Matematica Básica

1º Semestre

MATEMÁTICA BÁSICA Autora: Benedito H. Ikeda

Apresentação Caro aluno,

Seja bem-vindo à disciplina Matemática Básica.

Nesta disciplina, serão abordados os conceitos básicos da matemática elementar. Na verdade, esta disciplina tem caráter de revisão, pois, excetuando-se, possivelmente, as aula 8 e 9, todo o assunto do curso faz parte do currículo do ensino fundamental e médio.

Procuramos, no entanto, dar um enfoque diferenciado aos assuntos estudados, principalmente através de exemplos e aplicações presentes no nosso cotidiano.Tentamos, também, não ser excessivamente formais, mas, por outro lado, procuramos não perder o rigor matemático.

Temos notado que os alunos têm chegado à universidade com uma base matemática cada vez mais deficiente e um nível baixo no que se refere a raciocínio lógico. Não vamos, aqui, discutir as causas desses fatos, mas, apenas lembrar que o estudo da matemática exige certa dose de concentração e disciplina, sobretudo, quando estudada na modalidade à distância.

Vale lembrar que este módulo não tem a pretensão de ser auto-suficiente para um bom desempenho no curso. Sendo assim, consultem outras fontes, como a bibliografia indicada e os sites da internet para complementar seus estudos.

Não deixe de acessar o AVA sistematicamente e de recorrer ao tutor ou ao seu professor sempre que tiver dúvidas.

No mais, esperamos ter uma convivência harmoniosa, interativa e produtiva.

Benedito H. Ikeda.

AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

149

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Autora: Mara Amélia Pinho Barbosa, adaptada por Benedito Ikeda 

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- Conjunto dos números inteiros não-negativos: z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

o conjunto z+ corresponde ao conjunto iN.

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1 − 3 5 10 , , ,  2 4 −8 2 Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. o número zero é também um número racional. 

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6

35 = 3,8888 ...

9

35 = 3,1818 ...

11 

                

154                  o que acontece no caso de uma dízima nãoperiódica?

     

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155                  2

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3                    ∪∈∈

156                                            − 2



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1

1,5

2

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iN ⊂ z ⊂ Q ⊂ ir ir ⊂ ir Q ∪ ir = ir Q ∩ ir = ∅ ir = ir −Q

ir ir Existem outros números além dos reais: os números complexos

                                                   

157     ≤   ≤                    0

26

34

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b

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158  ∞∈≥    a   ∞∈  a         −∞∞       −∞    ∞            

.

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160

AULA 02 FUNÇÃO AFIM (PARTE 1)

161

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Autora: Mara Amélia Pinho Barbosa, adaptada por Benedito Ikeda

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Quantidade (kg) 1 2 4 6 8 10 . . .

100

Valor a pagar (r$) 2,00 4,00 8,00 12,00 16,00 20,00 . . .

200

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Tempo (h)

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1

1,5

2

3

4

t

distância (km)

5

90

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180

270

360

90t

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4° Q

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4°

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4

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168   

o conjunto dos pares ordenados determinados é: f = {(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3

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o conjunto dos pares ordenados determinados é: f= {(-2,3),(1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} x y=f(x)=-x+1 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1

    ⇔   ⇔    

169           

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8 5

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170                                           

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171

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172

AULA 03 - FUNÇÃO AFIM (PARTE 2 )

173



Autora: Mara Amélia Pinho Barbosa, adaptada por Benedito Ikeda

 

olá! Na aula anterior iniciamos o estudo das funções e vimos um pouco de função do 1o grau, aprendendo que o seu gráfico é uma reta. Vimos, também, a diferença entre função crescente (a > 0) e decrescente (a < 0). Nesta aula, aprenderemos mais sobre a função afim e, ao finalizá-la, você deverá estar apto para resolver problemas que envolvem a função do 1º grau. Vamos lá!

  

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

                                       

  

174

0 é a raiz ou o zero da função.

−3/2 é a raiz ou o zero da função

0é a raiz ou o zero da função.

