Antonio Ronaldo Costa Dias
ResistĂŞncia dos Materiais
ResistĂŞncia dos Materiais
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Antonio Ronaldo Costa Dias
ResistĂŞncia dos Materiais
SĂŁo Paulo Rede Internacional de Universidades Laureate 2015 05
© Copyright 2015 da Laureate. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Sistema de Bibliotecas da UNIFACS Universidade Salvador - Laureate International Universities)
Sumário Apresentação.................................................................................................................11
CAPÍTULO 1 – Introdução às Tensões e Deformações.........................................................13 Introdução.....................................................................................................................13 1.1 Vínculos Estruturais e Estruturas Estaticamente Indeterminadas........................................13 1.1.1 Vínculos estruturais...........................................................................................13 1.1.2 Tipos de vínculos..............................................................................................13 1.1.3 Efeitos dos vínculos nas estruturas......................................................................17 1.2 A lei de Hooke..........................................................................................................18 1.2.1 O experimento de Hooke..................................................................................18 1.2.2 Elasticidade.....................................................................................................20 1.2.3 Plástico e elástico.............................................................................................20 1.3 Tensões normais e cisalhantes.....................................................................................21 1.3.1 Definições.......................................................................................................21 1.3.2 Conversão de unidades de área.........................................................................23 1.3.3 Regras de potenciação......................................................................................24 1.3.4 Prefixos...........................................................................................................25 1.3.5 Relação entre a tensão normal e cisalhante.........................................................26 1.4 Energia de deformação..............................................................................................26 1.4.1 Alongamento Percentual e Estricção...................................................................27 Síntese...........................................................................................................................28 Referências Bibliográficas.................................................................................................29
CAPÍTULO 2 – Análise das Tensões...................................................................................31 Introdução.....................................................................................................................31 2.1 Tensões em planos inclinados, tensões planas e cisalhamento puro.................................31 2.1.1 Tensões...........................................................................................................31 2.1.2 Tensões normais...............................................................................................32 2.1.3 Tensões em planos inclinados............................................................................35 07
2.1.4 Estado plano de tensões....................................................................................37 2.2 Tensão cisalhante......................................................................................................38 2.2.1 Conceituação..................................................................................................38 2.2.2 Tensão de cisalhamento....................................................................................40 2.3 O Círculo de Möhr....................................................................................................42 2.3.1 Histórico.........................................................................................................42 2.3.2 Tensões cisalhantes no círculo de Möhr...............................................................43 2.3.3 Tensões normais mínima, média e máxima no círculo de Möhr..............................43 2.3.4 Elaboração do círculo de Möhr..........................................................................44 Síntese...........................................................................................................................46 Referências Bibliográficas.................................................................................................47
CAPÍTULO 3 – Flexão......................................................................................................49 Introdução.....................................................................................................................49 3.1 Momento fletor, esforço cortante: diagramas................................................................49 3.1.1 Momento fletor................................................................................................49 3.1.2 Esforço cortante: diagramas (V).........................................................................51 3.1.3 Elaboração do diagrama...................................................................................52 3.1.4 Cargas Distribuídas..........................................................................................55 3.2 Flexão em vigas........................................................................................................57 3.2.1 Tipos de apoios de vigas...................................................................................57 3.2.2 Momento de inércia de uma viga.......................................................................58 3.2.3 Momento de inércia de figuras planas................................................................58 3.2.4 Centro geométrico da viga................................................................................60 3.2.5 Tensão de flexão..............................................................................................60 3.3 Deformação por flexão..............................................................................................62 3.3.1 Encurvamento de uma viga...............................................................................62 3.3.2 Deformação da viga.........................................................................................63 3.3.3 Severidade da deformação por dobramento........................................................64 3.3.4 Ensaio de dobramento e flexão..........................................................................64 Síntese...........................................................................................................................65 Referências Bibliográficas.................................................................................................66
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CAPÍTULO 4 – Torção.....................................................................................................67 Introdução.....................................................................................................................67 4.1 Momento torçor: diagramas.......................................................................................67 4.1.1 O que é a torção.............................................................................................67 4.1.2 Efeitos da torção..............................................................................................69 4.1.3 Momentos de torção.........................................................................................69 4.1.4 Momento polar de inércia.................................................................................70 4.1.5 O efeito cisalhante na torção.............................................................................70 4.1.6 Diagramas de torção........................................................................................71 4.1.7 Resistência à torção..........................................................................................72 4.2 Torção em eixos........................................................................................................74 4.2.1 Ensaio de torção..............................................................................................74 4.2.2 Rigidez............................................................................................................74 4.2.3 Ângulo de torção.............................................................................................75 4.2.4 Materiais dúcteis e frágeis.................................................................................78 4.3 Torção em eixos vazados............................................................................................78 4.3.1 Tensão de cisalhamento....................................................................................78 4.3.2 Momento polar de inércia.................................................................................78 Síntese...........................................................................................................................81 Referências Bibliográficas.................................................................................................82 Minicurrículo do autor.....................................................................................................83
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Apresentação Apresentação Olá! Seja bem vindo à disciplina Resistência dos Materiais! Através deste material, você conhecerá todas ferramentas para dominar esta área da mecânica e entender os fenômenos que levam ao dimensionamento de estruturas e elementos mecânicos. Você já imaginou quantos dispositivos e mecanismos foram projetados e construídos através do conhecimento sobre a resistência dos materiais? Sabe como são determinados o tamanho, a quantidade e a qualidade dos materiais a serem empregados na construção de uma ponte? Ao concluir esta disciplina, você terá condições de determinar quais os parâmetros utilizados para o projeto de estruturas e qual a medida da deformação de elementos como vigas, barras e eixos. No primeiro capítulo, estudaremos os tipos de vínculos estruturais e onde eles são utilizados com frequência, bem como a Lei de Hooke e as tensões normais e cisalhantes. Já no capítulo dois, conheceremos as forças e as consequências que elas causam nos elementos estruturais. Veremos também uma maneira bem prática de representar todas as tensões envolvidas em um elemento geométrico. No capítulo três, estudaremos o envergamento de estruturas como postes e placas de trânsito quando submetidos a uma força advinda de diversas direções, como o vento, por exemplo. Já no capítulo quatro, veremos o que acontece com determinados elementos quando eles mudam a sua geometria, ou seja, estudaremos o fenômeno da torção. Acompanhe o fluxo do conteúdo e tenha um ótimo aproveitamento!
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Capítulo 1 Introdução às Tensões e Deformações
Introdução Você já imaginou como são projetados e construídos elementos de uma estrutura que suporta um teto ou até mesmo um viaduto? É claro que todas as estimativas e previsões são feitas previamente para que não ocorra nenhuma catástrofe, mas além disso, saiba que existe um limite permissível para que determinada estrutura deforme ou, ainda, tenha liberdade para se expandir ou dilatar. Neste capítulo, abordaremos diversas questões relativas às forças envolvidas em projetos de estruturas e também à deformação dessas estruturas e elementos sujeitos a esforços externos. Tenha um bom aproveitamento!
1.1 Vínculos Estruturais e Estruturas Estaticamente Indeterminadas Em estruturas metálicas como pontes, viadutos e postes, sempre há um dispositivo com a função de restringir seu movimento em diversas direções, sejam elas horizontais ou verticais, ou ainda de rotação. Saiba que estes dispositivos possuem o nome de vínculos. Neste tópico, abordaremos o conceito e a tipologia dos vínculos!
1.1.1 Vínculos estruturais Imagine o que aconteceria em uma ventania se um poste de luz elétrica ou uma placa de trânsito não tivesse uma base de concreto parafusada firmemente no chão. Acidentes ocorreriam com pedestres e carros que estivessem próximos à estrutura, certo? Por esse motivo, a utilização de vínculos estruturais ou apoios é tão útil! Esses vínculos são, na verdade, elementos ou dispositivos que têm por objetivo fixar a estrutura em uma determinada superfície e restringir o seu movimento horizontal, vertical ou de rotação. Existem diversos tipos de vínculos estruturais, tais como: parafusos, tirantes e pilares de cercas.
1.1.2 Tipos de vínculos a) Apoio móvel Os apoios móveis são aqueles em que há a restrição em somente uma direção do movimento. Observe o carrinho de compras de um supermercado. Podemos dizer que nele há um apoio móvel porque ele restringe e bloqueia o movimento nas direções verticais, mas não bloqueia o movimento na direção horizontal. 13
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Figura 1 − As rodas deste carrinho de supermercado oferecem resistência na direção vertical, mas não na horizontal. Fonte: Shutterstock, 2015.
Características:
• restringe o movimento na direção vertical; • permite o movimento na direção horizonta; e • permite rotação. b) Apoio fixo O principal objetivo de um apoio fixo é a restrição de todos os movimentos. Na figura abaixo, podemos observar um bloco de concreto, conhecido como bloco de ancoragem, muito utilizado em estruturas metálicas nas quais a sua principal função é a restrição de deslocamento linear do objeto que está fixado em sua parte superior.
Figura 2 – Um bloco de ancoragem com cabos de aço é um tipo de apoio fixo. Fonte: Shutterstock, 2015.
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Características:
• restringe o movimento na direção vertical; • restringe o movimento na direção horizontal; • permite a rotação. c) Engastamento O engastamento é outro caso de vínculo estrutural que restringe o movimento em três direções simultaneamente. Este tipo de vínculo impede, além dos movimentos horizontais e verticais, também a rotação da estrutura sobre seu próprio eixo.
Figura 3 – Uma prancha de piscina é um caso clássico de engastamento. Fonte: Shutterstock, 2015.
Características:
• restringe o movimento na direção vertical; • restringe o movimento na direção horizontal; • restringe a rotação. Na Figura 4, podemos observar as forças que estão envolvidas nas engrenagens e nos eixos rotativos de um sistema de transmissão. Os elementos em cinza são engrenagens transmitindo torque a um eixo do sistema de transmissão de uma máquina ou de um automóvel. Um motor de combustão interna desenvolve uma força através da explosão na câmara interna de seus pistões, os quais, por sua vez, transmitem esta força para os dentes da engrenagem, que estão apoiados em eixos e também em mancais, ou seja, apoios para estas engrenagens.
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Figura 4 – Eixo de transmissão de rotação em um sistema de transmissão de automóvel. Fonte: Shutterstock, 2015.
O que são esforços externos? Esforços externos são forças aplicadas sobre os elementos, e que têm origem externa a eles, sendo direcionadas para dentro ou para fora do elemento. Visualize um cabo de aço que exerce uma força de levantamento de um peso. A força externa é advinda do cabo, certo? Enquanto o peso que está sendo levantado está sujeito a esta força externa. Os esforços externos podem ser oriundos de diversas direções e ter diferentes intensidades, por isso, devemos categorizar tais forças e, além disso, colocá-las em direções que facilitem seu entendimento e compreensão. Em se tratando de um sistema de duas dimensões em que imperam somente os eixos “x” e “y”, podemos dividir as forças a serem estudadas nesses eixos determinando um sinal para elas.
Figura 5 – Vínculo estrutural de um poste de aço galvanizado mostrando que não há movimentação em quaisquer direções. Fonte Shutterstock, 2015.
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Na Figura 5, podemos observar que forças atuantes nos vínculos podem tanto “chegar” ou “sair” do elemento em questão. Podemos resumir esta atuação de forças no vínculo como a seguinte convenção: a) Forças que atuam na direção vertical Fy ↑ ↓ b) Forças que atuam na direção horizontal Fx
→ ←
1.1.3 Efeitos dos vínculos nas estruturas Tipos de Estruturas:
• Hipostáticas – são estruturas em que o numero de incógnitas a serem calculadas é inferior ao número de equações da estática.
• Isostáticas – são estruturas em que o número de incógnitas a serem calculadas possui o mesmo número de equações da estática.
• Hiperestáticas
– são estruturas em que o número de incógnitas a serem encontradas é superior ao número de equações da estática.
Cada vínculo estrutural citado no tópico anterior contribui com alguma reação na estrutura e, por sua vez, com um efeito ou consequência, mas, para entendermos bem o que acontecerá com a estrutura, devemos entender primeiramente o que é uma estrutura estática. Grave bem: estrutura estática é aquela que está em equilíbrio, ou seja, imobilizada, e obedece às leis de Newton da estática, as quais são regidas por algumas equações. a) Equilíbrio de forças O equilíbrio de forças acontece quando forças atuantes na mesma direção, porém com sentidos opostos, se anulam. Em outras palavras, a soma dessas forças sempre resulta em zero. Como podemos ter forças nas direções horizontal e vertical, então a equação que descreve esta lei é: ∑Fx = 0 A equação acima significa que a soma de todas as forças na direção horizontal resultará sempre em zero. ∑Fy = 0 A equação acima significa que a soma de todas as forças na direção vertical resultará sempre em zero. b) Equilíbrio de momento Conforme mencionamos anteriormente, existem vínculos que podem restringir a rotação do elemento. Tais restrições geram efeitos que chamamos de momentos ou torques. Simbolizaremos este efeito por “M” e mais tarde retornaremos a esse assunto para explicá-lo melhor. ∑M = 0 17
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Agora, você deve estar se perguntando, como saberemos se a força atuante no vínculo da estrutura será positiva ou negativa? Devemos recorrer à Lei da Ação e Reação de Newton para determinar o sentido positivo ou negativo. Por exemplo, um peso determinado, apoiado em um bloco de concreto, atua pressionando a base para baixo. O concreto, por sua vez, deve reagir a este peso que tenta esmagá-lo com uma força de valor igual e contrária. É simples, basta admitir uma convenção de sinais antes de resolver o problema. c) Forças horizontais
»»
Forças na direção da esquerda para a direita terão sinal positivo.
