Matematika_8_srb

ЈОВО СТЕФАНОВСКИ НАУМ ЦЕЛАКОВСКИ

ОСМИ РАЗРЕД ОСМОГОДИШЊЕ ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ

ДЕВЕТИ РАЗРЕД ДЕВЕТОГОДИШЊЕ ОСНОВНО ОБРАЗОВАЊЕ

2011 Скопље

Драги учениче! Ова књига ће ти помоћи да научиш предвиђене садржaje за VIII разред. Учићеш нове, интересантне садржине о сличности фигура. Научићеш технике за решавање линеарних једначина и линеарних неједначина, као и рачунање неких система линеарних једначина. Проширићеш своја знања о линеарним функцијама и о географским телима и њиховим површини и запремини. Књига је подељена на четири тематске целине, а свака од њих је подељена на одговарајуће подтеме. Тематске целине започињу садржајем, а наставне јединице у њима су нумерисане. У наставним јединицама има ознака у боји и преко њих су написане поруке, активности, обавезе и друге сугестије, и то:

Подсети се!

A ,

Помоћу ових ознака, наставна јединица је подељена на делове (порције) које се односе на нове појмове.

B ...

Помоћу оваквих ознака означене су активноти, питања и задаци које ћеш решавати самостално или уз помоћ твог наставника. У овом делу учиш ново градиво у лекцијама, због тога треба да будеш пажљив и активан да би што више научио и боље разумео. Најбитније је оно што је обојено жутом бојом, при чему су формулације теорема у наранџастом оквиру.

1.

2.

3.

Наставне јединице започињу нечим што ти је већ познато. Треба да се подсетиш и да решиш понуђене захтеве. То ће ти користити при изучавању новог градива у следећим лекцијама.

... Треба да знаш:

Провери колико знаш!

Најбитнији део лекције је издвојен у облику питања, задатака или закључака. То треба да упамтиш и да употребљаваш у задацима и практичним примерима. Овај део садржи питања и задатке помоћу којих можеш да провериш да ли већи део наученог разумеш, да би могао да примениш и користиш стечено знање у свакодневном животу. Треба редовно и самостално да решаваш ове задатке. На тај начин ћеш боље разумети научено, а то ће ти бити од велике користи.

Задаци

Покушај!...

ПРОВЕРИ СВОЈЕ ЗНАЊЕ

Покушај да решаваш задатке и проблеме из овог дела (ово није обавезно). На тај начин ћеш знати више и бићеш богатији идејама.

На крају сваке теме имаш тест састављен од питања и задатака. Самостално решавај тест и тако ћеш проверити своје знање из изучених тема.

Када наиђеш на тешкоће при изучавању математике, не одустај, покушај поново, а упорност ће ти донети резултате и задовољство. Радоваће нас ако уз ову књигу заволиш математику и постигнеш одличан успех. Од аутора

TEMA 1

1.

2.

3.

4.

5.

SLI^NOST

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ДУЖИ Размер између две дужи Пропорционалне дужи Дељење дужи на једнаке делове Талесова теорема о пропорционалним дужима Задаци са применом Талесове теореме

СЛИЧНИ ТРОУГЛОВИ 6. Сличне фигуре. Слични троуглови 7. Први став о сличности троуглова

4 8 12

8. Други и трећи став о сличности троуглова 9. Однос обима и однос површина код два слична троугла

16 20

24 27

10.

11.

12.

13.

31 33

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Сличност код правоуглог троугла Питагорина теорема Задаци са применом Питагорине теореме Популација, примерак Провери своје знање

44 48 53

Proporcionalni otse~ki

3

37 41

PROPORCIONALNE DU@I

1

RASTOJAWE IZME–U DVE DU@I

Подсети се!

A 1.

Размер или однос броја а и броја b (b ≠ 0) је количник за а и b, тј. а а : b или ; b чита се: а према b; број а се зове први члан, а b други члан размера. Број који се добија извршавањем дељења а са b зове се вредност размера а : b и означава се са к. У том случају а : b = к, тј. а = b . k. Пронађи вредност размера: а) 28 : 4;

На цртежу су дате две дужи:

A

B D

C

при чему је AB = 6 cm, CD = 4 cm. Запиши размер мерних бројева дужине дужи АВ и дужине дужи CD. Количник 6 : 4 ћемо рачунати као размер између правих АВ и дужи CD.

Уопштено

б) 35 :5; в) 12 : 16; г) 1,8 : 2,4.

За које размере се каже да су једнаки? Који од размера а) - г) су једнаки? Пронађи непознати члан размера: а) х : 8, ако му је вредност 4; б) 18 : у, ако му је вредност 12.

Размер или однос између две дужи је количник мерних бројева мерних бројева њихових дужина при истој мерној јединици. Однос једне дужи АВ према другој дужи CD записујемо: AB : CD или

AB .

CD

Да ли други члан CD може да буде једнак нули? У задатку 1, однос је AB : CD е 6 : 4, а његова вредност је

3 .

2

2. Пронађи вредност размера дужи a према правој b, уколико је: а) а = 12 cm, b = 4 cm; б) а = 30 cm, b = 6 cm.

Пази! Дужине двеју дужи у размеру треба да буду изражене помоћу исте мерне јединице. Размер две дужи треба да је неименован број.

4

Tema 1. Sli~nost

3.

Сваки члан размера 0,5 : 0,25: а) помножи са 20;

б) подели са 5.

После тога вредност датог размера упореди са добивеним размером а) и б). Шта закључујеш?

4.

Запиши однос дужи а = 6 cm према а дужи b = 3 cm и одреди његову вредност. Затим, одреди однос а : b и његову вредност, уколико дужине дужи запишеш у: а) mm; б) dm; в) m. Шта закључујеш о тим односима?

a b

Уз помоћ претходна два задатка смо се подсетили да: Размер а : b се не мења уколико се оба његова члана помноже или поделе истим ненултим бројем, тј. Уколико је а : b = k и т ≠ 0, тада је (ат) : (bт) = k и (а : т) : (b : т) = k. Уколико је однос два броја а : b = k, чему је онда једнак број a? Шта показује број k о бројевима a и b?

Уколико је а : b = k, тада је a = kb. Број k показује колико се пута број b садржи у броју a.

Запамти Уколико је однос између две дужи АВ и СD k, тј. AB : CD = k, тада је AB = k · CD . Однос k показује колико пута се дуж СD садржи у правој АВ, тј. k је мерни број дужине дужи АВ, када за мерну јединицу узмемо дуж СD.

B 5.

Дате су дужи а =1,2 dm, b = 18 cm. Запиши размер а : b и израчунај његову вредност. Запиши размер b : а и израчунај његову вредност.

За размер b : а се каже да је обратан размеру а : b Тако, закључујемо да је размер 18 : 12 обратан размеру 12 : 18.

6. Ана има 5 година, Биљана има 10 година, а Стојна има 35 година. Запиши однос година између: а) Ане и Биљане;

б) Биљане и Стојне;

в) Ане и Стојне

Proporcionalne du`i

5

Разгледај размере 5 : 10, 10 : 35 и уочи да ли имају нешто заједничко. Други члан првиог размера је једнак првом члану другог размера.

Запамти Размери а : b и b : с се уобичајено записују кратко као Запис а : b : с се назива продужени размер за а, b и с.

а:b:с

.

Следи да је однос 5 :10 : 35 продужени размер који је замена за два размера 5 : 10 и 10 : 35. Осим та два размера, продужени размер у себи садржи и размер 5 : 35.

7.

Ваздушна растојања између три града А, В и С су: AB = 40 km, BC = 100 km, CA = 120 km. Представи та растојања на цртежу, смањеном 800 000 пута. Запиши продужени размер CA : AB : BC у што простијем облику.

B 8.

На цртежу су дате три дужи AB , CD

A

и PQ , такве да: AB = 5 PQ , CD = З PQ .

C

Kолико пута се дуж РQ садржи у дужи а) АВ; б) СD?

P

B D Q

Запази да се дуж РQ у дужима АВ и СD садржи цели број пута. За дуж РQ се каже да је заједничка мера за дужи АВ и СР.

Уопштено За две дужи се каже да су сразмерне, уколико постоји трећа дуж која се садржи цели број пута у свакој од њих. Размер двеју сразмерних дужи је рационалан број (цео или разломак). Дужи АВ и СD из задатка 8 су сразмерне. Такви су и парови дужи: АВ, ВС и ВС, СА, у задатку 7 (заједничка мера им је дуж која је дуга, на пример, 1 km).

9.

На цртежу је представљен квадрат са страном а и дијагоналом d. Изрази дијагоналу d помоћу стране а. Покажи да је размер d : а ирационални број

2.

d a

Запази да Постоје парови дужи за које не постоји дуж у којој би се садржали цели број пута у свакој од њих. За такве две дужи се каже да су несразмерне и њихов размер је ирационалан број

6

Tema 1. Sli~nost

На пример, страна а и дијагонала d код квадрата су несразмерне дужи: њихов размер d : а је број

2.

Треба да знаш: да именујеш и да одредиш размер два броја и две дужи; да одредиш вредност размера и једнаке размере; да запишеш обрнути размер и продужен размер; да одредиш непознати члан у размеру.

Провери колико знаш! Дате су дужи AB = 8 cm и AC = 2 cm (на цртежу). Искажи вредност размера: а) AB : AC ;

A

B

C

б) AC : CB ;

в) CB : AC ;

г) CB : AB .

Искажи размер а према b у што је могуће једноставнијем облику: а) а = 6, b = 18; б) а = 28 cm, b = 7 cm; в) а = 1 kg, b = 800 g. Одреди вредност сваког од понуђених размера: а) 6 : 8; б) 150 : 200; в) 80 : 60; г) 0,18 : 0,24.

Kоји од тих размера су једнаки? Вредност размера х : 4 је 5. Kолико је х?

4. Растојање Скопље - Валандово је 150 km, Задаци 1. Изрази размер а : b у што простијем облику, када је: а) а = 15 cm, b = 2 dm; б) а = 6х, b = 4х; в) а = 2l, b = 800 ml.

Скопље - Крива Паланка је 100 km, Скопље - Тетово jе 50 kм. а) Запиши продужени размер тих растојања. б) Запиши исти тај размер на најједноставнији начин.

5. Израчунај непознати члан размера, ако је 2. Запиши обрнути размер за сваки размер из претходног задатка.

3. Следеће размере представи у облику размера чији чланови су цели бројеви.

2 4 а) 0,3 : 0,6; б) 0,35:0,7; в) : ; 5 3 3 1 35 г) 2 : 5, 2 ; д) 5 : .

5 4 2

дата његова вредност:

а) х : 5 = 3; б) х : 1,3 = 6;

в) 6,5 : у = 13; 2 3

1 3

г) 4 : y  3 .

6. Пронађи однос стране и обима код: а) једнакостраничног троугла; б) једнакостраничног петоугла; в) једнакостраничног шестоугла.

Који од размера су једнаки између себе?

Proporcionalne du`i

7

7. Дата је дуж AB = 24 cm и на њој је

изабрана тaчка С, тако да је AC = 18 cm. Да се пронађе: а) AC : CB ; б) размер наjкраће, према најдужој дужи.

9. У правоугаоном троуглу један од углова

има 60°. Чему је једнак однос хипотенузе и мање дужи?

10. Збир дужина двеју дужи је 35, а њихова разлика је 7. Пронађи однос тих двеју дужи.

8. Мања од две дужи је садржана у већој,

која је 7 пута већа и остаје дуж која се садржи у мањој дужи тачно 2 пута. Kолико је дуга већа дуж, ако се зна да је мања дуж дуга 1 cm?

2

Покушај!...

Три кокошке у три дана носе три јаја. а) Kолико јаја носе шест кокошке за шест дена? б) Колико кокошака ће снети 100 јаја за 100 дана?

PROPORCIONALNE DU@E

Подсети се! Какви су међусобно размери 12 : 8 и 6 : 4? Шта представља једначина једнаких размера: 12 : 8 = 6 : 4? Уколико су размери а : b и с : d једнаки, тада се једначина а c а : b = с : d, тј. = b d

назива пропорција, а бројеви а, b, с, d су чланови те пропорције.

Kоји од тих бројева је први члан, а који је трећи члан пропорције?

Kоји су спољашни, а који унутрашњи чланови? Пронађи производ спољашњих и производ унутрашњих чланова пропорције 12 : 8 = 6 : 4. Какви су ти производи међусобно?

A 1.

Дате су четири дужи са следећим дужинама AB = 40 cm, PQ = 7 cm, CD = 8 cm, RS = 35 cm. Да ли можеш од њих да образујеш пропорцију? Састави неку пропорцију од њих.

Запази да је, на пример: 40 cm : 8 cm = 35 cm : 7 cm, тј. од дужина датих дужи може да се формира пропорција 40 : 8 = 35 : 7. Због тога може да се каже да су парови дужи АВ, СD и РЅ, РQ пропорционалне.

Уопштено За два пара дужи а, b и с, d се каже да су пропорционалне, уколико њихове дужине образују пропорције: а : b = с : d, тј. а = c b

8

Tema 1. Sli~nost

d

Вредност k једнаких размера а : b и с : d за парове пропорционалних дужи а : b и с : d се назива коефицијент пропорционалности.

Kоји је коефицијент пропорционалности дужи АВ, СD и RS, РQ из задатка 1. ? Како ћеш одредити коефицијент пропорционалности дужи?

2.

Одредићу вредност односа AB : CD , тј. 40 cm : 8 cm = 40 : 8 = 5; k = 5.

Дате су следеће дужи а = 2 cm, b = 1,5 cm, с = 4 cm, d = 3 cm.

a b

Покажи да су дужи а, b и с, d пропорционалне. Који је коефицијент пропорционалности?

c d

Запиши пропорцију дужи а, b и с, d. Пронађи производ спољашњих чланова и производ унутрашњих чланова. Какви су ти производи између себе?

Важи и уопштено! Производ спољашњих чланова једне пропорције је једнак производу њених унутрашњих чланова, тј. ако а : b = с : d, тада је а ∙ d = b ∙ c Ово правило се зове основно својство пропорције. За сваку од четири пропорционалних дужи а, b, с, d се каже да је четврта геометријска пропорционала осталих три. На пример, d = bc је четврта геометријска пропорционала за дужи а, b, с у пропорцији a а : b = с : d.

3.

Пронађи дужину четврте геометријске пропорције х за дужи а = 6 cm, b = 8 cm, с = 12 cm, у пропорцијма: а) а : b = с : х; б) х : с = а : b; в) а : х = b : с. Упореди властито решење за а) са датим: а : b = с : х; 6 : 8 = 12 : х; 6х = 8 ∙ 12; х = 16 cm.

Подсети се!

B 4.

Пронађи број х за бројеве 5 и 20, такав да је 5 : х = х : 20. Шта представља број бројеве 5 и 20?

5  20 (= 10) за

Пронађи геометријску средину бројева 2 и 32.

Дате су дужи а = 9 cm и b = 4 cm. Пронађи дуж х, тако да је а : х = х : 6.

Упореди властито решење са датим. Пропорција 9 : х = х : 4, према основном  својству, своди се на једначину:

х2 = 9 ∙ 4, па х = 36 = 6; х = 6 cm.

Proporcionalne du`i

9

Запази да је број 6 геометријска средина бројева 4 и 9.

Запамти Геометријска средина (или средња геометријска пропорционала) двеју дужи дужина а и b је названа дуж, дужине х, тако да је а : х = х : b, тј.

5.

Пронађи геометријску средину за дужи: а) а = 12 cm, b = 27 cm; б) а = 5 cm, b =12 cm.

6.

Утврди помоћу мерења да ли је дуж b са цртежа геометријска средина дужи а и с.

V 7.

Дата је пропорција 8 + 4 10 + 5 . = 4 5

a b c

8 10  . Покажи да је пропорција и једначина 4 5

Важи и уопштено Ако

тада је и

Запази да је: од

Покушај то да докажеш.

следи

потом:

тј.

8. Покажи да важи и обрнуто тврђење. Ако

тада је

Подсети се! Kада су три или више размера једнаки, тада они могу да се запишу у облику продужене пропорције, као на пример:

За њу важи:

10

Tema 1. Sli~nost

Треба да знаш: да дефинишеш појам пропорције; да одредиш непознати члан у пропорцији; да објасниш који парови дужи су пропорционални; да одредиш геометријску средину двеју дужи.

Провери се! Пронађи непознати члан у пропорцији 10 : а = 15 : 6. Пронађи дужину четврте геометријске пропорционале х дужи а = 4 cm, b = 5 cm, с = 8 cm у пропорцији а : b = с : х. Пронађи геометријску средину дужи а = 2 cm и b = 8 cm.

Задаци 1. Kоји број треба да стоји на месту слова а, да би једначина била тачна: a 3 5 a a) = ; б) 14 = 7 ?

8 2

7. У правоуглом троуглу АВС на цртежу, дуж СD је висина спуштена ка хипотенузи AB.

C

2. Састави пропорцију од дужина четири датих дужи: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm.

3. Пронађи дужину х на четвртој геометријској пропорционали за дужи а, b, с у пропорцији а : b = х : с, када је: 1 3 2 с = dm; а) а = dm, b = dm, 2 4 3 б) а = 2 m, b = 3 m, с = 4 m.

4. У АВС на цртежу је дато: CM : MA = CN : NB . У сваком реду табеле дате су неке дужине. Одреди дужине које недостају.

C M

A

5.

N B

CM

MA

CN

a)

8

6

4

b)

6

4

v)

8

NB

5 8

4

Пронађи геометријску средину за дужи а и b, када је: а) а = 2 dm, b = 8 cm; 4 b = 12 cm; б) а = 4 dm 5 в) а = 7 cm, b = 14 cm.

A

D

B

Помоћу мерења, утврди да је: а) дуж СD геометријска средина дужи АD и DВ; б) дуж АС геометријска средина дужи АD и АВ.

7. Пронађи х и у, када је: а)

y 3 x = = ; 4 5 2

y 1 7 б) x = = 4 .

6

c а 8. Покажи да се из пропорције b = d могу добити пропорције: а b b d c = ; = ; =d d a c c a b

9. Докажи дa :

ако је а = c , тада је и а - b = c - d . b d b d

Proporcionalne du`i du`e

11

3

DEQEWE DU@I NA JEDNAKE DELOVE

A 1.

Подсети се!

Kако ћеш дату дуж поделити на једнаке делове: а) на два; б) на четири? За FGH и PQR на цртежу је понуђено:

На цртежу је представљен угао ЅОТ и на краку ОЅ нанесене су једнаке дужи OA  AB  BC .

α = α1, β = β1, FG  PQ .

H R α F

α1

β G

P

β1 Q

Kакви су ти троуглови међусобно?

Kакве су међусобно одговарајуће стране складних троуглова?

Кроз тачке А, В и С повучене су међусобно паралелне праве р, q и r, које одговарајуће секу крак ОТ у тачкама А1, В1 и С1, респективно.

За дужи ОА1, А1В1 и В1С1, се каже да су одговарајуће дужима (редом): ОА, АВ и ВС. Измери дужи ОА1, А1В1, В1С1. Шта закључујеш?

2. У вези цртежа из задатка 1, покушај да докажеш да је OA1  A1B1  B1C1 .

Разгледај цртеж на којем су повучене још и дужи А1В2 и В1С2, паралелно са краком ОЅ, и на коме су означена неколико углова бројевима.

Запази ОАА1 и А1B2В1 и сагледај да је:

1 = 3, 2 = 4 (Зашто?)  OA  A1B2 ОАА1  А1B2В1, па OA  A1B2 (Зашто?).

(Зашто?)

Уочи А1B2В1 и B1C2C1. Покажи да су и они усклађени и да је A1B1  B1C1 . Уочи и запамти следећу теорему о једнаким дужима на крацима једног угла. Уколико се на један крак датог угла нанесу једнаке дужи и кроз њихове крајеве се повуку паралелне праве које секу други крак угла, онда те праве секу и други крак међусобно једнаких дужи.

12

Tema 1. Sli~nost

На основу ове теореме можеш да поделиш дату дуж на произвољни број једнаких делова.

3. Подели дуж АВ која је дата на цртежу на 5 једнаких делова.

Kако ћеш употребити претходну теорему да би поделио дуж АВ на 5 једнаких делова?

A

B

Повући ћу произвољну полуправу у тачци А и на њој ћу са почетком у А нанети 5 једнаких дужи. Затим ћу повући паралелну праву, према теореми.

Прати начин решавања и запази поступак поделе дужи на једнаке делове. Повуци произвољну полуправу АЅ као на цртежу.

Почињући од А, на АЅ нанеси пет пута произвољно одабрану дуж, на пример АЕ; тиме добијеш пет тачака; пету тачку означи са С.

Повуци најпре праву СВ и затим кроз сваку од добивених пет тачака на АС, повуци праву паралелну са СВ; те праве деле дуж АВ на пет једнаких делова.

Објасни зашто су та пет дела међусобно једнака?

4. Нацртај дуж АВ дужине 7 cm и подели је на 6 једнаких делова.

5. Нацртај једну дуж и одреди њену средину, користећи при томе теорему о једнаким дужима. Подсети се! На дужи АВ, означена је тачка М, тако да је: AM = 4 cm и MB = 3 cm.

B 6.

Нацртај дуж АВ од 6 cm. а) Подели ту дуж на 5 једнаких делова. б) Означи тачку М тако што је AM : MB = 3 : 2.

A M B У каквом односу тачка М дели дуж АВ?

Proporcionalne du`i

13

Упореди своје решење са оним које је дато на цртежу.

7. Нацртај дуж АВ и подели је на два дела чији је однос 3 : 4. Прво, подели дуж АС на 3 + 4 = 7 једнаких делова.

Упореди своје решење са оним које је дато на цртежу, на којем је узето AK  3  AE и KMCB. Тако је добивено AM : MB = 3 : 4. Објасни зашто је AM : MB = 3 : 4.

Ова конструкција се назива подела дужи на дужи у датом односу.

Дуж АВ која је дата на цртежу је подељена тачком М у односу 3 : 2. Исто тако, дуж СР са тачком N је подељена у истом односу 3 : 2.

8.

A C

M N

B D

Састави пропорцију за делове дужи АВ и делове дужи СР. Једна могућност је: AM : MB = CN : ND , што значи да су АМ, МВ пропорционалне дужима СМ, ND. Због тога се каже да су дужи АВ и СР пропорционално поделене.

Уопштено За две дужи се каже да су подељене пропорционално, уколико однос делова једне дужи образује пропорцију са односом делова неке друге дужи.

9.

14

Нацртај две дужи дужине 7 cm и 4 cm и подели их пропорционално у односу 1 : 2.

Tema 1. Sli~nost

Треба да знаш: да поделиш дуж на једнаке делове и да објасниш поступак; да поделиш дуж у датом односу; да објасниш када су две дужи пропорционално подељене.

Провери се! Нацртај дуж АВ од 5 cm и подели је на 3 једнаких делова. Потом, означи тачку М која дели дуж АВ у односу 2 : 1. Запиши једну пропорцију између делова дужи РО и РЅ које су са тачкама Н и K на цртежу пропорционално подељене.

2

6

P

H 3

R

Задаци

1. Нацртај дуж од 6 cm и подели је на једнаке делови: а) на три; б) на седам.

Q 1 K S

6. Тачка М дели дуж АВ у односу AB : MB = 5 : 3. Дужина дужи АМ је 4,8 dm. Пронађи дужину дужи МВ; АВ.

2. Нацртај дуж АВ и подели је у односу: а) 2 : 1;

б) 5 : 2.

7. За колико треба да се продужи дуж 3. Нацртај дуж дужине 10 cm и подели је: а) на 7 једнаких делова; б) у односу 4 : 3; в) на три дужи у односу 1 : 2 : 4.

4. Нацртај АВС и његове стране подели на три једнака дела.

AB = 12 cm да би се добила дуж АС која задовољава пропорцију AC : BC = 5 : 2 ?

8. Тачка М дели дуж АВ у односу AM : MB = 3:2. Пронађи размере AM : MB и AB : MB

5. Нацртај АВС и тежишну линију АА1. Одреди тежиште Т на троуглу тако што ћеш АА1 поделити у односу AT : TA1 = 2:1.

Proporcionalne du`i

15

4

TALESOVA TEOREMA PROPORCIONALNIH DU@I Подсети се!

A 1.

Kако се дели дата дуж: а) на једнаке делове; б) у датом односу m : n? Објасни конструкцију.

На цртежу је дат оштар угао ЅОТ. На краку ОЅ је изaбрана тачка В, а на краку ОТ је изабрана тачка D. Кроз В и D је повучена права р.

D T p O

B

На дужи ОВ одреди тачку А, тако да је OA : AB = 3 : 2. Кроз тачку А повуци праву q || р, тако да права q сече крак ОТ у тачци С. Покажи да је OC : CD = 3 : 2. Шта ћеш употребити да би показао да је OC : CD = 3 : 2 ?

Искористићу поступак и тврђење за дељење дужи у датом односу.

На цртежу је дато решење задатка. Одговори на следећа питања.

Kако је подељена дуж ОВ на 5 једнаких делова?

Kако је одређена тачка А тако да је OA : AB = 3 : 2 ? Зашто је OC : CD = ОА : АВ = 3 : 2? Уочи и запамти тврђење које називамо Талесовом теоремом о пропорционалним дужима. Уколико се краци једног угла секу са две различите паралелне праве, тада су дужи које добијамо на једном краку пропорционалне одговарајућим дужима на другом краку.

D C AC  BD OA : AB = OC : CD



O

2.

A

B

На цртежу је узето АС || ВD. Ако OA = 4 dm, AB = 5 dm, OC = 8 dm пронађи CD ; покажи да је OA : AB = OC : CD .

16

Tema 1. Sli~nost

S

Важи уопштено: из једначине OA : AB = OC : CD (у Талесовој теореми) добија се једначина OB : OA = OD : OC , или:

OA : OB = OC : OD . Уз помоћ употребе одговарајућих својства пропорција, из AB : OA  CD : OC следи

 AB  OA  : OA   CD  OC  : OC

Покажи да је OB : OA = OD : OC .

C

На цртежу је дат АВС и права МN || АВ која сече друге две стране АС и ВС.

3.

Утврди да су стране АС и ВС правом ММ подељене пропорционално, тј. CM : MA  CN : NB .

N

M

A B Уколико ти је помоћ неопходна... Прво, сагледај да су краци код АСВ пресечени паралелним правама МN и АВ. После тога примени Талесову теорему.

B 4.

Нацртај угао ЅОТ и нанеси дуж као на цртежу OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 3 cm, OD = 4,5 cm.

C O

A

D

B

T

S

Увери се да су дужи ОА, ОВ и ОС, ОD пропорционалне, тј. OA : OB = OC : OD . Повуци праве АС и ВD. После тога, уз помоћ два троугаоника, провери да ли су те праве паралелне. Уколико си цртао и мериo довољно прецизно, свакако си закључио да АС || ВD.

Важи уопштено! Уколико две праве секу са кракова неког угла пропорционалне дужи, онда су те праве паралелне.

C

D T

OA : OB = OC : OD O

A

B

 АС || ВD

S

Ово својство пропорционалних дужи названо је обратна Талесова теорема.

Proporcionalne du`i

17

R

2. Утврди за које ће од следећих дужина, према цртежу, бити МN || РQ: а) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18;

N

M

б) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6; в) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14.

P

Q

Треба да знаш: да искажеш Талесову теорема и да је примениш у једноставним задацима; да искажеш обратну Талесову теорему и да је примениш у једноставним задацима.

Провери своје знање!

C

На цртежу је дато да РО || ВС. Допуни следећа тврђења, тако да буду тачна: в) : = AQ : QC ; а) AP : AB = : ; б) AP : PB =

:

;

г) AC : AQ =

:

Q

.

P

A

B E

28

C

Да ли ће за назначене дужи на цртежот важити ВС || DЕ?

35 20

A

16

B

D

Задаци 1. На цртежу је дато да је АС || ВD.

D

C

O

A

B

Нађи OB , ако је: OA 0= 4 cm, OC = 6 cm, OD = 9 cm.

18

Tema 1. Sli~nost

2. У АВС на цртежу је дато МN || АВ.

C а) Нађи CN , ако је: CM = 12; CA = 18; BN = 8 M б) Нађи CM , ако је: CM = NB MA = 4 и A CN = 9.

N B

3. У сваком од троуглова на цртежу је пову-

6. Покажи да се из про-

чена дуж паралелна са основом и назначене су дужине неких дужи.

порцијата OA : AB = OC : CD добијају следеће пропорције: а) AB : OA  CD : OC ; б) OB : OA  OD : OC ; в) OB : AB  OD : CD ;

У сва четири случаја пронађи х, рачунајући да су друга слова задати бројеви.

4. Kраци ЅОТ (на цртежу) су пресечени паралелним правама АА1, ВВ1 и СС1, при чему је OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 и ОА1 = 6 cm. Нађи дужине дужи A1B1 и В1C1.

г) OA : OB  OC : OD .

Покушај!... Није обавезно...

7. На цртежу је дат АВС у коме је СD симетрала угла код темена С. Затим је продужена страна АС и повучена је права ВЕ || DС. а) Докажи да је ВЕС равнокрак троугао, са крацима BC  CE .

5. Провери да ли важи ВС || DЕ за дужи, постављене као на цртежу под а) и под б). Образложи свој одговор.

б) Докажи да симетрала АСВ у АВС дели супротну страну АВ на два дела који су пропорционални са друге две стране, тј.

AD : DB = CA : CB , тј. (c – x) : x = b : a.

a)

б)

Proporcionalne du`i

19

5

ZADACI SA PRIMENOM TALESOVE TEOREME

A 1.

Подсети се!

Kако гласи Талесова теорема о пропорционалним дужима? Из пропорције а : b = с : х изрази х помоћу а, b и с.

Нацртај АВС. После тога, повуци праву В1C1, која сече краке А и која је паралелна са страном ВС, као на цртежу.

Kакви су међусобни односи AB : AB1 и AC : AC1 ? Измери пажљиво дужи АВ, АВ1,ВС, В1C1 и после тога израчунај односе AB : AB1 и BC : B1C1 . Шта можеш да приметиш? Уколико си цртао и мерио довољно прецизно, сигурно си приметио да су дужи АВ, АВ1 пропорционалне са дужима ВС, В1C1, тј.

AB : AB1  BC : B1C1  AC : AC1

Важи уопштено! Уколико се у једном троуглу повуче права која је паралелна са једном страном и која сече друге две стране троугла, тада се добија нови троугао чије су стране пропорционалне странама датог троугла.

2. Покушај да докажеш закључак из задатка 1, уз помоћ примене Талесове теореме. Дато је: у АВС, права В1C1 || ВС (као на цртежу). Докажи да је:

BC AC AB   B1C1 AC1 AB1

тј. , ,

а b c = = a1 b1 c1

Где је: BC = а, AC = b, AC = с, B1C1 = a1, AC1 = b1, AB1 = с1. Дати цртеж је допуњен повлачењем праве В1F која је паралелна са АС. Kако ћеш применити Талесову теорему да би доказао дате једначине? Записаћу пропорције са пропорционалне дужи које су добивене за углове: ВАС и АВС. После тога ћу извршити упоређивање. Упореди своје размишљање и решење са датим.

20

Tema 1. Sli~nost

ВАС је пресечен са В1С1 || ВС, па је према Талесовој теореми:

AB AC  AB1 AC1

АВС је пресечен са B1F || AС, па је према Талесовој теореми:

AB BC  (2) AB1 FC

(1)

Четвороугао B1F СС1 је паралелограм (зашто?), па е: FC  B1C1 ; после замене у (2), добија

AB BC  .

AB1 B1C1

(3)

 Из (1) и (3):

a b c BC AB AC  тј. a  b  c .

B1C1 AB1 AC1 1 1 1

Овај закључак се зове још и Талесова теорема o троуглу.

Важи и обрнути закључак! Уколико једна права при пресеку дели две стране троугла на пропорционалне дужи, онда је та права паралелна са трећом страном троугла.

m : n = p : q  FG || AB

3. У АВС на цртежу МN || ВС. Пронађи однос BC : MN , ако је AM = 12, AB = 18. Пронађи MN , ако је AB = 15, BC = 10 и ако је М средина од АВ.

 Провери решење MN

према својству средње линије троугла!

4. На цртежу су праве р и q пресечене са три међусобно паралелне праве. Покажи да су одговарајуће дужи а, аʹ пропорционалне а дужима b, bʹ, тј. а : аʹ = b : bʹ. Сагледај решење задатка.  Повуци дуж АD, као на цртежу, и уочи да су краци код САD и код АDВ пресечени са по две паралелне праве, па je: a : b = x : y и а : bʹ = x : y.

Будући да су десне стране њихових једнакости једнаке, можеш да

закључиш да је а : b = aʹ : bʹ тј. а : аʹ = b : bʹ. Према претходном цртeжу, дато је а = 3, b = 5 и bʹ = 7. Пронађи дужину дужи bʹ.

5. За трапез АВСР на цртежу је дато: МN || АВ, AD = 18 cm, BC = 24 cm и DM = 3 cm Пронађи BN и NC .

Proporcionalne du`i

21

B 6.

a Дате су дужи а, b, с као на цртежу.

b

Пронађи дуж х тако да је a : b = c : x, тј. конструиши четврту геометријску пропорционалу дужима а, b и с.

c

Уколико не можеш сам да решиш задатак, могу ти помоћи следећа упутства.

 Подсети се Талесове теореме.  Нацртај угао ЅОТ и нанеси дужи а = OA , b = AB и с = OC , као на цртежу.

 Повуци праву кроз В, паралелну са АС и њихов пресек означи са D.

 х = CD је тражена дуж. (Зашто?) Четврта геометријска пропорционала х дужи а, b и с може да се добије и према другом цртежу. Разгледај цртеж и образложи поступак.

7. За дужи а = 4 cm, b = 6 cm и c = 5 cm, конструиши четврту геометријску пропорционалу: а) х =

bc ; a

ac

б) х = b .

Прво сагледај да из х =

bc можеш да саставиш пропорцију х : с = b : а. a

8. Нацртај две дужи а = 3 cm и b = 2 cm. Kонструиши дуж х, тако што је х = аb. Прво сагледај да од х = аb можеш да саставиш пропорцију 1 : а = b : x; после тога изведи конструкцију.

Треба да знаш: Провери се! да искажеш Талесову теорему за троугао и да је употребиш у једноставним задацима; да конструишеш четврту геометријску пропорционалу трију дужи.

22

Tema 1. Sli~nost

За АВС је дато: МN || АВ. Пронађи његове стране према подацима на цртежу. Објасни поступак конструисања четврте геометријске пропорционале х трију датих дужи а, b, с.

Задаци 1. У трапезу АВСР на цртежу, који има основе AB = 12, CD = 5 и крак AD =7, продужени су краци АО и ВС до њиховог пресека Ѕ. Нађи дуж SD .

6. Нацртај три дужи а, b и с. Затим конструиши дуж х, тако да је: а) х : а = b : с; б) а : х = b : с; в) а : b = х : с.

7. Нацртај дужи а и b. Затим конструиши дуж х, тако да је х = а2.

8. Нацртај дужи а и b. Затим конструиши дуж х, тако да је а) x =

a2 ; b

2

б) x = b

a

9. Страна DС трапеза

2. Одреди висину АВ једног дрвета (на цртежу) уколико је његова сенка ВС 20 m, а у исто време, сенка штапа РQ дужине 1m износи 1,4 m.

3. У трапезу АВСD

на цртежу, МN  РQ  АВ. Пронађи дужине кракова АD и ВС према подацима са цртежа.

4. У троуглу АВС на цртежу, страна ВС је подељена на три једнака дела и кроз деобене тачке се повлаче праве, паралелне са страном АВ, чија је ду-

АВСР са основама АD = 8 и ВС = 20, је подељена на три једнака дела и кроз деобене тачаке су повучене праве паралелне са основом (као на цртежу). Нађи дужине х и у на дужима обухваћеним трапезом.

Помоћ. Повуци праву РМ која је паралелна са АВ и разгледај троугао DМС (подсети се како си решио задатак 4).

10. На цртежу је представљена ситуација на терену са недоступном тачком А и доступном тачком В. а) Пронађи недоступно растојање BA . б) Израчунај ВА, када су измерене дужине: BC = 100 m, CE = 250 m и CD = 80 m. в) Пронађи растојање ЕА, када су измерене: CE = 250 m, CD = 80 m и DB = 96 m

жина 15 cm. Пронађи дужину сваке посебне дужи захваћених троуглом.

5. Kонструиши четврту геометријску пропорционалу дужи а = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm (а : х = b : с).

Proporcionalne du`i

23

SLI^NI TROUGLOVI

6

SLI^NE FIGURE. SLI^NE TROUGLOVI Подсети се!

Краци угла ЅОТ су пресечни паралелним правама АС и ВD.

Према цртежу, запиши размер дужи које су једнаке са размером: б) OD : DC . а) OA : AB ;

У свакодневном животу врло често срећемо предмете који имају исти облик, а различиту или исту величину: аутомобил и његов модел, две чаше, две столице итд.

A

За два геометријска предмета који имају исти облик, а различиту или исту величину, уобичајено кажемо да су слични.

Према којој теореми си записао размере?

1. За које од следећих фигура можемо да каНа цртежу важи пропорционалност дужи OA : AB = OD : DC .

жемо да су сличне: два квадрата; два круга; квадрат и круг?

2. Дате су две географске карте Македоније. Какав положај имају праве АD и ВС? Какви су према величини углови : а) ОАD и ОВС; б) ОDА и ОСВ?

Прва је у размеру 1 :1000000, а друга у размеру 1 : 500000. Да ли су те карте сличне? На првој карти, растојање од Скопља до Kуманова је 4 cm. Колико је растојање од Скопља до Куманова на другој карти?

Који је однос растојања Скопље - Куманово на првој карти са растојањем Скопље - Куманово на другој карти? Какав је однос растојања између било која два места на првој карти са растојањима између та иста два места на другој карти?

24

Tema 1. Sli~nost

A 3.

Разгледај цртеж на коме темена троуглова АВС и А1В1С1 леже на полуправој са почетном тачком О, образујући пропорционалне дужи: OA : OA1 = 1 : 2; OB : OB1 = 1 : 2; OC : OC1 =1 : 2

Код троуглова АВС и А1В1С1 ћемо разликовати: одговарајућа темена, одговарајуће углове и одговарајуће стране, тј. одговарајућа темена су: А и А1; В и В1; С и С1;

одговарајући углови су: А и А1, В и В1, С и С1 одговарајуће стране су: АВ и А1В1; ВС и В1С1; АС и А1С1. Покажи да су одговарајуће стране троуглова АВС и А1В1С1, паралелне тј. АВ  А1В1; ВС  В1С1 и АС  А1С1. Покажи да су одговарајући углови троуглова једнаки, тј. А = А1 В = В1, и С = С1 Покажи да су одговарајуће стране троуглова пропорционалне, тј.

Упореди твоје решење задатка са понуђеним. Будући да је OA : OA1 = OB : OB1 , из обратне Талесове теореме следи да је АВ  А1В1. На исти начин можеш да покажеш да је ВС  В1С1, и АС  А1С1.

Будући да је АB  А1В1 и АС  А1С1, следи да су А = А1 као углови са паралелним крацима. На исти начин можеш да покажеш да је В = В1, и С = C1

Подсети се Талесове теореме: када су краци угла ЅОТ пресечени паралелним правама АВ и А1В1, тада су одговарајуће дужи АВ и А1В1, пропорционалне дужима ОА и ОА1, тј. OA : OA1 = AB : AB1 = 1 : 2. Можеш да покажеш да исти размер имају и друге одговарајуће стране троуглова, тј.

Покажи да су одговарајући углови код троуглова АВС и А1В1С1 једнаки, а да су им одговарајуће стране пропорционалне. Оне могу да буду дате и у другом положају, као на цртежу, десно. Ако нацрташ троугао АВС на прозирној хартији, можеш да га поставиш у области А1В1С1 (као на цртежу), тако што ће њихове одговарајуће стране бити паралелне. Уочи да АВС и А1В1С1 имају исти облик, али различиту величину, тј. да су они слични троуглови.

Sli~ni trouglovi

25

Запамти За два троугла се каже да су слични, уколико су им одговарајући углови једнаки и када су им одговарајуће стране пропорционалне. Сличне троуглове АВС и А1В1С1 означавамо са: АВС ~ А1В1С1. Ово се чита: троугао АВС је сличан троуглу А1В1С1. Који је коефицијент пропорционалности страна код сличних троуглова АВС и А1В1С1 у задатку 3? У задаку 3 се види да је коефицијент пропорционалности страна сличних троуглова АВС и А1В1С1 1 : 2, тј. 1 .

2

Коефицијент пропорционалности одговарајућих страна код два троугла (АВС ~ А1В1С1) се назива и коефицијент сличности. Ако запишеш АВС ~ МNP, то ће значити да су одговарајућа темена: А и М, В и N, С и Р.

4. У задатку 3 сагледај да је АВС ~ А1В1С1, и да је коефицијент сличности 1 .

2

Зашто је А1В1С1~ АВС и који је коефицијент сличности?

Треба да знаш: Ако је АВС ~ ХYZ, тада је AB : XY = BC : YZ = AC : XZ = k и А = Х, В = Y, С = Z; Да одредиш коефицијент сличности два слична троугла.

Провери се! На цртежу: АВС ~ MNP. Запиши одговарајуће: а) стране; б) углове. Одреди коефицијент сличности. Одреди х и у.

Задаци 1. Дат је АВС ~ RST

Запиши одговарајуће: а) стране, б) углове.

2. Нацртај два једнакострана троугла, први са страном а = 3 cm, а други са страном 4 cm. Покажи да су они слични. Одреди коефицијент сличности.

26

Tema 1. Sli~nost

3. На цртежу, АВС ~ PQR и дате су дужине страна. Одреди x и y.

A

6

B

P

y

Q

4. На цртежу,

АВС ~ МNС. Чему су једнаки CB и MN , уколико је CM = 5; CN = 6; и

7

5. Из тога што је АВС = А1В1С1, да ли следи да је АВС ~ А1В1С1? Образложи.

6. Нека су М и N средине страна АС и ВС

у троуглу АВС. Покажи да је МNС ~ АВС.

PRVI STAV O SLI^NOSTI TROUGLOVA Подсети се!

Да би утврдио да ли су два троугла АВС и А1В1С1 слични, треба да провериш да ли су њихови одговарајући углови једнаки и да ли су одговарајуће стране поропорционалне т.j. А = А1, В = В1, С = С1 и Kраци угла МОN су пресечени паралелним правама а и b, тако да је OB : OA  OC : OD = 2: 1 Уочи троугле ОАD и ОВС, а затим: одреди однос страна ВС и АО; одреди какви су међусобно одговарајући углови троуглова; Да ли је ОВС ~ ОАD?

Упореди властито решење са датим.  На цртежу су дати ABC и А1В1С1, тако да

A 1.

Нацртај АВС и дуж А1В1, која је три пута дужа од стране АВ. Затим нацртај троугао А1В1С1 са страном А1В1,  В1 А1C1 = А и А1В1C1 = В. Да ли су одговарајући углови троуглова АВС и А1В1С1 једнаки? Зашто? Одговарајући углови су једнаки; А = А1 и B = В1 по конструкцији; C = C1, будући да је C = 180 - (А + B) = 180 - (А1 + В1) = C1 Помоћу мерења провери да ли су одговарајуће стране А1В1С1 пропорционалне странама ABC. Одреди коефицијент пропорционалности. Покушај да образложиш да су одговарајуће стране А1В1С1 и ABC пропорционалне и да је А1В1С1 ~ ABC.

је A1B1  3AB , А= А1 и В = В1.

 Да би показао да је А1В1С1 ~ ABC треба да провериш да ли су испуњена шест захтева за сличност троуглова, тј.

