Fabricio Simone Zera
Topografia
Topografia
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Fabricio Simone Zera
Topografia
S達o Paulo Rede Internacional de Universidades Laureate 2015 05
© Copyright 2015 da Laureate. É permitida a reprodução total ou parcial, desde que sejam respeitados os direitos do Autor, conforme determinam a Lei n.º 9.610/98 (Lei do Direito Autoral) e a Constituição Federal, art. 5º, inc. XXVII e XXVIII, “a” e “b”. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Sistema de Bibliotecas da UNIFACS Universidade Salvador - Laureate International Universities)
Sumário Apresentação.................................................................................................................09 CAPÍTULO 1 – Introdução à Topografia.............................................................................11 Introdução.....................................................................................................................11 1.1 Topografia................................................................................................................11 1.1.1 Definições.......................................................................................................11 1.1.2 Teoria dos erros...............................................................................................14 1.2 Equipamentos topográficos e suas aplicações...............................................................15 1.2.1 Medidas diretas de distância..............................................................................15 1.2.2 Medidas indiretas de distância...........................................................................19 1.3 Métodos de levantamento topográfico.........................................................................22 1.3.1 Levantamento topográfico.................................................................................22 1.3.2 Grandezas medidas..........................................................................................24 Síntese...........................................................................................................................28 Referências Bibliográficas.................................................................................................29 CAPÍTULO 2 – Medidas de Ângulos e Distâncias................................................................31 Introdução.....................................................................................................................31 2.1 Medidas de distância.................................................................................................31 2.1.1 Trena, ou diastímetro........................................................................................31 2.1.2 Medição da Distância Horizontal (DH) utilizando Lance Único...............................32 2.1.3 Medição da Distância utilizando mais de um Lance..............................................34 2.1.4 Traçado de Perpendicular..................................................................................36 2.2 Medidas de ângulos..................................................................................................39 2.2.1 Calculando a Distância Horizontal → DH...........................................................39 2.2.2 Calculando a Distância Vertical → DV................................................................40 2.2.3 Métodos Eletrônicos.........................................................................................45 2.2.4 Posicionamento por Satélite...............................................................................46 Síntese...........................................................................................................................47 Referências Bibliográficas.................................................................................................48 07
CAPÍTULO 3 – Planimetria e Altimetria..............................................................................49 Introdução.....................................................................................................................49 3.1 Planimetria...............................................................................................................49 3.1.1 Ângulos horizontais..........................................................................................50 3.1.2 Ângulos Verticais..............................................................................................54 3.1.3 Cálculo de rumos, azimutes e distância...............................................................55 3.1.4 Cálculo de coordenadas...................................................................................59 3.2 Altimetria.................................................................................................................60 3.2.1 Nivelamento....................................................................................................60 3.2.2 Métodos de nivelamento...................................................................................62 3.2.3 Representação do relevo...................................................................................64 3.2.4 Principais acidentes geográficos naturais.............................................................65 Síntese...........................................................................................................................67 Referências Bibliográficas.................................................................................................68 CAPÍTULO 4 – Desenho Topográfico.................................................................................69 Introdução.....................................................................................................................69 4.1 Desenho Topográfico.................................................................................................69 4.1.1 Definição........................................................................................................69 4.1.2 Configuração do Desenho.................................................................................71 4.1.3 Folha Utilizada.................................................................................................71 4.1.4 Porção de terreno levantada..............................................................................72 4.1.5 Escala.............................................................................................................73 4.2 Locação de Obra......................................................................................................75 4.2.1 Procedimentos.................................................................................................75 4.2.2 Métodos de Locação de Obra...........................................................................76 4.2.3 Estaqueamento................................................................................................78 4.2.4 Métodos tradicionais de Locação de Obra..........................................................79 4.3 Cálculo de Áreas e Volumes.......................................................................................81 4.3.1 Calculo de Áreas..............................................................................................81 4.3.2 Cálculo de Volumes..........................................................................................83 Síntese...........................................................................................................................90 Referências Bibliográficas.................................................................................................91 Minicurrículo do autor.....................................................................................................93
08 Laureate- International Universities
Apresentação Apresentação Você já imaginou como seria nosso dia a dia se não tivéssemos noção do espaço em que vivemos? Se não tivéssemos ideia do tamanho de nossas residências, da dimensão de nosso bairro, cidade ou país? Você já se perguntou qual é a distância entre países, estados e continentes? Saiba que essas são informações muito úteis para o planejamento urbano e para a convivência dos indivíduos em uma sociedade organizada. Para obtermos informações sobre o tamanho e dimensionamento dos espaços, uma ciência chamada Topografia foi criada. Com ela, começou-se a problematizar sobre a percepção da representatividade dos limites geográficos que nos cercam. Organizações os conhecimentos proporcionadas por esta disciplina e os dividimos em quatro capítulos! No capítulo 1 aprenderemos a importância da topografia para a engenharia. Veremos alguns conceitos básicos e também os erros que podem acontecer durante o trabalho de um Topógrafo, definindo erro sistemático e erro acidental. Você também irá conhecer os principais tipos de equipamentos e acessórios de topografia identificando suas aplicações. Em seguida, verá os métodos de levantamento topográfico, utilizados para realização de medições no terreno. O capítulo 2 lhe ensinará a realizar medidas de ângulos, como são utilizadas e sua funcionalidade. Também serão abordadas as medidas de distância horizontal e vertical, fundamentais para qualquer projeto. No fim deste capítulo, veremos outros métodos eletrônicos que existem atualmente para o uso em topografia. No capítulo 3 abordaremos a planimetria e a altimetria, que são os principais métodos de levantamento topográfico, bem como os ângulos horizontais e os ângulos verticais utilizados nos levantamentos. Realizaremos diferentes tipos de cálculos utilizando as coordenadas, os rumos e azimutes, para encontrar a distância de pontos e também determinar ângulos. A disciplina encerra-se com o capítulo 4, no qual você verá a importância do desenho topográfico, além dos padrões e normas para sua produção. Veremos a interpretação dos desenhos com a utilização das escalas e aprenderemos a diferenciar uma planta de um mapa. Você aprenderá, ainda, a realizar cálculos de áreas e volumes nos diferentes formatos de terreno. Você verá, ao longo das próximas páginas, a importância dessa disciplina na formação de um Engenheiro Civil, pois a utilização desses conhecimentos, ou seja, sua aplicabilidade, vai desde a implementação de um projeto até sua conclusão. Tenha um ótimo aproveitamento!
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Capítulo 1 Introdução à Topografia
Introdução Olá! Começaremos agora nossos estudos em Topografia. Para entrar no clima, pense na seguinte questão: você já imaginou como seria a nossa cidade se não soubéssemos seu limite geográfico? Como seria o planejamento das cidades sem fronteiras bem definidas? Se você refletir sobre essas duas indagações, verá que seria uma tarefa bastante difícil para nossos governantes, certo? Posto que não haveria como determinar os responsáveis por cada região. Nessa situação hipotética, ficaríamos também perdidos no espaço, pois não saberíamos a qual município pertenceriam nossos terrenos, sítios, casas. Qual cidade teria o direito de receber o imposto sobre sua propriedade? Imagine tais conflitos em nível internacional, pois, não havendo limitação concreta entre os estados, haveria muitas guerras para a demarcação de fronteiras. Ponderando essas variáveis, você pode perceber a importância de termos conhecimentos técnicos a respeito do espaço físico no qual estamos inseridos. Vamos, neste capítulo, estudar o campo de conhecimento da Topografia! Investigaremos sua origem, seus principais conceitos, definições e teorias. Vamos também conhecer os equipamentos e acessórios utilizados nesta disciplina, bem como a importância do levantamento topográfico na construção civil. Tenha um bom aproveitamento!
1.1 Topografia O ser humano sempre teve a necessidade de conhecer as dimensões de seu espaço natural. Podemos perceber, em toda a evolução das civilizações, a presença da topografia. Pense, por exemplo, no século das grandes navegações! As expedições precisavam se orientar para chegar aos territórios que pretendiam explorar e conquistar, certo? Neste tópico, veremos como a ciência da Topografia se aprimorou com o tempo e foi tornando-se cada vez mais precisa. Acompanhe!
1.1.1 Definições A ciência da Topografia está diretamente ligada ao conhecimento do local onde vivemos. Precisamos das informações que esse campo de estudo nos proporciona para o nosso dia a dia, pois tais dados são importantes para nossa sobrevivência, orientação, segurança e avanços tecnológicos, etc. Notamos que, desde os primórdios da civilização, o conhecimento do espaço físico fazia parte da vida dos seres humanos. O que no início era uma mera representação baseada em observações, hoje, entretanto, é um conjunto de complexos dados, baseados em cálculos, na descrição do meio e em coordenadas geográficas.
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Topografia
Tal evolução na confecção das informações geográficas se deu por conta da criação e necessidade de equipamentos de medição, de sua funcionalidade e precisão. A ciência da Topografia, portanto, apresenta-se como a ferramenta metodológica mais utilizada para realizar essas medições. A etimologia da palavra topografia deriva das palavras gregas topos, que significa lugar, e graphen, que significa descrição. Assim, de uma forma bastante simples, o verbete significa literalmente “descrição do lugar” e, mais precisamente, a descrição detalhada de um lugar (DOMINGUES, 1979).
NÃO DEIXE DE VER... O aplicativo Google Earth está a um clique de distância e vai lhe proporcionar informações geográficas de todo o planeta. Faça uma viagem virtual para qualquer lugar, explorando construções em 3D, imagens, paisagens e terrenos. Recomendamos que localize cidades, ruas e empresas locais.
A Topografia tem a finalidade, segundo Garcia e Piedade (1984), de determinar o contorno, a dimensão e a posição relativa de uma área limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da forma esférica de nosso planeta. Os conhecimentos da topografia poderão ser utilizados nas mais diversas disciplinas, como, por exemplo, nas áreas citadas a seguir.
• Agronomia – Planejamento agropecuário, conservação do solo. • Engenharia agrícola – Irrigação e drenagem, planejamento de obras rurais. • Arquitetura – Planejamento de obras. • Engenharia florestal – Planejamento florestal, inventário. • Zootecnia – Avaliação e divisão de áreas de pastagem. Saiba que a Topografia é dividida basicamente em Topometria e Topologia. A Topometria estuda medidas de ângulos, distância e diferença de nível, portanto, ela vai englobar conhecimentos de Planimetria e Altimetria. Na Planimetria, relacionaremos as coordenadas x e y e, na Altimetria, a coordenada z. Lembre-se de que as coordenadas geográficas são os localizadores de cada ponto da superfície da Terra, baseadas em um sistema de linhas imaginárias traçadas (cruzamento de meridianos e paralelos) sobre o globo terrestre. Já a Topologia refere-se ao desenho topográfico. Em outras palavras, na Topologia, transferiremos para a planta todos os detalhes obtidos nos trabalhos topométricos (planimetria e altimetria). Segundo Brinker e Wolf (1977), as etapas a serem seguidas para a execução dos trabalhos topográficos são as seguintes: 1. tomada de decisão: onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos, posições ou pontos a serem levantados, etc.; 2. trabalho de campo ou aquisição de dados: efetuam-se as medições e gravação de dados; 12 Laureate- International Universities
3. cálculos ou processamento: elaboram-se os cálculos baseados nas medidas obtidas para a determinação de coordenadas, volumes, etc.; 4. mapeamento ou representação: produz-se o mapa ou carta a partir dos dados medidos e calculados; e 5. locação. No momento que você executa o trabalho topográfico, ou seja, cada uma das etapas descritas anteriormente, você atinge o objetivo da topografia, isto é, confeccionar a planta topográfica, a qual corresponde ao desenho do terreno. Para isso, é necessário fazer o levantamento topográfico do terreno. Observe a ilustração a seguir (Figura 1)!
Figura 1 – Modelo de planta ou mapa topográfico. Fonte: Shutterstock, 2015.
Entenda que a Engenharia Civil utiliza-se muito da Topografia, pois ela é indispensável para o conhecimento de todo terreno, suas formas e dimensões e, acima de tudo, para a execução de qualquer construção. Somente com o levantamento topográfico em mãos é que o engenheiro civil vai verificar a viabilidade de qualquer obra na área. Saiba que, por meio da planialtimetria, ele terá noção sobre as imperfeições do terreno, o retorno do investimento, etc. Veja exemplos práticos de onde a topografia é empregada:
• projetos e execução de estradas; • grandes obras de engenharia (pontes, viadutos, túneis, portos, etc.); • locação de obras; • trabalhos de terraplenagem; • monitoramento de estruturas; 13
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• planejamento urbano; • reflorestamento; • irrigação e drenagem.
NÓS QUEREMOS SABER! Qual a relevância do levantamento topográfico para a área da Engenharia Civil? Bem, o levantamento topográfico é um documento utilizado pelo engenheiro civil, no qual ele descreve o terreno com precisão, suas medidas planas, ângulos e desníveis. Dessa forma, o profissional terá mais precisão na execução de seus projetos, fundamentando seu parecer no conhecimento do terreno e alcançando melhor qualidade e economia.
A Topografia é, portanto, a ciência que estuda os detalhes do terreno. Para obter esse conhecimento, ela utiliza-se de duas áreas de conhecimento, a Topometria, com a qual realizamos os levantamentos topográficos de planimetria e altimetria, e a Topologia, na qual são feitos os desenhos topográficos.
1.1.2 Teoria dos erros Quando o engenheiro civil está fazendo os levantamentos de dados, ou melhor, o levantamento topográfico, alguma variável pode interferir nessas medidas, comprometendo todo o projeto. Saiba, então, que, por mais que você seja cuidadoso na execução do levantamento topográfico, as medidas jamais estarão isentas de erros, portanto, todo o cuidado é importante. Citaremos os principais erros cometidos na execução do levantamento topográfico e que devem ser evitados.
• Erros naturais São os erros não controláveis pelo homem, pois provêm de fatores ambientais, como temperatura, vento, refração, pressão atmosférica e ação da gravidade. Esses erros são considerados, em sua maioria, erros sistemáticos. São passíveis de serem corrigidos quando forem tomadas as devidas ações de prevenção durante as medições.
• Erros instrumentais São os defeitos ou imperfeições dos equipamentos ou aparelhos utilizados na medição. São chamados de erros acidentais e ocorrem ocasionalmente. Podem ser controlados por meio de manutenção e aferição dos equipamentos e aparelhos antes da execução.
• Erros pessoais São os defeitos cometidos pelo operador dos equipamentos, pela falta de cuidados. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, ponto visado errado, erro na leitura da régua graduada, contagem no número de trenadas, aparelho fora do prumo, etc. Estes são os erros grosseiros. Não devem ocorrer jamais na execução do levantamento topográfico, pois não são passíveis de correção. Temos, portanto, três tipos de erros: os sistemáticos, os acidentais e os grosseiros. Grave bem: é possível evitar os dois primeiros com treinamento e prática, ao passo que o terceiro jamais deve acontecer. 14 Laureate- International Universities
Esses erros estão relacionados às grandezas (distância e ângulos) a serem medidas com a utilização dos equipamentos topográficos. Na teoria dos erros, busca-se uma forma de estabelecer o valor mais aceitável dessas grandezas para não comprometer o projeto.
CASO Nereu foi contratado como estagiário em uma incorporadora e quer saber qual é o papel na construção de um condomínio. Nereu deve ter em mente que empreendimentos imobiliários surgem por meio das incorporadoras e não pelas construtoras. A incorporadora onde ele trabalha chama-se Sunrise e é uma empresa empreendedora – é ela que vai identificar as oportunidades, fazer os estudos de viabilidade, adquirir o terreno e desenvolver o produto a ser vendido. Já a construtora é a responsável pela execução física do projeto. Nereu agora sabe que é a incorporadora que contrata o financiador, a construtora, a consultoria de planejamento imobiliário, o escritório de arquitetura e engenharia (responsáveis pelo projeto, levantamento topográfico, orçamento, cronograma e memorial descritivo), a consultoria especializada (obtenção de licenças), a empresa de pesquisa de mercado e avaliação imobiliária e, por fim, a agência de marketing, publicidade e propaganda. Mas lembre-se de que há incorporadoras que são, ao mesmo tempo, construtoras, vendedoras e algumas até financiadoras.
1.2 Equipamentos aplicações
topográficos
e
suas
Para realizar o levantamento topográfico, necessitamos de equipamentos próprios e bem particulares. Esses equipamentos serão responsáveis pelo registro das medidas, as quais, por sua vez, resultarão no mapa ou planta topográfica. Neste tópico, veremos as particularidades do registro de medidas e dos equipamentos.
