Fisica eletricidade unifacs by EAD UNIFACS

FÍSICA E ELETRICIDADE

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

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Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO UNIDADE 1 - LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO........................................... 5

1. Carga Elétrica............................................................................6 1.1 Condutores e isolantes .....................................................8 1.2 Carga por Indução .............................................................8 2. Lei de Coulomb........................................................................9 3. O Campo Elétrico....................................................................12 4. Fluxo e Lei de Gauss..............................................................20 UNIDADE 2 - POTENCIAL ELÉTRICO......................................................................27

1. Energia Potencial Gravitacional.............................................28 2. Energia Potencial Elétrica.......................................................29 3. Potencial Elétrico para Sistema de Cargas Puntiformes.......31 4. Cálculo do Campo Elétrico a partir do Potencial Elétrico......35 5. Cálculo do Potencial Elétrico para Distribuições Contínuas de Carga.....................................................................36 6. Superfícies Equipotenciais......................................................38 7. Cálculo do Potencial Elétrico para um Condutor Carregado.39 UNIDADE 3 - CAPACITORES E DIELÉTRICOS..........................................................43

1. Capacitores.............................................................................44 1.1 Capacitância......................................................................45 1.2 Capacitor de placas paralelas..........................................46 1.3 Capacitor cilíndrico...........................................................47 1.4 Capacitor esférico.............................................................49 1.5 Energia armazenada em um capacitor............................51 2. Dielétricos...............................................................................52 3. Associação de capacitores.....................................................53 3.1 Associação em Paralelo...................................................54 3.2 Associação em Série........................................................55 UNIDADE 4 - CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA.................................59

1. Corrente Elétrica.....................................................................60 2. Lei de Ohm e Resistência elétrica.........................................65 3. Força eletromotriz (fem)........................................................70 4. Energia Elétrica e potência....................................................72

AULA 1 Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

INTRODUÇÃO Muitos fenômenos com os quais nos deparamos em nosso cotidiano possuem relação com a eletricidade. Sua influência vai desde a união de átomos e moléculas, que constituem tudo que nos cerca, até aqueles choques que sentimos quando tocamos algum objeto metálico em dias secos ou após esfregar um balão cheio de ar em nossa blusa e brincarmos de levantar fios de cabelo. Todos esses fenômenos acontecem devido à existência do que chamamos de carga elétrica. Mas o que é uma carga elétrica? Quais são suas características? É isso que veremos a partir de agora.

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OBJETIVOS » » Compreender os conceitos de carga elétrica, conservação e quantização da carga. » » Conhecer e interpretar a Lei de Coulomb. » » Compreender o conceito de campo elétrico, simetria e linhas de campo e força elétrica. » » Conhecer e interpretar a Lei de Gauss. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CARGA ELÉTRICA Alguns fenômenos elétricos já eram conhecidos no século VII a.C., quando os gregos observavam que uma resina amarelada denominada âmbar, quando atritada em peles de animais, adquiria a propriedade de atrair pequenos objetos, como palhas.

Figura 1 – Algumas pedras de âmbar. Fonte: Shutterstock (2014).

Em grego, “âmbar” se chama “elektron”, palavra que dá origem ao nome elétron. Os elétrons, assim como prótons e nêutrons, são as partículas que formam os átomos.

Muitos foram os cientistas que contribuíram para a construção do conceito de carga elétrica. Hoje, sabemos que a carga elétrica é umas das propriedades fundamentais das partículas. Por exemplo, no processo de eletrização, os elétrons são transferidos de um corpo a outro, deixando os corpos eletrizados com determinada quantidade de carga elétrica. Convencionou-se que os elétrons possuem carga negativa (-), os prótons, carga positiva (+). Através de experimentos, determinou-se que o valor em módulo que cargas elétricas podem possuir são múltiplos de 1,6 x 10–19C, que corresponde à carga de um elétron ou de um próton. Os neutros não possuem carga. No Sistema Internacional (SI), o símbolo C (Coulomb) representa a unidade de carga elétrica. Com base em Sears et al. (2008), listamos importantes propriedades das cargas elétricas: 6

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

» » quantização da carga: qualquer quantidade de carga elétrica é sempre um múltiplo inteiro do módulo da carga fundamental (e) = 1,6 x 10–19C ; » » cargas de sinais contrários se atraem, enquanto que cargas com mesmo sinal se repelem; » » a soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece sempre constante.

Figura 2 – Atração entre cargas. Fonte: Mannrich (2014).

(a)

(b)

+ + + - - A

- - -

+ + +

+ + + A

+ +

+ + +

+ + + - - A

- - -

+ -

+ + + - - A

- - -

+ + + +

- -

+ + +

Figura 3 – Processo de eletrização por contato. Fonte: Mannrich (2014).

Na figura anterior, em (a), vemos que um corpo A eletrizado positivamente, quando em contato com um corpo B neutro, ganha elétrons deste, deixando o corpo B carregado positivamente. A carga total do corpo A (QA) é dividida com o corpo B, de forma que a carga total do sistema isolado é a soma das cargas que restou no corpo A (qA) e a carga adquirida pelo corpo B (qB). Assim: QA = qA + qB O mesmo processo ocorre em (b), porém o corpo A cede elétrons ao corpo B, deixando-o carregado negativamente.

Um experimento que se aproveita do fenômeno da eletrização e da repulsão entre cargas iguais é o Gerador de Van de Graaff, famoso por ser utilizado para arrepiar os cabelos de quem toca nele. Assista ao vídeo no link: <www.youtube.com/watch?v=uNR5WE_EXEU>

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Consegue, agora, entender por que conseguimos usar um balão cheio para atrair fios de cabelo? Quando o atritamos em um pedaço de lã, por exemplo, há um fluxo de cargas elétricas da lã para o balão. Assim, ele fica eletrizado com determinada quantidade de carga -q. Ao aproximarmos o balão de fios de cabelo, ele acaba atraindo os fios, pois estes também possuem cargas elétricas em seu interior. O processo é bem similar ao que você viu na figura anterior. Veja a seguir a classificação dos materiais em relação à condução de cargas elétricas.

1.1 CONDUTORES E ISOLANTES Sabemos que alguns materiais têm certa facilidade de deslocar cargas elétricas em seu interior. Esses materiais são denominados condutores. Já os materiais que não possuem essa facilidade são chamados de isolantes ou dielétricos. Os materiais que possuem características intermediárias são semicondutores, muito utilizados na indústria eletrônica. Os metais, de maneira geral, são bons condutores, pelo fato de suas ligações atômicas os permitirem terem muitos elétrons que podem se mover livremente em seu interior, enquanto materiais como vidro, plástico, borracha e madeira possuem elétrons muito mais presos aos átomos, o que os torna bons isolantes em condições normais. Isso explica por que os fios das conexões elétricas possuem uma parte metálica (em geral, cobre) em seu interior e uma capa plástica ao redor, fazendo com que as cargas elétricas não atravessem o material. Caso contrário, sentiríamos descargas elétricas cada vez que tocássemos em um fio eletrizado. Você já deve ter sentido esse efeito quando tentou ajustar a antena de uma tevê pela parte metálica estando com os pés descalços no chão. Veja a seguir outro efeito importante relacionado à eletrização de materiais condutores.

1.2 CARGA POR INDUÇÃO Materiais condutores podem ser carregados também pelo processo chamado de indução. Observe a figura a seguir: Uma esfera neutra tem quantidades iguais de cargas positivas e negativas

Elétrons se redistribuiem quando uma haste carregada se aproxima

Alguns elétrons deixam a esfera aterrada pelo fio terra

O excesso de carga positiva se distribui de forma não uniforme

Os elétrons restantes se distribuem uniformemente, e há uma rede uniforme de distribuição de cargas positivas sobre a esfera

d Figura 4 – Processo de eletrização por indução. Fonte: Adaptado de Serway e Jewett (2008, p. 692).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Vemos, em (a), uma esfera condutora neutra, contendo a mesma quantidade de cargas positivas e negativas. Quando aproximamos um bastão carregado negativamente da esfera neutra sem tocá-la, como em (b), ocorre o processo de polarização. Ou seja, as cargas se separam no interior da esfera. Isso porque as cargas positivas são atraídas pelas cargas negativas do bastão, e as negativas são repelidas. Ao ligarmos um fio terra na esfera polarizada (c), haverá um fluxo de elétrons para a Terra, e a esfera ficará carregada positivamente (d) e (e).

No processo de indução, o bastão eletrizado não toca a esfera neutra, ou seja, não há transferência de cargas entre o bastão e a esfera

Vimos até agora algumas propriedades das cargas elétricas e as formas de eletrização. Você estudará, a seguir, como se dá a interação entre cargas elétricas do ponto de vista quantitativo.

2. LEI DE COULOMB Agora já compreendemos que, quando esfregamos (atritamos) um balão em nossa blusa, o balão fica eletrizado e é capaz de atrair, por exemplo, nosso cabelo ou, ainda, pedacinhos de papel. Agora, vamos investigar com mais detalhes como cargas elétricas são capazes de atraírem umas as outras. Após as descobertas descritas até aqui, Charles Augustin de Coulomb realizou experimentos com sua própria balança de torção, baseando-se no projeto de Henry Cavendish, para estudar forças gravitacionais. Acompanhe o esquema do experimento de Coulomb na figura:

Filamento de torção

A esfera com carga negativa atrai a esfera com carga positiva; a esfera positiva se move até as forças elásticas no filamento de torção equilibrarem a atração eletrostática.

Esferas do núcleo carregadas Escala

Figura 5 – Experimento de Coulomb para estudar a interação entre cargas elétricas. Fonte: Sears et al. (2008, p. 8).

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Com base nesses experimentos e em analogia à força de interação gravitacional, já conhecida na época, Coulomb chegou à seguinte formulação: o módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Em outras palavras, a força elétrica será maior quanto maior forem as cargas elétricas envolvidas e quanto mais próximas elas estiverem uma da outra. O modelo matemático que descreve a Lei de Coulomb é: (1.1) Em que F é o módulo da força entre as cargas, q1 e q2 são as cargas envolvidas, r é a distância que as separa e ȓ é o vetor unitário orientado para a linha que une as cargas. A constante ε0 (épsilon zero) é a permissividade elétrica do vácuo, que no Sistema Internacional (SI) vale ε0 = 8,8542 x 10-12C2/Nm2. É possível escrever ε0 em função de outra constante, representada por k chamada de constante de Coulomb, como:

, que no SI vale k = 8,9876 x 109 Nm2/C2.

Nunca se esqueça de escrever as unidades das grandezas físicas. Além de caracterizar a grandeza, a unidade pode auxiliar na identificação de erros na manipulação das equações físicas.

Note ainda que as flechas acima das grandezas físicas ( , ) indicam que tais grandezas são vetoriais, pois elas possuem certa orientação espacial (direção e sentido) em relação ao sistema. Na figura adiante, você pode acompanhar outro esquema que representa a interação entre cargas elétricas: F2 em 1 +

F 1 em 2 = _ F2 em 1

F 1 em 2 = F2 em 1 = k -

Cargas de sinal igual se repelem.

F 1 em 2

q1 q2 r2

Cargas de sinal contrário se atraem.

F2 em 1 F 1 em 2 + q2

Figura 6 – Interações de forças entre duas cargas elétricas puntiformes. Fonte: Sears et al. (2008, p. 8).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Note que as forças têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentido contrário em relação à linha que as une (direção de Ou seja, as forças entre cargas elétricas obedecem à Terceira Lei de Newton, que fala que toda ação corresponde a uma reação:

Quando as cargas são diferentes, as forças são atrativas, e quando possuem sinais iguais, as forças são repulsivas. Exemplo 1 – Aplicação da Lei de Coulomb: Considere um sistema composto por três cargas puntiformes alinhadas entre si, em que: q1 = 1,0nC q2 = – 3,0nC q3 = 5,0nC (utilizamos a unidade de nC para representar o nano Coulomb, ou seja, 10–9C). q1 está a 2cm de q2 q3 está a 2cm de q2 e a 4cm de q1 Determine o módulo, a direção e o sentido da força de q1 sobre q2 e sobre q3. Resolução: O primeiro passo é compreender bem o problema, fazendo um diagrama da situação. Como o exercício fala que as cargas estão alinhadas entre si e separadas por certa distância uma das outras, podemos escolher uma das cargas (escolhemos q1 neste caso) como o ponto zero de nosso sistema. Assim, traçamos um plano de coordenadas (plano x, y) e escolhemos o alinhamento horizontal (eixo x) para o posicionamento das cargas. Em seguida, posicionaremos as demais cargas em relação a q1. O plano de coordenadas fica assim:

y q1 = 1,0 nC +

2,0 cm

q2 = 3,0 nC -

q3 = 5,0 nC x +

4,0 cm Figura 7 – Esquema do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Observe que posicionamos a carga q1 no marco zero do planos para facilitar os cálculos. Feito o diagrama, podemos determinar a intensidade da força elétrica de q1 em e de q2 em q3, utilizando a Lei de Coulomb. Fica assim:

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Usamos o micro Coulomb (mC) para apresentar os resultados, o que representa 10–6C. Observe que q1 e q3 possuem cargas de mesmo sinal (+), então a força será repulsiva. Já as cargas q1 e q2 têm sinais contrários, logo a força será atrativa. Colocando isso em um diagrama de forças em q1 e levando em conta que o módulo de é maior que o módulo de , teremos:

q1 Figura 8 – Representação vetorial de Fonte: Mannrich (2014).