Sli~ni trouglovi

27

 Показао си да су одговарајући углови троуглова једнаки.  Претпостави да је ABC постављен у А1В1С1, тако да се: теме А подудара са теменом А1, теме В са теменом В2 и теме С са теменом С2; угао А да се подудара А1, В са A1B2C2 и С са B2C2A1.

 Будући да је угао A1B2C2 = В1, следи да је В2С2  В1С1. Упореди цртеж, помоћу Талесове теореме о пропорционалним дужима си показао да је тј. Можеш да зазакључиш да је А1В1С1 ~ ABC. Уочи да троуглови А1В1С1 и АВС које си нацртао имају по два угла који су одговарајуће једнаки и ти си показао да је А1В1С1, ~ АВС. Према томе, да би утврдио да ли су два троугла слични, довољно је да провериш да ли они имају одговарајауће углове.

Запамти Два троугла су слична, уколико су два угла једног троугла једнака са два угла другог троугла. Ово тврђење је именовано као први став о сличности троуглова.

На цртежу је дато да су: А = Р = 30° и да је тачка С пресек дужи АЕ и ВС. Докажи да је АВС ~ DЕС.

2.

B 3.

У АВС је повучена дуж МN која је паралелна са АВ. Покажи да је α = α1 и β = β1. Докажи да је АВС ~ МNС.

Запази следеће тврђење. Уколико је у једном троуглу повучена права која је паралелна са једном од страна и сече друге две стране, тада се добија троугао који је сличан датом. Упореди ово тврђење са Талесовом теоремом о троугловима.

4.

28

У АВС на цртежу су повучене дужи: МN  АВ и NРАС.

Kолико троуглова уочаваш? Запиши који су троуглови слични између себе.

Tema 1. Sli~nost

Треба да знаш: Сваки троугао је сличан самом себи. Два складна троугла су слична. Колики је њихов коефицијент сличности?

5. На цртежу су дати правоугаони троуглови АВС и PQR, при чему су А = Р = α. Покажи да је АВС ~ РQR. Запази да троуглови имају по два одговарајућа једнака угла: А = Р и В =  = 90°. Према првом ставу о сличности троуглова, следи:

 Два правоугона троугла су слична уколико је један оштар угао једнак једном оштром углу другог троугла.

6. У троуглу АВС на цртежу је повучена висина СD и дуж МN  АВ. Колико правоугаоних троугла можеш да уочиш и који од њих су међусобно слични?

7. На цртежу су дата два једнакокрака троугла АВС и PQR, којима су углови при врху једнаки тј. С = R = α. Покажи да је А = Р. Покажи да је АВС ~ PQR.

Уопштено Два једнакокрака троугла су слична, уколико је угао при врху једног троугла једнак углу при врху другог троугла.

8.

Нацртај два једнакокрака троугла АВС и А1В1С1, са основама АВ и А1В1, респективно, при чему је А = А1 Покажи да је АВС ~  А1В1С1. Искажи друго тврђење о сличности два једнакокрака троугла.

Sli~ni trouglovi

29

Треба да знаш: Провери се!

да искажеш први став о сличности троуглова;

На крајевима дужи АВ повучене су дужи и BD = 5 cm, нормалне на АВ. У ком односу права s дели дуж АВ?

који су услови довољни за сличност два правоугла троугла, односно два једнакокрака троугла; да утврдиш сличност између два троугла; да одредиш непознату страну код сличних троуглова.

Задаци 1. На цртежу је дат троугао АВС и МN  АВ.

2.

, Дат је АВС са странама и . Кроз тачку М која лежи на страни ВС повучена је права која је паралелна са АВ и сече АС у тачци N. Одреди MN , ако је CM = 3.

3.

У трапезу АВСР, са основама АВ и СD, дијагонале АС и ВD се секу у тачци Ѕ. а) Докажи да је АВЅ ~ СDЅ. б) Одреди CD , ако су AB = 12, AS = 6 и SC = 3.

4.

Kонструиши троугао А1В1С1, који је сличан АВС, са странама 4, 5 и 6 ако је:

Одреди размер: а) Ако је CM : MA = 3 : 2, тада је CM : CA =

;

б) Ако је CM : MA = 7 : 3, тада је CN : NB =

;

в) Ако је CM : CA = 3 : 4, тада је AB : MN =

30

а) његова најмања страна 5;

.

Tema 1. Sli~nost

б) коефицијент сличности

5.

3 .

4

Одреди висину једног дрвета чија сенка има дужину 10 m, ако у исто време, човек који је висок 1,7 m има сенку која је дугачка 1 m.

8

DRUGI I TRE–I STAV O SLI^NOSTI TROUGLOVA Подсети се!

A 1.

Kоја шест захтева треба да буду испуњена да би два троугла АВС и А1В1С1 била слична?

Kоји услови су довољни, према првом ставу о сличности троуглова, да би важило АВС ~ А1В1С1?

Нацртај АВС са А = 60° и странама AB = 3 cm, AC = 2 cm. Затим нацртај А1В2С3 са А1 = 60° и странама A1B1 = З AB , A1C1 = ЗAC. Измери и упореди : В и В1 С и С1, BC и B1C2 . Шта си закључио?

На цртежу су дати троуглови према условима задатка. Претпостави да је АВС постављен тако да се А подудара са А1 и АВС се подудара са троуглом А1В2С2. Одреди односе: A1B1 : A1B2 ; A1C1 : A1C2 и B1C1 : B2C2 . Покажи да јеВ = В1 и С = С1. Зашто је АВС ~ А1В1С? Који одговарајући елементи два троугла су дати и да ли је то довољно да покажеш да су ти троуглови слични?

Дате су по две одговарајуће пропорционалне стране и једнаки углови који образују те стране. То је довољно да се покаже да су троуглови слични.

Запази да може да се искаже критеријум о сличности троугла. Он је назван као други став о сличности троуглова. Ако су две стране једног троугла одговарајуће пропорционалне двема странама другог троугла и ако су углови који образују те стране једнаки, онда су ти троуглови слични.

2. Провери да ли су слични троуглови АВС и А1В1С1, ако су: a) BC = 20, AC = 22 С = 50°;

B1C1 = 30; A1C1 = 33 С1=50°.

б) BC = 25, AC = 70 С =70°;

B1C1 = 50; A1C1 =139, С1=70°.

3. У АВС, на цртежу, тачка М је средина стране АВ, а N средина стране АС. Докажи да АВС ~ АМN. Покажи да је средња линија МN троугла АВС такође и половина дужине одговарајуће стране ВС.

Sli~ni trouglovi

31

B

4. Нацртај АВС са странама AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, а затим А1В1С1 са два

пута мањим странама од АВС. Измери и упореди углове: А и А1, В и В1, С и С1. Шта можеш да закључиш? Да ли је АВС ~ А1В1С1? Одговарајуће стране код два троугла су пропорционалне. Да ли је то довољно да би утврдио да су троуглови слични?

Да би два троугла била слична довољно је да су одговарајуће стране пропорционалне, будући да су тада и одговарајући углови једнаки.

Запази да може да се искаже још један критеријум о сличности троуглова. Назван је трећи став о сличности троуглова. Уколико су три стране једног троугла пропорционалне са одговарајућим странама другог троугла, тада су та два троугла слична.

3. Да ли су слични троуглови са странама: а) 3, 4, 5 и 6, 8, 10;

б) 15, 9, 12 и 4, 3, 5;

в) 2, 2, 3 и 6, 6, 8;

г) 2; 3; 4 и 3; 6; 4, 5?

Треба да знаш: Провери се! да искажеш други и трећи став о сличности троуглова; да утврдиш сличност код два троугла према другом и трећем ставу о сличним троугловима; да одредиш непознату страну код сличних троуглова.

Задаци 1. Нацртај АВС и РQR, а затим запиши који услови треба да се испуне да би важило АВС ~ РQR према: а) другом ставу; б) трећем ставу.

2. Покажи да су троуглови АВС и ЕDC слични и то према ком ставу.

Стране код АВС су: а = 6 cm, b = 4 cm и с = 3 cm. Одреди обим код А1В1С1, који је сличан са АВС, а његова најмања страна је 6 cm. Провери да ли су слични АВС и РQR, ако је: А = 55°, AB = 12 cm, AC = 8 cm, Р = 55°, PR = 12 cm, PQ = 18 cm.

3. Стране код једног троугола су 6, 5 и 4.

Највећа страна другог троугла, који је сличан датом је 9. Пронађи обим другог троугла.

4. Да ли су слична два троугла, ако два угла једног троугла имају 60° и 70°, а два угла другог троугла имају по 50° и 80°.

5. При врху једног једнакокраког троугла угао износи 70°. Угао при основи другог једнакокраког троугла има 55°. Докажи да су ти троуглови слични.

32

Tema 1. Sli~nost

5. Образложи да ли је АВС ~ МNR, када је: ВАС = 50°, AB = 4 cm, AC = 6 cm; NMR = 50°, MN = 30 cm, MR = 45 cm.

АВС ~ А1В1С1. Зашто? Одреди растојање од А до В, ако су BC = 40 cm, CB1 = 5 m, a B1A1 = 6.5 m.

7. Провери да ли су троуглови АВС и А1В1С1 слични, ако су њихове стране: а) 15, 17, 24 и 4,5; 5,1; 7,2; б) 22; 8,2; 20 и 55; 20,5; 50.

8. Како ћеш одредити растојање од тачке А

9. Како ћеш израчунати растојање између дос-

тупних тачака А и В на терену, ако је између тачака А и В неприступачан део терена.

Запази цртеж.

до тачке В, ако је тачка А недоступна? Запази цртеж.



На терену, одабирамо тачке С и В1 на истој правој са В, тако дa BC = m · CB1 .

 Помоћу инструмента одређује-

мо угао В1, који је једнак В.  На краку угла В1 одређујемо тачку А1 тако да тачке А, С и А1 леже на истој правој.

9

Одабрана је тачка

С и на продужецима АС и ВС, су одабране А1, и В1 тако што је AC = n · CA1 и BC = n · CB1

АВС ~ А1В1С1. Зашто? Одреди растојање од А до В ако је AC = 10 cm, CA1 = 2 m, и A1B1 = 3,5 m.

ODNOS OBIMA I ODNOS POVR[INA KOD DVA SLI^NI TROUGLA Подсети се!

Израчунај обим троугла са странама: а = 15 cm, b = 9 cm и с = 8 cm. Израчунај површину троугла са странама а = 10 cm и одговарајућом висином h = 6 cm. Уколико су три и више размера једнаки, тада они могу да се запишу у облику продужене пропорције, на пример: а b c = = тј. а : b : c = а1 : b1 : c1. a1 b1 c1

Код једног троугла стране АВС су а = 6 cm, b = 8 cm и с =12 cm. Најмања страна код другог троугла А1В1С1, који је сличан АВС је а1 = 3 cm.

A 1.

Одреди коефицијент сличности троуглаова. Одреди стране b1 и c1 код троугла А1В1С1. Одреди обиме код АВС и А1В1С1. Упореди однос обима код троуглова са односом код одговарајућих страна. Шта можеш да закључиш?

За пропорцију важи: а+b+c b а c = = = = k. a1 + b1 + c1 a1 b1 c1

Sli~ni trouglovi

33

Упореди твоје решење са понуђеним.

Познате су две одговарајуће стране а и а1 код сличних троуглова. Према томе, b

а 6 = = 2, тј. k = 2. a1 3

b = k · b1;

c

= =k;  b1 c1

8 = 2 · b1; b1 = 4 cm;

c = k · c1;

12 = 2 · c1; c1 = 6 cm.

Запази да је обим L код АВС: L = 6 + 8 + 12, тј. L = 26 cm, а обим L1 код А1В1С1 је: L1 = 3 + 4 + 6, тј. L1 = 13 cm.

26 13

 

6 8 12    3 Сагледај да је однос обима код сличних троуглова једнак односу одгова3 4 6

рајућих страна.

Вaжи уопштено! Ако је АВС ~ А1В1С1, тада је

Доказ. Из сличности АВС и А1В1С1 следи да је: Према особинама продужене пропорције следи: т.ј.

Запамти Обими два слична троугла се понашају као њихове одговарајуће стране.

2. Стране код АВС су а = 6, b = 15 и с = 18, а А1В1С1 је сличен датом са коефицијентом сличности k =

B 3.

1 . Одреди обим L1 за А1В1С1.

3

Троуглови АВС и А1В1С1 на цртежу су слични. Повучене су одговарајуће висине CD и C1D1. Покажи да је АDС ~ А1D1С1. Покажи да су одговарајуће висине CD и C1D1 пропорционалне одговарајућим странама троуглова.

34

Tema 1. Sli~nost

Упореди твоје решење са приложеним.

 Запази да правоугаони троуглови АDС и А1D1С1, имају по један једнаки оштар угао, тј. А = А1 (будући да је АВС ~ А1В1С1). Можеш да закључиш да је АВС ~ А1D1С1. Из тога следи да је: CD : C1D1 = AC : A1C1 = k.

Из сличности код АВС и А1В1С1, следи да је:

CD AC AB BC = k.    B C1D1 A1C1 A1B1 1C1

Kод сличних троуглова одговарајуће висине су пропорционалне одговарајућим странама.

Уопштено Код два слична троугла одговарајуће висине, тежишне линије, симетрале углова, полупречници уписаних и описаних кружница имају исти однос са одговарајућим странама.

4. Обими два слична троугла су 16 cm и 24 cm, а једна висина првог троугла је 9 cm. Одреди одговарајућу висину другог троугла.

V 5.

На цртежу су дати слични троуглови АВС и А1В1С1. Њихове површине су Р и Р1. Запиши формуле за површине Р и Р1, према датим странама и одговарајућим висинама троуглова. Запиши однос једнак односу h : h1. Покушај да докажеш чему је једнак однос површина троуглова, тј. Р : Р1.

Упореди своје решење са понуђеним.

Р =

1 1 а · h; P1 = a1. h1.

2 2

P : P1 =

Будући да је АВС ~ А1В1С1 следи да је

1 . 1 . а h : a1 h1; тј.

2 2

Према томе,

На исти начин може да се покаже да је: Запамти Однос површина двају сличних троуглова је једнак односу квадрата њихових одговарајућих страна.

6.

Површине два слична троугла АВС и А1В1С1 су 49 cm2 и 36 cm2, а једна страна АВС је а = 7 cm. Одреди одговарајућу страну а1 код другог троугла и одговарајуће висине h и h1.

Sli~ni trouglovi

35

Упореди властито решење са понуђеним.

 P : P1 = а2 : а2; 49 : 36 = 49 : а12; а12 = 36; а1 = 6 cm.

2  49 а·h 2P  P = 2 ; h = 2 ; h = 7 =14; h = 14 cm.  Код троугла А1В1С1, одреди висину h1 према познатим Р1 и а1. Треба да знаш: да искажеш какав однос имају обими, а какав однос имају површине два слична троугла; да искажеш тврђење о односу одговарајућих висина, тежишних линија и симетрала углова код два слична троугла; да примениш у задатку однос параметара и однос површина код два слична троугла.

Провери се! Стране код АВС су а = 8, b = 6 и с = 4, обим је сличан њему А1В1С1 и износи 45. Одреди стране код А1В1С1. Њива у облику троугла је нацртана у размеру 1 : 200. Kоји је однос између површине троугла са цртежа и површине њиве?

Задаци 1. Обим једног троугла је три пута већи од обима њему сличног троугла. Ако је најмања страна првог троугла 24 cm, колико је највећа страна другог троугла?

2. Стране једног троугла износе 8 cm, 15 cm, 9 cm. Обим другог троугла који је сличан првом је L1 = 96 cm. Одреди стране другог троугла.

3. Обими два слична троугла су у односу 5 : 2, а збир њихових највећих страна је 42 cm. Одреди дужине највећих страна.

4. Стране а, b и с, код једног троугла АВС се односе као 3 : 4 : 6. Одреди стране а1, b1 и с1 код А1В1С1 са обимом = 52 cm, који је сличан датом.

5. У АВС, на растојању 2 cm од стране АС је повучена права МN  АС. Одреди висину ка страни АС код АВС, када је AB : MB = 13 : 9.

36

Tema 1. Sli~nost

6. Површине два слична троугла АВС и А1В1С1 су 81 и 25. Страна b код АВС је 9. Одреди страну b1 код  А1В1С1, и висину h1 која је повучена ка њој.

7. Нацртај троугао АВС и затим конструиши њему сличан А1В1С1, чија површина износи једну трећину површине троугла АВС.

8. Страна а код АВС је 10, а висина која јој припада је 5. Одреди страну а1 и одговарајућу висину h1 код А1В1С1, који је сличан АВС и има површину 81.

9. Површине два слична троугла су у односу

9 : 25. Одреди њихов коефицијент сличности.

10. На цртежу је њива у облику троугла у раз-

меру 1 : 500. Површина троугла на цртежу је 2,76 dm2. Одреди површину њиве у хектарима.

PITAGORINA TEOREMA

10

SLI^NOST KOD PRAVOUGAONOG TROUGLA

Подсети се!

A 1.

У правоугаоном АВС на цртежу, висина СD је спуштена према хипотенузи АВ. Какав узајамни положај имају краци углова α и γ2?

Kоји парови са означених углова имају узајамно нормалне краке? Који од означених углова су једнаки између себе? Дате су дужи а = 3 cm, с = 12 cm. Израчунај њихову геометријску средину.

Правоугаони троугао АВС на цртежу, има висину СD која је спуштена према хипотенузи АВ, подељен је на два правоугаона троугла: АDС и СDВ.

Објасни зашто (према ком ставу) су слични троуглови: а) АВС ~ СВD; б) АВС ~ АСD. Уочи дуж АD у АВС на цртежу. За њу ћемо рећи да је пројекција катете АС на хипотенузу АВ. Њену дужину ћемо означити са q.

Аналогно, дуж DВ се назива пројекција катете ВС на хипотенузи. Њена дужина је означена са р.

2. Уочи следеће правоугаоне троугле АВС и СВD на цртежу и означене дужине на њиховим странама.

Kоје стране су одговарајуће код СВD странама с и а код АВС?

Страна с је хипотенуза код АВС, а страна а је хипотенуза код СВС Према томе: с је одговарајућа за а; страна а је код АВС одговарајућа са р код СВС.

Објасни зашто AB : CB = BC : BD , тј. с : а = а : р. Из пропорције с : а = а : р се добија а2 = ср. Шта представља катета а у односу на хипотенузу c и пројекцију р?

3. Уочи сличне правоугаоне троуглове АВС и АСD, на цртежу у задатку 2. Запиши парове одговарајућих страна. Објасни зашто је с : b = b : q, тј. b2 = сq. Искажи речима везу између катете b са хипотенузом с и пројекцијом q стране b на с.

Pitagorina teorema

37

Запамти Теорема 1° Свака катета у једном правоуглом троуглу је геометријска средина хипотенузе и пројекције те катете на хипотенузу.



4.

У правоугаоном троуглу АВС са катетама а = 12 и b = 5 и хипотенузом с = 13, одреди пројекцију катета а и b на с.

B 5.

У правоугаоном троуглу АВС спуштена је висина СD према хипотенузи. Зашто је САD једнак са ВСD? Уочи АСD и СВD на цртежу и покажи да су они слични.

Kоје стране код СВD су одговарајуће странама q и h код АСD? Објасни зашто q : h = h : p, тј. h2 = pq. Исчажи речима везу висине h са пројекцијама р и q (за а и b на с).

Запамти Теорема 2° Висина h спуштена према хипотенузи c у једном правоуглом троуглу је геометријска средина пројекција катета p и q на хипотенузу.

 6. Пронађи р, када је q = 4 и h = 6. Тврђења 1° и 2°, тј. везе а2 = ср, b2 = сq, h2 = рq, је доказао старогрчки математичар Еуклид (365-310 год. п.н.е.), па се због тога оне називају Еуклидове теореме.

38

Tema 1. Sli~nost

Подсети се!

V 7.

На цртежу је дата полукружница пречника АВ и тачка С на полукружници.

Нацртај две дужи m и n, као на цртежу. m n

Ког типа је угао АСВ? Како гласи Талесова теорема о периферном углу над пречником?

Затим конструиши геометријску средину тих двеју дужи (тј. да дуж х буде таква да је х2 = m · n). Прати поступак као што је приказано на слици.

Нацртај полуправу АТ и на њу нанеси дужи m = AD и n = DB као на цртежу.

Kонструиши средњу тачку О на дужи АВ и нацртај полукружницу пречника АВ.

Kонструиши нормалалу на АВ кроз тачку D и означи са С њен пресек са полукружницом.

Према теореми 2° образложи зашто је добивена дуж х = CD геометријска средина дужи m и n.

8. Kонструиши геометријску средину х дужи m = 2cm и n = 3 cm. Треба да знаш: да искажеш Еуклидове теореме и да их примениш у задацима; да конструишеш геометријску средину две дужи.

Провери се! У правоугаоном АВС, р и q су пројекције катета а и b, респективно, на хипотенузи с. а) Ако је с = 12 и р = 3, колико је а? в) Ако су q = 2 и р = 8, колико је h? б) Ако је b = 13, колико је cq? Како се конструише геометријска средина двеју дужи? (Опиши поступак.)

Pitagorina teorema

39

Задаци 1. На основу цртежа попуни чланове који

4. Kонструиши геометријску средину дужи: а) m = 2,5 cm и n = 3,5 cm; б) m = 1,5 cm и n = 3 cm.

недостају у пропорцији:

5. У троуглу АВС је дата катета а = 8 и њена

проекција р = 6,4. Израчунај хипотенузу с и другу катету b.

6. У правоугаонику АВСD је уписан правоугли троугао АВМ са правим углом у темену М (као на цртежу).

2. У правоугаоном АВС, р и q су пројекције катета а и b, респективно, на хипотенузи с. Одреди вредност непознатих величина. а) р = 12, q = 3, h = ? б) а = 11, ср = ? в) с = 18, р = 8, b = ?, а=?

Израчунај површину обојеног дела правоугаоника када је CM = 9 cm и DM = 16 cm.

3. У правоугаоном АВС је дата висина h = 2,4 која је спуштена ка хипотенузи и пројекцији катете b на хипотенузи q = 1,8. Пронађи: а) дуж р; б) хипотенузу с; в) катету b; г) катету а.

40

Tema 1. Sli~nost

7.

Kонструиши квадрат који има једнаку површину са правоугаоником чије су димензије а = 4 cm и b = 3 cm.

11

PITAGORINA TEOREMA На цртежу је представљен правоугаоник АВС са дужином катета а, b и дужином хипотенузе с. Над његовим странама су конструисани квадрати и њихове површине су означене са Ра, Рb и Рc, респективно.

A 1.

Подсети се! Питагорина теорема ти је позната из претходне школске године. Она гласи: У правоугаоном троуглу, квадрат над хипотенузом c је једнак збиру квадрата изнад катета a и b, тј.

c2 = a2 + b2 Колика је површина P код квадрата са странама а = 5cm? Запиши везу између Ра, Рb и Рc. Сагледај да је: Ра = а2, Рb = b2 и Рc = с2. Из с2 = а2 + b2 донеси закључак да јеРc = Ра + Рb. Према томе, Питагорина теорема може да се искаже и овако: У било ком правоуглом троуглу површина квадрата изнад хипотенузе једнака је збиру површина квадрата изнад катета, тј. Рc = Ра + Рb

2. Помоћу следећих упутстава покушај да докажеш Питагорину теорему. Нацртај правоугаоник АВС са С = 90° и спусти висину СD ка хипотенузи. Запиши везу између сваке катете са хипотенузом и одговарајућом пројекцијом, тј. везу према Евклидовим теоремама. Одреди збир левих и збир десних страна једначине. Упореди твоје мишљење са датим исказом. Тврђење

Доказ

1. СD⊥АВ 2. a2 = р  с, b2 = p  с

 

3. a2 + b2 = р  с + q  с

  

4. a2 + b2 = (р + q)  с 5. a + b = с  с, тj. a2 + b2 = с2.

2

2

Образложење

Висина троугла је нормална одговарајућим странама.

Kатета је геометријска средина хипотенузе и одговарајуће пројекције. Особина сабирања једначина. Дистрибутивност множења у односу на сакупљање. Принцип замене (с = р + а).

Pitagorina teorema

41

Како можеш да изразиш хипотенузу с помоћу катета а и b? Како ћеш изразити једну катету помоћу хипотенузе и друге катете?

Из c2 = a2 + b2 следи

3.

Пронађи хипотенузу с код правоуглог троугла, када су његове катете а = 15 и b = 20.

4.

Дата је хипотенуза с = 29 и катета а = 20 код једног правоуглог троугла. Пронађи другу катету.

5.

Дат је АВС са странама а = 6 cm, b = 8 cm и с = 10 cm. Покажи да је испуњена једначина a2 + b2 = c2.

Kонструиши АВС и увери се помоћу мерења да је тај троугао правоугаони.

Важи и уопштено Ако за једен троугао са странама а, b и с важи једначина а2 + b2 = с2, тада је тај троугао правоугаон са хипотенузом с. Ово тврђење је теорема, која је обратна Питагориној теореми.

6. Стране троугла АВС су: а) а = 7, b = 24, с = 25; б) а = 8, b = 10, с = 15. Провери да ли је АВС правоугаони троугао.

B 7.

Израчунај дужину d дијагонале правоугаоника са странама а = 6 cm и b =11 cm.

Упореди твоје решење са датим упутством.

 Нацртај правоугаоник AВСD и означи стране и дијагоналу, као на цртежу.

Сагледај да је АВС правоугаони; да је његова хипотенуза дијагоналата d, а да су његове катете стране а и b правоугаоника.

Примени Питагорину теорему за АВС: d2 = а2 + b2 = 602 + 112 = 3 600 + 121 = 3 721;

d = 3721 = 61;

d = 61сm.

8. Израчунај висину h једнакокраког АВС који има основу а = 18 и крак b = 41. Разгледај упутства и упореди твоје решење са датим.

Нацртај једнакокраки АВС и спусти висину СD ка основи, као на цртежу. Долазиш до закључка да је АРС правоугаони троугао, са хипотенузом b и са катетама а и h.

2

42

Tema 1. Sli~nost

 Употреби Питагорину теорему у АBС:

Одатле:

9. Израчунај обим једнакокраког троугла са основом 10 и висином 12.

Треба да знаш: да искажеш и докажеш Питагорину теорему; да израчунаш дужину једне стране у правоуглом троуглу, ако су дате друге две стране.

Провери се! Нађи хипотенузу с код правогуаоног троугла са катетама а = 8 и b = 15. Израчунај висину једнакокраког троугла са основом 20 cm и краком 26 cm.

Задаци 1. Пронађи непознату страну правоуглог троугла са катетама а и b, и хипотенузом с, ако је: а) a = 12, b = 35, с = ? б) b = 56, с = 65, а = ? в) а = 25, b = 31, с =?

2. Да ли је троугао АВС правоугаон, ако су његове стране: а) 14, 48, 50; б) 9,12,17; в) 5,6; 3,3; 6,5; г) 100, 60, 80?

3. Пронађи дијагоналу правоугаоника са странама 0,28 dm и 0,96 dm.

4.

5.

Пронађи обим правоугаоника са дијагоналом 8,5 dm и једном страном дужине 1,3 dm. Израчунај обим једнакокраког троугла са основом 14 и висином 24.

6. Израчунај приближно висину h једнакостраничномг троугла са страном а = 12.

7. Kатета једног правоуглог троугла је 35

cm. Збир хипотенузе и друге катете износи 49. Израчунај хипотенузу с и другу катету b.

8. Хипотенуза правоуглог троугла је 35 cm. Однос катета је 3 : 4. Пронађи катете.

9. Површина једнакостраничног троугла

над катетама а и b и над хипотенузом с код правоугаоног троугла АВС су означене са Ра, Рb и Рс.

Покажи да је Рс = Ра + Рb. Провери да ли важи таква веза, ако су уместо правоуглог троугла конструисани правилни шестоугаониц.

Pitagorina teorema

43

Питагорине тројке Ово није обавезно! Интересантно је питање о тројкама природних бројева а, b, с које задовољавају једначину a2 + b2 = c2. Такве тројке су, на пример: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13 и др.

1° 2mn, m2 – n2, m2 + n2, за свако m, n ∊ N, m > n.

2° 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; за свако n ∊ N се добија по једна Питагорина тројка.

3° n, за сваки непарни n ∊ N, n  3.

Оне се називају Питагорине тројке. Провери да се следећим изразима добијају Питагорине тројке.

12

за сваки парни n ∊ N, n  4.

ZADACI SA PRIMENOM PITAGORINE TEOREME

Подсети се! Основе једнакокраког трапеза АВСD на цртежу су а = AB = 15 cm и b = CD = 9 cm, а DЕ је висина трапеза. Израчунај х = AE . Пресечна тачка дијагонала у ромбу ЕFGH на цртежу је означена са Ѕ. Ком типу припада ЕFЅ? Образложи свој одговор. У кружници са центром О, на цртежу је нацртана тетива МN, а у МNО је спуштена висина ОЅ према страни МN. Какви су међусобно МЅО и NЅО? Зашто?

44

4° n,

Tema 1. Sli~nost

A 1.

Израчунај висину h код једнакокраког трапеза са основама 16 cm и 30 cm и краком 25 cm.

Уколико не можеш сам да решиш овај задатак, прати упутства.

 Нацртај

једнакокраки трапез АВСD и повуци његове висине DЕ и СF.

 Затим уочи правоугаони троугао АЕD са хипотенузом с = 25 cm и катетама х и h.

 Исто тако, уочи са цртежа да је

а = b + 2х, из чега следи да је х = а - b .

2

 Искористи добићеш:

Питагорину теорему за АЕD;

Замењивањем вредности за с, а и b, добићеш: 2

 30  16   = 625 - 49 = 576;  2 

h2 = 252 - 

h = 576 = 24;

h = 24 cm.

2.

Основе једнакокраког трапеза су 30 и 20, а крак је 13. Израчунај површину трапеза.

3.

Пронађи обим ромба АВСD са дијагоналама AC = 70 и BD = 24. Чему је једнак обим ромба са страном а? Како ћеш израчунати страну а код ромба ако знаш његове дијагонале?

d1 2

d2 2

Код ромба АВСD на цртежу, пресек дијагонала је означен са Ѕ.

d Запази АВЅ. Он је правоугаон (зашто?) са хипотенузом а и катетама d1 = 35 и 2 = 12.

2

2

Према Питагориној теореми:

4.

У кружници са полупречником r = 2 dm повучена је тетива МN са дужином t = 2,4 dm.

Kолико је растојање d те тетиве од центра кружнице? Уколико ти је неопходна помоћ, разгледај дати цртеж. t

Разгледај правоугаони МЅО, са хипотенузом r и катетама d и 2 dm, а затим ћеш према Питагориној теореми добити:

B

5.

a

Дате су дужи a и b (а > b) као на цртежу. b

Kонструиши дуж х, тако да је: Упореди твоје решење са понуђеним на цртежу: а) конструиши правилни троугао и то: а) са катетама а и b, б) са хипотенузом а и катетом b.

б)

Pitagorina teorema

45

6.

Конструиши дуж која има дужину

где је n = 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Конструкција је приказана на цртежу.

 Дуж са дужином од

конструисана је тако да је конструисан једнакокраки правоугаони троугао ОАВ, са катетама OA = OB = 1 (сm, dm,...); хипотенузa OB која има дужину 2 . (Зашто?)

Ако се дуж OB =

2 узме као једна катета, а дуж BC = 1 као друга катета код правоугаоног

троугла ОВС, тада ће хипотенуза троугла ОВС имати дужину 3 . (Зашто?) Објасни како се конструише дуж која има дужину од 4 , 5 итд.

Kонструкција х = може да се изведе и „директно”, помоћу конструкције геометријске средине дужи које имају дужину n и 1, као на цртежу

7. Kонструиши дуж са дужином Kонструиши геометријску средину дужи које имају дужине а и а + b.

Треба да знаш:

Провери се!

да примениш Питагорину теорему за израчунавање дужина код геометријских фигура;

Израчунај обим код једнакокраког трапеза са основама 30 и 14, и висином 15. Страна једног ромба је а = 13 сm, а једна дијагонала је 10 сm. Колика је друга дијагонала?

да решаваш одредеђене конструкцијске задатке помоћу Питагорине теореме.

Објасни како се конструише дуж са дужином од 3 .

Задаци 1. На зид је наслоњена мередевина дужине

2. Израчунај: а) висину, б) површину, в) дија-

од 7,4 m је, тако да је доњи крај мердевине удаљен 2,4 m од зида. До које висине досеже мердевина? (Направи скицу.)

гоналу једнакокраког трапеза, ако су познате његове основе а = 42 cm, b = 24 cm и крак с = 41 cm.

46

Tema 1. Sli~nost

3. Дијагонале једног ромба су d1 = 40 и d2 = 50. Kолко (приближно) износи дужина стране а тог ромба?

8. Kонструиши квадрат чија површина је једнака: а) збиру, б) разлици површина два дата квадрата.

једнакокраког трапеза 4. Површина једног 2 је Р = 72 cm , а његове основе имају дужину 20 cm и 4 cm. Израчунај обим тог трапеза.

9. У кружници која има полупречник 17 cm уписан је правоугаоник. Пронађи обим тог правоугаоника, ако је однос његових страна 15 : 8.

5. Стране једног делтоида имају дужине 25

cm и 52 cm, а дијагонала која није симетрала износи 40 cm. Израчунај површину делтоида.

6. У кружници чији полупречник износи 3,4 cm повучена је тетива на растојњу од 1,6 cm од центра. Пронађи дужину тетиве.

7. Kонструиши дуж дужине:

10.

На дрвету које је удаљено 8 m од једног извора, попела су се два мајмуна - један на врх, а други на 2 m од земље. Kада су ожеднели, мајмун са врха је скочио право на извор, а други је сишао на земљу и пошао до извора. Притом су оба мајмуна прешли исти пут. Колико је високо дрво?

где су a и b дате дужи.

Покушај... није обавезно! Две кружнице се додирују споља и смештене су у трећој, која је већа од њих. Свака од три кружнице додирује друге две, а њихови центри О, О1 и О2 леже на истој правој АВ, као на цртежу. Дата је дужина t (на пример t = 6 cm) тетиве СD која припада великој кружници, а која је и тангента мале кружнице. Израчунај површину Р дела великог круга који је изван малих кругова (тј. површину обојеног дела).

Pitagorina teorema

47

РАД СА ПОДАЦИМА

13

POPULACIJA. PRIMERAK

A 1.

У фабрици чоколада међу запосленима је и дегустатор. Његов задатак је да проба чоколаде и да процени њихов квалитет.

Размисли и одговори, да ли дегустатор треба да проба сваку чоколаду? Свакако да не треба. Дегустатор одабира одређени број чоколада које ће пробати. Мноштво свих тих елемената, у овом случају, чоколадâ, који су предмет испитивања, зове се популација. Одабрани део елемената, у овом случају, чоколадâ, на којима се врши испитивање, зове се примерак.

2.

Запази примере популације и примерка.

Популација

Примерак По једно одељење од I до VIII разреда у истој Ученици од I до VIII разреда у једној школи школи Фудбалске екипе По три фудбалера из сваке екипе Сви ученици који иду у приватне школе По једен ученик из сваке приватне школе за енглеског јазика стране језике Сви ученици VII разреда у Р. Македонији По једен ученик из VII разреда сваке коле у Р. који имају оцену 5 из математике Македонији који има оцену 5 из математике Запиши три примера популације и примерка те исте популације.

3.

Размисли и одговори. Да би се проверило да ли ученици воле да им се у време великог одмора пуста музика, шта је боље: да се питају сви ученици, или да се пита примерак од неколико изабраних ученика из свих школа? Образложи свој одговор. Најчешће није могуће да се спроведе неко истраживање, тестирање или провера и испитивање целе популације. Зашто? То испитивање може да буде: - многу скупо; - да траје дуго; - неизводљиво - немогуће да се дође до сваког члана популације (на пример, број риба у Охридском језеру).

48

Tema 1. Sli~nost

Запиши по један разлог зашто је боље да се узме примерак уместо целе популације приликом сваког од наведених истраживања.

1.

Најгледанија телевизијска емисија у једном граду од 50 000 становника.

Kвалит сокова у једној фабрици сокова. Просечан број књига које је прочитао сваки становник у Р. Македонији у предходној години.

B

Kада има потребе да се направи закључак или да се изјави нешто у име целе популације, а за то се користи примерак, онда примерак треба да буде репрезентативан (одговарајући популацији).

5.

Разгледај пример. Да би проверио колико ученика из његове школе користе градски саобраћај, Јован је стао на једну аутобуску станицу и сакупио податке помоћу питања која је поставио људима који су сишли са једног аутобуса. Подаци које је сакупио Јован нису одговарајући будући примерак није репрезентативан. Образложи свој одговор. Да ли би примерак био репрезентаиван да је Јован питао ученике из његове школе? Образложи свој одговор.

6.

Марија је хтела да открије просечну дужину листова код једне биљке које је имало два пута више малих листова у односу на велике. Који примерак листова које она треба да одабере је репрезентативан? а) Само велике листове; б) само мале листове; в) једнаки број малих и великих листова; г) двапута више малих листова у односу на велике листове. Образложи свој одговор! Репрезентативан примерак може да се изабере методом случајног избора и систематски. Случајан избор значи да сваки објект или лице из популације има једнаке шансе да буде изабран. Да бисмо изабрали, случајно, 5 од 30 ученика из једног одељења можемо да запишемо бројеве из разредне књиге на папирићима, папириће треба да измешамо у једној кутији и да извучемо 5 листића. Или, да изаберемо један број (на пример 7), а потом систематски да тражимо сваког петог ученика: ( 7 + 5 = 12 ; 12 + 5 = 17; 22; 27)

7.

Илија је хтео испита примерак ученика из његове школе о томе да ли желе да се уведе обавезно ношење школске униформе. Образложи зашто ни један од следећих начина избора примерка није добар: а) да пита првих 20 особа који ће учи у школу; б) да пита ученике из његовог одељења; в) да пита ученике из математичке секције.

Rad sa podacima

49

Kако треба Илија да одабере примерак да би био репрезентативан?

Сагледај! Избор примерка треба да је случајан и да буде саставаљен од ученика из свих одељења (од I до VIII разреда) да би могао да се извуче правилан закључак.

8. Илија је унео сређене податке истраживања о обавезном ношењу школских униформи у табелу.

Примерак

Број одговора

Примерак

Да

Не

Први

12

3

Колико је укупно ученика садржи Илијин примерак?

Други

10

5

Уколико је примерак био 10 % од популације, колико је укупно ученика било у одељењу?

Kоји је Илијин закључак о ношењу школске униформе?

Трећи

10

5

Четврти

9

6

Пети

7

8

Запиши још један закључак који може да се добије из података у табели.

Шести

7

8

Седми

2

13

Осми

0

15

Сакупљени подаци репрезентативног примерка и добивене мере о централној тенденцији омогућују да се извуку закључци и да се направи уопштавање о целој популацији.

V

9.

Сагледај пример:

Сакушљени подаци Број филмова Одговори годишње испитаника 0 1 д0 4 5 до8 9 до 12 13 и више

50

Tema 1. Sli~nost

У једном насељу има 5 000 становника старијих од 15 година. Иван је хтео да процени колико пута у току године они иду у биоскоп. Као примерак је одабрао 50 људи и помоћу телефона је прикупио податке. Сакупљене податке је представио у табели по категоријама према броју филмова гледаних у биоскопу.

Иван

ја допунио табелу са вредностима фрекфенција (бројем одговора за сваку категорију). Затим је израчунао проценат за број одговора у свакој категорији од укупног броја испитаника на примерку од 50 човека.



Број филмова годишње

Одговори испитаника

Вредност функције

0

21

1 до 4

16

5 до 8

6

9 до 12

3

13 и више

4

Проценaт 21  100 = 42% 50 16  100 = 32% 50 6  100 = 12% 50 3  100 = 6% 50 4  100 = 8% 50

 На крају, Иван је

проценте добивене по примерку применио на целу популацију.

42% од 5 000 је 2 100. Ако 42% од примерка не иде у биоскоп, може да се предвиди да 42% популације не иде у биоскоп, што износи 2 100 људи. Направи уопштавање о популацији осталих категорија (о броју гледаних филмова у биоскопу - годишње). Мимоза је хтела да провери колико се загађује околина пластичним отпадом који се баца у школско двориште за време великог одмора. Случајно је изабрала један месец у коме је прикупљала податке, као примерак за целу школску Врста отпада Број годину. Сакупљене податке је представила у табели. а) Израчунај колико је отпадака просечно у једном дану било Пластичне кесе 137 бачено, од сваке врсте. Чаше од јогурта 59 б) Ако школска година има 180 дана, употреби одговор под Бочице од сока 72 а) да би предвидео број сваке врсте отпада у току школске године. Чашице од пудинга 16

10.

Треба да знаш: шта је популација, а шта је примерак; да процениш да ли је дати примерак репрезентативан за дату популацију; да одредиш примерак који је одговарајући за дато истраживање; да уопштиш закључак који је добивен од примерка на популацију.

Провери се! Процени и одговори да ли је избор примерка добар код: „случајаног избора од 5% популације из градског телефонског именика“ за истраживање: „мишљење о квалитету градског саобраћаја у једном граду“. Образложи свој одговор.

Rad sa podacima

51

Задаци

А

У следећа три случаја:

одреди популацију; процени да ли је начин избора примерка одговарајући; предложи други начин за избор примерка.

1. Стефан је хтео да открије колико зарађују студенти који раде преко студентских организација. Он је отишао у библиотеку студентског дома и испитао 40 девојака.

2. На часу географије Бојан треба да однесе у школу 5 примерака земље из своје баште. Он је стао у средини баште, бацио новчић и са места где је новчић пао, узео примерке.

6. Истрaживање: ефикасност новог лека против гавобоље. Примерак: сви пацијенти једног лекара који имају честе главобоље.

7. Истраживање: квалитет хлеба из једне пекаре. Примерак: сваки двадесети купац у једној продавници где се продаје хлеб из те пекаре.

8. У једном граду има 6 000 породица. Одабрано је 100 породица за истраживање: који дан им је најомиљенији за куповину. Подаци су дати у табели. Омиљени дан за куповину

3. Тања је хтела да провери да ли је тачно да жене у Битољу живе дуже од мушкараца. Она је потражила податке из Завода за статистику из претходне године.

Б

У следећих пет случаја:

Који од примерака су репрезентативни за популацију и за истраживање? Образложи сваки од твојих одговора.

4. Истраживање: мишљење о томе да ли

Ден

Фрекфенција Проценaт

Понедељак

8

Уторак

10

Среда

14

Четвртак

2

Петак

16

Субота

30

Недеља

12

Нема омиљен дан

8

треба да се изгради нови кафић. Укупно 100 Примерак: случајан избор међу најчешћим посетиоцима градске библиотеке. а) Одреди проценте за сваки дан.

5. Истрживање: да ли машина за паковање, б) Употреби процентат примерака да би предкоја пакује „Смоки“, пуни сваки пакетић видео број породица целе популације којима је петак омиљени дан. истом грамажом. Примерак: првих 50 пакетића „Смокија“ в) Kолико породица у граду нема омиљени који изађу из машине у једном дану. Ме- дан за куповину? рена је њихова маса.

52

Tema 1. Sli~nost

U^IO SI O SLI^NOSTI PROVERI SVOJE ZNAWE 1. Дата су два квадрата, један са страном а = 12 cm, а други са страном b = 8 cm. Пронађи размер њихових: а) страна; б) обима; в) површина. Да ли су неки од тих размера једнаки?

8.

9. Да ли су слична два троугла, уколико су два угла једног троугла 40° и 60°, а код другог 60° и 80°? Образложи!

2. Дуж АВ је дуга 12 cm. Пронађи растојање између средње тачаке Ѕ на тој дужи и тачке М која дели дуж у односу 3 : 5.