»»
Forças na direção da direita para a esquerda terão sinal negativo.
d) Forças verticais
»»
Forças na direção de baixo para cima terão sinal positivo.
»»
Forças na direção de cima para baixo terão sinal negativo.
VOCÊ O CONHECE? Robert Hooke foi o penúltimo dos quatro filhos do reverendo John Hooke. Em 1665, foi nomeado professor de geometria no Gresham College. Robert Hooke assumiu várias profissões, tais como biólogo, desenhista e cientista experimental. Dentre suas contribuições na área mecânica, destacamos a determinação experimental de materiais elásticos, vindo a ser reconhecido por esta contribuição na área de Resistência dos Materiais. Robert Hooke também alcançou fama enquanto principal ajudante de Christopher Wren na reconstrução que se seguiu ao Grande Incêndio de Londres, em 1666. Trabalhou no Observatório de Greenwich e no Bethlehem Hospital.
1.2 A lei de Hooke Qualquer elemento estrutural, por menor que seja, quando é submetido a forças, se deforma. Esta deformação, porém, não deve ser excessiva, de tal forma que tenhamos um retorno confiável e seguro a sua dimensão original a partir do momento em que a força cessa. Isso é válido, principalmente, em aplicações estruturais em que há um pequeno retorno da estrutura para a posição original, tal como o cabo de aço de um guindaste que acabou de liberar a massa que ele estava carregando.
1.2.1 O experimento de Hooke Robert Hooke (1635-1703) realizou diversos experimentos com o comportamento de molas, e chegou à conclusão de que a força aplicada em um elemento era proporcional a sua deformação. O experimento de Hooke pode ser representado pela figura abaixo.
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Figura 6 – Força peso atuando em uma mola causando uma deformação. Fonte: Shutterstock, 2015.
Este experimento demonstrou de fato que maiores forças aplicadas geraram maiores deformações na mola, comportamento que se repetia na mesma proporção com outros materiais metálicos já testados. Outra observação foi a de que sempre que cessava esta força, o elemento retornava à dimensão original. Estes experimentos deram origem à Lei de Hooke, que pode ser representada pela fórmula a seguir: F = k · ∆x Na qual:
• F é a força aplicada na mola cuja unidade é o Newton; • K é uma constante proporcional que depende do material da mola cuja unidade é N/m; e • ∆x é a variação dimensional da mola em metros (m). Após vários experimentos, Hooke observou que este comportamento era característico de cada material. Saiba que, a partir desse conceito, surgiu a propriedade conhecida como elasticidade. Mas como podemos definir a elasticidade do ponto de vista estrutural?
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1.2.2 Elasticidade Elasticidade é a capacidade de o material suportar uma força e, após a deformação, retornar à dimensão original. O comportamento elástico é muito comum em cabos de aço de sustentação em pontes. Os esforços constantes nessas estruturas, tais como o movimento intenso do tráfego e condições meteorológicas, obrigam os cabos de aço a retornarem constantemente à dimensão original. Materiais fabricados com matéria-prima de baixa qualidade tendem, com o tempo, a deformar-se mais do que materiais de boa qualidade, por isso, é importante selecionar aqueles materiais que terão uma vida útil maior, pois a manutenção desses equipamentos é bastante dispendiosa.
Figura 7 − Ponte estaiada sustentada por cabos de aço é muito comum em grandes vãos. Fonte: Shutterstock, 2015.
NÃO DEIXE DE VER... A queda da ponte Tacoma Narrows, em 1940 nos Estados Unidos, foi o maior exemplo de que uma estrutura pode ser submetida às ações do vento gerando efeitos torcionais após a sua conclusão. Disponível em: <https://www.youtube.com/ watch?v=SzObC64E2Ag>.
1.2.3 Plástico e elástico Existem, na área de materiais, duas definições a respeito do que é plástico. A primeira é a de que o plástico é um polímero formado por diversas cadeias de monômeros, tais como os materiais utilizados na fabricação de garrafas de refrigerante e sacolas de supermercado. Para a área de Resistência dos Materiais, entretanto, “plástico” é todo o material que, após sofrer uma deformação, fica neste estado permanentemente. De acordo com esta definição, portanto, o “plástico” se manifesta quando ultrapassamos o limite de elasticidade de um material, após o qual ele não retorna ao seu estado original. Já “elástico” é a definição para aqueles materiais
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que sempre retornam ao seu estado original após a aplicação de uma força externa qualquer. A borracha é um bom exemplo de material elástico.
NÓS QUEREMOS SABER! O cabo de aço de uma ponte pode suportar forças elásticas por muito tempo? Sim, este elemento estrutural pode suportá-las por vários anos, desde que as regras de manutenção corretas sejam seguidas e também se for submetido a tratamentos superficiais para evitar a corrosão, principalmente em ambientes marinhos e industriais, antes de entrar em operação.
1.3 Tensões normais e cisalhantes Como mencionado, os esforços que atuam nos elementos descritos anteriormente, tais como cabos de aço e vigas, podem ter diferentes direções. Para simplificar nosso estudo, no entanto, identificamos dois tipos principais de direções neste tópico. Confira!
1.3.1 Definições a) Direção axial: percorre o eixo imaginário do elemento estrutural. b) Direção transversal: percorre o eixo do elemento na direção perpendicular ao eixo, ou seja, a força atua paralelamente à área do elemento. Após definidas as direções axiais e transversais, podemos então definir o que é tensão normal. Tensões normais são efeitos resultantes de forças atuantes na direção axial do elemento, perpendiculares à área e distribuídas ao longo da área ou superfície do elemento. A tensão normal pode ser calculada através da fórmula: σ=
F A
Em que:
• F é a força atuante no elemento em unidades de N; • A é a área da seção transversal do elemento em unidade de m2; e • as tensões normais são representadas pela letra s. Já as tensões cisalhantes são efeitos resultantes de forças atuantes na direção transversal do elemento, perpendiculares ao eixo e distribuídas ao longo da área ou superfície do elemento. A tensão normal pode ser calculada através da fórmula: t=
F A
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Resistência dos Materiais
Em que:
• F é a força atuante no elemento em unidades de N; e • A é a área da seção transversal do elemento em unidade de m2. As tensões normais são representadas pela letra t (Tau) que é a décima-nona letra do alfabeto grego. Saiba que as letras gregas são amplamente utilizadas na matemática, física e astronomia e, portanto, não deixariam de ser utilizadas em resistência dos materiais. Mas fique atento, a t foi adotada apenas para diferenciar-se da letra grega σ (Sigma), que já era utilizada para a tensão normal. Observe que, à medida que aumentamos a área do elemento, a tensão normal ou cisalhante tende a diminuir impondo um limite de tamanho ao elemento. As unidades de tensão normal e cisalhante no sistema internacional de unidades são representadas pelas letras “Pa” (Pascal) em homenagem ao matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). 1Pa = 1
N m2
Uma força perpendicular, por exemplo, de 100 newtons em uma área de 20 m2 resultará em uma tensão normal de 5 newtons por m2, ou seja, 5 Pascais. A área do elemento em questão dependerá da geometria do elemento, ou seja, se quisermos estimar a tensão normal em um cabo de aço, deveremos utilizar a fórmula da área de um círculo para calculá-la. Podemos resumir os casos principais a seguir, já que as outras áreas serão combinação dessas mesmas áreas. a) Área de um círculo A = pr2 Em que:
»»
“r” é o raio do círculo; e
»»
p é uma constante igual a 3,1415.
b) Área de um retângulo A=b×h Em que:
»»
“b” é a base e “h” é a altura.
c) Área de um quadrado A=l×l Em que:
»»
“l” é o lado do quadrado.
As tensões normais são muito importantes para estimar diferentes formatos geométricos e diferentes forças em elementos estruturais e mecânicos. Deve-se ter em mente que a área de interesse para o cálculo deve ser a área que está em contato com a força aplicada. Saiba que uma 22 Laureate- International Universities
dificuldade enfrentada por muitos estudantes é a conversão dessas unidades para a unidade usual em resistência dos materiais.
NÃO DEIXE DE LER... O portal CIMM (Centro de Informação Metal Mecânica) traz diversos materiais didáticos de testes realizados em componentes estruturais e mecânicos. Entre estes ensaios, destacamos o ensaio de tração, que é realizado em uma amostra da estrutura chamada de corpo de prova. Disponível em: <http://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6520#.VXc2rM9VhBc>.
1.3.2 Conversão de unidades de área Para que se possa chegar a resultados exatos na resolução de exercícios, é de fundamental importância realizar a conversão de unidades de forma correta. Primeiramente, vamos estabelecer uma escala fundamental de unidades no Sistema Internacional de Unidades (SIU).
Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
km
Hm
Dam
m
Dm
cm
mm
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Tabela 1 − Unidades métricas do sistema internacional de unidades (SIU). Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
De acordo com a Tabela 1, observamos que a unidade milímetro é exatamente a milésima parte da unidade fundamental que é o metro. Podemos estabelecer uma regra simples para estas conversões.
Unidades de comprimento Para a direita da escala
Para a esquerda da escala
Multiplique por 10 (dez)
Divida por 10 (dez)
Tabela 2 − Regra para a conversão de unidades de comprimento. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Em resistência dos materiais, é muito comum trabalharmos com unidades de área, pois esta é uma unidade bidimensional. Neste caso, ao invés de multiplicarmos ou dividirmos por 10 (dez) faremos a multiplicação e divisão por 100 (cem).
Unidades de área Para a direita da escala
Para a esquerda da escala
Multiplique por 100 (cem)
Divida por 100 (cem)
Tabela 3 − Regra para a conversão de unidades de área. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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Agora, observe que é impraticável muitas vezes colocar muitos “zeros” antes e depois da vírgula, por isso, é melhor trabalhar com potências de 10 (dez).
Unidades de comprimento em potências de 10 (dez) Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
km
Hm
Dam
m
Dm
cm
mm
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
Tabela 4 − Regra para a conversão de unidades de comprimento. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Unidades de comprimento em potências de 10 (dez) Quilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
km
Hm
Dam
m
Dm
cm
mm
1000000
10000
100
1
0,01
0,0001
0,00001
106
104
102
100
10-2
10-4
10-6
Tabela 5 − Regra para a conversão de unidades de área. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Observe que a quantidade de 0 (zeros) e a quantidade de “vírgulas” é o número elevado na potência de 10 (dez).
1.3.3 Regras de potenciação Agora, façamos um breve resumo das regras de potenciação. Considere uma potência de base “a” e exponentes “m” e “n”. a) Regra da multiplicação am · an = am+n b) Regra da divisão am : an = am–n c) Expoente negativos a–1 =
1 a
Com estas regras de potenciação, poderemos, por exemplo, manipular alguns números para que fiquem mais resumidos.
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1.3.4 Prefixos Os prefixos são uma forma de resumir os grandes números que aparecem nos resultados de resistência dos materiais.
Prefixo
Potência
Número
Kilo
103
1000
Mega
103
1000.000
Giga
103
1000.000.000
Tabela 6 − Prefixos utilizados em resistência dos materiais. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Caso Uma força atuante em um bloco de alumínio possui o valor de 645750 newtons. Qual é esse valor em quilo-newtons (kN)? Primeiramente, fazemos o seguinte: como o número apresentado é um número inteiro e não fracionário, podemos escrevê-lo de outra forma: 64575,0 =
645750 10
Observe que, quando dividimos um número por 10 (dez), a vírgula avança cada vez mais para a esquerda. Concluímos que, se nós dividirmos esse número por 10 três vezes, é o mesmo que dividi-lo por 1000. 6457,50 =
645,750 =
645750 100 645750 1000
Quando dividimos esse número por 1000, sua grandeza foi alterada. Ele era 645750 e agora se transformou em 645,750. Para mantermos essa vírgula sem alterar a grandeza do número, nós o multiplicaremos por 1000. Observe: 645,750 · 1000 = 645,750 · 103Newtons Como o prefixo “k” pode ser substituído por 103 teremos finalmente: 645,750 · 1000 = 645,750 · kNewtons Neste caso, podemos chegar à seguinte conclusão:
Para representar uma potência de dez (positiva)
Para representar uma potência de dez (negativa)
Afaste a vírgula para a esquerda
Afaste a vírgula para a direita 25
Resistência dos Materiais
Outro exemplo prático ocorre se pensarmos que a pressão atmosférica é medida em “Pascais”. Sabendo que a pressão ao nível do mar é de 101325 Pa, qual é essa pressão em kPa? Como o prefixo k (quilo) possui uma potência positiva 103, então, pela regra apresentada, teremos que afastar a vírgula para a esquerda 3 (três) casas. 101,325 103Pa = 101,325 kPa A área da ponta do parafuso é de aproximadamente 0,002 mm2. Represente esta área em potência de 10 (dez). Temos três casas decimais após a vírgula, então essa área corresponde a 2.10-3 mm2.
1.3.5 Relação entre a tensão normal e cisalhante Na maioria dos casos práticos, as forças não estão totalmente na direção “transversal” ou totalmente na direção “axial”, por isso, estabelece-se, às vezes, uma relação da tensão normal e cisalhante. σ = tana · t Em que α é o ângulo entre a força inclinada e a área do elemento. Para que possamos encontrar a tensão normal ou cisalhante isoladamente nesses casos devemos projetar a força inclinada na direção axial ou transversal e depois calculá-la normalmente na fórmula da tensão normal ou cisalhante. Podemos citar muitos casos práticos nos quais há combinação entre a tensão normal e cisalhante, por exemplo, uma cunha de um pé de cabra inserida na fresta de uma caixa para abri-la.
