Geometria descritiva by EAD UNIFACS

Ana Maria Sim천es

Geometria descritiva

Ana Maria Sim천es

Geometria descritiva

S찾o Paulo Rede Internacional de Universidades Laureate 2015 05

© Copyright 2015 da Laureate. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Sistema de Bibliotecas da UNIFACS Universidade Salvador - Laureate International Universities)

Sumário Apresentação.................................................................................................................11

CAPÍTULO 1 – Princípios Fundamentais: Ponto, Reta e Plano................................................13 Introdução.....................................................................................................................13 1.1 Sistema de projeções e conceitos fundamentais dos planos de projeção..........................13 1.1.1 Conceito de Projeção e as Projeções Cônica e Ortogonal.....................................14 1.1.2 Posições Relativas entre dois Planos....................................................................16 1.1.3 Posições Particulares dos Planos.........................................................................18 1.2 O ponto: conceito, posição e coordenadas..................................................................23 1.2.1 Conceito de ponto............................................................................................24 1.2.2 Posição e coordenadas de um ponto..................................................................25 1.3 Estudo das Retas.......................................................................................................28 1.3.1 A Reta.............................................................................................................28 1.3.2 Tipos de Retas..................................................................................................29 1.3.3 Posições Relativas entre Retas............................................................................29 1.3.4 Posições da Reta em Relação a um Plano e em relação aos planos de projeção......30 Síntese...........................................................................................................................37 Referências Bibliográficas.................................................................................................38

CAPÍTULO 2 – Estudo do Plano: Representação das figuras planas pelo método Mongeano....39 Introdução.....................................................................................................................39 2.1 As figuras geométricas planas e os planos projetantes paralelos aos planos de projeção...39 2.1.1 Definição de polígono......................................................................................40 2.1.2 Projeção de figuras planas contidas em planos paralelos ao plano horizontal de projeção.... 40 2.1.3 Projeção de figuras planas contidas em planos paralelos ao plano vertical de projeção........ 41 2.1.4 Projeção de figuras planas contidas em planos perpendiculares aos planos horizontal e vertical de projeção........................................................................42 2.2 Representação das figuras geométricas em relação aos planos projetantes oblíquos.........43 2.2.1 Representação de figuras geométricas planas situadas no plano de topo................43 07

2.2.2 Representação de figuras geométricas planas situadas no plano vertical.................45 2.3 Inserção das figuras geométricas assentadas no plano não projetante.............................45 2.3.1 Representação de figuras planas no plano de rampa............................................46 2.3.2 Representação de figuras planas no plano passante.............................................47 2.3.3 Representação de figuras planas no plano qualquer.............................................49 2.3.4 Verdadeira Grandeza (VG) de figuras planas ......................................................51 Síntese...........................................................................................................................70 Referências Bibliográficas.................................................................................................71

CAPÍTULO 3 – Representação e projeção dos sólidos geométricos nos planos projetantes e não projetantes......................................................................................73 Introdução.....................................................................................................................73 3.1 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos aos planos de projeção.............74 3.1.1 Definição de sólido geométrico e poliedro..........................................................74 3.1.2 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos ao plano horizontal de projeção.... 76 3.1.3 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos ao plano vertical de projeção........ 82 3.1.4 Os sólidos geométricos assentados no plano de perfil..........................................84 3.2 Representação dos sólidos geométricos em relação aos planos projetantes oblíquos.........87 3.2.1 Representação dos sólidos geométricos situados no plano de topo........................88 3.2.2 Representação dos sólidos geométricos situados no plano vertical.........................90 3.3 Inserção de sólidos geométricos assentadas no plano não projetante..............................93 3.3.1 Representação de sólidos geométricos no plano de rampa....................................93 Síntese...........................................................................................................................98 Referências Bibliográficas.................................................................................................99

CAPÍTULO 4 – Seções planas em sólidos geométricos e classificação das superfícies............101 Introdução...................................................................................................................101 4.1 Seção plana de sólidos geométricos situados nos planos de projeção...........................101 4.1.1 Seção plana feita em sólidos assentados no plano horizontal de projeção............102 4.1.2 Seção plana feita em sólidos assentados no plano vertical de projeção................115 4.1.3 Seções produzidas e sólidos - conclusões gerais................................................117 4.2 Classificação das superfícies geradas por seções planas em sólidos geométricos............118 4.2.1 Definição de superfície....................................................................................118 08 Laureate- International Universities

4.2.2 Superfícies regradas planificáveis.....................................................................119 4.2.3 Interseções com superfícies regradas planificáveis..............................................121 4.2.4 Superfícies de revolução (superfícies curvas)......................................................123 4.2.5 Helicoides (superfícies empenadas)..................................................................131 Síntese.........................................................................................................................139 Referências Bibliográficas...............................................................................................140

Minicurrículo da autora.................................................................................................141

Apresentação Apresentação Você sabe do que trata a Geometria Descritiva? Você visualiza vários tipos de construções em seu entorno, certo? Os projetos e as construções de casas, edifícios, estradas, túneis, metrôs, barragens, portos, aeroportos e até usinas de geração de energia são de responsabilidade do engenheiro civil. Seu conhecimento lhe permite escolher os lugares mais apropriados para uma construção, verificar a solidez e a segurança do terreno e do material usado na obra, fiscalizar o andamento do projeto e também o funcionamento e a conservação da rede de água e a distribuição de esgotos. Você sabe como essas construções são projetadas? Para que os projetos sejam elaborados, você, que se tornará um profissional da Engenharia Civil, precisa conhecer os conteúdos abordados em Geometria Descritiva. Durante sua trajetória escolar, você deve ter estudado alguns entes geométricos. Com base em seus conhecimentos prévios, você certamente consegue identificá-los ao observar construções civis. Mas como, de fato, executar um projeto? As edificações são objetos tridimensionais. Imagine que você deve projetar uma casa. De que forma você vai demonstrar suas ideias para o cliente? Por mais que você mostre modelos de fachadas, telhados, modelos e disposição de aberturas e outros itens necessários por meio de fotografias e ou imagens, o cliente não conseguirá ter uma visão espacial de sua proposta para a casa que ele confiou a você. É por isso que existem normas que regem a elaboração de projetos de edificações. Você precisa mostrar suas ideias para o cliente de forma que ele tenha uma visão espacial da construção. Para elaborar o projeto dessa casa é que você fará uso do que aprenderá em Geometria Descritiva, pois ela é um ramo da Geometria que tem como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano bidimensional e, partindo das projeções, é possível determinar distâncias, ângulos, áreas e volumes em suas verdadeiras grandezas. Ao final da disciplina você será capaz de representar, em duas dimensões, objetos tridimensionais ainda idealizados em sua mente. Desenvolverá seu potencial criativo e o raciocínio lógico que lhe auxiliará na utilização da linguagem gráfica, permitindo que você decodifique seu produto e o torne exequível. Todos os conceitos apresentados serão de extrema importância em sua formação. Ao final dos seus estudos, você deverá estar preparado para aplica-los de forma criativa na sua profissão. Bons estudos!

Capítulo 1 Princípios Fundamentais: Ponto, Reta e Plano

Introdução Durante sua trajetória escolar, certamente você estudou, mesmo que de maneira básica, o ponto, a reta e o plano. A partir de agora, você vai relembrar esses conceitos e aprimorar seu conhecimento. Como engenheiro civil você, ao fiscalizar a demarcação de uma edificação quadrangular, por exemplo, necessitará observar os principais pontos limites da área que será construída. De que forma isso será possível? Para tanto, você utilizará o conceito de ponto, posição e coordenadas de um ponto. Partindo de um referencial de situação e localização do terreno – fornecido, geralmente, pela Prefeitura –, você marcará os quatro principais pontos limites da edificação. Como você obterá o contorno da área a ser construída? Ao ligar os pontos limites, de forma a obter uma região quadrangular, você obterá o contorno da área a ser construída, formado por segmentos de retas. Nesse caso, você precisará conhecer o conceito de reta e as posições genéricas e particulares das retas. Mas essa região quadrangular está localizada numa região maior que ela, que também é um ente geométrico. Você sabe de qual entre geométrico estamos falando? Aqui, entram os conceitos fundamentais dos planos. Todos esses conceitos são importantes, pois, como você obteve uma região quadrangular bidimensional, você construiu uma região que pertence a outra região maior que ela, que é denominada plano. Mais tarde, quando a obra estiver sendo realizada, a região quadrangular que você construiu passará a ser o plano do projeto da edificação. E por falar em projeção, você também precisa saber o conceito e a classificação dos sistemas de projeção. Afinal, você representará um objeto tridimensional em um plano bidimensional quando elaborar o projeto de uma edificação. Vamos compreender melhor esses conceitos? Prossiga a leitura!

1.1 Sistema de projeções e conceitos fundamentais dos planos de projeção Dentre as atribuições do engenheiro civil, podemos citar a elaboração ou interpretação de projetos de edificações. Para ambas, é necessário conhecer a representação de espaços tridimensionais em um plano bidimensional. Os sistemas de projeções vêm contribuir para que essas atribuições possam ser executadas. Neste capítulo, você vai conhecer o conceito de projeções e os sistemas de projeções cônico e ortogonal. O sistema cônico de projeção é importante para que você, por exemplo, faça um melhor aproveitamento da posição solar de um terreno, a fim de descobrir de que forma o projeto da edificação vai ser desenvolvido, objetivando aproveitar melhor a luminosidade. Já com base no sistema ortogonal de projeção você, futuro engenheiro civil, fará uso dos fundamentos 13

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das projeções ortogonais e das representações ortográficas na representação dos projetos de edificações. Agora, pense em uma edificação. Ela está contida num único plano? Como você localizaria, por exemplo, uma mesa que se encontra no centro de um ambiente? Quantos planos contém essa mesa? Quais posições você pode visualizar, comparando esses planos entre si? Afinal, qual a definição de plano? O plano tem uma definição intuitiva, assim como o ponto e a reta, entes geométricos que você estudará logo a seguir. Para que você compreenda a definição intuitiva de plano, é necessário que saiba que ponto é toda região bidimensional, ou seja, com altura e largura, finita ou infinita e que reta é a menor distância obtida pela conexão entre dois pontos não coincidentes (não sobrepostos) . Portanto, o plano é constituído por infinitos pontos e infinitas retas, dispostas em infinitas posições. Você pode exemplificar um plano como a região do planeta onde há porções de terra nas quais o homem pode pisar e medir seu comprimento e sua largura. Logo, a região plantada de um campo, o terreno onde será erguida uma edificação e uma porta são apenas alguns exemplos de planos. Neste tópico, você conhecerá o conceito e a classificação de sistema de projeções, as posições genéricas e particulares que um plano pode ter em relação aos planos de projeção e suas propriedades. Tomar consciência desses itens é essencial para o desempenho de sua profissão de engenheiro civil. Na elaboração dos projetos de uma edificação, você precisará usar o que estudará a seguir para, por exemplo, pensar a disposição das paredes da construção, tomando por base o plano que é o terreno onde a edificação será erguida, pois nem sempre esses terrenos têm quatro ângulos retos quando se une os pontos limites. Pense, por exemplo, na construção de um telhado de duas águas. Esse telhado não é formado por um único plano. Logo, analisando o tipo de telhado projetado, neste caso, já há uma situação de posição entre planos. Ainda, esse telhado apresenta posições diferentes quando comparado com os planos das paredes e do próprio terreno. Observando esses exemplos, você já percebe que para a elaboração do projeto de uma edificação, é necessário que você conheça o que será abordado neste capitulo.Vamos lá!

1.1.1 Conceito de Projeção e as Projeções Cônica e Ortogonal A projeção de um objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. Pelo fato de um objeto ter três dimensões, para sua representação num plano bidimensional você deve considerar alguns elementos básicos da projeção, que são o plano de projeção, o objeto, o raio projetante e o centro de projeção. Você deve entender por projetante a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de projeção. Esta pode ser oblíqua ou ortogonal. Por centro de projeção, entenda como o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. Os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção, que pode ser finito ou infinito, determinando: a) Sistema Cônico de Projeção - a projeção cônica, também chamada projeção central, é o tipo de projeção cujos raios que incidem no objeto e no plano de projeção são todos concorrentes no ponto O (vértice do cone), como as geratrizes do cone.

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Centro de projeção

raios de projeção objeto

projeção

plano de projeção α

Figura 1 – Projeção Cônica. Fonte: Bueno, 2011.

b) Sistema de Projeção Ortogonal: projeção paralela na qual todas as projetantes interceptam o plano de projeção em ângulo reto. As projeções ortográficas são projeções ortogonais de um objeto posicionado, geralmente, com suas faces principais paralelas aos planos coordenados, sobre um ou mais planos de projeção, coincidentes ou paralelos aos planos coordenados. Estes planos de projeção são convenientemente rebatidos, de forma que as posições das vistas do objeto sejam relacionadas entre si.

Figura 2 – Projeção Ortogonal. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Agora que você já conhece o conceito e a classificação dos sistemas de projeção, está pronto para relembrar e aprimorar seu conhecimento acerca das posições relativas entre dois planos.

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1.1.2 Posições Relativas entre dois Planos Partindo dos exemplos da introdução, você deve ter intuído que os planos podem assumir várias posições e ainda, quando comparados com outros planos, apresentam características particulares. Os planos podem ser de 4 formas. 1. Paralelos: dois planos α e β são paralelos quando sua intersecção é vazia, ou seja, não há pontos comuns. Observe a Figura 1.

Figura 1 – Planos paralelos. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Considere um dormitório retangular. O posicionamento de suas paredes acompanha, exatamente, os pontos cardeais. Logo, a parede que está ao norte está contida em um plano paralelo ao plano que contém a parede sul. Da mesma forma, o plano que contém a parede que está ao leste é paralelo ao plano que contém a parede que está a oeste. 2. Coincidentes: assim como as retas coincidentes, dois planos α e β são coincidentes se possuírem todos os pontos em comum. Veja a Figura 2.

α=β

Figura 2 – Planos coincidentes. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Para ilustrar planos coincidentes, considere dois ambientes distintos de uma edificação como, por exemplo, um quarto e uma sala, ambos com piso de mesma cota. Existe um plano que contém o piso do quarto coincidente com o plano que contém o piso da sala.

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3. Concorrentes ou secantes: dois planos α e β são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta. Observe a Figura 3.

Figura 3 – Planos concorrentes. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Voltando ao exemplo do telhado de duas águas, o plano que contém a linha da tesoura é concorrente ao plano que contém uma das asas. 4. Perpendiculares: dois planos α e β são perpendiculares entre si se e somente se, forem secantes (concorrentes) e um deles passar por uma reta que é perpendicular ao outro. Isso significa que dois planos α e β são perpendiculares se, e somente se, existir uma reta r contida em β e esta reta r for perpendicular a α.

β r

Figura 4 – Planos perpendiculares. Fonte: Ernesto, 2012.

Agora, você deve voltar ao exemplo do dormitório retangular. Nesse caso, o plano que contém a parede que está ao norte é perpendicular ao plano que contém a parede que está ao leste.

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1.1.3 Posições Particulares dos Planos Na seção anterior, você aprendeu quando dois planos são perpendiculares, e que a intersecção entre planos perpendiculares é uma reta que está contida num dos planos e é perpendicular ao outro. Bem, essa reta é denominada linha de terra. A intersecção de planos perpendiculares entre si dá origem aos planos horizontal (π)e vertical (π’)de projeção. Alguns autores representam os planos vertical e horizontal de projeção por letras maiúsculas (PVP e PHP). Alguns autores representam os Plano com as letras maiúsculas – PVP plano vertical de projeção e PHP plano horizontal de projeção. Neste momento, é importante você saber que a perpendicularidade entre dois planos origina o Método Mongeano, que divide o espaço em quatro partes chamadas diedros. Esses diedros são numerados da mesma forma que numeramos os quadrantes no plano cartesiano.

2º diedro

(π’S )

er et

d ha

(πρ )

Lin

3º diedro

(π’I )

1º diedro

(πA ) 4º diedro

Figura 5 – Projeções do ponto (A). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

VOCÊ O CONHECE? Foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa. Ele também foi o criador da Geometria Descritiva e um grande teórico da Geometria Analítica. Pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial e curvas e superfícies do espaço.

Figura 6 – Gaspard Monge (1746 a 1818). Fonte: Barison, 2008.

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Considere a partir de agora o primeiro diedro e, a partir dele, conheça as posições particulares dos planos. 1. Plano horizontal: é todo plano paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano vertical de projeção.

(π’)

απ’

(α)

(π)

Figura 9 – Plano horizontal. Fonte: Cruz, 2012.

Considerando uma edificação de dois andares, a laje que separa um andar do outro está contida em um plano paralelo ao plano de projeção horizontal. 2. Plano frontal: é o plano paralelo ao plano vertical de projeção, perpendicular ao plano horizontal.

(π’)

βπ (π)

Figura 10 – Plano frontal. Fonte: Cruz, 2012.

Os planos que contêm as paredes que estão ao norte e ao sul da edificação citada acima são paralelos ao plano vertical de projeção.

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3. Plano de topo: é perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao horizontal.

(ε)

επ’ (π’)

επ (π)

Figura 11 – Plano de topo. Fonte: Cruz, 2012.

Tomando o exemplo do telhado de duas águas, o plano que contém uma das asas da tesoura é plano de topo em relação ao plano de projeção horizontal. 4. Plano vertical: é o plano perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao vertical.

(Ф) Фπ’ (π’) Фπ (π)

Figura 12 – Plano vertical. Fonte: Cruz, 2012.

Como exemplo, imagine um ambiente de uma edificação e uma porta entreaberta nesse ambiente. A porta entreaberta está contida num plano vertical, pois esta é perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíqua ao plano vertical de projeção.

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5. Plano de perfil: é o plano perpendicular aos dois planos de projeção.

(у)

уπ’ (π’)

уπ (π)

Figura 13 – Plano de perfil. Fonte: Cruz, 2012.

Suponha que você queira dividir um ambiente de modo que a parede divisória seja perpendicular à parede que está ao sul. Logo, a parede divisória estará contida num plano de perfil, pois esta é perpendicular aos planos horizontal e vertical de projeção, ao mesmo tempo. 6. Plano de rampa ou plano paralelo à linha de terra: é o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeção.

λπ’ (π’) (λ)

λπ (π)

Figura 14 – Plano de rampa. Fonte: Cruz, 2012.

Volte, novamente, ao exemplo do telhado de duas águas. Tomando o plano que contém o pontalete central como plano vertical de projeção e o piso como plano horizontal de projeção, o plano que contém uma das asas do telhado é dito plano de rampa, pois é oblíquo aos planos de projeção horizontal e vertical. 21

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7. Plano passando pela linha de terra: é um caso particular do plano de rampa, pois os traços do plano coincidem com a linha de terra. Se a inclinação do plano não for conhecida, ele só será determinado se um outro elemento pertencente a ele, seja ponto ou reta, for conhecido.

(π’) (μ) μπ

μπ’ (π)

Figura 15 – Plano passando pela linha de terra. Fonte: Cruz, 2012.

Para visualizar um plano que passa pela linha de terra, considere o plano π’ da Figura 12 como o plano que contém o ponto de encontro da asa com a linha da tesoura do telhado exemplificado anteriormente. O plano π da mesma figura contém a linha da tesoura. Logo, o plano que contém a asa da tesoura é um exemplo de plano que passa pela linha de terra. 8. Plano qualquer: é todo plano oblíquo aos dois planos de projeção e à linha de terra.

θπ’ (π’)

(θ)

(π)

θπ

Figura 16 – Plano qualquer. Fonte: Cruz, 2012.

22 Laureate- International Universities

Considerando a face (a) da lareira de canto da Figura 14, você pode observar que ela é oblíqua aos planos de projeção vertical, que é a parede oeste, ao plano de projeção horizontal, que é o piso, e à linha e terra que é a reta determinada a partir do encontro dos planos de projeção. Logo, a face (a) da lareira, que está contida em um plano, é um exemplo de plano qualquer.

Figura 17 – Lareira de canto. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

NÓS QUEREMOS SABER! Que vantagens o advento da tecnologia trouxe para o engenheiro? Um engenheiro civil pode lançar mão de tecnologia computacional na elaboração de projetos de edificações? Certamente! Programas computacionais como AutoCAD, ORSE, DIALux, TigreCAD, Armacon, SAP2000, entre outros tantos, chegaram para facilitar e agilizar o processo de elaboração de todas as etapas de um projeto de edificação. Esses programas permitem a construção de projetos elétricos, hidráulicos e estruturais, bem como visualizações e modificações de modelos arquitetônicos em 3D. Isso elimina, muitas vezes, a necessidade da confecção de maquetes com materiais como papel e outros.

Agora que você já conhece o conceito intuitivo de plano, as posições genéricas e particulares que um plano pode ter em relação aos planos de projeção e, por conseguinte, o sistema de projeções, aprofunde seu conhecimento sobre os outros entes geométricos que constituem o plano: o ponto e a reta. Vamos em frente!

