Física mecânica [unifacs] by EAD UNIFACS

FÍSICA MECÂNICA Autores - Antonio Carlos Fontes dos Santos

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Marcos Roberto Bonfadini Revisor Técnico

Sérgio Ricardo Xavier da Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional FabriCO Projeto educacional Autoria do conteúdo

SUMÁRIO CARTA AO ALUNO..........................................................................................6 UNIDADE - 1 UNIDADES DE MEDIDAS .................................................................. 7

INTRODUÇÃO.................................................................................7 OBJETIVOS......................................................................................7 1.1 O que é metrologia .............................................................8 1.2 Unidades fundamentais e secundárias..................................9 1.3 Ordens de grandeza, múltiplos e submúltiplos..................10 1.4 Análise dimensional.............................................................13 1.5 Algarismos significativos e teoria dos erros.......................13 1.6 Operações algébricas envolvendo algarismos significativos.......16 1.6.1 Arredondamento...........................................................16 1.6.2 Adição e subtração ......................................................16 1.6.3 Multiplicação e divisão ................................................17 CONCLUSÃO.................................................................................17 UNIDADE - 2 MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL..............................................19

INTRODUÇÃO...............................................................................19 OBJETIVOS....................................................................................20 2.1 Movimento unidimensional.................................................20 2.2 Aceleração constante e o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)..........................................................................24 2.3 Vetores..................................................................................25 2.3.1 Álgebra de vetores.......................................................25 2.3.2 Componentes de um vetor...........................................28 2.3.3 Vetores unitários...........................................................29 2.3.4 Produto escalar entre vetores......................................30 2.3.5 Produto vetorial entre vetores.....................................30 2.4 Movimentos bi e tridimensional e o vetor velocidade.......31 2.5 O vetor aceleração...............................................................32 2.6 Movimento relativo..............................................................32 2.7 Movimento circular..............................................................33 2.8 Lançamento de projéteis ....................................................34 CONCLUSÃO.................................................................................37

UNIDADE - 3 LEIS DE NEWTON............................................................................39

INTRODUÇÃO...............................................................................39 OBJETIVOS....................................................................................39 3.1 A Teoria Newtoniana...........................................................40 3.2 Definição de tempo.............................................................40 3.3 Definição de espaço.............................................................41 3.4 Definição de referencial e referencial inercial....................43 3.5 Definição de força................................................................43 3.6 Definição de massa..............................................................44 3.7 Princípio da superposição....................................................45 3.8 Leis de Newton....................................................................45 CONCLUSÃO.................................................................................49 UNIDADE - 4 DINÂMICA DA PARTÍCULA..............................................................51

INTRODUÇÃO...............................................................................51 OBJETIVO......................................................................................52 4.1 O campo gravitacional terrestre e o conceito de campo...52 4.2 Forças de atrito....................................................................53 4.3 Resistência de um fluido.....................................................57 4.4 Força centrípeta....................................................................57 UNIDADE - 5 TRABALHO E ENERGIA....................................................................61

INTRODUÇÃO...............................................................................61 OBJETIVOS....................................................................................61 5.1 Definições de trabalho.........................................................62 5.1.1 Trabalho de uma força constante.................................62 5.1.2 Trabalho de uma força variável....................................64 5.2 Trabalho total.......................................................................67 5.3 O teorema da energia cinética............................................67 5.4 A situação com atrito...........................................................68 5.5 Potência................................................................................69 CONCLUSÃO.................................................................................71 UNIDADE - 6 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA...........................................................73

INTRODUÇÃO...............................................................................73 OBJETIVOS....................................................................................74 6.1 O que é energia?..................................................................74

6.2 Forças conservativas e não conservativas..........................75 6.3 Energia Potencial e Energia Mecânica.................................76 6.3.1 Pontos de equilíbrio estável, instável, indiferente e pontos de retorno..................................................................77 6.3.2 Energia potencial gravitacional. ..................................78 6.3.3 Energia potencial elástica. ...........................................78 6.4 A lei da conservação da energia.........................................80 CONCLUSÃO.................................................................................83 UNIDADE - 7 SISTEMA DE PARTÍCULAS................................................................85

INTRODUÇÃO...............................................................................85 OBJETIVOS....................................................................................85 7.1 O que é uma colisão?..........................................................86 7.2 Momento linear e o teorema do impulso...........................87 7.3 Centro de massa..................................................................89 7.4 Momento de um sistema de partículas..............................92 7.5 O movimento do centro de massa......................................92 7.6 Conservação do momento: o movimento é eterno?..........94 CONCLUSÃO.................................................................................95 UNIDADE - 8 COLISÕES........................................................................................97

INTRODUÇÃO...............................................................................97 OBJETIVOS....................................................................................97 8.1 A conservação do momento................................................98 8.2 Energia cinética total, colisões elásticas e inelásticas........99 8.3 Colisões elásticas................................................................100 8.3.1 Equações fundamentais..............................................100 8.3.2 Colisões elásticas unidimensionais.............................101 8.3.3 Colisões elásticas bidimensionais...............................103 8.4 Colisões inelásticas.............................................................105 8.5 Colisões totalmente inelásticas.........................................105 8.6 Coeficiente de restituição..................................................106 CONCLUSÃO...............................................................................107

FÍSICA MECÂNICA

CARTA AO ALUNO Conhecer os recursos de uma planilha eletrônica vai além dos básicos conceitos de tabelas e gráficos. Por isso mesmo, a disciplina foi estruturada com conteúdos realmente importantes e em linguagem objetiva e didática. Hoje, sem dúvida, a ferramenta Excel 2013 é o software de planilha eletrônica de maior produtividade entre as grandes empresas. Não é à toa que, cada vez mais, elas desejam funcionários com um nível avançado de conhecimento sobre seus recursos. Você, futuro engenheiro(a), aprenderá a usar o software para realizar diversas atividades do cotidiano com muito mais agilidade, organização e objetividade. Em cada aula você estudará um assunto diferente, todos interligados. Você terá sempre um apoio com dicas, curiosidades e recursos instrucionais que divulgarão informações interessantes para você pesquisar e se aprofundar no recurso específico da planilha eletrônica. Ao terminar a disciplina, você estará apto a criar e formatar de relatórios, além de montar e executar fórmulas características dos cursos de Engenharia. Com certeza, isso aumentará bastante a sua produtividade! Mãos à obra!

AULA 1 Unidades de Medidas

INTRODUÇÃO Estabelecer normas metrológicas é fundamental para o crescimento científico, industrial e comercial. As consequências da instauração de uma cultura metrológica proporcionam melhora na qualidade dos produtos e serviços, aumento de produtividade, minimização dos custos, supressão de desperdícios etc. O Bureau Internacional de Pesos e Medidas, desde sua criação em 1875, vem estabelecendo ações contínuas neste sentido. Nesta aula você será apresentado ao conceito de metrologia, conhecerá o Sistema Internacional de Unidades e saberá como expressar grandezas físicas corretamente.

OBJETIVOS » » Expressar-se corretamente utilizando a linguagem física adequada e os elementos de sua representação simbólica.

FÍSICA MECÂNICA

» » Apresentar o conhecimento apreendido de forma clara e objetiva, utilizando a linguagem física.

1.1 O QUE É METROLOGIA A metrologia compreende os aspectos teóricos e práticos do ato de medir, definido como: “Um processo de obtenção experimental dm ou mais valores que podem ser, razoavelmente, atribuídos a uma grandeza” (INMETRO, 2012). Ou seja, a ação de medir está relacionada à ideia de comparar e expressar por meio de números. Antes que possamos medir algo, devemos definir suas dimensões e fornecer algum padrão, ou unidade de referência, em termos dos quais a quantidade possa ser expressa numericamente. Ao definirmos uma grandeza física, como a velocidade, instituímos vários procedimentos para medir essa grandeza e conferir-lhe uma unidade – a exemplo de metros por segundo. Ou seja, criamos um padrão. A dimensão define algumas características físicas: comprimento, massa, tempo, velocidade e força. As dimensões de comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura e intensidade luminosa são consideradas fundamentais, uma vez que outras dimensões podem ser definidas em termos destas. Essa escolha é arbitrária, porém conveniente. Considere que as letras L, M, T, I representam as dimensões de comprimento, massa, tempo e corrente elétrica, respectivamente. Outras dimensões são, então, dimensões secundárias. Por exemplo, área é uma dimensão secundária que pode ser expressa em termos da dimensão de comprimento ao

quadrado: L2. Outros exemplos são as dimensões de velocidade, L/T; e de força, ML/T2. A unidade é um padrão de referência pela qual a dimensão pode ser expressa numericamente. Assim, o metro (m) é uma unidade em termos da qual a dimensão de comprimento pode ser expressa, enquanto o quilograma (kg) é uma unidade em termos da qual a dimensão de massa pode ser expressa. Por exemplo, a altura ou o comprimento (dimensão) de um homem de estatura mediana é 1,7 m, e a sua massa (dimensão) é de 70 kg. O processo de medir é conhecido desde longo tempo e constitui uma das atividades no campo da matemática iniciais da humanidade. As unidades de medida utilizadas para avaliar ou determinar distâncias, dimensões ou massas de corpos nem sempre foram as mesmas em todas as partes do mundo. No início, com o objetivo de determinar o comprimento de um objeto, as dimensões de um terreno ou as distâncias, eram utilizadas diversas partes do corpo (os dedos, os pés, a mãos, os braços) como unidade de medida. Cada região utilizava um sistema de medida próprio, com unidades pouco precisas e que não tinham correspondência entre si. Isso gerava um grande contratempo para o crescimento do comércio entre povoados diversos. O pé, cujo símbolo é ft (ou ‘), é uma unidade de medida de comprimento. Inicialmente, um pé correspondia a 11 polegadas e meia. Atualmente, a medida é de 12 polegadas, a média do tamanho dos pés masculinos adultos. Essa unidade, muito utilizada em aviação, também corresponde a 0,3048 metros. Uma jarda (yd), outra unidade utilizada para medida de comprimentos ou distâncias, equivale a 3 pés. Esse sistema de medida é utilizado em alguns países como os Estados Unidos, o Reino Unido e o Canadá.

AULA 1 – UNIDADES DE MEDIDAS

1 pé = 0,3048 m Figura 1 - O pé é utilizado como unidade de comprimento em alguns países. FONTE: SANTOS (2014).

A ISO série 9000 é o conjunto de normas técnicas que determinam um modelo de gestão da qualidade para empresas e organizações. Estabelece diretrizes de modo a alcançar o controle sobre os instrumentos de medição das organizações, pela implantação de um processo metrológico nas organizações por ela certificadas.

1.2 UNIDADES FUNDAMENTAIS E SECUNDÁRIAS As unidades para as dimensões fundamentais são chamadas de unidades fundamentais. Adotaremos o Sistema Internacional de Unidades, abreviado como SI. Nele, o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o ampère (A) e a candela (cd) são as unidades fundamentais. O Sistema Internacional recebeu esse nome em 1960. O escopo de sua criação foi a premência de um sistema prático adotado mundialmente no ensino, nas ciências e nas relações internacionais. O Sistema Internacional não é um sistema finalizado. Ele é atualizado de forma contínua, de modo a repercutir práticas otimizadas de medição que se aperfeiçoam ao longo do tempo. As definições para estas unidades estão representadas na tabela a seguir. Tabela 1 - Unidades fundamentais do SI

UNIDADE

DEFINIÇÃO

Metro (m)

O metro é a distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo.

Quilograma (kg)

Igual à massa de um quilograma padrão, um cilindro de uma liga de platina-irídio mantida em Sèvres, França.

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UNIDADE

DEFINIÇÃO

Segundo (s)

Igual à duração de 9.192.631.770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do césio 133. O segundo foi inicialmente definido como uma fração igual a 1/86.400 do dia solar médio. A taxa de rotação da Terra está diminuindo lentamente, mas a transição atômica do césio 133 é uma constante. Os dois padrões diferem de 1 segundo por ano.

Ampère (A)

Igual à corrente elétrica fluindo em dois fios infinitamente longos e paralelos no vácuo, separados por 1 metro que produz uma força de 200 nN/m (nano newtons por metro).

Kelvin (K)

Temperatura igual a 1/273,16 do ponto triplo da água.

Candela (cd)

Intensidade luminosa igual a 1/600.000 metros quadrados de um radiador perfeito na temperatura de congelamento da platina a uma pressão de uma atmosfera padrão. FONTE: INMETRO (2007).

As unidades para as outras dimensões são chamadas de unidades derivadas ou secundárias e são baseadas nestas unidades fundamentais. As três unidades fundamentais para comprimento, massa e tempo (L, M, T) são a base do que era conhecido como sistema metro-quilograma-segundo (MKS), que é agora um subsistema do SI. Para entender melhor a importância das unidades, leia a matéria “Erro da NASA pode ter destruído sonda” (FOLHA DE S. PAULO, 1999) no endereço <http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ciencia/fe0110199905.htm>. Para muita gente, as unidades e os problemas de Física representam um mero detalhe sem importância. No entanto, o descuido ou a confusão com unidades pode ter consequências catastróficas, como aconteceu com a NASA, que admitiu que a provável causa da perda de uma sonda enviada a Marte estaria relacionada a um problema de conversão de unidades.

1.3 ORDENS DE GRANDEZA, MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS Em seu livro “One, two, three, …infinity”, George Gamov conta a história de dois aristocratas húngaros que decidiram disputar um jogo no qual aquele que dissesse o número maior seria o vencedor. “Bem,” disse um deles, “diga o seu número primeiro”. Após alguns minutos de esforço mental, o segundo aristocrata finalmente disse o maior número que ele poderia imaginar. “Três,” ele falou. Agora era a vez do primeiro, mas após 15 minutos, ele finalmente desistiu. “Você ganhou”, constatou. O par de aristocratas húngaros não era exemplo de um alto grau de inteligência, e o relato é somente uma anedota, mas uma conversa como essa poderia, sim, ter acontecido. Não entre húngaros, mas entre membros de uma tribo africana. Pesquisadores observaram que algumas dessas tribos não possuíam em seu vocabulário os nomes para números maiores do que três. Se perguntássemos a um

AULA 1 – UNIDADES DE MEDIDAS

dos nativos quantos filhos ele tinha, ou quantos inimigos, se o número fosse maior do que três, ele diria: “Muitos”. Felizmente, nossa sociedade é capaz de escrever grandes números. Por exemplo, o número de moléculas de ar em um mol (ou mole) seria aproximadamente algo em torno de 60.200.000.000.000.000.000.000 moléculas, ou o número total de átomos no universo, 300.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. 000.000.000. Podemos escrever números maiores simplesmente adicionando zeros à direita até que fiquemos cansados. Outra possibilidade é a de escrevermos os dois números anteriores como 6,02 × 1023 e 3 × 1074, respectivamente. Mas como escrevemos os números em notação de potência de 10, ou seja, em notação científica? Esses números podem ser escritos pelo produto de um número real: n. De tal forma que (1≤ n <10) por uma potência de 10. Consideramos, por exemplo, o número de dias em um ano: 365. Esse número pode ser escrito como 3,65 × 100 = 3,65 × 102. Note que o número 365 foi escrito como o produto de 3,65, um número compreendido entre 1 e 10, por uma potência de 10. Veja outro exemplo: o número 0,0051 corresponde à taxa de juros de determinada aplicação financeira. Você pode escrever 0,0051 = 5,1/1000=5,1/103 = 5,1×10-3. Novamente, temos o número escrito como o produto compreendido entre 1 e 10 por uma potência de 10. Assim, qualquer número pode sempre ser escrito como o produto de um número contido entre 1 e 10, por uma potência de 10. Exemplo 1: O diâmetro médio do fio de cabelo depende de vários fatores, principalmente da etnia do indivíduo. Os louros variam entre 0,017 a 0,051 mm. Expresse esses números em potência de 10 e no SI. Solução: Escrevendo os números anteriores como números reais entre 1 e 10, fica 1,7 × 10-2 mm e 5,2 × 10-2 mm. A unidade de comprimento no SI é o metro (1 mm = 10-3 m). Assim, os cabelos louros variam entre 1,7 × 10-5 m e 5,1×10-5 m. Exemplo 2: (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% dessas estrelas possuem um sistema planetário em que haja um planeta semelhante a Terra. Neste caso, qual seria o número de planetas semelhantes a Terra na Via Láctea? Solução: Número de estrelas = 400 bilhões = 400 × 109= 4×1011. 0,05% = 0,05/100 = 5×10-4. Assim, 0,05 % de 400 bilhões é igual a 5×10-4 × 4×1011= 20×107. Em notação científica, fica 2×108. O SI envolve não somente as unidades, mas também outras recomendações, uma das quais é que os múltiplos e submúltiplos das unidades do SI são dados em passos de 103 ou 10-3. Assim, o quilômetro (1 km = 103 m) e o milímetro (1 mm = 10-3 m) são as unidades preferenciais de comprimento, ao contrário do centímetro (1 cm = 10-2 m). Por exemplo, no SI a unidade para a largura de filme é 35 mm, e não 3,5 cm. A tabela a seguir fornece a pronúncia e a abreviação para estas unidades. Os prefixos métricos se apresentam em passos de 103, indo do iocto (10-24) ao iota (1024).

FÍSICA MECÂNICA

Tabela 2 - Prefixos métricos

VALOR NUMÉRICO

PREFIXO

SÍMBOLO

iota

Zeta

1018

exa

peta

tera

giga

mega

103

quilo

102

hecto

deca

deci

centi

10-3

mili

10-6

micro

Nano

Pico

Femto

ato

10-21

zepto

iocto

24 21

15 12 9 6

-1 -2

-9 -12 -15 -18

-24

FONTE: TIPLER (1995).

Exemplo: Transforme os seguintes números para as unidades do SI. a) 2 cm2 b) 5 km2 Solução: a) 2 cm2 = 2 cm × cm = 2 (10-2 m) × (10-2 m) = 2 × 10-4 m2 b) 5 km2 = 5 km × km=5 (103 m) × (103 m) = 5 × 106 m2 Ao longo dos próximos capítulos utilizaremos letras gregas para representar grandezas físicas. A tabela a seguir ilustra algumas ordens de grandeza.

Raio do universo observado

1026 m

Diâmetro do sistema solar

1013 m

Largura de uma hélice do DNA

10-9 m

Raio do átomo de hidrogênio

10-11 m

Raio do elétron

10-18 m

AULA 1 – UNIDADES DE MEDIDAS

1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL Uma condição necessária ao expressarmos equações e grandezas físicas é o balanceamento dimensional. A análise dimensional é uma técnica simples, mas potente, que permite aos cientistas e engenheiros resolverem problemas, como o planejamento de experimentos em pequena escala, de modo a simular com exatidão eventos de larga escala, tais como explosões nucleares, impossíveis de serem recriadas em laboratório. A análise dimensional incorpora um conceito simples, mas sutil, que fornece uma ferramenta poderosa para resolver problemas complexos na ciência e na indústria. O conceito é baseado na noção intuitiva de que uma equação deve ser dimensionalmente homogênea, ou seja, sua solução deve ser invariante a mudanças no sistema de unidades de medida. Uma condição para expressarmos a grandeza de forma correta é que toda equação deve ser balanceada dimensionalmente. Por exemplo, considere a definição de densidade volumar de massa:

(1.1)

Em que [ρ] significa dimensão de densidade volumar; [m], dimensão de massa e [V] dimensão de volume. Assim, ambos os lados da equação anterior têm as dimensões de massa por comprimento ao cubo, e a equação é balanceada dimensionalmente. Esta não é, no entanto, uma garantia de que a equação esteja correta, ou seja, não é uma condição suficiente, embora seja necessária para expressar a grandeza de forma correta. É útil analisarmos frequentemente as equações dimensionalmente, minimizando assim possíveis erros.

