ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ «ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΔΕΟ13
ΟΜΟΣ……
ΤΟΜΟΣ Α- «Επιχειρησιακά Μαθηματικά» ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 2018-2019
Σελίδα 1 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ Ένα σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων (τα οποία είναι μέλη ή στοιχεία του συνόλου) .Εμείς ενδιαφερόμαστε για τα σύνολα των αριθμών Έτσι αξιωματικά τους αριθμούς 0,1,2,3,4…. Τους έχουμε ονομάσει φυσικούς αριθμούς και το σύνολο τους, το συμβολίζουμε με Ν Η εισαγωγή της έννοιας του αντίθετου -αρνητικού δημιούργησε το σύνολο των ακεραίων αριθμών και το σύνολο τους το συμβολίζουμε με Ζ .Οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι άλλοι από τους αριθμούς….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…. Αναπόφευκτα γεννιέται - διαμορφώνεται και η διάταξη των αριθμών και το ερώτημα πότε «ενας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο», ή ενας αριθμός είναι «μικρότερος από έναν άλλο» Επομένως Σχηματίζοντας τη γραμμή των αριθμών -4 , -3 ,-2 ,-1,
,0 1, 2,
3,
4
Το -2 είναι ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ -3 ΤΟ -4 ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΤΟΥ -2 Περαιτέρω, η ανάγκη να χωρίσουμε τη μονάδα π.χ σε πέντε μέρη και να πάρουμε τα τρία, δημιούργησε τους ρητούς αριθμούς που δεν είναι άλλοι από τα κλάσματα. Ένα κλάσμα εχει την μορφή
4 5
ή
−3 2
οι αριθμοί 4,-3 ονομάζονται αριθμητές ενώ οι αριθμοί 5,2
ονομάζονται παρανομαστές.
Σελίδα 2 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Ένα κλάσμα εχει τη μορφή
𝛼 𝛽
τότε θα πρέπει να θυμόμαστε
𝜊𝜋𝜊𝜐 𝛼 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜂𝜏𝜂𝜍 𝜅𝛼𝜄 𝛽 𝜊 𝜋𝛼𝜌𝛼𝜈𝜊𝜇𝛼𝜎𝜏𝜂𝜍 𝛼 𝛽
1
=𝛼∗𝛽 𝛼 =1 𝛼
𝜀𝜈𝛼 𝜅𝜆𝛼𝜎𝜇𝛼 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊 𝜇𝜀 𝜏𝜂 𝜇𝜊𝜈𝛼𝛿𝛼 𝜊𝜏𝛼𝜈 𝜊𝜄 𝜊𝜌𝜊𝜄 𝜏𝜊𝜐 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊𝜄 𝜅𝛼𝜄 0 =0 𝛼 𝜀𝜈𝛼 𝜅𝜆𝛼𝜎𝜇𝛼 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊 𝜇𝜀 𝜏𝜊 0 𝜊𝜏𝛼𝜈 𝜊 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜂𝜏𝜂𝜍 𝜀𝜄𝜈𝛼𝜄 𝜄𝜎𝜊𝜍 𝜇𝜀 𝜏𝜊 0 𝛼 =𝛼 1 Κάθε αριθμός γράφεται ως κλάσμα με παρανομαστή τη μονάδα Οι αριθμοί που δεν εκφράζονται με κλάσματα ονομάζονται άρρητοι όπως ο αριθμός √𝟐 Όλοι μαζί οι αριθμοί ακέραιοι, κλάσματα ,ρίζες
αποτελούν τους πραγματικούς
αριθμούς και το σύνολο τους το συμβολίζουμε με το γράμμα R.
