Matematika_8_alb

2010 Skopje

I nderuar nx[n[s! Ky lib[r do t[ mund[son t’i m[sosh p[rmbajtjet e parapara p[r klas[n VIII. Do t[ m[sosh p[rmbajtje t[ reja interesante p[r ngjashm[rin[ e figurave. Do t[ m[sosh teknika p[r zgjidhjen e barazimeve lineare dhe jobarazimeve lineare, si dhe p[r zgjidhjen e disa sistemeve t[ barazimeve lineare. Do t’i zgjerosh njohurit[ p[r funksionin linear edhe p[r trupat gjeometrik, syprin[n dhe v[llimin e tyre. Libri [sht[ ndar[ n[ kat[r t[r[si tematike, kurse disa prej tyre jan[ ndar[ n[ n[ntema. T[r[sit[ tematike fillojn[ me p[rmbajtje, kurse nj[sit[ m[simore n[ to jan[ t[ num[ruara. Te nj[sit[ m[simore ka shenja me ngjyra dhe mbi ato jan[ shkruar porosi, aktivitete, obligime dhe sygjerime t[ tjera edhe at[: Nj[sit[ m[simore fillojn[ me di]ka q[ e ke t[ njohur. Duhet t[ kujtohesh Kujtohu! dhe t’i zgjidhish k[rkesat e dh[na. At[ do ta shfryt[zosh gjat[ t[ m[suarit t[ m[simit t[ ri.

A

,

B

...

1. 2. 3.

Me k[to shenja, nj[sia m[simore [sht[ ndar[ n[ pjes[ te t[ cilat u kushtohen koncepteve t[ reja. Me shenjat e k[tilla jan[ sh[nuar aktivitetet, pyetjet dhe detyrat q[ do t’i zgjidhish n[ m[nyr[ t[ pavarur ose me ndihm[n e arsimtarit t[nd. N[ k[t[ pjes[ e m[son m[simin e ri, prandaj duhet t[ jesh i kujdessh[m dhe aktiv q[ sa m[ mir[ ta m[sosh dhe ta kuptosh. Ajo q[ [sht[ m[ me r[nd[si [sht[ me ngjyr[ portokalli.

... Duhet t[ dish:

Ajo q[ [sht[ m[ e r[nd[sishme nga m[simi [sht[ ve]uar n[ form[ t[ pyetjeve, detyrave ose pohimeve. At[ duhet ta mbash n[ mend dhe ta shfryt[zosh gjat[ zgjidhjeve t[ detyrave dhe shembujve praktik.

Kontrollohu!

Kjo pjes[ p[rmban pyetje dhe detyra me t[ cilat mund t[ provosh pjes[n m[ t[ madhe t[ asaj q[ e ke m[suar a e ke kuptuar q[ t[ mund ta zbatosh dhe shfryt[zosh n[ jet[n e p[rditshme. Duhet rregullisht dhe n[ m[nyr[ t[ pavarur t’i zgjidhish k[to detyra. Me t[ m[ mir[ do ta kuptosh at[ q[ e ke m[suar, kurse ajo do t[ jet[ shum[ e dobishme p[r ty.

Detyra Përpiqu! ...

KONTROLLO NJOHURIN{ T{NDE

P[rpiqu t’i zgjidhish detyrat dhe problemet n[ k[t[ pjes[ (kjo nuk [sht[ e domosdoshme). Me t[ do t[ dish m[ shum[ dhe do t[ jesh m[ i pasur me ide. N[ fund t[ ]do teme ke teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe n[ m[nyr[ t[ pavarur testin dhe me t[ do t[ provosh njohurit[ tua nga tema e m[suar.

N[se has n[ v[shtir[si gjat[ t[ m[suarit t[ matematik[s mos u dor[zo, p[rpiqu p[rs[ri, kurse k[mb[ngulja do t[ sjell[ rezultat dhe k[naq[si. Do t[ na g[zon n[ qoft[ se me k[t[ lib[r do ta duash m[ shum[ matematik[n dhe do t[ arish sukses t[ shk[lqyesh[m. Nga autor[t

TEMA 1.

NGJASHM{RIA

SEGMENTET PROPORCIONALE Raporti nd[rmjet dy segmenteve Segmentet proporcionale Ndarja e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta Teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale 5. Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Talesit TREK{ND{SHAT E NGJASH{M 6. Figurat e ngjashme. Trek[nd[shat e ngjash[m 7. Kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 1. 2. 3. 4.

8. 4 8 12

9.

16 20

10. 11. 12.

24 27

13.

Kriteri i dyt[ dhe i tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m 31 Raporti i perimetrave dhe raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m 33 TEOREMA E PITAGOR{S Ngjashm[ria te trek[nd[shi k[nddrejt 37 Teorema e Pitagor[s 41 Detyra me zbatimin e teorem[s s[ Pitagor[s 44 Popullimi, mostra 48 Provo njohurin[ t[nde 53

Segmentet proporcionale

3

SEGMENTET PROPORCIONALE

1

RAPORTI ND{RMJET DY SEGMENTEVE

A 1.

Kujtohu! Raport ose p[rpjes[ e numrit a dhe numrit b (b ≠ 0) [sht[ her[si i a dhe b, d.m.th. a : b ose

A

a ; b

lexohet: a ndaj b; numri a quhet an[tari i par[, kurse b an[tari i dyt[ i raportit. Numri q[ fitohet duke kryer pjes[timin e a me b quhet vlera e raportit a : b dhe sh[nohet me k. N[ k[t[ rast a : b = k, d.m.th. a = bk.

b) 35 : 5;

c) 12 : 16;

B

C

D

ku AB = 6 cm, CD = 4 cm. Shkruaje raportin e numrave mat[s t[ gjat[sis[ s[ segmentit AB dhe gjat[sis[ s[ segmentit CD. Her[sin 6 : 4 do ta marrim si raport nd[rmjet segmentit AB dhe segmentit CD.

Në përgjithësi

Cakto vler[n e raportit: a) 28 : 4;

N[ vizatim jan[ dh[n[ dy segmente:

]) 1,8 : 2,4.

P[r cilat raporte themi se jan[ t[ barabarta? Cil[t prej raporteve a) - ]) jan[ t[ barabart[? Cakto an[tarin e panjohur t[ raportit: a) x : 8, n[ qoft[ se vler[n e ka 4; b) 18 : y, n[ qoft[ se vler[n e ka 12.

Raporti ose p[rpjesa nd[rmjet dy segmenteve [sht[ her[si i numrave mat[s t[ gjat[sive t[ tyre me gjat[si t[ nj[jt[ mat[se. Raportin i nj[ segmenti AB ndaj segmentit tjet[r CD e shkruajm[: AB : CD ose

An[tari i dyt[ CD a mund t[ jet[ i barabart[ me zero? Te detyra 1, raporti AB : CD [sht[ 6 : 4, kurse vlera e tij [sht[

2.

3 . 2

Cakto vler[n e raportit t[ segmentit a ndaj segmentit b, n[ qoft[ se: a) a = 12 cm, b = 4 cm;

b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Ke kujdes! Gjat[sit[ e dy segmenteve te raporti duhet t[ shprehen me nj[si t[ nj[jt[ mat[se. Raporti i dy segmenteve [sht[ num[r i paem[rtuar.

4

Tema 1. Ngjashmëria

AB . CD

3.

}do an[tar te raporti 0,5 : 0,25:

a) shum[zoje me 20; b) pjes[toje me 5.

Pastaj, vler[n e raportit t[ dh[n[ krahasoje me vlerat e raporteve t[ fituara me a) dhe b). }ka p[rfundon?

4.

a

Shkruaje raportin e segmentit a = 6 cm ndaj segmentit b = 3 cm dhe cakto vler[n e tij. Pastaj, cakto raportin a : b dhe vler[n e tij, n[ qoft[ se gjat[sit[ e segmenteve i shkruan n[: a) mm; b) dm; c) m. }ka p[rfundon p[r ato raporte?

b

Me dy detyrat paraprake u përkujtove se: Raporti a : b nuk ndryshon n[ qoft[ se t[ dy an[tar[t e tij shum[zohen ose pjes[tohen me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros, d.m.th. n[ se a : b = k dhe m ≠ 0, at[her[ (am) : (bm) = k dhe (a : m) : (b : m) = k. N[ qoft[ se a : b = k, at[her[ a = kb. Numri k tregon sa her[ numri b p[rfshihet te numri a.

N[ qoft[ se raporti i dy numrave [sht[ a : b = k, at[her[ me se [sht[ i barabart[ numri a? }far[ tregon numri k p[r numrat a dhe b?

Mbaj mend N[se raporti i dy segmenteve AB dhe CD [sht[ k,

AB : CD = k, at[her[

AB = k ⋅ CD .

Raporti k tregon sa her[ segmenti CD p[rfshihet te segmenti AB, d.m.th. k [sht[ numri mat[s i gjat[sis[ s[ segmentit AB si nj[si mat[se do t[ meret segmenti CD.

B

5.

Jan[ dh[n[ segmentet a = 1,2 dm, b = 18 cm. Shkruaje raportin a : b dhe njehso vler[n e tij. Shkruaje raportin b : a dhe njehso vler[n e tij.

P[r raportin b : a thuhet se [sht[ i anasjellt[ i raportit a : b. K[shtu, raporti 18 : 12 [sht[ i anasjellt[ i raportit 12 : 18.

6.

Arta ka 5 vjet, Blerta ka 10 vjet, kurse Vlera ka 35 vjet. Shkruaje raportin e vjet[ve nd[rmjet: a) Art[s dhe Blert[s; b) Blert[s dhe Vler[s;

c) Art[s dhe Vler[s.

Segmentet proporcionale

5

Shihi raportet 5 : 10; 10 : 35 dhe v[re se ]'kan[ t[ p[rbashk[t. An[tari i dyt[ i raportit t[ par[ [sht[ i barabart[ me an[tarin e par[ t[ raportit t[ dyt[.

Mbaj mend! Raportet a : b dhe b : c zakonisht shkurtimisht shkruhen si Shprehja a : b : c quhet raport i vazhduar i a, b, c.

a : b : c.

K[shtu, 5 : 10 : 35 [sht[ raport i vazhduar p[r t[ dy raportet 5 : 10 dhe 10 : 35. P[rve] saj , raporti i vazhduar e p[rmban edhe raportin 5 : 35.

7.

Larg[sia ajrore nd[rmjet tre qyteteve A, B, C jan[: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km. Paraqiti ato larg[si, n[ vizatim, t[ zvog[luara 800 000 her[. Shkruaje raportin e vazhduar CA : AB : BC n[ form[ sa m[ t[ thjesht[.

C 8.

N[ vizatim jan[ dh[n[ tre segmente AB, CD dhe PQ, ashtu q[

A

AB = 5 PQ, CD = 3PQ .

C

Sa her[ segmenti PQ p[rfshihet te segmenti a) AB; b) CD?

P

B D Q

V[ren se segmenti PQ, te segmentet AB dhe CD, p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh. PQ thuhet se [sht[ masa e p[rbashk[t e segmenteve AB dhe CD.

Në përgjithësi P[r dy segmente thuhet se jan[ t[ bashk[matsh[m, n[ qoft[ se ekziston segment i tret[ q[ p[rfshihet num[r t[ plota her[sh te ]donj[ri prej tyre. Raporti i dy segmenteve t[ bashk[matsh[m [sht[ num[r racional (i plot[ ose thye). Segmentet AB, CD n[ detyr[n 8 jan[ t[ bashk[matsh[m. T[ atill[ jan[ edhe ]iftet e segmenteve: AB, BC dhe BC, CA, te detyra 7 (mas[ t[ p[rbashk[t e kan[ segmentin me gjat[si, p[r shembull, 1 km).

9.

N[ vizatim [sht[ paraqit katrori me brinj[ a dhe diagonale d. Shprehe diagonalen d me ndihm[n e brinj[s a. Trego se raporti d : a [sht[ num[r iracional

2.

d a

Vëreve se Ka ]ifte t[ segmenteve p[r t[ cil[t nuk ekziston segment itret[ q[ do t[ p[rfshihet num[r t[ plot[ her[sh te ]donj[ri prej tyre. P[r dy segmente t[ atill[ thuhet se jan[ t[ pabashk[matsh[m dhe raporti i tyre gjithmon[ [sht[ num[r iracional.

6

Tema 1. Ngjashmëria

P[r shembull, brinja a dhe diagonalja d e katrorit jan[ segmente t[ pabashk[matsh[m; raporti i tyre 2.

d : a [sht[ numri

Duhet tĂŤ dish: t[ em[rtosh dhe t[ caktosh raport t[ dy numrave dhe t[ dy segmenteve; t[ caktosh vler[n e raportit dhe raporteve t[ barabart[; t[ shkruash raport t[ anasjellt[ dhe raport t[ vazhduar; t[ caktosh an[tarin e panjohur te raporti.

Kontrollohu! AB = 8 cm

Jan[ dh[n[ segmentet

dhe

A

C

B

AC = 2 cm (n[ vizatim).

Shprehe vler[n e raportit: a) AB : AC ;

b) AC : CB ;

c) CB : AC ;

]) CB : AB .

Shprehe raportin e a ndaj b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1 kg, b = 800 g. Cakto vler[n e ]donj[rit prej raporteve: a) 6 : 8;

b) 150 : 200;

c) 80 : 60;

]) 0,18 : 0,24.

Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[? Vlera e raportit x : 4 [sht[ 5. Sa [sht[ x?

4. Larg[sia Shkup - Vallandov[ [sht[

Detyra

150 km, Shkup - Kriva Pallank[ [sht[ 100 km, kurse Shkup - Tetov[ [sht[ 50 km.

1. Shprehe raportin a : b n[ form[ sa m[ t[ thjesht[, n[ qoft[ se: a) a = 15 cm, b = 2 dm;

b) Shkruaje at[ raport n[ form[ sa m[ t[ thjesht[.

b) a = 6x, b = 4x; c) a = 2 l, b = 800 ml.

5. Njehso an[tarin e panjohur te raporti, n[ qoft[

2. Shkruaje raportin e anasjellt[ p[r ]donj[rin prej raporteve te detyra paraprake.

3. Raportet q[ vijojn[ paraqiti n[ form[ t[ raporteve an[tar[t e t[ cil[ve jan[ numra t[ plot[. a) 0,3 : 0,6; ]) 2 3 : 5 , 2 ; 5

b) 0,35 : 0,7; c)

2 4 : ; 5 3

d) 5 1 : 3 5 . 4

a) Shkruaje raportin e vazhduar t[ atyre largesave.

se [sht[ dh[n[ vlera e tij: a) x : 5 = 3; b) x : 1,3 = 6; ]) 4

c) 6,5 : y = 13; 2 1 :y=3 . 3 3

6. Cakto raportin e brinj[s dhe perimetrit t[: a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m; b) pes[k[nd[shit brinj[nj[sh[m; c) gjasht[k[nd[shit brinj[nj[sh[m.

2

Cil[t prej tyre jan[ t[ barabart[ nd[rmjet vedi?

Segmentet proporcionale

7

7. {sht[ dh[n[ segmenti AB = 24 cm dhe n[ t[ [sht[ zgjedhur pik[ C, ashtu q[ AC = 18 cm . T[ caktohet: a) AC : CB b) raporti i segmentit m[ t[ shkurt[r ndaj segmentit m[ t[ gjat[.

9. Te trek[nd[shi k[nddrejt nj[ri prej k[ndeve [sht[ 60 o. Me se [sht[ i barabart[ raporti i hipotenuz[s dhe katet[s s[ vog[l?

10. Shuma e gjat[sive t[ dy segmenteve [sht[ 35, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7. T[ caktohet raporti i atyre segmenteve. Përpiqu! ...

8. Segmenti m[ i vog[l nd[rmjet dy segment[ve p[rfshihet te segmenti m[ i madh 7 her[ dhe ngel segmenti q[ p[rfshihet te segmenti i vog[l 2 her[. Sa [sht[ i gjat[ segmenti m[ i gjat[, n[ qoft[ se dihet se segmenti m[ i vog[l [sht[ i gjat[ 1 cm?

2

Tre pula p[r tre dit[ kan[ b[r[ tre vez[. a) Sa vez[ do t[ b[jn[ gjasht[ pula p[r gjasht[ dit[? b) Sa pula p[r 100 dit[ do t[ b[jn[ 100 vez[?

SEGMENTET PROPORCIONALE

Kujtohu!

A 1.

Jan[ dh[n[ kat[r segmente me gjat[si AB = 40 cm , PQ = 7 cm ,

Si jan[ nd[rmjet vedi raportet 12 : 8 dhe 6 : 4? }ka paraqet barazia e raporteve t[ barabarta: 12 : 8 = 6 : 4? N[ qoft[se raportet a : b dhe c : d jan[ t[ barabart[, at[her[ barazia

A mundesh prej tyre t[ formosh p[rpjes[tim?

a c = b d quhet p[rpjes[tim, kurse numrat a, b, c, d jan[ an[tar[ t[ atij proporcioni.

V[re, p[r shembull: 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, d.m.th. prej gjat[sive t[ segmenteve mund t[ formohet p[rpjes[tim 40 : 8 = 35 : 7.

a : b = c : d, d.m.th.

Cili prej atyre numrave [sht[ an[tar i par[, dhe cili [sht[ an[tari i tret[ i p[rpjes[timit? Cil[t jan[ an[tar[t e jasht[m, dhe cil[t jan[ an[tar[t e brendsh[m? Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m t[ p[rpjes[timit 12 : 8 = 6 : 4. Si jan[ nd[rmjet veti ato prodhime?

CD = 8 cm , RS = 35 cm.

Formo prej tyre ndonj[ p[rpjes[tim.

P[r k[t[ shkak, mund t[ thuhet se ]ifti i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ jan[ proporcional.

Në përgjithësi P[r dy ]ifte t[ segmenteve a, b dhe c, d thuhet se jan[ proporcional, n[ qoft[ se gjat[sit[ e tyre formojn[ p[rpjes[tim.

a : b = c : d , d.m.th. 8

Tema 1. Ngjashmëria

a c  b d

Vlera k e raporteve t[ barabart[ a : b dhe c : d t[ ]ifteve t[ segmenteve proporcional a, b dhe c, d quhet koeficienti i p[rpjes[timit. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit i segmenteve AB, CD dhe RS, PQ nga detyra 1? Si do ta caktosh koeficientin e proporcionit t[ segmenteve?

Do ta caktoj vler[n e raportit AB : CD , d.m.th. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5. a

2.

b

Jan[ dh[n[ segmentet a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm.

c

Trego se a, b dhe c, d jan[ proporcional. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit?

d

Shkruaj p[rpjes[tim t[ segmenteve a, b dhe c, d. Cakto prodhimin e an[tar[ve t[ jasht[m dhe prodhimin e an[tar[ve t[ brendsh[m. Si jan[ ato prodhime nd[rmjet veti?

Në përgjithësi vlen! Prodhimi i an[tar[ve t[ jasht[m t[ nj[ p[rpjes[tim [sht[ i barabart[ me prodhimin e an[tar[ve t[ tyre t[ brendsh[m, d.m.th. N[se

a : b = c : d , at[her[ a ⋅ d = b ⋅ c

Kjo rregull[ quhet vetia themelore e p[rpjes[timit. P[r ]donj[r[n prej kat[r segmenteve proporcional a, b, c, d thuhet se [sht[ proporcionalja e kat[rt gjeometrike e tre t[ tjerave. P[r shembull, d =

bc [sht[ proporcionalja gjeometrike e kat[rt e segmenteve a, b, c te p[rpjes[timi a

a : b = c : d.

3.

Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 6 cm, b = 8 cm, c = 12 cm te p[rpjes[timet: a) a : b = c : x;

b) x : c = a : b;

c) a : x = b : c.

Krahaso zgjidhjen t[nde p[r a) me zgjidhjen e dh[n[: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12;

B 4.

Kujtohu! P[r numrat 5 dhe 20 cakto numrin x ashtu q[ 5 : x = x : 20. }ka paraqet numri

5 ⋅ 20 (= 10) p[r numrat

5 dhe 20? Cakto mesin gjeometrik t[ numrave 2 dhe 32.

x =16 cm.

Jan[ dh[n[ segmentet a = 9 cm dhe b = 4 cm. Cakto segment x, ashtu q[ a : x = x : b.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. p[rpjes[timi 9 : x = x : 4, sipas vetis[ themelore sillet n[ barazimin x2 = 9 × 4, pra x = x = 6 cm.

Segmentet proporcionale

36 = 6 ;

9

V[re se numri 6 [sht[ mesi gjeometrik i numrave 4 dhe 9.

Mbaj mend! Mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) e dy segmenteve a dhe b quhet segmenti me gjat[si x ashtu q[ a : x = x : b, d.m.th.

a=x x b 5.



 x  ab

x 2 = ab

Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve: a) a =12 cm, b = 27 cm;

6.

b) a = 5 cm, b = 12 cm.

Konstato me matje se segmenti b nga vizatimi a [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve a dhe c.

C 7.

{sht[ dh[n[ p[rpjes[timi

a b c

8 + 4 10 + 5 8 10 = . Trego se [sht[ p[rpjes[tim dhe barazi . = 4 5 4 5

Në përgjithësi vlen N[se

a c a+b c+d = , at[her[ . = b d b d

V[reve se: nga

8.

a c = vijon b d

P[rpiqu ta v[rtetosh k[t[.

a c + 1= + 1; pastaj: b d

a b c d a+b c+d + = + , d.m.th. . = b b d d b d

Trego se vlen edhe pohimi i anasjellt[. N[se

a+b c+d a c = = . , at[her[ b d b d

Kujtohu! Kur tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabarta, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, si p[r shembull:

P[r at[ vlen:

10

Tema 1. Ngjashmëria

a b c = = . a1 b1 c1

a +b +c = a = b = c a1 + b1 + c1 a1 b1 c1

Duhet tĂŤ dish: Kontrollohu! ta p[rkufizosh konceptin e p[rpjes[timit; t[ caktosh an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi; t[ sqarosh cil[t ]ifte t[ segmenteve jan[ proporcional; t[ caktosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve.

Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a = 2 cm dhe b = 8 cm.

Detyra 1. Cili num[r duhet t[ q[ndron n[ vend t[ 5 a = ; 2 8

b)

6. Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, segmenti CD [sht[ lart[sia e l[shuar ndaj hipotenuz[s AB.

shkronj[s a q[ t[ jet[ e sakt[ barazia: a)

Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi 10 : a = 15 : 6. Cakto gjat[sin[ e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ segmenteve a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm te p[rpjes[timi a : b = c : x.

a 3 = ? 14 7

C

2. Formo p[rpjes[tim me gjat[sit[ e kat[r segmenteve: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.

3. Cakto gjat[sin[ x t[ proporcionales s[ kat[rt gjeometrike a, b, c n[ p[rpjes[timin a : b = x : c, n[ qoft[ se: A

1 3 2 dm, b = dm, c = dm; 2 4 3 b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m.

a) a =

a) segmenti CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve AD dhe DB;

CM : MA = CN : NB . N[ ]do rresht nga tabela jan[ dh[n[ disa gjat[si. Cakto gjat[sit[ q[ mungojn[. C CM MA CN NB

A

N

B

a)

8

6

b)

6

4

c)

8

4 5 8

4

5. Cakto mesin gjeometrik t[ segmenteve a dhe b, n[ qoft[ se: a) a = 2 cm, b = 8 cm;

4 b) a = 4 dm , b = 12 cm; 5 c) a = 7 cm, b = 14cm.

B

Me matje, konstato se:

4. Te DABC n[ vizatim [sht[ dh[n[:

M

D

b) segmenti AC [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve AD dhe AB.

7. Cakto x dhe y, n[ qoft[ se: a)

x y 3 = = ; 4 5 2

b)

y 7 1 = = . 6 4 x

8. Trego se prej p[rpjes[timi a = c mund t[ b

d

fitohen p[rpjes[timet:

a b b d c d = ; = ; = . c d a c a b

9. V[rteto se: n[ qoft[ se a = c , at[her[ b

d

a -b c - d = . b d

Segmentet proporcionale

11

3

NDARJA E SEGMENT{VE N{ PJES{ T{ BARABART{

A 1.

Kujtohu! Si do ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabart[: a) n[ dy; b) n[ kat[r?

N[ vizatim [sht[ paraqitur k[ndi SOT dhe n[ krahun OS jan[ bartur segmenta t[ barabart[ OA = AB = BC .

P[r ΔFGH dhe ΔPQR n[ vizatim [sht[ dh[n[: α = α1, β = β1, FG = PQ . H R α1

β

α F

G

β1

P

Q N[p[r pikat A, B dhe C jan[ t[rhequr nd[rmjet veti drejt[za paralele p, q dhe r, t[ cilat e presin p[rkat[sisht krahun OT n[ pikat A1, B1 dhe C1.

Si jan[ nd[rmjet veti ato trek[nd[sha? Si jan[ nd[rmjet veti brinj[t p[rkat[se t[ trek[nd[shave t[ puthitsh[m?

P[r segment[t OA1, A1B1 dhe B1C1 thuhet se jan[ p[rgjegj[se p[r segmentet (me radh[):OA, AB dhe BC.

Mati segmentet OA1, A1B1, B1C1. }far[ p[rfundon?

2.

N[ lidhje me vizatimin nga detyra 1, p[rpiqu t[ v[rtetosh se O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1

Shihe vizatimin te i cili jan[ t[rhequr edhe segmentet A1B2 dhe B1C2, paralele me krahun OS, dhe jan[ sh[nuar disa k[nde me numrat.

V[re ΔOAA1 dhe ΔA1B2B1 poashtu v[re:

 1 = 3, 2 = 4 (Pse?)  OA = A B  ΔOAA ≅ ΔA B B , dhe OA = A B (Pse?). 1

1

1

2

1

1

2

(Pse?)

1 1

V[re ΔA1B2B1 dhe ΔB1C2C1. Trego se ato jan[ t[ puthitsh[m dhe se A1B1 = B1C1 . V[re dhe mbaje mend k[t[ teorem[ p[r segmentet e barabart[ t[ krah[ve t[ nj[ k[ndi. N[ qoft[ se n[ nj[rin krah t[ k[ndit t[ dh[n[ jan[ bartur segmente t[ barabart[ dhe n[p[r skajet e tyre jan[ t[rhequr drejt[za paralele q[ e presin krahun tjet[r t[ k[ndit, at[her[ ato drejt[za presin edhe te krahu tjet[r segmente t[ barabart[ nd[rmjet veti.

12

Tema 1. Ngjashmëria

N[ baz[ t[ k[saj teoreme mund ta ndash segmentin e dh[n[ n[ pjes[ t[ barabarta p[r ]fardo num[r t[ dh[n[.

3.

Segmentin AB n[ vizatim ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta. A Si do ta zbatosh teorem[n paraprake q[ ta ndash segmentin AB n[ 5 pjes[ t[ barabarta?

B

Te pika A do t[ t[rheq ]far[do gjysm[drejt[z dhe n[ t[ me fillim n[ pik[n A do t[ barti 5 segmente t[ barabart[. Pastaj do t[ t[rheq drejt[za paralele, sipas teorem[s.

P[rcille zgjidhjen dhe v[re m[nyr[n p[r ndarjen e segmentit n[ pjes[ t[ barabarta.

 T[rhiq ]far[do gjysm[drejt[z AS si n[ vizatim.  Te AS, duke filluar prej A, pes[ her[ barte ]far[do segment t[ zgjedhur, p[r shembull AE; me at[ do t[ fitosh pes[ pika, pik[n e pest[ sh[noje me C.

 T[rhiqe, s[ pari, drejt[z[n CB dhe pastaj, n[p[r ]donj[r[n prej pikave t[ fituara n[ AC, t[rhiq drejt[z paralele me drejt[z[n CB; ato drejt[za e ndajn[ segmentin AB n[ pes[ pjes[ t[ barabarta. Sqaro pse ato 5 pjes[ jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.

4.

Vizato segment AB me gjat[si 7 cm dhe ndaje n[ 6 pjes[ t[ barabarta.

5.

Vizato nj[ segment dhe cakto mesin e tij, duke shfryt[zuar teorem[n p[r segmentet e barabart[.

Kujtohu!

B 6.

Vizato segment AB t[ gjat[ 6 cm.

Te segmenti AB [sht[ sh[nuar pika M ashtu

a) Ndaje n[ 5 pjes[ t[ barabarta.

q[: AM = 4 cm dhe MB = 3 cm .

b) Sh[no pik[n M ashtu q[

A

M

B

AM : MB = 3 : 2 .

N[ ]far[ raporti pika M e ndan segmentin AB?

Segmentet proporcionale

13

Krahasoje zgjidhjen t[nde me zgjidhjen t[ dh[n[ n[ vizatim.

7.

Vizato segmentin AB dhe ndaje n[ dy pjes[ raporti i t[ cilave [sht[ 3 : 4. S[ pari, ndaje segmentin AC n[ 3+4=7 pjes[ t[ barabarta.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[ n[ vizatim, ku [sht[ marr[ AK = 3 ⋅ AE dhe KM || CB. K[shtu [sht[ fituar AM : MB = 3 : 4 . Sqaro pse AM : MB = 3 : 4 .

Ky nd[rtim quhet ndarja e segmentit n[ raport t[ dh[n[

8.

Segmenti AB n[ vizatim [sht[ ndar[ me pik[n M n[ raport 3 : 2. Gjithashtu, segmenti CD me pik[n N [sht[ ndar[ n[ raportin e nj[jt[ 3 : 2.

A C

M N

B D

Formo p[rpjes[tim p[r pjes[t e segmentit AB dhe prej segmentit CD. Nj[ mund[si [sht[: AM : MB = CN : ND , q[ do t[ thot[ AM, MB jan[ segmente proporcionale me segmentet CN, ND. Prandaj themi se segmentet AB dhe CD jan[ ndar[ proporcionalisht.

Duhet të dish: P[r dy segmente thuhet se jan[ ndar[ proporcionalisht, n[ qoft[ se raporti i pjes[ve t[ nj[rit segment formon p[rpjes[tim me raportin e pjes[ve t[ segmentit tjet[r.

9. 14

Vizato dy segmente me gjat[si 7 cm dhe 4 cm dhe ndaji proporcionalisht n[ raport 1 : 2.

Tema 1. Ngjashmëria

Kontrollohu!

Duhet tĂŤ dish: t[ ndash segment n[ pjes[ t[ barabarta dhe ta sqarosh m[nyr[n;

Vizato segment AB t[ gjat[ 5 cm dhe ndaje n[ 3 pjes[ t[ barabarta. Pastaj, sh[no pik[n M q[ e ndan segmentin AB n[ raport 2 : 1.

t[ ndash segmentin n[ raport t[ dh[n[; t[ sqarosh kur dy segmente jan[ ndar[ proporcionalisht.

Shkruaj p[rpjes[tim nd[rmjet pjes[ve t[ segmenteve PQ dhe RS t[ cil[t me pikat H dhe K n[ vizatim jan[ ndar[ proporcionalisht.

2

6

P

H 3

R

Q 1 K S

Detyra

1. Vizato segment t[ gjat[ 6 cm dhe ndaje n[ pjes[ t[ barabarta: a) n[ tre

b) n[ shtat[.

6. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport AB : MB = 5 : 3. Gjat[sia e segmentit AM [sht[ 4,8 dm. Cakto gjat[sin[ e segmentit MB; AB.

2. Vizato segment AB dhe ndaje n[ raport a) 2 : 1;

b) 5 : 2.

7. P[r sa duhet t[ vazhdohet segmenti AB = 12 cm q[ 3. Vizato segment me gjat[si 10 cm dhe ndaje: a) n[ 7 pjes[ t[ barabarta;

t[ fitohet segment AC i cili do te plot[soj[ p[rpjes[timin AC : BC = 5 : 2 ?

b) n[ raport 4 : 3; c) n[ tre segmente n[ raport 1 : 2 : 4.

8. Pika M e ndan segmentin AB n[ raport 4. Vizato DABC dhe brinj[t e tij ndaji n[ nga tre pjes[ t[ barabarta.

AM: MB = 3 : 2 . Cakto raportet AM : AB dhe AB : MB .

5. Vizato ΔABC dhe n[ mesoren AA 1. Cakto pik[n e r[ndimit T t[ trek[nd[shit n[ at[ m[nyr[ q[ AA 1 ta ndash n[ raport AT : TA1 = 2 : 1 .

Segmentet proporcionale

15

4

TEOREMA E TALESIT P{R SEGMENTET PROPORCIONALE

A 1.

Kujtohu! Si ndahet segmenti i dh[n[: a) n[ pjes[ t[ barabarta; b) n[ raportin e dh[n[ m : n?

N[ vizatim [sht[ dh[n[ k[ndi i ngusht[ SOT. N[ krahun OS [sht[ zgjedhur pika B, kurse n[ krahun OT pika D. N[p[r B dhe D [sht[ t[rhequr drejt[za p. T D

Sqaro nd[rtimin.

p O

B

N[ segmentin OB cakto pik[n A, ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 . N[p[r pik[n A t[rhiq drejt[z q || p. Drejt[za q le ta prej[ OT n[ pik[n C. Trego se OC : CD = 3 : 2 . }ka do t[ shfryt[zosh q[ t[ tregosh se OC : CD = 3 : 2 ?

Do ta shfryt[zoj m[nyr[n dhe gjykimin p[r ndarjen e segmentit n[ raport t[ dh[n[.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ zgjidhja e detyr[s. P[rgjigju n[ k[to pyetje. Si [sht[ ndar[ segmenti OB n[ 5 pjes[ t[ barabarta? Si [sht[ p[rcaktuar pika A ashtu q[ OA : AB = 3 : 2 ? Pse OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ? V[re dhe mbaj mend gjykimin t[ quajtur teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale. N[ qoft[ se krah[t e nj[ k[ndi priten me dy drejt[za t[ ndryshme paralele, at[her[ segmentet q[ fitohen n[ nj[rin krah jan[ proporcionale me segmentet p[rkat[se t[ krahut tjet[r. D C

AC || BD O

2.

A



OA : AB = OC : CD

B

N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD. N[ qoft[ se OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , cakto CD ; trego se OA : OB = OC : OD .

16

Tema 1. Ngjashmëria

S

N[ p[rgjith[si vlen: prej barazis[ OA : AB = OC : CD (te teorema e Talesit) fitohet barazia OB : OA = OD : OC ose

OA :OB = OC:OD

.

Duke e shfryt[zuar k[t[ veti p[r p[rpjes[timet, prej AB : OA = CD : OC vijon (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC .

Trego se OB : OA = OD : OC . C

3.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[za MN || AB q[ i pret dy brinj[t tjera AC dhe BC. M

Konstato se brinj[t AC dhe BC me drejt[z[n MN jan[ ndar[ proporcionalisht, d.m.th.

N

CM : MA = CN : NB .

A

N[ qoft[ se ke nevoj[ p[r ndihm[...

B

S[ pari, v[re se krah[t e “ACB jan[ prer[ me drejt[zat paralele MN dhe AB. Pastaj, zbato teorem[n e Talesit.

B 4.

C

Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet si n[

D

T

vizatim: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm .

O

A

B

S

Bindu se segmentet OA, OB dhe OC, OD jan[ proporcionale, d.m.th. OA : OB = OC : OD . T[rhiqi drejt[zat AC dhe BD. Pastaj, me ndihm[n e dy trek[ndshave, provo se a jan[ paralele ato drejt[za. N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft mir[, sigurisht ke p[rfunduar se AC || BD.

N[ p[rgjith[si vlen! N[ qoft[ se dy drejt[za presin prej krah[ve t[ ndonj[ k[ndi segmente paralele, at[her[ ato drejt[za jan[ paralele. C

D

T

OA : OB = OC : OD O

A

B

ď †

AC || BD

S

Kjo veti e segmentave paralele quhet teorema e anasjellt[ e Talesit.

Segmentet proporcionale

17

R

5.

Konstato p[r cil[t prej k[tyre gjat[sive sipas vizatimit do t[ jet[ MN || PQ: a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; M

b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

N

c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P

Q

Duhet të dish ta shprehish teorem[n e Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme; ta shprehish teorem[n e anasjellt[ t[ Talesit dhe ta zbatosh n[ detyra t[ zakonshme.

Kontrollohu! C

N[ vizatim [sht[ dh[n[ PQ || BC. Plot[soji k[to pohime q[ t[ jen[ t[ sakta: a) AP : AB =

:

;

c)

b) AP : PB =

:

;

]) AC : AQ =

Q

= AQ : QC ;

:

:

. A

P

B E

28 C

P[r segmentet e sh[nuara a do t[ jet[ BC || DE? 35 20 A

16 B

D

Detyra 1. N[ vizatim [sht[ marr[ AC || BD.

D

A

Cakto OB , n[ qoft[ se: OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

18

Tema 1. Ngjashmëria

C

a) Cakto CN , n[ qoft[ se:

C

O

2. Te ΔABC n[ vizatim [sht[ dh[n[ MN || AB. CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ;

B

M

N

b) Cakto CM , n[ qoft[ se: CM = NB , MA = 4 dhe CN = 9 .

A

B

3. Te ]donj[ri prej trek[nd[shave n[ vizatim [sht[ t[rhequr segment paralel me baz[n dhe jan[ sh[nuar gjat[sit[ e disa segmenteve.

6. Trego se prej p[rpjes[timi

C

OA : AB = OC : CD fitohen p[rpjes[timet:

O a

1

b

c x

x n

1

d

1

m

k

x 2

2

D

A

B

a) AB : OA = CD : OC ;

c) OB : AB = OD : CD ;

b) OB : OA = OD : OC ;

]) OA : OB = OC : OD .

x Përpiqu! ...

Te t[ kat[r rastet cakto x, duke llogaritur se shkronjat tjera jan[ numra t[ dh[n[.

Nuk është e domosdoshme

4. Krah[t e SOT (n[ vizatim) jan[ prer[ me

7. N[ vizatim [sht[ dh[n[ DABC te CD [sht[

drejt[za paralele AA 1 , BB 1 dhe CC 1 , ku

simetrale e k[ndit pran[ kulmit C. Pastaj, [sht[ vazhduar brinja AC dhe [sht[ t[rhequr drejt[za BE || DC.

OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 dhe OA1 =6 cm. Cakto gjat[sit[ e segmenteve A1B1 dhe B1C1.

a) V[rteto se ΔBEC [sht[ dybrinj[nj[sh[m me krah BC = CE .

b) V[rteto se simetralja e ACB te ΔABC e ndan brinj[n e p[rballt[ AB n[ dy pjes[ q[ jan[ proporcionale me dy brinj[t tjera, d.m.th.

5. P[r segmentet e sh[nuar n[ vizatimin a); b), provo a do t[ jet[ BC || DE. Sqaro p[rgjigjen t[nde. a)

AD : DB = CA : CB , d.m.th. (c - x) : x = b : a.

18 24

b)

Segmentet proporcionale

19

5

DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ TALESIT

A 1.

Kujtohu!

Vizato ΔABC. Pastaj, t[rhiq drejt[z B1C1 q[ do t'i prej[ krah[t e A dhe [sht[ paralele me brinj[n BC, si n[ vizatim.

Si thot[ teorema e Talesit p[r segmentet proporcionale?

C

Shprehe teorem[n e anasjellt[ t[ teorem[s s[ Talesit.

C1

Si jan[ nd[rmjet veti raportet AB : AB1 dhe AC : AC1 ? Mati me kujdes segmentet AB, AB1; BC, B1C1 dhe pastaj njehso raportet AB : AB1 dhe BC : B1C1 .

A

B1

B

}ka v[ren? N[ qoft[ se ke vizatuar dhe matur mjaft preciz, sigurisht v[reve se segmentet AB, AB 1 jan[ proporcionale me segmentet BC, B1C1, d.m.th.

AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1 Në përgjithësi vlen! N[ qoft[ se n[ nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[ brinj[ dhe i pret dy brinj[t tjera t[ trek[nd[shit, at[her[ fitohet trek[nd[sh i ri brinj[t e t[ cilit jan[ proporcionale me brinj[t e trek[nd[shit t[ dh[n[. C

2.

P[rpiqu ta v[rtetosh pohimin te detyra 1, duke zbatuar teorem[n e Talesit.

C1

{sht[ dh[n[: te ΔABC, drejt[za B1C1 || BC (si n[ vizatim). V[rteto se:

BC AC AB = = , B1C1 AC1 AB1

pra

a b c = = , a1 b1 c1

a a1

A

B1 C

ku: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 .

C1 F

Vizatimi i dh[n[ [sht[ plot[suar me t[rheqjen e drejt[z[s B1F paralele me AC. Si do ta zbatosh teorem[n e Talesit q[ t'i v[rtetosh barazit[ e dh[na? A Do t'i shkruaj p[rpjes[timet prej segmenteve proporcionale q[ jan[ fituar p[r k[ndet: BAC dhe ABC. Pastaj do t[ kryej krahasimin. Krahaso mendimin t[nd me zgjidhjen e dh[n[.

20

Tema 1. Ngjashmëria

B

B1

B

 BAC [sht[ prer[ me B1C1 || BC, pra sipas teorem[s s[ Talesit:  ABC [sht[ prer[ me B1F || AC, sipas teorem[s s[ Talesit:  Kat[rk[nd[shi B1FCC1 [sht[ paralelogram (pse?), pra: AB BC = . AB1 B1C1

(3)



Prej (1) dhe (3):

AB AC = AB1 AC1

(1)

AB BC = AB1 FC

(2)

FC = B1C1 ; pas z[v[nd[simit te (2), fitohet

BC AB AC a c b = = . = = , d.m.th. a1 c1 b1 B1C1 AB1 AC1

Ky pohim quhet edhe teorema e Talesit p[r trek[nd[shin.

Vlen edhe pohimi i anasjelltë! N[ qoft[ se nj[ drejt[z gjat[ prerjes s[ dy brinj[ve t[ trek[nd[shit i ndan ato n[ segmente proporcionale, at[her[ ajo drejt[z [sht[ paralele me brinj[n e tret[ t[ trek[nd[shit.

3.

C m F n

p G

m:n=p:q q

A

C N

Cakto raportin BC : MN , n[ qoft[ se AM = 12, AB = 18 . Cakto MN , n[ qoft[ se AB = 15, BC = 10 dhe M [sht[ mesi i AB.

4.

A

B

M

MN sipas vetis[ p[r vij[n e mesme t[ trek[nd[shit!

p A a

Drejt[zat p dhe q n[ vizatim jan[ prer[ me tre drejt[za nd[rmjet veti paralele. Trego se segmentet p[rkat[se a, a' jan[ proporcionale me segmentet b, b', d.m.th. a : a' = b : b'.

q B a'

b

b'

C

P[rcille zgjidhjen e detyr[s.

D p A a

 T[rhiqe segmentin AD, si n[ vizatim, dhe v[re se krah[t e CAD dhe t[ ADB jan[ prer[ me nga dy drejt[za paralele, pra: a : b = x : y dhe a' : b' = x : y.

 Pasi an[t e djathta t[ barazis[ jan[ t[ barabarta, mund t[ p[rfundosh se

b

x

q B a'

y

b'

C Sipas vizatimit paraprak, [sht[ dh[n[ a = 3, b = 5 dhe b' = 7. Cakto gjat[sin[ e segmentit a'.

D

a : b = a' : b' d.m.th. a : a' = b : b'.

D

5.

FG || AB

B

N[ ΔABC te vizatimi MN || BC.

 Provo zgjidhjen p[r



P[r trapezin ABCD n[ vizatim [sht[ dh[n[: MN || AB, AD = 18 cm ,

M

C N

BC = 24 cm dhe DM = 3 cm . Cakto BN dhe NC .

A

Segmentet proporcionale

B

21

B 6.

a Jan[ dh[n[ segmentet a, b, c sikurse n[ vizatim.

Cakto segmentin x ashtu q[ a : b = c : x, d.m.th. nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a, b, c.

b c

N[ qoft[ se nuk mund ta zgjidhish vet detyr[n,

 Kujtohu n[ teorem[n e Talesit.  Vizato k[ndin SOT dhe barti segmentet

a=OA ,

b= AB dhe c=OC , si n[ vizatim.

 T[rhiq drejt[z n[p[r B, paralele me AC dhe prerjen sh[noje me D.



x=CD [sht[ segmenti i k[rkuar. (Pse?)

Proporcionalja e kat[rt gjeometrike x e segmenteve a, b, c mund t[ fitohet edhe sipas vizatimit tjet[r. Shqyrto vizatimin dhe sqaro m[nyr[n.

7.

P[r segmentet a = 4 cm, b = 6 cm dhe c = 5 cm, nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike:

a) x =

bc ac ; b) b) x = . a b

S[ pari v[re se x =

8.

bc mund ta formosh p[rpjes[timin x : c = b : a. a

Vizato dy segmente a = 3 cm dhe b = 2 cm. Nd[rto segmentin x, ashtu q[ x = ab. S[ pari v[re se prej x = ab mund ta formosh p[rpjes[timin 1: a = b : x; pastaj kryeje nd[rtimin.

Duhet të dish: ta shprehish teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin dhe ta zbatosh n[ detyra t[ ndryshme; t[ nd[rtosh proporcionalen e kat[rt gjeometrike p[r tre segmente.

22

Tema 1. Ngjashmëria

Kontrollohu! P[r ΔABC [sht[ dh[n[: MN || AB. Cakto brinj[t e tij sipas t[ dh[nave n[ vizatim. Sqaro m[nyr[n p[r nd[rtimin e proporcionales s[ kat[rt gjeometrike x t[ tre segmenteve t[ dh[n[ a, b, c.

6. Vizato tre segmente a, b, c. Pastaj, nd[rto

Detyra 1. Te trapezi ABCD n[ vizatim, me baza AB = 12 , CD = 5 dhe krah AD = 7 , jan[ va-

segment x, ashtu q[: a) x : a = b : c; c) a : b = x : c.

b) a : x = b : c;

7. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto seg-

zhduar krah[t AD dhe BC deri

ment x, ashtu q[ x = a2.

te prerja e tyre S. Cakto SD .

8. Vizato segmente a dhe b. Pastaj nd[rto segment x, ashtu q[ a) x =

a2 ; b

b) x =

b2 . a

C

9. Brinja DC e trapezit ABCD

2. Cakto lart[sin[ AB t[

trapezi ABCD n[ vizatim, MN || PQ || AB. Cakto gjat[sit[ e krah[ve AD dhe BC sipas t[ dh[nave n[ vizatim.

P

Ndihm[. T[rhiqe drejt[z[n DM paralele me AB dhe shqyrto ΔDMC (kujtohu se si e zgjidhe detyr[n 4).

C

D

M

bazat

D AD = 8 dhe BC = 20 , y x [sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[ barabarta dhe n[p[r pik[A B prerjet jan[ t[rhequr drejt[za paralele me bazat (si n[ vizatim). Cakto gjat[sit[ x dhe y t[ segmenteve t[ formuara n[ trapez.

nj[ druri (n[ vizatim) n[ qoft[ se hija e tij BC [sht[ 20 m, kurse nj[koh[sisht, hija e shkopit PQ prej 1 m [sht[ e gjat[ 1,4 m.

3. Te

me

8

6

Q 6

10. N[ vizatim [sht[ paraqitur situata e terenit t[ N

3

B

A

paarritsh[m me pik[n e paarritshme A dhe pik[n e arritshme B. a) Cakto larg[sin[ e paarritshme BA . b) Njehso BA , n[ qoft[ se jan[ matur gjat[sit[:

4. Te ΔABC n[ vizatim brinja BC [sht[ ndar[ n[ tre pjes[ t[ barabarta dhe n[p[r pik[prerjet jan[ t[rhequr drejt[za, paralele me brinj[n AB, gjat[sia e s[ cil[s [sht[ 15 cm. Cakto gjat[sin[ e ]do segmenti, t[ formuar n[ trek[nd[sh.

BC = 100 m, CE = 250 m dhe CD = 80 m .

C x

k

y

c) Cakto larg[sin[ EA , n[ qoft[ se jan[ matur: CE = 250 m, CD = 80 m dhe DB = 96 m .

k k

A

15

B

5. Nd[rto proporcionalen e kat[rt gjeometrike t[ segmenteve a = 4 b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c).

cm,

Segmentet proporcionale

23

TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

6

FIGURAT E NGJASHME. TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

Kujtohu!

N[ jet[n e p[rditshme shpesh her[ hasim sende q[ e kan[ form[n e nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[: automobili dhe modeli i tij; dy gota, dy karrika etj.

A

Krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paralele AC dhe BD. T D C

O

A

S

B

Sipas vizatimit, shkruaj raport t[ segmenteve q[ [sht[ i barabart[ me raportin: a) OA : AB;

P[r dy figura t[ ngjashme q[ kan[ plot[sisht form[ t[ nj[jt[, kurse madh[si t[ ndryshme ose t[ nj[jt[, zakonisht themi se jan[ t[ ngjashme.

b) OC : OD .

Sipas cil[s teorem[ i shkruajte raportet?

1. N[ vizatim vlen p[rpjes[timi i segmenteve: OA : AB = OD : DC .

dy katror[;

C

dy rrath[;

D

katrori dhe rrethi?

2. O

P[r cilat figura mund t[ themi se jan[ t[ ngjashme:

A

B

}far[ pozite kan[ drejt[zat AD dhe BC? Si jan[ sipas madh[sis[ k[ndet: a) OAD dhe OBC; b) ODA dhe OCB?

Jan[ dh[n[ dy harta gjeografike t[ Maqedonis[. E para n[ raport 1 : 1000000, kurse e dyta me raport 1 : 500000. A jan[ t[ ngjashme ato harta? N[ hart[n e par[, larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ [sht[ 4 cm. Sa [sht[ larg[sia prej Shkupi deri n[ Kumanov[ te harta e dyt[?

Cili [sht[ raporti i larg[sis[ Shkup - Kumanov[ prej hart[s s[ par[ me larg[sin[ Shkup - Kumanov[ n[ hart[n e dyt[? Si [sht[ raporti i larg[sis[ nd[rmjet ]far[do dy vendeve t[ hart[s s[ par[ me larg[sin[ nd[rmjet dy vendeve p[rkat[se t[ hart[s s[ dyt[?

24

Tema 1. Ngjashmëria

C1

B 3.

C

Shihe vizatimin te i cili kulmet e trek[nd[shave ABC dhe A 1 B 1 C 1 shtrihen n[ gjysm[drejt[zat me pik[

t[ fillimit O dhe formojn[ segmente proporcionale:

T

B B1

O A

OA : OA1 = 1 : 2 ; OB : OB1 = 1 : 2 ;

A1

OC : OC1 = 1 : 2 .

S

P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 do t[ dallojm[: kulme p[rgjegj[se, k[nde p[rgjegj[se dhe brinj[ p[rgjegj[se, etj.

  

kulme p[rgjegj[se jan[: A dhe A1;

B dhe B1;

C dhe C1;

k[nde p[rgjegj[se jan[: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1; brinj[ p[rgjegj[se jan[: AB dhe A1B1; BC dhe B1C1; AC dhe A1C1.

Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A1B1C1 jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1; BC || B1C1 dhe AC || A1C1. Trego se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[, d.m.th. A = A1; B = B1 dhe C = C1. Trego se brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ proporcionale, d.m.th. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 .

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 Pasi

OA : OA1 = OB : OB1 , prej teorem[s s[ anasjellt[ t[ Talesit, vijon se AB || A1B1. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se BC || B1C1 dhe AC || A1C1.

 Pasi

AB || A1B1 dhe AC || A1C1, vijon se A = A1, si k[nde me krah paralele. N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregosh se B = B1 dhe C = C1.  P[rkujtohu n[ teorem[n e Talesit: n[ qoft[ se krah[t e k[ndit SOT jan[ prer[ me drejt[zat paralele AB dhe A1B1, at[her[ segmentet p[rgjegj[s AB dhe A1B1 jan[ proporcionale me segmentet OA dhe OA1, d.m.th. OA : OA1 = AB : A1B1 = 1 : 2 . Mund t[ tregosh se raport t[ nj[jt[ kan[ edhe brinj[t tjera p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave, etj. AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 = 1 : 2 .

P[r trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 tregove se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta, kurse brinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale. Ato mund t[ jen[ dh[n[ edhe n[ tjet[r pozit[, sikurse n[ vizatim, n[ an[n e djatht[. C1 C

A A1

B B1

C1 C

N[ qoft[ se trek[nd[shin ABC e vizaton A B A1 B1 n[ flet[ t[ tejdukshme, mund ta vendosish n[ hap[sir[n e ΔA 1 B 1 C 1 (sikurse n[ vizatim), ashtu q[ brinj[t p[rgjegj[se t'i ken[ paralele. V[re se ΔABC dhe ΔA1B1C1 kan[ form[ t[ nj[jt[, por madh[si t[ ndryshme, d.m.th. se ato jan[ trek[nd[sha t[ ngjash[m.

Trekëndëshat e ngjashëm

25

Mbaj mend! P[r dy trek[nd[sha thuhet se jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndet p[rgjegj[se i kan[ t[ barabarta dhe brinj[t p[rgjegj[se i kan[ proporcionale. P[r trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1 shkruajm[: ΔABC ∼ ΔA1B1C1. Lexohet: ΔABC [sht[ i ngjash[m me ΔA1B 1C 1. Cili [sht[ koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve te trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1? Te detyra 3 v[reve se koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B1C1 [sht[ 1 : 2, d.m.th.

1 . 2

Koeficienti i p[rpjes[timit t[ brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m (ΔABC ~ ΔA1B1C1) quhet edhe koeficienti i ngjashm[ris[. N[se shkruan ΔABC∼ΔMNP, kjo do t[ thot[ se kulmet p[rgjegj[se jan[: A dhe M, B dhe N, C dhe P. 1 4. Te detyra 3 v[reve se ΔABC ∼ ΔA1B1C1 edhe koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[ . 2 Pse ΔA1B1C1 ∼ ΔABC dhe cili [sht[ koeficienti i ngjashm[ris[?

Duhet t[ dish: n[se ΔABC ∼ ΔXYZ, at[her[ AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k dhe A = X, B = Y, C = Z;

ta caktosh koeficientin e ngjashm[ris[ s[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m.

Kontrollohu! N[ vizatim: ΔABC ∼ ΔMNP. Shkruaji: a) brinj[t p[rgjegj[se; b) k[ndet p[rgjegj[se. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[. Cakto x dhe y.

P

C

4

A

x

6

3

2

B M

y

N

Detyra 1. {sht[ dh[n[: ΔABC ∼ ΔRST. Shkruaji: a)brinj[t p[rgjegj[se, b) k[ndet p[rgjegj[se.

3. N[ vizatimin ΔABC ∼ ΔPQR dhe jan[ sh[nuar gjat[sit[ e brinj[ve. Cakto x dhe y. R

C

2. Vizato dy trek[nd[sha barabrinj[s, i pari me brinj[ a = 3 cm, kurse i dyti me brinj[ 4 cm.

12

15

x

Trego se ato jan[ t[ ngjash[m. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[.

26

Tema 1. Ngjashmëria

A

6

B

P

10 y

Q

4.

N[ vizatimin, ΔABC ∼ ΔMNC. Me ]ka [sht[ e barabart[ CB dhe MN , n[ qof-

C

5. Prej ΔABC ≅ ΔA1B1C1, a vijon se ΔABC ∼ ΔA 1B 1C 1? Sqaro.

N

M

6. Le t[ jen[ M dhe N meset e brinj[ve AC dhe

BC te trek[nd[shi ABC. Trego se ΔMNC ∼ ΔABC.

t[ se CM= 5 ; CN = 6 ; AB=12 dhe CA =15 ?

A

7

B

KRITERI I PAR{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

A 1.

Kujtohu! Q[ t[ konstatosh se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m duhet t[ provosh k[ndet e tyre p[rgjegj[se a jan[ proporcionale d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 dhe AB : A1B1 = BC : B1C1 = AC : A1C1 . Krah[t e k[ndit MON jan[ prer[ me drejt[zat paralele a dhe b, ashtu q[ OB : OA = OC : OD = 2 : 1

Shihi trek[nd[shat OAD dhe OBC, kurse pastaj: cakto raportin e brinj[ve O BC dhe AD;

D

N

C

M A

B b

a

cakto si jan[ nd[rmjet veti k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave. A [sht[ ΔOBC ∼ ΔOAD?

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.  N[ vizatim jan[ dh[n[ ΔABC dhe ΔA1B1C1, ashtu

Vizato ΔABC dhe segmentin A 1B 1 q[ [sht[ tre her[ m[ i gjat[ se brinja AB. Pastaj vizato trek[nd[sh A1B1C1 me brinj[ A1B1,B1A1C1 = A dhe A1B1C1 = B. K[ndet e brendshme p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave ABC dhe A 1B 1C 1 a jan[ t[ barabart[? Pse? K[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabarta; A = A1 dhe B = B1, sipas nd[rtimit; C = C1, pasi C = 180o - A + B) = = 180o - (A1 + B1) = C1.

Provo me matje brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 me ΔABC a jan[ proporcionale. Cakto koeficientin e p[rpjes[timit. P[rpiqu t[ sqarosh se brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔA1B1C1 dhe ΔABC jan[ proporcionale dhe se ΔA 1B 1C 1 ∼ ΔABC.

q[ A1B1 = 3AB ,A=A1dhe B= B1.



Q[ t[ tregosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC duhet t[ provosh se a jan[ plot[suar gjasht[ k[rkesat p[r trek[nd[shat e ngjash[m, d.m.th. A = A1, B = B1, C = C1 dhe A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC .

Trekëndëshat e ngjashëm

27

 

Ti tregove se k[ndet p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave jan[ t[ barabart[.



Pasi A1B2C2 = B1, vijon se B2C2 || B1C1. Sipas vizatimit, me ndihm[n e teorem[s s[ Talesit p[r

Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ΔA1B1C1, ashtu q[: kulmi A puthitet me A1, B me B2 dhe kulmi C me C2; A puthitet me A1, B me A1B2C2 dhe C me B2C2A1. segmentet proporcionale, ke treguar se A1B1 : A1B2 = A1C1 : A1C2 = B1C1 : B2C2 = 3 : 1 , d.m.th. A1B1 : AB = B1C1 : BC = A1C1 : AC . Mund t[ p[rfundosh se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC.

V[reve se trek[nd[shat A1B1C1 dhe ABC q[ vizatove kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[ dhe ti tregove se ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Prandaj, q[ t[ konstatosh se dy trek[nd[sha a jan[ t[ ngjash[m mjafton t[ provosh se ato a kan[ dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[.

Mbaj mend! Dy trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ t[ barabart[ me dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r. Ky pohim quhet kriteri i par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m.

N[ vizatim [sht[ dh[n[: A = D = 30o dhe pika C [sht[ prerje e segmenteve AE dhe BD. V[rteto se ΔABC ∼ ΔDEC.

2.

B

3.

C

Te ΔABC [sht[ t[rhequr segmenti MN paralel me AB. Trego se α = α 1

dhe β = β 1 .

M

V[rteto se ΔABC ∼ ΔMNC.

α1

β1

β

α V[re k[t[ gjykim.

N

A

B

N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh [sht[ t[rhequr drejt[z q[ [sht[ paralele me nj[r[n prej brinj[ve dhe i pret dy brinj[t tjera, at[her[ fitohet trek[nd[sh q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[. Krahaso k[t[ pohim me teorem[n e Talesit p[r trek[nd[shin.

4.

Te ΔABC n[ vizatim, jan[ t[rhequr segmentet: MN || AB dhe NP || AC. Sa trek[nd[sha v[ren? Shkruaj cil[t trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet tyre.

28

Tema 1. Ngjashmëria

C N

M A

P

B

V[re se:

R

}do trek[nd[sh [sht[ i ngjash[m me vet[veten. Dy trek[nd[sha t[ puthitsh[m jan[ t[ ngjash[m.

C

Sa [sht[ koeficienti i tyre i ngjashm[ris[?

5.

N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat k[nddrejt[ ABC dhe PQR, ashtu q[ A = P = α. Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.

α A

B

α P

Q

V[re se trek[nd[shat kan[ nga dy k[nde p[rgjegj[se t[ barabart[: A = P dhe B = Q = 90o. Sipas kriterit t[ par[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m vijon: trek[nd[sha k[nddrejt[ jan[ t[ ngjash[m n[ qoft[ se nj[ k[nd i ngusht[ i nj[rit [sht[ i barabart[  Dy me nj[ k[nd t[ ngusht[ t[ trek[nd[shit tjet[r. C

6.

Te trek[nd[shi ABC n[ vizatim [sht[ t[rhequr lart[sia CD dhe segmenti MN || AB. M Sa trek[nd[sha k[nddrejt[ mund t[ v[resh dhe cil[t prej tyre jan[ t[ ngjash[m nd[rmjet veti?

7.

A

S D

N B

N[ vizatim jan[ dh[n[ dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe PQR, te t[ cil[t k[ndet pran[ maj[s i kan[ t[ barabarta, d.m.th. C = R = α. Trego se A = P. Trego se ΔABC ∼ ΔPQR.

N[ p[rgjith[si Dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se k[ndi pran[ maj[s t[ nj[rit trek[nd[sh [sht[ i barabart[ me k[ndin pran[ maj[s t[ trek[nd[shit tjet[r.

8.

Vizato dy trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m ABC dhe A1B1C1 me baza AB dhe A1B1 p[rkat[sisht, ku A = A1. Trego se ΔABC ∼ ΔA 1B1C1. Shprehe pohimin tjet[r p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave dybrinj[nj[sh[m.

Trekëndëshat e ngjashëm

29

Duhet t[ dish: ta shprehish kriterin e par[ p[r ngjashm[rin[ e trek[nd[shave; cil[t kushte mjaftojn[ p[r ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave k[nddrejt[, p[rkat[sisht dybrinj[nj[sh[m; t[ konstatosh ngjashm[rin[ e dy trek[nd[shave; t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ngjash[m.

Kontrollohu! D N[ skajet e segmentit AB jan[ t[rhequr segmentet AC = 3 cm dhe BD = 5 cm , normale (pingule) n[ AB. N[ ]far[ raporti drejt[za s e ndan segmentin AB?

s A M

B

C

Detyra 1. N[ vizatim [sht[ dh[n[ trek[nd[shi ABC dhe MN || AB.

2. {sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ AB = 20 , BC = 12 dhe CA = 16 . N[p[r pik[n M q[ shtrihet n[ brinj[n BC [sht[ t[rhequr drejt[za paralele me AB dhe e pren[ AC n[ pik[n N.

C

Cakto MN , n[ qoft[ se CM = 3 .

N

M

3. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD B

A

diagonalet AC dhe BD priten n[ pik[n S. a) V[rteto se ΔABS ~ ΔCDS. b) Cakto CD , n[ qoft[ se AB = 12 , AS = 6

Cakto raportin:

dhe SC = 3 .

a) N[ qoft[ se CM : MA = 3 : 2 , at[her[ CM : CA =

;

b) N[ qoft[ se CM : MA = 7 : 3 , at[her[ CN : NB =

;

c) N[ qoft[ se CM : CA = 3 : 4 , at[her[ AB : MN =

30

.

Tema 1. Ngjashmëria

4. Nd[rto trek[nd[shin A1B1C1 t[ ngjash[m me ΔABC me brinj[t 4, 5, 6 n[ qoft[ se: a) brinj[n m[ t[ vog[l e ka 5; b) koeficienti i ngjashm[ris[ [sht[

3 4

5. Cakto lart[sin[ e nj[ druri hija e t[ cilit [sht[ e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht, njeriu i lart[ 1,7 m e ka hijen e gjat[ 1 m.

8

KRITERI I DYT{ DHE I TRET{ P{R TREK{ND{SHAT E NGJASH{M

A 1.

Kujtohu! Cilat prej gjasht[ k[rkesave duhet t[ plot[sohen p[r dy trek[nd[sha ABC dhe A1B1C1 q[ t[ jen[ t[ ngjash[m? Cilat jan[ kushtet e mjaftueshme, sipas kriterit t[ par[ t[ trek[nd[shave, q[ t[ jet[ ΔABC ∼ ΔA1B1C1?

AB = 3 cm dhe AC = 2cm . Pastaj vizato ΔA 1B 1C 1 me A1 = 60o dhe

brinj[ A1B1 = 3AB , A1C1 = 3AC . Mati dhe krahasoji: B dhe B1, C dhe C1, BC dhe B1C1 . }ka p[rfundon? C1

N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat sipas kushteve t[ detyr[s. Supozo se ΔABC [sht[ zhvendosur ashtu q[ A puthitet me A 1 dhe ΔABC puthitet me trek[nd[shin A 1B2C 2. Cakto raportet: A1B1 : A1B2 ;

Vizato ΔABC me A = 60 o brinj[

C

C2

A1C1 : A1C2 dhe

B1C1 : B 2C2 .

Trego se B = B1 dhe C = C1. Pse ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Cilat elemente p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave jan[ dh[n[ dhe a mjafton q[ t[ tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m?