NÓS QUEREMOS SABER! Se uma estrutura estiver sujeita tanto a tensões normais quanto à cisalhante, há possibilidade de saber se esta estrutura irá se romper por tensão cisalhante ou normal? Não. Há diversos parâmetros a considerar nesse caso, por exemplo, com relação ao material que prende esta estrutura e ao local de sua fixação. Outros fatores também devem ser considerados, a saber, se a carga atuante nessa estrutura é oscilante como a de uma ponte, ou se a carga é puramente constante ao longo do tempo.
1.4 Energia de deformação Nos capítulos anteriores, estudamos de maneira aprofundada os efeitos que as forças causam em elementos mecânicos. Tais forças, no entanto, quando ultrapassam certo limite começam a causar mudanças em sua geometria permanentemente, ou seja, o material ficará com esta deformação para sempre. Veremos, neste tópico, definições e exemplos acerca dessa energia de deformação e sua relação com o material.
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1.4.1 Alongamento Percentual e Estricção Quando um elemento mecânico ou estrutural deforma, ele acumula ou absorve certo tipo de energia de deformação. Esta deformação pode ser de dois tipos: o alongamento percentual ou a estricção.
Alongamento percentual O alongamento percentual é visivelmente observado quando o elemento estrutural aumenta de tamanho em seu comprimento após a aplicação de uma força. ε=
LF – L0 L0
Em que
• LF é o comprimento final após a deformação; • L0 é o comprimento inicial antes da deformação; e • o resultado do alongamento percentual é dado em unidades percentuais. O alongamento percentual é, em Resistência dos Materiais, a medida de uma propriedade ou característica do material chamada de “ductilidade”. A ductilidade é a quantidade de deformação suportada por um elemento estrutural. Materiais ditos “dúcteis”, tais como o aço, o alumínio e o cobre se deformam em grande quantidade. Materiais pouco dúcteis são chamados de materiais frágeis porque eles não apresentam deformação ou sua deformação é mínima. Como exemplo, podemos citar todos os materiais cerâmicos e alguns plásticos. É importante que, em determinadas aplicações estruturais, tenhamos um material que se deforma primeiro antes de entrar em colapso, em outras palavras, que dê sinais de que entrará em colapso e não que colapse repentinamente como os materiais frágeis.
Estricção A estricção acontece quando há um estrangulamento da seção mediana do elemento, e é um dos indícios de que ele entrará em colapso. Podemos calcular a estricção com a seguinte fórmula: ε=
AF – A0 A0
A estricção é sempre negativa, porque a área final é sempre menor do que a área inicial. Devido a este fator, saiba que a estricção é sempre chamada de “redução percentual da área” ou, ainda, pelo acrônimo RPA. Materiais que exibem elevada estricção são também chamados de materiais dúcteis, portanto, a ductilidade é medida por meio da estricção de um material.
NÃO DEIXE DE LER... Um bom livro sobre Resistência dos Materiais, bastante didático e que traz muitos exercícios (resolvidos passo a passo), é o Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais, de Sarkis Melconian.
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Síntese Síntese
• A Lei de Hooke é observável em diversos elementos mecânicos sendo importante no que
diz respeito ao suporte a forças oscilantes em elementos como cabos, vigas e barras em diversas situações.
• Uma dos destaques da Lei de Hooke é a previsão da carga em condições elásticas, devido ao fato de a carga ser proporcional à deformação.
• Os
vínculos estruturais são muito utilizados no mundo moderno da engenharia, pois restringem o movimento das estruturas, mesmo que ele seja mínimo, em situações extremas.
• A
determinação do tipo de vínculo é de fundamental importância no planejamento e na função de uma determinada estrutura para que ela cumpra o seu papel de trazer segurança aos usuários.
• Deve-se atentar para a correta determinação do referencial nos vínculos, a fim de entender qual será a reação de tração ou compressão nesse vínculo.
• Forças atuantes em elementos mecânicos induzem a uma distribuição de forças ao longo
de sua área. Se as forças forem perpendiculares à área, elas serão denominadas tensões normais; se forem paralelas à área, as tensões serão cisalhantes.
• Tensões normais são muito comuns em cabos de aço, enquanto tensões cisalhantes são comuns em processos de corte.
• O
alongamento percentual e a estricção são fenômenos observáveis em elementos estruturais e, portanto, são indícios de que a estrutura ou elemento mecânico não está suportando a carga à qual está sendo submetido.
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Referências
Bibliográficas
BEER, Ferdinand; RUSSEL, Johnston. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1995. NASH, William. Resistência dos Materiais. 1. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1981. (Coleção Schaumm). MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Editora Érica, 1975.
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Capítulo 2 Análise das Tensões
Introdução Você já se perguntou como são dimensionados os elementos estruturais? Será que elementos como cabos, vigas, postes e colunas são projetados de acordo com o peso que terão de suportar? Pois bem, saiba que esses elementos devem ter uma propriedade ou característica que garanta a sua durabilidade e resistência ao longo de sua vida útil, de forma que não coloque em risco vidas ou a integridade de outras estruturas. Neste capítulo, investigaremos como determinar o tamanho e as dimensões de um elemento estrutural para suportar determinados esforços com base na força distribuída pela área do elemento; nesse caso, a força está perpendicular à área de sua secção transversal. Ainda descreveremos o efeito de corte de estruturas mais conhecido como “cisalhamento”, ou efeito de corte. Na tensão de cisalhamento podemos, com segurança, determinar pinos, parafusos e rebites, tão importantes nas estruturas metálicas compostas de treliças.
2.1 Tensões em planos inclinados, tensões planas e cisalhamento puro Neste capítulo, faremos um estudo mais aprofundado acerca das forças e das consequências que eles causam nas estruturas e nos materiais. Abordaremos, nas próximas páginas, as diferenças principais entre tensão e cisalhamento.
2.1.1 Tensões Tensões são forças distribuídas ao longo da área do elemento em consequência de esforços ou forças resultantes de cargas atuantes nos elementos estruturais. Para que possamos entender bem o conceito prático de tensão, consideremos um corpo de prova de material metálico submetido a uma força em sua direção axial (ao longo de seu eixo), “seccionado” e com uma pequena área ∆A na parte superior submetido a uma força ∆F.
Figura 1 – Corpos de prova com seção transversal normalizada rompidos após ensaio de tração. Fonte: Shutterstock, 2015.
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Resistência dos Materiais
Quanto maior a intensidade da força nessa pequena área, maior será a tensão submetida nesse pequeno elemento de área. Da mesma forma, teremos uma maior tensão se diminuirmos cada vez mais a área na qual essa força está atuando. Podemos afirmar então que a tensão é a quantidade de força dividida pela área do elemento considerado e possui unidades de newton por metro quadrado. σ=
F A
NÃO DEIXE DE LER... Um livro bem didático que mostra com clareza o assunto da tensão de cisalhamento é o livro do autor Russel C. Hibbeler, cujo título é Resistência dos Materiais. O livro é inteiramente ilustrado e traz muitos exercícios resolvidos e propostos de forma que o estudante ou até mesmo o amante da área de projetos domine com maestria a técnica de dimensionar elementos estruturais, tais como cabos, parafusos e pinos.
2.1.2 Tensões normais Tensões normais são aquelas tensões em que a força atuante é perpendicular ao plano da secção transversal (área) do elemento considerado. Podemos dividir as tensões normais em tensões normais de tração e tensões normais de compressão.
• Tensões normais de tração: são aquelas em que as forças tendem a alongar o elemento estrutural.
• Tensões
normais de compressão: são aquelas em que as forças tendem a comprimir (esmagar) o elemento estrutural.
Saiba que as tensões normais podem ser avaliadas através de uma máquina denominada “Máquina Universal de Tração”, a qual é capaz de tracionar um material metálico até a sua ruptura. A máquina universal de tração é uma máquina muito importante na indústria e serve basicamente para testar os materiais após a sua fabricação, avaliando suas propriedades ao mesmo tempo em que a peça está sendo fabricada.
Figura 2 – Máquina universal de ensaio de tração com um corpo de prova de seção retangular. Fonte: Shutterstock, 2015.
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De maneira geral, podemos exemplificar algumas situações em que há uma grande tensão de tração em cabos de aço de elevadores e guindastes, estruturas estas nas quais seus elementos devem suportar cargas de tração elevadíssimas. Há também casos em que a tensão de compressão é de sobremaneira importante em bases de concreto ou fundações de edifícios. Entenda que a tensão pode ser comparada também com a pressão que um gás exerce no interior de um recipiente, considerando que esse gás exerce uma força de dentro para fora devido à colisão elástica de suas moléculas na parede do recipiente. O recipiente, por sua vez, possui uma área perpendicular à força causada pela colisão das moléculas na parede, ao passo que a média das colisões na parede resulta numa distribuição média da força. Quando a força é perpendicular ao plano de atuação, ou seja, ela possui um ângulo de 90 graus, dizemos que a força está “normal” à área em que está atuando. Um dos desafios para se determinar a tensão normal é o cálculo da área da seção transversal do elemento, bem como a conversão de unidades para se chegar a um resultado dentro do sistema internacional. Tenha em mente que as unidades de tensão normal são o Pascal e os submúltiplos do Pascal. 1Pa = 1
N m2
1kPa = 1000
N m2
1MPa = 1000000
N m2
1GPa = 1.000.000.000
N m2
Lembre-se também que, para converter as unidades de medida mais usuais, tais como o metro e o milímetro, temos de considerar a seguinte relação: 1 mm2 = 0,000001 m2 = 1 · 10–6m2 Observe o exemplo na figura a seguir, na qual um cabo de aço está acoplado em uma anilha e serve para a ancoragem de estrutura metálica. Nesse caso, o elemento que sofrerá maior tensão normal será o que possui menor área de seção transversal e por isso terá a maior probabilidade de romper. A tensão normal é representada pela letra grega s (Sigma). σ=
F A
Recorremos novamente à fórmula da tensão e observamos que a área é “inversamente proporcional” à tensão: quanto menor a área maior será a tensão no elemento; quanto maior a área menor será a tensão no elemento. Imagine o seguinte exemplo: quando uma pessoa calça um sapato de salto fino, ela imprime no piso uma tensão elevadíssima, pois a área do salto que está em contato com o piso é minúscula, por outro lado, se a pessoa calçar um sapato com o salto mais largo, causará uma tensão menor no piso.
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Resistência dos Materiais
Figura 3 – Cabo de aço suportado por uma força de tração em um sistema de ancoragem. Fonte: Shutterstock, 2015.
Imagine que uma força com intensidade de 1000 newtons esteja agindo no cabo de aço ilustrado na figura. O cabo de aço possui um diâmetro de 10 mm. A pergunta que se faz é a seguinte: qual será a tensão normal nesse cabo de aço? Em uma primeira etapa, calculamos a área das duas seções. Seção transversal do cabo de aço (Diâmetro de 10 mm)
A = p · r2 = p · 52 = 78,5 mm2 = 78,5 · 10–6m2 Observe que convertemos a unidade de mm2 para m2 a fim de obter a unidade “Pascal” no término do exemplo, para isso utilizamos as regras apresentadas anteriormente. Já temos em mãos a área do cabo de aço, agora basta realizar o cálculo da tensão. A tensão normal no cabo de aço será: sAB =
1000 78,5 · 10
–6
= 12,73 · 106
N m2
= 12,73 M Pa
Exercício resolvido Qual será a tensão normal em Mpa atuante em uma placa de aço 1020 em uma prensa hidráulica de 20x30 de medida e submetido a uma força de 3 toneladas? Seção transversal da placa (20x30)
Para o cálculo da seção transversal (20x30), observamos que as medidas estão em milímetros e que se trata de uma placa retangular de medidas em milímetros. A = 20 × 30 = 600 mm2 = 600 · 10–6m2
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Fora normal na placa
F = 3000 kgf = 30.000 N Cálculo da tensão normal
σ=
F A
=
30.000 600 · 10–6
= 50 · 106Pa = 50 Mpa
NÓS QUEREMOS SABER! A tensão de cisalhamento é um critério adotado na fabricação de máquinas na indústria de conformação mecânica? Depende qual máquina e para qual objetivo. Caso seja uma máquina que executará o corte de chapas e, posteriormente, esses cortes servirão para a montagem de uma peça, a resposta é sim, mas se a máquina for de apenas dobra e compressão de uma chapa, aí não será necessária a tensão cisalhante.
2.1.3 Tensões em planos inclinados Existem situações nas quais a força atuante no elemento não possui sempre a inclinação perpendicular à área em 90 graus, exatamente. Em tais caos deveremos ter uma parcela da tensão normal e do cisalhante projetando o ângulo da força nas direções x e y. As tensões cisalhantes são representadas pela letra grega t (Tau). Observe a figura a seguir e verifique que, neste caso, faz-se a projeção da força P utilizando as relações fundamentais de seno e cosseno para depois calcular as tensões normais e cisalhantes. A projeção na direção vertical do elemento resultará na tensão normal da base de concreto enquanto a projeção na direção horizontal resultará na tensão cisalhante da base de concreto.
100 Pa 50 Pa
200 Pa Figura 4 – A força F atuante no cabo de aço está inclinada em relação ao plano superior da carga. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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Resistência dos Materiais
Para que possamos projetar corretamente essas forças nos eixo x e y, respectivamente, deveremos utilizar as relações trigonométricas conhecidas como seno e cosseno. sena =
cosa =
CO H CA H
Em que CO e CA são os catetos oposto e adjacente, e H é a hipotenusa do triângulo de forças.