Σελίδα 3 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
ΠΡΑΞΕΙΣ Είναι σημαντικό με τους αριθμούς να μπορούμε να εκτελέσουμε τις γνωστές πράξεις, πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμο, διαίρεση. Έτσι θα πρέπει να ορίσουμε την έννοια των ομόσημων και ετερόσημων αριθμών. Ομόσημοι, λέγονται δυο ή περισσότεροι αριθμοί αν εχουν το ίδιο πρόσημο ,δηλαδή αν είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί. Π.χ οι αριθμοί 2,8,0,1, αριθμοί ,-12, -1, −
2 3
είναι ομοσημοι όπως και οι
2 3
Όταν οι ακέραιοι αριθμοί εχουν το ίδιο πρόσημό τότε αυτοί οι αριθμοί λέγονται ομόσημοι Όταν εχουν διαφορετικά πρόσημά τότε λέγονται ετερόσημοι. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Παρατήρηση 1 •
Όταν έχω ετερόσημους αριθμούς κρατάω το πρόσημό του μεγαλύτερου και αφαιρώ στη περίπτωση που θέλω να προσθέσω
•
Όταν έχω ομόσημους κρατάω το κοινό πρόσημό και προσθέτω
Παραδείγματα πρόσθεσης (+10)+(-2)=+8 , 3-7=-4 , -3+1=-2 (-10)+(+2)=-8
-3+(-5)=-8
, -3-5=-8
,
(+8)+(+2)=+10
(-8)+(-2)=-10 , 3+5-7-8-6=8-21=-13
Προσοχή το άθροισμα 2 αντίθετων αριθμών είναι ίσο με 0 (+10)+(-10)=0 ➢ Συνήθως θα έχουμε να αθροίσουμε περισσοτέρους από 2 αριθμούς Παράδειγμα :
Σελίδα 4 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
(-2)+(+10)+(+4)+(-5)=+(14)+(-7)=+7 προσθέτουμε ξεχωριστά τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς και μετα προσθέτω τα αθροίσματα κρατώντας το πρόσημο του μεγαλύτερου . Παράδειγμα : (+4)+(+12)+(+1)+(-2)+(-8)+(-3)=(=17)+(-21)=-4 ➢ Απλούστερη γραφή αθροίσματός Το άθροισμα
(-2)+(+3)+(-8)+(-2)+(+6) μπορούμε να το γράψουμε απλουστέρα
παραλείποντας τις παρενθέσεις (-2)+(+3)+(-8)+(-2)+(+6)= -2+3-8+6 Παραδείγματα αφαίρεσης προσοχή στις παρενθέσεις (+5)-(+2)=+3, (+5)-(-2)=5+2=7, (-5)-(+2)=-7, 0-(-2)=2
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ α+β=β+α
Αντιμεταθετική ιδιότητα
α+(β+γ)=(α+β)+γ
Προσεταιριστική ιδιότητα
α+0=0+α=α α+(-α)=0
Το άθροισμα δυο αντιθέτων είναι 0
Προσοχή στον κανόνα απαλοιφής Θα το συναντάμε σε αλγεβρικές παρενθέσεων δηλαδή –(α+β)=-α-β
παραστάσεις
Σελίδα 5 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να έχω υπόψιν ότι τον εξής κανόνα : Θα πολλαπλασιάζω τους αριθμούς και στο γινόμενο θα βάζω το πρόσημο + αν είναι ομοσημοι και το – αν είναι ετερόσημοι . + *+
αποτέλεσμα
+ θετικό
- *-
αποτέλεσμα
+ θετικό
+*-
αποτέλεσμα
- Αρνητικό
-* +
αποτέλεσμα
+*+ και -*- το αποτελεσμα θα είναι θετικό + και οι αριθμοί θα είναι ομοσημοι Ενώ όταν έχω πράξη +*- και -*+ το αποτελεσμα είναι αρνητικό – και οι αριθμοί είναι ετερόσημοι . Επομένως (-1)*α=-α