1.5 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E TEORIA DOS ERROS Vivemos em uma sociedade onde a medida possui um papel fundamental. Olhamos para o relógio que fornece uma medida da hora atual, medimos a quantidade de açúcar em nosso sangue, olhamos para o velocímetro que nos fornece uma medida da velocidade do nosso veículo, subimos numa balança para medir a nossa massa, medimos a circunferência de nossa cintura etc. No entanto, mesmo com a invenção de aparelhos mais sensíveis, sempre há uma margem de incerteza nas medidas realizadas e possíveis fontes de erros. Considere, por exemplo, que você está realizando uma medida qualquer, como a da velocidade instantânea de seu automóvel pela leitura do velocímetro, conforme ilustrado na figura a seguir. Note que a menor divisão da escala utilizada pelo velocímetro é de 5 km/h. Ao expressar o resultado desta medida, notamos que ela está situada entre 40 e 45 km/h. Você não tem certeza se está a 43 ou 44 km/h. A fração de 5 km/h que deverá ser acrescentada a 40 terá de ser estimada por você, pois o velocímetro não apresenta divisões inferiores a 5 km/h.

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Figura 2 - Escala de um velocímetro. FONTE: SANTOS (2014).

Em metrologia, “erro” possui dois significados distintos: o primeiro é a diferença entre o valor medido e o valor “verdadeiro”. Na maioria dos casos, o valor “verdadeiro” de uma grandeza é desconhecido e a magnitude do erro é hipotética. Em outros casos, a palavra “erro” representa incorretamente uma propriedade que deveria ser chamada discrepância, ou seja, a diferença entre dois ou mais valores medidos de uma quantidade.

Para realizar essa estimativa, você deve visualizar mentalmente que o intervalo entre 40 e 45 km/h é subdividido em partes menores e iguais, dependendo da sua acuidade visual, e, com isso, a fração de km/h, que deverá ser adicionada a 40, poderá ser obtida com razoável aproximação. Você pode subdividir mentalmente a menor escala em cinco partes iguais, ou seja, em 1 km/h, conforme mostrado na próxima figura, e o resultado da medida poderá ser escrito como 43 km/h.

Figura 3 - Divisão mental da escala do velocímetro em cinco partes iguais. FONTE: SANTOS (2014).

Note que estamos seguros em relação ao algarismo 4 da dezena, pois ele foi medido através de divisões inteiras do velocímetro, isto é, é um algarismo correto. A dúvida está na casa das unidades, pois o valor deve estar entre 40 e 45. No entanto, o algarismo 3 foi estimado, ou seja, não temos muita confiança sobre o seu valor. Outra pessoa, com maior ou menor acuidade visual, poderia considerar como sendo 4 ou 5, por exemplo. Deste modo, esse algarismo estimado é chamado de algarismo duvidoso.

AULA 1 – UNIDADES DE MEDIDAS

Não há dúvidas de que não haveria sentido em buscar estimar qual o algarismo que deveria ser escrito, na medida, após o algarismo 3. Para tanto, seria necessário conceber mentalmente o intervalo de 5 km/h dividido em 20 ou 100 partes iguais, por exemplo, o que claramente não é razoável. Assim, se a expressão final do resultado da medida fosse escrita como 43,5 km/h, poderíamos declarar que a avaliação do algarismo 5 (segundo algarismo estimado) não tem nenhum significado e, assim, ele não deveria aparecer no resultado final. Desse modo, na expressão final do resultado de um ato de medir devem constar somente os algarismos corretos e o primeiro algarismo estimado ou duvidoso. Essa metodologia é adotada por uma convenção mundialmente aceita em metrologia por todas as instituições que realizam processos metrológicos. Os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso fazem parte do conjunto dos algarismos significativos. Consequentemente, ao apresentar uma medida, é importante que você exprima o resultado apenas com os algarismos significativos. O resultado da medida deve, então, ser expresso como 43 km/h, ou seja, dois algarismos significativos.

Na descrição dos algarismos significativos, não devemos levar em conta o algarismo zero quando ele for utilizado para situar a vírgula decimal. Em outras palavras, o zero não será considerado algarismo significativo quando for apresentado à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero.

O número 0,012 tem dois algarismos significativos. Assim podemos escrevê-lo como 1,2×10-2. Do mesmo modo, 0,000120 tem três algarismos significativos, podendo ser escrito como 1,20 × 10-4. Matematicamente, podemos dizer que 1.000 (quatro algarismos significativos) é igual a 1.000,0 (cinco algarismos significativos) ou a 1.000,00 (seis algarismos significativos). Em metrologia, no entanto, quando expressamos um número com uma maior quantidade de algarismos significativos, quer dizer que temos maior certeza sobre esse número. Uma situação relacionada à ignorância a respeito das incertezas de uma medida é a seguinte: um motorista é multado por excesso de velocidade. Ele supostamente estaria a 100 km/h em um local onde o limite é de 80 km/h. No entanto, ele discorda da multa e apela ao juiz. De forma a dar um parecer baseado em uma análise técnica, o juiz solicita a um técnico que informe a precisão do radar. Ao ser informado que o radar fornece um valor com uma incerteza de mais ou menos 5 km/h, o juiz diz: “Se nem mesmo os técnicos têm certeza da medida do radar, o réu está isento do pagamento da multa”. Quando determinada medida é repetida, os valores encontrados geralmente não estão em acordo exato. As causas do desacordo entre as medidas individuais são responsáveis também pelo erro entre as medidas individuais e o valor “correto”. Esses erros são chamados de erros aleatórios.

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1.6 OPERAÇÕES ALGÉBRICAS ENVOLVENDO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Nos resultados das operações que abarcam processos metrológicos, devem ser apresentados apenas os algarismos significativos. Quando você solucionar os problemas propostos de Física, precisa executar operações que envolvem essas medidas, e os resultados desses problemas devem também ser escritos utilizando somente algarismos significativos. Assim, examine com atenção as regras que são apresentadas a seguir.

1.6.1 Arredondamento Se a operação possui mais algarismos significativos do que o necessário, deve-se abandonar os algarismos excedentes utilizando a regra do arredondamento (ABNT-NBR 5892, 1977). a) Se o algarismo excluído for menor do que 5, então o último algarismo mantido permanecerá inalterado. Exemplo: arredondamento para dois significativos: 2,43 = 2,4. b) Se o algarismo excluído for maior do que 5, então o último algarismo mantido deverá ser acrescido de uma unidade. Exemplo: arredondamento para três significativos: 2,456 = 2,46. c) Se o algarismo excluído for exatamente igual a 5, e se após existirem quaisquer outros algarismos diferentes de zero, o último algarismo mantido será acrescido de uma unidade. Exemplo: arredondamento para dois significativos: 1,15 = 1,2. d) Se o algarismo excluído for igual a 5 e, se após existirem apenas zeros ou nenhum outro algarismo, o último algarismo mantido será acrescentado de uma unidade se for ímpar. Exemplo: arredondamento para três significativos. 5,675 = 5,68. Se o último algarismo mantido for par, nada será acrescentado. Exemplo: arredondamento para três significativos. 5,665 = 5,66.

1.6.2 Adição e subtração Na adição ou subtração de várias parcelas, inicialmente somamos as parcelas, e o resultado da operação deve ter o mesmo número de casas decimais da parcela que possuir o menor número de casas decimais. Exemplo: Um aluno mediu o perímetro de uma folha de papel e não prestou atenção na precisão da medida. Ele encontrou os seguintes números 15,02 cm, 30,002 cm, 15,0 cm e 30,01 cm. Com base nesses números, qual é o perímetro da folha de papel? Solução: Inicialmente, realize a soma das parcelas. O resultado é 90,032. Como a parcela com o menor de número de casas decimais é 15,0 (uma casa), o resultado final deve ser expresso como 90,0.

AULA 1 – UNIDADES DE MEDIDAS

1.6.3 Multiplicação e divisão Para efetuar um produto ou uma divisão entre dois números, siga a seguinte regra: multiplique ou divida normalmente as parcelas. Em seguida, observe qual fator possui o menor número de algarismos significativos e exprima no resultado apenas a quantidade de algarismos igual à desse fator. Exemplo: Dois pedreiros realizaram medidas de uma sala. Um mediu o comprimento como uma trena bastante precisa e o segundo mediu a largura com uma trena menos precisa. Eles encontraram, respectivamente, 5,02 m de comprimento e 3,1 m de largura. Com base nessas medidas, qual é a área da sala? Solução: Como se trata de uma multiplicação, o fator com menor número de algarismos significativos é o 3,1, com 2 algarismos significativos. O resultado da operação é 15,562. No entanto, como devemos utilizar apenas dois algarismos significativos, o resultado final deve ser escrito como 15 m2.

CONCLUSÃO Como você estudou até aqui, desde o aparecimento das civilizações, percebeu-se a necessidade de medir grandezas e expressá-las corretamente de forma universal. Nesta aula, você aprendeu a expressar grandezas físicas corretamente utilizando o Sistema Internacional de Unidades e os algarismos significativos como elementos de sua representação simbólica.

AULA 2 Movimento uni e bidimensional INTRODUÇÃO Vivemos em um mundo de mudanças. O movimento é sempre presente em nossa vida, sendo fundamental para a existência humana. Os ponteiros dos relógios estão sempre se movendo, marcando a passagem do tempo. Precisamos de movimento para crescer, aprender, pensar e aproveitar a vida. Tudo se move, mesmo que pareça em repouso. No momento em que você está lendo este material, você pode estar em repouso em relação à Terra. Porém, a Terra se move em relação ao Sol. Assim, você está se movendo com uma taxa maior do que 100 mil quilômetros por hora em relação ao Sol. O movimento é a observação mais fundamental sobre a natureza. Tudo o que acontece no mundo é algum tipo de movimento. Não há exceção. A cinemática, por exemplo, é a parte da mecânica que estuda o movimento sem se preocupar com as suas causas. Nesta aula, você aprenderá sobre os diversos tipos de movimento e os seus componentes, como velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea.

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OBJETIVOS » » Estudar os movimentos uni e bidimensionais. » » Compreender os conceitos de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea.

2.1 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL Podemos definir movimento como a mudança na posição de um objeto ao longo do tempo. O caminho ao longo do qual o objeto se move, que pode ser uma linha reta ou uma curva, é chamado de trajetória. Inicialmente, você estudará o movimento que ocorre ao longo de uma linha reta. Para descrevê-lo, é necessário um referencial que, no caso do movimento em uma dimensão, consiste de uma régua (reta orientada) na qual escolhemos a origem. A posição de uma partícula em função do tempo é descrita pela função x(t). O sentido positivo do eixo é aquele em que as coordenadas (números que indicam a posição) são crescentes.

-300 -200 -100

100

200

300 x(m)

Figura 4 – Eixo (reta Real) que se estende desde -∞ até +∞, marcado em unidades de comprimento. Fonte: Santos (2014).

A variação do espaço (ao longo do tempo), ou seja, o deslocamento, indica a diferença entre a posição no instante t2 e a posição inicial de um objeto no instante t1< t2. Assim, deslocamento é: (2.1) A letra grega D (delta maiúsculo) indica a variação de uma grandeza, no caso, a posição em dois instantes de tempo diferentes. Em um deslocamento no sentido positivo (valores de x(t) crescentes), x(t2) > x(t1) para t2> t1. Por exemplo, suponha que a partícula esteja na posição 10 m no instante 2s, ou seja, x(2) = 10 m. Considere também que no instante t = 5s a partícula está na posição 15 m, ou seja, x(5) = 15. Assim, o deslocamento será Dx=15 m – 10 m = + 5 m. No caso de um deslocamento no sentido negativo, temos x(t2) < x(t1) para t2> t1. Por exemplo: imagine agora que a partícula está na posição 10 m no instante 2s, ou seja, x(2) = 10 m. No instante t = 5s, ela se encontra na posição 5 m, ou seja, x(5) = 5m. Assim, o deslocamento será Dx = 5 m – 10 m = - 5 m.

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

É importante notar que, para fins de cálculo do deslocamento, apenas as posições inicial e final são relevantes, não importando a distância total percorrida. Veremos mais adiante que o deslocamento, no caso geral, é um vetor. Se no instante inicial, que vamos considerar como t = 0s, a partícula está na posição x = 10 m e vai até a posição x = 20 m para logo após retornar à origem (x = 0 m), o seu deslocamento entre os instantes inicial e final será Dx = 0 – 10 = - 10 m. Os gregos antigos classificavam o movimento de forma vaga como lento ou rápido. Acredita-se que Galileu foi o primeiro a descrever o movimento através do conceito de velocidade, definida como a distância percorrida por unidade de tempo. Assim, a velocidade escalar média é definida como: (2.2) A velocidade escalar média representa uma medida da rapidez ou celeridade na qual o objeto se desloca. Por exemplo, um carro que percorre 60 quilômetros em duas horas tem uma velocidade escalar de 30 km/h. No SI, a velocidade se mede em metros por segundo, ou seja, m/s. A velocidade média, representada pelos símbolos ou , entre os instantes t1 e t2 é definida por: (2.3) É importante notarmos a diferença entre velocidade escalar média e velocidade média. A primeira, como dito anteriormente, mede a rapidez do objeto. Já a velocidade média depende das posições inicial e final. Por exemplo, se um objeto vai de norte a sul e retorna à sua posição inicial com uma rapidez de 30 km/h, sua velocidade média neste intervalo de tempo (ida e volta) será nula, uma vez que a sua posição final é igual à posição inicial.

Curiosidade: Para determinarmos a velocidade escalar de um objeto, basta compará-la com uma grandeza fundamental na natureza, a velocidade da luz. Medir é comparar com um padrão. De fato, no capítulo anterior, vimos que o metro é definido em termos da velocidade da luz.

Diz-se que um movimento é uniforme quando a velocidade não muda com o tempo, ou seja, é constante.

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(A)

(B)

x/t

x/t xo

v>0

v=0

Δx Δt

Figura 5 – O movimento uniforme: (A) velocidade positiva (∆x > 0), (B) velocidade negativa (∆x < 0) e(C) velocidade nula (∆x = 0). Fonte: Santos (2014).

Mas como determinarmos a velocidade de um objeto em um dado instante de tempo t? Os dados sobre a velocidade média têm importância fundamental. Por exemplo, se sabemos que um automóvel vai da cidade A à cidade B a uma velocidade média de 100 km/h, deduziremos que a viagem vai durar 2 horas se a distância entre as duas localidades for de 200 km. E se precisarmos de informações a respeito do que acontece na proximidade imediata de determinado instante de tempo ou determinado lugar? Queremos agora saber como varia a posição da partícula em função do tempo t, ou seja, desejamos conhecer o valor x(to), na vizinhança do instante to. No instante to, a posição do objeto é xo, o ponto P no gráfico posição versus tempo. Entre os pontos P e Q, ou seja, entre os instantes to e to + ∆t, a posição muda de xo para xo + ∆x. Como você já viu antes, definimos a velocidade escalar média, nesse intervalo de tempo, como: (2.4)

x/t xo + Δx xo

Q P

to to+ Δx

Figura 6 – Obtenção da velocidade instantânea a partir da velocidade média entre os pontos P e Q. Fonte: Santos (2014).

Se você quiser conhecer como se comporta a velocidade da partícula nas vizinhanças do instante to,vai precisar tomar Dt tendendo para zero, ou seja, fazer com que o ponto Q se aproxime do ponto P. O gráfico anterior mostra o que acontece: o intervalo Dt diminui e a corda PQ se aproxima da tangente ao ponto P. Assim, no limite em que Dt tende a zero, a velocidade média tende à velocidade instantânea, definida por: (2.5)

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

A velocidade é a derivada da posição em função do tempo. Para uma melhor compreensão e resolução dos problemas, você precisará se lembrar das suas aulas de cálculo diferencial. Caso tenha dificuldades, faça uma revisão.

Nos movimentos que você observa no dia a dia, as velocidades geralmente variam em função do tempo. Esse tipo de movimento é chamado de movimento variado. Define-se a aceleração escalar média, ou , entre os instantes to e to + ∆t, como: (2.6) Do mesmo modo, a aceleração instantânea é definida como: (2.7)

Veja este exemplo: a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x(t) = 6t2 -3t1 + 5, e x está em metros e t em segundos. Determine: a) a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 1 s; b) a velocidade instantânea em t = 1s; c) a aceleração média entre os instantes t = 0 e t = 1 s; d) a aceleração instantânea em t = 1s (tente você mesmo resolver antes de olhar a solução a seguir). Solução: a) Temos que x(0) = 5 m e x(1) = 8m. Então, ∆t = 1 s e ∆x = 8-5 = 3m. A velocidade média é dada pela equação 2.3, que resulta em v = 3m/1s = 3 m/s. b) A função velocidade é dada pela equação 2.5, logo, v(t) = 12t -3 (lembre-se de suas aulas de Cálculo). No instante t = 1s, a velocidade fica v(1) = 12(1) - 3 = 9 m/s. c) A partir do item anterior, temos que v(t) = 12t -3 e que v(0) = -3 m/s e v(1) = 9 m/s. Assim, Dv = 9 -(-3) = 12 m/s e a aceleração média a = Dv/Dt = 12/1 = 12 m/s2. d) Você pode obter a aceleração instantânea (equação 2.7) derivando com relação ao tempo a equação horária da velocidade: a(t) = 12 m/s2.

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2.2 ACELERAÇÃO CONSTANTE E O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) O movimento retilíneo uniformemente variado, também conhecido como movimento uniformemente acelerado, é aquele no qual a partícula está sujeita a uma aceleração uniforme e constante. (2.8) As equações que descrevem o MRUV são conhecidas como funções horárias do MRU, isto é, equações nas quais a variável livre (ou independente) é o tempo. A partir das equações 2.8, obtemos a equação horária para a velocidade (com t0=0): (2.9)

(A)

(B)

v(t)

v(t) vo

a>0

a=0

Δv Δt

Figura 7 – Gráficos para o movimento acelerado (a > 0), retardado (a < 0) e uniforme (a = 0). Fonte: Santos (2014).

Se um automóvel faz um movimento uniformemente variado, as áreas sob as curvas do gráfico anterior fornecem o espaço percorrido ∆x = x - xo no intervalo de tempo ∆t = t - to. Fica como exercício mostrar que a função horária da posição para o MRUV é:

(2.10) Note que a equação 2.10 representa uma função do segundo grau em relação ao tempo.

Se os sinais da velocidade e da aceleração do corpo são iguais, a velocidade escalar do corpo está aumentando. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar está diminuindo.

