Metodologia pratica matematica ensino fundamental by EAD UNIFACS

Metodologia e prรกtica da Matemรกtica no Ensino Fundamental

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S725m

Sousa, Sonia Marlene Santos Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental./ Sonia Marlene Santos Sousa, Dilmara Maurício do Carmo. – Salvador: UNIFACS, 2014. 194 p. : il. ISBN 978-85-8344-045-1 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Prática de ensino. II. Carmo, Dilmara Maurício do. II. Título CDD: 372.7

S umário ( 1 ) Os

pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática, 11 1.1 Por que aprender matemática?, 13 1.2 O conhecimento matemático, para que serve?, 15 1.3 A evolução da ideia do número, 16 1.4 A matemática no ensino fundamental, 18 1.5 A construção do conhecimento matemático, 20 1.6 Esquemas básicos para a aprendizagem da matemática, 23

( 2 ) Caracterização

e tendências da Educação Matemática, 31 2.1 Caracterização da matemática para as séries iniciais do ensino fundamental, 34 2.2 Caracterização da matemática segundo os PCNs, 37 2.3 Desmistificando o ensino da matemática, 40 2.4 O uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática, 43 2.5 História da Matemática, 51 ( 3 ) O ensino da matemática no Brasil: con-

cepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais, 57 3.1 PCNs e seleção de conteúdos, 61 ( 4 ) Conceito

de números, sua representação e operações com números naturais 69 4.1 Atividade que envolva ordenação, sequenciação e inclusão hierárquica, 72 4.2 Operações com números naturais, 79

( 5 ) Espaço (6)

e Forma, 91

Grandezas e Medidas, 103 6.1 Medidas e Grandezas no Ensino Fundamental, 109 6.2 Unidades de Medidas Padronizadas, 116

(7)

Tratamento da Informação, 123 7.1 O ensino da Estatística nas séries iniciais, 129 7.2 Por que trabalhar Estatística, Probabilidade e a Combinatória nas séries iniciais?, 131

(8)O

ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação 141 8.1 O jogo no ensino da matemática, 143 8.2 O jogo e a importância das regras, 152 8.3 Resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de matemática, 157 8.4 O papel do “erro” no ensino da matemática, 164 8.5 Avaliação e Matemática, 176

(1)

O s pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemรกtica

1.1 Por que aprender matemática? Tratar do conhecimento matemático é tratar das ações do homem em suas relações de vida, sejam elas sociais, culturais, políticas, antropológicas, ambientais, biológicas etc. Nesta unidade, discutiremos sobre a aplicabilidade da matemática ao cotidiano, caracterizando os conhecimentos matemáticos, associando-os aos processos civilizatórios da humanidade, enfatizando os conhecimentos necessários a serem desenvolvidos na Educação Infantil e nas séries iniciais do Ensino Fundamental. É de suma importância, o estudo e aprofundamento destes aspectos relacionados à caracterização da matemática,

para que você possa ter uma melhor compreensão dos fenômenos relacionados ao ensino-aprendizagem da matemática, tema que será amplamente discutido nesta disciplina. Em quais situações você usa a matemática? A matemática está presente na cotidianidade de todas as pessoas, desde os afazeres mais simples até os cálculos e situações que envolvem estimativas, medições, solução de problemas etc. na vida pessoal e profissional, qualquer que seja a sua atividade ou área de atuação profissional: pintor, jardineiro, médico, motorista, cozinheiro, farmacêutico, gari e demais profissões. Utiliza-se a matemática, mesmo sem perceber que a está usando, lidando com números, medindo, contando, pensando; fazendo, lendo e interpretando gráficos; efetuando cálculos mentais aproximados de tamanho, peso, quantidade, valor, entre outras coisas. As mais elementares ações cotidianas requerem competências matemáticas que se tornam mais complexas na medida em que as interações sociais e as relações de produção e de troca de bens e serviços se diversificam e se intensificam. Em sociedades como a nossa, permeadas por tecnologias de base científica e por um crescente acúmulo e troca de informações de vários tipos, é consenso reconhecer que as competências matemáticas se tornaram um imperativo. Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

As mudanças no mundo do trabalho têm sido cada vez mais rápidas e profundas, e exigem capacidade de adaptação a novos processos de produção e de comunicação. Um olhar sobre o passado também mostra que, em todas as épocas, as atividades matemáticas foram uma das formas usadas pelo homem para interagir com o mundo físico, social e cultural, em intensidade e diversidade crescentes com a evolução da história.

Trabalhar com matemática, de acordo com as novas propostas curriculares, fazendo com que o aluno seja o sujeito da construção de seu próprio conhecimento, requer que o professor domine não só o conteúdo a ser ensinado como também a forma e as estratégias utilizadas pelos alunos para aprender.

1.2 O conhecimento matemático, para que serve? Correntes modernas procuram explicar como o indivíduo constrói seu conhecimento matemático. Inúmeros pesquisadores vêm estudando o processo científico. Essa linha de pesquisa baseia-se nos trabalhos de Jean Piaget sobre a epistemologia genética que nos oferece condições para compreensão acerca de como e quando os conceitos passam a ser formados, internalizados pela criança, permitindo adequar, a partir desse conhecimento, os conteúdos matemáticos possíveis de serem trabalhados em cada faixa etária e contexto específico.

Para refletir: Se você usa matemática de maneira intuitiva e informal, por que é necessário estudá-la na escola ou em livros?

cálculos de quanto você deve pagar por seu seguro de vida ou pelo seguro de um carro; as grandes frotas de ônibus a utilizam para programar as trocas de pneus e as revisões dos veículos, por exemplo. A Secretaria de Educação de um Estado qualquer também pode utilizar a matemática para localizar as escolas de uma cidade, de maneira que atenda da melhor forma possível aos alunos.

15 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

A matemática é utilizada para fazer prévias eleitorais e

Pode-se usar a matemática também se você deseja tornar uma mensagem secreta, a fim de que ela não possa ser lida por estranhos, colocando-a em código por intermédio do uso de matemática bem sofisticada. Sem a matemática, seria impossível prever os eclipses e os horários das marés. Os aparelhos de tomografia computadorizada estão baseados em uma teoria matemática. Não existiriam radares, computadores, satélites artificiais, previsão do tempo, televisão, centrais telefônicas computadorizadas, nem terminais eletrônicos de bancos. Usando a matemática em uma confecção de calças jeans, você aprende a cortar o tecido da maneira mais econômica, deixando o mínimo de sobras. Essa técnica também pode ser usada para cortar, em um estaleiro, as placas de aço do casco de um navio. Você vai explorar essa capacidade que a matemática tem de organizar o pensamento. A matemática não deve ser encarada somente como uma ferramenta para fazer contas. Isso é importante, mas não é tudo.

1.3 A evolução da ideia do número

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

A ideia de número é muito antiga. Não existe um inventor, mas as situações vividas pelo homem, participante da construção de sua própria história, em diversos lugares do mundo, promoveram o desenvolvimento da numeração falada ou escrita. A história nos mostra que o homem inventou várias maneiras para realizar contagens e representá-las, e todas elas associadas às necessidades de sua época. Todo seu processo de construção fez parte do seu próprio contexto histórico-cultural. A

relação biunívoca (exemplo: para cada ovelha, uma pedra) esteve presente neste processo. Usando os dedos, contas, pedras, marcas (conjunto comparador), entre outros, o homem ia garantindo o conhecimento e a memória das quantidades já relacionadas. No entanto, a dificuldade de trabalhar com grandes quantidades foi exigindo mudança nas formas de registros. O registro escrito vai sendo construído para facilitar a própria vida humana. Imaginemos, por exemplo, o trabalho que tinham os homens ditos primitivos para registrar, com pedrinhas ou riscos, a quantidade de mil quatrocentos e vinte e seis ovelhas. Para nós, basta escrever 1.426. Vários sistemas de representação escrita dos números surgiram na história da humanidade: o sistema de numeração egípcio, o da Mesopotâmia, o romano, o maia, o arábico, entre outros. Temos sistemas de numeração em diferentes bases: 2, 5, 10. A ideia de número foi sendo construída desde os primórdios da humanidade e passou por muitas mudanças até os dias de hoje. Com seu sistema de nove sinais (o zero surge depois), o povo hindu contribuiu de forma significativa para o sistema de numeração decimal que usamos hoje. O sistema indo-arábico utilizado em quase todo o mundo apresenta alguns princípios básicos: • Possuir base decimal, ou seja, a cada dez, forma um • Fazer uso de dez símbolos, que são os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar qualquer número desejado; e • Ser um sistema de valor posicional, ou seja, o algarismo 2 pode valer 2, 20, 200 dependendo da ordem em que se encontre no número representado.

17 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

novo grupo da ordem posterior;

Quando conhecemos um pouco da história da construção dos números, podemos perceber que o homem levou muitos milênios nesta construção. Com isto, pensamos que trabalhar a ideia de número com crianças em processo escolar traz à tona um pouco deste vasto conhecimento elaborado ao longo da história da humanidade. Se, na condição de professores, nos colocarmos como observadores das estratégias apresentadas pelas crianças, veremos que algumas delas estão em comunhão com as estratégias utilizadas pelo homem ao longo da invenção dos números. A contagem utilizando os dedos é uma das heranças de que até hoje fazemos uso.

1.4 A matemática no ensino fundamental Definir o que deverá ser abordado na educação infantil e no ensino fundamental na disciplina matemática leva-nos à discussão do que se constitui no objetivo da matemática para essa etapa de estudo. Portanto, falemos um pouco sobre alguns dos objetivos almejados durante o ensino fundamental, no que diz respeito à matemática.

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Ao final de seus estudos, o aluno deverá ter feito aquisição de conhecimentos que assegurem o desenvolvimento de sua capacidade para: • Oferecer soluções a problemas; • Sentir-se curioso e instigando à prática de investigações; • Ter condições de elaborar uma análise quantitativa e contextualizada;

• Adquirir o conhecimento matemático em suas distintas áreas: aritmética, geometria, álgebra, estatística etc. ; • Aplicar esse conhecimento de forma a permitir uma compreensão aplicada da realidade em que se situa, desenvolvendo, sobretudo, uma capacidade propositiva na direção dos problemas cotidianos que se apresentam de modo a transformar positivamente essa realidade.

Para refletir: O que a escola deve ensinar sobre matemática às crianças? Os conteúdos propostos não devem servir para transformar educandos e educadores em prisioneiros de um modelo pré-elaborado, deslocado, descontextualizado, a-histórico. Tem-se que cuidar para que os conteúdos, mesmos os aceitos generalizadamente como os mais adequados, não fiquem desfocados de contextos sociais específicos. Isso é evitado a partir do cuidado dispensado na direção de uma leitura apropriada da realidade em que se inserem os alunos. Indicamos aqui, no que se constitui o conteúdo básico, aqueles que tratam do estudo dos números e das operações, este situado nos ramos da Aritmética e Álgebra. dezas e as medidas que fazem inserção com a geometria e o estudo das formas e do espaço. Bem, assim, alguns conceitos encontrados na lógica podem ser plenamente trabalhados de forma interligada a aqueles dos demais ramos, inclusive, desde as séries iniciais.

19 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

Ainda em relação a esses ramos, encontramos as gran-

1.5 A construção do conhecimento matemático Você já se deu conta do quanto sua vida está cercada por números? Faça o seguinte exercício: identifique todos os passos dados por você no dia anterior, desde a hora (número) em que acordou até a hora em que foi dormir. Veja o exemplo: Acordei às 6h30min. Tomei um banho rápido, pois teria nesse dia 2 reuniões. Na primeira reunião, seria tratada a questão da inclusão de mais 10 alunos nas 4 salas de 1ª série do Colégio São João. Quantas atividades você elencou? Em que atividades executadas ontem foi necessário o emprego do número para melhor identificá-las? Você consegue imaginar-se vivendo sem os números? Os números incorporam-se ao nosso dia a dia de tal forma que não nos é mais possível prescindir deles. Os números em nossa vida

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Eles estão no endereço, nos documentos, nos telefones etc. Como podemos perceber, o número pode exercer várias funções. Dentre estas destacamos: • Número localizador - quando utilizado para indicar endereço, latitude ou distância, por exemplo: moro na Rua 25 de Março, número 15; moro a 13 km de distância do meu trabalho.

• Número identificador - quando utilizado em datas, telefones, páginas, camisas de jogadores. Por exemplo: os cristãos comemoram o Natal no dia 25 de dezembro; o telefone da Fundação Demócrito Rocha é 0800-1010; a ala da seleção americana de basquete é a número 8. • Número ordenador - quando indica o andar de um apartamento, posição obtida em uma competição, sua posição na escala familiar. Por exemplo: moro no 4º andar; a seleção brasileira foi a quinta colocada na Copa do Mundo, na Alemanha. • Número quantificador - quando indica a velocidade, remuneração, consumo, altura etc. Por exemplo: a velocidade máxima permitida na cidade é de 60 km/h; a altura de Pedro é 1,10 m. A relação da criança com o número A intimidade que temos hoje com os números às vezes nos impede de compreender as dificuldades que a criança enfrenta quando trava os primeiros contatos com eles. É muito comum quando comete erros do tipo: • Dizer a sequência, fora de ordem e com repetições: “um, dois, dez, cinco, sete, dois, seis, sete, doze...”; • Em uma contagem de objetos, contar o mesmo • Contar como se estivesse nomeando os objetos. Por exemplo: na contagem acredita que o três é a terceira bolinha. um

dois

três

21 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

objeto mais de uma vez ou deixar de contar algum; e

Esses procedimentos deixam transparecer que ainda não existe o domínio do conceito de número. Segundo Piaget (1981), antes de a criança chegar ao raciocínio abstrato, necessário ao conhecimento matemático, ela precisa passar por experiências concretas que aos poucos lhe proporcionarão conhecimentos cada vez mais complexos e abstratos. Piaget (1981) diz ainda que existem três tipos de conhecimento: o social, o físico e o matemático. O conhecimento social consiste nas convenções estabelecidas pelas pessoas de forma arbitrária e que são socialmente transmitidas, de forma repetida, de geração a geração. As crenças, as datas comemorativas, os nomes das coisas e objetos são exemplos de conhecimento social. O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da natureza, de suas características individuais como peso, tamanho, cor, forma, características essas que podem ser notadas a partir da observação direta de um dado objeto. Assim, a percepção de que um objeto é de uma determinada cor é um conhecimento físico. O conhecimento matemático é de natureza bastante diferente da dos outros dois. Ele não pode ser ensinado e só é estruturado pela ação reflexiva decorrente da manipulação Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

de objetos. Assim, o conhecimento matemático não está na percepção dos objetos, e sim na relação que uma pessoa pode estabelecer mentalmente com eles. Estabelecer diferenças e semelhanças entre os objetos é um exemplo de conhecimento matemático. Ao compararmos duas fichas, uma azul e outra vermelha, a diferença entre elas não está nem na ficha azul, nem na ficha vermelha, e sim na comparação que a pessoa venha a fazer entre esses dois objetos.

Se estivermos interessados nas fichas independentes da sua cor, então esta diferença (cor) não será levada em conta, não existirá, para nós. Ao tomarmos uma ficha vermelha e outra azul, podemos exemplificar os três tipos de conhecimento. Quando dizemos que temos duas fichas — uma azul e uma outra vermelha — estamos lidando com o conhecimento físico (percepção da cor do objeto); com o conhecimento social (o nome das cores); e com o conhecimento matemático quando dizemos que temos duas fichas e quando dizemos que elas são diferentes por causa da cor (relação). Concluímos, portanto, que número faz parte do conhecimento matemático. A criança precisa pegar, juntar, separar, apertar, amassar objetos sólidos, massas, líquidos para chegar aos conceitos e ações próprios do conhecimento matemático. Através da manipulação desses materiais serão trabalhados os sete esquemas mentais básicos para aprendizagem da matemática: classificação, comparação, conservação, correspondência, inclusão, sequenciação, ordenação.

1.6

Segundo Piaget (1981), número é uma síntese de dois esquemas mentais básicos: ordenação e inclusão. Nesta seção caracterizaremos cada um dos esquemas básicos para aprendizagem da matemática. Esses esquemas devem ser trabalhados com as crianças a fim de que estas venham a desenvolver o conceito de número.

23 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

E squemas básicos para a aprendizagem da matemática

Comparação A comparação é o ato de examinar para estabelecer diferenças ou semelhanças. Assim, quando olhamos para um gato ou um cachorro e percebemos que eles são diferentes por serem animais diferentes (gato e cachorro) e possuem em comum o fato de serem animais, nós estamos comparando os dois. Ao olhar para um triângulo grande azul e outro pequeno e vermelho, a criança que percebe que as duas figuras possuem em comum as características de um triângulo (semelhanças), mas possuem pelo menos duas diferenças: o tamanho (um é grande e o outro é pequeno) e a cor (um azul e o outro é vermelho) está estabelecendo uma comparação entre os objetos. Os blocos lógicos são um ótimo recurso para trabalhar: cor, forma, tamanho, espessura. Entretanto, esses mesmos atributos podem ser trabalhados com outros materiais como: brinquedos, material escolar, coleções de objetos etc. Muitas das atividades feitas em sala de aula se prestam ao desenvolvimento da capacidade de comparar objetos. O processo mental de comparação é importante, pois é estabelecendo diferenças e semelhanças que se chega à classificação. Classificação Classificar é separar objetos, pessoas e ideias em categorias de acordo com atributos percebidos por meio de semeMetodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

lhanças ou diferenças. A classificação deve começar de maneira espontânea, em que a própria criança de posse de um grupo de objetos determina o que são semelhantes e diferentes, segundo o seu critério de classificação. É importante que, inicialmente, as crianças sejam incentivadas a separar os objetos de acordo com a sua própria classificação, sem determinação prévia do professor.

Vale ressaltar que neste tipo de atividade não há respostas certas, nem erradas. Todas estarão corretas segundo a lógica de quem está classificando. Assim, de posse de: bola, carrinho, boneca, caderno, giz, par de meias, banana e maçã a criança pode perceber que o atributo ser brinquedo pode servir a carrinho, boneca, bola e não aos demais objetos. Neste momento, ao professor caberá, apenas, a tarefa de identificar junto ao aluno, pois os critérios que este está empregando para fazer sua classificação. Em um momento posterior o professor poderá dar os atributos e os alunos deverão separar os objetos, segundo esses atributos. Para as atividades de classificação, além do material existente na escola, é importante que os alunos contribuam, trazendo suas próprias coleções: chaveiros, tampinhas, botões, figurinhas, carrinhos, sementes etc. Inclusão Incluir é o ato de abranger, envolver um determinado objeto a um conjunto ou ideia. É, em termos matemáticos, a percepção da existência de subconjuntos de um determinado conjunto. Incluir um conjunto em outro significa, basicamente, encontrar um atributo que generalize e o atributo do conjunto que vai ser incluído. Assim, se temos um conjunto de gatos e outro de cachorros, esses elementos formam conjuntos diferentes. gatos e os cachorros pertencem ao mesmo conjunto. Portanto, o conjunto dos animais ou, em outras palavras, o conjunto dos gatos está contido ou incluído no conjunto dos animais. O mesmo se aplicando ao conjunto dos cachorros. Dominar a inclusão de classes se faz necessário pois, para construir com significado a sequência numérica, a criança deve perceber que cada número, a partir do um, está

25 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

Mas, olhando para o conjunto de todos os animais, os

incluído dentro do número seguinte. Quando a criança não percebe tal fato, ela simplesmente nomeia os números, ou seja, ela os canta e não os conta. Correspondência Antes de aprender a contar, a criança já pode comparar duas quantidades. Isto pode ser feito por meio do emparelhamento de elementos de uma coleção com os da outra. Por exemplo, para sabermos se existem mais pessoas do que cadeiras em um determinado local basta que associemos a cada pessoa uma cadeira. Se sobrarem pessoas sem cadeira é porque existem mais pessoas do que cadeiras, se sobrarem cadeiras é porque existem mais cadeiras do que pessoas. Se, por outro lado, der uma cadeira para cada pessoa e não sobrarem pessoas nem cadeiras é porque existe o mesmo número de cadeiras. Neste caso, dizemos que existe uma “correspondência um a um” entre os elementos das duas coleções ou entre duas coleções. A criança deve tomar consciência de que o emparelhamento ou a correspondência um a um é, excetuando-se a contagem, a melhor ferramenta para se comparar a quantidade de elementos de dois conjuntos, ou melhor, para estabelecer, dentre dois conjuntos, aquele que possui Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

mais elementos. Inicialmente comparando quantidades bastante diferentes, a criança percebe os conceitos de mais e de menos, de muito e de pouco e de diferente. Estes conceitos precisam ser “refinados”. Para isso, deve-se colocá-la diante de situações em que não se possui mais elementos. Com isso, estaremos desenvolvendo na criança sua capacidade de estabelecer a correspondência um a um

Sequenciação Sequenciar é fazer suceder, a cada elemento, outro, sem levar em conta a ordem linear de grandeza desses elementos. Assim, quando dispomos um objeto grande ao lado de um pequeno, estamos diante de uma sequência. Uma das atividades bastante comuns de sequenciação é a de colares de contas, neles pode-se sequenciar utilizando vários atributos como: tamanho das contas, formato, cor etc. A sequenciação é um processo muito importante para o desenvolvimento do conceito de número. Além disso, também é muito importante quando da escrita dos numerais, as crianças devem perceber que o numeral 13 é diferente do numeral 31, embora sejam constituídos dos mesmos algarismos. A diferença é resultante da sequência em que os algarismos aparecem. Ordenação Ordenação é a sequenciação de objetos segundo uma ordem direta e linear de grandeza, ou seja, segundo uma ordem crescente ou decrescente. Assim, a ordenação envolve um conceito matemático, enquanto a sequenciação não necessariamente envolve. Vale ressaltar que a criança começa ordenando pequenas quantidades de objetos. Somente com a manutenção de suas estruturas mentais é que ela consegue ordenar quantidades maiores de objetos.

É a percepção de que a quantidade não depende da arrumação, forma ou posição dos objetos. A passagem do estágio de não conservação para o de conservação é um processo gradual, esta mudança é, em grande parte, resultante de ações que as crianças realizam sobre os objetos. Se mostrarmos a uma criança com menos de 7 anos duas fileiras com igual número de objetos emparelhados e pedirmos

27 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

Conservação

que compare ambas as fileiras e diga em qual delas há mais objetos, ela diria que possuem a mesma quantidade de objetos. Se espalhássemos os objetos de uma das fileiras, ela agora acreditaria que na fileira dos objetos espalhados há mais objetos, mesmo que a ação de espalhar fosse feita na sua frente. Mesmo que contássemos os objetos, ela continuaria afirmando que na fileira dos objetos espalhados há mais objetos. A criança nesta idade não desenvolveu a conservação do número. Ela ainda não consegue perceber que o número de elementos não sofreu alteração. A criança encontra-se presa ao conhecimento perceptível. Quando colocada diante de um problema, em que soluções cognitivas e perceptivas se conflitam, ela toma decisões baseadas em indicadores perceptivos. Problemas semelhantes ocorrem com relação à conservação de massas, área, volume e peso. Vale ressaltar ainda que a aquisição de esquemas que permitem perceber a conservação não acontece ao mesmo tempo para todas as áreas. Segundo Wadsworth (1996), eles são adquiridos na sequência a seguir, conforme as idades:

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Conservação de:

Idade

Número

5–6

Massa

7–8

Área

7–8

Volume líquido

7-8

Peso

9 - 10

Volume sólido

11 – 12

É indispensável conhecer o momento adequado para trabalhar as noções matemáticas, a fim de que educador e educando consigam êxito no processo de ensino-aprendizagem.

SÍNTESE Pudemos perceber durante o percurso desta unidade que a matemática está presente em nossas ações cotidianas para o desempenho das nossas funções profissionais, sendo assim de suma importância para o desenvolvimento da sociedade contemporânea. Vimos também que o ensino da matemática não pode ser mais dissociado da realidade, devendo o mesmo tornar o aluno apto para atividades que permitam se relacionar com o mundo à sua volta e o exercício da cidadania. Outro aspecto abordado está ligado à questão histórica do desenvolvimento da matemática para a formação dos alunos, é bom desmistificar a matemática mostrando que ela é uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados, e em evolução constante. Conhecemos também as funções do número, quando e onde aplicá-lo. A relação da criança com os aspectos quantificadores e abstratos do número e, principalmente, os esquemas básicos para a aprendizagem da matemática pela criança.

PARA SABER MAIS: http://www.ensino.net/novaescola/111_abr98/html/matematica.htm -biografia.html http://vitoria.upf.tche.br/~pasqualotti/hiperdoc/matematica.htm

29 Os pressupostos envolvidos na aprendizagem da matemática

http://www.espirito.org.br/portal/palestras/piaget/piaget-

REFERÊNCIAS PIAGET, J. Intelligence and affectivity: Their relationship during child development. Annual Reviews INC. Palo Alto, California, USA, 1981. WADSWORTH, B. J. Inteligência e afetividade na criança na teoria de Piaget. São Paulo: Pioneira, 1996.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

(2)

C aracterização e tendências da Educação Matemática

Pode parecer estranho falar em concepções da matemática, no entanto, não existe um consenso no que diz respeito a esta área do conhecimento, por isto é que, nesta unidade, vamos discutir, ao lado de algumas concepções e perspectivas da matemática, suas características das séries inicias, tomando como referência os Parâmetros Curriculares Nacionais. Apresentaremos também, as tendências metodológicas no ensino da matemática que estão em evidência, buscando compreender suas características, seus princípios pedagógicos e suas abordagens, apontando as perspectivas de cada uma delas dentro do processo de ensino-aprendizagem escolar. Vamos iniciar a nossa discussão sobre matemática e conhecimento matemático trazendo a fala de D’Ambrósio de

33 Caracterização e tendências da Educação Matemática

principais e o ensino da matemática no ensino fundamental

que a matemática foi elaborada nos ambientes mais diversos do planeta, por povos diferentes, com objetivos mais imediatos de sobreviver e com objetivos mais amplos de transcender “(...) Eu vejo a Matemática, como todo conhecimento, como uma resposta a estímulos oferecidos pelo ambiente, isto é, o complexo de artefatos e mentefatos notados pelo indivíduo (...).” (D’AMBRÓSIO, 1998).

