Matematika_8_tur by Ministry of education and sience

Sevgili ö renci! Bu kitap sekizinci sınıfta öngörülen malzemeyi ö renmen için yardımında bulunacaktır. Benzer ekiller için yeni ve ilginç bilgiler ö reneceksin. Lineer denklemlerin ve lineer e itsizliklerin çözülmeleri için yeni teknikleri, aynı zamanda bazı lineer denklem sistemlerinin çözülmelerini ö reneceksin. Lineer fonksiyonlar geometri cisimleri ve onların alan ve hacımları için bilgilerini geni letireceksin. Kitap dört ba lıktan olu makta ve her biri alt ba lıklara ayrılmı tır. Her konu içindekilerle ba lar, ders birimleri ise numaralanmı tır. Ders birimlerinde mesajlar, tavsiyeler, etkinlikler ve di er uyarılar renkli i aretler ile verilmi tir, bunlar: Ders birimleri bildiklerin bazı bilgilerle ba lamaktadır. stenilenlerin Anımsa! çözümü için hatırlamalısın. Yeni ders birimini ö renmen için yardımıcı olacaktır.

...

Bu i aretler ile kendi ba ına veya ö retmenin yardımı ile çözebilece in etkinlikler, sorular ve ödevler i aretlenmi tir. Bu bölümde dersteki yeni bilgileri ö reneceksin, bu yüzden ö renmen ve anlaman için dikkatli ve aktif olmalısın. En önemlileri sarı renkle, teoremlerin formulasyonu turuncu renkle boyalanmı tır.

2. 3.

Bu i aretler ile ders birimleri yeni kavramlara ait olan bölümlere ayrılmı tır.

...

Bilmen gerekenler: Dersin en önemlisi soru, ödev veya iddia gibi ayrılmı tır. Bunları hatırlamalısın, ödevlerin ve örneklerin çözümünde kullanmalısın.

Kendini yokla:

Bu bölümde bulunan sorular ve ödevler ile bilgilerini kontrol edebilir ve ö rendiklerinin ço unu hergünkü ya amda kullanabilirsin. Ödevleri sıralı ve kendin çözmelisin. Bununla okuduklarını daha iyi anlayıp büyük yararlar kazanacaksın.

Ödevler: Dene!...

B LD KLER N KONTROL ET:

Bu bölümde ödev ve problemleri çözmeye çalı (bu, mecburi de ildir). Bununla daha bilgili ve ﬁkirlerle daha zengin olacaksın.

Herbir konunun sonunda soru ve ödevlerle test vardır. Testi kendin çöz ve okudu un konu ile bildiklerini kontrol et.

Matemati i okudu unda zorluklarla kar ıla tı ın zaman cayma, yeniden dene, direncin sonuç ve mutluluk getirecektir. Bu kitapla matemati i daha çok seversen ve en iyi ba arılar elde edersen, bizleri çok sevindireceksin. Yazarlardan

KONU 1.

BENZERL K

ORANTILI DO RU PARÇALAR 1. ki do ru parçasının oranı 2. Orantılı do ru parçalar 3. Do ru parçanın e it kısımlara ayrılması 4. Orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi 5. Tales Teoreminden yararlanarak çözülebilen ödevler BENZER ÜÇGENLER 6. Benzer ekiller. Benzer üçgenler 7. Benzer üçgenlerde birinci kural

4 8 12 16 20 24 27

8. Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü kural 9. ki benzer üçgenin çevrelerin ve alanların oranı P TAGORA TEOREM 10. Dik açılı üçgende benzerlik 11. Pitagora Teoremi 12. Pitagora Teoreminin uygulanmasıyla ödevler 13. Örnekleme uzay, örnekleme nokta Bilgini kontrol et

31 33 37 41 44 48 53

ORANTILI DO RU PARÇALAR

K DO RU PARÇASININ ORANI Anımsa!

a ve b (b 0) sayılarının oranı a ve b sayılarının bölümüne denir, yani a : b veya a b a bölü b okunur; a sayısı birinci terim, b sayısı ise oranın ikinci terimidir. a’nın b’ye bölünmesiyle elde edilen sayıya a : b oranın de eri denir ve k ile i aret edilir. Bu durumda a : b = k, yani a = bk Oranın de erini bul: a) 28 : 4; b) 35 : 5; c) 12 : 16 ; ç) 1,8 : 2,4 Hangi oranlar e ittir? a)–ç) ıklarındaki oranlardan hangileri e ittir? Oranın bilinmeyen terimini bul: a) x : 8, e er ki de eri 4 ise; b) 18 : y, e er ki de eri 12 ise.

A 1. 1.

ekilde iki do ru parçası verilmi tir:

B D

bu durumda AB = 6 , CD = 4 . AB do ru parçasının uzunlu u ile CD do ru parçasının uzunlu uyla oranını yazınız. 6 : 4 bölümünü AB do ru parçasının CD do ru parçasına oranı olarak sayaca ız.

Genel olarak ki do ru parçasının oranı veya bölümü aynı ölçü birimiyle ifade edilmi uzunlukların bölümüdür. Bir AB do ru parçasının di er bir CD do ru parçasına oranını bu ekilde gösterilmi tir:

kinci terim CD sıfıra e it olabilir mi?

3 Ödev 1 de AB : CD oranı 6 : 4 ‘tür, onun de eri ise 2 ’dir. 2.

A do ru parçasının b do ru parçasına göre oranını belirt, e er ki: a) a = 12 cm, b = 4 cm, b) a = 30 cm, b = 6 dm.

Dikkat et! Orandaki do ru parçalarının uzunlukları aynı ölçü birimiyle ifade edilmelidir. ki do ru parçasının oranı adsız sayıdır.

Konu 1. Benzerlik

AB : CD veya CD

0,5 : 0,25 oranının her terimini a) 20 ile çarpınız; b) 5 ile bölünüz. Ondan sonra verilen oranın de erini a) ve b)’de elde edilen oranların de erleri ile kar ıla tır. Ne farkediyorsun?

a = 6 cm do ru parçasının b = 3 cm do ru parçasına oranını yaz ve onun de erini belirt. Ondan sonar, do ru parçalarının uzunluklarını a) mm; b) dm ; c) m ile ifade ederek a : b oranının de erini belirt. Bu oranlardan nasıl bir sonuca varıyorsun?

a b

Önceki iki ödevden hatırladın ki: a : b oranının iki terimi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse oran de i mez, yani a : b = k ve m 0, ise (am) : ( bm) = k ve (a :m) : (b : m) = k’dir. ki sayının oranı a : b = k ise, o zaman a sayısı neye e ittir? k sayısı a ve b sayıları için neyi gösterir?

E er a : b = k, o zaman a = kb’dir. k sayısı b'nin a sayısında kaç defa bulundu unu gösterir.

Hatırla! AB ve CD gibi iki do ru parçasının oranı k ise, yani AB : CD = k, o zaman AB = k, CD ’dir. Ölçü birimi CD do ru parçası oldu u durumda, k oranı CD do ru parçasının AB do ru parçasında kaç defa bulundu unu, yani CD do ru parçası AB’nin kaç katı oldu unu göstermektedir.

a = 1,2 dm, b = 18 cm do ru parçaları verilmi tir. a : b oranını yaz ve de erini hesapla. b : a oranını yaz ve de erini hesapla.

b : a oranına a : b oranının tersidir denir. Öyle ki 18 : 12 oranının tersi 12 : 18 ‘dir. 6.

Arzu 5 ya ında, Canan 10 ya ında ve Hülya 35 ya ındadır. Aralarındaki ya oranını yaz: a) Arzu ve Canan; b) Canan ve Hülya; c) Arzu ve Hülya. Orantılı do ru parçalar

5 : 10 , 10 : 35 oranlarını incele ve her ikisinin ortak noktası oldu unu gözlemle. Birinci oranın ikinci terimi, ikinci oranın birinci terimi ile aynıdır.

Unutma! a:b:c a : b ve b : c oranları genellikle kısacasına yazılır ve böyle yazılı a a, b, c’ nin bile ik orantısı denir. Öyle ki , 5 : 10 : 35 ifadesi 5 : 10 ve 10 : 35 oranlarının bile ik orantısıdır. Bu iki orandan madda verilen bile ik orantı 5 : 35 oranını da ifade eder.

A, B, C kentleri arasındaki hava uzaklıkları : AB = 40 km, BC = 100 m,CA = 120 km. Bu uzaklıkları 800 000 defa küçültülmü bir çizimle göster. CA : AB : BC Bile ik orantısını en basit ekilde yaz.

8. ekilde AB,CD ve PQ üç do ru parçası verilmi tir, öyle ki AB = 5 PQ , CD = 3 PQ PQ do ru parçası: a) AB ; b) CD do ru parçasında kaç defa bulunur?

A C P

D Q

Gördü ünüz gibi, PQ do ru parçası AB ve CD do ru parçalarının birer katıdır. PQ do ru parçasına AB ve CD do ru parçasının ortak ölçü birimidir denir.

Genel olarak E er üçüncü bir do ru parça onların her birinin katı ise, iki do ru parçası ölçülebilen do ru parça olabilir. ki ölçülebilen do ru parçanın oranı rasyonel sayıdır (tam veya kesir). Ödev 8 ‘de AB ve CD do ru parçaları ölçülebilen do ru parçalardır. Ödev 7 ‘deki AB, BC ve BC, CA do ru parça çiftleri de ölçülebilen do ru parçalardır (onların ortak ölçüsü örne in 1 km uzunlu unda do ru parçası olabilir). 9. ekilde kenarı a ve kö egeni d olan bir kare verilmi tir. d Kö egeni d’yi a kenarının yardımı ile ifade et. d : a oranının

2 irasyonel sayısı oldu unu göster.

Fark et Ortak ölçüsü olmayan do ru parçalar çiftleri de vardır. Yani her ikisinde tam sayıda bulunan do ru parçası yoktur. Öyle do ru parçalara ölçülemeyen do ru parçalar denir ve onların oranı daima irasyonel sayıdır.

Konu 1. Benzerlik

Örne in, j karenin a kenarı ve d kö egeni ölçülemez büyüklüklerdir ve onların oranı d : a sayısı 2 'dir.

Bilmen gerekenler: ki sayı ve iki do ru parça oranını adlandırmasın ı ve belirtesini, Verilen oranın de erini ve e it oranların belirtesin; Ters ve bile ik oranı yazılı ını; Oranda bilinmeyen terimi belirtilmesini

Kendini yokla! AB = 8cm ve AC = 2cm do ru parçaları verilmi tir ( ekilde).

Verilen oranın de erini belirt: a) AB : AC; b) AC : CB; v) CB : AC; d) CS : AB. a : b oranını en basit ekilde ifade ediniz: a) a = 6, b = 18; b) a = 28 cm, b = 7 cm; c) a = 1kg, b = 800g. Verilen oranların de erini belirt: a) 6:8; b) 150:200; c) 80:60; ç) 0,18 : 0,24. Onlardan hangileri birbirine e ittir? x : 4 oranının de eri 5 ise x kaçtır? 4.

Üsküp – Valandovo uzaklı ı 150 km, Üsküp – E ri Palanka 100 km, ve Üsküp – Kalkandelen 50 km’dir. a) Bu uzaklıkların bile ik orantısını yaz. b) Bu bile ik orantıyı en basit ekilde yaz.

Oranın de eri verilmi ise, bilinmeyen terimi hesapla: a) x : 5 = 3 b) 6,5 : y = 13

Ödevler 1.

a:b oranının de erini en basit ekilde yaz, e er: a) a = 15 cm, b = 2dm b) a = 6x, b = 4x; c) a = 2litre, b = 800ml

2. Önceki ödevde verilen her oranın tersini yaz. 3.

Verilen oranların terimlerini tam sayılar olmak üzere yaz: 2 4 a) 0,3 : 0,6 b) 0,35: 0,7 c) 5 : 3 ; 3 ç) 2 : 5,2; d) 5 1 : 35 . 5 4 2

c) x : 1,3 = 6 6.

1 ç) 4 2 : y = 3 . 3 3

Kenar ve çevre arasındaki oranı bul: a) e kenar üçgen b) e kenar be gen c) e kenar altigen.

Onlardan hangileri birbirine e ittir? Orantılı do ru parçalar

7. AB = 24 cm do ru parçası verilmi tir ve onun üzerinde C noktası olmak üzere, AC = 18 cm do ru parçası elde edilmi tir. unu belirt: a) AC : CB b) En kısa ve en uzun do ru parçaların oranı.

Bir dik üçgenin açılarından biri 60 derecedir. Bunun hipotenüzünün ve küçük katetinin oranı neye e ittir?

10.

ki do ru parçanın uzunlukların toplamı 35, farkı ise 7’dir. Bu do ru parçaların oranını bul.

Deneyiniz! …

8. Küçük do ru parçası büyü ünde 7 defa bulunmakta, küçü ünden 2 defa küçük olan do ru parçası kalır. Küçük do ru parçasının uzunlu u 1 cm oldu una göre, büyük do ru parçasının uzunlu u ne kadardır?

Üç tavuk üç günde üç yumurta yumurtlar. a) Altı tavuk altı günde kaç yumurta yumurtlar? b) 100 günde 100 yumurtayı kaç tavuk yumurtlar?

ORANTILI DO RU PARÇALAR

Anımsa! 12 : 8 ve 6 : 4 oranları aralarında nasıldır? 12 : 8 = 6 : 4 e it oranların e itli i nedir? a : b ve c : d oranları birbirine e it ise, o zaman bu e itli e c a a : b = c : d, veya + d b orantı denir; a, b, c, d sayılarına ise orantının terimleri denir. Bu sayılardan hangisi oranın birinci, hangisi üçüncü terimidir? Hangileri iç, hangileri ise dı terimlerdir? 12 : 8 = 6 : 4 orantının iç ve dı terimlerinin çarpımını bul. Bu çarpımlar birbiriyle nasıldır?

A 1.

Uzunlukları AB = 40cm, PQ = 7cm, CD = 8cm, RS = 35cm olan 4 do ru parçası verilmi tir. Onlardan orantı olu turabilir misin? Onlardan herhangi bir orantı olu tur.

Örne in, unu farkedebilirsin: 40cm : 8cm = 35cm : 7cm yani verilen do ru parçaların uzunluklarıyla 40 : 8 = 35 : 7 orantısını olu turabilrsin. Bu nedenle AB, CD ve RS, PQ do ru parçaları çiftlerine orantılı do ru parçalar denir.

Genel oralak ki çift do ru parçaların uzunluklarından bir orantı meydana geliyorsa a, b ve c, d do ru parçaları çiftlerine orantılı do ru parçaları denir. a : b = c : d, veya

Konu 1. Benzerlik

a c + b d

E it oranların de eri olan k sayısına a : b ve c : d orantılı do ru parçalar çiftlerinin orantı katsayısı denir. Ödev 1’de AB, CD ve RS, PQ do ru parçaların çiftlerinin orantı katsayısı hangisidir? Do ru parçaların orantı katsayısını nasıl belirteceksin?

AB:CD oranının de erini belirtece im, 40cm : 8cm = 40 : 8 = 5 yani k = 5. a

a = 2 cm, b = 1,5 cm, c = 4 cm, d = 3 cm do ru parçaları verilmi tir.

a, b ve c, d do ru parçalarının orantılı oldu unu göster. Orantı katsayısı ne kadardır?

c d

a, b ve c, d do ru parçalarının orantısını yaz. Dı terimlerin çarpımını ve iç terimlerin çarpımını bul. Bu çarpımlar aralarında nasıldır?

Genel ve geçerli! Bir orantının dı terimlerinin çarpımı iç terimlerinin çarpımına e ittir, yani e er a:b = c:d, o zaman a · d = b · c Bu kurala orantıların temel özelli i denir. a, b, c, d orantılı do ru parçalardan herbirine di er üçünün dördüncü geometrik orantısıdır denir. a:b = c:d orantısında örne in, d = bc , a, b, c do ru parçalarının dördüncü geometrik orana tısıdır. 3.

a = 6 cm, b = 8cm, c = 12cm do ru parçalarında olu an orantılarda dördüncü geometrik orantısı olan x do ru parçasını bul. a) a: b = c : x b) x : c = a : b c) a : x = b: c a) ıkı için elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır:

a : b = c : x;

6 : 8 = 12 : x; 6x = 8 · 12; x = 16 cm

Anımsa! 5 ve 20 sayıları için 5 : x = x : 20 orantısını sa layacak x sayısını bul. 5 ¸ 20 ( 10) sayısı 5 ve 20 sayılarının

neyidir? 2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul.

B 4.

a = 9 cm ve b = 4 cm do ru parçaları verilmi tir. a : x e it x : b olmak üzere x do ru parçasını hesapla.

2 ve 32 sayılarının geometrik ortasını bul. ) Elde etti in çözümü verilenlerle kar ıla tır. 9 : x = x : 4 orantısı temel özellik gere ince x2 = 9 · 4 = 36 yani x = 36 6 ; elde edilir. 9 Orantılı do ru parçalar

6 sayısının 4 ve 9 sayılarının geometrik ortasının oldu unu ke fet.

Unutma! a ve b gibi iki do ru parçasının geometrik ortası (veya orta geometrik orantısı) a : x = x : b e itli ini sa layan x do ru parçasına denir. x a = b x

)

x2 = ab

) x

5. Verilen do ru parçaların geometrik ortasını bul: a) a = 12cm, b = 27 cm;

b) a = 5 cm, b = 12 cm a

Yandaki ekilde verilen b do ru parçası, a ve c do ru parçalarının geometrik ortası olup olmadı ını ölçerek belirt.

b c

8 10 orantısı verilmi tir. 8 + 4 10 + 5 e itli in de orantı oldu unu göster. = = 4 4 5 5

Genel olarak da geçerlidir! E er a = c , o zaman a + b = c + d b d b d

Bunu ispatlamaya çalı .

a + b c + d oldu undan a + 1 = c + 1 geçerlidir, ondan sonra a + b = c + d , = d d b b b d b d a+b c+d = yani b d 8. Bunun tersinin de geçerli oldu unu öster. a c E er a+b = c+d , o zaman = ‘dir. b d d b Anımsa! Üç veya daha çok oran birbirine e it ise, onları bile ik orantı eklinde yazabiliriz. c b a = Örne in: = a 1 b 1 c1 Burada u e itlik geçerlidir:

Konu 1. Benzerlik

c b a a+b+c = = = b 1 c1 a1 + b1 + c1 a1

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

OrantÄą kavramÄąnÄą tanÄąmlayasÄąn; OrantÄąda bilinmeyen terimi bulasÄąn; Hangi do ru parĂ§alar Ă§iftleri orantÄąlÄą do ru parĂ§alardÄąr; ki do ru parĂ§asÄąnÄąn geometrik ortasÄąnÄą belirt.

10 : a = 15 : 6 orantÄąsÄąnda bilinmeyen terimi bul. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 8 cm do ru parĂ§alarÄąndan olu an a : b = c : x orantÄąsÄąnda bilinmeyen x do ru parĂ§asÄąnÄąn uzunlu unu hesapla. a = 2 cm ve b = 8 cm do ru parĂ§alarÄąnÄąn geometrik ortasÄąnÄą bul.

Ă&#x2013;devler 1.

E ittli in do ru olmasÄą iĂ§in a hangi sayÄą olmalÄądÄąr? a) 5 = a , b) a = 3 14 7 2 8

Verilen dĂśrt do ru parĂ§asÄąnÄąn uzunluklarÄąyla orantÄą kur: 28 cm; 16 cm; 1,2 dm; 2,1 dm

a, b, c do ru parĂ§alarÄąndan olu an a : b = x : c orantÄąsÄąnda dĂśrdĂźncĂź geometrik orantÄąsÄą olan x do ru parĂ§asÄąnÄą belirt, e er: 2 a) a = 1 dm, b = 3 dm, c = dm 3 2 4

6. ekildeki ABC ĂźĂ§geninde CD do ru parĂ§asÄą AB hipotenĂźzĂźne kar ÄąlÄąk gelen yĂźksekliktir. C

Ă&#x2013;lĂ§erek unlarÄą do rulayÄąnÄąz: a) CD do ru parĂ§asÄą AD ve DB do ru parĂ§alarÄąnÄąn geometrik ortasÄądÄąr; b) AC do ru parĂ§asÄą AD ve AB do ru parĂ§alarÄąnÄąn geometrik ortasÄądÄąr.

b) a = 2m, b = 3m, c = 4m.

ekildeki ABCâ&#x20AC;&#x2122;de CM : MA = CN : NB orantÄąsÄą verilmi tir. Tablonun her satÄąrÄąnda bazÄą uzunluklar verilmi tir. Eksik olan uzunluklarÄą belirt. 7. x ve y belirt, e er: C a) x = y = 3 ; b) 7 = y = 1 4 x 6 5 2 4 CM MA CN NB

4 5 8

5. a ve b do ru parĂ§alarÄąnÄąn geometrik ortasÄąnÄą bul, e er: a) a = 2 cm, b = 8cm; 1 b) a = 4 dm, b = 12 cm; 2 c) a = 7cm, b = 14 cm.

a c orantÄąsÄąndan a a Äądakilerinden elde = b d edildi ini gĂśster:

d a b b d c = . = , = , b b d a c a 9. spatla ki: e er

a c , ise, o zaman a b c d .â&#x20AC;&#x2DC;dir. b d b d

OrantÄąlÄą do ru parĂ§alar

DO RU PARÇASININ E T KISIMLARA AYRILI I

A 1.

Anımsa! Bir do ru parçasını e it kısımlara nasıl ayıracaksın: a) iki kı ma; b) dört kı ma. ekildeki FGH ve PQR üçgenlerinde

ekilde SOT açısı gösterilmi ve OS kenarı üzerinde OA = AB = BC olmak üzere do ru parçaları alınmı tır.

α = α1, β = β1, FG = PQ . verilmi tir. H R α F

α1

β G

β1

A, B ve C noktalarından p, q ve r paralel do ruları çizilerek OT kenarını sırasıyla A1, B1 ve C1 noktalarında keser.

Bu üçgenler birbirine göre nasıldır? E üçgenlerde kar ılıklı kenarlar birbirine göre nasıldır?

OA1 , A1B1 ve B1C1 do ru parçaları için (sırasıyla) OA, AB ve BC do ru parçalarıyla kar ılıklı oldu u denilir. OA1 , A1B! ve B1C1 do ru parçalarını ölç. Ne fark edersin?

Ödev 1’deki ekilde ispatla ki O A 1 = A 1B 1 = B 1.C 1 ‘dir.

Yandaki ekli inceleyiniz. OS kenarına paralel olarak A1B2 ve B1C2 do ruları çizilmi ve birkaç açı rakamlarla i aret edilmi tir.

OAA1 ve A1B2B1 incele ve fark et ki:

) 1 = 3, 2 = 4 (Neden?) ) OA A B ) OAA1 # A1B2B1, OA A B (Neden?) 1

(Neden?)

1 1

OAA1 ve A1B2B1 incele. Onların e olduklarını ve A1B1 = B1C1 oldu unu göster. Bir açının kenarlarındaki do ru parçalarının e itli ine ait u teoremi incele ve unutma: Bir açının bir kenarı üzerinde e do ru parçaları alarak, onların uç noktalarından açının di er kenarını kesmek üzere paralel do rular çizilirse, bu do rular açının di er kenarından da e do ru parçalar kesecektir.

Konu 1. Benzerlik

Bu teorem gere ince verilen bir do ru parçasını istedi in kadar e it kısımlara ayırabilirsin.

ekildeki AB do ru parçasını 5 e it kısıma ayırınız. A

AB do ru parçasını 5 e it kısıma ayırmak için, önceki teoremden nasıl yararlanacaksın?

Ba langıcı A noktasında olmak üzere bir yarı do ru çizdikten sonra, A noktasından ba layarak 5 e it do ru parçası çizece im. Ondan sonra, teorem gere ince, paralel do rular çizece im.

Çözümü izle ve do ru parçasının e it kısımlara nasıl ayrıldı ını göreceksin.

) )

Geli i güzel bir AS yarı do rusu çiz – ekildeki gibi. AS yarı do rusu üzerinde, A noktasından ba layarak AE gibi tahminen seçti iniz bir do ru parçasını 5 defa uygulayınız. Bununla 5 nokta elde edeceksin; be incisini C ile i aret et.

) Önce CB do rusunu çiz, ondan sonra elde edilen her noktadan CB do rusuna paralel olarak do rular çiz. Bu ekilde AB do ru parçası 5 e it kısıma ayrılmı olacaktır. Bu be parçanın neden birbiriyle e it oldu unu açıkla.

Uzunlu u 7cm olan bir do ru parçasını çiz ve 6 e it kısıma ayır.

Bir do ru parçası çiz ve e it do ru parçası teoreminden yararlanarak onun orta noktasını belirt.

Anımsa!

B 6.

AB do ru parçası üzerinde M noktası i aret edilmi tir. Öyle ki, AM = 4 cm ve MB = 3 cm’dir. A

Uzunlu u 6cm olan AB do ru parçasını çiz. a) 5 e it kısıma ayır b) AM : MB = 3:2 olmak üzere, M noktasını i aret et.

M noktası AB do ru parçasını hangi oranda böler? Orantılı do ru parçalar

Elde etti in çözümü yandaki ekilde verilen çözümle kar ıla tır.

7. AB do ru parçası çiz ve onu 3:4 oranında iki kısıma ayır. Önce AC do ru parçasını 3 + 4 = 7 e it kısıma ayır.

Elde etti in çözümü, yanda AK = 3 AE ve KM || CB alınmı olan çözümle kar ıla tır. Bu ekilde AM = BM = 3 : 4 elde edilmi tir.

Neden AM = BM = 3 : 4 oldu unu açıkla.

Bu çizime, verilen do ru parçasını verilen oranda bölme denir.

8. ekildeki AB do ru parçası M noktasıyla 3:2 oranında bölünmü tür. CD do ru parçası da N noktasıyla aynı 3:2 oranında bölünmü tür. AB ve CD do ru parçalarının kısımlarıyla ilgili orantı kur.

A C

M N

B D

Olanaklardan biri: AM : MB = CN : ND‘dir. Demek ki AM, MB do ru parçaları CN ve ND do ru parçalarıyla orantılıdır. Bu nedenle AB ve CD do ru parçaları aynı orantıda ayrılmı tır demektir.

Genel olarak E er ki, birinin kısımlarının oranı di erinin kısımlarının oranıyla e it ise iki do ru parçası aynı orantıda ayrılmı tır.

9. Uzunlukları 7cm ve 4cm olan iki do ru parçası çiz ve onları orantılı ekilde 1:2 kısımlara ayır.

Konu 1. Benzerlik

Bilmen gerekenler:

Kendini kontrol et! 5 cm uzunlukta bir AB do ru parçasını çiz ve 3 e it kısıma ayır. Ondan sonra, AB do ru parçasını 2:1 oranında bölecek bir M noktasını i aret et. ekilde H ve K noktalarıyla orantılı olarak bölünmü olan PQ ve RS do ru parçalarından olu an bir orantı yaz.

Bir do ru parçası e it kısımlara nasıl ayrılması ve ayırma i lemini yapasın; Do ru parçasını verilen bir orantıda bölesin; ki do ru parçasınnın, hangi durumda aynı orantıda bölündü ünü açıklamalısın.

H 3

Q 1 K S

Ödevler 1. Uzunlu u 6 cm olan bir do ru parçası çiz ve onu e it kısımlara ayır: a) üç; b) yedi.

M noktası, AB do ru parçasını AB : MB = 5 : 3 oranında böler. AM do ru parçasının uzunlu u 4,8 dm oldu una göre MB ve AB do ru parçaların uzunlu unu belirt.

AB = 12 cm do ru parçasını ne kadar uzatmalıyız ki, AC : BC = 5 : 2 orantısını sa layacak AC do ru parçası elde edilsin?

M noktası AB do ru parçasını AM : MB = 3 : 2 oranında böler. AM : MB = 3 : 2 oranlarını belirt.

2. Bir AB do ru parçası çiz ve onu a) 2 : 1 ; b) 5 : 2 oranında ayır. 3. Uzunlu u 10 cm olan bir do ru parçası çiz ve onu a) 7 e it kısıma; b) 4 : 3 oranında iki kısıma; c) 1 : 2 : 4 oranında ayır. 4.

ABC çiz ve kenarlarını üçer e it kısıma ayır.

ABC ve onun AA1 kenarortayını çiz. Ondan sonra AA1 kenarortayını AT : TA = 2 : 1 oranında bölerek T noktasını belirt.

Orantılı do ru parçalar

ORANTILI DO RU PARÇALARINA A T TALES TEOREM

A 1.

Anımsa! Verilen bir do ru parçası a) e it kısımlara b) verilen m : n oranında nasıl bölünür. Onu çizimle açıkla.

ekilde SOT dar açısı verilmi tir. OS kenarı üzerinde B noktası, OT kenarı üzerinde ise D noktası seçilmi tir. B ve D noktalarından da p do rusu çizilmi tir. T p. D

p O

OB do ru parçası üzerinde OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktasını seçiniz. A noktasından q || p olmak üzere q do rusunu çiz. q do rusu OT do rusunu C noktasında kesin. OC : CD = 3 : 2oldu unu gösteriniz. OC : CD = 3 : 2 oldu unu göster-

mek için nereden yararlanacaksın?

Do ru parçasının verilen orantıda bölünme kuralından yararlanaca ım.

ekilde ödevin çözümü verilmi tir. u soruları cevapla. OB do ru parçası 5 e it kısıma nasıl bölündü? OA : AB = 3 : 2 olmak üzere A noktası nasıl bulundu?

Neden, OC : CD = OA : AB = 3 : 2 ‘dir? Tales Teoremi denilen u iddiayı incele ve unutma. Bir açının kenarları iki farklı paralel do ruyla kesilirse, bir kenar üzerinde elde edilen do ru parçalar ve di er kenar üzerinde kesilen kar ılıklı pdo ru parçalarla orantılıdır. j D C

AC || BD O

)

OA : AB = OC : CD

ekilde AC || BD alınmı tır. E er OA = 4 dm , AB = 5 dm , OC = 8dm , ise CD belirt;

OA : OB = OC : OD .oldu unu göster.

Konu 1. Benzerlik

Genel olarak geçerlidir ki: OA : AB = OC : CD e itli inden (Tales Teoremi gere ince) OB : OA = OD : OC e itli i elde edilir, veya:

OA :OB = OC:OD Orantıların bu özelli inden yararlanarak AB : OA = CD : OC a a ıdaki e itli i elde ederiz: (AB + OA) : OA = (CD + OC) : OC . OB : OA = OD : OC oldu unu ispatla.

3. ekilde ABC ve AC ve BC kenarlarını kesen MN || AB do rusu verilmi tir. M

AC ve BC do rularının MN do rusuyla orantılı olarak kesildiklerini göster, yani CM : MA = CN : NB .

E er yardıma ihtiyacın varsa...

Önce, ACB açısının kenarlarının MN ve AB paralel do rularıyla kesilmi oldu unu tespit et. Ondan sonra, Tales Teoremi’ni uygula.

B 4.

SOT açısını çiz ve ekilde görüldü ü gibi OA = 4 cm ,

OB = 6 cm , OC = 3 cm , OD = 4,5 cm ,. do ru parçalarını

i aret et.

OA, OB ve OC, OD do ru parçalarının orantılı olduklarını, yani OA : OB = OC : OD oldu unu görebilirsin. AC ve BD do rularını çiz. Ondan sonra, iki çizgilik üçgenle onların paralel olup olmadı ını yokla. Çizimde ve ölçmede yeterince isabetli olmu san, AC || BD.

Genel olarak geçerlidir! ki do ru bir açının kenarlarından orantılı do ru parçalar keserse, o do rular birbirine paraleldir. C

OA : OB = OC : OD O

)

AC || BD

Orantılı do ru parçaların bu özelli ine Tales Teoremi’nin tersi denilir. Orantılı do ru parçalar

ekile göre, a a ıdaki verilerden hangi durumda MN || PQ.

a) RM = 10, RP = 12, RN = 15, RQ = 18; M

b) RP = 14, MP = 4, RQ = 21, NQ = 6;

c) RM = 6, RP = 8, RN = 9, RQ = 14. P

Bilmen gerekenler : Tales teoremini ifade edesinve onu basit ödevlerde uygulayasın; Tales teoreminin tersini ifade edesin ve onu basit ödevlerde uygulayasın.

Kendini yokla! C

ekilde PQ || BC verilmi tir. A a ıdaki iddiaların do ru olması için onları tamamla: a) AP : AB =

;

c) b)

c) AP : PB =

;

c) ]) AC : AQ =

= AQ : QC ; :

B E

28 C

ekilde i aretlenen do ru parçalar için BC || DE?

35 20 A

16 B

Ödevler alınmı tır. 1. ekilde AC ||t[BD marr[ AC || BD.

ekildeki ABC ‘ de MN || AB ‘dir. C

a) E er CM = 12 ; CA = 18 ; C

BN = 8 ; CN , ne kadardır

A a ıdaki verilere göre OB ,‘yi belirt, e er: OA = 4 cm , OC = 6 cm , OD = 9 cm .

Konu 1. Benzerlik

b) E er CM = NB , MA = 4 ve CN = 9 ise, CM ne kadardır.

3. ekilde gösterilen her üçgende, tabana paralel do ru çizilmi ve birkaç do ru parçası i aret edilmi tir.

6. OA : AB = OC : CD orantısından u orantıların elde edildi ini göster:

O 1

a b

x c x

a) a) AB : OA = CD : OC ;

c) c) OB : AB = OD : CD ;

b) ]) OA : OB = OC : OD . b) OB : OA = OD : OC ; d) x

Her dört durum için x sayısını belirt, di erlerinin harﬂerle verilmi oldu unu tahmin ederek. 4. ekildeki SOT açısının kenarları AA1, BB1 ve CC1 do rularıyla, OA : AB : BC = 2 : 3 : 1 olmak üzere kesilmi tir. OA1 = 6 cm

oldu una göre A1B1 ve B1C1 do ru parça-larının uzunluklarını belirt.

5. ekilde a); b), ıklarında i aretlenen do ru parçalar için BC || DE olup olmae. yokla. Cevabını açıkla. dı ını

Dene! ... Mecburi de ildir 7. ekilde C kö esine ait açı ortayı CD olan ABC verilmi tir. Ondan sonra AC kenarı uzatılmı ve BE || DC do rusu çizilmi tir. a) E er yan kenarları BC = CE, o zaman BEC ikiz kenar üçgen oldu unu ispatla. b) ABC üçgeninde ACB açısının açı ortayı, kar ıki AB kenarını di er iki kenarla orantılı olacak iki kısıma ayırdı ını göster, yani AD : DB = CA : CB , ya da (c – x) : x = b : a.

Orantılı do ru parçalar

TALES TEOREM NDEN YARARLANARAK ÇÖZÜLEB LEN ÖDEVLER

A 1.

Anımsa! Orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi nasıl ifade edilir? a : b = c : x orantısında a, b, c’nin yardımı ile x büyüklü ünü ifade et.

ABC sonra ekilde oldu u gibi BC kenarıyla paralel olan ve A açısının kenarlarını kesen B1C1 do rusunu çiz. C

AB : AB1 ve AC : AC1 birbirine göre nasıldır? AB, AB1; BC, B1C1 do ru parçalarını dikkatle ölç, ondan sonra AB : AB1 ve BC : B1C1 oranlarını hesapla.

Ne fark edersin? E er çizimi ve ölçmeleri do ru yapmı san, AB, AB1do ru parçalarının BC,B1C1 do ru parçalarıyla orantılı oldu unu göreceksin, yani;

AB : AB1 = BC : B1C1 = AC : AC1

Genel olarak geçerlidir! Bir üçgende kenarlarından birine paralel do ru çizilerek di er iki kenar kesilirse, elde edilen yeni üçgenin kenarları verilen üçgenin kenarlarıyla orantılıdır. C

2. Ödev 1 de Tales Teoremi’ni uygulayarak bu iddiayı ispatlamaya çalı . C1

Verilenler: ABC, B1C1 || BC ( ekilde oldu u gibi).

a a1

spatla:

BC AC AB = = , B1C1 AC1 AB1

yani

a b c , a1 b1 c1

B C

burada: BC = a , AC = b , AB = c , B1C1 = a1 , AC1 = b1 , AB1 = c1 . Verilen ekil, AC’ye paralel olmak üzere B1F do rusunun çizimiyle tamamlanmı tır. Verilen e itli i ispatlamak için Tales Teoremi’ni nasıl uygulayacaksın?

C1 F A

ABC ve ABC açıları için elde edilen orantılı do ru parçalarından olu an orantıları yazaca ım. Ondan sonra kar ıla tıraca ım.

Yaptı ın inceleme ve elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

Konu 1. Benzerlik

) BAC B1C1 || BC ile kesilmi tir. Tales Teoremi gere ince: ABC B1F || AC ile kesilmi tir. Tales Teoremi gere ince: ) A

AB AC = AB1 AC1

(1)

AB BC = AB1 FC

(2)

B1FCC1 dörtgeni paralelkenardır (neden?), FC = B1C1 bunu (2) de de i tirmekle ) Ka elde edilir.

AB BC = . AB1 B1C1

(3)

)

BC AB AC a c b . = = , yani d.m.th. a1 c1 b1 B1C1 AB1 AC1

Prej dhe (3): in (1) ve

Bu iddiaya üçgene ait Tales Teoremi denir.

Ters iddia geçerlidir! Bir do ru, bir üçgenin iki kenarını kesti i durumda, kenarları orantılı parçalara ayırıyorsa, o halde do ru, üçgenin üçüncü kenarıyla paraleldir.

C m F n

m:n=p:q

p G

)

FG || AB

B C

3. ekildeki ABC de, MN || BC’dir. N

BC : MN, de erini bul, e er AM = 15, AB = 18 AB = 15, BC = 10 ve M noktası AB’nin orta noktası ise MN belirt.

) Üçgenin orta tabanı özelli inden yararlanarak MN uzunlu unu yokla! p A a

4. ekildeki p ve q do ruları üç paralel do ru ile kesilmi tir. a, a’ kar ılıklı do ru parçalar, b, b’ kar ılıklı do ru parçalarıyla orantılı oldu unu göster. Yani: a : a’ = b : b’.

Ödevin çözümünü izle.

)

q B a'

D p A a

ekilde yapıldı ı gibi AD do ru parçasını çiz, görüldü ü gibi CAD ve ADB açılarının kenarları iki er paralel do ru ile kesilmi tir. a : b = x : y ve a’ : b’= x : y

) E itliklerin sa tarafları birbirine e it oldu una göre a : b = a’ : b’ yani

x y

q B a' b'

a : a’ = b : b’ elde edilir. C D e segmentit a'. Önceki ekile göre, a = 3, b = 5 ve b’ = 7 ise a’ do ru parçasının uzunD C lu unu hesapla. 5. ekildeki ABCD yamu unda MN || AB, AD = 18cm, BC = 24 cm M N ve DM = 3 cm. BN ve NC belirtilsin. A

Orantılı do ru parçalar

ekilde a, b, c do ru parçaları verilmi tir.

a : b = c : x olmak üzere x do ru parçasını bulunuz, yani, a, b, c, do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısını bul.

b c

E er ödevi kendi ba ına çözemezsen, u tavsiyeler sana yardımcı olabilir:

) )

Tales Teoremini hatırla. SOT açısını çiz ve ekilde oldu u gibi a = OA, b = AB ve c = OC çiz.

) B noktasından AC ye paralel do ru çiz ve OT ile kesi imini D ile i aret et.

) x = CD istenilen do ru parçasıdır (Neden?). a, b, c do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısı olan x do ru parçası ikinci ekilde oldu u gibi de elde edilebilir. ekli incele ve yöntemi açıkla.

7. a = 4 cm, b = 6 cm ve c = 5 cm do ru parçaları için, dördüncü geometrik orantısını çiz: a) x =

bc ac , b) x = . a b

Önce x =

bc fadesinden x : c = b : a orantısının elde edildi ini görebilirsin. a

ki do ru parçası a = 3 cm ve b = 2 cm çiz. x = ab olacak ekilde x do ru parçasını çiz. Önce, x = ab e itli inden 1 : a = b : x orantısı elde edilebildi ini görebilirsin. Buna göre çizimi yap.

Bilmen gerekenler: Üçgene ait Tales eoremi’ni ifade edesin ve onu daha basit ödevlerde uygulayasın; Üç do ru parçasının dördüncü geometrik orantısını çiz.

Konu 1. Benzerlik

Kendini yokla!

ABC’de MN || AB verilmi tir. ekildeki verilere göre onun kenarlarının uzunluklarını bul. Üç do ru parçası a, b, c, verildi inde, onların dördüncü geometrik orantısının nasıl çizildi ini açıkla.

Üç do ru parçası a, b, c çizdikten sonra a a ıdakileri sa layacak x do ru parçasını çiz: a) x : a = b : c; b) a : x = b : c; c) a : b = x : c. 7. a ve b do ru parçalarını çizdikten sonra x = a2 do ru parçasını çiziniz. 6.

Ödevler 1. ekildeki ABCD yamu unda, tabanlar AB = 12, CD = 5 ve yan kenar AD = 7’dir. AD ve BC kenarları S noktasında kesi inceye kadar devam edilmi tir. SD belirtilsin.

8. a ve b do ru parçalarını çizdikten sonra a a ıdaki do ru parçaları da çiz. a) x

a2 ; b

b) x

b2 . a

C Tabanları AD = 8 ve BC = 20 olan ABCD yamu unun BC kenarı üç D e it kısıma ayrılmı tır ve y x ( ekilde görüldü ü gibi) bölüm noktalarından ta- A B banlara paralel do rular çizilmi tir. Yamuk içinde kalan x ve y do ru parçalarının uzunluklarını belirt.

2. Bir a acın gölgesi BC ( ekilde) 20 m’dir. Aynı anda 1 m uzunlukta olan bir sopanın (PQ) gölgesi 1,4 m’dir. A acın AB yüksekli ini belirt.

3. ekildeki ABCD D yamu unda MN 6 || PQII AB’dir. ekilP deki verilere göre AD ve BC yan ke- M narlarının uzunlukla- 3 rını bul. A 4. ekildeki ABC de BC kenarı üç e it kısıma ayrılmı tır ve bölüm noktalarından uzunlu u 15cm olan AB kenarına paralel do rular çizilmi tir. Üçgende kalan her do ru parçanın uzunlu unu bul.

Yardım. AB ye paralel olan DM do rusunu çiz. DMCincele (ödev 4’ün çözümünü anımsa).

C 8 6

Q N

10. ekilde, A noktası ula ılmaz ve B noktası ula ılabilir olan do adan bir durum gösterilmi tir.

a) Ula ılmaz olan BA uzaklı ını belirt. b) u verilere göre BC = 100m, CE = 250m, CD = 80m. BA uzunlu unu hesapla.

C x

c) u verilere göre CE = 250m, CD = 80m ve DB = 96m, EA uzunlu unu hesapla.

k k

5. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm do ru parçalarının dördüncü geometrik orantısını çiz (a : x = b : c). Orantılı do ru parçalar

BENZER ÜÇGENLER

BENZER EK LLER. BENZER ÜÇGENLER Anımsa!

Hergünkü ya amda ço u kez ekilN leri aynı ve büyüklükleri farklı ya da aynı olan nesnelere rastlamaktayız: otomobil ve onun modeli; iki bardak; iki sandalye v.b.

SOT açısının kenarları AC ve BD paralel do rularıyla kesilmi tir. T D C

ekilden yararlanarak verilen oranlara e it olan oranları yaz: a) OA : AB;

ekilleri aynı ve büyüklükleri farklı veya e it olan iki geometri ekile benzer geometri ekiller denir.

b)b) OC : OD .

Hangi teoreme göre oranları yazdın? 1. ekilde do ru parçaların u orantısı geçerlidir: OA : AB OD : DC .

iki kare; iki daire; kare ve daire?

C D

2. O

AD ve BC do rularının durumu nasıldır? Açılar büyüklüklerine göre nasıldır: ve OBC; b) a) ve OCB? a) OAD dhe b) ODA dhe

A a ıdaki ekillerden hangilerine benzer ekiller diyebiliriz:

Makedonya’nın iki co rafya haritası verilmi tir. Birincisinin oranı 1 : 1000000, ikincisinin oranı ise 1: 500000 ‘dir. Bu haritalar benzer midir? Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı 4’cm dir. kinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı ne kadardır?

Birinci haritada Üsküp - Kumanova uzaklı ı ve ikinci haritadaki Üsküp - Kumanova uzaklı ının oranı nedir? Birinci haritada herhangi iki nokta arasındaki uzaklık ve ikinci haritada kar ılıklı aynı noktalar arasındaki uzaklı ın oranı nasıldır? Konu 1. Benzerlik

Yandaki ekli incele. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kö elerinin ba langıç noktaları O olan yarıdo rular üzerinde bulunuyor ve u orantılı do ru parçaları olu turuyorlar:

ABC ve A1B1C1 üçgenleri için, kar ılıklı kö eler, kar ılıklı açılar ve kar ılıklı kenarlar farkedece iz, yani: kar ılıklı kö eler: A ve A1; B ve B1; C ve C1 dir. kar ılıklı açılar: A ve A1; B ve B1; C ve C1 ‘dir. kar ılıklı kenarlar: AB ve A1B1; BC ve B1C1; AC ve A1C1 ‘dir. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kar ılıklı kenarlarının birbirine paralel oldu unu gösteriniz, yani ‘dir. ve Üçgenlerde

oldu unu göster.

Üçgenlerde kar ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu unu göster, yani ‘dir. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. oldu undan, Tales teoreminin tersinden AB || A1B1 gerekir. Benzer ekilde BC || B1C1 ve AC || A1C1 oldu unu gösterebiliriz. AB || A1B1 ve AC || A1C1 oldu undan, paralelkenar açılar gibi A = A1 gerekir. Benzer ekilde ve Tales teoremini hatırla: SOT açısının kenarları AB ve A1B1 paralel do rularıyla kesiliyorsa AB ve A1B1 do ru parçaları OA ve OA1 do ru parçalarıyla orantılıdır, yani dir. Üçgenin di er kar ılıklı kenarlarının da aynı orantıda oldu unu gösterebilirsin, yani: ABC ve A1B1C1 üçgenleri için kar ılıklı açıların birbirine e it ve kar ılıklı kenarların birbiriyle orantılı oldu unu gösterdin. Onlar sa daki ekilde oldu u gibi ba ka durumda da gösterebilirler. ABC üçgenini saydam bir ka ıtta çiziyorsan, ( ekilde oldu u gibi) A1B1C1 bölgesinin içine olacak ekilde götürebilirsin. ABC ve A1B1C1 ekli aynı fakat büyüklükleri farklı oldu unu görebilirsin, yani onlar benzer üçgenlerdir.

Benzer üçgenler

Unutma! ki üçgenin kar ılıklı açıları e it ve kar ılıklı kenarları orantılı ise onlar benzer üçgenlerdir. ABC ve A1B1C1 benzer üçgenleri ABC ~ A1B1C1 eklinde yazıyoruz. ABC benzerdir

A1B1C1 diye okunur. Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı ne kadardır? Ödev 3’te ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin kenarlarının orantı katsayısı 1:2 yani 1 oldu unu gördün. 2 ki benzer üçgenin ( ABC ~ A1B1C1) kar ılıklı kenarlarının orantı katsayısına, benzerlik katsayısı denir.

ABC ~ MNP yazıldı ı durumda, bu üçgenlerin kar ılıklı kö eleri: A ve M, B ve N, C ve P’dir. Ödev 3’te ABC ~ A1B1C1 oldu unu ve benzerlik katsayısı 1 oldu unu gördün. 2 Neden A1B1C1 ~ ABC dir ve onların benzerlik katsayısı ne kadardır?

Bilmen gerekenler: ise

‘dir.

ki üçgenin benzerlik katsayısını belirtesin.

Bilmen gerekenler: ekilde ABC ~ MNP ‘dir. Onların kar ılıklı: a) kenarlarını; b) açılarını yaz. Benzerlik katsayısını belirt. x ve y kenarlarını belirt.

Ödevler

ABC ~ RST verilmi tir. Onların kar ılıklı: a) kenarlarını, b) açılarını yaz. Birincisinin kenarı a = 3 cm ve ikincisin kenarı 4 cm olmak üzere iki e kenar üçgen çiz. Onların benzer olduklarını göster. Benzerlik katsayısını belirt. Konu 1. Benzerlik

3. 3. ekilde ABC ~ PQR ‘dir ve kenarlarının uzunlukları i aret edilmi tir. x ve y belirtilsin.

5. ABC # A1B1C1 oldu una göre,

ABC ~ A1B1C1 gerekir mi? Açıkla.

4. ekilde ABC ~ MNC ‘dir. , ve oldu una göre, CB ve MN neye e ittir?

6. M ve N noktaları ABC üçgeninde AC ve BC kenarlarının orta noktaları olsun.

MNC ~ ABC oldu unu göster.

ÜÇGENLER N B R NC BENZERL K KURALI Anımsa! ABC ve A1B1C1 üçgenlerin benzer olup olmadı ını tespit etmek için onların kar ılıklı açılarının e it ve kar ılıklı kenarlarının orantılı olup olmadı ını yoklamak gerekir. Yani, ve 1 MON açısının kenarları a ve b paralel do rularıyla olmak üzere kesilmi tir. OAD ve OBC üçgenlerini incele, ondan sonra: BC ve AD kenarlarının oranını belirt. Üçgenlerin kar ılıklı açılarının birbiriyle nasıl oldu unu belirt.

OBC ~ OAD?

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. ekilde,

ABC çiz ve AB kenarından üç defa büyük olan A1B1 do ru parçasını çiz. Ondan sonra, kenarı A1B1, B1A1C1 = A ve A1B1C1 = B olacak ekilde A1B1C1 üçgenini çiz. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin kar ılıklı iç açıları birbirine e it midir? Neden? Kar ılıklı açılar e ittir: A = A1 ve B = B2 , çizim gere ince; çünkü

A1B1C1 üçgeninin kar ılıklı kenarları ABC’nin kar ılıklı kenarlarıyla orantılı olup olmadı ını ölçme ile yokla. Orantı katsayısını belirt.

A1B1C1 ve ABC üçgenlerinin kar ılıklı kenarlarının orantılı oldu unu ve A1B1C1 ~ ABC oldu unu açıklamaya çalı .

olmak üzere, ABC ve A1B1C1 verilmi tir.

A1B1C1 ~ ABC oldu unu göstermek için benzer üçgenlerin altı ko ulunun geçerli olup olmadı ını yoklamalısın, yani,

Benzer üçgenler

Üçgenlerin kar ılıklı açılarının birbirine e it oldu unu gösterdin. A kö esi A1 ile, B kö esi B2 ve C kö esi C2 ile çakı ık olmak üzere, ABC kaydırılarak

A1B1C1 üzerine götürülmü olsun. Bu durumda açı A, açı A1 ile; açı B, açı A1B2C2 ile; ve açı C, açı B2C2A1 ile çakı acaktır. A1B2C2 oldu undan, B2C2||B1C1 gerekir. ekilden ve orantılı do ru parçalara ait Tales Teoremi gere ince yani, Buna göre, A1B1C1 ~ ABC sonucuna varılır.

A1B1C1 ~ ABC oldu unu gördün. Buna göre iki üçgenin benzer olup olmadı ını tespit etmek için bu üçgenlerin kar ılıklı iki er açısının e it olup olmadı ını yoklamak yeterli olacaktır.

