Claudia Hernández García

nosotros

Pensamiento matemático III

SENTIDO GEOMÉTRICO

Claudia Hernández García*

El sentido geométrico es nuestra capacidad para visualizar

y manipular mentalmente objetos y espacios. Esta habilidad conforma la base de la geometría y también puede utilizarse para analizar formas, calcular distancias, identificar diferencias, reconocer similitudes y hasta para modificar nuestro entorno. Sin sentido geométrico, simplemente no podríamos desplazarnos de un lugar a otro o lo haríamos de manera muy atropellada.

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a palabra geometría proviene del griego geo y metron, que significa ‘medida de la tierra’. Como en el caso de los números, la geometría tuvo su origen en una necesidad práctica. El historiador griego Herodoto daba cuenta de cómo hace unos 4000 años, en Egipto, la tierra se dividía en lotes que se repartían entre los pobladores a cambio de un pago anual, algo similar al impuesto predial que actualmente pagamos por nuestras propiedades. Cada vez que el río Nilo se desbordaba, los propietarios pedían que los agrimensores rehicieran las mediciones para volver a delimitar los terreros. A todo el mundo le convenía que las mediciones se hicieran con cuidado, porque ni los propietarios estaban dispuestos a pagar de más por un terreno reducido, ni la administración real, a recibir lo mismo por un área que hubiera aumentado. El Nilo se desbordaba con frecuencia, así que los egipcios tuvieron que desarrollar técnicas de medición que ambas partes consideraran justas.

A estos topógrafos antiguos se les conocía como “estiradores de cuerdas”, porque las cuerdas eran su principal herramienta de trabajo y porque debían mantenerlas muy bien estiradas para hacer las mediciones con mayor precisión.

* Maestra en Filosofía de la Ciencia. Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la

Ciencia, UNAM.

Medir consiste en comparar los atributos de un objeto con instrumentos de referencia. Aunque también podemos medir atributos como la masa o la

temperatura, en este momento nos enfocamos en la longitud. Cualquier medición consta de dos elementos: una unidad de medida y una cierta cantidad de esas unidades. Las cuerdas tenían nudos colocados a la misma distancia, dos a dos, y las longitudes se determinaban en función de la cantidad de nudos: así como hoy definimos la longitud en términos de una cierta cantidad de metros en un flexómetro, los estiradores de cuerdas lo hacían en términos de la cantidad de nudos en una cuerda.

Como no había un acuerdo respecto de la distancia que debía haber entre los nudos, y, aunque fuera la misma para todas las cuerdas que se usaban en una población, no había garantía de que fuera la misma para las cuerdas que se usaban en otros lugares, por eso hubo la necesidad de estandarizar las unidades que se empleaban para medir.

Medir con lo que sea

Las primeras unidades de medida que se utilizaron estaban relacionadas con el cuerpo humano. Por ejemplo, la pulgada originalmente se tomó de la punta del dedo pulgar, y el pie se refería a la longitud de un pie humano. La braza era la longitud de los brazos extendidos desde la punta del dedo medio de una mano hasta la punta del dedo medio de la otra. El codo correspondía a la longitud del antebrazo, es decir, desde el centro del codo hasta la punta de los dedos. El palmo era el ancho de la palma de la mano. Finalmente, la cuarta sigue siendo la longitud de la mano estirada, desde la punta del pulgar hasta la punta del meñique (figura 1).

Aunque las reglas graduadas y los flexómetros sean de fácil acceso, seguimos estimando medidas comparándolas con estas unidades anatómicas, como cuando contamos la cantidad de cuartas que caben en la orilla de una mesa y multiplicamos este número por la longitud de nuestra cuarta. Yo, por ejemplo, sé que la mía mide 18 centímetros, así que puedo estimar que una mesa de 4 cuartas mide aproximadamente 72 centímetros. Lo mismo hacemos cuando queremos estimar las dimensiones de una habitación con nuestros pasos. Esta metodología para estimar longitudes es más precisa si la empleamos como lo hacían los estiradores de cuerdas: estirando los pasos o los dedos lo más posible. Esto es porque la longitud de los pasos cortos puede variar mucho entre paso y paso, a diferencia de los pasos de máxima extensión, que casi siempre miden lo mismo, justo porque ya no podemos estirarnos más.