2.1 C aracterização da matemática para as séries iniciais do ensino fundamental “(...) Ao se pensar atualmente na aprendizagem matemática nas séries iniciais, muito tem se falado no objetivo de desenvolver, no aluno, as competências e habilidades matemáticas para a vida na sociedade de hoje.”

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Fonte: TVE BRASIL. Conhecimento Matemático: desenvolvendo competências para a vida. Disponível em: <http://www.tvebrasil.com.br/ salto/boletins2004/cm/meio.htm>. Acesso em: 16 jan. 2008.

Podemos conceber a matemática como uma fonte de modelos para os fenômenos nas mais diversas áreas do saber. Tais modelos são construções abstratas que se constituem em instrumentos para ajudar na compreensão desses fenômenos. Modelos matemáticos incluem conceitos, relações entre conceitos, procedimentos e representações simbóli-

cas que, em um processo contínuo, passam de instrumento na resolução de problemas a objeto próprio de conhecimento. Não podemos esquecer que as atividades matemáticas geraram, ao longo da história, um corpo de saber – a matemática, que é um campo científico, bastante extenso, diversificado e em permanente evolução nos dias atuais. Um saber que não é um repertório de conhecimentos antigos e cristalizados. Assim, ao aprofundarmos o conhecimento sobre os modelos matemáticos, fortalecemos a contribuição da matemática para outras áreas do saber. No sentido oposto, buscar questões cada vez mais complexas nos outros campos do conhecimento pode promover o desenvolvimento de novos modelos matemáticos. Modelos matemáticos são construídos com vários graus de abrangência e de sistematização. Nos estágios mais simples, os modelos matemáticos concebidos são associados a objetos do mundo físico – são as chamadas figuras ou sólidos geométricos. Por exemplo, uma determinada lata pode ser associada a uma figura geométrica definida abstratamente como um cilindro. Esses modelos particulares são, quase sempre, enfeixados em teorias matemáticas gerais que se constituem em vários outros campos do saber. A geometria euclidiana, as estruturas algébricas, a teoria das probabilidades são exemplos desses modelos matemáticos mais gerais. Por outro lado, podemos partir de um conceito ou ente matemático e procurar no mundo físico um fenômeno ou objeto que o represente. Nesse caso, tal objeto ou fenômeno é chamado modelo concreto do ente matemático. Assim, um dado de jogar pode ser um modelo concreto da figura geométrica definida como cubo.

35 Caracterização e tendências da Educação Matemática

em modelos abstratos para amplas classes de fenômenos

Outros exemplos são os denominados materiais concretos, de uso frequente como recurso didático no ensino da matemática. Outra classe significativa de modelos concretos de entes matemáticos são os desenhos, que cumprem papel importante nas atividades em que intervêm as habilidades de visualização. Você já pensou quantos desenhos e objetos vemos e representamos no nosso dia a dia sem nos darmos conta que são entes matemáticos? E os pensamentos e problemas que resolvemos usando a linguagem matemática, você já se deu conta disso? Outro aspecto fundamental da matemática é a diversidade de formas simbólicas presentes em seu corpo de conhecimento. Língua natural, linguagem simbólica, desenhos, gráficos, tabelas, diagramas, ícones, entre outros, desempenham papel central, tanto na representação dos conceitos, relações e procedimentos quanto na própria formação desses conteúdos.

Um mesmo número racional pode ser representado por símbolos, tais como 1/2, 0,50, 50%, pela área de uma região plana ou, ainda, pelas expressões ‘meio’ ou ‘metade’.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Fonte: CARVALHO, J. B. P.; LIMA, P. F; GITIRANA, V.; MANDARINO, M. O livro didático de matemática: o livro didático de matemática no ensino de 1ª a 4ª série. Disponível em: <http://www.redebrasil.tv.br/salto/boletins2006/ldq/ tetxt2.htm>. Acesso em 9 jan 2008.

Cada uma destas representações, embora correspondam ao mesmo número racional, permitem que, em diferentes contextos, a ideia de número seja melhor compreendida ou visualizada. Uma reflexão de outra natureza, agora voltada à educação matemática das pessoas, revela que, nas últimas décadas,

acumulou-se um acervo considerável de conhecimento sobre os processos de construção e aquisição dos conceitos e procedimentos matemáticos e sobre as questões correspondentes de ensino e de aprendizagem. Nesses estudos, tem sido consensualmente defendido que ensinar matemática não se reduz à transmissão de informações sobre o saber acumulado nesse campo. Muito mais amplo e complexo, o processo de ensino e de aprendizagem da matemática envolve a construção de um leque variado de competências cognitivas e requer, além disso, que se favoreça a participação ativa do aluno nessa construção. Por outro lado, convém não esquecer que as competências não se realizam no vazio e sim por meio de saberes de diversos tipos, dos mais informais aos mais sistematizados, estes últimos a serem construídos na escola.

Para saber mais: http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2004/cm/meio.htm

2.2

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática têm como objetivo auxiliar o trabalho didático com a matemática nas escolas e são norteados pelo papel que a matemática desempenha na formação básica do cidadão brasileiro, têm o propósito de formar um cidadão participativo, reflexivo e autônomo, conhecedor de seus direitos e deveres.

37 Caracterização e tendências da Educação Matemática

C aracterização da matemática segundo os PCNs

Quando se trata de matemática, nós, educadores e educadoras, sabemos da importância de quebrar uma série de tabus construídos em torno desta área de conhecimentos e “mergulharmos fundo” no sentido de criar estratégias pedagógicas que deem à matemática escolar o seu lugar de companheira inseparável e imprescindível às ações humanas. O saber matemático a ser ensinado/aprendido nas escolas, nessa perspectiva, deve favorecer o desenvolvimento do pensamento matemático, do chamado raciocínio lógico; mais do que tudo, deve estar voltado para a resolução de problemas relacionados ao cotidiano e ao campo do “Tratamento da Informação”, conteúdo a ser estudado na unidade 10. Competências relacionadas à solução de problemas concretos do cotidiano deverão, portanto, ser o foco do ensino-aprendizagem da matemática para crianças da Educação Infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental.

Para saber mais: BLUMENTHAL, G. Os PCNs e o ensino fundamental em matemática: um avanço ou um retrocesso? Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a3/>. Acesso em: 9 jan. 2008.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Indicamos as principais competências a serem construídas com o ensino da matemática: • Interpretar matematicamente situações do dia a dia ou o relacionamento com outras ciências. Usar independentemente o raciocínio matemático para a compreensão do mundo que nos cerca. Resolver problemas criando estratégias próprias para sua resolução, desenvolvendo a iniciativa, a imaginação e a criatividade.

• Avaliar se os resultados obtidos na solução de situações-problema são ou não razoáveis. Estabelecer conexões entre os campos da matemática e entre esta e as outras áreas do saber. Raciocinar, fazer abstrações com base em situações concretas, generalizar, organizar e representar. Compreender e transmitir ideias matemáticas, por escrito ou oralmente, desenvolvendo a capacidade de argumentação. • Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários tipos de raciocínio: dedutivo, indutivo, probabilístico, por analogia, plausível, entre outros. • Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem empregadas na matemática. Desenvolver a sensibilidade para as relações da matemática com as atividades estéticas e lúdicas. Utilizar as novas tecnologias de computação e de informação. Fonte: CARVALHO, J. B. P; LIMA, P. F.; GITIRANA, V.; MANDARINO, M. O livro didático de matemática: o livro didático de matemática no ensino de 1ª a 4ª série. Disponível em: <http://www.redebrasil.tv.br/salto/boletins2006/ldq/tetxt2.htm>. Acesso em: 9 jan. 2008.

As competências elencadas devem ser trabalhadas na escola, segundo os PCNs, a partir de conteúdos curriculares agrupados em quatro grandes blocos: números e operações; - cada um desses blocos será melhor discutido em unidades

seguintes. Para saber mais sobre os conteúdos a serem traba-

Caracterização e tendências da Educação Matemática

geometria; grandezas e medidas; tratamento da informação

lhados nos anos iniciais do Ensino Fundamental leiam o boletim do Salto para o futuro (programa 2) – “O livro didático de matemática”, disponível em: <http://www.redebrasil.tv.br/ salto/boletins2006/ldq/tetxt2.htm> “(...) É importante que a matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades in-

telectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.” PCNs de Matemática – Ensino Fundamental.

2.3 D esmistificando o ensino da matemática A área de matemática no Ensino Fundamental e Médio sempre foi considerada como uma das mais importantes para o desenvolvimento cognitivo dos alunos, visto que estimula o raciocínio lógico, o pensamento criativo, a capacidade de realizar estimativas, além de viabilizar o uso social de cálculos referentes ao cotidiano. Entretanto, apesar desse importante papel que a matemática possui, continua sendo considerada pelos alunos como uma das disciplinas mais difíceis do currículo, na qual se verifica um dos maiores índices de reprovação e/ou repetência nas escolas. De acordo com Vitti: “O fracasso do ensino de matemática e as dificuldades que os alunos apresentam em relação a essa disciplina não é fato novo, pois vários educadores já elencaram elementos que contribuem para que o ensino da matemática seja assinalado mais por fracassos do que por sucesso.” (VITTI, 1996, p. 13).

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

A matemática historicamente tem sido considerada quase unanimemente como a disciplina mais relacionada a medos e (pré)conceitos, como pode-se perceber nos seguintes exemplos:

⁻⁻ “Matemática é a disciplina mais difícil”; ⁻⁻ “É a disciplina mais importante do currículo”; ⁻⁻ “Quem sabe matemática é mais inteligente”; ⁻⁻ “Mulheres não são boas em matemática”; e ⁻⁻ “Só matemática e português deveriam reprovar os alunos”. Frases como essas são comuns de serem ouvidas nas escolas e/ou em outros espaços e refletem o status adquirido pela disciplina na configuração curricular brasileira. Segundo Fragoso: “Se há coisas que inspiram temor ao homem, uma delas é, sem dúvida, a Matemática. Este medo da matemática é um fato incontestável. Muitas vezes, tal sentimento aparece-nos misturado a outros, como a indiferença, o desprezo e até o horror, o que não raro nos faz duvidar se realmente esses sentimentos, até certo ponto, são manifestados apenas para encobrir o medo. O medo da matemática pertence, na maioria dos casos, à categoria do “medo por desconhecimento”, e com certeza tal desconhecimento é devido à escola.”(FRAGOSO, 2001).

esse “temor” decorrente do equívoco de considerar a matemática igual à arte de calcular, afastando-a das pessoas ditas “normais” e desconsiderando sua característica de linguagem, nascida do pensamento e da observação humana. Confira conosco a seguir parte do artigo O medo da matemática de Wagner da Cunha Fragoso.

41 Caracterização e tendências da Educação Matemática

Para este autor, a escola é a grande responsável por

“(...) A matemática tão caluniada, longe de ser apenas uma Ciência seca, está, pelo contrário, ligada a todas as manifestações do pensamento e do espírito do homem e tem mesmos pontos de contato essenciais com elas; logo, não deveria amedrontar, mas sim atrair todo estudante. O grande educador norte-americano, John Dewey (18591952) concluiu que, entre as numerosas observações realizadas detidamente, nove décimos dos que não gostam da matemática; ou dos que não sentem aptidão para essa admirável Ciência, devem tal desgraça ao ensino errado que tiveram no princípio. A matemática surge, aos olhos dos estudantes, em geral, como pura magia, repleta de armadilhas e truques mirabolantes, algo fora de seu alcance. No geral, ensinamos uma matemática sem qualquer conexão com a realidade, normalmente sem aplicações práticas, e isso, certamente, tende a retroceder o pensamento e o raciocínio de alguns dos nossos criativos estudantes. (...) Sabemos que ensinar matemática não é uma tarefa fácil, contudo em nosso texto arriscamos apontar alguns focos dos quais acreditamos irradiar as maiores dificuldades relativas ao ensino dessa disciplina e de onde, provavelmente, surge o medo, objeto título de nosso texto, e apresentamos algumas soluções. Entretanto, sabemos que, além dos mencionados focos, o problema exige reflexões mais profundas e análises mais pormenorizadas que, certamente, caracterizariam novos trabalhos.” Fonte: http://coralx.ufsm.br/revce/revce/2001/02/a8.htmf

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

O medo e todo o tipo de preconceito que envolve a matemática estão atrelados, portanto, a um modelo de educação que classifica os alunos como mais ou menos inteligentes conforme a sua capacidade de realizar cálculos, e, diga-se de passagem, apenas os cálculos escritos considerados de ordem superior em relação à capacidade de realizar cálculos mentais, por exemplo. É mais do que comum nas escolas ensinar aos alunos a memorização de fórmulas e modos de calcular

específicos para que respondam questões de provas ou listas de exercícios geralmente descontextualizados, desconsiderando as respostas dadas pelos alunos que utilizam caminhos diferentes para chegar ao resultado. Neste sentido, o que concluímos é que a desmistificação de a matemática passa necessariamente por uma nova forma da escola e de os professores a conceberem, considerando-a como algo relacionado à própria capacidade humana de pensar e estar no mundo, permitindo aos alunos explorarem a matemática como linguagem e não apenas como disciplina curricular. Não é suficiente que o professor detenha o conhecimento acerca do desenvolvimento cognitivo das crianças e conhecimentos matemáticos. Para que o processo de ensino-aprendizagem da matemática obtenha o êxito almejado, faz-se necessário o emprego de recursos pedagógicos apropriados bem como sua adequada utilização.

2.4 O uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática contribui bastante para a realização de intervenções do professor. Mas afinal o que é material concreto? Reys (1971 apud MATOS; SERRAZINA, 1996, p. 193) define materiais concretos como: “Objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar. Podem ser objetos reais que têm aplicação no dia a dia ou podem ser objetos que são usados para representar uma ideia.”

43 Caracterização e tendências da Educação Matemática

O uso de materiais concretos no ensino da matemática

Os materiais são usados em atividades com os próprios alunos, que geralmente trabalham em grupos pequenos na sala de aula. Essas atividades têm uma estrutura matemática a ser redescoberta pelo aluno, tornando-se dessa forma um agente ativo na construção de seu próprio conhecimento. Os materiais concretos devem proporcionar: • Uma verdadeira personificação e representação dos conceitos matemáticos ou ideias exploradas; • A aprendizagem matemática, bem como devem ser apropriados para utilizar níveis de formação de um mesmo conceito matemático, favorecendo a abstração através da manipulação individual ou em grupo. Como exemplo de materiais concretos, temos o Material Dourado e as Barrinhas de Cuisenaire, muito utilizados nas Séries Iniciais. Na geometria, o uso do Tangran e os blocos lógicos permitem que os alunos se apropriem de vários conceitos. Além dos materiais concretos há também, atualmente, uma valorização das atividades lúdicas no processo de construção do conhecimento matemático pelo aluno, através da utilização de jogos pedagógicos. Segundo Mendes (2006) os jogos se classificam de duas formas:

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

• Jogos de aprendizagem têm o objetivo de viabilizar a aprendizagem de conceitos matemáticos; • Jogos de fixação evidenciam o exercício necessário para que a sistematização do conhecimento matemático possa ocorrer. Para refletir:

Acredita-se que no processo de desenvolvimento de jogos o aluno se envolve com o levantamento de hipóteses e conjecturas, aspecto fundamental na construção do pensamento matemático.

Veja o que diz Araújo (2000, p. 23-24; 122-123) sobre o uso dos jogos no ensino da matemática:

Etnomatemática Qual o significado da palavra etnomatemática? Etno: refere-se ao contexto cultural; matema: explicar, conhecer, entender e tica: vem de techne (arte e técnica). O termo etnomatemática foi proposto em 1975 por Ubiratan D’Ambrósio para descrever as práticas matemáticas de gru-

45 Caracterização e tendências da Educação Matemática

(...) ao usar o lúdico como estratégia de ensino contribui-se efetivamente para o desenvolvimento do pensamento analítico-sintético do aluno, bem como sua participação ativa na aprendizagem, possibilitando avançar na construção do conhecimento matemático e na consolidação das habilidades assim que facilitem esta construção através do respeito à liberdade de pensar, do incentivo à descoberta e do encorajamento à criatividade. Jean Château (1966) se envolve com a importância pedagógica dos jogos e estimula sua utilização em sala de aula, visto que o jogo surge cedo e espontaneamente na vida de uma criança e que o adulto o investiga cada vez mais. O lugar e o valor do jogo na existência humana são insubstituíveis e de acordo com Wallon (1988) é preciso vê-lo como exploração jubilosa e apaixonante. As múltiplas investigações sobre ele mostram que não se pode nem conhecer, nem educar uma criança sem saber por que e nem como se brinca. (...) na visão dos teóricos, fica claro que todos de uma forma ou de outra, buscam a construção do conhecimento de uma maneira agradável, interessante e principalmente significativa. Ao trabalhar com atividades lúdicas, o aluno passa de um espectador a um ator ativo em seu processo de aprendizagem, pois desta forma ele tem a oportunidade de vivenciar a construção de seu saber. Assim, durante um jogo, o aluno se torna mais seguro, alerta e crítico, expressa seu pensamento e suas emoções, troca idéias com os outros e tira conclusões sem a interferência direta do professor.

pos culturais, sejam eles uma sociedade, uma comunidade, um grupo religioso ou uma classe profissional. D’Ambrósio (2002) também propôs que o Programa Etnomatemática: tem como objetivo primordial valorizar a matemática dos diferentes grupos culturais, sugere uma maior valorização dos conceitos matemáticos formais construídos pelos alunos através de suas experiências, fora do contexto da escola; provoca uma mudança na formação do educador (“aprende matemática ensinando matemática”); ajuda a compreender a história da matemática e seus diferentes caminhos de construção; faz o aluno entender o mundo que vive; tem caráter interdisciplinar. A noção de etnomatemática tem implicações claras e evidentes para a educação matemática, visto que cada sala de aula é uma microcultura, os aspectos sociocognitivos da matemática apresentados pelos alunos devem ser considerados. Segundo Oliveira (1996) existem dois tipos de conhecimento etnomatemático: • O acadêmico que se refere aos conceitos matemáticos abordados na escola, em qualquer nível de ensino e que estão implícitos nas atividades dos artesãos;

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

• Artesanal que diz respeito aos aspectos matemáticos específicos da cultura investigada, ou seja, aqueles contextualizados no próprio ambiente, conforme a prática e a criatividade dos artesãos, e são produzidos para uso neste cenário cognitivo.

Para saber mais: <http://vello.sites.uol.com.br/ubi.htm> Modelagem Matemática A Modelagem Matemática tem sido utilizada como forma de acabar com a dicotomia existente entre a matemá-

tica escolar formal e sua utilidade na vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno torna-se mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do cotidiano. Vejamos a seguir o que diz o portal matemático – Só matemática sobre o assunto:

O que é Modelagem Matemática? Modelagem Matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado. É livre e espontânea, ela surge da necessidade do ser humano em compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção. Ao trabalharmos Modelagem Matemática, dois pontos são fundamentais: aliar o tema a ser escolhido com a realidade de nossos alunos e aproveitar as experiências extra-classe dos alunos aliadas à experiência do professor em sala de aula. Por que fazer Modelagem Matemática? Podemos enumerar os diversos benefícios de trabalharmos com Modelagem Matemática:

<http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.php>. Acesso em: jul. 2014.

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1. Motivação dos alunos e do próprio professor 2. Facilitação da aprendizagem. O conteúdo matemático passa a ter significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto 3. Preparação para futuras profissões nas mais diversas áreas do conhecimento, devido à interatividade do conteúdo matemático com outras disciplinas 4. Desenvolvimento do raciocínio, lógico e dedutivo em geral; 5. Desenvolvimento do aluno como cidadão crítico e transformador de sua realidade 6. Compreensão do papel sociocultural da matemática, tornando-a assim, mais importante

Para refletir: O professor interessado em implementar a Modelagem deve começar aos poucos, procurando e adaptando à sua realidade exemplos bem-sucedidos. Recorrer à experiência de quem já trabalha com essa linha de ensino é outra opção. Fonte: <http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/0174/aberto/mt_72324.shtml>

Na literatura, a Modelagem apresenta-se, segundo Mendes (2006), associada à construção de um modelo abstrato descritivo de algum sistema concreto, cujas características são: • Formulação do problema; • Construção do modelo que represente o sistema de estudo; • Dedução da solução do modelo; e • Testagem do modelo e solução do mesmo.

Para saber mais: http://revistaescola.abril.com.br/ Resolução de Problemas Conforme o portal J. F. Porto Silveira:

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

“Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo, e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o aluno tenha de inventar estratégias e criar ideias, ou seja, pode até ocorrer que o aluno conheça o objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal objetivo.” <http://www.mat.ufrgs. br/~portosil/resu1.html>. Acesso em: jul. 2014.

George Pólya (1981) fala sobre duas concepções para a Resolução de Problemas, que são: • Ensinar a resolver problemas: concentra-se na maneira como a matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicado. • Ensinar matemática através da Resolução de Problemas: temos a resolução de problemas como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática. O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento.

Para refletir: Qual a diferença entre exercício e problema? Existem diferentes interpretações do que se entende por exercícios e resolução de problemas. O exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade/conhecimento matemático já conhecido pelo aluno, como a aplicação de um algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida etc. O exercício envolve mera aplicação e ção significativa. Na resolução de problemas, como tendência metodológica no ensino-aprendizagem da matemática, os alunos podem: • Usar a abordagem de resolução de problemas para investigar e compreender o conteúdo matemático; • Formular problemas a partir de situações matemáticas do cotidiano;

49 Caracterização e tendências da Educação Matemática

o problema necessariamente envolve invenção e/ou cria-

• Desenvolver e aplicar estratégias para resolver uma grande variedade de problemas; • Adquirir confiança para usar a matemática de forma significante; • Verificar e interpretar resultados comparando-os com o problema original; e • Generalizar soluções e estratégias para novas situações problemáticas. Como desencadear o processo de resolução de problemas em sala de aula? • Flagrar situações do contexto escolar ou de um contexto mais amplo; • Escolher um tema gerador; • Buscar compreender uma situação da sua realidade social; • Partir de um assunto previamente escolhido pelo professor. Podem ser situações reais, ou fictícias; • Partir de um modelo matemático conhecido; e • Utilizar modelos matemáticos desenvolvidos em

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

outras situações.

Para saber mais: http://novaescola.abril.com.br

2.5 H istória da Matemática Segundo D’Ambrósio: “História é a narrativa de fatos, datas e nomes associados à geração, à organização intelectual e social e à difusão de conhecimento – nosso caso conhecimento matemático – através das várias culturas ao longo da evolução da humanidade. Os estudos de História dependem fundamentalmente do reconhecimento de fatos, de datas e de nomes e de interpretação ligados ao objetivo de nosso interesse, isto é, do corpo de conhecimento em questão. Esse reconhecimento depende de uma definição do objeto de nosso interesse. No nosso caso específico, a História da Matemática.” (D’AMBRÓSIO, 1999).

Para refletir: “Os conhecimentos em História da Matemática permitem compreender melhor como chegamos aos conhecimentos atuais, por que é que se ensina este ou aquele conteúdo.”

A História da Matemática é uma área do conhecimento matemático, um campo de investigação científico e também um instrumento metodológico. Ela deve evidenciar que a matemática não se limita a um sistema de regras e verdades rígidas, mas é algo humano e envolvente. Articula diferentes domínios da Matemática, assim como inter-relaciona a Matemática e outras disciplinas (geografia, história, língua portuguesa).

51 Caracterização e tendências da Educação Matemática

Fonte: GUICHARD, J. P. História da Matemática no ensino da Matemática. Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/mhist.html>. Acesso em: 16 jan. 2008

“Para formação dos alunos, é bom desmistificar a matemática mostrando que ela é uma obra humana feita por homens em tempos historicamente datados, e em evolução constante.” Fonte: GUICHARD, J. P. História da Matemática no ensino da Matemática. Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/mhist.html>. Acesso em 16 jan., 2008.

Desse modo, a História da Matemática é elemento fundamental para se perceber como teorias e práticas matemáticas foram criadas, desenvolvidas e utilizadas em um contexto específico de sua época.