10. Један електричан стуб баца сенку која је дугачка 10 m, а у исто време сенка једног човека који је висок 1,5 m има дужину 1,5 m. Одреди висину стуба.

3. Пронађи непознати члан у пропорцији: а) х : 4 = 5 : 2; б) 3 : 2х = 1 : 6; в) 7 : 3 = 14 : (х + 2).

11. Један пар одговарајућих страна два слична троугла су: а = 15 dm и a1 = 6 dm, а висина ка страни а је 8 cm. Одреди висину ка страни а1.

4. Пронађи дужину дужи која је геометријска средина других дужи које имају дужину 8 cm и 18 cm.

12. Две одговарајуће стране, код два слична троуга износе 7,5 cm и 10 сm. Израчунај обим и површину мањег троугла, ако већи троугао има обим 60 cm и површину 80 cm2.

5. Нацртај произвољну дуж и подели је на: а) 4;

б) 5;

в) 7 једнаких делова.

6. Дат је АВС и права МN  АВ која сече АС у М и ВС у N. Пронађи:

13. У правоугоном троуглу су дате пројекције катета на хипотенузи, р = 2 и q = 8. Пронађи: с, а, b, h.

а) AC , ако је CN = 6 NB = З и MA = 4. б) BC , ако је AC : CM = 5 : 2 и CN = 14.

7. Нацртај угао ЅОТ. На краку ОЅ нанеси дужи OA = З cm и OB = 5 сm, а на краку ОТ - дужи OC = 45 cm и OD = 75 cm. Нацртај праве АС и ВD. а) Провери на цртежу да ли су праве паралелне. б) Објасни зашто твој је одговор исправан.

Дата је дуж дужине 12 cm. Kонстуиши троугао са обимом 12 cm, тако да се његове стране односе као 3 : 5 : 6.

14.

Пронађи обим правоугаоника са страном 300 и дијагоналом 340.

15. Да ли је правоугаони троугао чије су стране: а) 32, 24, 40; б) 20, 40, 50; в) 0,7; 2,4; 2,5?

16. Пронађи обим једнакокраког троугла који има основу 28 и висину 48.

17. Израчунај страну ромба чије дијагонале имају дужину од 9 cm и 5,6 cm.

Proveri svoje znawe

53

54

TEMA 2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

LINEARNA JEDNA^INA, LINEARNA NAJEDNA^INA I LINEARNA FUNKCIJA

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Једнакост, једначина, идентитет Врсте једначина Решење једначина Еквивалентне једначине Теореме о еквивалентним једначинама -1 Теореме о еквивалентним једначинама -2 Општа врста линеарне једначине са једном непознатом Примена линеарних једначина са једном непознатом

ЛИНЕАРНЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 8. Појам неједнакости и неједначине 9. Решење неједначина. Интервали 10. Теореме о еквивалентним неједначинама 11. Решавање линеарних неједначина са једном непознатом

56 59 62 66 70 74 78

83 87 92 98

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ НЕЈЕДНАЧИНА СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 12. Решавање система линеарних неједначина са једном непознатом ЛИНЕАРНЕ ФУНKЦИЈЕ 13. Линеарна функција 14. Графичко представљање линеарне функције 15. Узајамни положај графика неких линеарних функција 16. Раст и опадање линеарне функције 17. Графичко решавање линеарних једначина са једном непознатом 18. Случајни догађаји. Вероватност догађаја Провери своје знање

100 104 107 111 114 117 120 125

LINEARNE JEDNA^INE

1

JEDNAKOST, JEDNA^INA, IDENTITET Подсети се!

A 1.

Два израза који су повезана знаком „=” (једнако) образују једнакост. Једнакост су, на пример: 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 - 2 = 7 + 10; 2х - 3 = х + 1; х2 - у2 = (х - у)(х + у). Запиши једнакост којом је исказана: а) комутативна особина сабирања у Q; б) дистрибутивна особина множења у односу на сабирање у Q. Запиши једнакост којој је 4 х2 - 4х лева страна, а х - 6 десна страна једнакости.

Дате су једнакости: а) 3  2 - 11 = 2 - 7; б) Зх - 1 = 2х + 5; в) х + 2у = 8; г) 15 - 6 : 2 = 4  2 - 5; д) 3  4 + 2 = 12.

У којима од датих једнакости су лева и десна страна бројни изрази? У којима од датих једнакости су лева и десна страна или једна од њих израз са променљивом?

Сагледај и запамти!

У једнакостима а) и г) лева и десна страна су бројни изрази. Једнакости у којима су лева и десна страна бројни изрази се називају бројне једнакости.

У једнакостима б) и в) лева и десна страна или једна од њих је израз са променљивима. Једнакости у којима су лева и деснастрана или бар једна од њих израз са променљивом, називају се једнакости са променљивима. Променљиве се мењају у скуповима R или у неком његовом подскупу. За бројну једнакост се каже да је тачна, када је вредност израза са леве стране једнак са вредношћу израза на десној страни.

Kоја од бројних једнакости под а, г и д је тачна?

2. Запиши тачно бројну једнакост којој је лева страна: а) 3 + 2  7; б) 5 - (9 + 2).

3. Одреди које од следећих једнакости су једнакости са променљивом. а) 7 - 10 : 2 = 4 - 3 - 10;

56

б) Зх + 2 - х = 8;

в) 3х - 5 = х + 3;

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

г) 5  2 + 1= 9 : 3 + 8.

Скуп у коме се мењају променљиве се назива дефинициони скуп и најчешће се означава са D. Једнакости са једном променљивом, у општем случају се означавају са А(х) = В(х), х  D, где су А(х) и В(х) изрази са променљивом х, дефинисани са D. Даље, уколико није задат дефинициони скуп, подразумеваћемо да је тај скуп, скуп реалних бројева R.

4. Дате су једначине са пременљивима: а) Зх - 7 = х + 1, х  N; в) 5х - 2 = х - 6, х  Z;

б) х + у = 2 + Зу; г) х2 - 4х = х - 5.

Именуј променљиве, а затим и дефинициони скуп у свакој од тих једначина. У којима од датих једначина подразумевамо да је дефинициони скуп, скуп R?

Запамти Једнакости са променљивима се називају једначине. Променљиве у једначинама се називају непознате.

5. Kоје од датих једнакости су једначине? Покажи непознате у њима. а) 4 – 5 - 11 = 3 - 3;

б) х - у = 5;

в) Зх - 8 = х + 2;

г)12 : 2 - 1 = 2 – 3 - 1.

B 6.

Дате су једначине: 2х - 3 = х - 1, х2 + 3 = 4х, 3(х + 2) = Зх + 6 и х + 4 = х - 3 са истим дефиниционим скупом D = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3}. Запази у табели за коју вредност x -2 -1 0 1 2 3 променљиве х једначина прелази 2x - 3 = x - 1 Н Н Н Н Т Н у тачну бројну једнакост. x2 + 3 = 4x Н Н Н Т Н Т Провери да ли је тачно попуње- 3(x + 2) = Зx + 6 Т Т Т Т Т Т на табела за сваку једначину и за x+4=x-3 Н Н Н Н Н Н три вредности непознате х. Т - тачно; Н - нетачно

Из табеле запажаш да:

 једначина 2x - 3 = x - 1 прелази у тачну бројну једнакост за х = 2; једначина x2 + 3 = 4 x прелази у тачну бројну једнакост за x = 1 и x = 3; једначина 3(x + 2) = Зx + 6 прелази у тачну бројну једнакост за све вредности х из D; једначина х + 4 = х - 3 не прелази у тачну бројну једнакост ни за једну вредност х из D. Linearne jedna~ine

57

Запамти Једначина која прелази у тачну бројну једнакост за сваку вредност x ∊ D, назива се идентитет. Једначина која не прелази у тачну бројну једнакост за ни једну вредност променљиве из дефиниционог скупа назива се немогућа или противречна (контрадикторна) једначина.

7.

На основу ког својства можеш да тврдиш да је једначина 3(x + 2) = З x + 6, x ∊ R идентитет?

8.

Kоје од следећих једначина су идентитети: а) x + 5 = 5 + x, x ∊ R; б) (x - 1) (x + 1) = x2 - 1, x ∊ Z;

9.

в) 2x - 3 = x - 1?

Одреди која од следећих једначина је противречна: а) 2x -1= x + 2;

б) 3 - x = 5 - x;

в) x +

1 1 =x- .

2 2

Треба да знаш: да дефинишеш једначину и дефинициони скуп једначине; да дефинишеш идентитет; да дефинишеш противречну једначину.

Провери се! Шта је предављено помоћу записа 5x - 3 = x + 2, x ∊ Z? На основа које особине можеш да тврдиш да је једначина х + 8 = 8 + х идентитет?

Задаци 1. Одреди које од следећих релација су тачне: а) 3 + 2  4 = 20 : 5 + 7; б) Зх + 1 = 2х - 1 за х = 2; в) х - 3 = 2х + 1 за х = -4.

2. Одреди које од следећих релација су једначине: а) 15  1 - 4 = 8 + 3; б) 4х - 5 = Зх - 2; в) х2 - 3 = 4х.

3. За коју вредност х ∊ {-2, -1, 0, 1, 2} једначина 2х - 3 = х - 1 прелази у тачну бројну једнакост?

58

4. Провери да ли је идентитет нека од једна-

чина х2 + 6 = 5х и 5(х - 1) = 5х - за исти дефинициони скуп D = {-1, 0, 1, 2, 3}.

5. Провери које од следећих једначина су противречне (контрадикторне) једначине: а) 2х - 3 = 2х + 5, х е {0, 1, 2, 3}; б) х2 - 1 = х2 + 4, х е {-1, 0, 1, 2}; в) Зх - 4 = х + 2, х е {2, 3, 4, 5}.

6. Одреди вредност за а, тако да aх - 2 = 2х + 1 пређе у тачну бројну једнакост.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

2

VRSTE JEDNA^INE Подсети се!

A 1.

Учио си шта је једначина. На пример, једначине су: Зх - 2 = х + 4; х + 2у + 1 = х + у; х + 2у - z = 4.

Дате су једначине: Зх - 2 = 2х + 1; Зх - у = у + 2; 5х - 2у = 32 - 4.

Одреди број непознатих у свакој од понуђених једначина.

Именуј непознате у свакој од њих.

Можеш да приметиш да: једначина Зх - 2 = 2х + 1 има само једну непознату х, једначина Зх - у = у + 2 има две непознате х и у, а да једначина 5х - 2у = Зz - 4 има три непознате х, у и z. Сагледао си да неке једначине имају једну непознату, неке две непознате, неке три непознате итд. Према броју непознатих, једначине могу да буду: једначине са једном непознатом, једначине са две непознате, једначине са три непознате итд.

2. Са колико непознатих је свака од следећих једначина: 2х - 3у = 5 - 2х;

Зх - 7 + 2х = 1 + х + 3x?

3. Напиши једну једначину са непознатима х и у.

B 4.

Подсети се!

Одреди који од монома са леве и са десне стране једначине има највећи степен. а) 2х + 3 = 5х - 2; б) х2 - 2х = 5х + 8; в) 2х3 - х2 = 5 + х.

Степен полинома у нормалном облику је највећи степен монома који су чланови полинома. Одреди степен сваког полинома: а) x2 - 2х + 3; б) х3 + х2у2 – x2.

Једначина 2х + 3 = 5х - 2 је састављена од монома: 2х, 3, 5х и -2. Они су чланови једначине. Сагледај у табели чланове једначине са нaјвишим степеном.

Једначина

Члан са највишим степеном

Степен члана

1

2х + 3 = 5х - 2

2х и 5х

први степен

2

х2 - 2х = 5х + 8

x2

други степен

3

3

2

2х - х = 5 + х

2х

3

трећи степен

Linearne jedna~ine

59

Сагледај да су у неким једначинама чланови који садрже непознату првог степена, у другим има бар један члан који је другог степена, а у трећим има бар један члан који је трећег степена.

Запамти Према члану са највећим степеном, једначине могу да буду: једначине првог степена или линеарне једначине, једначине другог степена или квадратне једначине, једначине трећег степена или кубне једначине итд.

5.

Одреди ком степену припада свака од датих једначина: 2х + у - 7 = 5; х2 + 7 = 2х;

V 6.

х3 - 2х2 = 5х + 8; х2у - Зх = 5у - 2.

Дате су једначине: а) 2х - 1 = 3; б) 3х + 5у = 4;

в) 3х2 - 1 = 6х;

г) 8х - 3 = х + 2.

Одреди које од њих су са једном непознатом и које припадају првом степену. Сагледај да су једначине 2х - 1=3 и 8х - 3 = х + 2 са једном непознатом и да су првог степена. Уопштено, једначине са једном непознатом првог степена се називају линеарне једначине са једном непознатом.

7. Kоја од следећих једначина је линеарна једначина са једном непознатом: а) 5х2 - 2 = Зх;

б) 2х - 3 = 5 - х;

в) 5х + у = 7?

8. Дате су линеарне једначине са једном непознатом х: 1 2

а) 8 - 2х = х + ;

б) ах + 5 = х;

в) ах + b = 0;

г) х - 1 = Зх.

По чему се разликују једначине а) и г) од једначина б) и в)? Сагледај да, не узимајући у обзир непознату, сви чланови неједначина а) и г) садрже само дате реалне бројеве, а неки чланови у једначинама б) и в) садрже опште бројеве, тј. слова која су замена за одређене бројеве. Уопштено, једначине у којима неки чланови садрже опште бројеве (параметре) се називају једначине са параметрима или параметријске једначине

60

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

9. Kоја од следећих једначина са непознатом х је једначина са параметром: а) ах + 2 = 5х;

б)

1 х + 3 = 0; 2

в) х - 6 = р?

Треба да знаш: Провери се да разликујеш и да именујеш једначине:

 према броју непознатих;  према степену непознатих; да препознаш линеарну једначину са једном непознатом са параметром или без параметра.

Које врсте је једначина 5х - ху = 2х - 3 према:

 броју непознатих;  степену?

Задаци 1. Одреди колико непознатих има свака дата једначина: а) х + у + 2 = 2х + 8; б) 3х - 15 = 7 - 2х; в) 10 ху - 12у = 10 + х.

2. Одреди ком степену припада свака од понуђених једначина : а) х3 + х2 = 5 – х; б) 3ху - 5 = 2х + у; в) х + 3 = 3х - 5.

4. Одреди која од следећих једначина је линеарна једначина: а) х + 2у = 7 + 2х; б) ху2 + у = 3 + 5х; в) 3х - 1 = х + 5.

5. Одреди која од следећих једначина је

линеарна једначина са једном непознатом: а) 2х - 1 + у = 5х + 3; б) х2 - 2х + 1 = 0; в) 3х - 2 = 5 + х; г) 3х - 7 + 2х = 11 - х.

3. Kоје од следећих једначина са променљивом х или у су са параметрима: а) ах + 2у = 5 - х; б) 3х2 + 1 = 2х; в) ах + с = bу + 3; г) 5х - 7 = 2х - 5?

Linearne jedna~ine

61

5

RE[EWE JEDNA^INA. EKVIVALENTNA JEDNA^INA Подсети се!

A 1.

Израз са променљивом прелази у бројни израз када се променљива замени неким бројем. Представи као бројни израз, израз са променљивом х2 + 2х - 1 за х = 2. Израчунај бројну вредност израза а2 - 2а + 5, за а = -3.

Дата је једначина Зх - 2 = 2х +1, са дефиниционим скупом D = {-3, -2, 2, 3}.

Представи једначину у бројну једнакост за сваки х ∊ D. За коју вредност х ∊ D једначина прелази у тачну бројну једнакост?

Упореди властито решење твоето решње према подацима из табеле. Једначина

Зх - 2 = 2х + 1

x

Бројна једнакост

-3

3  (-3) -2 = 2  (-3) + 1

Тачно - Т Нетачно - Н Н

-2

3  (-2) -2 = 2  (-2) + 1

Н

2

3  2-2 = 2  2 + 1

Н

3

3 3 - 2 = 2 3 + 1

Т

Из табеле можеш да запазиш да једначина Зх - 2 = 2х + 1 прелази у тачну бројну једнакост, односно лева и десна страна имају једнаке бројне вредности бројни вредности само за х = 3.

Запамти Свака вредност непознате за коју једначина прелази у тачно бројну једнакост се назива решење или корен једначине.

2. Пронађи сва решења једначине 12 - 2х = х - 3, х ∊ {3, 5, 7}.

3. Одреди сва решења једначине х2 + 6 = 5х, х ∊ {0, 1, 2, 3}. У задацима 2 и 3 си могао да сагледаш да је 5 решење једначине 12 - 2х = х - 3, а решења једначине х2 + 6 = 5х су 2 и 3.

62

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Запази и запамти! Да се реши једна једначина, значи да се нађу сва њена решења. Сва решења једне једначине образују скуп који се назива скуп решења те једначине. Скуп решења једне једначине се најчешће означава са М. На пример, скуп решења једначине 12 - 2х = х - 3, х ∊ {3, 5, 7} е М = {5}, а скуп решења једначине х2 + 6 = 5х, х ∊ {0, 1, 2, 3} е М = {2, 3}.

4. Одреди скуп решења једначине, за х ∊ {0, 1, 2, 3}: а) 4х - 1 = х + 5;

B

б) х2 + 3 = 4х.

5. Одреди скуп решења једначине 3(х - 2) = Зх - 6, ако D = {-2, -1,0, 1,2}.

Уочи са табеле скуп решења једначине 3(х - 2) = Зх - 6. x -2 -1 0 1 2 Бројна 3(-2-2)=3(-2)-6 3(-1-2)=3(-1)-6 3(0-2)=3(0)-6 3(1-2)=31-6 3(2-2)=3-2-6 једнакост Тачно - Т Т Т т Т Т Нетачно - Н Сагледај да за свако х ∊ D једначина прелази у тачну бројну једнакост. Kако се назива ова једначина ?

Ова једначина се назива идентитет.

Уопштено, идентитет је једначина за коју је сваки број из дефиниционог скупа D њено решење, тј. М = D

6.

Провери да ли је једначина 2х - 2 = 2(х - 1), х е {0, 1, 2, 3} идентитет.

7.

Дата је једначина х + 5 = х- 4 и D = {-2, -1,0, 1, 2}. За коју вредност х ∊ D ова једначина прелази у тачну бројну једнакост? Шта можеш да закључиш? Упореди властито решење са подацима из табеле. x -2 Бројна -2 + 5 = -2 - 4 једнакост Тачно - Т Н Нетачно- Н

-1

0

-1 + 5 = -1 - 4

0+5=0-4

Н

Н

1

2

1+5=1-4 2+5=2-4 Н

Linearne jedna~ine

Н

63

Значи не постоји број х ∊ D који је решење једначине х + 5 = х - 4, тј. М = . Уопштено, једначина чији скупови решења су празан скуп је немогућа, тј. контрадикторна једначина.

8.

Kоје од следећих једначина са D = {1,2, 3, 4} су немогуће: а) х + 3 = 7 + х; б) 2х + 1 = 7; в) 3 + 2х = 2х - 5; г) Зх - 1 = 2х + 1 ?

9.

Провери да ли једначина х + 7 = 4 има решење у скупу а) N;

б) Q.

Да ли се у скупу N налази број који сабран са 7 даје збир 4? Да ли постоји такав број у скупу Q? У скупу N не постои број који сабран са 7 даје збир 4, тј. једначина х + 7 = 4 нема решење у N. У скупу Q решење једначине х + 7 = 4 је х = -3, будући да је -3 + 7 = 4 тачно.

Запамти Постоје једначине које у једном скупу имају решење, а у другом немају решење, тј. немогуће су.

V 10.

Одреди скуп решења за сваку од једначина: 2х - 1 = х + 1, х2 + 2 = Зх и 4х - 3 = 2х + 1, када је дефинициони скуп за сваку од њих D = {0, 1, 2, 3}.

Упореди своје решење са подацима из табеле. Уочи које вредности х су решења једначина. x

0

1

2

3

2х - 1 = х + 1

2 0 – 1 ≠ 0 + 1

2 1 – 1 ≠ 1 + 1

2 2 – 1 = 2 + 1

2 3 – 1 ≠ 3 + 1

х2 - 2 = 3х

02 + 2 ≠ 3  0

12 + 2 = 3  1

22 + 2 = 3  2

З2 + 2 ≠ 3  3

4х - 3 = 2х + 1

4  0 – 3 ≠ 20 + 1

Једначина

Kоје од датих једначина имају једнаке скупове решења?

64

4 1 – 3 ≠ 2 – 1 + 1 4 2 – 3 = 2 – 2 + 1

4 3 – 3 ≠ 2 3 + 1

Скуп решења једначине 2х - 1 = х + 1 е {2}, једначине х2+ 2 = 3х е {1, 2} и једначине 4х - 3 = 2х + 1 е {2}. Једначине: 2х – 1 = х + 1 и 4х - 3 = 2х + 1 имају једнаке скупове решења.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Две једначине са истим дефиниционим скупом који има једнаке скупове решења називају се еквивалентне једначине.

11. Одреди које од датих једначина дефинисаних у скупу А = {0, 1, 2, 3} су еквивалентне: а) 3х - 1 = х + 1;

б) х2 - 2 = х;

в) (х - 1 )(х - 2) = 0;

Треба да знаш: да провериш да ли је дати број решење дате једначине; да дефинишеш које једначине су еквивалентне.

г) 4х - 2 = х + 1.

Провери се! Дате су једначине: 2х + 1 = 3х - 1 и х + 5 = 3х + 1. Провери да ли је нека од ових једначине еквивалентна са једначином 3х + 2 = 4х у скупу А = {1, 2, 3, 4}.

Задаци 1. Одреди које од следећих тврђења је тачно: а) Број -2 је решење једначине 3х - 1 = х + 2. б) Број -4 је решење једначине 2у - 1 = у + 3. в) Број -0 је решење једначине 2х - 3 = х - 3.

4. Скуп решења једначине

(х - 1)(х - 2) = 0, х  {0, 1, 2, 3}, е {1,2}.

Kоја од следећих једначина: а) Зх - 2 = 2х - 1; б) х2 + 1 = 3х - 1; в) 2х + 1 = 3х - 1 је еквивалентна датој?

5. Одреди која од следећих једначина је 2. За коју вредност параметра а, број 3 је решење једначине 2х - 1 = а?

3. Одреди скуп решења за сваку од да-

тих једначина, ако им је дефинициони скуп А = {2, 3, 4}. а) 4х - 1 = 3х + 1; б) х + 3 = 2х; в) 2х - 3 = х + 1.

немогућа у скупу Z. а) 2х + 7 = 3; б) х + 5 = х - 2; в) х - 4 = -х.

6. Kоја од следећих једначина је немогућа у скупу N, а има решење у скупу Z: а) х + 5 = 2; б) 2х - 1 = 3; в) 8 - х = 9?

Linearne jedna~ine

65

4

TEOREME O EKVIVALENTNIM JEDNA^INAMA - 1 Подсети се!

A 1.

Две једначине су еквивалентне ако су њихови скупови решења једнаки. Провери да ли су еквивалентне једначине у дефиниционом скупу D ∊ {1, 2, 3, 4}: 2х - 1 = х + 2 и х + 4 = 2х + 1.

Дата је једначина Зх - 1 = х + 5, х ∊ {1, 2, 3, 4} = 0, чије решење је број 3 и М = {3}. На левој и десној страни једначине додај: а) 4; б) -2; в) 2х. Провери да ли су добивене једначине еквивалентне са понуђеном.

Упореди властита решења са датим.

 а) б) в)

Једначина

Бројна једнакост за х = 3

Решење једначине

3х - 1 = х + 5

3  3 – 1 = 3 + 5; 8 = 8

Број 3

3х - 1 + 4 = х + 5 + 4

3  3 – 1 + 4 = 3 + 5 + 4; 12 = 12

Број 3

3х - 1 – 2 = х + 5 – 2

3  3 – 1 – 2 = 3 + 5 -2 ; 6 = 6

Број 3

3х - 1 + 2х = х + 5 + 2х

3  3 - 1 + 2 - 3 = 3 + 5 + 2 - 3; 14 = 14

Број 3

 Провери да ли једначине под а), б) и в) немају друго решење у скупу D, осим броја 3.  Из табеле уочи да се додавањем истог броја (4 или -2) или израза са променљивом (2х) на обе стране једначине Зх - 1 = х + 5 добија једначина еквивалентна датој.

То важи општо за све једначине. Може да се искаже следећом теоремом о додавању истог броја или израза на обе стране једначине.

Теорема 1 се левој и десној страни једначине А(х) = В(х) дода исти број с ∊ R или израз С(х)  Ако са променљивом х, који је одређен за сваки х дефиниционог скупа једначине, добија се једначина еквивалентна датој. Записујемо: А(х) = В(х) ⟺ А(х) + С(х) = В(х) + С(х). Знак ⟺ читамо „еквивалентно је са“.

66

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Није обавезно... Разгледај доказ теореме. Дата је једначина А(х) = В(х) са дефиниционим скупом D и израз С(х) одређен за сваки х ∊ D. Треба да се докаже: А(х) = В(х) ⟺ А(х) + С(х) = В(х) + С(х). Да би доказао теорему треба да покажеш да А(х) = В(х) и А(х) + С(х) = В(х) + С(х) имају једнаке скупове решења, тј. а) свако решење за А(х) = В(х) је решење за А(х) + С(х) = В(х) + С(х) и б) свако решење за А(х) + С(х) = В(х) + С(х) је решење за А(х) = В(х). а) Нека је хо ∊ D решење једначине А(х) = В(х), тј. А(хо) = В(хо) је тачна бројна једнакост.  Будући да је С(хо) реалан број, следи да је једначина А(хо) + С(хо) = В(хо) + С(хо) тачна бројна једнакост. (Зашто?) Према томе, хо је решење једначине А(х) + С(х) = В(х) + С(х), тј. свако решење једначине А(х) = В(х) је свако решење за А(х) + С(х) = В(х) + С(х). б) Нека је x1 ∊ D решење једначине А(х) + С(х) = В(х) + С(х), тј.  А(х ) + С(х ) = В(х ) + С(х ) је тачна бројна једнакост. Ако обема странама ове једнакости 1

1

1

1

додамо супротни број за С(х1), добићеме тачну бројну једнакост А(х) = В(х). Према томе, х1 је решење једначине А(х) = В(х), тј. свако решење једначине А(х) + С(х) = В(х) + С(х) је решење једначине А(х) = В(х).

2. Провери које од следећих једначина су еквивалентне користећи Т1: а) 3х + 1 = 5х - 3 и 3х + 1 + 7 = 5х - 3 + 7; б) 5у - 2 = 3у + 4 и 5у - 2 - 5 = 3у + 4 + 5; в) 4х - 1 = 3х - 2 и 4х + 5х - 1 = 3х + 5х - 2.

B

Помоћу примене Теореме 1 можеш да вршиш еквивалентне трансформације једначина. Једну једначину можеш да трансформишеш у једноставнију једначину, еквивалентну њој.

3. Дата је једначина 3х - 5 = 2х + 1. Додај израз 5 - 2х на обе стране једначине. Доведи у нормални облик изразе на обе стране једначине. Запази шта се догодило са 2х и -5 у добивеној једначини. Чему је једнак збир супротних бројева, односно супротних монома?

Збир супротних бројева, као и супротних монома, је нула.

Упореди властитo решење са датим.

3х - 5 = 2х + 1 ⟺ 3х - 5 + 5 - 2х = 2х + 1 + 5 - 2х ⟺ 3х - 2х = 1 + 5 ⟺ х = 6 Linearne jedna~ine

67

Сагледај да се уз трансформацију према Т1 из дате једначине 3х - 5 = 2х + 1 добија једначина х = 6, која јој је еквивалентна. Из једначине х = 6 може да се прочита решење, тј. број 6 је решење дате једначине. Једначина х = а (а ∊ R), из које може да се прочита решење, се назива једначина у решеном облику. Уочаваш да је у једначини 3х - 2х = 1 + 5 моном 2х пренесен са десне на леву страну једначине, али са супротним знаком (-2х), а број -5 са леве страна је пренесен на десну страну једначине, али са супротним знаком (+5). То што си сагледао о еквивалентним једначинама 3х - 5 = 2х + 1 и 3х - 2х = 1 + 5 важи општо за и познато је као прва последица Т1, А она гласи:

 Сваки члан једначине може да се пренесе с једне стране једначине на другу, али са суП1

протним знаком.

4.

Чланове који садрже непознату у једначини 4х - 1 + х = 7 + 3х - 2 пренеси на леву страну једначине, а оне који је не садрже - на десну страну једначине.

5.

Kоје од једначина су еквивалентне: а) х + 3 = 2х - 1 и х - 2х = -1 - 3; б) 2х + 5 = 4х + 1 и 2х - 4х = 1 - 5; в) 3х + 1 = 2х + 3 и 3х + 2х = 3 + 1 ?

6.

Реши једначину 4х - 8 = 3х - 10, а затим провери добивено решење.

Kако ћеш поступити у почетку при решавању једначине?

Прво ћу употребити последицу 1 из теореме 1.

Упореди властито решење са понуђеним.

4х - 8 = Зх - 10 ⟺ 4х - Зх = -10 + 8 ⟺ х = -2; М = {-2}. Провера: 4  (-2) -8 = 3  (-2) - 10; -8 - 8 = -6 - 10; -16 = -16.

7.

Реши једначину: а) 5х - 7 = 4х + 2;

V 8.

б) Зх - 4 = 2 + 2х;

в)

1 1 х - 1 = 2 - х.

2 2

Дата је једначина 4х - 1 + 2х - 2 = 2х - 1 + Зх - 5. Запази да ли постоје једнаки чланови на левој и на десној страни једначине. Изостави једнаке чланове са обе стране једначине и провери да ли је добивена једначина еквивалентна датој.

Упореди властито решење са понуђеним.

68

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Дата једначина

Добивена једначина

4х - 1 + 2х - 2 = 2х - 1 + Зх - 5 ⟺ 4х + 2х - 2х - Зх = 1 - 1 + 2-5 ⟺ 4х - Зх = 2 – 5 ⟺ х = -3 М = {-3}

4х - 2 = Зх - 5 ⟺ 4х - Зх = 2 – 5 ⟺ х = -3 М = {-3}

Уочаваш да се, уколико из једначине изоставимо једнаке чланове (2х, односно -1), који се налазе на супротној страни једначине, добија једначина која је еквивалентна датој. То што сагледаваш важи уопштено за једначине и познато је као последица 2 теореме 1. Она гласи:

 П2

Ако на обе странe једначине има једнаких чланова, онда они могу да се изоставе (да се пониште).

9. Из једначине 3х - 2 + 4х + 3 = 3 + 2х + 4х изостави чланове за које је то могуће, да би добио једначину која је еквивалентна датој, а после тога реши добивену једначину.

Треба да знаш: Провери се! да искажеш теорему 1 о еквивалентним једначинама; да искажеш и да примениш у задацима последицу 1 теореме 1; да искажеш и да примениш у задацима последицу 2 теореме 1.

Задаци 1. Дата је једначина 2х - 3 = х + 1. Додај 3х на обе стране једначине. Провери да ли је добивена једначина еквивалентна датој.

2. Објасни еквиваленцију:

7х - 3 = 5х + 1 ⟺ 7х - 3 + 2х = 5х + 1 + 2х.

3. У једначини 2х – 5 – 3х - 4 = 4 - 3х - 5 изостави чланове за које је то могуће, да би добио једначину која је еквивалентна датој.

4. Покажи помоћу еквивалентних трансформација да је: 3х - 2 + х = 5 + 2х-3 ⟺ 2х = 4.

У једначини 7х - 3 + 5х = 5 + 2х - 3 групирај чланове који садрже непознату на леву страну, а остале чланове - на десну страну једначине. Помоћу еквивалентних трансформација, покажи да је: Зх – 2 + х = 4 + х – 2 + х ⟺ 2х = 4.

5. Одреди m, тако да буде тачна еквивалентност: Зх - 1 = 2х - 3 ⟺ Зх - 1 + 5х = 2х - 3 + m.

6. Утврди да ли су еквивалентне следеће две једначине: а) 2х – 1 = х + 3 и 2х - 1 + 5 = х + 3 + 5; б) 4х - 1 = 2х + 5 и 4х - 2х = 5 + 1; в) 3х - 2 = 2х + 1 и 3х + 2х = 1 - 2. Образложи свој одговор.

7. Реши једначине: а) 3 - 7х = 2 - 8х; б)

1 1 х + 1 + 2х = 5 + 2х - х 4 4

Linearne jedna~ine

69

5

TEOREME O EKVIVALENTNIM JEDNA^INAMA - 2

A 1.

Подсети се!

Реши дату једначину. Помножи обе стране дате једначине са: а) 2; б) -4. Провери да ли су добивене једначине еквивалентне датим.

У датом производу, непознати множилац се одређује, уколико се производ подели са познатим множиоцем. Реши једначине: а) 2х = 4;

б)

1 х = 3; 2

в)

Дата је једначина 2х – 3 = х - 1.

3 х = Зх.

4

Kако ћеш проверити да ли је дата једначина еквивалентна добивеној?

Одреди НЗС(4, 5, 10) Израчунај: 3 2 7   ; 4 5 10

1 1 1   .

2 3 6

Решићу једначине помоћу последице 1 теореме T1, а после тога ћу упоредити њихове скупове решења.

Упореди властито решење са датим.

Дата једначина 2х - 3 = х - 1 ⟺ 2х - х = -1 + 3 ⟺х=2 М = {2}

Добивена једначина а) 2х - 3 = х 2 – 1/  (2) ⟺ 2х  2 – 3  2 = х  2 – 1  2 ⟺ 4х - 2х = -2 + 6 ⟺ 2х = 4 ⟺x=

4 ⟺x = 2 2

М = {2}

Добивена једначина б) 2х - 3 = х - 1 /  (-4) ⟺ 2х- (-4) - 3  (-4) = х  (-4) - 1  (-4) ⟺ -8x + 12 = -4х + 4 ⟺12 - 4 = -4х + 8х ⟺ 8 = 4х ⟺x=

8 ⟺x=2 4

М = {2} Сагледај да дата једначина и добивена имају исти скуп решења.

Kакве трансформације си направио у једначини 2х 3 = х - 1 и какве си једначине добио?

Помножио сам обе стране једначине са 2, односно са -4 и добио сам једначине које су еквивалентне датој.

То важи уопштено за једначине. Можемо да искажемо теорему о множењу, односно дељење једначина са ненултним бројем.

70

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Теорема 2

 Уколико се обе стране једначине А(х) = В(х) помноже или поделе са једним истим бројем а ≠ 0, добија се једначина која је еквивалентна датој.

А(х) = В(х) ⟺ А(х)  а = В(х)  а. 

2.

Утврди помоћу Т2 да ли су еквивалентне следеће једначине: а) 5х + 3 = 2х + 9 и 10х + 6 = 4х + 18; в) 2х - 3 = х - 1 и 2х - 3 = 5х - 5; б) 8х - 12 = 4 + 4х и 2х - 3 = 1 + х; г) Зх - 1 = 2х + 1 и -6х + 2 = -4х - 2.

3.

Реши следеће једначине: а) 3 - 12х = -3х - 15; б) -8х + 4 = 12 - 4х. Запази поступак а).

3 - 12х = -3х - 15 ⟺ -12х + 3х = -15 – 3 ⟺ -9х = -18/ :(-9) ⟺ х = 2; М = {2}.

B 4.

Према последици П1 теореме Т1  Према Т2.

Дата је једначина 5х - 2 = Зх + 4.

Реши једначину. Помножи обе стране једначине са -1. Зашто је добивена једначина еквивалентна датоj? Покажи да је добивена једначина еквивалентна једначини х = 3. Сагледај дату и добивену једначину.

5х - 2 = Зх + 4 5х - 2 = Зх + 4/  (-1) ⟺ 5х  (-1) – 2  (-1) = Зх  (-1) + 4  (-1) ⟺ -5х + 2 = -Зх – 4 Помножи обе стране једначине 5х - 2 = 3х + 4 са -1. Шта примећујеш код добивене једначине -5х + 2 = -3х - 4?



Дата једначина

 

Према Т2. Добивена једначина

Добивена једначина је еквивалентна датој, према Т2. Чланови дате и добивене једначине су са супротним знацима.

Linearne jedna~ine

71

То важи опште за једначине. Можемо да искажемо следећу последицу теореме Т2.

 П1

Уколико се сви чланови једначине помноже са -1, тада се добја једначина која је еквивалентна датој, тј. ако се сви чланови једначине замене са њиховим супротним, добија се једначина која је еквивалентна датој.

5. Реши следеће једначине: а) 2х - 1 = 3х - 5;

б) 4х + 2 = 5х - 1;

Упореди властито решење а).

2х - 1 = 3х - 5 ⟺ 2х - 3х = -5 + 1 ⟺ -х = -4 /  ( - 1) ⟺ х = 4; М = {4}.

6.

Једначину

трансформиши у једначину без имениоца.

Колико је НЗС (2, 4, 3)?

Kако ћеш се ослободити од имениоца у једначини?

НЗС (2, 4, 3) = 12. Обе стране једначине ћу помножити са 12 и добићу једначину без имениоца.

Упореди властито решење са датим.

 НЗС(2, 3, 4) = 2  2  3 = 12.  Обе стране једначине су помножене са НЗС(2,3,4),тј. са 12.  Скраћивање имениоца са 12.  Ослобађање од заграда. Покажи да је једначина 6х - 6 + 9х + 3 = 4х - 36 еквивалентна са једначином х = -3. са најмањим заједничСагледаваш да се множењем чланова једначина ким садржиоцем имениоца добија једначина без имениоца 6х - 6 + 9х + 3 = 4х - 36, еквивалентна датој. То што си уочио код једначине

, важи опште за једначине. Можемо да

искажемо следећу последицу теореме 2.

 П2

Ако неки чланови једначине имају имениоце, онда се од њих можемо ослободити помоћу множења двеју страна једначине са њиховим најмањим заједничким садржиоцем.

72

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Ослободи се имениоца у једначини

Треба да знаш: да искажеш теорему 2 о еквивалентним једначинама; да искажеш последице теореме 2; да примениш последице теореме 2 при решавању задатака.

а после тога је реши.

Провери се! Реши једначине: а) 5х - 3 = 3х - 1;

б) 6х - 1 = 7х.

Ослободи се имениоца у једначини и покажи да је она еквивалентна једначини х = 5.

Задаци 1. У једначини 3 - х = 7 - Зх помножи обе стране са -2.

5. Ослободи се имениоца у једначинама и реши их.

Покажи, према решењима, да је добивена једначина еквивалентна датој.

2. У једначини 12х - 9 + 3х = 9х + 3 подели обе стране са 3 и покажи да је добивена једначина еквивалентна датој. (Упореди њихова решења.)

6. Уз коришћење теорема о еквивалентним једначинама и последица ових теорема, покажи да је:

3. Да ли су еквивалентне понуђене две једначине? Образложи свој одговор. а) 3х - 1 = х + 3 и 6х + 2 = 2х + 6; б) -2х + 3 = -3х + 5 и 2х - 3 = 3x - 5; в) 4х - 1 = 3х + 2 и 4x + 1 = 3х + 2.

4. У једначини 2х - 3 = 3х - 5 замени све

чланове са њиховим супротним и провери према решењима да ли је добивена једначина еквивалентна датој.

Покушај...

Боца са затварачем кошта 11 денара, а сама боца (без затварача) је 10 денара скупља од затварача. Kолико кошта боца, а колико затварач?

Linearne jedna~ine

73

6

OP[TA VRSTA LINEARNE JEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM

A 1.

Подсети се! У изразу ах + b са променљивом х, а и b су коефицијенти. Одреди коефицијенте у изразу са променљивом х: а) 2х - 5;

б) ах +

Све чланове једначине пренеси на десну страну и после тога изврши операције. Да ли је добивена једначина еквивалентна датој? Зашто?

1 .

2

Према П1 из Т1 о еквивалентним једначинама, сваки члан једначине може да се пренесе са једне на другу страну једначине, али са супротним знаком. Да ли су еквивалентне једначине: а) 4х - 3 = 2х + 1 и 4х - 2х = 1 + 3; б) 4х - 3 = 2х + 1 и 4х + 2х = 1 – 3? Образложи свој одговор.

Дата је једначина 4х - 5 = 2х - 1.

Која последицу теорема о еквивалентним једначинама можеш да примениш при решавању овог задатка? Према последици 1 теореме 1 о еквивалентним једначинама, чланове са леве стране једначине ћу пренети на десну страну, али са супротним знаком.

Упореди твоје решење са датим. 4х - 5 = 2х - 1 ⟺ 4х – 5 - 2х + 1 = 0 ⟺ 2х - 4 = 0. Једначина 2х - 4 = 0 је еквивалентна са једначином 4х - 5 = 2х - 1. За једначину 2х - 4 = 0 се каже да је нормална врста једначине 4х - 5 = 2х - 1.

Упамти! Једначина ах + b = 0 се назива општи или нормални облик линеарне једначине са једном непознатом, где је х непозната, а је коефицијент испред непознате и b слободан члан.

2. Запиши једначину 2х - 3 = х – 1 у нормални облик. Подсети се!

Kоји од следећих израза нема вредност: а)

5  2  10 ; 73

б)

73 ?

5  2  10

Образложи одговор. За коју вредност а, израз 5 нема вреда-3 ност? Одреди решење једначине 2х - 6 = 0.

74

B 3.

Дата је једначина ах + b = 0, са непознатом х и коефицијентима а и b, при чему је а ≠ 0. Одреди решење те једначине.

Упореди властито решење са датим. ах + b = 0 

⟺ ах = b ⟺ х = - b , тј. - b a

a

је решење једначине ах + b = 0, за а ≠ 0.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Kоличник - b , за а ≠ 0, је увек једнозначно одређен, па према томе једначина ах + b = 0 има a

само једно решење х = - b , тј. М = {- b }. a

a

4. Одреди решење сваке од следећих једначина: а) Зх - 6 = 0;

б) х + 3 = 0;

в) Зх + 1 = 0.

5. У једначини ах + b = 0, нека а = 0 и b = 4 (6 ≠ 0). Одреди решење те једначине. Сагледај којим бројем треба да делиш једначину.

Будући а = 0 и b = 4, једначина добија облик 0  х + 4 = 0, због тога што је 0  х = -4. Са нулoм се не дели.

4 0

Израз - нема вредност и једначина нема решење.

Запази У случају када је у једначини ах + b = 0 дато да је а = 0 и b ≠ 0, једначина нема решење, односно М = Ø. За такву једначину се каже да је немогућа или противречна.

6.

Kоја од следећих једначина је противречна: а) 3х + 1 = 0;

7.

Нека је у једначини ах + b = 0, а = 0 и b = 0.

б) 0  х - 2 = 0;

в) 3х = 0?

Запиши ту једначину. Трансформиши добивену једначину у облик ах = -b. Провери да ли су -2; 5; Запази да су -2; 5;

1 ; х = 3,5 решења трансформиране једначине 0  х = 0.

2

1 и 3,5 решења једначине 0  х = 0.

2

Одреди друго решење ове једначине. Чему је једнак производ нуле и било ког реалног броја? Зашто је сваки реални број решење једначине 0  x = 0?

Запази да Једначина ах + b = 0, за а = 0 и b = 0 има бескончно много решења, и М = R. Linearne jedna~ine

75

Запамти Линеарна једначина ах + b = 0: а

 a) за а ≠ 0 има једино решење х = - b и М = {- аb }  б) за а = 0 и b ≠ 0 нема решење, тј. М = Ø.  в) за а = 0 и b = 0 има бесконачно много решења, при чему М = R. 8.

Запиши вредност за а и b тако да једначина ах + b = 0: а) има само једно решење; б) нема решење; в) има бесконечно много решења.

B 9.

Реши једначину 5х - 7 + х = 1 + 2 х.

Прво ћу пренети све чланове који садрже непознату на леву страну једначине, а оне који је не садрже - на десну страну. После тога ћу једначину довести у облик ах = -b и онда ћу одредити решење. Упореди властито решење са датим.

