1
Bases Teóricas
Ecuaciones, Funciones Lineales y Pendiente
Recurso: Libro Digital
Proyecto “Las TIC Apoyan Las Matemáticas”
Instituto Promoción Social Piedecuesta 2014
2
Diferencia Conceptual entre Relaciones y Ecuaciones Lineales ¿Qué entendemos por Relación Lineal? Recordemos el concepto de relación. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Algunas veces una relación puede definirse mediante una ecuación con dos variables, a la cual se le denomina proposición abierta con dos variables, y algunas veces regla de correspondencia. Con el presente objeto de aprendizaje, vas a estudiar un tipo de relaciones a las que te enfrentarás frecuentemente, tanto en la matemática como en otras ciencias. Estas relaciones son definidas por medio de igualdades llamadas ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado con dos variables que usualmente serán x, y. De este modo, comenzaremos nuestro estudio definiendo a una relación linealcomo el conjunto de pares ordenados cuya gráfica es una línea recta; mientras que una ecuación lineal se definirá como cualquier ecuación equivalente a una forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes reales tales que A y B no sean a ambas cero.
Ecuaciones lineales ¿Qué son las Ecuaciones Lineales? Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prácticas con ecuaciones que incluyen dos o más variables; de las ecuaciones obtienen gráficas que les permiten una mejor comprensión de estas alteraciones y pueden, además, prever el comportamiento de una variable si saben cómo se comportará la otra. Pongamos el caso de un objeto que se mueve con una velocidad constante de 10 metros cada segundo durante 15 segundos; si llamamos x al tiempo transcurrido y representamos por y la distancia que separa al objeto del punto de partida en un instante x, el científico puede concluir que el movimiento queda descrito por la ecuación: y=10x, 0 ≤ x ≤ 15. Con esta ecuación puede establecer exactamente la posición del objeto para cualquier valor permisible de x y recíprocamente puede determinar quién tiempo debe transcurrir para que el objeto móvil se haya desplazado una cierta distancia, así, cuando x = ½, y = 5; también cuando el objeto se encuentra a 15 metros de su punto de partida o sea cuando y = 15, x, el tiempo transcurrido es 1.5 ó 3/2 segundos. Los pares ordenados (x,y), 0 ≤ x ≤ 15 que hacen cierta la ecuación, reciben el nombre de soluciones de la ecuación, entonces (½,5), (3/2, 15) son dos
3
soluciones de la igualdad y = 10x, 0 ≤ x ≤ 15. Recordemos que la forma más común de obtener una solución es tomar cualquier valor que respete la restricción para x, en este caso: 0 ≤ x ≤ 15; y al sustituirla en la expresión correspondiente, y=10x, obtendríamos el otro par ordenado que conformaría la solución. De esta manera, si x R, y se establece la restricción de que 0 ≤ x ≤ 15, x podría sustituirse por un número infinito de valores y como a cada xle corresponde una y, la ecuación dada tiene infinitas soluciones; y para enlistarlas y representarlas matemáticamente usamos la notación de conjuntos. Así, {(x,y)|y = 10x, 0 ≤ x ≤ 15}. Y recordando por último, en este tipo de notación podemos reconocer los siguientes elementos para su apropiada lectura: En resumen:
Graficación de ecuaciones lineales ¿Cómo graficamos una ecuación lineal? Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de sustitución de las dos variables de una ecuación de tipo que nos ocupa, la gráfica de dicha ecuación es una línea recta; este hecho es la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales. Hemos llamado solución de una ecuación lineal en x, y, a todo par ordenado (x, y) con componentes reales, los cuales al sustituir a las variables en la ecuación hacen cierta la igualdad, así, (0, -4) Es una solución de 2x – 3y – 12 = 0, x, y, la ecuación resulta:
R, porque al hacer x = 0 y y= –4 en
2(0) – 3(–4) – 12 = 0 12 – 12 = 0 0=0 La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto solución; entonces la gráfica de 2x– 3y – 12 = 0, x, y, R, Es la de {(x, y) | 2x – 3y– 12 = 0; x,
R }.