SÍNTESE A potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada da forma mais ampla possível no ensino fundamental (séries iniciais) e com isto levar o aluno, entre outros objetivos, a: desenvolver o raciocínio lógico-matemático e a autonomia, compreendendo e transformando o mundo a sua volta; resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados; desenvolver formas de raciocínio; estabelecer conexões entre temas matemáticos e outras áreas do conhecimento. Sendo assim, vimos nesta unidade a caracterização da matemática e as suas concepções, sempre funda-

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

mentadas pelos PCNs. Buscamos promover a desmistificação dessa ciência tão injustiçada, através da análise dos possíveis motivos relacionados ao fracasso da sua aprendizagem e do impacto que ela causa nos aprendizes. Vimos também, em linhas gerais, as tendências em Educação Matemática, e em cada uma delas, buscamos apresentar a sua definição, as suas concepções, os principais teóricos que as embasam e principalmente a sua aplicabilidade em sala de aula.

PARA SABER MAIS: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/ http://www.bibvirt.futuro.usp.br http://www.tvebrasil.com.br http://www.somatematica.com.br http://www.educ.fc.ul.pt http://educar.sc.usp.br http://educaterra.terra.com.br http://www.brazcubas.br/professores/sdamy/mfcnm02.html http://vello.sites.uol.com.br/ubi.htm htt p://revistaescola.abril.com.br/edicoes/0174/aberto/ mt_72324.shtml http://novaescola.abril.com.br/index.htm?ed/160_mar03/ html/matematica

REFERÊNCIAS ARAÚJO, I. R. de O. A utilização de lúdicos para auxiliar a aprendizagem e desmistificar o ensino da Matemática. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, bitstream/handle/123456789/78563/178530. pdf?sequence=1>. Acesso em: jul. 2014. AUERBACH, F. O Medo da Matemática. Lisboa: ARGO, 1939. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. BLUMENTHAL, G. Os PCN e o ensino fundamental em ma-

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Florianópolis, 2000. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/

temática: um avanço ou um retrocesso? Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a3/>. Acesso em: 9 jan. 2008. CARVALHO, J. B. P.; LIMA, P. F.; GITIRANA, V.; MANDARINO, M. O livro didático de matemática: o livro didático de matemática no ensino de 1ª a 4ª série. Disponível em: <http:// www.redebrasil.tv.br/salto/boletins2006/ldq/tetxt2.htm>. Acesso em: 9 jan. 2008. D’AMBRÓSIO, U. Educação para uma sociedade em transição. São Paulo: Ed. Papirus, 1999. D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 110 p. (Coleção Tendências em Educação matemática). FRAGOSO, W. C. O medo da matemática. Disponível em: <http://coralx.ufsm.br/revce/revce/2001/02/a8.htm>. Acesso em: 18 jan. 2008. MATOS, J. M.; SERRAZINA, M. de L. Didáctica da matemática. Lisboa: Universidade Aberta, 1996. Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

MENDES, I. A. Matemática por atividades: sugestões para a sala de aula. Natal: Flecha do Tempo, 2006. OLIVEIRA, A. F. Lógica e aritmética: uma introdução informal aos métodos formais. 2. ed. Portugal – Lisboa: Gradiva, 1996. PÓLYA, G. Mathematical discovery: on understanding, learning, and teaching problem solving, New York: Wiley & Sons, 1981, pp. 2-126. (Combined Edition).

TVE BRASIL. Conhecimento Matemático: desenvolvendo competências para a vida. Disponível em: <http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2004/cm/meio.htm>. Acesso em: 16 jan. 2008. VITTI, C. M. Matemática com prazer. São Paulo: UNIMEP, 1996. http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html

Caracterização e tendências da Educação Matemática

Metodologia e prรกtica da Matemรกtica no Ensino Fundamental 56

(3)

O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Metodologia e prรกtica da Matemรกtica no Ensino Fundamental 58

C onforme vimos brevemente na unidade 2, o ensino da matemática no Brasil encontra-se amparado legalmente na Lei de Diretrizes e Bases da Educação atual – Lei 9394/96 - nos Parâmetros Curriculares mais detalhadamente esses fundamentos. A LDB 9394/96 no seu Artigo 32 diz que o Ensino Fundamental terá por objetivo a formação básica do cidadão. A meta de cada escola de ensino fundamental é fornecer ao aluno acesso à base comum nacional e à parte diversificada, o que inclui as características regionais da sociedade, da cultura, da economia e do cotidiano do aluno, envolvendo, claro, os conhecimentos matemáticos que aí estejam implicados. Segundo a LDB, o Ensino Fundamental, de uma forma geral, terá por objetivo a formação básica do cidadão, mediante:

59 O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Nacionais – PCNs -, por isso, retomaremos nesta unidade

• O desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo como meio básico, o pleno domínio da leitura e do cálculo; • A compreensão do ambiente natural e social, do sistema político, da tecnologia, das artes e dos valores em que se fundamenta a sociedade; • O desenvolvimento da capacidade de aprender, tendo em vista a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação de atitudes e valores; e • O fortalecimento dos vínculos de família, dos laços de solidariedade humana e de tolerância recíproca em que se assenta a vida social. Esses objetivos estão relacionados ao ensino-aprendizagem de todas as áreas de conhecimento da Educação Infantil e do Ensino fundamental e se cumprem articuladamente em toda a prática educativa, oferecendo os elementos para o exercício da cidadania. Nesta perspectiva, podemos dizer que os conhecimentos matemáticos também estão associados ao exercício

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

pleno da cidadania e que o ensino da matemática nos primeiros anos de escolarização é fundamental para que a criança aprenda e domine competências/habilidades fundamentais para a vida em sociedade.

Para refletir: “A melhoria do sistema educacional é um fator fundamental para reduzir a pobreza e as desigualdades sociais em suas diversas manifestações. As mudanças requeridas no mundo contemporâneo exigem que a educação se dê, cada vez mais, o tempo todo e nos mais diferentes espaços.” Fonte: <http://www.hottopos.com.br/videtur12/elPCNs.htm>

Visando dar suporte à LBD 9394/96, no que diz respeito a promover no país uma educação de qualidade e visando a formação do cidadão livre e autônomo, em finais de 1997, o MEC (Ministério da Educação e Cultura) envia às escolas os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), um conjunto de documentos, destinado às quatro séries iniciais do ensiVisa Visando dar suporte à LBD 9394/96, no que diz respeito a promover no país uma educação de qualidade, e visando à formação do cidadão livre e autônomo, em finais de 1997, o Ministério da Educação e Cultura (MEC) envia às escolas os PCNs, um conjunto de documentos destinado às quatro séries iniciais do ensino fundamental, fundamental, com ampla divulgação pelos meios de comunicação. O documento é norteado pelos objetivos do ensino fundamental, em consonância com as diretrizes gerais estabelecidas pela LDB.

3.1 P CNs e seleção de conteúdos de locais com pouca infraestrutura e condições socioeconô-

micas desfavoráveis, deve ter acesso ao conjunto de conheci-

O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Consta que, cada criança ou jovem brasileiro, mesmo

mentos socialmente elaborados e reconhecidos como necessários para o exercício da cidadania para deles poder usufruir (BRASIL, 1997a). Assim sendo, os PCNs se constituem como conjunto de diretrizes capazes de fornecer subsídios teóricos e metodológicos para nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, ou seja, articular uma base nacional comum, ou referencial curricular comum, para cada etapa dos ensinos fundamental e médio em todo o país. Os PCNs não possuem caráter de

obrigatoriedade e, portanto, pressupõe-se que serão adaptados às peculiaridades locais.

Tome nota: “Os PCNs são um conjunto de orientações para melhorar a qualidade do ensino e contribuir para a formação de cidadãos mais conscientes, críticos, autônomos e participativos. Eles orientam sobre o quê e como ensinar. Para sua implantação, são levados em consideração estudos psicopedagógicos e experiências de currículos nacionais e internacionais.” Fonte: <http://www.hottopos.com.br/videtur12/elPCNs.htm>

Os conteúdos de matemática no ensino fundamental, conforme os PCNs Os conteúdos descritos nos PCNs não devem ser entendidos como uma lista, neles existe a necessidade de se entender a palavra conteúdos sob perspectivas mais amplas. Além da dimensão conceitual procura-se identificar e trabalhar a dimensão procedimental e atitudinal e, para tanto, existe uma maior valorização da compreensão das ideias matemáticas e da forma como elas serão utilizadas, do que da própria

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sistematização dessas ideias, que muitas vezes encontram-se sem maiores significados. Assim, os conteúdos devem ser entendidos como: • Um meio para se obter atitudes positivas; • Incentivo à busca de procedimentos e atitudes investigativas diante de uma situação-problema; • Uma ponte para o desenvolvimento das questões inerentes à própria matemática; e • Sustentação para a resolução de situações que apareçam no dia a dia.

“(...) Os professores poderiam trabalhar o conteúdo dos currículos num período maior de tempo e respeitar os diferentes ritmos de aprendizagem. Os PCNs sugerem também que o ensino seja realizado a partir da realidade do aluno. O professor ao seguir a orientação dos PCNs também vai abordar questões relativas a outras matérias além da sua. É a chamada interdisciplinaridade.” Sugestão: leia o texto na íntegra acessando: <http://www. hottopos.com.br/videtur12/elPCNs.htm> Seleção e organização dos conteúdos matemáticos A seleção e a organização dos conteúdos para o ensino da matemática no Ensino Fundamental visam a atender a consecução dos objetivos propostos para este nível e em seu caráter de essencialidade atender ao desenvolvimento das habilidades necessárias ao desempenho do cidadão brasileiro, como sujeito ativo e participativo. Ao serem selecionados, os conteúdos serão organizados em ciclos e, posteriormente, em projetos que o professor realizará ao longo do período letivo. Na organização de conteúdos matemáticos deve-se:

conteúdos, buscando estabelecer ligações entre a Matemática, as situações cotidianas dos alunos e as demais áreas do conhecimento; • Dar maior ênfase aos conteúdos considerados mais relevantes; • Aprofundar os conteúdos a depender do nível de compreensão dos alunos; • Incorporar elementos específicos de cada realidade; e • Organizar de forma articulada e integrada ao projeto educacional da escola.

63 O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

• Fazer a articulação entre os diferentes blocos de

Em matemática, são exemplos de conteúdos: • Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza (conceitos e procedimentos) • Confiança nas possibilidades para propor e resolver problemas (atitudes).

“O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses vastos campos, de um lado, quais conhecimentos, competências, hábitos e valores são socialmente relevantes; de outro, em que medida contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou seja, na construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, da criatividade, da intuição, da capacidade de interpretar fatos e fenômenos.” (Brasil, 1997a, p. 38) Bloco de conteúdos e currículo Diante das determinações da LDB em relação aos níveis e ciclos de ensino não podemos falar em conteúdos propostos para uma área ou ciclo sem pensarmos nos PCNs

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

e nas suas sugestões para elaboração ou reelaboração dos currículos, tendo em vista que este documento se constitui em um guia curricular norteador dos objetivos do ensino fundamental, em consonância com as diretrizes gerais estabelecidas pela LDB. O modelo curricular sobre o qual se assentam os PCNs, elaborado pelo psicólogo espanhol César Coll a partir de uma concepção construtivista, diz que os blocos de conteúdo serão, então, sequenciados e a programação das atividades elaborada segundo critérios estabelecidos pela proposta pedagógica em vigor no sistema escolar ou nas escolas.

Reflita com atenção: Coll orienta todo seu pensamento em uma concepção construtivista de ensino-aprendizagem. A prioridade é o que aluno aprende, não o que o professor ensina. Ou seja, o foco principal sai dos conteúdos para a maneira de passar a informação de forma a garantir que ocorra a aprendizagem. Para Coll ao se selecionar os conteúdos de um ciclo ou série, deve-se buscar responder basicamente à seguinte questão: que conteúdos devem ser levados em conta na área curricular determinada para que o aluno adquira, no final do ciclo, as capacidades estipuladas pelos objetivos gerais da área? Coll define conteúdos como: “O conjunto de formas culturais e de saberes selecionados para integrar as diferentes áreas curriculares em função dos objetivos gerais da área.” (COLL, 1996, p.161-162).

O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Leia e discuta com seus colegas sobre as abordagens de César Coll, em entrevista a revista nova escola em que ele fala sobre a abordagem dos conteúdos: Qual a diferença entre conteúdos e valores? Conteúdo escolar é tudo o que se pode ensinar e o que se pode aprender. Pode-se ensinar a uma turma as datas mais importantes da história do Brasil. Isso é um conteúdo factual. Pode-se ensinar a redigir bem. Esse é um conteúdo procedimental. Pode-se ensinar a comportar-se de acordo com alguns valores sociais. Os conteúdos podem ser factuais, conceituais, procedimentais e atitudinais. A escola equilibra o ensino dos vários tipos de conteúdo? Essa divisão serve apenas para o planejamento de objetivos e para a escolha de atividades adequadas para atingi-los. Na aula, é fundamental ter consciência de que ensinamos conteúdos relativos a procedimentos, a atitudes e a conceitos ao mesmo tempo. Quando dou aulas quero sair da classe com a certeza de que os alunos entenderam os conceitos trabalhados, que saibam defini-los e, sobretudo, que consigam aplicá-los e justificar seus usos.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Às vezes parece que acontece um descompasso entre o que o professor ensina e o que ele espera que a classe aprenda. Essa contradição ocorre quando não se sabe ensinar. Não sabemos ensinar suficientemente atitudes, mas as avaliamos. Muitos educadores ensinam somente conceitos e fatos, mas avaliam procedimentos. Para ler entrevista na íntegra acesse: <http://www.race. nuca.ie.ufrj.br/ceae/m2/texto4.htm>

SÍNTESE Retomamos, nesta unidade, o ensino da matemática segundo o preconizam a LDB – 9394/96 e os PCNs, considerando a relevância desse conhecimento para o exercício da cidadania a partir dos seus conteúdos e objetivos.

Para saber mais: Para ampliar seus conhecimentos leia BELFORT, E. Discutindo práticas em matemática. Disponível em: <http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2006/ dpm/060828_distutindo.doc.>. Acesso em: 10 jan. 2008.

REFERÊNCIAS BORGES, L. F. P. O Sujeito histórico nos Parâmetros Curriculares Nacionais: uma cidadania possível? Dissertação (Mestrado) – PUCCAMP, 2000. BRASIL. Lei Nº 9.394 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Brasília: MEC/SEF, 1996. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais/Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997b. COLL, C. Psicologia e Currículo. São Paulo: Ática, 1996. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. TYLER, R. Princípios Básicos de Currículo e Ensino. Porto Alegre: Globo, 1974. ZABALA, A. A Prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2002.

O ensino da matemática no Brasil: concepções da LDB 9394/96 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Metodologia e prรกtica da Matemรกtica no Ensino Fundamental 68

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Conceito de números, sua representação e operações com números naturais

Como foi explanado em unidades anteriores, sabemos que os números fazem parte do nosso cotie/ou profissionais. Nesta unidade, iremos aprofundar o con-

ceito de números, a sua representação, as quatro operações,

Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

diano e que os utilizamos em diferentes situações pessoais

além da importância dos números no desenvolvimento do raciocínio da criança. Diariamente somos obrigados a conviver com números: no registro da identidade, número de sapato, no endereço, no registro de caderneta na escola, ao comprar um produto, ao tomar um ônibus, ao fazer transações bancárias (abertura de conta, cartões de créditos, senhas, emissão de cheques, por exemplo), números de pontos em um campeonato de futebol, ligar para uma pessoa, ver a hora em um relógio, a temperatura corporal etc. É comum ensinarmos as crianças das séries iniciais,

antes mesmo da sua escolarização, a contarem de 1 a 10, porém, isso não significa que ela já compreenda o que seja número. É necessário que a criança tenha internalizado a noção de ordenação, sequenciação e inclusão hierárquica para que tenha o conceito de número bem definido. Saber contar não significa que a criança aprendeu o conceito de número. Exemplo: observar algarismo 4 no número 45 e fazer perguntas do tipo: quanto vale? Qual o algarismo? É a partir da construção dos números naturais que a criança amplia o campo numérico que serve de base para vida em sociedade como o uso de números inteiros e racionais.

4.1 Atividade que envolva ordenação, sequenciação e inclusão hierárquica

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Não sabemos quando surgiram os primeiros registros numéricos, mas que povos pré-históricos utilizavam símbolos para indicar o ato de contar. Ouvimos algumas histórias sobre o uso primitivo de contagens, como a do pastor de ovelhas que para não perder seu rebanho associava a cada pedra uma ovelha, que o levava a conferir seu rebanho e tomar as devidas providências se faltasse uma. Mas, aos poucos, percebeu-se que usar sacos de pedras era um trabalho árduo e por isso resolveu-se utilizar registros gráficos para representar cada ovelha do rebanho, como III. E este mesmo registro serviria para qualquer objeto além das ovelhas. Temos aí uma construção abstrata.

Essas representações foram se aperfeiçoando até chegarmos ao famoso Sistema Indo-Arábico ou Sistema de Numeração Decimal vem do latim “decem” que significa dez. Um sistema posicional, porque o valor representado por um algarismo depende de sua posição, e decimal, porque os agrupamentos são feitos de 10 em 10.

1–2–3–4–5–6–7–8–9–0 Para se trabalhar com a construção dos números com as crianças, podemos realizar diversos tipos de atividades como atividades de contagens, utilizando de situações na sala de aula que sejam significativas para a criança como números de cadernos, lápis, borrachas, quantidades de meninas e meninos etc. Se observarmos algumas crianças contando determinado tipo de objetos espalhados, percebemos que algumas deixam de contar certos objetos, outras contam mais de uma vez e ainda existem aquelas que não sabem quando devem parar a contagem. Para isso, precisamos fazer as devidas intervenções para que a criança desenvolva o conceito de número, emboe explorar a sua vivência sobre números. A primeira estratégia para contar e representar é formar grupos, ou seja, agrupamentos de 2 em 2 , de 5 em 5 e de 10 em 10, por exemplo. Podemos estimular a atividade de contar sugerindo em aula que os alunos formem grupos de 4 ou ainda pedir que eles peguem 5 livros na biblioteca. Mas o processo de contar não é tão simples assim, ele passa por três etapas: • O primeiro contato da criança é de forma oral, quando se observam respostas das crianças com perguntas do tipo: quantos anos tem? Ou ela diz um, dois, três ou mostra nos dedos (registro gestual).

73 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

ra ele já esteja presente na sua vida. Devemos sim aproveitar

• Outra etapa vem com a escrita. Podemos iniciar com a seguinte atividade: construir cartões numerados de 0 a 10 e espalhar sobre a mesa de forma aleatória e pedir aos alunos que pegue um dos cartões com número conhecido por eles e que enunciam o nome dele. • Já a última se refere à construção de agrupamentos de 10, às regras do SMD e ao valor posicional. Segundo Duhalde e Cuberes (1998), a criança consegue contar verdadeiramente quando: • Estabelece a correspondência um a um; • Mantém a ordem das palavras numéricas; • Etiqueta cada objeto apenas uma vez sem omiti-lo; e • Considera que o último número mencionado representa a quantidade total de elementos do conjunto, que esta não depende da ordem em que se enumerem os elementos.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Ela ressalta que o aspecto ordinal do número prevalece sobre o cardinal no processo de contagem. Ainda sobre as etapas, Duhalde e Cuberes (1998) propõem que o professor construa uma tira ou faixa numérica que deve expor os números de forma ordenada. 1

É importante frisar que essa tira deve crescer à medida em que a criança conhecer mais números. Para essa etapa, temos dois processos a realizar: o de codificar, em que a criança faz a correspondência entre o número escrito e a quantidade expressa em palavras ou gráficos. Outro processo é a decodificação que é a forma utilizada para reconhecer e expressar oralmente o número escrito.

Exemplo: construir cartas com objetos e com o símbolo numérico que representa a quantidade de elementos solicitados. Por exemplo, a criança não conhece o símbolo que representa o número oito, mas sabe contar e, utilizando a faixa numérica, irá associar o símbolo oito à quantidade solicitada, lendo-o. Para se trabalhar a compreensão do sistema de numeração, o professor poderá utilizar-se de materiais concretos, como canudos, palitos, chapinhas etc., distribuindo, por exemplo, quantidades destes objetos maiores que 9. A partir daí, propor aos alunos que registrem o símbolo que representa a quantidade entregue (ex: 15) e questionar: por que esse número tem dois símbolos, ou ainda, o que representa o 1 à esquerda do 5? Com as respostas, o professor poderá iniciar sua atividade com o uso do material concreto, como, por exemplo, uso de 100 canudos propondo que agrupem de 10 em 10 e façam registros. Nessa atividade, o professor poderá estimular o aluno a refletir, raciocinar logicamente e observar através de perguntas como: quantos canudos podem ficar sem amarrar? Com dez tos devo ter? Com o objetivo de verificar se os alunos compreenderam o processo de agrupamento de objetos. Uma boa atividade para se trabalhar com sistema de numeração decimal e conceito de base é o jogo “Nunca é Dez”. • São necessários quatro jogadores (um deles faz o papel de caixa ou juiz, dois são jogadores e um registra no papel o resultado), dois dados e palitos de picolés coloridos (o vermelho representa a centena, o azul, a dezena e o branco, a unidade). • A regra do jogo é a seguinte: dois jogam os dados e, conforme o resultado, recebem os palitos do juiz.

75 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

palitos eu formo o quê? E para formar um grupo, quantos pali-

Sempre que um jogador soma dez unidades troca por uma dezena (palito azul) e quem junta dez dezenas troca por uma centena (vermelho). Quem chegar à centena primeiro ganha o jogo. A brincadeira prossegue por quatro rodadas (para revezar o juiz). Esse jogo ainda pode ser usado como nunca é Dois, nunca é Cinco etc., visando à compreensão por parte dos alunos do conceito de base. Neste jogo, podemos utilizar a sapateira como material concreto para representar o quadro valor lugar ou ainda construir com cartolina e plástico.

Por que o número dez é tão importante no nosso sistema numérico? Sabemos que no nosso sistema a base é 10, ou seja, agrupamos dez unidades para formar uma dezena, dez dezenas para formar uma centena, dez centenas para formar um milhar e assim por diante. Este sistema é chamado de decimal por agruparmos de dez em dez. Isto ocorreu, provavelmente, porque o Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

homem tem dez dedos e usa os dedos das mãos para contar. No nosso sistema, existem 10 símbolos (os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9 e zero) e um símbolo pode representar quantidades diferentes a depender da sua posição na representação numérica, ou seja , o nosso sistema também é posicional. E o zero tem importância fundamental nessa situação. Pois zero significa nada, ou melhor, ausência, ou ainda posição ou casa vazia. Exemplo: 305, o zero nessa posição significa ausência de dezenas não agrupadas em centenas. O nosso sistema é aditivo, pois o valor do número é obtido pela adição dos valores posicionais que os símbolos apresentam nos respectivos lugares (por exemplo, 326 = 300 + 20 + 6). Também é multiplicativo porque um algarismo escri-

to à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se tivesse ocupado a posição do outro. Um exemplo: 125 = 1 x 100 + 2 x 10 + 5. Muitas atividades favorecem a construção de números naturais, como a de estabelecer relações entre coleções diferentes, pois um número natural é definido como sendo a propriedade comum aos conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca (correspondência um a um). Essa atividade, também, desenvolve no aluno o conceito de igualdade e desigualdade entre números através da comparação de quantidades. Exemplo: distribuir para cada criança 7 bolinhas e 7 sacos e perguntar se há mais sacos do que bolinhas. Bem, alguns alunos, a princípio, podem sentir dificuldades, mesmo assim devemos deixá-los livres e observar as estratégias usadas por eles para comparar e orientá-los quando houver necessidade, como, por exemplo, pedir que coloquem cada bolinha em cada saco. Podemos também utilizar jogos como “O maior leva”, que consiste em uma atividade lúdica que possibilita ao aluno conceituar números, representá-los, estabelecer relações de Para esse jogo, é necessário construir 40 cartões que apresentam a representação numérica e pictórica dos números de 1 a 10. Os cartões são embaralhados, divididos entre duas crianças sem que elas conheçam as cartas escolhidas e o jogo começa quando cada criança abre um cartão de seu monte e os valores são comparados. Quem tiver o maior valor fica com os dois cartões. Em caso de empate, novos cartões são abertos e o aluno que tiver o maior número nesta rodada ganha os quatro cartões. Ganha quem, ao final, tiver mais cartões. Aliados aos jogos podemos utilizar instrumentos/ materiais concretos como: material dourado, o QVL, entre outros. Com relação aos elementos do conjunto dos números naturais, o matemático Peano estabelece que:

77 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

desigualdade e igualdade.

• 0 é um número; • O sucessor de qualquer número é um número; • Não há dois números com um mesmo sucessor; • 0 não é sucessor de número algum; e • Qualquer propriedade que pertença ao 0 e também ao sucessor de todo número que tenha essa propriedade pertence a todos os números. Desta forma, o conjunto dos números naturais fica definido como N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} em que não existe o último número, porque todos os números têm um sucessor. Uma boa atividade para se trabalhar com sucessor/ antecessor de um número é o labirinto dos vizinhos com uso da tabela a seguir, em que a regra é a seguinte: o aluno deve começar pelo número 1 do quadrado inferior, da direita, e passar de um quadrado a outro que tenha um número consecutivo (do 3 passe para o 4 ou para o 2) até chegar ao número 1 do quadrado superior, da esquerda. trabalhar com ordenações de quantidades ao propor ao aluno

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Na comparação de duas coleções de objetos podemos 78

corresponder um objeto de um grupo ao objeto de outro grupo e fazer questionamentos de modo que a criança dê significado às relações do tipo: há menos que, há mais que, há tantos quantos, qual vem antes, qual vem depois de, quantos a mais, quantos a menos. Estes dois últimos serão fundamentais para iniciarmos com as operações com números naturais. Exemplo: distribuir canetas e bocais (quantidades diferentes) entre as crianças e fazer aqueles questionamentos. A primeira estratégia utilizada será a do emparelhamento de objetos, o que permitirá à criança desenvolver tais relações.

