Matematika_7_tur

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ

Sekizyıllık İlköğretim

Sayın Öğrenci ! Bu kitap, ders proğramında öngörülen ders malzemesini öğrenmek için yardımcı olacaktır. Vektörler, öteleme ve dönme hakkında yeni ilginç bilgiler edineceksiniz.Kuvvetler, kökler ve polinomlar hakkında önemli bilgiler öğreneceksiniz. Geometriden bildiklerinizi arttıracaksınız.Şekillerin alanlarını hesaplayacaksınız. Fonksiyon ve orantı hakkında yeni bilgiler edineceksiniz. Kitap beş konu birimine ayrılmış ve onlardan her biri altbaşlıklara ayrılmıştır. Her konu birimi içindekilerle başlıyor ders birimleri ise numaralanmıştır. Ders birimlerinde renkli işaretlere rastlayacaksınız. Bunların vasıtasıyla mesajlar, etkinlikler, yükümlülükler ve diğer uyarılar veriliyor.

Hatırlayınız!

A 1. 2.

,

B

...

Ders birimleri, bildiğiniz kavramlarla başlamaktadır. Bunları hatırlamalısınız ve istenenleri çözmelisiniz. Bunlar yeni dersin öğrenilmesinde sana yardımcı olacaktır.

...

Yeni kavramları öğrenmek için, ders birimleri,işaretlerle kısımlara ayrılmıştır.

Kendi başına ya da öğretmeninizin yardımıyla çözeceğiniz ödevler bu gibi işaretlerle etkinlikler ve sorular işaret edilmiştir. Bu bölümde yeni bilgileri öğreneceksiniz, bu nedenle derste dikkatlı ve etkin olmalısınız. En önemlisi sarı renkle olan kısımlardır. Dersin en önemli olanı, soru, ödev ya da iddia olarak ayrılmıştır. Bunları unutmamalısınız ve ödevler ile pratik örneklerde kullanmalısınız.

Neleri bilmelisiniz:

Bu kısımda ödevler ve sorular verilmiştir. Öğrendiklerinizin büyük kısmını öğrenmiş ya da öğrenmediğinizi yoklamak için.Bunları gelecekte , pratikte ve günlük hayatta uygulayarak yararlanacaksınız.

Kendinizi yoklayınız ! Ödevler

Bu ödevleri daima sıralı ve kendi başına çözmeye çalışınız. Böylece derste incelenenleri daha iyi anlayacaksınız ve ondan büyük yararlarınız olacaktır.

Deneyiniz ...

Bu bölümdeki ödevleri ve problemleri çözmeye çalışınız (mecburi değildir). Böylece daha çok bileceksiniz, iddialarınız çoğalacaktır.

BİLDİKLERİNİZİ YOKLAYINIZ

Her konunun sonunda soru ve ödevlerden oluşan test vardır. Bu testi kendi başına çözünüz. Bununla incelenen konu hakkında bildiklerinizi yoklayacaksınız.

Matematiği incelerken, güçlüklere rastladığında, yılmayınız, yeniden deneyiniz ve sonuca varınca mutluluk hissedeceksiniz.Bu kitaptan yararlanarak, matematiği daha çok sevmenize ve yüksek başarılar elde etmenize yardımcı oluyorsa bizi sevindirecektir. Yazarlardan.

KONU 1.

VEKTÖRLER. ÖTELEME

VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER 1. Işınların yönü. Yön 4 2. Vektörler 7 3.Vektörlerin eşitliği 11 4. Vektörleri toplama 14 5. Vektörleri Çıkarma 19

ÖTELEME 6. Öteleme 7. Ötelemenin Özellikleri 8. Ötelemenin Uygulanması Bildiklerinizi Yoklayınız

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

22 24 27 30

3

VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER

1

IŞINLARIN YÖNÜ. YÖN

Hatırlayınız !

A

Bir a doğrusunu çiziniz ve üzerinde bir O noktasını işaret ediniz. O noktası a doğrusunu iki kısma ya da iki kümeye ayırıyor. O noktasıyla iki kısma ayrılmış olan a doğrusunun O noktasını içeren kısmını nasıl adlandırmıştık? Şekilde başlangıç noktası O ve herhangibir noktası M olan OM ışını çizilmiştir. M O A, B ve C noktaları bir doğru üzerinde olmamak üzere AB ve AC ışınlarını çiziniz. Bir a doğrusunu çöziniz ve üzerinde M ve N noktalarını işaret ediniz. MN ve NM ışınlarının kesişimi nedir? b doğrusuyla şekildeki düzlem iki yarıdüzleme ayrılmıştır. Bunlardan biri boyalıdır. C B b A İşaretlenen nokalardan hangileri aynı düzlem üzerindedir?

1.

p doğrusu üzerinde OA, O1A, OB ve O1B ışınlarını inceleyiniz. V

p

A

O1

O

Hangi ışın OA ışınının altkümesidir? Hangi ışın O1B ışınının altkümesidir? Şunu farkettim: O 1A ışınının tüm noktaları OA ışınına aittir, yani O1A ⊆ OA dir. OB ışınının tüm noktaları O1B ışınına aittir, yani OB ⊆ O1B dir. OA ve O1A ışınlarına aynıyönlü ışınlar denir. OB ve O1B ışınları da aynıyönlüdür. OA ve O1B ışınlarına tersyönlüdürler denir. OA ve OB ışınları da tersyönlüdürler.

aynıyönlü ışınları "↑↑”, işareti ile, tersyönlü ışınları da "↑↓” işaretiyle işaret edeceğiz. Örnek: OA↑↑O1A; OA↑↓O1B.

b doğrusu yarıdüzlemin nesidir?

Şekli inceleyiniz. a ve b paralel doğrularına ve onlar üzerinde işaret edilmiş olan OA, O1B ve O1C ışınlara bakınız.

2.

Işınlardan hangileri, OO1 doğrusuyla sınırlanan aynı yarıdüzlem üzerinde bulunuyorlar?

4

Konu 1. Vektörler. Öteleme

b

A

O

a C

O1

B

OA ve O1B ışınları sınır doğrusu OO1 olan aynı yarıdüzlem üzerinde olduklarını gördüm.

OA ve O1B ışınları aynıyönlüdür denir ve OA↑↑O1B ile işaret edilir. OA ve O1C ışınları OO1 ile sınırlanan aynı yarıdüzleme ait değildirler ve onlara tersyönlü ışınlar denir ve OA ↑↓ O1C biçiminde işaret edilir.

Tersi de geçerlidir: İki ışının aynıyönlü olması için, onlar aynı doğru üzerinde ve biri diğerinin altkümesi olması gerekir; ya da aynı düzleme ait olan iki paralel doğru üzerinde olmalıdırlar. Aynı doğru üzerinde olan ya da iki paralel doğru üzerinde olan iki ışın aynı yönlü değilse onlara tersyönlü ışınlar denir (ya da ters yönleri vardır denir).

3.

Aşağıdaki ışınların yönünü

O1

a)

belirtiniz: a) OA ve O1A; b) OA ve O1A; c) OB ve O1A; d) OB ve O1D; O1D ve O1C; OB ve O1C.

A

b) O ≡ O 1

O

c) d)

B

O

A

B

A O ≡ O1

A

a

a||b

b D

O1

C

Bunu biliyorsunuz. Şekilde yön gösteren trafik işaretlerini görüyorsunuz. KUMANOVA ÜŞKÜP

Her işaretin neyi gösterdiğini açıklayınız. Yön sözcüğünü çok sık kullanıyoruz. Örnek: " rüzgar kuzey yönden esiyor" , uçak Üsküp - Ohru yönünde hareket ediyor v.b.

B 4.

OA ışınını çizdikten sonra : OA ışınıyla aynıyönlü olan O1A1 ve O2B2 ışınlarını çiziniz. O1A1 ve O2B2 ışınlarının yönleri nasıldır? Düzlemde OA ışınıyla aynı yönlü olacak kaç ışın çizilebilir?

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

5

Şu sonuca vardım: Bir düzlem üzerinde verilen bir OA ışınıyla aynıyönlü olan sonsuz çok ışınlar vardır.

Bir düzlemde, bir ışın ve üzerinde bulunan aynı yönlü tüm ışınların S kümesine yön denir.

S yönünü, aynı yönlü ışınlar kümesinden bir AB ışınıyla gösteriyoruz ve buna AB ışınının S yönü vardır denir. B

OA↑↑O1A1; O1A1↑↓O2A2 olmak üzere OA, O1A1 ve O2A2 ışınları veriliyor. OA ışınıyla S yönü O2A2 ışınıyla ise R yönü belirtilmiştir.

5.

S A A

Hangisi doğrudur: O1A1 ∈ S; O1A1 ∈ R?

S O

A1

O2

R

O1

A2

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız ! Hangi iki ışın aynı yönlüdür, hangileri ise ters yönlüdür. Yön nedir ve yönün ne ile gösterildiği nasıl açıklanabilir.

Şekilde a ve b doğruları birbirine paraleldir. OA, O1C ve O1B A O ışınlarından hangileri: aynı yönlüdür; ters yönlüdür; aynı yönü gösteriyorlar?

C

O1

a

B

b

Ödevler 1. a) Bir doğruya ait iki aynı yönlü ışının

3. Bir ABCD dikdörtgenini çiziniz. O noktası

kesişimi nedir? b) Bir doğruya ait iki ters yönlü ışının kesişimi nedir?

onun köşegenlerinin kesişim noktası olsun. AB, DC, BA, AO, OC ve DB ışınlarından hangileri: a) aynı yönlü; b) ters yönlüdür?

2. a) Bir doğruya ait iki aynı yönlü ışının

4. a doğrusu üzerinde OA↑↑O 1 A, ve

birleşimi nedir? b) Bir doğruya ait iki ters yönlü ışının birleşimi nedir?

6

Konu 1. Vektörler. Öteleme

O1A↑↓O2A olmak üzere OA, O1A ve O2A ışınları veriliyor. OA ve O2A ışınları nasıl yönlüdür?

2

VEKTÖRLER

Hatırlayınız !

A 1.

Sıralı çift (a, b) biçiminde gösterilir.

A ve B a doğru parçasının uç noktaları olsun. a

Her sıralı çiftte, hangi eleman birinci ve hangisi ikinci eleman olduğu tam olarak bellidir. (A, B) sıralı çiftinde, A noktası birinci eleman, B noktası ise ikinci elemandır. (5, 8) sıralı çifti bir sinema salonunda beşinci sırada sekizinci koltuğu gösteriyor. (8, 5) sıralı çifti aynı koltuğu işaret ediyor mu?

B A

Şu iddialardan hangisi doğrudur: a) ; b) AB ve BA aynı doğru parçalardır; c) {A, B} = {B, A}; d) (A, B) = (B, A)?

Şunu farkettim: a), b) ve c) iddiaları doğrudur ; d) iddiası doğru değildir, çünkü sıralı çiftlerde A ≠ B olduğu durumda (A, B) ≠ (B, A) durumda olmalıdır. Bir uç noktası başlangıç diğeri ise bitim noktası olan AB doğru parçasına yönlü doğru parçası denir ve AB ile işaret edilir. B

AB yönlü doğru parçasının uç noktaları (A, B) sıralı çiftidir. AB yönlü doğru parçası, şekilde başlangıcı A noktasında ve bitimi B uç noktasında olan bir ok ile gösteriliyor. A noktasına AB yönlü doğru parçasının başlangıcı, B noktasına ise bitimi denir.

A

a

2.

Şekilde AB, CD ve EF ışınları a, b ve c paralel doğruları üzerinde bulunuyorlar. AB, CD ve EF ışınlarının yönleri nasıldır? AB ve CD; AB ve EF doğru parçalarının uzunluklarını karşılaştırınız.

A C

AB, CD, EF yönlü doğru parçalarını inceleyiniz ve ilerde hangi durumda iki yönlü doğru parçası birbirine eşit olduğunu anlamaya çalışınız.

E

AB, CD ve EF ışınları aynı yönlü olduğunu farkettim.

=

B

b

D

c

F

;

<

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

.

7

AB ışınının belirtiği yöne, AB yönlü doğru parçasının yönü denir. Buna göre AB, CD ve EF yönlü doğru parçaları aynı yönlüdürler. AB doğru parçasının uzunluğuna, AB yönlü doğru parçasının uzunluğu ya da boyu denir. Bunu |AB| ile işaret edeceğiz. Buna göre |AB| = |CD|, ve |AB| < |EF| dir. Başlangıcı ucuyla çakışan yönlü doğru parçasına (AA, BB, ...) sıfır yönlü doğru parçası denir. Onun belli bir yönü yoktur ve uzunluğu sıfırdır. AB ve CD yönlü doğru parçaları birbirine eşit olmaları iiçin, uzunlukları

B

A

eşit ve yönleri aynı olmalıdır, yani |AB| = |CD| ve AB↑↑CD. Bunu AB = CD biçiminde yazıyoruz.

B 3.

ОА =1 olmak üzere O noktası p doğrusu üzerinde dört birim sağa doğru kaydırılmış olsun.

D

C

G

F

O

A

B

C

D

E p

O noktası p doğrusunda hangi noktaya gelecektir, yani hangi noktayla eşleşecektir? O noktası D noktasına denk geleceğini (D noktasıyla eşleşeceğini) gördüm. Bu harekette O noktası başlangıç, D noktası ise bitim noktasıdır. O ve D noktaları aslında nedir?

O ve D noktaları OD yönlü doğru parçasının uç noktalarıdır. Onlar (O, D) sıralı çiftidir.

Düzlemde bir noktanın hareketi, belli bir yönde ve belli uzaklıkta yapılmıştır. Şekilde bunu OD yönlü doğru parçasıyla gösteriyoruz. Bir AB yönlü doğru parçası verilmiş olsu. AB yönlü doğru parçasına eşit olacak kaç tane yönlü doğru parçası vardır?

O F

AB yönlü doğru parçasına eşit birçok yönlü doğru parçası çizebilirim. Böyleleri sonsuz çoktur.

D E

D

C

B

A G

Unutmayınız ! Bir yönlü doğru parçası ve ona eşit tüm yönlü doğru parçaların kümesine vektör denir. Tüm sıfır yönlü doğru parçaların kümesine sıfır vektörü denir.

8

Konu 1. Vektörler. Öteleme

H

Bu önemlidir!

a A

Vektörü yazarken bir yönlü doğru parçası ile göstereceğiz, daha doğrusu, tüm yönlü doğru parçaları kümesi adına bir temcisiyle göstereceğiz. Buna göre, yönlü doğru parçası, aslında vektördür. Vektörü AB biçiminde ya da bir küçük harf ve üzerinde bir ok ile

B D

b

C c F

E

göstereceğiz. Şekilde AB = a ; CD = b ve EF = c vektörlerini görüyorsunuz.

4.

A, B, C ve D dört nokta işaret ettikten sonra a = AB; b = DC ve c = AD vektörlerini gösteriniz.

Yönlü doğru parçaları için öğrendiklerini vektörler için de ifade edebilirsiniz. AB yönlü doğru parçasıyla a vektörü verilmiş olsun.

a

AB yönlü doğru parçasının yönü, a vektörünün yönüdür. .

B

A

AB doğru parçasının uzunluğuna a vektörünün uzunluğu (ya da şiddeti) denir. ve | a | ya da |AB| ile işaret edilir.

5.

Öyle AB ve CD

iki vektör çiziniz ki onlar:

a) aynı yönlü; b) ters yönlü olsun. a) ve b) şıklarındaki AB ve CD vektörlerini yandaki şekilde gibi çizilebilirsiniz.

a)

B

A C

b) D

A

B D

C

Şunu farkettim: Vektörün yönü, yönlü doğru parçasının yönünün belirtildiği gibi belirtilir, çünkü vektör aslında yönlü doğru parçalardır.

6.

şekilde olduğu gibi AB vektörünü çiziniz ve C ve M iki nokta işaret ediniz. A CD ↑↑ AB olmak üzere CD vektörünü çiziniz. MN ↑↓ AB olmak üzere MN vektörünü çiziniz.

B

C M

Unutmayınız!

Yönleri aynı ya da ters olan vektörlere doğrudaş vektörler denir. Buna göre AB ↑↑ CD ya da AB ↑↓ CD olduğu durumda. AB ve CD vektörleri doğrudaştır. Doğrudaş vektörlerin aynı doğrultusu vardır.

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

9

Aşağıdaki koşullara göre, a ve b iki doğrudaş vektör çiziniz:

7.

paralel doğrular üzerinde ve a ↑↑ b;

paralel doğrular üzerinde ve a ↑↓ b olsun.

aynı doğru üzerinde ve a ↑↓ b olsun.

aynı doğru üzerinde a ↑↑ b, | a | = 3 cm, | b | = 5 cm olsun. Sıfır yönlü doğru parçası, sıfır vektördür. Onu 0 ile işaret ediyoruz. Sıfır vektörü, her vektör ile doğrudaş ve uzunluğu sıfıra eşit olduğunu sayıyoruz.

Bilinmesi gereken: Yönlü doğru parçası ve vektör nedir;

Aynı yönlü, ters yönlü ve doğrudaş vektörleri tanımalısınız (açıklamasını yapmalısınız).

Kendinizi yoklayınız ! Şekilde p doğrusu q doğrusuyla paraleldir. Şekilde hangi vektörler gösterilmiştir? d

M

a A

p

F

q

b

c

N

D

E C

B

a ve b; a ve c ; b ve c vektörlerin yönleri nasıldır? a ve d vektörleri doğrudaş mıdır? Niçin? a, b ve c vektörleri doğrudaş mıdır ? Niçin?

Ödevler

3. Aşağıdaki şekilde kareli ağda vektör-

1. (A, B), (C, D) ve (E, F) sıralı çiftlerin noktalarıyla belirlenen vektörleri yazınız. 2. AB ve CD vektörleri doğrudaş olsun.

ler verilmiştir. Vektörler yönlerine göre nasıldır:

a) AB ve AC; b) AB ve EF;

c) AC ve EF;

d) PQ ve RS; d) MN ve TL;

e) EF ve PQ ?

Aşağıdaki vektörler doğrudaş mıdır: AB ve DC;

BA ve DC?

C E

Konu 1. Vektörler. Öteleme

B F P

M

10

A

T

N

Q

S R L

3

VEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİ

A

Hatırlayınız!

ABCD paralelkenarında AB = a;

1.

DC = b; AD = c; CB = d vektörleri işaretlenmiştir.

Hangi AB ve CD iki vektör için aynı yönlüdür deriz?

D

AB vektörünün uzunluğu nedir?

C

b

c

ABCD dikdörtgeninde AB = a ve DC = b vektörleri gösterilmiştir. Onların uzunluklarını karşılaştırınız ve yönlerini belirtiniz.

d

a A

B

Onların uzunluklarını karşılaştırınız; a ve b, ya D

b

C

da c ve d vektörleri yönlerine göre nasıldır?

a A

Şunu farkettim: a ve b vektörleri aynı yönlüdür ve uzunlukları eşittir.

B

Her paralelkenarın karşıt kenarları birbirine paralel ve eşittir.

c ve d vektörlerinin yönleri terstir ve uzunlukları eşittir.

Unutmayınız! Yönleri ve uzunlukları aynı olan a ve b vekörlerine eşit vektörlerdir denir, yani a = b ancak ve ancak

1. a ↑↑ b ve 2. | a | = | b |.

Yönleri ters ve uzunlukları aynı olan d ve c vektörlerine ters vektörlerdir. d vektörüne c vektörünün tersidir denir. c vektörünün tersi -c, yani d = -c biçiminde işaret edilir.

2.

a = AB vektörüne eşit olacak MN vektörünü çiziniz.

Önce AB vektörünü çiziniz, ondan sonra bir M noktasını işaret ediniz. MN vektörünün N noktasını nasıl belirteceksiniz?

M noktasından AB ışınıyla aynı yönlü olacak şekilde MD ışınını çiziyorum, ondan sonra MN=AB olacak şekilde N noktasını belirtiyorum.

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

11

Verilen bir a vektörüne eşit olacak sonsuz çok vektörlerin çizilebildiğini gördüm. Bir a vektörünün belli olması için, onun yönü S ve uzunluğu | a | = r belli olmalıdır; ya da vektörün başlangıcı A ve bitim noktası B olmak üzere (A, B) sıralı çifti verildiğinde vektör bellidir. Yönü S ve uzunluğu | a | = r verilmiş olan a vektörünü çiziniz.

3.

Aşağıdaki hareketleri inceleyiniz ve yaptığınız çözümle karşılaştırınız. Yandaki çizimde, S yönü AB ışınıyla ve a vektörünün uzunluğu verilmiştir. r=

r

P S

AB = a vektörü ve bir M noktası verilmiş olsun. MN = -a vektörünü çiziniz.

5.

Yandaki şekle göre aşağıdaki vektör çiftlerinden hangileri birbirine eşit ya da ters olduğunu belirtiniz. a) a ve b ;

d) e ve r ;

b) a ve c ;

e) g ve h ;

c) b ve c;

f) c ve n :

B 6.

D

a

M

MD ışını üzerinde = r olacak şekilde N noktasını belirtiyoruz. Bu şekilde MN = a vektör belirtilmiştir.

4.

N

A

Herhangi bir M noktasından AB ile aynı yönde olmak üzere MD ışınını çiziyoruz.

Q

B

B a

A

M b

a c

n

r

e g

h

AB = a vektörü ve O noktası verilmiştir. AB vektörüne eşit olacak OC vektörünü çiziniz. B

Gösterilen çözümü inceleyiniz ve hareketleri açıklayınız. Önce OD ışınını nasıl çizdiniz? OC vektörünün C noktasını nasıl belirttiniz?

A

a

O

C

D

a

Unutmayınız! Düzlemde AB = a vektörü ve herhangi bir O noktası verildiğinde, a vektörüne eşit olacak ve başlangıcı O noktasında olan bir tek OC vektörü vardır. a vektörüne eşit olacak OC vektörünün çizimine, a vektörünün O noktasına göçürülmesi denir.

12

Konu 1. Vektörler. Öteleme

7.

O, A, B ve C gibi dört nokta seçiniz. O noktasında AB ve BC vektörlerini göçürünüz.

8.

a ve b vektörleri veriliyor. Başlangıcı a vektörünün uç noktasında olmak üzere b vektörünü göçürünüz. Çözümü inceleyiniz ve hareketleri açıklayınız. Önce b vektörü yönünde BD ışını çiziliyor.

B b

C

D

a

BC vektörünün b vektörüyle eşit olması için C noktasını nasıl belirttiniz?

b A

İnceleyiniz ve unutmayınız! a vektörü ve göçürülen b vektörüne bağlı vektörler denir. Bir vektörün bitimi, diğer bir vektörün başlangıcı olduğu durumda onlara bağlı vektörler denir.

Bilmelisiniz: İki vektör hangi durumda birbirine eşit ya da terstir; Verilen bir vektörü, verilen bir noktaya nasıl göçürüldüğünü ve verilen bir vektörü diğer bir vektörle nasıl bağlandığını.

Kendinizi yoklayınız ! a vektörüne -b vektörünü bağlayınız. Yapılan işlemleri a açıklayınız. A

B

M

b

N

Ödevler 1. a ve b gibi iki doğrudaş vektör çiziniz ve a vektörüne b vektörünü bağla.

2. a ve b gibi iki ters vektör çiziniz ve a vektörüne b vektörünü bağlayınız.

3. Eşit vektörler doğrudaş mıdır? Açıklayınız!

4. A ve B gibi herhangi iki nokta verilmiş olsun. BA vektörü AB vektörüyle ters midir? Açıklayınız!

5. a = AB ve b = CD vektörleri verilmiş olsun. a vektörüne b vektörünü bağlayınız.

6. a, b, c vektörleri ve O noktası verilmiş

olsun. Her üç vektörü başlangıçları O noktasında olmak üzere göçürünüz.

Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

13

4

VEKTÖRLERİ TOPLAMA

Hatırlayınız!

A 1.

Verilen bir a vektörünü, verilen bir O noktasına nasıl göçürüldüğünü açıklayınız. a vektörüne b vektörünü bağlayınız. Yapılan işlemleri açıklayınız !

Düzlemde a, b vektörleri ve O noktası verilmiştir. OA = a ve AB = b

b

olacak şekilde a

O a

ve b vektörlerini göçürünüz.

c = OB vektörünü çiziniz. Yaptığınız çizimi yandaki çizimle karşılaştırınız ve kuralı açıklayınız. a = OA ve b = AB vektörünü nasıl göçürdünüz?

B

c

b

b

O a

a

A

c = OB vektörünü nasıl belirttiniz? c vektörünün hangi noktası başlangıç, hangisi ise bitim noktasıdır? O noktası a vektörünün nesidir? B noktası b vektörünün nesidir? Bu şekilde çizilen c vektörüne a ve b vektörlerinin toplamı olduğunu görünüz ve unutmayınız.

Vektörlerin toplamına ait önemli kural: a ve b gibi iki bağlı vektörün toplamı öyle bir c vektörüdür ki, başlangıcı a vektörünün başlangıcıyla, bitimi ise b vektörünün bitim noktasıyla çakışıktır, yani, a = OA ve

b=

AB , olduğu durumda a + b = OB olur. Diğer bir O1 noktasını seçiniz ve a = O1A1 ve b = A1B1 vektörlerini göçürünüz. O1B1 vektörü a ve b vektörlerinin nesidir? OB ve O1B1 vektörlerini karşılaştırınız.

Görünüz ve sonuca varınız! O1B1 = OB = c dir. İki vektörün toplamı, tek olarak bellidir ve başlangıç noktası O noktasının seçimine bağlı değildir.

2.

14

Doğrudaş olmayan a ve b vektörlerini seçiniz ve onların toplamını çiziniz.

Konu 1. Vektörler. Öteleme

a ve b vektörlerinin toplamını belirtirken, O başlangıç noktasının seçimine bağlı olmadığına göre, bu toplamı daha kolay nasıl yapabileceksiniz?

b vektörünü a vektörünün uç noktasına göçüreceğim, yani b vektörünü a vektörüne bağlayarak onların toplamını belirteceğim.

Yaptığınız çözümü verilenle karşılaştırınız.

N

Verilen vektörleri başlangıç ve uç noktalarıyla adlandırınız. b

BC = b vektörü nasıl çizilmiştir? AC vektörü a ve b vektörlerinin nesidir?

M

Gördüğünüz gibi, iki vektörün toplamı ABC üçgeninin çizimine dönüşür. Bu nedenle iki vektörün toplamının bu şekilde belirtilmesine üçgen kuralı denir.

3.

a

c= A

a, b ve c vektörleri veriliyor. Şu toplamları çizim yoluyla belirtiniz: a + b;

C

a

a

b + c.

+

b b B

c b

4.

a

AB = a ; CD = b ve EF = c vektörleri veriliyor.

A

Şu toplamları belirtiniz: a) a + b ;

b) a + c ;

c) b + c

b

B

D

C

c E

F D

a) şıkkındaki çözümü yanda görebilirsiniz. A

AB = a ; BD = b ve AD = a + b .

a

b B

Vektörlerin toplamına ait kuralın nasıl uygulandığını görüyorsunuz. Kuralı açıklayınız.

B 5.

0 sıfır ve a vektörlerinin toplamını belirtiniz.

AA = 0 ; AB = a olsun. Vektörlerin toplamı kuralına göre : 0 + a = AA + AB = AB = a geçerlidir. Benzer şekilde: a + 0 = AB + BB = AB = a elde edilir.

Genel olarak geçerlidir: Her a vektörü için 0 + a = a = a + 0 eşitliği geçerlidir.

A a

6.

a ve AA = 0 vektörleri veriliyor. 0 + a vektörünü çiziniz.

Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler

15

İki ters vektör a ve - a çizdikten sonra onların toplamını belirtiniz.

7.

a = AB ve - a = BA olsun. O halde vektörleri toplama kuralına göre: a + (- a ) = AB + BA = AA = 0

gerekir. Aynı şekilde (- a ) + a = BA + AB = BB = 0 elde edilir.

Genel olarak geçerlidir: Her a vektörü için a + (- a ) = 0 = (- a ) + a eşitlikleri geçerlidir. Doğrudaş olmayan iki vektör a ve b verilmiş olsun. a + b ve b + a toplamlarını belirtiniz.

8.

a + b ve b + a toplamlarını karşılaştırınız. Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız ve kuralı inceleyiniz. D

Bir A noktasını seçeriz. Başlangıcı A noktasında olmak üzere a vektörünü göçürüyoruz ve ona b

b

vektörünü bağlarız, yani AB = a , BC = b;

a

b

b+

a a+

AC = a + b elde edilir. ABCD paralelkenarını çizmekle, D noktasını belirtiyoruz.

A

C

a

a

b

b B

Her paralelkenarda karşıt kenarlar birbirine paralel ve eşit olduğuna göre: DC = AB = a , AD = BC = b

elde edilir.

Demek ki: AC = AD + DC = b + a ya da: a + b = b + a elde edilir.

Genel olarak geçerlidir: Herhangi iki vektör a ve b için: a + b = b + a eşitliği geçerlidir, yani vektörlerin toplamında değişme özelliği geçerlidir.

Şekle bakarak, a ve b vektörlerinin toplamını belirtmek için başka bir yöntem bulabilir misiniz?

a ve b vektörlerini, başlangıç noktaları çakışık olacak şekilde göçüreceğim (AB = a ve AD = b ), ondan sonra ABCD paralelkenarını çizeceğim. AC köşegenini belirten vektör a + b toplamıdır.

Vektörlerin bu şekilde toplamına, paralelkenar kuralı denir.

16

Konu 1. Vektörler. Öteleme

Doğrudaş olmayan a ve b iki vektörü seçiniz ve paralelkenar kuralıyla onların toplamını belirtiniz.

9.

a+

Çözümünüzü, şekilde verilen çözümle karşılaştırınız ve kuralı açıklayınız.

10.

a

C

D

b

b

B

a

A

b

ABCD dörtgeni verilmiştir. AB = a , BC = b , CD = c ve AD = d olsun.

D c

ΔACD den : AC + CD = AD olması gerekir, yani

a

A

C

c

a

Şekilde, a , b ve c vektörleri bağlı vektörler olduğunu görebilirsiniz.

+b

b+

d

( a + b ) + c = a + ( b + c ) geçerli olduğunu göstermeye deneyiniz.

b

B

(a+b)+c=d. ΔABD den: AB + BD = AD gerekir, yani a + ( b + c ) = d . Buna göre, ( a + b ) + c = a + ( b + c ) elde edilir.

Genel olarak geçerlidir: Herhangi üç vektör a , b ve c için ( a + b ) + c = a + ( b + c ), geçerlidir, yani vektörlerin toplamında birleşme özelliği geçerlidir. Bu yüzden bu toplam a + b + c biçiminde parantezleri kullanmadan da yazılabilir. .

Görünüz ve unutmayınız! Herhangi üç ya da daha çok bağlı vektörün toplamı, başlangıcı ilk vektörün başlangıcında, bitimi ise son vektörün bitiminde olan bir vektördür.

Şekilde a , b , c ve d vektörlerinin toplamı a + b + c + d = e gösterilmiştir. c

d

c

d

b a

e

b a

Doğrudaş olmayan üç vektör a , b ve c çizdikten sonra, onların toplamını çizim yoluyla belirtiniz.

Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler

17

Bilinmesi gereken:

Kendinizi yoklayınız !

Üçgen ve paralelkenar kuralıyla iki vektörün toplamı çizim yoluyla nasıl belirtilir; Vektörlerin toplamının özelliklerini ifade etmelisiniz ve uygulamalısınız.

Öyle iki vektör a ve b çiziniz ki verilen c vektörü onların toplamı olsun.

c

Ödevler

1. Şekilde olduğu gibi AB = a , CD = b ve

3. ABCD dörtgeni ve AB = a , BC = b , CD = c

PP = 0 vektörleri verilmiştir.

ve DA = d vektörleri veriliyor. Şekilden yara-

B

rlanarak aşağıdaki toplamı belirtiniz.

P

a A b

C

D

a) a + b ;

c) a + b + c ;

b) d + a ;

d) a + b + c + d . D

Aşağıda verilen vektörlerin başlangıçlarını bir M noktasında olacak şekilde çiziniz: a) - a ;

b) - b ;

c) a + b ;

d) a + 0;

e) - b + 0;

f) a + (-a ).

c d A

C b a

B

2. ABC üçgeni ve AB = a , BC = b ve CA = c vektörleri veriliyor. Aşağıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur? C

A

18

a

Şekilde b vektörünün yönü a ve c vektörlerinin yönüyle ters olarak üç doğrudaş vektör a , b , c çiziniz Şu toplamları çizim yoluyla belirtiniz:

b

c

4.

B

a) a + b = c ;

b) a + b = - c ;

c) a + c = a ;

d) a + b + c = 0 ?

Konu 1. Vektörler. Öteleme

a) a + b ;

b) a + c ;

c) b + c ;

d) a + b + c .

5

VEKTÖRLERİ ÇIKARMA

Hatırlayınız!

A 1.

a ve b vektörleri veriliyor. C b B a + b = c çiziniz.

a

A olacak şekilde c vektörünü

OA = a ve OB = b vektörleri verilmiştir.

B b

b + x = a olacak şekilde x vektörünü çiziniz.

a

O

B

Çizimi inceleyiniz (yandaki şekil) ve açıklayınız. x vektörünün başlangıç ve bitim noktası hangi noktalardır?

A

x

b a

O

A

x vektörü b vektörüne bağlı ve bitimi a vektörünün bitimiyle çakışık olması gerektiğini farkettim. Demek ki x = BA dir. Bu şekilde çizilen x vektörüne a ve b vektörlerinin farkı denir ve a - b ile işaret edilir, yani x = a - b.

Unutmayınız ! a ve b vektörlerinin farkı öyle bir x vektörüdür ki b + x = a dir. Demek ki , b + x = a ise x = a - b dir.

2.

a ve b vektörleri verilmiştir.

b

c = a - b vektörünü çizim yoluyla belirtiniz.

a

M

Çözümü izleyiniz ve kuralı öğreniniz.

c=

b

ab

a - b farkını gösteren vektörü çizmek için, önce onları herhangi bir noktada, başlangıçları çakışık olacak şekilde göçürmelisiniz, fakat daha pratik olmak için vektörlerden birini diğerinin başlangıç noktasıyla çakışık gelecek durumda göçürmelisiniz.

a

B

Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler

19

A

AB = a ve AM = b ise, a - b farkı MB = a - b vektörü olacaktır.

a

Doğrudaş olan a , b ve c vektörleri verilmiştir. Şu vektörleri çiziniz:

3.

b

a) m = a - b ; b) n = b - c.

c

Çözümü inceleyiniz ve açıklayınız. Yandaki şekle göre: O

a) OB = a ; OA = b ; AB = m = a - b ; b) OB = c ; OA = b ; BA = n = b - c olduğunu görüyoruz.

a

A

B n

b O

4.

m

b

c

A

B

| a | = 5 cm ve | b | = 3 cm olmak üzere a ve b vektörleri verilmiştir. c=a-b

vektörünü çiziniz.

C

Yandaki şekle göre aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğtudur:

5.

B

a) b + a = c ;

b) c - b = a ;

c) c = a - b ;

d) c - a = b ?

b A

a c

B

Vektörleri tanıdınız. Onların bazı özelliklerini ve onlarla bazı işlemleri öğrendiniz. İlerde matematik, fizik ve diğer bilimleri öğrenirken vektörlerin birçok uygulanmasını göreceksiniz.

Dersliğinizin uzunluğu 10 m ya da bugün hava sıcaklığı +12oC olduğunu yazarsanız, bu verilerle dersliğin uzunluğu ve bugünün hava sıcaklığını eksiksiz ifade etmiş oluyorsunuz. Uzunluk, alan, hacim, kütle, sıcaklık gibi veriler sayılarla tamamen belli oluyorlar. Bu gibi büyüklüklere skaler büyüklükler ya da daha kısa olarak skalerler denir. Rüzgar 20 km saatte hızla esiyor denilince, rüzgar hakkında bu veri yeterli midir?

6.

Bu veri yeter değildir. Çünkü rüzgarın kendi yönü de vardır, yani kuzey, güney, doğu ve b. olabilir. Doğal olarak, sayı değerinden başka, kendi yönüyle de belirlenen büyüklüklere vektöriyel büyüklükler denir. Hangi büyüklükleri, vektöriyel büyüklükler olarak biliyorsunuz?

7.

Bu gibi büyüklükler: hız, kuvvet, ivme v.b. dir.

Bir ırmağın suyu 4 m saniyede hızla akıyor. Bir kayık, suyun hareket yönüne dikey yönde bir kıyıdan diğer kıyıya 3 m saniye hızla hareket ediyor. Kayığın hareketi, hangi hızla ve hangi yönde olacağını belirtiniz.

20

Konu 1. Vektörler. Öteleme

Çözümü düşününüz, ondan sonra aşağıdaki işlemlere dikkat ediniz. v1 (|v1| = 3 m) vektörüyle kayığın sakin sudaki hızı

v2

A

gösterilmiştir. v2 (|v2| = 4 m) vektörüyle suyun hızı gösterilmiştir.

v1 v = v1 + v2 vektörüyle kayığın hareket hızı gösterilmiştir.

v=

v1

+

v2

v1 kayık

v vektörünün yönü, kayığın hareket yönüdür, v vektörünün uzunluğu ise kayığın saniyede kaç metre hareket ettiğini ifade etmektedir.

B

v2

Kayık, saniyede kaç metre hareket ettiğini ölçünüz.

Neleri bilmelisiniz: İki vektörün farkı nasıl belirtilir ve tanımı nasıl ifade edilir; İki vektörün farkı çizim yoluyla nasıl bulunur. Hangi büyüklükler skaler, hangileri ise vektöriyel büyüklüklerdir.

Ödevler 1. AB = a; CD = b ve EF = c vektörleri verilmiştir.

F

b

a A

D c

B

C Şu farkları çizim yoluyla belirtiniz:

2.

E

b) b - c ;

c) a - c ;

d) ( a - b ) - c .

b

D B Aşağıdakileri çizim yoluyla belirtiniz: a) a - b ;

b) a - 0 ;

c) 0 - a ;

d) ( a + b ) - 0.

İki doğrudaş vektör çizdikten sonra onların farkını belirtiniz.

3. a ve b doğrudaş olmak üzere a , b ve c vektörleri veriliyor. c

b ( a + b ) - c vektörünü çiziniz.

AB = a , CD = b ve MM = 0 vektörleri C verilmiştir.

A

a vektörünü çizdikten sonra, onu iki vektörün farkı gibi gösteriniz.

a

a) a - b ;

a

Kendinizi yoklayınız!

M

4. ABCD dörtgenini çiziniz ve AB = a , BC = b ile işaret ediniz. a ve b vektörleriyle a) AC; b) BD vektörünü ifade ediniz.

Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler

21

ÖTELEME

6

ÖTELEME

A 1.

Hatırlayınız ! Vektör, yönlü doğru parçası gibi gösterilir, yönlü doğru parça ise çizimde ok ile gösterilir. Şekilde, AB = a vektörü gösterilmiştir.

a

B

A a vektörünün yönü ne ile bellidir?

a vektörünün uzunluğunu belirtiniz. Hangi iki vektör a ve b için birbirine eşittir denir?

Düzlemde a vektörü ve A, B ve C noktaları verilmiştir.

AA1, BB1 ve CC1 vektörleri a vektörüne eşit olacak şekilde A1, B1 ve C1 noktalarını belirtiniz

a

B

A C

B1

A1 Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız.

a

B

A

C1

C Gördüğünüz gibi, A noktası a vektörü için A1 noktasıyla yer değiştirmiş (eşleşmiş), B noktası B1 noktasıyla ve C noktası C1 noktasıyla eşleşmiştir.. Bu yer değiştirmede A1 noktasına A noktasının resmi, A noktası ise A1 noktasının aslı denir. Hangi nokta, B noktasının resmidir, hangi nokta ise C1 noktasının aslıdır? A ve A1, B ve B1, ya da C ve C1 noktaları a vektörünün nesidir ?

A noktası a vektörünün başlangıcı, A nın resmi A1 ise uç noktasıdır. Aynısı B ve B1 ya da C ve C1 noktaları için de geçerlidir.

Bu şekilde, düzlemin herhangi X noktası bir a vektörü için yalnız bir tek X1 noktasına geldiğini (eşleştiğini) görüyorsunuz.

Unutulması gereken: Düzlem üzerinde herhangi bir M noktasına öyle bir M1 noktası karşılık gelir ki MM1 vektörü verilen a vektörüne eşit olur. Düzlemde noktaların bu gibi hareketlerine (eşleşmelerine) a vektörü için öteleme ( ya da paralel yer değiştirme) denir. Verilen a vektörüne öteleme vektörü denir. a vektörü için ötelemeyi simge olarak t a ile işaret edeceğiz.

22

Konu 1. Vektörler ve Öteleme

M ve M1 karşılıklı noktalar için: M1 noktası M noktasının resmidir ve M noktası M1 noktasının aslıdır denir. Daha da M noktasına

a vektörü için öteleme yapılmıştır denir. ta M1 noktası M noktasının resmidir ifadesi M M1 ya da M1 = t a (M) biçiminde yazılır.

2.

M

a ve b vektörleri ve bir M noktası veriliyor.

a

t a (M) ve t b (M) noktalarını belirtiniz.

b

t a (M)

Çözümünüzü yanda verilen çözümle karşılaştırınız. M noktasında a ve b vektörlerini göçürünüz.

t b (M)

Göçürülen a vektörünün uç noktası t a (M) noktasıdır.

a

M b

t b (M) noktası nasıl belli edilmiştir? M noktasına hangi ötelemeler yapılmıştır?

M noktasına t a ve t b ötelemeleri yapılmıştır.

bir a vektörüyle kaç öteleme yapılabilir?

bir a vektörüyle yalnız bir tek öteleme bellidir.

Gördüğünüz gibi, bir öteleme, bir a vektörüyle ya da M - aslı ve M1 = t a (M) - resmi olmak üzere (M, t a (M)) sıralı çifti ile bellidir.

Sıfır vektörü hangi ötelemeyi belirttiğini düşününüz.

Sıfır vektörünün başlangıcı, bitim noktasıyla çakıştığına göre, 0 vektörlü öteleme her M noktasını kendi kendine dönüştürür.

0 vektörüyle ötelemeye özdeş öteleme denir.

Bilinmesi gereken! Kendinizi yoklayınız! Ötelemenin ne olduğunu; bir öteleme ne ile bellidir; herhangi bir noktanın a vektörü için ötelenmesiyle resmi nasıl bulunur.

Öteleme vektörü a olmak üzere, A1 = t a (A) resmi verildiğinde aslı A olan noktayı belirtiniz. a

t a (A)

<teleme

23

Ödevler

2. (A, t(A))sıralı çift noktaları A

C

A

t ötelemesinin a vektörünü çiziniz.

3. (A, t(A)) sıralı çifti-

A

yle verilmiş olan t ötelemesiyle verilen bir M noktasını öteleyiniz.

A, B ve C noktalarını a vektörü için öteleyiniz.

7

t(A)

verilmiştir.

a vektörü ve A, B ve C noktaları verilmiştir. B a

1.

t(A) M

ÖTELEMENİN ÖZELLİKLERİ

Hatırlayınız !

A 1.

Ötelemenin, düzlemde noktalar arasında nasıl bir hareket olduğunu açıklayınız. Bir öteleme ne ile bellidir? Hangi iki şekil nir?

F1 ve F2 birbirine eştir de-

a vektörü ve üç farklı nokta A, B ve C1 verilmiştir.. A1 = t a (A)

C1

a

ve B1 = t a (B) noktalarını belirtiniz.

A

B

A1 ve B1 noktaları herhangi bir ötelemeyle birbiriyle çakışık durumda olabilir mi? Düşününüz. Öyle bir C noktasını belirtiniz ki, a ötelemesiyle C1 noktası onun resmi olsun. a vektörü için ötelemeyle düzlemin her noktasına onun resmi olacak düzlemde birer nokta daima karşılık gelir mi? A1 Aşağıda verilen çözümü inceleyiniz. C1 a AA1 = a , BB1 = a ve A ve B noktaları farklı noktalar olduğundan A1 ve B1 noktaları da birbirinden farklıdır. A Seçilen C1 noktası için CC1 = a vektörünü çizebilirsiniz, B C yani öyle bir C noktasını belirtmelisin ki t a ötelemesiyle resmi C1 olsun.

B1

Her ötelemenin şu özelliği vardır: A ve B farklı noktaların a vektörü için, ötelemede farklı resimleri vardır ve her C1 noktası düzlemde t a ötelemesiyle bir noktanın resmidir.

2.

AB doğru parçası ve a vektörü verilmiştir (yandaki şekil) A1 = t a (A) ve B1 = t a (B) noktalarını belirtiniz. A1B1 doğru parçası AB doğru parçasıyla paralel ve eşit olduğunu gösteriniz.

24

Konu 1. Vektörler ve Öteleme

a A

B

t a ötelemesiyle A1B1 doğru parçası AB doğru parçasının resmi olduğunu gösteriniz. A1

Çözümü inceleyiniz ve yapılan işlemleri görünüz.

X1

B1

a

A, B noktaları ve ta ötelemesiyle elde edilen A1, B1 resimleri ABB1A1 dörtgenini oluşturuyorlar. AA1 = a = BB1 olduğuna göre, ABB1A1 dörtgeninin birer karşıt kenarları birbirine eşit ve paraleldir (AA1 ve BB1). O halde ABB1A1 dörtgeni paralelkenardır.

A

X

B

X noktası AB doğru parçası üzerinde herhangi bir nokta ise, X1 = t a (X) noktası A1B1 doğru parçasına ait bir nokta olacaktır. (Niçin?) Tersine : A1B1 doğru parçasına ait herhangi bir X1 noktasının t a (X) = X1 olacak şekilde AB doğru parçası üzerinde bir X noktası bulunur. Buna göre A1B1 doğru parçası AB doğru parçasının resmidir. Yapılan incelemeden şu özelliği görebilirsiniz.

Her ötelemede, doğru parçası kendine eşit ve paralel doğru parçaya eşlenir, yani t a (A) = A1 ve t a (B) = B1 ise AB = A1B1 ve AB % A1B1 dir. Ötelemede, noktalar arasındaki mesafe değişmediğini farkedebilirdiniz. AB doğru parçası yerine AB doğrusu çizerseniz, o halde ta ötelemesiyle AB doğrusu neye eşlenecektir?

A1

a

AB doğrusu kendine paralel olacn A1B1 doğrusuna eşlenecektir.

B1

A B AB || A1B1

Genel olarak şu özellik geçerlidir. Her ötelemede, doğru, kendine paralel bir doğruya eşlenir.

3.

Bir AB doğru parçası, CD doğrusu ve bir a vektörü çiziniz. AB doğru parçasını ve CD doğrusunu a vektörü için öteleyiniz.

4.

Bir AB doğrusunu çizdikten sonra onu a = AB vektörü için öteleyiniz. AB doğrusu neye eşlenir?

5.

C

ABC üçgeni ve a vektörü veriliyor.

a

A, B ve C köşelerini a vektörü için öteleyiniz. t a (A) = A1 , t a (B) = B1 ve t a (C) = C1 olsun. ΔABC ≅ ΔA1B1C1 olduğunu gösteriniz.

B A

<teleme

25

a

Şekilde, ABC üçgeninin a vektörü için ötelenmesi gösterilmiştir. Doğru parçasının ötelenmesi özelliğini ve üçgenlerde KKK kuralını uygulayarak ΔABC ≅ ΔA1B1C1 olduğunu göstereceksiniz. Şekle bakarak, ABC üçgeni a vektörü için kaydırılmış ve A1B1C1 üçgeniyle çakışık duruma geldiğini tasarlayabilirs-

C

C1 X1

X

A

B1

B A1

iniz. A1B1C1 üçgenine t a ötelemesine göre ABC üçgeninin resmidir denir. Demek ki, ötelemede verilen bir üçgenin resmi kendine eş olan bir üçgendir. Genel olarak, F ve F1 şekilleri için, F1 in her noktasını F şeklinin en az bir noktasına eşleyen ve herhangi iki nokta A, B ∈ F için f(A) = A1, f(B) = B1 den gerektiren f: F → F1 eşlemesi varsa F ve F1 şekilleri birbirine eştir. Tersi de geçerlidir. a vektörü için ötelemede her F şekli kendine eş olan bır F1 şekliyle eşleşir. Ters öteleme vektörü - a ise F1 şeklinin her X1 noktasını, F şeklinde aslı olan X noktasına eşlediğini ,yani F şekli t- a ötelemesiyle F1 şeklinin resmi olduğunu farkedebilirsiniz. - a vektörü için öteleme ( a nın tersi ), öteleme vektörü a olan ötelemenin tersidir.

Bilinmesi gereken! Ötelemenin temel özellikleri nasıl ifade edilir ve aynıları nasıl açıklanır. Ötelemenin özellikleri pratik ödevlerde nasıl uygulanır.

Ödevler 1. Bir AB doğru parçasını çizdikten sonra

Kendinizi yoklayınız! Bir AB doğru parçasını çiziniz ve öteleme vektörü a = AB olmak üzere onu öteleyiniz.

3. Bir AOB açısını ve a vektörü çiziniz. Öteleme vektörü a açısını öteleyiniz.

olmak üzere AOB

öteleme vektörü a) verilen bir a ; b) a = BA olmak üzere öteleyiniz.

2. Bir p doğrusu ve a vektörü çiziniz. Öteleme vektörü a olmak üzere p doğrusunu öteleyiniz.

4. Merkezi O noktasında ve yarıçapı r olan bir k çemberi ve | a | = 2r olmak üzere a vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü a olmak üzere k çemberini öteleyiniz.

5. ABC üçgeni ve a vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü a) - a ; b) c = AB olmak üzere ABC üçgenini öteleyiniz.

26

Konu 1. Vektörler ve Öteleme

8

ÖTELEMENİN UYGULANMASI

Hatırlayınız ! Ötelemede: a) nokta ; c) ışın; e) açı; g) üçgen;

Öteleme uygulayarak geometriden birçok teorem ispatlanabilir ve ödevler çözülebilir. Ötelemenin nasıl uygulandığını, ilerdeki örneklerde göreceksiniz.

A

b) doğru parçası; d) doğru; f) çember ; h) kesişen iki doğru hangi şekle dönüşür?

İspatlayınız:

1.

a) Aynı yönlü kenarlı açılar birbirine eittir; b) Kenarları ters yönlü olan iki açı birbirine eşittir;

Bir AOB açısı ve a vektörünü çiziniz. Öteleme vektörü a olmak üzere BAOB açısını öteleyiniz. BAOB açısı ve BA1O1B1 resmi birbirine göre nasıldır?

c) Bir çift kenarları aynı yönlü, diğer çift kenarları ise ters yönlü olan iki açı bütünler açılardır.

Şeklleri inceleyiniz ve ispatlama yöntemini görünüz. a)

b)

B1

c)

B

B a O

B2

A1 O1 A

OA ↑↑ O1A1 OB ↑↑ O1B1

A1 O

B1

B a B1

O1

A2

A

A1 O

OA ↑↓ O1A1 OB ↑↓ O1B1

O1 A

OA ↑↓ O1A1 OB ↑↑ O1B1

Şu özellikten yararlanınız: Ötelemede her şekil kendine eş şekle dönüşür. O halde her açı, ötelemede kendine eşit (eş) açıya dönüşür. a)

OO1 = a olsun. a vektörüyle ötelenerek

AOB açısı A1O1B1 açısına dönüşür, yani

t a (BAOB) = BA1O1B1 dir. Buna göre BAOB = BA1O1B1 elde edilir. b) OO1 = a olsun. a vektörüyle ötelenerek BAOB açısı A2O1B2 açısına dönüşür, yani t a (BAOB) = BA2O1B2 dir. Buna göre “AOB = BA2O1B2 elde edilir. Ters açılar gibi BA2O1B2 = BA1O1B1 olduğunu görüyorsunuz. O halde BAOB = BA1O1B1 gerekir. Benzer şekilde c) şıkkındaki iddiayı ispatlayabilirsiniz

<teleme

27

2.

Ötelemeyi uygulayarak, üçgenin iç açıları toplamı 1800 olduğunu ispatlayınız.

β1 γ1 α1 C γ

Kaideyi inceleyiniz ve istenilenleri yapınız. AC = a ve BC = b olsun.

1

b

a

2

α açısına a vektörlü öteleme yapınız, yani t a (α) = α1 olsun.

3

α ve α1 açıları büyüklüklerine göre nasıldırlar ?

α

β

A

B

β açısına b vektörlü öteleme yapınız, yani t b (β) = β1 olsun.

4

β ve β1 açıları büyüklüklerine göre nasıldırlar ?

5

α ve β açılarının köşeleri C köşesine taşınmıştır. α ve β açılarının kenarlarına ne olmuştur? açıklayınız.

6

Neden α + β + γ = 180o dir, açıklayınız.

7

Neden γ = γ1?

3.

p, q doğruları ve a vektörü verilmiştir. q doğrusu üzerinde öyle

8

Neden α1 + β1 + γ1 =180odir? 9

q a

bir M1 noktası belirtiniz ki, t a ötelemesiyle o nokta p doğrusu üzerinde olan bir M noktasının resmi olsun.

p

Çözümün incelenmesi Ödevin çözülmüş olduğunu farzediniz (şekle bakınız). İnceledikten sonra, M ve M1 noktalarının belirtilmesi için çizimlerin yapılış usulünü görünüz. t a ötelemesiyle M1 noktası, M noktasının resmi olsun.

1

MM1 = a . Neden?

2

3

t a ötelemesiyle p1 doğrusu, p doğrusunun resmidir.

4

M1 noktasını p ve p1 doğrularının kesişimi gibi belirtebilirsiniz.

5

M noktasını belirtmek için, M1 noktası - a vektörüyle ötelenir.

28

Konu 1. Vektörler ve Öteleme

M1

q a

p1

a M

p

Çizim q p üzerinde A ve B nktalarını seçtikten sonra

1

p1

p1 = t a (p) doğrusunu çiziniz.

M1

A1 -a

p

2

M1 noktası q ve p1 doğrularının kesişimidir.

3

M = t- a (M1).

a B 1

M

A

B

Bilmelisiniz! Verilen ödevin incelemesini yaptıktan sonra, öteleme kullanarak ödevin çözümünün mümkün olup olmadığını nasıl karar verebilirsiniz.

Kendinizi yoklayınız!

B

k

AB doğrusu, k çemberi ve a vektörü verilmiştir. AB doğrusu üzerinde öyle bir nokta belirtilsin ki, a vektörlü ötelemeyle k çemberinde bir noktaya varsın.

A

O a

AB doğrusu üzerinde böyle kaç nokta vardır?

Ödevler 1.

p, q doğruları ve AB doğru parçası verilmiştir. A q

2. Verilen bir M noktasından geçen ve iki

paralel p ve q doğrularına değen bir çember çizilsin.

B

q p

M p

AB doğru parçasına eşit ve paralel olan öyle bir MN doğru parçası çizilsin ki, uç noktaları verilen p ve q doğruları üzerinde olsun.

<teleme

29

VEKTÖRLER VE ÖTELEMEYI INCELEDINIZ. BILDIKLERINIZI YOKLAYINIZ

1.

Hangi İki ışına aynı yönlüdürler denir?

7.

a ve b vektörlerini çizdikten sonra: a) c = a + b ; b) c = a - b vektörünü çiziniz.

2.

OA ışını verilmiştir. a) OA ışınıyla aynı yönlü olmak üzere O1A1 ışınını çiziniz.

8.

b) OA ışınına ters yönlü olan O2A2 ışınını çiziniz.

3.

Hangi iki vektöre doğrudaş vektörler denir?

4.

Başlangıcı verilen bir A noktası olmak üzere, öyle bir AB vektörü çiziniz ki, doğrultusu verilen bir S doğrultusuyla aynı ve |AB| = 3 cm olsun.

5.

b) CD vektörüne ters olan MD vektörü çizilsin.

30

a) -a + 0;

9.

b) 0 - b.

a vektörlü t ötelemesinde, A noktası ve onun resmi A1 noktası verilmiştir. t öte-lemesinin a öteleme vektörünü belirtiniz.

10. AB doğru parçası ve a = AB vektörü

verilmiştir. Öteleme vektörü -a olmak üzere AB doğru parçasını öteleyiniz.

AB, CD vektörleri ve M noktası verilmiştir. a) AB vektörüne eşit olan MN vektörü;

6.

a, b ve MM = 0 vektörleri verilmiştir. Başlangıcı verilen A noktasında olmak üzere şu vektörleri çiziniz:

Birbirine ters olan a ve b vektörlerini çiziniz. Ondan sonra a vektörüne b vektörünü bağlayınız.

Konu 1. Vektörler ve Öteleme

11. k(O, r), k1(O1, r1) çemberleri ve p doğrusu verilmiştir. Öyle bir q doğrusu çiziniz ki, p doğrusuna paralel olsun ve çemberleri kestiğinde eşit kirişler elde edilsin.

12. Kesişen iki çember k1 ve k2 verilmiştir. Kesişim noktalarından birinden öyle bir p doğrusu çizilsin ki, çemberlerde p doğrusuna ait kirişler birbirine eşit olsun.

KONU 2.

ÜSLÜ İFADELER. KAREKÖK.

DOĞAL SAYILI ÜSLÜ KUVVETLER 1. Kuvvet (Üslü ifade) 2. Sayıyı Kuvvet Biçiminde Göstermek Sayı İfadesinin Hesaplanması KUVVETLERLE İŞLEMLER 3. Aynı Tabanlı Kuvvetlerin Çarpımı ve Bölümü 4. Kuvvetin Kuvveti, Çarpımı ve Bölümü

32 35

39 42

RASYONEL SAYININ KARESİ VE KAREKÖKÜ 5. Sayının karesi. Karekök 6. Karekökün hesaplanması - zorunlu değildir

49

REEL SAYILAR 7. İrasyonel Sayılar 8. Reel Sayılar Kümesi Bildiklerinizi Yoklayınız

52 54 56

45

22 + 3 ⋅ 4cü doğum gününüz kutlu olsun

Doðal Sayýlý Üslü Kuvvetler

31

DOĞAL SAYILI ÜSLÜ KUVVETLER

1

KUVVET (ÜSLÜ İFADE) Amip, tekhücreli hayvandır. O basit ayrışma ile çoğalır. Her amip iki yeni amipe ayrılır.

A

Hatırlayınız ! Aynı toplananların toplamı kısaca çarpım biçiminde yazılır. 3+3+3+3=4⋅3 Şu toplamları çarpım biçiminde yazınız:

1.

Bir boyalı daire bir amibi göstermiş olsun. Bir amipden çoğalan amip sayısını inceleyiniz.

36 + 36 = 120 + 120 + 120 + 120= Aynı çarpanların çarpımı kısaca kuvvet biçiminde yazılabilir. 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63

Birinci ayrışma 2=2

Şu çarpımları kuvvet biçiminde yazınız:

İkinci ayrışma 2 ⋅ 2 = 22 = 4

2⋅2⋅2⋅2= Üçüncü ayrışma

18 ⋅ 18 =

2 ⋅ 2 ⋅ 2= 23 = 8 Amipin dördüncü ayrışmasında elde edilecek sayıyı, eşit çarpanların çarpımı biçiminde yazınız. Amipin dördüncü ayrışmasını kuvvet biçiminde yazınız. Dördüncü ayrışmadan sonra amip sayısı kaçtır? 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 çarpımını kısaca 24 biçiminde yazıyoruz (" iki üssü dört" ya da "iki üzeri dört" diye okunur) ve onun sayı değeri 16 dır.

Demek ki, 24 kuvveti, 2 sayısına eşit 4 tane eşit çarpanın kısa yazılışıdır.

Genel olarak a sayısına eşit n tane çarpanın çarpımı an biçiminde yazılır ve a nın kuvveti denir, yani ,

a $ a $ a $ $ $ $ a = an . 1 4 4 44 2 444 43 a1 = a sayılır.