1.2 O ponto: conceito, posição e coordenadas Você se lembra do que é ponto na Geometria? E de como determinar sua posição e suas coordenadas? Este é o momento ideal para relembrar e tirar dúvidas sobre esses assuntos. Um ponto pode ser representado tanto num espaço bidimensional, algo que talvez você se recorde da sua formação básica, quanto num espaço tridimensional, que provavelmente seja um assunto novo para você. Vamos lá! 23

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1.2.1 Conceito de ponto O ponto é um ente geométrico fundamental sem dimensões e sem forma, mas qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir de um ponto. Portanto, o ponto é um lugar no espaço. Por não existir uma definição aceita para esse ente geométrico, você tem, nesse caso, que aceitar sua existência. A única propriedade do ponto é a localização. Por convenção, você deve representar o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto (A, G, P, ... ). Na elaboração de um projeto de edificação, você usará os pontos para, por exemplo, saber onde estarão localizadas as luminárias (pontos de luz fixos) em um projeto elétrico. As normas brasileiras estipulam que, em cada cômodo ou dependência, deve ser previsto pelo menos um ponto de luz fixo no teto, comandado por interruptor. Para que você possa determinar esses pontos fixos de luz, necessitará saber localizar pontos no plano bidimensional. A seguir, você verá a representação gráfica de um ponto num espaço bidimensional (Figura 19), denominada Sistema Cartesiano (Plano Cartesiano - Figura 18), que é um plano determinado pelo sistema de eixos reais (IR) ortogonais x (eixo das abscissas) e y (eixo das ordenadas), que o divide em quatro regiões, chamadas quadrantes.

2º quadrante

1º quadrante

3º quadrante

x 4º quadrante

Figura 18 – Sistema Cartesiano. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

y A

Figura 19 – Representação gráfica do ponto A. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

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1.2.2 Posição e coordenadas de um ponto Considerando que você já tem algum conhecimento acerca da localização de um ponto no Plano Cartesiano, vale a pena rever algumas particularidades sobre esse assunto. Num espaço bidimensional, para determinar a posição de um ponto A, por exemplo, é necessário que você o projete sobre os dois eixos. A projeção do ponto no eixo horizontal é denominada abscissa do ponto (x), e a projeção do ponto no eixo vertical é a ordenada do ponto (y) (Figura 20).

y A

0 x

Figura 20 – Representação gráfica do ponto A. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

As referências horizontal (x) e vertical (y), definem o par ordenado (x,y). Logo, (x,y) são as coordenadas do ponto A. Assim, a posição do ponto A é A(x,y). Como já foi mencionado anteriormente, o ponto também tem representação no espaço tridimensional e, para que fique bem determinado, emprega-se o método da dupla projeção, de Monge. Por convenção, o ponto (O), centro de projeção, está situado na frente do plano vertical e acima do plano horizontal, e a uma distância infinita deles. Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da perpendicular baixada do ponto sobre o plano. O ponto (A) fica bem determinado pelas interseções (A)A e (A)A’ (Figura 21).

A’

(A)

(π’)

A (π) Figura 21 – Projeções do ponto (A). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

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A projeção no plano horizontal (π) de um ponto (A) é, também por convenção, determinada pela letra A e, no plano vertical (π’), por A’. Alguns autores nomeiam a projeção horizontal do ponto (A) como sendo A1 e a projeção vertical, A2. Mas como você representará no plano bidimensional as figuras do espaço? Para tanto, faz-se o rebatimento do plano horizontal sobre o vertical (no sentido horário) (Figura 22), de modo que (πP) coincida com (π’S) e, consequentemente, (πA) coincida com (π’I).

(π’S )

(π’A)

(π’ρ )

(π’I )

Figura 22 – Rebatimento do Plano Horizontal sobre o Vertical. Fonte: Cruz, 2012.

Logo após o rebatimento, você tem a épura (representação de uma figura do espaço pelas suas projeções, estando o plano horizontal rebatido sobre o vertical, na qual a linha de terra é representada por uma linha horizontal ππ’, e os planos (πP) e (π’S) situam-se acima da linha de terra e os planos (πA) e (π›I), abaixo dessa linha (Figura 23).

(π’ρ )

(π’S )

(π’A)

(π’I )

Figura 23 – Épura. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Você já sabe que no Plano Cartesiano, o ponto tem endereço dado pelo par ordenado (x,y). Para representar um ponto no espaço você também precisa de coordenadas e estas são dadas pelo trio ordenado (x,y,z), respectivamente, (abscissa, afastamento, cota). Assim, você deve entender por cota a distância do ponto ao plano horizontal de projeção (na Figura 21 representada por (A)A) e por afastamento, a distância do ponto ao plano vertical de projeção (na Figura 21 representado por (A)A’). Saiba ainda que linha de projeção ou linha de chamada é toda linha perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um mesmo ponto. Logo, a linha A’A da Figura 24, que une as projeções do ponto (A), é uma linha de projeção ou de chamada. 26 Laureate- International Universities

A Figura 24 – Projeções do ponto (A). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes e você pode visualizá-las no livro que consta nas referências bibliográficas deste tópico e cujo autor é Alfredo dos Reis Príncipe Júnior. Quanto às coordenadas de um ponto no espaço, já foi dito a você que elas se constituem na forma (x,y,z), ou seja, (abscissa, afastamento, cota). Na prática, a abscissa não influi na posição do ponto em relação aos diedros pois, você pode ter dois pontos com a mesma cota e o mesmo afastamento, mas com abscissas diferentes, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto 0 (zero) considerado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela linha; quando positiva, é marcada à direita e quando negativa, para a esquerda da origem. O afastamento e a cota podem ser positivos ou negativos. Observe a Figura 25 a seguir.

(π’S ) A'

(π’ρ )

A'1

(A)

(π’A)

Cota

(π’I)

{

A' A0

{

Afastamento

Figura 25 – Projeções do ponto (A). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

De acordo com o rebatimento do plano horizontal de projeção sobre o plano vertical de projeção, você pode observar que: a) no espaço: a cota é positiva nos 1º e 2º diedros e negativa nos 3º e 4º diedros; o afastamento é positivo nos 1º e 4º diedros e negativo nos 2º e 3º diedros; b) em épura: a cota é positiva acima da linha de terra e negativa abaixo dessa; o afastamento é positivo abaixo da linha de terra e negativo acima dessa. 27

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O que você relembrou e aprendeu sobre o ponto é muito importante para sua compreensão do que vem a seguir, no próximo tópico.

NÃO DEIXE DE VER... Assista ao vídeo “Arte e Matemática – forma dentro da forma”, da TV Escola, disponível no link: <http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/arte-e-matematica-forma-dentro-da-forma>. Nele, você pode compreender a relação entre os princípios fundamentais da Geometria e construções como edifícios e pirâmides.

1.3 Estudo das Retas Como você definiria reta? Onde, em seu cotidiano, você vê a presença de retas, semirretas e segmentos de retas? Você imagina a elaboração de um projeto de edificação sem utilizar retas e as características de acordo com suas posições em relação aos planos de projeção? Neste tópico você conhecerá alguns itens importantes sobre o estudo da reta. Tais conhecimentos são de suma importância na sua preparação para o exercício da profissão de engenheiro civil. O estudo das posições relativas entre a reta e o plano de projeção serão úteis a você, por exemplo, na elaboração do projeto da cobertura de uma edificação de duas águas. Você utilizará seus conhecimentos para intuir qual a melhor posição entre as retas que determinarão a inclinação do telhado, tendo por base o plano representado pela laje de cobertura. Assim, nesse caso, você estará utilizando seu conhecimento sobre posições das retas em relação ao plano. Outra situação de aplicação dos conhecimentos adquiridos neste tópico é quando você representar a fachada principal de um projeto arquitetônico de uma edificação. Nessa situação, você encontrará várias posições relativas das retas em relação ao plano (terreno). Um simples exemplo é a representação de uma janela retangular, na qual você terá retas perpendiculares e paralelas ao plano base. Então, para elaborar o projeto de uma edificação torna-se necessário que você conheça o que será abordado neste capitulo, ou seja, as posições genéricas e particulares de uma reta em relação aos planos de projeção e suas propriedades. Vamos lá!

1.3.1 A Reta Uma linha pode ser definida como uma sucessão contínua de pontos. Se a distância entre dois pontos não sucessivos quaisquer dessa linha for a menor possível, então essa linha é uma reta. A reta é formada por infinitos pontos alinhados e ela é ilimitada nos dois sentidos. Quando você construir uma reta, deve utilizar letras minúsculas para representá-la. As retas apresentam características particulares e posições relativas entre si, quando estão contidas no mesmo plano, ou seja, quando são coplanares.

28 Laureate- International Universities

1.3.2 Tipos de Retas As retas coplanares podem ser construídas em três posições. 1. Horizontal: quando é paralela ao eixo x, ou seja, em toda sua extensão, a distância entre todos os pontos e o eixo x é sempre a mesma. Portanto, intercepta o eixo y em algum ponto qualquer de coordenadas (0,k) e, também, forma com o eixo y um ângulo reto (90°). 2. Vertical: quando é paralela ao eixo y, forma com o eixo x um ângulo reto (90°) e intercepta o eixo x em algum ponto de coordenadas (k,0). 3. Oblíqua: quando não são paralelas nem perpendiculares e interceptam o eixo y no ponto (0,p) e o eixo x no ponto (k,0).

1.3.3 Posições Relativas entre Retas Com base nas posições que uma reta pode ser construída, você conhecerá, agora, as posições que duas ou mais retas podem assumir em um mesmo plano. Para tanto, considere o plano cartesiano. Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui características e elementos particulares que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico. A seguir, veja as posições relativas entre retas. 1. Retas paralelas: duas retas são paralelas se não tiverem, em toda sua extensão, nenhum ponto em comum ou, então, se tiverem todos os pontos em comum. Quando duas ou mais retas não têm nenhum ponto comum, diz-se que são paralelas e distintas. Mas quando duas retas têm todos os pontos em comum, então, você tem um caso particular de retas paralelas, que são as retas coincidentes. Você pode observar a presença de retas paralelas em um projeto de edificação, por exemplo, na disposição dos caibros que servem de sustentação de um telhado formado por telhas cerâmicas. 2. Retas concorrentes: Duas retas são ditas concorrentes se possuírem entre si apenas um ponto comum. Quando duas retas concorrentes formarem entre si um ângulo reto (90°), então você terá um caso particular de retas concorrentes, que são as retas perpendiculares. Na elaboração do projeto de um telhado de duas águas com inclinação de 30°, as retas que compõem as asas da tesoura e a linha são exemplos de reta concorrente. Já o pontalete central da tesoura em relação à linha forma um ângulo reto (90°). Logo, este é um exemplo de reta perpendicular. 3. Retas reversas: As retas ainda podem ser reversas, ou seja, quando não existe plano que as contenha. Logo, as retas reversas não admitem ponto comum.

Geometria descritiva

Figura 26 – Retas reversas. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Como você pode observar na Figura 26, a reta r está contida no plano π. Já a reta s, intercepta o plano π em apenas um ponto (P). Essa observação permite que você entenda o conceito de retas reversas. Considerando o telhado de duas águas, cada água é um plano. A intersecção desses planos determina a cumeeira do telhado. Considere a reta que contém um pontalete de uma das asas e que não seja o central. Você tem, neste caso, um exemplo de retas reversas pois a reta que contém o pontalete intercepta o plano representado pela água do telhado em um ponto que não pertence à reta que contém a cumeeira.

1.3.4 Posições da Reta em Relação a um Plano e em relação aos planos de projeção Em relação a um plano, as retas são classificadas em: 1. Contida: Se, e somente se, pelo menos dois pontos pertencentes à reta estejam no plano. No mesmo exemplo do telhado de duas águas, você tem a reta que contém a cumeeira e que pertence ao plano representado por uma das águas do telhado. 2. Concorrente ou secante: Se, e somente se, a reta tem um único ponto comum. Ainda utilizando o exemplo do projeto do telhado de duas águas, você tem a reta que contém um dos pontaletes interceptando o plano representado por uma das águas, em um único ponto. Logo, esse é um exemplo de reta concorrente a um plano. 3. Paralela: Se, e somente se, a reta não tiver nenhum ponto comum com o plano. Considerando o mesmo telhado citado anteriormente, a reta que representa a asa da tesoura é paralela ao plano que contém os caibros. Assim, você tem um exemplo de reta paralela a um plano.

30 Laureate- International Universities

Ao levar em conta os planos de projeção, você pode definir projeção de uma reta como sendo um lugar geométrico das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano (Figura 27).

(B) (D)

(C)

(A)

( )

B D (π)

Figura 27 – Projeção da reta (A)(B). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Como você pode notar, os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (A)(B) é, portanto, essa interseção. A projeção de uma reta sobre um plano só deixará de ser uma reta se ela, a reta, for perpendicular e, nesse caso, a projeção será um ponto (Figura 28). E quando uma reta for paralela a um plano, sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta (Figura 29) e, nesse caso, as duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A) (B)=AB. Diz-se, então, que a reta se projeta em verdadeira grandeza (VG)

(A)

(π)

AΞB

Figura 28 – Projeção da reta (A)(B)⊥(π). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Geometria descritiva

(π)

(A)

(B)

Figura 29 – Projeção da reta (A)(B) ⁄⁄ (π). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Quando uma reta for oblíqua a um plano (Figura 30), sua projeção no plano é menor que a reta do espaço porque esta forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo. O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano, variando de zero (quando a reta for perpendicular ao planos) até o limite máximo igual ao seu comprimento (quando a reta é paralela ao plano).

(B) (A)

(π)

Figura 30 – Projeção da reta (A)(B) oblíqua ao plano (π). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

De modo geral, a posição de uma reta no espaço é melhor determinada quando são conhecidas as posições dessa reta sobre dois planos ortogonais. Em relação aos planos de projeção, as retas podem ocupar várias posições e se dividem em três grupos distintos: Grupo 1 - retas perpendiculares a uma dos planos de projeção e, consequentemente, paralela ao outro. São elas a reta vertical, a reta de topo e a reta de perfil.

32 Laureate- International Universities

a) Reta vertical: perpendicular ao plano horizontal (π). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto e a vertical, perpendicular à linha de terra, e que representa a VG (Figura 31). Exemplo: reta contida no pilar que separa dois ambientes (sala estar/jantar).

(π')

(A)

B' B'

(B) (π) AΞB

AΞB

Figura 31 – Reta Vertical. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

b) Reta de topo: perpendicular ao plano vertical (π’). Sua épura caracteriza-se por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto e a horizontal perpendicular à linha de terra, que representa a VG (Figura 32). Exemplo: reta que contém a viga de uma janela.

(π') A'ΞB'

A'ΞB' (A)

(B)

(π)

Figura 32 – Reta de Topo. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Geometria descritiva

c) Reta de perfil: perpendicular (ou ortogonal) à linha de terra mas oblíqua aos dois planos de projeção (Figura 33). Exemplo: Reta que contém uma das asas da tesoura de um telhado que contém a platibanda frontal.

(π’S )

(V)

(N)+(V)

(πρ ) (r)

(S) (N)

(πA )

(π’I )

Figura 33 – Reta de Perfil. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Grupo 2 - retas que estão paralelas a somente um dos planos de projeção e, consequentemente, oblíqua ao outro. São elas a reta horizontal, a reta frontal e a reta fronto-horizontal. a) Reta horizontal (ou de nível): paralela ao plano horizontal (π) e oblíqua ao vertical (π’). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua a mesma linha e representa a VG (Figura 34). Exemplo: A reta que contém o condulete de eletricidade dentro da laje de cobertura de um ambiente e que é diagonal a uma das paredes de sustentação da laje.

(π') B' A'

(B)

(A) B

(π)

Figura 34 – Reta Horizontal (ou de Nível). Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

34 Laureate- International Universities

b) Reta frontal (ou de frente): paralela ao plano vertical (π’) e oblíqua ao horizontal (π). Sua épura caracteriza-se por possuir a projeção horizontal paralela à linha de terra e a vertical oblíqua a mesma linha e representa a VG (Figura 35). Exemplo: Reta que contém a asa da tesoura de um telhado de duas águas.

(B)

B' (π')

B' A'

B A'

(A) A

(π)

Figura 35 – Reta Frontal. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

c) Reta fronto-horizontal (paralela à linha de terra): paralela, simultaneamente aos dois planos de projeção (π) e (π’). Sua épura é caracterizada por possuir ambas projeções paralelas à linha de terra e qualquer uma delas representa a VG (Figura 36). Exemplo: Reta que contém a linha da tesoura de um telhado de duas águas.

(π')

(B) A'

(A) B

(π)

Figura 36 – Reta Fronto-horizontal. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Geometria descritiva

Grupo 3 - retas oblíquas aos dois planos de projeção. É o caso da reta qualquer, cuja épura caracteriza-se por possuir ambas projeções oblíquas à linha de terra (Figura 37). Exemplo: Reta que contém a asa da tesoura de um telhado com formato hexagonal.

(π')

(r)

r (π)

Figura 37 – Reta Qualquer. Fonte: Príncipe Júnior, 1983.

Como você pode notar, tudo o que você relembrou e aprendeu durante esta unidade é importante e tem aplicação direta no cotidiano do profissional da Engenharia Civil. Além do mais, os conhecimentos adquiridos até aqui são requisitos necessários para a continuidade do seu estudo sobre Geometria Descritiva.

36 Laureate- International Universities

Síntese Síntese

Você aprendeu que o ponto é um lugar no espaço e, portanto, tem um endereço. A partir desta informação, você relembrou plano cartesiano e viu como localizar a posição de um ponto no plano e no espaço.

• Como plano é uma região bidimensional, você percebeu que ela se constitui de infinitos

pontos e que ligando esses pontos, obtém uma linha, ou seja, por um único ponto passam infinitas retas.

• Você

observou que se unir dois pontos não colineares, obtém uma reta, que pode ocupar posições diferentes em relação ao plano cartesiano e, por isso, ter classificações diferentes. Mais ainda, aprendeu que as retas também assumem posições relativas entre si e em relação aos planos de projeção, originando outras classificações.

• Se um plano é constituído por infinitos pontos e se estes pontos alinhados formam infinitas

retas, o plano tem uma infinidade de retas contidas nele. Logo, a partir do conceito intuitivo de plano, você conheceu as posições relativas e particulares entre dois planos e as posições dos planos em relação aos planos de projeção, o que introduziu à você o Método Mongeano.

Referências Bibliográficas

ALFA VIRTUAL SCHOOL. Geometria da posição. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10483/geo0901.htm>. Acesso em: 24 mar. 2015. BARISON, M. B.; BALLAROTTI, C. ; ROCHA, R. P. . Uso de Modelos Digitais Interativos no Ensino de Geometria e Estruturas. In: COBENGE 2008 - XXXVI Congresso brasileiro de Educação em Engenharia, 2008, São Paulo. Educação mercado e desenvolvimento:mais e melhores engenheiros, 2008. v. 1. BRASIL ESCOLA. Retas horizontais e verticais. Disponível em: <http://www.brasilescola. com/matematica/retas-horizontais-verticais.htm>. Acesso em: 24 mar. 2015. BUENO, M. S..Projeções, 2011. CRUZ, D. C. Apostila de Geometria Descritiva. Livro Técnico, Barreiras: UFB, 2012. ERNESTO, E. Geometria: Caderno 1, Apucarana: FAP, 2012. PRINCIPE JR, A. dos R. Noções de Geometria Descritiva. v. 1, São Paulo: Nobel, 1983. TV ESCOLA. Arte e matemática – forma dentro da forma. Disponível em: <http://tvescola. mec.gov.br/tve/video/arte-e-matematica-forma-dentro-da-forma>. Acesso em: 24 mar. 2015.

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Capítulo 2 Estudo do Plano: Representação das figuras planas pelo método Mongeano Introdução Você já conhece o conceito e sabe classificar os sistemas de projeções, e domina os conceitos intuitivos de ponto, reta e plano. Além disso, compreende as posições relativas entre retas, entrereta e plano, e entre planos, considerando o Método de Monge. A partir de agora, você aprenderá como representar as figuras planas pelo Método Mongeano, de forma a auxiliá-lo na elaboração e interpretação de projetos de Engenharia Civil. Você pode listar as figuras geométricas visualizadas numa edificação? Observando as fachadas das construções civis, podemos visualizar os telhados de algumas delas. Que formas geométricas você identifica? Uma edificação lhe fornece uma imagem tridimensional. Sendo assim, como representá-la num projeto de edificação? Tais representações estarão presentes no cotidiano do exercício de sua profissão como engenheiro civil. Para erguer pilares, paredes e construir telhados e lajes, bem como para interpretar projetos, você precisa do conhecimento que irá adquirir nesta unidade. Esforce-se para ampliar sua habilidade de visão espacial, para que assim você consiga, com facilidade, interpretar as imagens que verá a seguir e também compará-las com os conceitos e definições. Vamos lá!

2.1 As figuras geométricas planas e os planos projetantes paralelos aos planos de projeção Em situações reais, você, enquanto engenheiro civil, vai projetar edificações e precisará representar no plano bidimensional uma ideia tridimensional. Você terá que definir a representação de um telhado de três águas, por exemplo, ou dos ambientes de uma edificação. Essas representações serão feitas num plano bidimensional, que é o projeto, e tais ideias assumirão a forma de figuras geométricas planas. Qual é a vista superior de um telhado de três águas? Qual é a vista lateral de cada água do telhado anterior? Você terá condições de responder a perguntas como essas após conhecer as representações das figuras geométricas segundo os planos projetantes paralelos e os planos de projeção. Vamos conhecê-las!