4.2 O perações com números naturais Quando será que a criança está preparada para fazer operações com os números naturais?

O grande problema em se trabalhar as operações com as crianças está na construção dos números naturais. É preciso que essa construção esteja internalizada para que a criança possa efetuar as operações com facilidade e aplicar os algoritmos adequadamente. Quando esse conceito já está claro, a criança começa a realizar cálculos mentais simples, resultantes de associações como a quantidade de bonecas, carrinhos, pedaços de choco-

Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

late que possui, ou ainda, quantos pedaços de bolo comeu a mais que o coleguinha etc. Bem, construído o conceito de número natural, a criança, inicialmente, começa a vivenciar as operações a partir das ações que envolvem as quatro operações fundamentais, através do cálculo mental e do uso do material concreto, como, por exemplo, o material dourado. Na adição, temos as seguintes ações, que devem ser desenvolvidas: • A ação de juntar (no tabuleiro havia 5 pedaços de bolo de aipim e 2 de bolo de milho, pergunta-se: quantos pedaços de bolo havia nesse tabuleiro?); • A ação de acrescentar (um exemplo, utilizando situações do cotidiano, é sugerir que os alunos assistam a um jogo de futebol ou basquete e depois pedir que a criança registre quantos pontos um determinado time obteve no 1º tempo e depois registrar quantos obteve no 2º; posse dos dados, perguntar quantos pontos este

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

time fez no jogo; outro exemplo, agora fazendo uso do material concreto, é pedir que um dos alunos coloque 2 lápis sobre a mesa e, em seguida, chamar outro aluno e pedir que este, também, coloque seus 3 lápis sobre a mesma mesa, em seguida perguntar à turma quantos lápis ficaram sobre a mesa). Essas duas ações possuem uma diferença sutil, a de juntar relaciona objetos de espécies diferentes enquanto a de acrescentar, objetos de mesma natureza. Na subtração, temos:

• A ação de retirar - uma situação que envolve a ação de retirar é propor aos alunos que formem uma fila com 9 alunos na sala, em seguida, pede-se a uma das crianças que não faz parte da fila que observe a quantidade de alunos na fila e vire de costas. Retiram-se alguns alunos e pede-se que a criança se vire e responda às seguintes questões: quantos alunos havia na fila? Quantos alunos ficaram? E quantos saíram? • A ação de completar - pouco desenvolvida, mas muito utilizada no cotidiano como o caso do troco. Um exemplo para a sala de aula é desenhar figuras como círculos, alguns pintados e outros não, e realizar perguntas do tipo: quantas bolas estão desenhadas? Quantas estão pintadas? Quantas faltam pintar? E, logo depois, propor que pinte as que faltam. • A ação de comparar - responde às seguintes perguntas: quanto tem a mais? Quanto tem a menos? Quem é o maior? E quem é o menor? (Exemplo: em uma caixa há 8 ovos e, em outra, há 12. Quantos ovos perceba que essa ação de comparação está associada à subtração, o ideal é emparelhar objetos. Nesse estágio, a criança ainda não está aplicando o algoritmo, pois ela realiza operações com apenas um algarismo e calcula mentalmente. A isso chamamos de fato básico. Mas o que chamamos de algoritmo? Bem, algoritmo é um dispositivo prático que é usado para facilitar a execução de certa tarefa. No dia a dia, lidamos com algoritmos constantemente, como ligar a televisão e selecionar canais, trabalhar no computador, dirigir um automóvel (o que trabalha com várias funções cognitivas), preparar um prato através de uma

81 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

existem a mais na segunda caixa?) Para que a criança

receita culinária etc. Desde o mais simples até o mais complexo e, na maioria das vezes, precisamos de ajuda. Vale ressaltar que se não o compreendermos podemos apenas usá-lo mecanicamente seguindo apenas instruções; analogamente, em relação à matemática, é isto que prejudica a criança quando sente necessidade de buscar boas estratégias de cálculos em certas situações do cotidiano que exigem autonomia, tomada de decisões sobre que cálculo fazer e como fazer. Uma das estratégias de cálculos são os algoritmos das quatro operações fundamentais. Esses algoritmos só podem ser apresentados ao aluno quando ele já domina o conceito de número, dos fatos básicos e do sistema de numeração. No processo de construção do algoritmo da adição, a criança já deve iniciar com a adição com reservas, ou seja, aquelas em que a soma das unidades isoladas é maior que nove, sendo necessário o agrupamento para casa das dezenas. Isso é importante, para que a criança perceba a necessidade de se começar a operar pelas unidades. Bem, para iniciar o trabalho de construção do algoritmo

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

da adição podemos usar a sapateira (com os amarrados-palitos, por exemplo) associada ao jogo “Nunca é Dez” da seguinte forma: um aluno recebe uma certa quantidade de palitos a serem colocados na sapateira, ele começa colocando nas casas das unidades até, no máximo, nove, caso tenha sobrado material, segue a regra do “Nunca é Dez”, ou seja, não pode colocar dez palitos na casa das unidades, portanto, amarra esses 10 palitos e coloca-os na casa das dezenas, continuando a realizar o mesmo procedimento para centenas e assim por diante. Esses palitos ao serem amarrados facilitam a compreensão por parte das crianças, por exemplo, se, temos 2 amarradinhos na casa das dezenas), isso significa que existem 2 grupos de dez, ou seja, 20 unidades. É importante que paralelamente a esse trabalho com o concreto a criança seja estimu-

lada a registrar no papel essa atividade e, aos poucos, o professor substitua pelo QVL. A próxima atividade auxilia na compreensão do algoritmo da adição e do famoso “vai um”: depois de usar a sapateira e registrar no papel os valores, agora, propõe-se ao aluno juntar 15 com 9 e, em seguida, transpor para o QVL. De início, deve-se sugerir que a criança represente através de palitos estas quantidades 15 e 9, uma abaixo da outra. Depois que utiliza a ação de juntar unidades e dezenas separadamente. Em seguida, ao perceber que nas unidades existem mais que nove palitos, ela deve fazer um novo grupo de 10 palitos que passaram para dezenas. Por fim, percebe que o resultado foi 2 dezenas e 4 unidades. Formalizando o algoritmo da adição, devemos, primeiramente, armar a conta, colocando os números a serem adicionados de forma que os algarismos de mesma ordem, de cada número, fiquem um abaixo do outro. Ao começar pelas unidades fica evidente essa necessidade quando precisamos reagrupar (vai um). No exemplo, ao juntar 5 e 9 e obter 14, samos reservar essa dezena obtida para adicionar a outras dezenas no cálculo. E, por último, soma-se as dezenas. O processo é similar para a construção do algoritmo da subtração. Para iniciar o estudo desse algoritmo, devemos usar a ação de retirar. Também é necessário lembrar a importância de se usar as nomenclaturas associadas tanto ao algoritmo da adição quanto ao da subtração sem exigir dos alunos sua memorização. O uso do algoritmo se faz necessário quando se manipula com quantidades maiores (números com mais de um algarismo) e quando é preciso realizar trocas (famoso “empresta um”), que pode ser compreendido a partir do uso do material concreto (material dourado e sapateira) e do QVL (Quadro Valor Lugar).

83 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

percebe-se que temos 1 dezena e 4 unidades, ou seja, preci-

O processo é o seguinte: com apoio do material concreto, a criança deve separar o que representa o minuendo e em seguida retirar do grupo de objetos a quantidade que representa o subtraendo, lembrando que só podemos retirar quantidades de uma mesma coleção de objetos. Vale ressaltar que o registro é de fundamental importância na construção do algoritmo, ou seja, o uso do material concreto deve ser feito paralelamente ao registro formal do algoritmo. Outras ações, também, devem ser apresentadas na construção do algoritmo, pois possibilitam ao aluno que tenha dificuldade em um dos procedimentos, utilizar outros caminhos para operar. Vamos apresentar aqui um exemplo do uso do algoritmo da subtração, usando material dourado com sistema de trocas (famoso empresta um): realizar a subtração 457 – 273. Primeiramente, representa-se o minuendo 457 com as peças do material dourado. Ou seja, 4 centenas representadas por 4 placas, 5 dezenas representadas por 5 barras e 7 unidades representadas por 7 cubinhos. Bem, podemos retirar 3

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

unidades (subtraendo) do minuendo 7, mas das 5 dezenas do minuendo não podem ser retiradas as 7 dezenas do subtraendo, então será necessário desagrupar a centena em dezenas, ou seja, 1 placa que corresponde à centena será decomposta em 10 dezenas e somando com o que já temos, no caso 5 dezenas, ficaremos com 15 dezenas, assim restarão apenas 3 centenas no minuendo. Após esse feito, obtemos 3 centenas, 15 dezenas e 7 unidades (minuendo). Agora retiramos 2 centenas, 7 dezenas e 3 unidades, restando 1 centena, 8 dezenas e 4 unidades. Como no caso da adição e subtração, para as operações da multiplicação e divisão com números naturais, é necessário que se trabalhe ações, primeiramente, que envolvam tanto uma como a outra operação.

Na multiplicação se destacam as seguintes ações: Adição de parcelas iguais Exemplo: em um estacionamento de um shopping há 3 setores. Cada setor tem 25 vagas. Qual o número total de vagas? Resposta: 25 + 25 + 25 ou 3 x 25. Disposição retangular Exemplo: há quantas casas no tabuleiro de xadrez? Raciocínio combinatório Pode ser apresentado de duas maneiras: através de tabela e através da árvore de possibilidades. Exemplo 1: com adiantamento do décimo terceiro, Valmir comprou 3 camisetas e 2 calças. Fez, então, um plano para usá-las durante a semana, sem repetir as combinações das peças. Quantas combinações diferentes Valmir conseguiu? Resposta: 6. Para responder a essa pergunta, o aluno poderá trabalhar com a árvore de possibilidades. Exemplo 2: Em uma lanchonete há quatro tipos de sucos: laranja, maracujá, cacau e goiaba. Eles são servidos em copos de três tamanhos: 200ml, 300ml e 500ml. De quantas maneiras você pode pedir um suco? Este tipo de atividade é mais fácil de ser respondida utilizando tabelas como:

Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

200 ml

300 ml

500 ml

Laranja Maracujá Cacau Goiaba 1

62 16.418

2.024

3.630

155

Uma boa atividade para se trabalhar com a multiplicação é o tabuleiro da multiplicação. Esta atividade consiste em uma tabela em que estão dispostos todos possíveis resultados obtidos da multiplicação de 2 números jogando dois dados. O jogo inicia quando um dos jogadores joga os dois dados. Se, por exemplo, cair os números 2 e 6, ele deve multiplicá-los obtendo 12 e colocar seu nome no tabuleiro. Ganha quem tiver maior quantidade de quadrados preenchidos.

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Observação: passa a vez se der o mesmo número na multiplicação, como, por exemplo, 12. Na divisão, temos duas ações: • A repartição, em que é conhecido o número de grupos que devem ser formados em um certo total de objetos e em que é preciso determinar a quantidade de objetos de cada grupo; Exemplo: Maria tem 36 papéis de carta e quer distribuí-los igualmente entre ela e suas 2 irmãs. Quantos papéis de carta cada uma irá receber? Para achar a resposta 12, como a criança raciocina?

• A ação de comparação ou medida, na qual é preciso determinar quantos grupos podemos formar com um certo total de objetos, sendo conhecida a quantidade de objetos que cada grupo deve ter. Observa-se que a diferença é sutil entre as duas ações, o que exige o uso do material concreto para que a criança domine e saiba estabelecer a diferença. Exemplo: em uma escola há 250 alunos da 3ª série. Cada turma é formada por 25 alunos. Quantas são as turmas de 3ª série nessa escola? Os algoritmos da multiplicação e divisão devem ser apresentados de forma similar ao da adição e subtração, sempre associando o uso do material concreto paralelo ao registro formal do próprio. Lembrando que a multiplicação precisa passar por três etapas: • Na primeira etapa, pode-se trabalhar com o apoio do material concreto, como o material dourado. Exemplo: criança já tem internalizadas as ações que envolvem a multiplicação, ela pode inicialmente representar o número 35 com o apoio do material dourado, usando o conceito de Quadro Valor Lugar e, em seguida,trabalhar a ação de adição de parcelas iguais representando no QVL 35 + 35 + 35, obtendo assim o valor desejado, 105, através do reagrupamento. Paralelamente, o professor deverá orientar a criança a registrar tudo que foi feito com o apoio do material dourado no papel, associando isso ao registro formal do algoritmo. • Na próxima etapa, a criança já deve ser instigada a realizar as multiplicações usando o cálculo mental.

87 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

sugerir à criança que realize o produto 35 x 3. Se a

• E, na terceira e última etapa, a criança já trabalha com a multiplicação de dois dígitos. Quanto ao estudo do algoritmo da divisão, podemos iniciá-lo através do processo das subtrações sucessivas. Esta é uma das formas de se iniciar o estudo do algoritmo da divisão aproveitando a relação existente entre subtração e divisão. No primeiro momento, devemos apresentar ao aluno como registrar no papel o esquema para se dividir dois números, lembrando que, a princípio, esse trabalho deve ser feito em paralelo com o uso do material concreto, palitos, por exemplo. Exemplo: sugerir que a criança divida 24 por 4. Para isso é necessário entregar-lhe 24 palitos, e orientá-la para que forme grupos com 4 palitos e perguntar quantas vezes se tirou cada grupo de 4 palitos. Em seguida, deve-se pedir ao aluno que vá retirando apenas um grupo de 4 cada vez e registrando no papel. Sempre é preciso questionar sobre quantos palitos foram retirados, quantos palitos restaram, como descobrir quantos palitos foram retirados, se foi por grupo de cada vez

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(estes questionamentos se referem à operação a ser realizada, no caso a multiplicação) o que deve fazer para saber quantos palitos restaram (já este se refere à subtração). Ainda, é perguntar se há condições de retirar novos grupos de 4 palitos. No final, questionar quantos grupos de 4 palitos foram retirados e como ele descobriu (no caso adição de “uns” ). Próxima etapa: fazer perguntas à criança como, por exemplo: será que há possibilidade de retirar mais de um grupo de 4 palitos cada vez? Para responder a esse questionamento, a criança deverá dipor do material concreto para perceber que sim. É importante acatar as sugestões dos alunos e trabalhar em cima delas, mesmo que estejam erradas, para que analisem a situação.

Na última etapa, depois da familiarização do algoritmo da divisão, devem ser apresentadas as divisões mais complexas, como dividir 97 por 5.

SÍNTESE Nesta unidade, vimos como a criança constrói o conceito de número e realiza sua representação, apresentando algumas atividades escolares que podem ajudar nesse processo. Observamos também que para a criança começar a realizar as operações com números naturais, é preciso que já tenha assegurado a construção do conceito de número e que as quatro operações matemáticas envolvem a decisão de que cálculo fazer e como fazer e a utilização de algoritmos. Além disso, vimos alguns exemplos de atividades concretas para o ensino-aprendizagem das quatro operações matemáticas.

BELFORT, E.; MANDARINO, M. Operações com números naturais. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação a Distância. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Brasília: MEC/SEF, 2007, 24 p. (Coleção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 2). BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DUHALDE, M. E.; CUBERES, M. T. G. Encontros iniciais com a Matemática: contribuições à educação infantil. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.

89 Conceitos de números, sua representação e operações com números naturais

REFERÊNCIAS

MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a matemática). PANIZZA, M. Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais: análise e propostas. Porto Alegre: Artmed, 2006. PEREIRA, C. M. Ensino de matemática: uma luz no fim do túnel. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano6, n. 7, jul. 1999. TANCREDI, R. M. S. P. et al. Os cadernos dos alunos e a aprendizagem da Matemática. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano 8, n. 11, dez. 2001. TOLEDO, M.B. A. Medidas e grandezas. Ministério da Educação-FUNDESCOLA, TP 4. Programa GESTAR. Brasília, 2002.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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E spaรงo e Forma

matemática e pouco valorizado pela escola é a geometria. Nós

convivemos diariamente com a geometria, seja na natureza,

Espaço e Forma

Um dos conteúdos mais importantes da seja por construções do homem como prédios, entre outras imagens e formas que conhecemos, mas o enfoque dado é apenas aplicação de fórmulas, resolução de cálculos geométricos através de propriedades sem descobertas nem deduções, com pouca manipulação de figuras geométricas e a compreensão de teoremas. Civilizações como Babilônia e Egito foram as primeiras a registrar informações sobre conhecimentos geométricos em razão da necessidade de se fazer medições em terrenos próximos aos grandes rios Tigre, Eufrates e Nilo. Temos ainda as famosas pirâmides Quéops, Quefrim e Mikerinos construídas no Egito como exemplo de aplicações da geometria.

Esses eram conhecimentos elementares, isto porque os antigos os utilizavam apenas para suprir necessidades práticas do cotidiano. Tais conhecimentos só foram sistematizados na Grécia a partir do Século VI. Geometria vem do grego, das palavras geo, que significa terra, e metria, que significa medida. Ela auxilia na estruturação do pensamento na construção civil, na navegação, na arte, na compreensão e produção de desenhos, esquemas, gráficos, mapas etc. A geometria trabalhada nas escolas é a denominada Geometria Euclidiana, produzida pelo matemático grego Euclides (em 300 a.C, aprox.), que sistematizava o saber geométrico a partir da enunciação de definições, postulados e axiomas para dedução de teoremas. Observa-se, também, que, antes, a escola privilegia a linearidade no ensino da geometria, ou seja, o trabalho centrado na sequência: ponto, reta, linhas, figuras planas e sólidos geométricos, mas nós sabemos que a criança enxerga, primeiramente, os

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

sólidos (manipula objetos como bolas, dados, latas, caixas etc.) e, em seguida, visualiza as figuras geométricas. Desta forma, podemos explorar os conceitos de geometria espacial e de geometria plana ao mesmo tempo, pois estes objetos podem ser cortados e dobrados, formando figuras muito comuns, como triângulos e quadriláteros (polígonos) e círculos. Podemos ainda trabalhar com o conceito de: • Unidimensional (uma dimensão: comprimento. Exemplo: fio de cabelo); • Bidimensional (duas dimensões: comprimento e largura. Exemplo: um papel ofício); • Tridimensional (três dimensões: comprimento, largura e espessura. Exemplo: tijolo).

Segundo Fonseca et al. (2001), antes de ir à escola a criança já explora o espaço e detém o conhecimento sobre o mesmo através de brincadeiras como quebra-cabeça, construção de: brinquedos, passeios, usar talheres, atar cadarços, ou no auxílio aos pais em alguma atividade de trabalho. Então, cabe ao professor(a) ampliar e sistematizar esses saberes para que “a criança melhore sua percepção espacial, visual e tátil, identificando as características geométricas desse espaço, apreendendo as relações espaciais entre objetos nesse espaço” (FONSECA et al, p. 47). Ou seja, que a criança organize e sistematize a experiência com exploração de objetos em relação a três aspectos: relações espaciais nos objetos, entre os objetos e nos deslocamentos dos mesmos.1 Devemos enfocar nas práticas pedagógicas o estudo e a exploração do ambiente que nos cerca, utilizando assim conhecimentos geométricos, desta forma, estamos inserindo outros saberes, além dos matemáticos. Por exemplo, colocar desenvolver noções de espaço (frente, atrás, em cima e embaixo, direita e esquerda, mais próximo, mais distante, objetos que rolam ou não, entre outras), ou seja, habilidades espaciais de localizar-se e deslocar-se no espaço; perceber características de objetos existentes no espaço; e relacionar figuras planas e não planas. A seguir exemplos de atividades a serem trabalhadas com geometria:

1. Retirado do texto A importância do ensino da geometria nos anos iniciais da coleção do pró-letramento. LEDUR, B. S.; WANDERER, F.; PINHEIRO, J. de M.; HENNEMANN, J.; ENRICONI, M. H. S.; WOLF, R. A importância do ensino da geometria nos anos iniciais. Secretaria de Educação Básica. Secretaria de Educação a Distância. Universidade Federal do Rio de Janeiro 24 p. Brasília: MEC, 2007. (Coleção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 3).

95 Espaço e Forma

a criança em contato com objetos para que, assim, ela possa:

1º Exemplo: uma boa atividade para iniciar o estudo da geometria em sala de aula é a construção de uma maquete, pois através dela podemos explorar noções de localização de orientação e de espaço, direção, distância, escala, figuras geométricas e sólidos geométricos, além de trabalhar a interdisciplinaridade com conhecimentos em história e geografia, favorecer a intuição, levantamento de hipóteses, as descobertas, atos de projetar e representar. Etapas: • Uso de materiais como papel metro, embalagens, hidrocor, lápis de cor, cola, durex e tesoura; • Traduzir um espaço de convivência como, por exemplo, o trajeto de sua escola para casa ou, ainda, um ponto turístico; • Pedir aos alunos que surgiram um ponto de partida e um de chegada nessa maquete que simulem um deslocamento informando como seria: ande 3 quadras Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

à frente, entre na primeira rua à direita, siga em frente, dobre à esquerda, segunda casa. Lembrando da importância da referência, por exemplo: direita em relação a quem ou ao quê? Ainda nessa situação, podemos explorar a noção de ângulo (mudança de direção) pelo deslocamento, por exemplo: gire à esquerda. 2º Exemplo: uma boa atividade para trabalhar ângulos é construir um disco a partir de um quadrado e uso do compasso. Bem, para achar o centro do disco basta dividir o quadrado em quatro partes iguais. Em seguida, orientar os alunos para que dobrem em três, quatro e oito partes este disco e pedir que, através do uso de palitos de picolé, eles representem uma trajetória (como: dê dois passos à frente, um terço de

giro à esquerda, quatro passos à frente, um quarto de giro à direita e dois passos à frente) com a ajuda do disco. • Contornar a base dos sólidos (embalagens) que serviram de apoio para a construção da maquete e introduzir o conceito de polígonos (toda linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam). Nos anos iniciais podemos trabalhar com dois deles – triângulos (polígonos de três lados) quadriláteros (polígonos de quatro lados) – e com círculos. Entregar modelos prontos para que os alunos identifiquem as figuras geométricas que contornaram. • Observando os objetos, mostrando suas semelhanças e diferenças, as crianças podem estabelecer critérios para classificá-los. Por exemplo, classificar sólidos geométricos a partir das embalagens: os que rolam e os que não rolam, como exemplo, os poliedros (sólidos limitados por um número finito de polígonos, os quais des) e os corpos redondos (o cone – exemplo: chapéu -, o cilindro – exemplo: lata de refrigerante – e a esfera – exemplo: bola). Estabelecer diferenças entre prismas e pirâmides. A partir do desenho das faces dos sólidos, também se trabalha com polígonos. • Com embalagens na forma de cubos de mesmo tamanho, por exemplo, agora com cores diferentes, o aluno deve formar diferentes objetos justapondo estes cubos; pedir que o aluno transponha para uma folha quadriculada o que ele vê de lado (lateral), frente (frontal) e de cima (superior), ou seja, introduzir o conceito de perspectiva.

97 Espaço e Forma

são chamados de faces - exemplos: prismas e pirâmi-

• Podemos ainda através do uso de embalagens sugerir ao aluno que as desmanche/desmonte e observe o que aconteceu. Neste tipo de atividade, as crianças percebem que os sólidos podem ser planificados e ainda, ao manipulá-los, descobrem o que são faces, arestas (beiras), representam as fronteiras das superfícies e vértices (quinas ou pontas), ideia de ponto como fronteira das linhas. 3º Exemplo: ainda com situações do dia a dia perguntas do tipo “Qual o seu endereço?”, “Qual o trajeto que você faz da sua casa para a escola?” ou, ainda, “Qual é o ponto de referência para se chegar a sua casa?” exploram a noção de direção, sentido e distância. É importante que o aluno seja estimulado, além de falar, a desenhar o trajeto (mapa). • O uso de folhas quadriculadas é interessante, pois car o trajeto de um animal, por exemplo, até sua casinha.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

podemos elaborar atividades que sugiram ao aluno expli98

• Ou mesmo, pedir a determinado aluno que se sente próximo à janela ou, ainda, que esteja na primeira fileira, segunda carteira, a começar pela porta da sala (referencial). 4º Exemplo: neste mesmo contexto, podemos propor ao aluno a seguinte situação: como se faz para chegar à biblioteca da escola, nesse caso pode ser usado um material como guia (fio de nylon, barbante) para ajudar o aluno a tomar consciência do percurso, comparar com outros percursos, se são mais longos ou mais curtos. Assim, a criança ao realizar caminhos e descrevê-los está tomando pontos de referências e estabelecendo relações entre sujeitos e objetos, realizando ações como se

deslocar, orientar-se no espaço, usar um referencial, medir distâncias e cumprir com a descrição do trajeto a ser percorrido. 5º exemplo: outra boa atividade é o uso de fotografias para inserir o conteúdo geometria na escola, como, por exemplo: ⁻⁻ retas paralelas, ⁻⁻ retas concorrentes e ⁻⁻ retas perpendiculares. 6º Exemplo: ainda em geometria, o professor pode explorar o conceito de simetria (aqui a mais estudada é a axial que é a simetria ortogonal em relação a uma reta) ao pedir que alunos transfiram um barquinho de um lado do papel quadriculado para o outro com as mesmas dimensões, mas para isso deverá dividir esse papel em duas partes em que a linha mais forte (parte dobrada) representa o espelho que é chamado de é poder dividi-las em duas partes iguais. 7º Exemplo: o trabalho com o Tangram servirá para dar início ao estudo de frações. A princípio, devemos construí-los por dobraduras, a partir dos seguintes passos: • Construir um quadrado como se fosse uma pipa, no papel ofício, surgem duas figuras um retângulo e um quadrado; • Unir dois vértices não consecutivos do quadrado (de uma ponta a outra da figura) através da dobra e riscá-la. Daí surgem dois triângulos separados por uma diagonal. E traçar o segmento de reta que une os dois pontos médios de dois lados também por dobra;

99 Espaço e Forma

eixo de simetria. Uma das características de figuras simétricas:

• O mesmo procedimento anterior com os outros vértices não consecutivos agora dobrando até o segundo segmento traçado, ou seja, aquele obtido pela união dos pontos médios; • Divide-se a primeira diagonal obtida em quatro partes iguais por dobradura. Construindo, assim, três peças restantes componentes do Tangram; • Nomear cada peça e responder a algumas questões como: quais são as peças maiores ou menores? Quantas vezes uma peça cabe na outra? Que parte do Tangram uma parte corresponde a outra? Observação: outros conceitos podem ser explorados com o tangram como construir polígonos e relacionar frações e áreas.