Correo del Maestro con imagenes de Shutterstock 1 codo 1 palmo

1 braza 1 pie 1 pulgada

1 cuarta

Figura 1

Una medida concreta ayuda a disminuir la ambigüedad porque no hay margen de interpretación, como cuando simplemente decimos que algo es grande. Aunque no sean estándar, estas unidades dan una idea confiable de longitud debido a que el rango de las medidas anatómicas no varía tanto como el de la distancia que puede haber entre dos nudos de una cuerda. Aun así, había un margen de error que podía tener consecuencias delicadas para algunas actividades que requieren de más precisión, por ejemplo, la navegación. Si habláramos de nudos con el capitán de un barco, probablemente surgiría un gran malentendido, pues el nudo se usa ahora como unidad de velocidad (millas náuticas por hora) y no de longitud, como hace miles de años.

Desde el siglo XVII se usa el metro como unidad de medida, pero fue dos siglos después cuando al fin se llegó a un consenso sobre su longitud, y se hizo a partir de un referente que fuera invariable: la Tierra. En junio de 1792, en plena Revolución francesa, Jean-Baptiste-Joseph Delambre y Pierre-FrançoisAndré Méchain partieron de París, el primero hacia Dunkerque y el otro hacia Barcelona, con un equipo de especialistas y los instrumentos de medición más avanzados de la época. A partir de su travesía se estableció el metro como la diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador, medida a lo largo del meridiano que pasa por París. Desde 1983, se le define como la distancia que la luz recorre en el vacío en un intervalo de 1/299792458 segundos.

Hoy en día, algunos países siguen utilizando unidades como la pulgada y el pie, pero teniendo en mente las respectivas equivalencias, como que una pulgada equivale a 2.54 centímetros, y un pie, a 30.48 centímetros. Aun así, no

Una convención es una norma que se admite tácitamente o un acuerdo entre grupos de personas. Las unidades de medida son un ejemplo de convención matemática. En casi todos los países del mundo se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), cuya unidad de medida de longitud es el metro. Recordemos que metro proviene del griego metron y significa literalmente ‘medida’.

El SI tiene otras unidades básicas: el amperio para la corriente eléctrica, el kelvin para la temperatura, el segundo para el tiempo, el kilogramo para el peso, la candela para la intensidad de luz, y el mol para la cantidad de sustancia. Como no es obligatorio utilizar estas unidades, en países como Estados Unidos e Inglaterra se utilizan el sistema anglosajón y el imperial, respectivamente.

SI

Sistema Internacional de Unidades

longitud metro

tiempo

segundo

temperatura

kelvin

peso kilogramo

corriente eléctrica

amperio

cantidad de una sustancia

mol

intensidad de luz

candela

estamos exentos de errores, como ocurrió en 1999 cuando la NASA perdió la sonda Mars Climate Orbiter luego de que un grupo de ingenieros hicieran los cálculos con el sistema métrico, mientras que otro los hizo con el sistema anglosajón. Se trató de un error de cálculo de unos 100 kilómetros que costó 125 millones de dólares.

La unidad de medida que utilicemos depende de la distancia por medir. Por ejemplo, para comunicar la distancia entre dos ciudades solemos usar kilómetros, mientras que para los dedos de la mano usamos centímetros. Ahora que cuando queremos medir distancias mucho más grandes, como las que separan a las galaxias, solemos usar una unidad de medida menos conocida: el año luz. Pese a su nombre, es una unidad de medida de distancia y no de tiempo, es equivalente a la cantidad de kilómetros que la luz recorre en un año, es decir, unos 9 460 730 472 580 kilómetros.

Cuerdas para construir

Si bien los nudos en las cuerdas no eran una unidad tan precisa, sí resultaban muy útiles para construir habitaciones con ayuda de una cuerda y tres estacas. El primer paso consistía en fijar en el suelo un nudo de la cuerda con una estaca, llamémosle el nudo cero, y luego se contaban tres nudos. Después fijaban ese tercer nudo con otra estaca y contaban otros cuatro nudos. A ese cuarto nudo lo 1 sostenían con una mano y con la otra contaban otros cinco nudos. Finalmente, unían ese último nudo con el nudo cero para formar un triángulo. Figura 2

Nudo cero 2 3

Los lados de este triángulo (figura 2) miden exactamente 3, 4 y 5 unidades. ¿Cuántos triángulos diferen- Los triángulos son el único tes se pueden construir con lados de este tamaño? polígono que no se deforma La respuesta es uno y se puede comprobar fácilmen- cuando se le aplica una fuerza. te con palillos. Tomen tres palillos de igual tamaño y Los cuadriláteros sí lo hacen, y únanlos por los extremos con un poco de plastilina. In- por eso una forma de reforzar tenten deformar ese triángulo y verán que no se pue- paredes y ventanas es por de. Para que vean a qué se refiere eso de deformar medio de estructuras que las una figura, hagan el experimento con cuatro palillos de igual tamaño y comprobarán que pueden formar cuadriláteros distintos porque, aunque el tamaño de los lados no cambia, el tamaño de los ángulos sí lo Shutterstock triangulen. Figura 3 hace.