Geometria descritiva

2.1.1 Definição de polígono Polígono é toda superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada (linha formada por segmentos de reta ligados consecutivamente), cujo número de lados coincide com o número de ângulos. Suas projeções são as dos segmentos de reta que constituem os lados. Já as projeções dos círculos são obtidas pela projeção do conjunto de pontos que constitui a sua circunferência limite, e pela projeção do seu centro.

Nome

Polígono

Nº de lados

Nome

Polígono

Nº de ados

Triângulo

Eneágono

Quadrilátero

Decágono

Pentágono

Undecágono

Hexágono

Dodecágono

Heptágono

Pentadecágono

Octógono

Icoságono

Quadro 1 − Polígonos. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

O Quadro 1 mostra a você alguns exemplos de polígonos, sua classificação e número de lados. É importante que você reconheça esses polígonos para que leve em conta suas características quando representá-los, considerando os planos de projeção. Além do mais, você estará em contato direto com esses polígonos ao elaborar e interpretar projetos de edificações.

2.1.2 Projeção de figuras planas contidas em planos paralelos ao plano horizontal de projeção Você deve se lembrar de que um plano paralelo ao plano horizontal de projeção (π) é denominado plano horizontal ou plano de nível. Considere o quadrado (A)(B)(C)(D) contido num plano α paralelo ao plano horizontal de projeção (π) (Figura 1). Você pode notar que a projeção sobre o plano (π), quadrado ABCD, é o próprio quadrado inicial. Isso significa que o quadrado (A)(B)(C) (D) tem seus elementos (segmentos de reta) paralelos ao plano horizontal de projeção, logo, sua 40 Laureate- International Universities

projeção horizontal é a VG (verdadeira grandeza) da figura, e a projeção vertical é sobre uma única linha, como você pode visualizar em épura.

A'≡ D'

(π')

B'≡ C'

B' ≡ C'

A'≡ D'

(B)

(A)

(C)

(D) A

(π)

Figura 1 – Figura plana no plano horizontal ou de nível. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

2.1.3 Projeção de figuras planas contidas em planos paralelos ao plano vertical de projeção Como vimos anteriormente, um plano paralelo ao plano vertical de projeção (π’) é denominado plano frontal. Considere o quadrado (A)(B)(C)(D) contido em um plano β paralelo ao plano vertical de projeção (π’) (Figura 2). Você pode notar que a projeção sobre o plano (π’), quadrado A’B’C’D’, é o próprio quadrado inicial. Isso significa que o quadrado (A)(B)(C)(D) tem seus elementos (segmentos de reta) paralelos ao plano vertical de projeção, logo, sua projeção vertical é a VG (verdadeira grandeza) da figura, e a projeção horizontal é sobre uma única linha, como você pode visualizar em épura.

(x') β

(B) (A) C'

(x)

A≡D

B≡C

Figura 2 – Figura plana no plano frontal. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Como você pode ver, em relação à projeção de figuras planas contidas em planos paralelos a um dos planos de projeção, se estas têm os elementos que as compõem paralelos a um dos planos de projeção, nesse plano, sua projeção é igual a si própria, ou seja, a projeção é a VG (verdadeira grandeza) da figura.

2.1.4 Projeção de figuras planas contidas em planos perpendiculares aos planos horizontal e vertical de projeção Você deve recordar que um plano de perfil é o plano perpendicular aos planos de projeção (π) e (π’). Considere o quadrado (A)(B)(C)(D) contido num plano λ perpendicular aos planos horizontal e vertical de projeção (π) e (π’), ou seja, de perfil (Figura 3). Você pode notar que a projeção sobre o plano (π’) é o segmento de reta A’D’ ≡ B’C’, e a projeção sobre o plano (π) é outro segmento de reta AB ≡ CD.Acompanhe em épura.

(π') λ A≡B

(A)

(B)

C≡D

(D)

(C)

A≡B C≡D (π)

x A≡D

B≡C

A≡D

B≡C

Figura 3 – Figura plana no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Veja a projeção de um círculo (Figura 4) contido num plano de perfil λ e sua representação em épura.

γ A' A' (D) ≡ D' ≡ O' ≡ B'

(D) ≡ D' ≡ O' ≡ B'

(A)

D ≡ C'

(B)

D ≡ C' (C) ≡ C ≡ A ≡ O B

Figura 4 – Figura plana no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

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Com base nos exemplos acima, podemos concluir que no plano de perfil, a figura plana tem ambas as projeções reduzidas a um segmento de reta perpendicular à linha de terra.

NÃO DEIXE DE VER... Nesta entrevista com o matemático, professor universitário, teórico da educação matemática e um dos pioneiros no estudo da etnomatemática, Ubiratan D’Ambrosio, você perceberá o quanto a geometria está presente no nosso cotidiano, seja na natureza ou em objetos relacionados com a arquitetura e a arte. Assista ao vídeo disponível em: <http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/entrevista-ubiratan-dambrosio>.

2.2 Representação das figuras geométricas em relação aos planos projetantes oblíquos No tópico anterior, estudamos a representação de figuras planas contidas nos planos paralelos e no perpendicular aos planos de projeção. Agora, você vai saber como representar figuras planas contidas em planos oblíquos aos planos de projeção. Enquanto engenheiro civil, você encontrará situações em que haverá a presença de figuras planas contidas em planos não paralelos aos planos de projeção. Pense numa edificação. Imagine em um ambiente dessa edificação uma porta entreaberta. Em que plano está contida essa porta? E quanto ao plano que contém o caimento de uma das águas de um telhado de duas águas? Como representar, no projeto de uma edificação, uma rampa de acesso enElaborado pela autorada numa parede contida no plano vertical de projeção? Questões como essas serão respondidas por você assim que você compreender a representação de figuras planas contidas em planos oblíquos aos planos de projeção. Aprender sobre projeções de figuras planas contidas em planos paralelos e oblíquos aos planos de projeção também vai auxiliá-lo a compreender a representação de sólidos geométricos em relação aos planos projetantes. Vamos lá!

2.2.1 Representação de figuras geométricas planas situadas no plano de topo Você já sabe que o plano de topo é perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao horizontal. Logo, qualquer figura plana perpendicular ao plano horizontal de projeção (π) e oblíqua ao vertical (π’) pertence ao plano de topo. Neste caso, você deve observar que a projeção horizontal da figura será outra figura não representada em VG, e sua projeção vertical se reduz a um segmento de reta contido no traço vertical do plano, que é oblíquo à linha de terra, conforme você pode ver, em épura, na Figura 5.

Geometria descritiva

(απ')

απ' A' B'

A' (A)

α0 C

C' α0 (ππ')

(B) A

(C)

C B (απ)

(απ)

Figura 5 – Figura plana no plano de topo. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

A seguir, você verá a imagem de uma edificação (Figura 6) cujo telhado pertence a um plano de topo. A representação de parte do telhado dessa edificação no plano horizontal de projeção você visualizará na Figura 7.

Figura 6 – Telhado situado num plano de topo. Fonte:<http://www.tudoconstrucao.com/wp-content/uploads/2015/03/Telha-8.jpg>.

Você percebeu o quanto a Geometria Descritiva está presente no seu cotidiano? Então, vamos em frente!

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2.2.2 Representação de figuras geométricas planas situadas no plano vertical Você deve se lembrar de que um plano vertical é perpendicular ao plano horizontal de projeção, e oblíquo ao vertical. Logo, toda figura plana situada nessas mesmas condições pertence a um plano vertical. Sendo assim, você pode observar que a projeção vertical da figura será outra figura não representada em VG, e a projeção horizontal se reduzirá a um segmento de reta contido no traço horizontal do plano, que se apresenta oblíquo à linha de terra.

(απ') = απ'

(απ')

(π')

A' (α)

(A) (B)

α0

(απ) = απ B

A C

(π)

B (απ)

Figura 7 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

NÃO DEIXE DE VER... Assista ao vídeo Os sólidos de Platão, disponível no link: <http://www.dominiopublico. gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20831>. No vídeo, você vai compreender que a partir de triângulos se originam vários poliedros, e que particionando um cubo de diferentes formas obtém-se outros sólidos geométricos. Verá, também, que as faces de um poliedro são figura planas.

2.3 Inserção das figuras geométricas assentadas no plano não projetante No tópico anterior, estudamos a representação das figuras planas contidas nos planos projetantes, que são os planos perpendiculares aos planos (π) ou (π’). Agora, você aprenderá a representar figuras planas contidas em planos não projetantes, ou seja, figuras planas contidas nos planos oblíquos a (π) ou (π’), e que são denominados plano de rampa ou paralelo à linha 45

Geometria descritiva

de terra, plano passante ou que passa pela linha de terra, e plano qualquer, também conhecido como oblíquo. Em projetos de edificações, você vai se deparar com planos não projetantes, por exemplo, ao prever acessibilidade ou incluir lareiras de canto em um projeto. Para tanto, é importante que você saiba como representar figuras planas contidas nesses planos, pois se uma figura está contida em planos não projetantes, suas projeções são figuras distintas, da mesma natureza da figura objetiva, mas que não estão representadas em sua VG. Por falar em VG, neste capítulo você aprenderá, também, a representar a VG de figuras planas contidas em planos projetantes e não projetantes, utilizando os métodos auxiliares de projeção (rotação, rebatimento e mudança de plano). Vamos lá!

2.3.1 Representação de figuras planas no plano de rampa Você já sabe que plano de rampa é o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeção (π) e (π’). Assim, considerando figuras planas contidas no plano de rampa, você deve observar que os prolongamentos das projeções das retas pertencentes a este plano não se interceptam no mesmo ponto da linha de terra, conforme mostra a épura na Figura 8.

(π')

(απ')

α A'

(A)

B' (B)

(C)

(απ)

A B

C (π)

r' V'

απ'

s' B'

C M

απ'

M απ

Figura 8 – Figura plana no plano de rampa. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

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s απ

Você, enquanto engenheiro civil, deve observar a acessibilidade em alguns projetos de edificação. Na Figura 9, você pode ver uma rampa de acesso. A face superior da rampa é uma figura plana que está contida num plano de rampa.

10 centímetros

1,20 metro

Figura 9 – Rampa de acesso equivalente a um degrau de 10 cm de altura. Fonte: Macedo, 2013.

2.3.2 Representação de figuras planas no plano passante Você deve se lembrar de que o plano passante é o plano que contém a linha de terra e atravessa os diedros ímpares ou pares. Então, se uma figura está contida em um plano passante, os prolongamentos das projeções das retas pertencentes a este plano interceptam-se na linha de terra, ou seja, seus traços horizontal e vertical interceptam-se, coincidindo com a linha de terra, como mostra a Figura 11 a seguir.

Geometria descritiva

(π') A' B' (A)

(B)

B (C)

(απ) = (απ')

(π)

r' A'

B' S

C' r'

απ απ'

A' C B B' S'

απ απ'

C B S'

Figura 10 – Figura plana no plano passante. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Caso você considere o plano paralelo ao solo, e que contém a linha da tesoura de um telhado de duas águas, como sendo o plano horizontal de projeção; e o plano que contém a parede lateral, perpendicular ao plano horizontal, e também o ponto de encontro da asa com a linha da tesoura, como sendo o plano vertical de projeção, então, o plano que contém a asa da tesoura é um plano passante. Logo, o retângulo, que é a face mais comprida da ripa, é uma figura plana contida no plano passante (Figura 11).

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Figura 11 – Figura plana no plano passante (Perspectiva da suíte principal − Projeto Arquitetônico/Casa do Lago). Fonte: Nunes, 2012.

2.3.3 Representação de figuras planas no plano qualquer Como você já aprendeu, plano qualquer é todo plano oblíquo aos planos de projeção e à linha de terra. Sendo assim, por suas características específicas, você pode concluir que um plano qualquer só admite retas que não sejam perpendiculares a planos de projeção (verticais e de topo), ou paralelas a ambos os planos de projeção (fronto-horizontais). Então, um plano qualquer só admite retas quaisquer horizontais, frontais e de perfil.

απ'

(απ') A' (π') A'

(A)

B' r'

(B)

A C' (C) a0

A C

(απ)

B r

(π) απ

Figura 12 – Figura plana no plano qualquer. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Isso significa que retas verticais, de topo e fronto-horizontais nunca pertencerão a um plano qualquer. Com esse conhecimento, você pode deduzir que apenas figuras planas pertencentes a planos dos tipos passante, rampa e qualquer apresentarão como projeções vertical e horizontal outras figuras planas, pois esses não são projetantes a nenhum dos planos de projeção. A seguir, veja um exemplo de telhado cuja figura plana está contida em plano qualquer (Figura 13).

Figura 13 – Telhado situado num plano qualquer. Fonte:<http://www.tudoconstrucao.com/wp-content/uploads/2015/03/Telha-11.jpg>.

VOCÊ O CONHECE? Professor, escritor grego, célebre matemático, um dos primeiros geômetras e conhecido como “O pai da Geometria”. Euclides de Alexandria foi educado em Atenas e frequentou a Academia de Platão. Foi professor, a convite do rei Ptolomeu I, do Museu de Alexandria, no Egito. Escreveu várias obras, cobrindo tópicos desde óptica, astronomia, música e mecânica, até um livro sobre secções cônicas, sendo que boa parte de seu trabalho infelizmente se perdeu. Entre as obras que sobreviveram até hoje, temos: Os elementos, Os dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica.

Figura 14 – Euclides de Alexandria (325 a.C - 265 a.C). Fonte: Boyer (1974).

50 Laureate- International Universities

2.3.4 Verdadeira Grandeza (VG) de figuras planas A VG (verdadeira grandeza) representa a dimensão real dos elementos geométricos, e identificá-la é uma das funções da Geometria Descritiva. Para tal, você necessitará deixar as figuras planas paralelas ou pertencentes aos planos de projeção. Para tanto, é necessário utilizar os métodos auxiliares de projeção, que são a rotação, a mudança de plano de projeção ou o rebatimento. Você não fará uso desses métodos auxiliares se a figura plana estiver assentada em planos paralelos aos planos horizontal e vertical de projeção (π) ou (π’) que, então, já estará em VG numa das projeções, reduzindo-se a um segmento de reta na outra. Observe o exemplo a seguir.

(π') B2

A2 = C2 = A D2 (απ') (ππ')

D D1

(απ')

(α)

(π)

D2 A2 ≡ C2

(ππ') B1

C1 C1

Figura 15 – Figura plana no plano de nível. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Quando o plano da figura é perpendicular aos dois planos de projeção ou é perpendicular a um dos planos de projeção e oblíquo a outro, você poderá utilizar os métodos auxiliares a seguir:

I - Rotação: implica em criar um eixo pertencente ao plano da figura e fazer com que ela gire

em torno desse eixo até que seu plano fique paralelo, ou passe a pertencer a um dos planos de projeção. No método da rotação, a figura plana é girada em torno de um eixo vertical (a) ou de topo (b), como você verá a seguir. a) Rotação em torno do eixo vertical: você utilizará essa aplicação quando a figura pertencer a um plano de perfil (α) e, neste caso, deverá girá-la em torno de um eixo vertical (e) (Figura 16) que passa pelo vértice (A) da figura, até que esta fique paralela ao plano (π’).

Geometria descritiva

α C'B

C' A'

α C' A'

C'A

BA A

Figura 16 − Figura no plano de perfil girando em torno de um eixo vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Veja como executar a rotação do triângulo (ABC) em torno do eixo vertical e: Passo 1: Determine as projeções horizontal e vertical do triângulo (ABC) e construa a épura. Passo 2: Trace um eixo perpendicular e ao plano horizontal passando por (A). Passo 3: Com a ponta seca do compasso em A, rotacione as projeções B e C sobre o eixo e, determinando os pontos BR e CR. Passo 4: Como as cotas se mantêm, determine as projeções frontais de BR e CR, traçando paralelas à linha de terra passando por B’ e C’, conforme a Figura 16, e encontre a VG do triângulo (ABC). b) Rotação em torno do eixo de topo: você fará uso desse método quando a figura pertencer a um plano de perfil (α) e, neste caso, deverá girá-la em torno de um eixo de topo (e), que passa pelo vértice (B) da figura, girando-a até que esta fique paralela ao plano (π).

α C'B

α C' A'

C'A

(C)

C' A' B'

(A) (B)

A C A

B B

Figura 17 – Figura no plano de perfil girando em torno de um eixo de topo. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

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Veja como executar a rotação do triângulo (ABC) em torno do eixo de topo e: Passo 1: Determine as projeções horizontal e vertical do triângulo (ABC) e construa a épura. Passo 2: Trace o eixo e’, passando por B’, paralelo ao plano horizontal. Passo 3: Com a ponta seca do compasso em B’, rotacione as projeções A’ e C’ sobre o eixo e’. Passo 4: Como os afastamentos se mantêm, trace perpendiculares à linha de terra passando por A e C. Cruze essas informações e obtenha os pontos AR e CR, conforme a Figura 17, determinando a VG do triângulo. As projeções de AR e CR, conforme a Figura 17, e encontre a VG do triângulo.

II - Mudança de plano de projeção: consiste em construir um novo sistema de projeção or-

togonal através da criação de um terceiro plano de projeção, paralelo ao plano da figura e perpendicular ao outro. a) Mudança de plano vertical: figura pertencente a um plano de perfil (α) e um plano vertical de projeções (π’1), paralelo a (ABC) e, obviamente, perpendicular a (π) e a (π’). Como você vai fazer uma mudança de plano vertical, o novo sistema de projeção será constituído pelo plano horizontal (π), que não se altera, e (π’1), plano vertical desse novo sistema, cuja linha de terra é (ππ’1). Cabe ressaltar que a distância entre o plano da figura e o novo plano de projeção é inteiramente arbitrária, podendo, inclusive, ser nula, ou seja, podem ser coincidentes.

(π') (π'1) C'1 A'1 C' A'

(A) B'1

(C1)

(A1) (C)

(B1) (π)

(B)

A ≡ A1 C ≡ C1 B ≡ B1

(ππ')

C' A' B'

A'1

A B C

C'1 B'1

Figura 18 – Figura no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Veja como fazer a mudança de plano vertical do triângulo (ABC): Passo 1: Determine a nova linha de terra (ππ’1) perpendicular a (ππ’) e defina os traços do plano (π’1). Passo 2: Transfira as cotas do triângulo (ABC) para o novo sistema (ππ’1) e estas serão as cotas do triângulo (A1B1C1). Passo 3: Trace paralelas à (ππ’) passando por cada vértice do triângulo (ABC). Passo 4: Trace paralelas à (ππ’1) passando pelas cotas B’1, A’1 e C’1 e, nos pontos em que essas paralelas se encontrarem com as do Passo 3, serão os vértices do triângulo (A1B1C1). Então, defina-o. Passo 5: Trace as projeções horizontais dos vértices A1, B1 e C1. Em épura: Construa a épura do triângulo (ABC). Trace a segunda linha de terra (ππ’1) perpendicular à (ππ’). Construa as novas linhas de chamada, perpendiculares à (ππ’1), passando pelas projeções horizontais, que não se alteram. Para determinar as novas projeções frontais, com o auxílio de um compasso, copie as cotas A’, B’ e C’ do primeiro sistema para o novo sistema, determinando A’1, B’1 e C’1. Para definir a nova projeção do triângulo (ABC), ou seja, a projeção frontal em VG, basta você unir os pontos A’1, B’1 e C’1. b) Mudança de plano horizontal: figura pertencente a um plano de perfil (α) e um plano horizontal de projeções (π1), perpendicular a (ABC) e, obviamente, paralelo a (π). Como você vai fazer uma mudança de plano horizontal, o novo sistema de projeção será constituído pelo plano horizontal desse novo sistema (π1) e (π’), plano vertical que não se altera, cuja linha de terra é (ππ’1). Cabe ressaltar que a distância entre o plano da figura e o novo plano de projeção é inteiramente arbitrária, podendo, inclusive, ser nula, ou seja, podem ser coincidentes.

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(ππ') (π') (π'1)

A1 C'1≡ C' A'1≡ A' B'1 ≡B'

(A)

(C)

B1 (π) (B)

C'1 ≡ C' A'1 ≡ A'

B'1 ≡ B'

A B C

Figura 19 – Figura no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Veja como fazer a mudança de plano horizontal do triângulo (ABC): Passo 1: Trace paralelas a (ππ’), passando pelas cotas A’, B’ e C’, até (π1π’), determinando A’1, B’1 e C’1. Passo 2: Trace paralelas ao traço horizontal de α, passando por A’1, B’1 e C’1. Passo 3: Trace paralelas à (ππ’) passando pelos vértices do triângulo (ABC). Onde cada paralela cruzar com os traços do Passo 2, são as projeções horizontais no novo sistema (π1π’). Unindo esses pontos, você obtém a VG. Passo 4: Trace paralelas à (ππ’1) passando pelas cotas B’1, A’1 e C’1 e, os pontos em que essas paralelas se encontrarem com as do Passo 3, serão os vértices do triângulo (A1B1C1).Então, defina-o. Passo 5: Trace as projeções horizontais dos vértices A1, B1 e C1.