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2.3 VETORES Várias grandezas físicas, como massa, densidade, comprimento e tempo, exigem para a sua completa especificação apenas um único número real e a unidade na qual é medida. Essas quantidades são chamadas de grandezas escalares. Por outro lado, outras grandezas precisam de uma direção, um sentido e uma magnitude. Ou seja, além do valor lido em sua mensuração, são necessárias informações referentes à sua orientação. Tais grandezas são chamadas de vetores. Um vetor é representado textualmente por uma letra com uma seta, , ou em negrito A. Geometricamente, o vetor é representado por uma seta – um segmento de reta orientado, conforme ilustrado na imagem a seguir.

Norte

Oeste

Leste

B Sul

Figura 8 – Representações geométricas de vetores. Fonte: Santos (2014).

2.3.1 Álgebra de vetores As operações de adição, subtração e multiplicação que você conhece na álgebra de números reais também são, com as devidas definições, capazes de serem estendidas para a álgebra de vetores. As seguintes definições são fundamentais: a) Dois vetores e são iguais se eles possuem a mesma magnitude (módulo), direção e sentido,a despeito de suas origens. Assim, escrevemos .

Norte

Oeste

Leste

B Sul Figura 9 – Dois vetores iguais Fonte: Santos (2014).

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b) Um vetor que possui o mesmo módulo (magnitude) e a mesma direção, mas sentido oposto ao vetor é escrito como .

Norte

Oeste

B =A

Leste

Sul Figura 10 – Os vetores e Fonte: Santos (2014).

c) A soma ou o resultante dos vetores e é o vetor formado pelo vetor que parte do mesmo ponto de um dos vetores e se estende ao ponto-final do segundo vetor. Escrevemos . Essa definição é equivalente à regra do paralelogramo para a adição de vetores.

B A

A+B Regra do paralelogramo

A+B A B Figura 11 – A soma de dois vetores. Fonte: Santos (2014).

Extensões para a soma de mais do que dois vetores são imediatas. Por exemplo, a imagem a seguir mostra como obter a soma ou o resultante dos vetores e .

 B  A

 C

 D

    A+B+C +D

Figura 12 – A soma de vários vetores. Fonte: Santos (2014).

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

d) A diferença entre os vetores e , representada por que, quando , é o vetor somado ao vetor resulta no vetor . Do mesmo modo, pode ser escrito como . Se , então é o vetor nulo, representado por . O vetor nulo possui módulo (magnitude) nulo, mas sua direção e seu sentido não são definidos.

  A + (-B)  −B

 A  B

Figura 13 – A diferença entre dois vetores. Fonte: Santos (2014).

e) O produto de um vetor por um escalar λ (lê-se lamda), é o vetor com magnitude |λ| vezes a magnitude de , com a mesma direção e o sentido sendo o mesmo ou contrário ao de , dependendo se λ é positivo ou negativo. Se λ=0, então é o vetor nulo.

 A

 λA 0>λ>1

 λA λ>1  λA λ<0

Figura 14 – O produto de um vetor por um escalar. Fonte: Santos (2014).

Leis da álgebra de vetores. Se a) b) c)

são vetores e a (lê-se alfa) b (lê-se beta) são escalares, então: (propriedade comutativa para a adição); (propriedade associativa para a adição); (propriedade associativa para a multiplicação por escalar);

(propriedade distributiva);

(propriedade distributiva).

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Um erro frequente no cálculo de vetores é deixar de posicioná-los com a origem no mesmo ponto em comum. Você deve deslocar mentalmente um dos vetores para a posição apropriada sem modificar a direção e o sentido desse vetor.

2.3.2 Componentes de um vetor As componentes de um vetor são números reais (escalares) Fx, Fy e Fz em relação aos eixos de um sistema de coordenadas tridimensional xyz. No caso particular de um sistema de coordenadas bidimensional, as componentes de um vetor são obtidas pelo traçado de retas perpendiculares aos eixos, como você pode observar a seguir.

F Θ Fx

Figura 15 – As componentes de um vetor. Fonte: Santos (2014).

Com base na imagem anterior, lembre-se do Teorema de Pitágoras. Perceba que você pode obter as componentes horizontal e vertical por:

(2.12)

Em que q é o ângulo entre o vetor e o semieixo positivo x. O ângulo q fornece a orientação do vetor. Dadas as componentes de um vetor, podemos calcular o módulo do vetor como: (2.13)

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

O módulo de um vetor é sempre um número real positivo.

2.3.3 Vetores unitários Os vetores unitários , e são aqueles que possuem módulo unitário, e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente. O módulo dos vetores unitários é dado por: (2.14) y

 F

^ j Fz

^ i ^ K

z Figura 16 – O espaço cartesiano em três dimensões com um vetor , suas componentes Fx, Fy e Fz, e os vetores unitários Fonte: Santos (2014).

Os vetores unitários são mutualmente perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é 90o. Em um sistema de coordenadas tridimensional cartesiano, podemos expressar um vetor

em termos de suas componentes e dos vetores unitários: (2.15)

O módulo de um vetor tridimensional, em termos de suas componentes, pode ser calculado como: (2.16)

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Agora, você verá como somar dois vetores, considerando e . O vetor soma (ou diferença) é escrito em termos das componentes de e de como: (2.17)

2.3.4 Produto escalar entre vetores O produto escalar por:

(lê-se A escalar B) entre dois vetores

é uma grandeza escalar dada

(2.18) Que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores, em que q é o ângulo entre o vetor e o vetor . O produto escalar é comutativo, ou seja: (2.19) É fácil verificar a partir da equação 2.19 que o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo é igual a 1. (2.20) Do mesmo modo, o produto escalar de um vetor unitário por outro vetor unitário da base é nulo, pois o ângulo entre eles é 90º e cos90º = 0. (2.21) Em termos das componentes de um vetor, o produto escalar pode ser escrito como: (2.22)

2.3.5 Produto vetorial entre vetores O produto vetorial entre dois vetores

fornece outro vetor dado por: (2.23)

Em que q, como anteriormente, é o ângulo entre o vetor e o vetor . A orientação do vetor é perpendicular ao plano definido pelos vetores e . Para encontrar a direção do vetor , é preciso usar a regra da mão direita.

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

axb

a b

Figura 17 – A regra da mão direita para o produto vetorial. Fonte: Wikimedia (2008).

O produto vetorial é anticomutativo: (2.24) Um modo prático de obter o produto vetorial é através do determinante da matriz

(2.25)

Em termos dos vetores unitários, o produto vetorial pode ser expandido de acordo com a lei distributiva:

(2.26)

2.4 MOVIMENTOS BI E TRIDIMENSIONAL E O VETOR VELOCIDADE Suponha que uma partícula se mova ao longo do caminho C, conforme mostrado a seguir. Considere que o vetor posição do ponto P no tempo t é enquanto o vetor posição do ponto Q no tempo t+∆t é . Logo, a velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade da partícula em P, é dada por: (2.27) O vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula. Se

, podemos escrever: (2.28)

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A magnitude ou o módulo do vetor velocidade é chamada de velocidade escalar e é dada por: (2.29)

Em que s é comprimento do arco ao longo do caminho C medido a partir de algum ponto inicial.

2.5 O VETOR ACELERAÇÃO Se

é o vetor velocidade da partícula, podemos definir o vetor aceleração instantânea da partícula no ponto P como: (2.30)

Em termos do vetor

, a aceleração fica: (2.31)

E a sua magnitude ou o módulo fica: (2.32)

2.6 MOVIMENTO RELATIVO Galileu mostrou que não há uma diferença intrínseca entre movimento e repouso. Eles dependem do observador, ou seja, o movimento é relativo. A neurociência nos ensina que nossas ações, geralmente inconscientes, são muitas vezes reflexos do tempo em que vivíamos na floresta. Imagine, por exemplo, um hominídeo calma e tranquilamente sentado sobre a grama numa floresta aberta. De repente, algo se move entre as folhagens. Imediatamente a atenção de nosso ancestral se foca no barulho. Ao notar o movimento no nosso campo de visão, percebemos duas entidades: o fundo, ou ambiente, fixo e o animal que se movimenta sobre este fundo. Se o animal é inofensivo, podemos relaxar, mas se é um predador, devemos correr. Como distinguimos o animal do meio em que ele está? A nossa percepção envolve vários processos nos olhos e no cérebro, mas o que interessa neste momento é que nós experimentamos o movimento como um processo relativo. Ele é percebido em relação e em oposição a um objeto ou ao ambiente que nos cerca. Se duas partículas P1 e P2 estão se movendo com velocidades e , os vetores: e

e , respectivamente, e acelerações

(2.33)

São respectivamente a velocidade relativa e a aceleração relativa da partícula P2 em relação à partícula P1. 32

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

2.7 MOVIMENTO CIRCULAR Outro exemplo de movimento bidimensional é o movimento circular. A Terra descreve um movimento aproximadamente circular ao redor do Sol. Este tipo de movimento é conhecido como movimento uniforme com trajetória curvilínea, no qual a direção do vetor velocidade é variável, porém o seu módulo é constante. Há, no entanto, situações nas quais tanto a direção quanto o módulo do vetor velocidade são variáveis. Assim, há duas componentes da aceleração vetorial, uma responsável pela variação do módulo do vetor velocidade, a aceleração tangencial, e outra responsável pela mudança de sua direção, a aceleração centrípeta. A aceleração tangencial (tangente à trajetória), at, está relacionada com a taxa de variação do módulo do vetor velocidade. A direção da componente tangencial da aceleração é a mesma do vetor velocidade. O sentido pode ser o mesmo de (movimento acelerado) ou oposto a (movimento retardado). Se a aceleração tangencial é nula, então o módulo da velocidade é constante. Assim, o módulo da aceleração tangencial é: (2.34) Suponha que uma partícula P se mova sobre um círculo C de raio R. Se s é o comprimento do arco medido ao longo de C a partir do ponto A até o ponto P e q é o ângulo correspondente expresso em radianos, então . Assim as magnitudes da velocidade tangencial e da aceleração tangencial são dadas, respectivamente, por:

(2.35)

Em que e são respectivamente a velocidade angular e a aceleração angular. No SI, a velocidade angular é dada em rad/s e a aceleração angular em rad/s2. A aceleração normal ou centrípeta é dada por: (2.36) A aceleração centrípeta ac é responsável pela mudança da direção de . A direção da aceleração centrípeta é perpendicular ao vetor-velocidade , e o sentido está orientado para o centro da curvatura da trajetória no ponto da localização do objeto. Se a aceleração centrípeta for nula, o movimento será retilíneo.

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ac R

Figura 18 – Os elementos essenciais para o movimento curvilíneo. Fonte: Santos (2014).

2.8 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS A questão que Galileu queria responder era: qual é a curva descrita por um projétil nas vizinhanças da superfície da Terra? Todos os projéteis têm trajetórias similares. Ao lançar um objeto, testemunhase que a trajetória é uma curva com concavidade para baixo. Um objeto lançado nas vizinhanças da superfície da Terra descreve uma trajetória em forma de parábola. As resistências ao deslocamento e os efeitos da rotação do planeta são desprezados para que a sua análise se torne mais simples. O lançamento de projéteis é analisado como uma composição de dois movimentos independentes: na componente horizontal (eixo Ox), por não haver aceleração nessa direção, ou seja, ax = 0, ocorre um movimento retilíneo uniforme (MRU). Na componente vertical (eixo Oy), há um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) devido à aceleração da gravidade, g, com valor constante e aproximadamente uniforme, dirigida verticalmente para baixo. Ou seja, ao adotar uma orientação positiva no eixo y para cima, teremos ay = -g. Considerando de forma figurativa os aspectos importantes da trajetória do projétil, temos as seguintes informações fundamentais: a magnitude da velocidade inicial vo, o ângulo de lançamento do projétil θ, a altura máxima H alcançada pelo projétil e o alcance A do projétil. Você pode conferir esses elementos na imagem a seguir, que tem a posição inicial escolhida como a origem.

ymáx = H xmáx = A Figura 19 – Os elementos essenciais para o lançamento de projéteis. Fonte: Santos (2014).

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

Em cada instante da trajetória, o vetor , que é tangente à trajetória parabólica, aponta em uma direção, que varia de acordo com as suas componentes: uma componente horizontal, vx constante, e outra vertical, vy variável. Para facilitar o estudo do movimento parabólico de um projétil, você agora realizará a análise dos movimentos das componentes horizontal e vertical, obtendo assim as respectivas equações horárias e a equação da parábola descrita. Lembre-se de que, como a trajetória é parabólica, a análise é realizada em duas dimensões, sobre o plano cartesiano xy. a) Movimento uniforme no eixo Ox. Considere a situação ilustrada na imagem, em que a componente da aceleração é nula.

b) Movimento uniformemente variado no eixo Oy.

A partir das equações do movimento de projéteis, você consegue deduzir a altura máxima H e o alcance A do projétil. No ponto mais alto de sua trajetória, há mudança de sentido no eixo vertical, e, consequentemente, a componente vertical da velocidade é nula, portanto, vy = 0. Pode-se determinar o tempo de subida, ou seja, o tempo no qual o projétil leva desde o instante em que é lançado até alcançar a altura máxima H, igualando a velocidade vertical a zero, ou seja:

Altura máxima de um projétil:

(2.37) Para determinar o alcance A, basta verificar que, por simetria, o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Assim, o tempo total de voo é o dobro do tempo de subida.

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Assim, o alcance de um projétil é dado por: (2.38) Em que utilizamos a igualdade 2senθcosθ=sen2θ. Da equação 2.37, verificamos que o alcance horizontal é o maior possível quando o ângulo de lançamento é θ = 45o, pois sen2θ = sen90o = 1.

vy > 0

vy < 0 vy = 0

vy = v0 cos Θ

Figura 20 – O vetor velocidade do projétil é tangente à trajetória em cada ponto da trajetória. Fonte: Santos (2014).

Cada instante da trajetória parabólica é tangenciado pela velocidade vetorial, que muda de direção e de módulo a cada instante, e cujo módulo é dado por: (2.39) Como você já viu, quando y = H, a componente vertical da velocidade é nula (vy = 0) e vx = constante ≠ 0. Consequentemente, o projétil não para no ponto mais alto de sua trajetória. Podemos isolar o tempo na equação horária da componente horizontal do movimento do projétil:

Substituindo o tempo na equação horária para a componente vertical, temos:

Que é a equação da parábola que passa pela origem e cuja concavidade é dirigida para baixo.

AULA 2 – MOVIMENTO UNI E BIDIMENSIONAL

Galileu foi o primeiro a descrever a parábola como a geometria exata da trajetória de um projétil nas vizinhanças da superfície da Terra. A parábola, no entanto, juntamente com a hipérbole e a elipse, já eram conhecidas antes de Galileu. Elas são descritas no livro “Conics”, de Apolônio de Perga, no século III a.C.

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou os diversos tipos de movimento e conheceu os conceitos de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea. Essas definições serão importantes para você em várias situações. Elas estão intimamente ligadas, por exemplo, ao desempenho de um automóvel. Para comparar o desempenho de dois carros, você precisa comparar as suas acelerações médias máximas, além, é claro, de outros fatores, como a aerodinâmica. Na próxima aula, você vai estudar as causas do movimento.

AULA 3 Leis de Newton INTRODUÇÃO Em Física, é necessário definir quantidades que podem caracterizar fenômenos, como massa, posição etc. Isso porque as quantidades físicas não existem por si só, elas são definidas e podem ser medidas envolvendo, pelo menos, os seguintes aspectos: um referencial, uma unidade e uma avaliação de sua incerteza. Nesta aula você vai estudar a Teoria Newtoniana da Mecânica Clássica. Graças às descobertas de Isaac Newton, você pode identificar fenômenos e compreender melhor o que ocorre na mecânica, como os movimentos e os seus causadores. Você aprenderá as três leis de Newton e como estabelecer relações entre força, massa e aceleração.

OBJETIVOS » » Utilizar as Leis de Newton de modo a identificar fenômenos naturais ou grandezas em mecânica. » » Estabelecer relações entre força, massa e aceleração. » » Identificar regularidades, invariantes e transformações.

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3.1 A TEORIA NEWTONIANA Uma teoria é uma coleção de proposições simples que levam a resultados que podem ser comparados com o experimento. A Mecânica Clássica está apoiada sobre quatro axiomas, e os primeiros três são atualmente conhecidos como as Leis de Newton, uma vez que foi Sir Isaac Newton o primeiro a apresentá-los de forma sistemática, coerente e racional. Uma lei física é somente uma maneira de dizer tanto quanto possível utilizando o mínimo de palavras.

Axioma: em Física, um axioma é uma proposição aceita, mas que não pode ser demonstrada. Geralmente é derivado da intuição ou de conhecimento empírico, apoiados em fatos científicos conhecidos.

Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642 em Woolsthorpe, na Inglaterra. A tradição familiar destinava Newton às atividades rurais, para as quais ele não tinha muita inclinação. Por influência de seu tio, Newton foi para o Trinity College, em Cambridge, onde obteve, em 1665, o grau de Bachelor of Arts. Devido à peste, teve de voltar à sua terra natal no mesmo ano. Os dois anos passados em Wolsthorpe foram os mais produtivos de sua vida. Newton apresentou a sua versão dessas leis em seu célebre “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, que foi publicado em Londres, em 1687.

3.2 DEFINIÇÃO DE TEMPO O “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” começa com oito definições. Lucie (1977, p. 67), que traduziu a obra diretamente do latim, cita: Até aqui estabeleci as definições dos termos acima (quantidade de matéria e quantidade de movimento) do modo como eles são menos conhecidos e expliquei no que se segue. Não defino tempo, espaço, lugar e movimento, por serem bem conhecidos de todos. Contudo, observo que o leigo não concebe essas quantidades sob outras noções exceto a partir das relações que elas guardam com os objetos perceptíveis. Daí surgem certos preconceitos, para a remoção dos quais será conveniente distingui-las entre absolutas e comuns.

Assim, Newton faz a seguinte distinção: O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza, flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa e é também chamado de duração; o tempo relativo, aparente e comum é alguma medida da duração perceptível e externa que é obtida através do movimento e que é normalmente usado no lugar do tempo verdadeiro, tal como uma hora, um dia, um mês, um ano. (LUCIE, 1977, p. 68). 40

AULA 3 – LEIS DE NEWTON

Figura 21 – Sir Isaac Newton em idade avançada (1709). Pintura de Sir James Thornhill. Fonte: Wahooart (2014).

Na prática, o tempo é deduzido pela comparação de movimentos. O que Newton quis dizer é que, desde pequenos, desenvolvemos intuitivamente a ideia de tempo pela comparação entre movimentos ao nosso redor. Pesquisas na área de Psicologia do Desenvolvimento mostram que as crianças desenvolvem a noção intuitiva de tempo e espaço através de brincadeiras, como lançar objetos. Quando crescemos e nos tornamos adultos, tomamos como padrão de tempo o movimento do Sol (os dias e as noites) e a isso chamamos de tempo (ou hora) local. Definição de tempo: tempo é aquilo que medimos com um relógio.

