta je preslikavawe; Da predstavi{ preslikavawe grafom i grafikonom; Da objasni{ {ta je domen, kodomen i skup vrednosti preslikavawa.

Preslikavawe (funkcija)

185

Proveri!

A

B

A B

Kojim crte`om je dato preslikavawe od A do B? Iz grafikona Gf = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (6, 7), (8, 11)} odredi domen i skup vrednosti preslikavawa f..

Zadaci 1.

Objasni za{to relacija R data grafom, nije preslikavawe. A

B

a)

B b)

A

4.

Dato je preslikavawe f : A ® B, gde je A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, ..., 10, 11, 12}, sa pravilom f : x ® 2x, t.j. f (x) = 2x. Odredi: f (0); f (3) i f (5). Napi{i skup vrednosti funkcijata.

2. A

Grafom je data funkcija f : A ® B. Odredi : B

domen;

5. To~kite polukruga P se preslikuvaju u to~ki od dijametara D tako {to slika Y u ta~ki X Î P se nalazi u preseku normale od ta~ke X prema dijametaru.

kodomen;

X

mno`estvo vrednosti funkcije f.

3. Preslikavawe f : A ® B, gde je

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 20, 22} je odre|eno relacijom: "... je za 5 mawe od ... , t.j. f (x) = x + 5. Odredi a u jedna~ini.

A

D

B

Odredi : domen, kodomen, skup vrednosti ovog preslikavawa.

f (1) = a; f (5) = a; f (9) = a; f (a) = 8; f (a) = 12.

186

Y

P

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

5

NA^INI ZADAVAWA PRESLIKAVAWA

Podseti se!

A

Na koje smo na~ine do sada zadavali preslikavawa? A f B Preslikavawe f : A ® B je -2 dato grafom. 4 -1 1 Napi{i grafikon Gf 2 1 preslikavawa f. Napi{i elemente Gf u tabelu.

1.

Neka A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {6, 7, 8, 9, 10}. Preslikuvawe f : A ® B, je dato sa pravilom: x je za 5 mawe od y Po datom pravilu, sastavi tabelu originala i slika prilikom preslikavawa.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

Predstavi preslikavawe koordinatnom {emom.

da slika y je za 5 ve}a od F Uvidi originala x. f : 2 ® 2 + 5, t.j. f (2) = 2 + 5; f (2) = 7.

Zato: f : 1 ® 1 + 5, t.j. f (1) = 1 + 5; f (1) = 6; Sli~no sledi: f (3) = 8; f (4) = 9; f (5) = 10.

F Dobio si pore|ane parove originala i slika: u tabelu tako da u jednom redu F Unesi budu originali, a u drugom wihove slike.

(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10). x

1

2

3

4

5

y = f (x)

6

7

8

9

10

Preslikavawe mo`e biti dato tabelom u kojoj su originali (tj. elementi domena) i wihove slike (tj. odgovaraju}i elementi kodomena). Takvo zadavawe se zove tabelarni na~in zadavawa preslikavawa.

2.

Preslikavawe f je dato tabelom u kojoj se nalaze i domen i kodomen. x

1

3

4

0

-1

-3

- 10

y = f (x)

a

a

a

n

b

b

b

B 3.

Napi{i a) grafik; b) domen; v) skup vrednosti preslikavawa.

Dato je preslikavawe f : A ® B, gde je A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3,. .., 20} x je 4 mawe od y,,. Prema pravilu, napi{i formulu kojom se dobijaju slike prilikom preslikavawa. Odredi skup vrednosti preslikavawa. Uporedi svoje re{ewe sa datim. Uvidi da je slika y 4 puta ve}a od originala x. Preslikavawe (funkcija)

187

F

Primeni to da bi odredio slike elemenata skupa A. f : 1 ® 4 × 1, t.j. f (1) = 4 × 1 = 4; f : 2 ® 4 × 2, t.j. f (2) = 4 × 2 = 8; itn. f : 5 ® 4 × 5, t.j. f (5) = 4 × 5 = 20.

Uop{te za bilo koji element x Î A, i wegovu sliku y = f (x) va`i: f : x ® 4 × x, t.j. f (x) = 4x. Zapis f (x) = 4x predstavqa op{ti postapk (formule) po kome se vr{i preslikavawe.

Uo~i da Preslikavawe mo`e biti dato formulom po kojoj se odre|uju vrednosti preslikavawa. Ovo se zove analiti~ki na~in zadavawa preslikavawa.

4.

Preslikuvawe f : A ® B, gde A = {-5, -4, -3, 0, 2, 4, 5}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} je dato so formulom f(x) = x + 1. Napi{i: a) grafik Gf ; b) mno`estva vrednosti f.

B 5.

Preslikuvawe f : A ® B gde A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, je dato sa grafikom u koordinatnoj {emi.

Odredi elemente skupa vrednosti V Í B na f. Koji brojevi treba da stoje na mestima upitnika: a) f (?) = 3; b) f (?) = 0; v) f (4) = ? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

y 5 4 3 2 1 0

2 3 4 5

x

Ozna~ene ta~ke na crte u imaju koordinate: (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 5) i (5, 2). Elementi skupa vrednosti V su druge koordinate ta~aka. Zna~i V = {3, 1, 0, 5, 2} f : 1 ® 3, t.j. f (1) = 3; f : 2 ® 1, t.j. f (2) = 1; f : 3 ® 0, t.j. f (3) = 0;

f : 4 ® 5, t.j. f (4) = 5; f : 5 ® 2, t.j. f (5) = 2.

Preslikavawe mo`e da se zada grafi~ki. U takvom slu~aju ka`emo da to je zadano grafi~ki.

6.

Preslikuvawe f : A ® B, A = {x | x Î Z, -3 £ x £ 5} i B = Z e zadato na crte`u sa grafik, u koordinatnoj {emi. Pretstavi grafik Gf na preslikuvawa f tabelarno. Sastavi tabelu preslikuvawa.

188

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

y 5 4 3 2 x

1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3

1

2

3

4

5

Treba da zna{: Da

objasni{

na

koji

na~in

mo`e

da

se

zada

jedno

preslikavawe.

Proveri! Preslikuvawe f : A ® B, gde je A = {1, 2, 3, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} je zadato pravilom f : x ® x - 2. Sastavi tabelu preslikavawa. Napi{i grafikon tabelarno. Zatim, ta~ke iz grafika predstavi u koordinatnoj ravni.

4. Pretstavi grafi~ku funkciju f(x)

Zadaci 1. a)

Preslikavawe f : A ® B je zadato u tabeli. U woj su dati svi elementi A i B. x -2 -1 0 f(x) 0

b)

1

2

1

2

3

3

4

5

x -3 -2 -1 0

1

2

f(x) -1 -1 -1 0

1

1

v)

x

f(x)

0

0

1

5

2

10

3

15

Odredi domen i skup vrednosti f..