Geometria descritiva

Em épura: Construa a épura do triângulo (ABC). Trace a segunda linha de terra (π1π’) perpendicular à (ππ’). Construa as novas linhas de chamada, perpendiculares à (π1π’), passando pelas projeções verticais, que não se alteram. Para determinar as novas projeções horizontais, com o auxílio de um compasso, copie os afastamentos A, B e C do primeiro sistema para o novo sistema, determinando A1, B1 e C1. Para definir a nova projeção do triângulo (ABC), ou seja, a projeção horizontal em VG, basta você unir os pontos A1, B1 e C1.

III - Rebatimento: é um caso particular do método de rotação. O eixo de rotação é um dos

traços do plano da figura que, após o giro, coincide com o plano de projeção cujo traço foi considerado como eixo. a) Rebatimento em torno do traço vertical: é o método que você utilizará quando a figura pertencer a um plano de perfil (α) e girará em torno de um eixo (e), coincidente com o traço vertical do plano, até que a figura pertença ao plano (π’).

(απ') ≡ (e) ≡ e' A' B'

A' B'

(π')

A'1 B'1

(A) C' e

(B)

C' (C) A

(π)

C B

C'1

A C B

Figura 20 – Figura no plano de perfil girando em torno de um eixo coincidente com o traço vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Construa a épura do triângulo (ABC). Você vai rebater o triângulo em torno de um eixo vertical coincidente com o traço vertical de α. Para tanto, você vai rebater sobre ππ’ os afastamentos A, B e C, posicionando-os em um plano frontal. Dessa forma, eles passam a ser A1, B1 e C1. Estando os afastamentos em um plano frontal, as cotas permanecem as mesmas. Em seguida, trace paralelas à ππ’ passando por A’, B’ e C’. A seguir, cruze as informações unindo com um traço perpendicular à ππ’ passando pelos pontos A1, B1 e C1, os pontos A1 e A’, B1 e B’, C1 e C1, determinando, assim, as projeções frontais do triângulo em VG, que são A’1, B’1 e C’1. b) Rebatimento em torno do traço horizontal: você utilizará esse método quando a figura pertencer a um plano de perfil (α). Rotacione a figura em torno de um eixo (e), coincidente com o traço horizontal do plano, até que ela passe a pertencer ao plano (π). 56 Laureate- International Universities

(απ') ≡ (e) ≡ e' A' B'

(π')

(A) (B)

C' (C) A

(π)

C B

α (απ) ≡ (e) ≡ e

A' B' C' e' C'

B' A'

A C B

A1 C1 B1

(απ) Figura 21 – Figura no plano de perfil girando em torno de um eixo coincidente com o traço horizontal. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Construa a épura do triângulo (ABC). Você vai rebater o triângulo em torno de um eixo horizontal coincidente com o traço horizontal de α. Para tanto, você vai rebater, com o auxílio de um compasso com a ponta seca em e, sobre ππ’ as cotas A’, B’ e C’, posicionando-as em um plano horizontal, que passam a ser A’1, B’1 e C’1. Estando as cotas em um plano horizontal, os afastamentos permanecem os mesmos, então, trace paralelas à ππ’ passando por A, B e C. A seguir, cruze as informações unindo, com um traço perpendicular à ππ’ passando pelos pontos A’1, B’1 e C’1, os pontos A e A’1, B e B’1, C e C’1, determinando, assim, as projeções horizontais do triângulo em VG, que são A1, B1 e C1.

IV - Rotação em torno de um eixo pertencente ao plano da figura e paralelo a um dos planos de projeção: neste caso, para obter a VG da figura, basta rotacioná-la em torno desse

eixo até que seu plano fique paralelo ao plano de proteção. Agora que você já conhece os métodos auxiliares de projeção, irá aprender como determinar a verdadeira grandeza de figuras planas situadas em planos verticais, fazendo uso desses métodos. a) Rotação em torno do eixo vertical: neste caso, você tem a figura pertencente a um plano vertical (α), as projeções do eixo de topo (e) usado como eixo de rotação, e a VG do triângulo.

(απ') e' (e)

απ' C'1

B'1

B' (B)

α0

A' α0 O0

(A) A≡e

(α)

(απ)

A ≡ A1 ≡ e C D

απ

(π)

Figura 22 – Figura no plano de vertical. Fonte: Abreu,2014.

Passo 1: Construa a épura do triângulo (ABC). Passo 2: Trace o eixo e’ paralelo ao traço vertical de α, passando por A’. Passo 3: Ao rotacionarmos a figura em torno de um eixo vertical, esta passará a pertencer a um plano frontal, portanto, as cotas não variam. Com o auxílio de um compasso, gire, em torno do eixo e’, os pontos B e C sobre a projeção horizontal do eixo e, determinando B1 e C1, que são as projeções horizontais da figura rotacionada. A partir desses pontos, erga paralelas ao eixo e’. Passo 4: Trace paralelas à ππ’ passando por B’ e C’ e cruze-as com as informações do Passo 3, determinando os pontos B’1 e C’1 que, unidos, são a VG do triângulo (ABC). b) Rebatimento em torno do traço vertical: nessa situação, você tem a figura contida em 58 Laureate- International Universities

um plano vertical (α) e um eixo (e), coincidente com o traço vertical do plano, em torno do qual a figura vai girar até que passe a pertencer ao plano (π’).

(απ') ≡ (e) ≡ e'

C' (α)

(B) A' α ≡e

(A) A

(απ)

C'1

(π)

B'1 A'1

O0 B1

A' O0 ≡ e

A B C

(απ) Figura 23 – Figura no plano de vertical. Fonte: Abreu, 2014.

Passo 1: Construa a épura do triângulo (ABC). Passo 2: Como o eixo e é paralelo ao traço vertical de α, e’ coincide com o traço vertical de α. Passo 3: Com o auxílio de um compasso, rebata sobre (ππ’) as projeções horizontais A, B e C do triângulo determinando A1, B1 e C1. Passo 4: Trace paralelas à (ππ’) passando por A’, B’ e C’, pois a figura está girando em torno do traço vertical de α, portanto, as cotas não se alteram. Então cruze-as com as perpendiculares à 59

Geometria descritiva

(ππ’) e que passam por A, B e C, determinando os pontos A’1, B’1 e C’1 que unidos são a VG do triângulo (ABC). c) A figura pertencente a um plano vertical (α) e a um plano vertical de projeções (π’1), paralelo a (ABC) e, obviamente, perpendicular a (π) e a (π’): o novo sistema de projeções será constituído pelo plano horizontal (π), que não se altera, e (π’1), plano vertical desse novo sistema, cuja linha de terra é (ππ’1). A distância entre o plano da figura e o novo plano de projeção é arbitrária, podendo ser, inclusive, nula, ou seja, podem ser coincidentes.

(απ')

(π')

(A)

(π'1)

(ππ')

C (B)

(απ) C' B' O0 C ≡ C1 C'1

A ≡ A1

B ≡ B1 A'1 B'1 Figura 24 – Mudança de plano vertical. Fonte: Abreu, 2014.

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Passo 1: Construa a épura do triângulo (ABC). Passo 2: Trace a segunda linha de terra paralela ao traço horizontal do plano que contém a figura. Passo 3: Trace as linha de chamada perpendiculares à segunda linha de terra, passando pelos pontos A, B e C. Passo 4: Para representar as novas projeções frontais, com o auxílio de um compasso, tome as medidas das cotas do primeiro sistema e transfira-as para as novas linhas de chamada, determinando os pontos A’1, B’1 e C’1. Unindo esses pontos você determina, então, a VG do triângulo. A seguir, veja como determinar a VG de figuras situadas em planos de topo. a) Rotação em torno de um eixo de topo: a figura pertencente a um plano de topo (α)e às projeções do eixo de topo (e), usado como eixo de rotação.

(απ') A'

(π')

(A) B' C' ≡ e'

(α) (C)

(B)

(ππ')

B (e)

(απ)

(π)

B' A'1

B'1

C' ≡ C'1 ≡ e'

C ≡ C1

B1 e

Figura 25 – Figura no plano de vertical. Fonte: Abreu, 2014.

Geometria descritiva

Passo 1: Construa a épura do triângulo (ABC). Passo 2: Trace o eixo e paralelo ao traço horizontal de α, passando por C. Passo 3: Ao rotacionarmos a figura em torno de um eixo horizontal, esta passará a pertencer a um plano horizontal, portanto, os afastamentos não variam. Com o auxílio de um compasso, gire, em torno do eixo e, os pontos B’ e A’ sobre a projeção vertical do eixo e, determinando B’1 e A’1, que são as projeções verticais da figura rotacionada e, a partir desses pontos, erga perpendiculares ao eixo e’, ou seja, linhas de chamada. Passo 4: Trace paralelas à (ππ’) passando por A e B e cruze-as com as informações do Passo 3, determinando os pontos B1 e A1. Não se esqueça de que o ponto C gira em torno de si mesmo. Una os pontos C, B1 e A1 e determine a VG do triângulo. b) Rebatimento em torno do traço horizontal: a figura pertencente a um plano de topo (α) e um eixo (e), coincidente com o traço horizontal do plano, em torno do qual a figura vai girar até pertencer ao plano (π).

(απ') A'

(π')

(A) B' C'

(α) (C)

O0 ≡ e'

(B)

(ππ')

(απ) ≡ (e)

(π)

(απ) A'

B' O0 A' 1

B'1

C'1 C1

B1 απ ≡ e

Figura 26 – Figura no plano de vertical. Fonte: Abreu, 2014.

62 Laureate- International Universities

Passo 1: Construa a épura do triângulo (ABC). Passo 2: Como o eixo e coincide com o traço horizontal de α, com o auxílio de um compasso, rebata os pontos A’, B’ e C’ sobre (ππ’), determinando os pontos A’1, B’1 e C’1. Passo 3: Trace perpendiculares à (ππ’) passando por A’1, B’1 e C’1, ou seja, as linhas de chamada. Passo 4: Como a figura está girando em torno do traço horizontal de α, os afastamentos não se alteram. Trace paralelas à (ππ’) e cruze-as com as linhas de chamada do Passo 3, determinando os pontos A1, B1 e C1 que, unidos, são a VG do triângulo (ABC).

Mudança de plano horizontal: você, optando pela mudança de plano horizontal, tem a figura

pertencente a um plano de topo (α).O plano vertical de projeção (π’) é mantido, e (π1) é o plano horizontal de projeção do novo sistema, cuja linha de terra é (π1π’).

(απ') A'

(π')

(π1)

(A) B' C'

(α) (C)

O0 ≡ e' O0

(B)

(ππ')

(π1π')

(απ)

(π)

A' ≡ A'1 C1 O0

B' ≡ B'1 C' ≡ C'1

C A

απ

Figura 27 – Mudança de plano horizontal. Fonte: Abreu, 2014.

Geometria descritiva

Figura contida em plano paralelo à linha de terra: quando a figura pertencente a um plano

(α) paralelo à linha de terra, um plano (π1) perpendicular a (α) e a (π’), será o plano horizontal de projeções de um novo sistema. Você deverá observar que, neste novo sistema, o plano (α) passa a ser um plano vertical, pois fica perpendicular a (π1). Na segunda mudança, você fará o plano (α) coincidir com (π’2), plano vertical do segundo sistema, que lhe dará a VG do triângulo (ABC).

(π1π') (π1π'1)

(π')

A'1

(π1)

(A) B'1

(απ')

C' (B)

C'1 (C)

(P1)

(ππ')

(π)

(απ)

(απ')

B'2

π1π'

(π1π'2)

A'2 C'2

A1 ≡ A2 B1 ≡ B2 C' ≡ C'1

ππ'

C1 ≡ C2

A B C απ P Figura 28 – Mudança de plano horizontal. Fonte: Abreu, 2014.

Figuras situadas em planos oblíquos à linha de terra: considere uma figura plana contida

em um plano qualquer (α) oblíquo a (π) e a (π’), e um plano (π’1), perpendicular a (α) e a (π), que será o plano vertical de projeção de um novo sistema. Observe que, neste novo sistema, o 64 Laureate- International Universities

plano (α) passa a ser um plano de topo, pois fica perpendicular a (π’1). Na segunda mudança, você deverá fazer o plano (α) coincidir com (π2), plano horizontal do segundo sistema que lhe dará a VG do triângulo (ABC).

(π1π'2)

(απ')

(π'1) (π')

A'1

(A)

B' C'

(ππ')

(B) A

(C)

B'1 C'1

(απ)

(O0)

(ππ'1) (π) απ'

C' A ≡ A1

B ≡ B1

C ≡ C1 B'1 ≡ B'2 C'1 ≡ C'2 A2

A'1 ≡ A'2

απ C2

Figura 29 – Mudança de plano horizontal. Fonte: Abreu, 2014.

Quando você trabalhar com uma figura plana contida num plano qualquer, não será possível fazer a inserção de um novo plano, ao mesmo tempo, paralelo ao plano oblíquo (que contém a figura) e perpendicular a um dos planos de projeção, a fim de obter a VG da figura. Será necessário, então, que você realize duas mudanças de planos sucessivas, cada uma mantendo o perpendicularismo entre os planos de projeção. 65

Geometria descritiva

Você deverá fazer a primeira mudança inserindo um novo plano de projeção perpendicular à figura ou ao plano que a contém. Nesse novo sistema, a figura pertencerá a um plano que será tratado como vertical ou de topo (plano projetante). Na segunda mudança de plano, você deverá traçar um novo plano paralelo ao plano de topo obtido com a primeira mudança, de modo a obter a VG da figura. Proceda da seguinte forma: 1. Crie um plano perpendicular ao plano da figura. Se você fixar as projeções horizontais do sistema original, este novo plano será o plano vertical do novo sistema. Sua intersecção com o plano horizontal será perpendicular às retas horizontais do plano (inclusive seu traço horizontal).

(π1π'2)

(απ')

(π'1) (π')

(A)

A'1

B' C'

(ππ')

(B) A

B'1 C'1

(απ)

(α0) (ππ'1) (π)

Figura 30 – Figura plana no plano qualquer. Fonte: Abreu, 2014.

2. Você deve projetar o triângulo (ABC) no novo sistema. A projeção horizontal é mantida.

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απ'

B A

απ C

Perpendicular ao traço

Figura 31 – Projeção do triângulo (ABC) no novo sistema após a primeira mudança de plano. Fonte: Abreu, 2014.

3. As projeções verticais são obtidas transferindo-se as cotas de (A), (B) e (C) para o novo sistema, a partir da nova linha de terra.

απ'

B A

απ C

A'1

C'1

B'1

Figura 32 – Projeções verticais do triângulo (ABC) no novo sistema. Fonte: Abreu, 2014.

4. No novo sistema, após a mudança de plano vertical, a figura já passou a pertencer a um plano de topo. 5. Você deverá criar, agora, um novo plano de projeção paralelo ao plano de topo obtido com a primeira mudança. 67

Geometria descritiva

6. No novo sistema, após a nova mudança de plano horizontal, as projeções verticais dos pontos serão mantidas.

απ'

B A

απ C

A'1

C'1

B'1

Figura 33 – Plano de projeção paralelo ao plano de topo obtido com a primeira mudança. Fonte: Abreu, 2014.

7. A projeção horizontal será obtida transferindo-se os afastamentos para o segundo sistema. Você encontrará, assim, a VG da figura.

απ'

B A

απ C

A'1

C'1

B'1 -1

b1 A1

Figura 34 – Projeção horizontal do triângulo (ABC) na segunda mudança de plano e obtenção da VG. Fonte: Abreu, 2014.

68 Laureate- International Universities

Caso os traços não sejam dados, você utilizará retas frontais ou horizontais pertencentes à figura (e, portanto, ao plano), como uma maneira de orientar o perpendicularismo, simultaneamente entre o novo plano, o plano em que a figura está contida, e um dos planos de projeção original. A intersecção de um plano perpendicular a um plano qualquer, e ao mesmo tempo ao plano horizontal de projeção, será perpendicular a todas as retas horizontais que a ele pertencer. A intersecção de um plano perpendicular a um plano qualquer, e ao mesmo tempo ao plano vertical de projeção, será perpendicular a todas as retas frontais que a ele pertencer. Nestes casos, basta que você trace uma reta horizontal ou frontal pertencente à figura, e trace a nova linha de terra em função dela (perpendicular à projeção oblíqua à linha de terra). Acerca de figuras planas contidas num plano qualquer, você deve observar:

• Figuras planas num plano genérico necessitam de duas mudanças sucessivas de plano. • Se a primeira for horizontal, a segunda terá que ser vertical (e vice-versa). • Se a primeira for vertical, você manterá as projeções horizontais e transformará o plano

da figura de um plano qualquer em um plano de topo (projetante). Depois transformará o plano de topo em plano horizontal, para encontrar a VG.

• Se, ao contrário, a primeira mudança for horizontal, você manterá as projeções verticais e

transformará o plano da figura de um plano qualquer para um plano vertical (projetante). Em seguida, transformará o plano vertical em plano frontal para encontrar a VG.

•

Caso os traços não sejam dados, você utilizará retas frontais ou horizontais para encontrar a direção (perpendicular) do novo plano. Logo, se a primeira mudança for vertical, você utilizará uma reta horizontal para encontrar a direção do novo plano e, se a primeira mudança for horizontal, você utilizará uma reta frontal para encontrar a direção do novo plano.

Assim, você concluiu o estudo sobre representação de figuras planas pelo Método Mongeano.

NÃO DEIXE DE LER... A história nos conta que tudo o que conhecemos sobre matemática, física e outras áreas do conhecimento nos foi proporcionado pela observação da natureza, desde os mais remotos tempos. Você quer saber um pouco mais sobre esse assunto? Então não deixe de ler o artigo de Milton Vargas sobre a história da matematização da natureza, disponível em: http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-40141996000300011&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt>.

Síntese Síntese

• Você aprendeu que as figuras planas podem estar contidas em planos projetantes e não projetantes.

• Quando as figuras estão contidas em planos projetantes paralelos aos planos de projeção (nível, frontal e perfil), a VG: é a projeção horizontal quando a figura pertence a um plano de nível; ou é a projeção vertical quando a figura pertence a um plano frontal. As projeções horizontal e vertical são reduzidas a segmentos de reta perpendiculares à linha de terra quando a figura pertence a um plano de perfil.

• Quando as figuras estão contidas em planos projetantes oblíquos aos planos de projeção

(topo e vertical), sua projeção horizontal será outra figura não representada em VG, e sua projeção vertical se reduz a um segmento de reta contido no traço vertical do plano, que é oblíquo à linha de terra, quando a figura estiver contida num plano de topo.A projeção vertical da figura será outra figura não representada em VG, e a projeção horizontal se reduzirá a um segmento de reta contido no traço horizontal do plano, que se apresenta oblíquo à linha de terra quando a figura estiver contida num plano vertical.

• Quando as figuras estão contidas em planos não projetantes (rampa, passante e qualquer), as projeções horizontal e vertical não representam a VG da figura de origem.

• Você

aprendeu, também, a determinar a VG de figuras planas contidas em planos projetantes e não projetantes, fazendo uso dos métodos auxiliares de projeção (rotação, mudança de plano e rebatimento).

70 Laureate- International Universities

Referências Bibliográficas

ABREU, L. M. Figuras planas - projeções e verdadeira grandeza. Material didático de Geometria Descritiva para o Desenho Técnico da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014. BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. CARVALHO, C. Projetos de telhados: 15 modelos. Disponível em: <http://www.tudoconstrucao.com/projetos-de-telhados-15-modelos.html>. Acesso em: 30 mai. 2015. MACEDO, D. Casa livre de obstáculos. Revista Veja, São Paulo, ed. 2318, v. 46, n. 17, p. 118-119, abr. 2013. NUNES, C. Projeto Executivo-Perspectiva da Suíte Principal - Casa do Lago - Ibiraquera/SC, 2012. Disponível em: <http://carolinanunes.arq.br/?page_id=52>. Acesso em: 5 jun. 2015. PINHEIRO, V. A. Noções de Geometria Descritiva.v. 2. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1967. PRINCIPE JR, A.R. Noções de geometria descritiva. v. 2. São Paulo: Nobel, 1983. RODRIGUES, A. Geometria Descritiva: Operações fundamentais e poliedros. 6. ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1964. TV ESCOLA. Arte e Matemática. Disponível em: <http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/arte -e-matematica-forma-dentro-da-forma>. Acesso em: 29 mai. 2015. _______. Entrevista Ubiratan D’Ambrosio. Disponível em: http://tvescola.mec.gov. br/tve/ video/entrevista-ubiratan-dambrosio. Acesso em: 29 mai. 2015. ______. Os sólidos de Platão. Disponível em: <http://www.dominiopublico.gov.br/ pesquisa/ DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20831>. Acesso em: 25 mai. 2015. VARGAS, M. História da matematização da natureza. Estudos Avançados, São Paulo, v. 10, n. 28, set./dez. 1996. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid =S0103-40141996000300011&lng=pt&nrm=iso&tlng=pt>. Acesso em: 25 mai. 2015.