2. 32

n defa

Verilen çarpımı kuvvet biçiminde yazınız: (- 3,2) ⋅ (- 3,2) ⋅ (- 3,2);

Konu 2. Üslü Ýfadeler. Karekök

kuvvet

a

n

üs kuvvetin derecesi kuvvetin tabanı

okunuşu: "a üzeri ne" ya da "a üssü ne". 712 kuvvetini okuyunuz.

34 ifadesini çarpÄąm biçiminde yazÄąnÄąz ve deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz.

B

Bir sayÄąnÄąn kuvvetinin sayÄą deÄ&#x;erini belirtme iĹ&#x;lemine kuvvet alma iĹ&#x;lemi denir.

Kuvvet alma iĹ&#x;lemi yapÄąlmÄąĹ&#x; olan Ăśrneklere bakÄąnÄąz.

3.

34 = 3 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 3 = (3 â‹… 3) â‹… (3 â‹… 3) = 9 â‹… 9 = 81 ya da 3 â‹… (3 â‹… 3 â‹… 3)= 3 â‹… 27 = 81

F

(- 4) 4)22 == ((- 4) 4) â‹…Ă— ((- 4) 4) = = 16 16 ((- 4) 4)33 = = ((- 4) 4) Ă—â‹… ((- 4) 4) Ă—â‹… ((- 4) 4) == 16 16 Ă—â‹…((-4) 4)==--64 64 ( § ¡ =§ ¡ â‹… § ¡ â‹… § ¡ â‹… § ¡= ¨ ¸ =¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸= Š š Š š Š š Š š Š š

â‹…

=

=

En uygun olan birleĹ&#x;me ĂśzelliÄ&#x;inden yararlanÄąnÄąz. ĂœslĂź ifadenin tabanÄąnÄąn ve deÄ&#x;erinin iĹ&#x;aretine dikkat ediniz. Hele ĂźssĂź çift ya da negatif olduÄ&#x;u durumlarÄą inceleyiniz.

= Ă— =

F (-(-11 1)1)== 11==â‹…Ă— (-(-11 Ă—â‹…1)1)11 Ă—â‹…â‹…Ă—11(-(-Ă—â‹… 11)1)1 Ă—â‹…â‹…Ă—11(-(-Ă—â‹…111)1)====11-- 11 77

33

(- 1) 1)66 = = (((- 1) 1) Ă—â‹… ((- 1) 1) Ă—â‹…((-1) 1)Ă— â‹…((-1)1)Ă— â‹…(-(-1)1)Ă— (â‹… (-1)1)= =1 1

F 000 ===00 â‹…Ă— 00 Ă—â‹… 00 Ă—â‹… 00 Ă—â‹… 00 Ă—â‹… 00 ==00 66

TabanÄą 1 olan kuvvetin deÄ&#x;eri ne kadardÄąr, tabanÄą (-1) olan kuvvetin deÄ&#x;eri ise ne kadardÄąr? TabanÄą 0 olan kuvvetin deÄ&#x;eri, ĂźssĂźnĂźn deÄ&#x;erine baÄ&#x;lÄą mÄądÄąr?

99 99

0 = ˜ ˜ ˜ ˜

˜ = 0 9 sÄąfÄąr

AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki kuvvetlerin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

(1,2) 3 =

; (- 5) 4 =

; (- 3) 3 =

§ ¡ ; ¨ ¸ = Š š

; 018 =

; 16 =

;

71 =

.

AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki tablo, bir kuvvetin tabanÄą ve ĂźssĂźne gĂśre nasÄąl sayÄą olduÄ&#x;unu anlamak için yardÄąmcÄą olacaktÄąr. Kuvvetin tabanÄą Pozitif sayÄą 1 0 Negatif sayÄą Herhangi sayÄą

ĂœssĂź Herhangi doÄ&#x;al sayÄą

Kuvvetin deÄ&#x;eri

Çift sayĹ Tek sayĹ

Pozitif sayÄą 1 0 Pozitif sayÄą Negatif sayÄą

1

SayÄąnÄąn kendisi

DoĂ°al SayĂ˝lĂ˝ ĂœslĂź Kuvvetler

33

Tablodaki kurallardan yararlanarak, aşağıdaki kuvvetlerin değeri nasıl sayı olduğunu belirtiniz.

4.

63; (- 6)3;

; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020.

;

(- 2)3 kuvvetinin değeri hesap makinesiyle nasıl hesaplandığını görünüz.

5.

x -2 y 3 =

-2

⋅

Hesap mak. klavyesinde yx ya da xy tuşları varsa

-8

=

4

=

klavyede yx ya daxy tuşları yoksa

-8

Hesap makinesi kullanarak aşağıdakileri hesaplayınız. 33 =

;

0,5 10 =

;

(- 1,2) 4 =

;

(-136)3 =

Neleri bilmelisiniz: Kuvvet, kuvvetin tabanı ve üssü nedir (kuvvetin derecesi) ; Kuvvetin sayı değeri nasıl belirtilir; Kuvvetin sayı değeri nasıl sayı olduğu tahmin edilmesi.

; 152 =

.

Kendinizi yoklayınız ! a n kuvvetiyle ilgili hangisi doğrudur: a) a kuvvet, n ise kuvvetin tabanıdır; b) n sayısı, a sayısının kaç defa çarpan olarak alındığını gösterir. c) a < 0 ve n tek sayı ise, a n kuvvetinin değeri pozitif sayıdır. a n için yukarıda iddia edilenlerden yanlış olanları düzeltiniz ve yazınız.

Cevaplamaya çalışınız! - 4x6 ifadesi kuvvet değildir, (- 4x)6 ise kuvvettir. Niçin? Her iki ifadeyi çarpım biçiminde yazınız. Farkı göreceksiniz.

Yosun problemi Bir bardakta yosunlar vardı. Yosunların katılma özelliğine göre, sayısı her gün iki katına çıkıyor. Bardağın dolması için 10 gün gerekiyormuş. Kaç gün sonra bardağın yarısı yosunla dolmuştur? Cevabınızı açıklayınız.

34

Konu 2. Üslü Ýfadeler. Karekök

Ödevler 1. Her kuvvetin tabanını ve üssünü belirtiniz:

3. Kuvvetleri, çarpım biçiminde yazınız: 64 =

63; 36; 4,267; (3p)m; (-x + 4) p; (- p8)4;

;

2. Verilen çarpımları kuvvet biçiminde yazınız: ;

x⋅x⋅x⋅x⋅x⋅x=

;

6⋅6⋅6⋅6⋅6= ⋅

2

=

;

;

; (m3)4 =

;

=

.

Her kuvvetin değerini hesaplayınız: (- 2)5 =

;

(- 5)2 =

;

;

⋅

(x + 6) ⋅ (x + 6) =

=

4.

(a + b) ⋅ (a + b) ⋅ (a + b) =

;

; 020. (- 2)4 =

(- 2,5) ⋅ (- 2,5) =

(- x + 3)3=

=

;

(- 0,6 )7 =

;

;

.

Sonuçları hesap makinesiyle yoklayınız.

SAYIYI KUVVET BİÇİMİNDE GÖSTERMEK İFADENİN SAYI DEĞERİNİN HESAPLANMASI

Hatırlayınız !

A 1.

10 ⋅ 10 ⋅ 10 çarpımı, kuvvet gibi 103 biçiminde yazılır. 103 kuvvetinin tabanını ve üssünü belirtiniz.

Ondalık birim

106 kuvvetini, iki basamaklı eşit çarpanların çarpımı biçiminde yazınız.

100 10 000 100 000 1 000 000

Her ondalık biriminde sıfırlar sayısını, çarpımda çarpanlar sayısını ve kuvvet biçiminde yazılışta üs olan sayıyı karşılaştırınız.

Tabloda bazı ondalık birimler, aynı çarpanların çarpımı ve 10 tabanlı kuvvet biçiminde yazılmıştır.

Çarpım

Kuvvet

10 ⋅ 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

102 104 105 106

Ondalık birimin sıfır sayısı, bu birimin 10 tabanlı kuvvet biçiminde yazılışında kuvvetin üssüne eşit olduğunu farkettim.

Doðal Sayýlý Üslü Kuvvetler

35

Aşağıdaki tümcelerde verilmiş olan sayıların her birini kuvvet biçiminde yazınız:

2.

Neptun'un kütlesi yaklaşık kilogramdır.

Ay'ın kütlesi yaklaşık

kilogramdır.

Güneşin kütlesi, ayın kütlesinin yaklaşık on milyon katıdır. Güneşin kütlesini kuvvet biçiminde yazınız. Benim kütlem 10 7 defa daha çoktur

Verilen kuvvetleri çarpım biçiminde yazınız: 109; 1011; 1010. 107 kuvvetine eşit olan ondalık birimi yazınız.

3.

Bir sayı ve ondalık birimin çarpımı biçiminde yazılabilen sayılar, bir sayı ve 10 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde de yazılabilir. Örnek: 265 000 000 = 265 ⋅ 1 000 000 = 265 ⋅ 106.

4.

Işığın hızı saniyede 300 000 kilometredir. Işığın hızını bir sayı ve 10 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde yazınız. Işığın bir yılda geçtiği yola ışık yılı denir. Bir ışık yılı kaç kilometredir?

Hatırlayınız ! 1 yıl = 365 gün; 1 saat = 60 dakika; 1 ışık yılı

1 gün = 24 saat; 1 dakika =60 saniye;

Işık yılını iki sayının çarpımı gibi gösteriniz. Öyle ki, çarpanlardan biri tabanı 10 ve üssü 8 olan kuvvet olsun.

= 300 000 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 =

Şimdiye dek, büyük sayıların, bir sayı ve 10 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde gösterilebildiğini gördünüz. Benzer şekilde küçük sayılar da, tabanı 0,1 olan kuvvet şeklinde ya da bir sayı ve 0,1 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde yazılabiliyorlar.

B 5.

36

Tabloda aynı çarpanların çarpımı ve 0,1 tabanlı kuvvet biçiminde yazılmış olan ondalık sayıları görünüz.

Konu 2. Üslü Ýfadeler. Karekök

Sayı 0,01 0, 001 0,0001 0,00001

Çarpım biçiminde yazılışı Kuvvet 0,1 ⋅ 0,1 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1 ⋅ 0,1

0,12 0,13 0,14 0,15

OndalÄąk sayÄąnÄąn virgĂźlden sonraki basamak sayÄąsÄąnÄą ve aynÄą sayÄąnÄąn kuvvet biçiminde yazÄąlÄąĹ&#x;Äąndaki ĂźssĂź karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz.

6.

OndalÄąk sayÄąnÄąn virgĂźlden sonraki basamak sayÄąsÄąnÄą ve aynÄą sayÄąnÄąn kuvvet biçiminde yazÄąlÄąĹ&#x;Äąndaki ĂźssĂź aynÄą olduÄ&#x;unu farkettim.

0,0000000001 ve 0,0000001 sayĹlarĹnĹ 0,1 tabanlĹ kuvvet biçiminde yazĹnĹz: 0,1 tabanlĹ kuvveti ondalĹk sayĹ biçiminde yazĹnĹz:

; 0,19 =

0,11 =

.

Her ondalĹk sayĹ, biri 0,1 tabanlĹ kuvvet olmak ßzere, iki çarpanĹn çarpĹmĹ biçiminde yazĹlabilir.

7.

Ă–rneÄ&#x;e bakÄąnÄąz:

0,007 = 7 â‹… 0,001 = 7 â‹… (0,1 â‹… 0,1 â‹… 0,1) = 7 â‹… 0,13

AĹ&#x;aÄ&#x;Äądakileri, bir tam sayÄą ve 0,1 tabanlÄą kuvvetin çarpÄąmÄą biçiminde yazÄąnÄąz. 0,3 =

;

0,0008 =

;

HatĹrlayĹnĹz! Noktalar çizgiciklerin Ünßnde gider

Fakat, Ăśnce parantezlerde

0,000362 =

B

8. HesaplayÄąnÄąz:

¡ § 3 + ¨ ¸- 2 = š Š

.

Ä°Ĺ&#x;lem sÄąrasÄą

SayÄą ifadesi (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) â‹… 2

parantezler

810 : (-3)4 - (63 : 8) â‹… 2 =

ßçßncß derece

= 810 : 81 - (216 : 8) â‹… 2 =

ikinci derece

= 10 - 27 â‹… 2 =

birinci derece

= 10 - 54 =

sonuç

- 44

1,05 =

;

.

Kuvvet alma iĹ&#x;lemi ßçßncĂź derece iĹ&#x;lemdir.

Verilen ifadenin sayÄą deÄ&#x;erinin hesaplanmasÄąna dikkat ediniz. (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) â‹… 2.

Ben ßçßncß sĹrada fakat birinciyim

2

a

n

1

+ -

DoĂ°al SayĂ˝lĂ˝ ĂœslĂź Kuvvetler

3 37

Bir ifadenin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplarken, kuvvet alma iĹ&#x;lemi ikinci derece iĹ&#x;lemlerden (çarpma ve bĂślmeden) Ăśnce yapÄąlÄąr, sonunda ise birinci derece (toplama ve çĹkarma) iĹ&#x;lemleri yapÄąlÄąr; parantezlere de dikkat edilmelidir.

Verilen ifadenin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

a) 620 + 3 â‹… 5 - 147 : (- 7) = 2

2

§ ¡ § ¡ ; b) 32 Ă— ¨ ¸ - 16 : ¨ ¸ + 20 : (- 1)123 = Š š Š š

.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

Neleri bilmelisiniz: BĂźyĂźk ve kßçßk sayÄąlarÄąn kuvvet biçiminde nasÄąl yazÄąldÄąÄ&#x;ÄąnÄą; SayÄą ifadesinin deÄ&#x;erini hesaplarken iĹ&#x;lemlerin sÄąrasÄąnÄąn uygulanmasÄąnÄą.

YerkĂźrenin alanÄą 510 000 000 km2 dir. Bu sayÄąyÄą çarpanlardan biri 10 tabanlÄą kuvvet olmak Ăźzere iki sayÄąnÄąn çarpÄąmĹĹ Ĺ&#x;eklinde gĂśsteriniz. SayÄą ifadesinin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplarken toplama, çĹkarma , çarpma, bĂślme ve kuvvet alma iĹ&#x;lemleri hangi sÄąraya gĂśre yapÄąldÄąÄ&#x;ÄąnÄą yazÄąnÄąz.

Ă–devler 1. Çarpanlardan biri 10 tabanlÄą kuvvet olmak Ăźzere, aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki tĂźmcelerde rastlanan sayÄąlarÄą iki çarpanÄąn çarpÄąmÄą biçiminde ya da tersine yazÄąnÄąz: Yupiterin kĂźtlesi yaklaĹ&#x;Äąk tondur.

2. HesaplayÄąnÄąz:

38

;

26783 â‹… 102 =

6,9 â‹… 102 =

;

0,45 â‹… 103 =

15 â‹… 0,13 =

;

0,392 â‹… 0,12 =

hesaplayÄąnÄąz:

(16 - 13)2 : 3 = =

MarsÄąn kĂźtlesi, yaklaĹ&#x;Äąk 6,4 â‹… 1020 tondur. Ä°nsan vĂźcudunda, yaklaĹ&#x;Äąk 0,1 â‹… 1015 hĂźcre vardÄąr.

435 â‹… 104 =

3. Verilen ifadenin sayÄą deÄ&#x;erini

; ; .

Konu 2. ĂœslĂź Ă?fadeler. KarekĂśk

;

;

43 + 4 Ă— (8 : 23) =

;

˜

= ˜

.

4. 6 : 3 + 3 â‹… 32 sayÄą ifadesine dikkat ediniz. AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki ifadenin deÄ&#x;eri doÄ&#x;ru olmasÄą için parantezleri nerede koymalÄąsÄąnÄąz? 6 : 3 + 3 â‹… 32 = 45; 6 : 3 + 3 â‹… 32 = 9; 6 : 3 + 3 â‹… 32 = 29.

KUVVETLERLE Ä°ĹžLEMLER

3

AYNI TABANLI KUVVETLERÄ°N ÇARPIMI VE BĂ–LĂœMĂœ

A 1.

HatÄąrlayÄąnÄąz !

Kuvvetlerin çarpĹmĹ

a n kuvveti çarpĹm biçi-

$ a $ $ $ $ a = an minde 1a4$ a44 4 2 4444 3

2233 â‹…Ă— 2 222

n defa

Ĺ&#x;eklinde yazÄąlÄąr. a1 = a.

(-3) (-3)22 â‹…Ă— (-3) (-3)

Verilen kuvvetleri çarpĹm biçiminde yazĹnĹz

73 =

; (- 2)2 =

Kuvvetlerin çarpĹmĹyla ilgili tabloyu inceleyiniz:

Ăˆ Ă˜ â‹…Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ Ă— ÉÊ ÙÚ

.

5544 â‹…Ă— 5 522

Kuvvetlerin çarpÄąm biçiminde Kuvvetlerin yazÄąlÄąĹ&#x;Äą çarpÄąmÄą (2 2) = = (2 â‹…Ă— 22 â‹…Ă— 2) 2) â‹…Ă— (2 (2 Ă—â‹… 2) 3+2 = 255 2 23+2 =2 22 â‹…Ă— 22 â‹…Ă— 2 2 Ă—â‹… 22 2 â‹…Ă— 2 ((-3) ((-3) â‹…Ă— (-3)) (-3)) â‹…Ă— (-3) (-3) = = 2+1 (-3)2+1 = (-3) = (-3) (-3)33 (-3) (-3) â‹…Ă— (-3) (-3) â‹…Ă— (-3) (-3) Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ÉÊ š š š ÙÚ Ă— ÉÊ š š š ÙÚ = â‹… = Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ = =É Ă™ ÉÊ ÙÚ ĂŠ Ăš š š š š š š š (5 (5 Ă—â‹… 5) 5) == (5 â‹…Ă— 55 â‹…Ă— 55 â‹…Ă— 5) 5) â‹…Ă— (5 4+2 = 5 5 54+2 =5 55 â‹…Ă— 55 â‹…Ă— 55 â‹…Ă— 5 5 Ă—â‹… 55 Ă—â‹… 55

AynÄą tabanlÄą iki kuvvetin çarpÄąmÄąnda: Elde edilen çarpÄąmÄąn tabanÄą aynÄą kalÄąr; ÇarpÄąmÄąn ĂźssĂź, çarpanlarÄąn Ăźslerinin toplamÄąna eĹ&#x;ittir. YukarÄądaki tabloda, son Ăśrnekteki çarpÄąmda elde edilen kuvvetin ĂźssĂź hangi sayÄądÄąr ? AynÄą tabanlÄą iki kuvvetin çarpÄąmÄą, tabanÄą çarpanlarÄąn tabanÄąna eĹ&#x;it, ĂźssĂź ise çarpanlarÄąn Ăźslerinin toplamÄąna eĹ&#x;it olan bir kuvvettir.

2.

Unutmamak için:

am â‹… an = am + n

Verilen çarpÄąmlarÄą belirtiniz: a4 â‹… a5; ( - 2)7 â‹… (- 2)2; (a - 3) â‹… (a - 3)6. Kuvvetlerin çarpÄąmÄąnÄą yazÄąnÄąz: x5 â‹… x6 = ; ( - k)p â‹… (- k)m = .

3.

Bu da kolaydÄąr. TabanÄą aynÄą yazar, kuvvetlerin Ăźslerini toplar Ăźs olarak yazarÄąm.

(x2 â‹… x4) â‹… x3 çarpÄąmÄąnÄą hesaplÄąyoruz : (x2 â‹… x4) â‹… x3 = (x2 + 4) â‹… x3 = x6 â‹… x3 = x6 + 3 = x9

am â‹… an â‹… ap = am+n+p

Verilen çarpÄąmlarÄą, kuvvet biçiminde gĂśsteriniz: b3 Ă— (b7 Ă— b2) =

.

§ ¡ § ¡ § ¡ § ¡ ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ = Š š Š š Š š Š š

.

Kuvvetlerle Ă?Ăžlemler

39

69 kuvvetini ßç çarpanÄąn çarpÄąmÄą biçiminde yazÄąnÄąz. Birçok çÜzĂźmĂź olduÄ&#x;unu gĂśrebilirsiniz. Siz yalnÄąz iki çÜzĂźmĂź yazÄąnÄąz. Çarpanlardan biri a7 olan bir çarpÄąm a97 dir. Ä°kinci çarpan hangisidir? 63 â‹… 6 = 612 çarpÄąmÄąnda, eksik olan Ăźs hangi sayÄądÄąr?

4.

HatÄąrlayÄąnÄąz!

B 5.

a, b ve n doÄ&#x;al sayÄąlar ve n sayÄąsÄą a ve b nin bĂśleni ise: D D Q . geçerlidir. E E Q

Kuvvetlerin Kuvvetlerin çarpÄąm biçiminde bĂślĂźmĂź yazÄąlÄąĹ&#x;Äą

Kesirleri kÄąsaltÄąnÄąz: š š ; ; ; . ; ; š ; š š . Ă–rnek:

AynĹ tabanlĹ kuvvetlerin bÜlßmßne ait tabloyu inceleyiniz. ÇÜzßm

255 : 222

š š š š =2Ă—2Ă—2 =2â‹…2â‹…2 š

5-2 = 233 25-2

(-3)22 : (-3)

š

= (-3)

= (-3)

2-1 = (-3) (-3)2-1

577 : 533

š š š š š š =5Ă—5Ă—5Ă—5 =5â‹…5â‹…5â‹…5 š š

7-3 = 544 57-3

966 : 9

š š š š š =9Ă—9Ă—9Ă—9Ă—9 =9â‹…9â‹…9â‹…9â‹…9

6-1 = 9 96-1

ya da = = š = = š

AynÄą tabanlÄą iki kuvvetin bĂślĂźmĂźnde Ĺ&#x;unu farkedebilirsiniz: BĂślĂźmĂźn tabanÄą, bĂślĂźnenin ve bĂślenin tabanÄąyla aynÄądÄąr. BĂślĂźmĂźn ĂźssĂź, bĂślĂźnenin ve bĂślenin Ăźslerinin farkÄąna eĹ&#x;ittir. Tablodaki son Ăśrnekte eksik olan kuvvetin ĂźssĂź hangi sayÄądÄąr? Unutmamak için:

AynÄą tabanlÄą (sÄąfÄąrdan farklÄą) kuvvetlerin bĂślĂźmĂź, tabanÄą aynÄą, ĂźssĂź ise bĂślĂźnen ve bĂślenin m ve n, m > n farkÄąna eĹ&#x;it olan bir kuvvettir.

Verilen bĂślĂźmĂźn nasÄąl hesaplandÄąÄ&#x;ÄąnÄą gĂśrĂźnĂźz: (-6)5 : (-6)3 =

6.

(-6)5 : (-6)3 =

=

š

a≠0

a m : a n = a m - n; m > n .

= (-6)3 + 2 - 3 = (-6)2.

Ya da daha kÄąsa olarak: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2. HesaplayÄąnÄąz: 16 : 16 = 9

7. 40

3

;

(-3,5) : (-3,5) = 7

2

;

106

100

: 106 = 99

;

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ

Ăˆ Ă˜ : ÉÊ ÙÚ =

BĂślĂźnen ve bĂślenin Ăźsleri aynÄą olduklarÄą durumda, aynÄą tabanlÄą kuvvetlerin bĂślĂźmĂźnĂź izleyiniz.

Konu 2. ĂœslĂź Ă?fadeler. KarekĂśk

.

a ≠0 ise, a n :: a n = =

DQ DQ

=1 1 elde edilir, çßnkĂź pay ve payda birbirine eĹ&#x;ittir. =

AynĹ tabanlĹ kuvvetlerin bÜlßmß kuralĹnĹ uygulayarak : a n : a n = a n - n = a o elde edilir. Birinci durumda sonuç 1, ikinci durumda ise sonuç a o elde edildi

a o = 1 olduÄ&#x;unu sayacaÄ&#x;Äąz.

BĂślĂźmleri belirtiniz: (-6)3 : (-6)3 =

8.

;

12,02100 : 12,02100 =

;

(a -1)5 : (a -1)5 =

;

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ

Ăˆ Ă˜ : ÉÊ ÙÚ

=

.

AynÄą tabanlÄą kuvvetlerin bĂślĂźmĂźnde, bĂślĂźnenin ĂźssĂź bĂślenin ĂźssĂźnden kßçßk olduÄ&#x;u durumda elde edilen sonuca dikkat ediniz. = = . (-2)6 : (-2)8 =

š

HesaplayÄąnÄąz: (-13)4 : (-13)7 =

Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ : ÉÊ ÙÚ =

;

;

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki kurallarÄąn uygulanmasÄąnÄą: a m â‹… a n = a m + n,

AynÄą tabanlÄą kuvvetlerin çarpma kuralÄąnÄą ifade ediniz. AynÄą tabanlÄą kuvvetlerin bĂślĂźmĂź nasÄąl yapÄąlÄąr. AçĹklayÄąnÄąz. TabanlarÄą eĹ&#x;it (sÄąfÄąrdan farklÄą) ve Ăźsleri eĹ&#x;it olan iki kuvvetin bĂślĂźmĂź hangi sayÄądÄąr?

m, n ∈ N;

a m : a n = a m - n, a ≠0 ve m > n; a m : a n = Q P , a ≠0 ve m < n; D a n : a n = a 0 = 1,

a ≠0 ve n ∈ N.

Herhangi tabanlÄą a ≠0 , ĂźssĂź 0 olan kuvvetin deÄ&#x;eri hangi sayÄądÄąr?

Ă–devler 3. Verilen kuvvetlerin bĂślĂźmĂźnĂź hesaplayÄąnÄąz: 1. Verilen kuvvetlerin çarpÄąmÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz: x5 â‹… x15 =

; y100 â‹… y2 =

x3 â‹… x5 â‹… x2 =

;

615 â‹… 6100 =

; (-b) â‹… (-b)5 â‹… (-b)10 =

; .

2. EĹ&#x;itliklerin doÄ&#x;ru olmasÄą için, kareciklerde hangi sayÄąlar yazÄąlmalÄądÄąr: a6 â‹…

9

p4 â‹… p â‹…

= a15; 4

= p10?

7 â‹…7

174 : 172 = x9 : x12 = 6

=7 ; 135

;

6

12 : 12 =

1,14 : 1,1 =

;

35 : 318 = ;

;

a3 : a3 =

.

4. Verilen her ifadenin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz; š

100

;

= =

;

š

;

= =

2 Ă— 32 - 6 Ă— + 5 Ă— (75 : 72) = 2 â‹… 32 - 6 â‹… + 5 â‹… (75 : 72) =

;

; .

.

Kuvvetlerle Ă?Ăžlemler

41

N

5. k = 2 ve k = -2 için N

ifadesinin sayı değerini hesaplayınız. Kaç bakteri vardır?

Bir üründe, bakteri sayısı her 6 dakikada iki katına çoğalıyor.

6.

İlk anda üründe 1 bakteri olduğuna göre, 1 saat sonra kaç bakteri olur?

4

KUVVETİN KUVVETİ, ÇARPIMI VE BÖLÜMÜ

Hatırlayınız !

A 1.

a3 kuvveti şu şekilde yazılır: a3 = a ⋅ a ⋅ a

Kuvvetin tabanı ve üssü nedir? Görüldüğü gibi 23 ifadesi kuvvetin tabanıdır, (23)4 - ifadesi ise kuvvetin kuvvetidir.

Şu kuvvetleri çarpım biçiminde yazınız: È Ø ; b) É Ù = ; a) (-6)2 = Ê Ú c) (x + y) = 3

(23)4 ifadesi bir kuvvettir.

(23)4 ifadesini eşit çarpanların çarpımı biçiminde yazınız.

;

Aynı tabanlı kuvvetlerin çarpımı kuralını yazınız.

Kuvvetin çarpım biçiminde yazılışı: (23)4 = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 biçimindedir.

(23)4 kuvvetini 2 tabanlı kuvvet biçiminde yazabilir misiniz? (23)4 kuvvetin kuvvetini almak için daha kısa ve kolay yöntem görebilir misiniz?? Kuvvetin kuvvetini almak için, kuvvetin tabanına, üslerin çarpımı üs olarak yazılır.

Kolay! (23)4 = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = = 23+3+3+3 = 212. ya da (23)4 = 23 ⋅ 4 = 212.

Demek ki, taban aynı kalır, üsler ise çarpılır.

(a m)n = a m ⋅ n 2.

Örnek : (x4)2 = x4 ⋅ 2 = x8.

Hesaplayınız: (0,2 ) = 3 2

42

;

ÈÈ Ø Ø ÉÊ ÉÊ ÙÚ ÙÚ =

Konu 2. Üslü Ýfadeler. Karekök

;

((ab)2)4 =

.

3.

š Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ĂˆĂˆ Ă˜ Ă˜ Ă— É Ă™ = Ă— É Ă™ = ÉÊ ÙÚ = ÉÊ ÙÚ . Ă–rneÄ&#x;e bakÄąnÄąz ÉÊ ÙÚ Ă— É ÉÊ ÙÚ Ă™ = ĂŠ Ăš ĂŠ Ăš ĂŠ Ăš

š

Ä°fadeleri sadeleĹ&#x;tiriniz:

B 4.

=

(-4)8 : ((-4)2)4 =

;

.

Verilen ifadelerin sayÄą deÄ&#x;erini belirtiniz: ve b) 32 â‹… 52 = . a) (3 â‹… 5)2 =

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź, verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz: b) 32 â‹… 52 = (3 â‹… 3) â‹… (5 â‹… 5) = 9 â‹… 25 = 225. a) (3 â‹… 5)2 = 152 = 15 â‹… 15 = 225. a) ve b) Ĺ&#x;ÄąklarÄąndaki sayÄą deÄ&#x;erler hakkÄąnda nasÄąl sonuca vardÄąnÄąz? (3 â‹… 5)2 = 32 â‹… 52 geçerli olduÄ&#x;unu gĂśrĂźyorsunuz. Genel olarak, Bir çarpÄąmÄąn kuvveti, çarpanlarÄąn kuvvetlerinin çarpÄąmÄąna eĹ&#x;ittir.

Demek ki bir çarpĹmĹn kuvvetini almak için, her çarpanĹn kuvveti alĹnĹr ve elde edilen kuvvetler çarpĹlĹr.

(a â‹… b)n = an â‹… bn. a) (x â‹… y)3 = x3 â‹… y3;

Verilen Ăśrneklere bakÄąnÄąz:

5.

b) (p4 â‹… k)2 = (p4)2 â‹… k2 = p8 â‹… k2.

ÇarpĹmlarĹn kuvvetini alĹnĹz: a) (a ⋅ b ⋅ c)10 =

;

b) (4xy)2 =

;

c) (-ax)4 =

;

d) -(ab)6 =

C 6.

;

e) (7x2)6 =

; ;

ĂˆĂˆ Ă˜ Ă˜ f) ÉÊ ÉÊ ÙÚ š S ÙÚ =

.

Verilenlerin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

Ăˆ Ă˜ a) É Ă™ = ĂŠ Ăš

ve

b)

=

.

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz: š š Ăˆ Ă˜ a) É Ă™ = Ă— Ă— = = . ĂŠ Ăš š š

b)

=

š š = . š š

a) ve b) Ĺ&#x;ÄąklarÄąndaki sayÄą deÄ&#x;erleri hakkÄąnda sonuca nasÄąl vardÄąnÄąz? Ăˆ Ă˜ GĂśrĂźldĂźÄ&#x;Ăź gibi, a É Ă™ = ya da (2 : 3)3 = 23 : 33. ĂŠ Ăš

Kuvvetlerle Ă?Ăžlemler

43

Demek ki, bir bĂślĂźmĂźn kuvvetini alÄąrken, bĂślĂźnenin ve bĂślenin (ya da pay ve paydanÄąn) ayrÄą ayrÄą kuvvetleri alÄąnÄąr ve elde edilen kuvvetler bĂślĂźnĂźr.

Genel olarak, bir bĂślĂźmĂźn kuvveti, bĂślĂźnenin ve bĂślenin verilen kuvvetlerinin bĂślĂźmĂźne eĹ&#x;ittir, yani Q

DQ Ăˆ DĂ˜ = ; b š 0. ÉÊ ÙÚ E = E Q ; b ≠0.

Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ N N š Ă–rneklere bakÄąnÄąz: a) É Ă™ = = ; b) É N Ă™ = N = = . ĂŠ [Ăš [ [ ĂŠ SĂš S š S S Verilen bĂślĂźmlerin kuvvetini alÄąnÄąz:

7.

Ăˆ [Ă˜ a) É Ă™ ĂŠ \Ăš

Ăˆ Ă˜ ; b) É Ă™ = ĂŠ [Ăš

=

; c) (c : 2)3 =

;

d) (x3 : y7)2 =

;

e) (2m : 3n)4 =

.

Kuvvetlerle iĹ&#x;lemlerin Ăśzellklerinin uygulanmasÄąyla (x4)3 : x2 ifadesinin sadeleĹ&#x;mesini inceleyiniz.

8.

Ä°fadeleri sadeleĹ&#x;tiriniz: a)

D š D

D

(x4)3 : x2 = x4 â‹… 3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10.

; b) (y13 â‹… y) : (y7)2 =

=

c) (b4)3 : (b4 â‹… b3 â‹… b2) =

;

;

d) (2 â‹… 3)4 : 63 =

SayÄą ifadelerin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

9.

Ăˆ Ă˜ 2 23 3 ) ) == a)a) É Ă™ â‹… (3 Ă— (3 ĂŠ Ăš

; ; b) (2 â‹… 3)4 : 33 =

;

c) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 =

AĹ&#x;aÄ&#x;Äąda çÜzĂźlen ĂśrneÄ&#x;i inceledikten sonra, verilen ifadeleri tabanÄą 2 olan kuvvet biçiminde yazÄąnÄąz.

10.

a) 27 : 42 =

;

b)

š

==

..

.

Ă–rnek: 164 : 83 = (24)4 : (23)3 = = 24 â‹… 4 : 23 â‹… 3 = 216 : 29 = 216 - 9 = 27.

Bilinmesi gereken: Kuvvet alma iĹ&#x;leminin kurallarÄąnÄą. ÇarpÄąmÄąn kuvveti

BĂślĂźmĂźn kuvveti

Kuvvetin kuvveti

(a â‹… b)n = an â‹… bn

(a : b)n = an : bn; b ≠0

(am)n = am â‹… n

Kuvvet alma iĹ&#x;leminin kurallarÄą, çarpÄąmda, bĂślĂźmde ve kuvvette nasÄąl uygulandÄąÄ&#x;ÄąnÄą.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

44

Verilen her ifadede kuvvet alma iĹ&#x;lemini yapÄąnÄąz. Ăˆ š Ă˜ Ăˆ Ă˜ 3 4 5 (x y ) = ; ÉÊ ÙÚ == ; ; ÉÊ Ă™ == [ Ăš

Konu 2. ĂœslĂź Ă?fadeler. KarekĂśk

..

.

Ödevler 4. a18 kuvvetini, tabanı

1. Çarpımların kuvvetini alınız: (a3b)2 =

;

(ay3b5)2 =

(x4y3)7 = ;

a) a2; b) a6; c) a9 olmak üzere kuvvet biçiminde yazınız.

;

(7a6b4)9 =

.

5. Verilen ifadelerin sayı değerini belirtiniz:

2. Her bölümün kuvvetini alınız: =

;

=

a) a = 3 için,

.

3. Bölümü kuvvet biçiminde yazınız:

; b) x =2 için,

6. Kuvvetlerin çarpımı biçiminde verilen ifadeleri, çarpımın kuvveti biçiminde yazınız.

;

;

=

a) a2b2 =

.

;

c) x8 y4 z12 =

;

b) 36x6 =

;

d) 8x9 y6 =

.

RASYONEL SAYININ KARESİ VE KAREKÖKÜ

5

SAYININ KARESİ. KAREKÖK

Hatırlayınız ! P=a⋅a

Şekildeki karenin kenarının uzunluğunu ölçünüz ve yazınız.

a

a

Karenin alanını hesaplayınız ve mm2 lerle yazınız. Kenarı 2 1 cm olan karenin alanını

2

hesaplayınız.

A 1. 5⋅5=

Çarpımları hesaplayınız: ; (-4) ⋅ (-4) =

⋅

;

=

.

Verilen çarpımları kuvvet biçiminde yazınız:

b) ; ; b) × × × = ⋅ ⋅ ⋅ =

a) a) a)77×⋅77× ⋅77== c) v) 6 × 6 =

;;

d) g) (-0,5) × (-0,5) =

e) d) x × x =

; ;

f)|) ab × ab =

c) 6 ⋅ 6 = e) x ⋅ x =

d) (-0,5) ⋅ (-0,5) =

f) ab ⋅ ab =

;;

. .

Unutmayınız ! İki eşit çarpanın çarpımına, o çarpanın karesi denir:

Rasyonel sayýnýn karesi ve karekökü

45

;;

Bir sayının karesinin sayı değerinin belirtilmesine kare alma işlemi denir. Genel olarak, herhangi bir x rasyonel sayısı için x ⋅ x çarpımı kısaca x2 biçiminde yazılır. x ⋅ x = x2 ("iks kare" ya da "iks üssü iki" diye okunur) x2 kuvveti, x rasyonel sayısının karesidir. İki eşit çarpanın çarpımı biçiminde yazınız:

2.

3 =

;

2

4 =

;

2

(-5) =

;

2

(0,5) =

È Ø ÉÊ ÙÚ =

;

2

.

Hesaplayınız: 62 =

È Ø ÉÊ ÙÚ ==

;

;;

Her sayının karesini alınız: 2;2; -2; -2; 1;1;

(0,1) (0,1)22==

;;

(-0,1) (-0,1)22==

..

; ;22 ; ;-10. -10.

Verilen sayıların karesini hesaplayınız:

3.

3 = 3 = 2 2

; ;

È Ø ÉÊ ÙÚ = =

; ;

È Ø ÉÊ ÙÚ = =

; ;

022 = 0 =

. .

Unutmayınız!

Verilen her örnekte, sonuç pozitif sayı ya da 0 olduğunu görüyorsunuz.

Sıfırdan farklı herhangi rasyonel sayı x için, x2 pozitif sayıdır ve x = 0 için değeri 0 dır.

Hesap makinesiyle bazı sayılarınrkaresi nasıl bulunduğunu görünüz: u

4.

b) ÈÉ ØÙ = Ê Ú

a) 72 = 7

⋅

=

49

1

:

5 ±

⋅

-0.2

=

0.04

Hesap makinesiyle hesaplayınız:a)1232 =

;

-462 =

;

b) (0,3)2 =

È Ø ; É Ù = = . . Ê Ú

Verilen sayı ifadelerin değerini, hesapladıktan sonra, hesap makinesi kullanarak yoklayınız. a) 4122 - 5 ⋅ 792 =

B 5.

.

b) 40,42 - 10 ⋅ 2,282 =

Bir karenin alanı 81 cm2 dir. Karenin kenarının uzunluğunu belirtiniz.

46

Konu 2. Kuvvetler. Karekök

.

Şekle bakınız 81 cm2 x

Karenin kenar uzunluğu x olsun. Karenin alanı P = x ⋅ x ya da P = x2 olur. x

Karenin alanı x2 = 81 dir. Karenin kenarını hesaplamak için x2 = 81 denklemini çözmelisiniz.

Demek ki, x ⋅ x = 81 olacak şekilde x in değerini bulmalıyız. x = 9 için, 9 ⋅ 9 = 81 eşitlik doğrudur. Halbuki, x = (-9) için de (-9) ⋅ (-9) = 81 dir. Uzunluk daima pozitif sayı olduğuna göre, karenin kenarının uzunluğu 9 cm olduğunu buluyoruz.

Şu örneği inceleyiniz: x2 = 16 denkleminin çözümü 4 ve -4 sayılarıdır, çünkü 42 = 4 ⋅ 4 = 16 ve (-4)2 = (-4) ⋅ (-4) = 16. geçerlidir.

6.

e

ve È Ø sayıları x22 = ÊÉ ÚÙ

denkleminin çözümü olup olmadığını yoklayınız. Benim iki çözümüm vardır

Denklemin çözümlerini belirtiniz: a) x2 = 1; b) xx22 == ..

7.

B

8.

2

=a

Ben pozitif sayıyım

Verilen denklemlerin yalnız pozitif çözümlerini belirtiniz: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.

Dikkat ediniz, x2 = a; a ≥ 0 denkleminin negatif olmayan çözümüne a sayısının karekökü denir ve a biçiminde yazılır.

Şu örneği inceleyiniz:

È Ø çünkü É Ù Ê Ú

işareti, karekök işaretidir, a yazılışında ise a sayısı kökün tabanı ya da kökaltı kemiyettir.

.

9.

Verilenlerin karekökünü belirtiniz: 49, 25, 16 ve ? ?

10.

Eşitliklerin doğru olduğunu ispatlayınız: a) 400 = 20; b) 121 = 11; c) 0, 04 = 0,2;

d)

0, 25 = 0,5.

Rasyonel sayýnýn karesi ve karekökü

47

UnutmayĹnĹz! a = b (a ≼ 0), ancak b2 = a (b ≼ 0).

Verilen Ĺ&#x;emaya dikkat ediniz ve açĹklayÄąnÄąz.

11.

KAREKĂ–K Demek ki, a sayÄąsÄąnÄąn karekĂśkĂźnĂź hesaplamak için, karesi a ya eĹ&#x;it olacak negatif olmayan b sayÄąsÄąnÄą bulmamÄąz gerekir. KARE Verilen ifadelerin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

12.

4Ă—

=

;

-2 Ă—

=

=

;

+

;

=

.

Hesap makinesiyle, verilen Ăśrneklerde sayÄąlarÄąn karekĂśkĂź nasÄąl belirtildiÄ&#x;ini gĂśrĂźnĂźz.

13.

7 ; b) b) 6,25

a) 49

2.5 .

Hesap makinesini kullanarak hesaplayÄąnÄąz:

=

=

;

;

=

=

;

=

;

.

Elde edilen sonuçlarĹn karesini almakla, sonucu yoklayĹnĹz.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

Rasyonel sayÄąnÄąn karesi nasÄąl bulunur; x = a Ĺ&#x;eklinden denklemin çÜzĂźmĂź nasÄąl bulunur; Hesap makinesi kullanarak bir sayÄąnÄąn karesi ve karekĂśkĂź belirtilir. 2

1. HesaplayÄąnÄąz:

48

32 =

;

(1,6)2 =

;

(-0,3)2 =

.

sayÄąsÄą , x2 = . denkleminin çÜzĂźmĂź olup olmadÄąÄ&#x;ÄąnÄą yoklayÄąnÄąz. = 2,3 doÄ&#x;ru olup olmadÄąÄ&#x;ÄąnÄą yoklayÄąnÄąz.

Ă–devler

2. Denklemlerden x belirtilsin.

a) (16 - 13)2 : 2 =

;

b) 82 + (4 â‹… 8 : 4) =

;

š c) == š

HesaplayÄąnÄąz:

..

Konu 2. Kuvvetler. KarekĂśk

a) x = 144; 2

b) 2x = 72; 2

[ s) ++22 == 20. 20.

3. AlanÄą 324 cm2 olan karenin kenar uzunluÄ&#x;unu belirtiniz.

Ben, bir sayının karesini başka şekilde de hesaplayabilirim! Aşağıdaki sayıların karesi nasıl hesaplandığını inceleyiniz: 22 = 3 ⋅ 1 + 1 = 4;

32 = 4 ⋅ 2 + 1 = 9;

42 = 5 ⋅ 3 + 1 = 16;

52 = 6 ⋅ 4 + 1 = 25.

Hesaplama kuralını keşfediniz. Bu kurala göre, 62, 72 ve 82 yi hesaplayınız. Bu kuraldan yararlanarak 192, 312 ve 992 yi hesaplayınız. Elde ettiğiniz sonuçları, kare alma yöntemiyle yoklayınız.

6

KAREKÖKÜN HESAPLANMASI - Zorunlu değildir

Hatırlayınız ! Tabloda a sayısının değerleri verilmiştir. Bu sayıların karelerini belirtiniz.

a a2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

100

Tablodaki değerlerden yararlanarak aşağıdakileri hesaplayınız: ==

A 1.

;;

==

;;

--

==

;;

⋅ × ==

..

Verilen bir sayının karekökü, tahminen kaç basamaklı sayı olacağını bilmelisiniz. Tabloda verilen verilere bakınız. Aşağıdaki sayıların karekökleri kaç basamaklıdır: a) 5625 ; b) 1 000 000 ; c) 625 ⋅ 108? a) ve b) şıklarındaki sayıları, hesap makinesi kullanarak hesaplayınız.

a sayısı

Karekökü

a

Bir ya da iki basamaklı

bir basamaklı

Üç ya da dört basamaklı

iki basamaklı

Beş ya da altı basamaklı

üç basamaklı

Örnek

= =3 3 = =5 5 = = 11 11 = = 60 60 = = 101 101 = = 800 800

...

Rasyonel sayýnýn karesi ve karekökü

49

Bir sayÄąnÄąn karekĂśkĂźnĂź hesap makinesi kullanmadan nasÄąl hesaplandÄąÄ&#x;ÄąnÄą gĂśrmek için, Ăśrnek 1 deki çÜzĂźme dikkat ederek izleyiniz.

B Ă–rnek 1.

Verilen kĂśkaltÄą kemiyet, saÄ&#x;dan sola doÄ&#x;ru ikiĹ&#x;er basamaklÄą hanelere ayrÄąlÄąr (en soldaki bĂślĂźk bir basamaklÄą da olabilir)

== 33

-9 9 2 2

Verilen sayÄąnÄąn karekĂśkĂźnĂźn ilk rakamÄą 3 tĂźr, çßnkĂź bu sayÄąnÄąn karesi 11 sayÄąsÄąna (soldan birinci haneye) en yakÄąn ve ondan kßçßktĂźr. Ondan sonra, birinci haneden 3 sayÄąsÄąnÄąn karesi, yani 3 â‹… 3 = 9 çĹkarÄąlÄąr.

== 34 34

Elde edilen fark 2 sayÄąsÄądÄąr (11 - 9 = 2) ve hemen onun saÄ&#x;Äąna ikinci hanedeki iki basamaklÄą sayÄą (97) yazÄąlÄąr ve 297 sayÄąsÄą elde edilir. Bu sayÄąnÄąn son rakamÄą (7) ayrÄąlÄąr. Ä°ki basamaklÄą olan 29 sayÄąsÄą, kĂśkĂźn ilk rakam olan 3 sayÄąsÄąnÄąn iki katÄąyla 3 â‹… 2 = 6 ile bĂślĂźnĂźr. Bu durumda 29 : 6 = 4 olduÄ&#x;una gĂśre, 4 sayÄąsÄą kĂśkĂźn ikinci rakamÄądÄąr. 4 sayÄąsÄą 6 nÄąn saÄ&#x;Äąna yazÄąlÄąr (64 elde edilir) ve bu Ĺ&#x;ekilde elde edilen sayÄą 4 ile çarpÄąlÄąr ve elde edilen sayÄą 297 den çĹkarÄąlÄąr.

== 346 346

Bu farkÄąn (297 - 256 = 41) saÄ&#x;Äąna sÄąrada olan hanedeki sayÄą (16) yazÄąlÄąr. 4116 sayÄąsÄą elde edilir. Ĺžimdi yine bu sayÄąnÄąn son rakamÄą (6) ayrÄąlÄąr (411 elde edilir) ve elde edilen sayÄą, kĂśkĂźn ilk ve ikinci rakamÄą olan sayÄąnÄąn iki katÄąyla bĂślĂźnĂźr (34 â‹… 2 = 68). Bu Ĺ&#x;ekilde kĂśkĂźn ßçßncĂź basamaÄ&#x;Äąndaki sayÄą (411 : 68 = 6) elde edilir. Bu sayÄą 68 sayÄąsÄąnÄąn saÄ&#x;Äąna yazÄąlÄąr. Bu Ĺ&#x;ekilde elde edilen sayÄą aynÄąsÄąyla çarpÄąlÄąr (686 â‹… 6 = 4116) ve verilenden çĹkarÄąlÄąr: Bu iĹ&#x;lemin sonucu 0 olur.

-9 9 29 29 7 7 :: 64 64 Ă—â‹… 4 4 - 25 25 66 41 41

-9 9 29 29 7 7 :: 64 64 Ă—â‹… 4 4 - 25 25 66 411 411 66 :: 686 686 Ă—â‹… 6 6 - 411 411 66 00

Ă–rnek 2.

= 23,6 -4 15 6 : 43 Ă— 3 - 12 9 279 6 : 466 Ă— 6 279 6 0

50

Bu yĂśntemin kaidesi ondalÄąk sayÄąlar için de benzerdir. Bu durumda tek fark, sayÄąnÄąn iki yĂśnde hanelere ayrÄąlmasÄądÄąr. Hanelere ayrÄąlma ondalÄąk virgĂźlĂźnden baĹ&#x;lÄąyarak saÄ&#x;a ve sola ikiĹ&#x;er basamaklÄą haneler ayrÄąlÄąr. SaÄ&#x;da son hanede bir basamaklÄą sayÄą kalÄąyorsa onun saÄ&#x;Äąna bir 0 katÄąlÄąr, OndalÄąk virgĂźlĂźnden sonra ilk haneyi altta yazmadan Ăśnce, kĂśkĂźn deÄ&#x;erine ondalÄąk virgĂźlĂź yazÄąlmasÄąna dikkat ediniz.

Konu 2. Kuvvetler. KarekĂśk

Son haneyi indirdiğinizde kalan olursa, işleme devam etmek için iki sıfırlı hane katılıyor ve kökün değerinde (sonuçta) ondalık virgülü yazılır.

Örnek 3.

= 25,59 ≈ 25,6 -4 25 5 : 45 ⋅ 5 - 22 5 300 0 : 505 ⋅ 5 - 252 5 4750 0 : 5109 ⋅ 9 - 4598 1 1519

Bu şekilde ikişer sıfırlı haneler katmakla işleme devam edilebilir. Bir sayının karekökünü belli sayıda ondalık basamaklara kadar hesaplayacaksınız.

2.

hesapla yınız: a)

=

c)

=

;

=

;

=

b)

;

;

=

=

;

=

;

.

c) şıkkındaki kökün sonucunu birinci basamağa yuvarlayınız.

Bilinmesi gereken: verilen bir pozitif sayının kare kökü nasıl belirtilir.

Kendinizi yoklayınız ! Hesaplayınız:

=

;

=

.

Beş basamaklı sayının karekökü kaç basamaklıdır? sayısını belirtiniz ve sonucu hesap makinesiyle yoklayınız.

Ödevler 4. Aşağıdaki eşitliklerden hangisinin doğru

1. Karesi, a) 4 ve 9; b) 9 ve 16 sayıları arasında olan sayıyı belirtiniz.

olduğunu yoklayınız: a)

Cevabınızı açıklayınız.

2. Aiağıdaki sayıların kareköklerinin değerlerine en yakın olan ikişer tam sayı yazınız:

b) c) d)

;

3.

; ifadesini yoklayınız.

; ; ; .

.

5. Alanı 25 cm 2 olan karenin çevresi ne kadardır?

Rasyonel sayýnýn karesi ve karekökü

51

REEL SAYILAR

7

Ä°RASYONEL SAYILAR

A 1. D E kesri Ĺ&#x;eklinde yazÄąlabilen sayÄąlara rasyonel

Bir karenin alanÄą 2 cm2 dir. Onun kenarÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u ne kadardÄąr?

a , b ve b ≠0 tam sayĹlar olmak ßzere,

sayÄąlar denir. Rasyonel sayÄąlar Q harfÄąyla D | a, b ∈ Z, b ≠0} iĹ&#x;aret edilir. Q={ E

Her rasyonel sayÄą, sonlu ondalÄąk kesir ya da devirli ondalÄąk sayÄą biçiminde yazÄąlabilir. Ĺžu sayÄąlar: a) 15; 4,27 sonlu ondalÄąk (sayÄą) kesirlerdir; b) = 1,666...; = 0,2777... devirli ondalÄąk sayÄąlardÄąr.

ÇÜzĂźme dikkat ediniz. P = a2 olduÄ&#x;una gĂśre, kenarÄąn sayÄą deÄ&#x;eri, karesi 2 yani a2 = 2 olan bir sayÄądÄąr. Demek ki a = dir. halbuki, bir tam sayÄą mÄądÄąr? 1< < 2 dir, çßnkĂź 12 = 1 ve 22 = 4 tĂźr. Buna gĂśre sayÄąsÄą tam sayÄą deÄ&#x;ildir Tahmin ve yoklama yaparak, aĹ&#x;aÄ&#x;Äądakilerin doÄ&#x;ru olduÄ&#x;unu gĂśrebilirsiniz: 1,4 < < 1,5; 1,41 < < 1,42, ... Demek ki, karenin kenarÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u 1,41 ve 1,42 sayÄąlarÄą arasÄąnda bir "sayÄądÄąr" Hesap makinesi kullanarak ≈ 1,4142135..., olduÄ&#x;unu bulabiliriz. Demek ki sayÄąsÄą sonsuz basamaklÄą devirli olmayan bir sayÄądÄąr.

Her rasyonel sayÄą, sonlu ondalik basamaklÄą ondalÄąk kesir ya da sonsuz basamaklÄą devirli ondalÄąk sayÄą biçiminde yazÄąlabildiÄ&#x;ine gĂśre sayÄąsÄą rasyonel sayÄą deÄ&#x;ildir sonucuna varÄąyoruz. Sonsuz ondalÄąk basamaklarÄą olan ve devirli olmayan her ondalÄąk sayÄąya irasyonel sayÄą denir. O halde irasyonel sayÄądÄąr.

, , , - , - , ve benzer sayĹlar da sonsuz basamaklĹ devirli olmayan ondalĹk sayĹ biçiminde yazĹlabiliyorlar. DolayĹsĹyla onlar da irasyonel sayĹlardĹr.

Ä°rasyonel sayÄąlarÄąn yaklaĹ&#x;Äąk deÄ&#x;erlerini ondalÄąk sayÄą biçiminde yazÄąyoruz. Hesap makinesi kullanarak verilen irasyonel sayÄąlarÄąn yaklaĹ&#x;Äąk deÄ&#x;erini iki ondalÄąk basamaÄ&#x;Äąyla ondalÄąk sayÄą biçiminde yazÄąnÄąz.

2.

== ; ; == ; ; = = ; ; = = . . Ä°rasyonel sayÄąlar kĂźmesini I harfÄąyla iĹ&#x;aret edeceÄ&#x;iz.

52

Konu 2. Kuvvetler. KarekĂśk

3.

4 ve 9 sayıların değerlerinden yararlanarak tahminen bulunuz ve hesap makinesiyle tahmininizi yoklayınız.

4.

10 <

5.

Verilenlerin yaklaşık değerini belirtiniz:

7 sayısının yaklaşık değerini

110 < 11 eşitsizliği yoklayınız.

5 ; kesinliği 1 ondalık basamağına kadar olsun; 10 ; kesinliği 2 ondalık basamağına kadar olsun; Ölçü sayısı

6.

2 olan doğru parçası var mıdır?

C

Şekli, inceleyiniz ve açıklamayı izleyiniz. AKBS karesinin kenar uzunluğu 1 cm olduğuna göre alanı PAKBS = 1 ⋅ 1 = 1 dir.

D

S

AKBS karesinin köşegeni, ABCD karesinin kenarıdır. ABCD karesinin alanı, AKBS karesinin alanının iki katı olduğunu gösterebiliriz, yani PABCD = 2 ⋅ PAKBS = 2 ⋅ 1 = 2 dir. Alanı 2 cm 2 olan ABCD karesinin kenar uzunluğunu belirtiniz. Ödev 1 i hatırlayınız. Alanı 2 olan karenin kenarının uzunluğu 2 dir.

B

B

2 A

1

1 K

Demek ki, AB doğru parçasının uzunluğu 2 dir.

Daha fazla bilmek istiyorsanız...

7.

irasyonel sayısı, sayı doğrusu üzerinde nasıl belirtildiğini inceleyiniz.

1

- 2 -2

2

OA = 1 doğru parçası üzerine kare çizilir. Onun alanı 1 dir.

-1

0

1

- 2 -3

-2

-1

2

A

O

2

Karenin köşegeni (uzunluğu) sayı doğrusu üzerinde göçürülür. O noktasından, elde edilen noktaya kadar uzaklık pozitif yönde 2 dir, negatif yönde ise - 2 dir.

2 0

1

2

3

Şunu farkedebilirsiniz: 1 < 2 < 2; -2 < - 2 < -1.

Reel Sayýlar

53

Bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız!

Hangi sayı irasyoneldir.

Dört irasyonel sayı yazınız.

Ödevler ; ; sayılarından hangileri irasyoneldir? ;

1.

3.

;

Aşağıda verilen sayı ifadelerindeki irasyonel sayıları ikinci ondalık basamağına yuvarlayınız. Verilen ifadelerin sayı değerini belirtiniz:

Hesap makinesiyle sayıların karekökünü alarak çözümü yoklayınız.

a) 44 + + b)

2. Verilen sayıları sayı doğrusu üzerinde gösteriniz: -3; - 2 ; 0; 0,5;

8

= =

+ +

;;

= =

;;

c) 3 3 ×⋅

+ = = + ;; + = .. d) - + =

2 ; 2; 3 ve 4.

REEL SAYILAR KÜMESİ

Hatırlayınız !

Şimdiye dek, sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini, bir sayının karesini ve karekökünü öğrendiniz.

A

N doğal sayılar kümesidir: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Z tam sayılar kümesidir: Z = { ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}. Q rasyonel sayılar kümesidir: D Q = { | a, b ∈ Z, b ≠ 0}. E

1.

Hesaplayınız: ; b) 47 ⋅ 102 =

a) 106 - 95 = d) 9 - 15 = g) 1 : 2 =

; ;

e) 135 : 5 = h) 63 =

;

; c) 316 + 316 =

;

; f) 816 - 816 =

;

i) 1 : 3 =

.

Yukarda verilen sayı ifadelerin değerleri, hangi kümeye ait olduklarını belirtiniz. Farkedebilirsiniz: a) , b), c), e) ve h) şıklarındaki sayı değerleri N kümesinin elemanlarıdır; a) dan f) ve h) şıklarındaki sayı değerleri Z kümesinin elemanlarıdır; a) dan i) ye kadar tüm sayı ifadelerin değerleri Q kümesinin elemanlarıdır.

2.

x2 = 3 denkleminin çözümünü belirtiniz. . x2 = 3 denkleminin çözümleri arasında Q kümesinin elemanı olan çözümü var mıdır? x2 = 3 denkleminin çözümü x = 3 ve x = - 3 sayılarıdır. 3 irasyonel sayıdır ve Q kümesinin elemanı değildir.

2,

54

3 ve

5 sayıları hangi kümeye aittir?

Konu 2. Kuvvetler. Karekök

3.

N - DoÄ&#x;al sayÄąlar kĂźmesinin elemanlarÄą, Z - tam sayÄąlar kĂźmesi, Q - rasyonel sayÄąlar kĂźmesi ve I - irasyonel sayÄąlar kĂźmesinin elemanlarÄąna gĂśre aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki sorularÄą cevaplayÄąnÄąz: N kĂźmesinin her elemanÄą Z ye ait midir?

Z kĂźmesinin her elemanÄą, Q ye ait midir?

N kĂźmesinin her elemanÄą Q ye ait midir?

Q kĂźmesinin her elemanÄą, I ye ait midir ?

Q kĂźmesinin bazÄą elemanlarÄą I ye ait midir? R

Yandaki Ven diyagramÄąnÄą inceleyiniz:

Q

N, Z, Q ve I kĂźmeleri için: N ⊂ Z ⊂ Q ve Q ∊ I = ∅ geçerlidir. Z

ElemanlarÄą, tĂźm rasyonel sayÄąlar ve tĂźm irasyonel sayÄąlar olan kĂźmeye reel sayÄąlar kĂźmesi denir ve R ile iĹ&#x;aret edilir.