3.3 DEFINIÇÃO DE ESPAÇO Durante a nossa infância, utilizamos nossos sentidos (visão, tato, audição etc.) em um processo de aprendizagem para formar um conjunto coerente de experiências, resultando em um conceito intuitivo de espaço. No “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, Newton postulou um espaço absoluto. “O Espaço absoluto, em sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa externa, permanece sempre idêntico e imóvel” (LUCIE, 1977, p. 68). Newton separou os movimentos de uma partícula em absolutos ou verdadeiros e relativos ou fictícios. Os movimentos verdadeiros são os relativos ao espaço absoluto enquanto os relativos ocorrem em relação a um referencial que está em movimento quando o referencial é o espaço absoluto.

Postulado: proposição não demostrada, sem evidência por si mesma, mas que é aceita dada a inexistência de outro princípio de que possa ser deduzido. Um postulado é similar a um axioma. No entanto, o axioma é toda proposição não deduzida de outra, mas que constitui uma regra geral de pensamento lógico, ao contrário dos postulados.

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Foi através de uma experiência famosa, a experiência do balde d’água, que Newton quis corroborar a existência de um referencial absoluto, em relação ao qual os movimentos “verdadeiros” ocorreriam. Os movimentos relativos a outros referenciais seriam então “fictícios”. Newton expôs o seguinte argumento: Os efeitos que distinguem o movimento absoluto do movimento verdadeiro são as forças que agem sobre os corpos que giram, e que tendem a afastá-los dos eixos dos seus movimentos circulares. Pois que, num movimento circular puramente relativo, tais forças não existem, enquanto que num movimento circular verdadeiro e absoluto elas são maiores, ou menores, de acordo com a intensidade do movimento. (LUCIE, 1977, p. 70).

Você pode dizer se o espaço e o tempo são mesmos absolutos? A visão atual é de que o espaço e o tempo são, na verdade, ferramentas que possibilitam a descrição do movimento de objetos materiais. Assim, eles não têm qualquer significado quando separados da matéria. O espaço e o tempo são relativos, eles resultam das interações entre a matéria.

Figura 22 – Capa do “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, de Isaac Newton. Fonte: Rare Book Library (2014).

O livro “Uma visão do espaço na mecânica newtoniana e na teoria da relatividade de Einstein”, de porto e Porto (2008), apresenta uma exposição conceitual, sem qualquer recurso ao formalismo matemático, das ideias de espaço e de tempo, desde a mecânica newtoniana, que se fundamenta no conceito de espaço absoluto, até as grandes transformações introduzidas pela teoria da relatividade de Einstein.

AULA 3 – LEIS DE NEWTON

3.4 DEFINIÇÃO DE REFERENCIAL E REFERENCIAL INERCIAL Um sistema de referência, ou referencial, consiste em uma origem, três vetores e um relógio. Não existe o repouso absoluto, ou a velocidade absoluta nula, portanto, um referencial pode estar em movimento. Um exemplo disso é o planeta Terra. Muitas vezes nós consideramos que ele está em repouso, embora ele se mova em relação ao Sol. Para que você possa afirmar que algo está parado ou em movimento, precisa descrever o movimento (ou o repouso) em relação a outros objetos. Mas e se o outro objeto também estiver em movimento? Não existe a imobilidade absoluta e nenhum referencial é mais absoluto ou imóvel do que outro. Será então que todos os referenciais são iguais? A resposta é: não! Existem, sim, alguns referenciais nos quais podemos aplicar com sucesso as leis da dinâmica. Eles são chamados de referenciais galileanos, ou referenciais inerciais. Se conhecermos um deles, é possível encontrar todos os outros referenciais inerciais: todos se movem em velocidade constante em relação aos outros. Uma boa aproximação para um referencial inercial são as estrelas fixas.

Figura 23 – Representação de um referencial, consistindo de uma origem, os três eixos de um sistema cartesiano e um relógio. Fonte: Santos (2014).

Assim, um sistema de referência inercial é aquele que não possui aceleração (está em repouso ou com velocidade constante) em relação às “estrelas fixas” do Universo, ou seja, aquelas estrelas distantes, a vários bilhões de anos-luz de distância da Terra.

3.5 DEFINIÇÃO DE FORÇA No nosso dia a dia, utilizamos a palavra “força” com vários sentidos distintos, como: “Estou tão cansado que não tenho forças para dar mais um passo”, ou “A Força Aérea Brasileira é uma instituição de heróis nacionais”. Também há quem diga que uma pessoa “possui muita força mental”. Como a palavra “força” pode ser empregada de várias formas diferentes no nosso cotidiano, precisamos de uma definição rigorosa, muitas vezes distinta do seu significado no cotidiano. Em Ciência devemos falar sobre algo com toda a precisão que estiver a nosso dispor; uma falha neste sentido abre portas para a confusão. Como ressaltam Souza e Pinto (2003), em Física, a força é um vetor, definido como um agente de mudança. Ou seja, algo capaz de modificar o estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme de um corpo.

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“Que a Força esteja com você!” No discurso cotidiano, às vezes utilizamos a palavra força com significado distinto da sua definição em Física. Por exemplo, no filme “Guerra nas Estrelas” (“Star Wars”), dirigido por George Lucas, o termo Força representa um poder metafísico e onipresente no seu universo ficcional.

3.6 DEFINIÇÃO DE MASSA No século XIII, o teólogo Aegidiud Romanus sugeriu que, além do peso e do volume, havia uma terceira medida da matéria, a quantitas materiae, ou quantidade de matéria. Por volta do século XVII, a palavra massa (em latim, massa se escreve igual ao português) estava sendo usada com o mesmo significado de quantidade de matéria. O astrônomo Kepler foi o primeiro a articular a noção de massa inercial. De acordo com Kepler, como retoma Assis (1998), a inércia ou oposição ao movimento é uma característica da matéria. Newton formalizou o contexto dinâmico de massa, mas a ideia ainda era um tanto confusa. No tempo de Newton, não havia ainda uma unidade para a massa e ele precisou trabalhar com razões entre massas. A sua definição de quantidade de matéria em termos do volume V e da densidade ρ, ou seja, m ≡ ρV , deixava a desejar porque também não havia uma unidade de medida para a densidade. Para Newton, “A quantidade de matéria é a medida da mesma, obtida conjuntamente a partir de sua densidade e volume” (LUCIE, 1977, p. 78) e “É essa quantidade que doravante sempre denominarei pelo nome de corpo ou massa” (LUCIE, 1977, p. 78). No século XIX, Ernst Waldfried Josef Wenzel Mach e outros rejeitaram a definição conceitual de Newton para massa como quantidade de matéria. Mach sugeriu uma definição operacional como a razão entre as acelerações de dois corpos que interajam entre si. Há três definições comumente utilizadas para massa: a) quantidade de matéria; b) uma medida da habilidade de um objeto a resistir a mudança de seu movimento; c) aquilo que dá origem à interação gravitacional. Todas essas definições, no entanto, apresentam problemas práticos ou conceituais. A quantidade de máteria é uma definição conceitual. Embora exista uma relação entre massa e quantidade de matéria, elas não significam a mesma coisa. Definir massa como aquilo que dá origem à interação gravitacional é o meio menos popular. Essa definição está baseada na lei de gravitação universal de Newton, ou seja,

, em que: G

(6,67 x 10-11 N.m2.kg-2) é a constante de gravitacão universal, M (5,97 x 1024 kg) é a massa da Terra, m é a massa do corpo e R (6,37 x 106 m) é o raio da Terra. Para Newton, a inércia de um corpo seria uma interação entre o corpo e o espaço absoluto. No entanto, para Mach (e a visão atual corrobora essa ideia), a inércia de um corpo é uma interação entre ele e toda a matéria do Universo.

AULA 3 – LEIS DE NEWTON

3.7 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO No caso geral, um sistema pode estar sujeito à ação de várias forças que atuam simultaneamente sobre ele. Cada uma dessas forças produz um efeito parcial. O efeito resultante, então, pode ser analisado como se fosse uma única força, conhecida como força resultante. A soma vetorial de todas as forças atuantes no corpo é equivalente a uma única força atuando no corpo, ou seja: (3.1) Você já precisou empurrar um carro enguiçado? Se não, é bem provável que ao menos já tenha observado uma situação como essa. E essa união de forças é justamente o que ocorre quando várias pessoas ajudam a tirar o automóvel do lugar, exercendo sobre ele várias forças de forma simultânea. Um sistema é dito isolado quando a resultante de todas as forças atuantes sobre ele é nula.

Em geral, ao manipularmos expressões envolvendo várias forças, é incorreto simplesmente somar ou subtrair os módulos para obter a força resultante. Você deve utilizar a soma vetorial, como estudou no capítulo anterior.

3.8 LEIS DE NEWTON Assumimos ser possível medir o tempo e a distância, e assim medir velocidade e aceleração, como você já aprendeu no capítulo anterior. Aceitamos a noção de uma partícula como sendo um corpo de dimensões desprezíveis em comparação com as distâncias ordinárias que medimos. As leis do movimento clássico são enunciadas como válidas somente com respeito a referenciais inerciais, que definimos como um sistema de coordenadas que possui a seguinte propriedade: sempre que o movimento de uma partícula não for influenciado por nenhum agente externo, ou seja, se a partícula estiver infinitamente distante de todos os demais corpos do universo, a partícula se moverá com velocidade (vetorial) constante em relação ao dito referencial. Nossa discussão está baseada no movimento relativo a algum referencial inercial. As seguintes três leis do movimento elaboradas por Sir Isaac Newton são consideradas os axiomas da mecânica. Primeira lei (lei da inércia). Toda partícula permanece em seu estado de repouso, ou em movimento retilíneo e uniforme, a não ser que seja compelida a alterá-lo por forças que atuem sobre ela. Um exemplo da lei da inércia ocorre com alguém cavalgando. Caso o cavalo pare de repente, a pessoa é “arremessada” para frente, em uma tendência de permanecer no movimento que estava realizando anteriormente.

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Figura 24 – Exemplo da lei da inércia. Fonte: Portal São Francisco (2014).

A essência da Primeira Lei de Newton é afirmar a existência de um referencial inercial, ou seja, a primeira lei é uma definição de referencial inercial. Para Newton, esse referencial inercial era o seu espaço absoluto; para Mach e vários outros autores, tal referencial era aquele ligado às então chamadas estrelas fixas.

Na prática, sempre existe um sistema de coordenadas que, sob algumas circunstâncias, são experimentalmente consideradas uma boa aproximação para referenciais inerciais. A Terra, por exemplo, serve como um referencial inercial para os movimentos na sua superfície, desde que limitados espacial e temporalmente. Para outros tipos de movimento, a Terra não serve como referencial inercial. E mesmo as “estrelas fixas”, quando consideramos os movimentos relativos das estrelas umas às outras, perdem o status de âncora como referencial inercial. A Terra é uma boa aproximação para um referencial inercial quando estudamos a maioria dos fenômenos do nosso cotidiano, como aqueles estudados pelas engenharias mecânica e civil. No entanto, não podemos considerá-la um referencial inercial quando estudamos o efeito das marés, por exemplo. Uma consequência imediata da definição de referencial inercial é que qualquer sistema de coordenadas que se mova com o vetor velocidade constante em relação a um referencial inercial será também um referencial inercial. Devemos notar que a definição de referencial inercial dada anteriormente não fornece, no caso geral, um critério prático para a determinação de um referencial inercial. Newton também definiu o que ele chamou de “quantidade de movimento” e Galileu chamava de “momento”. De acordo com Newton, como citado na obra de Lucie: “A quantidade de movimento é a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade e da massa” (LUCIE, 1977, p. 72).

AULA 3 – LEIS DE NEWTON

Em termos atuais, o momento linear de uma partícula é o um vetor formado pelo produto de sua massa por sua velocidade, ou seja: (3.2) Assim, Newton enunciou a sua segunda lei. Segunda lei. A variação do movimento é proporcional à força motora e se produz na direção em que age essa força. (3.3) No caso de velocidades não relativísticas e sistemas de massa constante, a segunda Lei assume a forma: , ou seja:

(3.4) Como apresentado na sessão 3.7, a força total, que atua sobre a partícula em dado instante de tempo, é igual à soma vetorial de todas as forças exercidas sobre a partícula no instante de tempo considerado por todos os agentes que influenciam o movimento da partícula naquele instante de tempo. Essa quantidade pode ser calculada pelo produto da massa do objeto ou da partícula pela sua aceleração vetorial.

Figura 25 – O princípio da superposição de forças (vide aula 2). Fonte: Santos (2014).

Note que, na parte A da figura, um bloco está sob a ação de duas forças e . A parte B mostra que a soma vetorial de e tem como resultado a força resultante . Finalmente, a parte C mostra a resultante aplicada ao bloco, sendo equivalente à parte A da figura.

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O peso de um corpo, , é a força de atração gravitacional, , com que a Terra (se o corpo estiver nas proximidades da superfície da Terra) atrai o corpo. Se o peso for a única força que atua sobre o corpo, pela segunda Lei de Newton:

Nas proximidades da superfície da Terra, ou seja, para distâncias muito menores do que o raio do planeta, o valor

é aproximadamente uma constante, a aceleração da gravidade, . Assim,

, ou seja, o peso do corpo é igual

Terceira lei. A cada ação sempre se opõe uma reação de igual intensidade, ou seja, as ações mútuas de dois corpos são sempre iguais e de sentidos opostos. Considere duas partículas designadas por 1 e 2. Seja a força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 e a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1. A terceira Lei de Newton afirma: (3.5)

Se um cavalo puxa uma carroça com uma dada força, considerando a terceira Lei de Newton, você poderia entender que a carroça puxa o cavalo com uma força igual em módulo, mas de sentido contrário. Assim, a resultante das forças seria nula e os dois ficariam parados. Na verdade, isso é um falso paradoxo: as forças de ação e reação são sempre aplicadas em corpos diferentes, por isso não se anulam.

Como consequência, sempre que duas partículas interagem na ausência de um terceiro corpo, a razão das magnitudes de suas acelerações possui, a cada instante, o mesmo valor, finito, não nulo e constante, que depende somente do par de partículas específico. A partir da terceira lei, podemos também concluir que sempre que duas partículas interagem na ausência de influências de um terceiro corpo, a razão das magnitudes das respectivas acelerações que as partículas experimentam é, a cada instante de tempo, igual à recíproca da razão de suas respectivas massas. Os vetores aceleração são, a cada instante, direcionados na mesma direção e em sentidos opostos. Ou seja, .

AULA 3 – LEIS DE NEWTON

Figura 26 – Um casal de patinadores exerce um no outro uma força igual e outra oposta, de acordo com a terceira lei de Newton. Fonte: Adaptado de Wikimedia (2014).

Veja que, na imagem, a patinadora de massa m1 e o patinador de massa m2 adquirem, respectivamente, acelerações e , que obedecem à relação .

CONCLUSÃO O conceito de força é fundamental. Para um automóvel adquirir uma aceleração, por exemplo, ele precisa experimentar um empurrão ou um puxão. Referimo-nos a este movimento de empurrar ou puxar como uma força. A primeira lei de Newton afirma que, quando a força resultante que age sobre um corpo é nula, o corpo permanece em repouso ou se move com velocidade constante. A segunda lei nos diz que a força resultante que age sobre um corpo de massa m está diretamente relacionada com a aceleração do corpo. Finalmente, a terceira lei diz que toda ação corresponde a uma reação igual em intensidade e oposta. Isaac Newton não só formulou as leis da mecânica como também enunciou a lei da Gravitação Universal,

. Newton edificou todo o arcabouço matemático indispensável, o cálculo

diferencial e integral. De posse desse conhecimento, os engenheiros podem projetar e construir pontes, arranha-céus e foguetes. O mundo de hoje seria inconcebível sem o conhecimento que temos à luz das leis de Newton.

AULA 4 Dinâmica da partícula INTRODUÇÃO Em Física, uma equação vale mais que mil palavras. A segunda Lei de Newton, na forma da equação , proclama todo o universo das interações físicas. Por trás dela, estão as definições dos símbolos (vetores, grandezas físicas), além das questões filosóficas e epistemológicas da sua explicação. Essa maneira de promulgar a informação está em oposição aos métodos da História e da Biologia, por exemplo. O objetivo desta aula é traduzir as Leis de Newton, estudadas na aula anterior, de forma que você possa interpretar e prever o comportamento das coisas no nosso cotidiano. Você também aprenderá a identificar as forças que agem em um objeto, segundo o modelo de partícula. Ao final deste capítulo, você deverá estar apto a analisar e resolver corretamente os problemas propostos. Uma questão importante em engenharia diz respeito às várias situações nas quais um automóvel deve ser testado. Você verá que são muitas! Desde curvas e ultrapassagens até trechos em alta velocidade, condições do freio e efeitos de resistência do ar. Como motivação, você saberia dizer qual é a maior velocidade para que um motorista possa realizar determinada curva?

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OBJETIVO » » Aplicar as Leis de Newton visando a identificação das informações ou variáveis relevantes em dada situação-problema e de possíveis estratégias para resolvê-la.

4.1 O CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE E O CONCEITO DE CAMPO O nosso objetivo será estudar o movimento de uma partícula na vizinhança da Terra, escolhendo a própria Terra como referencial. Se um corpo for abandonado no vácuo, ou se a resistência do ar puder ser considerada desprezível, o objeto estará unicamente sob a ação de seu peso, devido à atração gravitacional com a Terra. É fato conhecido desde Galileu que um corpo, independentemente de sua massa, possui uma aceleração constante. Como você viu nas aulas anteriores, essa aceleração é vertical, aponta para a Terra e seu módulo é igual a 9,8 m/s2 (às vezes aproximado para 10 m/s2). Ela é conhecida como aceleração da gravidade e é simbolizada pelo vetor . Nos limites da vizinhança da superfície da Terra, e sempre que a resistência do ar puder ser preterida, todos os objetos em queda livre possuem uma aceleração igual a . Assim, pela segunda Lei de Newton: a força gravitacional que age sobre o corpo é igual a . Como aproximadamente não varia no espaço e é constante no tempo, o campo terrestre é chamado uniforme.

Figura 27 – O campo gravitacional uniforme nas vizinhanças da superfície da Terra e os vetores unitários, escolhidos de maneira arbitrária. Fonte: Santos (2014).

AULA 4 – DINÂMICA DA PARTÍCULA

Peso e massa são termos frequentemente confundidos um com o outro na linguagem cotidiana, mas são quantidades distintas. A massa está relacionada à quantidade de matéria, enquanto o peso é uma força de atração gravitacional. Por exemplo, a nossa massa é a mesma na Terra ou na Lua, enquanto o nosso peso é menor na Lua, uma vez que a atração gravitacional da Lua é menor do que a da Terra.

4.2 FORÇAS DE ATRITO Todo movimento voluntário é baseado em atrito. O atrito não é observado em sistema de poucas partículas (nível microscópico), ele aparece somente em sistemas com muitas partículas (nível macroscópico). Não existe nenhuma teoria capaz de explicar completamente as leis de atrito: elas são de caráter empírico. A imagem a seguir mostra uma situação hipotética, em que um bloco está inicialmente em repouso sobre uma superfície na presença de atrito e sob a ação de uma força externa aplicada.

