Математика - 8

JOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

2010 Skopje

Drag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodr`ini za VIII oddelenie. ]e u~i{ novi interesni sodr`ini za sli~nost na figuri. ]e nau~i{ tehniki za re{avawe linearni ravenki i linearni neravenki, kako i za re{avawe na nekoi sistemi linearni ravenki. ]e gi pro{iri{ znaewata za linearnata funkcija i za geometriskite tela i nivnata plo{tina i volumen. Knigava e podelena na ~etiri tematski celini, a sekoja od niv e podelena na pottemi. Tematskite celini zapo~nuvaat so sodr`ina, a nastavnite edinici vo niv se numerirani. Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnosti, obvrski i drugi sugestii, i toa:

Potseti se!

A

,

B

...

1. 2. 3.

...

Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e poznato. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa }e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata. So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) koi se odnesuvaat na novite poimi. So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvojot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoa treba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{ i razbere{. Najbitnoto e oboeno so `olta boja, pri {to formulaciite na teoremite se vo portokalova ramka.

Treba da znae{:

Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa, zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da go koristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.

Proveri se!

Ovoj del sodr`i pra{awa i zada~i so koi mo`e{ da se proveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za da mo`e{ da go primenuva{ i koristi{ vo sekojdnevniot `ivot.

Zada~i Obidi se! ...

PROVERI GO TVOETO ZNAEWE

Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i. So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bide od golema polza. Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovoj del (ova ne e zadol`itelno). So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei. Na krajot od sekoja tema ima{ test od pra{awa i zada~i. Re{i go samostojno testot i so toa }e gi proveri{ tvoite znaewa od izu~enata tema.

Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otka`uvaj se, obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo. ]e n¢ raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~en uspeh. Od avtorite

TEMA 1.

SLI^NOST

PROPORCIONALNI OTSE^KI 1. Razmer me|u dve otse~ki 4 2. Proporcionalni otse~ki 8 3. Delewe otse~ka na ednakvi delovi 12 4. Talesova teorema za proporcionalni otse~ki 16 5. Zada~i so primena na Talesovata teorema 20 SLI^NI TRIAGOLNICI 6. Sli~ni figuri. Sli~ni triagolnici 24 7. Prv priznak za sli~ni triagolnici 27

8. Vtor i tret priznak za sli~ni triagolnici 31 9. Odnos na perimetrite i odnos na plo{tinite na dva sli~ni triagolnici 33 PITAGOROVA TEOREMA 10. Sli~nosta vo pravoagolen triagolnik 11. Pitagorova teorema 12. Zada~i so primena na Pitagorovata teorema 13. Populacija, primerok Proveri go tvoeto znaewe

Proporcionalni otse~ki

37 41 44 48 53

3

PROPORCIONALNI OTSE^KI

1

RAZMER ME\U DVE OTSE^KI

A 1.

Potseti se! Razmer ili odnos na brojot a i brojot b (b ≠0) e koli~nikot na a i b, t.e.

a ; a : b ili b se ~ita: a sprema b; brojot a se vika prv ~len, a b vtor ~len na razmerot. Brojot {to se dobiva so izvr{uvawe na deleweto na a so b se vika vrednost na razmerot a : b i se ozna~uva so k. Vo toj slu~aj a : b = k, t.e. a = bk.

A

Za koi razmeri se veli deka se ednakvi? Koi od razmerite a) - g) se ednakvi? Najdi go nepoznatiot ~len na razmerot: a) x : 8, ako vrednosta mu e 4; b) 18 : y, ako vrednosta mu e 12.

B

C

D

pri {to AB = 6 cm, CD = 4 cm. Zapi{i go razmerot na mernite broevi od dol`inata na otse~kata AB i dol`inata na otse~kata CD. Koli~nikot 6 : 4 }e go smetame za razmer me|u otse~kata AB i otse~kata CD.

Najdi ja vrednosta na razmerot: a) 28 : 4; b) 35 : 5; v) 12 : 16; g) 1,8 : 2,4.

Na crte`ot se dadeni dve otse~ki:

Op{to Razmer ili odnos me|u dve otse~ki e koli~nikot od mernite broevi na nivnite dol`ini pri ista merna edinica. Odnosot na edna otse~ka AB sprema druga otse~ka CD go zapi{uvame: AB : CD ili

AB . CD

Dali vtoriot ~len CD mo`e da bide ednakov na nula? Vo zada~ata 1, odnosot AB : CD e 6 : 4, a negovata vrednost e

2.

3 . 2

Najdi ja vrednosta na razmerot na otse~kata a sprema otse~kata b, ako: a) a = 12 cm, b = 4 cm;

b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Vnimavaj! Dol`inite na dvete otse~ki vo razmerot treba da se izrazeni so ista merna edinica. Razmerot na dvete otse~ki e neimenuvan broj.

4

Tema 1. Sli~nost

3.

Sekoj ~len od razmerot 0,5 : 0,25: a) pomno`i go so 20;

b) podeli go so 5.

Potoa, vrednosta na dadeniot razmer sporedi ja so vrednostite na dobienite razmeri vo a) i b). [to zaklu~uva{?

4.

Zapi{i go odnosot na otse~kata a = 6 cm sprema otse~kata b = 3 cm i odredi ja negovata vrednost. Potoa, odredi go odnosot a : b i negovata vrednost, ako dol`inite na otse~kite gi zapi{e{ vo: a) mm; b) dm; v) m. [to zaklu~uva{ za tie odnosi?

a b

So prethodnite dve zada~i se potseti deka: Razmerot a : b ne se menuva ako dvata negovi ~lenovi se pomno`at ili se podelat so ist nenulti broj, t.e. ako a : b = k i m ≠0, toga{ (am) : (bm) = k i (a : m) : (b : m) = k. Ako odnosot na dva broja e a : b = k, toga{ na {to e ednakov brojot a? [to poka`uva brojot k za broevite a i b?

Ako a : b = k, toga{ a = kb. Brojot k poka`uva kolku pati brojot b se sodr`i vo brojot a.

Zapomni Ako odnosot na dve otse~ki AB i CD e k, t.e. AB : CD = k, toga{ AB k ¸ CD . Odnosot k poka`uva kolku pati otse~kata CD se sodr`i vo otse~kata AB, t.e. k e merniot broj na dol`inata na otse~kata AB koga za merna edinica }e se zeme otse~kata CD.

B 5.

Dadeni se otse~kite a = 1,2 dm, b = 18 cm. Zapi{i go razmerot a : b i presmetaj ja negovata vrednost. Zapi{i go razmerot b : a i presmetaj ja negovata vrednost.

Za razmerot b : a se veli deka e obraten na razmerot a : b. Taka, razmerot 18 : 12 e obraten na razmerot 12 : 18.

6.

Ana ima 5 godini, Biljana ima 10 godini, a Stojna ima 35 godini. Zapi{i go odnosot na godinite me|u: a) Ana i Biljana; b) Biljana i Stojna;

v) Ana i Stojna.

Proporcionalni otse~ki

5

Razgledaj gi razmerite 5 : 10, 10 : 35 i voo~i deka imaat ne{to zaedni~ko. Vtoriot ~len od prviot razmer e ednakov so prviot ~len od vtoriot razmer.

Zapomni! Razmerite a : b i b : c obi~no se zapi{uvaat kratko so Zapisot a : b : c se vika prodol`en razmer na a, b, c.

a:b:c

.

Taka, 5 : 10 : 35 e prodol`en razmer {to e zamena za dvata razmera 5 : 10 i 10 : 35. Pokraj tie dva razmera, prodol`eniot razmer go sodr`i i razmerot 5 : 35.

7.

Vozdu{nite rastojanija me|u tri grada A, B, C se: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km. Pretstavi gi tie rastojanija, na crte`, namaleni 800 000 pati. Zapi{i go prodol`eniot razmer CA : AB : BC vo {to poprost vid.

V 8.

Na crte`ot se dadeni tri otse~ki AB, CD i PQ, takvi {to

A

AB 5 PQ, CD 3PQ .

C

Kolku pati otse~kata PQ se sodr`i vo otse~kata a) AB; b) CD?

P

B D Q

Voo~i deka otse~kata PQ, vo otse~kite AB i CD, se sodr`i cel broj pati. Za otse~kata PQ se veli deka e zaedni~ka mera na otse~kite AB i CD.

Op{to Za dve otse~ki se veli deka se somerlivi, ako postoi treta otse~ka koja{to se sodr`i cel broj pati vo sekoja od niv. Razmerot na dve somerlivi otse~ki e racionalen broj (cel ili droben). Otse~kite AB i CD od zada~ata 8 se somerlivi. Takvi se i parovite otse~ki: AB, BC i BC, CA, vo zada~ata 7 (zaedni~ka mera im e otse~ka so dol`ina, na primer, 1 km).

9.

Na crte`ot e pretstaven kvadrat so strana a i dijagonala d. Izrazi ja dijagonalata d so pomo{ na stranata a. Poka`i deka razmerot d : a e iracionalniot broj

2.

d a

Voo~i deka Ima parovi otse~ki za koi ne postoi otse~ka {to bi se sodr`ela cel broj pati vo sekoja od niv. Za takvi dve otse~ki se veli deka se nesomerlivi i nivniot razmer sekoga{ e iracionalen broj.

6

Tema 1. Sli~nost

Na primer, stranata a i dijagonalata d na kvadrat se nesomerlivi otse~ki; nivniot razmer d : a e brojot

2.

Treba da znae{: da imenuva{ i da odredi{ razmer na dva broja i na dve otse~ki; da odredi{ vrednost na razmer i ednakvi razmeri; da zapi{e{ obraten razmer i prodol`en razmer; da odredi{ nepoznat ~len vo razmer.

Proveri se! Dadeni se otse~kite AB 8 cm i

A

AC 2 cm (na crte`ot).

C

Iska`i ja vrednosta na razmerot: a) AB : AC ;

b) AC : CB ;

B v) CB : AC ;

g) CB : AB .

Iska`i go razmerot na a sprema b vo {to e mo`no poprost vid: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; v) a = 1 kg, b = 800 g. Odredi ja vrednosta na sekoj od razmerite: a) 6 : 8;

b) 150 : 200;

v) 80 : 60;

g) 0,18 : 0,24.

Koi od niv se ednakvi? Vrednosta na razmerot x : 4 e 5. Kolku e x?

4. Rastojanieto Skopje - Valandovo e

Zada~i 1. Iska`i go razmerot a : b vo {to poprost vid, ako:

a) a = 15 cm, b = 2 dm;

150 km, Skopje - Kriva Palanka e 100 km, a Skopje - Tetovo e 50 km.

a) Zapi{i prodol`en razmer na tie rastojanija. b) Zapi{i go toj prodol`en razmer vo {to poprost vid.

b) a = 6x, b = 4x; v) a = 2 6, b = 800 m6.

5. Presmetaj go nepoznatiot ~len vo raz-

2. Zapi{i go obratniot razmer za sekoj od

merot, ako e dadena negovata vrednost: a) x : 5 = 3;

v) 6,5 : y = 13;

3. Slednite razmeri pretstavi gi vo vid

b) x : 1,3 = 6;

g) 4

razmerite vo prethodnata zada~a.

na razmeri ~ii ~lenovi se celi broevi. a) 0,3 : 0,6;

b) 0,35 : 0,7;

v)

2 4 : ; 5 3

3 1 35 . : 5, 2 ; d) 5 : 5 4 2 Koi od niv se ednakvi me|u sebe? g) 2

2 1 : y 3 . 3 3

6. Najdi go odnosot na stranata i perimetarot na: a) ramnostran triagolnik; b) ramnostran petagolnik; v) ramnostran {estagolnik.

Proporcionalni otse~ki

7

7. Dadena e otse~ka AB 24 cm i na nea e izbrana to~ka C, taka {to AC = 18 cm . Da se najde: a) AC : CB b) razmerot na najkusata sprema najdolgata otse~ka.

9. Vo pravoagolen triagolnik eden od aglite ima 60o. Na {to e ednakov odnosot na hipotenuzata i pomalata kateta?

10. Zbirot od dol`inite na dve otse~ki e 35, a nivnata razlika e 7. Da se najde odnosot na tie otse~ki. Obidi se! ...

8. Pomalata od dve otse~ki se sodr`i vo

pogolemata 7 pati i ostanuva otse~ka koja{to se sodr`i vo pomalata otse~ka to~no 2 pati. Kolku e dolga pogolemata otse~ka, ako se znae deka pomalata otse~ka e dolga 1 cm?

2

Tri koko{ki za tri dena nesat tri jajca. a) Kolku jajca nesat {est koko{ki za {est dena? b) Kolku koko{ki za 100 dena }e snesat 100 jajca?

PROPORCIONALNI OTSE^KI

Potseti se! Kakvi se me|u sebe razmerite 12 : 8 i 6 : 4?

A 1.

Dadeni se ~etiri otse~ki so dol`ini AB = 40 cm , PQ = 7 cm ,

CD = 8 cm , RS = 35 cm.

[to pretstavuva ravenstvoto na ednakvite razmeri: 12 : 8 = 6 : 4?

Dali mo`e{ od niv da obrazuva{ proporcija?

Ako razmerite a : b i c : d se ednakvi, toga{ ravenstvoto

Sostavi od niv nekoja proporcija.

a c a : b = c : d, t.e. b d se vika proporcija, a broevite a, b, c, d se ~lenovi na taa proporcija. Koj od tie broevi e prv ~len, a koj e tret ~len na proporcijata? Koi se nadvore{ni, a koi vnatre{ni ~lenovi? Najdi go proizvodot na nadvore{nite i proizvodot na vnatre{nite ~lenovi na proporcijata 12 : 8 = 6 : 4. Kakvi se me|u sebe tie proizvodi?

Voo~i deka, na primer: 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, t.e. od dol`inite na dadenite otse~ki mo`e da se formira proporcijata 40 : 8 = 35 : 7. Poradi toa, mo`e da se ka`e deka parovite otse~ki AB, CD i RS, PQ se proporcionalni.

Op{to Za dva para otse~ki a, b i c, d se veli deka se proporcionalni, ako nivnite dol`ini obrazuvaat proporcija:

a : b = c : d , t.e. 8

Tema 1. Sli~nost

a c = b d

Vrednosta k na ednakvite razmeri a : b i c : d na parovite proporcionalni otse~ki a, b i c, d se vika koeficient na proporcionalnosta. Koj e koeficientot na proporcionalnosta na otse~kite AB, CD i RS, PQ od zada~ata 1? Kako }e go odredi{ koeficientot na proporcionalnosta na otse~kite?

2.

]e ja odredam vrednosta na odnosot

AB : CD , t.e. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5. a

Dadeni se otse~kite a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm.

b c

Poka`i deka a, b i c, d se proporcionalni. Koj e koeficientot na proporcionalnosta?

d

Zapi{i proporcija na otse~kite a, b i c, d. Najdi go proizvodot na nadvore{nite ~lenovi i proizvodot na vnatre{nite ~lenovi. Kakvi se tie proizvodi me|u sebe?

Va`i i op{to! Proizvodot od nadvore{nite ~lenovi na edna proporcija e ednakov so proizvodot od nejzinite vnatre{ni ~lenovi, t.e.

ako a : b = c : d , toga{ a ⋅ d = b ⋅ c Ova pravilo se vika osnovno svojstvo na proporciite. Za sekoja od ~etirite proporcionalni otse~ki a, b, c, d se veli deka e ~etvrta geometriska proporcionala na drugite tri.

bc e ~etvrta geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c vo a proporcijata a : b = c : d. Na primer, d

3.

Najdi ja dol`inata na ~etvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a = 6 cm, b = 8 cm, c = 12 cm vo proporciite: a) a : b = c : x;

b) x : c = a : b;

v) a : x = b : c.

Sporedi go tvoeto re{enie za a) so dadenoto: a : b = c : x; 6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 ⋅ 12;

B 4.

Potseti se! Za broevite 5 i 20 najdi broj x takov {to 5 : x = x : 20. [to pretstavuva brojot

5 ¸ 20 ( 10) za

broevite 5 i 20? Najdi ja geometriskata sredina na broevite 2 i 32.

x =16 cm.

Dadeni se otse~kite a = 9 cm i b = 4 cm. Najdi otse~ka x, takva {to a : x = x : b.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. FProporcijata 9 : x = x : 4, spored osnovnoto svojstvo, se sveduva na ravenkata x2 = 9 ⋅ 4, pa x =

36 6 ; x = 6 cm.

Proporcionalni otse~ki

9

Voo~i deka brojot 6 e geometriska sredina na broevite 4 i 9.

Zapomni! Geometriska sredina (ili sredna geometriska proporcionala) na dve otse~ki so dol`ini a i b se vika otse~ka so dol`ina x takva {to a : x = x : b, t.e.

a x x b 5.

F x2 = ab F x = ab

Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite: a) a =12 cm, b = 27 cm;

6.

b) a = 5 cm, b = 12 cm.

Utvrdi so merewe dali otse~kata b od crte`ot e geometriska sredina na otse~kite a i c.

V 7.

Dadena e proporcijata

a b c

8 10 . Poka`i deka e proporcija i ravenstvoto 4 5

8 4 10 5 . 4 5

Va`i i op{to Ako

a c a b c d , toga{ . b d b d

Voo~i deka: od

8.

Obidi se da go doka`e{ toa.

a b c d a c a c a b c d

, t.e.

1 1; potoa: sleduva . b b d d b d b d b d

Poka`i deka va`i i obratnoto tvrdewe. Ako

a b c d a c . , toga{ b d b d

Potseti se! Koga tri ili pove}e razmeri se ednakvi, toga{ tie mo`e da se zapi{at vo forma na prodol`ena proporcija, kako na primer:

Za nea va`i:

10

Tema 1. Sli~nost

a b c . a1 b1 c1

a b c a b c a1 b1 c1 a1 b1 c1

Treba da znae{: Proveri se!

da go definira{ poimot proporcija; da odredi{ nepoznat ~len vo proporcija;

Najdi go nepoznatiot ~len vo proporcijata 10 : a = 15 : 6. Najdi ja dol`inata na ~etvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm vo proporcijata a : b = c : x. Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite a = 2 cm i b = 8 cm.

da objasni{ koi parovi otse~ki se proporcionalni; da odredi{ geometriska sredina na dve otse~ki.

Zada~i 1. Koj broj treba da stoi na mestoto od bukvata a za da bide to~no ravenstvo: a)

5 a ; 2 8

b)

6. Vo pravoagolniot ΔABC na crte`ot, otse~kata CD e visinata spu{tena kon hipotenuzata AB.

a 3 ? 14 7

C

2. Sostavi proporcija od dol`inite na ~etiri otse~ki: 28 cm; 16 cm;1,2 dm; 2,1 dm.

3. Najdi ja dol`inata x na ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c vo proporcijata a : b = x : c, ako:

1 3 2 dm, b dm, c dm; 2 4 3 b) a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m.

a) a

A

B

a)

8

6

b)

6

4

v)

8

4 5 8

b) otse~kata AC e geometriska sredina na otse~kite AD i AB.

7. Najdi gi x i y, ako: a)

x y 3 ; 4 5 2

4 dm , b = 12 cm; 5 v) a = 7 cm, b = 14cm. b) a 4

b)

7 y 1 . x 6 4

8. Poka`i deka od proporcijata a c b

d

mo`e da se dobijat proporciite:

4

a b b d c d ; ; . c d a c a b

5. Najdi ja geometriskata sredina na otse~kite a i b, ako: a) a = 2 cm, b = 8 cm;

B

a) otse~kata CD e geometriska sredina na otse~kite AD i DB;

CM : MA = CN : NB . Vo sekoja redica od tabelata se dadeni nekoi dol`ini. Odredi gi dol`inite {to nedostasuvaat. C CM MA CN NB

N

D

So merewe, utvrdi deka:

4. Vo ΔABC na crte`ot e dadeno:

M

A

9.

Doka`i deka: ako

a b c d a c , toga{ . b d b d

Proporcionalni otse~ki

11

3

DELEWE OTSE^KA NA EDNAKVI DELOVI

A 1.

Potseti se! Kako }e podeli{ dadena otse~ka na ednakvi delovi: a) na dva; b) na ~etiri?

Na crte`ot e pretstaven agol SOT i na krakot OS se naneseni ednakvi otse~ki OA = AB = BC .

Za ΔFGH i ΔPQR na crte`ot e dadeno: α = α1, β = β1, FG = PQ . H R α1

β

α F

G

β1

P

Q Niz to~kite A, B i C se povle~eni me|usebno paralelni pravi p, q i r, koi{to go se~at krakot OT vo to~kite A1, B1 i C1, soodvetno.

Kakvi se me|u sebe tie triagolnici? Kakvi se me|u sebe soodvetnite strani na skladni triagolnici?

Za otse~kite OA1, A1B1 i B1C1 se veli deka se soodvetni na otse~kite (po red): OA, AB i BC. Izmeri gi otse~kite OA1, A1B1, B1C1. [to zaklu~uva{?

2.

Vo vrska so crte`ot od zada~ata 1, obidi se da doka`e{ deka OA1 = A 1B1 = B1C1 .

Razgledaj go crte`ot na koj se povle~eni u{te otse~kite A1B2 i B1C2, paralelno so krakot OS, i se ozna~eni nekolku agli so broevi.

Voo~i gi ΔOAA1 i ΔA1B2B1 i sogledaj deka:

F 1 = 3, 2 = 4 (Zo{to?) F OA A B F ΔOAA ≅ ΔA B B , pa OA A B (Zo{to?). 1

1

1

2

1

1

2

(Zo{to?)

1 1

Voo~i gi ΔA1B2B1 i ΔB1C2C1. Poka`i deka i tie se skladni i deka A1B1 = B1C1 . Voo~i ja i zapomni ja slednata teorema za ednakvite otse~ki na kracite od eden agol. Ako na edniot krak od daden agol se naneseni ednakvi otse~ki i niz nivnite kraevi se povle~eni paralelni pravi {to go se~at drugiot krak na agolot, toga{ tie pravi otsekuvaat i na drugiot krak me|usebno ednakvi otse~ki.

12

Tema 1. Sli~nost

Vrz osnova na ovaa teorema mo`e{ da podeli{ dadena otse~ka na proizvolen broj ednakvi delovi.

3.

Otse~kata AB na crte`ot podeli ja na 5 ednakvi delovi. Kako }e ja upotrebi{ prethodnata teorema za da ja podeli{ otse~kata AB na 5 ednakvi dela?

A

B

Vo to~kata A }e povle~am proizvolna poluprava i na nea so po~etok vo A }e nanesam 5 ednakvi otse~ki. Potoa }e povle~am paralelni pravi, spored teoremata.

Sledi go re{avaweto i voo~i ja postapkata za podelba na otse~ka na ednakvi delovi.

F Povle~i proizvolna poluprava AS kako na crte`ot. F Na AS, po~nuvaj}i od A, petpati nanesi proizvolno izbrana otse~ka, na primer AE; so toa }e dobie{ pet to~ki; pettata ozna~i ja so C.

F Povle~i ja, prvo, pravata CB i potoa, niz sekoja od dobienite to~ki na AC, povle~i prava paralelna so pravata CB; tie pravi ja delat otse~kata AB na pet ednakvi delovi.

Objasni zo{to tie 5 delovi se ednakvi me|u sebe.

4.

Nacrtaj otse~ka AB so dol`ina 7 cm i podeli ja na 6 ednakvi delovi.

5.

Nacrtaj edna otse~ka i odredi ja nejzinata sredina, koristej}i ja teoremata za ednakvite otse~ki.

Potseti se!

B 6.

Nacrtaj otse~ka AB od 6 cm.

Na otse~kata AB e ozna~ena to~kata M

a) Podeli ja na 5 ednakvi delovi.

taka {to: AM = 4 cm i MB = 3 cm .

b) Ozna~i to~ka M takva {to

AM : MB = 3 : 2 . A

M

B

Vo koj odnos to~kata M ja deli otse~kata AB?

Proporcionalni otse~ki

13

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crte`ot.

7.

Nacrtaj otse~ka AB i podeli ja na dva dela ~ij{to odnos e 3 : 4. Prvo, podeli ja otse~kata AC na 3 + 4 = 7 ednakvi delovi.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crte`ot, na koj e zemeno AK = 3 存 AE i KM || CB. Taka e dobieno AM : MB = 3 : 4 . Objasni zo{to AM : MB = 3 : 4 .

Ovaa konstrukcija se vika podelba na otse~ka vo daden odnos.

8.

Otse~kata AB na crte`ot e podelena so to~kata M vo odnos 3 : 2. Isto taka, otse~kata CD so to~kata N e podelena vo istiot odnos 3 : 2.

A C

M N

B D

Sostavi proporcija za delovite od otse~kata AB i od otse~kata CD. Edna mo`nost e: AM : MB = CN : ND , {to zna~i AM, MB se proporcionalni so otse~kite CN, ND. Poradi toa se veli deka otse~kite AB i CD se podeleni proporcionalno.

Op{to Za dve otse~ki se veli deka se podeleni proporcionalno, ako odnosot na delovite od ednata otse~ka obrazuva proporcija so odnosot od delovite na drugata otse~ka.

9. 14

Nacrtaj dve otse~ki so dol`ini 7 cm i 4 cm i podeli gi proporcionalno vo odnos 1 : 2.

Tema 1. Sli~nost

Proveri se!

Treba da znae{: da podeli{ otse~ka na ednakvi delovi i da ja objasni{ postapkata; da podeli{ otse~ka vo daden odnos; da objasni{ koga dve otse~ki se podeleni proporcionalno.

Nacrtaj otse~ka AB od 5 cm i podeli ja na 3 ednakvi delovi. Potoa, ozna~i to~ka M {to ja deli otse~kata AB vo odnos 2 : 1. Zapi{i edna proporcija me|u delovite na otse~kite PQ i RS koi{to so to~kite H i K na crte`ot se podeleni proporcionalno. 2

6

P R

Zada~i 1. Nacrtaj otse~ka od 6 cm i podeli ja na ednakvi delovi: a) na tri;

b) na sedum.

2. Nacrtaj otse~ka AB i podeli ja vo odnos a) 2 : 1;

b) 5 : 2.

3. Nacrtaj otse~ka so dol`ina 10 cm i

H 3

Q 1 K S

6. To~kata M ja deli otse~kata AB vo odnos AB : MB = 5 : 3. Dol`inata na otse~kata AM e 4,8 dm. Najdi ja dol`inata na otse~kata MB; AB.

7. Za kolku treba da se prodol`i otse~-

podeli ja:

kata AB = 12 cm za da se dobie otse~ka AC {to ja zadovoluva proporcijata

a) na 7 ednakvi delovi;

AC : BC = 5 : 2 ?

b) vo odnos 4 : 3; v) na tri otse~ki vo odnos 1 : 2 : 4.

4. Nacrtaj ΔABC i negovite strani podeli gi na po tri ednakvi delovi.

8. To~kata M ja deli otse~kata AB vo odnos AM : MB = 3 : 2 . Najdi gi razmerite AM : AB i AB : MB .

5. Nacrtaj ΔABC i te`i{nata linija AA1.

Odredi go te`i{teto T na triagolnikot so toa {to AA1 }e ja podeli{ vo odnos

AT : TA1 = 2 : 1 .

Proporcionalni otse~ki

15

4

TALESOVA TEOREMA ZA PROPORCIONALNI OTSE^KI

A 1.

Potseti se! Kako se deli dadena otse~ka: a) na ednakvi delovi; b) vo daden odnos m : n?

Na crte`ot e daden ostar agol SOT. Na krakot OS e izbrana to~ka B, a na krakot OT to~ka D. Niz B i D e povle~ena prava p. T D

Objasni ja konstrukcijata.

p O

B

S

Na otse~kata OB odredi to~ka A, taka {to OA : AB = 3 : 2 . Niz to~kata A povle~i prava q || p. Neka pravata q go se~e krakot OT vo to~kata C. Poka`i deka OC : CD = 3 : 2 . ]e ja iskoristam postapkata i tvrdeweto za delewe otse~ka vo daden odnos.

[to }e koristi{ za da poka`e{ deka OC : CD = 3 : 2 ? Na crte`ot e dadeno re{enieto na zada~ata. Odgovori na slednite pra{awa.

Kako e podelena otse~kata OB na 5 ednakvi delovi? Kako e odredena to~kata A taka {to OA : AB = 3 : 2 ? Zo{to OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ? Voo~i go i zapomni go tvrdeweto nare~eno Talesova teorema za proporcionalni otse~ki. Ako kracite na eden agol se prese~at so dve razli~ni paralelni pravi, toga{ otse~kite {to se dobieni na edniot krak se proporcionalni so soodvetnite otse~ki na drugiot krak. D C

AC || BD

O

2.

A

F

B

Na crte`ot e zemeno AC || BD. Ako OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , najdi ja CD ; poka`i deka OA : OB = OC : OD .

16

Tema 1. Sli~nost

OA : AB = OC : CD

Va`i op{to: od ravenstvoto OA : AB = OC : CD (vo Talesovata teorema) se dobiva ravenstvoto OB : OA = OD : OC ili

OA :OB = OC:OD

.

So koristewe na soodvetno svojstvo na proporcii, od AB : OA = CD : OC sleduva (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC .

Poka`i deka OB : OA = OD : OC .

3.

C

Na crte`ot e daden ΔABC i prava MN || AB {to gi se~e drugite dve strani AC i BC. Utvrdi deka stranite AC i BC so pravata MN se podeleni proporcionalno, t.e.

M

N

CM : MA = CN : NB .

Ako ti e neophodna pomo{...

A

B

Prvo, sogledaj deka kracite na “ACB se prese~eni so paralelnite pravi MN i AB. Potoa, primeni ja Talesovata teorema.

B 4.

Nacrtaj agol SOT i nanesi otse~ki kako na

C

D

T

crte`ot: OA = 4 cm , OB = 6 cm , OC = 3 cm ,

OD = 4,5 cm .

O

A

B

S

Uveri se deka otse~kite OA, OB i OC, OD se proporcionalni, t.e. OA : OB = OC : OD . Povle~i gi pravite AC i BD. Potoa, so pomo{ na dva triagolni linijari, proveri dali tie pravi se paralelni. Ako crta{e i mere{e dovolno precizno, sekako zaklu~i deka AC || BD.

Va`i op{to! Ako dve pravi otsekuvaat od kracite na nekoj agol proporcionalni otse~ki, toga{ tie pravi se paralelni. C

D

T

OA : OB = OC : OD O

A

B

F

AC || BD

S

Ova svojstvo na proporcionalnite otse~ki e nare~eno obratna teorema na Talesovata.

Proporcionalni otse~ki

17

5.

R

Utvrdi za koi od slednive dol`ini spored crte`ot, }e bide MN || PQ: a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;

M

N

b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6; v) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

P

Q

Treba da znae{: da ja iska`e{ Talesovata teorema i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i; da ja iska`e{ obratnata teorema na Talesovata i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i.

Proveri se! C

Na crte`ot e dadeno deka PQ || BC. Dopolni gi slednite tvrdewa za da bidat to~ni: a) AP : AB =

:

;

v)

b) AP : PB =

:

;

g) AC : AQ =

:

Q

= AQ : QC ; :

.

A

P

B E

28 C

Dali za nazna~enite otse~ki na crte`ot }e bide BC || DE?

35 20 A

16 B

D

Zada~i 1. Na crte`ot e zemeno AC || BD.

D

A

Najdi ja OB , ako: OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

18

Tema 1. Sli~nost

C

a) Najdi ja CN , ako:

C

O

2. Vo ΔABC na crte`ot e dadeno MN || AB. CM = 12 ; CA = 18 ; BN = 8 ;

B

M

N

b) Najdi ja CM , ako: CM = NB , MA = 4 i CN = 9 .

A

B

3. Vo sekoj od triagolnicite na crte`ot e

povle~ena otse~ka paralelna so osnovata i nazna~eni se dol`inite na nekoi otse~ki. 1

a b

c x

x

x

1

n

1

m

d

k 2

2

6. Poka`i deka od pro-

C

porcijata

OA : AB = OC : CD se dobivaat proporciite:

O

D

A

B

a) AB : OA = CD : OC ;

v) OB : AB = OD : CD ;

b) OB : OA = OD : OC ;

g) OA : OB = OC : OD .

x Obidi se! ... Ne e zadol`itelno

Vo site ~etiri slu~ai najdi go x, smetaj}i deka drugite bukvi se dadeni broevi.

4. Kracite na SOT (na crte`ot) se prese~eni so paralelnite pravi AA1, BB1 i

CC 1 , pri {to OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 i

OA1 = 6 cm. Najdi gi dol`inite na otse~kite A1B1 i B1C1.

7. Na crte`ot e daden ΔABC vo koj CD e

simetralata na agolot pri temeto C. Potoa, prodol`ena e stranata AC i povle~ena e pravata BE || DC.

a) Doka`i deka ΔBEC e ramnokrak so kraci

BC = CE .

b) Doka`i deka simetralata na ACB vo ΔABC ja deli sprotivnata strana AB na dva dela {to se proporcionalni so drugite dve

5. Za nazna~enite otse~ki na crte`ot a); strani, t.e. AD : DB = CA : CB , t.e. b), proveri dali }e bide BC || DE. Obrazlo`i go tvojot odgovor. a)

(c - x) : x = b : a.

18 24

b)

Proporcionalni otse~ki

19

5

ZADA^I SO PRIMENA NA TALESOVATA TEOREMA

A 1.

Potseti se! Kako glasi Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki? Od proporcijata a : b = c : x izrazi ja x so pomo{ na a, b, c.

Nacrtaj ΔABC. Potoa, povle~i prava B1C1 {to gi se~e kracite na A i e paralelna so stranata BC, kako na crte`ot. C C1

Kakvi se me|u sebe odnosite AB : AB1 i AC : AC1 ? Izmeri gi vnimatelno otse~kite AB, AB1; BC, B1C1 i potoa presmetaj gi odnosite AB : AB1 i BC : B1C1 .

A

B1

[to zabele`uva{?

B

Ako crta{e i mere{e dovolno precizno, sigurno zabele`a deka otse~kite AB, AB1 se proporcionalni so otse~kite BC, B1C1, t.e.

AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1 Va`i op{to! Ako vo eden triagolnik se povle~e prava {to e paralelna na edna strana i gi se~e drugite dve strani na triagolnikot, toga{ se dobiva nov triagolnik ~ii{to strani se proporcionalni na stranite od dadeniot triagolnik.

2.

C

Obidi se da go doka`e{ tvrdeweto vo zada~ata 1, so primena na Talesovata teorema.

C1

Dadeno: vo ΔABC, pravata B1C1 || BC (kako na crte`ot). Doka`i deka:

BC AC AB = = , t.e. B1C1 AC1 AB1

a b c , a1 b1 c1

a a1

A

B1

B C

kade {to: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 . Dadeniot crte` e dopolnet so povlekuvawe na pravata B1F paralelna so AC. Kako }e ja primeni{ Talesovata teorema za da gi doka`e{ dadenite ravenstva?

C1 F A

]e gi zapi{am proporciite od proporcionalnite otse~ki {to se dobieni za aglite: BAC i ABC. Potoa }e izvr{am sporeduvawe. Sporedi go tvoeto razmisluvawe i re{enie so dadenoto.

20

Tema 1. Sli~nost

B1

B

F BAC e prese~en so B1C1 || BC, pa spored Talesovata teorema: F ABC e prese~en so B1F || AC, pa spored Talesovata teorema: F ^etiriagolnikot B1FCC1 e paralelogram (zo{to?), pa: (2), se dobiva

AB BC = . AB1 B1C1

(3)

F Od (1) i (3):

AB AC = AB1 AC1

(1)

AB BC = AB1 FC

(2)

FC = B1C1 ; po zamenuvaweto vo

a c b BC AB AC . = = , t.e. a c b B1C1 AB1 AC1 1 1 1

Ova tvrdewe se vika u{te Talesova teorema za triagolnik.

Va`i i obratno tvrdewe! Ako edna prava pri presekuvaweto na dve strani na triagolnikot gi razdeluva niv na proporcionalni otse~ki, toga{ taa prava e paralelna so tretata strana na triagolnikot.

3.

C m F n

p G

A

m:n=p:q q

C

Najdi go odnosot BC : MN , ako AM = 12, AB = 18 . Najdi ja MN , ako AB = 15, BC = 10 i M e sredina na AB.

4.

N A

B

M

spored svojstvoto na srednata linija vo triagolnik! p A a

Pravite p i q na crte`ot se prese~eni so tri me|usebno paralelni pravi. Poka`i deka soodvetnite otse~ki a, a' se proporcionalni so otse~kite b, b', t.e. a : a' = b : b'.

q B a'

b

b'

C

Prosledi go re{enieto na zada~ata.

F Povle~i ja otse~kata AD, kako na crte`ot, i voo~i deka kracite

F Bidej}i desnite strani na ravenstvata im se ednakvi, mo`e{ da

Za trapezot ABCD na crte`ot e dadeno: MN || AB, AD = 18 cm ,

x

b

zaklu~i{ deka a : b = a' : b' t.e. a : a' = b : b'.

Spored prethodniot crte`, dadeno e a = 3, b = 5 i b' = 7. Najdi ja dol`inata na otse~kata b'.

D p A a

na CAD i na ADB se prese~eni so po dve paralelni pravi, pa: a : b = x : y i a' : b' = x : y.

5.

FG || AB

B

Vo ΔABC na crte`ot MN || BC.

F Proveri go re{enieto za MN

F

q B a' b'

y

C D M

D C N

BC = 24 cm i DM = 3 cm Najdi gi BN i NC .

A

Proporcionalni otse~ki

B

21

B 6.

a

Dadeni se otse~kite a, b, c kako na crte`ot.

Najdi otse~ka x takva {to a : b = c : x, t.e. konstruiraj ja ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a, b, c.

b c

Ako ne mo`e{ sam da ja re{i{ zada~ata, }e ti pomognat slednite upatstva.

F Potseti se na Talesovata teorema. F Nacrtaj agol SOT i nanesi gi otse~kite a OA , b AB i c OC , kako na crte`ot.

F Povle~i

prava niz B, paralelna so AC i presekot ozna~i go so D.

F

x CD e baranata otse~ka. (Zo{to?)

^etvrtata geometriska proporcionala x na otse~kite a, b, c mo`e da se dobie i spored drugiov crte`. Razgledaj go crte`ov i obrazlo`i ja postapkata.

7.

Za otse~kite a = 4 cm, b = 6 cm i c = 5 cm, konstruiraj ja ~etvrtata geometriska

bc ac ; G x . a b bc Prvo sogledaj deka od x mo`e{ da ja sostavi{ proporcijata x : c = b : a. a proporcionala: a) x

8.

Nacrtaj dve otse~ki a = 3 cm i b = 2 cm. Konstruiraj otse~ka x, takva {to x = ab. Prvo sogledaj deka od x = ab mo`e{ da ja sostavi{ proporcijata 1: a = b : x; potoa izvedi ja konstrukcijata.

Treba da znae{: da ja iska`e{ Talesovata teorema za triagolnik i da ja primeni{ vo ednostavni zada~i; da konstruira{ ~etvrta geometriska proporcionala na tri otse~ki.

22

Tema 1. Sli~nost

Proveri se! Za ΔABC e dadeno: MN || AB. Najdi gi negovite strani spored podatocite na crte`ot. Objasni ja postapkata za konstruirawe ~etvrta geometriska proporcionala x na tri dadeni otse~ki a, b, c.

6. Nacrtaj tri otse~ki a, b, c. Potoa, kon-

Zada~i 1. Vo trapezot ABCD na crte`ot, so os-

struiraj otse~ka x, takva {to: a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; v) a : b = x : c.

novi AB 12 , CD 5 i krak AD 7 , prodol`eni se kracite AD i BC do nivniot presek S.

7. Nacrtaj otse~ki a i b. Potoa kon-

Najdi ja SD .

8. Nacrtaj otse~ki a i b. Potoa konstru-

struiraj otse~ka x, takva {to x = a2. iraj otse~ka x, takva {to a) x

a2 ; b

b) x

b2 . a C

9. Stranata DC na trapezot ABCD so

2. Odredi ja visinata

AB na edno drvo (na crte`ot) ako negovata senka BC e 20 m, a vo isto vreme, senkata na stapot PQ od 1 m e dolga 1,4 m.

3. Vo trapezot

ABCD na crte`ot, MN || PQ || AB. Najdi gi dol`inite na kracite AD i BC spored podatocite na crte`ot.

osnovi

i

D

y x BC 20 , podelena e na tri ednakvi delovi i niz A B delbenite to~ki se povle~eni pravi paraleli so osnovite (kako na crte`ot). Najdi gi dol`inite x i y na otse~kite zafateni vo trapezot.

P

6

8 6

3

Q N B

A

4. Vo ΔABC na crte`ot

Pomo{. Povle~i ja pravata DM paralelna so AB i razgledaj go ΔDMC (potseti se kako ja re{i zada~ata 4).

C

D

M

AD 8

10. Na crte`ot e pretstavena situacija na terenot so nedostapna to~ka A i dostapna to~ka B.

a) Najdi go nedostapnoto rastojanie BA . b) Presmetaj go BA , ako se izmereni dol`i-

C

stranata BC e pok x delena na tri ednakvi k delovi i niz delbenite y to~ki se povle~eni pravi, k paralelni so stranata AB, ~ija{to dol`ina e A 15 B 15 cm. Najdi ja dol`inata na sekoja od otse~kite, zafateni vo triagolnikot.

nite: BC 100 m, CE 250 m i CD 80 m . v) Najdi go rastojanieto EA , ako se izmereni: CE 250 m, CD 80 m i DB 96 m .

5. Konstruiraj ja ~etvrtata geometriska proporcionala na otse~kite a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (a : x = b : c).

Proporcionalni otse~ki

23

SLI^NI TRIAGOLNICI

6

SLI^NI FIGURI. SLI^NI TRIAGOLNICI

Potseti se!

Vo sekojdnevniot `ivot mnogu ~esto sre}avame predmeti {to imaat ista forma, a razli~na ili ista golemina: avtomobil i negoviot model; dve ~a{i; dva stola itn.

A

Kracite na agolot SOT se prese~ni so paralelnite pravi AC i BD. T D C

O

A

S

B

Spored crte`ot, zapi{i razmer na otse~ki {to e ednakov so razmerot: a) OA : AB;

Za dve geometriski figuri {to imaat sosema ista forma, a razli~na ili ista golemina, obi~no, velime deka se sli~ni.

G OC : OD .

Spored koja teorema gi zapi{a razmerite? Na crte`ot va`i proporcionalnosta na

1.

dva kvadrata;

otse~kite: OA : AB OD : DC .

dva kruga;

C

kvadrat i krug?

D

2. O

Za koi od slednite figuri mo`eme da re~eme deka se sli~ni:

A

B

Kakva polo`ba imaat pravite AD i BC? Kakvi se po golemina aglite: a) “OAD i “OBC; b) “ODA i “OCB?

Dadeni se dve geografski karti na Makedonija. Prvata so razmer 1 : 1000000, a vtorata so razmer 1 : 500000. Dali tie karti se sli~ni? Na prvata karta, rastojanieto od Skopje do Kumanovo e 4 cm. Kolkavo e rastojanieto od Skopje do Kumanovo na vtorata karta?

Koj e odnosot na rastojanieto Skopje-Kumanovo od prvata karta so rastojanieto SkopjeKumanovo na vtorata karta? Kakov e odnosot na rastojanieto me|u koi bilo dve mesta na prvata karta so rastojanieto me|u soodvetnite dve mesta na vtorata karta?

24

Tema 1. Sli~nost

B 3.

Razgledaj go crte`ot na koj temiwata na triagolnicite ABC i A 1B 1C 1 le`at na polupravi so

po~etna to~ka O i obrazuvaat proporcionalni

C1 C T

B O

B1

A

otse~ki: OA : OA1 1 : 2 ; OB : OB1 1 : 2 ;

A1

OC : OC1 1 : 2 .

S

Za triagolnicite ABC i A1B1C1 }e razlikuvame: soodvetni temiwa, soodvetni agli i soodvetni strani, t.e.

F F F

soodvetni temiwa se: A i A1; B i B1; C i C1; soodvetni agli se: A i A1, B i B1, C i C1; soodvetni strani se: AB i A1B1; BC i B1C1; AC i A1C1.

Poka`i deka soodvetnite strani na triagolnicite ABC i A1B1C1 se paralelni, t.e. AB || A1B1; BC || B1C1 i AC || A1C1. Poka`i deka soodvetnite agli na triagolnicite se ednakvi, t.e. A = A1; B = B1 i C = C1. Poka`i deka soodvetnite strani na triagolnicite se proporcionalni, t.e.

AB : A1B1 BC : B1C1 AC : A1C1 1 : 2 . Sporedi go tvoeto re{enie na zada~ata so dadenoto.

F Bidej}i OA : OA

OB : OB1 , od obratnata teorema na Talesovata, sleduva deka AB || A1B1. Na ist na~in mo`e{ da poka`e{ deka BC || B1C1 i AC || A1C1. 1

F Bidej}i

AB || A1B1 i AC || A1C1, sleduva deka A = A1, kako agli so paralelni kraci. Na ist na~in mo`e{ da poka`e{ deka B = B1 i C = C1. F Potseti se na Talesovata teorema: ako kracite na agolot SOT se prese~eni so paralelnite pravi AB i A1B1, toga{ soodvetnite otse~ki AB i A1B1 se proporcionalni so otse~kite OA i OA1, t.e. OA : OA1 AB : A1B1 1 : 2 . Mo`e{ da poka`e{ deka ist razmer imaat i drugite soodvetni strani na triagolnicite, t.e.

AB : A1B1 BC : B1C1 AC : A1C1 1 : 2 . Za triagolnicite ABC i A1B1C1 poka`a deka soodvetnite agli im se ednakvi, a soodvetnite strani im se proporcionalni. Tie mo`at da bidat dadeni i vo druga polo`ba, kako na crte`ot, desno. C1 C

A1

A

B B1

C1 C

Ako triagolnikot ABC go nacrta{ A B A1 B1 na proyirna hartija, mo`e{ da go postavi{ vo oblasta na ΔA1B1C1 (kako na crte`ot), taka {to soodvetnite strani da im se paralelni. Voo~i deka ΔABC i ΔA1B1C1 imaat ista forma, no razli~na golemina, t.e. deka tie se sli~ni triagolnici.

Sli~ni triagolnici

25

Zapomni! Za dva triagolnici se veli deka se sli~ni, ako soodvetnite agli im se ednakvi i soodvetnite strani im se proporcionalni. Za sli~nite triagolnici ABC i A1B1C1 zapi{uvame: ΔABC ∼ ΔA1B1C1. Se ~ita: ΔABC e sli~en so ΔA1B1C1. Koj e koeficientot na proporcionalnosta na stranite kaj sli~nite triagolnici ABC i A1B1C1 vo zada~ata 3? Vo zada~ata 3 sogleda deka koeficientot na proporcionalnosta na stranite na sli~nite triagolnici ABC i A1B1C1 e 1 : 2, t.e.

1 . 2

Koeficientot na proporcionalnosta na soodvetnite strani na dva sli~ni triagolnici (ΔABC ∼ ΔA1B1C1) se vika i koeficient na sli~nosta. Ako zapi{e{ ΔABC ∼ ΔMNP, toa }e zna~i deka soodvetnite temiwa se: A i M, B i N, C i P.

4.

Vo zada~ata 3 sogleda deka ΔABC ∼ ΔA1B1C1 i koeficientot na sli~nosta e Zo{to ΔA1B1C1 ∼ ΔABC i koj e koeficientot na sli~nosta?

1 . 2

Treba da znae{: ako ΔABC ∼ ΔXYZ, toga{ AB : XY BC : YZ AC : XZ k i A = X, B = Y, C = Z; da go odredi{ koeficientot na sli~nosta na dva sli~ni triagolnici.

Proveri se! Na crte`ot: ΔABC ∼ ΔMNP. Zapi{i gi soodvetnite: a) strani; b) agli. Odredi go koeficientot na sli~nosta. Odredi gi x i y.

P

C 4

A

x

6

3

2

B M

y

N

Zada~i 1. Daden e: ΔABC ∼ ΔRST.

Zapi{i gi soodvetnite: a) strani, b) agli.

2. Nacrtaj dva ramnostrani triagolnika, prviot so strana a = 3 cm, a vtoriot so strana 4 cm. Poka`i deka tie se sli~ni. Odredi go koeficientot na sli~nosta.

26

Tema 1. Sli~nost

3. Na crte`ot, ΔABC ∼ ΔPQR i nazna~eni se dol`inite na stranite. Odredi gi x i y. R C 12

A

6

15

x B

P

10 y

Q

C

4. Na crte`ot,

5. Od toa {to ΔABC ≅ ΔA1B1C1, dali sle-

duva deka ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Obrazlo`i.

ΔABC ∼ ΔMNC. Na

{to se ednakvi CB

N

M

6. Neka M i N se sredini na stranite AC i

i MN , ako CM 5 ;

BC vo triagolnikot ABC. Poka`i deka ΔMNC ∼ ΔABC.

CN 6 ; AB 12 i

CA 15 ? A

7

B

PRV PRIZNAK ZA SLI^NI TRIAGOLNICI

A 1.

Potseti se! Za da utvrdi{ dali dva triagolnici ABC i A1B1C1 se sli~ni treba da proveri{ dali nivnite soodvetni agli se ednakvi i soodvetnite strani se proporcionalni t.e. A = A1, B = B1, C = C1 i

Nacrtaj ΔABC i otse~ka A1B1 {to e tripati podolga od stranata AB. Potoa, nacrtaj triagolnik A 1 B 1 C 1 so strana A 1 B 1 , B 1 A 1 C 1 = A i A1B1C1 = B.

AB : A1B1 BC : B1C1 AC : A1C1 .

Kracite na agolot MON se prese~eni so paralelnite pravi a i b, taka {to OB : OA OC : OD 2 : 1

Voo~i gi triagolnicite OAD i OBC, a potoa: odredi go odnosot na O stranite BC i AD;

D

N

C A

B b

M a

odredi kakvi se me|u sebe soodvetnite agli na triagolnicite. Dali ΔOBC ∼ ΔOAD?

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. F Na crte`ot se dadeni ΔABC i ΔA1B1C1, taka

Dali soodvetnite vnatre{ni agli na triagolnicite ABC i A1B1C1 se ednakvi? Zo{to? Soodvetnite agli se ednakvi; A = A 1 i B = B 1 , po konstrukcija; C = C1, bidej}i C = 180o - ( A + B) = = 180o - ( A1 + B1) = C1. Proveri so merewe dali soodvetnite strani na ΔA 1B 1C 1 so ΔABC se proporcionalni. Odredi go koeficientot na proporcionalnosta. Obidi se da obrazlo`i{ deka soodvetnite strani na ΔA1B1C1 i ΔABC se proporcionalni i deka ΔA1B1C1 ∼ ΔABC.

{to A1B1 3AB , A = A1 i B = B1.

F

Za da poka`e{ deka ΔA1B1C1 ∼ ΔABC treba da proveri{ dali se ispolneti {este barawa za sli~ni triagolnici, t.e. A = A1, B = B1, C = C1 i A1B1 : AB B1C1 : BC A1C1 : AC .

Sli~ni triagolnici

27

F F F

Ti poka`a deka soodvetnite agli na triagolnicite se ednakvi. Pretpostavi deka ΔABC e pomesten vo ΔA1B1C1, taka {to: temeto A se sovpa|a so A1, B so B2 i temeto C so C2; A se sovpa|a so A1, B so A1B2C2 i C so B2C2A1. Bidej}i A1B 2C2 = B 1, sleduva deka B2C2 || B1C1. Spored crte`ot, so pomo{ na Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki, ima{ poka`ano deka

A1B1 : A1B2 A1C1 : A1C2 B1C1 : B2C2 3 : 1 , t.e. A1B1 : AB B1C1 : BC A1C1 : AC . Mo`e{ da zaklu~i{ deka ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Voo~i deka triagolnicite A1B1C1 i ABC {to gi nacrta imaat po dva agli soodvetno ednakvi i ti poka`a deka ΔA1B1C1 ∼ ΔABC. Spored toa, za da utvrdi{ dali dva triagolnici se sli~ni dovolno e da proveri{ dali tie imaat dva ednakvi soodvetni agli.

Zapomni! Dva triagolnici se sli~ni, ako dva agli od edniot triagolnik se ednakvi so dva agli od drugiot triagolnik. Ova tvrdewe e nare~eno prv priznak za sli~ni triagolnici.

2.

Na crte`ot e dadeno: A = D = 30o i to~kata C e presek na otse~kite AE i BD. Doka`i deka ΔABC ∼ ΔDEC.

B 3.

C

Vo ΔABC e povle~ena otse~ka MN paralelna so AB. Poka`i deka α = α1 i β = β1.

M

Doka`i deka ΔABC ∼ ΔMNC. Voo~i go slednoto tvrdewe.

α1

β1

N β

α A

B

Ako vo eden triagolnik e povle~ena prava {to e paralelna so edna od stranite i gi se~e drugite dve strani, toga{ se dobiva triagolnik {to e sli~en na dadeniot. Sporedi go ova tvrdewe so Talesovata teorema za triagolnik.

4.

Vo ΔABC na crte`ot, povle~eni se otse~kite: MN || AB i NP || AC. Kolku triagolnici voo~uva{? Zapi{i koi triagolnici se sli~ni me|u sebe.

28

Tema 1. Sli~nost

C N

M A

P

B

Voo~i deka:

R

Sekoj triagolnik e sli~en sam na sebe. Dva skladni triagolnika se sli~ni.

C

Kolkav e nivniot koeficient na sli~nost?

5.

Na crte`ot se dadeni pravoagolnite triagolnici ABC i PQR, taka {to A = P = α. Poka`i deka ΔABC ∼ ΔPQR.

α A

B

α P

Q

Voo~i deka triagolnicite imaat po dva agli soodvetno ednakvi: A = P i B = Q = 90o. Spored prviot priznak za sli~ni triagolnici sleduva: pravoagolni triagolnici se sli~ni ako eden ostar agol od edniot e ednakov so F Dva eden ostar agol od drugiot triagolnik. C

6.

Vo triagolnikot ABC na crte`ot e povle~ena visinata CD i otse~kata MN || AB. Kolku pravoagolni triagolnici mo`e{ da voo~i{ i koi od niv se sli~ni me|u sebe?

7.

S

M A

D

N B

Na crte`ot se dadeni dva ramnokraki triagolnici ABC i PQR, na koi aglite pri vrvot im se ednakvi, t.e. C = R = α. Poka`i deka A = P. Poka`i deka ΔABC ∼ ΔPQR.

Op{to Dva ramnokraki triagolnici se sli~ni, ako agolot pri vrvot na edniot triagolnik e ednakov so agolot pri vrvot na drugiot tragolnik.

8.

Nacrtaj dva ramnokraki tragolnici ABC i A1B1C1 so osnovi AB i A1B1 soodvetno, pri {to A = A1. Poka`i deka ΔABC ∼ ΔA1B1C1. Iska`i drugo tvrdewe za sli~nost na dva ramnokraki tragolnici.

Sli~ni triagolnici

29

Treba da znae{: da go iska`e{ prviot priznak za sli~nost na triagolnici; koi se dovolni uslovi za sli~nost na dva pravoagolni, odnosno dva ramnokraki triagolnici; da utvrdi{ sli~nost na dva triagolnici; da odredi{ nepoznata strana kaj sli~ni triagolnici.

Proveri se! D

Na kraevite na otse~kata AB se povle~eni otse~kite

AC 3 cm i BD = 5 cm , normalni na AB. Vo koj odnos pravata s ja deli otse~kata AB?

s A M

B

C

Zada~i 1. Na crte`ot e daden triagolnik ABC i MN || AB.

BC 12 i CA 16 . Niz to~kata M {to le`i na stranata BC e povle~ena prava paralelna so AB i ja se~e AC vo to~kata

C

N. Odredi MN , ako CM 3 .

N

M

3. Vo trapezot ABCD, so osnovi AB i CD B

A Odredi go razmerot:

a) Ako CM : MA 3 : 2 , toga{ CM : CA

;

b) Ako CM : MA 7 : 3 , toga{ CN : NB

;

v) Ako CM : CA 3 : 4 , toga{ AB : MN

30

2. Daden e ΔABC so strani AB 20 ,

.

Tema 1. Sli~nost

dijagonalite AC i BD se se~at vo to~kata S. a) Doka`i deka ΔABS ∼ ΔCDS. b) Odredi ja CD , ako AB 12 , AS 6 i SC 3 .

4. Konstruiraj triagolnik A1B1C1 sli~en na ΔABC so strani 4, 5, 6 ako: a) najmalata strana mu e 5; b) koeficientot na sli~nosta e

3 . 4

5. Odredi ja visinata na edno drvo ~ija{to senka e dolga 10 m, a vo isto vreme, ~ovek visok 1,7 m ima senka dolga 1 m.

8

VTOR I TRET PRIZNAK ZA SLI^NI TRIAGOLNICI

A 1.

Potseti se! Koi {est barawa treba da bidat ispolneti za dva triagolnici ABC i A1B1C1 da bidat sli~ni? Koi se dovolni uslovi, spored prviot priznak za sli~nost na triagolnici, za da bide ΔABC ∼ ΔA1B1C1?

Nacrtaj ΔABC so A = 60o i strani AB 3 cm , AC 2cm . Potoa nacrtaj ΔA1B1C1 so A1 = 60o i strani A1B1 3AB , A1C1 3AC . Izmeri gi i sporedi gi: B i B1, C i C1, BC i B1C1 . [to zaklu~i? C1

Na crte`ot se dadeni triagolnicite spored uslovite na zada~ata. Pretpostavi deka ΔABC e pomesten taka {to A se sovpa|a so A1 i ΔABC se sovpa|a so triagolnikot A1B2C2.

C

C2

Odredi gi odnosite: A1B1 : A1B2 ; A1C1 : A1C2 i B1C1 : B2C2 . Poka`i deka B = B1 i C = C1. Zo{to ΔABC ∼ ΔA1B1C1? Koi soodvetni elementi na dvata triagolnici se dadeni i dali e toa dovolno da poka`e{ deka triagolnicite se sli~ni?

A

B

B2

A1

B1

Dadeni se po dve soodvetno proporcionalni strani i ednakvi agli {to gi obrazuvaat tie strani. Toa e dovolno da se poka`e deka triagolnicite se sli~ni.

Voo~i deka mo`e da se iska`e priznak za sli~ni triagolnici. Toj e nare~en vtor priznak za sli~ni triagolnici. Ako dve strani od eden triagolnik se soodvetno proporcionalni na dve strani od drug triagolnik i aglite {to gi obrazuvaat tie strani se ednakvi, toga{ tie triagolnici se sli~ni.

2.