Pero hay más: el ángulo que se forma alrededor de la segunda estaca siempre va a ser un ángulo recto, de acuerdo con un famoso teorema que se demostró miles de años más tarde.

El teorema de Pitágoras no se llama así porque él lo haya descubierto, sino porque fue en la escuela pitagórica en donde se demostró de manera formal por primera vez. Según este teorema, en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos (los lados que forman el ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo). El enunciado inverso también es cierto: si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del otro lado, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo, y el ángulo recto es el que forman los lados más cortos (los catetos).

Así, con el procedimiento usado por los estiradores de cuerdas se forma un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 nudos. Luego, al sumar los cuadrados de los dos números menores y verificar que ese número es igual al cuadrado del mayor, comprobamos que el triángulo que se forma es rectángulo y que el ángulo en la segunda estaca es recto.

Vale la pena notar que este cálculo no depende de las unidades de medida, sino de lo que miden los lados del triángulo. Es decir, siempre vamos a formar un ángulo recto mientras los lados midan 3-4-5 unidades, sin importar que los nudos estén separados por milímetros, kilómetros o años luz.

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

A las triadas de números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras se les conoce como ternas pitagóricas, 3-4-5 es la más pequeña, pero no la única. Algunas otras ternas que sirven para construir triángulos rectángulos son 5-12-13, 20-21-29 y 65-72-97.

Pero la idea era construir habitaciones, que comúnmente son rectangulares o cuadradas. Para ello sólo hay que alinear las paredes con los catetos del triángulo, y repetir el proceso para cada esquina de la habitación.

Formas para tapizar

Con triángulos podemos construir ángulos rectos y también cubrir una superficie plana sin dejar huecos y sin que se encimen unos sobre otros. Cualquier triángulo lo hace, sin importar el tamaño de sus lados y de sus ángulos.

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Figura 4

A estos mosaicos les llamamos teselaciones y se pueden hacer con una o más figuras. Cuando se hace con una sola figura que se repite muchas veces, decimos que esa figura tesela. También se pueden combinar distintas figuras para obtener mosaicos quizá más vistosos o para rellenar los huecos como en el caso de un mosaico formado por círculos y los triángulos curvos entre ellos.

Si todos los triángulos teselan, los equiláteros también. Desde la antigüedad se sabe que los otros polígonos regulares que también teselan son el cuadrado y el hexágono. Todos los demás no lo hacen y para comprobarlo basta con fijarnos en la medida de sus ángulos. Tomemos, por ejemplo, un pentágono. Si colocamos tres, nos queda un espacio en el que no cabe un cuarto. Esto pasa porque alrededor de un punto hay exactamente 360° grados y para poder cubrir el espacio a su alrededor, los ángulos de las figuras deben sumar esa cantidad. Los ángulos de un pentágono regular son de 108°, así que tres pentágonos apenas cubren un ángulo de 324°. Un cuarto pentágono formaría un ángulo de 432° y se encimaría con el primero. Los pentágonos regulares dejan huecos o se traslapan y por eso se dice que no teselan. El argumento para explicar por qué los otros polígonos regulares tampoco teselan es muy similar.

Figura 5

360º

324º 432º

Figura 6

Los cuadrados y los hexágonos teselan porque sus ángulos miden 90 y 120 grados, respectivamente, lo que significa que alrededor de un punto podemos acomodar con exactitud cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares. Las

teselaciones con cuadrados son muy comunes en los pisos y las paredes de las casas. En este caso, la medida de los lados no es relevante como la de los ángulos. Asimismo podemos hacer mosaicos con rectángulos porque sus ángulos también son rectos; de hecho, los cuadrados son rectángulos que tienen sus cuatro lados iguales.