Figura 28 – Bloco sob a ação de uma força externa , da força peso , da força normal de contato duas superfícies de contato Fonte: Santos (2014).

e da força de atrito entre as

Você pode notar que a área de contato real é muito menor do que a estimada macroscopicamente. A área real de contato, em oposição à área aparente, é proporcional ao módulo N da força normal. Existe atrito quando duas superfícies estão em contato entre si. A força de atrito é contrária ao movimento relativo entre elas. O atrito entre as duas superfícies é descrito por duas forças, cada uma atuando em uma superfície. Essas forças constituem um par – ação e reação –, obedecendo à terceira Lei de Newton. As direções de ambas as forças de atrito são tais que tendem a empurrar cada uma das superfícies de modo a reduzir o movimento relativo entre elas. Dizemos que há atrito estático entre duas superfícies quando não houver um movimento relativo entre as duas superfícies, ou seja, uma está em repouso em relação à outra. Por exemplo, nos centros comerciais é comum haver escadas rolantes que transportam pessoas de um andar a outro. As escadas conseguem transportar pessoas porque existe atrito entre elas e os pés das pessoas. Quando a pessoa está parada em relação à escada rolante, esse atrito é estático, embora a pessoa esteja em movimento em relação a um observador parado em um dos andares.

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Dizemos que há atrito cinético entre duas superfícies quando ocorre uma velocidade relativa entre as superfícies e uma desliza em relação à outra. Por exemplo, uma criança que desliza em um escorregador. Como há movimento relativo entre as superfícies em contato, o atrito é dito cinético ou dinâmico. A imagem a seguir apresenta, de forma esquemática, os resultados experimentais relacionados à força de atrito para a situação hipotética apresentada na figura anterior.

Figura 29 – Módulo da força de atrito, Fat , em função da força externa aplicada de módulo F. Fonte: Santos (2014).

Para pequenos valores de F, o corpo permanece em repouso e o módulo da força de atrito estático é igual a F. Quando F aumenta, Fat também aumenta, até atingir um valor máximo igual a μeN, em que μe é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo da força normal de contato. Se a força F for aumentada, o corpo se desprende, acelerando de forma súbita. Neste caso, a força de atrito passa a ser cinética, sendo constante e igual a μcN, em que μc é o coeficiente de atrito cinético. No caso do atrito estático, o módulo da força de atrito varia de acordo com a força aplicada F, variando desde zero até um valor máximo μem, ou seja: (4.1) Do ponto de vista qualitativo, as forças de atrito estático sempre irão se opor à possível ou eventual velocidade relativa de escorregamento no contato, que cada superfície teria caso não existisse o atrito. Essas forças de atrito, ainda que opostas ao movimento relativo, podem ter o mesmo sentido do movimento do sólido e tornarem-se força “motriz” do movimento. É o que ocorre quando nós andamos. A tendência é de “empurrarmos” o chão para trás. Na ausência de atrito, haveria movimento relativo entre a superfície do pé e o chão. Assim, como vimos, a força de atrito aponta na direção oposta à do movimento relativo. No caso de uma pessoa caminhando, a força de atrito sobre o pé aponta na direção de seu movimento. 54

AULA 4 – DINÂMICA DA PARTÍCULA

Figura 30 – A força de atrito pode, sim, apontar na direção do movimento. Fonte: Santos (2014).

No atrito cinético, ocorre um movimento relativo entre as superfícies. O sentido das forças de atrito cinético que cada uma das superfícies em contato exerce sobre a outra será sempre oposto ao sentido das velocidades relativas de escorregamento. A força de atrito cinético é dada por: (4.2) A tabela a seguir apresenta estimativas para alguns coeficientes de atrito. Esses valores são aproximados e dependem das condições de limpeza e polimento das superfícies, além da temperatura e umidade. Tabela 1 – Estimativas para alguns coeficientes de atrito SUPERFÍCIES

COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO

COEFICIENTE DE ATRITO CINÉTICO

Madeira com madeira

0,25 £ me £ 0,50

0,2

Vidro com vidro

0,9 £ me £ 1,0

0,4

Aço com aço

0,6

Teflon com teflon

0,04

0,04 Fonte: Nussenzvieg (2013).

Exemplo: Um bloco de massa M é mantido em repouso contra uma parede vertical por uma força horizontal de módulo F2. O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é me, e o coeficiente de atrito cinético é μc. Uma segunda força F2 é aplicada ao corpo, paralelamente à parede. Qual é o módulo da força de atrito que age sobre o corpo quando: a) a força F2 é aplicada para cima; b) a força F2 é aplicada para baixo. Solução: Este é um problema complexo. Para resolvê-lo, você precisa considerar várias situações. a) Considera-se que a força F2 é aplicada para cima e que o módulo do peso P do corpo é menor do que a força de atrito estático máxima, . Assim, o corpo permanecerá em repouso, ou seja, a sua aceleração vertical ay será nula. Pela segunda Lei de Newton:

Direção horizontal (não há movimento, assim, a aceleração horizontal é nula, ou seja, ax = 0): .

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Direção vertical: note que o módulo e a direção da força de atrito dependerão de F2 e de F1. Supondo que o módulo de F2 é menor do que o módulo P do peso do corpo, a força de atrito apontará para cima, opondo-se à tendência ao movimento. Assim, , ou seja, se . Se F1 for diminuída de modo que a desigualdade não seja mais válida, então o corpo tenderá a deslizar para baixo e a força de atrito passará a ser cinético, ou seja, , e apontará para cima. Por outro lado, se o módulo de F2 for aumentado, de modo que F2 >P, então a força de atrito estático apontará para baixo. Logo, temos que . Se , a tendência do corpo será de deslizar para cima e a força de atrito será cinética, apontando para baixo com módulo .

Figura 31 – Ilustração da situação descrita no enunciado. Fonte: Santos (2014).

b) Agora, considere os casos nos quais a força F2 é aplicada para baixo. Como aponta para baixo, na mesma direção da força peso, a força de atrito apontará necessariamente para cima. Você deve considerar dois casos: quando o corpo está em repouso e quando começa a deslizar para baixo. Se o corpo está em repouso, significa que a força de atrito máxima é maior ou igual à soma P + F2, ou seja, . Neste caso, a força de atrito será estática, apontando para cima e com módulo igual a . Se diminuirmos F1 ou aumentarmos F2, teremos que e o corpo tenderá a deslizar para baixo. A força de atrito, neste caso, será . O atrito não é, em si, uma força fundamental, mas surge de forças eletromagnéticas fundamentais entre as partículas carregadas que constituem as duas superfícies de contato. A complexidade dessas interações torna pouco prático o cálculo de atrito a partir dos primeiros princípios e exige a utilização de métodos empíricos para análise e o desenvolvimento da teoria.

AULA 4 – DINÂMICA DA PARTÍCULA

4.3 RESISTÊNCIA DE UM FLUIDO Além da força de atrito entre duas superfícies, outras forças podem atuar em um corpo de modo a se opor ao seu movimento. Tais forças geralmente surgem quando o objeto está se movendo em um fluido viscoso, como ar, água, óleo etc. Essas forças são também conhecidas como forças dissipativas. É um fato experimental que, a baixas velocidades, a força resistiva ou de arrasto , em um meio viscoso, é proporcional à velocidade do corpo nesse meio, ou seja, . Em outros casos, ela pode ser proporcional ao quadrado da velocidade (ou alguma potência maior). Se o corpo possuir uma geometria rombuda (como uma esfera), e não um perfil aerodinâmico e pontiagudo, e o movimento for considerado suficientemente rápido de modo a produzir turbulência no meio (como redemoinhos), o módulo da força de arrasto estará relacionado ao módulo da velocidade através da relação

. Lembre-se de que C é um parâmetro que depende da aerodinâmica

do objeto, conhecido como coeficiente de arrasto, A é a área da seção reta efetiva do objeto, r é a densidade do meio (massa por unidade de volume), v é o módulo da velocidade do objeto e é o vetor unitário que aponta na direção do vetor velocidade. O sinal de menos indica que a força de arrasto tem a mesma direção e sentido oposto ao do vetor velocidade do objeto. Exemplo: Um automóvel de massa M que se movimenta em uma estrada está sujeito a uma força de arrasto , em que é a velocidade. Em um instante, quando a velocidade do automóvel é vo em módulo, a sua aceleração vale ao em módulo. Calcule a força exercida pelo motor do carro. Solução: As forças horizontais que atuam sobre o carro são a força do motor e a força de arrasto. Escrevendo a Segunda Lei de Newton para o automóvel, temos: . Logo, a força exercida pelo motor é dada por , ou seja:

Em dinâmica de fluidos, uma ciência fundamental para a engenharia mecânica, a força de arrasto, ou de resistência do ar, refere-se às forças que se opõem ao movimento relativo de qualquer objeto em relação a um fluido que o envolve. Ao contrário de outras forças de resistência, tais como a força de atrito seco – que são praticamente independentes da velocidade –, as forças de arrasto dependem da velocidade. Forças de arrasto sempre diminuem a velocidade do fluido em relação ao objeto sólido no caminho do fluido.

4.4 FORÇA CENTRÍPETA Quando um objeto descreve uma circunferência ou um arco de circunferência de raio R, com uma velocidade de módulo constante igual a v, diz-se que o objeto descreve um movimento circular uniforme. Nesse caso, ele possui uma aceleração centrípeta , e está sob a ação de uma força centrípeta . Tanto a aceleração centrípeta quanto a força centrípeta são grandezas vetoriais e apontam para o centro de curvatura da trajetória do objeto.

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Figura 32 – O movimento circular de um objeto. Fonte: Santos (2014).

, análogo a ds = sdθ. Mas . Como

, ou seja,

. Então,

. Assim, o módulo da força centrípeta fica:

(4.3) Exemplo: O projeto de uma curva em uma estrada. Se um automóvel entra com uma velocidade muito alta em uma curva, a tendência será derrapar. No caso de uma curva construída com a devida compensação (inclinação), a força de atrito age sobre o carro em alta velocidade no sentido de se opor à tendência de derrapagem para fora da pista. Considere uma curva circular de raio R e um ângulo de compensação q, na qual o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada é me. Um automóvel sem sustentação negativa (carros de corrida possuem sustentação negativa para que realizem curvas a altas velocidades) começa a fazer a curva. Escreva uma expressão para a velocidade máxima com a qual o automóvel pode realizar a curva sem derrapar. Resolução: Aplicando a Segunda Lei de Newton:

A componente na direção vertical:

A componente na direção horizontal: Substituindo o valor da normal calculado a partir da componente vertical:

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Ou seja, Na ausência de atrito (me = 0), a velocidade máxima fica:

Figura 33 – Um automóvel faz uma curva compensada com velocidade de módulo constante. O ângulo de inclinação está exagerado para maior clareza. Fonte: Santos (2014).

Não confunda força centrípeta com força centrífuga. O termo força centrífuga (de centrum no latim, que significa “centro”, e fugere, que significa “fugir”) é uma força inercial, também chamada de força “fictícia”, ou seja, observada apenas em um referencial não inercial. O conceito de força centrífuga é aplicado em alguns dispositivos, tais como centrifugadoras, bombas centrífugas, reguladores centrífugos etc. É a força centrífuga que nos “joga” para fora quando um automóvel realiza uma curva em alta velocidade.

AULA 5 Trabalho e energia INTRODUÇÃO Na linguagem do cotidiano, uma criança empurrando um carrinho está brincando, enquanto um professor na escola, um motorista ou um garçom estão trabalhando. No entanto, em Física, a palavra “trabalho” possui uma definição totalmente diferente, envolvendo conceitos físicos de força e deslocamento. Energia é um conceito crítico na análise dos fenômenos físicos, na engenharia e nos processos em biologia, em química, em astronomia e em geologia. É difícil conceituar energia de maneira geral. É mais fácil definir certas formas particulares de energia. O conceito de trabalho ajuda bastante nessas definições. Trabalho e energia são, assim, conceitos intimamente conectados, como você verá ao longo desta aula.

OBJETIVOS » » Aplicar o conceito de trabalho na articulação, na integração e na sistematização dos fenômenos físicos e nas várias ciências e áreas de conhecimento. » » Entender os conceitos de trabalho de uma força constante, trabalho de uma força variável e teorema da energia cinética.

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5.1 DEFINIÇÕES DE TRABALHO Trabalho é a transferência mecânica de energia de um sistema para outro pela ação de uma força aplicada ao longo de um deslocamento. Ele representa a quantidade de energia transferida para um sistema e/ou transformada de uma forma em outra. Em qualquer discussão sobre trabalho, é importante deixar clara a linguagem. Em Física, o trabalho é realizado sobre um sistema por uma força. Você deve identificar: a) a força que está realizando o trabalho; b) o recipiente do trabalho, ou seja, o sistema.

A palavra trabalho, na linguagem do nosso cotidiano, significa esforço físico ou mental. Não confunda a definição da Física para trabalho com a noção comum que temos dessa palavra.

Para entender a diferença entre os significados da palavra “trabalho” em seu uso cotidiano e em Física, considere uma jovem transportando uma mala com velocidade constante. Embora realize um esforço para transportar a mala, ela não realiza nenhum trabalho, pois a força que a moça realiza sobre a mala é perpendicular ao vetor deslocamento , conforme será discutido com mais detalhes na seção 5.1.1.

Figura 34 – Uma jovem carrega malas com velocidade constante. Fonte: Santos (2014).

O sistema pode ser uma partícula, um objeto, dois objetos que interagem entre si, um conjunto de várias partículas que interagem entre si, um objeto deformável como uma bola de borracha, um objeto girante como uma roda, entre outros.

5.1.1 Trabalho de uma força constante Inicialmente, vamos considerar o nosso sistema como um único objeto indeformável ou partícula, conforme ilustrado na próxima figura. Considere que uma força constante é aplicada ao sistema, que pode ser um bloco, produzindo um deslocamento na direção da força. Assim, ocorre um

AULA 5 – TRABALHO E ENERGIA

trabalho W, definido como o produto escalar da força aplicada pelo vetor deslocamento. Se precisar, reveja a definição de produto escalar apresentada na aula 2. Logo, o trabalho é dado por: (5.1) Em que θ é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento, e é o deslocamento do ponto de aplicação da força. A unidade de trabalho no Sistema Internacional é N x m = J (joule). O trabalho é maior para um maior deslocamento, ou se a componente da força ao longo do deslocamento aumentar. Assim, o trabalho é o produto apenas da componente da força, ao longo da direção do movimento, pela distância percorrida. Note que, pela definição anterior, no caso de um homem se deslocando horizontalmente e carregando um objeto muito pesado, o trabalho da força peso do objeto é nulo. Então por que ele se sente cansado? Essa forma de pensar nos induz a erros. Na verdade, os músculos do homem realizam um grande esforço através de pequenos deslocamentos verticais, realizando trabalho e gastando energia.

Figura 35 – O trabalho realizado por uma força sobre um bloco ao longo de uma superfície. Fonte: Santos (2014).

Exemplo: Uma estudante puxa um livro sobre uma mesa horizontal. A força de 5,0 N com a respectiva direção é mostrada na figura a seguir. A massa do livro é 0,5 kg. Faça um diagrama de corpo livre e calcule os trabalhos realizados pelas forças que atuam no livro ao longo de um deslocamento horizontal de 30 cm. Considere g = 10 m/s2.

Figura 36 – Livro puxado sobre uma mesa horizontal. Fonte: Santos (2014).

Solução: A figura mostra o sistema em questão. Além da força de módulo F, atuam o peso P = mg = 0,5 x 10 kg.m/s2 = 5 N e a normal N = P - Fsen30o = 5 – 5 x 1/2 = 2,5 N. Como tanto o peso quanto a normal são perpendiculares ao deslocamento, os trabalhos realizados por essas forças são nulos. No caso da força F, o trabalho é dado por W = (5 N) x (0,3 m) x cos30o = 1,3 J. Para um sistema formado por uma única partícula ou um objeto não deformável e que não gira, o deslocamento do ponto de aplicação da força é igual ao deslocamento do centro de massa do sistema.

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No entanto, para um sistema deformável ou girante, o deslocamento do centro de massa do sistema pode ser diferente do deslocamento do ponto de aplicação da força.

5.1.2 Trabalho de uma força variável Inicialmente, você irá lidar com o caso unidimensional. Considere uma partícula que descreve uma trajetória unidimensional ao longo do eixo x. Note que x é a sua posição e uma força atuando sobre ela naquele instante, conforme ilustrado na figura adiante. Podemos considerar um intervalo espacial infinitesimal compreendido entre xi e xi + dx, no qual a F(x) é praticamente constante.

Figura 37 – Uma força dependente da posição F(x) atuando sobre uma partícula. Fonte: Santos (2014).

Durante o deslocamento

, a força

realizará um trabalho dW, em que (5.2)

No cálculo diferencial, o termo infinitesimal significa extremamente pequeno; uma quantidade indefinidamente pequena; um valor que se aproxima de zero.

Note que o trabalho infinitesimal dW entre as posições xi e xi + dx é aproximadamente o valor numérico da área sob a curva. Esse valor aproximado tenderá ao valor exato no limite de dx infinitesimal. O trabalho total da força para deslocar a partícula desde a posição até a posição , ou seja, o trabalho de uma força variável unidimensional é dado por: (5.3)

AULA 5 – TRABALHO E ENERGIA

Um exemplo é a força exercida por uma mola. Uma mola é dita linear se a força que ela exercer sobre um objeto for proporcional à sua deformação. Como você deve ter experimentado, essa força é de sentido contrário ao da deformação. A figura a seguir mostra uma mola linear no seu estado normal (relaxado) e no seu estado deformado. A mola foi alongada até um tamanho x. A ilustração mostra que a força exercida é dirigida em sentido contrário ao do alongamento, sendo em módulo proporcional a x (para x pequeno). Temos, portanto, a lei de Hooke: (5.4) A constante de proporcionalidade k é uma característica da mola, dependendo do material, da forma e do diâmetro da mola. A constante k é chamada de coeficiente ou constante elástica da mola ou constante da mola, expressa em Newton por metro (N/m).

Figura 38 – Uma mola linear exercendo uma força sobre um bloco. Fonte: Santos (2014).

A lei de Hooke é amplamente utilizada em todos os ramos da ciência e da engenharia, e é a base de muitas disciplinas, como a sismologia, mecânica molecular e acústica. Ela também é o princípio fundamental por trás da balança de mola, o manômetro, e a roda de balanço do relógio mecânico.

O problema que desejamos responder é: qual o trabalho da força exercida pela mola sobre uma partícula ou um objeto indeformável? Pela equação 5.3, temos:

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(5.5) Esse trabalho será positivo se |xi| > |xf|, nulo se |xi| = |xf|, ou negativo se |xi| < |xf|. Note que o trabalho da força pode ser medido pela área do trapézio no gráfico de F(x) versus x. Vamos agora generalizar para o caso tridimensional. Considere uma partícula descrevendo uma trajetória, conforme ilustrado na figura a seguir.

Figura 39 – O trabalho de uma força sobre uma partícula que descreve uma trajetória. Fonte: Santos (2014).