Figura 5 – As forças atuantes nos cabos de aço deste guindaste estão inclinadas em relação ao plano superior da carga. Fonte: Shutterstock, 2015.
Conforme mencionado, as forças inclinadas causam tensões inclinadas nas peças, mas essas tensões inclinadas se dividem em tensão normal e tensão cisalhante. As tensões em planos inclinados são responsáveis ela maioria das quebras em sistema de fixação em elementos estruturais. Em estruturas metálicas, por exemplo, podemos citar o caso de torres de transmissão em que os parafusos fixados nas treliças estão sujeis à ação do vento e da tração dos cabos.
Exercício resolvido Qual será a tensão normal e cisalhante em Mpa atuante em uma placa de aço 1020 em uma prensa hidráulica de 20 mm2 x 30 mm2 e submetido a uma força de 5 toneladas, inclinada de 30 graus a partir do eixo horizontal “x”? Seção transversal da placa (20x30)
Para o cálculo da seção transversal (20x30), observamos que as medidas estão em milímetros e que se trata de uma placa retangular de medidas em milímetros. A = 20 × 30 = 600 mm2 = 600 · 10–6m2 36 Laureate- International Universities
Força normal na placa
F = 50.000 N Massa 5 toneladas = 5000 Kg De acordo com a 1ª lei de Newton F=m·g Em que “g” é a aceleração da gravidade cujo valor é de 9,81 m/s 2, mas para fins de aproximação esse valor pode ser substituído por 10 m/s2 e “m” é a massa em quilogramas. F = 5000 · 10 = 50000 N Componente em “x”
Fx = F · cos30 Fx = 50000 · cos30 = 43301,3 N Componente em “y”
Fx = F · sen30 Fx = 50000 · sen30 = 25000 N Cálculo da tensão cisalhante
t=
F A
=
43301,3 600 · 10–6
= 72,2 · 106Pa = 72,2 Mpa
Cálculo da tensão normal
s=
F A
=
25000 600 · 10–6
= 41,7 · 106Pa = 41,7 Mpa
Embora a força possua o mesmo valor, observamos que nos dois últimos resultados a tensão cisalhante possui um valor bem superior ao da tensão normal. Em outras palavras, a tensão cisalhante merece mais atenção do que a tensão normal, devido ao maior valor apresentado quando a força sofreu a inclinação.
2.1.4 Estado plano de tensões Um estado plano de tensões é aquele no qual conseguimos representar todas as tensões em uma figura bidimensional, tal como o círculo de Möhr. Ao final deste capítulo, falaremos do círculo de Möhr de forma mais aprofundada, mas saiba, desde já, que se trata de uma forma de representar e relacionar graficamente todas as tensões envolvidas em um elemento cúbico retirado da superfície de uma estrutura.
• Tensão mínima - s2 • Tensão média - sM • Tensão máxima - s1 37
Resistência dos Materiais
• Tensão cisalhante máxima - txy • Tensão cisalhante mínima - –txy Saiba que as incógnitas descritas são, na verdade, os pontos a serem destacados no círculo bidimensional proposto por Möhr para visualização de todas as tensões envolvidas em um problema. As aplicações do círculo de Möhr, portanto, são muitas. Imagine um vaso de pressão (um equipamento para o armazenamento de gás ou líquido), por exemplo, submetido a uma pressão interna máxima e logo em seguida aliviado dessa pressão. Suas paredes sofrem um estiramento, da mesma forma que uma bexiga de borracha dentro do limite de sua elasticidade sem que ela se rompa ou sofra a ruptura; o material das paredes do vaso sofre, ao mesmo tempo, um esforço de tração e de cisalhamento devido à sua geometria de construção, que na maioria das vezes é esférica. Vale ressaltar que, nesse exemplo, há a presença de vários parâmetros que influenciarão na fabricação do vaso e que devem ser monitorados constantemente.
CASO Uma das maiores tragédias que já aconteceu no Brasil em refinarias foi a tragédia da “Vila Socó” em 1984, no município de Cubatão, no litoral paulista. Um vazamento de uma tubulação de gasolina que abastecia um tanque de armazenamento e passava em uma região alagada espalhou aproximadamente 700 mil litros de gasolina. Alguns moradores, visando obter lucro com a venda do produto inflamável, coletaram o combustível e guardaram em suas casas, depois de duas horas houve uma ignição espontânea causando a morte de 93 pessoas segundo os números oficiais. Após investigações, constatou-se que uma falha operacional desviou o vazamento para uma tubulação fechada ocorrendo uma sobre pressão na linha de condução.
2.2 Tensão cisalhante Agora que já falamos sobre tensões normais e tensões de plano inclinado, falaremos um pouco mais sobre a tensão cisalhante, suas definições, aplicações e exemplos. Veremos que a tensão cisalhante é muito comum em elementos estruturais tais como chapas de aço em processos de corte e serramento, na usinagem, em processos de fresamento.
2.2.1 Conceituação As tensões cisalhantes ocorrem quando forças são direcionadas ao plano paralelo da seção transversal do elemento estrutural. Elas tendem a cortar o elemento estrutural, seccionando-o e rompendo-o; é muito comum em pinos, parafusos e rebites em que um parafuso está sendo submetido a um esforço de tração tal como em um bloco de ancoragem de uma estrutura metálica.
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Load
Load Figura 6 – Duas cargas atuando paralelamente à área do parafuso conduzem o elemento a uma prévia ruptura. Fonte: Gere, 2012, p. 31.
A tensão cisalhante pode ser calculada de maneira análoga à tensão através da fórmula: t=
F A
Como a tensão cisalhante é um efeito de carga distribuída em sua seção transversal, ela possui a mesma unidade da tensão normal, sendo o Pascal e os múltiplos do Pascal. Quando um elemento está unicamente sujeito ao efeito do cisalhamento, diz-se que se trata de um caso de cisalhamento puro. Considere o exemplo de uma barra que está fixada por quatro parafusos, como na figura seguinte, em uma treliça – a estrutura é muito comum em estruturas metálicas. Qual será a tensão de cisalhamento atuante em cada um dos parafusos M8 dessa estrutura suportada por uma força compressiva de 8000 newtons? Primeiro passo para resolver este problema é calcular a área de cada um dos parafusos. Como o diâmetro do parafuso é de 8 mm, o raio do parafuso será de 4 mm cada. A = p · 42 = 50,24 mm2 Observamos que a seção efetiva de corte de cada parafuso será duplicada porque teremos tanto corte em uma aba da chapa quanto na outra aba (vide figura), ou seja, existem dois planos de corte em que os parafusos estão presos. No entanto, como são três parafusos, devemos multiplicar o número de planos (dois) pelo número de parafusos (três) e também pela área de cada um dos parafusos. t=
8000 2·4·A
=
8000 8 · 50,24
= 19,9 MPa
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Resistência dos Materiais
Figura 7 – Parafusos e porcas são os mais solicitados em situações de extrema força de cisalhamento. Fonte: Shutterstock, 2015.
NÃO DEIXE DE VER... Filmes e documentários são uma boa opção para enxergar de forma clara os conceitos de tensões cisalhante e normal. Linha de Montagem é um documentário produzido por Renato Tapajós em 1979 que mostra muitos processos de fabricação entre o corte e a estampagem de chapas em que a tensão de cisalhamento está presente.
2.2.2 Tensão de cisalhamento A tensão de cisalhamento constitui um fenômeno muito comum em chapas unidas por rebites ou em estruturas metálicas como ilustrado no exemplo do item anterior, mas ela também está presente nas indústrias de processo de fabricação, tais como o corte e a estampagem de chapas de aço. Nesse caso, o objetivo é vencer a tensão de cisalhamento, ou tensão cisalhante, para que se garanta o completo corte da chapa sem rebarbas que atrapalham e atrasam os processos de fabricação. De fato, a tensão cisalhante é o efeito de corte do material em toda a sua seção transversal e produz efeito de rasgamento em muitos pinos e parafusos. As grandes empresas de pinos, parafusos e eixos estão sempre preocupadas com a tensão cisalhante porque será o gargalo no projeto de grandes esforços.
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Figura 8 – Corte de chapas em uma guilhotina em diferentes medidas para a linha de produção de automóveis. Fonte: Shutterstock, 2015.
Historicamente falando, os estudos mais aprofundados a respeito da tensão cisalhante apareceram após a Segunda Guerra Mundial, em que as máquinas tiveram de suportar condições extremas de produção e de atuação durante a guerra. Logo após o término da guerra, as indústrias tiveram de se adaptar à realidade capitalista que advinha do enorme consumismo.
NÃO DEIXE DE LER... O livro Ensaios Mecânicos de Materiais, do autor Sérgio A. Souza, é também uma ótima referência para todos os tipos de ensaios em materiais. Entre esses ensaios, destacamos o ensaio de cisalhamento de pinos e rebites.
Exercício resolvido Uma lâmina de corte de uma guilhotina possui uma espessura de 5 mm e um comprimento lateral de 2 m. A máquina possui uma força de corte de 5 t. Qual será a sua tensão de cisalhamento em “MPa” para o corte de 3 chapas simultaneamente com 3 mm de espessura cada e largura de 2 m? O primeiro passo para resolver este problema é calcular a área de cada um dos parafusos. Como o diâmetro do parafuso é de 8 mm, o raio do parafuso será de 4 mm cada. A = 3 · 2000 = 6000 mm2 Observe que descobrimos a seção transversal de apenas uma chapa, basta agora multiplicarmos por três, pois a lâmina deverá realizar o corte simultaneamente nessas três chapas. A área total será dada por: A = 3 · 6000 = 18000 mm2
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Resistência dos Materiais
A força de corte empregado pela máquina é de 5 t, o que corresponde a 5000 kg. Basta, então, aplicarmos a fórmula de aplicação: t=
5000 18000
= 0,277 kg/mm2 = 2,77 MPa
Neste exercício, observamos que a tensão cisalhante depende da seção de corte da chapa, e não da dimensão da ferramenta que executará o corte, que no caso é a lâmina da máquina. Mas por que a lâmina de uma máquina perde o poder de corte? Bem, isso ocorre porque a lâmina é composta de um fio retilíneo de aço que, aos poucos, vai entortando, resultado de deformações sucessivas.
2.3 O Círculo de Möhr As tensões normais máximas em um elemento são, às vezes, difíceis de determinar apenas utilizando os cálculos de área e de força. Em algumas situações, por exemplo, precisamos utilizar o sistema desenvolvidos pelo professor Christian Otto Möhr no século XIX. Veremos, neste tópico, o contexto histórico no qual tal método foi criado. Acompanhe!
2.3.1 Histórico O círculo de Möhr, criado por Christian Otto Möhr, é uma maneira bem prática e visual de representar todas as tensões envolvidas em um elemento geométrico retirado da superfície de uma estrutura. Considere, por exemplo, a figura a seguir, retirada da superfície de uma barra sujeita a uma força de tração.
t (Shear)
tmax
(σ(θ), t(θ))
t(θ) σy(θ)
2θ σx(θ)
σmin R σmax
Figura 9 – Figura representativa do círculo de Möhr. Fonte: Wikicommons, 2015.
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σ
(Normal)
VOCÊ O CONHECE? Christian Otto Möhr (1835-1918). Foi um engenheiro civil na Alemanha no século XIX e também foi exímio professor na disciplina de Resistência dos Materiais – seus alunos declaravam que ele sempre apresentava exemplos claros, práticos e de explicação simples e didática. Möhr ganhou notoriedade após desenvolver um método gráfico para ajudar no entendimento da Engenharia, denominado círculo de Möhr.
Através da trigonometria, é fácil observar que as coordenadas do círculo de Möhr podem ser reunidas nas seguintes fórmulas. a) Tensão média (Centro do círculo)
b) Tensões principais (Extremos do círculo)
2.3.2 Tensões cisalhantes no círculo de Möhr As tensões cisalhantes no círculo de Möhr são calculadas através da fórmula a seguir:
2.3.3 Tensões normais mínima, média e máxima no círculo de Möhr a) Tensão normal mínima É o menor valor da tensão que a superfície do elemento suporta no momento de aplicação da carga. A tensão mínima pode ser entendida como o menor valor da força atuante no elemento estrutural quando este está sendo solicitado. b) Tensão normal média É a média das tensões mínima e máxima, ou seja, é o valor intermediário entre elas. c) Tensão normal máxima É o maior valor da tensão que a superfície do elemento suporta no momento de aplicação da carga. Imagine que um elemento em uma sobrecarga tenha uma solicitação tal que quase chegue à ruptura; definimos como tensão admissível a tensão segura para que não haja um colapso no elemento estrutural. 43
Resistência dos Materiais
NÓS QUEREMOS SABER! O círculo de Möhr é ainda utilizado hoje em dia? Sim! Em aplicações computacionais para se determinar as tensões máximas e mínimas de pontes e viadutos, instala-se sensores de deformação chamados de extensômetros, que monitoram em tempo real o comportamento torcional e de flexão dessas grandes estruturas, responsáveis pelas tensões normais máximas e de cisalhamento da estrutura.
