Pesquisa operacional [unifacs] by EAD UNIFACS

PESQUISA OPERACIONAL Autor - Luiz Carlos Oritz

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO UNIDADE 1 - CONHECIMENTO SOBRE A PESQUISA OPERACIONAL......................... 5

1. Origens da Pesquisa Operacional............................................6 2. Aplicação da Pesquisa Operacional nas Organizações............7 3. Dimensões da Influência no Crescimento da Pesquisa Operacional...................................................................................8 4. A Natureza da Pesquisa Operacional.......................................8 5. O impacto da Pesquisa Operacional......................................10 6. No Brasil.................................................................................11 7. Processo de Decisão na Pesquisa Operacional.....................12 Modelo Conceitual..................................................................12 UNIDADE 2 - ABORDAGEM DE MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL.........13

1. Principais Fases......................................................................14 2. Fase 1 – Definição do Problema e a Coleta de Dados (1)....14 2.1 Objetivos Apropriados......................................................14 2.2 A organização como objetivo..........................................15 2.3 Considerações adicionais.................................................15 2.4 Coleta dados relevantes..................................................16 2.5 Seleção dos dados...........................................................16 3. Fase 2 – Formular um modelo matemático para representar o problema.................................................................................17 UNIDADE 3 - MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL ABORDAGEM II...........21

1. Principais Fases......................................................................22 2. Fase 3.....................................................................................22 3. Fase 4.....................................................................................24 4. Fase 5.....................................................................................26 5. Fase 6 Implementação (6).....................................................27 A fase de implementação envolve várias etapas.................28 UNIDADE 4 - PROGRAMAÇÃO LINEAR.................................................................29

1. As duas Características Fundamentais da Programação Linear.....30 2. Diretrizes para a Formulação de Modelos.............................31 3. Maximização da Função Objetivo..........................................32

4. Minimização da Função Objetivo...........................................35 UNIDADE 5 - PROGRAMAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO GRÁFICA................................39

1. Maximização – Solução Gráfica..............................................40 2. Demonstração dos Pontos Extremos.....................................43 3. Alguns destaques sobre a Programação Linear....................44 UNIDADE 6 - PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX.................................47

1. O Método Simplex..................................................................48 2. Variáveis de Folga e Soluções Básicas..................................48 3. Como opera o Simplex...........................................................52 UNIDADE 7 - MODELO DE REDES – CPM – PARTE I..............................................61

1. Solução pelo Modelo de Redes.............................................63 1.1. Transporte........................................................................63 1.2. Escala de Produção.........................................................63 1.3. Rede de Distribuição.......................................................63 1.4. Menor Caminho...............................................................63 1.5. Fluxo Máximo..................................................................64 2. Método do Caminho Crítico....................................................64 3. Representação de um Projeto...............................................65 4. Fases para elaboração de um Modelo de Redes..................66 5. Determinação do Caminho Crítico ........................................66 5.1. Algoritmo do Caminho Crítico.........................................67 UNIDADE 8 - MODELO DE REDES – CPM – PARTE II.............................................71

1. Determinação da última data de início (UDI).......................72 2. Determinação do Caminho Crítico.........................................74 3. Determinação das Folgas.......................................................76 4. Exercício Exemplo...................................................................76 Bibliografia.................................................................................78

AULA 1 Conhecimento sobre a Pesquisa Operacional

OBJETIVO DA UNIDADE Estudar os conceitos da Pesquisa Operacional e apresentar uma visão geral da sua origem. O estudo também abordará o início da aplicação da Pesquisa Operacional nas organizações empresariais, destacando as principais dimensões de seu crescimento como técnicas de solução de problemas operacionais nas organizações.

INTRODUÇÃO Alguns autores destacam que a denominação “pesquisa operacional” foi utilizada pela primeira vez na GrãBretanha nos anos 1930, para identificar o estudo de problemas estratégicos e táticos oriundos e decorrentes de operações militares. Um grupo de estudo formado por especialistas de várias áreas do conhecimento, por exemplo, físicos, engenheiros, entre outros, foi designado para avaliar e reposicionar adequadamente os radares do sistema de defesa aérea da Grã-Bretanha antes e durante a Segunda Guerra Mundial.

PESQUISA OPERACIONAL

Muitas outras aplicações militares também foram envolvidas, tais como o planejamento de operações de comboios, bombardeios e de guerra antissubmarina. Informam ainda que, após a Segunda Guerra Mundial, muitos dos especialistas envolvidos no planejamento de operações militares deram continuidade a suas pesquisas, agora visando também operações industriais comerciais e de negócio de forma geral. Por exemplo, o Método Simplex desenvolvido por George Dantzig, em 1947, é considerado o desenvolvimento metodológico mais importante do período Pós-Guerra, utilizado para a resolução de problemas de Programação Linear, ou seja, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos de otimização lineares. Um fator determinante para o desenvolvimento e a utilização de novas metodologias para resolver uma grande variedade de problemas práticos foi, sem dúvida, o surgimento e a evolução de computadores nos anos 1950 e a partir dele. À medida que a capacidade computacional disponível foi crescendo, tornou-se possível resolver problemas cada vez mais complexos. Face ao seu caráter multidisciplinar, a Pesquisa Operacional é uma disciplina científica de características horizontais com suas contribuições estendendo-se por praticamente todos os domínios da atividade humana, da engenharia à medicina, passando pela economia e a gestão empresarial.

1. ORIGENS DA PESQUISA OPERACIONAL As origens da Pesquisa Operacional, conforme especificam Hillier e Lieberman (2006, p. 1), têm relação com as “[...] tentativas iniciais no emprego de uma abordagem científica na gestão das organizações”. Afirmam, entretanto que o começo da atividade, assim denominada pesquisa operacional, geralmente é atribuído às atividades militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial. Por causa da complexidade logística da guerra, existia, de acordo com Hillier e Lieberman (2006, p. 1), “[...] uma necessidade premente de se alocar de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares e atividades internas a cada operação”, no sentido de que os resultados fossem os mais eficazes possíveis. “Consequentemente, os comandos militares britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para aplicar uma abordagem científica para lidar com este e outros problemas táticos e estratégicos.” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 1). Conforme os mesmos autores, na prática foi solicitada a realização de pesquisas sobre operações militares, e essas equipes de cientistas foram as primeiras que trabalharam com projetos de Pesquisa Operacional. Como exemplo de trabalho realizado, os autores destacam que foi por meio dos desenvolvimentos de métodos eficientes de emprego da ferramenta denominada radar que essas equipes se tornaram instrumentos na vitória da batalha aérea em céus da Grã-Bretanha. Também foi por intermédio dessas pesquisas, sobre como melhor administrar operações de comboio e antissubmarinos, que esses cientistas desempenharam papel fundamental na vitória da Batalha do Atlântico Norte.

AULA 1 – CONHECIMENTO SOBRE A PESQUISA OPERACIONAL

2. APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL NAS ORGANIZAÇÕES Conforme afirmam Hillier e Lieberman (2006, p. 1), “[...] desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia um crescimento extraordinário no tamanho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram para as corporações bilionárias de hoje”. A divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas organizações foram fatores decisivos dessa mudança revolucionária. O resultado desta divisão foi fundamental no processo de crescimento das organizações. No entanto, de acordo com Hillier e Lieberman (2006), juntamente com seus pontos positivos, essa crescente especialização fez surgir também novos problemas, que ainda estão presentes em muitas organizações. Um deles é a tendência de as diversas unidades crescerem em ilhas relativamente autônomas com seus próprios objetivos e sistemas de valor, perdendo, consequentemente, a visão de como suas atividades e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um todo. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 1).

Portanto, a visão possui foco funcional, em que as principais decisões priorizam os aspectos funcionais específicos em detrimento ao todo. [...] o que pode ser melhor para uma das unidades frequentemente é prejudicial à outra, de forma que as unidades podem acabar trabalhando em direção a objetivos conflitantes. Um problema relativo a isso é aquele no qual, à medida que aumentam a complexidade e a especialização em uma organização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da maneira mais eficiente para a organização como um todo. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 1).

De acordo com Hillier e Lieberman (2006), esses tipos de problema e a necessidade de solucionálos da melhor maneira criam condições necessárias para o surgimento da pesquisa operacional, cujo sucesso no empreendimento bélico despertou interesse na sua ampliação fora do ambiente militar. “À medida que se ia desenrolando o boom industrial pós-guerra, os problemas causados pela crescente complexidade e especialização nas organizações foram novamente ganhando o primeiro plano.” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 2). Conforme Hillier e Lieberman (2006), era evidente para cada vez mais pessoas, entre as quais consultores de negócios que trabalharam nas equipes de Pesquisa Operacional ou em conjunto com elas durante a guerra, que os problemas lá solucionados possuíam muita semelhança com os dos ambientes das organizações, porém agora em um contexto diferente. Foi no final dos anos 1940 e durante os anos 1950 que esses profissionais iniciaram e fixaram o emprego da Pesquisa Operacional em uma diversidade de organizações nos setores comercial, industrial e governamental. A rápida disseminação da Pesquisa Operacional foi uma consequência destas aplicações, e veio a seguir (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

PESQUISA OPERACIONAL

3. DIMENSÕES DA INFLUÊNCIA NO CRESCIMENTO DA PESQUISA OPERACIONAL Para Hillier e Lieberman (2006), é possível identificar duas dimensões que desempenharam papel fundamental no rápido crescimento da Pesquisa Operacional em aplicações que objetivavam resolver problemas nas organizações. A primeira, de acordo com Hillier e Lieberman (2006, p. 2) “[...] foi o progresso substancial feito no início em termos de melhoria das técnicas” da Pesquisa Operacional. No início da utilização, ou seja, [...] após a guerra, muitos dos cientistas que haviam participado das equipes de PO [Pesquisa Operacional] ou que ouviram falar a esse respeito motivaram-se para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo resultando em avanços importantes no estado-da-arte. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 2).

Ou seja, o mais alto nível de desenvolvimento. Um exemplo clássico e essencial deste fato é o Método Simplex para solução de problemas com programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, que atingiu um estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950 (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). A segunda dimensão que alavancou e forneceu forte ímpeto ao crescimento desse campo foi o desenvolvimento acelerado dos recursos computacionais, que inclusive foi denominado por Hillier e Lieberman (2006) “a avalanche da revolução computacional”. As técnicas de Pesquisa Operacional requerem grande volume de processamento de cálculos para o tratamento eficiente dos problemas complexos tipicamente considerados por ela. Normalmente, fazer isso à mão seria uma hipótese fora de cogitação. Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, com a capacidade de realizarem cálculos matemáticos milhares ou até mesmo milhões de vezes mais rápido que o ser humano deu um impulso enorme à Pesquisa Operacional (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Ainda com relação à dimensão dos recursos computacionais, é possível destacar outro estímulo que veio, de acordo com Hillier e Lieberman (2006), nos anos 1980 com o desenvolvimento de computadores pessoais cada vez mais poderosos munidos de excelentes pacotes de softwares específicos para emprego da Pesquisa Operacional. Atualmente, praticamente milhões de pessoas têm pronto acesso a estes tipos de software. Por conseguinte, enorme gama de computadores, que vão desde mainframes até laptops, é rotineiramente utilizada para solucionar problemas relativos à Pesquisa Operacional (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

4. A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional envolve “pesquisa sobre operações”. Portanto, é aplicada a problemas envolvendo como conduzir e coordenar as operações ou as atividades em uma organização (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). A área de atuação das organizações é essencialmente secundária para a sua aplicação e, de fato, a Pesquisa Operacional tem sido largamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura,

AULA 1 – CONHECIMENTO SOBRE A PESQUISA OPERACIONAL

transporte, construção, telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos, somente para citar algumas (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). A palavra “pesquisa” do termo significa que a Pesquisa Operacional usa uma abordagem que, de acordo com Hillier e Lieberman (2006), relembra a maneira pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos de forma geral, ou seja, em “[...] grau considerável, o método científico é utilizado para investigar o problema empresarial. De fato a expressão ‘ciências da administração’ é algumas vezes usada como sinônimo de Pesquisa Operacional” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 2). O processo se inicia com a observação e a formulação do problema, incluindo a coleta de dados que sejam inerentes e relevantes a ele. A próxima etapa é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então, da hipótese de que esse modelo é uma representação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões (soluções), obtidas do modelo também são válidas para o problema real. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 2).

A seguir, de acordo com Hillier e Lieberman (2006), são realizadas experimentações adequadas para testar essa hipótese, modificá-la conforme necessário e, eventualmente, validar algum tipo de hipótese. Essa etapa é consequentemente conhecida como validação do modelo. Observa-se que, até certo ponto, a Pesquisa Operacional envolve a pesquisa científica criativa das propriedades fundamentais das operações. Entretanto, há outros fatores envolvidos além desse. Especificamente, ela também trata da gestão prática da organização. Portanto, para ser bem-sucedida, a Pesquisa Operacional também precisa, sempre que necessário, fornecer conclusões positivas e inteligíveis para os gestores da organização (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Outra característica da Pesquisa Operacional é seu ponto de vista abrangente. Conforme implícito no parágrafo anterior, ela adota um ponto de vista organizacional. Dessa forma, ela tenta solucionar os conflitos de interesses entre as unidades da organização da maneira que seja a melhor solução para a organização como um todo (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Conforme Hillier e Lieberman (2006, p. 3), “[...] isso não implica que o estudo de cada problema deve considerar explicitamente todos os aspectos da organização; ao contrário, os objetivos buscados devem ser consistentes com aqueles de toda organização”. Uma característica adicional, segundo Hillier e Lieberman (2006), é que a Pesquisa Operacional procura, frequentemente, encontrar uma melhor solução, conhecida como solução ótima, para o problema considerado. Observa-se que se deve dizer uma melhor solução, em vez de a melhor solução, pois pode haver várias soluções consideradas como melhores (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Em vez de simplesmente melhorar a situação atual, ou seja, o status quo, o objetivo é identificar o melhor caminho a seguir. Embora ele deva ser interpretado com cuidado em termos das necessidades práticas da administração, essa busca pela “otimização” é um tema importante na Pesquisa Operacional (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Para Hillier e Lieberman (2006, p. 3) “[...] todas essas características levam quase naturalmente a mais uma. É evidente que não se espera que ninguém seja um especialista em todos os vários aspectos do trabalho” em Pesquisa Operacional ou dos problemas tipicamente considerados. Isso exigiria um grupo de indivíduos com experiência, conhecimento e habilidades diversas. Portanto, quando se realiza um estudo de Pesquisa Operacional de um novo problema, geralmente é necessário adotar-se uma abordagem de equipe (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). 9

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Uma equipe de Pesquisa Operacional desse tipo, de acordo com Hillier e Lieberman (2006, p. 3), [...] precisa, tipicamente, incluir indivíduos que coletivamente sejam altamente treinados em matemática, estatística e teoria da probabilidade, economia, administração de empresas, informática, engenharia e física, ciências comportamentais e as técnicas especiais de pesquisa.