Proveri dali se sli~ni triagolnicite ABC i A1B1C1, ako: b) BC 20 AC 22 )C 50o ; B1C1 30; A1C1 33 )C1 50o . b) BC 25, AC 70 )C 70o ; B1C1 50; A1C1 139, )C1 70o .

3.

Vo ΔABC, na crte`ot, to~kata M e sredina na stranata AB, a N sredina na AC. Doka`i deka ΔABC ∼ ΔAMN. Poka`i deka srednata linija MN na ΔABC e polovina od dol`inata na soodvetnata strana BC.

C N A

M

Sli~ni triagolnici

B

31

B 4.

Nacrtaj ΔABC so strani AB 8 cm, BC 6 cm, AC 4 cm , a potoa ΔA1B1C1 so dvapati pomali strani od ΔABC. Izmeri gi i sporedi gi aglite: A i A1, B i B1, C i C1. [to zaklu~i? Dali ΔABC ~ ΔA1B1C1? Soodvetnite strani na dva triagolnici se proporcionalni. Dali e toa dovolno za da utvrdi{ deka tie se sli~ni?

Za dva triagolnici da se sli~ni, dovolno e soodvetnite strani da se proporcionalni, bidej}i toga{ i soodvetnite agli se ednakvi.

Voo~i deka mo`e da se iska`e u{te eden priznak za sli~ni triagolnici. Toj e nare~en tret priznak za sli~ni triagolnici. Ako trite strani od edniot triagolnik se proporcionalni so soodvetnite strani od drugiot triagolnik, toga{ tie triagolnici se sli~ni.

3.

Dali se sli~ni triagolnicite so strani: a) 3, 4, 5 i 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 i 4, 3, 5;

Treba da znae{:

v) 2, 2, 3 i 6,6, 8;

g) 2; 3; 4 i 3; 6; 4,5?

Proveri se!

da gi iska`e{ vtoriot i tretiot priznak za sli~ni triagolnici; da utvrdi{ sli~nost na dva triagolnici spored vtoriot ili tretiot priznak za sli~ni triagolnici; da odredi{ nepoznata strana kaj sli~ni triagolnici.

Stranite na ΔABC se: a = 6 cm, b = 4 cm i c = 3 cm. Odredi go perimetarot na ΔA1B1C1 {to e sli~en na ΔABC, a negovata najmala strana e 6 cm. Proveri dali se sli~ni ΔABC i ΔPQR, ako: A = 55o, AB 12 cm, AC 8 cm, P = 55o, PR 12 cm, PQ 18 cm .

Zada~i 1. Nacrtaj ΔABC i ΔPQR, a potoa zapi{i

koi uslovi treba da gi ispolnuvaat za da bide ΔABC ∼ ΔPQR spored: a) vtoriot priznak; b) tretiot priznak.

2. Poka`i deka triagolnicite ABC i EDC se sli~ni i spored koj priznak. B A

32

6

E

9

4 C

6

3. Stranite na eden triagolnik se 6, 5 i 4.

Najgolemata strana na drug triagolnik, sli~en so dadeniot e 9. Najdi go perimetarot na drugiot triagolnik.

4. Dali se sli~ni dva triagolnici, ako dva agli od edniot triagolnik se po 60o i 70o, a dva agli od drugiot triagolnik se po 50o i 80o.

5. Agolot pri vrvot na eden ramnokrak D

Tema 1. Sli~nost

triagolnik e 70o. Agolot pri osnovata na drug ramnokrak triagolnik e 55o. Doka`i deka tie triagolnici se sli~ni.

6. Obrazlo`i dali ΔABC ∼ ΔMNR, ako:

F ΔABC ∼ ΔA B C. Zo{to? 1

1

BAC = 50o, AB 4 cm , AC 6 cm ;

Odredi go rastojanieto od A do B ako

NMR = 50o, MN 30 cm , MR = 45 cm .

BC 40 m, CB1 5 m , a B1A1 6,5 m.

7. Proveri dali triagolnicite ABC i

A1B1C1 se sli~ni, ako nivnite strani se:

a) 15, 17, 24 i 4,5; 5,1; 7,2; b) 22; 8,2; 20 i 55; 20,5; 50.

8. Kako }e odredi{ rastojanie od to~kata

9. Kako }e go presmeta{ rastojanieto me|u dostapnite to~ki A i B, na teren, ako me|u to~kite A i B ima nedostapen del.

Voo~i go crte`ot.

A do to~ka B, ako to~kata A e nedostapna?

Voo~i go crte`ot.

F

F Izbrana e to~kata C i na prodol`enijata AC i BC, izbrani se to~kite A1 i B1, taka

Na teren, izbirame to~ki C i B1 na ista prava so B, taka {to

BC m ¸ CB1 .

{to AC n ¸ CA1 i BC n ¸ CB1 .

F So

instrument odreduvame agol B1 ednakov so B.

F Na krakot od B

odreduvame to~ka A1, taka {to to~kite A, C i A1 da le`at na ista prava.

9

1

F ΔABC ∼ ΔA B C. Zo{to? 1

1

Odredi go rastojanieto od A do B ako

AC 10 m, CA1 2 m i A1B1 = 3,5 m .

ODNOS NA PERIMETRITE I ODNOS NA PLO[TINITE NA DVA SLI^NI TRIAGOLNICI

Potseti se! Presmetaj go perimetarot na triagolnik so strani: a = 15 cm, b = 9 cm i c = 8 cm. Presmetaj ja plo{tinata na triagolnik so strana a = 10 cm i soodvetna visina h = 6 cm. Ako tri i pove}e razmeri se ednakvi, toga{ tie mo`at da se zapi{at vo forma na prodol`ena proporcija, na primer:

a b c , t.e. a : b : c = a1 : b1 : c1. a1 b1 c1

A 1.

Stranite na eden triagolnik ABC se a = 6 cm, b = 8 cm i c = 12 cm. Najmalata strana na drug triagolnik A1B1C1, sli~en na ΔABC e a1 = 3 cm. Odredi go koeficientot na sli~nosta na triagolnicite. Odredi gi stranite b1 i c1 na ΔA1B1C1. Odredi gi perimetrite na ΔABC i ΔA1B1C1. Sporedi go odnosot na perimetrite na triagolnicite so odnosot na soodvetnite strani. [to zaklu~i?

Za proporcijata va`i:

a b c a b c k . a1 b1 c1 a1 b1 c1

Sli~ni triagolnici

33

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Poznati se dve soodvetni strani a i a

1

Spored toa

b

Fb

1

na sli~nite triagolnici.

a 6 2 , t.e. k = 2. a1 3

c k; c1

kb ; F 8b == 2b ;

c = kc ; F 12 = 2c ;

1

1

1

1

b1 = 4 cm;

c1 = 6 cm.

Voo~i deka perimetarot L na ΔABC e: L = 6 + 8 + 12, t.e. L = 26 cm, a perimetarot L1 na ΔA1B1C1 e: L1 = 3 + 4 + 6, t.e. L1 = 13 cm.

F

26 6 8 12 2 . Sogleda deka odnosot na perimetrite na sli~nite triagolnici e 13 3 4 6 ednakov so odnosot na soodvetnite strani.

Va`i op{to! Ako ΔABC ∼ ΔA1B1C1, toga{

L a b c . L1 a1 b1 c1

F Dokaz. Od sli~nosta na ΔABC i ΔA B C 1

duva:

1

1

sle-

C1

a b c . Spored svojstvoto na prodola1 b1 c1

C b

`ena proporcija sleduva:

a b c a b c L a b c , t.e. . a1 b1 c1 a1 b1 c1 L1 a1 b1 c1

c

A

a1

b1

a

c1

B A1

B1

Zapomni Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat kako nivnite soodvetni strani.

2.

Stranite na ΔABC se a = 6, b = 15 i c = 18, a ΔA1B1C1 e sli~en na dadeniot so

1 . Odredi go perimetarot L1 na ΔA1B1C1. 3 C Triagolnicite ABC i A1B1C1, na crte`ot, se sli~ni. Povle~eni se soodvetnite visini CD i C1D1.

koeficient na sli~nost k

B 3.

C1

Poka`i deka ΔADC ∼ ΔA1D1C1. Poka`i deka soodvetnite visini CD i C1D1 se proporcionalni so soodvetnite strani na triagolnicite.

34

Tema 1. Sli~nost

A

D

B

A1

D1 B1

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Voo~i deka pravoagolnite triagolnici ADC i A D C 1

t.e. A = A1 (bidej}i ΔABC ∼ ΔA1B1C1).

1

1

imaat po eden ostar agol ednakov,

F Mo`e{ da zaklu~i{ deka ΔADC ∼ ΔA D C . Od toa sleduva: CD : C D 1

F Od sli~nosta na ΔABC i ΔA B C 1

1

1

1

1

sleduva:

1

1

AC : A1C1 k .

CD AC AB BC k . C1D1 A1C1 A1B1 B1C1

Kaj sli~nite triagolnici soodvetnite visini se proporcionalni so soodvetnite strani.

Op{to Kaj dva sli~ni triagolnici soodvetnite visini, te`i{ni linii, simetrali na agli, radiusi na vpi{anite i opi{anite kru`nici imaat ist odnos so soodvetnite strani.

4.

Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se 16 cm i 24 cm, a edna visina na prviot triagolnik e 9 cm. Odredi ja soodvetnata visina na vtoriot triagolnik.

V 5.

Na crte`ot se dadeni sli~nite triagolnici ABC i A1B1C1. Nivnite plo{tini se P i P1. Zapi{i gi formulite za plo{tinite P i P1 spored dadenite strani i soodvetnite visini na triagolnicite. Zapi{i odnos ednakov na odnosot h : h1.

C1

C c A

h a

c1

b B

A1

a1

h1

b1 B1

Obidi se da doka`e{ na {to e ednakov odnosot na plo{tinite na triagolnicite, t.e. P : P1. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F F F

P ah a h 1 1 ¸ . ah : a1h1 , t.e. P1 a1h1 a1 h1 2 2 h a P a a P a2 . Bidej}i ΔABC ∼ ΔA1B1C1 sleduva deka Spored toa, ¸ ; 2. h1 a1 P1 a1 a1 P1 a1

P

1 1 a ¸ h; P1 a1 ¸ h1 . 2 2

F

P : P1

F

Na ist na~in mo`e da se poka`e deka:

P b2 P c2 ; . P1 b12 P1 c12

Zapomni Odnosot na plo{tinite na dva sli~ni triagolnici e ednakov so odnosot na kvadratite na nivnite soodvetni strani.

6.

Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici ABC i A1B1C1 se 49 cm2 i 36 cm2, a edna strana na ΔABC e a = 7 cm. Odredi ja soodvetnata strana a1 na drugiot triagolnik i soodvetnite visini h i h1.

Sli~ni triagolnici

35

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 2 2 2 F P : P1 = a2 : a1 ; 49 : 36 = 49 : a1 ; a1 = 36; a1 = 6 cm. a¸h 2P 2 ¸ 49 F P 2 ; h a ; h 7 14; h 14cm. F Od ΔA1B1C1 odredi ja visinata h1, spored poznatoto: P1 i a1.

Treba da znae{: da iska`e{ kakov odnos imaat perimetrite, a kakov odnos imaat plo{tinite na dva sli~ni triagolnici; da go iska`e{ tvrdeweto za odnosot na soodvetnite visini, te`i{ni linii i simetrali na agli na dva sli~ni triagolnici; da gi primeni{ vo zada~i odnosite na perimetrite i odnosite na plo{tinite na dva sli~ni triagolnici.

Proveri se! Stranite na ΔABC se a = 8, b = 6 i c = 4, perimetarot na sli~en na nego ΔA1B1C1 e 45. Odredi gi stranite na ΔA1B1C1. Niva vo forma na triagolnik e nacrtana vo razmer 1 : 200. Koj e odnosot me|u plo{tinata na triagolnikot od crte`ot i plo{tinata na nivata?

Zada~i 1. Perimetarot na eden triagolnik e tri

pati pogolem od perimetarot na sli~en na nego triagolnik. Ako najgolemata strana na prviot triagolnik e 24 cm, kolku e najgolemata strana na drugiot triagolnik?

2. Stranite na eden triagolnik se 8 cm,

15 cm, 9 cm. Perimetarot na drug triagolnik {to e sli~en na prviot e L1 = 96 cm. Odredi gi stranite na drugiot triagolnik.

3. Perimetrite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat 5 : 2, a zbirot na najgolemite strani im e 42 cm. Odredi gi dol`inite na najgolemite strani.

4. Stranite a, b, c, na eden triagolnik ABC

se odnesuvaat kako 3 : 4 : 6. Odredi gi stranite a1, b1, c1 na ΔA1B1C1 so perimetar L1 = 52 cm, koj{to e sli~en na dadeniot.

5. Vo ΔABC, na rastojanie 2 cm od stranata AC e povle~ena prava MN || AC. Odredi ja visinata kon stranata AC na ΔABC, ako AB : MB 13 : 9 .

36

Tema 1. Sli~nost

6. Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici ABC i A1B1C1 se 81 i 25. Stranata b na ΔABC e 9. Odredi ja stranata b 1 na ΔA1B1C1 i visinata h1 {to e povle~ena kon nea.

7. Nacrtaj triagolnik ABC i potoa kon-

struiraj sli~en na nego ΔA1B1C1 ~ija{to plo{tina e edna ~etvrtina od plo{tinata na ΔABC.

8. Stranata a na ΔABC e 10, a visinata {to £ pripa|a e 5. Odredi ja stranata a1 i soodvetnata visina h1 na ΔA1B1C1 {to e sli~en so ΔABC i ima plo{tina 81.

9. Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici se vo odnos 9 : 25. Odredi go nivniot koeficient na sli~nost.

10. Niva vo forma na triagolnik e nacrtana vo razmer 1 : 500. Plo{tinata na triagolnikot na crte`ot e 2,76 dm2. Odredi ja plo{tinata na nivata vo hektari.

PITAGOROVA TEOREMA

10

SLI^NOSTA VO PRAVOAGOLEN TRIAGOLNIK

A 1.

Potseti se! Vo pravoagolniot ΔABC na crte`ot, spu{tena e visinata CD kon hipotenuzata AB. Kakva zaemna polo`ba imaat kracite na aglite α i γ2? Koi parovi od ozna~enite agli imaat zaemno normalni kraci? Koi od ozna~enite agli se ednakvi me|u sebe? Dadeni se otse~kite a = 3 cm, c = 12 cm. Presmetaj ja nivnata geometriska sredina.

Pravoagolniot triagolnik ABC na crte`ot, so visinata CD spu{tena kon hipotenuzata AB, podelen e na dva pravoagolni triagolnici: ΔADC i ΔCDB.

Objasni zo{to (spored koj priznak) se sli~ni triagolnicite: a) ΔABC ∼ ΔCBD; b) ΔABC ∼ ΔACD. Voo~i ja otse~kata AD vo ΔABC na crte`ot. Za nea }e velime deka e proekcija na katetata AC vrz hipotenuzata AB. Nejzinata dol`ina }e ja ozna~ime so q.

Analogno, otse~kata DB se vika proekcija na katetata BC vrz hipotenuzata. Nejzinata dol`ina e ozna~ena so p.

2.

Voo~i gi sli~nite pravoagolni triagolnici ABC i CBD na crte`ot i ozna~enite dol`ini na nivnite strani. Koi strani od ΔCBD se soodvetni so stranite c i a od ΔABC?

Stranata c e hipotenuza vo ΔABC, a stranata a e hipotenuza vo ΔCBD. Spored toa: c e soodvetna na a; stranata a od ΔABC e soodvetna so p od ΔCBD.

Objasni zo{to AB : CB BC : BD , t.e. c : a = a : p. Od proporcijata c : a = a : p se dobiva a2 = cp. [to pretstavuva katetata a za hipotenuzata c i proekcijata p?

3.

Na crte`ot vo zada~ata 2, voo~i gi sli~nite pravoagolni triagolnici ABC i ACD. Zapi{i gi parovite soodvetni strani. Objasni zo{to c : b = b : q, t.e. b2 = cq. Iska`i ja so zborovi vrskata na katetata b so hipotenuzata c i proekcijata q na b vrz c.

Pitagorova teorema

37

Zapomni! Teorema 1o Sekoja kateta vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina od hipotenuzata i proekcijata na taa kateta vrz hipotenuzata.

F 4.

a2 = cp, b2 = cq,

a=

cp b = cq

Vo pravoagolniot ΔABC so kateti a = 12 i b = 5 i hipotenuza c = 13, odredi gi proekciite na a i b vrz c.

B 5.

Vo pravoagolniot ΔABC e spu{tena visinata CD kon hipotenuzata. Zo{to CAD e ednakov so BCD? Voo~i gi ΔACD i ΔCBD na crte`ot i poka`i deka tie se sli~ni. Koi se soodvetni strani od ΔCBD na stranite q i h od ΔACD? Objasni zo{to q : h = h : p, t.e. h2 = pq. Iska`i ja so zborovi vrskata na visinata h so proekciite p i q (na a i b vrz c).

Zapomni! Teorema 2o Visinata h spu{tena kon hipotenuzata c vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina na proekciite p i q od katetite vrz hipotenuzata.

F 6.

h2 = pq

h = pq .

Najdi go p, ako q = 4 i h = 6. Tvrdewata 1o i 2o, t.e. vrskite a2 = cp, b2 = cq, h2 = pq, gi doka`al starogr~kiot matemati~ar Evklid (365-310 god. p.n.e.) i poradi toa tie se vikaat Evklidovi teoremi.

38

Tema 1. Sli~nost

Potseti se!

V 7.

Na crte`ot e dadena polukru`nica so dijametar AB i izbrana e to~ka C na polukru`nicata. Od kakov vid e agolot ACB? Kako glasi Talesovata teorema za periferiski agol nad dijametar?

Nacrtaj dve otse~ki m i n, kako na crte`ov. m n

Potoa, konstruiraj ja geometriskata sredina na tie otse~ki (t.e. otse~ka x, takva {to x2 = m â‹… n). Sledi ja postapkata kako {to e poka`ano.

F Nacrtaj poluprava AT i nanesi gi na nea otse~kite m AD crte`ot.

i

n DB

kako na

F Konstruiraj ja srednata to~ka O na otse~kata AB i nacrtaj polukru`nica so dijametar AB.

F Konstruiraj ja normalata na AB niz to~kata D i ozna~i go so C nejziniot presek so polukru`nicata.

Spored teoremata 2o obrazlo`i zo{to dobienata otse~ka x CD e geometriska sredina na otse~kite m i n.

8.

Konstruiraj ja geometriskata sredina x na otse~kite m = 2 cm i n = 3 cm.

Treba da znae{: da gi iska`e{ Evklidovite teoremi i da gi primeni{ vo zada~i; da konstruira{ geometriska sredina na dve otse~ki.

Proveri se! Vo pravoagolniot ΔABC, p i q se proekciite na katetite a i b, soodvetno, vrz hipotenuzata c. a) Ako c = 12 i p = 3, kolku e a? v) Ako q = 2 i p = 8, kolku e h? b) Ako b = 13, kolku e cq? Kako se konstruira geometriskata sredina na dve otse~ki? (Opi{i ja postapkata.)

Pitagorova teorema

39

Zada~i 1. Vrz osnova na crte`ot popolni gi ~le-

novite {to nedostasuvaat vo proporcijata: a)

otse~kite: a) m = 2,5 cm i n = 3,5 cm; b) m = 1,5 cm i n = 3 cm.

m ? ; ? n m

? x ; b) x m n v) x ⋅ y = (m + n) ⋅ g)

4. Konstruiraj ja geometriskata sredina na

m n

?

y ;

z

5. Vo pravoagolniot ΔABC e dadena n

katetata a = 8 i nejzinata proekcija p = 6,4. Presmetaj ja hipotenuzata c i drugata kateta b.

x

.

6. Vo pravoagolnikot ABCD e vpi{an

pravoagolen ΔABM so prav agol vo temeto M (kako na crte`ot).

2. Vo pravoagolniot ΔABC, p i q se pro-

ekciite na katetite a i b, soodvetno, vrz hipotenuzata c. Odredi ja vrednosta na nepoznatite veli~ini. a) p = 12, q = 3, h = ? b) a = 11, cp = ? v) c = 18, p = 8, b = ?, a = ? Presmetaj ja plo{tinata na oboeniot del od

3. Vo pravoagolniot ΔABC e dadena visinata h = 2,4 spu{tena kon hipotenuzata i proekcijata na katetata b vrz hipotenuzata, q = 1,8. Najdi ja: a) otse~kata p; b) hipotenuzata c; v) katetata b; g) katetata a.

40

Tema 1. Sli~nost

pravoagolnikot ako CM 9 cm i DM 16 cm .

7. Konstruiraj kvadrat {to ima ednakva

plo{tina so pravoagolnik ~ii dimenzii se a = 4 cm i b = 3 cm.

11

PITAGOROVA TEOREMA

A 1.

Potseti se! Pitagorovata teorema ti e poznata od minatata u~ebna godina. Taa glasi: Vo pravoagolen triagolnik, kvadratot na hipotenuzata c e ednakov so zbirot od kvadratite na katetite, a i b, t.e.

Na crte`ot e pretstaven pravoagolen ΔAVS so dol`ina na katetite a, b i dol`ina na hipotenuzata c . Nad negovite strani se konstruirani kvadratite i nivnite plo{tini se ozna~eni so Pa, Pb i Pc, soodvetno.

c2 = a2 + b2 Kolkava e plo{tinata R na kvadrat so strana a = 5 cm? Zapi{i ja vrskata me|u Pa, Pb i Pc. Sogledaj deka: Pa = a2, Pb = b2 i Pc = c2. Od c2 = a2 + b2 zaklu~i deka Pc = Pa + Pb. Spored toa, Pitagorovata teorema mo`e da se iska`e i vaka: Vo koj bilo pravoagolen triagolnik plo{tinata na kvadratot nad hipotenuzata e ednakva na zbirot od plo{tinite na kvadratite nad katetite, t.e. Pc = Pa + Pb.

2.

So pomo{ na slednite upatstva obidi se da ja doka`e{ Pitagorovata teorema. Nacrtaj pravoagolen ΔABC so C = 90o i spu{ti ja visinata CD kon hipotenuzata. Zapi{i ja vrskata me|u sekoja kateta so hipotenuzata i soodvetnata proekcija, t.e. vrskata spored Evklidovite teoremi. Odredi go zbirot od levite i zbirot od desnite strani na ravenstvata. Sporedi go tvoeto razmisluvawe so dadeniot dokaz.

Tvrdewe 1. CD ⊥ AB 2. a2 = pc, b2 = qc 3. a2 + b2 = pc + qc 4. a + b = (p + q) ⋅ c 2

2

5. a2 + b2 = c ⋅ c, t.e. a2 + b2 = c2.

Dokaz

E E E E E

Obrazlo`enie

Visinata vo triagolnik e normalna na soodvetnata strana. Katetata e geometriska sredina od hipotenuzata i soodvetnata proekcija. Svojstvo na sobirawe ravenstva. Distributivnost na mno`eweto vo odnos na sobiraweto. Princip na zamena (c = p + q).

Pitagorova teorema

41

Kako mo`e{ da ja izrazi{ hipotenuzata c so pomo{ na katetite a i b? Kako }e ja izrazi{ ednata kateta so pomo{ na hipotenuzata i drugata kateta?

Od c2 = a2 + b2 sleduva:

c a 2 b2 , a c2 b2 , b c2 a2 .

3.

Najdi ja hipotenuzata c na pravoagolen triagolnik, ako katetite mu se a = 15 i b = 20.

4.

Dadena e hipotenuzata c = 29 i katetata a = 20 na eden pravoagolen triagolnik. Najdi ja drugata kateta.

5.

Daden e ΔABC so strani a = 6 cm, b = 8 cm i c = 10 cm. Poka`i deka e ispolneto ravenstvoto a2 + b2 = c2. Konstruiraj go ΔABC i so merewe, uveri se deka toj e pravoagolen.

Va`i i op{to Ako za eden triagolnik so strani a, b, c va`i ravenstvoto a2 + b2 = c2, toga{ toj triagolnik e pravoagolen, so hipotenuza c. Ova tvrdewe e teorema, obratna na Pitagorovata teorema.

6.

Stranite na ΔABC se: a) a = 7, b = 24, c = 25;

b) c = 8, b = 10, c = 15.

Proveri dali ΔABC e pravoagolen.

B 7.

Presmetaj ja dol`inata d na dijagonalata na pravoagolnik so strani a = 6 dm i b = 11 cm. D C Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto upatstvo.

F

Nacrtaj pravoagolnik ABCD i ozna~i gi stranite i dijagonalata, kako na crte`ot.

F

Sogledaj deka ΔABC e pravoagolen; negovata hipotenuza e dijagonalata d, a katetite mu se stranite a i b na pravoagolnikot. Primeni ja Pitagorovata teorema vo ΔABC:

F

d 2 = a2 + b2 = 602 + 112 = 3 600 + 121 = 3 721;

8.

A

d

b

a

B

d 3721 61 ; d = 61 cm.

Presmetaj ja visinata h na ramnokrak ΔABC so osnova a = 18 i krak b = 41.

Razgledaj gi upatstvata i sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. F Nacrtaj ramnokrak ΔABC i spu{ti ja visinata CD kon osnovata, kako na crte`ot.

F

a Sogleduva{ deka ΔADC e pravoagolen, so hipotenuza b i kateti i h. 2

42

Tema 1. Sli~nost

C b

h

A a D 2

B

a¬ b = h + ­­­ ; 2 ® 2

F

Primeni ja Pitagorovata teorema vo ΔADC:

2

2

ottuka:

a¬ h2 = b2 - ­­­ = 412 - 92 = 1681 - 81 = 1 600; h 1600 40 ; h = 40 cm. 2 ® 2

9.

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 10 i visina 12.

Treba da znae{:

Proveri se!

da ja iska`e{ i doka`e{ Pitagorovata teorema; da ja presmeta{ dol`inata na edna strana vo pravoagolen triagolnik, ako se dadeni drugite dve.

Najdi ja hipotenuzata c na pravoagolen triagolnik so kateti a = 8 i b = 15. Presmetaj ja visinata na ramnokrak triagolnik so osnova 20 cm i krak 26 cm.

Zada~i 1. Najdi ja nepoznatata strana na pravoagolniot triagolnik so kateti a i b, i hipotenuza c, ako: a) a = 12, b = 35, c = ? b) b = 56, c = 65, a = ? v) a = 25, b = 31, c = ?

2. Dali ΔABC e pravoagolen, ako negovite strani se:

a) 14, 48, 50;

b) 9, 12, 17;

v) 5,6; 3,3; 6,5;

g) 100, 60, 80?

3. Najdi ja dijagonalata na pravoagolnik so strani 0,28 dm i 0,96 dm.

4. Najdi go perimetarot na pravoagolnik so dijagonala 8,5 dm i edna strana 1,3 dm.

5. Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 14 i visina 24.

6. Presmetaj ja pribli`no visinata h na ramnostran triagolnik so strana a = 12.

7. Katetata na eden pravoagolen triagol-

nik e 35 cm. Zbirot od hipotenuzata i drugata kateta e 49. Presmetaj ja hipotenuzata c i drugata kateta b.

8. Hipotenuzata na pravoagolen triagolnik e 35 cm. Odnosot na katetite e 3 : 4. Najdi gi katetite.

9. Plo{tinite na ramnostranite triagolnici nad katetite a, b i hipotenuzata c od pravoagolniot ΔABC se ozna~eni so Pa, Pb i Pc.

Poka`i deka P c = P a + P b. Proveri dali va`i takvata vrska, ako namesto pravilni triagolnici se konstruirani pravilni {estagolnici.

Pitagorova teorema

43

Pitagorovi trojki Ova ne e zadol`itelno! Interesno e pra{aweto za trojkite prirodni broevi a, b, c {to go zadovoluvaat ravenstvoto a2 + b2 = c2. Takvi trojki se, na primer: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13 i dr. Tie se vikaat Pitagorovi trojki. Proveri deka so slednite izrazi se dobivaat Pitagorovi trojki.

12

n 2 1 n 2 1 , , 2 2 za sekoj neparen n ∈ N, n ≼ 3.

3o n,

Â?nÂŹ 4 n, žž ­­­ 1, žÂ&#x; 2 ÂŽ 2

o

Â? ÂŹ žž n ­­ 1 , žÂ&#x; 2 ­Ž 2

za sekoj paren n ∈ N, n ≼ 4.

ZADA^I SO PRIMENA NA PITAGOROVATA TEOREMA

Potseti se! Osnovite na ramnokrakiot trapez ABCD na crte`ot se a AB 15cm i b CD 9 cm , a DE e visinata

na trapezot. Presmetaj go x AE . Prese~nata to~ka na dijagonalite vo rombot EFGH na crte`ot e ozna~ena so S. Od koj vid e ΔEFS? Obrazlo`i go tvojot odgovor. Vo kru`nicata so centar O, na crte`ot e nacrtana tetiva MN, a vo ΔMNO e spu{tena visinata OS kon stranata MN. Kakvi se me|u sebe ΔMSO i ΔNSO? Zo{to?

44

1o 2mn, m2 - n2, m2 + n2, za sekoi m, n ∈ N, m > n. o 2 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; za sekoj n ∈ N se dobiva po edna Pitagorova trojka.

Tema 1. Sli~nost

A 1.

Presmetaj ja visinata h na ramnokrak trapez so osnovi 16 cm i 30 cm, a krak 25 cm.

Ako ne mo`e{ sam da ja re{i{ zada~ata, sledi gi upatstvata.

F Nacrtaj

ramnokrak trapez ABCD i povle~i gi negovite visini DE i CF.

F Voo~i go, potoa, pravoagolniot ΔAED so hipotenuza c = 25 cm i kateti x i h.

F Voo~i isto taka od crte`ot deka a = b + 2x, od kade {to x

a b . 2

F Primeni

ja Pitagorovata teorema za ΔAED; }e dobie{ Â? a b ­ h 2 c 2 x 2 c 2 žž žÂ&#x; 2 Ž­­

2

So zamenuvawe na c, a i b, }e dobie{: Â? 30 16 ­ h 25 žž 625 49 576; h 576 24; h = 24 cm. žÂ&#x; 2 ­­Ž 2

2

2

2.

Osnovite na ramnokrak trapez se 30 i 20, a krakot e 13. Presmetaj ja plo{tinata na trapezot.

3.

Najdi go perimetarot na rombot ABCD so dijagonali AC 70 i BD 24 . Na {to e ednakov perimetarot L na romb so strana a? Kako }e ja presmeta{ stranata a na rombot ako gi znae{ negovite dijagonali?

d1

Vo rombot ABCD na crte`ot, presekot na dijagonalite e ozna~en so S. Voo~i go ΔABS. Toj e pravoagolen (zo{to?) so hipotenuza a i kateti

d2

2

2

d1 d 35 i 2 12 . 2 2

F Spored Pitagorovata teorema:

Â?d ÂŹ Â?d ÂŹ a žž 1 ­­­ žž 2 ­­­ 352 122 1225 144 1369; a 1369 37; a = 37; L = 4 â‹… 37 = 148. žÂ&#x; 2 ÂŽ žÂ&#x; 2 ÂŽ 2

2

2

4.

Vo kru`nica so radius r = 2 dm e povle~ena tetiva MN so dol`ina t = 2,4 dm. Kolkavo e rastojanieto d na taa tetiva od centarot na kru`nicata? Ako ti e neophodna pomo{, razgledaj go crte`ot. Voo~i go pravoagolniot ΔMSO, so hipotenuza r i kateti d i

t , a 2

potoa, spored Pitagorovata teorema, }e dobie{: Â?tÂŹ d 2 r 2 žž ­­­ 22 1 22 4 1 44 2 56; d 2 56 1 6; d = 1,6 dm. žÂ&#x; 2 ÂŽ 2

B 5.

a

Dadeni se otse~kite a i b (a > b) kako na crte`ot. b

Konstruiraj otse~ka x, takva {to: a) x a 2 b 2 ;

b) x a 2 b 2

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto na crte`ot: se konstruira pravoagolen triagolnik, za a) so kateti a i b, a za b) so hipotenuza a i kateta b.

a)

b)

Pitagorova teorema

45

6.

Konstruiraj otse~ka so dol`ina

n , kade {to n = 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Konstrukcijata e prika`ana na crte`ot.

F Otse~ka so dol`ina

2 e konstruirana taka {to e konstru-

iran ramnokrakiot pravoagolen ΔOAB, so kateti OA AB 1

(cm, dm,...); hipotenuzata OB ima dol`ina

F Ako otse~kata OB

2 . (Zo{to?)

2 se zeme za edna kateta, a otse~kata BC 1 za drugata kateta na

pravoagolniot ΔOBC, toga{ hipotenuzata na ΔOBC }e ima dol`ina

Objasni kako se konstruirani otse~kite so dol`ina

3 (Zo{to?).

4, 5 itn.

Konstrukcijata na x n mo`e da se izvede i "direktno#, so konstruirawe na geometriskata sredina na otse~kite so dol`ina n i 1, kako na crte`ot

7.

n = CD .

Konstruiraj otse~ka so dol`ina x a 2 ab . Konstruiraj ja geometriskata sredina na otse~kite so dol`ina a i a + b.

Treba da znae{: da ja primeni{ Pitagorovata teorema za presmetuvawe dol`ini kaj ramninski geometriski fiugri; da re{ava{ odredeni konstruktivni zada~i so pomo{ na Pitagorovata teorema.

Proveri se! Presmetaj go perimetarot na ramnokrak trapez so osnovi 30 i 14, a visina 15. Stranata na eden romb e a = 13 cm, a ednata dijagonala e 10 cm. Kolku e drugata dijagonala? Objasni kako se konstruira otse~ka so dol`ina

3.

Zada~i 1. Skala so dol`ina 7,4 m e potprena na yid taka {to dolniot kraj od skalata e oddale~en 2,4 m od yidot. Do koja visina dostignala skalata? (Napravi skica.)

46

Tema 1. Sli~nost

2. Presmetaj gi: a) visinata, b) plo{-

tinata, v) dijagonalata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 42 cm, b = 24 cm i krakot c = 41 cm.

3. Dijagonalite na eden romb se d1 = 40 i

d2 = 50. Kolku (pribli`no) iznesuva stranata a na toj romb?

8. Konstruiraj kvadrat ~ija{to plo{tina e ednakva so:

a) zbirot, b) razlikata od plo{tinite na dvata dadeni kvadrati.

4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 72 cm2, a osnovite mu se dolgi 20 cm i 4 cm. Presmetaj go perimetarot na trapezot.

9. Vo kru`nica so radius 17 cm e vpi{an

5. Stranite na eden deltoid se dolgi 25

pravoagolnik. Najdi go perimetarot na toj pravoagolnik ako odnosot na negovite strani e 15 : 8.

6. Vo kru`nica so radius 3,4 cm e po-

10. Na drvo {to e oddale~eno 8 m od eden

cm i 52 cm, a dijagonalata {to ne e simetrala iznesuva 40 cm. Presmetaj ja plo{tinata na deltoidot.

vle~ena tetiva na rastojanie 1,6 cm od centarot. Najdi ja dol`inata na tetivata.

7. Konstruiraj otse~ka so dol`ina: a)

2;

b)

a2 a ;

g)

5;

a 2 ab a b , kade {to a i b se dadeni otse~ki.

v)

izvor se ka~eni dva majmuna - edniot na vrvot, a drugiot na 2 m od zemjata. Koga o`ednele, majmunot od vrvot skoknal pravo na izvorot, a drugiot slegol od drvoto i oti{ol po zemja do izvorot. Pritoa, obata majmuni izminale ednakov pat. Kolku e visoko drvoto?

Obidi se ... ne e zadol`itelno! Dve kru`nici se dopiraat odnadvor i se smesteni vo treta, pogolema od niv kru`nica. Sekoja od trite kru`nici gi dopira drugite dve, a nivnite centri O, O1, O2 le`at na ista prava, AB, kako na crte`ot. Dadena e dol`inata t (na primer, t = 6 cm) na tetivata CD od golemata kru`nica {to e tangenta na malite kru`nici. Presmetaj ja plo{tinata P na delot od golemiot krug {to e nadvor od malite krugovi (t.e. na oboeniot del).

Pitagorova teorema

47

R A B O T A P O D A T O C I

S O

13

POPULACIJA. PRIMEROK

A 1.

Vo fabrikata za ~okoladi ima vraboten degustator. Negova zada~a e da proba od ~okoladite i da go proceni nivniot kvalitet. Razmisli i odgovori, dali degustatorot treba da ja proba sekoja ~okolada?

Sekako ne. Degustatorot izbira odreden broj ~okoladi koi gi probuva. Mno{tvoto od site tie elementi, vo slu~ajov ~okoladi, koi se predmet na ispituvawe e populacija. Izbraniot del elementi, na koi se vr{i ispituvaweto se vika primerok.

2.

Voo~i gi primerite za populacija i primerok.

Populacija

Primerok

U~enici od I do VIII oddelenie vo edno u~ili{te

Po edna paralelka od I do VIII oddelenie vo istoto u~ili{te

Fudbalski timovi

Po tri fudbaleri od sekoj tim

Site u~enici {to odat vo privatni u~ili{ta za Po eden u~enik od sekoe privatno u~ili{te za angliski jazik stranski jazik Site u~enici od VII oddelenie vo R. Makedonija Po eden u~enik od VII oddelenie od sekoe u~ili{te {to imaat ocenka 5 po matematika vo R. Makedonija {to ima ocenka 5 po matematika

Zapi{i tri primeri na populacija i primerok (del) od taa populacija.

3.

Razmisli i odgovori. Za da se proveri dali u~enicite sakaat za vreme na golemiot odmor da im se pu{ta muzika, {to e podobro: da se pra{aat site u~enici vo site u~ili{ta ili da se pra{a primerok od po nekolku u~enici od sekoe u~ili{te? Obrazlo`i go tvojot odgovor. Naj~esto ne e mo`no da se napravi nekoe istra`uvawe, testirawe ili proverka i ispituvawe na celata populacija. Zo{to? Mo`e toa da bide: - mnogu skapo; - da trae dolgo vreme; - da bide nevozmo`no da se dojde do sekoj ~len od populacijata (na primer, brojot na ribite vo Ohridskoto Ezero).

48

Tema 1. Sli~nost

4.

Zapi{i po edna pri~ina zo{to e podobro da se zeme primerok namesto celata populacija za sekoe od navedenite istra`uvawa. Najgledana televiziska emisija vo eden grad od 50000 `iteli. Kvalitetot na sokovite vo edna sokara. Prose~niot broj knigi {to gi pro~ital sekoj `itel na R. Makedonija vo prethodnata godina.

B 5.

Koga ima potreba da se napravi zaklu~ok ili da se izjavi ne{to za cela populacija a se zema primerok, primerokot treba da bide reprezentativen (soodveten na populacijata). Voo~i go primerov. Za da proveri kolku u~enicite od negovoto u~ili{te koristat gradski soobra}aj, Jovan zastanal na edna avtobuska postojka i pribral podatoci so pra{uvawe na lu|eto {to se simnale od eden avtobus. Podatocite {to gi pribiral Jovan ne se soodvetni bidej}i primerokot ne e reprezentativen. Ako Jovan pra{uval u~enici od negovoto u~ili{te, dali primerokot }e bide reprezentativen? Obrazlo`i go svojot odgovor.

6.

Marija sakala da ja otkrie prose~nata dol`ina na listovite na edno rastenie koe imalo dvapati pove}e mali listovi od golemi listovi. Koj primerok od listovi {to taa treba da go izbere e reprezentativen? a) Samo golemi listovi;

v) ednakov broj mali i golemi listovi;

b) samo mali listovi;

g) dvapati pove}e mali listovi od golemi listovi.

Obrazlo`i go svojot odgovor! Reprezentativen primerok mo`e da se izbere po metodot na slu~aen izbor i sistematski. Slu~aen izbor zna~i deka sekoj objekt ili lice od populacijata ima ednakvi {ansi da bide izbran. Za da izbereme, slu~ajno, 5 od 30 u~enici vo edna paralelka mo`e da gi zapi{eme nivnite broevi od oddelenskata kniga na liv~iwa, liv~iwata da gi izme{ame vo edna kutija, i da izvle~eme 5 liv~iwa. Ili, da izbereme eden broj (na primer 7), a potoa sistematski da go birame sekoj petti u~enik: ( 7 + 5 = 12 ; 12 + 5 = 17 ; 22 ; 27 )

7.

Ilija sakal da pra{a primerok u~enici od negovoto u~ili{te za toa dali sakaat da se vovede zadol`itelno nosewe u~ili{na uniforma. Obrazlo`i zo{to nitu eden od slednive na~ini za izbor na primerok ne e dobar: a) da gi pra{a prvite 20 lica {to }e vlezat vo u~ili{teto; b) da gi pra{a u~enicite od negovata paralelka; v) da gi pra{a u~enicite od matemati~kata sekcija.

Rabota so podatoci

49

Kako treba Ilija da go izbere primerokot za da bide reprezentativen?

Voo~i! Izborot na primerokot treba da e slu~aen i da bide sostaven od u~enici od site oddelenija ( od I do VIII oddelenie) za da mo`e da se izvle~e pravilen zaklu~ok.

8.

Vo tabelata Ilija gi sredil podatocite od istra`uvawata za zadol`itelno nosewe u~ili{na uniforma.

Primerok Broj na odgovori Primerok

Da

Ne

Prvo

12

3

Kolku vkupno u~enici broel primerokot na Ilija?

Vtoro

10

5

Ako primerokot bil 10 % od populacijata, kolku vkupno u~enici imalo vo u~ili{teto?

Treto

10

5

Koj e zaklu~okot na Ilija za noseweto u~ili{na uniforma?

^etvrto

9

6

Petto

7

8

[esto

7

8

Sedmo

2

13

Osmo

0

15

Zapi{i u{te eden zaklu~ok {to mo`e da se dobie od podatocite vo tabelata.

Pribranite podatoci od reprezentativen primerok i dobienite merki za centralna tendencija ovozmo`uvaat da se izvle~at zaklu~oci i da se napravat voop{tuvawa za cela populacija.

V

9.

Voo~i go primerot: Pribrani podatoci

Broj na fil- Odgovori na movi godi{no ispitanici 0 1 do 4 5 do 8

F

9 do 12 13 i pove}e

50

Tema 1. Sli~nost

Vo edna naselba imalo 5 000 `iteli postari od 15 godini. Ivan sakal da proceni kolkupati godi{no tie odat na kino. Toj za primerok izbral 50 lu|e i po telefon gi pribral podatocite. Pribranite podatoci gi pretstavil vo tabela po kategorii spored brojot na filmovite gledani vo kino. Ivan ja dopolnil tabelata so vrednosti na frekfenciite (broj na odgovori za sekoja kategorija). Potoa presmetal procent za brojot na odgovorite vo sekoja kategorija od vkupniot broj ispitanici vo primerokot (50 lu|e).

F

Broj na fil- Odgovori na movi godi{no ispitanici

Vrednost na funkcijata

0

21

1 do 4

16

5 do 8

6

9 do 12

3

13 i pove}e

4

Procent

21 ⋅ 100 = 42% 50 16 ⋅ 100 = 32% 50 6 ⋅ 100 = 12% 50 3 ⋅ 100 = 6% 50 4 ⋅ 100 = 8% 50

F

Na krajot procentite dobieni za primerokot, Ivan gi primenil na celata populacija.

42% od 5 000 e 2 100 Ako 42% od primerokot ne odat vo kino, mo`e da se predvidi deka 42% od populacijata ne odat vo kino, {to e 2 100 lu|e. Napravi voop{tuvawe za populacijata za ostanatite kategorii (broj na gledani filmovi vo kino - godi{no).

10.

Mimoza sakala da proveri kolku se zagaduva okolinata so plasti~ni otpadoci frleni vo u~ili{niot dvor za vreme na golemiot odmor. Slu~ajno izbrala eden mesec vo koj pribrala podatoci, kako primerok od celata u~ebna godina. Broj Vid otpadok Pribranite podatoci gi pretstavila vo tabela. 137 Plasti~ni }esi a) Presmetaj po kolku otpadoci prose~no vo eden den bile frleni od sekoj vid. 59 [i{iwa od jogurt b) Ako u~ebnata godina ima 180 dena, upotrebi go odgovorot 72 [i{iwa od sok pod a) za da go predvidi{ brojot na sekoj vid otpadok vo tekot na u~ebnata godina. 16 ^a{ki od puding

Treba da znae{: {to e populacija, a {to primerok; da proceni{ dali daden primerok e reprezentativen za dadena populacija; da odredi{ primerok {to e soodveten za dadeno istra`uvawe; da voop{ti{ zaklu~ok dobien od primerok vrz populacija.

Proveri se! Proceni i odgovori dali e dobar izborot na primerokot: "slu~aen izbor na 5% od populacijata od gradskiot telefonski imenik# za istra`uvaweto: "mislewe za kvalitetot na gradskiot soobra}aj vo eden grad#. Obrazlo`i go svojot odgovor.

Rabota so podatoci

51

Zada~i

A

Vo slednite tri slu~ai:

odredi ja populacijata; proceni dali na~inot na izbor na primerokot e soodveten; predlo`i drug na~in na izbor na primerok.

1. Stefan sakal da otkrie kolku zarabotuvaat studentite {to rabotat preku studentskata organizacija. Toj oti{ol vo bibliotekata vo studentskiot dom i pra{al 40 devojki.

2. Za ~asot po geografija Bojan treba da

odnese vo u~ili{te 5 primeroci po~va od svojata gradina. Toj zastanal vo sredinata na gradinata, frlil pari~ka i od tamu kade {to padnala pari~kata zel primeroci.

3. Tawa sakala da proveri dali e to~no deka `enite vo Bitola `iveat podolgo od ma`ite. Taa pobarala podatoci od Zavodot za statistika od prethodnata godina.

B

Vo slednite pet slu~ai:

koi od primerocite se reprezentativni za populacijata i za istra`uvaweto? Obrazlo`i go sekoj od tvoite odgovori.

4. Istr`uvawe: mislewe za toa dali da se izgradi novo kafule.

Primerok: slu~aen izbor od naj~estite posetiteli na gradskata biblioteka.

5. Istr`uvawe: dali ma{inata za paku-

vawe "Smoki#, sekoe paket~e go pravi so ista grama`a. Primerok: prvite 50 paket~iwa "Smoki# {to izleguvaat od ma{inata vo eden den. Merena e nivnata masa.

52

Tema 1. Sli~nost

6. Istr`uvawe: efikasnosta na noviot lek za glavobolka.

Primerok: site pacienti na eden lekar koi imaat ~esti glavobolki.

7. Istra`uvawe: kvalitetot na lebot od edna pekarnica.

Primerok: sekoj dvaesetti kupuva~ vo edna prodavnica kade {to se prodava leb od taa pekarnica.

8. Vo eden grad ima 6 000 semejstva. Iz-

brani se 100 semejstva za istra`uvaweto: koj e najomilen den za pazaruvawe. Podatocite se dadeni vo tabelata. Omilen den za pazaruvawe Den

Frekfencija

Ponedelnik

8

Vtornik

10

Sreda

14

^etvrtok

2

Petok

16

Sabota

30

Nedela

12

Nema omilen den

8

Vkupno

100

Procent

a) Odredi gi procentite za sekoj den. b) Upotrebi go procentot od primerokot za da go predvidi{ brojot na semejstvata od celata populacija na koi omilen den za pazaruvawe im e petok. v) Kolku semejstva vo gradot nemaat omilen den za pazaruvawe?

U^E[E ZA SLI^NOST PROVERI GO TVOETO ZNAEWE 1.

Dadeni se dva kvadrati, edniot so strana a = 12 cm, a drugiot so strana b = 8 cm. Najdi go razmerot na nivnite: a) strani;

Dali nekoi od tie razmeri se ednakvi?

3.

Otse~kata AB e dolga 12 cm. Najdi go rastojanieto me|u srednata to~ka S na otse~kata i to~kata M {to ja deli otse~kata vo odnos 3 : 5. Najdi go nepoznatiot ~len vo proporcijata: a) x : 4 = 5 : 2;

b) 3 : 2x = 1 : 6;

v) 7 : 3 = 14 : (x + 2).

4.

Najdi ja dol`inata na otse~kata {to e geometriska sredina na otse~kite so dol`ini 8 cm i 18 cm.

5.

Nacrtaj proizvolna otse~ka i podeli ja na: a) 4; b) 5; v) 7 ednakvi delovi.

6.

Daden e ΔABC i prava MN || AB {to ja se~e AC vo M i BC vo N. Najdi ja: a) AC , ako CN 6

7.

Dadena e otse~ka so dol`ina 12 cm. Konstuiraj triagolnik so perimetar 12 cm, taka {to stranite da mu se odnesuvaat kako 3 : 5 : 6.

9.

Dali se sli~ni dva triagolnici, ako dva agli na edniot triagolnik se 40o i 60o, a na drugiot se 60o i 80o? Obrazlo`i!

b) perimetri;

v) plo{tini.

2.

8.

NB 3 i MA 4 .

10. Eden elektri~en stolb frla senka dolga 10 m, a vo isto vreme senkata na eden ~ovek visok 1,5 m e dolga 1,5 m. Odredi ja visinata na stolbot.

11. Eden par soodvetni strani na dva sli~ni triagolnici se: a = 15 dm i a1 = 6 dm, a visinata kon stranata a e 8 cm. Odredi ja visinata kon stranata a1.

12. Dve soodvetni strani na dva sli~ni

triagolnici se 7,5 cm i 10 cm. Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na pomaliot triagolnik, ako pogolemiot triagolnik ima perimetar 60 cm i plo{tina 80 cm2.

13. Vo pravoagolen triagolnik se dadeni

proekciite na katetite vrz hipotenuzata, p = 2 i q = 8. Najdi gi: c, a, b, h.

b) BC , ako AC : CM 5 : 2 i CN 14 .

14. Najdi go perimetarot na pravoagolnik

Nacrtaj agol SOT. Na krakot OS

15. Dali e pravoagolen triagolnikot so

nanesi gi otse~kite OA 3 cm i

OB 5 cm , a na krakot OT - otse~kite OC 4 5 cm i OD 7 5 cm . Nacrtaj gi pravite AC i BD. a) Proveri na crte`ot dali pravite se paralelni. b) Objasni zo{to tvojot odgovor e pravilen.

so strana 300 i dijagonala 340. strani: a) 32, 24, 40; v) 0,7; 2,4; 2,5?

b) 20, 40, 50;

16. Najdi go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova 28 i visina 48.

17. Presmetaj ja stranata na romb ~ii dijagonali imaat 9 cm i 5,6 cm.

Proveri go tvoeto znaewe

53

54

TEMA 2.

LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I LINEARNA FUNKCIJA

LINEARNI RAVENKI 1. Ravenstvo, ravenka, identitet 2. Vidovi ravenki 3. Re{enie na ravenka. Ekvivalentni ravenki 4. Teoremi za ekvivalentni ravenki-1 5. Teoremi za ekvivalentni ravenki-2 6. Op{t vid na linearna ravenka so edna nepoznata 7. Primena na linearnite ravenki so edna nepoznata LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA 8. Poim za neravenstvo i neravenka 9. Re{enie na neravenka. Intervali 10. Teoremi za ekvivalentni neravenki 11. Re{avawe na linearni neravenki so edna nepoznata

56 59 62 66 70 74 78

83 87 92 98

SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA 12. Re{avawe sistem linearni neravenki so edna nepoznata 100 LINEARNI FUNKCII 13. Linearna funkcija 14. Grafi~ko pretstavuvawe na linearna funkcija 15. Zaemna polo`ba na graficite na nekoi linearni funkcii 16. Rastewe i opa|awe na linearna funkcija 17. Grafi~ko re{avawe na linearni ravenki so edna nepoznata 18. Slu~ajni nastani. Verojatnost na nastan Proveri go tvoeto znaewe

104 107 111 114 117 120 125

LINEARNI RAVENKI

1

RAVENSTVO, RAVENKA, IDENTITET

A 1.

Potseti se! Dva izraza svrzani so znakot "=# (ednakvo) obrazuvaat ravenstvo. Ravenstva se, na primer: 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 ⋅ 2 = 7 + 10; 2x - 3 = x + 1; x2 - y2 = (x - y)(x + y). Zapi{i ravenstvo so koe e iska`ano: a) komutativnoto svojstvo na sobiraweto vo Q; b) distributivnoto svojstvo na mno`eweto vo odnos na sobiraweto vo Q. Zapi{i ravenstvo vo koe 4x2 - 4x e leva strana, a x - 6 e desna strana na ravenstvoto.

Dadeni se ravenstvata: a) 3 ⋅ 2 - 11 = 2 - 7; b) 3x - 1 = 2x + 5; v) x + 2y = 8; g) 15 - 6 : 2 = 4 ⋅ 2 - 5; d) 3 ⋅ 4 + 2 = 12.

Vo koi od dadenite ravenstva levata i desnata strana se brojni izrazi? Vo koi od dadenite ravenstva levata i desnata strana ili ednata od niv e izraz so promenliva?

Sogledaj i zapomni

F

Vo ravenstvata a) i g) levata i desnata strana se brojni izrazi.

F

Vo ravenstvata b) i v) levata i desnata strana ili ednata od niv e izraz so promenliva.

Ravenstvata vo koi levata i desnata strana se brojni izrazi se vikaat brojni ravenstva.

Ravenstvata vo koi levata i desnata strana ili barem ednata od niv e izraz so promenliva, se vikaat ravenstva so promenlivi. Promenlivite se menuvaat vo mno`estvoto R ili vo nekoe negovo podmno`estvo. Za brojnoto ravenstvo se veli deka e to~no, ako vrednosta na izrazot od levata strana e ednakva so vrednosta na izrazot od desnata strana. Koe od brojnite ravenstva a), g) i d) e to~no?

2.

Zapi{i to~no brojno ravenstvo na koe levata strana e:

3.

Odredi koi od slednive ravenstva se ravenstva so promenliva. a) 7 - 10 : 2 = 4 ⋅ 3 - 10;

56

b) 3x + 2 - x = 8;

a) 3 + 2 ⋅ 7;

v) 3x - 5 = x + 3;

b) 5 - (9 + 2).

g) 5 ⋅ 2 + 1 = 9 : 3 + 8.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Mno`estvoto vo koe se menuvaat promenlivite se vika definiciono mno`estvo i naj~esto se ozna~uva so D. Ravenstvo so edna promenliva, vo op{t slu~aj }e ozna~uvame so A(x) = B(x), x ∈ D, kade {to A(x) i B(x) se izrazi so promenliva x, definirani vo D. Ponatamu, ako ne e zadadeno definicionoto mno`estvo }e podrazbirame deka toa e mno`estvoto R na realnite broevi.

4.

Dadeni se ravenstvata so promenlivi: a) 3x - 7 = x + 1, x ∈ N;

b) x + y = 2 + 3y;

v) 5x - 2 = x - 6, x ∈ Z;

g) x2 - 4x = x - 5.

Imenuvaj gi promenlivite, a potoa i definicionoto mno`estvo vo sekoe od tie ravenstva. Vo koi od dadenite ravenstva podrazbirame deka definicionoto mno`estvo e mno`estvoto R?

Zapomni Ravenstvata so promenlivi se vikaat ravenki. Promenlivite vo ravenkite se vikaat nepoznati.

5.

Koi od dadenite ravenstva se ravenki? Poso~i gi nepoznatite vo niv. a) 4 ⋅ 5 - 11 = 3 ⋅ 3; b) x - y = 5; v) 3x - 8 = x + 2; g) 12 : 2 - 1 = 2 ⋅ 3 - 1.

B 6.

Dadeni se ravenkite: 2x - 3 = x - 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 i x + 4 = x - 3 so isto definiciono mno`estvo D = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Voo~i na tabelata za koja vrednost na promenlivata x ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo. Proveri dali e to~no popolneta tabelata za sekoja ravenka i za tri vrednosti na nepoznatata x.

x

-2

-1

0

1

2

3

2x - 3 = x - 1

N

N

N

N

T

N

x2 + 3 = 4x

N

N

N

T

N

T

3(x + 2) = 3x + 6

T

T

T

T

T

T

x+4=x-3

N

N

N

N

N

N

T - to~no; N - neto~no

Od tabelata voo~uva{ deka:

F ravenkata F ravenkata F xravenkata od D; F ravenkata na x od D.

2x - 3 = x - 1 preminuva vo to~no brojno ravenstvo za x = 2; x2 + 3 = 4x preminuva vo to~no brojno ravenstvo za x = 1 i x = 3; 3(x + 2) = 3x + 6 preminuva vo to~no brojno ravenstvo za site vrednosti na x + 4 = x - 3 ne preminuva vo to~no brojno ravenstvo za nitu edna vrednost

Linearni ravenki

57

Zapomni! Ravenka {to preminuva vo to~no brojno ravenstvo za sekoja vrednost na x ∈ D se vika identitet. Ravenka koja{to ne preminuva vo to~no brojno ravenstvo za nitu edna vrednost na promenlivata od definicionoto mno`estvo se vika nevozmo`na ili protivre~na ravenka.

7.

Vrz osnova na koe svojstvo mo`e{ da tvrdi{ deka ravenkata 3(x + 2) = 3x + 6, x ∈ R e identitet?

8.

Koi od slednive ravenki se identiteti: a) x + 5 = 5 + x, x ∈ R; b) (x-1) (x+1) = x2 - 1, x ∈ Z;

9.

Odredi koja od slednive ravenki e protivre~na: a) 2x - 1 = x + 2;

b) 3 - x = 5 - x;

v) x

v) 2x - 3 = x - 1?

1 1 x . 2 2

Treba da znae{: da definira{ ravenka i definiciono mno`estvo na ravenka; da definira{ identitet; da definira{ protivre~na ravenka.

Zada~i 1. Odredi koi od slednive ravenstva se to~ni: a) 3 + 2 â‹… 4 = 20 : 5 + 7; b) 3x + 1 = 2x - 1 za x = 2; v) x - 3 = 2x + 1 za x = -4.

2. Odredi koi od slednive ravenstva se ravenki: a) 15 â‹… 1 - 4 = 8 + 3; b) 4x - 5 = 3x - 2; v) x2 - 3 = 4x.

3. Za koja vrednost na x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}

ravenkata 2x - 3 = x - 1 preminuva vo to~no brojno ravenstvo?

58

Proveri se! [to e pretstaveno so zapisot 5x - 3 = x + 2, x ∈ Z? Vrz osnova na koe svojstvo mo`e{ da tvrdi{ deka ravenkata x + 8 = 8 + x e identitet?

4. Proveri dali e identitet nekoja od ravenkite x2 + 6 = 5x i 5(x - 1) = 5x - 5 pri isto definiciono mno`estvo D = {-1, 0, 1, 2, 3}.

