Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
Ampliación de Matemáticas / 3º ESO
PROBLEMAS DE EXAMEN
Parámetros de dispersión
Calcula la desviación media de las siguientes series de números:
1
2
A: 1, 3, 7, 5, 8, 9, 2 B: 3, 1, 4, 7, 9, 9, 2
Un grupo de investigadores realiza un estudio sobre el número de horas que los estudiantes de 3º de ESO dedican al día a participar en las redes sociales. En las encuestas a 60 alumnos, se obtienen los siguientes resultados: • 3 alumnos dedican menos de 15 minutos. • 5 alumnos dedican entre un cuarto de hora y media hora. • 12 alumnos dedican entre media hora y 45 minutos. • 9 alumnos dedican entre tres cuartos de hora y 1 hora. • 23 alumnos dedican entre 1 hora y 75 minutos. • 8 alumnos dedican entre 75 minutos y 1 hora y media. Calcula la media de minutos que dedican los alumnos a conectarse a redes sociales. Calcula también la desviación media de los datos.
3
La gráfica muestra la distribución de las notas de los alumnos de dos clases A y B. Calcula la media aritmética de las dos distribuciones. ¿La media calculada puede servir como indicador para comparar las dos distribuciones de datos? Razona la respuesta. ¿Qué otros parámetros podemos calcular para comparar las notas de las dos clases? 7
6
5
4 Grupo A Grupo B
3
2
1
0 0-1
CC BY-NC-SA
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
pág. 1 de 8
6-7
7-8
8-9
9-10
Enrique Benimeli 2011
Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
4
Se desea estudiar la estatura de los alumnos de una clase de 3º de ESO. Para ello se hace una medición de cada uno de ellos que quedan reflejados en una tabla. Calcula la media aritmética y la desviación típica. Tabla de estaturas
154
161
159
175
151
163
160
154
158
168
152
153
163
168
150
167
154
150
179
171
156
155
159
162
163
160
157
160
158
169
Tabla 1. Altura de 30 alumnos de 3º de ESO.
La Tabla 2 muestra el número de turistas internacionales llegados a España durante el año 2008. Calcula la media de turistas llegados ese año así como la desviación típica.
Llegada de turistas internacionales (en miles)
5
meses
Turistas (miles)
enero
2945
febrero
3153
marzo
4208
abril
4314
mayo
5610
junio
5680
julio
7055
agosto
7105
septiembre
5606
octubre
4910
noviembre
2950
diciembre
2864
Tabla 2. Llegada de turistas internacionales (en miles)
CC BY-NC-SA
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Enrique Benimeli 2011
Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
Ampliación de Matemáticas / 3º ESO
SOLUCIONES
Parámetros de dispersión
Calcula la desviación media de las siguientes series de números:
1
A: 1, 3, 7, 5, 8, 9, 2 B: 3, 1, 4, 7, 9, 9, 2
Este es un problema de cálculo de media, desviaciones y desviación media de datos no agrupados. Puesto que los datos no están agrupados, para el cálculo de la desviación media podemos utilizar la siguiente fórmula:
d m=
∑ ∣xi− x∣ N
por lo que, en primer lugar, necesitamos calcular la media en ambos casos. De igual modo, al no estar los datos agrupados, sencillamente los sumamos y dividimos entre la cantidad de números (7).
xA=
∑ xi = 1375892 =5 N
7
xB =
∑ xi = 3147992 =5 N
7
Con la media calculada en ambos casos (que además coincide), ya podemos calcular cada una de las desviaciones d i , como muestra la tabla. A
d i =x i −x
∣x i − x∣
B
d i =x i − x
∣x i − x∣
1
-4
4
3
-2
2
3
-2
2
1
-4
4
7
2
2
4
-1
1
5
0
0
7
2
2
8
3
3
9
4
4
9
4
4
9
4
4
2
-3
3
2
-3
3
18
20
Finalmente, con los datos de la tabla, ya podemos calcular la desviación media para A y B:
d m A=
CC BY-NC-SA
∑ ∣x i −x∣= 18 =3,6 N
5
d m B=
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∑ ∣xi − x∣= 20 =4 N
5
Enrique Benimeli 2011
Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
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Un grupo de investigadores realiza un estudio sobre el número de horas que los estudiantes de 3º de ESO dedican al día a participar en las redes sociales. En las encuestas a 60 alumnos, se obtienen los siguientes resultados: • 3 alumnos dedican menos de 15 minutos. • 5 alumnos dedican entre un cuarto de hora y media hora. • 12 alumnos dedican entre media hora y 45 minutos. • 9 alumnos dedican entre tres cuartos de hora y 1 hora. • 23 alumnos dedican entre 1 hora y 75 minutos. • 8 alumnos dedican entre 75 minutos y 1 hora y media. Calcula la media de minutos que dedican los alumnos a conectarse a redes sociales. Calcula también la desviación media de los datos.