Capítulo 3 Representação e projeção dos sólidos geométricos nos planos projetantes e não projetantes Introdução Neste capítulo, você vai aprender como representar sólidos geométricos, ou poliedros, nos planos projetantes e não projetantes, de forma a auxiliá-lo na elaboração e interpretação de projetos de engenharia civil. Não há edificação sem o concurso e a definição das suas formas geométricas. Seja um simples edifício na forma de um prisma, que é bastante comum; sejam outros em forma cilíndrica, piramidal ou cônica, mais raros; ou, ainda, os projetos contemporâneos, aparentemente caóticos e sem formas definidas, mas que são traçados a partir de novos conceitos geométricos, auxiliados por novas ferramentas de computação. Como a edificação é uma obra construída, o processo de sua produção deve passar, obrigatoriamente, pela elaboração e pelo desenvolvimento de um projeto. Para a elaboração de projetos, como desenhos ou modelos, são necessários dados objetivos, medidas, escalas, construções de figuras geométricas gráficas, corretas e precisas. É nessa fase que a geometria se apresenta como uma indispensável ferramenta e uma inseparável aliada na determinação e construção dos volumes e espaços concebidos, por meio da combinação das suas variadas formas geométricas. Olhando ao redor, você é capaz de relatar os sólidos geométricos visualizados nas edificações? Observando as fachadas das construções civis, você pode visualizar algumas estruturas. Que objetos tridimensionais você consegue ver? Que sólidos geométricos você identifica? Uma edificação lhe fornece uma imagem tridimensional. Sendo assim, como representá-la em um projeto de edificação? Tais representações estarão presentes no cotidiano do exercício de sua profissão como engenheiro civil. Então, você notará que os sólidos geométricos caracterizam ambientes, reservatórios de água, fachadas e até mesmo coberturas. Assim, tanto para elaborar quanto para interpretar projetos de edificação, você necessitará do conhecimento que irá adquirir neste capítulo. Esforce-se para ampliar sua habilidade de visão espacial para que, assim, você consiga interpretar as imagens que verá a seguir e compará-las com os conceitos e definições. Vamos lá!

Geometria descritiva

3.1 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos aos planos de projeção Em situações reais, você, enquanto engenheiro civil, projetará edificações e precisará representar no plano bidimensional uma ideia tridimensional. Você terá que definir a representação de um ginásio de esportes, de uma igreja ou de um conjunto de apartamentos, por exemplo. Essas representações serão feitas em um plano bidimensional, que é o projeto, e tais ideias assumirão a forma de figuras geométricas planas. A arquitetura contemporânea caracteriza-se por projetos sem linhas definidas e um tanto quanto caóticos, fazendo uso de composições de sólidos geométricos. Como representar edificações compostas pela junção de prismas, pirâmides e corpos redondos em um plano bidimensional? Projetos modernos também se utilizam de sólidos geométricos para compor uma edificação. Como representar essas edificações? No mundo todo, temos exemplos de edificações que são referência arquitetônica para projetos de edificações. Como exemplo, você pode observar o Galaxy Soho, localizado em Pequim, na China. Como representar a fachada desse conjunto de prédios? Qual a projeção horizontal do Galaxy Soho? E sua projeção vertical? No Brasil, também temos vários exemplares de prédios modernos e contemporâneos. Observe a arquitetura do Museu Iberê Camargo, no Rio Grande do Sul, e os prédios do MAC e do MAR, no Rio de Janeiro. Como representar essas edificações em um plano bidimensional? Você terá condições de responder a perguntas como essas após conhecer as representações de sólidos geométricos segundo os planos projetantes paralelos aos planos de projeção. Vamos lá!

3.1.1 Definição de sólido geométrico e poliedro Sólidos geométricos são volumes que têm na sua constituição figuras geométricas e podem ser poliedros, se só tiverem superfícies planas, ou não poliedros, se tiverem superfícies planas e curvas. Poliedro é todo sólido limitado por polígonos planos que tem, dois a dois, um lado comum. Esses polígonos planos são as faces do poliedro, cujos lados e vértices são, respectivamente, as arestas e os vértices do poliedro. Um poliedro é convexo quando, em relação a qualquer de suas faces, ele está todo situado em um mesmo lado, determinado pelo plano da referida face. Os poliedros podem ser regulares ou irregulares. Entre os poliedros irregulares, estão os prismas e as pirâmides. Prisma é o poliedro no qual duas faces, chamadas bases, estão situadas em planos paralelos, e as outras faces, que são as faces laterais, são paralelogramos que têm um lado comum com cada uma das bases. Quando as faces laterais são retângulos, o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo. Pirâmide é o poliedro no qual uma das faces, chamada base, é um polígono qualquer, e as outras faces, as faces laterais, são triângulos que têm um lado comum com o polígono da base e concorrem todos em um ponto, que é o vértice da pirâmide. A pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a altura da pirâmide, perpendicular traçada do vértice ao plano da base, tem seu pé no centro dessa base; caso contrário, é irregular ou oblíqua. 74 Laureate- International Universities

Há ainda os sólidos de revolução, que são corpos gerados por meio da rotação de superfícies planas em torno de um eixo. Você, certamente, conhece três sólidos de revolução, que são o cone, o cilindro e a esfera. O cone é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do eixo que contém um dos catetos. Quando o eixo é perpendicular ao plano da base, o cone é reto; quando o eixo é oblíquo ao plano da base, então, o cone é oblíquo. O cilindro é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados. Quando o cilindro apresenta o eixo perpendicular aos planos das bases, denomina-se reto; quando o eixo é oblíquo aos planos das bases, é oblíquo. A esfera é gerada pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Veja, a seguir, a classificação e as subclassificações dos sólidos geométricos:

Tetraedro (4 faces) Hexaedro (6faces) Octaedro (8 faces) Dudecaedro (12 faces) Icosaedro (20 faces)

Poliédros

Regulares

Reto Prisma

Oblíquo Regular

Sólidos geométricos

Irregulares

Reta Pirâmide

Oblíqua Regular

Reto Cone Sólidos de revolução

Oblíquo Cilindro

Reto Oblíquo

Esfera Figura 1 – Poliedros. Fonte: Ferreira, 2013.

Geometria descritiva

A Figura 1 mostra a você a classificação dos sólidos geométricos e, também, suas subclassificações. É importante que você reconheça esses sólidos para que leve em conta suas características quando representá-los, considerando os planos de projeção. Além do mais, você estará em contato direto com esses polígonos ao elaborar e interpretar projetos de edificações.

3.1.2 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos ao plano horizontal de projeção Representar um poliedro por uma épura é determinar as projeções de seus vértices, arestas e faces. É, também, distinguir as partes vistas das ocultas. Seja qual for a posição que um poliedro ocupe em relação aos planos de projeção, os vértices serão pontos, e as arestas, retas e faces serão planos. Para representar um poliedro, você deve projetar seus vértices e ligar essas projeções, duas a duas, de uma forma conveniente, ou seja, atendendo às projeções das arestas e à sua pontuação. É necessário, também, você saber que o contorno aparente da projeção de um poliedro é o polígono convexo de maior perímetro que você pode formar com as projeções dos vértices do poliedro no plano considerado. Observe que, na Figura 2, você tem um sólido no espaço, com cinco vértices (A, B, C, D e E), cujas projeções horizontal e vertical lhe permitem conhecer quais são os elementos vistos em ambas as projeções.

ππ'

D' C'

Figura 2 – Prisma reto de base no plano horizontal de projeção. Fonte: Rodrigues, 1964.

76 Laureate- International Universities

A seguir, você verá como representar os poliedros que têm base ou face assentada em planos projetantes paralelos aos planos de projeção.

• Prisma reto de base no plano horizontal Considere o prisma representado na Figura 2. Trata-se de um prisma reto de base pentagonal regular sobre o plano horizontal de projeção. As bases superior e inferior, sendo polígonos iguais e paralelos, têm uma única projeção horizontal, que é a VG do polígono. A base superior é vista e a inferior é oculta. Como as projeções coincidem, o contorno aparente horizontal é representado pelo polígono ABCDE. A projeção vertical das bases é representada por duas paralelas à linha de terra, sendo a inferior a própria linha de terra. As arestas projetam-se verticalmente, em VG, nas perpendiculares à linha de terra. O contorno aparente vertical é o retângulo A'A''C''C', limite da projeção vertical do sólido. A interseção de faces visíveis resulta em arestas visíveis e, da mesma forma, a interseção de faces invisíveis resulta em arestas invisíveis, exceto no caso da aresta do contorno aparente, que é a interseção de uma face visível com outra invisível.

• Pirâmide regular de base no plano horizontal A projeção horizontal de uma pirâmide regular de base no plano horizontal é dada pela VG do polígono da base, pela projeção horizontal do vértice, coincidindo com o centro do polígono da base, e pelas projeções horizontais das arestas, retas que se determinam a partir da união das projeções horizontais dos vértices da base com a projeção horizontal do vértice da pirâmide, como mostra a Figura 3.

ππ'

A' B'

G' G

F' E'

Figura 3 – Pirâmide regular de base no plano horizontal de projeção. Fonte: Rodrigues, 1964.

Geometria descritiva

Todos os elementos são vistos na projeção horizontal. A base tem as projeções verticais de seus vértices na linha de terra porque está assentada no plano horizontal de projeção. A altura da pirâmide é dada em VG na projeção vertical, pois se trata de uma reta vertical e sua extremidade determina a projeção vertical do vértice. Já as projeções verticais das arestas são dadas pelas retas resultantes da união das projeções verticais dos vértices da base com a projeção vertical do vértice da pirâmide. O contorno aparente vertical é o triângulo A'V'E', limite da projeção vertical do sólido. As faces visíveis são separadas das ocultas pelas arestas A'V' e V'E' do contorno.

• Pirâmide de base quadrada apoiada no plano de nível Considere uma pirâmide reta de base quadrada apoiada em um plano de nível α (Figura 4), sendo que a ela são dados o lado AB da base e sua altura h.

(π')

α (π)

Figura 4 – Pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de nível. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

απ'

ππ' B

Figura 5 – Dados da pirâmide reta de base quadrada. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

78 Laureate- International Universities

Observe, na Figura 5, que a cota do lado AB pertence ao plano de nível e, por isso, a projeção frontal coincide com o traço do plano απ'. Como a base da pirâmide está apoiada em um plano de nível, ela aparece em VG no plano horizontal, determinada pelo quadrado ABCD. A seguir, suba as linhas de chamada, interceptando a linha de terra até o plano de nível, dando origem aos pontos A', B', C' e D' (Figura 6).

απ'

ππ' B

A C

Figura 6 – Projeções horizontal e vertical da base da pirâmide reta de base quadrada. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Para representar o sólido, você deverá traçar a altura determinada pelo centro da base e o vértice da pirâmide. Como o sólido está apoiado em um plano de nível que é paralelo ao plano horizontal de projeção, sua altura é uma reta vertical OV. Na épura, a altura é traçada a partir do traço απ' (Figura 7).

O' A'

απ'

ππ' B

A O=V C

Figura 7 – Projeção da altura da pirâmide reta de base quadrada. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Trace as projeções horizontais das arestas, unindo as projeções horizontais dos vértices da base com a projeção horizontal do vértice da pirâmide. Em seguida, determine as projeções verticais das arestas, unindo as projeções verticais dos vértices da base com a projeção vertical do vértice da pirâmide (Figura 8).

D' O' B'

απ'

ππ' B

O=V C

Figura 8 – Projeções horizontal e vertical da pirâmide reta de base quadrada. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

• Prisma apoiado no plano de nível Considere agora um hexaedro assentado em um plano de nível α, conforme mostra a Figura 9.

(π')

(B)

(A) (C)

(D)

(E) (F) (H)

(G)

(π)

Figura 9 – Hexaedro assentado no plano de nível. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

80 Laureate- International Universities

Observe a Figura 10 e note que, na projeção vertical, as faces (A)(D)(H)(E) e (B)(C)(G)(F) coincidem e, portanto, são visíveis na épura; na projeção horizontal, as faces (A)(B)(C)(D) e (E)(F)(G) (H) também coincidem. Na épura (Figura 11), tanto a projeção horizontal quanto a vertical são representadas por quadrados com as faces sobrepostas duas a duas.

(π')

(A)

A' ≡ B'

(B) (C)

(D)

D' ≡ C' E' ≡ F' H' ≡ G'

(E) (H)

(G)

A≡E D≡H

(F)

B≡ F

C≡G (π)

Figura 10 – Projeções do hexaedro assentado no plano de nível. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

D' ≡ C'

A' ≡ B'

H' ≡ G'

E' ≡ F'

D≡H

A≡E

C≡G

F≡ B

Figura 11 – Projeções do hexaedro assentado no plano de nível. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

Geometria descritiva

3.1.3 Os sólidos geométricos nos planos projetantes paralelos ao plano vertical de projeção Considere o prisma representado na Figura 12. Trata-se de um prisma reto de base quadrada sobre o plano vertical de projeção. As bases frontais, sendo polígonos iguais e paralelos, têm uma única projeção vertical, que é a VG do polígono. A base frontal é vista e a que se encontra sobre o plano vertical é oculta.

(π')

D' ≡ H'

(D) (A)

A' ≡ E'

(H) (E)

(G)

C' ≡ G'

(F) (ππ')

(π)

B' ≡ F' A

Figura 12 – Prisma reto de base quadrada assentado no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Como as projeções coincidem, o contorno aparente vertical é representado pelo polígono ABCD. A projeção horizontal das faces é representada por duas paralelas à linha de terra, sendo a superior a própria linha de terra. As arestas projetam-se horizontalmente, em VG, nas perpendiculares à linha de terra. O contorno aparente horizontal é o retângulo ACGE, limite da projeção horizontal do sólido. Na projeção horizontal, a aresta BF é oculta. Agora, veja a representação de sólidos apoiados em planos paralelos ao plano vertical de projeção. Como vimos anteriormente, um plano paralelo ao plano vertical de projeção (π') é denominado plano frontal. Considere um prisma hexagonal regular, com base assentada em um plano frontal β (Figura 13).

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(π')

(D)

(E)

(I)

(J)

(H) (K)

(A) (F)

(L)

(G)

(π)

Figura 13 – Prisma regular de base hexagonal assentado no plano frontal. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Observe a Figura 14 e note que, na projeção vertical, as faces (A)(B)(C)(D)(E)(F) e (G)(H)(I)(J)(K)(L) coincidem e, portanto, são visíveis na épura. O contorno aparente vertical é o hexágono GHIJKL. Na projeção horizontal, as faces laterais são retângulos, a aresta lateral é a distância entre as bases do prisma e o contorno aparente vertical é o retângulo EBHK. Na projeção horizontal, as arestas AG e FL são ocultas e as demais são visíveis.

J ≡ D'

I ≡ C'

K ≡ E' L ≡ F'

G ≡ A'

H ≡ B'

(ππ') E

F D A CB

β1π

K L J G I H

Figura 14 – Representação do prisma regular de base hexagonal assentado no plano frontal. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

3.1.4 Os sólidos geométricos assentados no plano de perfil Você deve se lembrar de que um plano de perfil é o plano perpendicular aos planos de projeção (π) e (π'). Sendo assim, considere a pirâmide reta de base quadrada (A)(B)(C)(D) apoiada em um plano β e perpendicular aos planos horizontal e vertical de projeção (π) e (π'), ou seja, de perfil (Figura 15), à qual supõe-se que lhe foi informado o lado (AB) da base e a altura h da pirâmide.

(π')

(C)

(B)

(D) (A)

(π)

Figura 15 – Pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Em épura, por rebatimento você obtém a VG do segmento (AB), ou seja, o segmento A"B" (Figura 16). Na projeção ("), construa a base com suas propriedades reais e, por alçamento (operação contrária ao rebatimento), você obterá as projeções horizontal e vertical dos vértices da base que pertencem aos traços απ e απ' (Figura 16).

απ' B'

B''

A''

(ππ') B

απ

Figura 16 – Pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

84 Laureate- International Universities

Para determinar as projeções verticais da base da pirâmide, você deve traçar paralelas à (ππ'), passando por C" e D". Já as projeções horizontais, você determinará por alçamento, ou seja, trace perpendiculares à (ππ'), passando por C" e D". Em seguida, com o auxílio de um compasso com ponta seca no encontro de απ e απ', tome a medida até a projeção de C" sobre (ππ'), construa o arco até απ e determine C. Proceda da mesma forma em relação à D" e determine D (Figura 17).

απ' C' B'

C'' B''

D''

A' A'' (ππ') B A C απ

Figura 17 – Pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Para representar o sólido, você deverá traçar a altura determinada pelo centro da base e o vértice. No caso do sólido apoiado no plano de perfil, a altura é uma reta fronto-horizontal que, na pirâmide, é o segmento (OV). A altura é traçada a partir dos traços απ e απ' (Figura 18). Então, determine o centro da base (O"≡V"), trace uma paralela à (ππ'), passando por O", e em απ' determine O'. Por alçamento, determine O em απ. A partir de O' determine V' e, a partir de O, determine V.

Geometria descritiva

απ' C' B'

C'' B''

O''≡V'' D''

D' A' A'' (ππ') B V

A O C απ

Figura 18 – Pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

A seguir, trace as projeções horizontal e vertical das arestas da pirâmide (Figura 19), observando que os segmentos B'V' e AV não são visíveis e, por isso, devem aparecer de forma descontínua.

απ'

B' V'

C''

B''

O'' ≡ V'' D''

D' A'

A''

(ππ') B A

O C

απ

Figura 19 – Representação da pirâmide reta de base quadrada apoiada no plano de perfil. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

86 Laureate- International Universities

NÃO DEIXE DE LER... Os Sólidos Platônicos, disponível na página da Universidade Federal Fluminense, em que você poderá aprender mais sobre os sólidos platônicos e, também, compreender que essas formas estão presentes na natureza e em outros campos do conhecimento. O tema está disponível em: <http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br.html>

3.2 Representação dos sólidos geométricos em relação aos planos projetantes oblíquos No tópico anterior, você aprendeu a representar sólidos geométricos apoiados nos planos paralelos aos planos de projeção e apoiados em um plano perpendicular aos planos de projeção. Agora, você vai saber como representar sólidos geométricos assentados em planos oblíquos aos planos de projeção. Enquanto engenheiro civil, você encontrará situações nas quais haverá a presença de sólidos geométricos contidos em planos não paralelos aos planos de projeção. Pense em uma edificação contemporânea, como, por exemplo, o prédio da Figura 20. Parte de sua estrutura está apoiada em planos que não são paralelos aos planos de projeção.

Figura 20 – Arquitetura luso-contemporânea. Fonte: Sales, 2013.

Observando a Figura 20, em que plano está contida a base (a)? Observe, agora, o Royal Ontario Museum (ROM), localizado na cidade de Toronto, no Canadá (Figura 21). O referido prédio é composto por sólidos que se interceptam. Observando as faces que compõem essa edificação contemporânea, quais planos podem ser visualizados? Como representar essa edificação em um plano bidimensional?

Geometria descritiva

Você poderá responder a tais questões assim que compreender a representação de sólidos geométricos contidos em planos oblíquos aos planos de projeção.

Figura 21 – Royal Ontario Museum, no Canadá. Fonte: Lucchese, 2008.

Aprender sobre projeções de sólidos geométricos apoiados em planos paralelos e oblíquos aos planos de projeção também vai auxiliá-lo a projetar e interpretar projetos de edificações mais ousados. Vamos lá!

3.2.1 Representação dos sólidos geométricos situados no plano de topo Você já sabe que o plano de topo é perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao horizontal. Considere, então, um paralelepípedo com uma face apoiada em um plano de topo (Figura 22).

(π')

(α)

(π)

Figura 22 – Paralelepípedo com face apoiada no plano de topo. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Observe, na Figura 23, que a face em que o sólido se apoia no plano (α) de topo projeta-se no plano vertical, segundo uma reta C'D'B'A' que coincide com o traço vertical do plano. Note também que a face superior do sólido, (A)(B)(C)(D), no mesmo plano vertical, projeta-se segundo uma linha G'H'F'E', paralela ao traço vertical. 88 Laureate- International Universities

No plano horizontal, as faces se projetam como quadriláteros, e a VG da base é obtida em (A) (B)(C)(D), após o rebatimento do plano (α).

(π')

(B) D

(A) (C)

B A

(π)

(D)

Figura 23 – Paralelepípedo com face apoiada no plano de topo. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

Na Figura 23, você pode ver a épura correspondente, na qual o sólido é dado pelas projeções ABCD e A'B'C'D' da base que está apoiada no plano de topo (α). Para determinar a base superior, você deve erguer, conforme a Figura 24, a partir de qualquer projeção vertical da base (C', por exemplo), uma perpendicular ao traço vertical απ' do plano, com comprimento igual à altura dada, e traçar G'E' paralela ao mesmo traço απ' do plano e onde são marcados H' e F' nas perpendiculares D'H' e B'F', ficando, então, representadas as arestas C'G', D'H', B'F' e A'E'. A projeção horizontal da base superior você obterá baixando as perpendiculares à linha de terra, C'G', D'H', B'F' e A'E'. Logo, terá EFGH, que é a projeção horizontal da face superior.