1.2.1 Medidas diretas de distância A medição da distância entre dois pontos na área de um terreno pode ocorrer de forma direta ou indireta. Quanto à forma direta, dizemos que são medidas diretas de distância e medimos a distância entre os dois pontos, ou melhor, verificarmos seu comprimento, por meio da distância horizontal (DH). Já na forma indireta, utilizamos o método de medidas indiretas de distância, e o comprimento será calculado por meio da medida de outra grandeza. Os instrumentos utilizados para medir a distância horizontal são conhecidos como diastímetros. Confira alguns deles.
• Fita
ou trena de aço – Graduadas em metros, centímetros e milímetros. Podem ser encontradas nos comprimentos de 30, 60, 100 e 150 metros. As de bolso têm comprimento de 1 a 7,50 metros.
• Trena lona –
Graduada também em metros, centímetros e milímetros. O comprimento varia de 20 a 50 metros. Pouco utilizada, pois acaba se deformando com o calor.
• Trena de fibra de vidro – Graduada também em metros, centímetros e milímetros. Pode
ser encontrada nos comprimentos de 20 a 50 metros (com invólucro) e de 20 a 100 metros (sem invólucro). Esse material é muito resistente, bastante prático e seguro. 15
Topografia
Saiba que utilizamos mais a trena de fibra de vidro que a de lona, devido à resistência e praticidade do material. Além da trena, também usamos acessórios na execução do levantamento topográfico. Acompanhe!
• Piquetes – Sua função é marcar o ponto topográfico no terreno. Na maioria das vezes,
são de madeira e podem ser roliços ou quadráticos, sua superfície é plana e no centro é pregada uma tachinha de cobre. Tem comprimento de 15 a 30 cm e diâmetro de 3 a 5 cm. É cravado no solo, porém fica sinalizado a uns 3 cm na superfície do solo.
• Estacas – Utilizadas como testemunha dos piquetes, distanciam destes de 30 a 50 cm.
Têm comprimento de até 40 cm e diâmetro de 3 a 5 cm. São chanfradas (ou cortadas) na superfície para poder fazer inscrição numérica ou alfabética (como na Figura 2).
Taxa de corte 50 cm
PIQUETE
ESTACA
Figura 2 – Observamos que a função da estaca é direcionar a locomoção para o piquete, é nele que posicionaremos os equipamentos. Fonte: Pinto, 1988.
• Fichas – Utilizadas para marcação dos pontos. São maiores que as trenas, feitas de ferro
ou aço. Têm comprimento de 35 a 45 cm, com uma extremidade pontiaguda e a outra com formato de argola.
• Balizas – Utilizadas para manter o alinhamento durante a medição entre os dois pontos.
Têm comprimento de 2 metros. Pintadas nas cores de contraste branco e vermelho. Devem estar na vertical, sobre a tachinha do piquete com o auxílio do nível de cantoneira.
• Nível de cantoneira – Utilizado para colocar a baliza alinhada verticalmente na posição do piquete. Tem forma de cantoneira e com uma bolha de nível.
• Barômetro de bolso – Mede a pressão atmosférica, para fins de correção no levantamento. • Dinamômetro
– Mede as tensões que os aparelhos sofrem e para fins de correção, coeficiente de elasticidade, ao qual foi feito o levantamento.
• Termômetro
– Mede a temperatura do ar (°C) no momento da medição para fins de correção, coeficiente de dilatação, ao qual foi feito o levantamento.
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Saiba que o barômetro, o dinamômetro e o termômetro raramente são utilizados para correção dos dados, isso porque os equipamentos de hoje em dia estão cada vez mais precisos e de fácil manuseio.
• Nível de mangueira – Mede a distância por meio de uma mangueira transparente, em
função do nível das extremidades, na posição horizontal. Utilizado muito como nivelamento na construção civil para colocar piso, teto, etc. Confira na Figura 3!
200
200
100
Figura 3 – Nível de mangueira. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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• Cadernetas de campo – Documento onde serão registrados todos os levantamentos feitos em campo (leitura de distância, ângulos, régua, croqui dos pontos, etc.). Você pode utilizar modelos já prontos (Figura 4), como também montar a sua própria caderneta de campo.
POLIGONAÇÃO (LOGOTIPO DA EMPRESA)
OBRA: ______________________________ Nº ________ FL. ___/___ lOCAL: ____________________________________ DATA. ___/__/__
MEDIÇÃO ANGULAR ESTAÇÃO Nº1
TÉCNICO: ____________________________________ TEODOLITO: _______________ DIREÇÕES
PONTOS VISADOS
0
REDUÇÃO À ORIGEM
I
II
0
I
ZENITAIS
II
0
I
CROQUI
II
D I D h.v.:_______
I D I D
h.v.:_______
I D I D
h.v.:_______
I D I D
h.v.:_______
I D I D
h.v.:_______
I D I D
h.v.:_______
I
MEDIDAS LINEARES ESTAÇÃO
PONTOS VISADOS
TÉCNICO: ____________________________________ DISTANCIÔMETRO: _________ MEDIÇÕES
DADOS METEREOLÓGICOS PRESSÃO
MEDIDA CORRIGIDA Hg Mb
OBS.:
h.v.:_______
TEMPERATURA
HORA
h.v.:_______
SECA ÚMIDA
PRESSÃO
ºc ºc Hg Mb
OBS.:
h.v.:_______
TEMPERATURA
HORA
h.v.:_______
SECA ÚMIDA
PRESSÃO
ºc ºc Hg Mb
OBS.:
h.v.:_______
TEMPERATURA
HORA
h.v.:_______
SECA ÚMIDA
PRESSÃO
ºc ºc Hg Mb
h.v.:_______
TEMPERATURA
HORA
h.v.:_______
SECA
ºc
ÚMIDA
ºc
Figura 4 – Modelo de uma caderneta de campo. Fonte: ABNT, 1994.
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OBS.:
1.2.2 Medidas indiretas de distância Nesta situação, precisamos calcular a distância (processo de estadimetria ou taqueometria) e utilizaremos, para esse fim, outra grandeza sem precisar percorrer o terreno para medi-lo. Utilizaremos o teodolito e/ou nível (Figura 5); o primeiro faz as leituras dos ângulos horizontais e verticais e leitura da régua, enquanto que o segundo só realiza a leitura da régua.
Teodolito
Nível
Figura 5 – Observamos aqui um teodolito e um nível, equipamentos utilizados na medição indireta de distância. Fonte: Shutterstock, 2015.
VOCÊ O CONHECE? Jonathan Sisson (1690 a 1747) foi um fabricante de instrumentos, responsável por criar o teodolito moderno com um telescópio de observação, além de ser um fabricante líder de instrumentos astronômicos. Sua invenção foi importantíssima para os conhecimento e evolução da topografia.
É importante saber que existem três tipos diferentes de teodolito, conforme sua geração: o trânsito (mecânico de leitura externa), o ótico (prismático e com leitura interna) e o eletrônico (leitura digital). Os acessórios mais comuns utilizados tanto para o teodolito como para o nível são os seguintes:
• tripé: serve para estacionar o aparelho, cada teodolito possui seu próprio tripé; • fio de prumo: serve para posicionar o teodolito exatamente sobre o ponto do terreno; • lupa: serve para a leitura dos ângulos.
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Entenda que o tripé de madeira serve para teodolito eletrônico e ótico, enquanto que o de aço serve para o trânsito. Confira, na sequência, outros acessórios.
• Mira ou régua – Serve para medições das distâncias horizontais e verticais dos pontos.
Podem ser de madeira, alumínio ou PVC e graduadas em metro (m), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). Como você pode ver na Figura 6, o balizamento de um ponto é feito com a mira.
Figura 6 – Balizamento de um ponto. Fonte: Shutterstock, 2015.
O teodolito é utilizado de forma indireta para se calcular a distância em um processo chamado de estadimetria. A estadia do teodolito é composta de acordo com a Figura 7, com três fios na horizontal e somente um na vertical.
Fio estadimétrico a m
H
Fio estadimétrico
b Fio estadimétrico Fio estadimétrico
Figura 7 – A estadia do teodolito é composta por 3 fios horizontais e 1 vertical. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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Orientações para leitura na mira
• A mira é uma régua graduada em centímetros. • Acima ou abaixo dos traços estão as marcas da régua da graduação. • Os pontos indicam a quantidade em metros (então um ponto é igual a um metro, dois pontos equivalem a dois metros, etc.).
• Os números indicam a quantidade em decímetros (1 dcm = 10 cm). Observando a régua da Figura 8, verificamos que, acima dos números 2 ao 3, há um ponto que quer dizer de 2 m a 3 m. Cada espaço em preto ou branco entre os números (2 m e 3 m) equivale a 10 cm, que vai representar 100 cm, portanto, 2,000 cm 2,100 cm; 2,200 cm; 2,300 cm; 2,400 cm; 2,500 cm; 2,600 cm; 2,700 cm; 2,800 cm; 2,900 cm e 3,000 cm,
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um ponto = um metro
1,295 m
1,255 m
2
1,290 m 1,280 m 1,270 m 1,260 m 1,250 m 1,230 m 1,220 m 1,210 m 1,200 m
Figura 8 – Régua graduada. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Sabemos que o uso do teodolito pelo engenheiro civil é frequente, certo? Então, olhando a mira na Figura 9, quais os valores do fio estadimétrico superior (FS), médio (FM) e inferior (FI) e também o valor H, que é a diferença entre o fio estadimétrico superior e inferior?
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Topografia
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Figura 9 – Visão da mira da régua graduada. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
• Nível da cantoneira – Tem a função de tornar vertical a posição da régua graduada, já descrita.
• Baliza – É utilizada com o teodolito para a localização dos pontos no terreno, já descrita.
1.3 Métodos de levantamento topográfico Há vários tipos de medidas (distância, altura, ângulo) que serão indispensáveis para a confecção do projeto ou da planta topográfica. Precisamos de todas as medidas? Bem, vai depender muito do projeto. É a espécie de obra que vai sinalizar quais medidas serão necessárias e devem ser levantadas pelo engenheiro civil. Para tanto, vamos conferir, neste tópico, quais os tipos de levantamento e suas medidas correspondentes.
1.3.1 Levantamento topográfico O levantamento topográfico diz respeito às medidas importantes para a confecção de uma planta topográfica ou de um projeto. As operações realizadas em campo, como obtenção de medidas com o uso do teodolito, e também as operações de escritório, como cálculos de medidas, são as ferramentas para se fazer o levantamento topográfico. Com isso, precisamos utilizar os equipamentos adequados para que possamos fazer a representação geométrica correta da superfície desejada na planta topográfica. O levantamento topográfico é definido como Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados. (ABNT, 1994).
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A NBR 13133 (ABNT, 1994) é uma norma brasileira para execução de levantamento topográfico. Nela, portanto, constam todas as informações úteis e necessárias para execução correta do levantamento topográfico. Dividimos o levantamento topográfico (Figura 10) em duas partes:
• levantamento planimétrico: determina as coordenadas X e Y (posição planimétrica do ponto);
• levantamento altimétrico: determina a coordenada Z (cota ou altitude do ponto).
Z
P Y Z X X
Y
Figura 10 – Localização do ponto P no eixo cartesiano. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
O levantamento planialtimétrico é a união dos dois planejamentos, o planimétrico e o altimétrico. Dependendo da necessidade do projeto, realiza-se o levantamento planimétrico, altimétrico ou o planialtimétrico.
• Levantamento planimétrico (coordenadas x e y). • Levantamento altimétrico (coordenadas z). • Levantamento planialtimétrico (planimétrico + altimétrico – coordenadas x, y e z). Qual levantamento seria indicado fazer quando a questão é fundiária? A respeito do uso dos tipos de levantamentos topográficos, quando a projeção do terreno é feita em duas dimensões (x, y), é necessário representar os comprimentos e as larguras, então se realiza o levantamento planimétrico. Quando são consideradas também as alturas e altitudes do terreno, precisa-se de três dimensões (x, y, z) e realiza-se, portanto, o levantamento planialtimétrico. Na questão do levantamento fundiário, é preciso saber somente os limites de propriedade, então basta fazer o levantamento planimétrico.
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Topografia
NÓS QUEREMOS SABER! Como determinamos as coordenadas geográficas? Para a determinação das coordenadas relativas dos pontos (localização de cada ponto no terreno), utilizamos o sistema de coordenadas cartesianas ou sistema de coordenadas esféricas. No sistema de coordenadas cartesianas, o ponto é definido no espaço pelas suas coordenadas, eixo da abscissa e eixo da coordenada, o que resulta nas coordenadas x e y [em que P(x,y) ou P = (x, y)]. Já em uma representação tridimensional, podemos, ainda, ter a coordenada z [em que P(x, y, z) ou P = (x, y, z)]. No sistema de coordenadas esféricas, o ponto não é visto como em uma superfície plana, e sim esférica, com angulação para determinação das coordenada (geodésica).
NÃO DEIXE DE LER... Todo engenheiro civil precisa ter o conhecimento sobre escala topográfica e coordenadas geográficas? Sim, as escalas são muito usadas em qualquer projeto arquitetônico, portanto, são muito importantes para obter uma ideia da dimensão do projeto. Confira no site do IBGE os itens sobre as escalas e sobre as coordenadas. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/manual_nocoes/representacao.html>.
1.3.2 Grandezas medidas As medidas levantadas no levantamento topográfico podem ser de duas grandezas: angulares e lineares.
• Grandezas angulares Temos aqui a medida de dois tipos de ângulos, o horizontal e o vertical que serão anotados no levantamento topográfico para futuros cálculos e confecção da planta.
• Ângulo horizontal (Hz) – Medida entre dois alinhamentos do terreno. Confira na Figura 11.
Parede 1
Pa
red
Hz
e2
aresta 1 Hz aresta 2 Ângulo Horizontal (Hz)
Figura 11 – Observamos que o Hz é o ângulo no mesmo plano horizontal. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
24 Laureate- International Universities
• Ângulo vertical (α) – Medida entre o alinhamento do terreno e um plano horizontal. Pode
ser aclive ou declive, isto é, ascendente (positivo) e descendente (negativo). Confira na Figura 12!
Aresta Superior
Pa
red
e2
+α -α Parede 1
Aresta Inferior Ângulo Vertical (α) Figura 12 – Observamos que o α é o ângulo entre planos diferentes. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
O ângulo vertical nos modernos equipamentos topográficos (teodolito e estação total) é conhecido como ângulo zenital (exatamente como na Figura 13) ou nadiral, pois depende da vertical do lugar, com origem no zênite ou nadir.
Zenite
Z
α
Horizonte
Figura 13 – Observamos o ângulo zenital (z). Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
25
Topografia
• Grandezas lineares Temos três tipos de distâncias que podem ser executadas no levantamento topográfico (Figura 14), são elas:
»»
distância horizontal (DH): é a distância entre dois pontos no plano horizontal;
»»
distância vertical ou diferença de nível (DV ou DN): é a distância entre dois pontos
»»
distância inclinada (DI): trata-se da distância entre dois pontos que segue a inclinação
no plano vertical, perpendicular ao horizontal; da superfície do terreno.
DH
A
B’
DI
DV
A’
B
DH - Distância horizontal DV - Distância vertical DI - Distância inclinada
Figura 14 – Observamos que os traçados das três distâncias conferem com um triângulo retângulo (dois catetos e uma hipotenusa). Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Para calcular a distância horizontal, podemos utilizar as fórmulas do cosseno e da tangente, em que: DH é o cateto adjacente, DI a hipotenusa, DV o cateto oposto diante do ângulo vertical (V) ou ângulo (â). Assim, teremos as seguintes fórmulas: cos (â) =
cateto adjacente
tg (â) =
hipotenusa
→ Cos (V) =
cateto oposto cateto adjacente
→ Tag (V) =
(DH) (DI)
→ DH = DI × Cos (V)
(DV) (DH)
→ DH =
(DV) Tag (V)
Para concluir este capítulo, vimos o significado da palavra topografia, a importância do levantamento topográfico e os tipos de levantamento que podemos realizar no nosso trabalho. Também aprendemos sobre os vários equipamentos que nos dão suporte para a execução desses levantamentos e a importância de utilizá-los de forma correta para minimizarmos os erros.
26 Laureate- International Universities
NÃO DEIXE DE LER... Recomendamos a leitura do artigo da Revista Brasileira de Cartografia intitulado Influência da escala em uma metodologia de delimitação automática de áreas de preservação permanente em topo de morro e montanha e adaptação do método para escalas detalhadas. Esse artigo ajudará a compreender a importância das escalas em planos topográficos. Disponível em: <http://www.rbc.lsie.unb.br/index.php/rbc/article/view/249>.