A equipe também precisa ter a experiência necessária e diversidade de habilidades para dar a atenção adequada a muitas ramificações do problema que permeia a organização (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

5. O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional teve um impacto impressionante na melhoria da eficiência de inúmeras organizações pelo mundo (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Neste processo, a Pesquisa Operacional deu uma contribuição significativa no aumento da produtividade das economias de diversos países (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Há alguns países-membros na Federação Internacional das Sociedades de Pesquisa Operacional (Ifors), com todo o país tendo uma sociedade de pesquisa operacional nacional. Tanto a Europa quanto a Ásia possuem federações de PO [Pesquisa Operacional] para coordenar a realização de conferências internacionais e a publicação de jornais de circulação internacional nesses continentes. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 3).

O instituto para Pesquisa Operacional e Ciências da Administração (Informs) é uma sociedade de Pesquisa Operacional internacional. Entre os diversos jornais, possui o chamado Interfaces, que publica artigos regularmente descrevendo estudos importantes no campo da Pesquisa Operacional e o impacto que teriam sobre suas organizações (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Para se ter uma ideia melhor da aplicabilidade da Pesquisa Operacional, é apresentado na tabela a seguir uma amostra com quatro aplicações reais.

AULA 1 – CONHECIMENTO SOBRE A PESQUISA OPERACIONAL

Apesar da pequena amostra, é possível observar a diversidade das organizações e das aplicações nas duas primeiras colunas. A última coluna indica que essas aplicações resultaram tipicamente em uma economia anual de milhões (ou até mesmo dezenas de milhões) de dólares. Além disso, benefícios adicionais não registrados na tabela (por exemplo, melhoria nos serviços aos clientes e melhor controle gerencial) algumas vezes foram considerados até mais importantes que os benefícios financeiros. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 3).

6. NO BRASIL A Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (Sobrapo) foi fundada em 1969, após a realização, em 1968, do I Simpósio de Pesquisa Operacional, realizado no ITA, em São José dos Campos/SP. Desde então, tem reunido a grande maioria dos profissionais da Pesquisa Operacional no Brasil, tanto nas universidades como nas empresas e em órgãos públicos diversos, sejam eles federais, estaduais ou municipais. Filiada à International Federation of Operational Research Societies (IFORS) e à Associacion Latino-Ibero-Americana de Investigacion Operativa (ALIO), a Sobrapo, por meio delas e das publicações internacionais da especialidade, mantém contato com o mundo em geral, ajudando a divulgar em congressos e revistas a produção científica dos pesquisadores brasileiros. Exemplos de setores e empresas que aplicam Pesquisa Operacional no Brasil: » » setor energético (Petrobras, Furnas, Eletrobras); » » bens de consumo (Souza Cruz, Ambev, Unilever); » » agroindústrias (Sadia, Celpav, Ripasa, Copersucar); » » siderurgia (Usiminas, Belgo, Acesita, Villares Mannesmann); » » serviços (IBM, Unisoma, BNDES); » » logística (CVRD, Empresas Aéreas). A Sobrapo foi aceita em 2007 como membro da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC). Mantém sua própria revista sob o título Pesquisa Operacional, e que é indexada em International Abstracts in Operations Research, da IFORS. A Sobrapo organiza, também, simpósios anuais, tendo uma média de 500 participantes por evento. As comunicações submetidas, aceitas após criteriosa avaliação pelos pares, se apresentadas no simpósio, são publicadas nos anais.

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7. PROCESSO DE DECISÃO NA PESQUISA OPERACIONAL Conforme Lachtermacher (2009), a área de estudos que utiliza computadores, estatística e também matemática para resolver problemas de negócios é denominada Management Sciences (MS) e é considerada uma área da Pesquisa Operacional por se tratar de uma modelagem matemática aplicada à área de negócios. Entre os tipos de problemas do processo de decisão estão os problemas de: a) otimização de recursos; b) localização; c) roteirização; d) carteiras de investimento; e) alocação de recursos; f) previsão e planejamento; g) alocação de verbas de mídia.

MODELO CONCEITUAL

Há de se observar também que, na aplicação da ciência Pesquisa Operacional, são utilizadas várias técnicas, entre as quais estão a Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Teoria dos Jogos, Programação Dinâmica, Modelos de Redes também conhecidos como PERT/CPM. Algumas delas serão objeto de estudo nas próximas unidades.

AULA 2 Abordagem de Modelagem da Pesquisa Operacional

OBJETIVO Apresentar as principais fases de um estudo de Pesquisa Operacional em um formato de síntese descritiva.

INTRODUÇÃO De forma geral, os projetos de Pesquisa Operacional utilizam acentuadamente métodos matemáticos, isto é apropriado, pois essas técnicas quantitativas formam a principal parte do que é reconhecido como Pesquisa Operacional. Entretanto, como observam Hillier e Lieberman (2006), isso não implica que estudos práticos no campo da Pesquisa Operacional sejam especificamente exercícios matemáticos. Na realidade, a análise matemática normalmente representa apenas uma parte relativamente pequena do esforço total requerido.

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Portanto, nesta unidade vamos apresentar e descrever duas das principais fases de um estudo tipicamente de Pesquisa Operacional.

1. PRINCIPAIS FASES Conforme Hillier e Lieberman (2006), uma forma de sintetizar as principais fases de um estudo de Pesquisa Operacional é apresentada a seguir.

Vamos, a seguir, estudar os principais conceitos e características de cada uma das fases de um estudo de Pesquisa Operacional, conforme apresentado. Nesta unidade vamos apresentar as fases de definição do problema e de formulação do modelo matemático do problema.

2. FASE 1 – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E A COLETA DE DADOS (1) É possível observar que a maioria dos problemas de Pesquisa Operacional é descrita para as equipes de forma vaga e imprecisa. Portanto, a equipe tem de definir o problema considerado, de forma completa e com informações necessárias e suficientes para permitir o seu entendimento global. A definição do problema abrange a delimitação de seu escopo e a descrição de que quantidades configuram dados e de quais quantidades podem ser manipuladas. Além disso, a definição do problema envolve a clareza sobre qual objetivo deve ser alcançado e que eventuais limitações podem atuar para restringir as quantidades manipuladas, isto é, as alternativas de solução ou decisão para o problema. Esse processo de definição de problema é crucial, pois é difícil obter a resposta correta a partir de informações incorretas. Fator decisivo também para a equipe de Pesquisa Operacional é conseguir o sintonia com gestor ou tomador de decisão para obter seu apoio durante todo o projeto. Este processo deve observar alguns aspectos.

2.1 OBJETIVOS APROPRIADOS Identificar prioritariamente quem na organização possui o poder de decisão relativamente ao projeto. Pode ser uma pessoa ou um colegiado. 14

AULA 2 – ABORDAGEM DE MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL

Fazer com que o poder de decisão participe desde o princípio no projeto, inclusive na definição dos objetivos.

2.2 A ORGANIZAÇÃO COMO OBJETIVO Como observamos na natureza da Pesquisa Operacional, o todo é mais importante que as partes, portanto, a busca de soluções deve respeitar o bem-estar de toda a organização. Entretanto, como observam Hillier e Lieberman (2006), isto nem sempre é conveniente. Muitos problemas afetam de forma primária a uma parte da organização, de forma que a análise passaria a ser incontrolável caso os objetivos declarados fossem muito genéricos e se fosse dada consideração categórica a todos os efeitos colaterais no restante da organização. Portanto, como afirmam Hillier e Lieberman (2006, p. 9), “[...] os objetivos usados no estudo devem ser os mais específicos possíveis e, ao mesmo tempo, englobar os principais objetivos do tomador de decisões e manter um grau de consistência razoável com os objetivos mais altos da organização”. Conforme Hillier e Lieberman (2006), uma série de estudos de corporações norte-americanas revela que a gerência tende a adotar o objetivo de lucros satisfatórios, combinados com outros objetivos, em vez de focalizar na maximização de lucros no longo prazo. De forma específica, alguns desses outros objetivos podem manter lucros estáveis, o controle familiar do negócio e aumentar o prestígio da companhia. “Completando-se esses objetivos, pode ser que se alcance a maximização, porém, o interrelacionamento pode ser suficientemente obscuro para não ser conveniente incorporar todos eles nesse único projeto.” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 9). Ainda dentro desse contexto, afirma Moreira (2007[1]): “Essa fase requer a transformação de informações genéricas em um problema estruturado. Geralmente, as fronteiras iniciais de um problema são mal definidas, e a solução pode influenciar outras áreas que não aquelas que apresentam o problema original”.

2.3 CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS Existem considerações envolvendo, segundo Hillier e Lieberman (2006), responsabilidades sociais que são distintas do motivo lucro. Estas são identificadas, de acordo com os mesmos autores, como as cinco partes geralmente afetadas por uma empresa comercial e, conforme eles, são: » » os proprietários (acionistas): que desejam lucros, dividendos, valorização das ações, entre outras vantagens; » » os empregados: que desejam emprego estável com bons salários; » » o clientes: que desejam um produto confiável a preços razoáveis; » » os fornecedores: que desejam integridade e preço de venda razoável para os seus produtos; » » o governo: que deseja o pagamento de impostos e consideração pelo interesse nacional.

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Observam Hillier e Lieberman (2006) que as cinco partes dão contribuições essenciais para a empresa, e esta não deve ser vista como um servidor exclusivo de qualquer uma das partes para a exploração das demais. “Portanto, mesmo que a principal responsabilidade da gerência seja a de gerar lucros [...], percebemos que suas responsabilidades sociais mais amplas também devam ser reconhecidas” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 10).

2.4 COLETA DADOS RELEVANTES O tempo utilizado na coleta de dados não é desprezível. Estes dados são relevantes para a obtenção do entendimento preciso do problema em estudo como também para fornecer a correta entrada necessária para a formulação do modelo matemático, que é a fase seguinte na formulação do problema de Pesquisa Operacional. De forma geral, observa-se que grande parte dos dados não está disponível no início da pesquisa, seja pelo fato de nunca terem sido registrados, guardados ou até mesmo por estarem em formatos incorretos. Este fato leva, muitas vezes, à necessidade de instalar um sistema de informações gerenciais baseado em computadores para coletar os dados necessários e no formato desejado (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). A equipe de Pesquisa Operacional utilizará “[...] um tempo considerável tentando melhorar a precisão dos dados para depois se adequar e trabalhar com o que de melhor possível possa ser obtido” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 10). Este fato faz com que a equipe tenha de conseguir apoio de diversos membros e também de áreas da organização para conseguir todos os dados vitais. Confirmando esta constatação, Lachtermacher (2009[2]) afirma que “A comunicação entre os agentes decisores se torna uma das principais decisões em grupo. Dependendo de sua clareza e objetividade, ela pode se transformar em um complicador ou em um facilitador do processo”.

2.5 SELEÇÃO DOS DADOS O amplo emprego dos bancos de dados e o crescimento exponencial da capacidade de armazenamento destes tem alterado o trabalho da coleta de dados elaborado pela equipe de Pesquisa Operacional, ou seja, o problema não é encontrar os dados pouco disponíveis, e sim o fato de haver dados em demasia. Nestas condições é tarefa árdua a busca por dados relevantes, e identificar os padrões de interesse nestes dados torna-se uma tarefa desafiadora. Hillier e Lieberman (2006) observam que uma das ferramentas que ajudam nesta tarefa é o data mining. “Os métodos de data mining pesquisam grandes bancos de dados na busca de padrões de interesse que possam levar a decisões úteis” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 10). Exemplo apresentado por Hillier e Lieberman (2006):

AULA 2 – ABORDAGEM DE MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL

Um estudo de Pesquisa Operacional realizado para o Departamento de Polícia de São Francisco resultou no desenvolvimento de um sistema computadorizado para escala e emprego de patrulheiros. O novo sistema gerou uma economia anual de US$11 milhões e um aumento de US$3 milhões em receitas por multas de transito e melhoria de 20% em tempo de resposta. Ao avaliar os “objetivos apropriados” para este estudo, três objetivos foram identificados:

» » manter alto nível de segurança para o cidadão; » » manter o moral da tropa elevado; » » minimizar o custo de operações. Para satisfazer o primeiro objetivo, o Departamento de Polícia e o governo municipal estabeleceram conjuntamente um nível de proteção desejado. O modelo matemático impôs então a necessidade de que este nível de proteção fosse atingido. De forma semelhante, o modelo impôs a exigência de equilibrar a carga de trabalho entre os policiais de modo a trabalhar rumo ao segundo objetivo. Finalmente, o terceiro objetivo foi incorporado adotando o objetivo de longo prazo de minimizar o número de policiais necessários para atender esses dois primeiros objetivos (HILLIER; LIEBERMAN, 2006).

3. FASE 2 – FORMULAR UM MODELO MATEMÁTICO PARA REPRESENTAR O PROBLEMA. Em função do objeto de estudo, os métodos quantitativos podem utilizar os seguintes modelos: concretos ou abstratos. Modelos concretos ou físicos são empregados, por exemplo, em estudos de aerodinâmica, quando uma versão em escala reduzida de uma aeronave em projeto é submetida a testes em túneis de vento. Já os modelos abstratos ou matemáticos são mais usados para descrever fenômenos como movimento e equilíbrio de corpos físicos, crescimento populacional e variações climáticas, entre outros. Casualmente pode-se empregar modelos abstratos numa fase anterior à construção de modelos concretos, por exemplo, como forma de eliminar alternativas para o projeto aerodinâmico de uma aeronave. “Os modelos, ou representações ideais, são partes integrantes da vida do dia-a-dia”. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 12). Exemplos comuns são os modelos de automóveis, os retratos, os globos e assim por diante.

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De forma similar, “[...] os modelos desempenham importante papel nas ciências e no mundo dos negócios, conforme ilustrado pelos modelos do átomo, modelos da estrutura genética, equações matemáticas descrevendo leis físicas de movimentos ou reações químicas, gráficos, organogramas e sistemas contábeis industriais” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 12). Conforme Hillier e Lieberman (2006), esses modelos são inestimáveis na abstração da essência da matéria investigada, mostrando os relacionamentos e simplificando a análise. Os modelos matemáticos também são representações idealizadas, porém são expressos em termos de símbolos e expressões matemáticas. Leis da física como F = ma e E = mc2 são exemplos familiares. De forma similar, o modelo matemático de um problema de negócios é o sistema de equações e de expressões matemáticas relativas que descrevem a essência do problema. Portanto, se houver n decisões quantificáveis relacionadas a serem feitas, elas serão representadas na forma de variáveis de decisão (digamos x1, x2,..., xn) cujos valores respectivos devem ser determinados. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 12).