SÍNTESE

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Acabamos de ver nesta unidade como a geometria pode ser melhor compreendida e trabalhada na escola, envolvendo atividades que extrapolem o desenho de retas, planos e figuras, problematizando o espaço físico e as formas do cotidiano das crianças em atividades criativas e concretas.

REFERÊNCIAS B R A S I L . Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. LEDUR, B. S.; WANDERER, F.; PINHEIRO, J. M.; HENNEMANN, J.; ENRICONI, M. H. S.; WOLF, R. A importância do ensino da geometria nos anos iniciais. Secretaria de Educa-

ção Básica. Secretaria de Educação a Distância. Universidade Federal do Rio de Janeiro 24 p. Brasília: MEC, 2007. (Coleção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 3). MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática). PANIZZA, M. Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais: análise e propostas. Porto Alegre: Artmed, 2006. PEREIRA, C. M. Ensino de matemática: uma luz no fim do túnel. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano 6, n. 7, jul. 1999. TANCREDI, R. M. S. P. et al. Os cadernos dos alunos e a aprendizagem da Matemática. Educação Matemática em Revista , São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemá-

TOLEDO, M. B. A. Medidas e grandezas. Ministério da Educação-FUNDESCOLA, TP 4. Programa GESTAR. Brasília: MEC, 2002.

101 Espaço e Forma

tica (SBEM), ano 8, n. 11, dez. 2001.

Metodologia e prรกtica da Matemรกtica no Ensino Fundamental 102

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Grandezas e Medidas

Você mediu alguma coisa hoje? O quê? Quais são as grandezas que você mais faz medições? Quais as unidades mais utilizadas?

Se fizermos uma pesquisa histórica da humanidade, ficaremos sabendo que, em um primeiro momento, os homens se preocupavam com a contagem e, para isso, só necessitavam dos números naturais. Contar talvez tenha sido a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em “mãos cheias de trigo” ou outro grão das suas produções.

Grandezas e Medidas

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“A necessidade de medir é quase sempre tão antiga quanto a necessidade de contar.” (MACHADO, 2000, p. 8)

A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civilizações. A partir do momento em que houve um aumento das áreas de cultivo, as trocas se intensificando e o comércio se desenvolvendo, os homens começaram a perceber que apenas a contagem não era suficiente para atender as suas novas necessidades, sendo preciso existir outras formas de mensuração. Ao cultivar e fazer construções em terras próximas ao curso dos rios, de tempos em tempos, com o transbordo dos rios, as marcações existentes desapareciam, sendo preciso fazer novas demarcações. Essas demarcações eram realizadas

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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de forma duvidosa, o que gerava muitos conflitos. A necessidade constante de se demarcar as terras levou os homens a se preocupar com as medidas. Por longo tempo cada país ou região tinha seu próprio sistema de medidas. Essas unidades de medidas, entretanto, eram geralmente arbitrárias e imprecisas, como, por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Esse tipo de medida não convencional, em que não se conhecia o referencial, era motivo de dúvida e discórdia entre os povos, criando assim sérios problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam familiarizadas com o sistema de medir das outras regiões e também porque os padrões adotados eram, muitas vezes, subjetivos. As quantidades eram expressas em unidades de medida pouco confiáveis, diferentes umas das outras e sem correspondência entre si.

Em nosso dia a dia, deparamo-nos com situações, as mais variadas, em que utilizamos medidas. Exemplos não faltam, como a medida de nossa altura dada em metros e centímetros; as compras de alimentos como feijão, carne e farinha por quilo; os mililitros ou microgramas de um determinado remédio que às vezes tomamos; ou, ainda, a quantidade de açúcar para fazer um bolo. Nas construções, calculamos áreas para colocação de pisos, medimos a quantidade de galões de tinta que deve ser utilizada para a pintura de um ambiente etc. Desde muito cedo, as crianças convivem com o uso dessas medidas e esses contatos são de caráter puramente social. A criança sabe que sua mãe comprou mais tecido para fazer seu vestido, um metro do que para fazer o vestido da sua boneca, cinquenta centímetros, apesar de não saber o significado do metro, nem saber que relação existe entre metro e utiliza a noção de comprimento. O fato de que as coisas tenham tamanhos, pesos, volumes e temperaturas diferentes e que tais diferenças sejam pontuadas pelas pessoas (está longe, está perto, é mais baixo, é mais alto, mais velho, mais novo, pesa meio quilo, mede dois metros, a velocidade é de oitenta quilômetros por hora etc.) permite que as crianças informalmente estabeleçam esse contato, fazendo comparações de tamanhos, estabelecendo relações, construindo algumas representações nesse campo, atribuindo significado e fazendo uso das expressões que costumam ouvir. Esses conhecimentos e experiências adquiridos no âmbito do convívio social favorecem a realização de situações que despertem a curiosidade e o interesse das crianças para continuar conhecendo sobre as medidas. Portanto, cabe

107 Grandezas e Medidas

centímetro, e entende muito menos que para medir tecido se

à escola o papel de aperfeiçoar e aprofundar os conhecimentos das crianças sobre medidas, para que elas possam crescer enquanto cidadãos, fazendo sua leitura de mundo, analisando as situações com mais eficiência e com condições de mudá-las caso se faça necessário. O professor deve partir da prática para propor situações-problema em que a criança possa ampliar, aprofundar e construir novos sentidos para seus conhecimentos. As atividades de culinária, por exemplo, possibilitam um rico trabalho, envolvendo diferentes unidades de medida, como tempo de cozimento de um bolo, de um cachorro-quente e a quantidade necessária de cada ingrediente para sua preparação: litro, quilograma, colher, xícara, pitada etc. É importante que o trabalho com comparação, utilizando unidades de comprimentos, pesos e capacidades, a marcação de tempo e a noção de temperatura sejam vivenciados

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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desde cedo por crianças das séries iniciais, permitindo-lhes refletir, em um primeiro momento, sobre características opostas das grandezas e objetos, como grande/pequeno, comprido/curto, longe/perto, muito/pouco, quente/frio etc. As crianças aprendem sobre medidas medindo. E a construção desse conhecimento decorre de experiências que vão além da Educação Infantil. A ação de medir inclui: • A observação, a comparação e a percepção entre objetos; • O reconhecimento da utilização de objetos intermediários, como fita métrica, balança, régua etc., para quantificar a grandeza (comprimento, extensão, área, peso, massa etc.). Inclui também efetuar a comparação entre dois ou mais objetos respondendo a questões

como: “Quantas vezes é maior?”, “Quantas vezes cabe?”, “Qual é a altura?”, “Qual é a distância?”, “Qual é o peso?” etc.

6.1 Medidas e Grandezas no Ensino Fundamental Os documentos que discutem as orientações curriculares publicados no país, o Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil (RCNEI) e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) trazem como exemplo de conteúdo a ser desenvolvido experiências com dinheiro em brincadeiras ou em situações de interesse das crianças.

Em relação ao bloco Grandezas e Medidas, o que você costuma ensinar a seus alunos sobre este tema? Para a Educação Infantil e séries iniciais o conteúdo “grandezas e medidas” enfatiza a importância do trabalho com este tema, pois ele encontra-se vinculado ao cotidiano do aluno, sendo de grande relevância no mundo em que vivemos. O trabalho com esse conteúdo propicia às crianças estabelecer relações entre os objetos, comparando-os de acordo com um padrão não convencional na Educação Infantil, 1º e 2º ciclos, e com medidas convencionais nos demais ciclos. O trecho a seguir, retirado do RCNEI (BRASIL, 1998b, p. 225) destaca os objetivos e as orientações didáticas para o trabalho com esse tema:

Grandezas e Medidas

109

Pense:

• Exploração de diferentes procedimentos para comparar grandezas; • Introdução às noções de medida de comprimento, peso, volume e tempo pela utilização de unidades convencionais e não convencionais; e • Marcação do tempo por meio de calendários. O texto a seguir, retirado dos PCNs, justifica a relevância social do tema “Grandezas e Medidas” e sua importância no currículo:

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

110

“Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter prático e utilitário. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. As atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das operações, da idéia de proporcionalidade e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica.” (BRASIL, 1997, p. 39-40).

A idade em que as crianças frequentam as séries iniciais é um período extremamente fértil em relação à construção de novos conhecimentos, pois elas são favoráveis ao convívio social, são extremamente afetivas e são acima de tudo abertas a novas descobertas, o que favorece sua cognição. Portanto, a criança desta faixa etária é capaz de estabelecer relações complexas entre os elementos da realidade que se apresenta. Assim, cabe à escola e em especial ao profes-

sor organizar e propor situações nas quais o uso da medida seja uma necessidade para as crianças. A própria marcação do tempo, por meio de um calendário adequado, constitui importante momento de reflexão para os alunos. Mas o que é medir? Medir grandezas significa compará-las em relação a uma característica considerada, isto é, quantas vezes uma cabe na outra. Só podemos medir grandezas de mesma natureza. Mas o que significa medir grandezas de mesma natureza? Imagine que se queira medir o comprimento de uma vara de pescar com volume contido em um determinado recipiente, torna-se impossível esta medição, pois ambos possuem características diferentes. Comprimento e volume não são grandezas de mesma altura de seu pai ou a capacidade de um copo com a capacidade de um litro de refrigerante, por exemplo. Na verdade, não fazemos essa comparação diretamente, fazemos uso de unidades de medida. Quando comparamos a altura de um garoto com a altura de seu pai, usamos o metro como unidade de medida e verificamos a altura de cada um.

Para saber mais: http://www.rededosaber.sp.gov.br/contents/SIGS-CURSO/ sigsc/upload/br/site_11/arquivos/secao_147/vc7%5B1%5D. ppt#280,66,

Aspectos que devem ser considerados ao se fazer uma medição: • É necessário escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o objeto que se deseja medir

111 Grandezas e Medidas

natureza. Podemos comparar a altura de um garoto com a

e contar o número de unidades que foram utilizadas; • A unidade escolhida arbitrariamente deve ser da mesma natureza do atributo que se deseja medir, e devem-se levar em conta o tamanho do objeto a ser medido e a precisão que se pretende alcançar nessa medição; • Quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que a utilizamos para medir um objeto; • Quando medimos, escolhemos um padrão para fazer uma comparação entre ele e o que se quer medir. Esse padrão é a unidade de medida; • A unidade de medida é sempre descrita por um número acompanhado de uma unidade de medida; • A escolha de unidades padronizadas favorece a

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

112

comunicação entre as pessoas; e • As medidas têm importância social e científica, pois descrevem quantitativamente a variação de grandezas. Ela é social, pois surge da necessidade do homem e serve ao próprio homem, resolvendo questões do seu cotidiano, e é científica, pois informa com precisão dados comprovados e aceitos universalmente. Afinal, por que medimos? • Fazer previsões: quanto tempo gastarei para chegar à escola? Para fazer uma viagem de 110 Km, 25 litros de combustível serão suficientes? • Relacionar e comparar medidas: para fazer essa escada você pode optar por 4 degraus de 15 cm de altura e 25 cm de largura ou por 5 degraus de 12 cm de altura por 20 cm de largura.

• Controlar experiências: preciso ingerir mais de 3 litros de líquido por dia para manter meu corpo com um bom funcionamento durante o dia.

Sugestão de sites para leitura: http://www.moderna.com.br/arariba/entrada/atividade/ matematica/mat_5s_8u.pdf http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm204/medidas_ comprimento.htm

O que medimos?

Fonte: TOLEDO, M. B. de A. Medidas e grandezas. Ministério da Educação-FUNDESCOLA, TP 4. Programa GESTAR. Brasília: MEC/SEF, 2002.

Unidade de medidas padronizadas e não padronizadas Ao iniciar o trabalho com medidas, as crianças devem ser solicitadas a fazer uso de unidades de medida não convencionais, como passos, pedaços de barbante ou palitos, em situações nas quais necessitem comparar distâncias e tamanhos: medir as suas alturas, o comprimento da sala etc., por se tratar de situações que lhes sejam familiares.

113 Grandezas e Medidas

Ao pensarmos em um objeto do nosso cotidiano, um tubo de creme dental, por exemplo, esse creme apresenta muitas propriedades e características como a cor, a densidade, a massa, o volume, o teor de flúor, a quantidade de abrasivo, etc. O que posso medir em uma determinada coisa ou objeto depende da ótica da pessoa interessada. Quando alguém diz “vou medir o creme dental que comprei”, está fazendo uma declaração imprecisa, pois na verdade o que ela pode medir são algumas das características apresentadas no tal creme dental como: a massa do creme, o volume ocupado por ele no tubo ou o teor de flúor que ele contém. Todas essas características do creme dental que podem ser medidas são chamadas de grandezas.

Segundo Piaget, a criança não se preocupa com medições até aproximadamente 9 anos. Muito antes, contudo, ela já se envolve com medidas, embora de modo bastante informal. Para medir alguma coisa, comparam-na com outras coisas de mesma natureza, embora ainda não sintam necessidade de expressar numericamente seu resultado. Devemos iniciar o trabalho com medidas não convencionais a partir de grandezas conhecidas e vivenciadas pelas crianças no seu dia a dia, como, por exemplo, o tempo e o dinheiro. A primeira delas, o tempo, grandeza que as crianças vivenciam desde cedo, é uma grandeza mensurável que requer mais do que a comparação entre dois objetos, exige relações de outra natureza, quando tem que se diferenciar dia e noite, os dias da semana, os meses, o ano, o passado e o futuro, o antes e o depois etc., que são conceitos que auxiliam a estruturação do pensamento da criança.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Com o uso e a confecção de calendários podemos trabalhar esta grandeza a partir da observação de características e da percepção de regularidades, como a repetição dos dias da semana, a quantidade de dias em cada mês, a marcação do tempo que falta para uma festividade, a previsão da data de um passeio, a localização dos dias dos aniversários das crianças. A partir destes conceitos começaremos a introduzir respostas a questionamentos do cotidiano, como: • Quanto tempo dura o recreio? • Quanto tempo posso ficar brincando na casa de meu amigo? • Quanto tempo ficarei na escola? • A que horas mamãe vai chegar?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo. O dinheiro também é uma grandeza com a qual as crianças convivem desde cedo e que representa o valor dos objetos, do trabalho etc., constitui-se em um valioso material para o trabalho integrado a números e medidas. As cédulas e moedas atende a várias finalidades didáticas, como fazer trocas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas e visualizar características da representação dos números naturais e dos números decimais etc. As crianças podem também utilizar-se de instrumentos convencionais, como balança, fita métrica e régua, por exemplo, para resolver problemas. Além disso, o professor pode criar situações nas quais as crianças pesquisem formas alternativas de medir, propiciando oportunidades para que tragam algum instrumento de casa. O uso de uma unidade padronizada, porém, deverá aparecer como resposta a necessidades de de medida e suas aplicações, uma vez que a utilização de diferentes unidades de medida conduz a resultados diferentes nas medidas de um mesmo objeto. Medir grandezas significa compará-las em relação a uma característica considerada, como já foi mencionado. Ao se estabelecer comparações entre as alturas de duas pessoas, ou entre a capacidade de um copo e um vasilhame com um litro, por exemplo, o que se faz na verdade é usar medidas e não fazermos essa comparação diretamente. Quando queremos comparar a altura de duas ou mais pessoas, usamos o metro como unidade de medida para verificarmos a altura de cada uma. Podemos dizer que um copo cuja capacidade é de 250 ml cabe 4 vezes em um recipiente cuja capacidade é de um litro (1000 ml). Ao fazermos estas medições, estamos fazendo comparações entre o objeto a ser comparado e a sua respectiva unidade padrão.

115 Grandezas e Medidas

comunicação entre as crianças, aí se torna necessário o conceito

Uma boa atividade para se propor no trabalho com unidade de medida é sugerir aos alunos que meçam a altura dos colegas com diferentes tipos de materiais, tais como, fio de barbante, um pedaço de madeira, caneta, régua, entre outros instrumentos, para que eles sintam, a partir da mediação do professor, a necessidade de utilização de um instrumento mais preciso, isto é, a necessidade do uso de uma unidade de medida padronizada. E o que é uma medida padronizada e não padronizada?

6.2

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

116

Unidades de Medidas Padronizadas O Sistema Internacional de Unidades (SI) é baseado em sete unidades de medida, e a partir delas podem-se derivar as outras unidades existentes. As unidades básicas do SI são dimensionalmente independentes entre si. Unidades Padrão do SI: • Metro para unidade de comprimento (m); • Kilograma para unidade de massa (kg); • Segundo para unidade de tempo (s); • Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K); • Candela para unidade de intensidade luminosa (cd); • Ampère como unidade elétrica (A); e • Mole para a quantidade de substância (mol).

Você sabe que o metro é a unidade de medida de comprimento e a depender do que vamos medir utilizamos diferentes tipos de instrumentos. Mas isto nem sempre foi assim. O processo de medição de comprimentos tinha inicialmente como referência as dimensões do corpo humano. Em algumas civilizações, as medidas do corpo do “rei” eram usadas como padrão, o que havia problemas, pois cada vez que mudava o rei, mudava o padrão. Com o tempo, a padronização das medidas foi tomando outros rumos. Sabemos que até hoje antigos padrões de medida resistem ainda em alguns países de língua inglesa. Dada a grande confusão gerada pelo uso de diferentes unidades usadas para medir comprimento, em plena Revolução Francesa, por volta de 1790, cinco matemáticos franceses padronizaram diversas unidades de medida usadas até então. Essa comissão decidiu que o padrão da unidade de do como sendo a décima milionésima parte da distância do Equador ao Polo Norte, medida ao longo de um meridiano. Um meridiano terrestre mede aproximadamente 40.000 km, isto é, 4 x 10.000.000 metros. Foi construída, então, uma barra em uma temperatura de zero grau Celsius para evitar a influência da variação de temperatura. Assim também foi padronizado um outro cilindro de platina, cuja massa era a unidade legal de massa (quilograma). Depois da unificação da escala decimal, o Sistema Métrico Decimal foi amplamente adotado, tornando-se obrigatório na França (1837) e sendo referendado mundialmente com a criação do Bureau Internacional de Pesos e Medidas. O Brasil firmou a convenção do metro em 1875. No entanto, com o avanço das ciências e da tecnologia, em 1983 os cientistas chegaram à ultima definição de metro: o trajeto percorrido pela luz no vácuo.

117 Grandezas e Medidas

comprimento se chamaria metro, que foi inicialmente defini-

O comprimento, portanto, é uma característica de um objeto que pode ser comparada. Como já destacamos você pode comparar sua altura com a de um colega, mas também pode comparar sua altura utilizando um objeto cujo comprimento sirva de intermediário no processo de comparação. O Metro O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Polo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no ano de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo, 1/299.792.458 segundos. Fonte: http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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O Kilograma No Brasil e em outros países latinos, a principal unidade de medida de massa é o quilograma, dividido em mil unidades de 1 grama. Mas em outros países, como os Estados Unidos e a Inglaterra, outras medidas são consideradas. A libra é a principal delas e equivale a 453,59237 gramas. Outra medida bastante utilizada por eles é a Onça que vale 28,35 gramas. Fonte: http://gold.br.inter.net/luisinfo/medidas.html

O Tempo O tempo é uma grandeza mensurável que requer mais do que a comparação entre dois objetos, exigindo relações de outra natureza, ou seja, na sua mensuração utiliza-se de pontos de referência e encadeamento entre as

várias relações, a exemplo de dia e noite, manhã, tarde e noite, dias da semana, meses, ano, passado e futuro, antes, agora e depois etc. O tempo é medido em horas, minutos e segundos. É recomendado o uso de calendários para observação das características e regularidades, como marcar o tempo que falta para alguma festa, prever a data de um passeio, localizar as datas de aniversários dos colegas, marcar as fases da lua etc., pois tais ações auxiliam a estruturação do pensamento temporal e espacial da criança. O Dinheiro O dinheiro é uma grandeza que as crianças têm contato desde muito cedo, e com ele podemos desenvolver atividades que articulem conhecimentos relativos a números e medidas. O dinheiro representa o valor dos objetos, do traAs cédulas e moedas, sejam elas verdadeiras ou imitações (dinheiro chinês), constituim-se em um rico material que atende a várias finalidades didáticas, como fazer trocas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas e visualizar características da representação dos números naturais e dos números decimais. Além disso, o uso do dinheiro constitui-se em uma oportunidade que, por si só, incentiva a contagem, o cálculo mental e o cálculo estimativo. Para saber mais acesse: http://clubematematica.incubadora.fapesp.br/portal/graduacao/edm615-vespertino/ GrandezaseMedidas.ppt#265,3,Histórico

119 Grandezas e Medidas

balho etc.

Sugestão de Trabalho:

Material, conteúdos a serem trabalhados e sugestões de atividades - Palitos Contagem, medidas não padronizadas, coleções, correspondência um a um. Medir objetos, montar coleções, comparar quantidades.

- Ampulhetas

Medidas de tempo. Estimar o tempo da ampulheta, comparar ampulhetas diferentes, montar uma ampulheta.

- Balanças

Medidas de peso, massa, diferentes unidades de medida. Comparar objetos e pesá-los, estimar pesos, ler as convenções da balança, comparar unidades de medida.

- Fita métrica, trena

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Medidas de comprimento, unidades de medida. Medir objetos, estimar valores, comparar medidas com diferentes unidades, criação de situações-problema. Medidores (de cozinha). Medidas de volume, massa, proporção. Unidades de medida, comparar grandezas, estimar quantidades, relacionar litros e cm3.

- Relógios

Medir horas, minutos e segundos, noção de tempo, relação dos movimentos da Terra com a medida de tempo, calendário, ler hora. Registrar horas em relógios de ponteiro, digital, ampulhetas, relógios de sol, estimar duração de atividades, montar calendário, comparar datas e horários, montagem de rotina, agenda.

Acesse e fique informado: http://sol.unesp.br/usuario/ppt/grandezas_medidas. ppt#257,2,Slide http://clubematematica.incubadora.fapesp.br/portal/ graduacao/edm615-vespertino/GrandezaseMedidas. ppt#276,15,Grupo

SÍNTESE Nesta unidade, retomamos as principais grandezas e medidas utilizadas no nosso cotidiano e vimos o que elas significam e como pode se dar o seu ensino-aprendizagem, especialmente no Ensino Fundamental.

REFERÊNCIAS BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. Disponível em: <http://portal.mec. gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: jul. 2014. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental - matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998a. MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática). BRASIL. Referencial curricular nacional para a educação infantil. Brasília: MEC/SEF, 1998b, vol. 3. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/volume3.pdf>. Acesso em: jul. 2014. PANIZZA, M. Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais: análise e propostas. Porto Alegre: Artmed, 2006. PEREIRA, C. M. Ensino de matemática: uma luz no fim do túnel. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano 6, n. 7, jul. 1999.