I

N

R=QâˆŞI Verilen sayÄąlardan her biri hangi kĂźmeye ait olduÄ&#x;unu belirtiniz: 2; 106; -53; 0,002; ; - ; 6,6666; -1028937.

4.

Her reel sayÄąya karĹ&#x;ÄąlÄąk, sayÄą doÄ&#x;rusunda birer nokta vardÄąr.

B E -5

6.

-4

D

-3

5.

SayÄą doÄ&#x;rusu Ăźzerinde bazÄą noktalar iĹ&#x;aret edilmiĹ&#x;tir. Bunlardan hangileri rasyonel sayÄąya, hangileri ise irasyonel sayÄąya karĹ&#x;ÄąlÄąk gelir? A

C

-2 - -1 -

0

1

1,5 2

Verilen sayÄąlarÄą sayÄą doÄ&#x;rusu Ăźzerinde gĂśsteriniz: - 2; -

Bilinmesi gereken :

Hangi sayÄąlar Hangi sayÄąlar Hangi sayÄąlar Hangi sayÄąlar

N kĂźmesine aittir? Z kĂźmesine aittir? Q kĂźmesine aittir? R kĂźmesine aittir?

2. .

4

; 0; ;

; 2; 3

5

; 4,5.

Ĺžu iddia doÄ&#x;ru mudur: a sayÄąsÄą Z tamsayÄąlar kĂźmesinin elemanÄą olduÄ&#x;u durumda, o sayÄą aynÄą zamanda hem Q , hem de R kĂźmesine aittir. AçĹklayÄąnÄąz!

Ă–devler

- ; - ; - 2; - ; - ; 0; 1; 2;

; -

33

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

Hangi sayÄąlar R kĂźmesinin elemanlarÄądÄąr; Reel sayÄąlar kĂźmesinden Ăśrnekler gĂśstermelisiniz.

1. Ĺžu sayÄąlar verilmiĹ&#x;tir:

B

F

AĹ&#x;aÄ&#x;Äądakilerden hangisi doÄ&#x;rudur: a) irasyonel sayÄądÄąr; b) - reel sayÄądÄąr; c) hem irasyonel hem rasyoneldir; d) 7 doÄ&#x;al sayÄądÄąr, tam sayÄądÄąr, rasyonel sayÄądÄąr ve reel sayÄądÄąr.

Reel Sayýlar

55

KUVVETLER VE KAREKÖKÜ İNCELEDİNİZ. BİLDİKLERİNİZİ YOKLAYINIZ 1. 53 kuvvetinde, hangi sayı taban, hangisi üstür?

2.

a)

a) Verilen çarpımları, kuvvet biçiminde gösteriniz: 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=

; (-2)3 =

(x - y)5 =

;

b) 3;

c) 1;

a) (ab)3 =

.

d) 0

5.

b) 2,103 =

;

.

Verilen ifadenin sayı değerini belirtiniz: a) 8 - 22 ⋅ 3 + 4 =

.

a) x ⋅ x = 3

b) (a + 1) ⋅ (a + 1) =

;

d)

;

3

; =

.

ifadesini x tabanlı kuvvet şeklinde yazınız.

12.

Ve r i l e n i f a d e n i n s a y ı d e ğ e r i n i hesaplayınız: a) -22 ⋅

=

;

b) 15 - 23(32-3

)-7

=

.

13. Denklemi çözünüz: b) x2 + 15 = 96.

14. Hesap makinesiyle hesaplayınız:

Kuvvetlerin çarpımını belirtiniz: 7

b) (2x3y)4 =

;

a) 3x2 = 48;

;

b) 32 - (23 + 1) + 200 ⋅ 0,12 =

7.

.

Verilen sayıyı, bir doğal sayı ve 0,1 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde yazınız. a) 0,00025 =

6.

11.

b) 7 050 000 =

;

.

c) (x2 : y)3 =

Verilen sayıyı, bir doğal sayı ve 10 tabanlı kuvvetin çarpımı biçiminde yazınız. a) 25 000 =

;

alınız:

olan kivvetin değerini hesaplayınız.

4.

=

=

10. Verilen çarpım ve bölümlerin kuvvetini

Tabanı (-5) ve üssü a) 4;

b)

;

;

b) Verilen kuvvetleri, çarpım biçiminde gösteriniz: x7 =

=

c)

;

(a - 1)(a - 1)(a - 1) =

3.

9. Verilen kuvvetin kuvvetini alınız.

a)

=

b)

;

=

.

.

15. Şu sayılar verilmiştir: 8.

Verilen kuvvetlerin bölümünü belirtiniz: a) a15 : a5 =

;

b)

.

-3; -

; 0,5;

;

; 3,2(7); 12.

Sayılardan hangileri: a) N; d) I; e) R kümesine aittir?

56

Konu 2. Kuvvetler. Karekök

b) Z; c) Q;

KONU 3

POLİNOMLAR

MONOMLAR VE POLİNOMLAR 1. İfadeler 2. Monomlar 3. Monomları.Toplamı ve Farkı 4. Polinomlar 5. Monomun Çarpımı ve Kuvveti 6. Polinomları Toplama ve Çıkarma 7. Polinomu Monomla Çarpma 8. Polinomların Çarpımı 9. İki İfadenin Çarpımı ve Farkı 10. Binomun Karesi 11. Monomların Bölümü. Polinomun Monomla Bölümü

(A + B)2

58 63 67 69 73 74 76 78 81 83 86

12. Polinomun Polinomla Bölümü 13. Rasyonel İfadeler

88 90

POLİNOMUN ÇARPANLARA AYRILIŞI 14. Ortak Çarpanın Parantez Önüne Alınması ve Gruplaştırmakla Polinomların Çarpanlara Ayrılması 93 2 2 15. A - B Biçiminde Polinomların Çarpanlara Ayrılması 95 2 2 2 2 16. A + 2AB + B ve A - 2AB + B Şeklinde Polinomların Çarpanlara Ayrılması 97 VERİLERLE İŞLEMLER 17. Verilerin Toplanması Bilginizi yoklayınız

99 102

A2 + 2AB +B2

Monomlar ve Polinomlar

57

MONOMLAR (TEKTERÄ°MLÄ°LER) VE POLÄ°NOMLAR

1

Ä°FADELER

HatÄąrlayÄąnÄąz !

A 1.

5 â‹… 4 - 2; 7,5 - 3,8 : 2 + 2 ; 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 â‹… 2 biçimindeki ifadeler sayÄą ifadeleridir. 2

Verilen ifadelerin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz: 3 â‹… 8 - 2,5 â‹… 6 + 8 : (-4);

š . Verilen ifadelerde, Ăśnce çarpma ve bĂślme iĹ&#x;lemlerini, ondan sonra da toplama ve çĹkarma iĹ&#x;lemlerini yapacaÄ&#x;Äąz.

Verilen sayÄą ifadelerinin, iĹ&#x;lemlerini hangi sÄąraya gĂśre yapacaksÄąnÄąz? ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz.

3 â‹… 8 - 2,5 â‹… 6 + 8 : (-4) = 24 - 15 - 2 = 9 - 2 = 7. Demek ki, ifadenin deÄ&#x;eri 7 dir; ¸ , yani ifadenin deÄ&#x;eri 3 tĂźr.

Verilen bir sayÄą ifadesinde, tĂźm iĹ&#x;lemler yapÄąldÄąktan sonra elde edilen sayÄąya, ifadenin sayÄą deÄ&#x;eri denir.

˜ sayÄą ifadesinin deÄ&#x;erini belirtiniz.

2.

Paydadaki ifadenin deÄ&#x;eri 10 : 2 - 5 = 0 dÄąr. SÄąfÄąr ile bĂślme yapÄąlmÄąyor, yani sÄąfÄąr ile bĂślmenin anlamÄą yoktur.

Paydadaki ifadenin sayÄą deÄ&#x;eri kaçtÄąr? O sayÄąyla bĂślme iĹ&#x;lemi yapÄąlabilir mi?

SÄąfÄąr ile bĂślme olan ifadenin sayÄą deÄ&#x;eri yoktur ya da ifadenin anlamÄą yoktur denir.

3.

Verilen ifadelerden hangisinin anlamÄą yoktur: 36 - 9 â‹… 4

58

(3 â‹… 5 - 15) : 8;

Konu 3. Polinomlar

; ˜ ;

. ˜

4.

Şu ifadelerin, sayı değerini hesaplayınız: a) 12 - 2 ⋅ 5 + 30 : 6;

b) 6 - 4 : 2 + 7;

c) 52 - 3 ⋅ 8 + 18 : 3.

Bunlardan hangilerinin sayı değerleri aynıdır? Gördüğünüz gibi, a) ve c) deki ifadelerin sayı değerleri eşittir. Sayı değerleri eşit olan sayı ifadelerine denk sayı ifadeler denir.

5.

15 - 32 + 2,4 ⋅ 5 - (3,6 - 1,2) : 2 sayı ifadesi verilmiştir. Bu sayı ifadesinde neler vardır? Bu sayı ifadesinde (ve şimdiye dek incelediğiniz diğer sayı ifadelerde) sayılar, toplama, çıkarma, çarpma, bölme işaretleri, parantezler ve doğal sayıyla kuvvet alma işlemi vardır. 15, 3; 2,4; 5; 3,6 sayıları sabitlerdir. 2 , dik açı, {1, 2, 3, 4} belirlenmiş matematik nesneleridir denilebilir.

Hatırlayınız!

B 6.

de sabitlerdir. Sabitler kesin

ΔABC de: b = 9 cm ve c = 5 cm olsun.

Eşkenar üçgenin çevresi 3 ⋅ a ifadesi ile hesaplanır.

a kenarının uzunluğu ne kadar olabilir?

Bu ifade hangi simgelerden meydana gelmiştir? Her simge neyi ifade etmektedir?

Ölçü sayısı, doğal sayı olduğu durumda a harfı hangi sayıları değiştirir ?

a : 5; 27; 3,2; 4 olabilir mi?

5

Üçgende a, b ve c kenarları için hangi eşitsizlikler geçerlidir? Ödevi çözerken onları uygulayınız

Üçgenin kenarları için : a < b + c ve a > b - c eşitsizlikleri geçerlidir. Çözdüğünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. a < 9 + 5, a < 14; a > 9 - 5, a > 4. Farkettiğiniz gibi, a harfı yerine : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ve 13 sayıları yazılabilir.

7.

x harfı {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını ifade eden işaret olsun. x harfı hangi sabitleri değiştirir? Farkettiğin gibi, x harfı 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarını değiştirir. Bu sayılardan her biri onun değeridir.

Monomlar ve Polinomlar

59

Verilen bir kümenin elemanlarını temsil eden ortak işaret (çoğunlukla harf) değişkendir. Kümeye değişkenin tanım aralığı denir (genellikle D ile işaret edilir), onun her elemanı ise değişkenin değeridir. Değişkenin tanım aralığı verilmediği durumda , tanım aralığını reel sayılar kümesi olduğunu sayacağız.

8.

Önceki iki örnekte (6 ve 7) verilmiş olan her değişkenin tanım aralığını belirtiniz.

Unutmayınız ! 1, 2, 0, 1 , -9,

8

2 , ...

sabitleri ifadelerdir.

x, y, z,... , a, b, c, ... değişkenleri ifadelerdir. Sabitler, değişkenler ve işlemlerin işaretlerinden oluşan 3 + 5 ⋅ 2, x + y2, x ⋅ (y - 4), [ gibi yazılar ifadelerdir. [ İfadede değişken varsa, ona değişkenli ifade diyeceğiz.

Aşağıdaki ifadelerden hangileri değişkenli ifadelerdir:

9.

3 × 8 - 4 2;

5x - 2;

[ - 3y;

.

5x - 2 değişkenli ifadesi A(x) = 5x - 2 şeklinde yazılabilir.

B 10.

x = 2 için, A(x) = x2 - 2x - 3

ifadesinin değerini hesaplayınız.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. x2 - 2x - 3 = (-2)2 - 2 ⋅ (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5. Demek ki, 5 sayısı x = -2 için x2 - 2x - 3 ifadesinin değeridir, ya da A(-2) = 5 dir. Verilen bir değişkenli ifadede, değişken yerine belli bir sayı değiştirilirse, ona bir sayı değeri karşılık gelecektir. Sayı ifadesinin değeri değişkenli ifadenin sayı değeridir.

11.

verilen ifadenin değerini hesaplayınız: 5x - 2 ; x = 2 için;

60

Konu 3. Polinomlar

2x - y ; x = 7,2 ve y = 6,8 için.

12.

[ ifadeleri verilmiĹ&#x; olsun. x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} = D için, [ 0 1 A(x) ve B(x) ifadelerin sayÄą 1 deÄ&#x;erlerini belirtiniz. A(x) = x2 - 4x - 5 ve B(x) =

Ă–devin çÜzĂźmĂź tabloda gĂśsterilmiĹ&#x;tir.

x

-2

-1

0

1

2

A(x)

7

0

-5

-8

-1

-2

-5

-9 deÄ&#x;eri yoktur

B(x)

Tabloda gĂśrĂźldĂźÄ&#x;Ăź gibi, deÄ&#x;iĹ&#x;kenin D = { -2, -1, 0, 1, 2} tanÄąm aralÄąÄ&#x;Äąnda, A(x) = x2 - 4x - 5 adesinin deÄ&#x;erler kĂźmesi M = {7, 0, -5, -8, -9} kĂźmesidir. x ∈ { -2, -1, 0, 1} için B(x) =

if-

[ ifadesinin deÄ&#x;erler kĂźmesi N = { - , -1, -2, -5} dir. [

x ∈ D nin hangi deÄ&#x;eri için B(x) ifadesinin anlamÄą yoktur?

13.

A(x) = x2 + 2x ve B(x) = x(x + 2) ifadeleri verilmiĹ&#x; olsun. x ∈ {-2, -1, 1, 2} = D olmak Ăźzere, A(x) ve B(x) ifadelerinin sayÄą deÄ&#x;erlerini belirtiniz. A(x) ve B(x) ifadelerinin deÄ&#x;erler kĂźmelerini karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz. Ne farkediyorsunuz ?

Ă–devin çÜzĂźmĂźnĂź tabloda gĂśrĂźnĂźz. x

-2

-1

1

2

A(x)

0

-1

3

8

B(x)

0

-1

3

8

farkettiÄ&#x;iniz gibi, her x ∈ D için, A(x) = B(x) dir. TanÄąm kĂźmesinden, deÄ&#x;iĹ&#x;kenin her deÄ&#x;eri için, eĹ&#x;it sayÄą deÄ&#x;erleri olan deÄ&#x;iĹ&#x;kenli ifadelere ĂśzdeĹ&#x; ifadeler denir.

14.

TanÄąm kĂźmesi D = {1, 2, 3, 4} verilmiĹ&#x; olan A(x) = x2 -3x ve B(x) = x(x - 3) ifadeleri verilmiĹ&#x;tir. A(x) ve B(x) ifadeleri ĂśzdeĹ&#x; olup olmadÄąÄ&#x;ÄąnÄą yoklayÄąnÄąz.

Ä°ki ĂśzdeĹ&#x; ifade (=) iĹ&#x;aretiyle baÄ&#x;lÄą olduklarÄą durumda elde edilen eĹ&#x;itliÄ&#x;e ĂśzdeĹ&#x;lik denir.

15.

Ă–dev 14 teki ifadelerden ĂśzdeĹ&#x;lik oluĹ&#x;turunuz.

Monomlar ve Polinomlar

61

Bilinmesi gereken: Kendinizi yoklayÄąnÄąz!

SayÄą ifadesinin deÄ&#x;eri, nasÄąl hesaplanÄąr;

Ĺžu ifadelerin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz:

SayÄą ifadesini ve deÄ&#x;iĹ&#x;kenli ifadeyi farketmelisiniz;

˜ ; ;

Sabit, deÄ&#x;iĹ&#x;ken ve deÄ&#x;iĹ&#x;kenin tanÄąm aralÄąÄ&#x;Äą nedir.

.

D = {1, 2, 3, 4} olmak Ăźzere , A(x) = 6x - 3x2 ve B(x) = 3x (2 - x) ifadeleri verilmiĹ&#x;tir. A(x) = B(x) eĹ&#x;itliÄ&#x;i ĂśzdeĹ&#x;lik olduÄ&#x;unu gĂśsteriniz.

Ă–devler 1.

Ĺžu ifadelerin, sayÄą deÄ&#x;erlerini hesaplayÄąnÄąz: a) 5 + 3 â‹… 22 - 12; c)

2.

˜ ;

4.

62

d) .. ˜

Ĺžu ifadelerden, hangileri deÄ&#x;iĹ&#x;kenli ifadedir: a) a + 2; [ ;; c) ) [

x in hangi deÄ&#x;eri için [ [ anlamÄą yoktur?

ifadesinin

b)

Ĺžu sayÄą ifadelerden, hangisinin sayÄą deÄ&#x;eri yoktur: ˜ ) ; ; b) a) ; ; c) ˜ ˜

3.

˜ -- 2,5; 2,5; ˜ d) ..

5.

b) 32 â‹… 2 - 1; [ d) ??

x = -2 için, x2 - 3x + 5 ifadesinin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz.

Konu 3. Polinomlar

6.

D = {1, 2, 3, 4} kĂźmesinde A(x) = 2x2 - 4x ve B(x) = 2x(x - 2) ifadeleri verilmiĹ&#x;tir A(x) ve B(x) ifadeleri ĂśzdeĹ&#x;lik olduÄ&#x;unu ispatlayÄąnÄąz.

7.

x ∈ {0, 1, 2, 3} kĂźmesinde 4x2 - 4 = 4(x2 - 1), eĹ&#x;itliÄ&#x;i ĂśzdeĹ&#x;lik olduÄ&#x;unu gĂśsteriniz.

8. x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} olmak Ăźzere A(x) = 3x - 6, B(x) = 3(x - 2) ve C(x) = 3(x - 6) ifadeleri verilmĹ&#x;tir. EĹ&#x;itliklerden hangisi: A(x) = B(x), A(x) = C(x) ya da B(x) = C(x) ĂśzdeĹ&#x;liktir?

2

MONOMLAR (TEKTERİMLİLER)

Hatırlayınız ! 3 [ 3a; 2x3y2; x3 - 5; xy ; \ ; değişkenli ifadelerdir.

[ [

A 1.

Her ifade hangi sabitlerden ve hangi değişkenlerden meydana gelmiştir?

Verilen ifadelerde hangileri sabitler, hangileri 2 2x; 3x 3x2y; y; ise değişkenlerdir: 2x;

2 2 xy; -2ab2; y3; 8; ifadeleri verilmiştir. 5x2;

x; z? x; z?

Verilen ifadelerde hangi işlemler mevcuttur ?

Gördüğünüz gibi, bazı ifadeler yalnız sabit, bazıları ise yalnız değişkenlerden oluşmuştur. Diğerlerinde, sabitler ve değişkenler arasında yalnız çarpma işlemi vardır. Bazı değişkenler kuvvet biçiminde yazılıdır. Verilen ifadelere monomlar (tekterimliler) denir.

Genel olarak Sabitler, değişkenler, sabitler ve değişkenlerin çarpımından ve değişkenlerin kuvvetlerinden oluşan ifadeler monomlardır.

2.

Verilen ifadelerden, hangileri monom olduğunu belirtiniz ve cevabınızı açıklayınız. 2x2y;

[ ; \

(ab)3; x + 2; 4(z - 3)2; ; y.

Hatırlayınız ! Aynı tabanlı kuvvetlerin çarpımı, tabanı aynı, üssü ise çarpanların üslerinin toplamına eşit olan bir kuvvettir. Şu çarpımları belirtiniz: a4 ⋅ a2; x3 ⋅ x5 ⋅ x. 2a2a3b2b monomunda aynı tabanlı kuvvetleri çarpınız.

B 3.

4xy3x2y2 monomu veriliyor. Monom, hangi çarpanlardan meydana gelmiştir? Monomdaki çarpanlardan hangileri çarpılabilir? Bu çarpanları çarparak monomu daha sade şekilde yazınız.

Verilen monomda, çarpanların değişme ve birleşme özelliklerini uygulayarak çarpma işlemlerini yapıyorsanız verilene denk olan özdeş monom elde edeceksiniz.

Monomlar ve Polinomlar

63

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. 4x ⋅ x2 ⋅ y3 ⋅ y2 = 4(x ⋅ x2) ⋅ (y3 ⋅ y2) = 4x3y5. Elde edilen 4x3y5 monomunun, yalnız bir sayı çarpanı ve kuvvetleri arasında aynı tabanlı kuvvetler olmadığını farkedebilirsiniz. Bir monomda çarpanları arasında mümkün olan çarpımlar yapılmışsa, monom normal şekilde yazılmıştır denir. -3x2y22x3y2 monomu, normal şekle nasıl dönüştürüldüğünü görünüz.

4.

-3x2y22x3y2 = (-3 ⋅ 2)(x2 ⋅ x3) ⋅ (y2 ⋅ y2) = -6x5y4. Şu monomları normal şekilde yazınız.

5.

5a2b32a4b2;

-2x2y33y2x2;

2x3y3xy2(-3)xy.

-6x5y3 monomu veriliyor.

6.

Monomun hangi çarpanları sabit, hangileri ise değişkenlerdir? gördüğünüz gibi, -6x5y3 monomunda -6 çarpanı sabittir, x ve y ise değişkenlerdir. Normal şekilde olan bir monomun sabit sayı olan çarpanına ( örnekte: -6 sayısı) monomun katsayısı denir, değişkenlerin çarpımına ise (örnekte: x5y3) monomun başdeğeri denir.

Verilen monomların katsayısını ve başdeğerini belirtiniz:

7.

3a2b3;

-2x2y5;

-5x2y32x3y.

x; x2y; ab monomlarının katsayısı birdir. Katsayı 1 olduğu durumda başdeğer önünde yazılmıyor. Bu monomların başdeğerleri hangi ifadedir? -x2; -ab; -x2y monomlarının katsayısı -1 dir. Bu monomların başdeğerlerini yazınız.

C

8.

-3x3y2 ve 4x3y2 monomları veriliyor. İkisinin katsayısını ve başdeğerine dikkat ediniz.

İki monomun ortak tarafı var mıdır?

64

Konu 3. Polinomlar

Her iki monomun başdeğerleri aynıdır.

Başdeğerleri aynı olan monomlara benzer monomlar denir. Şu monomlardan hangileri benzer monomlardır?

9.

2x5y2;

DEF ;

[ \ ;

-2x5y2;

-3a2b5c3;

7x5a2.

Hatırlayınız ! Mutlak değerleri eşit ve işaretleri ters olan iki rasyonel sayıya ters sayılar denir. Verilen her sayının tersini yazınız: a) -5;

10.

b) 7,8;

c) ;;

d) 9,25.

-3x2y3 ve 3x2y3 benzer monomları verilmiştir. Verilen monomların katsayıları nasıldır?

-3x2y3 ve 3x2y3 monomlarının katsayıları ters sayılar olduğunu görüyorsunuz. Katsayıları ters sayılar olan iki benzer monoma ters monomlar denir.

11.

Verilen monomların tersini yazınız:

12.

Verilen monomlardan hangileri birbiriyle terstir:

D 13.

5a2x3y;

-7a2bc3;

-7a3b2.

7ab2c3;

7a2bc3.

5x3y2z monomunda x değişkeni üçüncü derece, y ikinci ve z birinci derecedir. Tüm değişkenlerin derecelerinin toplamı 3 + 2 + 1 = 6 olduğundan 5x3y2z monomu altıncı derecedir. Şu monomların her değişkeninin derecesini belirtiniz: 5x3y2z;

2a3b3c2.

Unutmayınız ! Bir monomun değişkenlerinin üslerinin toplamına, monomun derecesi denir. Monom sabit ise onun derecesi sıfır sayılır. Örnek, 4a5bc2 monomu sekizinci derecedir, çünkü 5 + 1 + 2 = 8 dir, 7 monomu ise sıfır derece monomdur.

Monomlar ve Polinomlar

65

Verilen her monomun derecesini belirtiniz:

14.

-2x3;

5a2b;

-4x2yz;

8a2b2c5.

Neleri bilmelisiniz: kendinizi yoklayınız ! Monom normal şekilde nasıl dönüştürülür; Monomun katsayısı ve başdeğeri nedir; Benzer ve ters monomların tanımını; Monomun derecesi nasıl belirtilir.

-2x2y3 ⋅ (-3)xy2 monomunu normal şekilde yazdıktan sonra onun katsayısını ve başdeğerini belirtiniz. -4x3y2z monomu veriliyor. a) Verilene benzer olan bir monom yazınız. b) Verilene ters olan monomu yazınız. c) Verilen monomun derecesini belirtiniz.

Ödevler 1.

Verilen monomları, normal şekilde yazınız: -3a3b42a2c;

2.

[ \ [\ .

D E F.

3.

Katsayısı -0,5 ve başdeğeri a2b3 olan monomu yazınız.

4.

Verilen monomlardan hangileri benzer olduğunu belirtiniz: -3a22bb22c; -3a c; 2xy22zz33;; 2xy

[\ ] ;; 5a22bb22c. 5a c.

Konu 3. Polinomlar

Şu monomlardan hangileri terstir:

D E F;

Verilen monomların katsayısını ve başdeğerini belirtiniz: -4x2y3;

66

5.

2a2b 3c;

-2ab 2c3;

6.

7.

D E F monomun tersini yazınız.

Şu monomların her birinin derecesini belirtiniz: 3a2bc3;

8.

D E F.

-2x2y;

-5a;

4x3yz.

Katsayısı -3 ve değişkenleri a ve b olan biri dördüncü derece, ikincisi beşinci derece olacak iki monom yazınız.

3

MONOMLARI TOPLAMA VE ÇIKARMA

Hatırlayınız

A 1.

-5 + 12 + 3 - 10 - 7 toplamı şu şekilde toplanır: -5 + 12 + 3 - 10 - 7= (-5 - 10 - 7) +

5x2y; -2x2y ve 3x2y monomları verilmiştir.

Bu monomlar, benzer midir? Cevabınızı açıklayınız.

+ (+12 + 3) = -22 + 15 = -7. Toplamı hesaplayınız: a) 9 - 4 - 15 + 2 + 8 - 6; b) -6,5 + 2,4 + 3,1 - 4,8 - 0,5.

Monomları toplam biçiminde yazınız ve bu toplamı nasıl hesaplayacağınızı düşününüz. Verilen benzer monomların nasıl toplandığına dikkat ediniz.

KURAL

ÇÖZÜM

1

Monomların toplam biçiminde yazılışı :

2

Parantezleden kurtulma:

3

Dağılma özelliğinin uygulanması:

4

Katsayıların toplanması:

5x2y + (-2x2y) + 3 x2y 5x2y - 2x2y + 3 x2y (5 - 2 + 3) x2y 6x2y

Toplamın sonucu olarak elde edilen monom, toplananlar olan monomlarla benzer midir?

2.

Verilen monomların toplamını belirtiniz : -9a3b2, 2a3b2 ve -4a3b2.

Unutmayınız ! Benzer monomların toplamı, katsayısı verilenlerin katsayılarının toplamına eşit olan ve toplananlara benzer olan bir monomdur.

3.

Verilen monomların toplamını belirtiniz: 5x2y3, 4x3y2, -2x2y3 ve -2x3y2. Ödevde benzer olmayan monomlar da vardır; bu durumda toplamayı nasıl yapacaksınız?

Bu durumda, benzer monomları gruplandırdıktan sonra, toplamları belirteceğiz.

Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız. 5x2y3 + 4x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 = (5x2y3 - 2x2y3) + (4x3y2 - 2x3y2) = (5 - 2)x2y3 + (4 - 2)x3y2 = = 3x2y3 + 2x3y2.

Monomlar ve polinomlar

67

Hatırlayınız !

B 4.

9a2b4 monomundan -4a2b4 monomunu çıkarınız.

a rasyonel sayısından b rasyonel sayısını çıkarmak: a sayısına, b sayısının tersini katmak demektir, yani a - b = a + (-b).

Çıkarılması yapılacak monomların benzer olduklarını görüyorsunuz.

Verilen sayıların farkını hesaplayınız: 9 ve 4; 9 ve -4; -9 ve -4.

Monomların çıkarılması kaidesine dikkat ediniz.

1

Farkın yazılışı:

2

Parantezlerden kurtulma:

3

Dağılma özelliğinden yararlanma:

(9 + 4) a2b4

4

Katsayılarla işlemlerin yapılması:

13a2b4

9a2b4 - (-4a2b4) = 9a2b4 + (+4a2b4) 9a2b4 + 4a2b4

Elde edilen monom, çıkarılan ve çıkan monomlarla benzer midir? A monomundan B monomunu çıkarmak, aslında A monomuna B monomunun tersini katmak demektir, yani A - B = A + (-B) dir. A - B monomuna, A ve B monomlarının farkı denir.

5.

4a2b monomundan 7a2b monomunu çıkarınız. Yöntemi inceleyiniz: 4a2b - (+7a2b) = 4a2b + (-7a2b) = 4a2b - 7a2b = (4 - 7)a2b = -3a2b.

6.

7a2x3 monomundan: a) 4a2x3; b) -4a2x3 monomunu çıkarınız.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

İki ya da daha çok benzer monomun toplamını;

Verilen monomların toplamını belirtiniz: -5x3y2, -2x3y2, -3xy2, 4x3y2 ve -2xy2.

İki benzer monomun farkı nasıl hesaplanır.

-2x2y3 ve 5x2y3 monomlarının toplamından -x2y3 monomunu çıkarınız.

Ödevler

1.

Verilen monomların toplamını belirtiniz:

3.

3ay3 monomundan -5ay3 monomunu çıkarınız.

4.

-3x2y ve -2x2y monomlarının toplamından -7x2y monomunu çıkarınız.

5.

5a2b3 ve -2a2b3 monomların toplamından, onların farkını çıkarınız.

a) -3a2b ve 5a2b; b) 2x2y5, -5x2y5 ve x2y5.

2.

Monomların toplamını belirtiniz: a) 6a2b, -5a2b2, -2a2b ve -a2b2 b) 5x2, -2x3, -3x2, -x3 ve 6x3.

68

Konu 3. Polinomlar

4

POLİNOMLAR (ÇOK TERİMLİLER)

A 1.

Hatırlayınız ! Monom nedir? Hangi monomlara benzer monomlar denir? Verilen monomları toplam biçiminde yazınız: 2a2b, -3ab2, 3a2b, ab2. Benzer olan monomları toplayınız. Verilen monomların toplamında kaç monom vardır ?

5x2y - 3xy2 ve 3a3 - 2a2b + b3 ifadeleri verilmiştir. Verilen her ifade kaç monomdan oluşmuştur?

Verilen her ifadede benzer monomlar var mıdır? Farkettiğiniz gibi, 5x 2y - 3xy 2 ifadesinde birbirine benzer olmayan 5x2y ve -3xy2 monomları vardır.

Benzer olmayan iki monomun toplamına, ikiterimli (binom) denir. 3a3 - 2a2b + ab2 ifadesi, benzer olmayan 3a3, -2a2b ve ab2 monomlarının toplamıdır. Benzer olmayan üç monomun toplamına üçterimli ( trinom) denir.

2.

Verilen ifadelerden hangisi binom, hangisi üçterimli olduğunu belirtiniz. 5x2y - 3xy2; 5x2 - 3x + 5; ax2 - 3a2y; 3x2y - 2xy2 + y3; 5x2y3; 7x3 - 2x2 - 3x - 7. Monomlar, binomlar ve üç ya da daha çok terimden olan ifadelerin toplamına polinom (çok terimli) denir. Polinomu oluşturan monomlara polinomun terimleri denir.

3.

Verilen polinomların kaç terimi vardır: a2b - 2ab2 + 3;

x3 + 2y3;

3x2y?

Unutmayınız !

B 4.

Şu monomları normal şekilde yazınız: 5xy23x3y2; -2x4y23xy2. Başdeğerleri aynı olan monomlara benzer monomlar denir. -2x y monomuna benzer olan iki monom yazınız. 3 2

3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 polinomunu inceleyiniz. Normal şekilde yazılmış olmayan monomlara dikkat ediniz.

Polinomun tüm terimlerini normal şekilde yazınız. 2 3x y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 polinomunun terimleri, normal şekilde nasıl yazıldığını izleyiniz.

3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 = 3x2y + 2x4y2 - 2x3y3 - 5.

Monomlar ve polinomlar

69

5.

4x3y2 - 2x2y(3xy2) - 3x3y2xy polinomu verilmiştir. Polinomu o şekilde yazınız ki, onun tüm terimleri normal şekilde olsun.

6.

3x2y - 2xy2 - 3x3y3 - 4xy2 + x2y polinomu verilmiştir. Verilen polinomda benzer monomlar olan terimler var mıdır? Polinomun benzer terimlerini gruplaştırdıktan sonra, benzer monomlara gereken (toplama ve çıkarma) işlemlerini yapınız. Çözümünüzü aşağıda verilen çözümle karşılaştırınız ve kaideyi tespit ediniz. 3x2y - 2xy2 - 3x3y3 - 4xy2 + x2y = (3x2y + x2y) + (-2xy2 - 4xy2) - 3x3y3 = 4x2y - 6xy2 - 3x3y3. Bu şekilde elde edilen polinomda benzer terimler var mıdır? Bir polinomun bazı terimleri normal şekle dönüştürülür, ya da terimleri arasında benzer olanları varsa toplanır (çıkarılır).Böyle durumda bu polinomda özdeş dönüşümler yapılmıştır denir. 4x2y - 6xy2 - 3x3y3 polinomunda, tüm terimleri normal şakilde yazılmış olduğunu görüyorsunuz.

Genel olarak Bir polinomun tüm terimleri normal şekilde yazılmış ve aralarında benzer monomlar yoksa, bu plinoma normal şekildedir denir. Aşağıdaki polinomlardan hangileri normal şekilde olduğunu belirtiniz:

7.

5x2 + 3xy + 2y2;

2x2 - 3xy + y2 + 3x2;

7a2b - 2abb2 - 3a2bab2;

8.

7x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 - 3x2y3 polinomunu normal şekle dönüştürünüz.

9.

2x2 - 3xy + 5y2 polinomu veriliyor.

3x3y - 2x2y2 + xy3.

Verilen polinomun her teriminin katsayısını belirtiniz. 2x2 - 3xy + 5y2 polinomunun katsayıları : 2, -3 ve 5 sayıları olduğunu görüyorsunuz. x değişkenli ax3 - bx2 + cx - 5 polinomunda, terimlerinin katsayıları : a, -b, c ve -5 dir.

Polinomun terimleri olan monomların katsayılarına polinomun katsayıları denir.

70

Konu 3. Polinomlar

10.

y değişkenli polinomların katsayılarını belirtiniz. 4y2 - 2y - 5;

ay4 - 2by2 -4.

Hatırlayınız !

C

Hangi monomlara, ters monomlar denir? -3x 2y 3 monomuna, ters olan monomu yazınız. Monomun derecesi, içinde bulunduğu değişkenlerin üslerinin toplamıdır. 2x3y2z3 monomunun derecesini belirtiniz.

6x3y - 2x2y2 - 3x ve -6x 3y + 2x 2y 2 + 3x polinomları verilmiştir. Her iki polinomun benzer terimlerini görünüz.

11.

polinomların benzer terimleri, nasıl monomlardır ? Polinomların her ikisinde ters monomları görünüz.

Ters monomlar: 6x3y ve -6x3y; -2x2y2 ve 2x2y2, -3x ve 3x dir. 6x3y - 2x2y2 - 3x ve -6x3y + 2x2y2 + 3x polınomlarına, ters polinomlar denir.

Genel olarak İki polinomda, birinin her terimi, diğerinin her terimiyle ters ise, onlara ters polinomlar denir.

12.

7x2y3 - 2x3y2 + 5xy polinomuna ters olan polinomu yazınız.

D 13.

-3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6 polinomu veriliyor.

Polinomun her teriminin derecesini belirtiniz. Polinomun hangi teriminin derecesi en büyüktür? -6 terimi hangi derecedir? Farkettiğiniz gibi, polinomun ilk terimi (-3x3y5) sekizinci derece, ikincisi (2x4y2) altıncı derece, üçüncüsü (5x3y) dödüncü derece ve dördüncüsü (-6) değişkeni olmadığına göre sıfır derece dir. Birinci terimin derecesi (sekizinci) en büyüktür. O halde -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6 polinomuna sekizinci derece polinom denir.

Monomlar ve polinomlar

71

Genel olarak Normal şekilde olan bir polinomun derecesi, polinomu oluşturan monomlardan en büyük dereceli monomun derecesidir. Verilen polinomların derecesini belirtiniz:

14.

2x + 3;

7x3y2 + xy3 - 2xy;

3a2b - ab3;

Neleri bilmelisiniz:

5x - 7y + 2.

Kendinizi yoklayınız !

Verilen polinom normal şekilde midir;

Verilen polinomu normal şekilde yazınız: 3x2y - 5x2y2x3y + 2x2y.

Polinom normal şekle nasıl dönüştürülür;

1 + 5x - 2x2 - 3x3 polinomun tersini yazınız.

Hangi polinomların ters olduklarını nasıl anlayacaksınız; Polinomun derecesini belirtirken hangi işlemler yapılımalıdır.

5x3y - 2x2y3 - 3x5y + 8 polinomunu, en büyük derece monomdan başlayarak küçüğe doğru terimlerini sıralayınız. Verilen polinomun derecesini belirtiniz.

Ödevler

1.

Verilen polinomun terimlerini normal şekle dönüştürünüz:

4.

Verilen x değişkenli polinomun katsayılarını belirtiniz: 5x3 - 2ax2 + bx - 3.

5.

Verilen polinomun tersini yazınız:

2x2yxy2 - 3x3yy3x2; -5a3b2b2 + 3a2b4b - 8a2b2.

2.

4a2b - 2ab2 + 3ab;

Polinomu normal şekilde dönüştürünüz: 2x2y3 - 3x3y2 + 3x2y3 - 5x3y2

6.

x3 + 6x2 - 5x - 3 polinomunun x = -2 için sayı değerini belirtiniz

7.

Verilen polinomun derecesini belirtiniz:

7x3 + 2x2 - 3x - 2x3 + 2x2

3.

Polinomu normal şekle dönüştürünüz: 2x3y2y2 + 5x2y3 - 2x2y3 - 2x2x2y, -2x2y2 + 3x3y - 2x3y + 2x2y2 + 7xy3.

-x2y3 + 3xy2 - 2xy.

9x5y2 - 2x3y2 + 2x2y4; -4a8b + 2a7b - 3a6b.

8. 5x2y - 2x3y2 + 3x2y4 - 7 polinomun terimlerini, derecelerine göre sıralayınız.

72

Konu 3. Polinomlar

5

MONOMLARIN ÇARPIMI VE KUVVETİ

Hatırlayınız !

A 1.

a m ve a n kuvvetlerinin çarpımı a m ⋅ a n = a m + n dir. Şu çarpımları hesaplayınız: x5 ⋅ x3;

3x 2 y 3 ve 3x 2 y 3 monomlarının çarpımını hesaplayınız: Katsayılara ve eşit tabanlı kuvvetlere dikkat ediniz. Çarpma işlemini nasıl yapacaksınız?

a3 ⋅ a.

Bir kuvvetin kuvveti alınırken, tabana üslerin çarpımı üs olarak yazılır. Her iki monomun katsayılarını ve aynı tabanlı kuvvetlerini birbiriyle çarpabiliriz.

(a m) n = a m ⋅ n Hesaplayınız: a) (x2)3;

b) (a2)5.

Bir çarpımın doğal sayılı kuvveti alınırken, her çarpanınn bu sayıyla kuvveti alınır ve çarpım olarak yazılır.

Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız.

Örnek: (a3 ⋅ b2)2 = a6b4.

3x2y3 ⋅ 2x3y = (3 ⋅ 2) ⋅ (x2 ⋅ x3) ⋅ (y3 ⋅ y) = 6x5y4.

Hesaplayınız: a) (x y ) ;

b) (ab ) .

5 2 3

4 2

Hesaplama kaidesini açıklayınız.

Monomları çarparken, onların katsayıları ve aynı tabanlı kuvvetleri çarpılır. Bu durumda normal şekilde monom elde edilir.

2.

Verilen monomların çarpımını belirtiniz. -8x2y ve 2xy2;

B 3.

-0,6a2b3c ve 2,5a3bc2;

[ ve [\ ;

DE F ve 0,5ac 0,5ac22..

2x3y2 monomunun üçüncü kuvvetini belirtiniz. ( 2 x 3y 2) 3 k u v v e t i n i çarpım biçiminde yazabilir misiniz?

Monomun üçüncü kuvveti: (2x3y2)3 = (2x3y2) ⋅ (2x3y2) ⋅(2x3y2) biçiminde yazılabilir. Bu şekilde üç monomun çarpımı elde edilir ve bu çarpımı kolay yapabiliriz.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız: (2x3y2)3 = 2x3y2 ⋅ 2x3y2 ⋅ 2x3y2 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (x3 ⋅ x3 ⋅ x3) ⋅ (y2 ⋅ y2 ⋅ y2) = 23 ⋅ (x3)3 ⋅ (y2)3 = 8x9y6. (2x3y2)3 = 23 ⋅ (x3)3 ⋅ (y2)3 = 8x9y6 olduğunu görüyorsunuz.

4.

Kuvvetleri alınız:

(5a2b4c)2;

(-3x2y3z)3;

(-2a2xy3)4.

Monomlar ve polinomlar

73

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız !

Monomların çarpımı, nasıl hesaplanır;

(2x3y2) ⋅ (-3xy2z) ⋅ (xy2z) çarpımını belirtiniz.

Monomun doğal sayılı kuvveti, nasıl alınır.

-2x2yz3 monomunun, dördüncü kuvvetini belirtiniz.

Ödevler

1.

5.

Verilen monomların çarpımını belirtiniz: 2ab2 ve 3a2b;

2.

-2a2b3c ve

Verilen monomların çarpımını belirtiniz:

6.

(1,2x2y) ⋅ (-2xy2) ⋅ (3,5x3y3).

4.

6

-3a2b3 ve 2a3b2 monomların çarpımında, değişme özelliğinin var olduğunu ispatlayınız.

7.

-2a2bc, 3ab2c ve -4abc2 monomların çarpımında, birleşme özelliğinin var olduğunu ispatlayınız.

8.

Verilen monomların kuvvetini alınız: (-3y2)2;

(-2,5a2b3)2;

(3x2y3)3;

.

Hesaplayınız: (-2a2b)2 ⋅ (3ab2);

(3x3y2) ⋅ (-2x2y4)3.

Hesaplayınız ((x2y)2)3;

((-2a3b2)3)2.

POLİNOMLARI TOPLAMA VE ÇIKARMA

Hatırlayınız ! Polinom nedir? Polinomun terimlerini adlandırınız: 5x3y - 2x2y2 - 3xy3. Terimleri -5a3b3; 2a2b2 ve 3ab olan polinomu oluşturunuz. -12 + 3 + 18 ve 5 - 9 + 1 sayı ifadelerin toplamının sayı değeri aşağıdaki şekilde hesaplanır: (-12 + 3 + 18) + (5 - 9 + 1) = = -12 + 3 + 18 + 5 - 9 + 1 = =(-12 - 9) + (3 + 18 + 5 + 1) = = -21 + 27 = 6. (-9 - 4 + 15) + (-2 + 8 - 16) ifadesinin sayı değerini hesaplayınız.

74

b)

a) -2x2y3;

.

(-5a3b2c) ⋅ (2a2b3c);

3.

Verilen monomun, ikinci kuvvetini belirtiniz:

Konu 3. Polinomlar

A 1.

3x3y - 3x2y2 - 2xy3 ve 4x3y - 2x2y2 polinomlarının toplamını belirtiniz.

Verilen polinomların toplamı, nasıl yapıldığını anlamak için aşağıdakileri izleyiniz. Toplam yazılır Parantezlerden kurtulma Benzer monomların gruplaştırılmaası Benzer monomlarla işlemler yapılır.

(3x3y - 3x2y2 - 2xy3) + (4x3y - 2x2y2)

3x3y - 3x2y2 - 2xy3 + + 4x3y - 2x2y2 = = (3x3y + 4x3y) + + (-3x2y2 - 2x2y2) + (-2xy3) =

= 7x3y - 5x2y2 - 2xy3

İki polinomu toplamak için, önce herbirinin terimleri işaretleriyle beraber birbiri ardısıra (toplam gibi) yazılmalıdır Ondan sonra aralarında benzer terimler varsa onların toplamı yapılır.

Verilen polinomların toplamını belirtiniz :

2.

a) 5x3 - 2x2 - 3x + 1 ve 4x2 - 2x + 3;

B

b) 2a3 - 3a2 + 2a - 4 ve 3a3 - 5a + 7.

Hatırlayınız ! A monomundan, B monomunu çıkarmak, A monomuna B monomunun tersini katmak demektir, yani A - B = A + (-B) dir. 5x2y3 ve -2x2y3 monomlarının farkını belirtiniz..

3.

Verilen polinomların farkını hesaplayınız: 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 ve 3a3b - 2a2b2 + 3ab3. Farkların yazılışı:

(7a3b - 5a2b2 - 6ab3) - (3a3b - 2a2b2 + 3ab3)

Parantezlerden kurtulma:

7a3b - 5a2b2 - 6ab3 - 3a3b + 2a2b2 - 3ab3 =

Benzer monomların gruplaştırılması:

= (7a3b - 3a3b) + (-5a2b2 + 2a2b2) + (-6ab3 - 3ab3)

Monomlarla işlemlerin yapılması:

= 4a3b - 3a2b2 - 9ab3

Unutmayınız ! A polinomundan B polinomunu çıkarmak, A polinomuna B polinomunu katmak demektir yani A - B = A + (-B) dir.

4.

Hesaplayınız:

(3ax3 - 5bx2) - (-ax3 + 2bx2);

Neleri Bilmelisiniz: Polinomların toplamı, nasıl yapılır; İki polinomun farkı nasıl belirtilir; Polinomların toplamı ve farkının yapıldığı kuralın açıklamasını da bilmelisiniz.

(7x3 - 12x2 + 3x) - (5x3 - 6x2 - 2).

Kendinizi yoklayınız ! (5a5b2 - 2a3b4) + (-a5b2 + 5a3b4) + (2a5b2 - 3a3b4) polinomlu ifadeyi normal şekilde dönüştürünüz:

(9a3 - 4a2 - 3) - (7a3 - a2 - 3) = 2a3 - 3a2 eşitliği doğru olup olmadığını yoklayınız.

Monomlar ve polinomlar

75

Ödevler

1. Verilen polinomların toplamını hesaplayınız:

6.

a) 3a2b - 2ab2 ve a2b - 3ab2,

a) 7x3 - 2x2 - 5x ve 4x3 - 5x2 - 4x;

b) 7x3 - 4x2 + x - 3 ve 7x2 - 3x + 5.

b) 2,5a3 - 3b3 ve -1,8a3 - 0,6b3.

2.

Polinomlu ifadeyi normal şekle dönüştürünüz: 4 a) (5x - 2x3 + 8) + (4x4 - x3 + 2x2 - 5);

7.

2 2

3

3

2 2

3

Verilen ifadenin sayı değerini belirtiniz: (6y3 - 7y2 + y) + (-4y3 + 2y2 - y), y = 2 .

4.

Verilen polinomlu ifadeyi, normal şekle dönüştürünüz: a) (3x2 - 2xy - 2y2) - (x2 + 2xy - 6y2);

b) (-8a b - 4a b + 3ab ) + (a b + 4a b -ab ). 3

3.

Verilen polinomların farkını hesaplayınız:

5x2y3 - 2x3y2 polinomuna verilen monomların toplamını katınız:

b) (x2 - 4xy + 4y2) - (3x2 - y2).

8.

Verilen ifadenin sayı değerini belirtiniz: (3x3 - 2x2 - 4x - 1) - (-x3 + x2) ; x = -2.

9.

Eşitliği sağlayacak P plinomunu belirtiniz: P + (x2 + 2xy - 3y2) = 3x2 - 4xy - 3y2.

2x2y3 + x3y2 ve x2y3 - x3y2.

5.

Verilen ifadenin değeri x e bağlı olmadığını

10. A = 3a2 - 4a + 1,

B = - a2 + 5a - 4 ve C = 2a - a + 6 polinomları için 2

gösteriniz: (3x2 - 2x + 5) + (-x2 - 2x + 1) + (-2x2 + 4x -2)

7

A - (B - C).

belirtilsin.

POLİNOMU MONOMLA ÇARPMA

Hatırlayınız !

A

Monomu monomla çarparken, onların katsayıları ve aynı tabanlı kuvvetleri çarpılır. Böyle durumda normal şekilde monom elde edilir. Örnek: -3a2b ⋅ 2a3b2 = =(-3 ⋅ 2) ⋅ (a2 ⋅ a3) ⋅ (b ⋅ b2) = -6a5b3. Hesaplayınız: -3x5y2 ⋅ 4xy2. Çarpma işleminin toplamaya göre dağılma özelliği şu şekilde yazılabilir: (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c; a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. İki şekilde hesaplayınız: (15 + 8) ⋅ 6 = 23 ⋅ 6 = ; (15 + 8) ⋅ 6 = 15 ⋅ 6 + 8 ⋅ 6 =

76

A - (B + C);

Konu 3. Polinomlar

.

1.

Çarpma işleminin, toplamaya göre dağılma özelliği, polinom ve monomun çarpımını, normal şekilde polinom gibi göstermeyi mümkün kılar. 3x2 + 4y3 polinomu ve 2x3y2 monomun çarpımı nasıl hesaplandığını görünüz: Çarpımın yazılışı:

(3x2 + 4y3) ⋅ (2x3y2)

Çarpma işleminin toplamaya göre dağılma = (3x2 ⋅ 2x3y2) + (4y3 ⋅ 2x3y2) özelliğinin uygulanması: Parantezledeki monomların çarpımı (yani normal şekilde dönüştürmek):

= 6x5y2 + 8x3y5

2.

ÇarpĹmlarĹ belirtiniz:

(2x3 - 3x2 + 5x) â‹… 4x2;

(3a2 - 2ab + b2) â‹… 5a2b2.

Bir polinomu, verilen bir monomla çarparken, polinomun her terimi, verilen monomla çarpÄąlÄąr ve elde edilen polinom normal Ĺ&#x;ekilde gĂśsterilir.

3.

ÇarpĹmlarĹ belirtiniz:

4ax2 â‹… (2a3x - 5a2x2 + 3ax3);

(2,5xy2 - 1,4x2y) â‹… (-2x2y2).

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayĹnĹz ! Polinomun monomla çarpĹlmasĹnĹ;

ÇapĹmĹ hesaplayĹnĹz: a) (-5) ⋅ (4x3 - 3x2 + x); b) (-2x3y - 3xy3 + 5) ⋅ (-2x2y2).

Polinomu monomla çarparken uygulanan kaide.

Ă–devler

1.

ÇarpĹmĹ hesaplayĹnĹz: a) (2x2 - 3y3) ⋅ 4xy; b) (5a3b - 3a2b2 + ab3) ⋅ (-2a2b2).

4.

A = 2x3 - 3x2 + x, B = x3 + x2 - 3x ve C = 5x2 ifadeleri verilmiĹ&#x; olsun. Ĺžu ifadeleri normal Ĺ&#x;ekilde polinom gibi gĂśsteriniz: a) (A + B) â‹… C;

2.

3.

ÇarpĹmĹ belirtiniz: a) 4 ⋅ (5a2 + 2a - 3); b) (-2) ⋅ (-3,5x3 + x2y2 - 3y3).

5.

Verilen ifadeleri normal Ĺ&#x;ekilde polinom gibi gĂśsteriniz: a) (3a2b - ab2) â‹… a2b2 - 2a2b â‹… ab3; b) (3x3 - x2 + 2x) â‹… 5x - (4x2 - 3) â‹… x2.

6.

(3x2 - 2x + 1) â‹… 2x - (x2 - 3x + 5) â‹… 4x ifadesinin sayÄą deÄ&#x;erini, x = 2 için hesaplayÄąnÄąz.

ÇarpĹmlarĹ belirtiniz: a)

D E DE E ˜ DE

b) [\ ˜ [ [ \ [\ \ . b)

b) C â‹… (A - B).

Monomlar ve Polinomlar

77

8

POLİNOMLARI ÇARPMA

Hatırlayınız !

A 1.

Polinomu, monomla çarparken, polinomun her terimi verilen monomla çarpılır ve elde edilen çarpımlar toplanır. Çarpımı hesaplayınız: a) (a + b) ⋅ c; b) x (2 + y); c) (2a2b - 3ab2 + 5) ⋅ 2ab.

A ifadesi c + d ile değiştirilirse, nasıl ifade elde edilir?

a + b ve c + d polinomları verilmiş olsun. (a + b) ⋅ (c + d) çarpımını hesaplayınız. c + d binomunu A ile değiştiriyorsanız çarpım nasıl hal alır?

O halde, çarpım (a + b)A, şekline dönüşür ve böyle durumda, (a + b)A = aA + bA elde edilir. aA + bA = a(c + d) + b(c + d) ifadesini elde ediyorum.

Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız: (a + b) ⋅ (c + d) = (a + b) ⋅ A = aA + bA (burada A = c + d = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd , t.e.

dir)

(a + b) ⋅ (c + d) = ac + ad + bc + bd. a+b ve c+d polinomlarının çarpımı, bir polinomun her terimi diğer polinomun her terimiyle çarpılarak elde edilen çarpımların toplamıdır.

2.

(2x + 3) ⋅ (y + 5) çarpımını hesaplayınız.

3.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd eşitliğinin geometrik şekilde açıklaması da olabilir. Bu eşitlik: (yandaki şekle bakınız) gösterilen büyük dikdörtgenin alanı ve dört tane küçük dikdörtgenin alanlarının topla-mı ile ifade edilebilir. Her dikdörtgenin verilen boyutlarına göre alanlarını yazınız.

4. 78

4x2 - 5x + 3

2x - 3 polinomların çarpımını hesaplayınız.

Konu 3. Polinomlar

d

c

a

b

Verilen polinomları çarparken yapılan işlemlere bakınız: Çarpımın yazılışı:

(4x2 - 5x + 3)(2x - 3)

Bir polinomun her terimi, diğer polinomun her terimiyle çarpılışı:

= 4x2 ⋅ 2x + 4x2 ⋅ (-3) - 5x ⋅ 2x - 5x (-3) + + 3 ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3)

Çarpma işleminin tamalanması:

= 8x3 - 12x2 - 10x2 + 15x + 6x - 9

Polinomun normal şeklinde dönüştürülmesi:

= 8x3 - 22x2 + 21x - 9.

Polinomu polinomla çarparken. polinomlardan birinin her terimi, ikincisinin her terimiyle çarpılır ve elde edilen toplam, normal şekilde polinom gibi gösterilir.

5. 6.

(a3 + 2a2b - 3ab2) ⋅ (5a - 3b) çarpımını hesaplayınız. (2x - 3) ⋅ (3x + 2) ⋅ (5x - 1) çarpımını, normal şekilde polinom biçimine dönüştürünüz. Çarpma işleminin birleşme özelliğine göre, verilen çarpım ((2x - 3) ⋅ (3x + 2)) ⋅ (5x - 1) biçiminde yazılabilir ve böyle durumda önce ilk iki çarpanın çarpımı yapılır.

Hatırlayınız ! Onluklar rakamı a ve birlikler rakamı b olan iki basamaklı sayı, çözümlenmiş biçimde yazılışı 10a + b dir. 62 ve 68 sayılarını çözümlenmiş biçimde yazınız.

7.

A

Polinomların çarpımı kuralının birçok uygulaması vardır. Bu uygulamalardan birini gösterelim: 62 ⋅ 68; 74 ⋅ 76; 53 ⋅ 57; biçiminde verilen sayıların çarpımını daha kolay şekilde belirtmek için bir kural bulacağız. Bu sayılar aynı onluğa ait ve birliklerinin toplamı 10 a eşittir.

b + c = 10 olmak üzere, (10a + b) ⋅ (10a + c) çarpımını hesaplayınız. Elde edilen sonuçtan yararlanarak 62 ⋅ 68 çarpımını hesaplayınız. b + c = 10 olmak üzere (10a + b) ⋅ (10a + c) çarpımını belirtelim. (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = =100a2 + 10a ⋅ 10 + bc (za b + c = 10) = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.

Monomlar ve Polinomlar

79

(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc eĹ&#x;itliÄ&#x;ini, verilen Ăśdevin çÜzĂźmĂźnde kullanabilirsiniz. Bu formĂźle gĂśre: 62 â‹… 68 = 100 â‹… 6 â‹… 7 + 2 â‹… 8 = 4200 + 16 = 4216 olduÄ&#x;unu buluyoruz. Bu formĂźlden yararlanarak 62 â‹… 68 çarpÄąmÄąnÄą zihinden de hesaplayabiliriz. Onluklar sayÄąsÄą (6) ondan bir bĂźyĂźk olan (7) sayÄąsÄąyla çarpÄąlÄąr ve elde edilen çarpÄąma (42) sayÄąsÄąna her iki çarpanÄąn birliklerinin çarpÄąmÄą (16) rakam gibi eklenir. Buna gĂśre 62 â‹… 68 = 4216 elde edilir. Zihinden hesaplayÄąnÄąz: a) 34 â‹… 36;

8.

b) 81 â‹… 89;

c) 53 â‹… 57.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

PolinomlarĹn çarpĹmĹ nasĹl yapĹlĹr;

(4a2 - 2ab + b2) â‹… (2a + b) çarpÄąmÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

PolinomlarĹn çarpĹmĹ kuralĹnĹn açĹklamasĹnĹ.

EĹ&#x;itliÄ&#x;in doÄ&#x;ru olmasÄą için eksik olan nedir: (2x2 - 3)(3x2 - 2) = 2x2 â‹… 3x2 - 3(-2)?

Ă–devler 1.

Ĺžu çarpÄąmlarÄą hesaplayÄąnÄąz: a) (2a + 3b)(a - 2b); b) (x2 + 2xy - 5y2)(2x - 3y).

4.

Verilen ifadeyi normal Ĺ&#x;ekilde polinom biçimine dĂśnĂźĹ&#x;tĂźrĂźnĂźz: (3x2 - 2x + 5)(4x - 3)(2x - 1).

2.

3.

80

HesaplayÄąnÄąz: a) (a3 - a2b + ab2 - b3)(a + b); b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y). HesaplayÄąnÄąz: a) (1,2a3 - 2,5a2 + 0,2a)(a2 - 1,4); b) [ [ [ [ .

Konu 3. Polinomlar

5.

Verilen ifadenin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz: (x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) za x = 3.

6.

ÇarpĹmlarĹ zihinden hesaplayĹnĹz: a) 72 ⋅ 78;

b) 63 â‹… 67.

9

İKİ İFADENİN TOPLAMI VE FARKININ ÇARPIMI

Hatırlayınız !

A 1.

Polinomu polinomla çarparken, polinom-lardan birinin her terimi, ikincisinin her terimiyle çarpılır ve elde edilen toplam normal şekilde polinom gibi gösterilir.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız: (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - B2. Bu şekilde şu özdeşlik elde edildi:

(2a - 3b )(4a - b ) çarpımını belirtiniz. 2

2

A ve B iki ifade olsun. (A + B) (A B) çarpımını hesaplayınız ve elde edilen polinomu normal şekilde yazınız.

2

(A + B)(A - B) = A2 - B2

İki ters monomun toplamı sıfırdır. Verilen ifadelerden hangisinin değeri 0 dır. a) -3a2b + 3ab2; b) 2x3y2 - 2x3y2; 2 2 c) a b - ab ; d) -x3y + x3y?

Unutmayınız ! İki ifadenin toplamı ve farkının çarpımı, onların karelerinin farkına eşittir.

(A + B)(A - B) = A2 - B2 özdeşliği, iki ifadenin toplamı ve farkının kısa çarpma formülüdür.