A construção de um modelo começa pela adoção de uma notação apropriada para as principais quantidades presentes na definição do problema. Como vimos é comum denotar por (x1, x2, ..., xn) as n quantidades manipuladas do problema. Dá-se o nome de “variáveis de decisão” a estas quantidades. Os dados do problema podem ser representados por outras letras do alfabeto e são também referidos como parâmetros do problema. A próxima ação é redefinir matematicamente o problema por meio de fórmulas, relações matemáticas ou proposições. A fórmula “função objetivo” é usada para descrever como o objetivo do problema é enunciado pelos valores das variáveis de decisão. Relações matemáticas que possuem os símbolos “=”, “≤”, “≥” e proposições gerais são utilizadas para descrever eventuais restrições para a escolha de valores para as variáveis de decisão. Os modelos matemáticos geralmente usados para problemas de planejamento orientam como o tomador de decisão deve atuar para que a solução originada do modelo alcance o objetivo proposto. Na maioria das vezes, a orientação é otimizar a “função objetivo” sujeito às restrições. Nesse caso, otimizar pode significar, dependendo do objetivo do problema, minimizar ou maximizar, ou seja, definir os valores das variáveis de decisão que levam ao menor ou maior valor para a “função objetivo”. Um modelo sintético, prescritivo, para o problema de decisão seria:

Otimizar > (Função Objetivo) Sujeito a > (Restrições)

Por exemplo, representando as variáveis de decisão através do vetor n-dimensional x = (x1; x2; ....; xn), é possível expressar tanto a “função objetivo” como as restrições em termos de x. Sejam f : Rn ! R e gi : Rn ! R, i = 1; 2; ... ; p funções de ‘n ‘ variáveis, a primeira associada à “função objetivo” e as ‘p’ seguintes às restrições do modelo. Denotando por “~” qualquer das relações “=”, “≥”, “≤”, se obtém o modelo prescritivo na forma simbólica:

AULA 2 – ABORDAGEM DE MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL

Otimizar f(x) Sujeito a g1(x) ~1 b1, g2(x) ~2 b2, . . gp(x) ~ p bp

No qual (bi; i = 1; 2; .... ; p) são valores constantes. É comum referir-se à figura anterior como modelo ou problema de otimização associado ao problema de decisão. Exemplo Na indústria petroquímica, é comum a construção de tanques para guardar produtos. O problema consiste em projetar um tanque cilíndrico com capacidade de volume mínima de “V m3”. O projeto tem o propósito de construir um tanque com a menor superfície total possível. A forma do tanque é obtida por meio do raio das áreas circulares e da altura do cilindro que o representa. É natural então definir as variáveis de decisão, x1 e x2, como raio e altura do tanque, em metros, respectivamente. Em termos das variáveis de decisão, a superfície total do tanque é dada por:

O volume do tanque é (πx12x2), ou seja, a área da base vezes a altura. Além disso, por representarem comprimentos, as variáveis de decisão podem assumir apenas valores não negativos, isto é, deve-se impor (x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0). O problema de otimização associado ao problema de projeto seria: Minimizar 2πx12+2πx1x2 Sujeito a πx12 x2≥V, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Conforme ensinam Hillier e Lieberman (2006), ao desenvolver um modelo, um método eficiente é iniciar uma nova versão bem simples e, progressivamente, ir avançando para modelos mais elaborados que reflitam de forma mais próxima a complexidade do problema na realidade. Esse processo de enriquecimento do modelo continua enquanto o modelo permanecer tratável. Uma etapa crucial na formulação de um modelo de Pesquisa Operacional é a construção da função objetivo. Ela requer o desenvolvimento de uma medida quantitativa de desempenho para cada um dos objetivos finais do tomador de decisões que são identificadas enquanto o problema está sendo definido. 19

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Se houver múltiplos objetivos, suas respectivas medidas serão comumente transformadas e combinadas em uma medida composta denominada medida de desempenho global. Essa medida global pode ser tangível, por exemplo, lucro, correspondente a um objetivo primordial da organização, ou então pode ser abstrata, por exemplo, utilidade. Neste caso, a tarefa de desenvolver-se essa medida tende a ser complexa, exigindo uma comparação cuidadosa dos objetivos e da importância relativa destes. Após ser definida a medida de desempenho global, obtém a função objetivo expressando esta medida na forma de uma função matemática das variáveis de decisão.

AULA 3 Modelagem da Pesquisa Operacional Abordagem II

OBJETIVO » » Apresentar as principais fases de um estudo de Pesquisa Operacional em um formato de síntese descritiva.

INTRODUÇÃO Na unidade anterior, estudamos que os projetos de Pesquisa Operacional utilizam acentuadamente métodos matemáticos. Isso é apropriado, pois essas técnicas quantitativas formam a principal parte do que é reconhecido como Pesquisa Operacional. Aprendemos também que Hillier e Lieberman (2006) observaram que este fato não implicava que estudos práticos no campo da Pesquisa Operacional fossem somente e especificamente exercícios matemáticos. Essa observação justifica o estudo das fases de um trabalho de levantamento e análise dos dados na Pesquisa Operacional.

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Estudamos a primeira fase – a “definição do problema” – e a segunda fase – a “formulação do modelo matemático”. Agora, nesta unidade, vamos apresentar e descrever as próximas fases de um estudo tipicamente de Pesquisa Operacional.

1. PRINCIPAIS FASES Conforme Hillier e Lieberman (2006), uma forma de sintetizar as principais fases de um estudo de Pesquisa Operacional é apresentada a seguir.

2. FASE 3 Derivando Soluções a partir do Modelo (3) Depois da formulação do modelo matemático para o problema em questão, a próxima fase de um estudo de Pesquisa Operacional consiste em desenvolver um procedimento, que usualmente utiliza computador, para derivar solução que atenda o modelo em questão. Esta fase do processo envolve verificar se o modelo adotado e a solução obtida por meio dele são compatíveis com a realidade do problema. Se todas as características relevantes do problema tiverem sido levadas em conta na modelagem, a solução obtida será implementável. Caso contrário, um novo ciclo de modelagem e obtenção de solução terá de ser desenvolvido. Suponha, por exemplo, que a área da base do tanque, exemplo utilizado na unidade anterior, revela-se maior do que a área disponível para colocá-lo, uma característica que não foi considerada inicialmente na modelagem. Uma possibilidade seria definir um raio máximo X1 para a base e incorporar ao modelo uma restrição do tipo X1< X1. Uma nova solução ótima seria obtida e o processo repetido, até que não mais restassem diferenças significativas entre modelo e realidade. Um tema comum em Pesquisa Operacional é a busca de uma solução ótima ou da melhor solução possível. De fato, muitos procedimentos foram desenvolvidos para descobrir soluções para certos tipos de problemas. Entretanto, não podemos esquecer que essas soluções são ótimas em relação ao modelo apresentado.

AULA 3 – MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL ABORDAGEM II

Hillier e Lieberman (2006) observam que o cientista Herbert Simon, ganhador de um prêmio Nobel em Economia, indicou que na prática nós buscamos uma solução suficientemente boa e cunhou para isso a denominação “satisficing”. Que consiste na combinação das palavras em inglês satisfactory e optimizing (satisfatório e otimização). Assim, ao contrário de procurar o ótimo, podem ser buscados níveis de desempenho satisfatórios. Desta forma, podem ser estabelecidos níveis mínimos de desempenho satisfatórios em diversas áreas, baseado em níveis de desempenho passado ou em outros, por exemplo, que estão sendo realizados pela concorrência. Uma solução ótima para o modelo original pode estar longe do ideal, para o problema real, de forma que seja necessária uma análise adicional. Desta forma, é possível uma análise pós-otimalidade, que consiste em uma análise feita após encontrar-se uma solução ótima. Assim, é possível perceber, através da pós-otimalidade, o que acontece com a solução ótima caso sejam feitas mudanças no modelo. O advento de softwares de planilhas poderosos auxilia de forma decisiva este procedimento. Um dos pontos fortes desses softwares é a facilidade de uso, o que permite ver o que acontece à solução ótima quando são feitas alterações no modelo, procedimento este que pode ser feito pelo próprio usuário do modelo. Esse processo pode ser muito útil para compreender o comportamento do modelo e aumentar a confiança em sua validade. Conforme destaca Lachtermacher (2009), o processo de resolução de um problema pode ser apresentado em cinco etapas consecutivas, que podem, entretanto, ser repetidas dependendo da situação. Contudo, vale ressaltar que a identificação do problema, que talvez pareça a mais simples de todas as etapas, pode apresentar-se complexa em diversas situações. A má definição do problema não levará certamente a uma solução ótima, o que pode desestabilizar o modelo e levar a perdas de tempo e esforço.

Figura 1 – As etapas do Processo de Resolução. Fonte: Adaptada de Lachtermacher (2009).

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3. FASE 4 Testando e Aprimorando o Modelo (4) Desenvolver um modelo matemático de grandes dimensões é análogo, sob certos aspectos, a desenvolver um programa de computador muito extenso. Assim, quando a primeira versão estiver terminada, ela inevitavelmente conterá muitos erros. Finalmente, após uma longa sucessão de programas mais aperfeiçoados, o programador (ou equipe de programação) concluirá que o programa atual, de forma geral, está dando resultados razoavelmente válidos. Embora alguns pequenos erros indubitavelmente ainda permaneçam ocultos no programa, é inclusive possível que talvez jamais venham a ser detectados, os principais erros foram suficientemente eliminados de maneira que o programa possa ser usado de forma confiável. De modo semelhante, a primeira versão de um modelo matemático de grandes dimensões pode também apresentar falhas. Alguns fatores ou inter-relacionamentos relevantes, sem dúvida, não foram incorporados ao modelo, e alguns parâmetros indubitavelmente ainda não foram estimados corretamente. Hillier e Lieberman (2006) afirmam que isso é inevitável dada a dificuldade de comunicação e de compreensão de todos os aspectos e as sutilezas de um problema operacional complexo e em razão da dificuldade em coletar dados confiáveis. Portanto, antes de usar o modelo, ele deve ser amplamente testado para tentar identificar e corrigir o maior número possível de falhas. Finalmente, após longa sucessão de aperfeiçoamentos do modelo, a equipe de Pesquisa Operacional conclui que ele agora está apresentando resultados válidos. Embora, sem dúvida nenhuma, ainda restam algumas imperfeições ocultas no modelo, e como em um sistema de software talvez jamais sejam descobertas, as principais falhas foram eliminadas para se poder dizer que o modelo agora pode ser usado de forma confiável. Moreira (2007) observa também que à parte de possíveis problemas técnicos que podem ser acarretados por uma solução que foi obtida por via matemática, existem também os problemas de natureza humana. É claro que os problemas técnicos podem ser minimizados, se o modelo foi bem construído, com variáveis relevantes e restrições sendo levadas em conta. De qualquer forma, a implementação poderá implicar alguma mudança para alguns indivíduos na organização. No sentido de aprimorar o modelo, Moreira (2007) sugere algumas etapas definindo-as como: » » definição da situação-problema; » » formulação de um modelo quantitativo; » » resolução do modelo e encontro da melhor solução; » » consideração dos fatores imponderáveis; » » implementação da solução. Hillier e Lieberman (2006) informam que esse processo de teste e aperfeiçoamento de um modelo para aumentar sua validade é comumente referido como validação de modelos. É difícil descrever como a validação de modelos é feita, pois o processo depende em grande parte da natureza do problema em questão e do modelo que está sendo usado.

AULA 3 – MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL ABORDAGEM II

Uma vez que a equipe de PO [Pesquisa Operacional] pode gastar meses desenvolvendo todas as partes detalhadas do modelo, é fácil “se perder nos detalhes”. Por isso, após os detalhes da versão inicial do modelo serem completados, uma boa maneira de se iniciar a validação do modelo é dar uma nova olhada rápida nele como um todo em busca de erros óbvios ou descuidos. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 17-18).

De acordo com Hillier e Lieberman (2006, p.18), “[...] o grupo que efetua essa revisão deve preferivelmente incluir pelo menos um indivíduo que não tenha participado da formulação do modelo. Reexaminar a definição do problema e compará-la com o modelo pode ser útil na detecção de erros”. Também é útil certificar-se de que todas as expressões matemáticas são dimensionalmente consistentes nas unidades utilizadas. Pode-se obter insight adicional sobre a validade do modelo variando-se os valores dos parâmetros ou as variáveis de decisão e checando-se se a saída gerada pelo modelo se comporta de forma plausível. Isso é especialmente revelador quando são atribuídos a parâmetros ou variáveis valores extremos próximos de seus máximos ou mínimos. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 18).

Conforme Hillier e Lieberman (2006, p. 18), “[...] uma abordagem mais sistemática para testar o modelo é usar um teste de retrospectiva. Quando aplicável, esse teste envolve o emprego de dados históricos para reconstruir o passado e depois determinar qual teria sido o desempenho do modelo e da solução resultante, caso eles tivessem sido usados”. De acordo com Hillier e Lieberman (2006), a comparação da eficiência desse desempenho do modelo hipotético com o que realmente aconteceu indicará, portanto, se a utilização desse modelo tende a gerar melhoria significativa em relação à prática atual. Para os mesmos autores, a comparação ainda poderá apontar áreas em que o modelo possui pontos falhos e precisa de modificações. Usando-se soluções alternativas do modelo e estimando-se seus desempenhos históricos hipotéticos, também podem ser colhidas evidências consideráveis referentes à quão bem o modelo prevê os efeitos relativos à adoção de caminhos alternativos. No outro modelo, uma desvantagem do teste retrospectivo é o fato de ele usar os mesmos dados que orientaram a formulação do modelo. A questão crucial é se o passado é verdadeiramente representativo do futuro. Se não for, então o modelo deve ter desempenho bem diferente no futuro do que teria tido no passado. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 18).

Para contornar essa desvantagem do teste retrospectivo, algumas vezes, conforme Hillier e Lieberman (2006), é útil manter temporariamente a situação atual. Dessa maneira, de acordo com os mesmos autores, serão fornecidos dados que não se encontravam disponíveis quando o modelo foi construído. Esses dados, segundo Hillier e Lieberman (2006), são utilizados da mesma maneira que aquelas descritas aqui para avaliar o modelo. “É importante documentar o processo usado para validação dos modelos. Isso ajuda a aumentar o grau de confiança no modelo para usuários subsequentes. Além disso, se no futuro surgirem preocupações em relação ao modelo, essa documentação será útil para diagnosticar onde podem estar os problemas”. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 18).

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Exemplo apresentado por Hillier e Lieberman (2006) Um projeto de Pesquisa Operacional foi realizado para a IBM, com o objetivo de integrar sua rede nacional de estoques de peças de reposição com o intuito de melhorar os serviços de suporte aos clientes. O resultado desse estudo foi um novo sistema de estoques com benefícios aos serviços prestados aos clientes, e também uma diminuição no valor dos estoques de US$250 milhões, além de poupar US$20 milhões anuais pela melhor eficiência operacional. Um aspecto interessante na fase de validação do modelo desse estudo foi a forma como os futuros usuários do sistema foram incorporados ao processo de teste. Eles foram nomeados como conselheiros para a equipe de Pesquisa Operacional e, com isso, eliminou-se o ceticismo com relação ao futuro sistema.