5х - 7 + х = 1 + 2х Како ћеш поступити при решавању дате једначине?

⟺

5х + х - 2х = 1 + 7 ⟺ 4х = 8 ⟺х=

8 4

 Примена П1 из Т1  Свођење израза са двеју страна једначине.  Примена Т2 ; обе стране једначине се деле са 4.

⟺х=2 Значи, решење једначине 5х - 7 + х = 1 +2х је 2, тј. М = {2}.

10.

Реши једначину 5х - 1 - х = х + 4 - 2х.

11.

Реши једначину 3(х - 1) + х = 2х - 2 - (х - 5).

 Ослободи се заграда.  Поступи као у задатку 9.

3x - 4 1 - 14x 2x - 3 12. Реши једначину 5 – 3 = 5

76

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Помножићу обе стране једначине са НЗС(5, 3, 15) = 15, а после тога ћу наставити као у предходним задацима!

Kако ћеш довести дату једначину у једначину без имениоца, еквивалентну њој? Упореди властито решење са датим.

 Према П из Т .  Извршено је ослобађање од заграда.  Према П од Т .  Свођење двеју страна једначине.  Према Т .

2

2

1

2

2

Значи, решење дате једначине је -2, тј. М={-2}.

Треба да знаш:

Провери се!

да доведеш линеарну једначину у општи (нормалан) облик; да решаваш линеарне једначине са једном непознатом; да одредиш решење једначине ах + b = 0 за: а) а ≠ 0; б) a = 0, b ≠ 0; в) а = 0, b = 0.

Доведи у нормалан облик једначину Зх + 1 = 2х - 2 - х. Реши једначину

3x  1 x x  6   4 3 4

Задаци 1. Доведи у нормалан облик следеће једначине: а) 3х + 1 = х + 5;

а) 3х - 5 + 2х = 7 + х - 4; б) 3х - 5 = х + 1.

2. Kоја од следећих једначине је немогућа: а) 3х = 0;

3. Реши једначине:

б) 5х = -1;

в) 0  х = 4?

б) 1,4х + 2,8 = 0,7х + 4,2; в) 1 x – 1 – 1 x = 1 – 1 x.

2

2

2

2

2

4. За коју вредност променљиве х, изрази: 2х - 8 и 1 - х имају исту бројну вредност?

Linearne jedna~ine

77

5. Реши једначине: а) 5(х + 3) = 2(х + 3); б) 2(х + 1)-3(х -1) = 4(х +1) + 1; в) 5(х - 1) - 2(х + 1) = 3(х - 2) - (х - 5).

6. Реши једначине:

Трик са домином...

Понуди свом другу да изабере (или да нацрта) једно домино, а да ти не знаш које. После тога му редом дај инструкције да изврши следеће операције: Један од бројева да помножи са 2. Да дода 6.

7. Реши једначине: 2

а) (х -1) - 2 = x (x -3) + 2; б) (x - 3)( x + 4) - 2(3 x -2) = (x - 4)2; в) (x - 2)(х + 2) + 2x = x2 + 2.

8. За коју вредност параметра а, једначина 8х - За - 5 = 2а + 5х - 16 има решење х = 3?

Помножи са 5. Да дода други број домина. Од одузме 30. Реци који си број добио. Погађаш: цифре добивеног резултата су бројеви изабраног домина! Објасни овај трик математички.

5

PRIMENA LINEARNIH JEDNA^INA SA JEDNOM NEPOZNATOM Подсети се!

У изучавању математике често се срећеш са задацима у којима су зависмости измећу величина описане речима, на „говорном” језику. „Превођење” тих зависности на математички језик врло често се остварује баш преко једначине. То можеш да сагледаш у следећем задатку: Мајка и син заједно имају 32 године. Мајка је 20 година старија од сина. Колико година има мајка, а колико син?

78

A 1.

Мајка је сада три пута старија од кћерке. После десет година, мајка ће бити старија два пута од кћерке. Колико сада мајка има година, а колико кћерка? Уочи које величине и који односи су међу њима познати, а који су непознати. Познато је да је сада мајка три пута старија од кћерке, а да ће после 10 година мајка бити старија два пута од кћерке. Непознато је колико година има кћерка, а колико мајка.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Ако број година кћерке означиш са х, како ћеш онда означити број година мајке? Колико година ће имати свака од њих после 10 година?

Уколико је број година кћерке х, онда мајка сада има Зх година. После 10 година кћерка ће имати (х + 10) година, а мајка (3х + 10) година.

Сагледај у табели које су зависности између величина и како је једначина састављена. Колико година има сада

Колико година ће имати после10 г.

кћерка

x

х + 10

мајка

Зх

Зх + 10

једначина Зх + 10 = 2(х+ 10)

Реши једначину Зх + 10 = 2(х + 10).

Kолико година има кћерка?

Kолико година има мајка? Решење једначине је 10.

2.

B

Мајка сада има 36 години, а њена кћерка 10 години. После колико година ће мајка бити три пута старија од кћерке? Задаци са текстом се решавају успешно уколико се ради према одређеном плану. Сагледај то помоћу следећег задатка.

3. На контролном писменом задатку наставник је ученицима дао 15 задатака. За сваки решени задатак ученик је добијао по 5 поена, а за погрешно решени или нерешени задатак, ученик је губио по 2 поена. Колико задатка је решио тачно ученик који је имао 54 поена?

1.

 Разумевање задатка Шта је познато у задатку, а шта је непознато?

2.

Познато је да ученик решава 15 задатака; за сваки тачно урађени задатак он је добијао по 5 поена, а за нерешени је губио по 2 поена. На крају, ученик је освојио 54 поена. Није познато колико задатака је ученик решио тачно.

 Означавање непознатих величина Означи број тачно решених задатака са х. Kако ћеш означити број нерешених задатака?

Уколико је број тачно решених задатака х, тада је број нерешених задатака 15 - х.

Linearne jedna~ine

79

 Уочавање веза између величина

3.

Kолико поена је ученик до- Ученик је добио 5х поена (х задатака по 5 поена), а изгубио 2(15 - х) поена (15 - х задатака био, а колико је изгубио?

по 2 поена) и освојио укупно 54 поена.

 Састављање једначине

4.

Из везе између величина следи једначина 5х - 2(15 - x) = 54.

Kоја једначина се добија из уочених веза између величина? Запази претходне поступке у табели.

Број Број поена по Једначина задатака задатку Укупно 15 Тачно x 5х 5х - 2(15 - х) = 54 решени Нетачно 15-х 2(15 - x) решени Задаци

5.

 Решавање једначине Уочи решавање једначине: 5х - 2(15 - х) = 54.

5x - 2(15 - х) = 54 ⟺ 5х - 30 + 2х = 54 ⟺ 5х + 2х = 54 + 30 ⟺ 7х = 84 ⟺ х =

6.

84 тј. х =12.

7

 Одговор на поставеното прашање и провера Шта показује решење једначине?

Направи проверу решења.

Ако је х = 12, то значи да је ученик тачно решио 12 задатка, а није решио 15 - 12 = 3 задатка.

12 задатка по 5 поена је 60 поена; 3 задатка по 2 поена је 6 поена. 60 - 6 = 54 поена. Значи, решење задатка је тачно.

4.

У једној продавници возила има 22 аутомобила и мотоцикла. Они укупно имају 74 тачкова.

Kолико од од возила су аутомобили, а колико мотоцикли?

5.

У једнакокраком троуглу крак је за 2 cm дужи од основе, а његов обим је 25 cm. Одреди основу и крак тог троугла.

80

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Запази кратки запис плана за решавање овог задатка.

1. Крак b је за 2 cm дужи од основе а, а обим је 25 cm.

2. Ако је основа а = х, тада је b = х + 2.

3. а + 2b = L. 4. х + 2(х + 2) = 25.

5. х + 2(х + 2) = 25 ⟺ х + 2х + 4 = 25 ⟺ х + 2х = 25 - 4 ⟺ Зх = 21 ⟺ х =

21 ⟺ х = 7.

3

Значи, основа је а = 7 сm, а крак је b = 7 + 2 = 9 сm.

6. Провера: L = а + 2b; Сагледај зависност између величина овог задатка у табели.

L = 7 + 2  9;

L = 25 сm.

Величине

Ознака величина

Основа

а=х

Kрак

b = а + 2; b = х + 2;

Обим

L = 25 cm; L = 2а + b; 1 = х + 2(х + 2)

Једначина х + 2(х + 2) = 25

6.

Дужина а једног правоагаоника је за 3 cm дужа од његове ширине b, а његов обим износи 34 cm. Одреди дужину и ширину тог правоугаоника.

7.

Из места А ка месту В истовремено полазе два бициклиста. Први се креће брзином од 16 km/h, а други брзином од 12 km/h. Одреди растојање између места А и В, ако је први бициклиста стигао за 1 сат раније од другог. Запази зависност између величина у овом задатку у табели Брзина

Време

Пут

Први бициклиста

16 km/час

х часа

AB =16  х

Други бициклиста

12 km/час

х + 1 часа

AB = 12  (x + 1)

Једначина 16х = 12(x + 1)

Реши једначину и одреди растојање између места А и В. Направи проверу решења задатка.

Треба да знаш: да примениш једначине при решавању текстуалних задатака; да извршиш проверу добивеног решења.

Провери се! У једном троуглу једна од страна је за 2 cm већа од друге, а за 1 cm мања од треће. Одреди стране троугла, када знаш да је његов обим 43 сm.

Linearne jedna~ine

81

Задаци 1. Уколико се неком броју дода 12 и до-

8. Један радник може сам да заврши један по-

бивени збир се помножи са 5, добија се 200. Kоји је то број?

сао за 6 сати, а други за 12 сати. За колико сати ће заједно завршити исти посао?

2. Збир два броја је 180. Први је за 36 мањи од другог. Kоји су то бројеви?

3. Разлика два броја је 46. Kада се већи број подели са мањим добија се количник 4 и остатак 7. Kоји су то бројеви?

9. Један базен се пуни помоћу две цеви. Из

прве цеви базен се пуни за 4 сата, а из друге за 6 сата. За колико сати ће се напунити базен, ако се истовремено отворе обе цеви?

10. Две цеви могу заједно да напуне један ба4. У једнакокраком троуглу је основа за 2 cm мања од крака. Одреди основу и крак тог троугла, ако је његов обим 43 сm.

5. Милан има 25 новчића од 2 и од 5 денара или укупно 80 денара. Kолико новчића су од 2 денара, а колико су од 5 денара?

6. Стари кинески задатак. У једном каве-

зу има питомих зечева и фазана. Они заједно имају 35 глава и 94 ногу. Kолико је питомих зечева, а колико фазана?

7. Један курир пролази растојање између

места А и В за одређено време. Ако се креће брзином од 35 km/h, закасниће 2 сата, а ако се креће брзином од 50 km/h, стићи ће један сат раније. Одреди растојање између места А и В.

82

зен за 12 сата. Једна цев може сама да напуни базен за 20 сата. За колико сата може друга цев сама да напуни празан базен?

Покушај... Диофантов епитаф На надгробној плочи старогрчког математичара је записано: „Путниче, овде су погребани посмртни остаци Диофанта. Броеви ће рећи, о чуда, колико је дуг био његов живот. Прекрасно детињство је одузело шестину његовог живота, а када је прошла још једна дванаестина живота, његово лице је покрила брада. Када је прошла још седмина његовог живота, Диофант је ступио у срећан брак. Када је прошло пет година брака, срећним га учини рођење његовог сина првенца, коме је судбина поклонила само половину од година живота његовог оца. У дубоком болу је старац дочекао крај земаљског живота преживљавајући још четири године после губитка сина“.

Kолико година је живео Диофант?

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

LINEARNE NEJEDNA^INE SA JEDNOM NEPOZNATOM

8

POJAM NEJEDNAKOSTI I NEJEDNA^INA Подсети се!

A 1.

Бројни изрази су: 5 + 8, 9 : 3 - 2, 4,6  3,5 1, 8 : 0,2 и сл. После извршавања свих операција у изразу добија се број који се зове бројна вредност израза. Израчунај бројну вредност израза 15 – 22 – 3 - 6, 4: 0,4. При упоређењу рационалних бројева користио си знаке: =, < и >.

Kоји од знака: > или < треба да буде у кружићу, да би било тачно упоређење бројева: 5 -1

-12; -5;

0 -4

3,5; 0?

Kоје од следећих неједнакости су тачне: а) 7 > 5; б) -5 > -4; в) -3,2 < -2,3?

Kоји знак треба да буде у кружићу, да би било тачно упоређење бројних вредности израза: а) 3  (5 - 2) б) 8  2,5 - 10,8

8 - 4  3; (-4)2 + 1?

Шта треба предходно да урадиш да би упоредио бројне изразе? Прво треба да израчунам бројну вредност датих израза, а после тога да одредим који знак треба да буде у кружићу. Упореди властито решење са датим. а) 3  (5 - 2) = 3  3 = 9; 8 – 4  3 = 8 - 12 = -4; 9 > -4, па 3 (5 - 2) > 8 - 4  3. б) 8  2,5 - 10,8 = 20 - 10,8 = 9,2; (-4)2 + 1 = 16 + 1 = 17; 9,2 < 17 па 8  2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

 Решавањем задатка 1, оба бројна израза:

3  (5 - 2) и 8 – 4 - 3, односно 8  2,5 - 10,8 и (-4)2 + 1 везује један од знакова > или < и даје: 3  (5 - 2) > 8 – 4  3, односно 8  2,5 - 10,8 < (-4)2 + 1.

 3  (5 - 2) > 8 - 4  3 и 8  2,5 - 10,8 > (-4)2 + 1 су бројне неједнакости.

2.

Формирај тачну бројну неједнакост из израза: 8  5 - 62 и 3  4 + 5.

3.

Одреди које од следећих бројних неједнакости су тачне: 28 – 8  3 > -9  2 + 20; 7 < 3  12 - 52; -9 + 6 > 8  3 - 35.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

83

B 4.

Подсети се! Изрази са променљивима су: х - 1; 2у 3, 2х + 1 и сл.

Kакав израз ћеш добити, ако у изразу 2у - 3 замениш променљиву са 2? Израчунај бројну вредност израза х2 2х + 1 за х = 3.

Kоји од знакова: > или < треба да стоји у кружићу, да би било тачно упоређење израза са променљивом: х2 - 2х + 1

2х + 3, за х = -2?

Kакве ћеш изразе добити ако у датим изразима са променљивом, замениш х са -2? Шта треба после тога да урадиш?

Замењивањем променљиве х са -2, добијам бројни израз који могу да упоредим и да ставим потребни знак у кружић. Упореди властито решење са датим. х2 - 2х + 1 = (-2)2 - 2(-2) + 1= 4 + 4 + 1 = 9;  2

2х + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1. Будући да је 9 > -1, следи да је х - 2х + 1 > 2х + 3, за х = -2.

Неједнакост х2 - 2х + 1 > 2х + 3 је неједначина са променљивом. Неједнакост у којој су лева и десна страна, или бар једна од њих, израз са променљивом, назива се неједнакост са променљивом или неједначина.

5. Одреди које од следећих неједнакости су неједначине: а) 5 > -2  3; б) 2х + 3 > 0, х ∊ R;

в) х2 + 1 < х2 - 2х + 3, х ∊ Z; г) 8  3 – 22 < 5  6 + 3.

Запамти Променљиве у неједначинама се најчешће означавају са х, у, z ... и оне се мењају у скупу R или у неком његовом подскупу. Постављањем неједначина, задаје се и скуп у коме се мењају променљиве, тј. дефинициони скуп. Уколико дефинициони скуп није задат, сматраћемо да је то скуп R. Неједначину са једном променљивом у општем случају записујемо: f(х) < g(х), х ∊ D, где су f(x) и g(х) изрази променљиве х, дефинисане у скупу D

84

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Подсети се!

V 6.

Kоје врсте једначина имамо према броју непознатих? Према степену непознатих једначине могу да буду: линеарне (првог степена), квадратне (другог степена), кубне (трећег степена) итд. Каквог је степена једначина: 2х - 3 = х + 1; х2 - Зх = 2?

Kоје неједначине су са једном непознатом, а које са две непознате?

Дате су неједначине: 2х - 1 < Зх + 1;

2х - у > 5 – х;

х2 - 1 > 2х;

х2у - 2 < Зх.

Колико непознатих има свака од једначина?

Kако ћеш именовати неједначине: 2х – 1 < Зх + 1 и х2 - 1 > 2х, према броју непознатих, а како неједначине 2х – у > 5 - х и х2у – 2 < Зх?

Неједначине: 2х - 1 < Зх + 1 и х2 - 1 > 2х су са једном непознатом, а неједначине: 2х - у > 5 - х и х2у - 2 < Зх са две непознате.

Запамти Према броју непознатих, неједначине могу да буду: неједначине са једном непознатом, неједначине са две непознате, неједначине са три непознате итд.

7.

Одреди колико непознатих има свака од следећих неједначина. а) 2х - 1 < х + 2; б) х + у < 7 – z; в) х + 2у < х - у + 1; г) 2х > х + 2.

8.

Дате су неједначине: а) х2 + 2 > 2х; б) х2у - 2 > Зх;

в) х - 2 < 2х + 3;

г) х - у < у + 3.

Одреди највећи степен непознатих у свакој неједначини. Према степену непознатих, којој врсти припадају неједначине?

Одреди врсту неједначина према степену непознатих на начин као код једначина.

Неједначине х – 2 < 2х + 3 и х - у < у + 3 су неједначине првог степена; неједначина х2 + 2 > 2х је другог степена, а неједначина х2у - 2 > 3х је трећег степена.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

85

Запамти Неједначине f(х) < g(х) или f(х) > g(х), у којима су лева и десна страна цели рационални изрази, према члану највишег степена, могу да буду: неједначине првог степена (линеарне неједначине), неједначине другог степена (квадратне неједначине), неједначине трећег степена (кубне неједначине), итд. Одреди степен сваке од следећих неједначина: а) 5х - 2 < х + 4; б) х2 - 2х < 6; в) х2у - 5 > 2х;

Треба да знаш: да два израза повезана знаком < или > образују неједнакост; да дефинишеш појам неједначине; да одредиш врсту неједначине према броју непознатих и према степену непознате.

г) 2х + у < 7.

Подсети се! Одреди које од следећих неједнакости су неједначине: а) 5  8 - 3 > 17 - 22; б) х2 - 1 < 5х; в) Зх + у < у + 2; г)5 - 2  3 > 3 - 4  2. Одреди које од наведених неједначина су линеарне неједначине са једном непознатом: б) х + 2у < 5х + 1; а) х2 + 6 > 5х; в) у - 2 < 3у; г) х + 2 > 2х-5.

Задаци 1. Одреди које од следећих неједначина су тачне: а) 12 - 2  5 > 3  2 - 8; б) 52 - 3  4 > 12 : 4; в) 17 - 3  5 > 72 – 5  6.

3. Одреди врсту сваке од следећих неједначина према броју непознатих: а) х - 3 < 2х + 5; б) х - 2у + 3 > 2х; в) 3х + 1 - х > х + 5; г) х - 5 < у + 3.

4. Одреди врсту сваке од следећих неједначих ∊ {-2, 0, 2} је тачна 2. За коју вредност 2 неједначина: х - 2х < х + 5?

86

на према степену непознате: а) х2 - 3 < 2х - 1; в) х + 2 > 6 - х; б) х - 2 – 3х < 5; г) х2у - 3х > 2у - 1.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

5

RE[EWE NEJEDNA^INA. INTERVALI Подсети се!

A 1.

Вредност непознате за коју једначина прелази у тачну бројну једнакост се назива решење (корен) једначине. Провери да ли је број 2 решење једначине: а) 2х - 1 = х + 1; б) 3х - 5 = х + 3. Одреди решење једначине: а) 3х - 1 = 2х + 3; б) 2х + 1 = 2х + 5.

Одреди за које вредности х ∊ {-2, -1, 0, 1, 2} = D свака од датих неједначина прелази у тачну бројну једнакост: а) 3х + 1 > х - 1; б) 2х - 2 < х + 4; в) 2х - 3 > х + 2. Како ћеш од неједначина добити бројне неједнакости? Покушај да решење задатка прикажеш помоћу табеле.

Заменом непознате х са вредностима из дефиниционог скупа D неједначину ћу претворити у бројну неједнакост и утврдићу да ли је она тачна (⊤) или нетачна (⊥). Упореди властито решење са датим.

Вредност х Неједначина Зх + 1 > х - 1 2х - 2 < х + 4 2х - 3 > х + 2

-2

-1

0

1

2

-5 > -3 ⊥ -6 < 2 ⊤ -7 > 0 ⊥

-2 > -2 ⊥ -4 < 3 ⊤ -5 > 1 ⊥

1 > -1 ⊤ -2 < 4 ⊤ -3 > 2 ⊥

4 >0 ⊤ 0<5 ⊤ -1 > 3 ⊥

7>1 ⊤ 2<6 ⊤ 1>4 ⊥

Из табеле уочи да:

 неједначина 3х + 1 > х - 1 прелази у тачну бројну једнакости за х = 0, х = 1 и х = 2;  неједначина 2х - 1 < х + 4 прелази у тачну бројну једнакости за сваку вредност х из дефиниционог скупа D;

 неједначина 2х - 3 > х + 2 не прелази у тачну бројну једнакости за ни једну вредност за х из D. Свака вредност непознате за коју неједначина прелази у тачну бројну једнакости се назива решење неједначине. Сва решења једне неједначине f(x) < g(х) образују један скуп, који се назива скуп решења неједначина и уобичајено се означава са R(f(х) < g(х)). За неједначину 3х + 1 > х - 1 из претходног задатка важи: R(3х +1 > х - 2) = {0, 1, 2}.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

87

2. Запиши скуп решења неједначина 2х – 2 < х + 4 и 2х – 3 > х + 2 из задатка 1.

3. Одреди скуп решења неједначине 2х - 3 < Зх - 2, ако х ∊ {-3, -1, 1, 2, 3}. Свакако си одредио да је скуп решења R(2х - 3 < Зх - 2) = {1, 2, 3}. Тако си решио неједначину 2х – 3 < Зх - 2.

Запамти Решити једну неједначину, значи одредити скуп решења те неједначине.

B 4.

Подсети се! За две једначине се каже да су еквивалентне уколико имају једнаке скупове решења. Провери да ли су еквивалентне једначине: Зх - 4 = 2х - 1 и 2х - 5 = х - 2.

Дате су неједначине: Зх + 2 > 2х + 1 и 2х - 3 > х - 4 са дефиниционим скупом D = {-1, 0, 1, 2}. Одреди скупове решења двеју једначина. Упореди решења двеју неједначина. Шта уочаваш?

Упореди властито решење са подацима из табеле. x

-1

0

1

2

Зх + 2 > 2х + 1

3  (-1) + 2 > 2  (-1) + 1 ⊥

3 0 + 2 > 2 0 + 1 ⊤

3  1 +2 > 2  1 + 1 ⊤

3  2 + 2 > 2  2+ 1 ⊤

2х - 3 > х - 4

2  (-1) - 3 > - 1 - 4 ⊥

2 0 - 3 > 0 – 4 ⊤

2 1 - 3 > 1 - 4 ⊤

2 2 - 3 > 2 - 4 ⊤

Неједначина

Запази да је R(3х + 2 > 2х + 1) = {0, 1, 2}, R (2х - 3 > х - 4) = {0, 1, 2}, тј.

R(3х + 2 > 2х + 1) = R (2х - 3 > х - 4). За такве неједначине се каже да су еквивалентне у дефиниционом скупу D и записујемо Зх + 2 > 2х + 1 ⟺ 2х - 3 > х - 4, х ∊D

Запамти Две неједначине са истим дефиниционим скупом су еквивалентне уколико су њихови скупови решења једнаки.

5. Провери да ли су неједначине: Зх - 1 > 2х + 1 и 2х + 3 < Зх + 1, еквивалентне у скупу D = {1, 2, 3, 4}.

88

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

V 6.

Дата је бројна права и на њој су означене тачке А и В. Тачкама А и В су придружени броеви 1 и 4, респективно.

A

B

Будући да је тачка А лево од тачке В, тада за њихове одговарајуће бројеве важи: 1 < 4.

Kоји су природни бројеви између 1 и 4?

Kоји од бројева

3 ; -3; 2

3 ; 2,8;

Зашто је 2 између 1 и 4?

16 се налазе између 1 и 4?

3

Зато што од 4.

2 ≈ 1,41, он је десно од 1, а лево

Сви реални бројеви који су између 1 и 4 образују један скуп, који се назива интервал са крајевима 1 и 4.

Уопштено Уколико су а и b дати реални бројеви и а < b, тада се скуп свих реалних бројева између а и b назива интервал, а дати бројеви а и b - крајеви тог интервала. Уколико крајеви а и b не припадају интервалу, тада се он назива отворен интервал.

 Означава се са (а; b)  Представља се на бројној прави: Уколико крајеви а и b припадају интервалу, тада се он назива затворен интервал.

 Означава се са [а; b]  Представља се на бројној прави: 7. Запиши интервал са крајевима 3 и 5 и представи га на бројној прави као: а) затворен интервал; б) отворен интервал; в) интервал који не садржи само леви крај; г) интервал који не садржи само десни крај. Упореди своје решење за в) и г).

Интервал представља и скуп свих реалних бројева који су:  мањи од а; (-; а)  већи од а; (а; + )

 већи или једнаки на а;

[а; + )

 мањи или једнаки на а;

(-; а]

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

89

Запази да се на једном крају интервала налази знак + или -. Интервал (а; +) се чита: „а, плус бесконачност”. 

 Интервал (-; а) се чита: „минус бесконачност, а”.

Скуп R може да се запише као интервал: (-; +). Запази да ознаке: (3; -); [1;+ ]; (+; 4), немају смисла.

8. Скуп свих реалних бројева запиши као интервал, а после тога га представи на бројној правој: а) већих од 2; б) мањих или једнаких на 1. Упореди властито решење са датим.

G 9.

Дате су неједначине: а) х > -1; х е R; б) х < 2; х е R. Одреди скуп решења за сваку од датих неједначина. Представи сваки од тих скупова на бројној прави. Којим бројевима треба заменити х у неједначини х > -1, а којим у неједначини х < 2, да би се добиле тачне бројне неједнакости?

Променљива х у неједначини х > -1 треба да се замени са било којим реалним бројем, већим од -1, а у неједначини х < 2, са било којим реалним бројем који је мањи од 2, да би се добиле тачне бројне неједнакости.

Сагледао си да се скуп решења неједначине х > -1 састоји од свих реалних бројева од -1 до +, а то је интервал (-1,+). Запази скупове решења датих неједначина на бројној правој.

Неједначине х > -1 и х < 2 имају такозвани решени облик; за такве неједначине скупови решења могу да се прочитају одмах, директно.

Запамти Неједначине: х > а, х < а и 0  х < а, код којих је дат реални број су записане у решеном облику и називају се основне неједначине.

90

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

10. Реши неједначину 0  х < -5. Да ли постоји реални број, Будући да је било који број помножен са 0 који помножен са 0 даје про- једнак 0, а 0 није мања од -5, неједначина извод мањи од -5?

0  х < -5 нема решење.

11. Реши неједначину 0  х < 5. Запази решења неједначине 0  х < а: R(0  х < а, за а < 0) = 

и

R(0  х < а, за а > 0) = R.

12. Запиши скуп решења неједначине: х > -5; х < 4; 0  х < -1; 0  х < 3, уз помоћ интервала. Решења неједначина типа х > а су интервали [а; +), а неједначине х ≤ а су интервали (-; а].

13.

Представи скуп решења понуђених неједначина интервалом и на бројној прави: а) Ако је х ≤ 3; б) х ≥ -2.

Сагледај како се решава задатак ове врсте.

 а) Ако је х

≤ 3, тада х  (-; 3].

 б) Ако је х ≥ - 2,

тада х  (- 2; +].

14. Запиши скуп решења неједначине х ≤ -1 помоћу интервала. Треба да знаш: Провери се! да провериш које вредности су решења дате неједначине; да утврдиш да ли су две неједначине еквивалентне; да објасниш када су две неједначине еквивалентне; да представиш интервалима и на бројној прави скуп решења дате неједначине.

Провери да ли је R(2х -1 > х + 1) = {2, 3, 4}, ако је х ∊ {0, 1, 2, 3, 4}. Утврди да ли је неједначина Зх - 1 > х + 1 еквивалентна са неједначином 4х - 1 > Зх, ако је х ∊ {0, 1, 2, 3, 4} = D Представи интервалом решење неједначине х < -3.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

91

Задаци 1. У скупу D = {-1, 0, 1, 2, 3} су дате неједначине: а) Зх + 1 > 2х + 1; б) 2х + 3 > х + 3. Одреди скуп решења сваке од датих неједначина.

4. Представи интервалом и на бројној прави скуп решења неједначине: а) х > -3; б) х < 2.

5. Представи интервалом и на бројној прави 2. Одреди које од следећих неједначина су еквивалентне у скупу D = {-2, -1, 0, 1, 2}: а) Зх - 2 > 2х - 3; в) 2х + 5 > х + 4. б) 2х - 1 > х - 2;

3. Представи интервалом скуп решења неједначине: а) х > -2; б) х < 0;

10

в) х  1;

6. Kоја од следећих неједначина нема решење? Образложи свој одговор. а) х > 0; в) 0  х > -2; б) 0  х < -1; г) х < -5.

г) х ≥ -3.

TEOREME O EKVIVALENTNIM NEJEDNA^INAMA

Подсети се! За које две једначине се каже да су еквивалентне? Провери да ли су неједначине: 3х – 1 > х + 3 и 2х - 1 > х + 1 еквивалентне у скупу D = {1, 2, 3, 4}.

Kако гласи теорема 1 о еквивалентним једначинама?

Kако ћеш утврдити да ли је дата неједначина еквивалентна добивеној?

92

скуп решења неједначине: а) х  -2; б) х ≥ 1.

A 1.

У скупу

D = {-2, -1, 0, 1, 2} је дата неједначина Зх - 2 > 2х - 3. Одреди скуп решења датих неједначина. Додај на обе стране неједначине израз х 1 и провери да ли је добивена неједначина еквивалентна датој.

Одредићу скупове решења двеју неједначина и упоредићу их.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Упореди твоје решење са датим: Вредност х

Дата неједначина Зх - 2 > 2х - 3

Тачно нетачно

Добивена неједначина Зх - 2 + х - 1 > 2х - 3 + х - 1

Тачно нетачно

-2

3  (-2) - 2 > 2  (-2) - 3

⊥

3  (-2) - 2 - 2 - 1 > 2  (-2) - 3 - 2 - 1

⊥

-1

3  (-1) – 2 > 2  (-1) - 3

⊥

3  (-1) - 2 - 1 - 1 > 2  (-1) - 3- 1 - 1

⊥

0

3 0 – 2 > 2 0 - 3

⊤

3 0 - 2 + 0 - 1 > 2 0 – 3 – 0 - 1

⊤

1

3  1 -2 > 2  1 -3

⊤

3  1 – 2 + 1 - 1 >2  1 -3 + 1 - 1

⊤

2

3 2 – 2 > 2 2 - 3

⊤

3  2 -2 + 2-1 > 2  2 - 3 + 2 - 1

⊤

Из табеле запази да је: R(Зх - 2 > 2х - 3) = {0, 1, 2} и R(Зх - 2 + х - 1 > 2х - 3 + х - 1) = {0, 1, 2}, односно додавањем израза х -1 на обе стране неједначине Зх - 2 > 2х - 3 добијамо неједначину Зх - 2 + х - 1 > 2х - 3 + х - 1, еквивалентну датој. То важи опште за све неједначине. Према томе, можемо да искажемо следећу теорему о додавању броја или израза на обе стране неједначине.

Теорема 1

 Уколико се на обе стране неједначине f(х) > g(х) дода исти број или рационални израз h(х), који је одређен за сваки х дефиниционог скупа, добија се неједначина која је еквивалентна датој, тј. f(х) > g(х) ⟺ f(х) + h(х) > g(х) + h(х).

2.

Да ли су еквивалентне следеће две неједначине: а) 5х + 1 > 4х + 3 и 5х + 1 + 3х > 4х + 3 + 3х; б) 2х – 5 > х - 2 и 2х - 5 + 5х - 1 > х - 2 + 5х - 1; в) 3х - 1 < х + 2 и 3х - 1 - 4х < х + 2 - 4x? Образложи свој одговор.

B 3.

Сведи неједначину 4х - 1 < 3х + 2 на неједначину у решеном облику.

Kоји израз можеш да додаш на обе стране неједначине да би је довео у решени облик?

На обе стране неједначине могу да додам израз -3х + 1.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

93

Упореди твоје решење са датим.  Према теореми 1 имамо: 4х - 1 < Зх + 2 ⟺ 4х – 1 < Зх + 1 < Зх + 2 - Зх + 1 ⟺ 4х -Зх < 2 + 1 ⟺ х < 3.



Из 4х - 1 < Зх + 2 ⟺ 4х – 1 < Зх + 1 можеш да уочиш да је: члан Зх пребачен са десне на леву страну, али са супротним знаком, а члан 1 је пребачен са леве на десну страну, исто тако са супротним знаком. То важи општо за све неједначине. Према томе, можемо да искажемо следећу последицу 1 теореме 1:

 П1

Сваки члан неједначине може да се пребаци с једне на другу страну, при чему се његов знак мења у супротни.

Применом теореме 1 можеш да вршиш еквивалентне трансформације неједначина, чиме ћеш их довести до једноставнијих неједначина, еквивалентним њима.

4.

Трансформиши у неједначину у решеном облику дату неједначину 4х - 1 > 3х + 2. Представи решење неједначине интервалом. Примени последицу 1 и групиши непознате на левој страни, а познате на десној страни.

Према последици 1 важи: 4х - 1 > Зх + 2 ⟺ 4х – 1 ⟺ х > 3, а R(4х - 1 > Зх + 2) = (3; +).

5.

Дата је неједначина 3х - 5 > х - 3. Трансформиши неједначину у решен облик. Представи решење неједначине интервалом.

6.

Провери да ли су неједначине 3х - 2 + 4х < х + 1 + 4х и 3х - 2 < х + 1, дефинисане у скупу D = {0, 1, 2, 3, 4} еквивалентне. Одреди скупове решења двеју неједначина и провери да ли су оне једнаке.

R(3х - 2 + 4х < х + 1 + 4х) = {0, 1, 2}; R(3х – 2 < х + 1) = {0, 1, 2}, тако да су дате неједначине еквивалентне.

Уочаваш да на обе стране прве неједначине стоји исти члан 4х. Изостављањем члана 4х са обеју страна, добија се неједначина Зх - 2 < х + 1, која је еквивалентна првој. Образложи како ћеш применити теорему 1 да би показао да можеш да изоставиш члан 4х који се налази на обе стране неједначине и да добијеш неједначину која је еквивалентна датој.

94

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

То важи опште за све неједначине. Према томе можемо да искажемо још једну последицу теореме 1:

 П2

Уколико на различитим странама неједначине има једнаких чланова, онда се они могу изоставити.

7. Трансформиши у решен облик неједначину 4х - 2 - 5х < Зх - 1 - 5х.

V 8.

Дата је неједначина Зх - 1 > 2х + 1 са D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Помножи обе стране неједначине са 2. Провери да ли је добивена неједначина еквивалентна датој. У табели уочи решење задатка. Вредност х Неједначина Зх - 1 > 2х + 1 6х - 2 > 4х + 2

1

2

3

4

5

2>3 ⊥ 4>6 ⊥

5>5 ⊥ 10 > 10 ⊥

8>7 ⊤ 16 > 14 ⊤

11 > 9 ⊤ 22 > 18 ⊤

14 > 11 ⊤ 28 >22 ⊤

Из табеле можеш да уочиш да је R(3х - 1 > 2х + 1) = {3, 4, 5} и R(6х - 2 > 4х + 2) = {3, 4, 5}, тј. Зх - 1 > 2х + ⟺ 6х - 2 > 4х + 2. То важи опште за све неједначине, само ако је број којим се множе обе стране неједначине позитиван. Према томе, можемо да искажеме следећу теорему о множењу неједначина позитивним бројем:

Теорема 2

Уколико се обе стране једне неједначине f(х) > g(х) помноже једним истим бројем а > 0, тада је добивена неједначина еквивалентна датој, тј. f(х) > g(х) ⟺ а  f(х) > а  g(х) за а > 0.

9.

Образложи зашто су следеће неједначине еквивалентне: 3х – 2 < 2х - 3 и 9х – 6 < 6х - 9

10. Дата је неједначина 4х – 8 < 12 - 8х, на којој су извршене следеће еквивалентне трансформације:

1 4

1 4

1 4

4х  -8  < 12  - 8х 

1 ⟺ х-2<3-2х; 4

4х : 4 – 8 : 4 < 12 : 4 - 8х : 4 ⟺ х – 2 < 3 - 2х. Образложи које су трансформације направљене на неједначини 4х - 8 < 12 - 8х. Упореди дате неједначине. Шта примећујеш?

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

95

1

Запази да: уколико се обе стране неједначине 4х - 8 < 12 - 8х помноже са , тада 4 је извршена иста трансформација као да су обе стране те неједначине подељене 4. Може да се искаже следећа последица 1 теореме 2:

 П1

Уколико обе стране једне неједначине имају заједнички позитивни множилац, њиме могу да се поделе обе стране неједначине, при чему се добија нова неједначина која је еквивалентна датој.

11.

Дата је неједначина 10х - 25 < 5х + 15. Трансформиши ову неједначину у једноставнију применом последице 1.

12.

Дата је неједначина x + > х - . Којим бројем можеш да помножиш обе стране 4 2 8 4 неједначине, да би добио неједначину без имениоца?

3

1

5

1

Упореди властито решење са датим. НЗС(4, 2, 8) = 8; 8  х + 8   4 2 3

1

5 1 x - 8  ⟺- 6х + 4 > 5х - 2.

8 4 3 1 5 1 Трансформација неједначине х + > х - је извршена на основу теореме 2. Уочи да 4 2 8 4

> 8

може да се искаже следећа последица из Т2.

 П2

13.

Неједначина са нумеричким коефицијентима у облику разломка може да се трансформише у еквивалентну неједначину са целим нумеричким коефицијентима, ако се обе стране неједначине помноже са позитивним заједничким садржиоцем имениоца (уобичајено, са њиховим најмањим заједничким садржиоцем). Трансформиши у неједначину са целим нумеричким коефицијентима неједначину 1 1 5 1 х+ > х+ .

3 2 6 2

14.

Дате су тачне бројне неједнакости: 7 > 4, -5 < -3 и 1 > -4. Помножи обе стране сваке од датих неједнакости са -2. Провери да ли судобивене бројне неједнакости тачне. Шта уочаваш?

Упореди властито решење са датим.

 7 > 4;

-2 . 7 > -2 . 4,

-5 <-3, 1 > -4,

-2 . (-5) < -2 . (-3), 10 < 6 -2 . 1 > -2 . (-4), -2 > 8

96

-14 > -8

 нетачна бројна неједнакост.  нетачна бројна ненеједнакост.  нетачна бројна неједнакост.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Да се добије тачна бројна неједнакост, потребно је да се промени знак неједнакости, тј. -14 > -8 да се замени со –14 < -8, 10 < 6 да се замени со 10 > 6 и -2 > 8 да се замени со -2 < 8. То важи за било које реалне бројеве а, b и с. Ако

а>b

и

с < 0,

онда

а  с < b  с,

а ако

а<b

и

с < 0,

онда

а  c > b  с.

Запази доказ тврђења. Дато је: а > b и с < 0. Треба да се докаже: а  с < b  с.  a  с - b  с = (а - b)  с; будући да је с < 0 и а - b > 0 (зато што је а > b), следи да је производ (а - b)  с негативен, тј. а  с - b  с < 0, па је а  с < b  с. За знаке у неједначинама 3 < 5 и 2 > -1 кажемо да имају супротне смерове. Према томе, о неједначинама можемо да искажемо следећу теорему о множењу неједначина негативним бројем:

Теорема 3 Уколико се обе стране једне неједначине f(х) > g(х) помноже или поделе истим негатив

ним бројем и притом се промени знак неједначине у супротни, добиће се неједначина која је еквивалентна датој, тј. за с < 0 важи: f(х) > g(х) ⟺ c  f(х) > c  g(х).

15.

Трансформиши у решени облик неједначину 2х - 7 > 5х - 1. Примени последицу 1 из теореме 1, последицу 1 из теореме 2 и теорему 3.

2х - 7 > 5х - 1 ⟺ 2х - 5х > -1 +7 ⟺ -Зх > 6 ⟺ -х > 2 ⟺ х < -2, тј.

R(2х - 7 > 5х - 1) = (-, - 2).

Треба да знаш: Провери се! да искажеш теореме и њихове последице о еквивалентним неједначинама; да примениш теореме и последице о еквивалентним линеарним неједначинама у задацима.

2 1 х - 1 < х + 2 и 4х - 6 < 3х + 12; 3 2

-5х + 3 < -3х - 1 и 5х - 3 > 3х + 1.

Запамти 1. Следеће неједначине сведи на неједначине у решеном облику. а) Зх - 1 < 2х + 1;

Образложи зашто су еквивалентне неједначине: 2х – 5 < х - 3 и 2х - 5 - х < х - 3 – х;

б) 4х - 3 > Зх - 1.

2. У неједначини 2х - 3 - 5х < х - 1 - 5х изостави два члана тако да добијеш неједначину еквивалентну датој.

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

97

3. Следeћу неједначину трансформиши у еквивалентну неједначину без имениоца:

[

[

[

[

[

4. Неједначину

[

у неједначину у решеном облику. Представи решење неједначине интервалом.

сведи на

6. Образложи следеће еквиваленције: а) -5х + 1 > 2 х - 3 ⟺ 5х - 1 < -2х + 3; б) 4х - 2 < Зх + 1 ⟺ -4х + 2 > -Зх - 1.

неједначину у решеном облику.

11

5. Неједначину Зх - 5 < 4х - 3 трансформиши

RE[AVAWE LINERNIH NEJEDNA^INA SA JEDNOM NEPOZNATOM

Подсети се!

A 1.

Одреди које од следећих неједначина су линеарне неједначине са једном непознатом: х2 + 6 > 4х; Зх - 1 < 2х + 3; х + 5 > Зх -1; х + 2у < 3 - х.

Реши неједначину 4х - 3 > 2х + 1. Представи решење помоћу интервала на бројној прави.

Kако ћеш дату неједначину довести у решен облик?

Трансформиши у решен облик неједначину 5х - 3 > Зх+ 1.

Применићу последицу 1 из теореме 1 и последицу 1 из теореме 2.

Упореди властито решење са датим.

 4х - 3 > 2х + 1 ⟺ 4х - 2х > 1+ 3

4х - 2х > 1 + 3 ⟺ 2х > 4 2х 4⟺х>2 R(4х - 3 > 2х + 1) = R(х > 2) = (2; +).

 (према П1 Т1)  (свођење обе стране неједначине)  (дељење неједначине према П1 Т2)

2. Реши следеће неједначине: а) х - 4 > 8 - Зх;

б) Зх - 5 < -х + 3.

Неједначине су и: f(x)  g(х); f(х)  g(х);

3.

98

Дато је решење неједначине 3(2х - 1)  -(9 - 8х). Објасни сваку еквивалентну трансформацију која је примењена током решавања.

3(2х - 1)  -(9 - 8х) ⟺ 6х - 3  -9 + 8х ⟺ 6х - 8х < -9 + 3 ⟺ -2х  -6 ⟺ -х  -3 ⟺ х  3; R(3(2х - 1)  -(9 - 8х)) = R(х  3) = [3, ).

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

4. Реши неједначину 2х - (3 - х)  5х - 1.

5.

Реши неједначину Kако ћеш се ослободити имениоца у датој неједначини?