27
Síntese Síntese
Neste capítulo, tivemos a oportunidade de constatar que a topografia é a base de qualquer projeto executado por um engenheiro civil, certo? Vimos ainda que:
• é no levantamento topográfico que são apontadas todas as principais características do terreno;
• é por meio levantamento topográfico que o engenheiro pode pensar e projetar estradas, barragens, pontes e viadutos, portos, túneis, etc.;
• a topografia fornece toda a técnica para a coleta de informações precisas para a execução de um projeto, inclusive as previsões dos custos potenciais;
• o levantamento topográfico é recomendado para mapeamento de uma porção de terra de até 30 km; para áreas maiores, indica-se a geodesia;
• após o levantamento topográfico, os dados coletados são transferidos para a planta. Esse conhecimento é um ramo da Topografia e chama-se Topologia;
• o levantamento e a coleta do dados são feitos por meio de diversos equipamentos e seus acessórios, como o teodolito e o nível;
• erros no levantamento topográfico podem ser: naturais, instrumentais e pessoais e devem ser evitados, pois podem comprometer a execução do projeto;
• existem vários tipos de medidas (distância, altura, ângulo) que serão indispensáveis para a confecção do projeto ou da planta topográfica.
28 Laureate- International Universities
Referências
Bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133: execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35 p. BORGES, A. C. Topografia aplicada à Engenharia Civil. v. 2. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 2008. BRINKER, R. C; WOLF, P. R. Elementary Surveying. Nova Iorque: Harper & Row, 1977. 568 p. COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: Altimetria. Viçosa: Editora UFV, 2003. DOMINGUES, F. A. A. Topografia e Astronomia de Posição para Engenheiros e Arquitetos. São Paulo: MacGraw-Hill, 1979. GARCIA, G.J.; PIEDADE; G.C.R. Topografia aplicada as Ciências Agrárias. São Paulo: ed. Nobel, 1984. SPARTEL, L. Curso de Topografia. Porto Alegre: Globo, 1982. VICTORIA, D. C. Influência da escala em uma metodologia de delimitação automática de áreas de preservação permanente em topo de morro e montanha e adaptação do método para escalas detalhadas. Revista Brasileira de Cartografia, n. 62/3, out. 2010. Disponível em: <http:// www.rbc.lsie.unb.br/index.php/rbc/article/view/249>. Acesso em: 16 jun 2015.
29
Capítulo 2 Medidas de Ângulos e Distâncias
Introdução Olá! Neste capítulo, iremos investigar como são feitas as medições de distâncias e ângulos, utilizando equipamentos como diastímetros e balizas, para medidas diretas, e teodolitos para medidas indiretas. Você já se perguntou por que fazemos medições? Qual é o objetivo de um engenheiro em medir um terreno? Você pode perceber, com estas perguntas, como é importante ter conhecimento sobre as medidas e dimensões antes de iniciar um projeto, certo? No cotidiano de um engenheiro civil, portanto, as medidas estarão sempre relacionadas ao espaço físico. Precisamos saber como elas são feitas, se direta ou indiretamente, e quais equipamentos estão relacionados com cada método. Veremos também todos os cuidados que precisaremos ter na execução do levantamento das medidas. Aprenderemos as diferenças entre distância horizontal e vertical, bem como sobre os métodos de medição. Tenha um bom aproveitamento!
2.1 Medidas de distância Para medir a distância, utilizaremos aqui a forma direta, o Método de Medida com Diastímetro. Faremos, portanto, a medida da distância com o uso de trena ou diastímetro. Para realizar as medições, tenha em mente que podemos utilizar um lance único ou mais de um e também utilizar a técnica do traçado perpendicular para locação de obras. Neste tópico, veremos, portanto, como medir um terreno ou uma distância de forma direta. Acompanhe!
2.1.1 Trena, ou diastímetro Ao utilizar o diastímetro (trena) para medição, você deve ter cuidado com os equipamentos e acessórios e com os procedimentos realizados ao longo do processo. Os procedimentos são:
• alinhamento dos operadores nos pontos que serão medidos; • trena na posição horizontal; e • tensão das extremidades da trena sempre uniforme. Com essas precauções e controles, você obterá uma medição de qualidade. Observe no Quadro 1 a precisão dos diastímetros, levando em consideração efeitos da tensão, temperatura, horizontalidade e alinhamento.
31
Topografia
Equipamento
Precisão
Fita e Trena de Aço
1cm/100m
Trena de Plástico
5cm/100m
Trena de Fibra de Vidro
25cm/100m
Quadro 1 – Precisão dos diastímetros (trenas). Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
2.1.2 Medição da Distância Horizontal (DH) utilizando Lance Único Neste tipo de medição, utilizamos o diastímetro como equipamento e, como o próprio nome diz, será feita a medição em um único lance. Em outras palavras, obteremos a distância entre dois pontos de uma única vez, conforme mostra a Figura 1.
Ré
Vante
A
B A’
B’ DH = 10 m
Figura 1 – Observe que para medir a distância entre os pontos A e B com o uso de uma trena, ao invés de anotar o valor real de A a B, você está obtendo o valor de A’ a B’ (DH). Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Para fazer a medição, é preciso duas pessoas, pois o diastímetro precisa ser esticado (tencionado) de um ponto ao outro. Você irá anotar, então, a distância entre os pontos, como mostra a Figura 2.
32 Laureate- International Universities
1
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Horizontal
Inc
lin
ad
a
Desnível
B Distância AB (DH) = 14,50 m Trena de 20 m Figura 2 – Observe na figura o uso do diastímetro (trena) para medir a distância horizontal entre os pontos A e B. Para a execução, são necessárias duas pessoas para esticar o equipamento (uma em cada extremidade) e outra pessoa para anotar. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Um engenheiro civil precisa da medida de dados como comprimento e largura do terreno onde será erguida a obra (observe na Figura 3). Para isto, ele deve conferir as medidas do terreno com as do projeto. Como ele irá proceder?
B A
D
C
Figura 3 – Medidas do terreno de comprimento ABCD. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
33
Topografia
Simples, ele vai utilizar o Método Medição Direta de Distância, utilizando dois operadores para esticar a trena nas extremidades do terreno percorrendo os pontos A, B, C e D. Irá também anotar as medidas dos pontos AB, BC, CD e DA, obtendo assim as medidas de comprimento e largura do terreno para poder verificar se esses limites conferem com as do projeto. Isso lhe dará uma ideia sobre a viabilidade da obra.
2.1.3 Medição da Distância utilizando mais de um Lance Esta situação será utilizada quando você for medir dois pontos e o diastímetro for menor do que a distância entre esses pontos. Você terá de fazer mais de um lance para realizar a medição entre os pontos, certo? Dependendo do comprimento da trena em relação à distancia dos pontos, você definirá quantos lances serão necessários para realizar a medição do comprimento, como mostra a Figura 4.
Trena de 10m 3 lances
Ré Intermediária 10m 1
2
3
4
5
6
7
8
A
9
10
10m 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vante
8m 2
3
4
5
6
7
8
Desnível
1
Intermediária
B
Distância AB (DH) = (10 x 2) + 8 = 28 m Figura 4 – Observamos aqui que, para realizar a medição, tivemos de efetuar três lances de diastímetro. Aqui, a distância horizontal (DH) seria a soma dos três lances, DH = 10m + 10m + 8m = 28m. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Nesta situação, precisamos ter muita atenção, pois teremos deslocamento para medir, então precisaremos de dois operadores para esticar a trena (tensionar o diastímetro), um balizeiro (pessoa com a baliza para orientar a posição da trena) de ré, um intermediário e um avante. Dessa forma, você poderá fazer as anotações das medidas. Devemos ter alguns cuidados com erros na hora da medição (Figura 5). Confira!
• Erro de numeração da trena – verificar a numeração. • Erro de caternária – curvatura ou barriga na trena. • Erro de verticalidade do balizeiro – baliza fica inclinada. 34 Laureate- International Universities
Baliza Inclinada
Posição correta Baliza
Figura 5 – Observamos, na figura, a baliza posicionada de forma errada . O instrumento não está na posição vertical, ficando inclinado, o que vai promover a medição errada da distância. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Figura 6 – Nível de cantoneira. Fonte: Veiga, et al, 2007.
VOCÊ O CONHECE? Pitágoras (570 a.C.-459 a.C.) foi o matemático grego que inventou o Teorema de
Pitágoras, uma das principais descobertas da matemática, cuja função é estabelecer uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. O Teorema diz que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. O Teorema de Pitágoras pode ser resumido na seguinte equação: H² = c² + c².
35
Topografia
NÃO DEIXE DE LER... Fundamentos de Matemática Elementar, de Gilson Lezzi, traz, de forma bastante objetiva e didática, os principais conceitos de Trigonometria. Nessa obra, você verá a classificação dos triângulos em relação aos lados (equilátero, isósceles e escaleno), bem como em relação aos seus ângulos (acutângulo, retângulo, e obtusângulo). Você também terá a oportunidade de conhecer as relações e razões trigonométricas.
2.1.4 Traçado de Perpendicular Utilizamos o traçado de perpendicular para fazer a instalação de uma obra em um terreno, e para isso será necessário fazer uma amarração de detalhes no levantamento topográfico ou fazer o alinhamento perpendicular a outro já existente. Veremos, adiante, esses dois tipos.
• Amarração
de detalhes → é a realização da triangulação utilizando detalhes do local (naturais ou artificiais do terreno), usando diastímetro. Para isso, traçamos no campo uma rede de linhas, distribuídas em triângulos principais e secundários, conforme exposto na Figura 7.
B A
E
I
G
H
F
D
C
Figura 7 – Observamos a triangulação em um terreno, locação de obra, temos triângulos menores, ou secundários (AIH, AHE, AEB, EHF, EGB, EGF, HDF, FDC E FCG) dentro de triângulos maiores, ou principais (ABC e ACD), e cada ponto trata-se de um detalhe do terreno. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
36 Laureate- International Universities
Amarração por perpendicular. Uma obra precisa ser locada numa área que tem como pro-
ximidade uma estrada. O engenheiro civil vai verificar a locação da obra mediante a distância estabelecida no projeto. Confira na Figura 8.
ESTRADA
a’
A
b’
a b
c
c’
d’
d e
e’
B
Obra TERRENO
Figura 8 – Medimos o alinhamento de Aa, ab, bc, cd, de, e eB, e
Figura 8 – Medimos o alinhamento de Aa, ab, bc, cd, de, e eB, e medimos também os alinhamentos de aa’, bb’, cc’, dd’, e ee’, com isso o a obra fica determinada de acordo com o contorno do alinhamento da estrada. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Amarração por triangulação. Aqui o engenheiro civil precisa estabelecer a amarração da pisci-
na na obra de uma residência. Ele faz, então, a amarração por triangulação, pois assim terá mais parâmetros para instalar a piscina. Observe que a base do triângulo de amarração está batendo em cima de uma triangulação principal ou secundária (Figura 9).
PISCINA
Figura 9 – Amarração por triangulação. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
37
Topografia
• Alinhamento
perpendicular → consta em se fazer a triangulação usando a técnica perpendicular com um diastímetro. Podemos utilizar duas técnicas: a do triangulo retângulo e a do triangulo equilátero. Confira na Figura 10.
TRIÂNGULO RETÂNGULO
TRIÂNGULO EQUILÁTERO F (6ºm)
(7ºm)
D
90º
90º
(0m)
C (3ºm)
A
(12ºm)
B
A
D
(2ºm)
C
(0 = 12ºm)
E
(10ºm)
B
Figura 10 – Triângulo retângulo e triângulo equilátero. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
Triangulo retângulo. Você separa 12 m de um diastímetro que será dividido em 3, 4 e 5 (trian-
gulo retângulo de medidas conhecidas). Dessa forma, a partir do alinhamento AB conhecido, você traça a perpendicular (90°) e terá o ponto C como origem (0 m coincidir no final com 12° m). De C para A, temos 3 m (totalizando 3° m), de A para D, são 4 m (totalizando até aqui 7° m), e de D para C são 5 m (fechando com 12° m). Os mestres de obra utilizam muito o método de linha com nós para instalar paredes de uma residência. Essa linha representa o triangulo retângulo com as seguintes dimensões: 0,6 m; 0,8 m e 1,0 m (equivale ao triangulo retângulo 3, 4 e 5). Triangulo equilátero. Aqui também tomamos como base os 12 m de um diastímetro dividido em
três partes iguais, isto é, de 4 m cada. No alinhamento AB conhecido, você traça a perpendicular (90°) e encontra o ponto C como origem (0 m coincidir no final com 12° m). De C para D, são 2 m (totalizando 2° m), antes de marcar de D para E e E para C, marcamos o ponto E, ou melhor C para E são mais 2 m (perceba que de E para D temos 4 m). Agora é só você ajustar o 6° m no ponto F. No campo o pessoal utiliza de esquadros para essa locação.
CASO O escritório de Engenharia e Arquitetura em que Carlos trabalha lhe solicitou o levantamento de uma área onde um projeto de um condomínio será instalado. Carlos, então, foi até o local para fazer um exame prévio e verificar se o terreno apresentava as seguintes características ideais: não existir grandes movimentações de terra, ter dimensões que permitam a construção de uma boa residência, ser seco, plano ou pouco inclinado para a rua, ser resistente para suportar bem a construção e ser de fácil acesso. Após a avaliação prévia do lote e antes de ser realizado o levantamento topográfico, Carlos solicita a limpeza do terreno. Após a limpeza, será feita a medição. Se o lote for regular, ele vai medir os quatro lados, se o lote for irregular, além dos quatro lados, ele traça diagonais e realiza uma triangulação. Para finalizar o levantamento, é feito o nivelamento do lote. Assim, com o levantamento planialtimétrico na mão, o escritório começará a desenvolver o projeto do condomínio. 38 Laureate- International Universities
2.2 Medidas de ângulos Para realização de medição do ângulo, utilizaremos o Método de Medida com Estadímetro, ou Taqueometria. Saiba, desde já, que podemos calcular com esse método tanto distancia horizontal como distancia vertical. Veremos, portanto, neste tópico como é feita a medida dos ângulos.
2.2.1 Calculando a Distância Horizontal → DH Para calcular a distância horizontal com o teodolito, podemos utilizar tanto a visada horizontal (visualizar na mira do equipamento de forma reta) como a visada inclinada (visualizar na mira do equipamento de forma inclinada). Isso vai depender do terreno. a) Visada horizontal. Utilizaremos a visada horizontal para determinarmos a distância horizontal entre dois pontos, exatamente como na Figura 11.
a
A
a’
M
h F
b’
b
B
f
c
H
d
C DH
Q
P
Figura 11 – Observe a visada horizontal nesse esquema entre dois pontos utilizando o teodolito. Em que f: distância focal da objetiva; F: foco exterior a objetiva; c: distância do centro ótico do aparelho à objetiva; C = c + f: constante do instrumento; d: distância do foco à régua graduada; H = AB = B – A = FS – FI: diferença entre as leituras; M = FM: Fio Médio; Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
O teodolito está estacionado no ponto P, e a régua no ponto Q. O ponto P visa o ponto Q, com o teodolito zerado. Daí faz-se a leitura dos fios estadimétricos (os fios que irão aparecer na mira do teodolito), teremos o FI – inferior, o FM – médio e o FS – superior. Através da relação existente entre os triângulos ABF e a’b’F, determinamos a distância horizontal (DH) pela fórmula: DH = 100 × H + C
O valor de C refere-se à constante de Rechembach, na qual se admite o valor 0 cm para equipamentos com lunetas analíticas e valores de 25 a 30 cm para equipamentos com lunetas aláticas. Saiba que as lunetas aláticas (variáveis) encontram-se nos aparelhos mais antigos, pois a posição do vértice do triângulo estadimétrico era variável, já que o foco do sistema ótico variava com a distância do objeto visado. Já as lunetas analíticas são lunetas modernas com a inclusão de mais uma lente, a analisadora, a posição do foco do sistema passou a ser fixo e imutável. 39
Topografia
b) Visada inclinada. Neste método, o que irá diferenciar será a inclinação, pois há necessidade de inclinar o teodolito para fazer a leitura da régua graduada, como mostra a Figura 12. Assim, a distância horizontal (DH) pode ser calculada pela formula: DH = 100 x H x cos²α + C
B’
B
90º A A’
a’ a
F
90º
R
b’
h b
DH
P
Q
S
Figura 12 – Observe que nesta situação houve a necessidade de se inclinar a lente do teodolito para fazer a leitura na régua graduada. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
2.2.2 Calculando a Distância Vertical → DV Com o teodolito, também podemos calcular a distância vertical ou a Diferença de Nível (DN). Para tal, iremos utilizar a visada ascendente (visualizar na mira do equipamento inclinada para cima) ou a visada descendente (visualizar na mira do equipamento inclinada para baixo), depende do declive ou aclive do terreno. a) Visada ascendente. Utilizamos a visada ascendente para efetuar a leitura em um terreno inclinado e obter a distância vertical, ou melhor, o nível do terreno. Observe a Figura 13.