−1 é a raiz ou o zero da função

  −   −                      

175 y 6 5 4

y=2x+3

3

y=2x

2 1

−3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

−1 −2 −3

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6

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−6

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3

4

5

6

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3

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3

4

5

6

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y 2 − y1  x 2 − x1

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q=

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180 14

F(x10)

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

q(x10)

1 −2

−1

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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181 c)

C/r (x1.0000)

r

8

C

7 6 5 4 3 2 1

q(x1.000) 1

2

3

4

−1

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183

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188                 −

b  2a

    y = x 2 − x − 2          xv = −

b −1 1 =− =  2a 2(1) 2

 ∆     x v        x' x' '     x v   x v =

x'+ x' ' − 1 + 2 1 = =  2 2 2

       v  v  2

  y v = f ( x v ) = f ( −

b )  2a

2

 b2  b2 −b −b  2  − b + c = a + c  +    a 2 a 4  2a   2a   

 y v  a

yv =

b2 b2 b 2 − 2b 2 + 4ac − (b 2 − 4ac ) − + c   y v   = 4a 2a 4a 4a

 2    y v =

−∆  4a

  ∆ = 9   y v =

9 −∆ −9 = =−  4a 4(1) 4

            

189       y = −2 x 2 − 4 x + 6     

() 

2

∆ = ( −4) − 4(−2)(6) = 64 > 0 

 

xv = −

b −4 −∆ −64 =− =-1 e yv = = =8 2a 2( −2) 4a 4( −2) 

   

   y

V(-1,8)

8 2

y = −2 x − 4 x + 6 x -3 -2 -1 0 1 2

y 0 6 8 6 0 -11

7 6

raiz

5 4

vértice

3

raiz

2 1 −5

−4

−3

−2

−1

−1

x 1

2

3

−2 −3

    2                    

190  2

 − 







2

− −

  V ( x v , y v )           y v     

Ι Μ ( f ) = [ yν ,+∞[

 y v 

 V ( x v , y v )                 y v 

Ι Μ ( f ) = ]− ∞, y v ]

 y v 

                                       

191 

a>0

a<0

−−−

+

−−−

∆>0 +++

+++

−

−−−−

−−−−−

∆=0 + ++ + +

+++++

−−−−−−−−−−− ∆<0 +++++++++++

              





a a>0 >0 a<0 a>0  = 0 ( x’ = x’’) a<0 

Positiva Negativa ]-, x’ [ ∪ ]x’’, + [ ]x’, x’’ [ ]x’, x’’ [ ]-, x’ [ ∪ ]x’’, + [ ir − {x’ } ir − {x’ }



exercícios resolvidos       f ( x) = y = x 2 + 3x                     ∆ = b 2 − 4ac = 3 2 − 4(1)(0) = 9 > 0 

192  

x 2 + 3 x = 0  x ( x + 3) = 0  x = 0 ou ( x + 3) = 0  x ' = 0 ou x ' ' = −3  

xv =

x'+ x' ' 0 + ( −3) 3 9 −∆ −9 = = − e yv = = =− 2 2 2 4a 4(1) 4

     f ( x ) = x 2 + 3 x   

8

y

7

x -4 -3 -3/2

y 4 0 -9/4 (V)









 

eixo de simetria

6 5 4 3 2 1

x

-3/2

 −5

−4

−3

−2

−1

−2 V(-3/2,-9/4)

1

−1

2

3

-9/4

−3

 

9  9   ,+∞  =  y ∈ R, y ≥ −   4  4  

 y v ,+∞[  − 

 ]− ∞,−3[ ∪ ]0,+∞[ = {x ∈ R, x < −3} ∪ {x ∈ R, x > 0} 

 ]− 3,0[ = {x ∈ R,−3 < x < 0}

                   C ( q ) = q 2 − 40q + 500                                   ∆ = b 2 − 4ac = ( −40) 2 − 4.1.500 = −400  