A resultante das forças da direção x se dá pela somas das forças nesse eixo. Como elas possuem sentidos contrários, elas se subtraem. Assim: Fx = 67 mN – 28mN = 39mN Concluímos, então, que a força resultante sobre q1 é orientada para a direita (sentido positivo do eixo x) e possui módulo de 39mN = 3,9x10-5 N. No exemplo, as cargas estavam alinhadas em um único eixo (x), ou seja, as componentes y e z eram zero. Se tivéssemos cargas com componentes vetoriais em y e z também, a análise da situação e o cálculo das forças deveriam ser feitos de forma independente para cada eixo. Ou seja, a força total sobre uma carga possuiria componentes Fx, Fy e Fz, e a resposta seria dada em função delas.

Agora que você já conhece algumas características das cargas elétricas e viu como determinar a força elétrica entre elas, você entenderá melhor como é possível uma carga, ou um conjunto de cargas, sentir a presença de outras, gerando a força elétrica.

3. O CAMPO ELÉTRICO Um conceito construído para compreender como as cargas elétricas perturbam o espaço foi o de campo elétrico, muito influenciado pelos estudos de Michael Faraday. Esse cientista percebeu que uma limalha de ferro, quando aproximada de ímãs, organizava-se em linhas ao seu redor. Em analogia com essa ideia, ele pensou na interação entre cargas elétricas. Faraday chamou essas linhas de linhas de força, uma maneira de representar a perturbação das cargas elétricas no espaço, chamada de campo elétrico. Na figura adiante, você pode observar representações para as diferentes configurações entre linhas de força de carga elétricas:

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

(a) Uma única carga positiva

(b) Duas cargas de mesmo módulo, porém de sinais contrários (um dipolo)

E +

E E Linhas de campo sempre apontam para fora de cargas (+) e para dentro de cargas (-).

A cada ponto no espaço, o vetor do campo elétrico é tangente à linha de campo que passa pelo ponto considerado.

As linhas de campo ficam próximas quando o campo é forte e distantes quando o campo é fraco.

Figura 9 – Representação de linhas de força para três diferentes configurações de carga. Fonte: Sears et al. (2008, p. 24).

Com as linhas de força, podemos determinar a intensidade e a direção da força elétrica. Alguns aspectos importantes das linhas de força são: » » o vetor força elétrica em uma região do espaço é tangente às linhas de força nessa região; » » o número de linhas de força é proporcional ao módulo do vetor força elétrica nessa região, ou seja, quanto maior o número de linhas maior a força elétrica. Dessa forma, uma carga elétrica produz um campo elétrico ( ) no espaço, e tal campo irá exercer uma força em outra carga elétrica (q). A intensidade dessa força pode ser determinada pela seguinte relação físico-matemática: (1.2) Ou seja, a força elétrica é determinada pela multiplicação do valor da carga elétrica de uma carga elétrica qa e o campo elétrico proveniente de outra carga elétrica qb. A unidade de campo elétrico no SI é o Newton por Coulomb (N/C).

O campo elétrico gerado pelas cargas elétricas nos condutores elétricos domésticos é da ordem de 10–2 N/C, enquanto o campo elétrico produzido por um raio em uma tempestade é da ordem de 104 N/C, ou seja, seis vezes maior.

O campo elétrico pode ser calculado a partir da Lei de Coulomb. Se

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então podemos escrever o campo elétrico como: (1.3) em que q é carga que da qual se deseja determinar o campo elétrico. Assim, o campo elétrico pode ser calculado em determinado ponto p ao somar os campos, devido a cada carga envolvida no sistema, representadas pela letra i. Dessa forma, podemos escrever a expressão: (1.4)

Exemplo: Considere duas cargas elétricas: q1 = 9 nC q2 = 12 nC Determine o campo elétrico das cargas q1 e q2 em um ponto p qualquer do plano cartesiano (x,y). Resolução: Perceba que o problema fornece o valor das cargas, mas não especifica o ponto a ser calculado. Dessa forma, você pode escolher um ponto qualquer. Escolheremos o ponto x = 2 cm e y = 3 cm. Além disso, posicionaremos q1 na origem do sistema (x = 0 cm e y = 0 cm), o que facilitará o cálculo. Assim, a configuração do sistema fica como segue: Y(m)

22 + 3 2

q2 =12nC q1 =8nC 1

X(m)

Figura 10 – Configuração das cargas do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Para calcular o campo , resultado da influência das duas cargas, precisamos determinar o módulo de e . Note que os campos e apontam para fora das cargas, pois elas possuem carga positiva. Em seguida, podemos calcular as componentes x e y de cada campo. Então, calculamos os campos resultantes para cada componente (Ex1, Ey1, Ex2, Ey2). 14

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Em seguida, fazemos a soma vetorial das componentes, e podemos determinar o módulo do campo ,. Para o cálculo dos módulos de

para q1 e q2. Acompanhe

, basta aplicarmos

o cálculo:

Agora que determinamos o módulo do campo elétrico, vamos calcular as componentes vetoriais x e y do campo de cada carga da seguinte forma:

Note que a componente x da carga q2 aponta para o lado negativo do eixo x. Então, essa componente possui sinal negativo. Lembrando as relações trigonométricas, podemos determinar senθ e cosθ, como segue:

CO = 2

sen θ =

cateto oposto CO 2 = = = 0,55 hipotenusa H 13

cos θ =

cateto adjacente CA 3 = = = 0,83 hipotenusa H 13

CA = 3 Figura 11 – Relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Fonte: Mannrich (2014).

Substituindo os valores nas expressões, as componentes do campo elétrico ficam: Ex1 = (5,54 N/C)(0,55) = 3,05 N/C;

Ex2 = – (8,30 N/C)(0,55) = – 4,56 N/C;

Ey1 = (5,54 N/C)(0,83) = 4,60 N/C

Ey2 = (8,30 N/C)(0,83) = 6,89 N/C

Agora, vamos somar as componentes x e y do campo resultante

Ex = Ex1 + Ex2 = 3,05 N/C – 4,56 N/C = –1,51 N/C

Ey = Ey1 + Ey2 = 4,60 N/C + 6,89 N/C = 11,49 N/C O cálculo do módulo do campo

a partir de suas componentes Ex e Ey ocorre obtendo a raiz

quadrada da soma do quadrado das componentes, ou seja,

. O módulo fica:

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A direção e o sentido do campo podem ser obtidos de maneira precisa ao calcular o ângulo entre o vetor do campo elétrico e o eixo x: Y

tan θ =

sen θ cos θ

Ey Ex

θ = tan

-1

Ey Ex

θE X

Figura 12 – Representação vetorial dos campos elétricos do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Dessa forma, obtemos o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico cargas q1 e q2.

resultante da ação das

Até o momento, estudamos algumas situações envolvendo poucas cargas, e vimos que o campo elétrico pode ser calculado a partir da soma do campo de cada carga envolvida. Podemos concluir que, se o número de cargas for muito grande, o trabalho para se determinar o campo em algum ponto, apesar de simples, será imenso. Vamos conhecer uma maneira de calcular campos elétricos para distribuições contínuas de carga. Para um elemento de carga infinitesimal dq a expressão (1.4) pode ser escrita como: (1.5) Para realizar o cálculo de distribuições de carga em linha, em superfícies ou em volumes, pode ser conveniente utilizar o conceito de densidade de carga. Se a carga total Q for distribuída uniformemente por todo o volume V, a densidade volumétrica de carga

(rô) será definida como

com

unidade no SI de C/m

No caso de uma superfície de área A, a densidade superficial de carga σ (sigma) é definida como com unidade no SI de C/m2. Se for uma linha de comprimento l, a densidade linear de carga será definida como

com unidade no SI de

Assim, um elemento infinitesimal de carga dq

para cada caso, pode ser escrito em função da densidade de carga como: .

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Exemplo: Anel carregado uniformemente Considere um anel de raio a carregado uniformemente com uma quantidade de carga Q. Calcule o campo elétrico em um ponto P a determinada distância x do eixo perpendicular ao centro do anel, como mostra a figura a seguir. dq

r x (a)

dE x

dE 1

dE2 0

x 2

(b)

dE1

Figura 13 – (a) Mostra o campo no ponto P sendo gerado pelo elemento de carga Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 706).

Observe que a componente perpendicular do campo ( ) no eixo x do segmento 1 se cancela com a do segmento 2, pois geram campos opostos de mesma intensidade nesse eixo. Dessa forma, apenas a componente x do campo contribui para a resultante em P. Assim, o campo elétrico resultante em P é completamente descrito pelo componente Então nos resta determinar esta componente, rescrevendo a expressão (1.5) como:

Utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, podemos determinar a distância e componente

como

Substituindo estes resultados na expressão obtida para a

temos:

O campo elétrico em P pode ser determinado integrando a expressão anterior. Assim, temos:

Todos os segmentos do anel contribuem igualmente para o campo em P, uma vez que estão todos à mesma distância de P (x é constante). Assim, a expressão fica:

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A integral de dq (soma de toda a carga do anel) é a própria carga total Q. Assim, o resultado do campo E em P é:

em que representa o vetor unitário na direção x. Ou seja, apenas a componente x contribui para o campo resultante Exemplo: Campo elétrico produzido por um fio uniformemente carregado Considere um fio de comprimento 2a uniformemente carregado com uma carga positiva Q, situado sobre o eixo y. Determine o campo elétrico em um ponto P a uma distância perpendicular x do centro do fio, como mostra a figura a seguir.

y +a dy

dQ y

r y O

a dEy

dEx

-a

Figura 14 – Fio de comprimento 2a carregado uniformemente. Fonte: Sears et al. (2008, p. 21).

Assim como no exemplo anterior, as componentes do campo perpendicular ao eixo x não contribuem para a resultante do campo no ponto P, pois a componente superior ao eixo x cancela a componente inferior a esse eixo. Resta apenas determinar a componente do campo elétrico em P. Como no exemplo anterior, podemos reescrever a expressão (1.5) para o que resulta em:

Note que dq está a uma distância y da origem O, então

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Como a distância de cada elemento de carga dq varia em relação a P, precisamos escrever dq em função da densidade linear de carga. Assim, A densidade linear de carga pode ser obtida dividindo a carga total Q pelo comprimento do fio (2a). Assim,

Agora, podemos

substitui estes resultados na expressão da componente

Observe que a variável de integração agora é y, que varia de –a a +a. Como fizemos no exemplo anterior, para encontrar o campo resultante em P precisamos integrar a expressão. Assim, teremos:

Como k, Q, 2a e x são constantes, eles podem sair do procedimento de integração, e a expressão fica:

De uma tabela de integrais, temos que campo elétrico

Assim, determinamos o

como: ou

(1.6)

Quando a distância x é bem maior do que a, podemos desprezar este valor no denominador e a expressão se

o que corresponde a um campo produzido por uma carga puntiforme.

Agora, qual seria o valor do campo a uma distância x da linha de cargas se o comprimento fosse muito grande, ou melhor, infinito? Se reescrevermos a expressão (1.6) em função da densidade de cargas teremos:

em que

Se a for muito grande, o termo

tende a zero, e ficaremos com a expressão:

seja, se o fio for muito grande (infinito), qualquer ponto P a uma distância r perpendicular à linha de cargas terá como o módulo o campo: Nesse caso, a intensidade do campo cai com que cai com

diferentemente do campo para uma carga puntiforme

A seguir, você conhecerá outra forma de determinar campos elétricos, que, em alguns casos, é bem mais eficiente.

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4. FLUXO E LEI DE GAUSS Você viu que a Lei de Coulomb possibilita o cálculo de campos elétricos, inclusive para distribuições contínuas de carga. Porém, em algumas situações, esse cálculo pode ser bastante complicado. Outra maneira de calcular campos elétricos para distribuições contínuas de carga, por exemplo, para fios condutores, é utilizando a Lei de Gauss, que se torna mais poderosa em sistemas de alta simetria, como superfícies planas, cilíndricas ou esféricas. Essa lei é umas das equações fundamentais do eletromagnetismo e faz parte de umas das quatro equações de Maxwell, que você verá ao longo desta disciplina. O desenvolvimento da Lei de Gauss se aproveita das ideias das linhas de força do campo elétrico. Para compreendê-la, você precisa estudar o conceito de fluxo elétrico. O fluxo elétrico é definido como a quantidade de linhas de campo que atravessam determinada superfície, como mostra a próxima figura:

E A

Figura 15 – Linhas de campo elétrico atravessando uma superfície de área A. Fonte: Mannrich (2014).

Observe que, se o vetor campo elétrico e o vetor área forem perpendiculares, não haverá fluxo sobre a superfície. O fluxo elétrico (Φ) pode ser determinado pelo produto escalar do campo elétrico pelo vetor área . Ou seja:

A unidade do fluxo elétrico no SI é Nm2/C. Se considerarmos uma superfície fechada, ou seja, aquela que divide o sistema em duas regiões, uma interna e outra externa à superfície, poderemos definir que o número resultante de linhas que atravessam qualquer superfície que envolva cargas é proporcional à carga resultante envolvida pela superfície. Esse é o enunciado qualitativo da Lei de Gauss. Na figura adiante, você pode observar que as linhas de campo elétrico atravessam uma superfície fechada arbitrária.