2.

(A + B)(A - B) = A2 - B2 kısa çarpma formülünden yararlanarak (2a + 3b)(2a - 3b) çarpımını hesaplayınız. Bu durumda A hangi ifadeye, B ise hangi ifadeye karşılık geldiğini görmelisiniz. Çözümünüzü verilenle karşılaştırınız ve kaideyi görünüz. A = 2a ve B = 3b olduğunu farkedebilirsiniz. Kısa çarpma formülünde A yerine 2a ve B yerine 3b değiştiriniz: (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2.

3.

Kısa çarpma formülünden yararlanarak verilen çarpımı hesaplayınız: a) (3x - y)(3x + y);

B 4.

b) (5a + 2b)(5a - 2b);

c) (a2 - 3)(a2 + 3);

d) (40 -1 )(40 + 1).

(A + B)(A - B) = A2 - B2 formülü yardımıyla 42 ⋅ 38 çarpımını hesaplayınız. 42 sayısı 40 ve 2 sayılarının toplamı biçiminde yazılabilir (42 = 40 + 2). 38 sayısını aynı sayıların farkı biçiminde yazınız. 42 ⋅ 38 çarpımını hesaplamak için, yukarıdaki formülün nasıl uygulanacağını kestirebilirsiniz.

Monomlar ve Polinomlar

81

42 â‹… 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. Ä°ki sayÄąnÄąn çarpÄąmÄąnda, çarpanlardan biri iki sayÄąnÄąn toplamÄą, diÄ&#x;eri ise aynÄą sayÄąlarÄąn çarpÄąmÄą biçiminde yazÄąlabildiÄ&#x;i durumda, çarpÄąmÄąn hesaplanmasÄą için bir yĂśntem gibi sayÄąlabilir. KÄąsa çarpma formĂźllerinden yararlanarak aĹ&#x;aÄ&#x;Äądakileri hesaplayÄąnÄąz:

5.

a) 43 â‹… 37;

b) 68 â‹… 72;

c) 201 â‹… 199.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayÄąnÄąz !

İki monomun toplamĹ ve farkĹ biçiminde olan çarpĹm nasĹl belirtilir; İki monomun toplamĹ ve farkĹ biçiminde olan çarpĹmĹn belirtilmesinde uygulanan kaideyi; İki monomun toplamĹ ve farkĹ biçiminde olan çarpĹmĹn kaidesi, Üdevlerin çÜzßmßnde nasĹl uygulanabilir.

ÇarpÄąmÄą belirtiniz : (-2a2 + 3b2) â‹… (-2a2 - 3b2) 73 â‹… 67 çarpÄąmÄąnÄą zihinden hesaplayÄąnÄąz.

Ă–devler 1.

a) (x - 3) (x + 3);

2.

5.

ÇarpĹmlarĹ belirtiniz: b) (2a + 3)(2a - 3).

Verilen ifadeleri, normal Ĺ&#x;ekilde polinom gibi gĂśsteriniz: a) (3x2y - 2xy2)(3x2y + 2xy2);

a) (x - 2y)(x + 2y) + 2x2 - y2; b) (a2b + ab2)(a2b - ab2) + 2a(a3b2 - ab4).

6.

b) (6ab3 - 5a3b)(6ab3 + 5a3b).

3.

Verilen ifadelerin deÄ&#x;erini belirtiniz:

Verilen ifadelerin deÄ&#x;erini belirtiniz: a) 93 â‹… 87;

82

b) 202 â‹… 198.

Konu 3. Polinomlar

Karelerin farkÄąna eĹ&#x;it olacak çarpÄąmlarÄą belirtiniz: a) x2 - 9;

b) 4x2 - 9y2.

7.

Verilen ifadeyi binom biçimine dĂśnĂźĹ&#x;tĂźrĂźnĂźz: a) (0,2ab - c)(0,2ab + c); [ [\ [\ [ b) ˜ .

8.

Verilen ifadeyi normal Ĺ&#x;ekilde polinom gibi gĂśsteriniz: a) (z + 3)(z - 3)(z2 + 9); b) (x + y - 1)(x + y + 1).

a) (60 - 1)(60 + 1); b) (100 + 4)(100 - 4).

4.

Verilen ifadeyi, normal polinom biçimine dĂśnĂźĹ&#x;tĂźrĂźnĂźz:

10

BİNOMUN KARESİ

Hatırlayınız ! A ve B herhangi iki monom olsun. (A+B)2 ve (A-B)2 ifadelerine bir toplamın karesi ve bir farkın karesi denir. 3x ve 2y monomların toplamından ve farkından oluşan ifadelerin karesini yazınız. Verilen üslü ifadeleri çarpım biçiminde yazınız: a) a2; b) (a + b)2; c) (a - b)2.

A 1.

A + B toplamının karesini belirtiniz.

(A+B)2 yi belirtmek için nasıl hareket edeceksiniz? (A + B)2 = (A+B)(A+B) biçiminde yazdıktan sonra, çarpımı hesaplayacağız.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 =A2 + 2AB + B2, yani (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

elde edilir.

Unutmayınız ! İki monomun toplamının karesi, birinci monomun karesi, birinci ve ikinci monomların iki kat çarpımı ve ikinci monomun karesinin toplamına eşittir. Şu örnekle bir toplamın karesinin formülü nasıl uygulandığını izleyiniz: (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2.

2. 3.

(3a + 2b)2;

Şu binomların karesini belirtiniz:

Kenarı = a + b olan bir kare verilmiştir. Bu karenin alanını hesaplayınız. MN ve PS doğru parçalarıyla ABCD karesi kaç parçaya ayrıldığını dikkat ediniz. Her parçanın boyutlarına bakınız. Her parçanın alanını hesaplayınız.

D b

S P3 = ab

M a

A

C P4 = b2 N

K P2 = ab

P1 = a 2

Karenin alanı P, parçaların P1, P2, P3 ve P4 alanları toplamına eşittir. Bunu belli olan alanlarla yazınız.

(x2 + y2)2.

a

P

b

B

Gördüğünüz gibi: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 olur. Şekilde, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 formülünün geometrik açıklanmasnı görüyorsunuz.

Monomlar ve Polinomlar

83

4.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 formülünü uygulayarak 622 kuvvetini de hesaplayabiliriz. 62 sayısını, uygun iki sayının toplamı biçimde yazınız. Formülü uygulayınız. Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. 622 = (60 + 2)2 = 602 + 2 ⋅ 60 ⋅ 2 + 22 = 3600 + 240 + 4 = 3844.

B 5.

A - B farkının karesini alınız. (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = = A2- 2AB + B2 olduğunu buluyorum.

(A - B)2 ifadesini nasıl belirteceksiniz?

Demek ki,

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

dir.

Unutmayınız ! İki monomun farkının karesi, birinci monomun karesi, eksi birinci ve ikinci monomun iki kat çarpımı, artı ikinci monomun karesine eşittir. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ve (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 formüllerine, daha da kısa çarpma formülleri denir. İki monomdan oluşan farkın karesini, belirtmek için uygulanan kuralı şu örnekle inceleyelim: (5a - 2b)2 = (5a)2 - 2 ⋅ 5a ⋅ 2b + (2b)2 = 25a2 - 20ab + 4b2.

6. 7.

Şu polinomların karesini belirtiniz:

(3x - 4y)2;

(2a2 - b2)2.

Farkın karesi formülünden yararlanarak 482 hesaplansın. Kendiniz deneyiniz. 48 sayısını, 50 ve 2 sayılarının farkı gibi yazınız. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 formülünü uygulayınız. Çözümünüzü verilen, çözümle karşılaştırınız. 482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 ⋅ 50 ⋅ 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

8.

84

Hesaplayınız: 692

372

Konu 3. Polinomlar

982.

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız !

İki monomun toplamının karesini; İki monomun toplamının karesini belirtmek için uygulanan formülün ödevlerde nasıl kullanıldığını;

Belirtiniz:

İki monomun farkının karesini;

Belirtiniz:

İki monomun farkının karesini belirtmek için uygulanan formülün ödevlerde nasıl uygulanıldığını;

(a + 3b)2;

822.

[ \ ;

572.

Ödevler

1.

Şu kareleri belirtiniz:

6.

a) (a - 3)2; b) (3x - 2y)2; c) (4a2- b2)2.

a) (x + 4)2; b) (2x + 7y)2; c) (3x2 + 5y2)2.

2.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 formülünü uygulayarak aşağıdakileri hesaplayınız: a) 412; b) 722;

3.

7.

c) 1052.

8.

a) (a + 3)2 + (a + 4)2; 2

2

Hangi binomun karesi verilen polinom olduğunu belirtiniz: a) a2 + 2ax + x2; b) 4x2 + 12xy + 9y2.

5.

b) 592;

c) 962.

Verilen ifadeyi, normal şekilde polinom gibi yazınız: a) (3x - y)2 + (x - 2y)2;

b) (3x + 2y) + (2x + y) - (x + y) .

4.

(a - b)2= a2- 2ab + b2 formülünü uygulayarak hesaplayınız: a) 382;

Verilen ifadeyi normal şekilde polinom gibi gösteriniz: 2

Verilen kareleri belirtiniz:

Denklemleri çözünüz: a) (x + 2)2 - x2 = 16; b) (3x + 5)2 - 9x2 = 55.

b) (5a - 2b)2 - (a - b)2 + (a + 3b)2.

9.

Hangi binomun karesi verilen polinom olduğunu belirtiniz: a) x2 - 4x + 4;

b) 9x2 - 12xy + 4y2.

10. Polinomu, normal şekilde dönüştürünüz: a) (3x -1)2 + (x - 5)(x + 5); b) (2a - 3b)2 + (2a + 3b)2.

Monomlar ve Polinomlar

85

11

MONOMLARIN BÖLÜMÜ. POLINOMUN MONOMLA BÖLÜMÜ

Hatırlayınız ! Aynı tabanlı kuvvetleri bölerken, taban olduğu gibi yazılır, üsler ise birbirinden çıkarılarak üs olarak yazılır. Örnek: a8 : a3 = a8 - 3 = a5 olur.

A

1.

yapılan işlemlere dikkat ediniz: 6x4y5 : (2x2y2) = (6 : 2)(x4 : x2)(y5 : y2) = 3x2y3.

Şu bölümleri belirtiniz: a) x7 : x2;

Verilen monomların bölümünü hesaplayınız: 6x4y5 ve 2x2y2.

Monomların bölümü nasıl yapıldığını açıklayınız.

b) y5 : y4.

Katsayılar birbiriyle ve aynı tabanlı kuvvetler de birbiriyle bölünmüştür. Monomların bölümünü kesir şeklinde yazınız ve ondan sonra bölümü belirtiniz. Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız: [ \ [ \

2.

[ \ [ \

[ \ .

12a6y7 : (-6a3y2) bölümünü hesaplayınız. Bir monomu verilen bir monomla bölerken, önce bölünenin katsayısı, bölenin katsayısıyla bölünür, ondan sonra bölünenin başdeğerindeki aynı tabanlı kuvvetler, bölenin başdeğerindeki aynı tabanlı kuvvetlerle bölünür ve elde edilen bölümler çarpım biçiminde yazılır.

3.

Bölümleri belirtiniz:

-15a5x7 : (5a2x3);

Hatırlayınız! Bölme işleminin toplama işlemine göre sağ değişme kanunu şu şekilde yazılabilir: (a + b) : c = a : c + b : c. Hesaplayınız (32 + 48) : 8 = 32 : 8 + 48 : 8 = (x5 + x7) : x2 = x5 : x2 + x7 : x2 =

[ \

B

4.

[ \ . 8a5 - 4a4 + 6a3 polinomunu 2a2 monomuyla bölünüz. Dağılma özelliğinden nasıl yararlanacaksınız?

; .

8a5 - 4a4 + 6a3 polinomunun her terimini 2a2 ile bölüyorum.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız: (8a5 - 4a4 + 6a3) : (2a2) = (8a5) : (2a2) + (-4a4) : (2a2) + (6a3) : (2a2) = 4a3 - 2a2 + 3a.

86

Konu 3. Polinomlar

5.

Verilen polinomu monomla bölünüz: (-6x5 - 9x4 + 3x3) : (-3x2). Dağılma özelliğini uygulayınız. Verilen bölmeleri yapınız. Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız! (-6x5 - 9x4 + 3x3) : (-3x2) = (-6x5) : (-3x2) + (-9x4) : (-3x2) + (3x3) : (-3x2) = 2x3 + 3x2 - x. Polinomu monomla bölerken, polinomun her terimi verilen monomla bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.

6.

Bölümleri hesaplayınız; (18x5y3 - 24x4y4 + 12x3y5) : (6x2y2);

(4a3b2 - 8a4b3) : (-4a2b).

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

İki monomun bölümü nasıl yapılır; monomu monomla bölme kaidesi nasıl açıklanır;

Verilen ifadeyi normal şekilde polinom gibi gösteriniz: (-4x3y4) : (2x2y2) + (-6x5y3) : (-2x3y2) =

Polinom monomla nasıl bölünür; Polinomu monomla bölme kaidesi nasıl açıklanır;

Ödevler 1. 2.

(6a5b4 - 9a4b3 + 3a3b2) : (3a3b2) =

a) (4x5y2 - 6x4y3 - 8x3y4) : (2x3y2);

a) (16x3y2) : (4xy);

b) (12a3x4 - 8a4x3 - 4a5x2) : (4a2x2).

b) (-9a3b5) : (3a2b2).

b)

6.

D E D E .

Verilen ifadeleri normal şekilde monom gibi ifade ediniz:

4.

D E ifadesinin değerini D E

Hesaplayınız: a) (-4x5 + 12x4y + 16x3y2) : (4x3); b) (4a2b - 12a4b3) : (4a2b).

7.

Verilen ifadeyi normal şekilde polinom gibi gösteriniz: a) (9a2b3 - 12a4b4) : 3a2b - (2 + 3a2b) ⋅ b2;

a) ((-2a3b) × (-3ab3)) : (-6a2b2); b) §¨ §¨ [ \ ·¸ §¨ [ \ ·¸ ·¸ §¨ [ \ ·¸ . ¹ © ¹¹ © ©© ¹

.

Bölümleri hesaplayınız:

Şu bölümleri hesaplayınız:

a) (1,44x5y2) : (1,2x2y2);

3.

Verilen bölümü belirtiniz:

5.

Hesaplayınız:

.

b) (x2 - 2xy) ⋅ (3x2) - (9xy3 - 12x4y2) : (3xy).

8.

Eşitliklerden x belirtilsin: a) 6x + (4x3 - 12x2) : 2x2 = 10; b) 6x - (14x2 - 21x3) : 7x2 = 16.

a = -2 ve b = 2 için hesaplayınız.

Monomlar ve Polinomlar

87

12

POLİNOMU POLİNOMLA BÖLMEK

Hatırlayınız!

A 1.

(2a2 - 5)(3a - 2) = 6a3 - 4a2 - 15a + 10 ise, aşağıdakiler neye eşittir: (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (2a2 - 5); (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (3a - 2)? Çarpımın birinci çarpanı 6a3 - 4a2 - 15a + 10, nasıl elde edilmiştir?

6x3 - 7x2 - 7x + 6 plinomunu 2x - 3 polinomuyla bölünüz.

Bölünenin birinci terimini, bölenin birinci terimiyle bölünüz. Elde edilen bölümü 2x - 3 ile çarpınız. Elde edilen çarpımı, bölünenden çıkarmayı deneyiniz.

Bu işlemleri yaptığınız durumda 3x2 bölümünü elde etmiş olacaksınız. Aynı işlemleri elde edilen kalana ve bölene uyguluyorsanız, bölümün ikinci terimini elde edeceksiniz. Verilen polinomların bölümünde uygulanan kuralı pratikte nasıl yapıldığını görünüz. Bölümün yazılışı

Yapılan işlemler

İşlemlerin hesaplanması

(6x3 - 7x2 - 7x + 6) : (2x - 3) = 3x2 + x - 2 6x3 9x2 2 1 +

Bölünenin ilk terimi 6x3 , bölenin ilk terimi 2x ile bölünür ve bölümün ilk terimi 3x2 elde edilir.

(6x3) : (2x) = 3x2

2x2 - 7x + 6 2x2 - 3x

-

+

- 4x + 6 - 4x + 6 +

-

4 2 6

0

Çıkarmadan elde edilen 2x2 kalanı, bölenin ilk terimi 2x ile bölünür ve bu şekilde bölümün ikinci terimi x elde edilir.

(2x2) : (2x) = x

4

2x - 3 böleni, bölümün ikinci terimi x ile çarpılır ve elde edilen çarpım 2x2 - 7x + 6 kalanından çıkarılır.

(2x - 3) ⋅ x = 2x2 - 3x

5

-4x + 6 kalanının ilk terimi -4x, bölenin ilk terimi 2x ile bölünür ve bölümün üçüncü terimi elde edilir.

(-4x) : (2x) = -2

3

6

7

88

Konu 3. Polinomlar

2x - 3 böleni, bölümün ilk terimi 3x2 ile çarpılır ve elde edilen 6x3 - 9x2 çarpımı, bölünenden çıkarılır, aslında işaretlerin (2x - 3) ⋅ (3x2) = 6x3 - 9x2 değişmesiyle -6x3 + 9x ifadesi katılır.

2x - 3 böleni, bölümün üçüncü terimi -2 ile çarpılır ve elde edilen çarpım -4x + 6 kalanından çıkarılıyor. Kalan 0 elde edilir ve bununla bölme işlemi bitmiştir.

(2x - 3) ⋅ (-2) = -4x + 6

Polinomların bölümüyle ilgili gördüğünüz kurala göre, şu soruları cevaplayınız: Bölenin hangi terimiyle bölme işlemi yapılır? Bölenin birinci terimiyle bölünenin hangi terimleri bölünür?

2.

Polinomun polinomla bölünmesi kuralını şu örnekle inceleyiniz: (x4- 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2). 1 den 6 ya kadar yapılan işlemleri açıklayınız.

(x4 - 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2) = x2 - 3x + 5 x4 - 2x2

-

+

- 3x3 + 5x2 + 6x - 10 - 3x3 + 6x +

-

5x2 - 10 5x2 - 10 +

-

0

1. x4 : x2 = x2 2. (x2 - 2) ⋅ x2 = x4 - 2x2 3. (- 3x3) : x2 = -3x 4. (x2 - 2) ⋅ (-3x) = -3x3 + 6x 5. (5x2) : x2 = 5 6. (x2 - 2) ⋅ 5 = 5x2 - 10. Farkettiğiniz gibi, polinomu polinomla bölerken önce polinomlardaki terimler değişkenlerden birinin azalan derecelerine göre sıralanmalıdır.

3.

Bölümleri belirtiniz: a) (x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 1); b) (3a3 - 5a2 + 14a - 8) : (3a - 2).

4.

Bölme işlemi doğru yapılmış olup olmadığını yoklayınız: (3a4 - 2a3 - 8a2 + 6a - 3) : (a2 - 3) = 3a2 - 2a + 1.

Neleri bilmelisiniz: Polinom polinomla nasıl bölünür; Polinomu polinomla bölerken uygulanan kaidenin açıklanmasını.

Kendinizi yoklayınız ! 2x3 + x2 - 5x + 2 ve x + 2 polinomların bölümünü belirtiniz, ondan sonra bölümün doğru olup olmadığını yoklayınız.

Ödevler

1.

2.

(a - 1)(a + 1) = a2 - 1 ise, aşağıdakiler neye eşittir: a) (a2 - 1) : (a - 1); b) (a2 - 1) : (a + 1)?

3. Eşitliklerin doğruluğunu yoklayınız:

Şu bölümleri belirtiniz: a) (2a2 - 7ab + 6b2) : (a - 2b); b) (6x3 - 11x2 + 13x - 12) : (3x - 4); c) (2a3 + 5a2b - 5ab2 + b3) : (2a - b).

4. Verilen eşitliğin doğru olması için A poli-

a) (6x3 - 11x2 + 23x - 15) : (x2 - x + 3) = = 6x - 5 b) (2a3 + 5a2 - 6a - 15) : (a2 - 3) = 2a + 5. nomunu belirtiniz. (x3 - y3) : A = x - y.

Monomlar ve Polinomlar

89

13

RASYONEL Ä°FADELER

HatÄąrlayÄąnÄąz ! 14 - 6; 25 + 3 â‹… 6; 100 - 52; (1,6 + 3,8) : (7 - 6,5); §¨ ¡¸ ˜ v.b. sayÄą ifadeleridir. Š š (13,5 - 8,25) : (4 - 1,5) sayÄą ifadesinin deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz. DeÄ&#x;iĹ&#x;kenli ifadeler için Ăśrnekler: x + 8; 3y2 - 5,

[ \ v.b. [ \

x2 - 2x + 1 ifadesinin x = -2 için sayÄą deÄ&#x;erini belirtiniz.

A 1.

AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki ifadeler verilmiĹ&#x;tir: b) x2 - 5x + 7;

a) 2a + 3b;

[ \ . [ Verilen her ifade, hangi sabitlerden ve hangi deÄ&#x;iĹ&#x;kenlerden meydana gelmiĹ&#x;tir? c)

Verilen ifadelerde, sabitler ve deÄ&#x;iĹ&#x;kenler hangi iĹ&#x;lemlerle baÄ&#x;lÄądÄąr? AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki tabloda sabitler, deÄ&#x;iĹ&#x;kenler ve onlarla iĹ&#x;lemler gĂśsterilmiĹ&#x;tir.

2a + 3b

x2 - 5x + 7

[ \ [

sabitler

2; 3

1; -5; 7

1; -2; 3

deÄ&#x;iĹ&#x;kenler

a; b

ifadeler

iĹ&#x;lemler

çarpma ve toplama

x

x; y

çĹkarma, çarpma, toplama ve kuvvet alma.

çĹkarma, çarpma ve bÜlme

Tablodan gĂśrĂźlebildiÄ&#x;i gibi, verilen ifadeler toplama, çĹkarma, çarpma, bĂślme ve doÄ&#x;al sayÄąlÄą kuvvet alma iĹ&#x;lemleriyle baÄ&#x;lÄą olan sabitlerden (sayÄąlar) ve deÄ&#x;iĹ&#x;kenlerden (harflerden) meydana gelmiĹ&#x;tirler. [ \ 2a + 3b; x2 - 5x + 7 ve [ gibi ifadeler rasyonel ifadelerdir. 2 x - 3 [ ifadesinde x deÄ&#x;iĹ&#x;keni kĂśk iĹ&#x;areti altÄąnda olduÄ&#x;undan, bu ifade rasyonel deÄ&#x;ildir.

2.

Ĺžu ifadelerden hangileri rasyonel ifadedir: [ \ ; x2 - 2x + 1; ˜ [ ; [

B 3.

D [.

Ĺžu rasyonel ifadeler verilmiĹ&#x;tir:

[ \ [ [ ; ; ; [ Verilen rasyonel ifadelerden hangilerinde deÄ&#x;iĹ&#x;ken ile bĂślme vardÄąr? 3x2 - 1;

90

Konu 3. Polinomlar

(x2 - 1) : (x + 2).

DeÄ&#x;iĹ&#x;ken ile bĂślme, ifadesi ne demektir?

BĂślende yani ifadedeki paydada deÄ&#x;iĹ&#x;ken vardÄąr demektir.

[ \ ve [ ifadelerinde deÄ&#x;iĹ&#x;kenle bĂślme iĹ&#x;lemi yoktur. Bu gibi rasyonel ifadelere daha da tam rasyonel ifadeler denir. [ ve (x2 - 1) : (x + 2) ifadelerinde ise deÄ&#x;iĹ&#x;kenle bĂślme iĹ&#x;lemi vardÄąr. Bu gibi rasyonel if[ adelere kesirli rasyonel ifadeler denir.

FarkettiÄ&#x;iniz gibi, 3x2 - 1,

4.

Ĺžu rasyonel ifadelerden hangileri: a) tam rasyonel ifade ;

[ ;

5.

b) kesirli rasyonel ifadedir ?

\ ;

; [

[ ; [

[ ; [

[ . [

3x2y, 2x - 3y, x2 - 3x + 5 polinomlarÄą verilmiĹ&#x;tir. Bu rasyonel ifadeler hangi cinstendir?

HatÄąrlayÄąnÄąz !

B 6.

Ĺžu sayÄą ifadelerinden hangisinin sayÄą deÄ&#x;eri yoktur: ˜ ? ˜ x in hangi deÄ&#x;eri için

[ rasyonel ifadesi[

nin paydasÄą sÄąfÄąr olur? x = 3 mÄądÄąr?

için verilen ifadenin deÄ&#x;eri var

x2 - 2x - 1 rasyonel ifadesinin x = -2 için sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz.

x deÄ&#x;iĹ&#x;keninin deÄ&#x;erini -2, ile deÄ&#x;iĹ&#x;tiriniz. Bunu yaptÄąktan sonra nasÄąl ifade elde edeceksiniz? (-2)2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 ifadesi elde edilecektir. Buna gĂśre, x =- 2 için x2 - 2x - 1 ifadesinin sayÄą deÄ&#x;eri 7 dir.

[ \ ifadesinin sayÄą deÄ&#x;erini hesaplayÄąnÄąz. [ \

7.

x = 3 ve y = -1 için

8.

\ . rasyonel ifadesi verilmiĹ&#x;tir. \ y deÄ&#x;iĹ&#x;keninin hangi deÄ&#x;eri için, paydasÄąnÄąn deÄ&#x;er, sÄąfÄąr olur ? Verilen ifadede y deÄ&#x;iĹ&#x;keninin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erleri hangi sayÄąlardÄąr?

Monomlar ve Polinomlar

91

FarkettiÄ&#x;iniz gibi, y = -3 ise, y + 3 = -3 + 3 = 0 olur. Buna gĂśre y = -3 için verilen \ ifadesinin deÄ&#x;eri yoktur. O halde bu ifadenin deÄ&#x;iĹ&#x;keninin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erleri (tanÄąm \ kĂźmesi) R \ {-3} kĂźmesidir, yani -3 hariç tĂźm reel sayÄąlardÄąr.

9.

Verilen her ifadenin deÄ&#x;iĹ&#x;keninin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erlerini belirtiniz:

[ ; [

[ [ ; [ [

. [

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayÄąnÄąz!

Rasyonel ifadeler için Ürnekler;

Polinomlar nasÄąl rasyonel ifadelerdir?

Tam rasyonel ifadeyi tanÄąmlama; Kesirli rasyonel ifadenin tanÄąmlamasÄąnÄą;

Verilen rasyonel ifadelerden hangileri tam, hangileri ise kesirli rasyonel ifadedir? x - 3x + 5; 2

Rasyonel ifadenin sayÄą deÄ&#x;erinin belirtilmesini; Rasyonel ifadenin deÄ&#x;iĹ&#x;keninin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erlerinin belirtilmesini.

[ ; [

[ .

Verilen rasyonel ifadesinde, x deÄ&#x;ikeninin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erleri kĂźmesini belirtiniz: [ . [ [

Ă–devler

1.

Verilen ifadelerden hangileri rasyoneldir: 5x - 2;

2.

[ ; [

[ ; [

92

[ [ ;

[ . [

x2 - 3x + 5 rasyonel ifadesinin x = 2 için deÄ&#x;erini belirtiniz.

Konu 3. Polinomlar

[ x = 4 için , belirtiniz. [

ifadesinin sayÄą deÄ&#x;erini

[ [ .

Ĺžu ifadelerden hangileri tam, hangileri ise kesirli rasyonel ifadeler olduÄ&#x;unu belirtiniz: 2x2 - 3y2;

3.

[ \ ;

4.

5.

y deÄ&#x;iĹ&#x;keninin hangi deÄ&#x;eri için rasyonel ifadesinin anlamÄą yoktur?

\ \

[

6. [ [ rasyonel ifadesinde deÄ&#x;iĹ&#x;kenin mĂźmkĂźn deÄ&#x;erlerinin kĂźmesini belirtiniz.

POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILIŞI

14

ORTAK ÇARPANIN PARANTEZ ÖNÜNE ALINMASIYLA VE TERİMLERİ GRUPLAŞTIRARAK POLİNOMUN ÇARPANLARA AYRILMASI

Hatırlayınız !

A 1.

60 = 4 ⋅ 15 çarpımında 4 ve 15 sayılarına çarpanlar, 60 sayısına da onların çarpımı denir.

Çarpma işleminin dağılma özelliğini hatırlayınız.

60 = 4 ⋅ 15 yazılışında, 60 sayısı çarpanlara ayrılmıştır denir. Çarpanlar asal sayılar oldukları durumda, yani 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 biçiminde yazıldığı durumda, 60 sayısı asal çarpanlarına ayrılmıştır denir.

ax2 + ay2 polinomunu çarpım biçiminde yazınız.

x 2 + y 2 polinomu a monomuyla çarpıldığı durumda ax2 + ay2 polinomu elde edilir.

36 sayısını çarpanlara ayırınız. 28 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız:

Şu çarpımları belirtiniz:

Bu özdeş dönüşümle ax2 + ay2 polinomu, parantez önüne ortak çarpanın alınmasıyla çarpanlara ayrılmıştır denir.

a(x2 + y2).

(a + 3) (x + y).

ax2 + ay2 = a(x2 + y2).

2.

Şu polinomları çarpanlara ayırınız:

3.

Polinomu çarpanlara ayırınız: 3ax2 + 6bx2 - 12cx2.

Verilen polinomda her terimin ortak çarpanı hangisidir?

3a + 3b;

ax2 - bx2.

3x2 Polinomun tüm terimlerinin ortak çarpanıdır. Demek ki ödevi çözmek için, onu parantez önüne almalıyız. 3ax2 + 6bx2 - 12cx2 = 3x2(a + 2b - 4c).

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız.

Farkettiğiniz gibi, parantezdeki polinomu elde etmek için, polinomun her terimi ortak çarpanla bölünmelidir.

4.

Şu polinomları çarpanlara ayırınız:

5.

2a(x - y) - 3b(x - y) ifadesini çarpanlara ayırınız.

10x3 -5x2 + 15x;

4a3b -6a2b2 + 8ab3.

Polinomlarý Çarpanlara Ayýrma

93

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız:

2a(x - y) - 3b(x - y) = (x - y)(2a - 3b).

6.

5x(a + 2b) - 2y(a + 2b) ifadesini çarpanlara ayırınız.

7.

ax + 3x + 3y + ay ifadesini çarpanlara ayırınız. Polinomun tüm terimlerinin ortak çarpanı var mıdır? Polinomu çarpanlara nasıl ayıracaksınız?

Tüm terimlerin ortak çarpanı yoktur. Bu yüzden ilk terimi dördüncüsüyle ve ikinci terimi üçüncüsüyle ; ya da: birincisini ikincisiyle ve üçüncüsünü dördüncüsüyle gruplaştıracağız.

Çözümünüzü verilenle karşılaştırınız: ax + 3x + 3y + ay = (ax + ay) + (3x + 3y) = a(x + y) + 3(x + y) = (a + 3) (x + y).

8.

2ax - 6ay + bx - 3by polinomunu çarpanlara ayırınız.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

Ortak çarpanın, parantez önüne alınmasıyla ve gruplaştırma yöntemiyle polinomun çarpanlara, nasıl ayrıldığını;

Verilen ifadeyi, çarpanlara ayırınız: 15a2b - 10ab2 + 5ab.

Ortak çarpanın parantez önüne alınması yöntemiyle polinomun çarpanlara ayrılması kuralını açıklamalısınız.

ax(a - x) + (a - x). ax + bx + a + b.

Ödevler

1.

Verilen polinomları çarpanlara ayırınız: a) 5a + 5x;

b) 2ax + 4ay;

c) axy - bxy.

3.

Verilen ifadeleri, çarpanlara ayırınız: a) 2a(x - 3) - 3b(x - 3); b) 5x(5 - x) - 3y(5 - x); c) 3x(2a - 3b) - (2a - 3b).

2.

Verilen polinomları, çarpanlara ayırınız: a) 12x2y - 9xy2 + 3x3y3; b) 7x3y2 - 14x2y3 + 21x3y3; c) 6a b - 9a b + 3a b . 3 2

2 3

2 2

4. Verilen ifadeleri, çarpanlara ayırınız: a) 2a(3y - 4) - 5b(4 - 3y); Tavsiye: -5b(4 - 3y) = 5b(3y - 4);

b) 3x3 - 3x2 + y2 - xy2; c) 3a2x - 2a2y - 2y + 3x.

94

Konu 3. Polinomlar

15

A2 - B2 BİÇİMİNDE POLİNOMLARI ÇARPANLARA AYIRMAK

Hatırlayınız !

A 1.

İki ifadenin toplamı ve farklarının çarpımı, ilk ve ikinci ifadenin kareleri farkına eşittir. Yani, (A + B)(A - B) = A2 - B2.

4a2 = (2a)2 ve 9b2 = (3b)2 olduğunu biliyorsunuz. O halde, A2 -B2 = (A + B) (A - B) formülünü nasıl uygulayabilirsiniz?

Çarpımları belirtiniz: (x + 5) (x -5);

4a2 - 9b2 polinomunu çarpanlara ayırınız.

(3a - 2b)(3a + 2b). A 2 = (2a) 2 ve B 2 = (3b) 2 ise, 4a2 - 9b2 = (2a)2 - (3b)2 yazılabilir. Şimdi A2 - B2 = (A + B)(A - B) formülünü uygulayabiliriz.

4x2 - y2 ifadesinin elde edildiği çarpımı yazınız.

Çözümünüzü verilenle karşılaştırınız. 4a2 - 9b2 = (2a)2 - (3b)2 = (2a + 3b)(2a - 3b).

2.

9x2 - y2;

Şu polinomları çarpanlara ayırınız:

B 3.

4a2 - 25x2.

18x2 - 50y2 polinomunu çarpanlara ayırınız:

Bu durumda karesi 18 ya da 50 olan sayı yoktur. Bu polinomu çarpanlara nasıl ayıracaksınız?

Verilen polinomda parantez önüne 2 ortak çarpanını almakla 2(9x2 - 25y2) elde edilecektir. Ondan sonra, parantez içinde olan ifadeye A2 - B2 = (A + B)(A - B) formülünü uyguluyoruz.

Çözümünüzü verilenle karşılaştırınız. 18x2 - 50y2 = 2(9x2 - 25y2) = 2((3x)2 - (5y)2) = 2(3x + 5y)(3x - 5y). Farkettiğiniz gibi, 18x2 - 50y2 polinomu çarpanlara ayrılmıştır. Bu çarpanlardan hiçbiri daha fazla çarpanlara ayrılamaz. Böyle durumdaki polinoma, asal çarpanlarına ayrılmıştır denir.

4.

Şu polinomları, çarpanlara ayırınız: 12a2x - 27b2x;

3ax2 - 12ay2.

Polinomlarý Çarpanlara Ayýrma

95

B 5.

(a + 5)2 - (b - 2)2 ifadesini çarpanlara ayırınız.

a + 5 = A ve b - 2 = B. olsun. A2 - B2 = (A + B)(A - B) formülünü nasıl uygulayacaksınız?

a + 5 = A ve b - 2 = B ise, (a + 5)2 = A2 ve (b - 2)2 = B2 olur. (a + 5)2 - (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 -b + 2).

Çözümünüzü, verilenle karşılaştırınız: (a + 5)2 - (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 - b + 2) = (a + b + 3)(a - b + 7).

6.

Şu ifadeleri, asal çarpanlara ayırınız: (2x - 3)2 - (3y + 2)2;

(x + y)2 - x2y2.

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız ! A2 - B2 şeklinden polinomun çarpanlara ayrılışını;

Polinomları, asal çarpanlara ayırınız:

A2 - B2 şeklinden polinomun çarpanlara ayrılmasından uygulanan kuralın nasıl açıklandığını.

a2 - 25b2;

7a2b2 - 28;

(5a - 3b)2 - (2a - 7b)2.

Ödevler

1.

Polinomları, asal çarpanlara ayırınız: a) x - b ; 2

2.

2

b) 4a - 49y ; c) 16a b - 25. 2

2

4 2

Şu polinomları asal çarpanlara ayırınız:

3.

Polinomları, asal çarpanlara ayırınız: a) (x - 5)2 - (y - 3)2; b) (4a + 3b)2 - (a - 2b)2; c) (x2 + 6)2 - 49.

a) 5a2 - 20x2; b) 7a2x2 - 63x2b2; c) 5x3 - 5x.

4. Karelerin farkını, daha basit şekilde hesaplayınız: a) 642 - 362; b) 752 - 252; c) 7252 - 2752; Tavsiye: 642 - 362 = (64 + 36)(64 - 36).

96

Konu 3. Polinomlar

16

A2 + 2AB + B2 VE A2 - 2AB + B2 ŞEKLİNDEN POLİNOMLARIN ASAL ÇARPANLARA AYRILIŞI

Hatırlayınız ! A ve B herhangi iki monom olsun.

A 1.

A ve B iki monom olmak üzere A + B binomunu o şekilde belirtiniz ki, 4x2 + 12xy + 9y2 = (A + B)2 eşitliği doğru olsun.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ve (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 dir. (3x + y)2 belirtilsin.

4x2 + 12xy + 9y2 polinomunun hangi terimleri A2 ve B2 dir? A ve B yi nasıl belirteceksiniz?

hangi binomun karesi 9x2 - 6xy + y2 dir?

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 olduğuna göre, A2 = 4x2 ve B2 = 9y2 olur. Burada A = 2x ve B = 3y; 2AB = 2 ⋅ 2x ⋅ 3y = 12xy. Çözümünüzü, verilen çözüm ile karşılaştırınız. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2; demek ki, A + B = 2x + 3y dir. Farkettiniz ki , 4x2 + 12xy + 9y2 polinomu 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 biçiminde yazılabilir. Bununla 4x2 +12xy + 9y2 polinomu asal çarpanlara ayrılmıştır: (2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y).

2.

Şu polinomları, asal çarpanlara ayırınız: x2 + 4x + 4;

B 3.

4a2 + 20ab + 25b2.

25a2 - 20ab + 4b2 polinomunu çarpanlara ayırınız.

Bu durumda hangi formülü kullanacaksınız?

Bu durumda A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 formülünü kullanacağız.

Çözümünüzü verilen çözüm ile karşılaştırınız. 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2 ⋅ 5a ⋅ 2b + (2b)2 = (5a - 2b)2, t.e. 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a - 2b)2.

4.

Şu polinomları çarpanlara ayırınız:

a2 - 6ab + 9b2;

4x2 - 4x + 1.

Polinomlarý Çarpanlara Ayýrma

97

C

5.

12ax2 + 12axy + 3ay2 polinomu çarpanlara ayırınız:

Karesi 12ax2 olan monom olmadığına göre verilen polinomu çarpanlara nasıl ayırabilirsiniz?

Önce, ortak olan 3a çarpanını parantez önüne alacağız. Ondan sonra parantez içinde olan ifadeyi çarpanlara ayıracağız.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. 12ax2 + 12axy + 3ay2 = 3a(4x2 + 4xy + y2) = 3a((2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ y + (y)2) = 3a(2x + y)2.

6.

Şu polinomları çarpanlara ayırınız: 4x3 + 12x2 + 9x;

18a3 - 24a2b + 8ab2.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

A + 2AB + B ve A - 2AB + B biçiminde ifadenin çarpanlara ayrılışını; 2

2

2

2

A2 + 2AB + B2 ve A2 - 2AB + B2 biçiminde ifadenin çarpanlara ayrılışında uygulanan kaideyi ;

Şu polinomları çarpanlara ayırınız: 25a4 + 20a2 + 4;

4x2 - 4ax + a2.

Ödevler

1.

Şu polinomları, çarpanlara ayırınız: a) a2 + 6a + 9;

2.

3.

5.

b) 4x2 + 20xy + 25y2.

Verilen sayı ifadesini, uygun şekle dönüştürdükten sonra sayı değerini hesaplayınız:

Şu polinomları çarpanlara ayırınız: a) 25x2 - 10x + 1;

6.

b) 4a2 - 28ab + 49b2.

Verilen ifadenin sayı değerini en kısa şekilde hesaplayınız:

a) 482 + 2 ⋅ 48 ⋅ 52 + 522;

a) 562 - 2 ⋅ 56 ⋅ 16 + 162;

b) 272 + 2 ⋅ 27 ⋅ 33 + 332.

b) 472 - 2 ⋅ 47 ⋅ 27 + 272.

Şu polinomları asal çarpanlara ayırınız:

7.

Verilen polinpmu, asla çarpanlara ayırınız: a) 50x2 - 20xy2 + 2y4;

a) 2x2 + 12x + 18; b) 2xy2 + 16xy + 32x.

b) 2ax2 - 16ax + 32a.

4.

Aşağıdaki eşitliğin doğru olması için A monomunu belirtiniz: a) 25 + 10y2 + y4 = (5 + A)2;

Aşağıdaki eşitliğin doğru olması için A monomunu belirtiniz:

b) 4y4 + 4y2 + 1 = (A + 1)2.

a) 81x2 - 18xy2 + y4 = (9x - A)2;

8.

b) 16a2 - 8a + 1 = (4a - A)2.

98

Konu 3. Polinomlar

VERİLERLE İ Ş L E M L E R

17 A

1.

V E R İL E R İN T O P L A N M A S I Bir hafta boyunca, her günün kaç saat güneşli olduğu aşağıdakı tabloda yazılmıştır.

gün Pt. S saat 3 4

Ç

P

C

2

0

5

C.t Pz. 8

4

Veriler, çeşitli yöntemlerle toplanabilir. Mesela, bu örnekte olayın meydana gelişi ve zamanını ölçmekle veriler toplanmıştır.

Bir hafta boyunca toplam kaç saat güneşliymiş? Hava hangi gün,hep bulutluymuş?

Hava hangi gün, en çok güneşliymiş?

Güneşli hava süresi hangi günlerde aynıymış?

2.

Yusuf, sınıf arkadaşlarının hangi hayvanları en çok sevdiklerini incelemeye koyulmuş. Elde ettiği verileri aşağidaki tabloda görebilirsibiz. Bu gibi verileri gözlem yaparak toplamak için çok zaman gerekir. Halbuki soru sorarak cevapları bir anket kağıdında yazmakla da veriler toplanabilir.

Sevdiği hayvan Çocuk sayısı

Kedi

Köpek

4

9

Kuş

Balık

12

5

Yusuf, iki sorulu bir anket kağıdını doldurarak verileri toplamıştır. Soru: 1. Evinizde en çok sevdiğin hayvan bulunur mu?

Evet

Hayır

Yusuf'un anket kağıdındaki ikinci soruyu yazınız.

Veriler çeşitli yöntemlerle toplanabilir: telefon vasıtasıyla sorular sormak, anket kağıdından yararlanarak, gazete ya da dergilere bakarak, ansiklopedilerden, kitaplardan v.b. Veriler, değeri reel sayılar olan büyüklükler için toplanabilir. Örnek: Öğrenci sayısı - doğal sayılar; hava sıcaklığı - tam sayılar; zaman - rasyonel sayılar v.b.

3.

VII3 sınıfının öğrencileri, veriler toplamak için gruplara ayrılmıştır. Aşağıdaki ödevler için verilerin toplanmasında hangi yöntemin en uygun olduğunu yazınız: a) Dünyada altı tane en yüksek dağın adını ve yüksekliğini yazınız; b) VII3 sınıfının öğrencileri televizyonda hangi çocuk proğramını en çok seyrediyorlar; c) mart ayında Üsküp' te hava nasıl geçti;

Verilerle iþlemler

99

d) 1 saatte okul önünden geçen otomobil sayısı.

Seçtiğiniz yöntemin, neden en uygun olduğunu açıklayınız.

B

4.

Bir ay zarfında Pirlepede yağan yağmur hakkında verileri yazmak için, kendiniz yerinde gidecek ve ölçmekle belirtecek yerde, neden meteoroloji istasyonuna başvurarak verilerin alınması daha uygun olduğunu açıklayınız. saat Toplanan verilerin gruplaştırılması ve sıralanması 12 g e r e k i r. B u n u b i r ç o k şekilde yapabilirsiniz. Bu 10 nedenle şu örneği inceleyelim. 8 Bir hafta boyunca, her gün hava kaç saat bulutlu olduğunu yandaki sütunlu diyagramda görebilirsiniz. Tablo yapınız ve verileri tabloda yazınız.

6 4 2

Hava hangi gün, en uzun süre bulutluymuş?

Pt

Ç

P

C

Ct

P

gün

Hafta esnasında havanın bulutluluğu

Hava hangi gün hiç bulutlu değilmiş?

5.

S

Yandaki şekilli diyagramda, okullar arası spor yarışmalarına katılan okul sayısını göstermektedir. (F) futbol yarışmasına 9 takım; (V) voleybol yarışmasına 6 takım; (B) basketbol yarışmasına 5 takım. Verileri tabloda yazınız ve sütunlu diyagramda gösteriniz.

Okullar arası yarışmalar F:

bir işareti iki okulu göstermektedir. .

V: B:

zaman/ h

6.

İnsanların yaş durumuna göre ne kadar zaman uyumaları gerektiğini, verilen çizgi diyagramda, göstermektedir. Çizgi diyagramındaki verileri tabloda gösteriniz. 15 ten 25 yaş ve 30 dan 40 yaş arası grubun uyuma süreleri hakkında ne diyebilirsiniz?

16 14 12 10 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 yaş (yıl)

100

Konu

3.

Polinomlar

Uyuma ihtiyacı

7.

Tablodaki veriler dünyada 1900 den 2000 yılları arası dünya nufusunun değişimini ve 2020 yılında tahminen ne kadar olacağın göstermektedir. Bu verileri çizgi diyagramında gösteriniz.

Yıl

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Nufus sayısı (milyar)

1,6

1,9

2,3

3,0

4,4

6,2

7,7

Unutmayınız ! Diyagram çizdiğinizde, şu hususlara dikkat etmelisiniz: Diyagramın neyi gösterdiğini açık gösteren başlık olmalıdır. Her eksenin kendi ölçü birimiyle neyi gösterdiğini ifade eden adı; Şekilli diyagram sözkonusu olunca , simgenin neyi gösterdiğinin açıklaması; Çizimin, kolayca okunma niteliği olmalıdır.

Neleri bilmelisiniz: Veriler çeşitli şekilde toplanabilir; Toplanan verileri, yazmak, gruplandırmak, saymak ve sıralamak gerekir; Veriler çeşitli diyagramlarla gösterilebilir;

Ödevler

1. Ali, arkadaşlarının geçen ay kaç kitap

okumuş olduklarını öğrenmek istemiş. Ali nasıl hareket etmelidir: a) Her arkadaşını kaç kitap okumuş olduğunu sormalı mı? Yoksa, b) Arkadaşlarının geçen ay okul kütüphanesinde hangi kitapları almış olduklarını yoklamalı mıdır? Cevabınızı açıklayınız.

2. Bir matematik testinde toplam puan sayısı 20 dir. Teste 24 öğrenci katılmış ve onların kazandıkları puan sayısı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: 15 6 10 19 5 20 17 12 19 20 18 10 4 13 20 18 18 15 18 12 15 20 5 6 Yandaki tabloyu defterinde çiziniz ve gereken verileri yazınız.

Kendinizi yoklayınız ! Ölçme ile toplanabilen veriler için bir örnek yazınız. Her diyagramın hangi elemanları olmalıdır. Açıklayınız.

Kazanılan puan sayısı

0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 20

Öğrenci sayısı

Verileri sütunlu diyagramla gösteriniz. 15 - 20 arasında puan sayısı kazanan öğrencilerin notu 5 ise, kaç öğrenci 5 almıştır?

3. Bir okul önündeki yolda bir saatte: 16 beyaz, 12 kırmızı, 5 mavi, 7 siyah ve 2 gümüş rengi otomobil geçmiştir. Verileri bir tabloda yazınız. Bir sütunlu diyagram yapınız ve verileri onunla gösteriniz. Diyagramda gereken tüm elemanların olmasına dikkat ediniz.

Verilerle iþlemler

101

POLİNOMLARI ÖĞRENDİNİZ. BİLDİKLERİNİZİ YOKLAYINIZ.

1.

Verilen ifadeler, hangi sabitlerden ve değişkenlerden oluşmuştur: 2x;

2.

ab;

4.

Verilen ifadeyi, normal şekilde polinom gibi gösteriniz (x2 - 1)(x2 + 1) - x (x3 - x2 + 2).

-0,5x2y?

Verilen ifadeyi, normal şekilde monom gibi gösteriniz:

9.

Hesaplayınız: a) 6a5b2c : (3a3bc);

5ab(a3b) - (a2b)2 - 2a4b2.

3.

8.

Verilen her monomun derecesini belirtiniz: 5; 2x; 3xy; x2y3. Verilen monomların toplamını ve farkını belirtiniz: -2x2y ve -5x2y.

b)

.

10. Bölümü belirtiniz: (6x5y3 - 3x4y4 + 2x3y5) : (3x3y3).

11. Bölümü belirtiniz: (x5 - 3x3 - 3x2 + 2x + 6) : (x2 - 2).

5.

Verilen ifadeyi, normal şekilde polinom gibi gösteriniz (3x2 - 5xy + 4y2) + (2x2 - xy - y2) -

12. Polinomları çarpanlara ayırınız: a) 3a2b + 6ac;

b) 2x3y2 + 4x2y3 - x2y.

- (4x2 - 4xy + 2y2).

13. Polinomları, çarpanlara ayırınız: a) 2a2(a - 3x) - x2(3x - a);

6.

Hesaplayınız:

b) 3ax + 3bx - 5a - 5b.

a) 3x2y ⋅ (-2xy3);

b)

.

14. İfadeyi, çarpanlara ayırınız: 36a2 - (5a - 3)2.

7.

15. Polinomu, çarpanlara ayırınız:

Çarpımı belirtiniz: (3x - 2x y + xy - y ) ⋅ (-3x y ). 3

102

Konu

2

3.

2

3

Polinomlar

2 2

x4 - 6x2y + 9y2.

KONU 4.

ÇEMBER VE ÇOKGEN. ALAN

ÇEMBERDE AÇILAR 1. Merkez Açı 104 2. Çevre Açı 107 3. Tales Teoremi 110 KİRİŞLER VE TEĞETLER DÖRTGENİ 4. Kirişler Dörtgeni 113 5. Teğetler Dörtgeni 115 DÜZGÜN ÇOKGENLER 6. Düzgün Çokgenler. Açılar ve Çevre 7. Düzgün Çokgenin Özellikleri 8. Düzgün Çokgenlerin Çizimi

118 121 124

PİTAGOR TEOREMİ 9. Pitagor Teoremi 126 10. Pitagor Teoreminin Dikdörtgende, Karede ve Eşkenar Üçgende Uygulanması 129 11. Pitagor Teoreminin Uygulanmasıyla İlgili Ödevler 131

ÇOKGENİN ALANI 12. Alan Kavramı 13. Dikdörtgen ve Karenin Alanı 14. Paralelkenarın Alanı 15. Üçgenin Alanı 16. Yamuk ve Deltoidin Alanı 17. Düzgün Çokgenin Alanı 18. Çokgenin Alanıyla İlgili Ödevler DAİRENİN ÇEVRESİ VE ALANI 19. Dairenin Çevresi. Çember Yayının Uzunluğu 20. Daire, Daire kesmesi ve Daire Yüzüğünün Alanı

134 138 142 145 149 152 155

158 163

VERİLERLE İŞLEMLER 21. Bölgesel Diyagram 167 22. Aritmetik Orta. Medyen. Mod. Rang 169 Bildiklerinizi Yoklayınız 172

Çemberde Açýlar

103

ÇEMBERDE AÇILAR

1

MERKEZ AÇI

Hatırlayınız !

1.

Şekildeki k çemberini inceleyiniz ve şu soruları cevaplayınız: B N Şekilde hangi nokta çemberin merkezidir? k M O Hangi nokta çembere A aittir? cm

2

r=

çapıdır denir ? Çapın uç noktaları çemberi iki yarıçembere ayırıyorlar. ekildeki C ve D noktaları, çemberi iki çember yayına ayırıyorlar; kırmızı olanı küçük ve mavı olanı büyük çember yayıdır.

B

B AOB açısının köşesi k(O, r) çemberinin merkezindedir. Bu gibi her açıya merkez açı denir.

r O

r

!

A

k

Bir k(O, r) çemberinde farklı iki merkez açı çiziniz:BAOB ve BMON.

Hangi nokta çemberin içindedir? M ∈ k doğru mudur? OB doğru parçası çemberin yarıçapıdır. ON, OM, OA, MN doğru parçalarından hangisi çemberin yarıçapıdır? İki çemberin yarıçapları eşit olduğu durumda onlara eştirler denir. Defterinizde k(O; 2,5 cm) ve bir saydam kâğıt üzerinde k1(O1; 2,5 cm) çemberlerini çiziniz. Ondan sonra bunları çakışık duruma getiriniz. Şekli inceleyiniz ve cevaplayınız: Bir çemberde D E kiriş nedir? C AB, CD, EF, MN O doğru parçaM N larından hangisi A kiriştir? B k F G hangi kirişe çem-berin

Şekli inceleyiniz ve görünüz:

!

AB ve MN ember yaylarına merkez açılar karşılık geldiğini görebilirsiniz.

!

AOB merkez açısına ve AB çember yayına birbirine karşılıklıdır denir.

Her merkez açıya bir çember yayı ve kirişi karşılık gelir. Her çember yayına karşılık merkez açı var mıdır?

Evet. Verilen çember yayına bir tek merkez açı vardır.

2.

Şekilde k(O; 2 cm) çemberi verilmiştir. Saydam kâğıtta k1(O1;2cm) çemberini çiziniz.

B

75o

A

O k

104

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

Neden k ve k1 çemberleri birbirine eştir ? Bir merkez açı BMO1N = 75o çiziniz. Bu açı BAOB ile eştir. Neden? k ve k1 çemberleri ya da BAOB ve BMON açıları çakışık duruma gelecek şekilde saydam kağıdı yerleştiriniz. farkettiniz ki, karşılıklı kirişler ve karşılıklı yaylar birbiriyle çakışıyorlar, yani ! ! AB = MN ve AB = MN dir.

B

3.

M

k

k(O; 2 cm) çemberinde iki merkez açı BMON ve BPOQ çizilmiştir. BMON = BPOQ ise, MN ve PQ kirişleri de birbirine eşit olduğunu gösteriniz, yani MN=PQ.

N O

ΔMON ve ΔPQO üçgenleri, yan kenarları çemberin yarıçapına eşit olan ikizkenar üçgenler olduklarını görüyorsunuz. KAK kuralına göre üçgenler birbirine eştir. Buna göre MN=PQ gerekir.

P

Q

Tersi de geçerlidir Bir çemberde ya da iki eş çemberde iki merkez açı birbirine eşit ise, onlara karşılık kirişler ve karşılıklı çember yayları da birbirine eşittir. B

4.

!

!

k

Şekildeki k çemberinde AA1 ve BB1 çember yayları birbirine eşittir (yani eştir).

B1 β O

Bunlara karşılık gelen merkez açılar α ve β ile işaret edilmiştir. α = β olduğunu ispatlayınız. A

Farkrttiğiniz gibi, onlara karşılık gelen AA1 ve VV1 kirişleri de eşittirler. α = β olduğunu nasıl göstereceksiniz?

α A1

KKK kuralına göre OAA1 ve OB1B ikizkenar üçgenleri birbirine eştir, yani ΔOAA1 ≅ ΔOB1B olduğuna göre α = β elde edilir.

Genel olarak Bir çemberde ya da iki eş çemberde iki çember yayı birbirine eşit ise, onlara karşılık merkez açılar (karşılıklı kirişler) de birbirine eşittir.

Çemberde Açýlar

105

5.

İki çember k(O; 2 cm) ve k1(O1; 3 cm) çizdikten sonra BAOB = 55o ve BA1O1B1 = 55o merkez açılarını seçiniz. AB ve A1B1 kirişlerini, ya da karşılıklı Ne farkediyorsunuz? Niçin?

ve

yaylarını karşılaştırınız.

k(O; 1,5 cm) çemberinde, bir yarıçembere ait merkez açı ve ona karşılık gelen kirişi ne kadardır?

6.

Neleri bilmelisiniz Verilen bir çemberde, merkez açıyı, ona karşılık gelen kirişini ve yayını tanımalısınız; Aynı (ya da eşit yarıçaplı iki) çemberde eşit çember yaylara karşılık eşit merkez açıların kaşilik geldiğini açıklamalısınız.

kendinizi yoklayınız ! Verilen çember yayına karşılık merkez açı ne kadardır: a) çemberin tümü; b) yarıçember; c) çemberin üçte biri; d) çemberin dörtte biri; e) çemberin altıda biri? İki çember k(O; 2 cm) ve k1(O; 2,5 cm) ve onlara ait = 3 cm ve = 3 cm kirişlerini çiziniz. BMON = BM1O1N1 doğru mudur?

Ödevler

1. Bir eşkenar üçgen ABC çiziniz ve ondan sonra onun çevrel çembereini de çiziniz. Üçgenin bir kenarına karşılık gelen merkez açı ne kadardır?

4. k(O; r) çemberinde tabanı AB olan ABC

ikizkenar üçgeni çizilmiştir. BAOB = 135o ise, BAOC ve BBOC (BAOB, BAOC ve BBOC çemberin farklı bögelerindedir) ne kadardır?

2. Bir çember ve yarıçapına eşit büyüklükte

onun bir kirişini çiziniz. Bu kirişe karşılık gelen merkez açı ne kadardır?

3.

k(O; r) çemberinde, BAOB = 112o 24', BBOC = 98o 46' açıları çemberin farklı bölgelerinde olmak üzere ABC üçgeni çiziniz. BAOC konveks açısı ne kadardır?

106

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

5. A, B, C, D ve E noktalarıyla k(O; r) çem-

berini 5 yaya o şekilde ayırmıştır ki, AB yayı çemberin %5 ini, BC yayı % 15, CD yayı % 20 ve DE yayı % 25 ini oluşturur. Bunlara karşılık gelen BAOB, BBOC, BCOD, BDOE ve BEOA merkez açıları ne kadardır?

2

ÇEVRE AÇI

Hatırlayınız ! Bir ABC üçgeni çiziniz ve açılarını α, β ve γ ile işaret ediniz. α açısına karşılık gelen α1 diş açısını işaret ediniz. ABC üçgeninin açıları için: α + β + γ = 180o; α + α1 = 180o; α1 = β + γ geçerlidir. Bir çember ve üzerinde bir AB yayını çiziniz. Bu yaya karşılık gelen merkez açıyı çiziniz. k(O; 2 cm) çemberi ve üzerinde bir CD yayını çiziniz. Bu yayı gören birkaç açıyı o şekilde çiziniz ki, köşesi çemberin: a) iç noktası olsun; b) dış noktası olsun; c) çember üzerinde olsun.

A

1.

Şekli inceleyiniz ve soruları cevaplayınız: AMB açısının köşesi hangi noktadır ve onun kenarları çemberin nesidir?

AMB açısı ve AB yayı birbirinin karşılığıdır, ya da AMB açısı AB yayını görür denilir.

M k

B O

AB yayına karşılık olan ve köşesi çember üzerinde olan başka açı çizebilir misiniz? Şekilden görüldüğü gibi, köşesi çember üzerinde olmak üzere, aynı yay PQ veya kirişi gören sonsuz çok açılar vardır.

A

k O Q

P

Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberi kesen her açıya çevre açı denir.

2.

Bir çember çiziniz ve onun bir MN çapını işaret ediniz. Ondan sonra MN çapını gören birkaç çevre açıyı çiziniz. Böyle açılara yarı çemberde çevre açılar denir, ya da çevre açı yarıçember içindedir denir.

B 3.

O merkezli k çemberinde MN yayını gören üç çevre açı β1, β2

β2

ve β3 çizilmiştir. a) β1 açısının bir kenarı çemberin O merkezinden geçer; b) çemberin O merkezi β2 açısının iç noktasıdır; c) çemberin O merkezi β3 açısının dış noktasıdır.