2.3.4 Elaboração do círculo de Möhr Vamos utilizar um exemplo simples para que saibamos como elaborar o círculo de Möhr. Considere um elemento em formato de quadrado retirado da lateral de um tubo de aço de uma placa indicativa de trânsito e que está sujeito tanto ao efeito da compressão quanto da torção. No imagem a seguir, podemos ver que se trata de um estado pleno de tensões em que na direção vertical se encontra as tensões na direção “y” e na horizontal as tensões na direção “x”. Observe que as setas indicando a compressão do elemento na direção “y”, que possuem valor de -100 Pa (valor negativo), indicando que se trata de uma tensão de compressão. Já as setas indicando a tração do elemento na direção “x” possuem valor de +200 Pa (valor positivo), indicando que se trata de uma tensão de tração. As tensões cisalhantes são indicadas por setas na parte inferior e superior do elemento e nas laterais, respectivamente. No exemplo dado, temos tensões cisalhantes da ordem de 50 Pa que também indicam que essa tensão é negativa, pois a seta na direção vertical tende a girar o elemento na direção anti-horária.
100 Pa 50 Pa
200 Pa
Resumo da ilustração: sx = +200 Pa sy = –100 Pa txy = –50 Pa
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Como sabemos se a tensão de cisalhamento apresentada é negativa ou positiva? Basta identificar a seta na parte inferior do cubo. Se a seta fizer com que o “quadrado” gire no sentido anti-horário, significa que a tensão cisalhante é negativa; e se acontecer o oposto, girar o quadrado no sentido horário, significa que a tensão cisalhante é positiva. a) Tensão Média (Centro do círculo)
b) Tensões Principais (Extremidades do círculo na horizontal)
c) Tensão cisalhante máxima (Extremidades do círculo na vertical)
Agora basta desenharmos um sistema de coordenadas em duas dimensões e identificar os principais pontos. Colocando um compasso com a ponta seca no ponto central do círculo (tensão média), ajusta-se o valor das tensões principais s1 ou s2 com a outra extremidade do compasso. Com uma ponta do compasso fixa no centro e outra na extremidade, acertamos o raio do círculo para desenhar. Nas coordenadas no eixo em “x”, colocamos primeiro a tensão mínima (extremidade esquerda do círculo), a tensão média (ponto central do círculo) e a tensão máxima (extremidade direita do círculo). A extremidade superior do círculo é a tensão de cisalhamento máxima e a extremidade inferior do círculo é a tensão de cisalhamento mínima.
45
Síntese Síntese
• As
tensões normais em um elemento são reações distribuídas que surgem quando o elemento estrutural é submetido a uma força.
• A
unidade de tensão normal é o Pascal, que corresponde a 1 N/m2. É muito comum também a utilização dos múltiplos do Pascal, sendo eles o quilopascal (kPa), o megapascal (MPa) e o gigapascal (GPa).
• É importante a correta transformação de unidades para chegar no resultado correto do cálculo da tensão normal.
• A tensão cisalhante é da mesma forma calculada como a tensão normal, e suas unidades são iguais.
• A tensão cisalhante é um caso muito comum no efeito de corte de elementos estruturais em que as forças atuam paralelamente à área.
Para o efeito cisalhante, devemos considerar, além do número de elementos na união, os planos de corte do elemento.
• O
círculo de Möhr é uma maneira gráfica de representar todas as tensões envolvidas, sejam elas normais ou de cisalhamento.
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Referências
Bibliográficas
GERE, J. M. Mechanics of Materials. 6. ed. Belmont, CA: Brooks/Cole-Thomson Learning, 2012. MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Érica, 1975. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
47
Capítulo 3 Flexão
Introdução Quando falamos de estruturas metálicas no ambiente urbano, podemos observar que elas literalmente envergam quando há uma rajada de vento forte soprando em sua direção. Saiba que a intensidade desse envergamento será diretamente proporcional ao comprimento da estrutura, isto é, quando mais comprida for a estrutura, mais ela se envergará. A resistência dos materiais a esse fenômeno é chamado de flexão, e é muito comum, sendo frequentemente observável em estruturas metálicas tais como: vigas, pranchas e postes. Neste tópico, portanto, estudaremos o fenômeno da flexão, bem como as consequências da flexão das vigas e a deformação por flexão, que é o principal responsável pela curvatura de chapas e tubo nos processos de fabricação. Bom estudo!
3.1 Momento fletor, esforço cortante: diagramas Neste tópico, estudaremos o conceito de momento. Saiba que, em várias situações cotidianas, por exemplo, quando trocamos o pneu de um carro, ou quando abrimos uma lata de conserva, quando estamos preparando um alimento ou ainda quando necessitamos abrir uma caixa de madeira, utilizamos este conceito. Mas o que ele denota, exatamente? Veremos a seguir!
3.1.1 Momento fletor Antes de entrarmos no assunto propriamente dito, devemos entender o que é o momento de uma força. Momento de uma força é um fenômeno que surge em um elemento de fixação, tal como em um parafuso quando está sujeito a uma força cujo efeito é um giro no ponto de apoio onde a viga está presa ou fixada. Observe a Figura 1. O homem está girando a manivela no sentido horário com o objetivo de apertar o parafuso que está fixo no eixo. A aplicação da força está sendo realizada pela mão do operador, e ela está a uma distância do ponto fixo que é o parafuso. O momento surge, então, quando a força empregada pelo operador está a uma certa distância do ponto de apoio.
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Resistência dos Materiais
Figura 1 – Aperto de um parafuso com uma chave em formato de “L” é um caso de momento. Fonte: Shutterstock, 2015.
Observe que é impossível girar o parafuso quando a mão do operador está a uma distância nula do apoio, ou seja, o momento depende da distância e da aplicação da força. O momento também é conhecido como torque na linguagem técnica. O torque, portanto, é muito comum no aperto de parafusos, na transmissão de força em engrenagens e polias e, ainda, em situações em que se exige uma multiplicação de força, por exemplo, uma retroescavadeira que necessita elevar uma grande quantidade de terra ou entulho. Apresentamos em seguida a fórmula para o cálculo do torque ou momento: M=F·d Em que F é a força a ser em pregada, e d é a distância do ponto de apoio. O momento é definido em unidade de N.m (Newton por metro) ou ainda kgf.mm (quilograma força por milímetro). Saiba que ambas as unidades são utilizadas e servirão para exemplificar este fenômeno. O momento não ocorre exclusivamente em hastes ou vigas fixadas apenas por uma extremidade, podendo surgir também em vigas que estão presas por duas extremidades, como é o caso da placa de trânsito da figura abaixo. Na imagem, as placas sinalizadoras causam, com sua força, peso na viga, e o momento dependerá da distância desse peso até os pontos de apoio na extremidade.
Figura 2 – Placa de sinalização rodoviária sujeita ao momento devido ao peso da estrutura. Fonte: Shutterstock, 2015.
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Exemplo 1 Qual será o momento ou torque produzido por um homem que emprega uma força de 40 kg em uma chave de aperto de rodas de carro com o comprimento de 50 cm? Expresse o resultado em N.m e considere ainda que o homem aplica a força na extremidade da chave. Primeiramente, convertemos as unidades apresentadas no enunciado para as unidades pedidas: 40 kgf = 400 newtons 50 cm = 0,5 metros M=F·d M = 400 · 0,5 = 20 N · m Vajamos a seguir outro exemplo bem simples para que possamos entender o efeito causado por uma força a certa distância do ponto de apoio.
Exemplo 2 Qual será o momento ou torque produzido por um macaco hidráulico que emprega uma força de 400 kg em uma chave de aperto de rodas de carro com o comprimento de 5 cm? Expresse o resultado em N.m e considere ainda que a força é aplicada na extremidade da chave. Novamente, temos que converter as unidades apresentadas no enunciado para as unidades pedidas 400 kgf = 4000 newtons 50 cm = 0,05 metros M=F·d M = 4000 · 0,05 = 20 N · m Fica claro agora que, se quisermos diminuir o ponto de apoio, teremos que aumentar proporcionalmente a força aplicada, certo? Em outras palavras, devemos aplicar uma maior força se desejamos causar o mesmo momento em uma curta distância.
NÃO DEIXE DE VER... É interessante observar o fenômeno da flexão em materiais rígidos e frágeis como o concreto em viadutos e pontes. Confira o vídeo a seguir, que mostra uma viga de concreto resistindo à flexão. Disponível no canal da englobra: <https://www.youtube. com/watch?v=TNGviY-dh9c>.
3.1.2 Esforço cortante: diagramas (V) Os esforços ou forças atuantes que causam momentos ou torques podem ser representados através de métodos gráficos conhecidos como diagramas. Esses diagramas foram elaborados com o objetivo de facilitar a visualização do momento em uma estrutura ou viga e também das forças que estão atuando na viga. 51
Resistência dos Materiais
O esforço cortante é aquele que literalmente corta ou secciona o material em seu plano de atuação transversal, causando a sua ruptura ou quebra. Para melhor entendimento, considere a Figura 3 abaixo, em que uma força F em newtons é aplicada no ponto central em uma viga de comprimento “L” (na maioria das vezes, “L” é adotado como comprimento porque vem da palavra inglesa Length, ou seja, comprimento). Esse mesmo esforço, que tende a cortar a viga, também causa um momento, fazendo com que a viga gire em um determinado sentido. Para que se possa elaborar esse diagrama, então, deve-se primeiro seguir uma convenção de sinais com base no sistema ortogonal de eixos, considerando o sentido de rotação horário ou anti-horário.
F
L
Figura 3 – Força atuante no ponto central de uma viga causando e seccionamento. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
3.1.3 Elaboração do diagrama Primeira etapa: estabelece-se uma referência para o sentido da força. Podemos, por exemplo, estabelecer que todas as forças que indicam para cima são positivas, e que todas as forças que indicam para baixo são negativas. Segunda etapa: fazemos, agora, uma representação da viga e estabelecemos que na parte do diagrama que será desenhada embaixo constarão os valores negativos da força, ao passo que, em cima, temos os valores positivos da força. Terceira etapa: traçamos o diagrama na parte superior ou inferior dependendo do valor da força. Um dos grandes problemas ao elaborar o diagrama é a visualização das forças e seu balanceamento quando estão envolvidas diversas forças, o que complica bastante a elaboração do diagrama. Vamos a dois exemplos para que possamos enxergar com nitidez o processo.
Exemplo 1 Considere a viga apoiada por dois apoios “A” e “B” como na figura abaixo. Determine a força atuante nos apoios e desenhe o diagrama da força cortante da viga.
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Resolução
O primeiro passo é determinar o sentido das forças, a força de 250 newtons é negativa e a força de 160 newtons é positiva. Observamos que os dois apoios “A” e “B” não possuem forças, mas ele “resistem” às outras forças que estão sendo impostas na viga. Esta resistência dará origem às reações nos apoios, as quais chamaremos de “RA” e “RB”. As reações em “A” e “B” são desconhecidas e não sabemos o seu sentido, por isso, estipularemos apenas o sentido positivo para ambas e, após a conclusão dos cálculos, constataremos se elas são realmente negativas ou positivas. O segundo passo é representar em outra figura todas essas forças, a fim de determinar uma equação de equilíbrio. De acordo com a lei da estática, todas as forças somadas em um objeto estático deverão resultar em soma nula. Em outras palavras, todas as forças somadas na viga em questão deverão resultar em zero. Podemos escrever este enunciado através da seguinte equação: ∑Fy = 0 Analisando a viga, equacionamos as forças e as incógnitas como: RA + RB + 160 – 250 = 0 RA + RB – 90 = 0 RA + RB = 90 Isto significa que a soma das reações em “A” e “B” deve resultar no valor de 90 newtons. Agora, devemos estabelecer também que a soma de todos os momentos deve se anular, tal como na equação: ∑MA = 0 No entanto, o momento, como vimos anteriormente, depende do ponto de aplicação ou ponto de apoio da viga. Podemos, aqui, estabelecer o ponto de apoio “A” ou “B”. Essa escolha, assim como a escolha do sentido da força, é arbitrária; o resultado deverá ser o mesmo independentemente do ponto que você escolher. Escolhemos, então, o ponto “A” como nosso sistema de referência para calcular o momento. Como sabemos, o momento de uma força é dado pela seguinte fórmula: M=F·d Observe que, se o ponto “A” é fixo, então a força de 250 newtons gira a viga no sentido horário em uma distância de 2 metros. Agora, se o ponto “A” é fixo, então a força de 160 newtons gira a viga no sentido anti-horário em uma distância de 2 metros mais 3 metros, totalizando 5 metros. Colocando essas informações em uma equação teremos: 250 (2 metros) – 160 (5 metros) – RB (7 metros) = 0 500 – 800 = RB (7) Isolando a variável teremos então: RB =
–300 7
= –42,85 N
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Resistência dos Materiais
Concluímos que a reação no apoio “B” possui valor negativo de 42,85 newtons, indicando que a reação em “B” está sendo forçada contra o piso. Agora, para encontrarmos a reação no apoio “A”, apenas retornamos à primeira equação, em que se afirma que a soma das duas reações é de 90 newtons, e substituímos o valor. RA – 42,85 = 90 RA = 90 + 42,85 = 132,85 N Quando obtivermos os valores das reações dos apoios, podemos partir para a elaboração dos diagramas de força cortante. O primeiro passo para elaborar o diagrama de forças cortantes é iniciá-lo da esquerda para a direita, desenhando na extremidade direita. Observe que o valor da reação em “A” é de 132,85 newtons e positivo: por isso começamos a desenhar o diagrama na parte superior da viga. Essa representação gráfica das forças cortantes é muito útil para entender o que acontece ao longo da viga, porque até agora as informações que temos se concentram nos apoios de cada extremidade.