Este es un problema de cálculo de media aritmética y desviación media de datos agrupados.
Tabla de frecuencias
El primer paso es convertir los datos a un formato de tabla, donde podamos organizar mejor el número de alumnos en cada uno de los intervalos de tiempo, según el tiempo que dedican. Intervalos
xi
ni
xi · ni
∣x i − x∣· ni
0 → 15 min.
7,5
3
22,5
141
15→ 30 min.
22,5
5
112,5
160
30 → 45 min.
37,5
12
450
204
45 → 60 min.
52,5
9
472,5
18
60 → 75 min.
67,5
23
1552,5
299
75 → 90 min.
82,5
8
660
224
60
3270
1046
Para el cálculo de la media, puesto que los datos están agrupados, utilizamos la fórmula:
x =
∑ xi · ni = 3270 =54,5 N
60
Es decir, los alumnos de 3º de la ESO encuestados, dedican una media de 54 minutos y medio diarios a conectarse a las redes sociales. Finalmente, para calcular la desviación media, bastaría con aplicar la fórmula:
d m=
CC BY-NC-SA
∑ ∣xi − x∣· ni = 1046 =17,43 N
60
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Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
La gráfica muestra la distribución de las notas de los alumnos de dos clases A y B.
3
Calcula la media aritmética de las dos distribuciones. ¿La media calculada puede servir como indicador para comparar las dos distribuciones de datos? Razona la respuesta. ¿Qué otros parámetros podemos calcular para comparar las notas de las dos clases? 7
6
5
4 Grupo A Grupo B
3
2
1
0 0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
El problema es un ejemplo de cálculo de media aritmética y desviación típica de una serie de datos agrupados y representados en una gráfica. Para comparar las dos distribuciones de datos, calculamos la media aritmética y desviación típica en cada caso por separado. Para ello construimos la siguiente tabla de frecuencias. Grupo A
Grupo B
xi
ni
xi · ni
xi · ni
ni
xi · ni
xi 2 · ni
0→1
0,5
1
0,5
0,25
5
2,5
1,25
1→2
1,5
1
1,5
2,25
4
6
9
2→3
2,5
3
7,5
18,75
1
2,5
6,25
3→4
3,5
6
21
73,5
2
7
24,5
4→5
4,5
5
22,5
101,25
2
9
40,5
5→6
5,5
5
27,5
151,25
2
11
60,5
6→7
6,5
4
26
169
4
26
169
7→8
7,5
1
7,5
56,25
3
22,5
168,75
8→9
8,5
3
25,5
216,75
4
34
289
9 → 10
9,5
2
19
180,5
4
38
361
31
158,5
969,75
31
158,5
1129,75
Tabla de frecuencias
Intervalos
CC BY-NC-SA
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Enrique Benimeli 2011
Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
En primer lugar, a partir de la tabla, realizamos el cálculo de la media aritmética para A y B.
xA=
∑ xi · ni = 158,5 =5,11 N
31
xB =
∑ xi · ni = 158,5 =5,11 N
31
Podemos observar que las medias obtenidas son la misma y por tanto no pueden servir para comparar las distribuciones A y B. Para realizar algún tipo de comparación podemos calcular la desviación típica en ambos casos, para lo que en primer lugar necesitamos conocer la varianza.
VA
xi 2 · ni ∑ 969,75 2 2 = −x = −5,11 =5,14 N
31
VA
xi 2 · ni ∑ 1129,75 2 2 = −x = −5,11 =10,3 N
31
Finalmente, calculando la raíz de la varianza en ambos casos, obtenemos la desviación típica:
A= V A= 5,14=2,27
B = V B= 10,3=3,21
Tras calcular la desviación típica para las distribuciones A y B, podemos afirmar que existe mayor dispersión en los datos de la distribución B.
