Extrait - Probabilités et statistique by Les Éditions CEC

DIMENSIONS 2,27 cm

2,27 cm

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PROBABILITÉS ET STATISTIQUE 1,25 cm

2,27 cm

POSITIONNEMENT

EN SCIENCES DE LA NATURE Stéphanie Morneau

VERSION PROVISOIRE

Conforme au nouveau programme

2,27 cm

PRÉSENTATION DE L’OUVRAGE Destinée à l’enseignement du cours de Probabilités et statistique en sciences de la nature, cette collection couvre l’ensemble des éléments de la compétence décrite dans le nouveau programme. Le matériel offert permet aux étudiants de faire preuve d’une grande autonomie et aux enseignants de planifier avec souplesse les apprentissages. La démarche scientifique se trouve au cœur de ce projet. Les sept chapitres dont se compose le manuel offrent des outils nécessaires à la planification d’une recherche, mais surtout à l’analyse de données obtenues lors d’une collecte dans une discipline expérimentale : biologie, chimie ou physique.

Tous les chapitres s’ouvrent sur une page décrivant le ou les OBJECTIFS et incluant un SOMMAIRE.

CHAPITRE

CHAPITRES

La page suivante présente une MISE EN SITUATION. Cette dernière expose et met en contexte une ou des notions présentées dans le chapitre.

L’INTRODUCTION À LA STATISTIQUE OBJECTIF Utiliser le vocabulaire propre à la statistique.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 LES ÉCHELLES DE MESURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

La découverte de la radioactivité

• Échelle nominale • Échelle ordinale • Échelle d’intervalles • Échelle de rapports Exercices 1.3

1.1 LA DÉMARCHE SCIENTIFIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 • Étape 1 : La planification • Étape 2 : La collecte des données • Étape 3 : L’analyse des données Exercices 1.1 1.2 DES DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

• Statistique • Unité statistique • Population et échantillon • Variable et donnée • Variables qualitative et quantitative • Variables indépendante et dépendante • Groupes témoin et expérimental • Recensement et sondage • Transformation statistique des données Exercices 1.2

MISE EN SITUATION

1.4 LE QUESTIONNAIRE D’ENQUÊTE . . . . . . . . . . . . . . . 17

• Types de questions • La formulation des questions Exercices 1.4

LA DÉCOUVERTE DE LA RADIOACTIVITÉ La découverte de la radioactivité par les physiciens Henri Becquerel, Marie Curie et Pierre Curie est un bel exemple de mise en œuvre de la démarche scientifique.

EN RÉSUMÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

MISE EN PRATIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tout débute par une observation faite par Henri Becquerel. En 1896, en réalisant une Exercices par section expérience avec une plaque photographique et des sels d’uranyle, celui-ci découvre Exercices méli-mélo que l’uranium émet continuellement des rayonnements sans qu’une exposition Exercices-synthèse

à la lumière du soleil soit nécessaire. Cette observation constitue alors la base de la planification de leur recherche scientifique. En 1897, Marie Curie commence alors un doctorat sur ce sujet. Collaborant avec son mari, Pierre Curie, au laboratoire de l’École municipale de Physique et de Chimie de Paris, ils réussissent, à travers leurs nombreuses expériences, à extraire de la pechblende, un minerai, des éléments radioactifs tels l’uranium et le radium. Ce travail colossal réalisé en laboratoire se nomme la collecte des données de recherche, deuxième étape de la démarche scientifique.

La démarche scientifique n’utilise pas le verbe croire ; la science se contente de proposer des modèles explicatifs provisoires de la réalité ; et elle est prête à les modifier dès qu’une information nouvelle apporte une contradiction.

Les notions théoriques sont appuyées par de nombreux EXEMPLES qui proposent des contextes variés de recherche expérimentale. Ils accompagnent et complètent les notions. À l’intérieur d’un même chapitre, des exemples évolutifs permettent de comprendre comment appliquer les notions apprises à partir d’un même contexte.

Albert Jacquard (1925-2013) Chercheur, biologiste, généticien, ingénieur et philosophe français

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

Les conclusions de leurs recherches sont étonnantes, car les résultats obtenus lors de l’analyse des données de recherche, troisième étape de la démarche scientifique, diffèrent de ce qui était alors connu dans la littérature scientifique à ce moment concernant l’uranium. Les rayonnements émis par ces éléments sont beaucoup plus puissants, soit « radioactifs » !

EXEMPLE 1.2

Voici les éléments de la conception expérimentale de cette expérience. • L’unité statistique est un plant de pois jaune (Pisum sativum). • La population étudiée est l’ensemble des plants de pois jaunes (Pisum sativum). • La variable indépendante est la concentration (en g/L) en sel dans l’eau d’arrosage. C’est une variable quantitative continue et les différents niveaux de la variable indépen dante sont : 0,0 g/L, 25,0 g/L et 50,0 g/L. • La variable dépendante est la croissance dont le mode de mesure est la longueur (en cm) de la partie aérienne de la tige. C’est une variable quantitative continue. • Le groupe témoin sera constitué des plants arrosés avec une concentration en sel de 0,0 g/L (« absence » de la variable indépendante). Le premier groupe expérimental est constitué des plants arrosés avec une concentration en sel de 25,0 g/L et le deuxième groupe expérimental, des plants arrosés avec une concentration en sel de 50,0 g/L.