A

B

B2

A1

B1

Jan[ dh[n[ nga dy brinj[ p[rgjegj[se proporcionale dhe k[nde t[ barabart[ q[ i formojn[ ato brinj[. Kjo mjafton q[ t[ tregosh se trek[nd[shat jan[ t[ ngjash[m.

V[re se si mund t[ shprehet kriteri p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i dyt[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se te nj[ trek[nd[sh jan[ p[rkat[sisht proporcionale dy brinj[ t[ trek[nd[shit tjet[r dhe k[ndet q[ i formojn[ ato brinj[ jan[ t[ barabarta, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

2.

Provo a jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ qoft[ se: a) BC = 20, AC = 22, C = 50o ; B1C1 = 30; A1C1 = 33, C1 = 50o . b) BC = 25, AC = 70, C = 70o ; B1C1 = 50; A1C1 = 139, C1 = 70o .

3.

Te ΔABC, n[ vizatim, pika M [sht[ mesi i brinj[s AB, kurse N [sht[ mesi i brinj[s AC. V[rteto se ΔABC ∼ ΔAMN. Trego se vija e mesme MN e ΔABC [sht[ sa gjysma e gjat[sis[ s[ brinj[s BC.

C N A

Trekëndëshat e ngjashëm

M

B

31

B

4.

Vizato DABC me brinj[ AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm , kurse pastaj ΔA1B1C1 me brinj[ dy her[ m[ vogla t[ ΔABC. Mati dhe krahasoji k[ndet: A dhe A1, B dhe B1, C dhe C1. C'p[rfundon? A [sht[ ΔABC ~ ΔA1B1C1? Brinj[t p[rkat[se t[ dy trek[nd[shave jan[ proporcionale. A mjafton q[ t[ konstatosh se ato jan[ t[ ngjash[m ?

Q[ dy trek[nd[sha t[ jen[ t[ ngjash[m, mjafton q[ brinj[t p[rkat[se t[ jen[ proporcionale, pasi at[her[ k[ndet p[rgjegj[se jan[ t[ barabart[.

V[ren se mund t[ shprehet edhe nj[ kriter p[r trek[nd[shat e ngjash[m. Ai quhet kriteri i tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m. N[ qoft[ se t[ tre brinj[t e nj[rit trek[nd[sh jan[ proporcionale me brinj[t p[rkat[se te trek[nd[shi tjet[r, at[her[ ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

3.

A jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat me brinj[t: a) 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 dhe 4, 3, 5;

c) 2, 2, 3 dhe 6,6, 8;

]) 2; 3; 4 dhe 3; 6; 4,5?

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ shprehish kriterin e dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m; t[ konstatosh ngjashm[rin e dy trek[nd[shave sipas kriterit t[ dyt[ dhe t[ tret[ p[r trek[nd[shat e ngjash[m; t[ caktosh brinj[n e panjohur te trek[nd[shat e ngjash[m.

1. Vizato dy trek[nd[sha ABC dhe PQR, kurse pastaj shkruaj cilat kushte duhet t'i plot[sojn[ q[ ΔABC ∼ ΔPQR sipas: a) kriterit t[ dyt[;

b) kriterit t[ tret[

2. Trego se trek[nd[shat ABC dhe EDC jan[ t[ ngjash[m dhe sipas cilit kriter. B

32

Provo se ΔABC dhe ΔPQR a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se: A = 55o, AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55o, PR = 12 cm, PQ = 18 cm .

Detyra

A

Brinj[t e ΔABC jan[: a = 6 cm, b = 4 cm dhe c = 3 cm. Cakto perimetrin e ΔA1B1C1 q[ [sht[ i ngjash[m me ΔABC, kurse brinja e tij m[ e vog[l [sht[ 6 cm.

6

E

9

4 C

3. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 6, 5 dhe 4. Brinja m[ e madhe e trek[nd[shit tjet[r, i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[ [sht[ 9. Cakto perimetrin e trek[nd[shit tjet[r.

4. A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ nga 60o dhe 70o, kurse dy k[nde t[ trek[nd[shit tjet[r jan[ nga 50o dhe 80o.

5. K[ndi pran[ maj[s t[ nj[ trek[nd[shi 6

D

Tema 1. Ngjashmëria

dybrinj[nj[sh[m [sht[ 70o. K[ndi pran[ baz[s t[ trek[nd[shit tjet[r dybrinj[nj[sh[m [sht[ 55 o . V[rteto se ato trek[nd[sha jan[ t[ ngjash[m.

6. Sqaro se a [sht[ ΔABC ∼ ΔMNR, n[ qoft[

 ΔABC

∼ ΔA 1B 1C. Pse?

se: BAC = 50o, AB = 4 cm , AC = 6 cm ;

Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se

NMR = 50o, MN = 30 cm , MR = 45 cm .

BC = 40 m, CB1 = 5 m , kurse B1A1 = 6,5 m.

7. Provo se trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1 a jan[ t[ ngjash[m, n[ qoft[ se brinj[t e tyre jan[: a) 15, 17, 24 dhe 4,5; 5,1; 7,2; b) 22; 8,2; 20 dhe 55; 20,5; 50.

8. Si do ta caktosh larg[sin[ prej pik[s A deri te

9. Si do ta njehsosh larg[sin[ nd[rmjet pikave t[ arritshme A dhe B, n[ teren, n[ qoft[ se nd[rmjet pikave A dhe B ka pjes[ t[ paarritshme. V[re vizatimin.

pika B, n[ qoft[ se pika A [sht[ e paarritshme? V[re vizatimin.



N[ teren, zgjedhim pika C dhe B 1 n[ drejt[z[n e nj[jt[ me B, ashtu q[ BC = m ⋅ CB1 .

dhe n[ vazhdim t[ AC dhe BC, jan[ zgjedhur pikat A1 dhe B1, ashtu

q[ AC = n ⋅ CA1 dhe BC = n ⋅ CB1 .

 Me instrument caktojm[ k[ndin B1 t[ barabart[ me B.

 N[ krahun e B

caktojm[ pik[n A1, ashtu q[ pikat A, C dhe A1 shtrihen n[ drejt[z[n e nj[jt[. 1

9

 {sht[ zgjedhur pika C

 ΔABC

∼ ΔA 1B 1C. Pse?

Cakto larg[sin[ prej A deri te B n[ qoft[ se AC = 10 m, CA1 = 2 m dhe A1B1 = 3,5 m .

RAPORTI I PERIMETRAVE DHE RAPORTI I SYPRINAVE T{ DY TREK{ND{SHAVE T{ NGJASH{M

Kujtohu! Njehso perimetrin e trek[nd[shit me brinj[: a = 15 cm, b = 9 cm dhe c = 8 cm. Njehso syprin[n e trek[nd[shit me brinj[ a = 10 cm dhe lart[sin[ p[rkat[se h = 6 cm. N[ qoft[ se tre ose m[ shum[ raporte jan[ t[ barabart[, at[her[ ato mund t[ shkruhen n[ form[ t[ p[rpjes[timit t[ vazhduar, p[r

a b c shembull: = = ,d.m.th. a : b : c = a1 : b1 : c1. a1 b1 c1

A 1.

Brinj[t e nj[ trek[nd[shi ABC jan[ a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 12 cm. Brinja m[ e vog[l e trek[nd[shit tjet[r A1B1C1, i ngjash[m me ΔABC [sht[ a1 = 3 cm. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ s[ trek[nd[shave. Cakto brinj[t b1 dhe c1 t[ ΔA1B1C1. Cakto perimetrat e ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1. Krahaso raportin e perimetrave t[ trek[nd[shave me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se. }ka p[rfundon?

P[r p[rpjes[timin vlen:

a +b +c a b c = = = =k . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1

Trekëndëshat e ngjashëm

33

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 T[ njohura jan[ dy brinj[ p[rgjegj[se a dhe a Prandaj

b

b

1

=

1

t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m.

a 6 = = 2 , d.m.th. k = 2. a1 3

c =k ; c1

;  b8 == kb 2b ;

c = kc ;  12 = 2c ;

1

1

1

1

b1 = 4 cm;

c1 = 6 cm.

V[re se perimetri P i ΔABC [sht[: P = 6 + 8 + 12, d.m.th. P = 26 cm, nd[rsa perimetri P1 i ΔA1B1C1 [sht[: P1 = 3 + 4 + 6, d.m.th. P1 = 13 cm.



26 6 8 12 = = = = 2 . V[reve se raporti i perimetrave t[ trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i 13 3 4 6 barabart[ me raportin e brinj[ve p[rgjegj[se.

Në përgjithësi vlen! N[ qoft[ se

ΔABC ∼ ΔA 1B 1 C 1, at[her[

 V[rtetimi. Prej ngjashm[ris[ s[ vijon:

P a b c    P1 a1 b1 c1

.

ΔABC dhe ΔA 1B 1C 1

C1

a b c = = . Sipas vetis[ t[ proporcionit t[ a1 b1 c1

vazhduar vijon:

C b

a +b +c a b c P a b c = = = , d.m.th.    . a1 + b1 + c1 a1 b1 c1 P1 a1 b1 c1 A

c

a1

b1

a

c1

B A1

B1

Mbaj mend Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ n[ raport t[ nj[jt[ me raportin e brinj[ve p[rkat[se.

2.

Brinj[t e DABC jan[ a = 6, b = 15 dhe c = 18, kurse ΔA 1B 1C 1 [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e ngjash[m me koeficientin e ngjashm[ris[ k =

B 3.

Trek[nd[shat ABC dhe A1B1C1, n[ vizatim jan[ t[ ngjash[m. Jan[ t[rhequr lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D1.

1 . Cakto perimetrin P1 t[ ΔA1B1C1. 3 C C1

Trego se ΔADC ∼ ΔA1D1C1. Trego se lart[sit[ p[rgjegj[se CD dhe C 1D 1 jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave.

34

Tema 1. Ngjashmëria

A

D

B

A1

D1 B1

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 V[re se trek[nd[shat k[nddrejt[ ADC dhe A D C 1

(pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C 1).

 Mund t[ p[rfundosh se ΔADC

1

1

kan[ nga nj[ k[nd t[ ngusht[, d.m.th. A = A1

∼ ΔA1D1C 1. Prej k[tu vijon: CD : C1D1 = AC : A1C1 = k .

 Prej ngjashm[ris[ s[ ΔABC dhe

ΔA 1B 1C 1 vijon:

CD AC AB BC = = = =k . C1D1 A1C1 A1B1 B1C1

Te trek[nd[shat e ngjash[m lart[sit[ p[rgjegj[se jan[ proporcionale me brinj[t p[rgjegj[se.

Në përgjithësi Te dy trek[nd[sha t[ ngjash[m lart[sit[ p[rkat[se, mesoret, simetralet e k[ndeve, rrezet e rrathve t[ brendashkruar dhe jashtashkruar p[rgjegj[se kan[ raport t[ nj[jt[ me brinj[t p[rgjegj[se.

4.

Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 16 cm dhe 24 cm, kurse nj[ra lart[si e trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 9 cm. Cakto lart[sin[ p[rgjegj[se t[ trek[nd[shit t[ dyt[.

V 5.

N[ vizatim jan[ dh[n[ trek[nd[shat e ngjash[m ABC dhe A1B1C1. Syprinat e tyre jan[ S dhe S1.

C1

C c

Shkruaji formulat p[r syprinat S dhe S1 sipas brinj[ve t[ dh[na dhe lart[sive p[rgjegj[se t[ trek[nd[shave. A

Shkruaj raport t[ barabart[ me raportin h : h1.

h a

c1

b B

A1

h1

b1

a1

B1

P[rpiqu t[ hjensosh sa [sht[ i barabart[ raporti i syprinave t[ trek[nd[shave, d.m.th. S : S1. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

1 a h 2

1 a1  h1 2



S 



Pasi ΔABC ∼ ΔA 1B 1C1 vijon se

S1 

 S:S

1

h a = . h1 a1

 N[ m[nyr[ t[ nj[jt[ mund t[ tregohet se:



1 1 ah : a1h1 d.m.th 2 2



Prandaj,

S b2 S c 2 .  ;  S1 b12 S1 c12

S ah a h    . S1 a1h1 a1 h1 S a a S a2   ;  2 . S1 a1 a1 S1 a1

Mbaj mend Raporti i syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m [sht[ i barabart[ me raportin e katror[ve t[ brinj[ve t[ tyre p[rgjegj[se.

6.

Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC dhe A1B 1C 1 jan[ 49 cm2 dhe 36 cm 2, kurse nj[ brinj[ e ΔABC [sht[ a = 7 cm. Cakto brinj[n p[rgjegj[se a1 t[ trek[nd[shit tjet[r dhe lart[sive p[rgjegj[se h dhe h1.

Trekëndëshat e ngjashëm

35

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

  

S: S 1 = a 2 : a12 ;

S

ah 2S ;h  2 a

49 : 36 = 49 : a12 ;

h

a12 = 36;

a 1 = 6 cm.

2  49  14; h  14cm 7

Prej ΔA1B1C1 cakto lart[sin[ h1, n[ qoft[ se [sht[ dh[n[: S1 dhe a1.

Duhet t[ dish: Kontrollohu!

t[ shprehish ]far[ raporti kan[ perimetrat, kurse ]far[ raporti kan[ syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m; ta shprehish pohimin p[r raportin e lart[sive, mesoreve dhe simetralve t[ k[ndeve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m;

Brinj[t e ΔABC jan[ a = 8, b = 6 dhe c = 4, perimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m me ΔA1B1C1 [sht[ 45. Cakto brinj[t e ΔA1B1C1.

t'i zbatosh n[ detyra raportet e perimetrave dhe raportet e syprinave t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m.

Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar n[ raport 1 : 200. Cili [sht[ raporti nd[rmjet syprin[s s[ trek[nd[shit nga vizatimi dhe syprin[s s[ ar[s.

Detyra 1. Perimetri i nj[ trek[nd[shi [sht[ tre her[ m[ i madh se perimetri i trek[nd[shit t[ ngjash[m me t[. N[ qoft[ se brinja m[ e madhe e trek[nd[shit t[ par[ [sht[ 24 cm, sa [sht[ brinja m[ e madhe e trek[nd[shit t[ dyt[?

2. Brinj[t e nj[ trek[nd[shi jan[ 8 cm, 15 cm, 9 cm, q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e par[ me P1 = 96 cm. Cakto brinj[t e trek[nd[shit tjet[r.

3. Perimetrat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m q[ndrojn[ si 5 : 2, kurse shuma e brinj[ve m[ t[ m[dhaja [sht[ 42 cm. Cakto gjat[sit[ e brinj[ve m[ t[ gjata.

6. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m ABC

dhe A1B1C1 jan[ 81 dhe 25. Brinja b e ΔABC [sht[ 9. Cakto brinj[n b 1 e ΔA 1 B 1C 1 dhe lart[sin[ h1 q[ [sht[ t[rhequr ndaj asaj.

7. Vizato trek[nd[sh ABC dhe pastaj nd[rto

trek[nd[sh t[ ngjash[m me ΔA 1 B 1 C 1 syprina e t[ cilit [sht[ nj[ e kat[rta e syprin[s s[ ΔABC.

8. Brinja a e ΔABC [sht[ 10, kurse lart[sia p[rkat[se [sht[ 5. Cakto brinj[n a 1 dhe lart[sin[ p[rkat[se h1 t[ ΔA1B1C1 q[ [sht[ i ngjash[m me ΔABC dhe e ka syprin[n 81.

4. Brinj[t a, b, c, t[ nj[ trek[nd[shi ABC

9. Syprinat e dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[

q[ndrojn[ si 3 : 4 : 6. Cakto brinj[t a1, b1, c1 t[ ΔA1B1C1 me perimet[r P1 = 52 cm, q[ [sht[ i ngjash[m me trek[nd[shin e dh[n[.

n[ raport 9 : 25. Cakto koeficientin e ngjashm[ris[ t[ atyre trek[ndshave.

5. Te ΔABC, n[ larg[si 2 cm prej brinj[s AC [sht[ t[rhequr drejt[za MN || AC. Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s AC t[ ΔABC, n[ qoft[ se AB : MB = 13 : 9 .

36

Tema 1. Ngjashmëria

10. Ara n[ form[ t[ trek[nd[shit [sht[ vizatuar n[ raport 1 : 500. Syprina e trek[nd[shit n[ vizatim [sht[ 2,76 dm2. Cakto syprin[n e ar[s n[ hektar[.

TEOREMA E PITAGOR{S

10

NGJASHM{RIA TE TREK{ND{SHI K{NDDREJT

A

Kujtohu! Te ΔABC k[nddrejt n[ vizatim, [sht[ l[shuar lart[sia CD ndaj hipotenuz[s AB.

1.

Trek[nd[shi k[nddrejt ABC n[ vizatim me lart[si CD t[ l[shuar ndaj hipotenuz[s AB, [sht[ ndar[ n[ dy trek[nd[sha k[nddrejt[: ΔADC dhe ΔCDB.

}far[ pozite reciproke kan[ krah[t e k[ndeve α dhe γ2? Cil[t ]ifte t[ k[ndeve t[ sh[nuara kan[ krah[ normale (pingule)? Cil[t prej k[ndeve t[ sh[nuar jan[ t[ barabart[ nd[rmjet veti? Jan[ dh[n[ segmentet a = 3 cm, c = 12 cm. Njehso mesin e tyre gjeometrik.

Sqaro pse (sipas cilit kriter) jan[ t[ ngjash[m trek[nd[shat: a) ΔABC ∼ ΔCBD; b) ΔABC ∼ ΔACD. V[re segmentin AD te ΔABC n[ vizatim. P[r t[ themi se [sht[ projeksioni i katet[s AC mbi hipotenuz[n AB. Gjat[sin[ e tij do ta sh[nojm[ me q.

Ngjash[m, segmenti DB quhet projeksioni i katet[s BC mbi hipotenuz[n. Gjat[sia e tij [sht[ sh[nuar me p.

2.

V[reji trek[nd[shat e ngjash[m k[nddrejt[ ABC dhe CBD n[ vizatim dhe gjat[sit[ e sh[nuara t[ brinj[ve t[ tyre.

Cil[t brinj[ t[ ΔCBD jan[ p[rgje-gj[se me brinj[t c dhe a t[ ΔABC?

Brinja c [sht[ hipotenuz[ te ABC, kurse brinja a [sht[ hipotenuz[ te ΔCBD. Prandaj: c [sht[ p[rgjegj[s me a; brinja a e ABC [sht[ p[rgjegj[s me p t[ ΔCBD.

Sqaro pse AB : CB = BC : BD , d.m.th. c : a = a : p. Prej p[rpjes[timit c : a = a : p fitohet a2 = cp. C' paraqet kateta a p[r hipotenuz[n c dhe projeksioni p?

3.

N[ vizatim te detyra 2, v[reji trek[nd[shat k[nddrejt[ t[ ngjash[m ABC dhe ACD. Shkruaji ]iftet e brinj[ve p[rgjegj[se. Sqaro pse c : b = b : q, d.m.th. b2 = cq. Shprehe me fjal[ lidhjen e katet[s b me hipotenuz[n c dhe projeksionin q t[ b mbi c.

Teorema e Pitagorës

37

Mbaj mend! Teorema 1o }do katet[ e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dhe proeksionit t[ asaj katete mbi hipotenuz[n.



a 2 = cp, b 2 = cq,

cp b = cq a =

Te ΔABC k[nddrejt me katete a = 12 dhe b = 5 dhe hipotenuz[ c = 13, cakto proeksionet e a dhe b mbi c.

4.

B

5.

Te ΔABC k[nddrejt [sht[ l[shuar lart[sia CD ndaj hipotenuz[s. Pse CAD [sht[ i barabart[ me BCD? Shihi ΔACD dhe ΔCBD n[ vizatim dhe trego se ato jan[ t[ ngjash[m. Cil[t jan[ brinj[t p[rgjegj[se t[ ΔCBD p[r brinj[t q dhe h nga ΔACD? Sqaro pse q : h = h : p, d.m.th. h2 = pq. Shprehe me fjal[ lidhjen e lart[sis[ h me proeksionet p dhe q (t[ a dhe b mbi c).

Mbaj mend! Teorema 2o Lart[sia h e l[shuar ndaj hipotenuz[s c n[ nj[ trek[nd[sh k[nddrejt [sht[ mesi gjeometrik i proeksioneve p dhe q t[ kateteve n[ hipotenuz[n.

 6.

h 2 = pq h = pq .

Cakto p, n[ qoft[ se q = 4 dhe h = 6. Pohimet 1o dhe 2o, d.m.th. lidhjet a2 = cp, b2 = cq, h2 = pq, i ka v[rtetuar matematikani i vjet[r grek Euklidi (365-310 vjet. p.e.r.) dhe p[r at[ shkak ato quhen teoremat e Euklidit.

38

Tema 1. Ngjashmëria

Kujtohu!

C

7.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ gjysm[ rrethi me diamet[r AB dhe [sht[ zgjedhur pika C n[ gjysm[ rrethin. I cilit lloj [sht[ k[ndi ACB? Si thot[ teorema e Talesit p[r k[ndin periferik mbi diametrin?

Vizato dy segmente m dhe n, sikurse n[ vizatim. m n

Pastaj, nd[rto mesin gjeometrik t[ atyre segmenteve (d.m.th. segmentin x, ashtu q[ x2 = m × n).

P[rcille m[nyr[n sikurse [sht[ treguar.

 Vizato

gjysm[drejt[z AT dhe barti n[ t[

segmentet m= AD vizatim.

dhe n=DB sikurse n[

 Nd[rto mesin O t[ segmentit AB dhe vizato gjysm[vij[n rrethin me diamet[r AB.

 Nd[rto normalen (pingulen) AB n[p[r pik[n D dhe sh[noje me C prerjen e saj me gjysm[ rrethin.

Sipas teorem[s 2o sqaro pse segmenti i fituar x=CD [sht[ mesi gjeometrik i segmenteve m dhe n.

8.

Nd[rto mesin gjeometrik x t[ segmenteve m = 2 cm dhe n = 3 cm.

Duhet të dish: t'i shprehish teoremat e Euklidit dhe t'i zbatosh n[ detyra; t[ nd[rtosh mesin gjeometrik t[ dy segmenteve.

Kontrollohu! Te ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proeksionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbi hipotenuz[n c. a) N[ qoft[ se c = 12 dhe p = 3, sa [sht[ a? c) N[ qoft[ se q = 2 dhe p = 8, sa [sht[ h? b) N[ qoft[ se b = 13, sa [sht[ cq?

Si nd[rtohet mesi gjeometrik i dy segmenteve? (P[rshkruaje m[nyr[n.)

Teorema e Pitagorës

39

Detyra 1. N[ baz[ t[ vizatimit plot[soji an[tar[t q[ mungojn[ te p[rpjes[timi:

a)

m ? = ; ? n

b)

? x = ; x m+n

m

n

;

a) m = 2,5 cm dhe n = 3,5 cm; b) m = 1,5 cm dhe n = 3 cm.

5. N[ kundrej ΔABC k[nddrejt [sht[ dh[n[

y z

c) x ⋅ y = (m + n) ⋅

4. Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve:

kateta a = 8 dhe proeksioni i saj p = 6,4. Njehso hipo-tenuz[n c dhe katet[n tjet[r b.

x ])

m+n y = . ? y

6. N[ k[ndrejtin ABCD [sht[ brendashkruar ΔABM k[nddrejt me k[nd t[ drejt te kulmi M (si n[ vizatim).

2. N[ ΔABC k[nddrejt, p dhe q jan[ proeksionet e katetave a dhe b, p[rkat[sisht, mbi hipotenuz[n c. Cakto vler[n e madh[sis[ s[ panjohur. a) p = 12, q = 3, h = ? b) a = 11, cp = ? c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ? Njehsoe syprin[n e pjes[s s[ hiesuar n[ qoft[ se CM = 9 cm dhe DM = 16 cm ..

3. N[ k[nddrejtin ΔABC [sht[ dh[n[ lart[sia h=2,4 e l[shuar ndaj hipotenuz[s dhe proeksioni i katet[s b mbi hipotenuz[n, q = 1,8. Cakto: a) segmentin p; b) hipotenuz[n c; c) katet[n b; ]) katet[n a.

40

Tema 1. Ngjashmëria

7. Nd[rto katror q[ e ka syprin[n e barabart[ me syprin[n e drejtk[nd[shit me dimensione a = 4 cm dhe b = 3 cm.

11

TEOREMA E PITAGOR{S

A 1.

Kujtohu! Teorem[n e Pitagor[s e ke t[ njohur nga viti i kaluar shkollor. Ajo thot[: Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt katrori i hipotenuz[s c [sht[ i barabart[ me shum[n e katror[ve t[ katetave a dhe b. D.m.th.

N[ vizatim [sht[ paraqitur ΔAVS k[nddrejt me gjat[si t[ kateteve a, b dhe gjat[si t[ hipotenuz[s c. Mbi brinj[t e tij jan[ nd[rtuar katror[ dhe syprinat e tyre jan[ sh[nuar p[rkat[sisht me Sa, Sb dhe Sc .

c2 = a2 + b2 Sa [sht[ syprina e katrorit me brinj[ a = 5 cm?

Shkruaje lidhjen nd[rmjet Sa, Sb dhe Sc. V[re se: Sa = a2, Sb = b2 dhe Sc = c2. Nga c2 = a2 + b2 p[rfundo se Sc = Sa + Sb. Sipas k[saj, teorema e Pitagor[s mund t[ shprehet edhe k[shtu: Te cilido trek[nd[sh k[nddrejt syprina e katrorit mbi hipotenuz[ [sht[ e barabart[ me shum[n e syprinave t[ katror[ve mbi katet[, d.m.th. Sc = Sa + Sb.

2.

Me ndihm[n e udh[zimeve vijuese p[rpiqu ta v[rtetosh teorem[n e Pitagor[s. Vizato ΔABC k[nddrejt me C = 90o dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj hipotenuz[s. Shkruaje lidhjen nd[rmjet ]do katete me hipotenuz[n dhe proeksionit p[rkat[s, d.m.th. lidhja sipas teoremave t[ Euklidit. Cakto shum[n e shumave t[ majta dhe shumave t[ djathta t[ barazimeve. Krahaso mendimin t[nd me v[rtetimin e dh[n[.

Pohimi 1. CD ⊥ AB 2. a2 = pc, b2 = qc 3. a + b = pc + qc 2

2

4. a2 + b2 = (p + q) ⋅ c 5. a2 + b2 = c ⋅ c, t.e. a2 + b2 = c2.

V[rtetimi

    

Sqarimi

Lart[sia te trek[nd[shi [sht[ normal (pingul) mbi brinj[n p[rgjegj[se. Kateta [sht[ mesi gjeometrik i hipotenuz[s dhe proeksionit p[rgjegj[s. Vetia mbledhja e barazimeve. Distributiviteti i shum[zimit n[ lidhje me mbledhjen. Principi i z[v[nd[simit (c = p + q).

Teorema e Pitagorës

41

Si mund ta shprehish hipotenuz[n c me ndihm[n e kateteve a dhe b? Si do ta shprehish nj[r[n katet[ me ndihm[n e hipotenuz[s dhe katet[s tjet[r?

Prej c2 = a2 + b2 vijon: c = a 2 + b 2 , a = c 2 -b2 b = c2 - a2 .

3.

Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt, n[ qoft[ se katetet jan[ a = 15 dhe b = 20.

4.

{sht[ dh[n[ hipotenuza c = 29 dhe kateta a = 20 e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt. Cakto katet[n tjet[r.

5.

{sht[ dh[n[ ΔABC me brinj[ a = 6 cm, b = 8 cm dhe c = 10 cm. trego se vlen barazimi a2 + b2 = c2. Nd[rto ΔABC dhe me matje, bindu se ai [sht[ k[nddrejt.

N[ p[rgjith[si vlen N[ qoft[ se p[r nj[ trek[nd[sh me brinj[ a, b, c vlen barazimi a2 + b2 = c2, at[her[ ai trek[nd[sh [sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[n c. Ky gjykim [sht[ teorem[, e quajtur, teorema e anasjellt[ e Pitagor[s. Brinj[t e ΔABC jan[:

6.

a) a = 7, b = 24, c = 25;

b) c = 8, b = 10, c = 15.

Provo ΔABC a [sht[ k[nddrejt.

B

7.

Njehso gjat[sin[ d t[ diagonales s[ drejtk[nd[shit me brinj[ a = 6 dm dhe b = 11 cm. D

Krahaso zgjidhjen t[nde me udh[zimin e dh[n[.



Vizato drejtk[nd[sh ABCD dhe sh[noji brinj[t dhe diagonalen, sikurse n[ vizatim.



V[re se ΔABC [sht[ k[nddrejt; hipotenuza e tij [sht[ diagonalja d, kurse katetet a dhe b jan[ brinj[t e drejtk[nd[shit.



A

d

b

a

B

Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔABC: d 2 = a2 + b2 = 602 + 112 = 3 600 + 121 = 3 721;

d = 3721= 61 ; d = 61 cm.

Njehso lart[sin[ h t[ ΔABC dybrinj[nj[sh[m me baz[ a = 18 dhe krah b = 41.

8.

Shqyrtoji udh[zimet dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.  Vizato ΔABC dybrinj[nj[sh[m dhe l[shoje lart[sin[ CD ndaj baz[s, sikurse n[ vizatim.



C

V[re se ΔADC [sht[ k[nddrejt, me hipotenuz[ b dhe kateta

42

Tema 1. Ngjashmëria

a dhe h. 2

C b

h

A a D 2

B

2



Zbato teorem[n e Pitagor[s te ΔADC:

æaö b = h + çç ÷÷÷ ; çè 2 ø 2

2

prej k[tu:

2

æaö h2 = b2 - çç ÷÷÷ = 412 - 92 = 1681 - 81 = 1 600; h= 1600 = 40 ; h = 40 cm. çè 2 ø

9.

Njehso perimetrin e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[n 10 dhe lart[sin[ 12.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

ta shprehish dhe ta v[rtetosh teorem[n e Pitagor[s;

Cakto hipotenuz[n c t[ trek[nd[shit k[nddrejt me kateta a = 8 dhe b = 15.

ta njehsosh gjat[sin[ e nj[r[s brinj[ te trek[nd[shi k[nddrejt, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ dy t[ tjerat.

Njehso lart[sin[ e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[n 20 cm dhe krahun 26 cm.

Detyra 1. Cakto brinj[n e panjohur te trek[nd[shi k[nddrejt me katete a dhe b, dhe hipotenuz[ c, n[ qoft[ se: a) a = 12, b = 35, c = ? b) b = 56, c = 65, a = ? c) a = 25, b = 31, c = ?

2. A [sht[ ΔABC k[nddrejt, n[ qoft[ se brinj[t e tij jan[: a) 14, 48, 50;

b) 9, 12, 17;

c) 5,6; 3,3; 6,5;

]) 100, 60, 80?

3. Cakto diagonalen e drejtk[nd[shit me brinj[

7. Kateta e nj[ trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 35 cm. Shuma e hipotenuz[s dhe katet[s tjet[r [sht[ 49. Njehso hipotenuz[n c dhe katet[n tjet[r b.

8. Hipotenuza e trek[nd[shit k[nddrejt [sht[ 35 cm. Raporti i katetetve [sht[ 3 : 4. Cakto katetet.

9. Syprinat e trek[nd[shave brinj[nj[sh[m mbi katetet a,b dhe hipotenuz[n c nga DABC k[nddrejt jan[ sh[nuar me Sa, Sb dhe Sc.

0,28 dm dhe 0,96 dm.

4. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me diagonale 8,5 dm dhe nj[ brinj[ 1,3 dm.

5. Njehso

perimetrin e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[ 14 dhe lart[si 24..

6. Njehso p[raf[rsisht lart[sin[ h t[ trek[nd[shit brinj[nj[sh[m me brinj[ a = 12.

Trego se: Sc = Sa + Sb. Provo a vlen lidhja e k[till[, n[ qoft[ se n[ vend t[ trek[nd[shave t[ rregullt nd[rtohen gjasht[k[nd[sha t[ rregullt.

Teorema e Pitagorës

43

Treshet e Pitagor[s Kjo nuk [sht[ e domosdoshme! Interesante [sht[ pyetja p[r treshet e numrave natyror[ a, b, c q[ e k[naqin barazimin

a2 + b2 = c2, Treshe t[ atilla jan[, p[r shembull: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13 etj. Ato quhen treshe t[ Pitagor[s. Provo se me k[to shprehje fitohen treshe t[ Pitagor[s.

12

1o 2mn, m2 - n2, m2 + n2, p[r ]do m, n ∈ N, m > n. 2o 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; p[r ]do n ∈ N fitohet nga nj[ treshe e Pitagor[s. n 2 -1 n 2 +1 , , 2 2 p[r ]do num[r tek n ∈ N, n ≥ 3.

3o n,

2

ænö 4 n, çç ÷÷÷ - 1, çè 2 ø o

p[r ]do num[r ]ift n ∈ N, n ≥ 4.

DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREM{S S{ PITAGOR{S

Kujtohu!

A 1.

Bazat e trapezit dybrinj[nj[sh[m ABCD jan[ a = AB = 15cm dhe b = CD = 9 cm , kurse DE [sht[ lart[sia e trapezit.

Njehso x = AE . Pik[prerja e diagonaleve te rombi EFGH n[ vizatim [sht[ sh[nuar me S. I cilit lloj [sht[ ΔEFS? Sqaro p[rgjigjen t[nde. Te vija rrethore me qend[r O, n[ vizatim [sht[ vizatuar korda MN, kurse te ΔMNO [sht[ l[shuar lart[sia OS ndaj brinj[s MN. Si jan[ nd[rmjet veti ΔMSO dhe ΔNSO? Pse?

44

2

æ ö çç n ÷÷ + 1 , çè 2 ÷ø

Tema 1. Ngjashmëria

Njehso lart[sin[ h t[ trapezit dybrinj[nj[sh[m me baza 16 cm dhe 30 cm, kurse krahu 25 cm.

N[ qoft[ se nuk mundesh vet ta zgjidhish detyr[n, p[rcilli udh[zimet.

 Vizato

trapez dybrinj[nj[sh[m ABCD dhe t[rhiqi lart[sit[ e tij DE dhe CF.

 Shihe, pastaj ΔAED k[nddrejt me hipotenuz[ c = 25 cm dhe katete x dhe h.

 Shihe gjithashtu prej vizatimit se a = b + 2x, prej ku x =

a -b . 2

 Zbatoje teorem[n e Pitagor[s p[r ΔAED; do t[ fitosh

2

æ a - b ÷ö h 2 = c 2 - x 2 = c 2 - çç çè 2 ÷÷ø

Duke z[v[nd[suar c, a dhe b, do t[ fitosh: 2

æ 30 - 16 ö÷ h = 25 - çç = 625 - 49 = 576; h = 576 = 24; h = 24 cm. çè 2 ÷ø÷ 2

2

2.

Bazat e trapezit dybrinj[nj[sh[m jan[ 30 dhe 20, kurse krahu [sht[ 13. Njehso syprin[n e trapezit.

3.

Cakto perimetrin e rombit ABCD me diagonale AC = 70 dhe BD = 24 . Me ]ka [sht[ i barabart[ perimetri P i rombit me brinj[ a? Si do ta njehsosh brinj[n a t[ rombit n[ qoft[ se i din[ diagonalet e tij?

d1

d2

2

2

Te rombi ABCD n[ vizatim, prerja e diagonaleve [sht[ sh[nuar me S.

Shihe ΔABS. Ai [sht[ k[nddrejt (pse?) me hipotenuz[ a dhe kateta

d1 d = 35 dhe 2 = 12 . 2 2

 Sipas teorem[s s[ Pitagor[s: 2

2

æd ö æd ö a = çç 1 ÷÷÷ + çç 2 ÷÷÷ = 352 + 122 = 1225 + 144 = 1369; a = 1369 = 37; a = 37; P= 4 ⋅ 37 = 148. çè 2 ø çè 2 ø 2

4.

N[ rrethin me rreze r = 2 dm [sht[ t[rhequr korda MN me gjat[si t = 2,4 dm. Sa [sht[ larg[sia d e asaj korde prej qendr[s s[ rrethit? N[ qoft[ se ndihma [sht[ e domosdoshme, shqyrtoe vizatimin. Shqyrtoje ΔMSO k[nddrejt, me hipotenuz[ r dhe katet[ d dhe

t , kurse 2

pastaj, sipas teorem[s s[ Pitagor[s, do t[ fitosh: 2

æt ö d 2 = r 2 - çç ÷÷÷ = 22 - 1, 22 = 4 - 1, 44 = 2, 56; d = 2, 56 = 1, 6; d = 1,6 dm. çè 2 ø

B 5.

a

Jan[ dh[n[ segmentet a dhe b (a > b) sikurse n[ vizatim. b

Nd[rto segmentin x, ashtu q[: a) x = a 2 + b 2 ;

b) x = a 2 - b 2

Krahaso zgjidhjen t[nde me vizatimin e dh[n[: nd[rtohet trek[nd[sh k[nddrejt p[r: a) me katete a dhe b, kurse p[r b) me hipotenuz[ a dhe katet[ b.

a)

b)

Teorema e Pitagorës

45

6.

Nd[rto segment me gjat[si

n , ku n = 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Nd[rtimi [sht[ paraqitur n[ vizatim.

 Segment me gjat[si

2 [sht[ nd[rtuar ashtu q[ [sht[ nd[rtuar ΔOAB

k[nddrejt dybrinj[nj[sh[m me katete OA = AB = 1 (cm, dm,...); hipotenuza OB e ka gjat[sin[

 N[ qoft[ se

2 . (Pse?)

OB = 2 meret p[r nj[ katet[, kurse segmenti BC = 1 p[r katet[n tjet[r t[ ΔOBC

k[nddrejt, at[her[ hipotenuza e ΔOBC do ta ket[ gjat[sin[ Sqaro se si jan[ nd[rtuar segmentet me gjat[si

3 (Pse?).

4, 5 etj.

Nd[rtimi i x = n mund t[ kryhet edhe ,,drejtp[rdrejt'', duke nd[rtuar mesin gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si n dhe 1, sikurse n[ vizatim

7.

(

)

n = CD .

Nd[rto segment me gjat[si x = a 2 + ab . Nd[rto mesin gjeometrik t[ segmenteve me gjat[si a dhe a + b.

Duhet t[ dish:

ta zbatosh teorem[n e Pitagor[s p[r njehsimin e gjat[sive t[ figurave t[ rrafshta gjeometrike;

t[ zgjidhish detyra t[ caktuara dhe detyra t[ tjera me ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s.

Kontrollohu! Njehso perimetrin e trapezit dybrinj[nj[sh[m me baza 30 dhe 14, kurse lart[sia 15. Brinja e nj[ rombi [sht[ a = 13 cm, kurse nj[ra diagonale [sht[ 10. Sa [sht[ diagonalja tjet[r? Sqaro se si nd[rtohet segmenti me gjat[si

3.

Detyra 1. Shkalla me gjat[si 7,4 m [sht[ mb[shtetur n[ mur ashtu q[ skaji i posht[m i shkall[s [sht[ i larguar 2,4 m prej murit. Deri te cila lart[si ka arritur shkalla. (B[je skic[n.)

46

Tema 1. Ngjashmëria

2. Njehso: a) lart[sin[, b) syprin[n, c) diagonalen e trapezit dybrinj[nj[sh[m, n[ qoft[ se dihen bazat e tij a = 42 cm, b = 24 cm dhe krahu c = 41 cm.

3. Diagonalet e nj[ rombi jan[ d1 = 40 dhe d2 = 50.

8. Nd[rto katror syprina e t[ cilit [sht[ e barabart[

Sa (p[raf[rsisht) [sht[ brinja a e atij rombi?

me: a) shum[n, b) ndryshimin e syprinave t[ dy katror[ve t[ dh[n[.

4. Syprina e trapezit barakrahas [sht[ S = 72 cm2, kurse bazat i ka t[ gjata 20 cm dhe 4 cm. Njehso perimetrin e trapezit.

9. N[ rrethin me rreze 17 cm [sht[ brendashkruar drejtk[nd[sh. Cakto perimetrin e atij drejtk[nd[shi n[ qoft[ se raporti i brinj[ve [sht[ 15 : 8.

5. Brinj[t e nj[ deltoidi jan[ t[ gjata 25 cm dhe 52 cm t[ gjata, kurse diagonalja q[ nuk [sht[ simetrale [sht[ 40 cm. Njehso syprin[n e deltoidit.

6. N[ rrethin me rreze 3,4 cm [sht[ t[rhequr

10. N[ dru q[ [sht[ n[ 8 m larg nj[ burimit kan[

korda n[ larg[si 1,6 cm prej qendr[s. Cakto gjat[sin[ e kord[s.

7. Nd[rto segmentin me gjat[si: a)

2;

5 ; c) a 2 + a ; ]) a 2 - ab (a > b) ku a dhe b jan[ segmenta t[ dh[n[.

hypur dy majmun[-nj[ri n[ maj[, kurse tjetri n[ 2 m lart tok[s. P[r t[ pir[ uj[, majmuni prej maj[s [sht[ hudhur drejt te burimi, kurse tjetri ka zbritur prej drurit dhe ka shkuar deri te burimi duke ecur. Megjithat[, t[ dy majmun[t kan[ kaluar rrug[ t[ barabarta. Sa [sht[ i lart[ druri?

b)

P[rpiqu ... nuk [sht[ e domosdoshme! Dy rrath[ takohen prej jasht[ dhe jan[ t[ vendosura brenda nj[ rrethi tjet[r. }donj[ri prej rrath[ve i takon rrath[t e tjer[, kurse qendrat e tyre O, O1, O2 shtrihen n[ drejt[z t[ nj[jt[, AB, sikurse n[ vizatim.

{sht[ dh[n[ gjat[sia t (p[r shembull, t = 6 cm) e kord[s CD e rrethit t[ madh e cila [sht[ tangjent[ e p[rbashk[t e dy rrath[ve t[ vegj[l. Njehso syprin[n S t[ pjes[s s[ qarkut t[ madh q[ [sht[ jasht[ prej rrath[ve t[ vegj[l (d.m.th. t[ pjes[s s[ ngjyrosur).

Teorema e PitagorĂŤs

47

M E

13

T {

P U N A D H { N A

POPULLIMI. MOSTRA

A 1.

N[ nj[ fabrik[ ]okolatash ka t[ pun[suar nj[ degustator. Detyra e tij [sht[ t'i provon ]okolatat dhe ta vler[son kualitetin e tyre. Mendo dhe p[rgjigju, a duhet degustatori ta provon secil[n ]okolat[?

Asesi jo. Degustatori zgjedh nj[ num[r t[ caktuar t[ ]okolatave t[ cilat i provon. T[r[sia e t[ gjitha atyre elementeve, n[ k[t[ rast ]okolatave, t[ cilat jan[ objekt i studimit quhet popullim. Pjesa e zgjedhur e elementeve, n[ t[ cilat kryhet studimi quhet most[r ose zgjedhje.

2.

V[re shembujt p[r popullimit dhe mostr[s. Mostra

Popullimi

Nx[n[s nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[ nj[ Nga nj[ paralele nga klasa I deri n[ klas[n e VIII n[ shkoll[ shkoll[n e njejt[ Nga tre futbollist[ nga ]do ekip Ekipe futbolli T[ gjith[ nx[n[sit q[ shkojn[ n[ shkolla private p[r Nga nj[ nx[n[s nga ]do shkoll[ private p[r gjuh[ t[ huaja gjuh[ angleze T[ gjith[ nx[n[sit e klas[s s[ VII n[ R. e Nga nj[ nx[n[s s[ klas[s s[ VII nga ]do shkoll[ n[ R. e Maqedonis[ q[ ka not[n 5 n[ matematik[. Maqedonis[ q[ kan[ not[n 5 n[ matematik[ Shkruaj tre shembuj t[ popullimit dhe mostr[s (pjes[) nga ai populacion.

3.

Mendo dhe p[rgjigju. Q[ t[ kontrollohet se a d[shirojn[ nx[n[sit gjat[ koh[s s[ pushimit t[ madh t'ju l[shohet muzik[, ]far[ [sht[ m[ mir[: t[ pyeten t[ gjith[ nx[n[sit n[ t[ gjitha shkollat ose t[ pyetet mostra prej disa nx[n[sve nga ]do shkoll[? Arsyeto p[rgjigjen t[nde. Shpesh her[ nuk mund t[ b[het ndonj[ hulumtim, testim ose kontrollim dhe studim i gjith[ popullimit. Pse? Ajo mund t[ jet[: - shum[ shtrenjt[; - t[ zgjat[ shum[ koh[; - t[ jet[ e pamundur t[ arihet deri te ]do an[tar i popullimit (p[r shembull, numri i peshq[ve n[ Liqenin e Ohrit).

48

Tema 1. NgjashmĂŤria

4.

Shkruaj nga nj[ shkak pse [sht[ m[ mir[ t[ meret nj[ most[r n[ vend t[ popullimit t[ t[r[ p[r secil[n nga hulumtimet e m[poshtme. Emisioni televiziv m[ i shikuar n[ nj[ qytet me 50000 banor[. Kualiteti i l[ngjeve n[ nj[ nd[rrmarje. Numri mesatar i librave q[ i ka lexuar ]do banor i R. s[ Maqedonis[ n[ vitin e kaluar.

B 5.

Kur ka nevoj[ t[ b[het p[rfundim ose t[ deklarohet di]ka p[r t[r[ populacionin dhe meret most[r, mostra duhet t[ jet[ reprezentativ (p[rkat[s p[r popullimin).

V[re shembullin. P[r t[ kontrolluar se sa nx[n[sit nga shkolla e tij shfryt[zojn[ komunikacionin urban, Agoni u ndal n[ nj[ stacion autobusash dhe mblodhi t[ dh[na duke pyetur njer[zit q[ zbritnin nga nj[ autobus. T[ dh[nat q[ i mblodhi Agoni nuk jan[ adekuate pasi mostra nuk [sht[ p[rfaqsuese e p[rshtatshme. N[se Agoni ka pyetur nx[n[sit e shkoll[ s[ tij, a do t[ jet[ ekzemplari reprezentativ? Arsyeto p[rgjigjen t[nde!

6.

Merita ka dashur ta gjen gjat[sin[ mesatare t[ gjetheve t[ nj[ bime q[ ka pasur dy her[ m[ tep[r gjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha. Cila most[r e gjetheve q[ duhet ta zgjedh ajo [sht[ e p[rshtatshme? a) Vet[m gjethe t[ m[dha;

c) Num[r t[ barabart[ t[ gjetheve t[ vogla dhe t[ m[dha;

b) Vet[m gjethe t[ vogla;;

]) Dy her[ m[ tep[r gjethe t[ vogla se sa gjethe t[ m[dha;

Arsyeto p[rgjigjen t[nde! Mostra p[rkat[se mund t[ zgjedhet me metod[n e zgjedhjes s[ rast[sishme dhe sistematike. Zgjedhja e rast[sishme do t[ thot[ se ]do objekt ose person nga popullimi ka gjasa t[ nj[jta q[ t[ zgjedhet. Q[ t[ zgjedhim, rast[sisht, 5 nga 30 nx[n[s n[ nj[ paralele mund ti sh[nojm[ numrat e tyre nga ditari i paraleles n[ flet[za, flet[zat ti p[rziejm[ n[ nj[ kuti dhe ti t[rheqim 5 flet[za. Ose t[ zgjedhim nj[ num[r (p[r shembull 7), dhe pastaj sistematikisht ta zgjedhim ]do t[ pestin nx[n[s: ( 7 + 5 = 12 ; 12 + 5 = 17 ; 22 ; 27 )

7.

Vetoni ka dashur t[ pyes[ mostr[n e nx[n[sve nga shkolla e tij p[r ate se a d[shirojn[ q[ t[ ky]et mbajtja e obligueshme e uniformave shkollore. Arsyeto pse asnj[ra nga m[nyrat e m[poshtme p[r zgjedhje t[ mostr[s nuk [sht[ e mir[: a) t[ pyet 20 personat e par[ q[ do t[ hyjn[ n[ shkoll[; b) t[ pyet nx[n[sit e paraleles s[ tij; c) t[ pyet nx[n[sit e seksionit matematikor;

Punë me të dhëna

49

Si duhet Vetoni ta zgjedh mostr[n? V[re! Zgjedhja e mostr[s duhet t[ jet[ e rast[sishme dhe t[ jet[ e p[rb[r[ nga nx[n[sit e t[ gjitha klasave (nga klasa e I deri n[ klas[n e VIII) n[ at[ m[nyr[ p[rfundimi do t[ jet[ i drejt.

8.

N[ tabel[ Vetoni i ka rregulluar t[ dh[nat nga hulumtimi p[r mbajtjen t[ obligueshme t[ uniformave shkollore.

Mostra

Numri i p[rgjigjeve

Mostra

Po

Jo

Klasa e I

12

3

Sa nx[n[s gjithsej ka patur mostra e Vetonit?

Klasa e II

10

5

N[se mostra ka qen[ 10% e popullimit, sa nx[n[s ka pasur gjithsej n[ shkoll[?

Klasa e III

10

5

Cili [sht[ p[rfundimi i Vetonit p[r mbajtjen t[ obligueshme t[ uniformave shkollore?

Klasa e IV

9

6

Klasa e V

7

8

Klasa e VI

7

8

Klasa e VII

2

13

Klasa e VIII

0

15

Sh[no edhe nj[ p[rfundim q[ mund t[ fitohet nga t[ dh[nat n[ tabel[.

T[ dh[nat e mbledhura nga mostra dhe vlerat e fituara p[r tendenca qendrore mund[sojn[ q[ t[ nxiren p[rfundime dhe t[ p[rgatiten informata p[r t[ gjith[ popullimin.

V

9.

V[re shembullin:

T[ dh[nat e mbledhura Numri vjetor i filmave

P[rgjigjet e t[ pyeturve

0 1deri 4 5 deri 8 9 deri 12 13 e m[ tep[r

50

Tema 1. NgjashmĂŤria

ď †

N[ nj[ vendbanim ka pasur 5000 banor[ m[ t[ vjet[r se 15 vjet. Blendi ka dashur t[ vler[son se sa her[ brenda vitit ata shkojn[ n[ kinema. Ai p[r ekzemplar[ ka zgjedhur 50 persona dhe me telefonata ka mbledhur t[ dh[nat. T[ dh[nat e mbledhura i ka paraqitur n[ tabel[ n[ kategori sipas numrit t[ filmave t[ shikuar n[ kinema. Blendi plot[soi tabel[n me vlera t[ frekuencave ose dendurive (num[r t[ p[rgjigjeve p[r ]do kategori). Pastaj njehsoi p[rqindjen p[r numrin e p[rgjigjeve n[ ]do kategori nga numri i p[rgjitsh[m i t[ pyeturve n[ mostr[n (50 persona).



Numri vjetor i filmave

P[rgjigjet e t[ pyeturve

Vlera e funksionit

0

21

1deri 4

16

5 deri 8

6

9 deri 12

3

13 e m[ tep[r

4

P[rqindja

fund p[rqindjet  N[ e fituara p[r

21 ⋅ 100 = 42% 50 16 ⋅ 100 = 32% 50 6 ⋅ 100 = 12% 50 3 ⋅ 100 = 6% 50 4 ⋅ 100 = 8% 50

ekzemplarin, Blendi i zbatoi p[r t[r[ populacionin.

42% nga 5000 [sht[ 2100 N[se 42% nga ekzemplari nuk shkojn[ n[ kinema, mund t[ konsiderohet se 42% nga populacioni nuk shkojn[ n[ kinema, q[ [sht[ 2100 persona. B[n p[rgjith[sim p[r populacionin p[r kategorit[ tjera (numri i filmave t[ shikuar n[ kinema-brenda vitit).

10.

Mimoza ka dashur t[ kontrollon se sa ndotet mjedisi jet[sor me mbeturina plastike t[ hudhura n[ oborrin shkollor gjat[ koh[s s[ pushimit t[ gjat[. Rast[sisht ka zgjedhur nj[ muaj n[ t[ cilin ka mbledhur t[ dh[na, si ekzemplar[ nga t[r[ viti shkollor. T[ dh[nat e Lloji i mbeturinave Numri mbledhura i ka paraqitur n[ tabel[. 137 Qese plastike a) Njehso nga sa mbeturina mesatarisht n[ nj[ dit[ jan[ hudhur nga secili lloj. 59 Shishe jogurti b) N[se viti shkollor ka 180 dit[, p[rdor p[rgjigjen n[n a) p[r ta 72 Shishe l[ngu patur parasysh numrin e ]do lloji t[ mbeturinave gjat[ vitit shkollor.

Got[za pudingu

16

Duhet të dish: Kontrollohu! ]far[ [sht[ popullimi dhe ]far[ mostra;

t[ caktosh most[r q[ [sht[ adekuate p[r hulumtimin e dh[n[;

Vler[so dhe p[rgjigju a [sht[ e mir[ zgjedhja e mostr[s: "zgjedhja e rast[sishme e 50% e popullimit t[ emrave telefonik t[ qytetit" p[r hulumtimin: "mendim p[r kualitetin e komunikacionit urban n[ nj[ qytet".

T[ p[rgjith[sosh p[rfundim t[ fituar nga mostra e popullimit.

Arsyeto p[rgjigjen t[nde.

t[ vler[sosh a [sht[ mostra e dh[n[ p[rfaq[suese adekuate e popullimit te dh[n[;

Punë me të dhëna

51

Detyra

A

N[ tre rastet vijuese:

6. Hulumtim: Efikasiteti i medikamentit t[ ri p[r kok[dhembje.

Cakto popullimin; Vler[so se a [sht[ adekuate m[nyra e zgjedhjes s[ mostr[s; Propozo m[nyr[ tjet[r t[ zgjedhjes s[ mostr[s.

1. Arditi ka dashur t[ zbulon se sa fitojn[ student[t q[ punojn[ n[p[rmjet organizat[s studentore. Ai shkoi n[ bibliotek[n e student[ve dhe pyeti 40 vajza.

2. N[ or[n e gjeografis[ Jetoni duhet t[ d[rgon n[ shkoll[ 5 lloje t[ copave t[ dheut nga kopshti i tij. Ai u ndal n[ mes t[ kopshtit, hodhi monedh[ dhe atje ku pikoi monedha mori most[r.

Mostra: t[ gjith[ pacient[t e nj[ mjeku q[ kan[ kok[dhembje t[ shpeshta.

7. Hulumtim: kualiteti i buk[s n[ nj[ furr[ buke. Mostra: ]do i nj[zeti bler[s n[ nj[ shitore ku shitet buk[ nga ajo furr[.

8. N[ nj[ qytet ka 6000 familje. Jan[ zgjedhur 100 familje p[r hulumtim: cila [sht[ dita m[ e preferuar p[r treg? T[ dh[nat jan[ dh[n[ n[ tabel[. Dita e preferuar p[r treg

3. Erona ka d[shiruar t[ hulumton se a [sht[ e v[rtet[ se grat[ n[ Manastir jetojn[ m[ shum[ se burrat. Ajo k[rkoi t[ dh[na nga Enti p[r statistik[ nga viti i kaluar.

B

N[ pes[ rastet vijuese:

cil[t nga mostrat jan[ p[rfaq[sues p[r popullimin dhe p[r hulumtimin? Arsyeto secil[n nga p[rgjigjet e tua.

Dita

Frekuenca

E h[n[

8

E mart[

10

E m[rkur[

14

E enjte

2

E premte

16

E shtun[

30

E diel S'ka dit[ t[ pref.

12

4. Hulumtim: mendim p[r ate se a duhet t[

8 100

nd[rtohet kafeteri e re. Mostra: zgjedhje e rast[sishme nga vizitor[t m[ t[ shpesht[ t[ bibliotek[s s[ qytetit.

a) Cakto p[rqindjet p[r ]do dit[.

Hulumtim: A e b[n maqina p[r paqetimin "Smoki", me gramazh[ t[ njejt[.

b) P[rdor p[rqindjen nga mostra p[r ta parashikuar numrin e familjeve nga i t[r[ popullimi, t[ cil[t dit[ m[ t[ preferuar p[r treg e kan[ t[ premten.

Mostra: 50 paqetat e par[ "Smoki" q[ dalin nga maqina p[r nj[ dit[. Masa e tyre [sht[ matur.

c) Sa familje n[ qytet nuk kan[ dit[ t[ preferuar p[r treg?

5.

52

Gjithsej

P[rqindja

Tema 1. NgjashmĂŤria

M{SOVE P{R NGJASHM{RIN{ KONTROLLO NJOHURIN{ T{NDE 1.

2.

3.

Jan[ dh[n[ dy katror[, nj[ri me brinj[ a = 12 cm, kurse tjetri me b = 8 cm. Cakto raportin e: a) brinj[ve t[ tyre; b) perimetave t[ tyre; c) syprinave t[ tyre. Ndonj[ri prej atyre raporteve a jan[ t[ barabart[? Segmenti AB [sht[ i gjat[ 12 cm. Cakto gjat[sin[ nd[rmjet pik[s S t[ segmentit dhe pik[s M q[ e ndan segmentin n[ raport 3 : 5. Cakto an[tarin e panjohur te p[rpjes[timi: a) x : 4 = 5 : 2;

b) 3 : 2x = 1 : 6;

c) 7 : 3 = 14 : (x + 2).

4.

Cakto gjat[sin[ e segmentit q[ [sht[ mesi gjeometrik i segmentit me gjat[si 8 cm dhe 18 cm.

5.

Vizato ]far[do segment dhe ndaje n[: a) 4; b) 5; c) 7 pjes[ t[ barabarta.

6.

{sht[ dh[n[ DABC dhe drejt[z MN || AB q[ e pret AC n[ M dhe BC n[ N. Cakto:

8.

{sht[ dh[n[ segmenti me gjat[si 12 cm. Nd[rto trek[nd[sh me perimet[r 12 cm, ashtu q[ brinj[t t[ q[ndrojn[ si 3:5:6.

9.

A jan[ t[ ngjash[m dy trek[nd[sha, n[ qoft[ se dy k[nde t[ nj[rit trek[nd[sh jan[ 40o dhe 60o, kurse t[ tjetrit jan[ 60o dhe 80o? Sqaro!

10. Nj[ shtyll[ elektrike e hudh hijen e gjat[ 10 m, kurse nj[koh[sisht hija e nj[ njeriu t[ gjat[ 1,5 m [sht[ e gjat[ 1,5 m. Cakto lart[sin[ e shtyll[s.

11. Nj[ ]ift i brinj[ve p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[: a = 15 dm dhe a1 = 6 dm, kurse lart[sia ndaj brinj[s a [sht[ 8 cm. Cakto lart[sin[ ndaj brinj[s a1.

12. Dy brinj[ p[rgjegj[se t[ dy trek[nd[shave t[ ngjash[m jan[ 7,5 cm dhe 10 cm. Njehso perimetrin dhe syprin[n e trek[nd[shit m[ t[ vog[l, n[ qoft[ se trek[nd[shi m[ i madh e ka perimetrin 60 cm dhe syprin[n 80 cm2.

13. Te trek[nd[shi k[nddrejt jan[ dh[n[

a) AC , n[se CN = 6, NB = 3 dhe MA = 4 .

b) BC , n[se AC : CM = 5 : 2 dhe CN = 14 .

7.

Vizato k[nd SOT. Te krahu OS barti segmentat OA = 3 cm dhe OB = 5 cm , kurse n[ krahun OT - segmentat OC = 4 ,5 cm dhe OD = 7 ,5 cm . Vizatoji drejt[zat AC dhe BD. a) Provo n[ vizatim drejt[zat a jan[ paralele.

proeksionet e katetave mbi hipotenuz[n, p = 2 dhe q = 8. Cakto: c, a, b, h.

14. Cakto perimetrin e drejtk[nd[shit me brinj[ 300 dhe diagonale 340.

15. A [sht[ k[nddrejt trek[nd[shi q[ ka brinj[t: a) 32, 24, 40; c) 0,7; 2,4; 2,5?

b) 20, 40, 50;

16. Cakto

perimetrin e trek[nd[shit dybrinj[nj[sh[m me baz[ 28 dhe lart[si 48.

17. Njehso brinj[n e rombit diagonalet e t[ cilit jan[ 9 cm dhe 5,6 cm.

b) Sqaro pse p[rgjigja yte [sht[ e drejt[.

Kontrollo njohurinĂŤ tĂŤnde

53

54

TEMA 2.

BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR

BARAZIMI LINEAR Barazia, barazimi, identiteti Llojet e barazimeve Zgjidhja e barazimit. Barazimet ekuivalente Teoremat p[r barazimet ekuivalente-1 Teoremat p[r barazimet ekuivalente-2 Forma e p[rgjithshme e barazimit linear me nj[ t[ panjohur 7. Zbatimi i barazimit linear me nj[ t[ panjohur 1. 2. 3. 4. 5. 6.

JOBARAZIMET LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR 8. Koncepti p[r jobarazi dhe jobarazim 9. Zgjidhja e jobarazimit. Intervalet 10. Teoremat p[r jobarazimet ekuivalente 11. Zgjidhja e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur

56 59 62 66 70 74 78

83 87 92 98

SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR 12. Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur FUNKSIONET LINEARE 13. Funksioni linear 14. Paraqitja grafike e funksionit linear 15. Pozita reciproke e grafik[ve t[ disa funksioneve lineare 16. Vijimi i funksionit linear 17. Zgjidhja grafike e barazimeve lineare me nj[ t[ panjohur 18. Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes Provo njohurin[ t[nde

100

104 107 111 114 117 120 125

BARAZIMET LINEARE

1

BARAZIA, BARAZIMI, IDENTITETI

A 1.

Kujtohu! Dy shprehje t[ lidhura me shenj[n ,,=" (baraz) formojn[ barazi. Barazi jan[, p[r shembull: 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 ⋅ 2 = 7 + 10; 2x - 3 = x + 1; x2 - y2 = (x - y)(x + y). Shkruaj barazi me t[ cilin [sht[ shprehur: a) vetia komutative e mbledhjes n[ Q; b) vetia e shp[rndarjes e shum[zimit n[ lidhje me mbledhjen n[ Q. Shkruaj barazi ku 4x2 - 4x [sht[ ana e majt[, kurse x - 6 [sht[ ana e djatht[ e barazis[.

Jan[ dh[n[ barazit[: a) 3 ⋅ 2 - 11 = 2 - 7; b) 3x - 1 = 2x + 5; c) x + 2y = 8; ]) 15 - 6 : 2 = 4 ⋅ 2 - 5.

Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike? Te cil[t prej barazive t[ dh[na ana e majt[ dhe e djatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore?

V[re dhe mbaj mend



Te barazit[ a) dhe ]) ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike.

Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje numerike quhen barazi numerike.



Te barazit[ b) dhe c) ana e majt[ dhe e djatht[ ose nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore.

Barazit[ te t[ cilat ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore, quhen barazi me ndryshore. Ndryshoret ndryshojn[ n[ bashk[sin[ R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si. P[r barazin[ numerike thuhet se [sht[ e sakt[, n[ qoft[ se vlera e shprehjes n[ an[n e majt[ [sht[ e barabart[ me vler[n e shprehjes t[ an[s s[ djatht[. Cil[t prej shprehjeve numerike a) dhe ]) jan[ t[ sakta? a) 3 + 2 ⋅ 7;

2.

Shkruaj sakt[sisht barazi te e cila ana e majt[ [sht[:

3.

Cakto cila prej k[tyre barazive jan[ barazi me ndryshore. a) 7 - 10 : 2 = 4 ⋅ 3 - 10;

56

b) 3x + 2 - x = 8;

c) 3x - 5 = x + 3;

b) 5 - (9 + 2).

]) 5 ⋅ 2 + 1 = 9 : 3 + 8.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Bashk[sia te e cila ndryshoret marrin vlerat quhet bashk[sia e p[rkufizimit dhe shpesh her[ sh[nohet me D. Barazia me nj[ ndryshore, n[ rastin e p[rgjithsh[m do ta sh[nojm[ me A(x) = B(x), x ∈ D, ku A(x) dhe B(x) jan[ shprehje me ndryshore x, e p[rkufizuar n[ D. M[ tutje, n[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit at[her[ do t[ n[nkuptojm[ se ajo [sht[ bashk[sia e numrave real[ R.

4.

Jan[ dh[n[ barazit[ me ndryshore: a) 3x - 7 = x + 1, x ∈ N;

b) x + y = 2 + 3y;

c) 5x - 2 = x - 6, x ∈ Z;

]) x2 - 4x = x - 5

Em[rtoji ndryshoret, dhe pastaj edhe bashk[sin[ e p[rkufizimit t[ secilit prej atyre barazive. Te cil[t prej barazive t[ dh[na n[nkuptojm[ se bashk[sia e p[rkufizimit [sht[ bashk[sia R?

Mbaj mend Barazit[ me ndryshore quhen barazime. Ndryshoret te barazimet quhen t[ panjohura.