5. Proveri koi od slednive ravenki se protivre~ni ravenki: a) 2x - 3 = 2x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3}; b) x2 - 1 = x2 + 4, x ∈ {-1, 0, 1, 2}; v) 3x - 4 = x + 2, x ∈ {2, 3, 4, 5}.

6. Odredi ja vrednosta na a, taka {to za x = 3 ravenkata ax - 2 = 2x + 1 da premine vo to~no brojno ravenstvo.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

2

VIDOVI RAVENKI

Potseti se!

A 1.

Dadeni se ravenkite: 3x - 2 = 2x + 1; 3x - y = y + 2;

Ti u~e{e {to e ravenka. Na primer, ravenki se: 3x - 2 = x + 4;

5x - 2y = 3z -4.

x + 2y + 1 = x + y;

x + 2y - z = 4. Imenuvaj gi nepoznatite vo sekoja od niv.

Odredi go brojot na nepoznatite vo sekoja od dadenite ravenki.

Mo`e{ da voo~i{ deka: ravenkata 3x - 2 = 2x + 1 ima samo edna nepoznata x, ravenkata 3x - y = y + 2 ima dve nepoznati x i y, a ravenkata 5x - 2y = 3z - 4 ima tri nepoznati x, y i z. Sogleda deka nekoi ravenki imaat edna nepoznata, nekoi dve nepoznati, nekoi tri nepoznati itn. Spored brojot na nepoznatite, ravenkite mo`at da bidat: ravenki so edna nepoznata, ravenki so dve nepoznati, ravenki so tri nepoznati itn.

2.

So kolku nepoznati e sekoja od slednite ravenki: 2x - 3y = 5 - 2x;

3.

3x - 7 + 2x = 1 + x + 3x?

Zapi{i edna ravenka so nepoznati x i y.

B 4.

Potseti se! Stepen na polinom vo normalen vid e najgolemiot od stepenite na monomite {to se ~lenovi na polinomot. Odredi go stepenot na sekoj od polinomite: b) x3 + x2y2 - x2. a) x2 - 2x + 3;

Voo~i gi vo tabelata ~lenovite na ravenkite so najvisok stepen.

Odredi koj od monomite od levata i od desnata strana na ravenkata ima najvisok stepen. a) 2x + 3 = 5x - 2; b) x2 - 2x = 5x + 8; v) 2x3 - x2 = 5 + x.

Ravenkata 2x + 3 = 5x - 2 e sostavena od monomite: 2x, 3, 5x i -2. Tie se ~lenovi na ravenkata.

Ravenka

^len so najvisok stepen

Stepen na ~lenot

1

2x + 3 = 5x - 2

2x i 5x

od prv stepen

2

x2 - 2x = 5x + 8

x2

od vtor stepen

3

2x3 - x2 = 5 + x

2x3

od tret stepen

Linearni ravenki

59

Voo~i deka vo nekoi ravenki ~lenovite {to ja sodr`at nepoznatata se od prv stepen, vo drugi ima barem eden ~len koj e od vtor stepen, vo treti ima barem eden ~len koj e od tret stepen itn.

Zapomni! Spored ~lenot so najvisok stepen, ravenkite mo`at da bidat: ravenki od prv stepen ili linearni ravenki, ravenki od vtor stepen ili kvadratni ravenki, ravenki od tret stepen ili kubni ravenki itn.

5.

Odredi od koj stepen e sekoja od dadenite ravenki:

V 6.

2x + y - 7 = 5;

x3 - 2x2 = 5x + 8;

x2 + 7 = 2x;

x2y - 3x = 5y - 2.

Dadeni se ravenkite a) 2x - 1 = 3;

b) 3x + 5y = 4;

v) 3x2 - 1 = 6x;

g) 8x - 3 = x + 2.

Odredi koi od niv se so edna nepoznata i od prv stepen. Sogleda deka ravenkite 2x - 1 = 3 i 8x - 3 = x + 2 se so edna nepoznata i od prv stepen. Op{to, ravenki so edna nepoznata od prv stepen se vikaat linearni ravenki so edna nepoznata.

7.

Koja od slednive ravenki e linearna ravenka so edna nepoznata: a) 5x2 - 2 = 3x;

8.

b) 2x - 3 = 5 - x;

v) 5x + y = 7?

Dadeni se linearnite ravenki so edna nepoznata x: a) 8 - 2x = x +

1 ; 2

b) ax + 5 = x;

v) ax + b = 0;

g) x - 1 = 3x.

Vo {to se razlikuvaat ravenkite a) i g) od ravenkite b) i v)? Sogleda deka, ne zemaj}i ja predvid nepoznatata, site ~lenovi na ravenkite a) i g) sodr`at samo dadeni realni broevi, a nekoi ~lenovi vo ravenkite b) i v) sodr`at op{ti broevi, t.e. bukvi koi{to se zamena za odredeni broevi. Op{to, ravenki vo koi nekoi ~lenovi sodr`at op{ti broevi (parametri) se vikaat ravenki so parametri ili parametarski ravenki.

60

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

9.

Koja od slednive ravenki so nepoznata x e ravenka so parametar: a) ax + 2 = 5x;

b)

1 x + 3 = 0; 2

v) x - 6 = p?

Treba da znae{: da razlikuva{ i da imenuva{ ravenki:

F spored brojot na nepoznatite; F spored stepenot na nepoznatite; da prepoznae{ linearna ravenka so edna nepoznata so parametar ili bez parametar.

Proveri se! Od koj vid e ravenkata 5x - xy = 2x - 3 spored:

F brojot na nepoznatite; F stepenot?

Zada~i 1. Odredi so kolku nepoznati e sekoja od ravenkite:

4. Odredi koja od slednive ravenki e linearna ravenka.

a) x + y + z = 2x + 8;

a) x + 2y = 7 + 2x;

b) 3x - 15 = 7 - 2x;

v) 3x - 1 = x + 5.

b) xy2 + y = 3 + 5x;

v) 10 xy - 12y = 10 + x.

2. Odredi od koj stepen e sekoja od ravenkite:

5. Odredi koja od slednive ravenki e linearna ravenka so edna nepoznata.

a) x + x = 5 - x;

a) 2x - 1 + y = 5x + 3;

b) 3xy - 5 = 2x + y;

b) x2 - 2x + 1 = 0;

v) x + 3 = 3x - 5.

v) 3x - 2 = 5 + x;

3

2

g) 3x - 7 + 2x = 11 - x.

3. Koi od slednive ravenki so promenlivi x ili y se so parametri: a) ax + 2y = 5 - x;

b) 3x2 + 1 = 2x;

v) ax + c = by + 3;

g) 5x - 7 = 2x - 5?

Linearni ravenki

61

3

RE[ENIE NA RAVENKA. EKVIVALENTNI RAVENKI

A 1.

Potseti se! Izraz so promenliva preminuva vo broen izraz ako promenlivata se zameni so nekoj broj. Pretstavi go vo broen izraz izrazot so promenliva x2 + 2x - 1 za x = 2. Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot a2 - 2a + 5, za a = -3.

Dadena e ravenkata 3x - 2 = 2x + 1, so definicionoto mno`estvo D = {-3, -2, 2, 3}.

Pretstavi ja ravenkata vo brojno ravenstvo za sekoj x ∈ D. Za koja vrednost na x ∈ D ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo?

Sporedi go tvoeto re{enie spored podatocite vo tabelata. Ravenka

3x - 2 = 2x + 1

x

Brojno ravenstvo

To~no - T Neto~no - N

-3

3 ⋅ (-3) - 2 = 2 ⋅ (-3) + 1

N

-2

3 ⋅ (-2) - 2 = 2 ⋅ (-2) + 1

N

2

3⋅2-2=2⋅2+1

N

3

3⋅3-2=2⋅3+1

T

Od tabelata mo`e{e da voo~i{ deka ravenkata 3x - 2 = 2x + 1 preminuva vo to~no brojno ravenstvo, odnosno levata i desnata strana imaa ednakvi brojni vrednosti samo za x = 3.

Zapomni! Sekoja vrednost na nepoznatata za koja ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo se vika re{enie ili koren na ravenkata.

2.

Najdi gi site re{enija na ravenkata 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7}.

3.

Odredi gi site re{enija na ravenkata x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3}. Vo zada~ite 2 i 3 mo`e{e da sogleda{ deka re{enie na ravenkata 12 - 2x = x - 3 e 5, a re{enija na ravenkata x2 + 6 = 5x se 2 i 3.

62

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Voo~i i zapomni! Da se re{i edna ravenka zna~i da se najdat site nejzini re{enija. Site re{enija na edna ravenka obrazuvaat mno`estvo koe se vika mno`estvo re{enija na taa ravenka. Mno`estvoto re{enija na edna ravenka naj~esto se ozna~uva so M. Na primer, mno`estvoto re{enija na ravenkata 12 - 2x = x - 3, x ∈ {3, 5, 7} M = {5}, a na ravenkata x2 + 6 = 5x, x ∈ {0, 1, 2, 3} e M = {2, 3}.

4.

e

Odredi go mno`estvoto re{enija na ravenkata, za x ∈ {0, 1, 2, 3}: a) 4x - 1 = x + 5;

B 5.

b) x2 + 3 = 4x.

Odredi go mno`estvoto re{enija na ravenkata 3(x - 2) = 3x - 6, ako D = {-2, -1, 0, 1, 2}.

Voo~i go od tabelata mno`estvoto re{enija na ravenkata 3(x - 2) = 3x - 6. x

-2

Brojno ravenstvo To~no - T Neto~no - N

-1

0

1

2

3(-2-2)=3⋅(-2)-6 3(-1- 2)=3⋅(-1)-6 3(0-2)=3⋅(0)-6 3(1-2)=3⋅1-6 3(2-2)=3⋅2-6 T

T

T

T

Sogleda deka za sekoj x ∈ D, ravenkata pominuva vo to~no brojno ravenstvo. Kako se vika ovaa ravenka?

T

Ovaa ravenka se vika identitet.

Op{to, identitet e ravenka za koja sekoj broj od definicionoto mno`estvo D e nejzino re{enie, t.e. M = D.

6.

Proveri dali ravenkata 2x - 2 = 2(x - 1), x ∈ {0, 1, 2, 3} e identitet.

7.

Dadena e ravenkata x + 5 = x - 4 i D = {-2, -1, 0, 1, 2}. Za koja vrednost na x ∈ D ovaa ravenka preminuva vo to~no brojno ravenstvo? [to zaklu~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so podatocite od tabelata. x

-2

-1

0

1

Brojno ravenstvo

-2 + 5 = -2 - 4

-1 + 5 = -1 - 4

0+5=0-4

To~no - T Neto~no - N

N

N

N

2

1+5=1-4 2+5=2-4 N

N

Linearni ravenki

63

Zna~i ne postoi broj x ∈ D koj{to e re{enie na ravenkata x + 5 = x - 4, t.e. M = ∅. Op{to, ravenka ~ie{to mno`estvo re{enija e praznoto mno`estvo e nevozmo`na, t.e. protivre~na ravenka.

8.

Koi od slednive ravenki so D = {1, 2, 3, 4} se nevozmo`ni: a) x + 3 = 7 + x;

9.

b) 2x + 1 = 7;

v) 3 + 2x = 2x - 5;

g) 3x - 1 = 2x + 1?

Proveri dali ravenkata x + 7 = 4 ima re{enie vo mno`estvoto a) N;

b) Q.

Ima li vo mno`estvoto N broj koj sobran so 7 dava zbir 4? Dali ima takov broj vo mno`estvoto Q?

Vo mno`estvoto N ne postoi broj koj sobran so 7 dava zbir 4, t.e. ravenkata x + 7 = 4 nema re{enie vo N. Vo mno`estvoto Q re{enie na ravenkata x + 7 = 4 e x = -3, bidej}i -3 + 7 = 4 e to~no ravenstvo.

Zapomni Postojat ravenki koi vo edno mno`estvo imaat re{enie, a vo drugo nemaat re{enie, t.e. se nevozmo`ni.

V 10.

Odredi go mno`estvoto re{enija na sekoja od ravenkite: 2x - 1 = x + 1, x2 + 2 = 3x i 4x - 3 = 2x + 1, ako definicionoto mno`estvo na sekoja od niv e D = {0, 1, 2, 3}.

Sporedi go tvoeto re{enie so podatocite vo tabelata. Voo~i koi vrednosti na x se re{enija na ravenkite. x Ravenka 2x - 1 = x + 1

0

1

2

3

2⋅0-1≠0+1

2⋅1-1≠1+1

2⋅2-1=2+1

2⋅3-1≠3+1

x2 - 2 = 3x

02 + 2 ≠ 3 ⋅ 0

12 + 2 = 3 ⋅ 1

22 + 2 = 3 ⋅ 2

32 + 2 ≠ 3 ⋅ 3

4x - 3 = 2x + 1 4 ⋅ 0 - 3 ≠ 2 ⋅ 0 + 1 4 ⋅ 1 - 3 ≠ 2 ⋅ 1 + 1 4 ⋅ 2 - 3 = 2 ⋅ 2 + 1 4 ⋅ 3 - 3 ≠ 2 ⋅ 3 + 1

Koi od dadenite ravenki imaat ednakvi mno`estva re{enija?

64

Mno`estvoto re{enija na ravenkata 2x - 1 = x + 1 e {2}, na ravenkata x2 + 2 = 3x e {1, 2} i na ravenkata 4x - 3 = 2x + 1 e {2}. Ravenkite: 2x - 1 = x + 1 i 4x - 3 = 2x + 1 imaat ednakvi mno`estva re{enija.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Dve ravenki so isto definiciono mno`estvo {to imaat ednakvi mno`estva re{enija se vikaat ekvivalentni ravenki.

11.

Odredi koi od ravenkite definirani vo mno`estvoto A = {0, 1, 2, 3} se ekvivalentni: a) 3x - 1 = x + 1;

b) x2 - 2 = x;

Treba da znae{:

v) (x - 1)(x - 2) = 0;

g) 4x - 2 = x + 1.

Proveri se!

da proveri{ dali daden broj e re{enie na dadena ravenka;

Dadeni se ravenkite: 2x + 1 = 3x - 1 i x + 5 = 3x + 1.

da definira{ koi ravenki se ekvivalentni.

Proveri dali nekoja od ovie ravenki e ekvivalentna so ravenkata 3x + 2 = 4x, vo mno`estvoto A = {1, 2, 3, 4}.

Zada~i 1. Odredi koe od slednive tvrdewa e to~no.

a) Brojot -2 e re{enie na ravenkata 3x - 1 = x + 2. b) Brojot 4 e re{enie na ravenkata 2y - 1 = y + 3.

4. Mno`estvoto re{enija na ravenkata

(x - 1)(x - 2) = 0, x ∈ {0, 1, 2, 3}, e {1, 2}. Koja od slednite ravenki: a) 3x - 2 = 2x - 1;

b) x2 + 1 = 3x - 1;

v) 2x + 1 = 3x - 1 e ekvivalentna so dadenata?

v) Brojot 0 e re{enie na ravenkata 2x - 3 = x - 3.

5. Odredi koja od slednive ravenki e 2. Za koja vrednost na parametarot a, brojot 3 e re{enie na ravenkata 2x - 1 = a?

nevozmo`na vo mno`estvoto Z. a) 2x + 7 = 3;

b) x + 5 = x - 2;

v) x - 4 = -x.

3. Odredi go mno`estvoto re{enija na sekoja od dadenite ravenki, ako definicionoto mno`estvo im e A = {2, 3, 4}. a) 4x - 1 = 3x + 1;

b) x + 3 = 2x;

6. Koja od slednive ravenki e nevozmo`na vo mno`estvoto N, a ima re{enie vo Z: a) x + 5 = 2; b) 2x - 1 = 3; v) 8 - x = 9?

v) 2x - 3 = x + 1.

Linearni ravenki

65

4

TEOREMI ZA EKVIVALENTNI RAVENKI - 1

Potseti se!

A 1.

Dve ravenki se ekvivalentni ako mno`estvata re{enija im se ednakvi. Proveri dali se ekvivalentni ravenkite, vo definicionoto mno`estvo D ∈ {1, 2, 3, 4}: 2x - 1 = x + 2 i x + 4 = 2x + 1.

Dadena e ravenkata 3x - 1 = x + 5, x ∈ {1, 2, 3, 4} = D, ~ie{to re{enie e brojot 3 i M = {3}. Na levata i na desnata strana na ravenkata dodaj: a) 4; b) -2; v) 2x. Proveri dali dobienite ravenki se ekvivalentni so dadenata.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Ravenka

Brojno ravenstvo za x = 3

3x - 1 = x + 5

F a) F b) F v)

3 ⋅ 3 - 1 = 3 + 5;

Re{enie na ravenkata

8=8

Brojot 3

3x - 1 + 4 = x + 5 + 4

3 ⋅ 3 - 1 + 4 = 3 + 5 + 4; 12 = 12

Brojot 3

3x - 1 - 2 = x + 5 - 2

3 ⋅ 3 - 1 - 2 = 3 + 5 - 2; 6 = 6

Brojot 3

3x - 1 + 2x = x + 5 + 2x

3 ⋅ 3 - 1 + 2 ⋅ 3 = 3 + 5 + 2 ⋅ 3; 14 = 14

Brojot 3

F

Proveri deka ravenkite a), b) i v) nemaat drugo re{enie vo mno`estvoto D, osven brojot 3.

F

Od tabelata voo~i deka so dodavawe ist broj (4 ili -2) ili izraz so promenlivata (2x) na dvete strani na ravenkata 3x - 1 = x + 5 se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata.

Toa va`i op{to za ravenkite. Mo`e da se iska`e so slednata teorema za dodavawe ist broj ili izraz na dvete strani od ravenkata.

Teorema 1

F

Ako kon levata i desnata strana na ravenkata A(x) = B(x) se dodade ist broj c ∈ R ili izraz C(x) so promenliva x, koj{to e opredelen za sekoj x od definicionoto mno`estvo na ravenkata, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. Zapi{uvame:

A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Znakot ⇔ go ~itame "e ekvivalentna so#.

66

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Ne e zadol`itelno... Razgledaj go dokazot na teoremata. Dadena e ravenkata A(x) = B(x) so definiciono mno`estvo D i izrazot C(x) opredelen za sekoj x ∈ D. Treba da se doka`e: A(x) = B(x) ⇔ A(x) + C(x) = B(x) + C(x). Za da ja doka`e{ teoremata treba da poka`e{ deka A(x) = B(x) i A(x) + C(x) = B(x) + C(x) imaat ednakvi mno`estva re{enija, t.e. a) sekoe re{enie na A(x) = B(x) e re{enie na A(x) + C(x) = B(x) + C(x) i b) sekoe re{enie na A(x) + C(x) = B(x) + C(x) e re{enie na A(x) = B(x).

F

a) Neka xo ∈ D e re{enie na ravenkata A(x) = B(x), t.e. A(xo) = B(xo) e to~no brojno ravenstvo. Bidej}i C(xo) e realen broj sleduva deka ravenstvoto A(xo) + C(xo) = B(xo) + C(xo) e to~no brojno ravenstvo. (Zo{to?) Spored toa, xo e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x), t.e. sekoe re{enie na ravenkata A(x) = B(x) e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x).

F

b) Neka x1 ∈ D e re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x), t.e. A(x1) + C(x1) = B(x1) + C(x1) e to~no brojno ravenstvo. Ako na dvete strani od ova ravenstvo dodademe sprotiven broj na C(x1), }e dobieme to~no brojno ravenstvo A(x1) = B(x1). Spored toa, x1 e re{enie na ravenkata A(x) = B(x), t.e. sekoe re{enie na ravenkata A(x) + C(x) = B(x) + C(x) e re{enie na ravenkata A(x) = B(x).

2.

Spored T1 proveri koi od slednive ravenki se ekvivalentni: a) 3x + 1 = 5x - 3 i 3x + 1 + 7 = 5x - 3 + 7; b) 5y - 2 = 3y + 4 i 5y - 2 - 5 = 3y + 4 + 5; v) 4x - 1 = 3x - 2 i 4x + 5x - 1 = 3x + 5x - 2.

B 3.

So primena na teoremata 1 mo`e{ da vr{i{ ekvivalentni transformacii na ravenkite. Edna ravenka mo`e{ da ja transformira{ vo poednostavna ravenka, ekvivalentna na nea. Dadena e ravenkata 3x - 5 = 2x + 1. Dodaj go izrazot 5 - 2x na dvete strani od ravenkata. Dovedi gi vo normalen vid izrazite na dvete strani od ravenkata. Voo~i {to se slu~ilo so 2x i -5 vo dobienata ravenka. Na {to e ednakov zbirot na sprotivni broevi, odnosno na sprotivni monomi?

Zbirot na sprotivni broevi, a isto taka, i na sprotivni monomi e nula.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 3x - 5 = 2x + 1 ⇔ 3x - 5 + 5 - 2x = 2x + 1 + 5 - 2x ⇔ 3x - 2x = 1 + 5 ⇔ x = 6.

Linearni ravenki

67

Sogleda deka so transformacii spored T1, od dadenata ravenka 3x - 5 = 2x + 1 dobi ravenka x = 6, ekvivalentna na nea. Od ravenkata x = 6 mo`e da se pro~ita re{enieto, t.e. brojot 6 e re{enie na dadenata ravenka. Ravenkata x = a (a ∈ R), od koja{to mo`e da se pro~ita re{enieto, se vika ravenka vo re{ena forma. Voo~uva{ deka vo ravenkata 3x - 2x = 1 + 5 monomot 2x e prenesen od desnata na levata strana na ravenkata, no so sprotiven znak (-2x), a brojot -5 od levata strana e prenesen na desnata strana na ravenkata, no so sprotiven znak (+5). Toa {to go sogleda za ekvivalentnite ravenki 3x - 5 = 2x + 1 i 3x - 2x = 1 + 5 op{to za ravenkite i e poznato kako posledica 1 od T1. Taa glasi:

F

P1

va`i

Sekoj ~len na ravenkata mo`e da se prenese od edna strana na ravenkata na druga, no so sprotiven znak.

4.

Vo ravenkata 4x - 1 + x = 7 + 3x - 2 ~lenovite {to ja sodr`at nepoznatata prenesi gi na levata strana na ravenkata, a onie {to ne ja sodr`at - na desnata strana od ravenkata.

5.

Koi od ravenkite se ekvivalentni: a) x + 3 = 2x - 1 i x - 2x = -1 - 3;

b) 2x + 5 = 4x + 1 i 2x - 4x = 1 - 5;

v) 3x + 1 = 2x + 3 i 3x + 2x = 3 + 1?

6.

Re{i ja ravenkata

4x - 8 = 3x - 10, a potoa proveri go re{enieto.

Kako }e postapi{ vo po~etokot pri re{avaweto na ravenkata?

Prvo }e ja primenam posledicata 1 od teorema 1.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 4x - 8 = 3x - 10 ⇔ 4x - 3x = -10 + 8 ⇔ x = -2; M = {-2}. Proverka: 4 ⋅ (-2) - 8 = 3 ⋅ (-2) - 10; -8 - 8 = -6 - 10; -16 = -16.

7.

Re{i ja ravenkata: a) 5x - 7 = 4x + 2;

V 8.

b) 3x - 4 = 2 + 2x;

Dadena e ravenkata

v)

1 1 x - 1 = 2 - x. 2 2

4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5.

Voo~i dali ima ednakvi ~lenovi na levata i desnata strani na ravenkata. Izostavi gi ednakvite ~lenovi od dvete strani na ravenkata i proveri dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

68

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Dadenata ravenka 4x - 1 + 2x - 2 = 2x - 1 + 3x - 5 ⇔ 4x + 2x - 2x - 3x = 1 - 1 + 2 - 5 ⇔ 4x - 3x = 2 - 5 ⇔ x = -3 M = {-3}

Dobienata ravenka 4x - 2 = 3x - 5 ⇔ 4x - 3x = 2 - 5 ⇔ x = -3 M = {-3}

Voo~uva{ deka ako od ravenkata gi izostavi{ ednakvite ~lenovi (2x, odnosno -1), {to se nao|aat na sprotivni strani na ravenkata, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata. Toa {to go sogleda va`i op{to za ravenkite i e poznato kako posledica 2 na teoremata 1. Taa glasi:

F P2

9.

Ako na dvete strani na ravenkata ima ednakvi ~lenovi, toga{ tie mo`e da se izostavat (da se poni{tat).

Vo ravenkata 3x - 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x izostavi gi ~lenovite za koi toa e mo`no, za da dobie{ ravenka ekvivalentna so dadenata, a potoa re{i ja dobienata ravenka.

Treba da znae{: da ja iska`e{ teoremata 1 za ekvivalentni ravenki; da ja iska`e{ i da ja primeni{ vo zada~i posledicata 1 od teoremata 1; da ja iska`e{ i da ja primeni{ posledicata 2 od teoremata 1.

Zada~i 1. Dadena e ravenkata 2x - 3 = x + 1. Dodaj 3x na dvete strani na ravenkata.

Proveri dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata.

2. Objasni ja ekvivalencijata:

7x - 3 = 5x + 1 ⇔ 7x - 3 + 2x = 5x + 1 + 2x.

3. Vo ravenkata 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5

izostavi gi ~lenovite za koi toa e mo`no, za da dobie{ ravenka ekvivalentna so dadenata.

4. So ekvivalentni transformacii poka`i deka: 3x - 2 + x = 5 + 2x - 3 ⇔ 2x = 4.

Proveri se! Vo ravenkata 7x - 3 + 5x = 5 + 2x - 3 grupiraj gi ~lenovite {to sodr`at nepoznata na levata strana, a ostanatite ~lenovi na desnata strana od ravenkata. Poka`i so ekvivalentni transformacii deka: 3x - 2 + x = 4 + x - 2 + x ⇔ 2x = 4.

5. Odredi go m, taka {to da bide to~na ekvivalencijata: 3x - 1 = 2x - 3 ⇔ 3x - 1 + 5x = 2x - 3 + m.

6. Utvrdi dali se ekvivalentni slednive dve ravenki:

a) 2x - 1 = x + 3 i 2x - 1 + 5 = x + 3 + 5; b) 4x - 1 = 2x + 5 i 4x - 2x = 5 + 1; v) 3x - 2 = 2x + 1 i 3x + 2x = 1 - 2. Obrazlo`i go odgovorot.

7. Re{i ja ravenkata: a) 3 - 7x = 2 - 8x; b)

1 3 x + 1 + 2x = 5 + 2x - x. 4 4

Linearni ravenki

69

5

TEOREMI ZA EKVIVALENTNI RAVENKI - 2

A 1.

Potseti se!

Re{i ja dadenata ravenka. Pomno`i gi dvete strani na dadenata ravenka so: a) 2; b) -4.

Vo daden proizvod, nepoznatiot mno`itel se odreduva, ako proizvodot se podeli so poznatiot mno`itel. Re{i gi ravenkite:

1 x = 3; 2 Odredi go NZS(4, 5, 10). a) 2x = 4;

b)

v)

Dadena e ravenkata 2x - 3 = x - 1.

Proveri dali dobienite ravenki se ekvivalentni so dadenata.

3 x = 3x. 4

Kako }e proveri{ dali dadenata ravenka e ekvivalentna so dobienata?

Presmetaj:

3 2 7 + + ; 4 5 10

1 1 1 + + . 2 3 6

]e gi re{am ravenkite so pomo{ na posledicata 1 od teoremata T1, a potoa }e gi sporedam nivnite mno`estva re{enija.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto

2x - 3 = x - 1 ⇔ 2x - x = - 1 + 3 ⇔ x=2 M = {2}

Dobiena ravenka b)

Dobiena ravenka a)

Dadenata ravenka

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (2) ⇔ 2x ⋅ 2 - 3 ⋅ 2 = x ⋅ 2 - 1 ⋅ 2 ⇔ 4x - 2x = -2 + 6 ⇔ 2x = 4

4 ⇔ x=2 2 M = {2}

⇔ x=

2x - 3 = x - 1 / ⋅ (-4) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2x ⋅ (-4) - 3 ⋅ (-4) = x ⋅ (-4) - 1 ⋅ (-4) -8x + 12 = -4x + 4 12 - 4 = -4x + 8x 8 = 4x

8 ⇔ x=2 4 M = {2}

⇔ x=

Voo~i deka dadenata ravenka i dobienite imaat isto mno`estvo re{enija. Kakvi transformacii izvr{i vo ravenkata 2x - 3 = x - 1 i kakvi ravenki dobi?

Dvete strani na ravenkata gi pomno`iv so 2, odnosno so -4 i dobiv ravenki ekvivalentni so dadenata.

Toa va`i op{to za ravenkite. Mo`eme da iska`eme teorema za mno`ewe, odnosno delewe ravenki so nenulti broj.

70

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Teorema 2

F

Ako dvete strani na ravenkata A(x) = B(x) se pomno`at ili se podelat so eden ist broj a ≠ 0, se dobiva ravenka ekvivalentna so dadenata.

F 2.

3.

A(x) = B(x) ⇔ A(x) ⋅ a = B(x) ⋅ a.

Utvrdi so pomo{ na T2 dali se ekvivalentni slednive ravenki: a) 5x + 3 = 2x + 9 i 10x + 6 = 4x + 18;

v) 2x - 3 = x - 1 i 2x - 3 = 5x - 5;

b) 8x - 12 = 4 + 4x i 2x - 3 = 1 + x;

g) 3x - 1 = 2x + 1 i -6x + 2 = -4x - 2.

Re{i gi ravenkite: a) 3 - 12x = -3x - 15;

b) -8x + 4 = 12 - 4x.

Voo~i ja postapkata a).

F F

3 - 12x = -3x - 15 ⇔ -12x + 3x = -15 - 3 ⇔ -9x = -18 / :(-9) ⇔

B 4.

x = 2;

M = {2}.

Spored P1 od T1. Spored T2.

Dadena e ravenkata 5x - 2 = 3x + 4.

Re{i ja ravenkata. Pomno`i gi dvete strani na ravenkata so -1. Zo{to dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata? Poka`i deka dobienata ravenka e ekvivalentna so ravenkata x = 3. Voo~i gi dadenata i dobienata ravenka. 5x - 2 = 3x + 4 5x - 2 = 3x + 4 / ⋅(-1) ⇔ 5x ⋅ (-1) - 2 ⋅ (-1) = 3x ⋅ (-1) + 4 ⋅ (-1) ⇔ -5x + 2 = -3x - 4

Dvete strani na ravenkata 5x - 2 = 3x + 4 gi pomno`i so -1. [to zabele`uva{ kaj dobienata ravenka -5x + 2 = -3x - 4?

F

Dadenata ravenka

F F

Spored T2. Dobienata ravenka

Dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata, spored T2. ^lenovite na dadenata i dobienata ravenka se so sprotivni znaci.

Linearni ravenki

71

Toa va`i op{to za ravenkite. Mo`eme da ja iska`eme slednava posledica od T2.

F P1

5.

Ako site ~lenovi na ravenkata se pomno`at so -1, toga{ se dobiva ravenka ekvivalentna na dadenata, t.e. ako site ~lenovi na ravenkata se zamenat so nivnite sprotivni, se dobiva ravenka ekvivalentna na dadenata.

Re{i gi ravenkite: a) 2x - 1 = 3x - 5;

b) 4x + 2 = 5x - 1;

Sporedi go tvoeto re{enie a). 2x - 1 = 3x - 5 ⇔ 2x - 3x = -5 + 1 ⇔ -x = -4 / ⋅ ( - 1) ⇔

6.

Ravenkata

x = 4;

M = {4}.

x 1 3 x 1 x 9 transformiraj ja vo ravenka bez imeniteli.

2 4 3

Kolku e NZS(2, 4, 3)? Kako }e se oslobodi{ od imenitelite vo ravenkata?

NZS(2, 4, 3) = 12. Dvete strani na ravenkata }e gi pomno`am so 12 i }e dobijam ravenka bez imeniteli.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

x 1 3 x 1 x 9

2 4 3 ⇔ 12 ¸

x 1 3x 1 x 9

12 ¸ 12 ¸ 2 4 3

⇔ 6(x - 1) + 3(3x + 1) = 4(x - 9) ⇔ 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36

E

NZS (2, 3, 4) = 2 â‹… 2 â‹… 3 = 12.

E E E

Dvete strani na ravenkata se pomno`eni so NZS (2, 3, 4), t.e. so 12. Skratuvawe na imenitelite so 12. Osloboduvawe od zagradite.

Poka`i deka ravenkata 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36 e ekvivalentna so ravenkata x = -3.

x 1 3 x 1 x 9

so naj2 4 3 maliot zaedni~ki sodr`atel na imenitelite se dobiva ravenka bez imeniteli 6x - 6 + 9x + 3 = 4x - 36, ekvivalentna na dadenata. Voo~uva{ deka so mno`eweto na ~lenovite na ravenkata

x 1 3 x 1 x 9

va`i op{to za ravenkite. Mo`eme da 2 4 3 ja iska`eme slednava posledica od teoremata 2. Toa {to go voo~i za ravenkata

F P2

Ako nekoi ~lenovi na ravenkata imaat imeniteli, toga{ od imenitelite mo`eme da se oslobodime so mno`ewe na dvete strani od ravenkata so nivniot najmal zaedni~ki sodr`atel.

72

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

7.

Oslobodi se od imenitelite vo ravenkata

2x 1 x 1 , a potoa re{i ja. 5 4

Treba da znae{: da ja iska`e{ teoremata 2 za ekvivalentni ravenki;

Proveri se! Re{i ja ravenkata: a) 5x - 3 = 3x - 1; b) 6x - 1 = 7x.

da gi iska`e{ posledicite od teoremata 2;

Oslobodi se od imenitelite vo raven-

da gi primeni{ posledicite od teoremata 2 vo re{avawe zada~i.

kata

3 x 1 x 2 x 2 i poka`i deka 4 3 6 taa e ekvivalentna na ravenkata x = 5.

Zada~i 1. Vo ravenkata 3 - x = 7 - 3x dvete strani pomno`i gi so -2.

Poka`i, spored re{enijata, deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata.

2. Vo ravenkata 12x - 9 + 3x = 9x + 3 dvete

strani podeli gi so 3 i poka`i deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata. (Sporedi gi nivnite re{enija.)

3. Dali se ekvivalentni dadenite dve

5. Oslobodi se od imenitelite vo ravenkite i re{i gi. a)

x 1 x 2 x 3

; 2 5 10

b)

2x 3 x 3 x 3 . 3 6 2

6. So koristewe na teoremite za ekvivalentni ravenki i posledicite od niv, poka`i deka:

x 1 x 1 2 x

” x 3 . 2 4 3

ravenki? Obrazlo`i go tvojot odgovor. a) 3x - 1 = x + 3 i 6x + 2 = 2x + 6; b) -2x + 3 = -3x + 5 i 2x - 3 = 3x - 5;

v) 4x - 1 = 3x + 2 i 4x + 1 = 3x + 2.

4. Vo ravenkata 2x - 3 = 3x - 5 zameni gi

site ~lenovi so nivnite sprotivni i proveri spored re{enijata deka dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata.

Obidi se ... [i{e so tapa ~ini 11 denari, a samo {i{eto (bez tapa) e 10 denari poskapo od tapata. Kolku ~ini {i{eto, a kolku tapata?

Linearni ravenki

73

6

OP[T VID NA LINEARNA RAVENKA SO EDNA NEPOZNATA

A 1.

Potseti se! Vo izrazot ax + b so promenliva x, a i b se koeficienti.

Site ~lenovi na ravenkata prenesi gi na desnata strana i potoa izvr{i gi operaciite. Dali dobienata ravenka e ekvivalentna so dadenata? Zo{to?

Odredi gi koeficientite vo izrazot so

1 . 2 Spored P1 od T1 za ekvivalentni ravenki, sekoj ~len od ravenkata mo`e da se prenese od edna na druga strana na ravenkata, no so sprotiven znak. promenliva x: a) 2x - 5;

b) ax

Dali se ekvivalentni ravenkite:

Dadena e ravenkata 4x - 5 = 2x - 1.

Koja posledica od teoremite za ekvivalentni ravenki mo`e{ da ja primeni{ pri re{avaweto na ovaa zada~a? Spored posledicata 1 od teoremata 1 za ekvivalentni ravenki, ~lenovite od levata strana na ravenkata }e gi prenesam na desnata, no so sprotivniot znak.

a) 4x - 3 = 2x + 1 i 4x - 2x = 1 + 3; b) 4x - 3 = 2x + 1 i 4x + 2x = 1 - 3? Obrazlo`i go odgovorot.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 4x - 5 = 2x - 1 ⇔ 4x - 5 - 2x + 1 = 0 ⇔ 2x - 4 = 0. Ravenkata 2x - 4 = 0 e ekvivalentna so ravenkata 4x - 5 = 2x - 1. Za ravenkata

2x - 4 = 0

se veli deka e normalen vid na ravenkata 4x - 5 = 2x - 1.

Zapomni! Ravenkata ax + b = 0 se vika op{t ili normalen vid na linearna ravenka so edna nepoznata, kade {to x e nepoznata, a e koeficient pred nepoznatata i b sloboden ~len.

2.

Zapi{i ja vo normalen vid ravenkata 2x - 3 = x - 1.

Potseti se! Koj od slednive izrazi nema vrednost:

B 3.

Dadena e ravenkata ax + b = 0, so nepoznata x i koeficienti a i b, pri {to a ≠0. Odredi go re{enieto na taa ravenka. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto

7 3 5 ¸ 2 10 ; b) ? 5 ¸ 2 10 7 3 Obrazlo`i go odgovorot.

a)

Za koja vrednost na a izrazot nema vrednost? Odredi go re{enieto na ravenkata 2x - 6 = 0.

74

5 a 3

F

b b , t.e. a a e re{enie na ravenkata ax + b = 0, za a ≠0. ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Koli~nikot

b , za a ≠0, e sekoga{ ednozna~no opredelen, pa spored toa ravenkata a

ax + b = 0 ima samo edno re{enie

4.

b , a

t.e.

M = {

b }. a

Odredi go re{enieto na sekoja od slednive ravenki: a) 3x - 6 = 0;

5.

x=

b) x + 3 = 0;

v) 3x + 1 = 0.

Vo ravenkata ax + b = 0, neka a = 0 i b = 4 (b ≠0). Odredi go re{enieto na taa ravenka. Sogledaj so koj broj treba da ja deli{ ravenkata.

Bidej}i a = 0 i b = 4, ravenkata dobiva vid 0 â‹… x + 4 = 0, od kade {to 0 â‹… x = -4. So nula ne se deli. Izrazot

4 nema vrednost i ravenkata 0

nema re{enie.

Voo~i Vo slu~aj koga vo ravenkata ax + b = 0, e dadeno a = 0 i b ≠0, ravenkata nema re{enie, odnosno M = ∅. Za takva ravenka se veli deka e nevozmo`na ili protivre~na.

6.

Koja od slednive ravenki e protivre~na:

7.

Neka vo ravenkata ax + b = 0, a = 0 i b = 0.

a) 3x + 1 = 0;

b) 0 â‹… x - 2 = 0;

v) 3x = 0?

Zapi{i ja taa ravenka. Transformiraj ja dobienata ravenka vo oblik ax = -b. Proveri dali -2; 5;

1 ; x = 3,5 se re{enija na transformiranata ravenka 0 â‹… x = 0. 2

1 i 3,5 se re{enija na ravenkata 0 â‹… x = 0. 2 Odredi drugo re{enie na ovaa ravenka. Voo~i deka -2; 5;

Na {to e ednakov proizvodot od nula i koj bilo realen broj? Zo{to sekoj realen broj e re{enie na ravenkata 0 â‹… x = 0?

Voo~i deka Ravenkata ax + b = 0, za a = 0 i b = 0 ima beskone~no mnogu re{enija, i M = R.

Linearni ravenki

75

Zapomni! Linearnata ravenka ax + b = 0:

b b i M = { }. a a M=∅.

F

a) za a ≠0 ima edinstveno re{enie x =

F F

b) za a = 0 i b ≠0

8.

nema re{enie, t.e.

v) za a = 0 i b = 0 ima beskone~no mnogu re{enija, pri {to M = R. Zapi{i vrednosti za a i b taka {to ravenkata ax + b = 0 da: a) ima samo edno re{enie;

V 9.

b) nema re{enie;

v) ima beskone~no mnogu re{enija.

Re{i ja ravenkata 5x - 7 + x = 1 + 2x. Kako }e postapi{ pri re{avaweto na dadenata ravenka?

Prvo }e gi prenesam site ~lenovi {to ja sodr`at nepoznatata na levata strana na ravenkata, a onie {to ne ja sodr`at - na desnata strana. Potoa ravenkata }e ja dovedam vo vid ax = -b i }e go odredam re{enieto.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. 5x - 7 + x = 1 + 2x ⇔

5x + x - 2x = 1 + 7 ⇔ 4x = 8

E Primena na P od T . E Sveduvawe na izrazite od dvete strani na ravenkata. E Primena na T ; dvete strani na ravenkata se podeleni so 4. 1

1

8 2 4 ⇔ x=2 Zna~i, re{enie na ravenkata 5x - 7 + x = 1 + 2x e 2, t.e. M = {2}. ⇔ x=

10.

Re{i ja ravenkata 5x - 1 - x = x + 4 - 2x.

11.

Re{i ja ravenkata 3(x - 1) + x = 2x - 2 - (x - 5).

F Oslobodi se od zagradite. F Postapi kako vo zada~ata 9. 12.

76

Re{i ja ravenkata

2 x 3 3 x 4 1 14 x . 5 3 15

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Kako }e ja dovede{ dadenata ravenka vo ravenka bez imenitel, ekvivalentna na nea?

Dvete strani na ravenkata }e gi pomno`am so NZS(5, 3, 15) = 15, a potoa }e prodol`am kako vo prethodnite zada~i!

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

2 x 3 3 x 4 1 14 x /¸ 15 5 3 15 ⇔ 3(2x - 3) - 5(3x - 4) = 1 - 14x ⇔

6x - 9 - 15x + 20 = 1 - 14x

⇔

6x - 15x + 14x = 1 + 9 - 20 ⇔

5x = -10

⇔

x=-

⇔

10 5

E Spored P od T . E Izvr{eno osloboduvawe od zagradi. E Spored P od T . E Sveduvawe na dvete strani na ravenkata. 2

2

1

1

E Spored T . 2

x = -2.

Zna~i, re{enie na dadenata ravenka e -2, t.e. M={-2}.

Treba da znae{:

Proveri se!

da dovede{ linearna ravenka vo op{t (normalen) vid; da re{ava{ linearni ravenki so edna nepoznata; da odredi{ re{enie na ravenkata ax + b = 0 za: a) a ≠0; b) a = 0, b ≠0; v) a = 0, b = 0.

Dovedi ja vo normalen vid ravenkata 3x + 1 = 2x - 2 - x. Re{i ja ravenkata

3 x 1 x x 6 4 3 6

Zada~i 1. Dovedi gi vo normalen vid slednive ravenki:

a) 3x - 5 + 2x = 7 + x - 4;

a) 3x + 1 = x + 5;

b) 3x - 5 = x + 1.

2. Koja od slednive ravenki e nevozmo`na: a) 3x = 0;

3. Re{i gi ravenkite:

b) 5x = -1;

v) 0 â‹… x = 4?

b) 1,4x + 2,8 = 0,7x + 4,2; v)

1 1 1 1 1 x x x. 2 4 4 2 4

4. Za koja vrednost na promenlivata x iz-

razite: 2x - 8 i 1 - x imaat ista brojna vrednost?

Linearni ravenki

77

5. Re{i gi ravenkite:

Trik so domino...

a) 5(x + 3) = 2(x + 3); b) 2(x + 1) - 3(x - 1) = 4(x + 1) + 1; v) 5(x - 1) - 2(x + 1) = 3(x - 2) - (x - 5).

6. Re{i gi ravenkite: a)

4 x x 4 x 1 ;

6 2 3

b)

x 3 x 1 x 5 x 4 . 4 6 2 3

7. Re{i gi ravenkite: a) (x - 1)2 - 2 = x(x - 3) + 2; b) (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2; v) (x - 2)(x + 2) + 2x = x2 + 2.

8. Za koja vrednost na parametarot a

ravenkata 8x - 3a - 5 = 2a + 5x - 16 ima re{enie x = 3?

Pokani go tvojot drugar da izbere (ili da nacrta) edno domino, a ti da ne znae{ koe e. Potoa, zadavaj mu po red da gi izvr{i slednive operacii: Edniot od broevite pomno`i go so 2. Dodaj 6. Pomno`i go so 5. Dodaj go drugiot broj od dominoto. Odzemi 30. Ka`i go brojot {to go dobi. Ti poga|a{: cifrite na dobieniot rezultat se broevite na izbranoto domino! Objasni go trikot matemati~ki.

7

PRIMENA NA LINEARNITE RAVENKI SO EDNA NEPOZNATA Potseti se!

Vo izu~uvaweto na matematikata ~esto se sretnuva{ so zada~i vo koi zavisnostite me|u veli~inite se opi{ani so zborovi, na "govoren” jazik. “Preveduvaweto” na tie zavisnosti na matemati~ki jazik mnogu ~esto se vr{i preku ravenka. Sogledaj go toa vo slednata zada~a: Majkata i sinot imaat zaedno 32 godini. Majkata e za 20 godini postara od sinot. Kolku godini ima majkata, a kolku sinot?

78

A 1.

Majkata sega e tripati postara od }erkata. Po 10 godini majkata }e bide dvapati postara od }erkata. Kolku godini sega ima majkata, a kolku }erkata? Voo~i koi veli~ini i odnosi me|u niv se poznati, a koi nepoznati. Poznato e deka majkata e sega tripati postara od }erkata, a po 10 godini majkata }e bide dvapati postara od }erkata. Ne e poznato kolku godini ima }erkata, a kolku majkata.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Ako brojot na godinite na }erkata go ozna~i{ so x, toga{ kako }e go ozna~i{ brojot na godinite na majkata? Kolku godini }e ima sekoja od niv po 10 godini?

Ako brojot na godinite na }erkata e x, toga{ majkata sega ima 3x godini. Po 10 godini }erkata }e ima (x + 10) godini, a majkata (3x + 10) godini.

Sogledaj vo tabelata koi se zavisnostite pome|u veli~inite i kako e sostavena ravenkata. kolku godini kolku godini ima sega }e ima po 10 g. }erkata x x + 10 majkata

3x

3x + 10

ravenka 3x + 10 = 2(x + 10)

Re{i ja ravenkata 3x + 10 = 2(x + 10). Kolku godini ima }erkata? Kolku godini ima majkata? Re{enieto na ravenkata e 10.

2.

Majkata sega ima 36 godini, a nejzinata }erka 10 godini. Po kolku godini majkata }e bide tripati postara od }erkata?

B 3.

1.

2.

Zada~i so tekst uspe{no se re{avaat ako se raboti spored odreden plan. Sogledaj go toa na slednava zada~a. Na kontrolna pismena rabota nastavnikot im zadal na u~enicite 15 zada~i. Za sekoja to~no re{ena zada~a u~enikot dobival po 5 poeni, a za pogre{no re{ena ili nere{avana zada~a u~enikot gubel po 2 poeni. Kolku zada~i re{il to~no u~enik koj na krajot imal 54 poeni?

F F

Razbirawe na zada~ata [to e poznato vo zada~ata, a {to e nepoznato?

Poznato e deka u~enikot re{aval 15 zada~i; za sekoja to~no re{ena zada~a toj dobival po 5 poeni, a za nere{ena gubel 2 poeni. Na krajot u~enikot osvoil 54 poeni. Ne e poznato kolku zada~i u~enikot re{il to~no.

Ozna~uvawe na nepoznatite veli~ini Ozna~i go brojot na to~no re{enite zada~i so x. Kako }e go ozna~i{ brojot na nere{enite zada~i?

Ako brojot na to~no re{enite zada~i e x, toga{ brojot na nere{enite zada~i e 15 - x.

Linearni ravenki

79

F

3.

F

4.

Voo~uvawe na vrskite pome|u veli~inite U~enikot dobil 5x poeni (x zada~i po 5 poeni), a izgubil 2(15 - x) poeni (15 - x zada~i po 2 poeni) i osvoil vkupno 54 poeni.

Kolku dobil u~enikot, a kolku izgubil?

Sostavuvawe na ravenkata Od vrskata pome|u veli~inite sleduva ravenkata 5x - 2(15 - x) = 54.

Koja ravenka od voo~enite vrski pome|u veli~inite se dobiva?

Voo~i gi prethodnite postapki vo tabelata. Zada~i

F

5.

Broj na Broj na poeni zada~i po zada~i

Vkupno

15

To~no re{eni

x

5x

Neto~no re{eni

15 - x

2(15 - x)

Ravenka

5x - 2(15 - x) = 54

Re{avawe na ravenkata

Voo~i go re{avaweto na ravenkata: 5x - 2(15 - x) = 54.

5x - 2(15 - x) = 54 ⇔ 5x - 30 + 2x = 54 ⇔ 5x + 2x = 54 + 30 ⇔ 7x = 84 ⇔ x =

84 , t.e. 7

x = 12.

F

6.

Odgovor na postavenoto pra{awe i proverka [to poka`uva re{enieto na ravenkata?

Napravi proverka na re{enieto.

Ako x = 12, toa zna~i deka u~enikot to~no re{il 12 zada~i, a ne re{il 15 - 12 = 3 zada~i.

12 zada~i po 5 poeni e 60 poeni. 3 zada~i po 2 poeni e 6 poeni. 60 - 6 = 54 poeni. Zna~i, re{enieto na zada~ata e to~no.

4.

Vo edna prodavnica za vozila ima 22 avtomobili i motocikli. Tie vkupno imaat 74 trkala. Kolku od vozilata se avtomobili, a kolku motocikli?

5.

Vo ramnokrak triagolnik krakot e za 2 cm podolg od osnovata, a negoviot perimetar e 25 cm. Opredeli gi osnovata i krakot na toj triagolnik.

80

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Voo~i go kratkiot zapis na planot za re{avawe na ovaa zada~a. 1. Krakot b e za 2 cm podolg od osnovata a, a perimetarot e 25 cm. 2. Ako osnovata a = x, toga{ b = x + 2. 3. a + 2b = L. 4. x + 2(x + 2) = 25. 5. x + 2(x + 2) = 25 ⇔ x + 2x + 4 = 25 ⇔ x + 2x = 25 - 4 ⇔ 3x = 21 ⇔ x =

21 ⇔ x = 7. 3

Zna~i, osnovata a = 7 cm, a krakot b = 7 + 2 = 9 cm. 6. Proverka: L = a + 2b; L = 7 + 2 ⋅ 9; L = 25 cm. Sogledaj ja zavisnosta pome|u veli~inite vo ovaa zada~a vo tabelava.

Veli~ini

Oznaka na veli~inite

Osnova

a=x

Krak

b = a + 2; b = x + 2;

Ravenka x + 2(x + 2) = 25

Perimetar L = 25 cm; L = 2a + b; L = x + 2(x + 2)

6.

Dol`inata a na eden pravoagolnik e za 3 cm pogolema od negovata {irina b, a perimetarot mu iznesuva 34 cm. Opredeli gi dol`inata i {irinata na toj pravoagolnik.

7.

Od mestoto A kon mestoto B trgnuvaat istovremeno dvajca velosipedisti. Prviot se dvi`el so brzina 16 km/h, a vtoriot so brzina 12 km/h. Opredeli go rastojanieto me|u mestata A i B, ako prviot velosipedist stignal 1 ~as porano od vtoriot. Voo~i ja zavisnosta pome|u veli~inite vo ovaa zada~a vo tabelava. Brzina

Vreme

Pat

Prviot velosipedist

16 km/~as

x ~asa

AB = 16 ⋅ x

Vtoriot velosipedist

12 km/~as

x + 1~asa

AB = 12 ⋅ (x + 1)

Ravenka 16x = 12(x + 1)

Re{i ja ravenkata i odredi go rastojanieto me|u mestata A i B. Napravi proverka na re{enieto na zada~ata.

Treba da znae{: da gi primeni{ ravenkite pri re{avawe tekstualni zada~i; da izvr{i{ proverka na dobienoto re{enie.

Proveri se! Vo eden triagolnik edna od stranite e za 2 cm pogolema od drugata, a za 1 cm pomala od tretata. Odredi gi stranite na triagolnikot, ako negoviot perimetar e 43 cm.

Linearni ravenki

81

Zada~i 1. Ako kon nekoj broj se dodade 12 i

dobieniot zbir se pomno`i so 5, se dobiva 200. Koj e toj broj?

8. Eden rabotnik sam mo`e da zavr{i

edna rabota za 6 ~asa, a drug za 12 ~asa. Za kolku ~asa dvajcata }e ja zavr{at istata rabota?

2. Zbirot na dva broja e 180. Prviot e za

36 pomal od vtoriot. Koi se tie broevi?

3. Razlikata na dva broja e 46. Koga po-

golemiot broj }e se podeli so pomaliot se dobiva koli~nik 4 i ostatok 7. Koi se tie broevi?

9. Eden bazen se polni od dve cevki. Od

prvata cevka bazenot se polni za 4 ~asa, a od vtorata za 6 ~asa. Za kolku ~asa }e se napolni prazniot bazen, ako vo nego istovremeno se otvorat dvete cevki?

10. Dve cevki mo`at zaedno da napolnat 4. Vo ramnokrak triagolnik osnovata e za

2 cm pomala od krakot. Odredi gi osnovata i krakot na toj triagolnik ako negoviot perimetar e 43 cm.

5. Milan ima 25 moneti od 2 i od 5 denari

ili vkupno 80 denari. Kolku moneti se od 2 denari, a kolku od 5 denari?

6. Stara kineska zada~a. Vo eden kafez ima pitomi zajaci i fazani. Tie zaedno imaat 35 glavi i 94 noze. Kolku se pitomi zajaci, a kolku fazani?

7. Eden kurir go pominuva rastojanieto me|u mestata A i B za odredeno vreme. Ako se dvi`i so brzina 35 km/~as, }e zadocni 2 ~asa, a ako se dvi`i so brzina 50 km/~as, }e pristigne eden ~as porano. Odredi go rastojanieto pome|u mestata A i B.

82

eden bazen za 12 ~asa. Ednata cevka sama mo`e da go napolni bazenot za 20 ~asa. Za kolku ~asa vtorata cevka sama }e go napolni prazniot bazen?

Obidi se ... Epitafot na Diofant Na nadgrobnata plo~a na starogr~kiot matemati~ar e zapi{ano: "Patni~e, ovde se pogrebani posmrtnite ostanki na Diofant. Broevite }e re~at, o ~uda, kolku bil dolg negoviot `ivot. Prekrasnoto detstvo mu odzede {estina od `ivotot, a koga pomina u{te edna dvanaesettina od `ivotot, negovoto lice go pokri brada. Otkako pomina u{te edna sedmina od `ivotot, Diofant stapi vo sre}en brak. Koga pominaa 5 godini od brakot, sre}en go napravi ra|aweto na negoviot sin prvenec, na kogo sudbinata mu podari samo polovina od godinite na `ivotot na tatko mu. Vo dlaboka bolka starecot go do~eka krajot na zemniot `ivot pre`ivuvaj}i u{te 4 godini po izgubuvaweto na sinot#. Kolku godini `iveel Diofant?

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA

8

POIM ZA NERAVENSTVO I NERAVENKA Potseti se!

A 1.

Brojni izrazi se: 5 + 8, 9 : 3 - 2, 4,6 ⋅ 3,5 - 1, 8 : 0,2 i sl.

Koj znak treba da bide vo kruk~eto, za da bide to~no sporeduvaweto na brojnite vrednosti na izrazite: a) 3 ⋅ (5 - 2)

Otkako }e se izvr{at site operacii vo izrazot se dobiva broj koj se vika brojna vrednost na izrazot.

b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot 15 - 22 ⋅ 3 - 6,4 : 0,4. Pri sporeduvaweto na racionalnite broevi si gi koristel znacite: =, < i >. Koj od znacite: > ili < treba da bide vo kruk~eto za da bide to~no sporeduvaweto na broevite: 5 -1

-12; -5;

0 -4

3,5; 0?

Koi od slednive neravenstva se to~ni: a) 7 > 5; b) -5 > -4; v) -3,2 < -2,3?

8 - 4 ⋅ 3; (- 4)2 + 1?

[to treba prethodno da napravi{ za da gi sporedi{ brojnite izrazi? Prvo treba da gi presmetam brojnite vrednosti na dadenite izrazi, a potoa da odredam koj znak treba da bide vo kruk~eto. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) 3 ⋅ (5 - 2) = 3 ⋅ 3 = 9; 8 - 4 ⋅ 3 = 8 - 12 = -4; 9 > -4, pa 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3. b) 8 ⋅ 2,5 - 10,8 = 20 - 10,8 = 9,2; (-4)2 + 1 = 16 + 1 = 17; 9,2 < 17 pa 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

1 dvata brojni izrazi: F So re{avaweto 3na⋅ (5zada~ata - 2) i 8 - 4 ⋅ 3, odnosno 8 ⋅ 2,5 - 10,8 i (-4)

2

+1

gi svrza so eden od znacite > ili < i dobi: 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3, odnosno 8 ⋅ 2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

F 3 ⋅ (5 - 2) > 8 - 4 ⋅ 3

i 8 ⋅ 2,5 - 10,8 > (-4)2 + 1 se brojni neravenstva.

2.

Formiraj to~no brojno neravenstvo od izrazite:

3.

Odredi koi od slednite brojni neravenstva se to~ni: 28 - 8 ⋅ 3 > -9 ⋅ 2 + 20;

7 < 3 ⋅ 12 - 52;

8 ⋅ 5 - 62

i

3 ⋅ 4 + 5.

-9 + 6 > 8 ⋅ 3 - 35.

Linearni neravenki so edna nepoznata

83

B 4.

Potseti se! Izrazi so promenlivi se: x - 1; 2y - 3, x2 - 2x + 1 i sl.

Koj od znacite: > ili < treba da stoi vo kruk~eto za da bide to~no sporeduvaweto na izrazite so promenliva: x2 - 2x + 1

Kakov izraz }e dobie{ ako vo izrazot 2y - 3 promenlivata y ja zameni{ so 2?

2x + 3, za x = -2?

Kakvi izrazi }e dobie{ ako vo dadenite izrazi so promenliva, x go zameni{ so -2? [to treba potoa da napravi{?

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot x2 - 2x + 1 za x = 3.

So zamenuvawe na promenlivata x so -2, }e dobijam brojni izrazi, koi mo`am da gi sporedam i da go postavam potrebniot znak vo kruk~eto. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. - 2x + 1 = (-2) - 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9; F xBidej}i 9 > -1, sleduva deka x - 2x + 1 > 2

2

2

2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1. 2x + 3 za x = -2.