4 Como la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos, las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano dos de sus soluciones y trazando después la recta que contiene a estos dos puntos.
Ejemplo 1. Graficar la ecuación lineal: 2x – 3y – 12 = 0
Si x= 0 entonces -3y -12 =0, Así que despejamos Y -3Y = 12, de donde se obtiene que Y = 12 / -3 Y = -4 (0,– 4) es una solución; otra solución se obtiene haciendo: y = 0 2X – 12 = 0, despejamos X, así 2X = 12, de donde X = 12 /2 X=6
Y la gráfica de la ecuación es la recta que pasa por (6,0) y (0, –4) es:
Gráfica de la ecuación lineal 2x - 3y - 12 = 0
5
La intención de buscar las soluciones haciendo x = 0 y después y = 0, es hacer notar que la gráfica intersecta ambos ejes, y esto sucede siempre que en la ecuación lineal A y B son distintos de cero. (A, B 0). Ejemplo 2. Dada la ecuación 2x – 3y = 0, Cuando x = 0 tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos que y = 0. Si x=0 entonces y=0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0. Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O (0,0). Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x R podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, Hagamos x=3, entonces la ecuación queda (2)(3) – 3y = 0, al resolverla tenemos 3y = 6 ó y = 2; Siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación:
Gráfica de la ecuación lineal 2x - 3y = 0
Ejemplo 3. Graficar la ecuación lineal: y – 2 = 0. Esta ecuación podemos escribirla como 0x + y –2 = 0, de esta expresión podemos entender que el que no aparezca el término en x (Ax) en la ecuación lineal significa que el coeficiente de x es cero A = 0 y que por consecuencia A = 0 para todo x R y dado que 0 es el elemento identidad
6
para la suma, la ecuación puede escribirse como y – 2 = 0 ó y = 2. De lo anterior debemos entender que sea cual sea el valor asignado a x la ecuación siempre queda como y = 2 o sea que y no cambia de valor (es constante) y es igual a 2 para cualquier valor asignado a x, en consecuencia la gráfica consta de todos los puntos del plano cuya ordenada (y) es 2. Ejemplo 4 Graficar la ecuación lineal: x – 2 = 0. Esta ecuación puede escribirse como x + 0y – 2= 0, y podemos notar que para cualquier valor de y, y R, x siempre es igual a 2. La siguiente gráfica ilustra claramente los ejemplos 7 y 8:
Gráfica para los ejemplos 7 y 8
En resumen, las rectas horizontales o verticales tienen ecuaciones sencillas, según se aprecia en la tabla siguiente:
Tabla-resumen de las rectas horizontales y verticales
7
La pendiente La importancia de la pendiente Uno de los conceptos básicos en geometría es a recta. En esta sección trataremos a las rectas dentro de un plano coordenado, permitiéndonos el uso de métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. Dos objetivos particulares que pudieran establecerse a partir de aquí, es que comprendas los métodos para que seas capaz de resolver las situaciones de que: (1) Dada una recta l de un plano coordenado, encontrar una ecuación cuya gráfica corresponda a l. (2) Dada una ecuación de una recta l de un plano coordenado, trazar la gráfica de la ecuación. El concepto que sigue es fundamental para el estudio de las rectas.
Pero¿Qué nos indica la pendiente? La pendiente (m) indica en cuántas unidades cambia la ordenada cuando x, aumenta una unidad*. Dicho de otra manera, en matemáticas le letra griega (delta) se usa para denotar “cambio en”. Así, de esta otra forma, podemos pensar que la pendiente m es:
Otra forma de definir la pendiente de una recta
*Para que x aumente es necesario efectuar en el plano un desplazamiento de izquierda a derecha.
Y con la siguiente figura, se ilustra la definición de la pendiente: *Para que x aumente es necesario efectuar en el plano un desplazamiento de izquierda a derecha.