4. FASE 5 Preparando para Aplicar o Modelo (5) Nesta fase, faz-se questionamento quanto ao que ocorre após a fase de teste ter sido concluída e um modelo aceitável ter sido desenvolvido. Segundo Hillier e Lieberman (2006), se o modelo for para ser utilizado repetidamente, a etapa seguinte é instalar um sistema, que deve estar bem documentado, para aplicação do modelo de acordo com o prescrito pela gerência. Esse sistema incluirá o modelo, o procedimento de solução (inclusive análise de pós-otimalidade) e os procedimentos operacionais para implementação. Depois disso, mesmo quando houver mudanças de pessoal, o sistema poderá ser chamado em intervalos regulares para fornecer uma solução numérica específica. Esse sistema geralmente é baseado em computadores. De fato, normalmente um número considerável de programas de computador precisa ser usado e integrado. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 19).

Como explicam Hillier e Lieberman (2006), sistemas de aplicativos de informações gerenciais e sistemas de bancos de dados podem fornecer entradas atualizadas para o modelo cada vez que ele for usado, nesse caso serão necessários programas que fazem interface entre os vários sistemas aplicativos utilizados. Após um procedimento de solução, que é elaborado por um programa, ser aplicado ao modelo, programas de computador adicionais podem disparar automaticamente a implementação dos resultados (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Em outros casos, segundo Hillier e Lieberman (2006), um sistema interativo baseado em computador denominado sistema de apoio à decisão é instalado para ajudar os usuários a utilizar dados e modelos para dar suporte às suas decisões, conforme necessário. Aqui é importante destacar que é dar suporte à decisão, e não substituir a decisão. Outro programa pode gerar relatórios gerenciais, na linguagem operacional da administração, que interpretam a saída do modelo e suas implicações para a aplicação (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Na maioria dos estudos de Pesquisa Operacional, de acordo com Hillier e Lieberman (2006), podem ser necessários vários meses para desenvolver, testar e instalar esse sistema computacional. Parte desse esforço envolve o desenvolvimento e a implementação de um processo para manutenção do sistema com seu uso no futuro. “À medida que as condições mudam ao longo do tempo, esse

AULA 3 – MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL ABORDAGEM II

processo deve modificar de acordo o sistema computacional” (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 19). Observa-se que até o modelo pode sofrer alterações ao longo do tempo. Exemplo, conforme Hillier e Lieberman (2006) O estudo de Pesquisa Operacional apresentado no exemplo da fase anterior é também um bom exemplo de um sistema computacional particularmente grande na aplicação de um modelo. O sistema desenvolvido, chamado Optimizer, fornece controle otimizado dos níveis de serviço e dos estoques de peças de reposição por meio da rede de distribuição da IBM nos Estados Unidos, que inclui dois armazéns automatizados, dezenas de centros de distribuição em campo e de estações de peças e milhares de localizações externas. O estoque de peças mantido nessa rede é avaliado em milhões de dólares. O Optimizer é composto de quatro módulos principais. O primeiro é o módulo de sistema de previsão, que possui poucos programas para estimar taxas de falhas de tipos individuais de peças. O segundo é o módulo de sistema de entrega de dados, o qual consiste em aproximadamente cem programas que processam mais de quinze gigabytes de dados para fornecer a entrada para o modelo. O terceiro é o módulo de sistema de apoio à decisão, que soluciona semanalmente o modelo para otimizar o controle dos estoques. O quarto módulo abrange seis programas que integram o Optimizer no Sistema de Gerenciamento de Estoques de Peças da IBM. Este é um sofisticado sistema de controle e informações formado por milhares de linhas de códigos de programas.

5. FASE 6 IMPLEMENTAÇÃO (6) Após um sistema ter sido desenvolvido para aplicação de um modelo, a última fase de um estudo de Pesquisa Operacional é implementar esse sistema conforme prescrito pela gerência (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Essa é uma fase crítica, pois apenas aqui que os frutos do estudo são colhidos. Portanto, é importante para a equipe de PO [Pesquisa Operacional] participar do lançamento dessa fase tanto para garantir que as soluções do modelo se traduzam precisamente em um procedimento operacional como para retificar quaisquer falhas nas soluções que venham a ser descobertas. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 20).

O sucesso da fase de implementação, conforme Hillier e Lieberman (2006), depende bastante do suporte da alta gerência e da gerência operacional. Segundo Hillier e Lieberman (2006), é mais provável que a equipe de Pesquisa Operacional receba esse apoio caso ela tenha mantido a gerência bem informada e tenha estimulado a orientação ativa da gerência ao longo do curso do estudo. Como lembram Hillier e Lieberman (2006), uma comunicação eficaz ajuda a garantir que o estudo realize o que a gerência deseja e também proporciona aos gerentes maior senso de propriedade do estudo, o que encoraja seu apoio à implementação.

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A fase de implementação envolve várias etapas Inicialmente, a equipe da Pesquisa Operacional dá à gerência operacional uma detalhada explicação sobre o novo sistema a ser adotado e como ele se relaciona com as realidades operacionais (HILLIER; LIEBERMAN, 2006). Em seguida, conforme Hillier e Lieberman (2006), essas duas partes compartilham a responsabilidade pelo desenvolvimento de procedimentos necessários para colocar esse sistema em operação. A gerência operacional vê então que um doutrinamento detalhado é dado para o pessoal envolvido e o novo rumo a ser trilhado tem inicio. Se for bemsucedido, o novo sistema poderá ser usado por anos. Tendo isso em mente, a equipe de PO [Pesquisa Operacional] monitora a experiência inicial com as medidas adotadas e procura identificar quaisquer modificações que possam ser feitas no futuro. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 21).

Segundo Hillier e Lieberman (2006), ao longo de todo o período no qual o novo sistema está sendo utilizado, é importante continuar a obter um retorno de como o sistema vem se comportando e se as suposições do modelo continuam a ser satisfeitas. Quando ocorrerem desvios significativos das suposições iniciais, o modelo deve ser revisto para determinar se é necessário fazer alguma modificação no sistema. A análise de pós-otimalidade feita anteriormente [...] pode ser útil na orientação desse processo de revisão. (HILLIER; LIEBERMAN, 2006, p. 21).

Depois do encerramento de um estudo, é conveniente, segundo Hillier e Lieberman (2006), que a equipe de Pesquisa Operacional documente sua metodologia de forma clara e suficientemente precisa para que o trabalho possa ser reproduzível. A permissão de reproduzir deve fazer parte do código de ética profissional do especialista em Pesquisa Operacional. Exemplo: Ainda considerando o sistema desenvolvido para a IBM chamado Optimizer, apresentado nas fases anteriores, foi preciso um planejamento cuidadoso para implantar o complexo sistema. Conforme Hillier e Lieberman (2006), três fatores provaram ser particularmente importantes para se obter uma implementação de sucesso. O primeiro foi a inclusão de uma equipe de usuários ao longo de todo estudo, o que permitiu criar sensação de propriedade nesta equipe. O segundo foi um intenso e abrangente teste de aceitação por parte dos usuários no qual identificaram possíveis problemas. O terceiro fator importante foi a implementação gradual, com testes cuidadosos em cada fase, para que erros pudessem ser corrigidos antecipadamente.

AULA 4 Programação Linear

OBJETIVO » » Apresentar a técnica Programação Linear estudando, de forma conceitual, a sua formulação e metodologia.

INTRODUÇÃO A Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional mais usadas para solucionar problemas que tenham variáveis possíveis de serem medidas e cujos relacionamentos possam ser otimizados. Os problemas de Programação Linear buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para atender a determinado objetivo, que, geralmente, é maximizar lucros ou minimizar custos. Esse objetivo é expresso por uma função linear, denominada “Função Objetivo”. É preciso que se definam quais as atividades consomem recursos e em que proporções eles são consumidos. Esses relacionamentos são expressos através de equações e/ou inequações lineares, uma para cada recurso envolvido. Ao conjunto dessas equações e/ou inequações, denomina-se “Restrições do Modelo”.

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Normalmente, há várias formas de distribuir os recursos escassos entre as diversas atividades em estudo. Para isso, é suficiente que essas distribuições estejam coerentes com as restrições identificadas no modelo. Entretanto, o que se quer, num problema de Programação Linear, é a “Função Objetivo”, ou seja, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. Essa solução é denominada solução ótima. Desta forma, a Programação Linear deve determinar a solução ótima para o problema, uma vez definido o modelo linear, ou seja, a “Função Objetivo” e as restrições lineares contidas no modelo. Moreira (2007) observa que é possível caracterizar o problema da Pesquisa Operacional quanto à sua solução através Programação Linear sob duas características.

1. AS DUAS CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR a) Maximização ou minimização da combinação de variáveis A combinação de variáveis pode ser expressão do custo de algumas operações industriais ou comerciais, do custo de transporte de mercadorias, do lucro obtido com a venda de produtos, do lucro conseguido com aplicações financeiras, entre outras. Uma expressão matemática que recebe o nome de “Função Objetivo” deve expressar a combinação de variáveis a que se chegam quando da formulação do problema. Um exemplo de uma “Função Objetivo” é apresentado a seguir.

8x + 6y X e y representam variáveis de interesse, combinadas sempre na proporção 8 unidades de x para 6 unidades de y. O modelo de Programação Linear pode ser estruturado para maximizar ou para minimizar o resultado desta expressão. É claro que sempre existem os limites sobre as quantidades de x e y, como é visto a seguir. Observe: O nome “Linear” advém do fato de que tanto a expressão que forma a função objetivo, quanto às restrições, são expressas linearmente, ou seja, todas as variáveis aparecem com expoente igual à unidade.

b) Restrições de recursos As restrições ou impossibilidades criam a condição de que nunca é possível obter um lucro, por exemplo, tão grande quanto se queira, ou um custo tão pequeno quanto se deseja. Por exemplo, seria ótimo produzir o máximo possível de dois produtos, desde que não existisse restrição de demanda para ambos. Entretanto, não existe matéria-prima suficiente, nem horas disponíveis de máquinas, nem funcionários, entre outras restrições.

AULA 4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR

Portanto, há de se buscar uma combinação ótima para atingir o melhor lucro possível, dadas as restrições práticas impostas pelo problema. Observa-se, então, que um problema típico de Programação Linear possui duas partes. A primeira é uma expressão que se deseja maximizar ou minimizar denominada “Função Objetivo”. Nela encontram-se as variáveis fundamentais – denominadas “Variáveis de Decisão” – cuja quantidade será a solução do problema. A segunda é composta de restrições apresentadas em forma de equações ou inequações matemáticas. Essas restrições representam limitações reais, por exemplo, escassez de recurso ou limitação legal.

2. DIRETRIZES PARA A FORMULAÇÃO DE MODELOS São os “Parâmetros” e as “Variáveis de Decisão” que devem nortear a formulação de um modelo de Programação Linear. “Parâmetros” consistem em valores fixos, que não podem ser controlados por quem cria o modelo. Esses valores não podem ser alterados, ou seja, fazem parte do problema, porém não estão sob discussão. Por outro lado, as “Variáveis de Decisão”, conforme já vimos, são as grandezas que poderão assumir vários valores, e existe uma combinação de valores que irá maximizar ou minimizar a “Função Objetivo”. Observa-se que as “Variáveis de Decisão” aparecem tanto na função objetivo quanto nas restrições. Os “Parâmetros”, por sua vez, aparecem como coeficientes das variáveis de decisão ou como valores máximos ou mínimos de grandezas que comporão o modelo. Em geral, as “Variáveis de Decisão” são representadas por letras, conforme segue:

x, y, z… ou X, Y, Z ou, ainda, x1, x2, x3, entre outros. Quando as relações são lineares, significa que as “Variáveis de Decisão” podem ser combinadas de forma linear. Por exemplo, se a produção de uma unidade de certo produto custar R$10, é possível concluir que o custo para produzir x unidades será 10x. Por outro lado, se o custo para fabricar outro produto for R$17, o custo para fabricar y unidades será 17y, portanto o custo total para fabricar os dois produtos nas quantidades x e y será “10x+17y”. A Programação Linear é denominada “Inteira” quando é necessário que pelo menos uma das “Variáveis de Decisão” assuma valores inteiros. Quando não há essa exigência, ou seja, quando as “Variáveis de Decisão” podem assumir valores inteiros ou não, a denominação da Programação Linear é “Simples”. O estudo desta unidade faz referência, mesmo não citando, à Programação Linear Simples. Um problema será mais interessante e desafiador quando a sua formulação, ou seja, sua colocação na forma padronizada da Programação Linear, for mais complexa, contendo diversas variáveis de decisão. O principal problema ocorre com a solução, que, muitas vezes, necessita do uso de computadores. Atualmente isso não é problema, pois os softwares de solução para Programação Linear são fáceis de serem conseguidos.

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Conforme Moreira (2007), quando o problema tem apenas duas variáveis de decisão, é possível solucioná-lo por meio de um procedimento gráfico. Há também um procedimento algébrico padrão denominado e conhecido como “Método Simplex”.

3. MAXIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Quer seja na maximização ou na minimização, quando da formulação de um problema, é necessário, em princípio, reconhecer os “Parâmetros”, as “Variáveis de Decisão” e as “Restrições” contidas no modelo. Observe o exemplo apresentado por Moreira (2007): Uma fábrica produz dois produtos denominados, produto A e produto B. Em seu processo, utilizam as máquinas denominadas M1 e M2. A programação da produção utiliza essas máquinas também para outros produtos. Portanto, a M1 tem disponível 24 horas para os produtos A e B, enquanto a M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na M2. Cada unidade do produto A, quando vendida, gera um lucro de R$80, e cada unidade do produto B gera um lucro de R$60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, o que não ocorre com o produto A, pois não apresenta restrições quanto à demanda. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições apresentadas (MOREIRA, 2007). Solução: Nesse problema, as variáveis de decisão são facilmente identificáveis. Elas são as quantidades que podemos e devemos produzir dos produtos A e B para que o lucro obtido com a sua venda seja o maior possível. Existe uma hipótese a ser considerada que consiste em que tudo que for produzido dos produtos A e B será vendido, lembrando que no caso do produto B serão, no máximo, 3 unidades. Portanto, a solução para o problema é factível e será implementada. Caso tenhamos mais de 3 unidades para a produção do produto B, podemos concluir que nos enganamos em algum ponto, pois não respeitamos a restrição que determina que a quantidade do produto B seja no máximo de 3 unidades, visto que o excedente não será vendido. Objetivando facilitar a consulta evitando a busca das informações no conteúdo da descrição da formulação do problema sempre que necessário, é recomendável elaborar uma tabela com a síntese dos dados mostrados no enunciado original. Veja tabela a seguir:

Observe que todos os dados estão sintetizados na tabela.