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Figura 16 – Linhas de campo elétrico atravessando uma superfície fechada qualquer. Fonte: Mannrich (2014).

Matematicamente, a Lei de Gauss é escrita como:

Pode-se reescrever a Lei de Gauss também em função de outra constante, pois

, em

que ε0 é a constante de permissividade do vácuo, ou seja, ε0 = 8,85 x 10-12C2/Nm2 . Então, a Lei de Gauss fica:

Essa expressão significa que o campo elétrico normal à superfície multiplicado pela soma de cada elemento de área muito pequeno será proporcional à carga interna (Qint) da superfície. Na expressão anterior, o símbolo uma integral de linha sob uma superfície fechada. (a) A normal saindo da superfície irregular forma um ângulo Ø com o vetor campo elétrico E

(b)

dA Ø

dA cos Ø +

A projeção do elemento da área dA sobre a superfície esférica é dA cos Ø

Figura 17 – Cálculo do fluxo elétrico através de uma superfície não esférica. Fonte: Sears et al. (2008, p. 48).

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Note que, mesmo que a superfície tenha uma forma não simétrica, é possível escolher uma superfície simétrica, como a parte esférica imaginária de raio R que aparece na figura, construída unicamente para realizar o cálculo do campo elétrico pela Lei de Gauss. Isso é possível porque o fluxo elétrico sobre as superfícies independe da forma da superfície. Dessa forma, o cálculo do campo elétrico fica muito mais fácil. Uma analogia interessante para melhorar a compreensão sobre a Lei de Gauss é utilizar os raios de luz que atravessam uma lâmpada. Para conhecer a analogia e melhorar sua compreensão dessa importante lei do eletromagnetismo, leia o artigo intitulado “Um pouco de luz na Lei de Gauss”, disponível no link: <www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/vol03a21.pdf>.

É hora de descobrir como calcular o campo elétrico pela Lei de Gauss para algumas configurações de cargas. Exemplo 1 (adaptado de Sears et al., 2004, p. 53) Uma carga elétrica é distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo infinito. A carga por unidade de comprimento é definida como λ (densidade de carga) positiva. Calcule o campo elétrico dessa configuração. Resolução: Podemos notar que essa representação se aproxima da distribuição de carga de um fio retilíneo finito, desde que a distância entre o ponto do campo e o fio seja muito menor do que seu comprimento. Para iniciar o cálculo, primeiro você precisa identificar qual o tipo de simetria que a distribuição de cargas permite. Neste caso, o sistema possui simetria cilíndrica. Logo, a superfície gaussiana escolhida será um cilindro de raio r e de comprimento l (observe que o comprimento l da superfície deveria ser bem menor do que o comprimento do fio, se este fosse um fio finito). Como as cargas são positivas, o campo elétrico aponta para fora da superfície. Podemos fazer um esquema da situação para visualizá-la melhor:

E1= E dA E1= 0

Superfície gaussiana

+++ ++++ + + + ++ ++++ ++++

l Figura 18 – Superfície gaussiana cilíndrica coaxial é usada para a determinação do campo elétrico produzido no exterior de um fio carregado, infinitamente longo. Fonte: Sears et al. (2008, p. 54).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Perceba que as linhas de campo elétrico do fio retilíneo infinito uniformemente carregado são radiais e estão contidas em planos perpendiculares ao fio. Assim, o módulo do campo elétrico só pode depender da distância radial entre o ponto e o fio. Observe que existem três regiões em nossa superfície cilíndrica: o cilindro que envolve o fio e as duas laterais (tampas do cilindro). Como sabemos que o fio é infinito, todas as linhas de campo elétrico são perpendiculares ao fio, logo, não há nenhuma componente do campo elétrico gerando fluxo nas superfícies laterais. Resta determinar o campo elétrico sobre a superfície cilíndrica ao redor do fio. Observe a Lei de Gauss para lembrar quais informações você precisa determinar:

Queremos saber a intensidade do campo elétrico En sobre a superfície. Como ele possui um valor constante, podemos tirá-lo do procedimento de integração. Observe:

Falta determinar a área total da superfície, que será a soma de cada elemento de área dA. Essa soma é dada pela integral sobre a superfície fechada dos elementos dA

A área da superfície lateral

de um cilindro pode ser obtida multiplicando o comprimento da circunferência do cilindro (2πr) pelo comprimento (l) do cilindro (A = 2πrl). Dessa forma, a expressão se resume a:

A carga interna resultante (Qint) pode ser obtida multiplicando a densidade de carga por todo o comprimento da superfície. Assim, temos: Qint = λl A expressão fica:

Ou seja, o campo elétrico, neste caso, será:

Reescrevendo esse resutado em termos da constante k, teremos:

que é o mesmo resultado obtido quando calculamos utilizando a forma coulombiana. Só que, agora, nosso trabalho foi bem menor. 23

FÍSICA E ELETRICIDADE

Apesar de a Lei de Gauss ser definida em função de uma integral, em muitos casos não será preciso resolver uma integral, pois bastará encontrar uma superfície adequada e uma expressão para o cálculo da área dessa superfície. Imagine realizar o mesmo cálculo utilizando a Lei de Coulomb! Seria bem mais complicado.

Exemplo 2 (Adaptado de Sears et al., 2004, p. 56): Uma carga elétrica positiva (Q) é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P. Resolução: A situação apresentada possui simetria esférica. Então, a superfície gaussiana escolhida será esférica e concêntrica à distribuição de cargas. Neste caso, o campo elétrico será radial para fora da superfície e normal à área da superfície. Vamos escolher uma superfície esférica de raio r no interior do isolante esférico. Como vimos no exemplo 1, podemos calcular a área da superfície gaussiana de raio r sem precisa resolver a integral. Observe o esquema da situação:

Isolante esférico

P R

Superfície gaussiana Figura 19 – Superfície gaussiana esférica de raio r, em que ρ é a densidade volumétrica de carga. Fonte: Adaptado de Sears et al. (2008, p. 56).

A área da superfície gaussiana será A = 4πr2. Dessa forma, a Lei de Gauss pode ser escrita como:

A dificuldade será determinar a carga interna (Qint) no interior da superfície gaussiana de raio r. Ela pode ser determinada utilizando a definição de densidade volumétrica da seguinte expressão:

em que o volume da esfera é

. O volume da superfície gaussiana é dado por:

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

A carga Qint no interior da superfície gaussiana pode ser determinada da seguinte forma:

Substituindo esse resultado na expressão da Lei de Gauss no início da resolução, teremos:

Dessa forma, obtemos uma expressão que determina o campo elétrico em uma superfície gaussiana no interior de um isolante esférico. A carga total Q e o raio da esfera carregada foram disponibilizados no enunciado. Já o valor numérico do raio r da superfície gaussiana foi escolhido por nós para a resolução do problema: o importante é que ele seja menor que o raio R. Assim, podemos determinar qualquer campo elétrico no interior de um isolante esférico carregado com carga Q e raio R. Basta substituir os valores na expressão obtida. Se desejássemos obter o valor do campo elétrico fora da esfera carregada, bastaria escolhermos um valor para o raio r da superfície gaussiana maior do que o raio da esfera carregada R. Nesse caso, a carga interna Qint seria igual à carga total da esfera carregada. A expressão para determinar o campo elétrico seria:

Se estivéssemos tratando de uma superfície condutora, o campo elétrico em qualquer ponto de seu interior seria zero, pois toda a carga estaria distribuída nas extremidades do condutor devido à repulsão elétrica entre as cargas. Já para um ponto fora da superfície condutora, a expressão seria a mesma que a obtida anteriormente:

em que o raio r da superfície gaussiana deve ser maior do que o raio R do condutor. Com esse exemplo, finalizamos nossa primeira aula, na qual você estudou conceitos importantes que fundamentam todo o conhecimento sobre fenômenos elétricos.

FÍSICA E ELETRICIDADE

CONCLUSÃO Nesta aula, você viu um conceito de base do eletromagnetismo: a carga elétrica. Você estudou que cargas elétricas podem ser positivas e negativas, e são múltiplas inteiras da carga elétrica fundamental e = 1,6 x 10–19C. Relacionados às cargas elétricas, estão os processos de eletrização, responsáveis por diversos fenômenos com os quais nos deparamos no dia a dia: eletrização por atrito e eletrização por indução. Você ainda estudou que as cargas elétricas produzem uma perturbação no espaço, chamado de campo elétrico, que pode ser representado pelas linhas de força. Esse campo produz uma força em outras cargas elétricas, que pode ser determinada pela Lei de Coulomb ou pela Lei de Gauss. Por exemplo, se desejássemos saber o campo elétrico próximo da superfície terrestre, bastaria termos informações sobre a distribuição de carga na superfície e poderíamos facilmente determinar o campo elétrico na região desejada. Na próxima aula, você estudará o potencial elétrico. Com base nesses conhecimentos, você estará pronto para aplicar seus estudos na resolução de problemas envolvendo capacitores elétricos, correntes elétricas e circuitos, que serão apresentados em aulas posteriores. Até lá!

AULA 2 POTENCIAL ELÉTRICO

INTRODUÇÃO Na aula 1, você estudou as cargas elétricas e suas características. Você viu que as cargas interagem entre si através do campo elétrico e do sinal da carga, gerando uma força elétrica. Sabemos que o funcionamento de dispositivos eletrônicos, como lâmpadas, depende da existência da energia elétrica. Mas como é possível associar o conceito de energia a cargas elétricas? De que forma isso ocorre? Nesta aula, você verá um dos conceitos que o ajudará a compreender esse problema: o de potencial elétrico. Além de prover a energia que faz funcionar equipamentos eletrônicos, o potencial elétrico está ligado a outro fenômeno interessante: as descargas elétricas (raios) que ocorrem durante as tempestades. Você sabe como ocorrem estes processos? Prossiga a leitura desta e das próximas aulas e você conseguirá as respostas!

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Entender os conceitos de energia potencial, diferença de potencial e potencial elétrico. » » Conhecer o potencial de uma carga pontual e as distribuições de carga. » » Conceituar superfícies equipotenciais. » » Determinar o potencial elétrico de um material condutor. » » Aplicar os princípios estudados em exercícios resolvidos.

1. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Antes de estudar a energia potencial elétrica, vamos retomar o conceito de energia potencial na mecânica, para ajudá-lo a compreender o assunto. Em mecânica, a energia potencial é uma medida de energia relacionada ao estado em que um corpo com massa se encontra dentro de um campo de força gravitacional (por exemplo, dentro do campo gravitacional da Terra). A energia potencial, nesse caso, depende da massa m do corpo, da aceleração gravitacional g e da altura h em que o corpo se encontra no ponto definido como energia potencial zero (ponto mais baixo da trajetória). Matematicamente, ela é definida como: U = m x g x h, em que U representa a quantidade de energia potencial. Para compreender o que ocorre com a energia potencial, observe a figura a seguir. Objeto se movendo em um campo gravitacional uniforme a O trabalho realizado pela força gravitacional é o mesmo para qualquer trajetória de a para b; Wa b = - ΔU = mgh

w = mg h

Figura 13 – Objeto se movendo em um campo gravitacional uniforme. Fonte: Sears et al. (2008, p. 72).

Para que um corpo de massa m seja deslocado de um estado de energia potencial Ua para um ponto de energia potencial Ub, a força do campo gravitacional realiza trabalho sobre o copo. A variação da energia potencial de a → b é ∆U = Ub – Ua. E o trabalho é definido como a integral de linha: , em que é um deslocamento muito pequeno (infinitesimal) ao longo da trajetória a → b e é a força que atua na partícula naquele ponto. Dessa forma, o trabalho realizado pelo campo pode ser escrito como: 28

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Observe que o trabalho necessário para levar o corpo do ponto a ao ponto b será igual à variação da energia potencial do corpo com sinal negativo. Isso porque, como o objeto está caindo, o trabalho ocorre no sentido do campo, portanto, é positivo e, nesse caso, diminui a energia potencial do corpo. Se o objeto fosse arremessado para cima, o trabalho realizado pelo campo gravitacional seria negativo, pois é contrário ao sentido do movimento. No entanto, a variação da energia potencial seria positiva, ou seja, o corpo aumentaria sua energia potencial. Usando as leis da conservação da energia, como a transformação de energia potencial gravitacional (U = m x g x h) em energia cinética (

) em que W = ∆K = –∆U muitos problemas de

mecânica podem ser resolvidos com mais facilidade do que quando se utilizam as Leis de Newton. Você verá que o mesmo conceito pode ser aplicado para fenômenos elétricos.

2. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Vamos agora aplicar a ideia de energia potencial gravitacional a uma carga dentro de um campo elétrico. Podemos entender o potencial como a quantidade de energia que um sistema pode prover para uma carga elétrica. Como você viu na aula 1, uma carga elétrica q dentro de um campo elétrico elétrica determinada por . Observe a figura a seguir. (a) A carga positiva se move no sentido de E: • O campo realiza trabalho positivo sobre a carga. • U diminui. y +

sofre uma força

(b) A carga positiva se move no sentido contrário ao de E: • O campo realiza trabalho negativo sobre a carga. • U aumenta. y +

b +

a + F = q0 E

yb a +

b + yb -

O -

ya -

O -

F = q0 E -

Figura 14 – Uma carga positiva se move dentro de um campo elétrico em (a) no mesmo sentido do campo e em (b) no sentido contrário. Fonte: Sears et al. (2008, p. 72).