Grandezas e Medidas

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TANCREDI, R. M. S. P. et al. Os cadernos dos alunos e a aprendizagem da Matemática. Educação Matemática em Revista, São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), ano 8, n. 11, dez. 2001. TOLEDO, M. B. A. Medidas e grandezas. Ministério da Educação-FUNDESCOLA, TP 4. Programa GESTAR. Brasília: MEC, 2002. <http://www.rededosaber.sp.gov.br/contents/SIGS-CURSO/ sigsc/upload/br/site_11/arquivos/secao_147/vc7%5B1%5D>. ppt#280,66,> <http://www.juliobatttutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp>

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Tratamento da Informação

• Você já ouviu falar em tratamento da informação? • O que podemos entender por esse bloco de conteúdos da matemática? O tratamento da informação em matemática nada mais é do que a forma como as informações geradas e os dados, nas mais diversas áreas da vida humana em sociedade, podem ser analisados, comparados, representados e verificados a partir de conhecimentos matemáticos. Um dos questionamentos feitos, hoje, ao se trabalhar com o bloco de conteúdo tratamento da informação no âmbito escolar é: por que este tema está ligado à matemática? Bem, existem dois motivos: o primeiro, é obvio, pois a maioria das informações veiculadas nas mídias inclui dados numéricos e a segunda, envolve um ramo da matemática: “a

Tratamento da Informação

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estatística”, que trabalha com médias, porcentagens, tabelas, gráficos etc. “A presença da matemática na escola é uma consequência de sua presença na sociedade e, portanto, as necessidades matemáticas que surgem na escola deveriam estar subordinadas às necessidades matemáticas da vida em sociedade.” (CHEVALLARD, 2001, p. 45) Fonte: www.cic.pt

Os alunos do 1º e 2º ciclos chegam à escola cheios de dúvidas, incertezas e questionamentos sobre o mundo que os cercam. Portanto, cabe à escola proporcionar a essas crianças oportunidade de desenvolver autonomia do pensar e do agir. Nesse sentido, o tratamento da informação se torna um dos

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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blocos de conteúdos mais propícios para serem abordados em sala de aula, pois se transforma em um instrumento capaz de desenvolver na criança atitudes críticas e reflexivas diante de situações rotineiras do cotidiano. Ao abrirmos uma revista, um jornal ou ao assistirmos à televisão percebermos cada vez mais, a presença da estatística incluída no nosso cotidiano. Informações de toda natureza nos são passadas rapidamente em forma de gráficos e tabelas e isso tem se tornado um hábito comum no dia a dia de qualquer pessoa. “O raciocínio estatístico será um dia tão necessário à cidadania eficiente como a capacidade de ler e escrever.”(WELLS). Fonte: <http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc02_b.pdf>

Bem, do latim, a palavra estatística significa “status” e dessa palavra foram acumuladas descrições e informações

relativas ao estado, constituindo nas mãos de estadistas um verdadeiro instrumento administrativo, portanto, hoje devemos perceber a estatística como uma linguagem usual, e a sua apresentação de dados em gráficos e tabelas uma linguagem matemática universal de modo que sua compreensão deve ser um requisito básico para a leitura de informações e análise de dados no mundo contemporâneo. Ensinar estatística para as crianças desde o período de alfabetização tornou-se uma necessidade social. Não devemos pensar no seu ensino como um amontoado de fórmulas e cálculos, mas sim como um trabalho para desenvolver no aluno a habilidade de coletar, selecionar, comparar, investigar, organizar, interpretar e tomar decisões frente aos dados, utilizando a estatística como ferramenta. Para uma pessoa não alfabetizada em estatística a dades de entendimento. O não entendimento, a interpretação intuitiva ou equivocada da matemática estatística pode ser uma forma de exclusão do indivíduo da sua cidadania, tornando-o um sujeito facilmente manipulável. A Probabilidade e a Estatística como uma possibilidade de uma Prática Interdisciplinar: “Um exame da história da Estatística pode ajudar a explicar como o conhecimento estatístico surge naturalmente das condições de nossa sociedade, de uma tal maneira que sua produção é controlada pelas classes dominante.” (FRANKENSTEIN,1986, p. 20 apud LOPES; MEIRELLES, 1998, p. 3).

A estatística passou, então, a ser alvo de muitos educadores, quando a partir de 1997, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do ensino fundamental, trouxe esta temá-

127 Tratamento da Informação

forma de representar as informações pode oferecer dificul-

tica como um dos princípios norteadores, reconhecendo a importância das diferentes formas de representar as informações matemáticas e a sua relação significativa com a realidade do aluno. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, elaborados e publicados pela SEF/MEC, esse tema está recomendado no currículo da Matemática no bloco de conteúdo denominado de “Tratamento da Informação”. Nesse bloco, além da probabilidade e da estatística, inclui-se a combinatória, considerando-se que tais assuntos possibilitam “o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocínio, envolvendo fenômenos aleatórios, interpretando amostras, fazendo inferências e comunicando resultados por meio da linguagem estatística”. (BRASIL, 1998:134). É objetivo de a Estatística extrair informação dos dados Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Os campos de aplicação da Estatística são muitos e os mais variados. “Se o ensino de Matemática se deve ocupar mais de uma forma de pensar do que de uma forma de escrever fórmulas ou numerais, se o ensino da Matemática se deve ocupar mais da tomada consciente de decisões do que do estrito cálculo, então a teoria das probabilidades é fundamental.” (BERNARDES,1987, p.13, apud LOPES; MEIRELLES, 2005, P. 4).

7.1 O ensino da Estatística nas séries iniciais Nos últimos anos, o ensino da matemática tem estado imerso, em pensares e repensares da prática pedagógica e de suas concepções curriculares. O currículo desta disciplina tem destacado a importância do trabalho com a análise de dados desde a educação de infância, envolvendo o estudo da combinatória, da probabilidade e da estatística. As recomendações curriculares para e ensino da Matemática enfatizam a importância da resolução de probleca, ressaltando que os alunos constroem seus conhecimentos através da investigação e da interação. A partir desses pressupostos, podemos desenvolver o trabalho com Estatística e Probabilidade em sala de aula, tendo a resolução de problemas como um princípio norteador da aprendizagem, pois assim como a Matemática, a Estatística também se desenvolveu através da resolução de problemas do cotidiano ao longo da história da humanidade. Assim, não faz sentido trabalharmos atividades envolvendo conceitos estatísticos e probabilísticos que não estejam vinculados a uma problemática. Sugerir coleta de dados, elaboração de tabelas e gráficos desvinculados de uma situação-problema e descontextualizada, não o levará à possibilidade de uma análise real, pode estimular a elaboração de um pensamento, mas não garante o desenvolvimento do seu raciocínio crítico. O trabalho com Estatística (tabelas e representações gráficas) nas séries iniciais do ensino fundamental pode pro-

129 Tratamento da Informação

mas como metodologia central da aprendizagem matemáti-

porcionar ao aluno a leitura do mundo que o cerca através da Matemática Estatística. Portanto, propor situações contextualizadas é uma boa oportunidade para se ensinar os conteúdos matemáticos e ao mesmo tempo, desenvolver o raciocínio e a capacidade de análise e visualização, sem perder de vista a sua conexão com a realidade. No entanto, consideramos que o trabalho será mais interessante e proveitoso do ponto de vista da aprendizagem, quando além de construir uma tabela e um gráfico, o aluno possa também converter a representação gráfica em um texto escrito na língua materna. Ocorrendo esta conversão, o trabalho se torna mais rico, pois o aluno pode perceber que a estatística é um objeto matemático de tratamento de dados que pode ser representado visualmente sob diferentes formas. Ao trabalhar sob esta perspectiva, a criança amplia sua compeMetodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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tência para organizar os dados através de representações convencionais e não convencionais. As noções de estatística na Educação Infantil e séries iniciais abrangem os conteúdos de tabelas, gráficos, coleta de dados e pesquisas de opinião, com o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades: a) Representar com tabelas e gráficos os resultados dos dados coletados; b) Realizar pesquisas de opinião, fazendo a totalização para percepção de resultados; c) Análise e comparação de dados de uma situação; e d) Fazer inferências para que possa intervir em situações do seu cotidiano.

7.2 Por que trabalhar Estatística, Probabilidade e a Combinatória nas séries iniciais? O objetivo de se trabalhar com a estatística é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que apareçam com frequência no seu dia a dia, por exemplo, contagem da quantidade de alunos em sala de aula em determinado colégio. A estatística contempla três áreas: descritiva, a que se mir informações; probabilidade, que engloba situações que envolve o acaso como, por exemplo, o lançamento de uma moeda para o ar ou jogo com dados e a inferência, que se encarrega da análise e interpretação de dados de uma amostra (parte selecionada de toda uma população em determinada pesquisa). Essas três áreas trabalham de forma paralela, ou seja, uma depende da outra. A probabilidade tem como finalidade fazer com que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano é de natureza aleatória, e que mesmo assim é possível identificar prováveis resultados, por exemplo, a probabilidade de ocorrer chuvas num determinado local em um dado período. Noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas nesse bloco, em situações nas quais o aluno vivencie a realização de experimentos e a observação de eventos (em espaços equiprováveis).

131 Tratamento da Informação

utiliza de números para descrever fatos, organizar e resu-

Nesse bloco, trabalhamos com a combinatória que envolve agrupamentos que se diferenciam pela ordem ou pela natureza dos objetos. Portanto, aqui estamos falando de relacionar duas grandezas de natureza diferentes e a solução procurada é de uma outra natureza, diferente das anteriores. Por exemplo: ao combinar calças e camisas diferentes, os alunos devem formar todos os agrupamentos possíveis que tenham cada um deles uma calça e uma camisa. A combinatória ajuda o aluno a lidar com situações-problema que envolva combinações, arranjos, permutações e, especialmente, com situações que necessitem aplicar o princípio multiplicativo da contagem.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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“No mundo contemporâneo, a educação científica não pode reduzir-se a uma interpretação unívoca e determinista dos acontecimentos. Uma cultura científica eficiente reclama uma educação no pensamento estatístico e probabilístico. A intuição probabilística não se desenvolve espontaneamente, exceto dentro de um limite muito estreito. A compreensão, interpretação, avaliação e predição de fenômenos probabilísticos não podem ser confiados à intuição primária que tem sido tão desprezada, esquecida, e abandonada em um estado rudimentar de desenvolvimento baixo a pressão de esquemas operacionais que não podem articular-se com eles”. (GODINO et al.,1996, p.12 apud LOPES; MEIRELLES, 2005, p. 5).

Ao se começar um trabalho estatístico nas séries iniciais, primeiro devemos: • Definir a população (quando se trata de uma pesquisa com poucos indivíduos) ou amostra (quando é inviável a quantidade de indivíduos a serem entrevistados);

• Identificar as variáveis quer sejam qualitativas (que exprimem qualidades ou atributos como cor de cabelo, por exemplo) ou quantitativas (que exprimem contagem); e • Organizar os dados coletados em tabelas ou gráficos. É importante ressaltar que em uma tabela são imprescindíveis os seguintes elementos: cabeçalho (que informa o que foi pesquisado, onde e quando), o corpo (lugar onde estão contidos os dados, colunas) e rodapé (informações pertinentes, como a fonte). As tabelas se classificam em quatro tipos: • Cronológica, temporal, evolutiva ou histórica; • Específica (dados se agrupam segundo uma modalidade de ocorrência); e • Distribuição de frequências (uma das mais utilizadas, em que a disposição dos dados é feito com suas respectivas frequências). Quanto aos gráficos, é um instrumento muito utilizado em estatística para apresentação e análise de forma rápida e objetiva dos dados de uma situação, sendo representado por meio de desenhos ou formas geométricas; ele é um apoio visual que permite ao leitor um fácil entendimento, possibilitando a representação de fenômenos físicos, sociais, econômicos e biológicos. Existem várias formas de representar graficamente, dentre elas, se destacam o gráfico de barras, gráfico de segmento e gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza. Cada um deles com a sua finalidade.

133 Tratamento da Informação

• Geográfica ou de localização;

O gráfico de barras compara diferentes variáveis ou diferentes valores de uma mesma variável, o de segmentos serve para representar crescimento ou decrescimento ou estabilidade de uma determinada variável, e o de setores, trabalha com uma variável em que o leitor visualiza a população e os percentuais que essa variável apresenta. Ao realizar o trabalho em estatística devemos: • Escolher um tema para se coletar os dados. Decida com a turma o assunto a estudar. Em caso de questões polêmicas, convoque uma reunião com os pais para explicar o trabalho. Sempre que possível, convoque colegas de outras disciplinas para enriquecer o estudo; • Busque junto aos alunos informações sobre o tema

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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e faça os próprios estudos e registros para dirigir o trabalho; • Defina os objetivos do seu trabalho. Levante questionamentos que deverão ser respondidos ou discutidos durante ou ao final do processo. Proponha que a turma opine sobre os possíveis resultados (levantamento de hipóteses) e não se esqueça de registrar sempre as hipóteses para, mais tarde, compará-las com as conclusões; • Defina com as crianças quem se destina a esse trabalho. Assim, fica mais fácil adequar a linguagem ao público na hora de elaborar as perguntas; • Elabore juntamente com os alunos perguntas básicas, curtas e objetivas e que seja do interesse deles, para que obtenha respostas curtas e de fácil compreensão, a fim de que lhes facilite a tabulação; • Familiarização das crianças com listas, especialmente, a lista dos nomes da turma;

• Oriente os alunos para a coleta de dados, mostrando de que forma será feita a abordagem ao entrevistado, explicando os objetivos da pesquisa e perguntando se ele concorda em responder às questões; • Organize os dados juntamente com as crianças, procurando agrupar as respostas que tenham características ou semelhanças em comum; • Construa tabela com ajuda dos alunos, ficando a mesma disponível (na altura dos olhos) para que as crianças vejam e discutam sobre os dados. Procure elaborar tabelas de fácil compreensão. A partir da tabela, construa o gráfico. Escolha um tipo de gráfico que melhor se adeque à série e à clientela em questão. Lembre-se: tabelas organizam informações em linhas setores, linhas ou elementos pictóricos); • Ao se trabalhar a representação dos dados após a tabulação dos mesmos, deve-se fazer uma apresentação de forma clara e não tendenciosa, cuidando da estética dos gráficos com uma atenção especial à proporcionalidade; • Analise os dados com os alunos discutindo sobre os conceitos e resultados obtidos, levando-os a perceber o uso social dos números nesse tipo de trabalho. Compare os dados (do maior para o menor, do mais leve para o pesado, dados iguais etc.); e • Produza com seus alunos textos escritos a partir da interpretação dos gráficos e tabelas. Pode-se também buscar atividades que proporcionem ao aluno observar gráficos e tabelas em revistas e jornais, comunicar idéias matemáticas de diferentes formas: oral,

135 Tratamento da Informação

e colunas, enquanto gráficos usam imagens (barras,

escrita, por construção de tabelas ou gráfico etc; explorar o trabalho com números como código na organização de informações, resolver situações desafiadoras que envolvam raciocínio combinatório, explorar ideias de probabilidade em situações-problemas simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações de “sorte” e trabalhar com média. Exemplo de atividades: 1) Em uma classe o professor pode realizar uma pesquisa com a seguinte pergunta: • Qual o seu super-herói favorito? Pode-se citar, por exemplo, homem aranha, superman e batman. Com base nos dados coletados, registrados com uma marquinha e organizados em tabelas e gráficos. Em

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

136

seguida a professora deve fazer questionamentos para que os alunos interpretem as tabelas e os gráficos. Perguntas: o super-herói mais votado, quantos votos este obteve, o número total de votantes, os super-heróis com mesmo número de votos, o super-herói que recebeu exatamente 6 votos e pedir aos alunos para elaborarem mais duas perguntas com base no gráfico ou na tabela. Outras perguntas podem ser feitas como: qual o canal aberto de TV mais assistido em sua casa? Qual o esporte favorito? Etc. 2) Uma emissora de rádio distribui sua programação semanal da seguinte forma: informação, 15%; publicidade, 20%; esporte, 10% e o resto é destinado à programação musical . Pergunta-se: • Qual a porcentagem do tempo utilizada para a programação musical?

• Construa um gráfico de pizza que represente a programação semanal dessa emissora. 3) Cinco pessoas se encontram em uma festa e trocam apertos de mãos. Cada pessoa aperta a mão de cada uma das outras pessoas apenas uma vez. Quantos apertos de mãos serão dados? 4) Em um lançamento de uma moeda. Qual possibilidade de cair coroa? Sabendo que é possível obter dois resultados ao jogar uma moeda para o alto: cara ou coroa. 5) Ao jogar um dado, qual a possibilidade de sair o

Essas e outras atividades relacionadas ao cotidiano da

137

criança podem servir de subsídios para que ela entenda o que

Tratamento da Informação

número 6?

é o tratamento da informação e possa compreender como os dados gerados nas diferentes áreas de atuação humana são processados na sociedade.

SÍNTESE O tratamento da informação constitui um bloco de conteúdo da matemática essencial para que as crianças aprendam como as informações geradas pela sociedade são processadas, analisadas, comparadas, medidas etc., através de conhecimentos/procedimentos estatísticos.

REFERÊNCIAS BIRAL, A. C.; SANTOS, E. M. F.; SILVA, J. D. ; SESAN, M.I. P. Resolver Problemas: o Lado Lúdico do Ensino da Matemática. Secretaria de Educação a Distância. Universidade Federal do Rio de Janeiro 24p. Brasília: MEC. (Coleção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 7). BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Secretária de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998. CHEVALLARD, Y.; BOSH, M.; GASCON, J. Estudar matemática: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, 2001.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

138

LIMA, L. M. T. Interpretação de gráficos da mídia impressa: problemas de representação e de visualização. ANAIS do VII Encontro Nacional de Educação Matemática, UFRJ, 2001. Disponível em CD-ROM. LIMA, L. M. T. Interpretação de gráficos de quantidades veiculados pela mídia impressa: um estudo exploratório. Dissertação de Mestrado, Pós-Graduação em Psicologia Cognitiva, UFPE,1998. LOPES, C. A. et al. A probabilidade e a estatística no ensino fundamental: uma análise curricular. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 1998, São Leopoldo. Anais do VI Encontro Nacional de Educação Matemática – ENEM, São Leopoldo, 1998. LOPES, C. E.; MEIRELLES, E. O desenvolvimento da probabilidade e da estatística. In: XVIII Encontro Regional de Pro-

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139 Tratamento da Informação

L. (Eds.), Ensino e aprendizagem da estatística. Lisboa: So-

(8)

O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

8.1 O jogo no ensino da matemática “Brincar com criança não é perder tempo, é ganhá-lo; se é triste ver meninos sem escola, mais triste ainda é vê-los, sentados enfileirados, em salas sem ar, com exercícios estéreis, sem valor para a formação do homem.” (DRUMMOND).

O ato de jogar é tão antigo quanto o próprio homem. O jogo é necessário ao processo de crescimento dos indivíduos, quando promove o desenvolvimento da percepção e do pensamento reflexivo das crianças, tendo como função primordial a assimilação da realidade.

O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

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Segundo (PIAGET apud FARIA, 1995) os jogos resumem-se numa simples assimilação funcional, em uma atividade, já aprendida, a ser realizada individualmente, proporcionando à criança um sentimento de prazer pela ação lúdica em si e pelo domínio sobre essa ação. Logo, os jogos assumem uma dupla função: fortalecem os esquemas já formados e proporcionam prazer ou equilíbrio emocional à criança.

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Para Vygotsky, o lúdico influencia extremamente no desenvolvimento da criança. É através do jogo que esta aprende a agir, adquirindo iniciativa e autoconfiança sendo, portanto, sua curiosidade estimulada. Proporciona, ainda, o desenvolvimento da linguagem, do pensamento e da concentração. Fonte: LUMERTZ, G.; MANTOVANI; A. M. Projeto de interface para um ambiente lúdico em educação matemática. V CONGRESSO IBERO-AMERICANO DE INFORMÁTICA EDUCATIVA - RIBIE 2000. Disponível em: <http://www.labin.unilasalle.edu.br/infoedu/conribie_circomatica.htm>. Acesso em: 24 jan. 2008.

A matemática faz parte do nosso cotidiano, e se apresenta em diversas atividades realizadas pelas crianças proporcionando-lhes situações que irão ajudá-las no desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e a capacidade de resolver problemas. No início da sua vida escolar, a criança começa o processo de alfabetização, da língua materna e também da linguagem matemática, construindo o seu conhecimento segundo as diferentes etapas de desenvolvimento cognitivo, portanto é fundamental um bom ensino nesse nível de escolarização. As disciplinas desse nível, em especial a matemática, deve ser trabalhada para que no futuro os alunos não apresen-

tem dificuldades, pela falta da construção de habilidades necessárias ao desenvolvimento do pensamento lógico e abstrato. O ensino dessa disciplina pode potencializar essas capacidades, ampliando as possibilidades dos alunos de compreender e transformar a realidade. Nos dias de hoje, o ensino da matemática continua se apresentando descontextualizado, inflexível e imutável, sendo, a construção de seus conhecimentos considerados privilégio de poucos alunos. Na maioria das vezes, o aluno é um mero espectador, não é um sujeito ativo e participativo, e a maior preocupação dos professores está em cumprir o programa determinado no início do ano letivo. Os conteúdos e a metodologia não se articulam com os objetivos propostos crianças, ao desenvolvimento do seu potencial, de sua expressão e sua interação. A matemática, ainda hoje, é uma disciplina considerada da de difícil compreensão, porém com as novas tendências propostas pela Educação Matemática para o ensino dessa disciplina e com a mudança de paradigma de alguns professores, essa realidade está se modificando a partir de propostas que visam à utilização de recursos alternativos, como materiais concretos, resolução de problemas e jogos Fonte: SCHNEIDER, M. O uso do jogo no ensino de matemática. Disponível em: <http://www.seifai.edu.br/artigos/O_USO_DO_JOGO_MATEMATICA_Mariane_Schneider.pdf>. Acesso em: 24 jan. 2008.

145 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

para o ensino de matemática que sirva à inserção social das

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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Bertoni (1993) aponta várias inadequações nos conteúdos lecionados em séries iniciais como: falta de uma “linha mestra” de construção e desenvolvimento do conhecimento matemático adequado ao presente; inexistência de uma maior elaboração na construção dos números fracionários; ênfase nas frações com prejuízo do estudo dos decimais; não aproveitamento das linguagens geométrica e numérica; a grande ausência de processos rotineiros de estimativa e uma inadequada abordagem da resolução de problemas. Quanto à metodologia empregada no ensino de matemática em séries iniciais, o problema maior parece residir na supervalorização da figura do professor, em detrimento do aluno, que não é solicitado a agir autonomamente. A mesma autora sugere como uma alternativa metodológica o uso extensivo de jogos, para permitir que o aluno construa o seu conhecimento na interação com os colegas.

O uso do jogo na matemática O jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicos, supõe um fazer sem obrigação, embora demande exigências, normas e controle. No processo educativo, além de ser um desencadeador de novas aprendizagens, o jogo é um desafio no qual o aluno terá que aprender a trabalhar em grupo, vivenciar sentimentos de ganho e perda, criticar e avaliar, adquirir confiança, motivação e desenvolvimento das habilidades de coordenação, destreza, rapidez, força e concentração, a fim de apresentar melhor desempenho e atitudes positivas frente à construção de sua aprendizagem. Segundo Malba Tahan (1968), os educadores precisam dirigir o trabalho realizado com jogos para que alcancem os efeitos almejados. Partindo do princípio de que as crianças pensam de maneira diferente dos adultos e de que nosso objetivo não é ensiná-las a jogar, devemos acompa-

nhar a maneira como as crianças jogam, sendo observadores atentos, interferindo para colocar questões interessantes (sem perturbar a dinâmica dos grupos) para, a partir disso, auxiliá-las a construir regras e a pensar de modo que elas entendam. A importância dos jogos para o ensino da matemática é bastante discutido, sendo questionado o fato de se a criança realmente aprende matemática brincando. Por isso, ao optar por trabalhar a matemática através dessa metodologia, o professor deve levar em conta a importância da definição dos conteúdos e das habilidades propostos para o jogo no seu planejamento pedagógico, para que o objetivo do jogo não seja apenas um lazer

Miguel de Guzmán (1986) valoriza a utilização dos jogos para o ensino da Matemática, sobretudo, porque eles não apenas divertem, mas também extrai das atividades materiais suficientes para gerar conhecimento, interessar e fazer com que os estudantes pensem com certa motivação. <http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosEducacao_artigo.asp?artigo=artigo0071>

É importante o ato de jogar, mas ele deve ser feito de maneira coerente e com fundamento, não simplesmente o “jogar pelo jogar”. É preciso ter clareza do que se pretende ao utilizá-los em sala de aula, pois a introdução de jogos no ensino da matemática não é garantia de uma boa aprendizagem.. “Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a matemática e sen-

O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

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tem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de aprendizagem.” (BORIN, 1996, p. 9).

Segundo Fiorentini e Miorim (1996, p. 9),

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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“O professor não pode subjugar sua metodologia de ensino a algum tipo de material, porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é válido por si só. Os materiais e seu emprego sempre devem estar em segundo plano. A simples introdução de jogos ou atividades no ensino da matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina.”

Site para leitura <http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosEducacao_artigo.asp?artigo=artigo0071> . Acesso em jul. 2014. A relação entre o jogo e a matemática é motivo de muita discussão, porém ela se constitui em uma abordagem significativa, principalmente na Educação Infantil, pois é nesse período que as crianças começam a explorar e descobrir elementos da realidade que as cerca. Nessa etapa, a criança deve ter oportunidade de vivenciar situações ricas e desafiadoras, e para isso, o jogo se apresenta como um valioso recurso pedagógico.

Importância dos jogos em sala de aula De acordo com Schwartz (1966), a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se vagarosamente e penetrou, tardiamente, no âmbito escolar, sendo sistematizada com atraso, mas trouxe transformações significativas, fazendo com que a aprendizagem se tornasse divertida. CASTRO, E. R. A importância dos jogos na aprendizagem matemática das crianças de 4 a 6 anos. Disponível em: <http://www.educacional.com.br/articulistas/outrosEducacao_artigo.asp?artigo=artigo0071>. Acesso em: 14 jan. 2008.

Existem estudos que comprovam que o trabalho com jogos em sala de aula é um excelente recurso para as crianças sanarem as dificuldades apresentadas nas construções dos conceitos matemáticos que serão utilizados no contexto das atividades cotidianas. De acordo com Borin (1995), um dos motivos para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos.