V(N) 132,85 N 42,85 N A
2m
2m
B
-117,15 N
x(m)
3m
Figura 4 – Diagrama de força cortante de uma viga biapoiada. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
M (N.m) 0.09
x (m) 0.27 2.00 m
3.00 m
2.00 m
Figura 5 – Diagrama de momento fletor de uma viga biapoiada. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Fazemos uma linha reta na vertical com o valor de 132,85 newtons e “caminhamos” em linha reta horizontal até encontrar a força negativa de 250 newtons. 54 Laureate- International Universities
a) Balanço de força no trecho inicial de 2 metros 132,85 N – 250 N = –117,15 N Observe que a linha vertical deslocou-se para baixo, indicando que a força se reduziu para o valor negativo de 117,15 newtons. Continuamos “caminhando” em uma linha reta horizontal até encontrarmos a força positiva de 160 newtons. b) Balanço de força no trecho intermediário de 3 metros –117,15 N + 160 N = 42,85 N Observe que o valor agora retornou para o valor positivo de 42,85 newtons. Se continuarmos até o final da viga encontraremos no apoio “B” o valor de 42,85 newtons negativo, o que será balanceado novamente para retornar a um valor nulo. c) Balanço de força no trecho final de 2 metros 42,85 N – 42,85 N = 0 Constatamos que o último balanço de força sempre levará ao valor nulo devido ao fato de que a soma de todas as forças deve resultar em zero. Na elaboração do diagrama, você deve sempre tomar cuidado com os sinais adotados antes de iniciar a resolução para evitar transtornos. Uma maior quantidade de forças envolvidas dará maior trabalho tanto para resolver os cálculos quanto para elaborar o diagrama.
NÓS QUEREMOS SABER! Quanto maior o vão de uma ponte maior será a curvatura da viga? Bem, depende muito do formato da seção transversal dessa viga. Hoje, os construtores de pontes projetam essas estruturas a fim de obter a menor curvatura e, assim, evitar a flexão da estrutura ao longo do tempo. Caso a ponte ou o viaduto venham a flexionar excessivamente é projetada uma aproximação dos apoios da ponte ou ainda uma mudança na seção geométrica da estrutura.
3.1.4 Cargas Distribuídas São cargas que ocorrem ao longo das vigas. Observe as ilustrações a seguir:
10.00 kN/m
7.00 kN/m
8.00 m
3.00 m
Figura 6 – Viga Biapoiada com carga distribuída e balanço. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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Resistência dos Materiais
36.1 21.0
8.00 m
3.00 m -43.9
Figura 7 – Gráfico do Esforço Cortante. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
31.5
8.00 m
3.00 m
65.0 Figura 8 – Gráfico do Momento Fletor. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
As cargas também podem ser do tipo:
10.00 kN/m 5.00 kN/m
8.00 m
3.00 m
Figura 9 – Viga Biapoiada com carga distribuída variável e balanço. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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9.6 22.5
8.00 m
3.00 m -30.4
Figura 10 – Gráfico de Esforço Cortante. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
30.0
8.00 m
3.00 m
25.0 Figura 11 – Gráfico de Momento Fletor. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
3.2 Flexão em vigas Como mencionamos no início deste capítulo, o encurvamento de estruturas é muito comum no ambiente urbano, basta olharmos o trânsito das grandes cidades para constatar que a ação do vento faz com que diversos elementos como placas sinalizadoras, postes e suportes literalmente enverguem. A flexão também pode ajudar em diversos processos de fabricação em que o objetivo é encurvar totalmente o elemento mas, para tanto, deve-se ultrapassar o seu limite elástico de flexão. Neste tópico, veremos exemplos de dobramentos de placas e estruturas em geral.
3.2.1 Tipos de apoios de vigas A maneira pela qual o material deve ser posicionado demandará a utilização de um apoio, o qual, na maioria das vezes, ditará o comportamento da viga perante a sua flexão. O apoio das vigas pode ser classificado em duas categorias, a fixação em balanço e a biapoiada. a) Fixação em balanço: são os tipos de apoio em que o elemento estrutural está fixado por apenas uma extremidade. Podemos citar como exemplo a prancha de uma piscina. 57
Resistência dos Materiais
b) Fixação biapoiada: neste caso, o elemento estrutural está apoiado por dois apoios na extremidade, como é o caso do vão de uma ponte.
Figura 12 – Flexão de vergalhões de aço para a construção civil. Fonte: Shutterstock, 2015.
A Figura 5 ilustra muito bem um caso de flexão e dobramento na indústria da construção civil, no qual o objetivo principal é encurvar os vergalhões para que eles tomem determinadas formas com o objetivo de atuarem como elemento resistente em uma coluna de concreto.
3.2.2 Momento de inércia de uma viga Você já deve ter observado que as vigas de madeira que sustentam o telhado de uma casa são sempre colocadas em uma mesma posição para evitar sua deformação e seu encurvamento ao longo do tempo. A característica geométrica que controla essa dinâmica é chamada de momento de inércia de uma viga e é uma grandeza relacionada à formação da seção transversal da viga.
3.2.3 Momento de inércia de figuras planas Como existe uma gama enorme de formatos de vigas, apresentaremos os mais comuns. a) Seção retangular simétrica I=
b · h3 12
Em que b é a base do retângulo e h é a altura da viga b) Seção circular I=
p · d4 64
Em que “d” é o diâmetro da seção circular da viga. 58 Laureate- International Universities
O momento de inércia está muitas vezes relacionado com o comportamento da viga quando ela é flexionada. Considere, por exemplo, a situação na qual tentamos encurvar uma régua quando sua parte plana está apoiada em uma mesa, e uma outra situação na qual aplicamos a força de nosso dedo na régua em posição vertical. O que ocorre é que quando a régua está com a parte plana apoiada, a distância até a metade da espessura da régua é pequena demais para suportar o efeito de flexão, mas a situação muda completamente de figura quando colocamos a régua de pé, pois o centro da seção transversal fica mais longe da base impedindo sua flexão. Por isso, em algumas situações, basta posicionar a viga de forma diferente para que ela tenha uma maior resistência à flexão.
NÓS QUEREMOS SABER! Existe um limite elástico, tal como acontece no estiramento de vigas, para a flexão de vigas, ou seja, a viga pode retornar ao estado original ao ser flexionada? Sim, pode haver uma recuperação, ainda que mínima, de seu estado original. Por isso, em situações nas quais se deseja o encurvamento da viga, utiliza-se um dispositivo que mantenha a viga encurvada por um pequeno intervalo de tempo para garantir a sua real curvatura.
Figura 13 – Vigas em formato de “I” são muito comuns em estruturas metálicas. Fonte: Shutterstock, 2015.
As vigas de seção possuem a área transversal mais complexa, por exemplo, vigas em formato de “I”, que são muito utilizadas em trilhos para a indústria ferroviária, e outras em formato de “T”, que são utilizadas na indústria naval. Para calcular os momentos de inércia nestes casos são associados e somados os momentos de inércia de figuras mais simples (como retângulos, quadrados e círculos) e depois reunidos em um só valor.
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Resistência dos Materiais
3.2.4 Centro geométrico da viga O centro geométrico da viga, mais conhecido como “C.G.”, é o ponto de equilíbrio da figura plana. Em figuras simétricas, a parte superior a partir da linha central é igual à parte inferior. Em outras palavras, trata-se do ponto central da seção transversal da viga tanto na direção horizontal quanto na direção vertical.
VOCÊ O CONHECE? Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) foi um engenheiro civil e professor francês que contribuiu fortemente para o desenvolvimento da área de elementos estruturais estáticos, os quais até hoje são utilizados. Devido a sua grande contribuição em sistemas equivalentes de carregamento, adotamos o teorema de Saint-Venant. O pesquisador contribuiu também com a mecânica dos fluidos e com a mecânica hidráulica, desenvolvendo uma equação para escoamentos em canais.
3.2.5 Tensão de flexão Há uma relação entre a tensão na viga e o seu momento fletor dada pela seguinte fórmula: s=–
My I
Em que M é o momento fletor da viga, e Y é a distância da base da viga até o seu centro geométrico C.G. Já I é o momento de inércia, que depende da geometria da viga. Podemos constatar, portanto, que vigas que são posicionadas o mais longe possível do seu centro geométrico sofrerão maior tensão de flexão, porque a fórmula indica que a tensão de flexão é inversamente proporcional ao seu momento de inércia.
NÃO DEIXE DE LER... O livro Resistência dos Materiais dos autores Ferdinand P. Beer e E. Russel Johnston é uma ótima indicação para quem quer se aprofundar nesta área de projetos de vigas sujeitas à flexão. O livro é totalmente ilustrado e bastante didático.
Exemplo Qual será a tensão de flexão de uma viga retangular de dimensões 20x50 mm e sujeita a um momento fletor de 200 N.m? s=–
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My I
Calculamos o momento de inércia da viga retangular através da fórmula abaixo: I=
I=
s=–
b · h3
0,02 · 0,053 12
12
= 2,08 10–7 m4
200 · 25 · 10–3 2,0810–7
= –24,03 MPa
Concluímos que a tensão de flexão para esta viga é um valor bem elevado devido a dois fatores: a) ao pequeno formato de sua seção transversal; e b) ao momento fletor atuante na viga. Esta tensão de flexão pode ser interpretada como a tensão resistente nas fibras externas da viga que, nesse caso, é totalmente simétrica às fibras internas. No exemplo apresentado, pode-se calcular a tensão de flexão com base no momento fletor e no seu momento de inércia. Saiba, porém, que este mesmo cálculo é utilizado para dimensionar o perfil de uma viga com base em um valor máximo de tensão de flexão. Valores máximos de tensão de flexão são obtidos em análises de laboratórios que seguem um rígido critério em sua elaboração. Esses lugares utilizam equipamentos e máquinas de alta performance, porém o resultado, na prática, pode sem bem diferente do que o estimado com esses equipamentos. É por isso que, atualmente, com o avanço computacional, esta tarefa vem cada vez mais se aproximando do real. Hoje, programas de computadores podem tranquilamente elaborar malhas de controle que simulam condições extremas de flexão de vigas, além de calcular as reações em qualquer tipo de apoio.
Caso Um atleta olímpico da modalidade salto com vara depende muito do curvamento e retorno elástico da sua vara, fabricada de um material polimérico de fibra de carbono ou fibra de vidro. Esses materiais são os que garantem o melhor retorno elástico após a flexão, o que é um dos grandes interesses dos atletas. O melhor saltador com vara na história dos jogos olímpicos até hoje foi o ucraniano Serguei Bubka que, em 31 de julho de 1994, saltou 6,14 metros nos jogos olímpicos na Noruega.
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Resistência dos Materiais
3.3 Deformação por flexão A deformação por flexão de uma viga é um fenômeno que pode acontecer logo após o seu encurvamento. Essa deformação pode trazer duas consequências: a lateral externa da viga encurvada será tracionada, e a lateral interna da viga será comprimida. Acompanhe, a seguir, as explicações desses fenômenos.
3.3.1 Encurvamento de uma viga Quando uma viga está sujeita a uma força em sua extremidade, mesmo estando fixada, ela tende a encurvar-se ao longo do seu eixo longitudinal. Saiba que essa curvatura mede o quanto a viga foi flexionada. Podemos calcular a curvatura através da seguinte fórmula: k=
1 ρ
Em que ρ é o raio de curvatura que a viga faz ao ser flexionada em unidades de comprimento.
Figura 14 – O encurvamento de tubos de cobre é uma necessidade nas empresas de manutenção em refrigeração. Fonte: Shutterstock, 2015.
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NÃO DEIXE DE LER... Artigos e dissertações de mestrado são ótimos para revisar os conceitos aprendidos e visualizar aplicações na prática, ou seja, ajudam a contextualizar o nosso conhecimento. Odinir Klein Júnior, em sua dissertação de mestrado na Universidade de São Paulo em 2011, estudou profundamente a flexão simples e composta de pilares de concreto em situações de incêndio, ou seja, em situações de extremo calor. Vale a pena conferir! Disponível em: <https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=w eb&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CB0QFjAAahUKEwiGhfzW1M7GAhXGg5AKHTjQ AsI&url=http%3A%2F%2Fwww.teses.usp.br%2Fteses%2Fdisponiveis%2F3%2F3144%2F tde-17082011-154210%2Fpublico%2FDissertacao_Odinir_Klein_Junior.pdf&ei=Ibue VcbwCsaHwgS4oIuQDA&usg=AFQjCNFaTjFJdwhskO1Rm-2AVMa97vdYwg&sig2=y8f hnaXvHmpqolDtbLkbfw>.
3.3.2 Deformação da viga A deformação de uma viga acontece após o seu encurvamento elástico e, em muitas situações, a deformação permanente da viga leva ao seu efetivo dobramento parcial ou total. As deformações da viga são estudadas por meio de sua curvatura e considerando a seguinte regra: as seções planas de uma viga permanecem planas mesmo após ocorrer a deformação. A afirmação acima é válida para qualquer material em estudo na flexão de vigas. Podemos, ainda, concluir que as fibras externas da viga sofrem tração e a fibras internas sofrem compressão. A deformação de uma viga é adimensional sendo avaliada pela seguinte fórmula: ε=–
y ρ
Em que y é a distância da base da viga até o seu centro geométrico e ρ é o raio de curvatura da viga.
Exemplo Uma viga com seção retangular com as dimensões 40x80 mm possui um raio de curvatura de 1000 mm. Qual é a deformação percentual dessa viga na situação dada? Observe que a viga possui uma altura de 80 mm, sendo que “y” será o valor divido por dois, pois a viga é de seção simétrica. ε=–
40 1000
= –4%
A viga apresentou uma deformação de flexão de 4% em relação ao seu tamanho original. Isso significa que antes de ocorrer a deformação a viga possuía uma deformação nula. O valor negativo no resultado do exemplo mostra que houve uma contração da viga após a atuação da força causadora do momento.