Neravenstvoto x2 - 2x + 1 > 2x + 3 e neravenstvo so promenliva. Neravenstvo vo koe levata i desnata strana ili barem ednata od niv e izraz so promenliva se vika neravenstvo so promenliva ili neravenka.

5.

Odredi koi od slednive neravenstva se neravenki: a) 5 > -2 ⋅ 3;

v) x2 + 1 < x2 - 2x + 3, x ∈ Z;

b) 2x + 3 > 0, x ∈ R;

g) 8 ⋅ 3 - 22 < 5 ⋅ 6 + 3.

Zapomni! Promenlivite vo neravenkite nej~esto se ozna~uvaat so x, y, z, ... i tie se menuvaat vo mno`estvoto R ili vo nekoe negovo podmno`estvo. So zadavaweto na neravenkata se zadava i mno`estvoto vo koe se menuvaat promenlivite, t.e. definicionoto mno`estvo. Ako ne e zadadeno definicionoto mno`estvo }e smetame deka toa e mno`estvoto R. Neravenka so edna promenliva, vo op{t slu~aj zapi{uvame: f(x) < g(x), x ∈ D, kade {to f(x) i g(x) se izrazi od promenlivata x, definirani vo mno`estvoto D.

84

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

V 6.

Potseti se! Koi vidovi ravenki imame spored brojot na nepoznatite? Spored stepenot na nepoznatite ravenkite mo`at da bidat: linearna (od prv stepen), kvadratna (od vtor stepen), kubna (od tret stepen) itn. Od koj stepen e ravenkata: 2x - 3 = x + 1; x2 - 3x = 2?

Koi neravenki se so edna nepoznata, a koi so dve nepoznati?

Dadeni se neravenkite: 2x - 1 < 3x + 1;

2x - y > 5 - x;

x2 - 1 > 2x;

x2y - 2 < 3x.

So kolku nepoznati e sekoja od neravenkite? Kako }e gi imenuva{ neravenkite 2x - 1 < 3x + 1 i x2 - 1 > 2x spored brojot na nepoznatite, a kako neravenkite 2x - y > 5 - x i x2y - 2 < 3x?

Neravenkite: 2x - 1 < 3x + 1 i x2 - 1 > 2x se so edna nepoznata, a neravenkite: 2x - y > 5 - x i x2y - 2 < 3x so dve nepoznati.

Zapomni! Spored brojot na nepoznatite, neravenkite mo`at da bidat: neravenki so edna nepoznata, neravenki so dve nepoznati, neravenki so tri nepoznati itn.

7.

Odredi so kolku nepoznati e sekoja od slednive neravenki. a) 2x - 1 < x + 2;

8.

b) x + y < 7 - z;

v) x + 2y < x - y + 1;

g) 2x > x + 2.

Dadeni se neravenkite: a) x2 + 2 > 2x;

b) x2y - 2 > 3x;

v) x - 2 < 2x + 3;

g) x - y < y + 3.

Odredi go najvisokiot stepen na nepoznatite vo sekoja od neravenkite. Spored stepenot na nepoznatite, od koj vid se neravenkite?

Odredi go vidot na neravenkite spored stepenot na nepoznatite na na~in kako kaj ravenkite.

Neravenkite x - 2 < 2x + 3 i x -y < y + 3 se od prv stepen; neravenkata x2 + 2 > 2x e od vtor stepen, a neravenkata x2y - 2 > 3x e od tret stepen.

Linearni neravenki so edna nepoznata

85

Zapomni! Neravenkite f(x) < g(x) ili f(x) > g(x), vo koi levata i desnata strana se celi racionalni izrazi, spored ~lenot so najvisok stepen mo`at da bidat: neravenki od prv stepen (linearni neravenki), neravenki od vtor stepen (kvadratni neravenki), neravenki od tret stepen (kubni neravenki) itn.

9.

Odredi od koj stepen e sekoja od slednive neravenki: a) 5x - 2 < x + 4;

b) x2 - 2x < 6;

Treba da znae{: deka dva izraza povrzani so znakot < ili > obrazuvaat neravenstvo; da go definira{ poimot neravenka; da go odredi{ vidot na neravenkata spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatata.

v) x2y - 5 > 2x;

g) 2x + y < 7.

Proveri se! Odredi koi od slednive neravenstva se neravenki: a) 5 ⋅ 8 - 3 > 17 - 22; b) x2 - 1 < 5x; v) 3x + y < y + 2; g) 5 - 2 ⋅ 3 > 3 - 4 ⋅ 2. Odredi koi od navedenite neravenki se linearni neravenki so edna nepoznata: a) x2 + 6 > 5x; b) x + 2y < 5x + 1; v) y - 2 < 3y; g) x + 2 > 2x - 5.

Zada~i 1. Odredi koi od slednive neravenstva se to~ni:

3. Odredi go vidot na sekoja od neravenkite spored brojot na nepoznatite:

a) 12 - 2 ⋅ 5 > 3 ⋅ 2 - 8;

a) x - 3 < 2x + 5;

v) 3x + 1 - x > x + 5;

b) 5 - 3 ⋅ 4 > 12 : 4;

b) x - 2y + 3 > 2x;

g) x - 5 < y + 3.

2

v) 17 - 3 ⋅ 5 > 72 - 5 ⋅ 6.

4. Odredi go vidot na sekoja od slednive 2. Za koja vrednost na x ∈ {-2, 0, 2} e to~no neravenstvoto: x2 - 2x < x + 5?

86

neravenki spored stepenot na nepoznatata: a) x2 - 3 < 2x - 1;

v) x + 2 > 6 - x;

b) x - 2 - 3x < 5;

g) x2y - 3x > 2y - 1.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

9

RE[ENIE NA NERAVENKA. INTERVALI

A 1.

Potseti se! Vrednosta na nepoznatata za koja ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo se vika re{enie (koren) na ravenkata. Proveri dali brojot 2 e re{enie na ravenkata: a) 2x - 1 = x + 1; b) 3x - 5 = x + 3.

Odredi za koi vrednosti na x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} = D sekoja od dadenite neravenki preminuva vo to~no brojno neravenstvo: a) 3x + 1 > x - 1; b) 2x - 2 < x + 4; v) 2x - 3 > x + 2. Kako od neravenkite }e dobie{ brojni neravenstva? Obidi se re{enieto na zada~ata da go prika`e{ so tabela.

Odredi go re{enieto na ravenkata: a) 3x - 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

So zamena na nepoznatata x so vrednostite od definicionoto mno`estvo D neravenkata }e ja pretvoram vo brojno neravenstvo i }e utvrdam dali toa e to~no (T) ili neto~no (⊥). Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

Vrednost na x Neravenka

-2

-1

0

1

2

3x + 1 > x - 1

-5 > -3 ⊥

-2 > -2 ⊥

1 > -1 T

4>0 T

7>1 T

2x - 2 < x + 4

-6 < 2 T

-4 < 3 T

-2 < 4 T

0<5 T

2<6 T

2x - 3 > x + 2

-7 > 0 ⊥

-5 > 1 ⊥

-3 > 2 ⊥

-1 > 3 ⊥

1>4 ⊥

Od tabelata voo~i deka:

F xneravenkata = 2;

3x + 1 > x - 1 preminuva vo to~no brojno neravenstvo za x = 0, x = 1 i

2x - 1 < x + 4 preminuva vo to~no brojno neravenstvo za sekoja vrednost x F neravenkata od definicionoto mno`estvo D; 2x - 3 > x + 2 F neravenkata vrednost na x od D.

ne preminuva vo to~no brojno neravenstvo za nitu edna

Sekoja vrednost na nepoznatata za koja neravenkata preminuva vo to~no brojno neravenstvo se vika re{enie na neravenkata. Site re{enija na edna neravenka f (x) < g (x) obrazuvaat edno mno`estvo, koe se vika mno`estvo re{enija na neravenkata i obi~no se ozna~uva so R(f (x) < g(x)). Za neravenkata 3x + 1 > x - 1 od prethodnata zada~a R(3x + 1 > x - 2) = {0, 1, 2}.

Linearni neravenki so edna nepoznata

87

2.

Zapi{i gi mno`estvata re{enija na neravenkite zada~ata 1.

3.

Odredi go mno`estvoto re{enija na neravenkata 2x - 3 < 3x - 2, ako x ∈ {-3, -1, 1, 2, 3}.

2x - 2 < x + 4

i

2x - 3 > x + 2

od

Sekako odredi deka mno`estvoto re{enija e R(2x - 3 < 3x - 2) = {1, 2, 3}. So toa ja re{i neravenkata 2x - 3 < 3x -2.

Zapomni! Da se re{i edna neravenka zna~i da se opredeli mno`estvoto re{enija na taa neravenka.

B 4.

Potseti se! Za dve ravenki se veli deka se ekvivalentni ako imaat ednakvi mno`estva re{enija. Proveri dali se ekvivalentni ravenkite: 3x - 4 = 2x - 1 i 2x - 5 = x - 2.

Dadeni se neravenkite: 3x + 2 > 2x + 1 i 2x - 3 > x - 4 so definiciono mno`estvo D = {-1, 0, 1, 2}. Odredi gi mno`estvata re{enija na dvete neravenki. Sporedi gi re{enijata na dvete neravenki. [to voo~uva{?

Sporedi go tvoeto re{enie spored podatocite vo tabelata. x Neravenka 3x + 2 > 2x + 1 2x - 3 > x - 4

Voo~i deka

-1

0

2

1

3 ⋅ (-1) + 2 > 2 ⋅ (-1) + 1 3 ⋅ 0 + 2 > 2 ⋅ 0 + 1 3 ⋅ 1 + 2 > 2 ⋅ 1 + 1 3 ⋅ 2 + 2 > 2 ⋅ 2 + 1 T T T ⊥ 2 ⋅ (-1) - 3 > -1 - 4 ⊥

2⋅0-3>0-4 T

R(3x + 2 > 2x + 1) = {0, 1, 2},

2⋅1-3>1-4 T

R(2x - 3 > x - 4) = {0, 1, 2},

2 ⋅ 2 - 3 > 2 -4 T

t.e.

R(3x + 2 > 2x + 1) = R(2x - 3 > x - 4). Za takvi neravenki se veli deka se ekvivalentni vo definicionoto mno`estvo D i zapi{uvame 3x + 2 > 2x + 1 ⇔ 2x - 3 > x - 4, x ∈ D.

Zapomni! Dve neravenki so isto definiciono mno`estvo se ekvivalentni ako nivnite mno`estva re{enija se ednakvi.

5.

88

Proveri dali neravenkite: 3x - 1 > 2x + 1 i 2x + 3 < 3x + 1, se ekvivalentni vo mno`estvoto D = {1, 2, 3, 4}.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

V 6.

Dadena e brojna prava i na nea se ozna~eni to~kite A i B. Na to~kite A i B se pridru`eni broevite 1 i 4 soodvetno.

A -1

0

B

1

2

3

4

5

Bidej}i to~kata A e levo od B, toga{ za nivnite soodvetni broevi va`i: 1 < 4. Koi prirodni broevi se me|u 1 i 4? 3 16 Koj od broevite ; -3; 3 ; 2,8; e me|u 1 i 4? 2 3 Zo{to

2 e me|u 1 i 4?

Bidej}i od 4.

2 ≈ 1,41, toj e desno od 1, a levo

Site realni broevi {to se me|u 1 i 4 obrazuvaat edno mno`estvo, nare~eno interval so kraevi 1 i 4.

Op{to Ako a i b se dadeni realni broevi i a < b, toga{ mno`estvoto od site realni broevi me|u a i b se vika interval, a dadenite broevi a i b - kraevi na toj interval. Ako kraevite a i b ne mu pripa|aat na intervalot, toga{ toj se vika otvoren interval.

F Se ozna~uva (a; b) F Se pretstavuva na brojna prava:

O

a (

b )

Ako kraevite a i b mu pripa|aat na intervalot, toga{ toj se vika zatvoren interval.

F Se ozna~uva [a; b] F Se pretstavuva na brojna prava: 7.

O

a

b

[

]

Zapi{i interval so kraevi 3 i 5 i pretstavi go na brojna prava: a) zatvoren interval;

b) otvoren interval;

v) interval koj ne go sodr`i samo leviot kraj;

g) interval koj ne go sodr`i samo desniot kraj.

Sporedi go tvoeto re{enie v) i g). v) (3; 5]

]

( 3

g) [3; 5)

5

[

3

) 5

Interval pretstavuva i mno`estvoto od site realni broevi {to se:

F pogolemi od a; (a; +∝) F pogolemi ili ednakvi na

a;

[a; +∝)

F F

pomali od a;

(-∝; a)

pomali ili ednakvi na a;

(-∝; a]

Linearni neravenki so edna nepoznata

89

Voo~i deka na edniot kraj od intervalite e znakot +∝ ili -∝. Intervalot (a; +∝) se ~ita: "a, plus beskone~nost#.

F F Intervalot

(-∝; a) se ~ita: "minus beskone~nost, a#. Mno`estvoto R mo`e da se zapi{e kako interval: (-∝; +∝).

Voo~i deka nemaat smisla oznakite: (3; -∝);

8.

[1; +∝];

(+∝; 4).

Zapi{i go kako interval, a potoa pretstavi go na brojna prava mno`estvoto od site realni broevi: a) pogolemi od 2;

b) pomali ili ednakvi na 1.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) (2, +∝)

G 9.

0

1

( 2

3

b) (-∝, 1]

4

-2

-1

0

] 1

2

Dadeni se neravenkite: a) x > -1; x ∈ R;

b) x < 2; x ∈ R.

Odredi go mno`estvoto re{enija na sekoja od dadenite neravenki. Pretstavi go sekoe od tie mno`estva na brojna prava. So koi broevi treba da se zameni x vo neravenkata x > -1, a so koi vo neravenkata x < 2, za da se dobijat to~ni brojni neravenstva?

Promenlivata x vo neravenkata x > -1 treba da se zameni so koj bilo realen broj, pogolem od -1, a vo neravenkata x < 2, so koj bilo realen broj {to e pomal od 2, za da se dobijat to~ni brojni neravenstva.

Sogleda deka mno`estvoto re{enija na neravenkata x > -1 se sostoi od site realni broevi od -1 do +∝, a toa e intervalot (-1, +∝). Voo~i gi mno`estvata re{enija na dadenite neravenki, na brojna prava.

Neravenkite x > -1 i x < 2 imaat takanare~ena re{ena forma; za takvite neravenki mno`estvoto re{enija mo`e da se pro~ita vedna{, direktno.

Zapomni! Neravenkite: x > a, x < a i 0 ⋅ x < a, kade {to a e daden realen broj se zapi{ani vo re{ena forma i se vikaat osnovni neravenki.

90

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

10.

Re{i ja neravenkata 0 ⋅ x < -5. Dali postoi realen broj koj pomno`en so 0 dava proizvod pomal od -5?

11.

Re{i ja neravenkata

Bidej}i koj bilo broj pomno`en so 0 e 0, a 0 ne e pomalo od -5, neravenkata 0 ⋅ x < -5 nema re{enie.

0 ⋅ x < 5.

Voo~i gi re{enijata na neravenkata 0 ⋅ x < a: R(0 ⋅ x < a, za a < 0) = ∅ i

12.

Zapi{i go mno`estvoto re{enija na neravenkata: x > -5; x < 4; 0 ⋅ x < -1; 0 ⋅ x < 3, so pomo{ na interval.

Re{enijata na neravenkite od vidot x ≥ a x ≤ a se intervalite (-∞; a].

13.

R(0 ⋅ x < a, za a > 0) = R.

se intervalite [a; +∞), a na neravenkite

Pretstavi go so interval i na brojna prava mno`estvoto re{enija na neravenkata: a) x ≤ 3; b) x ≥ -2.

Sogledaj kako se re{ava zada~a od ovoj vid.

F a) Ako

x ≤ 3, toga{ x ∈ (-∞; 3].

F b) Ako

x ≥ -2, toga{ x ∈ [-2; +∞).

14.

Zapi{i go mno`estvoto re{enija na neravenkata x ≤ -1 so pomo{ na interval.

Treba da znae{:

Proveri se!

da proveri{ koi vrednosti se re{enija na dadena neravenka; da utvrdi{ dali dve neravenki se ekvivalentni; da objasni{ koga dve neravenki se ekvivalentni; da go pretstavi{ so interval i na brojna prava mno`estvoto re{enija na dadena neravenka.

Proveri dali R(2x -1 > x + 1) = {2, 3, 4} ako x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Utvrdi dali neravenkata 3x - 1 > x + 1 e ekvivalentna so neravenkata 4x - 1 > 3x, ako x ∈ {0, 1, 2, 3, 4} = D. Pretstavi go so interval re{enieto na neravenkata x < -3.

Linearni neravenki so edna nepoznata

91

Zada~i 1. Vo mno`estvoto D = {-1, 0, 1, 2, 3} se dadeni neravenkite: a) 3x + 1 > 2x + 1;

b) 2x + 3 > x + 3.

Odredi go mno`estvoto re{enija na sekoja od dadenite neravenki.

2. Odredi koi od slednive neravenki se ekvivalentni vo mno`estvoto D = {-2, -1, 0, 1, 2}:

a) 3x - 2 > 2x - 3;

v) x ≤ 1;

g) x ≥ -3.

b) x ≥ 1.

{enie? Obrazlo`i go odgovorot. a) x > 0;

v) 0 ⋅ x > -2;

b) 0 ⋅ x < -1;

g) x < -5.

TEOREMI ZA EKVIVALENTNI NERAVENKI

Potseti se! Za koi dve ravenki se veli deka se ekvivalentni? Proveri dali neravenkite: 3x - 1 > x + 3 i 2x - 1 > x + 1 se ekvivalentni vo mno`estvoto D = {1, 2, 3, 4}. Kako glasi teoremata 1 za ekvivalentni ravenki?

Kako }e utvrdi{ dali dadenata neravenka e ekvivalentna so dobienata?

92

prava mno`estvoto re{enija na neravenkite:

6. Koja od slednive neravenki nema re-

re{enija na neravenkata:

10

5. Pretstavi go so interval i na brojna

v) 2x + 5 > x + 4.

3. Pretstavi go so interval mno`estvoto b) x < 0;

prava mno`estvoto re{enija na neravenkite: a) x > -3; b) x < 2.

a) x ≤ -2;

b) 2x - 1 > x - 2;

a) x > -2;

4. Pretstavi go so interval i na brojna

A 1.

Vo mno`estvoto D = {-2, -1, 0, 1, 2} e dadena neravenkata 3x - 2 > 2x - 3.

Odredi go mno`estvoto re{enija na dadenata neravenka. Dodaj go na dvete strani na neravenkata izrazot x - 1 i proveri dali dobienata neravenka e ekvivalentna so dadenata.

]e gi odredam mno`estvata re{enija na dvete neravenki i }e gi sporedam.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. Vrednost za x

Dadena neravenka 3x - 2 > 2x - 3

Dobiena neravenka 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1

To~no neto~no

To~no neto~no

-2

3 ⋅ (-2) - 2 > 2 ⋅ (-2) - 3

⊥

3 ⋅ (-2) - 2 - 2 - 1 > 2 ⋅ (-2) - 3 - 2 - 1

⊥

-1

3 ⋅ (-1) - 2 > 2 ⋅ (-1) - 3

⊥

3 ⋅ (-1) - 2 - 1 - 1 > 2 ⋅ (-1) - 3 - 1 - 1

⊥

0

3⋅0-2>2⋅0-3

T

3⋅0-2+0-1>2⋅0-3-0-1

T

1

3⋅1-2>2⋅1-3

T

3⋅1-2+1-1>2⋅1-3+1-1

T

2

3⋅2-2>2⋅2-3

T

3⋅2-2+2-1>2⋅2-3+2-1

T

Od tabelata voo~i deka: R(3x - 2 > 2x - 3) = {0, 1, 2} i R(3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x -1) = {0, 1, 2}, odnosno so dodavaweto na izrazot x -1 na dvete strani na neravenkata 3x - 2 > 2x - 3 dobivme neravenka 3x - 2 + x - 1 > 2x - 3 + x - 1, ekvivalentna so dadenata. Toa va`i op{to za neravenkite. Spored toa mo`eme da ja iska`eme slednava teorema za dodavawe broj ili izraz na dvete strani od neravenkata.

Teorema 1

F

Ako kon dvete strani na neravenkata f (x) > g (x) se dodade ist broj ili racionalen izraz h(x), koj e opredelen za sekoj x od definicionoto mno`estvo, se dobiva neravenka ekvivalentna na dadenata, t.e. f (x) > g(x) ⇔ f (x) + h(x) > g(x) + h(x).

2.

Dali se ekvivalentni slednive dve neravenki: a) 5x + 1 > 4x + 3

i

5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x;

b) 2x - 5 > x - 2

i

2x - 5 + 5x - 1 > x - 2 + 5x - 1;

v) 3x - 1 < x + 2

i

3x - 1 - 4x < x + 2 - 4x?

Obrazlo`i go odgovorot.

B 3.

Neravenkata 4x - 1 < 3x + 2 svedi ja na neravenka vo re{ena forma.

Koj izraz mo`e{ da go dodade{ na dvete strani na neravenkata za da ja dovede{ vo re{ena forma?

Na dvete strani na neravenkata mo`am da go dodadam izrazot -3x + 1.

Linearni neravenki so edna nepoznata

93

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. teoremata 1 imame: F Spored 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 1 - 3x + 1 < 3x + 2 - 3x + 1

⇔ 4x -3x < 2 + 1 ⇔ x < 3.

Od 4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 mo`e{ da voo~i{ deka: ~lenot 3x e prefrlen od desnata na levata strana, no so sprotivniot znak, a ~lenot 1 e prefrlen od levata na desnata strana, isto taka so sprotivniot znak. Toa va`i op{to za neravenkite. Spored toa, mo`eme da ja iska`eme slednava posledica 1 od teoremata 1:

F P1

Sekoj ~len od neravenkata mo`e da se prefrli od ednata strana na drugata, pri {to negoviot znak se menuva vo sprotivniot.

So primena na teoremata 1 mo`e{ da vr{i{ ekvivalentni transformacii na neravenkite, so {to }e gi dovede{ do poednostavni neravenki, ekvivalentni so niv. Voo~i go toa vo slednava zada~a.

4.

Transformiraj ja vo neravenka vo re{ena forma neravenkata 4x - 1 > 3x + 2. Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval. Primeni ja posledicata 1 i grupiraj gi nepoznatite na levata strana, a poznatite na desnata.

Spored posledicata 1 va`i: 4x - 1 > 3x + 2 ⇔ 4x - 3x > 2 + 1⇔ ⇔ x > 3, a R(4x - 1 > 3x + 2) = = (3; +∝).

5.

Dadena e neravenkata 3x - 5 > x - 3. Transformiraj ja neravenkata vo re{ena forma. Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval.

6.

Proveri dali neravenkite 3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x i 3x - 2 < x + 1, definirani vo mno`estvoto D = {0, 1, 2, 3, 4} se ekvivalentni. Odredi gi mno`estvata re{enija na dvete neravenki i proveri dali tie se ednakvi.

R(3x - 2 + 4x < x + 1 + 4x) = {0, 1, 2}; R(3x - 2 < x + 1) = {0, 1, 2}, pa dadenite neravenki se ekvivalentni.

Voo~uva{ deka na dvete strani na prvata neravenka ima ist ~len 4x. So izostavawe na 4x od dvete strani e dobiena neravenkata 3x - 2 < x + 1, ekvivalentna na prvata. Obrazlo`i kako }e ja primeni{ teoremata 1 za da poka`e{ deka ~lenot 4x koj se nao|a na dvete strani na neravenkata mo`e{ da go izostavi{ i da dobie{ ekvivalentna neravenka na dadenata.

94

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Toa va`i op{to za neravenkite. Spored toa mo`eme da iska`eme u{te edna posledica od teoremata 1:

F

Ako na razli~ni strani na neravenkata ima ednakvi ~lenovi, toga{ tie mo`at da se izostavat.

P2

7.

Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata

V 8.

Dadena e neravenkata

4x - 2 - 5x < 3x - 1 - 5x.

3x - 1 > 2x + 1 so D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Pomno`i gi dvete strani na neravenkata so 2. Proveri dali dobienata neravenka e ekvivalentna so dadenata. Voo~i go vo tabelava re{enieto na zada~ata. Vrednost na x Neravenka

1

2

3

4

5

3x - 1 > 2x + 1

2>3 ⊼

5>5 ⊼

8>7 T

11 > 9 T

14 > 11 T

6x - 2 > 4x + 2

4>6 ⊼

10 > 10 ⊼

16 > 14 T

22 > 18 T

28 > 22 T

Od tabelata mo`e{ da voo~i{ deka R(3x - 1 > 2x + 1) = {3, 4, 5} i R(6x - 2 > 4x + 2) = = {3, 4, 5}, t.e. 3x - 1 > 2x + 1 ⇔ 6x - 2 > 4x + 2. Toa va`i op{to za neravenkite, samo ako brojot so koj se mno`at dvete strani na neravenkata e pozitiven. Spored toa, mo`eme da ja iska`eme slednava teorema za mno`ewe na neravenka so pozitiven broj:

Teorema 2

F

Ako dvete strani na edna neravenka f (x) > g(x) se pomno`at so eden ist broj a > 0, toga{ se dobiva neravenka ekvivalentna so dadenata, t.e. f (x) > g(x) ⇔ a ⋅ f (x) > a ⋅ g(x)

9. 10.

za

a > 0.

Obrazlo`i zo{to slednive neravenki se ekvivalentni: 3x - 2 < 2x - 3 i 9x - 6 < 6x - 9. Dadena e neravenkata 4x - 8 < 12 - 8x, na koja se izvr{eni slednive ekvivalentni transformacii:

1 1 1 1 8 ¸ 12 ¸ 8 x ¸ ⇔ x - 2 < 3 - 2x; 4 4 4 4 4x : 4 - 8 : 4 < 12 : 4 - 8x : 4 ⇔ x - 2 < 3 - 2x. Obrazlo`i koi transformacii se napraveni na neravenkata 4x - 8 < 12 - 8x. 4x ¸

Sporedi gi dobienite neravenki. [to zabele`uva{?

Linearni neravenki so edna nepoznata

95

1 , toga{ 4 e izvr{ena istata transformacija kako dvete strani na taa neravenka da se podeleni so 4. Mo`e da se iska`e slednava posledica 1 od teoremata 2:

Voo~i deka: ako dvete strani na neravenkata 4x - 8 < 12 - 8x se pomno`at so

F P1

Ako dvete strani na edna neravenka imaat zaedni~ki pozitiven mno`itel, so nego mo`at da se podelat dvete strani na neravenkata, pri {to se dobiva nova neravenka ekvivalentna na dadenata.

11.

Dadena e neravenkata 10x - 25 < 5x + 15. Transformiraj ja ovaa neravenka vo poednostavna so primena na posledicata 1.

12.

Dadena e neravenkata

3 1 5 1 x x . So koj broj mo`e{ da gi pomno`i{ dvete 4 2 8 4 strani na neravenkata, za da dobie{ neravenka bez imeniteli?

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F NZS(4, 2, 8) = 8;

8¸

3 1 5 1 x 8¸ 8¸ x 8¸ ” 6x 4 5x 2 . 4 2 8 4

3 1 5 1 x x e izvr{ena vrz osnova na 4 2 8 4 teoremata 2. Voo~i deka mo`e da se iska`e slednata posledica od T2.

Transformacijata na neravenkata

F P2

13.

Neravenka so drobni numeri~ki koeficienti mo`e da se transformira vo ekvivalentna neravenka so celi numeri~ki koeficienti, ako dvete strani na neravenkata se pomno`at so pozitiven zaedni~ki sodr`atel na imenitelite (obi~no so nivniot najmal zaedni~ki sodr`atel). Transformiraj ja vo neravenka so celi numeri~ki koeficienti neravenkata

1 1 5 1 x x . 3 2 6 2

14.

Dadeni se to~nite brojni neravenstva:

7 > 4,

-5 < -3

i

1 > -4.

Pomno`i gi dvete strani na sekoe od dadenite neravenstva so -2. Proveri dali dobienite brojni neravenstva se to~ni. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F

96

7 > 4;

-2 â‹… 7 > -2 â‹… 4,

-14 > -8

-5 < -3,

-2 â‹… (-5) < -2 â‹… (-3),

10 < 6

1 > -4,

-2 â‹… 1 > -2 â‹… (-4),

-2 > 8

E E E

neto~no brojno neravenstvo. neto~no brojno neravenstvo. neto~no brojno neravenstvo.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Za da se dobie to~no brojno neravenstvo, potrebno e da se promeni znakot na neravenstvoto, t.e. -14 > -8 da se zameni so -14 < -8, 10 < 6 da se zameni so 10 > 6 i -2 > 8 da se zameni so -2 < 8. Toa va`i za koi bilo realni broevi a, b i c. Ako

a>b

i

c < 0,

toga{

a ⋅ c < b ⋅ c, a ako

a<b

i

c < 0,

toga{

a ⋅ c > b ⋅ c.

Voo~i go dokazot na tvrdeweto. Dadeno e:

a>b

i c < 0.

Treba da se doka`e: a ⋅ c < b ⋅ c. a ⋅ c - b ⋅ c = (a - b) ⋅ c; bidej}i c < 0 i a - b > 0 (za{to a > b), sleduva deka proizvodot (a - b) ⋅ c e negativen, t.e. a ⋅ c - b ⋅ c < 0, pa a ⋅ c < b ⋅ c.

F

Za znacite vo neravenstvata 3 < 5 i 2 > -1 velime deka imaat sprotivni nasoki. Spored toa, za neravenkite mo`eme da ja iska`eme slednava teorema za mno`ewe neravenka so negativen broj:

Teorema 3

F

Ako dvete strani na edna neravenka f (x) > g(x) se pomno`at ili podelat so eden ist negativen broj c i pritoa se promeni znakot na neravenkata vo sprotiven, }e se dobie neravenka ekvivalentna so dadenata, t.e. za c < 0: f (x) > g(x)

15.

⇔

c ⋅ f (x) < c ⋅ g(x).

Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata 2x - 7 > 5x - 1. Primeni gi posledicata 1 od teoremata 1, posledicata 1 od teoremata 2 i teoremata 3.

Treba da znae{: da gi iska`e{ teoremite i nivnite posledici za ekvivalentni neravenki; da gi primeni{ teoremite i posledicite za ekvivalentni linearni neravenki vo zada~i.

Zada~i 1. Slednive neravenki svedi gi na neravenki vo re{ena forma. a) 3x - 1 < 2x + 1;

b) 4x - 3 > 3x - 1.

2x - 7 > 5x - 1 ⇔ 2x - 5x > -1 + 7 ⇔ -3x > 6 ⇔ -x > 2 ⇔ x < -2, t.e. R(2x - 7 > 5x - 1) = (-∞, - 2).

Proveri se! Obrazlo`i zo{to se ekvivalentni neravenkite: 2x - 5 < x - 3 i 2x - 5 - x < x - 3 - x; 2 1 x - 1 < x + 2 i 4x - 6 < 3x + 12; 3 2 -5x + 3 < -3x - 1 i 5x - 3 > 3x + 1.

2. Vo neravenkata 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x

izostavi dva ~lena taka {to da dobie{ neravenka ekvivalentna na dadenata.

Linearni neravenki so edna nepoznata

97

3. Slednava neravenka transformiraj ja

vo ekvivalentna neravenka bez imeniteli: x 1 x 3x 2 x 1 < + 1; b) a) > - 1. 2 4 6 3

x x -1< + 1, svedi ja na 2 3 neravenka vo re{ena forma.

4. Neravenkata

5. Neravenkata 3x - 5 < 4x - 3 transformiraj ja vo neravenka vo re{ena forma.

Pretstavi go re{enieto na neravenkata so interval.

6. Obrazlo`i gi slednive ekvivalencii: a) -5x + 1 > 2x - 3 ⇔ 5x - 1 < -2x + 3; b) 4x - 2 < 3x + 1 ⇔ -4x + 2 > -3x - 1.

11

RE[AVAWE NA LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA

Potseti se!

A 1.

Re{i ja neravenkata 4x - 3 > 2x + 1. Pretstavi go re{enieto so interval na brojna prava.

Odredi koi od slednive neravenki se linearni neravenki so edna nepoznata: x2 + 6 > 4x;

3x - 1 < 2x + 3;

x + 5 > 3x -1;

x + 2y < 3 - x.

Kako }e ja dovede{ dadenata neravenka vo re{ena forma?

Transformiraj ja vo re{ena forma neravenkata 5x - 3 > 3x + 1.

]e gi primenam posledicata 1 od teoremata 1 i posledicata 1 od teoremata 2.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F

4x - 3 > 2x + 1 ⇔ 4x - 2x > 1 + 3

1

4x - 2x > 1 + 3 ⇔ 2x > 4 2x > 4 ⇔ x > 2

Re{i gi slednive neravenki: Neravenki se i: f (x) ≤ g(x);

3.

98

1

1

R(4x - 3 > 2x + 1) = R(x > 2) = (2; +�).

2.

E (spored P od T ) E (sveduvawe na dvete strani na neravenkata) E (delewe na neravenkata spored P od T )

a) x - 4 > 8 - 3x;

2

b) 3x - 5 < -x + 3.

f (x) ≼ g(x);

Dadeno e re{avaweto na neravenkata 3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x). Objasni ja sekoja ekvivalentna transformacija primeneta vo tekot na re{avaweto. 3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x) ⇔ 6x - 3 ≤ -9 + 8x ⇔ 6x - 8x ≤ -9 + 3 ⇔ -2x ≤ -6 ⇔ -x ≤ -3 ⇔ x ≼ 3; R(3(2x - 1) ≤ -(9 - 8x)) = R(x ≼ 3) = [3, +âˆ?).

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

4.

Re{i ja neravenkata 2x - (3 - x) ≼ 5x - 1.

5.

Re{i ja neravenkata

2 x 1 1 x 1 . 3 2 6

Kako }e se oslobodi{ od imenitelite vo dadenata neravenka?

Dvete strani na neravenkata }e gi pomno`am so NZS(3,2,6)=6.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F

2 x 1 1 x 1 ⇔ 2(2x - 1) -3 ⋅ 1 < x + 1 ⇔ 4x - 2 - 3 < x + 1 ⇔ 4x - x < 1 + 2 + 3 3 2 6 ⇔ R(

6.

3x < 6

⇔

x < 2.

2 x 1 1 x 1 ) = R(x < 2) = (-�; 2), t.e. x ∈ (-�; 2). 3 2 6

Re{i ja neravenkata

x 1 1 2x 3 . 3 6 4

Treba da znae{:

Proveri se!

da re{ava{ linearni neravenki so edna nepoznata;

Re{i ja slednava neravenka: 2(x - 3) ≤ -(9 - 5x).

da proveri{ dali daden interval e re{enie na dadena neravenka;

Za koi vrednosti na x izrazot 2x - 4 e pozitiven?

da sostavi{ neravenka za dadena zada~a opi{ana so zborovi.

Re{i ja neravenkata:

Zada~i 1. Re{i gi slednive neravenki: a) 5x - 2 > 3x + 4;

b) 2x - 7 < 5x + 2.

2. Re{i gi slednive neravenki: a) 2x - 3(x - 1) ≤ -(5 - x);

4. Re{i gi slednive neravenki: a)

3 x 5 2x 1 0 ; 2 3

b)

x 3 x 1 1 2. 3 2

5. Odredi za koi vrednosti na x izrazot

b) 3x - 2(x + 3) ≼ -3(4 - x);

9 x x 3 ima pozitivna vrednost. 2 4

3. Proveri dali intervalot (-3; +�) e re{enie na neravenkata:

3 x 1 2 x 1 3 x 1 . 2 3 6

5x 4 x 4 . 4 2

6. Dol`inata na eden pravoagolnik e za

3 cm pogolema od {irinata. Kolkava treba da bide dol`inata na pravoagolnikot za da bide perimetarot pomal od 54 cm?

Linearni neravenki so edna nepoznata

99

SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA

12

RE[AVAWE SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA

Potseti se!

A 1.

Dadeni se neravenkite: 3x + 1 > 2x - 1 i 4x - 1 < 3x + 2.

Sekoja vrednost na nepoznatata za koja neravenkata preminuva vo to~no brojno neravenstvo se vika re{enie na neravenkata. Proveri dali x = 3 e re{enie na neravenkata 3x - 1 > 2x - 3. Site re{enija na edna neravenka obrazuvaat mno`estvo {to se vika mno`estvo re{enija na taa neravenka. Odredi go mno`estvoto re{enija na neravenkata 5x - 2 < 3x + 4.

Re{i gi dadenite neravenki. Pretstavi go mno`estvoto re{enija na sekoja od neravenkite so interval i na ista brojna prava. Utvrdi dali dadenite neravenki imaat zaedni~ki re{enija. Kako }e utvrdi{ dali dadenite neravenki imaat zaedni~ki re{enija?

Dadenite neravenki }e gi dovedam do re{ena forma, potoa re{enijata }e gi pretstavam so interval i na ista brojna prava, od kade {to }e go sogledam presekot na nivnite mno`estva re{enija. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. 3x + 1 > 2x - 1 ⇔ 3x - 2x > -1 - 1 ⇔ x > -2 R(3x + 1 > 2x - 1) = (-2; +∝)

4x - 1 < 3x + 2 ⇔ 4x - 3x < 2 + 1 ⇔ x<3 R(4x - 1 < 3x + 2) = (-∝; 3)

F

F

R(3x + 1 > 2x - 1) ∩ R(4x - 1 < 3x + 2) Od brojnata prava mo`e{ da voo~i{ deka broevite {to pripa|aat na intervalot (-2, 3) se re{enija i na ednata i na drugata neravenka. Za dadenite dve neravenki velime deka obrazuvaat sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata.

100

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Zapomni! Za dve ili pove}e linearni neravenki so edna ista nepoznata, za koi se baraat zaedni~ki re{enija, se veli deka obrazuvaat sistem linearni neravenki so edna nepoznata. Sekoj sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata mo`e da se svede vo normalen vid, kako na primer: £ŒŒax b ¤ ŒŒ¼a1 x b1

2.

(a, b, a1, b1 ∈ R).

£Œ3 x 1 2 x 3 Daden e sistemot neravenki Œ¤ ŒŒ¼5 x 3 2 x 9 . Dovedi go dadeniot sistem vo normalen vid.

Odredi gi zaedni~kite re{enija na neravenkite od sistemot na brojna prava. Site vrednosti na nepoznatata x {to se zaedni~ki re{enija na neravenkite od sistemot, odnosno presekot od mno`estvata re{enija na neravenkite od sistemot, se vika mno`estvo re{enija na sistemot neravenki i se ozna~uva so Rs, t.e. Rs = R(ax > b) ∊ R(a1x > b1). Zapi{i go so interval mno`estvoto re{enija na dadeniot sistem. Dva sistema definirani vo isto mno`estvo se ekvivalentni ako imaat ednakvi mno`estva re{enija.

B 3.

£Œax b Daden e sistemot linearni neravenki Œ¤ i neravenkata a2x > b2 koja{to ŒŒ¼a1 x b1 e ekvivalentna so ax > b. £ £Œax b Œa2 x b2 Doka`i deka sistemot neravenki Œ¤ e ekvivalenten so sistemot Œ ¤ Œ ŒŒ¼a1 x b1 Œ ¼a1x b1.

Voo~i gi postapkite pri doka`uvaweto. 1

ÂŁÂŚax b Re{enie na sistemot neravenki Œ¤ e Rs = R(ax > b) ∊ R(a1x > b1). ÂŚÂŚÂĽa1 x b1

2

Od ax > b ⇔ a2x > b2 sleduva R(ax > b) = R(a2x > b2).

3

ÂŁa2 x b2 ÂŚ Re{enie na sistemot ÂŚ e Rs = R(a2x > b2) ∊ R(a1x > b1). ¤ ÂŚ ÂŚ ÂĽa1x b1

4

Od R(ax > b) = R(a2x > b2) sleduva deka R(a2x > b2) ∊ R(a1x > b1) = R(ax > b) ∊ R(a1x > b1),

F F F F

ÂŁa2 x b2 ÂŁÂŚax b ÂŚ t.e. Œ¤ ⇔ ÂŚ ¤ ÂŚ ÂŚÂŚÂĽa1 x b1 ÂŚ ÂĽa1x b1.

Sistem linearni neravenki so edna nepoznata

101

So toa doka`avme deka va`i slednava:

Teorema 1

F

Ako vo daden sistem neravenki se zameni koja bilo neravenka so neravenka ekvivalentna na nea, se dobiva sistem neravenki ekvivalenten na dadeniot.

Œ£Œ x 2 ŒŒ 3 3 0 Re{i go sistemot neravenki Œ¤ ŒŒ x 1 x 1 . ŒŒ 2 Œ¼ 4

4.

Vo kakov vid treba da gi dovede{ neravenkite od sistemot i kako }e go odredi{ negovoto re{enie?

Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i na brojna prava.

Prvo, neravenkite od sistemot }e gi transformiram vo re{ena forma, a potoa }e go odredam presekot od mno`estvata re{enija na dvete neravenki.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

ÂŁÂŚ x 2 ÂŚÂŚ 3 0 ÂŚÂŁ x 2 9 0 ÂŚÂŁ x 2 9 ÂŚÂŚ 3 ÂŚÂŁ x 7 ÂŚÂŁ x 7 ” Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ¤ ÂŚÂŚ x 1 ÂŚÂŚÂĽ x 1 4 2 x ÂŚÂŚÂĽ x 2 x 4 1 ÂŚÂŚÂĽ x 1 . ÂŚÂŚÂĽ3 x 3 x 1 ÂŚÂŚ 2 ÂŚÂĽ 4

F

F

Rs = (-�; 7) ∊ (-�; 1) = (-�; 1)

Rs = R(x < 7) ∊ R(x < 1) = (-�; 1)

5.

£Œ 2 x 1 x 1 ŒŒ 1 Œ 3 6 ¤ Re{i go sistemot neravenki Œ ŒŒ 3 x 1 x

1 ÂŚÂŚ 2 ÂŚÂĽ 4

Koga sistem od dve linearni neravenki so edna nepoznata mo`e da nema re{enie?

102

Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i na brojna prava.

Sistemot }e nema re{enie ako presekot od mno`estvata re{enija na dvete neravenki e prazno mno`estvo.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F

x 1 ÂŚÂŁÂŚ 2 x 1 ÂŚÂŚ 3 1 6 ÂŚÂŁ x 1 ÂŚÂŁ4 x x 1 2 6 ÂŚÂŁ3 x 3 ÂŚÂŁ4 x 2 6 x 1 Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂŚ 3 x 1 x ÂŚÂŚÂĽ x 3 . ÂŚÂŚÂĽ3 x 2 x 1 4 ÂŚÂŚÂĽ x 3 ÂŚÂŚÂĽ3 x 1 4 2 x

1 ÂŚÂŚ 2 ÂŚÂĽ 4 R(x > 1) = (1; +∞),

R(x < -3) = (-∞; -3);

Rs = R(x > 1) ∊ R(x < -3) = ∅.

Zapomni! Ako presekot na mno`estvata re{enija na dvete neravenki e prazno mno`estvo, toga{ se veli deka sistemot nema re{enie ili sistemot e protivre~en.

6.

Œ£Œ x 1 x 5 ŒŒ 2 4 Re{i go sistemot neravenki: Œ¤ ŒŒ 2 x 1 x 2 ŒŒ 3 Œ¼ 2

Treba da znae{: da re{i{ sistem linearni neravenki so edna nepoznata; da go pretstavi{ mno`estvoto re{enija na sistem linearni neravenki so edna nepoznata na brojna prava i so interval.

Proveri se! Œ£Œ x 2 ŒŒ 3 1 0 Re{i go sistemot linearni neravenki so edna nepoznata: Œ¤ ŒŒ x x 1 1. ŒŒ

4 ÂŚÂĽ 2 ÂŚÂŁax b [to e re{enie na sistemot linearni neravenki: Œ¤ ÂŚÂŚÂĽa1 x b1 i R(a1x > b1) = (0, +âˆ?)?

ako R(ax > b) = (-�, -1)

Sistem linearni neravenki so edna nepoznata

103

Zada~i 1. Re{i go sistemot: Œ£3 x 2 2 x 5 b) Œ¤ ŒŒ¼2 x 2 x 3 .

Œ£6 3 x 2 x a) Œ¤ Œ¼Œ9 6 x 3 x ;

2. Re{i go sistemot: £ x 2 Œ Œ x 7 Œ Œ 2 3 Œ ¤ a) Œ Œ 2 x 3 1 x 2 ; Œ Œ 3 Œ 4 ¼ £ x 2 x 1 1 x Œ Œ Œ Œ 3 2 6 2 Œ ¤ b) ŒŒ x 1 x 2 . Œ Œ 3 Œ2 6 ¼

3. Re{i go sistemot: Œ£3 x 2 p 2 x 3 2 x a) Œ¤ ŒŒ¼2 2 x 5 1b 3 x 1 £Œ5 x 2 2 x 1 x b) Œ¤ Œ¼Œ2 x 1 p 5 x .

4. Re{i go sistemot: £Œ x 2 2 3 x x 2 a) Œ¤ ŒŒ¼2 x x 1 x 2 x 1 4; £ Œ x 1 2 x 2 2 2 x 3 2 1 Œ Œ b) ¤ 1 x 1 2 x 1 x 9 Œ

. ÂŚ ÂŚ 3 3 6 ÂŚ ÂĽ2

LINEARNI FUNKCII

13

LINEARNA FUNKCIJA

Potseti se!

A 1.

Pravata i obratnata proporcionalnost se funkcii. Tie obi~no se zadavaat so formuli. Koja proporcionalnost e iska`ana so formulata y = 2x? Koja proporcionalnost e iska`ana so formulata

1 ? x

Kako }e presmeta{ kolku voda }e ima vo sadot za x = 1 minuta, a kako za x = 2 minuti?

104

Vo eden sad {to sobira 35 6 ima 5 6 voda. Edna cevka go polni sadot so 3 6 voda vo minuta. Kolku litri voda }e ima vo sadot po: 1 minuta; 2 minuti; 2,5 minuti; 5 minuti; 10 minuti? Kolku litri voda (y) }e ima vo sadot po izminati (x) minuti? Napravi tabela so dadenite podatoci.

Za x = 1 minuta, y = 3 â‹… 1 + 5 = 8 6; za x = 2 minuti, y = 3 â‹… 2 + 5 = 11 6.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Voo~i deka po x minuti vo sadot }e ima 3x + 5 litri voda, t.e. y = 3x + 5. Sogledaj deka procesot na polnewe na sadot so voda mo`e da se opi{e kako funkcija f dadena so formulata f(x) = 3x + 5. Spored formulata mo`e da sostavi{ tabela i za drugi vrednosti na x (vreme), pokraj dadenite. x

1

1,5

2

f(x) = 3x + 5

8

9,5

11

2,5

3

5

9

10

12,5 14

20

32

35

Po kolku minuti sadot }e se napolni so voda?

Voo~i deka, spored prirodata na problemot, vremeto x mo`e da se menuva od 0 do 10 minuti. Ako ja razgleda{ samo formulata f(x) = 3x + 5, toga{ x mo`e da bide koj bilo realen broj. Na sekoj realen broj x se pridru`uva odreden broj y, takov {to y = f(x). So formulata f(x) = 3x + 5 e dadena funkcijata f vo mno`estvoto R i pretstavuva primer za linearna funkcija.

Voo~i i zapomni! Funkcijata f {to e zadadena so formulata f(x) = kx + n, kade {to k i n se koi bilo dadeni realni broevi, se vika linearna funkcija. Brojot k se vika koeficient pred argumentot x, a n sloboden ~len. Ako linearnata funkcija e zadadena so formula i ako ni{to ne e re~eno za domenot, toga{ }e smetame deka domen na taa funkcija e R.

2.

Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: a) k = 3 i n = 5;

v) k = -2 i n = -1;

b) k = 2 i n = -3;

g) k = 5 i n = 0.

Kakov oblik ima funkcijata vo koja k = 5 i n = 0 od zada~ata 2? Kakva proporcionalnost pretstavuva funkcijata?

3.

Ako k = 5 i n = 0, toga{ funkcijata dobiva oblik f(x) = 5x. Toa e prava proporcionalnost.

Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: koeficientot pred argumentot e 4, a slobodniot ~len 2; koeficientot pred argumentot e -3, a slobodniot ~len 1; koeficientot pred argumentot e -2, a slobodniot ~len 0.

Linearna funkcija

105

B 4.

Dadena e linearnata funkcija f(x) = x - 2. Odredi: f (-2);

f (0);

f (2).

Za koja vrednost na argumentot x, vrednosta f(x) na funkcijata e nula?

Za x = 2 se dobiva f(x) = 2 - 2, t.e. f(x) = 0, za x = 2.

Zapomni! Vrednosta na argumentot x za koja vrednosta na funkcijata y e nula, se vika nula na funkcijata.

5.

Proveri dali brojot -3 e nula na funkcijata f(x) = x + 3.

6.

Odredi ja nulata na funkcijata: a) y = -3x + 6;

b) y = 2x - 1.

Voo~i deka, vo dadenite funkcii, namesto f(x) stoi y. Vaka }e gi zapi{uvame linearnite funkcii i natamu. Kako }e go odredi{ x vo funkcijata y = kx + n za da e y = 0?

Za da e y = 0, treba kx + n = 0. Ottuka kx = -n, a x

n , za k ≠0. k

Sporedi go tvoeto re{enie za funkcijata a).

F 7.

a) Vrednosta na funkcijata y = -3x + 6 e nula ako: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, t.e. brojot 2 e nula na funkcijata y = -3x + 6. Odredi ja nulata na sekoja od funkciite: a) y = x - 5;

b) y = 5x - 3;

v) y = -3x;

Treba da znae{:

g)

1 x 2 . 2

Proveri se!

da definira{ linearna funkcija;

Koja od slednive funkcii e linearna funkcija?

da poso~i{ koeficient i sloboden ~len na linearna funkcija;

a) y = 6x;

da odredi{ nula na linearna funkcija.

6 ; x g) y = -2x + 1; d) y = x + 3. b)

v) y = 2x2 - 1;

Odredi ja nulata na funkcijata y = -2x - 6.

106

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Zada~i 1. Odredi koja od slednive funkcii e linearna: a)

12 ; x

g) y = -2x + 3;

b) y = x - 1;

v) y = 3x;

2

d)

1 x 2. 2

2. Zapi{i ja linearnata funkcija vo koja: a) k = -2, n = 3;

b) k = -1, n = 2;

v) k = -2, n = 0;

g) k

1 1 , n . 4 2

3. Odredi go koeficientot pred argu-

mentot i slobodniot ~len vo funkciite: a) y = 2x - 3; v)

14

1 x 3 ; 3

b) y = 2x; g)

1 x. 2

4. Odredi ja nulata na funkcijata:

1 1 x ; 2 4

a) y = 3x - 6;

b)

v) y = 2x - 5;

g) y = 2x.

5. Nula na funkcijata y = kx + n e x = 2, a

n = -3. Odredi go koeficientot pred argumentot.

6. Za funkcijata y = kx + n, x = -2 e nula

na funkcijata, a slobodniot ~len e za 3 pogolem od koeficientot pred argumentot. Odredi gi k i n.

GRAFI^KO PRETSTAVUVAWE NA LINEARNA FUNKCIJA

Potseti se! Na crte`ot e daden pravoagolen koordinaten sistem Oxy.

A 1.

Niz to~kite O i A na crte`ot e povle~ena prava. Poka`i deka taa prava e grafik na funkcijata y = 2x. Proveri dali to~kite O(0, 0) i A(1, 2) mu pripa|aat na grafikot na funkcijata y = 2x.

Kako se vika oskata x, a kako oskata y? Kako se vika to~kata O? Odredi gi koordinatite na to~kata A. Kolku pravi minuvaat niz dve to~ki?

Poka`i deka to~kata (2, 4) mu pripa|a na grafikot na funkcijata y = 2x.

Linearna funkcija

107

Za x = 0, y = 2 ⋅ 0, y = 0. Za x = 1, y = 2 ⋅ 1, y = 2. Sledstveno to~kite O i A mu pripa|aat na grafikot na funkcijata.

Kako }e poka`e{ deka to~kite O(0, 0) i A(1, 2) mu pripa|aat na grafikot na funkcijata?

Voo~i, na crte`ot, deka e povle~ena prava niz to~kite O i A, koi{to mu pripa|aat na grafikot na funkcijata y = 2x. Sogledaj go obrazlo`enieto deka sekoja to~ka na pravata OA go zadovoluva uslovot y = 2x, a to~ka {to ne pripa|a na OA ne go zadovoluva toj uslov.

F Da izbereme proizvolna to~ka B(x , y ) {to le`i na pravata OA (vidi go crte`ot). F Voo~i deka ΔONB ~ ΔOMA. Od sli~nosta na tie triagolnici sleduva deka 1

1

NB : ON MA : OM , t.e. y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1. Zna~i to~kata B(x1, y1) mu pripa|a na grafikot na funkcijata y = 2x.

Da izbereme to~ka C {to ne pripa|a na pravata OA, a ima ista apscisa so to~kata B F (vidi go crte`ot). y = 2x , sleduva deka NB 2ON . Voo~i deka NC v 2ON , t.e. to~kata C ne go F Bidej}i zadovoluva uslovot y = 2x. Zna~i to~kata C ne mu pripa|a na grafikot na funkcijata. 1

1

Mo`eme da ka`eme deka grafikot na linearnata funkcija y = 2x e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok. Va`i op{to, t.e. va`i slednava

Teorema 1

F 2.

Grafikot na linearnata funkcija y = kx, za koj bilo k ∈ R e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok.

Dadena e funkcijata y = -3x. Proveri dali to~kite: A(1, -3) i B(-1, 3) mu pripa|aat na grafikot na funkcijata. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata.

B 3.

Na crte`ot e daden grafikot na funkcijata y = 2x i niz to~kite P i B e povle~ena prava. Poka`i deka pravata PB e grafik na funkcijata y = 2x + 3. Odredi gi koordinatite na to~kata P vo koja grafikot na funkcijata y = 2x + 3 ja se~e y - oskata. Spored crte`ot, odredi gi koordinatite na to~kata B koja{to mu pripa|a na grafikot na funkcijata y = 2x + 3. Odredi gi OP i AB .

108

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x = 0, y = 2 ⋅ 0 + 3; y = 3. Grafikot na funkcijata y = 2x + 3, ja se~e y oskata vo to~kata F Za P so koordinati P(0, 3). x = 1, y = 2 ⋅ 1 + 3; y = 5. To~kata B(1, 5) mu pripa|a na grafikot na funkcijata F Za y = 2x + 3. na argumentot x mu dade{ vrednost a, toga{ funkcijata y = 2x dobiva vrednost 2a, F aAko funkcijata y = 2x + 3 ima vrednost 2a + 3. Voo~i deka ordinatata na sekoja to~ka od grafikot na funkcijata y = 2x + 3 e za 3 F (slobodniot ~len) pogolema od ordinatata so ista apcisa na funkcijata y = 2x. OP i AB se paralelni i OP AB . Spored toa ~etiriagolnikot OABP e F Otse~kite paralelogram, a od toa sleduva deka pravite OA i PB se paralelni. Voo~i deka grafikot na linearnata funkcija y = 2x + 3 e prava paralelna so grafikot na funkcijata y = 2x, a ordinatnata oska ja se~e vo to~kata (0, 3). Va`i op{to, t.e. va`i slednava

Teorema 2

F 4.

Grafikot na funkcijata y = kx + n e prava paralelna so grafikot na funkcijata y = kx, a ordinatnata oska ja se~e vo to~kata (0, n). Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata y = 2x - 3 ja se~e y - oskata.

V 5.

Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = 3x - 2. So kolku to~ki e opredelena edna prava? Mo`e{ li toa da go iskoristi{ vo ovaa zada~a?

Prava e opredelena so dve to~ki {to £ pripa|aat. Zna~i, treba da gi odredam koordinatite na dve to~ki {to pripa|aat na grafikot na funkcijata.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

y = 3x - 2 x

0

1

y = 3 ⋅ 0 - 2,

y = -2,

A(0, -2)

y

-2

1

y = 3 ⋅ 1 - 2,

y = 1,

B(1, 1)

Linearna funkcija

109

Voo~i i zapomni! Linearna funkcija grafi~ki se pretstavuva na toj na~in {to prvo }e se odredat koordinatite na dve to~ki od nejziniot grafik, potoa tie to~ki se pretstavuvaat vo koordinatnata ramnina i niz niv se povlekuva prava. Taa prava go pretstavuva grafikot na dadenata funkcija.

6.

Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = -2x + 1.

7.

Na crte`ot grafi~ki e pretstavena funkcijata y = x - 2. Odredi gi koordinatite na prese~nata to~ka A na grafikot so apscisnata oska. Odredi ja nulata na funkcijata.

x

0

2

y

-2

0

Sporedi ja nulata na funkcijata so apscisata na prese~nata to~ka. [to voo~uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Ako

y = 0, toga{ 0 = x - 2, x = 2, t.e. A(2, 0); nula na funkcijata e 2.

Zapomni! Apscisata na prese~nata to~ka na grafikot na linearnata funkcija i x-oskata e nulata na funkcijata.

Treba da znae{: da odredi{ dali dadena to~ka mu pripa|a na grafikot na dadena funkcija;

Proveri se!

da gi odredi{ koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata ja se~e ordinatnata oska;

Koja od to~kite: A(0, 0), B(2, 6) i C(-1, 3) mu pripa|a na grafikot na funkcijata y = -3x?

grafi~ki da pretstavi{ linearna funkcija;

Pretstavi ja grafi~ki funkcijata y = 2x - 1.

od grafikot na funkcijata da ja odredi{ nulata na funkcijata.

Od grafikot odredi ja nulata na funkcijata, a potoa izvr{i proverka.

Zada~i 1. Koja od to~kite: A(-2, -5), B(-1, -2),

C(0, 3) i D(2, -1) pripa|a na grafikot na funkcijata y = x - 3?

110

2. Za koja vrednost na x to~kata A(x, 2) mu pripa|a na grafikot na funkcijata y = 3x - 1?

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

3. Pretstavi gi grafi~ki funkciite: y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x - 2.

4. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja funkcijata y = 2x - 4 ja se~e apscisnata oska.

15

5. Vo funkcijata y = -2x + n odredi go n

taka {to to~kata P(1, 3) da pripa|a na nejziniot grafik.

6. Vo funkcijata y = kx - 2 odredi go k

taka {to to~kata A(1, 0) da pripa|a na nejziniot grafik.

ZAEMNA POLO@BA NA GRAFICITE NA NEKOI LINEARNI FUNKCII

Potseti se!

A 1.

Grafikot na funkcijata y = kx minuva niz koordinatniot po~etok. Na koja od funkciite: y = 3x, y = x - 3,

1 x , grafikot ÂŁ minuva niz koor2 dinatniot po~etok?