193 qv = −

b − 40 ∆ − 400 =− = 20 e C v = − =− = 100 2a 2 4a 4 

      9

Cx100

8 7 6 5 4 3 2 1

V(20,100) 1

2

3

qx10 4

5

6

−1

 

 2

 C ( q ) = q − 40q + 500                  R+                                                 − p 2 + 60 p − 500 







2

 y = ( x − 10)(50 − x ) = − x + 60 x − 500     ( ) 



194  ∆ = b 2 − 4ac = (60) 2 − 4( −1)( −500) = 1.600 > 0          ( p − 10) = 0 ou (50 − p ) = 0  p ' = 10 ou p ' ' = 50    x v =

− ∆ − 1.600 x '+ x ' ' 10 + 50 = 400  = = 30 e y v = = 2 2 4a 4( −1)

                                          L(r$) V(30,400)

400

300

200

100 p(r$) 10



20

30

40

50



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195  

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196

AULA 05 - SITEMAS LINEARES 2X2

197

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Autora: Benedito Ikeda

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198                                              y = −

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1

(1/2,1/2)

x −1

1

2

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199              

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2 x + 3 y = 13         3 x − 5 y = 10

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2.5 + 3.1 = 13  3.5 − 5.1 = 10

 

                              

3 x − y = 10  2 x + 5 y = 1

 

4

y 3x-y=10

3 2x+5y=1

2 1 x

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 P(3,-1) −2 −3 −4

 

−5



200                                                                                    S = φ             

ax + by = c  dx + ey = f    

a b ≠   d e a b c  = =   d e f 



a b c = ≠   d e f

  

x + y = 3 1 1  ≠   2 − 1  2 x − y = 0         

201 

3x + y = 5 3 1 5  = =   6 x + 2 y = 10 6 2 10         

{

}

S = ( x, y ) ∈ R 2 , y = −3x + 5     

3 x + y = 7 3 1 7  = ≠   3 1 9 3 x + y = 9      S = φ                                                                

3x + y = 5

3 x + y = 5 8x − y = 17 22   +   x = = 2   11x + 0 = 22 11 8 x − y = 17

 

 3x + y = 5 

3 ⋅ 2 + y = 5  6 + y = 5  y = 5 − 6  y = −1  x = 2 e y = −1  − 







202  

x + 3y = 1 x + 3y = 1 a) + 4 y − x = −22

− x + 4 y = −22 0 + 7 y = −21

 7 y = −21 y =

− 21  y = −3  7

 





x + 3 y = 1  x + 3 ⋅ ( −3) = 1 x − 9 = 1 → x = 1 + 9  x = 10  −  

8 x + 6 y = 14

 8 x + 6 y = 14 4 x + 3 y = 7 − 8 x + 6 y = 46 60  12 y = 60  y =  y = 5   +  0 + 12 y = 60 12 6 y − 8 x = 46 1ª x 2 − 8 x + 6 y = 46   4 x + 3 y = 7  4 x + 3 ⋅ 5 = 7  4 x + 15 = 7  x =

7 − 15  x = −2  4

−                                                   

3 x + y = 5         8 x − y = 17

   

  3 x + y = 5  y = 5 − 3 x   −−−−   −− −    

203   

5 x + 5 y = 5  3 x + y = 7

 a)

    3x + y = 7   y = 7 − 3 x    5 x + 5 y = 5  −−−− −−  x = 3   y = 7 − 3 x  y = 7 − 3(3)  y = 7 − 9  y = −2  

x + y = 3  4 x + y = 0

 b)

    x + y = 3,   y = 3 − x,    4 x + y = 0,  −−−−− − x = −1   y = 3 − x,  y = 3 − ( −1)  y = 3 + 1   y = 4                                        

 y = 2x − 3            y = −6 x + 5

  

                                                       

204 y 6 5 4

y=2x-3

y=-6x+3

3 2 1 −1

−1

x 1

2

3

4

5

6

P(1,-1)

−2 −3



−4



                                                     

205 C/r (x1.000)

r

8

C

7 6

PE(1.000,6.000)