Las teselaciones hexagonales son más raras, pero son la estructura que prevalece en los panales de abejas. Los hexágonos son una forma geométrica más eficiente que los cuadrados porque contienen una mayor área en un menor perímetro. Esto quiere decir que para hacer un nicho de cierta área se usa menos cera si su perímetro es hexagonal que si es cuadrado; o bien, que con una cierta cantidad de cera encerramos un área mayor si la orilla es un hexágono que cuando es un cuadrado.

La geometría de lo roto

Ahora, no todo en la naturaleza se puede describir con las rígidas formas de la geometría clásica. En un primer vistazo, se podría decir que una hoja de este helecho es más o menos triangular. Pero si observan con cuidado, podrán ver que su contorno es curvilíneo; y lo mismo pasa con otras estructuras naturales que no son tan geométricas al final, como las montañas, que no son cónicas, o las costas, que tienen un contorno caprichoso.

Figura 7. Estructura autosemejante

Si se fijan con más cuidado aún, pueden ver que la forma de la hoja se repite en el helecho a diferentes escalas. En matemáticas decimos que esa estructura es autosemejante, porque partes de la estructura se parecen mucho a la estructura completa. Otros ejemplos naturales de autosemejanza son los árboles, los brócolis, nuestro sistema vascular y los rayos que vemos durante las tormentas.

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En la década de 1970, el matemático francés de origen polaco Benoît Mandelbrot estudió estas estructuras geométricas y las llamó fractales, palabra que proviene del latín fractus y significa ‘fragmentado’ o ‘roto’. Todas estas estructuras, y muchas otras, tienen formas que se estudian desde una de las ramas más nuevas de la geometría: la geometría fractal.

Así como hay funciones cuyas gráficas son una línea recta, como f(x) = x, también hay funciones cuyas gráficas se parecen mucho a estas estructuras fractales naturales. Una de ellas es el conjunto de Julia –llamado así por el matemático francés Gaston Julia–, que se parece mucho a un rayo. La función de la que se obtiene esta gráfica en forma de rayo es fc (z) = z2 – 0.8i y se diferencia de las que comúnmente graficamos en las clases de matemáticas de al menos dos formas. Una es que utiliza valores complejos, o sea, números que tienen una parte real y una imaginaria. La otra es que es iterada, es decir que cualquier valor de la función se obtiene de aplicar la función al valor que se obtuvo en el paso previo.

En la serie de imágenes de la hoja de helecho, se puede observar una cierta iteración: la hoja está formada por hojas más pequeñas que se parecen a ella, estas hojas están formadas por hojas todavía más pequeñas que se parecen a ellas y a la original, y así sucesivamente.

Otro ejemplo de iteración se puede observar en la curva de Koch –descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904–. Esta curva parte de un triángulo equilátero y un generador. En la primera iteración, el generador toma el lugar de cada lado y forma una estrella de seis picos. En la segunda iteración, cada uno de los doce lados de la estrella se sustituyen por el generador y se forma una estrella más compleja. La tercera iteración forma una estrella más compleja aún. Sin importar cuántas veces repitamos el proceso de cambiar los lados de la estructura estrellada por el generador, la curva nunca dejará de tener una forma hexagonal, y es por eso por lo que también se le conoce como fractal copo de nieve.

) 4.0 IkamusumeFan en commons.wikimedia.org ( CC BY-SA Figura 8. Conjunto de Julia

Figura 9. Fractal copo de nieve

Después de una infinidad de iteraciones, algo que se puede teorizar pero no hacer en realidad, la curva de Koch va a tener una longitud infinita porque la cantidad de lados aumenta sin límite. Más soprendente aún es el hecho de que esta longitud infinita estaría contenida en un área finita que no sobrepasa el tamaño del recuadro donde está la imagen.

Otro fractal que se construye a partir de iteraciones es el triángulo de Sierpiński, –estudiado por el matemático polaco Wacław Sierpiński–, pero aquí no se agrega longitud, sino que se quita área. Se comienza por un triángulo equilátero y el primer paso consiste en remover el triángulo central. En el segundo paso hay que quitar el triángulo central de los tres triángulos que quedaron del paso anterior. Para el siguiente paso hay que quitar los triángulos centrales de los nueve triángulos que quedaron en el segundo paso y así sucesivamente.

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Figura 10. Triángulo de Sierpiński

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En su libro Elementos de geometría, el matemático griego Euclides de Alejandría habló de las dimensiones de los objetos, aunque no en esos términos.