4
Se desea estudiar la estatura de los alumnos de una clase de 3º de ESO. Para ello se hace una medición de cada uno de ellos que quedan reflejados en una tabla. Calcula la media aritmética y la desviación típica.
El problema es un ejemplo de cálculo de media aritmética y desviación típica de una serie de datos agrupados. Tabla de estaturas 154
161
159
175
151
163
160
154
158
168
152
153
163
168
150
167
154
150
179
171
156
155
159
162
163
160
157
160
158
169
Tabla 1. Altura de 30 alumnos de 3º de ESO.
Tabla de frecuencias
En este problema conviene agrupar los datos en intervalos. El menor de los valores es 150 y el mayor 179, por lo tanto, una buena agrupación de los datos puede ser cada 5 cm, empezando en 150 cm y tomando 180 como último valor. La tabla de frecuencias quedaría de la siguiente forma: Intervalo
xi
ni
xi · ni
xi 2 · ni
150-155
152,5
8
1220
186050
155-160
157,5
7
1102,5
173643,75
160-165
162,5
8
1300
211250
165-170
167,5
4
670
112225
170-175
172,5
1
172,5
29756,25
175-180
177,5
2
355
63012,5
30
4820
775937,5
Tabla de frecuencias para el cálculo de media y desviación típica
CC BY-NC-SA
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Enrique Benimeli 2011
Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
Para el cálculo de la media aritmética, puesto que los datos están agrupados en intervalos, aplicamos la siguiente fórmula:
x =
∑ xi · ni = 4820 =160,67≈161 N
30
es decir, la estatura media de los alumnos de 3º de ESO es 161 cm (1,61 m). Para el calcula de la desviación típica, en primer lugar calculamos la varianza:
V=
∑ xi 2 · ni −x 2= 775937,5 −160,672 =49,73 N
30
Finalmente, para obtener la desviación típica, calculamos la raíz de la varianza:
= V = 49,73=7,05
5
La Tabla 2 muestra el número de turistas internacionales llegados a España durante el año 2008. Calcula la media de turistas llegados ese año así como la desviación típica.
Llegada de turistas internacionales (en miles)
El problema es un ejemplo de cálculo de media aritmética y desviación típica de una serie de datos no agrupados. meses
Turistas (miles)
enero
2945
febrero
3153
marzo
4208
abril
4314
mayo
5610
junio
5680
julio
7055
agosto
7105
septiembre
5606
octubre
4910
noviembre
2950
diciembre
2864
Tabla 2. Llegada de turistas internacionales (en miles)
Para el cálculo de la media aritmética, puesto que los datos son pocos y no están agrupados, simplemente aplicamos la siguiente fórmula:
x =
∑ xi N
es decir, sumamos todos los datos (2945, 3143, …, 2864) y dividimos por la cantidad de datos, 12 (doce meses).
x = CC BY-NC-SA
∑ xi = 29453143⋯2864 = 56400 =4700 N
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Estadística: parámetros de dispersión / Problemas de examen resueltos
Para el cálculo de la desviación típica (
), debemos calcular previamente la varianza ( V ), cuya fórmula es: xi 2 · ni ∑ 2 V= −x N
Sin embargo, al no estar los datos agrupados, la fórmula se simplifica y queda de la siguiente forma:
xi 2 ∑ 2 V= − x N
Llegada de turistas internacionales (en miles)
Para ello, construimos la siguiente tabla para facilitar el cálculo:
meses
Turistas (miles)
xi 2
enero
2945
8673025
febrero
3153
9941409
marzo
4208
17707264
abril
4314
18610596
mayo
5610
31472100
junio
5680
32262400
julio
7055
49773025
agosto
7105
50481025
septiembre
5606
31427236
octubre
4910
24108100
noviembre
2950
8702500
diciembre
2864
8202496
56400
291361176
Tabla 2
xi2 ∑ 291361176 2 2 V= − x = −4700 =2190098 N
12
= V = 2190098=1479,9
Recuerda: • Plantea los problemas de forma clara y ordenada. • Escribe las fórmulas que utilizas en cada ejercicio. • Expresa los resultados con 2 decimales. • Escribe nombre y apellidos en todas las hojas del examen y numera las páginas.
CC BY-NC-SA
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