5 4 3 2 1

q(x1.000) 1

2

3

4

−1

    

C = 2q + 4.000  R = 6q 

 y = 2 x + 4.000  y = 6x 

 

                                                                                                                       

206                                                                                                               B/F(x100) 8 7

Boaforma

F/B (x100)

Fitwell

6

P(250,550) 5 4 3 2 1

h(x100) −1



1 −1

2

3

4

5



207                                                               

                                        

      

  

     

208

AULA 06 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

209



Autora: Mara Amélia Pinho Barbosa, adaptada por Benedito Ikeda 

                                             

        21   2 2   2 3     2 n      2 n  2 n  

210                                              a n = na    a n    

n fatores

3 2 

4 3  2 5  0 3 

(−1) 2 −− (−2) 3 −−−− 3

1  1  1  1  1   =     =  2  2  2  2  8            Propriedades                  a m a n = a m + n  

am = a m − n  an

( )

 a m

n

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 (ab) m = a m b m  m

am a    = m  b b   

211   a 0 = 1   

a 1 = a 0+1 = a 0 a 1 ( pela propriedade fundamental )   a 0           a n ∈∈ ≠∈  

1 = a 0 = a − n + n = a − n .a n  

a−n =

 

1 ;a≠0 an 

1 1 = 23 8  1 1 (−3) −3  =−  3 27 (−3) 2−3 =

−1

1 2  3   = =  2 3  2 3    1

a= a = a

1 ⋅n n

n

 1 =  a n  ,  

 ≥  

1 an

=na

 x = m

1

a x = a n = (a n ) m =     2 35

= 5 32 = 5 9 

( a) n

m

m ∈ n

= n am 

212 1

3

8 3 = 3 81 = 3 8 = 3 2 3 = 2 3 = 2  1 (−4) 2

0

−

2 3

 − 4 



1 0

3

(− 2)5

2 3

=

1 3

0

2

=

1  0

= 5 − 23 = 5 − 8 

1

3

3 2  8 3 3 8 3 2 2 = =3   =    = 3 27 3 3  27  3

              2

2

      

 2     21 ; 21, 4 ; 21, 41 ; 21, 414 ;...........     2   1 1, 4 1, 41 1, 414 ;...........  2  2 ; 2 ; 2 ; 2

2



   2 2                                                      

213    a m .a n = a m + n 

am  n = a m − n  a

( )

 a m

n

= a m .n 

 (a.b ) = a n .b n  n

n

an a    = n , para b ≠ 0  b b  a 0 = 1, para a ≠ 0   a − n =

1  an

m

 a n =

n

am =

( a) n

m



                    

2 x = 128 4 x = 32 2 x.3 = 3 x .2



2 2 x = 2 x + 12              a x = a y  x = y                         ≠     3 x −1 = 81  

214  81 = 3 4   3 x −1 = 3 4  x − 1 = 4  x = 5   x2

− 4x

= 3125   5 ⋅ 5  x 5

2

− 4x

= 5 5 ⇔ x 2 − 4 x = 5 ⇔ x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ou x = −1 

− −   2 x .3 = 3 x .2   x 2 x .3 = 3 x .2  2 = 2   2  = 2  x = 1  S = {1}  3 3x 3 3 x

 2 2 x = 2 x + 12  

( )

2 2 x = 2 x + 12  2 2 x − 2 x − 12 = 0  2 x

2

− 2 x − 12 = 0 

 y = 2 x   y 2 − y − 12 = 0  y ' = 4 ou y ' ' = −3 

 2 x = 2 2 ou 2 x = −3         2 x > 0            2 x = 4 ou 2 x = −3 

                    

m(1)= 1.000 +

5 .1000=1000 + 0,05(1.000)= 1.000(1+0,05)=1.000.1,05=1.050 reais 100

 

m(2)= m(1) +

5 .m(1) =1.050+0,05(1.050)=1.050(1+0,05)=1.102,50 reais 100



m(3)= m(2) +

5 .m(2)=1.102,50+0,05(1.102,50)=1.102,50(1+0,05)=1.157,625 reais 100

           