2. Grafikon preslikavawa f je: Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}. Odredi koliki je f(1) i f (3). Za koju vrednost x je f (x) = 1?

3. Preslikuvawe f : A ® B, gde je A = {-5, -2, -1, 0, 2}, a B = Q, je zajedno sa pravilom I [ o

[ . Napi{i

grafikom Gf tabelarno.

zadato analiti~ki formulom f(x) = x - 1, gde je domen i kodomen skup R ( ovu funkcija zovemo da je realna funkcija). Postapi spored barawata. Popuni tabelu x

- 2

0

0,5

3

f(x) Dobijene pore|ane parove u tabeli napi{i kao koordinate ta~aka, po redu: A, B, C i D Predstavi ta~ke A,B,C i D u koordinatne ravni. Proveri lewirom da li ta~ke le`e na istoj pravi. Izaberi proizvoqno nekoliko vrednosti za x. Odredi wihove slike f(x) i dobijene pore|ane parove predstavi na istom crte`u. Proveri da li i te ta~ke le`e na istoj pravi. Uvidi da grafikon funkcije f(x) = x - 1 je: Gf = {(x, y) : x Î R i y = x - 1} i on pretstavqen grafi~ki, je prava. Preslikavawe (funkcija)

189

PROPORCIJA

6

RAZMER

A 1.

Podseti se! Izra~unaj koli~nik 28: 7. {ta pokazuje vrednost (4) ovog koli~nika? Napi{i koli~nik po re~enici: ,,Deqenik je 42 i on je 3 puta ve}i od delioca.,,

Izra~unaj: 27 : 3;

: 6;

9,6 : 1,2.

Za svaka tri koli~nika se ka`e da je razmer ili odnos izme|u datih brojeva. ^ita se: "27 prema 3”, "

prema 6”,...

Uop{te Ako su a i b dva broja gde je b z 0, tada razmer ili odnos broja a prema broju b se

D ); a se zove prvi ~lan, a b -drugi ~lan razmera. Ako je a : b E = k, broj k se zove vrednost razmera. zove koli~nik a : b (ili

Odredi vrednost razmera: a) 255 : 17; [ta pokazuje wegova vrednost?

2.

b) 17 : 255.

Uporedi svoje re{ewe sa datim. a) 255 : 17 = 15. Vrednost 15 pokazuje da broj 255 je 15 puta ve}i od broja 17. b) 17 : 255 =

. Vrednost pokazuje da broj 17 je deo broja 255.

3.

Uporedi brojeve: a) 184 i 23; b) 16 i 48.

4.

Vrednost jednog razmera je 5. Odredi koji je prvi ~lan , ako je drugi ~lan 8.

5.

Dati su razmeri 18:3 i

. Odredi wihove vrednosti i uporedi ih.

Uporedi svoje re{ewe sa datim. Prvi razmer 18:3 ima vrednost 6. I drugi razmer ima vrednost 6, t.j.

190

˜

.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Razmeri koji imaju jednake vrednosti se zovu jednaki razmeri.

6.

Proveri da li su jednaki razmeri: a) 4 : 25 i

7.

Podseti se! Recipro~nata vrednost broj 5 je broj

,a je . Koja je recipro~na vrednost 0,4? Odredi proizvod broja i wegova recipro~nu vrednost.

8.

Upi{i obratni razmer : a) 5 : 8, b) 1 : 4.

;

b) 1,4 : 3,5 i 0,2 : 0,5.

Razmeri 3 : 5 i 5 : 3 se razlikuju po mestima nihovih ~lanovi. Napi{i jedan razmer od dva broja. Zatim, sastavi razmer istih brojeva, ali obratnog redosleda od prethodnog razmera.

Upamti Razmeri a : b i b : a (a š 0, b š 0) se zovu uzajamno obratni razmeri, t.j. razmeri a : b je obratan razmeru b : a, a razmer b : a je obratan razmeru a : b.

Odredi proizvod svakog od datih razmera sa obratnim razmerom. Uporedi svoje re{ewe za a). Obratni razmer 5:8 je razmer 8:5. (5 : 8) Ă— (8 : 5) =

˜ = 1.

Va`i i uop{te Proizvodot jednog razmera a : b sa obratnim razmerom b : a je 1, t.j. (a : b) Ă— (b : a) = 1, (a š 0, b š 0) .

9.

Kako }e{ objasniti da razmeri a : b i

, a š 0, b š 0 su uzajamno obratni razmeri? D E

Pomo}. Drugi razmer napi{i kao dvojni razlomak i uprosti ga.

B 10.

a) pravougaonik na crte`u ima 6 cm2.

[ta je mereno kod pravougaonika i dobijen je broj 6 cm2? 1 cm2

Proporcija

191

b) Cvetan se izmerio na doma}oj vagi i utvrdio da ima 46 kg. [ta je merio Cvetan na vagi i dobio 46 kg? v) Date su du`i

$% = 6 cm i &' = 2 cm.

Du‘ AB je za 4 cm ve}a od du`i CD, zato {to $% - &' = 6 cm - 2 cm = 4 cm.

[ta si upore|ivao kod dve du`i i dobio broj 4 cm?

Uporedi svoje odgovore sa slede}im Broj 6 cm2 predstavqa povr{inu pravougaonika; Cvetan je na vagi merio svoju masu; kod du`i AV i CD je upore|ivao wihove du`ine. Kako si utvrdio da u kesi ima 3 kg {e}era?

Kesu sam stavio na vagu i wenu masu uporedio sa masom tegova. Vaga je bila u ravnote‘i kada sam stavio 3 tega po 1 kg.

Upamti! Povr{ina, masa, du`ina, volumen, temperatura, vreme, brzina...predstavqaju veli~ine. Karakteristika veli~ina je to {to one mogu da se izmere. Da se izmeri jedna veli~ina zna~i da se ona uporedi odgovaraju}om mernom jedinicom i da se odredi koliko se puta merna jedinica sadr`i u toj veli~ini, tj. da se odredi merni broj veli~ine.

11.

Kolko je puta du` $% = 6 cm du`a od du`i &' = 2 cm?

Ovo ti je poznato Du` od 6 cm je 3 puta du`a od du`i od 2 cm, t.j.

od du`i od 6 cm, t.j. 6 cm : 2 cm = 3. Du` od 2 cm je . 2 cm : 6 cm =

192

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

6 cm 2 cm

2 cm

2 cm

Uvi}aยก Upore|ivawe du`ine du`i smo izvr{ili upore|ivawem wihovih mernih brojeva. Vrednost razmera dve du`ine je neimenovani broj. Upore|uju se samo istorodne veli~ine.

Uo~i i upamti! Razmer ili odnos dveju istorodnih veli~ina se zove koli~nik mernog broja jedne veli~ine i merni broj druge veli~ine, izmerene istom mernom jedinicom. Vrednost razmera je uvek neimenovani broj.

12.