Continúa recuadro >> S2 S3 S4

Cuando ya hicimos la iteración una infinidad de veces, el triángulo adquiere una propiedad que también nos resulta antiintuitiva. No podemos decir que es un objeto de dimensión 1 porque no es como una línea, pero tampoco es de dimensión 2 porque está lleno de hoyos. De hecho, la dimensión de este fractal es fraccionaria y es igual a 1.58.

Diferentes formas de la geometría sirven para describir distintas características del mundo. La geo-

metría fractal es la que mejor describe las intrincadas formas naturales, mientras que la geometría euclidiana es suficiente para alguien que necesita medir un terreno y trazar un plano, aunque las rutas de los aviones se calculan con base en otra geometría, llamada esférica, que es la que mejor describe la superficie de nuestro planeta.

Mapas y otras formas de representar la realidad

¿Alguna vez han escuchado la frase “el mundo es un pañuelo”? Pues el mundo quizá no lo sea, pero un mapa sí que lo es porque proviene del latín mappa que significa ‘pañuelo’ o ‘servilleta’. Un mapa es la representación gráfica de un territorio y puede ser muy simple o bastante complejo. La aplicación de mapas de Google, por ejemplo, ofrece una vista simplificada denominada “mapa” y una vista de satélite llena de detalles que a veces distraen más de lo que ayudan.

Un tipo de mapa de lo más sencillo son los croquis que trazamos para indicar cómo llegar a cierto lugar. Para diseñarlos o interpretarlos hacemos un ejercicio de abstracción del entorno a fin de identificar aquellos puntos de referencia que sirven para ubicarnos, como podría ser una calle con camellón, un monumento o un edificio inconfundible, y así poder establecer una ruta que conduzca al destino. En este tipo de mapas por lo general no se tiene cuidado de respetar las proporciones, pues lo que importa es ubicar las referencias relevantes.

Los mapas son muy útiles para representar el espacio físico, pero también pueden crear confusiones como cualquier otro tipo de representación gráfica. Fíjense en cualquier mapamundi y comparen los tamaños de África y Groenlandia.

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La primera definición del primer libro dice: “el punto es aquel que no tiene partes”. Esto quiere decir que en un punto no hay grados de libertad como cuando nos quedamos parados sin podernos mover. Hoy en día, decimos que el punto tiene dimensión cero.

Luego define la línea como una longitud sin latitud. Aquí ya hay un grado de libertad para moverse, como un tren que viaja sobre la vía. La línea es de dimensión uno (enfrente-atrás).

La superficie la define como aquella que sólo tiene longitud y latitud, o sea que tenemos dos grados de libertad, como un auto que circula por la calle. La superficie es de dimensión dos (enfrente-atrás, derecha-izquierda).

Por último, en la primera definición del undécimo libro, Euclides de Alejandría define el sólido como longitud con latitud y profundidad. Aquí ya tenemos tres grados de libertad, como un avión. El sólido es de dimensión tres (enfrente-atrás, derecha-izquierda, arriba-abajo). La dimensión de los fractales es fraccionaria y, por lo tanto, no se ajusta a las definiciones euclidianas básicas.

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Es muy común creer que ambos territorios son del mismo tamaño, cuando en realidad África tiene aproximadamente 30.3 millones de kilómetros cuadrados, mientras que Groenlandia apenas sobrepasa los 2 millones. Esto pasa porque la Tierra es esférica y siempre que la dibujemos en una hoja de papel, lo haremos con imprecisiones. La disciplina que estudia las maneras de representar objetos con volumen (dimensión 3) en un lienzo plano (dimensión 2) es la geometría proyectiva. En este concepto confluyen dos términos un tanto contradictorios porque las proyecciones dejan de lado la noción de medida que es la esencia misma de la geometría.

En 1569, el cartógrafo flamenco Gerardus Mercator ideó una forma de elaborar mapas a partir de una proyección cilíndrica que asocia cada punto de una esfera con un punto en un cilindro. ¿Por qué un cilindro? Porque a los cilindros los podemos abrir y aplanar sin problema, como cuando hacemos un tubo con una hoja de papel y luego la regresamos a su forma original. En este tipo de proyección no se conservan las distancias. Al pasar de una esfera a un cilindro por medio de una proyección, la región ecuatorial se mantiene en proporción, pero las regiones de los polos se estiran y eso agranda las distancias, lo que hace que territorios como Groenlandia o la Antártica parezcan ser mucho más extensos.