AULA 4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR

Portanto, podemos iniciar a formulação. Função Objetivo: A função objetivo é formada por uma combinação das variáveis de decisão. Consideremos a variável x como a quantidade de produtos A e y a quantidade produtos B que deverão ser fabricados e que, supostamente, serão totalmente vendidos. X e y fornecerão, portanto, a solução ao problema de Programação Linear apresentado. Como cada unidade de A proporciona um lucro de R$80 e cada unidade de B, um lucro de R$60, a formulação inicial é dada na seguinte expressão:

Maximizar 80x + 60y Restrições: Por um lado, as restrições fazem referência à escassez de recursos e, por outro, a limites impostos sobre as ações na tentativa de maximizar a função objetivo. No problema, os recursos escassos se apresentam como o número limitado de horas de máquina, quer seja na M1 ou na M2. Não será possível gastar mais que 24 horas na máquina M1 ou mais que 16 horas na M2, isto pode ser apresentado por uma notação simbólica conforme segue:

Horas consumidas na máquina M1 ≤ 24 Horas consumidas na máquina M2 ≤ 16 Agora representaremos as horas gastas em função de x e y, que são as incógnitas do problema. É necessário sempre colocar as restrições em função de uma ou mais incógnitas do problema. Cada unidade de A consome 4 horas de trabalho na máquina M1 e cada unidade de B consome 6 horas na mesma máquina. Portanto, temos:

Horas consumidas na máquina M1 = 4x + 6y Já o produto A consome 4 horas de trabalho na máquina M2 e cada unidade de B consome 2 horas na mesma máquina. Logo temos:

Horas consumidas na máquina M2 = 4x + 2y Reescrevendo as restrições de horas nas máquinas temos: 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 No entanto, ainda há a restrição de que não podem ser fabricadas mais que 3 unidades do produto B, pois esta é a sua demanda máxima. Então temos: 33

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y≤3 Neste caso, Moreira (2007) observa que não é conveniente deixar uma variável de decisão sem seu coeficiente, caso ele seja igual a 1. É claro que, por convenção, geralmente não escrevemos 1y, mas quando estivermos entrando com dados em um sistema de computador precisamos lembrar que y quer dizer 1y. Portanto, ao invés de escrever y ≤ 3 devemos escrever 0x + 1y ≤ 3. Finalmente, existem as chamadas “condições de não negatividade”. De acordo com elas, as variáveis de decisão não podem ter valores negativos, pois não há sentido físico para que isso ocorra. Então, temos: x≥0 y≥0 Neste caso não é preciso colocar 0 ou 1, porque as condições de não negatividade são automaticamente assumidas na solução e não entradas [1]no sistema de computador, o próprio sistema interpreta estas condições. Formulação Completa A formulação completa é assim escrita:

Maximizar 80x + 60y Sujeito a 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 0x + 1y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 0 É possível solucionar um problema como esse – que possui duas variáveis – utilizando um procedimento gráfico ou um procedimento numérico (denominado Simplex). Por enquanto, vamos apenas fornecer a resposta: x=3 y=2 Observe a função objetivo:

80x + 60y --> (80 * 3) + (60 * 2) = 240 + 120 = 360 ou R$360,00 Observe que os recursos disponíveis são totalmente consumidos com a solução encontrada, pois:

M1 = 4x + 6y ≤ 24 -->(4 * 3) + (6 * 2) = 12 + 12 = 24 horas M2 = 4x + 2y ≤ 16 --> (4 * 3) + (2 * 2) = 12 + 4 = 16 horas Na próxima unidade, apresentaremos a solução deste problema pela solução gráfica. 34

AULA 4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR

4. MINIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Para desenvolver a minimização da função objetivo, vamos trabalhar também com um problema com duas variáveis de decisão. Observe que a sequência dos passos necessários é a mesma do processo de maximização da função objetivo visto no tópico anterior. Por exemplo: Uma empresa deseja misturar dois tipos de alimentos para obter uma ração especial para alimentar suas galinhas poedeiras. O primeiro objetivo com a nova ração é conseguir o menor preço possível por unidade de peso. Cada um dos alimentos possui os nutrientes necessários à ração final (aqui denominados de X, Y e Z), porém em proporções variáveis. Cada 100 gramas do alimento 1 possui 10 gramas do nutriente X, 50 gramas do nutriente Y e 40 gramas do nutriente Z. Por outro lado, cada 100 gramas do alimento 2 possui 20 gramas do nutriente X, 60 gramas do nutriente Y e 20 gramas do nutriente Z. Cada 100 gramas do alimento 1 custa R$0,60 e cada 100 gramas do alimento 2 custa R$0,80. O produto final deve ter, pelo menos, 2 gramas do nutriente X, 64 gramas do nutriente Y e 34 gramas do nutriente Z. É preciso obedecer a essa composição, minimizando ao mesmo tempo o custo por peso da nova ração. Solução: Observe que o problema consiste em misturar dois alimentos, alimento 1 e alimento 2, para conseguir uma nova ração, com uma composição de nutrientes X, Y, Z. Observe que em princípio existem inúmeras possibilidades de combinação. Vamos imaginar como montaremos a nova ração. Em princípio, será uma combinação dos dois alimentos, ou seja, x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2. Portanto, x e y são as “Variáveis de Decisão”. A tabela a seguir apresenta as relações entre os três nutrientes, os dois alimentos e a nova ração.

Observe que todos os dados estão sintetizados na tabela. Portanto, podemos iniciar a formulação. Função Objetivo: Uma combinação das variáveis de decisão constitui a função objetivo. O problema neste caso é de minimização, portanto, deveremos utilizar x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2 para compor “x + y” gramas da nova ração. Lembre-se que x e y devem assumir tais valores para que seu custo total seja o menor possível.

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Observe: se cada 100 gramas do alimento 1 custa R$0,60, um grama custaria 0,60/100 e x gramas custaria 0,60x/100, ou 0,006x. De forma análoga, para o alimento 2, y gramas custaria 0,80x/100, ou 0,008y. Portanto, é necessário: Minimizar 0,006x + 0,008y Restrições: Inicialmente veja as restrições descritas em palavras, antes de sua formulação em função de x e y. Observe: a) a quantidade total de nutrientes X, em x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2, deve ser pelo menos igual a 2 gramas; c) a quantidade total de nutrientes Y, em x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2, deve ser pelo menos igual a 64 gramas; d) a quantidade total de nutrientes Z, em x gramas do alimento 1 e y gramas do alimento 2, deve ser pelo menos igual a 34 gramas. Observando a tabela anterior é possível identificar que: » » x gramas do alimento 1 possui, respectivamente: 10x/100 gramas do nutriente X, ou 0,1x gramas do nutriente X 40x/100 gramas do nutriente Y, ou 0,4x gramas do nutriente Y 50x/100 gramas do nutriente Z, ou 0,5x gramas do nutriente Z » » y gramas do alimento 2 possui, respectivamente: 20y/100 gramas do nutriente X, ou 0,2y gramas do nutriente X 60y/100 gramas do nutriente Y, ou 0,6y gramas do nutriente Y 20y/100 gramas do nutriente Z, ou 0,2y gramas do nutriente Z Portanto, a restrição em forma matemática será: 0,1x + 0,2y ≥ 2 (para o nutriente X) 0,4x + 0,6y ≥ 64 (para o nutriente Y) 0,5x + 0,2y ≥ 34 (para o nutriente Z) Formulação Completa: A formulação completa é assim escrita:

Minimizar 0,006x + 0,008y Sujeito a 0,1x + 0,2y ≥ 2 (para o nutriente X) 0,4x + 0,6y ≥ 64 (para o nutriente Y) 0,5x + 0,2y ≥ 34 (para o nutriente Z) x ≥ 0 y ≥ 0 Um problema que possui duas variáveis como esse pode ser solucionado tanto por meio de um procedimento gráfico como por meio de um procedimento numérico (denominado Simplex). Vamos simplesmente fornecer a resposta. A solução do problema é: x = 34,5 gramas 36

y = 83,6 gramas

AULA 4 – PROGRAMAÇÃO LINEAR

Estas quantidades, conforme pode ser observado, correspondem a 64 gramas do nutriente Y, 34 gramas do nutriente Z e, com folga, 20,1 gramas do nutriente X. A soma de x + y = 118,1 gramas, formados por 20,1 g do nutriente X, 64 g do nutriente Y e 64 g do nutriente Z, corresponde a um custo de R$0,88. Por exemplo, nutriente Y: 0,4x + 0,6y ≥ 64 --> [(0,4 * 34,5) + (0,6 * 83,6)] = 13,8 + 50,16 = 63,96 = 64 Por exemplo, nutriente X: 0,1x + 0,2y ≥ 2 --> [(0,1 * 34,5) + (0,2 * 83,6)] = 3,41 + 16,72 = 20,13 = 20 Por exemplo, nutriente Z: 0,5x + 0,2y ≥ 34 --> [(0,5 * 34,5) + (0,2 * 83,6)] = 17,05 + 16,72 = 33,77 = 34 Observa-se que a composição de x e de y corresponde a uma proporção, que pode ser escrita de várias maneiras.

AULA 5 Programação Linear – Solução Gráfica

OBJETIVO » » Apresentar a técnica Programação Linear na aplicação de problemas com duas variáveis pela solução gráfica.

INTRODUÇÃO Um problema de programação linear com apenas duas variáveis de decisão pode, em princípio, ser resolvido graficamente, apesar de, em certos casos, apresentar alguma poluição visual. O fato de possuir apenas duas variáveis de decisão permite representá-las em um par de eixos ortogonais, que representa a base para a colocação gráfica de retas que delimitarão as restrições.

PESQUISA OPERACIONAL

Observa-se que a solução gráfica somente se aplica a problemas bem simples, como os exemplos que estudamos na unidade anterior, que possuíam somente duas variáveis de decisão. Entretanto possui uma vantagem didática bem acentuada, a de permitir que o estudante tenha acesso à visualização lógica que acompanha a solução. Isso permitirá, de forma mais simples, o entendimento do procedimento algébrico (método Simplex), que é adotado para a solução de problemas simples, e também os mais complexos, que possuem muitas variáveis de decisão.

1. MAXIMIZAÇÃO – SOLUÇÃO GRÁFICA Retornando ao problema apresentado na unidade anterior, ou seja, a produção dos produtos A e B que utilizavam as máquinas M1 e M2 na operação. Lembrando que havia restrições de tempo na utilização das máquinas e que cada produto tinha consumo distinto de tempo por máquina. Quanto ao retorno sobre as vendas, o produto A apresentava um lucro de R$80,00 por unidade vendida enquanto o produto B, um lucro de R$60,00 também por unidade vendida. Portanto o problema se resumia em maximizar o lucro definindo quantas unidades dos produtos A e B deveriam ser produzidos. Na sua formulação final, vimos que o problema apresentou o seguinte: Maximizar 80x + 60y Sujeito a 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 0x + 1y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 0 Como já observamos, toda solução gráfica é realizada por meio de um conjunto de dois eixos ortogonais, que representam as variáveis de decisão. Portanto, haverá um eixo para a variável x que representa a quantidade a produzir do produto A. Um eixo para variável y que representa a quantidade a fabricar do produto B. Vamos representar a variável x no eixo horizontal e a variável y no eixo vertical, sabendo que se isso for invertido em nada influenciará na solução definitiva. a) Primeira restrição Observe então a solução gráfica para a primeira restrição, que consiste na quantidade de horas que podem ser gastas na máquina M1, ou seja, no máximo 24 horas. 4x + 6y ≤ 24 Transformando a inequação em uma equação, temos: 4x + 6y = 24 Buscando a restrição em x, vamos fazer “y = 0”, temos: 4x = 24 → x = 24/4 → x = 6 este é o ponto onde a reta encontra o eixo x.

AULA 5 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO GRÁFICA

Por outro lado, fazendo “x = 0”, temos: 6y = 24 → y = 24/6 → y = 4 este é o ponto onde a reta encontra o eixo y.

A região na figura anterior, delimitada pela reta encontrada e pelos eixos x e y, é denominada de “Região Permissível”, ou “Região Possível”. Para qualquer ponto da reta, de coordenadas (x, y), vale que 4x + 6y = 24 e, para qualquer ponto da região permissível, vale que 4x + 6y < 24. b) Segunda restrição Agora a solução gráfica para a segunda restrição, que consiste na quantidade de horas que podem ser gastas na máquina M2, ou seja, no máximo 16 horas. 4x + 2y ≤ 16 Transformando a inequação em uma equação, temos: 4x + 2y = 16 Buscando a restrição em x, vamos fazer “y = 0”, temos: 4x = 16 → x = 16/4 → x = 4 este é o ponto onde a reta encontra o eixo x. Por outro lado, fazendo “x = 0”, temos: 2y = 16 → y = 16/2 → y = 8 este é o ponto onde a reta encontra o eixo y.

De forma semelhante à primeira restrição, a região na figura anterior, delimitada pela reta encontrada e pelos eixos x e y, é denominada de “Região Permissível”, ou “Região Possível”. Para qualquer ponto da reta, de coordenadas (x, y), vale que 4x + 2y = 16 e, para qualquer ponto da região permissível, vale que 4x + 2y < 16.

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c) Terceira restrição Agora a solução gráfica para a terceira restrição consiste demanda máxima do produto B, ou seja, ao valor máximo de y, que foi representado por: 0x + 1y ≤ 3

Observe que é relativamente simples entender que qualquer valor abaixo de reta paralela ao eixo x passando pelo ponto y = 3 atende a restrição e representa a “Região Permissível”. d) As três restrições em um só gráfico A seguir, as representações gráficas das três restrições apresentadas em um só gráfico.

Agora, as restrições apresentadas anteriormente delimitam uma região comum – o polígono, representado pelas letras PQRST. Portanto, os pontos que estão dentro dessa região, ou sobre as retas que a compõem, obedecem às três restrições ao mesmo tempo. Os pontos PQRST são denominados de “pontos extremos da região permissível”.