Koi od funkciite:

Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem, funkciite: y = 2x; y = 2x - 3; y = 2x + 3; Voo~i {to imaat zaedni~ko dadenite funkcii. Vo kakva zaemna polo`ba se graficite na funkciite y = 2x - 3 i y = 2x + 3 so grafikot na funkcijata y = 2x?

1 1 x 1; x 1 ; y = 2x + 1; 2 2 imaat ist koeficient pred argumentot?

Na crte`ot se pretstaveni graficite na funkciite. Kakvi se nivnite koeficienti i kakva e zaemnata polo`ba na nivnite grafici? Dadenite funkcii imaat ist koeficient pred argumentot, a nivnite grafici se paralelni pravi. Toa va`i op{to za funkciite so ist koeficient pred argumentot.

Zapomni! Graficite na linearnite funkcii so ist koeficient pred argumentot se paralelni pravi.

2.

Dadena e funkcijata

1 x 2 . Na koja od funkciite: 2

1 x 2; 2

1 x 5 grafikot e prava paralelna so grafikot na dadenata funkcija? 2

2x

Linearna funkcija

1 ; 2

111

3.

Vo funkcijata y = kx - 3 odredi go k taka {to nejziniot grafik da bide prava paralelna so grafikot na funkcijata y = 5x - 2.

B 4.

Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem, funkciite: y = -2x + 3;

y = x + 3;

y = -x + 3.

Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na sekoja od funkciite ja se~e y - oskata; Voo~i {to imaat zaedni~ko dadenite funkcii.

Voo~i gi slobodnite ~lenovi na funkciite. Kakvi se tie me|u sebe?

Dadenite funkcii imaat ist sloboden ~len +3 i razli~ni koeficienti pred argumentot. Tie ja se~at ordinatnata oska vo to~ka so koordinati (0, 3).

Toa va`i op{to za funkciite so ist sloboden ~len n.

Zapomni! Graficite na linearnite funkcii so ist sloboden ~len se pravi koi ordinatnata oska ja se~at vo to~ka so koordinati (0, n).

1 x 2; i y = -2x + 3. 2 Koi od graficite na tie funkcii se se~at vo to~ka na y - oskata? Odredi gi koordinatite na taa to~ka.

5.

Dadeni se funkciite: y = 3x - 2;

6.

Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata

1 x 2 ja 2

se~e ordinatnata oska.

V 7.

Zapi{i gi funkciite vo koi: a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; i v) k = 0, n = -2.

Pretstavi gi dobienite funkcii grafi~ki. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) k = 0, n = 3 y=0â‹…x+3 y=3

b) k = 0, n = 1 y=0â‹…x+1 y=1

y=0â‹…x+3

y=0â‹…x+1

112

v) k = 0, n = -2 y=0â‹…x-2 y = -2 y=0â‹…x-2

x

1

2

x

1

2

x

y

3

3

y

1

1

y

1

2

-2 -2

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Voo~uva{ deka koeficientot pred argumentot vo dadenite funkcii e 0, a nivnite grafici se pravi paralelni so apscisnata oska. Vo funkcijata y = 0 â‹… x + n e y = n, t.e. za sekoja vrednost na x, vrednosta na y e n. Funkcijata y = n se vika konstantna funkcija.

Voo~i i zapomni! Grafikot na konstantnata funkcija y = n e prava parelelna so x-oskata. Nejziniot grafik ja se~e y-oskata vo to~kata (0, n).

Proveri se!

Treba da znae{: da objasni{ koga graficite na linearni funkcii se paralelni pravi; da objasni{ koga graficite na funkcii se se~at vo ista to~ka na y-oskata; grafi~ki da pretstavi{ konstantna funkcija.

Dadena e funkcijata y = 2x - 3. Na koja od slednive funkcii y = -2x + 3, y = 2x - 1 i

1 x 3 grafikot e prava 2

koja {to: a) e paralelna so grafikot na dadenata funkcija; b) ja se~e ordinatnata oska vo ista to~ka so grafikot na dadenata prava?

Zada~i 1. Koja od funkciite:

4. Vo funkcijata y = 2x + n odredi go n

1 x 2 3 ima grafik prava paralelna so grafikot na funkcijata y = 3x?

taka {to to~kata M(0, -1) da mu pripa|a na grafikot na funkcijata.

2. Odredi go k taka {to grafikot na

5. Odredi gi k i n taka {to grafikot na

y = 3x - 2; y = -3x + 2;

funkcijata y = kx + 2 da bide prava paralelna so grafikot na funkcijata

3 x

1 . 2

3. Odredi gi k i n taka {to grafikot na

funkcijata y = kx + n da bide paralelen so grafikot na funkcijata y = 2x - 1 i da ja se~e ordinatnata oska vo to~kata M(0, -3).

funkcijata y = kx + n da bide paralelen so grafikot na funkcijata y = -2x + 1 i to~kata P(-2, 6) da pripa|a na grafikot na taa funkcija.

6. Pretstavi gi grafi~ki, vo ist koordinaten sistem funkciite: y = -3; y = 2 i y = 4.

Linearna funkcija

113

16

RASTEWE I OPA\AWE NA LINEARNATA FUNKCIJA

Potseti se!

A 1.

Dadena e linearnata funkcija y = 3x - 2. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}. Pretstavi ja funkcijata grafi~ki.

Na crte`ot e pretstaven koordinaten sistem Oxy.

Kako se menuva vrednosta na funkcijata ako argumentot x se zgolemuva? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. y = 3x - 2 Kako se menuva goleminata na broevite {to se pretstaveni na x-oskata, odlevo nadesno?

x

-2 -1

0

1

2

y

-8 -5 -2

1

4

Kako se menuva goleminata na broevite {to se pretstaveni na y-oskata, odozgora nadolu?

tabelata mo`e{ da voo~i{ deka: F Od ako se zgolemuva vrednosta na argumentot, toga{ se zgolemuva i vrednosta na funkcijata. Poradi toa za funkcijata y = 3x - 2 se veli deka e raste~ka.

Op{to Za linearnata funkcija y = kx + n se veli deka e raste~ka, ako so zgolemuvaweto na vrednosta na argumentot x se zgolemuva i vrednosta y na funkcijata.

2.

Dadena e funkcijata y = 4x - 1. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x ∈ {0, 1, 2, 3}. Utvrdi dali funkcijata e raste~ka.

B 3.

Dadena e funkcijata y = -2x + 1. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2} i grafi~ki. Kako se menuva vrednosta na funkcijata, ako vrednosta na argumentot se zgolemuva?

114

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x y

-2 -1 5

3

0 1

1

2

-1 -3

tabelata mo`e{ da voo~i{ deka: F Od ako se zgolemuva vrednosta na argumentot

x, toga{ vrednosta na funkcijata y se namaluva. Poradi toa za funkcijata y = -2x + 1 se veli deka e opadnuva~ka.

Op{to Za linearnata funkcija y = kx + n se veli deka e opadnuva~ka, ako so zgolemuvawe na vrednosta na argumentot x vrednosta na funkcijata se namaluva.

4.

Dadena e funkcijata y = -3x + 2. Pretstavi ja funkcijata so tabela za x ∈ {0, 1, 2, 3}. Utvrdi dali funkcijata e opadnuva~ka.

5.

Kakov broj (pozitiven ili negativen) e koeficientot pred argumentot vo funkciite: y = 3x - 2 i y = 4x - 1 od zada~ite 1 i 2? Kakov broj e koeficientot pred argumentot vo funkciite: y = -2x + 1 i y = -3x + 2 od zada~ite 3 i 4? Koi od funkciite se raste~ki, a koi opadnuva~ki? [to zaklu~i za dadenite funkcii: koga tie se raste~ki, a koga opadnuva~ki?

Vo funkciite: y = 3x - 2 i y = 4x - 1 koeficientot pred argumentot e pozitiven broj i tie se raste~ki. Vo funkciite: y = -2x + 1 i y = -3x + 2 koeficientot pred argumentot e negativen broj i tie se opadnuva~ki.

Toa {to go voo~i za funkciite: y = 3x - 2 i y = 4x - 1, odnosno za y = -2x + 1 i y = -3x + 2 i za konstantnite funkcii y = 3, y = 1, y = - 2 va`i op{to za linearnite funkcii.

Zapomni! Ako vo funkcijata y = kx + n, koeficientot k e pozitiven, toga{ funkcijata e raste~ka, a ako k < 0, funkcijata e opadnuva~ka. Ako k = 0, toga{ funkcijata y = n ni raste ni opa|a.

6.

Odredi koja od slednive funkcii e raste~ka, a koja opadnuva~ka: a)

1 x 3; 2

b) y = x - 5;

v) y = -5x + 2;

g)

1 x 1; 2

g) y = -1.

Linearna funkcija

115

Treba da znae{: da utvrdi{ dali edna linearna funkcija e raste~ka ili opadnuva~ka; da ja objasni{ postapkata za utvrduvawe dali edna linearna funkcija e raste~ka ili opadnuva~ka.

Proveri se! Odredi od tabelata dali funkcijata e raste~ka ili opadnuva~ka. x

a) y = 3x - 5;

y

0

1

2

3

-5 -2

1

4

b)

1 x 2. 2

x

0

2

4

6

y

2

1

0

-1

Odredi dali funkcijata y = kx + n e raste~ka ili opadnuva~ka ako: a) k

1 ; 2

b) k = -3;

v) k

2 ; 3

g) k = 0.

Zada~i 1. Odredi koja od dadenive funkcii e raste~ka:

2 x 2; 5 b) y = -2x + 5; a)

a) p = 2;

b) y = -3x + 1;

v) y = 3x - 5; g)

a) a = 0;

b) a = 5.

1 x 2. 2 2

3

funkcijata y = kx + n e

116

5. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata

y = (a - 3)x + 1 i utvrdi dali taa e raste~ka ili opadnuva~ka, ako:

3. Za koja vrednost na k ∈ {-2, - 1 , 1 , 3} a) raste~ka;

b) p = -1.

g) y = x - 2.

opadnuva~ka: a)

y = 2px - 1 i utvrdi dali taa e raste~ka ili opadnuva~ka, ako:

v) y = -x - 3;

2. Odredi koja od dadenive funkcii e 1 x 2; 3

4. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata

b) opadnuva~ka?

6.

Grafikot na funkcijata y = kx + n ja se~e y - oskata vo to~ka P(0, 2) i minuva niz to~kata A(1, -1). Odredi dali funkcijata e raste~ka ili opadnuva~ka.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

17

GRAFI^KO RE[AVAWE NA LINEARNI RAVENKI SO EDNA NEPOZNATA

Potseti se!

A 1.

Nula na funkcijata e vrednosta na argumentot za koja vrednosta na funkcijata e ednakva na nula. Odredi ja nulata na funkcijata y = 2x - 4. Odredi gi koordinatite na to~kata vo koja grafikot na funkcijata y = 2x - 4 ja se~e x-oskata.

Kako }e go odredi{ re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0 so pomo{ na grafikot na funkcijata y = 3x - 6?

Dadena e funkcijata y = 3x - 6. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Od grafikot odredi ja nulata na funkcijata. Odredi go re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0. Sporedi ja nulata na funkcijata y = 3x - 6 so re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0.

Funkcijata y = 3x - 6 }e ja pretstavam grafi~ki i }e gi odredam koordinatite na prese~nata to~ka na grafikot so xoskata. So toa }e ja odredam i nulata na funkcijata, a toj broj e re{enie na ravenkata 3x - 6 = 0.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Prese~nata to~ka na grafikot i x-oskata e M(2, 0). F Nulata na funkcijata y = 3x - 6 e x = 2. F Re{enieto na ravenkata 3x - 6 = 0 e 3x - 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x

6 , x = 2. 3

na ravenkata 3x - 6 = 0 e apscisata na F Re{enie prese~nata to~ka na grafikot na funkcijata y = 3x - 6 i x - oskata, t.e. x = 2.

Toa va`i op{to za linearnite ravenki.

Voo~i i zapomni! Re{enie na ravenkata ax + b = 0, za a ≠ 0 e apscisata na prese~nata to~ka na grafikot na funkcijata y = ax + b so x-oskata.

2.

Re{i ja grafi~ki ravenkata x + 2 = 0.

Linearna funkcija

117

B 3.

Re{i ja grafi~ki ravenkata 2x - 3 = -x + 3.

Voo~i deka ravenkata 2x - 3 = -x + 3 mo`e{ da ja re{i{ grafi~ki ako prethodno ja transformira{ vo op{ta forma ax + b = 0. Postapi spored barawata i sogledaj drug na~in na grafi~ko re{avawe na ravenkata. Re{i ja ravenkata 2x - 3 = -x + 3. Od izrazite na levata i desnata strana na ravenkata zapi{i gi funkciite y = 2x - 3 i y = -x + 3, a potoa pretstavi gi grafi~ki. Sporedi go re{enieto na ravenkata so apscisata na prese~nata to~ka na graficite na funkciite. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. y = 2x - 3

y = -x + 3

x

1

x

0

1

-3 -1

y

3

2

y

0

deka graficite na dvete funkcii se se~at F Voo~uva{ vo to~kata M(2, 1). na to~kata M e F Apscisata ravenkata 2x - 3 = -x + 3.

x = 2, a toa e i re{enie na

pred argumentot na dvete funkcii se razli~ni (2 ≠-1), graficite imaat F Koeficientite edna zaedni~ka to~ka i ravenkata ima edinstveno re{enie.

4.

Re{i ja grafi~ki ravenkata 2x - 3 = x + 1.

5.

Re{i ja grafi~ki ravenkata 2x - 1 = 2x + 3. Sporedi gi koeficientite pred argumentot na funkciite {to }e gi dobie{. [to voo~uva{? Vo kakva zaemna polo`ba }e bidat graficite?

Dvete funkcii y = 2x - 1 i y = 2x + 3 imaat ist koeficient pred argumentot, a slobodnite ~lenovi im se razli~ni. Graficite na ovie funkcii se paralelni pravi, t.e. nemaat zaedni~ka to~ka.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. y = 2x - 1

y = 2x + 3

x

0

1

x

0

-1

y

-1

1

y

3

1

Graficite na funkciite y = 2x - 1 i y = 2x + 3 se paralelni pravi. Tie nemaat zaedni~ka to~ka, pa ravenkata nema re{enie.

118

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

6.

Koja od dadenite ravenki nema re{enie? a) 2x - 3 = 3x - 2;

7.

b) 4x - 1 = 4x + 2;

v) 2x - 5 = -2x + 3.

Re{i ja grafi~ki ravenkata 2x + 1 = 2x + 1. Sporedi gi koeficientite i slobodnite ~lenovi na funkciite {to gi dobiva{ so izrazite na levata i desnata strana na ravenkata. [to zaklu~uva{?

Koeficientite pred argumentot i slobodnite ~lenovi na funkciite: y = 2x + 1 i y = 2x + 1 se ednakvi, a graficite na funkciite se sovpa|aat.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Voo~i deka ravenkata

2x + 1 = 2x + 1 e identitet.

y = 2x + 1

y = 2x + 1

x

0

1

x

0

-1

y

1

3

y

1

-1

Graficite na funkciite se pravi {to se sovpa|aat i ravenkata ima beskone~no mnogu re{enija.

8.

Odredi koja od slednive ravenki: 3x - 1 = 2x + 1; 3x - 2 = 3x + 1; 5x - 1 = 5x -1. a) ima samo edno re{enie; b) nema re{enie; v) ima beskone~no mnogu re{enija.

Treba da znae{: grafi~ki da re{i{ linearna ravenka so edna nepoznata; od grafikot da zaklu~i{ dali ravenkata ima edno re{enie, dali nema re{enie ili ima beskone~no mnogu re{enija.

Proveri se! Spored crte`ot odredi go re{enieto na ravenkata 2x - 1 = x + 1. Odredi kolku re{enija ima sekoja od dadenite ravenki: 2x - 1 = 2x + 3; 3x - 2 = 2x - 3.

Zada~i 1. Re{i ja grafi~ki ravenkata: a) x - 2 = 0;

b) 2x - 6 = 0.

3. Vo ravenkata 2x - 3 = kx + 1, odredi go

k taka {to ravenkata da nema re{enie.

2. Re{i ja grafi~ki ravenkata: a) x + 1 = 2x - 1;

b) 3x - 1 = -x + 3.

Linearna funkcija

119

4. Odredi gi k i n vo funkcijata y = kx + n taka {to ravenkata kx + n = 2x + 3 da ima beskone~no mnogu re{enija.

Obidi se ... Tolstoevite kosa~i Edna grupa kosa~i trebalo da okosi 2 livadi, od koi ednata e dvapati pogolema od drugata. Polovina den site kosa~i kosele na golemata livada, a potoa se podelile na dve ednakvi grupi. Prvata grupa ostanala da kosi na golemata livada i ja dokosila do krajot na denot, a vtorata grupa kosela na malata livada i na krajot na denot ÂŁ ostanal eden del od livadata. Toj del go okosil eden kosa~, kosej}i celiot nareden den. Kolku kosa~i bile vo grupata?

S O

18

R A B O T A P O D A T O C I

SLU^AJNI NASTANI. VEROJATNOST NA NASTAN

Potseti se! Eden fudbalski tim igra natprevar. Mo`ni ishodi od natprevarot vo vrska so rezultatot se: pobeda, nere{eno, poraz. Vo edna kutija ima beli, crni i crveni top~iwa. Se izvlekuva edno top~e. Koi se mo`nite ishodi od izvlekuvaweto? Edna kocka za igrawe se frla na masa i po nejzinoto zastanuvawe, edna nejzina strana e odozgora. Koi ishodi se mo`ni vo vrska so brojot na to~kite na taa strana?

A 1.

Bojan frla moneta vo vozduh. Po nejzinoto pa|awe na zemja mo`no e na nejzinata gorna strana da se pojavi "glava# ili "broj#. Kolku mo`ni ishodi ima?

Bojan saka da se pojavi "broj#, t.e. povolen ishod za Bojan e "broj#. Kakvi se {ansite da padne "broj# vo odnos na "glava#? Kolku pati mo`e da se povtori frlaweto moneta vo vozduh? Frlaweto moneta vo vozduh e eksperiment. Izvlekuvawe karta od {pil so 52 karti e drug primer na eksperiment. Sekoj rezultat (ishod) vo vrska so daden eksperiment E se vika nastan (ili posledica) {to e vo vrska so toj eksperiment.

Pri eksperimentot frlawe moneta vo vozduh {ansata da se pojavi "broj# ili "glava# e ednakva. Za ovie nastani velime deka se ednakvo mo`ni. Eksperimentot E "frlawe moneta vo vozduh# mo`e da se povtori, pod isti uslovi, kolku {to sakame pati, t.e. mo`e da se napravi serija od n takvi eksperimenti.

120

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Vo sekoj od tie eksperimenti da go nabquduvame nastanot A: "padna glava#. So r(A) da go ozna~ime brojot od eksperimentite vo koi se pojavil nastanot A vo edna serija od n eksperimenti. Konkretno! Vo slednata tabela e zapi{ano nabquduvaweto na nastanot A: "padna glava# vo pet serii od po 100 eksperimenti. Voo~i go koli~nikot W &

Serija

r(A)

1

52

0,52

2

49

0,49

3

53

0,53

4

51

0,51

5

48

0,48

n

W &

n

, t.e.

W &

100

za sekoja serija.

W &

se blisku do brojot n 0,5. Ako brojot na eksperimentite vo serijata se zgolemuva, toga{ brojot od toj koli~nik }e bide se poblisku do 0,5. Ovoj broj pretstavuva statisti~ka vrednost za nastanot A. Voo~i deka broevite vo kolonata

Brojot do koj se pribli`uvaat koli~nicite

W &

od izveden nite serii se vika statisti~ka verojatnost na nastanot A. Se ozna~uva so V(A).

Ako razgledame serija od n eksperimenti, toga{ brojot r(A) na pojavuvawe na nastanot A mo`e da bide najmalku 0, a najmnogu n, t.e. 0 b W & b n . Ako podelime so n, }e dobieme W &

0 W & n b b , t.e. 0 b b 1. n n n n

Voo~i deka brojot

W &

n

za sekoja serija od n eksperimenti e pome|u 0 i 1. Spored toa i

statisti~kata verojatnost na nastanot A e pome|u 0 i 1, t.e. 0 b V & b 1 . Nastanot A: "padna glava# vo eksperimentot "frlawe moneta vo vozduh# se narekuva slu~aen nastan.

Op{to Za eden nastan A vo vrska so eksperimentot E se veli deka e slu~aen nastan, ako va`at slednite dva uslovi:

1. 2.

F F

Eksperimentot E mo`e da se povtori pri isti uslovi kolku {to sakame pati. Od pove}e izvr{eni serii na eksperimentot E, pribli`no se ednakvi koli~nicite W &

n

2.

na tie serii.

Maja ima igra~ka, {to se vika vrtele{ka. Ako ja zavrti strelkata mo`ni se tri nastani: strelkata da zastane na crveno pole, na `olto pole ili na sino pole. Voo~i ja goleminata na sekoe pole. Dali sekoj od nastanite e ednakvo mo`en? Ako ne, koj nastan e so najgolema mo`nost?

Linearna funkcija

121

F F

Nastanite ne se ednakvo mo`ni bidej}i trite oboeni poliwa ne se so ista golemina. [ansite strelkata da zastane na crveno pole se najgolemi bidej}i crvenoto pole ima najgolema plo{tina. Zna~i, strelkata da zastane na crveno pole e najmo`en ili najverojaten nastan.

3.

Razgledaj gi crte`ite od eksperimentite. Za sekoj eksperiment zapi{i: mo`ni nastani; dali tie nastani se ednakvo mo`ni; ako nastanite ne se ednakvo mo`ni, koj nastan e najverojaten.

Vrtewe strelka na vrtele{ka

Frlawe topka vo ko{

Frlawe sina i crvena kocka vo isto vreme (nastanite se podredeni parovi)

Vrtewe strelka na vrtele{ka

Frlawe moneta od dva denari

Nastanot od nekoj eksperiment mo`e da bide siguren, nevozmo`en ili mo`en (verojaten).

B 4.

Frlawe kocka so strani ozna~eni so A, B, V, G, D, \

Razgledaj gi primerite: Dadeni se tri kutii so top~iwa vo boja. Pod sekoja kutija se zapi{ani tvrdewa za nastani od izvlekuvawe top~iwa bez gledawe.

SODR@I 20

Sigurno mo`e da se izvle~e crno top~e. Nevozmo`no e da se izvle~e crveno top~e.

122

SODR@I 10 10

Mo`no e da se izvle~e ili crno ili crveno top~e. Nevozmo`no e da se izvle~e belo top~e.

SODR@I 6 14

Mo`no e da se izvle~e ili crno ili crveno top~e. Pove}e e mo`no da se izvle~e crveno otkolku crno top~e.

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

Koga e sigurno deka nastanot }e se slu~i, velime deka ima verojatnost 1 ili 100%. Primer, izvle~eno crno top~e od prvata kutija. Koga e nevozmo`no deka nastanot }e se slu~i, velime deka ima verojatnost 0. Primer, izvle~eno belo top~e od vtorata kutija. Site drugi mo`nosti ili verojatnosti se me|u 0 i 1. Primer, izvle~eno crveno top~e od tretata kutija.

5.

Voo~i ja skalata na verojatnost. ednakvo mo`no

nevozmo`no

pove}e verojatno

malku verojatno 0

0,1

0,2

0,3

0,4

sigurno

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Koristej}i ja skalata na verojatnost za sekoj nastan od listata dadena podolu, odgovori: a) kolkava e verojatnosta za nastanot da se slu~i, opi{i so: nevozmo`no, malku verojatno, ednakvo verojatno, pove}e verojatno ili sigurno;

Nastan 1

Utre patuva{ na Mars.

2

Ve~er }e pi{uva{ doma{na rabota po matematika.

3

Site tvoi drugari }e odat na u~ili{te utre.

4

]e vrne denes.

5

Eden vulkan }e ima erupcija ovaa godina.

6

]e zavrne sneg vo avgust.

7

]e zavrne do`d ovaa godina.

8

Ako frli{ plasti~no {i{e, toa }e se skr{i.

9

]e patuva{ so brod od Skopje do Bitola.

10 Ako frla{ kocka }e padne brojot 5.

1

100%

0,9 90% 0,8 80% 0,7 70% 0,6 60%

ednakvo mo`no 0,5 50% malku verojatno

v) obrazlo`i go sekoj odgovor.

sigurno pove}e verojatno

b) nacrtaj skala kako dadenata i na nea ozna~uvaj gi nastanite 1, 2, 3, ... 10, spored toa kolkava e verojatnosta toj da se slu~i;

nevozmo`no

0,4 40% 0,3 30% 0,2 20% 0,1 10% 0

Linearna funkcija

123

Treba da znae{:

Proveri se!

da razlikuva{ mo`ni od nemo`ni nastani; da obrazlo`i{ koj nastan e slu~aen nastan; da navede{ primeri na nastani so verojatnost 0, me|u 0 i 1 i verojatnost 1; da proceni{ verojatnost na nastan pri ednostaven eksperiment.

Zapi{i po eden primer: nastan {to ima verojatnost 0; nastan {to ima verojatnost 0,5; nastan {to ima verojatnost 1.

Zada~i 3. Zapi{i ja sekoja bukva od zborot

1. Voo~i gi vrtele{kite:

a)

b)

v)

ANANAS na posebna karti~ka. Izme{aj gi karti~kite i vle~i karti~ki bez gledawe.

g)

Koj od redosledot po koj se zapi{ani e soodveten za podreduvawe spored verojatnosta strelkata da zastane na sinoto pole? a b v g; g v b a; a v b g; v b g a.

2. Vo edno }ese ima 2 sini kocki i 3 portokalovi kocki. Opi{i ja verojatnosta da se izvle~e:

Opi{i ja verojatnosta da izvle~e{: a) bukva N; b) bukva A; v) bukva A ili bukva N; g) bukva S. Kolku najmalku karti~ki treba da izvle~e{ za da bide{ siguren deka }e go dobie{ imeto ANA?

Obidi se: Vo edna fioka ima crni i crveni ~orapi. Kolku najmalku pati Ace treba da zema, bez gledawe, po eden ~orap od fiokata, za da bide{ siguren deka }e izvle~e eden par ~orapi so ista boja?

sina kocka; portokalova kocka; ili sina kocka ili portokalova kocka; `olta kocka.

124

Tema 2. Linearna ravenka, linearna neravenka i linearna funkcija

U^E[E ZA LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I ZA LINEARNA FUNKCIJA. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE 1. 2.

Proveri dali x = 3 e re{enie na ravenkata 3x - 2 = x + 4. Ravenkata 5x - 3 = 2x + 3 ima re{enie x = 2. Koja od slednive ravenki e ekvivalentna so dadenata: a) x + 2 = 7 - x; b) 2x - 1 = x + 1; v) 3x - 1 = 2x + 3?

3.

Re{i ja ravenkata: a) 3x - 2,5 = x + 1,7; b) 4(x - 1) - 3(2x + 1) = -9; v)

4.

5. 6.

3 x 1 2 x 1. 4 5

Vo ravenkata ax + 4 = 5x - a + 11 opredeli go a taka {to x = -2 da bide re{enie na taa ravenka. Zbirot na tri posledovatelni prirodni broevi e 84. Koi se tie broevi? Od mestoto A kon mestoto B trgnal kamion koj se dvi`i so brzina 50 km na ~as. Dva ~asa podocna od A trgnala lesna kola koja se dvi`i so brzina 75 km na ~as. Lesnata kola go stignala kamionot vo mestoto B. Odredi go rastojanieto me|u mestata A i B.

7.

Proveri dali x = -1 e re{enie na neravenkata 3x2 - 2x > x + 3.

8.

Vo mno`estvoto D = {0, 1, 2, 3} se zadadeni neravenkite: 2x - 1 > x - 2; 3x + 1 > 2x - 3. Proveri dali dadenite neravenki se ekvivalentni.

9.

Re{i ja neravenkata: a) 4(x - 1) > 3x - 1;

x 1 x 2 x 3 . 3 6 2 Re{enieto prestavi go so interval i grafi~ki.

b)

10. Re{i go sistemot neravenki: Œ£ 8 2 1 a) Œ¤ ŒŒ¼2 3 5 15;

£ x 1 x 1 Œ Œ 1 Œ 4 b) ¤ 3 Œ Œ Œ ¼3 x 1 3 x 1. Re{enieto na sistemot pretstavi go so interval i grafi~ki.

11. Dadena e linearnata funkcija y = 2x -3. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata. Odredi ja nulata na funkcijata.

12. Dadena e funkcijata y = 2x - 3.

Odredi koja od to~kite: A(0, -3), B(1, 1) i C(2, 1) pripa|a na grafikot na taa funkcija.

13. Vo funkcijata y = 2x + n odredi go n

taka {to to~kata M(1, -1) da pripa|a na grafikot na taa funkcija.

14. Odredi koja od slednive funkcii e raste~ka, a koja spadnuva~ka: y = -3x + 1; y = 3x - 2; y = 2x - 3; y = -x - 1.

15. Re{i ja grafi~ki ravenkata 3x - 1 = x + 3.

Proveri go tvoeto znaewe

125

126

TEMA 3.

SISTEM LINEARNI RAVENKI

LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI 1. Linearna ravenka so dve nepoznati 128 2. Ekvivalentni linearni ravenki so dve nepoznati 131 SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI 3. Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati 4. Grafi~ko re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati

134 138

5. Re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metod na zamena 6. Re{avawe sistem linearni ravenki so dve nepoznati so metod na sprotivni koeficienti 7. Primena na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati 8. Re{avawe problemi so principot na Dirihle Proveri go tvoeto znaewe

Linearni ravenki so dve nepoznati

141 145 148 153 157

127

LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

1

LINEARNA RAVENKA SO DVE NEPOZNATI

Potseti se!

A 1.

Spored brojot na nepoznatite edna ravenka mo`e da bide: - so edna nepoznata; - so dve nepoznati itn. Spored stepenot na nepoznatite ravenkata mo`e da bide: - linearna (ravenka od prv stepen); - kvadratna (ravenka od vtor stepen); - kubna (ravenka od tret stepen) itn. Spored toa dali ravenkata sodr`i parametri ili ne, taa mo`e da bide: - parametarska ravenka; - ravenka so posebni koeficienti. Voo~i gi ravenkite: a) 2x + 3 = 5; b) 2x + y = 3; 2 g) 2x + y = kx + 3. v) 2x = x + 1; Na sekoja od ravenkite opredeli 単 go vidot spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatite. Koja od ravenkite e ravenka so parametar?

Koi vrednosti mo`e da ima x, a koi y vo ravenkata x + y = 9?

Jovan i Ilija zaedno imaat 9 bonboni. Kolku bonboni ima Jovan, a kolku Ilija? Kolku re{enija ima zada~ata? Voo~i gi slednive re{enija na zada~ata:

Jovan 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ilija 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Neka so parot broevi (0,9) e pretstaveno re{enieto: Jovan ima 0 bonboni, a Ilija ima 9 bonboni. Zapi{i gi kako podredeni parovi site drugi re{enija, ako prviot broj vo parot e brojot bonboni na Jovan, a vtoriot broj vo parot e brojot bonboni na Ilija. Neka x e brojot bonboni na Jovan, a y e brojot od bonboni na Ilija. Re~enicata Jovan i Ilija zaedno imaat 9 bonboni, mo`e da se zapi{te: x + y = 9.

Vrednostite na promenlivite x i y se elementi na mno`estvoto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, taka {to nivniot zbir e 9.

Mno`estvoto A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} pretstavuva definiciono mno`estvo za ravenkata x + y = 9. Mno`estvoto podredeni parovi R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} pretstavuva mno`estvoto re{enija na ravenkata x + y = 9. Voo~i deka x + y = 9 e ravenka koja spored brojot na nepoznatite e so 2 nepoznati, a spored stepenot na nepoznatite e linearna. Odredi go vidot na ravenkata 2x - y = 5 spored brojot na nepoznatite i spored stepenot na nepoznatite.

128

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Ako za ravenkata ne e dadeno definicionoto mno`estvo, ponatamu }e smetame deka toa e mno`estvoto R na realnite broevi.

Zapomni Ravenkata od vidot ax + by = c, kade {to a, b i c se realni broevi (koeficienti), a x i y se realni nepoznati, se vika linearna ravenka so dve nepoznati. Voo~i ja ravenkata 4x + 3y = 9; taa e linearna so 2 nepoznati x i y, a koeficienti se broevite 4, 3 i 9.

B 2.

Dadena e ravenkata 3x + y = 7. Najdi nekolku vrednosti na x i y, za koi ravenkata pominuva vo to~no brojno ravenstvo.

Voo~i go primerov: za x = 1 i y = 4. 3x + y = 7; 3 â‹… 1 + 4 = 7; 7 = 7. Sogledaj deka podredeniot par (x, y) = (1, 4) e edno re{enie na ravenkata.

Proveri dali podredeniot par (x, y) e re{enie na ravenkata ako: a) x = 2 i y = 1;

v) x = 4 i y = -5;

b) x = 1 i y = 3;

g) x = -1 i y = 10.

Re{enie na linearna ravenka so dve nepoznati e sekoj podreden par od realni broevi za koi ravenkata preminuva vo to~no brojno ravenstvo. Mno`estvoto M = {(x, y) | x, y ∈ R i 3x + y = 7}, pretstavuva mno`estvoto re{enija na ravenkata 3x + y = 7. 1 3. y = 10. Proveri dali podredeniot par (x, y) = (4, -6) e re{enie na ravenkata 2x 3 Dali ravenkata 3(u - 2) = 2(1 - v) preminuva vo to~no brojno ravenstvo za u = 0 i v = -5?

4.

Dadena e ravenkata x - 2y = 4. Odredi tri nejzini re{enija. Voo~i ja postapkata.

F Se izbira proizvolen realen broj za x. Primer: x = 3. F Se zamenuva vrednosta za x vo ravenkata: 3 - 2y = 4. F Se re{ava dobienata linearna ravenka so edna nepoznata ~ie re{enie e: 3 - 2y = 4;

-2y = 4 - 3;

-2y = 1;

-y =

1 ; 2

y=-

1 . 2

1 ) e edno re{enie na dadenata ravenka. 2 Primenuvaj}i ja poka`anata postapka odredi u{te 2 re{enija na dadenata ravenka.

F Zna~i, podredeniot par

(x, y) = (3, -

Linearni ravenki so dve nepoznati

129

Treba da znae{:

Proveri se!

koja ravenka e linearna ravenka so 2 nepoznati;

Koja od ravenkite: x + 5 = y - 3; y - 7x = 10 i 9 = 2y e linearna ravenka so 2 nepoznati?

da odredi{ re{enija na linearna ravenka so dve nepoznati.

Dali podredeniot par (1, 6) e re{enie na ravenkata 3x - y = -3?

Zada~i 1. Za sekoja od ravenkite zapi{i koi se

4. Otkako vo linearna ravenka so dve ne-

nejzinite nepoznati, a koi se nejzinite koeficienti:

poznati ednata nepoznata se zameni so dadena brojna vrednost, ravenkata preminuva vo:

a) 2x - y = 3;

v) y = 2z - 1;

a) to~no brojno ravenstvo;

b) 3x + 2y = x - 4y + 1;

g) 5u + 3v = 16.

b) linearna ravenka so edna nepoznata; v) linearna ravenka so dve nepoznati;

2. Odredi dali podredeniot par: a) (4,-6) e re{enie na ravenkata 2x -

1 y = 10; 3

b) (0, -5) e re{enie na ravenkata 3(u -2) = 2(1 - v).

3. Odredi ja nepoznatata komponenta vo

podredeniot par (x, y) za soodvetnata ravenka da premine vo to~no brojno ravenstvo. a) (

, -2) za ravenkata y = 2x;

b) (0, v) (-6,

) za ravenkata 2x + y =

1 ; 2

1 x + 2y = 7. ) za ravenkata 2

g) linearna neravenka. Koi od ovie tvrdewa se to~ni?

5. Odredi gi re{enijata na ravenkata 2x + y = -1 za x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2}.

6. Dadena e ravenkata 3(x + y) = 2x - 3.

Izvr{i gi slednite barawa spored dadeniot redosled:

1o oslobodi se od zagradite vo ravenkata; 2o zapi{i gi ~lenovite so nepoznata od levata strana, a ~lenot bez nepoznata od desnata strana na znakot "=”; 3o svedi go izrazot na levata strana vo normalen vid. Koja ravenka se dobiva?

130

Tema 3. Sistem linearni ravenki

2

EKVIVALENTNI LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

Potseti se! Koj podreden par od realni broevi e re{enie na edna linearna ravenka so dve nepoznati? Proveri dali podredeniot par (x, y) = (-1, 2) e re{enie na ravenkata 2x - y = -4 i na ravenkata 3x - y = x - 4.

A 1.

Odredi gi re{enijata na ravenkite A: 4x + y = 6 i B: 2x +

1 y=3 2

za y=4. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

A: 4x + y = 6; 4x + y = 6; 4x + 4 = 6; 4x = 6 - 4; 4x = 2; x =

2 1 1 ; x= . Re{enie: ( , 4). 4 2 2

1 1 1 1 y = 3; 2x + y = 3; 2x + â‹… 4 = 3; 2x + 2 = 3; 2x = 3 - 2; 2x = 1; x = . 2 2 2 2 1 Re{enie: ( , 4). 2

B: 2x +

1 , 4) e re{enie i na ravenkata A i na ravenkata B. 2 Izberi vrednost za x i odredi gi re{enijata na ravenkite A i B. [to zaklu~uva{? Voo~i deka podredeniot par (

2.

Proveri dali ravenkite: za x ∈ {-1, 0, 1, 2}.

3(x + 2y) = 5y + 1

Voo~i ja postapkata za x = -1. 3(x + 2y) = 5y + 1; 3(-1 + 2y) = 5y + 1; -3 + 6y = 5y + 1; 6y - 5y = 1 + 3; y = 4; (x, y) = (-1, 4).

i

3x + y = 1

imaat ednakvi re{enija

3x + y = 1; 3(-1) + y = 1; -3 + y = 1; y = 1 + 3; y = 4; (x, y) = (-1, 4).

Voo~i i zapomni Dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni ako nivnite mno`estva re{enija se ednakvi. Isto kako kaj linearnite ravenki so edna nepoznata, mo`e{ da primenuva{ transformacii na linearna ravenka so dve nepoznati i da ja svede{ vo forma ax + by = c.

Voo~i gi transformaciite na ravenkite P1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 i

P2:

2( x 3 ) = 5 - x. 3

Linearni ravenki so dve nepoznati

131

Transformacija (T) T1: Ednata strana na ravenkata se zamenuva so identi~en izraz T2: Sekoj ~len od ravenkata mo`e da se prenese od ednata na drugata strana, no so sprotiven znak: ~lenovite so nepoznati na levata, a konstantnite ~lenovi na desnata strana.

Ravenka P2:

Ravenka P1: 2(2x + y) - 7 = 3x - 2 ⇔ 4x + 2y - 7 = 3x - 2

2( x 3 ) =5-x 3 4x 6 ⇔ =5-x 3

⇔ 4x + 2y - 3x = -2 + 7 ⇔ (4x - 3x) + 2y = 7 - 2 ⇔

4x 6 3

+x=5

⇔ x + 2y = 5

T3: Dvete strani na ravenkata se mno`at so ist broj razli~en od nula.

3(4 x 6 ) + 3x = 5 ⋅ 3 3 ⇔ 4x + 6y + 3x = 15 ⇔ 7x + 6y = 15 ⇔

Voo~i deka so koristewe na transformacii, ravenkite R1 i R2 se svedeni vo: x + 2y = 5 i 7x + 6y = 15, t.e. vo forma ax + by = c. Od ovaa forma mo`e{ polesno da go odredi{ mno`estvoto re{enija na ravenkite. Za x = k, k ∈ R, se opredeluva mno`estvoto re{enija na ravenkata:

x + 2y = 5; k + 2y = 5; 2y = 5 - k; 7x + 6y = 15; 7k + 6y = 15; ²Œ 5 k ÂŁÂŚÂŚÂ?ž 5 k ­ 15 7k ­­ | k ‰ RÂŚÂť ; ¤ÂžÂžk, y= ; 6y = 15 - 7k; y = ÂŚÂĽÂŚÂ&#x; ŒŸŒ 2 ÂŽ 2 6 ÂŚÂŁÂŚÂ?ž 15 7k ­ Œ² ­ | k ‰ RÂŚÂť ¤ÂžÂžk, ­ ÂŚÂĽÂŚÂ&#x; ŒŸŒ 6 ÂŽ

Odredi gi re{enijata na R1 i R2 za:

3.

a) k = 0;

Odredi go mno`estvoto re{enija na ravenkata:

B 4.

b) k = 2;

v) k = 4.

a) y = 3x - 5;

b) x - 1 = 3x - y.

Odredi go mno`estvoto re{enija na ravenkata -2x + y = 1, a potoa pretstavi go grafi~ki vo pravoagolen koordinaten sistem.

Voo~i ja postapkata i sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

C(1, 3)

F -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1; za x = k, k ∈ R; y = 2k + 1. F Mno`estvoto re{enija na ravenkata e: {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. Zapi{uvame: R(-2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) | k ∈ R}. Odredi gi re{enijata na ravenkata za: a) k = -1; b) k = 0; v) k = 1.

Voo~i deka so ravenkata -2x + y = 1 vo mno`estvoto R (realni broevi) e opredelena linearnata funkcija y = 2x + 1.

132

Tema 3. Sistem linearni ravenki

D(2, 5)

x -1 0 1 2 y -1 1 3 5

B(0, 1)

A(-1, -1) {(k, 2k + 1) | k ∈ R}

Na crte`ot grafi~ki e pretstavena linearnata funkcija y = 2x + 1. Podredenite parovi (x, y) od grafikot na funkcijata se re{enija na ravenkata y = 2x + 1. [to pretstavuvaat tie parovi za ravenkata -2x + y = 1?

Bidej}i -2x + y = 1 ⇔ y = 2x + 1, toga{ podredeniot par koordinati na koja bilo to~ka od grafikot na funkcijata y = 2x + 1 e re{enie na ravenkata -2x + y = 1.

Voo~i deka so grafikot na linearnata funkcija y = 2x + 1, grafi~ki e pretstaveno mno`estvoto re{enija na ravenkata -2x + y = 1. Velime deka toa e grafik na ravenkata. Proveri dali podredenite parovi koi pretstavuvaat koordinati na to~kite: A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) i D(2, 5) se re{enijata na ravenkata -2x + y = 1.

5.

Odredi go mno`estvoto re{enija na ravenkata: 3x - y = 1. Proveri dali podredeniot par (-1, -4) e re{enie na ravenkata. Mno`estvoto re{enija na ravenkata pretstavi go grafi~ki. Od grafikot na ravenkata odredi ja vtorata koordinata na to~kata S(2, deka dobieniot podreden par e re{enie na ravenkata 3x - y = 1.

Treba da znae{: koi dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni; da koristi{ transformacii za da dobie{ ekvivalentna ravenka na dadena linearna ravenka so dve nepoznati; da odredi{ mno`estvo re{enija na ravenka; grafi~ki da go pretstavi{ mno`estvoto re{enija na ravenkata.

Zada~i ravenkata:

a) 2x + y = 3;

b) 3x + 2y = x - 4y + 1.

2. Sekoja od ravenkite dovedi ja vo forma

ax + by = c so koristewe na transformacii.

a) 3(x + y) = 2x - 3; b) (x - 3) (y - 2) - 1 = xy;

x 3 x

4 3

Proveri se! So koristewe na transformacii proveri dali ravenkata x + 2y = 6 e ekvivalentna so ravenkata

3

x . 2

Mno`estvoto re{enija {(k, k - 1) | k ∈ R} na edna linearna ravenka so dve nepoznati pretstavi go grafi~ki.

3. Odredi go mno`estvoto re{enija na se-

1. Odredi go mno`estvoto re{enija na

v)

). Sogledaj

2 x;

g) 5( x 3) 8( 2)

x . 4 4

koja od ravenkite i pretstavi go grafi~ki: a) 2x + 3y = 6;

b) x

1 2

3;

v) 2x + 0 â‹… y = 4.

4. Odredi ja vrednosta na parametarot p

za podredeniot par (0, 1) da bide re{enie na ravenkata: (p - 5)x - (3p - 1)y = 5 - p.

Linearni ravenki so dve nepoznati

133

SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

3

SISTEM OD DVE LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

Potseti se! Koja ravenka se vika linearna ravenka so dve napoznati? Odredi go mno`estvoto re{enija na linearnata ravenka so dve nepoznati: x+y=7 Kolku re{enija ima ravenkata?

A 1.

Ilija i Martin imaat po eden akvarium so ribi. Zbirot od brojot na ribite vo dvata akvariumi e 10. Razlikata od brojot na ribite vo akvariumot na Ilija i akvariumot na Martin e 4. Kolku ribi ima vo akvariumot na Ilija, a kolku vo akvariumot na Martin?

Voo~i go re{enieto: Neka vo akvariumot na Ilija ima x ribi, a vo akvariumot na Martin ima y ribi.

F

Od prviot uslov vo zada~ata sleduva: x + y = 10. Promenlivite x i y se menuvaat vo mno`estvoto A={1, 2, 3,..., 9}. Zo{to? Vo tabelata se dadeni re{enijata na ravenkata.

F

Od vtoriot uslov vo zada~ata sleduva:

x - y = 4.

Razgledaj ja tabelata i voo~i gi re{enijata.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 5 6 7 8 9 y 1 2 3 4 5

Vo edniot akvarium ima 7 ribi (od Ilija), a vo drugiot (od Martin) ima 3 ribi. Nivniot zbir e 7 + 3 = 10, a nivnata razlika e 7 - 3 = 4. Odredi koj od podredenite parovi (x, y) e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki. Voo~i deka parot (x, y) = (7, 3) e re{enie na ravenkata x + y = 10 i na ravenkata x - y = 4. Sogledaj deka ovaa zada~a ja re{i taka {to odredi zaedni~ko re{enie na dve linearni ravenki so dve nepoznati, t.e. go odredi presekot na nivnite mno`estva re{enija.

Zapomni Dve linearni ravenki so dve isti nepoznati, za koi se bara zaedni~ko re{enie, odnosno presek na nivnite mno`estva re{enija, se vika sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. ⎧a1 x + b1 = c1 Se zapi{uva: ⎨a x + b = c x i y se nepoznati, a1, a2, b1, b2, c1 i c2 se realni broevi 2 2 ⎩ 2 (koeficienti).

134

Tema 3. Sistem linearni ravenki

2.

3.

Zapi{i gi ravenkite od zada~ata 1 kako sistem i odredi gi nepoznatite i koeficientite na sistemot. Voo~i go sistemot:

£3 x 1 Œ Œ Œ ¤2 ŒŒ x 3 2. Œ3 ¼

Imenuvaj gi nepoznatite.

B 4.

Odredi gi koeficientite na sistemot.

Proveri dali podredeniot par (x, y) = (2, -1) e re{enie na ravenkata: 3x + 2y = 4. Proveri dali parot (x, y) = (2, -1) e re{enie na ravenkata: x - y = 3.

Voo~i deka parot (2,-1) e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki od sistemot, t.e. podreŒ£3 x 2 4 deniot par (x, y) = (2, -1) e re{enie na sistemot: Œ¤ . ŒŒ¼ x 3

Op{to, re{enie na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e podreden par od realni broevi koj{to e zaedni~ko re{enie na dvete ravenki.

5.

Proveri za koj od sistemite podredeniot par (-2, 3) e re{enie: £Œ x 5 a) Œ¤ ŒŒ¼2 x 2 1;

Œ£ x 2 4 b) Œ¤ ŒŒ¼3 x 5 9;

Œ£2 x 3 3 v) Œ¤ ŒŒ¼ x 5 1.

V

Potseti se! Ako vo daden sistem neravenki edna od neravenkite se zameni so ekvivalentna neravenka na nea, se dobiva sistem neravenki {to e ekvivalenten na dadeniot. £Œ10 x 20 Zo{to sistemot Œ¤ ŒŒ¼ x 3 £Œ5 x 10 e ekvivalenten so Œ¤ ŒŒ¼ x 3 ?

Ako dve linearni ravenki so dve nepoznati imaat ednakvi mno`estva re{enija, toga{ tie se ekvivalentni. Proveri dali ravenkata 3(x + 2y) = 5y +1 i ravenkata 3x + y = 1 se ekvivalentni.

6.

Dadeni se sistemite: £Œ x 5 A: Œ¤ ŒŒ¼3 x 3

ÂŚÂŁ 5 x i B: Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ3 x 3. Mno`estvoto re{enija na sistemot A e presekot na mno`estvata re{enija za ravenkata x + y = 5: {(k, 5 - k) | k ∈ R} i za ravenkata 3x - y = 3: {(k, 3(k - 1) | k ∈ R}.

Presekot na mno`estvata re{enija }e go odredi{ so izedna~uvawe na komponentite na podredenite parovi. Prvite komponenti se ednakvi, t.e. k = k. Odredi go k od vtorite komponenti, t.e. re{i ja ravenkata 5 - k = 3(k - 1). Proveri dali parot (x, y) = (2, 3) e re{enie na sistemot A. Mno`estvo re{enija na sistemot B e presekot od mno`estvata re{enija za ravenkata y = 5 - x: {(k, 5 - k) | k ∈ R} i za ravenkata 3x - y = 3: {(k, 3k - 3) | k ∈ R}.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

135

Koj e presekot na mno`estvata re{enija na ravenkite vo sistemot B. Proveri dali parot (x, y) = (2, 3) e re{enie na sistemot B. Voo~i deka ravenkite vo sistemot B imaat isti mno`estva re{enija kako ravenkite vo sistemot A. Ovie dva sistemi imaat ednakvi mno`estva re{enija. Parot (x, y) = (2, 3) e re{enie na sistemot A i na sistemot B. Ako dva sistema ravenki imaat ednakvi mno`estva re{enija, toga{ tie se ekvivalentni. £Œ x 5 Sistemot A: Œ¤ ŒŒ¼3 x 3

⎧ = 5− x se ekvivalentni. ⎊3 x − = 3

i sistemot B: ⎨

Koja od ravenkite vo sistemot B e ekvivalentna na ravenkata x + y = 5 vo sistemot A, i so koja transformacija e dobiena? Ako nekoja od ravenkite na daden sistem se zameni so ekvivalentna ravenka na nea, se dobiva sistem ekvivalenten na dadeniot.

7.

Voo~i i obrazlo`i zo{to se ekvivalentni sistemite: £ŒŒ5 x x 4 ¤ ŒŒ¼ x 3

£ŒŒ4 x 4 i ¤Œ Œ¼ x 3;

£ŒŒ x 8 ¤ ŒŒ¼2 x 3

Œ£Œ2 x 3 i ¤Œ Œ¼2 x 2 16.

So ekvivalentni transformacii daden sistem se transformira vo ekvivalenten £Œ x a . sistem koj ima forma Œ¤ ŒŒ¼ b Od nego neposredno mo`e da se pro~ita re{enieto na sistemot. Parot (x, y) = (a, b) e re{enie na sistemot. Œ£2( x ) 6 2 Voo~i go re{avaweto na sistemot: Œ¤ ŒŒ¼ 5.

8.

Œ£Œ2( x ) 6 2 ¤ Œ¼Œ 5

ÂŚÂŁ2 x 2 6 2 ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ 5

ÂŚÂŁ2 x 2 2 6 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5

E

E

Levata strana na prvata ravenka e zameneta so identi~en izraz.

^lenot 2y e prenesen na levata strana od ravenkata (so sprotiven znak).

ÂŚÂŁ2 x 6 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5

E

Izrazot na levata strana na prvata ravenka e doveden vo normalen vid.

ÂŁÂŚ x 3 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5

E

Prvata ravenka e re{ena po x, t.e. levata i desnata strana se podeleni so 2.

Parot (x, y) = (3, 5) e re{enie na sistemot ravenki.

9. 136

£Œ x 7 Re{i go sistemot: Œ¤ ŒŒ¼2( 1) 3 x 3( x 2).

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Treba da znae{: {to e sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati i kako se zapi{uva; da proveri{ dali daden podreden par e re{enie na daden sistem ravenki; da opredeli{ ekvivalenten sistem na daden sistem; da re{i{ sistem doveduvaj}i go vo forma od kade neposredno mo`e da se pro~ita re{enieto.

Zada~i 1. Odredi gi nepoznatite i koeficientite vo sekoj od sistemite: £Œ2 x 6 a) Œ¤ ŒŒ¼ 2;

£Œ0,25 x 0,04 0 v) Œ¤ ŒŒ¼4 x 25 641.

£x 2 0 Œ Œ Œ b) ¤ 2 1 Œ 2; Œ x

2 ÂŚ ÂĽ3

2. Zapi{i gi kako sistem od dve linearni

ravenki so dve nepoznati re~enicite: Zbirot na dva broja e 64, a nivnata razlika e 17. Eden vnatre{en agol na triagolnikot ABC e 52o. Razlikata na drugite dva agli e 18o. Vo dve kasi~ki ima vkupno 440 denari. Ako od prvata se prfrlat vo vtorata 180 denari, vo kasi~kite }e ima ednakva suma pari.

3. Proveri dali podredeniot par:

a) (2, 10) e re{enie na sistemot: £ŒŒ3 x 4 ¤ ŒŒ¼ 5 x; b) (2, 2) e re{enie na sistemot: £ŒŒ x 4 6 ¤ ŒŒ¼5 x 3 4; v) (1, 1) e re{enie na sistemot: £ŒŒ x 2 ¤ ŒŒ¼2 x 0.

Proveri se! Odredi ekvivalenten sistem na sistemot £ŒŒ5 x 3 2 x 1 , vo koj dvete ravenki }e ¤ ŒŒ¼ 2 x 3 imaat forma ax + by = c.

Proveri dali podredeniot par (x, y) = (3, 2) Œ£2 x 6 e re{enie na sistemot: Œ¤ ŒŒ¼ 2.

4. Odredi eden ekvivalenten sistem na sistemot:

£Œ 1 Œ x 2 a) Œ ¤2 ŒŒ Œ¼ x 2 5 0;

ŒŒ£ x 2 0 Œ b) ¤ 2 ŒŒ x 1 2. Œ¼ 3 2

5. Odredi ekvivalenten sistem na siste£ Œ ( x 1)( x 1) 2 ( x 3)2 Œ Œ vo koj mot: ¤ x Œ x, Œ Œ 2 Œ ¼2

dvete ravenki imaat forma ax + by = c.

6. Re{i go sistemot: Œ£ x 2 a) Œ¤ ŒŒ¼ 4;

£Œ x 3 b) Œ¤ ŒŒ¼ x 3 x.

7. Bojan i Dejan se bra}a. Zbirot od godi-

nite na Bojan i na Dejan e 16. Zbirot od godinite na Bojan i polovinata od godinite na Dejan e 12. Zapi{i sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati spored uslovite vo zada~ata. Dali Bojan i Dejan se bliznaci? Obrazlo`i go svojot odgovor.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

137

4

GRAFI^KO RE[AVAWE NA SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

Potseti se! Voo~i go grafikot na ravenkata 2x - 3 = y.

A 1.

Vo ista koordinatna ramnina (na ist crte`), nacrtaj gi graficite na ravenkite: x + y = 5 i 3x - y = 3. Voo~i deka so dadenite ravenki se opredeleni funkciite: y = 5 - x i y = 3x - 3.

x

y

-1

-5

0

-3

2

1

3

3

Odredi gi koordinatite za sekoja od to~kite A, B, C i D. [to pretstavuvaat koordinatite na tie to~ki za dadenata ravenka?

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. x+y=5 y=5-x x 0 4

y 5 A(0, 5) 1 B(4, 1)

3x - y = 3 y = 3x - 3 x 0 1

y -3 C(0, -3) 0 D(1, 0)

Neka to~kata vo koja se se~at graficite na ravenkite e to~kata M. Odredi gi koordinatite na to~kata M. Presekot na mno`estvata re{enija na dvete ravenki e podredeniot par koordinati na to~kata M(2, 3). £Œ x 5 Parot (x, y) = (2, 3) e edinstveno re{enie na sistemot ravenki Œ¤ ŒŒ¼3 x 3. Œ£Œ3 x 3 Grafi~ki re{i go sistemot ravenki: ¤Œ Œ¼3 x 0.

2.

Potseti se! Dve pravi vo ramninata mo`at: - da se se~at vo edna to~ka; - da se sovpa|aat; - da se zaemno paralelni pravi. Graficite na ravenkite vo eden sistem se pravi, i sistemot ima onolku re{enija kolku {to zaedni~ki to~ki imaat graficite.

138

Sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati:

B

edno re{enie, ako graficite na F ima ravenkite se se~at; beskone~no mnogu re{enija, ako F ima graficite na ravenkite se pravi {to

F

se sovpa|aat; nema re{enie, ako graficite na ravenkite se razli~ni paralelni pravi.

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Œ£Œ x 2 5 Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: ¤Œ Œ¼ x 1.

3.

x + 2y = 5

x - y = -1

x -1 3

x y -3 -2 2 3

y 3 1

FC FD

FA FB

Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C, D i M. Koja od to~kite e presek na graficite? Voo~i deka sistemot ima samo edno re{enie Rs = {(1, 2)}, t.e. (x, y) = (1, 2).

Œ£Œ x 2 3 Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: ¤Œ Œ¼2 x 4 6.

4.

x + 2y = 3 x 1 3

y 1 0

F F

2x + 4y = 6 A B

x 1 3

y 1 0

FC FD

Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C i D. Voo~i deka site to~ki od graficite se zaedni~ki i sistemot ima beskone~no mnogu re{enija. £Œ x 3 2 Prosledi go grafi~koto re{evawe na sistemot: Œ¤ ŒŒ¼ x 3 5.

5.

x + 3y = 2

x + 3y = 5

x -1 2

x 5 2

y 1 0

FA FB

y 0 1

FC FD

Zapi{i gi koordinatite na to~kite A, B, C i D. Dali graficite imaat zaedni~ka to~ka? Voo~i deka graficite se razli~ni paralelni pravi i sistemot nema re{enie, t.e. Rs = ∅.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

139

Treba da znae{:

Proveri se!

da gi nacrta{ graficite na dvete ravenki od sistemot linearni ravenki vo edna koordinatna ramnina;

Vo koj slu~aj sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati:

grafi~ki da re{i{ sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati;

b) ima beskone~no mnogu re{enija;

da go proceni{ mno`estvoto re{enija na sistemot spored graficite na ravenkite.

Obrazlo`i go svojot odgovor.

Zada~i

Œ£ x 2 b) Œ¤ ŒŒ¼3 x 6;

Œ£ 6 x 0 v) Œ¤ ŒŒ¼4 x 2.