215       (1, 05) 2     (1, 05)3     (1, 05) 4                (1,05)  x

        

m 7040

























4322

2653

1629

x

1000

                              10

20

30

40

216  ≠   f ( x ) = a x  y = a x                ≠  a x ∈  a 0           

1          2 y

y 6

7

5

6

4

5

3

4

2

3

1 −4

−3

−2

−1

x 1

2

2

3

1

−1 −2

x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−3



1 y =  2 (curva exponencial decrescente) x

y = 2x (curva exponencial crescente)

 y = 2 x , y = 3 x e y = 10 x   2 x > 3 x > 10 x  

217                                    2 x > 3 x > 10 x       2 x = 3 x = 10 x = 1  2 x < 3 x < 10 x          y = 2 − x , y = 3 − x e y = 10 − x   2 − x > 3 − x > 10 − x                  2 − x < 3 − x < 10 − x  2 − x = 3 − x = 10 − x = 1  2 − x > 3 − x > 10 − x             V ( x) = 125.000(0,91) x             

218    

a) V (1) = 125.000(0,91)1 = 113.750,00 reais V (2) = 125.00(0,91) 2 = 103.512,00 reais



V (4) = 125.00(0,91) 4 = 85.718,70 reais 

V (0) = 125.000(0,91) 0 = 125.000,00 reais   V(r$) 125.000

113.750,00

103.512,00

85.718,70

0

1 2

4

x(anos)

                          (1, 05) x       y = b.a x                         

i 5  = 0,05  100 100

  M ( x ) = C (1 + i ) x  

219                                                         V ( x) = 125.000(0,91) x = 125.000(1 − 0, 09) x                (1, 05) x  1.000.(1,05) x = 2.000  (1,05) x = 2                                   

 

                                                           

220   

       

    

AULA 07 - FUNÇÃO LOGARITIMA

221



Autora: Mara Amélia Pinho Barbosa, adaptada por Benedito Ikeda 

      

                            





P0 



P1 = P0 + 0,03P0 = P0 (1 + 0,03) = P0 .(1,03) 



P2 = P1 + 0,03P1 = P1 (1 + 0,03) = P1 (1,03) = P0 .(1,03)(1,03) = P0 (1,03) 2 

  P3 = P2 + 0,03P2 = P2 (1 + 0,03) = P2 (1,03) = P0 (1,03) 2 (1,03) = P0 (1,03) 3  





Px = P0 (1,03) x 

             Px                           P5 = 250(1,03) 5 = 289,81 

222           Px = 2P0   2 P0 = P0 (1,03) x  2 = (1,03) x                  

1  81

 

 2 x = 8 ⇔ 2 x = 2 3 ⇔ x = 3     "⇔"   

 log 2 8 = 3   3 x =

1 1 ⇔ 3 x = 4 ⇔ 3 x = 3 − 4 ⇔ x = −4  81 3

 −  log 3

1 = −4  81

1  81

 ≠  

log b a = c ⇔ b c ≠  

Forma logarítmica

Forma exponencial

c : logaritmo  log b a = c b : base do logaritmo a : logaritmando 

a : potência  b = a b : base da potência c : expoente  c

                       

223    ≠ 

log a 1 = 0  a 0 = 1 



log a a = 1  a 1 = a 



log a a n = n

 a

loga N

 a n = a n 

= N  log a N = x ⇔ a x = N ⇔ a log a N = N 

log a x = log a y ⇔ x = y    

log 1 = 0; log3 1 = 0; log8 1 = 0; logπ 1 = 0 

5   

log 2 1024 = log 2 2 10 = 10 log  5log52 = 2; 2log2π  

2 3

27 2 = log 2   8 3 3

−3

= −3 

=π 

 log 3 ( 2 x + 1) = log 3 7                          x > −  3 > −

1      2

1  2

                   

log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c  se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 