Unutma! Bir üçgenin iki açısı, di er bir üçgenin iki açısıyla e it ise, onlar benzer üçgenlerdir. Bu iddia üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gibi adlandırılmı tır.

ekilde A = D = 30˚ verilmi ve C noktası AE ve BD do ru parçalarının kesi im noktasıdır. ABC ~ DEC oldu unu göster.

3. ABC üçgeninde AB kenarına paralel olmak üzere MN do ru parçası çizilmi tir. D D ve E E oldu unu göster.

ABC ~ MNC oldu unu göster. u iddiayı fark et. Bir üçgende bir kenara paralel olan ve di er iki kenarı kesen bir do ru çizildi inde, verilene benzer olan üçgen elde edilir. Bu iddiayı, üçgen için Tales Teoremi ile kar ıla tır. ekildeki ABC üçgeninde MN||AB ve NP||AC do ru parçaları çizilmi tir. Kaç üçgen fark ediyorsun? Üçgenlerden hangilerinin birbirine benzer oldu unu yaz. Konu 1. Benzerlik

unları fark et: Her üçgen kendi kendisine benzerdir. ki e üçgen birbirine benzerdir. Onların benzerlik katsayısı ne kadardır? 5. ekilde A = P = D olmak üzere, ABC ve PQR dik üçgenleri verilmi tir.

ABC ~ PQR oldu unu göster. Üçgenlerin kar ılıklı iki er açılarının e it oldu unu göster: B = Q = 90˚.

P ve

Üçgenlerin birinci benzerlik kuralına göre: ki dik üçgenin benzer olması için, birinin bir dar açısı, di erinin bir dar açısıyla e it olması gerekmektedir . 6.

ekildeki ABC üçgeninde CD yüksekli i ve MN||AB do ru parçası çizilmi tir. Orada kaç dik üçgen fark edebilirsin ve onlardan hangileri benzerdir?

ekilde C = R = D olmak üzere, iki ikizkenar üçgen ABC ve PQR verilmi tir. A = P oldu unu göster.

ABC ~ PQR oldu unu göster.

Genel olarak Bir üçgenin ucu di er üçgenin ucuyla aynı ise iki ikizkenar üçgenler benzerdir.

A1 olarak AB ve A1B1 esaslarla A1B1C1 iki ikizkenar üçgen çiz.

ABC ~ A1B1C1 oldu unu göster. ki ikizkenar üçgenlerin benzerli i için ba ka bir ispatlama ifade et. Benzer üçgenler

Bilmen gerekenler: Üçgenlerin birinci benzerlik kuralını ifade et; ki dik, ya da iki ikizkenar üçgenin benzer olmaları için yeterli artlar hangileridir; ki üçgeni benzer olup olmadı ını tespit et; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirt.

Kendini yokla! AB do ru parçasının uç noktalarından AB’ye dik olmak üzere AC = 3 cm ve BD = 5 cm do ru parçaları çizilmi tir. s do rusu AB do ru parçasını hangi oranda böler?

Ödevler ekilde ABC üçgeni ve MN||AB verilmi tir.

u oranları belirt: a) E er CM : MA = 3 : 2 ise, o zaman CM : CA = b) E er CM : MA = 7 : 3 ise, o zaman CN : NB = c) E er CM : CA = 3 : 4 ise, o zaman AB : MN =

Konu 1. Benzerlik

2. Kenarları AB = 20, BC = 12 ve CA = 16 olan ABC verilmi tir. BC kenarı üzerinde olan M noktasından AB’ye paralel olan bir do ru çiziliyor. Bu do ru AC kenarını N noktasında keser. CM = 3 oldu una göre, MN belirtilsin. 3. Tabanları AB ve CD olan ABCD yamu unda, AC be BD kö egenleri, S noktasında kesi iyorlar. a) ABS ~ CDS oldu unu ispatla. b) AB = 12, AS = 6 ve SC = 3 oldu una göre, CD ’yı belirt. 4. Kenarları 4, 5, 6 olan A1B1C1 benzer öyle bir A1B1C1 üçgeni çiz ki: a) En küçük kenarı 5 olsun; 3 b) Orantı katsayısı olsun. 4 5. Bir a acın gölgesi 10 m oldu u anda; 1,7 m yükseklikte olan bir ki inin gölgesi 1 m’dir. A acın yüksekli ini belirt.

ÜÇGENLER N K NC VE ÜÇÜNCÜ BENZERL K KURALI Kenarları AB = 3cm ve AC = 2cm ve A= 60˚ olan ABC çiz. Ondan sonra A1 = 60˚ ve kenarları A1B1 = 3AB, A1C1 = 3AC, olan

A1B1C1 çiz.

Anımsa! ki üçgen ABC ve A1B1C1 benzer olması için altı ko uldan hangilerinin sa lanması gerekir? Üçgenlerin birinci benzerlik kuralı gere ince ABC ~ A1B1C1 olması için, hangi ko ullar yeterlidir?

ve ve ve ölç ve kar ıla tır. Ne farkediyorsun?

ekilde ödevin ko ullarına göre üçgenler çizilmi tir. ABC üçgenini A A1 ile çakı acak durumda kaydıralım. Bu durumda ABC üçgeni A1B2C2 ile çakı acaktır. u oranları belirt:

ve Göster ki Neden ABC ~ A1B1C1 ki üçgenin hangi kar ılıklı elemanları verilmi tir ve bunlar, iki üçgenin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli midir?

Orantılı olan iki kar ılıklı kenar ve onların olu turdukları birer e it açı verilmi tir. Bu ko ullar üçgenlerin benzer olduklarını tespit etmek için yeterli ko ullardır.

Buna göre, üçgenlerin benzerli ine ait kural ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerin ikinci benzerlik kuralı olarak adlandırılmı tır. ki üçgenin kar ılıklı iki er kenarı orantılı ve o kenarların olu turdukları kar ılıklı açıları e it ise, üçgenler benzerdir. 2.

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzer olup olmadıklarını yokla, e er:

ekilde verilen ABC‘de M noktası AB kenarının orta noktasıdır, N noktası ise AC’nin ortasıdır.

ABC ~ AMN oldu unu ispatla.

ABC ‘nin MN orta tabanının, kar ılıklı BC kenarının yarısına e it oldu unu göster. Benzer üçgenler

Kenarları AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4 cm, olan ABC üçgenini çizdikten sonra, kenarları ABC üçgeninin kenarlarından iki defa daha küçük olan A1B1C1 üçgenini çiz. A ve A1, B ve B1, C ve C1 açılarını ölç ve kar ıla tır. Ne farkediyorsun?

ABC ~ A1B1C1 midir? ki üçgenin kar ılıklı kenarları orantılıdır. Buna göre bu iki üçgenin benzer oldu unu tespit etmek için ko ul yeterli midir?

ki üçgenin benzer olması için, onların kar ılıklı kenarlarının orantılı olması yeterlidir. Çünkü o durumda kar ılıklı açıları da birbirine e it olur.

Farketti in gibi, üçgenlerin benzerli ine ait bir kural daha ifade edilebilir. Bu kural benzer üçgenlerde üçüncü benzerlik kuralı gibi adlandırılmı tır. Bir üçgenin üç kenarı, di er bir üçgenin üç kenarı ile orantılı ise, üçgenler birbirine benzerdir. Kenarları verilmi olan u üçgenler benzer midir? a) 3, 4, 5 ve 6, 8, 10; b) 15, 9, 12 ve 4, 3, 5; c) 2, 2, 3 ve 6, 6, 8; ç) 2;3;4 ve 3;6;4,5?

Bilmen gerekenler: Bilmen gerekenler: Benzer üçgenlerin ikinci ve üçüncü benzerlik kuralını ifade edebilmelisin; kinci ve üçüncü benzerlik kuralını uygulayarak iki üçgenin benzer olup olmadı ını tespit etmelisin; Benzer üçgenlerde bilinmeyen kenarı belirtmelisin.

ABC üçgeninin kenarları: a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 3 cm ‘dir. ABC’ye benzer olan A1B1C1’in en küçük kenarı 6 cm oldu una göre çevresini hesapla.

ABC ve PQR benzer olduklarını kontrol et, e er: A = 55°, AB = 12 cm, AC = 8 cm, P = 55°, PR = 12 cm, PQ = 18 cm.

Ödevler ki üçgen ABC ve PQR çiz, ondan sonra

ABC ~ PQR olması için hangi ko ulların gerekti ini yaz. a) ikinci kurala göre; b) üçüncü kurala göre. ABC ve EDC üçgenlerinin benzer olduklarını göster. Hangi kurala göre?

3. Bir üçgenin kenarları 6, 5 ve 4’tür. Bu üçgene benzer olan di er bir üçgenin en büyük kenarı 9 ise ikinci üçgenin çevresini hesapla. 4. Bir üçgenin iki açısı 60° ve 70° ,di er bir üçgenin iki açısı 50° ve 80° oldu u durumda iki üçgen benzer üçgenler midir? 5. Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı 70° ‘dir. Di er bir ikizkenar üçgenin taban açısı 55°’tir. Bu üçgenlerin benzer olduklarını ispatla.

Konu 1. Benzerlik

ABC ~ A1B1C1 . Neden?

BAC = 50°, AB = 4 cm, AC = 6 cm; NMR = 50°, MN = 30 cm, MR = 45 cm oldu u durumda ABC ~ MNR olup olmadı ını açıkla.

Kenarları verilmi olan ABC ve A1B1C1 benzer olduklarını yokla: a) 15,17,24 ve 4,5 ; 5,1; 7,2. b) 22; 8,2; 20 ve 55; 20,5; 50.

8. A noktası ula ılmaz oldu u durumda, A noktasından B noktasına kadar uzaklı ı nasıl belirteceksin? ekile bak Do ada BC = m CB1 olmak üzere B ile aynı do ruda olacak C ve B1 noktalarını seçiyoruz. Ölçme aletiyle B1 B e it olmasını sa larız. B1’in kenarı üzerinde A, C ve A1 aynı do ru üzerinde olmak üzere A1 noktasını seçiyoruz.

A’dan B’ye kadar uzaklı ı belirt, e er BC = 40m, CB1 = 5m, B1A1 = 6,5m.

Ölçülmesi gereken A ve B noktaları arasında ula ılmaz bir bölüm oldu u durumda, A ve B arasındaki uzaklı ı nasıl belirteceksin? ekile bak

C noktasını seçtikten sonra AC ve BC’nin uzantılarında AC = n CA1 ve BC = n CB1 olmak üzere A1 ve B1 noktaları alınmı tır.

ABC ~ A1B1C. Neden? A ‘dan B ‘ye kadar uzaklı ı belirt, e er AC = 10 m, CA1 = 2 m ve A1B1 = 3,5 m.

K BENZER ÜÇGEN ÇEVRELER N N VE ALANLARININ ORANI Anımsa! Kenarları a = 15 cm, b = 9 cm ve c = 8 cm olan üçgenin çevresini hesapla. Kenarı a = 10 cm ve ona kar ılık gelen yüksekli i h = 6 cm olan üçgenin alanını hesapla. Üç veya fazla oran birbirine e it oldu u durumda, onlar bile ik orantı gibi yazılabilir, örne in: veya a : b : c = a1 : b1 : c1.

Bir ABC üçgenin kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 12 cm’dir. Buna benzer olan bir di er A1B1C1 üçgenin en küçük kenarı a1 = 3 cm’dir. Üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt.

A1B1C1’ in b1 ve c1 kenarlarını belirt.

ABC ve A1B1C1 ‘ in çevrelerini belirt. Üçgenlerin çevrelerinin oranını, iki er kar ılıklı kenarların oranıyla kar ıla tır. Sonuç nedir?

Orantı için a a ıdaki durum geçerlidir: Benzer üçgenler

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Benzer üçgenlerin iki kar ılıklı kenarı a ve a1 biliniyor. Buna göre yani

ABC üçgeninin çevresi L = 6 + 8 + 12 yani L = 26 cm. A1B1C1 ‘in çevresi L1 = 3 + 4 + 6 yani L1 = 13 cm oldu unu farkedersin. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, kar ılıklı kenarların oranına e it oldu unu görüyorsun.

Genel olarak geçerlidir E er ABC ~ A1B1C1 o zaman

P P1

spat. ABC ~ A1B1C1 benzer olduklarından gerekir. Bile ik orantıların özelli ine göre

yani

P P1

bulunur.

Unutma! ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı, onların iki er kar ılıklı kenarlarının oranına e ittir.

ABC ‘nin kenarları a = 6, b = 15 ve c = 18’dir. Verilen üçgeneA1B1C1 orantı katsayısı

1 olmak üzere benzerdir. A1B1C1 ‘in L1 çevresini hesapla. 3

ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir. Onların kar ılıklı yükseklikleri CD ve C1D1 çizilmi tir.

ADC ~ A1D1C1 oldu unu göster. Kar ılıklı yüksekliklerin CD ve C1D1 üçgenin kar ılıklı kenarlarıyla orantılı oldu unu göster.

Konu 1. Benzerlik

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. ADC ve A1D1C1 üçgenlerinin birer dar açılarının e it oldu unu fark ediyorsun, yani ( çünkü ABC ~ A1B1C1) ‘dir.

ADC ~ A1D1C1 sonucuna varabilirsin. Oradan da

ABC ~ A1B1C1’in benzerli inden: Benzer üçgenlerde, kar ılıklı yüksekliklerin oranı, kar ılıklı kenarların oranına e ittir.

Genel olarak ki benzer üçgende, kar ılıklı yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar, çevrel ve içten te et çemberlerin yarıçaplarının oranı, kar ılıklı kenarların oranına e ittir. ki benzer üçgenin çevreleri 16 cm ve 24 cm’dir. Birinci üçgenin bir yüksekli i 9 cm’dir. kinci üçgenin kar ılıklı yüksekli ini belirt.

ekilde ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir. Onların alanları P ve P1 ‘dir. Üçgenlerin P ve P1 alanlarının formüllerini, verilen kenarlar ve kar ılıklı yükseklikler ile yaz. h : h1 oranını yaz. Üçgenlerin alanlarının oranı P : P1 neye e it oldu unu ispatlamaya çalı .

Elde etti in çözümü, verilenle kar ıla tır. P

ABC ~ A1B1C1 oldu undan Benzer ekilde

P P1

P : P1 gerekir.

yani

P P1

Buna göre P P1

oldu unu gösterebilirsin.

Unutma! ki benzer üçgenin alanlarının oranı, onların kar ılıklı kenarlarının karelerinin oranına e ittir. ABC ve A1B1C1 benzer üçgenlerin alanları 49 cm2 ve 36 cm2’dir. ABC’nin bir kenarı a = 7 cm oldu una göre, di er üçgenin a1 kenarını ve h ve h1 kar ılıklı yüksekliklerini belirt. Benzer üçgenler

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. P : P1 P

A1B1C1’de P1 ve a1 bilindi ine göre, h1 yüksekli ini belirt.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

ki benzer üçgende çevrelerinin oranı nasıl ve alanlarının oranı nasıl oldu unu ifade etmelsinin; ki benzer üçgenin kar ılıklı yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların oranı ile iddiaları ifade etmelsinin;

ABC kenarları a = 8, b = 6 ve c = 4, ona benzer olan A1B1C1 ‘in çevresi 45’tir. A1B1C1’in kenarlarını belirt.

ki benzer üçgenin çevrelerinin ve alanlarının oranlarını ödevlerin çözümünde kullanasın.

Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 200 oranında çizilmi tir. Çizimdeki üçgenin alanı ve tarlanın gerçek alanının oranı nedir?

Ödevler Bir üçgenin çevresi ona benzer bir üçgenin çevresinden üç defa büyüktür. Birinci üçgenin en büyük kenarı 24 cm ise, di er üçgenin en büyük kenarı ne kadardır? Bir üçgenin kenarları 8 cm, 15 cm, 9 cm’dir. Ona benzer di er bir üçgenin çevresi L1 = 96 cm’dir. kinci üçgenin kenarlarını belirtiniz. ki benzer üçgenin çevrelerinin oranı 5 : 2 , en büyük kenarlarının toplamı ise 42 cm’dir. En büyük kenarlarının uzunluklarını hesapla. Bir ABC üçgeninin a,b,c kenarlarının oranı 3 : 4 : 6 ‘dir. Ona benzer A1B1C1 üçgeninin çevresi L1 = 52 cm oldu una göre a1, b1, c1 kenarlarını belirt.

ABC’de AC kenarından 2 cm uzaklıkta MN||AC do rusu çizilmi tir. AB : MB = 13 : 9 oldu una göre

ABC’nin AC kenarına kar ılık gelen yüksekli i belirt. Konu 1. Benzerl k

ABC ve A1B1C1 iki benzer üçgenlerin alanları 81 ve 25’dir. ABC’nin b kenarı 9 oldu una göre A1B1C1’in b1 kenarını ve ona kar ılık gelen h1 yüksekli ini belirt. Bir ABC üçgeni çiz. Ondan sonra bu üçgenin alanının dörtte birine e it alanlı di er bir A1B1C1 çiz.

ABC’nin a kenarı 10, bu kenara kar ılık gelen yüksekli i ise 5 ‘tir. Bu üçgene benzer olan A1B1C1’in alanı 81 oldu una göre, a1 kenarını ve h1 yüksekli ini belirt. ki benzer üçgenin alanlarının oranı 9 : 25’tir. Bu üçgenlerin benzerlik katsayısını belirt. Üçgen biçiminde bir tarla 1 : 500 oranında çizilmi tir. Çizimdeki üçgenin alanı 2,76 dm2 oldu una göre, tarlanın alanını hektar ile ifade et.

P TAGOR TEOREM D K ÜÇGENDE BENZERL K Anımsa! ekilde gösterilen ABC dik üçgeninde AB hipotenüzüne kar ılık gelen CD yüksekli i çizilmi tir. ve 2 açılarının kenarları nasıl durumdadır? aretlenen açılardan hangi çiftlerin kenarları birbirine diktir? aretlenen açılardan hangileri birbirine e ittir? a = 3 cm, c = 12 cm olan do ru parçaları verilmi tir. Onların geometrik ortasını hesapla.

ekilde ABC dik üçgeni, AB hipotenüzüne çizilen CD yüksekli iyle iki dik üçgene ayrılmı tır: ADC ve CDB.

Verilen üçgenlerin (hangi kurala göre) benzer olduklarını açıkla:

ekilde ABC’de AD do ru parçasını incele. Ona AC katetinin AB hipotenüzündeki izdü ümü denir. Onun uzunlu unu q ile i aret edece iz. Benzer ekilde, DB do ru parçasına BC katetinin hipotenüzdeki izdü ümü denir. Onun uzunlu u p ile i aret edilmi tir. Yandaki ekilde ABC ve CBD dik üçgenlerini ve onların i aretlenen kenarlarını incele.

ABC’nin c ve a kenarlarına CBD’nin hangi kenarları kar ılık gelir?

c kenarı ABC’nin hipotenüzüdür, a kenarı ise

CBD’nin hipotenüzüdür. Buna göre: c kenarı a kenarına kar ılık gelir; ABC’nin a kenarı

CBD’nin p kenarına kar ılık gelir.

, yani c : a = a : p’dir. Nedenini açıkla. c : a = a : p orantısından a2 = cp gerekir. a kenarı c hipotenüzünün ve p izdü ümünün nesidir? Ödev 2’deki ekilde ABC ve ACD benzer dik üçgenlere dikkat et. Oradaki kar ılıklı kenar çiftlerini yaz. Neden, c : b = b : q , yani b2 = cq e itlikleri do rudur, açıkla. b katetinin c hipotenüzüyle olan ba ıntıyı ve b katetinin c hipotenüzüne olan izdü ümü q arasındaki ba lantıyı sözlerle ifade et. 37 Pitagora teoremi

Unutma! Teorem 10. Dik üçgende her katet, hipotenüz ve o katetin hipotenüzündeki izdü ümünün geometrik ortasıdır.

Katetleri a = 12 ve b = 5 ve hipotenüzü c = 13, olan ABC dik üçgeninde a ve b katetlerinin c hipotenüzündeki izdü ümünü belirt.

ABC dik üçgeninde, hipotenüze kar ılık gelen CD yüksekli i çizilmi tir. Neden CAD açısı BCD ile e ittir? ekilde, ACD ve CBD’yi incele ve onların benzer üçgenler olduklarını göster.

CBD’de hangi kenarlar, ACD üçgenindeki q ve h kenarlarının kar ılı ıdır? Neden: q : h = h : p, yani h2 = pq, açıkla. h yüksekli inin p ve q izdü ümleriyle ve a ve b’nin c ile ba ıntısını sözlerle ifade et.

Unutma! Teorem 20. Bir üçgende c hipotenüzüne indirilen h yüksekli i, katetlerin hipotenüz üzerindeki p ve q izdü ümlerinin geometrik ortasıdır.

q = 4 ve h = 6 oldu una göre p’yi bul. 10 ve 20 iddiaları, yani, a2=cp , b2=cq , h2=pq, ba ıntılarını eski Yunan matematikçisi Euklit (M.Ö. 365-310) ispatlamı tır. Bu nedenle onlara Euklid Teoremi denir.

Konu 1. Benzerl k

Anımsa!

ekilde oldu u gibi, m ve n do ru parçaları çiz.

ekilde yarıçapı AB olan bir yarıçember verilmi tir. Yarıçember üzerinde C noktası seçilmi tir. ACB açısı hangi cinstendir? Bir çapı gören çevre açısı için Tales teoremi nasıl ifade edilir?

Ondan sonra, o do ru parçaların geometrik ortasını çiz (yani, x2 = m • n olacak olan x do ru parçasının çizimi). A a ıdaki adımları izle. AT yarıdo rusunu çiz ve üzerinde ekilde gösterildi i gibi ve do ru parçalarını uygula.

AB do ru parçasının orta noktasını çizimle belirt ve AB çaplı yarıçember çiz. D noktasından AB çapına dikme çiz ve bu dikmenin yarıçemberi kesti i noktayı C ile i aret et. do ru parçası, Teorem 20 gere ince, elde edilen neden m ve n do ru parçalarının geometrik ortası oldu unu açıkla. m = 2 cm ve n = 3 cm do ru parçalarının x geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler: Euklit teoremini ifade et ve ödevlerin çözümünde uygula; ki do ru parçasının geometrik ortasını çizesin.

Kendini yokla!

ABC dik üçgeninde p ve q do ru parçaları, a ve b katetlerinin c hipotenüzü üzerinde kar ılıklı izdü ümlerdir. a) c = 12 ve p = 3 ise, a = ? c) q = 2 ve p = 8 ise, h = ? b) b = 13 ise, cq = ? ki do ru parçasının geometrik ortası nasıl çizilir? (Yöntemi açıkla).

Pitagora teoremi

Ödevler ekil gere ince, verilen orantılarda eksik olan terimleri doldur.

4. Verilen do ru parçaların geometrik ortasını bul. a) m = 2.5 cm ve n = 3,5 cm; b) n = 1.5 cm ve n = 3 cm.

5. ABC dik üçgeninde kateti a = 8 ve onun izdü ümü p = 6,4 verilmi tir. c hipotenüzünü ve b katetini hesapla.

6. ABCD dikdörtgeninde dik açısı M noktasında olmak üzere ABM dik üçgeni çizilmi tir ( ekilde oldu u gibi).

ABC dik üçgeninde p ve q do ru parçaları a ve b’nin c hipotenüzü üzerinde kar ılıklı izdü ümlerdir. Bilinmeyen büyüklükleri belirt: a) p = 12, q = 3, h = ? b) a = 11, cp = ? c) c = 18, p = 8, b = ?, a = ? ve oldu una göre, dikdörtgenin boyalı kısmının alanını hesapla.

ABC dik üçgeninde hipotenüze indirilen yükseklik h = 2,4 ve b katetinin izdü ümü q = 1,8 verilmi tir. unları bul: a) p do ru parçasını; b) hipotenüz c; c) katet b; ç) katet a;

Konu 1. Benzerl k

7. Öyle bir kare çiz ki alanı, boyutları a = 4 cm ve b = 3 cm olan dikdörtgenin alanına e it olsun.

P TAGOR TEOREM Anımsa! Pitagor teoremini geçen okuma yılından biliyorsun. Bu teorem öyle ifade edilir: Dik üçgende c hipotenüzün karesi a ve b katetlerin karelerinin toplamına e ittir.

ekilde a ve b katetleri ve c hipotenüzü ile bir ABC dik üçgen verilmi tir. Her kenarın üzerinde birer kare çizilmi tir ve onların alanları Pa, Pb ve Pc ile i aret edilmi tir.

Kenarı a = 5 cm olan karenin P alanı ne kadardır? Pa, Pb ve Pc arasındaki ba lantıyı yaz. Pa= a2 , Pb= b2 ve Pc = c2 , görebiliriz ki c2 = a2 + b2’den Pc = Pa+Pb sonuçlandırılır. Buna göre Pitagor teoremi böyle de ifade edilebilir: Herhangi dik üçgende hip otenüzün üzerindeki karenin alanı, katetlerin üzerindeki karelerin alanlarının toplamına e ittir. Yani, Pc = Pa + Pb . 2. Verilen u tavsiyelere göre Pitagor teoremini ispatlamaya çalı . C = 90° olmak üzere ABC dik üçgenini çiz ve hipotenüzüne CD yüksekli ini indir. Her katetin hipotenüz ile kar ılıklı izdü ümlerle ba lantıyı yaz, yani Euklid teoremine göre ba lantıyı göster. E itlikleri taraf tarafa topla,yani sol ve sa taraﬂarın toplamını belirt. Dü ündüklerini a a ıda verilen ispatla kar ıla tır.

spat

ddia

Açıklama

Üçgenin yüksekli i, kar ılık oldu u kenara diktir. Bir katet, hipotenüzün ve hipotenüz üzerinde izdü ümünün geometrik ortasıdır. E itliklerin taraf tarafa toplanma özelli i. Çarpma i leminin toplamaya göre da ılma özelli i. yani

Yerine koyma metodu (c = p + q).

Pitagora teoremi

c hipotenüzünü a ve b katetleriyle nasıl ifade edebilirsin? Bir kateti, hipotenüz ve di er katetle nasıl ifade edebilirsin?

c2 = a2 + b2 e itli inden

elde edilir.

E er katetleri a = 15 ve b = 20 ise dik üçgenin c hipotenüzünü belirt. Bir dik üçgenin hipotenüzü c = 29 ve bir kateti a = 20 ise, di er katetini hesapla. Kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olan bir ABC üçgeni verilmi tir. a2 + b2 = c2 e itli inin geçerli oldu unu göster. ABC üçgeni çiz ve ölçerek bu üçgenin dik oldu una ıspatla.

Genel ve geçerli Kenarları a, b, c olan bir üçgende a2 + b2 = c2 e itli i geçerli ise, o üçgenin hipotenüzü c olan bir dik üçgendir. Bu iddia ispatı, Pitagor teoremine terstir. ABC üçgenin kenarları verilmi tir: a) a = 7, b = 24, c = 25;

b) a = 8, b = 10, c = 15.

ABC üçgenin dik olup olmadı ını yokla. 7. Kenarları a = 6 dm ve b = 11 cm olan dikdörtgenin d kö egenini hesapla. Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır

ABCD dikdörtgenini çiz ve ekilde oldu u gibi kenarlarını ve açılarını i aret et. ABC üçgeninin dik üçgen oldu unu görebilirsin. Onun katetleri dikdörtgenin kenarları a ve b, hipotenüzü dikdörtgenin kö e- A geni d’dir. ABC üçgeninde Pitagor teoremini uygula:

C d

Tabanı a = 18 cm ve yan kenarı b = 41 cm olan ABC ikizkenar üçgenin h yüksekli ini hesapla. C

A a ıdaki tavsiyeyi takip et ve elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır: kizkenar ABC üçgeni çiz ve ekilde oldu u gibi tabanına kar ılık gelen CD yüksekli ini çiz. ADC dik üçgen fark edebilirsin. Onun hipotenüzü b ve kateti

ve h dir. A

Konu 1. Benzerl k

ADC üçgeninde Pitagor Teoremini uygula:

oradan :

Tabanı 10 ve yüksekli i 12 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla.

Bilmen gerekenler: Pitagora teoreminin ifade edesin ve ispatlanmasını bilesin. Bir dik üçgende iki kenar verildi inde üçüncü kenarın nasıl hesaplandı ını bilesin.

Kendini yokla! Bir dik üçgenin katetleri a = 8 ve b = 15 onun c hipotenüzünü hesapla. kizkenar üçgenin yüksekli ini hesapla, e er tabanı 20 cm ve yan kenarı 26 cm ise.

Ödevler Katetleri a ve b ve hipotenüzü c olan dik üçgenin bilinmeyen kenarını hesapla, e er: a) a = 12, b = 35, c = ? b) b = 56, c = 65, a = ? c) a = 25, b = 31, c = ? Kenarları verilmi ABC üçgeninin dik olup olmadı ını yokla: c) 5,6; 3,3; 6,5; a) 14, 48, 50; ç) 100, 60, 80? b) 9, 12, 17; Kenarları 0,28 dm ve 0,96 dm olan dikdörtgenin kö egenini hesapla. Kö egeni 8,5 dm ve bir kenarı 1,3 dm olan dikdörtgenin çevresini hesapla. Tabanı 14 ve yüksekli i 24 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla Kenarı a = 12 olan e kenar üçgenin h yüksekli ini yakla ık olarak hesapla.

Bir dik üçgenin katei a = 35 cm’dir. Hipotenüzü ve di er katetinin toplamı 49’dur. c hipotenüzünü ve di er kateti b'yi hesapla. Bir dik üçgenin hipotenüzü 35 cm’dir. Katetlerinin oranı 3 : 4 'tür. Katetlerini bul. Bir ABC dik üçgeninin a ve b katetleri üzerinde ve hipotenüzü c üzerinde olan e kenar üçgenlerin alanları Pa , Pb ve Pc gibi i aretlenmi tir. Göster ki Pc = Pa + Pb. E er düzgün üçgenler yerinde düzgün altıgenler elde edilirse, bu ba ıntının geçerli oldu unu yokla.

Pitagora teoremi

Pitagor üçleri. Bu mecburi de ildir! Pitagor Teoremi’ni sa layan a, b, c do al sayılarından olu an üçlüler sorunu ilginçtir, yani a2 + b2 = c2 e itli i sa lar. Örne in böyle üçlüler: 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13 v.b. O sayılara Pitagor üçleri denir. A a ıdaki ifadelerden Pitagor üçleri elde edildi ini yokla.

2mn, m2 – n2, m2 + n2,. . Her n N için birer üçlü elde edilir. 2n + 1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n + 1; her n N için birer üçlü elde edilir.

her n N tek sayı ise n 3

her n N çift sayı ise 4.

P TAGOR TEOREM N N UYGULANMASIYLA LG L ÖDEVLER Anımsa! Yandaki ekilde ABCD ikizkenar yamu un tabanları ve ile yüksekli i DE‘dir. do ru parçasını hesapla. ekilde gösterilen EFGH e kenar dörtgeninin kö egenlerinin kesi im noktası S ile i aret edilmi tir. hangi türdendir? Cevabını açıkla. ekilde gösterilen O merkezli çemberde MN kiri i çizilmi tir. MNO üçgeninde ise MN kenarına OS yüksekli i indirilmi tir. ve nasıl üçgenlerdir? Neden?

Konu 1. Benzerl k

Tabanları 16 cm ve 30 cm ve yan kenarı 25 cm olan ikizkenar yamu un h yüksekli ini hesapla. Ödevi kendin çözemezsen, a a ıdaki tavsiyeleri izle. ABCD ikizkenar yamu unu ve onun DE ve CF kö egenlerini çiz.

hipotenüzün c = 25 cm ve kateleri x ve h olan dik üçgen oldu unu farkedebilirsin. ekilden a = b + 2x oldu unu da görebilirsin; oradan da

için Pitagor teoremini uygula:

c, a ve b de erlerini yerlerine de i tirmekle:

Bir ikizkenar yamu un tabanları 30 ve 20, yan kenarı ise 13. Yamu un alanını hesapla. Kö egenleri

olan ABCD e kenar dörtgenin çevresini hesapla.

Kenarı a olan e kenar dörtgenin L çevresi neye e ittir? Kö egenleri bilinen e kenar dörtgenin a kenarını nasıl hesaplayacaksın? ekilde gösterilen ABCD e kenar dörtgeninin kö egenlerinin kesi im noktası S ile i aret edilmi tir. üçgenini incele. Gördü ün gibi o üçgen diktir (Neden?), hipotenüzü a ve katetleri ve Pitagora Teoremi’ne göre : LL

Yarıçapı r = 2 dm olan bir çemberde t = 2,4 dm olmak üzere MN kiri i çizilmi tir. Bu kiri in merkezden uzaklı ı d ne kadardır? Yardım gerekirse, yandaki ekili incele. Hipotenüzü r ve katetleri d ve olan 'MSO dik üçgenine dikkat et, ondan sonra Pitagor teoremi gere ince unları elde edersin:

122

144

256

16;

ekilde oldu u gibi a ve b (a > b) do ru parçaları verilmi tir. b

x do ru parçasını çiz, öyle ki:

Elde etti in çözümü, yandaki ekilde verilen çözümle kar ıla tır: a) ıkkında katetleri a ve b olan dik üçgen çizilmi tir; b) ıkkında hipotenüz a ve katet b olan dik üçgen çizilmi tir.

Pitagora teoremi

n = 2 , 3, 4, 5, 6, 7... olmak üzere

do ru parçasını çiz.

Çizim yöntemi yandaki ekilde gösterilmi tir. Uzunlu u olan do ru parçasını çizmek için katetleri = 1 (cm, dm, ..) olan ikizkenar dik üçgen çizilir. OB hipotenüzünün uzunlu u ’dir (Neden?). do ru parçası dik üçgeninin bir kateti, olan do ru parçası ise, ikinci kateti olarak alınırsa, OBC üçgeninin hipotenüzünün uzunlu u olur (Neden?). Uzunlukları

v.b. olan do ru parçaların nasıl çizilmi olduklarını açıkla.

x = ’in çizimi, do rudan do ruya da çizilebilir. Bunu yapmak için, ekilde oldu u gibi, uzunlu u n ve 1 olan do ru parçalarının geometrik ortası çizilir

Uzunlu u

olan do ru parçasını çiz.

Uzunlu u a ve a + b olan do ru parçalarının geometrik ortasını çiz.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Tabanları 30 ve 14, yüksekli i 15 olan ikizkenar yamu un çevresini hesapla.

Düzlemsel geometrik ekillerde Pitagor teoreminin uygulamasını bil;

Bir e kenar dörtgenin (romb’un) kenarı a = 13 cm ve bir kö egeni 10 cm’dir. Di er kö egeni ne kadardır?

Pitagor teoreminden yararlanarak bazı çizim ödevlerinin çözümünü elde et.

Uzunlu u olan do ru parçasının nasıl çizildi ini açıkla.

Ödevler Uzunlu u 7,4 m olan bir merdivenin dibi duvardan 2,4 m uzaklıkta olmak üzere duvara dayalıdır. Bu ekilde merdiven hangi yüksekli e çıkar? (taslak çiz)

Konu 1. Benzerl k

Bir ikizkenar yamu un tabanları a = 42 cm, b = 24 cm ve yan kenarı c = 41 cm oldu una göre; a) yüksekli ini; b) alanını; c) kö egenini hesapla.

Bir e kenar dörtgenin kö egenleri d1 = 40 ve d2 = 50’dir. Onun kenarı a (yakla ık olarak) ne kadardır?

Bir ikizkenar yamu un alanı P = 72 cm2, tabanları ise 20 cm ve 4 cm’dir. Yamu un çevresini hesapla.

Bir deltoidin kenarları 25 cm ve 52 cm’dir, açıortay olamayan kö egeni ise 40 cm’dir. Deltoidin alanını hesapla.

Yarıçapı 3,4 cm olan bir çemberde, merkezinden 1,8 cm uzaklıkta olan bir kiri çizilmi tir. Kiri in uzunlu unu bul.

a ve b verilen do ru parçaları olmak üzere, uzunlu u:

Alanları, verilen iki karenin alanlarının; a) toplamına; b) farkına e it olan kareyi çiz.

Yarıçapı 17 cm olan bir çemberde, kö eleri çemberin üzerinde olmak üzere dikdörtgen çizilmi tir. Dikdörtgenin kenarları 15 : 8 oranında oldu una göre çevresini hesapla.

10. Bir kaynaktan 8 m uzaklıkta bulunan bir a aç üzerinde iki maymun bulunuyor. Maymunlardan biri a acın tepesinde, di eri ise yerden 2 m yüksekliktedir. Susadıkları zaman a acın tepesinde bulunan maymun sıçrayarak do rudan do ruya kayna a inmi , di eri ise a açtan inerek kayna a gelmi tir. Bu durumda her iki maymun aynı yolu geçmi tir. A acın yüksekli i ne kadardır?

a > b , olan do ru parçasını çiz.

Dene... Mecburi de ildir! Birbirine dı tan de en iki çember üçüncü bir çemberin içinde bulunuyorlar. Çemberlerden herbiri di er her ikisine de er ve merkezleri O, O1, O2 ekilde gösterildi i gibi aynı bir AB do rusu üzerinde bulunuyorlar. Küçük çemberlere te et olan büyük çemberin CD kiri inin uzunlu u t verilmi tir (örne in t = 6 cm).

Küçük çemberlerin dı ında bulunan, büyük çember kısmının alanını yani boyalı kısmın alanını hesapla.

Pitagora teoremi

VER LERLE LE M L E R

POPULASYON. ÖRNEKLEME NOKTA 1.

Çikolata fabrikasında, yapılan çikolataların tadına bakan i çi vardır. Onun ödevi çikolataların tadına bakmak ve kalitesini tespit etmektir. Dü ün ve cevapla, bu i çi üretilen her çikolatanın tadına bakmalı mıdır?

Tabii ki hayır. O i çi, tadlarına bakmak için belli bir sayıda çikolata seçer. ncelemesi söz konusu olan tüm bu elemanların, örne imizde çikolataların çoklu una populasyon (örnekleme uzay) denir. ncelemesi yapılacak elemanların seçilen kısmına örnekleme nokta denir. Populasyon ve örnekleme nokta ile ilgili örneklere dikkat et. Populasyon

Örnekleme nokta

Bir okulda I’den VIII. sınıfa kadar ö renciler

Aynı okluda I’den VIII. sınıfa kadar birer sınıf

Fudbol takımları

Her takımdan üçer oyuncu

ngilizce’yi ö renmek için özel okullara giden tüm ö renciler Makedonya Cumhuriyeti’nde VII. sınıfta matematikten notu 5 olan tüm ö renciler

Her yabancı dil özel okulundan birer ö renci Makedonya Cumhuriyeti’nde her okuldan matematikten notu 5 olan birer VII. sınıf ö rencisi

Populasyon ile ilgili üç örnek ve örnekleme nokta ile ilgili üç örnek yaz. Dü ün ve cevapla. Ö rencilerin büyük teneffüs esnasında müzik dinlemeyi tercih edip etmediklerini anlamak için, tüm ö rencilerin sorulması mı gerekir, yoksa her sınıftan birer ö renci seçerek onlara mı sorulmalıdır? Cevabını açıkla. Bir ara tırma, test veya yoklama yapılırken ço u defa bütün populasyona soru turma yapılması mümkün de ildir. Neden? Çünkü bu: - çok pahallı olabilir; - çok zaman gerekebilir; - populasyonun her elemanına ula mak mümkün de ildir (Örne in, Ohri Gölü’nün balık sayısı) . Konu 1. Benzerl k

A a ıdaki ara tırmaların yapılması için, neden tüm populasyonu inceleyecek yerde, örnekleme noktası seçilmelidir? Birer sebep yaz. Nüfusu 50.000 olan bir kentte en çok seyredilen televizyon programı. Bir meyve suyu fabrikasında, meyve suyunun kalitesinin tespiti. Makedonya Cumhuriyeti’nde geçen yıl insan ba ına ortalama kaç kitap okundu. Bütün populasyon hakkında yapılacak ara tırmalar için bir sonuca varmak için seçilecek örnekleme nokta temsil edici (populasyona kar ılıklı) olmalıdır. u örne e dikkat et. Okuluna kaç ö renci gelmek için ehir içi otobüslerinden faydalandı ını anlamak için, Erdal bir otobüs dura ında bir otobüsten inen yolcuları sorarak veriler toplamı tır. Erdal’ın topladı ı veriler do ru de ildir, çünkü seçti i örnekleme noktası temsil edici de ildir. Erdal kendi okulunda ö rencilere sorsaydı, örnekleme noktası do ru olur muydu? Cevabını açıkla. Arzu küçük yaprakları büyüklerinden iki kat daha çok olan bir bitkinin yapraklarının ortalama uzunlu unu anlamak istemi tir. Örnekleme noktası olarak hangi yaprak örnekleri temsil edicidir? a) Yalnız büyük yapraklar; c) E it sayıda küçük ve büyük yapraklar; b) Yalnız küçük yapraklar; ç) Büyük yaprakların sayısı küçüklerin iki katı olsun. Cevabını açıkla! Temsil edici örnekleme noktayı rastgele seçim ya da sistematik yöntemiyle seçebiliriz. Rastgele seçim, populasyonda her nesnenin ya da elemanın aynı seçim ansı vardır, demektir. 30 ö renci olan bir sınıfta rastgele 5 ö renciyi u ekilde seçebiliriz: onların sınıf gündemindeki kayıt numaralarını ka ıtlara yazarak bir kutuya koyarız. Ka ıtları kutuda karı tırarak onlardan 5 tanesini çekeriz. Ya da tesadüf bir sayı seçelim (mesela 7), ondan sonra da o sayıdan her be inci ö renciyi seçelim. 7.

Caner, okulunda ö rencilerin okul forması giymeleri hakkında verileri toplamak için örnekleme nokta seçmelidir. A a ıdaki yöntemlerden neden hiçbiri iyi de ildir? Açıkla. a) okul kapısından ilk giren 20 ö renciyi sorsun; b) kendi sınıfındaki ö rencileri sorsun; c) matematik grubundaki ö rencileri sorsun.

Verilerle i lemler

Caner, örnekleme noktasını nasıl seçmelidir ki, bu seçim temsil edici olsun?

Fark et! Do ru sonuca varmak için, örnekleme noktası rastgele olmalıdır ve her sınıftan ö renci (I. sınıftan VIII. sınıfa kadar) olmalıdır.

Yandaki tabloda Caner, okul formasının istenilip istenilmedi i hakkında yaptı ı ara tırmanın sonucunda topladı ı verileri düzenlemi tir.

Örnekleme nokta

Cevap sayısı Evet

Hayır

Birinci

Caner’in seçti i örnekleme noktasında kaç ö renci vardır?

kinci

Örnekleme noktasındaki ö renci sayısı, populasyondaki sayının %10’u ise okulda toplam kaç ö renci vardır? Okul forması hakkında Caner’in elde etti i sonuç nedir?

Üçüncü

Dördüncü

Be inci

Tablodaki verilerden yararlanarak elde edilebilen daha bir sonucu yaz.

Altıncı

Yedinci

Sekizinci

Örnekleme

Temsilci örnekleme noktasından toplanan verilerden ve cevaplardan elde edilen sonuçlar, bütün populasyon için genelle tirilerek sonuçların elde edilmesine imkan sa lar.

Örne i incele: Toplanan veriler Bir yılda ﬁlm sayısı

Sorulanların cevapları

0 1’ den 4’e kadar 5’ ten 8’ e kadar 9’den 12’e kadar 13 ve daha çok

Konu 1. Benzerl k

Bir yerle im yerinde 15 ya tan büyük 5000 nüfusu varmı . Kaya o ki ilerin yıl boyunca sinemaya kaç defa gittiklerini ö renmek istemi tir. O, örnekleme nokta gibi 50 ki i seçmi ve telefonla veriler toplamı . Elde etti i verileri tabloda seyredilen ﬁlm sayısına göre düzenlemi . Kaya, tabloyu de erlerle (her kategorideki cevap sayısını) tamamlamı . Ondan sonra cevap sayısının yüzdesini toplam 50 ki inin cevabıyla her kategori için hesaplamı .

Yılda ﬁlm sayısı

Sorulanların cevapları

Fonksiyonun de eri

Yüzde

0 1’den 4’ e kadar

Kaya örnekleme noktanın elde etti i yüzdelerini bütün populasyona kullanmı .

5’ten 8’e kadar 9’den 12’e kadar 13 ve daha çok

5 000’in %42’ si 2 100

eder. Örnekleme noktanın %42‘ si sinemaya gitmiyorsa kentte ya ayan ahalinin de %42’sinin sinemaya gitmemi oldu unu tahmin edebiliriz. Bu ise 2 100 ki idir.

Populasyonun kalan kategorileri (sinemada görülen ﬁlm sayısı-yılda) için de genelleme yap. Seyhan, büyük teneffüs esnasında okul avlusuna atılan plastik çöplerle çevrenin ne kadar kirlendi ini ö renmek istemi . Örnekleme nokta olarak okuma yılının bir ayını rastgele seçmi a) Bir günde her cins çöpten ne kadar atıldı ını hesapla. Sayı Çöp cinsi b) E er okuma yılı 180 gün sürerse, a) ıkkındaki cevaplar137 Plastik po et dan yararlanarak okuma yılı esnasında her cins çöpten neYo urt i esi 59 kadar atıldı ını hesaplayarak tahmin et. Meyve suyu i esi

Puding barda ı

Bilmen gerekenler: Populasyon nedir, örnekleme nokta ise nedir? Verilen örneklem, verilen populasyon için temsil olup olmadı ını kavrayasın; Verilen ara tırma için uygun örnekleme noktanın seçimini tayin edilmesi; Örneklemden elde etti in sonucun bütün populasyon için nasıl genelle tirildi ini bilmelisin.

Kendini yokla! Dü ün ve örne in uygun olup olmadı ı cevabını ver: Bir kentin kent içi ula ımı hakkında dü ünce ara tırmasını yapmak için, kent ahalisinin %5’i telefon kitabından rastgele seçilirse, örnekleme nokta iyi seçilmi midir? Cevabını açıkla.

Verilerle i lemler

Ödevler A a ıdaki üç durumda: Örneklemi belirt; Seçilen örnekleme temsil edici midir? Örneklemin belirtilmesi için ba ka bir yöntem teklif et. Yüksel, üniversite ö rencilerinin organizasyonunda çalı an ö rencilerin ne kadar kazandıklarını ö renmek istemi . O, yurt kütüphanesine gidip 40 kız ö renciye sormu . Co rafya dersi için, Erkin’in kendi bahçesinden 5 numune toprak getirmesi gerekir: O bahçenin ortasına durmu ve bir para atarak paranın dü tü ü yerden 5 numune almı .

6. Ara tırma: Ba a rısı için yeni bir ilacın etkisi. Örneklem: Pek sık ba a rısından ikayetçi olan bir doktorun tüm hastaları. 7. Ara tırma: Bir fırının ekmeklerinin kalitesi. Örneklem: Bu fırının ekmeklerinin satıldı ı dükkanda her yirminci mü terinin sorulması. 8. Bir kentte 6.000 aile vardır. Ara tırma için 100 aile seçilmi tir ve onlara ‘’hangi gün pazarlama yapmayı en çok seviyorsunuz’’, sorusunun cevapları a a ıdaki tabloda verilmi tir. Pazarlama için sevilen gün

Canan, Manastır kentinde kadınların erkeklerden daha çok ya adıkları do ru olup olmadı ını ö renmek istemi . O, geçen yılın verilerini statistik kurumundan istemi . A a ıdaki be durumda: Örneklemlerden hangiler populasyon ve ara tırma için temsilcidir? Cevapların her birini açıkla. Ara tırma: yeni kahvenin yapılıp yapılmaması için dü ünce: Örnekleme nokta: pek sık kent kütüphanesine giden ki ilerden rastgele seçim. Ara tırma: ‘’Smoki’’ için paketleme makinesi, her paketi aynı a ırlıkta yapar mı? Örneklem: Seçilen bir günde ilk 50 paket ‘’Smoki’’ alınmı ve a ırlıkları ölçülmü tür.

Konu 1. Benzerl k

Gün

Yüzde

Sıklık

Pazartesi

Salı

Çar amba

Per embe

Cuma

Cumartesi

Pazar

Sevilen günü yok Toplam

8 100

a) Her günün yüzdesini belirt. b) Örneklemin yüzdesinden faydalanarak, bütün populasyonun ailelerin kaçının cuma günü pazarlama yapmayı sevdi ini tahmin et. c) Kentte kaç ailenin pazarlama için sevdi i günü yoktur?

BENZERL K Ç N OKUDUN B LD KLER N KONTROL ET ki kare verilmi tir: birinin kenarı a = 12 cm, di erinin ise b = 8 cm. Onların: a) kenarlarının; b) çevrelerinin; c) alanlarının oranını belirt.

AB do ru parçasının uzunlu u 12 cm’dir. Do ru parçasının S merkez noktası ve aynı do ru parçayı 3 : 5 oranında bölen M noktası arasındaki uzaklı ı bul. Orantıda bilinmeyen terimi hesapla: a) x : 4 = 5 : 2; b) 3 : 2x = 1 : 6; c) 7 : 3 = 14 : (x + 2). Uzunlukları 8 cm ve 18 cm olan do ru parçaların geometrik ortası olan do ru parçasının uzunlu unu bul. Tahminen bir do ru parça çiz ve onu: a) 4; b) 5; c) 7 e it kısıma ayır.

Bir ABC ve AC kenarını M ‘de, BC kenarını ise N’de kesen MN||AB do rusu verilmi tir. a) ‘yi hesapla, e er = 6, =3 ve = 4. b) ’yi hesapla, e er =5:2 ve = 14. SOT açısını çiz. OS kenarı üzerinde = 3 cm ve = 5 cm do ru parçalarını, OT kenarı üzerinde ise = 4,5 cm ve = 7,5 cm do ru parçalarını uygula. Ondan sonra AC ve BD do rularını çiz. a) ekilde çizilen do ruların paralel olup olmadıklarını yokla. b) Verdi in cevabın neden do ru oldu unu açıkla.

Uzunlu u 12 cm olan do ru parçası verilmi tir. Çevresi 12 cm ve kenarları 3 : 5 : 6 olan bir üçgeni çiz. Bir üçgenin iki açısı 40° ve 60°, di erinin iki açısı ise 60° ve 80° olan iki üçgen birbirine benzer midir? Açıkla. Bir elektrik dire inin gölgesi 10 m’dir. Aynı anda 1,5 m yüksek olan bir ki inin gölgesi 1,5m‘dir. Dire in yüksekli ini belirt. ki benzer üçgenin bir çift kar ılıklı kenarları a = 15 dm ve a1 = 6 dm’dir. a kenarına kar ılık gelen yükseklik ise 8 cm’dir. a1 kenarına kar ılık gelen yüksekli i hesapla. ki benzer üçgenin kar ılıklı iki kenarı 7,5 cm ve 10 cm’dir. Büyük üçgenin çevresi 60 cm ve alanı 80 cm2 oldu una göre, küçük üçgenin çevresini ve alanını belirt. Bir dik üçgenin katetlerinin hipotenüz üzerinde izdü ümleri p = 2 ve q = 8 verilmi tir. c, a, b, h belirtilsin. Bir kenarı 300 ve kö egeni 340 olan dikdörtgenin çevresini hesapla. Kenarları verilmi olan üçgen dik midir? a) 32, 24, 40; b) 20, 40, 50; c) 0,7; 2,4; 2,5 ?. Tabanı 28 ve yüksekli i 48 olan ikizkenar üçgenin çevresini hesapla Kö egenleri 9 cm ve 5,6 cm olan e kenar dörtgenin kenarını hesapla. Bildiklerini kontrol et

KONU 2.