40 Laureate- International Universities
M O
m DH
I
R
Q
DN S Figura 13 – Observe o esquema da figura, a visada ascendente, em que M = FM: fio médio, DN: diferença de nível e I: altura do instrumento. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
DN = 50 * H * sen 2α – FM + I
Fique atento: se o valor de DN for negativo, ou melhor, o valor apresentar sinal negativo, conclui-se que o terreno está em declive, caso contrário estará em aclive. a) Utilizando a visada descendente. Nesse contexto, também queremos calcular o nível do terreno ou a distância vertical, pois o terreno é inclinado, como podemos observar na figura a seguir, porém a luneta do teodolito aqui está mirada para baixo (descendente). Observe a Figura 14.
DH
R I
FM m
P
Q
DN
Figura 14 – Observamos a ilustração de uma visada descendente. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
41
Topografia
A diferença de nível ou a distância vertical entre os dois pontos (PQ) será dada por: DN = 50 * H * sen2α + FM – I
Se o valor de DN for positivo, ou melhor, o valor apresentar sinal positivo, conclui-se que o terreno está em declive, caso contrário estará em aclive. Acompanhe a lista de prováveis erros que podemos cometer nessas medições!
• Leitura da régua – na posição do FI, FM e FS na régua graduada. • Leitura do ângulo – leitura errada dos círculos na vertical e/ou horizontal. • Verticalidade
da baliza – cuidado para deixar a baliza na posição inclinada e não na vertical, conforme já comentado, utilizar a cantoneira.
• Verticalidade da mira – o mesmo que ocorre com a baliza. • Pontaria – para leitura de ângulo na horizontal, o fio vertical estadímetro não se alinha com a baliza.
• Centralização do teodolito – falta de prumo do teodolito com o ponto. • Nivelamento (calagem) do teodolito – não nivelar o teodolito.
NÃO DEIXE DE LER... Recomendamos a leitura do artigo da Revista Brasileira de Cartografia nº 65/05, 2011 (ISSN 0560-4613), intitulado O conceito atual dos referencias usados em Geodésia. Esse artigo o ajudará a compreender a Geodésia. Disponível em: <http://www.lsie. unb.br/rbc/index.php/rbc/article/view/413/400>.
Podemos, portanto, ter duas situações diferentes para calcular a distância horizontal (DH), a primeira quando não precisamos inclinar a luneta do teodolito e a outra quando for necessário inclinar o teodolito. Então, dependendo da visada, da posição horizontal ou inclinada, teremos uma equação diferente para fazer esse cálculo, conforme mostra o Quadro 2.
Visada
Equações – Distância Horizontal Equipamentos Analáticos
Equipamentos Aláticos
Horizontal
DH = 100 * H
DH = 100 * H + C
Inclinada
DH = 100 * H * Cos²α
DH = 100 * H * Cos²α + C
Quadro 2 – Equações para cálculo da distância horizontal. Não há C nas fórmulas dos equipamentos Analáticos, pois para esses equipamentos C tem valor zero. Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
42 Laureate- International Universities
E para o cálculo da diferença de nível (distância vertical), também podem ser realizadas em duas situações, quando a visada precisa ser ascendente ou precisa ser em descendente. E confirmamos a posição do terreno com o sinal do valor calculado da diferença de nível (DN). Observe no Quadro 3.
Distância Vertical ou Diferença de Nível Visada
Posição do terreno
Equação
Aclive
Declive
Ascendente
DN = 50 * H * Sen2α – FM + I
DN Positivo
DN Negativo
Descendente
DN = 50 * H * Sen2α + FM – I
DN Negativo
DN Positivo
Quadro 3 – Equações para cálculo da distância vertical ou diferença de nível. Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Um engenheiro civil precisa fazer uma mediação entre dois pontos (A e B) em uma área. Para tanto, ele dispõe de um teodolito com o qual irá realizar as medições necessárias e calcular as distâncias horizontal e vertical. A leitura obtida com o teodolito é a seguinte:
• fio inferior (FI) = 1,436 m • fio médio (FM) = 1,455 m • fio superior (FS) = 1,492 m • ângulo vertical = 90° (visada perpendicular) • altura = 1,43 m (do instrumento) De posse dos dados, o engenheiro irá transferir os valores obtidos com o teodolito pelas fórmulas e encontrará os resultados. Para calcular as distâncias entre dois pontos, ele precisa usar o Método Indireto de Medição, através da fórmula de DH e DV. Primeiramente, para calcular a distância horizontal, temos: DH = 100 * H * Cos² α
Para fazer esse cálculo, precisamos do ângulo α e de H (da distância entre o fio superior e inferior da mira). Nesse caso, como a leitura do ângulo no teodolito foi de 90°, sabemos que a mira do teodolito está na perpendicular, ou seja, não há inclinação na mira. O ângulo, portanto, será α = 0. Para saber o valor de H, então: H = FS – FI = 1,492 – 1,436 = 0,056 m Substituindo os valores na equação, temos: DH = 100 * 0,056 * Cos² 0 = 100 * 0,056 * 1 = 5,60 m Note que na DH cada cm na régua equivale a 100 cm (um metro).
43
Topografia
Agora, para calcular a distância vertical ou diferença de nível, temos: DV = I – FM
Em que: I – altura do teodolito (RÉ) FM – a leitura do fio médio na mira (VANTE) Observamos, aqui, que não temos angulação, pois a mira (visada) está reta. Substituindo os valores na equação, temos: DV = 1,43 – 1,455 = – 0,03m Concluímos que a distância entre os dois pontos é de 5,60 m e a diferença de nível é de 0,03 m, isso quer dizer que o ponto A está mais baixo que o ponto B 0,03 m. Agora podemos fazer os mesmos cálculos, porém com a mira do teodolito do ponto A para o ponto B inclinada. Temos a seguinte leitura do teodolito:
• fio inferior (FI) = 2,100 m • fio médio (FM) = 2,128 m • fio superior (FS) = 2,157 m • ângulo vertical = 83°15’28’’ (visada ascendente A → B) • altura = 1,43 m (do instrumento – I) Aqui também se utiliza Método Indireto de Medição, pois iremos usar as fórmulas de DH e de DV para achar as distâncias. Primeiramente: DH = 100 * H * Cos² α
Para fazer esse cálculo, é preciso o ângulo α e de H (da distância entre o fio superior e inferior da mira). Para saber o ângulo, temos de saber a diferença entre o ângulo de leitura do teodolito (83°15’28’’) e o ângulo perpendicular (90°), então: 90°00’00’’ - 83°15’28’’ = 6°44’32’’. Para saber o valor de H, então: H = FS – FI = 2,128 – 2,100 = 0,056 m. Substituindo os valores na equação, temos: DH = 100 * 0,056 * Cos² 6º44’32’’ = 5,62 m Agora vamos calcular a distância vertical ou diferença de nível: DV = 50 * H * Sen 2*α + FM – I
Substituindo os valores na equação, temos: DV = 50 * 0,056 * Sen 2*6°44’32’’ + 2,128 – 1,43 = – 0,03 m Concluímos que a distância entre os dois pontos é de 5,62 m e a diferença de nível de 0,03 m, isso quer dizer que o ponto A é 3 cm mais baixo que o ponto B. 44 Laureate- International Universities
Neste outro exemplo, observe que a mira do teodolito de A para B também está inclinada, porém a visada é descendente. Leitura do teodolito:
• fio inferior (FI) = 0,100 m • fio médio (FM) = 0,146 m • fio superior (FS) = 0,192 • ângulo vertical = 99°39’55’’ (visada descendente A → B) • altura = 1,43 m (do instrumento) Para calcular as distâncias entre os dois pontos (Método Indireto de Medição), utilizaremos as fórmulas de DH e DV. DH = 100 * H * Cos² α
Para fazer esse cálculo, precisamos do ângulo α e de H (da distância entre o fio superior e inferior da mira). Para saber o ângulo, temos que saber a diferença entre o ângulo de leitura do teodolito (99°39’55’’) e o ângulo perpendicular (90°), então: 99°39’55’’ – 90°00’00’’ = 9°39’55’’. Para saber o valor de H, então: H = FS – FI = 0,192 – 0,100 = 0,092 m, observe que FM – FI = 0,046 e FS – FM = 0,046, portanto 0,046 + 0,046 = 0,092. Substituindo os valores na equação, temos: DH = 100 * 0,092 * Cos² 9º39’55’’ = 8,94 m Agora, calcula-se a distância vertical ou diferença de nível: DV = 50 * H * Sen 2*α + FM – I
Substituindo os valores na equação, temos: DV = 50 * 0,092 * Sen 2*9°39’55’’ + 0,146 – 1,43 = 0,42 m Concluímos que a distância entre os dois pontos é de 0,92 m ou 92 cm e a diferença de nível de 0,24 m, isso quer dizer que o ponto A é 24 cm mais alto que o ponto B.
2.2.3 Métodos Eletrônicos Quando utilizamos aparelhos eletrônicos, não precisamos percorrer toda área para medi-la. Entenda que eles não são considerados como Métodos de Medidas Diretas e nem Medidas Indiretas, pois não precisamos percorrer a área e nem fazer cálculo. Os métodos eletrônicos são:
• Trena Eletrônica • Teodolito Eletrônico • Distanciômetro Eletrônico • Estação Total • Nível Digital 45
Topografia
• Nível a Laser • Equipamentos Motorizados, Automáticos e Robotizados
VOCÊ O CONHECE? O físico e engenheiro elétrico Ivan Getting (1912-2003) foi o idealizador do Global Positioning System (GPS). Ivan desenvolveu o conceito essencial do sistema de navegação guiado por satélite, além disso supervisionou vários estudos sobre o uso de satélites nos sistemas de navegação terrestre e contribuiu para ao desenvolvimento do míssil balístico intercontinental.
2.2.4 Posicionamento por Satélite Também podemos utilizar os aparelhos de GPS, que é composto basicamente de 24 satélites, os quais transmitem sinais de rádios para os receptores (aparelhos chamados GPS), permitindo a determinação precisa da posição geográfica. As exatidões das informações variam por precisão do equipamento. O GPS, por exemplo, tem precisão em metros; os GPS profissionais, em submétrica; ao passo que os GPS militares, praticamente em centímetros. As aplicações são de localização (determinar a posição geográfica), navegação (ir de um lugar para outro), rastreamento (monitorar a movimentação de pessoas, veículos etc.), mapeamento (criar mapas, topografia e agrimensura) e horário (determinar horário preciso no mundo). Em trabalhos de Topografia e Geodésia, a determinação do ponto pode ser UTM, coordenada plana (E, N) ou geográficas (φ, λ), além de altitude (h).
NÓS QUEREMOS SABER! O que deu origem ao GPS? O GPS nasceu durante a Guerra Fria, na corrida espacial. Esta tecnologia foi possível através da colocação em órbita dos satélites artificiais, dos quais o Sputnik I foi o primeiro, em 4 de outubro de 1957, pela então URSS. Saiba que há mais de quatro mil satélites em órbita, porém cerca de quinhentos estão em funcionamento.
NÃO DEIXE DE VER... Um satélite artificial é um sistema que orbita nosso Planeta, com altitude e velocidade constantes. Geralmente os satélites estão equipados com meios radioelétricos e dotados de energia, dispondo ou não de um sistema de controle remoto. Esse recurso nos permite monitoramento remoto através do feedback de informações recordadas aos receptores aqui na Terra. Confira o vídeo no site: <http://sss.ccst.inpe.br/SSS_linux.html>.
46 Laureate- International Universities
Síntese Síntese
• Neste capítulo, você pôde conferir a importância das medições de distâncias e ângulos e também como elas são feitas, utilizando equipamentos como diastímetros e balizas.
• Você viu também como realizar a medição direta utilizando o diastímetro. • Além disso, pôde constatar que a medição pode ser feita com um lance ou mais de um lance, dependendo da distância entre os dois pontos de referência.
• Outro ponto abordado foi a utilização do traçado perpendicular através da amarração de detalhes ou do alinhamento perpendicular.
• Nos que tange a medida dos ângulos, você viu que podemos utilizar o Método de Medida com Estadímetro ou Taqueometria.
• Viu
a medição utilizando o teodolito, para determinar a distância horizontal e vertical, com a visada perpendicular, inclinada (ascendente ou descendente).
• Além disso, conheceu um pouco sobre a medição com equipamentos eletrônicos e com satélites, através do GPS.
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Referências Bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAIS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13133 - Execução do Levantamento Topográfico. Brasília, 1994. BORGES, A. C. Topografia aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: Edgard Blucher Ltda., 2008. v. 2. COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. Viçosa: UFV, 2003. GARCIA, G. J.; PIEDADE; G. C. R. Topografia aplicada às Ciências Agrárias. São Paulo: Nobel, 1984. v. 2. AGÊNCIA ESPACIAL BRASILEIRA (AEB). Satélites e seus subsistemas. 2015. Disponível em: <http://sss.ccst.inpe.br/SSS_linux.html>. Acesso em: 21 jul 2015. SPARTEL, L. Curso de topografia. Porto Alegre: Globo, 1982. VEIGA, L. A. K. et al. Fundamentos de topografia. Curitiba, 2007.
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Capítulo 3 Planimetria e Altimetria
Introdução Neste capítulo, abordaremos a Planimetria e a Altimetria, conceitos importantíssimos para a ciência da Topografia e, consequentemente, para um engenheiro civil. Trata-se de conhecimentos necessários para a execução de uma obra, já que toda a elaboração do projeto se baseia no conhecimento da área, ou melhor, do terreno no qual será implementada a construção. O engenheiro civil precisa ter consciência da dimensão do terreno, de suas distâncias, de seus desníveis. Estas são reflexões baseadas no conhecimento da planimetria e altimetria. Veremos, portanto, como calcular a distância entre os pontos e determinar sua localização no terreno, além do desnível do terreno. Primeiramente, estudaremos a planimetria, conhecendo os ângulos horizontais e verticais e como calcular ângulos e distâncias. No segundo tópico, veremos a altimetria, o nivelamento e as famosas curvas de nível. Bom estudo!
3.1 Planimetria O conhecimento da planimetria consiste em elaborar uma planta de um espaço com a projeção horizontal de seus pontos. Nesta etapa, portanto, você irá percorrer a área poligonal, no sentido horário, medindo seus ângulos e distâncias horizontais. Esses valores, bem como o croqui de cada ponto, são anotados em cadernetas de campo apropriadas ou na memória do equipamento. Saiba que o método escolhido para realização do trabalho de campo (medir os ângulos e as distâncias), assim como dos equipamentos, vai depender da precisão requisitada e coincidir com as exigências do cliente. Neste tipo de levantamento topográfico, os ângulos medidos podem ser classificados em horizontais ou verticais. Confira a seguir!
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Topografia
3.1.1 Ângulos horizontais Podemos organizar os ângulos horizontais em internos ou externos, azimute ou rumos.
• Ângulos internos. São os ângulos que estão dentro da figura geométrica do terreno, ou seja, os ângulos medidos dentro do polígono, conforme ilustrado na figura 1.
A
B 87°00’ 36’’
107°08 ’09’’
102°11 ’22’’
138°26 ’55’’
E
C
105°12 ’59’’
D Figura 1 – Ângulos internos do polígono. Fonte: Lima, 2012.
A soma desses ângulos é equivalente a 540°00’00’’ ∑ âng.hz.inter. = 87°00’36’’ + 107°08’09’’ + 102°11’22’’ + 105°12’59’’ + 138°26’55’’ = 540°00’00’’ ou ∑ âng.hz.inter. = 180° x (n – 2)
Em que n = número de lados do polígono (n = 5) ∑ âng.hz.inter. = 180° x (5 – 2) = 180° x 3 = 540°00’00’’ Observe que temos uma fórmula para calcular a soma dos ângulos, a qual servirá para você verificar a precisão do levantamento topográfico.
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• Ângulos externos.
São os ângulos que estão na parte de fora do terreno, ou seja, no lado externo do polígono, conforme ilustrado na figura 2.
252°51’51’’
272°59’24’’
B
A
C 257°48’38’’
E 221°33’05’’
D 254°47’01’’
Figura 2 – Ângulos externos do polígono. Fonte: Lima, 2012.
A soma dos ângulos externos é equivalente a 1260°00’00’’, pois: ∑ âng.hz.exter. = 272°59’24’’ + 252°51’51’’ + 257°48’38’’ + 254°47’01’’ + 221°33’05’’ = 1260°00’00’’ ou ∑ âng.hz.exter. = 180° x (n + 2),
Em que n = número de lados do polígono (n = 5) ∑ âng.hz.exter. = 180° x (5 + 2) = 180° x 7 = 1260°00’00’’ Lembre-se de que os ângulos variam de 0° a 360°, portanto, a soma dos ângulos interno e externo de um vértice do polígono deve ser 360° (exemplo: vértice A = 87°00’36’’ + 252°51’51’’ = 360°00’00’’). Se você tivesse realizando um levantamento topográfico em um terreno da construtora para a qual você trabalha e quisesse confirmar se a sua medição está correta, o que faria? É fácil! Utilizaria a soma dos ângulos internos e externos; se os valores batessem, seu levantamento foi feito corretamente. Caso os valores da soma estivessem diferentes, você precisaria realizar uma nova medição.