Помножићу обе стране неједначине са НЗС(3, 2, 6) = 6.

Упореди твоје решење са датим.

т.ј.

6. Реши неједначину Треба да знаш:

Провери се!

да решаваш линеарне неједначине са једном непознатом; да провериш да ли дати интервал решења припада датој неједначини; да саставиш неједначину за задати задатак, који је описан речима.

Задаци

Реши следећу неједначину: 2(х - 3) < -(9 – 5x). За које вредности х, израз 2х - 4 је позитиван? Реши неједначину: .

4. Реши следеће неједначине:

1. Реши следеће неједначине: а) 5х - 2 > Зх + 4;

б) 2х - 7 < 5х + 2.

2. Реши следеће неједначине: а) 2х - 3(х - 1) < -(5 - х); б) 3х - 2(х + 3) ≥ -3 (4 - х);

5. Одреди за које вредности х израз има позитивну вредност.

3. Провери да ли је интервал (-3; +) решење неједначине:

6. Дужина једног правоугаоника је за 3 cm већа од ширине. Kолика треба да буде дужина правоугаоника да би обим био мањи од 54 сm?

Linearne nejedna~ine sa jednom nepoznatom

99

SISTEM LINEARNIH NEJEDNA^INA SA JEDNOM NEPOZNATOM

12

RE[AVAWE SISTEMA LINEATNIH NEJEDNA^INA SA JEDNOM NEPOZNATOM

Подсети се!

A 1.

Свака вредност непознате за коју неједначина прелази у тачну бројну неједнакости зове се решење неједначине. Провери да ли је х = 3 решење неједначине Зх - 1 > 2х - 3. Сва решења једне неједначине образују скуп који се назива скуп решења те неједначине. Одреди скуп решења неједначине 5х - 2 < Зх + 4.

Дате су неједначине: Зх + 1 > 2х - 1 и 4х - 1 < Зх + 2. Реши дате неједначине. Представи скуп решења сваке неједначине помоћу интервала на истој бројној прави. Утврди да ли дате неједначине имају заједничко решење.

Kако ћеш утврдити да ли дате неједначине имају заједничка решења?

Довешћу дате неједначине до решеног облика, после тога ћу решења представити помоћу интервала на истој бројној прави, одакле ћу сагледати пресек њихових скупова решења. Упореди властито решење са датим.



Зх + 1 > 2х - 1 ⟺ Зх - 2х > -1 - 1 ⟺ х > -2 Р(3х + 1 >2х - 1) = (-2; +)

4х - 1 < Зх + 2 ⟺ 4х - Зх < 2 + 1 ⟺х<3 R(4х- 1 < Зх + 2) = (-;3)

R(3х +1 > 2х - 1)  R(4х - 1 < Зх + 2) Са бројне праве можеш да сагледаш да су они бројеви који припадају интервалу (-2, 3) решења и једне и друге неједначине. За две дате неједначине кажемо да образују систем од две линеарне неједначине са једном непознатом.

100

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Запамти За две или више линеарних неједначина са једном истом непознатом, за које се траже заједничка решења, каже се да образују систем линеарних неједначина са једном непознатом. Сваки систем од две линеарне неједначине са једном непознатом може да се сведе на нормални облик, као на пример:

2. Дат је систем неједначина Доведи дати систем у нормалан облик. Одреди заједничка решења неједначина из система на бројној прави. Све вредности непознате х које су заједничка решења неједначина из система, односно пресек скупова решења неједначина из система, назива се скуп решења система неједначина и означава се са Rѕ, тј.

Rѕ= R(ах > b)  R(a1х > b1). Запиши помоћу интервала скуп решења датог система. Два система дефинисана у истом скупу су еквивалентна уколико имају једнаке скупове решења.

B

3. Дат је систем линеарних неједначина

и неједначине а2х > b2 која је еквива-

лентна на ах > b. Докажи да је систем неједначина

еквивалентан систему

.

Сагледај поступке при доказивању. Решење система неједначина Из аx > b  а2х > b2 следи Решење система Из

следи да је тј.

Sistem linearnih nejedna~ina sa jednom nepoznatom

101

Тиме смо доказали да важи следећа:

Теорема 1

Уколико се у једном датом систему неједначина замени било која неједначина са неједначином еквивалентном њој, добија се систем неједначина еквивалентан датом.

4. Реши систем неједначина

У какав облик треба да доведеш неједначине из система и како ћеш одредити његово решење?

Решење система представи помоћу интервала на бројној прави. Прво ћу неједначине из система трансформисати у решени облик, а после ћу одредити пресек скупа решења обе неједначине.

Упореди властито решење са датим.

5. Реши систем неједначина

Kада систем од две линеарне неједначине са једном непознатом може да нема решење?

102

Решење система представи помоћу интервала на бројној прави.

Систем неће имати решење уколико је пресек скупова решења од две неједначине празни скуп

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Упореди своје решење са датим.

Запамти Уколико је пресек скупова решења две неједначине празни скуп, тада се каже да систем нема решење или да је систем противречан.

6. Реши систем неједначина:

Треба да знаш: да решиш систем линеарних неједначина са једном непознатом; да представиш скуп решења система линеарних неједначина са једном непознатом на бројној прави и са интервалима.

Провери се!

Реши систем линеарних неједначина са једном непозном:

.

Шта је решење система линеарних неједначина: и R(а1x > 5) = (0, +)?

Sistem linearnih nejedna~ina sa jednom nepoznatom

103

Задаци Реши систем:

Реши систем:

Реши систем:

Реши систем:

LINEARNE FUNKCIJE

13

LINEARNA FUNKCIJA

Подсети се! Права и обратна пропорционалност су функције. Оне се обично задају формулама.

Kоја пропорционалност је исказана формулом у = 2x?

Kоја пропорционалност је исказана формулом

Kако ћеш израчунати колико воде има у посуди за х = 1 минут, а како за х = 2 минута?

104

A 1.

У једној посуди која сакупља 35 l има 5 l воде. Једна цев пуни посуду са 3 l воде у минути.

Kолико литара воде ће бити у посуди после: 1 минуте; 2 минута; 2,5 минута; 5 минута; 10 минута?

Kолико литара водe (у) ће бити у посуди после протеклих (х) минута? Направи табелу са датим подацима.

За х = 1 минут, у = 3 l; за х = 2 минута, у = 3  2 + 5 = 11 l.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Уочи да ће после х минута у посуди бити Зх + 5 литара воде, тј. у = Зх + 5. Сагледај да процес пуњења посуде водом може да се опише као функција f изражена формулом f(х) = Зх + 5. Према формули можеш да саставиш табелу и других вредности за х (време), поред дате.

x

1

1,5

2

2,5

3

5

9

10

f(х) = Зх + 5

8

9,5

11 12,5 14

20

32

35

После колико минута ће се посуда напунити водом?

Запази да се, у зависности од природе проблема, време х може мењати од 0 до 10 минута. Уколико разгледаш само формулу f(х) = Зх + 5, тада х може да буде било који реалан број. Сваком реалном броју х се придружује одређен број у, такав да је у = f(х). Формулом f(х) = 3х + 5 је дата функција f у скупу R која представља пример за линеарну функцију.

Запази и запамти! Функција f која је задата формулом f(х) = kх + n, где су k и n било који дати реални бројеви, назива се линеарна функција. Број k се назива коефицијент испред аргумента, х, а n је слободан члан. Ако је линеарна функција задата формулом и ако ништа није речено о домену, онда ћемо сматрати да је домен те функције R.

2. Запиши линеарну функцију у којој су: а) k = 3 и n = 5; б) k = 2 и n = -3;

в) k = -2 и n = -1; г) k = 5 и n = 0.

Kаков облик има функција у којој је k = 5 и n = 0 из задатка 2? Kакву пропорционалност представља функција?

Уколико је k = 5 и n = 0, тада функција добија облик f(х) = 5х. То је права пропорционалност.

3. Запиши линеарну функцију у којој је: коефицијент испред аргумента 4, а слободни члан 2; коефицијентот испред аргумента -3, а слободни члан 1; коефицијентот испред аргумента -2, а слободни члан 0 Linearna funkcija

105

B 4.

Дата је линеарна функција f(х) = х - 2. Одреди: f(0);

f(-2);

f(2).

За коју вредност аргумента х је вредност f(х) функције нула?

За х = 2 се добија f(х) = 2 - 2 тј. f(х) = 0, за х = 2.

Запамти Вредност аргумента х за коју је вредност функције у нула, зове се назив нула функције.

5. Провери да ли је број -3 нула функције f(х) = х + 3.

6. Одреди нулу функције: а) у = -3х + 6;

б) у = 2х - 1.

Запази да у датим функцијама, уместо f(х), стоји у. Овако ћемо записивати линеарне функције и даље.

Kако ћеш одредити х у функцији у = kх + n , тако да у = 0?

Да би било у = 0, треба да је kх + n = 0. Одатле kх = -n, а х = − n , за k ≠ 0. k

Упореди властито решење функције под а). а) Вредност функције у = -Зх + 6 је нула ако је: -3х + 6 = 0; -3х = -6; 3х = 6; х = 2, тј. број 2 је  нула функције у = -Зх + 6.

7. Одреди нулу сваке од следећих функција: а) у = х - 5;

б) у = 5х - 3;

в) у = -3х;

Треба да знаш: да дефинишеш линеарну функцију; да укажеш на коефицијент и слободан члан линеарне функције;

1 2

г) = x – 2.

Провери се!

Kоја од следећих функција је линеарна функција? а) у = 6х; б) − n ; в) у = 2х2 - 1; k

г) у = -2х + 1;

д) у = х + 3.

да одредиш нулу линеарне функције. Одреди нулу функције у = -2х - 6.

106

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Задаци 1. Одреди која од следећих функција је ли-

4. Одреди нулу функције:

неарна:

2. Запиши линеарну функцију у којој су:

5. Нула функције у = kх + n је х = 2, а n = -3. Одреди коефицијент испред аргумента.

3. Одреди коефицијент испред аргумента и слободни члан у функцијама:

14

6. За функцију у = kх + n, х = -2 је нула функције, а слободни члан је за 3 већи од коефицијента испред аргумента. Одреди k и n.

GRAFI^KO PREDSTAVQAWE LINEARNE FUNKCIJE

Подсети се! На цртежу је дат правоугаони координатни систем Оху.

A 1.

Кроз тачке О и А на цртежу је повучена права. Покажи да је та права график функције у = 2х. Провери да ли тачке О(0, 0) и А(1, 2) припадају графику функције у = 2х.

Kако се зове оса х, а како оса y?

Kако се зове тачка О? Одреди координате тачке А.

Kолико правих пролази кроз две тачке?

Покажи да тачка (2,4) припада графику функције у = 2х.

Linearna funkcija

107

Kако ћеш показати да тачке O(0, 0) и А(1,2) припадају графику функције?

За х = 0, у = 2  0, у = 0. За х = 1, у = 2  1, у = 2 Следи да тачке О и А припадају графику функције.

Запази, на цртежу, да је повучена права кроз тачке О и А, које припадају графику функције у = 2х. Сагледај образложење да свака тачка на прави ОА задовољава услов у = 2х, а тачка која не припада ОА не задовољава тај услов.

 Изаберимо произвољну тачку В(х1, у1) која лежи на прави ОА (види цртеж).  Уочи да је ОNВ ~ ОМА. Из сличности тих троуглова следи да је NB : ON = MA : OM , тј. y1 : х1 = 2 : 1; y1 = 2х1. Значи тачка В(х1, у1) припада графику функције у = 2х.

 Изаберимо тачку С која не припада правој ОА, а има исту апсцису са тачком В (види цртеж).  Будући да је у1 = 2х1, следи да је NB = 2 ON . Запази да је NC ≠ 2 ON , тј. тачка С не задовољава услов у = 2х. Значи да тачка С не припада графику функције.

Можемо да кажемо да је график линеарне функције у = 2х права која пролази кроз координатни почетак. Важи уопштено, тј. важи следећа

Теорема 1 График линеарне функције у = kх, за било који k ∊ R је права која пролази кроз коорди натни почетак.

2. Дата је функција у = -Зх. Провери да ли тачке: А (1,-3) и В (-1,3) припадају графику функције. Представи графички функцију.

B 3.

На цртежу је дат график функције у = 2х и кроз тачке Р и В је повучена права. Покажи да је права РВ график функције у = 2х + 3. Одреди координате тачке Р у којој график функције у = 2х + 3 сече у-осу. Према цртежу, одреди координате тачке В која припада графику функције у = 2х + 3. Одреди OP и AB .

108

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Упореди властито решење са датим.

 За х = 0, у = 2  0 + 3; у = 3. График функције у = 2х + 3, сече у осу у тачци Р са координатама Р(0, 3).  За х = 1, у = 2  1 + 3; у = 5. Тачка В(1, 5) припада графику функције у = 2х + 3.

 Уколико аргументу х додаш вредност а, тада функција у = 2х добија вредност 2а, а функција у = 2х + 3 има вредност 2а + 3.

 Запази да је ордината сваке тачке графика функције у = 2х + 3 за 3 (слободни члан) већа од ординате са истом апцисом функције у = 2х.

 Дужи OP

и AB су паралелне и OP = AB . Према томе четрвороугаоник ОАВР је паралелограм, а из тога следи да су праве и РВ паралелне. Уочи да је график линеарне функције у = 2х + 3 права паралелна са графиком функције у = 2х, а да је ординатна оса сече у тачци (0, 3). Важи уопштено, тј. важи следећа

Теорема 2 График функције у = kх + n је права паралелна са графиком функције у = kх, а ординатна  оса је сече у тачци (0, n).

4. Одреди координате тачке у којој је график функције у = 2х -3 сече у-осу.

V 5.

Графички представи функцију у = 3х - 2. Са колико тачака је одређена једна права? Да ли можеш то да искористиш у овом задатку?

Права је одређена двема тачкама које јој припадају. Значи, треба да одредим координате двеју тачака које припадају графику функције.

Упореди властито решење са добивеним.

у = 3х – 2 x

0

2

y

-2

0

у = 3  0 - 2, у = 3  1 - 2,

у = -2, А(0, -2) у = 1, В(1,1)

Linearna funkcija

109

Запази и запамти! Линеарна функција графички се представља на тај начин што се прво одређују координате двеју тачака њеног графика, после тога се те тачке представљају у координатној равни и кроз њих се повлачи права. Та права представља график дате функције.

6.

Представи графички функцију у = -2х + 1.

7.

На цртежу је графички представљена функција у = х - 2. Одреди координате тачке пресека А на графику са апсцисом. Одреди нулу функције.

x

0

2

y

-2

0

Упореди нулу функције са апсцисом пресечне тачке. Шта очекујеш? Упореди властито решење са датим. Ако у = 0, тада је 0 = х - 2, х = 2, тј. А(2, 0); 

нула функције је 2.

Запамти! Апсциса пресечне тачке графика линеарне функције и х-осе је нула функције.

Треба да знаш: да одредиш да ли дата тачка припада графику дате функције; да одредиш координате тачке у којој график функције сече ординатну осу; графички да представиш линеарну функцију; са графика функције да одредиш нулу функције.

Провери се!

Kоја од тачака: А(0, 0), В(2, 6) и С(-1,3) припада графику функције у = -Зх? Представи графички функцију у = -2х - 1. Са графика одреди нулу функције, а после тога изврши проверу.

Задаци 1. Kоја од тачака: А (-2, -5), В(-1, -2),

С(0, 3) и D(2, -1) припада графику функције у = х - 3?

110

2. За коју вредност х тачка А(х, 2) припада графику функције у = Зх - 1?

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

3. Представи графички функције: у = Зх; у = Зх + 2; у = Зх - 2.

4. Одреди координате тачке у којој функција у = 2х - 4 сече апсцисну осу.

15

5. У функцији у = -2х + n одреди n тако да тачка Р(1, З) припада њеном графику.

6. У функцији у = kх - 2 одреди k тако да тачка А(1, 0) припада њеном графику.

UZAJAMNI POLO@AJ GRAFIKA NEKIH LINEARNIH FUNKCIJA Подсети се!

A 1.

График функције у = kх пролази кроз координатни почетак. Којој од функција: у = Зх, у = х - З, график пролази кроз координатни почетак?

Kоје од функција;

Представи графички, у истом координатном систему, функције: у = 2х; у = 2х - З; у = 2х + З; Сагледај шта имају заједничко дате функције. У каквом су узајамном положају графици функција у = 2х - 3 и у = 2х + 3 са графиком функције у = 2х?

имају исти коефицијент испред аргумента?

На цртежу су представљени графици функција. Какви су њихови коефицијенти и какав је узајамни положај њихових графика? Дате функције имају коефицијент испред аргумента, а њихови графици су паралелне праве. То важи уопштено за све функције са истим коефицијентом испред аргумента.

Запамти Графици линеарних функција са истим коефицијентом испред аргумента су паралелне праве.

1 2

2. Дата је функција у = х - 2 . Код које од функција: у =

1 х + 2; 2

1 2

у = 2х - ;

1 2

у = х + 5 график је права паралелна са графиком дате функције?

Linearna funkcija

111

3. У функцији у = kх - 3 одреди k тако да њен график буде права која је паралелна са графиком функције у = 5х - 2.

B 4.

Графички представи, у истом координативном систему, функције: у = -2х + 3; у = х + 3; у = -х + 3. Одреди координате на тачци у којој график сваке функције сече у-осу; Уочи шта имају заједничко дате функције. Запази слободне чланови у функцијама. Kакве су оне међусобно?

Дате функције имају исти слободан члан +3 и различите коефицијенте испред аргумента. Они секу ординатну осу у тачци са координатама (0, 3).

То важи уопштено за функције са истим слободним чланом n.

Запамти Графици линеарних функција са истим слободним чланом који секу ординатну осу у тачци са координатама (0, n).

5. Дате су функције: у = Зх - 2; у =

1 - 2; и у = -2х + 3.

2

Kоји од графика тих функција се секу у тачци на у-оси? Одреди координате те тачке.

6. Одреди координате тачке у којој график функције у = 1 х + 2 сече ординату осу.

2

V 7.

Запиши функције у којима је: а) k = 0, n = 3; Добивене функције представи графички. Упореди властито решење са датим.

112

б) k = 0, n = 1; и в) k = 0, n = -2.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Уочаваш да је коефицијент испред аргумента у датој функцији 0, а да су њихови графици праве које су паралелне са апсцисом. У функцији у = 0  х + n е у = n, тј. на сваку вредност за х, вредноста за у је n. Функција у = n се назива константна функција.

Запази и запамти! График константне функције у = n је права која је парелелна са х-осом. Њен график сече у-осу у тачци (0, n).

Треба да знаш: да објасниш када су графици линеарних функција паралелне праве; да објасниш када се графици функција секу у истој тачци на оси; графички да представиш константну функцију.

Провери се! Дата је функција у = 2х - 3. Којој од следећих функција у = -2х + З, 1

у = 2х - 1 и у = х - 3 график представља 2 праву која: а) је паралелна са графиком дате функције; б) сече ординатну осу у истој тачци са графиком дате праве?

Задаци 1. Kојој од функција: 1 у = 3х - 2; у = -3х + 2; у = x – 2 3

график представља праву која је паралелна са графиком функције у = Зх?

2. Одреди k тако да график функције у = kх + 2 буде права која је паралелна са графиком функције y = 3х +

1 2

3. Одреди k и n тако да график функције у = kх + n буде паралелан са графиком функције у = 2х - 1 и да сече ординатну осу у тачци М (0, -З).

4. У функцији у = 2х + n одреди n тако што ће тачка М(0, -1) припадати графику функције.

5. Одреди k и n тако што ће график функције у = kх с + n бити паралелан са графиком функције у = -2х + 1 тако да тачка Р (-2, 6) припада графику те функције.

6. Представи графички, у истом коорди-

натном систему, функције: у = -3; у = 2 и у = 4.

Linearna funkcija

113

16

RAST I OPADAWE LINEARNE FUNKCIJE

Подсети се!

A 1.

Дата је линеарна функција у = 3х - 2. Представи функцију на табели за х ∊ {-2, -1, 0, 1, 2}. Графички представи функцију.

Kако се мења вредност функције ако се аргумент х повећава?

На цртежу је представљен координатни систем Оху.

Упореди властито решење са датим. у = 3х - 2 Kако се мења величина бројева који су постављени на х-оси, са лева на десно?

х

-2 -1

0

1

2

у

-8 -5 -2

1

4

Kако се мења величина бројева који су постављени на у-оси, одозго према доле?

 Из табеле можеш да уочиш да:

ако се повећава вредност аргумента, тада се повећава и вредност функције.

Због тога се за функцију у = 3х - 2 каже да је растућа.

Уопштено За линеарну функцију у = kх + n се каже да је растућа уколико се повећњем вредности аргумента повећава и вредност функције.

2. Дата је функција у = 4х - 1. Представи функцију табелом за х ∊ {0, 1, 2, З}. Утврди да ли је функција растућа.

B 3.

Дата је функција у = -2х + 1. Представи функцију са табеле за х ∊ {-2, -1, 0, 1, 2} и графички.

Kако се мења вредност функције, уколико се вредност аргумента повећава?

114

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Упореди властито решење са датим. x

-2 -1

0

1

у

5

I

-1 -3

3

2

Из табеле можеш да уочиш да: 

ако се вредност аргумента х повећава, онда се вредност функције смањује.

Због тога се за функцију у = -2х + 1 каже да је опадајућа.

Уопштено За линеарну функцију у = kх + n се каже да је опадајућа, ако се повећавањем вредности аргумента х, вредност функције смањује.

4. Дата је функција у = -3х + 2. Представи функцију помоћу табеле за х ∊ {0, 1, 2, 3}. Утврди да ли је функција опадајућа.

5.

Kакав број (позитиван или негативан) је коефицијент испред аргумента у функцији: у = 3х - 2 и у = 4х - 1 из задатака 1 и 2?

Kакав број је коефицијент испред аргумента у функцијама: у = -2х + 1 и у = -3х + 2 из задатака 3 и 4?

Kоје од функција су растуће, а које опадајуће? Шта си закључио из датих функција: када су оне растуће, а када су опадајуће?

У функцијама: у = 3х - 2 и у = 4х - 1 коефицијент испред аргумента је позитиван број и оне су растуће. У функцијама: у = -2х + 1 и у = -3х + 2 коефицијент испред аргумента је негативан број и оне су опадајуће.

То што сте уочили о функцијама: у = 3х - 2 и у = 4х - 1, односно за у = -2х + 1 и у = -3х + 2 и о константним функцијама у = 3, у = 1, у = -2 важи уопштно за линеарне функције.

Запамти Ако је у функцији у = kх + n, коефицијент k позитиван, тада је функција растућа, а ако је k < 0, функција је опадајућа. Ако је k = 0, тада функција у = n нити расте нити опада.

6.

Одреди која од следећих функција је растућа, а која опадајућа:

Linearna funkcija

115

Треба да знаш: да утврдиш да ли је нека линеарна функција растућа или опадајућа; да ја објасниш поступак утврђивања је ли нека линеарна функција растућа или опадајућа.

Провери се! Одреди помоћу табеле да ли је функција растућа или опадајућа а) у = Зх - 5;

x

0

1

2

3

y

-5 -2

1

4

1 2

б) у =- х + 2.

x

0

2

4

6

y

2

1

0

-1

Одреди да ли је функција у = kх + n растућа или опадајућа, ако: 1 2

а) k = - ;

2 3

б) k = -3;

в) k = - ;

г)k = 0.

Задаци 1. Одреди која од датих функција је растућа: 2 5

а) = х - 2;

в) у = -х - 3;

б) у = -2х + 5;

г) у = х - 2.

2. Одреди која од датих функција је опадајућа: а) =

1 х + 2; 3

б) у = -3х + 1;

5. Представи графички функцију

1 2

г) = - х + 2.

1 2

функција је у = kх + n е

116

утврди да ли је она растућа или опадајућа, ако: а) p = 2; б) p = -1.

у = (а - 3)х + 1 и утврдите да ли је она растућа или опадајућа, ако: а) а = 0; б) а = 5.

в) у = 3х - 5;

3. За коју вредност k ∊ {-2, - -, а) растућа;

4. Представи графички функцију у = 2рх - 1 и

б) опадајућа?

1 , 3} 3

6. График функције у = kх + n сече у-осу у та-

чци Р(0,2) и пролази кроз тачку А(1, -1). Одреди да ли је функција растућа или опадајућа.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

17

GRAFI^KO RE[AVAWE LINEARNIH JEDNA^INA SA JEDNOM NEPOZNATOM Подсети се!

A 1.

Нула функције је вредност аргумента за коју је вредност функције једнака нули. Одреди нулу функције у = 2х - 4.

Дата је функција у = 3х - 6. Представи графички функцију. Са графика одреди нулу функције. Одреди решење једначине 3х - 6 = 0.

Одреди координате тачке у којој график функције у = 2х – 4 сече х-осу.

Kако ћеш одредити решење једначине 3х - 6 = 0 помоћу графика функције у = 3х - 6?

Упореди нулу функције у = 3х - 6 са решењем једначине 3х - 6 = 0.

Представићу функцију у = 3х - 6 и одредићу координате тачке пресека на графику са х-осом. Тако ћу одредити нулу функције, а тај број је решење једначине 3х - 6 = 0.

Упореди властито решење са датим.

 Тачка пресека на графику и х-оси је М(2, 0).  Нула функције у = 3х - 6 је х = 2.  Решење једначине 3х - 6 = 0 је 6 3

3х - 6 = 0 ⟺ 3х = 6 ⟺ х = , х = 2.

 Решење једначине 3х - 6 = 0 је апсциса тачке пресека на графику функције у = 3х - 6 и х - осе, тј. х = 2. То важи уопштено за линеарне једначине.

Запази и запамти! Решење једначине ах + b = 0, за а ≠ 0 је апсциса тачке пресека на графику функције у = ах + b са х-осом.

2. Реши графички једначину х + 2 = 0.

Linearna funkcija

117

B

3. Реши графички једначину 2х - 3 = -х + 3. Запази да једначину 2х - 3 = -х + 3 можеш да решиш графички ако је претходно трансформишеш у општи облик ах + b = 0. Поступи према захтевима и сагледај други начин графичког решења једначине.

Реши једначину 2х - 3 = -х + 3. Из израза на левој и десној страни једначине запиши функције у = 2х - 3 и у = -х + 3, а потом их представи графички. Упореди своје решење једначине са апсцисом на пресечној тачци графика функције. Упореди властито решење са датим. у = 2х - 3

у = -х + 3

x

0

1

x

0

1

y

-3 -1

y

3

2

 Уочaваш да се графици двеју функција секу у тачци

М(2, 1).  Апсциса тачке М је х = 2, а то је и решење једначине 2х - 3 = -х + 3.

 Kоефицијенти испред аргумента двеју функција су различити (2 ≠ -1), графици имају једну заједничку тачку и једначина има једно једино решење.

4.

Реши графички једначину 2х - 3 = х + 1.

5.

Реши графички једначину 2х - 1 = 2х + 3. Упореди коефицијенте испред аргумента функција које ћеш добити. Шта уочаваш? У каквом узајамном положају ће бити графици?

Обе функције у = 2х - 1 и у = 2х + З имају исти коефицијент испред аргумента, а слободни чланови су им различити. Графици ових функција су паралелне праве, тј. ове функције немају заједничку тачку.

Упореди властито решење са датим. у = 2х + 3 у = 2х - 1 x

0

1

x

0

1

y

-1

1

y

3

1

Графици функција у = 2х - 1 и у = 2х + 3 су паралелне праве. Оне немају заједничку тачку, па једначина нема решење.

118

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

6. Kоја од датих једначина нема решење? а) 2х - 3 = Зх - 2;

б) 4х - 1 = 4х + 2;

в) 2х - 5 = -2х + 3.

7. Реши графички једначину 2x + 1 = 2х + 1. Упореди коефицијенте и слободне чланове функције које добијаш са изразима на левој и десној страни једначине. Шта можеш да закључиш?

Kоефицијенти испред аргумента и слободни чланови функција: у = 2х + 1 и у = 2х + 1 су једнаки, а графици функција се поклапају.

Упореди властито решење са датим.  Уочи да је једначина 2x + 1 = 2х + 1 идентитет. у = 2х + 1

у = 2х + 1

x

0

1

x

-1

0

y

1

3

y

-1

1

Графици функција су праве које се поклапају и једначина има бесконачно много решења.

8. Одреди која од следећих једначина: 3х - 1 = 2х + 1; 3х - 2 = 3 + 1; 5х - 1 = 5х - 1. а) има само једно решење; б) нема решење; в) има бесконечно много решења.

Треба да знаш: Провери се! графички да решиш линеарну једначину са једном непознатом; из графика да закључиш да ли једначина има само једно решење, да ли нема решење или има бесконачно много решења.

Према цртежу одреди решење једначине 2х - 1 = х + 1. Одреди колико решења има свака од датих једначина: 2х - 1 = 2х + 3; 3х - 2 = 2х - 3.

Задаци 1. Реши графички једначину: а) х - 2 = 0;

б) 2х - 6 = 0.

3. У једначини 2х - 3 = kx + 1, одреди k, тако да једначина нема решење.

2. Реши графички једначину: а) х + 1 = 2х - 1;

б) 3х - 1 = -х + 3.

Linearna funkcija

119

4. Одреди k и n у функцији у = kх + n, тако да једначина kх + n = 2х + 3 има бесконечно много решења. Покушај... Толстојеви косачи Једна група косача је требало да окоси 2 ливаде, од којих је једна два пута већа од друге. Пола дана су сви косачи косили на већој ливади, а после тога су се поделили на две једнаке групе. Прва група је остала на великој ливади коју је окосила до краја дана, а друга група је косила малу ливаду, али им је на крају дана остао један мали део ливаде непокошен. Колико косача је било у групи? РАД СА ПОДАЦИМА

18

SLU^AJNI DOGA–AJI. VEROVATNOST DOGA–AJA

Подсети се!

Бојан баца новчић у ваздух. После његовог падања на земљу, могуће је Једна фудбалска екипа игра утакмицу. на његовој горњој страни буде појаМогући исходи утакмице у вези резулви „глава» или „број“. тата су: победа, нерешено, пораз.

Kолико могућности исхода има? Бојан жели да се појави „број“, тј. У једној кутији има белих, црних и црвеповољан исход за Бојана је „број“. них лоптица. Извлачи се једна лоптица.

Kакве су шансе да се падне „број“ у односу на Који су могући исходи извлачења? „главу“?

Kолико пута може да се понови бацање новЈедна коцка за играње се баца на сто и чића у ваздух? после њеног заустављања, једна њена страна је одозго. Који исходи су могући Бацање новчића у ваздух је експеримент. у вези са бројем тачака на тој Извачење карте из шпила са 52 карте је друстрани коцке? ги пример експеримента. Сваки резултат (исход) у вези са датим експериментом Е се назива догађај (или последица). При експерименту бацања новчића у ваздух, шанса да се појави „број“ или „глава“ је једнака. За ове догађаје кажемо да су једнако могући. Експеримент Е, „бацање новчића у ваздух“, може да се понови, под истим условима, колико пута желимо, тј. може да се направи серија од n таквих експеримената.

120

A 1.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Посматрајмо догађај А: „пао је на главу“ у сваком од тих експеримената. Означимо са р(А) број експеримента у коме се појавио догађај А у једној серији од n експеримената.

Kонкретно! У следећој табели је записано посматрање догађаја А: „пао је на главу» у пет серија од по 100 експеримената. Запази количник

Серија

Р(А)

1

52

0,52

2

49

0,49

3

53

0,53

4

51

0,51

5

48

0,48

, тј.

p(A) за сваку серију.

100

Запази да су бројеви у колони близу броју 0,5. Уколико се број експеримената у серији повећава, тада ће овај број бити све ближи до 0,5. Овај број представља статистичку вредност догађаја А. Број којем се приближавају количници изведенх серија се назива статистичка вероватност догађаја А. Означава се са V(А).

Уколико разгледамо серију n експеримента, онда број р(А) при појављивању догађаја А може да буде најмање 0, а највише n, тј. 0 ≤ р(А) ≤ n. Уколико овај израз поделимо са n, добићемо тј. за сваку серију од n експеримената налази између 0 и 1. Према томе, и Уочи да се број статистичка вероватност догађаја А је између 0 и 1, тј. 0 ≤ V(А) ≤ 1. Догађај А: „пао је на главу“ у експерименту „бацање новчића у ваздух“ се назива случајни догађај.

Уопштено УопштеноЗа један догађај А у вези експеримента Е се каже да је случајан догађај, уколико важе следећа два услова: 1.  Експеримент Е може да се понови при истим условима колико пута желимо.

2.  Из више извршених серија експеримента Е, количници једнаки.

2.

те серије су приближно

Маја има играчку, која се назива чигра. Уколико окрене стрелицу, могућа су три догађаја: да стрелица стане на црвено поље, на жуто поље или на плаво поље. Уочи величину сваког поља. Да ли је сваки од догађаја једнако могућ? Ако није, који догађај је са највећом могућношћу?

Linearna funkcija

121

Догађаји нису једнако могући, три обојена поља нису исте величине.  Шансе да стрелица стане на црвено поље су највеће, јер црвено поље има највећу површину. Значи, то да ће стрелица стати на црвено поље је највише могућ или највероватнији догађај.

3.

Разгледај цртеже експеримената. За сваки експеримент запиши: могуће догађаје; да ли су ти догађаји једнако могући; уколико догађаји нису једнако могући, који догађај је највероватнији.

Окретање стрелице

Бацање лопте у кош

B 4.

Окретање стрелице

Бацање плаве и црвене коцке у исто време (догађај су уређени парови)

Бацање новчића од два денара

Догађај неког експеримента може да буде сигуран, немогућ или могућ (вероватан). Разгледај примере: Дате су три кутије са лоптицама у боји. Испод сваке кутије су записане тврђења о догађајима извлачења лоптица без гледања.

Садржи 20

Сигурно може да се извлече црна лоптица. Немогуће је да се извуче црвена лоптица.

122

Бацање коцке са странама означеним са А, Б, В, Г, Д, Ђ

Садржи 10 10

Могуће је да се извуче или црна или црвена лоптица. Немогуће је да се извуче бела лоптица.

Садржи 6 14

Могуће је да се извуче или црна или црвена лоптица. Већа је могућност да се извуче црвена него црна лоптица.

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

Kада је сигурно да ће се догађај догодити, кажемо да има вероватноћу 1 или 100%. Пример, извучена црна лоптица из прве кутије. Када је немогуће да се догоди догађај, кажемо да има вероватноћу 0. Пример, извучена бела лоптица из друге кутије. Све друге могућности или вероватноћа су између 0 и 1. Пример, извучена црвена лоптица из треће кутије.

5.

Уочи лествицу вероватноће. једнако могуће

немогуће

мало вероватно

сигурно

више вероватно

Догађај 1 Сутра путујеш на Марс.

2 Вечерас ћу писати домаћи задатак из математике.

3 Сви твоји другови ће сутра ићи у школу.

4 Данас ће падати киша.

5 Један вулкан ће ове године имати ерупцију.

6 Падаће снег у августу.

7 Ове године ће падати киша.

8 Ако бациш пластичну боцу, она ће се поломити.

9 Путоваћеш од Скопља до Битоља бродом.

једнако могуће мало вероватно

в) образложи свој одговор.

више вероватно

Kористећи лествицу вероватноће за сваки догађај са листе понуђене у даљем тексту ниже, одговори: а) колика је вероватноћа да се догађај деси опиши са: немогуће, мало вероватно, једнако вероватно, више вероватно или сигурно; сигурно б) нацртај лествицу, као што је приложена, и на њој означи 1, 2, 3,... 10, према томе колика је вероватност да се то догоди;

10 Ако бациш коцку, пашће се број 5. немогуће

Linearna funkcija

123

Треба да знаш: Провери се! да разликујеш могуће и немогуће догађаје; да образложиш који догађај је случајни догађај; да наведеш примере догађаја са вероватноћом 0, између 0 и 1 и вероватноћом 1; да процениш вероватноћу догађаја неког једноставног експеримента.

Запиши по један пример: догађаја који има вероватноћу 0; догађаја који има вероватноћу 0,5; догађаја који има вероватноћу 1.

Задаци 3. Запиши свако слово речи АНАНАС на

1. Уочи стрелице:

a)

б)

посебној картици. Измешај картице и извуци картицу, без гледања.

в)

г)

Kоји од распореда по коме су записани је одговарајући за уређивање према вероватноћи да стрелица стане на плаво поље? а б в г; г в б а; а в б г; в б г а.

2. У једној кеси се налазе 2 плаве и 3 наранџасте коцке. Опиши вероватноћу да се извуче:

Опиши вероватноћу извлачења: а) слова Н; б) слова А; в) слово А или слово Н; г) слова С.

Kолико картица најмање треба да извучеш да би био сигуран да ћеш добити сва слова имена АНА?

Покушај:

У једној фиоци има црних и црвених чарапа.

Kолко Аца најмање пута треба да узме, без гледања, по једну чарапу из фиоке, да би био сигуран да ће извући један пар чарапа у истој боји?

плава коцка; наранџаста коцка; или плава коцка или наранџаста коцка; жута коцка.

124

Tema 2. Linearna jedna~ina, linearna nejedna~ina i linearna funkcija

U^IO SI O LINEARNIM JEDNA^INAMA, LINEARNIM NEJEDNA^INAMA I O LINEARNOJ FUNKCIJI. PROVERI SVOJE ZNAWE 1.

Провери да ли је х = 3 решење једначине 3х - 2 = х + 4.

2.

Једеначина 5х - 3 = 2х + 3 има решење х = 2.

Kоја од следећих једначина је еквивалентна датој: а) х + 2 = 7 - х; б) 2х - 1 = х + 1; в) 3х - 1 = 2х + 3?

9.

Реши неједначину:

Представи решење помоћу интервала и графички.

10. Реши систем неједначина:

3. Реши једначину: а) 3х - 2,5 = х + 1,7; б) 4(х - 1) - 3(2х + 1) = -9;

4.

У једначини ах + 4 = 5х - а + 11 одреди а, тако да х = -2 буде решење те једначине.

5. Збир три узастопних природних бројева је 84. Kоји су то бројеви?

6.

Камион је кренуо из места А ка месту В брзином од 50 km на час. Два сата касније из места А су кренула лака кола брзином од 75 km на час. Лака кола су стигла камион у месту В. Одреди растојање измеђуместа А и В.

7.

Провери да ли је х = -1 решење неједначине 3х2 - 2х > х + 3.

8.

У скупу D = {0, 1, 2, 3} су дате једначине: 2х - 1 > х - 2; 3х + 1 > 2х - 3. Провери да ли су дате неједначине еквивалентне.

Представи решење система интервалима и графички.

11. Дата је линеарна функција у = 2х -3. Представи графички ту функцију. Одреди нулу функције.

12. Дата је функција у = 2х - 3. Одреди која од тачака: А(0, -3), В(1, 1) и С(2, 1) припда графику те функције.

13. У функцији у = 2х + n одреди n тако да тачка М(1, -1) припада графику те функције.

14. Одреди која од следећих функција је растућа, а која је опадајућа. у = -3х + 1; у = 3х - 2; у = 2х - 3; y = -х - 1.

15. Реши графички једначину 3х - 1 = х + 3.

Proveri svoje znawe

125

126

TEMA 3

SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 1. Линеарна једначина са две непознате 128 2. Еквивалентне линеарне једначине са две непознате 131 СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 3. Систем од две линеарне једначине са две непознате 134 4. Графичко решавање система линеарних једначина са две непознате 138

5. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом замене 6. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 7. Примена система линеарних једначина са две непознате 8. Решавање проблема помоћу Дирихлеовог принципа Провери своје знање

Linearni ravenki so dve nepoznati

141

145 148 153 157

127

LINEARNA JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE

1

LINEARNA JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATI Подсети се!

A 1.

Према броју непознатих, једна једначина може да буде: - са једном непознатом; - са две непознате итд. Према степену непознатих, једначина може да буде: - линеарна (једначина првог степена); - квадратна (једначина другог степена); - кубна (једначина трећег степена) итд. Према томе да ли једначина садржи параметре или не, она може да буде: - параметарска једначина; - једначина са посебним коефицијентима. Уочи једначине: а) 2x + 3 = 5 б) 2x + y = 3 в) 2x2 = x + 1 г) 2x + y = k x + 3 Свакој једначини одреди тип, према броју непознатих и према степену непознатих. Која од ових једначина је једначина са параметром?

Које вредности може да има х, а које y у једначини х + y = 9?

Јован и Илија имају заједно 9 бомбона. Колико бомбона има Јован, а колико Илија? Колико решења има задатак? Уочи следећа решења задатка:

Јован 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Илија 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Нека је помоћу пара бројева (0, 9) представљено решење: Јован има 0 бомбона, а Илија има 9 бомбона. Запиши као уређене парове сва друга решења, ако је први број у пару број бомбона које има Јован, а други број у пару - број бомбона које има Илија. Нека је знаком х обележен број Јованових бомбона, а знаком y број Илијиних бомбона. Реченица Јован и Илија имају заједно 9 бомбона може да се запише као: х + y = 9.

Вредност променљивих х и y су елементи скупа {0, 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6, 7, 8, 9} тако да њихов збир буде 9.

Скуп А = {0, 1, 2 , 3 .... 8, 9} представља дефинициони скуп за једначину х + y = 9. Скуп уређених парова {(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)} представља скуп решења једначине х + y = 9. Уочи да је х + y = 9 једначина која је према броју непознатих са 2 непознате, према степену непознатих - линеарна. Одреди врсту једначине 2x - y = 5 према броју непознатих и према степену непознатих.

128

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Уколико за једначину није дат дефинициони скуп, надаље ћемо сматрати да је то скуп релативних бројева R.

Запамти Једначина у облику ax + by = c, у којој су a, b и c реални бројеви (коефицијенти), а x и y су реалне непознате, зове се линеарна једначина са две непознате. Запази једначину 4x + 3y = 9; она је линеарна једначина са две непознате, x и y, а коефицијенти су бројеви 4, 3 и 9.

B 2.

Дата је једначина 3x + y = 7. Нађи неколико вредности за x и y, за које једначина пролази у тачну бројну једнакост. Провери да ли је уређени пар (x, y) решење једначине уколико је: а) x = 2 и y = 1; б) x = 1 и y = 3; в) x = 4 и y = -5; г) x = -1 и y = 10.

Запази пример: за x = 1 и y = 4.

3x +y =7; 3  1 + 4 = 7; 7=7. Сагледај да је уређени пар (x, y) = (1, 4) једно решење једначине.

Решење линеарне једначине са две непознате је сваки уређени пар реалних бројева за који једначина прелази у тачну бројну једнакост. Скуп М {(x, y) | x, y ∊ R и 3 x + y = 7} представља скуп решења једначине 3x + y = 7.

3.

Провери да ли је уређени пар (x, y) = (4, -6) решење једначине 2 x - 1 y = 10.

2

Да ли једначина 3(u - 2) =2(1 - v) прелази у тачну бројну једнакост за u = 0 и v = -5?

4.

Дата је једначина x - 2 y = 4. Одреди три њена решења. Сагледај поступак.

 Треба да се изабере произвољни реалан број x. Пример x = 3.  Треба да се замени вредност x у једначини 3 - 2 y = 4.  Треба да се реши добивена линеарна једначина са једном непознатом чије је решење: 3 - 2 y = 4;

-2 y = 4 - 3;

 Значи, уређени пар (x, y) = (3, -

-2y = 1;

-y=

1 ; 2

y=-

1 .

2

1 ) је једно решење дате једначине.

2

Примењујући показани поступак, пронађи још два решења дате једначине.

Linearna jedna~ina sa dve nepoznate

129

Провери се!

Треба да знаш: која једначина је линеарна једначина са 2 непознате;

Која од једначина: x + 5 = у - 3; у - 7x = 10 и 9 = 2у је линеарна једначина са 2 непознате?