Nesse caso, o trabalho W realizado pelo campo, que em (a) é positivo e em (b) é negativo, pode ser determinado pela expressão: , (2.1)

FÍSICA E ELETRICIDADE

em que representa um componente muito pequeno (infinitesimal) do deslocamento da carga em sua trajetória. Se o campo e a trajetória da carga forem paralelos (tiverem a mesma direção), como no caso da figura, o trabalho pode ser escrito simplesmente como: , em que d representa o deslocamento da partícula de a para b. No caso da imagem, o deslocamento é d = ya – yb, então o trabalho será:

Para cada ponto em que a carga se encontra dentro do campo elétrico, está associada determinada quantidade de energia potencial elétrica, dada por:

Sabemos que o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de a para b será igual ao negativo da diferença de potencial elétrico (–∆U). Dessa forma, podemos escrever que:

Você se lembra do exemplo do tópico anterior, de um corpo que se deslocava do ponto a ao ponto b? Com a carga do nosso exemplo, ocorre o mesmo. Se ela fosse negativa, a energia potencial aumentaria quando ela se movesse no sentido do campo e diminuiria se ela se movesse no sentido contrário. Tanto para cargas positivas quanto para negativas, U aumenta se a carga se move no sentido contrário ao da força elétrica e diminui quando a carga se move no mesmo sentido da força elétrica. Esse comportamento se assemelha ao que ocorre com a energia potencial gravitacional (a da Terra, por exemplo), em que um corpo lançado para cima aumenta sua energia potencial – pois se move no sentido contrário ao campo – e diminui sua energia potencial gravitacional quando desce, por se mover no mesmo sentido do campo. A variação da energia potencial elétrica pode ser escrita em função da integral apresentada na expressão (2.1). Como sabemos que W = –∆U, teremos:

Note que a energia potencial é uma característica do sistema carga-campo, devido à interação entre o campo e a partícula carregada dentro do campo. A partir dessa ideia, definimos outro conceito, o de potencial elétrico (ou simplesmente potencial), que depende apenas das características do campo, independentemente da existência de uma partícula carregada no campo. A magnitude do potencial é obtida dividindo a energia potencial elétrica U pela carga q:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Com isso, podemos definir a diferença de potencial (ddp) ∆V pela expressão: (2.2) Podemos entender a ddp, também conhecida como voltagem, como a diferença do potencial elétrico entre dois pontos de um campo elétrico. Sua unidade, no SI, é o volt (V). Como é uma medida da energia potencial por unidade de carga, então: 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 Joule/Coulomb

Ao contrário do que muita gente pensa, a voltagem não é algo que se move através do sistema, e sim uma diferença de energia por carga entre dois pontos. Por exemplo, uma pilha alcalina comum possui a capacidade de prover 1,5 volts de energia para cada carga que irá compor a corrente elétrica.

Quando um agente externo move uma carga elétrica de a até b muito lentamente no sentido contrário à força elétrica, ele realiza trabalho sobre a carga. Assim, o trabalho que deve ser realizado por unidade de carga é (Ua – Ub / q = Va – Vb = Vab) ou, ainda: W = q ∆V Ou seja, o trabalho realizado sobre a carga pode ser determinado pelo produto escalar entre a carga q e a ddp entre os pontos. Agora que você já conhece os conceitos de energia potencial elétrica, potencial elétrico e diferença de potencial elétrico, é hora de estudar o potencial para alguns sistemas de cargas.

3. POTENCIAL ELÉTRICO PARA SISTEMA DE CARGAS PUNTIFORMES Sabemos que uma carga elétrica positiva produz um campo elétrico na direção radial para fora dela, como você estudou na aula 1. Dessa forma, podemos encontrar o potencial elétrico a uma distância r da carga a partir da expressão (2.2). Observe o esquema a seguir.

FÍSICA E ELETRICIDADE

B r dr

θ ds

A r

+ q

Figura 15 – A diferença de potencial entre os pontos A e B depende apenas das coordenadas radiais iniciais e finais. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 752).

Vimos que a expressão (2.2) dá a ddp entre os pontos A e B. Sabendo que o campo elétrico em qualquer ponto do espaço para uma carga puntiforme é

Em que

, podemos reescrever (2.2) como:

Como é o vetor unitário da direção de r, a variação infinitesimal de r é dr. A componente de projetada em é dlcosθ, em que q é o ângulo entre e , como indicado na figura anterior. Então, . Substituindo esse resultado na expressão anterior e rearranjando alguns temos, obtemos: u Resolvendo a integral, obtemos:

Observe que a ddp entre dois pontos A e B depende apenas das coordenadas radiais rA e rB. É conveniente escolher um ponto em que o potencial elétrico é zero (VA = 0) obtido no infinito (rA = ∞). Dessa forma, a expressão anterior fica: (2.3) Essa expressão é chamada de potencial de Coulomb. Ou seja, o potencial devido a uma carga elétrica pontual em determinado ponto depende da distância r dele até a carga. Note que o potencial é

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

máximo (tende a infinito) na carga. Muito longe da carga (no infinito), o potencial é mínimo (tende a zero), ou seja, não há interação entre as cargas. A figura a seguir mostra o potencial V1 de uma carga q1 no ponto P. + q1

P q1 r

V=k

Figura 16 – Potencial da carga q1 no ponto P. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 753).

Para um conjunto de cargas, o potencial pode ser determinado pelo princípio da superposição, ou seja, pela soma do potencial de cada carga no ponto, dado por: . (2.4)

Se um agente externo traz uma carga q0 do infinito ao ponto P, ele realiza um trabalho sobre q0, que pode ser determinado por: W = q0 ∆V Esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema de duas cargas e aparece como energia potencial U quando as partículas estão separadas por uma distância r, como pode ser observado na figura a seguir. F elétrica q0

F mecânica

Figura 17 – Trabalho necessário para trazer uma carga q0 do infinito até um ponto P. Fonte: Tipler e Mosca (2005, p. 76).

FÍSICA E ELETRICIDADE

O trabalho será positivo quando as cargas tiverem mesmo sinal, pois o agente externo age contra a força repulsiva para aproximar as cargas. Se as cargas tiverem sinais opostos, o trabalho será negativo, pois o agente externo age contra a força atrativa. A energia potencial elétrica para esse sistema de duas cargas pode ser determinado da seguinte forma:

Exemplo Potencial elétrico devido a duas cargas pontuais (adaptado de Sears e Jeweet, 2009). A figura a seguir mostra uma carga q1 = 2µC localizada na origem e uma carga q2 = 6µC a 3 metros de distância de q1. Encontre: a) o potencial elétrico total devido a estas cargas no ponto P, x = 4 e y = 0 metros; b) a variação da energia potencial do sistema de duas cargas mais uma terceira carga q3 = 3µC que se move do infinito ao ponto P. y -

y -

- 6.00 µC

3.00m

- 6.00 µC

3.00m +

2.00 µC

4.00m

(a)

(b)

3.00 µC + x

Figura 18 – Configurações de carga do exemplo. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008).

Resposta: a) Como você estudou nesta aula, o potencial elétrico para um sistema de cargas em um dado ponto pode ser obtido pela soma do potencial elétrico de cada carga no ponto (equação 2.4). Assim, teremos:

b) A energia potencial de uma carga que se move do infinito (∆U∞ = 0) ao um ponto P pode ser determinada com ∆U = q0∆V. Assim, temos:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Então, como a energia potencial do sistema diminui, o trabalho realizado pelo agente externo para mover a carga q3 ao ponto P é positivo. Observe que calculamos a mudança na energia potencial do sistema com mudança na posição de q3. Ou seja, como q1 e q2 não sofrem nenhuma mudança no sistema, a energia potencial associada a elas não precisa ser considerada. Caso a três cargas fossem levadas do infinito ao ponto P, aí sim seria necessário somar a contribuição da energia potencial de cada uma delas na variação da energia do sistema. Agora que você já conhece os conceitos relacionados ao potencial elétrico, é hora de entender que é possível calcular o campo elétrico a partir do potencial.

4. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO O campo elétrico e o potencial estão relacionados, como mostra a equação (2.2), que foi apresentada a você no início da aula. Você sabe como podemos calcular o campo elétrico a partir do potencial elétrico? Podemos encontrar a resposta pela relação (2.2), que está na forma integral e pode ser escrita na forma diferencial:

Se o potencial depender apenas de x, então

. Assim, a equação pode ser escrita como: (2.5)

Assim, a componente x do campo elétrico pode ser determinada pelo negativo da derivada do potencial em relação à coordenada x. O mesmo raciocínio se aplica quando o potencial depende de outras coordenadas, como y e z. O campo resultante é a soma das derivadas do potencial em cada uma das coordenadas. Se a distribuição de cargas criar um campo elétrico com simetria esférica, o potencial é função apenas da distância radial r. Assim, a expressão (2.5) se torna: (2.6) Então, se conhecemos a função potencial ou o campo elétrico em uma região do espaço, podemos utilizar um para calcular o outro. Por exemplo, o potencial V dentro de um condutor carregado é constante. A derivada de uma constante é zero, então –dV/dr = 0 logo o campo elétrico será nulo. Geralmente, o potencial é mais fácil de ser calculado, uma vez que é uma função escalar, enquanto o campo elétrico é uma função vetorial. Vamos a seguir descobrir como calcular o potencial elétrico para algumas situações.

FÍSICA E ELETRICIDADE

5. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA No tópico 3, você viu como calcular o potencial elétrico para sistemas envolvendo poucas cargas. Agora você estudará como determinar o potencial elétrico com distribuições contínuas de cargas, como para um anel, um fio, um disco ou uma esfera uniformemente carregada. Adotando o elemento de carga dq, a expressão (2.3) pode ser reescrita como: , em que r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P. Integrando essa expressão, obtemos o potencial V total, devido à distribuição de carga. Assim, temos: (2.7) Note que, a uma distância infinita (r = ∞) da distribuição de cargas, o potencial é zero (V = 0). Então, essa expressão não pode ser utilizada quando existe alguma carga no infinito, como quando há um segmento de reta infinito carregado ou um plano infinito carregado. Agora você verá o cálculo do potencial para alguns sistemas. Exemplo Potencial V no eixo de um anel uniformemente carregado Vamos encontrar uma expressão para o potencial elétrico no ponto P, perpendicular ao eixo central de um anel carregado uniformemente de raio a e carga total Q, como mostra a figura a seguir: dq a2+ x 2

P dE

Figura 19 – Anel de raio a carregado uniformemente com uma carga Q. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Resolução: Note que todas as cargas estão à mesma distância ( ) do ponto P. Dado que o anel está carregado com uma distribuição contínua de cargas, podemos usar a expressão (2.7), como segue:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Perceba que k, a e x são todos constantes, o que restou apenas na integração de dq, que será a própria carga total Q do anel. E qual é o campo elétrico no ponto P? em P possui apenas a componente

Como você estudou na aula 1, por questões de simetria o campo x. Então, podemos usar a expressão (2.5):

Assim, obtivemos o campo elétrico a partir do potencial elétrico para um anel carregado. Exemplo Potencial elétrico para uma linha de cargas finita Uma haste de comprimento l localizada ao longo do eixo x possui uma carga total Q e uma densidade linear de carga λ. Encontre o potencial elétrico no ponto P localizado a uma distância a da origem sobre o eixo y, como mostra a figura a seguir. y P

x x

l Figura 20 – Linha comprimento l com densidade uniforme de carga λ. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Resolução: Como a haste está carregada uniformemente com densidade de carga λ, podemos utilizar a expressão (2.7) na forma diferencial, escrevendo o elemento de carga dq como dq = λdx. Assim, o potencial devido à haste carregada em qualquer ponto pode ser determinado por:

Para encontrar o potencial no ponto P, é preciso integrar a expressão anterior. Como dq está distribuída em todo o comprimento l, a coordenada x varia de 0 até l. A expressão fica:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Sabendo que k e λ são constantes, e que λ = Q/l, integramos a expressão e substituímos os limites de integração:

Observe que, para essa configuração, o cálculo do campo elétrico em P a partir do potencial não seria tão simples, devido à falta de simetria do sistema. Seria preciso determinar o potencial elétrico em função das coordenadas x e y para encontrar os componentes x e y do campo elétrico. Para que ocorram os raios nas tempestades, é preciso que se forme uma diferença de potencial entre as nuvens e a Terra, com intensidade suficiente para romper o que se chama de “ruptura dielétrica” do ar. Assim, o ar se torna condutor de eletricidade e a descarga pode ocorrer. Para entender um pouco mais do assunto, leia o breve artigo escrito pelo professor Marcelo Saba, do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, sobre o que são raios e como eles se formam. O texto está disponível em: <www.sbfisica.org.br/fne/Vol2/Num1/raios.pdf>.

6. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS Existe uma região no espaço dentro de um campo elétrico cujo potencial elétrico é constante, ou seja:

Essa região do espaço é chamada de superfície equipotencial. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são perpendiculares entre si.

O fato de o potencial ser constante não significa que ele seja igual a zero naquela superfície equipotencial.