Koji koli~nici su razmeri: a) 3 : 31; b) 12 m2 : 4 m2;

v) 6 m : 3;

Vrednost koli~nika 6 m:3 je 2 m, a to je imenovani broj. Zato ovaj koli~nik nije razmer. Koli~nik 8 min : 5 s se smatra za razmer ako wegovi ~lanovi budu predstavqeni istom mernom jedinicom.

Za{to koli~nik 6 m:3 nije razmer? Da li 8 min :5 s mo`e da se smatra za razmer?

13.

g) 8 min : 5 s?

Odredi vrednost razmera: a) 72 : 4;

b) 4 kg : 60 kg;

Podseti se! pro{iri sa 5. Razlomak skrati sa 4.

Razlomak

v) 5 km : 200 m;

g) 2 6 : 5 d6.

V 14.

Dat je razmer 12:8.

Odredi wegovu vrednost. ^lanove razmera pomno`i prvo sa 2, a zatim sa 4, i izra~unaj vrednost svakog dobijenog razmera. Uporedi vrednoste razmera.

[ta si uvideo?

Vrednost sva tri razmera je jednako na 1,5.

Proporcija

193

Va`i i uop¡te Vrednosta k na razmera a : b se ne mewa ako se wegovi ~lanovi pomno`e ili, pak, se podele sa istim brojem m ¹ 0, (a × m) : (b × m) = k pro{irivawe razmera

(a : m) : (b : m) = k, (m ¹ 0) skra}ivawe razmera

To je osnovno svojstvo razmera.

15.

^lanove razmera (ili mernih brojeva u wima) napi{i prirodnim brojevima. 4,8 : 0,12;

16.

1,5 kg : 5 kg;

: 2,5;

450 m : 2,5 km.

Slede}i razmeri su izjedna~eni sa wihovim vrednostima. Odredi nepoznatu u svakoj jedna~ini: a) x : 3 = 5; b) a : 12 = 20; v) 6 : y = 2; Prosledi re{ewe za a) i b).

g) 25 : b = 12,5.

a) x e deqenik. Deqenik je jednak proizvodu delioca i koli~nika, t.j. x = 3 × 5; x = 15. v) y e deliteq; y = 6:2; y = 3.

Treba da zna{: Da objasni{ {ta je razmer; {ta su ~lanovi i vrednost razmera; Da ka`e{ i koristi{ osnovno svojstvo razmera; Koji razmeri su jednaki, a koji uzajamno obratni; Da odredi{ razmer dveju veli~ina.

Proveri! Odredi vrednost razmera 27:36. Proveri da li razmeri 6:5 i 90:75 su jednaki. Razmer 3 : 10 pro{iri sa 4. Za{to 15 m3 : 5 m2 nije razmer? Odredi x ako a) x : 2=20; b) 8 : x = 32.

Zadaci 1. Deda ima 63 godina, a unuka ima 9 godina.

Koliko je godina deda stariji od unuke? Koliko puta je deda stariji od unuke?

194

2. Da li su jednaki razmeri a)

b)

i 27 m3 :10 m3?

i 76 : 55?

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

3. Koji razmer je obratan razmeru: a) 96 : 24;

b) 3,4 : 3

6. Napi{i razmer tako da prvi ~lan bude 1:

?

4. Koji od koli~nika predstavqa razmer: a) 4 m : 24;

b) 3 kg : 8 kg;

v) 5 km : 5 cm;

g)

a) 4 : 5;

v) 90 min :

kg : 8 cm?

a) [

d) 1 dm : 1 m;

;

v) x : 0,1 = 0,01;

b) 4,74 : 3;

h;

;

g) 6 km : 600 m. |) 1 km : 1 m;

v) 2,7 m :12 cm.

7. Izra~unaj nepoznati ~lan x:

5. Odredi vrednost razmera: a) 324 : 4;

b)

8.

b)

[

;

g) 2,7 : x =

.

U kakvom razmeru su : a) povr{ine; b) volumeni; dve kocke sa ivicama 4 m, odnosno 6 m?

e) 1 m : 1 ar. 2

7

PROPORCIJA

A 1.

Podseti se! Na|i vrednost razmera 32 : 8 i 20 : 5. Koliki su me|u sobom ta dva razmera? Koju jedna~inu me|u wima mo`e{ da napi{e{?

Upamti

Razmer 24:8 je jednak razmeru 45:15. zato mo‘e{ da napi{e{ (ta~no) brojevnu jednakost. 24 : 8 = 45 : 15, t.e.

.

Napi{i dva jednaka razmera i sastavi (ta~no) jednakost me|u wima.

Jedna~ina dvaju jednaka razmera se zove proporcija. Razmeri a : b i c : d koji imaju jednake vrednosti, t.j. a : b = k i c : d = k oformqavaju proporciju

a : b = c : d, t.e.

D E

F . G

^ita se: "a prema b se odnosi isto kao c prema d#. a, b, c i d su ~lanovi proporcije. a je prvi ~lan, b e drugi, c je tre}i, d je ~etvrti ~lan. a i d se zovu spoqa{ni ~lanovi, a b i d se zovu unutra{ni ~lanovi. Proporcija

195

Svaki ~lan proporcije se zove ~etvrta geometrijska proporcionala za druga tri ~lana. Vrednost k razmera se zove koeficijent proporcionalnosti.

2.

U proporciji 17 : 68 = 21 : 84 na mestu svakog razmera napi{i wegov obratni razmer i uveri se da je dobijena jedna~ina proporcija.

Va`i i uop{te Ako a, b, c, d š 0 i a : b = c : d je proporcija, tada i jedna~ina b : a = d : c je proporcija. Uvidi obja{wewe.

. N

F F Od c : d = k, sledi da b : a = N . F Razmeri b : a i d : c su jednaki, pa Od a : b = k, sledi da b : a =

3.

b : a = d : c je proporcija.

Proveri da li se oped dobija proporcija 15 : 9 = 90 : 54 ako se zamene mesta: 15 i 54;

15 i 90;

9 i 90;

Neobavezno

Uvidi

Razme{tawem ~lanova u jednoj proporciji a : b = c : d dobija se jo{ 7 proporcija.

Podseti se!

:d :b :a :d

c:a=d:b d:c=b:a b:a=d:c b:d=a:c

Napi{i razmere u proporciji 4 : 5 = 28 : 35 u obliku razlomka.

x Ă— 27 = 3 Ă— 8, t.e. x =

196

a:b=c c:d=a d:b=c a:c=b

B 4.

sledi 3 Ă— 20 = 5 Ă— 12. [ tako {to Odredi x u jedna~ini }e{ izvr{iti "unakrsno mno`ewe#. Uvidi: od

9 i 54.

Izvr{i unakrsno mno`ewe i uporedi dobijene proizvode. [ta prime}uje{?

.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

sledi 4 Ă— 35 = 5 Ă— 28 = 140, t.j. proizvod spoqnih ~lanova proporcije je jednak proizvodu unutra{wih ~lanova.