(+2)*(+3)=+6,
(-α)*β=-αβ
(-2)*(+3)=-6
(+2)*(-3)= -6 , (-2)*(-3)=+6 0*(-2)=0
0*(+2)=0
-α*(-β)=αβ
Ιδιότητα
Πρόσθεση
πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική
α+β=β+α
α*β=β*α
Προσεταιριστική
α+(β+γ)=(α+β)+γ
α*(β*γ)=(α*β)*γ
Επιμεριστική
α*(β+γ)=αβ+αγ α*(β-γ)=αβ-αγ
Ουδέτερο Στοιχείο
α=0=α
α*1=α
α+(-α)=0
α*1/α=1 με α≠0
Σελίδα 6 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
Παρατήρηση ❖ α*0=0 δηλαδή αν πολ/ζω έναν αριθμό έστω 5*0=0 1
❖ όταν ένα πολλαπλασιασμό όπως 2 ∗ 2 = 1 το γινόμενο αυτό κάνει πάντα 1 και οι 1
αριθμοί 2 Και 2 λέγονται αντίστροφοι ❖ στην περίπτωση όπου α*β=0 τότε α=0 ή β=0 και αν α*β≠0 τότε α≠0 και β≠0 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
𝜶 𝜷
Στην περίπτωση της διαίρεσης ενός ρητού αριθμού, έστω α και ενός μη μηδενικού αριθμού β θα πρέπει να έχω υπόψιν ότι τον εξής κανόνα : Αν οι αριθμοί α,β είναι ομοσημοι τότε το αποτελεσμα είναι θετικό + Αν οι αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι τότε το αποτελεσμα είναι αρνητικό – Παραδείγματα +8 −2
−10
= −4 ,
−5
−3
= +2,
−6
3
1
6
2
= =
Παρατήρηση Αν α=0 τότε
𝛼 𝛽
0
0
𝛽
−10
= 0, = 0 𝜋. 𝜒
=0
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΟΤΑΝ θα πρέπει να προσθέσω ή να αφαιρέσω ομώνυμα κλάσματα δηλαδή κλάσματα που εχουν τον ίδιο παρανομαστή τότε προσθέτω η αφαιρώ τους αριθμητές 𝛼 𝛽 𝛼±𝛽 ± = 𝜇𝜀 𝛾 ≠ 0 𝛾 𝛾 𝛾
Σελίδα 7 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
ΟΤΑΝ τα κλάσματα είναι ετερώνυμα Τότε θα πρέπει να τα κάνω ομώνυμα με τη χρήση του ΕΚΠ(ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) βάζω καπελάκια ,,,, 1
Έστω
2
2
3
4
7
3
6
6
6
+ = + =
Ελάχιστο Κ.Π(2,3)= 6 2,4,6 3,6.9.12
3 4 3∗3 4∗2 9 8 1 − = + = − = 2 3 2∗3 3∗2 6 6 6 Έστω
•
1
•
−2
•
−5
2
1
1
3
12
+ −
3
3
+
−
5 −4
1 −2
=
6+4−1 12
=
9 12
=
3 4
2
5
2
5
8
3
4
3
4
12
5
1
5
1
10
3
2
3
2
6
= − + (− ) = − − = −
= − − (− ) = − + = −
−
15 12
=−
23 12
3
7
6
6
+ =−
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έστω α ενας ρητός αριθμός (θετικός ή αρνητικός ή 0) και ν ενας θετικός φυσικός αριθμός αν ν>1 το γινόμενο α*α*α*α*α…. συμβολίζεται 𝛼 𝜈 = 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 … ( 𝜈 𝜋𝛼𝜌𝛼𝛾𝜊𝜈𝜏𝜀𝜍 ) Παράδειγμα 𝛼2 = 𝛼 ∗ 𝛼 . 𝛼3 = 𝛼 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼 Σελίδα 8 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
όπου α ονομάζεται βάση και ν είναι ο εκθέτης Πρόσημο δύναμης Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι Παράδειγμα : (+2)3=2*2*2=8