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Topografia
NÃO DEIXE DE LER... Ser Protagonista: Geografia, de Ivone Silveira Sucena, o ajudará a compreender a localização dos corpos segundo os pontos cardeais (Norte, Sul, Leste e Oeste) e os pontos colaterais (Nordeste, Sudeste, Noroeste e Sudoeste), bem como através da utilização de instrumentos como a Rosas dos Ventos e a bússola. Livro: Ser Protagonista: Geografia, 1º ano: ensino médio, 2 ed. São Paulo: SM. 2013.
VOCÊ O CONHECE? Flavio Gioja foi um marinheiro italiano creditado pelo aperfeiçoamento da bússola,
após sua invenção pelos chineses. Acredita-se que Gioja introduziu a agulha que aponta para o norte magnético e a tampa de vidro no instrumento utilizado até hoje.
• Azimutes
e rumos. São ângulos horizontais de orientação. Com eles, podemos ter a direção de um ponto sem tê-lo avistado. Se você pegar a direção do rumo ou do azimute, você certamente irá chegar ao seu destino (ponto marcado). Por isso, ouvimos tanto a expressão “siga o rumo certo que você chegará ao destino!”
Tanto o azimute como o rumo têm origem no Norte, magnético ou verdadeiro. Aqui você pode perguntar: mas há diferença entre o norte verdadeiro e o magnético? Sim, existe, pois o norte verdadeiro indica a direção do Polo Norte da Terra, enquanto que o magnético, como o nome diz, indica a região com maiores massas magnéticas. Veja a figura 3.
• Azimute
(AZ) → é o ângulo horizontal que sai do norte, no sentido horário, até o alinhamento desejado, varia de 0° a 360°. Pode ser azimute verdadeiro ou magnético, dependendo de sua partida.
O alinhamento refere-se ao segmento de reta que liga dois pontos, portanto tem começo e fim (do ponto A até o ponto B). Tem orientação (por exemplo, 45°), sentido (por exemplo, A→B) e extensão (por exemplo, 10 metros).
• Rumo (R)
→ é o menor ângulo horizontal que parte do eixo norte ou do sul no sentido horário ou anti-horário até o alinhamento desejado (extensão entre dois pontos). Varia de 0° a 90° e é seguido por sua posição de quadrante NE (Nordeste), NO (Noroeste), SE (Sudeste), SO (Sudoeste). Pode ser rumo verdadeiro ou magnético, dependendo de sua partida.
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N N
2
A
B
B ’’ ’06
0
56°2 = 56° 6’’ B ’0 A0’26’ °20 AZ 36 ’ -A = 2 AZ
N
56°2 0’26’ ’
’’
6 0’0
N
°2 56
236°20’06’’
A
B
S
NE
O 56°2 = ’’ S -B ’06 0’26’ R A 6°20 ’ -A = 5 RB
S
S
S
56°2 0’26’ ’
AZIMUTE
RUMO
Figura 3 – Azimute e rumo. Fonte: Lima, 2012.
Podemos verificar que na figura 3 o azimute (AZ) do ponto A para o B é de 56°20’06’’, e ainda temos o contra-azimute (CAZ), azimute no sentido contrario, que é de 236°20’06’’. Saiba que se o azimute for maior que 180°, o CAZ = AZ - 180°, e se o azimute for menor que 180°, o CAZ = AZ + 180°. No exemplo dessa figura, o CAZ (A-B) = AZ (B-A) = AZ + 180° = 236°20’06’’. Observe, também, que os valores dos rumos do ponto A para B e B para A são iguais, R = 56°20’06’’, o que os diferencia é somente o sentido: note os indicativos NE e SO (quadrante), portanto R (A-B) = 56°20’06’’ NE e R (B-A) = 56°20’06’’ SO. A figura 4 mostra a relação entre azimute, rumo e quadrantes.
N 0° IV 4
O 270°
N 0° 1I
AZ 0-1
AZ 0-4
3
0 AZ 0-2
AZ 0-3
2
III
II
NO 4
L 90°
Rumo 0-4
Rumo 0-1
1 NE
0
O 270° 3 SO
Rumo Rumo 0-3 0-2
L 90° 2 SE
S 180°
S 180° AZIMUTE
RUMO
Figura 4 – Azimute e rumo. Fonte: Lima, 2012.
53
Topografia
As relações entre azimute e rumos em relação aos quadrantes são: 1º Quadrante → R (NE) = AZ 2º Quadrante → R (SE) = 180° - AZ, logo AZ = 180° - R (SE) 3º Quadrante → R (SO) = AZ – 180°, logo AZ = 180° + R (SO) 4º Quadrante → R (NO) = 360° - AZ, logo AZ = 360° - R (NE)
3.1.2 Ângulos Verticais Como os ângulos horizontais, os verticais também têm sua classificação: zênite, ou nadir, ou normal. Veja a figura 5. Ângulo vertical, ou inclinado. São os ângulos que partem do eixo horizontal (linha do horizon-
te). Varia de 0° a 90° e pode ter direção ascendente (acima do horizonte) ou descendente (abaixo do horizonte). Ângulo zenital, ou nadir. São os ângulos que partem do eixo vertical (perpendicular ao eixo
horizontal) e variam de 0° a 360°.
Zenite Ângulo zenital
A Ângulo vertical ascendente (+) Horizonte
Ângulo vertical descendente (-) Ângulo Nadiral
B
Nadir Figura 5 – Ilustração dos ângulos verticais: zênite, nadir, ascendente e descendente. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Aqui também temos relação, só que entre o zênite e ângulo vertical (V): Ângulo zenital = 90° - V (ascendente) Ângulo zenital = 90° + V (descendente)
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NÓS QUEREMOS SABER! Qual a diferença entre as Coordenadas Geográficas e o Sistema UTM? O sistema de coordenadas UTM (Universal Transversa de Mercator) é baseado em coordenadas métricas, dos valores de abcissa (E) e ordenada (N), de um ponto sobre a superfície da Terra, enquanto que o sistema de coordenadas geográficas expressa qualquer posição horizontal no Planeta através das coordenadas de latitude e longitude.
VOCÊ O CONHECE? Gerardus Mercator Rupelmundanus, Mercator (1512-1569), foi um cartógrafo bel-
ga que revolucionou a cartografia ao conseguir a façanha de representar o globo terrestre em um retângulo plano, a “Projeção de Mercator”, na época.
3.1.3 Cálculo de rumos, azimutes e distância Nesta fase, precisamos que você tenha domínio sobre tudo o que foi explicado, para que você compreenda os cálculos de distância, trigonometria e ângulos. Você precisa saber as relações entre rumos e azimutes e como identificá-las em um alinhamento (a direção do azimute e do rumo). Observe a figura 6, que é a representação de um terreno (polígono) no qual foi realizada a leitura das coordenadas e de seus pontos para calcular, de forma indireta, a distância e os ângulos entre os pontos 1 → 2, 3 → 4, 4 → 5, e 5 → 1.
N Norte N
N2 N3 N1
Δ N
N
ΔE
N
2
N
E E
AZ 1-2
3
E
1
N4
E 4
0, 0
E1
E4
E2
E3
E Leste
Figura 6 – Levantamento topográfico – medição do azimute para cálculo de distância. Fonte: Lima, 2012.
55
Topografia
Calculando a distância entre os pontos 1 e 2
Veja que na figura 6 foi projetado um triângulo (triangulo-retângulo) na reta que representa a distância entre os pontos 1 e 2. Esse triângulo-retângulo tem dois catetos que são as retas ΔN e ΔE e a hipotenusa a distância entre 1→2. Observe também que a leitura de ângulo realizada foi o azimute, sendo a leitura feita partindo do norte (N). Note que todos pontos têm coordenada N e E, então temos as coordenadas ponto 1 (E1, N1) e ponto 2 (E2, N2). A distância ΔN nada mais é do que a diferença entre os valores do eixo das abscissas N2 e N1 (N2 – N1), enquanto a distância ΔE é a diferença entre os valores do eixo das ordenadas E2 e E1 (E2 – E1) dos pontos. Iremos utilizar aqui o teorema de Pitágoras (Hipotenusa² = cateto A² + cateto B²) para fazer o cálculo da distância entre os pontos 1 e 2. Hipotenusa: distância (1→2): Cateto A: ΔN = (N2 – N1) Cateto B: ΔE = (E2 – E2) Substituindo na fórmula, temos:
Analisando o triângulo retângulo, temos que o ângulo (rumo):
Os quadrantes dos rumos estão relacionados aos sinais do ΔE e ΔN. Portanto, quando o ΔE e ΔN forem ambos positivos, concluímos que o rumo está no primeiro quadrante e concluímos que azimute é igual ao rumo: AZ (1→2) = R(NE)
N Norte N
N
N
N2
AZ
0,
E1
E Δ N
N4
E E
3
Δ 1
N AZ
Δ
N3 N1
2
4
E4
Δ
E E
Δ E2
AZ
E3
E Leste
Figura 7 – Levantamento topográfico – medição do azimute para cálculo de distância. Fonte: Lima, 2012.
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Agora vamos terminar de realizar os cálculos e assim conseguir todas as distâncias do terreno (figura 7)! Calculando a distância entre os pontos 2 e 3
Para realizarmos esse cálculo, seguimos o raciocínio anterior, porém aqui será a distancia entre os pontos 2 e 3, portanto, ponto 2 (E2, N2) e ponto 3 (E3, N3). Novamente foi projetado um triangulo retângulo entre os pontos 2 e 3, com dois catetos que são as retas ΔN e ΔE e a hipotenusa a distância entre 2→3. O ângulo partiu do norte (N) com direção ao seguimento de reta (2→3). A distância ΔN será N3 – N2 e a distância ΔE será E3 – E2. Hipotenusa² = cateto A² + cateto B² Hipotenusa: distância (2→3) Cateto A: ΔN Cateto B: ΔE Substituindo na fórmula, temos:
Analisando o triângulo retângulo, notamos que através do azimute (ângulo que parte do norte – N – até o alinhamento de reta 2→3 no sentido horário) podemos determinar o ângulo (rumo):
Aqui o ΔE é positivo e o ΔN negativo, então concluímos que o rumo está no segundo quadrante. Portanto, o azimute é igual: AZ (2→3) = 180° – R2(SE)
Com o valor negativo, sabemos que esse ângulo está partindo do sul (S) no sentido anti-horário, ou seja, ele está no segundo quadrante, por isso é que devemos subtraí-lo de 180° para encontrarmos o azimute. Calculando a distância entre os pontos 3 e 4
Aqui temos os pontos 3 (E3, N3) e o ponto 4 (E4, N4). O triângulo retângulo projetado, com dois catetos (retas ΔN e ΔE) e a hipotenusa que é a distância entre 3→4. O ângulo partiu do norte (N) com direção ao seguimento de reta (3→4). A distância ΔN será N4 – N3 e a distância ΔE será E4 – E3. Hipotenusa² = cateto A² + cateto B² Hipotenusa: distância (2→3) Cateto A: ΔN Cateto B: ΔE Substituindo na fórmula, temos: 57
Topografia
Para termos o rumo:
Nesta situação, o ΔE e ΔN são negativos, portanto o rumo está no terceiro quadrante. Achamos o azimute: AZ (2→3) = 180° + R3(SO)
Calculando a distância entre os pontos 4 e 1
Aqui a distância será dos pontos 4 (E4, N4) e 5 (E5, N5). Novamente partiremos da projeção do triângulo retângulo, com dois catetos (retas ΔN e ΔE) e a hipotenusa, que é a distância entre 4→5. O ângulo partiu do norte (N) com direção ao seguimento de reta (4→5). A distância ΔN será N5 – N4, e a distância ΔE será E5 – E4. Hipotenusa² = cateto A² + cateto B² Hipotenusa: distância (2→3) Cateto A: ΔN Cateto B: ΔE Substituindo na fórmula, temos:
E o rumo é dado pelo fórmula:
Note que para achar o rumo, independentemente do quadrante, é utilizada a mesma fórmula. Aqui o ΔE é negativo e o ΔN positivo, o rumo está no segundo quadrante: AZ (4→1) = 360° – R4(NO)
Observe novamente que o valor negativo nos informa que esse ângulo está partindo do norte no sentido anti-horário, ou seja, ele está no quarto quadrante. Assim, para determinar o azimute, devemos subtraí-lo de 360°.
58 Laureate- International Universities
E o contra-azimute: CAZ(4→1) = AZ–180°
Esses são os cálculos dos quatro quadrantes de um eixo. Resumindo o conhecimento adquirido de transformar rumo em azimute, e vice-versa, temos o quadro 1 a seguir:
Quadrante
Formulas
1º
NE
AZ = R
R = AZ
2º
SE
AZ = 180° - R
R = 180° - AZ
3º
SO
AZ = 180° + R
R = AZ – 180°
4º
NO
AZ = 360° - R
R = 360° - AZ
Quadro1 – Fórmulas para transformar rumo em azimute, e vice-versa. Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Lembrando que o valor do rumo vai de 0° até 90°. Se passar desse valor, você fez o cálculo errado e deverá corrigi-lo. Já o valor do azimute vai de 0° até 360°. A direção do rumo pode ser horária e anti-horária, ao passo que do azimute é só horária.
3.1.4 Cálculo de coordenadas Vamos aprender agora como calcular as coordenadas de um ponto a partir de um ângulo e uma distância conhecidos. Vamos supor que você tem um projeto e precisa marcar um ponto nele, porém você não dispõe de suas coordenadas. Para determinar as coordenadas do ponto B, por exemplo, você vai utilizar o ponto A (Ea, Na), azimute AZ (A→B) e distância AB conhecidos. Nesta situação, devemos realizar dois cálculos: um para achar a coordenada N e um para a coordenada E. Confira as fórmulas a seguir.
Determinar a coordenada N (eixo y) → Nb Nb = Na + ΔN, sendo:
ΔN = CosAZ(A→B) x Distância(AB)
Determinar a coordenada E (eixo x) → Eb Eb = Ea + ΔE, sendo:
ΔE = SenAZ(A→B) x Distância(AB)
Você precisa implantar no projeto um muro, porém está faltando a coordenada correta. Ele dispõe da distância do muro (comprimento), o azimute (ângulo de abertura do muro) e as coordenadas do ponto A (ponto que será o início do muro). Então quais serão as coordenadas do ponto B (ponto do final do muro)? 59
Topografia
Dados: Ponto A (550,00; 500,00) → (Ea = 550,00; Na = 500,00) AZ(A→B) = 220°00’00” Distância (AB) = 400,00 m
NÓS QUEREMOS SABER! Qual a diferença entre a Projeção de Mercator e a de Peters? Na Projeção de Mercator, os meridianos e os paralelos são linhas retas que se cortam em ângulos retos, as formas dos continentes não alteram só as proporções, as regiões polares são exageradas, favorece as desigualdades econômicas (o Hemisfério Norte maior em relação ao Sul), excelente para a navegação, e por final coloca a Europa no centro do mapa. Já por outro lado, a Projeção de Peters mantém as reais proporções dos continentes (alterou as formas), apesar de deformar a forma dos continentes, mantém a área proporcional dos continentes, destaque ao continente Africano no centro do mapa, e tem a valorização do mundo subdesenvolvido, mostrando sua área real.
NÃO DEIXE DE VER... Três Reis (EUA, 1999, 144 min) de David Russel, que retrata o fim da Guerra do Golfo (1990-1991). O filme narra as aventuras de um grupo de soldados norte-americanos que encontra um mapa secreto no qual estão as coordenadas geográficas de um tesouro.
3.2 Altimetria Outro tipo de levantamento topográfico que pode ser realizados é o altimétrico. Como você já deve saber, ele vai estudar as medidas de distâncias verticais ou diferenças de nível, incluindo a medida de ângulos verticais. A operação que veremos neste tópico é de extrema importância e chama-se nivelamento. Acompanhe o desenvolvimento do conteúdo e lembre-se de que se o levantamento altimétrico for feito em conjunto com o planimétrico, teremos o levantamento planialtimétrico.
3.2.1 Nivelamento A representação altimétrica tem por objeto a representação do relevo do terreno, isto é, dos desníveis existentes entre os pontos que constituem sua superfície, e essas informações servirão para conhecimento do nivelamento (níveis) do terreno. Para realizamos este trabalho, temos duas formas. Uma através do cálculo de distâncias verticais utilizando a trigonometria, no que chamamos de nivelamento trigonométrico, e outra pelo nivelamento geométrico, que será bastante preciso.
60 Laureate- International Universities
Primeiramente, precisamos ter em mente a definição de altitude e cota (figura 8). Confira a seguir!