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Resistência dos Materiais
3.3.3 Severidade da deformação por dobramento Pode-se estimar a severidade de uma deformação pelo seu ângulo de dobramento. Quanto maior o ângulo de dobramento, medido a partir do ângulo raso de 180 graus, maior terá sido a severidade do dobramento. Podemos classificar a severidade de acordo com o ângulo de dobramento, o qual inicia em 90 graus, possui valor intermediário de 120 graus e valor de dobramento máximo de 180 graus.
3.3.4 Ensaio de dobramento e flexão A flexão de um dado elemento estrutural pode ser avaliada em um laboratório por meio de um ensaio de flexão e dobramento. Toma-se um corpo de prova, o qual pode ser uma tira de aço de uma determinada espessura apoiada em dois apoios ou presa por uma extremidade, e aplica-se uma força através de um cutelo dotado de um medidor de força. Em uma primeira análise, inspecionam-se as fibras externas tracionadas, observando se houve rompimento dessas fibras. Pode-se assim constatar se o material utilizado obteve ou não êxito em sua resistência à flexão. Em outras situações, pode-se utilizar uma tira de aço com um cordão de solda para verificar a resistência do cordão e se ele mantém as mesmas propriedades ou características da tira de aço. Pode-se realizar o ensaio em materiais poliméricos tais como a fibra de vidro, a fibra de carbono ou o polipropileno. Em materiais frágeis, tais como a cerâmica e o vidro, não se utiliza este tipo de ensaio por se tratar de materiais com pouquíssima região de deformação.
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Síntese Síntese
• O
momento fletor é um fenômeno que ocorre após a viga ou elemento estrutural ser submetido a uma força em sua extremidade. Este conceito possui muitas aplicações, por exemplo, quando desatarraxamos um parafuso ou quando tentamos dobrar uma chapa de aço.
• Pode-se elaborar um diagrama com o objetivo de visualizar as forças cortantes máximas
e mínimas que ocorrem em vigas. Assim, podemos, por exemplo, identificar as regiões da viga que possuem maior probabilidade de entrar em colapso.
• A flexão em vigas é a tendência de encurvar uma viga ao longo de sua seção longitudinal
e é, muitas vezes, responsável pelos projetos de pontes e viaduto. Uma das características geométricas que controla esse comportamento é o momento de inércia, que não possui significado físico, mas serve de parâmetro para o cálculo das flexões.
• Pode-se
dizer que na flexão das vigas haverá dois comportamentos: uma deformação permanente (chamada de deformação por flexão, que tende a manter o elemento estrutural em posição curvada de modo contrário à flexão elástica) ou o retorno à dimensão original.
• Há uma relação muito próxima da tensão que a viga sofre no momento da flexão e em
seu momento fletor. Como o momento fletor é diretamente proporcional à tensão de flexão da viga e à distância da base, quanto maior o momento maior a tensão de flexão, e quanto maior a distância da base até o centro geométrico da viga maior também é a tensão de flexão. Pode-se concluir que vigas com maior distância entre a base o seu centro geométrico serão mais difíceis de encurvar.
• O fenômeno da flexão causa a deformação por flexão, que reflete no encurvamento da
viga. Os engenheiros e cientistas observam este comportamento através do ensaio de flexão, em que são testadas vigas de diversos formatos, tamanho e materiais observando o seu comportamento na deformação máxima.
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Referências Bibliográficas
BEER, F.P.; JOHNSTON Jr, E. R. Resistência dos Materiais. 3 ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: Ed. Livros Técnicos e Científicos, 2000.
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Capítulo 4 Torção
Introdução Um efeito que muitas vezes tem origem da tentativa de giro de uma peça em seu próprio eixo e que pode causar efeitos catastróficos é conhecido como torção. A torção está presente quando, por exemplo, um eixo transmite uma rotação de uma engrenagem para outra engrenagem, ou ainda quando uma placa de trânsito, apoiada por apenas um poste, sofre o efeito do vento em condições meteorológicas adversas. Neste capítulo, estudaremos as origens do efeito da torção e suas consequências para as estrutura comumente encontradas nos ambientes urbanos. Abordaremos os cálculos do ângulo de torção e também a deformação causada na peça.
4.1 Momento torçor: diagramas Sabemos que o conceito de momento aparece em várias situações de nosso dia a dia, certo? Por exemplo, quando abrimos uma lata de conserva, quando estamos preparando um alimento ou ainda quando abrimos uma caixa de madeira. Nessas situações, precisamos de um apoio para aumentar a força que estamos aplicando ou de ferramentas que podem resistir ao efeito torcional que estamos aplicando.
4.1.1 O que é a torção A torção é um fenômeno puramente mecânico, no qual há um giro da seção transversal de uma peça de modo que suas fibras externas se deformam, ficando no formato de uma hélice. A torção, em muitos casos, é um efeito negativo porque compromete significamente a dimensão do elemento estrutural, levando-o ao colapso.
Figura 1 – Efeito da torção em uma barra de aço. Fonte: Shutterstock, 2015.
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Na figura anterior, é possível constatar que a torção em materiais maleáveis e dúcteis, como o aço, faz com que eles adquiram uma característica geométrica em suas fibras externas, assemelhando-se a uma hélice. Vale ressaltar que essa característica é observável em materiais que experimentam determinada deformação, tais como os aços, os metais não ferrosos e também os polímeros. Materiais frágeis, tais como a cerâmica, não apresentam essa característica e romperão sem sobreaviso. Saiba que a torção não é somente um efeito negativo em estruturas e componentes mecânicos. Observe, por exemplo, a figura a seguir. Ela mostra uma mola de torção muito utilizada em dispositivos como portas e janelas, no intuito de garantir o retorno logo após sua abertura. Também podemos citar processos de fabricação de ferramentas de aço que precisam resistir à torção, tais como chaves de fenda, chaves de roda etc.
Figura 2 – Molas de torção são muito utilizadas para facilitar o abre e fecha de portas ou mecanismos. Fonte: Shutterstock, 2015.
A torção também está presente em estruturas metálicas, tais como torres, postes e coberturas, posto que essas estruturas sofrem com a intensidade do vento.
NÃO DEIXE DE VER... O vídeo institucional da empresa americana Hebo Machines Company a respeito da fabricação de portões fala a da torção de barras de aço. Essa empresa utiliza máquinas de ação hidráulica para efetuar a torção de diversas barras retangulares, no intuito de atingir um efeito estético e um acabamento perfeito. Você pode visualizar o vídeo acessando o link: < https://www.youtube.com/watch?v=8qGHWZm0C-o>.
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4.1.2 Efeitos da torção A torção pode trazer algumas consequências a qualquer barra de seção transversal, de qualquer formato. Listamos as principais consequências a seguir. Confira!
• Deformação angular da peça em relação ao seu eixo, ou seja, a barra ficará torcida em relação ao seu eixo original.
• Originar tensões de cisalhamento nas seções transversais da barra, as quais farão com que a peça sofra ruptura por corte.
Figura 3 – Cabos de aço são elementos estruturais projetados para suportar o efeito da torção. Fonte: Shutterstock, 2015.
4.1.3 Momentos de torção Para que ocorra a torção em determinada peça, devemos ter em mente que forças precisam causar momentos no plano transversal da peça, ou seja, parte perpendicular ao eixo. Por exemplo, observe a figura seguinte, na qual uma correia está transmitindo uma força para a extremidade da engrenagem, a qual, por sua vez, causa um giro na engrenagem e uma torção no eixo que está acoplado. Grave bem: a força da correia em conjunto com o raio da engrenagem é chamada de momento de torção e é responsável pelo efeito torcional na barra. Quanto maior o raio do elemento sujeito a este efeito, maior é o efeito torcional, ou seja, maior é a tendência em girar o eixo. É por isso que em sistemas de transmissão com grandes polias ou engrenagens há uma melhor e maior tendência ao giro do eixo. Podemos calcular o momento de torção aplicando a seguinte fórmula: M=F·r Em que “F” é a força empregada na extremidade da barra, da engrenagem ou da polia e “r” é o raio desses elementos.
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F
r
Figura 4 – Força na extremidade da barra causando um momento de torção. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
4.1.4 Momento polar de inércia Uma característica apenas geométrica e que não possui nenhum significado físico para a torção é o momento polar de inércia, o qual aparece no cálculo do efeito de cisalhamento (corte) em elementos submetidos à torção. Como o momento polar é uma característica geométrica, isso significa que cada elemento com um perfil geométrico característico terá sua fórmula para o cálculo do momento polar. Um caso bastante comum são os eixos circulares, muito utilizados em sistemas de transmissão. J=
p · D4 32
Em que “D” é o diâmetro do eixo submetido à torção.
Exemplo Calcule o momento polar de inércia para um eixo maciço de 50 mm de diâmetro: J=
p · 504 32
= 613281,25 mm4
4.1.5 O efeito cisalhante na torção Um dos efeitos catastróficos e de interesse dos estudiosos em resistência dos materiais é saber se uma barra submetida a um momento de torção irá se romper. Para isso, deve-se calcular a tensão cisalhante nas fibras externas do elemento submetido à torção. Podemos calcular a tensão cisalhante através da seguinte fórmula: t=
M J
· (r)
O efeito cisalhante varia desde o centro da peça, já que em seu interior o raio é nulo. Não há, portanto, efeito cisalhante até a fibra mais externa, na qual o momento de torção é máximo e também o seu efeito de cisalhamento.
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Exemplo Um eixo maciço de 80 mm de diâmetro está sendo submetido a um efeito de torção oriundo de uma polia de 100 mm de diâmetro, à qual está sendo aplicada uma força de 10 kgf. Qual o efeito da tensão cisalhante a 20 mm do centro do eixo? Cálculo do momento de torção: M=F·r Observe que o raio da polia é de 50 mm: M = 10 · 50 = 500 kgf.mm Cálculo do momento polar de inércia: J=
p · 804 32
= 4019200 mm4
Cálculo do efeito cisalhante na torção: t=
M J
· (r)
Observe que o eixo possui 80 mm de diâmetro e 40 mm de raio. Neste caso específico, r = 20 mm, pois estamos calculando a tensão cisalhante no interior da peça, a 20 mm de seu centro. t=
500 4019200
· (20) = 2,48 · 10–3 kgf/mm2
4.1.6 Diagramas de torção Os diagramas de torção podem ser elaborados seguindo os cálculos da tensão cisalhante; desde o centro dos eixos em que a referência é dada como a inicial nula até sua extremidade. Para elaborar o diagrama, primeiro calculamos a tensão de torção cisalhante intermediária e a tensão de torção cisalhante máxima. A tensão de torção cisalhante intermediária será dada pela tensão de torção no ponto médio do raio do eixo. Utilizando o exemplo anterior, podemos calcular a tensão de torção cisalhante no ponto máximo, que é a 40 mm do centro do eixo, já que o diâmetro do eixo é de 80 mm. Observe a elaboração do diagrama a seguir! Tensão de torção no centro (Ponto 1). O valor é nulo, já que o raio no centro do eixo é zero. Tensão de torção no ponto médio, valor calculado no exemplo anterior (Ponto 2). t=
500 4019200
· (20) = 2,48 · 10–3 kgf/mm2
Tensão de torção no ponto mais externo do eixo, exatamente o dobro do valor calculado anteriormente (Ponto 3). t=
500 4019200
· (40) = 4,97 · 10–3 kgf/mm2
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Resistência dos Materiais
Com os valores em mãos, desenhamos, então, um triângulo cujo cateto é dado pelos pontos calculados anteriormente.
F 3 r
2
1
Figura 5 – Força na extremidade da barra causando um momento de torção. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Observe a figura anterior. Quanto mais longe do centro do eixo, maior sua tensão de torção cisalhante e, consequentemente, maior o seu efeito. Pode-se entender que o diagrama desenhado indicará claramente onde a tensão de cisalhamento de torção terá o maior efeito. O objetivo de elaborar um diagrama de torção é exatamente este, ou seja, indicar onde o efeito torcional é maior. No caso da figura apresentada, especificamente, fizemos o diagrama com apenas três pontos, mas podemos elaborar uma tabela com mais pontos, indicando cada um dos valores da torção desde o centro do eixo até a sua extremidade.
4.1.7 Resistência à torção Todo material submetido a um esforço externo tende a “resistir” a esse esforço, em outras palavras, esse elemento oferece uma resistência à força, tentando retornar à dimensão original. Tal comportamento é chamado de comportamento elástico. No caso da torção, essa propriedade dita esse comportamento e é chamada de resistência à torção. A resistência à torção é o que garante que estruturas metálicas e postes suportem os efeitos aos quais são submetidos quando um momento de torção aparece em seu eixo. Um dos fatores primordiais para que a peça tenha uma elevada resistência à torção é sua geometria de construção e também o material do qual ela foi fabricada. Materiais cerâmicos e alguns polímeros possuem baixa resistência à torção, enquanto materiais dúcteis tendem a resistir melhor a tais efeitos. Podemos concluir, então, que um fator que deve ser levado em conta no projeto de elementos que serão submetidos a torção será o formato e também seu material de construção.
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NÃO DEIXE DE LER... Um dos recursos didáticos mais utilizados em resistência dos materiais, por se tratar de uma referência com diversos exemplos e exercícios, é o livro da coleção Schaum do autor William Nash. Nessa obra, teve-se o cuidado de trazer de forma bem resumida e clara os exercícios mais comuns a respeito do fenômeno da torção. Resistência de Materiais. Coleção: Schaums Outlines.
Figura 6 – Uma correia transmite um movimento giratório para a engrenagem. Fonte: Shutterstock, 2015.