β1

β3

O k M

Çemberde Açýlar

N

107

Şekli inceleyiniz ve çizdiğiniz şekille karşılaştırınız! Farkettiniz ki, Çemberin O merkezi, herhangi çevre açının ya içinde, ya bir kenarı üzerinde ya da açının dışında olabilir. .

4.

C

Şekilde, AB yayını gören ve bir kenarı çemberin merkezinden geçen (yani çemberin çapı olan) bir çevre açı β ve ona karşılık gelen bir merkez açı O

α çizilmiştir.

α

k

β = a olduğunu gösteriniz.

2

A ΔOBC yi inceleyiniz. Bu üçgen ikizkenardır (OB=OC). O halde BB = BC = β. Bu üçgenin dış açısı α neye eşittir?

r β r

β B

Her üçgende, bir dış açı ona komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. O halde α açısı, ona komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir, yani α = 2β veye β = a elde edilir.

2

5.

Bir k(O; 2,5 cm) çemberi ve iletki yardımıyla ölçüsü 80o olan bir merkez açı çiziniz. Yalnız cetvel kullanarak ölçüsü 400 olan açıyı nasıl çizeceksiniz?

6.

Dik açısı C köşesinde olmak üzere ABC dik üçgenini çizdikten sonra etrafında çevrel çemberini de çiziniz. Bu çemberin merkezi AB hipotenüsünün merkezinde olacağını hatırlayınız. BAOC = 110o olduğuna göre ABC üçgeninin diğer açılarını belirtiniz.

C

7.

k çemberinin O merkezi ACB çevre açısının a) iç noktası; b) dış noktası olan aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. Her iki çemberde CD çapı çizilmiştir. Çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısına eşit olduğunu gösteriniz, yani β = a dir.

2

C

b)

a) β

C

β1 β2 k

O α α1 α2

k

O

β

α1 α B

D B

A A D

108

β1

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

(a) ve (b) deki gerçeği ispatlamak için bir iddian var mıdır?

ΔAOC ve ΔOBC aynı olduğundan, (a) daki durum içini ödev 4. te verilen açıklamadan yararlanabiliriz.

Çözümünüzü verilen çözümle karşılaştırınız ve kaideye dikkat ediniz. a)

α = α1 + α2; β = β1 + β2;

BDOB = α1 + α; BDCB = β1 + β;

b)

α1 = 2β1; α2 = 2β2;

BDOB = 2BDCB ve α1 = 2β1;

α = α1 + α2 = 2β1 + 2β2 = 2(β1 + β2);

α1 + α = 2(β1 + β);

α = 2β ya da β = a .

2β1 + α = 2β1 + 2β; α = 2β; ya da β = a .

2

2

İddiaları gördünüz ve unutmayınız. Bir çemberde çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısına eşittir.

8.

Şekle bakınız ve cevaplayınız: Neden çizilen tüm çevre açılar birbirine eşittir. O

Genel olarak Aynı yayı gören tüm çevre açılar birbirine eşittir, çünkü onların hepsi AOB merkez açısının yarısına eşittir.

9.

ABC üçgeninin çevrel çemberini çiziniz ve AB yayı üzerinde bir M noktası seçiniz. BAMC = BB ve BBMC = BA olduğunu gösteriniz.

Neleri bilmelisiniz: Aynı yayı gören çevre ve merkez açı arasındaki bağıntıyı;

Bu bağıntıyı açıklamalı ve uygulamalısınız.

Kendinizi yoklayınız !

10.

B

A

Bir çevre açı ve ona karşılık gelen merkez açının toplamı 2100 dir. Bu açıların ölçüleri ne kadardır?

Şekil yaparak, aynı yayı gören birçok (sonsuz çok) çevre açı çizilebildiğini gösteriniz.

Bu açılar birbirine göre nasıldır? Yarıçapı r = 2 cm olmak üzere, bir yarıçember çiziniz ve üzerinde iki çevre açı seçiniz. Bu açılardan her biri kaçar derecedir?

C

ABC eşkenar üçgeninde, AB kenarı çap olmak M üzere bir yarıçember çizilmiştir. Yarıçember üçgenin diğer iki kenarını M ve N noktalarında y keser. x, y ve z merkez açılarını belirtiniz. x z Tavsiye: BMAB açısı yarıçemberin çevre A O açısıdır.

Çemberde Açýlar

N

B

109

Ödevler

4.

1. Verilen açı çiftlerinden hangileri, bir çevre ve ona karşılık gelen merkez açı çiftidir: b) 35o, 70o; c) 35o, 35o a) 35o, 75o;

2. Bir çevre ve ona karşılık gelen merkez açının toplamı 132 derecedir?

o

dir. Her biri kaçar

3. Bir

k(O; r) çemberinde BAOB = 120o olmak üzere A ve B noktaları seçilmiştir. Bu noktalarla belirlenen büyük yay üzerinde BAOC = 110o olmak üzere bir C noktası seçilmiştir. ABC üçgeninin açılarını hesaplayınız.

3

ve ve

aynı çember üzerinde iki yay =

ise, her çevre açı AMB, her

çevre açı CND ile eşittir. Niçin?

5. Bir merkez açı:

a) üç defa artarsa; b) 15o artarsa ona karşılık gelen çevre açı ne kadar artacaktır?

6. Bir çevre açıya karşılık gelen yay, çemberin: a)

;

b)

;

c)

d)

;

olduğuna göre, bu açı kaç derecedir?

TALES TEOREMİ M

Şekilde bir k çemberi ve iki açı : BAMB = β ve BAOB = α gösterilmiştir. Hangisi doğrudur: a) α < β, b) α > β, c) α = β, d) α = 2β,

A 1.

Şekilde AB kirişi k çemberinin çapıdır. BAOB merkez açı M M2 M

k

β O α

B

A

BO1TP ne kadardır?

k

3

A

O

B

P T

O1

k1

Şekilde bu kirişi (yani çapı) gören çevre açıları adlandırınız. Böyle açılar daha çizilebilir mi?

Bir yarıçember üzerinde çizilen her çevre açıya, çapı gören çevre açı denir: Neden böyle her açı diktir?

Unutmayınız ! Çapı gören her çevre açı diktir.

110

1

Bu açı kaç derecedir?

e) α = 3β.

AB kenarı k çemberin çapı olduğu durumda, α ve β açıları kaçar derece olur.

Şekilde TP doğrusu k1 çemberinin T noktasındaki teğetidir.

mıdır? Ona karşılık kiriş hangi doğru parçasıdır?

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

Bu özellik, yaklaşık 2500 yıl önce yaşamış olan Tales'in adına Tales teoremi adıyla tanınmıştır.

2.

Tales teoreminden yararlanarak, hipotenüsü çiziniz.

c ve bir kateti

a verilmiş olan dik üçgeni

Hipotenüs çap olmak üzere bir yarıçember çiziniz. Bu yarıçember üzerinde dik açıya ait köşeyi verilen katet yardımıyla belirteceksiniz. a

V 3.

Şekilde a doğrusu k çemberine A noktasında teğettir ve OA yarıçapına diktir. Çemberin dışında olan P noktasından sonsuz çok doğrular geçer.

P

A

T

O

Bu doğrulardan herhangi biri k çemberine teğet midir, yani çembere değer mi? Böyle doğru vardır! Bunu nasıl çizeceksiniz; Tales teoreminden yararlanınız. Şunları görebildim: 1) P noktasından geçen ve çemberi T noktasında değen bir doğru varsa, BOTP = 90o dir. 2) BOTP dik açı olduğuna göre, Tales teoremi gereğince, T köşesi OP çaplı yarıçember üzerinde ve k çemberi üzerinde olmalıdır. Demek ki, T noktası onların kesişiminde bulunur. 3) PT doğrusu k çemberinin T noktasındaki teğetidir. İddianız doğrudur. Halbuki, OP üzerinde daha bir yarıçember çizilebilir. Demek ki, iki teğet vardır. Şekli inceleyiniz ve çizim sırasını unutmayınız. 1) Verilenler: k (O; r) ve P; 2) S - OP nin merkezi; 3) k1(S;SP); 4) k ∩ k1 = { T1, T2}; 5) PT1 ve PT2 aranılan teğetlerdir.

t2 k

T2 P

O

S

t1 T1

k1

t1 ve t2 teğetleri P noktasından çizilmiştir. Şekle bakarak şu soruları cevaplayınız: POT1 ve POT2 üçgenleri hangi cinstendir?

OT1=OT2 niçin?

Ortak kenara nasıl denir?

hangi açılar karşılıklı olarak birbirine eşitir?

Bu üçgenler birbiriyle eş midir?

Onların karşılıklı eleman çiftleri hangisidir?

Şekildeki t1 ve t2 teğetleri üzerinde PT1 ve PT2 doğru parçalarını inceleyiniz.

Çemberde Açýlar

111

Teğetin çizildiği noktadan, değme noktasına kadar doğru parçasına teğet uzunluğu denir. OT1P ve OT2P üçgenlerinin eşliğinden şunları görebilirsiniz: PT1OT2 dörtgeni bir deltoid dir; OP doğrusu BT1OT2 ve BT1PT2 nın açıortayıdır;

gerekir, yani

Bir çemberin dışında bir noktadan çembere çizilen teğetlerin teğet uzunlukları birbirine eşittir. = 4 cm olmak üzere bir M noktasını ve k(O; 3 cm) çemberini çiziniz. M noktasından çembere teğetler çiziniz. Onlar k çemberine T1 ve T2 noktalarında değerse BT1OT2 + BT1MT2 toplamını belirtiniz.

4.

Neleri bilmelisiniz: Tales teoreminin açıklanmasını ve ödevlerde nasıl uygulandığını; Çemberin dışında bir noktadan çembere teğetin çizimini.

Kendinizi yoklayınz ! Tales teoreminden yararlanarak, kateti 3 cm ve hipotenüsü 5 cm olan bir dik üçgen çiziniz. = 4 cm olmak üzere, A ve B noktaları p doğrusunun farklı taraflarındadır. Öyle bir dik üçgen çiziniz ki, AB hipotenüs ve dik açısının köşesi C noktası p doğrusu üzerinde olsun.

Ödevler

4. k(O; r) Çemberi üzerinde BAOB = 100o 1. A ve B noktaları , p doğrusunun dışında olsun. Doğru üzerinde öyle bir M noktasını belirtiniz ki BAMB dik açı olsun. Ödevin kaç çözümü vardır? 2. Bir p doğrusu ve ona ait olmayan bir M noktası verilmiş olsun. Tales teoreminden yararlanarak, M noktasından p doğrusuna bir dikme çiziniz. (Tavsiye: p doğrusu üzerinde herhangi bir N noktasını seçiniz ve MN doğru parçasından yararlanınız).

3. Bir ikizkenar üçgenin tabanı, çap olmak üzere bir yarıçember çizilmiştir. Bu çember üçgenin yan kenarlarını, o kenarlara karşılık gelen yüksekliklerin dikme ayaklarında keser. Bu özelliği açıklayınız.

112

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

olmak üzere A ve B noktaları verilmiştir. A ve B noktalarında çembere t1 ve t2 teğetleri çizilmiştir. Teğetler P noktasında kesiştiklerine göre, ΔABP nin açılarını bulunuz

5. Bir çember M1, M2 ve M3 noktalarıyla üç

yayı çember yayına ayrılmıştır: - %35 i dir. M1, çemberin %25 i, M2 ve M3 noktalarında çembere teğetler çizilmiştir. Bu teğetler ikişer ikişer A, B ve C noktalarında kesişiyorlar. ABC üçgeninin açılarını belirtiniz.

6. Merkezleri O ve O1 noktalarında olan iki

çember, A ve B noktalarında kesişiyorlar. A noktasından bu çemberlerin AA1 ve AB1 çapları çizilmiştir. Neden A1, B ve B1 noktaları bir doğru üzerinde bulunuyorlar? Açıklayınız.

KİRİŞLER VE TEĞETLER DÖRTGENİ

4

KİRİŞLER DÖRTGENİ

Hatırlayınız ! Bir çemberde A, B, C gibi üç nokta seçtikten sonra ΔABC çiziniz.

C

A

A

ABC üçgenine, köşeleri çember üzerinde olan k B üçgen denir. Her üçgen, bir çember içinde bu şekilde çizilebilir mi? Bu çember üçgenin nesidir?

r

Her dörtgenin çevrel çemberi çizilebilir mi?

B 2.

r

Köşeleri bir çember üzerinde olan çokgene kirişler çokgeni denir.

Şekilden görüldüğü gibi, her dikdörtgen köşeleri bir çember üzerinde olmak üzere çizilebilir.Niçin? Onun merkezi hangi noktadır? D C D C a k r k b a r r k B1 B B2 A A a B Kare olmayan eşkenar dörtgen, köşeleri çember üzerinde olacak şekilde çizileme-diğini farkediyorsunuz. Bazı yamuklar çizilebilir, bazıları ise çizilemez.

Her üçgen, bazı dörtgenler, bazı beşgenler, bazı altıgenler v.b. köşeleri bir çember üzerinde olacak şekilde çizilebiliyorlar.

Onun açıları çemberde çevre açılardır. Onun kenarları çemberde kirişlerdir.

1.

ABCD kirişler dörtgeninde, BB= 85o43' ve BD köşegeni çevrel çemberin çapı olduğuna göre, dörtgenin açılarını hesap-layınız.

D Bir kirişler dörtgenine ait yandaki şekli inceleyiniz ve şu soruları cevaplayınız: ABCD dörtgeninin α, β, γ ve δ açılarının toplamı ne kadardır?

A

α

δ α γ1 1

Düşününüz ve α + γ ve β + δ toplamlarını hesaplamaya çalışınız.

Kiriþler ve Teðetler Dörtgeni

γ

C

β B

113

α ve γ gelir.

çevre açılar olmakla α açısına α1 merkez açısı ve γ açısına γ1 merkez açısı karşılık α=

, γ=

O halde, α + γ =

+

ve α1 + γ1= 360o olduğunu görebilirsiniz. =

=

Demek ki: α + γ = 180o dir.

dir.

Benzer şekilde, β + δ = 180o olduğunu gösteriniz.

Yukarıda gösterilenler, kirişler dörtgeninin çok önemli bir özelliğidir: Her kirişler dörtgeninde, karşıt açıların toplamı 180o dir. Bir çift karşıt açısının toplamı 180o olan ABCD dörtgeni verilmiş olsun, örnek α + γ = 180o olsun. Bu dörtgenin diğer çift karşıt açılarının toplamı ne kadardır, yani β + δ =?

3.

Bu özelliği olan her dörtgen, kirişler dörtgeni olduğunu gösterebiliriz.

Unutmayınız ! Bir dörtgende, bir çift karşıt açıları bütünler açılar olduğu durumda, o dörtgen kirişler dörtgenidir. Bu iddia, bir dörtgenin kirişler dörtgeni olup olmadığını tespit etmek için bir kuraldır.

Neleri bilmelisiniz: Kirişler dörtgeni kavramını açıklamalısınız ve tanımlamalısınız; Kirişler dörtgeninde karşit açıların özelliğini açıklamalısınız ve uygulamalısınız.

Kendinizi yoklayınız ! ABCD dörtgeninin açıları, köşelerinin sırasına göre verilmiştir. Bu dörtgen etrafında çevrel çember çizilebilir mi: a) 90o, 90o, 60o, 120o;b) 70o, 130o, 110o, 50o; c) 45o, 75o, 135o, 105o? Her ikizkenar yamuk, kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.

Ödevler 1. ABCD dörtgeninin açıları, köşelerinin sırasına göre verilmiştir. Bu dörtgen kirişler dörtgeni midir: a) tam açının %15 ,%30 ,%35, %20 sidir. b) tam açının %40 ,%20 ,%15, %25 idir. c) tam açının %45 ,%30 ,% 5, %20 sidir?

2. Bir AOB açısının bir P iç noktasından açının kenarlarına dikmeler çizilmiştir. P noktasının

114

Konu

4.

Çember ve Çokgen. Alan

OA Kenarına indirilen dikme ayağı A1 ve OB kenarına dikme ayağı B1 olsun. OA1PB1 dörtgeni, neden kirişler dörtgeni olduğunu açıklayınız.

3. Açıları verilmiş olan ABCD dörtgeni, köşeleri bir çember üzerinde olacak şekilde çizilebilir mi: a) BA = 80o, BB = 80o, BC = 100o; b) BA = 30o, BC = 128o, BD = 150o; c) BB = 117o, BC = 121o, BD = 63o ?

5

TEĞETLER DÖRTGENİ

Hatırlayınız !

Şekilde ABCD dörtgenin içinde içten teğet çember çizildiğini görüyorsunuz. Bu dörtgenin her kenarı çemberin teğetidir.

A

Bir k çemberi üzerinde P, Q ve T gibi üç nokta seçtikten sonra, bu noktalarda çembere değen p, q, t teğetlerini çiziniz. C

C

T

D

P O p

B

k

q

t

Q

A

O

Unutmayınız !

p ve q, A da, q ve t, B de, t ve p, C de kesişiyorlar. ΔABC ye k çemberine dıştan teğet üçgen denir, ya da ABC üçgeninde içten teğet çember çizilmiştir denir. Her teğetin uzunluğuyla ilgili, herhangi bir özellik olup olmadığına dikkat ediniz. (Örnek: CP=CT).

Kenarları bir çembere değen dörtgene teğetler dörtgeni denir.

1.

ABC üçgeninde içten teğet çizilen k çemberi üçgenin kenarlarına değer: AB kenarı C1 noktasında, BC kenarı A1 de ve CA kenarı B1 noktasında değer. = 5cm, = 3cm ve = 4 cm olduğuna göre ABC üçgeninin alanını hesaplayınız.

2.

Bir k(O; 2,5 cm) çemberini ve içinde = 2cm kirişini çiziniz. k çemberine A ve B noktalarında değen teğetlerini çiziniz; onların kesişimi C noktası olsun. ABC üçgeni neden ikizkenardır? Bu üçgenin tabanı nedir, yan kenarları ise nedir?

Her üçgende içten teğet olarak çember çizilebilir mi? Onun merkezi hangi noktadadır? Dörtgende içten teğet çember çizilebilir mi? Şekilde görüldüğü gibi, eşkenar dörtgende ve deltoitte çizilebilir. a a

b a

a

b a

a Şekilde görüldüğü gibi, eşkenar dörtgen olmayan paralelkenarda içten teğet çember çizilemez. Bazı yamuklarda çizilebilir, bazılarında ise içten teğet çember çizilemez. a C D b

b a

B 3.

Şekilde ABCD teğetler dörtgeni gösterilmiştir. C N P B

D A

B1 B B2

B

A

Q A

M

Kiriþler ve Teðetler Dörtgeni

115

Onun kenarlarının içten teğet çembere değme noktaları sırasıyla: AB kenar M de, BC kenar N de, CD kenarı P de ve DA kenarı Q noktasında değer. Birkaç çift eş doğru parçaları yazınız ( = gibi) ve bunlar birbirine neden eşit olduklarını açıklayınız. Dörtgenin karşıt kenarları arasında, herhangi bir bağıntının var olup olmadığını düşününüz ve bulmaya çalışınız. Şekilde:

=

,

=

,

=

,

olduğunu görebilirsiniz.

=

Eşitliklerin sol ve sağ taraflarının toplamını yazınız. Bu eşitlikler neden birbirine eşittir? (

+

)+(

+

)=(

+

)+(

+

) olduğunu yazabilir misiniz?

Bu eşitlik yalnız ABCD dörtgenin kenarları arasında varolduğunu gördünüz.

Bu eşitlik her teğetler dörtgeninin temel özelliğidir. ABCD teğetler dörtgeninde, karşıt kenarların uzunluklarının toplamı birbirine eşittir, yani $% + &' = $' + %&

Şekilde, teğetler dörtgeni olan bir dik yamuk verilmiştir. Şekildeki verilere göre:

4.

a)

+

=

+

D

C

1

geçerli olup olmadığını yoklayınız;

b) ABCD dörtgeninin çevresini hesaplayınız. A 2

C

4

B

Teğetler dörtgeninin temel özelliğinin ters iddiası da gösterilebilir.

Bir dörtgende, karşıt kenarların uzunlukları toplamı birbirine eşit ise, o dörtgen teğetler dörtgenidir.

Bu iddia, bir dörtgenin teğetler dörtgeni olup olmadığını göstermek için bir kuraldır.

116

Konu

4.

Çember ve Çokgen. Alan

5.

Verilen bir dörtgende, içten teğet çemberin çizilmesi mümkün olup olmadığını nasıl tespit edebilirsiniz?

6.

Bir: a) kare; b) eşkenar dörtgen; c) deltoid çiziniz. Ondan sonra onların her birinde içten teğet çember çiziniz. Yardım. Çemberin merkezi, köşegenlerin kesişim noktasındadır, çemberin kenarlara değme noktaları ise, merkezden kenarlara çizilen dikmelerin dikme ayaklarıdır.

Bilinmesi gereken:

Kendinizi yoklayınız !

Teğetler dörtgeni kavramını açıklama ve tanımlamalısınız;

Bir ikizkenar yamuğun tabanları 10 cm ve 6 cm dir. Bu yamukta içten teğet çemberin çizilebilmesi için yan kenarları ne kadar olmalıdır?

Teğetler dörtgeninde karşıt kenarlar arasındaki bağıntıyı görmelisiniz ve açıklamalısınız.

Ödevler 1. Bir teğetler dörtgeninin üç kenarının uzunluğu: = 7 cm , belirtilsin.

= 12 cm ve

4.

ABCD teğetler dörtgeninin çevresi 28 cm, = 7,5 cm ve = 6,5 cm verilmiştir. CD ve AD kenarlarının uzunluklarını belirtiniz.

5.

Teğetler dörtgeni olan bir yamuğun orta

= 5 cm dir.

2. Hangi paralelkenar, hem kirişler, hem de teğetler dörtgenidir?

3. ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aşağıda verilmiştir. Bu dörtgen teğetler dörtgeni midir? a) 5cm , 4cm , 6cm i 7cm ; b) 11cm , 9cm , 10cm i 8cm ?

tabanının uzunluğu, çevresinin olduğunu ispatlayınız.

Kiriþler ve Teðetler Dörtgeni

ine eşit

117

DÜZGÜN ÇOKGENLER

6

DÜZGÜN ÇOKGENLER. AÇILAR VE ÇEVRE

Hatırlayınız ! Bir üçgende iç açıların toplamı ne kadardır?

A

1.

Şekli inceleyiniz ve soruları cevaplayınız: Bir köşesinden geçen köşegenlerle, beşgen kaç üçgene ayrılmıştır?

Her dörtgende iç açıların toplamı 360 o olduğunu nasıl açıklayacaksınız? Bir köşesinden geçen köşegenlerle, altıgen kaç üçgene ayrılmıştır? Bir köşesinden geçen köşegenlerle, bir n - gen kaç üçgene ayrılmış olabileceğini düşününüz.

Farkediyorsunuz Beşgen, üç ücgene (5 - 2) ayrılmıştır, altıgen, dört üçgene (6 - 2) ve bu şekilde devam edilirse n- gen n - 2 üçgene ayrılacaktır, yani kenar sayısından üçgen sayısı iki eksiktir. a) beşgenin, b) altıgenin, c) n - genin iç açıları toplamını belirtiniz.

2.

Çözümünüzü, verilen çözümle karşılaştırınız. Her üçgende iç açıların toplamı 180o dir. Üçgen sayısı: a) 3; b) 4; c) n - 2. Açıların toplamı:

a) 3 ⋅ 180o = 540o;

n - genin iç açıları toplamı

b) 4 ⋅ 180o = 720o;

(n - 2) ⋅ 180o dir.

3.

n - genin iç açıları toplamını bulunuz: a) n = 7;

4.

ABCDE beşgenini inceleyiniz ve şu soruları cevaplayınız:

118

c) (n - 2) ⋅ 180o.

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

b) n = 8;

c) n = 10;

d) n = 15.

BeĹ&#x;gende hangi açĹlar iç, hangileri ise dÄąĹ&#x; açĹlardÄąr? δ1

Neden, her iç açĹ ve ona komĹ&#x;u olan dÄąĹ&#x; açĹsÄą, bĂźtĂźnler açĹlardÄąr, yani, Îą + Îą1 = 180o, β + β1 = 180o? BeĹ&#x;genin dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄąn toplamÄąnÄą belirtiniz. ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź, verilenle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz:

E

Ď• Ď•1 A

Sadece iç açĹlarÄąn toplamÄą: (5 - 2) â‹… 180 = 3 â‹… 180 = 540 dir. o

β ι

İç ve dÄąĹ&#x; açĹlarÄąn toplamÄą: 5 â‹… 180o = 900o dir. o

Îł1 C Îł

D δ

β1 B

Îą1

o

DÄąĹ&#x; açĹlarÄąn toplamÄą: 5 â‹… 180o - (5 - 2) â‹… 180o = 900o - 540o = 360o olur.

5.

Benzer Ĺ&#x;ekilde Ĺ&#x;u iddiayÄą açĹklamaya çalÄąĹ&#x;ÄąnÄąz: her n - genin dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄąn toplamÄą 360o dir.

AçĹklamayÄą gĂśrĂźnĂźz: n â‹… 180o - (n - 2) â‹… 180o = n â‹… 180o - n â‹… 180o + 2 â‹… 180o = 360o.

B 6.

Na crte`ot se dadeni ramnostran triagolnik i kvadrat. a) eĹ&#x;kenar ßçgenin; b) karenin kenarlarÄą ve açĹlarÄą birbirine gĂśre nasÄąldÄąr?

EĹ&#x;kenar ßçgene dĂźzgĂźn ßçgen, kareye de dĂźzgĂźn dĂśrtgen denir. TĂźm kenarlarÄą ve tĂźm açĹlarÄą eĹ&#x;it olan çokgene dĂźzgĂźn çokgen denir.

HatÄąrlayÄąnÄąz !

7.

KenarÄą a = 5cm olan bir dĂźzgĂźn ßçgenin çevresi : L = 3 â‹… a;

L = 3 â‹… 5;

L = 15 cm olur.

KenarĹ a = 9cm olan dßzgßn dÜrtgenin çevresini hesaplayĹnĹz.

8.

KenarĹ a = 10 cm olan dßzgßn sekizgenin çevresini hesaplayĹnĹz. KenarĹ a olan dßzgßn n - genin çevresini nasĹl hesaplayacaksĹnĹz?

Çevreyi L = n â‹… a formĂźlĂźyle hesaplayacaÄ&#x;Äąz.

DĂźzgĂźn sekizgenin iç açĹsÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz. Sekizgenin iç açĹlarÄąnÄąn toplamÄą (8 - 2) â‹… 180o = 1080o olduÄ&#x;una gĂśre, açĹlarÄąndan biri

š R

R = 135o. olur.

H A

Îą

Îą1 B

Dßzgßn Çokgenler

C β1

119

GĂśrdĂźÄ&#x;ĂźnĂźz gibi DĂźzgĂźn n - genin bir iç açĹsÄą Îą Ĺ&#x;u formĂźl ile hesaplanabilir: DĂźzgĂźn çokgenin dÄąĹ&#x; açĹlarÄą birbirine gĂśre nasÄąldÄąr? DĂźzgĂźn n- genin dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄą nasÄąl hesaplayacaksÄąnÄąz?

a=

Q š R Q

Onlar birbirine eĹ&#x;ittir ve toplamÄą 360o dir. O halde, R dir. dÄąĹ&#x; açĹ Q

DĂźzgĂźn: a) 7- genin; b) 10 - genin iç ve dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

9.

Neleri bilmelisiniz: Bir n-genin iç ve dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄąn toplamÄą nasÄąl belirtilir; DĂźzgĂźn çokgenin tanÄąmÄąnÄą; DĂźzgĂźn çokgenin iç veya dÄąĹ&#x; açĹsÄąnÄąn nasÄąl belirtildiÄ&#x;ini açĹklamalÄąsÄąnÄąz;

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! Hangi çokgenin iç açĹlarÄą toplamÄą : a) 360o; b) 1800o dir? DĂźzgĂźn 12- genin iç açĹsÄąnÄą, dÄąĹ&#x; açĹsÄąnÄą ve çevresini belirtiniz.

Dßzgßn n- genin çevresini hesaplamak için formßlßn açĹklamasĹnĹ.

Ă–devler 1. Hangi çokgenin iç açĹlarÄąnÄąn toplamÄą : a) 1260o,

b) 900o,

genin çevresini hesaplayĹnĹz.

c) 1440o dir?

2. Hangi çokgenin dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄąn toplamÄą: a) 180o,

6. KenarÄą a = 0,25 dm olan dĂźzgĂźn onbeĹ&#x;-

b) 360o dir?

3. a) dĂźzgĂźn ongenin; b) dĂźzgĂźn yirmigenin iç ve dÄąĹ&#x; açĹlarÄąnÄąn toplamÄąnÄą belirtiniz.

7. çevresi 77,7 dm olan dßzgßn yedigenin kenarĹ ne kadardĹr?

8. KenarĹ 2,2 cm ve çevresi 24,2 cm olan çokgenin kaç kenarĹ vardĹr?

9. Hangi dĂźzgĂźn n - gende: 4. Hangi dĂźzgĂźn çokgende dÄąĹ&#x; açĹsÄą: a) 36o, b) 24o,

c) 60o dir?

5. İç açĹsĹ : a) 144o, b) 156o olan dßzgßn çokgenin kaç kenarĹ vardĹr?

120

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

a) iç açĹsÄą dÄąĹ&#x; açĹsÄąna eĹ&#x;ittir; b) dÄąĹ&#x; açĹsÄą, iç açĹsÄąnÄąn iki katÄądÄąr; c) dÄąĹ&#x; açĹsÄą, iç açĹsÄąnÄąn ßç katÄądÄąr?

7

DÜZGÜN ÇOKGENİN ÖZELLİKLERİ

A 1.

Hatırlayınız ! ABC üçgeninde kenarlarının orta dikmelerinin kesiştiği O noktası, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. C O A

K

F

Şekldeki EFG üçgeni ikizkenardır. GK yüksekliği, EF tabanının nesidir? BEGF açısının da nesidir? EK ve KF birbirine göre nasıldır?

O

Karenin içten teğet ve çevrel çemberinin merkezi nasıl belirtildiğini açıklayınız.

B

G

E

O

H

Üçgenin açıortaylarının kesiştiği H noktası üçgenin nesidir?

Düzgün üçgenin çevrel ve içten teğet çemberi vardır.

O

Her düzgün çokgenin çevrel çemberi var mıdır?

2.

Cevap evettir. Bunu görmek için, düzgün dokuzgenin gösterilmiş olduğu çizime bakınız. s1 ve s2 doğruları iki komşu BKAB ve BABC açının açıortayıdır.

Şimdi açıklamayı izleyiniz. B1 = B2 = B3 = B4, İki eşit açının yarıları gibi.

F

G

s1 ve s2 açıortayları O noktasında kesişiyorlar, çünkü B2 + B3 < 180o dir.

K

Kalan tüm köşeleri O noktasıyla birleştirilir; bu şekilde tepe noktaları çakışık ve eşit tabanlı 9 üçgen elde edilir.

s1 O

s2

H

B2 = B3 olduğuna göre, ΔABO tepesi O noktasında ve yan kenarları OA = OB olan bir ikizkenar üçgendir..

E

a

12

A

a

3

D

4

a

C

B

ΔAOB ≅ ΔCOB (hangi kurala göre?),oradan OA = OB = OC elde edilir. Komşu üçgenlerin bu şekilde karşılaştırılmasına devam edilirse, tüm üçgenler ikizkenar ve birbiriyle eş olduklarını ve bu durumda OA = OB = OC = ... = OK olduğunu göreceğiz.

Aynı sonuç herhangi düzgün çokgen için de geçerli olacaktır.

Düzgün Çokgenler

121

Şu sonuca varıyoruz: Düzgün çokgenin tüm köşeleri, onun iç bölgesinde bulunan bir O noktasından eşit uzaklıktadır. Bu ise demektir ki, tüm köşeler, O merkezli bir çember üzerinde bulunuyorlar.

B 3.

Şekilde, düzgün beşgen ve onun çevrel çemberi verilmiştir. Beşgenin içinde içten teğet çemberin de çizilebildiğini gösteriniz.

Şekli inceleyiniz ve soruları cevaplayınız: ABO, BCO, ... gibi tüm beş ikizkenar üçgenin, O ortak köşeden çizilen yükseklikleri birbiriyle eşittir.

D

H3

C H2

H4 O

E

B

H5

H1

A

OH1 yüksekliğinin dikme ayağı H1 noktası AB kenarının orta noktasıdır. Niçin?

OH1 = OH2 = ... = OH5 olduğuna göre, beşgenin kenarlarının orta noktaları O köşesinden eşit uzaklıktadır. Bu ise, tüm kenarlara değen O merkezli bir çember vardır demektir. Aynı sonuç herhangi düzgün çokgen için de geçerlidir.

Unutmayınız Her düzgün çokgen etrafında, çevrel çember çizilebilir. Her düzgün çokgende, içten teğet çember çizilebilir. Bu çemberler iç içe çemberlerdir. Onların merkezine düzgün çokgenin merkezi denir.

4.

a) Düzgün üçgen; b) düzgün dörtgen çizdikten sonra, onun içten teğet ve çevrel çemberini çiziniz.

5.

R yarıçaplı çember içinde: a) düzgün üçgen;

b) düzgün dörtgen çiziniz. O

C

Şekilde, bir çokgeni oluşturan ikizkenar olan AOB üçgeni verilmiştir. AOB üçgenine, düzgün n- genin karakteristik üçgeni denir.

122

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

R

r

R

H1

A

B

Bu ügenin elemanları düzgün n- geni belirtiyorlar. R - merkez açı; O - merkez; BAOB = AB = a - kenar; Q OH = R çevrel çemberinin yarıçapı ; = h = r - içten teğet çemberin yarıçapı ya da apoOA 1 temdir.

6.

Çevrel çemberinin yarıçapı R = 3 cm olan, a) düzgün üçgenin; b) düzgün dörtgenin karakteristik üçgenini çiziniz.

7.

Kenarı 2 cm olan düzgün onikigenin karakteristik üçgenini çiziniz. Bunun taban açısını nasıl belirteceksiniz?

Bilinmesi gereken:

Kendinizi yoklayınız !

Düzgün çokgenin içten teğet ve çevrel çemberi hakkında iddiaları açıklamalısınız.

Karakteristik üçgenin tabanına ait açıyı nasıl belirteceksiniz. a) n = 5;

Düzgün çokgenin karakteristik üçgenini, apotemini ve merkez açısını tanımlamalısınız.

b) n = 8;

c) n = 9?

a) düzgün üçgenin; b) düzgün dörtgenin; c) düzgün beşgenin; d) düzgün altıgenin; e) düzgün sekizgenin merkez açısını belirtiniz.

Ödevle r 1. Verilen düzgün çokgenin iç, dış ve merkez açısını belirtiniz: a) 12-gen;

b) 15- gen;

c) 20-gen.

3. hangi düzgün n - genin: a) merkez açısı 45o dir; b) dış açısı 30o dir; c) iç açısı 144o dir?

4. Kenarı 2 cm olan düzgün ongenin karakteristik üçgenini çiziniz.

2. Merkez açısı : d) 100 ; a) 40 ; o e) 120o? b) 80 ; c) 90o; olan düzgün çokgen var mıdır? o

o

5. Her düzgün çokgende, merkez açısı, kendi dış açısına eşit olduğunu gösteriniz.

Düzgün Çokgenler

123

8

DĂœZGĂœN ÇOKGENÄ°N ÇİZÄ°MÄ°

HatÄąrlayÄąnÄąz !

A 1.

yarĹçapÄą r = 2,5 cm olan çemberde kĂśĹ&#x;eleri çember Ăźzerinde olmak Ăźzere dĂźzgĂźn ßçgen çiziniz. Ĺžekildeki çÜzĂźmĂź inceleyiniz ve tavsiyelere gĂśre hareket ediniz:

Hangi çokgene, dĂźzgĂźn çokgen denir? DĂźzgĂźn n- genin içten teÄ&#x;et ve çevrel çemberi iç içe çemberler midir?

C

Ĺžekildeki OAB ßçgeni, dĂźzgĂźn n- genin karakteristik ßçgenidir. merkez açĹsÄą kaç derecedir?

γ merkez açĹsĹnĹ hesaplayĹnĹz;

δ açĹsĹ kaç derecedir?

Îł=

O

h=r

R

δ A

δ a

Neden, ΔABC aranÄąlan dĂźzgĂźn ßçgendir, açĹklayÄąnÄąz.

B

Bir dßzgßn n-genin OAB, karakteristik ßçgeni, yalnĹz a ile, ya da yalnĹz R ile, ya da yalnĹz h = r ile çizilebilir mi?

B

AB kiriĹ&#x;ini çizerek pergelle AB=BC=CA olacak Ĺ&#x;ekilde çember Ăźzerinde AB kiriĹ&#x;ini gÜçßrĂźyoruz. (ΔABO dĂźzgĂźn ßçgenin karakteristik ßçgeni olduÄ&#x;unu gĂśrĂźnĂźz)

R J ; d=

R

A

k(O; 2,5 cm) çemberini ve γ = BAOB = 120o merkez açĹsĹnĹ çiziniz.

R g= ; Q

Îł

.

O Îł

2.

Karakteristik ßçgen kullanarak, kenarĹ a = 4 cm olan bir dßzgßn dÜrtgen, yani kare çiziniz.

Çizimin çÜzĂźmĂźnĂź inceleyiniz ve tavsiyelere gĂśre hareket ediniz. Karakteristik ßçgenin Îł merkez açĹsÄąnÄą (Îł =

) ve tabanĹna ait δ açĹsĹnĹ (δ = 45o) hesaplayĹnĹz.

AB= 4 cm doÄ&#x;ru parçasÄąnÄą ve BBAX = BABY = 45o açĹlarÄąnÄą çiziniz.

D

AX ve BY kenarlarÄąnÄąn kesiĹ&#x;tiÄ&#x;i O noktasÄą, neden karenin merkezi olduÄ&#x;unu açĹklayÄąnÄąz. k(O; ) OA çemberini çiziniz. AB kiriĹ&#x;ini AB=BC=CD=DA olmak Ăźzere çember Ăźzerinde gÜçßrĂźnĂźz. Elde edilen ABCD karesi, neden aranÄąlan kare olduÄ&#x;unu açĹklayÄąnÄąz.

3.

DĂźzgĂźn altÄągenin karakteristik ßçgeni, eĹ&#x;kenar ßçgen olduÄ&#x;unu gĂśsteriniz.

4.

Dßzgßn onikigenin, karakteristik ßçgeninin açĹlarĹ ne kadardĹr?

124

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

A

C Y X O 90o 45o 45o

B

R = 3 cm yarıçaplı bir çember içinde, köşeleri çember üzerinde olmak üzere bir düzgün dokuzgen çiziniz. Sadece pergel ve cetvel kullanarak düzgün dokuzgen çizilemez. Bunun için iletki de kullanacağız. D Çizimin yapılışını inceleyiniz ve tavsiyeleri izleyiniz. E C

B 5.

k(O; 3 cm) çemberini ve BAOB = 40o açısını çiziniz.

m B O R=3c o 40

F

h

A ve B noktaları, dokuzgenin iki komşu köşesi olup çember üzerinde bulunuyorlar. AB kirişini çember üzerinde AB=BC=CD=...=HK olacak şekilde göçürünüz.

70o A

G H

Elde edilen dokuzgen, neden düzgün olduğunu açıklayınız.

K F

6.

Kenarı a = 2 cm olan düzgün dokuzgen çiziniz.

G

Çizimi inceleyiniz ve tavsiyeleri izleyiniz. Önce, tabanı AB = a = 2 cm ve taban açıları α = 70o olan ikizkenar üçgeni, yani OAB karakteristik üçgeni çiziniz.

E

H

O

D

40o

70o 70o

AB kirişini AB = BC = CD = ... = HK = 2 cm olmak üzere çember üzerinde göçürünüz.

7.

Çevrel çemberinin yarıçapı R = 3cm olan düzgün altıgen çiziniz.

Bilinmesi gereken: Köşeleri, verilen çember üzerinde olmak üzere düzgün çokgenin çizimini; Çizimin (karakteristik üçgenle) nasıl yapıldığını açıklamalı ve kaideyi uygulamalısınız.

Ödevler 1. a) çevrel çemberinin yarıçapı r = 4 cm. b) içten teğet çemberinin yarıçapı r = 2,5 cm olan düzgün üçgen çiziniz..

2. Çevrel çemberinin yarıçapı r = 4 cm olan düzgün altıgen çiziniz.

C

K

k(O; OA) çiziniz.

8.

A

B

İçen teğet çemberinin yarıçapı r = 2,5 cm olan bir kare çiziniz.

Kendinizi yoklayınız ! Düzgün dokuzgenin karakteristik üçgenini çiziniz. Bu üçgenin açıları ne kadardır? Çevrel çemberinin yarıçapı R = 3 cm olan bir düzgün beşgen çiziniz.

3. a) kenarı a = 3 cm; b) içten teğet çemberin yarıçapı r ; c) çevrel çemberinin yarıçapı R bilinen düzgün beşgeni çiziniz.

Düzgün Çokgenler

125

PİTAGOR TEOREMİ

9

PİTAGOR TEOREMİ

A

Hatırlayınız !

1.

Bir sayının karesi nedir? Verilen sayının karekökünü nasıl belirtiyorsunuz? Hesaplayınız: 52; 122; 32 + 42; 52 - 32; 625 Bir dik üçgen çiziniz ve onun köşelerini, kenarlarını ve açılarını işaret ediniz.

Tales teoremini uygulayarak, hipotenüsü c = 5 cm ve kateti b = 4 cm olan dik üçgeni çiziniz. Diğer katetini ölçünüz.

Doğru ölçmüşseniz, diğer katet 3 cm oldu-ğunu elde etmişsiniz.

Dik açının karşısında duran kenar nasıl adlandırılır? Diğer iki kenar nasıl adlandırılır?

3 5

3 5 4

Katetleri a = 3 cm, b = 4 cm ve hipotenüsü c = 5 cm olan dik üçgen verilmiştir.

2.

4

Şekli inceleyiniz ve dik üçgenin kenarlarının kareleri arasında bir bağıntının varlığını bulmaya çalışınız. Karelerden her biri 1cm kenarlı küçük karelere ayrılmıştır. Her karede kaç karecik vardır?

Kareciklerin sayısıyla ilgili şunu görebilirsiniz: a kenarı üzerinde 9 tane, yani a2 = 32; a2 = 9; b kenarı üzerinde 16 tane, yani b2 = 42; b2 = 16; c kenarı üzerinde 25 tane, yani. c2 = 52; c2 = 25.

Katetlerin kareleri toplamı ve hipotenisün karesi ile ilgili ne farkediyorsunuz?

126

Katetlerin kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşit olduğunu farkediyorum. Yani, 9 + 16 = 25 ya da a2 + b2 = c2 dir.

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

KenarlarÄąnÄąn Ăślçßleri 3, 4 ve 5 olan ßçgen, eski MÄąsÄąrlÄąlar tarafÄąndan dik olduÄ&#x;u biliniyormuĹ&#x; ve bu yĂźzden bĂśyle ßçgene mÄąsÄąr ßçgeni de denir. Eski HindistanlÄąlar ise, kenarlarÄąnÄąn Ăślçßleri 5, 12 ve 13 olan ßçgenin dik olduÄ&#x;unu biliyorlarmÄąĹ&#x;. Bu yĂźzden bĂśyle ßçgenlere hindistan ßçgeni de denir. Hindistan ßçgenine a2 + b2 = c2 eĹ&#x;itliÄ&#x;i geçerli olup olmadÄąÄ&#x;ÄąnÄą yoklayÄąnÄąz. MÄąsÄąr ve hindistan ßçgenlerinde gĂśrĂźlen Ăśzellik her dik ßçgende geçerlidir ve bu Ăśzellik Pitagor teoremi adÄąyla tanÄąnmÄąĹ&#x;tÄąr.

Pitagor teoreminin ifade ediliĹ&#x;i: Her dik ßçgende, hipotenĂźsĂźn karesi, katetlerin karelerinin toplamÄąna eĹ&#x;ittir.

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź, verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz.

Taslak:

Verilenler: a = 8 cm ve b = 6 cm. AranÄąlan: c = ?

b = 6 cm

Katetleri a = 8 cm ve b = 6 cm olan dik ßçgenin hipotenĂźsĂźnĂźn uzunluÄ&#x;unu hesaplayÄąnÄąz.

3.

c=? a = 8 cm

Ăœçgen dik olduÄ&#x;una gĂśre, Pitagor teoremi gereÄ&#x;ince: c2 = a2 + b2; yani c=

B

D E ;

c2 = 82+62; F

; F

; c = 10 cm bulunur.

Katetleri a ve b ve hipotenĂźsĂź c olan her dik ßçgende aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki formĂźlĂźn geçerli olduÄ&#x;unu unutmayÄąnÄąz: c2 = a2 + b2

B a C

c b

Her iki kateti verilmiĹ&#x; olduÄ&#x;u durumda , hipotenĂźsĂźn hesaplanmasÄą A

için c2 = a2 + b2, yani

c=

D E

formĂźlĂź kullanÄąlÄąr.

HipotenĂźs ve katetlerden biri verildiÄ&#x;inde, diÄ&#x;er kateti hesaplamak için: t.e. a2 = c2 - b2 , yani

4.

a=

F E

da b2 = c2 - a2 , , ya ili

b=

F D

bulunur.

Katetleri a = 12 cm, b = 16 cm ve hipotenßsß c = 20 cm olan dik ßçgen için, Pitagor teoreminin fomßllerini yoklayĹnĹz.

Pitagor Teoremi

127

Pitagor teoreminin tersi de geçerlidir: Bir üçgenin kenarları için, c2 = a2 + b2 özelliği varsa, o üçgen diktir.

Pitagora teoreminden yararlanarak kenarlarının ölçü sayıları, 9, 10, 14 olan üçgenin dik olup olmadığını yoklayınız.

5.

Neleri bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

Pitagor teoremini ifade etmelisiniz; Dik üçgenin her kenarını, diğer iki kenar ile ifade etmelisiniz.

Kenarları verilmiş olan üçgen dik midir: a) 12; 16; 21; b) 3; 1,6; 3,4? katetleri a ve b ve hipotenüsü c olan dik üçgenin bilinmeyen kenarını bulunuz: a) c = 2,9, b = 2; b) c = 1, a = 0,8.

Ödevler 1. ABC üçgeninin kenarları verilmiştir: a) 7; 24; 25; b) 8; 10; 15; c) 8; 15; 17; d) 12; 15; 20. ΔABC dik midir?

B

5. Şekilde, verilmiş olan verilere göre ABC üçgeninin çevresini hesaplayınız.

20

x

A 5 D

16

C

2. katetleri a ve b ve hipotenüsü c olan dik üçgenin bilinmeyen kenarını bulunuz: a) a = 56, b = 33;

b) b = 12, c = 37;

c) a = 25, b = 31;

d) c = 2,9, a = 2;

3

6. Şekilde verilmiş olan dörtgenin çevresini hesap-layınız.

4

12

e) a = 0,3, c = 0,34.

3. katetleri verilmiş olan dik üçgenin çevresini hesaplayınız: a) 0,5 cm ve 1,2 cm;

b) 1,5 dm ve 2 dm.

4. Hipotenüsü ve bir kateti verilmiş olan dik üçgenin çevresini hesaplayınız: a) 1m ve 0,8 m; b) 0,17 dm ve 0,15 dm.

128

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

7. Bir dik üçgenin tüm kenarları :

a) çift doğal sayılar, b) tek doğal sayılar olabilir mi? Cevabınızı açıklayınız.

10

PİTAGOR TEOREMİNİN DİKDÖRTGENDE, KAREDE VE EŞKENAR ÜÇGENDE UYGULANMASI

Hatırlayınız !

A

Dik üçgenin kenarları için Pitagor teoremi geçerlidir. c

a b

c2 =a2 + b2 a2 =c2 - b2

Çok kez, dik üçgenin özelliklerinden yararlanarak, günlük hayattan, teknikten jeodeziden (yer ölçümünden) v.b. herhangi problemin çözümü gerekmektedir. Birçok geometrik şekillerde bunu farkedebilir ve belli hesaplamaların yapılması için yardımcı olabilir.

b2 =c2 - a2

D

Şekilde kenarları a = 12 cm ve b = 5 cm olan ABCD dikdörtgeni gösterilmiştir.

1.

C d

AC = d köşegenine dikkat ediniz. Köşegenin uzunluğunu nasıl bulacaksınız? Düşününüz. ABC üçgeni nasıldır? Hangi köşesinde dik açı vardır?

2.

a

A

ABC üçgeninin hangi kenarları katet, hangisi ise hipotenüstür? Pitagor teoremi gereğince: d 2 = a2 + b2 olduğunu görüyorsunuz. d 2 = 122 + 52 = 169; d = 169 ; d = 13 cm.

b

B

Kenarları a = 32 cm ve b = 24 cm olan dikdörtgenin, çevrel çemberinin yarıçapını belirtiniz. D

B

3.

C

Kenarı a olan karenin, köşegeninin uzunluğunu hesaplayınız.

d

Şekli inceleyiniz ve şunları kaydediniz: ΔABC İkizkenar dik üçgendir. Pitagor teoremi gereğince:

4.

a

A

d2 = a2 + a2 = 2a2;

d=

2a 2 ;

D

C R

r

5.

Kenarı a = 3 cm olan karenin içten teğet ve çevrel çemberlerinin yarıçaplarını hesaplayınız.

B

2 ≈ 1,41.

d = a 2;

Kenarı verilmiş olan karenin köşegenini hesaplayınız: a) a = 6 cm; b) a = 1,2 cm.

a

d

O A

a

Pitagor Teoremi

B

129

KenarÄą a olan karenin kĂśĹ&#x;egeni d = a 2 olduÄ&#x;unu biliyorsunuz. Karenin çevrel çemberinin yarĹçapÄąnÄą (R) ve içten teÄ&#x;et çemberinin yarĹçapÄąnÄą (r), a ile ifade edilebilir misiniz?

C

Ĺžekilden gĂśrĂźldĂźÄ&#x;Ăź gibi: D G rr = = , ve R R= = ,, R R= = D dir. C

Ĺžekilde ABC eĹ&#x;kenar ßçgeni gĂśsterilmiĹ&#x;tir. Ĺžekle bakarak Ĺ&#x;u sorularÄą cevaplayÄąnÄąz:

6.

a

CC1 doÄ&#x;ru parçasÄą ABC ßçgeninin nesidir? CC1 doÄ&#x;ru parçasÄą AC1C dik ßçgeninin nesidir? OD ve OB doÄ&#x;ru parçalarÄą ßçgenin neleridir ?

A

D

r

h O

R C1

B

Neden, eĹ&#x;kenar ßçgende, O otosantarÄą (yĂźksekliklerin kesiĹ&#x;im noktasÄą) aÄ&#x;ÄąrlÄąk merkeziyle (kenarortaylarÄąn kesiĹ&#x;im noktasÄąyala) çakÄąĹ&#x;ÄąktÄąr. AĹ&#x;aÄ&#x;Äądakileri a ile ifade ediniz: h - yĂźksekliÄ&#x;i; r - içten teÄ&#x;et çemberin yarĹçapÄąnÄą;

R - çevrel çemberin yarĹçapĹnĹ.

EĹ&#x;kenar ßçgende, yĂźksekliklerin kesiĹ&#x;imi ve kenarortaylarÄąn kesiĹ&#x;imi olan O noktasÄą, yĂźksekliÄ&#x;i oranÄąnda bĂśldĂźÄ&#x;ĂźnĂź diyebiliriz. (kenarortayÄą) : 2& K K ; 2& EĹ&#x;kenar ßçgende a kenarÄą ile h, r, R aralarÄąndaki baÄ&#x;ÄąntÄąyÄą gĂśrĂźnĂźz. AC1C dik ßçgeninden Ĺ&#x;unlar gerekir:

2 D Ăˆ DĂ˜ 2 == a2a; ; h h= = hh ==aa -- ÉÊ ÙÚ ==a2a -

F F

22

22

D r= h= Ă— r = h = â‹…

D ; r= ; r=

. .

D D ; ; h h= =

F

; ;

D R= h= Ă— R = h = â‹…

Âť 1,73. ≈ 1,73.

D ; R= ; R=

. .

KenarÄą a = 30 cm olan eĹ&#x;kenar ßçgenin h, R ve r bĂźyĂźklĂźklerini belirtiniz.

7.

Bilinmesi gereken: Pitagor teoremini, dikdĂśrtgende, karede ve eĹ&#x;kenar ßçgende uygulamalÄąsÄąnÄąz.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! KenarÄą a = 10 cm olan karenin çevrel çemberinin yarĹçapÄą ne kadardÄąr? KenarÄą 10 dm olan eĹ&#x;kenar ßçgenin içten teÄ&#x;et ve çevrel çemberinin yarĹçapÄąnÄą belirtiniz.

130

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

Ödevler 1. Kenarları verilmiş olan dikdörtgenin, köşegeninin uzunluğunu belirtiniz: a) 0,28 dm; 0,96 dm; b) 300 cm; 160 cm.

2. Verilenlere göre, dikdörtgenin çevresini belirtiniz: a) d = 13 m, a = 12 m; b) d = 8,5 dm; b = 1,3 dm.

3. Yarıçapı R = 10 dm olan çemberde, kenarı 8 dm olan dikdörtgen çizilmiştir. Onun çevresini belirtiniz. Kenarı 10 cm olan bir karenin, kenarlarının orta noktaları bir dörtgenin köşeleridir. Onun çevresini hesaplayınız.

4.

6. Kenarı verilmiş olan karenin, h, R ve r elemanları belirtilsin: a) a = 1, b) a = 100; c) a =

7. Bir eşkenar üçgende r = 3,46 cm yarıçaplı çember çizilmiştir. Onun çevresini belirtiniz.

8. Bir dikdörtgenin köşegeni ve kenarları verilen uzunlukta olabilir mi: a) 30, 40, 50; b)20, 30, 40; c) 10, 20, 30; d) 150, 200, 250? İki kare verilmiştir. Birinin kenarı a = 3 cm, diğerinin kenarı ise b = 4 cm dir. Alanı, bu karelerin alanlarının toplamına eşit olan karenin c kenarını belirtiniz.

9.

5. Verilene göre, karenin içten teğet ve çevrel çemberinin yarıçapını belirtiniz: a) a = 10 cm; b) d = 10 cm.

11

PİTAGOR TEOREMİNİN UYGULANMASIYLA ÇÖZÜLEN ÖDEVLER

Hatırlayınız ! Hangi üçgene ikizkenar üçgen denir?

D a S

C

d1

Eşkenar dörtgen nasıl dörtgendir? Hangi yamuk ikizkenardır? Şekilleri inceleyiniz ve herbirinin özelliklerini ifade ediniz.

A

.

1.

b

h b

α a A

C Db C β β

d2 a

A

c

B

h

α

α B

A

c α

a

B

Şekildeki ikizkenar üçgeni inceleyiniz ve soruları cevaplayınız. C

BCD dik üçgeni, ABC ikizkenar üçgeninin bir parçası mıdır? ABC üçgeninin hangi elemanları, BCD nin katetleri ve hipotenüsüdür? Pitagor teoremi, ikizkenar üçgeninin tabanı, yan kenarı ve yüksekliği arasında bir bağıntıyı görmemizi sağlamaktadır. È DØ b2 = h2 + ÉÊ ÙÚ

b h

b

α D A

α B

olduğunu farkedebilirsiniz.

Pitagor Teoremi

131

TabanÄą 10 cm ve yan kenarÄą 13 cm olan ikizkenar ßçgenin yĂźksekliÄ&#x;ini belirtiniz.

2.

Bir ABC ikizkenar ßçgenini çizdikten sonra onun CD yĂźksekliÄ&#x;ini de çiziniz.

Ăˆ DĂ˜ =b - ÉÊ ÙÚ ;; h2 = = 1322 - 522= 169 -- 25 25 == 144 144 elde edilir. BCD ßçgeninden: h = 2

2

Demek ki: h2 = 144;

144 = 12, yani h = 12 cm bulunur.

h=

TabanÄą 14 cm ve tabanÄąna karĹ&#x;ÄąlÄąk gelen yĂźksekliÄ&#x;i 24 cm olan ikizkenar ßçgenin çevresini hesaplayÄąnÄąz.

3.

B

4.

Ĺžekli inceleyiniz ve Pitagor teoreminin ikizkenar yamukta nasÄąl uygulanacaÄ&#x;ÄąnÄą gĂśrĂźnĂźz.

D b C

Ĺžekilden, AD1 = x uzunluÄ&#x;u nasÄąl belirtileceÄ&#x;ini gĂśrĂźnĂźz.

GĂśrdĂźÄ&#x;ĂźnĂźz gibi: a = b + 2x; 2x = a - b; x =

c x

D E elde edilir.

c

h

A

b D1

x a

B

TabanlarÄą 30 cm, 16 cm ve yĂźksekliÄ&#x;i 24 cm olan ikizkenar yamuÄ&#x;un yan kenarÄąnÄą bulunuz. ABCD ikizkenar yamuÄ&#x;un elemanlarÄąnÄą iĹ&#x;aret ediniz ve DD1 yĂźksekliÄ&#x;ini çiziniz.

5.

Verilenler: a = 30, b = 16 ve h = 24. Ă–dev 4 teki AD1D dik ßçgeninden:

Ăˆ D EĂ˜ c = h + ÉÊ Ă™ Ăš 2

2

dir.

Ăˆ Ă˜ c2 = 242 + ÉÊ Ă™ = 576 + 49 = 625, ya da c = Ăš

elde edilir.

= 25; c = 25 cm.

TabanlarÄą 7 dm, 3 dm ve yan kenarÄą 2,9 dm olan yamuÄ&#x;un h yĂźksekliÄ&#x;ini hesaplayÄąnÄąz.

6.

C

7.

KĂśĹ&#x;egenleri d1 ve d2 verilmiĹ&#x; olan eĹ&#x;kenar dĂśrtgenin, a kenarÄąnÄą nasÄąl hesaplayacaksÄąnÄąz? DĂźĹ&#x;ĂźnĂźnĂźz. D C Ĺžekli inceleyiniz ve sorularÄą cevaplayÄąnÄąz: ABCD eĹ&#x;kenar dĂśrtgeninde, bir dik ßçgeni seçiniz. EĹ&#x;kenar dĂśrtgenin, hangi elemanlarÄą bu ßçgenin kenarlarÄądÄąr?

d1

ABS dik ßçgeninde, hangileri katetler, hangisi ise hipotenßstßr?

ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ Neden, a2 = É Ă™ + É Ă™ ĂŠ Ăš ĂŠ Ăš

132

A

olduÄ&#x;unu açĹklayÄąnÄąz.

Konu 4. Çember ve Daire. Alan

S

a

d2

a

B

8.

KĂśĹ&#x;egenleri 24 cm ve 10 cm olan eĹ&#x;kenar dĂśrtgenin, çevresini hesaplayÄąnÄąz. ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź, verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz. Verilenler: d1 = 24 ve d2 = 10.

ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ a = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ ; a2 =

F F aa== 2

9.

13 cm. = = 13 cm.

Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ =122 + 52 = 144 +25 = 169;

F L = 4a; L = 4 Ă— 13 = 52, t.e. L = 52 cm.

Bir eĹ&#x;kenar dĂśrtgenin kenarÄą a = 13 cm ve bir kĂśĹ&#x;egeni d1 = 24 cm verilmĹ&#x;tir. Ä°kinci kĂśĹ&#x;egenini d2 yi belirtiniz.