Geometria descritiva

E' F' H'

A' B'

G' D' C' (ππ')

(B) (C) (A)

(D)

απ

Figura 24 – Épura do paralelepípedo com face apoiada no plano de topo. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

Quanto à visibilidade, são visíveis, em projeção vertical, as arestas que correspondem aos vértices (A), (C) e (D). A aresta do vértice (B) está oculta pelo sólido, pois (B) é o ponto de menor afastamento em relação aos vértices (A) e (D) do contorno aparente. Na projeção horizontal, você deve visualizar a face superior do sólido e também duas faces laterais. As arestas que partem de (C) não estão visíveis porque esse vértice é invisível para o observador colocado acima do sólido, por ser o de menor cota.

3.2.2 Representação dos sólidos geométricos situados no plano vertical Você deve se lembrar de que um plano vertical é perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao vertical. Logo, considere o prisma de base triangular apoiada no plano vertical (Figura 25), cujos vértices (A) e (B) e altura você já conheça.

90 Laureate- International Universities

(α)

(π)

Figura 25 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Marque os pontos A e B, cujas projeções horizontais pertencem à projeção horizontal do plano (α). Pelo fato de a base do prisma encontrar-se assentada no plano vertical, não se projeta em VG em nenhum dos planos de projeção. Você deverá fazer uso de um método auxiliar de projeção. Então, devemos optar pelo rebatimento do plano (α) para o plano frontal de projeção. Observe a representação desse prisma na Figura 26, a seguir. O traço vertical do plano (α) (e2) coincide com απ' e com απ'r (απ' rebatido). A projeção horizontal do eixo de rebatimento (e1) é um ponto na linha de terra. O traço horizontal do plano (α) rebatido απr (απr rebatido) é coincidente com a linha de terra. O eixo de rebatimento é uma reta vertical.

Or B2

Br Ar

(e1)

A2 A1 B1

Figura 26 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Os pontos A e B são vértices de um triângulo equilátero. Então, ao rebater os pontos A e B, você encontrará o Cr (Figura 27).

C2 B2

Br Ar

(e1)

A1 C1

Figura 27 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Por alçamento, você encontrará C1 e C2 e uma das bases do prisma em VG. Como se supõe que você conhece a altura do prisma, você pode definir as projeções horizontais dos pontos (D), (E) e (F) e, levando-os para o plano frontal de projeção, você obterá a outra base do prisma. Unindo com a base predefinida, você tem as arestas e o prisma concluído (Figura 28).

Cr Br (ππ') ≡ απr

απ' ≡ e2 ≡ απ'r

F2 E 2 Ar

B2 A2

(e1)

F1 E1

απ

Figura 28 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

A aresta (A)(C) aparece invisível na projeção frontal para a face lateral (A)(D)(F)(C) e para a base (A)(B)(C). Então, a aresta (A)(C) é invisível em projeção frontal. As arestas que são invisíveis em projeção horizontal estão ocultas pelas arestas do sólido que são visíveis (Figura 29).

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Cr Br

απ' ≡ e2 ≡ απ'r

F2 E 2 Ar

(ππ') ≡ απr

B2 A2

(e1)

F1 E1

απ

Figura 29 – Figura plana no plano vertical. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

NÃO DEIXE DE VER... Assista ao vídeo Os sólidos de Platão, lançado no ano 2000 e dirigido por João Roberto Sadek, que se encontra disponível no link: <http://www.dominiopublico.gov.br/ pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20831>. No vídeo, você vai compreender que, a partir de triângulos, originam-se vários poliedros e que, particionando um cubo de diferentes formas, obtêm-se outros sólidos geométricos. Verá, também, que as faces de um poliedro são figura planas.>

3.3 Inserção de sólidos geométricos assentadas no plano não projetante No tópico anterior, estudamos a representação dos sólidos contidos nos planos projetantes, que são os planos perpendiculares aos planos (π) ou (π'). Agora, você aprenderá a representar sólidos contidos em um plano não projetante, que é o plano de rampa. Em projetos de edificações, você vai se deparar com planos não projetantes, por exemplo, ao prever a acessibilidade ou, até mesmo, em projetos arquitetônicos mais ousados. Para tanto, é importante que você saiba como representar sólidos geométricos contidos nesses planos. Vamos lá!

3.3.1 Representação de sólidos geométricos no plano de rampa Você já sabe que plano de rampa é o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeção (π) e (π'). Assim, considere uma pirâmide triangular regular (Figura 30), com base (ABC) e contida no plano de rampa, supondo que você já conheça a cota do traço frontal, o centro da base, o vértice A e a altura da pirâmide. 93

Geometria descritiva

(π')

B C

(π) (ππ')

Figura 30 – Pirâmide triangular regular apoiada no plano de rampa. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Para construir a épura desse sólido, você deve determinar as projeções da base da pirâmide, recorrendo ao rebatimento do plano (α) para o plano horizontal de projeção. Como a pirâmide é regular, seu eixo (OV) está contido em uma reta perpendicular ao plano da base. Então, conforme a Figura 31, pelo centro da base, construa uma reta de perfil p, perpendicular ao plano (α). O vértice da pirâmide pertence a essa reta e o eixo (OV) tem a altura da pirâmide. Como o eixo da pirâmide é paralelo a um plano de perfil (π0), você vai representar em (π0) a reta p, o vértice da pirâmide V3 e o centro da base O3.

(π') (π0) p V

O3 A

B C

(π) (ππ')

Figura 31 – Pirâmide triangular regular apoiada no plano de rampa. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

94 Laureate- International Universities

Em épura (Figura 32), por O3 trace p3 perpendicular ao traço de perfil de (α). Sobre p3, e a partir de O3, marque a altura da pirâmide em VG e obtenha V3. Em seguida, determine as projeções horizontal e frontal do vértice V e trace as projeções da pirâmide, observando os critérios de visibilidade.

P2 ≡ P1 V2

V3 pα

C2 (ππ')

H2 B1

A1 O2 C1 S1

απ ≡ απ1

V1 Or Br Fr

απ'1

Figura 32 – Épura da pirâmide triangular regular apoiada no plano de rampa. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Agora, você deve representar um prisma triangular regular com bases contidas em planos de rampa, supondo que você conheça dois vértices de uma das bases e a altura do sólido (Figura 33).

C'2

B'2

C'3

A'2 F2 C2

B2 A2

(ππ')

C'1 r1

B'1

A1 Br

pπ'

Figura 33 – Épura do prisma triangular regular apoiado no plano de rampa. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Geometria descritiva

Determine os traços do plano de rampa ρ que contém o triângulo (ABC) da base de menor cota do prisma, recorrendo à reta r do plano que contém os pontos A e B. A seguir, determine as projeções do triângulo, fazendo uso do método de rebatimento do plano ρ para o plano horizontal de projeção. Como o prisma é regular, suas arestas laterais estão contidas em retas perpendiculares aos planos das bases, ou seja, são de perfil. A altura do prisma, em projeção, pode ser determinada em qualquer uma das arestas laterais. Considere, então, a aresta (CC') e marque a altura em VG em (C3C'3). Depois, determine as projeções horizontal e frontal do ponto C' e trace as projeções das arestas da base (A'B'C') e, por fim, trace as projeções do prisma, seguindo os critérios de visibilidade.

VOCÊ O CONHECE? Na história das ideias, o grego Platão foi o primeiro pedagogo e o segundo da tríade dos grandes filósofos clássicos. Grandes matemáticos foram seus amigos, seus mestres em matemática e seus discípulos em filosofia. Foi Platão quem transformou a lógica intuitiva dos antigos geômetras em um método a ser usado conscientemente e sem receio. Mesmo não tendo sido efetivamente um matemático, Platão contribuiu para o desenvolvimento da matemática grega, em especial da geometria, como ela aparece em Os Elementos, de Euclides.>

Figura 34 – Platão (427-347 a.C.). Fonte: Nova Escola, 2008.

Com isso, você conclui o estudo sobre a representação de sólidos geométricos pelo Método Mongeano.

96 Laureate- International Universities

NÃO DEIXE DE LER... Quem pretenda falar sobre Platão e a matemática haverá de enfrentar, de início, a questão: foi Platão um efetivo matemático? Isto é, ele descobriu resultados matemáticos, resolveu complexos problemas, vislumbrou novas teorias, em suma, imprimiu sua pegada no solo fértil dessa disciplina? Se você quiser estudar esse assunto, não deixe de ler o artigo de Irineu Bicudo, Platão e a Matemática, de 1998, disponível em: <http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:RZPWyEOziz0J:www.revistas.usp.br/ letrasclassicas/article/download/73741/77407+&cd=3&hl=pt-BR&ct=clnk&gl=br>.

Síntese Síntese

• Você aprendeu que os sólidos geométricos podem estar contidos em planos projetantes e não projetantes.

• Quando os sólidos estão contidos em planos projetantes paralelos aos planos de projeção

(nível, frontal e perfil), a VG da base ou face é a projeção horizontal quando uma ou outra pertence a um plano de nível; a VG da base ou face é a projeção vertical quando uma ou outra pertence a um plano frontal; e as projeções horizontal e vertical não aparecem em VG quando o sólido pertence a um plano de perfil.

• Quando os sólidos estão contidos em planos projetantes oblíquos aos planos de projeção

(topo e vertical), suas projeções horizontal e vertical não são representadas em VG e, para obter as VG do sólido, você precisará fazer uso dos métodos auxiliares de projeção.

• Quando

as figuras estão contidas em planos não projetantes (rampa), as projeções horizontal e vertical não representam a VG da figura de origem e, para obter a VG, você deverá fazer uso dos métodos auxiliares de projeção.

• Você aprendeu, também, a distinguir as partes visíveis das ocultas na representação de sólidos geométricos, segundo o Método Mongeano.

98 Laureate- International Universities

Referências Bibliográficas

BICUDO, I. Platão e a Matemática. Revista Letras Clássicas, Rio Claro, n. 2, p. 301-315, 1998. Disponível em: <http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:RZPWyEOziz0J:www. revistas.usp.br/letrasclassicas/article/download/73741/77407+&cd=3&hl=pt-BR&ct=clnk&gl=br>. Acesso em: 27 jul. 2015. BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. BRASIL. Ministério da Educação. Arte e matemática: forma dentro da forma. [vídeo]. Produção de TV Escola e TV Cultura. Brasil, 2000. 26min17seg. Disponível em: <http://tvescola.mec.gov. br/tve/video/arte-e-matematica-forma-dentro-da-forma>. Acesso em: 29 maio 2015. ______. Os sólidos de Platão. (Mão na Forma). [vídeo]. Direção de João Roberto Sadek. Produção de TV Escola. Brasil, 2000. 9min54seg. Disponível em: <http://www.dominiopublico. gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20831>. Acesso em: 25 maio 2015. FERRARI, M. Platão, o primeiro pedagogo. Revista Nova Escola, ed. esp. n. 22, jul. 2008. FERREIRA, E. N. Geometria Descritiva. Apostila de Geometria Descritiva. Material de apoio de aula. Palmas: UFT/Curso de Arquitetura e Urbanismo, 2013. LUCCHESE, M. C. Arquitetura Contemporânea/Contemporary Architecture – Canadá. The Urban Earth, [s. l.], 12 fev. 2008. Disponível em: <https://theurbanearth.wordpress.com/2008/02/12/ arquitetura-contemporanea-canada/>. Acesso em: 9 jul. 2015. PRÍNCIPE JR., A. R. Noções de geometria descritiva. v. 2. São Paulo: Nobel, 1986. RODRIGUES, A. Geometria descritiva: operações fundamentais e poliedros. 6. ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A., 1964. SALES, I. Fotografia: Luso-contemporâneo. Diário do Nordeste, Caderno 3, Fortaleza, abr. 2013. Disponível em: <http://diariodonordeste.verdesmares.com.br/cadernos/caderno-3/luso-contemporaneo-1.275875>. Acesso em: 9 jul. 2015. SILVA, P. V. C.; BORTOLOSSI, H. J. Os sólidos platônicos. Niterói: Universidade Federal Fluminense, 2009. Disponível em: <http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br.html>. Acesso em: 14 jul. 2015.

Capítulo 4 Seções planas em sólidos geométricos e classificação das superfícies

Introdução Neste capítulo, você irá aprender como determinar seções feitas por planos em sólidos geométricos, de forma a auxiliá-lo na elaboração e interpretação de projetos de Engenharia Civil. Toda edificação é definida por formas geométricas, desde um edifício no formato de um paralelepípedo até prédios que são compostos pela junção de vários tipos de sólidos geométricos mais comuns na arquitetura moderna e contemporânea. Você já sabe que toda edificação passa pela elaboração e desenvolvimento de um projeto e, para tanto, a geometria se apresenta como uma aliada na determinação e construção dos volumes e espaços concebidos, através da combinação das suas variadas formas geométricas. Olhando o seu entorno, você é capaz de identificar se os sólidos geométricos visualizados nas edificações sofrem ou não a interferência de planos? Observando as fachadas das construções civis, você pode visualizar algumas estruturas. Que sólidos geométricos você identifica? Esses sólidos são perfeitos, ou seja, não foram “cortados” por algum plano? Sendo uma edificação um sólido ou a composição de sólidos geométricos, como representá-la num projeto? Tais representações estarão presentes no cotidiano do exercício de sua profissão como engenheiro civil. Então, você notará que as seções planas podem ser úteis tanto no aspecto estrutural quanto no design das edificações. Assim, tanto para elaborar quanto para interpretar projetos de edificação, você necessitará dos conhecimentos que irá adquirir neste capítulo. Procure ampliar sua habilidade de visão espacial para que, dessa forma, você consiga interpretar as imagens que verá a seguir e, também, compará-las com os conceitos e definições. Vamos lá!

4.1 Seção plana de sólidos geométricos situados nos planos de projeção Em situações reais, você, enquanto engenheiro civil, deverá projetar edificações e irá se deparar com sólidos geométricos que sofrerão deformações por conta da interseção deles com algum plano como, por exemplo, a viga que sustenta uma água de uma cobertura de concreto armado.

101

Geometria descritiva

A arquitetura contemporânea caracteriza-se por projetos sem linhas definidas e um tanto quanto caóticos, que fazem uso de composições de sólidos geométricos e até mesmo geram estruturas que se formam a partir da interseção de um sólido com um plano. Essa interseção de um plano com um sólido gera um polígono denominado seção plana. Como representar as seções planas em prismas, pirâmides e corpos redondos em um plano bidimensional? Projetos modernos também se utilizam da interseção de planos com sólidos geométricos para compor uma edificação. Como representar essas edificações? No mundo todo, temos exemplos de edificações que são referência arquitetônica para projetos de edificações. Como exemplo, você pode observar a Casa da Música, na cidade do Porto, em Portugal. O referido prédio aparenta ser um cubo interceptado por dois planos secantes. Como representar as seções planas originadas dessa interseção? No Brasil, também temos vários exemplares de prédios modernos e contemporâneos. Observe a arquitetura do Museu de Arte de São Paulo (MASP), em São Paulo. Este prédio pode ser representado como um paralelepípedo apoiado em um plano de nível e interceptado por um plano frontal. Como representar a seção plana gerada nessa interseção? Você terá condições de responder todas essas perguntas após estudar as seções planas de sólidos geométricos situados nos planos de projeção.

4.1.1 Seção plana feita em sólidos assentados no plano horizontal de projeção a) Seção plana feita por plano de nível em uma pirâmide quadrangular assentada no plano horizontal de projeção Considere a pirâmide quadrangular assentada no plano (π) para determinar a seção feita por um plano horizontal (α) (Figura 1).

(π')

2 (α)

1 D A

4 C

(π)

Figura 1 – Pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

102 Laureate- International Universities

Em épura (Figura 2), as arestas do sólido estão representadas no plano horizontal por SA, SB, SC, SD, todas visíveis e, no plano vertical, por S’A’, S’B’, S’C’, S’D’, sendo que S’D’ é uma aresta invisível, pois o ponto (D) é o de menor afastamento em relação aos pontos (A) e (C) do contorno aparente. Veja que απ', na Figura 2, é o plano horizontal secante, no qual você tem 1’2’3’4’, que são os pontos em que o plano corta as arestas S’A’, S’D’, S’B’ e S’C’, respectivamente, e que representam a projeção vertical da seção, e forma uma reta coincidente com o traço vertical απ’ do plano. A projeção horizontal da seção é obtida por linhas de chamada 11’, 22’, 33’, 44’, pois se 1’ está sobre S’A’, então 1 estará sobre SA, que é a aresta correspondente, e assim sucessivamente, de modo que a figura 1243 representa a projeção horizontal da seção e aparece em VG.

απ'

2 C 4 A

S 3

Figura 2 – Épura da pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

b) Seção plana feita por plano de nível em um prisma de base assentada no plano horizontal de projeção Considere um prisma hexagonal regular, secionado por um plano de nível (α), conforme a Figura 3.

103

Geometria descritiva

(π')

D 6

(α)

E (π)

Figura 3 – Prisma hexagonal regular apoiado no plano horizontal de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Em épura (Figura 4), você pode observar que a projeção horizontal da seção é uma figura igual à base e é representada em VG pelo hexágono regular 123456. Na projeção vertical, você tem o retângulo 6’L’I’3’, de acordo com os critérios de visibilidade.

L' G'

6' 1'

H' I'

4' 3'

(απ')

D' E'

(ππ') C≡3

D≡ 4

B≡ 2 E ≡5 A ≡1 F ≡6

Figura 4 – Épura da seção feita pelo plano de nível com o prisma hexagonal regular. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

Como você pode observar, quando o plano secionador é de nível e a base do sólido está apoiada no plano horizontal de projeção, a projeção horizontal da seção é sempre a mesma figura da base do sólido, podendo ter dimensões diferentes quando o sólido é pirâmide.

104 Laureate- International Universities

c) Seção plana feita por plano frontal em uma pirâmide quadrangular assentada no plano horizontal de projeção Considere a pirâmide quadrangular assentada no plano (π) secionada por um plano frontal (α) (Figura 5).

(π') S 2

(α)

B A

(π)

1 D

Figura 5 – Pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Nesse caso, em épura (Figura 6), a projeção horizontal da seção coincide com o traço horizontal απ do plano, que corta os lados AD e DC da base e a aresta SD. Como 1 está sobre AD, você terá 1’ sobre A’D’ na linha de terra; o ponto 2 sobre SD lhe fornece 2’ sobre S’D’ e, finalmente, 3 sobre DC lhe dá 3’ sobre D’C’, também sobre a linha de terra. Unindo 1’2’3’, você obterá a projeção da seção no plano vertical em VG, pois ela está contida em um plano frontal.

105

Geometria descritiva

B' B

A S C 1

απ

Figura6 – Épura da pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

Quando o plano secionador é frontal, a figura plana gerada pela seção variará de acordo com a posição do plano secionador em relação ao sólido, como você pode ver quando uma mesma pirâmide é secionada por um plano (α) frontal, em outra posição (Figura 7).

(α)

(π')

B 4 C

A 1 (π)

Figura 7 – Pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

106 Laureate- International Universities

Nesse caso, a seção resulta em um quadrilátero no plano vertical (π’). Em épura (Figura 8), esse quadrilátero é 1’2’3’4’. Observe que o plano cortou duas arestas, SD e SC, e dois lados da base, AD e BC.

A' 1'

B' B

A S 2

απ C

Figura 8 – Épura da pirâmide quadrangular apoiada no plano horizontal de projeção. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

d) Seção plana feita por plano frontal em um prisma hexagonal regular assentado no plano horizontal de projeção Considere, agora, um prisma hexagonal regular assentado no plano (π) e secionado por um plano (α) frontal (Figura 9).

107

Geometria descritiva

(α)

(π') I

3' I' J' H H'

2' G'

2 4' C' D'

1' E' A'

F (π)

Figura 9 – Prisma hexagonal regular apoiado no plano horizontal de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Em épura (Figura 10), você notará que a projeção vertical da seção é o retângulo A’L’3’4’. As projeções das seções frontais com esse prisma serão sempre retângulos de mesma altura, mas nem sempre de mesma largura, pois isso irá depender da posição em que se encontra a seção.

L' G' K'

H' J' I'

(ππ')

E' C' D' 4'

B C A (απ) 2 ≡ 1

3≡4

Figura 10 – Épura da seção feita pelo plano frontal com o prisma hexagonal regular. Fonte: Príncipe Jr., 1986.

e) Seção plana feita por plano de topo em sólidos assentados no plano horizontal de projeção Considere o plano de topo QTQ’ e a pirâmide hexagonal regular dada por suas projeções (Figura 11). A seção resultante é um polígono plano obtido pelas projeções verticais dos vértices, resultantes da interseção do traço vertical do plano de topo com as projeções verticais das arestas da pirâmide. 108 Laureate- International Universities

Q' 1'

6' 2'

5' 3'

4' X

a'f'

c'd'

c 3

11 VG

6 f

b'e' b

e Q'

Figura 11 – Épura da seção feita pelo plano de topo com a pirâmide hexagonal regular. Fonte: Rodrigues, 1964.