Seja a sua posição, a sua velocidade em um dado instante e uma força atuando sobre ela naquele instante. Durante um deslocamento , a força realizará um trabalho dW, em que: (5.6) Sendo Fx, Fy e Fz as componentes da força relativas a um sistema de coordenadas de eixos cartesianos Oxyz, e x, y e z as coordenadas da partícula, isto é e , podemos escrever que: (5.7) Essa expressão nos diz que o trabalho elementar dW de uma força variável é uma forma diferencial nas variáveis Fx, Fy e Fz da própria força. O trabalho total da força para deslocar a partícula desde a posição até a posição é dado por: (5.8) É importante lembrar que as definições anteriores são bem determinadas quando a força atua sobre uma partícula ou sobre um corpo rígido em movimento de translação puro. Sérias dificuldades aparecem quando essas relações são estendidas de forma não cautelosa a sistemas de partículas interagentes ou a objetos que são tratados como contínuos, mas são deformáveis ou possuem graus de liberdade internos. Exemplos comuns são o movimento de nosso próprio corpo ao andar, correr ou pular; o movimento de um automóvel ao longo de uma estrada e mesmo o simples empurrar de um bloco rígido sobre o solo com a presença de atrito. A extensão do conceito de trabalho a corpos deformáveis está além do escopo desta aula. 66

AULA 5 – TRABALHO E ENERGIA

5.2 TRABALHO TOTAL Geralmente, várias forças atuam sobre um sistema. Nesse caso, é possível calcular o trabalho total realizado pelas forças atuantes. O trabalho total realizado pelas múltiplas forças atuantes sobre um sistema é igual à soma dos trabalhos realizados sobre o sistema por cada uma das forças: (5.9) O trabalho realizado por cada força individual deve ser calculado em termos do deslocamento do ponto de aplicação das forças individuais. No caso particular de sistemas rígidos e não deformáveis, o trabalho total realizado por várias forças atuantes sobre o sistema é igual ao produto da força total resultante pelo deslocamento do objeto. Note que o trabalho total incluirá, em geral, contribuições não nulas das forças internas. Podemos considerar separadamente os trabalhos realizados pelas forças internas e externas.

(5.10)

As equações (5.9) e (5.10) definem três trabalhos, respectivamente: o total, o das forças externas e o das forças internas. Uma quarta definição é, algumas vezes, chamada de pseudotrabalho ou trabalho do centro de massa, no qual o deslocamento em questão é o do centro de massa do sistema: (5.11)

5.3 O TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA Seja m a massa de uma partícula,

a sua velocidade em um instante de tempo t e

a resultante das forças que atuam sobre ela no instante t, tem-se o teorema da energia cinética: (5.12)

A função

definida anteriormente é uma das mais importantes na mecânica. Lord Kelvin

– nascido William Thomson, em 1824 – a batizou de energia cinética. Teorema da energia cinética: a soma dos trabalhos realizados por todas as forças atuantes sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula entre os instantes inicial e final.

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Em 1695, Gottfried Wilhelm Leibniz já havia percebido a importância da função do produto mv2, que denominou vis viva, que em latim significa força viva. Um objeto em repouso possuía vis mortua (força morta) quando tinha alguma propriedade, tal como uma deformação, que o dotava com a habilidade de produzir vis viva. O termo energia significando ½ mv2 foi utilizado pela primeira vez apenas no século XIX, pelo físico inglês Thomas Young (1773-1829).

Exemplo: Um bloco de massa m sobre uma mesa horizontal com atrito desprezível está encostado em uma mola linear de constante elástica k, comprimida de x. Sabendo que, ao deixar a mola se distender, o bloco perde contato com ela em x = 0, qual a velocidade com que o bloco se afasta da mola? Solução: o trabalho da força da mola pode ser calculado pela equação 5.5, com xi = x e xf = 0, logo . Pelo teorema do trabalho-energia cinética:

. Então,

Embora o teorema da energia cinética estabeleça uma relação íntima entre energia cinética e trabalho, essas duas grandezas são radicalmente diferentes. Por exemplo, enquanto podemos falar na energia cinética de uma partícula em determinado instante ou posição, não tem sentido falar no trabalho de uma força em um único instante ou posição. Isso porque energia cinética é uma função, e trabalho é um processo.

5.4 A SITUAÇÃO COM ATRITO Uma situação da mecânica que traz algumas dificuldades é quando o sistema está sujeito a ações de forças de atrito. Seja a força de atrito cinético atuando sobre a partícula e o deslocamento através da qual a partícula se move em relação à superfície, o trabalho da força de atrito é: (5.13) O sinal negativo indica que a força de atrito aponta na direção oposta ao movimento da partícula em relação à superfície. A situação fica mais complicada quando o sistema é composto de várias partículas, em que o deslocamento não é o mesmo dos vários pontos de aplicação da força de atrito. Por exemplo, ao pressionarmos com ambas as mãos uma bola ou bexiga de aniversário, ocorrem deslocamentos de vários pontos de sua superfície. Como esses deslocamentos não são iguais, a definição de trabalho apresentada nesta aula não é válida. Uma discussão mais geral está além do escopo desta aula.

AULA 5 – TRABALHO E ENERGIA

O atrito é um fator importante em muitas disciplinas de engenharia. Os freios dos automóveis dependem dele para diminuírem a velocidade através da conversão da energia cinética do veículo em calor. A dispersão dessa grande quantidade de calor de modo seguro é um desafio técnico para os engenheiros na concepção de sistemas de freio.

5.5 POTÊNCIA A definição de trabalho não informa nada a respeito do seu tempo de realização. Podemos subir um lance de escadas bem devagar e sem ficarmos ofegantes, mas, se subirmos de forma muito rápida, mal poderemos respirar ao fim da subida. Em ambos os casos, o trabalho realizado é o mesmo. Assim, precisamos de uma nova grandeza para descrever essa diferença: a potência, que descreve o quão rápido o trabalho é realizado. Potência é energia fluindo por unidade de tempo através de uma superfície fechada previamente definida, ou seja, é a taxa com que a energia entra ou sai de um sistema, uma corrente de energia. A potência média é dada por: (5.14) A unidade de potência no SI é o joule por segundo, que é conhecido como watt (símbolo W), ou seja: 1 W = 1 J/s. Nas unidades inglesas, a unidade de potência é ft.lb/s. Uma unidade mais comum para descrever a potência dos motores elétricos e automotivos é o cavalo-vapor (horsepower –hp). Um cavalo-vapor equivale a aproximadamente a 746 W, conforme ilustrado pela tabela a seguir. Tabela 2 – Conversão das unidades mais utilizadas de potência BTU/H

FT.LB/S

CAL/S

WATT

1 Btu/h 1

0,2161

3,929 x 10

6,998 x 10

2,930 x 10

0,2930

ft.lb/s

4,628

1,818 x 10

0,3239

1,356 x 10

1,356

2545

550

178,1

0,7457

745,7

cal/s

14,29

3,088

5,615 x 10-3

4,186 x 10-3

4,186

3.413

737,6

1,341

238,9

1.000

Watt

3,413

0,7376

1,341x10

0,2389

0,001

-4 -3

-3

—2

-4 -3

Btu/h = unidade térmica inglesa por hora ft.lb/s = libra-pé por segundo. (hp = horsepower) caloria por segundo =cal/s quilowatt = kW watt = W Fonte: Resnick (2003).

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O uso da palavra horse (cavalo em inglês) como unidade de potência remonta a 1783. Nessa época, o engenheiro escocês James Watt decidiu verificar quanta potência um cavalo poderia gerar. Ele observou que, em média, um cavalo podia levantar uma massa de 150 libras a 4 pés por segundo. Assim, ele definiu o horsepower (hp) como 550 libras-pé por segundo (ft.lb/s).

Além da potência média, muitas vezes é necessário conhecer a potência desenvolvida por uma máquina em determinado instante de tempo. Para isso, é preciso definir a potência instantânea, dada por: (5.15) Lembre-se de que a diferencial do trabalho é dada por

, logo a potência instantânea fica: (5.16)

Quando conversamos sobre carros, frequentemente falamos sobre a sua potência ou, em linguagem popular, “quantos cavalos o carro possui”. Um Cadillac, por exemplo, desenvolve uma potência de 398 cv quando seu motor está a 6.400 rpm (rotações por minuto). Um Mercedes-Benz C320 possui uma potência de 215 cv a 5.700 rpm. Agora você sabe exatamente o que esses números significam.

Exemplo: Um objeto de massa m acelera uniformemente do repouso até uma velocidade V em um intervalo de tempo ∆t. Calcule: a) o trabalho realizado sobre o objeto em função do tempo; b) a potência instantânea fornecida ao objeto como função do tempo t. Solução: a) O trabalho realizado sobre o corpo é dado por: W = F.∆x = (ma).∆x (I), em que ∆x é o espaço percorrido pelo objeto em um tempo t. Sabemos que ∆x = at2/2 (II). Assim, substituindo (II) em (I), temos: W = m.a2t2/2 (III). Para atingir a velocidade final V, o objeto foi acelerado durante um intervalo de tempo Dt, em que V = a∆t, ou seja, a = V/∆t. Substituindo a aceleração em (III), temos: W = m.V2.t2/(2.∆t2).

AULA 5 – TRABALHO E ENERGIA

b) Para calcular a potência instantânea, basta derivar o trabalho em função do tempo, ou seja, .

Nos certificados de registro e licenciamento de veículos emitidos pelo Detran, existem várias informações sobre o carro. Uma delas é o valor da potência máxima que pode ser desenvolvida pelo veículo. Quando temos, por exemplo, POT 70 cv, a relação é: 70 cv = 51.485 W, ou seja, mais de 51 kW. Compare essa potência com as de outras máquinas, como motocicletas, geladeiras, aparelhos de ar-condicionado, motores para portões de garagem etc. (YAMAMOTO; FUKE; SHIGEKIYO, 2007).

CONCLUSÃO A palavra trabalho, na linguagem do nosso cotidiano, significa esforço físico ou mental. Mas a definição da Física difere totalmente da noção comum que temos dessa palavra. Nesta disciplina, o trabalho de uma força é definido, de forma geral, como

Nesta aula, você viu que trabalho é um processo, definido como a transferência mecânica de energia de um sistema para outro pela ação de uma força aplicada ao longo de um deslocamento. Você também viu um conceito intimamente relacionado ao trabalho, a potência, ou seja, a taxa na qual o trabalho é realizado. Em outras palavras, potência é uma medida de quanto trabalho é realizado em determinado instante ou intervalo de tempo. A energia cinética

éa

energia de movimento.

AULA 6 Conservação da energia INTRODUÇÃO Na aula passada, você viu que trabalho é um conceito importante em Física. O conceito de energia está intimamente relacionado ao trabalho realizado por uma força. Quando você empurra um objeto, por exemplo, ele adquire energia cinética, que é dissipada pelo atrito até o objeto parar. A energia foi perdida? Não. Ela se transformou em outras formas, como calor, som, entre outras. Nesta aula, vamos estudar uma das leis mais básicas da Física: a lei da conservação da energia. Ela nos diz que a quantidade total de energia de um sistema isolado permanece constante, apesar das várias alterações que podem ocorrer na natureza. A energia não pode ser criada nem destruída.

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OBJETIVOS » » Classificar diferentes formas de energia presentes no uso cotidiano, observando suas transformações e suas regularidades. » » Utilizar a lei da conservação da energia no reconhecimento, na utilização, na interpretação de modelos explicativos para fenômenos ou sistemas naturais ou tecnológicos. » » Entender as definições de forças conservativas, energia mecânica e energia potencial.

6.1 O QUE É ENERGIA? A palavra energia é utilizada amplamente no nosso cotidiano. Algumas pessoas dizem que alguém “é cheio de energia” ou que “ela tem uma energia muito boa”. Utilizada comumente com o significado de firmeza, rigor, determinação e vigor, em Física, energia é um conceito abstrato. Não vemos nem sentimos energia. Podemos apenas perceber e medir alguns parâmetros que estão relacionados com a quantidade dela, como massa e velocidade. O conceito de energia eventualmente unificou o tratamento de vários fenômenos físicos e químicos. Energia é uma propriedade da matéria interagindo com a matéria, não é uma coisa em si; é quantidade relativa, e não absoluta. A energia cinética depende do referencial inercial adotado. Um ônibus em movimento possui energia cinética se visto por um observador em repouso no solo. Porém, no referencial de um passageiro, o ônibus está em repouso e, portanto, não possui energia cinética.

Figura 40 – O Sol é a nossa principal fonte de energia. Parte dessa energia pode ser transformada em energia eólica. Fonte: Shutterstock (2014).

Por que movemos os braços ao caminhar ou correr: para economizar energia ou para ficar graciosos? As duas coisas. Gelb (1981) explica que, sempre que um movimento do corpo é realizado com um consumo mínimo de energia, ele é natural e delicado. Essa conexão é bem conhecida pelos bailarinos. É também um aspecto central dos métodos utilizados pelos atores ao moverem seus corpos de uma forma tão graciosa quanto possível.

AULA 6 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

6.2 FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO CONSERVATIVAS Na natureza, há um tipo particular de força, como a força peso e a força elástica de uma mola, que possui uma propriedade que é dita conservativa. Isso ocorre quando o trabalho que a força realiza sobre uma partícula é nulo ao longo de um caminho fechado. Podemos dizer também que uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da trajetória seguida pela partícula. Calcule, por exemplo, o trabalho da força peso ao levar um bloco de massa m do ponto A ao ponto C ao longo do plano inclinado de altura h e inclinação θ. Leve em conta dois caminhos distintos: o caminho A→B→C, passando pelo ponto B, e o caminho A→C, que vai diretamente do ponto A ao ponto C.

Figura 41 – Um bloco de massa m é levado do ponto A ao ponto C por dois caminhos distintos ao longo do plano inclinado de altura h e inclinação θ. Fonte: Santos (2014).

Primeiro, calcule o trabalho da força peso ao longo do caminho A→B→C. É fácil verificar que o trabalho da força peso ao mover o bloco do ponto A para o ponto B é nulo (WA→B = 0), uma vez que a força peso é perpendicular ao deslocamento. Do ponto B ao ponto C, o trabalho WB→C da força peso é WB→C = - mgh, porque a força peso faz um ângulo de 180o com o deslocamento. Logo, o trabalho WA→B→C = WA→B + WB→C = -mgh. Agora, calcule o trabalho da força peso ao longo do plano inclinado. Neste caso, o trabalho da força peso é WA→C = -mgsenqx = -mgh, uma vez que senq = h/x. Assim, ambos os trabalhos são iguais e não dependem do caminho escolhido. Agora, é fácil verificar que o trabalho que a força peso realiza sobre o bloco é nulo ao longo de um caminho fechado, por exemplo, no trajeto A→B→C→A. O trabalho nessa situação é escrito como a soma dos trabalhos individuais ao longo de cada trecho, ou seja, WA→B→C→A = WA→B + WB→C + WC→A, em que WA→B = 0, WB→C = -mgh e WC→A = -WA→C = mgh. Assim, WA→B→C→A = 0. Como o trabalho de uma força conservativa entre dois pontos não depende do caminho, dizemos que o trabalho realizado é uma função que depende somente dos pontos inicial r1 e final r2 Chamamos essa função r de energia potencial. O trabalho total realizado por uma força conservativa sobre uma partícula ao longo de um caminho C do ponto r1 ao ponto r2 é: r2

W = ∫ F ⋅ dr = − U (r2 ) − U (r1 ) = −∆U (6.1) r1 Neste caso, o trabalho é independente do caminho C que une o ponto r1 ao ponto r2 Se o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de um ponto a outro é independente do caminho, então

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a força é dita conservativa. Como consequência, uma força será conservativa se, e somente se, o trabalho realizado sobre uma partícula ao longo de qualquer curva fechada for nulo, ou seja:

W = ∫ F ⋅ dr = 0 (6.2) C

A força gravitacional e a força elástica são forças conservativas. A força de atrito cinético é uma força dissipativa (não conservativa). Uma das maiores apreensões da nossa sociedade está no planejamento da disponibilização de energia elétrica para todos os habitantes da Terra. Para gerar eletricidade, as fontes mais comuns são a energia mecânica, a térmica e a nuclear. A primeira provém do movimento das águas, gerando a energia hidrelétrica. A segunda vem da queima dos combustíveis fósseis (petróleo ou carvão), gerando a energia termelétrica. Por fim, a nuclear é gerada com a fissão do urânio e do plutônio. Uma alternativa natural é a energia eólica, proveniente dos ventos.

6.3 ENERGIA POTENCIAL E ENERGIA MECÂNICA Um sistema pode conter energia em virtude de sua disposição ou arranjo, como é o caso de uma mola esticada ou comprimida; ou de sua posição com relação a outro objeto, como um objeto posicionado a uma altura acima da superfície da Terra. Essa energia armazenada, disponível para ser utilizada transformando-se em outras formas de energia, é chamada de energia potencial. A justificativa para esse nome é que, nessa forma, ela tem o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho. Por exemplo, uma mola comprimida ou esticada pode realizar trabalho. A energia química armazenada em uma pilha também é energia na forma potencial. A energia mecânica E de um sistema é a soma da energia potencial U do sistema com a energia potencial K total do sistema, ou seja: E = K + U (6.3) Considere um sistema isolado, ou seja, sem nenhuma força externa atuante sobre ele e sem forças dissipativas, como o atrito. Nesse sistema, nenhuma energia entra ou sai, ou seja, a variação da energia mecânica é nula, portanto, ∆E = 0. Se uma força conservativa realiza trabalho, ela será responsável por uma transformação de energia potencial em cinética ou vice-versa. Assim, pela equação 6.2, em um sistema conservativo isolado: ∆E = ∆K + ∆U = 0 (6.4) Ou: ∆K = - ∆U (6.5) Se a energia potencial U(x) de um sistema no qual uma força unidimensional F(x) atua sobre uma partícula é conhecida, você consegue obter a força derivando ambos os lados da Equação 6.1 e utilizando o teorema fundamental do cálculo:

AULA 6 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

F ( x) = −

dU ( x) (6.6) dx

Por exemplo, na figura a seguir, a força é nula nos pontos x1, x4 e x6. A força será positiva (inclinação negativa) no ponto x2 e será negativa (inclinação positiva) no ponto x5.

O teorema fundamental do Cálculo diz que, se uma função contínua é inicialmente integrada e depois diferenciada ou vice-versa, obtém-se a função original.

Se a energia potencial for fornecida na forma de um gráfico, pela equação 6.5, para qualquer valor de x, a força F(x) é o negativo da inclinação (derivada) da curva no ponto considerado e a energia cinética da partícula é dada por (vide a equação. 6.2):

K ( x) = E − U ( x) (6.7) Em que E, como você viu antes, é a energia mecânica total do sistema.

Figura 42 – A energia potencial é dada na forma de um gráfico. As linhas horizontais representam os níveis de energia mecânica do sistema (E1, E2, E3). Fonte: Santos (2014).