5.

Cil[t prej barasive t[ dh[na jan[ barazime? Theksoji t[ panjohurat te ato. a) 4 ⋅ 5 - 11 = 3 ⋅ 3; b) x - y = 5; c) 3x - 8 = x + 2; ]) 12 : 2 - 1 = 2 ⋅ 3 - 1.

B 6.

Jan[ dh[n[ barazimet: 2x - 3 = x - 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 dhe me bashk[sin[ e nj[jt[ t[ p[rkufizimit D = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3}.

V[re n[ tabel[ p[r cil[n vler[ t[ ndryshores x barazimi kalon n[ barasi numerike t[ sakt[. Provo a [sht[ plot[suar sakt[ tabela p[r secilin barazim dhe ]do vler[ t[ dh[na t[ x.

x+4=x-3

x

-2

-1

0

1

2

3

2x - 3 = x - 1

J

J

J

J

S

J

x2 + 3 = 4x

J

J

J

S

J

S

3(x + 2) = 3x + 6

S

S

S

S

S

S

x+4=x-3

J

J

J

J

J

J

S - e sakt[;

J - jo e sakt[

Prej tabel[s v[re se:

 barazimi  barazimi  barazimi  barazimi

2x - 3 = x - 1

kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 2;

2

x + 3 = 4x kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ vet[m p[r x = 1 dhe x = 3; 3(x + 2) = 3x + 6 x+4=x-3

kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r t[ gjitha vlerat e x nga D;

nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ x nga D.

Barazimi linear

57

Mbaj mend! Barazimi q[ kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r ]do vler[ t[ x ∈ D quhet identitet. Barazimi i cili nuk kalon n[ barazi numerike t[ sakt[ p[r asnj[ vler[ t[ ndryshores nga fusha e p[rkufizimit quhet barazim i pamundsh[m ose barazim kund[rth[n[s.

7.

N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ p[rfundosh se barazimi 3(x + 2) = 3x + 6,

8.

Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ identitete: a) x + 5 = 5 + x, x ∈ R; b) (x-1) (x+1) = x2 - 1, x ∈ Z;

9.

x∈R

[sht[ identitet?

c) 2x - 3 = x - 1?

Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s: a) 2x - 1 = x + 2;

b) 3 - x = 5 - x;

c) x +

1 1 = x- . 2 2

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ p[rkufizosh barazim dhe bashk[sin[ e p[rkufizimit t[ barazimit; t[ p[rkufizosh identitet; t[ p[rkufizosh barazimin kund[rth[n[s.

}'[sht[ paraqitur me sh[nimin 5x - 3 = x + 2, x ∈ Z? N[ baz[ t[ cil[s veti mund t[ konstatosh se barazimi x + 8 = 8 + x [sht[ identitet?

Detyra 1. Cakto cil[t prej k[tyre barazive jan[ t[ sakt[: a) 3 + 2 × 4 = 20 : 5 + 7; b) 3x + 1 = 2x - 1 p[r x = 2; c) x - 3 = 2x + 1 p[r x = -4.

4. Provo a [sht[ identitet ndonj[ra prej barazimeve x2 + 6 = 5x dhe 5(x - 1) = 5x - 5 n[ t[ nj[jt[n bashk[si t[ p[rkufizimit D = {-1, 0, 1, 2, 3}.

5. Provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ 2. Cil[t prej k[tyre barazive jan[ barazime: a) 15 ⋅ 1 - 4 = 8 + 3; b) 4x - 5 = 3x - 2; c) x2 - 3 = 4x.

3. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} barazimi 2x - 3 = x - 1 kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike?

58

barazime kund[rth[n[se: a) 2x - 3 = 2x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3}; b) x2 - 1 = x2 + 4, x ∈ {-1, 0, 1, 2}; c) 3x - 4 = x + 2, x ∈ {2, 3, 4, 5}.

6. Cakto vler[n e a, ashtu q[ p[r x = 3 barazimi ax - 2 = 2x + 1 t[ kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

2

LLOJET E BARAZIMEVE

A 1.

Kujtohu!

Jan[ dh[n[ barazimet: 3x - 2 = 2x + 1; 3x - y = y + 2;

Ti m[sove se ]'[sht[ barazimi. P[r shembull, barazime jan[: 3x - 2 = x + 4;

5x - 2y = 3z -4.

x + 2y + 1 = x + y; Cakto numrin e t[ panjohurave te ]donj[ra prej barazimeve t[ dh[na.

x + 2y - z = 4. Em[rtoji t[ panjohurat te ]donj[ri prej tyre.

V[ren se: barazimi 3x - 2 = 2x + 1 ka vet[m nj[ t[ panjohur x, barazimi 3x - y = y + 2 ka dy t[ panjohura x dhe y, kurse barazimi 5x - 2y = 3z - 4 ka tri t[ panjohura x, y dhe z. V[reve se disa barazime kan[ nj[ t[ panjohur, disa dy t[ panjohura, disa tre t[ panjohura e me rradh[. Sipas numrit t[ panjohurave, barazimet mund t[ jen[: barazime me nj[ t[ panjohur, barazime me dy t[ panjohura, barazime me tri t[ panjohura e me rradh[.

2.

Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prej k[tyre barazimeve: 2x - 3y = 5 - 2x;

3.

3x - 7 + 2x = 1 + x + 3x?

Shkruaj nj[ barazim me t[ panjohurat x dhe y.

B 4.

Kujtohu! Shkalla m[ e lart[ e ndryshores te nj[ polinom quhet shkalla e polinomit. Cakto shkall[n e polinomit t[ ]donj[rit prej polinom[ve: a) x2 - 2x + 3; b) x3 + x2y2 - x2.

V[re n[ tabel[ an[tar[t e barazimeve me shkall[ m[ t[ lart[.

Cakto te cil[t prej shprehjeve nga ana e majt[ dhe nga ana e djatht[ t[ barazimit e panjohura ka shkall[ m[ t[ lart[. a) 2x + 3 = 5x - 2; b) x2 - 2x = 5x + 8; c) 2x3 - x2 = 5 + x.

Barazimi 2x + 3 = 5x - 2 [sht[ shkruar me shprehjet: 2x, 3, 5x dhe -2. Ato jan[ an[tar[ t[ barazimit.

Barazimi

An[tari me shkall[ m[ t[ lart[ t[ panjohur[s

Shkalla e an[tarit

1

2x + 3 = 5x - 2

2x dhe 5x

i shkall[s s[ par[

2

x2 - 2x = 5x + 8

x2

i shkall[s s[ dyt[

3

2x3 - x2 = 5 + x

2x3

i shkall[s s[ tret[

Barazimi linear

59

V[reve se te disa barazime an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n jan[ t[ shkall[s s[ par[, te t[ tjerat ka t[ pakt[n nj[ an[tar te i cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ dyt[, te i treti ka t[ pakt[n nj[ an[tar te i cili e panjohura [sht[ e shkall[s s[ tret[ etj.

Mbaj mend! Sipas shkall[s m[ t[ lart[ t[ panjohur[s, barazimet mund t[ jen[: barazime t[ shkall[s s[ par[ ose barazime lineare, barazime t[ shkall[s s[ dyt[ ose barazime katrore, barazime t[ shkall[s s[ tret[ ose barazime kubike e me rradh[.

5.

Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej barazimeve t[ dh[na:

C 6.

2x + y - 7 = 5;

x3 - 2x2 = 5x + 8;

x2 + 7 = 2x;

x2y - 3x = 5y - 2.

Jan[ dh[n[ barazimet a) 2x - 1 = 3;

]) 8x - 3 = x + 2.

c) 3x2 - 1 = 6x;

b) 3x + 5y = 4;

Cakto cili prej tyre [sht[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[. V[reve se barazimet 2x - 1 = 3 dhe 8x - 3 = x + 2 jan[ me nj[ t[ panjohur dhe t[ shkall[s s[ par[. N[ p[rgjith[si, barazime me nj[ t[ panjohur t[ shkall[s s[ par[ quhen barazime lineare me nj[ t[ panjohur.

7.

Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ barazim linear me nj[ t[ panjohur: b) 2x - 3 = 5 - x;

a) 5x2 - 2 = 3x;

8.

c) 5x + y = 7?

Jan[ dh[n[ barazimet lineare me nj[ t[ panjohur x: a) 8 - 2x = x +

1 ; 2

b) ax + 5 = x;

c) ax + b = 0;

]) x - 1 = 3x.

P[r ]far[ dallohen barazimet a) dhe ]) prej barazimeve b) dhe c)? V[reve se, duke mos marrun parasysh t[ panjohur[n, t[ gjith[ an[tar[t e barazimeve a) dhe ]) p[rmbajn[ vet[m numra real[, kurse disa an[tar[ t[ barazimeve b) dhe c) p[rmbajn[ edhe numra t[ p[rgjithsh[m. N[ p[rgjith[si, barazime te t[ cilat an[tar[t p[rmbajn[ numra t[ p[rgjithsh[m (parametra) quhen barazime me parametra ose barazime parametrike.

60

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

9.

Cilat prej barazimeve me t[ panjohur[n x [sht[ barazim me paramet[r: a) ax + 2 = 5x;

b)

1 x + 3 = 0; 2

c) x - 6 = p?

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ dallosh dhe t[ em[rtosh barazime: :

 sipas numrit t[ t[ panjohurave;  sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s; t[ dallosh barazim linear me nj[ t[ panjohur me paramet[r ose pa paramet[r.

I cilit lloj [sht[ barazimi 5x - xy = 2x - 3 sipas:

 numrit t[ t[ panjohurave;  shkall[s?

Detyra 1. Cakto me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ri prej

4. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ bara-

barazimeve:

zim linear.

a) x + y + z = 2x + 8;

a) x + 2y = 7 + 2x;

b) 3x - 15 = 7 - 2x;

c) 3x - 1 = x + 5.

b) xy2 + y = 3 + 5x;

c) 10 xy - 12y = 10 + x.

2. Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej

5. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[

barazimeve:

barazim linear me nj[ t[ panjohur.

a) x + x = 5 - x;

a) 2x - 1 + y = 5x + 3;

b) 3xy - 5 = 2x + y;

b) x2 - 2x + 1 = 0;

c) x + 3 = 3x - 5.

c) 3x - 2 = 5 + x;

3

2

]) 3x - 7 + 2x = 11 - x.

3. Cilat prej barazimeve me qe vijojn[ t[ panjohura x ose y jan[ me parametra: a) ax + 2y = 5 - x;

b) 3x2 + 1 = 2x;

c) ax + c = by + 3;

]) 5x - 7 = 2x - 5?

Barazimi linear

61

3

ZGJIDHJA E BARAZIMIT. BARAZIMET EKUIVALENTE

A 1.

Kujtohu! Shprehja me ndryshore kalon n[ shprehje numerike n[ qoft[ se ndryshorja z[v[nd[sohet me ndonj[ num[r. Paraqite n[ shprehje numerike shprehjen me ndryshore x2 + 2x - 1 p[r x = 2. Njehso vler[n numerike t[ shprehjes a2 - 2a + 5, p[r a = -3.

{sht[ dh[n[ barazimi 3x - 2 = 2x + 1, me bashk[sin[ e p[rkufizimit D = {-3, -2, 2, 3}.

Paraqite barazimin n[ barazi numerike p[r ]do x ∈ D. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike?

Krahaso zgjidhjen t[nde sipas t[ dh[nave n[ tabel[. Barazimi

3x - 2 = 2x + 1

x

Barazia numerike

Sakt[ - S Jo e sakt[ - J

-3

3 ⋅ (-3) - 2 = 2 ⋅ (-3) + 1

J

-2

3 ⋅ (-2) - 2 = 2 ⋅ (-2) + 1

J

2

3⋅2-2=2⋅2+1

J

3

3⋅3-2=2⋅3+1

S

Prej tabel[s mund t[ v[resh se barazimi 3x - 2 = 2x + 1 kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike, p[rkat[sisht ana e majt[ dhe e djatht[ ka vlera numerike t[ barabarta vet[m p[r x = 3.

Mbaj mend! }do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje ose rr[nja e barazimit.

2.

Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7}.

3.

Cakto t[ gjitha zgjidhjet e barazimit x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3}. Te detyra 2 dhe 3 mund t[ v[resh se zgjidhja e barazimit 12 - 2x = x - 3 [sht[ 5, kurse zgjidhje t[ barazimit x2 + 6 = 5x jan[ 2 dhe 3.

62

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

V[re dhe mbaj mend! T[ zgjidhet nj[ barazim dometh[n[ t[ caktohen t[ gjitha zgjidhjet e tij. T[ gjitha zgjidhjet e nj[ barazimi formojn[ bashk[si e cila quhet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij barazimi. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ nj[ barazimi shpesh her[ sh[nohet me M. P[r shembull, bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7} M = {5}, kurse p[r barazimin x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3} [sht[ M = {2, 3}.

[sht[

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit, p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}:

4.

a) 4x - 1 = x + 5;

B

b) x2 + 3 = 4x.

Cakto bashk[sin[ e barazimit 3(x - 2) = 3x - 6, n[ qoft[ se D={-2, -1, 0, 1, 2}.

5.

V[re prej tabel[s bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit 3(x - 2) = 3x - 6. x

-2

Barazi numerike Sakt[ - S Jo e sakt[ - J

-1

0

1

2

3(-2-2)=3⋅(-2)-6 3(-1- 2)=3⋅(-1)-6 3(0-2)=3⋅(0)-6 3(1-2)=3⋅1-6 3(2-2)=3⋅2-6 S

S

S

V[reve se p[r ]do x ∈ D, barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. Si quhet ky barazim?

S

S

Ky barazim quhet identitet.

N[ p[rgjith[si, identitet [sht[ barazimi p[r t[ cilin ]do vler[ nga fush[s s[ p[rkufizimit D [sht[ zgjidhje e tij, d.m.th. M = D.

6.

Provo se barazimi 2x - 2 = 2(x - 1), x ∈ {0, 1, 2, 3} a [sht[ identitet.

7.

{sht[ dh[n[ barazimi x + 5 = x - 4 dhe D = {-2, -1, 0, 1, 2}. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ D ky barazim kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike? }ka p[rfundon? Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[.. x

-2

-1

0

Barazi numerike

-2 + 5 = -2 - 4

-1 + 5 = -1 - 4

0+5=0-4

Sakt[ - S Jo e sakt[ - J

J

J

J

1

2

1+5=1-4 2+5=2-4 J

Barazimi linear

J

63

Dometh[n[ nuk ekziston num[r x ∈ D i cili [sht[ zgjidhje e barazimit x + 5 = x - 4, d.m.th. M = ∅. N[ p[rgjith[, barazimi, bashk[sia e zgjidhjeve t[ s[ cil[s [sht[ bashk[sia e zbraz[t, [sht[ barazim i pamundsh[m, d.m.th. barazim kund[rth[n[s.

8.

Cil[t prej k[tyre barazimeve me a) x + 3 = 7 + x;

9.

D = {1, 2, 3, 4} jan[ t[ pamundshme

b) 2x + 1 = 7;

c) 3 + 2x = 2x - 5;

Provo barazimin x + 7 = 4 a ka zgjidhje n[ bashk[sin[

]) 3x - 1 = 2x + 1?

a) N;

b) Q.

N[ bashk[sin[ N a ka num[r i mbledhur me 7 q[ e jep shum[n 4? A ka num[r t[ atill[ n[ bashk[sin[ Q?

N[ bashk[sin[ N nuk ekziston num[r i mbledhur me 7 i cili jep shum[n 4, d.m.th. barazimi x + 7 = 4 nuk ka zgjidhje n[ bashk[sin[ N. N[ bashk[sin[ Q zgjidhja e barazimit x + 7 = 4 [sht[ x = -3, pasi -3 + 7 = 4 [sht[ barazi e sakt[.

Mbaj mend Ekzistojn[ barazime t[ cilat n[ nj[ bashk[si kan[ zgjidhje, kurse n[ tjetr[n nuk kan[ zgjidhje, d.m.th. jan[ t[ pamundshme.

C 10.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej barazimeve: 2x - 1 = x + 1, x2 + 2 = 3x dhe 4x - 3 = 2x + 1, n[ qoft[ se bashk[sia e p[rkufizimit t[ ]donj[rit prej tyre [sht[ D = {0, 1, 2, 3}.

Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[. V[re cilat vlera t[ x jan[ zgjidhje t[ barazimeve.

x Barazimi 2x - 1 = x + 1

0

1

2

3

2⋅0-1≠0+1

2⋅1-1≠1+1

2⋅2-1=2+1

2⋅3-1≠3+1

x2 - 2 = 3x

02 + 2 ≠ 3 ⋅ 0

12 + 2 = 3 ⋅ 1

22 + 2 = 3 ⋅ 2

32 + 2 ≠ 3 ⋅ 3

4x - 3 = 2x + 1 4 ⋅ 0 - 3 ≠ 2 ⋅ 0 + 1 4 ⋅ 1 - 3 ≠ 2 ⋅ 1 + 1 4 ⋅ 2 - 3 = 2 ⋅ 2 + 1 4 ⋅ 3 - 3 ≠ 2 ⋅ 3 + 1

Cil[t prej k[tyre barazimeve t[ dh[na kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta?

64

Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit 2x - 1 = x + 1 [sht[ {2}, t[ barazimit x2 + 2 = 3x [sht[ {1, 2} dhe t[ barazimit 4x - 3 = 2x + 1 [sht[ {2}. Barazimet: 2x - 1 = x + 1 dhe 4x - 3 = 2x + 1 kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Dy barazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit dhe q[ kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta quhen barazime ekuivalente.

11.

Cakto cil[t prej bashk[sive t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ A = {0, 1, 2, 3} jan[ ekuivalente: a) 3x - 1 = x + 1;

b) x2 - 2 = x;

Duhet t[ dish:

]) 4x - 2 = x + 1.

c) (x - 1)(x - 2) = 0;

Kontrollohu!

t[ provosh se numri i dh[n[ a [sht[ zgjidhje e barazimit;

Jan[ dh[n[ barazimet: 2x + 1 = 3x - 1 dhe x + 5 = 3x + 1.

t[ p[rkufizosh cil[t barazime jan[ ekuivalente.

Provo se ndonj[ri prej k[tyre barazimeve a [sht[ ekuivalent me barazimin 3x + 2 = 4x, n[ bashk[sin[ A = {1, 2, 3, 4}.

Detyra 1. Cakto cili prej k[tyre pohimeve [sht[ i sakt[. a) Numri -2 [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - 1 = x + 2. b) Numri 4 [sht[ zgjidhje e barazimit 2y - 1 = y + 3. c) Numri 0 [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - 3 = x - 3.

4. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit

(x - 1)(x - 2) = 0, x ∈ {0, 1, 2, 3}, [sht[ {1, 2}. Cili prej k[tyre barazimeve: a) 3x - 2 = 2x - 1;

b) x2 + 1 = 3x - 1;

c) 2x + 1 = 3x - 1 [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[?

5. Cakto cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i 2. P[r cil[n vler[ t[ parametrit a, numri 3 [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - 1 = a?

pamundsh[m n[ bashk[sin[ Z. a) 2x + 7 = 3;

b) x + 5 = x - 2;

c) x - 4 = -x.

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit t[ barazimeve t[ dh[na, n[ qoft[ se bashk[sin[ e p[rkufizimit e kan[ A= {2, 3, 4}. a) 4x - 1 = 3x + 1;

b) x + 3 = 2x;

6. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamundsh[m n[ bashk[sin[ N, por ka zgjidhje n[ bashk[sin[ Z: a) x + 5 = 2; b) 2x - 1 = 3; c) 8 - x = 9?

c) 2x - 3 = x + 1.

Barazimi linear

65

4

TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 1

A 1.

Kujtohu! Dy barazime jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve jan[ t[ barabarta. Provo a jan[ barazime ekuivalente, n[ bashk[sin[ e p[rkufizimit D ∈ {1, 2, 3, 4} barazimet: 2x - 1 = x + 2 dhe x + 4 = 2x + 1.

{sht[ dh[n[ barazimi 3x - 1 = x + 5, x ∈ {1, 2, 3, 4} = D, zgjidhja e t[ cilit [sht[ numri 3, dhe M = {3}. N[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit shtoje: a) 4; b) -2; c) 2x. Provo barazimet e fituara a jan[ ekuivalente me barazimin e dh[n[..

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Barazimi

Barazia numerike p[r x = 3

3x - 1 = x + 5

3 ⋅ 3 - 1 = 3 + 5;

8=8

Zgjidhja e barazimit

Numri 3

Numri 3 3 ⋅ 3 - 1 + 4 = 3 + 5 + 4; 12 = 12  a) 3x - 1 + 4 = x + 5 + 4 Numri 3 3 ⋅ 3 - 1 - 2 = 3 + 5 - 2; 6 = 6  b) 3x - 1 - 2 = x + 5 - 2 Numri 3  v) 3x - 1 + 2x = x + 5 + 2x 3 ⋅ 3 - 1 + 2 ⋅ 3 = 3 + 5 + 2 ⋅ 3; 14 = 14  Provo se barazimet a), b) dhe c) nuk kan[ zgjidhje tjet[r n[ bashk[sin[ D, p[rve] numrin 3.



Prej tabel[s v[reve se te shtimin e numrit t[ nj[jt[ (4 ose -2) ose shprehje me ndryshoren (2x) n[ t[ dy an[t e barazimit 3x - 1 = x + 5 fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund t[ shprehet edhe kjo teorem[ p[r shtimin e numrit ose shprehjes s[ nj[jt[ n[ t[ dy an[t e barazimit.

Teorema 1



N[se an[s s[ majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit A(x) = B(x) i shtohet numri i nj[jt[ c ∈ R ose shprehja C(x) me ndryshore x, q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimit t[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. Shkruajm[:

A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Shenj[n ⇔ e lexojm[ ,,[sht[ ekuivalente me".

66

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Nuk [sht[ e domosdoshme...

Shqyrto v[rtetimin e teorem[s. Barazimi i dh[n[ A(x) = B(x) me bashk[sin[ e p[rkufizimit D dhe shprehja C(x) p[r ]do x ∈ D. Duhet t[ v[rtetohet se: A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

e p[rcaktuar

Q[ ta v[rtetojm[ teorem[n duhet t[ tregosh se A(x) = B(x) dhe A(x) + C(x) = B(x) + C(x) kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve, d.m.th. a) ]do zgjidhje e A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) dhe b) ]do zgjidhje e A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e A(x) = B(x). a) Le t[ jet[ xo ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. A(xo) = B(xo) [sht[ barazi e sakt[ numerike. Pasi C(xo) [sht[ num[r real vijon se barazia e dh[n[ A(xo) + C(xo) = B(xo) + C(xo) [sht[ barazi numerike e sakt[. (Pse?) Prandaj, xo [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazimit A(x) = B(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

 

b) Le t[ jet[ x1 ∈ D zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x), d.m.th. A(x1) + C(x1) = B(x1) + C(x1) [sht[ barazi numerike e sakt[. N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e k[saj barazie e shtojm[ numrin e kund[rt[ t[ C(x1), do t[ fitojm[ barazi numerike t[ sakt[ A(x1) = B(x1). Prandaj, x1 [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x), d.m.th. ]do zgjidhje e barazimit A(x) + C(x) = B(x) + C(x) [sht[ zgjidhje e barazimit A(x) = B(x).

2.

Sipas T1 provo cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente: a) 3x + 1 = 5x - 3 dhe 3x + 1 + 7 = 5x - 3 + 7; b) 5y - 2 = 3y + 4 dhe 5y - 2 - 5 = 3y + 4 + 5; c) 4x - 1 = 3x - 2 dhe 4x + 5x - 1 = 3x + 5x - 2.

B 3.

Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformime ekuivalente t[ barazimeve. Nj[ barazim mund ta transformosh n[ barazim t[ r[ndomt[ e q[ [sht[, ekuivalent me t[.

{sht[ dh[n[ barazimi 3x - 5 = 2x + 1. Shtoje shprehjen 5 - 2x n[ t[ dy an[t e barazimit. Silli n[ form[n normale shprehjet n[ t[ dy an[t e barazimit. V[re se ]far[ ka ndodhur me 2x dhe -5 te barazimi i fituar. Me ]ka [sht[ e barabart[ shuma e numrave t[ kund[rt[, p[rkat[sisht t[ monom[ve t[ kund[rt?

Shuma e numrave t[ kund[rt, por gjithashtu, edhe t[ monom[ve t[ kund[rt [sht[ zero.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 3x - 5 = 2x + 1 ⇔ 3x - 5 + 5 - 2x = 2x + 1 + 5 - 2x ⇔ 3x - 2x = 1 + 5 ⇔ x = 6.

Barazimi linear

67

V[reve se me transformimin sipas T1, nga barazimi i dh[n[ 3x - 5 = 2x + 1 e fitove barazimin x = 6, ekuivalent me t[. Prej barazimit x = 6 mund t[ lexohet zgjidhja, d.m.th. numri 6 [sht[ zgjidhja e barazimit t[ dh[n[. Barazimi x = a (a ∈ R), prej t[ cilit mund t[ lexohet zgjidhja, quhet barazim n[ form[n e zgjidhur. V[ren se n[ barazimin 3x - 2x = 1 + 5 monomi 2x [sht[ bartur prej an[s s[ djatht[ n[ an[n e majt[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (-2x), kurse numri -5 prej an[s s[ majt[ [sht[ bart n[ an[n e djatht[ t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt (+5). At[ q[ e v[reve p[r barazimet ekuivalente 3x - 5 = 2x + 1 dhe p[r barazimet dhe njihet si rrjedhimi 1 nga T1. Ajo thot[:

 P1

3x - 2x = 1 + 5

vlen n[ p[rgjith[si

}do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ t[ barazimit n[ an[n tjet[r, por me shenj[ t[ kund[rt.

4.

Te barazimi 4x - 1 + x = 7 + 3x - 2 an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n barti n[ an[n e majt[ t[ barazimit, kurse ato q[ nuk e p[rmbajn[ t[ panjohur[n i bart n[ an[n e djatht[ t[ barazimit.

5.

Cil[t prej k[tyre barazimeve jan[ ekuivalente: a) x + 3 = 2x - 1 dhe x - 2x = -1 - 3;

b) 2x + 5 = 4x + 1 dhe 2x - 4x = 1 - 5;

c) 3x + 1 = 2x + 3 dhe 3x + 2x = 3 + 1?

6.

Zgjidhe barazimin 4x - 8 = 3x - 10, e pastaj provo zgjidhjen. Si do t[ veprosh n[ fillim gjat[ zgjidhjes s[ detyr[s?

S[ pari do ta zbatoj pasoj[n 1 nga teorema 1..

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 4x - 8 = 3x - 10 ⇔ 4x - 3x = -10 + 8 ⇔ x = -2; M = {-2}. Prova: 4 ⋅ (-2) - 8 = 3 ⋅ (-2) - 10; -8 - 8 = -6 - 10; -16 = -16.

7.

Zgjidhe barazimin: a) 5x - 7 = 4x + 2;

C 8.

{sht[ dh[n[ barazimi

b) 3x - 4 = 2 + 2x;

c)

1 1 x - 1 = 2 - x. 2 2

4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5.

V[re se a ka an[tar t[ barabart[ n[ an[n e majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit. Eleminoji an[tar[t e barabart[ nga t[ dy an[t e barazimit dhe provo se barazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

68

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Barazimi i dh[n[ 4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5 ⇔ 4x + 2x - 2x - 3x = 1 - 1 + 2 - 5 ⇔ 4x - 3x = 2 - 5 ⇔ x = -3 M = {-3}

Barazimi i fituar 4x - 2 = 3x - 5 ⇔ 4x - 3x = 2 - 5 ⇔ x = -3 M = {-3}

V[ren se n[ qoft[ se prej barazimit i eleminon an[tar[t e barabart[ (2x, p[rkat[sisht -1), q[ gjenden n[ an[ e kund[rta t[ barazimit, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[. At[ q[ e v[reve vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet dhe njihet si pasoja 2 nga teorema 1. Ajo thot[:

 P2 9.

N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e barazimit ka an[tar[ t[ barabart[, at[her[ ato mund t[ eleminohen (t[ fshihen).

Te barazimi 3x - 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x eleminoji an[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ e mundshme, q[ t[ fitosh barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[, dhe pastaj zgjidhe barazimin e dh[n[.

Duhet t[ dish: Kontrollohu! ta shprehish teorem[n 1 p[r barazimet ekuivalente; ta shprehish dhe ta zbatosh n[ detyra rrjedhimin 1 t[ teorem[s 1; ta shprehish dhe ta zbatosh rrjedhimin 2 t[ teorem[s 1.

Detyra 1. {sht[ dh[n[ barazimi 2x - 3 = x + 1. Shtoje

Te barazimi 7x - 3 + 5x = 5 + 2x - 3 grupoi an[tar[t q[ p[rmbajn[ t[ panjohur[n n[ an[n e majt[, kurse an[tar[t tjer[ n[ an[n e djatht[ nga barazimi. Trego me transformacione ekuivalente se: 3x - 2 + x = 4 + x - 2 + x ⇔ 2x = 4.

5. Cakto m, ashtu q[ t[ jet[ e sakt[ ekuivalenca:

3x - 1 = 2x - 3 ⇔ 3x - 1 + 5x = 2x - 3 + m.

3x n[ t[ dy an[t e barazimit. Provo barazimi i fituar a [sht[ barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

6. Konstato a jan[ ekuivalente k[to dy barazime: a) 2x - 1 = x + 3 dhe 2x - 1 + 5 = x + 3 + 5;

2. Sqaro ekuivalenc[n:

7x - 3 = 5x + 1 ⇔ 7x - 3 + 2x = 5x + 1 + 2x.

3. Te barazimi 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 eliminoji an[tar[t p[r t[ cil[t [sht[ i mundsh[m, q[ t[ fitosh barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

4. Me transformacione ekuivalente trego se: 3x - 2 + x = 5 + 2x - 3 ⇔ 2x = 4.

b) 4x - 1 = 2x + 5 dhe 4x - 2x = 5 + 1; c) 3x - 2 = 2x + 1 dhe 3x + 2x = 1 - 2. Sqaro p[rgjigjen.

7. Zgjidhe barazimin: a) 3 - 7x = 2 - 8x; b)

3 1 x + 1 + 2x = 5 + 2x - x. 4 4

Barazimi linear

69

5

TEOREMAT P{R BARAZIMET EKUIVALENTE - 2

A 1.

Kujtohu!

b)

1 x = 3; 2

c)

Provo barazimet e fituara a jan[ ekuivalente me barazimin e dh[n[.

3 x = 3x. 4

Si do t[ provosh se barazimi i dh[n[ a [sht[ ekuivalent me barazimin e fituar?

Cakto SHVP(4, 5, 10). Njehso: 2 3 7 + + ; 4 10 5

1 1 1 + + . 2 3 6

2x - 3 = x - 1.

Zgjidhe barazimin. Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me: a) 2; b) -4.

Te prodhimi i dh[n[, shum[zuesi i panjohur caktohet, n[ qoft[ se prodhimi pjes[tohet me shum[zuesin e njohur. Zgjidhi barazimet: a) 2x = 4;

{sht[ dh[n[ barazimi

Do t'i zgjidh barazimet me ndihm[n e rrjedhimit 1 nga T1, e pastaj do t'i kra-hasoj bashk[sit[ e tyre t[ zgjidhjeve.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

2x - 3 = x - 1 ⇔ 2x - x = - 1 + 3 ⇔ x=2 M = {2}

Barazimi i fituar b)

Barazimi i fituar a)

Barazimi i dh[n[

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (2) ⇔ 2x ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 = x ⋅ 2 - 1 ⋅ 2 ⇔ 4x - 2x = -2 + 6 ⇔ 2x = 4

4 ⇔ x=2 2 M = {2}

⇔ x=

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (-4) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2x ⋅ (-4) - 3 ⋅ (-4) = x ⋅ (-4) - 1 ⋅ (-4) -8x + 12 = -4x + 4 12 - 4 = -4x + 8x 8 = 4x

8 ⇔ x=2 4 M = {2}

⇔ x=

V[reve se barazimi i dh[n[ dhe barazimet e fituara kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve. }far[ transformime kryeve te barazimi 2x - 3 = x - 1 dhe ]far[ barazime fitove?

T[ dy an[t e barazimeve i shum[zova me 2, p[rkat[sisht me -4 dhe fitova barazime ekuivalente me barazimin e dh[n[.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim teorem[n p[r shum[zim, p[rkat[sisht pjes[timi i barazimeve me num[r t[ ndryshuesh[m prej zeros.

70

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Teorema 2



N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit A(x) = B(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[ nj[jt[ a ≠ 0, at[her[ fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

 2.

3.

A(x) = B(x) ⇔ A(x) ⋅ a = B(x) ⋅ a.

Konstato me ndihm[n e T2 a jan[ ekuivalente k[to barazime: a) 5x + 3 = 2x + 9 dhe 10x + 6 = 4x + 18;

c) 2x - 3 = x - 1 dhe 2x - 3 = 5x - 5;

b) 8x - 12 = 4 + 4x dhe 2x - 3 = 1 + x;

]) 3x - 1 = 2x + 1 dhe -6x + 2 = -4x - 2.

Zgjidhi barazimet: a) 3 - 12x = -3x - 15;

b) -8x + 4 = 12 - 4x.

V[re m[nyr[n a).

 

3 - 12x = -3x - 15 ⇔ -12x + 3x = -15 - 3 ⇔ -9x = -18 / :(-9) ⇔

B 4.

x = 2;

M = {2}.

Sipas P1 nga T1. Sipas T2.

{sht[ dh[n[ barazimi 5x - 2 = 3x + 4.

Zgjidhe barazimin. Shum[zoi t[ dy an[t e barazimit me -1. Pse barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[? Trego se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin x = 3. V[re barazimin e dh[n[ dhe barazimin e fituar. 5x - 2 = 3x + 4 5x - 2 = 3x + 4 / ⋅(-1) ⇔ 5x ⋅ (-1) - 2 ⋅ (-1) = 3x ⋅ (-1) + 4 ⋅ (-1) ⇔ -5x + 2 = -3x - 4

T[ dy an[t e barazimit 5x - 2 = 3x + 4 i shum[zojm[ me -1. }ka v[ren te barazimi i fituar -5x + 2 = -3x - 4?

  

Barazimi i dh[n[ Sipas T2. Barazimi i fituar

Barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[ sipas T2. An[tar[t e barazimit t[ dh[n[ dhe barazimit t[ fituar jan[ me shenja t[ kund[rta.

Barazimi linear

71

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta shprehim k[t[ rrjedhimt[ T2.

 P1 5.

N[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit shum[zohen me -1, at[her[ fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[, d.m.th. n[ qoft[ se t[ gjith[ an[tar[t e barazimit z[v[nd[sohen me an[tar[t e tyre t[ kund[rt, fitohet barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[.

Zgjidhi barazimet: a) 2x - 1 = 3x - 5;

b) 4x + 2 = 5x - 1;

Krahaso zgjidhjen t[nde a). 2x - 1 = 3x - 5 ⇔ 2x - 3x = -5 + 1 ⇔ -x = -4 / ⋅ ( - 1) ⇔

6.

Barazimin

x = 4;

M = {4}.

x - 1 3 x -1 x - 9 transformoe n[ barazim pa em[ruesa. + = 2 4 3 Sa [sht[ SHVP(2, 4, 3)?

Si do t[ lirohesh prej em[ruesave te barazimi?

SHVP(2, 4, 3) = 12. T[ dy an[t e barazimit do t'i shum[zoj me 12 dhe do t[ fitoj barazim pa em[ruesa.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

x -1 3 x + 1 x - 9 + = 2 4 3 ⇔ 12 ⋅

x -1 3x +1 x -9 + 12 ⋅ = 12 ⋅ 2 4 3

⇔ 6(x - 1) + 3(3x + 1) = 4(x - 9) ⇔ 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36



SHVP (2, 3, 4) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12.

  

T[ dy an[t e barazimit shum[zohen me SHVP(2, 3, 4), d.m.th. me 12 Thjeshtimi i em[ruesave me 12. Lirimi prej kllapave.

Trego se barazimi 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36 [sht[ ekuivalent me barazimin x = -3.

x -1 3 x + 1 x - 9 + = me shum[fishin m[ t[ vog[l t[ 2 4 3 p[rbashk[t fitohet barazim pa em[ruesa 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36, ekuivalent me barazimin e dh[n[. V[ren se shum[zimi i an[tar[ve t[ barazimit

x -1 3 x + 1 x - 9 + = vlen n[ p[rgjith[si p[r barazimet. Mund ta 2 4 3 shprehim k[t[ pasoj[ nga teorema 2.

At[ q[ e v[reve p[r barazimin

 P2

72

N[ qoft[ se disa an[tar[ t[ barazimit kan[ em[ruesa, at[her[ prej em[ruesave mund t[ lirohemi me shum[zimin e t[ dy an[ve t[ barazimit me shum[fishin m[ t[ vog[l t[ p[rbashk[t.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

7.

Lirohu prej em[ruesave t[ barazimit

2 x -1 x + 1 , e pastaj zgjidhe. = 5 4

Duhet t[ dish: ta shprehish teorem[n 2 p[r barazimet ekuivalente;

Kontrollohu! Zgjidhe barazimin: a) 5x - 3 = 3x - 1; b) 6x - 1 = 7x.

t'i shprehish rrjedhimet nga teorema 2; Lirohu t'i zbatosh pasojat nga teorema 2 n[ zgjidhjen e detyrave

prej

em[ruesave

te

barazimi

3 x -1 x + 2 x + 2 = dhe trego se ai [sht[ 4 3 6 ekuivalent me barazimin x = 5.

Detyra 1. Te barazimi 3 - x = 7 - 3x t[ dy an[t shum[zoi me -2. Trego, sipas zgjidhjeve, se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[.

5. Lirohu prej em[rues[ve te barazimet dhe zgjidhi. a)

x +1 x + 2 x + 3 + = ; 2 5 10

b)

2x - 3 x + 3 x - 3 . = 3 6 2

2. Te barazimi 12x - 9 + 3x = 9x + 3 t[ dy an[t pjes[toi me 3 dhe trego se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[. (Krahasoji zgjidhjet e tyre.)

3. A jan[ ekuivalente t[ dy barazimet e dh[na?

6. Duke i shfryt[zuar teoremat p[r barazimet ekuivalente dhe rrjedhimet e tyre, trego se:

x -1 x + 1 2x + = ďƒ› x=3. 2 4 3

Sqaro p[rgjigjen t[nde. a) 3x - 1 = x + 3 dhe 6x + 2 = 2x + 6; b) -2x + 3 = -3x + 5 dhe 2x - 3 = 3x - 5; c) 4x - 1 = 3x + 2 dhe 4x + 1 = 3x + 2.

4. Te barazimi 2x - 3 = 3x - 5 z[v[nd[soi t[ gjith[ an[tar[t me an[tar[t e tyre t[ kund[rt dhe provo sipas zgjidhjeve se barazimi i fituar [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[.

P[rpiqu...

Nj[ shishe me kapak kushton 11 denar[, nd[rsa vet[m shishja (pa kapak) [sht[ 10 denar[ m[ shtrenjt[ se kapaku. Sa kushton shishja dhe sa kapaku?

Barazimi linear

73

6

FORMA E P{RGJITHSHME E BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR

A 1.

Kujtohu! Te shprehja ax + b me ndryshore x, a dhe b jan[ koeficient[.

T[ gjith[ an[tar[t e barazimit barti n[ an[n e djatht[ dhe pastaj kryeji operacionet.

Cakto koeficient[t te shprehja me ndryshore

1 . 2 Sipas P1 nga T1 p[r barazimet ekuivalente, ]do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r t[ barazimit, por me shenj[ t[ kund[rt. x: a) 2x - 5;

{sht[ dh[n[ barazimi 4x - 5 = 2x - 1.

Barazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[? Pse?

b) ax +

Cil[t rrjedhime p[r barazime ekuivalente mund t'i zbatosh te kjo detyr[?

A jan[ ekuivalente barazimet: a) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x - 2x = 1 + 3; b) 4x - 3 = 2x + 1 dhe 4x + 2x = 1 - 3? Sqaro p[rgjigjen.

Sipas rrjedhimit 1 p[r barazimet ekuiva-lente, an[tar[t nga ana e majt[ e barazimit do t'i bart n[ an[n e djatht[, por me shenj[ t[ kund[rt.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 4x - 5 = 2x - 1 ⇔ 4x - 5 - 2x + 1 = 0 ⇔ 2x - 4 = 0. Barazimi 2x - 4 = 0 [sht[ ekuivalent me barazimin 4x - 5 = 2x - 1. P[r barazimin 2x - 4 = 0 thuhet se [sht[ forma normale e barazimit 4x - 5 = 2x - 1.

Mbaj mend! Barazimi ax + b = 0 quhet forma e p[rgjithshme ose normale e barazimit linear me nj[ t[ panjohur, ku x [sht[ e panjohura, a [sht[ koeficient para t[ panjohur[s dhe b an[tari i lir[.

2.

Shkruaje n[ form[n normale k[t[ barazim 2x - 3 = x - 1.

Kujtohu!

B 3.

Cila prej k[tyre shprehjeve nuk ka vler[:

7-3 5 ⋅ 2 - 10 ; b) ? 5 ⋅ 2 - 10 7-3 Sqaro p[rgjigjen t[nde. a)

P[r cil[n vler[ t[ a shprehja vler[? Cakto zgjidhjen e barazimit 2x - 6 = 0.

74

{sht[ dh[n[ barazimi ax + b = 0, me t[ panjohur[n x dhe koeficienta a dhe b, ku a ≠ 0. Cakto zgjidhjen e atij barazimi.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[

5 nuk ka a -3



ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -

b , d.m.th. a

b [sht[ zgjidhje e barazimit ax + b = 0, p[r a a ≠ 0. -

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Her[si -

b , p[r a ≠ 0, [sht[ gjithmon[ nj[vler[sisht i p[rcaktuar, prandaj barazimi ax + b = 0 ka a

vet[m nj[ zgjidhje

4.

b , a

d.m.th.

M = {-

b }. a

Cakto zgjidhjen e secili prej k[tyre barazimeve: a) 3x - 6 = 0;

5.

x= -

b) x + 3 = 0;

c) 3x + 1 = 0.

Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 4 (b ≠ 0). Cakto zgjidhjen e atij barazimi.

V[re me cilin num[r duhet ta pjes[tosh barazimin.

Pasi a = 0

dhe

b = 4, barazimi e ka form[n

0 ⋅ x + 4 = 0, prej ku 0 ⋅ x = -4. Me zero nuk pjes[tohet. Shprehja -

4 nuk ka vler[ dhe barazimi nuk ka zgjidhje. 0

V[re se N[ rastin kur te barazimi ax + b = 0, [sht[ dh[n[ a = 0 dhe b ≠ 0, barazimi nuk ka zgjidhje, p[rkat[sisht M = ∅. P[r barazimin e atill[ thuhet se [sht[ i pamundsh[m ose kund[rth[n[s.

6.

Cil[t prej k[tyre barazimeve [sht[ kund[rth[n[s:

7.

Te barazimi ax + b = 0, le t[ jet[ a = 0 dhe b = 0.

a) 3x + 1 = 0;

b) 0 × x - 2 = 0;

c) 3x = 0?

Shkruaje at[ barazim. Transformoe barazimin e fituar n[ form[n ax = -b. Provo se -2; 5;

1 ; x = 3,5 a jan[ zgjidhje t[ barazimit t[ transformuar 2

0 ⋅ x = 0.

1 dhe 3,5 jan[ zgjidhje t[ barazimit 0 ⋅ x = 0. 2 Cakto zgjidhje tjet[r t[ k[tij barazimi. V[re se -2; 5;

Me se [sht[ i barabart[ prodhimi i zeros dhe ]far[do numri real? Pse [sht[ do num[r real zgjidhje e barazimit 0 ⋅ x = 0?

V[reve se Barazimi ax + b = 0, p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, dhe M = R.

Barazimet lineare

75

Mbaj mend! Barazimi linear ax + b = 0:

b b dhe M = { - }. a a nuk ka zgjidhje, d.m.th. M = ∅ .



a) p[r a ≠ 0 ka zgjidhje t[ vetme x = -

 

b) p[r a = 0 dhe b ≠ 0

8.

c) p[r a = 0 dhe b = 0 ka pafund shum[ zgjidhje, ku M = R. Shkruaj vlera p[r a dhe b ashtu q[ barazimi ax + b = 0 t[: a) ket[ vet[m nj[ zgjidhje

C 9.

b) mos ket[ zgjidhje;

c) ket[ pafund shum[ zgjidhje.

Zgjidhe barazimin 5x - 7 + x = 1 + 2x.

Si do t[ veprosh gjat[ zgjidhjes s[ barazimit t[ dh[n[?

S[ pari do t'i barti t[ gjith[ an[tar[t q[ e p[rmbajn[ t[ panjohur[n n[ an[n e majt[ t[ barazimit, kurse ato q[ nuk e p[rmbajn[ - n[ an[n e djatht[. Pastaj barazimin do ta sjell[ n[ form[n ax = -b dhe do ta zgjidh barazimin.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 5x - 7 + x = 1 + 2x ⇔

5x + x - 2x = 1 + 7 ⇔ 4x = 8

 Zbatimi i P nga T .  Sjellja e shprehjeve nga t[ dy an[t e barazimit.  Zbatimi i T ; t[ dy an[t e barazimit jan[ pjes[tuar me 4. 1

1

8 2 4 ⇔ x=2 Dometh[n[, zgjidhja e barazimit 5x - 7 + x = 1 + 2x [sht[ 2, d.m.th. ⇔ x=

10.

Zgjidhe barazimin 5x - 1 - x = x + 4 - 2x.

11.

Zgjidhe barazimin 3(x - 1) + x = 2x - 2 - (x - 5).

M = {2}.

 Lirohu prej kllapave.  Vepro si te zgjidhja e detyr[s 9. 12.

76

Zgjidhe barazimin

2 x - 3 3 x - 4 1- 14 x = . 5 3 15

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Si do ta sjellish barazimin e dh[n[ n[ barazim pa em[rues, ekuivalent me barazimin e dh[n[?

T[ dy an[t e barazimit do t'i shum[zoj me SHVP(5, 3, 15) = 15, kurse pastaj do t[ vazhdoj si te detyra paraprake!

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

2 x - 3 3 x - 4 1- 14 x = /⋅ 15 5 3 15 ⇔ 3(2x - 3) - 5(3x - 4) = 1 - 14x ⇔

6x - 9 - 15x + 20 = 1 - 14x

⇔

6x - 15x + 14x = 1 + 9 - 20 ⇔

5x = -10

⇔

x=-

⇔

10 5

 Sipas P nga T .  {sht[ kryer lirimi prej kllapave.  Sipas P nga T .  Sjellja e t[ dy an[ve t[ barazimit.  Sipas T . 2

2

1

1

2

x = -2.

Dometh[n[, zgjidhje e detyr[s s[ dh[n[ [sht[ -2, d.m.th. M={-2}.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t[ sjellish barazimin linear n[ form[n e p[rgjithshme (normale); t[ zgjidhish barazim linear me nj[ t[ panjohur; t[ caktosh zgjidhje t[ barazimit ax + b = 0 p[r: a) a ≠ 0; b) a = 0, b ≠ 0; c) a = 0, b = 0.

Sille n[ form[n normale k[t[ barazim 3x + 1 = 2x - 2 - x. Zgjidhe barazimin

3 x -1 x x+6 - = 4 3 6

Detyra 1. Silli n[ form[n normale k[to barazime: a) 3x + 1 = x + 5;

b) 3x - 5 = x + 1.

3. Zgjidhi barazimet: a) 3x - 5 + 2x = 7 + x - 4; b) 1,4x + 2,8 = 0,7x + 4,2;

2. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ i pamun-

c)

1 1 1 1 1 x- - x = - x. 2 4 4 2 4

dsh[m: a) 3x = 0;

b) 5x = -1; c) 0 ⋅ x = 4?

4. P[r cil[n vler[ t[ panjohur[s x shprehjet: 2x - 8 dhe 1 - x kan[ t[ nj[jt[n vler[ numerike?

Barazimet lineare

77

5. Zgjidhi barazimet:

Trik me domino...

a) 5(x + 3) = 2(x + 3); b) 2(x + 1) - 3(x - 1) = 4(x + 1) + 1; c) 5(x - 1) - 2(x + 1) = 3(x - 2) - (x - 5).

6. Zgjidhi barazimet: a)

4 + x x - 4 x -1 ; + = 6 2 3

b)

x - 3 x +1 x - 5 x - 4 = 4 6 2 3

7. Zgjidhi barazimet: a) (x - 1)2 - 2 = x(x - 3) + 2; b) (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2; c) (x - 2)(x + 2) + 2x = x2 + 2.

8. P[r cil[n vler[ t[ parametrit a barazimi 8x - 3a - 5 = 2a + 5x - 16 e ka zgjidhjen x = 3?

Fto shokun t[nd t[ zgjedh (ose t[ vizaton) nj[ domino, kurse ti t[ mos dish cila [sht[ ajo. Pastaj, urdh[roi t'i kryej me radh[ k[to operacione: Nj[rin prej numrave shum[zoe me 2. Shtoe numrin 6. Shum[zoe me 5. Shtoe numrin tjet[r nga dominoja. Zbrite numrin 30. Trego numrin q[ fitove. Ti q[llon! Shifrat e rezulltatit t[ fituar jan[ numrat e dominos s[ zgjedhur. Sqaro trikun matematikisht..

7

ZBATIMI I BARAZIMIT LINEAR ME NJ{ T{ PANJOHUR Kujtohu!

Gjot[ t[ m[suarit t[ matemtik[s shpesh her[ has detyra te t[ cilat var[sit[ nd[rmjet madh[sive jan[ t[ p[rshkruara me fjal[, n[ gjuh[n ,,e t[ folurit". ,,P[rkthimi" i atyre var[sive n[ gjuh[n matematike shpesh her[ kryhet n[p[rmjet barazimit. V[reje at[ te kjo detyr[: N[na dhe djali s[ bashku kan[ 32 vjet. N[na [sht[ p[r 20 vjet m[ e vjet[r se djali. Sa vjet ka n[na, dhe sa djali?

78

A 1.

N[na tani [sht[ tre her[ m[ e vjet[r se vajza. Pas 10 vjet n[na do t[ jet[ dy her[ m[ e vjet[r se vajza. Sa vjet ka tani n[na dhe sa vajza? V[re se cil[t madh[si dhe raporte nd[rmjet tyre jan[ t[ njohura, kurse cilat t[ panjohura. Dihet se n[na tani [sht[ tre her[ m[ e vjet[r se vajza, kurse pas 10 vjet n[na do t[ jet[ dy her[ m[ e vjet[r se vajza. Nuk dihet sa vjet ka vajza dhe sa n[na.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

N[ qoft[ se vitet e vajz[s jan[ x, at[her[ n[na tani ka 3x vjet. Pas 10 vjet vajza do t[ ket[ (x + 10) vjet, kurse n[na (3x + 10) vjet.

N[ qoft[ se numrin e viteve t[ vajz[s e sh[nojm[ me x, at[her[ se si do ta sh[nosh numrin e viteve t[ n[n[s? Sa vjet do t[ ket[ selila prej tyre pas 10 vjet?

V[re n[ tabel[ se cilat jan[ var[sit[ nd[rmjet madh[sive dhe si [sht[ formuar barazimi.

vajza

x

sa vjet do t[ ket[ pas 10 vjet x + 10

n[na

3x

3x + 10

sa vjet ka tani

barazimi 3x + 10 = 2(x + 10)

Zgjidhe barazimin 3x + 10 = 2(x + 10). Sa vjet ka vajza? Sa vjet ka n[na? Zgjidhja e barazimit [sht[ 10.

2.

N[na tani ka 36 vjet, kurse vajza e saj 10 vjet. Pas sa vjet n[na do t[ jet[ tre her[ m[ e vjet[r se vajza?

B 3.

1.

Detyrat me tekst zgjidhen me sukses n[ qoft[ se punohet me plan t[ caktuar. V[reje at[ n[ k[t[ detyr[. N[ provimin kontrollues me shkrim arsimtari u ka dh[n[ nx[n[sve 15 detyra. P[r ]do detyr[ t[ zgjidhur sakt[ nx[n[si ka fituar 5 pik[, kurse p[r detyr[n e zgjidhur gabimisht ka humbur 2 pik[. Sa detyra ka zgjidhur nx[n[si i cili n[ fund ka fituar 54 pik[?

ď †

T[ kuptuarit e detyr[s }ka [sht[ e njohur te detyra, kurse ]ka [sht[ e panjohur?

2.

ď †

Dihet se nx[n[si ka pasur 15 detyra, p[r ]do detyr[ t[ zgjidhur ai ka fituar nga 5 pik[, kurse p[r detry[n pazgjidhur ka humbur 2 pik[. N[ fund nx[n[si ka fituar 54 pik[. Nuk dihet sa detyra ka zgjidhur nx[n[si.

T[ sh[nuarit e madh[sive t[ panjohura Sh[no numrin e detyrave t[ zgjidhura me x. Si do ta sh[nosh numrin e detyrave t[ pazgjidhura?

N[ qoft[ se numri i detyrave t[ zgjidhura [sht[ x, at[her[ numri i detyrave t[ pazgjidhura [sht[ 15 - x.

Barazimet lineare

79



3.

T[ v[rejturit e lidhjeve nd[rmjet madh[sive Nx[n[si ka fituar 5x pik[ (x detyra nga 5 pik[), kurse ka humbur 2 (15 - x) pik[ (15 - x detyra nga 2 pik[) dhe ka fituar 54 pik[.

Sa pik[ ka fituar nx[n[si, kurse sa pik[ ka humbur?



4.

Formimi i barazimit Prej lidhjes nd[rmjet madh[sive vijon barazimi 5x - 2(15 - x) = 54.

Cili barazim prej lidhjeve t[ v[rejtura nd[rmjet madh[sive fitohet? V[re m[nyrat paraprake n[ tabel[. Detyra



5.

Numri i Numri i pik[ve detyrave sipas detyrave

Gjithsej

15

Detyrat e zgjidhura

x

5x

Detyrat e pazgjidhura

15 - x

2(15 - x)

Barazimi

5x - 2(15 - x) = 54

T[ zgjidhurit e detyr[s

V[re t[ zgjidhurit e detyr[s: 5x - 2(15 - x) = 54. 5x - 2(15 - x) = 54 ⇔ 5x - 30 + 2x = 54 ⇔ 5x + 2x = 54 + 30 ⇔ 7x = 84 ⇔ x =

84 , d.m.th. 7

x = 12.



6.

P[rgjigje p[r pyetjen e parashtruar dhe prova }ka tregon zgjidhja e barazimit?

B[je prov[n e zgjidhjes.

N[ qoft[ se x = 12, kjo do t[ thot[ se nx[n[si ka zgjidhur sakt[sisht 12 detyra, kurse nuk ka zgjidhur 15 - 12 = 3 detyra.

12 detyra nga 5 pik[ [sht[ 60 pik[. 3 detyra nga 2 pik[ [sht[ 6 pik[. 60 - 6 = 54 pik[. Dometh[n[, zgjidhja e detyr[s [sht[ e sakt[.

4.

N[ nj[ shitore ka 22 automobil[ dhe moto]ikleta. Ato gjithsej kan[ 74 rrota. Sa automjete jan[ automobila, kurse sa moto]ikleta?

5.

Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m krahu [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza, kurse perimetri i tij [sht[ 25 cm. Cakto baz[n dhe krahun e atij trek[nd[shi.

80

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

V[re sh[nimin e shkurt[r t[ planit p[r zgjidhjen e k[saj detyre. 1.

Krahu b [sht[ p[r 2 cm m[ i gjat[ se baza a, kurse perimetri [sht[ 25 cm.

2. N[ qoft[ se baza a = x, at[her[ b = x + 2. 3. a + 2b = P. 4. x + 2(x + 2) = 25. 5. x + 2(x + 2) = 25 ⇔ x + 2x + 4 = 25 ⇔ x + 2x = 25 - 4 ⇔ 3x = 21 ⇔ x =

21 ⇔ x = 7. 3

Dometh[n[, baza a = 7 cm, kurse krahu b = 7 + 2 = 9 cm. 6. Prova: P = a + 2b; P = 7 + 2 ⋅ 9; P = 25 cm. V[re var[sin[ nd[rmjet madh[sive n[ k[t[ detyr[ te tabela.

Madh[sit[

Shenjat e madh[sive

Baza

a=x

Krahu

b = a + 2; b = x + 2;

Perimetri

P = 25 cm; P = 2a + b; P = x + 2(x + 2)

Barazimi x + 2(x + 2) = 25

6.

Gjat[sia a e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cm m[ e gjat[ se gjer[sia b, kurse perimetri i tij [sht[ 34 cm. Cakto gjat[sin[ dhe gjer[sin[ e atij drejtk[nd[shi.

7.

Prej vendit A nga vendi B nisen nj[koh[sisht dy bi]ikletist[. I pari l[viz me shpejt[si 16 km/or[, kurse tjetri me shpejt[si 12 km/or[. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B, n[ qoft[ se bi]ikletisti i par[ arrin 1 or[ m[ her[t se i dyti. V[re var[sin[ nd[rmjet madh[sive n[ k[t[ detyr[ te tabela. Shpejt[sia

Koha

Rruga

Bi]ikletisti i par[

16 km/or[

x or[

AB = 16 ⋅ x

Bi]ikletisti i dyt[

12 km/or[

x + 1or[

AB = 12 ⋅ (x + 1)

Barazimi 16x = 12(x + 1)

Zgjidhe barazimin dhe cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B. B[je prov[n e zgjidhjes s[ barazimit.

Duhet t[ dish: t'i zbatosh barazimet gjat[ zgjidhjes s[ detyrave tekstuale; t[ kryejsh prov[n e zgjidhjes s[ fituar.

Kontrollohu! N[ nj[ trek[nd[sh nj[ra prej brinj[ve [sht[ p[r 2 cm m[ e madhe se tjetra, kurse p[r 1 cm m[ e vog[l se e treta. Cakto brinj[t e trek[nd[shit, n[ qoft[ se perimetri i tij [sht[ 43 cm.

Barazimet lineare

81

Detyra 1. N[ qoft[ se ndonj[ numri i shtohet numri 12

8. Nj[ pun[tor vet mund ta kryen nj[ pun[ p[r 6

dhe shuma e fituar shum[zohet me 5, at[her[ fitohet numri 200. Cili [sht[ ai num[r?

or[, kurse tjetri p[r 12 or[. P[r sa or[ t[ dy do ta kryejn[ t[ nj[jt[n pun[?

2. Shuma e dy numrave [sht[ 180. Numri i par[ [sht[ p[r 36 m[ i vog[l se i dyti. Cil[t jan[ ato numra?

3. Ndryshimi i dy numrave [sht[ 46. Kur numri m[ i madh do t[ pjes[tohet me numrin e vog[l fitohet her[si 4 dhe mbetja 7. Cil[t jan[ ato numra?

9. Nj[ pishin[ mbushet prej dy gypave. Nga gypi i par[ pishina mbushet p[r 4 or[, kurse nga i dyti p[r 6 or[. P[r sa or[ do t[ mbushet pishina e zbraz[t, n[ qoft[ se n[ t[ nj[koh[sisht hapen t[ dy gypat?

10. Dy gypa s[ bashku mund ta mbushin nj[ 4. Te trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m baza [sht[ 2 cm m[ e vog[l se krahu. Cakto baz[n dhe krahun e atij trek[nd[shi n[ qoft[ se perimetri i tij [sht[ 43 cm.

5. Mentori ka 25 monedha prej 2 dhe 5 denar[ ose gjithsej 80 denar[. Sa monedha jan[ prej 2 denar[ dhe sa prej 5 denar[?

6. Detyr[ e vjet[r kineze. N[ nj[ kafaz ka lepuj dhe fazan[. Ato s[ bashku kan[ 35 koka dhe 94 k[mb[. Sa jan[ gjithsej lepuj dhe fazan[?

7. Nj[ korrier e kalon larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B p[r koh[ t[ caktuar. N[ qoft[ se l[viz me shpejt[si 35 km/or[, do t[ vonohet 2 or[, por n[ qoft[ se l[viz me shpejt[si 50 km/or[, do t[ arrin nj[ or[ m[ her[t. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B.

82

pishin[ p[r 12 or[. Nj[ri gyp vet mund ta mbush pishin[n p[r 20 or[. P[r sa or[ gypi i dyt[ vet do ta mbush pishin[n e zbraz[t?

P[rpiqu ... Epitafi i Diofantit Mbi pllak[n e varrit t[ matematikanit t[ vjet[r grek [sht[ shkruar: ,,Udh[tar, k[tu [sht[ varrosur Diofanti. Numrat tregojn[, ]udira, sa e gjat[ ka qen[ jeta e tij. F[mij[ria e mrekullueshme ia ka marr[ nj[ t[ gjasht[n e jet[s, por kur ka kaluar edhe nj[ e dymb[dhjeta e jet[s s[ tij, fytyr[n e tij e mbuloi mjekrra. Pasi kaloi edhe nj[ e shtata e jet[s s[ tij, Diofanti u martua. Kur kaluan 5 vjet t[ jet[s bashk[shortore, e g[zoi lindja e f[mij[s s[ tij t[ par[, t[ cilit fati i dhuroi vet[m gjysm[n e viteve t[ jet[s s[ babait t[ tij. Prej s[mundjes s[ r[nd[ plaku e priti fundin e jet[s s[ tij duke jetuar edhe 4 vjet pas humbjes s[ djalit". Sa vjet ka jetuar Diofanti?

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

JOBARAZIMET LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

8

KONCEPTI P{R JOBARAZI DHE JOBARAZIM

A 1.

Kujtohu! Shprehje numerike jan[: 5 + 8, 4,6 ⋅ 3,5 - 1, 8 : 0,2 etj.

9 : 3 - 2,

Cila shenj[ duhet t[ q[ndron te rrethi, q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i vlerave numerike t[ shprehjeve: a) 3 ⋅ (5 - 2)

Pasi t'i kryen t[ gjitha operacionet te shprehja fitohet num[r i cili quhet vlera numerike e shprehjes.

8 - 4 ⋅ 3;

b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8

Njehso vler[n numerike t[ shprehjes 15 - 22 ⋅ 3 - 6,4 : 0,4.

(- 4)2 + 1?

}ka duhet s[ pari t[ b[jsh q[ t'i krahasosh shprehjet numerike?

Gjat[ krahasimit t[ numrave racional i shfryt[zove shenjat =, < dhe >. S[ pari duhet t'i njehsoj vlerat numerike t[ shprehjeve t[ dh[na, pastaj t[ caktoj cila shenj[ duhet t[ q[ndron te rrethi.

Cila prej shenjave: > ose < duhet t[ q[ndron te rrethi q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i numrave: 5 -1

-12; -5;

0

3,5;

-4

0?

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) 3 ⋅ (5 - 2) = 3 ⋅ 3 = 9; 8 - 4 ⋅ 3 = 8 - 12 =

Cili prej k[tyre jobarazive [sht[ i sakt[: a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3?

= -4;

9 > -4, pra 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3.

b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 = 20 - 10,8 = 9,2; (-4)2 + 1 = =16 + 1 = 17; 9,2 < 17 pra 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

1 t[ dy shprehjet numerike:  Duke e zgjidhur3 ⋅detyr[n (5 - 2) dhe 8 - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht

8 ⋅ 2,5 - 10,8 dhe (-4)2 + 1

i lidh me nj[r[n prej shenjave > ose < dhe fiton: 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3, p[rkat[sisht 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3

dhe 8 ⋅ 2,5 - 10,8 > (-4)2 + 1 jan[ jobarazi numerike.

2.

Formo jobarazi t[ sakt[ numerike prej shprehjeve:

3.

Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive numerike jan[ t[ sakta: 28 - 8 ⋅ 3 > -9 ⋅ 2 + 20;

7 < 3 ⋅ 12 - 52;

8 ⋅ 5 - 62

dhe

3 ⋅ 4 + 5.

-9 + 6 > 8 ⋅ 3 - 35.

Jobarazimet lineare me një të panjohur

83

B 4.

Kujtohu! Shprehje me ndryshore jan[: 3, x2 - 2x + 1 etj.

x - 1;

2y -

Cila prej shenjave: > ose < duhet t[ q[ndroj te rrethi q[ t[ jet[ i sakt[ krahasimi i shprehjeve me ndryshore: x2 - 2x + 1

}far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[ se te shprehja 2y - 3 ndryshoren y e z[v[nd[son me 2? Njehso vler[n numerike t[ shprehjes x2 - 2x + 1 p[r x = 3.

2x + 3, p[r x = -2?

}far[ shprehje do t[ fitosh n[ qoft[ se te shprehjet e dh[na me ndryshore, x e z[v[nd[soni me -2? }'duhet b[r[ pastaj?