Neleri bilmelisiniz: Ä°kizkenar ßçgende, ikizkenar yamuk, eĹ&#x;kenar dĂśrtgende ve diÄ&#x;er Ăśdevlerde Pitagor teoremi nasÄąl uygulanÄąr.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! Bir eĹ&#x;kenar dĂśrtgenin kĂśĹ&#x;egenleri 12 cm ve 16 cm dir. Onun çevresini hesaplayÄąnÄąz. Yan kenarÄą 41 cm olan bir ikizkenar ßçgenin çevresi 100 cm dir. Bunun tabanÄąna karĹ&#x;ÄąlÄąk gelen yĂźksekliÄ&#x;inin uzunluÄ&#x;unu hesaplayÄąnÄąz.

Ă–devler 1. Bir ikizkenar ßçgenin tabanÄą 24 cm, çevresi ise 98 cm dir. Bunun, tabanÄąna karĹ&#x;ÄąlÄąk gelen yĂźksekliÄ&#x;ini hesaplayÄąnÄąz.

5. TabanlarÄą 30 cm ve 6 cm ve yĂźksekliÄ&#x;i 35 cm olan bir ikizkenar yamuÄ&#x;un, yan kenarÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

2. Bir ikizkenar ßçgenin tabanĹ 28 cm,

6. TabanlarÄą 34 cm ve 16 cm ve yĂźksekliÄ&#x;i 12

yĂźksekliÄ&#x;i 48 cm dir. Ăœçgenin çevresini hesaplayÄąnÄąz.

cm olan bir ikizkenar yamuÄ&#x;un, çevresini hesaplayÄąnÄąz.

3. Bir eĹ&#x;kenar dĂśrtgenin kĂśĹ&#x;egenleri verili-

7. TabanlarÄą 16 cm ve 30 cm ve yan kenarÄą 25

yor: a) 42 ve 50; b) 24,6 ve 56,8. EĹ&#x;kenar dĂśrtgenin kenarÄą, yaklaĹ&#x;Äąk olarak ne kadardÄąr?

4. EĹ&#x;kenar dĂśrtgenin kenarÄą 2,9 cm ve bir kĂśĹ&#x;egeni 4 dm dir. DiÄ&#x;er kĂśĹ&#x;egenini belirtiniz.

cm olan bir ikizkenar yamuÄ&#x;un, yĂźksekliÄ&#x;ini hesaplayÄąnÄąz.

8. 3m uzunluÄ&#x;unda bir merdiven duvara dayalÄądÄąr. Merdivenin dibi duvardan 1,8 m uzaklÄąktadÄąr. Merdiven hangi yĂźksekliÄ&#x;e çĹkar.

Pitagor Teoremi

133

ÇOKGENİN ALANI

12

ALAN KAVRAMI

Hatırlayınız !

A

1.

Şekilde verilenler:

a) P - dikdörtgen ve K- kare; b) iki eş dikdörtgen S ve T; c) F şekli, birbiriyle çakışmayan: F1, F2 ve F3 üç şekle ayrılmıştır.

Kareli filede A, B ve C şekşllerini görüyorsunuz. B C A

a) P1

P2

P3

E K

P E

Filenin bir karesinin alanı E ölçü birimi olarak alınırsa, A şeklinin alanı P1 = 12E olur. P1 alanının ölçü sayısı, E birimine göre 12 dir.

b) Y T

B şeklinin alanı P2 yi ve C şeklinin alanı P3 ü, E birimiyle ifade ediniz. F P1 alanı P2 alanından kaç defa daha büyüktür? P2 ve P3 alanlarının toplamı ne kadardır? P1 alanı 5 ile çarpılırsa ne kadar alan elde edilir? Verilen önermenin doğru olması için, dairecikte hangi işaret yazılmalıdır: P2 + P3

P1 ?

c) F2 F1 F3

Filedeki bir kareciğin alanı E, ölçü birimi olarak alınmıştır.

Dikdörtgenin alanı P ve karenin alanı K belirtilsin. Bunların her birinin alanlarının sayı değerleri nasıl sayılardır (pozitif yoksa negatif)? S ve T dikdörtgenlerinin alanları birbirine göre nasıldır? F şeklinin P alanını ve F1, F2, F3 şekillerinin sırasıyla P1, P2, P3 alanlarını belirtiniz. Ondan sonra P alanını P1 + P2 + P3 alanların toplamıyla karşılaştırınız.

134

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

Önceki ödevde, a), b) ve c) şıklarındaki çokgenlerin alanları hakkında nasıl sonuca varabildiniz.

Şunu farkedebiliriz: a) dikdörtgenin ve karenin alanları pozitif sayılarla ifade edilmiştir; b) eş dikdörtgenlerin eş alanları vardır; c) F şeklinin alanı, kendisinin oluştuğu dikdörtgenlerin alanlarının toplamına eşittir.

Çokgenin alanı için, genelde şu özellikler geçerlidir:

1o 2o 3o

Çokggenin alanı, pozitif sayıyla ifade edilir.

4o

Kenarı 1m olan karenin alanı, temel ölçü birimi olarak alınır ve metre kare diye adlandırılır, 1 m2 biçiminde işaret edilir.

İki çokgen eş oldukları durumda, onların alanları da eşittir. Bir çokgen, birbiriyle çakışmayan iki ya da daha çok çokgenden meydana geliyorsa, onun alanı oluştuğu çokgenlerin alanları toplamına eşittir.

1 m2 ölçü biriminden, küçük birimler (askatlar): 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2 ve büyük olanlar (üstkatlar): 1 dam2, 1 hm2, 1 km2 elde edilir. Şekildeki dikdörtgenlerden, hangilerinin eşit alanları vardır; hangi özelliğe göre? e)

dm

d)

5 6

4 dm

3, dm

2,5 dm

5

dm

3,

5

35 cm

dm

3,

40 cm

35 cm

25 cm

3.

c)

b)

a)

3,

2.

Aşağıdaki şekilde, a) şıkkındaki dikdörtgenler çakışabilir, b) şıkkındakiler ise hayır. Özellik 3o, hangi iki şekil için geçerlidir, hangileri için ise geçerli değildir? a)

b)

Çokgenin Alaný

135

B 4.

Şekilde iki eş dik üçgen T1 ve T2 verilmiş ve ondan sonra onlarla a), b) ve c) şıklarında gösterilen üç tane geometrik şekli oluşturulmuştur.

T2 T1

T2

T1

T2

T1

a)

T2

T1

b)

v)

a), b) ve c) şıklarındaki şekilleri adlandırınız. T1 ve T2 şekilleri nasıl şekillerdir? a) ve b) deki; b) ve c) deki şekillerin alanları birbirine göre nasıldır? Eşit alanları olan şekillere eş alanlı şekiller denir. Aynı sayıda eş parçalardan oluşan ya da aynı sayıda eş alanlı parçalara ayrılabilen iki şekil eş alanlı şekillerdir. Ödev 4 te verilen a), b) ve c) deki şekiller eş alanlı şekillerdir. Aşağıdaki şekillerden hangileri eş alanlı şekiller olduklarını belirtiniz.

5.

b)

a)

c)

Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklayınız ! Çokgen kavramını açıklamalısınız;

Alanın temel özelliklerini ifade ediniz.

Eş alanlı çokgenleri tanımalısınız;

İki şekil birbiriyle eş ise, onlar eş alanlı şekillerdir. İki eş alanlı şekil daima birbiriyle eş midir?

Çokgenleri, parçalara ayırarak onlardan eş alanlı başka şekiller oluşturmalısınız.

136

Yandaki dörtgeni nasıl parçalara ayırmalısınız ki, parçalarla dikdörgen elde edilsin? Şekilde açıklayınız.

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

D

A

C

B

Ödevler 1. İki eş dik üçgen kesiniz ve onlardan: a) ikizkenar üçgen; b) dikdörtgen; c) paralelkenar oluşturunuz. Elde edilen şekiller neden eş alanlı şekillerdir.

2. Bir kare, köşegenleri üzerinden kesilmiştir. Elde edilen üçgenlerden üç konveks çokgen oluşturunuz. Onları çiziniz ve adlandırınız.

3. İki çokgen eş alanlı ise, onların kenar sayısı da mecburen eşit olmalı mıdır?

7. Yandaki şekli, dört eş yamuğa ayırınız.

Deneyiniz ...

8. Şekilde ABCD karesi

D

verilmiştir. E, F, G, H onun kenarlarının orta noktalarıdır. KLMN dörtgeninin H alanını ABCD karesinin alanıyla karşılaştırınız.

G M

N

A

C F

K E

L B

4. İki eşkenar üçgenin çevreleri eşit ise, onların alanları da eşit olmalı mıdır?

9. Kareli filede, kapalı eğri çizgiyle sınırlanan 5. İki dikdörtgenin çevreleri eşit ise, onların alanları da daima eşit midir?

bir şekil çizilmiştir. Alan ölçü birimi, filedeki bir karecik olmak üzere, eğri çizgiyle sınırlanan şeklin alanı P yi en isabetli olacak şekilde yuvarlayarak belirtmeye çalışınız.

6. Şu önermelerden hangileri doğrudur: a) Eş şekiller, eş alanlı şekillerdir. b) Eş alanlı şekiller birbiriyle eştir. c) Eşkenar üçgenler eş şekillerdir. d) Kenarları eşit uzunlukta olan eşkenar üçgenler, eş alanlı şekillerdir. e) Karşılıklı köşegenleri eşit olan iki kare eş alanlı şekillerdir.

P alanı için isabetli bir değer (yuvarlak bir değer) bulmak için, öyle iki sayı m ve n bulunması gerekir ki, mE ≤ P ≤ nE olsun.

Çokgenin Alaný

1 cm2

137

13

DİKDÖRTGEN VE KARENİN ALANI

Hatırlayınız !

Şekildeki ABCD dikdörtgeninin AB tabanı ve BC yüksekliği tam sayılarla ifade edilmiştir:

A 1.

C Bir kenarı bir birim D uzunlukta olan karenin belirttiği yüzeye birim kare denir. Yandaki dikdörtgeni kaplamak A B (örtmek) için gereken birim karelerin sayısına, dikdörtgenin alanı denir.

AB = 7 cm, BC= 4 cm. C

D 4 3 2

ABCD dikdörtgeninin kenarlarından herhangi biri onun tabanı (eni) sayılabilir; bu durumda onun herhangi komşu kenarı dikdörtgenin yüksekliğidir (boyudur).

1

A 1 2 3 4 5 6 7B Tabanıyla sınırlanan birinci satırda, kenarı 1 cm olan kareciklerden kaç tane vardır ve tabanı kaç cm dir ? Dikdörtgeni örten karecikler kaç tanedir? Dikdörtgenin alanı kaç cm2 dir.

Karecikleri sayarak dikdörtgenin alanı 28 cm2 olduğunu her halde gördünüz. Halbuki, dikdörtgeni örten kareciklerin sayısını, saymadan belirtebilir misiniz?

Tabanını yüksekliğiyle çarpmakla 7 ⋅ 4 = 28 elde edilir.

Demek ki, ABCD dikdörtgeninin alanı, tabanı (eni) ve yüksekliğinin (boyunun) çarpımına eşittir. Tabanı 15 dm ve yüksekliği 6 dm olan dikdörtgenin alanını dm2 olarak hesaplayınız.

2.

B

Hatırlayınız: Alanın temel ölçü birimi metre karedir (m2). Metre kare, kenarı 1m olan karenin alanıdır. 1 m2 den büyük ölçü birimleri: ar =

1 dam2

⋅ 100

ha =

1 hm2

⋅ 10 000

1 km2

⋅ 1 000 000

1 dm2 de kaç cm2 vardır?

138

1 m2 den küçük ölçü birimleri:

1 m2

8 cm2 de kaç mm2 vardır?

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

: 100

1 dm2

: 10 000

1 cm2

: 1 000 000

1 mm2

25 cm2 de kaç dm2 vardır?

3.

Tabanı ve yüksekliği AB = 7,5 cm ve BC = 4,3 cm ondalık sayılarıyla verilmiş olan ABCD dikdörtgeninin alanını hesaplayınız.

D

C

4,3 cm

Uzunlukların ölçü birimi 1 mm olarak seçilirse, AB ve BC kenarları hangi doğal sayılarla ifade edilir?

7,5 cm

A

B

AB = 75 mm, BC= 43 mm olduğunu görüyorsunuz. Dikdörtgenin alanını mm2 ile ifade ediniz. Elde edilen sayıyı (P = 75 ⋅ 43 = 3 225; P = 3 225 mm2) cm2 ile ifade ediniz ve bunu tabanın ve yüksekliğinin çarpımıyla 7,5 ⋅ 4,3 karşılaştırınız. 7,5 ⋅ 4,3 nasıl sonuca varabilirsiniz? Dikdörtgenin alanı, kenarlar ondalık sayılarla da verildiği durumda, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Genel olarak da geçerlidir Dikdörtgenin alanı, tabanı ve yüksekliğinin çarpımına eşittir.

h a

P=a⋅h P - alan;

a - taban;

h - yükseklik

Özel durumda, a = h ise, dikdörtgen kare olur ve alanı P = a ⋅ h = a ⋅ a = a2 olur. Karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.

a

P = a2 a P = a ⋅ h formülü, taban ve yükseklik herhangi reel sayıyla ifade edildiği durumda da geçerlidir. "taban uzunluğu" yerine daha kısa olarak, sadece "taban" denilir. Benzer şekilde "yükseklik", "köşegen" v.b.

4.

Tabanı 12,4 dm ve yüksekliği 7,05 olan, dikdörtgenin alanını hesaplayınız.

5.

Kenarı a = 3,4 cm olan karenin alanını hesaplayınız.

Çokgenin Alaný

139

Unutmayınız ! Hipotenüsü c ve katetleri a, b olan dik üçgen için şu eşitlik (Pitagor teoremi) geçerlidir: c2 = a2 + b2

C

6.

B

Tabanı a = 12 cm ve köşegeni d = 13 cm olan dikdörtgenin alanını hesaplayınız.

c

a

Hatırlayamıyorsanız, aşağıdakileri izleyiniz. b

C

A

Şekildeki ABCD dikdörtgenini inceleyiniz. Hipotenüsü d ve kateti a bilinen, h kateti ise bilinmeyen olan ABC dik üçgenini görünüz.

a = 5, b = 12 ise c ne kadardır? c = 10, b = 6 ise a ne kadardır? a = b = 1 ise c ne kadardır?

D

C

h katetini d ve a ile ifade ediniz.

d

h için elde edilen değeri (h = G D = = = = 12) , P = a ⋅ h formülünde değiştiriniz.

A

B

a N

Köşegeni d = 6 cm olan karenin P alanını hesaplayınız.

7.

h

M d

a

Çözümünüzü verilenle karşılaştırınız: a2 alanı, d köşegeniyle ifade edilmelidir. KLM dik üçgeninde, Pitagor teoremi gereğince :

K

a

L

2 2 d 2 = a2 + a2; d2 = 2a2; a2 = d elde edilir. Demek ki, P = a2 yerine P = d yazabilirsiniz.

2

2

2 2 P = d ; P = 6 ; P = 36 ; P = 18 cm2 bulunur.

2

2

2

Genel olarak da geçerlidir: Köşegeni d olan karenin alanı şu formülle hesaplanabilir: 2

P=d .

2

Bilmeniz gereken: Dikdörtgen ve karenin alanını uygun formülle hesaplamalısınız ve uygun ölçü birimiyle ifade etmelisiniz; Ödevlerde alan hesaplanırken, dikdörtgenin ve karenin özelliklerinden yararlanmayı bilmelisiniz.

140

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

Kendinizi yoklayınız ! Bir dikdörtgenin alanı 72 dm2 , yüksekliği ise 60 cm dir. Tabanı ne kadardır? Bir karenin çevresi 10 dm dir. Onun alanı ne kadardır? Bir karenin alanı 18 dm2 dir. Köşegeni ne kadardır?

Ödevler 1. Kenarları verilmiş olan dikdörtgenin alanını hesaplayınız: a) 24 cm, 36 cm;

b) 7,8 dm; 4,5 dm;

c) 3 1 cm; 8 1 cm.

4

3

2. Boyutları 63 cm ve 28 cm olan bir dikdörtgenle eş alanlı olan karenin çevresini hesaplayınız.

3. Yandaki şekilde, dikdörtgen biçiminde olan çerçevenin alanı-nı 42 belirtiniz. Boyutlar cm lerle verilmiştir.

4.

7. Kenarları a ve b (cm) ; b > 1 (cm) olan bir dikdörtgenin a kenarı 1 (cm) artar ve b kenarı 1 (cm) azalırsa alanı nasıl değişir?

8. Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları %10 artarsa, alanı yüzde kaç artacaktır?

9. Bir karenin alanı 2,25 defa artması için, kenarı kaç defa artmalıdır ?

30

46

10. Bir dikdörtgenin alanı 168 cm2 ve bir kenarı 56

Verilene göre karenin alanını hesaplayınız: a) kenarı 5,3 cm; b) köşegeni 6,4 dm.

5. Bir dikdörtgenin: a) tabanı 3 defa, yüksekliği ise 4 defa artarsa; b) tabanı ve yüksekliği 2 defa azalırsa; c) tabanı 4 defa artar, yüksekliği ise 4 defa azalırsa; d) tabanı 3 defa artar, yüksekliği aynı kalırsa alanı nasıl değişecektir?

24 cm dir. Köşegenini hesaplayınız.

11. Bir karenin köşegeni 4 2 cm dir. a) alanını; b) çevresini hesaplayınız.

12. Kenarlarının ölçü sayısı doğal sayılar olan

bir dikdörtgenin çevresi 12 cm dir. a) Böyle kaç dikdörtgen vardır? Onların alanını hesaplayınız. b) Onlardan hangisinin alanı en büyüktür?

13. Bir odanın uzunluğu 4,2 m, genişliği ise 6. Karenin kenarı: a) 2 defa artarsa; b) 3 defa azalırsa; c) 1,5 defa artarsa; d) % 50 artarsa; e) % 50 azalırsa; f) % 60 azalırsa alanı nasıl değişecektir?

5,4 m dir. Odanın iki penceresi vardır ve boyutları: genişlik 1,2 m ve yükseklik 1,6 m dir. Bir odanın aydınlığı memnun edici olması için, pencerelerin P1 alanı, odanın döşemesinin P alanının %20 si olmalıdır. Odanın aydınlığı memnun edici midir?

Çokgenin Alaný

141

14

PARALELKENARIN ALANI

Hatırlayınız !

A

Paralelkenarın herhangi bir kenarına, paralelkenarın tabanı denilebilir.

1.

Paralelkenarın C ve D köşelerinden AB tabanına (aşağıdaki şekil) yükseklikler çizilmiştir. D

C

Şekildeki ABCD dörtgeni paralelkenardır, DD1 ve CC1 doğru parçaları AB tabanına diktirler. D

A

D1

C

B

C1

A

B

F

G

ΔAFD ve ΔBGC üçgenlerini inceleyiniz ve bunlar eş olup olmadıklarını düşününüz. Şunu farkedebilirsiniz:

DD1 ve CC1 doğru parçaları birbirine göre nasıldır?

AD = BC , BDAF = BCBG ve BADF = BBCG (paralelkenarlı açılar).

DD1, CC1 doğru parçaları (onların uzunlukları) ABCD paralelkenarının nesidir?

ΔAFD ≅ ΔBGC (AKA kuralına göre).

BDAD1 ve BCBC1 birbirine göre nasıldır? Aşağıdaki şıklarda ABCD paralelkenarı nasıl adlandırılır: a) AB = AD ? b) BA = 90o? c) AB ≠ AD ve BA dar açıdır?

FGCD dörtgeni dikdörtgendir. neden AB = FG olduğunu açıklayınız. ABCD paralelkenarı ve FGCD dikdörtgeni eş alanlı şekiller midir? Niçin?

Evet, çünkü onlar FBCD yamuğu ve birer üçgenden meydana gelmiştirler ve bu üçgenler birbiriyle eştir. O halde şunu görebilirsiniz: ABCD paralelkenarının alanı, FBCD dikdörtgenin alanına eşittir. Demek ki, P = FG ⋅ FD = AB ⋅ FD bulunur.

Genel olarak da geçerlidir: D Tabanı AB = a ve yüksekliği DF = h olan paralelkenarın alanı, tabanın ve ona karşılık gelen yüksekliğinin çarpımına eşittir. P = a ⋅ h.

142

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

C

h A

F

a

B

2.

Tabanı a = 6,2 cm ve ona karşılık gelen yüksekliği h = 4,5 cm olan paralelkenarın alanını hesaplayınız. P = a ⋅ h; P = 6,2 ⋅ 4,5; P = 27,9 cm2.

3.

Kenarları a = 8 cm , b = 6 cm ve a kenarına karşılık gelen yüksekliği 3 cm verilmiş olan dörtgenin b kenarına karşılık gelen yüksekliği ne kadardır?

4.

Bir eşkenar dörtgenin kenarı 12,5 cm ve alanı 40 cm2 dir. Eşkenar dörtgenin yüksekliğini hesaplayınız.

5.

Bir paralelkenarın büyük kenarı 41 cm, küçük kenara karşılık gelen yüksekliği 40 cm ve küçük köşegeni 50 cm verilmiştir. Paralelkenarın alanını hesaplayınız. D

Bu durumda paralelkenarın alanını hesaplamak için, Pitagor teoreminin uygulanması kaçınılmazdır. Yanda görülen şekil gibi defterinizde şekli çiziniz ve P = AB ⋅ 40 cm2

50

41

olduğunu gösteriniz. AV kenarını belirtmek için AFD ve BFD dik üç-

C

40

genleri inceleyiniz ve ondan sonra: AF, FB, AB = AF + FB büyüklüklerini hesaplayınız.

B 6.

A

Şekilde ABCD eşkenar dörtgeni çizilmiş, ondan sonra kenarları köşegenlere paralel olmak üzere KLMN dörtgeni çizilmiştir. Bu şekilden yararlanarak, köşegenleri d1 ve d2 verilmiş olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplamak için bir formül bulmaya çalışınız.

B

F

N

D

M

d1

A

C

d2 K

B

L

Şekli inceleyiniz ve şu soruları cevaplamaya çalışınız: Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine göre nasıldır? KLMN dörtgeni nasıl dörtgendir? KLMN dörtgeninin alanını d1 ve d2 ile ifade edebilir misiniz? KLMN dörtgeninin alanı, eşkenar dörtgenin alanından kaç defa daha büyüktür? Yukarıdaki soruları doğru cevaplamışsanız şu sonuca varabilirsiniz: Köşegenleri d1 ve d2 olan eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir, yani P = 1 d1 ⋅ d2

d1

d2

2

Çokgenin Alaný

143

Köşegenleri d1 = 6 dm ve d2 = 45 cm verilmiş olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız.

7.

P = 1 ⋅ 60 ⋅ 45 = 1 350;

2

P = 13,5 dm2.

Bilinmesi gereken: Paralelkenarın ve eşkenar dörtgenin alanını formül kullanarak hesaplamalısınız; Paralelkenarın ve eşkenar dörtgenin alanı için belirtilen formüllerin doğruluğunu açıklamalısınız; Eşkenar dörtgenin ve paralelkenarın özelliklerinden yararlanarak, daha bileşik ödevleri de çözmelisiniz.

Kendinizi yoklayınız ! Tabanı 12cm ve yüksekliği 7cm olan paralelkenarın alanını hesaplayınız. Yüksekliği h = 8 cm ve alanı P = 96 cm2 olan eşkenar dörtgenin kenarı ne kadardır? Bir köşegeni d1 = 9 dm ve alanı P = 27 dm2 olan eşkenar dörtgenin diğer köşegeni ne kadardır?

Ödevler 1. Paralelkenar biçiminde madeni bir plakın bir kenarı 25,8 cm ve o kenara karşılık gelen yüksekliği 8,4 cm dir. Alanını hesaplayınız.

2. Köşegenleri 18 cm ve 3 cm olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız.

3. Kenarları 12,5 dm ve 32,5 cm ve küçük kenara karşılık gelen yüksekliği 10 cm olan paralelkenarın alanını hesaplayınız.

4. Bir paralelkenarın kenarları 9 cm ve 12 cm

8. Paralelkenarın alanı, tabanı ve bir köşegeninin çarpımına eşit olabilir mi?

9. Bir paralelkenarın alanı 144cm 2 dir. Köşegenlerinin kesişim noktası kenarlarından sırasıyla 3 cm ve 4 cm uzaklıktadır. Paralelkenarın çevresini hesaplayınız.

10. a) Verilen bir eşkenar dörtgeni üç parçaya

dir. Yüksekliklerinden büyüğü 8 cm olduğuna göre alanını hesaplayınız.

nasıl ayırmalıyız ki, eşkenar dörtgenin köşegenlerinden biri kenar olmak üzere parçalardan dikdörtgen elde edilsin?

5. Kenarları 6 cm ve 8 cm olan ve dar açısı

b) Bundan yararlanarak, eşkenar dörtgenin alanını köşegenleriyle ifade eden bir formül belirtiniz.

30o verilmiş olan paralelkenarın alanını hesaplayınız.

6. Kenarı 8,4 dm ve geniş açısı 150o olan eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız.

7. Şekildeki dörtgen paralelkenardır. Gereken ölçmeleri yapınız ve onun alanını hesaplayınız.

144

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

11. Bir paralelkenarın küçük kenarı 13 cm, büyük kenara karşılık gelen yüksekliği 12 cm ve küçük köşegeni 15 cm dir. Paralelkenarın alanını hesaplayınız.

Deneyiniz ... D

C

B E

F

12. ABCD paralelkenarının D ve C köşelerinden AB kenarına çizilen yüksekliklerinin dikme ayakları sırasıyla E ve F noktaları, AB kenarının uzantısında bulunuyorlar (şekilde olduğu gibi) Şekildeki ABCD paralelkenarın PABCD alanı, EFCD dikdörtgeninin PEFCD alanına eşit ve PABCD = AB ⋅ DE olduğunu gösteriniz.

A

Yardım: PABCD + PBFC = PEFCD + PAED;

15

ΔAED ≅ ΔBFC, Buna göre PABCD = PEFCD; AB = EF dir.

ÜÇGENİN ALANI

Hatırlayınız !

A 1.

Şekildeki ABC üçgeninin her kenarı taban olarak alınabilir. AD doğru parçası (ve AD = h uzunluğu), BC tabanına karşılık gelen yüksekliktir.

Şekildeki ABCD paralelkenarının tabanı a = 9 cm ve yüksekliği h = 4 cm verilmiştir. A

D 4 cm

F

A h B

D

K h

C

G

B

9 cm

C

Onun alanını hesaplayınız. a

H

FGHK paralelkenarını inceleyiniz. a taban ve h yükseklik olduğuna göre paralelkenarın alanı ne kadardır? ΔFGH ve ΔHKF birbirine göre nasıldır?

ΔABC ≅ ΔCDA olduğunu görünüz. Bu üçgenlerin alanları birbirine göre nasıldır? ΔABC nin alanı ne kadardır? Niçin? Onun alanı, paralelkenarın alanından kaç defa küçüktür? A

2.

şekilde tabanı a ve yüksekliği h olan ABC üçgeni verilmiştir.

h B

a

C

Çokgenin Alaný

145

P = 1 a ⋅ h.

ABC üçgeninin alanı şu formülle hesaplanır:

2

Bu formülü ispatlamaya çalışınız:

A

D

Ödev 1' i çözerken şekilde olduğu gibi ABCD paralelkenarından yararlandık. Bu, üçgenin alanını hesaplamak için istenilen formülü belirtmek için size bir yol gösterebilir mi?

h a

B

C

hatırlayamazssanız, şu açıklamayı izleyiniz: ΔABC ve ΔCDA birbirine göre nasıldır?

ΔABC ≅ ΔCDA (Zo{to?)

ABCD paralelkenarının alanı, ne kadardır?

PABCD = a ⋅ h

ABC üçgeninin alanı ve ABCD paralelkenarının alanı arasında, nasıl bağıntı vardır?

PABC = 1 PABCD = 1 a ⋅ h

2

2

Buna göre: ABC üçgeninin alanı, P = PABC = 1 a ⋅ h olur. Bunun ispatlanması gerekiyordu.

2

3.

Tabanı a = 8 cm ve yüksekliği ha = 9 cm verilmiş olan üçgenin alanını hesaplayınız. P = 1 a ha = 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36; P = 36 cm2.

2

A

2

b

Tabanı b ve hb yüksekliği verilmiş olan üçgenin alan formülü nasıl ifade edilebilir?

4.

Tespit ediniz ve unutmayınız

hb B

C

ABC üçgeninin her kenarı taban alınabildiğine göre, onun alanı için aşağıdakiler doğrudur: P = 1 a ha = 1 b hb = 1 c hc ,

2

2

2

Demek ki, üçgenin alanı, bir tabanı ve o tabana karşılık gelen yüksekliğinin yarı çarpımına eşittir.

5.

A

Şekilde, katetleri a ve b olan bir dik üçgen verilmiştir.

b

a katetine karşılık gelen yükseklik nedir? Onun alanını hesaplamak için formül yazınız.

146

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

B

a

C

Katetleri a = 10 dm ve b = 7 dm olan dik ßçgenin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz. Katetleri a ve b olan dik ßçgenin alanÄą, Ĺ&#x;u formĂźlle hesaplanabilir: P = 1 ab.

2

B 6.

C

TabanĹ a = 10 cm ve yan kenarĹ b = 13 cm olan ikizkenar ßçgenin alanĹnĹ hesaplayĹnĹz.

P = 1 ah formĂźlĂźnĂź kullanmanÄąz için h = CD yĂźksekliÄ&#x;ini nasÄąl

b

2

belirteceksiniz? Ä°kizkenar ßçgenin Ĺ&#x;u ĂśzelliÄ&#x;inden yararlanÄąnÄąz: Tepe noktasÄąndan tabana çizilen yĂźkseklik, tabanÄąn orta dikmesidir. O halde AD = BD dir. Pitagor teoremini uygulayÄąnÄąz:

7.

A

Ăˆ DĂ˜ h2 = b2 - ÉÊ ÙÚ .

a

h

D Ăˆ DĂ˜ h = a - ÉÊ ÙÚ = ;

8.

h=

D ;

P=

a

a

EĹ&#x;kenar ßçgende, Ĺ&#x;u formĂźllerin geçerli olduÄ&#x;unu hatÄąrlayÄąnÄąz:

2

B

a D 2 a

KenarÄą a = 8 cm olan eĹ&#x;kenar ßçgenin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

2

b

h

DK D = ;

P=

K .

KenarlarÄą a = 7 cm, b = 9 cm ve c = 12 cm olan bir ßçgen verilmiĹ&#x;tir. Onun alanÄą ne kadardÄąr? KenarlarÄą a, b ve c verilmiĹ&#x; olan ßçgenin alanÄą Ĺ&#x;u formĂźlle hesaplanabilir: P=

b

a

V š V D V E V F ,

s, ßçgenin kenarlar toplamĹnĹn yarĹsĹdĹr, yani

V

D E F .

c

Bu formßle (antik matematikçi Heron'un adĹna gÜre), Heron formßlß denir.

V 3

= 14; š š š =

š š š =

; P Âť 31,3 cm2.

Çokgenin Alaný

147

Bilinmesi gereken: Verilen tabanla ve ona karşılık gelen yüksekliğiyle verilmiş olan üçgenin alanı nasıl belirtilir; Üçgenin P = 1 ah alan formülünü açıkla2 malısınız; Üçgenin alanıyla ilgili daha bileşik ödevlerin çözümünü.

Kendinizi yoklayınız ! Bir üçgenin alanı 56 cm2 ve bir kenarı 14 cm dir. Bu kenara karşılık gelen yüksekliği ne kadardır? Bir dik üçgenin bir kateti 12 mm ve hipotenüsü 13 mm dir. Alanı ne kadardır?

Ödevler 1. Tabanı a ve ona karşılık gelen yüksekliği h verilmiş olan üçgenin alanını hesaplayınız:

5. Tabanı 18 cm ve yan kenarı 41 cm olan ikizkenar üçgenin alanını hesaplayınız.

a) a = 7 cm, h = 8 cm; b) a = 6 dm, h = 12 cm; c) a = 18,4, h = 13,5.

2. Şu durumlarda üçgenin alanı nasıl değişecektir: a) tabanı üç defa artar, yüksekliği iki defa azalırsa; b) tabanı iki defa ve yüksekliği beş defa azalırsa ?

6. Kenarı

a = 8 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayınız.

7. Üç kenarı verilmiş olan üçgenin alanını hesaplayınız: a) a = 6 cm, b = 8 cm; b) a = 13 dm, c) a = 7 cm,

c = 10 cm;

b = 14 dm; b = 11 cm;

c = 15 dm; c = 12 cm.

8. Hipotenüsü c olan ikizkenar dik üçgenin 3. Bir üçgenin tabanı %50 artar, yüksekliği ise

alanını belirtiniz.

%30 azalırsa, alanı yüzde kaç artacaktır?

Deneyiniz ...

4. Katetleri a ve b olan dik üçgenin alanını hesaplayınız: a) a = 15, b = 9; b) a = 20 ve açılarından biri 45o.

148

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

9. Bir ikizkenar üçgenin tabanına karşılık gelen yüksekliği 30cm ve yan kenarına karşılık gelen yüksekliği 36 cm dir. Alanını hesaplayınız.

16

YAMUK VE DELTOİDİN ALANI

Hatırlayınız !

A 1.

Şekildeki ABCD dörtgeni AB DC olan bir yamuktur.

D

A

Şekilde tabanları 12 cm , 8 cm ve yüksekliği 5 cm olan ikizkenar yamuk verilmiştir. D 8 cm C

C

F

5 cm

B

Yamuğun tabanlarını, yan kenarlarını ve yüksekliğini ifade ediniz: AB = 8 cm, DC = 5 cm, DF= 4 cm olduğuna göre: a) ABD üçgeninin alanını; b) BCD üçgeninin alanını hesaplayınız.

Bunu nasıl yapacağınızı hala kararlaştırmamışsanız, size bir hatırlatma yapalım: "hatırlayınız !" bölümündeki ödevde olduğu gibi yamuğu (bir köşegeniyle),örnek olarak DB ile iki üçgene ayırınız. Bu şekilde:

2

P = 50 cm2 elde edilir.

1 ⋅ 12 ⋅ 5 + 1 ⋅ 8 ⋅ 5 ifadesi 12 + 8 ⋅ 5 2 2 2 biçiminde yazılabildiğini görüyorsunuz. Yamuğun verilen elemanlarıyla hangi işlemler yapılmıştır?

2.

B

Onun alanını belirtiniz.

P = PABD + PBCD = 1 ⋅ 12 ⋅ 5 + 1 ⋅ 8 ⋅ 5 = 50;

2

12 cm

A

Yamuğun alanını hesaplarken, tabanların toplamının yarısı yüksekliği ile çarpılmıştır.

Tabanları a ve b ve yüksekliği h olan yamuk verilmiştir. Onun alanı aşağıdaki formülle hesaplanabileceğini gösteriniz: P = a + b $ h,

2

Yani, yamuğun alanı, tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. D

BD köşegeniyle iki üçgene ayrılmış olan ABCD yamuğunu inceleyiniz.

h

Yamuğun alanı, ABD ve BCD üçgenlerinin PABD ve PBCD alanlarıyla nasıl bağıntıda olduğunu görünüz. a, b ve h parametreleriye PABD ve PBCD alanlarını ifade ediniz ve elde edilen ifadeleri toplayınız.

C

b

A

a

Çokgenin Alaný

B

149

YapÄąlan incelemelerden Ĺ&#x;u sonuca varÄąyoruz. DšK EšK D E š K , elde edilir. Bu ise aranÄąlan formĂźldĂźr. P = PABD + PBCD = + =

3.

TabanlarÄą 5 dm ve 4 dm ve yĂźksekliÄ&#x;i 25 cm olan yamuÄ&#x;un alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

4.

Yandaki Ĺ&#x;ekilde verilmiĹ&#x; olan ABCD dĂśrtgeni dik yamuktur. Gereken Ăślçmeleri (mĂźmkĂźn olduÄ&#x;u kadar isabetli ĂślçßnĂźz) yaptÄąktan sonra alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz. YamuÄ&#x;un yĂźksekliÄ&#x;i hangi doÄ&#x;ru parçasÄądÄąr ?

5.

C

D

B

A

TabanlarÄą a = 48 cm, b = 30 cm ve yan kenarÄą 41 cm olan ikizkenar yamuÄ&#x;un alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.: D 30 C Kendiniz bulmaya çalÄąĹ&#x;ÄąnÄąz. Ondan sonra da tavsiyeleri izleyiniz. Ĺžekilde olduÄ&#x;u gibi, ABCD ikizkenar ßçgenini çiziniz:

41

h yĂźksekliÄ&#x;ini belirtmek için, Ăśnce x = $) doÄ&#x;ru parçasÄąnÄą belirtmelisiniz.

D E = = 9. olur. $) = *% = x, olduÄ&#x;una gĂśre, x =

h x

A

F

G

B

48

Ondan sonra h yĂźksekliÄ&#x;ini belirtmek için Pitagor teoremini uygulayÄąnÄąz.

B 6.

HatÄąrlayÄąnÄąz ! Ĺ&#x;ekildeki ABCD dĂśrtgeni deltoit dir ( $% = $' ).

KĂśĹ&#x;egenleri $& = 14 cm, %' = 8 cm olan ABCD deltoidinin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

D A

S

B C A

B Hangi kenarlar birbirine eĹ&#x;ittir?

D

Onun kĂśĹ&#x;egenleri birbirine gĂśre nasÄąldÄąr? ΔABC ve ΔADC birbirine gĂśre nasÄąldÄąr? $& = 10 cm ve %' = 6 cm ise, a) ΔACD; b) ΔABC ßçgeninin alanÄą ne kadar-dÄąr?

150

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

C

Ă–nce PABC alanÄąnÄą, ondan sonra PADC alanÄąnÄą ve sonunda P = P ABC + PADC alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

7.

KĂśĹ&#x;egenleri d1 ve d2 yardÄąmÄąyla deltoidin alanÄąnÄą hesaplamak için formĂźl bulunuz.

Düşününüz,ondan sonra yandaki şekilde verilmiş olan deltoidi inceleyiniz ve açıklamayı izleyiniz. ΔABC ≅ ΔADC;

F F F

C

6% = 6' = d2;

D d2 d1

S B

PABC = PADC = × $& × 6' = d1 × d2 = dd. 1 2 P = PABCD = PABC + PADC =

A

d1d2 + d1d2 = dd. 1 2

İnceleyiniz ve unutmayınız: Deltoidin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Yani d2 d1

8.

P P= =

G ¹ G . .

Aynı formülle, köşegenleri d1 ve d2 birbirine dik olan her dörtgenin alanı hesaplanabilir.

Verilen bir deltoidin alanı 90 dm2 ve bir köşegeni 15 dm dir. Diğer köşegeni ne kadardır?

Bilinmesi gereken: Yamuk ve deltoidin alanı nasıl hesaplanır.

Kendinizi yoklayınız ! Tabanları a = 9 dm ve b = 5 dm ve yüksekliği 8 cm olan yamuğun alanını hesaplayınız. Bir deltoidin alanı 90 cm2 ve bir köşegeni 20 cm dir. Bunun diğer köşegeni ne kadardır?

Ödevler 1. Bir yamuğun tabanları 8 cm ve 4 cm, alanı ise 42 cm2 dir. Yüksekliğini hesaplayınız.

2. Bir yamuğun alanı 150 cm2 , tabanlarından biri 11 cm ve yüksekliği 10 cm dir. İkinci tabanı ne kadardır?

3. Alanı 180 cm2 ve yüksekliği 12 cm olan yamuğun orta tabanının uzunluğunu hesaplayınız.

4. Küçük tabanı 7 cm, yan kenarları ise 4 cm ve 5 cm olan bir dik yamuğun alanını hesaplayınız.

5. Tabanları 9cm ve 15 cm ve taban açılarından

biri 45o olan ikizkenar yamuğun alanını hesaplayınız.

6. Verilenlere göre ikizkenar yamuğun alanını hesaplayınız: a) tabanları 17cm ve 7cm ve yan kenarı 13cm; b) küçük tabanı 16 cm, yan kenarı 25 cm ve yüksekliği 24 cm.

Çokgenin Alaný

151

D

7. Köşegenleri 15 cm ve 4 cm olan deltoidin alanını hesaplayınız.

S

Kenarları 16 cm ve 20 cm ve açıortay olmayan köşegeni 24 cm olan deltoidin alanını hesaplayınız.

8.

A

10. Şekildeki ABCD yamuğunda, S noktası BC yan kenarının ortasıdır.

17

M

DÜZGÜN ÇOKGENİN ALANI

Hatırlayınız ! Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

A

1.

E

D O

F a

Beşgenin alanı, kendi karakteristik üçgeninin alanından kaç defa büyüktür?

O C

h A

B

A B Altıgen kaç üçgene ayrılmıştır? Bu üçgenlerden, ΔABO gibi her birine altıgenin karakteristik üçgeni denir. Onun yüksekliğine ne denir? Onun OA kenarı nedir? Kenarı a = 4 cm olduğu durumda altıgenin çevresi, ne kadardır?

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

Şekilde düzgün beşgen gösterilmiştir. Kenarı a = 3 cm ve apotemi h = 2 cm verildiğne göre, alanını hesaplayınız.

Şekilde düzgün altıgen ABCDEF gösterilmiştir. Onun O merkezinden her köşesine yarıçapları çizilmiştir.

152

B

a) Şekli inceleyerek, yamuk ve AMD üçgenleri eş alanlı (alanları eşit) olduklarını gösteriniz. b) Üçgenin alanını hesaplamak için kullanılan formülden yararlanarak, yamuğun alanını hesaplamak için formül belirtiniz.

Ta b a n l a r ı 11 c m v e 9 c m v e y a n kenarlarından biri 10 cm olan yamuğun alanını hesaplayınız.

9.

C

Hâlâ bulamamışsanız, verilen açıklamayı izleyiniz. Şekilde yapıldığı gibi, ABCDE beşgeninin her köşesini O merkeziyle birleştiriniz. Beş tane eş üçgen elde edeceksiniz.

D O

E a

C

h A

B

ΔABO karakteristik üçgeninin alanını hesaplayınız.

D¹K

¹ = 3 olduğunu hesaplamışsınız.

Beşgenin her karakteristik üçgeninin alanı 3 cm 2 dir. Beşgenin alanını nasıl hesaplayacaksınız?

Beşgenin alanı, a $ h 2 büyüktür.

den beş defa

P = 5 ⋅ a $ h = 5 ⋅ 3; P = 15 cm2.

2

Bu kural, genel olarak da geçerli olduğunu farkediyorsunuz. Kenar a ve apotemi h verilmiş olan düzgün n-genin alanını elde etmek için, karakteristik üçgeninin a $ h alanı n ile çarpılır.

2

P=n⋅a$h

N

2

2.

Köşeleri K, L, M, N,... noktalarında, kenarı a ve apotemi h olan düzgün bir n- gen verilmiş olsun. Şekilde gösterildiği gibi, onun merkezi O dan köşelerine yarıçapları çizilmiştir.

O

M h

n-genin P alanını kendi çevresi L ile ifade ediniz. K

a

L

Şunu farkediniz: n- gen n eş üçgene ayrılmıştır. Bu üçgenlerin her birini alanı a $ h dir.

2

n-genin alanı, n ⋅ a $ h , yani

2

(n $ a) h dir. 2

na = L olduğuna göre P = 1 Lh elde edilir..

2

Genel olarak da geçerlidir: Düzgün çokgenin alanı, çevresi ve apoteminin çarpımının yarısına eşittir.

P = 1 Lh.

2

3.

Kenarı 3,5 dm ve apotemi 0,3 m olan düzgün altıgenin alanını hesaplayınız.

Çokgenin Alaný

153

AlanÄą P = 769 cm2 ve apotemi h = 15,38 cm olan, dĂźzgĂźn ongenin kenarÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

4.

P = 10 Ă—

D š DšK ; 769 = 10 Ă— ; 769 = 76,9 a; a = 10 cm.

O

R 4 cm

KenarÄą 4 cm olan dĂźzgĂźn altÄągenin alanÄą P yi hesaplayÄąnÄąz.

5.

BAOB = 360 : 6 = 60 o

o

olduÄ&#x;unu farkediniz.

a

A

B

ABO karakteristik ßçgeni eĹ&#x;kenar ßçgendir. Niçin? DĂźzgĂźn altÄągenin çevrel çemberinin yarĹçapÄą, kendi kenarÄąna eĹ&#x;it olduÄ&#x;unu farkediniz, yani R = a dir. Karakteristik ßçgenin alanÄą:

D formĂźlĂźyle hesaplanÄąr.

DĂźzgĂźn altÄągenin alanÄą : P = 6 Ă— a = 4 cm için, P =

Ă— 42 Ă—

D . olur. ya da

=

Ă— 16 Ă—

Dßzgßn çokgenin alanĹyla ilgili Üdevler çÜzmelisiniz.

2 a

.

= 24 ; P Âť 24 Ă— 1,73; P Âť 41,52 cm2 bulunur.

Bilinmesi gereken: DĂźzgĂźn n- genin alanÄąnÄą, kenarÄą ve apotemi ile ifade etmelisiniz ve tersine.

P=

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! DĂźzgĂźn yedigenin alanÄąnÄą hesaplamak için formĂźl yazÄąnÄąz. Yandaki trafik iĹ&#x;aretini yapmak için ne kadar teneke gerekir (kenarÄą a = 32 cm ve apotemi h = 38,62 cm olan bir dĂźzgĂźn sekizgen)?

STOP

Ă–devler 1. KenarÄą a ve apotemi h olan dĂźzgĂźn n- genin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz:

3. Çevresi 14 dm ve apotemi k olan dßzgßn ongenin alanĹnĹ belirtiniz.

a) n = 3; a = 8 cm; h = 2,31 cm. b) n = 4; a = 6 cm; h = 3 cm. c) n = 5; a = 4 cm; h = 2,74 cm. d) n = 8; a = 16,6 cm; h = 2 dm.

2. AlanÄą P = 61,5 cm ve apotemi 4,1 cm olan 2

dĂźzgĂźn beĹ&#x;genin kenarÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

154

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

4. DĂźzgĂźn ßçgenin (eĹ&#x;kenar ßçgenin) alanÄąnÄą verilenlere gĂśre hesaplayÄąnÄąz: a) kenarÄą 6 cm; b) apotemi 3 cm; c) çevresi 24 cm.

5. Verilenlere gĂśre dĂźzgĂźn altÄągenin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz:

Deneyiniz .... mecburi deÄ&#x;ildir

a) kenarÄą 12 cm;

7. Bir dßzgßn altĹgenin alanĹ, çevresi 36 cm

b) çevrel çemberinin yarĹçapĹ 6 cm;

olan bir eĹ&#x;kenar ßçgeninin alanÄąna eĹ&#x;ittir. DĂźzgĂźn altÄągenin a kenarÄąnÄąn uzunluÄ&#x;unu belirtiniz.

c) apotemi 2 3 cm; d) çevresi 48 cm.

8. Ä°spatlayÄąnÄąz: Bir dĂźzgĂźn altÄągenin ve eĹ&#x;kenar ßçgenin çevreleri eĹ&#x;it ise, ßçgenin alanÄą altÄągenin alanÄąnÄąn sidir.

6. DĂźzgĂźn ongenin çevresi 40 ve alanÄą 40k olduÄ&#x;una gĂśre, apotemini hesaplayÄąnÄąz.

18

ÇOKGENLERİN ALANIYLA İLGİLİ ÖDEVLER

HatĹrlayĹnĹz ! Birçok çokgenin alanĹnĹ hesaplamak için, onlara ait formßllerden yararlanabilirsiniz:

kare, eĹ&#x;kenar dĂśrtgen ve deltoid a

DikdĂśrtgen:

d

d1

d

d2

d1 d2

b

P=aâ‹…b

G P= P=

a

P= P=

G š G

paralelkenar: h

P=aâ‹…h

yamuk: a

ßçgen:

DšK P= P=

PP ==

c

V V D V E V F ,,

b

h

V

D E F

b h a

dĂźzgĂźn n - gen P= P=

a

D E P= h h P=

QšDšK /šK ;P= ;P=

h a

Çokgenin Alaný

155

A 1.

D

Kenarı AB = 120 m ve köşegeni AS = 130 m dikdörtgen şeklinde olan bir tarla (şekilde olduğu gibi) kaç dekardır?

130

%& =

P = 120 ⋅ 50 = 6 000, yani P = 6 000 m2;

m

120 m

A

Alanı hesaplamak için BC kenarının uzunluğunu hesaplamak gerekir. ABC dik üçgeninden BC hesaplanır:

C

B

.

1 da = 1 000 m2, o halde P = 6 da olur.

Dikdörtgen şeklinde bir bahçenin, bir kenarı 65 m ve köşegeni 97 m dir. Bahçenin P alanını hesapladıktan sonra onu:

2.

a) metre karelerle; b) ar ile; c) dekar ile ifade ediniz.

D

Bir eşkenar dörtgenin daha kısa olan köşegeni kenarıyla aynı uzunluktadır. Bunun uzun olan köşegeni 12 cm olduğuna göre, alanını hesaplayınız.

3.

S 6

Şekildeki ABCD eşkenar dörtgenine dikkat ediniz. Orada: DB = AB = a ve AS = 12 cm dir. Eşkenar dörtgenin P alanını, köşegenleriyle ifade ediniz; (ya da ABD ve BCD üçgenlerinin alanları toplamı gibi ifade edebilirsiniz).

C

a

A

B

a kenarının belirtilmesi için , ABS dik üçgeninde, Pitagor teoreminden yararlanınız. Doğru çözmüşseniz,alanı: P = 6 a ; a = 4 3 ; P = 24 3 cm2 elde etmişsiniz. Ödevi, eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için kullanılan formülle çözünüz.

İki kardeş, üçgen biçiminde bir tarlayı, yine üçgen biçiminde iki eşit alanlı parçaya ayırmak istiyorlar. Kardeşlere yardımcı olabilir misiniz?

Neden, ΔADC ve ΔDBC üçgenlerinin alanları eşittir?

5.

A 14

13

0m

120 m

156

Konu 4. Çember ve Çokgen. Alan

B

0m

Yandaki şekilde bir parselin taslağı gösterilmiştir. Parselin alanını hesaplayınız. Dörtgenin alanı P, meydana geldiği iki üçgenin P1 ve P2 alanlarının toplamına eşittir. kenarları verilmiş olan üçgenin alanı hangi formülle hesaplanabilir?

D

150 m

Yardım gerekiyorsa, yandaki şekilde verilen ABC üçgenine bakınız. Burada h yükseklik ve CD kenarortaydır.

h

90 m

4.

C

s1 =

( 90 + 120 + 130) = 170; P1 = š š š  5 215; s2 = ( 130 + 140 + 150) = 210;

P2 = š š š = 8 400; P = P1 + P2  13 615 m2.

Ă–devler 1. Galiçica milli parkÄąnÄąn alanÄą 23 000 ha dÄąr. Bu alan kaç kilomerekaredir?

2. BoyutlarÄą: 140 m ve 180 m dikdĂśrtgen biçiminde bir tarlada mÄąsÄąr ekilmiĹ&#x;tir. Ekimde hektar baĹ&#x;Äąna yaklaĹ&#x;Äąk 115 kg tohum harcanmÄąĹ&#x;tÄąr. TarlanÄąn ekiminde ne kadar tohum harcanmÄąĹ&#x;tÄąr?

9. AĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki Ĺ&#x;ekilde bir parselin taslaÄ&#x;Äą verilmiĹ&#x;tir. Parselin alanÄąnÄą belirtiniz ve ar ile ifade ediniz. Ĺžekilde uzunluklar milimetrelerle verilmiĹ&#x;, her milimetrenin doÄ&#x;adaki aslÄą 1 m dir.

20

3. BoyutlarÄą: 5,1m ve 2,7m olan dikdĂśrtgen biçiminde bir hol, kenarÄą 15 cm kare biçiminde olan fayanslarla dĂśĹ&#x;enecektir. Bu iĹ&#x; için kaç fayans gerekir?

20

30

18

25

25

18

16

4. BoyutlarÄą 250m ve 180m olan dikdĂśrtgen biçiminde bir tarla biber ile ekilidir. Hektar baĹ&#x;Äąna 14,5 ton biber elde edildiÄ&#x;ine gĂśre, bu tarladan ne kadar biber elde edilmiĹ&#x;tir?

10. ABCD yamuÄ&#x;unda kĂśĹ&#x;egenleri çizilmiĹ&#x;tir. ĹžunlarÄą ispatlayÄąnÄąz: D

5. ABCD dikdÜrtgeni biçiminde bir avlunun

C S

alanÄą 2 000 m2, bir kenarÄą ise AB = 80 m dir. AD kenarÄąna paralel bir doÄ&#x;ruyla avludan 750 m2 kÄąsÄąm ayrÄąlmalÄądÄąr. Bunu nasÄąl yapa-bilirsiniz.

B

A

6. KĂśĹ&#x;egeni 5 cm olan bir kareyi çiziniz. Ondan sonra verilenden iki defa daha kßçßk alanlÄą kareyi çiziniz.

7. Bir çember etrafÄąnda dÄąĹ&#x;tan teÄ&#x;et ve içinde

kĂśĹ&#x;eleri çember Ăźzerinde olmak Ăźzere birer kare çizilmiĹ&#x;tir. DÄąĹ&#x;tan teÄ&#x;et karenin alanÄą kaç defa daha bĂźyĂźktĂźr ? 8. KenarlarÄą 13, 84, 85 olan ßçgenin en bĂźyĂźk yĂźksekliÄ&#x;ini hesaplayÄąnÄąz.

a) ΔABD nin alanÄą ΔABC ile eĹ&#x;alanlÄądÄąr; b) ΔACD nin alanÄą ΔBDC ile eĹ&#x;alanlÄądÄąr; c) ΔASD nin alanÄą ΔBSC ile eĹ&#x;alanlÄądÄąr. a) Ăœçgenlerin AB ortak tabanlarÄą ve eĹ&#x;it yĂźkseklikleri olduÄ&#x;unu gĂśrĂźyorsunuz. O halde PABD = PABC elde edilir. c) için: PASD = PABD - PABS = = PABC - PABS = PBSC elde edilir.

Çokgenin Alaný

157

DAİRENİN ÇEVRESİ VE ALANI

19

DAİRENİN ÇEVRESİ. DAİRE YAYININ UZUNLUĞU

Hatırlayınız !

A

Şekilde kenarı a olan kare ve kenarı olan altıgen gösterilmiştir.

a

a

1.

Şekilde merkezi O noktası ve yarıçapı r olan çember verilmiştir. AB doğru parçası çemberin nesidir? Onu ölçünüz ve ile A karşılaştırınız.

r O

k B

Çember ve onun iç bölgesinden oluşan şekle ne denir?

Bu şekillerin her birinin çevresini hesaplamak için formül yazınız. Karenin kenarlarını ölçünüz ve L ( lerle) çevresini hesaplayınız.

Daire, çemberle sınırlı düzlemin bir parçası olduğuna göre, çemberin uzunluğuna, genellikle çemberin çevresi denir.

Bir O noktasını işaret ediniz ve pergelin bir açıklığyla O merkezli bir daire çiziniz. a) dairenin yarıçapını; b) dairenin çapını ölçünüz.

2.

Düşününüz:Dairenin uzunluğunu yani çevresini, nasıl ölçecek ya da hesaplayacaksınız. Bu ödev, karenin ya da altıgenin çevresini hesaplama ödevinden daha zor olduğu açıktır. İlerdeki ödevi çözerken cevabı göreceksiniz.

3.

158

Dairesel şekiller, çeşitli nesnelerde bulunur (örnek: kova, bardak, madeni paralar v.b.)

Konu 3. >ember ve >okgen . Alan

Şekilde, dairesel ağzı olan bir saksı gösterilmiştir. Saksının ağzını daire sayacağız.

k r

r

L - dairenin çevresi ve 2r - dairenin çapı olmak üzere, L : 2r bölümünü hesaplamak için, hangi ölçmelerin yapılması gerekir? Şekli inceleyiniz ve yapılan işlemleri izleyiniz. İplik (ya da bant) ve metre ile k çemberinin (L) uzunluğunu ölçüyoruz. Çapın uzunluğunu (2r), metre ile ölçüyoruz. L : 2r bölümünü hesaplayacağız (3 sayısından biraz büyük olan sayı elde edilecektir).

4.

Üç (ya da daha çok) daire modeli bulunuz. Gereken ölçmeleri yapınız ve yanda gösterildiği gibi defterinizde bir tablo çiziniz ve doldurunuz. L : 2r bölümleri için, ölçmelerin isabetine bağlı olarak, her halde 3; 3,1; 3,14; vb. sayıları elde etmişsiniz.

2⋅r L L : 2r

Bu problemle uğraşan matematikçiler şu sonuca varmıştırlar: Herhangi dairede L çevresinin ve 2r çapının bölümü sabit sayıdır. Bu sayı irasyoneldir ve yaklaşık değeri: 3,14159... dir. π harfıyla işaret edilir ("pi" diye okunur). Demek ki her daire için :

L : 2r = π, yani L = 2rπ geçerlidir.

Unutmayınız ! Dairenin alanı çapının π sayısıyla çarpımına eşittir..

π ≈ 3,14

L = 2rπ Pratik hesaplamalarda genellikle yaklaşık olarak π ≈ 3,14 alınır. Eski Yunan matematikçisi Arhimet π sayısı için

değerini kullanmıştır.

Da'ren'n >evres' ve Alani

159

a) yarĹçapĹ 4 cm;

5.

b) çapĹ 10 cm olan dairenin çevresini hesaplayĹnĹz.

a) L = 2 â‹… r â‹… Ď€ = 2 â‹… 4 â‹… Ď€ ≈ 8 â‹… 3,14; L ≈ 25,12 cm.

b) L = 2 â‹… r â‹… Ď€ = 10 â‹… Ď€ ≈ 10 â‹… 3,14; L ≈ 31,4 cm.

Bir dairenin çevresi 25,12 cm dir. Onun yarĹçapĹ ne kadardĹr?

6.

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź, verilenle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz. / / LL = =2 2Ă— râ‹… Ă—r p; cm. â‹… Ď€; 2r2r= = ; ; r =r = ; ; r Âťr ≈ = =4;4; r Âťr ≈4 4cm. S S

Ĺžekilde, kendi merkez açĹlarÄąyla ve onlara karĹ&#x;ÄąlÄąk gelen çember yaylarÄąyla r = 2 cm yarĹçaplÄą ßç çember gĂśsterilmiĹ&#x;tir. B

r = 2 cm

P

A

r=

O

, ve çember yaylarÄąnÄąn uzunluÄ&#x;unu hesaplayÄąnÄąz.

8.

E

m

, ve yaylarÄą çemberin uzunluÄ&#x;unun hangi kÄąsmÄądÄąr?

2c

B 7.

60

o

C

r = 2 cm Q 180o

F

D

YarĹçapÄą r ve merkez açĹsÄą Îą olan çember yayÄąnÄąn 6 uzunluÄ&#x;unu nasÄąl hesaplayacaksÄąnÄąz? 6

Ĺžekli inceleyiniz ve yapÄąlanlarÄą izleyiniz. Çember 360 eĹ&#x;it parçaya ayrÄąlmÄąĹ&#x; olduÄ&#x;unu dĂźĹ&#x;ĂźnĂźnĂźz - 1o merkez açĹlÄą yaylar. Merkez açĹsÄą 1o olan çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u 61 çemberin uzunluÄ&#x;undan 360 defa kßçßktĂźr, yani 61 =

ya da 61 =

r Îą

O

1o

61

dir.

Çember yayÄąna Îą merkez açĹsÄą karĹ&#x;ÄąlÄąk geliyorsa, onun uzunluÄ&#x;u 61 den Îą defa bĂźyĂźk olacaktÄąr.,yani US 6= Ă— a. olur.

UnutmayÄąnÄąz !

Çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u Ĺ&#x;u formĂźlle hesaplanÄąr .

160

Konu 3. >ember ve >okgen . Alan

USD 66 = = .