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

A figura a seguir mostra três configurações de superfícies equipotenciais em campos elétricos de diferentes formatos. Um campo elétrico uniforme produzido por uma folha infinita de carga

Um campo elétrico com simetria esférica produzida por uma carga pontual

Um campo elétrico produzido por um dipolo elétrico - uma carga positiva e outra negativa

Figura 21 – Superfícies equipotenciais (linhas pontilhadas azuis) para três configurações de cargas. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008).

Para as três situações, as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo elétrico em cada ponto.

7. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO PARA UM CONDUTOR CARREGADO Você viu que, se um condutor está carregado, as cargas elétricas se distribuem em sua superfície devido à repulsão elétrica. Você também estudou que o campo elétrico no interior do condutor será zero. Em qualquer ponto da superfície, o campo elétrico será perpendicular a ela. Então, para quaisquer dois pontos sobre a superfície do condutor, a ddp entre eles será zero. Observe a figura a seguir:

A E

Figura 22 – Condutor carregado em equilíbrio eletrostático. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Se o campo é sempre perpendicular à superfície, então sob a superfície será:

. A ddp entre os pontos A e B

FÍSICA E ELETRICIDADE

Qualquer superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático é uma superfície equipotencial. É o caso, por exemplo, da superfície esférica do gerador de Van de Graaff, que você estudou na aula 1. Ainda que o campo elétrico seja nulo em seu interior, o potencial elétrico é constante em qualquer ponto dentro do condutor, sendo igual ao valor da superfície, como mostra o esquema a seguir. + a

+ +

+ R

KeQ r

KeQ R

KeQ r2

c R

Figura 23 – O potencial e o campo elétrico para um condutor carregado em equilíbrio estático. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Como o potencial é constante dentro do condutor, nenhum trabalho é necessário para mover a carga do interior para a superfície. Note também que o potencial cai mais lentamente com a distância quando comparado com o campo elétrico para um ponto fora do condutor.

Para complementar seus estudos, assista ao vídeo da famosa série “O Universo Mecânico”, que fala sobre voltagem, energia e força. O vídeo apresenta algumas analogias e animações que podem melhorar seu entendimento sobre os assuntos estudados: <www.youtube.com/ watch?v=WdtTaojzapg>

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou a energia associada a cargas elétricas imersas em campos elétricos, fazendo uma analogia com a energia associada a corpos com massa imersos em campos gravitacionais. Você viu que a energia potencial elétrica está relacionada com cargas, com o campo elétrico e com o deslocamento que as cargas realizam dentro do campo. Você também viu que, a partir da energia potencial elétrica e da diferença de energia potencial elétrica, é possível construir outros conceitos importantes: o potencial elétrico e a diferença de potencial elétrica (popularmente chamada de voltagem). Após conhecer o potencial e a diferença de potencial para algumas configurações de carga, você viu que o campo elétrico pode ser determinado através do potencial elétrico. Em alguns casos, isso torna os cálculos bem mais fáceis em comparação com o método coulombiano ou com a Lei de Gauss, vistos na aula 1. Em seguida, você conheceu o conceito de superfícies equipotenciais, ou seja, regiões no espaço em um campo elétrico em que o potencial elétrico é constante. Por fim, você verificou que, para um condutor elétrico carregado em equilíbrio eletrostático, a superfície do condutor é uma superfície equipotencial e que, apesar de o campo elétrico ser nulo em seu interior, o potencial elétrico é constante. O conceito de potencial elétrico tem grande valor prático no estudo de circuitos elétricos, como você estudará nas próximas aulas. Você verá, por exemplo, circuitos nos quais haverá uma fonte de energia (como uma pilha) provendo uma ddp ao sistema, gerando uma corrente elétrica. Isso explica o funcionamento de muitos aparelhos que você utiliza no seu dia a dia. Até lá!

AULA 3 Capacitores e Dielétricos

INTRODUÇÃO Você já levou um choque? É o que ocorre quando nos encostamos em objetos carregados eletricamente. Será que é possível controlar a quantidade de carga elétrica a ser armazenada? Como armazená-las melhor? Séculos atrás, os fenômenos elétricos ainda não eram abordados cientificamente, mas constantemente faziam parte de eventos da “nobreza”. Benjamin Franklin relatou em uma de suas cartas que utilizaria fenômenos elétricos para “apimentar” um jantar, eletrizando um peru ao assá-lo em um espeto elétrico, criando a centelha por uma descarga elétrica. Além disso, ele também ofereceria vinho em cálices eletrizados durante o brinde. Agora, imagine um garfo e um prato, feitos de uma liga metálica de estanho, cada um conectado a um polo elétrico de uma pilha (bem maior do que as pilhas atuais que você conhece). Assim, o garfo ficaria carregado com uma carga e o prato com a oposta. Quando o talher fosse encostado em um pedaço de comida, a aproximação das cargas em cada utensílio provocaria uma descarga elétrica, atravessando o alimento. Por fim, ao beber o vinho do cálice eletrizado, a pessoa levaria um choque, pois seria o meio por onde as cargas se deslocariam até o chão.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Por que ocorreria a descarga somente ao aproximar os utensílios? A espessura do alimento afetaria o efeito? E se outros materiais estivessem envolvidos? A tensão da pilha influenciaria o processo de descarga elétrica na comida? Apesar da bizarrice desses eventos históricos, estudar para responder a essas perguntas é um caminho para entender capacitores. Vamos lá!

OBJETIVOS » » Compreender o uso de capacitores. » » Conceituar capacitância. » » Calcular a energia armazenada em circuito. » » Analisar a aplicação de capacitores em circuitos. » » Conceituar dielétricos. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CAPACITORES O primeiro capacitor ficou conhecido como Garrafa de Leiden (veja a figura a seguir), que consistia em uma garrafa de vidro (C) revestida externamente por uma lâmina metálica (B). Havia também uma haste metálica que atravessava a tampa, ficando com uma extremidade dentro e outra fora da garrafa. Ao encostar a extremidade externa da haste em alguma máquina eletrostática, ocorria um acúmulo de carga elétrica, que poderia ser descarregada posteriormente ao segurar simultaneamente na haste e no revestimento metálico. A garrafa era preenchida com água (A), mas será que isso era mesmo necessário? Preste bastante atenção nesta aula. Até o final, você será capaz de responder a essa pergunta.

Figura 24 – Garrafa de Leiden, composta de (A) água, (B) revestimento metálico, (C) jarro de vidro e uma haste metálica. Fonte: Shutterstock (2014).

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Assista ao vídeo <www.youtube.com/watch?v=0H4riTHtUnI> e saiba como fazer uma Garrafa de Leiden caseira. Mas atenção! Cuidado para não levar um choque!

Dispositivos como esse, conhecidos como capacitores, têm a finalidade de armazenar cargas elétricas, de forma que possam ser utilizadas posteriormente. Para isso, eles agrupam cargas iguais em diferentes partes componentes do dispositivo, de forma que ainda se mantenha a ddp (ou tensão elétrica) do sistema (veja na figura a seguir a marcação dos polos). Afinal, sem tensão elétrica, não há como descarregar o capacitor, ou seja, não seria possível reutilizar a carga elétrica armazenada.

Figura 25 – Capacitores dourados em destaque num circuito elétrico. Note que os capacitores menores possuem um valor em destaque (22 e 47) cuja unidade é “µF”. Fonte: Shutterstock (2014).

Você verá a seguir como caracterizar os capacitores em função de sua capacidade em armazenar cargas.

1.1 CAPACITÂNCIA Como a função do capacitor é armazenar certa quantidade de carga elétrica, quanto mais carga elétrica armazenada por tensão elétrica aplicada, melhor. Assim, podemos caracterizar e diferenciar os capacitores com base na quantidade de carga elétrica que será armazenada quando submetidos a uma tensão elétrica. Isso é a capacitância. Chamando a capacitância de C, a carga elétrica de q e a ddp aplicada de ∆V, chegamos a esta definição matemática: (3.1) No SI, a unidade de capacitância é o farad (F), que equivale a Couloumb por volts (C∙V-1). Nos circuitos elétricos comuns, as capacitâncias na ordem de centenas de μFarad (1 µF = 1 x 10-6 F) são mais frequentes. Nos próximos tópicos, você estudará como aplicar essa definição em conjunto com Lei de Gauss - que você viu na aula 1 - para encontrar a capacitância em dois tipos de capacitores.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Para calcular a capacitância de um capacitor qualquer, calcule o campo elétrico e a tensão elétrica entre os componentes carregados e identifique a distribuição das cargas.

1.2 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Começaremos pelo modelo mais simplificado de capacitor, que consiste em duas placas paralelas iguais, mas carregadas com cargas opostas. Na figura a seguir, observe a área A das placas, a distância d de afastamento entre elas, a orientação do campo elétrico e as cargas –q e +q .

A +q

-q Figura 26 – Capacitor formado por duas placas carregadas eletricamente, separadas por uma distância d, gerando um campo elétrico uniforme em seu interior. Fonte: Mannrich (2014).

Aplicando a Lei de Gauss, podemos encontrar uma expressão do campo elétrico para um plano infinito uniformemente carregado, no qual a carga elétrica interna é dada por

Em um capacitor, como as placas estão muito próximas, o campo elétrico entre elas se comporta como em placas infinitas carregadas. Assim, levando em consideração os campos elétricos ( e ) gerados pelas placas, chegamos ao módulo do campo elétrico no interior das placas: (3.2)

O campo elétrico no interior desse capacitor é a soma dos módulos dos campos elétricos gerados individualmente pelas cargas das placas. Os campos se somam no interior e se anulam no exterior.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

O campo elétrico no interior desse capacitor terá a mesma intensidade e será normal à superfície das placas, em quaisquer pontos, somente se assumirmos que as dimensões das placas são infinitamente maiores que a distância de separação entre elas, não esquecendo que são paralelas. Essa abstração é necessária pra aplicar as relações matemáticas presentes nesta aula e facilita o entendimento dos capacitores reais. Sabendo que a densidade de carga em uma das placas é σ = qint / A podemos reescrever a equação 3.2 para encontrar o módulo do campo elétrico produzido em função da carga e da área das placas: (3.3) Para encontrar a capacitância, devemos primeiramente encontrar a ddp (∆V.) Sendo: ∆V = E . d, aplicamos a equação 3.3 nessa relação e obtemos: (3.4) Por fim, basta aplicarmos a equação 3.4 à definição matemática de capacitância (equação 3.1): (3.5)

Perceba que, para encontrar a capacitância, basta conhecer os parâmetros geométricos desse capacitor: a área das placas e a distância entre elas.

Quanto maior a área, ou menor o afastamento, maior será a capacitância, já que mais cargas poderão estar armazenadas para determinada tensão elétrica.

1.3 CAPACITOR CILÍNDRICO Neste tópico, vamos calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico, que se aproxima da Garrafa de Leiden. Podemos entender essa garrafa, de comprimento L, como uma casca cilíndrica de raio a e carga +q, encoberta por uma casca cilíndrica de raio b e carga –q, como mostra a próxima imagem. Note que há uma distância de separação entre ambos os cilindros (equivalente à subtração entre os raios b e a), que são coaxiais.

FÍSICA E ELETRICIDADE

-q

Figura 27 – Capacitor formado por uma casca cilíndrica de comprimento L. Fonte: Mannrich (2014).

Aplicando a Lei de Gauss, com uma superfície cilíndrica de raio r entre as cascas, deduzimos que o módulo do campo elétrico é:

Sendo λ a densidade de carga (

, reduzimos a equação para: (3.6)

A diferença de potencial interna será: h

(3.7) Assim, a equação 3.1 para o capacitor cilíndrico se torna:

(3.8) Assim como no caso das placas paralelas, a capacitância depende somente da geometria do dispositivo. Quanto mais próximo de zero for a razão b/a, maior será a capacitância.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

1.4 CAPACITOR ESFÉRICO O capacitor esférico tem uma estrutura semelhante à do capacitor cilíndrico. A diferença é que ele é formado por cascas esféricas concêntricas. Avaliar essa configuração pode ser útil no entendimento de fenômenos atmosféricos, em situações em que a superfície terrestre e as camadas da atmosfera possam ser comparadas a esferas carregadas eletricamente. Isso ocorre, por exemplo, ao estudar as descargas elétricas na atmosfera e o surgimento e funcionamento da ionosfera.

a +q

-q

Figura 28 – Capacitor formado por cascas esféricas de raios a e b. Fonte: Mannrich (2014).