224 



log 2 4.8 = log 2 4 + log 2 8 = 2 + 3 = 5              

b = log a b − log a c c  se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 

log a

 

8 log 2   = log 2 8 − log 2 2 = 3 − 1 = 2  2

     

log a b m = m ⋅ log a b

 se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0 



log 2 4 5 = 5 log 2 4 = 5.2 = 10 



 

                                                                                             log b N      

log b N =

log a N log a b 

225  

log b a =

log a a 1 = log a b log a b 

  1 log b a = log a b  log b a ⋅ log a b = 1       ∈                           ≠     

f : IR +* → IR x → y = log a x, a > 0 e a ≠ 1                f ( x) = log 2 x  







 









−

−

  

  f ( x) = log 1 x  x











− − 

      



  

  

226  f ( x) = log a x ≠                                   IR+* 

 R+* 

      y = log a x        y = a x ≠    y = log a x        y = a x     y = log a x − y = a x  y = log a x       y = a x              

                                   

227   log e        y = log e x                                  

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M ( x) = C (1 + 0,0525) x = C (1,0525) x        

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ln 2,5  ln 1,0525



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228                   

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AULA 08 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 1)

229

Autora: Benedito Ikeda

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230                                                        lim

x →10

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6 5 4 3 2

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1

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3

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231                x → 1                   f ( x ) → 2    

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5

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y

4 3 2

(1,2)

1 −3

−2

−1

x 1

2

3

−1 −2



         →    →                 lim x →1

x2 −1 = lim( x + 1) = 2  x − 1 x →1

    

 x + 1, se x < 2  lim f ( x )  x→ 2 x + 2, se x ≥ 2

  

232    6

y

5 4 3 2 1 −3

−2

−1

−1

x 1

2

3

4

5

−2 −3

 



    → 2      →     →      →            lim f ( x )  x→ 2

    

1      →    f ( x ) =    2 x

   y 7













5

 

4





3

















 







6

2 1 x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1



233 1 2

x

 y =                              → ∞    f ( x ) → 0   x  1 lim f ( x) = lim   = 0 x → +∞ 2     x→ +∞     →       → L  → a 

lim f ( x) = L

 x→a                3 3  lim( x − 4 x + 1) = 2 − 4(2) + 1 = 5 = f (2)  x →2

 

3 x 2 − 4 x − 4 3(2) 2 − 4(2) − 4 0 = =  lim x←2 x−2 2−2 0               

                              C = q 2 + 2q + 5  

234     ∆

C

 C 125

∆C

40

∆q q 5

10

                               v a ria ç ã o e m C 85 = = 1 7 r e a is / c a m is e ta 5   v a ria ç ã o e m q

                                

variação em C

TVM = variação em q = [ ] 5,10

C (10) − C (5) ∆C 85 = = = 17 reais / camiseta ∆q 10 − 5 5



                   

235                x               3 ≤ x ≤ 4    4 ≤ x ≤ 5  2

 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −1

Q

x 1

2

3

4

Q= x

TVM [ ]

=

∆Q Q (4) − Q(3) 16 − 9 = = = 7ton / h ∆x 4−3 1

TVM [ ]

=

∆Q Q (5) − Q (4) 25 − 16 = = = 9ton / h ∆x 5−4 1

3,4

4,5

5

6

7

8

2

           

∆y

= = TVM ∆x [ ] a ,b

f (b) − f (a) b−a

   y = f ( x ) = 3 x 3 + 1  

236 ∆y

= = TVM ∆x [ ]

f (1) − f (−1) 4 − (−2) 6 = = =2 1 − (−1) 1+1 3

 −1,1      a ) y = 2 x − 1, nos intervalos [ 0,1] , [ −1, 0 ] , [ 2, 5] , [ −100,150 ] .

b ) z = t , nos intervalos [ 0,1] , [ −2, 3] , [ 4,17 ]

c ) P = 2 z 2 + z , nos intervalos [ -2,-1] , [1;1, 05] , [3;3, 2 ] , [ 2, 9;3] d )C ( q ) = q 2 + 400, nos intervalos [1,5] , [ 2; 2,1] , [ 2; 2, 01]