6.3.1 Pontos de equilíbrio estável, instável, indiferente e pontos de retorno Os pontos de retorno são os pontos nos quais o movimento de uma partícula muda de sentido e a energia cinética se anula. Essa é uma condição necessária, embora não suficiente. Os pontos de retorno dependem da energia mecânica total do sistema. Por exemplo, considerando o gráfico

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anterior, se a energia total do sistema for igual a E1, x3 e x5 serão pontos de retorno, pois a energia cinética nestes pontos será nula. Neste caso, o movimento será limitado na região x3 ≤ x ≤ x5, pois esta é a região energeticamente acessível ao sistema. As regiões x < x3 e x > x5 serão energeticamente proibidas, pois o sistema não possui energia suficiente para penetrar nelas. Por outro lado, se a energia total do sistema for igual a E2, o ponto x2 será o único ponto de retorno. Assim, a região x ≥ x2 será uma região acessível enquanto a região x < x2 será uma região proibida. Finalmente, se a energia do sistema for igual a E3, não haverá pontos de retorno e o movimento será ilimitado. Observe o gráfico anterior e tenha em mente que a partícula se encontra em equilíbrio nos pontos nos quais a inclinação da curva U(x) é nula (nesses pontos, F(x) =0). Os pontos x1, x4 e x6 são pontos de equilíbrio. O equilíbrio será estável quando a energia potencial assumir um valor mínimo. No gráfico, é o ponto x4. O ponto de equilíbrio será instável quando a energia potencial assumir um valor máximo local. No gráfico, é o caso do ponto x1. Finalmente, o ponto de equilíbrio é dito indiferente quando tanto a primeira derivada

dU quanto a segunda derivada do potencial são nulas a respeito de x. O ponto x6 dx

é um ponto de equilíbrio indiferente.

6.3.2 Energia potencial gravitacional. A energia potencial associada a um sistema formado pela Terra e uma partícula próxima à sua superfície é conhecida como energia potencial gravitacional. Como você viu na seção 2, o trabalho da força peso para mover uma partícula de uma altura h é W = -∆U = -mgh. Se uma partícula for deslocada de uma altura hi para uma altura hf, a variação da energia potencial gravitacional do sistema partícula-Terra será dada por:

∆U = U (h f ) − U (hi ) = mg (h f − hi )= mg ∆h (6.8) Caso o ponto de referência de uma partícula seja hi = 0 e a energia potencial gravitacional correspondente do sistema seja Ui = 0, a energia potencial gravitacional U de uma partícula a uma altura h será dada por:

U = mgh (6.9) 6.3.3 Energia potencial elástica. Chamamos de energia potencial elástica a energia agregada à situação de compressão ou distensão de um corpo elástico, como uma mola ou um arco. No caso de uma mola que exerce uma força elástica F = -kx quando é comprimida ou alongada de um deslocamento x, o trabalho da força e, consequentemente, a energia potencial elástica, são calculados como: r2

x2 −kx 2 W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − kxdx = 2 r1 x1

 kx 2 kx 2  = −  2 − 1  = − U (r2 ) − U (r1 ) = −∆U 2   2

AULA 6 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Se precisar, reveja o conceito de trabalho de uma força elástica apresentado na aula 5.

Assim, a energia potencial elástica é dada por:

U ( x) =

kx 2 (6.10) 2

No estado de referência, ou seja, quando a mola está no estado relaxado, x = 0 e U = 0. A figura a seguir mostra o gráfico da energia potencial elástica de uma mola que obedece à lei de Hooke em função da deformação x.

Figura 43 – O sistema massa-mola e a energia potencial elástica associada ao sistema. Fonte: Santos (2014).

Qualquer máquina ou dispositivo que utilize energia de duas fontes diferentes é chamado de híbrido. Os veículos elétricos híbridos usam energia não só da eletricidade, mas também dos motores de combustão interna. Com o auxílio de uma fonte elétrica de energia, os motores de combustão interna podem ser menores e mais eficientes.

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6.4 A LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA A lei da conservação da energia afirma que a energia pode ser transformada de uma modalidade em outra, não podendo ser criada nem destruída, ou seja, a quantidade total de energia é constante. Ela não é derivável das leis da dinâmica (Leis de Newton), mas sim uma proposição independente sobre a natureza. Vamos ilustrar o princípio da conservação da energia utilizando duas analogias. A primeira analogia é com fluidos, objeto de estudo da Engenharia Mecânica. Em um sistema fechado por onde circula um fluido (ex.: sistema de ar-condicionado onde o fluido é um gás refrigerante), a quantidade de fluido se mantém constante, a menos que ocorra um vazamento ou se mais fluido for injetado no sistema. Se a vazão de fluido (taxa na qual o fluido sai ou entra no sistema) é nula, a quantidade de fluido dentro do sistema se conservará. A energia se comporta (embora seja apenas uma analogia) como um fluido. Ele pode entrar ou sair de um sistema. A taxa na qual a energia entra ou sai de um sistema está relacionada com a potência, ou seja, a taxa na qual uma força externa realiza trabalho sobre o sistema.

Se precisar relembrar o conceito de potência, dê mais uma olhada na aula 5!

Uma segunda analogia está relacionada com Economia e/ou Engenharia de Produção. Imagine que você possua uma riqueza (R) na forma de dinheiro vivo (D) e outros bens (B). Assim, a sua riqueza pode ser escrita pela equação R = D + B. Se você não gastar a sua riqueza, ela se conservará. Você pode usar parte do seu dinheiro (D) para comprar mais bens (B) ou vender parte de seus bens para obter mais dinheiro vivo, mas a sua riqueza total não muda, apenas assume formas diferentes. Assim, a “lei da conservação da sua riqueza” seria escrita R = D + B = constante, ou ∆R = ∆D + ∆B = 0. Ou seja, pode existir uma variação na quantidade de dinheiro vivo que você possui ∆D e nos seus bens ∆B, mas a sua riqueza total não se altera. Considere agora que, através do seu trabalho, você economiza dinheiro e faz uma poupança (representada por P), aumentando a sua riqueza. Caso você precise gastar (G representa o total de gastos) parte do seu dinheiro por algum motivo, a sua riqueza diminuirá.

A energia não se conservará quando forças externas realizarem trabalho sobre o sistema.

AULA 6 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Em qualquer discussão sobre trabalho, é importante deixar claro que o trabalho é realizado sobre o sistema por uma força. Assim, é essencial identificar a força que está realizando o trabalho e o sistema sobre o qual ele atua. O sistema pode ser uma partícula, um objeto, um conjunto de partículas, uma região do espaço etc. Qualquer que seja a forma que o sistema assuma, há sempre a fronteira fechada que separa o sistema de tudo que está fora dos limites, ou seja, de sua vizinhança. Utilizamos energia de diversas modalidades: elétrica, térmica, mecânica, química etc. Essas formas de energia transformam-se umas nas outras, obedecendo ao princípio da conservação da energia, uma lei com validade universal. O Sol é a nossa principal fonte de energia, fornecida graças à fusão de átomos de hidrogênio (energia nuclear). Segundo Kazukito (2007), essa energia atinge a Terra em uma taxa média de 1027 W na forma de energia eletromagnética. Aproximadamente uma trilionésima parte (10-12) é utilizada pelos vegetais na fotossíntese.

Considere o caso simples de um objeto arrastado ao longo de uma superfície com atrito por uma força de módulo F paralela à superfície. A velocidade é constante, portanto, com variação da energia cinética nula (∆K = 0). Então, para onde foi a energia transferida para o objeto pelo trabalho da força F? Como a velocidade do objeto é constante, há outra força, igual em magnitude, porém oposta em sentido à força F. Essa força é o atrito, considerado uma força dissipativa. No presente caso, a energia do sistema foi dissipada na forma de calor, aquecendo as superfícies do objeto e do piso.

Figura 44 – Um bloco de massa m é acelerado a partir do repouso ao longo de uma superfície horizontal na presença de atrito por uma força aplicada de módulo F. Q representa a energia dissipada para a vizinhança na forma de calor. Fonte: Santos (2014).

O módulo da força de atrito é Fatrito. O deslocamento do centro de massa do sistema possui módulo Dr e a velocidade final do bloco é vcm. Para analisar esta situação, você deve inicialmente calcular o trabalho realizado pela força resultante sobre o sistema:

W = (F − Fatrito )∆r = ∆K =

2 mvcm (6.11) 2

A outra equação que devemos aplicar é a da conservação da energia: ∆E= Q + W, em que E é a energia interna do sistema. Aqui, tanto o trabalho (W) quanto o calor (Q) são quantidades que dependem do caminho (trajetória), mas a energia interna é uma função de estado. A lei de conservação da energia diz que há uma quantidade de energia, a energia interna, que é uma função de estado do sistema (a sua variação não depende do caminho que o sistema toma). Esse princípio também determina

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que podemos calcular as mudanças na energia interna em termos de quantidades que dependem do caminho, do trabalho e da quantidade de calor. O trabalho realizado pela força F aumenta a energia interna do sistema (na forma de energia cinética). No entanto, o trabalho da força de atrito gera um aquecimento do bloco e do piso. Assim, a mudança na energia interna do sistema é numericamente igual à soma da quantidade de calor transferida para dentro ou fora do sistema com o trabalho realizado pelas forças externas. Vamos examinar brevemente a primeira Lei da Termodinâmica, que você estudará em mais detalhes nos próximos cursos. Ela afirma que a energia interna de um sistema pode variar de duas formas: por calor e pela realização de trabalho sobre o sistema. Matematicamente, a primeira lei é escrita como: ∆E = Q + W. A energia total interna E de um sistema (a soma da energia mecânica e das energias internas, incluindo a energia térmica) só pode se alterar se uma dada quantidade de energia for transferida ou retirada do sistema. Esse fenômeno é conhecido como a lei ou o princípio da conservação da energia. A energia interna do sistema pode assumir várias formas: energia térmica, DEterm; energia química, DEquim; energia cinética, DK; energia potencial, DU etc. Assim, a energia interna DE que aparece na Primeira Lei inclui a soma algébrica de várias formas de energia: Wext =∆E ≡ ∆Eterm + ∆Equim + ∆K + ∆U + ... Se o sistema é isolado (Wext = 0), isso nos dá: ∆E ≡ ∆Eterm + ∆Equim + ∆K + ∆U + ..=0

Figura 45 – Esquema de um sistema com as várias formas de energia interna (Eterm + Equim +U + ...), bem como a Primeira Lei da Termodinâmica (Lei da Conservação da Energia). Fonte: Santos (2014).

No caso particular no qual ocorre uma transferência de energia para o sistema na forma de calor Q, na ausência de trabalho externo e na ausência de qualquer mudança na energia interna a não ser energia térmica, o raciocínio anterior resulta em ∆E = ∆Eterm = Q. Assim, sob certas circunstâncias, a quantidade de calor transferido ao sistema é igual à mudança da energia térmica interna do sistema.

AULA 6 – CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Alguns valores de energia: 1 g de gordura Explosão de 1g de TNT Digestão de uma maçã Energia cinética de um mosquito voando

38 kJ 4.1 kJ 0,2 MJ 0,2 mJ

Fonte: HALLIDAY, RESNICK e WALKER (2012).

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu que a energia se manifesta em diferentes formas (cinética, potencial, química etc.). Aprendeu também a utilizar a lei da conservação da energia no reconhecimento, na utilização e na interpretação de modelos explicativos para fenômenos ou sistemas naturais ou tecnológicos. Estudou também as definições de forças conservativas, energia mecânica e energia potencial. Como engenheiro, provavelmente seu papel será desenvolver projetos social, econômica e energeticamente viáveis, buscando soluções seguras e sustentáveis que minimizem custos e na busca constante de métodos de otimizar o consumo de energia e maximizando a produtividade.

AULA 7 Sistema de partículas INTRODUÇÃO Cada corpo que se move possui algo chamado “momento” (momentum, em latim, que significa quantidade de movimento). O seu momento é igual ao produto da massa pela velocidade. Se o movimento é em uma dada direção, o momento é dito positivo; se é numa direção oposta, o sinal é negativo. Para qualquer sistema fechado, o momento total permanece constante, embora a distribuição de momento entre os corpos possa mudar. Como o único sistema, de fato, fechado é o universo, a lei de conservação do momento é dita “o momento total do universo é constante”. Em essência, ele nunca mudará ao longo da eternidade, não importando quais mudanças ocorram. O propósito desta aula é encontrar uma relação simples entre as velocidades de objetos antes da interação e as suas velocidades após a interação. O chute de uma bola de futebol é um exemplo de uma interação complexa na qual a bola repentinamente muda de direção.

OBJETIVOS » » Conhecer e utilizar conceitos físicos como centro de massa, momento etc. » » Relacionar grandezas, quantificar e identificar parâmetros relevantes.

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7.1 O QUE É UMA COLISÃO? Uma colisão é uma interação de curta duração entre dois objetos. A colisão entre a chuteira de um jogador de futebol e a bola pode parecer instantânea para os nossos olhos. No entanto, uma observação cuidadosa (com uma supercâmera, por exemplo), revelará uma deformação da bola durante a interação. A deformação levará algum tempo. Do mesmo modo, o tempo que a bola levará para voltar ao seu formato original também não é nulo. O mesmo ocorre com uma bola de golfe. Você pode não perceber, mas no instante da colisão com o taco ela fica deformada.

Figura 46 – Instante da colisão do taco com a bola de golfe. Fonte: Shutterstock (2014).

A duração de uma colisão depende dos materiais dos quais os objetos são feitos. Tempos típicos são da ordem de 1 a 10 ms. Quanto mais duro o objeto, menor será o tempo de contato. Por exemplo, a colisão entre duas bolas de aço dura menos do que 1 ms. A parte frontal dos automóveis modernos é, basicamente, feita de materiais plásticos e flexíveis, de modo a aumentar o tempo de colisão, o que diminui a força média na interação. Assim, os tripulantes se machucam menos. Os automóveis mais antigos, por outro lado, eram mais rígidos e, consequentemente, provocavam mais lesões em colisões. A função dos airbags é justamente a de aumentar o tempo de colisão.

Figura 47 – Colisão entre dois automóveis. Fonte: Shutterstock (2014).

Uma força intensa exercida durante um intervalo de tempo curto é chamada de força impulsiva. A força com que o jogador chuta a bola de futebol é um bom exemplo.

AULA 7 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 48 – Exemplo de uma força impulsiva. Fonte: Santos (2014).

Os machos do carneiro da montanha lutam entre si em uma disputa pelas fêmeas. Para vencer, o animal precisa do maior momento possível. Se cada carneiro se chocasse com a cabeça do outro, a colisão duraria 30 milésimos de segundo, e a força média seria da ordem de 1,5 x 104N. Essa força os deixaria desacordados ou mortos, o que não interessa à fêmea disputada. Os machos evitam ferimentos graves usando os chifres, que se flexionam um pouco durante a colisão e diminuem a força por um fator 10. Se um carneiro perde o chifre, não sobreviverá à luta seguinte. (WALKER, 2001).

Figura 49 – Luta entre carneiros da montanha. Fonte: Shutterstock (2014).

7.2 MOMENTO LINEAR E O TEOREMA DO IMPULSO Ao bater um pênalti, o jogador transfere impulso à bola de futebol. Esse é um exemplo no qual um agente externo aplica uma força, e o sistema, no caso, a bola, adquire velocidade. A grandeza física de natureza vetorial que traduz essa ação é o impulso. O impulso é transmitido a um sistema por um agente externo e depende da intensidade da força aplicada e do tempo de duração da interação.

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O lagarto basilisco é capaz de correr sobre a superfície da água. Em cada passo, ele bate na água e mergulha a sua pata tão depressa que uma cavidade de ar se forma logo acima do membro. Para não ter de puxar a pata de volta sob a ação da força de arrasto da água, o lagarto a levanta antes que a água penetre na cavidade de ar. Para que o animal não afunde, o impulso médio para cima exercido durante essa manobra de bater na água com a pata, afundá-la e recolhê-la deve ser igual ao impulso para baixo exercido pela força gravitacional.

Figura 50 – O lagarto basilisco, conhecido como o lagarto Jesus Cristo. Fonte: Mundo Estranho (2011).

Considere um corpo de massa m com velocidade inicial vo que sofre a ação de uma força constante de módulo F durante um intervalo de tempo ∆t. Como, neste caso simples, a força é constante, podemos utilizar a equação horária para a velocidade que aprendemos no capítulo sobre cinemática.

Caso precise relembrar os conteúdos de cinemática, reveja a aula 2.

Em que usamos a segunda lei de Newton:

Definimos como momento linear de uma partícula o

produto p ≡ mv enquanto o produto à direita é definido como o impulso I ≡ F ∆t Assim, o teorema do impulso fica:

mv − mvo = F ∆t (7.1) ∆p = p − po = I

AULA 7 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

O momento linear é uma grandeza vetorial e o seu módulo é medido em kg.m/s ou N.s.

O momento linear de uma partícula é igual ao produto da massa da partícula pela sua velocidade, ou seja, p = mv

Exemplo: Uma metralhadora dispara projéteis de massa igual a 50 g com velocidade de 500 m/s. O tempo de duração de um disparo é igual a 10-2 s. Calcule: a) a aceleração média que um projétil adquire durante o disparo; b) o impulso médio exercido sobre o projétil pela metralhadora. Solução: m = 50g = 0,050 kg v = 500 m/s ∆t = 0,01s a) aceleração média: a = ∆v/∆t = (500-0)/(0,01) = 5x104m/s2 b) impulso médio: I = F.∆t = ma.Dt = 5x10-2 kg. 5x104m/s2.10-2s = 25 N.s

Podemos agora passar para o caso geral, de uma força que varia no tempo. Seja F (t ) força externa resultante que atua sobre um sistema de partículas, então a integral:

I = ∫ F (t )dt (7.2) é chamada de impulso. Você consegue explicar por que um lutador de caratê consegue partir uma tábua, um tijolo ou um osso humano com um soco? É só fazer um cálculo aproximado. O golpe dessa arte marcial concentra-se em uma zona situada cerca de 2 cm dentro do corpo do oponente. O contato inicial ocorre quando a mão atinge a velocidade máxima e, portanto, a força do impacto também é máxima. É diferente dos combates corpo a corpo, que produzem poucos efeitos, já que consistem, sobretudo, em empurrar o adversário (WALKER, 2001).

7.3 CENTRO DE MASSA

Considere um sistema de N partículas de massas m1, m2, ..., mN e posições r1 , r2 ,...., rN respectivamente, conforme ilustrado a seguir.

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Figura 51 – Sistema composto de N partículas. Fonte: Santos (2014).

O momento linear total de um sistema de partículas é, por definição, a soma dos momentos das partículas do sistema. Assim:

N drN dr1 dr2 P = m1v1 + m2 v2 + .... + mN vN = m1 + m2 + ... + mN = ∑ mi vi (7.3) dt dt dt i =1

O centro de massa desse sistema é definido como o ponto possuindo uma posição:

m1r1 + m2 r2 + ... + mN rN 1 Rcm = = m1 + m2 + ... + mN M

∑m r i =1

i i

(7.4)

M = ∑ mi i =1

Em que M é a massa total do sistema. Para um sistema contínuo de partículas ocupando a região R do espaço, o centro de massa pode ser escrito como:

Rcm =

∫ rdm R

M M = ∫ dm

(7.5)

Em que a integral é tomada sobre toda a região R, conforme ilustrado a seguir.

Figura 52 – Um sistema com distribuição contínua. Fonte: Santos (2014).

