Probabilidad
casos favorables P A= nº casos posibles
Combinatoria
Combinaciones Variaciones Permutaciones
Factorial de un n煤mero: n!
4! = 4 路 3 路 2 路 1 = 24
Combinaciones
Número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los “n” elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden. Ejercicio 1: ¿Combinaciones de 2 elementos con los números 1, 2 y 3?
Ejemplo de combinaciones
Combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3. Se pueden formar 3 parejas distintas: (1,2), (1,3) y (2,3) En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. Ejercicio 2: ¿Combinaciones de 10 elementos en subgrupos de 4 elementos?
Combinaciones: fórmula
m! C m , n= n ! ·m−n !
Combinaciones: fórmula
10 ! C 10,4 = 4 ! ·10−4! C 10,4 =210
Variaciones
Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden establecer con los “n” elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (lo que lo diferencia de las combinaciones). Ejercicio 1: variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los números 1 ,2 y 3.
Ejemplo de variaciones
Calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los números 1, 2 y 3. Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), y (3,2) Ejercicio 2: variaciones 10 elementos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) en subgrupos de 4 elementos.
m! V m , n= m−n!
10 ! V 10,4 = 10−4! V 10,4 =5040
Permutaciones
Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo. Lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos. Ejemplo 1: calcular las formas en que se pueden ordenar los números 1, 2 y 3.
Ejercicio de permutaciones
Calcular las posibles formas en que se pueden ordena los números 1, 2 y 3. Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1) Ejemplo 2: calcular las formas en que se pueden ordenar 10 elementos.
Permutaciones: f贸rmula
Pm =m !
P10=10 !=3628800
Ejercicio A: Fila de butacas
¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas en una fila de butacas? ¿Hay subgrupos o se agrupan todos los elementos? ¿Importa el orden? ¿Combinación (C), Variación (V) o Permutación (P)?
Ejercicio A: Fila de butacas
¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas en una fila de butacas?
P =m ! m
P8 =8 !=40320
Ejercicio B: Arco Iris
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de 3 en 3? ¿Importa el orden? ¿3 colores en distinto orden son la misma mezcla? ¿C, V o P?
Ejercicio B: Arco Iris
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de 3 en 3?
m! C m , n= n ! · m−n !
7! C 7,3 = =35 3 ! · 7−3!
Ejercicio C: números
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? ¿se agrupan todos los elementos del grupo? ¿importa el orden? C, V o P
Ejercicio C: números
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5?
P 5 =5 !=120
5! V 5,5 = =120 5−5! Nota : 0 !=1
Ejercicio D: comités
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? ¿miembros de un comité en distinto orden es el mismo comité? ¿C, V o P?
Ejercicio D: comités
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
35 ! C 35,3 = =6545 3 ! · 35−3!
Ejercicio E: bodega
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se puede elegir una selección de cuatro botellas diferentes para una cena?
¿Importa el orden?
C, V o P
Ejercicio E: bodega
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas para una cena?
5! C 5,4 = =5 4 ! · 5−4 !
Ejercicio F: Morse
Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones? Dos elementos (punto, raya) en subgrupos de n. ¿Hay repetición...?
Combinaciones con repetición
Ahora suponemos que al formar los subgrupos, los elementos pueden repetirse. repetirse Por ejemplo:
Tenemos bolas de 6 colores diferentes: Az, Ve, Am, Ro, Bl, Ne Queremos formar subgrupos. Por ejemplo, de 4 elementos: Am, Ro, Bl, Ne. Pero también puede darse el caso de que todas las bolas sean del mismo color: Am, Am, Am, Am La fórmula que hemos estudiado para calcular las combinaciones ya no sirve...
Combinaciones con repetición
Para considerar el caso con repetición se utiliza una nueva fórmula:
m elementos
subgrupos de n elementos
(m+n−1)! C ' m , n= n !·(m−1)!
Variaciones con repetición
Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:
m elementos en subgrupos de n elementos
V ' m, n =m
n
Permutaciones con repetición
Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:
P'
x 1, x 2, ... , x k m
m! = x 1 ! · x 2 ! · ... · x k !
Permutaciones de m elementos en los que uno de ellos se repite x1 veces, otro “x2” veces, etc. Mejor un ejemplo...
Permutaciones con repetición 
Ejemplo: calcula las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite 2 veces y otro se repite en 3 ocasiones:
10! P' = =302400 2!¡3! 2,3 10
Ejercicios de combinatoria
Ejercio A: El banco
¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
Ejercicio B: Los 3 premios
En una clase de 10 alumnos van a entregarse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si:
Los premios son diferentes.
Los premios son iguales.
Ejercicio C: Cuadrado y hexágono
Obtener el número de diagonales del cuadrado y el hexágono.
Ejercicio D: Hombre y mujeres
Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
Ejercicio E: Cifras
¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1,2, ..., 9.
Permitiendo repeticiones.
Sin repeticiones.
Si el último dígito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones.
Ejercicio F: Cumpleaños
En un grupo de 10 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al año?
Ejercicio G: Código Morse
¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?
Ejercicio H: Liga de baloncesto
En una liga de baloncesto juegan 20 equipos, todos contra todos dos veces (ida y vuelta). ¿Cuántos partidos se habrán jugado al final de la misma?
Ejercicio I: Club de baloncesto
Un club de baloncesto dispone de 10 jugadores de los cuales juegan 5 a la vez. ¿Cuántos equipos distintos de 5 jugadores puede sacar el entrenador para cada partido?
Ejercicio J: Parejas de baile
Siete chicos e igual número de chicas quieren formar pareja para el baile. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?
Ejercicio K: Números de 3 cifras
Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ¿cuántos números de 3 cifras se pueden hacer?
Ejercicio L: Elementos
Suponiendo que existieran 100 elementos distintos en la naturaleza y que cada sustancia estuviese formada por 3 exclusivamente. ¿Cuántas sustancias distintas tendríamos?