L NEER DENKLEMLER, E TS ZL KLER VE L NEER FONKS YON

L NEER DENKLEMLER 1. E itlik, denklem, özde lik 2. Denklem çe itleri 3. Denklemin çözümü. Denk denklemler 4. Denk denklemlere ait teoremler – 1 5. Denk denklemlere ait teoremler – 2 6. Bir bilinmeyenli lineer denklemin genel ekli 7. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin uygulanması B R B L NMEYENL L NEER E TS ZL KLER 8. E itsizlik kavramı 9. E itsizli in çözümü. Aralıklar 10. Denk e itsizlikler teoremi 11. Bir bilinmeyenli lineer e itsizliklerin çözümü

56 59 62 66 70 74 78

83 87 92 98

B R B L NMEYENL L NEER E TS ZL KLER S STEM 12. Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemlerinin çözümü L NEER FONKS YONLAR 13. Lineer fonksiyon 14. Lineer fonksiyonun graﬁksel gösteri i 15. Bazı lineer fonksiyonlar arasındaki durumlar 16. Lineer fonksiyonun artması ve eksilmesi 17. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerin graﬁksel çözümü 18. Rastgele olay. Olayın olasıllı ı Bildiklerini kontrol et

100 104 107 111 114 117 120 125

L NEER DENKLEMLER E TL K, DENKLEM, ÖZDE L K Anımsa!

u e itlikler verilmi tir: a) 3 · 2 – 11 = 2 – 7; b) 3x – 1 = 2x + 5; c) x + 2y= 8; ç) 15 – 6 : 2 = 4 · 2 – 5; d) 3 · 4 + 2 = 12.

‘’ = ‘’ (e it) i aretiyle ba lı olan iki ifade bir e itlik meydana getiriyorlar. 8 + 5 = 5 + 8; 7 + 5 · 2 = 7 + 10; 2x – 3 = x + 1; x2 – y2 = ( x – y)(x + y). A a ıdakileri ifade eden e itli i yaz: a) Q kümesinde toplama i leminin de i me özelli i; b) Q kümesinde çarpma i leminin toplama i lemine göre da ılma özelli i; 4x2 – 4x sol, x – 6 ise sa taraf olmak üzere bir e itlik yaz.

Verilen e itliklerden hangisinin sol ve sa taraf sayı ifadelerdir. Verilen e itliklerden hangisinde sol ve sa taraf ya da taraﬂardan biri de i kenli ifadedir?

ncele ve unutma a) ve d) e itliklerinde sol ve sa taraflar sayı ifadelerdir. Sol ve sa tarafları sayı ifadesi olan e itliklere sayı e itlikleri denir. b) ve c) e itliklerinde sol ve sa taraflar ya da taraflardan biri de i kenli ifadedir. Sol ve sa taraflar ya da taraflardan biri de i kenli ifadede oldu u durumda, ifadeye de i kenli e itlik (denklem) denir. De i kenlerin aldı ı de erler R kümesi ya da onun herhangi bir altkümesi olabilir. Sayı e itli inde sol taraftaki ifadenin de eri, sa taraftaki ifadenin de eriyle e it ise, ona do ru e itlik denir. a) , ç) ve d) e itliklerinden hangisi do rudur? Sol tarafı : a) 3 + 2 · 7;

b) 5 – ( 9 + 2); olan do ru sayı e itli i yaz.

u e itliklerden hangisi de i kenli e itliklerdir: a) 7 – 10 : 2 = 4 · 3 – 10; b) 3x + 2 – x = 8; c) 3x – 5 = x + 3; ç) 5 · 2 + 1 = 9 : 3 + 8. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

De i kenlerin aldıkları de erler kümesine tanım kümesi denir ve D ile i aret edilir. Bir de i kenli e itli i, genel olarak A(x) = B(x), x ‫ א‬D ile i aret edece iz; burada A(x) ve B(x), D kümesinde tanımlı x de i kenli ifadelerdir. lerde, tanım kümesi verilmi olmadı ı durumda, tanım kümesi R reel sayılar kümesi oldu unu sayaca ız. u de i kenli e itlikler verilmi tir: a) 3x – 7 = x + 1, x ‫ א‬N ; b) x + y = 2 + 3y; c) 5x – 2 = x - 6, x ‫ א‬Z; ç) x2 – 4x = x – 5. Her e itlikte de i kenleri ve tanım kümesini adlandırınız. Verilen e itliklerden hangilerinde tanım kümesi R oldu unu anlıyoruz?

Unutma De i kenli e itliklere denklemler denir. Denklemdeki de i kenlere bilinmeyenler denir. Verilen e itliklerden hangileri denklemlerdir? Onların bilinmeyenlerini belirtiniz; a) 4 · 5 – 11 = 3 · 3; b) x – y = 5; c) 3x – 8 = x + 2; ç) 12 : 2 = 2 · 3 – 1. Her birinin tanım kümesi D = { -2, -1, 0, 1, 2, 3} olan 2x – 3 = x – 1, x2 + 3 = 4x, 3(x + 2) = 3x + 6 ve x + 4 = x – 3 denklemleri verilmi tir. x de i keninin tablodaki hangi de eri için denklem, do ru sayı H H H H H D e itli ine dönü ebilir. ncele. D H D H H H Her denklem için x bilinmeyeD D D D D D ninin verilen üç de eri için tabH H H H H H lo do ru doldurulmu mudur? Yokla. D- do ru ; H – hayır. Tablodan unları fark edebilirsin: 2x – 3 = x – 1 e itli i x = 2 için do ru sayı e itli ine dönü ür. x2 + 3 = 4x e itli i x =1 ve x = 3 için do ru sayı e itli ine dönü ür. 3(x + 2) = 3x + 6 e itli i x bilinmeyeninin D’deki her de eri için do ru sayı e itli ine dönü ür. x + 4 = x - 3 e itli i x bilinmeyeninin D’deki her de eri için do ru sayı e itli ine dönü mez. Lineer denklemler

Unutma! x ‫ א‬D’nin her de eri için do ru sayı e itli ine dönü en denkleme özde lik denir. Tanım kümesinin her de eri için do ru sayı e itli i olmayan denklemlere imkansız denklemler ya da çeli ki denir. Hangi özellik gere ince 3(x + 2) = 3x + 6, x ‫ א‬R denklemi, özde lik oldu unu diyebiliriz? u denklemlerden hangileri özde liktir:

a) x + 5 = 5 + x, x ‫ א‬R; b) ( x – 1)(x + 1) = x2 – 1, x ‫ א‬Z ; c) 2x – 3 = x – 1? u denklemlerden hangilerinin çeli ki oldu unu belirt; a) 2x – 1 = x + 2; b) 3 – x = 5 – x; c)

Bilmen gerekenler: Kendini yokla:

Denklem ve tanım kümesinin tanımını yapasın;

5x – 3 = x + 2, x Z ?

Özde li in tanımını yapasın; Hangi özellik gere ince x + 8 = 8 + x denklemi bir özde lik oldu unu.

Çeli ki olan denklemin tanımını yapasın.

Ödevler u e itliklerden hangilerinin do ru oldu unu tespit et: a) 3 + 2 4 = 20 : 5 + 7; b) 3x + 1 = 2x – 1, x = 2; c) x – 3 = 2x + 1 , x = -4.

Tanım kümesi D = { -1, 0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x ve 5(x – 1 ) = 5x – 5, denklemlerinden herhangi birinin, özde lik olup olmadı ını yokla.

Verilen denklemlerden hangilerinin çeli ki oldu unu yokla: a) 2x – 3 = 2x + 5, x ‫ { א‬0, 1, 2, 3 }; b) x2 -1 = x2 + 4, x ‫ { א‬-1, 0, 1, 2,}; c) 3x – 4 = x + 2, x ‫ { א‬2, 3, 4, 5 }.

a’nın de erini o ekilde belirt ki, x = 3 için ax – 2 = 2x + 1 denklemi do ru sayı e itli ine dönü sün.

u e itliklerden hangileri denklemdir: a) 15 · 1 – 4 = 8 + 3; b) 4x – 5 = 3x – 2; c) x2 -3 = 4x. x ‫ { א‬-2, -1, 0, 1, 2,} olmak üzere, x’in hangi de eri için 2x – 3 = x -1 do ru sayı e itli ine dönü ür?

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

DENKLEM ÇE TLER Anımsa!

u denklemler verilmi tir:

3x – 2 = 2x + 1; 3x – y = y + 2; 5x - 2y = 3z – 4.

Denklemin ne oldu unu okudun. Örne in, a a ıdakiler denklemlerdir:

3x – 2 = x + 4;

x + 2y + 1 = x + y; Her birinde bilinmeyenlerin sayısını belirt.

x + 2y – z = 4. Herbirinde bilinmeyenleri adlandır.

unları fark edebilirsin: 3x – 2 = 2x + 1 denkleminin yalnız bir x bilinmeyeni vardır. 3x – y = y + 2 denkleminin x ve y gibi iki bilinmeyeni vardır. 5x - 2y = 3z – 4 denkleminin x , y ve z gibi üç bilinmeyeni vardır. Bazı denklemlerin bir, bazılarının iki, bazılarının ise üç vb. bilinmeyeni oldu unu fark ettin. Bilinmeyenlerin sayısına göre, denklemler bir bilinmeyenli, iki bilinmeyenli, üç bilinmeyenli vb. olabilir. u denklemlerden herbiri kaç bilinmeyenlidir: 2x – 3y = 5 – 2x; 3x – 7 + 2x = 1 + x+ 3x? Bilinmeyenleri x ve y olan bir denklem yaz.

Anımsa!

Verilen denklemlerden hangisinin sol ve sa tarafındaki her monomun derecesi en yüksektir: a) 2x + 3 = 5x – 2; b) x2 – 2x = 5x + 8; c) 2x3 – x2 = 5 + x.

Bir polinomda, de i kenlerin en yüksek derecesine polinomun derecesi denir. Verilen her polinomun derecesini belirt: b) x3 + x2y2 – x2. a) x2 – 2x + 3;

2x + 3 = 5x – 2 denklemi 2x , 3 , 5x , -2 monomlarından meydana gelmi tir. Onlara denklemin terimleri denir. Tabloda en yüksek dereceli terimleri fark et.

Denklem

En yüksek dereceli terim

Terimin derecesi

2x + 3 = 5x – 2

2x ve 5x

Birinci derece

x2 – 2x = 5x + 8

kinci derece

2x3 – x2 = 5 + x

2x3

Üçüncü derece

Lineer denklemler

Bazı denklemlerde bilinmeyeni içeren terimler birinci derece, bazılarında ise bilinmeyeni ikinci derece olan en az bir terim, bazılarında bilinmeyeni üçüncü derece olan en az bir terim fark ediyorsun.

Unutma! Bilinmeyenin en yüksek derecesine göre, denklemler birinci derece ya da lineer denklemler, ikinci derece denklemler, üçüncü derece denklemler vb. diye adlandırılır.

Verilen her denklemin dercesini belirt: 2x + y – 7 = 5;

x3 – 2x2 = 5x + 8;

x2 + 7 = 2x;

x2y – 3x = 5y – 2.

6. u denklemler verilmi tir: a) 2x – 1 = 3; b) 3x + 5y = 4;

c) 3x2 -1 = 6x;

ç) 8x – 3 = x + 2.

Onlardan hangilerinin bir bilinmeyenli ve birinci derece oldu unu belirt. 2x – 1 = 3, ve 8x – 3 = x + 2 denklemlerinin bir bilinmeyenli birinci derece oldu unu gördün. Genel olarak, bir bilinmeyenli birinci derece olan denklemlere bir bilinmeyenli lineer denklemler denir. Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir? a) 5x2 – 2 = 3x; b) 2x – 3 = 5 – x; c) 5x + y = 7 ? Bir bilinmeyenli lineer denklemler verilmi tir: a) 8 – 2x = x +

b) ax + 5 = x; c) ax + b = 0;

ç) x – 1 = 3x.

a) ve ç) ıklarındaki denklemler b) ve c) ıklarındaki denklemlerden ne ile farklanıyorlar? Fark etti in gibi bilinmeyeni göz önüne almazsak a) ve ç) ıklarındaki denklemlerde tüm terimler reel sayılardır, b) ve c) ıklarındaki denklemlerde ise genel (soyut) sayılar yani harﬂer vardır ki bunlar belli sayıları de i tiriyorlar. Genel olarak, bir denklemin terimlerinde genel sayılar (parametreler) varsa , onlara parametreli denklemler denir.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Bilinmeyeni x olan u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir: a) ax + 2 = 5x;

+ 3 = 0;

c) x – 6 = p?

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Denklemleri fark etmeli ve adlandırasın; Verilen 5x – xy = 2x – 3 denklem hangi cinstendir: Bilinmeyenlerin sayısına göre;

Bilinmeyenlerin sayısına göre; Bilinmeyenlerin derecesine göre;

Derecesine göre?

Parametreli ya da parametresiz bir bilinmeyenli lineer denklemi tanı.

Ödevler 1. Verilen denklemlerden herbirinin kaç bilinmeyenli oldu unu belirt:

u denklemlerden hangisi lineer denklemdir?

a) x + y + z = 2x + 8;

a) x + 2y = 7 + 2x;

b) 3x – 15 = 7 – 2x;

b) xy2 + y = 3 + 5x;

c) 10xy – 12y = 10 + x.

c) 3x – 1 = x + 5.

2. Verilen denklemlerden herbirinin hangi derece oldu unu belirt:

Verilen denklemlerden hangisi bir bilinmeyenli lineer denklemdir?

a) x3 + x2 = 5 – x;

a) 2x – 1 + y = 5x + 3;

b) 3xy – 5 = 2x + y;

b) x2 – 2x + 1 = 0;

c) x + 3 = 3x – 5.

c) 3x – 2 = 5 + x; ç) 3x – 7 + 2x = 11 – x.

3. x ya da y de i kenli u denklemlerden hangileri parametreli denklemlerdir: a) ax + 2y = 5 – x; c) ax + c = by + 3;

b) 3x2 + 1 = 2x; ç) 5x – 7 = 2x – 5?

Lineer denklemler

DENKLEM N ÇÖZÜMÜ. DENK DENKLEMLER Anımsa! De i kenli bir ifadede, de i ken belli bir sayıyla de i tirildi inde, sayı ifadesi elde edilir. x = 2 için, x2 + 2x – 1 de i kenli ifadesini sayı ifadesine dönü tür. a = -3 için a2 -2a + 5 ifadesinin sayı de erini hesapla.

Tanım kümesi D = { -3, -2, 2, 3} olan 3x – 2 = 2x + 1 denklemi verilmi tir. Her x ‫ א‬D için, e itli i sayı e itli ine dönü tür. Hangi x ‫ א‬D de eri için, denklem do ru sayı e itli ine dönü ür?

Elde etti in çözümü tablodaki verilerle kar ıla tır. Denklem

Sayı e itli i

Do ru –D Yanlı - Y Y Y Y D

Tablodan görüldü ü gibi 3x – 2 = 2x + 1 denklemi yalnız x = 3 için do ru sayı e itli ine dönü ür, yani sa ve sol taraﬂarın e it sayı de erleri olur.

Unutma! Denklemin do ru sayı e itli ine dönü tü ü bilinmeyenin her de erine, denklemin çözümü ya da kökü denir. x ‫ { א‬3, 5, 7} olmak üzere 12 – 2x = x – 3 denkleminin tüm çözümlerini bul. x ‫ { א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere x2 + 6 = 5x, denkleminin tüm çözümlerini bul. 2 ve 3 ödevlerinde görüldü ü gibi 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözümü 5, x2 + 6 = 5x denkleminin çözümü ise 2 ve 3’tür.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

ncele ve unutma! Bir denklemi çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak demektir. Bir denklemin tüm çözümlerinin olu turdu u kümeye, denklemin çözüm kümesi denir. Bir denklemin çözüm kümesi genellikle M ile i aret edilir. Örne in, 12 – 2x = x – 3 denkleminin çözüm kümesi x ‫ { א‬3, 5, 7} için M = {5}'dir. x2 + 6 = 5x denkleminin çözüm kümesi x ‫ { א‬0, 1, 2, 3 } için M = {2, 3}’tür. x ‫ { א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere verilen denklemin çözüm kümesini belirt: a) 4x – 1 = x + 5; b) x2 + 3 = 4x. D = { -2, -1, 0, 1, 2 } oldu una göre 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kümesini belirt. Verilen tabloda 3(x – 2) = 3x – 6 denkleminin çözüm kümesini incele. x Sayı e itli i Do ru – D Yanlı - Y

-2

-1

3(-2 -2) = 3(-2) -6

3(-1 -2) = 3(-1) -6

3(0-2) = 3(0)-6 3(1 -2) =3(1) -6 3(2 -2) = 3·2 -6

Fark etti in gibi her x ‫ א‬D için verilen denklem do ru sayı e itli ine dönü ür.

Bu e itli e özde lik denir.

Genel olarak, D tanım kümesinin her de eri için denklem do ru sayı e itli ine dönü en denkleme özde lik denir, yani M = D’ dir. 2x – 2 = 2(x – 1) denklemi x ‫ { א‬0, 1, 2, 3 } için özde lik olup olmadı ını yokla. x + 5 = x – 4 ve D = { -2, -1, 0, 1, 2 } denklemi verilmi tir. x ‫ א‬D’nin hangi de eri için, bu denklem do ru sayı e itli ine dönü ür? Nasıl sonuca varıyorsun? Elde etti in çözümü tablodakilerle kar ıla tır. x

-2

Sayı e itli i

-2 + 5 = -2 - 4

Do ru – D Yanlı - Y

-1 -1 + 5 = -1 - 4 Y

0+5=0-4 1+5=1-4 2+5=2-4 Y

Lineer denklemler

Demek ki, x + 5 = x â&#x20AC;&#x201C; 4 denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂź olacak x â&#x20AC;Ť ×?â&#x20AC;ŹD sayÄąsÄą yoktur, yani M = Ă&#x2DC; dir. Genel olarak, Ă§ĂśzĂźm kĂźmesi bo kĂźme olan denkleme imkansÄąz denklem ya da Ă§eli ki denir. u denklemlerden hangileri D = { 1, 2, 3, 4 } tanÄąm kĂźmesinde imkansÄązdÄąr: a) x + 3 = 7 + x; b) 2x + 1 = 7; c) 3 + 2x = 2x â&#x20AC;&#x201C; 5; Ă§) 3x â&#x20AC;&#x201C; 1 = 2x + 1? x + 7 = 4 denkleminin a) N ; b) Q kĂźmesinde Ă§ĂśzĂźmĂź olup olmadÄą ÄąnÄą yokla. N kĂźmesinde 7 sayÄąsÄąyla toplamÄą 4 olan bir sayÄą var mÄądÄąr? Q kĂźmesinde ise bĂśyle sayÄą var mÄądÄąr? N kĂźmesinde 7 sayÄąsÄąyla toplamÄą 4 olan bir sayÄą yoktur, yani x + 7 = 4 denkleminin N kĂźmesinde Ă§ĂśzĂźmĂź yoktur. Q kĂźmesinde ise x + 7 = 4 denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂź x = - 3â&#x20AC;&#x2122;tĂźr. Ă&#x2021;ĂźnkĂź -3 + 7 = 4 do ru e itliktir.

Unutma Bir kĂźmede Ă§ĂśzĂźmĂź olan, ba ka bir kĂźmede ise Ă§ĂśzĂźmĂź olmayan yani imkansÄąz olan denklemler vardÄąr.

Herbirinin tanÄąm kĂźmesi D = {0, 1, 2, 3} olmak Ăźzere verilen denklemlerin Ă§ĂśzĂźm kĂźmesini belirt: 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = x + 1; x2 + 2 = 3x ve 4x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 2x + 1

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź tablodaki verilerle kar Äąla tÄąr. xâ&#x20AC;&#x2122;in hangi de erleri denklemlerin Ă§ĂśzĂźmĂź oldu unu incele. x

2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = x + 1

2Âˇ0 â&#x20AC;&#x201C; 1 0 + 1

2Âˇ1â&#x20AC;&#x201C; 1 1 + 1

2Âˇ2 â&#x20AC;&#x201C; 1 2+ 1

2Âˇ3 â&#x20AC;&#x201C;1 3 + 1

x2 + 2 = 3x

02 + 2 3 Âˇ 0

12+ 2 3 Âˇ 1

2 2+ 2 3 Âˇ 2

32+ 2 3 Âˇ 3

4 Âˇ1 â&#x20AC;&#x201C;3 2Âˇ1 +1

4 Âˇ2 â&#x20AC;&#x201C;3 2Âˇ2 +1

4 Âˇ3â&#x20AC;&#x201C;3 2Âˇ3+1

Denklem

4x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 2x + 1 4 Âˇ 0 â&#x20AC;&#x201C; 3 2Âˇ0 + 1

Verilen denklemlerden hangilerinin Ă§ĂśzĂźm kĂźmeleri aynÄądÄąr?

2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = x + 1 denkleminin Ă§ĂśzĂźm kĂźmesi {2}, x2 + 2 = 3x denkleminin {1,2} ve 4x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 2x + 1 denkleminin Ă§ĂśzĂźm kĂźmesi {2}â&#x20AC;&#x2122;dir. Demek ki , 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = x + 1 ve 4x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 2x + 1 denklemlerinin Ă§ĂśzĂźm kĂźmeleri aynÄądÄąr.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Aynı tanım kümesinde çözüm kümeleri aynı olan iki denkleme denk denklemler denir.

A = { 0, 1, 2, 3 } kümesinde tanımlı olan u denklemlerden hangileri denktir: a) 3x – 1 = x + 1; b) x2 – 2 = x; c) (x – 1)(x – 2) = 0; ç) 4x – 2 = x + 1

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Verilen bir sayı, verilen denklemin çözümü olup olmadı ını kontrol et;

x + 1 = 3x – 1 ve x + 5 = 3x + 1 denklemleri verilmi tir.

Hangi denklemler denk denklemler odu unu tespit edesin.

Bu denklemlerden herhangi biri A = {1, 2, 3, 4 } kümesinde 3x + 2 = 4x denklemiyle denk olup olmadı ını yokla.

Ödevler u iddialardan hangileri do rudur: a) -2 sayısı 3x – 1 = x + 2 denklemin çözümüdür. b) 4 sayısı 2y – 1 + y + 3 denklemin çözümüdür. c) 0 sayısı 2x – 3 = x – 3 denklemin çözümüdür.

a parametresinin hangi de eri için 3 sayısı 2x – 1 = a, denkleminin çözümüdür? Verilen denklemlerin A = { 2, 3, 4 } tanım kümesinde çözüm kümelerini belirt. a) 4x – 1 = 3x + 1; c) 2 – 3 = x + 1.

b) x + 3 = 2x;

(x – 1)(x – 2) = 0 , x ‫{ א‬0, 1, 2, 3}, denkleminin çözüm kümesi {1, 2}’ dir. u denklemlerden a) 3x – 2 = 2x – 1;

b) x2 + 1 + 3x – 1;

c) 2x + 1 = 3x – 1, hangisi verilen denklemle denktir?

u denklemlerden hangisi Z kümesinde imkansızdır; a) 2x + 7 = 3;

b) x + 5 = x – 2;

c) x – 4 = -x. u denklemlerden hangisi, N kümesinde imkansız, Z kümesinde ise çözümü vardır? a) x + 5 = 2;

b) 2x – 1 = 3;

c) 8 – x = 9?

Lineer denklemler

DENKLEMLER N DENKL K TEOREMLER – 1 Anımsa! ki denklemin çözümler kümesi aynı oldu u durumda onlar denk denklemlerdir. D = {1, 2, 3, 4} tanım kümesinde verilen denklemler denk midir? 2x – 1 = x + 2 ve x + 4 = 2x + 1.

Çözümü 3 sayısı, yani M = {3} olan 3x – 1 = x + 5 , x ‫{ א‬1, 2, 3, 4} = D, denklem verilmi tir. Denklemin sa ve sol tarafına a) 4; b) -2; c) 2x kat. Elde edilen denklemlerin verilenle denk olup olmadı ını yokla.

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Denklem

x = 3 için sayı e itli i

Denklemin çözümü

3x - 1 = x + 5

3·3 – 1 = 3 + 5; 8 = 8

3 sayısı

3x – 1 + 4 = x + 5 +4

3·3 – 1 + 4=3 + 5 + 4;12=12

3 sayısı

3x – 1 - 2 = x + 5 - 2

3·3 – 1 - 2=3 + 5 – 2; 6 = 6

3 sayısı

3x – 1 + 2x =x + 5 +2x

3·3 – 1 +2·3 =3 + 5 + 2·3;14=14

3 sayısı

a), b) ve c) ıklarındaki denklemlerin 3 sayısından ba ka çözümü olmadı ını tespit et.

Tablodan görüldü ü gibi 3x – 1 = x + 5 denkleminin her iki tarafına (4 ya da – 2) de i kenli ifade (2x) katmakla verilene denk olan denklem elde edilir. Bu özellik genel olarak tüm denklemlere geçerlidir. Denklemin her iki tarafına aynı sayı veya ifade katma teoremi diye adlandırarak u ekilde ifade edebiliriz.

Teorem 1 A(x) = B(x) denkleminin sol ve sa tarafına c ‫ א‬R sayısı ya da tanım kümesinde her x için belli olan C(x) de i kenli ifadesi katılıyorsa, verilene denk olan denklem elde edilir.

i aretini ‘’denktir’ diye okuyoruz.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Mecburi de ildir.... Teoremin ispatını incele. Tanım kümesi D olan A(x) = B(x) denklemi ve her x için belli olan C(x) ifadesi verilmi olsun. unu ispatlamalıyız: Bu teoremi ispatlamak için A(x) = B(x) ve A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denklemlerinin çözüm kümelerinin aynı oldu unu ispatlamak gerekir, yani a) A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x)’inde çözümü oldu unu ve b) A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür. a) x0 ‫ א‬D, A(x) = B(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x0) = B(x0) do ru sayı e itli idir. C( x0) reel sayı oldu una göre A(x0) + C( x0) = B (x0) + C( x0) do ru sayı e itli idir (Neden?). Buna göre x0 sayısı A(x) + C( x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümüdür, yani A(x) = B(x) denkleminin her çözümü A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin de çözümüdür. b) x1 ‫ א‬D sayısı A(x) + C(x) = B(x) + C(x) denkleminin çözümü olsun, yani A(x) + C(x) = B(x) + C (x) do ru sayı e itli idir. E itli in her iki tarafına C(x1) ifadesinin tersini katarsan A(x1) = B(x1) do ru sayı e itli ini elde edeceksin. Buna göre x1 sayısı A(x) = B(x) denkleminin de çözümüdür, yani A(x) + C( x) = B(x) + C( x) denkleminin her çözümü A(x) = B(x) çözümüdür. T1 gere ince, verilen denklemlerin denk olup olmadı ını yokla: a) 3x + 1 = 5x – 3 ve 3x + 1 + 7 = 5x – 3 + 7; b) 5y – 2 = 3y + 4 ve 5y – 2 - 5 = 3y + 4 + 5; c) 4x – 1 = 3x – 2 ve 4x + 5x – 1 = 3x + 5x – 2. Teorem T1’in uygulanmasıyla denklemlere denk dönü ümler uygulayabilirsin, yani bir denklemi kendine denk olan denklemlere dönü türebilirsin.

3x – 5 = 2x + 1 denklemi verilmi tir. Denklemin her iki tarafına 5 – 2x ifadesini kat. Denklemin her iki tarafındaki ifadeleri normal ekile getir. 2x ve -5 ile ne oldu unu fark et. Ters sayıların yani ters monomların toplamı neye e ittir?

Ters sayıların, aynı zamanda ters monomların toplamı sıfırdır.

Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır.

Lineer denklemler

T1 gere ince, dönü ümler yaparak 3x – 5 = 2x + 1 denklemi kendine denk olan x = 6 denklemine dönü ür. x = 6 e itli inden verilen denklemin çözümü okunabilir. Çözümü okunabilen x = a (a ‫ א‬R) denklemine çözülmü biçimde denklem denir. Fark etti in gibi, 3x – 2x = 1+ 5 denkleminde 2x monomu, denklemin sa tarafından ters i aretle, yani (-2x ) olarak denklemin sol tarafına geçmi tir. -5 sayısı ise sol taraftan ters i aretle, yani (+5) olarak sa tarafa geçmi tir. 3x – 5 = 2x + 1 ve 3x – 2x = 1+ 5 denk denklemler için elde ettikleriniz, genel olarak tüm denklemlerde geçerlidir ve T1 teoreminin sonucu olarak tanınır: Denklemin her terimi ters i aretle bir taraftan di er tarafa geçebilir. S1 4x – 1 + x = 7 + 3x – 2 denkleminde bilinmeyeni kapsayan terimleri denklemin sol tarafına, bilinen terimleri denklemin sa tarafına alınız. Verilen denklemlerden hangileri denktir: a) x + 3 = 2x – 1 ve x – 2x = -1 -3;

b) 2x + 5 = 4x + 1 ve 2x – 4x = 1 – 5;

c) 3x + 1 =2x + 3 ve 3x + 2x = 3 + 1? 4x – 8 = 3x – 10 denklemini çöz ve ondan sonra çözümü yokla. Denklemi çözerken ba langıcta nasıl hareket edeceksin?

Önce teorem 1’in sonuç 1’ni uygulayaca ım.

Elde etti in çözümü, verilenle kar ıla tır. 4x – 8 = 3x – 10 ֞ 4x – 3x = -10 + 8 ֞ x = -2; M = { -2 }. Yoklama: 4 ·(-2) – 8 = 3 · (-2) -10; -8 -8 = -6 -10; -16 = -16 Verilen denklemi çöz:

4x – 1 + 2x – 2 = 2x – 1 + 3x – 5 denklemi verilmi tir. Denklemin sol ve sa tarafında e it terimlerin olup olmadı ını incele. Sol ve sa tarafında olan e it terimleri sil. Elde edilen denklemin verilenle denk olup olmadı ını yokla. Çözümünü verilenle kar ıla tır. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde edilen denklem

Fark etti in gibi, bir denklemin iki tarafında e it terimler varsa (2x ve -1) onları silebiliriz ve bu durumda verilene denk olan denklem elde edebiliriz. Yukarıda fark ettiklerin, tüm denklemlerde geçerlidir ve teorem 1’in ikinci sonucu olarak tanınır. Bunu u ekilde ifade edebiliriz:

Bir denklemin farklı taraﬂarında e it terimler varsa, onları silebiliriz (yok edebiliriz).

Elde edilecek denklemin verilenle denk olması için 3x – 2 + 4x + 3 = 3 + 2x + 4x denkleminde mümkün olan terimleri sil.

Bilmen gerekeler: Kendini yokla! Denk denklemlere ait teorem 1’in ifade etmeni bilmelisin; Teorem 1’in birinci sonucunun ifade edili ini ve onun ödevlerde uygulaması bilmelisin;

7x – 3 + 5x = 5 + 2x – 3 denkleminde bilinmeyen içeren terimleri sol tarafa, di er terimleri ise denklemin sa tarafına grupla tır.

Teorem 1’in ikinci sonucunun ifade edili ini ve onun ödevlerde uygulamasını bilmelisin.

Denk dönü ümler yaparak

Ödevler 2x – 3 = x + 1 denklemi verilmi tir. Onun her iki tarafına 3x kat. Elde edilen deklemin verilenle denk olup olmadı ını yokla.

oldu unu göster. Verilen denkli in do ru olması için m belirtilsin: Verilen denklemlerin denk olup olmadı ını yokla: ve ve ve

Denkli i açıkla: 2x - 5 - 3x - 4 = 4 - 3x - 5 denkleminde mümkün oldu u kadar terimleri sil ve elde edece in denklemin verilenle denk olmasını sa la.

Cevabını açıkla Denklemi çöz:

Denk dönü ümler yaparak unu göster Lineer denklemler

DENK DENKLEMLERE A T TEOREMLER – 2 Anımsa!

2x – 3 = x - 1 denklemi veriliyor. Verilen denklemi çöz.

Verilen bir çarpımda, bilinmeyen çarpanı belirtmek için, çarpım bilinen çarpanla bölünür. Denklemleri çöz:

Verilen denklemin her iki tarafını : a) 2 ; b) -4 ile çarp. Elde edilen denklemler verilen denklemle denk midir? Yokla.

3 c) _ = 3x 4

Verilen denklemin, elde edilen denklemle denk olup olmadı ını nasıl yoklayacaksın?

EKOK(4, 5, 10) belirtilsin. Hesapla:

Denklemleri T1’in sonuç 1’i gere ince çözdükten sonra, onların çözümlerini kar ıla tıraca ım. Elde edilen çözümü verilenle karıla tır.

Elde edilen denklem

Elde edilen denklem a

Elde edilen denklem b

Verilen denklemin ve elde edilen denklemin çözüm kümelerinin aynı oldu unu fark edebilirsin. 2x – 3 = x – 1 denkle- Denklemin her iki tarafını 2 ve -4 ile çarptım minde nasıl dönü ümler ve verilen denklemlere denk olan denklemyaptın ve nasıl denklemler elde ettim. ler elde ettin? Bu özellik genel olarak her denklemde geçerlidir. Buna göre, denklemleri sıfırdan farklı bir sayıyla çarpma ya da bölme teoremini ifade edebiliriz. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Teorem 2 A(x) = B(x) denkleminin her iki tarafÄąnÄą aynÄą bir a 0 sayÄąsÄąyla Ă§arpar veya bĂślersek, verilene denk olan denklem elde edilecektir.

T2 yardÄąmÄąyla verilen denklemlerin denk olduklarÄąnÄą gĂśster: ve

ve Denklemleri Ă§Ăśz:

a) ÄąkkÄąndaki yĂśntemi incele T1 P1 gere ince T2 gere ince

5x â&#x20AC;&#x201C; 2 = 3x + 4 denklemi verilmi tir. Denklemi Ă§Ăśz. Denklemin her iki tarafÄąnÄą -1 ile Ă§arp. Neden elde edilen denklem, verilen denklemle denktir? Elde edilen denklem x = -3 ile denk oldu unu gĂśster. Elde etti in ve verilen denklem arasÄąndaki ba ÄąntÄąyÄą incele Verilen denklem T2 Elde edilen denklem

5x â&#x20AC;&#x201C; 2 = 3x + 4 denklemin her iki tarafÄąnÄą -1 ile Ă§arptÄąn. Elde etti in -5x + 2 = -3x â&#x20AC;&#x201C; 4 denklemde ne fark ettin?

Elde edilen denklem T2 gere ince verilene denktir Verilen ve elde edilen denklemlerin terimleri ters i aretlidir.

Lineer denklemler

Bu özellik her denklem için geçerlidir. Buna göre, T2’nin u sonucunu ifade edebiliriz. Bir denklemin tüm terimleri – 1 ile çarpılırsa, verilene denk olan denklem elde edilir,yani bir denklemin tüm terimleri, kendilerine ters olan terimlerle de i tirilirse, verilene denk olan denklem elde edilir.

Denklemleri çöz: a) 2x – 1 = 3x – 5;

b) 4x + 2 = 5x – 1 ;

a) ıkkındaki elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

denklemini paydasız olan denkleme dönü tür. EKOK(2, 4, 3) ne kadardır? Denklemdeki paydalardan nasıl kurtulacaksın?

EKOK(2, 4, 3) = 12 denklemin her iki tarafını 12 ile çarparak paydasız denklem elde edilir.

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. EKOK(2,3,4) = 2 2 3 = 12 Denklemin her iki tarafı EKOK(2, 4, 3) yani 12 ile çarpılır. Paydaları 12 ile kısaltma Parantezlerden kurtulma denkleminin x = - 3 ile denk oldu unu göster. Gördü ün gibi

denkleminin her terimi paydaların en küçük ortak ka-

tıyla çarpılırsa, paydasız denklem elde edilir. 6x – 6 + 9x + 3 = 4x – 36 denklemi, verilene denktir. denklemi için fark etti in, genel olarak tüm denklemler için geçerlidir. Buna göre, Teorem 2’nin u S2 sonucunu ifade edebiliriz..

Bir denklemin bazı terimlerinin paydaları varsa, paydalardan kurtulmak için, denklemin tüm terimleri paydaların en küçük ortak katıyla çarpılır.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

denkleminde paydalardan kurtul, ondan sonra çöz.

Bilmen gerekenler: Denk denklemlere ait teorem 2’yi ifade edesin;

Kendini yokla! Denklemi çöz:

Teorem 2’den sonuçları ifade edesin; Teorem 2’den sonuçları ödevlerin çözümü için uygulayasın.

denkleminde

pay-

dalardan kurtul. Bu denklemin x = 5 denklemiyle denk oldu unu göster.

Ödevler 3 – x = 7 – 3x denklemin iki tarafını -2 ile çarp.

Verilen denklemlerde paydalardan kurtul.

Çözümlerine göre, elde edilen denklemin, verilenle denk oldu unu göster. 12x - 9 + 3x = 9x + 3 denklemin iki tarafını 3 ile böl. Elde edilen denklemin, verilenle denk oldu unu göster(Onların çözümlerini kar ıla tır).

Denk denklemler teoremlerinden ve onların sonuçlarından yararlanarak verilen denklemlerde denkli i göster:

ki er iki er verilen denklemler denk midir? Cevabını açıkla. ve ve ve 2x – 3 = 3x – 5 denkleminde, tüm terimleri kendilerine ters olan terimlerle de i tir ve çözümlerine göre elde edilen denklemin verilenle denk oldu unu göster.

Dene.... Kapaklı i e 11 denar, sadece i e (kapaksız) ise 10 denar fiyatındadır. i enin fiyatı ne kadar, kapa ın fiyatı ise ne kadardır?

Lineer denklemler

B L NMEYENL L NEER DENKLEM N GENEL EKL AnÄąmsa!

4x â&#x20AC;&#x201C; 5 = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 denklemi verilmi tir.

ax + b ifadesinde x de i ken, a ve b ise katsayÄąlardÄąr.

Denklemin her terimini sa tarafa geĂ§irdikten sonra i lemleri yap.

u x de i kenli ifadenin katsayÄąlarÄąnÄą belirt:

Elde edilen denklem, verilenle denk midir? Neden?

Denk denklemlere ait T1â&#x20AC;&#x2122;in S1 sonucuna gĂśre, denklemin her terimi bir taraftan di er tarafa ters i aretle geĂ§ebilir.

Bu Ăśdevin Ă§ĂśzĂźmĂźnde, denk denklemlere ait teoremlerin hangi sonucundan yararlanabilirsin?

u denklemler denk midir: Denk denklemlere ait T1â&#x20AC;&#x2122;in S1 sonucuna gĂśre, denklemin sol tarafÄąndaki terimleri ters i aretle sa tarafa geĂ§irece im.

CevabÄą aĂ§Äąkla.

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr. 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 = 0 denklemi 4x â&#x20AC;&#x201C; 5 = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 denklemiyle denktir. 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 = 0 denklemine 4x â&#x20AC;&#x201C; 5 = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 denkleminin normal eklidir denir.

Unutma! ax + b = 0 denklemine bir bilinmeyenli lineer denklemlerin genel (normal) ekli denir, burada a bilinmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄą, b ise serbest terimdir. 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = x â&#x20AC;&#x201C; 1 denklemini normal ekilde yaz.

AnÄąmsa!

Bilinmeyeni x ve katsayÄąlarÄą a ve b, a 0 olan ax + b = 0 denklemi veriliyor. Denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź belirt.

u ifadelerden hangisinin de eri yoktur:

CevabÄąnÄą aĂ§Äąkla. aâ&#x20AC;&#x2122;nÄąn hangi de eri iĂ§in

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr ifadesinin

de eri yoktur? denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź belirt.

yani

sayÄąsÄą a 0 iĂ§in ax + b = 0 denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂźdĂźr.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

kesri ax + b = 0 denklemine gĂśre daima tek olarak bellidir, yani bunun bir

a 0 iĂ§in

tek Ă§ĂśzĂźmĂź vardÄąr;

yani

u denklemlerin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź belirt:

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 4 ( b 0 ) olsun. Denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź belirt.

Denklemi hangi sayÄąyla bĂślmelisin?

a = 0 ve b = 4 oldu una gĂśre denklem 0Âˇx + 4 = 0 ekline dĂśnĂź Ăźr. Oradan da 0Âˇx = -4 elde edilir. SÄąfÄąr ile bĂślme mĂźmkĂźn olmadÄą Äąna gĂśre,

ifade-

sinin anlamÄą yoktur ve denklemin de Ă§ĂśzĂźmĂź yoktur.

Fark et ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b 0 oldu u durumda denklemin Ă§ĂśzĂźmĂź yoktur, yani M = Ă&#x2DC;. BĂśyle denklemlere imkansÄąz denklemler ya da Ă§eli ki denir. u denklemlerden hangisi Ă§eli kidir:

a) 3x + 1 = 0;

b) 0Âˇx â&#x20AC;&#x201C; 2 = 0;

c) 3x = 0?

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 olsun. Denklemi yaz. Elde edilen denklemi ax = - b eklinde yaz. -2; 5;

; x = 3,5 sayÄąlarÄą 0Âˇx = 0 eklinde yazÄąlan denklemin Ă§ĂśzĂźmĂź olup olmadÄą-

ÄąnÄą yokla. Fark etti in gibi -2; 5;

; ve 3,5 sayÄąlar 0Âˇx = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźdĂźr.

Bu denklem iĂ§in ba ka Ă§ĂśzĂźm belirt. SÄąfÄąr ve herhangi bir sayÄąnÄąn Ă§arpÄąmÄą neye e ittir? Neden her reel sayÄą 0Âˇx = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźdĂźr?

Fark et ki ax + b = 0 denkleminin a = 0 ve b = 0 iĂ§in sonsuz Ă§ok Ă§ĂśzĂźmleri vardÄąr, yani M = Râ&#x20AC;&#x2DC;dir.

Lineer denklemler

Unutma! ax + b = 0 lineer denklemi iĂ§in: a) a 0 ise denklemin bir tek Ă§ĂśzĂźmĂź vardÄąr

b) a = 0 ve b 0 iĂ§in Ă§ĂśzĂźmĂź yoktur. M = Ă&#x2DC; c) a = 0 ve b = 0 ise sonsuz Ă§ok Ă§ĂśzĂźmleri vardÄąr, yani M = R 'dir. a ve b iĂ§in Ăśyle de erler yaz ki ax + b = 0 denkleminin: a) bir tek Ă§ĂśzĂźmĂź olsun;

b) Ă§ĂśzĂźmĂź yok;

c) sonsuz Ă§ok Ă§ĂśzĂźmleri olsun.

5x â&#x20AC;&#x201C; 7 + x = 1 + 2x denklemini Ă§Ăśz.

Verilen denklemi Ă§Ăśzmek iĂ§in nasÄąl hareket edeceksin?

Ă&#x2013;nce bilinmeyen iĂ§eren tĂźm terimleri sol tarafa, bilinmeyen iĂ§ermeyen terimleri ise sa tarafa geĂ§irece im. Ondan sonra denklemi ax = -b biĂ§iminde getirerek Ă§ĂśzĂźmĂź belirtiyorum.

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilen Ă§ĂśzĂźmle kar Äąla tÄąr.

T1â&#x20AC;&#x2122;in S1 gere ince; Denklemde her iki taraftaki ifadelerin sadele tirilmesi; T2 uygulanarak denklemin her iki tarafÄą 4 ile bĂślĂźnĂźr. Demek ki 5x â&#x20AC;&#x201C; 7 + x = 1 + 2x denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂź 2â&#x20AC;&#x2DC;dir, yani M = {2}. 5x -1 â&#x20AC;&#x201C;x = x + 4 â&#x20AC;&#x201C; 2x denklemini Ă§Ăśz.

3(x â&#x20AC;&#x201C; 1) + x = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2- (x - 5) denklemini Ă§Ăśz. Parantezlerden kurtul Ă&#x2013;dev 9â&#x20AC;&#x2122;da oldu u gibi hareket et. denklemini Ă§Ăśz.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Denklemin her iki tarafÄąnÄą EKOK (5, 3, 15) = 15 ile Ă§arpaca Äąm. Ondan sonra Ăśnceki Ăśdevde oldu u gibi hareket edece im.

Verilen denklemi, kendine denk olacak paydasÄąz denkleme nasÄąl dĂśnĂź tĂźreceksin?

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilen Ă§ĂśzĂźmle kar Äąla tÄąr.

T2â&#x20AC;&#x2122;nin S2 gere ince. Parantezlerden kurtulma. T1â&#x20AC;&#x2122;in S1 gere ince. Her iki tarafÄąnÄą sadele tirmek. T2 gere ince.

Demek ki verilen denklemin Ă§ĂśzĂźmĂź -2â&#x20AC;&#x2122;dir, yani M = { -2 }.

Bilmen gerekenler: Lineer denklemi genel (normal) ekile dĂśnĂź tĂźresin;

Kendini yokla! 3x + 1 = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C;x denklemini normal ekile dĂśnĂź tĂźr.

Bir bilinmeyenli lineer denklemi Ă§Ăśzesin; denklemini Ă§Ăśz.

ax + b = 0 denklemini Ă§Ăśzesin a) a 0; b) a = 0 , b 0; c) a = 0 , b = 0.

Ă&#x2013;devler u denklemleri normal ekile dĂśnĂź tĂźr:

Denklemleri Ă§Ăśz:

Verilen denklemlerden hangisi imkansÄązdÄąr: x de i keninin hangi de eri iĂ§in 2x â&#x20AC;&#x201C; 8 ve 1- x ifadelerinin sayÄą de eri aynÄądÄąr?

Lineer denklemler

Denklemleri çöz

Denklemleri çöz:

Domino sırrı... Arkada ına bir domino seçmesini (ya da çizmesini) iste. Ondan sonra, hangi dominoyu seçti ini anlamak için birkaç i lem yapmasını iste: Sayılardan birini 2 ile çarp.

6 kat. Denklemleri çöz:

5 ile çarp.

a parametresinin hangi de eri için 8x – 3a – 5 = 2a + 5x – 16 denkleminin çözümü x = 3’tür.

Dominonun ikinci sayısını kat. 30 çıkar. Elde etti in sayıyı söyle. sabet ediyorsun! Elde edilen sonucun rakamları, seçilen dominonun sayılarıdır. Sırrı, matematik açısından açıkla.

B R B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER N UYGULANMASI Anne kızından üç defa büyüktür. 10 yıl sonra anne kızından iki defa büyük olacaktır. Anne ve kızın imdiki ya ı ne kadardır?

Anımsa! Matemati i incelerken, büyüklükler arasındaki ba ıntılar çok kez “konu ma diliyle” sözlü olarak verilmi oldu u durumlara rastlıyorsun. Bu ba ıntıların “matematik diline” çevrilmesi çok kez denklemler vasıtasıyla yapılır. Bunu, a a ıdaki ödevde incele: Anne ve o lunun ya ları berabere 32’dir. Anne o lundan 20 ya büyüktür. Annenin ve o lunun ya ları ne kadardır?

Hangi büyüklükler ve ba ıntıların bilinen, hangilerinin ise bilinmeyen oldu unu incele. Bilinenler: Anne imdi kızından üç defa büyük, 10 yıl sonra ise iki defa büyük olacaktır. Bilinmeyenler: Anne ve kızın ya ları.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

E er kızın ya ını x ile i aret ediyorsan, annenin ya larını nasıl i aret edeceksin? 10 yıl sonra herbiri kaç ya ında olacaktır?

E er kızın ya ı x ise, o zaman annenin imdiki ya ı 3x olur. 10 yıl sonra kızın ya ı (x + 10), annenin ise (3x + 10) olur.

Büyüklükler arasındaki ba ıntıları tabloda görebilir ve denklemin nasıl olu tu unu inceleyebilirsin. imdi kaç ya ındadır

10 yıl sonra kaç ya ında olacak

Kız

x + 10

Anne

3x + 10

Denklemr

3x + 10 = 2(x+10)

3x + 10 = 2(x + 10) denklemini çöz. Kızın ya ı ne kadardır? Annenin ya ı ne kadardır? Denklemin çözümü 10’dur. Annenin ya ı 36, kızı ise 10 ya ı vardır. Kaç yıl sonra anne kızından üç defa büyük olacaktır? Metinli ödevleri çözmek için, belli bir plan yapılırsa, çözüme daha kolay ula abilirsin. Bunu u ödevde görebilirsin. Bir kontrol yazılı yoklamasında, ö retmen ö rencelerine 15 ödev vermi tir. Do ru çözülen her ödev için ö renci 5 puan kazanır, yanlı çözülen her ödev için ö renci ise 2 puan kaybeder. Sonunda 54 puan kazanan ö renci kaç ödev çözmü tür? 1.

Ödevin anla ılması

Ödevde neler bilinir, neler bilinmez?

Ö renci, 15 ödev çözüyor ve her do ru çözülen ödev için ö renci 5 puan kazanır, yanlı çözülen her ödev için ö renci ise 2 puan kaybeder ve sonunda 54 puan kazandı ı bilinir. Ö rencinin kaç do ru ödev çözdü ü bilinmiyor.

Bilinmeyen büyüklüklerin i aretlenmesi Do ru çözülen ödevlerin sayısını x ile i aret et. Çözülmemi ödevlerin sayısını nasıl i aret edeceksin?

Do ru çözülen ödevlerin sayısı

x ile i aret edilirse, çözülmemi ödevlerin sayısı 15 – x ile i aret edilir. Lineer denklemler

Büyüklükler arasındaki ba lantıların bulunması Ö renci ne kadar kazanmı ve ne kadar kaybetmi ?

Ö renci 5x puan kazanmı (x ödevde 5’er puan) ve (15 – x) puan kaybetmi tir (15 – x ödev 2’ er puan) ve toplam 54 puan kazanmı tır.

Denklemin olu turulması Büyüklükler arasındaki ba ıntıdan u denklem elde edilir: 5x – 2( 15 – x ) = 54.

Belirtilen ba lantılardan hangi denklem elde edilir? Yapılan i lemleri tabloda görebilirsiniz. Ödevler Toplam

Ödevler Ödevlere göre sayısı puan sayısı

Denklem

Do ru x çözülenler Yanlı 15 - x çözülenler

5x - 2(15 - x) = 54

2(15-x)

Denklemin çözülmesi Denklemin çözümünü incele: 5x – 2(15 – x ) = 54. d.o.k

Sorulan sorunun cevabı ve onun yoklaması Denklemin çözümü neyi göstermektedir?

Çözümün yoklamasını yap

E er x = 12 ise, ö renci 12 ödevi do ru çözmü tür. Yanlı çözdü ü ödev sayısı ise 15 – 12 = 3’tür.

12 ödeve 5’er puan 60 puan eder. 3 ödev 2’ er puan 6 puan eder. 60 – 6 = 54 puan. Demek ki ödevin çözümü do rudur.

Bir araba satı dükkanında 22 otomobil ve motosiklet vardır. Onların toplam 74 tekerle i vardır. Dükkanda kaç otomobil ve kaç motosiklet vardır? Bir ikizkenar üçgende yan kenar tabanından 2 cm daha büyüktür, çevresi ise 25 cm. Üçgenin tabanını ve yan kenarını belirt.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Ödevin çözümü için yapılan planın kısa yazılı ını incele. 1. 2. 3. 4.