YarĹçapÄą r = 12 olan bir çemberde, merkez açĹsÄą verilmiĹ&#x; olan çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;unu b) Îą = 30o 45'. hesaplayÄąnÄąz: a) Îą = 30o;

9.

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź verilenle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnz. a) 61 =

= 2Ď€; 61 = 2Ď€ cm ya da 61 ≈ 6,28 .

=

b) Ă–nce Îą = 30o 45' açĹsÄąnÄą derecelere dĂśnĂźĹ&#x;tĂźrmelisiniz; 45' = 6=

10.

= 2,05Ď€; 6 = 2,05Ď€ ya da 6 ≈ 6,437 cm olur.

6=

formĂźlĂźnden yararlanarak aĹ&#x;aÄ&#x;Äądakileri, nasÄąl hesaplayabilirsiniz:

a) Îą ve 6 verildiÄ&#x;inde r yarĹçapÄąnÄą;

b) r ve 6 verildiÄ&#x;inde Îą merkez açĹsÄąnÄą ?

ÇÜzĂźmĂźnĂźzĂź verilen çÜzĂźmle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz. 6 =

F 11.

= 0,75o, yani Îą = 30,75o;

r=

A . SD

F

; rπι = 180 6 elde edilir. O halde:

a=

A . SU

hesaplayÄąnÄąz: a) Merkez açĹsÄą 40o ye karĹ&#x;ÄąlÄąk gelen çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u 6,28 olduÄ&#x;una gĂśre çemberin yarĹçapÄąnÄą belirtiniz. b) r = 6 ve 6 = 7,85 verildiÄ&#x;ine gĂśre, merkez açĹ belirtilsin.

Bilinmesi gereken: Ď€ sayÄąsÄą nedir, açĹklamalÄąsÄąnÄąz; Dairenin çevresini, yarĹçapÄą ve Ď€ sayÄąsÄąyla yazmalÄąsÄąnÄąz; Çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u, merkez açĹ ve yarĹçap bĂźyĂźklĂźklerinden birinin diÄ&#x;er iki bĂźyĂźklĂźkle ifade ediliĹ&#x;ini.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! Verilen bir çemberin çevresinin çapÄąna bĂślĂźmĂź, ne kadardÄąr? Demir çubuÄ&#x;undan 45 cm yarĹçaplÄą bir halka yapmak için, çubuÄ&#x;un uzunluÄ&#x;u ne kadar olmalÄądÄąr? Karenin kenarÄą 4 cm dir. Bunun içten teÄ&#x;et çemberinde iĹ&#x;aretlenen AB yayÄąnÄąn uzuluÄ&#x;unu hesapla-yÄąnÄąz. AMB yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u ne kadardÄąr?

B M

O

Da'ren'n >evres' ve Alani

A

161

Ödevler 1. Yarıçapı verilmiş olan dairenin çevresini hesaplayınız; a) 3 cm;

b) 0,5 dm;

c) 4

9. Bir dairenin çevresi 62,8 cm dir. Yarıçapı verilenden 1 cm küçük olan dairenin çevresi ne kadardır?

cm.

2. Çevresi verilmiş olan dairenin yarıçapını hesaplayınız:

10. Yarıçapı r = 18 cm ve merkez açısı: a) 15o; b) 120o; c) 25o36' olan çember yayının 6 uzunluğunu hesaplayınız.

a) 31,4 cm; b) 18,84 cm; c) 8π cm.

3. İki farklı daire çiziniz, gereken ölçmeleri yapınız ve çevrelerini hesaplayınız.

a) 15o;

b) 120o;

c) 25o36'.

11. Verilenlere göre, merkez açıyı belirtiniz: a) r = 5 cm, 6= 6,28 cm;

4. Verilen tabloyu, defterinize yeniden çiziniz

b) r = 3 cm, 6= 2π cm.

ve doldurunuz.

12. Verilenlere göre çemberin yarıçapını ber cm L cm

3

lirtiniz:

3,14 10π 25,12

π

5. Kenarı 11 cm olan bir karenin: a) içinde içten teğet çemberinin; b) çevrel çemberinin uzunluğunu hesaplayınız.

6. 31,4 dm uzunluğunda bir metal çubuğundan yapılan halkanın çapı ne kadardır ?

a) α = 150o, 6 = 31,4 cm; b) α = 80o, 6 = 18 cm.

13. Bir trenin tekirleğinin çapı 1m dir.

2,5 dakikada tekirlek 500 defa dönüyor. Trenin hareket hızını hesaplayınız.

14. Bir çemberde, kirişin uzunluğu yarıçapına eşittir. Yarıçap 2,5 cm olduğuna göre, ona karşılık gelen yaylardan, küçüğünün uzunluğunu hesaplayınız.

7. Yerkürenin yarıçapı 6370 km olduğunu

15. Ölçüsü 37o30' olan çevre açı, 15,7 cm

sayarak, ekvadorun uzunluğunu (çember olduğunu kabul etmek üzere) hesaplayınız.

uzunluğunda çember yayını görmektedir. Çemberin yarıçapını hesaplayınız.

8. Çevresi 25,12 cm olan bir daire, içten teğet

16. Yarıçapı 12 cm olan bir çemberde, 150o

olarak bir kare içindedir. Karenin çevresini ve alanını hesaplayınız.

162

Konu 3. >ember ve >okgen . Alan

merkez açıya karşılık gelen çember yayından çember yapılıyor. Elde edilen çemberin yarıçapını hesaplayınız.

20

DAİRENİN, DAİRE KESMESİNİN VE DAİRE HALKASININ ALANI

Hatırlayınız !

A 1.

L - çevre uzunluğu ve h- apotem olmak üzere

r

O Dairenin alanını gösteren sayıyı belirtmek için, nasıl bir yöntem (formül) bulabiliriz.

düzgün çokgenin alanı P = 1 Lh formülüyle 2 hesaplanır.

Bu formül nasıl elde edilir?

Düzgün çokgenler için yaptığımız işlemlerin benzerini, burada da uygulayacağız.

Düzgün çokgeni, şekilde görüldüğü gibi üçh genlere ayırınız, ondan sonra çokgenin alanını, bu üçgenlerin alanlarının toplamı gibi

İddiayı ve kaideyi izleyiniz. Daireyi, üçgenlere ayırabilir miyiz?

hesaplayınız. yani P = nah = 1 Lh olur.

2

r yarıçaplı daire verilmiştir.

O

2

Açıktır ki, Bu mümkün değildir. Halbuki, şekilde görüldüğü

h

gibi, çember içinde ikizkenar eş üçgenlere ayrılmış olan düzgün çokgenler çizilebilir. Köşeleri çember üzerinde olan düzgün çokgenin alanı P1 =

L1 h1 formülüyle hesaplanır.

Çokgen içinde, daha çok kenarlı düzgün çokgenin çizildiğini düşününüz (şekijde olduğu gibi). Onun çevresi L2 , apotemi h2 ve alanı P2 olsun. En küçüğünden başlayarak büyüklüklerine göre sıralayınız. a) dairenin çevresini L , L1 ve L2; b) dairenin yarıçapını r , h1 ve h2. Düzgün çokgenlerin kenar sayısı, sonsuza kadar artarsa : sonsuz çok kenarlı çokgenin çevresi, dairenin çevresinden çok az bir miktar için farklaşacaktır. Çokgenin apotemi, dairenin yarıçapına çok yakın olacaktır. Dairenin çevresi L = 2πr olduğuna göre, dairenin alanı için şu sonuca varılır: Dairenin alanı P, şu formülle hesaplanabilir:

P=

=

,

t.e.

P = r2π

Dairenin Çevresi ve Alaný

163

Örnek, yarıçapı r = 3 cm olan dairenin alanı; P = r2 π; P = 32π ≈ 3 ⋅ 3 ⋅ 3,14 = 28,26; P ≈ 28,26 cm2 dir. Tabloyu defterinize çiziniz ve doldurunuz.

2.

r cm

3

P cm

28,26

2

2

10

1 10

11

0,5

2

OA ve OB yarıçaplarıyla ve AB yayıyla sınırlanan daire kısmına daire kesmesi denir (yandaki şekle bakınız).

B

B

AOB = α açısına, daire kesmesinin merkez açısı denir.

O

α A

Yarıçapı 3 cm olan bir dairede, merkez açısı: a) 90o; b) 60o; c) 180o olan daire kesmesi çiziniz.

3.

Merkez açısı 180o olan daire kesmesi, aslında yarım dairedir ve onun alanı dairenin alanının yarısına eşittir. Merkez açısı: a) 90o; b) 60o olan daire kesmesinin alanı, daire alanının hangi kısmıdır? Bu daire kesmelerinin her birinin alanını hesaplayınız. r

yarıçapı r ve merkez açısı α olan daire kesmesinin alanı nasıl hesaplanacağını düşününüz.

4.

α

1o

O

Yandaki şekli inceleyiniz ve dairenin 360 eş daire kesmesine ayrıldığını düşününüz. Bu daire kesmelerinin her birinin merkez açısı 1o dir. Şunu görebilirsiniz: Bu daire kesmelerinden bir tanesinin alanı P1 daire alanının 360 parçasından biridir, yani P1 =

.

Merkez açı α olduğuna göre, daire kesmesinin alanı P1 den α defa büyük olacaktır, yani P = P1 ⋅ α =

⋅ α olur.

Unutmayınız r yarıçaplı çemberde, merkez açısı α olan daire kesmesinin alanı sağdaki formülle hesaplanır:

5. 164

U S P= ×a

r = 3 cm ve α = 40o ile verilmiş olan daire kesmesinin alanını hesaplayınız.

Konu 3. Çember ve Çokgen. Alan

6.

YarĹçapÄą 4 cm olan bir dairede, uzunluÄ&#x;u , = 6,28 cm olan daire kesmesi verilmiĹ&#x;tir. Daire kesmesinin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz.

O r

Çember yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u , = formĂźlĂźyle hesaplandÄąÄ&#x;ÄąnÄą ve daire kesmesinin de alan formĂźlĂźnĂź hatÄąrlayÄąnÄąz: P= P=

7.

= 2 â‹… 6,28 = 12,56; P = 12,56 cm2.

Verilenlere gĂśre daire kesmesinin alanÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz: a) r = 2 cm, , = 3,14 cm;

8.

,

U ˜ U SD U SD U U ˜A U ˜A U SD = = Ă— = ; P= ; ˜

b) r = 3 cm, , =

Merkezleri ortak ve yarĹçaplarĹ r1 = 2 cm ve alanlarĹnĹn farkĹnĹ hesaplayĹnĹz.

cm.

r2 = 4 cm olan iç içe iki çember çiziniz. OnlarĹn B

YarĹçaplarÄą r1 = ve r2 = (r1 < r2) olan ortak merkezli (konsantrik) iki dairenin sÄąnÄąrladÄąÄ&#x;Äą dĂźzlem parçasÄąna daire halkasÄą (daire yĂźzĂźÄ&#x;Ăź) denir (Ĺ&#x;ekilde boyalÄą kÄąsÄąm). Daire halkasÄąnÄąn alanÄą, oluĹ&#x;tuÄ&#x;u dairelerin alanlarÄąnÄąn farkÄąna eĹ&#x;ittir, yani P = U S U S ;

9.

r2 O r 1

A

P = U U S

Dairelerin yarĹçaplarĹ 6 cm ve 5 cm olan daire kesmesinin alanĹnĹ hesaplayĹnĹz.

Bilinmesi gereken: Daire, daire kesmesi ve daire halkasÄąnÄąn alanÄą nasÄąl hesaplanÄąr.

Kendinizi yoklayÄąnÄąz ! Bir karenin kenarÄą 2,5 cm dir. Onun içten teÄ&#x;et çemberinin alanÄą ne kadardÄąr? YarĹçapÄą 6 cm ve yayÄąnÄąn uzunluÄ&#x;u , = 3,14 cm olan daire kesmesinin merkez açĹsÄą ne kadardÄąr?

Dairenin Çevresi ve Alaný

165

Ödevler

10. Merkez açısı 108o olan bir daire kesmesinin

alanı, ait olduğu dairenin alanının yüzde kaçıdır?

1. Verilene göre, dairenin alanını hesaplayınız: a) yarıçapı 8 cm; b) çapı 9 cm; c) çevresi 18,84 cm.

2. Alanı 200,96 cm2 olan, dairenin yarıçapını hesaplayınız.

11.

a) kenarı a = 4 cm olan karenin; b) kenarı 2 cm olan eşkenar üçgenin; c) kenarı 6 cm olan düzgün altıgenin çevrel ve içten teğet çemberlerinden oluşan daire halkasının alanını hesaplayınız.

3. Bir dairenin yarıçapı 10 defa artarsa, alanı kaç defa artacaktır?

4. Birinin yarıçapı 6 cm, diğerinin ise 2 cm olan iki çember birbirine içten değerler. Bu çemberlerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayınız.

5. Bir dik üçgenin katetleri 9 cm ve 12 cm dir. Üçgenin çevrel çemberinin alanını ve çevresini hesaplayınız.

6. Yarıçapları 6 cm ve 8 cm olan iki daire verilmiştir. Alanı: a) verilenlerin alanlarının toplamına; b) verilenlerin alanlarının farkına eşit olan dairenin yarıçapını belirtiniz.

7. Verilenlere göre, daire kesmesini alanını hesaplayınız: a) r = 6 cm ve α = 45o; b) r = 4,8 cm ve α = 80o; c) r = 9 cm ve α = 45o 30'; d) r = 7,8 cm ve , = 10 cm.

Deneyiniz ...

12. Şekilde ABC ikizkenar dik üçgeni verilmiştir. AB hipotenüsü üzerinde çap kabul eden bir yarıçember ve merkezi C noktasında

olan CA yarıçaplı bir yay ç i z i l m i ş t i r. Boyalı şekillerin alanları A eşit olduğunu gösteriniz.

c

B

a

a

C 13. Katetler üzerinde boyalı şekillere Hipokrat yıldızları denilmiştir. Onlar, çapları EFG dik üçgenin kenarları olan yarıçemberlerele sınırlanmıştı. Yıldızların alanlarının toplamı üçgenin alanına eşit olduğunu ispatlayınız.

8. Yarıçapı 10 cm olan bir daire kesmesinin alanı 78,5 cm2 dir. Onun merkez açısını belirtiniz.

G

9. Yarıçapı 6 cm olan bir dairede, merkez açısı

E

166

Konu 3. Çember ve Çokgen. Alan

a

b

70o olan bir daire kesmesi verilmiştir. Onun yay uzunluğunu ve alanını hesplayınız.

c

F

V E R İL E R L E İ Ş L E M L E R

21

BÖLGESEL (DAİRESEL) DİYAGRAM

A

Hatırlayınız ! Yüzdelerle ya da bütünün bir kısmı biçiminde verilmiş olan veriler en sık bögesel diyagramla gösteriliyorlar.

Dikkat ediniz !

1.

Aşağıdaki tabloda, 90 öğrencinin okula nasıl gittiklerini gösteren veriler ile doldurulmuştur.

Yolculuk biçimi

yaya

Öğrenci sayısı

11

Bisiklet otobüs Taksi 33

26

12

Otomobil 8

Bu veriler, bölgesel diyagramla (daire grafiğiyle) gösterilebilir. Daire dilimine ait merkez açı derecelerinin nasıl tespit edildiğini görelim. 360o derece olan tam açıyı, öğrenci sayısına, yani 90 ile böleriz; 360o : 90 = 4o. Bu açı (4o) diyagramda bir öğrenciye karşılık gelir. Okula yaya giden öğrencilere kaç derecelik açı karşılık gelir? 11 öğrenci okula yaya gittiğine göre 11 ⋅ 4o = 44o elde edilir. 44o okula yaya giden öğrencilere karşılık gelir. Yolculuk biçimi

Öğrenci sayısı

Dairesel diyagramdaki açı 11 ⋅ 4

44o

Bisiklet

26

26 ⋅ 4

104o

33

33 ⋅ 4

o

132

Taksi

12

12 ⋅ 4

o

48

Otomobil

8

8⋅4

32o

Toplam

90

90 ⋅ 4

360o

Otobüs

Otomo bil Taksi

48o yaya

Bisiklet o

11

32

Yaya

44o

104o 132o

Otobüs

İşlem sırasını unutmayınız ! Verileri dairesel diyagramla göstermek için şunlar gerekir: 1o Gösterilmesi gereken tüm verilerin toplanması; 2o 360o (tam açının derecesi) elde edilen toplam verilerin sayısıyla bölünmesi; 3o verilerin her birinin elde edilen bölümle çarpılmasıyla, o veriye ait daire diliminin açısı elde edilir.

Verilerle Ýþlemler

167

2.

"Moda" konfeksiyon fabrikasında 1800 çalışanın işbaşı saatlerine ait veriler yandaki tabloda gösterilmiştir. Verileri Dairesel diyagramla gösteriniz. Şunu farkedebilirsiniz: Bir veriye ait diyagramdaki bölge ne kadar büyük ise, bu bölgede gösterilen verinin sayısı o kadar büyüktür. Dairesel diyagramda bir bölgede (daire diliminde) verilerin sayısı ya da verilerin toplam sayısı biliniyorsa, diğer dilimlerde de verilerin sayısı kolay belirtilebilir.

B

İşbaşı saatı

Sayı

Saat 5 ve 6 arası

240

Saat 6 ve 7 arası

180

Saat 7 ve 8 arası

768

Saat 8 ve 9 arası

612

Toplam

1800

Bir okul kütüphanede 720 kitap bulunur. Onlar: lektür,bilimsel , ders kitapları , dergi ve resimler olmak üzere türlerine göre gruplandırılmıştır. Bu veriler aşağıdaki dairesel diyagramla gösterilmiştir. ders

Toplam 720 kitap olduğuna göre, 360 : 720 = 0,5, yani bir kitap için dairede 0,5o daire dilimi karşılık gelir. Ders kitapları diliminin merkez açısı 60o olduğuna göre 60 : 0,5 = 120, demk ki ders kitaplarının sayısı 120 dir.

kita

p.

60o

Lektür

70o

Dergi

3.

40o 80o Bilimsel

Resim

Okul kütüphanesinde kaç tane dergi kitabı, bilimsel kitap ve resimler kitabı olduğunu belirtiniz. Lektür kitaplarının sayısını gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? Kütüphanede kaç tane lektür kitabı vardır?

Ödevler 1. Aşağıdaki tabloda okyanusların nasıl kirlendiğini göstermektedir. 1% = 3,6o Kirletenler

Yüzde

Irmaklardan kirlenme

54%

Havadan kirlenme

33%

Balıkçılıktan kirlenme

12%

Petrol üretiminden

1%

Toplam

100%

Verileri dairesel diyagramla gösteriniz.

168

Konu 3. Çember ve Çokgen

2. Bir spor merkezinde farklı yaşta üyeler kayıtlıdır:

20 yaştan küçük

30 kişi

20 den 29 yaşa kadar

15 kişi

30 den 39 yaşa kadar

29 kişi

40 ten 49 yaşa kadar

14 kişi

50 yaştan büyük

12 kişi

Spor merkezinde kaç üye varmış? Verileri dairesel diyagramla gösteriniz.

3. Yandaki dairesel diyagramda, bir benzin istasyonunda çeĹ&#x;itli yakÄątlarÄąn ne kadar satÄąldÄąÄ&#x;ÄąnÄą gĂśstermektedir. Dizel yakÄąttan 2415 , satÄąlmÄąĹ&#x;tÄąr.

Benzin

230o

Ne kadar kurĹ&#x;unsuz benzin satÄąlmÄąĹ&#x;tÄąr?

105o kur

Ne kadar benzin satÄąlmÄąĹ&#x;tÄąr?

Dizel

Ĺ&#x;u

ns

uz

Toplam ne kadar yakÄąt satÄąlmÄąĹ&#x;tÄąr? Bir turizm acentasÄą, yaz tatili hakkÄąnda veriler toplamak için anket yapmÄąĹ&#x;. Rastgele 720 kiĹ&#x;iye, yaz tatilini nerede geçireceksiniz sorusu sorulmuĹ&#x; ve cevaplar yandaki bĂślgesel (dairesel) diyagramda gĂśsterilmiĹ&#x;tir. Her daire diliminin merkez açĹsÄąnÄą ĂślçßnĂźz;

Evde

an

22

st

iy rk TĂź

Kaç kiĹ&#x;i, yaz tatilini yurt dÄąĹ&#x;Äą geçirmek istemiĹ&#x;tir?

ni

Yaz tatili hakkÄąnda, her yer için kaçar kiĹ&#x;i cevap vermiĹ&#x;tir?

Ohru'da

na Yu

Sorulan bir kiĹ&#x;iye kaç derece karĹ&#x;ÄąlÄąk gelir?

ed e Bulgaristan

4.

b.

ARÄ°TMETÄ°K ORTA. MEDYAN. RANG

HatÄąrlayÄąnÄąz !

A

Resim grubuna ait ĂśÄ&#x;rencilere, "son resminizi kaç saatte yaptÄąnÄąz" sorusu sorulmuĹ&#x;tur OnlarÄąn cevabÄą: 2, 3, 4, 3, 5, 10, 5, 6, 3. Verileri en kßçßÄ&#x;Ăźnden baĹ&#x;layarak bĂźyĂźÄ&#x;e doÄ&#x;ru sÄąralÄąyoruz: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10. En çok rastlanan sayÄą 3 tĂźr. 3 sayÄąsÄą bu verilerin modudur denir. SÄąralanmÄąĹ&#x; dizide 4 sayÄąsÄą, dizinin ortasÄąnda bulunan veridir. 4 sayÄąsÄą bu verilerin medyanÄądÄąr.

= , Âť 4,55, 4,55 deÄ&#x;eri bu verilerin aritme tik ortasÄądÄąr.

1.

Aritmetik orta, medyan ve mod, verilen bir veriler dizisinin "merkezini" açĹklamak için yarayan terimlerdir. Onlara merkeze eÄ&#x;ilim Ăślçßleri denir.

aritmetik ortayÄą ya da ortalama deÄ&#x;eri hesaplamak içi, verilen veriler dizisinin sayÄą deÄ&#x;erlerinin toplamÄą veriler sayÄąsÄąyla bĂślĂźnĂźr. verilen dizinin aritmetik ortalamasÄąnÄą hesaplayÄąnÄąz: a) 8, 11, 14, 8, 9; b) 18, 14, 18, 14, 18, 17; c) 9, 12, 10, 9, 9, 11, 12, 11; d) 21, 46, 29, 27, 42, 34, 25; e) 9, 8, 9, 8, 9, 8.

Verilerle Ă?Ăžlemler

169

2.

Dizideki terimleri en küçüğünden başlayarak büyüğe doğru sıralanmasında, ortada bulunan veriye medyan denir. Ödev 1 de a, b ve d şıklarındaki dizilerde medyanı belirtiniz. Dikkat ediniz: Bir dizide çift sayıda veriler olduğunda, medyanı belirtmek için ortada bulunan iki terimin aritmetik ortası alınır. .

3.

Bir veriler dizisinde, en çok rastlanan veriye mod denir. Bir veriler kümesinde mod olmayabilir, bir ya da birden çok mod olabilir. Ödev 1 de verilmiş olan a, b, c, d, e şıklarındaki dizilerin modunu belirtiniz.

4.

Şu sayılar dizisi verilmiştir: 61, 57, 55, 60 ve 62. Aritmetik ortalamasını ve medyanını belirtiniz. Dizideki 62 sayısını 262 ile değiştiriniz ve elde edilen dizinin aritmetik ortalamasını ve medyanını belirtiniz. Dizideki 55 sayısını 5 ile değiştiriniz ve elde edilen dizinin aritmetik ortalamasını ve medyanını belirtiniz. Her iki durumda elde edilen aritmetik ortalamasını ve medyanını karşılaştırınız. Verinin büyük ya da küçük değeri, hangisini daha çok etkiler: aritmetik ortalamasını mı, yoksa medyanın değerini mi?

5.

Verilen koşullara göre beş sayıdan oluşan diziyi yazınız: Medyanı 7 ve modu 6 olsun; Medyanı 8 ve aritmetik ortalaması 7 olsun; Modu 4 ve aritmetik ortalaması 6 olsun.

6.

B

Medyanı 10 dan küçük bir sayı, aritmetik ortalaması 10 ve sayılardan en büyüğü 25 olmak üzere 6 sayıdan oluşan bir dizi yazınız.

Hatırlayınız ! Bir gün Manastırda en yüksek sıcaklık derecesi 17oC , en alçak sıcaklık ise -9oC ölçülmüştür. En yüksek ve en alçak sıcaklık arasındaki fark 26oC dir. 17 - (-9) = 26. Verilerin en büyük değeri ve en küçük değeri arasındaki farka rang denir. rang = (en büyük değer ) - (en küçük değer )

170

Konu 3. Çember ve Çokgen

7.

Örneği inceleyiniz. 29, 61, 17, 80, 32 sayılar dizisi verilmiştir. En küçük değer 17 dir.

En büyük değer 80 dir

Rang = 80 - 17 = 63.

Verilen sayılar dizisinin rangını belirtiniz: a) 107, 15, 36, 94, 27, 100; b) 3,26; -0,24; -5,15; 1,13; 7.

8.

Matematik dersinde yapılan bir testte, her öğrencinin aldığı puan sayısı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir: Öğrenci

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

U8

U9

U10

Puan say.

78

80

65

56

87

94

29

63

55

56

En yüksek puan alan öğrenci ve en alçak puan alan öğrenci arasındaki rangı belirtiniz. Her öğrenci için ayrı ayrı, aldığı puan sayısı ve 100 puan (testte öngörülen en yüksek puan sayısı) arası rangı belirtiniz.

9.

Onsekiz atlet 20 km mesafede koşuda yarışıyorlar. Onların ulaştıkları sonuçlar, dakika olarak aşağıdaki dizide gösterilmiştir: 96, 90, 115, 112, 111, 96, 100, 112, 117, 90, 98, 100, 101, 95, 99, 110, 98, 119. Koşuda elde edilen en iyi zaman hangisidir? Koşuda elde edilen en kötü zaman hangisidir?

Ödevler 1. Eşit büyüklükte 7 sandık, şeftalı ile doludur.

Her sandıkta şeftalı sayısı: 35, 45, 46, 37, 55, 37, 32 olduğuna göre: Sandıklarda ortalama, şeftalı sayısı ne kadardır? Medyanı belirtiniz. Hangi sayı mod dur? Rang kaçtır?

2. Tülay, 5 testte ortalama 66 puan kazan-

mıştır. Notu beş olması için, 6 testten ortalaması 70 olmalıdır. Tülay, altıncı testte en az kaç puan almalıdır ki notu 5 olsun?

3. Yusuf ve Alican 6 ok ile

pikado oyunu oynayarak yarışıyorlar. Elde ettikleri sonuçları (hedefin merkezinden sapmaları cm olarak) tabloda yazıyorlar. ok

1

2

3

4

5

6

Yusuf

10

4

5

5

7

8

Alican

12

11

5

6

10

6

Her yarışmacı için, hedefin merkezinden ortalama kaç cm saptığını hesaplayınız. Her yarışmacının rangını belirtiniz: Hangi yarışmacı daha başarılıymış? Cevabınızı açıklayınız.

Verilerle Ýþlemler

171

DAİRE, ÇOKGEN VE ONLARIN ALANLARINI İNCELEDİNİZ. BİLDİKLERİNİZİ YOKLAYINIZ

1.

Bir çevre ve ona karşılık gelen merkez açının toplamı 180o dir. Açıların büyüklüğünü belirtiniz.

2.

Bir ABC dar açılı üçgeni verilmiştir. AB kenarı çap olmak üzere çizilen yarıçember, üçgenin diğer iki kenarını M ve N noktalarında keser. Sadece cetvel kullanarak ABC üçgeninin otosantarını çizim yoluyla belirtiniz.

3.

ABCD kirişler dörtgeninde: BA = 108o ve BB = 98o biliniyor. BC ve BD belirtilsin.

4.

ABCD teğetler dörtgeninde: = 7 cm, = 12 cm, = 5 cm biliniyor. belirtilsin.

9.

Dikdörtgen biçiminde, boyutları 6 m ve 3,5 m olan bir odayı döşemek için, uzunluğu 3 m ve genişliği 25 cm dikdörtgen biçiminde olan tahtalardan kaç tane gerekir?

10. Köşegeni 6 cm olan bir karenin alanını hesaplayınız.

11. Bir paralelkenarın kenarları a = 12 cm ve b = 8 cm dir. Onun a kenarına karşılık gelen yüksekliği 4 cm dir. b kenarına karşılık gelen yüksekliği ne kadardır?

12. Bir kateti 24 cm ve hipotenüsü 30 cm olan dik üçgenin alanını hesaplayınız.

13. Tabanları 18 cm ile 10 cm ve yan kenarı 5 cm olan ikizkenar yamuğun alanını hesaplayınız.

5.

Bir iç açısı: a) 135o; b) 150o; c) 140o olan düzgün çokgenin kaç kenarı vardır?

6.

Apotemi h = 2,5 cm olan düzgün beşgeni çiziniz.

7.

a = 7 dm ve c = 25 dm ile verilmiş olan dik üçgenin hangi kateti büyüktür: a mı? yoksa b mi?

15. Yarıçapı 40 cm olan bir traktörün tekirleği,

Tabanı a = 1 dm ve ona karşılık gelen yüksekliği h = 1,2 dm verilmiş olan ikizkenar üçgenin çevresini hesaplayınız.

16. Çevresi 48 cm olan bir eşkenar dörtgende

8.

172

Konu 3. Çember ve Çokgen

14. Kenarı a = 8 cm olan düzgün ongenin

alanı P = 395,28 cm2 dir. Onun apotemi ne kadardır ?

2512 m yol geçtiğinde kaç dönme yapmıştır?

içten teğet olarak alanı 25π cm2 olan daire çizilmiştir. Eşkenar dörtgenin alanını hesaplayınız.

KONU 5.

FONKSİYON. ORANTILIK

DÜZLEMDE DİKAÇILI KOORDİNAT SİSTEMİ 1. Dekart Çarpımı 2. Koordinat Düzlemi

174 176

EŞLEME (FONKSİYON) 3. Bağıntılar 4. Eşleme (fonksiyon) 5. Eşlemenin Verilme Şekilleri

181 183 187

ORANTI 6.Oran 7. Orantı 8.Geometrik Orta. Bileşik Orantı ORANTILI BÜYÜKLÜKLER 9. Düz Orantılı Büyüklükler 10. Ters Orantılı Büyüklükler 11. Basit Üçlü Kural Bildiklerinizi yoklayınız

190 195 199 202 206 210 213

3:1

Düzlemde Dikaçýlý Koordinat Sistemi

173

DÜZLEMDE DIKAÇILI KOORDİNAT SİSTEMİ

1

DEKART(KARTEZYEN) ÇARPIMI

Hatırlayınız !

A

Sıralı çift, birinci elemandan ikinci elemana bir ok ile grafiksel şekilde gösterilir.

Beşinci sınıfta öğrendikleriniz... a birinci eleman ve b ikinci eleman olan bir çift elemana sıralı ikili (çift) denir ve (a, b) ile işaret edilir.

Şekilde oklarla (a, b), (c, c) ve ( h, g) sıralı çiftleri gösterilmiştir. b

Sıralı ikilinin elemanlarına bileşenler denir. a

İki sıralı çift birbirine eşit olmak için, karşılıklı bileşenleri birbirine eşit olmalıdır. (x, 2) = (5, y) eşitliğinden, x ve y belirtilsin. A x B Dekart çarpımı, birinci elemanı A kümesine, ikinci elemanı ise B kümesine ait olmak üzere, tüm (a, b) sıralı çiftlerinden oluşan kümedir. A = {2, 3}, B = {5, 10, 15} verilmiş olsun. A x B kümesini belirtiniz ve tablo usuluna göre gösteriniz. A x A ya da A kümesine dekart karesi denir. A = {a, b} verilmiş olsun. A2 belirtilsin. 2

1.

h g

c

Şekildeki sıralı çiftleri inceleyiniz.

A

2

1

4

3

Tüm sıralı çiftleri yazınız.

B

6 8

5

(4, 5) sıralı çifti gösterilmiş midir? Sıralı çiftin birinci elemanları hangi kümeye aittir? Birinci elemanı B kümesine ait sıralı çift var mıdır?

A = {a, b} ve B = {m, n, p} kümeleri verilmiştir.

2.

Onları Ven diyagramıyla gösteriniz; A x B Dekart çarpımının elemanlarını oklarla gösteriniz. Onu yandaki şekilde görünüz ve çözümünle karşılaştırınız.

A

a

Dekart çarpımının bu gibi gösterilişine ok diyagram (ya da graf) denir. Dekart çarpımı, grafiksel şekilde koordinat şemasıyla da şu şekilde gösterilir:

174

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

b

m n p

B

B

m n p

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

Daha pratik

AxB

B m n p

A a

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

b b

a

3.

A

G = {1, 2, 3, 4} ve H = {a, b} kümelerinin G x H dekart çarpımını : ok diyagram

tablo usuluna göre;

4.

AxB

koordinat şemasıyla gösteriniz. AxB

A x B dekart çarpımının koordinat şemasıyla gösterilişinde (1, n), (2, m) ve (3, p) sıralı ikilileri gösterilmiştir. A ve B kümelerinin elemanlarını yazınız.

B p

(3, p) (1, n)

n

(2, m)

m A x B dekart çarpımını tablo usuluna göre yazınız. 1

Çözümünüzü, verilenle karşılaştırınız.

2

3

A

Şemada (1, n) ∈ A x B elemanı 1 ∈ A ve n ∈ B olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde 2 ∈ A, m ∈ B, 3 ∈ A ve p ∈ B dir, yani A = {1, 2, 3}, B = {m, n, p} bulunur. A x B = {(1, m), (1, n), (1, p), (2, m), (2, n), (2, p), (3, m), (3, n), (3, p)}.

5.

a) M = {1, 2}; gösteriniz.

b) P = {a, b, c} kümesininin dekart karesini, ok diyagram ve koordinat şemasıyla

M2 dekart karesinin grafını ve koordinat şemasını görünüz ve sizinki çözümle karşılaştırınız. M M2 1

2

2 1

1

6.

(1, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(2, 1)

2

M2

M

K x L = {(1, a), (2, a), (3, a)} dekart çarpımı verilmiştir. K ve L kümelerini tablo usuluna göre yazınız.

Düzlemde Dikaçýlý Koordinat Sistemi

175

Bilinmesi gereken: Kendinizi yoklayınız !

Sıralı ikilinin grafiksel gösterilişini;

Şekilde hangi sıralı ikililer gösterilmiştir?

Dekart çarpımının ok diyagram ve koordinat şemasıyla gösterilişini.

P = { 1, 5} kümesinin P2 dekart karesini graf ile gösteriniz.

Ödevler 1. Verilen her sıralı ikilinin grafını çiziniz: (1, 5), (m, 2) ve (4, 4).

2. A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} olsun. A ve B kümelerinin elemanlarını yazınız.

m

a

n

b

2

4. A x B dekart çarpımının verilen koordinat şemasına göre A ve B kümelerini yazınız.

B

(3, p) (a, 2)

3. A = { , ∗, Δ} ve B = {d, m, p, s} kümeleri-

nin dekart çarpımını koordinat şemasıyla gösteriniz.. 1

2

m

5A

n

KOORDİNAT DÜZLEMİ

Hatırlayınız ! -2

-1

O

E

A

0

1

2

Sayı ekseninde verilen noktaya karşılık gelen sayıya ne denir? A

a

a Sayı doğrusu üzerinde ok ile pozitf yön gösterilmiştir. Sayı doğrusuna sayı ekseni denir.

176

4

-3

-2

B -1

0

C 1

2 1 3 a 2 2

Sayı ekseninde, A noktasını görünüz, onun koordinatı -2 dir, yani A(-2) yazılır.

O noktasına 0 sayısı, A noktasına ise 2 sayısı karşılık gelmektedir.

B ve C noktalarını kendi koordinatlarıyla yazınız.

OE doğru parçası, birim doğru parçasıdır, yani OE = 1 dir.

M(-1 2 ) ve P(3, 4) noktalarını sayı ekseninde gösteriniz.

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

1

A

Yandaki şekilde, bir sınıfın öğrencileri, sınıfta hangi koltukta kimin oturduğunu, adları ile gösteril-miştir. OB dikey çizgisinde - satırların sıra numaraları, OA yatay çizgisinde ise - sütunların sıra numaraları gösterilmiştir.

B 7

Bedri

Dilek

Durmuş

Meyrem

6

Merve

Selim

Mirsad

Zafer

5

Veli

Nalan

Vahide

Furkan

4

Müjde

Tahsin

İlker

Dalip

3

Köksal

Elif

Esma

Duygu

Yusuf hangi koltukta oturuyor? Onun 2 yerini nasıl göstereceksiniz? 1

Muradiye

Ali

Yusuf

Reyhan

İlmi

İsa

Ayla

Galip

1

2

3

4

Bir öğrencinin oturduğu koltuğu nasıl gösterebiliriz

Yusuf, 3. -sütun, 2.-satırdadır. Bunu (3,2) sıralı ikilisiyle gösterebiliriz.

O

A

Öğrencinin oturduğu koltuğu satır ve sütuna göre sıralı ikili biçiminde belirtiniz: a) İlmi; b) Nalan; c) Durmuş; d) Dalip. a) (2, 1); b) (2, 3); c) (4, 7); d) (3, 5) koltuğunda oturan öğrencinin adını yazınız. İlker ve Duygu' nun oturdukları koltukların yerini açıklayınız. Bu yerleri sıralı ikili biçiminde yazınız.

y

Sınıfınızda kendi koltuğunuzun yerini sıralı ikili biçiminde gösteriniz.

2.

Şekilde, birim doğru parçalarıyla birbirine dik olan iki sayı ekseni x ve y gösterilmiştir. Onlar, O noktasında kesişiyorlar. Eksenlerin düzleminde A, B, C, D ve E nesneleri (noktaları) gösterilmiştir. Her nesneye giden yol, O noktasından "kalkar" ve ayrı boyayla işaretlenmiştir.

x

Yolları inceleyiniz A nesnesine giden yol, x ekseninin pozitif yönünde 3 birim (yani +3), ondan sonra y ekseninin de pozitif yönünde 2 birim (yani+2).

Düzlemde Dikaçýlý Koordinat Sistemi

177

Bunu kısaca, A(+3, +2) ya da A(3, 2) biçiminde yazabilirsiniz. B nesnesine götüren yolu, kısaca B(+1, +3) ya da B(1, 3) biçiminde yazabilirsiniz. C nesnesine götüren yolu: x eksenin negatif yönünde 2 birim (yani -2), ondan sonra y ekseninin pozitif yönünde 3 birimdir (yani +3). Kısa yazılış: C(-2, +3) ya da C(-2, 3) gibi gösterilir. (-2, 3) sıralı ikilisinin bileşenlerine, C noktasının koordinatları denir. D ve E nesnelerine götüren yolu kısaca yazınız. Hareket yönü, eksenlerin pozitif yoksa negatif yönünde olduğuna bağlı olarak geçilen yolu + ya da - ile işaret ediyoruz.

Unutmayınız ! Noktaların koordinatlarına apsis ve ordinat denir. Onlar, birinci bileşeni apsis ve ikinci bileşeni ordinat olmak üzere bir sıralı ikili oluşturuyorlar.

y

Apsisi a ve ordinatı b olan P noktasını, P(a, b) biçiminde işaret ediyoruz.

apsis

ordinat

M

M2

M noktası için (yandaki şekilde), apsisi + 4 ve ordinatı +3 olduğunu O M1 x görebilirsiniz. Bunu M(+4, +3) ya da daha kısa M(4, 3) biçiminde yazıyoruz. Birbirine dik olan sayı eksenlerine koordinat eksenleri, onların kesişim noktasına da koordinat başlangıcı (orijin) denir. Koordinat eksenlerinden birine apsis ekseni ya da x- ekseni, diğerine ise ordinat ekseni ya da y- ekseni denir. Ortak başlangıçları(koordinat başlangıcı) ve eşit birimli birbirine dik olan iki sayı ekseni bir bütün (sistem) oluşturuyorlar. Bu sisteme, kartezyen ya da dikaçılı dekart koordinat sistemi denir (Fransız matematikçisi, fizikçisi ve felsefecisi adına, o ilk olarak bu sistemi uygulamaya başlamıştır). Buna, daha kısa olarak sadece koordinat sistemi diyecek ve Oxy biçiminde işaret edeceğiz.

B

Dikaçılı dekart koordinat sisteminin bulunduğu düzleme koordinat düzlemi denir. Koordinat eksenleri düzlemi dört dik açıya ayırıyorlar. Bu açılara, yandaki şekilde olduğu gibi numaralandırılmış olarak her birine dördül denir.

II

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

y

(- , +) -3 -2 -1

III (- , -)

178

Rene Dekart 1596 - 1650

0

3 2 1

I (+ , +)

1 2 3 -1 -2 -3

IV

x

(+ , -)

Unutmayınız ! I dördülde: apsis ve ordinat pozitifdir. II dördülde: apsis negatif, ordinat ise pozitifdir. III dördülde: apsis ve ordinat negatifdir ve IV dördülde: apsis pozitif ordinat ise negatifdir.

3.

Verilen noktalardan her biri hangi dördülde bulunduğunu belirtiniz: A(+3, +5), B(-2, -1), C(+4,2; -6

), D(-1, +5).

Şunu görebilirsiniz: A noktasının apsisi ve ordinatı pozitifdir, o halde A noktası birinci dördülde bulunur. B noktası III dördülde bulunur. Nedenini açıklayınız. C ve D noktaları için de aynı açıklamayı yapınız.

Bu önemlidir: Düzlemin her noktasına, bir çift koordinatlar (bir sıralı ikili) karşılık gelir Her çift koordinatlara (sıralı ikiliye), koordinat düzleminde bir tek nokta karşılık gelir.

4.

Verilen noktaları koordinat düzleminde gösteriniz: A(-1, -2), B(-

y

, 2), C(2, -1), D(2,5; 1,5).

B

Ödevi çözdükten sonra, verilen çözümle karşılaştırınız.

2

D

1,5

1

x- eksenine ait noktaların ordinatı 0 dır.

-2

-1

0 -1

y- eksenine ait noktaların apsisi 0 dır. Koordinat başlangıcının apsisi 0 ve ordinatı 0 dir.

1

2 2,5 3 x C

-2 A

5.

Verilen noktaları koordinat düzleminde gösteriniz: A(0, -3), B(-2, 0), C(0, 0), D(0, 1), E(2, 0).

6.

A(-2, 5) ve B(4, 7) noktalarına a) x-eksenine göre; b) y-eksenine göre simetrik olan A1 ve B1 noktaların koordinatlarını belirtiniz.

Düzlemde Dikaçýlý Koordinat Sistemi

179

Bilinmesi gereken:

Kendinizi yoklayınız !

Dikaçılı koordinat sistemi nasıl meydana geldiğini açıklamalısınız; Koordinat düzlemi nedir;

P(3, 8) ve S(5,1) noktalarından hangisi xeksenine daha yakındır? Koordinat düzlemi nedir?

Noktanın koordinatları nedir;

A(2, -4) noktası, hangi dördülde bulunur?

Koordinat düzleminde noktanın gösterilişini.

M(0, -1) noktası, hangi koordinat eksenine aittir?

Ödevler 1. Verilen sıralı çiftlere (sıralı ikililere) karşılık gelen noktaları koordinat düzleminde belirtiniz: (3, 2);

(-1, -

);

5. Şekilde gösterilen

A, B, C, D, E ve F noktalarının koordinatlarını belirtiniz: y 5

(1, -1);

4

(-

, 2);

(-4, 1);

(0, -2);

A

F

3

E 2 (-3, -1);

(-2,4; 0).

2. M(2, -1) noktasına

B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

a) apsis eksenine göre simetrik olan M1; b) ordinat eksenine göre simetrik olan M2; c) koordinat başlangıcına göre simetrik olan M3 noktasının koordinatlarını belirtiniz.

x

1 1

2

3

4

5

6

D

-1 -2 -3

C

-4 -5

3. A(-1, 3), V(-4, -2) olduğuna göre AB doğru parçasını çiziniz.. 4. Köşeleri verilmiş olan ABC üçgenini çiziniz: a) A1(-2, -1), V1(3, -2), S1(-1, 3); b) A2(-3, 0), V2(0, -4), S2(3, 1);

6. Köşeleri verilmiş olan üçgeni çiziniz ondan sonra kenarlarının uzunluklarını belirtiniz: a) A1(-4, 0), B1(0, 1), C1(-1, 3); b) A2(-1, -3), B2(4, 0), C2(3, -4).

7. Koordinat düzleminde, apsisi

ve ordinatı olan M noktasını belirtiniz. Ondan sonra köşelerinin koordinatları verilmiş olan ABC üçgenini çiziniz: A(

180

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

, 1), V(-3,

), S(-2, -3).

EŞLEME (FONKSİYON)

3

BAĞINTILAR

Hatırlayınız !

A 1.

Koordinat şemasıyla A = { 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin dekart karesi gösterilmiştir. A 5 4 3 2 1

R1

AxA R2

A = {Davut, Ali, Semi} ve B = {matematik, fizik, kimya, biyoloji} kümeleri verilmiştir. A ve B kümelerin elemanları arasında " .... notu .... en iyidir" bağıntısı verilmiştir ve grafikte A dan B ye ok ile gösterilmiştir. A

Davut Ali

1 2 3 4 5

A

R1 ⊂ A x A ve R2 ⊂ A x A. R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} bağıntıları geçerli olan R1 ve R2 altkümelerini inceleyiniz. R1 kümesinde: birinci bileşen ikinci bileşenden 1 küçüktür bağıntısı geçerlidir. R2 kümesini tablo usuluna göre yazınız. R 2 kümesinin oluştuğu sıralı çiftlerinin bileşenleri arasında herhangi bağıntı keşfetmeye çalışınız.

B

matematik fizik kimya biyoloji

Semi

A x B dekart çarpımının kaç elemanı vardır ve o elemanlar hangileridir? " .... notu .... en iyidir" bağıntısını sağlayan sıralı çiftlerin R kümesini, tablo usuluna göre yazınız. A x B ve R kümelerini koordinat şemasıyla gösteriniz. Çözdüğünüzü verilen çözümle karşılaştırınız. B AxB

matematik

R

Semi

biyoloji

Ali

Bir sıralı çift (ikili) R kümesine ait ise, aynısı A x B ye de aittir, yani R ⊂ A x B dir.

kimya

Davut

R kümesine ait her sıralı çift A x B kümesine de ait midir? R kümesi A x B dekart çarpımının nesidir?

fizik

A

Eþleme (Fonksiyon)

181

Unutmayınız ! A x B dekart çarpımının herhangi R altkümesine A dan B ye bağıntı denir. R ⊆ A x B olsun. Sıralı çift (x, y) ∈ R ise, x R y biçiminde yazılır; ve x elemanı y ile R bağıntısındadır diye okunur. R kümesine ait tüm sıralı çiftlerin kümesine, R kümesinin grafiği de denir ve

ile işaret edilir,

= {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B ve x R y}.

yani

A = {1, 4, 7, 12} kümesinden B = {3, 6, 14, 20} kümesine, R: "... sayısı .... den 2 için daha küçüktür# bağıntısı ok diyagram ile gösterilmiştir.

2. A

B

R 1

3

4

6

grafiğinin elemanları olan sıralı çiftleri yazınız.

7

14

grafiği, A x B dekart çarpımının altkümesi olduğunu gösteriniz.

12

20

A x B dekart çarpımını koordinat şemasıyla gösteriniz.

Şekilde A x A kümesi ve A kümesinde R bağıntısı verilmiştir.

3.

5

(1,5) (2,5)

4

AxA R

3

R bağıtısıyla elemanlar arasında " ... küçüktür ... " bağıntısı gösterilmiş midir? R = {(x, y) | x, y ∈ A ve x < y} yoklayınız. 2 1 Bağıntıyı ok diyagram ile gösteriniz. 1

2

3

4

5

Beş kişilik bir aile: Baba - Mehmet, anne - Meral ve çocuklar: Belma, Yusuf ve Semi. R bağıntısı a) ".... , .... annesidir" ; b) " .... , .... kardeşidir" veriliyor. Bu bağıntıyı graf ile gösteriniz.

4.

Neleri bilmelisiniz: Verilen bir A kümesinden, verilen bir B kümesine bağıntı nedir? Verilen bağıntı ok diyagram ile, grafik ile ve koordinat şemasıyla nasıl gösterilir.

182

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

Kendinizi yoklayınız ! A = {1, 2, 3, 4} kümesinde R: "... sayısı..... dan 2 küçüktür # verilmiştir. R bağıntısını ok diyagram ve grafikle gösteriniz.

Ödevler 1. A = {12, 16, 22, 28, 32} kümesinden

B = {17, 21, 27, 33, 37} kümesine verilmiş olan bağıntıyı ok diyagram ile gösteriniz:

a) R: " < #;

b) R: "... , ... den 5 küçüktür #.

2. A = {a, b, c, d, e} kümes-

b) bağıntının grafiğini tablo usuluna göre gösteriniz. Verilen A = {0, 1, 2, 3} kümesinden B = {1,

4. 3, 5} kümesine R bağıntısı

A

inde ok diyagram ile R bağıntısı verilmiştir. R bağıntısının grafiğini tablo usuluna göre yazınız.

a) R bağıntısını ok diyagram ile gösteriniz.

a

= {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 5), (1, 5)} grafiğiyle verilmiştir. Onu ok diyagram ve koordinat şemasıyla gösteriniz.

b e

5. M = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde R bağıntısı: c

= {(x, y) | x, y ∈ M i y = 6 - x} grafiğiyle verilmiştir.

d

a) R bağıntısının grafiğini, tablo usuluna göre yazınız. b) R bağıntısını ok diyagram ile gösteriniz. c) bağıntısını koordinat şemasıyla gösteriniz.

3. S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} kümesinde R bağıntısı grafiğiyle verilmiştir:

= {(x, y) | x, y ∈ S ve y = 2x}.

4

EŞLEME (FONKSİYON)

Hatırlayınız ! A ve B kümelerinin A x B dekart çarpımının herhangi alt kümesine A dan B ye bağıntı denir. R1 ve R2 bağıtılarını inceleyiniz. R1 R2 B A A

B

A

1.

İki küme arasında öyle bağıntıları izleyeceğiz ki, birinci kümenin her elemanı ikinci kümenin birer elemanıyla bağıntıda olsun.

A = {1, 2, 3, 4} kümesinden B = {2, 4, 6, 8, 10} kümesine R: “... sayısı .... den 2 defa küçüktür ” bağıntısı verilmiştir. Bağıntının koordinat şemasını ve ok diyagramını görünüz.

Aşağıdaki özelliklerden hangisi R1 ya da R2 bağıntıları için geçerlidir: A kümesinin her elemanı, B kümesinin elemanıyla bağıntıdadır; A kümesinin her elemanı, B kümesinin yalnız birer elemanıyla bağıntıdadır.

R

B 10 8 6 4 2

AxB R

1 2 3 4

A

A

Eþleme (Fonksiyon)

B

183

A kümesinin her elemanı B de yalnız birer elemanla bağıntıda olduğunu görebilirsiniz. Böyle bağıntıya eşleme denir.

Unutmayınız A kümesinin her elemanı B kümesinin yalnız birer elemanıyla R bağıntısında olduğu durumda, bağıntıya A dan B ye eşleme (ya da fonksiyon) denir. A kümesinin her elemanından B kümesinin birer elemanına ok varsa bağıntı eşlemedir.

A dan B ye R bağıntısının ok diyagramından, bağıntının eşleme olduğunu nasıl belirteceksiniz? R1, R2 ve R3 bağıtılarından hangisi eşlemedir? A

R1

B

A

R2

B

A

R3

B

Yalnız R2 bağıntısı eşlemedir. R1 eşleme değildir, çünkü 4 sayısının iki oku vardır. R3 eşleme değildir, çünkü 2 sayısından B kümesine giden ok yoktur.

B

A kümesinden B kümesne f eşlemesi, A dan B ye öyle bir bağıntıdır ki, A kümesinin her elemanı, B kümesinin yalnız birer elemanıyla bağıntıdadır ve f : A → B ya da I $ o % biçiminde işaret edilir.

A kümesine f eşlemesinin kalkış ya da tanım kümesi denir. B kümesine f eşlemesinin varış kümesi denir. Ok diyagramla (şekilde) A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 12, 18, 24, 30,32} A olmak üzere f : A → B eşlemesi verilmiştir.

2.

Bu eşlemenin tanım kümesi nedir, değerler kümesi nedir? 1 ∈ A elemanı f bağıntısıyla 6 ∈ B ile eşlenir. 1 elemanına f ile 6 elemanı karşılık gelir ya da 6 elemanı f eşlemesiyle 1 elemanının I resmidir denir. o ya da f(1) = 6 biçiminde yazılır. 1 elemanına f eşlemesine göre 6 elemanının aslıdır denir.

184

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

B

f

V

f eşlemesine göre, A kümesinin 2, 3 ve 4 elemanlarının resmini yazınız. V ⊆ B olduğunu farkediyorsunuz. V kümesine resimler kümesi ya da f in değerler kümesi denir. f(1) = 6; f(2) = 12; f(3) = 18; f(4) = 24 biçiminde yazılır. 3 ve 4 sayılarının resimleri, hangi sayılardır ? Verilen bir eşlemeye göre , tanım kümesinin elemanlarının

Genel olarak resimlerinden oluşan kümeye, eşlemenin değerler kümesi denir. y ∈ B elemanı x ∈ A elemanının değeri ise, yani f eşlemesine göre y elemanı x in resmi ise onu f : x → y ya da y = f (x) biçiminde yazıyoruz. A dan B ye f eşlemesinin tüm sıralı çiftlerinin kümesine, f eşlemesinin grafiği denir ve Gf

ile

işaret edilir . Demek ki, f : A → B, ise Gf = {(x, y) | x ∈ A ve y = f (x)}.

3.

A = {1, 3, 5, 7} kümesinden B = {3, 9, 15, 18, 21, 24} kümesine f : "... sayısı ..... dan 3 defa küçüktür ” eşlemesi ok diyagramıyla gösterilmiştir.

A

B

f eşlemesinin grafiğini, tablo usuluna göre yazınız. f in tanım ve değerler kümesini belirtiniz. f (3) neye eşittir?

Bilinmesi gereken: Eşleme nedir; Eşleme ok diyagramıyla ve grafiğiyle nasıl gösterilir; Eşlemenin tanım kümesi, varış kümesi ve değerler kümesi ne olduğunu.

Eþleme (Fonksiyon)

185

Kendinizi yoklayınız!

A

B

A B

Yandaki şekillerde, hangisiyle A dan B ye eşleme verilmiştir? Gf = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (6, 7), (8, 11)} garafiğinden f eşlemesinin tanım ve değerler kümesini belirtiniz.

Ödevler 1. Aşağıda ok diyagram ile gösterilmiş olan R bağıntısı neden eşleme değildir? A a)

B

B b)

A

4.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, ..., 10, 11, 12} olmak üzere f : A → B eşlemesi f : x → 2x, yani f (x) = 2x kuralıyla verilmiştir. f (0); f (3) ve f (5) belirtilsin. Fonksiyonun değerler kümesini yazınız.

f :A→ B fonksiyonu verilmiştir. Şunları belirtiniz: A B tanım kümesini; varış kümesini;

2. Açıklayınız. Ok diyagramıyla

5. P yarıçemberinin noktaları D çapının noktalarına şu kurala göre eşlenir: X ∈ P noktasının Y resmi, X noktasından çapa indirilen dikmenin çap ile kesişimidir. X

f fonksiyonunu değerler kümesini.

3. A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 20, 22} olmak üzere f : A → B eşlemesi " .... sayısı .... sayısından 5 küçüktür" bağıntısı ile belirlidir, yani f (x) = x + 5. Verilen eşitlikten a belirtilsin: f (1) = a; f (5) = a; f (9) = a; f (a) = 8; f (a) = 12.

186

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

A

Y

P

D

B

Bu eşlemenin tanım (kalkış) kümesini, varış kümesini ve değerler kümesini belirtiniz.

5

EŞLEMENİN VERİLME ŞEKİLLERİ

Hatırlayınız !

A

Şimdiye dek eşlemeler nasıl veriliyordu? f : A → B eşlemesi ok diyagramıyla verilmştir. f eşlemesinin Gf grafiğini yazınız.

A

f

-2 -1 2 1

B 4 1

1.

A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {6, 7, 8, 9, 10} verilmiş olsun. f : A → B eşlemesi " x sayısı y den 5 küçüktür” kuralıyla verilmiştir. Verilen kurala göre asıl ve resimlerden tablo oluşturunuz.

Elde ettiğiniz çözümü verilenle karşılaştırınız.

Gf grafiğinin elemanlarını tabloda yazınız. Eşlemeyi koordinat şemasıyla gösteriniz.

Şunu farkedebilirsiniz: y resmi, aslı x den 5 büyüktür.

Bu nedenle: f : 1 → 1 + 5, yani f (1) = 1 + 5; f (1) = 6; f : 2 → 2 + 5, yani. f (2) = 2 + 5; f (2) = 7. Benzer şekilde: f (3) = 8; f (4) = 9; f (5) = 10 bulunur. asıl ve resimlerden oluşan şu sıralı ikilileri (çiftleri) elde ettiniz: (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10). Onları, bir satırda asıllar, diğerinde resimler olacak şekilde tabloda yazınız.

x

1

2

3

4

5

y = f (x)

6

7

8

9

10

Eşleme yukarıda gösterildiği gibi, asılları (yani tanım kümesinin elemanları) ve resimleri (yani değerler kümesinin elemanları) bir tabloda yazılarak da verilebilir. Eşlemelerin bu gibi gösterilişine, eşlemenin tablo şekli denir.

2.

B

f eşlemesi, tanım ve değerler kümesinin elemanlarını içeren tablo ile verilmiştir. x

1

3

4

0

-1

-3

- 10

y = f (x)

a

a

a

n

b

b

b

3.

Şunları yazınız: a) grafiğini; b) tanım kümesini; c) eşlemenin değerler kümesini.

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3,. .., 20} olmak üzere f : A → B eşlemesi ”x sayısı y dan 4 defa küçüktür ” kuralıyla verilmiştir. Bu kurala göre, bu eşlemede resimlerin belirtilmesi için formül yazınız. Eşlemenin değerler kümesini belirtiniz. Elde ettiğiniz çözümü verilenle karşılaştırınız. y resmi, aslı x den 4 defa büyük olduğunu farkediyorsunuz.

Eþleme * Fonks'yon(

187

A kümesinin elemanlarının resimlerini belirtmek için bu kuralı uygulayınız. f : 1 → 4 ⋅ 1, yani f (1) = 4 ⋅ 1 = 4; f : 2 → 4 ⋅ 2, yani f (2) = 4 ⋅ 2 = 8; v.b. f : 5 → 4 ⋅ 5, yani f (5) = 4 ⋅ 5 = 20. Genel olarak, herhangi eleman x ∈ A ve onun resmi y = f (x) için : f : x → 4 ⋅ x, yani f (x) = 4x geçerlidir. f (x) = 4x ifadesi, eşlemenin yapıldığı genel kuraldır (formüldür).

Farkettiğiniz gibi Eşleme formülle verilebilir. Bu formül yardımıyla eşlemenin değerleri belirtilir. Eşlemenin bu gibi gösterilişine, analitik biçimi denir. A = {-5, -4, -3, 0, 2, 4, 5}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere f : A → B eşlemesi f(x) = x + 1 formülüyle verilmiştir. Şunları yazınız: a) Gf grafiğini; b) f in değerler kümesini.

4.

B 5.