да одредиш решења линеарне једначине са две непознате.

Да ли уређени пар (1, 6) је решење једначине 3x - у = -3?

Задаци 1. За сваку од једначина запиши које су

4. Откако се у линеарној једначини са две непознате једна непозната замени датом бројном вредошћу, једначина прелази у: а) тачну бројну једнакост; б) линеарну једначину са једном непознатом; в) линеарну једначину са две непознате; г) линеарну неједначину. Који од ових исказа су тачни?

њене вредности, а који су њени којефицијенти: а) 2x - у = 3; в) у = 2z - 1; б) 3x + 2у = x - 4у + 1; г) 5u + 3v = 16.

2. Одреди да ли je уређени пар: а) (4, -6) је решење једначине 2x − 1 y = 10; 3

б) (0, -5) је решење једначине

5. Одреди решења за једначину: 2x + у = -1 за x е {-2, -1, 0, 1, 2}.

3 (u − 2) = 2(1 − v).

6. Задата је једначина 3(x + у) = 2x - 3. Извр3. Одреди непознату компоненту у уређеном пару (x, y) тако да одговарајућа једначина пређе у тачну бројну једнакост. а) ( б) (0, в) (-6,

130

, -2) за једначину у = 2x; ) за једначину 2x + у = 1 ; 2

) за једначину 1 x + 2у = 7.

2

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

ши следеће захтеве према датом редоследу: 1° ослободи се заграда у једначини; 2° запиши чланове са непознатом са леве стране, а чланове без непознате са десне стране знака „=“; 3°сведи израз на левој страни у нормални облик. Која се једначина добија?

2

EKVIVALENTNE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Подсети се!

A 1.

Који уређени пар реалних бројева је решење једне линеарнe једначине са две непознате? Провери да ли je уређени пар (x, у) = (-1, 2) решење једначинe 2x - у = -4 и једначинe 3x - у = x - 4.

А: 4x + у = 6;

4x + 4 = 6;

В: 2x + 1 у = 3; 2

2x +

4x = 6 - 4;

1 4 = 3; 2

В: 2x +

1 у=3 2

за у = 4. Упореди своје решење са датим.

4x = 2; x =

2x + 2 = 3;

Одреди решења једначинама А: 4x + у = 6 и

2 ; 4

2x = 3 - 2;

x = 1 . Решење: ( 1 , 4).

2

2x = 1; x =

2

1 .

2

1 2

Решење: ( , 4).

1

Уочи да је уређени пар ( 2 , 4) решење и за једначину А и за једначину В. Изабери вредност за x и одреди решења једначина А и В. Шта закључујеш?

2. Провери да ли једначине : 3(x + 2у) = 5у +1 и 3x + у = 1 имају једнака решења за x е {-1, 0, 1, 2}. Уочи поступак за x = -1.

3(x + 2у) = 5у + 1 ; 3(-1 + 2у) = 5у + 1; -3 + 6у = 5у + 1; 6у - 5у =1 + 3; у = 4; (x, у) = (-1, 4).

3x + y = 1; 3(-1) + y = 1; -3 + y = 1; y = 1 + 3; y = 4; (x, у) = (-1, 4).

Запази и упамти Две линеарне једначине са две непознате су еквивалентне ако су њихови скупови могућих решења једнаки. Исто као код линеарних једначина са једном непознатом, можеш да примениш трансформацију линеарне једначине са две непознате и да је сведеш у облик аx + bу = с.

Запази трансформације једначина:

Linearna jedna~ina sa dve nepoznate

131

Једначина Р2:

Једначина Р1

Трансформација (Т) Т1: Једна страна једначине замењује се идентичним изразом Т2: Сваки члан једначине може да се пренесе са једне на другу страну, али са супротним знаком: чланови са непознатом на леву страну, а константни чланови на десну страну. ТЗ: Обе стране једначине се множе истим бројем различитим од нуле.

Уочи да се коришћењем трансформација, једначине решења за Р1 и Р2 своде на x + 2у = 5 и 7x + 6у = 15, односно, у облик ax + by = c. Из овог облика можеш лакше да оредиш скуп решења једначина. За x = k, k е R, одређује се скуп могућих решења једначине

Одреди решења за Р1 и Р2 за:

а) k = 0;

б) k = 2;

3. Одреди скуп решења за једначину: а) у = Зx - 5;

B 4.

в) k = 4. б) x - 1 = 3x - у.

Одреди скуп решења за једначину -2x + у = 1, а затим их представи графички у правоугаони координатни систем.

Уочи постапак и упореди твоје решење са задатим:  -2x + у = 1  у = 2x + 1; за x = k, k  R; у = 2k + 1. Скуп решења за једначину је: {(k, 2k + 1) | k  R}. 

Записујемо: R(-2x + у = 1) = {(k, 2k + 1) | k  R}. Одреди решења једначине: а) k = -1; б) k = 0; в) k = 1. Уочи да је једначином -2x + у = 1 у скупу (реалних бројева) R је одређена линеарна функција у = 2x + 1.

132

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

x -1 0 1 2 у -1 1 3 5

На цртежу је графички представљена функција у = 2x + 1 Уређени парови (x, y) из графика функције су решење једначине y = 2x + 1. Шта представљају ти парови за једначину -2x + y=1?

Пошто -2x + y = 1  y = 2x + 1, онда је уређени пар координата било које тачке графика функције y = 2x + 1 уствари решење једначине -2x+y=1.

Запази да је графиком линеарне функције y = 2x + 1, графички представљен скуп решења једначине -2x + y = 1. Кажемо да је то график једначине. Провери да ли су уређени парови који представљају координате тачака: А(-1, -1); В(0, 1); С(1, 3) и D(2, 5) решења једначине -2x + у = 1.

5. Одреди скуп решења једначине: 3x – y = 1 Провери да ли је уређени пар (-1, -4) решење једначине. Скуп решења једначине представи графички. Са графика једначине одреди другу координату тачке Ѕ(2, ни пар решење једначине 3x – y = 1.

). Сагледај да је добивени уређе-

Треба да знаш: Провери се! које две линеарне једначине са две непознате су еквивалентне; да користиш трансформације да би добио еквивалентну једначину задатој линеарној једначини са две непознате; да одредиш скуп решења једначине; графички да представљаш скуп решења једначине.

Задаци

2

Скуп решења {(k, k - 1) | k  R} једне линеарне једначине са две непознате представи графички.

3. Одреди скуп решења сваке једначине и

1. Одреди скуп решења једначине: а) 2x + у = 3;

Користећи трансформације, провери да лије једначина x + 2у = 6 еквивалентна једначини 3 - x .

представи их графички:

б) 3x + 2y = x - 4у + 1.

2. Сваку од једначина доведи у облик ax + by = c коришћењем трансформација.

4. Одреди вредност параметра р за уређени

пар (0, 1) тако да буде решење једначини: (р - 5)x - (3р - 1)у = 5 - р.

Linearna jedna~ina sa dve nepoznate

133

SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE

3

SISTEM OD DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Подсети се!

A 1.

Која једначина се назива линеарна једначина са две непознате? Одреди скуп решења линеарне једначине са две непознате: x+у=7 Колико решења има ова једначина?

Илија и Мартин имају по један акваријум са рибама. Збир броја риба у оба акваријума је 10. Разлика броја риба у Илијином акваријуму и Мартиновом акваријуму је 4. Колико риба има у Илијином акваријуму, а колико у Мартиновом?

Запази решење: Нека у Илијином акваријуму има x риба, а у Мартиновом y риба.

 Из првог услова у задатку следи да : Променљиве x и y се мењају у скупу А={1, 2, 3,...9}. Зашто? У табели су дата решења једначине. Од другог услова следи да:  Разгледај табелу и уочи решења. У Илијином акваријуму има 7 риба, а у Мартиновом има 3 рибе. Њихов збор је 7 + 3 = 10, а њихова разлика је 7 - 3 = 4 Одреди који од уређених парова (x, y) је заједничко решење двеју једначина. Уочи да је пар (x, y) = (7, 3) решење једначине x + y = 10 и једначине x – y = 4. Сагледај да си овај задатак решио тако што си одредио заједничко решење двеју линеарних једначина са две непознате, тј. одредио си пресек њихових скупова решења.

Запамти Две линеарне једначине са две исте непознате, за које се тражи заједничко решење, односно пресек њихових скупова решења, зове се систем од две линеарне једначине са две непознате. Записује се:

x и y су непознате, а а1, а2, b1, b2, с1 и с2 су реални бројеви

(коефицијенти)

134

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

2.

Запиши једначине из првог задатка као систем и одреди непознате и коефицијенте система.

3.

Уочи систем. Именуј непознате.

B 4.

Одреди коефицијенте система.

Провери да ли је уређени пар (x, у) = (2, -1) решење једначине: 3x + 2у = 4. Провери да ли је пар (x, у) = (2, -1) је решење једначине: x - у = 3.

Уочи да је пар (2, -1) заједничко решење двеју једначина система, тј. уређени пар (x, у) = (2, -1) је решење система: Општо, решење система од две линеарне једначине са две непознате је уређен пар реалних бројева који је заједничко решење за две једначине.

5. Провери за који од следећих система уређеног пара (-2, 3) је решение:

V

Подсети се! Ако се у једном систему неједначина једна неједначина замени еквивалентном неједначином, добија се систем нејдначина који је еквивалентан задатом. Зашто је систем еквивалентан систему Ако две линеарне једначине са две непознате имају једнаке скупове решења, онда су оне еквивалентне. Провери да ли су једначина 3(x + 2у) = 5у + 1 и једначина 3x + у = 1 еквивалентне.

6. Задати су системи:

Скуп решења система А је пресек скупова решења једначине x + у = 5: {(k, 5 - k)| k  R} и једначине 3x - у = 3: {(k, 3(k - 1) | k е R}. Пресек скупова решења одредићеш изедначавањем компоненти уређених парова. Прве компоненте су једнаке, тј. k = k. Одреди k других компонената, тј. реши једначину 5 - k = 3(k - 1) Провери да ли је пар (x, у) = (2, 3) решење система А. Скуп решења система В је пресек скупова решења једначине у = 5 - x: {(k, 5 - k) | k  R} и једначину 3x – у = 3: {(k, 3 k - 3) | k е R}.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

135

Који је пресек скупова решења једначина у систему В? Провери да ли је (x, y) = (2 ,3) решење система В. Запази да једначине у систему В имају исти скуп решења као једначине у систему А. Ови системи имају једнаке скупове решења. Пар (x, y) = (2, 3) је решење система А и система В. Ако два система једначина имају једнаки скуп решења, онда су они еквивалентни. Систем А:

и систем

су еквивалентни.

Која од једначина у систему В је еквивалентна једначини x + y = 5 у систему А, и којом трансформацијом је добивена? Ако се нека од једначина у датом систему замени својом еквивалнтном једначином, добија се систем евивалнтан датом.

7. Запази и образложи зашто су системи еквивалентни:

Са еквивалентним трансформацијама задати систем трансформира се у еквивалентни систем који има облик: Са њега непосредно може да се прочита решење система. Пар (x, y) = (3 ,5) је решење система једначина.

8. Запази решење система:

   

Лева страна прве једначине замењена је идентичним изразом.

Члан 2y пренесен је на леву страну једначине са (супротним знаком).

Израз са леве стране прве једначине је доведен у нормални облик. Прва једначина је решена према x, тј. лева и десна страна једначине подељене су са 2.

Пар (x, y) = (3, 5) је решење система једначина.

9. Реши систем: 136

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Треба да знаш: шта је систем од две линеарне једначине са две непознате и како се записује; да провериш да ли је дати уређени пар решење датог система једначина; да одредиш еквивалентни систем задатом систему; да решиш систем доводећи га у облик из кога непосредно можеш да прочиташ решење.

Провери се! Одреди еквивалентни систем систему , у коме ће две једначине имати облик аx + bу = с Провери да ли уређени пар (x, y) = (3, 2) је решење система:

Задаци 1. Одреди непознате и коефицијенте у сва-

4. Одреди један еквивалентни систем систему:

ком систему:

2. Запиши као систем од две линеарне једначине са две непознате, реченице: Збир два броја је 64, а њихова разлика је 17. Један унутрашњи угао троугла АВС је 52°. Разлика друга два угла износи 18°. У две касице има укупно 440 денара. Ако се из прве пребаце у другу 180 денара, у обе касице биће иста сума новца.

3. Провери да ли је уређени пар а) (2, 10) решење система:

б) (2, 2) решење система

в) (1,1) решење система.

5. Одреди један еквивалентни систем систему:

, у коме

обе једначине имају облик аx + bу = с.

6. Реши систем:

7. Бојан и Дејан су браћа. Збир њиxових година је 16. Збир Бобанових година и половину Дејанових година је 12. Запиши систем од две линеарне једначине са две непознате према условима у задатку. Да ли су Бојан и Дејан близанци? Образложи свој одговор.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

137

4

GRAFI^KO RE[AVAWE SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE Подсети се!

Уочи график једначине 2x - 3 = у.

x

y

-1

-5

0

-3

2

1

3

3

A 1.

У истој координатној равни (на истом цртежу), нацртај графике за једначине: x + у = 5 и 3x - у = 3. Уочи да су са задатим једначинама одређене функције: у = 5 - x и у = 3x - 3. Упореди своје решење са задатим. x+у=5 y=5-x

Одреди координате за сваку тачку А, В, С и D. Шта представљају координате тих тачака за задату једначину?

Нека је тачка у којој се пресецају графици једначине тачка М. Одреди координате тачке М. Пресек скупова решења за две једначине је уређени пар М(2, 3). Пар (x, у) = (2, 3) је једино решење система једначина

2. Реши графички систем једначине: Подсети се! Две праве у равни могу: - да се секу у једну тачку; - да се подударају; - да су узајамно паралелне праве. Графици једначина су у једном систему праве, и систем има онолико решења колико заједничке тачака имају графици.

B

Систем од две линеарне једначине са две непознате :

 има једно решење, ако се графици једначина секу;

има бесконачно много решења, ако су гра фици једначина праве које се подударају;

нема решење, ако су графици једначина  различите паралелне праве.

138

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Проследи графичко решавање система:

Запиши координате тачака А, В, С, D и М. Која од тачака је пресек графика? Запази да систем има само једно решење Rѕ = {(1, 2)}, тј. (x, у) = (1, 2).

Проследи графичко решавање система:

Запиши координате тачака А, В, С и D. Запази да су све тачке са графика заједничке и да систем има бесконачно много решења.

Проследи графичко решавање система:

Запиши координате за тачака А, В, С и D. Да ли графици имају заједничку тачку? Запази да су графици различите паралелне праве и да систем нема решење, тј. Rѕ = Ø Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

Треба да знаш: да нацрташ графике за две једначине система линеарних једначина у једној координатној равни; графички да решиш систем од две линеарне једначине са две непознате; да процениш скуп решења система према графицима једначина.

Задаци 1. Реши графички сваки систем:

Провери се! У ком случају систем од две линеарне једначине са две непознате: а) има само једно решење; б) има бесконачно много решења; в) нема решење? Образложи свој одговор.

3.

Подсети се!

График функције у = аx је права која пролази кроз координатни почетак. График функције у = аx + b, је права која је паралелна са графиком функције у = аx.

2.

Графички реши системе: По колико решења има сваки од њих?

График функције у = а је права паралелна са х-осом. График функције x = а је права паралелна са y-осом. Свака од једначине у системима запиши као функцију:

За сваки систем процени узајаман положај графика функција и процени скуп решења система. Реши графички сваки систем и провери своју процену.

140

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

5

RE[AVAWE SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE METODOM ZAMENE Подсети се!

A 1.

Која два система једначина су еквивалентни? Провери да je уређени пар (x, у) = (5, 1) је решење система:

Шта примећујеш за једначине у оба система?

Уочи системе А и В састављене од две линеарне једначине са две непознате.

Како су добивене једначине у другом систему из једначине првог система?

Прве једначине А и В су еквивалентне, а у другој једначини из система В, непозната y је замењена изразом из прве једначине. Покажи да је уређени пар (x, y) = (2, -3) решење система. Ако се у једној од једначина у систему, једна непозната изрази кроз другу, и затим се добивени израз замени том непознатом у другој једначини, онда новодобивена једначина и прва једначина у систему образују нови систем који је еквивалентан датом систему. Ово се зове својство замене.

2. Уочи решавање система

користећи својство замене. У првој једначини, непозната y је замењена са вредношћу за y из друге једначине. Добија се систем еквивалентан предходном систему. Користи се еквивалентна трансформација (10 се пребације са друге стране знака „=” са супротним знаком).

Добивени систем је типа

, одакле се непосредно

чита уређени пар (x, y) = (1,5) који је решење система.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

141

Реши систем једначине

користећи својство замене.

Одреди уређени пар који је решење система:

Запази Можеш да користиш својство замене тако да у другој једначини непознату у замениш са изразом x - 5 , који је једнак изразу из прве једначине.

Ако наставиш да решаваш правилно, добићеш еквивалентни систем:

Ако непознату x у првој једначини замениш са вредност 2 за x из друге једначине, добићеш систем из којег можеш да запишеш решење.

Провери да ли су за уређени пар (x, у) = (2, -3), једначине система тачна бројна једнакост.

На сличан начин реши систем једначине:

4.

Проследи решење система једначине: Запази: у другој једначини непозната x је изражена преко y. Даље, x се у првој једначини замењује изразом x из друге једначине и даље се врше трансформације.

142

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Провери да је пар (x, у) = (-1, 4) је решење система једначина. Реши систем једначина: Овај начин решавања система линеарних једначина са две непознате назива се решавање система методом замене.

5.

У систему једначине:

ни једна једначина није записана у облику

аx + bу = с. Да би се решио овакав систем, потребно је претходно довести једначине у облик аx + bу = с.

Проследи решавање:

Настави са решавањем. Тачно си решио ако добијеш систем

односно уређени пар

(x, у) = (18, 6), што је решење система једначина. Реши систем једначина:

Ако се при решавању система једначина, након изврених трансформација добије систем у коме једна од једначина нема решење (на пример, ако се добије 0 · x = 1), онда систем нема решење. Ако се добие систем у коме је сваки реални број решење једној од једначина (на пример, 0 · y = 0), а друга једначина није контрадикторна, онда систем има бесконачно много решења.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

143

6. Реши систем

и систем

Запази да систем А нема решење, а систем да В има бесконачно много решења.

Треба да знаш:

Провери се!

да одредиш решење система од две линеарне једначине са две непознате користећи методу замене;

Образложи како ћеш поступити код решавања система:

правилно да користиш еквивалентне трансформације при решавањусистема једначине.

метод замене.

Задаци У следећим задацима реши системе једначине методом замене.

1.

4.

2.

5.

3.

144

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

користећи

6

RE[AVAWE SISTEMA LINEARNIH JEDNA^INA SA DVE NEPOZNATE METODOM SUPROTNIH KOEFICIJENATA

1. Задати су системи једначине: Покажи да је уређени пар (x, y) = (3, 2) решење оба система. Запази да су системи еквивалентни. Како су добивене једначине у другом систему од једначина из првог система? Прве једначине у оба система су исте, а друга једначина из система В је добивена сабирањем леве, односно десне стране прве и друге једначине из система А. Ако одговарајуће стране две једначине саберемо, односно одузмемо, кажемо да смо извршили сабирање, односно одузимање једначина. Ако у једном систему било коју једначину заменимо збиром или разликом једначина, добија се нови систем који је еквивалентан датом. Ово својство зове се својство збира једначина у систему.

2.

Проследи решење система

користећи својство збира.

Другој једначини система додаје се прва једначина система Добија се систем еквивалентан првом и друга једначина своди се на једначину са једном непознатом

Решава се систем методом замене Једначине се доводе у облик: Провери да ли је (x, y) = (3, 5) је решење система. Реши систем једначине: Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

145

Важно је да уочиш да: коефицијенти испред x, односно испред y у обе једначине треба да буду супротни бројеви; код сабирања одговарајућих страна једначина добија се једначина са једном непознатом; у новодобивеном еквивалентном систему једна једначина је са једном непознатом, па се систем даље се решава методом замене.

3. Реши систем једначине: Коефицијенти испред х, односно испред у, нису супротни бројеви, па ако сабереш једначине, нећеш добити еквивалентни систем у коме је једна једначина са једном непознатом. Коју трансформацију треба да извршиш на другој једначини из система да би коефицијенти испред x или испред у били супротни бројеви? Ако обе стране друге једначине помножим са -5, онда коефицијенти испред x постаће супротни бројеви. Ако обе стране ове једначине помножим са -2, онда ће коефицијенти испред у постати супротни бројеви. Упореди твоје решење са задатим. Множењем друге једначине са (-5), добија се еквивалентни систем у коме сукоефицијенти испред x супротни бројеви. Једначине се сабирају и добија се систем у коме се друга једначина своди на једначину са једном непознатом. Даље се систем решава методом замене. Доврши решавање система. Провери да ли је (x, y) = (-1 ,4) решење система. Реши исти систем тако да коефицијенти испред y буду супротни бројеви. Реши систем

4. Реши систем једначине: У овом систему, да би се добиле једначине супротним коефицијентима испред m (или испред n), треба помножити са 3 прву једначину, а са (- 2) другу једначину (или са 2 прву једначина, а са (-7) другу једначину).

146

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Доврши решавање система:

Провери да је (m, n) = (1, 1) решење система. Реши исти систем тако да коефицијенти испред n буду супротни бројеви. Овај начин решавања система једначине назива се метод супротних коефицијената.

5. Користећи методу супротних коефицијената реши систем једначине:

Треба да знаш: Провери се! метод супротних коефицијената посебно је погодан за коришћење када су коефицијенти испред непознате супротни бројеви или када се множењем могу лако довести до супротних бројева. да решаваш систем једначина методом супротних коефицијената.

Процени који од система је погоднији за решавање методом супротних коефицијенната:

Образложи свој одговор.

Задаци Реши системе методом супротних коефицијената:

1.

5.

6.

2.

7. Одреди решење система графички, а за-

3.

тим изврши проверу решавајући методом замене или супротним коефицијентима.

4.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

147

7

PRIMENA SISTEMA OD DVE LINEARNE JEDNA^INE SA DVE NEPOZNATE Подсети се!

Код решавања различитих задатака из математике, других наука или проблемских ситуација из свакодневног живота, често треба да одредиш неке непознате вредности. Проблеми (задаци) у оваквим ситуацијама су исказани речима, а да би их решио, потребно је да их представиш математички у облику једначине.

A

Запиши реченицу: „Збир два броја је 6, а разлика половине првог броја и другог броја је 0“ системом од две линеарне једначине са две непознате. Систем који треба да добијеш је: Решавањем овог система открићеш која су то два броја.

1.

Провери да ли је пар (x, у) = (4, 2) решење система, тј. да ли су два тражена броја 4 и 2. Почетак Пажљиво се чита задатак и одређује се шта је познато, а шта непознато.

Уочи упутства која треба да поштујеш док решаваш овакве задатке и редослед поступака које треба да користиш.

Означавање величина

Уочавање узајамних веза

Састављање система

Непознате се означувају са (x, у, а, b итд.) и уочавају се њихове карактеристике.

Уочавају се узајамне везе између непознатих и познатих величина.

Састављају се једначине, саставља се и решава систем.

Пример: Јован има 17 новчића чија је укупна вредност 67 денара. Новчићи су од по 2 денара и од по 5 денара. Колико новчића од 2, а колико новчића од 5 денара има Јован? Почетак

Означавање

Узајамних веза

Позната: • број новчића • укупна вредност • врста новчића Непознато: • по колико новчића има од сваке врсте.

• са x број новчића од 5 денара; • са у број новчића од 2 денара.

• Број новчића је 17 (x + y = 17) • Укупна вредност је 67 денара (5x + 2y = 67)

Система

Реши систем. Решење система је (x, y) = (11, 6). Провери да ли су тачни искази у задатку ако је Јован је имао 11 новчића од по 5 денара и 6 новчића од по 2 денара.

148

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

2. На две полице било је 124 књиге. На првој полици имало 3 пута више књига него на другој. По колико књига је било на свакој полици?

3. Место К и место А су удаљени једно од другог 190 km. Из К према А кренуо је камион, а после пола сата је из А према К кренуо аутобус. После два сата од поласка камиона, они су се срели и наставили да се крећу. Један сат после сусрета, аутобус и камион су били удаљени 110 km. Којим брзинама су се кратали аутобус и камион? Овај задатак је са кретањем. За решавање ових задатака лакше је да се уоче узајамне везе ако се направи цртеж. Уочи цртеж: П О З Н А Т О

Из К полази камион, из А - аутобус. камион (к) Место где се срећу је тачка С. Из К до С камион се кретао 2 сата. Из А до С аутобус се кретао 1,5 сат. Од С до Р, камион је путовао 1 сат. Од С до В, аутобус је путовао 1 сат. О Растојање од В до Р је 110 km.

аутобус (а)

ОЗНАЧАВАЊЕ Брзина камиона је x. Брзина автобуса је у.

УЗАЈАМНЕ ВЕЗЕ Пошто су кретања камиона и атобуса равномерна, користи се формула за равномерно кретање ѕ = v · t, односно у нашем случају v = x или y. Камион је од места К до места С (за 2 сата) прешао пут 2x. Аутобус је од места А до места С (за 1,5 сата) прешао пут 1,5y. За 1 сат од С до Р камион је прешао 1·x. За 1 сат од С до В аутобус је прешао 1·y. Према цртежу: КC + CA + KA или 2x + 1,5y = 190; CD + CB + DB или 1x + 1y = 110. СИС ТЕМ ЈЕДНАЧИНА

Реши систем. Провери да ли је тачно да се камион кретао са брзином од 50 кm/h, а аутобус са 60 кm/h.

4.

Један брод кретао се током реке брзином 25кm/h, супротно току реке брзине 20 кm/h. Одреди брзину брода и брзину реке.

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

149

5. Дата су два раствора киселине К1 и К2. Раствор К1 је 36%, а раствор К2 је 96%. По колико литара треба да се узме од сваког од раствора, да би се добило 120 литара раствора од 80%?

Треба да се подсетиш о процентима. Упамти да у m литара са k % раствора има k · m литара киселине.

100

ПОЗНАТО Раствор К1 је 36%. Раствор К2 је 96%. Нови раствор треба да буде 80%. ОЗНАЧАВАЊЕ Број литара које треба узети од К1 нека буде означен са x. Број литара које треба узети од К2 нека је у. УЗАЈАМНЕ ВЕЗЕ У x литара раствора из К1 има 36x литара киселине.

100

У у литара раствора К2 има

96у литара киселине.

100

У 120 литара новог раствора има x литара К1 и у литара К2, или: x + у = 120. У 120 литара новог раствора има

120 · 80 36x 96у 120 · 80 литара киселине или + = 100 100 100 100

СИС ТЕМ ЈЕДНАЧИНЕ

Реши систем: Провери да ли (x, у) = (32, 88) задовољава услове задатка.

6. Колико литара воде и колико литара 90% шпиритуса треба да се помеша да би се добило 60 литара 75% шпиритуса?

7. Збир дужина две катете правоуглог троугла је 20 сm. Ако се мања катета продужи за 2 сm, а већа скрати за 4 сm, онда ће се површина троугла умањити за 8 сm². Одреди дужину катеза троугла.

150

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Да би решавао овакве задатке, треба да се подсетиш формула и особина геометријских фигура у равни.

ПОЗНАТО Збир дужина катета је 20 сm. Код правоуглог троугла катета је и висина троугла. Површина троугла је Р =

a·h , где а је основа троугла, а h је одговарајућа висина.

2

ОЗНАЧАВАЊЕ Дужина мање катете је x. Дужина веће катете је у. УЗАЈАМНЕ ВЕЗЕ Збир дужина катета је: x + у = 20. Након продужавања мање катете x, њена дужина је x+2. Након скраћивања веће катете у, њена дужина је у - 4. Површина троугла на почетку је x · у · 2

Површина троугла након продужавања и скраћивање одговарајућих катета је x·у - 8.

2

СИС ТЕМ ЈЕДНАЧИНА

Реши систем. Провери да ли су (x, у) = (8, 12) тражене дужине катета троугла.

8. Висина једног трапеза је 6 сm, а његова површина је 96 сm². Дужине паралелних страна разликују се за 4 сm. Одреди дужину паралелних страна тог трапеза (основе).

Sistem linearnih jedna~ina sa dve nepoznate

151

Треба да знаш: да искажеш и примениш поступке решавања проблемског задатка који се своди на систем од две једначине са две непознате.

Провери се! За задатак: „Одреди два броја чији збир је 100, а однос им је 4”. Примени поступке: Означи непознате и запиши узајамне везе познатих и непознатих величина; Састави и реши систем једначине; Провери решење.

Задаци 1. Збир два броја је 72, а њихова разлика је

5. Јован је купио 8 свеске (велике и мале) и

2. Који су то бројеви?

платио 250 денара. Велике су коштале по 50 денара, а мале по 20 денара. Колико великих, а колико малих свески је купио Јован?

2. У једном разреду има укупно 28 ученика. Број дечака је за 4 већи од број девојчица. Колико ученика у разреду су дечаци, а колико девојчице?

6.

3. Један брод прешао је 63 km за 5 сати

пловећи супротно од тока реке. Кад је брод пловио уз ток реке, исто растојање прешао је за 3 сата. Колика је брзина брода, а колика брзина реке?

4. Ако се у 8 литара топле воде дода 2 ли-

тара хладне воде, онда је температура воде 66º. Ако се у 7 литара топле воде дода 3 литара хладне воде, температура измешане воде биће 59º. Колика је била температура топле воде, а колика температура хладне воде?

152

Мајка и ћерка заједно имају 37 година. Пре две године мајка је била 10 пута старија од ћерке. Колико година има мајка, а колико ћерка? Одреди мерне бројеве оштрог и тупог угла

7. са паралелним крацима ако њихова разлика је 36º.

8. Обим једног једнакокраког троугла је 36

сm. Разлика дужине крака и основе је 3 сm. Одреди површину троугла.

9. У једном кавезу било је зечева и фазана.

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Иван је избројио 35 глава , а 94 нога у кавезу. Колико је зечева, а колико фазана било у кавезу?

РАД СА ПОДАЦИМА

8 A

RE[AVAWE PROBLEMA PRINCIPOM DIRIHLEA Пример: Седам лоптица распореди у три кутије које нису посебно означене. То можеш да урадиш на осам начина. Уочи цртеж 1.

Даље, наш циљ неће бити одређивање броја могућности (начина) решавања задатка. Наш циљ биће поштовање једног принципа.

Запази Како и да се распореде седам лоптица, увек ће постојати кутија у којој ће бити три лоптице.

Описани пример представља једноставан облик једног значајног принципа познат као принцип Дирихлеа. Он гласи: Ако се у кутијама се распореди више предмета, онда ће бар у једној од кутија имати више од једног предмета.

1.

Петар Густав Лежен Дирихле (1805-1859) немачки математичар

а) Да ли се може тврдити да у једном разреду од 34 ученика сигурно има најмање два ученика чија презимена почињу истим словом? б) Да ли овај исказ важи ако у разреду има 30 ученика? Упореди твоје решење са датим. а) Овде према принципу Дирихлеа, слова из азбуке су „кутије”. Њих има 30. У најповољнијем случају, за презимена 30 ученика била би „заузета” сва 30 слова.

Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate

153

Којим словом започињу презимена остала четири ученика? Она започињу а неким већ „заузетим” словом. На колико најмање ученика презиме започиње истим словом? У разреду има бар два ученика којима презимена започињу истим словом. б) Зашто исказ не важи када би у разреду имало мање од 30 ученика?

2.

У једној математичкој школи учествовало је 372 ученика. Докажи да између њих има бар два ученика која славе рођендан истог дана.

3.

Једна школа има 16 разреда од V до VIII разреда. У секцији „млади математичари” чланује 18 ученика. Докажи да између њих има бар два ученика истог разреда.

Запази Најнеповољнији случај је када из сваког разреда у секцији чланује по један ученик. Али то је укупно 16 ученика. Шта закључујеш о преостала два ученика из секције?

4.

У разреду има 30 ученика. На писменом задатку су неки ученици направили 8 грешака, а други ученици направили су мање. Докажи да у разреду има најмање 4 ученика који си направили исти број грешака на писменом задатку.

Који је највећи број направљених грешака? Упореди твоје решење са датим. Највећи број направљених грешака је 8. Значи, ученици који су направили 8 грешака; могуће је да има ученика са 7 грешака, 6 грешака....; 1 грешком, а и ученика који нису направили ниједну грешку(тј. направили су нула грешака). Све ученике делимо у 9 групе: 1) ученици који су направили 8 грешака; 2) ученици који су направили 7 грешака итд. У деветој групи су ученици који нису направили грешке на писменом задатку.

154

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

Најнеповољнији случај је ако је 3 ученика направило 8 грешака, затим ако су 3 направили 7 грешака итд., а 3 ученика нису направили грешке. То су укупно 3 · 9 = 27 (имамо 9 група ученика). Али 30 = 3 · 9 + 3. Преостала 3 ученика направили су 8, 7, 2, 1 или 0 грешака, тј. према принципу Дирихлеа, има група ученика у којој има најмање 4 ученика који су направили исти број грешака или нису направиле грешке.

5.

У разреду има 34 ученика. Код уношења истог текста у компјутеру Петар је направио 13 грешака, а остали мање. Докажи да има три ученика који су направила исти број грешака.

B

6.

Принцип Дирихлеа је применљив у многим подручјима математике. Проследи неколико задатака са његовом применом при дељивости бројева и у геометрији.

Дата су 5 броја. Докажи да између њих има бар два броја чија је разлика дељива са 4.

Ради према упутству: Колико и који остаци добијају се при дељењу са бројем 4?

Добија се 4 остатака: 0, 1, 2 или 3.

Код дељења пет броја са 4 добијају се 5 остатака. Значи, најмање два остатка су једнака (према принципу Дирихлеа). Нека бројеви а и b при дељењу са 4 дају исти остатак р, где р  {0, 1, 2, 3}.

а = 4m + р;

b = 4n + р

Разлика а - b = (4 m + р) - (4 n + р) = 4(m - n) = 4к је из облика 4к, тј., она је дељива са 4. Записујемо 4|(а-b).

7.

Колико најмање природних бројева треба да се узме да би имало међу њима таква два броја чија разлика је дељива са 7?

8.

На белом листу хартије (20 сm х 30 сm) разливено је мастило. Докажи да на овом листу постоје бар две тачке исте боје које су удаљене 10 сm једна од друге.

Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate

155

Прати објашњење. Конструирај једнакокраки троугао на том листу са страном од 10 сm. Запази да су од три темена овог троугла два темена бела, а једно је плаво, или два су плава, а једно је бело. Или су три бела, или су три плава. Два темена исте боје су тражена темена.

9.

У равни су задате 5 праве међу којима нема паралелних. Докажи да постоје две правекоје између себе образују угао мањи од 37º. Ради на следећи начин. Изабери тачку М у равни и постави паралелно све праве, тако да оне пролазе кроз тачку М. Уочи да праве кроз М деле раван на 10 углова. Ако углови су једнаки, онда сваки има 360 : 10 = 36º, а 36º < 37º, тј. увек има угао који је мањи од 37º.

M

Ако углови су различити, онда нису већи од 37º, пошто 10 · 37º = 370º > 360º. Значи, неки од тих углова је мањи од 37º.

Задаци 1. У једној школи има 1 200 ученика. Докажи да: а) најмање 4 ученика те школе славе рођендан у истом дану; б) бар два ученика имају исте иницијале;

3. У једном разреду има 37 ученика. Докажи да има један месец у години у коме је рођено не мање од 4 ученика из разреда.

4. У 25 гајби има 3 врсте јабуке, али тако да у

2. Да се докаже да Скопље има бар три лица која имају исти број длака на глави (један човек на глави има више од 200 000 длака).

156

Tema 3. Sistem linearnih jedna~ina

свакој гајби има само једна врста. Докажи да између њих има 9 гајби са јабукама исте врсте.

U^IO SI O SISTEMIMA LINEARNIH JEJNA^INA PROVERI SVOJE ZNAWE

1.

Шта је решење линеарне једначине са две непозанте?

2.

Одреди параметар k да уређени пар (2, 6) буде решење једначине (4x - 2) k - 1 = у - k.

3.

Представи графички скуп решења једначине -2x + 1 = 0 .

7.

Реши систем методом замене

8.

Реши систем методом супротних коефицијената

9.

Према графичком решењу система линеарних једначина, процени колико решења има систем:

2

4.

Шта је решење система од две линеарне једначине са две непознате?

5.

Одреди еквивалентни систем задатом, у коме обе једначине имају облик аx + bу = с.

6.

Реши графички систем

10. Збир година оца и сина је 46. После 10 година отац ће бити два пута старији од сина. По колико година имају сада?

Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate

157

158

Tema 3. Sistem linearni ravenki

TEMA 4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

GEOMETRIJSKA TELA

TАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ У ПРОСТОРУ Тачка, права и раван Две праве Две равни Паралелно пројектовање. Ортогонална пројекција Претстављање геометријског тела цртежом TАЧКЕ, ПРАВЕ И РАВНИ У ПРОСТОРУ Призма. Врсте призми. Дијагонални пресеци Паралелопипед. Мрежа и површина призме

160 163 165 168 171

174

8. Запремнина полиедра. Запремнина квадра и коцке 9. Запремнина праве призме ПИРАМИДА 10. Пирамида. Површина пирамиде 11. Запремнина пирамиде ВАЉАК, КУПА, ЛОПТА 12. Ваљак: површина и запремнина 13. Купа: површина и запремнина 14. Лопта: површина и запремнина 15. Ветроватноћа Провери своје знање

183 187 190 194 197 200 203 206 208

177

To~ki, pravi i ramnini vo prostorot

159

TA^KE, PRAVE I RAVNI U PROSTORU

5

TA^KA, PRAVA I RAVAN Подсети се!

A 1.

На цртежу су представљени коцка и квадар.

Права, угао, трапез и кружница су фигуре у равни. Постоје и друге фигуре у равни. Део геометрије који проучава фигуре у рави назива се планиматрија. Неке особине праве прихваћене су као основне особине (аксиоме). Као прву аксиому А1 прихватили смо особину да на свако прави лежи бесконачно много тачака, али има и тачака које не леже на тој прави.

Да ли је квадар фигура у равни? Зашто? Да ли све тачке коцке припадају истој равни? Део геометрије која проучава геометријске фигуре у простору назива се стереометрија.

Тачка, праве и равни су основне геометријске фигуре у простору. Раван може да се замисли и као равно стакло, као мирна површина воде и сл. Она је неограничена равна површина. О њој је прихваћена аксиома:

А1

На свакој равни лежи бесконачно много тачака, а има и тачака које не леже на њој.

M

Задата је раван ∑ и тачке А, В, С, D и М на цртежу. Тачка А припада равни ∑, тј. А  ∑. Може се рећи да тачка А лежи на ∑, односно ∑ пролази кроз А. Које друге означене тачке леже у равни ∑?

A Ê

B

D C

За три или више тачака које леже у једној равни кажемо да су компланарне. Тако, на цртежу А, В, С, D  ∑, М ∑, па су А, В, С и D компланарне, а В, С, D и М нису компланарне.

B

Подсети се! Знаш аксиому о прави: кроз било које две тачке пролази тачно једна права. То важи и у простору.

160

Tema 4. Geometrijska tela

За раван је прихваћена основна особина (аксиома):

А2

Кроз било које три тачке које не леже на једној прави пролази тачно једна раван.

2. Зашто се троножна столичица не „љуља” ни када ногаре нису једнако дугачке? Да ли је то и код четвороножног стола?

3. Разгледај квадар на цртежу и одговори на питања: Које теме квадра лежи у равни одређеној тачкама А, В и В1? Да ли теме С лежи у тој равни? Да ли су компланарне тачке: а) А, В, С, D; б) А, В, С1, D1; в) А, В, С, С1? Пронађи друга четири темена која: а) леже; б) не леже на истој равни. Нацртај квадар и означи га као на цртежу. Затим, исшрафирај део равни кроз В, С, D1, А1 који лежи у квадру. Ако свака тачка једне праве лежи у једној равни, онда се каже да права лежи на тој равни, а за раван се каже да пролази кроз ту праву.

V

У једној равни лежи бесконачно много тачака.

4.

На цртежу је представљена раван ∑ и две тачке А и В, које леже на њој. Колико права пролази кроз тачке А и В? Да ли друге тачке из праве АВ леже у равни ∑?

B A Ê

Прихваћено је за тачну следећа основна особина (аксиома) о равни.

А3

Ако две тачке из једне праве леже на некој равни, онда и права лежи у тој равни.

Ова аксиома ће ти помоћи да сагледаш узајамни положај праве и равни у простору.

Разгледај цртеже и проследи објашњења о могућем узајамном положају једне праве и једне равни.

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

161

За раван ∑ и праву а могућа су следећа три случаја: Права а и раван ∑ немају заједничких тачака. Онда каже мо да су оне паралелне и записијемо а  ∑.

Права и раван имају само једну заједничку тачку. Онда  кажемо да раван ∑ сече праву или да права а пробада раван ∑ у тачци Р; за тачку Р кажемо да је пробод, односно тачка пробода.

Права а лежи у равни ∑. И у овом случају каже се да оне  су паралелне.

5.

Разгледај квадар и запази раван ∑, одређену теменима А, В, С. Именуј праве одређене ивицама које: а) су паралелне са ∑; б) пробадају ∑; в) леже у ∑.

Треба да знаш: да искажеш основне геометријске фигуре у простору; да одредиш узајамни положај праве и равни.

Провери се! Какав је узајаман положај: а) тачке и равни; б) праве и равни? Тачке А, В, С, М, D су темена квадра са цртежа. Која четири од ових темена: а) су компланарна, б) нису компланарна? Колико равни могу да пролазе кроз: а) задату тачку А; б) две задате тачке В и С; в) три задате тачке А, В, С?

Задаци 1. Нацртај коцку АВСDА1В1D1. Именуј четири темена која су: а) компланарна; б) некомпланарна.

2. Колико права могу да буду одређене једним теменом са горње основе и једним теменом са доње основе коцке?

162

Tema 4. Geometrijska tela

3. Ивица АВ коцке из првог задатка је паралелан са две њене стране и нема заједничких тачака са њима. Именуј те стране. Дијагонала АС основе коцке из првог за-

4. датка нема заједничких тачака само са једном страном коцке. Која је та страна?

2

DVE PRAVE

Искажи аксиоме о равни.

Две праве у простору:  или имају само једну заједничку тачку (секу се);

Колико тачака одређују једну праву: а) у равни, б) у простору?

или немају заједничких тачака;  или се подударају (ако имају две 

A

Подсети се!

Какав је узајаман положај две праве (у простору) које имају две заједничке тачке? Колико тачака одређују једну раван?

1.

заједничке тачке). На цртежу, праве а и b се секу, тј. имају једну заједничку тачку Р. Разгледај цртеж и одговори на питања.

Права а има две заједничке тачке са равни ∑. Какав је узајамни положај а и ∑ ?

a

A P B

b

Да ли могу слободно изабране тачке А  а, В  b и пресек Р (А ≠ Р и В ≠ Р) да буду колинеарне? Зашто? Тачке А, В и Р одређују тачно једну раван. Зашто? Праве а и b леже у тој равни. Зашто?

2. На цртежу је представљен један квадар. Разгледај га и одговори на питања. Да ли ивица АВ лежи у истој равни са ивицом: а) ВВ1; б) А1В1; в) В1С1. Ивица e СВ и С1В1 леже у истој равни. Зашто? Ивица e АВ и А1В1 леже у истој равни и немају заједничких тачака; и праве АВ и А1В1 немају заједничке праве - оне су паралелне, тј. АВ  А1В1.

Пази! Две паралелне праве увек леже у истој равни. Ивице, односно праве АВ и В1С1, исто тако немају заједничке тачке и оне не леже у истој равни; о њима се каже да се мимоилазе.