AULA 7 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

Se escrevermos Rcm = X cmiˆ + Ycm ˆj + Z cm kˆ e ri = xi iˆ + yi ˆj + zi kˆ então as equações 7.4 e 7.5 podem ser escritas como: N

X cm = X cm =

∑m x i =1

i i

M ∫ xdm R

∑m y

, Ycm =

i =1

M ∫ ydm R

, Z cm =

∑m z i =1

M ∫ zdm R

i i

(7.6)

O centro de massa de um sistema é o ponto que se movimenta como se toda a massa do sistema estivesse centralizada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

Exemplo: Determine onde está localizado o centro de massa das três partículas de massas 1 kg, 2 kg e 3 kg, situadas nas posições (1,1), (-1,2) e (2,3) m, respectivamente, mostradas a seguir.

Figura 53 – Três partículas de massas 1 kg, 2 kg e 3 kg, situadas nas posições (1,1), (-1,2) e (2,3) m, respectivamente. Fonte: Santos (2014).

(

)

Solução: As posições das partículas de massas 1 kg, 2 kg e 3 kg são, respectivamente: R1 = 1iˆ + 1 ˆj m

R1 = 1iˆ + 1 ˆj m R2 = −1iˆ + 2 ˆj m R3 = 2iˆ + 3 ˆj m Aplicando as equações 7.6, obtemos:

(

)

(

)

(

)

1(1) + 2(−1) + 3(2) 5 = m 6 6 1(−1) + 2(2) + 3(3) = 2m Ycm = 6 X cm =

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Figura 54 – Indicação da posição do centro de massa do sistema. Fonte: Santos (2014).

7.4 MOMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS dri Se vi = = ri é a velocidade da i-ésima partícula de massa mi, o momento desta partícula é dt definido como pi = mi vi e o momento total do sistema é: N P = ∑ mi vi (7.7) i =1

O momento total de um sistema de partículas pode ser calculado como o produto da massa total do sistema M pela velocidade do centro de massa do sistema.

7.5 O MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA Suponha que as forças internas entre duas partículas de um sistema obedeçam à terceira Lei de Newton, a lei da ação e reação, ou seja, Fij = − Fji A figura a seguir ilustra o caso para um sistema composto de três partículas de massas m1, m2 e m3. As posições das partículas são r1 r2 e r3 respectivamente. As forças são: Fij em que i ≠ j representam forças internas ao sistema; e as forças Fiext em que i = 1, 2 ou 3 representam forças externas sobre cada uma das partículas do sistema. 92

AULA 7 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura 55 – Um sistema composto de três partículas de massas m1, m2 e m3 com posições, r1 r2 e r3 respectivamente. Fonte: Santos (2014).

Então, pela segunda lei de Newton, se F a resultante de todas as forças externas ao sistema, temos:

dPcm Fext = = Macm (7.8) dt

A taxa de variação no tempo do momento de um sistema é igual à resultante das forças externas que atuam sobre o sistema e tem a mesma orientação que essa resultante.

Se a resultante das forças externas atuantes sobre o sistema for nula, temos: (7.9)

Assim, podemos escrever que: se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema é nula, o momento total do sistema permanece constante, ou seja, é conservado. Neste caso, o centro de massa está em repouso ou se movendo com velocidade constante. Este fato é conhecido como o princípio da conservação do momento.

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Se um sistema não está sujeito a nenhuma força externa, o momento do centro de massa do sistema não varia.

7.6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO: O MOVIMENTO É ETERNO? O momento de um sistema, assim como sua energia, é uma grandeza extensiva. Isso significa que podemos visualizá-los fluindo de um corpo para outro. Também quer dizer que ambos podem ser acumulados em corpos ou sistemas. Em uma analogia, o momento pode ser imaginado como um fluido invisível. Durante uma interação, esse fluido é transferido de um corpo para outro. No entanto, assim como a quantidade de fluido, a soma, ou momento total, é sempre constante. A conservação do momento implica também que o movimento nunca acaba, ele é somente trocado. No nosso cotidiano, podemos observar que o movimento frequentemente parece “desaparecer”, como no caso de uma bola que para após ser empurrada. A resposta para esse dilema está nos aspectos microscópicos destes sistemas. Após rolar, a bola só para devido à ação das forças de atrito. A sua energia é transferida pelo trabalho das forças de atrito e é transformada em calor. Como consequência, as superfícies da bola e do piso se aquecem, provocando um pequeno aumento da temperatura de ambos, o que aumenta a agitação térmica das moléculas das superfícies, fazendo-as vibrarem com mais energia. Assim, é por causa do atrito que movimentos macroscópicos eternos não existem. O movimento nunca para somente em nível microscópico. Ou seja, o desaparecimento e aparecimento de movimento no nosso dia a dia é só aparente. O movimento de todo ser vivo sempre existiu, mesmo antes de seu nascimento e continuará após a sua morte. Seria este o significado de vida eterna?

O teletransporte, usado por personagens de alguns filmes de ficção científica, consiste na remoção de objetos de um lugar para outro quase instantaneamente. Isso ocorre devido à transformação da matéria em alguma forma de energia e sua posterior reconstituição em outro local. No entanto, isso é impossível por causa dos princípios da conservação do momento e da conservação da energia. A conservação do momento nos diz que as vizinhanças do objeto teletransportado seriam aceleradas na direção oposta ao teletransporte. A conservação de energia implicaria em uma quantidade enorme de energia transferida entre dois pontos do espaço, o que causaria uma explosão, que possivelmente destruiria tudo entre essas duas regiões.

AULA 7 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou os conceitos físicos importantes em uma colisão, como centro de massa, momento e impulso. Essas definições são importantes em vários fenômenos físicos, como colisões automobilísticas, lutas etc. Você também viu que, além da energia, outra grandeza importante, principalmente em acidentes de carro, é o conceito de momento e o princípio da sua conservação.

AULA 8 Colisões INTRODUÇÃO Olhando para as coisas que se movem no mundo, somos levados à conclusão de que tudo que se movimenta, eventualmente, para. Parece que a quantidade de movimento do Universo está diminuindo. Nesta aula, você verá que isso não é verdade. O conceito de quantidade de movimento ou momento nos permite fazer uma afirmação importante: a quantidade de movimento no Universo é constante, ou seja, o momento se conserva. Nesta aula, você aprenderá a aplicar a teoria de Newton em problemas e situações cotidianas que envolvam colisões.

OBJETIVOS » » Definir colisões elásticas unidimensionais e bidimensionais. » » Aplicar as leis de conservação da energia e do momento, a teoria de Newton e os modelos estudados em situações cotidianas envolvendo colisões.

FÍSICA MECÂNICA

8.1 A CONSERVAÇÃO DO MOMENTO Você viu na aula 7 que, pela segunda Lei de Newton, se ao sistema, temos:

a resultante de todas as forças externas

(8.1) A equação 8.1 nos diz que a taxa de variação no tempo do momento de um sistema é igual à resultante das forças externas que atuam sobre o sistema e tem a mesma orientação que essa resultante. Assim, se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema é nula, o momento total do sistema permanece constante, ou seja, é conservado.

Na ausência de forças externas, o momento total do sistema se conserva.

Em Física, uma “colisão”, ou um “choque”, é uma interação entre dois ou mais corpos cuja duração é extremamente pequena (centésimos ou milésimos de segundos). As forças envolvidas causam deformações e alterações de velocidades nos corpos. Encontramos numerosos exemplos de colisões no dia a dia: martelar um prego, chutar uma bola de futebol, disparar uma arma de fogo, entre outros, são exemplos nos quais a interação é extremamente breve, da ordem de 10-2 a 10-3 s. Nosso objetivo é mostrar que as leis de conservação (momento e energia) resolvem o problema. Um boxeador usa o seu maxilar para fornecer o impulso que reduzirá o grande momento do soco de seu opositor. Para reduzir a força impulsiva de seu oponente, o boxeador retrocede. Por quê? Na verdade, ele retrocede com a cabeça para aumentar o tempo de contato. Como você viu na aula 7, impulso é a combinação de força e tempo. Aumentando o tempo de contato, o soco vai resultar em uma força menor.

AULA 8 – COLISÕES

Figura 56 – Boxeador atinge maxilar do oponente. Fonte: Shutterstock (2014).

8.2 ENERGIA CINÉTICA TOTAL, COLISÕES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS Considere que, por hipótese, imediatamente antes e imediatamente depois da colisão, a energia total do sistema se encontre sob a forma de energia cinética. A questão é: como se compara a energia cinética final do sistema com a energia cinética inicial? Se a energia cinética total do sistema for alterada durante a colisão, diz-se que ela é inelástica. Neste caso, ela pode ser totalmente inelástica ou parcialmente inelástica. No primeiro caso, os dois corpos “grudam” um no outro e continuam juntos depois do choque. O impacto de um projétil de revólver em um bloco de madeira no qual a bala fica encravada é um exemplo de choque totalmente inelástico. Veja a seguir os tipos de energia envolvidos em um processo de colisão. TIPO DE ENERGIA

CARACTERÍSTICA

Energia total

Sempre se conserva.

Energia mecânica

Pode converter-se em outras formas de energia, como calor.

Classificação dos processos de colisão TIPO DE COLISÃO

CARACTERÍSTICA

Colisão elástica

A energia cinética total sempre se conserva.

Colisão inelástica

A energia cinética total final é diferente da energia cinética total inicial.

Colisão completamente inelástica

A energia cinética final assume o menor valor possível. Não pode haver movimento interno, ou seja, a energia cinética no referencial do centro de massa é nula.

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8.3 COLISÕES ELÁSTICAS No século XVII, os membros da Royal Society de Londres presenciaram uma demonstração na qual duas esferas duras de madeira com o mesmo tamanho foram suspensas por duas cordas, formando dois pêndulos. Uma bola foi liberada de certa altura a partir do repouso. Depois, ela colidiu com a segunda esfera, que estava em repouso na posição vertical. Após o impacto, a primeira esfera parou, enquanto a segunda ganhou movimento e atingiu praticamente a mesma altura na qual a primeira esfera estava antes de ser liberada. Quando a segunda bola retornou e colidiu com a primeira, permaneceu em repouso enquanto a primeira adquiriu movimento até atingir praticamente a mesma altura da qual foi largada. Esse movimento de vai e vem se repetiu várias vezes.

Figura 57 – Demonstração da conservação do momento com dois pêndulos. Fonte: Santos (2014).

Essa demonstração despertou o interesse dos membros daquela sociedade científica. Por que as bolas atingiam praticamente a mesma altura? Por que o movimento foi transferido de uma bola à outra após a colisão? Por que a primeira esfera não recuou após a colisão? Os choques entre sistemas macroscópicos não são perfeitamente elásticos: ocorre sempre uma perda da energia mecânica, através de deformações durante a colisão. Assim, essa energia se dissipa em forma de som ou calor. Em alguns casos, essa perda é muito pequena em comparação com a energia inicial. Logo, a colisão é considerada como perfeitamente elástica. Em um choque entre bolas de bilhar de boa qualidade (marfim), a colisão é praticamente elástica.

8.3.1 Equações fundamentais Representamos por m1 e m2 as massas do projétil e do alvo, respectivamente. Considere p1i e p2i os respectivos momentos antes da colisão, e p1f e p2f os momentos após a colisão. A lei de conservação do momento total do sistema é dada por: (8.2) A lei de conservação da energia cinética do sistema é dada por: (8.3) Ou ainda: (8.4)

100

AULA 8 – COLISÕES

As equações 8.2 a 8.4 determinam completamente o estado final do sistema a partir do estado inicial, em um choque unidimensional. Por outro lado, elas não são suficientes para determinar completamente o estado final do sistema em um choque bidimensional.

8.3.2 Colisões elásticas unidimensionais O problema que queremos resolver é: conhecendo os momentos dos corpos antes da colisão, quais são os momentos após o choque? A equação para a conservação do momento linear é dada por: (8.5) Para a conservação da energia cinética (choque elástico), a relação é: (8.6) Que pode ser reescrita como: (8.7)

(8.8) <Dica: Resolva os sistemas 8.5 e 8.6 e prove que as equações 8.7 e 8.8 são corretas.> Desconsidere a solução trivial, na qual as velocidades inicial e final de cada partícula não se alteram. Esse é o estado de não colisão (o corpo mais rápido está na frente do corpo mais lento). As equações fornecem as velocidades dos corpos imediatamente após a colisão:

(8.9)

Resolva o sistema e prove que as equações anteriores (8.9) são corretas.

Existem três casos particulares:

101

FÍSICA MECÂNICA

a) m1 = m2. Se os corpos possuem a mesma massa, o estado final do sistema deve ser idêntico ao estado inicial: os corpos trocam as suas velocidades. Se, além disso, uma delas estiver em repouso no laboratório antes da colisão, o resultado da colisão será parar o projétil e transmitir ao alvo uma velocidade igual à velocidade inicial do projétil. Os jogadores de bilhar conhecem esse efeito;

Figura 58 – Exemplo de um jogo de sinuca em que ambas as bolas possuem a mesma massa. Fonte: Santos (2014).

b) projétil pesado, ou seja, m1 >> m2. A massa do projétil m1 é bem maior do que a massa do alvo m2, que está inicialmente em repouso. A velocidade do projétil praticamente não muda. Após a colisão, a velocidade do alvo é aproximadamente igual ao dobro da velocidade inicial do projétil. É o que acontece quando uma bola de boliche colide com uma bola de tênis em repouso;

c) alvo pesado, ou seja, m1 << m2. A massa do projétil é, agora, muito menor do que a do alvo, inicialmente em repouso. O resultado é que o alvo permanece em repouso. Imagine uma bicicleta colidindo com um caminhão parado: o projétil (a bicicleta, neste caso) rebate com uma velocidade igual em módulo à velocidade inicial, mas de sentido contrário.

102

AULA 8 – COLISÕES

Policiais do esquadrão antimotim normalmente usam balas de borracha ao invés de balas comuns. Suponha que nenhuma das balas penetre na pele e que ambas possuam a mesma massa, o mesmo tempo de contato e a mesma velocidade inicial. Em ambos os casos, o momento inicial é o mesmo, mas os impulsos envolvidos são diferentes porque a bala de borracha ricocheteia, enquanto a de alumínio penetra no corpo. O momento da bala de alumínio é completamente transferido ao corpo. A transferência do momento da bala de borracha é maior porque o corpo fornece um impulso adicional para fazê-la recuar.

Figura 59 – Fragmento de uma bala de borracha. Fonte: Shutterstock (2014).

8.3.3 Colisões elásticas bidimensionais Vamos nos limitar ao caso de uma colisão elástica de um projétil com um alvo em repouso. Qualquer colisão bidimensional pode ser tratada dessa maneira. Basta colocar-se no referencial de um dos corpos antes da colisão. Este é o referencial no qual esse corpo está em repouso. No final, basta voltar ao referencial inicialmente dado.

Talvez seja interessante rever o estudo de movimento relativo da aula 2.

A figura a seguir mostra os momentos do projétil e do alvo antes e depois (o momento do alvo antes da colisão é nulo).

103

FÍSICA MECÂNICA

Figura 60 – Colisão bidimensional com o alvo em repouso. Fonte: Santos (2014).

O espalhamento alterou o momento do projétil de um ângulo θ1, chamado de ângulo de espalhamento. Por outro lado, o alvo “recuou” na direção que faz um ângulo θ2 com a horizontal. O ângulo θ2 é chamado de ângulo de recuo. Considere o eixo x como o eixo orientado na direção do momento inicial do projétil e o eixo y como perpendicular. A equação da conservação do momento linear total é: (8.10) A equação 8.10 mostra que os três vetores pertencem ao mesmo plano, chamado plano de colisão. A equação 8.10 equivale a duas equações escalares para as componentes horizontal e vertical dos vetores. (8.11) As energias cinéticas inicial e final são dadas por: (8.12) Como a colisão é elástica, fica: (8.13) As equações 8.10 a 8.13 são três equações escalares com quatro incógnitas: os momentos finais do projétil e do alvo, e os dois ângulos. Como dito anteriormente, não é possível, em geral, determinar

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AULA 8 – COLISÕES

a configuração final sem fornecer mais uma informação. Considere primeiro o caso particular de uma colisão elástica entre partículas de mesma massa. Seja m1 = m2 = m. A equação 8.13 fica: (8.14) Elevando ao quadrado ambos os membros da 8.10, temos: (8.15) Essa é a lei dos cossenos (vide a aula 2). Comparando a equação 8.15 com a 8.14, concluímos que Assim, as direções do movimento de duas partículas de massas iguais, após um choque elástico com uma das partículas inicialmente em repouso, fazem 90º entre si. LEIS DE CONSERVAÇÃO EM UM CHOQUE ELÁSTICO Conservação da energia cinética

COLISÃO ELÁSTICA Conservação do momento

8.4 COLISÕES INELÁSTICAS Vamos nos limitar ao caso das colisões inelásticas unidimensionais e, em particular, às colisões nas quais a energia cinética final do sistema diminui. Para quantificar a diminuição da energia cinética, definimos o fator Q: Q = Kf – Ki (8.16) Se Q < 0 → processo é dito endoérgico (necessita energia para acontecer) Se Q > 0 → processo é dito exoérgico (libera energia) Características de um choque inelástico. COLISÃO INELÁSTICA A energia cinética não se conserva

Conservação do momento

8.5 COLISÕES TOTALMENTE INELÁSTICAS Neste caso, como os corpos permanecem “grudados” após a colisão, apenas a conservação do momento é necessária para a descrição de uma colisão totalmente inelástica: (8.17)

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FÍSICA MECÂNICA

Características de um choque totalmente inelástico. COLISÃO TOTALMENTE INELÁSTICA A energia cinética após a colisão assume um valor mínimo

Conservação do momento

A equação 8.17 nos diz que a velocidade final do sistema é velocidade do centro de massa (vide a aula 7). Neste caso, a energia cinética do sistema assume o seu valor mínimo, associado apenas ao movimento do centro de massa. Ou seja, não há movimento relativo ao centro de massa do sistema (movimento interno do sistema).

8.6 COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO É um fato experimental que, para um dado material que constitui os corpos, a relação entre a velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa de aproximação é constante. Essa relação é conhecida como coeficiente de restituição, ou seja, e: (8.18) O coeficiente de restituição e é uma grandeza adimensional que depende da natureza dos corpos que se chocam. O seu valor está entre 0 e 1, conforme apresentado na tabela a seguir. Tabela 1 - O coeficiente de restituição de acordo com o tipo de colisão.

TIPO DE COLISÃO

COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO

Elástica

1,0

Inelástica

0,0 ≤ e ≤ 1,0

Totalmente inelástica

0,0

Tabela 2 - O coeficiente de restituição para alguns materiais.

MATERIAIS

COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO

Vidro com vidro

0,93

Marfim com marfim

0,90

Totalmente inelástica

0,0

Chumbo com chumbo

0,20

Madeira com madeira

0,50

Ferro com chumbo

0,12

Fonte: Resnick, Halliday e Krane (2003).

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AULA 8 – COLISÕES

CONCLUSÃO Nesta aula, você aprendeu uma aplicação muito importante da lei de conservação do momento, ou seja, a caracterizar os diversos tipos de colisão: elástica, inelástica e totalmente inelástica. Essa caracterização é fundamental em várias atividades humanas, sejam elas divertidas, como jogos de bilhar, futebol e boliche, mas também em situações mais sérias, como perícia criminal, colisões automobilísticas, condições de segurança em automóveis, entre outras.

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