As projeções horizontais dos vértices do polígono da seção são determinadas por meio das retas de chamada traçadas a partir das projeções verticais dos vértices até o encontro das projeções horizontais das respectivas arestas. Nas arestas de perfil ev,e'v' e bv, b'v, você tem os vértices da seção tornando as arestas frontais por rotação. Trace, pelo ponto concorrente da aresta de perfil ev, e'v' com o traço vertical do plano de topo, uma paralela à linha de terra até o encontro da projeção vertical da aresta vd,v'd' tornada frontal. A rotação inversa, em torno da altura da pirâmide, determina as projeções horizontais dos vértices do polígono da seção, situados nas arestas de perfil. A VG da seção será dada pelo rebatimento do plano de topo QTQ’ sobre o plano horizontal de projeção, servindo de eixo o traço QT. Se for preciso determinar a seção feita por um plano de topo num prisma reto de base hexagonal regular sobre o plano horizontal de projeção (Figura 12), a operação se dará da mesma maneira, como fizemos com a pirâmide.

109

Geometria descritiva

P' 2'

1' 3'

6' 5'

4' X

b' a' c'

f' d' e'

d4 b2

2 e5

a1 6

Figura 12 – Épura da seção feita pelo plano de topo com o prisma reto de base hexagonal regular. Fonte: Rodrigues, 1964.

Essa representação é dada para que você possa observar as particularidades das projeções do polígono da seção feita por um plano de topo num prisma reto. A projeção vertical do plano de topo estará sobre o traço vertical do plano de topo, pois tal traço é o lugar geométrico de todas as projeções verticais dos pontos desse plano. As projeções horizontais dos vértices do polígono da seção coincidem com os pés das arestas do prisma, que são retas verticais. Se for preciso determinar a seção feita por um plano de topo num prisma oblíquo (Figura 13), o processo permanece igual, pois você pode obter a projeção vertical da seção no encontro das projeções verticais das arestas com o traço vertical do plano de topo QT1Q’. A projeção horizontal do polígono da seção é determinada por meio de retas de chamada traçadas a partir das projeções verticais dos vértices da seção até as respectivas projeções horizontais das arestas.

e'1 c'1 d'1

a'1 f'1 b'1

Q' 1'

2' 5' 3' 4'

a' f' b'

e' c' d' b

Y 31

3 2 d

1 f

VG 11

e 6

d1 f1

Figura 13 – Épura da seção feita pelo plano de topo com o prisma oblíquo de base hexagonal regular. Fonte: Rodrigues, 1964.

110 Laureate- International Universities

A VG do polígono da seção é dada pelo rebatimento do plano secante sobre o plano horizontal de projeção.

f) Seção plana feita por plano vertical em uma pirâmide oblíqua assentada no plano horizontal de projeção Suponha, agora, que você deve determinar a seção feita por um plano vertical ST1S’ em uma pirâmide oblíqua de base no plano horizontal (Figura 14). A projeção horizontal da seção está no traço horizontal do plano secante, especificamente no encontro desse traço com as projeções horizontais das arestas e dos lados da base. A projeção vertical do polígono da seção é obtida por meio das retas de chamada traçadas das projeções horizontais dos vértices da seção até as respectivas projeções verticais das arestas e dos lados da base.

Q' M1

e' M' b' n

b m o p

q c

Figura 14 – Épura da seção feita pelo plano vertical com a pirâmide oblíqua no plano horizontal. Fonte: Rodrigues, 1964.

A seção tem projeção horizontal no traço horizontal T1S do plano secante em m,n,o,p,q,r. Como o plano ST1S’ corta o polígono da base da pirâmide nos pontos m e r, as projeções verticais desses pontos estão em m' e r', na linha de terra. As projeções verticais n',o',p',q', dos demais vértices do polígono da seção podem ser obtidas por meio de retas de chamada traçadas de n,o,p,q, até o encontro com as projeções verticais das arestas em a'v',e'v',d'v',c'v'.

111

Geometria descritiva

g) Seção plana feita por plano qualquer em sólido assentado no plano horizontal de projeção Considere um prisma reto de base hexagonal secionado por um plano qualquer dado por seus traços PT1P’. Você poderá obter a seção tornando o plano PT1P’ de topo em relação a um novo plano vertical de projeção e determinar, nesse sistema de planos ortogonais, a nova projeção vertical do prisma, para, em seguida, determinar o polígono, que é a seção, como nos casos anteriores. O processo é mais rápido se você encontrar o polígono da seção, diretamente, pela interseção das arestas verticais com o plano dado, por meio de planos horizontais auxiliares. Tais planos interceptam o plano PTP’, segundo retas horizontais desse plano. Para que eles determinem as projeções verticais dos vértices, basta que as projeções horizontais das retas horizontais passem pelas projeções horizontais das arestas. Além disso, você pode achar o polígono da seção determinando a interseção de cada face com o plano dado, como, por exemplo, se lhe for dada uma pirâmide oblíqua de base no plano horizontal de projeção secionada por um plano qualquer dado pelos traços RT1R’ (Figura 15).

t'2

O' P'

M' X

C' B' b p

t'1

o a

t3 R

Figura 15 – Épura da seção feita pelo plano qualquer com a pirâmide oblíqua no plano horizontal. Fonte: Rodrigues, 1964.

Digamos que você queira determinar a interseção da face vdc com o plano dado. Você sabe que o ponto de encontro dos traços horizontal t1 pertence à reta de interseção do plano da face com o plano dado. Prolongue, então, a reta dc, traço horizontal da face vdc, até o encontro de P, traço horizontal do plano secante, e esse ponto é t1. Para determinar outro ponto dessa reta, corte o plano dado por um plano horizontal auxiliar, que contenha o vértice da pirâmide para a comodidade de construção. Tal plano intercepta o plano RT1R’ segundo a horizontal desse plano t2t’2 e o plano da face vdc. O ponto de encontro t2t’2 112 Laureate- International Universities

dessas duas horizontais é o segundo ponto da interseção dos dois planos. A porção útil da reta de interseção t1t2 é um lado do polígono da seção e determina os vértices m' e n'. Você poderá obter o ponto de encontro t2 do traço horizontal da face vad com o traço horizontal T1R do plano dado por meio do prolongamento de ad até o encontro de T1R. Unindo ts a n, ponto da aresta dv, você terá a reta de interseção do plano da face vda com o plano secante RT1R’. A porção útil n lhe dá o outro lado do polígono. O ponto de encontro t4 dos traços horizontais da face vcb e do plano RT1R’ você obterá pelo prolongamento de até o encontro de T1R. Unindo t4 a m, ponto da aresta vc, você tem a reta de interseção do plano da face vbc com o plano RT1R’. A porção útil mp determina outro lado do polígono, que terá sua projeção horizontal completa pela ligação de o a p. A projeção vertical você obterá por meio de retas de chamada traçadas das projeções horizontais dos vértices do polígono de seção até o encontro das projeções verticais das arestas em .

h) Seção plana feita por plano paralelo à linha de terra em sólido assentado no plano horizontal de projeção Caso o plano dado seja paralelo à linha de terra, por exemplo, PP’, de preferência, você deve aplicar uma mudança de plano vertical tornando o plano PP’ de topo (Figura 16). Então, considere o plano PP’ paralelo à linha de terra, dado por seus traços, e a pirâmide oblíqua de base a,b,c,d,e, no plano horizontal de projeção. Tomando um sistema de planos HV’, caracterizado por uma linha de terra x’y’, perpendicular ao traço P, você tem o novo traço vertical P’1. O plano PTP’1 seciona por seu traço vertical TP’1 as novas projeções verticais das arestas da pirâmide nos pontos m'1,n'1,o'1,p'1,q'1. Retas de chamada determinam as projeções horizontais m,n,o,p,q, nas respectivas projeções verticais das arestas.

X' V' P'

m' p'

q' X

d' c'

o c

Oi Mi

v p

Qi Pi

Vi P1

T P

Figura 16 – Épura da seção feita pelo plano paralelo à linha de terra com a pirâmide oblíqua no plano horizontal. Fonte: Rodrigues, 1964.

113

Geometria descritiva

Agora, considere a seção feita por um plano paralelo à linha de terra em um prisma reto (Figura 17). A seção será obtida tornando o plano secante PP’ vertical pela mudança do sistema de planos ortogonais HV por H1V, caracterizado pela linha de terra x1y1 perpendicular a P’. O polígono da seção se apresentará, no novo sistema, no encontro do traço horizontal P1com as novas projeções horizontais das arestas 11, 21, 31, 41, 51. As retas de chamada indicarão as projeções verticais no sistema inicial em 1’, 2’, 3’, 4’, 5’. As projeções horizontais definitivas estão nos pés das respectivas arestas em a,b,c,d,e. A VG do polígono da seção é dada em I, II, III, IV e V pelo rebatimento do plano vertical auxiliar sobre o plano vertical de projeção.

P' 2'

III

2131

1' 5'

A' I

C' C 3

B 2

1141 51

V A

D 5 P

Figura 17 – Épura da seção feita pelo plano paralelo à linha de terra com o prisma reto no plano horizontal. Fonte: Rodrigues, 1964.

NÃO DEIXE DE LER... Atualmente, com o auxílio da tecnologia, os projetos de Engenharia são elaborados por meio de programas computacionais (embora isso não dispense o engenheiro de apropriar-se dos conhecimentos necessários para projetar). Essas ferramentas facilitam e agilizam o trabalho dos profissionais da Engenharia Civil. Os desenhos gráficos que fazem parte tanto do cotidiano do estudante de Engenharia quanto do profissional desta área podem ser construídos usando programas computacionais. É sobre esse assunto de que trata o texto “Estudo da Geometria Gráfica por Computador”, dos autores Patek e Leão, publicado em 2007 Disponível em: http://webcache.googleusercontent.com/ search?q=cache:b0dfCn1VxsIJ:www.exatas.ufpr.br/portal/docs_degraf/artigos_graphica/ESTUDODAGEOMETRIA.pdf+&cd=1&hl=pt-R&ct=clnk&gl=br.

114 Laureate- International Universities

4.1.2 Seção plana feita em sólidos assentados no plano vertical de projeção

a) Seção plana feita por plano frontal em um paralelepípedo oblíquo, com base contida no plano vertical de projeção Considere um paralelepípedo oblíquo com base apoiada no plano vertical de projeção secionado por um plano frontal (α) (Figura 18).

(α)

(π') (π)

Figura 18 – Paralelepípedo oblíquo apoiado no plano vertical de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Em épura (Figura 19), no plano vertical a seção é o retângulo 1234 que está em VG. A projeção horizontal é a figura B’1B1C1C’1.

115

Geometria descritiva

B'2

A'2

C2 (ππ')

D'2

4 C'2

(απ)

A'1

B'1

C'1

D'1

Figura 19 – Épura da seção feita pelo plano frontal com o prisma hexagonal regular. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

b) Seção plana feita por plano frontal em uma pirâmide com base contida em plano frontal Veja agora uma pirâmide hexagonal oblíqua com base contida no plano vertical de projeção. secionada por um plano frontal (α) (Figura 20).

(π')

(α)

(π)

Figura 20 – Pirâmide hexagonal oblíqua apoiada no plano vertical de projeção. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

116 Laureate- International Universities

Em épura (Figura 21), você pode notar que a seção é representada no plano vertical em VG pelo hexágono H2I2J2K2L2M2.

B2 I2

C2 J2

H2 O2

M2 F2 (ππ')

(απ)

L2 E2

B1 ≡ F1

C1 ≡ E1

I1≡ M1

J1 ≡ L1 K1

Figura 21 – Épura da seção feita pelo plano frontal com a pirâmide hexagonal oblíqua. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Observe que pirâmides secionadas por planos frontais têm como projeção vertical sempre a mesma figura da base, porém elas variam em dimensão em função da posição do plano frontal.

4.1.3 Seções produzidas e sólidos - conclusões gerais Sempre que um sólido é secionado por um plano projetante, os pontos de seção serão determináveis na interseção entre o traço do plano correspondente, de modo que:

• se o plano secante for horizontal, os pontos da seção serão determinados na interseção entre o seu traço frontal e a projeção frontal do sólido (em seguida, você determinará a projeção horizontal de cada ponto da seção);

• se o plano secante for frontal, os pontos de seção serão determinados na interseção entre

o seu traço horizontal e a projeção horizontal do sólido (em seguida, você determinará a projeção frontal de cada ponto da seção);

• se

o plano secante for de topo, os pontos de seção serão determinados na interseção entre o seu traço frontal e a projeção frontal do sólido (em seguida, você determinará a projeção horizontal de cada ponto da seção);

• se o plano secante for vertical, os pontos de seção serão determinados na interseção entre o seu traço horizontal e a projeção horizontal do sólido (em seguida, você determinará a projeção frontal de cada ponto da seção);

• se

o plano secante for de perfil, as projeções frontal e horizontal dos pontos da seção serão determinadas, respectivamente, na interseção entre os traços frontal e horizontal 117

Geometria descritiva

do plano e na projeção frontal e horizontal do sólido, uma vez que o plano de perfil, contendo retas projetantes frontais e horizontais, é um plano duplamente projetante;

• se

o plano secante for de rampa, os pontos de seção poderão ser determinados na interseção entre o seu traço lateral e a projeção lateral do sólido, fazendo uso da projeção triédrica (em seguida, você determinará, por inversão do processo, as projeções frontal e horizontal de cada ponto de seção);

• se o plano secante for passante, os pontos de seção poderão ser determinados entre o seu traço lateral e a projeção lateral do sólido, fazendo uso da representação triédrica (então, você determinará, por processo inverso, as projeções frontal e horizontal de cada ponto de seção);

• se o plano secante for qualquer, os pontos de seção deverão ser determinados com auxílio

da interseção de planos, considerando um plano auxiliar para cada face ou aresta do sólido e determinando a interseção de cada uma com o plano qualquer.

É importante que você tenha conhecimento acerca das seções planas em sólidos para que leve em conta suas características quando representá-las, considerando os planos de projeção. Lembre-se de que você estará em contato com essas representações ao elaborar e interpretar projetos de edificações.

NÃO DEIXE DE VER... “Reflecting in intersecting planes” é um recurso educacional disponível no Portal do Professor que permite a você refletir um sólido geométrico em um plano e, em seguida, em outro plano que o intercepta e observar a orientação deste sólido obtido das reflexões. Vale a pena conferir. O recurso está disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov. br/fichaTecnica.html?id= 39159/>

4.2 Classificação das superfícies geradas por seções planas em sólidos geométricos Como você já sabe, a interseção de planos com sólidos geométricos resulta em um polígono que é a seção plana. Esses polígonos variam de acordo com a posição do plano que intercepta o sólido. Nem sempre o plano corta todas as faces ou arestas do sólido e, por isso, os polígonos assumem variadas formas. Mas nem sempre você, enquanto engenheiro civil, irá se deparar com superfícies poliédricas. Há, também, as superfícies regradas planificáveis (desenvolvíveis), as superfícies regradas não planificáveis (empenadas) e as superfícies de revolução (curvas). Vamos conhecê-las?

4.2.1 Definição de superfície Superfície é o lugar geométrico que resulta das posições sucessivas de uma linha (geratriz) que se desloca no espaço segundo uma determinada lei (diretriz). 118 Laureate- International Universities

Diretriz Geratriz Figura 22 – Representação de uma superfície. Fonte: Elaborado pela autora, 2015.

Então, pode-se dizer que superfície é a entidade que delimita o volume do sólido.

4.2.2 Superfícies regradas planificáveis Superfícies regradas planificáveis são superfícies geradas pelo deslocamento de retas e que podem ser planificáveis. Os cones, cilindros, pirâmides e prismas são classificados como sendo superfícies regradas planificáveis. Essas superfícies estão presentes na natureza na Arquitetura e na Engenharia. Elementos estruturais e arquitetônicos como vigas, pilares, paredes, algumas coberturas e os volumes das edificações podem ter superfícies regradas planificáveis. As superfícies regradas planificáveis são geradas com base nos seguintes elementos:

• diretriz - linha curva ou poligonal, aberta ou fechada, plana ou espacial; • vértice - ponto próprio ou impróprio; • geratriz - reta. Lei de geração - A geratriz desloca-se apoiada simultaneamente sobre a diretriz e o vértice e, as sucessivas posições da geratriz, definem uma superfície regrada planificável. O tipo de diretriz e a posição do vértice é que determinam como as superfícies regradas planificáveis podem ser classificadas:

• superfícies cônicas - geradas pelo deslocamento da geratriz apoiada e em diretriz curva (aberta ou fechada) e em vértice próprio (a uma distância finita da diretriz).

119

Geometria descritiva

Vértice Geratriz

Diretriz

Figura 23 – Superfície cônica. Fonte: Teixeira, 1999.

• superfícies

piramidais - geradas pelo deslocamento da geratriz apoiada e em diretriz poligonal (aberta ou fechada) e em vértice próprio (a uma distância finita da diretriz).

Figura 24 – Superfície piramidal. Fonte: Teixeira, 1999.

• superfície cilíndrica - gerada pelo deslocamento da geratriz apoiada e em diretriz curva (aberta ou fechada) e em vértice impróprio (a uma distância infinita da diretriz). Nesse tipo de superfície, todas as posições da geratriz são paralelas.

Figura 25 – Superfície cilíndrica. Fonte: Teixeira, 1999

• superfície

prismática - gerada pelo deslocamento da geratriz apoiada e em diretriz poligonal (aberta ou fechada) e em vértice impróprio (a uma distância infinita da diretriz). Nesse tipo de superfície, todas as posições da geratriz são paralelas.

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Figura 26 – Superfície prismática. Fonte: Teixeira, 1999.

As superfícies regradas planificáveis são, como o próprio nome diz, planificáveis de forma exata por serem compostas pelo conjunto de sucessivas posições coplanares de geratrizes (concorrentes ou paralelas). As superfícies de diretrizes poligonais apresentam arestas (geratrizes limites de faces adjacentes) visíveis e faces planas. Mas as superfícies de diretrizes curvas não apresentam arestas visíveis. As superfícies são, teoricamente, infinitas, pois são formadas por geratrizes (retas) que são objetos infinitos. Assim, superfícies de vértice próprio apresentam duas folhas, uma de cada lado do vértice. Normalmente, as superfícies regradas planificáveis são representadas limitadas entre a diretriz e o vértice, para as cônicas e as piramidais, e em um comprimento específico, para as superfícies de vértice impróprio.

4.2.3 Interseções com superfícies regradas planificáveis Interseções entre superfícies e planos - A determinação da interseção entre uma superfície e um plano em épura é imediata quando o plano está acumulado em uma das projeções. Assim, basta determinar a interseção de um conjunto significativo de posições da geratriz com o plano. A seguir, una os pontos para obter a linha da interseção. Quando as superfícies tiverem diretrizes poligonais, basta que você determine a interseção do plano com as posições da geratriz para que seja possível o traçado da curva com alguma precisão.

Figura 27 – Interseção de plano com superfície com diretrizes poligonais. Fonte: Teixeira, 1999.

121

Geometria descritiva

A interseção de planos com superfícies cônicas produz como resultado as curvas cônicas: elipse, parábola e hipérbole. O que determina o tipo de curva da interseção é a inclinação do plano secante em relação às geratrizes do cone. Quando o ângulo de inclinação do plano em relação ao eixo do cone é maior que o ângulo de inclinação das geratrizes medido em relação ao eixo, o plano corta todas as geratrizes do cone e a curva da interseção é uma elipse. Quando o ângulo de inclinação do plano é igual ao ângulo de inclinação das geratrizes, a curva resultante é uma parábola. E, se o ângulo de inclinação do plano é menor que o ângulo de inclinação das geratrizes, este corta as geratrizes nas duas folhas do cone, gerando uma curva de dois ramos, a hipérbole.

Parábola

Elipse

Hipérbole

Figura 27 – Interseção de plano com superfície cônica. Fonte: Teixeira, 1999.

Uma observação importante a ser feita é no caso de o plano secante conter o vértice. Nesse caso, a interseção pode ser um ponto (ângulo de inclinação do plano maior que o ângulo de inclinação das geratrizes), uma reta (ângulo de inclinação do plano igual ao ângulo de inclinação das geratrizes) ou duas retas (ângulo de inclinação do plano menor que o ângulo de inclinação das geratrizes), conforme o ângulo de inclinação do plano em relação ao eixo. Outro caso importante é quando a superfície cônica possui diretriz circular, eixo normal ao plano da diretriz e o plano secante faz um ângulo reto em relação ao eixo. Assim, a interseção é uma circunferência.

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Figura 28 – Superfície cônica de diretriz circular, eixo normal ao plano da diretriz secionada por plano que faz ângulo reto em relação ao eixo. Fonte: Teixeira, 1999.