Yan kenarı b tabanı a’dan 2 cm daha büyük, çevresi ise 25 cm’dir. Tabanı a = x ile i aret edersek , o zaman b = x + 2 a + 2b = L. x + 2(x + 2) = 25

5. Demek ki tabanı a = 7 cm , yan kenarı b = 7 + 2 = 9 cm. 6. Yoklama: L = a + 2b; L = 7 + 2 · 9 ; L = 25 cm. Ödevdeki büyüklük- Büyüklükler ler arasındaki baTaban ıntıyı verilen tabloda görebilirsin Yan kenar

Büyüklüklerin i areti

Denklem

Çevre Bir dikdörtgenin a uzunlu u, b geni li inden 3 cm büyüktür, çevresi ise 34cm’dir. Dikdörtgenin uzunlu unu ve geni li ini belirt. A yerinden B yerine gitmek için aynı anda yola çıkan iki bisikletçiden birincisi saatte 16 km, ikincisi de saatte 12 km hızla gidiyor. Birinci bisikletçi B yerine 1 saat önce vardı ına göre A ve b arasındaki uzaklı ı belirt.

Ödevdeki büyüklükler arasındaki ba ıntıyı verilen tabloda görebilirsin.

Birinci bisikletçi kinci bisikletçi

Hız

Zaman

Saatte 16 km Saatte 12 km

x saat

Yol

Yoklama

x +1 saat

Denklemi çöz ve A ve B arasındaki uzaklı ı belirt. Ödev çözümünün do ru olup olmadı ına dair yoklama yap.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Metinli soruların çözümünde denklemleri uygulayasın;

Bir üçgende kenarlardan biri di erinden 2 cm büyük, üçüncüsünden ise 1 cm küçüktür.

Elde edilen çözümü yoklayasın.

Üçgenin çevresi 43 cm oldu una göre, kenarlarını belirt. Lineer denklemler

Ödevler Bir i çi bir i i kendi ba ına çalı arak 6 saatte, di eri ise aynı i i 12 saatte bitirebilir. Her ikisi beraber çalı arak aynı i i kaç saatte bitirebilirler?

E er bir sayıya 12 katılırsa ve elde edilen toplam 5 ile çarpılırsa 200 elde edilir. Bu sayı hangisidir? ki sayının toplamı 180’dir. Birincisi ikincisinden 36 için daha küçük oldu una göre o sayıları belirt?

Bir havuz iki borudan dolar. Birinci boru kendi ba ına havuzu 4 saatte, ikinci boru ise 6 saatte doldurabilir. Her iki boru açık oldu u durumda, bo havuz kaç saatte dolar?

ki sayının farkı 46’dır. Sayılardan büyü ü küçü üyle bölünürse, bölüm 4 ve kalan 7 elde edilir. Bu sayılar hangileridir?

ki boru beraber bir havuzu 12 saatte doldurabilir. Borulardan biri havuzu kendi ba ına 20 saatte doldurdu una göre, ikinci boru havuzu kaç saatte doldurabilir?

Bir ikizkenar üçgenin tabanı yankenarından 2 cm küçüktür. Üçgenin çevresi 43 cm oldu una göre, tabanını ve yankenarını belirt.

Hakan’ın toplam 80 denarı olmak üzere 2’ er ve 5’ er denarlık 25 demir parası vardır. Bu paralardan kaç tanesi 2 denarlık, kaç tanesi ise 5 denarlıktır? Eski Çin ödevi. Bir kafeste evcil tav anlar ve güvercinler vardır. Onların toplam 35 ba ı ve 94 aya ı vardır. Tav anların ve güvercinlerin sayısını bul?

Bir kurye, A ve B yerleri arasındaki mesafeyi belli bir zamanda geçer. Saatte 35 km geçerse, 2 saat geç yeti ecek, saatte 50 km geçerse, 1 saat önce ula acaktır. A ve B arasındaki uzaklı ı belirt.

Dene... Diofantın mezar yazıtı Eski Yunan matematikçisi Diofant’ın mezar ta ında unlar yazılıdır: “Yolcu, burada Diofant’ın naa ı yatmaktadır. Rakamlar, onun ömrü ne kadar uzun oldu unu anlatacaktır. Harika çocuklu u ömrünün altıda birini almı tır, ömrünün daha on ikide biri geçtikten sonra yüzünü sakal örttü. Ömrünün daha yedide biri geçtikten sonra, Diofant mutlu bir evlilik yaptı. Evlilik 5 yıl geçtikten sonra, onları mutlu edecek biricik o ulları oldu. Halbuki kader ona ancak babasının ömrünün yarısı kadar ömür verdi. Büyük bir üzüntü içinde ihtiyar daha 4 yıl ya ayarak dünya hayatına veda etti”. Diofant kaç yıl ya amı tır?

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

B R B L NMEYENL L NEER E TS ZL KLER E TS ZL K KAVRAMI VE E TS ZL K Anımsa! Sayı ifadeleri unlardır: 5 + 8, 9 : 3 – 2, 4,6 · 3,5 * 1, 8 : 0,2 ve ba ka.

Verilen sayı ifadelerin sayı de erlerinin kar ıla tırılmasının do ru olması için dairecikte hangi i aret yazılmalıdır:

fadedeki tüm i lemler yapıldıktan sonra elde edilen sayıya, ifadenin sayı de eri denir. Verilen ifadenin sayı de erini hesapla: 15 – 22 · 3 – 6,4 : 0,4. Rasyonel sayıları kar ıla tırırken u i aretlerden yararlanılır: =, < ve >. Verilen sayıların kar ıla tırılmasının do ru olması için dairecikte > ya da < i aretlerinden hangisi yazılmalıdır? 5 -1

-12 -5

0 -4

Verilen sayı ifadelerin kar ıla tırılması için önce hangi i lemleri yapmalısın? Çnce verilen sayı ifadelerin sayı de erlerini hesaplamalıyım, ondan sonra dairecikte hangi i aretin gelece ini belirtmem gerekir.

3,5 0?

u e itsizliklerden hangileri do rudur: a) 7 > 5; b) -5 > -4; c) -3,2 < -2,3?

Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır. yani yani

Ödev 1’i çözerken, her iki sayı ifadeyi: 3 · (5 – 2) ve 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 ve (-4)2 + 1 > ya da < i aretlerinden biriyle ba ladın ve unu elde ettin: 3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ya da 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1 3 · (5 – 2) > 8 – 4 · 3 ve 8 · 2,5 – 10,8 < (-4)2 + 1 ifadeleri sayı e itsizlikleridir. 8 · 5 – 62 ve 3 · 4 + 5. ifadelerinden do ru sayı e itsizlikleri olu tur. u sayı e itsizliklerden do ru olanları belirt: 28 – 8 · 3 > -9 · 2 + 20;

7 < 3 · 12 – 52;

-9 + 6 > 8 · 3 – 35.

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Anımsa! u ifadeler de i kenli ifadelerdir: x – 1; 2y – 3, x2 – 2x + 1. 2y – 3 ifadesinde y de i keni yerine 2 de i tirilirse nasıl ifade elde edilir?

De i kenli ifadenin kar ıla tırılmasını do ru yapmak için daire cikte > ya da < i aretlerin den hangisi yazılmalıdır: 2x + 3, x = -2 için? x2 – 2x + 1

x2 – 2x + 1 sayı ifadesinin de erini x = 3 için hesapla.

Verilen x de i kenli ifadede, x yerine -2 yazılırsa nasıl ifadeler elde edilecektir? Ondan sonra ne yapmalısın?

x de i keninin -2 ile de i tirilmesiyle kar ıla tırılabilen sayı ifadeleri elde edece im. Ondan sonra dairecikte gereken i areti yazabilirim. Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır. x2 – 2x + 1 = (-2)2 -2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9; 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = - 1. 2 9 > - 1 oldu una göre, x = -2 için x – 2x + 1 > 2x + 3. 2x + 1 > 2x + 3 e itsizli ine de i kenli e itsizlik denir. Sol ve sa tarafı ya da en az biri de i kenli ifade olan e itsizli e, de i kenli e itsizlik ya da yalnız e itsizlik denir. u ifadelerden hangileri e itsizliktir: a) c) b) ç)

Unutma! E itsizlikteki de i kenler genellikle x, y, z,... harﬂeriyle i aret ediliyor. Onlar kümesinden ya da herhangi bir kümeden de erler alabilirler. E itsizli in verilmesiyle, de i kenlerin ait oldu u küme de veriliyor, yani e itsizli in tanım kümesi veriliyor. Tanım kümesi verilmemi durumda, onu R kümesi olarak sayaca ız. Bir bilinmeyenli e itsizlik, genel olarak f(x) < g(x), x ‫ א‬D biçiminde yazılır. Bu durumda f(x) ve g(x), ifadeleri D kümesinde tanımlı x de i kenli ifadelerdir.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Anımsa!

u e itsizlikler verilmi tir:

Bilinmeyenlerin sayısına göre denklemler nasıl adlandırılır? Bilinmeyenlerin derecesine göre, denklemler lineer (birinci derece), ikinci derece, üçüncü derece vb. olabilir.

2x – 3 = x + 1 ; x – 3x = 2 denklemi hangi derecedendir?

Hangi e itsizlikler bir, hangileri ise iki bilinmeyenlidir?

Her e itsizlik kaç bilinmeyenlidir? Bilinmeyenlerin sayısına göre 2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x e itsizliklerini nasıl adlandırıyorsun? 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x e itsizliklerini ise nasıl ?

2x - 1 < 3x + 1 ve x2 – 1 > 2x e itsizlikleri bir bilinmeyenli, 2x – y > 5- x ve x2y -2 < 3x e itsizlikleri ise iki bilinmeyenlidir.

Unutma! Bilinmeyenlerin sayısına göre e itsizlikler bir bilinmeyenli e itsizlikler, iki bilinmeyenli e itsizlikler, üç bilinmeyenli e itsizlikler vb. olabilir. u e itsizliklerden herbirinin kaç bilinmeyenli oldu unu belirt: a) 2x - 1 < x + 2;

b) x + y < 7 – z;

c) x +2 y < x – y + 1;

ç) 2x > x + 2.

u e itsizlikler verilmi tir:

Her e itsizlikte bilinmeyenin en yüksek derecesini belirt. Bilinmeyenlerin derecesine göre e itsizlikler hangi derecedir? Bilinmeyenlerin derecesine göre, e itsizliklerin derecesini denklemlerde oldu u gibi belirt.

x – 2 < 2x + 3 ve x – y < y + 3. e itsizlikleri birinci derece, x2 + 2 > 2x e itsizli i ikinci derece ve x2y -2 > 3x e itsizli i üçüncü derecedir.

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Unutma! Sol ve sa tarafı tam rasyonel ifade olan f(x) < g(x), ya da f(x) > g(x), e itsizli i bilinmeyenin derecesine göre, birinci derece (lineer) e itsizlik, ikinci derece e itsizlik, üçüncü derece e itsizlik vb. olabilir.

u e itsizliklerin herbirinin hangi derece oldu unu belirt: a) 5x – 2 < x + 4;

b) x2 – 2x < 6;

c) x2y – 5 > 2x;

Bilmen gerekenler:

ç) 2x + y < 7.

Kendini yokla!

< ya da > i aretiyle ba lı olan iki ifade, bir e itsizlik meydana getiriyorlar.

u e itsizlikler hangi cinstendir:

E itsizlik kavramını tanımlayasın;

c) 3x + y < y + 2;

Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenin derecesine göre e itsizliklerin hangi cinsten oldu unu tespit edesin.

u e itsizliklerden hangileri bir bilinmeyenli lineer e itsizliklerdir: b) x + 2y < 5x + 1; a) x2 + 6 > 5x; c) y – 2 < 3y; ç) x + 2 > 2x – 5.

a) 5 · 8 – 3 > 17 – 22; b) x2 – 1 < 5x; ç) 5 – 2·3 > 3 – 4 · 2

Ödevler u e itsizliklerden hangilerinin do ru oldu unu belirt:

x ‫{ א‬-2, 0, 2} de erlerinden hangisi için x2 – 2x < x + 5 e itsizli i do rudur?

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Bilinmeyenlerin sayısına göre a a ıdaki e itsizliklerden herbirinin cinsini belirt:

Bilinmeyenlerin derecesine göre a a ıdaki e itsizliklerden herbirinin cinsini belirt:

E TS ZL N ÇÖZÜMÜ. ARALIKLAR Anımsa! Bir denklemin do ru e itli e dönü tü ü bilinmeyenin de erine denklemin çözümü (kökü) denir. 2 sayısının verilen denklemin çözümü olup olmadı ını yokla: a) 2x – 1 = x + 1; b) 3x – 5 = x + 3. Denklemin çözümünü belirt: a) 3x – 1 = 2x + 3; b) 2x + 1 = 2x + 5.

x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} = D olmak üzere x bilinmeyeninin hangi de erleri için verilen e itsizliklerden herbiri do ru sayı e itsizli ine dönü ür. a) 3x + 1 > x – 1; b) 2x – 2 < x + 4; c) 2x – 3 > x + 2 E itsizliklerden, sayı e itsizlikleri nasıl elde edilir? Ödevin çözümünü tablo ile göstermeye çalı .

x bilinmeyeninin de erini D tanım kümesinde de erler alarak de i tirmekle e itsizli i sayı e itsizli ine dönü türece im. Ondan sonra elde edilen e itsizli in do ru (T) veya yanlı (A) oldu unu tespit edebilirim. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

x’in de eri E itsizlik

Tablodan farkettin: 3x + 1 > x – 1 e itsizli i x = 0, x = 1 ve x = 2 için do ru sayı e itsizli ine dönü ür. 2x – 2 < x + 4 e itsizli i, D tanım kümesinin her x de eri için do ru sayı e itsizli ine dönü ür. 2x – 3 > x + 2 e itsizli i D kümesinin hiçbir x de eri için do ru sayı e itsizli ine dönü mez. E itsizli in do ru sayı e itsizli ine dönü tü ü her sayı de erine, e itsizli in çözümü denir. - f (x) < g (x) e itsizli in tüm çözümleri, e itsizli in çözüm kümesi denilen bir küme olu turuyor ve o genellikle R(f(x) < g(x)) biçiminde i aret edilir. Önceki ödevde 3x + 1 >x–1 e itsizli inin çözüm kümesi R(3x + 1 > x – 1) = {0, 1, 2}. Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Ödev 1’de olan 2x – 2 < x + 4 ve 2x – 3 > x + 2 e itsizliklerin çözüm kümesini yaz. x ‫{ א‬-3, -1, 1, 2, 3} olmak üzere 2x – 3 < 3x – 2 e itsizli inin çözüm kümesini yaz. Herhalde e itsizli inin çözüm kümesinin R(2x–3 < 3x – 2) = {1, 2, 3} oldu unu bulmu sun. Bununla 2x – 3 < 3x – 2 e itsizli i çözülmü tür.

Unutma! Bir e itsizli i çözmek, onun çözüm kümesini belirtmek demektir.

Anımsa! ki denklemin çözüm kümeleri aynı oldu u durumda onlara denk denklemler denir. u denklemlerin denk olup olmadıklarını yokla: 3x – 4 = 2x – 1 ve x – 5 = x – 2.

Tanım kümesi D = {-1, 0, 1, 2} olan 3x + 2 > 2x + 1 ve 2x – 3 > x – 4 e itsizlikleri veriliyor.

Her iki e itsizli in çözümler kümesini belirt. Her iki e itsizli in çözümler kümesini kar ıla tır. Ne farkediyorsun?

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

E itsizlik

R(3x +2 >2x +1) = {0, 1, 2}, R(2x – 3 > x - 4) = {0, 1, 2}, oldu unu farkediyorsun, yani R(3x +2 >2x +1) = R(2x – 3 > x - 4) olur. Böyle e itsizliklere D tanım kümesinde denk e itsizlikler denir ve 3x +2 >2x +1֞ 2x – 3 > x – 4, x ‫ א‬D yazıyoruz.

Unutma! Tanım kümesi aynı olan iki e itsizli in çözüm kümeleri aynı ise, onlara denk e itsizlikler denir. Tanım kümesi D = {1, 2, 3, 4} olan 3x – 1 > 2x + 1 ve 2x + 3 < 3x +1, e itsizliklerin denk olup olmadıklarını yokla.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Bir sayÄą do rusu verilmi tir ve ĂźzeA B rinde A ve B noktalarÄą i aret edil-1 0 1 2 3 4 5 mi tir. A ve B noktalarÄąna sÄąrasÄąyla 1 ve 4 sayÄąlarÄą kar ÄąlÄąk gelir. A noktasÄą Bâ&#x20AC;&#x2122;nin solunda bulundu una gĂśre, onlara kar ÄąlÄąk gelen sayÄąlar iĂ§in: 1 < 4 geĂ§erlidir. Hangi do al sayÄąlar 1 ve 4 arasÄąnda bulunur. sayÄąlarÄąndan hangileri 1 ve 4 arasÄąndadÄąr. Neden 1 ve 4 arasÄąnda bulunur?

Ă&#x2021;ĂźnkĂź 1,41 sayÄąsÄą 1â&#x20AC;&#x2122;in sa Äąnda 4â&#x20AC;&#x2122;Ăźn solunda dÄąr.

1 ve 4 arasÄąnda bulunan bĂźtĂźn reel sayÄąlar, uĂ§ noktalarÄą 1 ve 4 olan ve ona aralÄąk denilen bir kĂźme olu turuyorlar.

Genel olarak a ve b verilen reel sayÄąlar ve a < b ise, a ve b arasÄąnda bulunan bĂźtĂźn reel sayÄąlar kĂźmesine aralÄąk denir. a ve b aralÄą Äąn â&#x20AC;&#x201C; uĂ§ noktalardÄąr. a ve b uĂ§ noktalarÄą aralÄą a ait olmadÄą Äą durumda, ona aĂ§Äąk aralÄąk denir. (a; b) biĂ§iminde i aret edilir. SayÄą do rusu Ăźzerinde gĂśsterilir: a ve b uĂ§ noktalarÄą aralÄą a ait olduklarÄą durumda, ona kapalÄą aralÄąk denir. [ ;b] biĂ§iminde i aret edilir. SayÄą do rusu Ăźzerinde gĂśsterilir: UĂ§larÄą 3 ve 5 olan aralÄą Äą yaz ve sayÄą ekseninde gĂśster: a) kapalÄą aralÄąk;

b) aĂ§Äąk aralÄąk;

c) sol uĂ§ noktasÄąnÄą iĂ§ermeyen aralÄąk;

Ă§) sa uĂ§ noktasÄąnÄą iĂ§ermeyen aralÄąk.

c) ve Ă§) iĂ§in elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr.

AralÄąk, a a Äądaki reel sayÄąlardan olu an kĂźmeler gibi de gĂśsterilebilr: aâ&#x20AC;&#x2122;dan bĂźyĂźk (a; + )

aâ&#x20AC;&#x2122;dan kĂźĂ§Ăźk (- ; a)

aâ&#x20AC;&#x2122;dan bĂźyĂźk ya da e it [a; + ]

aâ&#x20AC;&#x2122;dan kĂźĂ§Ăźk ya da e it (- ; a]

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Aralı ın bir ucunda + ve - oldu unu farkediyorsun. (a; + ) aralı ı “a’dan artı sonsuza kadar” diye okunur. (- ; a) aralı ı “eksi sonsuzdan a’ya kadar” diye okunur. R kümesi (- ; + ) diye yazılabilir. (3; - ); [1; + ]; (+ ; 4) aralıkların anlamı olmadı ını fark ediyorsun. Reel sayılardan olu an kümeleri önce aralık biçiminde yaz, ondan sonra sayı ekseninde göster: a) 2‘den büyük

b) 1‘den büyük ya da e it

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

u e itsizlikler verilmi tir:

Verilen her e itsizli in çözüm kümesini belirt. Elde edilen her kümeyi sayı do rusu üzerinde göster. Do ru sayı e itsizlikleri elde etmek için, x de i keni x > -1 e itsizli inde hangi sayılarla de i tirilmelidir, x < 2 e itsizli inde ise hangi sayılarla de i tirilmelidir?

Do ru sayı e itsizli i elde etmek için x > -1 e itsizli inde x de i keni -1 den büyük olan herhangi reel sayıyla de i tirilmelidir, x < 2 e itsizli inde ise 2 den küçük herhangi reel sayıyla de i tirilmelidir.

x > -1 e itsizli in çözüm kümesi -1 den + , bütün reel sayılardır, yani (-1, + ) aralı ı oldu unu görüyorsun. Verilen e itsizliklerin çözüm kümelerinin, sayı do rusu üzerinde nasıl gösterildi ini görünüz.

x > -1 ve x < 2 e itsizlikleri çözülmü biçimdedir ve onların çözümleri do rudan do ruya okunabilir.

Unutma! a verilen bir reel sayı olmak üzere, x > a, x < a ve 0 · x < a, e itsizlikleri çözülmü biçimde yazılmı tır ve onlara temel e itsizlikler denir.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

0 · x < - 5 e itsizli ini çöz. Sıfır ile çarpıldı ında -5’ten küçük olacak sayı var mıdır?

Herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı sıfır oldu una göre, 0 · x < - 5 e itsizli in çözümü yoktur.

0 · x < 5 e itsizli ini çöz. 0 · x < a e itsizli inin çözümünü kavra: R(0 · x < a, e er a < 0) = Ø ve R(0 · x < a, e er a > 0) = R. x > - 5 ; x < 4; 0 · x < -1 ; 0 · x < 3, e itsizli in çözüm kümesini aralıklar yardımıyla yaz.

x a eklinden e itsizliklerin çözümü [ a; + ) 'dır. x a e itsizli in çözüm kümesi ise ( - , a]' dır. e itsizliklerin çözüm kümelerini aralık ile ve sayı ekseninde göster. a) x 3; b) x -2. Bu ekilde verilen ödevin nasıl çözüldü ünü inceleyiniz. a) x 3 ise, x ‫ א‬ሺ- ; 3] elde edilir. b) x -2 ise x ‫ [ א‬-2 ; + ) elde edilir

x - 1 e itsizli in çözüm kümesini aralık biçiminde yaz.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Verilen e itsizliklerin çözümlerinin hangi de erler oldu unu kontrol edesin; ki e itsizli in denk olup olmadı ını tespit et. ki e itsizlik ne zaman denk olabildi ini açıkla; Verilen e itsizli in çözümler kümesini aralık biçiminde ve sayı do rusu üzerinde göster.

x ‫ א‬ሼ0, 1, 2, 3, 4} olmak üzere, R(2x – 1 > x + 1) = {2, 3, 4} yokla. x ‫ א‬ሼ0, 1, 2, 3, 4} = D olmak üzere, 3x – 1 > x + 1 e itsizli i 4x – 1 > 3x e itsizli iyle denk olup olmadı ını yokla. x < - 3, e itsizli in çözümünü aralıkla göster.

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Ödevler ൌ ሼ -1, 0, 1, 2, 3} kümesinde u e itsizlikler verilmi tir: a) 3x + 1 > 2x + 1;

Verilen e itsizli in çözüm kümesini aralık ile ve sayı do rusu üzerinde göster. a) x > -3; b) ) x < 2.

b) 2x + 3 > x + 3.

Verilen e itsizliklerden her birinin çözümler kümesini belirt.

Verilen e itsizli in çözüm kümesini aralık ile ve sayı do rusu üzerinde göster.

A a ıdaki e itsizliklerden hangileri ൌ ሼ -2, -1ǡ 0, 1, 2} kümesinde denktir: a) 3x – 2 > 2x – 3; c) 2x + 5 > x + 4.

a) x -2 ;

b) x 1.

b) 2x – 1 > x – 2; u e itsizliklerden hangisinin çözümü yoktur? Cevabını açıkla.

Verilen e itsizli in çözümler kümesini aralıkla göster:

a) x > 0;

b) 0 · x > - 2 ;

a) x > -2; b) x < 0; c) x 1; ç) x -3.

c) 0 · x < -1;

ç) x < -5.

DENK E TS ZL KLERE A T TEOREMLER Anımsa!

ൌ ሼ-2, -1ǡ 0, 1, 2} kümesinde 3x – 2 > 2x - 3 .

Hangi iki denkleme denktirler denilir? 3x – 1 > x + 3 ve 2x – 1 > x + 1 e itsizlikleri ൌ ሼ1, 2, 3, 4} kümesinde denk olup olmadıklarını yokla. Denk denklemlere ait teorem 1, nasıl ifade edilir?

Verilen e itsizli in elde edilen e itsizlikle denk olup olmadı ını nasıl yoklayacaksın?

Verilen e itsizli in çözümler kümesini belirt. E itsizli in iki tarafına x – 1 ifadesini kat ve elde edilen e itsizli in verilene denk olup olmadı ını yokla.

Her iki e itsizli in çözüm kümelerini bulduktan sonra çözümleri kar ıla tırıyorum.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. x için de er

Verilen e itsizlik

Do ru Yanlı

Elde edilen e itsizlik

Do ru Yanlı

Tablodan kavra ki: R(3x – 2 > 2x – 3) = ሼ0, 1, 2} ve R(3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1) = ሼ0, 1, 2}, yani 3x – 2 > 2x – 3 iki tarafına x – 1 ifadesini katmakla, verilene denk olan 3x – 2 + x - 1> 2x – 3 + x – 1 e itsizli i elde edilir. Bu özellik genel olarak tüm e itsizlikler için geçerlidir ve e itsizli in iki tarafına sayı ya da ifadenin katılması teoremi diye adlandırılır.

Teorem 1 f(x) > g(x), e itsizli in iki tarafına aynı sayı veya tanım kümesinde her x için tanımlı olan bir h(x) ifadesi katılırsa verilene denk olan e itsizlik elde edilir, yani f(x) > g(x) ֞ f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

Verilen iki er e itsizlik birbirine denk midir: a) 5x + 1 > 4x + 3 ve 5x + 1 + 3x > 4x + 3 + 3x; b) 2x - 5 > x – 2 ve 2x – 5 + 5x - 1 > x – 2 + 5x – 1; c) 3x - 1 < x + 2 ve 3x – 1 – 4x < x + 2 – 4x? Cevabını açıkla.

4x - 1 < 3x + 2 e itsizli ini çözülmü biçimde e itsizlik ekline dönü tür.

E itsizli i çözülmü biçimde dönü türmek için, onun iki tarafına hangi ifadeyi katabilirsin?

E itsizli in iki tarafına -3x + 1 ifadesini katabilirim.

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Teorem 1 gere ince unları yazabiliriz: 4x - 1 < 3x + 2 ֞ 4x - 1 -3x + 1 < 3x + 2 -3x + 1 ֞ 4x – 3x < 2 + 1֞ x < 3. 4x - 1 < 3x + 2 ֞ 4x -3x < 2 + 1 ifadesinde 3x terimi sol taraftan sa tarafa ters i aretle geçmi , 1 sayısı ise sol taraftan sa tarafa yine ters i aretle geçmi oldu unu fark edebilirsin. Bu özellik genel olarak bütün e itsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in u sonucunu ifade edebiliriz:

E itsizli in her terimi bir taraftan di er tarafa geçebilir. Böyle durumda terimin i areti ters olarak de i ir.

Teorem 1’in uygulanmasıyla e itsizliklere denk dönü ümler yapalabilirsin. Böylece verilen denkten daha basit yani sadele mi e itsizlikler elde edilir. Bunu u ödevde fark edeceksin. Verilen 4x - 1 > 3x + 2 e itsizli i çözülmü biçimde e itsizli e dönü tür. E itsizli in çözüm kümesini aralıklarla göster. Sonuç 1’i uygula ve bilinmeyenleri sol tarafa, bilinenleri ise sa tarafa grupla tır.

Sonuç 1 gere ince unun geçerli oldu unu belirtebiliriz: 4x - 1 > 3x + 2 ֞ 4x -3x > 2 + 1 ֞ x > 3 ve R (4x - 1 > 3x + 2 ) = ( 3; + ).

3x - 5 > x - 3 e itsizli i verilmi tir. E itsizli i çözülmü biçime dönü tür. E itsizli in çözümünü aralıklarla göster. D = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı 3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x ve 3x – 2 < x + 1 e itsizliklerin denk olup olmadı ını yokla. ki e itsizli in çözüm kümesini belirt ve denk olup olmadı ını yokla.

R(3x – 2 + 4x < x + 1+ 4x )= ሼ0, 1, 2}; R(3x – 2 < x + 1) = ሼ0, 1, 2} oldu una göre e itsizlikler denktir.

Birinci e itsizli in iki tarafında 4x terimi bulundu unu fark edebildin. E itsizli in her iki tarafından 4x teriminin silinmesiyle verilene denk olan 3x – 2 < x + 1 e itsizli i elde edilir. E itsizli in her iki tarafında bulunan 4x teriminin silinmesini, teorem 1’in nasıl uygulandı ını ve denk e itsizli in nasıl elde edildi ini açıkla.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Bu özellik genel olarak bütün e itsizliklerde geçerlidir. Buna göre, teorem 1’in daha bir sonucunu ifade edebiliriz:

E itsizli in farklı taraﬂarında aynı terimler varsa, onlar silinebilir.

4x – 2 - 5x < 3x – 1 - 5x e itsizli ini çözülmü biçime dönü tür. 3x - 1 > 2x + 1 ve ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5} e itsizli i verilmi tir. E itsizli in her iki tarafını 2 ile çarp. Elde edilen e itsizli in, verilenle denk olup olmadı ını yokla. Ödevin çözümünü tabloda görebilirsin. x’in de eri E itsizlik

Tablodan görebilirsin ki: R(3x - 1 > 2x + 1) = ሼ3, 4, 5} ve R(6x – 2 > 4x + 2) = ሼ3, 4, 5}, yani 3x - 1 > 2x + 1 ֞ 6x – 2 > 4x + 2 'dir. Bu özellik genel olarak bütün e itsizliklerde geçerlidir, ama e itsizli in iki tarafı pozitif sayıyla çarpıldı ı durumda geçerlidir. Buna göre, e itsizli in iki tarafını pozitif sayıyla çarpma teoremi ile ifade edebiliriz.

Teorem 2. f(x) > g(x), e itsizli in iki tarafı aynı bir a > 0 sayısıyla çarpıldı ında verilene denk olan e itsizlik elde edilir, yani f(x) > g(x) ֞ a · f(x) > a · g(x) , a > 0 u e itsizlikler neden birbirine denk oldu unu açıkla: 3x – 2 < 2x – 3 ve 9x – 6 < 6x – 9. 4x – 8 < 12 – 8x e itsizli i veriliyor. Ona u denk dönü ümler yapılmı tır:

4x – 8 < 12 – 8x e itsizli ine hangi denk dönü ümler yapılmı tır? Elde edilen e itsizlikleri kar ıla tırınız. Ne fark ediyorsun? Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

1 4x – 8 < 12 – 8x e itsizli in iki tarafı 4 ile çarpıldı ında ve aynı e itsizli in iki tarafı 4 ile bölündü ünde aynı dönü ümün yapıldı ını görüyorsun. Buna göre, teorem 2’den teorem 1’in u sonucu ifade edilebilir:

Bir e itsizli in iki tarafının ortak pozitif çarpanı varsa, onunla e itsizli in iki tarafı bölünebilir ve elde edilen e itsizlik verilene denk olur.

10x – 25 < 5x + 15 e itsizli i verilmi tir. Sonuç 1’den yararlanarak bu e itsizli i sadele mi biçimde dönü tür. e itsizli i verilmi tir. Elde edilecek e itsizli in paydasız olması için e itsizli in iki tarafını hangi sayıyla çarpmalıyız? Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. EKOK(4, 2, 8) e itsizli in dönü ümü teorem 2 gere ince yapılmı tır. Bu durumda T2’nin u sonucu ifade edilebilir:

Katsayıları kesirler olan e itsizlikleri, tam sayılı katsayılarla e itsizliklere dönü türmek için, e itsizli in iki tarafı paydaların bir ortak katıyla çarpılır (genellikle en küçük ortak katla çarpılır).

Verilen e itsizli i, katsayıları tam sayı olan e itsizli e dönü tür.

u do ru sayı e itsizlikleri verilmi tir: 7 > 4, -5 < -3 ve 1 > - 4. Verilen e itsizliklerin iki tarafını – 2 ile çarpınız. Elde edilen sayı e itsizlikleri do ru olup olmadıklarını yokla. Ne fark ediyorsun? Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. yanlı sayı e itsizli i. yanlı sayı e itsizli i. yanlı sayı e itsizli i.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Do ru sayı e itsizli i elde etmek için, e itsizli in i areti de i melidir, yani -14 > - 8 ifadesi -14 < - 8 ile 10 < 6 ifadesi 10 > 6 ile ve - 2 > 8 ifadesi - 2 < 8 ile de i tirilmelidir. Bu özellik her reel sayı a, b, c için geçerlidir. a > b ve c < 0 ise, a · c < b · c ve a < b ve c < 0 ise, a · c > b · c olur. ddianın ispatını incele. Verilenler: a > b ve c < 0 spatlanması gereken: a · c < b · c a·c - b·c = ( a – b ) · c; c < 0 ve a – b >0 ( çünkü a > b oldu una göre (a – b ) · c negatif sayıdır, yani a · c - b · c < 0; a · c < b · c elde edilir. < 5 ve 2 > - 1 e itsizliklerin i aretlerine ters yönler denir. Buna göre, e itsizli in negatif sayıyla çarpımı ile ilgili u teoremi ifade edebiliriz.

Teorem 3 Bir e itsizli in f(x) > g(x), iki tarafını aynı bir c negatif sayısıyla çarpar ya da bölersek ve e itsizlik i aretinin yönünü de i tirirsek, verilene denk olan e itsizlik elde edilir, yani c < 0 ise f(x) > g(x) ֞ c · f(x) < c · g(x). -2x -7 > 5x - 1 e itsizli ini çözülmü ekile dönü tür. Teorem 1’in sonuç 1’ini, teorem 2’nin sonuç 1’ini ve teorem 3’ü uygula.

yani

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Denk e itsizliklere ait teoremleri ve onların sonuçlarının ifade edesin; Denk e itsizliklere ait teoremleri ve onların sonuçlarını ödevlerin çözümünde uygulayasın.

u e itsizliklerin neden denk olduklarını açıkla: ve ve ve

Ödevler u e itsizlikleri çözülmü ekilde e itsizliklere dönü tür: a) 3x – 1 < 2x + 1;

b) 4x – 3 > 3x – 1.

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x e itsizli inde iki terimi öyle bir ekilde sil ki elde edilen e itsizlik verilene denk olsun.

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

u e itsizli i kendine denk olan paydasız e itsizli e dönü tür:

e itsizli ini çözülmü ekilde e itsizli e dönü tür. E itsizli in çözümünü aralık ile göster.

e itsizli ini çözülmü

u denklikleri açıkla:

ekilde e itsizli e dönü tür.

B R B L NMEYENL L NEER E TS KZL KLER N ÇÖZÜMÜ Anımsa!

4x – 3 > 2x + 1 e itsizli ini çözünüz. Çözümü sayı ekseninde aralık biçiminde göster.

u e itsizliklerden hangileri bir bilinmeyenli lineer e itsizliklerdir:

Verilen e itsizli i çözülmü ekile nasıl getireceksin? 5x-3>3x+1 e itsizli ini, çözülmü biçimde e itsizlik olarak dönü tür.

Teorem 1’in S1 ‘i ve teorem 2’nin S1’i uygulayaca ım.

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. (T1 ‘in S1.) (e itsizli in iki tarafının sadele tirilmesi). (T2’nin S1’e göre e itsizli i bölme). R

u e itsizlikleri çöz: f(x) g(x);

a) x – 4 > 8 – 3x;

b) 3x – 5 < - x + 3.

f(x) g(x), de e itsizliklerdir.

3(2x – 1) -( 9 – 8x) e itsizli inin çözüm kaidesi verilmi tir. Çözüm esnasında yapılan tüm denk dönü ümlerini açıkla. R

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

E itsizli i çöz: 2x – (3 – x) 5x – 1. E itsizli i çöz : E itsizli in her iki tarafını EKOK (3, 2, 6) ile çarpaca ım.

Verilen e itsizli in paydalarından nasıl kurtulacaksın? Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

yani

E itsizli i çöz

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Bir bilinmeyenli lineer e itsizli i çözülebilmes;

Verilen e itsizli i çöz: 2(x – 3) -(9 – 5x).

Verilen aralık, verilen bir e itsizli in çözümü olup olmadı ını yokla;

x’in hangi de eri için 2x – 4 ifadesi pozitifdir?

Verilen metinli bir ödeve ait e itsizli e kurulması.

E itsizli i çöz:

Ödevler u e itsizlikleri çöz: u e itsizlikleri çöz:

u e itsizlikleri çöz: x’in hangi de erleri için ifadesinin de eri pozitiftir? (-3; + ) aralı ı e itsizli in çözümü olup olmadı ını yokla.

Bir dikdörtgenin uzunlu u geni li inden 3 cm büyüktür. Onun çevresi 54 cm’den küçük olması için uzunlu u ne kadar olmalıdır?

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler

B R B L NMEYENL L NEER E TS ZL KLER S STEM B R B L NMEYENL L NEER E TS ZL KLER S STEM N N ÇÖZÜMÜ Anımsa!

u e itsizlikler verilmi tir: 3x + 1 > 2x – 1 ve 4x – 1 < 3x + 2.

Bir e itsizli i do ru sayı e itsizli ine dönü türen bilinmeyenin her de erine e itsizli in çözümü denir.

Verilen e itsizlikleri çöz. Verilen e itsizliklerin çözüm kümelerini aralık biçiminde ve o aralıkları aynı sayı do rusu üzerinde göster. Verilen e itsizliklerin ortak çözümleri olup olmadı ını tespit et.

x = 3 de eri 3x – 1 > 2x – 3 e itsizli in çözümü olup olmadı ını yokla. Bir e itsizli in bütün çözümlerinin olu turdu u kümeye, e itsizli in çözüm kümesi denir. 5x – 2 < 3x + 4 e itsizli in çözüm kümesini belirt.

Verilen e itsizliklerin orta çözümü olup olmadı ını nasıl tespit edebilirsin?

Verilen e itsizlikleri çözülmü biçime dönü türerek çözümlerini aralık biçiminde ve aynı sayı do rusu üzerinde gösterece im. Orada verilen e itsizliklerin çözüm kümelerinin kesi imi olup olmadı ını görebilirim. Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır

Sayı do rusunda görüldü ü gibi (-2, 3) aralı ına ait olan sayılar her iki e itsizli in çözümüdür. Verilen iki e itsizli e bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemi olu turuyorlar denir.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Unutma! ki veya daha çok bir bilinmeyenli lineer e itsizlikten olu an ve ortak çözümü istenilen ifadeye bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemi denir. Bir bilinmeyenli her iki lineer e itsizlik sistemi a a ıda gösterildi i gibi normal ekile dönü türebilir, örne in.

u e itsizlik sistemi verilmi tir: Verilen sistemi normal ekile dönü tür. Sistemdeki e itsizliklerin ortak çözümlerini sayı ekseninde göster. Sistemdeki e itsizliklerin ortak çözümleri olan x bilinmeyeninin tüm de erlerine, yani her iki e itsizli in çözüm kümelerinin kesi imine, e itsizlik sisteminin çözüm kümesi denir ve Rs ile i aret edilir. Demek ki: Rs = R(ax > b) R(a1x > b1).

Verilen sistemin çözümler kümesini aralık biçiminde yaz. Aynı kümede tanımlı olan iki sistemin çözüm kümeleri aynı ise onlara denk e itsizlik sistemi denir.

lineer e itsizlikler sistemi ve ax > b e itsizli ine denk olan a2x > b2 lineer e itsizli i verilmi tir. sistemi

sistemiyle denk oldu unu göster.

spatlamada yürütülen kaideye dikkat et. e itsizlik sisteminin çözümü Rs = R(ax > b) R(a1x > b1)’dir. ax > b ֞ a2x > b2 oldu una göre R(ax > b) = R(a2x > b2) gerekir. e itsizlik sistemin çözümü Rs = R(a2x > b2) R(a1x > b1)’dir. R(ax > b) = R(a2x > b2) oldu una göre R(a2x > b2) R(a1x > b1) = R(ax > b) R(11x b1)’dir, yani, Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemi

101

Bu ekilde gelen u teoremin geçerli oldu unu ispatladık:

Teorem 1 Bir sistemde e itsizliklerden biri, kendine denk bir e itsizlikle de i tiriliyorsa, verilene denk olan e itsizlik sistemi elde edilir.

u e itsizlik sistemini çöz Sistemin çözümünü aralık biçiminde ve sayı ekseninde göster. Sistemdeki e itsizlikleri hangi ekile dönü türeceksin ve çözümünü nasıl belirteceksin?

Önce sistemdeki e itsizlikleri çözülmü ekile dönü türece im, ondan sonra her iki e itsizli in çözümler kümesinin kesi imini belirtece im.

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

Sistemin çözümünü aralık biçiminde ve sayı ekseninde göster.

u e itsizlik sistemini çöz

Hangi durumda iki e itsizlikten olu an sistemin çözümü olmayabilir?

Sistemdeki iki e itsizli in çözümler kümelerinin kesi imi bo oldu u durumda, sistemin çözümü yoktur.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır.

Unutma! Sistemdeki e itsizliklerin çözüm kümelerinin kesi imi bo ise, sistemin çözümü yoktur ya da sistem çeli kidir.

u e itsizlikler sistemini çöz.

Bilmen gerekenler: Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemini çözesin; Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sisteminin çözümünü, sayı do rusu üzerinde ve aralık biçiminde gösteresin.

Kendini yokla! Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemini çöz:

R(ax > b) = (- ; - 1) ve

R(a1x > b1) = (0; + ) oldu una göre

e itsizlik

sisteminin çözümü nedir?

Bir bilinmeyenli lineer e itsizlikler sistemi

103

Ödevler Sistemi çöz:

Sistemi çöz:

L NEER FONKS YONLAR L NEER FONKS YON Anımsa!

35 litrelik bir kabda 5 litre su vardır. Bir borudan kaba dakikada 3 litre su dolar.

Do ru ve ters orantılar aslında fonksiyonlardır. Onlar genellikle formüllerle veriliyorlar. y = 2x formülüyle hangi orantı gösterilmi tir? Hangi orantı = formülüyle gösterilmi tir?

Kabda x = 1 dakika sonra ve x = 2 dakika sonra ne kadar su olaca ını nasıl hesaplayacaksın?

Kabda 1 dakika; 2 dakika; 2,5 dakika; 5 dakika; 10 dakika sonra kaç litre su olacaktır? (x) dakika sonra kaç litre (y) su olacaktır? Verilere göre tablo yapınız.

x = 1 dakikada, y = 3 · 1 + 5 = 8 litre; x = 2 dakikada, y = 3 · 2 + 5 = 11 litre.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Farketti in gibi, gibi, xx dakika dakika sonra sonra kabda kabda 3x 3x ++ 55 su, su, yani yani yy == 3x 3x ++ 5. 5. Farketti in Kabın su ile dolusu f(x) = 3x + 5 formülüyle verilmi f fonksiyonu gibi incelenmesinin mümkün oldu unu görüyorsun. Formüle göre, x zamanının di er de erleri için de tablo yapabilirsin. Kaç dakika sonra kab su ile dolacaktır?

Problemin hassasiyeti gere ince, x zamanının 0’dan 10’a kadar de i ebildi ini görüyorsun. Yanlız f(x) = 3x + 5 formülünü incelersen, x de i keni her reel sayı olabilir. Her reel sayı x için y = f(x) olacak yanlız bir y de eri kar ılık gelir. f(x) = 3x + 5 formülüyle R kümesinde f fonksiyonu verilmi tir ve lineer fonksiyon için bir örnektir.

ncele ve unutma! k ve n verilen herhangi reel sayılar olmak üzere f(x) = kx + n formülüyle verilmi olan f fonksiyonuna lineer fonksiyon denir. k sayısına x de i keni önündeki katsayı, n sayısına ise serbest terim denir. Bir lineer fonksiyon formül ile verildi inde ve tanım kümesi için hiçbir ey denilmemi se, fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesinin R oldu unu sayaca ız. A a ıdaki verilere göre lineer fonksiyonu yaz: ve

Ödev 2’de k = 5 ve n = 0 ile verilmi olan fonksiyonun ekli nasıldır? Fonksiyon nasıl orantıyı göstermektedir?

E er k = 5 ve n = 0 oldu u durumda, o zaman f(x) = 5x eklini alır. Bu fonksiyon düz orantıdır.

A a ıdakilere göre lineer fonksiyonu yaz. De i ken önündeki katsayı 4, serbest terimde 2’dir. De i ken önündeki katsayı -3, serbest terimde 1’dir. De i ken önündeki katsayı -2, serbest terimde 0’dır. Lineer Fonksiyonlar

105

f(x) = x â&#x20AC;&#x201C; 2 lineer fonksiyonu verilmi tir. A a Äądakileri belirt: f (-2);

f (0);

f (2).

x de i keninin hangi de eri iĂ§in f(x) fonksiyonunun de eri 0â&#x20AC;&#x2122;dÄąr?

x = 2 iĂ§in, f(x) = 2 â&#x20AC;&#x201C; 2, yani x = 2 iĂ§in f(x) = 0 olur.

Unutma! y fonksiyonunun de erini sÄąfÄąr yapan, x de i keninin de erine fonksiyonun sÄąfÄąrÄą denir.

-3 sayÄąsÄą f(x) = x + 3 fonksiyonunun sÄąfÄąrÄą olup olmadÄą ÄąnÄą yokla. Fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt: a) y = -3x + 6;

b) y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1.

Farketti in gibi verilen fonksiyonlarda, f(x) yerine y yazÄąlmÄą tÄąr. leride lineer fonksiyonlarÄą bu ekilde yazaca Äąz. y = kx + n fonksiyonunda y = 0 olmak iĂ§in x de erini nasÄąl belirteceksin?

y = 0 olmak iĂ§in kx + n = 0 olmalÄądÄąr. n Oradan kx = -n ve x = â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201C; , k 0 k a) ÄąkkÄąnda fonksiyon iĂ§in elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź kar Äąla tÄąr. a) y = -3x + 6 fonksiyonun de eri sÄąfÄąr olmak iĂ§in: -3x + 6 = 0; -3x = -6; 3x = 6; x = 2, yani 2 sayÄąsÄą y = -3x + 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄądÄąr. Verilen her fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt:

Bilmen gerekenler: Lineer fonksiyonu tanÄąmlanmasÄą;

Kendini yokla! Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur?

Lineer fonksiyonun katsayÄąsÄąnÄą ve serbest terimi ayÄąrt edilsin; Lineer fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirtilsin. y = -2x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Ödevler Verilen fonksiyonlardan hangisi lineer fonksiyondur:

Fonksiyonun sıfırını belirt

Verilenlere göre lineer fonksiyonu yaz:

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = 2 ve n = -3’dir. De i ken önündeki katsayısını belirt.

Fonksiyonun de i ken önündeki katsayısını ve serbest terimini belirt:

y = kx + n fonksiyonunun sıfırı x = -2 ve serbest terimi de i ken önündeki katsayıdan 3 için daha büyüktür. k ve n belirtilsin.

L NEER FONKS YONUN GRAF KSEL GÖSTER L Anımsa! ekilde Oxy dik açılı koordinat sistemi verilmi tir.

ekilde O ve A noktalarından geçen bir do ru çizilmi tir. Bu do runun y = 2x fonksiyonunun graﬁ i oldu unu göster. O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları y = 2x fonksiyonun graﬁ ine ait olup olmadı ını yokla.

x ve y eksenleri nasıl adlandırılır? O noktasına ne denir? A noktasının koordinatlarını belirt. ki noktadan kaç do ru geçer?

(2, 4) noktası y = 2x fonksiyonunun graﬁ ine ait midir?

Lineer Fonksiyonlar

107

O(0, 0) ve A(1, 2) noktaları, fonksiyonun graﬁ ine ait oldu unu nasıl göstereceksin?

x = 0 için, y = 2 · 0, y = 0. x = 1 için, y = 2 · 1, y = 2. Buna göre O ve A noktaları fonksiyonun graﬁ ine aittir.

ekilde, gördü ün gibi, y = 2x fonksiyonuna ait olan O ve A noktalarından geçen do ru çizilmi tir. OA do rusunun her noktası y = 2x ko ulunu sa ladı ını ve OA do rusuna ait olmayan her nokta y = 2x ko ulunu sa lamadı ını gösteren açıklamayı izle. OA do rusu üzerinde bulunan tahminen bir B(x1, y1) noktasını seçelim (sayfa 107’de ekile bak). ONB ~ oldu unu görüyorsun. Üçgenlerin benzerli inden gerekir, yani y1 : x1 = 2 : 1; y1 = 2x1 ‘dir. Demek ki, B(x1, y1) noktası y = 2x fonksiyonun grafi ine aittir. OA do rusuna ait olmayan ve B noktasıyla e it apsisli olan C noktasını seçelim ( ekile bak). gerekir. oldu una göre yani C noktası y = 2x y1 = 2x1 oldu undan ko ulunu sa lamaz. Demek ki C noktası fonksiyonun grafi ine ait de ildir. y = 2x fonksiyonunun grafi i, koordinat ba langıcından geçen bir do rudur diyebiliriz. Genel olarak u özellik geçerlidir.

Teorem 1 y = kx lineer fonksiyonunun grafi i, her k ‫ א‬R için, koordinat ba langıcından geçen bir do rudur. y = -3x fonksiyonu veriliyor. A(1, -3) ve B(-1, 3) noktaları fonksiyonun grafi ine ait olup olmadı ını yokla. Fonksiyonu grafiksel ekilde göster. 3.

ekilde y = 2x fonksiyonunun grafi i verilmi ve P ve B noktalarından bir do ru çizilmi tir. PB do rusu y = 2x + 3 fonksiyonunun grafi i oldu unu göster. y = 2x + 3 fonksiyonun grafi inin y eksenini kesti i P noktasının koordinatlarını belirt. ekilde, y = 2x + 3 fonksiyonun grafi ine ait olan B noktasının koordinatlarını belirt. ve belirtilsin. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. x = 0 için, y = 2 · 0 + 3; y = 3 elde edilir. y = 2x + 3 fonksiyonun grafi i y ekseni P noktasında koordinatları olan P(0, 3) keser, x = 1 için, y = 2 · 1 + 3; y = 5 elde edilir. B(1, 5) noktası y = 2x + 3 fonksiyonun grafi ine aittir, x de i kenine a de erini koyarsak, y = 2x fonksiyonu 2a de erini alır, y = 2x + 3 fonksiyonun de eri de 2a + 3 olur. Farketti in gibi, y = 2x + 3 fonksiyonun grafi ine ait her noktanın ordinatı, 3 kadar (serbest terim oldu u kadar) y = 2x fonksiyonun ordinatından aynı apsise göre büyüktür. OP ve AB do ru parçaları paraleldir, ve ’dir. O halde OABP dörtgeni paralelkenardır, oradan da OA ve PB do ruları paraleldir. y = 2x + 3 lineer fonksiyonunun grafi i y = 2x lineer fonksiyonun grafi iyle paralel oldu unu ve ordinat ekseninin (0, 3) noktasından kesti ini görüyorsun. Genel olarak u teorem geçerlidir:

Teorem 2 y = kx + n fonksiyonunun grafi i y + kx fonksiyonun grafi iyle paralel olan ve y eksenini (0, n) noktasında kesen bir do rudur. y = 2x – 3 fonksiyonunun grafi i, y eksenini kesti i noktanın koordinatlarını belirt.

y = 3x – 2 fonksiyonunu graﬁksel ekilde göster. Bir do ru kaç nokta ile bellidir? Bu özelli i ödevin çözümünde kullanabilir misin?