Me z[v[nd[simin e ndryshores x me -2, do t[ fitoj shprehje numerike, t[ cilat mund t'i krahasoj dhe ta vendos shenj[n e nevojshme te rrethi.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 1 = (-2) - 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9;  xPasi- 2x9 >+ -1, vijon se x - 2x + 1 > 2x + 3 p[r 2

2

2

2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1. x = -2.

Jobarazia x2 - 2x + 1 > 2x + 3 quhet jobarazi me ndryshore. Jobarazia te e cila ana e majt[ dhe e djatht[ ose t[ pakt[n nj[ra prej tyre [sht[ shprehje me ndryshore quhet jobarazi me ndryshore ose jobarazim.

5.

Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ jobarazime: a) 5 > -2 ⋅ 3;

c) x2 + 1 < x2 - 2x + 3, x ∈ Z;

b) 2x + 3 > 0, x ∈ R;

]) 8 ⋅ 3 - 22 < 5 ⋅ 6 + 3.

Mbaj mend! Ndryshoret te jobarazimet shpesh her[ sh[nohen me x, y, z, ... dhe ato ndryshojn[ n[ bashk[sin[ R ose n[ ndonj[ n[nbashk[si t[ saj. Me dh[n[jen e jobarazimit jepet edhe bashk[sia te e cila marrin vlera ndryshoret, d.m.th. bashk[sia e p[rkufizimit. N[ qoft[ se nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit do t[ llogarisim se ajo [sht[ bashk[sia R. Jobarazimi me nj[ t[ panjohur, n[ rastin e p[rgjithsh[m shkruajm[: f(x) < g(x), x ∈ D, ku f(x) dhe g(x) jan[ shprehje me ndryshores x, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D.

84

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

C 6.

Kujtohu! Cil[t lloje t[ barazimeve i kemi sipas numrit t[ t[ panjohurave? Sipas shkall[s s[ t[ panjohur[s barazimet mund t[ jen[: lineare (t[ shkall[s s[ par[), katrore (t[ shkall[s s[ dyt[), kubike (t[ shkall[s s[ tret[) etj. I cil[s shkall[ [sht[ barazimi: 2x - 3 = x + 1; x2 - 3x = 2?

Cilat jobarazime jan[ me nj[ t[ panjohur, kurse cilat me dy t[ panjohura?

Jan[ dh[n[ jobarazimet: 2x - 1 < 3x + 1;

2x - y > 5 - x;

x2 - 1 > 2x;

x2y - 2 < 3x.

Me sa t[ panjohura [sht[ ]donj[ra prej jobarazimeve? Si do t'i em[rtosh jobarazimet 2x - 1 < 3x + 1 dhe x2 - 1 > 2x sipas numrit t[ t[ panjohurave, dhe si jobarazimet 2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x?

Jobarazimet: 2x - 1 < 3x + 1 dhe x2 - 1 > 2x jan[ me nj[ t[ panjohur, kurse jobarazimet: 2x - y > 5 - x dhe x2y - 2 < 3x me dy t[ panjohura.

Mbaj mend! Sipas numrit t[ t[ panjohurave, jobarazimet mund t[ jen[: jobarazime me nj[ t[ panjohur, jobarazime me dy t[ panjohura, jobarazime me tri t[ panjohura etj.

7.

Cakto me sa t[ panjohura [sht[ secili prej k[tyre jobarazimeve. a) 2x - 1 < x + 2;

8.

b) x + y < 7 - z;

c) x + 2y < x - y + 1;

]) 2x > x + 2.

Jan[ dh[n[ jobarazimet: a) x2 + 2 > 2x;

b) x2y - 2 > 3x;

c) x - 2 < 2x + 3;

]) x - y < y + 3.

Cakto shkall[n m[ t[ lart[ t[ t[ panjohurave te secila prej jobarazimeve. Sipas shkall[s t[ t[ panjohurave, t[ cilit lloj jan[ jobarazimet?

Cakto llojin e jobarazimeve sipas shkall[s t[ t[ panjohurave sikurse te barazimet.

Jobarazimet x - 2 < 2x + 3 dhe x -y < y + 3 jan[ t[ shkall[s s[ par[; jobarazimi x2 + 2 > 2x [sht[ i shkall[s s[ dyt[, kurse jobarazimi x2y - 2 > 3x [sht[ i shkall[s s[ tret[.

Jobarazimet lineare me njĂŤ tĂŤ panjohur

85

Mbaj mend! Jobarazimet f(x) < g(x) ose f(x) > g(x), te t[ cil[t ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ shprehje t[ plota racionale, sipas shkall[s t[ t[ panjohur[s mund t[ jen[: jobarazime t[ shkall[s s[ par[ (jobarazime lineare), jobarazim t[ shkall[s s[ dyt[ (jobarazime katrore), jobarazime t[ shkall[s s[ tret[ (jobarazime kubike) etj.

9.

Cakto i cil[s shkall[ [sht[ ]donj[ri prej jobarazimeve: a) 5x - 2 < x + 4;

b) x2 - 2x < 6;

Duhet t[ dish: se dy shprehje t[ lidhura me shenj[n < ose > formojn[ jobarazim; ta p[rkufizosh konceptin jobarazim; ta caktosh llojin e jobarazimit sipas numrit t[ t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ t[ panjohur[s.

c) x2y - 5 > 2x;

]) 2x + y < 7.

Kontrollohu! Cakto cil[t prej k[tyre jobarazive jan[ jobarazime: a) 5 ⋅ 8 - 3 > 17 - 22; b) x2 - 1 < 5x; c) 3x + y < y + 2; ]) 5 - 2 ⋅ 3 > 3 - 4 ⋅ 2. Cakto cila prej k[tyre jobarazimeve jan[ jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur: b) x + 2y < 5x + 1; a) x2 + 6 > 5x; c) y - 2 < 3y; ]) x + 2 > 2x - 5.

Detyra 1. Cakto cila prej k[tyre jobarazive jan[ t[ sakta:

3. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimeve

a) 12 - 2 ⋅ 5 > 3 ⋅ 2 - 8;

sipas numrit t[ t[ panjohurave:

b) 52 - 3 ⋅ 4 > 12 : 4;

a) x - 3 < 2x + 5;

c) 3x + 1 - x > x + 5;

c) 17 - 3 ⋅ 5 > 72 - 5 ⋅ 6.

b) x - 2y + 3 > 2x;

]) x - 5 < y + 3.

4. Cakto llojin e ]donj[rit prej jobarazimeve sipas shkall[s t[ panjohur[s:

2. P[r cil[n vler[ t[ x ∈ {−2, 0, 2} [sht[ e sakt[ 2

jobarazia: x - 2x < x + 5?

86

a) x2 - 3 < 2x - 1;

c) x + 2 > 6 - x;

b) x - 2 - 3x < 5;

]) x2y - 3x > 2y - 1.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

9

ZGJIDHJA E JOBARAZIMIT. ITERVALET

A 1.

Kujtohu! Vlera e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje (rr[nj[) e barazimit.

Cakto p[r cilat vlera t[ x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} = D ]donj[ri prej jobarazimeve t[ dh[na kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike: a) 3x + 1 > x - 1; c) 2x - 3 > x + 2. b) 2x - 2 < x + 4;

Provo numri 2 a [sht[ zgjidhje e barazimit: a) 2x - 1 = x + 1; b) 3x - 5 = x + 3. N[ c'menyr[ prej jobarazimeve do t[ fitosh jobarazi numerike? P[rpiqu q[ zgjidhjen e detyr[s ta paraqesish me tabel[.

Cakto zgjidhjen e barazimit: a) 3x - 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

Duke z[v[nd[suar t[ panjohur[n x me vlerat e fush[s s[ p[rkufizimit D jobarazimin do ta shnd[rroj n[ jobarazi numerike dhe do t[ konstatoj a [sht[ i sakt[ (T) ose jo i sakt[ (⊥).

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

Vlera e x

-2

-1

0

1

2

3x + 1 > x - 1

-5 > -3 ⊥

-2 > -2 ⊥

1 > -1 T

4>0 T

7>1 T

2x - 2 < x + 4

-6 < 2 T

-4 < 3 T

-2 < 4 T

0<5 T

2<6 T

2x - 3 > x + 2

-7 > 0 ⊥

-5 > 1 ⊥

-3 > 2 ⊥

-1 > 3 ⊥

1>4 ⊥

Jobarazimi

Prej tabel[s konstatove se:

 jobarazimi 3x + 1 > x - 1 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r x = 0, x = 1 dhe x = 2; jobarazimi 2x - 1 < x + 4 kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r ]do vler[ t[  p[rkufizimit D;

 jobarazimi

x nga fusha e

2x - 3 > x + 2 nuk kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike p[r asnj[ vler[ t[ x nga D.

}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n jobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje e jobarazimit. T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi f (x) < g (x) formojn[ nj[ bashk[si, e cila quhet bashk[sia e zgjidhjeve t[ jobarazimit dhe zakonisht sh[nohet me Z(f (x) < g(x)). P[r jobarazimin 3x + 1 > x - 1 nga detyra e m[sip[rme kemise Z(3x + 1 > x - 2) = {0, 1, 2}.

Jobarazimet lineare me një të panjohur

87

2.

Shkruaji zgjidhjet e jobarazimeve

3.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit 2x - 3 < 3x - 2, n[ qoft[ se x ∈ {-3, -1, 1, 2, 3}.

2x - 2 < x + 4

dhe

2x - 3 > x + 2

nga detyra 1..

Sigurisht caktove se bashk[sia e zgjidhjeve [sht[ Z(2x - 3 < 3x - 2) = {1, 2, 3}. Me t[ e zgjidhe jobarazimin 2x - 3 < 3x -2.

Mbaj mend! T[ zgjidhet jobarazimi do t[ thot[ t[ caktohet bashk[sia e zgjidhjeve t[ atij jobarazimi.

B 4.

Kujtohu! P[r dy barazime themi se jan[ ekuivalente n[ qoft[ se kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve. Provo a jan[ ekuivalente barazimet: 2x - 1 dhe 2x - 5 = x - 2.

Jan[ dh[n[ jobarazimet: 3x + 2 > 2x + 1 dhe 2x - 3 > x - 4 me bashk[sin[ e p[rkufizimit D = {-1, 0, 1, 2}. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve.

3x - 4 =

Krahaso zgjidhjet e t[ dy jobarazimeve. }ka v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me t[ dh[nat n[ tabel[. x

-1

0

2

1

Jobarazimi 3x + 2 > 2x + 1

3 ⋅ (-1) + 2 > 2 ⋅ (-1) + 1 3 ⋅ 0 + 2 > 2 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 + 2 > 2 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 2 + 2 > 2 ⋅ 2 + 1 T T T ⊥

2x - 3 > x - 4

V[ren se

2⋅0-3>0-4 T

2 ⋅ (-1) - 3 > -1 - 4 ⊥

Z(3x + 2 > 2x + 1) = {0, 1, 2},

Z(3x + 2 > 2x + 1) = Z(2x - 3 > x - 4). 3x + 2 > 2x + 1

⇔

2x - 3 > x - 4,

2⋅1-3>1-4 T

Z(2x - 3 > x - 4) = {0, 1, 2},

2 ⋅ 2 - 3 > 2 -4 T

d.m.th.

P[r jobarazimet e atilla thuhet se jan[ ekuivalente dhe shkruajm[ x ∈ D.

Mbaj mend! Dy jobarazime me bashk[si t[ nj[jt[ t[ p[rkufizimit jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve jan[ t[ barabarta.

5.

88

Provo se jobarazimet: 3x - 1 > 2x + 1 dhe 2x + 3 < 3x + 1, a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {1, 2, 3, 4}.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

C 6.

{sht[ dh[n[ drejt[za numerike dhe n[ t[ jan[ sh[nuar pikat A dhe B. Pikave A dhe B u jan[ shoq[ruar p[rkat[sisht numrat 1 dhe 4.

A -1

0

B

1

2

3

4

5

Pasi pika A [sht[ n[ t[ majt[ t[ pik[s B, at[her[ p[r numrat e tyre p[rkat[se vlen: 1 < 4. Cil[t numra natyror[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4? Cili prej numrave

Pse

3 ; -3; 2

3 ; 2,8;

2 [sht[ nd[rmjet 1 dhe 4?

16 3

[sht[ nd[rmjet 1 dhe 4?

Pasi 2 ≈ 1,41, ai [sht[ djathtas prej 1, kurse majtas prej 4..

T[ gjith[ numrat real[ q[ gjenden nd[rmjet 1 dhe 4 formojn[ nj[ bashk[si,t[ quajtur interval me skaje 1 dhe 4.

N[ p[rgjith[si N[ qoft[ se a dhe b jan[ numra t[ dh[n[ real[ dhe a < b, at[her[ bashk[sia e t[ gjitha numrave real[ nd[rmjet a dhe b quhet interval, kurse numrat e dh[n[ a dhe b - skaje t[ atij intervali. N[ qoft[ se skajet a dhe b nuk i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i hapur.

 Sh[nohet (a; b)  Paraqitet n[ drejt[z[n numerike:

O

a (

b )

N[ qoft[ se skajet a dhe b i takojn[ intervalit, at[her[ ai quhet interval i mbyllur.

 Sh[nohet [a; b]  Paraqitet n[ drejt[z[n numerike: 7.

O

a

b

[

]

Shkruaj interval me skaje 3 dhe 5 dhe paraqite n[ drejt[z[n numerike: a) intervalin e mbyllur

b) intervalin e hapur;

c) interval i cili nuk e p[rmban vet[m skajin e majt[;

]) interval i cili nuk e p[rmban vet[m skajin e djatht[.

Krahaso zgjidhjen t[nde c) dhe ]). c) (3; 5]

( 3

]

]) [3; 5)

5

[

) 5

3

Interval paraqet edhe bashk[sia e t[ gjitha numrave reale q[ jan[:

 m[ t[ m[dhej se a; (a; +∝)  m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ me

a; [a; +∝)

 

m[ t[ vegj[l se a;

(-∝; a)

m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ me a; (-∝; a]

Jobarazimet lineare me një të panjohur

89

V[re se nj[ri skaj i intervaleve [sht[ shenja +∝ ose -∝. Intervali (a; +∝) lexohet: ,,a, plus pakufi".

  Intervali

(-∝; a) lexohet: ,,minus pakufi, a". Bashk[sia R mund t[ shkruhet si interval: (-∝; +∝). V[re se nuk kan[ kuptim shenjat: (3; -∝);

8.

[1; +∝];

(+∝; 4).

Shkruaje si interval, kurse pastaj paraqite n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e t[ gjitha numrave real[: a) m[ t[ m[dhej ose t[ barabart[ se 2;

b) m[ t[ vegj[l ose t[ barabart[ se 1.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) (2, +∝) 0

D 9.

1

( 2

b) (-∝, 1] 3

4

-2

-1

0

] 1

2

Jan[ dh[n[ jobarazimet: a) x > -1; x ∈ R;

b) x < 2; x ∈ R.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[r[s prej jobarazimeve t[ dh[na. Paraqite ]donj[r[n prej atyre bashk[sive n[ drejt[z[n numerike. Me cilat numra duhet t[ z[v[nd[sohet x te jobarazimi x > -1, dhe me cil[t te jobarazimi x < 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[ sakta numerike?

Ndryshorja x te jobarazimi x > -1 duhet t[ z[v[nd[sohet me ]far[do num[r real, m[ i madh se -1, dhe te jobarazimi x < 2, - me ]far[do num[r real q[ [sht[ m[ i vog[l se 2, q[ t[ fitohen jobarazi t[ sakta numerike.

V[reve se bashk[sia e zgjidhjeve t[ jobarazimit x > -1 p[rb[het prej t[ gjitha numrave real[ prej -1 deri n[ +∝, kurse ai [sht[ intervali (-1, +∝). V[reji bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve t[ dh[na, n[ drejt[z[n numerike.

Jobarazimet x > -1 dhe x < 2 kan[ t[ ashtuquajtur form[ t[ zgjidhur; p[r jobarazimet e atilla bashk[sia e zgjidhjeve mund t[ lexohet menj[her[, drejtp[rdrejt.

Mbaj mend! Jobarazimet: x > a, x < a dhe 0 × x < a, ku a [sht[ num[r i dh[n[ real i sh[nuar n[ form[n e zgjidhur dhe quhen jobarazime themelore.

90

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

10.

Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < -5. A ekziston num[r real i cili i shum[zuar me 0 e jep prodhimin -5?

11.

Pasi ]far[do num[r i shum[zuar me 0 [sht[ 0, kurse 0 nuk [sht[ m[ i vog[l se -5, jobarazimi 0 ⋅ x < -5 nuk ka zgjidhje.

Zgjidhe jobarazimin 0 ⋅ x < 5. V[reji zgjidhjet e jobarazimit

0 ⋅ x < a:

Z(0 ⋅ x < a, p[r a < 0) = ∅ dhe Z(0 ⋅ x < a, p[r a > 0) = R.

12.

Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: ndihm[n e intervalit.

Zgjidhjet e jobarazimeve t[ llojit x ≥ a intervalet (-∞; a].

13.

x > -5;

x < 4;

0 ⋅ x < -1;

0 ⋅ x < 3, me

jan[ intervalet [a; +∞), kurse t[ jobarazimeve x ≤ a jan[

Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: a) x ≤ 3; b) x ≥ -2.

V[re se si zgjidhet detyra e k[tij lloji.

 a) N[ qoft[ se

x ≤ 3, at[her[ x ∈ (-∞; 3].

 b) N[ qoft[ se

x ≥ -2, at[her[ x ∈ [-2; +∞).

14.

Shkruaje bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit x ≤ -1 me ndihm[n e intervalit.

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ provosh cil[t prej vlerave jan[ zgjidhje t[ jobarazimit t[ dh[n[; t[ konstatosh dy jobarazime a jan[ ekuivalente;

Provo a [sht[ Z(2x -1 > x + 1) = {2, 3, 4} n[ qoft[ se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

t[ sqarosh kur dy jobarazime jan[ ekuivalente;

Konstato se jobarazimi 3x - 1 > x + 1 a [sht[ ekuivalent me jobarazimin 4x - 1 > 3x, n[ qoft[ se x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} = D.

ta paraqesish me intervale dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit t[ dh[n[.

Paraqite me interval zgjidhjen e jobarazimit x < -3.

Jobarazimet lineare me një të panjohur

91

Detyra 1. Te bashk[sia D = {-1, 0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[ jobarazimet: a) 3x + 1 > 2x + 1;

b) 2x + 3 > x + 3.

4. Paraqite me interval dhe n[ drejt[z[n numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve: a) x > -3; b) x < 2.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej jobarazimeve t[ dh[na.

5. Paraqite me intervale dhe n[ drejt[z[n 2. Cakto cil[t prej k[tyre jobarazimeve jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {-2, -1, 0, 1, 2}: a) 3x - 2 > 2x - 3;

numerike bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimeve: a) x ≤ -2;

b) x ≥ 1.

c) 2x + 5 > x + 4.

b) 2x - 1 > x - 2;

6. Cili prej k[tyre jobarazimeve nuk ka zgjidhje? Sqaro p[rgjigjen.

3. Paraqite me interval bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit: a) x > -2;

10

b) x < 0;

c) x ≤ 1;

b) 0 ⋅ x < -1;

]) x < -5.

]) x ≥ -3.

TEOREMAT P{R JOBARAZIMET EKUIVALENTE

Kujtohu! P[r cil[t barazime thuhet se jan[ ekuivalente? Provo a jan[ ekuivalente n[ bashk[sin[ D = {1, 2, 3, 4} jobarazimet: 3x - 1 > x + 3 dhe 2x - 1 > x + 1. Si thot[ teorema 1 p[r barazimet ekuivalente?

Si do t[ konstatosh se jobarazimi i dh[n[ a [sht[ ekuivalent me jobarazimin e fituar?

92

c) 0 ⋅ x > -2;

a) x > 0;

A 1.

N[ bashk[sin[ D = {-2, -1, 0, 1, 2} [sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 2 > 2x - 3.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit t[ dh[n[. Shtoje n[ t[ dy an[t e jobarazimit shprehjen x 1 dhe provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

Do t'i caktoj bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve dhe do t'i krahasoj ato.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. Jobarazimi i dh[n[ 3x - 2 > 2x - 3

Vlera p[r x

I sakt[ jo i sakt[

Jobarazimi i fituar 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1

I sakt[ jo i sakt[

-2

3 ⋅ (-2) - 2 > 2 ⋅ (-2) - 3

⊥

3 ⋅ (-2) - 2 - 2 - 1 > 2 ⋅ (-2) - 3 - 2 - 1

⊥

-1

3 ⋅ (-1) - 2 > 2 ⋅ (-1) - 3

⊥

3 ⋅ (-1) - 2 - 1 - 1 > 2 ⋅ (-1) - 3 - 1 - 1

⊥

0

3⋅0-2>2⋅0-3

T

3⋅0-2+0-1>2⋅0-3-0-1

T

1

3⋅1-2>2⋅1-3

T

3⋅1-2+1-1>2⋅1-3+1-1

T

2

3⋅2-2>2⋅2-3

T

3⋅2-2+2-1>2⋅2-3+2-1

T

Prej tabel[s v[reve se: Z(3x - 2 > 2x - 3) = {0, 1, 2} dhe Z(3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x -1) = {0, 1, 2}, p[rkat[sisht duke shtuar shprehjen x + 1 n[ t[ dy an[t e jobarazimit 3x - 2 > 2x - 3 fitojm[ jobarazim 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1, ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shtimin e numrit ose shprehjes n[ t[ dy an[t e jobarazimit.

Teorema 1



N[ qoft[ se n[ t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g (x) shtohet numri i nj[jt[ ose shprehje racionale h(x), q[ [sht[ e p[rcaktuar p[r ]do x nga bashk[sia e p[rkufizimit, fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. f (x) > g(x) ⇔ f (x) + h(x) > g(x) + h(x).

2.

A jan[ ekuivalent k[to dy jobarazime: a) 5x + 1 > 4x + 3

dhe

5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x;

b) 2x - 5 > x - 2

dhe

2x - 5 + 5x - 1 > x - 2 + 5x - 1;

c) 3x - 1 < x + 2

dhe

3x - 1 - 4x < x + 2 - 4x?

Sqaro p[rgjigjen.

B

3.

Jobarazimin 4x - 1 < 3x + 2 sille n[ jobarazim t[ form[s s[ zgjidhur.

Cil[n shprehje mund ta shtojsh n[ t[ dy an[t e jobarazimit q[ ta sjellish n[ form[n e zgjidhur?

N[ t[ dy an[t e jobarazimit mund ta shtoj shprehjen -3x + 1.

Jobarazimet lineare me një të panjohur

93

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 1 kemi:  Sipas4xteorem[s - 1 < 3x + 2 ⇔

4x - 1 - 3x + 1 < 3x + 2 - 3x + 1 ⇔ 4x -3x < 2 + 1 ⇔ x < 3.

Prej 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 mund t[ v[resh se: an[tari 3x [sht[ bart prej an[s s[ djatht[ n[ an[n e majt[, por me shenj[ t[ kund[rt, kurse an[tari 1 [sht[ bart prej an[s s[ majt[ n[ an[n e djatht[, gjithashtu me shenj[ t[ kund[rt. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ pasoj[ 1 nga teorema 1:



}do an[tar i nj[ jobarazimi mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, me shenj[ t[ kund[rt.

P1 Me zbatimin e teorem[s 1 mund t[ kryejsh transformacione ekuivalente t[ jobarazimeve, me t[ cil[n do t'i sjellish deri n[ jobarazime t[ zakonshme, ekuivalente me ato. V[reje at[ n[ k[t[ detyr[.

4.

Transformoe n[ jobarazim n[ form[n e zgjidhur 4x - 1 > 3x + 2. Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me interval. Zbato rrjedhimin 1 dhe grupoji t[ panjohurat n[ an[n e majt[, kurse t[ njohurat n[ an[n e djatht[.

Sipas rrjedhimit 1 vlen: 4x - 1 > 3x + 2 ⇔ 4x - 3x > 2 + 1⇔ ⇔ x > 3, kurse Z(4x - 1 > 3x + 2) = = (3; +∝).

5.

{sht[ dh[n[ jobarazimi 3x - 5 > x - 3. Transformo jobarazimin n[ form[n e zgjidhur. Paraqite zgjidhjen n[ jobarazim me interval.

6.

Provo jobarazimet 3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x dhe 3x - 2 < x + 1, t[ p[rkufizuar n[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3, 4} a jan[ ekuivalente. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve dhe provo a jan[ ekuivalente.

Z(3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x) = {0, 1, 2}; Z(3x - 2 < x + 1) = {0, 1, 2}, pra jobarazimet e dh[na jan[ ekuivalente.

V[ren se n[ t[ dy an[t e jobarazimit t[ par[ kan[ an[tar t[ nj[jt[ 4x. Me eleminimin e 4x nga t[ dy an[t [sht[ fituar jobarazimi 3x - 2 < x + 1, ekuivalent me jobarazimin e par[. Sqaro se si do ta zbatosh teorem[n 1 q[ t[ tregosh se an[tari 4x i cili gjendet n[ t[ dy an[t e jobarazimit mund ta eleminosh dhe t[ fitosh jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

94

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet. Prandaj mund ta shprehim edhe nj[ pasoj[ nga teorema 1:



N[ qoft[ se n[ an[t e ndryshme t[ jobarazimit ka an[tar t[ barabart[, at[her[ mund t[ eleminohen.

P2 7.

Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 4x - 2 - 5x < 3x - 1 - 5x.

C 8.

{sht[ dh[n[ jobarazimi

3x - 1 > 2x + 1 me D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Shum[zoi t[ dy an[t e jobarazimit me 2. Provo jobarazimi i fituar a [sht[ ekuivalent me jobarazimin e dh[n[. V[re n[ tabel[ zgjidhjen e detyr[s. Vlera e x

1

2

3

4

5

3x - 1 > 2x + 1

2>3 ⊥

5>5 ⊥

8>7 T

11 > 9 T

14 > 11 T

6x - 2 > 4x + 2

4>6 ⊥

10 > 10 ⊥

16 > 14 T

22 > 18 T

28 > 22 T

Jobarazimi

Prej tabel[s mund t[ v[resh se Z(3x - 1 > 2x + 1) = {3, 4, 5} dhe Z(6x - 2 > 4x + 2) = = {3, 4, 5}, d.m.th. 3x - 1 > 2x + 1 ⇔ 6x - 2 > 4x + 2. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r jobarazimet, vet[m n[ qoft[ se numri me t[ cilin shum[zohen t[ dy an[t e jobarazimit [sht[ pozitiv. Prandaj, mund ta shprehim k[t[ teorem[ p[r shum[zimin e jobarazimit me num[r pozitiv:

Teorema 2



N[ qoft[ se t[ dy an[t e nj[ jobarazimi f (x) > g(x) shum[zohen me nj[ num[r a > 0, at[her[ fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. f (x) > g(x) ⇔ a ⋅ f (x) > a ⋅ g(x)

9. 10.

p[r

a > 0..

Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente: 3x - 2 < 2x - 3 dhe 9x - 6 < 6x - 9. {sht[ dh[n[ jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x, te i cili jan[ krye k[to transformacione ekuivalente:

1 1 1 1 - 8 ⋅ < 12 ⋅ - 8 x ⋅ ⇔ x - 2 < 3 - 2x; 4 4 4 4 4x : 4 - 8 : 4 < 12 : 4 - 8x : 4 ⇔ x - 2 < 3 - 2x.

4x ⋅

Sqaro cil[t transformacione jan[ krye te jobarazimi 4x - 8 < 12 - 8x. Krahasoi jobarazimet e fituara. }ka v[ren?

Jobarazimet lineare me një të panjohur

95

V[reve se: n[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit 4x - 8 < 12 - 8x shum[zohen me

1 , at[her[ [sht[ 4

krye transformacioni i nj[jt[ sikurse t[ dy an[t e atij jobarazimi t[ pjes[tohen me 4. Mund t[ jepet ky rrjedhim i teorem[s 2.

 P1 11.

N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit kan[ shum[zues pozitiv t[ p[rbashk[t, at[her[ t[ dy an[t e jobarazimit mund t[ pjes[tohen me at[ vler[ dhe n[ at[ rast fitohet jobarazim i ri ekuvalent me te parin. {sht[ dh[n[ jobarazimi 10x - 25 < 5x + 15. Transformo k[t[ jobarazim n[ jobarazim t[ zakonsh[m me zbatimin e rrjedhimit 1.

3 1 5 1 x + > x - . Me cilin num[r mund t'i shum[zosh t[ dy an[t e 4 2 8 4 jobarazimit, q[ t[ fitosh jobarazim pa em[ruesa?

12.

{sht[ dh[n[ jobarazimi

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 SHVP(4, 2, 8) = 8;

8⋅

3 1 5 1 x + 8⋅ > 8⋅ x - 8⋅  6x + 4 > 5x - 2 . 4 2 8 4

Transformimi i jobarazimit

3 1 5 1 x+ > x4 2 8 4

[sht[ krye n[ baz[ t[ teorem[s 2. V[re se mund t[

shprehet ky rrjedhi i T2.

 P2

Jobarazimi me koeficient thyes mund t[ transformohet n[ jobarazim ekuvalent me koeficient numra t[ plot[, n[se shum[zohen t[ dy an[t e jobarazimit me shumefishin m[ t[ vog[l t[ p[rbashk[t t[ emrues[ve t[ atyre koeficient[ve

13.

Transformo n[ jobarazim me koeficient t[ plot[ numerik jobarazimin

14.

Jan[ dh[n[ jobarazit[ e sakta numerike:

7 > 4,

-5 < -3

dhe

1 1 5 1 x- > x + . 3 2 6 2

1 > -4.

Shum[zoi t[ dy an[t e ]donj[rit nga jobarazimet e dh[na me -2. Provo jobarazit[ numerike t[ fituara a jan[ t[ sakta. }ka v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.



96

7 > 4;

-2 ⋅ 7 > -2 ⋅ 4,

-14 > -8

-5 < -3,

-2 ⋅ (-5) < -2 ⋅ (-3),

10 < 6

1 > -4,

-2 ⋅ 1 > -2 ⋅ (-4),

-2 > 8

  

jobarazi numerike jo e sakt[. jobarazi numerike jo e sakt[. jobarazi numerike jo e sakt[.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Q[ t[ fitohet jobarazi t[ sakt[ numerike, [sht[ e nevojshme t[ ndryshon shenja e jobarazis[, d.m.th. 14 > -8 t[ z[v[nd[sohet me -14 < -8, 10 < 6 t[ z[v[nd[sohet me 10 > 6 dhe -2 > 8 t[ z[v[nd[sohet me -2 < 8. Kjo vlen p[r ]far[do numra real[ a, b dhe c. N[ qoft[ se a > b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c < b ⋅ c, por n[ qoft[ se a < b dhe c < 0, at[her[ a ⋅ c > b ⋅ c.

V[re v[rtetimin e pohimit. {sht[ dh[n[:

a>b

dhe c < 0.

Duhet t[ v[rtetohet: a ⋅ c < b ⋅ c. a ⋅ c - b ⋅ c = (a - b) ⋅ c; pasi c < 0 dhe a - b > 0 (pse a > b), vijon se prodhimi (a - b) ⋅ c [sht[ negativ, d.m.th. a ⋅ c - b ⋅ c < 0; a ⋅ c < b ⋅ c.



P[r shenjat te jobarazit[ 3 < 5 dhe 2 > -1 themi se kan[ kahe t[ kund[rta. Prandaj, p[r jobarazimet mund ta parashtrojm[ k[t[ teorem[:

Teorema 3



N[ qoft[ se t[ dy an[t e jobarazimit f (x) > g(x) shum[zohen ose pjes[tohen me nj[ num[r t[ nj[jt[ negativ c dhe poashtu shenja e jobarazimit z[vend[sohet me shenj[n e kund[rt, at[her[, do t[ fitohet jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[, d.m.th. p[r c < 0: f (x) > g(x)

15.

⇔

c ⋅ f (x) < c ⋅ g(x).

Transformo n[ form[n e zgjidhur jobarazimin 2x - 7 > 5x - 1. Zbatoje pasoj[n 1 nga teorema 1, pasoj[n 1 nga teorema 2 dhe teorema 3.

2x - 7 > 5x - 1 ⇔ 2x - 5x > -1 + 7 ⇔ -3x > 6 ⇔ -x > 2 ⇔ x < -2, d.m.th.Z(2x - 7 > 5x - 1) = (-∞, - 2).

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t'i shprehish edhe rrjedhimet e tyre p[r jobarazimet ekuivalente; t'i zbatosh teoremat dhe rrjedhimet p[r jobarazimet ekuivalente lineare n[ detyra.

Detyra 1. K[to jobarazime transformoji n[ form[n e zgjidhur. a) 3x - 1 < 2x + 1;

b) 4x - 3 > 3x - 1.

Sqaro pse jobarazimet jan[ ekuivalente: 2x - 5 < x - 3 dhe 2x - 5 - x < x - 3 - x; 2 1 x - 1 < x + 2 dhe 4x - 6 < 3x + 12; 3 2 -5x + 3 < -3x - 1 dhe 5x - 3 > 3x + 1.

2. Te jobarazimi 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x elemino dy an[tar ashtu q[ t[ fitosh jobarazim ekuivalent me jobarazimin e dh[n[.

Jobarazimet lineare me një të panjohur

97

3. K[t[ jobarazim transformoe n[ jobarazim ekuivalent pa em[ruesa:

x +1 x < + 1; a) 2 4

5. Jobarazimin 3x - 5 < 4x - 3 transformo n[ jobarazim n[ form[n e zgjidhur. Paraqite zgjidhjen e jobarazimit me interval.

3x + 2 x -1 b) < - 1. 6 3

x x - 1 < + 1, sille n[ 2 3 jobarazim n[ form[n e zgjidhur.

4. Jobarazimin

6. Sqaroi k[to ekuivalenca: a) -5x + 1 > 2x - 3 ⇔ 5x - 1 < -2x + 3; b) 4x - 2 < 3x + 1 ⇔ -4x + 2 > -3x - 1.

11

ZGJIDHJA E JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

A 1.

Kujtohu! Cakto cili prej k[tyre jobarazimeve jan[ jobarazime lineare me nj[ t[ panjohur: x2 + 6 > 4x;

3x - 1 < 2x + 3;

x + 5 > 3x -1;

x + 2y < 3 - x.

Zgjidhe jobarazimin 4x - 3 > 2x + 1. Paraqite zgjidhjen me interval n[ drejt[z[n numerike. Si do ta sjellish jobarazimin e dh[n[ n[ form[n e zgjidhur?

Transformo n[ form[n e zgjidhur k[t[ jobarazim 5x - 3 > 3x + 1.

Do t[ zbatoj pasoj[n 1 nga teorema 1 dhe pasoj[n 1 nga teorema 2.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.



4x - 3 > 2x + 1 ⇔ 4x - 2x > 1 + 3 4x - 2x > 1 + 3 ⇔ 2x > 4 2x > 4 ⇔ x > 2

Zgjidhi k[to jobarazime:

1

1

1

Z(4x - 3 > 2x + 1) = Z(x > 2) = (2; +∝).

2.

 (sipas P t[ T )  (sjellja e t[ dy an[ve t[ jobarazimit)  (pjes[timi i jobarazimit sipas P t[ T )

a) x - 4 > 8 - 3x;

2

b) 3x - 5 < -x + 3.

Jobarazime jan[ edhe:f (x) ≤ g(x); f (x) ≥ g(x);

3.

98

{sht[ dh[n[ zgjidhja e jobarazimit 3(2x - 1) £ -(9 - 8x). Sqaro ]do transformacion ekuivalent t[ zbatuar gjat[ zgjidhjes. 3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x) ⇔ 6x - 3 ≤ -9 + 8x ⇔ 6x - 8x ≤ -9 + 3 ⇔ -2x ≤ -6 ⇔ -x ≤ -3 ⇔ x ≥ 3; Z(3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x)) = Z(x ≥ 3) = [3, +∝).

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

4.

Zgjidhe jobarazimin 2x - (3 - x) ≥ 5x - 1.

5.

Zgjidhe jobarazimin

2 x -1 1 x + 1 . - < 3 2 6

Si do t[ lirohesh prej em[ruesave te jobarazimi i dh[n[?

T[ dy an[t e jobarazimit do t'i shum[zoj me SHVP(3,2,6)=6.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.



2 x -1 1 x + 1 - < ⇔ 2(2x - 1) -3 ⋅ 1 < x + 1 ⇔ 4x - 2 - 3 < x + 1 ⇔ 4x - x < 1 + 2 + 3 3 2 6 ⇔ Z(

6.

3x < 6

⇔

x < 2.

2 x -1 1 x + 1 - < ) = Z(x < 2) = (-∝; 2), d.m.th. x ∈ (-∝; 2). 3 2 6

Zgjidhe jobarazimin

x -1 1 2x - 3 . - > 3 6 4

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t[ zgjidhish jobarazim linear me nj[ t[ panjohur;

Zgjidhe k[t[ jobarazim: 2(x - 3) ≤ -(9 - 5x).

t[ provosh intervalin e dh[n[ a [sht[ zgjidhje e jobarazimit t[ dh[n[;

P[r cilat vlera t[ x shprehja 2x - 4 [sht[ pozitive?

t[ formosh jobarazim p[r detyr[n e dh[n[ t[ p[rshkruar me fjal[.

Zgjidhe jobarazimin:

3 x -1 2 x + 1 3 x -1 < . 2 3 6

Detyra

4. Zgjidhi k[to jobarazime: 1. Zgjidhi k[to jobarazime: a) 5x - 2 > 3x + 4;

b) 2x - 7 < 5x + 2.

2. Zgjidhi k[to jobarazime: a) 2x - 3(x - 1) ≤ -(5 - x); b) 3x - 2(x + 3) ≥ -3(4 - x);

3. Provo se intervali (-3; +∝) a [sht[ zgjidhje e jobarazimit:

5x + 4 x - 4 < . 4 2

a)

3x - 5 2x +1 <0 ; 2 3

b)

x-3 x +1 - 1< -2 3 2

5. Cakto p[r cilat vlera t[ x shprehja 9- x x +3 ka vler[ pozitive. 2 4

6. Gjat[sia e nj[ drejtk[nd[shi [sht[ p[r 3 cm m[ e madhe se gjer[sia. Sa duhet t[ jet[ gjat[sia e drejtk[nd[shit q[ t[ jet[ perimetri m[ i vog[l p[r 54 cm?

Jobarazimet lineare me një të panjohur

99

SISTEMI I JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

12

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ JOBARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

A 1.

Kujtohu!

Jan[ dh[n[ jobarazimet: 3x + 1 > 2x - 1 dhe 4x - 1 < 3x + 2.

}do vler[ e t[ panjohur[s p[r t[ cil[n jobarazimi kalon n[ jobarazi t[ sakt[ numerike quhet zgjidhje e jobarazimit.

Zgjidhi jobarazimet e dh[na. Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej jobarazimeve me interval dhe n[ drejt[z[n e nj[jt[ numerike.

Provo x = 3 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit 3x - 1 > 2x - 3. T[ gjitha zgjidhjet e nj[ jobarazimi formojn[ bashk[si e cila quhet bashk[si e zgjidhjeve t[ atij jobarazimi. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ jobarazimit 5x - 2 < 3x + 4.

Konstato se jobarazimet e dh[na a kan[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta. Si do t[ konstatosh jobarazimet e dh[na a kan[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta?

Jobarazimet e dh[na do t'i sjell[ deri te forma e zgjidhur, pastaj zgjidhjet do t'i paraqes me interval dhe n[ t[ nj[jt[n drejt[z numerike, prej ku do t[ v[rej prerjen e bashk[sis[ s[ zgjidhjeve t[ tyre. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 3x + 1 > 2x - 1 ⇔ 3x - 2x > -1 - 1 ⇔ x > -2 Z(3x + 1 > 2x - 1) = (-2; +∝)

4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 ⇔ x<3 Z(4x - 1 < 3x + 2) = (-∝; 3)





Z(3x + 1 > 2x - 1) ∩ Z(4x - 1 < 3x + 2) N[ drejt[z[n numerike n[ p[rgjith[si mund t[ v[resh se numrat q[ i takojn[ intervalit (-2, 3) jan[ zgjidhje edhe t[ nj[rit jobarazim edhe t[ joabrazimit tjet[r. P[r dy jobarazime t[ dh[na themi se formojn[ sistem t[ dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur.

100

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Mbaj mend! P[r dy ose m[ shum[ jobarazime lineare me t[ panjohur[n e nj[jt[, p[r t[ cilat k[rkohen zgjidhjet e p[rbashk[ta, thuhet se formojn[ sistem t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur. }do sistem prej dy jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur mund t[ sillet n[ form[n normale, si p[r shembull: ìïïax > b í ïïîa1x > b1

(a, b, a1, b1 ∈ R).

ìï3 x - 1< 2 x + 3 {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve ïí ïïî5 x - 3 > 2 x + 9 . Sille sistemin e dh[n[ n[ form[n normale.

2.

Cakto zgjidhjet e p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit n[ drejt[z[n numerike. T[ gjitha vlerat e t[ panjohur[s x q[ jan[ zgjidhje t[ p[rbashk[ta t[ jobarazimeve t[ sistemit, p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ jobarazimeve nga sistemi, quhet bashk[si e zgjidhjeve t[ jobarazimeve t[ sistemit dhe sh[nohet me Zs, d.m.th. Zs = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1). Shkruaje me interval bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[ dh[n[. Dy sisteme t[ p[rkufizuara n[ bashk[sin[ e nj[jt[ jan[ ekuivalente n[ qoft[ se kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta.

B

3.

ì ïax > b {sht[ dh[n[ sistemi i jobarazimeve lineare ïí ï ï îa1x > b1 ekuivalent me ax > b. ì ïax > b V[rteto se sistemi i jobarazimeve ïí ï ï îa1x > b1

dhe jobarazimi a2x > b2 q[ [sht[

ì ïa2 x > b2 [sht[ ekuivalent me sistemin ï í ï ï îa1x > b1.

V[re hapat gjat[ v[rtetimit. 1

ì ïax > b Zgjidhja e sistemit t[ jobarazimeve ïí [sht[ Zs = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1). ï ï îa1x > b1

2

Prej ax > b ⇔ a2x > b2 vijon Z(ax > b) = Z(a2x > b2).

3

ìa2 x > b2 ï [sht[ Zs = Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1). Zgjidhja e sistemit ï í ï ï îa1x > b1

4

Prej Z(ax > b) = Z(a2x > b2) vijon se Z(a2x > b2) ∩ Z(a1x > b1) = Z(ax > b) ∩ Z(a1x > b1),

   

ì ì ïa2 x > b2 ïax > b d.m.th. ïí ⇔ ï í ï ï ï ï îa1x > b1. îa1x > b1

Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur

101

Me k[t[ v[rtetuam se vlen:

Teorema 1



N[ qoft[ se n[ nj[ sistem t[ jobarazimeve z[v[nd[sohet cilido jobarazim me jobarazimin ekuivalent me t[, fitohet sistemi i jobarazimeve ekuivalent me sistemin e dh[n[.

ìx +2 ï ï -3 < 0 ï ï Zgjidhe sistemin e jobarazimeve ïí 3 ï x +1 x ï < 1- . ï ï 2 ï î 4

4.

N[ ]far[ forme duhet t'i sjellish jobarazimet e sistemit dhe si do ta caktosh zgjidhjen e tij?

Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval t[ boshtit numerik.

S[ pari, jobarazimet e sistemit do t'i transformojm[ n[ form[n e zgjidhur, pastaj do t[ caktoj prerjen e bashk[sive q[ jan[ zgjidhje e jobarazimeve t[ sistemit.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. ìï x + 2 ïï -3 <0 ì x < -2 + 9 ìx + 2 - 9 < 0 ìx < 7 ï ï ïï 3 ï ïì x < 7 ï ï ï  ïí í í í í . ïï x + 1 ï ï ï ïïî3 x < 3 x ï ï î x + 2 x < 4 -1 î x + 1< 4 - 2 x ï îx < 1 < 1ïï 2 ïî 4





Zs = (-∝; 7) ∩ (-∝; 1) = (-∝; 1)

Zs = Z(x < 7) ∩ Z(x < 1) = (-∝; 1)

5.

ì x -1 2x + 1 ï ï - 1> ï ï 3 6 Zgjidhe sistemin e jobarazimeve ïí ï x 3 x -1 ï + 1< . ï ï 2 ï î 4

Kur sistemi prej dy jobarazimeve lineare mund t[ mos ket[ zgjidhje?

102

Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval t[ boshtit numerik.

Sistemi nuk do t[ ket[ zgjidhje n[ qoft[ se prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[ bashk[si e zbraz[t.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.



x -1 ïìï 2 x + 1 ïï 3 - 1> 6 ìx > 1 ì4 x - x > -1- 2 + 6 ì3 x > 3 ï ï ï ïì4 x + 2 - 6 > x - 1 ïí ï ï ï  ïí í í í . ïï 3 x - 1 x ï ï ï ïïî3 x - 1+ 4 < 2 x 3 x - 2 x < 1- 4 x < -3 ï ï ï î x < -3 î î + < 1 ïï 2 ïî 4

Z(x > 1) = (1; +∞),

Z(x < -3) = (-∞; -3);

Zs = Z(x > 1) ∩ Z(x < -3) = ∅.

Mbaj mend! N[ qoft[ se bashk[sia e zgjidhjeve t[ dy jobarazimeve [sht[ bashk[si e zbraz[t, at[her[ thuhet se sistemi nuk ka zgjidhje ose sistemi [sht[ kund[rth[n[s.

6.

ì x -1 x - 5 ï ï < ï ï 2 4 Zgjidhe sistemin e jobarazimeve: ïí ï 2 x -1 x + 2 ï < ï ï 3 ï 2 î

Duhet t[ dish: t[ zgjidhish sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur; n[ drejt[z[n numerike dhe me interval ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit t[ jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohu

Kontrollohu! ïìï x + 2 ïï 3 - 1< 0 Zgjidhe sistemin e jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur: ïí ïï x x + 1 > 1. ïï + 4 ïî 2 ìax > b ï Cila [sht[ zgjidhje e sistemit t[ jobarazimeve me nj[ t[ panjohur: ïí ï ï îa1x > b1 Z(ax > b) = (-∝, -1) dhe Z(a1x > b1) = (0, +∝)?

Sistemi i jobarazimeve lineare me një të panjohur

n[ qoft[ se

103

Detyra 1. Zgjidhe sistemin: ïì6 - 3 x > -2 x a) ïí ïïî9 + 6 x > 3 x ;

ì3 x - 2 > 2 x - 5 ï b) ïí ï ï î2 + x > 2 x + 3 .

3. Zgjidhe sistemin: ìï3( x - 2) > 2( x + 3) - 2 x a) ïí ïïî2(2 x - 5) - 1< 3( x - 1) ì ï5 - ( x - 2) > 2 x - (1+ x) b) ïí ï ï î2( x - 1) > -(5 - x).

2. Zgjidhe sistemin: ì 2 x ï ï - < x+7 ï ï 2 3 ï í ï a) ï 2 x + 3 x-2 - 1> ; ï ï 3 ï 4 î

4. Zgjidhe sistemin: ìï( x + 2)2 - 3 > x( x + 2) a) ïí ïïî2 x( x + 1) - x(2 x -1) < 4;

ì x - 2 x +1 1 x ï ï < ï ï 3 2 6 2 ï í b) ïï x 1 x - 2 . - > ï ï 3 ï2 6 î

ì ï ( x - 1)2 + ( x - 2)2 > 2( x - 3)2 - 1 ï ï b) í 1 x - 1 2 x - 1 x - 9 ï + > + . ï ï 3 3 6 ï î2

FUNKSIONI LINEAR

13

FUNKSIONI LINEAR

Kujtohu! P[rpjes[timi i drejt[ dhe i zhdrejt[ jan[ funksione. Ato zakonisht jepen me formula. Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[n y = 2x? Cili p[rpjes[tim [sht[ shprehur me formul[n

y=

1 ? x

N[ nj[ en[ q[ nxen 35 l ka 5 l uj[. Nj[ gyp hedh[ n[ en[ nga 3l uj[ n[ minut[. Sa litra uj[ do t[ ket[ n[ en[ pas: 1 minut[; 2 minuta; 2,5 minuta; 5 minuta; 10 minuta?

Sa litra uj[ (y) do t[ ket[ n[ en[ pas (x) minuta? B[je tabel[n me t[ dh[nat e detyr[s.

Si do ta njehsosh sa uj[ ka n[ en[ p[r x = 1 minuta, kurse sa p[r x = 2 minuta?

104

A 1.

P[r x = 1 minut[, y = 3 ⋅ 1 + 5 = 8 ; p[r x = 2 minuta, y = 3 ⋅ 2 + 5 = 11 .

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

V[reve se pas x minuta n[ en[ do t[ ket[ 3x + 5 litra uj[, d.m.th. y = 3x + 5. V[re se procesi i mbushjes s[ en[s me uj[ mund t[ p[rshkruhet si funksion f t[ dh[n[ me formul[ f(x) = 3x + 5. Sipas formul[s mund t[ formosh tabel[ dhe p[r vlera tjera t[ x (koha), p[rve] t[ dh[nave tjera..

x

1

1,5

2

f(x) = 3x + 5

8

9,5

11

2,5

3

5

9

10

12,5 14

20

32

35

Pas sa minuta ena do t[ mbushet me uj[?

V[ren se, sipas natyr[s s[ problemit, koha x mund t[ ndryshon prej 0 deri m[ 10 minuta. N[ qoft[ se e shqyrton vet[m formul[n f(x) = 3x + 5, at[her[ x mund t[ jet[ ]far[do num[r real. }do numri real x i shoq[rohet num[r real i caktuar y, i atill[ q[ y = f(x). Me formul[n f(x) = 3x + 5 [sht[ dh[n[ funksioni f n[ bashk[sin[ R dhe paraqet shembull p[r funksion linear.

V[re dhe mbaj mend! Funksioni f q[ [sht[ dh[n[ me formul[n f(x) = kx + n, ku k dhe n jan[ ]far[do numra t[ dh[n[ real[, quhet funksion linear. Numri k quhet koeficienti para argumentit x, kurse n an[tari i lir[. N[ qoft[ se funksioni linear [sht[ dh[n[ me formul[ dhe n[ qoft[ se nuk [sht[ th[n[ asgj[ p[r fush[n e p[rkufizimit, at[her[ do t[ llogarisim se fusha e p[rkufizimit t[ atij funksioni [sht[ R.

2.

Shkruaje funksionin linear p[r t[ cilin: a) k = 3 dhe n = 5;

c) k = -2 dhe n = -1;

b) k = 2 dhe n = -3;

]) k = 5 dhe n = 0.

}far[ forme ka funksioni te i cili k = 5 dhe n = 0 nga detyra 2? }far[ p[rpjes[timi paraqet funksioni?

3.

N[ qoft[ se k = 5 dhe n = 0, at[her[ funksioni e mer form[n f(x) = 5x. Ai [sht[ p[rpjes[tim i drejt[.

Shkruaje funksionin linear te i cili: koeficienti para argumentit [sht[ 4, kurse an[tari i lir[ 2; koeficienti para argumentit [sht[ -3, kurse an[tari i lir[ 1; koeficienti para argumentit [sht[ -2, kurse an[tari i lir[ 0.

Funksioni linear

105

B

4.

{sht[ dh[n[ funksioni linear f(x) = x - 2. Cakto: f (-2);

f (0);

f (2). P[r x = 2 fitohet f(x) = 2 - 2, d.m.th. f(x) = 0, p[r x = 2.

P[r cil[n vler[ t[ argumentit x, vlera f(x) e funksionit [sht[ zero?

Mbaj mend! Vlera e argumentit x p[r t[ cil[n vlera e funksionit y [sht[ zero, quhet zero e funksionit.

5.

Provo se numir -3 a [sht[ zero e funksionit f(x) = x + 3.

6.

Cakto zeron e funksionit:

a) y = -3x + 6;

b) y = 2x - 1.

V[re se, te funksionet e dh[na, n[ vend t[ f(x) q[ndron y. K[shtu do t'i shkruajm[ funksionet lineare p[r m[ tutje. Si do ta caktosh x te funksioni y = kx + n q[ t[ jet[ y = 0?

Q[ t[ jet[ y = 0, duhet kx + n = 0. Prej k[tu kx = -n, kurse x = -

n , p[r k ≠0. k

Krahaso zgjidhjen t[nde p[r funksionin a).

ď † 7.

a) Vlera e funksionit y = -3x + 6 [sht[ zero n[ qoft[ se: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, d.m.th. numri 2 [sht[ zero e funksionit y = -3x + 6. Cakto zeron e ]donj[rit prej funksioneve: a) y = x - 5;

b) y = 5x - 3;

c) y = -3x;

Duhet t[ dish:

]) y =

1 x-2 . 2

Kontrollohu!

t[ p[rkufizosh funksion linear;

Cili prej k[tyre funksioneve [sht[ funksion linear?

t[ caktosh koeficientin dhe an[tarin e lir[ te funksioni linear;

a) y = 6x;

t[ caktosh zeron e funksionit linear.

6 ; c) y = 2x2 - 1; x d) y = x + 3.

b) y =

]) y = -2x + 1;

Cakto zeron e funksionit y = -2x - 6.

106

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Detyra 1. Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[ li-

4. Cakto zeron e funksionit:

near:

12 a) y = ; x

b) y = x - 1;

]) y = -2x + 3;

d) y =

2

c) y = 3x;

1 x+2. 2

2. Shkruaje funksionin linear te i cili: a) k = -2, n = 3;

b) k = -1, n = 2;

c) k = -2, n = 0;

]) k =

1 n= 1 , . 4 2

an[tarin e lir[ te funksioni:

c) y = -

14

b) y = 2x;

1 x+3 ; 3

]) y = -

b) y =

c) y = 2x - 5;

]) y = 2x.

5. Zero e funksionit y = kx + n [sht[ x = 2,

3. Cakto koeficientin para argumentit dhe a) y = 2x - 3;

1 1 x- ; 2 4

a) y = 3x - 6;

1 x. 2

kurse n = -3. Cakto koeficentin para argumentit.

6. P[r funksionin y = kx + n, x = -2 [sht[ zero e funksionit, kurse an[tari i lir[ [sht[ p[r 3 m[ i madh se koeficienti para argumentit. Cakto k dhe n.

PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONIT LINEAR

Kujtohu! N[ vizatim [sht[ dh[n[ sistemi k[nddrejt koordinativ Oxy.

A 1.

N[p[r pikat O dhe A n[ vizatim [sht[ t[rhequr drejt[z. Trego se ajo drejt[z [sht[ grafiku i funksionit y = 2x. Provo se pikat O(0,0) dhe A(1, 2) a i takojn[ grafikut t[ funksionit y = 2x.

Si quhet boshti x, dhe si quhet boshti y? Si quhet pika O? Cakto koordinatat e pik[s A.

Trego se pika (2,4) i takon grafikut t[ funksionit y = 2x.

Sa drejt[za kalojn[ n[p[r dy pika?

Funksioni linear

107

Si do t[ tregosh se pikat O(0, 0) dhe A(1,2) i takojn[ grafikut t[ funksionit?

P[r x = 0, y = 2 × 0, y = 0. P[r x = 1, y = 2 × 1, y = 2. Vijimisht pikat O dhe A i takojn[ grafikut t[ funksionit.

V[re, n[ vizatim, se [sht[ t[hequr drejt[za n[p[r pikat O dhe A, t[ cilat i takojn[ grafikut t[ funksionit y = 2x. V[re sqarimin se ]do pik[ e drejt[z[s OA e plot[son kushtin y = 2x, kurse pika q[ nuk i takon OA nuk e plot[son k[t[ kusht.

 T[ zgjedhim ]far[do pik[ B(x , y ) q[ shtrihet n[ drejt[z[n OA (shihe vizatimin).  V[re se ΔONB ~ ΔOMA. Nga ngjashm[ria e trek[nd[shave vijon se NB : ON = MA : OM , d.m.th. 1

1

y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1. Pra pika B(x1, y1) i takon grafikut t[ funksionit y = 2x. zgjedhim nj[ pik[  T[ vizatimin).

C q[ nuk i takon drejt[z[s OA, kurse ka abshis[ t[ nj[jt[ me pik[n B (shihe

Pasi y = 2x , vijon se NB = 2ON . V[re se NC ¹ 2ON , d.m.th. pika C nuk e k[naq kushtin  Dometh[n[ pika C nuk i takon grafikut t[ funksionit. 1

1

y = 2x.

Mund t[ themi se grafiku i funksionit linear y = 2x [sht[ drejt[z[ e cila kalon n[p[r fillimin (origjin[n) e koordinatave. N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen teorema vijuese:

Teorema 1

 2.

Grafiku i funksionit linear y = kx, p[r ]far[do num[r k ∈ R [sht[ drejt[z q[ kalon n[p[r origin[n e koordinatave.

{sht[ dh[n[ funksioni y = -3x. Provo pikat: A(1, -3) dhe B(-1, 3) a i takojn[ grafikut t[ funksionit. Paraqite grafikisht funksionin.

B 3.

N[ vizatim [sht[ dh[n[ grafiku i funksionit: y = 2x dhe n[p[r pikat P dhe B [sht[ t[rhequr drejt[z. Trego se ajo drejt[z [sht[ grafik i funksionit y = 2x + 3. Cakto koordinatat e pik[s P ku grafiku i funksionit y = 2x + 3 e pret boshtin y. Sipas vizatimit, cakto koordinatat e pik[s B e cila i takon grafikut t[ funksionit y = 2x + 3. Cakto OP dhe AB .

108

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. P[r x = 0, y = 2 ⋅ 0 + 3; y = 3. Grafiku i funksionit y = 2x + 3, e pret boshtin  koordinata P(0, 3). x = 1, y = 2 ⋅ 1 + 3; y = 5. Pika B(1, 5) i takon grafikut t[ funksionit  P[r y = 2x + 3. qoft[ se argumentit x i jep vler[  N[ y = 2x + 3 e ka vler[n 2a + 3.

y n[ pik[n P me

a, at[her[ funksioni y = 2x fiton vler[ 2a, kurse funksioni

se ordinata e ]do pike nga grafiku i funksionit y = 2x + 3 [sht[ p[r 3 (an[tari i lir[) m[ e madhe  seV[reordinata me abshis[n e nj[jt[ t[ funksionit y = 2x. OP dhe AB jan[ paralele dhe OP = AB . Prandaj kat[rk[nd[shi OAPB [sht[ paralelogram,  Segmentet kurse nga kjo vijon se drejt[zat OA dhe PB jan[ paralele. V[re se grafiku i funksionit linear y = 2x + 3 [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = 2x, kurse boshtin e ordinat[s e pret n[ pik[n (0, 3). N[ p[rgjith[si, d.m.th. vlen

Teorema 2

 4.

Grafiku i funksionit y = kx + n [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = kx, kurse boshtin e ordinatave e pret n[ pik[n (0, n).

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit

C 5.

y = 2x - 3 e pret boshtin y .

Paraqite grafikun e funksionit y = 3x - 2.

Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[ drejt[z? A mund at[ ta shfryt[zosh n[ k[t[ detyr[?

Drejt[za [sht[ p[rcaktuar me dy pika q[ i takojn[. Dometh[n[, duhet t'i caktoj koordinatat e dy pikave q[ i takojn[ grafikut t[ funksionit.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

y = 3x - 2 x

0

1

y = 3 ⋅ 0 - 2,

y = -2,

A(0, -2)

y

-2

1

y = 3 ⋅ 1 - 2,

y = 1,

B(1, 1)

Funksioni linear

109

V[re dhe mbaj mend! Funksioni linear grafikisht paraqitet n[ at[ m[nyr[ q[ n[ fillim caktohen koordinatat e dy pikave t[ grafikut t[ tij, pastaj ato pika paraqiten n[ rrafshin koordinativ dhe n[p[r ato t[rhiqet drejt[z. Ajo drejt[z e paraqet grafikun e funksionit t[ dh[n[.

6.

Paraqite grafikisht funksionin y = -2x + 1.

7.

N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni y = x - 2.

x

0

2

y

-2

0

Cakto koordinatat e pik[prerjes A t[ grafikut me boshtin e abshis[s. Cakto zeron e funksionit. Krahaso zeron e funksionit me abshis[n e pik[prerjes. }far[ v[ren? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

ď † N[ qoft[ se y = 0,

at[her[ 0 = x - 2, x = 2, d.m.th. A(2, 0); zero e funksionit [sht[ 2.

Mbaj mend! Abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionit linear dhe boshtin x [sht[ zero e funksionit.

Duhet t[ dish: t[ konstatosh se pika e dh[n[ a i takon grafikut t[ funksionit t[ dh[n[;

Kontrollohu!

t'i caktosh koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit e pret boshtin e ordinatave;

Cila prej pikave: A(0, 0), B(2, 6) dhe C(-1, 3) i takon grafikut t[ funksionit y = -3x?

grafikisht ta paraqesish funksionin linear;

Paraqite grafikisht funksionin y = 2x - 1.

prej grafikut t[ funksionit ta caktosh zeron e funksionit.

Prej grafikut cakto zeron e funksionit, kurse pastaj kryeje prov[n.

Detyra 1. Cila prej pikave: A(-2, -5), B(-1, -2), C(0, 3) dhe D(2, -1) i takon grafikut t[ funksionit y = x - 3?

110

2. P[r cil[n vler[ t[ x pika A(x, 2) i takon grafikut t[ funksionit y = 3x - 1?

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

3. Paraqiti grafikisht funksionet:

5. Te funksioni y = -2x + n cakto n ashtu q[

y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x - 2.

4. Cakto koordinatat e pik[s te e cila funksioni y = 2x - 4 e pret boshtin e abshis[s.

15

pika P(1, 3) t'i takon grafikut t[ tij.

6. Te funksioni y = kx - 2 cakto k ashtu q[ pika A(1, 0) t'i takon grafikut t[ tij.

POZITA RECIPROKE E GRAFIK{VE T{ DISA FUNKSIONEVE LINEARE

Kujtohu!

A 1.

Grafiku i funksionit y = kx kalon n[p[r fillimin e koordinatave.

1 x, 2 grafiku kalon n[p[r fillimin e koordinatave? Te cili funksion: y = 3x, y = x - 3, y = -

Cil[t funksione:

Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem t[ koordinatave, k[to funksione: y = 2x; y = 2x - 3; y = 2x + 3; V[re ]'kan[ t[ p[rbashk[t funksionet e dh[na. N[ ]far[ pozite reciproke jan[ grafik[t e funksioneve y = 2x - 3 dhe y = 2x + 3 me grafikun e funksionit y = 2x?

1 1 x + 1; y = x -1 ; y = 2x + 1; 2 2 e kan[ koeficientin e nj[jt[ para argumentit? y=

N[ vizatim jan[ paraqitur grafik[t e funksioneve. Si jan[ koeficient[t e tyre dhe si [sht[ pozita reciproke e grafik[ve t[ tyre? Funksionet e dh[na kan[ koeficient t[ nj[jt[ para argumentit, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[za paralele.

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit.

Mbaj mend! Grafiqet e funksioneve lineare me koeficient t[ nj[jt[ para argumentit jan[ drejt[za paralele.

2.

1 1 1 1 x - 2 . Te cili funksion: y = - x + 2 ; y = 2 x - ; y = x + 5 2 2 2 2 grafiku [sht[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit t[ dh[n[? {sht[ dh[n[ funksioni

y=

Funksioni linear

111

3.

Te funksioni y = kx - 3 cakto k ashtu q[ grafiku i tij t[ jet[ drejt[z[ paralele me grafikun e funksionit y = 5x - 2.

B 4.

Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem koordinativ, k[to funksione: y = -2x + 3;

y = x + 3;

y = -x + 3.

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i ]do funksioni e pret boshtin y; V[re ]far[ kan[ t[ p[rbashk[ta funksionet e dh[na.

V[re an[tar[t e lir[ t[ funksioneve. Si jan[ ato nd[rmjet vedi?

Funksionet e dh[na kan[ an[tar t[ lir[ t[ nj[jt[ +3 dhe koeficient t[ ndrysh[m para argumentit. Ato e presin boshtin e ordinat[s n[ pik[n (0, 3).

Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet me an[tarin e nj[jt[ t[ lir[ n.

Mbaj mend! Grafik[t e funksioneve lineare me an[tar t[ nj[jt[ t[ lir[ jan[ drejt[za t[ cilat boshtin e ordinat[s e prejn[ n[ pik[n me koordinata (0, n).

1 x - 2; dhe y = -2x + 3. 2 Cili prej grafiqeve t[ atyre funksioneve priten n[ pik[n e boshtit y? Cakto koordinatat e asaj pike. y=

5.

Jan[ dh[n[ funksionet: y = 3x - 2;

6.