3. Уз помоћ квадра сагледај неколико пара паралелних прави. Да ли три паралелне праве увек леже у истој равни?

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

163

Примети на цртежима и упамти! Две праве у простору могу:

 да леже у истој равни; онда се оне или секу или су паралелне (при чему могу и да се подударају), као на црт.1;

Да не леже у истој равни, тј. да су мимоилазеће праве (а и с на цртежу 2). 

Црт. 1

Црт. 2

4. Запиши према црт.2 неколико парова а) мимоилазећих права б) паралелних права.

5. Пресечне тачке на правама на црт.2 су темена једног квадра. Утврди да ли су тачни следећи искази: а) Праве b и m на црт. 2 се не секу и нису паралелне, тј.оне су мимоилазеће. б) Праве m и n се не секу и леже у истој равни, тј. оне су паралелне. в) Праве а и n се секу и не леже у истој равни. г) Праве b и m су мимоилазеће праве и леже у истој равни.

B

Подсети се! Према аксиоми А2, раван је потпуно одређена са три неколинеарне тачке. Неки положаји две праве у простору, исто тако, одређују једну раван. Који су ти положаји?

6.

Разгледај цртеже и образложи зашто је једна раван у простору потпуно одређена: а) са три неколинеарне тачке; б) са правом и тачком која не лежи на тој прави; в) са две паралелне праве; г) са две праве које се секу.

164

Tema 4. Geometrijska tela

а)

б)

в)

г)

7. Колико равни одређују две по две бочне ивице једног квадра? (Пази, има више од четири равни).

Треба да знаш: да објасниш узајамни положај две праве у простору.

Провери се! За које праве се каже да су: а) паралелене,

б) мимоилазеће?

Нацртај коцку АВСDА1В1С1D1 и нацртај дијагонале на њиховим основама. Који од парова АС, ВD, А1С1, В1D1: а) се секу, б) су паралелни, в) су мимоилазећи?

Задаци 1. Три различите праве у простору пролазе

3. Нека су а и b различите праве у просто-

кроз исту тачку. Колико равни могу да одреде ове праве?

ру. Колико равни могу да пролазе кроз њих?

2. Нацртај квадар АВСDАD1В1С1Р1 и на-

4. Колико равни одређују четири неком-

цртај дијагонале на две њене суседне стране, на пример АВВ1А1. Који парови од права: АВ1, ВА1, СВ1, ВС1: а) се секу; б) паралелни су; в) мимоилазе се?

3

планарне тачке?

5. Образложи тврдњу?

„Ако се праве АВ и СD секу, онда су тачке А, В, С и D компланарне”.

DVE RAVNI Подсети се!

A 1.

Како гласи аксиома којом се потпуно одређује једна раван у простору? Какав узајаман положај могу имати једна права и једна раван у простору?

Размисли и одговори:

Да ли могу две равни да имају само једну заједничку тачку? Да ли две равни могу да имају само две заједничке тачке? Одговор на питања даје следећу аксиому А4:

А4

Ако две равни имају једну заједничку тачку, онда имају и заједничку праву која пролази кроз ту тачку.

Према аксиоми, значи, да две различите равни ∑ и ∑: а) или немају заједничке тачке; б) или имају заједничку праву. Ако равни имају три заједничке неколинеарне тачке, оне се подударају.

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

165

Запамти Када две различите равни ∑1 и ∑2 имају заједничку праву, онда се каже да се секу, а за праву да је њихова пресечна права. За две различите равни ∑1 и ∑2 каже се да су паралелне ако немају заједничке тачке или ако се подударају; то се означава са ∑1  ∑2.

2. Сагледај да су тачни следећи искази. (Направи цртеж!) а) Ако ∑1  ∑2 и ако права а пробада ∑1, онда а пробада и ∑2. б) Ако ∑1  ∑2 и а ∑1, онда а ∑2. в) Ако ∑1  ∑2 и ∑3 се сече са ∑1, онда се ∑3 сече и са ∑2.

Разгледај цртеж и прати објашњење. Равни ∑1  ∑2 се секу и ѕ је њихова пресечна права. М је произвољна тачка из ѕ, из које су повучене две полуправе нормалне прави ѕ, тако да једна лежи у ∑1, а друга у ∑2. Те полуправе образују угао α. Угао α чији су краци су те полуправе назива се угао између равни ∑1 и ∑2. И његов упоредни угао представља угао између тих равни.

Ако је угао између равни прави, онда се за равни каже да су нормалне међусобно, тј. ∑1  ∑2.

3. Какав угао захватају под и један зид учионице? Да ли су зидови и таван узајамно нормални? А таван и под?

4. Какав угао захватају основа и један бочни зид квадра?

166

Tema 4. Geometrijska tela

B

Разгледај цртеже и проследи објашњење. Права а пробада раван ∑ у тачци Р.

Кроз пробод Р провлаче се праве b и с које леже у равни ∑; оне са правом а захватају углове β и γ. Кроз Р могу да се повуку и друге такве праве; све оне са а граде различите углове. Сигурно сагледаваш да ти углови могу бити међусобно једнаки само када су то прави углови. Онда се за праву а каже да је нормална на раван, тј. да је а нормала на равни ∑; То се означава а  ∑.

Запамти За праву а се каже да је нормална равни ∑, ако а је нормална свакој правој која лежи у ∑ и која пролази кроз пробод ∑ са а.

5. Сагледај да су за равни ∑1 и ∑2и праве а и b, следећи изкази тачни. Направи цртеж! а) Ако а  b и а ∑ , онда b ∑,

V

б) Ако ∑1  ∑2 и а ∑1,онда и а ∑2.

6. На цртежу тачка М лежи у равни ∑. Из М се може спустити нормала ∑. Нека је М’ пробод те нормале.

Разгледај цртеж, па размисли и одговори на питања. Колико се таквих нормала ∑ могу спустити из М? Кроз М је повучена права b која пробада раван ∑ у тачци N ≠ М’. Да ли је права b нормална на раван ∑? Какав је троугао ММ’N? Изведи закључак да је ММ’ једина нормала за раван ∑ спуштена из тачке М. Објасни шта је нормала равни спуштена из тачке која лежи изван равни. За дуж ММ’ (са цртежа) каже се да је ортогонална равни ∑, а за сваку другу дуж (као што је МN) - да је нагнута. Дужина дужи ММ' зове се растојање из тачке М до равни ∑. Искажи дефиницију о растојању из тачке до равни. Из цртежа утврди да важи за растојања: ММ' < ММ .

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

167

Треба да знаш: Провери се! да објасниш шта је пресек двеју равни; цртежом да представиш узајамни положај две равни; цртежом да објасниш: угао између две равни и растојање од тачке до равни.

Задаци 1. За које две равни каже се да: а) су паралелне; б) су нормалне?

2. Колико нормала се може повући из задате тачке, из задате равни?

3. Да ли су тачни искази о правама а и b и равнима ∑1, ∑2 и ∑3?(Направи цртеж.) а) Ако а  b и а  ∑1 онда и b  ∑1. б) Ако а ^ ∑1 и а ^ ∑2, онда и ∑1  ∑2. в) Ако ∑1  ∑2 и ∑2  ∑3, онда и ∑1  ∑3.

4

Какав је узајаман положај две равни ако имају: а) једну; б ) две; в) три заједничке тачке? Да ли су за праве а, b и раван ∑ тачни искази (направи цртеж): а) Ако а || b и права а пробада ∑, онда и права b пробада ∑. б) Ако а ^ ∑, и b ^ ∑, онда а  b.

4. Р астојање од тачке М до равни ∑1 је d. Образложи да за дужину сваке дужи спуштене из М до било које тачке X из ∑ важи: MX ≥ d.

5. Какав узајаман положај могу имати раван

∑1, која пролази кроз тачке А, В, С и ∑2, која пролази кроз тачке А, В и D?

PARALELNO PROJEKTOVAWE. ORTOGONALNA PROJEKCIJA

A 1.

Задата је раван ∑ и права ѕ која није паралелна са ∑.

Изабери тачку А и кроз њу повуци праву а која је паралелна са правом ѕ. Права а пробада раван ∑. (Зашто?) Нацртај тај пробод и означи га са А'. Упореди твој цртеж са датим. Тачка А' зове се пројекција тачке А на раван ∑ у правцу праве ѕ. За праву ѕ каже се да је пројекциони смер. Права а зове се пројекциона права тачке А. За раван ∑ каже се да је пројекциона раван. Тиме је одређено пресликавање тачака у простору на раван ∑. То пресликавање зове се паралелно пројектовање, са пројекционим правцем ѕ.

168

Tema 4. Geometrijska tela

2. Тачке А', В' и С' на цртежу су одговарајуће пројекције тачака А, В и С . Зашто А'  В' и С'  С?

3.

Тачке X' и Y' на цртежу су пројекције неких тачака, на раван ∑, у смеру праве ѕ. Које се тачке са простора пројектују у тачку X'? Које тачке са равни ∑ се пројектују у тачку Y'?

Запази и упамти! Ако је А' пројекција тачке А, онда је А' пројекција и сваке тачке са пројекционе праве тачке А. Свака тачка из пројекционе равни се подудара са својом пројекцијом.

4. Нацртај раван ∑ и пројекциони смер ѕ и праву p, p  s. Изабери на p три тачке А, В и С и нацртај њихове пројекције А', В' и С'. (Пази : А', В' и С' ће бити колинеарне!)

Подсети се!

B

Шта је то паралелно пројектовање? Геометријска фигура (и за раван и просторна) представља један скуп тачака. Свака од тих тачака има своју пројекцију при датoм паралелном пројектовању.

Пројекција једне фигуре на дату раван ∑ је скуп тачака које су пројекција тачака те фигуре.

Тако, пројекција равни ∑, у општом случају је права, пројекција дужи је дуж, троугла је троугао итд.

5. Задата је раван ∑, права ѕ и ѕ ^ ∑, А  ∑, В ∑. Пронађи пројекције А и В на ∑ у правцу праве ѕ. Разгледај и проучи објашњење. У случају када је пројекциони смер нормалан задатој равни ∑, за паралелно пројектовање се каже да је ортогонално, а за пројекције да су ортогоналне пројекције. Тако, тачке А' и В' су ортогоналне пројекције тачкака А и В на раван ∑.

6. Разгледај цртеж и објасни како је изведена конструкција ортогоналне пројекције а' праве а у равни ∑.

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

169

7.

Нацртај цртеж у свесци као задати и нацртај ортогоналну пројекцију праве а на раван ∑.

8.

Шта је ортогонална пројекција дужи АВ у раван ∑: а) у случају ако АВ није нормална равни ∑; б) ако АВ  ∑?

Разгледај цртеж и проучи објашњења. а) Ако су А' и В' пројекције крајних тачака А и В дужи  АВ, онда је пројекција дужи АВ на равни ∑ - дуж А'В'. б) Ако је дуж АВ паралелна са пројекционом равни ∑,  онда је њена пројекција А'В' паралелна и једнака задатој дужи, тј. А'В' || АВ, A'B' = AB , будући да је четвороугаоник АВВ'А' паралелограм. (Зашто?)

9. Шта је ортогонална пројекција дужи, која је нормална на раван ∑?

V 10.

Пројекција троугла је, у општем случају, троугао. Код каквог положаја равни, у којој лежи троугао, са прокционом равни, пројекција троугла није троугао?

Ако је раван у којој лежи троугао нормална пројекционој равни, онда је његова пројекција дуж. На цртежу PQR се пројектује у дуж P'R'.

Треба да знаш: да објасниш:паралелно пројектовање и ортогоналну пројекцију на равни; да изведеш ортогоналну пројекцију тачке, праве, дужи и троугла на раван.

170

Tema 4. Geometrijska tela

Подсети се! Права b је нормална ∑ са прободом Р. Пронађи ортогоналну пројекцију b' на прави b. Какав је узајаман положај пројекционе праве и пројекционе равни при ортогоналној пројекцији?

Задаци 1. Крајње тачке дужи АВ леже са различитих страна пројекционе равни. Пронађи ортогоналну пројекцију дужи. Направи цртеж.

2. Ортогоналне пројекције дужи АВ и СD

су А'В' и С'D'. Који је од следећих исказа тачан? а) Ако АB = CD, онда A'B' = C'D' . б) Ако АВ || СD, онда A'B' = C'D'. в) Ако АВ || СD и АB = CD онда A'B' = C'D' .

5

3. Праве а и b се секу. Да ли њихове пројек-

ције могу да буду две различите паралелне праве?

4. Пројекције А', В' и С' за тачке А, В и С су колинеарне. Да ли мора да су и тачке А, В и С колинеарне?

5. Тачка С је средина дужи АВ. Образложи да је пројекција С' (тачке С) средина А'В'.

6. Тачка М не лежи на прави а. Да ли може пројекција М' да лежи на а' ?

PREDSTAVQAWE GEOMETRISKOG TELA CRTE@OM Подсети се!

Са коцком и квадром упознао си се раније у току свог школовања. Њима знаш и да израчунаш површину и запремину. Осим ова два геометријска тела упознао си и друге са: ваљкастим, купастим и лоптастим обликом. Која геометријска тела са цртежа су са ивицама (рогљаста тела), а која су обла?

коцка квадар ваљак

лопта

A 1.

купа

Нацртај квадар у свесци.

Док црташ треба да пазиш на следеће.

 1° Страна на коју је квадар постављен на некој равни и страна

супротна њој се називају се основе (доња и горња); оне су увек паралелне и складне међусобно. То се односи и на све призме.

2° Бочне стране и бочне ивице квадра (и код праве призме)  треба да су ортогоналне (нормалне) на обе основе.

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

171

3° Паралелне ивице квадра (и било које призме) мора да су паралел ни и на цртежу!

4° Све 12 ивице квадра не могу да се виде. На цртежу, видљиве ивице 

се представљају пуном линијом, а невидљиве - испрекиданом. Које од њих су видљиве, а које не, зависи од тога одакле се гледа квадар: а) одозго (као што гледају птице - „птичја перспектива”) или одоздо (како што гледају жабе - „жабља перспектива”), или б) са десна или са лева.

контуре

одозго, са десна

одоздо са лева

5° Шест ивица које образују контуру цртежа (1, 2... 6) су „видљиве”. Погледај ивице од 1 до  6; они су видљиве и на друга два цртежа.

6° Од осталих 6 ивица треба да процениш: која три имају заједничко теме, које се не види.  Те ивице су невидљиве.

Најчешће (а и препоручује се), геометријска тела се цртају тако да се виде одозго и са десна.

B

2. Нацртајмо поступно један квадар (са ивицама: а, b, с). Цртај у свеску, пратећи кораке од а) до г). а) нацртај правоугаоник са странама а и с (предња бочна страна): б) нацртај горњу основу: в) од темена горње основе спусти (две) бочна ивице са дужином с и паралелне на с; г) сада може да се нацрта и доња основа и да се сагледа који су ивице невидљиве.

3. Нацртај коцку коју видиш. а) одозго и са десна; б) одозго и са лева. Упореди свој цртеж са датим. а)

172

Tema 4. Geometrijska tela

б)

4.

Нацртај коцку, гледано: а) одоздо и са десна; б) одоздо и са лева. Упореди свој цртеж са датим.

V

Разгледај цртеже. На њима су представљене једна права шестоугаона призма и две пирамиде (једна троустрана и једна четворострана). Ова рогљаста тела ћеш срести у следећим лекцијама.

5. Нацртај праву тространу призму.

6. Нацртај пирамиду са основом петоугаоника. Треба да знаш: Провери се! да представиш геометријско тело цртежом.

Нацртај квадар гледан одозго и са лева.

Задаци 1. Нацртај коцку ивице а = 2,5 cm.

2. Нацртај квадар са квадратном основом, гледано одозго и: а) са десна; б) са лева.

3. Нацртај квадар са основом квадрата, гледано одоздо и: а) са лева; б) са десна.

4. Представи један квадар за сва четири случаја погледа.

Покушај да пребројиш... Један дрвени блок у облику коцке са ивицом од 3 dm обојен је црвено (тј. црвеном бојом) на све шест стране. Столар Столе Цепенкоски га је исекао на 27 коцкица, сваку са ивицом од 1 dm. а) Колико коцкица нема ниједну црвено обојену страну? б) Колико коцкица има тачно по једну црвено обојену страну? в) Колико коцкица има тачно две црвено обојене стране? г) Колико коцкица има тачно три црвено обојене стране? Д) Колико коцкица има тачно четири црвено обојене стране?

Ta~ke, prave i ravni u prostoru

173

PRIZMA

5

PRIZMA. VRSTE PRIZMI. DIJAGONALNI PRESECI Подсети се!

Коцка и квадар су просторне геометријске фигуре. Какве геометријске фигуре су њихове стране? Код једне од њих, све стране су складне фигуре. Код које? Нацртај једну коцку и један квадар и објасни у чему се разликују.

A

Прати објашњење како се добија призма.

 Узимају се две различите паралелне равни ∑ и ∑1, као на цртежу.

Узима се један вишеугаоник, на пример, петоугао ник АВСDЕ, који лежи у равни ∑.

Затим се узима права р која пробада те две равни.  Кроз темена одабраног вишеугаоника провлаче 

се праве паралелне правој р; на цртежу су њихове прободне тачке у равни ∑1 означене са А1, В1, С1, D1, Е1, респективно.

1. У вези цртежа, утврди који од следећих исказа су тачни и образложи зашто. АА1 || ВВ1 и AA1 = BB1 . АВ || А1В1 и AB = A1B1 ЕАВ = Е1D1В1 Увиди да су сва три исказа тачна. Из тога можеш да закључиш да: а) четвороугаоници АВВ1А1, ВСС1В1, итд. су паралелограми; б) петоугаоник А1В1С1D1Е1 је складан са петоугаоником АВСDЕ. Геометријска фигура која је састављена од та два петоугаоника и пет паралелограма, издвојено је приказана на цртежу. То је једна површина која дели скуп тачака из простора на две области: унутрашњу и спољашну.

174

Tema 4. Geometrijska tela

Унутрашња област, заједно са том повришном, образује једно геометријско тело, које се назива петоугаона призма. На исти начин могу се добити: троугаона призма, четвороугаона призма итд. Троуглови, четвороугаоници, петоугаоници итд, који одређују облик призме, називају се основе призме. Друге стране су паралелограми – то су бочне стране, а њихова унија се назива бочна површина. Свака призма има две основе и бочну површину. Темена основе су темена призме, а стране (дужи) основе и бочних страна су ивице, и то: основне ивице и бочне ивице.

1.

2.) На цртежу су представљене три троугаоне призме и један квадар, тј. четвороугаона призма. Именуј основе код свих ових призми. Именуј бочне стране двеју троугаоних призми. Колико темена и ивица има једна четвороугаона призма? Које ивице су основне, а које бочне код петоугаоне призме из предходног задатка?

3. Изброји темена (t), стране (ѕ) и ивице (r) петоугаоне призме са цртежа горе, и провери да ли је задовољена једнакост: ѕ + t = r + 2. Призма код које су бочне стране узајамно нормалне основам,а назива се права призма. Такве су призме I и II на цртежу. Призма код које бочне стране нису нормалне основама, назива се коса призма. Такве су призме III и IV на цртежу. Четвороугаона призма назива се паралелопипед.

B

I

II

4. Именуј призме I – IV са цртежа: према врсти основе; према положају бочних страна (ка основама); према врсти основе и положају бочних ивица. Свака права призма са основом правилног вишеугаоника назива се правилна призма. Тако, за једну праву призму са основом квадрата каже се да је правилна четвороугаона призма.

III

IV

Prizma

175

177

5. Колико и каквих страна има: а) четвороугаона призма; в) правилна четвороугаона призма;

б) права четвороугаона призма; г) правилна шестоугаона призма?

Запамти Растојање између паралелних основа једне призме назива се висина призме. За призму IV са цртежа, то је, на пример, дужина дужи ММ', а за праву призму II, то је дужина било које бочне ивице, на пр. АА1. Разгледај цртеж и запази:

V

Ако се једна призма пресече са равни, добија се вишеугаоник који се назива пресек призме. Пресек призме са равни која пролази кроз две несуседне бочне ивице призме се зове дијагонални пресек. Дуж, чије крајње тачке су два темена једне призме која не леже на истој страни, зове се просторна дијагонала или само дијагонала призме. За призму са цртежа дуж DВ1 је просторна дијагонала.

6. На цртежу горе представљен је (шрафирано) дијагонални пресек АСС1А1 петоугаоне призме АВСDЕ А1В1С1D1Е1. Именуј бар још два њена дијагонална пресека. Како ћеш да образложиш да сваки дијагонални пресек паралелограма код кога један пар супротних страна је и пар „одговарајућих дијагонала”основа? Какав паралелограм је дијагонални пресек праве призме? Колико дијагоналних пресека има: а) петоугаона; б) шестоугаона; в) осмоугаона призма?

7.

У вези призама представљених на претходном цртежу, одговори на следеће захтеве. Именуј све (просторне) дијагонале четвороугаое призме АВСDА1В1С1D1. (Пази, има 4 дијагонале!) Колико дијагонала има петоугаона призма на цртежу? Колико дијагонала призме леже на једном њеном дијагоналном пресеку? Шта су ти пресеци?

176

Tema 4. Geometrijska tela

177

Треба да знаш: да препознајеш и именујеш врсте призми; да именујеш елементе призме (основе, бочне стране, ивице...); да дефинишеш и да црташ пресек призме, дијагонални пресек и просторну дијагоналу призме.

Задаци 1. Колико бочних страна има права седмоугаона призма? Какви су то вишеугаоници?

2. Колико страна има n-вишеугаона призма?

3. Каква је веза између броја ѕ бочних страна и броја ѕ основних ивица?

5

Провери се! Могу ли се основе једне призме разликовати по броју страна? Да ли укупни број ивица једне призме може да буде: а) 6; б) 9; в) 12; г) 15? Шта је права призма? Шта је правилна призма?

4. Могу ли основе косе призме да буду правилни вишеугаоници?

5. Да ли постоји призма са: а) 4; б) 8; в) 13 страна?

6. Колико (просторних) дијагонала се могу повући из једног темена код: а) троугаоне; б) петоугаоне; в) шестоугаоне призме?

PARALOPIPED. MRE@A I POVR[INA PRIZME Провери се!

Какви вишеугаоници су бочне стране једне призме? Шта је: а) права; б) коса призме? За коју призму се каже да је правилна? Да ли је квадар правилна призма? Да ли је коцка правилна призма?

1.

Свих шест страна паралелопипеда су паралелограми. Од њих се може образовати три пара супротних страна (тј. пар страна који немају заједничке ивице).

Уочи пар супротних страна АDD1А1 и ВСС1В1 паралелопипеда на цртежу и одговори на захтеве. Именуј друга два пара супротних страна. Какве су међусобно, према узајамном положају и дужини, ивице: АD и ВС; АА1 и ВВ1; АВ и А1В1? А1АD = В1ВС. Зашто? Изведи закључак да су стране АDD1А1 и ВСС1В1 складни паралелограми.

Prizma

177

Важи и уопштено Код паралелопипеда било која две узајамно супротне стране су паралелне и складне. За који паралелопипед можеш рећи да је прави, а за који да је коси паралелопипед?

Будући да је паралелопипед призма, можемо рећи да је он прави, ако су му бочне ивице нормалне основама, а ако оне нису нормалне основама, онда је паралелопипед кос.

Паралелопипед који је прави и има основу правоугаоника назива се правоугаони паралелопипед или квадар. Дужина три ивица који излазе из једног темена (на пример, на цртежу: АВ, ВС, ВВ1) називају се димензије квадра. Квадар коме су димезије једнаке назива се коцка.

2. На цртежу уочи дијагонални пресек ВDD1В1 квадра, размисли и одговори на питања. Какви четвороугаоници су дијагонални пресеци квадра? Какве су међусобно, по величини и узајамном положају, просторне дијагонале ВD и D1В1? Колико просторних дијагнала има квадар? Какви су оне међусобно по величини и узајамном положају? Уочи четвороугаоник ВСD1А1 на цртежу. Он је правоугаоник (зашто?) и његове дијагонеле ВD1 и С1А1 су једнаке међусобно. Према томе, CA1 = BD1 = DB1(= AC1).

Запамти Код квадара су све четири просторне дијагонале међусобно једнаке. Оне се секу у једној тачци и преполовљују се њоме.

3. На цртежу је представљен квадар, димензија а, b и с. Уочи просторну дијагоналу ВD1, и размисли како ћеш закључити да за дужину d = BD1, важи:

178

Tema 4. Geometrijska tela

Да би извео тражени закључак, сагледај да: а) ΔВАD је правоугли, па BD2 = а2 + b² (зашто?); б) ΔВDD1 је правоугли, па d² = BD2 + с² (зашто?). Значи, d² = а2 + b² + с²

4.

Израчунај дијагоналу квадра са димензијама 8 сm, 6 сm и 24 сm.

B

Нека је задана једна права четвороугаона призма.

Замисли да је „исечена” по једној ивици и по три основне ивице обеју основа, као на цртежу. Ако, после тога, све њене стране саберемо у једну раван, добићемо једну фигуру која се зове мрежа те призме.

Запамти Свака права призма има своју мрежу. Мрежа је састављена од два вишеугаоника (основе призме) и од једног правоугаоника са димензијама: L (обим основе) и Н (дужина бочне ивице, тј. висине) призме.

5. Фигура на цртежу је састављена од једног правоугаоника и два складна троугла, „прилепљена” уз правоугаоник. Образложи да је то мрежа једне праве троугаоне призме. Да ли је она правилна призма? Зашто?

6. Да ли су све три фигуре мреже коцке? Покушај у мислима да саставиш коцку или направи модел. а)

б)

Prizma

в)

179

Подсети се!

V

Површина једне вишеугаоне призме састоји се од: две основе (које су складни вишеугаоници) и бочне површина (која се састоји од паралелограма).

Разгледај цртеж на коме је представљена једна вишеугаона призма и запази које врсте вишеугаоника су њене стране.

Збир површина свих страна једне призме назива се површина призме. За површину Р једне призме важи:

Р = 2В + М В - површина једне основе; М - површина бочне површине.

7. Израчунај површину праве троугаоне призме са основним ивицама а = 6 сm, b = 25 сm, с = 2 9 сm и висином Н = 35 сm. Твоје решење упореди са датим.

 Површина основе В може да се израчуна преко Херонове формуле: т.ј. Бочна површина је састављена од три правоугаоника, па за њену површину М имамо:  М = а · Н + b · H + с · H = (а + b + с) · H = L · H = 60 · 35, тј. М = 2100 сm². Значи, површина призме Р је: 

Р = 2В + М = 2 · 60 + 2100 = 2220, тј. Р = 2220 сm²

Уочи уопштено Површина М бочне површине праве призме рачуна се према формули:

М=L·H где L је обим основе, а H је висина призме.

8. Израчунај М правилне шестоугаоне призме са ивицом а = 5 сm и висином Н = 7 сm.

9. Површину квадра и коцке си рачунао и раније.

180

Tema 4. Geometrijska tela

Запази и образложи Површина квадра са димензијама а, b и с ( изражене истом мерном јединицом) рачунају се према формули: Р = 2(аb + ас + bс). Површина коцке са ивицом а рачуна се према формули: Р = 6а² Израчунај ивицу коцке са површином Р = 61,44 сm².

10. Објсни формуле за рачунање површине: а) правилне троугаоне призме; б) правилне четвороугаоне призме: в) правилне шестоугаоне призме са основном ивицом а и висином Н.

Треба да знаш: Провери се! да препознаш и скицираш паралелопипеде и да исказујеш његове особине; да црташ квадар и коцку, као и мреже различитих врста призми;

Изведи формулу за дужину d дијагонале коцке са ивицом а.

да искажеш општи постапак и да израчунаш површину различитих врста призме.

Израчунај површину правилне четвороугаоне призме са основним ивицом 5 сm и висином 10сm.

Нацртај мрежу правилне четвороугаоне призме.

Задаци 1. Израчинај површину: а) квадра са димензијама 2,4 dm; 2 dm, 8,5 сm; б) коцке са ивицом 2,5 сm.

3. Израчунај висину правилне четвороугаоне призме, ако је површина бочне површине М = 160 сm², а површина призме Р = 210 сm².

2. Површина једне коцке је 294 сm². Израчунај ивицу и дијагоналу коцке.

Prizma

181

4. Између величина а, Н, В, М и Р код пра-

7. Права призма са бочном ивицом 12сm

вилне четвороугаоне призме да се пронађу непознате, ако су задати: а) а = 4,5 сm, Н = 8,4сm; б) а = 12 сm, М = 432 сm²; в) а = 8 сm, Р = 480 сm²; г) В = 49 сm2, Н = 12 сm; д) В = 81 dm², Р = 342 dm²; ђ) Н= 8 dm, М = 208 dm²; е) М = 120 dm², В = 36 dm²; ж) М = 180 сm², Р = 342 сm².

има основу ромба са дијагоналама 6сm и 8сm. Пронађи површину призме.

8. Које од задатих фигура од 1 до 8 су мрежа коцке ?

5. Колико пута ће се увећати површина коцке, ако се њена ивица увећа трипута?

6. Мећу величинама а, Н, В, М и Р код правилне троугле призме пронађи непознате, ако су задате (у центриметрима)

Може ли паук да дође до муве?

На цртежу је представљена правилна четвороугаона призма са основном ивицом 1 сm и висином 3 сm. Један паук (П) и једна (М) су у положају као на цртежу. Паук је питао муву: „Да ли ћеш ме чекати да дођем до тебе?”. Мува му је одговорила: „Чекаћу те ако испуниш следеће услове: 1.) да прођеш кроз све четири бочне стране.

2.) да пређени пут не буде већи од 5 сm.” Да ли ће се мува спасити или ће паук пронаћи пут да дође до муве?

182

Tema 4. Geometrijska tela

8

ZAPREMNINA POLIEDRA. ZAPREMNINA KVADRA I KOCKE Подсети се!

A

Коцка, квадар и друге призме су просторне геометријске фигуре. Оне „заузимају неки део простора” и називају се геометријска тела. Осим њих, има и других геометријских тела.

На цртежу су нацртани модели геометријских тела.

Именуј неке од њих. Која од њих су рогљаста, а која обла?

Уопштено Геометријско тело (или, кратко: тело), слободно речено, је ограничени и затворени део простора. Ако површ, којом је тело затворено, састављена само од вишеугаоника, онда за то тело кажемо да је рогљасто тело или полиедар (како, на пример: призма, пирамида). Ако су неки делови површи које ограђују тело криве, онда се за њега се каже да је обло тело (на пример: ваљак, купа, лопта).

2. Именуј три предмета (тј. „физичка тела”) из околине која имају облик: а)рогљастог,

3.

б) облог геометријског тела.

На цртежу су представљене две праве призме, чије основе су складни троуглови (ΔАВС  ΔМNР), а бочне ивице су им једнаке АА1 = ММ1. Шта ће се догодити ако се при неком премештању, темена АВС подударе се теменима МNР, респективно, а темена А1В1 и С1, се подударе са теменима М1, N1 Р1, респективно? Уочаваш да тим ће се тим премештањем призме довести до потпуног подударања. Зато кажемо да су оне мећусобно складне.

Запамти За две геометријске фигуре (а посебно за два геометријска тела) може се рећи да су складна, ако се они, премештањем (кретањем) могу довести до подударања.

Prizma

183

Квадар на цртежу под а) је пресечен равни ЕFF1Е1, тако да су добивена два квадра. Они имају заједничку страну, али немају заједничке унутрашње тачке. За њих кажемо да су саставни делови (или састојци) задатог квадра. На колико саставних делова је подељена призма на цртежу под б)? Именуј те делове. а)

а)

Подсети се! Одреди запремину квадра са димензијама а = 5 сm, b = 3 сm, с = 3 сm; Број који си при том добио (45 сm³) карактерише величину унутрашњег дела квадра. Шта показује број (45 сm³)? Тај број показује да у задатом квадру можемо да сместимо тачно 45 коцки са ивицом од 1сm,тј. 45 коцки са запремином од 1 сm³. Зато кажемо да тај квадар има запремину од 45 сm³.

B

Свако геометријско тело захвата извесни део простора.

За „величину” унутрашњег дела тела, тј. захваћени део простора, каже се да је запремина тела. Општи задатак за одређивање тј., мерење запремине тела је аналоган задатку мерења површине фигура у равни. Наиме, величина унутрашњег дела једног геометријског тела, посебно полиедара, може да се осмисли реалним бројем који се назива запремина тела.

Запамти Било ком полиедру може се придружити реални број V, назван запремином полиедра, тако што ће се задовољити следеће услови (аксиоме за запремнину).

1°

Запремина V било ког полиедра је позитиван број, тј. V > 0.

2°

Ако су два полиедара су складна, онда су њихове запремине V₁ и V₂ једнаке, тј. V₁ = V₂.

3°

Ако је полиедар подељен на два саставна дела, онда је његова запремина V једнака збиру запремина његових саставних делова V₁ и V₂, тј. V = V₁ + V₂.

184

Tema 4. Geometrijska tela

4° Узима се да коцка ивице 1сm (1dm, 1m, итд.) има запремину 1сm³ (1dm³, 1m³, итд.).

5.

Код квадра са цртежа под а) у задатку 4 су назначене његове димензије, као и димензије његова два саставна квадра. Израчунај запремину квадра V , а затим и запремину V1 и V2, - његових састанвних делова. Провери, за сваки случај , аксиоме (1° и 3°) за запремину.

6.

Како може из аксиоме 3° да се изведе закључак да је запремина једног полиедара већа од запремине било којег његовог саставног дела?

Обрати пажњу и упамти У вези услова 4°, врло је важно да се утврди основна мерна јединица за запремину. За такву јединицу може да се узме запремина било које коцке. Али, Међународним системом за мерне јединице (ЅI), прихваћено је то да буде коцка са ивицом од 1m која је названа кубни метар; ознака m³.

7.

Које су мање јединице које се изводе из кубног метра? Колико: а) кубних дециметара (dm³); б) кубних центиметара (сm³); в) кубних милиметара (mm³) се садржи у 1m³? Израчунај у m³: а) 2 350 dm³; б) 625 000 сm³; в) 55 · 106 mm³. За мерење запремине (обично течности), употрбљава се мерна јединица литар (). При томе: 1 = 1dm³.

8. Колико литара има у: а) 35 dm³; б) 2 500 сm³? в) 2 m³.

V

На основу аксиома о запремини може да се докаже да запремина V квадра са димензијама а, b, с, може да се израчуна формулом (коју знаш).

V = аbс За коцку са ивицом а (тј. квадра са а = b = с):

V = а3 Формула за запремину квадра може се записати и у облику:

V = B.H

где В = а · b је површина основе, а Н = с је висина квадра.

Prizma

185

9. У једној канти са обликом квадра, чија основа има стране а = b = 25 сm, може се сакупити 25  воде. Колика је висина канте?

Треба да знаш: да израчунаш запремину квадра и коцке у разним практичним применама; да користиш мерне јединице за запремину.

Провери се! Колико коцки са ивицом 1сm се могу сместити у коцку са ивицом а) 2 сm; б) 3 сm; в) 1dm? Једна канта у облику квадра има основу са а = b = 30 сm и висином Н = 40 сm. Колико литара воде сакупља канта?

Задаци 1. Израчунај запремину коцке чија је површина 54 сm².

6. Запремина једне коцке је једнака са запре-

мином квадра са димензијама 8 сm, 4 сm, 2 сm. Израчунај површину коцке.

2. Димензије једног квадра су: 16 сm, 4 dm,

1 m. Пронађи ивицу коцке која има једнаку запремину са овим квадром.

3. Код неке коцке, површина у сm² и зап-

ремина у сm³ изражени су истим бројем. Колика је ивица коцке?

7. Да би се сазидао зид висок 2,80 m и дебео

40 сm потрошено је 2 600 цигли. Зна се да је за 1m³ зида потребно 400 цигли. Колико је висок зид?

8. Једна права призма има висину 8 сm и ос4. Један квадар има за основу квадрат стране 4 cm и бочне површине m = 112 cm2. Израчунај запремнину тог квадра.

5. Један квадар има основу квадра са странама 6 сm и 8 сm, а дијагонала тог квадра је 26 сm. Пронађи запремину квадра.

186

Tema 4. Geometrijska tela

нову у облику правоугаоног троугла са катетама а = 3 сm и b = 4 сm. Израчунај њену запремину, сагледавајући да је она пола квадра са димензијама 3 сm, 4 сm, 8 сm.

9

ZAPREMNINA PRAVE PRIZME

A

Подсети се! Запремина квадра са димензијама а, b и с рачуна се према формули V = аbс Како се добија формула V = ВН за запремину истог квадра? За коцку знаш да V = а³. Да ли и за њу важи: V = ВН? Како се рачуна површина правоугаоног троугла са катетама а и b ?

За решавање запремине праве призме са основом правоугаоног троугла важи иста формула као и за квадар: V = ВН,

где В је површина основе, а Н висина призме.

Проследи образложење овог тврђења.  На цртежу под а) је представљена права призма са висином Н и основом правоуглог троугла са катетама а и b.

На 

цртежу под б) је дата призма допуњена до квадра другом призмом која је складна њој.

Запремина Vк квадра је двапута већа од запремине  V дате троугаоне призме, тј. Vк = 2V (зашто?). Знамо да Vк = аbН, 

аb

па је: 2V = аbН, тј. V = 2 ∙ Н

аb Будући да је аb површина основе задате призме (зашто?), тј. В = ,  2 2

за запремину призме можемо записати:

V = ВН.

1. Искажи речима формулу за рачунање запремине праве призме са основом правоугаоног троугла.

2. Правоугаони троугао са катетама 6 сm и 8 сm је основа праве призме са висином од 1,5 m. Израчунај запремину те призме.

B

3. Нацртај произвољни троугао и подели га на два саставна правоугаона троугла.

То можеш увек да направиш (као на цртежу) помоћу висине спуштене ка његовој највећој страни.

4.

На цртежу је представљена права призма са основом произвољног троугла. Објасни како је пресечена призма и тиме подељена на две саставне праве призме са основама правоугаоних троугла.

Prizma

187

Искористи то да би показао да се запремина V дате троугаоне призме рачуна формулом V = В · Н. (В – површина основе, Н - висина). Увиди да, ако су V1 = В1 · Н и V2 = В2 · Н запремине саставних призми, онда (према аксиоми 3° о запремини), запремина V задате призме биће: V = V1 + V2 = В1Н1 + В2Н2 = (В1+ В2) ∙ Н. Ако означиш са В површину основе задате призме, онда В = В1 + В2, па

V=В.Н тј. запремина праве троугаоне призме је једнака производу висине и површине основе призме.

5. Троугао са странама а = 13 сm, b = 14 сm, с = 15 сm је основа праве призме са висином Н = 20 сm. Израчунај запремину те призме.

6. Израчунај запремину праве троугаоне призме са основном ивицом од 6 сm и висином од 8 сm.

V

7. На цртежу је представљена права петоугаона призма и са једног

њеног темена повучене су две дијагонале на основи. Разгледај цртеж и одговори на питања. Колико дијагоналних пресека се може поставити кроз једно теме основе? Колико саставних правик троугаоних призми се добија тим пресецима? Ако су V, V1, V2 запремине правих троугаоних призми I, II и III респективно, како може да се изрази запремина петоугаоне призме, V? Ако В је површина основе, а Н висина петоугаоне призме, како ћеш записати формулу њене запремине? Сигурно си одговорио даје запремина праве петоугаоне призме је једнака збиру запремина саставних троугаоних призми. Такав закључак важи и са сваку праву вишеугаону призму. Према томе: Запремина праве призме, V, је производ површине основе В и висине Н, тј.

V=В.Н

8. Израчунај запремину канте са обликом правилне шестоугаоне призме са основном ивицом а = 10 сm и висином Н = 60сm. Колико литара течности сакупља та канта?

9. Права призма са висином од 12 сm има основу једнакокраког правоагаоног троугла са катетом од 8 сm. Израчунај запремину те призме.

188

Tema 4. Geometrijska tela

10.

Пронађи формуле за запремину: а) правилне троугаоне призме; б) правилне четвороугаоне призме; в) правилне шестоугаоне призме, са основном ивицом а и висином Н.

Треба да знаш: да израчунаш запремину призме према општој формули; да изведеш формуле за израчунавање запремине правилне троугаоне, четвороугаоне, шестоугаоне призме; да користиш мерне јединице за запремину код решавање практичних примера за површину и запремину призме.

Провери своје резултате:

Провери се! Израчунај запремину правилне шестоугаоне призме са основним ивицом а = 6 сm и висином Н = 13 сm. Две троугаоне призме имају једнаке висине и једнаке запремине. Да ли њихове основе мора да су: а) складни троуглови, б) троуглови са једнаким површинама?

Задаци 1. Један сaндук са дужином oд 2 m и ширином од 1 m сакупља 16 h пиринча. Колика је висина сандука?

2. Израчунај запремину правилне шестоугаоне призме са обимом основе од 24 сm и висином од 10 сm.

3. Ромб са дијагоналама од 24 сm и 10 сm је основа правилне призме са висином од 20 сm.Израчунај запремину и површину призме.

4. Правилна четвороугаона призма има површину Р = 448dm² и бочну површину М = 320 dm². Израчунај површину призме.

6. Колико је висока правилна шестоугаона призма са основним ивицом а = 6сm и запремином V = 1260сm³?

7. Попречни пресек канала дуг 2 km, има

облик једнакокраког трапеза са основама од 6 m и 10 m и краком 2,9 m. Колико m³ земље је избачено при његовом копању?

8. Међу величинама а, Н, В, Р и V код правилне четвороугаоне призме пронађи непознате ако су задате (у сm; сm²; сm³;) а) а = 5, М = 160; г) Н = 14, V = 1694; б) а = 3, Р = 66; д) Н = 15, М = 780; в) В = 36, М = 168; ђ) М = 160, V = 200.

5. Израчунај запремину правилне троугле призме са: а) основним ивицом 6 сm и вивином 8сm; б) основним ивицом а и висином 4а.

Prizma

189

PIRAMIDA

10

PIRAMIDA. POVR[INA PIRAMIDE Подсети се!

Шта је полиедар или рогљасто тело? Зашто је призма рогљасто тело? Према чему се одређује да је призма троугла, четвороугаона, итд., а према чему да је права, односно правилна? Опиши речима неку од египатских пирамида.

A

1.

Разгледај цртеже и проследи објашњење у следећем задатку. Тако ћеш се упознати са још једним рогљастим геометријским телом. Дато је:

 Једна раван Σ. Један n-вишеугаоник 

на њој, на пример

вишеугаоник АВСDЕ,

Једна тачка Ѕ која не лежи на раван Σ,  Од тачке Ѕ повучене су дужи до темена ви шеугаоника.

Колико троуглова су при томе добивена? Именуј те троуглове. Шта заедничко имају сва та пет троугла? Уочи површ коју сачињавају задати петоугаоник и добивена пет троуглова.

Површ која се састоји од задатог петоугаоника и добивених пет троуглова дели скуп тачака у простору на две области: унутрашњу и спољашну. Унутрашња област заједно са поменутом површи образује једно геометријско тело које се зове петоугаона пирамида. Та пирамида је издвојено приказана на цртежу. Задати петоугаоник зове се основа пирамиде, добивени троуглови АВЅ; ВСЅ..., су бочне стране, а тачка Ѕ - врх пирамиде. Врх Ѕ и темена основе називају се темена пирамиде, а бочне стране сачињавају њену бочну површину. И код пирамиде разликујемо: основне и бочне ивице. Истим поступком може се доћи до троугаоне пирамиде, четвороугаоне пирамиде итд. Свака од њих зове се, нкратко, пирамида.

190

Tema 4. Geometrijska tela

2.