2.

v) nema re{enie?

3.

1. Re{i go grafi~ki sekoj od sistemite: Œ£ 8 4 x a) Œ¤ ŒŒ¼ 5 x 1;

a) ima samo edno re{enie;

Grafi~ki re{i go sekoj od sistemite. Po kolku re{enija ima sekoj od niv? £Œ2 x 1 a) Œ¤ ŒŒ¼ 1 x;

£Œ x 3 2 b) Œ¤ ŒŒ¼2 x 6 4;

£Œ x v) Œ¤ ŒŒ¼ x 2;

£ 1 Œ Œ x 2 1 Œ g) ¤ 2 Œ Œ 1. Œ ¼

Potseti se! Grafikot na funkcijata y = ax e prava {to minuva niz koordinatniot po~etok. Grafikot na funkcijata y = ax + b, e prava {to e paralelna so grafikot na funkcijata y = ax. Grafikot na funkcijata y = a e prava paralelna so x-oskata. Grafikot na funkcijata x = a e prava paralelna so y-oskata.

Sekoja od ravenkite vo sistemite podolu zapi{i ja kako funkcija: £Œ 2 x a) Œ¤ ŒŒ¼ 2 x 3;

£Œ2 x 1 0 b) Œ¤ ŒŒ¼ 1;

Œ£ x 3 v) Œ¤ ŒŒ¼ 2;

Œ£ x 2 g) Œ¤ ŒŒ¼3 x 3 6.

Za sekoj sistem proceni ja zaemnata polo`ba na graficite na funkciite i proceni go mno`estvoto re{enija na sistemot. Re{i go grafi~ki sekoj od sistemite i proveri ja svojata procenka.

140

Tema 3. Sistem linearni ravenki

5

RE[AVAWE SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI SO METOD NA ZAMENA

Potseti se! Koi dva sistemi ravenki se ekvivalentni? Proveri deka podredeniot par (x, y) = (5, 1) e re{enie na sistemite:

A 1.

Voo~i gi sistemite A i B od dve linearni ravenki so dve nepoznati.

Œ£2 x 1 A: Œ¤ i ŒŒ¼3 x 5 21

£Œ x 8 3 Œ£Œ x 8 3 i Œ¤ ¤ ŒŒ¼2(8 3 ) 4 6 ŒŒ¼2 x 4 6

[to zabele`uva{ za ravenkite vo dvata sistemi?

£ŒŒ 1 2 x B: ¤Œ . Œ¼3 x 5(1 2 x ) 21

Kako se dobieni ravenkite vo vtoriot sistem od ravenkite na prviot sistem?

Prvite ravenki vo A i B se ekvivalentni, a vo vtorata ravenka od sistemot B, nepoznatata y e zameneta so izraz od prvata ravenka. Poka`i deka podredeniot par (x, y) = (2, -3) e re{enie na sistemite. Ako vo edna od ravenkite vo sistemot, ednata nepoznata se izrazi preku vtorata, i potoa so dobieniot izraz se zameni taa nepoznata vo drugata ravenka, toga{ novodobienata ravenka i prvata ravenka od sistemot obrazuvaat nov sistem {to e ekvivalenten na dadeniot sistem. Ova se vika svojstvo na zamena.

2.

Œ£3 x 2 13 Voo~i go re{avaweto na sistemot Œ¤ so koristewe na svojstvoto na zamena. ŒŒ¼ 5

ÂŚÂŁÂŚ3 x 2 13 ÂŚÂŁ3 x 2 ¸ 5 13 ” Œ¤ ¤ ÂŚÂĽÂŚ 5 ÂŚÂĽÂŚ 5 ÂŚÂŁ3 x 10 13 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5

ÂŁÂŚ3 x 13 10 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5 ÂŚÂŁ3 x 3 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5 ÂŚÂŁ x 1 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5 Rs = {(1, 5)}.

E

Vo prvata ravenka, nepoznatata y e zameneta so vrednosta za y od vtorata ravenka.

E

Se dobiva sistem ekvivalenten na prethodniot.

E

Se koristi ekvivalentna transformacija (10 se prefrla od drugata strana na znakot "=” so sprotiven znak).

E

Œ£ x a Dobieniot sistem e od vidot Œ¤ od kade ŒŒ¼ b, neposredno se ~ita podredeniot par (x, y) = (1, 5) {to e re{enie na sistemot.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

141

Œ£2 x 6 Re{i go sistemot ravenki Œ¤ so koristewe na svojstvoto na zamena. ŒŒ¼ x 3. Œ£ x 5 3. Odredi go podredeniot par {to e re{enie na sistemot: Œ¤Œ Œ¼5 x 2 4.

Voo~i Mo`e{ da go koristi{ svojstvoto na zamena taka {to vo vtorata ravenka nepoznatata y }e ja zameni{ so izrazot x - 5 ednakov na y od prvata ravenka. ÂŚÂŁÂŚ x 5 ÂŚÂŁ x 5 ” Œ¤ ¤ ÂŚÂĽÂŚ5 x 2 4 ÂŚÂĽÂŚ5 x 2( x 5) 4

Ako prodol`i{ da re{ava{ pravilno, }e go dobie{ ekvivalentniot sistem: ÂŚÂŁ x 5 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ x 2 ÂŚÂŁ 2 5 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ x 2

E

Ako nepoznatata x vo prvata ravenka ja zameni{ so vrednosta 2 za x od vtorata ravenka, }e dobie{ sistem od koj mo`e{ da go zapi{e{ re{enieto.

ÂŁÂŚ 3 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ x 2.

Proveri dali za podredeniot par (x, y) = (2,-3), ravenkite od sistemot se to~ni brojni ravenstva. £Œ x 1 Na sli~en na~in re{i go sistemot ravenki: Œ¤ ŒŒ¼ x 3. £Œ3 x 2 5 4. Prosledi go re{avaweto na sistemot ravenki: Œ¤ ŒŒ¼2 x 3 14.

ÂŚÂŁÂŚ3 x 2 5 ÂŚÂŁÂŚ3 x 2 5 ÂŚ ” ¤ ¤ ÂŚÂŚÂĽ2 x 3 14 ÂŚÂŚ x 3 14 ÂŚÂĽ 2

E

Voo~i: Vo vtorata ravenka nepoznatata x e izrazena preku y. Ponatamu, x vo prvata ravenka se zamenuva so izrazot za x od vtorata i ponatamu se vr{at transformacii.

£ 3 14 Œ £ Œ Œ 3¸

2 5 /¸ 2 ÂŚ ÂŚ3 3 14 + 4 10 ÂŚ 2 ÂŚ ” ¤ ” ÂŚ ” ¤ 3 14 ÂŚ ÂŚ 3 14 x ÂŚ ÂŚ x ÂŚ ÂŚ 2 ÂŚ ÂĽ ÂŚ 2 ÂŚ ÂĽ

ÂŚÂŁÂŚ13 52 ” Œ¤ ÂŚÂŚ x 3 14 2 ÂŚÂĽ

142

ÂŁÂŚ9 42 4 10 ÂŚÂŚ ” ¤ ÂŚÂŚ x 3 14 ÂŚÂĽ 2

ÂŁÂŚ13 10 42 ÂŚÂŚ ” ¤ ÂŚÂŚ x 3 14 ÂŚÂĽ 2

ÂŁ 4 ÂŚ ÂŚÂŁÂŚ 4 ÂŁÂŚÂŚ x 1 ÂŁÂŚ 4 ÂŚ ÂŚ ÂŚ ” Œ¤ ” ¤ ” ¤ ¤ 12 14 3 4 14 ¸ ÂŚÂŚÂĽ x 1 ili ÂŚÂĽÂŚ 4. ÂŚ ÂŚÂŚ x x ÂŚ ÂŚ 2 ÂĽ 2 ÂŚÂĽ

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Proveri deka parot (x, y) = (-1, 4) e re{enie na sistemot ravenki. Œ£5 x 3 17 Re{i go sistemot ravenki Œ¤ ŒŒ¼2 x 3 11.

Vakviot na~in na re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati se vika re{avawe na sistemot so metod na zamena.

5.

ÂŁ x

Œ Œ Œ Œ 2 Vo sistemot ravenki: Œ¤ Œ x

ÂŚ ÂŚ ÂŚ ÂŚ 3 ÂĽ

x 8 3 nitu edna od ravenkite ne e zapi{ana vo x

11; 4

forma ax + by = c. Za da se re{i vakov sistem, prethodno e potrebno ravenkite da se dovedat vo forma ax + by = c . ÂŁ x

Œ Œ Œ Œ 2 Prosledi go re{avaweto: Œ¤ Œ

x ÂŚ ÂŚ ÂŚ ÂŚ 3 ÂĽ

x 8 /¸ 6 3 x

11/ ¸ 12 4

ÂŁ x

x ÂŚ ÂŚ ¸6 ¸6 8¸6 ÂŚ ÂŚÂŁ3( x ) 2( x ) 48 ÂŚ ÂŚÂŁ3 x 3 2 x 2 48 2 3 ÂŚ ” Œ¤ ” ¤ ” Œ¤ ” ÂŚÂŚÂĽ4( x ) 3( x ) 132 ÂŚ ÂŚÂŚÂĽ4 x 4 3 x 3 132 x

x Œ ¸ 12

¸ 12 11¸ 12 ÂŚ ÂŚ 4 ÂŚ 3 ÂĽ ÂŁÂŚ x 48 5 ÂŚÂŁ x 5 48 ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ7 x 132 ÂŚÂŚÂĽ7(48 5 ) 132 ... ÂŚÂŁ x 18 Prodol`i so re{avaweto. To~no si re{aval ako si dobil sistem Œ¤ , odnosno ÂŚÂŚÂĽ 6 podreden par (x, y) = (18, 6), {to e re{enie na dadeniot sistem ravenki. ÂŁ x ÂŚ ÂŚ 1 ÂŚ ÂŚ 3 2 ÂŚ Re{i go sistemot ravenki: ¤ . ÂŚ x ÂŚ

4 ÂŚ ÂŚ ÂŚ ÂĽ2 2

Ako pri re{avaweto na sistem ravenki, po izvr{enite transformacii se dobie sistem vo koj edna od ravenkite nema re{enie (na primer, ako se dobie 0 â‹… x = -1), toga{ sistemot nema re{enie. Ako, pak, se dobie sistem vo koj sekoj realen broj e re{enie na edna od ravenkite (na primer, 0 â‹… y = 0), a drugata ravenka ne e protivre~na, toga{ sistemot ima beskone~no mnogu re{enija.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

143

6.

£ŒŒ2 x 3 1 Œ£ x 3 Re{i go sistemot A: Œ¤ i sistemot B: ¤ ŒŒ¼4 x 6 2. ŒŒ¼2 x 2 5 Voo~i deka sistemot A nema re{enie, a sistemot B ima beskone~no mnogu re{enija.

Treba da znae{:

Proveri se!

da odredi{ re{enie na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati so koristewe na metodot na zamena;

Obrazlo`i kako }e postapi{ pri re{a£Œ x 5 vaweto na sistemot: Œ¤ so koŒŒ¼2 x 7, ristewe na metodot na zamena.

pravilno da gi koristi{ ekvivalentnite transformacii pri re{avawe na sistem ravenki.

Zada~i Vo slednite zada~i re{i gi sistemite ravenki so metodot na zamena.

1.

Œ£Œ3 x 2 14 a) ¤Œ Œ¼ 4

£ŒŒ2 x 3 5 b) ¤Œ Œ¼ 5;

4.

ÂŁ ÂŚ ÂŚ4x 0 ÂŚ ÂĽ3x 2 14

£Œ x ŒŒ 6 Œ 3 b) Œ¤ 2 ŒŒ x ŒŒ 1. 4 Œ¼ 2

v) ¤ Œ

2.

Œ£Œ x 2 a) ¤Œ Œ¼3 x 2 9

Œ£Œ 11 2 x b) ¤Œ ; Œ¼5 x 4 8

5.

£ŒŒ3 x 13 0 v) ¤Œ Œ¼2 x 3 5 0

3.

Œ£Œ2 x 2 a) ¤Œ Œ¼3 x 4 3 Œ£Œ3 x 3 6 v) ¤Œ Œ¼5 x 16.

144

Œ£Œ 2 3 b) ¤Œ Œ¼5 4

£Œ 2 1 ŒŒ 2 x x x a) ¤ 3 2 ŒŒ Œ¼ x 2;

5 Œ£Œ x ŒŒ 3 2 1 Œ a) ¤ ŒŒ x 1 ; ŒŒ 2 Œ¼ £Œ x 1

1 x ŒŒ ŒŒ 3 2 3 b) ¤Œ ŒŒ x 3 3 2 . ŒŒ¼ 4 2

Tema 3. Sistem linearni ravenki

8

6 1.

RE[AVAWE NA SISTEM LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI SO METOD NA SPROTIVNI KOEFICIENTI £Œ2 x 3 12 £Œ2 x 3 12 Dadeni se sistemite ravenki & : Œ¤ i B : Œ¤ ŒŒ¼ 2 x 3 5 x 3 ŒŒ¼5 x 3 9

12 9.

Poka`i deka podredeniot par (x, y) = (3, -2) e re{enie na dvata sistemi. Voo~i deka sistemite se ekvivalentni. Kako se dobieni ravenkite vo vtoriot sistem od ravenkite vo prviot sistem? Prvite ravenki i vo dvata sistemi se isti, a vtorata ravenka vo sistemot V e dobiena so sobirawe na levite, odnosno desnite strani na prvata i vtorata ravenka od sistemot A. Ako soodvetnite strani na dve ravenki gi sobereme, odnosno odzememe, velime deka sme izvr{ile sobirawe, odnosno odzemawe na ravenkite. Ako vo daden sistem koja bilo ravenka se zameni so zbirot ili razlikata na ravenkite, se dobiva nov sistem {to e ekvivalenten so dadeniot. Ova se vika svojstvo na zbir na ravenkite vo sistemot.

2.

Œ£5 x 2 5 Prosledi go re{avaweto na sistemot Œ¤ so koristewe na svojstvoto ŒŒ¼7 x 2 31 na zbir.

ÂŁÂŚÂŚ5 x 2 5 ÂŁÂŚ5 x 2 5 ” Œ¤ ¤ ÂŚÂĽÂŚ7 x 2 31 ÂŚÂĽÂŚ 5 x 2 7 x 2

31 5 E

ÂŁÂŚ5 x 2 5 ÂŁÂŚ5 x 2 5 ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ5 x 2 7 x 2 31 5 ÂŚÂĽÂŚ12 x 36

E

ÂŁÂŚ5 x 2 5 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ x 3

Na vtorata ravenka od sistemot e dodadena prvata ravenka od sistemot. Se dobiva sistem ekvivalenten na prviot i vtorata ravenka se sveduva na ravenka so edna nepoznata.

ÂŚÂŁ5 ¸ 3 2 5 ÂŚÂŁ 2 5 15 ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ x 3 ÂŚÂŚÂĽ x 3

E

Se re{ava sistemot so metodot na zamena.

ÂŚÂŁ 2 10 ÂŚÂŁ 5 ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ x 3 ÂŚÂŚÂĽ x 3.

E

£Œ x a Ravenkite se doveduvaat vo vidot Œ¤ . ŒŒ¼ b

Proveri dali (x, y) = (3, 5) e re{enie na sistemot. £Œ2 x 1 Re{i go sistemot ravenki Œ¤ ŒŒ¼3 x 9.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

145

Va`no e da voo~i{ deka: koeficientite pred x, odnosno pred y vo dvete ravenki treba da bidat sprotivni broevi; pri sobiraweto na soodvetnite strani na ravenkite se dobiva ravenka so edna nepoznata; vo novodobieniot ekvivalenten sistem ednata ravenka e so edna nepoznata, pa sistemot ponatamu se re{ava so metodot na zamena. £Œ5 x 2 3 Re{i go sistemot ravenki: Œ¤ ŒŒ¼ x 3.

3.

Koeficientite pred x, odnosno pred y, ne se sprotivni broevi, pa ako gi sobere{ ravenkite nema da dobie{ ekvivalenten sistem vo koj ednata ravenka e so edna nepoznata. Koja transformacija treba da ja izvr{i{ na vtorata ravenka od sistemot za koeficientite pred x ili pred y da bidat sprotivni broevi? Ako dvete strani na vtorata ravenka gi pomno`am so -5, toga{ koeficientite pred x }e bidat sprotivni broevi. Ako dvete strani na ovaa ravenka gi pomno`am so -2, toga{ koeficientite pred y }e bidat sprotivni broevi. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. ÂŁÂŚÂŚ5 x 2 3 ÂŁÂŚ5 x 2 3 ” Œ¤ ¤ ÂŚÂŚÂĽ x 3 /¸ 5 ÂŚÂŚÂĽ 5 x 5 15

E

So mno`ewe na vtorata ravenka so (-5), se dobiva ekvivalenten sistem vo koj koeficientite pred x se sprotivni broevi.

ÂŁÂŚ5 x 2 3 ” Œ¤ ÂŚÂŚÂĽ 5 x 2 5 x 5

E

Se sobiraat ravenkite i se dobiva sistem vo koj vtorata ravenka se sveduva na ravenka so edna nepoznata.

E

Ponatamu sistemot se re{ava po metod na zamena.

3 15

ÂŚÂŁ5 x 2 3 ÂŚÂŁ5 x 2 3 ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ 3 12 ÂŚÂŚÂĽ 4 ...

Dovr{i go re{avaweto na sistemot. Proveri dali (x, y) = (-1, 4) e re{enie na sistemot. Re{i go istiot sistem taka {to koeficientite pred y da bidat sprotivni broevi. £Œ3 x 1 Re{i go sistemot Œ¤ ŒŒ¼2 x 3 4. £2m 7n 9 4. Re{i go sistemot ravenki: ŒŒ¤ ŒŒ¼3m 2n 5.

Vo ovoj sistem, za da se dobijat ravenki so sprotivni koeficienti pred m (ili pred n) treba da se pomno`i so 3 prvata ravenka, a so (- 2) vtorata ravenka (ili so 2 prvata ravenka, a so (-7) vtorata ravenka).

146

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Dovr{i go re{avaweto na sistemot: Œ£Œ2m 7n 9 ¤ Œ¼Œ3m 2n 5

ÂŚÂŁ6m 21n 27 ÂŚÂŁ6 m 21n 27 ÂŚÂŁ6 m 21n 27 ” Œ¤ ” Œ¤ ” Œ¤ ÂŚÂĽÂŚ 6 m 4n 10 ÂŚÂŚÂĽ 6m 21n 6 m 4 n 27 10 ÂŚÂŚÂĽ17 n 17 ... /¸ 2 /¸ 3

Proveri deka (m, n) = (1, 1) e re{enie na sistemot. Re{i go istiot sistem taka {to koeficientite pred n da bidat sprotivni broevi. Vakviot na~in na re{avawe sistem ravenki se vika re{avawe so metod na sprotivni koeficienti.

5.

So koristewe na metodot na sprotivni koeficienti re{i go sistemot ravenki: £ŒŒ7 x 2 3 ¤ ŒŒ¼3 x 8 43.

Treba da znae{:

Proveri se!

metodot na sprotivni koeficienti posebno e zgoden za koristewe koga koeficientite pred nepoznatite se sprotivni broevi ili koga so mno`ewe lesno mo`e da se dovedat do sprotivni broevi; da re{ava{ sistem ravenki so metodot na sprotivni koeficienti.

Proceni koj od sistemite e pozgoden za re{avawe so metodot na sprotivni koeficienti: £ŒŒ6 x 7 40 £Œ2 x 11 15 NQN Œ¤ ¤ Œ¼Œ5 2 x 3 Œ¼Œ10 x 11 9 .

Obrazlo`i go odgovorot.

Zada~i Re{i gi sistemite so metodot na sprotivni koeficienti:

1.

£ŒŒ2 x 3 12 ¤ Œ¼Œ5 x 3 9;

2.

Œ£Œ4 x 3 4 ¤ Œ¼Œ6 x 5 7;

3.

£ŒŒ7 x 8 19 ¤ ŒŒ¼3 x 5 25 .

4.

Œ£Œ5 x 2 ¤ ŒŒ¼4 x 3

£ŒŒ3 7 x 32 ¤ Œ¼Œ2 x 3 3. Œ£Œ6 x 7 44 ¤ Œ¼Œ5 2 x 4.

3 x 5 50 .

5.

ÂŁx ÂŚ ÂŚ

7 Œ Œ 2 3 Œ ¤ Œ 2 x Œ 1; Œ Œ 4 Œ 3 ¼

6.

£ŒŒ x 2 6 0 ; ¤ Œ¼Œ3 x 2 2

7.

ÂŁ 7x 5 ÂŚ ÂŚ

34 Œ Œ 6 3 Œ ¤ Œ 7x Œ

17. Œ Œ 4 Œ6 ¼ £ŒŒ x 4 8 . ¤ Œ¼Œ3 x 2 6 0

Opredeli go re{enieto na sistemite grafi~ki, a potoa izvr{i proverka re{avaj}i gi so metod na zamena ili sprotivni koeficienti. Œ£Œ2 x 3 9 a) ¤Œ Œ¼3 x 2 7;

Œ£Œ2 x 3 3 b) ¤Œ Œ¼4 x 6 5;

Œ£Œ x 2 2 . v) ¤Œ Œ¼3 x 6 6

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

147

7

PRIMENA NA SISTEM OD DVE LINEARNI RAVENKI SO DVE NEPOZNATI

Potseti se! Zapi{i ja re~enicata: "Zbirot na dva broja e 6, a razlikata na polovinata od prviot broj i vtoriot broj e 0” so sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. Sistemot {to treba da go dobie{ e:

£Œ x 6 ŒŒ So re{avawe na ovoj sistem ¤x ŒŒ 0. Œ¼ 2 }e otkrie{ koi se tie dva broja. Proveri dali parot (x, y) = (4, 2) e re{enie na sistemot, t.e. dali dvata barani broja se 4 i 2.

Po~etok Vnimatelno se ~ita zada~ata i se opredeluva {to e poznato, a {to e nepoznato.

Primer:

Pri re{avaweto na razli~ni zada~i od matematika, drugite nauki ili problemski situacii od sekojdnevniot `ivot, ~esto treba da opredeli{ nepoznati vrednosti. Problemite (zada~ite) vo vakvi situacii se iska`ani so zborovi, a za da se re{at potrebno e da se pretstavat matemati~ki vo vid na ravenki.

A

F

1.

Voo~i gi upatstvata {to treba da se po~ituvaat pri re{avaweto vakvi zada~i i redosledot na postapkite {to treba da se koristat.

Ozna~uvawe na veli~inite

Voo~uvawe na zaemnite vrski

Sostavuvawe sistem

Nepoznatite se ozna~uvaat (x, y, a, b itn.) i se voo~uvaat nivnite karakteristiki.

Se voo~uvaat zaemnite vrski me|u nepoznatite i poznatite veli~ini.

Se formiraat ravenki, se sostavuva sistem i sistemot se re{ava.

F

F

Jovan ima 17 moneti so vkupna vrednost 67 denari. Monetite se od po 2 denari, i od po 5 denari. Kolku moneti od po 2 denari, a kolki od 5 denari ima Jovan?

Po~etok

Ozna~uvawe

Zaemni vrski

Poznato: • brojot na moneti; • vkupnata vrednost; • vidot na moneti. Nepoznato: • po kolku moneti ima od sekoj vid.

• so x brojot na moneti od 5 den; • so y brojot na moneti od 2 den.

• brojot na moneti e 17; (x + y = 17); • vkupnata vrednost e 67 den. (5x + 2y = 67).

F

F

Sistem

F

£ŒŒ x 17 ¤ ŒŒ¼5 x 2 67

Re{i go sistemot. Re{enie na sistemot e (x, y) = (11, 6). Proveri dali se to~ni tvrdewata vo zada~ata ako Jovan imal 11 moneti od po 5 denari i 6 moneti od po 2 denari.

148

Tema 3. Sistem linearni ravenki

2.

Na dve polici imalo 124 knigi. Na prvata polica imalo 3 pati pove}e knigi otkolku na vtorata. Po kolku knigi imalo na sekoja polica?

3.

Mestoto K i mestoto A se oddale~eni 190 km. Od K kon A trgnal kamion, a po polovina ~as od A kon K trgnal avtobus. Po dva ~asa od trgnuvaweto na kamionot tie se presretnale i prodol`ile da se dvi`at. Eden ~as po sretnuvaweto avtobusot i kamionot bile oddale~eni 110 km. So koi brzini se dvi`ele avtobusot i kamionot? Ovaa zada~a e so dvi`ewa. Za re{avaweto na ovie zada~i polesno e da se voo~uvaat zaemnite vrski ako se napravi crte`. Voo~i go crte`ot:

P O Z N A T O

Od K poa|a kamionot, od A poa|a avtobusot. kamion (k) Mestoto kade {to se sretnale e vo to~kata C. Od K do C kamionot se dvi`el 2 ~asa. Od A do C avtobusot se dvi`el 1,5 ~asa. Od C do D kamionot patuval 1 ~as. Od C do B avtobusot patuval 1 ~as. Rastojanieto od B do D e 110 kilometri.

ZAEMNI

avtobus (a)

O Z N A ^ U V A W E Brzinata na kamionot e x. Brzinata na avtobusot e y.

VRSKI

Bidej}i dvi`ewata na kamionot i avtobusot se ramnomerni, se koristi formulata za ramnomerno dvi`ewe s = v ⋅ t, odnosno vo na{iov slu~aj v e x ili y. Kamionot od mestoto K do C (za 2 ~asa) izminal pat 2x. Avtobusot od mestoto A do C (za 1,5 ~asa) izminal pat 1,5y. Za 1 ~as od C do D kamionot izminal 1 ⋅ x. Za 1 ~as od C do B avtobusot izminal 1 ⋅ y. Spored crte`ot: KC + CA = KA ili 2x + 1,5y = 190;

CD + CB = DB ili 1x + 1y=110.

SISTEM RAVENKI ¦£¦2 x 1 5 190 ¤ ¦¦¥ x 110

Re{i go sistemot. Proveri dali e to~no deka kamionot se dvi`el so brzina 50 km/h, a avtobusot so 60 km/h.

4.

Eden brod se dvi`i po te~enieto na rekata so brzina 25 km/h, a sproti te~enieto na rekata so 20 km/h. Opredeli ja brzinata na brodot i brzinata na rekata.

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

149

5.

Dadeni se dva rastvora kiselini K1 i K2. Rastvorot K1 e 36%, a rastvorot K2 e 96%. Po kolku litri treba da se zeme od sekoj od rastvorite, za da se dobie 120 litri rastvor od 80%? Treba da se potseti{ za procenti. Zapomni deka vo m litri so k% rastvor ima

k¸m litri kiselina. 100

P O Z N A T O Rastvorot K1 e 36%. Rastvorot K2 e 96%. Noviot rastvor treba da e 80%. O Z N A ^ U V A W E Brojot litri {to treba da se zemat od K1 neka e x. Brojot litri {to treba da se zemat od K2 neka e y. ZAEMNI

VRSKI

Vo x litri rastvor od K1 ima

36 x litri kiselina. 100

96 litri kiselina. 100 Vo 120 litri od noviot rastvor ima x litri K1 i y litri K2 ili: x + y = 120. Vo y litri rastvor K2 ima

Vo 120 litri od noviot rastvor ima

36 x 96 120 ¸ 80 120 ¸ 80 litri kiselina ili .

100 100 100 100

SISTEM RAVENKI

£ x 120 ¦ ¦ ¦ ¤ 36 x 96 120 ¸ 80 ¦

¦ ¦ 100 ¥100 100

⇔

£¦¦ x 120 ¤ ¦¦¥3 x 8 800

Re{i go sistemot. Proveri dali (x, y) = (32, 88) gi zadovoluva uslovite na zada~ata.

6.

Kolku litri voda i kolku litri 90% {piritus treba da se izme{aat za da se dobie 60 litri od 75% {piritus?

7.

Zbirot od dol`inite na dvete kateti vo pravoagolen triagolnik e 20 cm. Ako pomalata kateta se prodol`i za 2 cm, a pogolemata se skrati za 4 cm, toga{ plo{tinata na triagolnikot }e se namali za 8 cm2. Odredi gi dol`inite na katetite na triagolnikot.

150

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Za da gi re{ava{ vakvite zada~i treba da se potseti{ za formulite i svojstvata na ramninskite geometriski figuri.

P O Z N A T O Zbirot od dol`inite na katetite e 20 cm. Kaj pravoagolniot triagolnik katetata e i visina na triagolnikot. Plo{tinata na triagolnikot e P

a¸h , kade {to a e osnova na triagolnikot, a h e 2

soodvetnata visina. O Z N A ^ U V A W E Dol`inata na pomalata kateta e x. Dol`inata na pogolemata kateta e y. ZAEMNI

VRSKI

Zbirot od dol`inite na katetite e: x + y = 20. Po prodol`uvaweto na pomalata kateta, nejzinata dol`ina e x + 2. Po skratuvaweto na pogolemata kateta, nejzinata dol`ina e y - 4. x¸ Plo{tinata na triagolnikot na po~etokot e . 2 Plo{tinata na triagolnikot po prodol`uvaweto i skratuvaweto na soodvetnite kateti e

x¸ 8 . 2

SISTEM RAVENKI

ÂŁ x 20 ÂŚ ÂŁ x 20 ÂŚ ÂŚ ÂŚ ”Œ ¤ x 2 ¸ 4 ¤ x ¸ ÂŚ ÂŚ4 x 2 8 8 ÂŚ ÂĽ ÂŚ 2 2 ÂŚ ÂĽ Re{i go sistemot. Proveri dali parot (x, y) = (8, 12) se baranite dol`ini na katetite na triagolnikot.

8.

Visinata na eden trapez e 6 cm, a negovata plo{tina e 96 cm 2. Dol`inite na paralelnite strani mu se razlikuvaat za 4 cm. Odredi gi dol`inite na paralelnite strani na toj trapez (osnovite).

Sistem linearni ravenki so dve nepoznati

151

Treba da znae{: da gi iska`e{ i primeni{ postapkite za re{avawe na problemska zada~a koja se sveduva na sistem od dve ravenki so dve nepoznati.

Proveri se! Za zada~ata: "Odredi dva broja ~ij zbir e 100, a odnosot im e 4”, primeni gi postapkite: Ozna~i gi nepoznatite i zapi{i gi zaemnite odnosi na poznatite i nepoznanite veli~ini. Sostavi sistem ravenki i re{i go. Proveri go re{enieto.

Zada~i 1. Zbirot na dva broja e 72, a nivnata razlika e 2. Koi se tie broevi?

2. Vo edna paralelka ima vkupno 28 u~e-

nici. Brojot na mom~iwata e za 4 pogolem od brojot na devoj~iwata. Kolku od u~enicite vo paralelkata bile mom~iwa, a kolku bile devoj~iwa?

3. Eden brod izminal 63 km za 5 ~asa

plovej}i sproti te~enieto na rekata. Koga brodot plovel po te~enieto na rekata istoto rastojanie go pominal za 3 ~asa. Kolkava e brzinata na brodot, a kolkava brzinata na rekata?

4. Ako vo 8 litri topla voda se dodadat 2

litri postudena voda, toga{ temperaturata na vodata e 66o. Ako, pak, vo 7 litri topla voda se dodadat 3 litri postudena voda, temperaturata na izme{anata voda e 59o. Kolkava bila temperaturata na toplata voda, a kolkava na postudenata voda?

152

5. Jovan kupil 8 tetratki (golemi i mali) i platil 250 denari. Golemite tetratki ~inele po 50 denari, a malite po 20 denari. Kolku golemi, a kolku mali tetratki kupil Jovan?

6. Majkata i }erkata zaedno imaat 37

godini. Pred dve godini majkata bila 10 pati postara od }erkata. Kolku godini ima majkata, a kolku }erkata?

7. Odredi gi mernite broevi na ostar i

tap agol so paralelni kraci ako nivnata razlika e 36o.

8. Perimetarot na eden ramnokrak triagolnik e 36 cm. Razlikata na dol`inite na krakot i osnovata e 3 cm. Odredi ja plo{tinata na triagolnikot.

9. Vo eden kafez imalo zajaci i fazani.

Ivan izbroil 35 glavi, a 94 noze vo kafezot. Kolku zajaci, a kolku fazani imalo vo kafezot?

Tema 3. Sistem linearni ravenki

S O

8 A

R A B O T A P O D A T O C I

RE[AVAWE PROBLEMI SO PRINCIPOT NA DIRIHLE Primer: Sedum top~iwa rasporedi gi vo tri kutii koi ne se posebno ozna~eni. Toa mo`e{ da go napravi{ na osum na~ini. Voo~i na crte`ot.

Natamu, na{a cel nema da bide odreduvaweto na brojot na mo`nostite (na~inite) za re{avawe na zada~ata. Na{a cel }e bide po~ituvaweto na eden princip.

Voo~i Kako i da se rasporedat sedumte top~iwa, sekoga{ }e postoi kutija vo koja }e ima barem tri top~iwa. Opi{aniot primer pretstavuva ednostavna forma na eden zna~aen princip poznat kako princip na Dirihle. Toj glasi: Ako vo n kutii se rasporedat pove}e od n predmeti, toga{ barem vo edna od kutiite }e ima pove}e od eden predmet.

1.

Petar Gustav Le`en Dirihle (1805-1859) germanski matemati~ar

a) Mo`e li da se tvrdi deka vo paralelka od 34 u~enici sigurno ima najmalku dvajca u~enici ~ii prezimiwa zapo~nuvaat so ista bukva? b) Dali ova tvrdewe va`i ako vo paralelkata ima 30 u~enici? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. a) Ovde, spored principot na Dirihle, bukvite od azbukata se "kutii#. Niv gi ima 31. Vo najnepovolen slu~aj, za prezimiwata na 31 u~enik bi bile "zazemeni# site 31 bukva.

Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati

153

So koja bukva zapo~nuvaat prezimiwata na ostanatite trojca u~enici? Tie zapo~nuvaat so nekoja od ve}e "zazemenite” bukvi. Na kolku najmalku u~enici prezimiwata zapo~nuvaat so ista bukva? Vo paralelkata ima barem dvajca u~enici ~ii prezimiwa zapo~nuvaat so ista bukva. b) Zo{to tvrdeweto ne va`i koga vo paralelkata bi imalo pomalku od 31 u~enik?

2.

Na edna matemati~ka {kola u~estvuvale 372 u~enici. Doka`i deka me|u niv ima barem dvajca u~enici koi vo ist den slavat rodenden.

3.

Edno u~ili{te ima 16 paralelki od V do VIII oddelenie. Vo sekcijata "Mladi matemati~ari” ~lenuvaat 18 u~enici. Doka`i deka me|u niv ima barem dvajca u~enici od ista paralelka.

Voo~i Najnepovolen slu~aj e koga od sekoja paralelka vo sekcijata ~lenuva po eden u~enik. No, toa e vkupno 16 u~enici. [to zaklu~uva{ za preostanatite dvajca u~enici od sekcijata?

4.

Vo paralelkata ima 30 u~enici. Na pismenata rabota po matematika nekoi u~enici napravile 8 gre{ki, a drugite u~enici napravile pomalku. Doka`i deka vo paralelkata ima najmalku 4 u~enici koi napravile ist broj gre{ki na pismenata rabota. Koj e najgolemiot broj napraveni gre{ki? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Najgolemiot broj napraveni gre{ki e 8. Zna~i, ima u~enici {to napravile 8 gre{ki; mo`no e da ima u~enici so: 7 gre{ki; 6 gre{ki;...; 1 gre{ka, a i u~enici {to ne napravile gre{ka (t.e. napravile nula gre{ki). Site u~enici gi razdeluvame vo 9 grupi: 1) u~enici {to napravile 8 gre{ki; 2) u~enici {to napravile 7 gre{ki itn. Vo devettata grupa se u~enicite {to ne napravile gre{ka.

154

Tema 3. Sistem linearni ravenki

Najnepovolen slu~aj e ako 3 u~enici napravile 8 gre{ki, 3 napravile 7 itn., a 3 u~enici ne napravile gre{ka. Toa se vkupno 3 â‹… 9 = 27 (imame 9 grupi od u~enici). No, 30 = 3 â‹… 9 + 3. Preostanatite trojca u~enici napravile 8, 7, ..., 2, 1 ili 0 gre{ki, t.e. spored principot na Dirihle, ima grupa u~enici vo koja ima najmalku 4 u~enici {to napravile ist broj gre{ki ili ne napravile gre{ki.

5.

Vo paralelkata ima 34 u~enici. Pri vnesuvawe na ist tekst vo kompjuterot Petar napravil 13 gre{ki, a drugite pomalku. Doka`i deka ima trojca u~enici koi napravile ist broj gre{ki.

B

6.

Principot na Dirihle e primenliv vo mnogu podra~ja od matematikata. Prosledi nekolku zada~i so negovata primena vo delivost na broevite i vo geometrijata. Dadeni se proizvolni 5 broja. Doka`i deka me|u niv ima barem dva broja takvi {to nivnata razlika e deliva so 4.

Raboti spored upatstvoto: Kolku i koi ostatoci se dobivaat pri delewe so brojot 4?

Se dobivaat 4 ostatoci: 0, 1, 2, ili 3.

Pri delewe na pette broja so 4 se dobivaat 5 ostatoci. Zna~i, najmalku dva od ostatocite se ednakvi (spored principot na Dirihle). Neka broevite a i b pri delewe so 4 davaat ist ostatok p, kade {to p ∈ {0, 1, 2, 3}.

a = 4m + p; b = 4n + p.

Razlikata a - b = (4m + p) - (4n + p) = 4(m - n) = 4k e od oblik 4k, t.e. taa e deliva so 4. Zapi{uvame 4 | (a - b).

7.

Kolku najmalku prirodni broevi treba da se zemat za da ima me|u niv takvi dva broja ~ija razlika e deliva so 7?

8.

Na bel list hartija (20 cm x 30 cm) e razleano mastilo. Doka`i deka na ovoj list postojat barem dve to~ki so ista boja koi se oddale~eni 10 cm edna od druga.

Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati

155

Prosledi go objasnenieto. Konstruiraj ramnostran triagolnik na toj list so strana 10 cm. Voo~i deka od trite temiwa na ovoj triagolnik dve temiwa se beli, a ednoto sino, ili dvete se sini, a ednoto belo, ili trite se beli, ili, pak, trite se sini. Dve temiwa so ista boja se baranite temiwa.

9.

Vo ramninata se dadeni 5 pravi od koi nikoi dve ne se paralelni. Doka`i deka postojat dve pravi me|u niv koi obrazuvaat agol pomal od 37o. Raboti na sledniot na~in. Izberi to~ka M vo ramninata i pomesti gi paralelno site pravi taka {to tie da minuvaat niz to~kata M. Voo~i deka pravite niz M ja delat ramninata na 10 agli. Ako aglite se ednakvi, toga{ sekoj ima 360 : 10 = 36o, a 36o < 37o, t.e. sekoga{ ima agol {to e pomal od 37o.

M

Ako aglite se razli~ni, toga{ ne se site pogolemi od 37o, bidej}i 10 â‹… 37o = 370o > 360o. Zna~i nekoj od tie agli e pomal od 37o.

Zada~i 1. Vo edno u~ili{te ima 1 200 u~enici. Doka`i deka:

3.

Vo edna paralelka ima 37 u~enici. Doka`i deka ima eden mesec vo godinata vo koj se rodeni ne pomalku od 4 u~enici od paralelkata.

4.

Vo 25 gajbi ima 3 vida jabolka, no taka {to vo sekoja gajba ima samo eden vid jabolka. Doka`i deka me|u niv ima 9 gajbi so jabolka od ist vid.

a) najmalku 4 u~enici od toa u~ili{te slavat rodenden vo ist den; b) barem dvajca u~enici imaat isti inicijali.

2. Da se doka`e deka vo Skopje ima barem tri lica koi imaat ist broj vlakna na glavata. (Eden ~ovek na glavata nema pove}e od 200 000 vlakna.)

156

Tema 3. Sistem linearni ravenki

U^E[E ZA SISTEM LINEARNI RAVENKI PROVERI GO TVOETO ZNAEWE

1.

[to e re{enie na linearna ravenka so dve nepoznati?

2.

Odredi go parametarot k za podredeniot par (2, 6) da bide re{enie na ravenkata (4x - 2)k - 1 = y - k.

3.

Pretstavi go mno`estvoto re{enija na ravenkata 2 x

[to e re{enie na sistem linearni ravenki so dve nepoznati?

5.

Odredi ekvivalenten sistem na dadeniot vo koj dvete ravenki imaat forma ax + by = c. ÂŁ x 1 2x 3 ÂŚ ÂŚ

3 Œ Œ 3 6 Œ ¤ Œ 2x 4 Œ 6. Œ Œ 3 Œ ¼

Re{i go grafi~ki sistemot:

£Œ x 2 7 ŒŒ ¤ ŒŒ x 1 0. Œ¼ 3

Re{i go sistemot so metod na zamena. Œ£Œ4 x 5 ¤ ŒŒ¼5 x 3 1

8.

1 0 grafi~ki. 2

4.

6.

7.

Re{i go sistemot so metodot na sprotivni koeficienti:

ÂŁÂŚ 1 ÂŚÂŚ x 2 3 x

3 ¤ ŒŒ Œ¼2 2 x 3 3 x .

9.

Spored grafi~ko re{avawe na sistem linearni ravenki, proceni kolku re{enija ima sistemot: Œ£ x 1 ; a) Œ¤ ŒŒ¼3 x 3 0

Œ£2 x 0 b) Œ¤ ŒŒ¼4 x 2 0

10. Zbirot od godinite na tatkoto i sinot

e 46. Po 10 godini tatkoto }e bide dva pati postar od sinot. Po kolku godini imaat sega?

Sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati

157

158

Tema 3. Sistem linearni ravenki

TEMA 4.

GEOMETRISKI TELA

TO^KI, PRAVI I RAMNINI VO PROSTOROT 1. To~ka, prava i ramnina 160 2. Dve pravi 163 3. Dve ramnini 165 4. Paralelno proektirawe. Ortogonalna proekcija 168 5. Pretstavuvawe na geometrisko telo so crte` 171 PRIZMA 6. Prizma. Vidovi prizmi. Dijagonalni preseci 174 7. Paralelopiped. Mre`a i plo{tina na prizma 177

8. Volumen na poliedar. Volumen na kvadar i kocka 9. Volumen na prava prizma

183 187

PIRAMIDA 10. Piramida. Plo{tina na piramida 190 11. Volumen na piramida 194 CILINDAR, KONUS, TOPKA 12. Cilindar; plo{tina i volumen 13. Konus; plo{tina i volumen 14. Topka; plo{tina i volumen 15. Verojatnost Proveri go tvoeto znaewe

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

197 200 203 206 208

159

TO^KI, PRAVI I RAMNINI VO PROSTOROT

1

TO^KA, PRAVA I RAMNINA

Potseti se!

A 1.

Pravata, agolot, trapezot i kru`nicata se ramninski figuri. Ima i drugi ramninski figuri.

Na crte`ot se pretstaveni kocka i kvadar.

Delot od geometrijata {to gi izu~uva ramninskite figuri se vika planimetrija. Nekoi svojstva na pravata se prifateni kako osnovni svojstva (aksiomi).

Dali kvadarot e ramninska figura? Zo{to?

Kako prva aksioma (A1) go prifativme svojstvoto: na sekoja prava le`at beskone~no mnogu to~ki, no ima i to~ki {to ne le`at na taa prava.

Dali site to~ki od kockata pripa|aat na ista ramnina? Delot od geometrijata {to gi izu~uva geomertiskite figuri vo prostorot se vika stereometrija.

To~kite, pravite i ramninite se osnovni geometriski figuri vo prostorot. Ramninata mo`e da se zamisli kako ramno staklo, kako mirna vodena povr{ina i sl. Taa e neograni~ena ramna povr{ina. Za nea e prifatena aksiomata:

A1

Na sekoja ramnina le`at beskone~no mnogu to~ki, a ima i to~ki {to ne le`at na nea. M

Dadena e ramnina ∑ i to~ki A, B, C, D, M na crte`ot.

Koi drugi od ozna~enite to~ki le`at na Σ?

D

A

To~kata A ñ pripa|a na ramninata ∑, t.e. A ∈ Σ. Mo`e da se re~e i deka A le`i na Σ, odnosno Σ minuva niz A. Σ

B

C

Za tri ili pove}e to~ki {to le`at na edna ramnina se veli deka se komplanarni. Taka, na crte`ot A, B, C, D ∈ Σ, M ∉ Σ, pa A, B, C, D se komplanarni, a B, C, D, M ne se komplanarni.

B

Potseti se! Za pravata ja znae{ aksiomata: niz koi bilo dve to~ki minuva to~no edna prava. Toa va`i i vo prostorot.

160

Tema 4. Geometriski tela

Za ramninata e prifateno slednovo osnovno svojstvo (aksioma):

A2 2.

Niz koi bilo tri to~ki {to ne le`at na edna prava minuva to~no edna ramnina.

Zo{to trino`no stol~e ne se "lula ni koga nogalkite ne se ednakvo dolgi? Dali toa e taka i kaj ~etirino`na masa?

3.

Razgledaj go kvadarot na crte`ot i odgovori na pra{awata. Koe teme od kvadarot le`i na ramninata opredelena so A, B i B1? Dali temeto C le`i na taa ramnina? Dali se komplanarni to~kite: a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; v) A, B, C, C1? Najdi drugi ~etiri temiwa {to: a) le`at; b) ne le`at na ista ramnina. Nacrtaj kvadar i ozna~i go kako na crte`ot. Potoa, is{rafiraj go delot od ramninata niz B, C, D1, A1 {to le`i vo kvadarot. Ako sekoja to~ka od edna prava le`i na edna ramnina, toga{ se veli deka pravata le`i na taa ramnina, a za ramninata se veli deka minuva niz taa prava.

V

Na edna ramnina le`at beskone~no mnogu pravi.

4.

Na crte`ot e pretstavena ramnina ∑ i dve to~ki A i B, {to le`at na nea. Kolku pravi minuvaat niz to~kite A i B?

B A

Dali drugite to~ki od pravata AB le`at na ramninata ∑?

Σ

Prifateno e za to~no slednovo osnovno svojstvo (aksioma) na ramninata.

A3

Ako dve to~ki od edna prava le`at na nekoja ramnina, toga{ i pravata le`i na taa ramnina.

Ovaa aksioma }e ti pomogne da se sogledaat zaemnite polo`bi na prava i ramnina vo prostorot. Razgledaj gi crte`ite i prosledi gi objasnuvawata za mo`nata zaemna polo`ba na edna prava i edna ramnina.

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

161

Za ramninata ∑ i pravata a se mo`ni slednite tri slu~ai. i ramninata nemaat zaedni~ki to~ki. F Pravata Toga{ se veli deka tie se paralelni, i se zapi{uva a || Σ.

i ramninata imaat samo edna zaedni~ka to~ka. F Pravata Toga{ se veli deka ramninata ja se~e pravata ili deka pravata a ja proboduva ramninata ∑ vo to~kata P; za to~kata P se veli deka e probod.

a le`i na ramninata ∑ ; F Pravata i vo ovoj slu~aj se veli deka tie se paralelni.

5.

Razgledaj go kvadarot i voo~i ja ramninata ∑, opredelena so temiwata A, B, C. Imenuvaj gi pravite opredeleni so rabovite {to: a) se paralelni so ∑ ; b) ja proboduvaat ∑ ; v) le`at na ∑.

Treba da znae{: da gi iska`e{ osnovnite geometriski figuri vo prostorot; da odredi{ zaemna polo`ba na prava i ramnina.

Proveri se! Kakva e zaemnata polo`ba na: a) to~ka i ramnina; b) prava i ramnina? To~kite A, B, C, M, D se temiwa na kvadarot na gorniot crte`. Koi ~etiri od ovie temiwa: a) se komplanarni, b) ne se komplanarni? Kolku ramnini mo`e da minuvaat niz: a) dadena to~ka A; b) dve dadeni to~ki B i C; v) tri dadeni to~ki A, B, C?

Zada~i 1. Nacrtaj kocka ABCDA1B1C1D1.

Imenuvaj ~etiri temiwa koi se: a) komplanarni; b) nekomplanarni.

2. Kolku pravi mo`e da bidat opredeleni

so edno teme od gornata osnova i edno teme od dolnata osnova na edna kocka?

162

Tema 4. Geometriski tela

3. Rabot AB od kockata vo zad. 1 e para-

lelen samo so dva nejzini yida i nema zaedni~ki to~ki so niv. Imenuvaj gi tie yidovi.

4. Dijagonalata AC na osnovata na kockata od zad 1. nema zaedni~ki to~ki samo so eden yid na kockata. Koj e toj yid?

2

DVE PRAVI

A

Potseti se! Iska`i gi aksiomite za ramnina. b) vo prostorot?

Kakva e zaemnata polo`ba na dve pravi (vo prostorot) {to imaat dve zaedni~ki to~ki? Kolku to~ki opredeluvaat edna ramnina?

imaat samo edna zaedni~ka F ili to~ka (se se~at);

F ili nemaat zaedni~ki to~ki; se sovpa|aat (ako imaat dve F ili zaedni~ki to~ki).

Kolku to~ki opredeluvaat edna prava a) na ramnina,

Dve pravi vo prostorot:

1.

Pravata a ima dve zaedni~ki to~ki so ramninata Σ. Kakva e zaemnata polo`ba na a i Σ?

Na crte`ot, pravite a i b se se~at, t.e. imaat edna zaedni~ka to~ka P. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. a A P B

b

Dali mo`e proizvolno izbrani to~ki A ∈ a, B ∈ b i presekot P (A ≠ P i B ≠ P) da se kolinearni? Zo{to? To~kite A, B i P opredeluvaat to~no edna ramnina. Zo{to? Pravite a i b le`at vo taa ramnina. Zo{to?

2.

Na crte`ot e pretstaven eden kvadar. Razgledaj go i odgovori na pra{awata. Dali rabot AB le`i vo ista ramnina so rabot: a) BB1; b) A1B1; v) B1C1?

D1 A1

Rabovite CB i C1B1 le`at vo ista ramnina. Zo{to? Rabovite AB i A1B1 le`at vo ista ramnina i nemaat zaedni~ka to~ka; i pravite AB i A1B1 nemaat zaedni~ka to~ka - tie se paralelni, t.e. AB || A1B1.

C1 B1

D A

C B

Vnimavaj! Dve paralelni pravi sekoga{ le`at vo ista ramnina. Rabovite, odnosno pravite AB i B1C1, isto taka, nemaat zaedni~ki to~ki, no tie ne le`at vo ista ramnina; za niv se veli deka se razminuvaat.

3.

So pomo{ na kvadar sogledaj u{te nekolku para paralelni pravi. Dali tri paralelni pravi sekoga{ le`at na ista ramnina?

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

163

Zapomni i sogledaj na crte`ite!

F

Dve pravi vo prostorot mo`e: da le`at na ista ramnina; toga{ tie ili se se~at ili se paralelni (pri {to mo`e da se sovpa|aat), kako na crt. 1;

F da ne le`at na ista ramnina, t.e. da se razminuva~ki pravi (a i c na crte`ot 2).

Crt. 1

Crt. 2

4.

Zapi{i spored crt.2 nekolku parovi: a) razminuva~ki pravi;

5.

Prese~nite to~ki na pravite na crt. 2 se temiwa na eden kvadar. Utvrdi dali se to~ni slednite iskazi. a) Pravite b i m ne se se~at i ne se paralelni, t.e. tie se razminuva~ki. b) Pravite m i d ne se se~at i le`at na ista ramnina, t.e. tie se paralelni. v) Pravite a i d se se~at i ne le`at na ista ramnina. g) Pravite b i m se razminuva~ki i le`at na ista ramnina.

B

b) paralelni pravi.

Potseti se! Spored aksiomata A2, ramninata e napolno opredelena so tri nekolinearni to~ki. Nekoi polo`bi na dve pravi vo prostorot, isto taka, opredeluvaat edna ramnina. Koi se tie polo`bi?

6.

164

Razgledaj gi crte`ite i obrazlo`i zo{to edna ramnina vo prostorot e napolno opredelena: a) so tri nekolinearni to~ki; b) so prava i to~ka {to ne le`i na taa prava; v) so dve paralelni pravi; g) so dve pravi {to se se~at.

Tema 4. Geometriski tela

a)

b)

v)

g)

7.

Kolku ramnini opredeluvaat dva po dva od bo~nite rabovi na eden kvadar? (Vnimavaj: ima pove}e od ~etiri ramnini.)

Treba da znae{: da gi objasni{ zaemnite polo`bi na dve pravi vo prostorot.

Proveri se! Za koi pravi se veli deka se: a) paralelni,

b) razminuva~ki?

Nacrtaj kocka ABCDA1B1C1D1 i nacrtaj gi dijagonalite na nejzinite osnovi. Koi parovi od pravite AC, BD, A1C1, B1D1: a) se se~at, b) se paralelni, v) se razminuva~ki?

Zada~i 1. Tri razli~ni pravi vo prostorot minu-

3. Neka a i b se razli~ni pravi vo pro-

2. Nacrtaj kvadar ABCDA1B1C1D1 i nacrtaj

4. Kolku ramnini opredeluvaat ~etiri

vaat niz ista to~ka. Kolku ramnini mo`e da opredelat ovie pravi?

gi dijagonalite na dva negovi sosedni yida, na primer, ABB1A1 i BCC1B1. Koi parovi od pravite AB1, BA1, CB1, BC1: a) se se~at; b) se paralelni; v) se razminuvaat?

3

storot. Kolku ramnini mo`e da minuvaat niz niv? nekomplanarni to~ki?

5. Obrazlo`i go tvrdeweto: "Ako pravite AB i CD se se~at, toga{ to~kite A, B, C, D se komplanarni”.

DVE RAMNINI

Potseti se!

A 1.

Razmisli i odgovori:

Kako glasi aksiomata so koja napolno se opredeluva edna ramnina vo prostorot?

Dali mo`e dve ramnini da imaat samo edna zaedni~ka to~ka?

Kakva zaemna polo`ba mo`e da imaat edna prava i edna ramnina vo prostorot?

Dali mo`e dve ramnini da imaat samo dve zaedni~ki to~ki?

A4

Odgovor na ova pra{awe dava slednovo osnovno svojstvo (aksioma A4):

Ako dve razli~ni ramnini imaat zaedni~ka to~ka, toga{ tie imaat zaedni~ka prava {to minuva niz taa to~ka.

Spored aksiomata, zna~i, dve razli~ni ramnini ÎŁ1 i ÎŁ2: a) ili nemaat zaedni~ki to~ki; b) ili imaat zaedni~ka prava. Ako ramninite imaat tri zaedni~ki nekolinearni to~ki, tie se sovpa|aat.

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

165

Zapomni Koga dve razli~ni ramnini Σ1 i Σ2 imaat zaedni~ka prava se veli deka tie se se~at, a za pravata deka e nivna prese~na prava. Za dve ramnini Σ1 i Σ2 se veli deka se paralelni ako nemaat zaedni~ki to~ki ili ako se sovpa|aat; toa se ozna~uva so Σ1 || Σ2.

2.

Sogledaj deka se to~ni slednive tvrdewa. (Napravi crte`!) a) Ako Σ1 || Σ2 i ako pravata a ja proboduva Σ1, toga{ a ja proboduva i Σ2. b) Ako Σ1 || Σ2 i a || Σ1, toga{ a || Σ2. v) Ako Σ1 || Σ2 i Σ3 se se~e so Σ1, toga{ Σ3 se se~e i so Σ2. Razgledaj go crte`ot i sledi go objasnuvaweto. Ramninite Σ1 i Σ2 se se~at i s e nivnata prese~na prava. M e proizvolna to~ka od s, od koja se povle~eni dve polupravi normalni na s, taka {to ednata le`i vo Σ1, a drugata vo Σ2. Tie polupravi go obrazuvaat agolot α. Agolot α ~ii{to kraci se tie polupravi se vika agol me|u ramninite Σ1 i Σ2. I negoviot naporeden agol pretstavuva agol me|u tie ramnini.

Ako agolot me|u ramninite e prav, toga{ za ramninite se veli deka se normalni me|u sebe, t.e. Σ1 ⊥ Σ2.

3.

Kakov agol zafa}aat podot i eden yid vo u~ilnicata? Dali yidovite i tavanot se normalni me|u sebe? A tavanot i podot?

4.

Kakov agol zafa}aat osnovata i eden bo~en yid na kvadarot?

166

Tema 4. Geometriski tela

Razgledaj gi crte`ite i prosledi go objasnuvaweto.

B

Pravata a ja proboduva ramninata Σ vo to~kata P.

Niz probodot P se povle~eni pravite b i c {to le`at vo Σ; tie so pravata a zafa}aat agli β i γ. Niz P mo`e da se povle~at i drugi takvi pravi; site tie so a zafa}aat razli~ni agli. Sigurno sogleduva{ deka tie agli mo`at da bidat ednakvi me|u sebe samo koga toa se pravi agli. Toga{ za pravata a se veli deka e normalna na ramninata, t.e. deka a e normala na ramninata Σ; toa se ozna~uva so a ⊥ Σ.

Zapomni Za pravata a se veli deka e normala na ramninata Σ, ako a e normalna na sekoja prava {to le`i na Σ i {to minuva niz probodot na Σ so a.

5.

Sogledaj deka za ramninite Σ1, Σ2 i pravite a, b, slednite tvrdewa se to~ni. Napravi crte`! a) Ako a || b i a ⊥ Σ1, toga{ b ⊥ Σ1.

V 6.

b) Ako Σ1 || Σ2 i a ⊥ Σ1, toga{ a ⊥ Σ2.

Na crte`ot to~kata M ne le`i na ramninata Σ. Od M mo`e da se spu{ti normala na Σ. Neka M' e probodot na taa normala.

Razgledaj go crte`ot, pa razmisli i odgovori na pra{awata. Kolku takvi normali na Σ mo`e da se spu{tat od M? Niz M e povle~ena prava b {to ja proboduva Σ vo to~ka N ≠ M'. Dali pravata b e normalna na Σ? Kakov triagolnik e ΔMM'N? Izvedi zaklu~ok deka MM' e edinstvena normala na Σ spu{tena od to~kata M. Objasni {to e normala na ramnina spu{tena od to~ka {to le`i nadvor od ramninata. Za otse~kata MM' (od crte`ot) se veli deka e ortogonalna na ramninata Σ, a za sekoja druga otse~ka (kako {to e MN) - deka e navednata. Dol`inata na otse~kata MM’ se vika u{te i rastojanie od to~kata M do ramninata S. Iska`i ja definicijata za rastojanie od to~ka do ramnina. Od crte`ot utvrdi deka MM’ MN .