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit

C 7.

y =-

1 x - 2 e pret boshtin e ordinat[s. 2

Shkruaji funksionet te t[ cilat: a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; dhe c) k = 0, n = -2.

Paraqiti funksionet e fituara grafikisht. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) k = 0, n = 3 y=0⋅x+3 y=3

b) k = 0, n = 1 y=0⋅x+1 y=1

y=0⋅x+3

y=0⋅x+1

112

c) k = 0, n = -2 y=0⋅x-2 y = -2 y=0⋅x-2

x

1

2

x

1

2

x

y

3

3

y

1

1

y

1

2

-2 -2

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

V[ren se koeficienti para argumentit te funksioni t[ dh[n[ [sht[ 0, kurse grafik[t e tyre jan[ drejt[za paralele me boshtin e abshis[s. Te funksioni y = 0 â‹… x + n, y = n quhet funksion konstant.

d.m.th. p[r ]do vler[ t[ x, vlera e y [sht[ n. Funksioni y = n

V[re dhe mbaj mend! Grafiku i funksionit konstant y = n [sht[ drejt[z paralele me boshtin x. Grafiku i tij e pret boshtin y n[ pik[n (0, n).

Kontrollohu!

Duhet t[ dish: t[ sqarosh kur grafiku i funksioneve lineare jan[ drejt[za paralele;

{sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3. Grafiku i cilit funksion y = -2x + 3, y = 2x - 1 dhe

t[ sqarosh kur grafik[t e funksioneve priten n[ pik[n e nj[jt[ t[ boshtit y;

1 x - 3 [sht[ drejt[z q[: 2 a) [sht[ paralele me grafikun e funksionit t[ dh[n[;

grafikisht t[ paraqesish funksion konstant.

y=

b) e pret boshtin e ordinat[s n[ pik[n e nj[jt[ me grafikun e drejt[z[s s[ dh[n[?

Detyra 1. Cili prej funksioneve:

4. Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[

1 x-2 3 e ka grafikun paralel me grafikun e funksionit y = 3x? y = 3x - 2; y = -3x + 2;

y=

2. Cakto k ashtu q[ grafiku i funksionit y = kx + 2 t[ jet[ drejt[z paralele me grafikun e funksionit y = -3 x +

1 . 2

3. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionit y = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun e funksionit y = 2x - 1 dhe ta pret boshtin e ordinat[s n[ pik[n M(0, -3).

pika M(0, -1) t'i takon grafikut t[ funksionit.

5. Cakto k dhe n ashtu q[ grafiku i funksionit y = kx + n t[ jet[ paralel me grafikun e funksionit y = -2x + 1 dhe pika P(-2, 6) t'i takon grafikut t[ funksionit.

6. Paraqiti grafikisht, n[ t[ nj[jtin sistem koordinativ k[to funksione: y = -3; y = 2 dhe y = 4.

Funksioni linear

113

16

VIJIMI I FUNKSIONIT LINEAR

Kujtohu!

A 1.

{sht[ dh[n[ y = 3x - 2.

funksioni

linear

Paraqite funksionin me tabel[ p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} Paraqite funksionin grafikisht.

N[ vizatim [sht[ paraqitur sistemi k[nddrejt koordinativ Oxy.

Si ndryshon vlera e funksionit n[ qoft[ se argumenti x ritet? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. y = 3x - 2 Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[ paraqitur n[ boshtin x, prej an[s s[ majt[ n[ t[ djatht[?

x

-2 -1

0

1

2

y

-8 -5 -2

1

4

Si ndryshon madh[sia e numrave q[ jan[ paraqitur n[ boshtin y, prej posht lart[?

tabel[s mund t[ v[resh se:  Prej n[ qoft[ se ritet vlera e argumentit, at[her[ ritet edhe vlera e funksionit. Prandaj p[r funksionin y = 3x - 2 thuhet se [sht[ rrit[s.

N[ p[rgjith[si P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ rrit[s, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave t[ argumentit x riteri edhe vlera e funksionit y.

2.

{sht[ dh[n[ funksioni y = 4x - 1. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}. Konstato se funksioni a [sht[ rrit[s.

B 3.

{sht[ dh[n[ funksioni y = -2x + 1. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}. Si ndryshon vlera e funksionit, n[ qoft[ se vlera e argumentit ritet?

114

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. x y

-2 -1 5

3

0 1

1

2

-1 -3

tabel[s mund t[ v[resh se: ď † Prej n[ qoft[ se ritet vlera e x, at[her[ vlera e funksionit y zvog[lohet. P[r k[t[ shkak p[r funksionin y = -2x + 1 thuhet se [sht[ zvog[lues.

N[ p[rgjith[si P[r funksionin linear y = kx + n thuhet se [sht[ zvog[lues, n[ qoft[ se me ritjen e vlerave argumentit x vlera e funksionit zvog[lohet.

4.

{sht[ dh[n[ funksioni y = -3x + 2. Paraqite me tabel[ funksionin p[r x ∈ {0, 1, 2, 3}. Cakto se funksioni a [sht[ zvog[lues.

5.

}far[ numri (pozitiv ose negativ) [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1 nga detyrat 1 dhe 2? }far[ numri [sht[ koeficienti para argumentit te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 nga detyrat 3 dhe 4? Cil[t prej funksioneve jan[ rrit[s, dhe cil[t zvog[lues? }ka p[rfundove p[r funksionet e dh[na: kur ato jan[ rrit[s, dhe kur jan[ zvog[lues?

Te funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1 koeficienti para argumentit [sht[ num[r pozitiv dhe ato jan[ rrit[s. Te funksionet: y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 koeficienti para argumentit [sht[ num[r negativ dhe ato jan[ zvog[lues.

At[ q[ e konstatove p[r funksionet: y = 3x - 2 dhe y = 4x - 1, p[rkat[sisht p[r y = -2x + 1 dhe y = -3x + 2 vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionet lineare.

Mbaj mend! N[ qoft[ se te funksioni y = kx + n, koeficienti k [sht[ pozitiv, at[her[ funksioni [sht[ rrit[s, kurse p[r k < 0, funksioni [sht[ zvog[lues.

6.

Cakto cili prej funksioneve [sht[ rrit[s, dhe cili zvog[lues: a) y =

1 x +3; 2

b) y = x - 5;

c) y = -5x + 2;

]) y = -

1 x - 1. 2

Funksioni linear

115

Duhet t[ dish: t[ konstatosh se funksioni linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues; ta sqarosh m[nyr[n se nj[ funksion linear a [sht[ rrit[s ose zvog[lues.

Kontrollohu! Cakto prej tabel[s funksioni a [sht[ rrit[s ose zvog[lues. a) y = 3x - 5;

x y

0

1

2

3

-5 -2

1

4

1 b) y = - x + 2 . 2

x

0

2

4

6

y

2

1

0

-1

Cakto se funksioni y = kx + n a [sht[ rrit[s ose zvog[lues n[ qoft[ se: a) k =

1 ; 2

c) k = -

b) k = -3;

2 . 3

Detyra 1. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[

4. Paraqite grafikisht funksionin y = 2px - 1 dhe konstato se ai a [sht[ rrit[s ose zvog[lues, n[ qoft[ se:

rrit[s:

2 x - 2; 5 b) y = -2x + 5;

a) y =

c) y = -x - 3;

a) p = 2;

]) y = x - 2.

2. Cakto cili prej funksioneve t[ dh[na [sht[ zvog[lues:

1 a) y = x + 2; 3

c) y = 3x - 5;

b) y = -3x + 1;

]) y = -

a) a = 0;

b) a = 5.

1 x+2. 2

2

funksioni y = kx + n [sht[

116

5. Paraqite grafikisht funksionin y = (a - 3)x + 1 dhe konstato se ai a [sht[ rrit[s ose zvog[lues, n[ qoft[ se:

3. P[r cil[n vler[ t[ k ∈ {-2, - 1 , 1 , 3} a) rrit[s;

b) p = -1.

b) zvog[lues?

3

6.

Grafiku i funksionit y = kx + n e pret boshtin y n[ pik[n P(0, 2) dhe kalon n[p[r pik[n A(1, -1). Cakto se funksioni a [sht[ rrit[s ose zvog[lues.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

17

ZGJIDHJA GRAFIKE E BARAZIMEVE LINEARE ME NJ{ T{ PANJOHUR

Kujtohu!

A 1.

Zero e funksionit [sht[ vlera e argumentit p[r t[ cil[n vlera e funksionit [sht[ e barabart[ me zero..

{sht[ dh[n[ funksioni y = 3x - 6. Paraqite grafikisht funksionin.

Cakto zeron e funksionit y = 2x - 4.

Prej grafikut t[ funksionit cakto zeron e funksionit. Cakto zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0.

Cakto koordinatat e pik[s te e cila grafiku i funksionit y = 2x - 4 e pret boshtin x.

Krahaso zeron e funksionit y = 3x - 6 me zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0.

Funksionin y = 3x - 6 do ta paraqes grafikisht dhe do t'i caktoj koordinatat e pik[prerjes t[ grafikut me boshtin x. Me k[t[ do ta caktoj edhe zeron e funksionit, kurse ai num[r [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0.

Si do ta caktosh zgjidhjen e barazimit 3x - 6 = 0 me ndihm[n e grafikut t[ funksionit y = 3x - 6?

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 Prerja e grafikut dhe boshtit x [sht[ pika M(2, 0).  Zero e funksionit y = 3x - 6 [sht[ x = 2.  Zgjidhje e barazimit 3x - 6 = 0 [sht[ 3x - 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x =

6 , x = 2. 3

e barazimit 3x - 6 = 0  Zgjidhje grafikut t[ funksionit y = 3x - 6

[sht[ abshisa e prerjes s[ dhe boshtit x, d.m.th.

x = 2. Kjo vlen n[ p[rgjith[si p[r funksionin linear.

V[re dhe mbaj mend! Zgjidhja e barazimit ax + b = 0, p[r a ≠ 0 [sht[ abshisa e pik[prerjes s[ grafikut t[ funksionit y = ax + b me boshtin x.

2.

Zgjidhe grafikisht barazimin x + 2 = 0.

Funksioni linear

117

B

3.

Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = -x + 3.

V[re se barazimin 2x - 3 = -x + 3 mund ta zgjidhish grafikisht n[ qoft[ se paraprakisht e transformon n[ form[n e p[rgjithshme ax + b = 0. Vepro sipas k[rkesave dhe v[re tjet[r m[nyr[ t[ zgjidhjes grafike t[ barazimit. Zgjidhe barazimin 2x - 3 = -x + 3. Prej shprehjeve nga ana e majt[ dhe e djatht[ e barazimit shkruaji funksionet y = 2x - 3 dhe y = -x +3, kurse pastaj paraqite grafikisht Krahaso zgjidhjen e barazimit me abshis[n e pik[prerjes s[ grafik[ve t[ funksioneve. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.. y = 2x - 3

y = -x + 3

x

1

x

0

1

-3 -1

y

3

2

y

0

 V[ren se grafiqet e t[ dy funksioneve priten n[ pik[n M(2, 1). e pik[s M [sht[ x = 2, kurse ajo [sht[ edhe zgjidhje e  Abshisa barazimit 2x - 3 = -x + 3. para argumentit t[ dy funksioneve jan[ t[ ndryshme (2 ≠ -1), grafik[t kan[ nj[ pik[ t[  Koeficient[t p[rbashk[t dhe barazimi ka zgjidhje t[ vetme.

4.

Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 3 = x + 1.

5.

Zgjidhe grafikisht barazimin 2x - 1 = 2x + 3. Krahasoi koeficient[t para argumentit t[ funksioneve q[ do t'i fitosh. }ka v[ren? }far[ pozite reciproke kan[ grafik[t?

T[ dy funksionet y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3 kan[ koeficient t[ nj[jt[ para argumentit, kurse an[tar[t e lir[ i kan[ t[ ndrysh[m. Grafik[t e k[tyre funksioneve jan[ drejt[za paralele, d.m.th. nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.. y = 2x - 1

y = 2x + 3

x

0

1

x

0

-1

y

-1

1

y

3

1

Grafik[t e funksioneve y = 2x - 1 dhe y = 2x + 3 jan[ drejt[za paralele. Ato nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t, pra barazimi nuk ka zgjidhje.

118

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

6.

Cili prej k[tyre barazimeve nuk ka zgjidhje? a) 2x - 3 = 3x - 2;

7.

b) 4x - 1 = 4x + 2;

c) 2x - 5 = -2x + 3.

Zgjidhe barazimin 2x + 1 = 2x + 1. Koeficient[t para argumentit dhe an[tar[t e lir[ t[ funksioneve: y = 2x + 1 dhe y = 2x + 1 jan[ t[ barabarta, kurse grafik[t e funksioneve puthiten.

Krahasoji koeficient[t dhe an[tar[t e lir[ t[ funksioneve q[ i fiton me shprehjet t[ an[s s[ majt[ dhe t[ djatht[ t[ barazimit. }fare konstaton? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

ď † V[re se barazimi

2x + 1 = 2x + 1 [sht[ identitet.

y = 2x + 1

y = 2x + 1

x

0

1

x

0

-1

y

1

3

y

1

-1

V[ren se grafik[t e funksioneve jan[ drejt[za q[ puthiten dhe barazimi ka pafund shum[ zgjidhje.

8.

Cakto cili prej k[tyre barazimeve: 3x - 1 = 2x + 1; 3x - 2 = 3x + 1; 5x - 1 = 5x -1. a) ka nj[ zgjidhje; b) nuk ka zgjidhje; c) ka pafund shum[ zgjidhje.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

grafikisht t[ zgjidhish barazim linear me nj[ t[ panjohur; prej grafikut t[ p[rfundosh se barazimi a ka nj[ zgjidhje, a nuk ka zgjidhje ose ka pafund shum[ zgjidhje.

Sipas vizatimit cakto zgjidhjen e barazimit 2x - 1 = x + 1. Cakto sa zgjidhje ka secili prej barazimeve t[ dh[n[: 2x - 1 = 2x + 3; 3x - 2 = 2x - 3.

Detyra 1. Zgjidhe grafikisht barazimin: a) x - 2 = 0;

b) 2x - 6 = 0.

3. Te barazimi 2x - 3 = kx + 1, cakto k ashtu q[ barazimi t[ mos ket[ zgjidhje.

2. Zgjidhe grafikisht barazimin: a) x + 1 = 2x - 1;

b) 3x - 1 = -x + 3.

Funksioni linear

119

4. Cakto k dhe n te funksioni y = kx + n ashtu q[ barazimi kx + n = 2x + 3 t[ ket[ pafund shum[ zgjidhje.

P[rpiqu ... Kosit[sit e Tolstoit Nj[ grup i kosit[sve [sht[ dashur t[ kosisin dy livadhe, ku nj[ri [sht[ dy her[ m[ i madh se tjetri. Gjysm[ dite t[ gjith[ kosit[sit kan[ kositur n[ livadhin e madh, e pastaj jan[ ndar[ n[ dy grupe. Grupi i par[ ka ngelur t[ kosit te livadhi i madh dhe e ka krye kositjen deri n[ fund t[ dit[s, kurse grupi i dyt[ ka kositur te livadhi i vog[l dhe n[ fund t[ dit[s i ka ngelur edhe nj[ pjes[ e livadhit. At[ pjes[ e ka kositur nj[ kosit[s, duke kositur t[r[ dit[n e nes[rme. Sa kosit[s gjithsej kan[ qen[ n[ grup?

P U N A T { D H { N A

M E

18

NGJARJET E RASTIT. PROBABILITETI I NGJARJES

Kujtohu! Nj[ ekip futbolli luan ndeshje. Rezultatet e mundshme t[ ndeshjes jan[: fitore, barazi, ose humbje. N[ nj[ kuti ka toptha t[ bardh[, t[ zi dhe t[ kuq. Nxirret nj[ topth. Cilat jan[ ngjarjet e mundshme t[ nxjerrjes. Nj[ zar hudhet mbi tavolin[ dhe pas ndaljes s[ saj, nj[ faqe [sht[ lart[. Cilat ngjarje jan[ t[ mundshme n[ lidhje me numrin e pikave t[ asaj ane?

A 1.

Driloni hedh[ monedh[n n[ aj[r. Pas r[nies s[ saj n[ tok[, e mundshme [sht[ q[ n[ pjes[n e saj t[ sip[rme t[ paraqitet "numri" ose " stema". Sa ngjarje t[ mundshme ka?

Driloni d[shiron t[ paraqitet "numri" d.m.th. ngjarje e d[shiruar p[r Drilonin [sht[ "numri". Sa jan[ mund[sit[ t[ bjer[ "numri" n[ raport me "stem[n"? Sa her[ mund t[ p[rs[ritet hudhja e monedh[s n[ aj[r. Hudhja e monedh[s n[ aj[r [sht[ eksperiment. T[rheqja e kart[s nga grumbulli prej 52 sosh [sht[ shembull tjet[r i eksperimentit.

Çdo rezultat n[ lidhje me eksperimentin e dh[n[ E quhet ngjarje ose pasoj[ q[ ka t[ b[j[ me at[ eksperiment. Gjat[ eksperimentit hudhja e monedh[s n[ aj[r mund[sia q[ t[ paraqitet "numri" ose "stema" jan[ t[ njejta. P[r k[to ngjarje themi se kan[ mund[si t[ paraqiten ose jan[ te barabarta. Eksperimenti E "hudhja e monedh[s n[ aj[r" mund t[ p[rs[ritet, n[ kushte t[ njejta, sa her[ q[ t[ duam, d.m.th. mund t[ b[het nj[ seri n prej eksperimenteve t[ tilla.

120

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

N[ secilin nga eksperimentet ta v[rejm[ ngjarjen A: "ra numri". Me p(A) ta sh[nojm[ numrin e eksperimenteve n[ t[ cilat [sht[ paraqitur ngjarja A n[ nj[ seri prej n eksperimentesh. Konkretisht! N[ tabel[n vijuese jan[ paraqitur rezultatet e ngjarjes A: "ra numri" n[ pes[ seri me nga 100 eksperimente. V[re her[sin

r(A ) n

, d.m.th. r(A )

Seria

r(A)

1

52

0,52

2

49

0,49

3

53

0,53

4

51

0,51

5

48

0,48

n

r(A ) 100

p[r ]do seri.

V[reve se numrat n[ kolon[n

r(A )

jan[ af[r numrit 0,5. N[se numri n i eksperimenteve n[ seri rritet, at[her[ numri i atij her[si do t[ jet[ m[ af[r 0,5. Ky num[r paraqet vler[n statistikore p[r ngjarjen A.

Numri deri te i cili afrohen her[sat

r(A ) n

nga serit[ e realizuara,

quhet probabiliteti i ngjarjes A. Ai sh[nohen me V(A).

N[se shqyrtojm[ seri me nga n eksperimente, at[her[ numri p(A) n[ paraqitje t[ ngjarjes A mund t[ jet[ m[ s[ paku 0, dhe m[ s[ shumti n, d.m.th. 0 £ r ( A ) £ n . N[se pjes[tojm[ me n, do t[ fitojm[ r(A ) 0 r(A ) n £ £ , d.m.th. 0 £ £ 1. n n n n

V[reve se numri

r(A ) n

p[r ]do seri nga n eksperimente [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1. Sipas saj edhe

probabiliteti i ngjarjes A [sht[ nd[rmjet 0 dhe 1, d.m.th. 0 £ V (A ) £ 1 . Ngjarja A: "ra numri" n[ eksperimentin "hudhja e monedh[s n[ aj[r" quhet ngjarje e rastit.

N[ p[rgjith[si P[r nj[ ngjarje A n[ lidhje me eksperimentin E thuhet se [sht[ ngjarje e rastit, n[se vlejn[ dy kushtet vijuese:

1. 2.

 

Eksperimenti E mund t[ p[rs[ritet gjat[ kushteve t[ njejta sa her[ q[ duam. Nga shum[ seri t[ kryera t[ eksperimentit E, p[raf[sisht jan[ t[ barabart[ her[sat

r(A ) n

e atyre

serive.

2.

Merita ka nj[ loj[ q[ quhet rrotulluese. N[se e rrotullon shigjet[n jan[ t[ mundshme tre ngjarje: shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe, n[ fush[n e verdh[ ose n[ fush[n e kalt[r. V[re madh[sin[ e secil[s fush[. A [sht[ secila nga ngjarjet nj[lloj e mundshme. N[se jo, cila ngjarje [sht[ me mund[si m[ t[ m[dha.

Funksioni linear

121

ď † ď †

Ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme pasi tre fushat e ngjyrosura nuk kan[ madh[si t[ njejt[. Gjasat q[ shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe jan[ m[ t[ m[dha pasi fusha e kuqe ka syprin[ m[ t[ madhe. Dometh[n[, shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kuqe [sht[ mund[si m[ e madhe se n[ fushat tjera.

3.

V[re vizatimet nga eksperimentet. P[r ]do eksperiment shkruaj: ngjarjet e mundshme; a jan[ ata ngjarje nj[lloj t[ mundshme; n[se ngjarjet nuk jan[ nj[lloj t[ mundshme, cila ngjarje [sht[ m[ e mundshme.

Rrotullimi i shigjet[s n[ rrotulluese

Hudhja e zarit me faqet e sh[nuara me A, B, C, D, G, H

Gjuajtja e topit n[ shport[

Rrotullimi i shigjet[s n[ rrotulluese

B 4.

Hudhja e zarit t[ kalt[rt dhe zarit t[ kuq nj[koh[sisht (ngjarjet jan[ ]ifte t[ renditura)

Hudhja e monedh[s dy denar[she

Ngjarja e ndonj[ eksperimenti mund t[ jet[ e sigurt, e pamundshme ose e mundshme. V[re shembujt: Jan[ dh[n[ tre kuti me toptha me ngjyr[. Nd[r ]do kuti jan[ sh[nuar pohime p[r ngjarjet nga t[rheqja e topthave pa shikuar.

P[rmban 20

Me siguri mund t[ t[rhiqet topth i zi. E pamundur [sht[ t[ t[rhiqet topth i kuq.

122

P[rmban

10

10

E mundshme [sht[ q[ t[ t[rhiqet ose topth i zi ose i kuq. E pamundur [sht[ t[ t[rhiqet topth i bardh[.

P[rmban 6

14

E mundshme [sht[ q[ t[ t[rhiqet ose topth i zi ose i kuq. M[ tep[r [sht[ e mundshme q[ t[ t[rhiqet topth i kuq se sa i zi.

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

Kur [sht[ e sigurt se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 1 ose 100%. Shembull, t[rheqja e topthit t[ zi nga kutia e par[. Kur [sht[ e pamundshme se ngjarja do t[ ndodh, themi se ka probabilitet 0. Shembull, t[rheqja e topthit t[ bardh[ nga kutia e dyt[. T[ gjitha mund[sit[ ose probabilitet tjera jan[ nd[rmjet 0 dhe 1. Shembull, t[rheqja e topthit t[ kuq nga kutia e tret[.

5.

V[re shkall[n e probabilitetit. e pamundshme

nj[lloj e mundshme

m[ pak e mundshme 0

0,1

0,2

0,3

0,4

e sigurt

m[ shum[ e mundshme 0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Duk[ shfryt[zuar shkall[n e gjas[s p[r ]do ngjarje nga tabela e dh[n[ m[ posht[, p[rgjigju: a) Sa [sht[ gjasa p[r t[ ndodhur ngjarja, parashtroje me rastet: e pamundshme, m[ pak e mundshme, nj[lloj e mundshme, m[ shum[ e mundshme ose e sigurt[. e sigurt m[ shum[ e mundshme

b) Vizato shkall[ si e dh[na dhe n[ t[ sh[no ngjarjet 1, 2, 3, ...,10, sipas asaj se sa [sht[ gjasa q[ t[ ndodh ajo. c) Sqaro secil[n p[rgjigje. Ngjarja Nes[r udh[tosh p[r n[ Mars.

2

Sonte do t[ shkruash detyra sht[pie nga matematika.

3

T[ gjith[ shok[t e tu do t[ shkojn[ nes[r n[ shkoll[.

4

Sot do t[ bjerr shi.

5

Nj[ vullkan do t[ ket[ erupcion k[t[ vit.

6

Do t[ bjerr bor[ n[ gusht.

7

Do t[ bjerr shi k[t[ vit.

8

N[se hudhish shishe plastike, ajo do t[ thehet.

9

Do t[ udh[tosh me anije nga Shkupi p[r n[ Manastir.

100%

0,9 90% 0,8 80% 0,7 70% 0,6 60%

nj[lloj e mundshme 0,5 50% m[ pak e mundshme

1

1

0,4 40% 0,3 30% 0,2 20% 0,1 10%

10 N[se hudhish zarin do t[ bjerr numri 5. e pamundshme

Funksioni linear

0

123

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ dallosh ngjarjet e mundshme nga t[ pamundshmet. t[ sqarosh se cila ngjarje [sht[ e rastit; t[ tregosh shembuj t[ ngjarjeve me probabilitet 0, nd[rmjet 0 dhe 1 dhe probabilitet 1.

Shkruaj nga nj[ shembull: ngjarje q[ ka gjas[ 0; ngjarje q[ ka gjas[ 0,5; ngjarje q[ ka gjas[ 1;

t[ vler[sosh probabilitetin e ngjarjes gjat[ eksperimentit t[ r[ndomt[.

Detyra 3. Shkruaje ]do shkronj[ t[ fjal[s ANANAS n[

1. V[re rrotullueset:

a)

b)

kartel[ t[ ve]ant[. P[rziej kartelat dhe t[rhiq kartela pa shikuar.

c)

])

Cili rresht nga rradha sipas cil[s jan[ sh[nuar [sht[ p[rkat[se p[r renditje sipas probabilitet shigjeta t[ ndalet n[ fush[n e kalt[r? a b c ]; a; ] c b a c b ]; c b ] a.

2. N[ nj[ qese ka 2 kube t[ kalt[rta dhe 3 kube ngjyr[ portokalli. P[rshkruaje probabilitetin q[ t[ t[rhiqet:

P[rshkruaj probabilitetin q[ t[ t[rheqish: a) shkronj[n N; b) shkronj[n A; c) shkronj[n A ose shkronj[n N; ]) shkronj[n C; Sa kartela m[ paku duhet t[ t[rheqish q[ t[ jesh i sigurt se do ta fitosh emrin ANA?

P[rpiqu: N[ nj[ raft ka ]orap[ t[ zi dhe t[ kuq. Sa her[ m[ pak Genti duhet t[ marr[, pa shikuar, nga nj[ ]orap nga rafti, p[r t[ qen[ i sigurt[ se do t[ t[rheq nj[ pal[ ]orap[ me ngjyr[ t[ njejt[?

kub i kalt[r; kub ngjyr[ portokalli; ose kub i kalt[rt ose kub ngjyr[ portokalli; kub i verdh[;

124

Tema 2. Barazimi linear, jobarazimi linear dhe funksioni linear

M{SOVE P{R BARAZIMIN LINEAR, JOBARAZIMIN LINEAR DHE P{R FUNKSIONIN LINEAR. PROVO NJOHURIN{ T{NDE 1. 2.

Provo se x = 3 a [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - 2 = x + 4. Barazimi 5x - 3 = 2x + 3 ka zgjidhje x = 2. Cili prej k[tyre barazimeve [sht[ ekuivalent me barazimin e dh[n[: a) x + 2 = 7 - x; b) 2x - 1 = x + 1; c) 3x - 1 = 2x + 3?

3.

Zgjidhe barazimin: a) 3x - 2,5 = x + 1,7; b) 4(x - 1) - 3(2x + 1) = -9; c)

4.

5. 6.

3 x -1 2 + x = 1. 4 5

Te barazimi ax + 4 = 5x - a + 11 cakto a ashtu q[ x = -2 t[ jet[ zgjidhje e atij barazimi. Shuma e tre numrave natyrore t[ nj[pasnj[sh[m [sht[ 84. Cil[t jan[ ato numra? Prej vendit A nga vendi B [sht[ nisur kamioni i cili l[viz me shpejt[si 50 km/n[ or[. Dy or[ m[ von[ prej vendit A [sht[ nisur automobil i cili l[viz me shpejt[si 75 km/ n[ or[. Automobili e ka arritur kamionin n[ vendin B. Cakto larg[sin[ nd[rmjet vendeve A dhe B.

7.

Provo se x = -1 a [sht[ zgjidhje e jobarazimit 3x2 - 2x > x + 3.

8.

N[ bashk[sin[ D = {0, 1, 2, 3} jan[ dh[n[ jobarazimet: 2x - 1 > x - 2; 3x + 1 > 2x - 3. Provo se jobarazimet e dh[na a jan[ ekuivalente.

9.

Zgjidhe jobarazimin: a) 4(x - 1) > 3x - 1;

x +1 x + 2 x + 3 < . 3 6 2 Zgjidhjen paraqite me interval dhe grafikisht.

b)

10. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve: ì-8 - y > 2 y + 1 ï a) ïí ï ï î2 y - 3 > 5 y - 15;

ìï x - 1 x + 1 ïï > -1 4 b) í 3 ïï ïî3( x - 1) - 3 < x - 1. Zgjidhjen e sistemit paraqite me interval dhe grafikisht.

11. {sht[ dh[n[ funksioni linear y = 2x -3. Paraqite grafikisht funksionin. Cakto zeron e funksionit.

12. {sht[ dh[n[ funksioni y = 2x - 3. Cakto cila prej pikave: A(0, -3), B(1,1) dhe C(2, 1) i takon grafikut t[ funksionit.

13. Te funksioni y = 2x + n cakto n ashtu q[ pika M(1, -1) i takon grafikut t[ atij funksioni.

14. Cakto cili prej k[tyre funksioneve [sht[ rrit[s, kurse cilizvog[lues: y = -3x + 1; y = 3x - 2; y = 2x - 3; y = -x - 1.

15. Zgjidhe grafikisht barazimin 3x - 1 = x + 3.

Provo njohurinë tënde

125

126

TEMA 3.

SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE

BARAZIMET LINEARE ME DY T{ PANJOHURA 1. Barazimet lineare me dy t[ panjohura 2. Barazimet lineare ekuivalente me dy t[ panjohura SISTEMI I BARAZIME LINEARE ME DY T{ PANJOHURA 3. Sistemi i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura 4. Zgjidhja grafike e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura

128 131

134 138

5. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura me metod[n e z[v[nd[simit 6. Zgjidhja e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt 7. Zbatimi i sistemit t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura 8. Zgjidhja e problemeve me principin e Dirihles Provo njohurin[ t[nde

Barazimet lineare me dy tĂŤ panjohura

141

145 148 153 157

127

BARAZIMET LINEARE ME DY T{ PANJOHURA

1

BARAZIMI LINEAR ME DY T{ PANJOHURA

A 1.

Kujtohu! Sipas numrit t[ panjohurave nj[ barazim mund t[ jet[:: - me nj[ t[ panjohur; - me dy t[ panjohura etj. Sipas shkall[s t[ panjohurave barazimi mund t[ jet[: - linear (barazim i shkall[s s[ par[); - katrore (barazimi i shkall[s s[ dyt[); - kubik (barazim i shkall[s s[ tret[) etj.

Jetoni dhe Iliri s[ bashku kan[ 9 sheqerka. Sa sheqerka ka Jetoni dhe sa ka Iliri? Sa zgjidhje ka detyra? V[re k[to zgjidhje t[ detyr[s:

Jetoni

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Iliri

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Barazimi a p[rmban parametra ose jo, mund t[ jet[: - barazim parametrik; - barazim me koeficient[ t[ ve]ant[. V[reji barazimet: a) 2x + 3 = 5; b) 2x + y = 3; 2 c) 2x = x + 1; ]) 2x + y = kx + 3. P[r ]do barazim cakto llojin sipas numrit t[ t[ panjohurave dhe sipas shkall[s t[ panjohur[s. Cili barazim [sht[ barazim me paramet[r?

}far[ vlera mund t[ ket[ x, dhe ]far[ y te barazimi x + y = 9?

Me ]iftin e numrave (0,9) le t[ jet[ paraqitur zgjidhja: Jetoni ka 0 sheqerka, kurse Iliri ka 9 sheqerka. Shkruaji si ]ifte t[ renditura t[ gjitha zgjidhjet tjera, n[ qoft[ se numri i par[ te ]ifti [sht[ numri i sheqerkave t[ Jetonit, kurse numri i dyt[ te ]ifti [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit. Le t[ jet[ x numri i sheqerkave t[ Jetonit, kurse y [sht[ numri i sheqerkave t[ Ilirit. Fjalia Jetoni dhe Iliri s[ bashku kan[ 9 sheqerka, mund t[ shkruhet: x + y = 9.

Vlerat e ndryshoreve x dhe y jan[ elemente t[ bashk[sis[ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ashtu q[ shuma e tyre t[ jet[ 9.

Bashk[sia A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} paraqet bashk[sin[ e p[rkufizimit p[r barazimin x + y = 9. Bashk[sia e ]ifteve t[ renditura R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} paraqet bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit x + y = 9. V[re se x + y = 9 [sht[ barazim i cili sipas numrit t[ panjohurave [sht[ me 2 t[ panjohura, kurse sipas shkall[s s[ t[ panjohurave [sht[ barazim linear. Cakto llojin e barazimit 2x - y = 5 sipas numrit t[ panjohurave dhe sipas t[ shkall[s s[ t[ panjohur[s.

128

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

N[ qoft[ se p[r barazimin nuk [sht[ dh[n[ bashk[sia e p[rkufizimit, m[ tutje do t[ llogarisim se ajo [sht[ bashk[sia R e numrave real[.

Mbaj mend Barazimi i form[s ax + by = c, ku a, b dhe c jan[ numra reale (koeficient[), kurse x dhe y jan[ t[ panjohura reale, quhet barazim linear me dy t[ panjohura. V[re barazimin 4x + 3y = 9; ai [sht[ linear me 2 t[ panjohura x dhe y, kurse koeficient[t jan[ numrat 4, 3 dhe 9.

B 2.

{sht[ dh[n[ barazimi 3x + y = 7. Cakto disa vlera t[ x dhe y, p[r t[ cilat barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. Provo se ]ifti i renditur (x, y) [sht[ zgjidhje e barazimit:

V[re shembullin: p[r x = 1 dhe y = 4. 3x + y = 7; 3 ⋅ 1 + 4 = 7; 7 = 7. V[re se ]ifti i renditur (x, y) = (1, 4) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit.

a) x = 2 dhe y = 1;

c) x = 4 dhe y = -5;

b) x = 1 dhe y = 3;

]) x = -1 dhe y = 10.

Zgjidhje e barazimit linear me dy t[ panjohura [sht[ ]do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[t barazimi kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike. Bashk[sia M = {(x, y) | x, y ∈ R dhe 3x + y = 7}, paraqet bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barazimit 3x + y = 7. 1 3. Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (4, -6) a [sht[ zgjidhje e barazimit 2x y = 10. 3 Barazimi 3(u - 2) = 2(1 - v) a kalon n[ barazi t[ sakt[ numerike p[r u = 0 dhe v = -5?

4.

{sht[ dh[n[ barazimi x - 2y = 4. Cakto tre zgjidhje t[ tij. V[re m[nyr[n.

 Zgjedhet ]far[do num[r real p[r x. Shembull: x = 3.  Z[v[nd[sohet vlera p[r x te barazimi: 3 - 2y = 4.  Zgjidhet barazimi i fituar linear me nj[ t[ panjohur zgjidhja e t[ cilit [sht[: 3 - 2y = 4;

-2y = 4 - 3;

-2y = 1;

-y =

1 ; 2

y=-

1 . 2

1 ) [sht[ nj[ zgjidhje e barazimit t[ dh[n[. 2 Duke e zbatuar m[nyr[n e treguar cakto edhe 2 zgjidhje t[ tjera t[ barazimit t[ dh[n[.

 Dometh[n[, ]ifti i renditur

(x, y) = (3, -

Barazimet lineare me dy të panjohura

129

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

cili barazim [sht[ barazim linear me 2 t[ panjohura;

Cili prej barazimeve: x + 5 = y - 3; y - 7x = 10 dhe 9 = 2y [sht[ barazim linear me 2 t[ panjohura?

t[ caktosh zgjidhje t[ barazimit linear me dy t[ panjohura.

}ifti i renditur (1, 6) a [sht[ zgjidhje e barazimit 3x - y = -3?

Detyra 1. P[r ]do barazim shkruaji cilat jan[ t[ panjo-

4. Pasi te barazimi linear me dy t[ panjohura nj[ra prej t[ panjohurave z[v[nd[sohet me vler[n e dh[n[ numerike, barazimi kalon n[:

hurat e tij, dhe cil[t jan[ koeficient[t e tij: a) 2x - y = 3;

c) y = 2z - 1;

a) barazi t[ sakt[ numerike;

b) 3x + 2y = x - 4y + 1;

]) 5u + 3v = 16.

b) barazim linear me nj[ t[ panjohur; c) barazim linear me dy t[ panjohura ]) jobarazim linear.

2. }ifti i renditur:

Cil[t prej k[tyre pohimeve jan[ t[ sakta?

a) (4,-6) a [sht[ zgjidhje i barazimit 2x -

1 y = 10; 3

5. Cakto zgjidhjet e barazimit

2x + y = -1 p[r x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}.

b) (0, -5) a [sht[ zgjidhje e barazimit 3(u -2) = 2(1 - v).

6. {sht[ dh[n[ barazimi 3(x + y) = 2x - 3. kryej 3. Cakto komponent[n e panjohur te ]ifti i renditur (x, y) p[r barazimin p[rkat[s ashtu q[ t[ kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike. a) ( b) (0, c) (-6,

130

, -2) p[r barazimin y = 2x; ) p[r barazimin 2x + y =

1 ; 2

) p[r barazimin 1 x + 2y = 7. 2

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

k[to k[rkesa sipas radhitjes s[ dh[n[: 1o lirohu prej kllapave te barazimi; 2o shkruaji an[tar[t me t[ panjohur[n nga ana e majt[, kurse an[tarin me pa t[ njohur[n n[ an[n e djatht[ pas shenj[s "="; 3o sille shprehjen n[ an[n e majt[ n[ form[n normale. Cili barazim fitohet?

2

BARAZIMET LINEARE EKUIVALENTE ME DY T{ PANJOHURA

Kujtohu!

A 1.

Cili ]ift i renditur i numrave real[ [sht[ zgjidhje e nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura?

Cakto zgjidhjet e barazimeve A: 4x + y = 6 dhe B: 2x +

Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (-1, 2) [sht[ zgjidhje e barazimit 2x - y = -4 dhe e barazimit 3x - y = x - 4.

1 y = 3 p[r y=4. 2

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. 2 1 1 A: 4x + y = 6; 4x + y = 6; 4x + 4 = 6; 4x = 6 - 4; 4x = 2; x = ; x= . Zgjidhja: ( , 4). 4 2 2

1 1 1 1 y = 3; 2x + y = 3; 2x + ⋅ 4 = 3; 2x + 2 = 3; 2x = 3 - 2; 2x = 1; x = . 2 2 2 2 1 Zgjidhja: ( , 4). 2

B: 2x +

1 , 4) [sht[ zgjidhje e barazimit A dhe e barazimit B. 2 Zgjedh vler[ p[r x dhe cakto zgjidhjet e barazimeve A dhe B. }far[ p[rfundon? V[reve se ]ifti i renditur (

2.

Provo se barazimet: 3(x + 2y) = 5y + 1 dhe 3x + y = 1 a kan[ zgjidhje t[ barabarta p[r: x ∈ {-1, 0, 1, 2}. V[re m[nyr[n p[r x = -1. 3(x + 2y) = 5y + 1; 3(-1 + 2y) = 5y + 1; -3 + 6y = 5y + 1; 6y - 5y = 1 + 3; y = 4; (x, y) = (-1, 4).

3x + y = 1; 3(-1) + y = 1; -3 + y = 1; y = 1 + 3; y = 4; (x, y) = (-1, 4).

V[re dhe mbaj mend Dy barazime lineare me dy t[ panjohura jan[ ekuivalente n[ qoft[ se bashk[sit[ e zgjidhjeve t[ tyre jan[ t[ barabarta. Nj[ lloj si te barazimet lineare me nj[ t[ panjohur, mund t[ zbatosh transformime t[ barazimit linear me dy t[ panjohura dhe ta sjellish n[ form[n ax + by = c.

V[re transformimet e barazimeve B1 dhe B2 B1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 dhe B2:

2( x + 3 y ) = 5 - x. 3

Barazimet lineare me dy të panjohura

131

Transformimi (T) T1: Nj[ra an[ e barazimit z[v[nd[sohet me shprehje identike T2: }do an[tar i barazimit mund t[ bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r, por me shenj[ t[ kund[rt: Antar[t me t[ panjohura n[ an[n e majt[, nd[rsa antar[t konstant n[ an[n e djatht[.

Barazimi B2:

Barazimi B1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 ⇔ 4x + 2y - 7 = 3x - 2

2( x + 3 y ) =5-x 3 4x + 6 y ⇔ =5-x 3

⇔ 4x + 2y - 3x = -2 + 7 ⇔ (4x - 3x) + 2y = 7 - 2 ⇔

4x + 6 y +x=5 3

⇔ x + 2y = 5

3(4 x + 6 y ) + 3x = 5 ⋅ 3 3 ⇔ 4x + 6y + 3x = 15 ⇔ 7x + 6y = 15

T3: T[ dy an[t e barazimit shum[zohen me num[r t[ nj[jt[ t[ ndryshuesh[m prej zeros.

⇔

V[re se me shfryt[zimin e transformimeve, barazimet B1 dhe B2 jan[ sjellur n[ form[n: x + 2y = 5 dhe 7x + 6y = 15, d.m.th. n[ form[n ax + by = c. Me k[t[ forme m[ leht[ mund t[ caktosh bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimeve. P[r x = k, k ∈ R, caktohet bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit

x + 2y = 5; k + 2y = 5; 2y = 5 - k; 7x + 6y = 15; 7k + 6y = 15; üï 5 - k ìïïæç 5 - k ö÷ 15 - 7k ; íççk, ÷÷ | k Î Rýï y= 6y = 15 - 7k; y = ; ïîïè ï 2 ø 2 6 ï þ ìæ 15 - 7k ö ü ï ï ÷÷÷ | k Î Rýï íïçççk, ïîïè ïþï 6 ø

Cakto zgjidhjet e barazimeve B1 dhe B2 p[r: a) k = 0;

3.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit:

B 4.

b) k = 2;

a) y = 3x - 5;

c) k = 4.

b) x - 1 = 3x - y. D(2, 5)

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit -2x + y = 1, kurse pastaj paraqite grafikisht n[ sistemin koordinativ k[nddrejt.

V[re m[nyr[n dhe krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

C(1, 3)

 -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1; p[r x = k, k ∈ R; y = 2k + 1.  Bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit [sht[: {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. Shkruajm[: R(-2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. Cakto zgjidhjet e barazimit p[r: a) k = -1; b) k = 0; c) k = 1.

V[re se me barazimin -2x + y = 1 n[ bashk[sin[ R (numra reale) [sht[ p[rcaktuar funksioni linear y = 2x + 1.

132

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

x -1 0 1 2 y -1 1 3 5

B(0, 1)

A(-1, -1) {(k, 2k + 1) | k ∈ R}

N[ vizatim grafikisht [sht[ paraqitur funksioni linear y = 2x + 1. }iftet e renditura (x, y) t[ grafikut t[ funksionit jan[ zgjidhje t[ barazimit y = 2x + 1. }far[ paraqesin ato ]ifte t[ barazimit -2x + y = 1?

Pasi -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1, at[her[ ]ifti i renditur i koordinatave t[ ]far[do pike nga grafiku i funksionit y = 2x + 1 [sht[ zgjidhje e barazimit -2x + y = 1.

V[re se me grafikun e funksionit linear y = 2x + 1, grafikisht [sht[ paraqitur bashk[sia e zgjidhjeve t[ barazimit -2x + y = 1. Themi se ai [sht[ grafiku i barazimit. Provo se ]iftet e renditura t[ cilat paraqesin koordinata t[ pikave: A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) dhe D(2, 5) a jan[ zgjidhje t[ barazimit -2x + y = 1.

5.

Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: 3x - y = 1. Provo se ]ifti i renditur (-1, -4) a [sht[ zgjidhje e barazimit. Bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit paraqite grafikisht. Prej grafikut t[ barazimit cakto koordinat[n e dyt[ t[ pik[s S(2, zgjidhje e barazimit 3x - y = 1.

). V[re se ]ifti i renditur [sht[

Duhet t[ dish: cil[t prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura jan[ ekuivalente; t[ shfryt[zosh transformime q[ t[ fitosh barazim ekuivalent me barazimin e dh[n[ linear me dy t[ panjohura; t[ caktosh bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit; grafikisht ta paraqesish bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit.

Detyra

Duke shfryt[zuar transformimet provo se barazimi x + 2y = 6 a [sht[ ekuivalente me barazimin y = 3 -

x . 2

Bashk[sin[ e zgjidhjeve {(k, k - 1) | k ∈ R} t[ nj[ barazimi linear me dy t[ panjohura paraqite grafikisht.

3. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ ]donj[rit prej

1. Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit: a) 2x + y = 3;

Kontrollohu!

b) 3x + 2y = x - 4y + 1.

Secilin prej barazimeve sille n[ form[n 2. ax + by = c duke i shfryt[zuar transformimet. a) 3(x + y) = 2x - 3; b) (x - 3) (y - 2) - 1 = xy;

x + 3y x + y c) = 2 + x; 4 3 ]) 5( x - 3) + 8( y - 2) =

x y - . 4 4

barazimeve dhe paraqiti grafikisht: a) 2x + 3y = 6;

b) x -

1 y = 3; 2

c) 2x + 0 ⋅ y = 4.

4. Cakto vler[n e parametrit p p[r ]iftin e renditur (0, 1) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit: (p - 5)x - (3p - 1)y = 5 - p.

Barazimet lineare me dy të panjohura

133

3

SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA SISTEMI I DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA

A 1.

Kujtohu! Cili barazim quhet barazim linear me dy t[ panjohura? Cakto bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit linear me dy t[ panjohura: x+y=7 Sa zgjidhje ka barazimi?

V[re zgjidhjen: Te akuariumi i Edon[s le t[ ket[ x



Edona dhe Mentori kan[ nga nj[ akuarium me peshq. Shuma e numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet [sht[ 10. Ndryshimi i numrit t[ peshq[ve n[ t[ dy akuariumet [sht[ 4. Sa peshq ka n[ akuariumin e Edon[s, kurse sa te akuariumi i Mentorit?

peshq, kurse te i Mentorit ka y peshq.

Prej kushtit t[ par[ t[ detyr[s kemi:

x + y = 10.

Ndryshoret x dhe y ndryshojn[ n[ bashk[sin[ A={1, 2, 3,..., 9}. Pse? N[ tabel[ jan[ dh[n[ zgjidhjet e barazimit.



Prej kushtit t[ dyt[ t[ detyr[s vijon: Shqyrto tabelat dhe v[re zgjidhjet.

x - y = 4.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5

N[ nj[rin akuarium ka 7 peshq, kurse te tjetri ka 3 peshq. Shuma e tyre [sht[ 7 + 3 = 10, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 7 - 3 = 4. Cakto cili prej ]ifteve t[ renditura (x, y) [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t p[r t[ dy barazimet. V[re se ]ifti (x, y) = (7, 3) [sht[ zgjidhje e barazimit x + y = 10 dhe i barazimit x - y = 4. K[t[ detyr[ e zgjidhe ashtu q[ caktove zgjidhje t[ p[rbashk[ta p[r t[ dy barazimet lineare me dy t[ panjohura, d.m.th. caktove prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre.

Mbaj mend Dy barazime lineare me dy t[ panjohura t[ nj[jta, p[r t[ cilat k[rkohet zgjidhja e p[rbashk[t, p[rkat[sisht prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ tyre, quhet sistemi i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura. a1 x  b1 y  c1 Shkruhet: a x  b y  c , x dhe y jan[ t[ panjohurat, a1, a2, b1, b2, c1 dhe c2 jan[ numra reale 2 2  2 (koeficient[).

134

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

2.

Shkruaji barazimet nga detyra 1 si sistem dhe cakto t[ panjohurat dhe koeficient[t e sistemit.

3.

V[re sistemin:

ì 3x + y = 1 ï ï ï í2 ï x - 3 y = -2. ï ï î3

Em[rtoji t[ panjohurat.

B

4.

Cakto koeficient[t e barazimit.

Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: 3x + 2y = 4. Provo se ]ifti (x, y) = (2, -1) a [sht[ zgjidhje e barazimit: x - y = 3.

ì3 x + 2 y = 4 ï V[re se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -1) [sht[ zgjidhje e sistemit: ïí ï ï îx - y = 3

N[ p[rgjith[si, zgjidhje e sistemit t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura [sht[ ]ifti i renditur i numrave reale i cili [sht[ zgjidhje e p[rbashk[t e t[ dy barazimeve.

5.

Provo p[r cilin sistem ]ifti i renditur (-2, 3) [sht[ zgjidhje: ïì x - y = -5 a) ïí ïïî2 x + 2 y = -1;

ïì x + 2 y = 4 b) ïí ïïî3 x + 5 y = 9;

ïì2 x - 3 y = 3 c) ïí ïïî x + 5 y = 1.

C

Kujtohu! N[ qoft[ se n[ nj[ sistem jobarazimesh nj[ri prej jobarazimeve z[v[nd[sohet me jobarazimin ekuivalent me t[, fitohet sistem jobarazimesh ekuivalente q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[. ì ï10 x > 20 Pse sistemi ïí ï ï î x > -3 ìï5 x > 10 [sht[ ekuivalent me ïí ïïî x > -3 ?

N[ qoft[ se dy barazime lineare me dy t[ panjohura kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve, at[her[ ato jan[ ekuivalente. Provo se barazimi 3(x + 2y) = 5y +1 dhe barazimi 3x + y = 1 a jan[ ekuivalent.

6.

ì ïx + y = 5 Jan[ dh[n[ sistemet: A: ïí ï ï î3 x - y = 3

ïì y = 5 - x dhe B: ïí ïïî3 x - y = 3. Bashk[sia e zgjidhjeve t[ sistemit A [sht[ prerje e bashk[sis[ s[ zgjidhjeve p[r barazimin x + y = 5: {(k, 5 - k) | k ∈ R} edhe p[r barazimin 3x - y = 3: {(k, 3(k - 1) | k ∈ R}.

Prerjen e bashk[sive t[ zgjidhjeve do ta caktosh duke barazuar komponentat e ]ifteve t[ renditura. Komponentat e par[ jan[ t[ barabart[, d.m.th. k = k. Cakto k nga komponentat e dyta, d.m.th. zgjidhe barazimin 5 - k = 3(k - 1). Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje e sistemit A. Bashk[sia e zgjidhjeve e sistemit B [sht[ prerje e bashk[sive t[ zgjidhjeve p[r barazimin: y = 5 - x: {(k, 5 - k) | k ∈ R} dhe p[r barazimin: 3x - y = 3: {(k, 3k - 3) | k ∈ R}.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

135

Kush [sht[ prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ barazimeve n[ sistemin B. Provo se ]ifti (x, y) = (2, 3) a [sht[ zgjidhje e sistemit B. V[re se barazimet te sistemi B kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve si barazimet te sistemi A. K[to dy sisteme kan[ bashk[si t[ barabarta t[ zgjidhjeve. }ifti (x, y) = (2, 3) {sht[ zgjidhje e sistemit A dhe i sistemit B. N[ qoft[ se dy sisteme t[ barazimeve kan[ bashk[si t[ zgjidhjeve t[ barabarta, at[her[ ata jan[ ekuivalente. y  5 x ì ïx + y = 5 Sistemi A: ïí dhe sistemi B:  jan[ ekuivalent. ï 3 x  y  3 ï î3 x - y = 3 Cili prej barazimeve te sistemi B [sht[ ekuivalent me barazimin x + y = 5 te sistemi A, dhe me cilin transformim [sht[ fituar? N[ qoft[ se ndonj[ri prej barazimeve t[ sistemit t[ dh[n[ z[v[nd[sohet me barazimin ekuivalent t[ tij, fitohet sistem ekuivalent me sistemin e dh[n[.

7.

V[re dhe sqaro pse jan[ ekuivalent sistemet: ì 5x - y = x - 4 ï ï í ï ï îx + y = 3

dhe

ì 4x = y - 4 ï ï í ï ï î x + y = 3;

ìïï x + y = 8 í ïïî2 x + y = 3

ì ï ï2 x + y = 3 dhe íï ï î2 x + 2 y = 16.

Me transformime ekuivalente sistemi i dh[n[ transformohet n[ sistem ekuivalent i cili e ka form[n ì x=a ï ï , prej t[ cilit drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja e sistemit. í ï ï îy = b

}ifti (x, y) = (a, b) [sht[ zgjidhje.

8.

ïì2( x + y ) = 6 + 2 y V[re zgjidhjen e sistemit: ïí ïïî y = 5. ïìï2( x + y ) = 6 + 2 y ïì2 x + 2 y = 6 + 2 y  ïí í ïîï y = 5 ïîï y = 5 ïì2 x + 2 y - 2 y = 6  ïí ïïî y = 5 ïì2 x = 6  ïí ïïî y = 5



ìï x = 3  ïí ïïî y = 5







Ana e majt[ e barazimit t[ par[ [sht[ z[v[nd[suar me shprehjen identike.

An[tari 2y [sht[ bart n[ an[n e majt[ t[ barazimit (me shenj[ t[ kund[rt[).

Shprehja n[ an[n e majt[ t[ barazimit t[ par[ [sht[ sjellur n[ form[n normale. Barazimi i par[ [sht[ zgjidhur sipas x, p[rkat[sisht ana e majt[ dhe e djatht[ jan[ pjes[tuar me 2.

}ifti (x, y) = (3, 5) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve.

9. 136

ìï x = -7 Zgjidhe sistemin: ïí ïïî2( y - 1) + 3 x = 3( x + 2).

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

Duhet t[ dish: ]'[sht[ sistem i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura dhe si shkruhet; t[ provosh se ]ifti i renditur i dh[n[ a [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[n[; t[ caktosh sistem ekuivalent me sistemin e dh[n[; t[ zgjidhish sistem duke e sjellur n[ form[n prej ku drejtp[rdrejt mund t[ lexohet zgjidhja.

Detyra 1. Caktoji t[ panjohurat dhe koeficient[t te ]donj[ri prej sistemeve: ìï2 x - y = 6 - y a) ïí ïïî y = 2;

ìx + 2 y = 0 ï ï ï b) í 2 1 ï ï x + y = 2; 2 ï î3

ìï0,25 x + 0,04 y = 0 c) ïí ïïî4 x + 25 y = 641.

me dy t[ panjohura: Shuma e dy numrave [sht[ 64, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 17. Nj[ k[nd i brendsh[m i trek[nd[shit ABC [sht[ 52 o. Ndryshimi i dy k[ndeve tjer[ [sht[ 18o. N[ dy arka gjithsej ka 440 denar[. N[ qoft[ se prej t[ par[s barten te e dyta 180 denar[, te arkat do t[ ket[ shum[ t[ barabart[ t[ parave. a) (2, 10) a [sht[ zgjidhje e sistemit: ìïï3 x - y = -4 í ïïî y = 5 x; b) (2, 2) a [sht[ zgjidhje e sistemit: ïìï x - 4 y = -6 í ïïî5 x - 3 y = 4; c) (1, 1) a [sht[ zgjidhje e sistemit: ì x+ y=2 ï ï í ï ï î2 x - y = 0.

Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit ì 5 x - 3 y = 2x + 1 ï ï , te i cili t[ dy barazimet e í ï ï î y = 2x + 3 kan[ form[n ax + by = c.

Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (3, 2) [sht[ ì2 x - y = 6 - y ï zgjidhje e sistemit: ïí ï ï î y = 2.

4. Cakto nj[ sistem ekuivalent t[ sistemit: ìï 1 ï x+ y=2 a) ï í2 ïï ïî x - 2 y - 5 = 0;

ïìï x + 2 y = 0 ï b) í 2 ïï x + 1 y = 2. 2 ïî 3

5. Cakto sistem ekuivalent t[ sistemit

2. Shkruaji si sistem t[ dy barazimeve lineare

3. Provo se ]ifti i renditur:

Kontrollohu!

ì ï ( x - 1)( x + 1) - 2 y = ( x - 3)2 ï ï te i cili t[ dy : íx y ï = x, ï ï 2 ï î2

barazimet e kan[ form[n ax + by = c.

6. Zgjidhe sistemin: ì x - y = -2 - y ï a) ïí ï ï î y = 4;

ìï x = -3 b) ïí ïïî x + y = 3 + x.

7. Bashkimi dhe Dritoni jan[ v[llez[r. Shuma e viteve t[ Bashkimit dhe t[ Dritonit [sht[ 16. Shuma e viteve t[ Bashkimit dhe gjysma e viteve t[ Dritonit [sht[ 12. Shkruaj sistem prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura sipas kushteve te detyra. Bashkimi dhe Dritoni a jan[ bineq? Sqaro p[rgjigjen t[nde.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

137

4

ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE ME DY T{ PANJOHURA

A 1.

Kujtohu! V[re grafikun e barazimit 2x - 3 = y.

N[ t[ nj[jtin rrafsh koordinativ (n[ vizatimin e nj[jt[), vizato grafik[t e barazimeve: x + y = 5 dhe 3x - y = 3. V[re se me barazimet e dh[na jan[ p[rcaktuar funksionet: y = 5 - x dhe y = 3x - 3.

x

y

-1

-5

0

-3

2

1

3

3

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. x+y=5 y=5-x x 0 4

y 5 A(0, 5) 1 B(4, 1)

3x - y = 3 y = 3x - 3

Cakto koordinatat e ]do pik A, B, C dhe D. }far[ paraqesin koordinatat e atyre pikave p[r barazimin e dh[n[?

x 0 1

y -3 C(0, -3) 0 D(1, 0)

Pika ku priten grafik[t e barazimeve le t[ jet[ pika M. Cakto koordinatat e pik[s M. Prerja e bashk[sive t[ zgjidhjeve t[ dy barazimeve [sht[ ]ifti i renditur i koordinatave t[ pik[s M(2, 3). ì ïx + y = 5 }ifti (x, y) = (2, 3) [sht[ zgjidhja e vetme e sistemit t[ barazimeve ïí ï ï î3 x - y = 3. ì ï ï3 x - y = 3 Grafikisht zgjidhe sistemin e barazimeve: íï ï î3 x + y = 0.

2.

Kujtohu! Dy drejt[za n[ rrafsh mund t[ jen[: - t[ priten n[ nj[ pik[; - t[ puthiten; - t[ jen[ reciprokisht drejt[za paralele. Grafik[t e barazimeve n[ nj[ sistem jan[ drejt[za, dhe sistemi ka aq zgjidhje sa pika t[ p[rbashk[ta kan[ grafik[t.

138

B

Sistemi i dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura:

nj[ zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t e bara ka zimeve priten; pafund shum[ zgjidhje, n[ qoft[ se  ka grafik[t e barazimeve jan[ drejt[za q[



Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

puthiten; nuk ka zgjidhje, n[ qoft[ se grafik[t e barazimeve jan[ drejt[za t[ ndryshme paralele.

ïìï x + 2 y = 5 V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: íï ïî x - y = -1.

3.

x + 2y = 5

x - y = -1

x -1 3

x y -3 -2 2 3

y 3 1

C D

A B

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C, D dhe M.

Cila prej pikave [sht[ prerje e grafik[ve? V[re se, sistemi ka nj[ zgjidhje Zs = {(1, 2)}, d.m.th. (x, y) = (1, 2).

ïìï x + 2 y = 3 V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: íï ïî2 x + 4 y = 6.

4.

x + 2y = 3 x 1 3

y 1 0

 

2x + 4y = 6 A B

x 1 3

y 1 0

C D

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D. V[re se t[ gjitha pikat e grafik[ve jan[ t[ p[rbashk[ta dhe sistemi ka pafund shum[ zgjidhje. ìïï x + 3 y = 2 V[re zgjidhjen grafike t[ sistemit: íï ïî x + 3 y = 5.

5.

x + 3y = 2

x + 3y = 5

x -1 2

x 5 2

y 1 0

A B

y 0 1

C D

Shkruaj koordinatat e pikave A, B, C dhe D. A kan[ grafik[t pik[ t[ p[rbashk[t? V[re se grafik[t jan[ drejt[za t[ ndryshme paralele dhe sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th.Zs = ∅.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

139

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t'i vizatosh grafik[t e t[ dy barazimeve t[ sistemit n[ nj[ rrafsh koordinativ;

N[ cilin rast sistemi prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura: a) ka vet[m nj[ zgjidhje;

grafikisht t[ zgjidhish sistem prej dy barazimeve me dy t[ panjohura;

b) ka pafund shum[ zgjidhje;

ta vler[sosh bashk[sis[n e zgjidhjeve t[ sistemit sipas grafik[ve t[ barazimeve.

Sqaro p[rgjigjen t[nde.

Detyra

3.

1. Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve: ì y = 8 - 4x ï a) ïí ï ï î y = 5 x - 1;

ïì y = x + 2 b) ïí ïïî3 x - y = -6;

ïì y - 6 x = 0 c) ïí ïïî4 x - y = 2.

2.

c) nuk ka zgjidhje?

Kujtohu! Grafiku i funksionit y = ax [sht[ drejt[z q[ kalon n[p[r fillimin e koordinatave. Grafiku i funksionit y = ax + b, [sht[ drejt[z q[ [sht[ paralele me grafikun e funksionit y = ax. Grafiku i funksionit y = a [sht[ drejt[z paralele me boshtin x. Grafiku i funksionit x = a [sht[ drejt[z paralele me boshtin y.

Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve.

Nga sa zgjidhje ka secili prej tyre? ìï2 x - y = 1 a) ïí ïïî y = 1- x;

ìï x + 3 y = 2 b) ïí ïïî2 x + 6 y = 4;

ìï y = x c) ïí ïïî x = 2;

ìï 1 ï x + 2y = 1 ]) ï í2 ïï ïî y = 1.

Secili prej barazimeve te sistemet m[ posht[ shkruaji si funksione: ì ï y = 2x a) ïí ï ï î y - 2 x = -3;

ì ï2 x + y - 1 = 0 b) ïí ï ï î y = 1;

ìx = 3 ï c) ïí ï ï î y = 2;

ìx + y = 2 ï ]) ïí ï ï î3 x + 3 y = 6.

P[r ]do sistem vler[so pozit[n reciproke t[ grafik[ve t[ funksioneve dhe vler[so bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ sistemit.

Zgjidhe grafikisht secilin prej sistemeve dhe provo vler[simin t[nd.

140

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

5

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA ME METOD{N E Z{V{ND{SIMIT

Kujtohu!

A 1.

Kur dy sisteme t[ barazimeve jan[ ekuivalente? Provo se ]ifti i renditur (x, y) = (5, 1) [sht[ zgjidhje e sistemeve: ïìï x = 8 - 3 y í ïïî2 x - 4 y = 6

ìï x = 8 - 3 y dhe ïí ïïî2(8 - 3 y ) - 4 y = 6

V[re sistemet A dhe B prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura.

ì2 x + y = 1 ï A: ïí dhe ï ï î3 x - 5 y = 21 ì ï ï y = 1- 2 x B: íï . ï î3 x - 5(1- 2 x ) = 21

}far[ v[ren p[r barazimet e t[ dy sistemeve?

Si jan[ fituar barazimet te sistemi i dyt[ nep[rmjet barazimeve t[ sistemit t[ par[?

Barazimet e para A dhe B jan[ ekuivalente, kurse te barazimi i dyt[ nga sistemi B, e panjohura y [sht[ z[v[nd[suar me shprehje nga barazimi i par[. Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (2, -3) [sht[ zgjidhje e sistemeve. N[ qoft[ se n[ nj[r[n prej barazimeve te sistemi, nj[ra prej t[ panjohurave shprehet n[p[rmjet t[ dyt[s, dhe pastaj me shprehjen e fituar z[v[nd[sohet ajo e panjohur te barazimi i dyt[, at[her[ barazimi i ri i fituar dhe barazimi i par[ nga sistemi formojn[ sistem t[ ri q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[. Kjo quhet vetia e z[v[nd[simit.

2.

ïì3 x + 2 y = 13 V[re zgjidhjen e sistemit ïí duke shfryt[zuar vetin[ e z[v[nd[simit. ïïî y = 5

ïìï3 x + 2 y = 13 ïì3 x + 2 ⋅ 5 = 13  ïí í ï ïîï y = 5 ïy = 5 î ïì3 x + 10 = 13  ïí ïïî y = 5 ìï3 x = 13 - 10  ïí ïïî y = 5 ïì3 x = 3  ïí ïïî y = 5

ìx = 1 ï  ï í ï ï îy = 5 Zs = {(1, 5)}.