Do ru, kendine ait olan iki nokta ile tamamen bellidir. Demek ki do ruya ait olan iki noktanın koordinatlarını belirtmem gerekir.

Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır.

Lineer Fonksiyonlar

109

ncele ve unutma! Lineer fonksiyonu grafiksel ekilde göstermek için, kendine ait en az 2 noktanın koordinatları belirtilir, ondan sonra noktalar koordinat sisteminde gösterilir ve onlardan geçen do ru çizilir. Elde edilen do ru verilen fonksiyonun grafi idir. y = -2x + 1 fonksiyonunu grafiksel ekilde göster. ekilde y = x – 2 fonksiyonun grafi i gösterilmi tir. Grafi in apsis ekseniyle kesi imi olan A noktasının koordinatlarını belirt. Fonksiyonun sıfırını belirt. Fonksiyonun sıfırını ve kesi im noktasının apsisini kar ıla tır. Ne farkediyorsun? Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır. y = 0 ise, 0 = x – 2, x = 2 yani A(2, 0) fonksiyonun sıfırı 2’dir.

Unutma! Lineer fonksiyonun graﬁ ini gösteren do runun x ekseniyle kesi ip noktasının apsisi, fonksiyonun sıfırıdır.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

Verilen bir nokta fonksiyonun graﬁ ine ait oldu unu ifade edesin; Fonksiyonun graﬁ i ordinat eksenini kesti i noktanın koordinatlarını belirtesin;

A(0, 0), B(2, 6) ve C(-1, 3) noktalarından hangisi y = -3x fonksiyonun graﬁ ine aittir? y = 2x – 1 fonksiyonunu graﬁksel ekilde göster.

Lineer fonksiyonu graﬁksel gösteresin;

Graﬁkten, fonksiyonun sıfırını belirt ve ondan sonra yoklamasını yap.

Fonksiyonun graﬁ inden fonksiyonun sıfırını belirtesin.

Ödevler A(-2, -5), B(-1, -2), C(0, 3) ve D(2, -1) noktalarından hangisi y = x – 3 fonksiyonun graﬁ ine aittir.

2. x’in hangi de eri için A(x, 2) noktası

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

y = 3x – 1 fonksiyonun graﬁ ine aittir?

Verilen fonksiyonları graﬁksel ekilde göster: y = 3x; y = 3x + 2; y = 3x – 2. y = 2x – 4 fonksiyonunun apsis eksenini kesti i noktanın koordinatlarını belirt.

y = -2x + n fonksiyonunda n o ekilde belirtilsin ki P(1, 3) noktası onun graﬁ ine ait olsun. y = kx – 2 fonksiyonunda k’yı o ekilde belirt ki A(1, 0) noktası onun graﬁ ine ait olsun.

BAZI L NEER FONKS YONLARIN GRAF KLER ARASINDAK DURUMLAR Anımsa! y = kx fonksiyonun graﬁ i koordinat ba langıcından geçer. u fonksiyonlardan hangisini graﬁ in koordinat ba langıcından geçer: ? u fonksiyonlardan hangilerinin:

u fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat sisteminde göster: Verilen fonksiyonların neleri ortaktır, incele. y = 2x – 3 ve y = 2x + 3 fonksiyonların grafikleri y = 2x fonksiyonunun grafi iyle nasıl durumdadır?

de i ken önündeki katsayıları aynıdır?

ekilde, lineer fonksiyonların grafikleri verilmi tir. Onların de i ken önündeki katsayıları nasıldır? Grafiklerin durumu birbirine göre nasıldır? Verilen lineer fonksiyonların de i ken önündeki katsayıları aynıdır ve grafikleri biribirine paralel olan do rulardır. De i ken önündeki katsayıları aynı olan her fonksiyon için geçerlidir.

Unutma! De i ken önündeki katsayıları aynı olan lineer fonksiyonların graﬁkleri paralel do rulardır. 2.

fonksiyonu veriliyor.

fonksiyonlarından

hangisinin graﬁ i verilen fonksiyonun graﬁ ine paralel olan do rudur? Lineer Fonksiyonlar

111

y = kx – 3 fonksiyonunda k o ekilde belirtilsin ki, elde edilecek fonksiyonun graﬁ i y = 5x – 2 fonksiyonun graﬁ ine paralel olacak bir do ru olsun. 4.

u fonksiyonları aynı koordinat sisteminde graﬁksel ekilde göster: y = x +3; y = -x + 3. y = -2x + 3; Fonksiyonların herbirinin y eksenini kesti i noktanın koordinatlarını belirt. Verilen fonksiyonların neyi ortaktır gözetle.

Fonksiyonların serbest terimlerine bakınız. Onlar birbirine göre nasıldır?

Verilen fonksiyonların serbest terimi +3 olarak hepsinin aynıdır, bilinmeyen önündeki katsayıları ise farklıdır. Onlar ordinat eksenini koordinatları (0,3) noktada kesiyorlar.

Bu özellik n serbest terimleri aynı olan bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma! Serbest terimleri aynı olan lineer fonksiyonların graﬁkleri, ordinat eksenini koordinatları (0, n) olan noktada kesen bir do rudur. u fonksiyonlar verilimi tir:

Bu fonksiyonların hangilerinin graﬁkleri y ekseninde bir noktada kesi iyorlar? Elde edilen noktanın koordinatlarını belirt. fonksiyonun graﬁ i, y eksenini kesti i noktanın koordinatlarını belirt.

a) k = 0, n = 3; b) k = 0, n = 1; ve c) k = 0, n = -2 verilmi olan fonksiyonu yaz. Elde edilen fonksiyonları graﬁksel ekilde göster. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. 7.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Verilen fonksiyonlarda de i ken önündeki katsayıların 0 oldu unu ve onların graﬁklerinin apsis eksenine paralel do rular oldu unu görüyorsun. y = 0 · x + n , y = n fonksiyonunda , x’in her de eri için fonksiyonun de eri n’dir. O halde y = n fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

ncele ve unutma! y = n sabit fonksiyonun graﬁ i x eksenine paralel olan do rudur. Onun graﬁ i y eksenini ( 0, n) noktasında keser.

Bilmen gerekenler: Lineer fonksiyonların grafiklerinin hangi durumda paralel do rular oldu ununu açıklayasın; Hangi durumda lineer fonksiyonların grafikleri y ekseninde aynı noktada kesi ti ini açıklayasın; Sabit fonksiyonu grafiksel ekilde gösteresin.

Kendini yokla! y = 2x – 3 fonksiyonu verilmi tir. u fonksiyonlardan y = -2x + 3, y = 2x – 1 ve hangisinin grafi inde olan do ru: a) verilenlen fonksiyonun grafi iyle paralel do rudur; b) ordinat eksenini, verilen fonksiyonun grafi i ile aynı noktada keser?

Ödevler u fonksiyonlardan hangisinin graﬁ i:

y = 2x + n fonksiyonunda n o ekilde belirtilsin ki, M(0, -1) noktası fonksiyonunun graﬁ ine ait olsun.

y = 3x fonksiyonun grafi iyle paralel olan do rudur? k o ekilde belirtilsin ki y = kx + 2 fonksiyonun grafi i, fonksiyonun grafi iyle paralel olan bir do ru olsun. k ve n o ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafi i y = 2x – 1 fonksiyonun grafi iyle paralel olsun ve ordinat eksenini M(0, -3) noktasında kessin.

k ve n o ekilde belirtilsin ki, y = kx + n fonksiyonun grafi i y = -2x – 1 fonksiyonun grafi iyle paralel olsun ve P(-2, 6) noktası fonksiyonun grafi ine ait olsun.

y = -3; y = 2 ve y = 4 fonksiyonlarını graﬁksel ekilde aynı koordinat sisteminde göster.

Lineer Fonksiyonlar

113

L NEER FONKS YONUN ARTMASI VE EKS LMES y = 3x – 2 lineer fonksiyonu verilmi tir. x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyonu graﬁksel ekilde göster. x de i kenin artmasıyla fonksiyonun de erleri nasıl de i ir?

Anımsa! ekilde Oxy koordinat sistemi gösterilmi tir.

Çözümünüzü verilen çözümle kar ıla tır. y = 3x - 2

x ekseninde gösterilen sayılar soldan sa a do ru büyüklüklerine göre nasıl de i iyorlar? y ekseninde gösterilen sayılar yukardan a a ıya do ru büyüklüklerine göre nasıl de i iyorlar?

Tablodan farkedebilirsin ki: e er de i kenin de eri artarsa fonksiyonun da de eri artar.

Bu nedenle y = 3x – 2 fonksiyonuna artandır denir.

Genel olarak y = kx + n lineer fonksiyonunda de i kenin de erlerinin artmasıyla y fonksiyonunun da de eri artarsa, lineer fonksiyon artandır denir. y = 4x – 1 fonksiyonu verilmi tir x ‫{ א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyon artan mıdır? Sa lamasını yap.

y = -2x + 1 fonksiyonu verilmi tir. x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere fonksiyonu tablo ile ve graﬁksel ekilde göster.

De i kenin de erinin artmasıyla fonksiyonun de erleri nasıl de i ir?

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Çözümünü verilen çözümle kar ıla tır

Tablodan görüldü ü gibi: x de i keninin artmasıyla y fonksiyonunun de eri azalır. Bu nedenle y = -2x + 1 fonksiyonuna eksilendir denir.

Genel olarak y = kx + n lineer fonksiyonunda, x de i kenin artmasıyla fonksiyonun de eri azalırsa, lineer fonksiyona eksilendir denir.

y = -3x + 2 fonksiyonu verilmi tir. x ‫{ א‬0, 1, 2, 3} olmak üzere fonksiyonu tablo ile göster. Fonksiyon eksilen midir? Sa lamasını yap.

u fonksiyonların de i ken önündeki katsayısı nasıl sayıdır (pozitif veya negatif): y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 (ödev 1 ve 2’den). u fonksiyonların de i ken önündeki katsayısı nasıl sayıdır: y = -2x + 1 ve y = 3x + 2 (ödev 3 ve 4’ten). Fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir? Verilen fonksiyonlar için nasıl sonuca vardın: onlar ne zaman artan, ne zaman ise eksilendirler?

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1 fonksiyonlarında de i ken önündeki katsayı pozitif sayıdır, dolayısıyla onlar artan fonksiyonlardır. y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonlarında de i ken önündeki katsayı negatif sayıdır, dolayısıyla onlar eksilen fonksiyonlardır.

y = 3x – 2 ve y = 4x – 1, ya da y = -2x + 1 ve y = -3x + 2 fonksiyonları için farkettiklerin genel olarak bütün lineer fonksiyonlar için geçerlidir.

Unutma! y = kx + n fonksiyonunda k sayısı pozitif ise fonksiyon artandır, e er k < 0 ise fonksiyon eksilendir. E er k = 0, o zaman fonksiyon y = n ne artan ne de eksilendir.

u fonksiyonlardan hangileri artan hangileri ise eksilendir:

Lineer Fonksiyonlar

115

Bilmen gerekenler: Bir fonksiyonun artan veya eksilen oldu unu tespit et; Bir fonksiyonun artan ya da eksilen oldu unu belirtmek için uygulanan te ebbüsü açıklayasın.

Kendini yokla! Tablodan verilen fonksiyonun artan veya eksilen oldu unu belirt.

Verilenlere göre y = kx + n fonksiyonu artan veya eksilendir, e er:

Ödevler Verilen fonksiyonlardan hangileri artandır:

y = 2px – 1 fonksiyonunu graﬁksel ekilde göster, ondan sonra artan veya eksilen oldu unu belirt.

Verilen fonksiyonlardan hangileri eksilendir:

y = ( a – 3)x + 1 fonksiyonunu graﬁksel

olmak üzere k’nın hangi de eri için y = kx + n fonksiyonu: a) artan;

b) eksilendir.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

ekilde göster, ondan sonra artan veya eksilen oldu unu belirt.

y = kx + n fonksiyonu y eksenini P(0, 2)

noktasında keser ve A(1, -1) noktasından geçer. Fonksiyonun artan mı yoksa eksilen mi oldu unu tespit et.

B R B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER N GRAF KSEL Ă&#x2021;Ă&#x2013;ZĂ&#x153;MĂ&#x153; AnÄąmsa!

y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonu verilmi tir.

Fonksiyonun sÄąfÄąrÄą de i kenin de eridir ve ona gĂśre fonksiyonun de eri sÄąfÄąra e it olur. y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt. y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 fonksiyonun x eksenini kesti-

i noktanÄąn koordinatlarÄąnÄą belirt.

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄą yardÄąmÄąyla nasÄąl belirteceksin?

Fonksiyonu graďŹ ksel ekilde gĂśster. GraďŹ kten fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirt. 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź belirt. y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą ve 3xâ&#x20AC;&#x201C;6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź kar Äąla tÄąr.

y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonunu graďŹ ksel ekil-

de gĂśsterdikten sonra graďŹ in x ekseniyle kesi im noktasÄąnÄąn koordinatlarÄąnÄą belirtece im. Ă&#x2013;yle ki, bu ekilde fonksiyonun sÄąfÄąrÄąnÄą belirtece im, ki bu sayÄą 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźdĂźr.

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr. GraďŹ in ve x - ekseninin kesi imi M(2, 0) noktasÄądÄąr. y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun sÄąfÄąrÄą x = 2 â&#x20AC;&#x2DC;dir.

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź

3x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź, y = 3x â&#x20AC;&#x201C; 6 fonksiyonun graďŹ i ve x ekseninin kesti i noktanÄąn apsisidir, yani x = 2. Bu Ăśzellik genel olarak bĂźtĂźn lineer denklemler iĂ§in geĂ§erlidir.

ncele ve unutma! ax + b = 0 denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂź, a 0 iĂ§in, yani y = ax + b fonksiyonunun x - ekseninin kesti i noktanÄąn apsisidir.

x + 2 = 0 denklemini graďŹ ksel ekilde Ă§Ăśz.

Lineer Fonksiyonlar

117

2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde gĂśster.

2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde Ă§Ăśzmek iĂ§in, Ăśnce onu ax + b = 0 genel ekilde dĂśnĂź tĂźrmelisin. A a Äąda gĂśsterildi i gibi hareket et, bununla bu gibi denklemlerin graďŹ ksel ekilde Ă§ĂśzĂźmĂź iĂ§in ikinci bir yĂśntem ke fet. 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = - x + 3 denklemini Ă§Ăśz. Denklemin sa ve sol tarafÄąndaki ifadelerle y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 ve y = - x + 3 fonksiyonlarÄąnÄą yaz ve graďŹ ksel ekilde gĂśster. Denklemin Ă§ĂśzĂźmĂźnĂź, bu iki graďŹ in kesi im noktasÄąnÄąn apsisiyle kar Äąla tÄąr. Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr.

Farketti in gibi, fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri M(2, 1) noktasÄąnda kesi iyorlar. M noktasÄąnÄąn apsisi x = 2â&#x20AC;&#x2122;dir. Bu ise 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = -x + 3 denkleminin Ă§ĂśzĂźmĂźdĂźr. Her iki fonksiyonun bilinmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄą birbirinden farklÄądÄąr (2 -1). GraďŹ klerin bir ortak noktalarÄą vardÄąr, buna gĂśre de denklemin bir tek Ă§ĂśzĂźmĂź vardÄąr. 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = x + 1 denklemini graďŹ ksel ekilde Ă§Ăśz. 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 = 2x + 3 denklemini graďŹ ksel ekilde Ă§Ăśz. Elde edece in fonksiyonlarÄąn bilinmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄąnÄą kar Äąla tÄąr. Ne farkediyorsun? GraďŹ klerin birbirine gĂśre durumu nasÄąldÄąr?

y = 2x -1 ve y = 2x + 3 fonksiyonlarÄąn bi-

linmeyen ĂśnĂźndeki katsayÄąlarÄą e it, serbest terimleri ise farklÄądÄąr. Bu fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri paralel do rulardÄąr, yani onlarÄąn ortak noktasÄą yoktur.

Elde etti in Ă§ĂśzĂźmĂź verilenle kar Äąla tÄąr.

y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 ve y = 2x + 3 fonksiyonlarÄąn graďŹ kleri paralel do -

rulardÄąr. OnlarÄąn ortak noktasÄą yoktur. Buna gĂśre denklemin de Ă§ĂśzĂźmĂź yoktur. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Verilen denklemlerden hangisinin çözümü yoktur?

2x + 1 = 2x + 1 denklemini graﬁksel ekilde çöz. Denklemin sol ve sa taraﬂarındaki elde etti in fonksiyonların katsayılarını ve serbest terimlerini kar ıla tır. Ne farkediyorsun?

y = 2x + 1 ve y = 2x + 1 fonksiyon-

larının bilinmeyen önündeki katsayıları ve serbest terimleri birbirine e ittir. Buna göre onların graﬁkleri çakı ıktır.

Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. 2x + 1 = 2x + 1 denklemi özde liktir.

Farketti in gibi, fonksiyonların graﬁkleri çakı an do rulardır ve denklemin sonsuz çok çözümleri vardır. Verilen denklemlerden 3x – 1 = 2x + 1; 3x – 2 = 3x + 1; 5x – 1 = 5x – 1 hangisinin a) bir tek çözümü vardır; b) çözümü yoktur; c) sonsuz çok çözümleri vardır.

Bilmen gerekenler: Bir bilinmeyenli lineer denklemi graﬁksel ekilde çözmen; Graﬁkten denklemin bir çözümü oldu unu, hiçbir çözümü olmadı ını, yoksa sonsuz çok çözümün oldu unu tespit etmen.

Kendini yokla! ekilden yararlanarak 2x – 1 = x + 1 denkleminin çözümünü belirt. Verilen her denklemin kaç çözümü oldu unu belirt:

Ödevler Denklemi graﬁksel ekilde çöz:

2x – 3 = kx + 1 denkleminde k öyle bir ekilde belirtilsin ki denklemin çözümü olmasın.

Denklemi graﬁksel ekilde çöz: Lineer Fonksiyonlar

119

y = kx + n fonksiyonunda k ve n o ekilde belirtilsin ki, kx + n = 2x + 3 denkleminin sonsuz çok çözümleri olsun.

Dene... Tolstoy biçicileri Bir grup biçici 2 çayırı biçmeliymi . Biri di erinden iki defa daha büyüktür. Tüm biçiciler yarım gün büyük çayırda beraber biçtikten sonra iki e it gruba ayrılmı lar. Birinci grup büyük çayırı biçmeye devam ederek ak ama kadar bütün çayırı biçmi ler. kinci grup ise küçük çayırı giderek biçmeye devam etmi ler, fakat günün sonunda çayırın bir kısmı biçilmemi kalmı . Kalan kısmı bir biçici ertesi gün bütün gün çalı arak bitirmi tir. Grupta kaç biçici varmı ?

V E R L E R L E L E M L E R RASTGELE OLAY. OLAYIN OLASILI I Anımsa! Bir futbol takımı bir maç oynuyor. Sonuç ile ilgili olarak: zafer, yenilgi ya da berabere çıkabilir. Bir kutuda beyaz, siyah ve kırmızı topça ızlar var. Bir topça ız çıkartılır. Çekili in sonuçları hangileri? Bir oyun zarı masaya atıldı ında ve onun durulmasından sonra bır tarafı yukarıdadır. O tarafta bulunan noktaların sayısı ile hangi sonuçlar mümkündür?

Caner bir demir parayı havaya atmı . Bu atı ta paranın yere dü mesiyle onun yukarıki tarafında iki mümkün olay olabilir: “yazı” ya da ”tura”. Kaç mümkün sonuç var? Caner “yazı”nın çıkmasını ister, yani onun için güzel sonuç “yazı”dır. “yazı”nın “tura”ya göre dü mesinin ansları ne? Demir paranın havada atılması kaç defa tekrarlanabilir? Demir paranın havaya atılması bir deneme‘dir. 52 karttan olu an bir desteden bir kartın çekili i deneme için ba ka bir örnektir. Her sonuç verilen deneme E ile olay gibi adlandırılır, ki bu her denemeye ba lıdır.

Demir paranın havaya atılması deneyinde “yazı” veya “tura”nın çıkmasının e it ansları vardır. Böyle olaylar e it mümkünlü olaylardır. “Demir paranın havaya atılı ı” yani E denemesi aynı artlar üzerinde tekrarlanabilir, yani bizim istedi imiz kadar. Buna göre n denemeler dizisi yapılabilir. Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Bu denemelerden A olayını gözetleyelim: “tura dü tü”. p(A) ile denemede A olayının n deneme dibisinde sayısını i aret edelim. Aslında, tabloda A olayının 100’er denemeden olu an 5 dizide “tura dü tü” sonucunun gözetlenmesi verilmi tir.

yani

her bir dizi

için olan bölümü incele. sütununda sayıların 0,5 sayısına yakın olduklarını göre-

Seri

bilirsin. E er dizideki denemeleri büyütürürsek, o zaman bölümün sayısı 0,5’e daha yakın olacaktır. Bu sayı A olayının istatistik de eridir. Gerçekle tirilen dizilerden

bölümüne yakınla an sa-

yılara A olayının istatistik olasılı ı denir. V(A) ile i aret edilir. E er n denemeden bir diziyi gözetlersek, o zaman p(A) sayısı A olayında en az 0 veya en çok n olabilir, yani 0 p(A) n. E er bunu n ile bölersek

yani

elde edece iz. n denemesinin her bir dizisi için

sayısı 0 ve 1 arasında oldu unu gördün. Buna göre

A olayının istatistik olasılı ı 0 ve 1 arasındadır, yani 0 V(A) 1. A olayı: “tura dü tü” “demir paranın havaya atılı ı” denemesinde rastgele olay gibi adlandırılır.

Genel olarak A a ıda verilen iki ko ul geçerli ise, bir A olayı E denemesinde rastgele olaydır. E denemesi aynı artlar üzerinde istedi imiz kadar tekraranabilir. E denemesinin birçok gerçekle tirilen dizilerinde

’nin yakla ık e it bölümleri

vardır. Ceyda’nın çarkıfelek denilen yeni oyunca ı vardır. E er oku döndürürse, üç olay mümkündür: ok ya kırmızı, ya sarı ya mavi bölgeyi gösterecektir. Her bölgenin büyüklü üne dikkat et. Her olayın e it olasılı ı var mıdır? Hayır ise, hangi olay en çok mümkündür? Lineer Fonksiyonlar

121

Olayların e it olasılı ı yoktur, çünkü boyalı olan üç bölge aynı büyüklükte de ildir. Okun kırmızı bölgeyi gösterme ansı en büyüktür, çünkü kırmı bölgenin en büyük alanı vardır. Demek ki okun kırmızı bölgede durulması en mümkün veya en ihtimalli olaydır. Denemelerle ilgili ekilleri incele. Her deneme için unları yaz: Mümkün olaylar; Olay e it olasıklı mıdır; Olaylar e it olasıklı de ilse hangisin ihtimali en çoktur.

Çarkıfelekte okun dönmesi

Yüzleri A, B, C, Ç, D, E harﬂeriyle i aretlenen zarın atılı ı

Basket topunun atılı ı

Çarkıfelekte okun dönmesi

Aynı anda atılan kırmızı ve mavi zar (olaylar düzenli çiftlerdir)

ki denarlık demir paranın atılı ı

Bir denemenin sonucu, kesin olay, imkansız olay veya mümkün (ihtimalli) olay olabilir. u örnekleri incele: Renkli topça ızlarla dolu üç kutu verilmi tir. Topça ızlara bakmadan çekilen topça ızların sayısı her kutu altında yazılıdır.

Ç NDE

Siyah topça ızın çekili i mümkündür. Kırmızı topça ızın çekili i imkansızdır.

Ç NDE

Kırmızı ya da siyah topça ızın çekili i mümkündür. Beyaz topça ızın çekili i imkansızdır.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

Ç NDE

Kırmızı ya da siyah topça ızın çekili i mümkündür. Kırmızı topça ızın kara topça ıza göre çekili i daha çok mümkündür.

Bir olayın meydana geli i kesin ise, onun olasılı ı 1’dir, veya 100%’dür deriz. Örnek, birinci kutudan siyah topca ızın çıkması. Bir olayın meydana geli i imkansız ise, onun olasılı ı 0’dır deriz. Örnek, ikinci kutudan beyaz topça ızın çıkması. Bütün di er olasılıklar 0 ile 1 arasındadır. Örnek, üçüncü kutudan çekilen kırmızı bilye gibi.

Olasılık basama ını gözet. imkansız

kesin

e it mümkünlü

az ihtimalli

çok olasılıklı

Olasılık basama ından faydalanarak, a a ıdaki listede her bir olay ile ilgili cevabı yaz:

Yarın Mars’a yolcusun.

Bu ak am matematikten ev ödevini yazacaksın.

Senin tüm arkada ların yarın okula gidecekler.

Bugün ya mur ya acak.

Bu yıl bir yanarda aktif olacak.

A ustos'ta kar ya acak.

7 8

Bu yıl ya mur ya acak. Plastik i eyi fırlatırsan, kırılacaktır.

Vapurla Üsküp’ten Manastır’a gideceksin.

e it mümkünlü

az ihtimalli

Olay

kesin

çok olasıklı

a) Olayın gerçekle mesi için olasılı ın ne kadar oldu unu u sözlerle ifade et: imkansız, az ihtimalli, e it mümkünlü, çok olasılıklı, kesin; b) Verilen basamak gibi sen de bir basamak çiz ve olayın olasılık derecesine göre üzerinde 1, 2, 3, ... 10, ile olayları i aret et; c) Herbir cevabı açıkla.

10 Bir zar atarsan 5 dü ecektir imkansız

Lineer Fonksiyonlar

123

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Mümkün ve mümkün olmayan olayları farketmeni; Rastgele olay hangi olay oldu unu açıklamayı; Olasılık de eri 0, 0 ve 1 arası ve 1 olan olaylar için örnekler sunmayı; Daha basit denemelerde olayın olasılık de erini belirtmelisin.

Birer örnek yaz: Olasılık de eri 0 olan olay; Olasılık de eri 0,5 olan olay; Olasılık de eri 1 olan olay.

Ödevler 3. ANANAS sözünün her harﬁni birer

Çarkıfeleklere dikkat et:

kartta yaz. Kartları karı tır ve bakmadan bir kart çek. u çekili olasılıklarını açıkla: a) N harfı; b) A harfı; c) A ya da N harfı; ç) S harfı. ANA adını kesinlikle elde etmek için en az kaç kart çekmelisin?

ç)

Okun mavi bölgede durması olayının do ru olasılık sırası a a ıdakilerden hangisi olabilir? a ç a c

b c c b

c b b ç

ç; a; ç; a.

Bir torbada 2 mavi ve 3 turuncu küp vardır. Çekili in olasılı ını yaz:

Dene: Bir çekmecede siyah ve kırmızı çoraplar var. Sedat, bakmadan kesinlikle aynı renkte bir çift çorap çekmek için çekmeceden kaç defa birer çorap çekmelidir ?

Mavi küp; Turuncu küp; Ya mavi ya da turuncu küp; Sarı küp.

Konu 2. Lineer denklemler e itsizlikler ve lineer fonksiyon

L NEER DENKLEM, L NEER E TS ZL K VE L NEER FONKS YON Ç N OKUDUN. B LD KLER N KONTROL ET x = 3 de eri 3x – 2 = x + 4 denkleminin çözümü olup olmadı ını yokla.

E itsizli i çöz:

5x – 3 = 2x + 3 denkleminin çözümü x = 2 ‘dir. u denklemlerden hangisinin verilene denk oldu unu yokla: Çözümü aralıkla ve graﬁksel biçimde göster. Verilen e itsizlikler sistemini çöz:

Denklemi çöz:

ax + 4 = 5x – a + 11 denkleminde a öyle bir ekilde belirtilsin ki, x = -2 denkleminin çözümü olsun. Ardı ık üç do al sayının toplamı 84’tür. Onlar hangi sayılardır? A yerinden B yerine gitmek için saatte 50 km hızla bir kamyon hareket etmi . ki saat sonra A yerinden saatte 75 km hızla bir otomobil hareket etmi tir. Otomobil, kamyonu B yerinde yeti tirmi . A ve B yerleri arasındaki uzaklı ı belirt.

Sistemin çözümünü aralıkla ve grafiksel ekilde göster. y = 2x – 3 lineer fonksiyonu verilmi tir. Fonksiyonu grafiksel ekilde göster. Fonksiyonun sıfırını belirt. y = 2x – 3 fonksiyonu verilmi tir. A(0, -3), B(1, 1) ve C(2, 1) noktalarından hangisi fonksiyonun grafi ine ait oldu unu belirt. y = 2x + n fonksiyonunda n öyle bir ekilde belirtilsin ki M(1, -1) noktası fonksiyonun grafi ine ait olsun.

x = -1 de eri 3x2 – 2x > x + 3 e itsizli inin çözümü olup olmadı ını yokla.

u fonksiyonlardan hangileri artan, hangileri ise eksilendir:

D = {0, 1, 2, 3} kümesinde 2x – 1 > x – 2; 3x + 1 > 2x – 3 e itsizlikleri verilmi tir. Verilen e itsizliklerin denk olup olmadıklarını kontrol et.

Verilen denklemi graﬁksel ekilde çöz 3x – 1 = x + 3.

Bildiklerini kontrol et

125

KONU 3.

L NEER DENKLEMLER S STEM

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER 1. ki bilinmeyenli lineer denklermler 128 2. Denk iki bilinmeyenli lineer denklemler 131 K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER S STEM 3. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 4. ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin graﬁksel çözümü

134 138

5. ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin yerine koyma metoduyla çözümü 6. ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin ters katsayılar metoduyla çözümü 7. ki bilinmeyenli iki lineer sisteminin uygulanması 8.Dirihle prensibine göre problemlerin çözümü Bildiklerini kontrol et

141

145 148 153 157

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER K B L NMEYENL L NEER DENKLEM Anımsa! Bilinmeyenlerin sayısına göre bir denklem: - Bir bilinmeyenli; - ki bilinmeyenli vb. olabilir Bilinmeyenin derecesine göre denklem: - Lineer (birinci derece denklem); - Kareli (ikinci derece denklem); - Küplü (üçüncü derece denklem) vb. olabilir. Bir denklemin parametreleri olup olmadı ına göre: - Parametreli denklem; - Özel katsayılı denklem olabilir. Denklemleri incele: Verilen her denklemin bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin derecesine göre cinsini belirt. Onlardan hangisi parametreli denklemdir?

Hasan ve Mustafa’nın beraber 9 tane ekeri var. Hasan’ın kaç tane, Mustafa’nın ise kaç tane ekeri var? Ödevin kaç çözümü olabilir? Ödevin u çözümlerini gözetle: Hasan Mustafa

(0, 9) sıralı çifti Hasan’ın 0 ekeri, Mustafa’nın 9 ekeri oldu u çözüm olsun. Birinci eleman Hasan’ın eker sayısı, ikinci eleman ise Mustafa’nın eker sayısını gösterecek ekilde di er çözümlere ait tüm sıralı çiftleri yaz. x sayısı Hasan’ın eker sayısı, y ise Mustafa’nın eker sayısı olsun. Hasan’ın ve Mustafa’nın beraber 9 ekeri vardır tümcesi x + y = 9 formülü gibi yazılabilir.

x + y = 9 denkleminde x ve y bilinmeyenlerin de erleri, toplamı 9 hangi de erleri x, hangi- olan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesilerini de y alabilir? nin elemanıdır. A = {0, 1, 2, 3, ..., 9} kümesinin elemanlarına x + y = 9 denkleminin tanım kümesi denir. R = {(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)} sıralı çiftlerin kümesine ise x + y = 9 denkleminin çözümler kümesi denir. x + y = 9 denklemi, bilinmeyenlerin sayısına göre 2 bilinmeyenli, bilinmeyenlerin derecesine göre ise lineer oldu unu gözetle. Bilinmeyenlerin sayısına göre ve bilinmeyenlerin derecesine göre 2x – y = 5 denkleminin cinsini belirt. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bir denklemin tanım kümesi verilmemi oldu u durumda, onun tanım kümesi R reel sayılar kümesi oldu unu sayaca ız.

Unutma! a, b ve c reel sayılar (katsayılar)- x ve y ise reel bilinmeyenler olmak üzere, ax + by = c eklinden denklemine iki bilinmeyenli lineer denklem denir. 4x + 3y = 9 denklemini gözetle. Bu denklem birinci derece iki bilinmeyenli denklemdir; bilinmeyenleri x ve y ve katsayıları 4, 3 ve 9 sayılarıdır.

2. 3x + y = 7 denklemi verilmi tir. Denklemi do ru sayı e itli ine dönü türecek x ve y için birkaç de er bul. u örne i gözetle: x = 1 ve y = 4 de erleri ile 3x + y = 7; 3 · 1 + 4 = 7; 7 = 7 elde edilir. (x, y) = (1, 4) sıralı çifti denklemin bir çözümü oldu unu gör.

(x, y) sıralı çifti verilen denklemin çözümü olup olmadı ını yokla, e er: a) x = 2 ve y = 1; c) x = 4 ve y = –5; b) x = 1 ve y = 3; ç) x = –1 ve y = 10.

ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü, denklemi do ru sayı e itli ine dönü türen her reel sayı çiftidir. M = {(x, y) | x, y ‫ א‬R ve 3x + y = 7} kümesi 3x + y = 7 denkleminin çözümler kümesidir.

(x, y) = (4, -6) sıralı çifti

denkleminin çözümü olup olmadı ını yokla.

3(u – 2) = 2(1 – v) denklemi, u = 0 ve v = -5 için do ru sayı e itli ine dönü ür mü?

4. x – 2y = 4 denklemi verilmi tir. Onun üç tane çözümünü belirt. Çözüm kaidesini takip et. x için tahminen bir reel sayı seçilir. Örne in, x = 3 olsun. x’in de eri 3 – 2y = 4 denkleminde de i tirilir. Elde edilen bir bilinmeyenli lineer denklem çözülür; yani:

Demek ki,

sıralı çifti verilen denklemin bir çözümüdür.

Gösterilen yönteme göre, verilen denklemin daha 2 çözümünü belirt. ki bilinmeyenli lineer denklemler

129

Bilmen gerekenler: Hangi denklemin 2 bilinmeyenli lineer denklemdir; ki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünü belirtesin.

Kendini yokla! x + 5 = y – 3; y – 7x = 10 ve 9 = 2y denklemlerinden hangisi 2 bilinmeyenli lineer denklemdir? (1, 6) sıralı çifti 3x – y = -3 denkleminin çözümü müdür?

Ödevler Verilen her denklemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını yaz:

ki bilinmeyenli lineer denklemde bilinmeyenlerden biri, verilen bir sayı de eriyle de i tirildikten sonra, denklem: a) do ru sayı e itsizli ine dönü ür; b) bir bilinmeyenli lineer denkleme dönü ür; c) iki bilinmeyenli lineer denkleme dönü ür;

a) (4, -6) sıralı çifti denkleminin çözümü mü-

ç) lineer e itsizli e dönü ür. Bu iddialardan hangisi do rudur?

dür? b) (0, ,5) sıralı çifti 3(u – 2) = 2(1 – v) denklemin çözümü müdür? (x, y) sıralı çiftinde bilinmeyen elemanı o ekilde belirt ki, kar ılık gelen denklem do ru sayı e itli ine dönü sün. a) b) c)

Konu 3.

denklem denklem denklem

Lineer denklemler sistemi

2x + y = -1, x ‫{ א‬-2, -1, 0, 1, 2} olmak üzere, denklemin çözümlerini belirtiniz. 3(x + y) = 2x – 3 denkleminde verilen sıraya göre istenilen i lemleri yap. 1o denklemdeki parantezlerden kurtul; 2o bilinmeyen terimleri e itlik i aretinin sol tarafına, bilinmeyeni olmayan terimleri ise sa tarafta yaz. 3o sol taraftaki ifadeyi normal ekile dönü tür. Hangi denklem elde edilecek?

K B L NMEYENL DENK L NEER DENKLEMLER Anımsa! ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü hangi sıralı çifttir?

u denklemlerin y = 4 için çözümünü belirt: ve

(x, y) = (-1, 2) sıralı çifti 2x – y = -4 ve 3x – y = x – 4 denklemlerin çözümü müdür?

için Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır. Çözüm:

Çözüm: (

, 4) sıralı çifti, hem A hem de B denkleminin çözümüdür.

x için bir de er seç ve o de er için A ve B denklemlerinin çözümünü belirt. Ne farkediyorsun?

3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin x ‫{ א‬-1, 0, 1, 2} için çözümlerinin aynı olup olmadı ını yokla: x = -1 için yapılan i lemi gözetle:

ncele ve unutma ki bilinmeyenli iki denklemin çözümleri aynı ise, onlar denk denklemlerdir. Bir bilinmeyenli lineer denklemlerde oldu u gibi, iki bilinmeyenli lineer denklemlerde de dönü ümler yaparak denklem ax + by = c en sade ekilde dönü türülebilir. Denklemlere yapılan dönü ümleri incele. P1

ve P2 ki bilinmeyenli lineer denklemler

131

(T) Dönü ümü

Denklem D2;

Denklem D1;

T1: Denklemin bir tarafı kendine denk bir ifadeyle de i tirilir T2: Denklemin her terimi bir taraftan di er tarafa ters i aretle geçebilir: bilinmeyenler sol tarafa, bilinenler ise sa tarafa

T3: Denklemin iki tarafı sıfırdan farklı aynı bir sayıyla çarpılır. Fark etti in gibi çe itli dönü ümlerden yararlanarak D1 ve D2 denklemleri: x + 2y = 5 ve 7x + 6y = 15 ekline dönü ür, yani ax + by = c. Artık bu ekilde olan denklemlerin çözümünü daha kolay bulabilirsin. x = k, k ‫ א‬R, için denklemin çözümler kümesi belirtilir:

a) k = 0; b) k = 2; c) k = 4 için D1 ve D2 denklemlerin çözümünü belirt. Denklemin çözümler kümesini belirt:

a) y = 3x – 5;

b) x – 1 = 3x – y.

4. – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt, ondan sonra dik açılı koordinat sisteminde graﬁksel bir ekilde göster. Yapılan i lemi incele ve elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. – 2x + y = 1 ֞ y = 2x + 1; x = k, k ‫ א‬R, y = 2k + 1. Denklemin çözümler kümesi {(k, 2k + 1) l k ‫ א‬R} ‘dir. R(– 2x + y = 1) = {(k, 2k + 1) l k ‫ א‬R} eklinde yazıyoruz. a) k = -1; b) k = 0; c) k = 1 için denklemin çözümünü belirt. R kümesinde – 2x + y = 1 denklemiyle y = 2x + 1 lineer fonksiyonun belirtildi ini görebilirsin. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ekilde y = 2x + 1 lineer fonksiyonu graﬁksel ekilde gösterilmi tir. Lineer fonksiyonun graﬁ ine ait (x, y ) sıralı çiftleri y = 2x + 1 denkleminin de çözümleridir. Bu çiftler – 2x + y = 1 denklemin nesidir?

– 2x + y = 1 ֞ y = 2x + 1 oldu una göre, y = 2x + 1 fonksiyonuna ait herhangi noktanın koordinatlarının sıralı çifti – 2x + y = 1 denkleminin de çözümüdür.

Farketti in gibi, y = 2x + 1 lineer fonksiyonun graﬁ iyle – 2x + y = 1 denkleminin çözümler kümesi gösterilmi tir. Buna denklemin graﬁ i denir. A(-1, -1); B(0, 1); C(1, 3) ve D(2, 5) noktaların koordinatları olan sıralı çiftler – 2x + y = 1 denkleminin çözümü olup olmadı ını yokla.

5. 3x – y = 1 denkleminin çözümler kümesini belirt. (- 1, - 4) sıralı çifti denkleminin çözümü olup olmadı ını yokla. Denklemin çözümler kümesini graﬁksel ekilde göster. Denklemin graﬁ inden S (2, ) noktasının ikinci koordinatını bul. Elde edilen sıralı çift 3x – y = 1 denkleminin de çözümü oldu unu görebilirsin.

Bilmen gerekenler: Hangi iki bilinmeyenli lineer denklemler denktir; Verilen iki bilinmeyenli lineer denkleme denk denklem elde edilmesi için dönü ümlerden yararlanasın; Denklemin çözümler kümesini belirtesin; Denklemin çözümler kümesini graﬁksel gösteresin.

Ödevler

Kendini yokla! Dönü ümlerden yararlanarak x + 2y = 6 denklemi denklemiyle denk olup olmadı ını kontrol et. ki bilinmeyenli lineer denklemin {(k, k - 1) l k ‫ א‬R} çözümler kümesini graﬁksel göster. Verilen her denklemin çözümler kümesini belirt ve graﬁksel ekilde göster:

Denklemin çözümler kümesini belirt:

Denk dönü ümler uygulayarak verilen her denklemi ax + by = c biçiminde dönü tür;

p parametresinin de erini o ekilde belirt ki (0, 1) sıralı çifti (p – 5)x – 3p – 1)y = 5 – p denklemin çözümü olsun.

ki bilinmeyenli lineer denklemler

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER S STEM K B L NMEYENL K L NEER DENKLEM S STEM Anımsa! Hangi denklem iki bilinmeyenli lineer denklem denir? Verilen iki bilinmeyenli lineer denklemin çözümler kümesini belirt. Denklemin kaç çözümü var?

nci ve Merve’nin birer balık akvaryumu vardır. ki akvaryumdaki balıkların toplamı 10’dur. nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarındaki balık sayısının farkı 4’tür. nci’nin ve Merve’nin akvaryumlarında kaçar balık vardır?

Çözümü incele: nci’nin akvaryumunda x balık, Merve’nin akvaryumunda ise y balık olsun. Ödevin birinci ko uluna göre: x ve y de i kenleri A = {1, 2, 3, ..., 9} kümesinden de erler alıyorlar, neden? Tabloda denklemin çözümleri verilmi tir. kinci ko ula göre: Tabloyu gözetle ve çözümleri gör. Bir akvaryumda 7 balık ( nci’nin), di erinde ise (Merve’nin) 3 balık var. Onların toplamı 7 + 3 = 10, farkı ise 7 – 3 = 4 tür. Elde edilen (x, y) sıralı çiftlerinden hangisi iki denklemin ortak çözümü oldu unu belirt. (x, y) = (7, 3) sıralı çifti x + y = 10 ve x – y = 4 denklemlerinin ortak çözümüdür. Demek ki, bu ödevi çözerken her iki bilinmeyenli lineer denklemin ortak çözümünü belirttin, yani onların çözümler kümelerinin kesi imini belirttin.

Unutma! ki bilinmeyenli iki lineer denklemin ortak çözümü arandı ı zaman, yani onların çözüm kümelerinin kesi imine iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi denir. biçiminde yazılır; burada x ve y bilinmeyenler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 reel sayılardır (katsayılardır).

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Ödev 1’deki denklemleri sistem biçiminde yaz ve sistemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını belirt. Sistemi incele: Bilinmeyenleri adlandır.

Sistemin katsayılarını belirt.

(x, y) = (2, -1) sıralı çiftin 3x + 2y = 4 denkleminin çözümü oldu unu yokla. (x, y) = (2, -1) sıralı çiftin x – y = 3 denkleminin çözümün oldu unu yokla. (2, -1) sıralı çifti sistemin iki denkleminin ortak çözümü oldu unu gözetle, yani (x, y) = (2, -1) sıralı çifti sistemin çözümüdür. Genel olarak, iki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümü, her iki denklemin ortak çözümü olan sıralı çifttir. (-2, 3) sıralı çifti verilen sistemlerden hangisinin çözümü oldu unu yokla:

u sistemler verilmi tir:

Anımsa! Verilen bir sistemde, e itsizliklerden biri, kendine denk olan bir e itsizlikle de i tiriliyorsa, verilene denk olan e itsizlik sistemi elde edilir. Neden sistemi

sistemiyle denktir?

ki bilinmeyenli iki lineer denklemin çözümler kümeleri e it ise, onlara denk denklemler denir. 3(x + 2y) = 5y + 1 ve 3x + y = 1 denklemlerin denk olduklarını yokla.

A sisteminin çözümler kümesi, x + y = 5 denkleminin {(k, 5 – k) | k ‫ א‬R} çözümleri ve 3x – y = 3 denkleminin {(k, 3(k – 1) | k ‫ א‬R} çözümlerinin kesi imidir. Çözüm kümelerinin kesi imini sıralı çiftlerin elemanlarının e itlenmesiyle belli edeceksin. Birinci elemanlar e ittir, yani k = k. kinci elemanların k’yı belirt yani 5 – k = 3(k – 1) denklemini çöz. (x, y) = (2, 3) sıralı çifti A sisteminin çözümü olup olmadı ını yokla. B sisteminin çözümler kümesi: y = 5 – x {(k, 5 – k} | k ‫ א‬R} denkleminin çözümleri ve 3x – y = 3 {(k, 3k – 3) | k ‫א‬ R} denkleminin çözümlerinin kesi imidir.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

B sisteminin denklemlerinin çözüm kümelerinin kesi imi hangisidir? (x, y) = (2, 3) sıralı çiftin B sisteminin çözümü olup olmadı ına yokla. B sistemindeki denklemlerin A sistemindeki denklemlerle aynı çözümler kümesi oldu unu farkedebilirsin. Bu iki sistemin çözüm kümeleri e ittir. (x, y) = (2, 3) sıralı çifti hem A hem de B sisteminin çözümüdür. E er iki sistemin çözüm kümeleri e itse, o zaman onlar denktir. A sistemi

ve B sistemi

denktirler

B sistemindeki denklemlerden hangisi A sistemindeki x + y = 5 denklemine denktir ve hangi dönü üm yapılarak elde edilmi tir? Verilen bir sistemin denklemlerinden herhangi biri, kendine denk bir denklemle de i tiriliyorsa, verilene denk olan sistem elde edilir. A a ıdaki denklemler sisteminin denk olduklarını gör ve nedenini açıkla:

Denk dönü ümler uygulayarak verilen her sistem kendine denk olan ve çözümü do rudan do ruya okunabilen

eklinde sisteme dönü ebilir.

(x, y) = (a, b) sıralı çifti verilen sistemin çözümüdür.

Sistemin çözümüne dikkat et: Birinci denklemin sol tarafı kendine denk ifadeyle de i tirilmi tir. 2y terimi denklemin sol tarafına (ters i aretle) geçmi tir. Birinci denklemin sol tarafındaki ifade normal ekile getirilmi tir Birinci denklem x bilinmeyenine göre çözülmü tür, yani sol ve sa tarafı 2 ile bölünmü tür. (x,y) = (3, 5) sıralı çifti denklemler sisteminin çözümüdür. Sistemi çöz: Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki denklem sistemi nedir ve nasıl yazılır; Verilen bir sıralı çift denklemler sisteminin çözümü olup olmadı ını yoklanması; Verilene denk olan sistemi belirtilsin; Bir sistemi yani çözümü do rudan okunabilecek ekilde dönü türerek çözümü belirtilsin.

Kendini yokla! Verilen sistemin her iki denklemini ax + by = c biçimine dönü türerek kendine denk olan denkleme dönü tür:

(x, y) = (3, 2) sıralı çifti denklemler sisteminin çözümünün olup olmadı ını yokla.

Ödevler Verilen her sistemin bilinmeyenlerini ve katsayılarını belirt:

A a ıdaki tümceleri iki bilinmeyenli iki denklem sistemi olarak yaz: ki sayının toplamı 64, farkı ise 17’dir.

Verilen sisteme denk olan bir sistemi belirt:

Verilen sisteme denk olan ve denklemlerden herbiri ax + by = c eklinde olacak bir sistem belirt.

Bir ABC üçgeninin bir iç açısı 52o’dir. Di er iki açısının farkı 18°’dir. ki kumbarada toplam 440 denar var. Birincisinden 180 denar alarak ikincisine koyarsak, her iki kumbarada para miktarı e it olur. a) (2, 10) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olup olmadı ını yokla.

b) (2, 2) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

c) (1, 1) sıralı çifti sistemin çözümü müdür:

Verilen sistemi çöz:

Ertan ve Berkant iki karde tir. Onların ya larının toplamı 16‘dır. Ertan’ın ya ı ve Berkant’ın ya ının yarısıyla toplamı 12’dir. Ödevin ko ulu gere ince iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemini yaz. Ertan ve Berkant ikizler midir? Cevabını açıkla.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

137

K B L NMEYENL L NEER DENKLEM S STEM N N GRAF KSEL ÇÖZÜMÜ Anımsa! 2x – 3 = y denklemin graﬁ ini incele.

Aynı koordinat düzleminde ( aynı ekilde) x + y = 5 ve 3x – y = 3 denklemlerin graﬁklerini çiz. Verilen denklemlerle y = 5 – x ve y = 3x – 3 fonksiyonların belli oldu unu farkedebilirsin. Çözümünü verilenle kar ıla tır.

A, B, C ve D noktaların her birinin koordinatlarını belirt. Bu noktaların koordinatları verilen denklemin nesidir?

Denklemlerin graﬁklerinin kesi tikleri nokta M olsun. M noktasının koordinatlarını belirt. ki denklemin çözümlerinin kesi imi M(2, 3) sıralı çiftidir.

(x, y) = (2,3) sıralı çifti

sisteminin biricik çözümüdür.

denklemler sistemini graﬁksel ekilde çöz.

Anımsa! Düzlemde iki do ru: - Bir noktada kesi ebilir, - Çakı abilir; - Birbirine paralel olabilirler. Denklemlerin graﬁkleri do rular oldu una göre, graﬁklerin ortak noktaları oldu u kadar sistemin de o kadar çözümleri vardır. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin: Denklemlerin grafikleri bir noktada kesi iyorlarsa, sistemin bir tek çözümü vardır; Denklemlerin grafikleri çakı ıyorsa, sonsuz çok çözümleri vardır; Denklemlerin grafikleri farklı iki paralel do ru oldu una göre çözüm yoktur.

Sistemin graﬁksel çözümünü incele:

A, B, C, D ve M noktalarının koordinatlarını yaz. Noktalardan hangisi graﬁklerin kesi imidir? Sistemin bir çözümü oldu unu görüyorsun Rs = {( 1, 2)}, yani (x, y) = (1, 2).

Sistemin graﬁksel çözümünü incele:

A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz. Graﬁklerin bütün noktaları ortak oldu unu gözetleyin ve sonsuz çok çözümleri vardır.

Sistemin graﬁksel çözümünü incele:

A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını yaz. Graﬁklerin ortak noktaları var mıdır? Graﬁkler iki farklı parallel do ru olduklarına göre, sistemin çözümü yoktur, yani Rs = Ø. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Lineer denklem sisteminin her iki denklemi için aynı koordinat düzleminde graﬁklerini çizesin;

Hangi durumlarda iki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin:

ki bilinmeyenli lineer denklem sistemin graﬁksel çözümünü yapasın;

b) sonsuz çözümleri var;

Denklemlerin graﬁklerine göre sistemin çözümler kümesini de er belirtilmesi.

Cevabını açıkla.

Ödevler

a) bir tek çözümü var; c) çözümü yoktur.

Anımsa!

Herbir sistemi graﬁksel ekilde çöz:

y = ax fonksiyonunun graﬁ i koordinat ba langıcından geçen bir do rudur. y = ax + b fonksiyonunun graﬁ i y = ax ile paralel bir do rudur.