Uvideo sam: od

Va`i i uop{te

a:b=c:d

U proporciji a : b = c : d proizvod spoqnih ~lanova proporcije jednak proizvodu unutra{wih ~leanova.

Ă— Ă—

Ovo je osnovno svojstvo proporcije. Prati obrazlo`ewe.

aĂ—d=bĂ—c

F

Jednaki razmeri imaju jednake vrednosti: a : b = k; c : d = k, t.e. a = kb; c = kd.

F F

Proizvod spoqnih ~lanova a i d je: a Ă— d = (k Ă— b) Ă— d = k Ă— (b Ă— d). (Za{to?)

5.

Proizvod unutra{wih ~lanova b i c je: b Ă— c = b Ă— (k Ă— d) = k Ă— (b Ă— d). (Za{to?) Zna~i a Ă— d = k Ă— (b Ă— d) = b Ă— c. Odredi koji je nepoznati ~lan x u proporciji: x : 12 = 9 : 4;

15 : x = 3 : 5;

[

.

Da bi odredio x svakoj od triju proporcija iskoristi osnovno svojstvo proporcije.

6.

Odredi ~etvrtu geometrijsku proporcionalu za ~lanove proporcije: a) 2 : 3 = 5 : x;

7.

b) 2 : 7 = x : 77.

Za brojeve 3, 4, 9 i 12 i 12 je ta~no 3 Ă— 12 = 4 Ă— 9. Sastavi proporciju ~iji }e ~lanovi biti 3, 4, 9 i 12. Jedno re{ewe je 3 : 4 = 9 : 12. Ima 8 re{ewa. Na|i jo{ neko.

Na primer: 3 : 9 = 4 : 12; 12 : 4 = 9 : 3; 12 : 9 = 4 : 3 itd.

Va`i i uop{te Ako za neka ~etiri broja a, b, c i d,, koji se razlikuju od nule, proizvod dva od tih brojeva je jednak proizvodu druga dva broja, tada ta ~etiri broja su ~lanovi proporcije. Proporcija

197

7.

Sastavi proporciju (ako je mogu}e) od brojeva: a) 3; 16; 6; 8;

b) 3; 0,4; 0,5; 2,4;

v) 2; 3; 4; 5.

Treba da zna{:

Proveri!

Da objasni{ {ta je proporcija i da imenuje{ wene ~lanove; Da iska`e{ i primeni{ osnovno svojstvo proporcije; Da odredi{ nepoznatog ~lana proporcije.

Iska`i osnovno svojstvo proporcije. Dali je ta~no da 2 :

=3: ?

Odredi x u proporciji 1 : 5 = x : 4. Da li broj 3 je ~etvrta geometrijska proporcionala za brojeve 5, 12 i 20?

Zadaci 1. Pro~itaj proporciju i imenuj spoqne ~lanove i unutra{we ~lanove: a) 0,2 : 3 = 1 : 15;

b) a : x = b : y.

6. Sastavi proporciju od brojeva u jedna~ini:

a) 6 Ă— 8 = 16 Ă— 3;

2. Sastavi proporciju za koju je 5

koeficijent proporcionalnosti.

3. Date su proporcije: b)

4. U proporciji mesta :

˜

˜ .

7. Da li mo`e da se sastavi proporcija od brojeva:

. Razmeni mesta ~lanovima svakog razmera. Proveri da li si opet dobio proporciju.

a) 14 : 56 = 23 : 92;

b)

razmeni

; b) 4 i 8; v) i 8. Dali se uvek dobija proporcija?

a) 3, 4, 9 i 12;

v) 3, 5, 8 i 13;

b) 1, 5, 17 i 85;

g)

i ?

8. Prvi ~lan jedne proporcije je 7,5 puta ve}i od drugog ~lana. Ako tre}i ~lan

je

, odredi ~etvrti ~lan.

a) 4 i

5. Odredi x u proporciji: a) x : 63 = 8 : 21;

g) 2 : x = 5 : 30;

b) 304 : 456 = x : 768; d) 3,03 : x = 5,05 : 6; v) 2x : 3,7 = 8 : 7,4;

198

|) 3,4 : 17 = 0,1x : 4.

9. Broj ~lanova sekcije ,,Mladi

matemati~ari,, prema broju ~lanova sekcije ,,Mladi prirodwaci,, se odnosi 5:2. ako je broj mladih prirodwaka 24, koliko je mladih matemati~ara:

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

8

GEOMETRIJSKA SREDINA. PRODU@ENA PROPORCIJA

Podseti se!

A

1.

Uz pomo} osnovnog svojstva proporcije, proveri da li je proporcija: a) 1 : 3 = 3 : 9;

Izra~unaj nepoznatog x ~lana proporcije: a) 3 : x = x : 27; b) x : 4 = 36 : x tako da ~lanovi budu pozitivni.

b) 5 : 2 = 12,5 : 5.

Prati re{ewe za a).

F Primeni svojstva proporcije: 3 : x = x : 27; 3 Ă— 27 = x Ă— x; x F Izra~unaj vrednost x: x = + , x = - ; x = 9, x = -9. F Odredi re{ewe prema uslovu: x = 9.

2

= 81.

Kod prve proporcije spoqni ~lanovi su jednaki, a kod druge unutra{wi ~lanovi su jednaki.

[ta prime}uje{ kod ~lanova dveju proporcija?

Upamti Ako su u jednoj proporciji unutra{wi ~lanovi jednaki (a : b = b : c), tada ~lan koji se ponavqa se zove geometrijska sredina (ili sredwa geometrijska proporcionala) za druge ~lanove.

a:b=b:c

F

b=

a:b=c:a

DF

b je geometriska sredina za a i c.

2.

F

a=

EF

a je geometriska sredina za b i c.

Odredi geometrijsku sredinu brojeva: 4 i 16;

i 8;

4 i 9;

1 i 49.

Koji pozitivni broj je geometrijska sredina za brojeve 4 i 16?

B

3.

Uporedi vrednosti razmera:

: 5;

Toa je broj broj 8. 8:

˜ , odnosno

i 3 : 20.

Uporedi svoje re{ewe sa datim.

: 5 = 0,15;

= 24 : 160 = 0,15;

F F F Zna~i, vrednosti triju razmera su jednake. 8:

F 3 : 20 = 0,15. Proporcija

199

Mo`e{ da napi{e{:

:5=8: = 3 : 20.

Va`i i uop{te Ako tri ili vi{e razmera, na primer a : a1, b : b1 i c : c1, su jednaki, tada oni mogu da se napi{u u obliku prodol`ena proporcije a : a1 = b : b1 = c : c1, t.e.

Skra}eno se pi{e:

4.

D E F = = . D E F

a : b : c = a1 : b1 : c1 prvi ~lanovi

drugi ~lanovi

Napi{i skra}eno produ`enu proporciju: 2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21;

: 5 = 21,25 : 100 = : 4.