Te barazimi i par[, e panjohura y [sht[ z[v[nd[suar me vler[n e y nga barazimi i dyt[.



Fitohet sistem ekuivalent me sistemin paraprak.



Shfryt[zohet transformimi ekuivalent (10 bartet prej nj[r[s an[ n[ an[n tjet[r t[ shenj[s ,,=" me shenj[ t[ kund[rt[).



ìx = a ï Sistemi i fituar [sht[ i form[s ïí prej ku drejtï ï î y = b, p[rsdrejti lexohet ]ifti i renditur (x, y) = (1, 5) q[ [sht[ zgjidhje e sistemit.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

141

ïì2 x + y = 6 Zgjidhe sistemin e barazimeve ïí ïïî x = 3. ì ï ïy = x - 5 Cakto ]iftin e renditur q[ [sht[ zgjidhje e sistemit: íï ï î5 x + 2 y = 4.

3.

V[re! Mund ta shfryt[zosh vetin[ e z[v[nd[simit ashtu q[ te barazimi i dyt[ t[ panjohur[n y do ta z[v[nd[sosh me shprehjen x - 5 t[ barabart[ me y nga barazimi i par[. ìïï y = x - 5 ì ïy = x - 5  ï í í ïîï5 x + 2 y = 4 ï ï5 x + 2( x - 5) = 4 î

N[ qoft[ se vazhdon t[ zgjidhish drejt, do ta fitosh sistemin ekuivalent: ïì y = x - 5  ïí ïïî x = 2 ïì y = 2 - 5  íï ïïî x = 2



N[ qoft[ se t[ panjohur[n x te barazimi i par[ e z[v[nd[son me vler[n 2 p[r x nga barazimi i dyt[, do t[ fitosh sistem prej t[ cilit mund ta shkruajsh zgjidhjen.

ì ï y = -3  ï í ï ï î x = 2.

Provo se p[r ]iftin e renditur (x, y) = (2,-3),a jan[ barazimet e sistemit barazi t[ sakta numerike. ì ïy = x -1 N[ m[nyr[ t[ ngjashme zgjidhe sistemin e barazimeve: ïí ï ï î x + y = 3. ì ï3 x + 2 y = 5 4. V[re zgjidhjen e sistemit t[ barazimeve: ïí ï ï î2 x - 3 y = -14.

ïìï3 x + 2 y = 5 ì 3x + 2 y = 5 ï ï  ïí í 3 y - 14 ï x y 2 3 = 14 ï î ïï x = 2 ïî



V[re: Te barazimi i dyt[ e panjohura x [sht[ shprehur n[p[rmjet t[ panjohur[s y. M[ tutje, x te barazimi i par[ z[v[nd[sohet me shprehjen p[r x nga i dyti dhe kryhen transformimet.

ì 3 y - 14 ï ï + 2y = 5 /⋅ 2 3⋅ ïìï13 y = 52 ïìï9 y - 42 + 4 y = 10 ïìï13 y = 10 + 42 ï ï 2 ï ï  ï í  í  í  ïí  ï 3 y - 14 ïï x = 3 y - 14 ïï x = 3 y - 14 ïï x = 3 y - 14 ï x= ï ïî ïî ïî 2 2 2 ï 2 ï î

ïìï y = 4 ìïï x = -1 ìï3 (3 y - 14) + 4 y = 10 ìï y = 4 ì y=4 ï ï ïï ïï ï ose í  í  í ïïî y = 4.  í  í ï ïï x = 12 - 14 ï î x = -1 ïïx = 3 y - 14 ïï x = 3 ⋅ 4 - 14 ïî 2 ïïî ïî 2 2

142

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

provo se ]ifti (x, y) = (-1, 4) [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve. ïì5 x - 3 y = 17 Zgjidhe sistemin e barazimeve ïí ïïî2 x + 3 y = 11.

M[nyra e k[till[ e zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura quhet zgjidhje e sistemit me metod[n e z[v[nd[simit.

5.

ìï x + y x - y ïï =8 ïï 2 3 Te sistemi i barazimeve: í asnj[ra prej barazimeve nuk [sht[ shkruar n[ ïï x + y x - y + = 11; ïï 4 îï 3

form[n ax + by = c. Q[ t[ zgjidhet sistemi i k[till[, s[ pari [sht[ e nevojshme barazimet t[ sillen n[ form[n ax + by = c .

ì x+ y x- y ï ï = 8 /⋅ 6 ï ï 2 3 ï V[re zgjidhjen: í ï x+ y x- y ï + = 11/ ⋅ 12 ï ï 4 ï 3 î ì x+ y x- y ï ï ⋅6⋅6 = 8⋅6 ï ì3( x + y ) - 2( x - y ) = 48 ì3 x + 3 y - 2 x + 2 y = 48 ï ï ï 2 3 ï  ï  í  ï  í í ï ï ï 4( x + y ) + 3( x - y ) = 132 x+ y x- y 4 x + 4 y + 3 x - 3 y = 132 ï î ï ï î ⋅ 12 + ⋅ 12 = 11⋅ 12 ï ï 4 ï 3 î ìï x = 48 - 5 y ïì x + 5 y = 48  ïí  ïí ïïî7 x + y = 132 ïïî7(48 - 5 y ) + y = 132 ... ì x = 18 ï Vazhdo me zgjidhjen. Sakt[sisht e ke zgjidhur n[ qoft[ se ke fituar sistemin ïí , p[rkat[sisht ï ï îy = 6 ]ifti i renditur (x, y) = (18, 6), i cili [sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve t[ dh[na. ì x y ï ï - =1 ï ï 3 2 ï Zgjidhe sistemin e barazimeve: í . ï x y ï + =4 ï ï ï î2 2

N[ qoft[ se gjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve, pas transformimeve t[ kryera fitohet sistemi te i cili nj[ri prej barazimeve nuk ka zgjidhje (p[r shembull, n[ qoft[ se fitohet 0 ⋅ x = -1), at[her[ sistemi nuk ka zgjidhje. N[ qoft[ se, pra, fitohet sistemi te i cili ]do num[r real [sht[ zgjidhje e nj[rit prej barazimeve (p[r shembull, 0 ⋅ y = 0), at[her[ sistemi ka pafund shum[ zgjidhje.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

143

6.

ì ï ïì x + y = 3 ï2 x + 3 y = 1 Zgjidhe sistemin A: ïí edhe sistemin B: í ï ïïî2 x + 2 y = 5 ï î4 x + 6 y = 2. V[re se sistemi A nuk ka zgjidhje, kurse sistemi B ka pafund shum[ zgjidhje.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t[ caktosh zgjidhje t[ sistemit prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura duke shfryt[zuar metod[n e z[v[nd[simit;

Sqaro se si do t[ veprosh gjat[ zgjidhjes s[

drejt t'i shfryt[zosh transformimet ekuivalente gjat[ zgjidhjes s[ sistemit t[ barazimeve.

metod[n e z[v[nd[simit.

sistemit:

ïìï x = 5 í ïïî2 x + y = 7,

duke shfryt[zuar

Detyra Zgjidhi sistemet e barazimeve me metod[n e z[v[nd[simit.

1.

ì ï ï3 x + 2 y = 14 a) íï ï î y = 4;

ìïï2 x - 3 y = 5 b) íï ïî y = 5;

4.

ìïï4x = 0 ïî3x + 2 y = 14.

ìï x y ïï + = 6 ïï 2 3 b) í ïï x y ïï - = -1. 4 ïî 2

c) í ï

2.

ïìï x - y = 2 a) íï ïî3 x - 2 y = 9;

ïìï y = 11- 2 x b) íï ; ïî5 x - 4 y = 8

5.

ìïï3 x + y - 13 = 0 c) íï ïî2 x - 3 y - 5 = 0.

3.

ïìï2 x - y = 2 a) íï ïî3 x + 4 y = 3;

ïìï y - 2 z = 3 b) íï ïî5 y + z = 4;

ïìï3 x = 3 - 6 y c) íï ïî5 x - y = 16.

144

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

ìï 2 ïï (2 x + x) - 1 ( x - y ) = 8 a) í 3 2 ïï ïî x + y = 2;

y +5 ïìï x ïï 3 + 2 = 1 ï a) í ïï x +1 ; ïï y = 2 ïî ìï x + 1 y + 1 x - y ïï = ïï 3 2 3 b) íï ïï x - 3 - y - 3 = 2 y. ïïî 4 2

6 1.

ZGJIDHJA E SISTEMIT T{ BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA ME METOD{N E KOEFICIENT{VE T{ KUND{RT ì ì ï2 x - 3 y = 12 ï2 x - 3 y = 12 Jan[ dh[n[ sistemet e barazimeve A : ïí dhe B : ïí ï ï ï ï î(2 x - 3 y ) + (5 x + 3 y ) = 12 + 9. î5 x + 3 y = 9

Trego se ]ifti i renditur (x, y) = (3, -2) [sht[ zgjidhje e sistemit. V[re se sistemet jan[ ekuivalente. Si jan[ fituar barazimet e sistemit t[ dyt[ prej barazimeve te sistemi i par[? Barazimet e para edhe te dy sistemet jan[ t[ nj[jta, kurse barazimi i dyt[ te sistemi B [sht[ fituar me mbledhjen e an[ve t[ majta, p[rkat[sisht an[ve t[ djathta t[ barazimit t[ par[ nga sistemi A. N[ qoft[ se an[t p[rkat[se t[ dy barazimeve i mbledhim, p[rkat[sisht i zbresim, themi se kemi b[r[ mbledhje, p[rkat[sisht zbritje e barazimeve. N[ qoft[ se te sistemi i dh[n[ cilido barazim z[v[nd[sohet me shum[n ose ndryshimin e barazimeve, fitohet sistem i ri q[ [sht[ ekuivalent me sistemin e dh[n[. Kjo quhet vetia e shum[s e barazimeve t[ sistemit.

2.

ì ï5 x - 2 y = 5 V[re zgjidhjen e sistemit ïí duke shfryt[zuar vetin[ e shum[s. ï ï î7 x + 2 y = 31,

ìïï5 x - 2 y = 5 ìï5 x - 2 y = 5  ïí í ïîï7 x + 2 y = 31, ïîï(5 x - 2 y ) + (7 x + 2 y ) = 31+ 5



ìï5 x - 2 y = 5 ìï5 x - 2 y = 5  ïí  ïí ïîï5 x - 2 y + 7 x + 2 y = 31+ 5 ïîï12 x = 36



ìï5 x - 2 y = 5  ïí ïïî x = 3 ïì5 ⋅ 3 - 2 y = 5 ïì-2 y = 5 - 15  ïí  ïí ïîï x = 3 ïïî x = 3



ïì-2 y = -10 ïì y = 5  ïí  ïí ïîï x = 3 ïïî x = 3.



Barazimi i par[ i sistemit i [sht[ shtuar barazimi t[ dyt[.

Fitohet sistemi ekuivalent me barazimin e par[ dhe barazimi i dyt[ [sht[ transformuar n[ barazim me nj[ t[ panjohur.

Zgjidhet sistemi me metod[n e z[v[nd[simit. ì ïx = a Barazimet sillen n[ form[n ïí . ï ï îy = b

Provo se (x, y) = (3, 5) a [sht[ zgjidhje e sistemit. ìï2 x + y = 1 Zgjidhe sistemin e barazimeve ïí ïïî3 x - y = 9.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

145

{sht[ e r[nd[sishme t[ v[resh se koeficient[t para x, p[rkat[sisht para y te t[ dy barazimet duhet t[ jen[ numra t[ kund[rt; gjat[ mbledhjes t[ an[ve p[rkat[se t[ barazimeve fitohet barazim me nj[ t[ panjohur; te sistemi ekuivalent i ri i fituar nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur, pastaj sistemi zgjidhet me metod[n e z[v[nd[simit. ì ï5 x + 2 y = 3 Zgjidhe sistemin e barazimeve: ïí ï ï î x + y = 3.

3.

Koeficient[t para x, p[rkat[sisht para y, nuk jan[ numra t[ kund[rt, pra n[ qoft[ se i mbledh barazimet nuk do t[ fitosh sistem ekuivalent te i cili nj[ri barazim [sht[ me nj[ t[ panjohur. Cilin transformim duhet ta kryesh te barazimi i dyt[ i sistemit ashtu q[ koeficient[t para x ose para y t[ jen[ numra t[ kund[rt? N[ qoft[ se t[ dy an[t e barazimit t[ dyt[ i shum[zoj me -5, at[her[ koeficient[t para x do t[ jen[ numra t[ kund[rt. N[ qoft[ se t[ dy an[t e k[tij barazimi i shum[zoj me -2, at[her[ koeficient[t para y do t[ jen[ numra t[ kund[rt. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. ìïï5 x + 2 y = 3 ìï5 x + 2 y = 3  ïí í ïïî x + y = 3 /⋅ (-5) ïïî-5 x - 5 y = -15



Duke e shum[zuar barazimin e dyt[ me (-5), fitohet sistem ekuivalent te i cili koeficient[t para x jan[ numra t[ kund[rt.

ìï5 x + 2 y = 3  ïí ïïî(5 x + 2 y ) + (-5 x - 5 y ) = 3 - 15



Mblidhen barazimet dhe fitohet sistem te i cili barazimi i dyt[ [sht[ me nj[ t[ panjohur.

ïì5 x + 2 y = 3 ïì5 x + 2 y = 3  ïí  ïí ïîï-3 y = -12 ïïî y = 4 ...



M[ tutje sistemi zgjidhet me metod[n e z[v[nd[simit.

P[rfundo zgjidhjen e sistemit. Provo se (x, y) = (-1, 4) a [sht[ zgjidhje e sistemit. Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para

y

t[ jen[ numra t[ kund[rt.

ìï3 x + y = 1 Zgjidhe sistemin ïí ïïî2 x + 3 y = -4.

4.

ìï2m + 7n = 9 Zgjidhe sistemin e barazimeve: ïí ïïî3m + 2n = 5. N[ k[t[ sistem, q[ t[ fitohen barazime me koeficienta t[ kund[rta para m (ose para n) duhet t[ shum[zohen me 3 barazimi i par[ dhe me (- 2) barazimi i dyt[ (ose me 2 barazimi i par[, kurse me (-7) barazimi i dyt[).

146

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

P[rfundo zgjidhjen e sistemit: ïìï2m + 7n = 9 í ïîï3m + 2n = 5

ì6m + 21n = 27 /⋅ 3 ï ïì6m + 21n = 27 ïì6m + 21n = 27  ï  ïí  ïí í ï ïîï-6m - 4n = -10 ïïî17n = 17 ... /⋅ (-2) ï î(6m + 21n) + (-6m - 4n) = 27 - 10

Provo se (m, n) = (1, 1) [sht[ zgjidhje e sistemit. Zgjidhe sistemin e nj[jt[ ashtu q[ koeficient[t para n t[ jen[ numra t[ kund[rt. M[nyra e k[till[ e zgjidhjes t[ sistemit t[ barazimeve quhet zgjidhje me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt.

5.

Me shfryt[zimin e metod[s s[ koeficient[ve t[ kund[rt[ zgjidhe sistemin e barazimeve: ìïï7 x - 2 y = 3 í ïïî3 x + 8 y = -43.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

metoda e koeficient[ve t[ kund[rt ve]an[risht [sht[ e p[rshtatsh[m p[r shfryt[zim kur koeficient[t para t[ panjohurave jan[ numra t[ kund[rt ose duke shum[zuar leht[ mund t[ sillen te ajo form[; t[ zgjidhish sistem barazimesh me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt.

Vler[so cili prej sistemeve [sht[ m[ i p[rshtatsh[m p[r zgjidhje me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt: ì 6 x - 7 y = 40 ose ì ï ï2 x + 11y = 15 ï ili ï í í ï ï ï5 y - 2 x = -3 ï10 x - 11y = 9 . î î

Sqaro p[rgjigjen.

Detyra Me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt zgjidhe sistemin:

1.

ìïï2 x - 3 y = 12 í ïîï5 x + 3 y = 9;

2.

ìïï4 x + 3 y = -4 í ïîï6 x + 5 y = -7;

3.

ìïï7 x - 8 y = 19 í ïïî3 x + 5 y = 25 .

4.

ìïï3 y - 7 x = 32 í ïîï2 x - 3 y = 3. ìïï6 x - 7 y = 44 í ïîï5 y - 2 x = -4.

ïìï5( x + 2 y ) - 3 = x + 5 í ïïî4( x - 3 y ) = 50 - y.

5.

y ïìï x ïï 2 + 3 = 7 ïí ïï 2 x y - = 1; ïï 4 îï 3

6.

ìïï x + 2 y + 6 = 0 ; í ïîï3 x - 2 y = -2

7.

ïìï 7 x 5 y ïï 6 + 3 = 34 ïí ïï 7 x y ïï + = 17. 4 îï 6 ì ïx - 4 y = 8 ï . í ï ï3 x - 2 y + 6 = 0 î

Cakto zgjidhjen e sistemit grafikisht, kurse pastaj kryeje prov[n duke e zgjidhur me metod[n e z[v[nd[simit ose me koeficient[t e kund[rt. ïìï2 x + 3 y = 9 a) íï ïî3 x - 2 y = 7;

ïìï2 x + 3 y = 3 b) íï ïî4 x + 6 y = 5;

ì ï ïx + 2 y = 2 . c) íï ï î3 x + 6 y = 6

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

147

7

ZBATIMI I SISTEMIT T{ DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY T{ PANJOHURA

Kujtohu!

Duke zgjidhur detyra t[ ndryshme nga matematika, shkencat tjera ose probleme nga jeta e p[rditshme, shpesh her[ duhet t[ caktosh vlera t[ panjohura. Problemet (detyrat) n[ situatat e k[tilla jan[ shprehur me fjal[, por q[ t[ zgjidhen ato shpesh [sht[ e nevojshme t[ paraqiten n[ form[ t[ barazimeve.

A

Shkruaje fjalin[: ,,Shuma e dy numrave [sht[ 6, kurse ndryshimi i gjysm[s s[ numrit t[ par[ dhe numrit t[ dyt[ [sht[ 0" me sistem t[ dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura. Sistemin q[ duhet ta fitosh [sht[:

ì x+ y=6 ï ï Me zgjidhjen e k[tij sistemi do ï íx ï - y = 0. ï ï î2

1.

t[ zbulosh cil[t jan[ ato numra. Provo se ]ifti (x, y) = (4, 2) a [sht[ zgjidhje e sistemit, p[rkat[sisht t[ dy numrat e k[rkuar jan[ 4 dhe 2.

Fillimi Me kujdes lexohet detyra dhe caktohet ]'[sht[ e njohur, kurse ]'[sht[ e panjohur.

Shembulli:



Shihi udh[zimet q[ duhet t[ lexohen gjat[ zgjidhjes t[ detyrave t[ k[tilla dhe radhitjen e m[nyrave q[ duhet t[ shfryt[zohen.

Sh[nimi i madh[sive

T[ v[rejturit e lidhjeve reciproke

Formimi i sistemit

T[ panjohurat sh[nohen (x, y, a, b etj.) dhe v[rehen karakteristikat e tyre.

V[rehen lidhjet reciproke nd[rmjet madh[sive t[ panjohura dhe t[ njohura.

Formohen barazime, formohet sistem dhe sistemi zgjidhet.





Adhurimi ka 17 monedha me vler[ t[ p[rgjithshme 67 denar[. Monedhat jan[ 2 denarshe, dhe 5 denarshe. Sa monedha 2 denarshe dhe sa monedha 5 denarshe ka Jetoni?

Fillimi

Sh[nimi

I njohur: • numri i monedhave •vlera e p[rgjithshme; • lloji i monedhave I panjohur: • nga sa monedha ka prej ]do lloji.



• me x numrin monedhave prej denar[; • me y numrin monedhave prej denar[.

Lidhjet reciproke e 5 e 2



• numri i monedhave [sht[ 17; (x + y = 17); • vlera e p[rgjithshme [sht[ 67 den. (5x + 2y = 67).

Sistemi



ì x + y = 17 ï ï í ï ï î5 x + 2 y = 67

Zgjidhe sistemin. Zgjidhja e sistemit [sht[ (x, y) = (11, 6). Provo se a jan[ t[ sakta pohimet te detyra n[ qoft[ se Adhurimi ka 11 monedha 5 denarshe dhe 6 monedha 2 denarshe.

148

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

2.

N[ dy rafte ka 124 libra. N[ raftin e par[ ka pasur 3 her[ m[ shum[ libra se sa n[ t[ dytin. Nga sa libra ka pasur n[ ]do raft?

3.

Vendi K dhe vendi A jan[ 190 km largnj[ri tjetrit. Prej vendit K kah vendi A [sht[ nisur kamion, kurse pas gjysm[ ore prej vendit A kah vendi K [sht[ nisur autobusi. Pas dy or[ t[ nisjes t[ kamionit ato jan[ takuar dhe kan[ vazhduar l[vizjen. Nj[ or[ pas takimit autobusi dhe kamioni kan[ qen[ t[ larguar 110 km. Me ]far[ shpejt[si kan[ l[vizur autobusi dhe kamioni? Kjo detyr[ [sht[ me l[vizje. P[r zgjidhjen e k[tyre detyrave m[ leht[ [sht[ t[ v[rehen lidhjet reciproke n[ qoft[ se b[het vizatim. Shihe vizatimin:

E N J O H U R

Prej vendit K niset kamioni, prej vendit A niset autobusi. kamioni (k) Vendi ku takohen [sht[ pika C. Prej K deri n[ C kamioni ka l[vizur 2 or[. Prej A deri n[ C autobusi ka l[vizur 1,5 or[. Prej C deri n[ D kamioni ka udh[tuar 1 or[. Prej C deri n[ B autobusi ka udh[ztuar 1 or[. Larg[sia prej B deri n[ D [sht[ 110 kilometra.

autobusi (a)

S H { N I M I Shpejt[sia e kamionit [sht[ x. Shpejt[sia e autobusit [sht[ y.

LIDHJET RECIPROKE Pasi l[vizjet e kamionit dhe autobusit jan[ t[ nj[trajtshme, shfryt[zohet formula p[r l[vizjen e nj[trajtshme s = v ⋅ t, p[rkat[sisht n[ rastin ton[ v [sht[ x ose y. Kamioni prej vendit K deri n[ vendin C (p[r 2 or[) e ka kaluar rrug[n 2x. Autobusi prej vendit A deri n[ vendin C (p[r 1,5 or[) ka kaluar rrug[n 1,5y. P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin D kamioni ka kaluar 1 ⋅ x. P[r 1 or[ prej vendit C deri n[ vendin B kamioni ka kaluar 1 x y. Sipas vizatimit: KC + CA = KA ose 2x + 1,5y = 190; CD + CB = DB ose 1x + 1y =110. SISTEMI I BARAZIMEVE

ïìï2 x + 1, 5 y = 190 í ïïî x + y = 110

Zgjidhe sistemin. Provo a [sht[ e sakt[ se kamioni l[viz me shpejt[si 50 km/h, kurse autobusi me shpejt[si 60 km/h.

4.

Nj[ anije l[viz n[p[r rrjedhjen e lumit me shpejt[si 25 km/h, kurse p[rball[ rrjedhjes s[ lumit me shpejt[si 20 km/h. Cakto shpejt[sin[ e anijes dhe shpejt[sin[ e lumit.

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

149

5.

Jan[ dh[n[ dy tretje t[ thartirave K1 dhe K2. Tret[si K1 [sht[ 36%, kurse tret[si K2 [sht[ 96%. Nga sa litra duhet t[ meren prej ]do tret[si, q[ t[ fitohen 120 litra tretje prej 80%?

Duhet t[ p[rkujtohesh p[r p[rqindjet. Mbaj mend se n[ m litra me k% tretje ka

k⋅m litra thartir[. 100

E NJOHUR Tretja K1 [sht[ 36%. Tretja K2 [sht[ 96%. Tretja e re duhet t[ jet[ 80%. T{ SH{NUARIT Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K1 le t[ jet[ x. Numri i litrave q[ duhet t[ meren prej K2 le t[ jet[ y. LIDHJET RECIPROKE N[ x litra tretje prej K1 ka

36 x litra thartir[. 100

96 y litra thartir[. 100 N[ 120 litra prej tretjes s[ re ka x litra K1 dhe y litra K2 ose: x + y = 120. N[ y litra thartir[ K2 ka

N[ 120 litra n[ tretjen e re ka

120 ⋅ 80 36 x 96 y 120 ⋅ 80 litra thartir[ ose . + = 100 100 100 100

SISTEMI I BARAZIMEVE

ïìï x + y = 120 ï í 36 x 96 y 120 ⋅ 80 ïï + = ïî100 100 100

⇔

ìïï x + y = 120 í ïïî3 x + 8 y = 800

Zgjidhe sistemin. Prova (x, y) = (32, 88) a i plot[son kushtet e detyr[s.

6.

Sa litra uj[ dhe sa litra shpirto prej 90% duhet t[ p[rzihen q[ t[ fitohen 60 litra prej 75% shpirto?

7.

Shuma e gjat[sive t[ dy kateteve te trek[nd[shi k[nddrejt [sht[ 20 cm. N[ qoft[ se kateta e vog[l vazhdohet p[r 2 cm, kurse m[ e gjata shkurtohet p[r 4 cm, at[her[ syprina e trek[nd[shit do t[ zvog[lohet p[r 8 cm2. Cakto gjat[sit[ e kateteve t[ trek[nd[shit.

150

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

Q[ t'i zgjidhish detyrat e k[tilla duhet t[ kujtohesh p[r formulat dhe vetit[ e figurave gjeometrike rrafshore.

E

NJOHUR

Shuma e kateteve t[ trek[nd[shit [sht[ 20 cm. Te trek[nd[shi k[nddrejt kateta [sht[ edhe lart[si e trek[nd[shit. Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ lart[sia p[rkat[se.

S

ah 2

, ku a [sht[ brinja e trek[nd[shit, kurse h [sht[

T{ SH{NUARIT Gjat[sia e katet[s s[ vog[l [sht[ x. Gjat[sia e katet[s s[ gjat[ [sht[ y. LIDHJET RECIPROKE Shuma e kateteve [sht[: x + y = 20. Pas vazhdimit t[ katet[s s[ vog[l, gjat[sia e saj [sht[ x + 2. Pas zvog[limit t[ katet[s s[ madhe, gjat[sia e saj [sht[ y - 4. x⋅ y Syprina e trek[nd[shit n[ fillim [sht[ . 2 Syprina e trek[nd[shit pas vazhdimit dhe shkurtimit t[ katetave p[rkat[se [sht[

x⋅ y -8 . 2

SISTEMI I BARAZIMEVE

ïì x + y = 20 ïì x + y = 20 ïíï  ïí ( x 2 ) ( y 4 ) x y + ⋅ ⋅ ï ïïî4 x - 2 y = 8 = -8 ï ï 2 2 î Zgjidhe sistemin. Prova se ]ifti (x, y) = (8, 12) a jan[ gjat[sit[ e k[rkuara t[ katetave t[ trek[nd[shit.

8.

Lart[sia e nj[ trapezi [sht[ 6 cm, kurse syprina e tij [sht[ 96 cm2. Gjat[sit[ e brinj[ve paralele ndryshojn[ p[r 4 cm. Cakto gjat[sit[ e brinj[ve paralele t[ atij trapezi (bazat).

Sistemi i barazimeve lineare me dy të panjohura

151

Duhet t[ dish: t'i shprehish dhe t[ zbatosh m[nyrat p[r zgjidhjen e problemiti cili sillet n[ sistem t[ dy barazimeve me dy t[ panjohura.

Kontrollohu! P[r detyr[n: "Cakto dy numra shuma e t[ cil[ve [sht[ 100, kurse raporti i tyre [sht[ 4�, zbatoi rregullat:

Sh[noji t[ panjohurat dhe shkruaji raportet reciproke t[ madh[sive t[ njohura dhe t[ panjohura. Formo sistem t[ barazimeve dhe zgjidhe. Provo zgjidhjen.

Detyra 1. Shuma e dy numrave [sht[ 72, kurse ndryshimi i tyre [sht[ 2. Cil[t jan[ ato numra?

2. N[ nj[ paralele gjithsej ka 28 nx[n[s. Numri i djemve [sht[ p[r 4 m[ i madh se numri i vajzave. Sa nx[n[s n[ paralele kan[ qen[ djem dhe sa vajza?

3. Nj[ anije ka kaluar 63 km p[r 5 or[ duke lundruar p[rball[ rrjedhjes s[ lumit. Kur anija ka lundruar n[p[r rrjedhjen e lumit t[ nj[jt[n at[ larg[si e ka kaluar p[r 3 or[. Sa [sht[ shpej-t[sia e anijes, dhe sa [sht[ shpejt[sia e lumit?

4. N[ qoft[ se n[ 8 litra uj[ t[ nxeht[ shtohen 2 litra uj[ t[ ftoht[, at[her[ temperatura e ujit [sht[ 66o. N[ qoft[ se, tani n[ 7 litra uj[ t[ nxeht[ shtohen 3 litra t[ ftoht[, temperatura e ujit t[ p[rzier [sht[ 59o. Sa ka qen[ temperatura e ujit t[ nxeht[, dhe sa e ujit t[ ftoht[?

152

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

5. Afrimi ka bler[ 8 fletore (t[ m[dha dhe t[ vogla) dhe ka paguar 250 denar[. Fletoret e m[dha kan[ kushtuar nga 50 denar[, kurse t[ voglat nga 20 denar[. Sa fletore t[ m[dha dhe sa t[ vogla ka bler[ Afrimi?

6. E [ma dhe bija s[ bashku kan[ 37 vjet. Para dy vjet e [ma ka qen[ 10 her[ m[ e vjet[r se e bija. Sa vjet kan[ e [ma dhe sa e bija?

7. Cakto numrat mat[s t[ k[ndit t[ ngusht[ dhe t[ gjer[ me krah paralel n[ qoft[ se ndryshimi i tyre [sht[ 36o.

8. Perimetri i nj[ trek[nd[shi dybrinj[nj[sh[m [sht[ 36 cm. Ndryshimi i gjat[sive t[ krahut dhe baz[s [sht[ 3 cm. Cakto syprin[n e trek[nd[shit.

9. N[ nj[ kafaz ka pasur lepuj dhe fazan[. Dardani n[ kafaz ka num[ruar 35 koka, kurse 94 k[mb[. Sa lepuj dhe sa fazan[ ka pasur n[ kafaz?

M E

8 A

T {

P U N A D H { N A

ZGJIDHJA E PROBLEMEVE ME PARIMIN E DIRIHLES Shembull: Shtat[ toptha rradhiti n[ tre kuti t[ cilat nuk jan[ t[ sh[nuara n[ m[nyr[ t[ ve]ant[. K[t[ mund ta b[sh n[ tet[ m[nyra. V[re vizatimin.

M[ tutje, q[llimi yn[ nuk [sht[ caktimi i numrit t[ mund[sive (m[nyrat) p[r zgjidhjen e detyr[s. Q[llimi yn[ [sht[ respektimi i nj[ parimi.

V[re! Si do q[ t[ rradhiten shtat[ topthat, gjithmon[ do t[ ekziston kuti n[ t[ cil[n do t[ ket[ patjet[r tre toptha. Shembulli i p[rshkruar paraqet form[ t[ thjesht[ t[ nj[ parimi t[ r[ nd[sish[m i njohur si parimi i Dirihles.

Ai thot[:

N[se n[ n kuti rradhiten m[ shum[ se n sende, at[her[ patjet[r n[ nj[r[n prej kutive do t[ ket[ m[ shum[ se nj[ send.

1.

Petar Gustav Lezhen Dirihle (1805-1859)

matematikan gjerman

a) A mund t[ thuhet se n[ paralelen me 34 nx[n[s me siguri ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat e t[ cil[ve fillojn[ me shkronj[ t[ njejt[? b) A vlen ky pohim n[se n[ paralele ka 30 nx[n[s? Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[. a) K[tu, sipas parimit t[ Dirihles, shkronjat nga alfabeti jan[ "kuti".T[ atilla ka 31 (alfabeti qirilik). N[ rastin m[ t[ p[rshtatsh[m, p[r mbiemrat e 31 nx[n[sve do t[ "mereshin" 31 shkronja.

Sistemi i dy barazimeve lineare me dy tĂŤ panjohura

153

Me ]far[ shkronje fillojn[ mbiemrat e tre nx[n[sve tjer[ t[ mbetur? Ata fillojn[ me ndonj[r[n nga shkronjat q[ jan[ marr[ m[ par[. M[ s[ paku te sa nx[n[s mbiemrat fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[? N[ paralele ka m[ s[ paku dy nx[n[s mbiemrat e t[ cil[ve fillojn[ me t[ njejt[n shkronj[. b) Pse pohimi nuk do t[ vlente n[se n[ paralele do t[ kishte m[ pak se 31 nx[n[s?

2.

N[ gar[n e matematik[s kan[ mar[ pjes[ 372 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nxn[s t[ cil[t n[ t[ njejt[n dit[ e festojn[ dit[lindjen.

3.

N[ nj[ shkoll[ ka 16 paralele nga klasa e V deri n[ klas[n e VIII. N[ seksionin "Matematikan[t e rinj" jan[ t[ an[tar[suar 18 nx[n[s. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy nx[n[s nga e njejta paralele.

V[re! Rast m[ i pap[rshtatsh[m [sht[ n[se nga ]do paralele n[ seksion do t[ kishte nga nj[ nx[n[s an[tar.Por, kjo [sht[ gjithsej 16 nx[n[s. C'mund t[ p[rfundosh p[r dy nx[n[sit e mbetur t[ seksionit?

4.

N[ paralele ka 30 nx[n[s. N[ provimin me shkrim nga matematika disa nx[n[s kan[ b[r[ m[ s[ shumti 8 gabime, nd[rsa nx[n[sit tjer[ kan[ b[r[ m[ pak gabime. V[rteto se n[ paralele ka m[ s[ paku 4 nx[n[s t[ cil[t kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve n[ provimin me shkrim. Cili [sht[ numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra? Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[. Numri m[ i madh i gabimeve t[ b[ra [sht[ 8. Dometh[n[, ka nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime; e mundur [sht[ q[ t[ ket[ nx[n[s me: 7 gabime; 6 gabime;---;1 gabim, por edhe nx[n[s q[ nuk kan[ b[r[ gabim (d.m.th. kan[ b[r[ zero gabime). T[ gjith[ nx[n[sit i ndajm[ n[ 9 grupe: 1) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 8 gabime; 2) nx[n[s q[ kan[ b[r[ 7 gabime dhe ashtu me rradh[. N[ grupin e n[nt[ jan[ nx[n[sit q[ nuk kan[ b[r[ asnj[ gabim.

154

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

Rast m[ i pa favorsh[m [sht[ n[se 3 nx[n[s kan[ b[r[ 8 gabime, 3 nx[n[s kan[ b[r[ 7 gabime e k[shtu me rradh[, nd[rsa 3 nx[n[s nuk kan[ b[r[ asnj[ gabim. K[ta jan[ gjithsej 3 × 9 = 27 (kemi 9 grupe nx[n[sish). Por, 30 = 3 × 9 + 3. Tre nx[n[sit e tjer[ kan[ b[r[ 8, 7, ..., 2, 1 ose 0 gabime, d.m.th. sipas parimit t[ Dirihles, ka grup nx[n[sish n[ t[ cil[n ka m[ s[ paku 4 nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve ose nuk kan[ b[r[ gabime.

5.

N[ paralele ka 34 nx[n[s. Gjat[ t[ sh[nuarit t[ tekstit t[ njejt[ n[ kompjuter Petriti ka b[r[ 13 gabime, nd[rsa t[ tjer[t m[ pak. V[rteto se ka tre nx[n[s q[ kan[ b[r[ num[r t[ njejt[ t[ gabimeve.

B

6.

Parimi i Dirihles [sht[ i zbatuesh[m n[ shum[ l[mi t[ matematik[s. Ndiqi disa detyra me zbatimin e tij n[ pjes[tueshm[rin[ e numrave dhe n[ gjeometri.

Jan[ dh[n[ 5 numra t[ ]far[dosh[m. V[rteto se nd[rmjet tyre ka s[paku dy numra ashtu q[ ndryshimi i tyre [sht[ i pjes[tuesh[m me 4.

Puno sipas udh[zimit: Sa dhe cilat mbetje fitohen gjat[ pjes[timit me 4?

Fitohen 4 mbetje: 0, 1, 2 ose 3.

Gjat[ pjes[timit t[ 4 numrave me pes[ fitohen 5mbetje. Dometh[n[, m[ s[ paku dy nga mbetjet jan[ t[ barabarta (sipas parimit t[ Dirihles). Numrat a dhe b gjat[ pjes[timit me 4 le t[ japin mbetje t[ njejt[ p, ku p ∈ {0, 1, 2, 3}.

a = 4m + p; b = 4n + p.

Ndryshimi a - b = (4m + p) - (4n + p) = 4(m - n) = 4k [sht[ i form[s 4k, d.m.th. ajo [sht[ e pjes[tueshme me 4. Shkruajm[ 4 | (a - b).

7.

Sa numra natyrore m[ s[ paku duhet t[ meren p[r t[ pasur nd[rmjet tyre dy numra t[ atill[ q[ ndryshimi t[ jet[ i pjes[tuesh[m me 7?

8.

N[ flet[ t[ bardh[ (20 cm x 30 cm) [sht[ derdhur ngjyr[. V[rteto se n[ k[t[ flet[ ekzistojn[ s[ paku dy pika me ngjyr[ t[ nj[jt[ t[ cilat jan[ n[ larg[si 10 cm nj[ra nga tjetra.

Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura

155

Ndiqe sqarimin. Nd[rto trek[nd[sh brinj[nj[sh[m me brinj[ 10 cm n[ at[ flet[. V[re se nga tre kulmet e k[tij trek[nd[shi, dy jan[ t[ bardh[, nd[rsa nj[ri i kalt[r, ose dy jan[ t[ kalt[r, nd[rsa nj[ri i bardh[, ose t[ tre jan[ t[ bardh[ ose t[ tre jan[ t[ kalt[r. Dy kulme me ngjyr[ t[ nj[jt[ jan[ kulmet e k[rkuara.

9.

N[ rrafsh jan[ dh[n[ 5 drejt[za nga t[ cilat asnj[ dyshe nuk [sht[ paralele. V[rteto se nd[rmjet tyre ekzistojn[ dy drejt[za q[ formojn[ k[nd m[ t[ vog[l se 37o. Puno n[ m[nyr[n vijuese. Zgjidh pik[ M n[ rrafsh dhe zhvendosi paralelisht t[ gjitha drejt[zat ashtu q[ ata t[ kalojn[ n[p[r pik[n M. V[re se drejt[zat n[p[r pik[n M e ndajn[ rrafshin n[ 10 k[nde. N[se k[ndet jan[ t[ barabarta, at[her[ secili ka 360 : 10 = 36o, nd[rsa 36o < 37o, d.m.th. gjithmon[ ka k[nd q[ [sht[ m[ i vog[l se 37o.

M

N[se k[ndet jan[ t[ ndryshme, at[her[ nuk jan[ t[ gjith[ m[ t[ m[dhenj se 37o, pasi 10 â‹… 37o = 370o > 360o. D.m.th. ndonj[ri prej atyre k[ndeve [sht[ m[ i vog[l se 37o.

Detyra 1. N[ nj[ shkoll[ ka 1200 nx[n[s. V[rteto se:

3.

N[ nj[ paralele ka 37 nx[n[s. V[rteto se ka nj[ muaj n[ vit n[ t[ cilin jan[ lindur m[ s[ paku se 4 nx[n[s nga paralelja.

4.

N[ 25 kuti ka 3 lloje mollash, ashtu q[ n[ ]do kuti ka vet[m nj[ lloj molle. V[rteto se nd[rmjet tyre ka 9 kuti me molla nga lloji i nj[jt[.

a) m[ s[ paku 4 nx[n[s nga ajo shkoll[ festojn[ dit[lindjen n[ t[ njejt[n dit[; b) m[ s[ paku dy nx[n[s kan[ iniciale t[ nj[jta.

2. T[ v[rtetohet se n[ Shkup ka m[ s[ paku tre persona q[ kan[ num[r t[ nj[jt[ t[ qimeve n[ kok[. (Nj[ njeri n[ kok[ nuk ka m[ shum[ se 200 000 qime).

156

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

M{SOVE P{R SISTEMIN E BARAZIMEVE LINEARE PROVO NJOHURIN{ T{NDE

1.

}' [sht[ zgjidhje e barazimit linear me dy t[ panjohura?

2.

Cakto parametrin k p[r ]iftin e renditur (2, 6) q[ t[ jet[ zgjidhje e barazimit (4x - 2)k - 1 = y - k.

3.

Paraqite bashk[sin[ e zgjidhjeve t[ barazimit

-2 x +

1 y=0 2

}'[sht[ zgjidhje e sistemit t[ barazimeve lineare me dy t[ panjohura?

5.

Cakto sistem ekuivalent te sistemi i dh[n[ te i cili t[ dy barazimet e kan[ form[n ax + by = c. ïìï x + y + 1 2 x - 3 y + = -3 ïï 3 6 ïí ïï 2 x - y - 4 - y = 6. ïï 3 ïî

Zgjidhe sistemin me metod[n e z[v[nd[simit.

ïìï4 x - y = 5 í ïïî5 x - 3 y = 1

8.

grafikisht.

4.

6.

7.

Zgjidhe sistemin me metod[n e koeficient[ve t[ kund[rt[:

ìï ïï x + 2 y + 3 = 1 ( x + y ) 3 í ïï ïî2(2 x + 3) = 3 x - y.

9.

Sipas zgjidhjes grafike t[ sistemit t[ barazimeve lineare, vler[so sa zgjidhje ka sistemi: ì ïx - y = 1 a) ïí ; ï ï î3 x + 3 y = 0

ì2 x - y = 0 ï b) ïí ï ï î4 x - 2 y = 0

Zgjidhe grafikisht sistemin:

10. Shuma e viteve t[ babait dhe djalit [sht[ 46.

ìï x + 2 y = 7 ïï í 1 ïï x - y = 0. ïî 3

Pas 10 vjet babai do t[ jet[ dy her[ m[ i vjet[r se djali. Nga sa vjet kan[ tani?

Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura

157

158

Tema 3. Sistemi i barazimeve lineare

TEMA 4.

TRUPAT GEOMETRIKE

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI N{ HAP{SIR{ 1. 2. 3. 4. 5.

Pika, drejt[za dhe rrafshi Dy drejt[za Dy rrafshe Proektimi paralel. Proektimi ortogonal Paraqitja e trupit gjeometrik me vizatim

160 163 165 168 171

PRIZMI 6. Prizmi. Llojet e prizmave. Prerjet diagonale 7. Paralelopipedi. Rrjeti dhe syprina e prizmit

174 177

8. V[llimi i poliedrit. V[llimi i kuboidit dhe kubit 9. V[llimi i prizmit t[ drejt[

183 187

PIRAMIDA 10. Piramida. Syprina e piramid[s 11. V[llimi i piramid[s

190 194

CILINDRI, KONI DHE TOPI 12. Cilindri, syprina dhe v[llimi 13. Koni, syprina dhe v[llimi 14. Topi, syprina dhe v[llimi 15. Gjasa (Probabiliteti) Provo njohurin[ t[nde

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

197 200 203 206 208

159

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI N{ HAP{SIR{

1

PIKA, DREJT{ZA DHE RRAFSHI

A 1.

Kujtohu!

N[ vizatim jan[ paraqitur kubi dhe kuboidi.

Drejt[za, k[ndi, trapezi dhe rrethi jan[ figura rrafshore. Ka edhe figura tjera gjeometrike t[ rrafshta Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat e rrafshta quhet planimetri. Disa veti t[ drejt[z[s jan[ p[rvet[suar si veti themelore (aksioma).

A [sht[ kuboidi figur[ e rrafsh[t? Pse?

Si aksiom[ e par[ aksioma (A1) e p[rvet[suam vetin[: n[ ]do drejt[z shtrihen pafund shum[ pika, por ka edhe pika q[ nuk shtrihen n[ at[ drejt[z.

T[ gjitha pikat e kubit a i takojn[ t[ nj[jtit rrafsh? Pjesa e gjeometris[ q[ i studion figurat n[ hap[sir[ quhet stereometri.

Pikat, drejt[zat dhe rrafshet jan[ figura themelore gjeometrike n[ hap[sir[. Rrafshi mund t[ paramendohet si qelq i rrafsh[t, sikurse sip[rfaq[ja e ujit t[ qet[ etj. Ajo [sht[ sip[rfaqe e pakufizuar. P[r at[ [sht[ pranuaur kjo aksiom[:

A1

N[ ]do rrafsh shtrihen pafund shum[ pika, ekzistojn[ pika q[ nuk shtrihen n[ at[ rrafsh. M

{sht[ dh[n[ rrafshi ∑ edhe pikat A, B, C, D, M n[ vizatim.

Cilat pika tjera t[ sh[nuara shtrihen n[ Σ?

D

A

Pika A i takon rrafshit ∑, d.m.th. A ∈ Σ. Mund t[ thuhet se A shtrihet n[ Σ, p[rkat[sisht Σ kalon n[p[r A.. Σ

B

C

P[r tre ose m[ shum[ pika q[ shtrihen n[ nj[ rrafsh thuhet se jan[ komplanare. K[shtu, n[ vizatim pikat A, B, C, D ∈ Σ, M ∉ Σ, pra A, B, C, D jan[ komplanare, kurse B, C, D, M nuk jan[ komplanare.

B

Kujtohu! P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[): N[p[r ]do tri pika q[ nuk shtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht vet[m nj[ rrafsh.

160

Tema 4. Trupat gjeometrik

P[r rrafshin [sht[ p[rvet[suar kjo veti themelore (aksiom[):

A2 2.

N[p[r ]far[do tre pika q[ nuk shtrihen n[ nj[ drejt[z kalon sakt[sisht nj[ rrafsh.

Pse karrika me tre k[mb[ nuk ,,l[kundet" edhe kur k[mb[t nuk jan[ me gjat[si t[ barabarta? A vlen kjo edhe te tavolina me kat[r k[mb[?

3.

Shihe kuboidinn n[ vizatim dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Cili kulm i kuboidit shtrihet n[ rrafsh t[ p[rcaktuar me pikat A, B dhe B1? Kulmi C a shtrihet n[ at[ rrafsh? A jan[ komplanare k[to pika: a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1;

c) A, B, C, C1?

Cakto kat[r kulme tjera ashtu q[ t[: a) shtrihen; b) mos shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Vizato kuboid dhe sh[noje si n[ vizatim. Pastaj, hijezoje pjes[n e rrafshit q[ kalon n[p[r pikat B, C, D1, A1 q[ shtrihet edhe n[ kuboid. N[ qoft[ se ]do pik[ e nj[ drejt[ze shtrihet n[ nj[ rrafsh, at[her[ thuhet se drejt[za shtrihet n[ at[ rrafsh, kurse p[r rrafshin thuhet se kalon n[p[r at[ drejt[z.

C

N[ nj[ rrafsh shtrihen pakufi shum[ drejt[za.

4.

N[ vizatim [sht[ paraqitur rrafshi ∑ dhe dy pika A dhe B, q[ shtrihen n[ t[. Sa drejt[za kalojn[ n[p[r pikat A dhe B? Pikat tjera t[ drejt[z[s AB a shtrihen n[ rrafshin ∑?

B A Σ

{sht[ p[rvet[suar si e sakt[ kjo veti themelore (aksiom[) e rrafshit.

A3

N[ qoft[ se dy pika t[ nj[ drejt[ze shtrihen te ndonj[ rrafsh, at[her[ edhe drejt[za shtrihet n[ at[ rrafsh.

Kjo aksiom[ do t[ ndihmon t[ v[resh pozitat reciproke t[ drejt[z[s dhe rrafshit n[ hap[sir[.

Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet p[r pozit[n reciproke t[ mundshme t[ nj[ drejt[ze dhe nj[ rrafshi.

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

161

P[r rrafshin ∑ dhe drejt[z[n a jan[ t[ mundshme k[to tre raste. dhe rrafshi nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta.  Drejt[za At[her[ thuhet se ato jan[ paralele, dhe shkruhet a || Σ. dhe rrafshi kan[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t.  Drejt[za At[her[ thuhet se rrafshi e pret drejt[z[n ose drejt[za a e dep[rton rrafshin ∑ n[ pik[n P; p[r pik[n P thuhet se [sht[ pik[ dep[rtuese. Drejt[za a shtrihet n[ rrafshin ∑ ;  edhe n[ k[t[ rast thuhet se ato jan[ paralele. Shihe kuboidin dhe v[re rrafshin ∑, t[ p[rcaktuar me kulmet A, B, C. Em[rtoji drejt[zat e p[rcaktuara me tehet q[: a) jan[ paralele me ∑ ; b) e dep[rtojn[ ∑ ; c) shtrihen n[ ∑.

5.

Kontrollohu!

Duhet t[ dish: themelore

Si [sht[ pozita reciproke e: a) pik[s dhe rrafshit; b) drejt[z[s dhe rrafshit?

t[ caktosh pozit[n reciproke t[ drejt[z[s dhe rrafshit.

Pikat A, B, C, M, D jan[ kulme t[ kuboidit n[ vizatimin e sip[rm. Cil[t prej k[tyre kat[r kulmeve: a) jan[ komplanare, b) nuk jan[ komplanare?

t'i shprehish figurat gjeometrike n[ hap[sir[;

Sa rrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r: a) pik[n e dh[n[ A; b) dy pika t[ dh[na B dhe C; c) tre pika t[ dh[na A, B, C?

Detyra 1. Vizato kubin ABCDA1B1C1D1. Em[rto kat[r kulme t[ cil[t jan[: a) komplanare;

b) jokomplanare.

2. Sa drejt[za mund t[ p[rcaktohen me nj[ kulm nga baza e sip[rme dhe nj[ kulm nga baza e poshtme e nj[ kubi?

162

Tema 4. Trupat gjeometrik

3. Tehu AB i kubit nga detyra 1 [sht[ paralel vet[m me dy faqe t[ tij dhe nuk ka pika t[ p[rbashk[ta me ato. Em[rtoji ato faqe.

4. Diagonalja AC e baz[s s[ kubit nga detyra 1 nuk ka pika t[ p[rbashk[ta vet[m me nj[ faqe t[ kubit. Cila [sht[ ajo faqe?

2

DY DREJT{ZA

A

Kujtohu!

Dy drejt[za n[ hap[sir[: kan[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t  ose (priten);

Shprehi aksiomat p[r rrafshin.

 ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta; puthiten (n[ qoft[ se kan[ dy pika  ose t[ p[rbashk[ta).

Sa pika p[rcakton nj[ drejt[z a) n[ rrafsh,

b) n[ hap[sir[?

Si [sht[ pozita reciproke e dy drejt[zave (n[ hap[sir[) q[ kan[ dy pika t[ p[rbashk[ta?

1.

Me sa pika [sht[ p[rcaktuar nj[ rrafsh?

N[ vizatim, drejt[zat a dhe b priten, d.m.th. kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t P. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju n[ pyetjet. a

A

Drejt[za a ka dy pika t[ p[rbashk[ta me rrafshin Σ. Si [sht[ pozita reciproke e a dhe Σ?

P B

b

A mundet ]far[do pik[ e zgjedhur A ∈ a, B ∈ b dhe prerja P (A≠P dhe B≠P) t[ jen[ kolineare? Pse? Pikat A, B dhe P p[rcaktojn[ sakt[sisht nj[ rrafsh. Pse? Drejt[zat a dhe b shtrihen n[ at[ rrafsh. Pse?

2.

D1

N[ vizatim [sht[ paraqitur nj[ kuboid. Shqyrtoje dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Tehu AB a shtrihet n[ rrafshin e nj[jt[ me tehun: a) BB1; b) A1B1; c) B1C1?

A1

Tehet CB dhe C1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Pse? Tehet AB dhe A1B1 shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[ dhe nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t; dhe drejt[zat AB dhe A1B1 nuk kan[ pik[ t[ p[rbashk[t - ato jan[ paralele, d.m.th. AB || A1B1.

C1 B1

D A

C B

Ke kujdes! Dy drejt[za paralele gjithmon[ shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. Tehet, p[rkat[sisht drejt[zat AB dhe B1C1, gjithashtu, nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta, por ato nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; p[r ato thuhet se jan[ shmang[se.

3.

Me ndihm[n e kuboidit shih edhe disa ]ifte t[ drejt[zave paralele. Tre drejt[za paralele a shtrihen gjithmon[ n[ rrafshin e nj[jt[?

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

163

Mbaj mend dhe shihi vizatimet!

ď †

Dy drejt[za n[ hap[sir[ mund t[: shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[; at[her[ ato ose priten ose jan[ paralele (por mund edhe t[ puthiten), sikurse n[ fig. 1;

ď † nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. t[ jan[ drejt[za shmang[se (a dhe c n[ fig. 2).

Fig. 1

4.

Sipas fig. 2 shkruaj disa ]ifte t[:

5.

Pik[prerjet e a) Drejt[zat b) Drejt[zat c) Drejt[zat ]) Drejt[zat

B

Fig. 2 a) drejt[zave aplanare;

b) drejt[zave paralele.

drejt[zave n[ fig. 2 jan[ kulme t[ nj[ kuboidi. Konstato se jan[ t[ sakta k[to pohime. b dhe m nuk priten dhe nuk jan[ paralele, d.m.th. ato jan[ shmang[se. m dhe d nuk priten dhe shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[, d.m.th. ato jan[ paralele. a dhe d priten dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[. b dhe m jan[ shmang[se dhe nuk shtrihen n[ rrafshin e nj[jt[.

Kujtohu! Sipas aksiom[s A2, rrafshi [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar me tre pika jokolineare. Disa pozita t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[, gjithashtu, p[rcaktojn[ nj[ rrafsh. Cilat jan[ ato pozita?

6.

164

Shihi vizatimet dhe sqaro pse nj[ rrafsh n[ hap[sir[ [sht[ plot[sisht i p[rcaktuar: a) me tre pika jokolineare; b) me drejt[z dhe pik[ q[ nuk shtrihet n[ at[ drejt[z; c) me dy drejt[za paralele; ]) me dy drejt[za q[ priten.

Tema 4. Trupat gjeometrik

a)

b)

c)

])

7.

Sa rrafshe p[rcaktojn[ tehet an[sore t[ nj[ kuboidi? (Ke kujdes: ka m[ shum[ se kat[r rrafshe)

Duhet t[ dish: t'i sqarosh pozitat reciproke t[ dy drejt[zave n[ hap[sir[.

Kontrollohu! P[r cilat drejt[za thuhet se jan[:

a) paralele,

b) shmang[se?

Vizato kub ABCDA1B1C1D1 dhe vizatoji diagonalet e bazave t[ tij. Cilat ]ifte t[ drejt[zave AC, BD, A1C1, B1D1: a) priten, b) jan[ paralele, c) jan[ shmang[se?

Detyra 1. Tre drejt[za t[ ndryshme n[ hap[sir[ kalojn[ n[p[r t[ nj[jt[n pik[. Sa rrafshe mund t[ p[rcaktojn[ k[to drejt[za?

2. Vizato kuboidin ABCDA1B1C1D1 dhe vizatoji diagonalet e dy faqeve fqinje t[ tij, p[r shembull, ABB1A1 dhe BCC1B1. Cilat ]ifte t[ drejt[zave AB1, BA1, CB1, BC1: a) priten; b) jan[ paralele; c) jan[ shmang[se?

3

3. Le t[ jen[ a dhe b drejt[za n[ hap[sir[. Sa rrafshe mund t[ kalojn[ n[p[r ato drejt[za?

4. Sa rrafshe p[rcaktojn[ kat[r pika jokomplanare?

5. Sqaro gjykimin: ,,N[ qoft[ se drejt[zat AB dhe CD priten, at[her[ pikat A, B, C, D jan[ komplanare”.

DY RRAFSHE

Kujtohu!

A 1.

Mendo dhe p[rgjigju:

Si thot[ aksioma me t[ cil[n plot[sisht p[rcaktohet nj[ rrafsh n[ hap[sir[?

A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m nj[ pik[ t[ p[rbashk[t?

}far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ nj[ drejt[z dhe nj[ rrafsh n[ hap[sir[?

A mundet dy rrafshe t[ ken[ vet[m dy pika t[ p[rbashk[ta? P[rgjigjen n[ k[t[ pyetje e jep kjo veti themelore (aksioma A4):

A4

N[ qoft[ se dy rrafshe t[ ndryshme kan[ nj[ pik[ t[ p[rbashk[t, at[her[ ato rrafshe kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t q[ kalon n[p[r at[ pik[.

Sipas aksiom[s, dometh[n[, dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ2: a) ose nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta; b) ose kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t. N[ qoft[ se rrafshet kan[ tre pika t[ p[rbashk[ta jokolineare, ato puthiten.

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

165

Mbaj mend Kur dy rrafshe t[ ndryshme Σ1 dhe Σ2 kan[ nj[ drejt[z t[ p[rbashk[t thuhet se ato rrafshe priten, kurse drejt[za e p[rbashk[t [sht[ drejt[za prer[se e tyre. P[r dy rrafshe Σ1 dhe Σ2 thuhet se jan[ paralele n[ qoft[ se nuk kan[ pika t[ p[rbashk[ta ose n[ qoft[ se puthiten, kjo sh[nohet me Σ1 || Σ2.

2.

V[re se jan[ t[ sakta k[to gjykime. (B[n vizatim!) a) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe n[ qoft[ se a e dep[rton Σ1, at[her[ a e dep[rton edhe Σ2. b) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe a || Σ1, at[her[ a || Σ2. c) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe Σ3 pritet me Σ1, at[her[ Σ3 pritet edhe me Σ2.

Shihe vizatimin dhe p[rcille sqarimin. Rrafshet Σ1 dhe Σ2 priten dhe s [sht[ drejt[z prer[se. M nj[ pik[ e ]far[doshme e s, prej t[ cil[s jan[ t[rhequr dy gjysm[drejt[za pingule (normale) n[ s, ashtu q[ nj[ra shtrihet n[ S1, kurse tjetra n[ Σ2. Ato gjysm[drejt[za e formojn[ k[ndin α. K[ndi α, krah[t e t[ cilit jan[ ato gjysm[drejt[za quhet k[ndi nd[rmjet rrafsheve Σ1 dhe Σ2. Edhe k[ndi i tij i puq[t paraqet k[nd nd[rmjet atyre rrafsheve.

N[ qoft[ se k[ndi nd[rmjet rrafsheve [sht[ i drejt[, at[her[ p[r rrafshet thuhet se jan[ pingule (normale) nd[rmjet veti, d.m.th. Σ1 ⊥ Σ2.

3.

}far[ k[ndi formojn[ dyshemeja dhe faqeja n[ klas[n t[nde? A jan[ pingul nd[rmjet tyre faqeja e muret dhe e tavanit? Po tavani dhe dyshemeja?

4.

}far[ k[ndi formojn[ baza dhe nj[ faqe an[sore e kuboidit?

166

Tema 4. Trupat gjeometrik

Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet.

B

Drejt[za a e dep[rton rrafshin Σ n[ pik[n P.

N[p[r pik[n dep[rtuese P jan[ t[rhequr drejt[zat b dhe c q[ shtrihen n[ Σ; ato me drejt[z[n a formojn[ k[nde β dhe γ. N[p[r pik[n P mund t[ t[rhiqen dhe drejt[za t[ tjera t[ atilla; t[ gjitha ato me a formojn[ k[nde t[ ndryshme. Sigurisht v[reve se ato k[nde mund t[ jen[ t[ barabart[ nd[rmjet veti kur ato jan[ k[nde t[ drejt[. At[her[ p[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin, d.m.th. se a [sht[ pingule n[ rrafshin Σ; ajo sh[nohet me a ⊥ Σ.

Mbaje mend P[r drejt[z[n a thuhet se [sht[ pingule n[ rrafshin Σ, n[ qoft[ se a [sht[ pingule n[ ]do drejt[z q[ shtrihet n[ Σ dhe q[ kalon n[p[r pik[n dep[rtuese t[ Σ me a.

5. V[re se p[r rrafshet Σ1, Σ2 dhe drejt[zat a, b, k[to pohime jan[ t[ sakta. B[je vizatimin! a) N[se a || b dhe a ⊥ Σ1, at[her[ b ⊥ Σ1.

C

6.

b) N[se Σ1 || Σ2 dhe a ⊥ Σ1, at[her[ a ⊥ Σ2.

N[ vizatim pika M nuk shtrihet n[ rrafshin Σ. Prej M mund t[ l[shojm[ pingule (normale) n[ Σ. Le t[ jet[ M' pika dep[rtuese e asaj normaleje.

Shihe vizatimin, pra mendo dhe p[rgjigju n[ pyetjet. Sa pingule (normale) t[ atilla n[ Σ mund t[ l[shohen prej M? N[p[r M [sht[ t[rhequr drejt[za b q[ e dep[rton Σ n[ pik[n N ≠ M'. Drejt[za b a [sht[ pingule (normale) n[ Σ? }far[ trek[nd[shi [sht[ ΔMM'N? Nxirre p[rfundimin se MM' [sht[ pingulja (normalja) e vetme e Σ e l[shuar prej pik[s M. Sqaro ]'[sht[ pingule (normale) e rrafshit e l[shuar prej pik[s q[ shtrihet jashta rrafshit. P[r segmentin MM' (prej vizatimit) thuhet se [sht[ ortogonale n[ rrafshin Σ, kurse p[r ]do segment tjet[r (sikurse [sht[ MN) - se [sht[ i pjerr[t. Larg[sia MM' quhet edhe larges[ e pik[s M deri te rrafshi Σ. Shprehe p[rkufizimin p[r larges[n e pik[s deri te rrafshi. Prej vizatimit konstato se MM' < MN .

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

167

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ sqarosh ]'[sht[ prerje e dy rrafsheve; Si [sht[ pozita reciproke e dy rrafsheve n[ qoft[ se kan[: a) nj[; b) dy; c) tri pika t[ p[rbashk[ta?

me vizatim t'i paraqesish pozitat reciproke t[ dy rrafsheve; me vizatim t[ sqarosh: k[ndin nd[rmjet dy rrafsheve dhe larges[n prej pik[s deri n[ rrafsh.

P[r drejt[zat a, b dhe rrafshin Σ a jan[ t[ sakta gjykimet (b[je vizatimin): a) N[ qoft[ se a || b dhe drejt[za a e dep[rton Σ, at[her[ edhe drejt[za b e dep[rton Σ. b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ dhe b ⊥ Σ, at[her[ a || b.

Detyra 1. P[r cil[t dy rrafshe thuhet se:

4. Largesa prej pik[s M me rrafshin Σ [sht[ d. Sqaro se p[r gjat[sin[ e ]do segmenti t[ l[shuar prej p[k[s M deri te cila do pik[ X t[

a) jan[ paralel; b) jan[ pingul (normal)?

2. Sa drejt[za pingule (normale) mund t[ t[rhiqen

rrafshit Σ vlen: MX ³ d .

prej pik[s s[ dh[n[, n[ rrafshin e dh[n[?

3. P[r drejt[zat e dh[na a dhe b dhe rrafshet

Σ 1, Σ 2, Σ 3 a jan[ t[ sakta gjykimet? (B[je vizatimin.) a) N[ qoft[ se a || b dhe a || Σ1, at[her[ edhe b || Σ1. b) N[ qoft[ se a ⊥ Σ1 dhe a ⊥ Σ2, at[her[ edhe Σ1 || Σ2. c) N[ qoft[ se Σ1 || Σ2 dhe Σ1 || Σ3, at[her[ edhe Σ2 || Σ3.

4

5. }far[ pozit[ reciproke mund t[ ken[ rrafshi Σ1, q[ kalon n[p[r pikat A, B, C dhe rrafshi Σ2, q[ kalon n[p[r pikat A, B, D?

PROJEKTIMI PARALEL. PROJEKTIMI ORTOGONAL

A 1.

{sht[ dh[n[ rrafshi ∑ dhe drejt[za s q[ nuk [sht[ paralele me ∑. Zgjedh pik[ A dhe n[p[r t[ t[rhiq drejt[z a q[ [sht[ paralele me drejt[z[n s. Drejt[za a e dep[rton rrafshin ∑. (Pse?) Vizato at[ pik[ t[ dep[rtimit dhe sh[noe me A'. Krahaso p[rgjigjen t[nde me p[rgjigjen e dh[n[.

Pika A' quhet projeksion i pik[s A n[ rrafshin ∑ n[ drejtim t[ s. P[r drejt[z[n s thuhet se [sht[ drejtimi projektues. Drejt[za a quhet drejt[za projektuese e pik[s A. P[r rrafshin ∑ thuhet se [sht[ rrafshi projektues. Me k[t[ [sht[ p[rcaktuar pasqyrim i pikave prej hap[sir[s mbi rrafshin ∑. Ky pasqyrim quhet projektim paralel, me drejtimin projektues s.