149 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

“Os jogos no contexto da sala de aula podem ser usados antes na introdução de um novo conceito, com o objetivo de despertar o interesse da criança, no final, visando fixar a aprendizagem, ou como um recurso para desenvolver atitudes, comportamentos e habilidades. É importante que ao propor a utilização de um jogo em sala, o professor, tenha o cuidado metodológico de testá-los, analisando suas próprias jogadas e refletindo sobre os possíveis erros. Portanto, o jogo não deve ser fácil demais e nem tão difícil, para que os alunos não se desestimulem.” (BORIN, 1995).

Para Silveira (1998), “O trabalho com jogos em matemática contribui para o aprendizado do aluno, pois o significado dado as operações matemáticas e como suas regras são efetuados aparecem como consequência do trabalho desenvolvido pelo aluno.”

Sugestão para leitura: GROENWALD, C. L. O.; TIMM, U. T. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula. <http://www. somatematica.com.br/artigos/a1> acesso em: jul. 2014. Ao utilizar um jogo devemos:

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• Não tornar o jogo algo obrigatório; • Escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias; • Utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação social; • Estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada; • Trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la; e • Estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível, jogando). Vantagens dos jogos no ambiente escolar O jogo como estratégia de ensino-aprendizagem traz uma série de vantagens, além de ser considerado como um grande motivador do processo educacional. Através dele, a criança manifesta o prazer de estudar, realizando esforço espontâneo e volun-

tário para o alcance dos seus objetivos. O jogo une o anseio e o prazer para a realização de uma atividade. O jogo mobiliza vários esquemas mentais, integrando as dimensões afetiva, social, motora e cognitiva da personalidade da criança. O jogo ainda favorece a aquisição do saber e o desenvolvimento de habilidades como coordenação, destreza, rapidez, força e concentração. Ao participar de jogos a criança adquire atitudes sociais de respeito mútuo, cooperação, obediência às regras, senso de responsabilidade e justiça, iniciativa pessoal e grupal. O trabalho com esta estratégia se dá em um ambiente favorável, atraente e prazeroso, o que serve de estímulo para o desenvolvimento integral da criança.

• Conseguimos detectar os alunos que estão com dificuldades reais; • O aluno demonstra para seus colegas e professores se o assunto foi bem assimilado; • Existe uma competição entre os jogadores e os adversários, pois almejam vencer e para isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites; • Durante o desenrolar de um jogo, observamos que o aluno se torna mais crítico, alerta e confiante, expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões sem necessidade da interferência ou aprovação do professor; • Não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se chegar a uma resposta correta; e • O aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz com que aprenda sem perceber.

151 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

O que podemos observar em um trabalho com jogos:

8.2 O jogo e a importância das regras As regras são elementos presentes em todos os momentos das nossas vidas, e se faz presente em todas as situações que enfrentamos. Viver em sociedade significa lidar com regras o tempo todo, logo na escola não é diferente. Mas, será que precisamos conviver com regras e normas desde pequenos? Avaliando os benefícios de um trabalho com regras, a resposta fica clara: sim. As regras utilizadas e pontuadas no jogo são aquelas pre-

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estabelecidas pelo grupo de trabalho, como um contrato a ser cumprido pelas partes que se envolveram nas atividades propostas, visando à obtenção de um objetivo. As regras são importantes para a Educação Infantil, pois além de mostrar que as restrições podem representar desafios divertidos, trabalham questões de adequação a limites, a cooperação e a competição. Os limites que permeiam o pode/não pode são repassados para os jogos, nas regras, quando se criam os acordos, discussões, responsabilidades em cumpri-las, além do cuidado pela observância por parte de todos os jogadores. As regras estabelecidas para um jogo podem vir de forma explícita, em que se enunciam os pressupostos que os componentes do grupo devem respeitar, ou implícita, em que os indivíduos seguem as normas de forma automática, provavelmente, em razão da sua experiência e familiaridade prévia com o grupo.

Piaget (1994) define quatro estágios sucessivos da prática das regras nos jogos, a partir do estudo dos jogos de bolinhas que ilustram o processo de construção das regras morais:

Fonte: RAMOS, D. K. Jogos eletrônicos e a construção do juízo Moral, das regras e dos valores sociais. Disponível em: <http://lsm.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt20037291148Projeto%20de%20interface.pdf>. Acesso em 14 jan. 2008.

A reciprocidade é a principal regra para que se trabalhe com jogos. Para que a reciprocidade exista, as regras sejam aceitas e o trabalho se desenvolva, é indispensável que a comunicação entre os envolvidos no jogo seja clara e objetiva e que todos entendam a mensagem que foi exposta, não basta apenas restringir o olhar do grupo na brincadeira ou no jogo escolhido. Portanto, deve haver o respeito às regras, além do cumprimento destas pelo grupo, ou seja, aprovado pela coletividade, não pela tradição, mas deve sim ser acordado mutuamente e reciprocamente, de forma que segundo Piaget (1994): define-se moral como um sistema de regras que devem ser respeitadas pelo indivíduo.

153 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

1. Motor individual: a criança manipula as bolinhas em função do seu desejo e hábitos motores e o jogo é individual; 2. Egocêntrico: a criança recebe do exterior as regras, isso ocorre entre dois e cinco anos, aparece também a imitação e a criança joga, principalmente, sozinha; quando tem parceiro, não procura vencê-los e, consequentemente, não busca uniformizar as maneiras de jogar; 3. Cooperação: a criança procura vencer os parceiros e precisa unificar as regras para exercer o controle; isso ocorre em torno de sete a oito anos; e 4. Codificação das regras: nesse estágio as crianças conhecem profundamente o jogo e discutem minuciosamente suas regras. Esta fase aparece em torno dos onze e doze anos.

Você lembra como Piaget classificou os jogos relacionando-os às etapas de desenvolvimento infantil? Qual a importância dessa classificação para o ensino-aprendizagem da matemática? E o que você acha do trabalho com jogos?

Retomaremos a seguir essa classificação, dada a sua importância para o desenvolvimento do pensamento matemático. Piaget de acordo com o desenvolvimento infantil classificou os jogos correspondendo a cada tipo de estrutura mental: • Os jogos de exercício sensório-motor iniciam a ati-

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vidade lúdica, tendo como instrumento a percepção. É a inteligência prática, que tem início com o exercício dos reflexos, repetição de gestos e movimentos simples. O jogo de exercício não supõe o pensamento nem qualquer estrutura representativa especificamente lúdica, no entanto, é um jogo inicial, motor, que é fundamental à própria formação, ao aparecimento do símbolo na criança. • Os jogos simbólicos aparecem predominantemente entre 2 e 6 anos. A função desse tipo de atividade lúdica, “consiste em satisfazer o eu por meio de uma transformação do real em função dos desejos”, tem como função assimilar a realidade. (Piaget) A criança tende a reproduzir nesses jogos as relações estabelecidas no seu meio ambiente, assimilando dessa maneira a realidade e a maneira de se autoexpressar. Neles, os jogosdefaz de conta possibilitam à criança a realização de sonhos e fantasias, revela conflitos, medos e angústias, aliviando tensões e frustrações. O símbolo

implica a representação de um objeto ausente, visto ser comparação entre um elemento dado e um elemento imaginado, e uma representação fictícia”. Os jogos simbólicos são a ponte para a operação com significados. • O jogo de regras começa a se manifestar por volta dos cinco anos. Desenvolve-se principalmente entre os 7 e 12 anos. O jogo de regras resulta da organização coletiva das atividades lúdicas. Este tipo de jogo pressupõe a existência de parceiros e um conjunto de obrigações, lhe conferindo um caráter social, ele é caracterizado pela existência de um conjunto de leis impostas pelo grupo, sendo que seu descumprimento é penalizado, existindo uma forte competição entre os dona a fase egocêntrica possibilitando desenvolver os relacionamentos afetivo-sociais. Este tipo de jogo continua durante toda a vida (esportes, trabalho, baralho). São exemplos de jogo de regras: o jogo de bola de gude, charadinhas, “A Linda Rosa Juvenil”, jogos de mesa como xadrez, damas, torrinha ou ludo, jogo da velha, entre tantos outros. • O jogo de construção ou criação é também fundamental por assinalar uma “transformação interna na noção de símbolo, no sentido da representação adaptada. Dos 7 aos 12 anos, o simbolismo decai e começam a aparecer com mais frequência desenhos, trabalhos manuais, construções com materiais didáticos, representações teatrais. Piaget afirma: “é evidente que os jogos de construção não definem uma fase entre outras, mas ocupam, no segundo e no terceiro nível, uma posição situada a meio de caminho entre o jogo e o trabalho inteligente ou entre o jogo e a imitação”.

155 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

indivíduos. Este jogo aparece quando a criança aban-

Quando a criança, em vez de representar um barco com um pedaço de madeira, constrói realmente um barco, escavando a madeira, plantando mastros, colocando velas e acrescentando-lhes bancos, significante acaba por confundir-se com o próprio significado, e o jogo simbólico com uma verdadeira imitação do barco” (Piaget). Assim ocorre com os jogos de papéis, de dramatizações, de teatro. Sai-se do jogo na direção da imitação e do trabalho. Fonte: <http://www.sbs.com.br/virtual/etalk/index.asp?cod=1000>

Froebel (1917) dizia que o jogo reflete a vida e serve de

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base para a aprendizagem. Ele foi um dos primeiros educadores a utilizá-lo na educação de crianças. Criou materiais diversos, que conferiram ao jogo uma dimensão educativa. O emprego de jogos nas escolas é um potencial de grande riqueza para construção dos conteúdos, portanto, o seu trabalho não deve ser negligenciado. O jogo só é eficaz quando desempenha simultaneamente as funções de distrair e de instruir. É importante saber e reconhecer que, no trabalho com crianças, o jogo se constitui uma atividade sempre mais interessante que o trabalho escolar propriamente dito, pois a função de distrair é inerente ao trabalho com o jogo. Agora, não podemos esquecer que o saber escolar é a mais rica e importante consequência social das nossas crianças, e o jogo exerce uma função essencial no processo educacional da criança, pois o ato de jogar implica em instruir de forma prazerosa e significativa.

Para saber mais: http://capitaobressane2.tripod.com/docs/A_Importancia_ dos_Jogos.pdf

8.3 R esolução de problemas e o ensino-aprendizagem de matemática Resolução de problemas é um dos temas mais discutidos atualmente em Educação Matemática, visto que, é a partir dessa habilidade que o conhecimento vem contribuindo em muito para o desenvolvimento da sociedade, da ciência e tecnologia, do próprio homem e da própria Matemática como Do ponto de vista pedagógico, a resolução de problemas se transforma num dos instrumentos capazes de propiciar ao aluno a construção do conhecimento pelo fazer e pensar, auxiliando na apreensão dos significados. Podemos encontrar em sala de aula duas perspectivas: a primeira delas considera os problemas como um mero exercício que se resolve após a explicação de determinado conteúdo. Nesse caso, a resolução de problemas tem como papel exercitar algoritmos e técnicas de solução que para o aluno não têm significado nem desperta a curiosidade em resolvê-los, pois já conhecem os mecanismos que chegam a solução do problema com a utilização de procedimentos rotineiros e mecanizados. Já a segunda, concebe a resolução de problemas como uma ferramenta que mobiliza conhecimentos, desencadeia construção de outros. Além disso, atribui significados a situações matemáticas vivenciadas. Neste caso, a criança ao se deparar com uma situação desafiadora/nova, sente-se impulsionada a compreendê-la, buscar soluções e isto a envolve em um processo criativo e reflexivo.

157 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

ciência.

Bem, falamos aqui em duas perspectivas que movem a resolução de problemas em matemática. Mas o que vem a ser um problema? Para Dante, problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo, e complementando será matemático se essa situação exigir da criança descobrir conhecimentos matemáticos desconhecidos para resolvê-los de forma que ela crie estratégias de cálculo para tal fim. O trabalho com resolução de problemas tem como objetivo desenvolver no aluno a capacidade de pensar produtivamente, raciocinar de forma lógica, enfrentar situações novas, se envolver em aplicações da matemática, tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.

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A seguir, listamos os pontos que caracterizam um problema matemático, segundo Resnick: • Sem algoritmização: o percurso usado para resolver é desconhecido, ao menos em boa parte; • Complexos: necessitam de diversos pontos de vista; • Exigentes: o trabalho mental é muito exigido no processo de resolução do problema, mesmo que esse caminho seja curto, por isso a dificuldade; • Exigem lucidez e paciência: a aparente desordem permite vermos as regularidades, os padrões que poderão construir um caminho até a solução; • Nebulosos: sabe-se ainda que nem todas as informações necessárias podem estar aparentes, por outro lado, podem existir conflitos entre as condições estabelecidas pelo problema; • A resposta não é única: é provável que haja várias maneiras de se resolver certa situação-problema, ou

ainda de não existir uma boa solução e até de não existir solução; e Ao contrário do que a Escola ensina: resolver um problema não é encontrar uma resposta. Fonte: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html>. Acesso em: jul. 2014.

Os problemas são classificados em cinco tipos: problema padrão, problema processo, problema do cotidiano, problema de lógica e problema recreativo: • O chamado problema padrão é o famoso exercício apresentado após uma explicação de um determinado apresentados anteriormente. Exemplo: Em uma turma de 3ª série há 12 meninas e 15 meninos, quantos alunos eu tenho na turma? • O problema processo tem por finalidade desencadear a aprendizagem matemática, privilegiar os processos, a investigação e o raciocínio. Neste tipo de problema, a criança desenvolve a criatividade e iniciativa por meio da curiosidade e exploração, a busca por solução. Exemplo: Em um grupo de 8 alunos. Quantos apertos de mão serão dados ao todo? Se cada um trocar um aperto de mão como todos os outros? Bem a princípio, a primeira estratégia a ser utilizada pelo grupo é apertar a mão de seus colegas e em seguida anotar quem deu aperto de mão em quem ou por uma lista ou por diagramas e depois contar quantos apertos de mão foram dados ao todo.

159 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

conteúdo. Ele envolve a aplicação direta de algoritmos

• O problema do cotidiano também privilegia o processo, enfatizando a realidade. São problemas ou situações enfrentadas ou vivenciadas pela criança no seu dia a dia. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e investigação, ou seja, coleta de dados, organização destes em tabelas, gráficos etc., e envolvem também outras áreas do conhecimento. Exemplo: para fazer um relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer esses cálculos? Levantar as seguintes questões: a) Quantos alunos comem merenda por dia? E por mês?

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b) Quantos quilos de alimentos a escola recebe por mês? c) Qual o preço atual de cada alimento por quilo? d) Qual o salário da merendeira? e) Quanto se gasta de gás? • O problema de lógica é apresentado na forma de textos em que os dados e a solução, em geral, não são numéricos. Eles exigem do aluno: desenvolvimento de estratégias de leitura e de compreensão, levantamento de hipóteses e análise de dados e diferentes registros de solução. Exemplo: A Zoo Lógica Na floresta, a hiena mente às segundas, terças e quartas-feiras; a onça mente às quintas, sextas e sábados. Nos dias em que elas não mentem, elas dizem a verdade. Um dia, encontraram-se hiena e onça e deu-se este diálogo:

Hiena: Olá onça! Ontem eu menti. Onça: Olá hiena! Eu também menti ontem. Em que dia aconteceu este encontro? • Os problemas recreativos que envolvem quebra-cabeças aguçam a curiosidade do aluno e ainda o instiga a resolver o problema. Neste tipo, o aluno desenvolve a criatividade, permite buscar estratégias de resolução embora possa encontrar uma ou várias soluções, além de diferentes registros. Por que é importante trabalhar com resolução de proSegundo Lílian Nasser, artigo publicado no GEPEM, nº 22, existem seis razões, dentre elas está a de desenvolver o raciocínio e a criatividade nos estudantes, a de motivar o aprendizado em matemática, uma forma de avaliar a aprendizagem, a trabalhar coletivamente e mostrar que a matemática pode ser usada na solução de problemas reais. Existem ainda fatores que influenciam o processo ensino-aprendizagem na resolução de problemas: aqueles relacionados a quem está resolvendo o problema seja pelo ambiente que o cerca, o nível sociocultural de sua família, pela idade em relação à turma, pelo conhecimento prévio em matemática ou se sabe usar os dados contidos no problema. Outro aspecto se refere ao próprio problema, se este é interessante, se é adequado à clientela, se possui uma ou várias etapas de resolução, se admite mais de uma solução e se é necessário a busca de estratégias para resolvê-lo. Fonte: GIOVANNI, J.R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. A conquista da matemática: 5ª série: a + nova. São Paulo: FTD, 2002.

161 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

blemas em sala de aula?

Temos ainda, fatores relacionados ao professor, a forma como ele acompanha o processo ao propor um problema em sala, se dispõe de materiais concretos, se elogia aqueles que conseguem caminhar na busca de soluções, se estimula, discute, questiona e deixa-os livre para criar estratégias de resolução, entre outras. E, finalmente, relacionado ao processo de resolução, este deve ser baseado nas seguintes estratégias: tentativa e erro, organização de lista, construção de tabelas, gráficos e esquemas, uso de material concreto ou desenho de uma figura; e ao usar raciocínio lógico, procurar lei de formação, resolver de trás para frente, perceber simetrias e simplificar problemas.

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Vale ressaltar que um bom problema propicia à criança construir de forma significativa os conteúdos matemáticos, raciocinar logicamente, ser criativa e autônoma. Claro que o problema sozinho não garante nada, depende de como o professor conduz sua aula se faz questionamentos adequados, como avalia, como intervém diante dos registros e dificuldades dos alunos. É importante que o professor deixe a criança livre para resolver, registrar e expor suas observações quanto ao problema sugerido, pois assim, ele terá a oportunidade de verificar se a criança compreendeu que estratégia utilizou e como se expressa a solução do problema. A seguir, analisaremos um problema, utilizando o esquema de Pólya, que estabelece quatro etapas na resolução de um problema: compreender um problema, elaborar um plano, executar um plano e fazer o retrospecto ou verificação. • Compreender o problema a) O que se pede no problema? b) Quais são os dados e as condições do problema?

c) É possível desenhar uma figura, fazer um esquema ou diagrama? d) Há possibilidade de estimativa da solução? • Elaborar um plano a) Qual o seu plano na busca da solução? b) Quais as estratégias a serem desenvolvidas? c) Há conhecimento de um problema semelhante a esse que lhe ajude a resolver? d) Consegue organizar os dados em tabelas ou gráficos? e) Resolver o problema por etapas.

a) Executar o plano elaborado, verificando-o passo a passo; b) Efetuar os cálculos indicados; e c) Executar diferentes estratégias para resolver o mesmo problema. • Fazer o retrospecto ou verificação a) Examinar se a solução obtida está correta; b) Se existe outra forma de resolver o problema; e c) Se o método pode ser usado para resolver problemas semelhantes. Vamos ao exemplo: Utilizando ainda o exemplo da Hiena e da Onça e com base nas etapas de resolução de problemas proposto por Pólya: Fazer perguntas para compreensão do problema, tais como:

163 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

• Executar o plano

• Quais são os personagens? • Quais os dias em que cada uma mente? • E o que o problema pede? Neste tipo de problema, perguntar aos alunos como deveriam ser organizados os dados (neste caso, em forma de tabela, por exemplo). Bem, após a organização, deve-se começar a análise dos dados, procurando saber o que acontece com cada personagem em cada dia da semana. E, por último, perguntar se existe outra estratégia de resolução do problema: por representação, por tentativa e erro

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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e pela elaboração de um diagrama, incentivando os alunos a criar, trocar ideias e experiências, apresentar e discuti-las. Um aspecto importante na resolução de problemas refere-se à avaliação, pois é através dela que o professor pode rever sua prática ao investigar como as crianças estão resolvendo os problemas, quais os conhecimentos estão sendo utilizados, que dificuldades eles estão encontrando, tendo assim uma postura reflexiva, investigativa e criativa em relação ao processo de ensino-aprendizagem na perspectiva da resolução de problemas.

8.4 O papel do “erro” no ensino da matemática “Função social da avaliação: (...) A avaliação se refere a todos os estudantes e não só àqueles que têm algum problema. Tem como missão ajudar e

orientar aos estudantes e satisfazer suas demandas.” (HOWSON & MELLIN-OLSEN, 1986).

Percebe-se, ainda hoje, que o ensino da matemática, na maioria das escolas, é efetivado de forma mecânica, exata e como um conjunto de fórmulas e procedimentos, nos quais, professores mostram exemplos de atividades e como resultado, esperam que seus alunos sejam capazes de resolver exercícios, exatamente, iguais. Os conteúdos são transmitidos aos alunos desarticulados e descontextualizados, isto é, são ensinados de tal forma que eles jamais saberão onde utilizar ou se o fizerem serão apenas para solucionar questões inerentes a própria Além disso, sabemos que a tecnologia avança na sociedade de forma muito rápida, no entanto, a escola ainda discute o uso de calculadores em sala de aula, principalmente, nas aulas de matemática, ou seja, não acompanhando tal avanço e, como consequência, temos que a disciplina é a que mais reprova, que é a maior responsável pelo insucesso e abandono escolar. (PINTO, 2004). É preciso mudar essa realidade, e, para isso, é necessário que os professores quebrem paradigmas e assumam uma nova postura frente ao ensino da matemática e na maneira de avaliar o resultado de uma atividade em matemática. A mudança de paradigma se inicia a partir do momento em que o professor reflete sobre sua prática, sobre os erros e acertos dos alunos, questionando estratégias e procedimentos usados na construção dos conhecimentos, com vista à busca de soluções para minimizar os efeitos dos resultados alcançados. Para justificar o insucesso do processo, os professores apresentam como motivos: a falta de atenção dos alunos,

165 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

Matemática, nunca no seu dia a dia.

os pré-requisitos necessários para compreensão dos conteúdos, a falta de maturidade, dentre outros. Porém, apesar de todas as dificuldades, o ensino da matemática nas salas de aula continua sendo pautado na valorização dos conteúdos que serão trabalhados no decorrer do período, nos conteúdos que devem ser apropriados pelo aluno na série na qual está inserido e na valorização prioritária do acerto como resultado de aprendizagem dos conteúdos, sendo o “erro” considerado uma condição de fracasso. Com isso, os professores, em geral, não exploram os atributos mais exigidos atualmente na sociedade, tais como o questionamento, a experimentação, a criatividade, a inquietação, restringindo as aulas de matemática à aplicação de fór-

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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mulas e exercícios repetitivos em que a função cognitiva mais desenvolvida é a memória. (ROCHA, 1998). O erro quase sempre foi tratado como um fracasso e por causa disso conduzido a alguma espécie de punição. O erro na escola, principalmente, nas escolas públicas, tem recebido um tratamento cruel, sentencioso e, na maioria das vezes, acaba sendo colocado como peça coadjuvante do cotidiano do contexto pedagógico, não havendo por parte dos envolvidos uma discussão mais apurada de qual o papel e qual a função do erro na construção do conhecimento em sala de aula, e quais as suas causas e consequências. Ao chegar à escola, o aluno traz consigo uma enorme bagagem de informações e vivências do seu cotidiano, mas em sala de aula diante da resolução de qualquer situação ou problema matemático, o professor espera que ele obtenha um único resultado como resposta. Caso isso não aconteça, normalmente o professor desconsidera todo o processo de construção realizado pelo aluno e lhe atribui o valor “errado”. É preciso que o professor compreenda que ao chegar a esse resultado considerado “errado”, o aluno está representando o

seu entendimento da construção de um determinado conceito adquirido por ele. “O gerenciamento do erro não é tarefa fácil”(HADJI, 1994, p. 124), entretanto o que fazer com ele. Devemos ir além do desempenho registrado, devemos não só buscar as causas que possam ter originado o erro, mas também analisar o que esse revela dos conhecimentos do aluno, a partir daí propor soluções. Esteban (2003) afirma que devemos ter uma visão sobre o erro num processo de construção de conhecimentos, sendo que oferece pistas de como esses estão sendo organizados pelos alunos. De acordo com os PCNs:

O erro em matemática, não deve ser apontado como um “vírus que deve ser imediatamente eliminado” (PINTO, 2004, p. 130), é preciso que os professores de matemática considerem esses registros, sejam eles escritos ou orais, e a partir desses “erros” a sua atitude seja de investigação acerca do que levou o aluno a seguir aquele caminho, que conceitos foram mobilizados e quais precisam ser revistos, se há lógica no processo escolhido por ele, se está coerente com o proposto, e por fim se o percurso não foi satisfatório para se chegar a conclusões favoráveis, e como ajudá-lo a retomar o raciocínio. Devemos pensar no “erro” como uma etapa fundamental do processo de acerto, isto é, da construção da aprendizagem em bases.

167 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

“(...) Na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda não sabe como acertar, faz tentativas, à sua maneira, construindo uma lógica própria para encontrar a solução.” (PCN, vol. 3, p. 59).

Macedo nos fala sobre o papel construtivo dos erros afirmando que: “(...) Quando se considera o processo, ignorar o “erro” é supor que se pode acertar sempre na primeira vez; é eliminá-lo como parte, às vezes inevitável, da construção de um conhecimento, seja de crianças, seja de adultos. Como processo, errar é construtivo.” (MACEDO, 1997, p. 29).