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

167

Treba da znae{: da objasni{ {to e presek na dve ramnini; so crte` da gi pretstavi{ zaemnite polo`bi na dve ramnini; so crte` da gi objasni{: agol me|u dve ramnini i rastojanie od to~ka do ramnina.

Zada~i 1. Za koi dve ramnini se veli deka: a) se paralelni;

b) se normalni?

2. Kolku normali mo`e da se povle~at od dadena to~ka, na dadena ramnina?

3. Dali za pravite a i b i ramninite Σ1,

Σ2, Σ3 se to~ni tvrdewata? (Napravi crte`.) a) Ako a || b i a || Σ1, toga{ i b || Σ1. b) Ako a ⊥ Σ1 i a ⊥ Σ2, toga{ i Σ1 || Σ2. v) Ako Σ1 || Σ2 i Σ1 || Σ3, toga{ i Σ2 || Σ3.

4

Proveri se! Kakva e zaemnata polo`ba na dve ramnini ako imaat: a) edna; b) dve; v) tri zaedni~ki to~ki? Dali za pravite a, b i ramninata Σ se to~ni tvrdewata (napravi crte`): a) Ako a || b i pravata a ja proboduva Σ, toga{ i pravata b ja proboduva Σ. b) Ako a ⊥ Σ i b ⊥ Σ, toga{ a || b.

4. Rastojanieto od to~kata M do ramninata

Σ e d. Obrazlo`i deka za dol`inata na sekoja otse~ka spu{tena od M do koja bilo to~ka X od Σ va`i: MX p d .

5. Kakva zaemna polo`ba mo`e da imaat ramninite Σ1, {to minuva niz to~kite A, B, C i Σ2, {to minuva niz to~kite A, B, D?

PARALELNO PROEKTIRAWE. ORTOGONALNA PROEKCIJA

A 1.

Dadena e ramnina ∑ i prava s {to ne e paralelna so ∑. Izberi to~ka A i niz nea povle~i prava a {to e paralelna so pravata s. Pravata a ja proboduva ramninata ∑. (Zo{to?) Nacrtaj go toj probod i ozna~i go so A'. Sporedi go tvojot crte` so dadeniot.

To~kata A' se vika proekcija na to~kata A vrz ramninata ∑ vo pravec na s. Za pravata s se veli deka e proektira~ki pravec. Pravata a se vika proektira~ka prava na to~kata A. Za ramninata ∑ se veli deka e proekciona ramnina. So toa e opredeleno preslikuvawe na to~kite od prostorot vrz ramninata ∑. Toa preslikuvawe se vika paralelno proektirawe, so proektira~ki pravec s.

168

Tema 4. Geometriski tela

2.

To~kite A , B i C na crte`ot se proekcii na to~kite A, B i C soodvetno. Zo{to A ≡ B i C ≡ C?

3.

To~kite X i Y na crte`ot se proekcii na nekoi to~ki, vrz ramninata ∑, vo pravec na pravata s. Koi to~ki od prostorot se proektiraat vo to~kata X ? Koi to~ki od ramninata ∑ se proektiraat vo to~kata Y ?

Voo~i i zapomni! Ako A e proekcijata na to~kata A, toga{ A e proekcija i na sekoja to~ka od proektira~kata prava na A. Sekoja to~ka od proekcionata ramnina se sovpa|a so svojata proekcija.

4.

Nacrtaj ramnina ∑ i proektira~ki pravec s i prava p, p ¶ s. Izberi na p tri to~ki A, B, C i nacrtaj gi nivnite proekcii A , B , C . (Vnimavaj: i A , B , C }e bidat kolinearni!)

Potseti se!

B

[to e toa paralelno proektirawe? Geometriska figura (i ramninska i prostorna) pretstavuva edno mno`estvo to~ki. Sekoja od tie to~ki ima svoja proekcija pri dadeno paralelno proektirawe.

5.

Proekcija na edna figura vrz dadena ramnina ∑ e mno`estvoto to~ki {to se proekcii na to~kite od taa figura.

Taka, proekcija na prava vrz ramnina ∑ , vo op{t slu~aj e prava, na otse~ka - e otse~ka, na triagolnik - e triagolnik itn.

Dadena e ramnina ∑, prava s i s ⊥ ∑, A ∉ ∑, B ∈ ∑. Najdi gi proekciite na A i B vrz ∑ vo pravec na s. Razgledaj go i prosledi go objasnenieto. Vo slu~ajot koga proektira~kiot pravec e normalen na dadenata ramnina ∑, za paralelnoto proektirawe se veli deka e ortogonalno, a za proekciite deka se ortogonalni proekcii. Taka, to~kite A i B se ortogonalni proekcii na to~kite A i B vrz ramninata ∑.

6.

Razgledaj go crte`ot i objasni kako e izvedena konstrukcijata na ortogonalna proekcija a' na pravata a vrz ramninata ∑ .

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

169

7.

Napravi crte` vo tetratkata kako dadeniov i nacrtaj ja ortogonalnata proekcija na pravata a vrz ramninata ∑.

8.

[to e ortogonalna proekcija na otse~ka AB vrz dadena ramnina ∑: a) vo slu~aj ako AB ne e normalna na ∑; b) ako AB || Σ? Razgledaj gi crte`ite i prosledi gi objasnuvawata.

Ako A i B se proekciite na krajnite to~ki A i B na F a)otse~kata AB, toga{ proekcijata na otse~kata AB vrz ramninata ∑ e otse~kata A B .

Ako otse~kata AB e paralelna so proekcionata F b) ramnina ∑ , toga{ nejzinata proekcija A B e paralelna i ednakva so dadenata otse~ka, t.e. A'B' || AB, A’B’ AB , bidej}i ~etiriagolnikot ABB A e paralelogram. (Zo{to?)

9.

[to e ortogonalnata proekcija na otse~ka, koja{to e normalna na ∑?

V 10.

Proekcijata na triagolnik, vo op{t slu~aj e triagolnik. Pri kakva polo`ba na ramninata vo koja le`i triagolnikot, so proekcionata ramnina, proekcijata na triagolnikot ne e triagolnik?

Ako ramninata vo koja le`i triagolnikot e normalna na proekcionata ramnina, toga{ negovata proekcija e otse~ka. Na crte`ot, ΔPQR se proektira vo otse~kata P'R'.

Treba da znae{: da gi objasni{: paralelno proektirawe i ortogonalna proekcija vrz ramninata; da izvede{ ortogonalna proekcija na to~ka, prava, otse~ka i triagolnik vrz ramnina.

170

Tema 4. Geometriski tela

Proveri se! Pravata b e normalna na ∑ so probod P. Najdi ja ortogonalnata proekcija b na pravata b. Kakva e zaemnata polo`ba na proektira~kite pravi i proekcionata ramnina pri ortogonalnata proekcija?

Zada~i 1. Krajnite to~ki na otse~kata AB le`at

3. Pravite a i b se se~at. Dali mo`e niv-

od razli~ni strani na proekcionata ramnina. Najdi ja ortogonalnata proekcija na otse~kata. Napravi crte`.

nite proekcii da se dve razli~ni paralelni pravi?

4. Proekciite A , B , C na to~kite A, B, C

se kolinearni. Dali mora to~kite A, B, C da se kolinearni?

2. Ortogonalnite proekcii na otse~kite AB i CD se A'B' i C'D'. Koe od slednive tvrdewa e to~no?

5. To~kata C e sredina na otse~kata AB.

Obrazlo`i deka proekcijata C' (na to~kata C) e sredina na A'B'.

a) Ako AB CD , toga{ A’B’ C’D’ . b) Ako AB || CD, toga{ A’B’ C’D’ .

6. To~kata M ne le`i na pravata a. Dali

v) Ako AB || CD i AB CD , toga{

mo`e proekcijata M' da le`i na a'?

A’B’ C’D’ .

5

PRETSTAVUVAWE NA GEOMETRISKO TELO SO CRTE@

Potseti se! So kockata i kvadarot se zapozna porano vo tvoeto {koluvawe. Za niv znae{ i da im gi presmeta{ i plo{tinata i volumenot. Pokraj ovie dve geometriski tela zapozna i drugi so: cilindri~na, konusna i top~esta forma. Koi od geometriskite tela na crte`ite se so rabovi (rabesti tela) a koi se val~esti?

A 1.

kocka kvadar cilindar

topka

konus

Nacrtaj eden kvadar vo tetratkata.

Pri crteweto treba da vnimava{ na slednoto. Yidot na koj kvadarot e postaven na nekoja ramnina i yidot F 1sprotiven na nego, se vikaat osnovi (dolna i gorna); tie o

F

sekoga{ se paralelni i skladni me|u sebe paralelogrami. Toa se odnesuva i na site prizmi. 2o Bo~nite yidovi i bo~nite rabovi na kvadarot (i kaj pravite prizmi) treba da se ortogonalni (normalni) na dvete osnovi.

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

171

F F

3o Paralelnite rabovi na kvadarot (i na koja bilo prizma) mora da se paralelni i na crte`ot! 4o Site 12 rabovi na kvadarot ne mo`at da se gledaat. Na crte`ot, vidlivite rabovi se pretstavuvaat so polna linija, a nevidlivite - so isprekinata. Koi od niv }e se "vidlivi” a koi ne, zavisi od kade se gleda kvadarot: a) odozgora (kako {to gledaat pticite - "pti~ja perspektiva”) ili odozdola (kako {to gledaat `abite - "`abja perspektiva#), ili b) oddesno ili odlevo. 5 6 1 kontura

4 3 2 odozgora, oddesno

odozdola, odlevo

F

5o [este rabovi {to ja formiraat konturata na crte`ot (1, 2, ..., 6) se "vidlivi#. Pogledaj gi rabovite od 1 do 6; tie se vidlivi i na drugite dva crte`a.

F

6o Od ostanatite 6 rabovi treba da proceni{: koi tri imaat zaedni~ko teme koe{to ne se gleda. Tie rabovi ne se vidlivi.

B 2.

Naj~esto (a i se prepora~uva), geometriskite tela da se crtaat taka {to da se gledaat odozgora i oddesno. Da nacrtame postapno eden kvadar (so rabovi: a, b, c). Crtaj vo tetratkata, sledej}i gi ~ekorite a) od g): a) nacrtaj pravoagolnik so strani a i c (predniot bo~en yid);

a b

b

b) nacrtaj ja gornata osnova; v) od temiwata na gornata osnova spu{ti (dva) bo~ni raba so dol`ina c i paralelni so c; g) sega mo`e da se nacrta i dolnata osnova i da se sogleda koi rabovi ne se vidlivi.

3.

c a

c

c

c

c

c

a

a

a

a

a)

b)

v)

g)

b

Nacrtaj kocka {to ja gleda{ a) odozgora i oddesno;

b)odozgora i odlevo.

Sporedi go tvojot crte` so dadeniot. a)

172

Tema 4. Geometriski tela

b)

4.

Nacrtaj kocka gledana: a) odozdola i oddesno;

b) odozdola i odlevo.

Sporedi go tvojot crte` so dadeniot. a)

V

b)

Razgledaj gi crte`ite. Na niv se pretstaveni edna prava {estagolna prizma i dve piramidi (edna triagolna i edna ~etiriagolna). Ovie rabesti tela }e gi sretne{ vo narednite lekcii.

5.

Nacrtaj prava triagolna prizma.

6.

Nacrtaj piramida so osnova petagolnik.

Treba da znae{:

Proveri se!

da pretstavi{ geometrisko telo so crte`.

Nacrtaj eden kvadar gledan odozgora i odlevo.

Zada~i 1. Nacrtaj kocka so rab a = 2,5 cm. 2. Nacrtaj kvadar so osnova kvadrat gledan odozgora i: a) oddesno;

b) odlevo.

3. Nacrtaj kvadar so osnova kvadrat gledan odozdola i: a) odlevo;

b) oddesno.

4. Pretstavi eden kvadar vo site ~etiri slu~ai na gledawe.

Obidi se da prebroi{... Eden drven blok vo forma na kocka so rab od 3 dm e oboen crveno (t.e. so crvena boja) na site {est yidovi. Stolarot Stole Cepenkoski go isekol na 27 kocki, sekoja so rab 1 dm. a) Kolku kocki nemaat nieden crveno oboen yid? b) Kolku kocki imaat to~no eden crveno oboen yid? v) Kolku kocki imaat to~no dva crveno oboeni yidovi? g) Kolku kocki imaat to~no tri crveno oboeni yidovi? d) Kolku kocki imaat to~no ~etiri crveno oboeni yidovi?

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

173

PRIZMA

6

PRIZMA. VIDOVI PRIZMI. DIJAGONALNI PRESECI

Potseti se! Kockata i kvadarot se prostorni geometriski figuri. Kakvi geometriski figuri se nivnite yidovi? Vo ednata od niv site yidovi se skladni figuri. Vo koja? Nacrtaj edna kocka i eden kvadar i objasni vo {to se razlikuvaat.

A

Prosledi go objasnenieto kako se dobiva prizma.

F

Se zemaat dve razli~ni paralelni ramnini Σ i Σ1, kako na crte`ot.

F

Se zema u{te eden mnoguagolnik, na primer petagolnikot ABCDE, {to le`i na Σ.

F

Potoa, se zema edna prava p {to gi proboduva tie dve ramnini.

F

Niz temiwata na izbraniot mnoguagolnik se povlekuvaat pravi paralelni so pravata p; na crte`ot, nivnite probodni to~ki na ramninata Σ1 se ozna~eni so A1, B1, C1, D1, E1 soodvetno.

1.

Vo vrska so crte`ot, utvrdi koi od slednite iskazi se to~ni i obrazlo`i zo{to. AA1 || BB1 i AA1 BB1 . AB || A1B1 i AB A1B1 . EAB = E1A1B1. Voo~i deka site tri iskazi se to~ni. Od toa mo`e{ da zaklu~i{ deka: a) ~etiriagolnicite ABB1A1, BCC1B1 itn. se paralelogrami; b) petagolnikot A1B1C1D1E1 e skladen so petagolnikot ABCDE. Geometriskata figura {to e sostavena od tie dva petagolnika i pette paralelogrami, izdvoeno e pretstavena na crte`ov. Taa e edna povr{ina {to go deli mno`estvoto to~ki od prostorot na dve oblasti: vnatre{na i nadvore{na.

174

Tema 4. Geometriski tela

Vnatre{nata oblast, zaedno so taa povr{ina, obrzuvaat edno geometrisko telo {to se vika petagolna prizma. Na ist na~in mo`e da se dobijat i: triagolna prizma, ~etiriagolna prizma itn. Triagolnicite, ~etiriagolnicite, petagolnicite itn., {to ja opredeluvaat formata na prizmata, se vikaat osnovi na prizmata. Drugite yidovi se paralelogrami - toa se bo~ni yidovi, a nivnata unija, pak, se vika bo~na povr{ina. Sekoja prizma ima dve osnovi i bo~na povr{ina. Temiwata na osnovite se temiwa na prizmata, a stranite (otse~kite) na osnovite i na bo~nite yidovi se rabovi, i toa: osnovni rabovi i bo~ni rabovi.

2.

Na crte`ot se pretstaveni dve triagolni prizmi i eden kvadar, t.e. ~etiriagolna prizma. Imenuvaj gi osnovite na site tri prizmi. Imenuvaj gi bo~nite yidovi na dvete triagolni prizmi. Kolku temiwa i kolku rabovi ima edna ~etiriagolna prizma? Koi rabovi se osnovni, a koi bo~ni kaj petagolnata prizma od prethodnata zada~a?

3.

Izbroj gi temiwata (t), yidovite (s) i rabovite (r) na petagolnata prizma od crte`ot pogore, i proveri dali e zadovoleno ravenstvoto: s + t = r + 2.

B

Prizmata pri koja bo~nite rabovi se normalni na osnovite se vika prava prizma. Takvi se prizmite I i II na crte`ot.

Prizmata pri koja bo~nite rabovi ne se normalni na osnovite se vika kosa prizma. Takvi se prizmite III i IV na crte`ot. ^etiriagolna prizma se vika paralelopiped.

4.

I

II

III

IV

Imenuvaj gi prizmite I - IV na crte`ot: spored vidot na osnovite; spored polo`bata na bo~nite rabovi (kon osnovite); spored vidot na osnovite i polo`bata na bo~nite rabovi. Sekoja prava prizma so osnova pravilen mnoguagolnik se vika pravilna prizma. Taka, za edna prava prizma so osnova kvadrat se veli deka e pravilna ~etiriagolna prizma.

Prizma

175

5.

Kolku i kakvi yidovi ima: a) ~etiriagolna prizma; b) prava ~etiriagolna prizma;

v) pravilna ~etiriagolna prizma; g) pravilna {estagolna prizma?

Zapomni Rastojanieto me|u paralelnite osnovi na edna prizma se vika visina na prizmata. Za prizmata od crte`ot IV toa e, na primer, dol`inata na otse~kata MMÂ’, a za pravata prizma II toa e dol`inata na koj bilo bo~en rab, na pr. AA1.

V

Razgledaj gi crte`ite i voo~i: Ako edna prizma se prese~e so ramnina se dobiva mnoguagolnik koj{to se vika presek na prizmata.

Presekot na prizma so ramnina {to minuva niz dva nesosedni bo~ni raba na prizmata se vika dijagonalen presek. Otse~kata ~ii krajni to~ki se dve temiwa na edna prizma, {to ne le`at na ist yid, se vika prostorna dijagonala ili samo dijagonala na prizmata. Za prizmata na crte`ot otse~kata DB1 e prostorna dijagonala.

6.

Na crte`ot pogore e pretstaven ({rafirano) dijagonalniot presek ACC1A1 na petagolnata prizma ABCDEA1B1C1D1E1. Imenuvaj barem u{te dva nejzini dijagonalni preseci. Kako }e obrazlo`i{ deka sekoj dijagonalen presek e paralelogram pri koj edniot par sprotivni strani e parot "soodvetni dijagonali# na osnovite? Kakov paralelogram e dijagonalniot presek na prava prizma? Kolku dijagonalni preseci ima: a) petagolna; b) {estagolna; v) osumagolna prizma?

7.

Vo vrska so prizmite na prethodniot crte`, odgovori na slednite barawa. Imenuvaj gi site (prostorni) dijagonali na ~etiriagolnata prizma ABCDA1B1C1D1. (Vnimavaj, ima 4 dijagonali!) Kolku dijagonali ima petagolnata prizma na crte`ot? Kolku dijagonali na prizmata le`at na eden nejzin dijagonalen presek? [to se tie za presekot?

176

Tema 4. Geometriski tela

Treba da znae{: da gi prepoznae{ i imenuva{ vidovite na prizmi; da imenuva{ elementi na prizma (osnovi, bo~ni yidovi, rabovi...); da definira{ i da crta{ presek na prizma, dijagonalen presek i prostorna dijagonala na prizma.

Zada~i 1. Kolku bo~ni yidovi ima prava sedum-

agolna prizma? Kakvi mnoguagolnici se tie?

2. Kolku yidovi ima n-agolna prizma? 3. Kakva e vrskata me|u brojot s na bo~nite

yidovi i brojot r na osnovnite rabovi?

7

Proveri se! Mo`e li osnovite na edna prizma da se razlikuvaat po brojot na stranite? Dali vkupniot broj na rabovi na edna prizma mo`e da bide: a) 6; b) 9; v) 12, g) 15? [to e prava prizma? [to e pravilna prizma?

4. Mo`e li osnovite na kosa prizma da bidat pravilni mnoguagolnici?

5. Dali postoi prizma so: a) 4;

b) 8;

v) 13 yidovi?

6. Kolku (prostorni) dijagonali mo`e da se povle~at od edno teme na gornata osnova kaj: a) triagolna; b) petagolna; v) {estagolna prizma?

PARALELOPIPED. MRE@A I PLO[TINA NA PRIZMA Potseti se!

Kakvi mnoguagolnici se bo~nite yidovi na edna prizma? [to e: a) prava, b) kosa prizma? Za koja prizma se veli deka e pravilna? Dali kvadarot e pravilna prizma? Dali kockata e pravilna prizma?

1.

Site {est yidovi na paralelopipedot se paralelogrami. Od niv mo`e da se formiraat tri para sprotivni yidovi (t.e. par yidovi {to nemaat zaedni~ki rabovi).

Voo~i go parot sprotivni yidovi ADD1A1 i BCC1B1 na paralelopipedot od crte`ot i odgovori na barawata. Imenuvaj gi drugite dva para sprotivni yidovi. Kakvi se me|u sebe, spored zaemnata polo`ba i dol`ina, rabovite: AD i BC; AA1 i BB1; AB i A1B1? “A1AD = “B1BC. Zo{to? Izvedi zaklu~ok deka yidovite ADD1A1 i BCC1B1 se skladni paralelogrami.

Prizma

177

Va`i i op{to Kaj paralelopipedot koi bilo dva zaemno sprotivni yida se paralelni i skladni. Za koj paralelopiped mo`e{ da ka`e{ deka e prav, a za koj deka e kos paralelopiped?

Bidej}i paralelopipedot e prizma, mo`eme da ka`eme deka toj e prav ako bo~nite rabovi se normalni na osnovite. Ako tie ne se normalni na osnovite, toga{ paralelopipedot e kos.

Paralelopiped {to e prav i ima osnova pravoagolnik se vika pravoagolen paralelopiped ili kvadar. Dol`inite na trite raba {to izleguvaat od edno teme (na primer, na crte`ot: AB, BC, BB1) se vikaat dimenzii na kvadarot. Kvadar na koj dimenziite mu se ednakvi se vika kocka.

2.

Na crte`ot, voo~i go dijagonalniot presek BDD1B1 na kvadarot, razmisli i odgovori na pra{awata. Kakvi ~etiriagolnici se dijagonalnite preseci na kvadarot? Kakvi se me|u sebe, po golemina i zaemna polo`ba, prostornite dijagonali BD1 i DB1? Kolku prostorni dijagonali ima kvadarot? Kakvi se tie me|u sebe po golemina i zaemnata polo`ba? Voo~i go ~etiriagolnikot BCD1A1 na crte`ot. Toj e pravoagolnik (zo{to?) i negovite dijagonali BD1 i CA1 se ednakvi me|u sebe. Spored toa: CA1 BD1 DB1 AC1 .

Zapomni Kaj kvadarot site ~etiri prostorni dijagonali se ednakvi me|u sebe. Tie se se~at vo edna to~ka i se prepolovuvaat so nea.

3.

Na crte`ot e pretstaven kvadar so dimenzii a, b, c. Voo~i ja prostornata dijagonala BD1 i razmisli kako }e zaklu~i{ deka za dol`inata d BD1 va`i: d a 2 b2 c2

178

Tema 4. Geometriski tela

Za da go izvede{ baraniot zaklu~ok, sogledaj deka: a) ΔBAD e pravoagolen, pa BD2 a 2 b2 (zo{to?); b) ΔBDD1 e pravoagolen, pa d 2 BD2 c 2 (zo{to?). Zna~i: d 2 = a2 + b2 + c2.

4.

Presmetaj ja dijagonalata na kvadar so dimenzii 8 cm, 6 cm, 24 cm.

B

Neka e dadena edna prava ~etiriagolna prizma.

Zamisli deka e "ise~ena# po eden bo~en rab i po trite osnovni rabovi na dvete osnovi, kako na crte`ot. Ako, potoa, site nejzini yidovi gi soborime vo edna ramnina, }e dobieme edna figura {to se vika mre`a na taa prizma.

Zapomni Sekoja prava prizma ima svoja mre`a. Mre`ata e sostavena od dva mnoguagolnika (osnovite na prizmata) i od eden pravoagolnik so dimenzii: L (perimetarot na osnovata) i H (dol`inata na bo~niot rab, t.e. visinata) na prizmata.

5.

Figurata na crte`ot e sostavena od eden pravoagolnik i dva skladni triagolnici, "prilepeni# na pravoagolnikot. Obrazlo`i deka taa e mre`a na edna prava triagolna prizma. Dali taa e pravilna prizma? Zo{to?

6.

Dali site tri figuri se mre`i na kocka? Obidi se vo mislite da ja sostavi{ kockata ili napravi model. a)

b)

Prizma

v)

179

Potseti se!

V

Povr{inata na edna mnoguagolna prizma se sostoi od: dve osnovi (koi{to se skladni mnoguagolnici) i bo~na povr{ina (koja{to se sostoi od paralelogrami).

Za plo{tinata P na edna prizma va`i:

Razgledaj go crte`ot na koj e pretstavena edna mnoguagolna prizma i voo~i koj vid mnoguagolnici se nejzinite yidovi.

Zbirot od plo{tinite na site yidovi na edna prizma se vika plo{tina na prizmata.

P = 2B + M B - plo{tina na edna osnova; M - plo{tina na bo~nata povr{ina.

7.

Presmetaj ja plo{tinata na prava triagolna prizma so osnovni rabovi a = 6 cm, b = 25 cm, c = 29 cm i visina H = 35 cm. Tvoeto re{enie sporedi go so dadenoto.

B na osnovata mo`e da se presmeta so Heronovata forF Plo{tinata mula: B s s a s b s c , 2s = a + b + c = L; 2s = 6 + 25 + 29 = 60; s = 30;

B 30 ¸ 24 ¸ 5 ¸ 1 3600 60 , t.e. B = 60 cm2.

F Bo~nata povr{ina e sostavena od tri pravoagolnici, pa za nejzinata plo{tina M imame: M = a â‹… H + b â‹… H + c â‹… H = (a + b + c) â‹… H = L â‹… H = 60 â‹… 35, t.e. M = 2100 cm2.

prizmata e: F Zna~i, plo{tinataP P= na 2B + M = 2 â‹… 60 + 2100 = 2220,

t.e. P = 2220 cm2.

Voo~i op{to Plo{tinata M na bo~nata povr{ina na prava prizma se presmetuva so formulata:

M = L â‹… H, kade {to L e perimetarot na osnovata, a H e visina na prizmata.

8. 9. 180

Presmetaj ja M na pravilna {estagolna prizma so rab a = 5 cm i visina H = 7 cm. Plo{tinata na kvadar i kocka si presmetuval i porano.

Tema 4. Geometriski tela

Voo~i i obrazlo`i: Plo{tinata na kvadar so dimenzii a, b, c (izrazeni so ista merna edinica) se presmetuva so formulata:

P = 2(ab + ac + bc).

Plo{tinata na kocka so rab a se presmetuva so formulata:

P = 6a2. Presmetaj go rabot na kocka so plo{tina P = 61,44 cm2.

10.

Obrazlo`i gi formulite za presmetuvawe plo{tina na: a) pravilna triagolna prizma

P

a2 3

3 aH ; 2

b) pravilna ~etiriagolna prizma: P = 2a (a + 2H); v) pravilna {estagolna prizma:

P 3a a 3 2H .

so osnoven rab a i visina H.

Treba da znae{:

Proveri se!

da prepoznae{ i skicira{ paralelopiped i da gi iska`uva{ negovite svojstva;

Izvedi formula za dol`inata d na dijagonalata na kocka so rab a.

da crta{ kvadar i kocka kako i mre`i na razni vidovi prizmi;

Nacrtaj mre`a na pravilna ~etiriagolna prizma.

da iska`e{ op{ta postapka i da presmeta{ plo{tina na razni vidovi prizmi.

Presmetaj ja plo{tinata na pravilna ~etiriagolna prizma so osnoven rab 5 cm i visina 10 cm.

Zada~i 1. Presmetaj ja plo{tinata na: a) kvadar so dimenzii 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm; b) kocka so rab 2,5 cm.

3. Presmetaj ja visinata na pravilna ~etiriagolna prizma, ako plo{tinata na bo~nata povr{ina e M = 160 cm2, a plo{tinata na prizmata e P = 210 cm2.

2. Plo{tinata na edna kocka e 294 cm2.

Presmetaj gi rabot i dijagonalata na kockata.

Prizma

181

4. Me|u veli~inite a, H, B, M, P kaj

pravilna ~etiriagolna prizma da se najdat nepoznatite, ako se dadeni: a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm; b) a = 12 cm, M = 432 cm2; v) a = 8 cm, P = 480 cm2; g) B = 49 cm2, H = 12 cm; d) B = 81 dm2; P = 342 dm2; |) H = 8 dm, M = 208 dm2; e) M = 120 dm2, B = 36 dm2; `) M = 180 cm2, P = 342 cm2.

7. Prava prizma so bo~en rab 12 cm ima

osnova romb so dijagonali 6 cm i 8 cm. Najdi ja plo{tinata na prizmata.

8. Koi od dadenite figuri 1-8 se mre`i na kocka?

1

2

3

5. Kolku pati }e se zgolemi plo{tinata na

edna kocka, ako nejziniot rab se zgolemi tripati?

6. Me|u veli~inite a, H, B, M, P kaj pra-

vilna triagolna prizma najdi gi nepoznatite, ako se dadeni (vo centimetri): a) a = 6, H = 15; b) a = 4, M = 108;

5 4

6

8

7

v) a = 12, P 216 3 ; g) B 4 3 , H = 9; d) M = 270, B 9 3 ;

|) M = 240, P ≈ 326,5.

Mo`e li pajakot da dojde do muvata?

M

Na crte`ot e pretstavena pravilna ~etiriagolna prizma so osnoven rab 1 cm i visina 3 cm. Eden pajak (P) i edna muva (M) se vo polo`ba kako na crte`ot. Pajakot ja pra{al muvata: "Dali }e me ~eka{ da dojdam do tebe?# Muvata mu odgovorila: "]e te ~ekam ako gi ispolni{ slednive dva uslova: 1) da pomine{ po site ~etiri bo~ni yidovi i 2) izminatiot pat da ne bide pogolem od 5 cm.# Dali muvata }e se spasi ili pajakot }e najde pat da dojde do muvata?

182

Tema 4. Geometriski tela

P

8

VOLUMEN NA POLIEDAR. VOLUMEN NA KVADAR I KOCKA

Potseti se!

A

Kockata, kvadarot i drugi prizmi se prostorni geometriski figuri. Tie "zafa}aat nekoj del od prostorot# i se narekuvaat geometriski tela.

Na crte`ot se nacrtani modeli na geometriski tela. Imenuvaj go sekoe od niv. Koi od niv se rabesti, a koi val~esti?

Pokraj niv ima i drugi geometriski tela. 1

4

Op{to

2

5

3

6

Geometrisko telo (ili, kratko: telo), slobodno re~eno, e ograni~en i zatvoren del od prostorot. Ako povr{inata so koja e zatvoreno teloto e sostavena samo od mnoguagolnici, toga{ za nego se veli deka e rabesto telo ili poliedar (kako, na primer: prizma, piramida). Ako, pak, nekoi delovi od povr{inata {to go zagraduva teloto se krivi, toga{ za nego se veli deka e val~esto telo (na primer: cilindar, konus, topka).

2.

Imenuvaj tri predmeti (t.e. "fizi~ki tela#) od okolinata {to imaat forma na: a) rabesto, b) val~esto geometrisko telo.

3.

Na crte`ot se pretstaveni dve pravi prizmi, ~ii{to osnovi se skladni triagolnici (ΔABC ≅ ΔMNP), a bo~nite rabovi im se ednakvi

AA1 MM1 .

[to }e se slu~i ako pri nekoe pomestuvawe temiwata A, B, C se sovpadnat so temiwata M, N, P soodvetno, a temiwata A1, B1, C1 se sovpadnat so temiwata M1, N1, P1, soodvetno? Voo~uva{ deka, so toa pomestuvawe, prizmite }e se dovedat do potpolno sovpa|awe. Zatoa velime deka tie se skladni me|u sebe.

Zapomni Za dve geometriski figuri (a posebno, za dve geometriski tela) mo`e da se re~e deka se skladni, ako tie, so pomestuvawe (dvi`ewe), mo`e da se dovedat do sovpa|awe.

Prizma

183

4.

Kvadarot na crte`ot a) e prese~en so ramnina EFF1E1, taka {to se dobieni dva kvadra. Tie imaat zaedni~ki yid, no nemaat zaedni~ki vnatre{ni to~ki. Za niv velime deka se sostavni delovi (ili sostavki) na dadeniot kvadar. Na kolku sostavni delovi e podelena prizmata na crte`ot b)? Imenuvaj gi tie delovi. a)

b)

Potseti se! Odredi go volumenot na kvadar so dimenzii a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm; Brojot {to go dobi pritoa (45 cm3) ja karakterizira goleminata na vnatre{niot del na kvadarot. [to poka`uva toj broj (45 cm3)? Toj broj poka`uva deka vo dadeniot kvadar mo`eme da smestime to~no 45 kocki so rab 1 cm, t.e. 45 kocki so volumen 1 cm3. Zatoa velime deka toj kvadar ima volumen 45 cm3.

B

Sekoe geometrisko telo zafa}a izvesen del od prostorot. Za "goleminata# na vnatre{niot del od teloto, t.e. na zafateniot del od prostorot, se veli deka e volumen na teloto.

Op{tata zada~a za odreduvawe, t.e. za merewe na volumen na telo e analogna na zada~ata za merewe plo{tina na ramninski lik. Imeno, goleminata na vnatre{niot del na edno geometrisko telo, a posebno na poliedar mo`e da se osmisli so realen broj koj{to se narekuva volumen na teloto.

Zapomni Na koj bilo poliedar mo`e da mu se pridru`i realen broj V, nare~en volumen na poliedarot, taka {to da bidat zadovoleni slednite uslovi (aksiomi za volumen).

1o 2o

Volumenot V na koj bilo poliedar e pozitiven broj, t.e. V > 0.

3o

Ako eden poliedar e podelen na dva sostavni dela, toga{ negoviot volumen V e ednakov so zbirot na volumenite V1 i V2 na sostavnite delovi, t.e. V = V1 + V2.

184

Ako dva poliedri se skladni, toga{ nivnite volumeni V1 i V2 se ednakvi, t.e. V1 = V2.

Tema 4. Geometriski tela

4o

Se zema deka kocka so rab 1 cm (1 dm, odnosno 1 m, itn) ima volumen 1 cm3 (1 dm3, odnosno 1m3, itn.).

5.

Kaj kvadarot od crt. a) vo zada~ata 4 se nazna~eni negovite dimenzii, kako i dimenziite na negovite dva sostavni kvadra. Presmetaj go volumenot V na kvadarot, a potoa i volumenite V1 i V2 na negovite sostavki. Proveri gi, za ovoj slu~aj, aksiomite (1o i 3o) za volumen.

6.

Kako mo`e od aksiomata 3o da se izvede zaklu~ok deka volumenot na eden poliedar e pogolem od volumenot na koj bilo negov sostaven del?

Obrni vnimanie i zapomni Vo vrska so uslovot 4o, mo{ne va`no e da se utvrdi osnovna merna edinica za volumen. Za takva edinica mo`e da se zeme volumenot na koja bilo kocka. No, so Me|unarodniot sistem na merni edinici (SI), prifateno e toa da bide kocka so rab 1 m {to e nare~ena kuben metar; oznaka: m3.

7.

Koi se pomalite edinici {to se izveduvaat od kubniot metar? Kolku: a) kubni decimetri (dm3); b) kubni centimetri (cm3); v) kubni milimetri (mm3) se sodr`at vo 1 m3? Presmetaj vo m3: a) 2 350 dm3; b) 625 000 cm3; v) 55 â‹… 106 mm3. Za merewe volumen (obi~no na te~nosti) se upotrebuva i mernata edinica litar (6) Pritoa: 1 6 = 1 dm3.

8.

V

Kolku litri ima vo:

a) 35 dm3;

b) 2 500 cm3;

v) 2 m3?

Vrz osnova na aksiomite za volumen mo`e da se doka`e deka volumenot V na kvadar so dimenzii a, b, c, mo`e da se presmeta so formulata ({to ja znae{):

V = abc a na kocka so rab a (t.e. kvadar so a = b = c):

V = a3 Formulata za volumen na kvadar mo`e da se zapi{e i vo oblik:

V=Bâ‹…H

kade {to B = a â‹… b e plo{tinata na osnovata, a H = c e visinata na kvadarot.

Prizma

185

9.

Edna kanta so forma na kvadar, ~ija{to osnova ima strani a = b = 25 cm, sobira 25 6 voda. Kolkava e visinata na kantata?

Treba da znae{: da presmeta{ volumen na kvadar i kocka vo razni prakti~ni primeri; da gi koristi{ mernite edinici za volumen.

Proveri se! Kolku kocki so rab 1 cm, mo`e da se smestat vo kocka so rab a) 2 cm, b) 3 cm, v) 1 dm? Edna kanta so forma na kvadar ima osnova so strani a = b = 30 cm i visina H = 40 cm. Kolku litri voda sobira kantata?

Zada~i 1. Presmetaj go volumenot na kocka ~ija plo{tina e 54 cm2.

2. Dimenziite na eden kvadar se: 16 cm,

4 dm, 1 m. Najdi go rabot na kockata {to ima ednakov volumen so kvadarot.

3. Kaj nekoja kocka, plo{tinata vo cm2 i

volumenot vo cm3 se izrazeni so ist broj. Kolkav e rabot na kockata?

4. Eden kvadar ima osnova kvadrat so strana 4 cm i bo~na plo{tina M = 112 cm2. Presmetaj go volumenot na toj kvadar.

5. Osnovata na eden kvadar ima strani 6 cm i 8 cm, a dijagonalata na toj kvadar e 26 cm. Najdi go volumenot na kvadarot.

186

Tema 4. Geometriski tela

6. Volumenot na edna kocka e ednakov so volumenot na kvadarot so dimenzii 8 cm, 4 cm, 2 cm. Presmetaj ja plo{tinata na kockata.

7. Za da se soyida eden yid visok 2,80 m i

debel 40 cm potro{eni se 2 600 cigli. Se znae deka za 1 m3 yid se potrebni 400 cigli. Kolku e dolg yidot?

8. Edna prava prizma ima visina 8 cm i

osnova pravoagolen triagolnik so kateti a = 3 cm i b = 4 cm. Presmetaj go nejziniot volumen, sogleduvaj}i deka taa e polovina od kvadar so dimenzii 3 cm, 4 cm, 8 cm.

9

VOLUMEN NA PRAVA PRIZMA

Potseti se! Volumenot na kvadar so dimenzii a, b, c se presmetuva so formulata V = abc. Kako se dobiva formulata V = BH za volumen na istiot kvadar? Za kockata znae{ deka V = a3. Dali i za nea va`i: V = BH? Kako se presmetuva plo{tinata na pravoagolen triagolnik so kateti a i b?

A

Za presmetuvawe na volumenot na prava prizma so osnova pravoagolen triagolnik va`i istata formula kako za kvadar: V = BH,

kade {to B e plo{tinata na osnovata, a H e visinata na prizmata. Sledi go obrazlo`enieto na ova tvrdewe.

F

Na crte`ot a) e pretstavena prava prizma so visina H i osnova pravoagolen triagolnik so kateti a i b.

F

Na crt. b) dadenata prizma e dopolneta do kvadar so druga prizma {to e skladna so nea.

F

Volumenot Vk na kvadarot e dvapati pogolem od volumenot V na dadenata triagolna prizma, t.e. Vk = 2V (zo{to?).

F

Znaeme deka Vk = abH, pa: 2V = abH, t.e. V

F

ab ¸H . 2

a)

b) ab ab Bidej}i e plo{tinata na osnovata na dadenata prizma (zo{to?), t.e. B , 2 2 za volumenot na prizmata mo`eme da zapi{eme: V=Bâ‹…H

1.

Iska`i ja so zborovi formulata za presmetuvawe volumen na prava prizma so osnova pravoagolen triagolnik.

2.

Pravoagolen triagolnik so kateti 6 dm i 8 dm e osnova na prava prizma so visina 1,5 m. Presmetaj go volumenot na taa prizma.

B 3.

Nacrtaj proizvolen triagolnik i razdeli go na dva sostavni pravoagolni triagolnici.

Toa mo`e{ sekoga{ da go napravi{ (kako na crte`ot) so visinata spu{tena kon negovata najgolema strana.

4.

Na crte`ot e pretstavena prava prizma so osnova proizvolen triagolnik. Objasni kako e prese~ena prizmata i so toa e razdelena na dve sostavni pravi prizmi so osnovi pravoagolni triagolnici.

Prizma

187

Iskoristi go toa za da poka`e{ deka volumenot V na dadenata triagolna prizma se presmetuva so formulata V = B ⋅ H. (B - plo{tinata na osnovata, H - visinata). Sogledaj deka, ako V1 = B1 ⋅ H i V2 = B2 ⋅ H se volumenite na sostavnite prizmi, toga{ (spored aksiomata 3o za volumen), volumenot V na dadenata prizma }e bide: V = V1 + V2 = B1H + B2H = (B1 + B2) ⋅ H. Ako ja ozna~i{ so B plo{tinata na osnovata od dadenata prizma, toga{ B = B1 + B2, pa

V=B⋅H t.e. volumenot na prava triagolna prizma e ednakov so proizvodot od visinata i plo{tinata na osnovata na prizmata.

5.

Triagolnik so strani a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm e osnova na prava prizma so visina H = 20 cm. Presmetaj go volumenot na taa prizma.

6.

Presmetaj go volumenot na pravilna triagolna prizma so osnoven rab 6 cm i visina 8 cm.

V

7.

Na crte`ot e pretstavena prava petagolna prizma i od edno teme se povle~eni dve dijagonali na osnovata. Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata.

Kolku dijagonalni preseci mo`e da se postavat niz edno teme na osnovata? Kolku sostavni pravi triagolni prizmi se dobivaat so tie preseci? Ako V1, V2, V3 e volumenot na pravata triagolna prizma I, II, III soodvetno, kako mo`e da se izrazi volumenot V na petagolnata prizma? Ako B e plo{tinata na osnovata, a H e visinata na petagolnata prizma, kako }e ja zapi{e{ formulata za nejziniot volumen? Sigurno odgovori deka volumenot na prava petagolna prizma e ednakov so zbirot od volumenite na sostavnite triagolni prizmi. Takov zaklu~ok va`i i za sekoja prava mnoguagolna prizma. Spored toa: Volumenot V na prava prizma e proizvod od plo{tinata B na osnovata i visinata H, t.e.

V=B⋅H 8.

Presmetaj go volumenot na kanta so forma na pravilna {estagolna prizma so osnoven rab a = 10 cm i visina H = 60 cm. Kolku litri te~nost sobira taa kanta?

9.

Prava prizma so visina 12 cm ima osnova ramnokrak pravoagolen triagolnik so kateta 8 cm. Presmetaj go volumenot na prizmata.

188

Tema 4. Geometriski tela

10.

Najdi gi formulite za volumen na: a) pravilna triagolna prizma. b) pravilna ~etiriagolna prizma; v) pravilna {estagolna prizma, so osnoven rab a i visina H.

Treba da znae{: da presmeta{ volumen na prizma spored op{tata formula; da gi izvede{ formulite za presmetuvawe volumen na pravilna triagolna, ~etiriagolna, {estagolna prizma; da gi koristi{ mernite edinici za volumen pri re{avawe na prakti~ni primeri za plo{tina i volumen na prizmi.

Proveri gi tvoite rezultati: a2 3 4 b) B = a2,

a) B

v) B

3a 2 3 2

a 2H 3 ; 4 V = a2H;

V

V

3a 2H 3 . 2

Proveri se! Presmetaj go volumenot na pravilna {estagolna prizma so osnoven rab a = 4 cm i visina H = 13 cm. Dve triagolni prizmi imaat ednakvi visini i ednakvi volumeni. Dali nivnite osnovi mora da se: a) skladni triagolnici, b) ednakvoplo{ni triagolnici?

Zada~i 1. Eden sandak so dol`ina 2 m i {irina

1 m sobira 16 h6 oriz. Kolkava e visinata na sandakot?

2. Presmetaj go volumenot na pravilna

{estagolna prizma so perimetar na osnovata 24 cm i visina 10 cm.

3. Romb so dijagonali 24 cm i 10 cm e os-

nova na prava prizma so visina 20 cm. Presmetaj gi volumenot i plo{tinata na prizmata.

4. Pravilna ~etiriagolna prizma ima plo{tina P = 448 dm2 i bo~na povr{ina so plo{tina M = 320 dm2. Presmetaj go volumenot na prizmata.

5. Presmetaj go volumenot na pravilna triagolna prizma so:

6. Kolku e visoka pravilna {estagolna prizma so osnoven rab a = 6 cm i volumen V = 1260 cm3?

7. Napre~en presek na kanal, dolg 2 km, ima

forma na ramnokrak trapez so osnovi 6 m i 10 m, a krak 2,9 m. Kolku m3 zemja se isfrleni pri negovoto kopawe?

8. Me|u veli~inite a, H, B, M, P, V kaj pra-

vilna ~etiriagolna prizma najdi gi nepoznatite, ako se dadeni (vo cm; cm2; cm 3): a) a = 5, M = 160;

g) H = 14, V = 1694;

b) a = 3, P = 66;

d) H = 15, M = 780;

v) B = 36, M = 168; |) M = 160, V = 200.

a) osnoven rab 6 cm i visina 8 cm; b) osnoven rab a i visina 4a.

Prizma

189

PIRAMIDA

10

PIRAMIDA. PLO[TINA NA PIRAMIDA

Potseti se!

A

[to e poliedar ili rabesto telo? Zo{to prizmata e rabesto telo? Spored {to se odreduva deka prizmata e triagolna, ~etiriagolna itn., a spored {to deka e prava, odnosno pravilna? Opi{i so zborovi nekoja od egipetskite piramidi.

1.

F F F F

Razgledaj gi crte`ite i prosledi gi objasnuvawata vo slednata zada~a. Taka }e se zapoznae{ u{te so edno rabesto geometrisko telo. Dadeno e: edna ramnina ÎŁ, eden n-agolnik na nea, na primer, petagolnikot ABCDE, edna to~ka S {to ne le`i na ÎŁ. Od to~kata S se povle~eni otse~ki do temiwata na petagolnikot. Kolku triagolnici se dobieni pritoa? Imenuvaj gi tie triagolnici. [to imaat zaedni~ko site tie pet triagolnici? Voo~i ja povr{inata {to ja so~inuvaat dadeniot petagolnik i dobienite pet triagolnici.

Povr{inata {to se sostoi od dadeniot petagolnik i dobienite pet triagolnici go deli mno`estvoto to~ki od prostorot na dve oblasti: vnatre{na i nadvore{na. Vnatre{nata oblast zaedno so spomnatata povr{ina obrazuvaat edno geometrisko telo {to se vika petagolna piramida. Taa piramida e izdvoeno pretstavena na crte`ov. Dadeniot petagolnik se vika osnova na piramidata, dobienite triagolnici ABS, BCS,... - bo~ni yidovi, a to~kata S - vrv na piramidata. Vrvot S i temiwata na osnovata se vikaat temiwa na piramidata, a bo~nite yidovi ja so~inuvaat nejzinata bo~na povr{ina. I kaj piramidata razlikuvame: osnovni i bo~ni rabovi. So ista postapka mo`e da se dojde do triagolna piramida, ~etiriagolna piramida itn. Sekoja od niv se vika, kratko, piramida.

190

Tema 4. Geometriski tela

2.

Na crte`ot se pretstaveni triagolnata piramida SABC i ~etiriagolnata piramida SABCD. Imenuvaj gi: a) osnovnite rabovi;

v) osnovata;

b) bo~nite rabovi;

g) bo~nite yidovi

na piramidata 1) SABC; 2) SABCD. Voo~i ja i otse~kata SS vo piramidata SABCD na crte`ot. Otse~kata SS , kade {to S e vrvot na piramidata, a S e negovata ortogonalna proekcija vrz osnovata se vika visina na piramidata. To~kata S e podno`je na visinata. Obi~no i dol`inata SS’ se vika visina na piramidata.

3.

Od koj vid e piramidata {to ima: 1. a) 4, b) 6, v) 9 temiwa;

B

2. a) 6, b) 10, v)12 rabovi;

3. a) 4, b) 7, v) 10 yidovi?

Presekot na piramidata so ramnina {to minuva niz vrvot i niz koja bilo dijagonala na osnovata se vika dijagonalen presek. Na crte`ot e pretstaven dijagonalniot presek ACS na piramidata. Voo~i i imenuvaj u{te dva takvi preseci. Kolku dijagonalni preseci ima ovaa piramida? Kolku dijagonalni preseci ima koja bilo piramida?

Voo~iv deka i triagolnicite BDS i ECS se dijagonalni preseci; ovaa piramida ima 5 takvi preseci, a sekoja piramida ima tolku dijagonalni preseci, kolku {to ima dijagonali osnovata.

4.

Na crte`ot e pretstavena piramidata SABCD so osnova kvadrat, a podno`jeto na visinata pa|a vo presekot O na dijagonalite na osnovata. Razgledaj go crte`ot i prosledi gi objasnuvawata.

F

To~kata O gi prepolovuva dijagonalite na kvadratot (osnovata).

F

Pravoagolnite triagolnici AOS, BOS, COS, DOS imaat edna zaedni~ka kateta (visinata OS), a drugata kateta im e ednakva na polovina dijagonala na kvadratot.

F

Spored priznakot SAS tie se skladni me|u sebe.

Od toa sleduva deka, kaj vakvata piramida: a) site bo~ni rabovi se ednakvi me|u sebe; b) bo~nite yidovi se ramnokraki, me|u sebe skladni triagolnici; v) visinite na bo~nite yidovi se ednakvi me|u sebe.

Piramida

191

Za ovaa piramida i za sekoja druga pri koja osnovata e pravilen mnoguagolnik, a podno`jeto na visinata pa|a vo centarot na osnovata, se veli deka e pravilna piramida. Visinata h na koj bilo bo~en yid na pravilna piramida se vika apotema na piramidata.

5.

Presmetaj ja apotemata h na pravilna triagolna piramida so osnoven rab a = 14 cm i bo~en rab s = 25 cm. Razgledaj go triagolnikot AES na crte`ot.

V 6.

Ako se razre`at site osnovni rabovi (osven eden) i samo eden bo~en rab, toga{ povr{inata na edna piramida mo`e da se "rasprostre# na ramnina. Taka se dobiva mre`a na piramidata. Na crte`ot se pretstaveni dve konstrukcii na mre`ata na pravilna triagolna piramida so osnoven rab a i bo~en rab s. Voo~i gi i opi{i gi so zborovi dvete postapki. Objasni i skiciraj ja mre`ata na pravilna ~etiriagolna piramida.

G

Kako i kaj prizmata, zbirot od plo{tinite na site yidovi na edna piramida se vika plo{tina na piramidata. Spored toa:

Ako B e plo{tinata na osnovata, a M plo{tinata na bo~nata povr{ina, toga{ plo{tinata P na piramidata }e bide:

7.

F P=B+M

Presmetaj ja plo{tinata na pravilna ~etiriagolna piramida so osnoven rab 14 cm i bo~en rab s = 25 cm. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Za osnovata: B = a = 14 = 196, t.e. B = 196 cm ; a¸h F za bo~nata povr{ina: M 4 ¸ 2 2ah kade {to h 2

2

2

e apotemata.

F Apotemata }e se presmeta so pomo{ na Pitagorovata teorema od pravoagolniot triÂ?aÂŹ agolnik AES: h 2 s 2 žžž ­­­ 252 72 625 49 576; h 24 cm. Â&#x; 2ÂŽ 2

F Taka, M = 2ah = 2 â‹… 14 â‹… 24 = 672, t.e. M = 672 cm . F Zna~i: P = B + M = 196 + 672 = 868, t.e. P = 868 cm . 2

2

192

Tema 4. Geometriski tela

8.

Presmetaj ja plo{tinata na pravilna ~etiriagolna piramida so osnoven rab a = 10 cm i visina H = 12 cm. Iskoristi go ΔSOE na crte`ot od zada~ata 7. Triagolna piramida se vika tetraedar. Triagolna piramida na koja site rabovi £ se ednakvi se vika pravilen tetraedar.

9.

Najdi ja plo{tinata na pravilen tetraedar so rab a = 12 cm.

Treba da znae{: da prepoznae{ i da imenuva{ piramida i nejzinite elementi; da prepoznae{ i da definira{ pravilna piramida; da presmeta{ plo{tina na piramida.

Proveri se! Ako osnovata na edna piramida e pravilen mnoguagolnik, dali mora piramidata da e pravilna? Najdi ja plo{tinata P na pravilna ~etiriagolna piramida so bo~en rab c = 17 cm i apotema h = 15 cm.

Zada~i 1. Kolku najmalku yidovi mo`e da ima edna

5. Presmetaj ja plo{tinata na pravilna

2. Presmetaj ja plo{tinata na pravilna

6. Presmetaj ja plo{tinata na osnovata na

piramida? Od koj vid e taa?

{estagolna piramida so osnoven rab 10 cm i apotema 13 cm.

3. Najdi ja apotemata na pravilna ~etiriagolna piramida ~ija bo~na povr{ina ima 20 dm2, a osnovata ima 16 dm2.

4. Pravilna ~etiriagolna piramida so osnoven rab a = 8 cm ima plo{tina 144 cm2. Najdi ja visinata H na piramidata.

triagolna piramida so osnoven rab 6 cm i bo~en rab 10 cm.

pravilna ~etiriagolna piramida so visina H = 6 dm i apotema h = 6,5 dm.

7. Me|u veli~inite a, H, h, B, M, P kaj pra-

vilna ~etiriagolna piramida najdi gi nepoznatite, ako se dadeni (vo centimetri): a) a = 12, h = 10; g) H = 21, h = 29; b) a = 14, H = 24; d) P = 819, B = 81; v) B = 256, M = 544; |) P = 3584, M = 2800.

Piramida

193

11

VOLUMEN NA PIRAMIDA Potseti se!

Volumenot na prava prizma se presmetuva so formulata V = B â‹… H, B - plo{tina na osnovata, H - visina na prizmata. Kako se dobiva piramida ? [to e, pritoa: a) osnova; b) vrv; v) bo~na povr{ina; g) visina na piramidata?

Mereweto na volumenot na nekoe telo ne go vr{ime so neposredno prenesuvawe na mernata edinica, tuku izveduvame pravila ({to gi zapi{uvame so formula), spored koi, vrz osnova na neophodni podatoci za teloto, so presmetuvawe, go dobivame negoviot volumen.

A

Kako da dobieme pravilo za presmetuvawe volumen na piramida? Za taa cel mo`e{ (doma) da go napravi{ sledniov obid. {uplivi modeli (na primer, od karF Napravi ton) na edna prizma i na edna piramida so ednakvoplo{ni (mo`e: skladni) osnovi i ednakvi visini (kako na crte`ot).

ja piramidata so suv pesok (ili drug zrnest materijal: oriz,{e}er ili sl.) i F Napolni potoa pesokot od piramidata preturi go vo prizmata.

F ]e zabele`i{ deka toa treba da go napravi{ u{te dvapati za da ja napolni{ prizmata. F Toa poka`uva deka piramidata ima tripati pomal volumen od prizmata. Ovoj fakt, voo~en eksperimentalno, mo`e i da se doka`e (no, nie }e go izostavime toa).

Zapomni deka va`i op{to Volumenot V na edna piramida e ednakov na edna tretina od proizvodot na visinata H i plo{tinata B na osnovata na piramidata, t.e.

1.

194

V=

1 Bâ‹…H 3

Presmetaj go volumenot na pravilna ~etiriagolna piramida so osnoven rab a = 12 cm i visina H = 20 cm.

Tema 4. Geometriski tela

B 2.

Razgledaj gi crte`ite i obidi se da gi izvede{ formulite za presmetuvawe volumen na pravilna: a) triagolna; b) ~etiriagolna; v) {estagolna; piramida so osnoven rab a i visina H.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

1

F Vo op{tata formula za volumen na piramida V 3 ¸ B ¸ H , treba da se zameni samo B so soodvetna formula za plo{tina na: a) ramnostran triagolnik: v) pravilen {estagolnik:

F

1 2 ¸a 3 ; 4

B B

b) kvadrat:

B = a2;

3 2 ¸a 3 . 2

Taka }e se dobijat baranite formuli: a) V

a 2H 3 ; 12

b) V

a 2H ; 3

v) V

a 2H 3 . 2

3.

Keopsovata piramida vo Egipet ima visina 149 m i osnova kvadrat so strana 232 m. Presmetaj go nejziniot volumen.

4.

Bo~niot rab na pravilna {estagolna piramida e 14 cm, a osnovniot rab e a = 2 cm. Presmetaj go volumenot na piramidata.

V

5.

Presmetaj gi plo{tinata i volumenot na piramida so visina H = 12 cm i osnova pravoagolnik so dimenzii a = 32 cm i b = 10 cm, ako podno`jeto na visinata e vo presekot na dijagonalite (centar na opi{anata kru`nica) na osnovata.

Razgledaj go crte`ot i raboti spored upatstvata.

F P = B + M i B = a ⋅ b = 32 ⋅ 10; B = 320 cm . F Bo~nata povr{ina e sostavena od ~etiri triagolnici, pri {to: 2

ΔSA1B1 ≅ ΔSC1D1 i

ΔSB1C1 ≅ ΔSA1D1, pa od crte`ot, kade {to ha = FS , hb = GS , se dobiva M=2⋅

F

1 1 ⋅ aha + 2 ⋅ ⋅ bhb = aha + bhb. 2 2

b¬ a¬ Presmetaj gi bo~nite visini ha i hb. Na crte`ot: ha2 ­­­ H 2 = 169 i hb2 ­­­ H 2 = 2 ® 2 ® 2

2

= 400, t.e. ha = 13 cm, hb = 20 cm i M = 32 ⋅ 13 + 10 ⋅ 20 = 616 cm2;

F P = 320 + 616 = 936;

P = 936 cm2.

Piramida

195

F Zameni gi B i H vo op{tata formula za volumen na piramidata: V

1 1 存 B 存 H 存 320 存 12 , 3 3

Treba da znae{: da presmeta{ volumen na piramida spored op{tata formula; da izvede{ formula za presmetuvawe volumen na piramida vo konkreten primer.

V = 1 280 cm3.

Proveri se! Presmetaj go volumenot na pravilna triagolna piramida so osnoven rab 5 cm i visina 9 cm. Pravilna ~etiriagolna piramida ima visina 12 cm i dijagonala na osnovata 8 cm. Kolku e volumenot na piramidata?

Zada~i 1. Pravilna ~etiriagolna piramida ima osnova B = 144 cm2 i visina H = 40 cm. Presmetaj go volumenot na piramidata.

2. Volumenot na edna pravilna ~etiriagolna piramida e 48 cm3, a plo{tinata na nejzinata osnova e 36 cm2. Presmetaj ja plo{tinata na piramidata.

3. Pravilna ~etiriagolna piramida ima osnoven rab a = 24 cm i bo~na plo{tina M = 960 cm2. Presmetaj gi plo{tinata P i volumenot V na piramidata.