Em um capacitor esférico com uma esfera interna de raio a e carga +q e uma externa com raio b e carga –q, o campo elétrico será:

E=k

q (3.9) r2

E a diferença de potencial, por sua vez, é:

 b − a  (3.10) ∆V = kq    ab  Aplicando na equação 3.1, obtemos a capacitância:

(3.11) Como nos casos anteriores, são os parâmetros geométricos do capacitor esférico que podem alterar a sua capacitância. No entanto, aumentar somente o raio da esfera b fará com que a capacitância diminua. Como a subtração b – a é a distância entre as esferas carregadas, verificamos novamente que, quanto menor a distância, maior será a capacitância. 49

FÍSICA E ELETRICIDADE

Exemplo: a) Compare a capacitância de um capacitor esférico em relação a um cilíndrico, considerando que os raios internos e externos (a e b) são iguais para ambos e que a altura L do capacitor cilíndrico tenha o mesmo valor que b. Considere a = 20 cm e b = 20,1 cm. b) Depois, compare a capacitância da Terra, que vale 710 μF, com a desse capacitor esférico. Resolução: a) Primeiro, vamos comparar a capacitância dos capacitores esférico e cilíndrico de mesma dimensão. Para o capacitor cilíndrico:

Para o capacitor esférico:

Dividindo a capacitância do capacitor esférico pela do cilíndrico, para fazer a comparação, obtemos:

Simplificando os termos:

Isso significa que a capacitância do capacitor esférico é duas vezes maior que a do cilíndrico equivalente em dimensões. b) Comparando a capacitância do capacitor esférico com a da Terra:

Em suma, a capacitância terrestre é cerca de 160 mil vezes maior que a do capacitor esférico de 20 cm de raio.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

1.5 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR Como podemos descrever e calcular a energia elétrica armazenada em um capacitor? O armazenamento de energia elétrica, neste caso, ocorre da mesma forma que armazenar água ou pedras em algum recipiente? É possível retirar e inserir energia elétrica de um sistema com a mesma facilidade que água de uma garrafa? O que sabemos até o momento é que podemos armazenar certa quantidade de carga elétrica em capacitores, diante de uma diferença de potencial elétrico, e que as cargas geram um campo elétrico entre os componentes do dispositivo. Portanto, devemos buscar a partir desses parâmetros uma definição de energia elétrica em um capacitor. Se um capacitor está carregado com uma quantidade q de carga, a uma diferença de potencial ∆V, quanto de trabalho um gerador elétrico deve realizar para carregar o capacitor com uma quantidade dq? Lembre-se de que ∆V pode ser escrito como q/C, em que q é a carga submetida a ∆V. Podemos escrever o trabalho, que você viu na aula 2, como:

No caso de carregar completamente um capacitor, o trabalho será:

q2 (3.12) W= 2C Esse trabalho será transformado em energia potencial elétrica (W = Uel). Portanto, a energia armazenada no capacitor, em função da capacitância e carga elétrica, é:

U el =

q2 (3.13) 2C

Utilizando a equação 3.1, podemos reescrever a energia potencial elétrica como:

U el = ou

1 q∆V (3.14) 2

1 U el = C ⋅ ∆V 2 (3.15) 2

Qualquer um dos capacitores apresentados nesta aula terá sua energia elétrica definida pelas equações anteriores. Então, partindo da diferença de potencial, podemos relacionar a energia potencial em função do campo elétrico no capacitor. Vamos demonstrar como aplicar essa ideia ao capacitor de placas paralelas. O resultado, no entanto, também se aplica aos demais. Aplicando a equação 3.5 e ∆V = E∙d na equação 3.15, obtemos:

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(3.16) Considerando que o produto entre a área A e a distância d entre as placas é o volume em que o campo elétrico está distribuído, chegamos à relação de densidade de energia (u):

(3.17)

2. DIELÉTRICOS Nos cálculos anteriores, utilizamos a constante ε0, que você viu na aula 1, para determinar a capacitância. Ela representa a permissividade no vácuo. Também concluímos o quanto a geometria é determinante na capacitância. E se a permissividade ε for alterada? O que acontece se montarmos um capacitor com placas separadas por ar, água ou vidro, por exemplo? Ar e vácuo possuem uma permissividade muito próxima e, consequentemente, a alteração de um pelo outro afetaria pouco a capacitância. Contudo, a permissividade da água pode ser 80 vezes maior que a do vácuo, e a do vidro seria até 10 vezes maior. Esses materiais que preenchem os capacitores são chamados de dielétricos, e o fator relativo ao vácuo se chama constante dielétrica (κ - letra grega Kappa). Em outras palavras, existe um fator relativo entre a permissividade dos materiais e do vácuo, que multiplica a capacitância do capacitor. Matematicamente, representamos por:

(3.18) Esse aumento na capacitância surge pela reorientação dos dipolos elétricos (moleculares, em sua maioria) que compõem o material. Sem agentes externos, os dipolos elétricos estão aleatoriamente orientados, de modo que o campo elétrico gerado por eles é nulo. Quando se aplica um campo elétrico externo sobre o material dielétrico, os dipolos se alinham às linhas do campo. Entretanto, os polos positivos dos dipolos estarão apontados para a componente negativa do capacitor, ou seja, os dipolos gerarão um campo elétrico contrário ao do capacitor. No interior do dielétrico, os campos elétricos dos dipolos vizinhos se anulam, mas, nas superfícies próximas às placas do capacitor, não há nenhum dipolo anulando o outro. Surgirá um campo elétrico oposto, atraindo as cargas do capacitor, e, assim, o preenchimento com o dielétrico permite manter a mesma quantidade de carga elétrica com uma diferença de potencial menor. Resumindo, a polarização oposta ao capacitor na superfície do dielétrico produz uma redução na diferença de potencial e, consequentemente, um aumento na capacitância do dispositivo. Estudando as equações expostas até aqui, você pode pensar que, quanto maior a tensão elétrica, mais energia elétrica o capacitor armazenará, certo? Isso seria excelente, se não fosse a natureza e suas limitações.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Os capacitores da figura a seguir mostram a inscrição 16V e 22 µF. Essa diferença de potencial é a máxima que ele suporta. Isso ocorre porque aumentar a tensão acumulará mais carga, mas o campo elétrico pode ser tão intenso que as cargas se deslocariam diretamente entre as placas, rompendo o dielétrico.

Figura 29 – Capacitores em um circuito. Fonte: Shutterstock (2014).

Agora que você conhece os capacitores e os dielétricos, pense novamente no jantar “elétrico” proposto por Benjamin Franklin. Consegue responder às questões colocadas na introdução? Se você pensar no prato e no talher como placas opostas de um capacitor, o alimento seria o dielétrico. De modo análogo, no caso do cálice de vinho, a pele do lábio da pessoa e a taça são as placas do capacitor e o ar é o dielétrico. Em ambos os casos, a descarga ocorreria com a aproximação das cargas. Assim, o campo elétrico aumentaria a ponto de as cargas serem ejetadas entre as “placas” e atravessarem o dielétrico. A mudança no tipo de utensílio poderia afetar a capacitância e o alimento afetaria a constante dielétrica. Que tal tentar aplicar o mesmo raciocínio para responder se a Garrafa de Leiden realmente precisa ser preenchida com água?

3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Olhando algumas imagens desta aula, você deve ter percebido que os capacitores não ficam isolados em um circuito. Normalmente, eles estão acompanhados de outros. Você consegue imaginar como eles estão interligados? Como isso pode ajudar no armazenamento de energia elétrica? Em um circuito, como será abordado a seguir, tanto a fonte elétrica quanto os capacitores serão representados simbolicamente em esquemas. Verifique na figura a seguir que o símbolo representativo do capacitor (A) se assemelha ao de uma bateria ou fonte (B). No entanto, o símbolo de (B) são duas barras de tamanhos diferentes, enquanto o de (A) são duas barras iguais.

Figura 30 – Símbolos representativos para (A) capacitor e (B) fonte. Fonte: Mannrich (2014).

Estudaremos nesta seção quais são as maneiras de associar capacitores em um circuito, assim como as consequências disso no armazenamento de cargas e energia elétrica.

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Preste atenção na distribuição de carga nos capacitores e na diferença de potencial entre os terminais e encontre o que será somado ou constante no circuito.

3.1 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO A associação em paralelo ocorre quando os capacitores estão submetidos à mesma diferença de potencial. No esquema da figura adiante, os terminais das placas dos capacitores C1 e C2 estão conectados diretamente aos terminais da fonte. As placas superiores estão carregadas positivamente, enquanto as inferiores, negativamente. Concluímos que a diferença de potencial em cada capacitor é a mesma, mas a distribuição de cargas dependerá da capacitância de cada um. Note que: » » C1 e C2 estão submetidos à mesma ∆V; » » a carga total armazenada no circuito é a soma da carga dos capacitores.

∆V

q1 q1

q2 q2

Figura 31 – Esquema de associação em paralelo dos capacitores C1 e C2, que armazenam, respectivamente, as cargas q1 e q2. Fonte: Mannrich (2014).

Assim, estabelecemos as seguintes relações matemáticas para o circuito:

qT = q1 + q2 (3.19) ∆V = ∆V1 = ∆V2 (3.20) Aplicando a equação 3.1 na 3.19 e substituindo as variáveis com base na equação 3.20, obtemos:

qT = (C1 + C2 )∆V (3.21) Podemos afirmar, portanto, que há uma capacitância equivalente quando se associam os capacitores. No nosso exemplo, é:

Ceq = C1 + C2 (3.22) 54

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Na sua forma geral, para n capacitores em paralelo, a relação pode ser expressa como:

ou na forma reduzida: (3.23)

A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo equivale à soma das capacitâncias de cada um.

3.2 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE Na associação em série, os terminais dos capacitores estão conectados entre si e os extremos, à fonte elétrica, como mostra a próxima imagem. Quando submetidos à diferença de potencial elétrica da fonte, as placas diretamente conectadas aos polos serão carregadas na mesma quantidade, mas com cargas opostas. Essa diferença de potencial aplicada está dividida entre os capacitores, que demandarão mais ou menos tensão para armazenar a mesma quantidade de carga. Note que: » » as cargas são idênticas nos capacitores em série; » » a diferença de potencial será diferente para cada capacitor. Juntas, as diferenças de potencial de cada capacitor equivalem à da fonte.

C1 q

C2 q

∆V

Figura 32 – Esquema de associação em série dos capacitores C1 e C2, que armazenam uma carga q. Fonte: Mannrich (2014).

Sabendo das relações 3.19 e 3.20 e aplicando novamente a equação 3.1 e, em seguida, a 3.23, obtemos:

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1 1 1 (3.24) = + Ceq C1 C2 Na sua forma geral, para n capacitores em série, a fórmula pode ser expressa como:

ou na forma reduzida: (3.25)

O inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em série equivale à soma dos inversos das capacitâncias de cada um.

Exemplo: Um eletricista realizou testes com a mesma ddp (14V) para montar um circuito com 3 capacitores diferentes (C1 = 5 μF; C2 = 10 μF; C3 = 20 μF). Primeiro, ele montou um circuito em série. Depois, os mesmos capacitores foram arranjados em paralelo. Calcule para cada tipo de circuito: a capacitância equivalente, a quantidade de carga armazenada no capacitor C3 e a ddp à qual o capacitor C2 estará submetido. Resolução: a) Circuito em série Cálculo da capacitância equivalente:

1 4 + 2 +1 = ⇒ Ceq 20 ×10−6

= 2, 86

Para calcular a carga no circuito em série, lembre-se de que o valor é o mesmo para qualquer capacitor componente do circuito. Portanto, basta encontrar a carga total com base na capacitância calculada anteriormente e na ddp de 14V:

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Para descobrir a tensão a que opera o capacitor C2, utilize o valor da carga anterior e da sua capacitância:

b) Circuito em paralelo Cálculo da capacitância equivalente:

Como a ddp é a mesma para todos os capacitores, C2 estará submetido diretamente aos 14 V. Essa informação facilita o cálculo da carga para C3:

Com este exemplo, finalizamos a terceira aula. Nas próximas aulas, você estudará situações em que as cargas elétricas estão em movimento, a partir dos conceitos de corrente e resistência elétrica. Em seguida, você verá alguns circuitos simples, que utilizam fontes de ddp, capacitores e resistores. Até lá!

CONCLUSÃO Nesta aula, caracterizamos o capacitor como um dispositivo capaz de armazenar energia elétrica devido ao campo elétrico que ele mantém ativo. Você estudou alguns capacitores, como de placas paralelas, cilíndricos e esféricos. Você também viu que a capacitância depende das características geométricas do capacitor e também do material que separa as superfícies condutoras. Você também aprendeu como a energia potencial elétrica é armazenada em um capacitor e como determinar o seu valor. Ao destacarmos a energia elétrica em função do campo elétrico gerado pelo capacitor, apresentamos a você o conceito de densidade de energia. Você viu o conceito de dielétricos, que são os materiais que preenchem os capacitores, isolando as placas, e que aumentam a capacitância do capacitor devido à polarização em sua superfície. Lembrese de que a capacitância, nesse caso, aumenta por um fator κ (constante dielétrica) em relação à capacitância no vácuo. Você também verificou que há duas formas de associar os capacitores: em série e em paralelo. Agora, você está pronto para estudar os circuitos elétricos, que utilizam dispositivos como os capacitores e os resistores. Até a próxima aula!

AULA 4 Corrente Elétrica e Resistência Elétrica

INTRODUÇÃO Até agora, você estudou conceitos importantes, como carga elétrica, campo elétrico, energia potencial elétrica, potencial elétrico e diferença de potencial elétrico. Viu que uma carga elétrica dentro de um campo elétrico sofrerá uma força F = qE e que a diferença de potencial, ou ddp, está associada a quanta energia uma fonte - por exemplo, uma pilha - pode prover para cada carga do sistema. Na maior parte do tempo, nossa discussão se deu em torno de situações em que as cargas permanecem em repouso, ou seja, fenômenos eletrostáticos. Com base nesses conceitos, você estudou que a ddp entre as nuvens e a Terra é responsável por gerar descargas elétricas durante as tempestades. Tal descarga gera uma corrente elétrica, e sua energia se transforma em som (trovão), luz (raio) e calor, o que assusta muita gente, com razão. Mas o que é corrente elétrica? É possível aproveitar essa energia para ligar circuitos elétricos? Como isso pode, de fato, prover energia para equipamentos eletrônicos? A partir de agora, você estudará detalhadamente sistemas em que as cargas elétricas estão em movimento. Você verá que é graças a este movimento que os dispositivos eletrônicos recebem energia para funcionar. Vamos lá!