Y con la siguiente figura, se ilustra la definición de la pendiente:
8
Definición geométrica de la pendiente
Actividad Procedimental 1. Encuentra la pendiente m usando la definición de pendiente que recién hemos estudiado y traza la recta que pasa por cada par de puntos que se te dan a continuación: (a) A (-1,4) y B (3,2) b) A (2,5) y B (-2,-1) (c) A (4,3) y B (-2,3) d) A (4,-1) y B (4,4) a) Recta que pasa por los puntos A(-1,4) y B(3,2)
Solución aritmética (obtención de la pendiente m):
9
Solución gráfica:
Determinación de ecuaciones lineales Encontremos una ecuación de la recta l que pasa por un punto P1(x1, y1) con pendiente m. Si P(x, y) es cualquier punto con x x1 (Figura 1.), entonces P está sobre la recta l si y solo si la pendiente de la recta que pasa por P1 y P es m; es decir, si
Figura 1.
Esta ecuación se puede escribir en la forma: y – y1 = m(x – x1)
Observarás que (x1, y1) es una solución de la última ecuación y, por tanto, los puntos de l son precisamente los puntos que corresponden a las soluciones. Esta ecuación para l se conoce como la forma punto-pendiente.
Definición de la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta
10
Determinaciรณn de la ecuaciรณn de una recta que pasa por dos puntos Ejemplo: Encuentra una ecuaciรณn de la recta que pasa por A(1,7) y B(-3,2)
Figura 2. Recta que pasa por dos puntos
SOLUCIร N La recta aparece en la figura 2. La fรณrmula de la pendiente m nos da:
Podemos usar las coordenadas de A o B para (x1, y1) en la forma de punto pendiente. Con A(1,7) tendremos:
11
La última ecuación es una de las formas deseadas para la ecuación de una recta. Otra es 5x – 4y + 23 = 0. La forma punto-pendiente para la ecuación de una recta se puede reescribir de esta manera: y = mx – mx1 + y1que es de la forma y = mx + b
con b = – mx1 + y1. El número real bes la ordenada al origen intersección en y de la gráfica (Figura 3).
y = mx +b (0,b) Figura 3. Intersección en y para el número real b
Dado que la ecuación y = mx + b muestra la pendiente m y la intersección igual a ben y de l, se llama forma pendiente-intersección o pendienteordenada al origen para la ecuación de una recta. A la inversa, si comenzamos con y = mx + b, podemos escribir: y - b = m(x - 0)
12
Al comparar esta ecuaci贸n con la forma punto-pendiente, vemos que la gr谩fica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0,b). Se ha demostrado el resultado.
13
Un ejercicio de aplicación Relación entre temperatura del aire y la altitud. Aplicación. Relación lineal entra variables observables en la naturaleza Dos variables x y y están linealmente relacionadas si y = ax + b, donde a y b son números reales y a 0. Las relaciones lineales entre variables se presentan con frecuencia en problemas aplicados. El siguiente ejemplo es una demostración. Ejemplo. Relación entre temperatura del aire y altitud La relación entre la temperatura del aire T (en °C) y la altitud h (en metros sobre el nivel del mar: m/snm) es aproximadamente lineal para 0 ≤ h ≤ 6096m. Si la temperatura al nivel del mar es 15.56°C, un aumento de1524 m baja la temperatura del aire unos 10°C a) Expresa T en términos de h y dibuja la gráfica en sistema coordenado hT b) Calcula la temperatura del aire a una altitud de4572m c) Aproxima la altitud a la que la temperatura sea -17.78°C.
Solución. Inciso (a) T= ah + b. Para algunas constantes a y b (a representa la pendiente y b la intersección en T). Puesto que T = 15.56°C cuando h = 0m (al nivel del mar), la intersección en T es 15.56 y la temperatura T para 0 ≤ h ≤ 6096m está dada por T= ah + 15.56. A partir de los datos dados, observamos que cuando h = 1524 m, la temperatura T = 15.56 - 10 = 5.56°C: por tanto a, se encuentra de esta manera:
14
5.56 = a(1524) + 15.56 sean T = 5.56 y h =1524 a = (5.56 - 15.56) / 1524 = -10/1524 = -5/762 despejar a Al sustituir a en T = ah + 15.56 se obtiene esta fórmula para T: T= (-10/1524)h + 15.56. La gráfica siguiente, muestra la relación lineal entre la altitud y la temperatura del viento.