Data je produ`ena proporcija: 3 : 5 =

5.

: = 2,4 : 4.

Formiraj razmer ~iji prvi ~lan je zbir prvih ~lanova proporcije, a drugi ~lan zbir drugih ~lanova. Uporedi vrednost ovog razmera sa vredno{}u bilo kog razmera produ‘ene proporcije. [ta prime}uje{? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F F Svi razmeri su jednaki. Wihova vrednost je 3:5=0,6. dobijenog razmera je jednaka vrednosti bilo kog razmera produ`ene F Vrednost proporcije.

Va`i i uop{te U produ`enoj proporciji zbir svih prvi} ~lanova proporcije prema zbiru svih wenih drugih ~lanova je jednak vrednosti koje bilo kog razmera iz produ`ene proporcije. Na primer, ako a : a1 = b : b1 = c : c1 = d : d1 = k, tada (a + b + c + d) : (a1 + b1 + c1 + d1) = k, t.e.

D E F G D E F G

Ovo se zove osnovno svojstvo produ`ene proporcije.

200

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

N.

6.

U jednom trouglu, unutra{wi uglovi a, b i g se odnose kao: a) 2 : 3 : 4;

b) 1 : 5 : 12.

Odredi uglove a, b i g. Radi po uputstvu i uporedi re{ewe. Napi{i zbir uglova trougla: a + b + g = 180O . . . . (1)

F produ`enu proporciju (preku ednakih razmera) a : 2 = b : 3 = g : 4. F Napi{i je k vrednost svakog razmera. Izrazi aglove a, b i g uz pomo} k. F Neka a : 2 = k, t.j. a = 2k; b : 3 = k, t.j. b = 3k; g : 4 = k, t.e. g = 4 k. F F Zameni izraze za a, b i g u jedna~ini (1) i izra~unaj k. F

2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. Odredi uglove a, b i g. a = (2 Ă— 20)o; a = 40o; b = (3 Ă— 20)o, b = 60o; g = 80o.

Treba da zna{: Da izra~una{ geometrijsku sredinu od dva broja ili dveju veli~ina. Da objasni{ {ta je produ`ena proporcija; Da iska`e{ i primeni{ osnovno svojstvo produ`ene proporcije.

Proveri! Kako se zove ~lano a u proporciji 8 : a = a : 32? Dali 6 je geometriska sredina brojeva 1 i 36? Proveri dali zapisi: 3 : 9 = 5 : 15 = 28 : 84 i 3 : 5 : 28 = 9 : 15 : 84

Da ta je produ`ena proporcija 3 : 2 = 15 : 10 = 105 : 70 kod koje svaki razmer ima vrednost 1,5. Bez ra~uwawa, odredi vrednost razmera (3 + 15 + 105) : (2 + 10 + 70).

4. Broj 2 160 pretstavi kao zbir 3 broja

Zadaci

koi }e se odnesiti kao: 1 : 5 : 12;

1. Odredi x iz proporcije: a) x : 8 = 50 : x;

pretstavqaju istu produ`enu proporciju.

b) x : 15 = 15 :

v) 6 : x = x : 24.

.

2. Formiraj proporciju ~iji ~lanovi }e biti 8, 12, 18 i 12.

3. Odredi brojeve a, b i c taka {to a + b + c = 39 i a : b : c = 3 : 4 : 6.

1 : 10 : 25.

5. Za sakupqawe letine, u jednoj farmi

su radile firme A,B i C. One su ostvarile 16 000, 20 000 i 30 000 radnih ~asova. Za izvr{eni posao, farma im je isplatila ukupno 330 000 denara, proporcionalno prema ostvarenim radnim ~asovima. Po koliko denara je dobila svaka farma? Proporcija

201

PROPORCIONALNE VELI^INE

9

PRAVO (DIREKTNO) PROPORCIONALNE VELI^INE

A

Podseti se!

1.

Kako }e se promeniti obim L kvadrata, ako wegova strana a:

Dat je razmer 21 : 7.

a) se uve}a; b) se umawi?

Napi{i tri razmera koji su jednaki sa wim. Vrednost razmera a : b je 5. Ako ~lan b je 8, koliko je ~lan a? Ako b se umawi 4 puta koliko }e se promeniti ~lan a? Primeti tu promenu na slede}oj tabeli: a (cm)

1

2

2,5

3

4

5

L (cm)

4

8

10

12

16

20

Prime}uje{ da ima dve promenqive veli~ine (ili samo: promenqive): stranica kvadrata i obim kvadrata. Uvidi iz tabele koliko puta }e se uve}ati obim, ako se stranica pove}a dvaput (na primer: od 2 na 4 ili od 2,5 i 5).

2.

Jedan automobil se ravnomerno kre}e i prolazi 2 km za 1 min Koliko kilometara je pre|eni put ako vreme trajawe kretawa je 2 min; 4 min; 5 min? Ako se uve}a vreme trajawa kretawa, {ta }e se desiti sa pre|enim putem?

Uvidi da

F F F 202

I u ovom zadatku ima dve promenqive: vreme trajawa kretawa automobila (ozna~imo sa x) i du`ina pre|enog puta (ozna~imo sa y). Promenqive x i y su me|usobno zavisne, jer promena vrednosti jedne uti~e na vrednost druge promenqive. Zavisnost promenqivih x i y se najboqe vidi u slede}oj tabeli: x (min)

1

2

3

y (km)

2

4

6

3,5

5

6

10

12

6,5

8 16

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

10 10,5

12

15 30

Vrednosti promenqive x su date proizvoqno od 1 do 15. odgovaraju}e vrednosti u su dobijene izra~unavawem. Prime}uje se da svaka vrednostu u je dva puta ve}a od vrednosti x.

[ta prime}uje{ kod v r e d n o s t i promenqive x, a {ta kod vrednosti y?

Mo`e{ da napi{e{ da y : x = 2 ili y = 2x. Du`ina puta se pove}ala toliko puta koliko se pove}alo vreme trajawa kretawa: dva puta (od 6 km na 12 km) ili tri puta (od 10 km na 30 km).

Kako se promenila du`ina puta kada se vreme trajawe kretawa automobila pove}alo 2 puta (od 3 min na 6 min) ili 3 puta (od 5 min na 15 min)?

Ka‘e se da: pove}awe (odnosno smawewe) vrednosti jedne promenqive odgovara proporcionalnom pove}awu (smawewu) vrednosti druge promenqive. Takva zavisnost izme|u dve veli~ine se zove prava proporcionalnost, a promenqive x i y su pravo proporcionalne veli~ine.

Op{te Za promenqivu veli~inu y se ka`e da je pravo proporcionalna veli~ini x ako je za bilo koji par odgovaraju}a vrednost y i x, koli~nikot (k š 0).

\ [

N,

t.e.