• Altitude: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica até o nível médio do mar. É conhecida como plano de referência verdadeiro.
• Cota: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície topográfica até o
Nível Médio Dos Mares
Cota
Altitude
plano imaginário de referência. É conhecida como plano particular para um nivelamento.
Nível Verdadeiro 0,0 m
Figura 8 – Esquema de altitude e cota de um terreno. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
A superfície de altitude zero é a mesma do nível médio do mar, sendo determinada por meio de mareógrafos (instrumentos registradores da variação dos mares). A partir dessas referências, as altitudes são transportadas para todo o interior do continente. Vamos conhecer agora o desnível.
• Desnível:
é a diferença da distância vertical entre dois ou mais pontos da superfície topográfica, geralmente determinada pela diferença entre as cotas dos pontos em questão. Precisamos sempre ter o cuidado de indicar se essa diferença é em aclive (+) ou em declive (-).
CASO Túlio está em um local onde será construída uma residência, porém o terreno não está nivelado como deveria estar. Como ele é engenheiro civil, então sabe que o cálculo da quantidade de terra para fazer o nivelamento de um terreno dependerá da topografia e da disponibilidade de matéria-prima dentro da própria área. O seu primeiro comando na obra é de limpar toda a extensão do terreno, e com isso remover toda a vegetação. Depois ele comanda a construção de um muro de arrimo, isto é, um muro construído em um terreno a fim de permitir seu aterramento e nivelamento. A partir daí, é feito o corte de compensação, em que a terra é retirada do ponto mais elevado do lote e colocada no ponto mais baixo. Assim, toda a área acaba ficando nivelada, o que torna a edificação de uma obra possível.
61
Topografia
3.2.2 Métodos de nivelamento Podemos utilizar dois métodos para realizar o nivelamento do terreno: o Método Geométrico (direto) e o Método Trigonométrico (indireto), porém iremos focar mais no Geométrico. 1. Nivelamento Geométrico. Neste procedimento utilizamos apenas réguas ou miras graduadas, e não utilizamos ângulos. Pode ser realizado com mangueira de nível ou instrumentos (nível ótico, mais utilizados, teodolito ou estação total) com equipamentos auxiliares (régua graduada). Ele pode ser executado simples ou composto. Confira na figura 9.
Nivelamento Geométrico Simples é quando queremos determinar a diferença de nível
entre dois pontos do terreno utilizando um único procedimento. Aqui deve se tomar cuidado para que o desnível entre os pontos não exceda o comprimento da régua (4 m), senão você não conseguirá fazer a leitura. Com o nível instalado equidistante dos pontos, proceder à leitura dos fios estadimétricos (FS, FM e FI) nos pontos de ré e vante. O desnível pode ser determinado pela relação: DNAB = FMRÉ – FMVANTE
Então: Se DN for positivo, então o terreno está em aclive (de ré para vante). Se DN for negativo, então o terreno está em declive (de ré para a vante).
Nivelamento Geométrico Composto é quando são necessários vários procedimentos
intermediários para determinar a diferença de nível entre os dois pontos do terreno. Aqui é realizado em terrenos mais íngremes, pois não se consegue fazer a leitura da régua, e para isso divide-se os procedimentos a serem realizados no terreno. Aqui também instalase o nível equidistante aos pontos de ré e intermediário (primeiro de uma série de pontos necessários ao levantamento dos extremos), evitando-se ao máximo lances muito curtos. E depois executa-se a leitura dos fios estadimétricos (FS, FM e FI) nos pontos em questão e o desnível entre os dois primeiros pontos será dado pela relação: DNP = FMRÉ – FMVANTE INTERMEDIÁRIO DNP = FMRÉ INTERMEDIÁRIO – FMVANTE
Se DN for positivo, então o terreno está em aclive. Se DN for negativo, então o terreno está em declive. Dessa forma, o desnível total entre os pontos extremos do terreno será dado pelo somatório dos desníveis intermediários. DNAB = ∑DNP
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Mira
Mira Intermediário
Vante
Nível
Ré Mira
Nível
Ré
B
A
Vante
Mira
DV
Nível
Ré
B Vante
A
DH
Nivelamento Geométrico Simples
DV
DH
Nivelamento Geométrico Composto
Figura 9 – Nivelamento Geométrico, simples e composto. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
2. Nivelamento Trigonométrico. O método trigonométrico é chamado de indireto, pois depende da resolução de um triângulo para que se possa saber a diferença de nível (DN) entre o ponto da estação e o ponto que está observado. Após realizados os nivelamentos, podemos determinar a declividade ou o gradiente entre pontos do terreno, pois é a relação entre a distância vertical e horizontal entre eles. A declividade pode ser dada em porcentagem ou em ângulo. Em porcentagem: D% =
Em ângulo: Dº = arc tg
DN DH
× 100
DN DH
As declividades, segundo Garcia e Piedade (1984), podem ser classificadas de acordo com o quadro 2.
CLASSE
DECLIVIDADE %
DECLIVIDADE º
INTERPRETAÇÃO
A
< 03
< 01.7
Fraca
B
03 à 06
01.7 à 03.4
Moderada
C
06 à 12
03.4 à 06.8
Moderada a Forte
D
12 à 20
06.8 à 11.3
Forte
E
20 à 40
11.3 à 21.8
Muito Forte
F
> 40
> 21.8
Extremamente Forte
Quadro 2 – Classificação das Declividades. Fonte: Garcia e Piedade, 1984.
63
Topografia
3.2.3 Representação do relevo As medições do levantamento altimétrico irão gerar nosso plano topográfico, que nada mais é do que a representação do relevo do solo que vai orientar o engenheiro sobre os níveis da área do projeto. Saiba que a forma mais utilizada aqui é a curva de nível, a qual, segundo alguns autores, pode ser entendida como uma linha imaginária que conecta pontos de mesma cota ou altitude numa área (MCCORMAC, 2007). Veja a figura 10.
Figura 10 – Curvas de nível. Fonte: Shutterstock, 2015.
Em obras de Engenharia que visam apontar irregularidades, costuma-se trabalhar com equidistância de um metro, isto quer dizer que haverá curvas de nível de metro em metro. Para facilitar a interpretação da área do terreno, são traçadas as curvas múltiplas de 5 metros, ou de 10 metros, que chamamos de curvas mestras.
NÃO DEIXE DE LER... Sugerimos a leitura do artigo intitulado Uso do Autocad como recurso didático no ensino de interpretação do relevo da superfície topográfica representado por curvas de nível, publicado na Revista Brasileira de Cartografia (2014) nº 66/4, p. 877-884. Você verá como se faz a interpretação do relevo por curvas de nível na superfície do terreno (superfície topográfica). Disponível em: <http://www.lsie.unb.br/rbc/index.php/rbc/article/view/928/716>.
Veja a seguir as características das curvas de nível
• Todos os pontos de uma mesma curva de nível têm a mesma cota ou altitude. • Cada curva de nível fecha sobre si mesma, dentro dos limites de um plano considerado. Fora dos limites do plano, a curva ficará interrompida pela linha marginal que marca o limite.
• As partes superiores de uma elevação sempre serão representadas por curvas fechadas, e o mesmo ocorre para representar depressões.
• As
curvas de nível nunca se cortam e nem se encontram, a não ser em uma escarpa vertical ou em um corte de aterro também vertical feito pelo homem, geralmente cortes em regiões rochosas ou aterros sustentados por muros de arrimo.
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• As curvas de nível de uma superfície plana são linhas retas paralelas. • Os aclives ou declives uniformes são representadas por curvas de nível equidistantes. • A maior ou menor aproximação das curvas indicam aclives ou declives mais acentuados. A aplicabilidade das curvas de nível para o engenheiro civil é variada. Nos projetos de estradas, elas auxiliam a traçar a diretriz que necessite do menor movimento de terra (terraplenagem) possível, com as rampas máximas exigidas por norma. Já nos projetos de loteamento, as curvas de nível auxiliam a distribuir bem os espaços em terrenos movimentados (com grandes diferenças de cotas). E nos projetos de construções de barragens, para determinar a cota de inundação e a área a ser inundada.
3.2.4 Principais acidentes geográficos naturais Veremos agora os dois dos principais grupos de acidentes geográficos, as elevações e as depressões. 1. Elevação. Quando as curvas de nível de menor valor estão envolvidas pelas curvas de nível, trata-se de uma elevação. Se ocorrer o inverso dizemos que é uma depressão (figura 11).
60
40
20
20 10 0
0 20 60 40
10 0
20 0
A
B
Figura 11 – Elevação. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Observe na figura 11 que quanto mais afastadas as curvas de níveis, menor é a declividade, isto é, menos íngreme é o terreno.
»»
Elevações isoladas: marmelão (100 a 200 m), colina (200 a 400 m), monte (200 a 300 m), morro (100 a 20 0m), cerro ou serrote (100 m).
»»
Elevações agrupadas: cordilheiras (série de montanhas), montanha (> 400 m), maciço (aglomerado de montes), planalto (> 1000 m), serra (montanha alongada) etc.
2. Depressão. Depressões ocorrem quando o envolvimento das curvas de nível de maior valor envolvem as curvas de nível de menor valor (figura 12).
65
Topografia
120
100
80
50 30
60
10
10
60 80
30 50
100 120
A
B
Figura 12 – Depressões. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Observe na figura 12 que quanto mais afastadas as curvas de níveis, menor é a declividade, isto é, menos íngreme é o terreno. Então não esqueça, pois é importante na leitura de um plano topográfico perceber se há uma elevação ou depressão e se tais acidentes são íngremes.
»»
Principais depressões: garganta (é a parte mais baixa de um divisor de água por onde passam as rodovias e ferrovias), brecha (garganta estreita e profunda), desfiladeiro (passagem longa entre duas elevações), canyon (garganta estreita e profundíssima – 1000 m profundidade), corredor (passagem extensa com elevações acessíveis ou não), cuba (depressão circular pouco extensa), circo (depressão circular vasta e profunda) e vale (grande depressão entre morros).
NÃO DEIXE DE VER... Confira o vídeo a seguir, pois ele mostrará um terreno e suas elevações e depressões. Disponível em: <http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-5656511-stock-footage-aerial-view-car-on-a-winding-road-in-the-hills-altai-mountains-siberia-russia-summer. html?src=search/pjD8PbdxXLla6hJQUIUW4A:1:11/3p>.
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Síntese Síntese
Neste capítulo, você viu sobre a planimetria e sobre a altimetria. Você percebeu que precisamos ter todos os conceitos bem definidos para conseguir realizar os cálculos e obtermos as informações sobre o terreno desejado, certo?
• Conhecemos
os conceitos de planimetria e altimetria e agora sabemos que se o levantamento altimétrico for feito em conjunto com o planimétrico teremos o levantamento planialtimétrico.
• Vimos os ângulos horizontais e verticais, como azimute, rumo, zênite e nadir. • Aprendemos como calcular rumos, azimutes, distâncias e coordenadas. • Vimos
as relações entre rumos e azimutes e como identificá-las em um alinhamento (a direção do azimute e do rumo).
• Aprendemos sobre os tipos de nivelamento, Geométrico e Trigonométrico, porém demos mais atenção ao Geométrico, pois através dele obteremos resultados mais precisos.
• Vimos que o nivelamento trigonométrico é considerado indireto, pois é necessário calcular as distâncias através do uso de triângulos.
• Aprendemos
a ler as curvas de níveis, como as elevações e depressões em plantas
topográficas.
67
Referências Bibliográficas
BORGES, A. C. Topografia aplicada à engenharia civil. São Paulo: Edgard Blucher Ltda., 2008. v. 2. COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. Viçosa: UFV, 2003. GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada as ciências agrarias. 5. ed. São Paulo: Nobel, 1987. LIMA, S. F. Caderno de topografia. E-tec, IFAM. 2012. SPARTEL, L. Curso de topografia. Porto Alegre: Globo, 1982. SUCENA, I. S. Ser protagonista: geografia. 2. ed. São Paulo: SM, 2013.
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Capítulo 4 Desenho Topográfico
Introdução Imagine se não tivéssemos um padrão para fazer a representação de um terreno, ou seja, um desenho topográfico. Como você acha que sairia cada desenho? Cada um faria de um jeito, utilizaria a grandeza que quisesse e os detalhes mudariam a cada projeto, certo? Será que qualquer pessoa seria capaz de compreendê-lo? A resposta é “não” e ilustra a importância da padronização do desenho topográfico para um engenheiro civil. Neste capítulo, estudaremos a importância do desenho topográfico, bem como as normas e os padrões que regem sua confecção e que devem ser seguidos. Também veremos quais são os procedimentos que o engenheiro civil deve executar na locação de uma obra. Teremos, como exemplo, diferentes tipos de locação, e os procedimentos dependerão da obra a ser erguida. Por fim, investigaremos como realizar os cálculos de área e volume, importantíssimos para o dimensionamento de terraplanagem, ou seja, do nivelamento do terreno. Bom estudo!
4.1 Desenho Topográfico Para o engenheiro civil, o desenho topográfico é, sem dúvidas, uma ferramenta de grande utilização, a qual lhe possibilita entender o terreno e projetar a edificação sobre ele, concretizando a obra para a qual foi contratado. Acompanhe, ao longo das próximas páginas, as definições e regras pertinentes ao tema.
4.1.1 Definição Podemos definir desenho topográfico como a representação de todas as medidas obtidas do terreno no papel. Nele, na maioria das vezes, os ângulos são projetados em grandeza verdadeira, e as distâncias são reduzidas. Os vértices da figura do terreno e os pontos de referência são plotados no papel, de acordo com suas coordenadas (x e y), já os detalhes (quando feitos manualmente) são plotados com o auxílio de instrumentos como o escalímetro (régua), o compasso e o transferidor. Saiba, no entanto, que atualmente a maioria dos profissionais utilizam programas computacionais (softwares) específicos, entre os quais o mais difundido é o AutoCAD. Veja um exemplo na figura 1.
69
Topografia
Figura 1 – Planta baixa de uma residência. Fonte: Shutterstock, 2015.
NÓS QUEREMOS SABER! Você já ouvir falar do AutoCAD? Trata-se de um software do tipo CAD (desenho auxiliado por computador) criado e comercializado pela Autodesk Inc. desde 1982, sendo empregado na elaboração de peças de desenho técnico em 2D e na criação de modelos 3D. É uma ferramenta importantíssima para os profissionais da arquitetura mecânica, geográfica, elétrica e agrônoma.
Saiba que em todo desenho topográfico (planta, carta ou mapa) devem constar informações como: detalhes naturais e/ou artificiais do terreno; orientação; data do levantamento topográfico; escala gráfica e numérica usada; legenda; convenções utilizadas; título; número dos vértices; distância e azimute dos alinhamentos; os eixos de coordenadas; área e perímetro; e os responsáveis pela execução.
NÃO DEIXE DE VER... O vídeo mostra engenheiros civis conferindo a planta de uma obra. Através dele, podemos verificar como é importante a interpretação do desenho topográfico por todos os profissionais envolvidos na construção. No dia a dia de uma obra, a planta sempre deverá ser consultada e confirmada. Disponível em: <http://www.shutterstock.com/pt/ video/clip-4654781-stock-footage-construction-industry-contractors-look-over-blueprints.html?src=/0GSi7lqTBsUpPNK9WesYew:3:2/3p>.
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4.1.2 Configuração do Desenho O desenho topográfico pode ser feito tanto com tinta preta (monocromático) quanto com vários outros tons (nesse caso, o chamamos de policromático). Se ele for policromático, saiba que cada cor representa certos dados: o azul, por exemplo, significa hidrografia; o vermelho, as edificações, estradas, ruas, calçadas; o verde diz respeito à vegetação, enquanto o preto é usado na legenda.
4.1.3 Folha Utilizada Os tamanhos de folha para a representação da superfície terrestre seguem as normas da NBR 10.068 e variam do tamanho A0 (máximo) ao A5 (mínimo). Confira na tabela 1.
Formato
Tamanho (mm)
Área (m²)
A0
841x1182
1,0000
A1
594x841
0,5000
A2
420x594
0,2500
A3
297x420
0,1250
A4
210x297
0,0625
A5
148x210
0,0313
Tabela 1 – Formatos de papel utilizados para confecção de plantas topográficas. Fonte: ABNT, 1987.
Saiba que é a partir do formato A0 que os outros tamanhos são originados. As margens aplicadas normalmente são de 25 a 30 mm (para margens esquerdas) e de 5 a 15 mm para as outras margens (direita, superior e inferior). Todos os padrões da folha devem ser seguidos, conforme NBR 10.068 e 10.582 (figura 2).
71
Topografia
Figura 2 – Posição do papel e espaços, posicionamento da folha e legenda. Fonte: ABNT, 1987; 1988.