                            

= TVM TVM [ ] [ ] a ,b

a,a+ h

=

f (a + h) − f (a ) h

                                                                                                     

237 x

3+h 0

1

2

3

4

5

6

7

 

TVM [ ] 3 ,3 + h

=

Q (3 + h ) − Q (3 ) h

  Q (3,1) − Q (3) 3,12 − 3 2 0,61 = = = = 6,1 TVM 0,1 0,1 0,1 [3; 3, 01]   Q (3,01) − Q (3) 3,012 − 3 2 0,0601 = = = = 6,01 TVM 0,01 0,01 0,01 [3; 3, 01]   Q (3,001) − Q (3) 3,001 2 − 3 2 0,006001 = = = = 6,001 TVM 0,001 0,001 0,001 [3; 3, 001 ]                                                      → 0    → 6   

Taxa de Variação instantânea de Q = lim TVM = TVI = 6 ton/h h →0

para x=3

x =3

               

Q (3 + h ) − Q (3) =6 h→ 0 h

Taxa de Variação instantânea= TVI = lim TVM = lim x=3

h→0

[3:3 + h ]

de Q em x=3  

238 Taxa de Variação instantânea de f= TVi = lim TVm = lim x=a

h→0

[ x,x+h ]

h→0

em x=a

f ( x + a) − f ( x) h

   

 f ( x) = 2 x 2 + 1       f ( x + h ) − f ( x ) f (2 + h ) − f (2) [2(2 + h ) 2 + 1] − 9 [2(4 + 4 h + h 2 ) + 1] − 9 TVm = = = = = [ 2,2+h ] h h h h 8 + 8h + 2 h 2 + 1 − 9 8h + 2 h 2 h (8 + 2 h ) = = = = 8 + 2h h h h  lim TVM

h →0 [ 2 , 2 + h ]



lim TVm = lim(8 + 2h) = 8

 h →0 [ 2,2+h ]

h →0

                  

TVi = 8

     

x= 2

                     f ( a + h) − f (a )  f ′( a ) = lim h →0 h    

239   y = x 2 + 1  

[(

) ]

[( 2 + h ) 2 +1] − 5 4 + 4h + h 2 + 1 − 5 f ( 2 + h ) − f ( 2) = lim = lim = h→ 0 h→0 h→ 0 h h h 4h + h 2 h(4 + h) = lim = lim = lim ( 4 + h ) = 4 h→0 h→0 h→ 0 h h   f ' ( 2) = lim

 x 2                 C (q) = q 2 + 400      TVM = [1, 6 ]



C (6) − C (!) 436 − 401 35 = = = 7  6 −1 5 5

[

]

(3 + h ) + 400 − 409 = lim (9 + 6 h + h 2 ) + 400 − 409 = C (3 + h ) − C ( 2 ) = lim h→0 h→0 h→ 0 q=2 h h h 2 (6h + h ) h(6 + h) = lim = lim = lim ( 6 + h ) = 6 reais / ton h→0 h → 0 h→ 0 h h                                      TVI = C ' (3) = lim

2

 f ( x ) = 2 x 2 − x                   

240                          

        

 

     

       

AULA 09 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (PARTE 2)

241



Autora: Benedito Ikeda



                                    

                                        f ' ( x ) = lim

f ( x + h) − f ( x) h 

              2  x + 1  h→ 0

  

[

]

(x + h ) + 1 − f ( x ) = lim [( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 1] − ( x 2 + 1) = f ( x + h) − f ( x) = lim h→0 h→ 0 h→0 h h h 2 ( 2 xh + h ) h(2 x + h) = lim = lim = lim ( 2 x + h ) = 2 x h→0 h→0 h→ 0 h h   f ' ( x ) = lim