На цртежу су представљене троугаона пирамида ЅАВС и четвороугаона пирамида ЅАВСD. Именуј: а) основне ивице; в) основу; б) бочне ивице; г) бочне стране. пирамиде 1) ЅАВС; 2) ЅАВСD. Запази и дуж ЅЅ’ у пирамиди ЅАВСD на цртежу. Дуж ЅЅ’, где Ѕ је врх пирамиде, а Ѕ’ је његова ортогонална пројекција основе зове се висина пирамиде. Тачка Ѕ' је подножје висине. Обично се и дужина ЅЅ' зове висина пирамиде.

1.

Од које врсте је пирамида која има: 1.) а) 4, б) 6, в) 9 темена; 2. а) 6, б) 10, в)12 ивица; 3. а) 4, б) 7, в) 10 страна?

B

Пресек пирамиде са равни која пролази кроз њен врх и кроз било коју дијагоналу основе назива се дијагонални пресек. На цртежу је представљен дијагонални пресек АСЅ пирамиде. Уочи и именуј још два дијагонална пресека. Колико дијагоналних пресека има ова пирамида? Колико дијагоналних пресека има било која пирамида?

Уочио сам да су и троуглови ВDЅ и ЕСЅ дијагонални пресеци; ова пирамида има 5 таквих пресека, а свака пирамида има толико дијагоналних пресека, колико има дијагонала на основи.

4. На цртежу је представљена пирамида ЅАВСD са основом квадрата, а подножје висине пада у пресеку О дијагонале основе. Разгледај цртеж и проследи објашњење. Тачка О преполовљава дијагонале квадрата (основе).

 Правоугаони троуглови АОЅ, ВОЅ, СОЅ, DОЅ имају једну  заједничку катету (висина ОЅ), а друга катета је једнака половина дијагонале квадрата.

Према ставу САС они су складни међусобно.  Из тога произилази да, код овакве пирамиде: а) све бочне ивице су једнаке међусобно; б) бочне стране су једнакокраки, међусобно складни троуглови; в) висине бочних страна су међусобно једнаке.

Piramida

191

За ову пирамиду и за сваку другу код које је основа правилан вишеугаоник, а подножје висине пада у центар основе, каже се да је правилна пирамида. Висина Н било које бочне стране правилне пирамиде зове се апотема пирамиде. Израчунај апотему Н правилне троугаоне пирамиде са основном ивицом а = 14 сm и бочним ивицом ѕ = 25 сm.

5.

Разгледај троугао АЕЅ на цртежу. Ако се разрежу све основне ивице (осим једне) и само једна бочна ивица, онда површина једне пирамиде може да се „распространи” у раван. Тако се добија мрежа пирамиде.

V

6. На цртежу су представљене две конструкције мреже правилне троугаоне пирамиде са основном ивицом а и бочном ивицом ѕ. Запази и опиши речима два поступка. Објсни и скицирај мрежу правилне четвороугаоне пирамиде. Како и код призме, збир површина свих страна једне пирамиде назива се површина пирамиде. Према томе:

G

Ако В је површина основе, а М површина бочне површине, онда ће Р пирамиде бити:



Р=В+М

7. Израчунај површину правилне четвороугаоне пирамиде са основном ивицом од 14 сm и бочном ивицом ѕ = 25 сm. Упореди твоје решење са датим решењем. За основу: В = а² = 14 m² = 196, тј. В = 196 сm²;  За бочну површину: М = 4 ∙ а . h = 2аh, где је h апотема.  2 Апотема ће се израчунати уз помоћ Питагорине теореме о правоугаоном троуглу АЕЅ: 

Тако, М = 2аh = 2 ∙ 14 ∙ 24 = 672, тј.  Значи: Р = В + М = 196 + 672 = 868, 

192

М = 672 m². тј. Р = 868 сm².

Tema 4. Geometrijska tela

8. Израчинај површину правилне четвороугаоне пирамиде са основном ивицом а = 10 сm и висином Н = 12 сm. Искористи АЅОЕ са цртежа из 7. задатка. Троугаона пирамида назива се тетраедар. Троугаона пирамида којој су све ивице једнаке назива се правилни тетраедар.

9. Нађи површину правилног тетраедара са ивицом а = 12сm.

Треба да знаш: да препознаш и да именујеш пирамиду и њене елементе; да препознаеш и да дефинишеш правилну пирамиду; да израчунаш површину пирамиде.

Провери се! Ако је основа једне пирамиде правилни вишеугаоник, да ли мора пирамида да буде правилна? Нађи површину Р правилне четвороугаоне пирамиде са бочном ивицом с = 17 сm и апотемом h = 13 сm.

Задаци 1. Колико најмање страна може да има јед-

5. Израчунај површину правилне троугаоне пирамиде са основном ивицом од 6 сm и бочном ивицом од 10 сm.

на пирамида? Ког типа је та пирамида?

2. Израчунај површину правилне троугаоне пирамиде са основним ивицом од 6 сm и бочним ивицом од 10 сm.

3. Пронађи апотему правилне четвороуга-

оне пирамиде чија бочна површина има 20 dm², а основа има 16 сm².

4.

Правилна четвороугаона пирамида са основном ивицом а = 8 сm има површину од 144 сm². Пронађи висину Н пирамиде.

6.

Израчунај површину основе четвороугаоне пирамиде са висином Н = 6 сm и апотемом h = 6,5 сm.

7. Између величина: а, Н, h, В. М и Р код

правилне четвороугаоне пирамиде пронађи непознате, ако су дате (у центиметрима): а) а = 12, h = 10; г) Н = 21, h = 29; б) а = 14, Н = 24; д) Р = 819, В = 81, в) В = 256, М 544; ђ) Р = 3584, М = 2800.

Piramida

193

11

ZAPREMNINA PIRAMIDE

Подсети се! Запремина праве призме израчунава се формулом V = В . Н, В - површина основе, Н - висина призме. Како се добија пирамида ? Шта је, притом: а) основа; б) врх; в) бочна површина; г) висина пирамиде?

A

Мерење запремине неког тела не вршимо непосредним преношењем мерне јединице, него изводимо правил а (која записујемо формулом) према којима, на основу неопходних података о телу, израчунавањем добијамо његову запремину. Како да добијемо правило за израчунавање запремине пирамиде?

У ту сврху можеш (код куће) да направиш следећи оглед.

 Направи

шупље моделе (на пример, од картона) једне призме и једне пирамиде једнаких површина (може: складних) основа и једнаких висина (као на цртежу). Напуни пирамиду сувим песком (или другим зрнастим материјалом: пиринач, шећер или сл.)  и затим песак из пирамиде преспи у призму. Приметићеш да то треба да урадиш још два пута да би напунио призму.  То показује да пирамида има три пута мању запремину од призме.  Ова се чињеница, уочена експериментално, се може и доказати (али ми ћемо сада изоставити то).

Упамти да уопштено важи Запремина V једне пирамиде је једнака трећини производа висине Н и површине В основе пирамиде, тј.

1. Израчунај запремину правилне четвороугаоне призме основе а = 12 сm и висине Н = 20 сm.

194

Tema 4. Geometrijska tela

B

Разгледај цртеже и покушај да изведеш формуле за израчунавање правилне: а) троугаоне; б) четвороугаоне; в) шестоугаоне; пирамиде са основном ивицом а и висином Н.

2.

Упореди твоје решење са датим.

 У општој формули за запремину пирамиде V =

1 3 ∙В∙Н, треба да се замени само В са одгова-

рајућом формулом за површину: а) једнакостраничног троугла:

б) квадрата: В=а2;

в) правилног шестоугаоника: Тако ће се добити тражене формуле: 

3. Кеопсова пирамида у Египту има висину од 149 m и за основу квадрат стране 232 m. Израчунај њену запремину.

4. Бочна ивица правилне шестоугаоне пирамиде је 14 сm, а основна ивица је а = 2 сm. Израчунај запремину пирамиде.

V

5.

Израчунај површину и запремину пирамиде висине Н = 12 сm и основе правоуаганика са димензијама а = 32 сm и b = 10 сm, ако је подножје висине у пресеку дијагонала (центар описане кружнице) на основи. Разгледај цртеж и ради према упутствима.

Р = В + М и В = а ∙ b = 32 ∙ 10; В = 320 сm².  Бочна површина је састављена од четири троугла, при чему: 

ΔЅА1В1  ΔЅС1D1 и ΔЅВ1С1 

ΔЅА1Р1, па се са цртежа, где је hа = FS , hb = GS , добија

Израчунај бочне висине hа и hb. На цртежу: 

400, тј.

hа = 13 сm, hb = 20 сm и М = 32 ∙ 13 + 10 ∙ 20 = 616 сm²; Р = 320 + 616 = 936; 

Р = 936 сm² Piramida

195

Замени В и Н у општој формули за запремину пирамиде: 

Треба да знаш:

Провери се! Израчунај запремину правилне троугаоне пирамиде са основном ивицом од 5 сm и висином од 9 сm.

да израчунаш запремину пирамиде према општој формули; да изведеш формулу за израчунавање запремине пирамиде у конкретном примеру.

Правилна четвороугаона пирамида има висину од 12 сm и дијагоналу основе од 8 сm. Колика је запремина пирамиде?

Задаци 1. Правилна четвороугаона пирамида

5. Основа једне пирамиде је правоугаоник

са димензијама 90 сm и 1,20 m, а све бочне ивице имају по 1,25 m. Нађи њену запремину.

2

има основу 6 = 144 сm и висину Н = 40 сm. Израчунај запремину пирамиде.

2. Запремина једне правилне четвороугаоне пирамиде је 48 сm3, а површина њене основе је 36 сm2. Израчунај површину пирамиде.

6. Једна правилна четвороугаона пирамида

има основну ивицу а = 8 сm и запремину V = 576 сm3. Нађи висину и површину пирамиде.

3. Правилна четвороугаона пирамида има основну ивицу а = 24 сm и бочну површину М = 960 сm2. Израчунај површину P и запремину V пирамиде.

4. Правилна четвороугаона пирамида има основну ивицу 20 сm и запремину 3 200 сm3. Израчунај висину и површину те пирамиде.

7.

Међу величинама а, Н, ѕ, В, М, Р, V правилне шестоугаоне пирамиде нађи непознате, ако су дате (у сm): (ѕ је бочна ивица);

Покушај... а) Какав вишеугаоник треба да буде основа да би могао да оформиш пирамиду једнаких бочних ивица? б) Какав вишеугаоник треба да буде основа да би могао да оформиш пирамиду једнаких апотема?

196

Tema 4. Geometrijska tela

VAQAK, KUPA, LOPTA

12

VAQAK; POVR[INA I ZAPREMNINA

Подсети се! Шта је призма и како се добија? Шта су при томе: а) основе; б) бочне стране; в) бочне површине; г) висина призме?

Да видимо како се добија геометријско тело које називамо ваљком. Пажљиво прати поступак.

A

Дата је једна раван Σ, једна кружница k на њој и једна права р која пролази кроз једну тачку кружнице, Т, и нормална је равни Σ, као на цртежу под а).

За која геометријска тела се каже да су обла? Много предмета из свакодневног живота имају облик ваљка (на пример: конзерва, чунак). Наброј још неколико предмета који имају ваљкасти облик.

a)

б)

в)



 Замислимо да тачка Т почиње да се креће по кружници, а права р - остаје паралелна свом почетном положају као на цртежу под б).

На тај начин покретна права р описује једну површину; то је ваљкаста површина – цртеж  под в). За праву р се каже да је генератриса (или изводница), а за кружницу - директриса (или водиља) ваљкасте површине.

Пресецимо ову површину са још једном равни Σ1,  паралелној равни Σ, као на цртежу под г).

Запамти Кругови које ваљчаста површина одсеца из равни Σ и Σ1и део ње између равни, ограђују део простора, тј. образују једно геометријско тело које се назива прави кружни ваљак, а ми ћемо га звати само ваљак. Тај ваљак је издвојено представљен на цртежу под д).

Vaqak, kupa, lopta

197

Огледно, ваљак се може добити и када правоугаоник ротира око једне своје стране (на цртежу: АВСD, око ВС).

Разгледај цртеж и запази елементе ваљка.

B

Кругови се називају основе, а део ваљкасте површине између њих - бочна површина ваљка. Полупречник основе се назива полупречник ваљка. Дуж ОО1, (чије су крајње тачке центри основа) назива се оса ваљка; она је и његова висина. Ако се ваљак пресече са равни која пролази кроз његову осу, добија се један правоугаоник који се назива осни пресек (шрафирани правоугаоник на цртежу).

1. Да ли могу два осна пресека једног ваљка да не буду међусобно подударна ? Зашто? Израчунај површину осног пресека ваљка са полупречником R = 5 сm и висином Н = 7 сm.

2.

За ваљак чији је осни пресек квадрат, тј. Н = 2R, кажемо да је једнакостранични ваљак.

3.

Осни пресек једног једнакостраничног ваљка има 100 сm2. Нађи полупречник и висину ваљка.

V

Ако се ваљак расече по једној његовој генератриси и по периферији основа, као на цртежу под а), онда може да се види да је мрежа ваљка састављена од два подударна круга (основе) и једног правоугаоника (бочне површине), као на цртежу под б). a)

4. Разгледај мрежу на цртежу под б) и, за површину Р ваљка са полупречником R и висином Н, сагледај да: а) Р = 2В + М; (В - површина основе, М - површина бочне површине); б) В = 2R²π (Зашто?) М = 2Rπ ∙ Н (Зашто?) в) Р = 2R²π + 2Rπ ∙ Н ;

198

Р = 2Rπ(R + Н)

Tema 4. Geometrijska tela

б)

5. Израчунај површину ваљка са полупречником R = 8 сm и висином Н = 2,5 dm. Подсети се!

A

Постоји велика сличност између ваљка и праве призме

За запремину ваљка са полупречником R (тј. са површином основе В = R²π) и висином Н, слично као код призме, узима се број

V = В ∙ Н, т.ј . V = R²π ∙ H Значи, запремина ваљка је једнака производу површине његове основе и висине.

- две подударне основе које леже на паралелним равнима; - бочне површине са изводницама, односно, ивице нормалне основама.

6.

Израчунај запремину ваљка са полупречником R = 10 сm и висином H = 15 сm.

7. Изведи формуле за површину и запремину једнакостраничног ваљка, са полупречником R.

Одговор:

Треба да знаш: да идентификујеш елементе ваљка; да израчунаш површину и запремину ваљка према формули.

Задаци 1. Израчунати Р и V ваљка са R = 6 сm и површином осног пресека Q = 240 сm².

2. Израчунај Р и V равностраног ваљка са: а) R = 10 сm, б) Н = 2dm.

Р = 6R²π ; V =2R³π.

Провери се! Како се добија: а) ваљчаста површина; б) ваљак? Израчунај Р и V ваљка са R = 1,2 dm и Н = 15 сm. За који ваљак се каже да је једнакостраничан?

4. Дијагонала осног пресека једног ваљка, који је висок 8 сm, је једнака 10 сm. Израчунај Р и V ваљка.

5. Једнакостранични ваљак има површину 1350π сm². Одреди његову запремину.

3. Одреди висину ваљка, чији је полупречник 5 сm, а запремина V = 1 570 сm².

6. Два ваљка су добивена ротацијом пра-

воугаоника око сваке од његових страна а и b. Нађи однос запремина тих ваљака.

Vaqak, kupa, lopta

199

13

KUPA; POVR[INA I ZAPREMNINA

Подсети се! У свакодневном животу често сусрећеш предмете у облику купе. Наброји неколико предмета који имају облик купе.

A

Једно геометријско тело са обликом купе може да се добије на сличан начин као што се добија ваљак.

Проследи поступак.

 Дата је једна раван Σ и на њој једна круж-

ница k сa центром О. Из тачке О је „подигнута” дуж ОЅ која је нормална равни Σ.

Из тачке Ѕ повуци једну полуправу ЅХ која пролази кроз једну тачку кружнице k.  Тачка Т почиње да се креће по кружници, а полуправа ЅХ да  „клизи” по кружници.

На тај начин покретна полуправа описује једну површину;  то је површина купе.

За полуправу ЅХ се каже да је генератриса (изводница), за  кружницу - директриса (водиља), а тачка Ѕ - врх.

Запамти Круг који одсеца површину купе од равни Σ и део површине од врха Ѕ, ограђују део простора, тј. образују једно геометријско тело које се зове права кружна купа; ми ћемо је звати, само купа. На цртежу је предсдстављена та купа издвојено.

1. Какво геометријско тело се добија када се један једнакокраки троугао окреће (ротира) око висине спуштене ка основи?

200

Tema 4. Geometrijska tela

Купа се добија и када један правоугли троугао ротира око једне катете.

B

Разгледај цртеж и запази елементе купе.

Круг се назива основа, а део купасте површине купе - бочна површина купе. Полупречник основе, R, називасе полупречник купе. Дуж ЅО која повезује врх са центром основе назива се оса купе; то је уједно и његова висина. Дуж чије су крајње тачке врх купе Ѕ и било која тачка Т са периферије основе, као и дужина ST = ѕ, назива се генератриса. Пресек купе са равни која пролази кроз његову осу, увек је једнакокраки троугао; он се назива осни пресек купе (означени троугао на цртежу). Ако је осни пресек једнакостранични троугао, тј. ѕ = 2R, онда се за купу каже да је једнакостранична купа.

2. Израчунај површину Q осног пресека једнакостраничне купе са R = 10 сm.

3. Разгледај цртеж и одговори зашто је тачна једнакост ѕ2 = Н2 + R2 шта повезује генератрису ѕ, висину Н и полупречник основе код сваке купе?

4.

V

5.

Израчунај висину Н купе при чему су ѕ = 25 сm и R = 7 сm. Ако се купа пресече по једној његовој генератриси и по периферији основе, онда се може видети да је мрежа купе састављена од једног круга (основе) и једног кружног исечка (бочне површине), као на цртежу.

Разгледај мрежу на цртежу и, за површину купе, Р, полупречника R и генератрисе ѕ, сагледај да: а) Р = В + М (В – површина основе; М - површина бочне површине); б) В = R2π

(површина круга);

1

в) М = 2 2Rπ ∙ ѕ = Rѕπ; (површина кружног исечка); г) Р = R2π + R²ѕπ, тј. Р = Rπ(R + ѕ).

6. Израчунај површину купе са полупречником R = 5 сm и висином Н = 1,5 сm.

Vaqak, kupa, lopta

201

Запремина купе се може одредити експериментом, сличном оном за одређивање запремине пирамиде.

B

Ако направиш модел купе и ваљка подударних основа и једнаких висина, уверићеш се да ће „садржај” купе (песак, со или сл.) бити једна трећина „садржаја” ваљка. Запремина купе V са полупречником R и висином Н је:

7.

Израчунај запремину купе са R = 10 сm и Н = 3 dm.

8. Изведи формуле за површину и запремину једнакостраничне купе. Упореди свој резултат:

Треба да знаш: да идентификујеш елементе купе; да израчунаш површину и запремину купе према општој формули.

Задаци 1. Израчунај површину Р и запремину V купе са полупречником R = 5 сm и површином бочне површине М = 65π сm2.

Провери се! Како се добија: а) површина купе; б) купа? Израчунај Р и V купе са R = 5 сm и ѕ = 13 сm. За коју купу се каже да је једенакостранична?

5. Запремина купе са висином Н = 20 сm, је 1 500π сm3. Израчунај површину купе.

2 2. Израчунај Р и V купе са В = 314 сm и

ѕ = 26 сm.

Покушај!... Није обавезно!

3. Осни пресек једне купе има површину Q = 18,48 сm2, а висина је Н = 5,6 сm. Израчунај: а) В; б) V; в) М.

4. Обим осног пресека једнакостраничне купе је 18 сm. Нађи Р и V купе.

202

Tema 4. Geometrijska tela

6. Угао при врху мреже купе је 120°, а генератриса купе је 15 сm. Нађи дијаметар купе.

14

LOPTA; POVR[INA I ZAPREMNINA

Подсети се!

Скуп свих тачака у простору који је једнако удаљен од дате тачке О, образује једну површину; та површина се зове сфера.

A

Искажи дефиницију кружнице. Шта је центар, а шта полупречник кружнице?

r O

T

Чиме је одређена једна кружница?

Дата тачка О назива се центар сфере.

Растојање од центра до које било тачке сфере назива се полупречник сфере и обично се означава са R. И свака дуж ОТ, где је Т произвољна тачка сфере, назива се полупречник сфере.

1.

На цртежу је представљена сфера са центром О. Именуј (бар две) дужи које су полупречници сфере. Чиме је одређена једна сфера?

Подсети се! Шта је унутрашња област једне кружнице? Шта је круг? Шта је тетива, а шта дијаметар круга? Именуј неке предмете са обликом круга које срећеш у свакодневном животу.

C A

r O

D B

B

Сфера дели простор на унутрашњу и спољашну област.

Скуп свих тачака унутрашње области (тј. тачака чије је растојање до центра мање од полупречника те сфере), заједно са сфером, образује геометријско тело које се назива лопта. Центар, односно полупречник сфере назива се центар, односно полупречник лопте.

2. Лопта са центром О има полупречник R = 5 сm. Тачке А, В и С се налазе на растојању од центра: OA = 1,5 сm, OB = 5,1 сm и OC = 5 сm. Које од њих припадају лопти?

3. Подсети се шта је дијаметар круга и покушај да искажеш (по аналогији) дефиницију за дијаметар лопте.

Vaqak, kupa, lopta

203

4. На цртежу а) је представљен круг са једним његовим дијаметром АВ. Шта ће се добити ако круг ротира око дијаметра АВ? Можеш да заклучиш да се ротирањем круга (или полукруга) око неког његовог дијаметра (као на црт. б), добија лопта.

а)

б)

Запази да Пресек лопте са било којом равни је увек круг. Ако раван пролази кроз центар лопте, О, онда пресечени круг има исти полупречник, R, као лопта и назива се велики круг. Колико великих кругова има једна лопта? Какви су међу собом њихови полупречници?

5. Разгледај (или замисли) један глобус. Екватор одређује један велики круг на глобусу. Које линије одређују други велики кругови? Укажи на неке мале кругове на глобусу. Површина сваке лопте (тј. одговарајућа сфера) има своју површину, која се назива површина лопте.

V

Површина лопте са полупречником R се одређује помоћу формуле:

Запази Површина лопте је: а) четири пута већа од површине једног њеног великог круга; б) једнака производу пречника 2R? и обима 2Rπ једног њеног великог круга, тј. Р = 2R ∙ 2Rπ = 4R²π. Свакој лопти придружујемо број V – запремину лопте, одређену формулом: тј. где је R полупречник, а Р је површина лопте.

204

Tema 4. Geometrijska tela

6. Израчунај Р и V лопте полупречника R = 5 сm.

7. Израчунај Р и V лопте, за коју се зна да један њен велики круг има површину Q = 2 826 сm².

Треба да знаш:

Провери се!

да идентификујеш сферу и лопту и њихове елементе;

Објасни шта је сфера, а шта је лопта. Како се добијају?

да израчунаш површину и запремину према формулама.

Колики су Р и V лопте са R = 1 dm?

Задаци 1. Израчунај Р и запремину V лопте, ако је њен дијаметар 12 сm.

2. Нађи Р и V лопте, ако је површина једног њеног великог круга 314 сm².

3. Оловна лопта са полупречником R = 6

сm треба да се претопи у ваљак са истим полупречником R = 6 сm. Колика је висина ваљка?

4. Нађи запремину V лопте и површину Q његовог великог круга, ако је њена површина Р = 100πсm².

6. Дата је коцка ивице а. Око коцке је описана лопта и у коцки је уписана лопта. Нађи однос између а) површина; б) запремина тих двеју лопти. (Једна коцка је уписана у лопту ако сва њена темена леже на површини од лопте. Онда кажемо, такође, да је лопта описана око коцке.)

7. Од дрвене коцке ивице 4 сm, треба да се

издеље највећа могућа лопта. Израчунај запремину отпадка. Колики проценат од запремине коцке отпада на запремину отпадка?

8. Дијаметар Земље је 12 733 km, а Месеца 5. У коцку ивице 6 сm је стављена лопта која додирује све странаове коцке. Колика је површина лопте? Нацртај слику.

3 482 km. Колико пута је већа: а) површина Земље од површине Месеца; б) Запремина Земље од запремине Месеца?

Vaqak, kupa, lopta

205

РАД СА ПОДАЦИМА

15

VEROVATNO–A

Подсети се! Ако је сигурно да ће се неки догађај десити, онда је вероватноћа 1, тј. 100 %. На пример: Ако празна пластична флаша падне на под – неће се сломити. Ако је немогуће да се нешто деси, онда је вероватноћа 0. На пример: Да се извуче бела лоптица из кутије пуне само са црвеним лоптицама. Све друге могућности (вероватноће) су између 0 и 1. На пример: Ако се баци у ваздух новчић, вероватноћа да падне наличје је

1 .

2

1. Точак на цртежу има 6 једнаких поља. Ако се окрене стрелица, колика је вероватноћа да стане на поље са бројем 4? Уочи следеће 6 могућности: Да стрелица стане на било које од поља 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Свака од овиих могућности је једнако могућа. Очекивана могућност је да стрелица стане на поље са бројем 4.

Вероватноћа да стрелица стане на поље са бројем 4 је

1 1 . Записујемо V(4) = .

6 6

Колика је вероватноћа да стрелица стане на поље са бројем 1 ?

2 Вероватноћа да се стрелица заустави на броју 2 или на броју 3 је , или 6

2 1 V(2 или 3) = = .

6 3

Колика је вероватноћа да стрелица стане на број 1, 5 или 6? Запази точак на слици. Могуће су 5 могућности: стрелица може да стане на поље означено са 1 или са 2 или са 3 или са 4 или са 5. Ако је очекивана могућност да стрелица стане на поље означено са 7, њена вероватноћа је 0, или V (7) =

0 = 0.

5

Догађај је немогућ.

206

Tema 4. Geometrijska tela

Уопштено Нека је n број „свих могућих случајева” у вези датог експеримента и нека су сви ти случајеви подједнако могући. Ако је А случај у вези тог експеримента и m је број „свих повољних случајева” за појављивање тог догађаја, онда се количник m назива математичка вероватност случаја А и ознаn чава се са V(А). Значи: V(А)= m . n

2.

На свакој од картица је написано једно слово.

Јован је без гледања вукао карте. Одреди вероватноћу случајева: а) V(М); б) V(А); в) V(Т или К).

3. Одреди вероватноћу сваког од следећих случајева окретања стрелице. а) број 3; б) парни број; в) непарни број; г) 5 или 6;

д) број 11; ђ) број већи од 7; е) број од 1 до 10.

Запиши сваку од добивених могућности за вероватност процентом. Који је од случајева од а) до е) сигуран, који је немогућ? Која два случаја од а) до е) су подједнако могућа ? Која два случаја су таква, да ако се један деси, други се сигурно неће десити?

Треба да знаш: да постављаш претпоставке о случајевима у вези датог експеримента и да одређујеш њихову вероватност.

Провери се! Баца се коцка за играње. Који су случајеви могући? Наброји бар три. Колика је вероватноћа да се, при бацању коцке за играње, на горњој страни падне: а) број 2; б) број 3 или 4; в) број 3 и 4; г) парни број; д) број 7; ђ) број од 1 до 6?

Vaqak, kupa, lopta

207

U^IO SI O GEOMETRIJSKIm TELIMA PROVERI SVOJE ZNAWE 1. Које теме квадра

2.

3.

4.

9. Израчунај дијагоналу квадра димензија

(на цртежу) је компланарно са: а) А, В, С1; б) А, С, С1?

10. Површина бочне површине једне пра-

Да ли се секу праве: а) DВ1 и D1С; в) А1С и АС1? б) ВВ1 и D1С; Види цртеж.

11. Ромб са дијагоналама 24 сm и 10 сm је

Да ли је једна раван одређена правама: а) АD и В1С1; б) DС и DВ1; в) ВС и АА1? Види цртеж. Како се зову две праве у простору које нису паралелне и не секу се ? На цртежу пронађи два пара таквих права.

9 сm, 6 сm и 2 сm.

вилне троугаоне призме је М = 180 сm2, а основна ивица а = 10 сm. Израчунај површину Р и запремину V призме.

основа праве призме са висином од 5 сm. Израчунај Р и V призме.

12. Основна ивица правилне шестоугаоне пирамиде је 3 сm, а бочна ивица је 4 сm. Израчунај запремину V пирамиде.

13. Израчунај површину Р и запремину V правилне четвороугаоне пирамиде са основном ивицом а =10сm и висином Н = 13 сm.

5.

Дата права р је нормална двема различитим равнима Σ1 и Σ2.Какав је узајамни положај Σ1 и Σ2?

6.

Шта је ортогонална пројекција дужи на једну раван?

7.

Колико ивица има једна: а) троугаона; в) шестоугаона; б) четвороугаона; г) n–угаона призма?

15. Израчунај Р и V купе са полупречником

Површина дијагоналног пресека једне Нађи ивицу те коцке. коцке је

16. Израчунај Р и V лопте чији главни ве-

8.

208

Tema 4. Geometrijska tela

14. Колико литара воде сакупља једно буре у облику ваљка , са површином основе 30 dm2 и висином 1 m?

основе Н = 0,5 dm и висином Н = 1,2 dm.

лики круг има површину 56,25π сm2.

ODGOVORI I RE[EWE задатака

TEMA 1

Једнаки међу собом су под

SLI^NOST

Да. Код подударних троуглова, одговарајући углови су једнаки и одговарајуће стране су једнаке (па су и пропорционалне). (као средња линија ΔАВС), па су им одговарајући углови једнаки;

Покушај... а) 12 јаја;

б) 3 кокошке. па су им одговарајуће стране пропорционалне.

Да, према другом ставу.

Помоћ. повуци средњу линију А1В1 || АВ и разгледај ΔА1В1С1. Помоћ. Сагледај Помоћ.

да

Решење. На цртежу је АВ продужена за (произвољно) растојање ВС, а произвољна доступна тачка Е, из које се види да је А повезана са С. Затим је повучена ВР || АЕ. Према Талесовој теореми се добија

Помоћ. Конструиши геометријску средину х дужи а и b . Тада х2 = а · b па тражени квадрат има страну х.

тј.

Odgovori i re{ewa

Решење. a2 + b2 = c2, за а = 35 постаје: т.ј: одакле се добија затим

Помоћ. Искористи конструкцију у задатку

Помоћ. Нека (х + 2)m је висина дрвета. Онда

Тест:

будући

Једнаки су под

Помоћ. Дуж од 12

сm подели на три дела, у односу 3 : 5 : 6. Да, према првом ставу (углови првог троугла: 40°, 60° и 80°, а углови другог: 60°, 80° и 40°).

Покушај... Решење.

TEMA 2

LINEARNA JEDNA^INA, LINEARNA NEJEDNA^INA I LINEARNA FUNKCIJA

Идентитет Исти скуп решења М = {2}. a) Са 3 непознате; б) са једном непознатом; а) Трећег степена; б) друв) са 2 непознате. гог степена; в) првог степена. Покушај... Поклопац 0,5 денара, флаша 10,5 денара.

Једначина под б)

Једначина под б)

Једначине под а) и под в). Једначине су еквивалентне.

На обе

стране једначине додат је израз 2х. Могу се изоставити чланови -3х; -5 и да се добије једначина 2х - 4 = 4.

Odgovori i re{ewa

Трик са домином... Помоћ. Означимо са х и у „бројеве“ на домину и нека је изабран број х. Онда: (2х + 6) · 5 + у - 30 = 10х + у.

то су бројеви 59 и 13 Ако број новчића од 2 денара означимо са х, онда је број новчића од 5 денара 25 - х. Одатле имамо: 2 . х + (25 - х) . 5 = 80, односно од 2 денара било je 15 новчића, а од 5 денарa 10 новчићa. Ако број зечева означимo са х, онда је број фазана 35 - х. Одатле имамо: 4 . х + (35 - х) . 2 = 94. Зечева је било 12, а фазана 23. часа Први радник ће за 1 час завршити

обе стране су помнежене са -1.

Није. Решење је интервал(-,-4).

1 посла, а дру6

1 . Ако са х означимо потребно време, онда 12 1 1 . х + х =1, односно х = 4.

12 6

ги

Покушај... 84 год. друга цев ће напунити празни

Линеарне функције су под: в), г) и д).

базен за 30 часа.

Са једном непознатом су неједначине под а) и в), а са две непознате су неједначине под б) и под г). Неједначина под а) је другог степена, неједначине под б) и под в) су првог степена, и неједначина под г) је трећег степена. Тачке А и D. Еквивалентне су све три неједначине, јер имају исти скуп решења {0, 1, 2}.

Odgovori i re{ewa

Функција

а) растућа за к =

Из Р(0, 2), n = 2. Из А(1, -1) имамо: -1 = 1. к + 2, одакле к = -3; функција је опадајућа.

1 и к = 3; б )опадајућа за 2

функција y = 4x -1 је растућа

функција y = -2x -1 је опадајућа

Покушај... 8 косача. функција y = -3x +1 је опадајућа

функција y = 2x +1 растућа

Помоћ. Ако је површина велике ливаде означена са А, а мале са В, онда А = 2В. Нека је к број косача. Да би се покосила А, потребно је

x + x радних дана, а за В: x + 1.

4 2 4 Из А = 2В добија се једначина Одатле x = 8.

5 картица; покушај: 3 пута.

Odgovori i re{ewa

Нека су ти бројеви : х, х + 1 и х + 2. Имамо: х + х + 1 + х + 2 = 84, тј. х = 27. Тражени бројеви су: 27, 28 и 29. Ако је време кретања камиона х, онда је лаких кола х - 2. Оба возила су прошла исти пут. Одатле имамо: 50х = 75(х - 2),тј. х = 6 часова, а AB = 6 . 50 = 300 кm .

Растуће су функције: у = 2х - 3 и у = 3х - 2, а опадајуће су: у = -3х + 1 и у = -х - 1.

TEMA 3

SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA

а) Коефицијенти; 2, -1, 3; непознате: х, у. б) Коефицијенти: 2, 6, 1; непознате: х, у. в) Коефицијенти: 1, -2, -1; непознате: у, z) Коефицијенти: 5, 3, 16; непознате: u, v.

в) {(2, k) | k  R)} график је права паралелна са у-осом. Коефицијенти: 2, 0, 6 и 0, 1, 2; непознате: х, у; б) Коефицијенти: 1, 2, 0, 2 , 1 , 2; непознате:

3 2

х, у; в) Коефицијенти: 0,25; 0,04; 0; 4; 25; 641; непознате: х, у.

Odgovori i re{ewa

Бојанове године су х , а Дејанове у

б) једно решење; в) бесконачно много;

Бојан и Дејан су близанци.

први број је37, а други број Ознаке М-мушкарци, D -девојчице.

је

Брзина брода је 16,8 km/h, а реке 4,2 km/h. Топла вода има 80 °С, а хладна 10 °С. Јован је купио 3 великих и 5 малих свезака. Мајка има 32 године, а ћерка 5 година. Оштри угао има 72°, а тупи 108°. Р = 60 cm2. Састави систем и одреди дужине б) бесконач-

a) Једно решење;

но много; в) једно решење: (х, у) = (2, 2); г) једно а) Графици су парарешење: (х, у) = (-2,1). лелне праве; б) графици су праве које се секу; в) графици су праве које се секу г) графици су праве које се подударају.

страна. Преко Питагорине теореме. Одреди висину, Фазана има 23, а зечева 12. Сваки уређени пар реалних бројева за које једначина пролази кроз тачну бројну једнакост. Нацртај график према табели:

Уређени пар реалних бројева који је решење обе једначине. Нацртај графике јед-

начине. Одреди координанте њиховог пресека

а) једно; б) бесконачно многo.

TEMA 4

Отац има 34 године, а син 12 година.

GEOMETRIJSKA TELA ни један Ни једна, ако се мимоилазе; само једна ако су паралелне или се секу.

један или три;

Odgovori i re{ewa

Некомпланарне тачке А, В, С, D, одређују четири равни: АВС, АВD, АСD и ВСD. АВ и АС се секу, па према томе оне одређују једну раван X на којој леже све тачке раве АВ и све тачке праве С D. Само једна. Σ1 и Σ2 : или се подударају или се секу са пресечном правом АВ . Не. А’ В’ С’ су колинеарне и када је раван одређена неколинеарним тачкама А, В, С је паралелна са пројекционим правцем ѕ. Направи цртеж и разгледај трапез АВВ’А’. СС’ је средња линија тог трапеза. Зашто? Да, ако је раван одређена са М и а је паралелна са ѕ. Покушај... правоугаоници. шестоугаоник једанаестугаона.

Ни једна;

Запремина V Деветпати отпадка је: пута. пута. Покушај... Паук ће наћи пут до муве. На мрежи призме повуци дуж МП.

Odgovori i re{ewa

PREGLED POJMOVA А Аргумент 105 - коефицијент испред105 В Вероватност, и 206 -догађаја 121 Ваљак 197 -бочна површина 198 -висина 198 -једнакострани 199 -мрежа 198 -осни пресек 198 -оса 198 -основа 198 -површина 198 -прави кружни 197 полупречник 198 -запремина 198 Г Генератриса, и -ваљка -купе Геометријска пропорционала -средња -четврта

197 200 197 10 10 9

Д Директриса, и -ваљка -купе Догађај -вероватноћа -случајни

200 197 120 121 121

Е Експеримент

120

И Идентитет Интервал, и -крајеви -отворен -затворен Ј Једначине, и -график

216

58 89 89 89 89

-еквивалентне 65, 131 -квадратне 60 -контрадикторне 58 -корен 62 -линеарне 60 -немогућа 58, 64, 75 -опште врсте 74 параметарска 60 -првог степена 60 -решење 62 -са две непознате 128 -са једном непознатом 60 -скуп решења 63 -чланови 59 Једнакости, и 56 -бројне 56 -са променљивом 56 К Квадар, и -мрежа -запремина Купа, и -висина -врх -једнакострана -кружне праве -мрежа -оса -основа -површина -запремина Коцка, и -мрежа -уписана у лопту -запремина

178 179 183 200 201 200 201 201 201 201 201 202 202 178 179 205 183

Л Лопта, и -велики круг -површина -полупречник -запремина -центар

203 204 204 204 203 203

М 57 Метод, и 133 - замене

Pregled pojmova

141 145

- супротних коефицијената

-мрежа 192 145 -површина 191 -правилна 192 Н -основни 190 Неједначина, и 84 -стране 190 -еквивалентне 89 -темена 190 -квадратна 86 -запремина 191 -кубна 86 Питагорина тројка 43 -линеарна 86 Планиметрија 160 -основна 90 Површина, и -решени облик 90 -ваљка 200 -решење 87 -купе 197 -систем са две непознате Полиедар, и 183 86 -запремина 184 -са једном непознатом Популација 48 85 Права, и 163 -скуп решења -паралелне 163 -теореме о 92 -пројекциони 168 Неједнакост, и 83 -секу се 163 -бројна 83 Призма, и 174 -са променљивом 84 -бочна површина 175 -бочни 175 О -бочне стране 175 Однос (размер), и 4 -врсте 176 -периметара 34 -висина 176 -површина 35 -дијагонала 176 Дужи, и 6 -дијагонални пресек -једнаке 12 176 -немерљиве 6 -ивице 175 -мерљиве 8 -коса 175 -пропорционалне 6 -мрежа 179 -основе 175 П -површина 180 Правац, и -права 175 -супротни -правилна 175 Паралелопипед, и -пресек 176 175, 177 -основни 175 -апотема 192 -темена 175 -висина 191 -запремина 175 -правоугли 178 Примерак 48 Пирамида, и 190 Пробод 162 -бочна раван 190 Пројекциони смер 168 -бочни 190 Пројектовање, и 168 -врх 190 -ортогонално 169 -дијагонални пресек 191 -паралелно 168 -ивице 190 Пројекција 37, 168, 169

Пропорција, и 8 -продужена 10 Пропорционалност, и 9 -коефицијент 9 Р Размер, и -вредност -обрнути -продужени Раван, и -угао између -нормала -растојање

4 4 5 6 161 166 167 167

С Систем, и линеарне једначине, и 100 -еквивалентне 103 -скуп решења 101

-контрадикторни Систем од две линеарне једначине са две непознате, и 134 -графичко решавање138 -примена 148 -решење 135 Скуп, и -дефинициони Сличност, и 26 -коефицијент 26 Слободни члан 105 Средина, и 10 -геометријска 10, 39 Стереометрија 160 Сфера, и 203 -полупречник 203 -центар полупречника 203

Т Тело, геометријско, и 183 -обло 183 -рогљасто 184 -запремина 183 Теорема, и -Еуклидова 38 -Питагорина 41 -Талесова 16, 21 Тетраедар, и 193 -правилни 193 Тачка, и 160 -компланарни 160 Троуглови 25 -други признак за сличност 31 -први признак за сличност 27

-слични -трећи признак за сличност

25 32

Ф Фигуре, геометријске, и 24 -основне 24 -складне 183 -сличне 24 Функција, и -графичко представљање 107 -константна 113 -линеарна 105 -нула 106 -опадајућа 115 -растућа линеарна 114

TEMA 1

SLI^NOST

TEMA 4

LINEARNA JEDNA^INA, LINEARNA NEJEDNA^INA I LINEARNA FUNKCIJA

3

55

TEMA 4

SISTEM LINEARNIH JEDNA^INA

127

TEMA 4

GEOMETRIJSKA TELA

159

ODGOVORI I RE[EWA ZADATAKA

209

PREGLED POJMOVA

216

Pregled pojmova

217

Рецензенти: Д-р Јорданка Митевска, редовни професор ПМФУ Скопљу Жанета Шумкоска, професор ОШ „Св. Кирил и Методиј“ у Скопљу Агим Букла, професор ОШ „Пашко Васа“, Групчин, Скопље Превод: Гордана Јовић Стојковска и Милица Утковска Стручна редакција: проф д-р Ружица Манојловић Лектура: м-р Стефанија Маџоска

Уредник издања: Јово Стефановски Језички лектор: Сузана Стојковска Компјутерска обрада и дизајн: Драган Шопкоски Коректура: Аутори Припреме за штампу: Јово Стефановски, Драган Шопкоски Издавач: Министарство образовања и науке Републике Македоније Штампа: Графички центар дооел, Скопље

Решењем Министарства образовања и науке Републике Македоније бр.22-2321/1 од 21.04.2010 године, одобрава се употреба овог уџбеника CIP - Ʉɚɬɚɥɨɝɢɡɚɰɢʁɚ ɜɨ ɩɭɛɥɢɤɚɰɢʁɚ ɇɚɰɢɨɧɚɥɧɚ ɢ ɭɧɢɜɟɪɡɢɬɟɬɫɤɚ ɛɢɛɥɢɨɬɟɤɚ “ɋɜ.Ʉɥɢɦɟɧɬ Ɉɯɪɢɞɫɤɢ” , ɋɤɨɩʁɟ 373.3.016:51 (075.2)=163.3 ɋɌȿɎȺɇɈȼɋɄɂ, ȳɨɜɨ Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɡɚ ɨɫɦɨ ɨɞɞɟɥɟɧɢɟ : ɨɫɭɦɝɨɞɢɲɧɨ ɨɫɧɨɜɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ / ȳɨɜɨ ɋɬɟɮɚɧɨɜɫɤɢ, ɇɚɭɦ ɐɟɥɚɤɨɫɤɢ . - ɋɤɨɩʁɟ : Ɇɢɧɢɫɬɟɪɫɬɜɨ ɡɚ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ ɢ ɧɚɭɤɚ ɧɚ Ɋɟɩɭɛɥɢɤɚ Ɇɚɤɟɞɨɧɢʁɚ, 2010.

- 219 ɫɬɪ. : ɢɥɭɫɬɪ. ; 25 ɫɦ ISBN 978-608-4575-88-7 1. ɐɟɥɚɤɨɫɤɢ, ɇɚɭɦ [ɚɜɬɨɪ] COBISS.MK-ID 84078858

218

Pregled na poimi