AULA 5 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO GRÁFICA

2. DEMONSTRAÇÃO DOS PONTOS EXTREMOS Observe que sem dificuldade obtemos as coordenadas para os pontos P, Q e T, vejam: P = (x = 0; y = 0) – que representa a origem dos eixos. Q = (x = 4; y = 0) T = (x = 0; y = 3) O ponto S possui coordenada y = 3; o valor de x corresponde a 4x + 6y = 24, portanto:4x + 6(3) = 24 então 4x + 18 = 24 → 4x = 24 – 18 → x = 6/4 X = 3/2, portanto: S = (x = 3/2; y = 3) O ponto R é o encontro das retas 4x + 6y = 24 e 4x + 2y = 16, que representam os limites das horas disponíveis para a produção nas máquinas M1 e M2, respectivamente. Portanto, uma combinação linear das duas equações apresenta um par (x, y). Ao subtrair as equações membro a membro, teremos: (4x – 4y) + (6y – 2y) = (24 – 16), então (0 + 4y) = 8 → y = 8/4 → y = 2. Ao substituir o valor de y = 2 em qualquer uma das equações originais, por exemplo, na equação da restrição de horas da maquina M1, teremos: 4x + (6*2) = 24; então 4x + 12 = 24 → 4x = 24 – 12 → x = 12/4 → x = 3. R = (x = 3; y = 2) Agora conhecemos o polígono que apresenta as soluções possíveis, do qual conhecemos também as coordenadas dos pontos extremos. Sabemos que a solução está no polígono, porém onde? Para encontrarmos a solução vamos enunciar uma propriedade dos pontos extremos, a qual não será demonstrada, mas que será intuitivamente clara ao entendimento. Num dos pontos extremos da região permissível, encontra-se a solução ótima ao problema.

Aceita a propriedade, a pergunta agora é: em qual dos pontos extremos encontraremos a solução ótima? A resposta é simples. Basta substituir as coordenadas de todos os pontos possíveis na função objetivo, que em nosso problema é: (80x + 60y), e verificar quais delas fornecem o valor máximo. Observe os resultados na tabela a seguir.

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Portanto, o ponto extremo R é a solução do problema apresentado quanto à maximização, ou seja, x = 3 e y = 2. Valores estes que apresentamos na unidade anterior, informando que foi calculado pelo método Simplex com uso de computador. É possível graficamente determinar qual é o ponto extremo que apresenta a solução ótima. Basta trabalhar com a função objetivo (80x + 60y). Essa função determina uma família de retas paralelas no plano dos eixos y, y. Ao definirmos qualquer uma dessas retas, todas as outras serão paralelas a ela. O valor 240 é múltiplo de 80 e 60. Considerando: 80x + 60y = 240, encontraremos: x = 3 e y = 4, que representam os pontos onde a reta encontra os eixos x e y, respectivamente. Veja a figura seguinte.

Levando a reta paralelamente a si mesma para a direita, o ponto R será o último ponto a ser encontrado, ou seja, R é o ponto extremo mais “extremo”. Ele é a solução, com a reta 80x + 60y valendo 360.

3. ALGUNS DESTAQUES SOBRE A PROGRAMAÇÃO LINEAR » » A Programação Linear é um dos mais populares modelos matemáticos, aplicável a problemas quantitativos cujos relacionamentos possam ser expressos por meio de equações e inequações lineares. » » Existe sempre uma combinação de variáveis que devem ser maximizadas ou minimizadas em um modelo de Programação Linear. Essa combinação de variáveis, na forma de uma expressão matemática é denominada “função objetivo”. » » Também existem restrições, representadas por equações e inequações matemáticas em todo modelo de Programação Linear. As restrições representam limitações existentes na situação real.

AULA 5 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO GRÁFICA

» » Parâmetros são valores fixos e independentes de quem elabora o modelo de Programação Linear. Grandezas que têm a possibilidade de assumir diversos valores são chamadas de variáveis de decisão. É importante ressaltar que há certa combinação de valores, a qual maximizará ou minimizará a função objetivo. » » Problemas de Programação Linear com apenas duas variáveis de decisão podem ser resolvidos pelo método gráfico. O método denominado Simplex pode resolver problemas com duas ou mais variáveis. » » Num dos pontos extremos da região permissível, encontra-se a solução a um problema de Programação Linear. » » Quando não há solução que satisfaça ao mesmo tempo todas as restrições colocadas, não haverá solução ao problema de Programação Linear.

AULA 6 Programação Linear – Método Simplex

OBJETIVO » » Apresentar o conceito e a forma como o algoritmo do método Simplex elabora as soluções.

INTRODUÇÃO O método Simplex é um algoritmo utilizado na resolução de problemas de Programação Linear. Basicamente, o método Simplex consiste em solucionar repetidas vezes um sistema de equações lineares. Dessa maneira, é obtida uma sucessão de soluções, na qual uma é melhor que a outra, até que se atinja uma otimização do sistema de equações lineares apresentadas.

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Desenvolvido por George Dantizig (1947), provou ser um método extremamente eficiente para o uso rotineiro no sentido de solucionar problemas imensos com o uso de computadores. Exceto pelo seu emprego em problemas de pouca complexidade, esse método é sempre executado utilizandose pacotes específicos de softwares sofisticados que são largamente disponíveis no mercado (por exemplo, o Lingo). Hillier e Lieberman (2006) observam que extensões e variações do método Simplex também são usadas para análise de pós-otimalidade no modelo.

1. O MÉTODO SIMPLEX O método Simplex é um procedimento algébrico, entretanto, seus conceitos subjacentes são geométricos, portanto, entendê-los é importante para obtenção de uma forte sensação intuitiva de como o método Simplex opera e o torna tão eficiente, consistindo em uma metodologia que envolve uma sequência de cálculos repetitivos por meio dos quais é possível chegar à solução de um problema de programação linear. Essa sequência de cálculos recebe o nome de algoritmo. Embora simples, os cálculos são tediosos, e para problemas com três ou mais variáveis de decisão pode-se facilmente errar em alguma das etapas, invalidando assim todos os esforços. Razão pela qual rapidamente foram elaborados programas de computador para trabalhar com algoritmo. Os estudantes do método devem, no entanto, entender qual a lógica por trás do cálculo, para que não tenham a impressão de que o Simplex é apenas uma sequência sem sentido e difícil de reter na memória, de operações numéricas simples. O desejável seria que todos os estudiosos de programação linear tivessem acesso a um microcomputador, para que pudessem concentrar-se na estruturação e formulação dos problemas, atividade que exige intelectualmente bem mais do estudante, sendo bem mais estimulante. Por esse motivo e, para o entendimento conceitual, vamos nos restringir a exemplos abordando problema simples, com duas ou, no máximo, três variáveis de decisão. Antes de passar ao Simplex, ou a sequência de cálculos que o constitui, vejamos como, na verdade, ele funciona. Comecemos com os conceitos de variável de folga e de solução básica de um problema de programação linear.

2. VARIÁVEIS DE FOLGA E SOLUÇÕES BÁSICAS Para o que se segue, vamos nos apoiar no exemplo de maximização de capítulo anterior. Queríamos maximizar o lucro devido à venda de dois produtos, A e B, sob três restrições, sendo duas delas representadas por horas disponíveis em máquinas, M1 e M2, e a terceira representada por uma limitação da demanda do produto B. A formulação completa do problema era a seguinte:

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

Maximizar Sujeito a

80x + 60y 4x + 6y ≤ 24 (restrição de horas disponíveis na máquina M1) 4x + 2y ≤ 16 (restrição de horas disponíveis na máquina M2) 0x + 1y ≤ 3 (restrição da demanda máxima do problema B) x≥0 y≥0

É possível transformar as inequações, que refletem as restrições, em equações, acrescentando novas variáveis a cada uma delas. Na restrição de horas disponíveis na máquina M1, por exemplo, podemos acrescentar a variável s1, obtendo: 4x + 6y + s1 = 24 Essa nova variável é chamada de variável de folga (slack, em inglês, daí a designação usual pela letra s). O nome folga é dado porque muitas vezes pode-se associar essa variável a recursos não utilizados ou não aproveitados. Gráfico de Restrições: Maximização No caso da restrição que estamos analisando, s1 representa total de horas disponíveis na máquina M1, não utilizado. Por exemplo, se x = 0 e y = 3, que representa o ponto extremo T no gráfico, temos: 4(0) + 6(0) + s1 = 24, portanto, s1 = 24 -18 onde s1 = 6. Nesse caso, ou seja, para esse ponto extremo T, s1 indica que 6 horas disponíveis na máquina M1 não serão utilizadas. Claramente, tem-se sempre que s1 ≥ 0.

Da mesma forma acrescentamos a folga s2 que representa total de horas disponíveis na máquina M2, temos: 4x + 2y + s2 = 16. Nesse caso, s2 representam horas disponíveis na máquina M2 e não utilizadas. Tomando o mesmo ponto extremo T da figura anterior, temos: 4(0) + 2(3) + s2 = 16, portanto, s2 = 16 - 6 em que s2 = 10. Observe que ponto extremo T corresponde a 10 horas disponíveis não utilizadas na máquina M2. Quanto à folga s3 que representa demanda possível do produto B não atendida (lembre-se que o problema definiu como 3 unidades no máximo a produção para o produto B), temos: 0x + 1y + s3 = 3 Tomando o mesmo ponto extremo T da figura anterior temos:

PESQUISA OPERACIONAL

0x + 1(3) + s3 = 3, portanto, s3 = 3 - 3 onde s3 = 0. Isso significa que no ponto extremo T são produzidas as três unidades possíveis do produto B. Observe que também s2 ≥ 0 e s3 ≥ 0 ou, ainda, de uma forma geral, que qualquer variável de folga deve ser maior ou igual a zero. Observe que, quando introduzimos as variáveis de folga, transformamos as inequações em equações, portanto devemos colocá-las em todas as inequações existentes e também na função objetivo. Quando uma variável de folga não aparecer em uma inequação, nós a colocamos com coeficiente zero. No caso da função objetivo, todas as variáveis de folga devem aparecer com coeficiente zero. Temos, portanto, o seguinte quadro de formulação: Maximizar Sujeito a

80x + 60y + 0s1 + 0s2 + 0s3 4x + 6y + 1s1 + 0s2 + 0s3 = 24 4x + 2y + 0s1 + 1s2 + 0s3 = 16 0x + 1y + 0s1 + 0s2 + 1s3 = 3

Apesar de não acontecer no exemplo que estamos estudando, é bom saber que o Simplex exige que o segundo lado das equações não seja um número negativo. Observe que chegamos a um sistema indeterminado, pois temos cinco incógnitas (x – y – s1 – s2 – s3) e apenas três equações. Sempre que o número k de incógnitas (k=5, no nosso caso), o sistema será indeterminado, ou seja, não poderemos chegar aos valores finais das variáveis. Por outro lado, se fixarmos os valores de (k – q) variáveis, o número de variáveis desconhecidas tornase igual ao número de equações, e o sistema torna-se determinado, ou seja, será possível determinar o valor das variáveis desconhecidas restantes. No nosso exemplo, deveríamos fixar o valor de duas variáveis, de modo a obter o valor das outras três. Fixando no exemplo, vamos supor que fixamos as variáveis, duas a duas, como sendo iguais a zero. As duas variáveis igualadas a zero são uma solução não básica ao problema de programação linear. Por sua vez, as “q” variáveis restantes, calculadas, são chamadas de uma solução básica que pode ser possível ou não, dependendo de os valores encontrados para as variáveis obedecerem ou não às restrições. Vamos analisar o que acontece com os valores das cinco variáveis nos pontos extremos da região possível. Para facilitar o entendimento, reproduzimos a seguir o gráfico da unidade anterior que mostra a região possível e os pontos extremos para o problema de maximização em pauta. Para cada um desses pontos, suas coordenadas definem um par de valores (x, y), e já sabemos que a solução de um problema de programação linear está em um dos pontos extremos dessa região; como todos os pontos pertencem às regiões permissíveis, todos os pontos extremos representam soluções básicas possíveis.

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

Gráfico de Restrições: Maximização

Tomando os valores (x, y) em cada um dos pontos e substituindo nas equações a que chegamos na nova formulação, é possível construírmos a tabela apresentada a seguir.

Observe que, em qualquer um dos pontos extremos, existem sempre duas variáveis com valores nulos. Em termos gerais, podemos enunciar: Em um problema de programação linear com “k” incógnitas e “q” equações, nos pontos extremos da região possível tem-se sempre (k – q) incógnitas com valor igual a zero.

É essa propriedade que fornece o modus operandi do Simplex, pois a solução encontra-se em um dos pontos extremos. Fazendo-se conjuntos diferentes de (k – q) incógnitas iguais a zero, determinam-se soluções básicas possíveis. Com os valores das variáveis assim obtidos, determina-se o valor correspondente da função objetivo e, portanto, chega-se à solução ótima. É o que explicaremos um pouco mais na seção seguinte, quando veremos (intuitivamente) como funciona o Simplex.

PESQUISA OPERACIONAL

3. COMO OPERA O SIMPLEX O Simplex é somente uma sequência de cálculos simples levando à solução de um problema de programação linear. É interessante, porém, ter uma visão geral de como progridem esses cálculos, o que pode ser feito com o auxílio da região permissível delimitada no gráfico que mostra a região possível e os pontos extremos para o problema de maximização em pauta, reproduzido anteriormente. Como já sabemos, os pontos P, Q, R, S e T são os pontos extremos da região possível. Em cada um desses pontos, o Simplex fará uma interação, até chegar à solução do problema. O Simplex começa sempre testando a origem (ponto P) como solução. Na origem, x = 0 e y = 0, e o valor da função objetivo também é zero. A origem não é solução, mas é o ponto de partida para o Simplex. Da origem, o Simplex passa ao ponto Q, em que x = 4 e y = 0, porque a variável x é a que, sozinha, dá a maior contribuição isolada ao lucro expresso na função objetivo (o coeficiente de x é 80, enquanto o de y é menor, ou seja, 60). Do ponto Q, o Simplex passa ao teste do ponto R, que melhora ainda mais a solução, e onde, aliás, se encontra a solução do problema. Aí se encerram as interações, já que o valor da função objetivo é máximo nesse ponto. A técnica implica a geração de uma série de cálculos que são colocadas em forma de tabela. Cada tabela gerada recebe o nome de tableau. Cada interação do Simplex (ou seja, cada teste de um ponto extremo) corresponde à criação de um tableau. O tableau é construído de tal forma que, inspecionando a sua linha mais baixa, é possível dizer se a solução que ele representa é ou não a melhor possível. O primeiro tableau corresponde à origem, em que o valor da função objetivo é zero. Melhora-se essa solução, passando-se outro ponto extremo da região permissível. Havendo outro ponto extremo em que a solução seja ainda melhor, para lá se deslocarão os cálculos, e assim por diante até que a melhor solução possível seja encontrada.