NÓS QUEREMOS SABER! Um eixo de seção retangular será mais resistente à torção do que um eixo de seção circular? Na verdade, quando se fabrica um eixo de seção retangular, um maior efeito de cisalhamento estará concentrado nos cantos vivos, dando origem ao que chamamos de efeito de concentração de tensões. Esse efeito é negativo porque não alivia as tensões concentradas em um ponto, ao passo que um eixo de seção cilíndrica distribui uniformemente as tensões cisalhantes por ele geradas. Dessa forma, um eixo com uma seção circular suportará mais os efeitos de uma torção porque as concentrações de tensão cisalhante são mais bem distribuídas, gerando tensões mais uniformes e evitando o colapso da peça.
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4.2 Torção em eixos Como discutido no item anterior, a torção em eixos cilíndricos é muito comum em sistemas de transmissão. Com o objetivo de avaliar as propriedades de uma peça em uma situação de torção severa, utiliza-se o ensaio de torção que consiste em submeter a peça a uma torção em seu próprio eixo e medir qual o seu ângulo crítico de torção. Outra abordagem neste item será a investigação do efeito cisalhamento em eixos sólidos e vazados e quais os respectivos ângulos de torção.
4.2.1 Ensaio de torção O corpo de prova do ensaio de torção consiste de uma barra cilíndrica confeccionada em aço e acoplada a uma polia, a qual será submetida a uma força aplicada no sentido horário e anti-horário. A polia possui um laser que emite uma luz incidente em uma escala posicionada na parte externa, acoplada ao conjunto chamado de equipamento de ensaio de torção. O corpo de prova do ensaio é o elemento que simula o estado torcional da peça.
Figura 7 – Esquema de realização do ensaio de torção em uma barra. Fonte: Shutterstock, 2015.
4.2.2 Rigidez A rigidez de uma peça submetida à torção é representada pela letra “G” e medida através da relação entre a tensão de cisalhamento e a deformação na torção. G=
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t γ
A rigidez é uma característica do material e é determinada através de experimentos de torção em laboratório, assim como o ensaio de torção. Podemos dizer que a rigidez de um material é equivalente ao módulo de elasticidade de um material. Sabendo, então, que podemos encontrar a rigidez de determinado material que está sujeito ao esforço de torção, podemos determinar facilmente a sua deformação por torção. γ=
t G
Rigidez do alumínio: 2,8.10-3 N/m2 = 2,8. 104 kgf/mm2 Rigidez do aço: 8,4.10-3 N/m2 = 8,4. 104 kgf/mm2 Podemos perceber, por esses valores, que é bem mais difícil efetuar a torção em uma barra de aço do que em uma de alumínio. A rigidez possui as mesmas unidades que a tensão de cisalhamento, ou seja, newton por metro quadrado. A medida da rigidez de uma peça deve levar em conta duas hipóteses. Confira!
• Os diâmetros paralelos à face plana do elemento após a deformação devem permanecer na mesma medida.
• A recuperação da dimensão da peça após a deformação da torção é prevista, ou seja, haverá uma recuperação elástica.
4.2.3 Ângulo de torção O ângulo de torção é o ângulo medido após a peça sofrer o efeito da torção por uma força externa. O ângulo de torção é medido em radianos e será dado pela seguinte fórmula: θ=
M·l G·J
Em que M é o momento torçor do eixo, l é o comprimento do eixo, G é a rigidez do elemento e J é o momento polar de inércia. Observamos que a intensidade do ângulo de torção é diretamente proporcional ao comprimento da peça e inversamente proporcional à rigidez do material de fabricação do eixo. O ângulo de torção pode ser também expresso em graus, bastando lembrar que 1 radiano equivale a exatamente 57,29 graus.
VOCÊ O CONHECE? Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) foi um físico francês que investigou o comportamento de elementos mecânicos na torção. Coulomb preocupou-se com o ângulo de torção, estudando uma balança chamada de “Balança de Torção”. Saiba, porém, que seu objeto real de estudo eram as forças elétricas que atuavam nesta balança. Além das atribuições como cientista, Coulomb também atuou na área da educação, sendo um ativo inspetor no ensino público.
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O ângulo de torção é um dos parâmetros estudados pelos metalurgistas e projetistas, pois é capaz de revelar se uma estrutura pode girar em seu próprio eixo sem sofrer uma ruptura prévia. Um exemplo de elemento mecânico, no qual não pode haver uma ruptura por cisalhamento devido à torção, é o eixo cardã. O eixo cardã é um elemento de transmissão que permite que as rodas traseiras de um automóvel se movimentem (em sistemas de tração 4x4). Nesses elementos mecânicos, deve-se garantir que haja o mínimo de distorção devido à torção para que não haja folgas.
Figura 8 – Eixo cardã em um sistema de transmissão de automóvel. Fonte: Shutterstock, 2015.
Exemplo Um eixo maciço de aço de 40 mm de diâmetro possui um comprimento de 1 metro e está acoplado a uma polia de 100 mm de diâmetro, conectado a uma correia transportadora que aplica 50 kgf de força. Calcule o que se pede a seguir. a) Momento de torção. b) Tensão cisalhante na parte mais afastado do centro do eixo. c) Ângulo de torção. Momento de torção
O momento de torção será calculado através da fórmula seguinte, lembrando que o raio da polia é de 50 mm e a força aplicada é de 50 kgf: M=F·r M = 50 · 50 = 2500 kgf.mm
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Tensão cisalhante
A tensão cisalhante na parte mais afastada do centro do eixo será a 20 mm do centro do eixo. Precisamos calcular também o momento polar de inércia do eixo, que será dado por: J=
p · 404 32
= 251200 mm4
Agora reunindo os dados apresentados e considerando r = 20 mm: t=
t=
2500 251200
M J
· (r)
· (20) = 0,19 kgf/mm2
Ângulo de torção
θ=
θ=
M·l G·J
2500 · 1000 8,4 · 104 · 251200
= 1,185 · 10–4 rad
Como 1 radiano é igual a 57,32 graus, fazendo uma regra de três simples obtemos o valor em graus: θ = 0,0678 graus Observamos que o valor apresentado é pequeno, porém não é um valor insignificante para uma barra de 1 metro de comprimento. Outra observação é que, neste exemplo, todas as unidades foram convertidas para milímetro, no intuito de obtermos um resultado consistente.
NÃO DEIXE DE LER... Os ângulos de torção são observáveis em tubulações de condução de derivados do petróleo. Imagine, durante o sol escaldante, a quantidade de deformação causada pela dilatação acumulada em uma linha de tubulação. Um livro que aborda muito bem essa questão é “Tubulações Industriais” de Laerce Paula Nunes, editado pela editora LTC. O livro aborda diversas definições de tubos de condução de derivados, e é calculado para encontrar o momento de torção dessas tubulações.
É interessante observar que, em eixos de seção circular e maciça, quanto maior o comprimento do eixo maior será o ângulo de torção, isso porque o comprimento aumenta proporcionalmente com o ângulo de torção, e também podemos concluir que quanto maior a rigidez do material menor será o seu ângulo de torção, assim como também o momento polar de inércia que depende diretamente do diâmetro do eixo.
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4.2.4 Materiais dúcteis e frágeis Na análise da torção, deve-se também levar em conta como esses materiais se comportarão perante a um esforço de torção. Os materiais dúcteis, como o aço e os metais não ferrosos (alumínio e cobre, por exemplo), quando submetidos à torção rompem por cisalhamento, ou seja, sua fratura se dá em um plano paralelo ao plano no qual o material se rompeu. Materiais frágeis como os materiais cerâmicos irão se romper em um plano a 45 graus da face desse eixo.
NÓS QUEREMOS SABER! Eixos circulares maciços devem ser submetidos a um tratamento superficial antes de serem realmente indicados para determinadas aplicações? Sim. Em muitos casos esses eixos ficarão expostos a um meio corrosivo, seja ele ambiente industrial, marinho ou rural. Todos esses elementos devem ser pintados adequadamente com uma tinta e uma película anticorrosiva para terem sua vida útil prolongada.
4.3 Torção em eixos vazados Eixos vazados são casos clássicos de tubos de paredes finas, muito utilizados em estruturas metálicas e em alguns casos para a condução de fluidos ou gases. Nesses eixos, o efeito torcional é mais intenso devido à falta de material em seu interior. Neste tópico, veremos a torção em eixos vazados.
4.3.1 Tensão de cisalhamento O primeiro questionamento com relação aos eixos vazados, ou de paredes finas, é a respeito do cisalhamento oriundo da torção. A hipótese a ser feita é a de que a tensão cisalhante da torção é constante ao longo de toda a espessura do eixo. Além do mais, podemos considerar como tensão de cisalhamento mínima aquela tensão na parede interna do eixo vazado, e tensão de cisalhamento máxima aquela na parede externa. Uma relação entre a tensão máxima e mínima pode ser obtida pela seguinte fórmula: tmin =
r1 r2
· tmax
Em que r1 é o raio interno da peça e r2 é o raio externo da peça.
4.3.2 Momento polar de inércia O momento polar de inércia também será diferente, pois não há material no núcleo da peça. J=
p 32
(D4 – d4)
Em que “D” é o diâmetro maior do eixo e “d” é o diâmetro menor do eixo.
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Exemplo Qual será a tensão cisalhante máxima e mínima para um eixo de seção vazada de 100 mm de diâmetro interno e 150 mm de diâmetro externo, considerando um momento torçor de 4400 kgf.mm? M
t=
J
r
Dados: M= 4400.103 kgf.mm, r = 75 mm J=
p 32
(1504 – 1004) = 39,8 · 106 mm4
Substituindo, teremos a tensão cisalhante máxima de: t=
4400 · 103 39,8 106
75 = 83 MPa
Para calcularmos a tensão cisalhante mínima na parede interna do eixo vazado, aplicamos: tmin =
tmin =
50 75
50 75
· tmax
· 83 MPa = 55,33 MPa
Concluímos que a tensão na parede interna do tubo vazado é aproximadamente 33% menor do que na parte exterior, confirmando que o eixo vazado é mais frágil em sua parede interna do que externa. Entenda que isso explica a ordem e o rompimento do tubo vazado, que se dá primeiro interiormente e depois na parte externa.
Exemplo Utilizando o exemplo anterior, qual será o diâmetro externo do eixo para que ele resista a uma tensão máxima de 100 MPa? Nesse caso, nós já possuímos os valores do momento torçor e momento polar de inércia, mantendo as mesmas dimensões. Basta isolar a variável r, que é o raio externo da peça: 100 =
4400 · 103 39,8 106
r
r = 90,5 mm Podemos constatar que se quisermos um eixo que resista a uma tensão cisalhante máxima de 100 Mpa, devemos utilizar um eixo aproximadamente 15 mm maior. Nesse caso, o eixo menor será inutilizado pois não é possível aumentar o diâmetro de um eixo vazado, mas, se acontecesse o contrário, deveríamos usiná-lo e deixá-lo menor.
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CASO O caso mais emblemático por falha devido à torção foi a suspeita da quebra da coluna de direção do carro de Airton Sena, em maio de 1994. Esta foi a tese apresentada pelos promotores de Ímola, na Itália. A coluna de direção é a responsável por transmitir o movimento de direção para as rodas de um veículo. Caso essa importante peça venha a falhar, o carro ficará totalmente desgovernado, indo de encontro a qualquer obstáculo. Ainda hoje acontecem acidentes relacionados com a quebra desse importantíssimo elemento mecânico, causando fatalidades. Embora a indústria automobilística não reconheça, essa peça pode sim vir a falhar em alguns casos, causando sérios transtornos ao motorista.
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Síntese Síntese
• Identificamos
a torção e seus efeitos. Alguns casos práticos foram apresentados, bem como os seus efeitos negativos e positivos.
• A
torção provém dos momentos, os quais têm origens diversas, entre eles polias e engrenagens submetidas a forças em suas extremidades.
• Uma característica geométrica da peça sem nenhum significado físico é o momento polar de inércia. Essa característica é utilizada para o cálculo da tensão cisalhante de torção.
• O maior efeito negativo em um elemento sujeito à torção é a tensão cisalhante devido à torção. Em materiais dúcteis, ela é responsável pelo rompimento da peça em planos paralelos e em materiais frágeis. O rompimento se dá em planos a 45 graus.
• O ensaio de torção é muito utilizado para avaliar a resistência à torção de determinada peça. Foi desenvolvido por Coulomb em pesquisa das forças elétricas.
• A
rigidez é uma característica intrínseca do material e está relacionada à tensão de cisalhamento e a sua deformação por distorção.
• Através do momento torçor, do comprimento do eixo, da rigidez da peça e do momento polar de inércia, podemos chegar ao valor do ângulo de torção em radianos.
• Eixos
vazados também são objetos de estudo da torção, que terá tensões cisalhantes máximas e mínimas.
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Referências Bibliográficas
NASH, W. Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw Hill, 1982. Coleção Schaum.
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Minicurrículo do autor Antonio Ronaldo Costa Dias. Graduado em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual
Paulista - UNESP (2002) e Pós-Graduado em Engenharia de Petróleo e Gás pela Faculdades Integradas de Jacarepaguá – FIJ (2013) cursa Pós Graduação em Ciências Mecânicas pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Atua como docente na área da Educação Técnica Mecânica na Secretaria da Educação do Estado de Santa Catarina e como docente na área Técnica Mecânica no Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial – SENAI/SC. É proprietário do site Vencer Editorial onde elabora e publica materiais relacionados a concursos na área técnica mecânica. Experiência como conteudista na elaboração de materiais didáticos na área de Resistência dos Materiais.
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