\ je jednak jedan ist broj k [

y=kĂ—x

Broj k se zove koeficijent proporcionalnosti, a jedna~ina y = kx funkcija (ili formula) proporcionalnosti. Jedna~ina y = kx mo`e da se napi{e u obliku [ sa y, sa koeficientom proporcionalnosti

3.

\ . U tom slu~aju x je proporcionalno N

. N

Cena 1 kg jabuka je 20 denara. Koliko je novaca potrebno za 4,5 kg jabuka? Koliko kilograma jabuka mo`e da se kupi za 330 denara? Sledi re{ewe i uvidi postupak:

F Ozna~i

sa x masu jabuke u kg, a sa y odgovaraju}i iznost denara. Proporcionalne veli~ine

203

F

\ , mo`e{ da napi{e{ y = 20x. Za 4,5 kg jabuka su potrebno [ y = 20 Ă— 4,5 = 90; 90 denari.

F

Po{to [

Zbog

jabuka.

4.

˜

˜ \ , za y = 330 denari mo`e da se kupi [ N

x = 16,5 kg

Da se okre~i 15 m2 od stana potrebno je 2,4 6 Farbe. Koliko farbe je potrebno da se okre~i 70 m2? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F F F

x - povr{ina (vo m2), y - koli~ina farbe (u litrima 6).

\ je koeficijent proporcionalnosti. [ Za x = 70 m2 se dobija y = 0,16 Ă— 70 = 11,2; t.j. potrebni su 11,2 6 farbe.

B 5.

[ je dato prava proporcionalnost izme|u veli~ina x i y.

Formulom \

Prepi{i datu tabelu i dopi{i odgovaraju}e vrednosti za u u tabeli. x

-2

-1

y

-1 -0,5

0

1

2

3

4

y

2

3 2

Pretstavi parove (x, y): (-2, -1), (-1, -0,5), itd. (ukupno 7) kao ta~ke u koordinatnoj ravni. Svoj crte‘ treba da je kao dati.

1 -2

x

-1 0

Uz pomo} lewira se uveri da dobijene ta~ke sa crte`a le`e na istoj pravi. Kao vrednost za x uzmi brojeve 0,5; -1; 2; 3; 4. Izra~unaj odgovaraju}e vrednosti y. Napi{i dobijene pore|ane parove racionalnih brojeva i predstavi ih u koordinatnoj ravni. Uveri se da su one kolinearne sa prethodnim ta~kama. [ta vi{e, svaka ta~ka sa apscisom x i ordinatom y = 0,5x, za x ĂŽ R le`i na istoj pravi sa crte`a.

204

1

2

3

4

-1 y 3 2 1 -2

x

-1 -1,2

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

0 0,5 1 -1

2

3

3,4

4

Upamti Grafikon prave proporcionalnosti koji je dat formulom y = 0,5x je prava.

6.

Nacrtaj grafik prave proporcionalnosti date formulom y = 2x.

Treba da zna{: Da objasni{ kada su dve veli~ine pravo proporcionalne; Da prepozna{ formulu prave proporcionalnosti; Da nacrta{ grafik prave proporcionalnosti.

Proveri! Data je prava proporcionalnost dve veli~ine x i y formulom y = 4x. Sastavi tabelu. Zatim nacrtaj grafik prave proporcionalnosti za:

½ ­ [ � Ž ž . ¿ ¯

Zadaci 1. Koje veli~ine su pravo proporcionalne?

a) stranica kvadrata i obim kvadrata. b) radijus i povr{ina kruga v) Pre|eni put i brzina prilikom ravnomernog kretawa. g) broj radnika i vreme potrebno za izvr{avawe posla. d) rub kocke i povr{ina kocke.

2. Veli~ine x i y su pravo

proporcionalne sa koeficijentom proporcionalnosti k = 3 a) Napi{i formulu prave proporcionalnosti. b) odredi odgovaraju}e vrednosti za x ĂŽ {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

3.

Napi{i formulu za obim : a) kvadrata stranice a; b) kru`nice sa radijusom r; v) ravnostrani trougle sa stranicom y. Za svaku formulu odredi koeficijent proporcionalnosti i objasni da li je to formula za pravu proporcionalnost.

4. Predstavi grafik prave

proporcionalnosti a) y : x = 1 : 2; b) y = 3x.

5. Na crte`u je dat grafik za pravu proporcionalnost veli~ina x i y. y 2 1 -2

-1 0

1

2

3

4

x

-1

Sastavi tablicu, po crte`u. Odredi koeficijent proporcionalnosti. Napi{i formulu za pravu proporcionalnost.

Proporcionalne veli~ine

205

10

OBRATNO PROPORCIONALNE VELI^INE

A 1.

Podseti se! Neka x i y se pravo proporcionalne veli~ine, vezane so formulom Za x = 4, koliko je y?

\ [

.

Ako vrednost x se pove}a 5 puta (na primer: od 4 na 20) kako }e se promeniti vrednost y?

Pravougaonik sa stranicom a i b ima povr{inu od 36 cm2, t.e. a × b = 36. U tabeli su date du`ine stranica nekoliko pravougaonika povr{ine

36 cm2.

a (cm)

1

2

3

4

5

6

b (cm)

36

18

12

9

7,2

6

Kako se mewa du`ina strane b kada se stranica a pove}ava: a) 2 puta (na primer: od 1na 2; od 2 na 4); b) 3 puta (na primer: od 1 na 3; od 2 na 6)?

Uvideo sam da koliko puta se pove}ava stranica a toliko puta se stranica b smawuje.

2.

Ako 24 radnika koji imaju jednaku radnu sposobnost mogu da urade jedan posao za 16 dana, za koliko dana bi isti posao uradili: 2 puta mawe (tj. 12) radnika; 4 puta mawe (tj. 6) radnika; 2 puta vi{e (tj. 48) radnika? Uporedi svoje re{ewe sa datim.

F

2 puta mawe radnika (tj. 12) bi uradili posao za 2 puta vi{e (tj. 32) dana;

F

4 puta mawe (tj. 6) radnika bi uradili posao za 4 puta vi{e (tj. 64) dana;

F

2 puta vi{e (tj. 48) radnika bi uradili posao za 2 puta mawe (tj. 8) dana.

F

Uvidi da: 24 × 16 = 12 × 32 = 6 × 64 = 48 × 8 = 384.

Uop{te N [ (k - konstanta), t.j. proizvod vrednosti promenqiv x i odgovaraju}e vrednosti promenlive y je konstantan. Ako broj na radnika je x, a broj dana je y, onda x × y = k ili \

Za ovakve dve veli~ine se ka`e da su obrnuto proporcionalne.

206

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Iz primera uvidi Pove}avawem vrednosti jedne promenqive m puta, odgovaraju}a vrednost druge promenqive se smawuje m puta. Ka`e se: Pove}avawem vrednosti jedne promenqive odgovara proporcionalno smawewu vrednosti druge promenqive. Takva zavisnost dveju veli~ina se zove obrnuta proporcionalnost.