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

Exemplo de Solução pelo Simplex: Maximização Em um primeiro momento, vamos ilustrar a sequência de cálculos do Simplex usando um exemplo que vai levar a dois tableaux apenas. O primeiro tableau, ou tableau inicial, como já observamos anteriormente, corresponde à origem, com x = y = 0. O problema que estamos tratando é de maximização, apenas com restrições do tipo ≤. Porém, o modelo trata também outros tipos de restrições, por exemplo, ≥ ou meramente =, e trata também com problemas de minimização. Consideramos o seguinte problema de maximização: Maximizar Sujeito a

x + 2y 3x + 4y ≤ 24 5x + 2y ≤ 20 x ≥ 0 y≥0

O tableau inicial parte do problema colocado de forma genérica, como veremos a seguir. 1) Construindo um tableau inicial Vamos colocar o problema em forma genérica, transformando as inequações em equações, com a ajuda de variáveis de folga: 3x + 4y + 1s1 + 0s2 = 24 5x + 2y + 0s1 + 1s2 = 20 A colocação de coeficientes zero para s2 na primeira equação e s1 na segunda, respectivamente, não é mera filigrana. Os coeficientes nulos comporão o primeiro tableau, e é conveniente que estejam evidentes nas equações. É preciso também alterar a função objetivo (alterar na forma, não na substância) para incorporar as novas variáveis de folga. Tanto s1 como s2 devem aparecer na função objetivo, com coeficientes nulos. A nova formulação (completa) que deverá ser a base para o primeiro tableau é a seguinte:

Maximizar Sujeito a

1x + 2y + 0s1 + 0s2 (função objetivo) 3x + 4y + 1s1 + 0s2 = 24 5x + 2y + 0s1 + 1s2 = 20

Observe que o problema está escrito de uma forma que facilita bastante a montagem do primeiro tableau, que passaremos agora a construir passo a passo. Uma parte desse tableau é construída tomando-se os coeficientes como aparecem na formulação, distribuídos da forma a seguir, que configura um aspecto parcial do primeiro tableau.

PESQUISA OPERACIONAL

Tabela 1 - Primeiro Tableau - Parcial

Analisemos a tabela 1, que apresenta quatro linhas distintas. Na primeira delas estão listadas as contribuições de cada variável à função objetivo, dadas pelos coeficientes dessas variáveis na própria função objetivo. Como s1 e s2 em nada contribuem, aparecem com coeficientes zero, como já foi visto. A segunda linha é uma espécie de “linha guia”, pois lista os elementos básicos que constituem o tableau. Da esquerda para a direita, aparece primeiro cj, que mostrará a contribuição, para a função objetivo, das variáveis presentes na solução, ou seja, aquelas que estão sendo testadas. No caso da tabela 1, os dois valores de cj são iguais a zero (ver coluna de cj), pois correspondem a s1 e s2. Ainda na segunda linha, vem em seguida a coluna de “variáveis da solução”, que indicará quais as variáveis que compõem a solução presente, no caso as variáveis de folga s1 e s2, por onde se começa a construção do primeiro tableau. A segunda linha lista, em seguida, as variáveis que aparecem na função objetivo e nas restrições, ou seja, x e y, e as variáveis de folga, s1 e s2. A coluna bj indica o lado direto das restrições, e a relação bj/aij indica um cálculo intermediário na sequência de cálculos do Simplex, cuja utilidade será vista mais adiante. Observe que, na tabela 1, os números que aparecem nas colunas de x-y-s1-s2 e bj são copiados exatamente das restrições, ou seja, são os coeficientes das variáveis e os valores do lado direito das restrições. Como o tableau inicial corresponde a x = y = 0, ou seja, à origem dos eixos, x e y, os valores de s1 e s2, lidos diretamente na coluna bj representam recursos ociosos, que não estão sendo usados. Falta ainda uma parte a acrescentar na tabela 1 para que se complete o primeiro tableau. Duas linhas serão ainda colocadas, a linha Z e a linha C - Z. A linha Z terá seus valores nas colunas de x-y-s1-s2 e bj. Dada uma coluna qualquer, correspondente a uma dada variável, o valor da linha Z nessa coluna indica a redução na função objetivo que ocorreria se uma unidade da variável fosse acrescentada à solução. O valor da linha C - Z, sob uma dada coluna, indica o acréscimo potencial à função objetivo se uma unidade da variável fosse acrescentada à solução. Embora, em nosso exemplo, para o tableau inicial a linha Z seja uma linha só de zeros, é útil enunciar uma regra geral para sua construção e aplicá-la desde o começo.

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

Para calcular a linha Z, partimos das linhas que representam as variáveis na solução – em nosso caso presente, as linhas de s1 e s2. Multiplicam-se os coeficientes das variáveis e os lados direitos das restrições, em cada coluna, pelos valores cj correspondentes que se encontram à esquerda, e somam-se os produtos. Essas somas, coluna a coluna, constituem a linha Z. Vejamos:

Importante: a soma sob a coluna bj, na linha Z, indica sempre o valor da função objetivo associado com o tableau. Sabíamos já que, no caso do primeiro tableau, esse valor era igual a zero, pois x = y = 0. Para calcular a linha C-Z, em cada coluna, subtraímos a linha Z, coluna a coluna, dos coeficientes das variáveis na função objetivo. Vejamos:

Definidas as linhas Z e C – Z, é possível completar o tableau inicial, representado na tabela 1. Dado que o tableau está completo, segue-se a pergunta: como saber se a solução que ele representa é a solução ótima? Em outras palavras, como saber se a solução x=y=0 é ótima? A regra para teste da solução consiste em observar se na linha C - Z os valores são todos nulos ou negativos, então a solução ótima foi encontrada. Em nosso exemplo, é possível observar que a linha C - Z revela ainda a existência de dois valores positivos, veja na tabela completa abaixo.

Tabela 2 - Primeiro Tableau - Completo

Esta condição, ou seja, a existência de valores positivos, define que devemos continuar a caminho do segundo tableau, rumo a uma nova solução.

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2) Construindo o segundo tableau O segundo tableau começa com a consideração de qual variável fornece, isoladamente, a maior contribuição à função objetivo. Basta, para tanto, inspecionar a linha C-Z que acabamos de construir, pois ela mostra, coluna a coluna, a contribuição de cada unidade da variável respectiva à função objetivo. Claramente a variável y é a que fornece essa maior contribuição, com o valor 2. Isso quer dizer que, a cada unidade de y acrescida à solução, a função objetivo crescerá duas unidades. Na terminologia da função linear, diz-se que, nesse caso, y é a “variável que entra” no tableau, o que se dará à custa de outra “variável que sai”. É aqui que entra o cálculo bj/aij. Para descobrir a “variável que sai”, divide-se cada valor bj pelo valor correspondente (na mesma linha) na coluna da variável que entra, que é y. A linha em que aparecer o menor coeficiente indica a variável que sairá. Veja o leitor os cálculos na tabela abaixo:

Quem deve sair, portanto, é a variável s1, pois apresenta a menor relação bj/aij (24/4=6). Novos valores deverão ser determinados, tanto para a linha variável que sai como para as linhas das outras variáveis (em nosso tableau, há apenas mais uma linha, a da variável s2). A linha da variável que sai recebe o nome de linha principal. Vamos entender a forma para determinação da nova linha principal. O número que aparece na intersecção da coluna da variável que entra (y) com a linha principal da variável que sai (s1) é chamado de elemento pivô, e tem importante papel. No caso em estudo, esse elemento vale 4. Para obter os novos valores da linha principal, todos os valores da antiga linha principal são divididos pelo pivô. Veja na tabela a seguir.

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

Determinação da nova linha variável s2. A variável s1 saiu do tableau, entrando em seu lugar a variável y. Encontramos já os novos valores da linha principal, e vamos agora determinar novos valores para a outra variável, que permaneceu no tableau, ou seja, s2. Em primeiro lugar, determinemos o número que se encontra na intersecção da linha da variável s2 com a coluna da variável que entrou no tableau (y). Esse número é 2. Procedimento para definir a nova linha de s2: a) multiplicar cada valor da linha principal (já determinada) pelo número encontrado no cruzamento referido (número 2):

c) os valores resultantes são agora subtraídos da antiga linha de s2:

Até o momento, o segundo tableau, que não está completo, tem o seguinte aspecto:

Tabela 3 - Segundo Tableau - Parcial

Para completar o segundo tableau, precisamos das linhas Z e C-Z. A linha Z ficará assim:

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A linha C-Z ficará, portanto:

Estamos agora em condições de apresentar o segundo tableau completo, que está na tabela abaixo.

Tabela 4 - Segundo Tableau - Completo

A inspeção da linha C-Z nos indica que encontramos a solução ótima, já que todos os valores são nulos ou negativos. Observando a coluna bj, é possível observar que X = 0, pois ele não aparece, enquanto que o valor de Y = 6 e o valor da função objetivo é 12. Façamos um exercício complementar útil, visando checar o resultado. Vamos substituir os valores de x = 0 e y = 6 nas restrições:

Pode-se notar que as restrições foram obedecidas, embora existam 8 unidades de recursos não aproveitados, incorporadas pela variável de folga s2.

AULA 6 – PROGRAMAÇÃO LINEAR – MÉTODO SIMPLEX

No gráfico a seguir, que mostra a solução gráfica do problema que acabamos de solucionar pelo Simplex, o leitor pode observar como o Simplex operou nesse caso. A região possível é determinada pelo quadrilátero ABCD. Inicialmente foi feito o teste do ponto A, a origem, com a solução x = 0 e y = 0. Em seguida, fomos movidos diretamente para o ponto D, em que x = 0 e y = 6, que é a solução ótima, encontrada com apenas duas interações, ou seja, dois tableaux.

AULA 7 Modelo de Redes – CPM – Parte I

OBJETIVO » » Apresentar o modelo de redes como técnica de solução de problema em Pesquisa Operacional, destacando especificamente o modelo CPM (Método do Caminho Crítico). Nesta unidade vamos estudar sua conceituação e definição das primeiras datas de início.

INTRODUÇÃO Os modelos de redes são utilizados, de forma geral na Pesquisa Operacional, em situações que uma representação gráfica permite uma melhor análise e, por consequência, melhores resultados. Importantes problemas, conforme observa Lachtermacher (2009), de otimização, como os de distribuição logística, de energia, de produção, são eficientemente resolvidos se modelados como problemas de redes.

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Os modelos de redes são cada vez mais utilizados, incluindo o mundo dos negócios. Por possuírem algumas vantagens, os modelos de rede facilitam a visualização das relações entre os componentes do sistema em análise, melhorando o entendimento do problema e de seus possíveis resultados. Uma coleção de nós ligados entre si por um conjunto de arcos forma os diagramas denominados rede. Observa-se que os nós são também conhecidos por eventos ou vértices, e os arcos podem também ser denominados setas. Veja a figura a seguir que apresenta componentes de uma rede. Componentes de uma Rede

Os problemas modelados como redes apresentam, geralmente, números associados aos nós e aos arcos, ou aos eventos, e às setas. O significado de cada valor varia de acordo com o tipo de problema com o qual se está lidando. Por exemplo, em problemas de transportes modelados como redes, os números associados aos nós podem representar a quantidade de produtos ofertada ou demandada, ao passo que os valores associados aos arcos podem refletir o custo de transporte ou o tempo, ou ainda a distância entre um nó e outro (SILVA et al., 2014). Veja a figura a seguir que apresenta valores de um problema. Componentes de uma Rede com Valores

AULA 7 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE I

1. SOLUÇÃO PELO MODELO DE REDES Conforme Lachtermacher (2009), diversos problemas de tomada de decisão e otimização de resultados, encontrados no mundo real, podem ser categorizados como problemas de rede. Por exemplo: a) transporte; b) escala de produção; c) rede de distribuição; d) menor caminho; e) fluxo máximo; f) caminho crítico.

1.1. TRANSPORTE Um tipo de problema real muito especial e comum de pesquisa operacional é conhecido como problema de transporte. Essa classe de problema recebeu este nome porque seu método de resolução, denominado método de transporte, foi inicialmente utilizado para determinar o menor custo de transporte entre diversas fábricas de um produto e diversos centros de distribuição para consumidores. O problema de transporte básico e aquele que se deseja determinar entre as várias maneiras de distribuição de um produto e aquela que resultará no menor custo de transporte entre as fábricas e os centros de distribuição.

1.2. ESCALA DE PRODUÇÃO De forma similar ao problema de transporte, a modelagem da rede pode ser aplicada em problemas de escala de produção e designação. O importante é a forma de visualizar o problema, que neste caso vai considerar as variáveis, tais como demanda, capacidade e disponibilidade de mão de obra inerente ao problema em estudo.

1.3. REDE DE DISTRIBUIÇÃO Problemas que consideram múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por onde os produtos simplesmente passam são denominados problemas de rede de distribuição. Os problemas de transporte podem ser considerados uma simplificação do problema de rede de distribuição de custo mínimo em que as localizações intermediárias não existem (SILVA et al., 2014).

1.4. MENOR CAMINHO O problema do menor caminho, conforme Lachtermacher (2002), representa um caso especial de problemas de rede, em que os arcos significam a distância entre dois pontos, representado pelos nós ou eventos. Quando se deseja encontrar a rota que une esses pontos com a menor distância entre as possíveis rotas, tem-se um problema de menor caminho. Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado à distribuição de energia, entre outros. Em problemas de menor caminho, existirão sempre dois tipos de eventos especiais, denominados de origem e destino (SILVA et al., 2014).

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Entre um evento de origem e um evento de destino geralmente existem eventos intermediários, que podem representar cidades que conectam rodovias, subestações com problemas de distribuição de energia, entre outros problemas com características semelhantes (SILVA et al., 2014).

1.5. FLUXO MÁXIMO O tipo de problema de fluxo máximo é utilizado quando é necessário maximizar a quantidade de fluxo de um ponto de origem para um ponto de destino e o problema apresenta restrições de capacidade de fluxo nos arcos (LACHTERMACHER, 2002). Esses problemas geralmente envolvem, segundo Lachtermacher (2002), o fluxo de materiais, tais como água, óleo, gás, energia, por uma rede de tubos ou cabos, mas também podem representar o fluxo máximo de carros em uma malha rodoviária, de produtos em linhas de produção, entre outras situações similares. Como definimos no objetivo desta unidade, vamos estudar com detalhes o Método do Caminho Crítico.

2. MÉTODO DO CAMINHO CRÍTICO O Método do Caminho Crítico, também conhecido como CPM (Critical Path Method), é um modelo para encontrar entre as atividades do problema em estudo as tarefas que não possuem flexibilidade de mudança de datas e que devem ser concluídas dentro de um prazo determinado (RUGGIERI, 2010). Observa-se que as atividades são representadas pelos arcos ou pelas setas do diagrama. As atividades que não possuem um caminho crítico possuem folga em seus prazos nas datas de entregas. No final, essas atividades podem ser concluídas e geralmente não comprometem o cronograma do problema em geral (RUGGIERI, 2010). É importante compreender a sequência do caminho crítico e não crítico para saber onde existe e onde não existe flexibilização no problema em estudo (TAVARES et al., 1996). O Método ainda mostra a sequência de tarefas e a duração total do problema em estudo, de tal forma que, segundo Tavares et al. (1996), fornece informação útil para que se possa elaborar um modelo de gestão dos recursos necessários em função das restrições aliadas às tarefas críticas, conseguindo então um processo equilibrado durante toda a realização e solução do problema. O método consiste em encontrar nas atividades do problema em estudo a sequência delas que apresenta folga igual a zero, ou seja, a sequência de atividades que não pode sofrer atraso para não comprometer o resultado desejado. Este conjunto de atividades é denominado de Caminho Crítico. O gestor envolvido na solução do problema deverá estar atento às atividades do caminho crítico e acompanhá-las de perto, pois, se alguma delas atrasar, a solução do problema ficará comprometida. A técnica pode ser utilizada para programação e controle de qualquer produto onde as atividades possuam interdependência. Fatores como prazo, custo e recursos são gerenciados pelo método. Vamos apresentar os principais conceitos e a lógica da montagem da rede e o algoritmo utilizado para determinação do “caminho crítico” e também o cálculo das folgas. Não apresentando, entretanto, outros desdobramentos, por exemplo, controle dos recursos, decorrentes dos cálculos elaborados pelo método.