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Dominar os conceitos de corrente elétrica, resistência, Lei de Ohm e força eletromotriz (fem). » » Entender a relação entre energia elétrica e potência (Efeito Joule). » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CORRENTE ELÉTRICA Em um circuito fechado, como o da figura a seguir, o movimento ordenado de cargas elétricas gera uma transferência de energia elétrica, que pode ser armazenada, por exemplo, em uma bateria de celular, ou convertida em outras formas de energia, como a sonora, térmica, mecânica, luminosa etc. A esse movimento ordenado de elétrons chamamos de corrente elétrica. A corrente pode ser de dois tipos: alternada ou contínua. A primeira varia seu sentido com o tempo, enquanto a segunda tem seu sentido constante ao longo do tempo. Nesta aula, iremos considerar os efeitos e fenômenos de correntes continuas, embora, em alguns casos, possam ser estendidos com facilidade para a corrente alternada.

sentido convencional

sentido real

Figura 33 – Circuito fechado. Fonte: Sears et al. (2008, p. 137).

Você estudou, na aula 1, que os materiais possuem caraterísticas distintas e são classificados como condutores ou isolantes (dielétricos). Em geral, os metais são bons condutores de eletricidade. Ao se estabelecer uma ddp entre dois pontos no condutor, surgirá um campo elétrico , estacionário e constante, em seu interior. Dessa forma, os elétrons são submetidos a uma força, , fazendo com que migrem no sentido oposto ao campo aplicado, como mostra a figura a seguir. Trajetória do elétron sem o campo E. O movimento do elétron é caótico.

Material condutor sem o campo E interno

P1 P2

Va ∆t

P2‘

Trajetória do elétron com o campo E. O movimento é em grande parte caótico, porém...

... o campo E resulta em um deslocamento ao longo do fio.

Material condutor com o campo E interno E

F = qE

Um elétron possui carga negativa q, portanto a força que atua sobre ele em função do campo E está no sentido contrário ao de E.

Figura 34 – Corrente elétrica em um condutor quando aplicado um campo elétrico. Fonte: Sears et al. (2008, p. 136).

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Foi convencionado que o sentido da corrente elétrica, chamado de corrente convencional, se dá no sentido do movimento de cargas positivas, e é indicado pela letra I. Já o sentido real é aquele em que os elétrons se deslocam. +

+ + +

Va Va Va +

+ +

Va Va

Figura 35 – (a) Sentido da corrente convencional e (b) da corrente real. Fonte: Adaptado de Sears et al. (2008, p. 137).

Define-se matematicamente a corrente elétrica como a quantidade de carga ∆Q que atravessa a seção transversal de um fio com área A em determinado tempo: (4.1) Se a corrente for constante em um intervalo de tempo ∆t, a carga que passa por essa seção entre os tempos t + ∆t pode ser obtida pela integral da carga no intervalo de tempo: (4.2) Considere uma corrente convencional atravessando um condutor. Como todas as partículas estão submetidas à mesma força , todas possuem a mesma velocidade. Imagine, então, uma seção transversal reta em um fio cilíndrico, atravessada por certa quantidade n de carga em determinado tempo, como você pode verificar na imagem a seguir. + + +

dQ Corrente I = _ dt Figura 36 – Quantidade de carga dQ atravessando a área A. Fonte: Sears et al. (2009, p. 137).

No Sistema Internacional (SI), a unidade de corrente é o Coulomb por segundo (C/s), que é denominada de Ampère (A).

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Acabamos de analisar a corrente elétrica atravessando um fio condutor com seção transversal constante, ou seja, com diâmetro que não varia ao longo de seu comprimento. Se fizermos a conexão entre dois fios de espessuras diferentes, como isso afeta a corrente elétrica? Digamos que um fio com diâmetro de 4 mm está conectado a uma lâmpada cujo filamento possui diâmetro de 0,5 mm. Como as cargas se conservam, o mesmo número de cargas deve atravessar ambos os fios (o de 4 mm e o de 0,5 mm). Como as áreas A das seções transversais são diferentes, podemos concluir que, no fio menor, há menos espaço entre essas cargas. Essa distribuição das cargas em movimento ordenado é definida como densidade de corrente J, dada por: (4.3) Sua unidade é Ampère/metro quadrado (A/m2). A corrente pode ser escrita como: I=J.A Como nem sempre J é perpendicular à área A, podemos definir a corrente que passa através de uma sessão transversal de área A integrando sua correspondente microscópica, que é o vetor . Então: , em que é o vetor unitário normal à superfície A e dA é a componente infinitesimal da área A, como esquematizado na figura a seguir.

J θ n̂. dA Figura 37 – Densidade de corrente formando um ângulo θ com o vetor normal à área. Fonte: Mannrich (2014).

Também podemos expressar uma corrente com base na velocidade das cargas que se movem. Considere um circuito fechado em que não exista um campo elétrico aplicado. O movimento das cargas é da ordem de 106 m/s, e é aleatório, de modo que o fluxo de cargas que atravessam uma seção reta transversal de área A é sempre 0, como mostra a figura adiante. Quando aplicado o campo elétrico, aparecerá uma resultante de velocidade vd no sentido do campo, pois as partículas estão sujeitas a uma mesma força. Essa velocidade é denominada velocidade de deriva.

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

(a)

(b)

Figura 38 – (a) Resultante da velocidade é zero. (b) Resultante da velocidade é Vd. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 810).

Imagine agora determinado elemento de volume ∆V com uma concentração n de partículas, atravessando uma seção reta transversal de área A, como apresentado na figura a seguir.

Vd A q

Figura 39 – Segmento de um condutor uniforme com seção transversal de área A. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 810).

Em um intervalo de tempo ∆t, as partículas se deslocam certa distância ∆x, que pode ser determinada multiplicando a velocidade de deriva pelo tempo (∆x = vd.∆t). Então, o volume V deslocado é a área A multiplicada por essa distância ∆x, (V = A.vd.∆t) e o número de partículas no seu interior é (n.A.vd.∆t). Se cada partícula possuir uma carga q, a carga Q total que passa por essa seção em um intervalo (∆t) é dada por: ∆Q = q(n . A . vd . ∆t) Dividindo os dois lados por ∆t, fica:

Como

, então: I = q . n . A . vd

Portanto, a equação anterior é a corrente elétrica em função da carga q, da concentração de partículas n, da área A e da velocidade de deriva vd. Vamos escrever a densidade de corrente em função de velocidade de deriva vd usando a equação 4.3:

FÍSICA E ELETRICIDADE

(4.4) Como adotamos o sentido convencional para a corrente elétrica, podemos reescrever a densidade de corrente J e a corrente I com o valor absoluto da carga |q|, assim: (4.5)

(4.6) Dessa forma, definimos um vetor densidade de corrente que inclui o sentido da velocidade de deriva. Exemplo 1 Um fio possui raio de 2,04 mm. Está conectado a uma lâmpada de 100 W e conduz uma corrente de 1,67 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5 x 1028 elétrons/metro3. Calcule: a) o módulo da densidade de corrente; b) o modulo da velocidade de deriva. Resolução a) conhecemos a corrente e as dimensões do fio. Primeiro temos de determinar a área da sessão transversal dada por A = πr2: A = 3,14 (2,04 x 10-3 m)2 A = 1,31 x 10-5 m2. Como já temos a corrente, que é 1,67 A, podemos encontrar a densidade de corrente com a equação 4.3:

b) Vamos determinar a velocidade de deriva utilizando a equação 4.6. A carga do elétron é e = 1,6x10-19C Então:

Observe que a velocidade de deriva do elétron é muito baixa. Reflita: com essa velocidade, quanto tempo o elétron levaria para percorrer um fio com 2 m de comprimento? Então, como explicar o fato de que, quando acionamos um interruptor elétrico, a luz acende quase instantaneamente? No próximo tópico, você conhecerá o Efeito Joule, gerado pela corrente elétrica.

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

2. LEI DE OHM E RESISTÊNCIA ELÉTRICA O físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854), ao estudar o comportamento de um material condutor quando atravessado por uma corrente, observou que, para alguns materiais a determinada temperatura, é quase diretamente proporcional a ( ∞ ). Ou seja, se aumenta, também amenta de forma proporcional. Dessa forma, a razão entre seus módulos ( / ) permanece constante. Essa relação é chamada de Lei de Ohm. Matematicamente, define-se resistividade elétrica de determinado material como: (4.7) A resistividade elétrica (ρ) pode ser entendida como a dificuldade que as cargas têm de percorrer determinado material. Na situação apresentada, e são proporcionais, e a equação (4.7) é uma interpretação microscópica da Lei de Ohm. As características intrínsecas dos materiais, como a forma da estrutura atômica, influenciam a passagem de corrente. A determinada temperatura, cada material tem resistividade diferente, tais como alumínio (ρ = 2,75 x 10–8Ω.m), cobre (ρ = 1,72 x 10–8Ω.m), madeira (ρ varia de 108 a 1011Ω.m). Vamos obter a relação macroscópica da Lei de Ohm a partir a equação (4.7). Considere uma diferença de potencial entre dois pontos de um fio (∆Va,b), quando aplicado um campo elétrico constante. Potencial menor

A corrente flui do potencial maior para o potencial menor Potencial maior

L E

J A

V = diferença de potencial entre as extremidades

Figura 40 – Condutor com seção reta uniforme. A densidade de corrente é uniforme em qualquer seção reta e o campo elétrico é constante ao longo do comprimento. Fonte: Sears et al. (2008, p. 141).

A corrente nesse condutor é I = J . A e a diferença de potencial é V = E . L . Utilizando essas relações e a expressão (4.7), é possível mostrar que:

A razão entre V e I denomina-se resistência elétrica R, dada por: (4.8),

FÍSICA E ELETRICIDADE

que representa a resistência à passagem de corrente elétrica em função de grandezas macroscópicas do fio, como: resistividade (ρ),comprimento L e área de sua seção transversal A. A unidade de resistência no SI é o Ohm (Ω), que é equivalente a um Volt por Ampère (1 Ω = V/A). Quanto maior for o comprimento do fio, maior será a resistência. E quanto maior for a sua área de seção transversal, menor será a resistência. Essa equação engloba resistores ôhmicos ou não ôhmicos, pois, ρ também pode variar se a temperatura do resistor mudar, como veremos mais adiante. Para utilizar a Lei de Ohm, porém, obrigatoriamente ρ deve ser constante. Em instalações elétricas, normalmente usamos fios mais grossos - com área de seção transversal maior quando uma corrente maior percorre o fio. Um exemplo é o cabo que liga uma residência à rede elétrica na rua. Fios assim oferecem menor resistência, logo, têm menor perda de energia, algo fundamental já que, nesse cabo, passará toda a corrente elétrica que os aparelhos da casa consomem. A resistência elétrica possui varias aplicações. Você sabe por que o seu chuveiro elétrico libera água quente? É porque ele possui um fio que gera grande resistência à passagem de corrente elétrica, aquecendo o material e, consequentemente, a água que passa por ele. As lâmpadas incandescentes também precisam de resistência para funcionar. Elas têm um filamento de tungstênio que, quando aquecido pela passagem de corrente elétrica, brilha, gerando a luz. Outro exemplo são os circuitos elétricos, em que existem dispositivos chamados de resistores, utilizados principalmente para controlar a corrente. De maneira simplificada, podemos pensar que, quando cargas fluem no interior do material, elas se chocam com íons que compõem o material. Esses choques acabam fazendo com que os elétrons percam energia para os íons, fazendo-os vibrarem mais, aumentando a temperatura do material e a probabilidade das colisões. Para determinados intervalos de temperatura, alguns resistores podem se comportar segundo a Lei de Ohm. Quando esse efeito afeta a resistividade ρ do material, e, consequentemente, aumenta sua resistência R, dizemos que o resistor é não ôhmico. A relação que descreve esse efeito é: ρ = ρ0 (1 + α (T - T0)), em que ρ0 é a resistividade do material à temperatura T0, T é a temperatura com a qual se deseja determinar a resistividade, e α é a constante de resistividade de temperatura, que determina a intensidade da alteração da resistividade do material com a variação da temperatura. Por exemplo, para o alumínio, α = 0,0039ºC–1 e, para o cobre, α = 0,00393ºC–1. As cargas fluindo no mesmo sentido de estão indo de uma região de maior potencial para uma de menor potencial. A Lei de Ohm está relacionada ao comportamento de ρ. Quando ρ for constante, a corrente elétrica I será proporcional à diferença de potencial V, e podemos escrever: V = R. I (4.9) A unidade de medida no SI é o Volt (V).

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A lei de Ohm relaciona uma proporcionalidade direta entre a diferença de potencial V e a corrente I que percorre no fio, quando ρ for constante.