Upamti Za x i y se ka`e da su obratno proporcionalne veli~ine, sa koeficijentom k (k > 0), ako x Ă— y = k.

N [

Jedna~ina \

3.

se zove funkcija (ili formula) obrnute proporcionalnosti.

Za svaki par odgovaraju}ih vrednosti za x i y odredi proizvod y Ă— x i utvrdi da li su veli~ine x i yobrnuto proporcionalne. a)

B 4.

x

3

4

5

6

y

8

6

4,8

4

b)

x

10

20

30

40

60

y

60

70

40

30

20

Obratna proporcionalnost me|u veli~inama x i y je data formulom

\

. [

Sastavi tabelu uzev{i x ĂŽ {-12, -8, -6, -4, -3, -2, -1

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6, 8, 12}.

Dobijene pore|ane parove predstavi kao ta~ke u koordinatnoj ravni. Uporedi svoje re{ewe sa datim. x

\

[

-12

-8

-1 -

-6

-4

-3

-2

-2

-3

-4

-6

-

-8

-1

1

-12 12

2

3

4

6

8

6

4

3

2

8

12

1

Proporcionalne veli~ine

207

Mo`eÂĄ da uvidiÂĄ

F F

Pozitivnim vrednostima x odgovaraju pozitivne vrednosti y. ,,Velikim vrednostima x, odgovaraju ,,male,,vrednosti y i obrnuto.

Primer: za x = 12: y = 1; za x = 120: y = 0,1; a za x = 12 000: y = 0,001. za x = 2: y = 6; za x = 0,2: y = 60; a za x = 0,002: y = 6000.

F

Negativnim vrednostima x odgovaraju negativne vrednosti y.

5.

Data je funkcija obrnute proporcionalnosti \ Za x ĂŽ {-6, -4, -3, -2, -1 vrednosti.

. [

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6} sastavi tablicu odgovaraju}ih

Dobijene pore|ane parove (x, y) iz tablice predstavi kao ta~ke u pravouglom koordinatnom sistemu. Nacrtaj grafik funkcije \

. [

Da li ta~ka a( 2 400; 0,0025) pripada tom grafiku? Uporedi svoj grafik sa datim na crte`u.

6.

Koji broj treba da stoji na mesto upitnika u tabeli, ako se zna da x i y su obrnuto proporcionalne veli~ine? a)

x

1

2

3

4

y

?

?

4

?

b)

x

-3

-2

2

y

?

?

3

v)

x

1

5

50

y

?

20

?

Napi{i formulu obrnute proporcionalnosti u svakom slu~aju a), b), v).

208

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Treba da zna{: Da objasni{ kada su dve veli~ine obrnuto proporcionalne; Da napi{e{ formulu za obrnutu proporcionalnost; Da utvrdi{ obrnutu proporcionalnost dveju veli~ina prema datim vrednostima (tablici i dr); Da nacrta{ grafik obrnute proporcionalnosti dveju veli~ina.

Proveri! Iz tablice izdvoji dva para vrednosti za obrnuto proporcionalne veli~ine X i Y i sastavi proporciju. X

2

3

4

5

6

Y

1

Nacrtaj

grafikon

obrnute

, posle [ sastavqawa tablice, uzimaju}i x ĂŽ {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}. proporcionalnosti

\

Zadaci 1. Utvrdi koje su veli~ine

proporcionalne, a koje obrnuto proporcionalne: a) popre~an presek cevi iz koje se puni bazen i vreme za koje se puni; b) pre|eni put vozila i potro{eni benzin; v) masa tela i ubrzawe koje dobija prilikom delovawa sile stalne ja~ine; g) povr{ina kvadrata i du`ina wegove stranice.

2. Veli~ine x i y su obrnuto

proporcionalne sa koeficijentom proporcionalnosti k = -4. Odredi vrednosti y ako x ĂŽ {-6, -5, 4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Obrnuta proporcionalnost je data . [ a) Odredi vrednosti veli~ina y odgovaraju}e vrednosti za formulom \

x ĂŽ {-5, -4, -2, 2, 4, 5, }. b) Odredi vrednosti x odgovaraju}e za vrednosti y ĂŽ {-2, -1, -

, , 1, 4}.

4. Predstavi grafi~ki obrnutu proporcionalnost: a) \

; b) \ [

; v) \ [

Proporcionalne veli~ine

. [

209

11

PROSTO TROJNO PRAVILO

Podseti se! Mile se pewao po jednom brdu. Kada je bila ve}a uzbrdica, Mile je usporavao pewawe. Na mestima gde su padine bile blage, Mile je ubrzao pewawe.

A 1.

Jedan automobil koji se kre}e ravnomerno, za 3 sata je pre{ao 216 km. Koliko kilometara }e pro}i isti automobil za 7 sata? Mimoza i Roza su samostalno re{avale, svaka na svoj na~in.

Kakve su me|u sobom veli~ine:brzina pewawa Mileta i strmost brda?

Mimoza Za jedan sat je automobil pre{ao 216:3=72, tj. 72 km. Za 7 sata }e pre}i 7. 72=504, tj. 504 km.

Mile je putovao automobilom. Za 2 sata je stigao u mesto gde je po{ao. Da se automobilom br`e kretao, on bi stigao za mawe od 2 sata.

Roza

Kakve su me|u sobom veli~ine: brzina Miletovog automobila i vreme trajawa vo`we do odre|enog mesta?

Ako je x put {to treba da pre|e automobil, tada za 3 sata automobil pro{ao t.j. 216 =

Uo~i

od puta x,

˜ Ă— x, x = = 504, t.j. 504 km.

Veli~ine puta i vreme u zadatku su pravo proporcionalni. Ako x je du`ina tra`enog puta, tada razmer 3 sata: 7 sata je jednak 216 x km, km, tj. 3 : 7 = 216 : x, 3x = 7 Ă— 216, x = 504, t.e. 504 km. Preglednije je da se napi{e na slede}i na~in:

F F F F 210

3 sata

216 km

7 sata

x km

U prvom redu se pi{u poznati ~lanovi 3 ~asa .... 216 km. U drugom redu se pi{e preostali poznati ~lan i nepoznati, vode}i ra~una prilikom pisawa jedan ispod drugog imenovani brojevi da budu iste vrste. Red sa poznatim ~lanovima se zove uslovni stav, a red u kome postoji nepoznati ~lan-upitni stav. Postavi strelicu od nepoznatog ~lana do ~lana koji je iznad wega.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

F

Postavi strelicu ispred poznata dva ~lana (u drugoj koloni) isto usmerenu sa strelicom ispred x -ako su veli~ine pravo proporcionalne, a suprotno usmerene ako su obrnuto proporcionalne.