Herbir sistemi graﬁksel ekilde çöz. Herbirinin kaçar çözümü vardır?

y = a fonksiyonunun graﬁ i x eksenine paralel olan do rudur; x = a fonksiyonunun graﬁ i y eksenine paralel olan do rudur. A a ıdaki sistemlerde verilen her denklemi fonksiyon eklinde yaz:

Her sistemin fonksiyonlarının graﬁkleri arasındaki durumları inceleyerek sistemin çözümlerini tahmin et. Her sistemi graﬁksel ekilde çöz ve elde etti in çözümleri tahmin ettiklerinle kar ıla tır.

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER S STEM N N YER NE KOYMA METODUYLA ÇÖZÜM Anımsa! Hangi iki denklem sistemleri denktirler? (x, y) = ( 5, 1) sıralı çiftin verilen sistemin çözümü olup olmadı ını yokla.

ki bilinmeyenli iki lineer denklemler sistemleri A ve B’yi incele: ve

Her iki denklem sistemin aralarında neyi fark edebilirsin?

kinci sistemdeki denklemler, birinci sistemin denklemlerinden yararlanarak nasıl elde edilmi tir?

A ve B sistemlerinin birinci denklemleri denktir: B sistemindeki ikinci denklemde ise y bilinmeyeni birinci denklemden denk bir ifadeyle de i tirilmi tir. (x, y) = (2, -3) sıralı çifti, sistemin çözümü oldu unu göster. Sistemdeki denklemlerden birinde, bilinmeyenlerden biri di er denklemden denk bir ifadeyle de i tirilerek verilen denklemde yerine koyulursa, elde edilen yeni sistem verilene denktir. Bu i leme yerine koyma metodu denir.

Sistemin çözümü, yerine koyma metoduyla nasıl çözüldü ünü incele Birinci denklemde y’nin de eri ikinci denklemden y’nin de eriyle de i tirilmi tir. Önceki sisteme denk olan sistem elde edilir. Denk dönü ümler kullanılır (10 sayısı e itli in “=“ di er tarafına ters i aretle geçer).

Elde edilen sistem y = b eklindedir.Oradan da do rudan do ruya sistemin çözümü olan ( x, y) = (1, 5) sıralı çifti okunur. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Denklemleri sistemini yerine koyma metodunun yardımı ile çöz: Sistemin çözümü olan sıralı çifti belirt:

Fark et Yerine koyma özelli inden yararlanabilirsin, öyle ki, ikinci denklemde x bilinmeyenini birinci denklemden elde edilen x – 5 ifadesiyle de i tirebilirsin:

Do ru çözmeye devam edersen, denk sistem elde edeceksin:

Birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden elde edilen 2 de eriyle de i tirilirse, çözümü okunabilecek denklem sistemi elde edilecektir.

(x, y) = (2, -3)sıralı çifti için, sistemdeki denklemlerin do ru sayı e itli ine dönü tüklerini yokla. Benzer ekilde

sistemi çöz. denklemler sisteminin verilen çözümünü incele: kinci denklemde x bilinmeyeni y ile ifade edilmi tir. Ondan sonra, birinci denklemde x bilinmeyeni, ikinci denklemden x için elde edilen ifadeyle de i tirilmi tir ve gereken dönü ümler yapılmı tır.

veya

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

(x, y) = ( -1, 4) sıralı çiftinin denklemler sisteminin çözümü oldu unu yokla. Verilen denklemler sistemini çöz: ki bilinmeyenli lineer denklemler sisteminin bu gibi çözümüne yerine koyma metoduyla çözüm denir. Verilen denklemler sisteminde, denklemlerden hiçbiri ax + by = c eklinde yazılı de ildir.

Böyle bir sistemi çözmek için ilkönce denklemleri ax + by = c ekline dönü türmek gerekir.

sisteminin verilen çözümünü incele.

lemle devam et. Ödevi do ru çözmü sen

sistemini elde etmi sindir, yani

(x, y) = (18, 6), sıralı çifti verilen denklemler sisteminin çözümüdür.

Verilen denklemler sistemini çöz:

Denklemler sistemini çözerken, yapılan denk dönü ümlerden sonra denklemlerden birinin çözümü olmayan bir sistem (örne in 0 · x = - 1) elde ediliyorsa, verilen sistemin de çözümü yoktur. Denklemlerden birinin çözümü her reel sayı olan (örne in 0 · y = - 0) bir sistem elde edildi inde sistemin sonsuz çök çözümü vardır.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

sistemlerini çöz.

A sisteminde çözüm olmadı ını, B sisteminde ise sonsuz çok çözümler oldu unu görebilirsin.

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki lineer denklem sisteminin yerine koyma metoduyla çözümünü belirtesin;

Kendini yokla! Yerine koyma metodundan yararlanarak verilen denklemler sisteminin nasıl çözüldü ünü açıkla:

Denklem sistemlerinin çözümünde, denk dönü ümlerini do ru yapasın.

Ödevler Verilen denklem sistemlerini yerine koyma metoduyla çöz:

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER S STEM N N TERS KATSAYILAR METODUYLA ÇÖZÜMÜ u denklem sistemleri verilmi tir

(x, y) = (3, - 2) sıralı çiftin iki sistemin çözümü olup olmadı ını göster. Sistemlerin denk olduklarını görebilirsin. kinci sistemdeki denklemler, birinci sistemin denklemlerinden nasıl elde edilmi tir?

Birinci denklemler her iki sistemde aynıdır, B sisteminin ikinci denklemi ise, A sistemindeki birinci ve ikinci denklemlerin taraf tarafa toplanmasıyla elde edilmi tir. ki denklemin kar ılıklı taraﬂarını toplar, ya da çıkarırsak , denklemler toplanmı ya da çıkarılmı tır deriz. Verilen bir sistemde denklemlerden herhangi biri, denklemlerin toplamıyla ya da farkıyla de i tirilirse, verilene denk olan yeni bir sistem elde edilir. Buna sistemdeki denklemlerin toplama özelli i denir. Toplama özelli inden yararlanarak verilen sistemin çözümünü incele:

Sistemin ikinci denklemine sistemin birinci denklemi katılmı tır. Birinci sisteme denk olan sistem elde edilir ve ikinci denklem bir bilinmeyenliye dönü türülür.

Sistem yerine koyma metoduyla çözülür. Denklemler

ekline dönü ür.

(x, y) = (3, 5) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür, kontrol et. Verilen denklemler sistemini çöz ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Önemli olan unu fark etmelisin: x veya y önündeki katsayılar, her iki denklemde ters sayılar olmalıdır. Denklemlerin kar ılıklı taraﬂarı toplandı ında, bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Elde edilen yeni denk sistemde bir denklem bir bilinmeyenlidir ve ödevin devamında sistemin çözümü yerine koyma metodu ile çözülür. Verilen denklem sistemini çöz: x ve y önünde bulunan katsayılar ters i aretli sayılar de ildir ve bu denklemleri taraf tarafa toplarsak, denklemlerden biri bir bilinmeyenli olacak denk sistem elde edilemez. Sistemin ikinci denklemine hangi dönü ümü yapmalısın ki, x veya y’un önündeki katsayılar ters olsun? kinci denklemin iki tarafı – 5 ile çarpılırsa, x önündeki katsayılar ters sayılar olacaktır. Bu denklemin iki tarafı – 2 ile çarpılırsa y önündeki katsayılar ters sayılar olacaktır. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. kinci denklemi (-5) ile çarpmakla, x önündeki katsayıları ters olan yeni bir denk sistem elde edilir. Denklemler taraf tarafa toplanır ve ikinci denklemi bir bilinmeyenli olan denk sistem elde edilir. Ondan sonra sistem, yerine koyma metoduyla çözülür. Sistemin çözümünü tamamla. (x, y) = (-1, 4) sıralı çifti verilen sistemin çözümü müdür yokla. y önündeki katsayılar ters olacak ekilde aynı sistemi çöz. Verilen sistemi çöz: Denklemler sistemini çöz: Bu sistemde m ya da n’in önündeki katsayılar ters olmak için, birinci denklem 3 ile, ikinci denklem ise (-2) ile çarpılmalıdır; ya da birinci denklem 2 ile ve ikinci denklem (-7) ile çarpılmalıdır. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Sistemin çözümünü tamamla:

(m, n) = (1, 1) sıralı çifti verilen sistemin çözümü olabilir mi yokla. Aynı sistemi çöz, fakat n önündeki katsayılar ters sayılar olsun.. Denklemler sisteminin bu ekilde çözümüne ters katsayılar metodu denir. Ters katsayılar metodunun yardımıyla verilen denklemler sistemini çöz:

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Ters katsayılar metodu, genellikle bilinmeyenlerden birinin önündeki katsayılar ters oldu u durumda ya da bir sayıyla çarparak ters katsayılar elde edildi i durumda uygundur. Ters katsayılar metoduyla denklemler sistemini çözesin.

Verilen sistemlerden hangisinin, ters katsayılar metoduyla çözümü daha uygun metod oldu unu tespit et: veya Cevabını açıkla.

Ödevler u sistemleri ters katsayılar metoduyla çöz:

Verilen sistemin çözümünü graﬁksel ekilde belirttikten sonra ters katsayılar metoduyla çözerek yoklamasını yap.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

K B L NMEYENL L NEER DENKLEMLER S STEMLER N N UYGULANMASI Anımsa! u tümceyi, iki bilinmeyenli denklemler sistemi eklinde yaz: “ ki sayının toplamı 6, birincisinin yarısıyla ikinci sayı arasındaki fark 0’ dır”. Elde edilmesi gereken sistem:

Matematikten, di er bilimlerden veya günlük hayattan çe itli ödevlerin çözümünde ço u kez bilinmeyen de erlerin belirtilmesi gerekir. Bu gibi durumlarda problemler (ödevler) sözlerle ifade edilmi tir ve bunları çözmek için matematiksel yolla denklemler olarak gösterilmelidir.

‘dir. Bu sistemi çözerek aranılan sayıları belirteceksin. (x, y) = (4, 2) sıralı çifti sistemin çözümü müdür yokla, yani aranılan iki sayı 4 ve 2 midir?

Ba langıç Ödev dikkatle okunur ve orada bilinmeyen ve bilinenin ne oldu u belirlenir.

Örnek:

Büyüklüklerin i aretlenmesi Bilinmeyenler (x, y, a, b vb.) ile i aret edilir ve onların özellikleri incelenir.

Bu gibi ödevlerin çözümünde sırasına göre yapılan i lemleri ve tavsiyeleri incele.

Aralarındaki ba ıntıların incelenmesi Bilinmeyenler ve bilinenler arasındaki ba ıntılar bulunur.

Sistemin kurulması Denklemler meydana getirilir, sistem kurulur ve çözülür.

lker’in 2 denarlık ve 5 denarlık olmak üzere toplam 67 denar eden 17 demir parası var. lker’in kaç tane 2 denarı ve kaç tane 5 denarı vardır?

Ba langıç

aretleme

Bilinenler: demir para sayısı toplam de eri

5 denarlık paralar sayısını x ile, 2 denarlık paralar sayısını y ile.

paraların cinsi Bilinmeyenler: her cinsten kaçar para vardır.

Aralarındaki ba ıntılar

Sistem

demir para sayısı 17’dir; toplam de eri 67 denar.

Sistemi çöz. Sistemin çözümü (x, y) = (11, 6)’dir. imdi bu de erlerin ödevdeki ko ullara uygun olup olmadı ını yokla, yani lker’in 5 denarlık 11 parası ve 2 denarlık 6 parası oldu u do ru mudur? Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

ki rafta 124 kitap var. Birinci rafta, ikincisinden 3 defa daha çok kitap oldu una göre, her rafta kaçar kitap vardır? K ve A yerleri arasındaki uzaklık 190 km’dir. K yerinden A yerine do ru bir kamyon hareket etmi , yarım saat sonra A yerinden K yerine do ru bir otobüs hareket etmi . Kamyonun hareket etti i andan 2 saat sonra bulu uyorlar ve yollarına devam ediyorlar. Kar ıla tıktan bir saat sonra otobüs ve kamyon arasındaki mesafe 110 km olmu tur. Otobüs ve kamyonun hızı ne kadardır? Bu ödev bir hareket problemidir. Çözülmesi için büyüklükler arasındaki ba ıntıları daha kolay farketmek için çizim yapılır. Çizime bak: B L N E

K yerinden kamyon, A’dan ise otobüs hareket ediyor kamyon (k) Bulu tukları yer C noktasıdır. K’dan C’ye kamyon 2 saat hareket etmi tir. A’dan C’ye otobüs 1,5 saat hareket etmi tir. C’den D’ye kamyon 1 saat hareket etmi tir. C’den B’ye otobüs 1 saat hareket etmi tir. B’den D’ye uzaklık 110 kilometredir.

otobüs (a)

A R E T L E M E Kamyonun hızı x’dir. Otobüsün hızı y’dir.

ARALARINDAK BA INTILAR

Kamyonun ve otobüsün hareketleri düzgün oldu una göre, düzgün do rusal hareket formülü s = v · t yararlı olacak, yani u durumda v x ya da y’dir. K yerinden C yerine kamyon (2 saatte) 2x yolunu geçmi tir. Otobüs A yerinden C yerine (1,5 saatte) 1,5 y yol geçmi tir. 1 saatte C’den D’ye kamyon 1 · x yol geçmi tir. 1 saatte C’den B’ye otobüs 1 · y yol geçmi tir. Çizime göre

ya da 2x + 1,5 y = 190;

ya da 1x + 1y = 110.

DENKLEMLER S STEM

Sistemi çöz. Kamyon saatte 50 km ile, otobüs ise saatte 60 km hızla hareket etti inin do ru oldu u yokla. Bir vapur ırma ın akı yönünde saatte 25 km hızla hareket eder, ırma ın akı ının ters yönünde ise saatte 20 km hızla hareket etmektedir. Vapurun hızını ve ırma ın akı hızını belirt. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

K1 ve K2 asit karı ımları verilmi tir. K1 karı ımı %36, K2 ise %96’dır. 120 litre %80 karı ım elde etmek için her birinden kaçar litre alınmalıdır?

Yüzdeleri hatırlamalısın. Unutma ki m litre ve % k olan bir karı ımda

litre asit vardır.

B L NENLER

K1 karı ımı %36 K2 karı ımı %96 Elde edilecek yeni karı ım %80 olmalıdır. ARETLEME

K1 karı ımından alınacak litre sayısı x olsun. K2 karı ımından alınacak litre sayısı y olsun. ARALARINDAK BA INTILAR

K1‘deki x litre karı ımda

litre asit var.

K2‘deki y litre karı ımda

litre asit var.

120 litrelik yeni karı ımda x litre K1’den ve y litre K2’den var, veya: x + y = 120’dir. 120 litrelik yeni karı ımda

litre asit veya:

DENKLEMLER S STEM

y y

Sistemi çöz. (x, y) = (32, 88) sıralı çifti ödevin ko ullarına uygun olup olmadı ını yokla. 60 litre %75’lik ispirto elde edilebilmesi için kaç litre su ve kaç litre %90’lık ispirto karı tırılmalıdır? Bir dik üçgenin 2 katetinin uzunlukların toplamı 20 cm’dir. Küçük katet 2 cm uzatılırsa, büyük katet ise 4 cm kısaltılırsa, üçgenin alanı 8 cm2 için azalacaktır. Üçgenin katetlerinin uzunluklarını belirt.

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bu gibi ödevleri çözmek için, düzlemsel geometrik ekillerinin formüllerinden ve özelliklerinden yararlanmayı hatırlamalısın.

B L NENLER

Katetlerin uzunluklarının toplamı 20 cm’dir. Dik üçgende katet aynı zamanda üçgenin yüksekli idir. a tabanı ve h tabana kar ılık gelen yükseklik olmak üzere, üçgenin alanı lüyle hesaplanır.

formü-

ARETLEME

Küçük katetin uzunlu u x olsun. Büyük katetin uzunlu u y olsun. ARALARINDAK BA INTILAR

Katetlerin uzunluklarının toplamı x + y = 20’dir. Küçük katetin uzatılmasıyla, uzunlu u x + 2 olur. Büyük katetin kısaltılmasıyla, uzunlu u y – 4 olur. Ba langıçtaki üçgenin alanı

‘dir.

Kar ılıklı katetlerin uzatılmasıyla ve kısaltılmasıyla üçgenin alanı

olur.

DENKLEMLER S STEM

Sistemi çöz. (x, y) = (8, 12) sıralı çiftin aranılan üçgenin katetlerinin uzunlukları oldu unu yokla. Bir yamu un yüksekli i 6 cm, alanı ise 96 cm2’dir. Onun paralel kenarlarının uzunluklarının farkı 4 cm’dir. Yamu un paralel kenarlarının (tabanlarının) uzunluklarını belirt.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Bilmen gerekenler: ki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemine dönü en problem ödevini çözmek için, yöntemini ve çözüm kaidesini ifade etmelisin.

Kendini yokla! “Toplamı 100 olan öyle iki sayı belirt ki onların bölümü 4 olsun”, ödevinde u yöntemleri uygula: Bilinmeyenleri i aret et ve bilinmeyen ve bilinen büyüklükler arasında olan ba ıntıları yaz. Denklem sistemi kur ve çöz. Çözümü kontrol et.

Ödevler ki sayının toplamı 72, farkı ise 2'dir. Bu sayılar hangilerdir?

Bir sınıfta toplam 28 ö renci var. Erkeklerin sayısı kızlar sayısından 4 için büyüktür. Sınıfta ö rencilerden kaç ki i erkek, kaç ki i kızdır?

Bir vapur ırmak akı ının ters yönünde hareket ederek 5 saatte 63 km yol geçmi tir. Irma ın akı ı yönünde hareket etti i zaman, aynı yolu 3 saatte geçmi . Vapurun hızını ve ırma ın akı hızı ne kadardı?

E er 8 litre sıcak suya 2 litre daha so uk su katılırsa, elde edilen suyun sıcaklı ı 66o'dir. E er 7 litre sıcak suya 3 litre daha so uk su katılırsa,elde edilen suyun sıcaklı ı 59o'dir. Sıcak ve so uk suyun dereceleri ne kadarmı ?

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Sinan 8 defter (büyük ve küçük) satın alarak 250 denar ödemi . Büyük defterlerin ﬁyatı 50 denar, küçüklerin ise 20 denarmı . Sinan kaç büyük ve kaç küçük defter satın almı tır?

Anne ve kızın ya ları berabere 37 yıldır. 2 yıl önce anne kızından 10 defa büyükmü . Annenin ve kızının ya ları ne kadardır?

Paralel kenarlı bir dar ve bir geni açının ölçülerinin farkı 36o'dir. Açıların büyüklü ü ne kadardır? Bir ikizkenar üçgenin çevresi 36 cm'dir. Yan kenarı ve tabanın uzunlukların farkı 3 cm'dir. Üçgenin alanını belirt.

Bir kafeste tav anlar ve güvercinler vardır. Osman 35 ba ve 94 ayak oldu unu saymı . Kafeste kaç tav an ve kaç güvercin varmı ?

V E R L E R L E L E M L E R D R HLE PRENS B NE GÖRE PROBLEMLER N ÇÖZÜMÜ Örnek: Özel olarak i aretlenmemi olan üç kutuda 7 topca ızı yerle tir. Bunu 8 de i ik ekilde yapabilirsin. ekilde görüldü ü gibi.

lerde, ödevin mümkün çözümlerinin sayısını belirtmek bizim amacımız olmayacaktır. Amacımız bir prensibin saygılanması olacaktır.

Fark et 7 topça ızı nasıl yerle tirirsek yerle tirelim, bir kutuda en az üç topça ız olacaktır. ncelenen örnek Dirihle prensibi denilen önemli bir prensibin basitle mi eklidir.

Prensibin ifadesi: n kutuda n’den çok nesne yerle tirilirse, kutulardan en az birinde birden çok nesne bulunacaktır.

Petar Gustav Lejen Dirihle (1805 – 1859) Alman matematikçisi

a) 34 ki ilik bir sınıfta, soyadları aynı harf ile ba layan en az iki ö rencinin var oldu u iddia edilebilir mi? b) Bu iddia 28 ki ilik sınıf için geçerli olabilir mi? Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. a) Burada Dirihle prensibine göre alfabenin harﬂeri “kutular”dır. Onların sayısı 29’dur. En olumsuz tahminde, 29 ö rencinin soyadları tüm 29 farklı harf ile “ba layabilir”. ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Kalan 5 ö rencinin soyadları hangi harﬂerle ba layabilir? Onlar artık “kullanılmı ” olan harﬂerle ba layacaktır. En az kaç ö rencinin soyadı aynı harf ile ba lar? Sınıfta en az iki ö rencinin soyadı aynı harf ile ba lar. b) Sınıfta ö renci sayısı 29’dan az oldu u durumda, iddia neden geçerli de ildir?

Bir matematik okulunda 372 ö renci varmı . Onlar arasında do um gününü aynı günde kutlayan en az iki ö rencinin var oldu unu ispatla. Bir okulda V’ten VIII. sınıfa kadar toplam 16 sınıf vardır. “Genç matematikçiler” bölümüne 18 ö renci üyedir. Bu ö renciler arasında aynı sınıftan en az iki ö renci oldu unu ispatla.

Fark et En olumsuz tahmin üyelerin her sınıftan birer ki i oldu u durumdur. Fakat o toplam 16 ö rencidir. Kalan daha iki ö renci için nasıl sonuca varıyorsun? Sınıfta 30 ö renci var. Matematik dersinde yazılı ödevde bazı ö renciler 8 hata, bazıları ise daha az hata yapmı tır. Yazılı ödevde en az 4 ö rencinin aynı sayıda hata yapmı oldu unu ispatla.

En büyük hata sayısı kaçtır? Senin çözümünü verilenle kar ıla tır. Yapılan hata sayısı en çok 8'dir. Demek ki, bazı ö renciler 8 hata yapmı ; fakat 7 hatalı; 6 hatalı;...; 1 hatalı ö rencilerin olması mümkünmü , fakat, hiçbir hata yapmayan ö renci de olabilir (yani 0 hata yapmı lar). Tüm ö rencileri 9 gruba ayıralım: 1) 8 hata yapan ö renciler; 2) 7 hata yapan ö renciler ve ba ka. Dokuzuncu grup ise hiçbir hata yapmamı olan ö rencilerdir. Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

En olumsuz tahmin, 3 o rencinin 8 hata, 3 ö rencinin 7 hata vb. ve üç ö rencinin hiçbir hata yapmamı olması durumdur. Onlar toplam 3 · 9 = 27 'dir (9 grupta 3’er ö renci vardır). Halbuki 30 = 3 · 9 + 3 oldu una göre daha 3 ö renci kalır. Bunlar 8, 7, ..., 2, 1 ya da 0 hata yapan ö rencilerdir. Dirihle prensibine göre en az 4 ö renci aynı sayıda hata yapmı tır veya hata yapmamı tır. 5.

Sınıfta 34 ö renci var. Aynı bir metini bilgisayara yazarken Mert13 hata, di erleri ise daha az hata yapmı tır. Aynı sayıda hata yapan en az üç ö rencinin var oldu unu ispatla.

Dirihle prensibi matemati in birçok bölgelerinde kullanı lıdır. Sayıların bölünmesinde ve geometride birkaç örnek incele.

Tahminen 5 sayı veriliyor. Onların arası en az iki sayı var ki onların farkı 4 ile bölünür.

Tavsiyeye göre i lemi yap: 4 ile bölünmede kalanların sayısı kaçtır ve hangi sayılardır?

4 kalan elde edilir: 0, 1, 2 veya 3.

Seçilen be sayıyı 4 ile bölersek 5 kalan elde edilir. Demek ki, kalanlardan en az ikisi aynıdır (Dirihle prensibine göre). a ve b sayılarının 4 ile bölümünde aynı kalan p olsun. Burada p {0, 1, 2, 3}

a = 4m + p; b = 4n + p

a – b = (4m + p) – (4n + p) = 4(m – n) = 4k. Demek ki fark 4k biçimindedir, yani o sayı 4 ile bölünür. Bunu 4 | (a – b) biçiminde yazıyoruz. 7.

ki sayı arasındaki farkın 7 ile bölünebilmesi için en az kaç do al sayı alınmalıdır?

Boyutları (20 cm x 30 cm) olan bir beyaz ka ıt sayfası üzerinde mürekkep dökülmü tür. Bu ka ıt üzerinde birbirinden 10 cm uzaklıkta aynı renkte iki nokta oldu unu ispatla.

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

Açıklamayı izle. Bu ka ıt üzerinde kenara 10 cm olan bir e kenar üçgen çiz. Bu üçgenin üç kö esinden ikisinin beyaz, üçüncüsünün ise mavi oldu unu, veya ikisi mavi biri beyaz, veya üçünü mavi oldu unu gör. Aynı renkte olan iki kö e aranılan noktalardır.

Düzlemde 5 do ru veriliyor, bunlar iki er iki er paralel olmayandır. Onların arasında 37o küçük açı yapan iki do runun var oldu unu ispatla. u ekilde devam ediniz. Düzlem üzerinde bir M noktasını seç ve bu do ruların hepsinin M noktasından geçeçek halde paralel olarak uygula. M noktasından geçen do ruların düzlemini 10 açıya ayırdıklarını gözetle.

Açılar birbirine e it ise, onların herbiri 360 : 10 = 36°’dir, 36° < 37°, demek ki 37°’den küçük olacak açı daima vardır. Açılar birbirinden farklı ise, onlardan herbiri 37o’den büyük olamaz, çünkü 10 · 37° = 370° > 360°’dir. Demek ki, bu açılar arası 37o’den küçük olan açı vardır.

Ödevler Bir okulda 1 200 ö renci vardır. a) bu okulda en az 4 ö rencinin do um gününün aynı günde oldu unu ispatla; b) en az iki ö rencinin inisiyallerinin aynı oldu unu ispatla. Üsküp kentinde en az üç ki inin ba ındaki saç sayısının aynı oldu unu ispatla. (Bir insanın ba ındaki saç sayısı 200 000’den çok de ildir)

Konu 3.

Lineer denklemler sistemi

Bir sınıfta 37 ö renci var. Yılın bir ayında en az 4 ö rencinin do mu oldu unu ispatla.

Bir sandıkta yalnız bir cins elma olmak üzere, 25 sandıkta 3 cins elma vardır. Onlar arasında aynı cinsten 9 sandık elma oldu unu ispatla.

L NEER DENKLEMLER S STEM N OKUDUN B LDIKLERINI KONTROL ET

ki bilinmeyenli lineer denklemin çözümü nedir?

k parametresini o ekilde belirt ki, (2, 6) sıralı çifti (4x – 2)k – 1 = y – k denkleminin çözümü olsun.

Verilen denklemin çözümler kümesini graﬁksel ekilde göster:

ki bilinmeyenli lineer denklem sisteminin çözümü nedir?

Verilen denklemler sistemine denk ve her iki denklemi ax + by = c biçiminde olacak denklemler sistemini yaz.

Sistemi graﬁksel ekilde çöz:

Verilen denklemler sistemini yerine koyma metoduyla çöz.

Verilen denklemler sistemini ters katsayılar metoduyla çöz:

Lineer denklemler sistemini graﬁksel çözümüne göre sistemin kaç çözümü oldu unu tahmin et:

10.

Baba ve o lunun ya larının toplamı 46’dır. 10 yıl sonra, baba o lundan iki defa daha ya lı olacaktır. imdi, onların ya ları ne kadardır?

ki bilinmeyenli lineer denklemler sistemi

KONU 4. GEOMETR K C S MLER

UZAYDA NOKTALAR, DO RULAR VE DÜZLEMLER 1. Nokta, do ru ve düzlem 2. ki do ru 3. ki düzlem 4. Paralel projeksiyon. Dik projeksiyon 5. Geometrik cisimin çizimle gösterili i

160 163 165 168 171

PR ZMA 6. Prizma. Prizma çe itleri. Kö egen kesitler. 174

7. Paralelyüz. Prizmanın açılımı ve alanı. 177 8. Çokyüzlünün hacmı. Dikdörtgenler prizmasının ve küpün hacmı. 183 9 Dik prizmanın hacmı. 187 P RAM T 10. Piramit. Piramidin alanı 190 11. Piramidin hacmı 194 S L ND R, KON , KÜRE 12. Silindir; alanı ve hacmı 197 13. Koni; alanı ve hacmı 200 14. Küre; alanı ve hacmı 203 15. Olasılık 206 Bilgini kontrol et 208

UZAYDA NOKTALAR, DO RULAR VE DÜZLEMLER NOKTA, DO RU VE DÜZLEM Anımsa! Do ru, açı, yamuk ve çember düzlemsel ekillerdir. Ba ka düzlem ekilleri de vardır.

ekilde bir küp ve bir dikdörtgenler prizması gösterilmi tir.

Düzlemsel ekillerini inceleyen geometrinin bölümüne düzlem geometrisi veya planimetri denir. Do runun bazı özellikleri, temel özellikler (aksiyomlar) olarak kabul edilmi tir. Birinci aksiyom (A1) gibi u özelli i kabul ediyoruz: her do runun üzerinde sonsuz noktalar yatar, fakat do runun üzerinde olmayan noktalar da vardır.

Dikdörtgenler prizması düzlemsel ekil midir? Neden? Küpün her noktası aynı düzleme ait midir? Uzaydaki geometrik ekilleri inceleyen geometri bölümüne uzay geometrisi veya stereometri denir.

Noktalar, do rular ve düzlemler uzayın temel geometrik ekilleridir. Düzlemi düz bir cam gibi, sakin suyun yüzeyi gibi vb. ekil gibi dü ünebiliriz. O sınırsız düz bir yüzeydir ve onunla ilgili u aksiyom kabul edilmi tir. Her düzene ait sonsuz çok noktalar vardır, fakat düzleme ait olmayan noktalar da 1 vardır. ekilde, düzlemi ve A, B, C, D, M noktaları verilmi tir. A noktası düzlemine aittir, yani A ‫ א‬. A noktası düzlemi üzerindedir ya da düzlemi A noktasından geçer de diyebiliriz.

aretlenen noktalardan daha hangileri düzlemine aittir? Bir düzleme ait olan üç ya da daha fazla noktaya düzlemde – komplaner noktalar denir. Örne in, ekilde A, B, C, D, ‫ א‬, M ‫ ב‬oldu una göre A, B, C, D düzlemde , B, C, D, M ise düzlemde de ildirler.

Anımsa! Do ruyla ilgili u aksiyomu biliyorsun: herhangi iki farklı noktadan tam bir do ru geçer. Bu aksiyom uzaydaki noktalar için de geçerlidir.

Konu 4. Geometrik cisimler

Düzleme ait, u temel özellik (aksiyom) kabul edilmi tir.

A2 2.

Bir do ruya ait olmayan herhangi üç noktadan tam bir düzlem geçer.

Ayakları e it uzunlukta olmazsa bile neden üç ayaklı bir tabure “sallanmıyor”? Dört ayaklı taburede böyle bir durum var mıdır?

ekildeki dikdörtgenler prizmasını incele ve u soruları cevapla: Dikdörtgenler prizmasının hangi kö esi A, B ve B1 ile belirlenen düzleme aittir? C kö esi o düzleme ait midir? u noktalar komplaner midirler: a) A, B, C, D; b) A, B, C1, D1; c) A, B, C, C1? Di er dört kö eyi bul ve onlar: a) aynı düzlem üzerinde olsunlar; b) aynı düzlem üzerinde olmasınlar. Bir dikdörtgenler prizmasını çiz ve ekilde oldu u gibi i aret et. Ondan sonra dikdörtgenler prizmasına ait olan B, C, D1, A1 düzlem kısmını tara. Bir do runun her noktası verilen bir düzleme ait ise, do ru düzlem üzerindedir ya da do ru düzleme aittir, düzlem ise o do rudan geçer denilmektedir. Bir düzlem üzerinde sonsuz çok do rular vardır.

ekilde düzlemi ve ona ait olan iki nokta A ve B gösterilmi tir. A ve B noktalarından kaç do ru geçer? AB do rusuna ait olan di er noktalar düzlemine de ait midir?

Düzlemin u genel özelli i (aksiyomu) do ru olarak kabul edilmi tir. Bir do runun iki noktası bir düzleme ait oldu u durumda, do ru da düzleme aittir, yani do ru düzlem üzerindedir. Bu aksiyomdan yararlanarak, uzayda do ru ve düzlem arasındaki durumları inceleyebileceksin. Verilen ekilleri incele ve bir do ru ile bir düzlem arasında mümkün olan durumların açıklamasını izle. Uzayda noktalar, do rular ve düzlemler

düzlemi ve a do rusu arasında u üç durum mümkündür. Do ru ve düzlemin ortak noktaları yoktur. Bu durumda onlar paraleldirler denir ve a || biçimde yazılır. Do ru ve düzlemin bir ortak noktası vardır. Bu durumda onlara kesi irler denir, yani a do rusu düzlemini P noktası keser denir. P noktasına kesi im noktası denir.

a do rusu düzlemi üzerindedir. Bu durumda da onlara paraleldirler denir.

ekildeki dikdörtgenler prizmasını ve A, B, C kö eleriyle belirlenen düzlemini incele. a) düzlemine paralel olan; c) düzlemine ait olan,

b) düzlemini kesen;

Bilmen gerekenler: Uzayda temel geometrik ekillerini ifade edesin; Do ru ve düzlem arasındaki durumları belirtesin.

Kendini yokla! a) nokta ve düzlem; b) do ru ve düzlem; arasındaki durumlar nasıldır? A, B, C, M, D noktaları yukarıdaki ekilde olan dikdörtgenler prizmasının kö eleridir. Bu noktalardan hangi dördü: a) komplanerdirler; b) komplaner de ildirler? Kaç düzlem geçebilir, e er: a) bir A noktası verilmi ise; b) iki B ve C noktaları verilmi ise; c) üç A, B ve C noktaları verilmi ise?

Ödevler Bir küp ABCDA1B1C1D1 çiz ve dört kö e adlandır ki onlar: a) komplaner olsun; b) komplaner olmasın.

3. Ödev 1’deki kübün AB ayrıtı yanlız iki yüzüyle paraleldir ve onlarla ortak noktaları yoktur. Bu yüzleri adlandır.

Kübün üst tabanına ait bir kö e ve alt tabanına ait bir kö eyle kaç do ru belirtilebilir?

4. Ödev 1’deki kübün AC kö egeni, kübün yanlız bir yüzü ile ortak noktası yoktur. O hangi yüzdür?

Konu 4. Geometrik cisimler

K DO RU Uzayda iki do runun:

AnÄąmsa! DĂźzleme ait aksiyomlarÄą ifade et. KaĂ§ nokta bir do ruyu belirtir; a) dĂźzlemde, b) uzayda? Uzayda, iki ortak noktasÄą olan iki do runun aralarÄąndaki durum nasÄąldÄąr? Bir dĂźzlemi kaĂ§ nokta belirtir? a do rusunun dĂźzlemi ile iki ortak noktasÄą vardÄąr, a ve nasÄąl durumdadÄąr?

ya yanlÄąz bir ortaklarÄą olabilir (kesi iyorlar); ya ortak noktalarÄą yoktur; ya da Ă§akÄą Äąyorlar (iki ortak noktalarÄą varsa). ekilde, a ve b do rularÄą kesi iyorlar, yani bir ortak P noktalarÄą vardÄąr. ekli incele ve u sorularÄą cevapla: a A P b B

Tahminen seĂ§ilen A â&#x20AC;Ť ×?â&#x20AC;ŹaÇĄ B â&#x20AC;Ť ×?â&#x20AC;Źb ve P kesi im noktalarÄą ( A P ve B P) do ruda olabilir mi? Neden? A, B ve P noktalarÄą tam bir dĂźzlem belirtiyorlar. Neden? a ve b do rularÄą bu dĂźzleme aittir. Neden? 2.

ekilde bir dikdĂśrtgenler prizmasÄą gĂśsterilmi tir. ekli incele ve u sorularÄą cevapla. AB ayrÄątÄą aynÄą dĂźzleme ait midir e er: a) BB1; b) A1B1; c) B1C1 CB ve C1B1 ayrÄątlarÄą aynÄą dĂźzleme aittir. Neden? AB ve A1B1 ayrÄątlarÄą aynÄą dĂźzleme aittir, fakat ortak noktalarÄą yoktur; AB ve A1B1 do rularÄą paraleldir, ortak noktalarÄą yoktur yani AB || A1B1.

D1 A1

C1 B1

D A

C B

Dikkat et! ki paralel do ru daima bir dĂźzleme aittir. AB ve B1C1 do rularÄąnÄąn da ortak noktalarÄą yoktur, fakat aynÄą dĂźzlem Ăźzerinde de ildirler. Onlara aykÄąrÄą do rular denir.

DikdĂśrtgen prizmasÄą eklinden yararlanarak aynÄą dĂźzleme ait olan ba ka paralel do ru Ă§iftlerini de gĂśzetle. Ă&#x153;Ă§ do ru her zaman aynÄą bir dĂźzlem Ăźzerinde bulunurlar mÄą?

Uzayda noktalar, do rular ve dĂźzlemler

ekilleri incele ve unutma! Uzayda iki do ru: Bir düzlem üzerinde olabilir; o durumda ya kesi ir ya da paralel olabilir (ya da çakı abilirler), ekil 1’de oldu u gibi; Bir düzleme ait olmayabilirler, yani ekil 2’de a ve c do ruları oldu u gibi aykırı do rular olabilirler.

ekil 1

ekil 2’ye göre birkaç çift:

ekil 2

a) aykırı do ruları;

b) paralel do ruları yaz.

ekil 2’deki do ruların kesi im noktaları bir dikdörtgen prizmasının kö eleridir. u ifadelerden hangileri do rudur? a) b ve m do ruları kesi mez ve paralel de ildirler, yani aykırı do rulardır b) m ve d do ruları bir düzleme ait ve kesi miyorlar, yani paraleldirler. c) a ve d do ruları kesi ir ve bir düzleme ait de ildirler. ç) b ve m aykrıdırlar ve bir düzlem üzerinde bulunuyorlar.

Anımsa! A2 aksiyomuna göre bir düzlem do ruda olmayan üç noktayla tamamen bellidir. Uzayda iki do runun birkaç durumu da bir düzlem belirtiyor. Bu durumlar hangileridir?

ekilleri incele ve uzayda bir düzlem neden a a ıdaki durumlarda tamamen bellidir açıkla: ) Do ruda olmayan üç noktayla; b) Bir do ru ve dı ında bir nokta ile; c) ki paralel do ru ile; ç) Kesi en iki do ru ile; Konu 4. Geometrik cisimler

ç)

Bir dikdörtgenler prizmasının iki er iki er yan ayrıtlarından kaç düzlem belirtiyorlar? (Dikkat et: dört düzlemden daha çok var.)

Bilmen gerekenler: Uzayda iki do ru arasında nasıl durumlar var oldu unu açıkla.

Kendini yokla! Hangi do rulara: a) paraleldir,

b) aykırıdır denir?

Bir küp ABCDA1B1C1D1 çizdikten sonra onun tabanlarının kö egenlerini çiz. AC, BD, A1C1, B1D1 do rularından hangi çiftler: a) kesi iyorlar; b) paraleldirler; c) aykırıdırlar?

Ödevler 1.

Uzayda üç farklı do ru bir noktadan geçiyorlar. Bu do rular kaç düzlem belirtiyor?

3. a ve b uzayda iki do ru olsun. Onlardan kaç düzlem geçebilir?

Bir dikdörtgenler prizması ABCDA1B1C1D1 çizdikten sonra iki kom u yüzünün, örne in, ABB1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin kö egenlerini çiz. AB1, BA1, CB1, BC1 do ru çiftlerinden hangileri: a) kesi ir; b) paraleldir; c) aykırıdırlar?

4. Bir düzleme ait olmayan dört noktayı kaç düzlem belirtir? 5.

u iddiayı açıkla: “E er AB ve CD do ruları kesi iyorsa, o zaman A, B, C ve D noktaları komplanerdir”.

K DÜZLEM Anımsa! Uzayda bir düzlemin tamamen belli oldu unu açıklayan aksiyom nasıl ifade edilir? Uzayda bir do ru ve bir düzlem arasında nasıl durumlar olabilir?

Dü ün ve cevapla: ki düzlemin yanlız bir tek ortak noktası olabilir mi? ki düzlemin yanlız iki tek ortak noktaları olabilir mi? Bu sorunun cevabını (A4 aksiyomu) temel özelli i vermektedir:

ki düzlemin bir noktası varsa, onların o noktadan geçen bir ortak do rusu da vardır. Aksiyom gere ince, iki farklı düzlem 1 ve 2: a) ya ortak noktaları yoktur; b) ya da ortak do ruları vardır. ki düzlemin do ruda olmayan üç farklı ortak noktaları varsa, onlar birbiriyle çakı ıyorlar. Uzayda noktalar, do rular ve düzlemler

Unutma ki farklı düzlem 1 ve 2’nin ortak do ruları varsa, düzlemler kesi iyorlar. Ortak do ruya ise düzlemlerin ara kesit do rusu denir. ki düzlem 1 ve 2’nin ortak noktaları yoksa ya da çakı ık durumda bulunuyorlarsa, onlara birbiriyle paraleldir ve 1 || 2 eklinde i aret edilir. u iddiaların do ru oldu unu gör ( ekil yap). a) E er 1 || 2 ve a do rusu 1’i keserse, o zaman a do rusu 2’i de keser. b) E er 1 || 2 ve a || 1 ise, o zaman a || 2. c) E er 1 || 2 ve 3 düzlemi 1 düzlemini keserse, o zaman 3 düzlemi 2 düzlemini de keser. ekili incele ve açıklamayı izle. 1 ve 2 düzlemler kesi iyorlar ve s onların ara kesiti do rusudur. M noktası s üzerinde tahminen bir nokta olsun. M noktasından biri 1 düzlemine ait, di eri ise 2 düzlemine ait, s do rusuna dik halde iki yarıdo ru çizilmi tir. Yarıdo rular açısını meydana getiriyorlar. Bu yarıdo rulardan olu an açısına 1 ve 2 düzlemleri arasındaki açı denir. Onun paralel açısı da iki düzlem arasıda bulunan bir açıdır. Düzlemler arasındaki açı dik ise, düzlemler de birbirine dik'tir, yani 1 A 2. Sınıfınızın tabanı ve bir duvarı arasında nasıl açı olu ur? Duvarlar ve tavan birbirine göre dik durumda mıdır? Tavan ve taban ise birbirine göre nasıl durumdadırlar? Dikdörtgenler prizmasının tabanı ve bir yan yüzü nasıl açı olu turuyorlar? Konu 4. Geometrik cisimler

ekilleri gĂśzetle ve aĂ§ÄąklamayÄą izle. a do rusu dĂźzlemini P noktasÄąnda keser. P kesi im noktasÄąndan dĂźzlemine ait olan b ve c do rularÄą Ă§izilmi tir. Bu do rular a do rusuyla ve aĂ§ÄąlarÄąnÄą meydana getirirler. P noktasÄąndan bĂśyle birĂ§ok do ru Ă§izilebilir; hepsi a do rusuyla farklÄą aĂ§Äąlar meydana getirebilirler. Farketti in gibi, bu aĂ§Äąlar ancak dik aĂ§Äąlar olduklarÄą durumda birbirine ait olabilirler. BĂśyle durumda a do rusu dĂźzleme diktir denir, yani a do rusu dĂźzlemine diktir denir. Bunu a eklinde i aret edilir. T

Unutma a do rusu, dĂźzlemini kesti i noktadan geĂ§en her do ruya dik oldu u durumda, a do rusuna dĂźzlemine diktir denir.

1, 2 dĂźzlemleri ve a, b do rularÄą iĂ§in u iddialarÄąn do ru oldu unu incele. Ă&#x2021;izim yap! T

1 o zaman b

b) E er 1 || 2 ve a

a) E er a || b ve a

1 o zaman a

2 .

ekilde M noktasÄą dĂźzlemine ait de ildir. M noktasÄąndan dĂźzlemine bir dikme Ă§izilebilir. Mâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą bu dikmenin dikme aya Äą olsun. ekli incele ve u sorular hakkÄąnda dĂź Ăźn ve cevapla. Bu ekilde M noktasÄąndan dĂźzleme kaĂ§ dikme Ă§izilebilir? M noktasÄąndan dĂźzlemini N Mâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄąnda kesen b do rusu Ă§izilmi tir. b do rusu dĂźzlemine dik midir? MMâ&#x20AC;&#x2122;N nasÄąl ĂźĂ§gendir? MMâ&#x20AC;&#x2122; do rusunun dĂźzleminin M noktasÄąndan geĂ§en biricik dikmesi oldu unu aĂ§Äąkla. DĂźzlemin dÄą Äąnda bir noktadan Ă§izilen dikmenin ne oldu unu aĂ§Äąkla. ekildeki MMâ&#x20AC;&#x2122; do ru parĂ§asÄą dĂźzlemine dikmedir, di er do ru parĂ§alardan herbiri (MN gibi) â&#x20AC;&#x201C; dĂźzleme e ik durumdadÄąr. MMâ&#x20AC;&#x2122; uzaklÄą Äąna M noktasÄąndan dĂźzlemine uzaklÄąk denir. Bir noktadan dĂźzleme uzaklÄąk tanÄąmÄąnÄą ifade et. ekilden MMâ&#x20AC;&#x2122; < MN oldu unu gĂśster. Uzayda noktalar, do rular ve dĂźzlemler

Bilmen gerekenler:

ki düzlem arasındaki açı ve noktadan do ruya uzaklı ı ekille açıklamasını.

Kendini yokla! ki düzlemin, a) bir; b) iki; c) üç noktası varsa onların birbirine göre durumları nasıldır? a, b do ruların düzlemi için a a ıdaki iddialar do ru mudur ( ekil yap): a) E er a || b ve a do rusu düzlemini kesiyorsa, b do rusu da düzlemini keser. b) E er a ve b o zaman a || b dir. T

Ödevler Hangi iki düzleme: a) paraleldir; b) diktir denir? Verilen bir noktadan verilen bir düzleme kaç dikme çizilebilir? a ve b do ruları ve 1, 2, 3 düzlemleri için u iddialar do ru mudur? ( ekil yap.)

ki düzlemin kesitinin ne oldu unu açıklamasını; ki düzlemin ortakla a durumlarını ekille açıklamasını;

4. M noktasından düzlemine uzaklık d'dir. M noktasından düzlemine ait herhangi x noktasına uzaklık için MX d geçerli oldu unu açıkla. 5. A, B, C noktalarından geçen 1 düzlemi ve A, B, D noktalarından geçen 2 düzlemi birbirine göre nasıl durumdadır?

a) E er a || b ve a || 1 o zaman b || 1. T

1 ve a 2 o zaman 1 || 2. c) E er 1 || 2 ve 1 || 3 o zaman 2 || 3.

b) E er a

PARALEL PROJEKS YON. D K PROJEKS YON düzlemi ve ona paralel olmayan s do rusu verilmi tir. Bir A noktası seç ve o noktadan geçen s do rusuna paralel olan a do rusunu çiz. a do rusu düzlemini keser. Neden? Bu kesi imi çiz ve A ile i aret et. Yaptı ın çizimi verilen çizimle kar ıla tır. A’ noktası düzlemi üzerindeki s yönüne A noktasının projeksiyonu denir. s do rusu için projeksiyon yön denir. a do rusuna A noktasının projeksiyon do rusu denir. düzlemine projeksiyon düzlemi denir. Bununla, uzaydaki noktalar ve düzleminin noktaları arasında bir e leme belirtilmi tir. Bu e lemeye, s yönünde paralel projeksiyon denir. Konu 4. Geometrik cisimler

ekilde Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122; ve Câ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą sÄąrasÄąyla A, B ve C noktalarÄąnÄąn projeksiyonlarÄądÄąr. Neden , Aâ&#x20AC;&#x2122; Bâ&#x20AC;&#x2122; ve Câ&#x20AC;&#x2122; C 'dir?

ekilde, Xâ&#x20AC;&#x2122; ve Yâ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą s do rultusunda dĂźzlemi Ăźzerinde bazÄą noktalarÄąn projeksiyonudur. Uzayda hangi noktalarÄąn projeksiyonlarÄą Xâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄądÄąr? dĂźzleminin hangi noktalarÄą projeksiyonun Yâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄądÄąr?

ncele ve unutma! Aâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą A noktasÄąnÄąn projeksiyonu ise, Aâ&#x20AC;&#x2122; noktasÄą Aâ&#x20AC;&#x2122;nÄąn projeksiyonu do rusuna ait her noktanÄąn projeksiyonudur. Projeksiyon dĂźzlemine ait her nokta, kendi projeksiyonuyla Ă§akÄą Äąr. Bir dĂźzlemi ve projeksiyon do rultusu s seĂ§tikten sonra p, p || s olmak Ăźzere p do 4. rusunu Ă§iz. P Ăźzerinde iĂ§ nokta A, B, C i aret et. OnlarÄąn Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122;, Câ&#x20AC;&#x2122; projeksiyonlarÄąnÄą Ă§iz (dikkat et Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122;, Câ&#x20AC;&#x2122; do ruda olacaklar).

AnÄąmsa! Paralel projeksiyon nedir? Geometrik ekil (dĂźzlemsel veya uzay) bir noktalar kĂźmesidir. O noktalarÄąn herbirinin verilen bir paralel projeksiyona gĂśre,kendi projeksiyonu vardÄąr.

Ă&#x2013;yle ki, bir do runun dĂźzlemi Ăźzerindeki projeksiyonu genel durumda do rudur, do ru parĂ§asÄąnÄąn â&#x20AC;&#x201C; projeksiyonu do ru parĂ§asÄądÄąr, ĂźĂ§genin â&#x20AC;&#x201C; ĂźĂ§gendir v.b.

dĂźzlemi, s ve A â&#x20AC;Ť ×&#x2018;â&#x20AC;Ź, B â&#x20AC;Ť ×?â&#x20AC;ŹnoktalarÄą verilmi tir. A ve B noktalarÄąnÄąn s do rultusuna gĂśre dĂźzlemi Ăźzerindeki projeksiyonlarÄąnÄą bul. ncele ve aĂ§ÄąklamayÄą izle. T

Bir eklin verilen bir dĂźzlemine projeksiyonu, bu eklin noktalarÄąnÄąn projeksiyonlarÄąnÄąn kĂźmesidir.

Projeksiyon do rultusu verilen dĂźzlemine dik oldu u durumda elde edilen paralel projeksiyona dik projeksiyon denir. Ă&#x2013;yleki, Aâ&#x20AC;&#x2122; ve Bâ&#x20AC;&#x2122; noktalarÄą A ve B noktalarÄąnÄąn dĂźzlemi Ăźzerinde dik projeksiyonlardÄąr. 6.

ekili incele ve a do rusunun dĂźzlemi Ăźzerinde aâ&#x20AC;&#x2122; do rusu projeksiyonunun nasÄąl Ă§izildi ini aĂ§Äąkla.

Uzayda noktalar, do rular ve dĂźzlemler

ekilde gösterildi i gibi, defterinde bir çizim yap ve a do rusunun düzlemi üzerinde projeksiyonunu belirt. AB do ru parçasını verilen bir düzlemi üzerindeki dik projeksiyonu a a ıdaki durumlarda nedir: a) AB do ru parçası düzlemine dik de ilse; b) e er AB || ekilleri incele ve açıklamaları izle. a) E er A’ ve B’ noktaları AB do ru parçasının A ve B uç noktalarının düzleminin üzerinde projeksiyonlar ise, o zaman AB do ru parçasının projeksiyonu düzlem üzerinde A’B’ do ru parçasıdır. b) E er AB do ru parçası projeksiyon düzlemine paralel ise, onun projeksiyonu A’B’ verilen do ru parçaya paralel ve e it olacaktır, yani A’B’ || AB, A’B’ = AB, çünkü ABB’A’ dörtgeni paralelkenardır (Neden?).

düzlemine dik olan do ru parçasının dik projeksiyonu nedir?