Para um resistor que obedece à Lei de Ohm, o gráfico da diferença de potencial V em função da corrente I é uma linha reta, e a inclinação é 1/R, como mostra a figura a seguir. I I 1 Inclinação = — R 0

No sentido da corrente e da voltagem positiva, I aumenta de forma não-linear a V V

No sentido da corrente e da voltagem negativa, é pequeno o fluxo de corrente

Figura 41 – (a) Gráfico para um resistor que obedece à Lei de Ohm. (b) Gráfico para um resistor que não obedece à Lei de Ohm. Fonte: Sears et al. (2008, p. 144).

Exemplo 2 Um fio de cobre possui um diâmetro de 2 mm e conduz uma corrente de I = 3,5 A. Calcule: a) o módulo do campo elétrico no fio; b) a diferença de potencial entre dois pontos do fio separados por uma distancia igual a 50 m; c) a resistência de um segmento Considere ρc = 1,72 x 10–8(Ω.m).

fio

comprimento

igual

Resolução: a) A densidade de corrente é dada por Substituindo J em E, temos

e o módulo do campo elétrico é dado por

. A área da seção é A = 3,14.10-6 m2.

Substituindo os valores:

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b) a diferença de potencial é dada pela equação V = E . L. V = (1,91 x 10–2)(50,0) = 9,58V c) a resistência é dada pela equação:

Exemplo 3 Cabos coaxiais, formados por dois condutores cilíndricos concêntricos, são muito utilizados em TVs a cabo e diversas aplicações eletrônicas. A região entre os condutores é completamente preenchida com polietileno, como mostra a figura a seguir. A corrente escoa radialmente pelo material. Note que o cabo é feito para a corrente se deslocar na direção de seu comprimento, mas não é o caso deste exemplo. O raio no interior do condutor é α = 0,500cm, o raio exterior é de b = 1,75cm e o comprimento do condutor é b = 15cm. Considere a resistividade do polietileno como 1,0 x 1013Ω.m. Determine a resistência do polietileno entre os dois condutores.

dr Polietileno r a b

Condutor interno

Condutor externo

(a)

Figura 42 – Cabo coaxial. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 815).

(b)

Resolução Como a resistência R não varia de forma constante com a área da seção reta A, não podemos usar a equação (4.8) diretamente. Precisamos dividir o polietileno em cascas cilíndricas coaxiais de raio r e espessura dr. Assim, a área A para cada elemento de casca será 2πrL. Desse modo, um elemento de resistência dR será: . Para determinar a resistência, integramos a expressão anterior, entre os raios a e b:

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Substituindo os valores, teremos:

Compare este resultado para a resistência ao longo de um cabo de cobre (ρ = 1,7 x 10–8Ω.m) com 15 cm de comprimento utilizando a expressão (4.8). A resistência é maior ou menor? Em que proporção? Os resistores individuais usados em circuitos eletrônicos geralmente são cilíndricos com dimensões de alguns milímetros de diâmetro e de comprimento. O valor da resistência pode ser marcado sobre o resistor usando um código de cores mediante uma convenção. As duas primeiras faixas indicam dígitos, e a terceira faixa mostra o fator de multiplicação em potência de 10. Uma quarta faixa, quando existe, indica a precisão do valor. Para a faixa prateada, a precisão é ± 10%, para a faixa dourada, a precisão é ± 5%. Quando não aparece, é ± 20%. 4 - Código da faixa de cor

25kΩ ±5%

5 - Código da faixa de cor

460kΩ ±1%

6 - Código da faixa de cor

276Ω ±5%

1º Dígito

2º Dígito

3º Dígito

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Multiplicador 0.01 Silver 1.1 Gold

1 10 100 1k 10k 100k 1M 10M

Tolerância

±10% Silver ±15% Gold Coeficiente de Temperatura

±1% ±2% ±0.5% ±0.25% ±0.1%

100ppm 50ppm 15ppm 25ppm

(a)

(b) Figura 43 – (a) Código de cores utilizado em resistores. (b) Observe o detalhe das cores nos resistores em um circuito. Fonte: <http://www.michaels-electronics-lessons.com/resistor-color-code.html> e Shutterstock (2014).

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A seguir, você estudará uma característica importante dos dispositivos que fornecem energia aos circuitos: a força eletromotriz.

3. FORÇA ELETROMOTRIZ (FEM) Um dispositivo que atua em um circuito fechado fornecendo energia potencial é chamado de fonte eletromotriz. Observe o circuito fechado elementar a seguir.

Lembre-se de que as cargas em um circuito sempre fluem de um potencial mais alto para um potencial mais baixo.

Maior potencial

a i

Vb Menor potencial

Va - Vb = Vab Figura 44 – Circuito com uma fonte fem e um resistor R. Fonte: Mannrich (2014).

O símbolo

+ -

representa a fonte de fem, e o símbolo

representa a resistência.

Esse circuito é chamado de elementar porque é o mais simples que podemos construir. Indicamos épsilon ε como a diferença de potencial da bateria, então: ε = Va – Vb = Vab, que é a diferença de potencial entre o maior potencial e o menor potencial para uma fonte de fem ideal. Entre os pontos indicando a e b, destacados na figura, há um resistor que dissipa energia fornecida a ele pela fonte. Lembrando a Lei de Ohm, que determina que<<Eqn_a4_059.eps>>, e percorrendo o circuito do maior potencial para o menor potencial, chegamos à equação: ε – RI = 0 Ela nos diz que a energia provida pela fonte de fem será igual à energia consumida pelo resistor. Porém, a fonte de fem real em um circuito não se comporta exatamente assim. A diferença de potencial entre os terminais não é igual à fem. Isso nos indica que a própria fonte de fem possui uma resistência interna r, como esquematizado a seguir: 70

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

r + V

i R

Figura 45 – (a) Detalhe da resistência r interna da fonte de fem. Fonte: Mannrich (2014).

Repare que, associada à bateria, existe uma pequena resistência r. Isso significa que a própria bateria consome parte da energia que fornece. Vamos analisar o circuito simples apresentado. A energia envolvida no sistema pode ser determinada por: ε – rI – RI = 0 (4.11) e a corrente será: (4.12) Ou seja, nesse caso, a energia provida pela fonte de fem será igual à energia consumida por sua resistência interna r e pela resistência R ligada ao circuito, por exemplo, uma lâmpada incandescente.

É muito comum pensar que as cargas são consumidas pelos aparelhos elétricos e desaparecem. Na verdade, o que acontece é que, ao percorrer o circuito, as cargas perdem energia cinética. A função de um agente eletromotriz é exercer um trabalho sobre a carga provendo energia cinética para ela.

Exemplo 4 – Adaptado de Sears et al. (2008). O circuito elétrico do esquema a seguir, composto por uma bateria de 24 V, tem uma tensão de 21,2 V em seus terminais quando percorrido por uma corrente. Calcule: a) a resistência interna r da bateria; b) a resistência R do resistor do circuito. r 24,0 V + 4,0 A R

4,0 A

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Resolução a) Quando medimos a tensão diretamente em uma bateira, medimos a tensão entre os terminais dela. Porém, quando uma corrente percorre o circuito, parte dessa tensão é dissipada pela própria bateria. Então, como a bateria tem 24V entre seus terminais, quando percorrida por uma corrente de 21,2V, concluímos que a queda de tensão é de: 24 V– 21,2 V= 2,8 V A corrente é de I = 4,0 A. Usando a Lei de Ohm, temos:

b) Quando a corrente está percorrendo o circuito, sua tensão é de 21,2V. Novamente, vamos utilizar a lei de Ohm. h Você verá agora como determinar a energia consumida por cada um desses dispositivos.

4. ENERGIA ELÉTRICA E POTÊNCIA Quando conectamos um carregador na tomada para recarregar uma bateria, parte da energia elétrica é transformada em energia potencial química, para posteriormente ser usada. Isso é necessário porque quando a bateria alimenta um sistema, sua reserva de energia vai diminuindo até 0. É muito importante perceber a relação que existe entre potência elétrica e energia elétrica, pois isso influenciará no tempo de funcionamento do dispositivo que está dissipando a energia da fonte. Considere o circuito a seguir. Maior potencial

a i

Vb Menor potencial

Va - Vb = Vab Figura 46 – Circuito com uma fonte fem e um resistor R. Fonte: Mannrich (2014).

A potência elétrica é uma taxa com a qual um resistor consome energia durante certo tempo. Por exemplo: se se um resistor consumir 1.000 joules em um minuto, será duas vezes mais potente que outro que consumir 1.000 joules em 2 minutos. A potência dissipada por um resistor é dada pela expressão: P = VI 72

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A unidade de potência no SI é o Watt (W) = (J/C) x (C/s) = 1 W. A bateria fornecerá energia para as cargas elétricas. Essa energia é dissipada pelo resistor. Em seguida, a fonte de fem renovará a energia das cargas. Se multiplicarmos a corrente I pela equação (4.11), obteremos a potência fornecida (εI) e consumida (rI2 + RI2) pelo sistema: εi – rI2 – RI2 = 0 Não existe um sistema perfeito que não dissipe energia. Esse fenômeno é chamado de Efeito Joule. Você pode sentir este fenômeno ligando as extremidades de um fio condutor fino nas extremidades de uma pilha. Ele rapidamente aquecerá. Este efeito é útil em alguns casos, como no chuveiro elétrico, no ferro de passar roupas, na torradeira elétrica, entre outros. Afinal, esses equipamentos necessitam de uma alta temperatura para serem úteis. Estudos de supercondutividade vêm tornando possível o desenvolvimento de materiais que conduzem eletricidade com resistências próximas de zero, efeito que aparece quando as temperaturas dos dispositivos estão próximas a 0 Kelvin. O gráfico a seguir mostra a mudança no potencial estabelecido por uma fonte fem segundo a expressão (4.11): V a

+ b

ε I

ε a

R f

(a)

0 (b)

Figura 47 – (a) Corrente I percorrendo o circuito no sentido horário. (b) Esquema representativo da mudança no potencial V do circuito (a) quando percorrido por uma corrente. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Note que ∆V = ε somente quando não há corrente no sistema (I = 0). Caso contrário, a ddp fornecida para o sistema será ∆V = ε – rI, em que r é a resistência interna da fonte. Observe também que, reescrevendo a expressão (4.11) como (4.12), a corrente que circula no sistema depende também da resistência do circuito, e não apenas da fonte de fem ε.

O termo “dissipar“ não quer dizer que a energia desaparece. Significa que a energia que o dispositivo recebe da fonte é transformada em outro tipo de energia, como térmica ou luminosa, por exemplo.

FÍSICA E ELETRICIDADE

A potência dissipada em um circuito é sempre igual à potência fornecida pela fonte. Se desejarmos saber a energia consumida em um intervalo de tempo, podemos usar a expressão: E = ∆U = t .P A unidade no SI é o joule (J). Quando o elemento do circuito for um resistor, a diferença de potencial será dada por V = RI. A potência elétrica que a bateria fornece é:

A corrente através do potencial mais elevado do dispositivo e a equação anterior representam a taxa de transferência de energia potencial elétrica para dentro do circuito. Qual o destino dessa energia? As cargas que se movem colidem com os átomos, fazendo aumentar a tenperatura do material.

Acompanhe a determinação da energia consumida por um chuveiro elétrico comum pelo link: <www.sofisica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrodinamica/consumo.php>

Exemplo 5 – Adaptado de Sears et al. (2008). Uma lâmpada de 25 Ω está conectada aos terminas de uma bateria de 12 V com 3,5 Ω de resistência interna. Qual é a porcentagem da potência da bateria que é dissipada através da resistência interna e, portanto, não está disponível para a lâmpada? Resolução: Para encontrarmos a potência que é dissipada pela bateria, temos de encontrar primeiro a corrente total que circula nela:

A potência total é: V=R.I P = 12 . 0,42 = 5,04W

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A queda de tensão devido à corrente elétrica é: V = 3,5 . 0,42 = 1,47W E a potência dissipada é: P = 1,47 . 0,42 = 0,61W Vamos calcular, então, a fração da porcentagem da potência total que é dissipada na bateria:

x = 12% Ou seja, 12% da energia total fornecida pela fonte é consumida por sua resistência interna, sobrando 88% de energia para o sistema. Finalizamos mais uma aula. Na próxima, você estudará circuitos que contêm mais resistores e também circuitos compostos de resistores e capacitores.

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou o conceito de corrente elétrica em um condutor, que ocorre quando um campo elétrico é aplicado. Lembre-se: a corrente é a quantidade de cargas que atravessem determinado espaço em um intervalo de tempo. Você também viu que a quantidade de carga não poderá ser alterada em diferentes pontos do circuito. A isso, associamos a densidade de corrente, que depende da corrente e da área que ela atravessa. Você aprendeu que, ao percorrerem o circuito, as cargas elétricas sofrem resistência, pois elas colidem com os íons do material e perdem energia. Uma fonte de força eletromotriz (fem) repõe essa perda, garantido a circulação contínua da corrente. Você também viu que dispositivos como resistores consomem energia, o que podemos chamar de potência elétrica. Um efeito deste consumo de energia se dá através do aquecimento, denominado de Efeito Joule. Você também aprendeu que, em um circuito contendo uma fonte de fem, parte da energia será consumida por sua resistência interna e o restante será utilizado pelos demais componentes do circuito, como pelos resistores. Na aula seguinte, você estudará circuitos contendo diferentes associações de resistores. Nosso objetivo será determinar a resistência, a corrente e a potência nesses casos. Você também verá os circuitos RC, que são compostos de resistores e capacitores, além da fonte de fem. Até lá!