O erro no ensino da matemática:

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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• Os erros e as dúvidas dos alunos devem ser encarados como um momento de construção do conhecimento e não como incapacidade. • Para o aluno, o erro fornece informações sobre o seu conhecimento, desenvolvimento e raciocínio. Para o professor, a análise do erro é um ponto de partida para a avaliação das estratégias adotadas e para a escolha de novas atividades. • Muitas vezes o erro na matemática está atrelado à dificuldade de interpretação do texto ou por falhas na compreensão dos conteúdos. • Quando o erro acontecer devemos evitar confrontar o verdadeiro e o falso e sim pedir ao aluno para justificar o raciocínio usado na resolução do problema. Mais importante que a criança acertar é saber justificar como chegou a um resultado. • É importante que os alunos descubram seus erros e valide suas respostas para que a construção do conhecimento tenha um significado útil e valioso. Fonte: CORREIA, C. E. F. Aprender com os erros. Disponível em: <http://www. centrorefeducacional.com.br/matludica.htm>. Acesso em 15 jan 2008.

Faz-se necessário, reflexões e mudanças na forma de analisar e compreender os erros e acertos dentro do ensino

da matemática. Hoje, sabe-se que os erros não devem ser vistos de forma complacente, nem como um motivo de punição para os alunos. Devemos entender o erro como um acerto a ser atingido, tomando-o como referencial para oportunizarmos novos ambientes e atividades a fim de que os alunos ressignifique os conteúdos anteriormente adquiridos. É importante trabalhar a questão do erro na escola dentro do processo. O trabalho de análise, interpretação e ressignificação do erro deve ser feito desde as séries iniciais, para que se torne um recurso pedagógico valioso, porém devemos ter cuidado para que não se crie a cultura do erro. Esse critério nas séries subsequentes deve ser substituído pelo rigor da exatidão. Devemos identificar as diversas formas de raciocíesta correção requer cuidado. É preciso ter cuidado ao se corrigir um erro, pois corrigir pode significar, a depender da situação e da forma como é colocada, retrair. É preciso levar em conta o momento e o fator emocional da criança. Uma correção feita em momento inadequado pode levar a autoestima do aluno a níveis muito baixo, ocasionando um grande desestímulo para o estudo da disciplina. Os professores de matemática devem corrigir os erros das crianças não no sentido de punir, mas sim levando em conta a aproximação do seu raciocínio em relação à veracidade da questão, à descoberta dos caminhos para a construção do conhecimento matemático de forma prazerosa e significativa. Nesse percurso torna-se importante que o aluno descubra e valide seus erros e acertos, a fim de que os conhecimentos que previamente construiu lhes sejam úteis em algum momento de sua vida.

169 O ensino da matemática: jogos, resolução de problemas, o papel do erro e a avaliação

nio que conduziu o aluno ao erro e tentar corrigi-las, porém,

Pinto (2004) ainda afirma que: “(...) A análise de erros, enquanto meio, possibilita que os erros sejam explorados e compreendidos a partir de suas origens, fornecendo valiosos subsídios para o professor planejar a partir de uma pedagogia diferenciada ações pertinentes à evolução do processo.”

A seguir temos algumas situações de sala de aula que permitem ao professor analisar as etapas de construção do conceito de número, pelas quais a criança passa, através do erro:

fessor divide a turma em duplas e distribui tampinhas para

Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

Exemplo 1: Através do uso do material concreto, o pro-

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cada aluno. Observando uma dupla, Soninha e Pedro, na qual ela deu 5 tampinhas para Soninha e 4 para ele, pergunta quem recebeu mais tampinhas. A estratégia utilizada pela dupla foi de organizar as tampinhas lado a lado e responder corretamente (Soninha). Mas ao continuar o questionamento sobre quantas Soninha tinha a mais que Pedro. Pedro aponta para ficha não emparelhada enquanto Soninha responde 1 a mais. Nesse episódio, fica claro que ambos compreenderam a noção de comparação de quantidades, mas Pedro ainda não construiu a ideia de que 4 está incluída na quantidade 5 (inclusão hierárquica). Essa situação apresentada, mostra que ao analisar atividade proposta, o professor conseguiu verificar em que etapa de compreensão de um conceito o aluno se encontra e quais as dificuldades precisam ser superadas. Por isso, ao ajudar um aluno a compreender um conceito é preciso considerar mais do que uma resposta final.

Exemplo 2: A professora propõe a um aluno escrever o número quinze e vinte e cinco no caderno. E este escreve o 15 e 205. É importante que o professor deixe a criança escrever como está pensando e ainda justificar o porquê escreveu dessa forma. Observa-se, que, pela escrita a criança consegue escrever corretamente até 19, mas passando de 20 ela ainda não transferiu a notação posicional desse novo número. Isto, porque, até dezenove os números têm nomes, mas, passando do vinte não. É preciso que, nessa etapa, o professor explique à criança que dezenove significa (dez e nove). Assim, vinte e cinco seria dois e cinco na escrita. Exemplo 3: Ao subtrair 245 de 59, o aluno poderá comedades, dezenas etc. de um número em correspondência aos mesmos algarismos do outro número, subtrair 5 de 9 e 4 de 5 segundo a orientação de subtrair sempre o maior do menor, ou ainda, não ter internalizado a ideia de retirar, completar ou comparar ou mesmo por distração. Clarke et al. (1990, apud MATOS, 1996, p. 228) recomenda aos professores ao apresentar um problema para a classe e perceber que os alunos não o compreenderam, é preciso fazer questionamentos que identifiquem o tipo de erro. Aqui são listados cinco tipos e como identificá-los: • Erro de leitura – pedir que o aluno leia a pergunta, deixando a palavra que não conhece; • Erro de compreensão – pedir que o aluno fale o que a pergunta quer dizer; • Erro de transformação – como o aluno vai encontrar a resposta;

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ter vários erros tais como não colocar os algarismos das uni-

• Erro no processo – mostrar como faz para obter a resposta e como funciona; • Erro de codificação – escrever a resposta à pergunta. É importante que nas atividades propostas pelo professor, sejam definidos claramente os objetivos gerais e específicos tanto no planejamento quanto na execução da atividade ou tema e que verifique se os aspectos conceituais (por exemplo: distinguir números naturais de fracionários), procedimentais (por exemplo: formular problemas de forma adequada) e atitudinais (por exemplo: sempre questionar) foram alcançados. Para Borasi: Metodologia e prática da Matemática no Ensino Fundamental

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“(...) Os erros podem ser uma poderosa ferramenta para diagnosticar dificuldades de aprendizagem e, consequentemente, direcionar uma solução.” (BORASI, 1987, p. 1).

Portanto, o erro, não deve ser visto como insucesso, mas como: “(...) Fonte de informação sobre os processos mentais do aluno, não se perdendo a oportunidade de usá-lo para desenvolver habilidades ainda não totalmente atingidas.” (CURY, 2004, p. 2).

Hoffmann (1998, p. 14) faz a seguinte consideração: “(...) Sucesso e fracasso em termos de aprendizagem parece ser uma perigosa invenção da escola.”. Para ela, são questionáveis os indicadores desses dois conceitos que, em geral, costumam associar perigosamente o acerto ao bom e verdadeiro e o errado ao ruim e fracassado. Nesta visão, os conceitos acerto e erro tendem a provocar uma oposição entre as práticas

avaliativas e o respeito às crianças e jovens brasileiros no seu direito constitucional à educação. Ao professor, cabe uma tarefa grandiosa: ensinar. Mas ensinar o quê, para quê e para quem? Mais do que isso: ensinar como? Diante do exposto, é inevitável considerarmos qual a atitude que o docente deve adotar frente ao erro.

Para Macedo (apud ALENCAR, 1995, p. 119-140), cinco ações podem nortear o professor e ajudá-lo a intervir “desestabilizando” o aluno frente ao erro:

• Reconstituição: descrever as ações que está realizando ou que já realizou: “como eu cheguei a esta compreensão?”; • Antecipação: projetar, imaginar, planejar o resultado de uma situação; “o que será que vai acontecer se fizermos desta forma?”; • Comparação/verificação/contraposição: decidir sobre um ponto de vista a partir de outras respostas (do grupo): “como resolvestes esta equação desta maneira? Como conseguistes esta resposta? Por que achas que a tua resposta está diferente da resposta do colega?”; e • Explicação/justificativa: responder ao “por quê” e “como você sabe”: “o que achas que a questão pediu?”. Fonte: NOGARO, A.; GRANELLA, E. O erro no processo de ensino e aprendizagem. Disponível em: http://www.sicoda.fw.uri.br/revistas/artigos/1_1_2.pdf. Acesso em: 21 jan. 2008.

Assim, ao avaliarmos os erros matemáticos, não podemos considerar os alunos incapazes pelo fato deles cometê-los, mas sim, devemos tomar esses erros para orientar e direcionar o processo de ensino e aprendizagem.

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• Observação: fazer com que o aluno questione o problema e o observe: “onde foi que eu errei? Por quê?”;

Para PIAGET (1979 apud PINTO, 2000) o que é relevante é a ação mental e não o erro, tanto o erro quanto o acerto são apenas detalhes nessa ação. Segundo ele, existem três níveis em que as respostas dos alunos são apresentadas, ordenadas e classificadas. São eles: primeiro nível corresponde à indiferença do aluno frente ao erro; enquanto, no segundo nível, o chamado da tentativa, o erro aparece como um problema a ser resolvido e, por último, temos aquele em que o aluno adquire certa autonomia na construção do conhecimento por dar sentido ao erro. Assim, “(...) Uma das tarefas do professor é fazer com que o erro, aos poucos, torne-se observável pelo aluno para que este tome consciência daquele. Essa é uma das contribuições que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar.” (BURIASCO, 2004, p. 250).

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Leia, reflita e discuta com seus colegas sobre este texto de Luckesi: Sobre o erro: “(…) Ao investirmos esforços na busca de um objetivo qualquer, podemos ser bem ou mal sucedidos. Aí não há erro, mas sucesso ou insucesso nos resultados de nossa ação. No caso da aprendizagem escolar, pode ocorrer o erro na manifestação da conduta aprendida, uma vez que já se tenha o padrão do conhecimento, das habilidades ou das soluções a serem aprendidas. Quando um aluno, em uma prova ou em uma prática, manifesta não ter adquirido determinado conhecimento ou habilidade, por meio de uma conduta que não condiz com o padrão existente, então podemos dizer que ele errou. Cometeu um erro em relação ao padrão.”

“No caso da solução bem ou malsucedida de uma busca, seja ela de investigação científica ou de solução prática de alguma necessidade, o não sucesso é, em primeiro lugar, um indicador de que ainda não se chegou à solução necessária e, em segundo lugar, a indicação de um modo de ‘como não se resolver’ essa determinada necessidade. O fato de não se chegar à solução bem-sucedida indica, no caso, o trampolim para um novo salto.

Fonte: LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar.6. ed. São Paulo: Cortez, 1997.

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Não há por que ser castigado pelos outros ou por si mesmo em função de uma solução que não se deu de forma bem-sucedida. Há, sim, que se utilizar positivamente dela para avançar na busca da solução pretendida. Diz-se que Thomas Edison fez mais de mil experimentos para chegar ao bem-sucedido na descoberta da lâmpada incandescente. Conta seu anedotário biográfico que, após muitos experimentos malsucedidos, um seu colaborador quis desistir do empreendimento e Edison teria comentado: Por que desistir agora, se já sabemos muitos modos de como não fazer uma lâmpada? Estamos mais próximos de saber como fazer uma lâmpada.”

8.5 Avaliação e Matemática “A avaliação da aprendizagem na escola tem dois objetivos: auxiliar o educando no seu desenvolvimento pessoal, a partir do processo de ensino-aprendizagem, e responder à sociedade pela qualidade do trabalho educativo realizado.” (LUCKESI, 1998, p. 174).

Nas últimas décadas uma das questões de maior destaque no cenário educacional tem sido o processo de avalia-

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ção. Considerado vilão no sentido de promover a exclusão e, ao mesmo tempo, sendo considerado um dos instrumentos capaz de propiciar o alcance dos objetivos da melhoria da eficiência e da qualidade de ensino, o processo de avaliação não se configura uma mera síntese de procedimentos que percebe a realidade como algo objetivo e estável.

Reflita: (...) A avaliação é parte do processo de ensino e aprendizagem. Ela incide sobre uma grande variedade de aspectos relativos ao desempenho dos alunos, como aquisição de conceitos, domínio de procedimentos e desenvolvimento de atitudes. Mas também devem ser avaliados aspectos como seleção e dimensionamento dos conteúdos, práticas pedagógicas, condições em que se processam o trabalho escolar e as próprias formas de avaliação. PCN / Matemática (2001, p. 57).

Dessa forma as atividades avaliativas devem ser estruturadas de modo que fiquem explícitos os aprendizados dos alunos, não como ferramenta de ações de controle, mas de construção de conhecimento. Realizar atividades avaliativas no processo ensino-aprendizagem funciona como uma prática recapitulativa, no sentido de perceber o que efetivamente foi aprendido pelo aluno, e, ao mesmo tempo, como seleção social, já que realiza a promoção do aluno dentro dos níveis escolares. Precisamos partir do pressuposto que avaliar consiste em algo especial a todas as atividades humanas e, consequentemente, em toda proposta educacional. Rabelo (1998, p. 11) afirma que:

A avaliação deve ser parte do processo ensino-aprendizagem e não pensada como algo isolado e estanque. Pensar na ação avaliativa consiste em refletir sobre todos os elementos que compõem o processo ensino–aprendizagem, ou seja, enxergá-lo como parte do todo. Vista sobre esta perspectiva, a avaliação é uma poderosa ferramenta de verificação da eficácia do método didático-pedagógico e, a partir dos seus resultados, o professor tem subsídios para julgar, adequados ou não, os elementos da sua prática. Uma outra função importante da avaliação está relacionada aos alunos, pois é através desse processo que eles percebem as suas dificuldades ou necessidades de construção do seu conhecimento e também têm consciência dos conhecimentos já construídos. Esse deve ser considerado como um todo contemplando os aspectos cognitivos, afetivos, psicomotores e sociais.

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“(...) A avaliação é inerente e imprescindível, durante todo o processo educativo que se realize em um constante trabalho de ação-reflexão-ação (...).”

Reflexão: A função nuclear da avaliação é ajudar o aluno a aprender e ao professor, ensinar, determinando também quanto e em que nível os objetivos estão sendo atingidos. (PERRENOUD, 1999) Para isso é necessário o uso de instrumentos e procedimentos de avaliação adequados. (LIBÂNEO, 1994, p. 204).

No atual contexto educacional, não cabe mais se pensar na avaliação apenas como instrumento de aferição dos conhecimentos armazenados pelo aluno, visto que esses são construídos. E, sim, deve servir de modelo para o pro-

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fessor obter informações sobre o processo ensino-aprendizagem em relação aos objetivos, aos conteúdos, à metodologia, aos recursos utilizados e os próprios instrumentos de avaliação. Avalia-se no sentido de identificar as funções que estas promovem em relação ao aluno, ao professor e a escola como um todo. Não comporta mais se pensar em avaliar utilizando apenas um instrumento que meça o conhecimento adquirido pelo aluno. A ação de avaliar deve ser contínua /formativa no sentido de ser realizada regularmente e processual, de forma a não priorizar o produto final e sim de levar em consideração todas as etapas de construção do conhecimento. O professor deve fazer uma avaliação diagnóstica para verificar em que nível de aprendizagem se encontram os alunos e suas possíveis dificuldades e uma avaliação final para saber qual foi seu desempenho em relação à construção do conhecimento. Pernalette (1977, p. 28) “tudo deve ser avaliado. Deve-se considerar tanto o resultado final como o processo.”

Avaliar em matemática De acordo com: “Aprender Matemática é um direito básico de todas as pessoas - em particular, de todas as crianças e jovens - e uma resposta a necessidades individuais e sociais.” (ABRANTES, SERRAZINA E OLIVEIRA, 1999, p. 17).

O ato de avaliar é um processo natural e contínuo na vida dos seres humanos, as pessoas encontram-se em constante processo de avaliação, nas mais diversas situações, diante da necessidade de tomar decisões, desde as mais simples até as mais complexas. A avaliação é feita no dia a dia e uma determinada situação, e a partir da apreciação dessas informações, existe uma tomada de decisão. A avaliação é um ato diário que envolve todo o nosso contexto e a matemática é algo que está em todos os segmentos da vida humana, se fazendo presente desde o momento em que nos levantamos até a hora em que vamos dormir, portanto, quando se considera a matemática como uma elaboração humana, realizada a partir de necessidades impostas pela realidade em um determinado contexto histórico e social, o processo de avaliar em Matemática passa a ser concebido como aquele no qual o aprendiz adquire habilidades necessárias para sua inserção no mundo do trabalho, nas relações sociais e culturais. Paulo Freire ao ser entrevistado no oitavo Congresso Internacional de Educação Matemática nos diz: “Eu acho que uma preocupação fundamental, não apenas dos matemáticos mas de todos nós, sobretudo dos educadores, a quem cabe certas decifrações do mundo, eu acho que uma

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se inicia pela verificação das informações mais simples sobre

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das grandes preocupações deveria ser essa: a de propor aos jovens, estudantes, alunos homens do campo, que antes e ao mesmo em que descobrem que 4 por 4 são 16, descobrem também que há uma forma matemática de estar no mundo. Eu dizia outro dia aos alunos que quando a gente desperta, já caminhando para o banheiro, a gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora em que vai chegar à cozinha, que vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às oito. Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos matematicizados.”

Sob esta perspectiva a avaliação dos alunos em Matemática assim como nas demais disciplinas “envolve interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino e aprendizagem.”(ABRANTES, 2001, p. 46-47), logo não podemos nos restringir a um número pequeno de estratégias para construção de um conhecimento e a partir dele realizar uma avaliação dos envolvidos no processo. Quanto mais ações, procedimentos e instrumentos utilizarmos mais credibilidade terá o processo avaliativo. Ao avaliarmos, mesmo quando se trata de uma disciplina como a matemática, considerada difícil, e que se parece distante das questões sociais e políticas, devemos ter cuidado pois os processos avaliativos não estão dissociados da subjetividade do professor, eles estão associados as nossas opiniões intelectuais, as nossas atitudes e valores, às posições sociais e políticas que assumimos, consciente ou inconscientemente e as nossas convicções teóricas-metodológicas a respeito da

matemática, da matemática escolar e do papel desse conhecimento na vida dos indivíduos. Não podemos esquecer que a finalidade primordial desse processo é o aluno, portanto, temos que garantir que ele adquira autonomia e confiança na capacidade de fazer Matemática, que elabore, desenvolva e construa estratégias que lhes permitam enfrentar, resolver e interpretar situações do dia a dia que exijam os conceitos matemáticos. Partindo desse paradigma, a aprendizagem da matemática, assim como o seu processo avaliativo deveriam estar pautados sempre de situações contextualizadas, sejam estas internas ou externas a elas. Enfim, avaliar em Matemática é mais que estabelecer critérios, métodos e procedimentos, o Guignard (1988),“avaliar é deixar-se surpreender”. Não é mais conveniente se avaliar em Matemática pensando apenas no produto final, ou seja, no registro do número de acertos e dessa forma classificar o aluno, pois o que se objetiva realmente é compreender o pensamento e o raciocínio que o conduziram a uma determinada resposta, percebendo qual o significado que a criança está dando aos conceitos matemáticos construídos. O que se deve levar em consideração, hoje, na avaliação, além dos conteúdos aprendidos, são os comportamentos e atitudes adquiridos durante o processo, como persistência, trabalho sistemático, criatividade, memorização, organização, o fazer conjecturas, modelação, capacidade de comunicar ideias e procedimentos claramente, trabalhar coletivamente, entre outras capacidades e/ou atributos. Na avaliação matemática que se pretende ir além da resposta final, deve-se considerar:

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ato de avaliar em matemática pode ser sintetizado na frase de

• O modo como o aluno interpretou sua resolução para dar a resposta; • As escolhas feitas por ele para desincumbir-se de sua tarefa; • Os conhecimentos matemáticos que utilizou; • Se utilizou ou não a matemática apresentada nas aulas; e • Sua capacidade de comunicar-se matematicamente, oralmente ou por escrito. O professor deve enfocar na avaliação o que os alunos sabem, como sabem e como pensam matematicamente,

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se eles compreenderam os conceitos, os procedimentos e se desenvolveram atitudes positivas em relação à matemática, como se realizou o processo, o grau de criatividade na resolução de problemas, e se encararam a matemática como parte integrante do processo ensino-aprendizagem. Devemos propor situações-problemas que envolvam aplicações de um conjunto de ideias matemáticas, sugerir situações abertas que tenham mais de uma solução, ou que o próprio invente, formule e resolva problemas usando raciocínio lógico dedutivo e indutivo, os conceitos matemáticos construídos e materiais manipuláveis, calculadoras e computadores. O fundamental em qualquer atividade avaliativa matemática é pontuar, registrar e relatar.

Segundo as Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar (NCTM, 1991), há um conjunto de aspectos que devem merecer uma atenção especial na avaliação de Matemática: • Avaliar o que os alunos sabem e como pensam sobre a Matemática; • Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino; • Focar uma grande variedade de tarefas matemáticas e adaptar uma visão holística da Matemática; • Desenvolver situações problemáticas que envolvam aplicações de um conjunto de ideias matemáticas;

• Utilizar calculadoras, computadores e materiais manipuláveis na avaliação; • Avaliar o programa de recolha sistemática de informação de resultados, currículo e ensino; • Utilizar testes normalizados apenas como um entre muitos indicadores de resultados (p. 228). Fonte: NUNES, C. C. A avaliação como regulação do processo de ensino-aprendizagem da Matemática dos alunos do 3º ciclo do ensino básico. Disponível em: <http://fordis.ese.ips.pt/docs/siem/texto23.doc>. Acesso em: 15 jan. 2008.

Entretanto, é importante ressaltar que a não aprendizagem ou insucesso do aluno frente a um processo de avaliação não é somente culpa dele, envolve outros fatores como sua história social, familiar e escolar, o contexto em que se deu a aplicação do(s) instrumento(s) e a própria conduta e formação do professor frente ao desenvolvimento do processo. Para Webb e Briars (1990 apud MATOS; SERRAZINA, 1996), uma parte significativa do ensino em matemática é destinada a verificar o que é que o alunos compreenderam através

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• Usar várias técnicas de avaliação, incluindo formas escritas, orais e de demonstração;

do feedback, utilizando-se depois desta informação para orientar o desenvolvimento de outras aprendizagens. No processo avaliativo não devemos: • Focar no que os alunos não sabem; • Centrar na memorização de definições, regras e esquemas; • Salientar número razoável de capacidades específicas e isoladas; • Sugerir questões que requeiram apenas uma capacidade; • Propor problemas rotineiros que apresentam uma

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única solução; • Propor a resolução de problemas já formulados; e • Aplicar apenas provas e testes, ou excluir do processo o uso de materiais concretos ou de novas tecnologias, como calculadoras ou computadores. Como afirma Buriasco: “Atualmente, a grande maioria das escolas possui uma política de avaliação do rendimento escolar, por assim dizer, baseada na dicotomia aprovação/reprovação, e não da aprendizagem. Nesse contexto, não há espaço para uma prática de avaliação que ajude na identificação e superação de dificuldades, tanto do aluno quanto do professor. Até porque os instrumentos utilizados, quase sempre provas escritas, são aplicados em geral ao final de uma unidade do conteúdo, já às vésperas do início da próxima, e com isso tarde demais para que os resultados possam orientar ações na busca da identificação e superação de dificuldades detectadas.

Então, a avaliação do rendimento é tomada aqui como avaliação do “produto” final, que, de certa forma, evidencia um resultado sem muita chance de ser modificado, enquanto a avaliação da aprendizagem é tomada como avaliação do e no processo, e portanto, um dos meios que subsidia a retomada da própria aprendizagem.” (BURIASCO, 2002, p. 258).

É certo que a maioria dos procedimentos avaliativos adotados pelos professores de matemática em nossas escolas são, de certa forma, padronizados. Acreditamos que mesmo nessas práticas deva existir um grau de complexidade, mas mesmo com os instrumentos de avaliação matemática padronizados não quer dizer que o processo de avaliação propriaUm processo avaliativo é muito mais do que a simples aplicação de uma prova escrita ou oral, é uma possibilidade de ver como realmente o aluno é, detentor de qualidades, mas também com deficiências. Pensamos na avaliação matemática como um caminho a ser trilhado para o crescimento dos alunos, dos professores e da educação como um todo, isto é, para termos um ensino de qualidade, utilizado de forma responsável e coerente, e com vistas na obtenção dos objetivos propostos para o ensino da matemática no país.

SÍNTESE Nesta última unidade, verificamos como o ensino-aprendizagem da matemática pode ser enriquecido através da utilização didática de jogos, considerando cada uma das etapas que a criança vivencia durante a educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental.

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mente dito o seja.

Analisamos também, a resolução de problemas nas suas diferentes tipologias no ensino-aprendizagem da matemática, considerando sua relevância para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático e criatividade da criança. Além disso, refletimos sobre o papel do erro no ensino-aprendizagem da matemática, considerando os tipos de intervenções que podem ser realizadas pelos professores em relação aos erros que são comuns ocorrerem na etapa de construção do conhecimento matemático. E por último, retomamos a reflexão sobre a avaliação, a qual deve ser concebida como etapa de acompanhamento e retomada do processo, buscando subsidiar o aprendizado dos alunos e não classificá-los como era de costume.

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Consideramos também o que deve e o que não deve ser realizado na avaliação matemática. Encerramos aqui as nossas aulas da disciplina Fundamentos e Estratégias do Ensino da Matemática. Sigamos com fé rumo a novas aprendizagens!

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