168

Tema 4. Trupat gjeometrik

2.

Pikat A’ , B’ dhe C’ n[ vizatim jan[ p[rkat[sisht projeksione t[ pikave A, B dhe C. Pse A’ ≡ B’ dhe C’ ≡ C?

3.

Pikat X' dhe Y’ n[ vizatim jan[ projeksione t[ disa pikave, mbi rrafshin ∑, n[ drejtim t[ drejt[z[s s. Cilat pika nga hap[sira proektohen n[ pik[n X’ ? Cilat pika nga rrafshi ∑ proektohen n[ pik[n Y’?

V[re dhe mbaj mend! N[ qoft[ se A’ [sht[ projeksion i pik[s A, at[her[ A’ projektuese q[ kalon nep[r piken A.

[sht[ projeksion i ]do pike t[ drejt[z[s

}do pik[ nga rrafshi projektues puthitet me projeksionin e tij.

4.

Vizato rrafsh ∑ me drejtim projektues s dhe drejt[z p, p s. Zgjedh n[ drejt[z[n p tri pika A, B, C dhe vizatoji projeksionet e tyre A’ , B’ , C’ . (Ke kujdes: pikat A’ , B’ , C’ do t[ jen[ kolineare!)

Kujtohu!

B

}'[sht[ projektim paralel? Figura gjeometrike (edhe rrafshore edhe hap[sinore) paraqet nj[ bashk[si pikash. }donj[ra prej atyre pikave ka projeksion t[ vet gjat[ projektimit t[ tij paralel.

5.

Projeksioni i nj[ figure mbi rrafshin e dh[n[ ∑ [sht[ bashk[sia e pikave q[ jan[ proeksione t[ pikave t[ asaj figure.

N[ k[t[ m[nyr[ projektimi i drejt[z[s n[ rrafshin ∑ , n[ rastin m[ t[ p[rgjithsh[m [sht[ drejt[z, i segmentit - [sht[ segment, i trek[nd[shit - [sht[ trek[nd[sh e me rradh[.

{sht[ dh[n[ rrafshi ∑, drejt[za s dhe s ⊥ ∑, A ∉ ∑, B ∈ ∑. Cakto projeksionet e A dhe B n[ ∑ n[ drejtim t[ s. Shihe dhe p[rcille sqarimin. N[ rastin kur drejtimi proektues [sht[ pingul (normal) n[ rrafshin projektimin e dh[n[ ∑, p[r projektimin paralel thuhet se [sht[ ortogonal, kurse p[r projeksionet thuhet se jan[ projeksione ortogonale. K[shtu, pikat A’ dhe B’ jan[ projeksione ortogonale t[ pikave A dhe B mbi rrafshin ∑.

6.

Shihe vizatimin dhe sqaro se si [sht[ b[r[ nd[rtimi i projeksionit ortogonal a' i drejt[z[s a n[ rrafshin ∑ .

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

169

7.

B[n vizatim n[ fletore sikurse vizatimi i dh[n[ dhe vizato projeksionin ortogonal t[ drejt[z[s a mbi rrafshin ∑.

8.

}'[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit AB n[ rrafshin e dh[n[ ∑: a) n[ rastin kur AB nuk [sht[ pingule (normale) n[ ∑; b) n[ qoft[ se AB || Σ? Shihi vizatimet dhe v[re sqarimet.

qoft[ se A’ dhe B’ jan[ projeksionet e pikave t[ skajshme  Aa) N[ dhe B t[ segmentit AB, at[her[ proeksioni i segmentit AB mbi rrafshin ∑ [sht[ segmenti A’B’. N[ qoft[ se segmenti AB [sht[ paralel me rrafshin e  b)projeksionit ∑ , at[her[ projeksioni i tij A’B’ [sht[ paralel me segmentin e dh[n[, d.m.th. A'B' || AB, A'B' = AB , pasi kat[rk[nd[shi ABB’A’ [sht[ paralelogram. (Pse?)

9.

}'[sht[ projeksioni ortogonal i segmentit, q[ [sht[ normal n[ ∑?

C 10.

Projeksioni i trek[nd[shit, n[ rastin e p[rgjithsh[m [sht[ trek[nd[sh. }far[ pozite reciproke ka rrafshi te i cili shtrihet trek[nd[shi, me rrafshin projektues, projeksioni i trek[nd[shit nuk [sht[ trek[nd[sh?

N[ qoft[ se rrafshi te i cili shtrihet trek[nd[shi [sht[ pingul (normal) n[ rrafshin projektues, at[her[ projeksioni i tij [sht[ segment. Te vizatimi, ΔPQR projektohet n[ segment P'R'.

Duhet t[ dish: t[ sqarosh: projektimin paralel dhe projeksionin ortogonal mbi rrafsh; t[ b[jsh projeksionin ortogonal t[ pik[s, drejt[z[s, segmentit dhe trek[nd[shit mbi rrafsh.

170

Tema 4. Trupat gjeometrik

Kontrollohu! Drejt[za b [sht[ pingule (normale) n[ ∑ me pik[n dep[rtuese P. Cakto projeksionin ortogonal b’ t[ drejt[z[s b. Si [sht[ pozita reciproke e drejt[zave projektuese dhe rrafshit t[ projeksionit gjat[ projeksionit ortogonal?

Detyra 1. Pikat e skajshme t[ segmentit AB shtrihen n[

3. Drejt[zat a dhe b priten. A mundet proek-

an[ t[ ndryshme t[ rrafshit projektues. Cakto projeksionin ortogonal t[ segmentit. B[je vizatimin.

sionet e tyre t[ jen[ dy drejt[za t[ ndryshme paralele?

2. Projeksionet ortogonale t[ segmentave AB dhe CD jan[ A'B' dhe C'D'. Cili prej k[tyre pohimeve [sht[ i sakt[? a) N[ qoft[ se AB = CD , at[her[ A'B' = C'D' . b) N[ qoft[ se AB || CD, at[her[ A'B' = C'D' . c) N[ qoft[ se AB || CD dhe AB = CD , at[her[ A'B' = C'D' .

5

4. Projeksionet A', B', C' t[ pikave A, B, C jan[ kolineare. Pikat A, B, C a jan[ patjet[r kolineare?

5. Pika C [sht[ mesi i segmentit AB. Sqaro se projeksioni C' (i pik[s C) [sht[ mesi i segmentit A'B'.

6. Pika M nuk shtrihet n[ drejt[z[n a. A mundet projeksioni M' t[ shtrihet n[ drejt[z[n a'?

PARAQITJA E TRUPAVE GJEOMETRIK ME VIZATIM

Kujtohu! Me kubin dhe kuboidin je njohur m[ her[t gjat[ shkollimit t[nd. P[r ato din[ t[ njehsosh edhe syprin[n dhe v[llimin. kubi kuboidi

P[rve] k[tyre dy trupave gjeometrik ke njohur edhe trupa t[ tjer[ me form[n: cilindrike, konike dhe t[ topit. Cil[t prej trupave gjeometrik n[ vizatim jan[ me tehe (trupa tehor) kurse cil[t t[ rrumbullak[t?

A 1.

cilindri

topi

koni

Vizato nj[ kuboid n[ fletore.

Gjat[ t[ vizatuarit duhet t[ kesh kujdes p[r k[t[: 1 Faqja e cila [sht[ vendosur n[ ndonj[ rrafsh dhe faqja p[rball[ saj,  quhen baza ( posht[ dhe lart[); ato gjithmon[ jan[ paralele dhe o



paralelograme t[ puthitshme nd[rmjet veti paralelograme. Kjo vlen edhe p[r t[ gjitha prizmat. 2o Faqet an[sore dhe tehet an[sore t[ kuboidit (edhe te prizmat e drejt[) duhet t[ jen[ ortogonale (pingule) me t[ dy bazat.

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

171

 

3o Tehet paralele t[ kuboidit (edhe t[ ]do prizmi) patjet[r jan[ paralele edhe n[ vizatim! 4o T[ gjith[ 12 tehet e kuboidit nuk mund t[ shihen. N[ vizatim, tehet q[ shihen paraqiten me vij[ t[ plot[, dhe ato q[ nuk shihen me vija t[ nd[rprera. Cilat prej tyre do t[ ,,shihen", dhe cilat nuk shihen, varet prej ku shihet kuboidi: a) prej lart[ (sikurse shohin zogjt[ - ,,perspektiva e zogut") ose prej posht[ (sikurse shohin bretkosat - ,,perspektiva e bretkos[s"), ose b) prej an[s s[ djatht[ ose prej an[s s[ majt[. 4 5

3

6 2 1 kontura

prej lart[, nga e djathta

prej posht[, nga e majta



5o Gjasht[ tehet q[ e formojn[ kontur[n te vizatimi (1, 2, ..., 6) ,,shihen". Shihi tehet prej 1 deri 6; ato shihen edhe n[ dy vizatimet tjera.



6o Prej 6 teheve tjera duhet t[ vler[sosh: cil[t prej tre teheve kan[ kulm t[ p[rbashk[t i cili nuk shihet. Ato tehe nuk shihen.

B

Shpesh her[ (por edhe rekomandohet), trupat gjeometrik t[ vizatohen ashtu q[ t[ shihen prej lart[ dhe na ana e djatht[.

2.

T[ vizatojm[ pjes[risht nj[ kuboid (me tehe: a, b, c). Vizato n[ fletore, duke i p[rcjellur hapat prej a) deri n[ ]): a

a) vizato drejtk[nd[sh me brinj[ a dhe c (faqeja e p[rparme an[sore);

b

b

b) vizato baz[n e sip[rme; c) prej kulmeve t[ baz[s s[ sip[rme l[sho (dy) tehe an[sore me gjat[si c dhe paralele me c; ]) tani mund t[ vizatohet edhe baza e posht[me dhe t[ shihet cilat tehe nuk shihen.

c a

c

c

c

c

c b

a

a

a

a

a)

b)

c)

d)

Vizato kub q[ e sheh a) prej lart[ dhe nga ana e djatht[;

3.

b) prej lart[ dhe nga ana e majt[. Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[. a)

172

Tema 4. Trupat gjeometrik

b)

4.

Vizato kubin q[ shihet: a) prej posht[ dhe nga ana e djatht[; b) prej posht[ dhe nga ana e majt[. Krahaso vizatimin t[nd me vizatimin e dh[n[. a)

C

5. 6.

b)

Shihi vizatimet. Te ato jan[ paraqitur nj[ priz[m e drejt[ gjasht[k[ndore dhe dy piramida (nj[ra trek[ndore dhe tjetra kat[rk[ndore). K[to trupa tehor do t'i hasish n[ m[simet q[ pasojn[.

Vizato priz[m t[ drejt[ trek[ndore. Vizato piramid[ me baz[ pes[k[nd[sh.

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t[ paraqesish trup gjeometrik me vizatim. Vizato nj[ kuboid q[ shihet prej lart[ dhe nga ana e majt[.

Detyra P[rpiqu t[ num[rosh...

1. Vizato kub me brinj[ a = 2,5 cm. 2. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prej lart[ dhe: a) nga ana e djatht[;

b) nga ana e majt[.

3. Vizato kuboid me baz[ katror q[ shihet prej posht[ dhe: a) nga ana e majt[

b) nga ana e djatht[

4. Paraqit nj[ kuboid n[ kat[r rastet e shiqimit.

Nj[ bllok druri n[ form[ t[ kubit me teh prej 3 dm [sht[ ngjyrosur me ngjyr[ t[ kuqe (d.m.th. me ngjyr[ t[ kuqe) n[ gjasht[ faqet. Zdrukthtari e ka prer[ n[ 27 kube ]donj[rin me teh 1 dm. a) Sa kube nuk kan[ asnj[ faqe t[ ngjyrosur me t[ kuqe? b) Sa kube ka me nga nj[ faqe t[ kuqe? c) Sa kube ka me nga dy faqe t[ kuqe? ]) Sa kube ka me nga tre faqe t[ kuqe? d) Sa kube ka me nga kat[r faqe t[ kuqe?

Pika, drejtëza dhe rrafshi në hapësirë

173

PRIZMI

6

PRIZMI. LLOJET E PRIZMAVE. PRERJET DIAGONALE

A

Kujtohu! Kubi dhe kuboidi jan[ figura gjeometrike hap[sinore. }far[ figura gjeometrike jan[ faqet e tyre? N[ nj[r[n prej tyre t[ gjitha faqet jan[ figura t[ puthitshme. }far[? Vizato nj[ kub dhe nj[ kuboid dhe sqaro se p[r ]far[ ndryshojn[.



P[rcjelle sqarimin se si fitohet prizmi.

Meren dy rrafshe t[ ndryshme paralele Σ dhe Σ1, skurse n[ vizatim.



Meret edhe nj[ shum[k[nd[sh, p[r shembull pes[k[nd[shi ABCDE, q[ shtrihet n[ Σ.



Pastaj, meret edhe nj[ drejt[z p q[ i dep[rton ato dy rrafshe.



N[p[r kulmet e shum[k[nd[shit t[ zgjedhur t[rhiqen drejt[za paralele me drejt[z[n p; n[ vizatim, pikat e tyre dep[rtuese t[ rrafshit Σ1 sh[nohen p[rkat[sisht me A1, B1, C1, D1, E1.

1.

N[ lidhje me vizatimin, konstato cil[t prej k[tyre pohimeve jan[ t[ sakt[ dhe pse. AA1 || BB1 dhe AA1 = BB1 . AB || A1B1 dhe AB = A1B1 . EAB = E1A1B1. V[re se tre pohimet jan[ t[ sakta. Prej aty mund t[ p[rfundosh se: a) kat[rk[nd[shat ABB1A1, BCC1B1 etj. jan[ paralelograme; b) pes[k[nd[shi A 1B 1C 1D 1 E 1 [sht[ i puthitsh[m me pes[k[nd[shin ABCDE. Figura gjeometrike q[ p[rb[het prej atyre dy pes[k[nd[shave dhe pes[ paralelogram[ve t[ ve]uar [sht[ paraqitur n[ vizatim. Ajo [sht[ nj[ sip[rfaqe q[ e ndan bashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona: e brendshme dhe e jashtme.

174

Tema 4. Trupat gjeometrik

Zona e brendshme, s[ bashku me at[ sip[rfaqe, formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet priz[m pes[k[ndor N[ t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ fitohet edhe: priz[m trek[ndor, priz[m kat[rk[ndor etj. Trek[nd[shat, kat[rk[nd[shat, pes[k[nd[shat etj., q[ e p[rcaktojn[ form[n e prizmit, quhen baza t[ prizmit. Faqet tjera jan[ paralelogram[ - ato jan[ faqe an[sore, kurse unioni i tyre, pra, quhet sip[rfaqe an[sore. }do priz[m ka dy baza dhe sip[rfaqe an[sore. Kulmet e bazave jan[ kulmet e prizmit, kurse brinj[t (segmentat) e bazave dhe t[ faqeve an[sore jan[ tehe, dhe at[: tehe te baz[s dhe tehe an[sore.

2.

N[ vizatim jan[ paraqitur dy trek[nd[sha dhe nj[ kuad[r, d.m.th. priz[m kat[rk[ndor. Em[rtoji bazat e t[ tre prizmave. Em[rtoji faqet an[sore t[ dy prizmave trek[ndore. Sa kulme dhe sa tehe ka nj[ priz[m kat[rk[ndor? Cil[t tehe jan[ t[ baz[s, dhe cil[t jan[ tehe an[sore te prizmi pes[k[ndor nga detyra paraprake?

3.

Num[roji kulmet (k), faqet (f) dhe tehet (t) t[ prizmit pes[k[ndor nga vizatimi i sip[rm, dhe provo a vlen barazia: f + k = t + 2..

B

Prizmi te i cili tehet an[sore jan[ pingule(normale) n[ bazat quhet priz[m i drejt[. T[ atilla jan[ prizmat I dhe II n[ vizatim.

Prizmi ku tehet an[sore nuk jan[ normale n[ bazat quhet prizmi i pjerr[t. Prizma t[ atilla jan[ III dhe IV n[ vizatim. Prizmi kat[rk[ndor quhet paralelopiped.

4.

I

II

III

IV

Em[rtoji prizmat I - IV n[ vizatim: sipas llojit t[ baz[s; sipas pozit[s s[ teheve an[sore (ndaj baz[s); sipas llojit t[ bazave dhe pozit[s t[ teheve an[sore. }do priz[m i drejt[ me baz[ shum[k[nd[sh t[ rregullt quhet priz[m i rregullt. K[shtu, p[r nj[ priz[m t[ drejt[ me baz[ katror thuhet se [sht[ prizmi i rregullt kat[rk[ndor.

Prizmi

175

5.

Sa dhe ]far[ faqe ka: a) prizmi kat[rk[ndor; b) prizmi i drejt[ kat[rk[ndor;

c) prizmi i rregullt kat[rk[ndor; ]) prizmi i rregullt gjasht[k[ndor?

Mbaj mend Larg[sia nd[rmjet bazave paralele t[ nj[ prizmi quhet lart[sia e prizmit. P[r prizmin n[ vizatimin IV ai [sht[, p[r shembull, gjat[sia e segmentit MM’, kurse p[r prizmin e drejt[ II ajo [sht[ gjat[sia e cilitdo tehu an[sor, p[r shembull AA1.

C

Shihi vizatimet dhe v[re: N[ qoft[ se nj[ priz[m pritet me rrafsh fitohet shum[k[nd[sh i cili quhet prerja e prizmit.

Prerja e prizmit me rrafsh q[ kalon n[p[r dy tehe an[sore jofqinje t[ prizmit quhet prerje diagonale.

Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ dy kulme t[ nj[ prizmi, q[ nuk shtrihen n[ faqen e nj[jt[, quhet diagonale hap[sinore ose vet[m diagonalja e prizmit. P[r prizmin te vizatimi segmenti DB1 [sht[ diagonale hap[sinore.

6.

Te vizatimi i m[ sip[rm [sht[ paraqitur (hijezuar) prerja diagonale ACC1A1 e prizmit pes[k[ndor ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1. Em[rto t[ pakt[n edhe dy prerje diagonale t[ tij. Si do t[ sqarosh se ]do prerje diagonale [sht[ paralelogram ku nj[ri ]ift i brinj[ve [sht[ ]ifti ,,diagonalet p[rkat[se" t[ bazave? }far[ paralelogrami [sht[ prerja diagonale e prizmit t[ drejt[? Sa prerje diagonale ka prizmi: a) pes[k[ndor; b) gjasht[k[ndor; c) tet[k[ndore?

7.

N[ lidhje me vizatimin paraprak, p[rgjigju n[ k[to k[rkesa. Em[rtoji t[ gjitha diagonalet (hap[sinore) t[ prizmit kat[rk[ndor ABCDA1B1C1D1. (Ke kujdes, ka 4 diagonale!) Sa diagonale ka prizmi pes[k[ndor n[ vizatim? Sa diagonale t[ prizmit shtrihen n[ nj[ prerje t[ tij diagonale? }far[ jan[ ato p[r prerjen?

176

Tema 4. Trupat gjeometrik

Duhet t[ dish: Kontrollohu! t'i njohish dhe em[rtosh llojet e prizmave; t[ em[rtosh elementet e prizmit (bazat, faqet an[sore, tehet...); t[ p[rkufizosh dhe t[ vizatosh prerjen e prizmit, prerjen diagonale dhe diagonalen hap[sinore t[ prizmit.

Detyra 1. Sa faqe an[sore ka prizmi i drejt[ shtat[k[ndor? }far[ shum[k[nd[sha jan[ ato?

A mundet bazat e nj[ prizmi t[ dallohen sipas numrit t[ brinj[ve? Numri i p[rgjithsh[m i teheve t[ nj[ prizmi a mund t[ jet[: a) 6; b) 9; c) 12, ]) 15? }'[sht[ prizmi i drejt[? }'[sht[ prizmi i rregullt?

4. A mundet bazat e prizmit t[ pjerr[t t[ jen[ shum[k[nd[sha t[ rregullt?

5. A ekziston priz[m me: 2. Sa faqe ka prizmi n-k[ndor?

a) 4;

b) 8;

c) 13 faqe?

6. Sa diagonale (hap[sinore) mund t[ t[rhiqen 3. Si [sht[ lidhja nd[rmjet numrit f t[ faqeve an[-sore dhe numrit t t[ teheve t[ baz[s?

7

prej nj[ kulmi t[ baz[s s[ sip[rme te prizmi: a) trek[ndor; b) pes[k[ndor; c) gjasht[k[ndor?

PARALELOPIPEDI. RRJETI DHE SYPRINA E PRIZMIT

Kujtohu! }far[ shum[k[n[shash jan[ faqet an[sore t[ nj[ prizmi? }'[sht[ prizmi i: a) drejt[, b) pjerr[t? P[r cilin priz[m thuhet se [sht[ i rregullt? Kuboidi a [sht[ priz[m i rregullt? Kubi a [sht[ priz[m i rregullt?

1.

T[ gjasht[ faqet e paralelopipedit jan[ paralelograme. Prej tyre mund t[ formohen tre ]ifte faqe t[ p[rballta (d.m.th. ]ifte t[ faqeve q[ nuk kan[ tehe t[ p[rbashk[ta.

V[re ]iftin e faqeve t[ p[rballta ADD1A1 dhe BCC1B1 t[ paralelopipedit nga vizatimi dhe p[rgjigju n[ k[rkesat. Em[rto dy ]ifte tjera t[ faqeve t[ p[rballta. Si jan[ nd[rmjet vedi, sipas pozit[s reciproke dhe gjat[sis[, tehet: AD dhe BC; AA1 dhe BB1; AB dhe A1B1? ď‚“A1AD = ď‚“B1BC. Pse? Nxirre p[rfundimin se faqet ADD 1 A 1 dhe BCC 1 B 1 jan[ paralelograme t[ puthitshme.

Prizmi

177

N[ p[rgjith[si vlen Te paralelopipedi ]far[do dy faqe reciprokisht t[ p[rballta jan[ paralele dhe t[ puthitshme.

P[r cilin paralelopiped mund t[ themi se [sht[ paralelopiped i drejt[ dhe p[r cilin i pjerr[t?

Pasi paralelopipedi [sht[ priz[m, mund t[ themi se ai [sht[ i drejt[ n[ qoft[ se tehet an[sore jan[ normale me bazat. N[ qoft[ se ato nuk jan[ pingule (normale) n[ bazat, at[her[ paralelopipedi [sht[ i pjerr[t.

Paralelopipedi [sht[ i drejt[ dhe e ka baz[n drejtk[nd[sh quhet paralelopiped k[nddrejt ose kuboid. Gjat[sit[ e t[ tre teheve q[ dalin prej nj[ kulmi (p[r shembull, n[ vizatim: AB, BC, BB1) quhen p[rmasa (dimensione) t[ kuboidit. Kuboidi te i cili p[rmasat jan[ t[ barabarta quhet kub.

2.

N[ vizatim, v[re prerjen diagonale BDD1B1 t[ kuboidit, mendo dhe p[rgjigju n[ pyetjet. }far[ kat[rk[nd[sha jan[ prerjet diagonale t[ kuboidit? Si jan[ nd[rmjet veti, sipas madh[sive dhe pozit[s reciproke, diagonalet hap[sinore BD1 dhe DB1? Sa diagonale hap[sinore ka kuboidi? Si jan[ ato nd[rmjet veti sipas madh[sis[ dhe pozit[s reciproke? Shihe kat[rk[nd[shin BCD1A1 n[ vizatim. Ai [sht[ drejtk[nd[sh (pse?) dhe diagonalet e tij BD1 dhe CA1 jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Prandaj:

CA1 = BD1 = DB1 (= AC1 ) .

Mbaj mend Te kuboidi t[ gjitha diagonalet hap[sinore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti. Ato priten n[ nj[ pik[ dhe p[rgjysmohen me at[.

3.

N[ vizatim [sht[ paraqitur kuboidi me p[rmasa a, b, c. Shihe diagonalen hap[sinore BD 1 dhe mendo se si do t[ p[rfundosh p[r gjat[sin[ d = BD1 vlen: d = a2 + b2 + c2

178

Tema 4. Trupat gjeometrik

Q[ ta nxjerrish p[rfundimin e k[rkuar, v[re se: a) DBAD [sht[ k[nddrejt, pra BD2 = a 2 + b2 (pse?); b) DBDD1 [sht[ k[nddrejt, pra d 2 = BD2 + c 2 (pse?). Prandaj vlen barazimi: d 2 = a2 + b2 + c2.

4.

Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa 8 cm, 6 cm, 24 cm.

B

Le t[ jet[ kat[rk[ndore.

dh[n[

nj[

priz[m

Paramendo se [sht[ ,,e prer[" sipas nj[ tehu an[sor dhe n[p[r tre tehet e bazave t[ dy bazave, sikurse n[ vizatim. N[ qoft[ se, pastaj, t[ gjitha faqet e tij i hapim n[ nj[ rrafsh, do t[ fitojm[ nj[ figur[ e cila quhet rrjeti i atij prizmi.

Mbaj mend }do priz[m i drejt[ e ka rrjetin e tij. Rrjeti p[rb[het prej dy shum[k[nd[shave (baza t[ prizmit) dhe prej nj[ drejtk[nd[shi me dimensione: P (perimetri i baz[s) dhe H (gjat[sia e tehut an[sor, d.m.th. lart[sia) e prizmit.

5.

Figura p[rb[het prej nj[ drejtk[nd[shi dhe dy trek[nd[shave t[ puthitsh[m, ,,t[ ngjitur" te drejtk[nd[shi. Sqaro se ai [sht[ rrjeti i nj[ prizmi trek[ndor t[ drejt[. A [sht[ ai priz[m i drejt[? Pse?

6.

T[ tre figurat a jan[ rrjeta t[ kubeve? P[rpiqu t[ formosh kubin ose b[j model.

a)

b)

Prizmi

c)

179

C

Kujtohu!

Shihe vizatimin te i cili [sht[ paraqitur nj[ priz[m shum[k[ndore dhe v[re t[ cilit lloj t[ shum[k[nd[shave jan[ faqet e tij.

Sip[rfaqja e nj[ prizmi shum[k[ndor p[rb[het prej: dy bazave (t[ cilat jan[ shum[k[nd[sha t[ puthitsh[m) dhe sip[rfaqja an[sore (e cila p[rb[het prej paralelogram[ve).

Shuma e sip[rfaqeve t[ t[ gjitha faqeve t[ nj[ prizmi quhet syprina e prizmit.

S = 2B + M

P[r syprin[n S t[ nj[ prizmi kemi:

B - syprina e nj[r[s baz[; M - syprina e baz[s an[sore (mb[shtjell[si).

7.

Njehso syprin[n e prizmit trek[ndor t[ drejt[ me tehet e baz[s a = 6 cm, b = 25 cm, c = 29 cm dhe lart[si H = 35 cm. Zgjidhjen t[nde krahaso me zgjidhjen e dh[n[.

 Syprina B e baz[s mund t[ njehsohet me formul[n e Heronit:

B = s( s - a )( s - b)( s - c) , 2s = a + b + c = P; 2s = 6 + 25 + 29 = 60; s = 30;

B = 30 ⋅ 24 ⋅ 5 ⋅ 1 = 3600 = 60 , d.m.th. B = 60 cm2.

 Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej tre drejtk[nd[shave, pra p[r syprin[n e tij M kemi:

M = a ⋅ H + b ⋅ H + c ⋅ H = (a + b + c) ⋅ H = P ⋅ H = 60 ⋅ 35, d.m.th. M = 2100 cm2.

[sht[:  Dometh[n[, syprina SS =e 2Bprizmit + M = 2 ⋅ 60 + 2100 = 2220,

d.m.th. S = 2220 cm2.

N[ p[rgjith[si Syprina M e sip[rfaqes an[sore t[ prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[n:

M = P ⋅ H, ku P [sht[ perimertri i baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit.

8. 9.

180

Njehso M e prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndore me tehun a = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm. Syprin[n e kuboidit dhe t[ kubit e ke njehsuar edhe m[ par[.

Tema 4. Trupat gjeometrik

V[re dhe sqaro: Syprina e kuadrit me p[rmasa a, b, c (shprehi me t[ nj[jt[n nj[si mat[se) njehsohet me formul[n:

S= 2(ab + ac + bc), Syprina e kubit me teh a:

S = 6a2. Njehso tehun e kubit me syprin[ S= 61,44 cm2.

10.

Sqaro formulat p[r njehsimin e syprinave t[:

a2 3  3aH ; 2

a) prizmit t[ rregullt[ trek[ndor

S

b) prizmit t[ rregullt[ kat[rk[ndor:

S = 2a (a + 2H);

c) prizmit t[ rregullt[ gjasht[k[ndor: S  3a ( a 3  2 H ) . . me tehun e baz[s a dhe lart[si H.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t[ njohish dhe t[ skicosh paralelopiped dhe t'i shprehish vetit[ e tij;

Cakto formul[n p[r gjat[sin[ d t[ diagonales s[ kubit me brinj[ a.

t[ vizatosh kuboid dhe kub si edhe rrjetin e llojeve t[ ndryshme t[ prizmave;

Vizato rrjetin e prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor.

t[ shprehish m[nyr[n e p[rgjithshme dhe t[ njehsosh syprin[n e llojeve t[ ndryshme t[ prizmave.

Njehso syprin[n e prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si 10 cm.

Detyra 1. Njehso syprin[n e: a) kuboidit me p[rmasa 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm; b) kubit me teh 2,5 cm.

3. Njehso lart[sin[ e prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor, n[ qoft[ se syprina e sip[rfaqes an[sore [sht[ M = 160 cm2, kurse syprina e prizmit [sht[ S= 210 cm2.

2. Syprina e nj[ kubi [sht[ 294 cm2. Njehso tehun dhe diagonalen e kubit.

Prizmi

181

4. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmi i rregullt kat[rk[ndor t[ caktohen t[ panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[: a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm; b) a = 12 cm, M = 432 cm2; c) a = 8 cm, S = 480 cm2; ]) B = 49 cm2, H = 12 cm; d) B = 81 dm2; S = 342 dm2; dh) H = 8 dm, M = 208 dm2; e) M = 120 dm2, B = 36 dm2; [) M = 180 cm2, S = 342 cm2.

7. Prizmi i drejt[ me tehun e baz[s 12 cm e ka baz[n romb me diagonale 6 cm dhe 8 cm. Cakto syprin[n e prizmit.

8. Cil[t prej figurave t[ dh[na 1 - 8 paraqesin rrjete t[ kubit?

1

2 3

5. Sa her[ do t[ zmadhohet syprina e nj[ kubi, n[ qoft[ se tehu i tij zmadhohet tre her[?

5 4

6. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S te prizmi trek[ndor i rregullt cakto t[ panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ centimetra): a) a = 6, H = 15; b) a = 4, M = 108; c) a = 12,

;

d) M = 270, B = 9 3 ;

6

8

7

]) B = 4 3 , H = 9; dh) M = 240, S ≈ 326,5.

A mundet merimanga t[ arrin[ deri te miza?

Mz

N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i rregullt kat[rk[ndor me tehun e baz[s 1 cm dhe lart[si 3 cm. Nj[ merimang[ (P) dhe nj[ miz[ (M) jan[ n[ pozit[n sikurse n[ vizatim. Merimanga e ka pyetur miz[n: ,,A do t[ m[ presish t[ vij[ deri te ty?" Miza i [sht[ p[rgjigjur: ,,Do t[ pres[ n[ qoft[ se i plot[son k[to dy kushte: 1) t[ kalosh n[p[r t[ gjitha kat[r faqet ansore dhe 2) rruga e kaluar t[ mos jet[ m[ e madhe se 5 cm."

182

Tema 4. Trupat gjeometrik

Mr

8

V{LLIMI I POLIEDRIT. V{LLIMI I KUBOIDIT DHE KUBIT

Kujtohu!

A

Kubi, kuboidi dhe prizmat tjera jan[ figura tjera hap[sinore. Ato ,,z[n[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s" dhe quhen trupa gjeometrike.

N[ vizatim jan[ vizatuar modele t[ trupave geometrike. Em[rto ]donj[rin prej tyre. Cil[t prej tyre jan[ tehor, kurse cil[t trupa rrotulluese?

P[rve] tyre ka edhe trupa t[ tjera gjeometrike.

3

1

4

2

6 5

N[ p[rgjith[si Trupi gjeometrik [sht[ pjes[ e mbyllur e kufizuar e hap[sir[s. N[ qoft[ se sip[rfaqja e trupit p[rb[het vet[m prej shum[k[nd[shave, at[her[ p[r at[ thuhet se [sht[ trup tehor ose polied[r (si] jan[, prizmi, dhe piramida). N[ qoft[ se tani, disa pjes[ t[ sip[rfaqes q[ e kufizojn[ trupin jan[ t[ lakuara, at[her[ p[r at[ themi se [sht[ trup rrotullues (p[r shembull: cilindri, koni dhe topi).

2.

Em[rto tre sende (d.m.th. ,,trupa fizik") nga rrethi i yt q[ e kan[ form[n e trupit gjeometrik: a) tehor, b) rrotullues.

3.

N[ vizatim jan[ paraqitur dy prizma, bazat e t[ cil[ve jan[ trek[nd[sha t[ puthitsh[m (ΔABC ≅ ΔMNP),kurse tehet an[sore i kan[ t[ barabarta ( AA1 = MM1 ) .

}do t[ ndodh n[ qoft[ se p[r ndonj[ l[vizje t[ kulmeve A, B, C puthitet me kulmet M, N, P p[rkat[sisht, kurse kulmet A1, B1, C1 puthiten me kulmet M1, N1, P1, p[rkat[sisht? V[ren se, me at[ l[vizje, prizmat do t[ sillen deri n[ puthitje t[ plot[sishme. P[r k[t[ shkak themi se ato jan[ t[ puthitshme nd[rmjet veti.

Mbaj mend P[r dy figura gjeometrike (kurse ve]an[risht, p[r dy trupa gjeometrik) mund t[ thuhet se jan[ t[ puthitshme, n[ qoft[ se ato, me ndonj[ l[vizje, mund t[ sillen deri n[ puthitje.

Prizmi

183

4.

Kuboidi n[ vizatimin a) [sht[ prer[ me rrafshin EFF1E1, ashtu q[ fitohen dy kuboide. Ato kan[ faqe t[ p[rbashk[ta, por nuk kan[ pika t[ brendshme t[ p[rbashk[ta. P[r ato themi se jan[ pjes[ p[rb[r[se (ose p[rb[r[sa) t[ kuboidit t[ dh[n[. N[ sa pjes[ p[rb[r[se [sht[ ndar[ prizmi n[ vizatimin b)? Em[rtoji ato pjes[. a)

b)

Kujtohu! Cakto v[llimin e kuboidit me p[rmasa a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm; Numrin q[ e fitove poashtu (45 cm 3) e karakterizon madh[sin[ e pjes[s s[ brendshme t[ kuboidit. }'tregon ai num[r (45 cm3)? Ai num[r tregon se te kuboidi i dh[n[ mund t[ vendosim 45 kube me teh 1 cm, d.m.th. 45 kube me v[llim 1 cm3. Prandaj themi se ai kuboid e ka v[llimin 45 cm3.

B

}do trup formon ndonj[ pjes[ t[ hap[sir[s. P[r ,,madh[sin[" e pjes[s s[ brendshme t[ trupit, d.m.th. t[ pjes[s s[ kufizuar nga hap[sira thuhet se [sht[ v[llimi i trupit.

Detyra e p[rgjithshme p[r p[rcaktimin, d.m.th. p[r matjen e v[llimit t[ trupit [sht[ e ngjashme me detyr[n p[r matjen e syprin[s s[ figur[s s[ rrafshit. P[rkat[sisht, madh[sia e pjes[s s[ brendshme t[ nj[ trupi gjeometrik, por ve]an[risht t[ poliedrit mund t'i shoq[rohet nj[ num[r real i cili quhet v[llimi i trupit.

Mbaj mend Cilitdo polied[r mund t'i shoq[rohet numri real V, q[ quhet v[llimi i poliedrit, ashtu q[ t[ plot[sohen k[to kushte (aksiomat p[r v[llimin).

1o 2o

V[llimi V i cilitdo polied[r [sht[ num[r pozitiv, d.m.th. V > 0.

3o

N[ qoft[ se nj[ polied[r [sht[ ndar[ n[ pjes[ p[rb[r[se, at[her[ v[llimi i tij V [sht[ i barabart[ me shum[n e v[llimeve V1 dhe V2 t[ pjes[ve p[rb[r[se, d.m.th.. V = V1 + V2.

184

N[se dy poliedra jan[ t[ puthitsh[m, at[her[ v[llimet e tyre V1dhe V2 jan[ t[ barabart[, d.m.th. V1 = V2.

Tema 4. Trupat gjeometrik

4o 5.

Meret se kubi me teh 1 cm (1 dm, p[rkat[sisht, 1m, etj) e ka v[llimin 1 cm3 (1 dm3, p[rkat[sisht 1m3, etj.). Te kuboidi n[ figur[n a) te detyra 4 jan[ sh[nuar p[rmasat e tij, si edhe p[rmasat e dy kuboideve t[ tij p[rb[r[s. Njehso v[llimin V t[ kuboidit, dhe pastaj edhe v[llimet V1 dhe V2 t[ p[rb[r[sve t[ tij. Provo, p[r k[t[ rast, aksiomat (1o dhe 3o) p[r v[llimin.

6.

Si mundet prej aksiom[s 3o t[ nxirret p[rfundimi se v[llimi i nj[ poliedri [sht[ m[ i madh se v[llimi i ]far[do pjese t[ tij p[rb[r[se?

Ke kujdes dhe mbaj mend N[ lidhje me kushtin 4o, [sht[ shum[ e r[nd[sishme t[ konstatohet nj[sia themelore mat[se p[r v[llimin. P[r nj[sin[ e atill[ mund t[ meret v[llimi i cilitdo kub. Por, me Sistemin Nd[rkomb[tar t[ nj[sive mat[se (SI), [sht[ p[rvet[suar t[ jet[ kubi me teh 1 m i cili quhet met[r kub; shenja: m3.

7.

Cilat jan[ nj[sit[ m[ t[ vogla q[ nxirren prej met[r kubit? Sa: a) decimet[r kub (dm3); n[ 1 m3? Njehso n[ m3: a) 2 350 dm3;

b) centimet[r kub (cm3); b) 625 000 cm3;

c) milimet[r kub (mm3) p[rfshihen

c) 55 ⋅ 106 mm3.

P[r matjen e v[llimit (zakonisht t[ l[ngjeve) p[rdoret edhe nj[sia mat[se litri (l) Gjat[ s[ cil[s: 1  = 1 dm3.

8.

C

Sa litra ka n[:

a) 35 dm3;

b) 2 500 cm3;

c) 2 m3?

N[ baz[ t[ aksiomave p[r v[llim mund t[ v[rtetohet se v[llimi V i kuboidit me p[rmasa a, b, c, mund t[ njehsohet me formul[n (q[ e din[):

V = abc kurse i kubit me tehun a (d.m.th. kuboidit me p[rmasa a = b = c):

V = a3 Formula p[r v[llimin e kuboidit mund t[ shkruhet edhe n[ form[n:

V=B⋅H

ku B = a ⋅ b [sht[ syprina e baz[s, kurse H = c [sht[ lart[sia e kuboidit.

Prizmi

185

9.

Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit, baza e t[ cilit e ka tehun a = b = 25 cm, nxen 25 6 uj[. Sa [sht[ lart[sia e kov[s?

Duhet t[ dish: t[ njehsosh v[llimin e kuboidit dhe kubit me shembulla t[ ndryshme praktike; t'i shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin.

Kontrollohu! Sa kube me teh 1 cm, mund t[ vendosen te kubi me teh a) 2 cm, b) 3 cm, c) 1 dm? Nj[ kov[ n[ form[ t[ kuboidit me p[rmasa a = b = 30 cm dhe lart[sia H = 40 cm. Sa litra uj[ nxen kova?

Detyra

1. Njehso v[llimin e kubit me syprin[ 54 cm2.

6. V[llimi i nj[ kubi [sht[ i barabart[ me v[llimin e nj[ kuboidi me p[rmasa 8 cm, 4 cm, 2 cm. Njehso syprin[n e kubit.

2. P[rmasat e nj[ kuboidi jan[: 16 cm, 4 dm, 1 m. Cakto tehun e kubit q[ e ka v[llimin e barabart[ me v[llimin e kuboidit.

7. Q[ t[ b[het nj[ mur i lart[ 2,80 m dhe i gjer[

3. Te ndonj[ kub, syprina n[ cm2 dhe v[llimin

40 cm jan[ shpenzuar 2 600 tjegulla. Dihet se p[r 1 m3 mur jan[ shfryt[zuar 400 tjegulla. Sa [sht[ i gjat[ muri?

n[ cm3 jan[ shprehur me num[r t[ nj[jt[. Sa [sht[ tehu i kubit?

8. Nj[ priz[m i drejt[ e ka lart[sin[ 8 cm dhe ba4. Nj[ kuboid e ka baz[n katror me brinj[ 4 cm dhe syprin[n an[sore M = 112 cm2. Njehso v[llimin e atij kuboidi.

5. Baza e nj[ kuboidi i ka tehet 6 cm dhe 8 cm, kurse diagonalja e atij kuboidi [sht[ 26 cm. Cakto v[llimin e atij kuboidi.

186

Tema 4. Trupat gjeometrik

z[n trek[nd[sh k[nddrejt me kateta a = 3 cm dhe b = 4 cm. Njehso v[llimin e tij, duke pasur parasysh se ai [sht[ gjysma e kuboidit me p[rmasa 3 cm, 4 cm, 8 cm.

9

V{LLIMI I PRIZMIT T{ RREGULLT

Kujtohu!

A

P[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[ me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt vlen formula e nj[jt[ sikurse p[r kuboidin:

V[llimi i kuboidit me p[rmasa a, b, c njehsohet me formul[n V = abc. Si fitohet formula p[r njehsimin V = BH t[ v[llimit t[ kuboidit t[ nj[jt[? P[r kubin e din[ se V = a3. P[r at[ a vlen: V = BH? Si njehsohet syprina e trek[nd[shit k[nddrejt me katete a dhe b?

V = BH, ku B [sht[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit. P[rcille sqarimin e k[tij pohimi.



Te vizatimi a) [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ me lart[si H dhe baz[ trek[nd[sh k[nddrejt me katete a dhe b.



te vizatimi b) prizmi i dh[n[ [sht[ plot[suar n[ kuboid me priz[m tjet[r q[ [sht[ i puthitsh[m me t[.



V[llimi Vk i kuboidit [sht[ dy her[ m[ i madh se v[llimi V i prizmit t[ dh[n[ trek[ndor, d.m.th. Vk = 2V (pse?).



E dijm[ se Vk = abH, pra: 2V = abH, d.m.th.. V =



Pasi

1.

Shprehe me fjal[ formul[n p[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ drejt[ me baz[ trek[nd[sh k[nddrejt.

2.

Trek[nd[shi k[nddrejt me kateta 6 dm dhe 8 dm [sht[ baza e prizmit t[ drejt[ me lart[si 1,5 m. Njehso v[llimin e atij prizmi.

B

ab ⋅H . 2

a)

b)

ab ab [sht[ syprina e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[ (pse?), d.m.th. B = , 2 2 p[r v[llimin e prizmit mund t[ shkruajm[: V=B⋅H

3.

Vizato ]far[do trek[nd[sh dhe ndaje n[ dy trek[nd[sha k[nddrejt p[rb[r[s.

At[ mundesh gjithmon[ ta b[jsh (sikurse n[ vizatim) me lart[si t[ l[shuar nga brinja e tij m[ e madhe.

4.

N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ me baz[ ]far[do trek[nd[sh. Sqaro se si [sht[ prer[ prizmi dhe me at[ [sht[ ndar[ n[ dy prizma t[ drejt[ p[rb[r[s me baza trek[nd[sha k[nddrejt.

Prizmi

187

Shfryt[zoe at[ q[ t[ tregosh se v[llimi V i prizmit trek[ndor t[ dh[n[ njehsohet me formul[n V = B ⋅ H. (B - syprina e baz[s, H - lart[sia). V[re se, n[ qoft[ se V1 = B1 ⋅ H dhe V2 = B2 ⋅ H jan[ v[llimet e prizmave p[rb[r[se, at[her[ (sipas aksiom[s 3o p[r v[llimin), v[llimi V i prizmit t[ dh[n[ do t[ jet[: V = V1 + V2 = B1H + B2H = (B1 + B2) ⋅ H. N[ qoft[ se e sh[nojm[ me B syprin[n e baz[s t[ prizmit t[ dh[n[, at[her[ B = B1 + B2, pra

V=B⋅H d.m.th. v[llimi i prizmit trek[ndor t[ rregullt [sht[ i barabart[ me prodhimin e lart[sis[ dhe syprin[s s[ baz[s s[ prizmit.

5.

Trek[nd[shi me brinj[ a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm [sht[ baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[si H = 20 cm. Njehso v[llimin e prizmit.

6.

Njehso v[llimin e prizmit trek[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm.

C

7.

N[ vizatim [sht[ paraqitur prizmi i drejt[ pes[k[ndor dhe prej nj[ kulmi jan[ t[rhequr dy diagonale t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe p[rgjigju n[ pyetjet.

Sa prerje diagonale mund t[ vendosen n[p[r nj[ kulm t[ baz[s? Sa prizma trek[ndore t[ drejta p[rb[r[se mund t[ fitohen me ato prerje? N[ qoft[ se V1, V2, V3 [sht[ v[llimi i prizmit trek[ndor t[ drejt[ I, II, III p[rkat[sisht, si mund t[ shprehet v[llimi V i prizmit pes[k[ndor? N[ qoft[ se B [shjt[ syprina e baz[s, kurse H [sht[ lart[sia e prizmit pes[k[ndor, si do ta shkruajsh formul[n p[r v[llimin e tij? Sigurisht je p[rgjigjur se v[llimi i prizmit pes[k[ndor t[ drejt[ [sht[ i barabart[ me shum[n e v[llimeve t[ prizmave trek[ndore p[rb[r[se. P[rfundimi i atill[ vlen p[r ]do priz[m shum[k[ndore t[ drejt[. Prandaj: V[llimi V i prizmit t[ drejt[ [sht[ prodhimi i syprin[s B t[ baz[s dhe lart[sis[ H, d.m.th.

V=B⋅H 8.

Njehso v[llimin e kov[s n[ form[ t[ prizmit gjasht[k[ndor t[ rregullt me tehun e baz[s a = 10 cm dhe lart[si H = 60 cm. Sa litra l[ng nxen ajo kof[?

9.

Prizmi i drejt[ me lart[si 12 cm e ka baz[n trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m k[nddrejt me katete 8 cm. Njehso v[llimin e prizmit.

188

Tema 4. Trupat gjeometrik

10.

Cakto formulat p[r v[llimin e: a) prizmit t[ rregullt trek[ndor. b) prizmit t[ rregullt kat[rk[ndor; c) prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndor, me tehun e baz[s a dhe lart[si H.

Duhet t[ dish: t[ njehsosh v[llimin e prizmit sipas formul[s s[ p[rgjithshme; t'i nxjerrish formulat p[r njehsimin e v[llimit t[ prizmit t[ rregullt trek[ndor, kat[rk[ndor, gjasht[k[ndor; t'i shfryt[zosh nj[sit[ mat[se p[r v[llimin gjat[ zgjidhjes t[ shembujve t[ ndrysh[m p[r syprin[n dhe v[llimin e prizmit.

Provo rrezulltatet e tua: a2 3 , 4 b) B = a2,

a 2H 3 ; 4 V = a2H;

a) B =

V=

c) B =

3a 2 3 3 a 2H 3 , V= . 2 2

Kontrollohu! Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndor me tehun e baz[s a = 4 cm dhe lart[si H = 13 cm. Dy prizma trek[ndore kan[ lart[si t[ barabarta dhe v[llime t[ barabarta. Bazat e tyre a jan[ patjet[r: a) trek[nd[sha t[ puthitsh[m, b) trek[nd[sha me syprina t[ barabarta?

Detyra 1. Nj[ kuti me gjat[si 2 m dhe gjer[si 1 m nxen 16 h6 oriz. Sa [sht[ lart[sia e kutis[?

2. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt gjasht[k[ndor me perimetrin e baz[s 24 cm dhe lart[si 10 cm.

6. Sa [sht[ i lart[ prizmi i rregullt gjasht[k[ndor me tehun e baz[s a = 6 cm dhe v[llim V = 1260 cm3?

7. Prerja e drejt[ e kanalit, t[ gjat[ 2 km, e ka

3. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[

form[n e trapezit dybrinj[nj[sh[m me bazat 6 m dhe 10 m, kurse krahun 2,9 m. Sa m 3 dheu [sht[ nxjerr[ duke gropuar kanalin?

baza e nj[ prizmi t[ drejt[ me lart[si 20 cm. Njehso v[llimin dhe syprin[n e prizmit.

8. Nd[rmjet madh[sive a, H, B, M, S, V te prizmi

4. Prizmi i rregullt kat[rk[ndor e ka syprin[n S = 448 dm2 dhe sip[rfaqen e syprin[n an[sore M = 320 dm2. Njehso v[llimin e prizmit.

5. Njehso v[llimin e prizmit t[ rregullt trek[ndor

i rregullt kat[rk[ndor cakto madh[sit[ e panjohura, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm; cm2; cm 3): a) a = 5, M = 160;

]) H = 14, V = 1694;

b) a = 3, S = 66;

d) H = 15, M = 780;

c) B = 36, M = 168;

e) M = 160, V = 200.

me: a) tehun e baz[s 6 cm dhe lart[si 8 cm; b) tehun e baz[s a dhe lart[si 4a.

Prizmi

189

PIRAMIDA

10

PIRAMIDA. SYPRINA E PIRAMID{S

A

Kujtohu! }'[sht[ polied[r ose trup tehor?

Shihi vizatimet dhe p[rcjelli sqarimet te kjo detyr[. K[shtu do t[ njihesh edhe me nj[ trup tehor gjeometrik.

Pse prizmi [sht[ trup tehor? Si konstatohet se prizmi [sht[ trek[ndor, kat[rk[ndor etj, por sipas cil[s veti caktohet se ai [sht[ i drejt[, p[rkat[sisht i rregullt? P[rshkruaje me fjal[ piramidave egjyptase.

ndonj[r[n

prej

1.

   

{sht[ dh[n[: nj[ rrafsh Σ, nj[ n-k[nd[sh n[ t[, p[r pes[k[nd[shi ABCDE, nj[ pik[ S q[ shtrihet n[ t[ Σ.

shembull,

Prej pik[s S jan[ t[rhequr segmente deri te kulmet e pes[k[nd[shit. Sa trek[nd[sha jan[ fituar at[her[? Em[rtoji trek[nd[shat }far[ kan[ t[ p[rbashk[t t[ ato pes[ trek[nd[sha? V[re sip[rfaqen q[ e formojn[ pes[k[nd[shi i dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shat e fituar.

Sip[rfaqja q[ p[rb[het prej pes[k[nd[shit t[ dh[n[ dhe pes[ trek[nd[shave t[ fituar e ndan bashk[sin[ e pikave t[ hap[sir[s n[ dy zona: t[ brendshme dhe t[ jashtme. Zona e brendshme s[ bashku me sip[rfaqen e theksuar formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet piramida pes[k[ndore. Ajo piramid[ [sht[ e ve]uar dhe e paraqitur n[ vizatim. Pes[k[nd[shi i dh[n[ quhet baza e piramid[s, trek[nd[shat e fituar ABS, BCS,... - faqe an[sore, kurse pika S - kulmi i piramid[s. Kulmi S dhe kulmet e baz[s quhen kulmet e piramid[s, kurse faqet an[sore e formojn[ sip[rfaqen an[sore t[ tij. Edhe te piramida dallojm[: tehe t[ baz[s dhe tehe an[sore. Me t[ nj[jt[n m[nyr[ mund t[ arrihet deri te piramida trek[ndore, piramida kat[rk[ndore etj. }donj[ra prej tyre quhet, shkurtimisht, piramid[.

190

Tema 4. Trupat gjeometrik

2.

N[ vizatim jan[ paraqitur piramida trek[ndore SABC dhe piramida kat[rk[ndore SABCD. Em[rtoji: a) tehet e baz[s;

c) baz[n;

b) tehet an[sore;

]) faqet an[sore

e piramid[s 1) SABC; 2) SABCD. V[re segmentin SS’ te piramida SABCD n[ vizatim. Segmenti SS’, ku S [sht[ kulmi i piramid[s, kurse S’ [sht[ proeksioni ortogonal i saj mbi baz[n quhet lart[sia e piramid[s. Pika S’ [sht[ k[mb[za e lart[sis[. Zakonisht edhe gjat[sia SS' quhet lart[sia e piramid[s.

3.

I cilit lloj [sht[ piramida q[ ka: 1. a) 4, b) 6, c) 9 kulme;

B

2. a) 6, b) 10, c)12 tehe;

3. a) 4, b) 7, c) 10 faqe?

Prerja e piramid[s me rrafsh q[ kalon n[p[r kulmin dhe n[p[r ]far[do diagonale t[ baz[s quhet prerje diagonale.

N[ vizatim [sht[ paraqitur prerja diagonale ACS e piramid[s. V[re dhe em[rto edhe dy prerje t[ atilla. Sa prerje diagonale ka kjo piramid[? Sa prerje diagonale ka cilado piramid[? V[reva se trek[nd[shat BDS dhe ECS jan[ prerje diagonale; kjo piramid[ ka 5 prerje t[ atilla, kurse ]do piramid[ ka aq prerje diagonale sa diagonale ka baza.

4.

N[ vizatim [sht[ paraqitur piramida SABCD me baz[ katror, kurse k[mb[za e lart[sis[ bjen n[ prerjen O t[ diagonaleve t[ baz[s. Shihe vizatimin dhe p[rcjelli sqarimet.



Pika O i p[rgjysmon diagonalet e katrorit (baz[s).



Trek[nd[shat k[nddrejt AOS, BOS, COS, DOS kan[ nj[ katet[ t[ p[rbashk[t (lart[sia OS), kurse kateta tjet[r [sht[ e barabart[ me gjysm[n e diagonales s[ katrorit.



Sipas i kriterit BKB ato jan[ t[ puthitsh[m nd[rmjet veti.

Prej k[tu vijon se te piramida e till[: a) t[ gjitha tehet an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti; b) faqet an[sore jan[ trek[nd[sha dybrinj[nj[sh[m, nd[rmjet veti trek[nd[sha t[ puthitsh[m; c) lart[sit[ e faqeve an[sore jan[ t[ barabarta nd[rmjet veti.

Piramida

191

P[r k[t[ piramid[ dhe p[r ]do tjet[r piramid[ ku baza [sht[ shum[k[nd[sh i rregullt, kurse k[mb[za e lart[sis[ bie n[ qendr[n e baz[s, thuhet se [sht[ piramid[ e rregullt. Lart[sia h e cil[s do faqe an[sore t[ piramid[s s[ rregullt quhet apotem[ e piramid[s.

5.

Njehso h e piramid[s trek[ndore t[ rregullt me tehun e baz[s a = 14 cm dhe tehu an[sor s = 25 cm. Shihe trek[nd[shin AES n[ vizatim. N[ qoft[ se prehen t[ gjitha tehet e baz[s (p[rve] nj[rit) edhe vet[m nj[ teh an[sor, at[her[ sip[rfaqja e nj[ piramide mund t[ ,,hapet" n[ rrafsh. K[shtu fitohet rrjeti i piramid[s.

C

6.

N[ vizatim jan[ paraqitur dy nd[rtime t[ rrjetit t[ piramid[s trek[ndore t[ rregullt me tehun e baz[s a dhe tehun an[sor s. V[re dhe p[rshkruaji me fjal[ t[ dy m[nyrat. Sqaro dhe skico rrjetin e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore. Sikurse edhe te prizmi, shuma e syprinave t[ t[ gjitha faqeve t[ nj[ piramide quhet syprina e piramid[s.

D

Prandaj, n[ qoft[ se B [sht[ syprina e baz[s, kurse M syprina e sip[rfaqes an[sore, at[her[ syprina S e piramid[s do t[ jet[:

7.

 P=B+M

Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s 14 cm dhe tehun an[sor s = 25 cm. Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

 P[r baz[n B = a = 14 = 196, d.m.th. B = 196 cm ; a⋅h  p[r syprin[n an[sore: M = 4 ⋅ 2 = 2ah, ku h [sht[ apotema. 2

2

2

 Apotema do t[ njehsohet me ndihm[n e teorem[s s[ Pitagor[s n[ trek[nd[shin k[nddrejt AES: 2

æaö h 2 = s 2 - çç ÷÷÷ = 252 - 72 = 625 - 49 = 576; h = 24 cm. çè 2 ø

 K[shtu, M = 2ah = 2 ⋅ 14 ⋅ 24 = 672, d.m.th. M = 672 cm .  Dometh[n[: S = B + M = 196 + 672 = 868, d.m.th. S = 868 cm . 2

2

192

Tema 4. Trupat gjeometrik

8.

Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 10 cm dhe lart[si H = 12 cm. Shfryt[zo ΔSOE n[ vizatimin e detyr[s 7. Piramida trek[ndore quhet tetraed[r. Piramida trek[ndore te e cila t[ gjitha faqet jan[ t[ barabarta quhet tetraed[r i rregullt.

9.

Njehso syprin[n e tetraedrit t[ rregullt me tehun a = 12 cm.

Duhet t[ dish: t[ njohish dhe t[ em[rtosh piramid[n dhe elementet e saj; t[ njohish dhe t[ p[rkufizosh piramid[n e rregullt; t[ njehsosh syprin[n e piramid[s.

Kontrollohu! N[ qoft[ se baza e nj[ piramide [sht[ shum[k[nd[sh i rregullt, a duhet t[ jet[ piramida e rregullt? Njehso syprin[n S t[ piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s c = 17 cm dhe apotem[n h = 15 cm.

Detyra 1. Sa faqe m[ pak mund t[ ket[ nj[ piramid[? E cilit lloj [sht[ ajo?

2. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore me tehun e baz[s 10 cm dhe apotema 13 cm.

3. Njehso apotem[n e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore sip[rfaqja an[sore e s[ cil[s [sht[ 20 dm2, kurse baza e ka syprin[n 16 dm2.

4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 8 cm e ka syprin[n 144 cm2. Njehso lart[sin[ H e piramid[s.

5. Njehso syprin[n e piramid[s s[ rregullt trek[ndore me tehun e baz[s 6 cm dhe tehun an[sor 10 cm.

6. Njehso syprin[n e baz[s s[ piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me lart[si H = 6 dm dhe apotem[n h = 6,5 dm.

7. Nd[rmjet madh[sive a, H, h, B, M, S te piramida e rregullt kat[rk[ndore njehso t[ panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ centimetra) : a) a = 12, h = 10; ]) H = 21, h = 29; b) a = 14, H = 24; d) S = 819, B = 81; c) B = 256, M = 544; dh) S = 3584, M = 2800.

Piramida

193

11

V{LLIMI I PIRAMID{S Kujtohu!

V[llimi i prizmit t[ drejt[ njehsohet me formul[n V = B ⋅ H, B - syprina e baz[s, H - lart[sia e prizmit Si fitohet piramida? Pastaj, ]'[sht[: a) baza;

b) maja;

c) sip[rfaqja an[sore;

]) lart[sia e piramid[s?

Matjen e v[llimit t[ ndonj[ trupi nuk e b[jm[ me p[rcjelljen e drejtp[rdrejt t[ nj[sis[ mat[se, por nxjerrim rregulla (q[ i shkruajm[ me formula), sipas t[ cilave, n[ baz[ t[ dh[nave t[ domosdoshme p[r trupin, me njehset e nevojshme, e fitojm[ v[llimin e tij.

A

Si t[ fitojm[ rregull p[r njehsimin e v[llimit t[ piramid[s? P[r k[t[ q[llim mundesh (n[ sht[pi) t[ b[sh k[t[ prov[. model t[ zbraz[t (p[r shembull, prej kartu]i) t[  B[n nj[ prizmi dhe t[ nj[ piramide me syprina t[ barabarta (mundet: t[ puthitshme) t[ bazave dhe lart[si t[ barabarta (sikurse n[ vizatim). piramid[n me r[r[ t[ that[ (ose materijal tjet[r me kokrra: oriz, sheqer etj) dhe pastaj r[r[n  Mbushe prej piramid[s fute te prizmi.

 Do t[ v[resh se duhet ta p[rs[risish edhe dy her[ q[ ta mbushish prizmin.  Kjo tregon se piramida ka tre her[ v[llim m[ t[ vog[l se prizmi. Ky fakt, i v[rejtur eksperimentalisht, mund t[ v[rtetohet (por, ne k[t[ rast nuk do ta b[jm[).

Mbaj n[ mend se vlen n[ p[rgjith[si V[llimi V i nj[ piramide [sht[ i barabart[ me nj[ t[ tret[n e prodhimit t[ lart[sis[ H dhe syprin[s B t[ baz[s s[ piramid[s, d.m.th.

1.

194

V=

1 B⋅H 3

Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 12 cm dhe lart[si H = 20 cm.

Tema 4. Trupat gjeometrik

B

2.

Shihi vizatimet dhe p[rpiqu t'i nxjerrish formulat p[r njehsimin e v[llimit t[ piramid[s s[ rregullt: a) trek[ndore; b) kat[rk[ndore; c) gjasht[k[ndore; me tehun e baz[s a dhe lart[si H.

Krahaso zgjidhjen t[nde me zgjidhjen e dh[n[.

1

 N[ formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s V = 3 ⋅ B ⋅ H , duhet t[ z[v[nd[sohet vet[m B me formul[n p[rkat[se p[r syprin[n e:



a) trek[nd[shit brinj[nj[sh[m:

B=

1 2 ⋅a 3 ; 4

c) gjasht[k[nd[shit t[ rregullt:

B=

3 2 ⋅a 3 . 2

K[shtu do t[ fitohen formulat e k[rkuara

b) katrorit:

a) V =

a 2H 3 ; 12

b) V =

B = a2;

a 2H ; 3

c) V =

a 2H 3 . 2

3.

Piramida e Keopsit n[ Egjypt e ka lart[sin[ 149 m dhe baz[n katror me brinj[ 232 m. Njehso v[llimin e tij.

4.

Tehu an[sor i piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore [sht[ 14 cm, kurse tehu i baz[s a = 2 cm. Njehso v[llimin e piramid[s.

C

5.

Njehso syprin[n dhe v[llimin e piramid[s me lart[si H = 12 cm dhe baz[ drejtk[nd[sh me p[rmasa a = 32 cm dhe b = 10 cm, n[ qoft[ se k[mb[za e lart[sis[ [sht[ n[ prerjen e diagonaleve (qendra e rrethit t[ p[rshkruar) t[ baz[s.

Shihe vizatimin dhe puno sipas udh[zimeve.

 S = B + M dhe B = a ⋅ b = 32 ⋅ 10; B = 320 cm .  Sip[rfaqja an[sore p[rb[het prej kat[r trek[nd[shave, ku: 2

ΔSA1B1 ≅ ΔSC1D1 dhe ΔSB1C1 ≅ ΔSA1D1,

pra prej vizatimit, ku ha = FS , hb = GS , fitohet M=2⋅



1 1 ⋅ aha + 2 ⋅ ⋅ bhb = aha + bhb. 2 2 2

2

æbö æaö Njehso lart[sit[ an[sore ha dhe hb. N[ vizatim: ha2 = çç ÷÷÷ + H 2 = 169 dhe hb2 = çç ÷÷÷ + H 2 = 400, çè 2 ø çè 2 ø

d.m.th. ha = 13 cm, hb = 20 cm dhe M = 32 ⋅ 13 + 10 ⋅ 20 = 616 cm2;

 S= 320 + 616 = 936; S = 936 cm . 2

Piramida

195

 Z[v[nd[so B dhe H te formul[n e p[rgjithshme p[r v[llimin e piramid[s: V=

1 1 ⋅ B ⋅ H = ⋅ 320 ⋅ 12 , 3 3

Duhet t[ dish: t[ njehsosh v[llimin e piramid[s sipas formul[s s[ p[rgjithshme; t[ nxjerrish formul[ p[r njehsimin e v[llimit n[ shembullin konkret.

V = 1 280 cm3.

Kontrollohu! Njehso v[llimin e piramid[s s[ rregullt trek[ndore me tehun e baz[s 5 cm dhe lart[si 9 cm. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka lart[sin[ 12 cm dhe diagonalen e baz[s 8 cm. Sa [sht[ v[llimi i piramid[s?

Detyra 1. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka baz[n

5. Baza e nj[ piramide [sht[ drejtk[nd[sh me

B = 144 cm2 dhe lart[si H = 40 cm. Njehso v[llimin e piramid[s.

p[rmasa 90 cm dhe 1,20 m, kurse t[ gjitha tehet an[sore kan[ nga 1,25 m. Njehso v[llimin e tij.