4. Pravilna ~etiriagolna piramida ima

osnoven rab 20 cm i volumen 3 200 cm3. Presmetaj ja visinata i plo{tinata na taa piramida.

5. Osnovata na edna piramida e pravoagolnik so dimenzii 90 cm i 1,20 m, a site bo~ni rabovi imaat po 1,25 m. Najdi go nejziniot volumen.

6. Edna pravilna ~etiriagolna piramida ima osnoven rab a = 8 cm i volumen V = 576 cm3. Najdi gi visinata i plo{tinata na piramidata.

7. Me|u veli~inite a, H, s, B, M, P, V kaj

pravilna {estagolna piramida najdi gi nepoznatite, ako se dadeni (vo cm): a) a = 10, H = 24;

b) B = 73,5 3 , s = 25 (s e bo~niot rab); v) a = 7, s = 25; g) V = 588 3 , H = 24.

Obidi se... a) Kakov mnoguagolnik treba da bide osnovata za da mo`e{ da formira{ piramida so ednakvi bo~ni rabovi? b) Kakov mnoguagolnik treba da bide osnovata za da mo`e{ da formira{ piramida so ednakvi apotemi?

196

Tema 4. Geometriski tela

CILINDAR, KONUS, TOPKA

12

CILINDAR; PLO[TINA I VOLUMEN

Potseti se! [to e prizma i kako se dobiva? [to se pritoa: a) osnovi; b) bo~ni yidovi; v) bo~na povr{ina; g) visina na prizmata?

Da vidime kako se dobiva geometriskoto telo {to go narekuvame cilindar.

A

Sledi ja postapkata vnimatelno. e edna ramnina Σ, edna kru`nica F kDadena na nea i edna prava p {to minuva niz

edna to~ka T od kru`nicata, a e normalna na Σ, kako na crte`ot a).

Za koi geometriski tela se veli deka se val~esti? Mnogu predmeti od sekojdnevniot `ivot imaat forma na cilindar (na primer: konzerva, }unk). Nabroj u{te nekolku predmeti {to imaat cilindri~na forma.

a)

b)

v)

F

Da zamislime deka to~kata T po~nuva da se dvi`i po kru`nicata, a pravata p - da ostanuva paralelna na svojata po~etna polo`ba kako na crte`ot b).

F

Na toj na~in podvi`nata prava p opi{uva edna povr{ina; toa e cilindri~na povr{ina - crt. v).

Za pravata p se veli deka e generatrisa (ili izvednica), a za kru`nicata - direktrisa (ili vodilka) na cilindri~nata povr{ina.

F

Da ja prese~eme ovaa povr{ina u{te so edna ramnina Σ1, paralelna so Σ, kako na crt. g). d)

Zapomni

g)

Krugovite {to cilindri~nata povr{ina gi otsekuva od ramninite Σ i Σ1, i delot od nea pome|u ramninite, zagraduvaat del od prostorot, t.e. obrazuvaat edno geometrisko telo {to se vika prav kru`en cilindar, a nie }e go vikame samo cilindar. Toj cilindar e izdvoeno pretstaven na crte`ot d).

Cilindar, konus, topka

197

Nagledno, cilindar mo`e da se dobie i koga pravoagolnik rotira okolu edna svoja strana (na crte`ot: ABCD, okolu BC).

B

Razgledaj go crte`ot i voo~i gi elementite na cilindarot.

Krugovite se vikaat osnovi, a delot od cilindri~nata povr{ina me|u niv - bo~na povr{ina na cilindarot. Radiusot R na osnovata se vika radius na cilindarot. Otse~kata OO1 (~ii{to krajni to~ki se centrite na osnovite) se vika oska na cilindarot; taa e i negova visina. Ako cilindarot se prese~e so ramnina {to minuva niz negovata oska, se dobiva eden pravoagolnik {to se vika osen presek ({rafiraniot pravoagolnik na crte`ot).

1.

Dali mo`e dva osni preseci na eden cilindar da ne se skladni me|u sebe? Zo{to?

2.

Presmetaj ja plo{tinata na osniot presek na cilindar so radius R = 5 cm i visina H = 7 cm. Za cilindar ~ij{to osen presek e kvadrat, t.e. H = 2R, se veli deka e ramnostran cilindar.

3.

Osniot presek na eden ramnostran cilindar ima 100 cm2. Najdi gi radiusot i visinata na cilindarot.

V

4.

Ako cilindarot se rase~e po edna negova generatrisa i po periferijata na osnovite, kako na crte`ot a), toga{ mo`e da se vidi deka mre`ata na cilindarot e sostavena od dva skladni kruga (osnovite) i eden pravoagolnik (bo~nata povr{ina), kako na crte`ot b). Razgledaj ja mre`ata na crte`ot b) i, za plo{tinata P na cilindar so radius R i visina H, sogledaj deka:

a) b)

a) P = 2B + M; (B - plo{tina na osnovata, M - plo{tina na bo~nata povr{ina);

198

b) B = R2π (Zo{to?),

M = 2Rπ ⋅ H (Zo{to?);

v) P = 2R2π + 2Rπ ⋅ H;

P = 2Rπ(R + H).

Tema 4. Geometriski tela

5.

Presmetaj ja plo{tinata na cilindar so radius R = 8 cm i visina H = 2,5 dm. Za volumenot na cilindar so radius R (t.e. so plo{tina na osnovata B = R2π) i visina H, sli~no kako kaj prizmata, se zema brojot

G

Potseti se! Postoi golema sli~nost me|u cilindar i prava prizma.

V = B ⋅ H,

t.e.

V = R2π ⋅ H.

Zna~i, volumenot na cilindar e ednakov na proizvodot od plo{tinata na negovata osnova i visinata.

- dve skladni osnovi {to le`at na paralelni ramnini; - bo~ni povr{ini so izvednici, odnosno rabovi normalni na osnovite.

6.

Presmetaj go volumenot na cilindar so radius R = 10 cm i visina H = 15 cm.

7.

Izvedi gi formulite za plo{tina i volumen na ramnostran cilindar, so radius R. Odgovor:

Treba da znae{:

Proveri se!

da identifikuva{ elementi na cilindar; da presmeta{ plo{tina i volumen na cilindar spored formula.

Zada~i 1. Da se presmeta P i V na cilindar so

R = 6 cm i plo{tina na osniot presek Q = 240 cm2.

2. Presmetaj gi P i V na ramnostran cilindar so: a) R = 10 cm,

P = 6R2π; V = 2R3π.

b) H = 2 dm.

3. Odredi ja visinata na cilindar, ~ij radius e 5 cm, a volumenot mu e V = 1 570 cm3.

Kako se dobiva: a) cilindri~na povr{ina; b) cilindar? Presmetaj gi P i V na cilindar so R = 1,2 dm i H = 15 cm. Za koj cilindar se veli deka e ramnostran?

4. Dijagonalata na osniot presek na eden cilindar, {to e visok 8 cm, e ednakva na 10 cm. Presmetaj gi P i V na cilindarot.

5. Ramnostran cilindar ima plo{tina 1 350π cm2. Opredeli go negoviot volumen.

6. Dva cilindra se dobieni so rotacija na pravoagolnik okolu sekoja od negovite strani a i b. Najdi go odnosot na volumenite na tie cilindri.

Cilindar, konus, topka

199

13

KONUS; PLO[TINA I VOLUMEN

Potseti se! Vo sekojdnevieto ~esto sre}ava{ predmeti so konusna forma.

Edno geometrisko telo so konusna forma mo`e da se dobie na sli~en na~in kako {to se dobiva cilindar. Prosledi ja postapkata.

A

Nabroj nekolku predmeti {to imaat konusna forma.

Dadena e edna ramnina ÎŁ i na nea edna F kru`nica k so centar O. Od to~kata O e "dignata# otse~kata OS {to e normalna na ramninata ÎŁ.

F Od to~kata S povle~i edna poluprava SX koja minuva niz edna to~ka od kru`nicata k. T po~nuva da se dvi`i po kru`nicata, a polupravata F To~kata SX da se "lizga# po kru`nicata. toj na~in podvi`nata poluprava opi{uva edna povr{ina; F Na toa e konusna povr{ina. Za polupravata SX se veli deka e generatrisa (izvednica), F za kru`nicata - direktrisa (vodilka), a to~kata S - vrv.

Zapomni Krugot {to go otsekuva konusnata povr{ina od ramninata ÎŁ i delot od povr{inata od kaj vrvot S, zagraduvaat del od prostorot, t.e. obrazuvaat edno geometrisko telo {to se vika prav kru`en konus; nie }e go vikame, samo konus. Na crte`ot e pretstaven toj konus izdvoeno.

1.

200

Kakvo geometrisko telo se dobiva koga eden ramnokrak triagolnik se vrti (rotira) okolu visinata spu{tena kon osnovata?

Tema 4. Geometriski tela

Konus se dobiva i koga eden pravoagolen triagolnik rotira okolu edna kateta.

B

Razgledaj go crte`ot i voo~i gi elementite na konusot.

Krugot se vika osnova, a delot od konusnata povr{ina - bo~na povr{ina na konusot. Radiusot R na osnovata se vika radius na konusot. Otse~kata SO {to go svrzuva vrvot so centarot na osnovata se vika oska na konusot; toa e i negovata visina. Otse~ka ~ii krajni to~ki se vrvot S na konusot i koja bilo to~ka T od periferijata na osnovata, kako i dol`inata ST s , se vika generatrisa. Presekot na konus so ramnina {to minuva niz negovata oska sekoga{ e ramnokrak triagolnik; toj se vika osen presek na konusot ({rafiraniot triagolnik na crte`ot). Ako osniot presek e ramnostran triagolnik, t.e. s = 2R, toga{ za konusot se veli deka e ramnostran konus.

2.

Presmetaj ja plo{tinata Q na osniot presek na ramnostraniot konus so R = 10 cm.

3.

Razgledaj go crte`ot i odgovori zo{to e to~no ravenstvoto

s2 = H2 + R2 {to gi svrzuva generatrisata s, visinata H i radiusot na osnovata kaj sekoj konus.

4.

Presmetaj ja visinata H na konusot pri koj s = 25 cm i R = 7cm. Ako konusot se prese~e po edna negova generatrisa i po periferijata na osnovata, toga{ mo`e da se vidi deka mre`ata na konusot e sostavena od eden krug (osnovata) i eden kru`en ise~ok (bo~nata povr{ina), kako na crte`ot.

V

5.

Razgledaj ja mre`ata na crte`ot i, za plo{tinata P na konus so radius R i generatrisa s, sogledaj deka: a) P

=B+M

b) B

= R2π

v)

(plo{tina na krug);

M 1 2RQ¸ s R sQ 2

g) P

6.

(B - plo{tina na osnova; M - plo{tina na bo~nata povr{ina);

(plo{tina na kru`en ise~ok);

= R2π + Rsπ, t.e. P = Rπ (R + s).

Presmetaj ja plo{tinata na konus so radius R = 5 cm i visina H = 1,5 dm.

Cilindar, konus, topka

201

Volumenot na konus mo`e da bide odreden so eksperiment sli~en na eksperimentot za odreduvawe na volumenot na piramida.

G

Ako napravi{ modeli na konus i cilindar so skladni osnovi i ednakvi visini, }e se uveri{ deka "sodr`inata# na konusot (pesok sol ili sl.) }e bide edna tretina od taa na cilindarot. Volumenot V na konus so radius R i visina H e:

V 1 BH ; V 1 R 2QH. 3 3

7.

Presmetaj go volumenot na konus so R = 10 cm i H = 3 dm.

8.

Izvedi gi formulite za plo{tina i volumen na ramnostran konus.

Sporedi go tvojot rezultat:

3 P = 3R2Ď€; V R Q 3 . 3

Treba da znae{: da identifikuva{ elementi na konus; da presmeta{ plo{tina i volumen na konus spored op{ta formula.

Zada~i 1. Presmetaj gi plo{tinata P i volumenot V na konus so radius R = 5 cm i plo{tinata na bo~nata povr{ina M = 65Ď€ cm2.

Proveri se! Kako se dobiva a) konusna povr{ina; b) konus? Presmetaj gi P i V na konus so R = 5 cm i s = 13 cm. Za koj konus se veli deka e ramnostran?

5. Volumenot na konus so visina H = 20 cm,

e 1 500Ď€ cm3. Presmetaj ja plo{tinata na konusot.

2.

Presmetaj gi P i V na konus so B = 314 cm2 i s = 26 cm. 3. Osniot presek na eden konus ima plo{tina Q = 18,48 cm 2 , a visinata e H = 5,6 cm. Presmetaj gi: a) B; b) V; v) M.

4. Perimetarot na osniot presek na ramnostran konus e 18 cm. Najdi gi P i V na konusot.

202

Tema 4. Geometriski tela

Obidi se! ... Ne e zadol`itelno!

6. Agolot pri vrvot

kaj mre`ata na konus e 120o, a generatrisata na konusot e 15 cm. Najdi go dijametarot na konusot.

14

TOPKA; PLO[TINA I VOLUMEN

Potseti se!

A

Iska`i ja definicijata za kru`nica. [to e centar, a {to radius na kru`nicata?

r O

T

So {to e opredelena edna kru`nica?

Mno`estvoto od site to~ki vo prostorot {to se ednakvo oddale~eni od dadena to~ka O, obrazuva edna povr{ina; taa povr{ina se vika sfera. Dadenata to~ka O se vika centar na sferata.

Rastojanieto od centarot do koja bilo to~ka od sferata se vika radius na sferata i obi~no se ozna~uva so R. I sekoja otse~ka OT, kade {to T e proizvolna to~ka od sferata se vika radius na sferata.

1.

Na crte`ot e pretstavena sfera so centar O. Imenuvaj (barem dve) otse~ki {to se radiusi na sferata. So {to e opredelena edna sfera?

Potseti se!

[to e vnatre{na oblast za edna kru`nica? [to e krug? [to e tetiva, a {to dijametar na krug? Imenuvaj nekoi predmeti so forma na topka {to gi sre}ava{ vo sekojdnevniot `ivot. C D r A B O

2.

B

Sferata go deli prostorot na vnatre{na i nadvore{na oblast.

Mno`estvoto od site to~ki na vnatre{nata oblast (t.e. to~kite ~ie{to rastojanie do centarot e pomalo od radiusot na taa sfera), zaedno so sferata, obrazuva geometrisko telo {to se vika topka. Centarot, odnosno radiusot na sferata se vikaat centar, odnosno radius na topkata.

Topka so centar O ima radius R = 5 cm. To~kite A, B i C se nao|aat na rastojanie od centarot: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm i OC = 5 cm. Koi od niv ÂŁ pripa|aat na topkata?

3.

Potseti se {to e dijametar na krug i obidi se da ja iska`e{ (po analogija) definicijata za dijametar na topka.

Cilindar, konus, topka

203

4.

Na crte`ot a) e pretstaven krug so eden negov dijametar AB. [to }e se dobie ako krugot rotira okolu dijametarot AB? Mo`e{ da zaklu~i{ deka so rotirawe na krug (ili polukrug) okolu nekoj negov dijametar (kako na crt. b)), se dobiva topka. a)

Voo~i deka:

b)

Presekot na topka so ramnina sekoga{ e krug. Ako ramninata minuva niz centarot O na topkata, toga{ prese~niot krug ima ist radius (R) kako topkata i se vika golem krug. Kolku golemi krugovi ima edna topka? Kakvi se me|u sebe nivnite radiusi?

5.

Razgledaj (ili zamisli) eden globus. Ekvatorot opredeluva eden golem krug na globusot. Koi linii opredeluvaat drugi golemi krugovi? Poso~i nekoi mali krugovi na globusot.

V

Povr{inata na sekoja topka (t.e. soodvetnata sfera) ima svoja plo{tina, koja{to se vika plo{tina na topkata.

Plo{tinata na topka so radius R se opredeluva so formulata:

P = 4R2π.

Voo~i: Plo{tinata na topkata: a) e ~etiripati pogolema od plo{tinata na eden nejzin golem krug; b) e ednakva so proizvodot od dijametarot 2R i perimetarot 2Rπ na eden nejzin golem krug, t.e. P = 2R ⋅ 2Rπ = 4R2π. Na sekoja topka £ pridru`uvame broj V - volumenot na topkata, opredelen so formulata

V 1 PR , 3

t.e.

V 4 R 3 Q, 3

kade {to R e radiusot, a P e plo{tinata na topkata.

204

Tema 4. Geometriski tela

6.

Presmetaj gi P i V na topka so radius R = 5 cm.

7.

Presmetaj gi P i V na topka, za koja se znae deka eden nejzin golem krug ima plo{tina Q = 2 826 cm2.

Treba da znae{:

Proveri se!

da identifikuva{ sfera i topka i nivnite elementi;

Objasni {to e sfera, a {to e topka. Kako se dobivaat?

da presmeta{ plo{tina i volumen na topka spored formula.

Kolkavi se P i V na topka so R = 1 dm?

Zada~i 1. Presmetaj gi plo{tinata P i volumenot

V na topka, ako nejziniot dijametar e 12 cm.

2. Najdi gi P i V na topka, ako plo{tinata na eden nejzin golem krug e 314 cm2.

3. Olovna topka so radius R = 6 cm treba

da se pretopi vo cilindar so ist radius R = 6 cm. Kolkava e visinata na cilindarot?

4. Najdi go volumenot V na topkata i plo{tinata Q na nejziniot golem krug, ako nejzinata plo{tina e P = 100Ď€ cm2.

5. Vo kocka so rab 6 cm e stavena topka

koja{to gi dopira site yidovi na kockata. Kolkava e plo{tinata na topkata? Nacrtaj slika.

6. Dadena e kocka so rab a. Okolu kockata

e opi{ana topka i vo kockata e vpi{ana topka. Najdi go odnosot me|u a) plo{tinite; b) volumenite na tie dve topki. (Edna kocka e vpi{ana vo topka ako site nejzini temiwa le`at na povr{inata od topkata. Toga{ velime, isto taka, deka topkata e opi{ana okolu kockata.)

7. Od drvena kocka so rab 4 cm, treba da

se izdelka, najgolema mo`na topka. Presmetaj go volumenot na otpadokot. Kolkav procent od volumenot na kockata e volumenot na otpadokot?

8. Dijametarot na Zemjata e 12 733 km, a na

Mese~inata e 3 482 km. Kolku pati e pogolema: a) plo{tinata na Zemjata od plo{tinata na Mese~inata; b) volumenot na Zemjata od volumenot na Mese~inata?

Cilindar, konus, topka

205

S O

15

R A B O T A P O D A T O C I

VEROJATNOST

Potseti se! Ako e sigurno deka nekoj nastan }e se slu~i, toga{ verojatnosta e 1, t.e. 100 %. Na primer: Ako prazno plasti~no {i{e padne na podot - nema da se skr{i. Ako e nevozmo`no nekoj nastan da se slu~i, toga{ verojatnosta e 0. Na primer: Od kutija polna samo so crveni top~iwa, da se izvle~e belo top~e. Site drugi mo`nosti (verojatnosti) se me|u 0 i 1. Na primer: Ako se frli vo vozduh moneta, verojatnosta da padne grb e

1.

1 . 2

Vrtele{kata na crte`ot ima 6 ednakvi poliwa. Ako se zavrti strelkata, kolkava e verojatnosta taa da zastane na poleto so broj 4? Voo~i gi slednive 6 nastani: Strelkata da zastane na koe bilo od poliwata 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Sekoj od ovie nastani e ednakvo mo`en. O~ekuvan nastan e strelkata da zastane na poleto so broj 4. Verojatnosta za strelkata da zastane na poleto so broj 4 e

1 1 . Zapi{uvame V(4) = . 6 6

Kolkava e verojatnosta za strelkata da zastane na brojot 1? Verojatnosta za strelkata da zastane na brojot 2 ili na brojot 3 e

2 , ili 6

2 1 = . 6 3 Kolkava e verojatnosta za strelkata da zastane na brojot 1, 5 ili 6? V(2 ili 3) =

Voo~i ja vrtele{kata. Mo`ni nastani ima 5: strelkata mo`e da zastane na poleto ozna~eno so 1 ili so 2 ili so 3 ili so 4 ili so 5. Ako o~ekuvan nastan e strelkata da zastane na pole ozna~eno so 7, nejzinata verojatnost e 0, ili V(7) =

0 = 0. 5

Nastanot e nevozmo`en.

206

Tema 4. Geometriski tela

Op{to: Neka n e brojot na "site mo`ni slu~ai# vo vrska so daden eksperiment i neka site tie slu~ai se ednakvo mo`ni. Ako A e nastan vo vrska so toj ekspetiment i m e brojot na "site povolni slu~ai# za m se vika matemati~ka verojatnost na pojavuvawe na toj nastan, toga{ koli~nikot n nastanot A i se ozna~uva so V(A). Zna~i: m V A . n

2.

Na sekoja od karti~kite e zapi{ana po edna bukva.

M A

T E M A

T I K A

Jovan vle~el karti bez gledawe. Odredi ja verojatnosta za nastanite: a) V(M);

3.

b) V(A);

v) V(T ili K).

Odredi ja verojatnosta na sekoj od slednive nastani od vrteweto na strelkata . a) brojot 3;

d) brojot 11;

b) paren broj;

|) broj pogolem od 7;

v) neparen broj;

e) broj od 1 do 10.

g) 5 ili 6; Zapi{i ja sekoja od dobienite vrednosti za verojatnosta so procent. Koj od nastanite od a) do e) e siguren, koj e nevozmo`en? Koi dva nastani od a) do e) se ednakvo mo`ni? Koi dva nastani se takvi {to ako se slu~i edniot sigurno ne se slu~uva drugiot?

Treba da znae{: da postavuva{ pretpostavki za nastani vo vrska so daden eksperiment i da ja odreduva{ nivnata verojatnost.

Proveri se! Se frla kocka za igrawe. Koi nastani se mo`ni? Nabroj barem tri. Kolkava e verojatnosta, pri frlawe kocka za igrawe, na gornata strana da bide: a) brojot 2; b) brojot 3 ili 4; v) brojot 3 i 4; g) paren broj; d) brojot 7; |) broj od 1 do 6?

Cilindar, konus, topka

207

U^E[E ZA GEOMETRISKI TELA PROVERI GO TVOETO ZNAEWE

1.

Koe teme od kvadarot (na crte`ot) e komplanarno so: a) A,B,C1; b) A,C,C1?

2.

3.

4.

Dali se se~at pravite: a) DB1 i D1C; v) A1C i AC1? b) BB1 i D1C; Vidi go crte`ot. Dali edna ramnina e opredelena so pravite: a) AD i B1C1; b) DC i DB1; v) BC i AA1? Vidi go crte`ot. Kako se vikaat dve pravi vo prostorot {to ne se paralelni i ne se se~at? Na crte`ot najdi dva para takvi pravi.

9.

Presmetaj ja dijagonalata na kvadar so dimenzii 9 cm, 6 cm i 2 cm.

10. Plo{tinata na bo~nata povr{ina na edna pravilna triagolna prizma e M = 180 cm2, a osnovniot rab a = 10 cm. Presmetaj gi plo{tinata P i volumenot V na prizmata.

11. Romb so dijagonali 24 cm i 10 cm e

osnova na prava prizma so visina 5 cm. Presmetaj gi P i V na prizmata.

12. Osnovniot rab na pravilna {estagolna piramida e 3 cm, a bo~niot rab e 4 cm. Presmetaj go volumenot V na piramidata.

13. Presmetaj gi plo{tinata P i volu-

menot V na pravilna ~etiriagolna piramida so osnoven rab a = 10 cm i apotema h = 13 cm.

5.

Dadena prava p e normalna na dve razli~ni ramnini Σ1 i Σ2. Kakva e zaemnata polo`ba na Σ1 i Σ2?

6.

[to e ortogonalna proekcija na otse~ka vrz edna ramnina?

7.

Kolku rabovi ima edna: a) triagolna; v) {estagolna; b) ~etiriagolna; g) n - agolna prizma?

15. Presmetaj gi P i V na konus so radius

Plo{tinata na dijagonalniot presek

16. Presmetaj gi P i V na topka ~ij{to

8.

na edna kocka e 64 2 cm2. Najdi go rabot na kockata.

208

Tema 4. Geometriski tela

14. Kolku litri voda sobira edno bure vo

forma na cilindar, so plo{tina na osnovata 30 dm2 i visina 1 m?

na osnovata R = 0,5 dm i visina H = 1,2 dm.

glaven golem krug ima plo{tina 56,25π cm2.

ODGOVORI I RE[ENIJA NA

zada~ite

TEMA 1.

1

1. a) 3 : 4; b) 3 : 2; v) 5 : 2.

2. a) 4 : 3;

b) 2 : 3; v) 2 : 5. 3. a) 1 : 2; b) 1 : 2; v) 3 : 10. Ednakvi me|u sebe se pod a), b) i g); v) i d). 4. a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1.

5. a) 15; b) 7,8;

7 v) 0,5; g) . 6. a) 1 : 3; b) 1 : 5; v) 1 : 6. 5 7. a) 3 : 1; b) 1 : 4. 8. 7,5 cm. 9. 2 : 1.

10. 3 : 2. Obidi se... a) 12 jajca; b) 3 koko{ki.

2

1. a) 20; b) 6. 2. Na primer, 28 : 16 =

8 4 dm; b) m . 4. a) 3; b) 7,5; 3 9 v) 16. 5. a) 4 cm; b) 24 cm; v) 7 2 cm .

= 2,1 : 1,2. 3. a)

7. a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.

3

6. MB 7 2 dm; AB 12 dm. 7. Za 8 cm.

4

1. 6 cm. 2. a) 16; b) 6.

8. AM : AB 3 : 5; AB : MB 5 : 2. 3.

b 4 ; cd; mn; . a k

4. A1B1 9 cm, B1C1 3 cm . 5. a) Da; b) Ne.

5

1. 5.

BC 18 .

2. AB x 14 3 m . 4. x = 5, y = 10.

deka 1 : a = a : x.

3. AD 13 5 ; 7. Pomo{. Sogledaj

8. Pomo{. a) b : a = a : x;

SLI^NOST

6

1. a) AB i RS, AC i RT, BC i ST; b) A i R, 3 . 3. x = 8, y = 7,5. B i S, C i T. 2. 4 4. 18 i 4. 5. Da. Kaj skladnite triagolnici, soodvetnite agli se ednakvi i soodvetnite strani se ednakvi (pa zna~i se proporcionalni). 6. MN || AB (kako sredna linija na ΔABC), pa soodvetnite agli im se ednakvi; MN

1 AB , 2

1 1 AC i BN BC , pa soodvetnite strani 2 2 im se proporcionalni. AM

7

1. a) 3 : 5; b) 7 : 3; v) 4 : 3. 2. 5.

8

3. 22,5. 4. Ne.

9

1. 8 cm. 2. 24 cm, 45 cm, 27 cm.

3. b) 6.

5. 17 m.

znak. 7. a) Da; b) Da.

6. Da, spored vtoriot pri8. 52 m. 9. 17,5 m. 3. 30 cm

i 12 cm. 4. a1 = 12 cm, b1=16 cm, c1 = 24 cm. 5. 6,5 cm. 6. b1=5, h1 = 10. 7. Pomo{. Vo ΔABC povle~i ja srednata linija A1B1 || AB i razgledaj 3 . 10. 0,69 ha. go ΔA1B1C. 8. a1 = 18, h1 = 9. 9. 5 1. a) z; z; b) n; v) z; g) m. 2. a) 6; b) 121;

10

3. a) 3,2; b) 5; v) 3; b) a : b = b : x. 9. x = 12; y = 16. 10. a) Re{enie. v) a = 12, b 180 x 13 4 . 2 Na crte`ot, AB e prodol`ena za (proizvolno) ras- g) 4. 5. c = 10; q = 3,6; b = 6. 6. 150 cm . tojanie BC, a proizvolna dostapna to~ka E, od koja se gleda A, svrzana e so C. Potoa e povle~ena BD || AE. Spored Talesovata teorema se dobiva

CB : BA CD : DE , t.e. BA v) 300 m.

BC ¸ DE CD

. b) 212,5 m.

7. Pomo{. Konstruiraj ja geometriskata sredina x na otse~kite a i b. Toga{ x2 = a ⋅ b, pa baraniot kvadrat ima strana x.

11

1. a) 37; b) 33; v) c ≈ 40. 2. a), v), g) Da;

b) Ne. 3. 1.

4. 19,4 dm. 5. 64. 6. ≈ 10,4.

Odgovori i re{enija

209

7. c = 37, b = 12. Re{enie. a2 + b2 = c2, za a = 35 i b = 49 - c stanuva: 352 + (49 - c)2 = c2 , t.e. 1 225 + 2401 - 98c + c2 = c2, od kade {to se dobiva 3626 = 98c, pa c = 37; potoa, b = 49 - c = 12. 8. 21 i 28.

12

1. 7 m. 2. a) 40 cm; b) 1320 cm2; v) ≈ 51,9 cm.

3. a ≈ 32 cm. 4. 44 cm. 5. 1260 cm2. 6. 6 cm. 8. Pomo{. Iskoristi ja konstrukcijata vo

zada~ata 5.

9. 92 cm (= 2 â‹… (30 + 16) cm).

10. 6 m. Pomo{. Neka (x + 2)m e visina na drvoto. Toga{ (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36, x + 2 = 6. Obidi se... P

Q

t 2 ; za t = 6: P

9Q

2 8 1 Re{enie. P Q  2 r12 r22 ¯ ; r1 ¢ ¹ 2 r12

1 4

2

2 x x 2 ; r2

1 2

r22

2

2 2 x x2 ; x =

r12 r22

1 2

 P Q¥ ¥ ¢

2

2

x2

1 2 2

2

t2 4

1 2

2

2

− 2

t2 ; 4

t2 ; 4

¯ Q 2 ° t . ° 8 ¹

Test:

1.

a) 3 : 2; b) 3 : 2; v) 9 : 4. Ednakvi se pod

a i b.

2.

1,5 cm.

4.

12.

6.

3.

a) 10; b) 9; v) 4.

a) 12; b) 35.

7.

AC || BD, bi-

dej}i OA : OB OC : OD . 8. Pomo{. Otse~kata od 12 cm podeli ja na tri dela, vo odnos 3 : 5 : 6. 9.

.

1 4

Da, spored prviot priznak (aglite na prviot

triagolnik: 40o, 60o i 80o, a aglite na vtoriot: 60o,

x ,

80o i 40o). 10. 10 m. 11. 3,2 cm. 12. L = 45 cm; P = 45 cm2. 13. c = 10; a 20 ; b 80 ; h = 4.

x ,

14. 920. 15. a) i v) Da; b) Ne.

16. 128.

17. 5,3 cm.

TEMA 2.

1

LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I LINEARNA FUNKCIJA

1. Pod a) i v). 2. Pod b) i v). 3. za x = 2.

4. Identitet e 5(x - 1) = 5x - 5. pod b).

2

5. Pod a) i

6. Za a = 3.

1. a) So 3 nepoznati; b) so edna nepoznata; v) so 2 nepoznati. 2. a) Od tret stepen; b) od vtor stepen; v) od prv stepen.

3. Pod a) i

pod v). 4. Pod a) i pod v). 5. Pod v) i pod g).

3

1. Pod b) i pod v). 2. za a = 5.

3. a) M = {2}; b) M = {3}; v) M = {4}. 4. Ravenkata pod b). 5. Ravenkata pod b). 6. Ravenkite pod a) i pod v).

4

1. Ravenkite se ekvivalentni. 2. Na dve-

te strani na ravenkata e dodaden izrazot 2x. 3. Mo`e da se izostavat ~lenovite -3x; -5 i se dobiva ravenkata 2x - 4 = 4. 4. 3x - 2 + x =

210

Odgovori i re{enija

= 5 + 2x - 3 ⇔ 3x + x - 2x = 5 - 3 + 2 ⇔ 2x = 4. 5. m = 5x.

5

6. a). b). 7. a) -1; b) 4.

1. Isto mno`estvo re{enija M = {2}.

2. M = {2}. 3. a) Ne; b) Da; v) Ne. 4. x = 2. x 1 x 1 2 x

⇔ 2 4 3 6x - 6 + 3x + 3 = 8x ⇔ 6x + 3x - 8x = 6 - 3 ⇔ x = 3.

5. a) M = {-1}; b) M = R.

6.

Obidi se... Tapa 0,5 denari, {i{e 10,5 denari.

6

1. a) 2x - 4 = 0; b) 2x - 6 = 0. 2. Pod v).

3 3. a) x = 2; b) x = 2; v) x . 4. 2x - 8 = 1- x; 2 5. a) x = -3; b) x = 0; v) x = 6. 6. a) x = 3; x = 3.

b) x = 3. 7. a) x = 3; b) x = 8; v) x = 3. 8. Za a = 4. Trik so domino... Pomo{. Da gi ozna~ime so x i y "broevite# na dominoto i neka e izbran brojot x. Toga{: (2x + 6) ¡ 5 + y - 30 = 10x + y.

7

1. 28. 2. 108 i 72. 3. x = (x - 46) â‹… 4 + 7;

toa se broevite 59 i 13. 4. a = b - 2; b - 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm. 5. Ako brojot na monetite od 2 denari gi ozna~ime so x, toga{ brojot na monetite od 5 denari se 25 - x. Ottuka imame: 2 â‹… x + (25 - x) â‹… 5 = 80, odnosno od 2 denari bile 15 moneti, a od 5 denari 10 moneti. 6. Ako brojot na zajacite go ozna~ime so

x, toga{ brojot na fazanite e 35 - x. Ottuka imame: 4 â‹… x + (35 - x) â‹… 2 = 94. Zajaci bile 12, a fazani 23. 7. (x + 2) â‹… 35 = (x - 1) â‹… 50; x = 8 ~asa. AB 350 km. 8. Prviot rabotnik za 1 ~as }e zavr{i

1 od 6

1 . Ako so x go ozna~ime 12 1 1 potrebnoto vreme, toga{ ¸ x x 1 , odnosno 6 12 2 x = 4. 9. Za 2 ~asa. Obidi se... 84 god. 5 1 1 x x 1 ; vtorata cevka }e go napolni 10. 12 20 prazniot bazen za 30 ~asa.

rabotata, a vtoriot

8

1. Pod a) i pod b). 2. Za x = 0 i x = 2.

3. So edna nepoznata se neravenkite pod a) i v), a so dve nepoznati se neravenkite pod b) i pod g).

b) [1, +�).

10

6. a) i b). Dvete strani se pomno`eni so -1.

11

6. 2a + 2(a - 3) < 54, a < 15.

12

1. a) (-3, 6); b) (-3, -1).

13

1. Linearni funkcii se pod: v), g) i d).

Â? 5 ÂŹ 2. a) žžž d­­­ ; Â&#x; 2 ÂŽ Â? 1 4 ­ b) (-3, 4). 3. a) [4, 8]; b) [-3, 4). 4. a) žžž ­; Â&#x; 2 3 Ž­ b) (2, 4).

2. a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; v) y = -2x;

g)

4. a) (-3, +�).

1 1 x . 2 4

3. a) k = 2 i n = -3; b) k = 2 i

1 i n = 3; g) k 1 i n = 0. 3 2 1 5 a) x = 2; b) x ; v) x ; g) x = 0. 2 2 3 k . 6. k = 3 i n = 6. 2

n = 0; v) k

5.

3. a) (-2, +�); b) (-�, 0); v) (-�, 1]; g) [-3, +�);

1. a) x > 3; b) x > -3. 2. a) x ≼ 4; b) x ≤ 3.

3. Ne e. Re{enie e intervalot (-�, -4). 2 4. a) x 3 ; b) x > -3. 5. x < 5. 5

venkite pod b) i pod v) se od prv stepen, i neravenkata pod g) e od tret stepen.

b) R(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. 2. Ekvivalentni se site tri neravenki, bidej}i imaat isto mno`estvo re{enija {0, 1, 2}.

2. 2x - 3 < x - 1 ⇔

b) 3x + 2 > 2x - 2 - 6. 4. x < 12. 5. x > -2.

4.

1. a) R(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} i

1. a) x < 2; b) x > 2.

⇔ 2x - 3 - 5x < x - 1 - 5x. 3. a) 2x + 2 < x + 4;

4. Neravenkata pod a) e od vtor stepen, nera-

9

6. Pod b).

14

1. To~kite A i D. x y

0 0

y = 3x + 2

x y

0 -1 2 -1

y = 3x - 2

x 0 1 y -2 1

3. y = 3x

2. Za x = 1.

1 3

b) (-�, +2). 4. (2, 0).

5. n = 5.

6. k = 2.

5. a) (-�, -2].

Odgovori i re{enija

211

15

1. Funkcijata

6. Od P(0, 2), n = 2. Od A(1, -1) imame: 1 1¸ k 2 , od kade {to k = -3; funkcijata e opadnuva~ka.

6.

y = 3x - 2.

17

2. k = -3. 3. k = 2 i n = -3.

a) y = x - 2

1.

4. n = -1. 5. k = -2 i n = 2.

16

1. Pod a) i g).

3. a) raste~ka za k

b) y = 2x - 6

x 0 1 y -2 -1

x 2 3 y -2 0

x=2

x=3

2. Pod b) i g). 1 i k = 3; b) opadnuva~ka 3

1 za k = -2 i k . 2

4. a) y = 4x - 1 x 0 1 y -1 3 funkcijata y = 4x - 1 e raste~ka.

b) y = -2x - 1 x y

a) y = x + 1

2.

0 -1 1 1

x y

0 1

y = 2x - 1 x 0 1 y -1 1

1 2

funkcijata y = -2x - 1 e opadnuva~ka.

x=2

b) y = 3x - 1 x 0 1 y -1 2

y = -x + 3 x y

0 3

1 2

x=1 5. a) y = -3x + 1 x y

0 1 1 -2

funkcijata y = -3x + 1 e opadnuva~ka.

b) y = 2x + 1 x y

0 1

1 3

funkcijata y = 2x + 1 e raste~ka.

k = 2. 4.

3.

k = 2 i n = 3.

Obidi se... 8 kosa~i. Pomo{. Ako plo{tinata na golemata livada e ozna~ena so A, a malata so B, toga{ A = 2B. Neka k e brojot na kosa~ite. Za da se pokosi A se potrebni

x x

rabotni denovi, a za V: 4x 1 . 2 4

Od A = 2V se dobiva ravenkata

Â?x ÂŹ x x

2 žž 1­­ . ­ ž Â&#x; ÂŽ 2 4 4

Ottuka x = 8.

18 212

Odgovori i re{enija

b)

1. g, v, b, a. 2.

2 3 ; ; 1; 0. 5 5

3. a)

1 ; 2

1 5 1 ; v) ; g) ; 5 karti~ki; obidi se: 3 pati. 3 6 6

Test:

1. Da.

2. b).

3. a) x = 2,1; b) x = 1;

11.

5. Neka tie broevi se: v) x = 3. 4. a = 3. x, x + 1 i x + 2. Imame: x + x + 1 + x + 2 = 84, t.e. x = 27. Baranite broevi se: 27, 28 i 29. 6. Ako vremeto na dvi`ewe na kamionot e x, toga{ na lesnata kola e x - 2. Dvete vozila pominale ist pat. Ottuka imame: 50x = 75(x - 2), t.e. x = 6 ~asa, a AB 6 ¸ 50 300 km . 7. Da. 8. 2x - 1 > x - 2 ⇔ 3x + 1 > 2x - 3, vo D. 9. a) (3, +âˆ?)

b) (-

9 , +�) 2

x 0 1 y -3 -1 x=

12. A i C.

Â? 3 ­ žž 0­ žÂ&#x; 2 ­Ž

3 2

13. n = -3.

14. Raste~ki se

funkciite: y = 2x - 3 i y = 3x - 2, a opadnuva~ki se: y = -3x + 1 i y = -x - 1. 15.

y = 3x - 1 x 0 1 y -1 2

10. a) (-�, -3)

y=x+3 x 0 1 y -1 2

b) (- 5; 2,5)

x=2

TEMA 3.

SISTEM LINEARNI RAVENKI

1

1. a) Koeficienti; 2, -1, 3; nepoznati: x, y. b) Koeficienti: 2, 6, 1; nepoznati: x, y. v) Koeficienti: 1, -2, -1; nepoznati: y, z. g) Koeficineti: 5, 3, 16; nepoznati: u, v. 1 2. a) da; b) ne. 3. a) -1; b) ; v) 5. 4. b). 2 5. (-2, 3); (-1, 1); (0, -1); (1, -3); (2, -5).

y-oska.

3

4. p = -2.

1. a) Koeficienti: 2, 0, 6 i 0, 1, 2; nepoznati:

2 1 2; nepoznati: x, 3 2 y; v) Koeficienti: 0,25; 0,04; 0; 4; 25; 641; ÂŁ x y 64 ÂŚ ÂŚ nepoznati: x, y. 2. ¤ ÂŚ k ‰ R^ . ÂŚ ÂĽ x y 17;

6. x + 3y = -3.

2

ÂŚÂŁÂŚÂ? 1 2k ­ ­ 1. a) {(k, 3 - 2k) | k ∈ R}; b) ¤ŒÂžÂžÂžÂ&#x;k 6 ­Ž ÂŚÂĽ 2. a) x + 3y = -3; b) 2x + 3y = 5; v) -13x + 5y = 24; g) 19x + 33y = 124. ÂŁÂŚÂŚÂ? 2 ÂŹ 3. a) ¤ŒÂžÂžÂžk 2 k ­­­ k ‰ R ^ ; 3 ÂŽ ÂŚÂĽÂ&#x;

x -3 0 y 4 2

v) {(2, k) | k ∈ R)}; grafikot e prava paralelna so

3 0

x, y; b) Koeficienti: 1, 2, 0,

⎧β − Îł = 18 ⎨ ⎊52 + β + Îł = 180;

3. a) da; b) da; v) ne.

Œ£Œ x y 440 ¤ ŒŒ¼ x 180 y 180.

4. Na primer:

£ 1 Œ Œ £ Œx 2 y 0 Œ x y 2 a) ¤Œ 2 b) Œ¤ Œ Œ Œ ¼4 x 3 y 12. Œ ¼ x 2 y 5;

5.

Œ£Œ3 x y 5 ¤ ŒŒ¼ x y 0.

6. a) (x, y) = (-2, 4); b) (x, y) = (-3, 3). b) {(k, 2k - 6) | k ∈ R};

x -1 0 3 y -8 -6 0

Odgovori i re{enija

213

£ Œ Œ x y 16 7. Godinite na Bojan se x, a na Dejan y; Œ¤ y Œ x 12; Œ Œ 2 ¼

Bojan i Dejan se bliznaci.

4

1 4

Œ£ x y 72 1. Œ¤ ŒŒ¼ x y 2 ; prviot broj e 37, a vtoriot broj

e 35. 2. Oznaki M-mom~iwa, D-devoj~iwa.

2 0

y = 5x - 1 x -2 0 1 y -11 -1 4

7. a) (x, y) = (3, 1); b) Nema re{enie; v) Beskone~no mnogu re{enija.

7

1. a) y = 8 - 4x x -2 0 y 16 8

6. (x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).

R = {(1, 4)} 2 9

£M D 28 Œ Œ 3. Brzinata na brodot ¤ Œ M D 4 R 16 12 .

^ \ ÂŚ ÂĽ e 16,8 km/h, a na rekata 4,2 km/h. 4. Toplata voda ima 80 oC, a ladnata 10 oC. 5. Jovan kupil 3 golemi i 5 mali tetratki. 6. Majkata ima 32 godini, a }erkata 5 godini. 7. Ostriot agol ima 72o, a tapiot 108o.

Â? 2 1 ­ ž 2. a) Edno re{enie: x y žžÂ&#x; 3 3 ­­Ž; b) beskone~no mnogu; v) edno re{enie: (x, y) = (2, 2); g) edno re{enie: (x, y) = (-2, 1). 3. a) Graficite se paralelni pravi; b) graficite se pravi {to se se~at; v) graficite se pravi {to se se~at; g) graficite se pravi {to se sovpa|aat.

5

8. P = 60 cm2. Sostavi sistem i opredeli gi dol`inite na stranite. Preku Pitagorovata teorema odredi ja visinata. ima 12.

Test: 1. Sekoj podreden par od realni broevi za koi ravenkata pominuva vo to~no brojno ravenstvo. 2. k = 1. 3. Nacrtaj grafik spored tabelata:

1. a) (x, y) = (2, 4); b) (x, y) = (10, 5);

v) (x, y) = (0, 7). 2. a) (x, y) = (5, 3); b) (x, y) = (4, 3); v) (x, y) = (4, 1). 3. a) (x, y) = (1, 0); b) (z, y) = (-1, 1). v) (x, y) = (3, -1). 4. a) (x, y) = (7, -5); b) (x, y) = (4, 12).

5. a) (x, y) = (-3, -1); b) (x, y) = (-13, -1).

6

Â? 17 ÂŹ 1. (x, y) = (3,-2); x y žž 7 ­­­. Â&#x;ž 3ÂŽ Â?1 ÂŹ 2. x y žž 2­­­ ; (x, y) = (12, 4). 3. (x, y) = (5, 2). žÂ&#x; 2 ÂŽ 4. (x, y) = (7, -2). 5. (x, y) = (6, 12); (x, y) = (12, 12).

1

1. a) A, B, C, D;

2

1. Edna ili tri. 2. a) AB1 i BA1, AB1 i CB1,

3. A1B1C1D1 i CDD1C1.

214

5.

x -2 0 y -8 0

1 4

Œ£Œ4 x y 20 ¤ ŒŒ¼ x 2 y 11.

2 8

4. Podreden par od realni broevi koj e re{enie na dvete ravenki.

6. Nacrtaj grafici na

ravenkite. Odredi gi koordinatite na nivniot presek R = {(1, 3)}.

7. (x, y) = (2, 3).

8. (x, y) = (-7, 1).

9. a) edno;

b) beskone~no

mnogu. 10. Tatkoto ima 34 godini, a sinot 12 godini.

GEOMETRISKI TELA

TEMA 4. b) A, B, C, B1.

9. Fazani ima 23, a zajaci

2. 1.

4. A1B1C1D1.

Odgovori i re{enija

BA1 i BC1, BC1 i CB1; b) ni eden; v) AB1 i BC1, BA1 i CB1. 3. Ni edna, ako se razminuvaat; samo edna ako se paralelni ili se se~at.

4. Nekomplanarnite to~ki A, B, C, D, opredeluvaat ~etiri ramnini: ABC, ABD, ACD i BCD. 5. AB i AC se se~at, pa spored toa tie opredeluvaat edinstvena ramnina Σ na koja le`at site to~ki od pravata AB i site to~ki od pravata CD.

3

2. Samo edna. 3. a) da; b) da; v) da.

5. Σ1 i Σ2: ili se sovpa|aat ili se se~at so prese~na prava AB.

4

2. v). 3. Ne. 4. Ne. A', B', C' se kolinearni

i koga ramninata opredelena so nekolinearnite to~ki A, B, C e paralelna so proektira~kiot pravec s. 5. Napravi crte` i razgledaj go trapezot ABB'A'. CC' e sredna linija na toj trapez. Zo{to? 6. Da, ako ramninata opredelna so M i a e paralelna so s.

5 6

Obidi se... a) 1; b) 6; v) 12; g) 8; d) 0. 1. 7; pravoagolnici. 2. n + 2. 3. 2s = r.

4. Da.

5. a) Ne; b) da, {estagolna; v) da,

edinaesetagolna. 6. a) Niedna; b) 2; v) 3.

7

1. a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2.

2. a = 7 cm,

d 7 3 cm. 3. 8 cm. 4. a) B = 20,25 dm2; M = 151,2 dm2; P = 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; H = 9 cm; P = 720 cm2. v) B = 64 cm2; M = 352 cm2; H = 11 cm. g) a = 7 cm; M = 336 cm2; P = 434 cm2. d) a = 9 cm; M = 180 dm2; H = 5 dm. |) a = 6,5 dm; B = 42,25 dm2; P = 292,5 dm2. e) P = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. `) B = 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm. 5. Devetpati. 6. b) B 4 3 ; H = 9;

P 8 3 108 x 121 84. v) B 36 3 ; M 144 3 ; H 4 3 . d) a = 6; H = 15; P 18 3 270 x 301 14. |) a ≈ 10; H ≈ 8. 7. 288 cm2. 8. 1, 3, 6 i 7. Obidi se... Pajakot }e najde pat do muvata. Na mre`ata od prizmata povle~i otse~ka MP.

8

1. 27 cm3. 2. 4 dm. 3. 6 cm. 4. 112 cm3.

9

1. 8 dm. 2. 240 3 cm3 . 3. 2 400 cm3;

5. 1 152 cm3. 6. 96 cm2. 7. ≈ 5,8 m.

8. 48 cm3.

1 280 cm2. 4. 640 dm3. 5. a) 72 3 cm3 ; b) a 3 3 . 6. ≈ 13,5 cm. 7. 33 600 m3. 8. a) B = 25, H = 8,

P = 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. v) P = 240, a = 6, H = 7, V = 252. g) a = 11, B = 121, M = 616, P = 858. d) a = 13, B = 169, P = 1118, V = 2535. |) H = 8, a = 5, B = 25, P = 210.

10

1. 4; tetraedar. 2.

150

3 390 cm2 .

3. 2,5 dm. 4. 3 cm. 5. ≈ 101,1 cm2.

6. 25 dm2.

7. a) B = 144; M = 240; P = 384; H = 8. b) B = 196; h = 25; M = 700; P = 896. v) P = 800; a = 16; h = 17; H = 15. g) a = 40; B = 1600; M = 2320; P = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41; H ≈ 40,75. |) B = 784; a = 28; h = 50; H = 48.

11

1. 1920 cm3. 2. 96 cm2. 3. 1 536 cm2;

3 072 cm3. 4. 24 cm; 1440 cm2. 5. 360 dm3. 6. 27 cm; ≈ 491,2 cm2. 7. a) s = 26, V 1200 3 . b) a = 7; H = 24. v) h ≈ 24,8; V 588 3 . g) a = 7, s = 25.

12

1. 312π cm2; 720π cm3. 2. a) 600π cm2;

2 000π cm3. b) 6π dm2; 2π dm3. 3. ≈ 20 cm. 4. 66π cm2; 72π cm3.

13

5. 6 750π cm3.

6. b : a.

1. 90π cm2; 100π cm3. 2. ≈ 1 130,4 cm2;

≈ 2 512 cm3. 3. a) ≈ 34,2 cm2; b) ≈ 63,8 cm3; v) ≈ 67,36 cm2.

4. 27π cm2; 9 π 3 cm3 .

5. 600π cm2. 6. 10 cm.

14

1. 144π cm2; 288π cm3. 2. ≈ 1 256 cm2;

≈ 4 186,7 cm3. 3. 8 cm. 4. (500 : 3)π cm3; 25π cm2. a a 3 , R2 ; 2 2 7. Volumenot V na

5. R = 3 cm; P = 36π cm2. 6. R1 P1 : P2 = 3 : 1, V1 :V2 3 3 :1 . otpadokot e: V = VK - VT =43 ≈ 30,5; V ≈ 30,5 cm3; ≈ 48%. b) ≈ 49 pati. Test:

1. a) D1; b) A1.

2. a) ne; b) ne; v) da.

3. a) da; b) da; v) ne. b) 12; v) 18; g) 3n.

4 π ⋅ 23π = 64 - 32 ⋅ 3 3 8. a) a ≈ 13 pati.

5. Σ1 || Σ2.

8. 8 cm.

7. a) 9;

9. 11 cm.

10. 10 5 3 18 cm2 150 3 cm3 . 11. 500 cm2, 600 cm3. 12. 18 3 cm3 . 13. 360 cm2, 400 cm3. 14. 300 6.

15. 90π cm2, 100π cm3.

16. 225π cm2, 562,5π cm3.

Odgovori i re{enija

215

PREGLED NA POIMI A Argument 105 - koeficient pred 105 V Verojatnost - na nastan

206 121

G Generatrisa 197 - na konus 200 - na cilindar 197 Geometriska proporcionala 10 - sredna 10 - ~etvrta 9 D Direktrisa (vodilka) - na konus 200 - na cilindar 197 E Eksperiment

120

I Identitet Interval - zatvoren - kraevi na - otvoren

58 89 89 89 89

K Kvadar - volumen na - mre`a na Konus - visina na - volumen na - vrv na - mre a na - oska na - osnova na - plo{tini na - prav kru en - ramnostran Kocka - volumen na

216

178 183 179 200 201 202 200 201 201 201 202 201 201 178 183

- vpi{ana vo topka 205 - mre`a na 179 M Metod na zamena 141 Metod na sprotivni koeficienti 145 Mno estvo 55 - definiciono 57 N Nasoka 97 - sprotivni 97 Nastan 120 - slu~aen 121 - verojatnost na 121 Neravenka, i 84 - ekvivalentni 89 - kvadratna 86 - kubna 86 - linearna 86 - mno estvo re{enija na 87 - osnovna 90 - re{ena forma na 90 - re{enie na 87 - sistem so dve nepoznati 86 - so edna nepoznata 85 - teoremi za 92 Neravenstvo 83 - brojno 83 - so promenliva 84 O Odnos (razmer) - na perimetri - na plo{tini Otse~ki - ednakvi - nesomerlivi - proporcionalni - somerlivi P Paralelopiped

Pregled na poimi

4 34 35 6 12 6 8 6

175, 177

- pravoagolen Piramida - atotema na - bo~na povr{ina na - visina na - volumen na - vrv na - dijag. presek na - yid, ovi na - bo~ni - mre a na - plo{tina na - pravilna - rabovi na - osnovni - bo~ni - temiwa na Pitagorova trojka Planimetrija Povr{ina - konusna - cilindri~na Polieder - volumen na Populacija Prava, i - paralelni - proektira~ka - razminuva~ki - se se~at Prizma, i - bo~na povr{ina - bo~ni yidovi - vidovi na - visina na - volumen na - dijagonala na - dijag. presek na - kosa - mre a na - osnovi na - plo{tina na - prava - pravilna - presek na - rabovi na - bo~ni - osnovni

178 190 192 190 191 194 190 191 190 190 192 191 192 190 190 190 190 43 160 200 197 183 184 48 163 163 168 164 163 174 175 175 176 176 187 176 176 175 179 175 180 175 175 176 175 175 175

- temiwa na 175 Primerok 48 Probod 162 Proektira~ki pravec 168 Proektirawe 168 - ortagonalno 169 - paralelno 168 Proekcija 37, 168, 169 Promenliva 56 Proporcija 8 - prodol`ena 10 Proporcionalnost 9 - koeficient na 9 R Ravenka, i 57 - grafik na 133 - ekvivalentni 65, 131 - kvadratna 60 - koren na 62 - linearna 60 - mno estvo re{enija na 63 - nevozmo na 58, 64, 75 - od prv stepen 60 - op{t vid na 74 - parametarska 60 - protivre~na 58, 64, 75 - re{enie na 62 - so dve nepoznati 128 - so edna nepoznata 60 - ~lenovi na 59 Ravenstvo, a 56 - brojni 56 - so promenliva 56 Razmer 4 - vrednost na 4 - obraten 5 - prodol en 6 Ramnina 161 - agol me|u dve 166 - normala na 167 - rastojanie od to~ka do 167

S Sistem, i linearni neravenki 100 - ekvivalentni 103 - mno estvo re{enija 101 - protivre~en 103 Sistem od 2 linearni ravenki so dve nepoznati 134 - grafi~ko re{avawe na 138 - primena na 148 - re{enie na 135 Sli~nost 26 - koeficient na 26 Sloboden ~len 105 Sredina 10 - geometriska 10, 39 Stereometrija 160 Sfera 203

- centar na - radius na

203 203

T Telo, geometrisko 183 - val~esto 183 - volumen na 184 - rabesto 183 Teorema - Evklidova 38 - Pitagorova 41 - obratna na 42 - Talesova 16, 21 Tetraedar 193 - pravilen 193 Topka 203 - volumen na 204 - golem krug na 204 - plo{tina na 204 - radius na 203

- centar na To~ka, i - komplanarni Triagolnici - vtor priznak za sli~nost - prv priznak za sli~nost - sli~ni - tret priznak za sli~nost

203 160 160 25 31 27 25 32

F Figuri, geometriski 24 - osnovni 24 - skladni 183 - sli~ni 24 Funkcija 104 - grafi~ko pretstavuvawe na 107 - konstantna 113

- linearna - nula na - opadnuva~ka - raste~ka linearna C Cilindar - bo~na povr{ina na - visina na - volumen na - mre a na - osen presek na - oska na - osnovi na - plo{tina na - prav kru en - radius na - ramnostran

105 106 115 114 197 198 198 199 198 198 198 198 198 197 198 198

3

TEMA 1.

SLI^NOST

TEMA 2.

LINEARNA RAVENKA, LINEARNA NERAVENKA I LINEARNA FUNKCIJA

TEMA 3.

SISTEM LINEARNI RAVENKI

127

TEMA 4.

GEOMETRISKI TELA

159

ODGOVORI I RE[ENIJA NA ZADA^ITE

209

PREGLED NA POIMI

216

Pregled na poimi

55

217

Izdava~: MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA NA REPUBLIKA MAKEDONIJA ul. Mito Haxi - Vasilev Jasmin, bb Skopje

Recenzenti: D-r Jordanka Mitevska, redoven profesor na PMF - Skopje @aneta [umkoska, profesor vo OU "Sv. Kiril i Metodij# - Skopje Agim Bukla, profesor vo OU "Pa{ko Vasa# - Grup~in

So Re{enie na Ministerot za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija broj od godina, se odobruva upotrebata na ovoj u~ebnik.

218

Pregled na poimi

Јово Стефановски, Д-р Наум Целакоски Рецензенти: Д-р Јорданка Митевска, редовен професор на ПМФ - Скопје Жанета Шумкоска, професор во ОУ „Св. Кирил и Методиј“ - Скопје Агим Букла, професор во ОУ „Пашко Васа“ - Групчин Уредник на изданието: Јово Стефановски Јазичен лектор: Сузана Стојковска Компјутерска обработка и дизајн: Драган Шопкоски Коректура: Авторите Подготовка за печат: Јово Стефановски, Драган Шопкоски Издавач: Министерство за образование и наука за Република Македонија Печати: Графички центар дооел, Скопје Тираж: 16.600 Со решение на Министерот за образование и наука на Република Македонија бр.22-2321/1 од 21.04.2010 година се одобрува употребата на овој учебник CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св.Климент Охридски” , Скопје 373.3.016:51 (075.2)=163.3 СТЕФАНОВСКИ, Јово Математика за осмо одделение : осумгодишно основно образование / Јово Стефановски, Наум Целакоски . - Скопје : Министерство за образование и наука на Република Македонија, 2010. - 219 стр. : илустр. ; 25 см ISBN 978-608-4575-88-7 1. Целакоски, Наум [автор] COBISS.MK-ID 84078858

218

Pregled na poimi