Aun así, esta proyección fue muy útil para la navegación porque establece un método de coordenadas con el que nos podemos ubicar sin confusiones. El sistema reticular del cilindro tiene un equivalente en la esfera: las líneas horizontales corresponden a los paralelos, y las verticales, a los meridianos. Mientras que los meridianos de la esfera se intersecan en los polos, las líneas verticales del cilindro se intersecan en el infinito porque también son paralelas. Cualquier punto en el globo terráqueo es la intersección de un meridiano y un paralelo

Figura 11. Proyección cilíndrica de la Tierra

tes/telesecundaria/tsa04g01v01/u02t03s05.html Correo del Maestro a partir de bibliotecadigital.ilce.edu.mx/si -

y corresponde a un punto donde se intersecan las respectivas líneas vertical y horizontal en el mapa.

Un siglo y medio antes de esta gran idea de Mercator, el arte vivió su propia revolución con la perspectiva, un tipo de proyección cónica que representa los cuerpos en un plano con ayuda de líneas que convergen en un punto que puede fungir como el ojo de un observador o un punto de fuga por allá en el horizonte.

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Figura 12. Representaciones de la última cena

Estas dos representaciones de la última cena tienen una estructura muy similar: una mesa alargada con objetos encima, Jesús sentado al centro y los apóstoles a ambos lados. Sin embargo, una parece más natural que la otra y esto se debe a que en una se usó la perspectiva y en la otra no. La perspectiva ayuda a elaborar imágenes proporcionadas y armoniosas, pues fija el lugar desde el que se observa la escena, determina un juego de luz y sombras adecuado y da la sensación de profundidad.

Además de obtener imágenes más agradables a la vista, el uso de estas herramientas matemáticas hacía hincapié en el valor de disciplinas como la pintura para preservar las dinámicas sociales. Estas técnicas, que poco a poco se fueron afinando y sistematizando, se publicaron luego en manuales y tratados que sirvieron para educar a las nuevas generaciones de artistas.

Formas en todo

Si todo esto que les he contado les suena familiar, no es por coincidencia. Todas las personas tenemos un sentido geométrico que trasciende los conceptos abstractos de la geometría y nos ayuda a reconocer formas, identificar estructuras y manipular el espacio. Los investigadores holandeses Pierre van Hiele y Dina van Hiele-Geldof propusieron que poco a poco lo vamos afinando conforme transitamos de la mera visualización al análisis y la deducción informal.

La visualización se entiende como la habilidad de reconocer las formas de figuras y cuerpos sólo por su apariencia y de poder relacionarlos con objetos comunes, como cuando reconocemos la forma circular del sol. También se refiere a nuestra capacidad de hacer comparaciones y discernir sobre la cercanía o la dimensión de un objeto con respecto a nuestra persona o a otro modelo de referencia.

El análisis, por su parte, es la capacidad de reconocer las propiedades básicas de figuras y cuerpos, además de entender que aquellos que pertenecen a una misma clase tienen propiedades en común. Por ejemplo, que un cuadrilátero tiene cuatro lados y que, dependiendo del tamaño de sus lados y sus ángulos, puede ser un cuadrado, un rectángulo, un rombo o un trapecio, entre otros.

Finalmente, la deducción informal trata del entendimiento de las relaciones entre las figuras y sus propiedades, y constituye la base a partir de la que deducimos nuevas propiedades geométricas. Como cuando deducimos que un camino recto es más corto que uno en forma de zigzag.

Este sentido geométrico nos hace ser y estar conscientes de nuestro entorno y de los objetos a nuestro alrededor. A partir de la geometría, podemos representar y describir esos objetos y sus relaciones en diferentes entornos. Asimismo, la geometría nos proporciona una sensibilidad para reconocer otras propiedades de los objetos como la simetría y hacer apreciaciones estéticas. Siempre que hacemos un dibujo o interpretamos un diseño, explotamos este aspecto de nuestro pensamiento matemático.

Para seguir aprendiendo

ABBOTT, Edwin (2016). Tierraplana: una novela en varias dimensiones. Bonilla Artigas Editores.

ALDER, Ken (2003). La medida de todas las cosas. Taurus.

HERNÁNDEZ García, Claudia (comp.) (2017). Antología de matemáticas: ¿Cómo ves? Universidad Nacional Autónoma de México.