2

2

       x + 1                                

242  

dy df d , , (f) dx dx dx

                            

dy    dx         

df  dx

 

f ( x) = x n , n ∈ IR  f ′( x) = nx n−1   

y = x3  1

dy = 3x 2 dx  1

−1

4 4  f ( x) = x  f ' ( x) = x = x

−

3 4



    −2 −2 −2 −1 ) = −10 x −3   f ( x ) = −5 x  f ' ( x ) = −5( x )' = −5( −2 x    ±   ± 

′ ′ ′ f ( x ) = −2 x 5 + 3 x 2 − 4  f ' ( x ) = − 2 x 5 + 3 x 2 − ( 4)' = −2 x 5 + 3 x 2 − ( 4)' =

(

4 4  = −2(5 x ) + 3(2 x ) − 0 = −10 x + 6 x   

) ( )

( )

( )



243     f ( x ) = ( 2 x − 8 )( 5 x 6 + 3 x )  f ' (x ) = ( 2 x − 8)' (5 x 6 + 3 x ) + ( 2 x − 8)( 5 x 6 + 3 x )' = ′ ′ ′ ′ =  (2 x ) − (8 )  (5 x 6 + 3 x ) + ( 2 x − 8)  (5 x 6 ) + (3 x )  = 2 (5 x 6 + 3 x ) + ( 2 x − 8)( 30 x 5 + 3) =     6 6 5 6 = 10 x + 6 x + 60 x + 6 x − 240 x − 24 = 70 x − 240 x 5 + 12 x − 24   

 g ( x)  g ' ( x ) h( x ) − g ( x ) h' ( x )   f ' ( x) = f ( x) =  (h( x) )2  h( x )   

y= =

′ x3 + 3 x 3 + 3 (2 x − 4) − ( x 3 + 3)(2 x − 4)′ 3 x 2 (2 x − 4) − ( x 3 + 3)(2)  y' = = = 2x − 4 (2 x − 4)2 (2 x − 4)2

(

)

6 x 3 − 12 x 2 − 2 x 3 − 6

(2 x − 4)2

=

4 x 3 − 12 x 2 − 6

(2 x − 4)2



   g ( x ) = ( f ( x ) )  g ′( x ) = n ( f ( x ) )  n

n −1

. f ′( x ) 

3 2 ′ g ( x ) = 3 x 4 + 2 x − 1  g ′( x ) = 3 3 x 4 + 2 x − 1 3 x 4 + 2 x − 1 = 3 3 x 4 + 2 x − 1 12 x 3 + 2  

(

)

(

)(

)

(

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

                                 x 2 + 1      

)

244                  s

10

y

9

r

8 7 6 5 4 3 2 1 −4

−3

−2

−1

−1

x 1

2

3

4

5

6

−2 −3 −4 −5



                           

muro 

     



 x + x + y = 100  2 x + y = 100  y = 100 − 2 x   2  A = x. y = x (100 − 2 x ) = −2 x + 100 x 

245                      

xv = −

b  2a

                             

A = −2 x 2 + 100 x  A′ = (−2 x 2 )′ + (100 x )′ = −4 x + 100 

 A′ = −4 x + 100 = 0  x = 25 

2

    A = 1.250 m             A (25,1.250) 1.250

x 10

20 25 30

40

50





                C (q ) = 3q 2 + 5q + 1.000                 

C (50) = 3(50) 2 + 5(50) + 1.000 = 8.750,00 reais  

C (51) − C (50) = 3(51) 2 + 5(51) + 1.000 − 8.750 = 308,00 reais 

246                                             L(q ) = 0,0002q 3 + 10q                     L ′ =

dL = 3(0,0002q 2 ) + 10  dq  dL   = 0,0006(50) 2 + 10 = 11,50   dq  q =50

 L ′(50) = 

                                 

[

] [

]

L(51) − L(50) = 0,0002(51) 3 + 10(51) − 0,0002(50) 3 + 10(50) 3 = 536,53 − 525 = 11,53



                                             

C (q ) = 2q 2 + 50q + 100         CM (q ) =

C (q)      q

    

247                                                                     

                           

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