2. V[llimi i nj[ piramide t[ rregullt kat[rk[ndore [sht[ 48 cm3,kurse syprina e baz[s [sht[ 36 cm2. Njehso syprin[n e piramid[s

6. Nj[ piramid[ e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun e baz[s a = 8 cm dhe v[lliminV = 576cm3. Njehso lart[sin[ dhe syprin[n e piramid[s.

3. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun e baz[s a = 24 cm dhe syprin[n an[sore M = 960 cm2. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e piramid[s.

4. Piramida e rregullt kat[rk[ndore e ka tehun e baz[s 20 cm dhe v[llimin 3 200 cm3. Njehso lart[sin[ dhe syprin[n e asaj piramide.

7. Nd[rmjet madh[sive a, H, s, B, M, S, V te piramida e rregullt gjasht[k[ndore njehso t[ panjohurat, n[ qoft[ se jan[ dh[n[ (n[ cm): a) a = 10, H = 24; b) B = 73,5 3 , s = 25; c) a = 7, s = 25; d) V = 588 3 , H = 24.

P[rpiqu... a) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me tehe an[sore t[ barabarta? b) }far[ shum[k[nd[shi duhet t[ jet[ baza q[ t[ formosh piramid[ me apotema t[ barabarta?

196

Tema 4. Trupat gjeometrik

CILINDRI, KONI DHE TOPI

12

CILINDRI. SYPRINA DHE V{LLIMI

Kujtohu! }'[sht[ prizmi dhe si fitohet? Poashtu ]'jan[: a) bazat; b) faqet an[sore c) sip[rfaqja an[sore; ]) lart[sia e prizmit?

T[ v[rejm[ se si fitohet trupi gjeometrik t[ cilin e quajm[ cilind[r.

A

P[rcjelle m[nyr[n me kujdes. {sht[ dh[n[ nj[ rrafsh Σ, rreth k n[ t[ edhe  nj[ drejt[z p q[ kalon n[p[r nj[ pik[ T t[ rrethit dhe [sht[ pingule (normale) n[ Σ, sikurse n[ vizatimin a).

P[r cilat trupa gjeometrik thuhet se jan[ rrotullues? Shum[ sende nga jeta e p[rditshme kan[ form[n e cilindrit (p[r shembull: konzerva, boria). Num[ro edhe disa sende q[ e kan[ form[n cilindrike.

a)

b)

c)



T[ paramendojm[ se pika T fillon t[ l[viz n[p[r rrerthin, kurse drejt[za p - t[ ngel paralele me pozit[n e saj fillestare sikurse n[ vizatimin b).



N[ k[t[ m[nyr[ drejt[za l[viz[se p p[rshkruan nj[ sip[rfaqe; ajo [sht[ sip[rfaqja cilindrike viza-timi c).

P[r drejt[z[n p thuhet se [sht[ p[rftues (gjeneratrise), kurse rrethi [sht[ drejtues (direktrise) i sip[rfaqes cilindrike.



T[ presim k[t[ sip[rfaqe edhe me nj[ rrafsh Σ 1 , paralele me S, sikurse n[ vizatimin d). ])

Mbaj mend

d)

Qarqet q[ sip[rfaqja cilindrike i pren[ me rrafshet Σ dhe Σ1, dhe pjesa e saj nd[rmjet rrafsheve, kufizojn[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet cilindri i drejt[ rrethor, kurse ne do ta quajm[ cilind[r. Ai cilind[r [sht[ i ve]uar dhe i paraqitur n[ vizatimin ]).

Cilindri, koni dhe topi

197

N[ m[nyr[ ilustruese, cilindri mund t[ fitohet edhe kur drejtk[nd[shi rrotullohet rreth nj[ brinje t[ tij (fig. ABCD, rreth BC).

B

Shihe vizatimin dhe v[re elementet e cilindrit.

Qarqet quhen baza, kurse pjesa e sip[rfaqes cilindrike nd[rmjet tyre quhet mb[shtjell[s i cilindrit. Rezja R e baz[s quhet rreze e cilindrit. Segmenti OO1 (pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ qendra t[ bazave) quhet bosht i cilindrit, ai [sht[ edhe lart[sia e tij. N[ qoft[ se cilindri pritet me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij, fitohet nj[ drejtk[nd[sh i cili quhet prerje boshtore (drejtk[nd[shi i hijezuar n[ vizatim).

1.

A mundet dy prerje boshtore t[ nj[ cilindri t[ mos jen[ t[ puthitsh[m nd[mjet tyre? Pse?

2.

Njehso syprin[n e prerjes boshtore t[ cilindrit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 7 cm. P[r cilindrin prerja boshtore e t[ cilit [sht[ katror, d.m.th. H = 2R, thuhet se [sht[ cilind[r barabrinj[s.

3.

C

4.

Prerja boshtore e nj[ cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 100 cm2. Njehso rrezen dhe lart[sin[ e cilindrit. N[ qoft[ se cilindri pritet n[p[r nj[ gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[ e bazave, sikurse n[ vizatimin a), at[her[ mund t[ shihet se rrjeti i cilindrit p[rb[het prej dy rrath[ve t[ puthitsh[m (bazave) dhe nj[ drejtk[nd[shi (sip[rfaqja an[sore), sikurse vizatimi b).

Shihe rrjetin n[ vizatimin b) dhe, p[r syprin[n S t[ cilindrit me rreze R dhe lart[si H, v[re se:

a) S = 2B + M;

M = 2Rπ ⋅ H (Pse?);

c) S = 2R2π + 2Rπ ⋅ H ;

198

b)

(B - syprina e baz[s, M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si));

b) B = R π (Pse?), 2

a)

S = 2Rπ(R + H).

Tema 4. Trupat gjeometrik

5.

Njehso syprin[n e cilindrit me rreze R = 8 cm dhe lart[si H = 2,5 dm. P[r v[llimin e cilindrit me rreze R (d.m.th. me syprin[ t[ bazs[s B = R2π) dhe lart[si H, ngjash[m si te prizmi, meret numri.

D

Kujtohu! Ekziston ngjashm[ri e madhe nd[rmjet cilindrit dhe prizmit t[ drejt[.

V = B ⋅ H, d.m.th. V = R2π ⋅ H. Dometh[n[, v[llimi i cilindrit [sht[ i barabart[ me prodhimin e syprin[s t[ baz[s s[ tij dhe lart[sis[.

- dy baza t[ puthitshme q[ shtrihen n[ rrafshe paralele; - sip[rfaqet an[sore me p[rftuese, p[rkat[sisht me tehe normale te bazat.

6.

Njehso v[llimin e cilindrit me rreze R =10 cm dhe lart[si H = 15 cm.

7.

Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin e cilindrit barabrinj[s, me rreze R. P[rgjigje:

Duhet t[ dish: t[ identifikosh elementet e cilindrit; t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e cilindrit sipas formul[s.

S= 6R2π; V = 2R3π.

Kontrollohu! Si fitohet: a) sip[rfaqja cilindrike b) cilindri? Njehso S dhe V t[ cilindrit me R = 1,2 dm dhe H = 15 cm. P[r cilin cilind[r thuhet se [sht[ barabrinj[s?

Detyra 1. T[ njehsohet S dhe V e cilindrit me R = 6 cm dhe syprin[n e prerjes boshtore Q = 240 cm2.

2. Njehso S dhe V t[ cilindrit barabrinj[s me: a) R = 10 cm,

b) H = 2 dm.

3. Cakto lart[sin[ e cilindrit, rrezja e t[ cilit [sht[ 5 cm, kurse v[llimi [sht[ V = 1 570 cm3.

4. Diagonalet e prerjes boshtore t[ nj[ cilindri, q[ [sht[ i lart[ 8 cm, [sht[ i barabart[ me 10 cm. Njehso S dhe V t[ cilindrit.

5. Cilindri barabrinj[s e ka syprin[n 1 350π cm2. Cakto v[llimin e tij.

6. Dy cilindra jan[ fituar duke u rrotulluar drejtk[nd[shi rreth ]donj[r[s prej brinj[ve t[ tij a dhe b. Cakto raportin e v[llimeve t[ atyre cilindrave.

Cilindri, koni dhe topi

199

13

KONI. SYPRINA DHE V{LLIMI

Kujtohu! N[ jet[n e p[rditshme hasim sende me form[ konike.

A

Nj[ trup gjeometrik me form[ konike mund t[ fitohet n[ m[nyr[ t[ ngjashme sikurse fitohej cilindri.

P[rcjelle m[nyr[n. Num[ro disa sende q[ e kan[ form[n konike.

{sht[ dh[n[ nj[ rrafsh Σ dhe n[ t[ nj[ rreth k  me qend[r O. Prej pik[s O [sht[ ,,ngritur" segmenti OS q[ [sht[ pingul (normal) me rrafshin Σ.

 Prej pik[s S t[rhiq nj[ gjysm[drejt[z SX q[ kalon n[p[r nj[ pik[ t[ rrethit k. T fillon t[ l[viz n[p[r rrethin, kurse gjysm[drejt[za SX t[ ,,rr[shqas"  Pika n[p[r rreth. k[t[ m[nyr[ gjysm[drejt[za l[viz[se p[rshkruan nj[ sip[rfaqe;  N[ ajo [sht[ sip[rfaqja konike. gjysm[drejt[z[n SX thuhet se [sht[ p[rftuese (gjeneratris),  P[r rrethi - drejtues (direktris), kurse pika S - kulmi.

Mbaj mend Qarku q[ e pret sip[faqen konike nga rrafshi S dhe pjesa e sip[rfaqes konike prej kulmit S deri te qarku, kufizojn[ nj[ pjes[ t[ hap[sir[s, d.m.th. formojn[ nj[ trup gjeometrik i cili quhet kon i drejt[ rrethor; ose thjesht quhet, vet[m kon. N[ vizatim [sht[ paraqitur ai kon i ve]uar.

1.

200

}far[ trupi gjeometrik fitohet kur nj[ trek[nd[sh dybrinj[nj[sh[m rrotullohet rreth lart[sis[ t[ l[shuar ndaj baz[s?

Tema 4. Trupat gjeometrik

Koni fitohet edhe kur trek[nd[shi k[nddrejt rrotullohet rreth nj[r[s katet[.

B

Shihe vizatimin dhe v[re elementet e konit.

Rrethi quhet baz[, kurse pjesa e sip[rfaqes konike - sip[rfaqja konike e konit (mb[shtjell[si). Rrezja R e baz[s quhet rreze e konit. Segmenti SO q[ e bashkon kulmin me qendr[n e baz[s quhet bosht i konit, ai [sht[ nj[koh[sisht edhe lart[si. Segmenti pikat e skajshme t[ t[ cilit jan[ kulmi S i konit dhe ]far[do pik[ T e rrethit t[ baz[s, si edhe gjat[sia ST = s , quhet p[rftues gjeneratris[. Prerja e konit me rrafsh q[ kalon n[p[r boshtin e tij gjithmon[ [sht[ trek[d[sh dybrinj[nj[sh[m, ajo quhet prerja boshtore e konit (trek[nd[shi i hijezuar n[ vizatim). N[ qoft[ se prerja boshtore [sht[ trek[nd[sh brinj[nj[sh[m, d.m.th. s = 2R, at[her[ p[r konin thuhet se [sht[ kon barabrinj[s.

2.

Njehso syprin[n Q t[ prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s me R = 10 cm.

3.

Shihe vizatimin dhe p[rgjigju pse [sht[ e sakt[ barazia:

s2 = H2 + R2 Nd[rmjet p[rftuesen s, lart[sin[ H dhe rrez[s R te ]do kon.

4.

Njehso lart[sin[ H t[ konit ku s = 25 cm dhe R = 7cm. N[ qoft[ se koni prehet n[p[r nj[ gjeneratris[ t[ tij dhe n[p[r periferin[ e baz[s, at[her[ mund t[ shihet se rrjeti i konit p[rb[het prej nj[ qarku (baze) dhe nj[ sektori rrethor (sip[rfaqja an[sore), sikurse n[ vizatim.

C

5.

Shihe rrjetin n[ vizatim, p[r syprin[n S t[ konit me rreze R dhe p[rftuese s, v[re se: a)

S= B + M

(B - syprina e baz[s; M - syprina e sip[rfaqes an[sore (mb[shtjell[si));

B = R2π (syprina e rrethit); 1 c) M = 2Rp⋅ s = R sp (syprina e sektorit rrethor); 2 ]) S = R2π + Rsπ; S = Rπ (R + s). b)

6.

Njehso syprin[n e konit me rreze R = 5 cm dhe lart[si H = 1,5 dm.

Cilindri, koni dhe topi

201

V[llimi i konit mund t[ caktohet me eksperiment t[ ngjash[m p[r caktimin e v[llimit t[ piramid[s.

D

N[ qoft[ se b[n modele t[ konit dhe cilindrit me baza t[ puthitshme dhe lart[si t[ barabarta, do t[ bindesh se ,,p[rmbajtja" e konit (r[r[, krip[ etj.) do t[ jet[ nj[ e treta e atij cilindri.

V = 1 BH ; V = 1 R 2pH. 3 3

V[llimi V i konit me rreze R dhe lart[si H [sht[:

7.

Njehso v[llimin e konit me R = 10 cm dhe H = 3 dm.

8.

Nxirri formulat p[r syprin[n dhe v[llimin e konit barabrinj[s.

Krahaso rezulltatin t[nd:

3 S = 3R2Ď€; V = R p 3 . 3

Mbaj mend t[ identifikosh elementet e konit; t[ njehsosh syprin[n dhe v[llimin e konit sipas formul[s s[ p[rgjithshme.

Kontrollohu! Si fitohet: a) sip[rfaqja konike; b) koni? Njehso S dhe V t[ konit me R = 5 cm dhe s = 13 cm. P[r cilin kon themi se [sht[ barabrinj[s?

Detyra 1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e konit me rreze R = 5 cm dhe syprin[n e sip[rfaqes an[sore M = 65p cm2.

5. V[llimi i konit me lart[si H = 20 cm, [sht[ 1 500Ď€ cm3. Njehso syprin[n e konit.

2.

Njehso S dhe V t[ konit me B = 314 cm2 dhe s = 26 cm. 3. Prerja boshtore e nj[ koni e ka syprin[n Q =18,48cm2, kurse lart[sia [sht[ H =5,6 cm. Njehso a) B; b) V; c) M.

4. Perimetri i prerjes boshtore t[ konit barabrinj[s [sht[ 18 cm. Cakto S dhe V t[ konit.

202

Tema 4. Trupat gjeometrik

P[rpiqu! ... Nuk [sht[ e domosdoshme!

6. K[ndi pran[ maj[s te rrjeti i konit [sht[ 120 o , kurse gjeneratrisa e konit [sht[ 15 cm. Njehso diametrin e konit.

14

TOPI. SYPRINA DHE V{LLIMI

A

Kujtohu! Shprehe rrethit.

p[rkufizimin

e r

}'[sht[ qendra e rrethit dhe ]'[sht[ rreze e rrethit?

O

T

Si [sht[ i p[rcaktuar nj[ rreth?

Bashk[sia e t[ gjitha pikave n[ hap[sir[ q[ jan[ nj[ lloj t[ larguara prej pik[s s[ dh[n[ O, formon nj[ sip[rfaqe; ajo sip[rfaqe quhet sfer[. Pika e dh[n[ O quhet edhe qendra e sfer[s.

Larg[sia prej qendr[s deri te cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s dhe zakonisht sh[nohet me R. }do segment OT, ku T [sht[ cilado pik[ e sfer[s quhet rreze e sfer[s.

1.

N[ vizatim [sht[ paraqitur sfera me qend[r O. Em[rto (t[ pakt[n dy) segmenta q[ jan[ rreze t[ sfer[s. Me ]far[ [sht[ p[rcaktuar nj[ sfer[?

B

Kujtohu! }'[sht[ zona e brendshme e nj[ rrethit? }'[sht[ qarku? }'[sht[ korda dhe ]'[sht[ diametri i qarkut? Em[rto disa sende me form[ t[ topit q[ i has[n n[ jet[n e p[rditshme. C A

2.

D r O

B

Sfera e ndan hap[sir[n n[ zon[n e brendshme dhe t[ jashtme.

Bashk[sia e t[ gjitha pikave t[ zon[s s[ brendshme (d.m.th. pikat larg[sia e t[ cilave deri te qendra [sht[ m[ e vog[l se rrezja e asaj sfere), s[ bashku me sfer[n, formon trup gjeometrik i cili quhet top. Qendra, p[rkat[sisht rrezja e sfer[s quhet qend[r, p[rkat[sisht rreze e topit.

Topi me qend[r O e ka rrezen R = 5 cm. Pikat A, B dhe C gjenden n[ larg[si prej qendr[s: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm dhe OC = 5 cm. Cil[t prej tyre i takojn[ topit?

3.

Kujtohu ]'[sht[ diametri i qarkut dhe p[rpiqu ta shprehish (sipas analogjis[) p[rkufizimin e diametrit t[ topit.

Cilindri, koni dhe topi

203

4.

Te vizatimi a) [sht[ paraqitur qarku me nj[ diamet[r t[ tij AB. }'do t[ fitohet n[ qoft[ se qarku rrotullohet rreth diametrit AB? Mund t[ p[rfundosh se me rrotullimin e qarkut (ose gjysm[qarkut) rreth ndonj[ diametri t[ tij (sikurse n[ vizatimin b) fitohet topi. a)

V[re se:

b)

Prerja e topit me rrafsh gjithmon[ [sht[ rreth. N[ qoft[ se rrafshi kalon n[p[r qendr[n O t[ topit, at[her[ rrethi i prer[ e ka rrezen e nj[jt[ (R) sikurse topi dhe quhet rrethi i madh. Sa rrath[ t[ m[dhenj ka nj[ top? Si jan[ nd[rmjet veti rrezet e tyre?

5.

V[re (ose paramendo) nj[ glob. Ekuatori p[rcakton nj[ rreth t[ madh t[ globit. Cilat vija p[rcaktojn[ rrath[ t[ tjer[ t[ m[dhenj? Sh[no disa rrath[ t[ vegj[l te globi.

C

Sip[rfaqja e ]do topi (d.m.th. sfera p[rkat[se) e ka syprin[n e tij, e cila quhet syprina e topit ose syprin[ e sfer[s

S = 4R2π.

Syprina e topit me rreze R p[rcaktohet me formul[n:

V[re: Syprina e topit: a) [sht[ kat[r her[ m[ e madhe se syprina e qarkut t[ tij m[ t[ madh; b) [sht[ e barabart[ me prodhimin e diametrit 2R dhe perimetrit 2Rπ t[ nj[ qarku t[ tij t[ madh, d.m.th. S = 2R ⋅ 2Rπ = 4R2π. }do topi i shoq[rojm[ num[r V - v[llimi i topit, i p[rcaktuar me formul[n

1 V  SR , 3

d.m.th.

ku R [sht[ rreze, kurse S [sht[ syprna e topit.

204

Tema 4. Trupat gjeometrik

V

4 3 R 3

,

6.

Njehso S dhe V e topit me rreze R = 5 cm.

7.

Njehso S dhe V e topit, p[r t[ cilin dihet se nj[ qark i tij i madh e ka syprin[n Q = 2 826 cm2.

Duhet t[ dish:

Kontrollohu!

t[ identifikosh sfer[n dhe topin dhe elementet e tyre;

Sqaro ]'[sht[ sfera, dhe ]'[sht[ topi. Si fitohen?

t[ njehsosh syprin[ dhe v[llimin e topit sipas formul[s.

Sa jan[ S dhe V i topit me rreze R = 1 dm?

Detyra 1. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e topit, n[ qoft[ se diametri i tij [sht[ 12 cm.

2. Njehso S dhe V e topit, n[ qoft[ se syprina e nj[ rrethi t[ tij t[ madh [sht[ 314 cm2.

3. Topi prej plumbi me rreze R = 6 cm duhet t[ shkrihet n[ cilind[r me rreze t[ nj[jt[ R = 6 cm. Sa do t[ jet[ lart[sia e cilindrit?

4. Njehso v[llimin V e topit dhe syprin[n Q t[

6. {sht[ dh[n[ kubi me tehun a. Rreth kubit [sht[ jasht[shkruar topi dhe n[ kub [sht[ brendashkruar top. Cakto raportin nd[rmjet a) syprinave; b) v[llimeve t[ atyre dy topave. (Nj[ kub [sht[ brendashkruar te topi n[ qoft[ se t[ gjitha kulmet e tij shtrihen n[ sip[rfaqen e topit. At[her[ themi, gjithashtu, se topi [sht[ jasht[shkruar rreth kubit.)

7. Prej kubit t[ drurit me tehun 4 cm, duhet t[ gdhendet top me madh[si sa m[ t[ madhe. Njehso v[llimin e mbeturin[s. Sa p[rqind e v[llimit t[ kubit [sht[ v[llimi i mbeturin[s?

rrethit t[ tij m[ t[ madh, n[ qoft[ se syprina e tij [sht[ S = 100Ď€cm2.

8. Diametri i Tok[s [sht[ 12 733 km, kurse i 5. Te kubi me teh 6 cm [sht[ vendosur topi i cili i prek t[ gjitha faqet e kubit. Sa [sht[ syprina e topit? B[je vizatimin.

H[n[s [sht[ 3 482 km. Sa her[ [sht[ m[ e madhe: a) syprina e Tok[s prej syprin[s s[ H[n[s; b) v[llimi i Tok[s prej v[llimit i H[n[s?

Cilindri, koni dhe topi

205

M E

15

T {

P U N A D H { N A

GJASA (PROBABILITETI)

Kujtohu! Kur [sht[ e sigurt se ndonj[ ngjarje do t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 1 ose 100 %. P[r shembull: N[ qoft[ se shishja plastike e zbraz[t bjen n[ dysheme - nuk do t[ thehet. Kur [sht[ e pamundshme ndonj[ ngjarje t[ ndodh, probabiliteti [sht[ 0. P[r shembull: Prej kutis[ plot[ vet[m me topa t[ kuq, t[ nxirret top i bardh[. T[ gjitha mund[sit[ e tjera (probabiliteti) jan[ nd[rmjet 0 dhe 1. P[r shembull: N[ qoft[ se hudhet monedha n[ aj[r, probabiliteti q[ t[ bjen stema [sht[

1.

1 . 2

Rrotulluesja n[ vizatim ka 6 fusha t[ barabarta. N[ qoft[ se rrotullohet shigjeta, sa [sht[ probabiliteti q[ ajo t[ ndalohet te fusha me numrin 4? Shih se: T[ mundshme jan[ 6 ngjarje - shigjeta t[ ndalohet te cilado prej fushave 1, 2, 3, 4, 5 ose 6. }donj[ra prej k[tyre ngjarjeve [sht[ e barabart[ me ngjarjet e mundshme. Ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet te fusha e numrit 4. Probabilitet q[ shigjeta t[ ndalohet te fusha me numrin 4 [sht[

1 1 . Themi se probabiliteti V(4) = . 6 6

Sa [sht[ probabiliteti q[ shiqjeta t[ ndalohet te numri 1? Gjasa p[r shigjet[n t[ ndalohet te numri 2 ose te numri 3 prej 6 ngjarjeve t[ mundshme [sht[ V(2 ose 3) =

1 2 = . 3 6

Sa [sht[ probabiliteti q[ shigjeta t[ ndalohet te numri 1, 5 ose 6? V[re rrotulluesen. Ngjarje t[ mundshme ka 5: shigjeta mund t[ ndalet te fusha e sh[nuar me numrin 1, 2, 3, 4 ose 5. N[ qoft[ se ngjarja e pritur [sht[ shigjeta t[ ndalohet n[ fush[n t[ sh[nuar me 7, probabiliteti i saj [sht[ 0, ose V(7) = Ngjarja [sht[ e pamundshme.

206

Tema 4. Trupat gjeometrik

0 = 0. 5

2 , ose 6

N[ p[rgjith[si Le t[ jet[ n numri i "t[ gjitha ngjarjeve" n[ lidhje me eksperimentine dh[n[ dhe le t[ jen[ t[ gjitha ato raste nj[lloj t[ mundshme. N[se A [sht[ ngjarje n[ lidhje me at[ eksperiment dhe m [sht[ num[r i "t[ gjitha rasteve t[ volitshme" m quhet probabilitet matematikor i ngjarjes A dhe p[r paraqitjen e asaj ngjarje, at[her[ her[si n sh[nohet me V(A).Dometh[n[: m V (A) = . n

2.

Te secila kartel[ [sht[ shkruar nga nj[ shkronj[.

M A T

E M A T

I

K A

Liridoni ka t[rhequr kartel[ pa shikuar. Cakto probabilitetin p[r ngjarjet: a) V(M);

3.

b) V(A);

c) V(T ose K).

Cakto probabilitetin e secil[s ngjarje t[ percaktuara me rrotullimin e shigjet[s. a) numrit 3;

d) numrit 11;

b) numrit ]ift; e) num[r m[ i madh se 7; c) numrit tek; f) num[r prej 1 deri n[ 10. ]) 5 ose 6; Shkruaje ]donj[r[n prej vlerave t[ fituara p[r probabilitetin n[ p[rqindje. Cila prej ngjarjeve prej a) deri te f) [sht[ e sigurt, dhe cila [sht[ e pamundshme? Cilat prej dy ngjarjeve a) deri te f) jan[ nj[ lloj t[ mundshme? Cil[t dy ngjarje jan[ t[ atilla q[ n[ qoft[ se ndodh nj[ra sigurisht nuk do t[ ndodh tjetra?

Duhet t[ dish: t[ parashtrosh parashikime p[r ngjarje n[ lidhje me eksperimentin e dh[n[ dhe ta caktosh probabilitetin e tyre.

Kontrollohu! Hudhet zari p[r loj[. Cilat ngjarje jan[ t[ mundshme? Numro s[ paku tre. Sa [sht[ probabiliteti, gjat[ hudhjes s[ zarit p[r loj[, n[ an[n e sip[rme t[ paraqitet: a) numri 2; b) numri 3 ose 4; c) numri 3 dhe 4; ]) num[r ]ift; d) numri 7; dh) num[r prej1 deri 6;

Cilindri, koni dhe topi

207

M{SOVE P{R TRUPAT GJEOMETRIK PROVO NJOHURIN{ T{NDE

1.

Cili kulm nga kuboidi (n[ vizatim) [sht[ komplanar me:

9.

Njehso diagonalen e kuboidit me p[rmasa 9 cm, 6 cm dhe 2 cm.

a) A,B,C1; b) A,C,C1?

2.

3.

A priten drejt[zat: a) DB1 dhe D1C; c) A1C dhe AC1? b) BB1 dhe D1C; Shihe vizatimin.

A [sht[ i percaktuar rrafshi: a) AD dhe B1C1; b) DC dhe DB1; c) BC dhe AA1? Shihe vizatimin.

10. Syprina e sip[rfaqes an[sore t[ nj[ prizmi t[ rregullt trek[ndor [sht[ M = 180 cm 2, kurse tehu i baz[s a = 10 cm. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V e prizmit.

11. Rombi me diagonale 24 cm dhe 10 cm [sht[ baz[ e prizmit t[ drejt[ me lart[si 5 cm. Njehso S dhe V t[ prizmit.

12. Tehu i baz[s i piramid[s s[ rregullt gjasht[k[ndore [sht[ 3 cm, kurse tehu an[sor 4 cm. Njehso v[llimin e piramid[s.

4.

Si quhen dy drejt[za n[ hap[sir[ q[ nuk jan[ paralele dhe nuk priten? N[ vizatim cakto dy ]ifte t[ drejt[zave t[ atilla.

13. Njehso syprin[n S dhe v[llimin V t[ piramid[s s[ rregullt kat[rk[ndore me tehun e baz[s a = 10 cm dhe apotem[n h = 13 cm.

5.

Drejt[za e dh[n[ p [sht[ pingule me dy rrafshe t[ ndryshme Σ 1 dhe Σ 2. Si [sht[ pozita reciproke e Σ1 dhe Σ2?

6.

}'[sht[ projektimi ortogonal i segmentit mbi nj[ rrafsh?

7.

Sa tehe ka nj[ priz[m: a) trek[ndor; c) gjasht[k[ndor; b) kat[rk[ndor; ]) n - k[ndor?

15. Njehso S dhe V t[ konit me rreze t[ baz[s

Syprina e prerjes diagonale t[ nj[ kubi [sht[

16. Njehso S dhe V t[ topit ku qarku kryesor

8.

64 2 cm2. Njehso tehun e kubit.

208

Tema 4. Trupat gjeometrik

14. Sa litra uj[ nxen fu]ia n[ form[ t[ cilindrit me syprin[n e baz[s 30 dm2 dhe lart[si 1 m?

R = 0,5 dm dhe lart[si H = 1,2 dm.

(m[ i madhi) e ka syprin[n 56,25π cm2.

P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJE T{

detyrave

TEMA 1.

1

1. a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2.

2. a) 4 : 3;

3. a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10.

b) 2 : 3; c) 2 : 5.

T[ barabart[ nd[rmjet veti jan[ a), b) dhe ]); c) dhe d). 4. a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1. 5. a) 15; b) 7,8; 7 c) 0,5; ]) . 6. a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6. 5 7. a) 3 : 1; b) 1 : 4. 8. 7,5 cm. 9. 2 : 1.

10. 3 : 2. P[rpiqu... a) 12vez[; b) 3 pula.

2

1. a) 20; b) 6.

2. P. sh. 28 : 16 =2,1:1,2.

8 4 dm; b) m . 4. a) 3; b) 7,5; 3 9 5. a) 4 cm; b) 24 cm; c) 7 2 cm .

3. a)

c) 16.

7. a) x = 6, y = 7,5;

3

b) x = 28, y = 1,5.

6. MB = 7, 2 dm; AB = 12 dm. 7. P[r 8 cm.

8. AM : AB = 3 : 5; AB : MB = 5 : 2.

4

1. 6 cm.

2. a) 16; b) 6.

3.

4 b ; cd; mn; . k a

4. A1B1 = 9 cm, B1C1 = 3 cm . 5. a) Po; b) Jo.

5

2. AB » 14, 3 m .

1. 5.

BC = 18 .

4. x = 5, y = 10.

3. AD = 13, 5 ; 7. Ndihm[: V[re se

8. Ndihm[: a) b : a = a : x;

1 : a = a : x.

NGJASHM{RIA

6

1. a) AB dhe RS, AC dhe RT, BC dhe ST; b) A 3 . 3. x = 8, y = 7,5. dhe R, B dhe S, 2. 4 C dhe T. 4. 18 dhe 4. 5. Po. Te trek[nd[shat e puthitsh[m, k[ndet p[rkat[se jan[ t[ barabart[ dhe brinj[t p[rkat[se jan[ t[ barabart[ (pra ato jan[ proporcional). 6. MN || AB (si vij[ e mesme t[ ΔABC), pra k[ndet p[rkat[se i kan[ t[ barabarta; MN =

1 dhe BN = BC , pra brinj[t p[rkat[se i kan[ proporcionale. 2

7

1. a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3.

8

3. 22,5. 4. Jo. 7. a) Po; b) Po.

9

1. 8 cm.

8. 52 m.

CD b) 212,5 m. c) 300 m.

3. 30 cm

dhe 12 cm 4. a1 = 12 cm, b1=16 cm, c1 = 24 cm. 5. 6,5 cm.

7. Ndihm[: Te ΔABC

6. b1=5, h1 = 10.

t[rhiqe vij[n e mesme A1B1 || AB dhe shihe ΔA1B1C. 3 . 10. 0,69 ha. 8. a1 = 18, h1 = 9. 9. 5 1. a) z; z; b) n; c) z; ]) m. 2. a) 6; b) 121;

10

]) 4.

.

9. 17,5 m.

2. 24 cm, 45 cm, 27 cm.

N[ vizatim, AB [sht[ vazhduar p[r (]far[do) larg[si BC, kurse ]far[do pik[ e arritshme E, prej ku shihet A, e bashkuar me C. Poashtu [sht[ t[rhequr BD || AE. Sipas teorem[s s[

BC ⋅ DE

3. b) 6..

6. Po, sipas kriterit t[ dyt[.

c) a = 12, b = 180 » 13, 4 .

. BA =

2. 5.

5. 17 m.

b) a : b = b : x. 9. x = 12; y = 16. 10. a) Zgjidhje:

Talesit fitohet CB : BA = CD : DE , d.m.th

1 1 AB , AM = AC 2 2

3. a) 3,2; b) 5; c) 3;

5. c = 10; q = 3,6; b = 6. 6. 150 cm2.

7. Ndihm[: Konstrukto mesin gjeometrik x t[ segment[ve a dhe b. At[her[ x2 = a ⋅ b, pra katrori i k[rkuar e ka brinj[n x.

11

1. a) 37; b) 33; c) c ≈ 40.

b) Jo.

3. 1.

4. 19,4 dm.

2. a), c), ]) Po;

5. 64. 6. ≈ 10,4.

Përgjigje dhe zgjidhje

209

7. c = 37, b = 12. Zgjidhje. a2 + b2 = c2, p[r a = 35 dhe b = 49 - c b[het: 352 + (49 - c)2 = c2 , d.m.th. 1 225 + 2401 - 98c + c2 = c2, prej ku fitohet 3626 = 98c, pra c = 37; pastaj, b = 49 - c = 12. 8. 21 dhe 28.

12

1. 7 m. 2. a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) ≈ 51,9 cm.

3. a ≈ 32 cm.

4. 44 cm.

5. 1260 cm2. 6. 6 cm.

8. Ndihm[: Shfryt[zo nd[rtimin te detyra 5. 9. 92 cm (= 2 ⋅ (30 + 16) cm). 10. 6 m.

Ndihm[. Le t[ jet[ (x + 2)m lart[sia e drurit. At[her[ (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36, x + 2 = 6. 9p p P[rpiqu... P = t 2 ; p[r t = 6: P = . 2 8 1 Zgjidhje. P = p é R 2 - ( r12 + r22 )ù ; r1 = ( R + x), ë û 2 1 1 r = ( R 2 + 2 Rx + x 2 ); r2 = ( R - x ), 4 2 2 1

r22 =

1 2 ( R - 2 Rx + x 2 ); 4

r12 + r22 =

1 2 1 t2 ( R + x2 ) = ( R2 + R 2 - ) ; 2 2 4

é 1 t2 ù p P = p ê R 2 - (2 R 2 - )ú = t 2 . ê 2 4 úû 8 ë

1.

Test:

a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. T[ barabarta jan[ n[n

a dhe b 2. 4.

1,5 cm. 6.

12.

3.

a) 10; b) 9; c) 4.

a) 12; b) 35.

7.

AC || BD, pasi

8. Ndihm[: Segmenti OA : OB = OC : OD . prej 12 cm ndaje n[ tre pjes[, n[ raport 3 : 5 : 6. 9.

Po, sipas indicit t[ par[ (k[ndet e trek[nd[shit t[ par[: 40o, 60o dhe 80o, kurse k[ndet e t[ dytit: 60o, 80o dhe 40o).

10. 10 m.

11. 3,2 cm.

12. P= 45 cm;

13. c = 10; a = 20 ; b = 80 ; h = 4.

2

S= 45 cm .

14. 920. 15. a) dhe c) Po; b) Jo.

16. 128.

17. 5,3 cm.

TEMA 2.

1

BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR

1. N[n a) dhe c). 2. N[n b) dhe c). 3. P[r x = 2.

4. Identitet [sht[ 5(x - 1) = 5x - 5. n[n b).

2

5. N[n a) dhe

6. P[r a = 3.

1. a) me 3 t[ panjohura, b) me nj[ t[ panjohur dhe c) me dy t[ panjohura. 2. a) i shkall[s s[ tret[, b) i shkall[s s[ dyt[ c) i shkall[s s[ par[. n[n c).

3

3. N[n a) dhe

4. N[n a) dhe n[n c). 5. N[n c) dhe ])

5. Barazimi n[n b).

6. Barazimet n[n a) dhe n[n c). 1. Barazimet jan[ ekuivalente.

2. N[ t[ dy

an[t e barazimit [sht[ shtuar shprehja 2x. 3. Mund t[ eleminohen an[tar[t -3x; -5 dhe 4. 3x - 2 + x = fitohet barazimi 2x - 4 = 4. .

210

Përgjigje dhe zgjidhje

5

6. a). b).

7. a) -1; b) 4.

1. E nj[jta bashk[si e zgjidhjeve M = {2}.

2. M = {2}. 3. a) Jo b) Po; c) Jo.

4. x = 2.

x -1 x +1 2 x + = ⇔ 2 4 3 6x - 6 + 3x + 3 = 8x ⇔ 6x + 3x - 8x = 6 - 3 ⇔ x = 3.

5. a) M = {-1} ; b) M = R.

6

3. a) M = {2}; b) M = {2}; c) M = {4}.

4

5. m = 5x.

6.

P[rpiqu... Kapaku 0,5 denar[, shishja 10,5 denar[.

1. N[n b) dhe n[n c). 2. p[r a = 5.

4. Barazimi n[n b).

= 5 + 2x - 3 ⇔ 3x + x - 2x = 5 - 3 + 2 ⇔ 2x = 4..

1. a) 2x - 4 = 0; b) 2x + 6 = 0.

2. N[n c).

3 3. a) x = 2; b) x = 2; c) x= . 4. 2x - 8 = 1- x; 2 6. a) x = 3; a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6. 5. x = 3.

b) x = 3.

7. a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.

8. P[r a = 4.

Triku me domino... Ndihm[. Ti sh[nojm[ me x dhe y "numrat" e dominos dhe le t[ jet[ zgjedhur numri x. At[her[: (2x + 6) · 5 + y - 30 = 10x + y.

7

1. 28. 2. 108 dhe 72 3. x = (x - 46) ⋅ 4 + 7; ato

jan[ numrat 59 dhe13.

b - 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm. 5. N[se numrin e monedhave prej 2 denar[ i sh[nojm[ me x, at[her[ numri i monedhave prej 5 denar[ jan[ 25 - x. Prej k[tu kemi: 2 ⋅ x + (25 - x) ⋅ 5 = 80, p[rkat[sisht prej 2 denar[ kan[ qen[ 15 monedha, kurse prej 5 denar[ 10 monedha. 6. N[ qoft[ se numrin e lepujve e sh[nojm[ me

x, at[her[ numri i fazan[ve [sht[ 35 - x. Prej k[tu kemi: 4 ⋅ x + (35 - x) ⋅ 2 = 94. Lepuj kan[ qen[ 12, kurse fazan[ 23. 7. x + 2) ⋅ 35 = (x - 1) ⋅ 50; x = 8 or[ AB = 350 km. 1 e pun[s, kurse 8. Pun[tori i par[ p[r 1 or[ do t[ kryen 6

i dyti

1 . N[ qoft[ se me x e sh[nojm[ koh[n e nevojshme, 12

1 1 ⋅ x + x =1 , p[rkat[sisht x = 4. 6 12 2 9. P[r 2 or[. P[rpiqu... 84 vjet 5 1 1 xx =1 ; gypi i dyt[ do ta mbush rezervoarin 10. 12 20 e zbraz[t p[r 30 or[.

at[her[

8

b) [1, +∝).

1. N[n a) dhe n[n b). 2. P[r x = 0 dhe x = 2.

3.

Me nj[ t[ panjohur jan[ jobarazimet n[n a) dhe c), kurse me dy t[ panjohura jan[ jobarazimet n[n b) dhe ])

10 11

tre jobarazimet, pasi kan[ bashk[si t[ nj[jt[ t[ zgjidhjeve {0, 1, 2}. 3. a) (-2, +∝); b) (-∝, 0); c) (-∝, 1]; ]) [-3, +∝); 4. a) (-3, +∝).

2. a) x ≥ 4; b) x ≤ 3.

6. 2a + 2(a - 3) < 54, a < 15.

æ 5 ö 2. a) ççç- , + ¥÷÷÷ ; è 2 ø

12

1. a) (-3, 6); b) (-3, -1).

13

1. Funksione lineare jan[ n[n: c), ]) dhe d).

æ 1 4ö b) (-3, 4). 3. a) [4, 8]; b) [-3, 4). 4. a) ççç- , ÷÷÷ ; è 2 3ø b) (2, 4)

2. a) y = -2x + 3; ]) y =

1 1 x+ . 2 4

b) y = -x + 2;

c) y = -2x;

3. a) k = 2 dhe n = -3; b) k = 2 dhe

1 dhe n = 3; ]) k = - 1 dhe n = 0. 3 2 1 5 a) x = 2; b) x = ; c) x = ; ]) x = 0. 2 2 3 k = . 6. k = 3 dhe n = 3. 2

n = 0; c) k = -

5.

2. Ekuivalente jan[ t[

1. a) x > 3; b) x > -3.

3. Nuk [sht[. Zgjidhje [sht[ intervali (-∝, -4). 2 4. a) x < 3 ; b) x > -3. 5. x < 5. 5

n[n b) dhe n[n c) jan[ t[ shkall[s s[ par[, dhe jobarazimi n[n ]) [sht[ i shkall[s s[ tret[.

b) Z(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}.

2. 2x - 3 < x - 1 ⇔

b) 3x + 2 > 2x - 2 - 6. 4. x < 12. 5. x > -2. 6. a) dhe b). T[ dy an[t jan[ shum[zuar me -1.

4.

1. a) Z(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} dhe

1. a) x < 2; b) x > 2.

⇔ 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x. 3. a) 2x + 2 < x + 4;

4. Jobarazimi n[n a) [sht[ i shkall[s s[ dyt[, jobarazimet

9

6. N[n b).

4. a = b - 2;

14

1. Pikat A dhe D.

2. P[r x = 1.

x y

0 0

y = 3x + 2

x y

0 -1 2 -1

y = 3x - 2

x 0 1 y -2 1

3. y = 3x

1 3

b) (-∝, +2). 4. (2, 0).

5. n = 5.

6. k = 2.

5. a) (-∝, -2].

Përgjigje dhe zgjidhje

211

15

1. Funksioni y =

6. Prej P(0, 2), n = 2. Prej A(1, -1) kemi: - 1 = 1⋅ k + 2 , prej ku k = -3; funksioni [sht[ zvog[lues.

6.

3x - 2.

2. k = -3.

17

3. k = 2 dhe n = -3.

a) y = x - 2

1.

x 0 1 y -2 -1

x 2 3 y -2 0

x=2

x=3

4. n = -1. 5. k = -2 dhe n = 2.

16

b) y = 2x - 6

1. N[n a) dhe ]). 2. N[n b) dhe ]).

3. a) rrit[s p[r k =

1 dhe k = 3; b) zvog[lues p[r 3

1 k = -2 dhe k = - . 2

b) y = -2x - 1

4. a) y = 4x - 1 x 0 1 y -1 3 Funksioni y = 4x - 1 [sht[ rrit[s.

x y

a) y = x + 1

2.

0 -1 1 1

x y

0 1

y = 2x - 1 x 0 1 y -1 1

1 2

Funksioni y = -2x - 1 [sht[ zvog[lues.

x=2

b) y = 3x - 1 x 0 1 y -1 2

y = -x + 3 x y

0 3

1 2

x=1 5. a) y = -3x + 1 x y

0 1 1 -2

Funksioni y = -3x + 1 [sht[ zvog[lues..

b) y = 2x + 1 x y

0 1

1 3

Funksioni y = 2x + 1 [sht[ rrit[s.

k = 2. 4.

3.

k = 2 dhe n = 3.

P[rpiqu... 8 kosit[s. Ndihm[. N[se syprina e livadhit t[ madh [sht[ sh[nuar me A, nd[rsa e vogla me B, at[her[ A = 2. Le t[ jet[ k numri i kosit[sve. Q[ t[ kositet A duhen pune, nd[rsa p[r B:

x + 1 .Nga A = 2B fitohet barazimi 4

æx ö x x + = 2 çç + 1÷÷÷ . Nga kemi x = 8. ç è 2 4 4 ø 2 3 ; ; 1; 0. 1. ]), c), b), a) 2. 5 5

18 212

Përgjigje dhe zgjidhje

b)

x x + dit[ 2 4

3. a)

1 5 1 ; c) ; ]) ; 5 kartela; mundohu: 3 her[. 3 6 6

1 ; 2

Testi:

1. Po.

2. b)

3. a) x = 2,1; b) x = 1;

11.

5. Ato numra le t[ jen[: 4. a = 3. c) x = 3. x, x + 1dhe x + 2. kemi x + x + 1 + x + 2 = 84, d.m.th. x = 27. Numrat e k[rkuar jan[: 27, 28 dhe 29. 6. N[ qoft[ se koha e l[vizjes t[ kamionit [sht[ x,

x 0 1 y -3 -1 3 2

æ 3 ö÷ çç , 0÷ çè 2 ÷ø

12. A dhe C. 13. n = -3.

14. Rrit[s jan[

x=

at[her[ e automobili [sht[ x - 2. T[ dy automjetet kan[ kaluar rrug[ t[ nj[jt[. Prej k[tu kemi: 50x = 75(x - 2), d.m.th.x =6 or[, kurse AB = 6 ⋅ 50 = 300 km . 7. Po. 8. 2x - 1 > x - 2 ⇔ 3x + 1 > 2x - 3, n[ D. 9. a) (3, +∝)

b) (-

9 , +∝) 2

funksionet: y = 2x - 3 dhe y = 3x - 2, kurse zvog[lues jan[ funksionet:y = -3x + 1 dhe y = -x - 1. 15.

y = 3x - 1 x 0 1 y -1 2

10. a) (-∝, -3) y=x+3 x 0 1 y -1 2

b) (- 5; 2,5)

x=2

TEMA 3.

1

SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE

1. a) Koeficient[; 2, -1, 3; T[ panjohura: x, y. b) Koeficient[: 2, 6, 1; T[ panjohura: x, y. c) Koeficient[: 1, -2, -1; T[ panjohura: y, z. ]) Koeficient[: 5, 3, 16; T[ panjohura: u, v. 1 2. a) po; b) jo. 3. a) -1; b) ; c) 5. 4. b). 2 5. (-2, 3); (-1, 1); (0, -1); (1, -3); (2, -5).

c) {(2, κ) | κ ∈ Ρ)}; grafiku [sht[ drejt[z paralele me boshtin y.

4. p = -2.

3

1. a) Koeficient[: 2, 0, 6 dhe 0, 1, 2; T[ panjohura:

2 1 , , 2; T[ panjohura: x, y; 3 2 c) Koeficinet[: 0; 0,25; 0,04; 4; 25; 641; T[ panjohura: x, y. 6. x + 3y = -3. ì x + y = 64 ï ï ì 2. í ï ïíæçk - 1- 2k ö÷÷ | k Î R } ï ï î x - y = 17; 1. a) {(k, 3 - 2k) | k ∈ R}; b) ïççè .. 6 ø÷ ï î ì 2. a) x + 3y = -3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24; x + y = 440     18 ï ï í  ï ]) 19x + 33y = 124. 52      180; ï î x - 180 = y + 180.

x, y; b) Koeficient[: 1, 2, 0,

2

ì ï 2 ö÷ ïæ 3. a) íïçççk , 2 - k ÷÷| k Î R } ; 3 ø ï îè

x -3 0 y 4 2

3 0

3. a) po; b) po; c) jo.

ì ï ìx + 2 y = 0 ï1 x + y = 2 ï a) ïí 2 b) ïí ï ï ï î4 x + 3 y = 12. ï ï î x - 2 y = 5;

6. a) (x, y) = (-2, 4); b) {(k, 2(k - 3) | k ∈ R};

x -1 0 3 y -8 -6 0

4. P[r shembull: 5.

ì 3x - y = 5 ï ï í ï ï î x + y = 0.

b) (x, y) = (-3, 3).

Përgjigje dhe zgjidhje

213

ìï x + y = 16 ï 7. Vjet[t e Bashkimit jan[ x, e t[ Dritonit y; ïí ïï x + y = 12; ïî 2

Bashkimi dhe Dritoni jan[ bineq.

4

1 4

c) Pafund shum[ zgjidhje. ì x + y = 72 ï 1. ïí ; numri i par[ [sht[ 37, kurse i dyti 35. ï ï îx - y = 2

2. Sh[nim M-djem, D-vajza.

2 0

y = 5x - 1 x -2 0 1 y -11 -1 4

7. a) (x, y) = (3, 1); b) Nuk ka zgjidhje;

7

1. a) y = 8 - 4x x -2 0 y 16 8

6. (x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).

R = {(1, 4)} 2 9

ìM + D = 28 ï ï 3. Shpejt[sia e anijes í ï M = D + 4, R = {(16, 12)}. ï î [sht[ 16,8 km/h, kurse e lumit 4,2 km/h. 4. Uji i ngroh[t ka 80 oC, kurse i ftohti 10 oC. 5. Afrimi ka bler[ 3 fletore t[ m[dha dhe 5 t[ vogla. 6. N[na ka 32 vjet, kurse vajza 5 vjet. 7. K[ndi i ngusht[ [sht[ 72o, kurse i gjeri 108o.

æ 2 1ö÷ ç 2. a) Nj[ zgjidhje: ( x, y ) = ççè 3 , 3 ÷÷ø ; b) Pafund shum[; c) Nj[ zgjidhje (x, y) = (2, 2); ]) Nj[ zgjidhje: (x, y) = (-2, 1).

8. Formo sistem dhe cakto gjat[sit[ e brinj[ve. N[p[rmjet teorem[s s[ Pitagor[s cakto lart[sin[. S = 60 cm2. 9. Fazan[ ka 23, kurse lepuj ka 12.

3. a) Grafik[t jan[ drejt[za paralele; b) Grafik[t jan[ drejt[za q[ priten; c) Grafik[t jan[ drejt[za q[ priten; ]) Grafik[t jan[ drejt[za q[ puthiten.

5

1. a) (x, y) = (2, 4); b) (x, y) = (10, 5);

Testi: 1. }do ]ift i renditur i numrave real[ p[r t[ cil[t barazimi kalon n[ barasi t[ sakt[ numerike. 2. k = 1. 3. Vizato grafikun sipas tabel[s:

c) (x, y) = (0, 7).

2. a) (x, y) = (5, 3); b) (x, y) = (4, 3);

c) (x, y) = (4, 1)..

3. a) (x, y) = (1, 0); b) (z, y) = (-1, 1).

c) (x, y) = (3, -1). 4. a) (x, y) = (7, -5); b) (x, y) = (4, 12). 5. a) (x, y) = (-3, -1); b) (x, y) = (-13, -1).

6

æ 17 ö 1. (x, y) = (3,-2); ( x, y )= ççç-7, - ÷÷÷. è 3ø æ1 ö 2. ( x, y )=ççç , -2÷÷÷; (x, y) = (12, 4). 3. (x, y) = (5, 2). è2 ø

5.

x -2 0 y -8 0

ì 4 x - y = -20 ï ï í ï ï î x - 2 y = 11.

1 4

2 8

4. }ifti i renditur prej numrave real[ [sht[ zgjidhje e t[ dy barazimeve.

6. Vizato grafik[t e barazi-

meve. Cakto koordinatat e prerjes s[ tyre Z = {(1, 3)}. 7. (x, y) = (2, 3). 8. (x, y) = (-7, 1).

9. a) nj[; b) pafund shum[

10. Babai ka 34 vjet, kurse djali 12 vjet..

4. (x, y) = (7, -2). 5. (x, y) = (6, 12); (x, y) = (12, 12).

TRUPAT GJEOMETRIK

TEMA 4.

1

1. a) A, B, C, D; b) A, B, C, B1.

3. A1, B1C1D1 dhe CDD1C1.

2

1. Nj[ ose tre

214

2. 1.

4. A1B1C1D1.

2. a) AB1 dhe BA1, AB1 dhe

Përgjigje dhe zgjidhje

CB1, BA1 dhe BC1, BC1 dhe CB1; b) asnj[; c) AB1 dhe BC1, BA1 dhe CB1. 3. Asnj[ra, n[ qoft[ se shmangen; vet[m n[ qoft[ se jan[ paralele ose priten.

4. Pikat jokomplanare A, B, C, D, p[rcaktojn[ kat[r rrafshe: ABC, ABD, ACD dhe BCD. 5. AB dhe AC priten, prandaj ato p[rcaktojn[ rrafsh t[ vet[m Σ te i cili shtrihen t[ gjitha pikat nga drejt[za AB dhe t[ gjitha pikat e drejt[z[s CD.

3

3. a) po; b) po; c) po.

2. c).

3. Jo.

4. Jo. A', B', C' jan[ kolineare dhe

kur rrafshi i p[rcaktuar me pikat jokolineare A, B, C [sht[ paralele me drejtimin proektues s. 5. B[je vizatimin dhe shqyrto trapezin ABB'A'. CC' [sht[ vija e mesme e atij trapezi. Pse? 6. Po, n[ qoft[ se rrafshi i p[rcaktuar me M dhe a [sht[

P[rpiqu... a) 1; b) 6; c) 12; ]) 8; d) 0. 2. n + 2. 3. 2s = r.

1. 7; drejtk[nd[sha.

5. a) Jo; b) po, gjasht[k[ndore; c) po, nj[mb[dhjetk[ndore. 6. a) asnj[; b) 2; c) 3. 1. a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2.

d =7 3 cm. 3. 8 cm.

2. a = 7 cm,

4. a) B = 20,25 dm2;

M = 151,2 dm2; S= 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; H = 9 cm; S = 720 cm2. c) B = 128 cm2; M = 352 cm2; H = 11 cm. ]) a = 7 cm; M = 336 cm2; S = 434 cm2. d) a = 9 cm; M = 180 dm2; H = 5 dm. dh) a = 6,5 dm; B = 42,25 dm2; S = 292,5 dm2. e) S = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. [) B = 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm. 5. N[nt[ her[ 6. b) B = 4 3 ; H = 9; ; c) B =36 3 ; M =180 3 ; H =5 3 . d) a = 6; H = 15; dh) a ≈ 10; H ≈ 8.

8

1. 27 cm3.

5. 1 152 cm3.

6. 96 cm2.

9

1. 8 dm.

2. 240 3 cm3 . 3. 2 400 cm3;

2. 4 dm. 3. 6 cm. 4. 112 cm3. 8. 48 cm3.

4. 640 dm3. 5. a) 72 3 cm3 ; b) a 3 3 . 6. ≈ 13,5 cm. 7. 33 600 m3. 8. a) B = 25, H = 8,

1 280 cm2.

)

3 + 390 cm2 .

5. ≈ 101,1 cm2.

4. 3 cm.

6. 25 dm2..

M = 700; S = 896. c) S = 800; a = 16; h = 17; H = 15. ]) a = 40; B = 1600; M = 2320; S = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41; H ≈ 40,45. e) B = 784; a = 28; h = 50; H = 48.

11

1. 1920 cm3.

2. 96 cm2.

3. 1 536 cm2;

4. 24 cm; 1440 cm2. 5. 360 dm3. 3 072 cm3. 6. 7 cm; ≈ 491,2 cm2. 7. a) s = 26, V =1200 3 . b) a = 7; H = 24. c) h ≈ 24,8; V =588 3 . ]) a = 7, s = 25. 1. 312π cm2; 720π cm3.

4. 66π cm2; 72π cm3

2. a) 600π cm2; 3. ≈ 20 cm.

13

3. a) ≈ 34,2 cm2; b) ≈ 63,8 cm3; 4. 27π cm2; 9  3 cm3 ..

c) ≈ 67,36 cm2. 5. 600π cm2.

6. 10 cm. 2. ≈ 1 256 cm2;

1. 144π cm2; 288π cm3.

≈ 4 186,7 cm3.

3. 8 cm.

4. (500 : 3)π cm3; 25π cm2.

5. R = 3 cm; S = 36π cm2.

a a 3 , R2 = ; 2 2 7. V[llimi V i mbetu-

6. R1 =

S1 : S2 = 3 : 1, V1 :V2 = 3 3 :1 . rin[s [sht[: V = VK - VT =43 -

Testi:

6. b : a.

2. ≈ 1 130,4 cm2; ≈

1. 90π cm2; 100π cm3.

2 512 cm3.

14

5. 6 750π cm3.

32; V ≈ 32 cm3; ≈ 32%. b) » 49 her[.

7. 288 cm2. 8. 1, 3, 6 dhe 7. P[rpiqu... Te rrjeti i prizmit t[rhiq segment MP.

7. ≈ 5,8 m.

(150

2.

2 000π cm3. b) 6π dm2; 2π dm3.

4. Po.

7

1. 4; tetraed[r.

7. a) B = 144; M = 240; S = 384; H = 8. b) B = 196; h = 25;

12

paralel me s.

5 6

10

3. 2,5 dm. 2. Vet[m nj[.

5. Σ1 dhe Σ2: ose puthiten ose priten me drejt[z[n e prer[ AB.

4

S= 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. c) S= 240, a = 6, H = 7, V = 252. ]) a = 11, B = 121, M = 616, S = 858. d) a = 13, B = 169, S = 1118, V = 2535. e) H = 8, a = 5, B = 25, S = 210.

1. a) D1; b) A1.

3. a) po; b) po; c) jo.

2. a) jo; b) jo; c) po. 5. Σ1 || Σ2.

8. 8 cm.

b) 12; c) 18; ]) 3n.

(

 4 ⋅ 23π = 64 - 32 ⋅ ≈ 3 3 8. a) a » 13 her[.

7. a) 9;

9. 11 cm.

)

10. 10 5 3 +18 cm2 , 150 3 cm3 . 11. 500 cm 2 , 600 cm3.

12. 18 3 cm3 . 13. 360 cm2, 400 cm3.

14. 300 .

15. 90π cm2, 100π cm3.

16. 225π cm2, 562,5π cm3.

Përgjigje dhe zgjidhje

215

PASQYRA E KONCEPTEVE A Argumenti 105 An[tari i lir[ 105 - koeficienti para 105 B Barazimi, 57 - i pamundsh[m (kund[rth[n[s) 58,64,75 - grafiku 133 - katror 60 - linear 62 - me dy t[ panjohura 128 - forma e p[rgjithshme 74 - me nj[ t[ panjohur 60 - i shkall[s s[ par[ 60 - parametrik 60 - zgjidhje (rr[nj[) e 62 - bashk[sia e zgjidhjeve 63 - ekuivalent 131 Barazi, 56 - numerike 56 - me ndryshore 56 Bashk[sia 63 - e p[rkufizimit 63 C Cilindri 197 - i drejt rrethor 198 - bazat e 198 - sip[rfaqja an[sore 198 - rrezja e 198 - boshti i 198 - lart[sia e 198 - prerja boshtore e 198 - barabrinj[s 198 - v[llimi i 199 - rrjeti i 198 - syprina e 198 D Direktrisa (drejtuesja) 188 - e cilindrit 197 - e konit 200 Drejt[zat 163 - paralele 163 - aplanare 164 -priten 163 - projektuese 168

216

Dep[rtues 162 Drejtimi proektues 168 E Mostra 48 F Figura, 24 -e ngjashme 24 - gjeometrike 24 - themelore 24 - puthitshme 183 Funksioni 105 - linear 105 - paraqitja grafike 107 - zero 106 - konstanta 113 - rrit[s linear 114 - zvog[lues linear 115 GJ Gjasa 197 Gjeneratrisa (p[rftuesja) 188 - e konit 191 - e cilindrit 188 gjeometrike 10,39 - e mesme 10 -e kat[rta 10 I Identiteti 58 Intervali 89 - i mbyllur 89 - skajet e 89 - i hapur 89 J Jobarazimi 84 - themelor 89 - me nj[ t[ panjohur 85 - sistem me dy t[ panjohura 86 - katror 86 - linear 86 - forma e zgjidhur 90 - kubik 86 - zgjidhja e 87 - bashk[sia e zgjidhjeve 87 - ekuivalente 89 - teoremat p[r 92 Jobarazia 83 - numerike 83

Pasqyra e koncepteve

- me ndryshore 84 K Kuboidi 178 - v[llimi i 183 - rrjeti i 179 Koni 200 - lart[sia e 201 - v[llimi i 202 - kulmi i 200 - syprina e 202 - i drejt[ rrethor 201 - baza e 201 - rrjeti i 201 - boshti i 201 - barabrinj[s 201 kubi 178 - v[llimi i 183 -rrjeti i 179 -i brendashkruar n[ top205 Kahja 97 - e kund[rt 97 M Metoda e z[v[nd[si. 141 Metoda e koeficient[ve t[ kund[rt 145 Mesi 10 - gjeometrik 10,39 N Ndryshore 56 Ngjashm[ria 26 - koeficienti i 26 O Ortogonale 169 P Piramida 190 - baza e 190 - faqet e 190 -an[sore 190 - kulmi i 190 - kulmet e 190 - sip[rfaqja an[sore 190 - tehet e 190 -bazave 190 - an[sore 190 - lart[sia e 190 - prerja diagon. 191 - e rregullt 192 - apotema 192 - rrjeti i 192

-syprina 191 - v[llimi i 191 8 P[rpjes[timi - vazhduar 10 -proporcionaliteti 9 -koeficienti i 9 Planimetria 160 Popullimi 48 Prizmi 174 - bazat e 175 - llojet e 176 - baza 175 - an[sore 175 -sip[rfaqja an[sore 175 - kulmet e 175 - tehet e 175 - t[ baz[s 175 - an[sore 175 - e drejt[ 175 - v[llimi i 178 - e rregullt[ 175 - e pjerrt[ 175 - lart[sia e 176 - prerja e 176 - prerja diagon. e 176 - diagonalja e 176 - rrjeti i 179 - syprina e 180 - v[llimi i 187 Paralelopipedi 175,177 - k[nddrejt 178 Poliedri 183 - v[llimi i 184 Projektimi 168 -paralel 168 -ortagonal 169 Projeksioni 37,168, 169 R Raporti (p[rpjesa) 4 - vlera e 4 - i zhdrejt[ 5 - i vazhduar 6 RR Rrafshi 161 - pingule n[ 167 - k[ndi nd[rmjte dy 166 - larg[sia prej pik[s deri 167

S Segmente 6 - t[ pabashk[matsh[m 6 - t[ bashk[matsh[m 6 - proporcionale 8 -t[ barabart[ 12 Sip[rfaqja - konike 200 - cilindrike 197 -Sistemi i jobarazimeve lineare me nj[ t[ panjohur100 -bashk[sia e zgjidh. 101 - kund[rth[n[s 103 Sistemi prej dy barazimeve lineare me dy t[ panjohura 134 - zgjidhja grafike 138 - zbatimi 148 - zgjidhja e 135 Stereometria 160 Sfera 203

- qendra e 203 -rrezja e 203 T Treshja e Pitagor[s 43 Trupi 183 - gjeometrik 183 - tehor 183 - i rrumbullak[t 183 - v[llimi i 184 Teorema - e Talesit 16, 21 - e Pitagor[s 41 - e anasjallt[ 42 - e Euklidit 38 Tetraedri 193 - i rregullt 193 Topi 203 - qendra e 203 - rrezja e 203 - rrethi i madh i 204

- syprina e - v[llimi i Trek[nd[sha - t[ ngjash[m - kriteri i par[ p[r - kriteri i dyt[ p[r - kriteri i tret[ p[r

204 204 25 25 27 31 32

3

TEMA 1.

NGJASHM{RIA

TEMA 2.

BARAZIMI LINEAR, JOBARAZIMI LINEAR DHE FUNKSIONI LINEAR

TEMA 3.

SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE

127

TEMA 4.

TRUPAT GEOMETRIKE

159

P{RGJIGJE DHE ZGJIDHJET E DETYRAVE

209

PASQYRA E KONCEPTEVE

216

Pasqyra e koncepteve

55

217

Jovo Stefanovski, dr. Naum Celakoski Recensentë: dr. Jordanka Mitevska, profesor ordinar në FMN - Shkup Zhaneta Shumkoska, profesor në Sh.F. “Shën Kirili dhe Metodi” - Shkup Agim Bukla, profesor në Sh.F. “Pashko Vasa” - Grupçin Redaktor i botimit: Jovo Stefanovski Lektor i botimit në maqedonisht: Suzana Stojkovska Përkthyes: Satki Ismaili Redaktim profesional: prof. dr. Ilir Spahiu Lektor i botimit në shqip: Roland Poloska Përpunimi kompjuterik dhe dizajni: Dragan Shopkoski Korrekturë: Autorët Përgatitja për shtyp: Jovo Stefanovski, Dragan Shopkoski Botues: Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Republikës së Maqedonisë Shtyp: Qendra Grafike shpkpv, Shkup Tirazhi: 8.800 Me vendim të ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 22-2321/1 datë 21.04.2010 lejohet përdorimi i këtij libri. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје 373.3.016:51 (075.2)=163.3 СТЕФАНОВСКИ, Јово Математика за осмо одделение : осумгодишно основно образование / Јово Стефановски, Наум Целакоски . - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 219 стр. : илустр. ; 25 см ISBN 978-608-4575-88-7 1. Целакоски, Наум [автор] COBISS.MK-ID 84078858

218

Pregled na poimi