F

Formiraj proporciju od dva para tako da u svakom razmeru prvi ~lan da bude onaj na po~etku, a drugi onaj na kraju strelice: x : 216 = 7 : 3.

F

Vrednost nepoznatog ~lana proporcije je re{ewe zadatka: 3x = 216 Ă— 7, x = 504 km.

Upamti Postavqawe proporcije po prikazanoj {emi se zove prosto trojno pravilo.

2.

Za 6 dana Kroja~ mo`e da sa{ije 2 kostima. a) Koliko bi kostima sa{io za 24 dana? b) Za koliko dana bi sa{io 9 kostima?

3.

Neki rukopis od 126 stranica ima po 45 reda na svakoj stranici. Koliko stranica bi imao rukopis, ako na svakoj stranici ima po 35 reda? Evo kako su re{avali Jovan i Bojan. Bojan

Jovan Ako svaka stranica ima po 35 reda, rukopis }e imati 126 stranica i ( 126.10) reda = 1 260 reda; 1260:35=36 stranica. Ukupno }e imati 126+36=162, tj. 162 stranica.

Broj redova i broj stranica su obrnuto proporcionalne. Ako je x broj stranica rukopisa sa po 35 reda na svakoj stranici , tada 45:35= x : 126; 35x = 45 Ă— 126; x = 162, t.j. 162 stranici.

Preglednije 126 stranice

45 reda

x stranice

35 reda

E E

uslovni stav upitni stav

x : 126 = 45 : 35; x = 162 stranice.

U upitnom stavu (drugi red) se postavqa pitawe: Ako broj redova jedne stranice treba da se smawi (od 45 na 35), {ta }e se desiti sa brojem stranica tog rukopisa? Odgovor: Broj stranica }e se pove}ati Zna~i, veli~ine: broj redova jedne stranice i broj stranica ( za isti rukopis) su obrnuto proporcionalni. Proporcionalne veli~ine

211

3.

Firma ,,Zdrava hrana,, ore povr{ine uz pomo} 6 traktora, za koje ima gorivo za 15 dana. Posle 5 dana se ukqu~ilo jo{ 4 traktora. Za koliko dana }e se potro{iti rezerve goriva ako traktori imaju istu potro{wu?

Pomo} Koliko dana 6 traktora ore, a koliko 10 traktora? Razgledaj dva stawa za preostala 10 dana: 1. kada bi orala 6 traktora, goriva ima za 10 dana: 2. kada bi oralo (6+4) traktora, za koliko dana ima goriva?

Proveri!

Treba da zna{: Da napi{e{ ~lanove proporcije u dva reda, tako da jedan od wih sadr`i u sebi tra`eni ~lan;

Ako 12 kg kafe ko{ta 2 160 denara, tada koliko denara ko{ta 23 kg kafe?

Upitnim stavom odredi kakva je proporcionalnost, prava ili obrnuta;

Postavi strelice.

Da postavi{ proporciju i da odredi{ koji je nepoznati ~lan.

Zadaci 1.

Ako 17 kg mesa ko{ta 3 060 denara, tada koliko denara ko{ta 71 kg istog mesa?

2. Jedan posao 24 radnika mogu da

zavr{e za 8 dana. Za koliko dana, pod istim uslovima, posao mogu da zavr{e 16 radnika?

3. Jedan automobil je potro{io 22,5 6 da pro|e 250 km puta. Koliko }e kilometara pro}i automobil sa 90 6?

212

Sastavi {emu! Izra~unaj koliki je nepoznati ~lan u proporciji.

4. Jedan automobil se kretao sa 60 km/h i za 6

~asa pro{ao rastojawe od mesta A do mesta B. Za koliko ~asova , }e pro}i automobil rastojawe od A do B ako se kre}e brzinom od 80 km/h?

5. Trojica zidara za 14 dana mogu da sazidaju 150 m3 zida. Za koliko dana 7 zidara pod istim uslovima mogu da sazidaju 375 m3 zida?

Uputstvo: primeni dvaput prosto trojno pravilo.

sata podi`e 360 h6 vode na visini od 25 m. Koliko hektolitra vode mo`e dizalica da podigne za 8 sata na viso~ine od 10 m?

6. Jedna pumpa za

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

U^IO SI FUNKCIJU I PROPORCIONALNOST. PROVERI SVOJE ZNAWE A G r a f o m predstavi dekartovi kvadrat skupa A = {a, b, c}. Koliko s t r e l i c a nedostaje? Koje su to?

1.

7.

Koja od dveju strelica treba da se izbri{e da bi se dobilo preslikavawe A u B?

2.

Nacrtaj DABC, A (3,1), B(-1,2), C(-2,-3) u koordinatnoj ravni.

3.

Dati su skupovi A = {a, b, c, d, e, f }, B = {1, 2, 3, 4, 5}.

4.

Nabroj na~ine na koje se daje preslikavawe.

9.

Odredi koji je nepoznati ~lan u jedna~ini: a) x : 0,5 = 2,5; b) 3 × x = 4 . biti mno`ioci u jedna~ini 7 × 24 = 6 × 28.

11. Izra~unaj koji je nepoznati ~lan x u

U koordinatnoj {emi predstavi relaciju R, razli~itu od A x B.

12. Veli~ine x i y,

A

AxB R1

1 2 3 4 A

B 5 4 3 2 1

proporciji 3 : 8 = x : 60.

date u tabeli su pravo proporcionalne.

x

2

4

6

7

y

7 14 21 ?

Odredi koeficijent proporcionalnosti. [ta treba da stoji na mestu upitnika u tabeli?

13. Veli~ine

x i y su obrnuto proporcionalne sa koeficijentom proporcionalnosti k = 20. {ta treba da stoji na mestima upitnika u tabeli?

Koja relacija R1 ili R2 je preslikavawe (funkcija) A u B? B 5 4 3 2 1

8.

Predstavi dekartovi proizvod A x B koordinatnom {emom.

Grafom je data relacija R u skupu A = {1, 2, 3}. Napi{i wen grafik.

6.

B

10. Sastavi proporciju ~iji }e ~lanovi

U skupu T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} je data relacija R = {(1, 1), (1, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (6, 6)}. Predstavi relaciju R u koordinatnoj {emi.

5.

A

AxB

x y

4

4 800 120

64

14. Za 5 dana 12 u~enika je posadilo 940

R2

borova.

a) Za koliko dana bi 30 u~enika zavr{ilo isti posao? 1 2 3 4 5 6

A

b) Koliko u~enika bi isti posao zavr{ili za jedan dan? Proveri tvoje znawe

213

ODGOVORI I RE[EWA zadatke VEKTORI, TRANSLACIJA I ROTACIJA

TEMA 1. 1.

a) poluprava, b) ta~ka, du` ili Æ.

a) poluprava, b) prava ili "prekinuta prava#.

3.

a) AB i DC; AO i OC; b) AB i BA; DC i BA.

4.

OA ­¯ O2A. 2.

AB, CD, EF.