Solución. Inciso (b) b) Con la última fórmula para T obtenida en el inciso (a), encontramos que la temperatura (°C) cuando h = 4572m es: T= (-5/762)h + 15.56 T= (-5/762) (4572) + 15.56 T= (-22860/762) + 15.56 T= -30 + 15.56 = -14.44 °C Solución. Inciso (c) (c) Para hallar la altitud h que corresponda a T = - 17.78 °C, procedemos de este modo: T = (-5/762)h + 15.56 del inciso (a) -17.78 = (-5/762)h + 15.56 sea T = -17.78 -17.78 - 15.56 = (-5/762)h restar 15.56 -33.34 = (-5/762)h -33.34(762/-5) = h multiplicar por (762/-5) h= -25405.08/-5 simplificar y aproximar
15
h= 5081.02 m resultado. ¿Qué entiendes por modelo matemático? Un modelo matemático es una descripción matemática de un problema. Para nuestros propósitos, estas descripciones serán gráficas y ecuaciones. En el ejercicio de aplicación, la ecuación T = -5/762h + 15.56 es un modelo que muestra la relación entre la temperatura del aire y la altitud. ¿Qué podemos concluir? A través del presente objeto de aprendizaje se ha estudiado de manera teórica, práctica e interactiva, el concepto de linealidad, sobre el cual se concluye en efecto que es un concepto básico clave para el entendimiento y la asimilación de nuevos conocimientos geométricos y algebraicos que se estudian posteriormente. En numerosos casos encontramos modelos de la forma y = mx + b, denominado recta de regresión lineal. Podemos considerar a ésta como la del mejor ajuste. Es decir, la recta única que mejor describe el comportamiento de los datos. La gran importancia y utilidad de la recta de regresión lineal o del mejor ajuste es que nos permite describir un modelo lineal para predecir determinados "eventos" de un fenómeno que se comporte linealmente, como lo vimos en el ejemplo de la altitud y la temperatura del aire. De esta forma, la ecuación lineal aplicada en la determinación de un modelo lineal nos permitirá interpolar, es decir, estimar un valor entre valores conocidos o del mismo modo o bien, extrapolar, esto es, estimar un valor fuera de los valores conocidos y estas acciones son en definitiva muy valiosas para comprender mejor determinados fenómenos de la naturaleza, en particular, los que presentan un comportamiento o una relación lineal.
16
Glosario Relación: Cualquier conjunto de pares ordenados. Relación lineal: Conjunto de pares ordenados cuya gráfica es una línea recta. Proposición abierta: Expresión verbal o simbólica que contiene una variable y un conjunto reemplazamiento. Regla de correspondencia: Ecuación que indica cómo se corresponden los elementos de dos conjuntos. Ecuación lineal: Cualquier ecuación equivalente a una forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes reales tales que A y B no sean a ambas cero. Par ordenado: pareja de elementos encerrados dentro de un paréntesis, lo separados por una coma en la que se distingue uno como el primero y el otro como el segundo. Ecuaciones equivalentes: dos o más ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Función lineal: Toda ecuación que puede escribirse en la forma f(x) = mx + b; x R; m y b son constantes reales. Pendiente de una recta: cambio en y por unidad de cambio en x. Ordenada al origen: La y del punto en que una recta intersecta al eje Y. Parámetro: Es un valor numérico sujeto en algunos casos a ciertas restricciones. Familias de rectas: Conjunto de rectas que tienen una propiedad común. Sistema de ecuaciones lineales: Dos o más ecuaciones de la forma Ax + By + C = 0. Conjunto solución: conjunto de pares ordenados se satisfacen una ecuación o un sistema de ecuaciones. Sistema de ecuaciones con tres variables: dos o más ecuaciones de la forma Ax + By + Cz + D = 0. Desigualdades lineales: Toda expresión de la forma Ax + By + C ≥ 0 ó Ax + By + C ≤ 0. Semiplano:Cadauna de las regiones en que una recta divide al plano que la contiene. Sistema de desigualdades lineales: Dos o más desigualdades de la forma Ax + By + C ≥ 0 ó Ax + By + C ≤ 0.