Genel durumda üçgenin projeksiyonu üçgendir. Üçgenin ait oldu u düzlemin projeksiyon düzlemiyle hangi durumda üçgenin projeksiyonu üçgen de ildir?

10.

Üçgenin ait oldu u düzlem, projeksiyon düzlemiyle dik oldu u durumda, üçgenin projeksiyonu do ru parçasıdır. ekilde, PQR üçgenin projeksiyonu P’R’ do ru parçasıdır.

Bilmen gerekenler: Bir düzlem üzerinde paralel ve dik projeksiyonu açıklayasın; Nokta, do ru, do ru parçası ve üçgenin bir düzlem üzerinde dik projeksiyonunun belirtesin.

Konu 4. Geometrik cisimler

Kendini yokla! B do rusu düzlemini P noktasında keser. b do rusunun b’ dik projeksiyonunu belirt. Dik projeksiyonda, projeksiyon do ruları ve projeksiyon düzlemi arasındaki durum nasıldır?

Ödevler 1. AB do ru parçasının uç noktaları, projeksiyon düzleminin farklı taraﬂarında bulunuyor. Do ru parçasının dik projeksiyonunu belirt. ekil çiz. 2. AB ve CD do ru parçalarının dik projeksiyonları A’B’ ve C’D’dir. u iddialardan hangileri do rudur? a) E er AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’ b) E er AB || CD, o zaman A’B’ = C’D’ c) E er AB || CD ve AB = CD, o zaman A’B’ = C’D’.

3. a ve b do ruları kesi iyor. Onların projeksiyonları iki farklı paralel do ru olabilir mi? A, B, C noktalarının projeksiyonları A’, B’, C’ 4. do ruda noktalardır. A, B ve C noktaların do ruda olmaları mecburi midir? C noktası AB do ru parçasının orta 5. noktasıdır. C noktasının projeksiyonu olan C’ noktasının A’B’ do ru parçasının ortası oldu unu açıkla. 6. M noktası a do rusu üzerinde de ildir. M’ noktası projeksiyonu a’ üzerinde bulunabilir mi?

GEOMETR K C SM N Ç Z MLE GÖSTER L Anımsa! Küp ve dikdörtgenler prizmasını daha evvelki ö reniminde tanıdın. Onları alanı ve hacmının nasıl hesaplandı ını da biliyorsun. Bu iki geometrik cisminden ba ka di erlerini de tanıdın: silindir, koni ve küre biçiminde cisimleri tanıyorsun. Yandaki ekilde gösterilen geometrik cisimlerden hangileri ayrıtlı, hangileri ise yuvarlaktır?

küp dikdörtgen prizma silindir

küre

Defterinde bir dikdörtgenler prizması çiz. Çizim yaparken unlara dikkat et 1o Dikdörtgenler prizmasının durdu u düzlem üzerindeki yüzü ve onun kar ısında duran yüzüne tabanlar (üst ve alt taban) denir; onlar daima birbirine paralel ve e olan paralelkenarlardır. Bu özellik her prizma için geçerlidir. 2o Dikdörtgenler prizmasının (ve bütün dik prizmaların) yan yüzleri ve yan ayrıtları tabanlara dik olmalıdır.

Uzayda noktalar, do rular ve düzlemler

koni

3o Dikdörtgenler prizmasının (ve herhangi prizmanın) paralel ayrıtları çizimde de paralel olmalıdır. 4o Dikdörtgenler prizmasının (paralel yüzün) eklinde bütün 12 ayrıtının tümü görülemez. Çizimde görülen ayrıtlar dolu çizgi ile, görünmeyenler ise çizgi ile gösterilir. Ayrıtlardan hangisinin “görünen”, hangisinin ise “görünmeyen” oldu u, paralel yüzün hangi açıdan görüldü üne ba lıdır: a) üstten (ku ların gördü ü gibi – “ku bakı ı”) ya da alttan (kurba aların gördü ü gibi – “kurba a bakı ı”), veya b) sa dan ya da soldan bakı .

4 5 3 6 2 1 ayrıtlar

sa , üst bakı

sol, alt bakı

5o eklin görünen altı ayrıtı (1, 2, ..., 6) di er iki çizimde de “görülür”. Çizimde 1’den 6’ya kadar sayılarla i aretlenen ayrıtlardır. 6o Kalan 6 ayrıttan, görülmeyen ortak kö eli üç ayrıtı belirtmelisin. O ayrıtlar görülmeyen ayrıtlardır. Genellikle (tavsiye edilir), geometrik cisimlerinin çizimi için sa ve üst görünü alınır. Ayrıtları: (a, b, c) olan bir dikdörtgenler prizmasının çizimini görelim. a) 'dan ç) 'ye kadar basamakları izleyerek çizimi defterde yapalım: a) Kenarları a ve c olan bir dikdörta gen çiz (önceki yan yüz); b b b) Üst tabanı çiz; c c a c) Üst tabanın kö elerinden c uzunc c c lu unda ve c’ye paralel iki yan ayrıa tı çiz. a a a a ç) imdi alt taban da çizilebilir, hangi a) b) c) ç) ayrıtların görülmedi i tespit edilebilir.

Bir küp çiz ki: a) sa taraftan ve üstten görünü lü; b) sol taraftan ve üstten görünü lü olsun. Yaptı ın çizimi verilen çizimle kar ıla tır a)

Konu 4. Geometrik cisimler

Bir küp çiz ki: a) sa alt taraftan;

b) sol alt taraftan görünsün.

Yaptı ın çizimi verilen çizimle kar ıla tır. a)

Yandaki ekilleri incele. Orada bir altıgen dik prizma ve iki piramit (biri üçgen, di eri ise dörtgen tabanlı) verilmi tir. Bu ayrıtlı cisimlere ilerdeki derslerde rastlayacaksın. Bir dik üçgen prizma çiz. Tabanı be gen olan piramit çiz.

Bilmen gerekenler: Kendini yokla! Geometrik cismi çizimle gösteresin. Bakı ı sol üst taraf olmak üzere bir dikdörtgenler prizmasını çiz.

Ödevler 1.

Ayrıtı a = 2,5 cm olan bir küp çiz.

Tabanı kare olan, üstten ve: a) sa taraf; b) sol taraf bakı lı bir dikdörtgenler prizması çiz.

Tabanı kare olan, alttan ve: a) sol taraf; b) sa taraf bakı lı bir dikdörtgenler prizması çiz.

4. Bir dikdörtgenler prizmasını dört bakı açısına göre çiz.

Saymayı dene... Ayrıtı 3 dm olan odundan bir kübün tüm altı yüzü kırmızı renkle boyanmı tır. Marangoz efki Amca bu kübü keserek ayrıtı 1 dm olmak üzere 27 tane küp yapmı tır. a) Kaç kübün hiçbir yüzeyi kırmızı boyalı de ildir? b) Kaç kübün tam birer yüzü kırmızı boyalıdır? c) Kaç kübün tam iki er yüzü kırmızı boyalıdır? ç) Kaç kübün tam üçer yüzü kırmızı boyalıdır? d) Kaç kübün tam dört yüzü kırmızı boyalıdır?

Uzayda noktalar, do rular ve düzlemler

PR ZMA PR ZMA. PR ZMA ÇE TLER . KÖ EGEN KES TLER Bir prizmanın nasıl elde edildi i açıklamayı izle.

Anımsa! Küp ve dikdörtgenler prizması uzay geometrik cisimleridir. Onların yüzleri, nasıl geometrik ekillerdir? Onlardan birinde tüm yüzler e ekillerdir. Hangisinde? Bir küp ve bir dikdörtgenler prizması çiz ve neyle farkla tıklarını açıkla.

ekilde gösterildi i gibi, iki farklı paralel düzlem ve 1 alınır.

üzerinde olan daha bir be gen ABCDE alınır. Ondan sonra, düzlemleri kesen bir p do rusu çizilir. Seçilen çokgenin kö elerinden geçen ve p do rusuna paralel olacak do rular çizilir. ekilde onların 1 düzleminin kestikleri noktaları sırasıyla A1, B1, C1, D1, E1 ile i aret edilmi tir. ekille ilgili u önermelerden hangilerinin do ru oldu unu açıkla. AA1 || BB1 ve AB || A1B1 ve Her üç önermenin do ru oldu unu görüyorsun. Buna göre u sonuca varabilirsin: a) ABB1A1, BCC1B1 v.b. dörtgenleri paralelkenarlardır. b) A1B1C1D1E1 be geni ABCDE be geni ile e tir. ki be genden ve be paralelkenardan olu an geometrik ekil çizimle gösterilmi tir. O ekil bir yüzeydir ve uzaydaki noktalar kümesini, iç bölge ve dı bölge olmak üzere iki alt kümeye ayırıyor. Konu 4. Geometrik cisimler

Bu yüzey ve onunla sınırlanan iç bölge ile beraber be gen prizma denilen bir geometrik cisim meydana gelmi tir. Benzer ekilde üçgen prizma, dörtgen prizma vb. elde edilebilir. Prizmanın eklini (cinsini) belirten üçgenlere, dörtgenlere, be genlere vb. prizmanın tabanları denir. Di er yüzler ise paralelkenarlardır – onlar prizmanın yan yüzleridir ve onların birle imine prizmanın yanal alanı denir. Her prizmanın iki tabanı ve bir yanal yüzeyi vardır. Tabanların kö eleri prizmanın kö eleridir, tabanların ve yan yüzlerin kenarlarına (do ru parçalarına) ise prizmanın ayrıtları denir, onlar taban ayrıtları ve yanal ayrıtlar diye adlandırılıyorlar. ekilde, iki üçgen prizma ve bir dikdörtgenler prizması (dörtgen prizma) gösterilim tir. Her üç prizmanın tabanlarını adlandır. ki üçgen prizmanın yan yüzlerini adlandır. Bir dörtgen prizmanın kaç kö esi ve kaç ayrıtı vardır? Önceki örnekte verilen be gen prizmanın hangi ayrıtları taban ayrıtlar, hangileri ise yan ayrıtlardır? Yukarıdaki ekilde verilen be gen prizmanın, kö elerini(t), yan yüzlerini (s) ve ayrıtlarını (r) say ve u e itli in do ru olup olmadı ını yokla: s + t = r + 2. Yan ayrıtları tabanlarına dik olan prizmaya dik prizma denir. ekildeki I ve II prizmalar bu cinstendir. Yan ayrıtları tabanlarına dik olmayan prizmalara e ik prizma denir. ekilde III ve IV prizmalar bu cinstendir. Tabanı paralelkenar olan prizmaya paralelyüz denir.

III

ekilde, I - IV i aretlenen prizmaları adlandır: Tabanına göre; Yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre; Taban ve yan ayrıtların tabanlarla durumuna göre. Tabanı düzgün çokgen olan her dik prizmaya düzgün prizma denir. Üyle ki, tabanı kare olan dik prizmaya düzgün dörtgen prizma denir. Prizma

a) dörtgen prizmanın; b) dikdörtgen prizmanın; prizmanın; düzgün altıgen prizmanın kaç tane ve nasıl yüzleri vardır?

düzgün

dörtgen

Unutma Bir prizmanın paralel tabanları arasındaki uzaklı a, prizmanın yüksekli i denir. ekil IV’teki prizmada yükseklik MM’ do ru parçasının uzunlu udur, II‘deki prizmada ise AA1 do ru parçasının uzunlu udur. ekilleri incele ve unları kaydet: Bir prizma verilen bir düzlemle kesilirse, prizmanın kesiti denilen bir çokgen elde edilir. Prizmanın kom u olmayan iki yan ayrıtından geçen düzlemle kesitine prizmanın kö egen kesiti denir. Bir prizmanın son noktaları iki kö e aynı yüze yatarsa, cisim kesiti denir ya da sadece prizmanın kesiti. ekildeki prizmanın cisim kö egeni DB1 do ru parçasıdır. Yukarıdaki ekilde ABCDEA1B1C1D1E1 be gen prizmanın ACC1A1 kö egen kesiti (taralı) olarak gösterilmi tir. Onun en az daha iki kö egen kesitini adlandırınız. Her kö egen kesit, paralelkenardır ve bu paralelkenarın bir çift kar ılıklı kenarları tabanın kö egenleridir; iddiasını nasıl açıklayacaksın? Dik prizmanın kö egen kesiti nasıl paralelkenardır? a) be gen prizmanın; b) altıgen prizmanın; c) sekizgen prizmanın kaç kö egen kesiti vardır? Yukarıdaki çekilde verilen prizmalarla ilgili u soruları cevapla: ABCDA1B1C1D1 dörtgen prizmanın tüm cisim kö egenlerini adlandır. (Dikkatli ol 4 kö egeni vardır). ekildeki be gen prizmanın kaç kö egeni vardır? Bir kö egen kesitte kaç kö egen vardır? Onlar kö egen kesitinin nesidir?

Konu 4. Geometrik cisimler

Bilmen gerekenler: Kendini yokla!

Prizma çe itlerini tanımalısın ve adlandırmalısın;

Bir prizmanın tabanları, kenarlarına göre farklı olabilir mi? Bir prizmanın ayrıtlarının sayısı: a) 6; b) 9; c) 12; ç) 15 olabilir mi?

Prizmanın elemanlarını adlandırmalısın (tabanları, yan ayrıtları, yüzleri...) Prizmanın kesitinlerini, kö egen kesitini ve cisim kö egenini tanımlamalısın ve çizmelisin.

Dik prizma nedir? Düzgün prizma nedir?

Ödevler 1. Düzgün yedigen prizmanın kaç yan yüzü vardır? Onlar nasıl çokgenlerdir?

E ik prizmanın tabanları düzgün çokgenler olabilir mi?

a) 4; b) 8; c) 13 yüzlü prizma var mıdır?

a) üçgen; b) be gen; c) altıgen tabanlı prizmanın üst tabanının bir kö esinden kaç cisim kö egeni çizilebilir?

2. n-gen prizmanın kaç yan yüzü vardır? 3. Yan yüzlerin sayısı s ve taban ayrıtlar sayısı r arasında nasıl ba ıntı vardır?

PARALELYÜZ. PR ZMANIN AÇILIMI VE PR ZMANIN ALANI Anımsa! Bir prizmanın yan yüzleri nasıl çokgenlerdir? a) dik; b) e ik prizma nedir? Hangi prizmaya düzgündür denir? Dikdörtgenler prizması düzgün prizma mıdır? Küp, düzgün prizma mıdır?

Paralelyüzün tüm altı yüzü paralelkenarlardır. Onlardan (yani ortak ayrıtları olmayan) üç çift kar ıt yüzler olu turabilinir.

ekilde verilen paralelyüzün ADD1A1 ve BCC1B1 kar ıt yüzler çiftini incele ve u soruları cevapla: Di er iki kar ıt yüzleri adlandır? Birbirine göre ve uzunluklarına göre: AD ve BC; AA1 ve BB1; AB ve A1B1ayrıtları nasıldır? Neden? ADD1A1 ve BCC1B1 yüzlerinin e paralelkenarlar olduklarını göster. Prizma

Genel ve geçerli Paralelyüzde herhangi iki kar ıt yüz paralel ve e tir. Hangi paralelyüze dik paralelyüz, hangisine ise e ik paralelyüz diyebilirsin?

Paralelyüz bir prizma oldu una göre, yan ayrıtları tabanla dik oldukları durumda paralelyüz diktir. Aksi halde yan ayrıtları dik olmadı ı durumda paralelyüz e iktir.

Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüze, dikdörtgenler prizması denir. Bir kö esinden çıkan üç ayrıtının uzunluklarına (örne in, ekildeki AB, BC, BB1) dikdörtgenler prizmasının boyutları denir. Boyutları e it olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. ekildeki paralelyüzün BDD1B1 kö egen kesitini incele ve u soruları cevapla: Paralelyüzün kö egen kesitleri nasıl dörtgenlerdir? BD1 ve DB1 cisim kö egenleri büyüklüklerine göre ve aralarındaki duruma göre nasıldır? Dikdörtgenler prizmasının kaç cisim kö egeni vardır ve onlar büyüklüklerine göre ile aralarındaki duruma göre nasıldır? ekildeki BCD1A1 dörtgeni incele. O bir dikdörtgendir (Neden?). Onun kö egenleri BD1 ve CA1 birbirine e ittir. Buna göre : CA1 = BD1 = DB1 (= AC1) 'dir.

Unutma Dikdörtgenler prizmasında , tüm cisim kö egenler birbirine e ittir. Onlar biribirini yarıya bölen bir noktada kesi iyorlar. ekilde, boyutları a,b,c olan bir dikdörtgenler prizması çizilmi tir. Onun BD1 cisim kö egenini incele ve d = BD1 uzunlu u için u formülün geçerli oldu unu dü ün ve sonuç getir:

Konu 4. Geometrik cisimler

Verilen sonucu elde etmek için unları gözetlemelisin: a) 'BAD dik üçgendir ve BD2 = a2 + b2 (Neden?); b) 'BDD1 dik üçgendir d2 = BD2 + c2 (Neden?) Demek ki: d2 = a2 + b2 + c2. 4.

Boyutları 8 cm, 6 cm ve 24 cm olan dikdörtgenler prizmasının kö egenini hesapla.

Bir dörtgen tabanlı dik prizma verilmi olsun. ekilde gösterildi i gibi bir yan ayrıtı ve üçer taban ayrıtı üzerinde “kesilmi ” oldu unu dü ün. Ondan sonra onun tüm yüzlerini ve bir düzlem üzerinde yayarsak, prizmanın açılımı denilen bir ekil elde edilecektir.

Unutma Her dik prizmanın birer açılımı vardır. Açılım iki çokgenden (prizmanın tabanları) ve boyutları L (taban çevresi) ve H (yan ayrıtın uzunlu u) olan bir dikdörtgenden olu maktadır.

Yandaki ekil, bir dikdörtgenden ve dikdörtgene “eklenen” iki e üçgenden olu mu tur. O ekil bir dik üçgen prizmanın açılımı oldu unu açıkla. O, düzgün prizma mıdır? Neden?

Yandaki ekillerden hepsi birer prizmanın açılımı mıdır? Dü ünerek hafızanızda bir küp olu turmaya veya bir model yapmaya çalı . a)

Prizma

ekilde gösterilen bir çokgen prizmayı incele ve yüzlerinin hangi çokgenler oldu unu tespit et.

Anımsa! Bir çokgen prizmasının alanı (e çokgenler olan) iki tabandan ve (paralelkenarlardan olu an) yanal yüzeyden meydana gelir.

Prizmanın tüm yüzlerinin alanlarının toplamına prizmanın alanı denir.

Bir prizmanın alanı P için u geçerlidir:

P = 2B + M B – bir tabanın alanı; M – yanal yüzeyin alanı.

Bir üçgen tabanlı dik prizmanın taban ayrıtları a = 6 cm, b = 25cm, c = 29 cm ve yüksekli i H = 35 cm 'dir. Alanını hesapla. Elde etti in çözümü verilen çözümle kar ıla tır. Tabanın alanı B Heron formülüyle hesaplanabilir:

d.o.k Yanal alanı M üç dikdörtgenden olu mu tur ve bu yüzden onun yanal alanı: M = a · H + b · H + c · H = (a + b + c) · H = L · H = 60 · 35, yani M = 2100 cm2'dir. Buna göre, prizmanın alanı P: P = 2B + M = 2 · 60 + 2100 = 2220, yani P = 2220 cm2.

Genel olarak! Dik prizmanın yanal yüzeyinin alanı M, u formülle hesaplanır:

M = L · H, burada L taban çevresi, H ise prizmanın yüksekli idir. Taban ayrıtı a = 5 cm ve yüksekli i H = 7 cm olan düzgün altıgen prizmanın yanal alanı M hesaplansın. Dikdörtgenler prizmasının ve kübün alanını önceden de hesapladın. Konu 4. Geometrik cisimler

Gözetle ve açıkla: Boyutları a, b, c olan (aynı ölçü birimiyle ifade edilmi ) bir dikdörtgenler prizmasının alanı u formülle hesaplanır:

P = 2(ab + ac + bc). Ayrıtı a olan kübün alanı u formülle hesaplanır:

P = 6a2 P = 61,44 cm2 olan kübün ayrıtını hesapla. 10.

Alanı hesaplamak için formülleri açıkla: a) düzgün üçgen prizma b) düzgün dörtgen prizma: c) düzgün altıgen prizma: Taban ayrıtı a ve H yüksekli i ile

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Ayrıtı a olan kübün d kö egeni için formül belirt. Düzgün dörtgen prizmanın açılımını çiz.

Paralelyüzü tanıyasın, çizimini yapasın ve özelliklerini ifade edesin; Dikdörtgenler prizması ve kübün çizimini ve çe itli prizmaların açılımlarının çizesin;

Taban ayrıtı 5 cm ve yüksekli i 10 cm olan düzgün dörtgen prizmanın alanını hesapla.

Çe itli prizmaların alanı için genel bir kuralın ifade edili ini ve prizmaların alanını hesaplayasın.

Ödevler 1.

a) boyutları 2,4 dm; 2 dm; 8,5 cm olan dikdörtgenler prizmasının; b) ayrıtı 2,5 cm olan kübün alanınlarını hesapla

Bir kübün alanı 294 cm2'dir. Kübün ayrıtını ve cisim kö egenini hesapla.

Yanal alanı M = 160 cm2 ve bütün alanı P = 210 cm2 olan bir düzgün dörtgen prizmanın yüksekli ini hesapla.

Prizma

Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P elemanlarından bazıları verilmi tir. Bilinmeyen büyüklükleri belirt: a) a = 4,5 cm, H = 8,4 cm; b) a = 12 cm, M = 432 cm2; c) a = 8 cm, P = 480 cm2 ç) B = 49 cm2, H = 12 cm; d) B = 81 dm2; P = 342 dm2; e) H = 8 dm, M = 208 dm2; f) M = 120 dm2, B = 36 dm2 g) M = 180 cm2, P = 342 cm2

Yan ayrıtı 12 cm bir dik prizmanın tabanı: kö egenleri 6 cm ve 8 cm olan bir e kenar dörtgendir. Prizmanın alanını hesapla.

Çizimle gösterilen 1 – 8 ekillerinden hangileri bir kübün açılımıdır?

2 3

Bir kübün ayrıtı 3 defa büyürse, alanı kaç defa büyür?

5 4

Bir düzgün üçgen prizmanın a, H, B, M, P santimetre olarak verilmi olan elemanları arasında bilinmeyen olanları belirt. a)

ç)

Örümcek sine e eri ebilir mi? ekilde, taban ayrıtı 1 cm ve yüksekli i 3 cm olan düzgün dörtgen prizma gösterilmi tir. Bir örümcek (P) ve bir sinek (M) ekilde gösterildi i durumda bulunuyorlar. Örümcek sine e: “Sana geliyorum, beni bekleyecek misin?” diye sormu . “Bekliyorum, fakat iki artım var.” diye sinek cevap vermi ve artlarınının gerçekle mesini söylemi : 1) Yan yüzlerin hepsinden geçmelisin ve 2) Geçilen yol 5 cm’den büyük olmamalıdır. Sinek kurtulacak mıdır, yoksa örümcek sine e ula manın bir yolunu bulacak mıdır?

Konu 4. Geometrik cisimler

AYRITLI C S MLER N HACMI. D KDÖRTGENLER PR ZMASININ VE KÜBÜN HACMI

Anımsa! Küp, dikdörtgenler prizması ve di er prizmalar uzay geometrik ekilleridir. Onlar “uzayda belli bir yer kapıyorlar” ve geometrik cisimler olarak adlandırılıyorlar. Onlardan ba ka geometrik cisimler de vardır.

ekilde geometrik cisimlerinin modelleri çizilmi tir. Onların herbirini adlandır. Onlardan hangileri ayrıtlı, hangileri ise yuvarlaktır? 3 1

Genel olarak

Geometrik cisim (ya da kısaca: cisim), uzayın sınırlı ve kapalı bir kısmıdır diyebiliriz. Cismin kapalı oldu u yüzey, yanlız çokgenlerden meydana gelmi se, elde edilen cisme ayrıtlı cisim veya çok yüzlü cisim (örnek olarak: prizma, piramit) denir. Cismin sınırlanmı oldu u yüzey kısımlarından herhangi biri e ri yüzey ise, ona yuvarlak cisim denir (örne in: silindir, koni, küre gibi). Çevrenizde: a) ayrıtlı cisim; b) yuvarlak cisim olan üçer nesne say. Tabanları e üçgenler olan ('ABC 'MNP) ve yan ayrıtları e it olan AA1 = MM1 ekilde verilmi tir. Herhangi bir öteleme yaparak A, B, C kö eleri sırasıyla M, N, P kö eleriyle ve di er tabanın A1, B1, C1 kö eleri kar ılıklı olarak M1, N1, P1 kö eleriyle çakı tı ı durumda, prizmalarla ne olur? Farketti in gibi böyle bir ötelemeyle prizmalar tamamen birbiriyle çakı acaktır. Bu yüzden onlara birbiriyle e tir denir.

Unutma Belli bir öteleme yaparak (hareketle) onları çakı ık duruma getirebilirsek iki geometrik ekline (özellikle iki geometrik cismine) e tirler denir.

Prizma

Yandaki ekilde a) ıkkında gösterilen dikdörtgenler prizması EFF1E1 düzlemiyle kesilerek ortak iç noktaları olmayan iki dikdörtgenler prizmasını ayrılmı tır. Onlara, verilen dikdörtgenler prizmasının parçalarıdır (elemanlarıdır) denir. b) ıkkında verilen prizma kaç kısıma ayrılmı tır? Onları adlandır. a)

Anımsa! Boyutları a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmını hesapla; Bu durumda elde etti in (45 cm3) sayısı dikdörtgenler prizmasının iç kısmının büyüklü ünü göstermektedir. (45 cm3) sayısı ne gösterir? O sayı verilen dikdörtgenler prizmasında ayrıtı 1 cm olan 45 tane küp sı dı ını göstermektedir, yani hacmı 1 cm3 olan 45 tane küp yerle tirebiliriz. Bu nedenle dikdörtgenler prizmasının hacmı 45 cm3’'tür deriz.

Her cisim uzayda belli bir yer alır. Cismin iç kısmının “büyüklü üne”, yani uzaydan ayrılan bu kısıma cismin hacmı denir. Bir cismin hacmını belirtmek, yani hacmını ölçmek genel olarak, düzlem ekillerin alanlarınının belirtilmesi ile aynıdır. Bir geometrik cismin iç kısmının büyüklü ü, özellikle çok yüzlünün büyüklü ü bir reel sayıyla ifade edilebilir ve bu sayıya cismin hacmı denir.

Unutma Herhangi geometrik cismine onun hacmı denilen bir V reel sayısı kar ılık gelebilir ve çok yüzlünün hacmı gibi adlandırılır, öyleki bu durumda u ko ulların sa lanması gerekir (hacim için aksiyomlar) Herhangi çok yüzlünün hacmı V, daima pozitif sayıdır, yani V > 0. E er iki çok yüzlü birbirine e ise, onların hacımları V1 ve V2 birbirine e ittir, yani V1 = V2 Birçok yüzlü iki kısıma ayrıldı ında, onun hacmı V kısımlarının V1 ve V2 hacımlarının toplamına e ittir, yani V = V1 + V2. Konu 4. Geometrik cisimler

Ayrıtı 1 cm (1 dm, ya da 1 m, v.b.) olan kübün hacmı 1 cm3 (1 dm3, yani 1 m3 v.b.) olarak alınır. 5. Ödev 4’ün a) ıkkındaki dikdörtgenler prizmasında kendisinin ve kısımlarının boyutları i aret edilmi tir. Dikdörtgenler prizmasının V hacmını hesapla, ondan sonra onun kısımlarının V1 ve V2 hacımlarını hesapla. Bu durum için (1o ve 3o) aksiyomlarını yokla. 6.

Aksiyom 3o ten yararlanarak, bir cismin hacmının, kendi parçalarının herhangı birinin hacminden büyük oldu unu nasıl gösterebiliriz?

Dikkat et ve unutma Ko ul 4o ile ilgili hacmın temel ölçü biriminin belirtilmesi çok önemlidir. Ölçü birimi olarak herhangi bir kübün hacmi alınabilir. Halbuki uluslararası ölçü birimi sistemine (S ) göre, bu küp ayrıtı 1m olan küp olarak alınmı tır ve ona metre küp denilmi tir; i areti m3 .

Metreküpten elde edilen ve ondan küçük ölçü birimleri hangileridir? 1 m3 ‘te kaç: a) desimetreküp (dm3); b) santimetreküp (cm3); c) milimetreküp ( mm3) vardır? m3lerle hesapla:

a) 2 350 dm3,

b) 625 000cm3,

c) 55 · 106mm3

Hacımları ölçerken (genellikle sıvılarda) litre denilen ölçü birimi de kullanılmaktadır. Bu durumda: 8.

a) 35dm3;

b) 2 500cm3;

c) 2m3 ‘te kaç litre küp vardır?

Hacim aksiyomu gere ince, boyutları a, b, c olan dikdörtgenlerprizmasının hacmi:

formülüyle, kübün ise, (a = b = c) olan dikdörtgenler prizmasının hacmi formülüyle hesaplanır. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesaplamak için formül: eklinde de yazılabilir. Bu durumda B = a ·b dikdörtgenler prizmasının taban alanıdır, a H = c ise yüksekli idir.

Prizma

Dikdörtgenler prizması biçiminde bir kabın taban ayrıtları a = b = 25 cm’dir ve 25 litre su sı ar. Kabın yüksekli i ne kadardır?

Bilmen gerekenler: Çe itli pratik örneklerde dikdörtgenler prizmasının ve kübün hacmi nasıl hesaplanır; Hacim ölçü birimlerinin kullanılması.

Kendini yokla! Ayrıtı: a) 2cm ; b) 3cm; c ) 1dm olan küpte, ayrıtı 1cm olan kaç tane küp yerle tirilebilir? Dikdörtgenler prizması biçiminde bir kabın taban ayrıtları a = b = 30 cm ve yüksekli i H = 40 cm’dir. Kabda kaç litre su sı ar?

Ödevler Alanı 54 cm2 olan kübün hacmini hesapla. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları: 16cm, 4dm, 1m’dir. Bu prizmanın hacmine e it olan kübün ayrıtını hesapla. Bir kübün alanı cm2 olarak ve hacmi cm3 olarak ifade edilmi tir. Bu kübün ayrıtı ne kadardır? Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı karedir. Onun taban ayrıtı 4 cm ve yanal alanı M = 112 cm2 ’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla. Bir dikdörtgenler prizmasının taban ayrıtları 6 cm ve 8 cm, cisim kö egeni ise 26 cm’dir. Dikdörtgenler prizmasının hacmini hesapla.

Konu 4. Geometrik cisimler

6. Bir kübün hacmi boyutları: 8 cm, 4 cm, 2 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine e ittir. Kübün alanını hesapla.

7. Yüksekli i 2,80 m ve kalınlı ı 40 cm olan bir duvarın yapılması için 2 600 tu la gerekir. 1 m3 duvar için 400 tu la harcandı ına göre duvarın uzunlu u nekadardır? 8. Bir dik prizmanın yüksekli i 8 cm’dir. Onun tabanı katetleri a = 3 cm ve b = 4 cm olan bir dik üçgen oldu una göre hacmini hesapla. Hacmi hesaplamak için prizmayı boyutları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının yarısı gibi dü ün.

D K PR ZMANIN HACM Anımsa! Boyutları a, b, c olan dikdörtgenler prizmasının hacmi V = abc formülüyle hesaplanır. Dikdörtgenler prizmasının hacmine ait V = BH formülü nasıl elde edilir? Kübün hacim formülü V = a3 oldu unu biliyorsun. Küpte V = BH formülü geçerli midir? Katetleri a ve b olan dik üçgenin alanı nasıl hesaplanır?

Tabanı dik üçgen olan prizmanın hacmini hesaplamak için dikdörtgenler prizmasının hacmine ait olan formül geçerlidir. V = BH, Burada B taban alanı, H ise prizmanın yüksekli idir. Bu iddianın açıklamasını izle:

a) ıkkındaki ekilde, katetleri a ve b olan dik üçgen prizmanın tabanıdır, yüksekli i ise H’dir. b) ıkkındaki ekilde ise verilen prizma kendine e olan di er bir prizmayla, dikdörtgenler prizmasına tamamlanmı tır. Dikdörtgenler prizmasının hacmi Vk verilen üçgen tabanlı prizmanın V hacminden iki defa büyüktür, yani Vk = 2V’dir. Neden?

Bildi imiz gibi ’ dir. Buna göre elde edilir.

yani a)

verilen prizmanın taban alanı oldu una göre (Neden?) Buna göre her prizmanın hacmini hesaplamak için

yazılır. formülü elde edilir.

Tabanı dik üçgen olan dik prizmanın hacim formülünü sözlerle ifade et. Katetleri 6 dm ve 8 dm olan dik üçgen bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın yüksekli i 1,5 m oldu una göre hacmini hesapla. Geli igüzel tahminen bir üçgen çiz ve onu bir yüksekli iyle iki dik üçgene ayır. ekilde görüldü ü gibi, en büyük kenara kar ılık gelen yükseklik çizilerek onu daima yapabilirsin. ekilde tabanı herhangi bir üçgen olan dik prizma gösterilmi tir Bu dik prizmanın tabanları dik üçgenler olan iki dik üçgen prizmaya ayrılması için hangi düzlemle kesilmi tir? Açıkla. Prizma

Bundan yararlanarak, verilen üçgen tabanlı prizmanın hacminin V = B · H formülüyle hesaplandı ını ispatla (B – taban alanı, H yüksekliktir). V1 = B1 · H ve V2 = B · H prizmanın olu tu u iki prizmanın hacimleri oldu unu gördün, o halde aksiyom 3o gere ince verilen prizmanın hacmi V için unu yazabiliriz: Verilen prizmanın taban alanını B ile i aret edersek B = B1 + B2 oldu una göre,

formülü elde edilir. Demek ki, tabanı üçgen olan dik prizmanın hacmi, taban alanı ve yüksekli inin çarpımına e ittir. Kenarları a = 13 cm , b = 14 cm, c = 15 cm olan bir üçgen, yüksekli i H = 20 cm olan bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın hacmini hesapla. Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan bir düzgün üçgen dik prizmanın hacmini hesapla. 7.

ekilde bir be gen dik prizma gösterilmi tir. Onun bir kö esinden tabanının iki kö egeni çizilmi tir. ekli incele ve soruları cevapla:

Tabanın bir kö esinden kaç kö egen kesiti yapılabilir? Bu kö egen kesitlerle kaç dik üçgen prizma elde edilebilir? Elde edilen I, II, III dik üçgen prizmaların hacimleri sırasıyla V1, V2, V3 ile i aret edilirse, verilen be gen prizmanın hacmi nasıl ifade edilebilir? Verilen be gen prizmanın taban alanı B ve yüksekli i H ile i aret edilirse, be gen prizmanın hacmine ait formülü nasıl yazabilirsin? Be gen prizma hacminin, ayrıldı ı üçgen prizmaların hacimlerinin toplamına e it oldu unu her halde cevapladın. Böyle sonuç her prizma için de geçerlidir. Buna göre: Dik prizmanın hacmi V, tabanı B 'nin ve yüksekli i H'nin çarpımına e ittir, yani

Taban ayrıtı a = 10 cm ve yüksekli i H = 60 cm olan düzgün dörtgen dik prizma biçiminde bir kabın hacmini hesapla. Bu kabda kaç litre sıvı sı ar? Yüksekli i 12 cm olan bir dik prizmanın tabanı, kateti 8 cm olan ikizkenar dik üçgendir. Prizmanın hacmini hesapla. Konu 4. Geometrik cisimler

Sonuçları a a ıdakilerle kar ıla tır:

Taban ayrıtı a ve yüksekli i H olan ; a) düzgün üçgen prizmanın; b) düzgün dörtgen prizmanın; c) düzgün altıgen prizmanın hacmini hesaplamak için formül bul.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Taban ayrıtı a = 4c ve yüksekli i H = 13 cm düzgün altıgen prizmanın hacmini hesapla.

Genel formülle prizmanın hacmini hesaplayasın; Düzgün üçgen, düzgün dörtgen ve düzgün altıgen prizmanın hacmini hesaplamak için formülü belirtesin;

ki üçgen prizmanın yükseklikleri ve hacimleri e ittir. Onların tabanları: a) e üçgenler; b) e it alanlı üçgenler olması art mıdır?

Pratik örneklerde prizmanın alanını ve hacmini hesaplarken hacim ölçü birimlerinden yararlanılmasını.

Ödevler 1.

Uzunlu u 2 m ve geni li i 1 m olan bir sandık 16 hl pirinç sı ar. Sandı ın yüksekli i ne kadardır?

Tabanın çevresi 24 cm ve yüksekli i 10 cm olan düzgün altıgen prizmanın hacmini hesapla.

Kö egenleri 24 cm ve 10 cm olan bir e kenar dörtgen bir prizmanın tabanıdır: Prizmanın yüksekli i 20 cm oldu una göre, alanını ve hacmini hesapla. Bir düzgün dörtgen prizmanın alanı P = 448 dm2 ve yanal alanı M = 320 dm2’dir. Prizmanın hacmini hesapla.

Verilere göre düzgün üçgen tabanlı prizmanın hacmini hesapla; a) taban ayrıtı 6 cm ve yüksekli i 8 cm; b) taban ayrıtı a ve yüksekli i 4a.

Taban ayrıtı a = 6 cm ve hacmi V = 1260 cm3 olan düzgün altıgen prizmanın yüksekli i ne kadardır?

2 km uzunlu unda bir kanalın enine kesiti, tabanları 6 m ve 10 m ve yan kenarı 2,9 m olan bir ikizkenar yamuktur. Bu kanalın kazılmasında kaç m3 toprak çıkarılmı tır? Düzgün dörtgen prizmanın a, H, B, M, P, V büyüklükleri arasında verilenlere göre (cm; cm2; cm3 ), bilinmeyenleri belirt: a) a = 5, M = 160; ç) H = 14, V = 1694; b) a = 3, P = 66; d) H = 15, M = 780; c) B = 36, M = 168; e) M = 160, V = 200.

Prizma

P RAM T P RAM T. P RAM D N ALANI Anımsa! Çokyüzlü veya ayrıtlı cisim nedir? Prizma, neden ayrıtlı cisimdir? Bir prizma neye göre, üçgen prizma, dörtgen prizma vb. diye adlandırılır? Neye göre ise prizma düzgün veya dik diye adlandırılır? Mısır piramitlerinden herhangi birini sözlerle açıkla.

A a ıdaki ödevde verilen çizimleri incele ve açıklamayı izle. Böylece daha bir ayrıtlı cisimle tanı acaksın. Verilenler: bir düzlem ; onun üzerinde bir n-gen, örnek: ABCDE; düzlemine ait olmayan bir S noktası; Bir ucu S noktasında di eri ise be genin kö elerinde olmak üzere do ru parçalar çiziliyor. Bu ekilde kaç üçgen elde edilmi tir? O üçgenleri adlandır. Tüm be üçgenin neleri ortaktır? Verilen be gen ve elde edilen be üçgenin alanını incele.

Verilen be genin alanı ve elde edilen be üçgenin alanları, uzay noktalarının kümesini iç bölge ve dı bölge olmak üzere iki alt kümeyi ayırıyorlar. ç bölge ve adı geçen alanlar beraber be gen piramit denilen bir geometrik cismi meydana getirirler. Bu piramit ayrı olarak yandaki ekilde gösterilmi tir. Verilen be gene piramidin tabanı, elde edilen üçgenlere ise ABS, BCS,... – piramidin yan yüzleri denir, S noktası ise piramidin tepesidir. S tepesi ve tabanın kö eleri, piramidin kö eleridir, yan yüzleri piramidin yanal alanını olu turuyorlar. Piramitte de taban ve yanal ayrıtlar vardır. Aynı yöntemle üçgen piramit, dörtgen piramit ve ba ka piramitler elde edilebilir. Onlardan herbirine kısaca, piramit denir. Konu 4. Geometrik cisimler

ekilde üçgen piramit SABC ve dörtgen piramit SABCD gösterilmi tir. Onları adlandır: a) taban ayrıtlarını; c) tabanını; b) yan ayrıtlarını; ç) yan yüzlerini; 1) SABC; 2) SABCD piramitlerinin adlandır. ekildeki SABCD piramidinde SS’ do ru parçasına dikkat et. S noktası piramidin tepesi ve S’ ise onun taban üzerinde dik projeksiyonu olmak üzere SS’ do ru parçasına piramidin yüksekli i denir.

S’ noktası yüksekli in dikme aya ıdır. Genellikle SS’ do ru parçasının uzunlu una da piramidin yüksekli i denir. 3. Verilenlere göre piramidin hangi cinsten oldu unu belirt: 1. a) 4, b) 6, c) 9 kö esi; 2. a) 6, b) 10, c) 12 ayrıtı; 3. a) 4, b) 7, c) 10 yüzü. Piramidin tepesinden ve tabanının herhangi kö egeninden geçen düzlemle kesitine piramidin kö egen kesiti denir.

ekilde, piramidin ACS kö egen kesiti gösterilmi tir. Böyle daha iki kesiti bul ve adlandır. Bu piramidin kaç kö egen kesiti var? Herhangi piramidin kaç kö egen kesiti vardır? Bu piramitte BDS ve ECS üçgenlerin de kö egen kesitler oldu unu farkettim. Bu piramidin 5 kö egen kesiti vardır. Her piramidin tabanında kö egen sayısı oldu u kadar kö egen kesitleri da vardır. ekilde, tabanı kare ve yüksekli inin dikme aya ı tabanının kö egenlerinin O kesi im noktasıyla çakı an SABCD piramidi gösterilmi tir. ekili gözetle ve açıklamaları incele. O noktası karenin (tabanın) kö egenlerini yarıya böler. AOS, BOS, COS, DOS dik üçgenlerinin birer ortak katetleri vardır (OS yüksekli i), di er katetleri ise karenin kö egeninin yarısına e ittir. KAK kuralına göre onlar birbiriyle e tir. Böyle piramitte u sonuca varabiliriz: a) tüm yan ayrıtlar birbirine e ittir; b) yan yüzler birbirine e olan ikizkenar üçgenlerdir; c) yan yüzlerin yükseklikleri birbirine e ittir. Piramit

Bu piramide ve tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekli inin dikme aya ı tabanın merkezine dü en her piramide düzgün piramit denir. Düzgün piramidin herhangi yan yüzünün h yüksekli ine piramidin apotemi denir. Taban ayrıtı a = 14 cm ve yan ayrıtı s = 25 cm olan düzgün üçgen piramidin h apotemini hesapla. ekilde gösterilen AES üçgenini incele. Ka ıttan yapılmı bir piramit dü ün ve onu tüm taban ayrıtları (bir hariç) ve bir yan ayrıtı üzerinden kesersek, piramidin alanını bir düzlem üzerinde “serebiliriz”. Bu ekilde piramidin açılımı elde edilir. ekilde, taban ayrıtı a ve yan ayrıtı s olan bir düzgün üçgen piramidin iki açılımı çizilmi tir. Her iki çizim yöntemini incele ve sözlerle açıkla. Bir düzgün dörtgen piramidin açılımını çiz ve açıkla. Prizmada oldu u gibi, bütün yüzlerin alanlarının toplamına piramidin alanı denir. Buna göre: Taban alanını B ile, yanal alanı da M ile i aret edersek, piramidin alanı u ekilde yazılabilir. Taban ayrıtı 14 cm ve yanal ayrıtı s = 25 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Tabanı için:

yani B = 196 cm2 elde edilir;

Yanal alanı için

burada h apotemdir.

Apotemi hesaplamak için AES dik üçgeninde Pitagor Teoremi’ni uygulayaca ız:

Demek ki, M = 2ah = 2 · 14 · 24 = 672, yani M = 672 cm2 Buna göre, P = B + M = 196 + 672 = 868, yani P = 868 cm2 oldu unu buluyoruz. Konu 4. Geometrik cisimler

Taban ayrıtı a = 10 cm ve yüksekli i H = 12 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla. H apotemini belirtmek için ödev 7’de gösterilen ekilde SOE üçgeninden yararlan. Üçgen piramit tetraeder gibi adlandırılır. Tüm ayrıtları e it olan üçgen piramide düzgün tetraeder denir.

Ayrıtı a = 12 cm düzgün tetraederin alanını hesapla.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Piramit ve elemanlarını tanıyasın ve adlandırasın;

Bir piramidin tabanı düzgün çokgen ise, piramidin düzgün olması mecburi midir?

Düzgün piramit tanıyasın ve tanımını yapasın.

Yanal ayrıtı s = 17 cm ve apotemi h = 15 cm olan düzgün dörtgen piramidin alanını hesapla.

Piramid alanını hesaplayasın.

Ödevler 1.

Bir piramidin en az kaç yüzü olabilir? O piramit hangi cinstendir?

Bir düzgün üçgen piramidin taban ayrıtı 6 cm ve yan ayrıtı 10 cm ise, alanını hesapla.

Taban ayrıtı 10 cm ve apotemi 13 cm olan düzgün altıgen piramidin alanını hesapla.

Yüksekli i H = 6 dm ve apotemi h = 6,5 dm olan düzgün dörtgen piramidin taban alanını hesapla.

Yanal alanı 20 dm2 ve taban alanı 16 dm2 olan düzgün dörtgen piramidin apotemini hesapla.

Düzgün dörtgen piramidin a, H, h, B, M, P büyüklükleri arasında verilenlere göre bilinmeyen büyüklükleri belirt (e er santimetrelerle verilmi iseler):

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 8 cm ve alanı 144 cm2 'dir. Piramidin H yüksekli ini bul.

a) a = 12, h = 10: ç) H = 21, h = 29; b) a = 14, H = 24; d) P = 819, B = 81; c) B = 256, M = 544; e) P = 3584, M = 2800.

Piramit

P RAM D N HACM Anımsa! Düzgün prizmanın hacmi B taban ve H yükseklik olmak üzere, V=B·H formülüyle hesaplanır. Piramit nasıl elde edilir? Bu durumda: a) taban; b) tepe; c) yanal alan; ç) piramidin yüksekli i nedir?

Bir cismin hacmini ölçerken, ölçü birimini do rudan do ruya göçürerek cismin hacmi belirtilemez, o amaçla formülle yazdı ımız bazı kurallar buluyoruz. Bu formüllere göre, gereken veriler verildikten sonra, hesaplama yaparak cismin hacmi elde edilir. Piramidin hacmini hesaplamak için bir kural nasıl bulmalıyız? Bu nedenle (evde) u deneyi yapabilirsin: ekilde oldu u gibi, tabanlarının alanları e it ve yükseklikleri e it olan içi bo , örne in: kartondan bir prizma ve piramit modeli yap: Piramidi kuru kum ile veya ba ka bir malzemeyle: pirinç, eker vb. doldur. Ondan sonra piramitteki kumu prizmaya bo alt. Prizmanın tamamen dolması için bu i lemi daha iki defa yapmak zorunda oldu unu göreceksin. Bu gösteriyor ki, piramidin hacmi, prizmanın hacminden üç defa küçüktür. Deneyle gösterilen bu gerçek, aslında ispatlanabilir, (halbuki biz bu ispatı imdilik bırakaca ız.)

Genel olarak geçerli oldu unu unutma Bir piramidin hacmi V, tabanı B'nin ve yüksekli i H’nin çarpımının üçte birine e ittir. Yani

Taban ayrıtı a = 12 cm ve yüksekli i H = 20 cm olan düzgün dörtgen piramidin hacmını hesapla.

Konu 4. Geometrik cisimler

Yandaki ekilde verilen piramitleri incele ve taban ayrıtı a ve yükseklik olmak üzere a) üçgen piramidin ; b) dörtgen piramidin; c) altıgen piramidin hacmini hesaplamayı dene. Elde etti in çözümü verilenle kar ıla tır. Piramidin genel hacim formülünde formülle de i tirilmelidir:

yalnız B kendine kar ılık gelen

a) e kenar üçgen:

b) kare : B = a2

c) düzgün altıgen:

O ekilde u formüller elde edilecektir: 3.

Mısırda bulunan Keops piramidin yüksekli i 149m‘dir, tabanının kenarı ise 232 m olan bir karedir. Onun hacmini hesapla.

Düzgün altıgen piramidin yanal ayrıtı 14cm ve taban ayrıtı a = 2 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla. Boyutları a = 32cm ve b = 10 cm olan bir dikdörtgen bir piramidin tabanıdır. Onun yüksekli i H = 12 cm olarak dikme aya ı taban kö egenlerinin kesi im noktasındadır (çevrel çemberin merkezindedir). ekili incele ve tavsiyelere göre hareket et. ve Yanal alanı dört üçgenden olu mu tur. görüldü ü gibi 'dir.

. ekilde

ha ve hb yan yüzlerin yüksekliklerini hesapla: ekilde : yani ha = 13 cm , hb = 20 cm ve M = 32 · 13 + 10 · 20 = 616 cm2; P = 320 + 616 = 936 ; P = 936 cm2. Piramit

B ve H de erlerini piramidin genel hacim formülünde de i tir.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla! Taban ayrıtı 5 cm ve yüksekli i 9 cm olan bir düzgün üçgen piramidin hacmini hesapla.

Genel formüle göre piramidin hacmini hesaplay; Özellikle bir örnekle hacim hesaplamak için formülü belirtesin.

Bir düzgün dörtgen piramidin yüksekli i 12 cm ve taban kö egeni 8 cm’dir. Piramidin hacmi ne kadardır?

Ödevler Bir düzgün dörtgen piramidin tabanı B = 144 cm2 ve yüksekli i H = 40 cm’dir. Piramidin hacmini hesapla.

Bir piramidin tabanı, boyutları 90 cm ve 1,20 m olan bir dikdörtgendir. Tüm yan ayrıtları ise 1,25 m'dir. Hacmini hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin hacmi 48 cm3 , taban alanı ise 36 cm2’dir. Piramidin alanını hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 8 cm ve hacmi V = 567 cm3'tür. Piramidin yüksekli ini ve alanını hesapla.

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı a = 24 cm ve yanal alanı M = 960 cm2 olarak verilmi tir. Piramidin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bir düzgün altıgen piramidin a, H, s, B, M, P, V büyüklükleri arasında verilmeyenleri belirt (ölçüleri cm olarak al):

Bir düzgün dörtgen piramidin taban ayrıtı 20 cm ve hacmi 3 200 cm3 olarak verilmi tir. Piramidin yüksekli ini ve alanını hesapla.

(s yan ayrıttır)

ç)

Dene... a) Elde edilen piramidin yan ayrıtlarının birbirine e it olması için piramidin tabanı ne çe it bir çokgen olmalıdır ? b) Elde edilen piramidin apotemlerinin e it olması için tabanı nasıl bir çokgen olmalıdır?

Konu 4. Geometrik cisimler

S L ND R, KON , KÜRE S L ND R; ALANI VE HACM Silindir diye adlandırdı ımız geometrik eklinin nasıl elde edildi ini görelim.

Anımsa! Prizma nedir ve nasıl elde edilir? Prizmanın: a) tabanları; b) yan yüzleri; c) yanal alanı; ç) yüksekli i nedir?