A legenda também tem um padrão a ser seguido, devendo conter as seguintes informações, conforme a NBR 10.582: Designação da firma; Projetista, desenhista ou outro responsável pelo conteúdo do desenho; Local, data e assinatura; Nome e localização do projeto; Conteúdo do desenho; Escala (conforme NBR 8.196); Número do desenho; Designação da revisão; Indicação do método de projeção conforme a NBR 10.067; Unidade utilizada no desenho conforme a NBR 10.126. (ABNT, 1988).
Fique atento, pois de acordo com a NBR 10.068 (ABNT, 1987), a legenda deverá ter 178 mm de comprimento nos formatos A4, A3 e A2, e 175 mm nos formatos A1 e A0.
4.1.4 Porção de terreno levantada A representação do terreno levantada pode ser feita em uma única folha de papel ou em várias – nesse caso é denominada de representação parcial. Isso acontece quando a porção levantada é bastante extensa e a projeção precisa ser detalhada, assim, optamos por fracionar a projeção da área ao invés de reduzir a escala e colocar só numa folha.
4.1.5 Escala Um elemento muito importante utilizado nos desenhos topográficos é a escala, pois ela é a responsável pela correta representação do terreno no papel, com suas devidas proporções. Entenda a escala como a relação entre o desenho do terreno no papel e o tamanho real. Através da leitura da correta proporção de redução das medidas reais, temos a noção do tamanho terreno e de seus detalhes. Saiba que podemos expressar a escala de forma numérica ou de forma gráfica. A escolha da escala projetiva pelo engenheiro se dá através da relação de alguns fatores, entre eles a precisão necessária para o projeto, o tamanho da folha de papel e a distância dos vértices do terreno. 1. Escala numérica. Pode ser representada de duas formas, como fração (1/100, 1/2000 etc.) ou como proporção (1:100, 1:2000 etc.), sendo mais comum a proporção. Na escala numérica l:L, o l corresponde ao tamanho no desenho, enquanto que L diz respeito à distância representada. Com o uso da escala, podemos realizar ampliação, isso quando l for maior que o L (Ex.: 2:1; portanto 2>1), natural, quando l for igual a L (Ex.: 1:1, portanto 1=1), e de redução, quando l for menor que L (Ex.: 1:100, portanto 1<100). Por exemplo, em uma proporção de 1:100.000, cada 1 cm no desenho topográfico equivale 1 km da superfície real. Observe que quanto maior a escala, mais numerosos serão os detalhes, e quanto menor a escala, menos detalhes teremos. Portanto uma escala
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de 1:50.000 (escala grande) tem mais detalhes que a escala 1:100.000 (escala menor), pois esta condensa um espaço muito maior. 2. Escala gráfica. Podemos também representar a escala na forma gráfica, sob uma linha segmentada e graduada, ao longo da qual são marcadas as distâncias reais correspondentes às dimensões do segmento. Os segmentos são intercalados em preto e branco para facilitar a leitura. Se você utilizar um escalímetro, portanto, para fazer a leitura em um mapa ou uma planta, basDM DM ta utilizar a relação de proporcionalidade dada por: , em que DM é a distância no = DR DR desenho e DR a distância real. Se um mapa tem escala de 1/100.000, para achar a distância entre dois pontos, basta você traçar com um escalímetro a distância entre os dois pontos. Se a distancia deu 5 cm, por exemplo, você poderá calcular na relação de proporcionalidade a distância real, assim: 1 100.000
=
5 DR
,
A DR, aqui, é igual a 500.000 cm. É conveniente e prático, porém, converter as medidas e transformar cm em m ou km. Nesta conversão, temos, portanto, que a distância é de 5 km. Na confecção do desenho topográfico, podemos utilizar diversas escalas, o que terá impacto no detalhamento do desenho. Se a escala for maior, chamamos o desenho topográfico de planta, pois os detalhes são maiores. Se a escala for menor, entretanto, nomeamos o desenho de mapa, pois os detalhes são menores. Observe a seguir os detalhes das escalas e suas respectivas nomenclaturas na tabela 2.
APLICAÇÃO
ESCALA
Detalhes de terrenos urbanos
1:50
Planta de pequenos lotes e edifícios
1:100 1:200
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos
1:500 1:1.000
Planta de propriedades rurais
1:1.000 1:2.000 1:3.000
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais
1:5.000 1:10.000 1:25.000
Cartas de municípios
1:50.000 1:100.000
Mapas de estados, países, continentes etc.
1:200.000 a 1:10.000.000
73
Topografia
Tabela 2 – Principais Escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicações. Fonte: Veiga et al., 2012.
Então, grave bem, dependendo da escala e do detalhamento do projeto, a denominação da representação muda para planta, carta ou mapa. Alguns mapas trazem uma escala gráfica, ao passo que outros trazem uma escala numérica. Além disso, existem também alguns que trazem os dois tipos de escalas.
VOCÊ O CONHECE? Aimé Laussedat (1819-1907), engenheiro geodesista e militar do exército francês, especialista em mapeamento topográfico, cartografia e geodésia e considerado o “pai da fotogrametria”, foi o responsável pelo primeiro levantamento topográfico a bordo de um balão, em 1858. Porém o maior desenvolvimento nessa área técnica se deu com a invenção do avião, no final do século XIX. Confira mais a respeito de Laussedat em: <http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/AimeLaus.html>.
NÃO DEIXE DE VER... Ultimamente, o uso da tecnologia vem invadindo todas as áreas de conhecimentos e não seria diferente com a engenharia civil. Temos diferentes softwares para confecção de plantas (ou mapas) como também o uso de tabletes e celularer auxiliando no dia a dia do engenheiro. Disponível em: <http://www.shutterstock.com/pt/video/ clip-3769868-stock-footage-engineer-using-tablet-pc-while-working-with-blueprints. html?src=/Th_Lr43d2125b79CjhuOkg:4:13/3p>.
4.2 Locação de Obra A locação de uma obra é uma das atividades ligadas à topografia. É com ela que se inicia uma construção, ou melhor, é a partir desse ponto que começa a desenvolver o projeto no terreno. Neste tópico, veremos os procedimentos e métodos para esse passo tão importante. Acompanhe!
4.2.1 Procedimentos Trata-se aqui do processo de transferência da planta baixa, ou seja, do chão do projeto de edificação para o terreno: a inserção dos recuos, dos afastamentos, dos alicerces, das paredes, das aberturas, dos eixos, dos elementos estruturais etc. Saiba, portanto, que é necessária a realização da locação de pontos no terreno (que chamamos de gabarito) para se iniciar a construção. Em outras palavras, depois de feito o levantamento planialtimétrico no terreno, é realizada a locação da obra, materializando, assim, o projeto. A construção tem início, portanto, com a locação dos pontos que definirão posições estratégicas, como a fundação de um edifício, os eixos de uma rodovia, os pilares de uma ponte e as divisas de lotes. Já é possível perceber a importância da locação, certo? Saiba que um erro durante esse processo pode resultar diretamente em um erro na execução da obra. 74 Laureate- International Universities
Os levantamentos para locação podem ser de maior ou menor complexidade, o que vai depender da forma do terreno, da importância da estrutura a ser locada e da amplitude da construção. Para atingir esta etapa, precisamos primeiramente realizar o levantamento topográfico da superfície. A locação, portanto, é realizada a partir das coordenadas dos pontos definidos no projeto, nos quais foram calculadas as direções e distâncias em relação a marcos de referência. Saiba que, aqui, é feito o processo inverso daquele realizado em um levantamento, em que levantamos as medidas e distâncias entre os pontos para daí calcular as coordenadas de interesse. É com esses valores que os marcos de referência são materializados no terreno, daí loca-se ou indica-se a posição dos pontos de interesse. Na locação, trabalhamos com coordenadas planas de pontos (como no caso da locação da posição de pilares de uma obra) ou empregamos as três coordenadas (para a locação de maquinários em indústrias, por exemplo). Podemos também utilizar a cota ou altitude do ponto quando estamos realizando uma escavação, por exemplo. Entenda que, no processo de locação, pode ocorrer também a necessidade de relocar alguns pontos devido a problemas de destruição ou perda de estacas, por acidentes ou movimentações de terra. Em loteamentos, inicia-se a locação das vias e somente após a movimentação do solo é que são demarcados (locados) os lotes. No levantamento, então, realizamos a medição de distância e ângulos, e com essas medidas é que executamos os cálculos e desenhos, definindo assim o melhor projeto para o terreno. Depois disso, é realizada a locação, ou melhor, a marcação dos dados calculados no projeto. Lembre-se, portanto, que no levantamento medimos e na locação, marcamos. O objetivo da locação, portanto, é implantar o que está no papel no terreno. Saiba que temos várias técnicas para a locação de obra. As mais tradicionais são as que empregam ângulos e distâncias (Sistema Polar), coordenadas (x, y e/ou z) e interseção. Para efetuar a locação, podemos utilizar:
• sistema de coordenadas retangulares (cartesianas): melhores para locar alinhamentos; • sistema de coordenadas polares (direção e distância): para locar pontos. O engenheiro civil pode realizar a operação de locação ou contratar um profissional habilitado para realizar tal procedimento. Ele também não deve se esquecer de verificar se o responsável pela construção (construtor, mestre de obra ou encarregado) está apto a realizar a tarefa, para isso, ele deve fiscalizar a obra durante todas as etapas da execução. Entenda que qualquer eventual falha que venha surgir na obra é de responsabilidade do engenheiro ou arquiteto responsável.
Caso Valério é o engenheiro de obra responsável pela locação de uma obra de residência em um terreno. Ele recebeu o projeto do engenheiro calculista Francisco, que é responsável pelos cálculos estruturais (as dimensões de vigas, pilares e demais elementos estruturais). Para a locação da obra, Francisco entregou para Valério a planta de locação do gabarito no sistema de coordenadas retangulares; a planta de amarração dos eixos aos demais elementos estruturais (estacas, tubulões, blocos, pilares e vigas baldrames); e as cotas de arrasamentos das sapatas, estacas ou tubulões. Com os documentos em mãos, Valério pode começar a locação da obra, pois o projeto tem todas as medidas e informações necessárias para a materialização da casa no local escolhido.
75
Topografia
4.2.2 Métodos de Locação de Obra Conforme mencionamos anteriormente, temos várias técnicas para a locação de obra. As mais tradicionais são as que empregam ângulos e distâncias (Sistema Polar), coordenadas (x, y e/ou z) e interseção. Confira a seguir a explicação para cada uma delas! 1. Sistema Polar
Utilizamos este método quando precisamos locar um ponto na área. Para isso, precisamos primeiro conhecer um ponto de origem, uma direção de referência e os ângulos e as distâncias em relação à linha de referência para os demais pontos. Observe esse raciocínio na figura 3.
P A ângulo distância B Figura 3 – Locação. Fonte: Borges, 2008.
A direção de referência pode ser obtida a partir do conhecimento das coordenadas de dois pontos ou de determinado alinhamento. Na prática, costuma-se elaborar uma caderneta de locação, para ser utilizada em campo, na qual constam a indicação da estação e direção de referência, o código ou nome dos pontos a serem locados, além de ângulos e distâncias. Podemos locar um ponto P a partir de um ponto conhecido B. Para isso, precisamos da direção de referência, que é definida pelos pontos A e B. Dessa forma, conhecemos as coordenadas X (N) e Y (E) dos três pontos. Confira na figura 4.
76 Laureate- International Universities
B
ABP
ABP
P
AAB distância
A Figura 4 – Locação do ponto P. Fonte: Borges, 2008.
AAB: Azimute da direção AB; ABP: Azimute da direção BP; dBP: Distância horizontal entre os pontos B e P; αABP: Ângulo horizontal ABP. Para achar a distância do ponto a ser locado (P), utilizamos a fórmula:
Em seguida, para determinar a direção (ângulo) do ponto, calculamos o ângulo ABP a partir dos azimutes das direções AB e BP. AABP = ABP – AAB + 180º
Ressaltamos que, atualmente, os projetos estão sendo cada vez mais utilizados em meio digital, isto é, desenhados em CAD, pois através desse recurso obtemos todos os ângulos e as distâncias diretamente no editor gráfico. 2. Coordenadas
O uso das Estações Totais (equipamento que faz medições de ângulos verticais, horizontais e distâncias lineares) permite que a locação de pontos em um campo seja feita diretamente empregando-se as coordenadas, sem necessidade de realizarmos cálculos intermediários de distância e direção. 3. Interseção
77
Topografia
Através da interseção, podemos locar o ponto a partir de outros dois pontos conhecidos. Pode-se empregar somente observações angulares ou lineares. Como é um processo mais complexo, ele é pouco empregado atualmente, já que os usos de Estações Totais são mais simples.
4.2.3 Estaqueamento O estaqueamento dá-se através da colocação de estacas no chão. Serve para materializar os pontos ao longo do alinhamento no terreno, sendo a distância entre os pontos constante (a colocação das estacas), utilizamos também para a marcação de nível. A nomenclatura das estacas segue a ordem na qual a primeira estaca recebe o número 0 e as demais são numeradas sequencialmente. Assim, para um estaqueamento realizado com espaçamento de 10 m, a estaca de número 15 estaria a 150 m da estaca inicial, 15 x 10 m (figura 5).
Estaca 2 10 m
Estaca 4
10 m
10 m
Estaca 3
Estaca 1
10 m
Estaca 5
Figura 5 – Estaqueamento. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Uma típica utilização do estaqueamento ao longo de um alinhamento é a locação do eixo de uma rodovia, na qual as estacas são posicionadas usualmente de 20/20 m, podendo também ser utilizada a distância de 10/10 m, ou 50/50 m ou de 100/100 m. Temos, também, situações em que precisamos colocar uma estaca intermediária a uma distância menor que a definida no estaqueamento, quando precisamos marcar na estrada principal a saída para outra estrada secundária, por exemplo, ou ainda marcar um detalhe importante da estrada. Essa estaca será indicada com o número da estaca anterior mais a distância correspondente entre elas. Por exemplo, assumindo um estaqueamento realizado de 20/20 m, a estaca 5 + 8,43 estaria a 108,43 m da estaca inicial (20 m vezes 5 mais 8,43 m). Veja a figura 6.
20 m
Estaca 4 20 m
8,43 m
Estaca 5 78 Laureate- International Universities
Estaca 6
Figura 6 – Estaqueamento com ponto intermediário. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
4.2.4 Métodos tradicionais de Locação de Obra Podemos realizar também o estaqueamento sem a utilização de equipamentos topográficos, o que é relativamente comum no dia a dia. Podemos utilizar dois métodos, o de contorno ou o de cavaletes. a) Método do contorno Aqui utilizamos tábuas (ou tabelas) para realizarmos a locação da obra. Para locar a obra, cercamos ela com pontaletes (uma peça de madeira, formada por quatro lados iguais e muito utilizada na construção civil) ou escoras cravados no solo. Nos pontaletes, são pregadas as ripas ou os sarrafos. Nos cantos desse cercado, um ângulo de 90º (ângulo reto) deve ser formado. Sobre os sarrafos, os pregos serão os pontos que definirão os alinhamentos (figura 6). A partir desses pregos são estacadas linhas, e o ponto a ser locado se dará no cruzamento delas (figura 7). Nesse ponto de cruzamento, será puxado um fio de prumo e o ponto será marcado no solo.
Figura 7 – Estaqueamento por contorno. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
Os sarrafos ou as ripas devem também estar nivelados, mas quando não for possível deixar todo o cercado no mesmo nível, são empregados degraus sucessivos (figura 8).
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Topografia
Figura 8 – Estaqueamento com degraus sucessivos. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
b) Método dos cavaletes Este método é uma simplificação do método de contorno, pois não se cerca toda área e apenas são montados cavaletes necessários para a materialização dos alinhamentos. Aqui devemos tomar cuidado com danos que podem vir a acontecer com os cavaletes enquanto estiverem marcando a posição (figura 9).
Figura 9 – Estaqueamento por cavalete. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
A vantagem desta técnica é que ela utiliza menos quantidade de material (estacas e tábuas). Já a desvantagem ocorre pela dificuldade de se perceber deslocamentos provocados pela circulação de equipamentos e operários, o que resulta em alinhamentos e locações fora do previsto.
NÃO DEIXE DE LER... O artigo Definição do sistema de referência para a locação de edificações prediais – área experimental: Bairro da Madalena, Recife – PE tem como objetivo apresentar a metodologia empregada para a definição de Sistema de Referência para a locação de edificações prediais com o emprego de receptores GNSS de dupla frequência e estação total. Disponível em: <http://www.lsie.unb.br/rbc/index.php/rbc/article/ view/1112/802>.
4.3 Cálculo de Áreas e Volumes Os cálculos de áreas e volumes são muito utilizados na Engenharia Civil, pois permitem planejar e realizar vários trabalhos relacionados com o levantamento, a implantação e o monitoramento do terreno. Veremos, neste tópico, como podemos realizar esses cálculos.