θετικός αριθμός Δύναμη
με βάση αρνητικό αριθμό Παράδειγμα :
και εκθέτη άρτιο (ζυγό) είναι θετικός (-3)4 =(-3)*(-3)*(-3)*(-3)=+81 αριθμός Δύναμη με βάση και εκθέτη
αρνητικό αριθμό Παράδειγμα
περιττό (μόνο)αριθμό (-2)3=(-2)*(-2)*(-2)=-8
είναι αρνητικός αριθμός ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Στο τυπολόγιο σας εμφανίζονται οι παρακάτω ιδιότητες
Σελίδα 9 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
Ας τις εξετάσουμε • •
a 0 = 1 παράδειγμα 30=1 a1 = a παράδειγμα 31 =3 παρατήρηση χ1=χ και για αυτό δεν το γράφω χ1
•
a n a m = a n + m παράδειγμα
23 ∗ 25 = 23+5 = 28
Ας δούμε μια εφαρμογή με μεταβλητή 𝜒(𝜒 2 − 𝜒 3 ) = 𝜒 3 − 𝜒 4
70
•
3 an n−m , για α 0 παράδειγμα = a 368 am
= 370−68 = 32 = 9
Ας δούμε μια εφαρμογή με μεταβλητή
3𝜒 2 − 5𝜒 + 6 3𝜒 2 5𝜒 6 6 = − + = 3𝜒 − 5 + 𝜒 𝜒 𝜒 𝜒 𝜒 •
a nb n = (ab) n παράδειγμα (2 ∗ 10)3 = 23 ∗ 103 = 8 ∗ 1000 = 8000
•
Παράδειγμα με μεταβλητή
•
(𝜒 2 ∗ 𝑦 3 )4 = (𝑥 2 )4 ∗ (𝑦 3 )4 κάνοντας χρήση της ιδιότητας (a n ) m = a nm είναι
𝝌𝟖 ∗ 𝒚𝟏𝟐 n
•
5 2 an a , για α, b 0 παράδειγμα ( ) = 3 bn b
• a−n = Παράδειγμα
52
= 32 =
25 9
1 , για α 0 αυτή τη ιδιότητα θα την χρησιμοποιούμε συχνά an
1
1
1
1
5−2 = 52 ,(−2)−3 = (−2)3 = −8 = − 8 Σελίδα 10 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr
Παράδειγμα με μεταβλητή που θα την συναντάμε συχνά 𝜒 −2 = Παράδειγμα 𝛼 −1
=
1 𝜒2
1 𝛼
ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η n-οστή ρίζα ( όπου n θετικός αριθμός) ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι ο θετικός εκείνος αριθμός που όταν υψωθεί στη n θα δίνει τιμή α Παράδειγμα √9 = 3 𝛿𝜄𝜊𝜏𝜄 32 = 9 ή √16 = 4 𝛿𝜄ό𝜏𝜄 42 = 16 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Στο τυπολόγιο σας εμφανίζονται οι ιδιότητες των ρίζων Οι βασικότερες είναι οι εξής διότι χρησιμοποιούνται σε πολλες ασκήσεις του Α τόμου και τις αγαπούν πολύ στο ΕΑΠ. •
Κάθε αριθμός άρα και μεταβλητή κλάσματος
που εχει υψωθεί σε δύναμη με τη μορφή
μπορεί να πάρει τη μορφή a
n
m
= m an
Επομένως •
a
1
2
1
= a παράδειγμα 3 2 = √3 = 1,7320 εμείς θα το βλέπουμε την ιδιότητα αυτή 1
συνήθως σε σχέση με μια μεταβλητή έστω χ. Έτσι 𝜒 2 = √𝜒 •
a
1
3
1
= 3 a ομοίως σε σχέση με μια μεταβλητή 𝜒 3 = 3√𝜒
Συνήθως θα πρέπει να υπολογίζω μια αριθμητική παράσταση ακολουθώντας την ακόλουθη σειρά για την εκτέλεση των πράξεων • • • •
Παρενθέσεις και αγκύλες Δυνάμεις και ρίζες Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις Προσθέσεις &αφαιρέσεις Σελίδα 11 από 11 vicky.varda@eclass4U.gr