AULA 7 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE I

Os desdobramentos citados podem ser mais facilmente executados com o auxílio de software específico que opera esta técnica, por exemplo, Microsoft Project, também conhecido como MS Project.

3. REPRESENTAÇÃO DE UM PROJETO Por exemplo, um projeto pode ser constituído de um conjunto de atividades (também denominadas operações) independentes. Este é representado graficamente através uma rede, conforme mostra a figura a seguir: Rede do Projeto com Atividades

Na representação se observam cinco eventos. Cada círculo representa um evento, (como já vimos, o círculo também é conhecido por nó) e seis atividades representadas pelas setas (como já vimos, as setas também são conhecidas por arcos), essas atividades são identificadas pelas letras de A até F. Analisando a rede, é possível concluir que a atividade A e a atividade E não possuem atividades precedentes e podem ser elaboradas em paralelo, desde que os recursos estejam disponíveis. Entretanto, a atividade B depende do término da atividade A para que possa ser iniciada. Portanto, em termos de representação, temos: » » eventos 1 e 2 representam a atividade A; » » eventos 2 e 4 representam a atividade B; » » eventos 4 e 5 representam a atividade C; » » eventos 3 e 4 representam a atividade D; » » eventos 1 e 3 representam a atividade E; » » eventos 3 e 5 representam a atividade F. Atribuindo-se uma duração para cada atividade, é possível determinar em quanto tempo é possível completar o projeto. Se para cada atividade for designado o tipo de recurso necessário, a quantidade e o custo de cada um deles, é possível também conseguir controlar o custo do projeto e a quantidade física de cada um dos recursos alocados ao projeto e em cada unidade de tempo. Veja na tabela a seguir.

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A projeção do custo por atividade é a duração da atividade multiplicada pela quantidade do recurso e pelo custo unitário. A tabela a seguir apresenta o custo total por atividade e do projeto.

4. FASES PARA ELABORAÇÃO DE UM MODELO DE REDES As principais fases são descritas a seguir. 1) Definir o que é o projeto e previsão de início e término. 2) Dividir o projeto em atividades de tal forma que não tenham sobreposição entre elas. 3) Identificar a lógica de sequência entre as atividades, analisando que lógica é independente do nível de recursos existentes. Depende de outra ou de outras. E atividades podem não apresentar dependência entre si. 4) Construir a rede do projeto. 5) Determinar a duração de cada atividade na rede. 6) Determinar o tipo e a quantidade de recursos necessários para desenvolver a atividade. 7) Determinar o custo de cada recurso. 8) Determinar o caminho crítico através do algoritmo. 9) Elaborar o cronograma do projeto.

5. DETERMINAÇÃO DO CAMINHO CRÍTICO Vamos utilizar como exemplo para determinar o caminho crítico um projeto que apresenta um conjunto de atividades representadas na tabela a seguir. Essa tabela também é conhecida como “Tabela de Precedência”.

AULA 7 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE I

Observe que a atividade A e a atividade E não possuem dependência de nenhuma outra atividade, porém são atividades precedentes. A atividade A precede a atividade B, enquanto a atividade E é precedente das atividades D e F.

5.1. ALGORITMO DO CAMINHO CRÍTICO O algoritmo do caminho crítico consiste em definir as PDI (Primeira Data de Início) e UDI (Última Data de Início). A rede a seguir apresenta a descrição e a duração das atividades conforme a Tabela de Precedência anterior. A atividade e a duração são separadas por vírgula, por exemplo, A, 3 identifica a atividade A com a duração de 3 dias. Veja a seguir. Rede com Atividades e Durações

Convenção para o registro das PDI e UDI no diagrama da rede Existem duas formas, mais usuais, de identificar o evento com as PDI e as UDI, apresentadas a seguir. Utilizaremos em nosso estudo a forma 2.

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Determinação da primeira data de início (PDI) Inicialmente determinamos as primeiras datas de início, ou seja, as primeiras datas em que é possível, logicamente, iniciar cada atividade, sempre observando as dependências entre elas. Por convenção, determinamos que o projeto se inicie na data zero, colocando na PDI do evento 1 o valor 0. Observe que neste evento ocorre o início da atividade A e atividade E.

Início da atividade B Para que a atividade B possa ser iniciada, considerando a dependência apresentada na rede, necessariamente a atividade A deve estar terminada. Portanto, se a atividade A é iniciada na data 0, como sua duração é 3, deve terminar em 0 + 3 = 3. Por consequência, tem sua PDI em 3, que registramos no evento 2 e representa o início da atividade B.

Início da atividade D Para que a atividade D possa ser iniciada, pela dependência apresentada na rede, necessariamente a atividade E deve estar terminada. Portanto, se a atividade E é iniciada na data 0, como sua duração é 7, deve terminar em 0 + 7 = 7. Então a atividade D tem sua PDI em 7, que registramos no evento 3, que representa o início da atividade D.

AULA 7 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE I

Início da atividade F Para que a atividade F possa ser iniciada, pela dependência apresentada na rede, necessariamente a atividade E deve estar terminada. Portanto, se a atividade E é iniciada na data 0, como sua duração é 7, deve terminar em 0 + 7 = 7. Então a atividade F tem sua PDI em 7, que registramos no evento 3, que representa o início da atividade F. Observe que neste caso a PDI do evento já estava definida a partir da atividade E, pois ambas, D e F, possuem sua origem no mesmo evento.

Início da atividade C Para que a atividade C possa ser iniciada, pela dependência apresentada na rede, necessariamente as atividades B e D devem estar terminadas. O término da atividade B ocorre na data: início de B + duração de B = 3 + 5 = 8. O término da atividade D ocorre na data: início de D + duração de D = 7 + 3 = 10.

Para a definição da PDI, quando mais de uma atividade chegar ao evento, sempre será a maior data a ser registrada no evento.

Portanto, a atividade C somente pode ser iniciada na data 10, que registramos no evento 4, início da atividade C. Observe que a escolha deve recair sobre a maior data.

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Término do projeto

O evento de término do projeto é o 5. Nesse evento convergem as atividades C e F. Para que o projeto termine, as duas atividades devem estar terminadas. No caso, a atividade C termina em: data de início do evento 4 + duração da atividade = 10 + 4 = 14. Enquanto que a atividade F termina em: data de início do evento 3 + duração da atividade = 7 + 2 = 9. Portanto, a data 14, por ser a maior, é o término do projeto e deve ser registrada no evento 5. A figura a seguir apresenta o gráfico da rede com o registro de todas as PDI em cada evento. Rede com Atividades, Durações e todas as PDI.

Na próxima unidade, vamos estudar a definição das UDI, o estabelecimento do caminho crítico e as folgas totais, como também a elaboração do cronograma.

AULA 8 Modelo de Redes – CPM – Parte II

OBJETIVO Nesta unidade vamos estudar a definição das últimas datas de início, as atividades que compõem o caminho crítico e as folgas totais em um modelo de redes da técnica de solução de problema em Pesquisa Operacional.

INTRODUÇÃO Na unidade anterior aprendemos como são definidas as primeiras datas de início (PDI). Nesta, vamos estudar a definição das últimas datas de início (UDI) e também o caminho crítico. Vamos aprender que o caminho crítico é definido pelo conjunto de atividades que não possuem folga entre a data de início e a data de término do projeto, portanto estudaremos também como calcular as folgas totais das atividades que não fazem parte do caminho crítico.

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Muito importante para o acompanhamento e controle é a elaboração do cronograma possível de ser apresentado em uma solução do modelo de rede. Vamos aprender como ele pode ser elaborado.

1. DETERMINAÇÃO DA ÚLTIMA DATA DE INÍCIO (UDI) A determinação da PDI não implica que todas as atividades precisam começar na data marcada, apenas que não se pode começar a atividade antes daquela data. Existem atividades que precisam ser começadas na PDI, caso contrário o projeto sofrerá atraso. São as atividades consideradas críticas pelo critério do modelo. No entanto, existem as que podem sofrer um relativo atraso no seu começo. São as atividades que possuem folga. Devemos determinar as últimas datas em que as atividades podem ser iniciadas sem comprometer a duração final do projeto. São as UDIs, ou últimas datas de início, de cada atividade. Registramos as datas do fim da rede para o início dela, perguntando qual é a última data possível para começar a atividade, de maneira que não prejudique a duração do projeto. A princípio, definimos no evento 5 a UDI, registrando, por convenção, o mesmo valor da PDI.

Última data no evento 4: Qual é a última data possível para início da atividade C sem prejudicar a duração do projeto? UDI = UDI do evento 5 menos duração da atividade C = 14 – 4 = 10.

Última data do evento 3: As atividades D e F surgem a partir desse evento. De maneira a não mudar a duração do projeto, qual é a última data possível para que as atividades D e F sejam iniciadas?

AULA 8 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE II

Analisando separadamente cada atividade: » » UDI para D= 10 – 3 = 7; » » UDI para F= 14 – 2 = 12. A data selecionada deve satisfazer a D e a F. Dessa forma, caso fosse escolhida a data 12, ambas as atividades - D e F - poderiam ser iniciadas na data 12. Entretanto, caso a atividade D começasse em 12 e considerando que ela dura 3 e que depois dela há a atividade C, que dura 4, o fim do projeto seria apenas na data 19, o que contraria a data de fim 14. No evento 3, deve ser registrada, portanto, a data 7, a qual atende as atividades D e F. Observe que a escolha deve recair sobre a menor data. Importante: Para definição da UDI, quando mais de uma atividade voltar ao evento, sempre será a menor data a ser registrada no evento.

Última data do evento 2: Qual é a última data em que a atividade B pode ser começada sem que prejudique a duração do projeto? A data é: PDI do evento 4 – duração da atividade B = 10 – 5 = 5, portanto, esta deve ser registrada no evento 2.

Última data do evento 1: Qual é a última data possível para início das atividades A e E sem prejudicar a duração do projeto? A análise é idêntica à análise do evento 3. » » UDI para A= 5 – 3 = 2. » » UDI para E= 7 – 7 = 0.

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Portanto a UDI a ser registrada no evento 1 é 0. A figura a seguir apresenta o gráfico da rede com o registro das UDI de cada evento:

2. DETERMINAÇÃO DO CAMINHO CRÍTICO Terminada a definição das primeiras e últimas datas (PDI e UDI), é possível determinar qual será o caminho crítico do projeto ou do problema em análise. Caminho crítico é a sequência de atividades que ligam o começo ao término do projeto e apresenta a diferença entre a UDI final e a duração das atividades igual a zero. Isto significa que as atividades que fazem parte do caminho crítico não possuem folgas em relação ao tempo de duração. Veja a seguir a rede do problema que estamos estudando, com as PDI e UDI já definidas:

AULA 8 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE II

Pelo menos uma atividade será sempre crítica quando os eventos de saída e de chegada contiverem datas iguais de PDI e UDI. Observe que existem, ligando o evento 1 até o evento 5, os seguintes caminhos: » » A – B – C com duração: 3 + 5 + 4 = 12. » » E – D – C com duração: 7 + 3 + 4 = 14. » » E – F com duração: 7 + 2 = 9. Veja que dos três caminhos o único que não pode apresentar atraso em suas atividades, sem comprometer o prazo final do projeto, é o caminho formado pelas atividades E – D – C, pois se fizermos 14 – 4 – 3 – 7 = 0. Portanto, este é o caminho crítico do projeto, ele que determina a sua duração.

Pelo menos uma atividade será sempre crítica quando os eventos de saída e de chegada contiverem datas iguais de PDI e UDI.

Toda atividade que faz parte de um caminho crítico é denominada “Atividade Crítica”. Observa-se que um projeto pode possuir mais de um caminho crítico, mas sempre possuirá no mínimo um caminho crítico. As atividades críticas estão representadas em vermelho, no gráfico da rede na figura anterior. Uma maneira de reconhecer no gráfico da rede, uma atividade que faz parte de um caminho crítico, é observar se a duração da PDI e UDI de um evento qualquer são iguais. Sempre passará no mínimo uma atividade crítica por um evento com PDI e UDI de mesma data.

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3. DETERMINAÇÃO DAS FOLGAS Toda atividade crítica possui folga igual a zero. Portanto, todas as atividades que não fazem parte de um caminho crítico possuem folga. A folga pode ser definida como folga total (FT), e é dada pela diferença do valor da UDI do destino da atividade dos valores da duração dela mesma e de cada atividade precedente, até o evento de origem. Por exemplo, no gráfico anterior a atividade F possui folga e seu valor é: FT de (F) = 14 (que é o valor da UDI do evento de destino da atividade F) – 2 (seu próprio valor) – 7 (que é o valor da atividade E que é precedente a F) = 5. Portanto FT (F) = 14 – 2 – 7 = 5. As demais atividades com folga são: FT (A) = 5 – 3 = 2. FT (B) = 10 – 5 – 3 = 2. Observe que, quando atividades com folgas estão no mesmo caminho, o uso da folga de uma atividade precedente elimina proporcionalmente a folga da atividade seguinte. Como exemplo, veja as atividades A e B, se a folga de A for utilizada elimina a folga de B, pois a é precedente de B. Isto poderá ser observado no cronograma em gráfico de Gantt no tópico seguinte.

Cronograma do Projeto – Gráfico de Gantt

4. EXERCÍCIO EXEMPLO Considerando o projeto representado pela Tabela de Precedência a seguir vamos exercitar como determinar:

AULA 8 – MODELO DE REDES – CPM – PARTE II

a) diagrama de setas; b) as PDI e as UDI; c) o Caminho Crítico e as folgas totais por atividade; d) o cronograma do projeto. Observação: Tente resolver o exercício anterior antes de ver as respostas.

Resposta: a) Diagrama de setas:

b) PDI e UDI:

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c) Caminho crítico e as folgas totais por atividade:

d) Cronograma do projeto:

BIBLIOGRAFIA ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2004. HILLIER, F. S.; LIEBERMAN G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. São Paulo: Mac Graw Hill, 2006. LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. São Paulo: Pearson, 2009. MATOS, A. Método do Caminho Crítico – Representação de um projeto. Centro Universitário de União da Vitória, União da Vitória (PR). MOREIRA, D. A. Pesquisa Operacional. São Paulo: Thomson Learning, 2007.