A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere f : A → B eşlemesi, yandaki koordinat şemasında gösterilen grafiğiyle verilmiştir.

f eşlemesinin V ⊆ B değerler kümesini belirtiniz. Soru işaretleri yerine hangi sayılar yazılmalıdır: a) f (?) = 3; b) f (?) = 0; c) f (4) = ?

y 5 4 3 2 1 0

Elde ettiğiniz çözümü, verilenle karşılaştırınız.

x

2 3 4 5

Şekilde işaretlenen noktaların koordinatları: (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 5) ve (5, 2) dir. Değerler kümesi V nin elemanları noktaların ikinci koordinatlarıdır. Demek ki V = {3, 1, 0, 5, 2} elde edilir. f : 1 → 3 ya da f (1) = 3; f : 2 → 1 ya da f (2) = 1; f : 3 → 0 ya da f (3) = 0;

f : 4 → 5, ya da f (4) = 5; f : 5 → 2 ya da f (5) = 2.

Eşleme, grafiksel şekilde koordinat şemasıyla gösterilebilir. Böyle durumda,eşlemeye grafiksel şekilde verilmiştir denir.

y 5 4 3 2

-4 -3 -2 -1 0

6.

f : A → B, A = {x | x ∈ Z, -3 ≤ x ≤ 5} ve B = Z eşlemesi, grafiksel şekilde koordinat şemasıyla gösterilmiştir.

-1 -2 -3

f eşlemesinin Gf grafiğini tablo usuluna göre gösteriniz Eşlemenin tablosunu oluşturunuz..

188

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

x

1 1

2

3

4

5

Bilinmesi gereken: Bir eşleme nasıl verilebilir.

Kendinizi yoklayınız ! A = {1, 2, 3, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere, f : A → B eşlemesi f : x → x - 2 kuralı ile verilmiştir. Eşlemenin tablosunu oluşturunuz. Grafiği tablo usuluna göre yazınız. Ondan sonra, grafiğin noktalarını koordinat düzleminde gösteriniz.

4. Tanım ve değerler kümesi R olan

Ödevler 1. f : A → B eşlemesi tablo ile verilmiştir. Orda A ve B kümelerinin tüm elemanları verilmiştir.

a)

x -2 -1 0

1

2

3

3

4

5

x -3 -2 -1 0

1

2

f(x) -1 -1 -1 0

1

1

f(x) 0

b)

1

2

c)

x

f(x)

0

0

1

5

2

10

3

15

f eşlemesinin tanım ve değerler kümesini belirtiniz.

2.

f eşlemesi: Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} grafiğiyle verilmiştir. f(1) ve f (3) belirtilsin. x in hangi değeri için f (x) = 1 dir?

f(x) = x - 1 formülüyle analitik biçimde verilmiş olan f(x) fonksiyonunu grafiksel şekilde gösteriniz (bu fonksiyona reel fonksiyon denir). Aşağıda istenilenleri izleyiniz. Tabloyu doldurunuz: x

-2

0

0,5

3

f(x) Tabloda elde edilen sıralı çiftleri, sırasıyla A, B,C ve D noktaların koordinatları gibi yazınız. A, B, C ve D noktalarını koordinat düzleminde gösteriniz. Bu noktalar bir doğru üzerinde olup olmadıklarını cetvelle yoklayınız. x için tahminen birkaç değer seçiniz. Onların f(x) resimlerini belirtiniz ve elde edilen sıralı çiftleri aynı çizimde gösteriniz.

3. A = {-5, -2, -1, 0, 2} ve B = Q olmak üzere f : A → B eşlemesi kuralıyla verilmiştir. Gf grafiğini tablo usuluna göre yazınız.

Bu noktaların da aynı doğru üzerinde olup olmadıklarını yoklayınız. f(x) = x - 1 fonksiyonun grafiği Gf = {(x, y) : x ∈ R ve y = x - 1} dir ve onun grafiksel gösterilişi, bir doğru olduğunu görünüz.

Eþleme * Fonks'yon(

189

ORANTI

6

ORAN

Unutmayınız !

A 1.

28 : 7 bölümünü hesaplayınız. (4) değeri bu bölümün nesidir?

Hesaplayınız: 27 : 3;

Verilen tümceye göre bölüm oluşturunuz: "Bölünen 42 dir ve bu sayı bölenin 3 katıdır"

: 6;

9,6 : 1,2.

Bu bölümlerden her üçüne verilen sayıların oranı denir. "27 oran 3”, "

oran 6”,...diye okunur.

Genel olarak b ! 0 olmak üzere, a ve b iki farklı sayı olsun, a sayısının b sayısına oranı a : b (ya da a )

b

dir. Burada: a - oranın birinci terimi, b - oranın ikinci terimidir. a : b = k ifadesinde k sayısına orantının değeri denir.

2.

Verilen orantının değerini belirtiniz: a) 255 : 17; Onun değeri neyi gösteriyor?

b) 17 : 255.

Elde ettiğiniz çözümü verilen çözümle karşılaştırınız. a) 255 : 17 = 15 bölümü, 255 sayısı 17 sayısından 15 defa büyük olduğunu gösteriyor. b) 17 : 255 =

bölümü, 17 sayısı 255 sayısının

kısmı olduğunu gösteriyor.

3.

Sayıları karşılaştırınız: a) 184 ve 23;

4.

Bir oranın değeri 5 dir. Bunun ikinci terimi 8 olduğuna göre birinci terimini belirtiniz.

5.

18:3 ve

b) 16 ve 48.

oranları veriliyor. Onların değerlerini belirtiniz ve kıyaslayınız.

Elde ettiğiniz çözümü verilen çözümle karşılaştırınız. Birinci oran 18: 3 tür ve onun değeri 6 dır. İkinci oranın da değeri 6 dır. yani, olduğunu görüyoruz. .

190

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

Değerleri eşit olan oranlara, eşit oranlar denir.

6.

Şu oranların eşit olup olmadıklarını yoklayınız: a) 4 : 25 ve

7.

Unutmayınız ! 5 sayısının çarpımsal tersi

; b) 1,4 : 3,5 ve 0,2 : 0,5.

3 : 5 ve 5 : 3 oranları, terimlerinin yerleriyle farklaşıyorlar. İki sayının oranını yazınız. Ondan sonra birincisine ters sırada aynı sayılarla yazılmış daha bir oran yazınız.

1 sayısıdır, 3 nin ise 7 tür. 5 7 3

0,4 sayısının çarpımsal tersi hangi sayıdır?

2 sayısıyla, çarpımsal tersinin çarpımı ne 7

kadardır?

8.

Verilene ters olan oranı yazınız: a) 5 : 8, b) 1 : 4.

Unutmayınız a : b ve b : a (a ≠ 0, b ≠ 0) oranlarına, birbirine göre ters oranlar denir, yani a : b oranı b : a oranına terstir, ya da b : a oranı a : b oranına terstir.

Verilen bu oranların her birini kendine ters olan oranla çarpınız. a) şıkkı için elde ettiğiniz çözümü verilenle karşılaştırınız: 5 : 8 oranına ters 8 : 5 oranıdır. (5 : 8) ⋅ (8 : 5) =

= 1.

Genel olarak geçerlidir Bir a : b oranı kendine ters olan b : a oranıyla çarpımı 1 e eşittir. (a : b) ⋅ (b : a) = 1, (a ≠ 0, b ≠ 0) .

9.

a : b

ve

, a ≠ 0, b ≠ 0

oranları birbirine ters oranlar olduklarını nasıl

ispatlayacaksınız?

B 10.

a) Şekildeki dikdörtgenin alanı 6 cm2 dir.

Dikdörtgenin nesi ölçülmüştür ki 6 cm2 elde edilmiştir? 1 cm2

Orantý

191

b) Semi, evindeki tartıyla kendini ölçmüş ve 46 kg olduğunu tespit etmiştir. Semi tartıda neyi ölçmüş ki, 46 kg elde etmiştir ? c) AB = 6 cm ve CD = 2 cm doğru parçaları verilmiştir. . AB doğru parçası CD doğru parçasından 4 cm büyüktür, çünkü AB - CD = 6 cm - 2 cm = 4 cm dir. İki doğru parçasında neyi karşılaştırdınız ki, 4 cm elde ettiniz?

Cevaplarınızı aşağıdakilerle karşılaştırınız 6 cm2 sayısı, dikdörtgenin alanıdır; Semi tartıda kendi kütlesini ölçmüştür; AB ve CD doğru parçalarında onların uzunlukları karşılaştırıldı.

Pakette 3 kg şeker olduğunu nasıl tespit ettiniz?

Paketi terazinin bir tasına koydum ve kütlesini kilolukların kütlesiyle karşılaştırdım. 3 tane 1 kg lık koyduğumda terazinin tas-ları denge durumuna geldi.

Unutmayınız Alan, kütle, uzunluk, hacim, sıcaklık, zaman, hız, ... kavramları büyüklüklerdir. Büyüklüklerin temel niteliği, onların ölçülebilmesidir. Bir büyüklüğü (çokluğu) ölçmek, onu ölçü birimiyle karşılaştırmak demektir, yani bu ölçü biriminden verilen çoklukta, kaç tane olduğunu belirtmektir. Kısaca bir büyüklüğü uygun bir birim kullanarak ne kadar olduğunun belirtilmesi işine ölçme denir.

11.

AB= 6 cm doğru parçası CD = 2 cm doğru parçasından kaç defa büyüktür?

Bunu biliyorsunuz 6 cm olan doğru parçası 2 cm uzunluğunda doğru parçasından 6 cm

3 defa büyüktür, yani 6 cm : 2 cm = 3. 2 cm doğru parçası 6 cm olan doğru parçasının 1 dir. 2 cm : 6 cm = 1 .

3

192

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

3

2 cm

2 cm

2 cm

Farkediyorsunuz Doğru parçaların uzunluklarını karşılaştırırken aslında onların ölçü sayılarını karşılaştırıyoruz. İki uzunluğun oranının değeri soyut sayıdır (sabit sayıdır). Yalnız aynı cinsten büyüklükler karşılaştırılır.

Unutmayınız Aynı ölçü birimiyle ifade edilmiş, aynı cinsten iki büyüklüğün ölçü sayılarının bölümüne, oran denir. Oranın değeri daima sabit sayıdır.

12.

Şu bölümlerden hangileri orandır : a) 3 : 31; b) 12 m2 : 4 m2; c) 6 m : 3; d) 8 dak : 5 s?

Neden 6 m : 3 oran değildir? 8 dak : 5 s bölümü oran sayılabilir mi ?

13.

6 m : 3 bölümünün değeri 2 m dir, o ise soyut sayı değildir. Bu nedenle verilen bölüm, oran değildir. 8 dak : 5 s bölümü, terimleri aynı ölçü birimiyle gösterildiği takdirde, oran sayılabilir.

Verilen oranların değerlerini belirtiniz: a) 72 : 4;

b) 4 kg : 60 kg;

Hatırlayınız ! 3 kesrini 5 ile genişletiniz. 4 20 kesrini 4 ile kısaltınız. 36

c) 5 km : 200 m;

C

d) 2 , : 5 d , .

14.

12 : 8 oranı veriliyor.

Onun değerini belirtiniz Oranın terimlerini önce 2 ile sonra 4 ile çarpınız ve elde edilen oranların değerini hesaplayınız. Elde edilen oranların değerlerini karşılaştırınız.

Ne görüyorsunuz?

Her üç oranın değeri 1,5 olarak birbirine eşittir.

Orantý

193

Genel olarak da geçerlidir a : b oranının her terimi, m ≠ 0 sayısıyla çarpılır ya da bölünürse oranın değeri k değişmez. (a ⋅ m) : (b ⋅ m) = k oranın genişletilmesi

(a : m) : (b : m) = k, (m ≠ 0) oranın kısaltılması

Buna oranın temel özelliği denir.

15.

Orantının terimlerini (ya da onlardaki ölçü birimlerini) doğal sayılarla yazınız. 4,8 : 0,12;

16.

1,5 kg : 5 kg;

: 2,5;

450 m : 2,5 km.

Verilen oranlar değerleriyle eşitlenmiştir. Her eşitlikte, bilinmeyeni belirtiniz: a) x : 3 = 5;

b) a : 12 = 20;

c) 6 : y = 2;

d) 25 : b = 12,5.

a) ve c) şıklarının çözümlerini izleyiniz. a) x bölünendir. Bölünen, bölen ve bölümün çarpımına eşittir. yani x = 3 ⋅ 5; x = 15. c) y bölen olduğuna göre ; y = 6:2; y = 3 elde edilir.

Bilinmesi gereken: Oran nedir, oranın terimleri ve değeri nedir; Oranın temel özelliğinin ifade edilişi; Hangi oranlar birbirine eşittir, hangi oranlar birbirine terstir; İki büyüklüğün oranı nasıl belirtilir.

Kendinizi yoklayınız ! 27 : 36 oranının değerini belirtiniz.. 6 : 5 ve 90 : 75 oranları birbirine eşit midir? 3 : 10 oranını 4 ile genişletiniz. 15 m3 : 5 m2 neden oran değildir? Verilen eşitlikten x belirtilsin: a) x : 2=20; b) 8 : x = 32.

Ödevler 1. Dede 63 yaşında torunu ise 9 yaşındadır.

2. Verilen oranlar eşit midir: a)

ve 27 m3 :10 m3?

Dede, torunundan kaç yaş büyüktür? Dede, torunundan kaç defa büyüktür?

194

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

b)

ve 76 : 55?

3. Hangi oran verilene terstir: a) 96 : 24;

b) 3,4 : 3

6. Birinci terimi 1 olacak şekilde aşağıdaki oranları yazınız:

?

4. Verilen bölümlerden, hangisi orandır a) 4 m : 24;

b) 3 kg : 8 kg;

c) 5 km : 5 cm;

d)

a) 4 : 5;

; c) 2,7 m :12 cm.

7. Bilinmeyen x terimini hesaplayınız: ;

a)

kg : 8 cm?

5. Verilen oranın değerini hesaplayınız: a) 324 : 4;

b)

c) x : 0,1 = 0,01;

b)

;

d) 2,7 : x =

.

b) 4,74 : 3;

c) 90 min :

h;

d) 6 km : 600 m.

8.

Ayrıtları 4 m ve 6m olan küblerin: a) alanları;

e) 1 dm : 1 m;

f) 1 km : 1 m;

b) hacimleri

nasıl orandadır?,

k) 1 m : 1 ar. 2

7

ORANTI

Hatırlayınız !

A 1.

32 : 8 ve 20 : 5 oranların değerlerini belitiniz.

24 : 8 oranı 45 : 15 oranına eşittir. Bu nedenle şu doğru sayı eşitliğini yazabilirsiniz: 24 : 8 = 45 : 15, yani

Bu iki oran birbirine göre nasıldır?

.

Onlar arasında doğru olacak hangi eşitliği yazabilirsiniz? İki eşit oran yazınız ve onlar arasında doğru sayı eşitliği oluşturunuz.

Unutmayınız İki eşit oranın eşitliğine orantı denir. Sayı değerleri eşit olan a : b ve c : d , yani a : b = k ve c : d = k oranları a : b = c : d, ya da

orantısını oluşturuyorlar.

"a oran b eşittir c oran d" diye okunur. a, b, c ve d orantının terimleridir. a birinci terim, b ikinci terim , c üçüncü terim, d dördüncü terim dir. Daha da , a ve d dış terimler, b ve d ye ise iç terimler denir.

Orantý

195

Orantının her terimine, diğer üçünün dördüncü geometrik orantısı denir. Oranların k değerine orantı katsayısı denir.

2.

17 : 68 = 21 : 84 orantısında, her oran yerine onun ters oranını yaz ve elde edilen eşitliğin yine orantı olduğunu görünüz.

Genel olarak a, b, c, d ≠ 0 ve a : b = c : d bir orantı ise b : a = d : c eşitliği de bir orantıdır. Açıklamayı izleyiniz. a : b = k ise b : a =

gerekir.

c : d = k ise c : d =

gerekir.

b : a ve d : c birbirine eşit olduğuna göre, b : a = d : c bir orantıdır.

3.

15 : 9 = 90 : 54 orantısında, aşağıdakiler yer değiştirdiği durumda yine orantı elde edilip edilmediğini yoklayınız: 15 ve 54;

15 ve 90;

9 ve 90;

Mecburi değildir

9 ve 54.

Onları görünüz:

a : b = c : d orantısında terimler yer değiştirerek daha 7 orantı elde edilebilir.

Hatırlayınız !

a:b=c:d c:d=a:b d:b=c:a a:c=b:d

B 4.

c:a=d:b d:c=b:a b:a=d:c b:d=a:c

Dikat ediniz: 3 = 12 ; 3 ⋅ 20 = 5 ⋅ 12 dir.

4 : 5 = 28 : 35 orantısındaki oranları, kesir biçiminde yazınız.

Terimlere "çapraz çarpma" uygulayarak

Terimleri çapraz çarpma ile çarpınız ve elde edilen sonuçları karşılaştırınız.

5

20

x = 8 denkleminden 3 27

belirtilsin.

Ne farkediyorsunuz?

x ⋅ 27 = 3 ⋅ 8, yani x = 8 bulunur.

9

196

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

Ĺžunu farkediyorum: 4 = 28 orantÄąsÄąndan 4 â‹… 35 = 5 â‹… 28 = 140 elde edilir. Bu ise demektir

5

35

ki, dÄąĹ&#x; terimlerin çarpÄąmÄą iç terimlerin çarpÄąmÄąna eĹ&#x;ittir.

Genel olarak geçerlidir

a:b=c:d

a : b = c : d orantÄąsÄąnda, dÄąĹ&#x; terimlerin çarpÄąmÄą iç terimlerin çarpÄąmÄąna eĹ&#x;ittir. Bu Ăśzellik, orantÄąnÄąn temel ĂśzelliÄ&#x;i dir.

â‹… â‹…

aâ‹…d=bâ‹…c

AçĹklamayÄą izleyiniz. EĹ&#x;it oranlarÄąn eĹ&#x;it deÄ&#x;erleri vardÄąr: a : b = k; c : d = k, yani a = kb; c = kd.

a ve d dÄąĹ&#x; terimlerin çarpÄąmÄą: a â‹… d = (k â‹… b) â‹… d = k â‹… (b â‹… d) dÄąr. (Niçin?) b ve c iç terimlerinin çarpÄąmÄą: b â‹… c = b â‹… (k â‹… d) = k â‹… (b â‹… d) dÄąr. (Niçin?) Demek ki, a â‹… d = k â‹… (b â‹… d) = b â‹… c gerekir.

5.

Verilen orantÄądan bilinmeyen x belirtilsin. x : 12 = 9 : 4;

15 : x = 3 : 5;

[

.

Verilen ßç orantÄądan x bilinmeyenini belirtmek için , orantÄąnÄąn temel ĂśzelliÄ&#x;inden yararlanÄąnÄąz.

6.

Verilen orantÄąnÄąn terimlerinden, dĂśrdĂźncĂź geometrik orantÄąyÄą belirtiniz: a) 2 : 3 = 5 : x;

7.

b) 2 : 7 = x : 77.

3, 4, 9 ve 12 sayĹlarĹ için orantĹlarĹ yazĹnĹz.

3 â‹… 12 = 4 â‹… 9 eĹ&#x;itliÄ&#x;i geçerlidir. Terimleri 3, 4, 9 ve 12 olacak

ÇÜzĂźmlerden biri 3 : 4 = 9 : 12 dir. 8 farklÄą çÜzĂźm vardÄąr. Bunlar-dan bazÄąlarÄąnÄą siz de bulunuz.

Ă–rnek: 3 : 9 = 4 : 12; 12 : 4 = 9 : 3; 12 : 9 = 4 : 3 v.b.

Genel olarak da geçerlidir SÄąfÄąrdan farklÄą a, b, c ve d gibi dĂśrt sayÄą için, iki sayÄąnÄąn çarpÄąmÄą kalan diÄ&#x;er ikisinin çarpÄąmÄąna eĹ&#x;it ise, bu dĂśrt sayÄą bir orantÄąnÄąn terimleridir.

OrantĂ˝

197

7.

Verilen sayılardan (mümkün ise) orantı kurunuz: a) 3; 16; 6; 8;

b) 3; 0,4; 0,5; 2,4;

c) 2; 3; 4; 5.

Bilmelisiniz:

Kendinizi yoklayınız !

Orantı nedir, ve terimleri nasıl adlandırılır.

Orantının temel özelliğini ifade ediniz.

Orantının temel özelliğinden nasıl yararlanılır.

2:

Orantıdan bilinmeyen terim nasıl belirtilir.

=3:

doğru mudur?

1 : 5 = x : 4 orantısından x belirtilsin. 3 sayısı 5, 12 ve 20 sayılarının dördüncü geometrik orantısı mıdır?

Ödevler 1. Verilen orantıyı okuyunuz ve dış ve iç terimlerini adlandırınız: a) 0,2 : 3 = 1 : 15;

6. Eşitlikteki sayılardan orantı kurunuz: a) 6 ⋅ 8 = 16 ⋅ 3;

b) a : x = b : y.

b)

.

2. Orantı katsayısı 5 olacak bir orantı oluşturunuz.

7. Verilen sayılardan orantı kurulabilir mi:

3. Şu orantılar verilmiştir: a) 14 : 56 = 23 : 92;

.

b)

Her orantıda terimlerin yerlerini değiştiriniz. Yine orantı elde edildi mi? Yoklayınız.

4. ;

b) 4 ve 8;

c) 3, 5, 8 ve 13;

b) 1, 5, 17 ve 85;

d)

c)

ve 8 ter-

ve

8. Bir orantının ilk terimi, ikincisinden 7,5 defa büyüktür. Üçüncü terim

orantısında: a) 4 ve

a) 3, 4, 9 ve 12;

olduğuna

göre, dördüncü terimi belirtiniz.

imlerinin yerlerini değiştiriniz. Her durum-da orantı elde edilir mi?

9. "Genç Matematikçiler" kolunun üye 5. Orantıdan x bilinmeyenini belirtiniz: a) x : 63 = 8 : 21;

d) 2 : x = 5 : 30;

b) 304 : 456 = x : 768; e) 3,03 : x = 5,05 : 6; c) 2x : 3,7 = 8 : 7,4;

198

f) 3,4 : 17 = 0,1x : 4.

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

sayısı ile "Genç Çevreciler" kolunun üye sayısıyla oranı 5 : 2 dir. Genç çevrecilerin üye sayısı 24 ise, genç matematikçilerin sayısı ne kadardır?

?

8

GEOMETRİK ORTA. BİLEŞİK ORANTI

Hatırlayınız !

A

Verilen orantıdaki x bilinmeyenini o şekilde belirtiniz ki, tüm terimler pozitif olsun: a) 3 : x = x : 27; b) x : 4 = 36 : x

1.

Orantının temel özellğinden yararlanarak, verilenin orantı olup olmadığını yoklayınız: a) 1 : 3 = 3 : 9;

b) 5 : 2 = 12,5 : 5.

a) şıkkındaki ifade için çözümü izleyiniz: Orantının özelliğini uygulayınız: 3 : x = x : 27; 3 ⋅ 27 = x ⋅ x;

x2 = 81.

x in değerini hesaplayınız: x = + 81 , x = - 81 ; x = 9, x = -9. Çözümü x = 9 koşuluna göre belirtiniz. Her iki orantının terimlerinde, ne farkediyorsunuz?

Birinci orantıda iç terimler birbirine eşit, ikinci orantıda ise dış terimler birbirine eşittir.

Unutmayınız Bir orantıda iç terimler birbirine eşit ise (a : b = b : c), tekrarlanan terimlere, diğer iki terimin geometrik ortası (ya da orta geometrik orantısı) denir.

a:b=b:c

b = ac

a = bc

a:b=c:a

b sayısı a ve c nin geometrik ortasıdır.

a sayısı ortasıdır.

b ve

c nin geometrik

Verilen sayıların geometrik ortasını belirtiniz:

2.

4 ve 16;

1 ve 8; 2

4 ve 9;

1 ve 49.

Hangi pozitif sayı 4 ve 16 sayılarının geometrik ortasıdır?

B

3.

O sayı

Verilen oranların değerlerini karşılaştırınız: 3 : 5;

4

4 $ 16 dir, yani 8 dir. 8 : 160 ve 3 : 20.

3

Elde ettiğiniz çözümü verilenle karşılaştırınız.

3 : 5 = 0,15; 4

8 : 160 = 24 : 160 = 0,15;

3

3 : 20 = 0,15.

Demek ki, oranların değeri birbirine eşittir.

Orantý

199

Ĺžunu yazabilirsiniz:

:5=8:

= 3 : 20.

Genel olarak da geçerlidir Ä°ki ya da ßç oran, Ăśrnek a : a1, b : b1 ve c : c1 birbirine eĹ&#x;it ise, onlarÄą devamlÄą orantÄą biçiminde

yazabiliriz: a : a1 = b : b1 = c : c1, ya da a = b = c ve buna bileĹ&#x;ik orantÄą denir.

a1

b1

c1

a : b : c = a1 : b1 : c1

Bunu kÄąsaca:

ilk terimler

ikinci terimler

biçiminde yazĹyoruz.

Verilen bileĹ&#x;ik orantÄąyÄą kÄąsaltÄąnÄąz:

4.

2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21;

5.

3:5=

:

: 5 = 21,25 : 100 =

: 4.

= 2,4 : 4 bileĹ&#x;ik orantÄąsÄą veriliyor.

Birinci terimi - orantÄąnÄąn birinci terimlerinin toplamÄąna eĹ&#x;it, ikinci terimi de - orantÄąnÄąn ikinci terimlerinin toplamÄąna eĹ&#x;it olacak bir oran oluĹ&#x;turunuz. Elde edilen oranÄąn deÄ&#x;erini, bileĹ&#x;ik orantÄąnÄąn oluĹ&#x;tuÄ&#x;u herhangi bir oranÄąn deÄ&#x;eriyle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz. Ne farkediyorsunuz? Elde ettiÄ&#x;iniz çÜzĂźmĂź verilenle karĹ&#x;ÄąlaĹ&#x;tÄąrÄąnÄąz.

TĂźm oranlar birbirine eĹ&#x;ittir.OnlarÄąn deÄ&#x;eri 3 : 5 = 0,6 dir. Elde edilen oranÄąn deÄ&#x;eri, bileĹ&#x;ik orantÄąyÄą oluĹ&#x;turan her oranÄąn deÄ&#x;erine eĹ&#x;ittir.

Genel olarak da geçerlidir BileĹ&#x;ik orantÄąda, tĂźm ilk terimlerin toplamÄą ile tĂźm ikinci terimlerinin toplamÄąyla oranÄą, bileĹ&#x;ik orantÄąyÄą oluĹ&#x;turan herhangi bir oranÄąn deÄ&#x;erine eĹ&#x;ittir. Ă–rnek: a : a1 = b : b1 = c : c1 = d : d1 = k ise, (a + b + c + d) : (a1 + b1 + c1 + d1) = k, ya da Buna, bileĹ&#x;ik orantÄąnÄąn temel ĂśzelliÄ&#x;i denir.

200

Konu 5. Fonksiyon. Orantýlýk

D E F G D E F G

N ..

6.

Bir üçgenin α, β ve γ açıları: a) 2 : 3 : 4;

b) 1 : 5 : 12 oranındadır.

α, β ve γ açılarını belirtiniz. Tavsiyelere göre hareket ediniz ve çözümü kıyaslayınız. Üçgenin iç açıları toplamını yazınız: α + β + γ = 180O . . . . (1) Bileşik orantıyı (eşit oranlar gibi) yazınız: α : 2 = β : 3 = γ : 4. Her oranın değeri k olsun. α, β ve γ açılarını k ile ifade ediniz. α : 2 = k, ya da α = 2k; β : 3 = k, ya da β = 3k; γ : 4 = k, yani γ = 4 k olur. α, β ve γ açılarının değerlerini (1) eşitliğinde değiştirmekle k yı hesaplayınız. 2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. α, β ve γ açılarını belirtiniz. α = (2 ⋅ 20)o; α = 40o; β = (3 ⋅ 20)o, β = 60o; γ = 80o.

Neleri bilmelisiniz: İki sayının ya da büyüklüğün, geometrik ortası nasıl hesaplanır; Bileşik orantının ne olduğunu; Bileşik orantının temel özelliği, nasıl ifade edilir ve uygulanır.

Kendinizi yoklayınız ! 8 : a = a : 32 orantısında a terimine ne denir? 6 sayısı 1 ve 36 sayılarının geometrik ortası mıdır? Verilen ifadeler aynı bileşik orantı mıdır: 3 : 9 = 5 : 15 = 28 : 84 ve 3 : 5 : 28 = 9 : 15 : 84

4. 2 160 sayısını, oranı aşağıda verilmş üç

Ödevler

sayının toplamı biçiminde gösteriniz. 1 : 5 : 12;

1. Verilen orantıdan x sayısını belirtiniz: a) x : 8 = 50 : x;

3 : 2 = 15 : 10 = 105 : 70 bileşik orantısı verilmiştir. Burada her oranın değeri 1,5 dir. Hesaplama yapmadan (3 + 15 + 105) : (2 + 10 + 70) oranının değerini belirtiniz.

b) x : 15 = 15 :

.

c) 6 : x = x : 24.

2. Terimleri 8, 12, 18 ve 12 sayıları olan orantıyı oluşturunuz.

3. a + b + c = 39 ve a : b : c = 3 : 4 : 6 olduğuna

1 : 10 : 25.

5. Bir çiftlikte mahsulün toplanması için A,

B ve C şirketleri çalışıyor. Onlar sırasıyla 16 000, 20 000 ve 30 000 iş saatı gerçekleştirmiştirler. Yapılan iş için çiftlik sahibi toplam 330 000 denar ödeme yapmıştır. Her şirket yaptığı iş saatlerine orantılı olarak ne kadar para almıştır?

göre a, b ve c sayılarını belirtiniz.

Orantý

201

ORANTILI BÜYÜKLÜKLER

9

DOĞRU ORANTILI BÜYÜKLÜKLER

Hatırlayınız !

A

Bir karenin kenarı a: a) artarsa b) azalırsa onun çevresi L nasıl değişir?

1.

21 : 7 oranı verilmiştir. Buna eşit olan, üç oran yazınız. a : b oranın değeri 5 dir. b terimi 8 ise, a terimi kaçtır? b terimi 4 defa azalırsa, a terimi nasıl değişir? Bu değişimi şu tabloda görünüz: a (cm)

1

2

2,5

3

4

5

L (cm)

4

8

10

12

16

20

Farkettiniz ki, iki değişken büyüklük (ya da yalnız büyüklük) vardır: karenin kenarı ve karenin çevresi. Karenin kenarı iki defa artarsa, çevresi kaç defa arttığını tabloda görünüz (örnek 2 den 4 e ya da 2,5 ten 5 e) . Bir otomobil, düzgün hareket ederek 1 dakikada 2 km yol geçer.

2.

2 dak; 4 dak; 5 dak. hareket esnasında geçilen yol kaç kilometre olacaktır? Hareket zamanı artarsa, geçilen yol nasıl değişir?

Şunu farkettiniz Bu ödevde de, iki değişken vardır: otomobilin hareket zamanı ( x ile işaret edelim) ve geçilen yolun uzunluğu (y ile işaret edelim). x ve y büyüklükleri birbirine bağlıdır, çünkü birini değişmesiyle diğeri de değişir x ve y büyüklüklerin değişimini şu tabloda daha iyi görebilirsiniz:

202

x (dak)

1

2

3

y (km)

2

4

6

3,5

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

5

6

10

12

6,5

8 16

10 10,5

12

15 30

x değişkeninin değerleri tahmini olarak 1 den 15 e kadar verilmiştir. Onlara karşılık gelen y değerleri ise hesaplanarak bulunmuştur. y nin her değeri karşılığı olan x değerinden 2 defa büyük olduğunu farkediyorsunuz.

x değişkeninin değerlerinde ne farkediyorsunuz? y değişkenin-de ise ne?

y : x = 2 yada y = 2x olduğunu görebiliyorsunuz. Hareket zamanı 2 defa arttığında (3 dak.dan 6 dak. ya) ya da (5 dak.dan 15 dak.ya), yolun uzunluğu nasıl değişmiştir?

Yol uzunluğu da hareket zamanın arttığı kadar orantılı olarak artmıştır: 2 defa (6km den 12 km ye) ya da 3 defa (10km den 30 km ye).

Şunu diyebiliriz: Bir değişkenin değerinin artmasıyla (ya da azalmasıyla), ona karşılık olarak diğer değişkenin de değeri orantılı olarak artar (ya da azalır). İki büyüklük arasında bu gibi bağlılığa doğru orantı denir, x ve y büyüklüklerine de doğru orantılı büyüklükler denir.

Genel olarak y bölümü aynı bir k (k ≠ 0) sayısına eşit ise , y değişken x

Herhangi karşılıklı x ve y çifti için,

büyüklüğü x değişkeniyle doğru orantıdadır denir.

y = k , yani. y = k ⋅ x x k sayısına orantı katsayısı, y = kx denklemine ise orantının fonksiyonu (ya da formülü) denir. y = kx denklemi x = 1 y biçiminde yazılabilir. Bu durumda, x değişkeni y ile 1 orantı katsayısıyla orantılıdır denir.

3.

k

k

1 kg elmanın fiyatı 20 denardır. 4,5 kg elma için ne kadar para gerekir? 330 denar parayla kaç kilogram elma satın alınabilir? Çözümü izleyiniz ve kaideyi görünüz: Elma miktarını kilogram olarak x ile, ona karşılık gelen denar miktarını y ile işaret ediniz.

Orantýlý B]y]kl]kler

203

olduğuna göre, y = 20x olduğunu yazabiliriz. 4,5 kg elma için, y = 20 ⋅ 4,5 = 90; 90 denar gerekir. olduğundan, y = 330 denar için

x = 16,5 kg elma satın

alınabilir.

4.

15 m2 badana yapmak için 2,4 , sulandırılmış kireç gerekir. 70 m2 badana için ne kadar sulandırılmış kireç gerekir? Elde ettiğiniz çözümü, verilenle karşılaştırınız: x -alan ( m2), y - sulandırılmış kireç miktarı ( , ). orantı katsayısıdır. x = 70 m için, y = 0,16 ⋅ 70 = 11,2; elde edilir, yani 11,2 , sulandırılmış kireç gerekir. 2

B

formülüyle x ve y büyüklükleri arasındaki düz oramtı verilmiştir.

5.

Verilen tabloyu defterinizde yazınız ve y değişkenine karşılk gelen değerleri yazınız. x

-2

y

-1 -0,5

-1

0

1

2

3

4

y

2

3

(x, y) sıralı çiftlerini: (-2, -1), (-1, -0,5) v.b. (7 tane) koordinat düzleminde noktalar gibi gösteriniz. Yaptığınız şekil, yandaki şekil gibi olmalıdır.

2 1 -2

x

-1

Cetvel kullanarak, elde edilen noktalar bir doğru üzerinde olduğunu doğrulayınız.

0

y

y değişkenine karşılık gelen değerleri hesaplayınız. Rasyonel sayılardan oluşan bu sıralı çiftleri yazınız ve koordinat düzleminde gösteriniz.

3

Bu noktalar da, verilen noktalarla doğrudaş olduklarını görünüz.

1

204

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

2

3

4

-1

x değişkeninin değerleri olarak 0,5; -1; 2; 3; 4 sayılarını seçiniz.

Daha da, apsisi x (x ∈ R) ve ordinatı y = 0,5x olan her nokta, şekildeki doğru üzerindedir.

1

2

-2

x

-1 -1,2

0 0,5 1 -1

2

3

3,4

4

Unutmayınız ! y = 0,5x formülüyle verilmiş olan doğru orantının grafiği bir doğrudur. y = 2x formülüyle verilmiş olan doğru orantının grafiğini çiziniz.

6.

Neleri bilmelisiniz: İki büyüklük hangi durumda doğru orantıdadır denir; Doğru orantının formülünü tanımalısınız;

Kendinizi yoklayınız! x ve y büyüklüklerinin doğru orantısı y = 4x formülüyle verilmiştir. tablo oluşturunuz. Ondan sonra

Doğru orantının grafiğinin çizimi nasıl yapılır.

Ödevler 1. Şu büyüklüklerden hangileri doğru orantıdadır?

olmak üzere doğru orantının grafiğini çiziniz.

4. Doğru orantıyı grafikle gösteriniz: b) y = 3x.

a) y : x = 1 : 2;

a) Karenin kenarı ve karenin çevresi. b) Dairenin yarıçapı ve dairenin alanı. c) Düzgün harekette geçilen yol ve hız.

5. Şekilde x ve y

büyüklüklerinin düz orantısının grafiği gösterilmiştir. y

d) İşçi sayısı ve işin yapılması için gereken zaman. e) Küpün ayrıtı ve küpün alanı.

2 1

2. x ve y büyüklükleri, orantı katsayısı k = 3 ile doğru orantılı büyüklüklerdir. a) Doğru orantının formülünü yazınız. b) x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere y nin karşılıklı değerlerini belirtiniz.

3.

a) kenarı a olan karenin; b) yarıçapı r dairenin; c) kenarı y olan eşkenar dörtgenin çevresine ait formülü yazınız.

Her formül için orantı katsayısını belirtiniz ve o formül düz orantı formülü müdür? Açıklayınız.

-2

-1 0

1

2

3

x

4

-1

Şekilden yararlanarak tablo oluşturunuz. Orantı katsayısını belirtiniz. Doğru orantının formülünü yazınız.

Orantýlý B]y]kl]kler

205

10

TERS ORANTILI BÜYÜKLÜKLER

A 1.

Hatırlayınız ! x ve y büyüklükleri

y = 3 formülünü x

sağlayan doğru orantılı büyüklükler olsun.

Kenarları a ve b olan dikdörtgenin alanı 36 cm2 dir; a ⋅ b = 36 dir.

Tabloda alanı 36 cm2 olan birkaç dikdörtgenin kenar uzunlukları verilmiştir.

x = 4 ise, y kaçtır?

a (cm)

1

2

3

4

5

6

x değeri 5 defa artarsa (örnek: 4 ten 20 olursa) y değeri nasıl değişecektir?

b (cm)

36

18

12

9

7,2

6

a kenarının uzunluğu arttığında b kenarının uzunluğu nasıl değiştiğini tablodan görelim: a) 2 defa (örnek: 1 den 2 ye; 2 den 4 e); b) 3 defa (örnek: 1 den 3 e ; 2 den 6 ya) ? a kenarı kaç defa artarsa, b kenarı o kadar defa azalacağını gördüm.

İşgücü aynı olan 24 işçi bir işi 16 günde bitiriyorsa, aynı işi: 2 defa daha az (yani 12) işçi ; 4 defa daha az (yani 6) işçi; 2 defa daha çok (yani 48) işçi kaç günde bitirecektir?

2.

Elde ettiğiniz çözümü, verilen çözümle karşılaştırınız: 2 defa daha az(12 ) işçi, aynı işi 2 defa daha çok (32) günde bitirecektir; 4 defa daha az(6 ) işçi, aynı işi 4 defa daha çok (64) günde bitirecektir; 2 defa daha çok (48 ) işçi, aynı işi 2 defa daha az (8) günde bitirecektir. 24 ⋅ 16 = 12 ⋅ 32 = 6 ⋅ 64 = 48 ⋅ 8 = 384 olduğunu görebilirsiniz.

Genel olarak İşçi sayısı x , günler sayısı y ise, o halde x ⋅ y = k (k - sabit sayıdır) ya da

olur.

Yani x (k - sabit sayıdır)değişkeninin değerleri ve onlara karşılık gelen y değişkeninin değerlerinin çarpımı sabittir. Bu özelliği olan iki büyüklüğe ters orantılı büyüklükler denir.

206

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

Örneklerden şunu farkedebilirsiniz: Bir değişkenin değeri m defa artarsa, diğer değişkenin karşılıklı değeri m defa azalır; Bu özellik şu şekilde ifade edilir: Bir değişkenin değeri hangi oranda artarsa, diğer değişkenin aynı oranda azalması karşılık gelir İki büyüklüğün, böyle bağımlılığına ters orantılık denir.

Unutmayınız x ⋅ y = k eşitliğini sağlayan x ve y büyüklüklerine, ters orantı katsayısı k (k > 0) olan ters orantılı büyüklükler denir.

y = k denklemine ters orantının fonksiyonu (ya da formülü) denir. x

Tabloda gösterilmiş olan her x ve y çiftinin y ⋅ x çarpımını belirtiniz ve x ve y büyüklükleri ters orantılı olup olmadıklarını tespit ediniz.

3.

a)

B 4.

x

3

4

5

6

y

8

6

4,8

4

b)

x

10

20

30

40

60

y

60

70

40

30

20

x ve y büyüklükleri arasındaki ters orantılık

x ∈ {-12, -8, -6, -4, -3, -2, -1 oluşturunuz.

, -1, 1, 1

formülüyle verilmiştir.

, 2, 3, 4, 6, 8, 12} olmak üzere tablo

Elde edilen sıralı çiftleri, koordinat düzleminde noktalar gibi gösteriniz. Elde ettiğiniz çözümü, şu çözümle karşılaştırınız: x

-12

-8

-1 -

-6

-4

-3

-2

-2

-3

-4

-6

-8

-1

1

-12 12

8

2

3

4

6

6

4

3

2

Orantýlý B]y]kl]kler

8

12 1

207

Farkedebilirsiniz : x değişkeninin pozitif değerlerine, y değişkeninin pozitif değerleri karşılık gelir. x in "büyük" değerlerine, y nin "küçük" değerleri karşılık gelir ve tersine. Örnek: x = 12 için: y = 1 dir; x = 120 için: y = 0,1 dir; x = 12 000 için de: y = 0,001 dir. x = 2 için: y = 6; x = 0,2 için: y = 60; x = 0,002 için ise: y = 6000 karşılık gelir. x değişkeninin negatif değerlerine, y değişkeninin negatif değerleri karşılık gelir.

5.

ters orantı fonksiyonu verilmiştir. x ∈ {-6, -4, -3, -2, -1 tablo oluşturunuz.

, -1, 1, 1

, 2, 3, 4, 6} değerleri için elde edilen karşılıklı değerlerle

Tabloda elde edilen (x, y) sıralı çiftleri, dikaçılı koordinat sisteminde noktalar gibi gösteriniz.

fonksiyonun grafiğini çiziniz. Koordinatları A(2 400; 0,0025) olan nokta bu grafiğe ait midir? Elde ettiğiniz grafiği, yandaki çizimle karşılaştırınız.

x ve y ters orantılı büyüklükler olduğu bilindiğine göre tablodaki soru işareti yerine hangi sayı yazılmalıdır ?

6.

a)

x

1

2

3

4

y

?

?

4

?

b)

x

-3

-2

2

y

?

?

3

c)

a), b) ve c) şıklarının her birine ait olan ters orantı formülünü yazınız.

208

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

x

1

5

50

y

?

20

?

Kendinizi yoklayınız !

Neleri bilmelisiniz: Hangi durumda iki büyüklük ters orantılıdır;

X ve Y ters orantılı büyüklüklerin tablosundan iki sıralı çift ayırınız ve orantı oluşturunuz.

Ters orantı formülünün yazılışını; X Verilen değerlere göre (tablo veya benzer), iki büyüklüğün ters orantılı olup olmadığı nasıl belirtilir. İki büyüklüğün ters orantılık grafiği nasıl çizilir.

2

Y

3

4

5

6

1 ters orantı fonksiyonunu veriliyor.

x ∈ {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} değerlerini alarak tablo oluşturduktan sonra fonksiyonun grafiğini çiziniz.

Ödevler 1. Verilen büyüklüklerden hangileri düz, hangileri ters orantılı olduklarını doğrulayınız: a) Bir havuzun su ile doldurulduğu borunun enine kesiti çapı ve doldurulma zamanı; b) otomobilin geçtiği yol ve harcanan yakıt miktarı; c) Cismin hacmi ve sabit kuvvetle etki edilen cismin ivmesi (hızlaması) ;

3. Ters orantı

formülüyle veriliyor.

a) x ∈ {-5, -4, -2, 2, 4, 5, } olmak üzere, y büyüklüğünün karşılıklı değerledini belirtiniz. b) y ∈ {-2, -1, -

,

, 1, 4} olmak üz-

ere x büyüklüğünün karşılıklı değerlerini belirtiniz.

d) Karenin alanı ve kenarının uzunluğu.

2. x ve y büyüklükleri , orantı katsayısı k = -4 ile ters orantılı büyüklüklerdir. x ∈ {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere y değerini belirtiniz.

4. Verilen ters orantıyı grafiksel şekilde gösteriniz: a)

;

b)

; c)

Orantýlý B]y]kl]kler

.

209

11

BASİT ÜÇLÜ KURAL

Hatırlayınız ! Mehmet bir dağın tepesine tırmanıyordu. yokuş daha sert olduğu yerlerde daha yavaş, yokuşun daha yumuşak yerlerinde daha hızlı ilerliyordu.

A

1.

Bir otomobil düzgün hareketle 3 saatte 216 km yol geçmiştir. Aynı otomobil 7 saatte kaç kilometre yol geçer? Merve ve Jale, kendi yöntemine göre ödevi kendi başına çözüyorlar.

Tırmanma hızı ve yokuşun durumu büyüklükleri arasındaki bağıntı nasıldır?

Merve Bir saatte otomobil 216 : 3 = 72, yani 72 km yol geçmiştir. 7 saatte 7 ⋅ 72 = 504, yani 504 km yol geçmiştir.

Mehmet otomobille hareket ederek gideceği yere 2 saatte vardı. Otomobille daha hızlı hareket etseydi, gideceği yere 2 saatten önce yetişecekti.

Jale

Otomobilin hızı ve Mehmetin gideceği yere kadar hareket zamanı büyüklükleri birbirine göre nasıl bağıntıdadır?

Otomobilin geçeceği yol x olsun. O halde otomobil 3 saatte x yolunun kısmını geçmiştir. Demek ki, 216 =

Şunu görünüz:

⋅ x, x =

= 504, yani 504 km

yol geçmiştir.

Ödevdeki yol ve zaman büyüklükleri doğru orantılı büyüklüklerdir. x aranılan yolun uzunluğu olsun. Bu durumda, 3 saat : 7 saat oranı 216 km : x km oranına eşittir, ya da 3 : 7 = 216 : x, 3x = 7 ⋅ 216, x = 504, yani 504 km bulunur. Bunu daha düzenli oarak aşağıdaki şekilde yazıyoruz: 3 saat

216 km

7 saat

x km

Birinci satırda bilinen büyüklükler 3 saat .... 216 km. İkinci satırda aynı cinsten büyüklükler üst üste gelecek şekilde, kalan büyüklük ve bilinmeyen büyüklük yazılır. Bilinen terimlerden (büyüklüklerden) oluşan satıra koşul satırı, bilinmeyen içeren satıra ise soru stırı denir. Bilinmeyen terimden üstünde bulunduğu terime doğru ok çiziniz.

210

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

Bilinen terimler önünde de, büyüklükler doğru orantılı oldukları durumda x önündeki ok ile aynı yönlü, ters orantılı oldukları durumda ise ters yönlü ok çiziniz. Birinci terimi, okun başlangıç noktasında olan terim, ikicisi ise okun uç noktasındaki terim olmak üzere her iki çiftten orantı oluşturunuz. Orantıda bilinmeyenin değeri

3x = 216 ⋅ 7 denkleminin çözümüdür, yani x = 504 km.

Unutmayınız Yukarıda gösterilen şemaya göre orantının kurulmasına basit üçlü kural denir. .

2.

Bir terzi 6 günde 2 kat elbise dikebilir. a) Terzi 24 günde kaç kat elbise dikebilir? b) Bu terzi kaç günde 9 kat elbise dikebilir?

3.

126 sayfalık bir yazının her sayfasında 45 satır vardır. Sayfada 35 er satır olursa aynı yazı kaç sayfa olur? Yusuf ve Berkan ödevi çözüyorlar. Berkan

Yusuf Her sayfada 35 er satır varsa yazının 126 sayfası ve (126 ⋅ 10) satırı = 1 260 satır; 1260 : 35 = 36 sayfa. Buna göre, toplam 126 + 36 = 162, yani 162 sayfa olur.

Satırlar sayısı ve sayfalar sayısı ters orantılıdır. 35 satırlı sayfaların sayısı x olsun. O halde 45 : 35 = x :126; 35x = 45 ⋅ 126; x = 162, yani 162 sayfa.

Daha açık 126 sayfa

45 satır

koşul satırı

x sayfa

35 satır

soru satırı

x : 126 = 45 : 35; x = 162 sayfa.

Koşul satırında (ikinci satırda) soru soruluyor: Bir sayfada satır sayısının azalması gerkiyorsa (45 ten 35 e), yazının sayfaları sayısıyla ne olacaktır? Cevap: Sayfaların sayısı artacaktır. Demek ki, bir sayfadaki satır sayısı ve aynı yazının sayfa sayısı büyüklükleri ters orantılıdır.

Orantýlý B]y]kl]kler

211

"Sağlıklı Besin" şirketi tarlalarını 6 traktörle sürüyor ve onlar için 15 günlük yakıtı vardır. Beş günden sonra daha 4 traktör sürmeğe katılmıştır. Traktörler aynı miktar yakıt harcadığına göre kaç günde yakıt harcanacaktır.

3.

Yardım Kaç gün 6 traktör, kaç gün ise 10 traktör sürmüştür? kalan 10 gün için iki durumu inceleyiniz: 1) 6 traktör sürdüğü durumda 10 günlük yakıt vardır: 2) (6 + 4) traktöre kaç gün için yakıt vardır?

Kendinizi yoklayınız !

Bilinmesi gereken: Orantının terimlerini iki satırda o şekilde yazmalısınız ki, satırlardan birinde aranılan büyüklük olsun;

12 kg kahve 2 160 denar ederse, 23 kg kahve kaç denar eder?

Soru satırıyla orantının nasıl - doğru yoksa ters olduğunu belirtmelisiniz.

Okları çiziniz.

Orantı kurarak bilinmeyen terimi belirtmelisiniz.

Ödevler 1. 17 kg et 3 060 denar ederse , aynı etten 71 kg et kaç denar eder?

2. Bir işi 24 işçi 8 günde bitirebilir.

Aynı şartlar altında bu işi 16 işçi kaç günde bitirebilir?

Şema yapınız! Orantıdaki bilinmeyen terimi hesaplayınız.

4. Bir otomobil saatte 60 km hızla hareket ederek A yerinden B yerine 6 saatte yetişmiştir. Otomobil, saatte 80 km hızla hareket etseydi A yerinden B yerine kaç saatte yetişecekti?

5. Üç işçi 14 günde 150 m3 duvar yapıyorlar. Aynı koşullar altında 7 işçi 375 m3 duvarı kaç günde yapacaklar? Yardım: iki defa basit üçlü kuralını uygulayınız.

3. Bir otomobil 250 km yol geçerek 22,5 , benzin harcamıştır. Bu otomobil 90 , benzin ile kaç kilometre yol geçecektir?

212

Konu 5. Fonksiyon Orantýlýk

6. Bir pompa

saatte 360 h suyu 25 m yüksekliğe

pompalıyor. Aynı pompa 8 saatte 10m yüksekliğe kaç hektolitre su pompalayacaktır?

FONKSİYON VE ORANTILIĞI İNCELEDİNİZ. BİLDİKLERİNİZİ YOKLAYINIZ Ok diyagramıyla A = {a, b, c} kümesinin dekart karesi gösteril-melidir. Orada kaç ok eksiktir? Onlar hangileridir?

1.

A dan B ye eşleme elde etmek için yandaki ok diyagramdan hangi iki okun silinmesi gerekir?

A

7.

Koordinat düzleminde köşelerinin koordinatları A (3,1), B(-1,2), C(-2,-3) olan ABC üçgenini çiziniz. A = {a, b, c, d, e, f }, B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor.

2. 3.

6. B 5 4 3 2 1

8.

Eşlemenin verilme çeşitlerini sayınız.

9.

Eşitlikten bilinmeyen terimi belirtiniz: a) x : 0,5 = 2,5; b) 3 ⋅ x = 4 .

10. Terimleri, 7 ⋅ 24 = 6 ⋅ 28 eşitliğindeki çarpanlardan oluşan orantıyı kurunuz.

11. 3 : 8 = x : 60 orantısındaki bilinmeyeni

Koordinat düzleminde A x B den farklı bir R bağıntısını gösteriniz.

12. Tabloda verilen x ve

Yandaki ok diyagramıyla A = {1, 2, 3} kümesinde R bağıntısı gösterilmiştir. Onun grafiğini yazınız.

5.

B

A x B dekart çarpımını koordinat şemasıyla gösteriniz.

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinde R = {(1, 1), (1, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (6, 6)} bağıntısı verilmiştir. R bağıntısını koordinat şemasıyla gösteriniz.

4.

A

A

y büyülükleri orantılıdır.

x

2

4

6

7

y

7 14 21 ?

Orantı katsayısını belirtiniz. Tablodaki soru işareti yerine hangi sayı yazılmalıdır?

13. x ve y büyüklükleri, orantı katsayısı 20 olan ters orantılı büyüklüklerdir. Tabloda soru işaretleri yerine hangi sayılar yazılmalıdır?

R1 ve R2 bağıtılarından hangisi A dan B ye eşlemedir (fonksiyondur)? AxB B AxB 5 R1 R2 4 3 2 1 1 2 3 4 A

terimi hesaplayınız.

1 2 3 4 5 6

A

x y

4

4 800 120

64

14. 12 öğrenci 5 günde 940 çam fidanı dikmiştir.

a) Aynı işi 30 öğrenci kaç günde bitirecektir? b) Aynı işi bir günde kaç öğrenci bitirebilir?

Bildiklerinizi yoklayýnýz

213

ÖDEVLERİN CEVAPLARI VE ÇÖZÜMLERİ

VEKTÖRLER, ÖTELEME VE DÖNME

KONU 1.

a) ışın, b) nokta , doğru parçası ya da ∅.

1.

2.

a) ışın, b) doğru ya da "kesik doğru"

3.

a) AB ve DC; AO ve OC; b) AB ve BA; DC ve BA. c)

4.

OA ↑↓ O2A.

3.

b B

5.

C

c)

a

c

c

M

b

4. a) AC = a + b ; b) BD = b - a .

a -a

M

6

a+b

a

a)

b

b

c c

b)

c

a+b f)

b

b) -

a

a

a

c a+c

b+c

214

b

b a +

-b + 0

0-a a

(a +

a

0 b) ve d). a) AC; b) DB; c) -d; d) 0; 2. 3.

c)

c) M

a

3.

M

4.

M

d)

M

-b b

e)

+0

O

b)

M

d)

b

0

M

1. a) -a

a

a-0 a

a-b

)+b

A

evet.

b

b) M

b

c

D

b

4.

a

a)

(a

a

2.

6. a

E

b

a

evet.

b

b

b

a

2.

4

a

a-

1.

c c

3

b

d)

c

b

b

c

a-c

aynı yönlü b), d), e).Ters yönlü a), c) şıklarıdır. f) şıkkındaki vektörler karşılaştırılamaz. a

b-c

a

evet; evet.

2.

AB, CD, EF.

b)

)-b

3.

1.

b

(a

2

1. a)

b

5

a-

1

Ödevlerin cevaplarý ve çözümleri

1.

B1

B

a A

2. A

t(A) a

C1

A1 C 3.

t(A) M1

A M

7 b)

1. a)

B

a

B1

a

D 4.

A

A1

B

2. a

a

A

B1

p1

a

O1 k 1

4. a

8 2.

B

C1

C

a

M2M vektörü için öteleyiniz. Sayfa 5 e bakınız. 2.

3.

a)

A

O1

A1

⋅

i 0.

2. (-2,5) 2;

3. 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6;

; (x + 6)2. ⋅

b 9. A A

a A1

-a

11.

A k O

A1

a

M

-b

a-b

a

B

B1 k2

q

B

O1

k1

p

Tavsiye: k çemberini a vektörü için öteleyiniz(şekle bakınız). a || p . t(k) = k2; k1 ∩ k2 = {A, B}. AB doğrusu aranılan q doğrusudur. 12. Tavsiye. k1 çemberinin yarıçapı r1 ve merkezi O1, k2 çemberinin yarıçapı r2 ve merkezi O2 oliçin ötelemesi k3 olsun. k2 ∩ k3 = {A, M}. A ve M nktalarıyla p doğrusu bellidir. AV doğrusu ikinci, çözümdür.

KUVVETLER. KAREKÖK

üs (kuvvet): 3, 6, 7, m, p, 4, 3 ve 20.

(-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2);

10.

b

a) -a

b

b) a

sun. k1 ∩ k2 = {A, B}. k1 çemberini 2O1A vektörü

O

1. Taban: 6; 3; 4,26; 3p; (-x + 4); -p8;

x6; (a + b)3; 65;

b) A M

Sayfa 9 a bakınız.

KONU 2.

1

a+ A

O k 1 q

esini yapınız (birinci çözüm). İkinci çözüm: k1 çemberini

O2

b

8.

b

a

A

çiziniz. n ∩ k1 = {M1, M2}. k1 çemberine M1M ötelem-

A2

a)

a

7.

B1 B Tavsiye. p doğrusuna BA vektörüne göre 1. t ötelemesini uygulayınız.Bu durumda p1 = t(p), olduğuna göre { p ∩ p1 = {M} dir. M noktasının AB vektörü için ötelenmesindeki resmi N noktasıdır. Tavsiye. p ve q doğrularına değen k1 çemberini çiziniz. p M M n M 1 2

1.

6.

A

A

A1

k

N

M

b a

b

M noktasından p doğrusuna paralel olan n doğrusunu

Test:

C

B

A

D

M

O1 A1

O

a

O1

B

a

5. a)

O k

B1

3.

a

5.

S

A1

p

b)

N

⋅

⋅

⋅

;

⋅

(-x + 3)(-x + 3) (-x + 3); m 3 ⋅ m 3 ⋅ m 3 ⋅ m 3.

2

1.

4.

19 ⋅ 1023;

-32; 25;

⋅

;

; -0,0279936.

; 19 sıfır

.

Ödevlerin cevaplarý ve çözümleri

14 sıfır

215

2.

4 350 000; 450;

690;

0,015;

3. a) 4 + 3 = 7; b) 6 + 1,73 = 7,73;

2 678 300;

c) 3 ⋅ 1,73 + 1,41 = 6,60; d) 2,65 - 1,73 + 1,41 = 2,33;

0,00392. 3. 3; 12; 68; 3.

8

4. (6 : 3 + 3) ⋅ 32 = 45; 6 : (3 + 3) ⋅ 32 = 9; (6 : 3) + (3 ⋅ 32) = 29.

3

1. 35;

x20; y102; 6115; 2 i p.

1; 1. 4.

4

3.

4;

;

5. 4; 4.

; 1 679.

3.

a;

172; 1,13;

;

;

b) (a6)3; c) (a9)2. 5. a)

Q nun elemanları : -

2.

6. 1024.

; b) 64.

, -2, -

1.

5 - taban; 3 - kuvvet.

a) 36; (a - 1)3; b) x x x x x x x; (-2)(-2)(-2);

2.

3. a) 625; b) -125;

(x - y)(x - y)(x - y)(x - y)(x - y).

4. a) 25 ⋅ 103; b) 705 ⋅ 104.

c) -5; d) 1.

6. a) (ab)2;

, 0, 1 ve 2 dir;

R kümesinin elemanları verilen tüm sayılardır. b) ve d) şıkları doğrudur.

Test: ;

4. a) (a2)9;

.

N in elemanları : 1 ve 2 sayılarıdır;

Z nin elemanları : -2, 0, 1 ve 2 sayılarıdır;

;

2.

1. a6b2; x28y21; a2y6b10; 79a54b36. .

2.

x10; (-b)16.

1.

5. a) 25 ⋅ 0,15; b) 2103 ⋅ 0,13;

6. a) 0; b) 2.

b) (3x) ; c) (x yz ) ; d) (2x y ) . 6

5

2

3 4

3 2 3

1. a) 4,5; b) 72; c) 1.

2. a) x = 12 veya x = -12;

b) x = 6 ya da x = -6; c) x = 6 ya da x = -6. 3. 18 cm.

6

2.

7 ve 8;

-3

-

0

,