Yapılan i lemi dikkatle izle. Bir düzlemi, üzerinde bir k çemberi ve ekilde a ıkkında gösterildi i gibi, çemberin bir T noktasından geçen ve düzleme dik olan bir p do rusu verilmi olsun.

Hangi geometrik cisimlere yuvarlak cisimler denir? Günlük hayatımızda birçok nesnelerin ekli silindir biçimindedir (örne in: konserve kutusu, soba borusu v.b.). Silindir eklinde olan daha birkaç nesneyi say.

b) c)

ekilin b) ıkkında görüldü ü gibi, T noktasının çember üzerinde hareket etti ini ve p do rusunun ba langıç durumla paralel kaldı ını dü ünelim. Bu ekilde hareket eden p do rusu bir yüzey olu turur; ekil c) – bu yüzey silindrik yüzeydir. p do rusuna generatris ya da ana do rusu, çembere ise silindirin direktrisi ya da dayana ı denir. Bu silindrik yüzeyi düzlemiyle paralel olan daha bir 1 düzlemiyle keselim; ekil ç)’de oldu u gibi. d)

Unutma

ç)

Silindrik yüzeyin ve 1 paralel düzlemlerinden kesti i daireler ve düzlemler arasında kalan uzay kısmı dik dairesel silindir denilen bir geometrik cismi olu turuyorlar. Biz ileride ona sadece silindir diyece iz. Onu ekil d)’de ayrı olarak görüyorsun.

Silindir, koni, küre

Görsel olarak bir dikdörtgen bir kenarı etrafında döndürüldü ünde de silindir elde edilir ( ekilde ABCD dikdörtgeni BC kenarı etrafında döndürülmü tür). ekli incele ve silindirin elemanlarını gör. Dairelere tabanlar denir, onlar arasındaki kısıma ise – yanal yüzey denir. Tabanın R yarıçapına silindirin yarıçapı denir. OO1 do ru parçasına (uç noktaları tabanların merkezleri olan do ru parçasına) silindirin ekseni denir, o ise aynı zamanda silindirin yüksekli idir. Silindir, ekseniden geçen bir düzlemle kesiliyorsa, kesit eksen kesiti denilen bir dikdörtgendir ( ekilde taralı olan dikdörtgen). Bir silindirin iki eksen kesiti birbirine e olmayabilir mi? Neden? Yarıçapı R = 5 cm ve yüksekli i H = 7 cm olan bir silindirin eksen kesitinin alanını hesapla. Eksen kesiti kare, yani H = 2R olan silindire e kenar silindir denir. Bir e kenar silindirin eksen kesitinin alanı 100 cm2’dir. Silindirin yarıçapını ve yüksekli ini bul. E er bir silindir, ekilde gösterildi i gibi, bir ana do rusu ve tabanları üzerinde kesilirse (a ıkkında gibi), silindirin açılımının iki e daireden (tabanları) ve bir dikdörtgenden (yanal yüzeyi – b) ıkkında gibi) olu tu unu görebilirsin.

ekilde b) ıkkında silindirin açılımını incele. Yarıçapı R ve yüksekli i H olan silindirin alanı P için unları görebilirsin:

(B – taban alanı, M – yanal yüzeyin alanı);

Konu 4. Geometrik cisimler

Yarıçapı R = 8 cm ve yüksekli i H = 2,5 dm bir silindirin alanını hesapla. Yarıçapı R ( yani tabanı B = R2 ) ve yüksekli i H olan silindirin hacmi prizmaya benzer olarak:

Anımsa! Silindir ve dik prizma arasında büyük benzerlik var.

V = B · H yani V = R2 · H. sayısı alınır. Demek ki, silindirin de hacmi, tabanının alanı ve yüksekli inin çarpımına e ittir. Yarıçapı R = 10 cm ve yüksekli i H = 15 cm olan silindirin hacmini hesapla.

- paralel düzlemlere ait olan iki e taban; - yanal yüzeyler, tabana dik olan ana do rusuyla ya da ayrıtlarla.

Yarıçapı R olan e kenar silindirin alanını ve hacmini hesaplamak için formülleri yaz. Cevap:

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Silindirin elemanlarını tanımasını;

a) silindrik yüzey; b) silindir; Nasıl elde edilir? R = 1,2 dm ve H = 15 cm olan silindirin alanı P ve hacmini V hesaplayasın.

Silindirin alanını ve hacmini formüle göre hesaplamasını.

Hangi silindire, e kenar silindir denir?

Ödevler 1.

R = 6 cm ve eksen kesitinin alanı Q = 240 cm2 olan silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

a) R = 10 cm ve b) H = 2dm e kenar silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

Yarıçapı 5 cm ve hacmi V = 1570 cm3 olan silindirin yüksekli ini belirt.

Yüksekli i 8 cm olan bir silindirin eksen kesitinin kö egeni 10 cm'dir. Silindirin alanı P ve hacmi V hesaplansın.

Bir e kenar silindirin alanı 1350 cm2'dir. Onun hacmini belirt.

6. Bir dikdörtgen, sırasıyla a ve b kenarları etrafında döndürülerek iki silindir elde edilir. Bu silindirlerin hacımlarının oranını bul. Silindir, koni, küre

KON ; ALANI VE HACM Anımsa! Günlük hayatta koni biçiminde olan nesnelere pek sık rastlıyorsun.

Koni biçiminde bir geometrik cismi, silindirde de yapıldı ı gibi benzer ekilde elde edilir. Yapılan i lemi izle.

Koni eklinde olan birkaç nesneyi say.

Bir düzlem ve merkezi O noktasında olan bir daire k verilmi tir. O noktasından düzlemine dik olan OS simetrali çizilmi tir. S noktasından SX yarı do rusu çizilmi tir ve bu yarıdo ru k çemberinin bir noktasından geçer. T noktası çember üzerinde hareket ederken SX yarıdo rusu çember üzerinde “kayacaktır”. Bu ekilde hareket eden ı ın, konik yüzey denilen bir yüzey meydana getirir. SX yarıdo rusuna generatris (anado ru), çembere ise direktris denir. S noktasına koninin tepesi denir.

Unutma Konik yüzeyin yüzeyinden kesti i daire ve tepe arasında sınırlanan uzay kısmı, dik dairesel koni denilen bir geometrik cismi olu turuyor. Biz ilerde ona sadece koni diyece iz. ekilde bu koni ayrı olarak gösterilmi tir.

Bir ikizkenar üçgen, tabanına kar ılık gelen yüksekli i etrafında döndürüldü ünde, nasıl bir geometrik cisim elde edilir?

Konu 4. Geometrik cisimler

Bir dik üçgen, bir kateti etrafında döndürüldü ünde de koni elde edilir.

ekli incele ve koninin elemanlarını tespit et. Daireye koninin tabanı, konik yüzey kısmına ise koninin – yanal alanı denir. Tabanın R yarıçapına, koninin yarıçapı denir. Koninin tepesini tabanın merkeziyle birle tiren do ru parçasına, koninin ekseni denir; o aynı zamanda koninin yüksekli idir. Uç noktaları, koninin tepesi S ve taban çevresinin herhangi bir T noktası olan do ru parçasına ST = s koninin ana do rusu – generatrisi denir. Koniyi ekseninden geçen bir düzlemle kesersek, kesit daima ikizkenar üçgendir. Bu üçgene koni'nin eksen kesiti denir ( ekilde taralı olan üçgen). Eksen kesiti e kenar üçgen, yani s = 2R olan koniye e kenar koni denir. 2.

R = 10 cm olan e kenar koninin eksen kesitinin Q alanını hesapla.

ekli incele ve verilen e itli in neden do ru oldu unu cevapla. bu e itlik, koninin generatrisi s, yüksekli i H ve yarıçapı R arasındaki ba ıntıyı göstermektedir.

Bir koninin s = 25 cm ve R = 7 cm ise yüksekli i hesapla. Bir koniyi dü ünerek bir generatrisi üzerinden ve tabanını sınırlayan çember üzerinden kesersek, koninin açılımı elde edilecektir. Bu açılım ( ekilde görüldü ü gibi) bir daire (tabanı) ve bir daire kesmesinden (yanal yüzeyi) meydana gelmektedir.

ekilde gösterilen açılımı incele. Koninin P alanı, R yarıçapı ve s generatrisi için unları gözetle: (B – taban alanı; M – yanal yüzeyin alanı) (dairenin alanı) (daire kesmesinin alanı);

Yarıçapı R = 5 cm ve yüksekli i H = 1,5 dm olan koninin alanını hesapla. Silindir, koni, küre

Koninin hacmini belirtmek için, piramitte yapılan deneye benzer bir deney yapabiliriz. E it tabanlı ve e it yükseklikte bir koni ve bir silindir modeli yap. Konideki kumu (tuz vb.) silindire bo alttı ında, silindirin üçte biri dolaca ını göreceksin. Yarıçapı R ve yüksekli i H olan koninin V hacmi: Yarıçapı R = 10 cm ve yüksekli i H = 3 dm olan koninin hacmini hesapla. E kenar koninin alanı ve hacmini hesaplamak için formül ifade et.

Çözümünü kar ıla tır:

Bilmen gerekenler: Koninin elemanlarını ifade edesin; Genel formülle koninin alanını ve hacmini hesaplayasın;

Ödevler Yarıçapı R = 5cm ve yanal alanı M = 65 cm2 olan koninin P alanını ve V hacmini hesapla. Bie koninin B = 314 cm2 ve s = 26 cm’dir. Onun P ve V' yi hesapla. Bir koninin eksen kesitinin alanı Q = 18,48 cm2 ve yüksekli i H = 5,6 cm’dir. Hesapla. a) B; b) V; c) M. Bir e kenar koninin eksen kesitinin çevresi 18 cm’dir. Koninin alanını ve hacmini bul. Konu 4. Geometrik cisimler

Kendini yokla! a) konik yüzey; b) koni nasıl elde edilir? R = 5 cm ve s = 13 cm verilmi olan koninin P ve V hesapla. Hangi koniye e kenar koni denir? 5. Yüksekli i H = 20 cm olan bir koninin hacmi 1 500 cm3’tür. Koninin alanını hesapla.

Dene!... Mecburi de ildir! 6. Bir koninin açılımında tepe açısı 120o, koninin generatrisi ise 15 cm’dir. Koninin çapını bul.

KÜRE; ALAN VE HACM Anımsa! Çemberin tanımını ifade et. Çemberin merkezi ve yarıçapı nedir? Bir çember ne ile bellidir?

Uzayda verilen bir noktadan e it uzaklıkta bulunan noktalar, küresel yüzey denilen bir geometrik cismi olu turuyorlar. Verilen O noktasına küresel yüzeyin merkezi denir.

Küresel yüzeyin merkezinden yüzey üzerinde bulunan herhangi bir noktaya olan uzaklı a küresel yüzeyin yarıçapı denir ve genellikle R ile i aret edilir. T küresel yüzeyin herhangi noktası olmak üzere, her OT do ru parçasına da yarıçap denir. ekilde merkezi O olan bir küresel yüzey gösterilmi tir. Küresel yüzeyin yarıçapları olan ( en az iki) do ru parçayı adlandır. Bir küresel yüzey ne ile bellidir?

Anımsa! Bir çemberin iç bölgesi nedir? Daire nedir? Dairenin kiri i ve çapı nedir? Günlük hayatta küre biçiminde rastladı ınız birkaç nesneyi say.

Küresel yüzey, iç ve dı bölge olmak üzere, uzayı iki bölgeye ayırmaktadır. ç bölgeye ait noktaların kümesi (yani, merkezden uzaklıkları küresel yüzeyin yarıçapından küçük olan noktalar kümesi) küre denilen bir geometrik cismi meydana getiriyorlar. Küresel yüzeyin merkezi ve yarıçapı, kürenin de merkezi ve yarıçapıdır.

Merkezi O noktasında olan bir kürenin yarıçapı R = 5 cm’dir. A, B ve C noktaları merkezden: OA = 1,5 cm, OB = 5,1 cm ve OC = 5 cm uzaklıktadır. Bunlardan hangileri küreye aittir? Daire çapının ne oldu unu hatırla. Benzer ekilde kürenin de çapını tanımlamaya çalı .

Silindir, koni, küre

ekilde, a) ıkkında, çapı AB olan bir daire gösterilmi tir. Daire AB çapı etrafında döndürülürse, nasıl bir cisim elde edilecektir? Bir dairenin (ya da yarım dairenin) bir çapı etrafında döndürülmesiyle ( ekil b) de oldu u gibi, bir küre elde edilir diyebiliriz.

Fark et ki: Bir kürenin düzlemle kesiti daima dairedir. Düzlem, kürenin O merkezinden geçti i durumda, kesit dairesinin yarıçapı kürenin R yarıçapına e ittir ve ona büyük daire denir. Bir kürenin kaç büyük dairesi vardır? Onların yarıçapları birbirine göre nasıldır? Yerküreyi temsil eden bir küre (dünya) dü ün. Ekvator, dünyanın bir büyük dairesidir. Di er büyük daireleri hangi çizgiler belirtiyorlar? Dünyada bazı küçük daireleri göster. Her küre yüzeyinin (yani, kar ılık gelen küresel yüzeyin) kürenin alanı denilen bir alanı vardır. Yarıçapı R olan kürenin alanı u formülle hesaplanır:

Fark et: Kürenin alanı: a) kendi büyük dairesinin alanından dört defa büyüktür . b) 2R çapının ve 2R çevresinin çarpımına e ittir, yani P = 2R · 2R = 4R2 . Her küreye, kürenin hacmini gösteren bir V sayısı e lenir ve onu u formülle belirtiriz:

burada, R – kürenin yarıçapı, P ise kürenin alanıdır.

Konu 4. Geometrik cisimler

Yarıçapı R = 5 cm olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı Q = 2 826 cm2 'dir. Kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bilmen gerekenler:

Kendini yokla!

Küresel yüzey,küreyi ve onun temel elemanlarını tanıyasın

Küresel yüzey ve küre ne oldu unu ve nasıl elde edildiklerini açıkla.

Formüle göre, kürenin alanını ve hacmini hesaplayasın.

Yarıçapı R = 1dm olan kürenin P alanı ve V hacmi ne kadardır?

Ödevler 1.

Çapı 12 cm olan bir kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Bir kürenin büyük dairesinin alanı 314 cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmini hesapla.

Yarıçapı R = 6cm olan bir kur uni küreden R = 6 cm yarıçaplı silindir yapılmalıdır. Silindirin yüksekli i ne kadardır?

Alanı P = 100 cm2 olan kürenin hacmini ve bir büyük dairesinin alanını hesapla.

Ayrıtı a olan bir küp verilmi tir. Küp et6. rafında küpün kö elerinden geçen bir küre çizilmi ve bu kürenin içinde kö eleri çember üzerinde olmak üzere yeni bir küp çizilmi tir. Bu iki kürenin a) alanlarının ve b) hacimlerinin oranlarını bul. ( Bütün kö eleri kürenin yüzeyinde bulunursa bir küp bir kürenin içinde bulunuyor demektir. Bu durumda diyebiliriz ki, küre küpün çevrelçemberidir) 7. Ayrıtı 4 cm olan bir odun küpten, en büyük küre yonulmalıdır. Atılan odun kısmının hacmini hesapla. Kübün hacminin yüzde kaçı atılan odun kısmının hacmidir? 8.

Ayrıtı 6 cm olan küp içinde, içten te et olan her yüzüne de en bir küre yerle tirilmi tir. Kürenin alanı ne kadardır? Çizim yap.

Yerkürenin çapı 12 733 km, Ayın çapı ise 3 482 km’dir. a) Yerkürenin alanı, Ay alanından kaç defa daha büyüktür? b) Yerkürenin hacmi, Ay hacminden kaç defa daha büyüktür?

Silindir, koni, küre

V E R LE R LE LE M LE R OLASILIK Anımsa! Bir olayın kesinlikle gerçekle ti i durumunun olasıllı ı 1 ya da %100'dür. Örne in, bo bir plastik i e yere dü erse - kırılmayacaktır. Bir olayın gerçekle mesi mümkün olmadı ı durumda olasılık 0'dır. Örne in, yalnız kırmızı topça ızlarla dolu olan kutudan, beyaz topça ızın çekili i. Tüm di er olayların olasıllı ı 0 ve 1 arasındadır. Örne in, havaya bir demir para atıldı ında, tura dü me olasıllı ı

ekilde gösterilen bir çarkıfele in altı e it bölgesi vardır. Okun döndürülmesiyle 4 numaralı bölgede durma olasıllı ı ne kadardır? 6 olay farkedebilirsin: Ok 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 numaralı bölgelerden herhangi birinde durabilir. Bu olaylardan herbirinin olasılı ı e it mümkündür. stedi imiz olay, okun 4 numaralı bölgede durmasıdır. Okun 4 numaralı bölgede durması olasılı ı

'dir. Bu durumda V ( 4 ) =

'dir deriz.

Okun 1 numaralı bölgede durması olasılı ı ne kadardır? 6 mümkün olaydan okun 2 ya da 3 numaralı bölgede durması olasılı ı V (2 ya da 3) =

'dir.

Okun, 1, 5 ya da 6 numaralı bölgede durması olasılı ı ne kadardır? Çarkıfele i incele. 5 mümkün olay var. Ok 1, 2, 3, 4 ya da 5 ile i aretlenen bölgede durabilir. stenilen olay, okun 7 numaralı bölgede durması ise, onun olasılık de eri 0’dır ya da V(7) Bu olay imkansızdır. Konu 4. Geometrik cisimler

, veya

Genel olarak: Verilen bir deney ile ilgili n sayısı “bütün mümkün olaylar” içindir ve bütün olaylar e it imkanlıdır. E er A o deney ile ilgili bir olay ise, o zaman m “bütün imkanlı olaylar” için sayı olacaktır, öyleki

bölümüne A olayının matematiksel olasılı ı denir ve V(A) ile i aret edilir.

Demek ki:

Kartlardan herbirinde birer harf yazılıdır.

M A T E M A T I K A Can, bakmadan kart çekiyor. u olayların olasılık de erini belirt: a) V(M); b) V(A); c) V(T veya K) 3.

Okun döndürülmesiyle, meydana gelen a a ıdaki olayların olasılı ını belirt. a) 3 sayısı; d) 11 sayısı b) çift sayı; e) 7’den büyük sayı c) tek sayı; f) 1’den 10’a kadar sayı ç) 5 ya da 6; Elde edilen olasılık de erlerini yüzdelerle ifade et. a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangisi kesin olay, hangisi ise imkansız olaydır? a)’dan f)’ya kadar olaylardan hangi iki tanesinin olasılık de eri e ittir. Öyle iki olay belirt ki biri gerçekle irse di eri imkansız olsun.

Bilmen gerekenler: Verilen bir deneyle ilgili olaylar için tahmin edebilesin ve onun olasılı ını belirtesin.

Kendini yokla! Oyun için bir zar atılır. Hangi olaylar mümkündür? En az üç tane olay say. Zarın atılmasında yukardaki kenarda verilenlerden: a) 2 sayısı; b) 3 veya 4 sayısı; c) 3 ve 4 sayısı; ç) çift sayı; d) 7 sayısı; e) 1 den 6’ya bir sayı çıkma olasılı ı ne kadardır? Silindir, koni, küre

GEOMETR C S MLER Ç N OKUDUN B LG N KONTROL ET

ekilde verilen dikdörtgenler prizmasında hangi kö e: a) A,B,C1; b) A,C,C1 ile komplanerdir (düzlemde tir)?

10. Bir düzgün üçgen prizmanın yanal alanı M = 180 cm2'dir. Onun taban ayrıtı a = 10 cm oldu una göre, P alanını ve V hacmını hesapla.

A a ıdaki do rular kesi ir mi: c) A1C ve AC1 a) DB1 ve D1C; b) BB1 ve D1C; ekile bak. Verilen do rularla bir düzlem belli midir: a) AD ve B1C1; b) DC ve DB1; c) BC ve AA1 ekile bak. Uzayda paralel olmayan ve kesi meyen iki do ru nasıl adlandırılmı tır. ekilde böyle iki çift do ruyu belirt.

11. Kö egenleri 24 cm ve 10 cm olan bir e kenar dörtgen, bir dik prizmanın tabanıdır. Prizmanın yüksekli i 5 cm ise, P ve V’yi hesapla. 12. Bir düzgün altıgen piramidin taban ayrıtı 3 cm, yan ayrıtı ise 4 cm'dir. Piramidin V hacmını hesapla.

13.

Taban ayrıtı a = 10 cm ve apotemi h = 13 cm olan düzgün dörtgen piramidin P alanını ve V hacmını hesapla.

14.

Silindir biçiminde bir fıçının taban alanı 30 dm2 ve yüksekli i 1 m’dir. Fıçıda kaç litre su sı ar.

15.

Taban yarıçapı R = 0,5 dm ve yüksekli i H = 1,2 dm olan bir koninin P ve V'yi hesaplansın.

16.

Büyük dairesinin alanı 56,25 cm2 olan kürenin P alanını ve V hacmını hesapla.

Verilen bir p do rusu 1 ve 2 düzlemlerine diktir. 1 ve 2 düzlemlerin birbirine göre durumu nasıldır? Bir do ru parçasının verilen bir düzleme dik projeksiyonu nedir? a) üçgen prizmanın; c) altıgen prizmanın;

Boyutları 9 cm, 6 cm ve 2 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim kö egenini hesapla.

b)dörtgen prizmanın; ç) n – gen prizmanın,

Kaç ayrıtı vardır?

Bir kübün kö egen kesitinin alanı 64 cm2'dir. Kübün ayrıtını bul.

Konu 4. Geometrik cisimler

ÖDEVLER N CEVAPLARI VE

çözümleri

KONU 1.

BENZERL K a) AB ve RS, AC ve RT, BC ve ST;

a) 3 : 4; b) 3 : 2; c) 5 : 2. 2. a) 4 : 3;

3. B ve S, C ve T. 2. b) 2 : 3; c) 2 : 5. 3. a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 3 : 10 Birbirine e ittir: a), b) ve ç); c) ve d). 4. 18 ve 4. 5. Evet. E üçgenlerin kar ılıklı açıla4. a) 150 : 100 : 50; b) 3 : 2 : 1. 5. a) 15; b) 7,8; rı da birbirine e ittir, kar ılıklı kenarları da birbirine e ittir. Buna göre onlar birbirine göre orantılıdır. 6. a) 1 : 3; b) 1 : 5; c) 1 : 6. c) 0,5; ç) 6. MN || AB ( ABC’nin orta tabanı gibi), demek 7. a) 3 : 1; b) 1 : 4. 8. 7,5 cm. 9. 2 : 1. ki kar ılıklı açıları birbirine e ittir; 10. 3:2 Dene… a) 12 yumurta , b) 3 tavuk ve demek ki kar ılıklı

a) 20; b) 6. 2. Örne in, 28 : 16 = 2,1 : 1,2. kenarlar orantılıdır. 4. a) 3; b) 7,5;

c) 16. 5. a) 4 cm; b) 24 cm; c)

a) 3 : 5; b) 7 : 3; c) 4 : 3. 2. 5. 3. b) 6.

cm.

5. 17 m.

7. a) x = 6, y = 7,5; b) x = 28, y = 1,5.

22,5 4. Hayır. 6. Evet, ikinci e lik kuralına 6.

= 7,2 dm;

= 12 dm. 7. 8 cm için.

göre. 7. a) Evet; b) Evet. 8. 52 m. 9. 17,5 m.

8 cm. 2. 24 cm, 45 cm, 27 cm. 3. 30 cm 1. 6 cm. 2. a) 16; b) 6. 3. 5.

4. 1.

2. 4.

3. 7. Yardım: 1 : a = a : x

ve 12 cm. 4. a1 = 12 cm, b1 = 16 cm,c1 =24cm 5. 6,5 cm. 6. b1 = 5, h1 = 10. 7. Yardım. ABC üçgeninde A1B1 || AB orta tabanını çiz ve A1B1C’yi incele. 8. a1 – 18, h1 = 9. 9. 10. 0,69 ha.

a) z; z; b) n; c) z; ç) m. 2. a) 6; b) 121; oldu unu farketmelisin. 8. Yardım: a) b : a = a : x; c) a = 12, b = ൎ 13,4. 3. a) 3,2; b) 5; c) 3; ç) 4. b) a : b = b : x. 9. x = 12; y = 16. 10. Çözüm: 5. c = 10, q = 3,6; b = 6. 6. 150 cm2. ekilde AB (tahminen) BC uzunlu unda A noktasının görülebildi i ula ılır bir E noktasına ka- 7. Yardım. a ve b do ru parçalarının x geometrik dar devam edilmi ve C noktasıyla birle tirilmi - ortasını çiz. Bu durumda x2 = a · b dir, buna göre tir. Ondan sonra BD || AE çizilmi tir. Tales teore- aranan karenin kenarı x olur. mine göre 212,5 m.

yani

a) 37; b) 33; c) c ൎ 40. 2. a), c), ç) Evet; b) Hayır. 3. 1. 4. 19,4 dm. 5. 64. 6. ൎ 10,4.

c) 300 m

Ödevlerin cevapları

c = 37, b = 12. Çözüm. a2 + b2 = c2, a = 35 ve b = 49 – c için 352 + (49 – c)2 = c2 elde edilir, yani 1225 + 2401 – 98 c + c2 = c2 elde edilir, oradan da 3626 = 98c ve c = 37 bulunur; ondan sonra b = 49 – c – 12. 21 ve 28 1. 7 m. 2. a) 40 cm; b) 1320 cm2; c) ൎ 51,9 cm.

a ൎ 32 cm. 4. 44 cm. 5. 1260 cm2. 6. 6 cm. Yardım. Ödev 5’teki çizimden yararlan. 5.

9. 92 cm (= 2 · (30 + 16) cm).

6 m. Yardım. A acın yüksekli i (x + 2)m olsun. O zaman (x + 2)2 + 8 = 102, (x + 2)2 = 36ö x + 2 = 6 dir.

Test: 1. a) 3 : 2; b) 3 : 2; c) 9 : 4. a ve b ıkkında e ittirler. 2. 1,5 cm. 3. a) 10; b) 9; c) 4. 4. 12. 6. a) 12; b) 35. 7. AC || BD, çünkü . 8. Yardım. 12 cm do ru parçasını 3 : 5 : 6 orantısında üç kısıma ayır. 9. Evet, birinci e lik kuralına göre (birinci üçgenin

açıları: 40o, 60o ve 80o dir, ikincisinin ise: 60o, 80o ve 40o dir=. 10. 10 m. 11. 3,2 cm. 12. L = 45 cm;

için

Dene...

P = 45 cm2. 13.

Çözüm:

14. 920. 15. a)ve c)Evet; b)Hayır. 16. 128. 17. 5,3 cm.

KONU 2. 1.

a) ve c) ıkkında.

L NEER DENKLEM, E TS ZL K VE L NEER FONKS YON b) ve c) 2. ıkkında.

E itlik 5(x – 1) = 5x – 5 dir.

3. x = 2 için. a) ve b) 5. ıkkında.

6. a = 3 için.

5. m = 5x. 6. a). b). 7. a) -1; b) 4. 1. M = {2} e it çözümer kümesidir.

1. a) 3 bilinmeyenle; b) bir bilinmeyenle; c)

2. M = {2}. 3. a)Hayır; b)Evet; c)Hayır. 4. x = 2.

2 bilinmeyenle. 2. a) üçüncü derece; b) ikinci ve c) derece; c) birinci derece. 3. a) ıkkında.

5. a) M = {-1}; b) M = R. 6.

4. a) ve c) ıkkında. 5. c) ve ç) ıkkında. 1. b) ve c) ıkkında. 2. a = 5 için.

b) ıkkındaki denklem. 5. b) ıkkındaki denklem.

1. Denklemler denktir.

2. c) ıkkında.

a) M = {2}; b) M = {3}; c) M = {4}. a) ve c) ıkkındaki denklemler.

Dene... Kapa ı 0,5 denar ve i e 10,5 denar.

3. a) x = 2; b) x = 2; c) x =

4. 2x – 8 =1-x; x = 3.

5. a) x = -3; b) x = 0; c) x = 6. 6. a) x = 3; 2. Denklemin b) x = 3. 7. a) x = 3; b) x = 8; c) x = 3.

8. a = 4 için. her iki tarafına 2x ifadesi katılmı tır. -3x; -5 terimleri silinebilir ve 2x – 4 = 4 denklemi Domino sırrı... Yardım. x ve y ile domino “sayılarını” i aret edelim ve x sayısı seçilen sayı olsun. O elde edilir. 4. 3x – 2 + x = zaman: (2x + 6) · 5 + y – 30 = 10x + y dir.

Ödevlerin cevapları

1. 28. 2. 108 ve 72. 3. x = (x – 46) · 4 + 7;

6. b) ıkkında.

b) [1, + ).

aranılan sayılar 59 ve 13’tür. 4. a = b – 2; b – 2 + 2b = 43; a = 13 cm, b = 15 cm.

1. a) x < 2; b) x > 2. 2. 2x – 3 < x – 1 ֞

5. 2 denarlık paraları x ile i aret edersek, 5 denarlık

2x – 3 – 5x < x – 1 – 5x. 3. a) 2x + 2 < x + 4; paraların sayısı 25 – x olur. Buna göre: 2 · x + (25 – x) · 5 = 80 elde edilir. Buna göre 15 demir para 2 denarlık ve b) 3x + 2 > 2x – 2 – 6. 4. x < 12. 5. x > -2. 10 demir paranın 5 denarlık oldu unu buluyoruz. 6. a) ve b). Her iki taraf -1 ile çarpılmı tır. 6. Tav anların sayısını x ile i aret edersek, güvercinlerin sayısı 35 – x olur. Buna göre, 4 · x + (35 – x) · 2 1. a) x > 3; b) x > -3. 2. a) x 4; b) x 3. = 94 elde edilir. Yani 12 tav an ve 23 güvercin varmı . 3. Hayır. Çözüm (- , -4) aralı ıdır. 7. (x + 2) · 35 = (x – 1) · 50; x = 8 saat. = 350 km. ; b) x > -3. 5. x < 5. 4. a) x < 8. Birinci i çi 1 saatte i in 'ini, ikinci i çi 6. 2a + 2(a – 3) < 54, a < 15. ise i in 'sini bitirecektir. x ile gereken zamanı i aret edersek,

1. a) (-3, 6); b) (-3, -1).

denklemi elde edilir yani x = 4. b) (-3, 4). 3. a) [4, 8]; b) [-3, 4). 4. 9.

saat için. Dene... 84 ya . 1. c), ç) ve d) ıklarında lineer fonksiyonlardır.

ikinci boru bo havuzu 30

10.

saatte dolduracaktır.

2. a) y = -2x + 3; b) y = -x + 2; c) y = -2x; ç) y =

1. a) ve b) ıkkında. 2. x = 0 ve x = 2 için. 3. Bir bilinmeyenli e itsizlikler a) ve c) ıklarında, iki bilinmeyenli e itsizlikler ise b) ve ç) ıklarıdır. 4. a) ıkkında ikinci derece, b) ve c) ıklarındaki e itsizlikler birinci derece ve ç) ıkkındaki e itsizlik üçüncü derecedir. 1. a) R(3x + 1 > 2x + 1) = {1, 2, 3} ve

b) R(2x + 3 > x + 3) = {1, 2, 3}. 2. Her üç e itsizlik denktir, çünkü her birinin çözümü x > -1 dir. 3. a) (-2, + ); b) (- , 0); c) (- , 1]; ç) [-3, + ); 4. a) (-3, + )

3. a) k = 2 ve n = -3; b) k = 2 ve

n = 0; c) k =

ve n = 3; ç) k =

4. a) x = 2; b) x =

ve n = 0.

; c) x = ; ç) x = 0.

6. k = 3 ve n = 6

1. A ve D noktaları. 2. x = 1 için. 3. y = 3x

y = 3x + 2 y = 3x – 2

x y

-1

x 0 1 y -2 1

b) (- , +2). 4. (2, 0).

5. n = 5.

6. k = 2

5. a) (- , -2].

Ödevlerin cevapları

1. y = 3x – 2

6. P(0, 2)’den, n = 2 dir. A(1, -1) den -1 =

1 · k + 2 dir, oradan da k = -3 elde edilir; fonksiyon eksilendir.

fonksiyonu. k = -3.

k = 2 ve n = -3.

a) y = x – 2

b) y = 2x – 6

x=2

x=3

n = -1. k = -2 ve n = 2.

1. ) ve ç)

2. b) ve ç) ıklarında. ıklarında. ve k = 3 için artandır;

b) k = -2 ve k = eksilendir. a) y = 4x – 1

y = 4x – 1 fonksiyonu artandır

için b) y = -2x – 1

a) y = x + 1 y = 2x – 1

y = -2x – 1

x=2

fonksiyonu eksilendir.

b) y = 3x – 1

y = -x + 3

x=1 ) y = -3x + 1

b) y = 2x + 1

y = -3x + 1

y = 2x + 1

fonksiyonu eksilendir.

fonksiyonu artandır.

3. k = 2.

4. k = 2 ve n = 3

Dene... 8 biçici. Yardım. Büyük çayırın alanı A ile i aret edilmi ise, küçü ü B ile, o zaman A = 2B. Biçicilerin sayısı k olsun. A çayırının biçilmesi için i günleri gerekir, B için ise gerekir. A = 2B ise o zaman u denklem eklini alır:

Oradan x = 8

1. ç, c, b, a. 2.

Ödevlerin cevapları

; c)

ç)

5 kart; 3 defa tekrarla.

Test: 1. Evet. 2. b)

3. a) x = 2,1; b) x = 1;

11.

c) x = 3. 4. a = 3. 5. O sayılar x, x + 1 ve x + 2 olsun. Buna gore; x + x + 1 + x + 2 = 84, yani x = 27. Aranılan sayılar: 27, 28 ve 29. 6. Kamyonun hareket zamanı x ile i aret edersek, arabanın hızı x – 2 olur. Her iki araba aynı yolu geçtiklerine gore: 50x = 75(x – 2), yani x = 6 saat. = 6 · 50 = 300 km. 7. Evet. 12. A ve C. 13. n = -3. 14. y = 2x – 3 ve 8. D kümesinde 2x – 1 > x – 2 ֞ 3x + 1 > 2x – 3. y = 3x – 2 fonksiyonları artandır; y = -3x + 1 ve y = -x –1 fonksiyonları ise eksilendir. 9. 15.

10.

KONU 3.

L NEER DENKLEMLER S STEM

1. a) Katsayıları: 2, -1, 3; bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları: 2, 6, 1; bilinmeyenler: x,y. c) Katsayıları: 1, -2, -1; bilinmeyenler: y, z. ç) Katsayıları: 5, 3, 16; bilinmeyenler: u,v.

c) do rudur.

2. a)evet; b)hayır. 3.

bilinmeyenler: x,y. b) Katsayıları:

5. (-2,3); (-1,1); ( 0, -1); (1,-3); (2,-5). 6.

graﬁ i y - ekseni ile paralel bir 4. p = - 2.

1. Katsayıları: 2,0,6 ve 0,1, 2;

bilinmeyenler x, y; c) Katsayıları: 0,25; 0,04; 0; 4; 25; 641; bilinmeyenler: x,y. 2.

1. 2. a) x + 3y = - 3; b) 2x + 3y = 5; c) -13x + 5y = 24; ç) 19x + 33y = 124. 3.

3. a)evet; b)evet; c)hayır. 4. örne in:

Ödevlerin cevapları

6. (x, y) = (-2, -2); (x, y) = (-4, -3).

Ertanâ&#x20AC;&#x2122;Äąn ya larÄą x, Berkantâ&#x20AC;&#x2122;Äąn ise y oldu una gĂśre;

7. a) (x, y) = (3, 1);

Ertan ve Berkant ikizlerdir.

ÂŁ x y 72 ÂŚ 1. ÂŚÂ¤ ; birincisi 37 sayÄąsÄą, ikincisi ÂŚ ÂŚ ÂĽx y 2

ise 35. 2. aretler E-erkekler, K-kÄązlar, ÂŁ ÂŚ ÂŚE + K = 28 3. Vapurun hÄązÄą Â¤ ÂŚ E = K + 4 R = { 16,12}. ÂŚ ÂĽ

16,8km/h, Äąrma Äąn ise 4,2km/h. 4. SÄącak su 80oC, so uk su 10oC. 5. Sinan 3 bĂźyĂźk ve 5 kĂźĂ§Ăźk defter satÄąn almÄą . 6. Annenin 32 ya Äą, kÄązÄąn ise 5 ya Äą vardÄąr. 7. Dar aĂ§Äą 72o, geni aĂ§Äą ise 108o.

Â?2 2. Bir Ă§ĂśzĂźm: x, y Â&#x17E;Â&#x17E;Â&#x17E; , Â&#x;3

1ÂŹÂ Â ; b) sonsuz Ă§ok; 3 ÂŽÂ

8. Bir sistem kur ve kenar uzunluklarÄąnÄą belirt. Pitagor teoreminden yararlanarak yĂźksekli ini belirt. P = 60 cm2.

c) bir Ă§ĂśzĂźm: (x,y) = (2,2); Ă§) bir Ă§ĂśzĂźm: (x,y) =

9. GĂźvercin sayÄąsÄą 23, tav an sayÄąsÄą 12â&#x20AC;&#x2122;dir.

3. a) GraďŹ kler paralel ( -2, 1). do rulardÄąr; b) GraďŹ kler kesi en do rulardÄąr; c) GraďŹ kler kesi en do rulardÄąr; Ă§) GraďŹ kler Ă§akÄą an do rulardÄąr.

Test: 1. Denklemin do ru sayÄą e itli ine dĂśnĂź tĂź Ăź her reel sÄąralÄą Ă§ifti.

graďŹ k Ă§iz.

c) (x

OnlarÄąn kesi iminin koordinatlarÄąnÄą belirt. R={(1, 3 )}. 1.

(x, y) = (2, 3).

7. 8. (x, y) = (-7, 1).

9. a) bir; b) sonsuz Ă§ok;

10. BabanÄąn 34 ya Äą var, o lunun ise 12 ya Äą

var.

KONU 4.

ve CDD1C1. 4. 1. Bir veya ĂźĂ§.

214

GEOMETR K C S MLER 2.

6. Denklemlerin graďŹ klerini Ă§iz.

4. Her iki denklemin Ă§Ăś-

zĂźmĂź olan reel sayÄąlarÄąn sÄąralÄą Ă§iftleri.

3. Verilen tabloya gĂśre

BA1 ve BC1, BC1,ve CB1.; b) hiĂ§ biri; c) AB1 ve BC1, BA1

ve CB1, 3. AykÄąrÄą olduklarÄą durumda hiĂ§bir; paralel 2. a)AB1 ve BA1, AB1 ve CB1, olduklarÄą veya kesi tikleri durumda yalnÄąz bir.

Ă&#x2013;devlerin cevaplarÄą

4. Komplaner olmayan A,B,C,D dĂśrt dĂźzlemi P = 210, V = 200. b) B = 9, H = 4, M = 48, V = 36. c) P =

240, a = 6, H = 7, V = 252. Ă§) a = 11, B = 121, M = 616, P = 858. d) a = 13, B = 169, P = 1118, V = 2535. e) H = 5. AB ve AC kesi irler, ona gĂśre onlar bir tek dĂźz- 8, a = 5, B = 25, P = 210. lem meydana getiriyorlar ve onun Ăźzerinde AB 1. 4; tetraeder. 2. (150 3 + 390) cm2. do rusu ve CD do rusunun bĂźtĂźn noktalarÄą bulunur. 3. 2,5 dm. 4. 3 cm. 5. 101,1cm2. 6. 25 dm2. 2. YalnÄąz bir. 3. a) evet; b) evet; c) evet. 7. a) B = 144; M = 240; P = 384; H = 8. b) B = 5. 1 ve 2 dĂźzlemleri ya Ă§akÄą Äąk ya da AB do - 196; h = 25; M = 700; P = 896. c) P = 800; a = 16; rusu Ăźzerinde kesi iyorlar. h = 17; H = 15, Ă§) a = 40; B = 1600; M = 2320; P = 3920. d) M = 738; a = 9; h = 41; H 40,75. e) B 2. c). 3. HayÄąr. 4. HayÄąr. Aâ&#x20AC;&#x2122;,Bâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; do ruda tÄąr = 784; a = 28; h = 50; H = 48. e er do ruda olmayan A,B,C noktalarÄąyla belirlenen 1. 1920 cm3. 2. 96 cm 2. 3. 1536cm2; dĂźzlem , s projeksiyon do rultusuyla paralel ise. meydana getirirler: ABC, ABD, ACD ve BCD.

3 4

5. Ă§izim yap ve ABBâ&#x20AC;&#x2122;Aâ&#x20AC;&#x2122; yamu unu ince-

le.CCâ&#x20AC;&#x2122; yamu un orta tabanÄądÄąr. Neden? 6. Evet, e er M noktasÄąyla ve a do rusuyla belirlenen dĂźzlem s ile paralel ise.

5 6

Dene... a) 1; b) 6; c) 12; Ă§) 8; d) 0. 1. 7; dikdĂśrtgenler.

2. n + 2. 3. 2s = r.

4. Evet. 5. a)HayÄąr; b) Evet, altÄągen; c) evet, onbirgen. 6. a) HiĂ§biri; b) 2, c) 3.

1. a) 17,08 dm2; b) 37,5 cm2.

2. a = 7 cm,

d= 7 3 cm. 3. 8 cm. 4. a) B = 20,25dm2; M = 151,2dm2; P = 191,7 dm2. b) B = 144 cm2; H = 9 cm; P = 720 cm2. c) B = 64 cm2; M = 352 cm2;; H = 11cm. Ă§) a = 7cm; M = 336 cm2; P = 434 cm2. d) a = 9 cm; M = 180 dm2 H = 5 dm. e) a = 6,5dm; B= 42,25 dm2; P = 292,5 dm2, f) P = 192 dm2; a = 6 dm; H = 5 dm. g) B= 81 cm2; a = 9 cm; H = 5 cm. 5. Dokuz defa. 6. b) B = 4 3 cm; H

3072 cm3. 4. 24 cm; 1440 cm2. 5. 360 dm3. 6. 27 cm; 491,2 cm2. 7. a) s = 26, V = 1200 3 . b) a = 7; H = 24. c) h 24,8; V = 588 3. Ă§) a = 7, s = 25. 1. 312Scm2; 720Scm3. 2. a) 600Scm2;

2000Scm3. b) 6Sdm2; 2Sdm2; 3. 20 cm. 4. 66Scm2; 72Scm3.

5. 6750Scm3.

6. b : a.

1. 90Scm2; 100Scm3. 2. 1130,4 cm2;

2512 cm3. 3. a) 34,2 cm2; b) 63,8 cm3; c) 67,36 cm2. 4. 27Scm2; 9S 3 cm3. 5. 600Scm2; 6. 10 cm.

1. 144Scm2; 288Scm3; 2. 1256 cm2;

4186,7 cm3. 3. 8 cm. 4. (500 : 3) 5. R = 3 cm; P = 36Scm2; 6. R1

Scm3; 25Scm2;

a 3 , 2

a ; 2

S1 : S2 = 3 : 1, V1 :V2 3 3 :1 . 7. AtÄąlan kÄąsmÄą hacmi: 4 S V = VK - VT =43 â&#x2039;&#x2026; 23Ď&#x20AC; = 64 - 32 â&#x2039;&#x2026; â&#x2030;&#x2C6; 3 3

= 9; P= 8 3 cm + 108 121,84. c) B = 36 3; M = 144 3; H = 4 3;. d) a = 6; H= 15; P= 18 3 + 30,5; V 30,5 cm3 48%. 8. a) 13 defa, 270 301,14. e) a 10; H 8. b) 49 defa. 7. 288cm2. 8. 1,3,6 ve 7. Test: 1. a) D1; b)A1. 2. a)hayÄąr; b) hayÄąr; c) evet. Dene... Ă&#x2013;rĂźmce sine e kadar yol bulacaktÄąr. Priz3. a) evet b) evet; c) hayÄąr. 5. 1 || 2. 7. a) 9; manÄąn aĂ§ÄąlÄąmÄąnda MP do ru parĂ§asÄąnÄą Ă§iz. b) 12; c) 18; Ă§) 3n. 8. 8 cm. 9. 11 cm. 1. 27 cm3. 2. 4 dm. 3. 6 cm. 4. 112 cm3.

5. 1152 cm3. 6. 96 cm2. 7. 5,8 m. 8. 48cm3

1. 8 dm. 2. 240 3 cm3. 3. 2400 cm3;

1280cm2. 4. 640 dm3. 5. a) 72 3 cm3; b) a3 3 6. 13,5cm. 7. 33 600 m3. 8. a) B= 25, H = 8,

10. 10(5 3 +18) cm2, 150 3 cm3. 11. 500 cm2,

600 cm3. 12. 18 3 cm2. 13. 360 m2, 400 cm2. 14. 300 litre. 15. 90S cm2, 100S cm3. 16. 225S cm2,, 562,5S cm3.

Ă&#x2013;devlerin cevaplarÄą

215

KAVRAMLAR AÇIKLANMASI A Alan - koni alanı 200 - silindir alanı 197 Ana do rusu (Direktrisi) - koninin 200 - silindirin 197 Aralık 89 - kapalı 89 - açık 89 Argüman (de i ken) 105 - katsayısı 105 B Benzerlik 26 - katsayısı 26 Bir bilinmeyenli lineer denklemler sistemi 60 - çözümler kümesi 63 - imkansız 58, 64, 75 C Cisim geometrik - ayrıtlı - yuvarlak -hacim

183 183 183 184

D Düzgün dörtyüzlü 193 Düzlem geometrisi 160 Düzlem 161 - dik düzlem 167 - iki düzlem arasındaki açı 166 - noktadan uzaklık 167 De i ken 56 Denklem 57 - imkansız (aykırı) 58,64,75 - graﬁ i 133 - ikinci derece 128 - lineer 60 Ç Çokyüzlü 183 - hacmi 184 - iki bilinmeyenli 128 - genel ekli 74 - bir bilinmeyenli 60 - birinci derece 60 - parametreli 60 - çözüm ( kök) 62 - çözümler kümesi 63 - denk denklemler 65,131

216

Do ru parçası - ölçülemeyen - ölçülebilen - orantılı - e it Do ru - paralel - aykırı - projeksiyon do rusu - kesi en Dikdörtgen prizması - hacmi - açılımı Direktris - silindirin - koninin Deneme E E itlik - sayı - de i kenli E itsizlik - sayı e itsizli i - de i kenli - temel - bir bilinmeyenli - iki bilinmeyenli sistem - ikinci derece - lineer - çözülmü ekilde - üçücü derece - çözümü - çözümler kümesi - denk - teoremler F Fonksiyon - lineer - graﬁksel gösterili i - sıfırı - sabit - lineer artan - lineer eksilen G Geometrik orantı - orta - dördüncü ki bilinm.iki denk.sistem - çözümü - graﬁksel çözümü

Kavramlar açıklanması

6 6 6 8 12 163 163 164 168 163 178 183 179 200 200 197 120

56 83 84 84 84 84 90 85 86 86 86 90 86 87 89 92 104 105 107 106 113 114 115

10 10 9

134 135 138

- uygulanması

148

K Küme - tanım kümesi Küp - hacmi - açılım Küre - merkezi - yarıçapı - büyük dairesi - alanı - hacmi Küresel yüzey Kesit Koni - yüksekli i - hacmi - tepesi - alanı - dik dairesel - tabanı - açılımı - ekseni - e kenar

55 57 178 183 179 203 208 203 204 204 204 203 191 200 201 202 200 202 201 201 201 202 201

N Nokta - do ruda

160 160

O Olasılık - olayın Oran - alanların - çevrelerin Orantı - de eri - ters - devamlı Ortalama - geometrik

206 121 4 34 35 8 8 9 10 10 9

Ö Örnekleme uzay Örneklem Özde lik

48 48 58

P Paralelyüz - Dik paralelyüz Prizma - tabanı - çe itleri

175 177 174 175 176

- yan yüzleri 175 - yan ayrıtları 175 - yanal alanı 175 - kö eleri 175 - ayrıtları 175 - dik prizma 175 - hacmi 187 - düzgün 177 - e ik 177 - yükseklik 176 - kesitleri 176 - kö egen kesitleri 176 - açılımı 179 - alanı 180 Piramit 190 - tabanı 190 - yüzleri 190 - tepesi 190 - kö eleri 190 - yanal alanı 190 - ayrıtları( taban, yan) 190 - yüksekli i 191 - yüksek. dik.aya ı 191 - kö egen kesit 191 - düzgün 192 - apotem 192 - alan 191 - hacim 194 Pitagor üçlüsü 43 Projeksiyon 37,168,169 - paralel 168 - dik 169 - projeksiyon do rultusu 168 Planimetri 160 R Rastgele olay - olasılık

121 121

S Serbest terim Silindir - dik dairesel - tabanları - yanal alanı - yarıçapı - ekseni - yüksekli i - eksen kesiti - e kenar - hacmi - açılımı - alanı Stereometri

105 197 197 198 198 198 198 198 198 198 198 198 198 160

T Teorem - Tales - Pitagor - Euklit Ters katsayılar metodu

16 16 41 38 145

U Uzay geometrisi Ü Üçgenler - benzer - birinci e lik kuralı - ikinci e lik kuralı - üçüncü e lik kuralı

160

25 25 27 31 32

Y Yön - ters Yerine koyma metodu

97 97 143

KONU 1.

BENZERL K

KONU 2.

L NEER DENKLEM, L NEER E TS ZL K VE L NEER FONKS YON

KONU 3.

L NEER DENKLEMLER S STEM

127

KONU 4.

GEOMETR K C S MLER

159

ÖDEVLER N CEVAPLARI VE ÇÖZÜMLER KAVRAMLAR AÇIKLANMASI

209 216

Ödevlerin cevapları

217

Yovo Stefanovski, D-r Naum Tselakoski DĂźzenleyen: D-r Yordanka Mitevska, Ă&#x153;niversite hocasÄą - Ă&#x153;skĂźp Janeta umkoska, Ă&#x153;skĂźp " Aya Kiril ve Metodiy " Ă&#x2013;O'unda prĂśfĂśsĂśr Agim Bukla, GrupĂ§in " Pa ko Vasa " Ă&#x2013;O'unda prĂśfĂśsĂśr YapÄąmcÄą: Yovo Stefanovski LektĂśr: Suzana Stoykovska Makedonca'dan TĂźrkĂ§e'ye Ă§eviri: Server a ko Dil redaksiyonu: Dr. Aktan Ago LektĂśr: Demet Hamza Bilgisayar tasarÄąmÄą: Dragan opkoski DĂźzelten: Yazarlar BasÄąna hazÄąrlÄąk: Yovo Stefanovski, Dragan opkoski YayÄąncÄą: Makedonya Cumhuriyeti E itim ve bilim bakanlÄą Äą BaskÄą: Ă&#x153;skĂźp Dooel GraďŹ k merkezi Tiraj: 700 Makedonya Cumhuriyeti E itim ve bilim bakanlÄą Äą'nÄąn 21.04.2010 tarihli 22-2321 sayÄąlÄą kararÄąyla bu kÄątabÄąn kullanÄąlmasÄąna izin verilmi tir.

CIP - â&#x20AC;&#x153; . â&#x20AC;? , 373.3.016:51 (075.2)=163.3 ! ", # $ : % / # & , ' . - : $ * $ , 2010. - 219 . : . ; 25 ISBN 978-608-4575-88-7 1. ' , [ ] COBISS.MK-ID 84078858

218