4.2.4 Superfícies de revolução (superfícies curvas) Superfícies de revolução são superfícies geradas pelo movimento de rotação de uma linha qualquer em torno de um eixo. São superfícies de revolução os cones, os cilindros retos, a esfera, o toro, ogivas, e outras. Essas superfícies são encontradas, também, em elementos arquitetônicos, além de objetos como utensílios domésticos, embalagens, componentes mecânicos, fuselagens de foguetes e mísseis. As superfícies de revolução são geradas a partir de alguns elementos fundamentais:

• geratriz - linha curva, reta ou poligonal, aberta ou fechada, plana ou espacial; • eixo - reta. Lei de geração - a geratriz desloca-se realizando um movimento de revolução em torno do eixo. De um modo geral, o eixo e a geratriz estão situados no mesmo plano. Mas isso não é uma regra. Na geração desse tipo de superfície, cada ponto da geratriz descreve uma circunferência que está num plano perpendicular ao eixo da superfície (plano de rotação do ponto). A revolução da geratriz em torno do eixo não é, obrigatoriamente, completa. É possível gerar superfícies com ângulos de revolução menores que 90° e, mesmo assim, essas superfícies serão nomeadas superfícies de revolução. A interseção das superfícies com planos que contém o eixo de rotação ou são perpendiculares a este, geram linhas denominadas meridiano e paralelos. O meridiano é a linha gerada pela interseção da superfície com o plano que contém o eixo de rotação. Paralelo é a linha que se origina da interseção da superfície com um plano perpendicular ao eixo de rotação. As principais superfícies de revolução são o cone, o cilindro, o hiperboloide, a superfície esférica, e o elipsoide.

• Cone: o cone de revolução é o resultado da rotação de uma reta em torno do eixo de rotação. A posição da reta é concorrente ao eixo e está no mesmo plano do eixo de rotação. A superfície cônica de revolução é idêntica à superfície cônica gerada como

123

Geometria descritiva

superfície regrada planificável com diretriz circular e vértice contido sobre uma reta que contém o centro do círculo e é normal ao plano deste círculo.

Figura 29 – Cone de revolução. Fonte: Teixeira, 1999.

• Cilindro: o cilindro de revolução é obtido pela rotação de uma reta em torno do eixo de

rotação, é paralela ao eixo, e reta e eixo são coplanares. Superfície idêntica pode ser gerada como superfície regrada planificável com diretriz circular e geratriz normal ao plano da diretriz.

Figura 30 – Cilindro de revolução. Fonte: Teixeira, 1999.

Hiperboloide: o hiperboloide de revolução pode ser gerado pela revolução de uma hipérbole em torno de um eixo (geratriz e eixo coplanares). A forma do hiperboloide está relacionada à forma da hipérbole e à posição desta em relação ao eixo. O hiperboloide de revolução também pode ser gerado pela revolução de uma reta em torno de um eixo de rotação, sendo que esta reta deve ser reversa ao eixo (geratriz e eixo em planos diferentes). Nesse caso, a forma do hiperboloide é relacionada somente à posição relativa entre a geratriz e o eixo. Ambas as formas de gerar o hiperboloide de revolução são iguais, diferindo apenas quanto ao uso da geratriz (geratrizes retas sempre facilitam o processo de geração da superfície).

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Figura 30 – Hiperboloide de revolução. Fonte: Teixeira, 1999.

O hiperboloide de revolução de uma folha, que também é uma superfície regrada, é gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transverso.

LT Alçado

Planta Hiberbolóide de revolução regrado gerado por rotação da hipérbole em torno do seu eixo transverso

Figura 31 – Hiperboloide de revolução de uma folha. Fonte: Teixeira, 1999.

Já o hiperboloide de revolução de duas folhas é a superfície gerada pela rotação da hipérbole em torno do seu eixo real.

125

Geometria descritiva

LT Alçado

Planta Hiperbolóide de revolução de duas folhas gerado pela rotação hipérbole em torno do seu eixo real Figura 32 – Hiperboloide de revolução de duas folhas. Fonte: Teixeira, 1999.

• Paraboloide: a superfície gerada pela rotação da parábola em torno do seu eixo.

LT Alçado

Planta Parabolóide de revolução gerado pela rotação da parabola em torno do seu eixo

Figura 33 – Paraboloide de revolução. Fonte: Teixeira, 1999.

• Esfera: a superfície esférica pode ser obtida pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo. O eixo deverá estar colocado sobre um de seus diâmetros principais.

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Figura 34 – Esfera. Fonte: Teixeira, 1999.

• Toro: o toro, ou superfície toroidal, é obtido pela rotação de uma circunferência em torno

do eixo de rotação. O formato do toro vai depender da distância entre a circunferência e o eixo, e do raio da circunferência que está gerando a superfície.

Figura 35 – Toro. Fonte: Teixeira, 1999.

• Elipsoide: o elipsoide é gerado pela rotação de uma elipse em torno do eixo de rotação. Normalmente, o eixo de rotação situa-se sobre um dos eixos da elipse (eixo maior ou eixo menor) e o formato do elipsoide altera-se dependendo da posição do eixo de rotação.

127

Geometria descritiva

Figura 36 – Elipsoide. Fonte: Teixeira, 1999.

A representação em épura das superfícies de revolução está associada ao processo de geração dessas superfícies. Geralmente, você tem a geratriz e o eixo em suas projeções. As projeções da superfície são construídas determinando-se a trajetória dos pontos da geratriz em torno do eixo nas projeções onde a superfície deve ser representada. Veja os passos para a representação de uma superfície de revolução genérica. a) Considere a geratriz g e o eixo e normal a um dos planos de projeção e, consequentemente, paralelo ao outro. b) Tome a extremidade de g e os pontos cujas tangentes são paralelas ao eixo. c) Para cada ponto, trace uma circunferência com centro na acumulação do eixo e raio igual à distância do ponto ao eixo. d) Na projeção onde o eixo está em VG, trace a projeção acumulada do círculo. Essa projeção é um segmento de comprimento igual ao diâmetro do círculo e normal ao eixo. Como o círculo é a trajetória do ponto, todas as suas projeções devem conter as projeções do ponto. Logo, a projeção acumulada do círculo deve cortar a geratriz no ponto em estudo. e) Escolha um número de pontos intermediário apropriado à precisão desejada e repita os passos (c) e (d). f) Após repetir os passos (c) e (d) para todos os pontos escolhidos, trace o meridiano principal e complete, se necessário, o contorno aparente nas projeções da superfície. Nessa etapa, cuide a visibilidade, principalmente das linhas reais.

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Figura 37 – Representação em épura de uma superfície de revolução genérica. Fonte: Teixeira, 1999.

A quantidade de pontos cujas trajetórias devem ser representadas, depende do grau de precisão exigido na representação. A representação em épura das superfícies de revolução é composta pelas linhas principais das figuras(equador, gola, meridianos principais), que limitam suas projeções, determinando seu contorno aparente. São representadas linhas visíveis e invisíveis. As linhas reais devem ser mais espessas que as linhas de construção.

Linhas reais

Meridiano principal

Linhas de extremidade Gola Equador

Figura 38 – Linhas reais na representação em épura de uma superfície de revolução genérica. Fonte: Teixeira, 1999.

Caso o eixo da superfície seja paralelo a um dos planos de projeção, o contorno aparente da superfície, neste plano de projeção, contém o meridiano principal. E, se o eixo for perpendicular a um dos planos de projeção, o contorno aparente da projeção neste plano é composto por circunferências que podem ser golas, equadores e/ou paralelos de extremidades, se houver.

129

Geometria descritiva

Figura 39 – Representação em épura de uma superfície de revolução genérica. Fonte: Teixeira, 1999.

A interseção entre uma superfície de revolução e um plano é uma ou mais linhas planas abertas ou fechadas, dependendo da forma da superfície e da posição do plano secante em relação à superfície.

Figura 40 – Interseção de uma superfície de revolução com um plano secante. Fonte: Teixeira, 1999.

Tal interseção deve ser executada quando o plano secante apresenta uma projeção acumulada. Caso contrário, faça uma mudança de plano de projeção acumulando uma projeção sua. A seguir, na projeção acumulada do plano secante, determine onde o plano intercepta as linhas principais da superfície (gola, equador, meridiano principal). Normalmente, pode-se obter quatro 130 Laureate- International Universities

pontos da linha de interseção resultante (depende da superfície). Os demais pontos necessários à determinação da linha de interseção serão obtidos com o emprego de planos auxiliares horizontais ou frontais. A interseção dos planos auxiliares com as superfícies geram circunferências em VG na projeção adjacente. E a interseção desses planos auxiliares com o plano secante, gera retas. Onde essas retas interceptarem as circunferências resultantes do mesmo plano auxiliar, você obterá pontos (em quantidade variável e que depende da forma da superfície de revolução e da posição do plano secante) que darão a forma final da linha de interseção. E, por fim, analise a visibilidade da linha de interseção gerada.

4.2.5 Helicoides (superfícies empenadas) Helicoides são superfícies geradas pelo movimento de retas cujos pontos descrevem trajetórias helicoidais (parafusos, fusos, brocas, rampas de acesso helicoidais, escadas helicoidais que não são superfícies helicoidais, mas fazem uso destas para sua construção e concepção).

Figura 41 – Exemplos de helicoides. Fonte: Teixeira, 1999.

Para que você compreenda sobre os helicoides, é necessário o entendimento sobre hélices, pois todos os pontos de um helicoide descrevem hélices como trajetória. Portanto, hélice é uma curva traçada na superfície de um cilindro e que faz ângulos iguais com as geratrizes do cilindro. A hélice cilíndrica ou hélice define-se como a trajetória descrita por um ponto quando apoiado na superfície de um cilindro (suporte) subordinado a dois movimentos uniformes e simultâneos que são a rotação em torno do eixo do cilindro e a translação paralela ao eixo do cilindro. Caso a seção reta do cilindro (seção perpendicular às geratrizes) for uma circunferência, o cilindro é de revolução e a hélice é nomeada hélice cilíndrica normal.

131

Geometria descritiva

Figura 42 – Hélice cilíndrica normal. Fonte: Teixeira, 1999.

Elementos e propriedades definem as principais características das hélices. São eles:

• ponto gerador - ponto que se desloca descrevendo uma hélice como trajetória; • eixo da hélice - reta em torno da qual desloca-se o ponto gerador; • passo

da hélice (P) - distância entre dois pontos da hélice medida sobre uma mesma geratriz do cilindro suporte, ou seja, é a distância axial necessária para uma volta completa em torno do eixo;

• espira - porção da hélice correspondente a um passo; • raio da hélice - corresponde ao raio do cilindro suporte e à distância do ponto gerador ao eixo;

• sentido de rotação - sentido da rotação do ponto em torno do eixo. Lei de geração - o ponto gerador desloca-se em movimento composto (rotação + translação) ao redor do eixo, sendo que conforme o ponto se desloca na direção axial (paralela ao eixo), também gira ao redor do eixo. A projeção de seu movimento em um plano normal ao eixo percorre uma circunferência cujo raio é igual ao raio do cilindro suporte. Quando o ponto desloca-se de uma distância igual ao passo, na direção axial, ao mesmo tempo completa um giro de 360°. Outra característica da hélice é que o deslocamento axial do ponto é proporcional ao deslocamento angular. A orientação do movimento do ponto gerador, que é a combinação do sentido de translação e o sentido de rotação, determina o tipo de hélice. A construção e representação em épura de uma hélice obedece à lei de geração das hélices. Tal processo consiste em representar a trajetória do ponto gerador, simultaneamente, nas projeções mongeanas envolvidas. Então, veja, a seguir, os passos para a construção das projeções de uma hélice sendo conhecidos o ponto gerador (Pi, Pj), o eixo (ei) de projeção acumulada e, portanto, outra projeção em VG (ej), o passo e a orientação da hélice. a) No plano de projeção πi, onde o eixo tem projeção acumulada, trace uma circunferência com centro ei e raio igual a eiPi. Tal circunferência é a projeção da hélice no plano πi;

132 Laureate- International Universities

• No plano de projeção πj, onde o eixo tem projeção em VG, trace um segmento de reta a partir da projeção Pj paralelo a ej e com comprimento igual ao passo.

b) Divida a circunferência em um número de partes suficientes (pelo menos 8) para construir a hélice com alguma precisão. Dividindo a circunferência em n partes, a hélice terá n+1 pontos determinados com precisão. c) Numere cada ponto da divisão segundo o sentido de rotação do ponto gerador. d) Divida o passo no mesmo número de partes e proporcionais às divisões da circunferência (no caso de mais de um passo, proceda da mesma forma com cada um deles). e) Numere os pontos determinados sobre o passo segundo o sentido de translação do ponto gerador. f) Trace linhas perpendiculares à ej contendo cada um dos pontos das divisões sobre o passo. g) Trace uma linha de chamada a partir do ponto 1 do plano πi até a linha 1 do plano πj. Assim, você determinará as duas projeções do primeiro ponto da hélice. Repita este processo para cada um dos pontos sobre as divisões determinadas em ambas as projeções. h) Trace a projeção da hélice no plano πj, unindo os pontos determinados em (h), interpolando-os. A projeção em πj é uma senoide, pois seu processo de construção em épura é coincidente com a definição da função Seno.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 2

1 6

Figura 43 – Representação em épura de uma hélice. Fonte: Teixeira, 1999.

Note que a projeção da hélice no plano de projeção πj, onde o eixo tem projeção em VG, tem sempre como limites laterais as linhas de chamada dos limites laterais da circunferência em πi. Esses limites são o contorno aparente do cilindro suporte. A forma da projeção em πj depende da posição inicial do ponto gerador. Agora que você já sabe sobre hélices, vai então conhecer sobre superfícies helicoidais ou helicoides.

133

Geometria descritiva

Helicoides são superfícies geradas por retas que descrevem trajetórias helicoidais e, cuja geração depende dos seguintes elementos:

• geratriz - segmento de reta; • eixo - reta concorrente ou reversa à geratriz; • passo - passo do movimento helicoidal; • orientação - orientação positiva ou negativa do movimento helicoidal. Lei de geração - a reta geratriz desloca-se em trajetória helicoidal em torno do eixo de forma que todos os pontos descrevem hélices simultâneas de mesmo passo, mesmo eixo, mesmo sentido de rotação e de cilindros suporte diferentes. Assim como as hélices, os helicoides podem ter qualquer comprimento, desde que a trajetória seja helicoidal. Caso a geratriz e o eixo não forem coplanares, os helicoides podem ser classificados como axiais (geratrizes e eixos concorrentes) ou de núcleo (quando a geratriz é reversa ao eixo). Os helicoides podem ser classificados segundo o ângulo formado entre a geratriz e o eixo: helicoides de plano diretor (se a geratriz é ortogonal ao eixo); helicoide de cone diretor (se a geratriz não é ortogonal ao eixo). O processo de construção em épura de um helicoide assemelha-se ao processo de construção das hélices que é, na verdade, parte do processo de construção de um helicoide. Para construir um helicoide, considerados a geratriz AB, eixo, passo, sentido e número de espiras e siga os seguintes passos: a) construa a hélice correspondente ao ponto A; b) construa a hélice correspondente ao ponto B; c) una as posições de mesma numeração de A e B; d) verifique a existência de problemas de visibilidade. Para a construção de helicoides axiais de plano diretor, você deve seguir o processo de construção de hélices nas extremidades da geratriz. Quando a geratriz é paralela ao plano de projeção onde o eixo está acumulado, os helicoides axiais de plano diretor sinistrorsum e dextrorsum (de mesmo passo, eixo e geratriz) apresentam projeções idênticas, até mesmo, aparentemente, na visibilidade (a visibilidade inverte nesses helicoides: o que é porção superior em helicoides inistrorsum, corresponde à porção inferior no helicoide dextrorsum axial de plano diretor de mesmo passo e eixo.

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Heliocóide axial plano diretor

Figura 44 – Helicoide axial de plano diretor. Fonte: Teixeira, 1999.

Helicóide axial de plano diretor sinistrorsum

Helicóide axial de plano diretor dextrorsum

Figura 45 – Helicoide axial de plano diretor sinistrorsum e dextrorsum. Fonte: Teixeira, 1999.

A representação em épura dos helicoides de cone diretor apresentam um complicador na divisão do passo para os pontos das extremidades. Esses pontos estão defasados na direção axial e, portanto, da divisão será feita em duas etapas. Nesses helicoides, sempre há porções invisíveis. Quando a posição inicial das geratrizes não é paralela ao plano de projeção onde o eixo se projeta em VG, você terá helicoides que diferirão na visibilidade e na forma. Nesse caso, evidencia-se o sentido de rotação que facilita o processo de determinação da visibilidade. 135

Geometria descritiva

Figura 46 – Helicoide axial de cone diretor sinistrorsum e dextrorsum. Fonte: Teixeira, 1999.

Quando a posição inicial das geratrizes é paralela ao plano de projeção onde o eixo se projeta em VG, você terá helicoides que diferirão somente na visibilidade.

Figura 47 – Helicoide axial de cone diretor sinistrorsum e dextrorsum. Fonte: Teixeira, 1999.

136 Laureate- International Universities

Nos helicoides de núcleo, os pontos das extremidades da geratriz não ficam posicionados na direção radial (no plano de projeção onde o eixo está acumulado), assim, as divisões não ficam alinhadas com o centro das circunferências. Logo, cada circunferência deve ser dividida separadamente. Helicoides sinistrorsum e dextrorsum de núcleo com mesma geratriz, passo e eixo nunca apresentam projeções idênticas. Nesse tipo de superfície, é comum a representação do núcleo, o que gera problemas de visibilidade.

Helicóide de núcleo de plano diretor

Helicóide de núcleo de cone diretor

Figura 48 – Helicoides de núcleo de plano diretor e de cone diretor. Fonte: Teixeira, 1999.

Em helicoides de núcleo, cuja geratriz tangencia o núcleo, é necessário que você trace, além das hélices das extremidades, a hélice de tangência do helicóide ao núcleo. Tal hélice tem como ponto gerador o ponto da geratriz de menor distância da geratriz em relação ao eixo.

Figura 49 – Helicoides de núcleo, cuja geratriz tangencia o núcleo. Fonte: Teixeira, 1999.

A partir do exposto neste tópico, você conheceu sobre os tipos de superfícies e suas representações. 137

Geometria descritiva

NÃO DEIXE DE VER... Assista ao vídeo “Mão na forma - Quadrado, cubo e cia”, dirigido por João Roberto Sadek e lançado no ano 2000, disponível no link: <http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-quadrado-cubo-e-cia>. No vídeo, você vai compreender que para encontrar a geometria, basta andar um pouco por qualquer cidade. Por que os prédios das cidades são sempre em forma de quadrados e cubos? O programa demonstra de que forma o cubo e o quadrado se encaixam nas construções e prova que, mesmo sendo considerados instáveis na natureza, eles são comuns na arquitetura.

138 Laureate- International Universities

Síntese Síntese

• Você

aprendeu que as seções feitas por planos nos sólidos geométricos geram figuras planas.

• Quando o plano secionador é de nível e a base do sólido está apoiada no plano horizontal

de projeção, a projeção horizontal da seção é sempre a mesma figura da base, podendo ter dimensões diferentes se o sólido for pirâmide reta.

• Quando o plano secionador é frontal, a figura plana gerada pela seção variará de acordo com a posição do plano secionador em relação ao sólido.

• Quando o plano secionador for de topo, vertical ou oblíquo, para determinar a seção ou a VG da seção é necessário que você faça uso dos métodos auxiliares de projeção.

• Você aprendeu, também, a distinguir as partes visíveis das ocultas na representação de sólidos geométricos e das seções planas produzidas neles.

• Você

conheceu a classificação representação das superfícies de revolução, regradas planificáveis e empenadas.

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Referências Bibliográficas

BECK, G. REFLECTING IN INTERSECTING PLANES. Recurso educacional. Portal do Professor. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id= 39159>. Acesso em: 19 jul. 2015. PATEK, M. M. dos S.; LEÃO, R. M. Estudo da geometria gráfica por computador. Curitiba: Graphica, 2007. PRÍNCIPE JR., A. dos R. Noções de geometria descritiva. São Paulo: Nobel, 1986. v. 2. RODRIGUES, A. Geometria Descritiva: Operações fundamentais e poliedros. 6. ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S. A., 1964. TEIXEIRA, F. G. et. al. Geometria Descritiva: Estudo de Superfícies, 1999 (Apostila). TV ESCOLA. Mão na forma - Quadrado, cubo e cia. Disponível em: Salto para o futuro: <http:// http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-quadrado-cubo-e-cia>. Acesso em: 19 jul. 2015.

140 Laureate- International Universities

Minicurrículo da autora Ana Maria Simões Netto Costa. Mestra em Ensino de Ciências e Matemática- Mestrado Pro-

fissional-FaE/ UFPel (2013). Possui graduação em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade Federal de Pelotas (2005) e especialização em Matemática e Linguagem pela mesma instituição (2009). Atuou como tutora à distância do Curso de Especialização em Gestão de Polos da Universidade Federal de Pelotas. É professora de Matemática do Ensino Médio na E.E.E.B. Osmar da Rocha Grafulha-Pelotas/RS e do Ensino Fundamental na EEM Dr. Joaquim Duval-Pelotas/RS . Atuou como tutora presencial do Curso Técnico em Administração pelo ETEC-IFSul-Rio-Grandense-CAVG/ Pelotas/RS. Participa do Projeto OBEDUC - INTERFACE UNIVERSIDADE E EDUCAÇÃO BÁSICA: POSSIBILIDADES INOVADORAS E QUALIDADE DO ENSINO pelo PPGECM/FaE/UFPel como professora da Educação Básica. Participou da Sessão de Avaliação dos cursos dos Catálogos da Educação Profissional em 2013. Tem interesse em atuar com o professora de Matemática do Ensino Superior em curso presenciais e à distância.

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