4.3.1 Calculo de Áreas Calcular a área na Engenharia Civil é importante, pois sua aplicabilidade em projetos como levantamentos cadastrais para avaliação de compra e venda de terrenos, desapropriação, levanta-
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mentos de impostos, partilha, escrituras é ampla. Outra questão é que, para qualquer projeto a ser desenvolvido, precisamos conhecer a forma, as dimensões, o relevo e também a área do terreno. Como já sabemos que cada terreno tem sua particularidade, e nem todos possuem forma regular, iremos ver duas situações, para terreno com área regular e irregular. 1. Terrenos de forma geométrica simples
Para calcularmos a área desses terrenos, utilizamos fórmulas de figuras já conhecidas da geometria. Confira na figura 10.
Quadrado
Retângulo
Triângulo
a
a
a
h
b
S = a2
b
S=a*b
S=
Trapézio
Triângulo Retângulo
b*h 2
Círculo
a
r
h
h b S=
b
b+h 2
S=
(a+b) 2 *h
S = π r2
Figura 10 – Cálculo de área através de figuras geométricas. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
2. Terrenos de forma irregulares
Para realizarmos os cálculos de área em terrenos não regulares, ou seja, aqueles que apresentam curvas, utilizamos a fórmula de Simpson. Fórmula de Simpson → S =
1 3
* D * (E + 2I + 4P)
Em que: D – Distância entre as ordenadas
81
Topografia
E – Somatório das ordenadas externas I – Somatório das ordenadas ímpares externas P – Somatório das ordenadas pares Confira as orientações para obtenção dos valores para o preenchimento da fórmula de Simpson: Passo 1 → Traçar uma reta base da figura do terreno, a partir da qual serão traçadas as ordenadas de forma perpendicular. Passo 2 → Numerar as ordenadas, a partir de 1 (a primeira deve ser Y1). As áreas formadas entre as ordenadas devem ter proporções homogêneas (similares) e deve haver sempre um número par de divisões. Não deixe que a distância entre as ordenadas fique com mais de 1 cm, isso nas escalas de até 1:100, pois para escalas maiores a distância não deve passar de 0,5 cm. Passo 3 → Sinalizar a distância entre as ordenadas (D). Passo 4 → Para achar E, você precisa fazer o somatório do comprimento das ordenadas extremas (vermelho), Y1+Y11. Passo 5 → As regiões em destaque (vermelhas), indicam que deve ser somado o comprimento das ordenadas ímpares internas (I), Y3+Y5+Y7+Y9. Passo 6 → Para finalizar, some o comprimento das ordenadas pares (P), Y2+Y4+Y6+Y8+Y10. Confira os procedimentos na figura 11.
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6
y1
y3
y2
y4
y5 y
14 15 16 17 18 10 11 12 13y y y y y y19 20 21 y y 22 8 y9 y y y y
y7 y
y
Reta base
23
y
Y1
3 4 5 6 Y2 Y Y Y Y Y7 8 Y Y9 10 11 Y Y Reta base
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ordenadas
1
2
Ordenadas
5
6 2 3 4 Y Y Y Y Y
1
Y Comprimento da ordenada
8
Y
2
Y
Y
1 2 d
d
Y
9
Y Y10 Y11
5
4
3
Y
Y
Y
3 4 d
d
6
Y
7
Y
5 6 d
d
8
Y
4
Y
7 8 d
d
10
2
Y
Y
11
d
Y
5
Y
6
Y
7
Y
d
d 4
3
Y
Y
d 5
Y
d
8
Y
6
Y
d 7
Y
Y
9 10 d
d Y
1
9
4
3
Y
9
Y Y10 Y11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d d d d d d d d d 1
5
Y
2
Y
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y1
3
7
d 8
Y
d
9
Y Y10 Y11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
d
d
d
d
d
d
d
d
d
Figura 11– Procedimentos para utilização da fórmula de Simpson. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
VOCÊ O CONHECE? Thomas Simpson (1710-1961) foi um matemático inglês, responsável pela fórmula de Simpson, também conhecida como regra de Simpson. Essa fórmula é a que utilizamos em Topografia para calcular área de terrenos irregulares.
4.3.2 Cálculo de Volumes Outro cálculo muito utilizado é o cálculo de volume para corte e aterro. Ele serve para verificar a quantidade de solo que será removida, retirada (corte) ou colocada (aterro) no terreno, operação conhecida como terraplanagem. Terrenos que não se encontram nivelados precisam ser corrigidos, certo? Para isso, verificamos a necessidade de aterro ou corte. Primeiramente, temos de efetuar uma malha quadricular marcando os pontos onde deverão ser aferidas as leituras no altímetro (cota). Orienta-se instalar o equipamento de leitura (por exemplo, o teodolito) de forma que em uma única estadia você consiga ler todos os pontos da malha, pois isto agilizará seu trabalho e o preenchimento da planilha com os dados.
83
Topografia
Para a determinação da malha no terreno, o primeiro passo é quadricular o terreno. Imaginemos um terreno nas dimensões de 120,0 m por 80,0 m (área → S = 120,0*80,0 = 9.600 m²), vamos traçar quadrados de 40,0 m x 40,0 m (área → S = 40,0*40,0 = 1.600 m²). Como precisaremos realizar terraplanagem no terreno, ou melhor, realizar procedimentos que envolvem a movimentação do solo para adequação do terreno, de acordo com o projeto podemos ter duas possibilidades: realizar o nivelamento ou deixar o terreno com uma cota estipulada no projeto (curva de nível), assim precisamos determinar a altura média do terreno. Para determinar essa medida, temos dois métodos: o Método dos Volumes ou Método dos Pesos. a) Método do volume para determinar a altura média do terreno. Primeiramente, temos de calcular o volume da porção do terreno: V = Áreaterreno * alturamédia
hm =
V At
;
Se V = At * hm, sei que a At = 9.600 m²
Substituindo a área, temos que hm =
V 9.600
. Agora, precisamos calcular o volume para depois
substituir nesta fórmula e achar a altura média em que o terreno precisa estar (nivelado). Para calcular o volume, iniciaremos calculando as áreas das seções da porção do terreno, pois volume nada mais é do que área vezes altura. A fórmula para calcular a área das seções:
Para o terreno ficar nivelado, foi estipula, de acordo com as cotas do terreno, uma cota de 50,0 m (optou-se por um valor inteiro para facilitar o cálculo). Subtraímos 50,0 m de todas as cotas do terreno (verifique na figura 11 os valores), e então calculamos a área das seções das porções do terreno para depois calcular o volume. S1 =
S2 =
40
[8,5 + 10,6 + 2*(9,2+10,1)] → S1 = 1.154 m²
2 40
S1 =
2
[9,2 + 8,3 + 2*(10,5+9,4)] → S1 = 1.146 m²
40 2
[9,7 + 5,2 + 2*(7,2+6,6)] → S1 = 850 m²
84 Laureate- International Universities
Com as áreas já conhecidas, vamos partir para calcular o volume de solo envolvido! Aqui iremos calcular os volumes das seções (1, 2 e 3), para isso iremos utilizar a média dos volumes, da relação 1 e 2 e depois 2 e 3. E, para concluir, temos o volume final depois de somar as duas médias de volumes. V1 =
V2 =
V 1→2+V 2→1 2
=
V 2→3+V 3→2 2
S1*h+S2*h 2
=
=
S2*h+S3*h 2
S1*40+S2*40
=
2
=
S2*40+S3*40 2
1.154*40+1.146*40
=
2 1.146*40+850*40 2
= 46.000 m3
= 39.920 m3
V = V1 + V2 = 46.000 + 39.920 = 85.920 m³
Sabendo o valor do volume do terreno, substituímos na fórmula → hm =
V 9.600
=
85.920 9.600
=
8,95 m (altura). Confira na figura 12.
Figura 12 – Esquema I para cálculo de aterro e corte. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
O valor real da altura não é 8,95 m, lembre-se que foi tirado 50,0 m de todas as cotas, portanto agora devemos devolver os 50,0 m. Assim: Cota hm (altura média) = 8,95 + 50,0 = 58,95 m
85
Topografia
b) Método do peso para determinar a altura média do terreno. Neste método, iremos calcular a média ponderada das altitudes (cotas), portanto teremos pesos diferentes para as cotas, ou seja, peso 1 as cotas exclusivas de uma quadrícula (cotas exclusivas de um quadrante, perceba que são somente as cotas das extremidades: 58,5; 60,6; 55,2 e 59,7), peso 2 as cotas comuns a duas quadrículas (59,2; 60,1; 59,2; 58,3; 57,2; 56,6) e peso 4 para as cotas comuns a quatro quadrículas (60,5 e 59,4). hm =
hm =
∑cotas ponderadas ∑quantidade de valores
[(58,5+60,6+55,2+59,7)*1]+[(59,2+60,1+59,2+58,3+57,2+56,6)*2]+[(60,5+59,4)*4] (4*1)+(6*2)+(2*4)
hm =
234+701,2+479,6 4+12+8
→
hm =
1.414,8 24
= 58,95 m
Cota hm (altura média) = 58,95 m Verifique que, por ambos os métodos, obtivemos o mesmo valor, o que confirma a possibilidade de utilização de qualquer método para achar a altura média do terreno. Após termos o valor da altura média que o terreno deve ter, verificamos a seção em que será necessário o corte e/ou aterro para atingir a altura desejada. Para procedimentos que envolvem movimentação de solo para adequação do terreno, para nivelá-lo ou deixá-lo na cota projetada, é necessário quantificar os volumes que serão necessários de aterro e corte. Essa atividade na construção civil é onerosa, ou melhor, tem custo alto, por requerer a utilização de veículos pesados e combustível. Iremos calcular as áreas para depois obter os volumes das seções referentes ao corte e ao aterro da porção do terreno, para cota de 58,95 m. Confira na figura 13.
Figura 13 – Esquema II para cálculo de aterro e corte. Fonte: Elaborada pelo autor, 2015.
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Na figura 12, observe que na S1 e S2 a maior parte é de corte, pois ultrapassa 58,95 m, enquanto que S3 a maior parte é de aterro, pois a cota não atinge 58,95 m. Na S1, note que dos três quadrículos apenas um tem corte e aterro ao mesmo tempo, portanto precisamos determinar qual a área relativa ao aterro e ao corte. Os outros quadrículos da seção são mais fáceis de calcular, pois implicam apenas corte. Ainda na figura 12, observe que no primeiro quadrículo temos de determinar d1 e d2, que são referentes ao aterro e corte, respectivamente. A figura geométrica formada ali é a junção de dois triângulos, o triângulo do aterro e do corte, certo? Para determinar d1 e d2, que serão as alturas do triângulo, iremos utilizar o método de interpolação: d1 =
(0,45*40) (0,45+0,25)
= 25,71 m
Sabemos que a distância total é 40 m, e que d1 é 25,71, então: d2 = 40 – 25,71 = 14,29 m Agora que temos todas as alturas e os lados das figuras que representam as áreas de aterro e corte, podemos calcular tais valores. Acompanhe! Aterro corresponde a um triângulo, com h = 14,29 m e b = 0,45 m:
S1 aterro = área do triângulo =
(0,45*25,71) 2
= 5,78 m2
Corte corresponde a um triângulo no primeiro quadrículo e dois trapézios no segundo e terceiro
quadriculo, então: S1 corte = área triangulo + área do trapézio + área do trapézio S1 =
(0,25*14,29) 2
+
(0,25+1,15)*40 2
+
(1,15+1,65)*40 2
= 85,79 m2
No mesmo raciocínio, calculamos para S2 e S3: d1 =
(0,45*40)
= 16,36 m
(0,45+0,65)
d2 = 40 – 16,36 = 23,64 m S2 aterro =
S2 corte =
d1 =
(0,65*23,64) 2
= 7,68 m2
(0,25+1,55)*40
(0,75*40) (0,75+1,75)
2
+
(1,55+0,45)*40 2
+
(0,45*16,36) 2
= 79,68 m2
= 12,00 m
d2 = 40 – 12,00 = 28,00 m 87
Topografia
(28,00*1,75)
S3 aterro =
S3 corte =
2 (0,75*12,00) 2
+
(1,75+2,35)*40 2
+
(2,35+3,75)*40 2
= 228,50 m2
= 4,50 m2
Na sequência, calcula-se o volume necessário de aterro e corte entre as seções. Observe que cada quadrículo tem a interação de duas seções, por isso iremos fazer a média de área para depois calcular o volume.
Aterro
S1 aterro = 5,78 m² S2 aterro = 7,68 m² S3 aterro = 228,50 m²
S12 aterro = (S1+S2)/2 = (5,78 + 7,68) / 2 = 6,73 m² S23 aterro = (S2+S3)/2 = (7,68+228,50) / 2 = 118,09 m² V12 aterro = 6,73 * 40 = 269,2 m² V23 aterro = 118,09 * 40 = 4.723,6 m³ V total aterro = 269,2+4.723,6 = 4.992,8 m³
Corte
S1 corte = 85,79 m² S2 corte = 79,68 m² S3 corte = 4,50 m²
S12 corte = (85,79 + 79,68) / 2 = 82,73m² S23 corte = (79,68 + 4,50) / 2 = 42,09 m² V12 corte = 82,73 * 40 = 3.309,2 m² V23 corte = 42,09 * 40 = 1.683,6 m³ V total corte = 3.309,2 +1.683,6= 4.992,8 m³
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Assim, podemos calcular que o volume do aterro é igual ao de corte. Agora, se a cota final nesse terreno precisasse ser de 56,00 m (altitude), sobraria ou faltaria solo no terreno? Sobraria, já que a altura que precisamos é de 56,00 m e no terreno teríamos uma altura média de 58,95 m. Sabemos também que o volume que sobrará será de V = 80*120*(58,95-56,00), 28.320 m³ de solo.
NÃO DEIXE DE LER... O artigo intitulado de Cálculo do volume de corte e aterro usando modelagem numérica de terreno foi apresentado no VIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Salvador/BA – Brasil, 1996, e o ajudará a aprofundar seus conhecimentos a respeito dos conceitos abordados por este capítulo. Disponível em: <http://marte.sid.inpe.br/ col/sid.inpe.br/deise/1999/02.04.16.36/doc/T217.pdf>.
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Síntese Síntese
Neste capítulo, você pôde aprender sobre os cuidados com o desenho topográfico, sobre as normas para sua elaboração, bem como sua importância para a Engenharia Civil.
• Entendemos a importância do desenho topográfico. • Conhecemos quais são as configurações, a folha utilizada, as representações, as escalas que devem ser utilizados no desenho topográfico.
• Vimos também a nomenclatura utilizada dessas projeções. • Aprendemos a diferença entre uma planta, carta ou mapa, de acordo com a escala. • Vimos como são locadas as obras no terreno, bem como a importância de sua execução. •
Aprendemos também os métodos utilizados para locar uma obra, o de contorno e de cavalete.
• Aprendemos como são realizados os cálculos de área e volume para determinar aterro e corte.
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Referências
Bibliográficas
BORGES, A. C. Topografia aplicada à engenharia civil. São Paulo: Edgard Blucher Ltda., 2008. v. 2. COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. Viçosa: UFV, 2003. SPARTEL, L. Curso de topografia. Porto Alegre: Globo, 1982. CORRÊA, I. C. S. Topografia aplicada à engenharia civil. 9. ed. Rev. e Amp. Porto Alegre: UFRGS; Instituto de Geociências; Departamento de Geodésia, 2012. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13.133: execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. ______. NBR 10.068: folha de desenho - leiaute e dimensões. Rio de Janeiro, 1987. ______. NBR 10.582: conteúdo da folha para desenho técnico. Rio de Janeiro, 1988. VEIGA et al. Apostila de topografia. Porto Alegre: UFRGS. 2012. ______. Fundamentos da topografia. Paraná: UFPR, 2012.
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Minicurrículo do autor Fabrício Simone Zera. Graduado em Engenharia Agronômica pela Universidade Federal de
Viçosa - UFV (2003), com Especialização em Agroindústria Canavieira pela Faculdade Dr. Francisco Meda – FAFRAM (2008) e Mestrado em Agricultura Tropical e Subtropical pelo Instituto Agronômicos – IAC (2010), com Curso de Capacitação em Cadastro Ambiental Rural – CapCAR (2015). Experiência nas empresas Usina Batatais, CampTec, Bunge Alimentos, Topografia Total e Unicampo. Experiência como docente na área de Gestão em Agronegócio, Gestão Ambiental e Estatística e Probabilidade na Associação Faculdade de Ribeirão Preto – AFARP do grupo UNIESP/SP e em Vistorias e Inspeções na empresa Seiva Ambiental. Experiência como conteudista na elaboração de materiais didáticos na área de Topografia para empresa FabriCO.
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