Remarque Il est impossible d’effectuer un recensement dans cette expérience, car la population entière est inconnue.

EXERCICES 1.2

Les rubriques CLIC permettent d’intégrer les technologies ou réfèrent à des procédures écrites pour l’utilisation de différents logiciels. À partir d’un code QR, elles peuvent également mener à une capsule vidéo formative pour l’utilisation d’Excel.

Corrigé, p. 380

de 18 à 45 ans qui utilisent un contraceptif oral ont été suivis pendant une année. Le premier groupe de femmes fumait régulièrement la cigarette et l’autre non. Le nombre de migraines a été répertorié pour chacune des femmes étudiées pendant l’année où l’étude a été réalisée.

Déterminez :

Des EXERCICES variés et nombreux permettent de mettre en pratique les notions.

a) l’unité statistique ; b) la population ; c) la variable indépendante ainsi que sa nature ; d) la variable dépendante, son mode de mesure ainsi que sa nature ; e) le groupe témoin et le groupe expérimental ;

1.3

LES ÉCHELLES DE MESURE

L’échelle de mesure est celle avec laquelle on mesure une variable sur une unité statistique. Que la variable soit qualitative ou quantitative, un nombre est associé à cette caractéristique pour chaque unité statistique étudiée. Le fait que la valeur soit numérique n’indique pas nécessairement qu’on puisse effectuer des calculs. C’est le type d’échelle de mesure attribué à une variable qui dicte comment les données peuvent être traitées et analysées (tableau, graphique, calculs de différentes mesures, tests d’hypothèses). Voici des explications sur quatre échelles de mesure différentes.

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

4. L’équipe de hockey d’un cégep a joué 10 matchs à l’extérieur durant sa saison. À chaque match, l’équipe peut gagner, perdre ou faire un match nul.

a) De combien de façons différentes les 10 matchs peuvent-ils se dérouler ? b) Si cette équipe a gagné 5 matchs, a perdu 3 matchs et a fait 2 matchs nuls, de combien de façons différentes les 10 matchs ont-ils pu se dérouler ?

POUR ALLER LOIN…

3.4

Voici une explication concernant les coefficients dans le développement du binôme (x + y) 3.

(x + y) 3 = x 3 + 3x 2y + 3xy 2 + y 3

Un arrangement est une disposition ordonnée d’une partie des objets discernables d’un ensemble. Il existe deux types d’arrangements : sans répétition, et avec répétitions.

Si on suppose que les y sont distincts les uns des autres, on a :

Dans les arrangements sans répétition, chacun des objets n’apparaît qu’une seule fois.

= x 3 + x 2y3 + x 2y2 + xy2y3 + x 2y1 + xy1y3 + xy1y2 + y1y2y3

Nombre de façons de choisir 1 y parmi les 3 termes C13 = 3

Nombre de façons de choisir 2 y parmi les 3 termes C23 = 3

Nombre de façons de choisir 3 y parmi les 3 termes C33 = 1

Dans le triangle de Pascal, il est aussi possible de voir que pour : n = 1 : C01 + C11 = 2 = 2 1 n = 2 : C02 + C12 + C22 = 4 = 2 2 n = 3 : C03 + C13 + C23 + C33 = 8 = 2 3 n = 4 : C04 + C14 + C24 + C34 + C44 = 16 = 2 4 etc.

Le nombre d’arrangements A d’un ensemble de r objets choisis parmi n objets discernables est donné par : n! Arn = _____ où r, n ∈ ℕ tels que 0 ≤ r ≤ n (n − r)!

Remarque 1) Cette section ne constitue pas de nouvelle matière par rapport aux sections précédentes, car les problèmes d’arrangements peuvent être résolus grâce au principe de multiplication (voir le théorème 3.2 à la page 105). 2) Lorsque le nombre d’objets choisis r est égal au nombre total d’objets discernables dans l’ensemble n, l’arrangement correspond à une permutation d’objets discernables avec ordre et sans répétition (voir le théorème 3.4 à la page 109) : lorsque r = n ⇒ Ann = Pn = n !.

Sur une calculatrice, il est possible de calculer le nombre d’arrangements d’objets discernables (avec ordre et sans répétition) avec la touche nPr où P vient du mot anglais Permutation, qui signifie Arrangement.

EXEMPLE 3.16 Lors de l’Expo-sciences, quatre prix sont remis aux étudiants finissants : or, argent, bronze et mention spéciale. Aucun étudiant ne peut recevoir plus d’un prix. On s’intéresse au nombre de façons de répartir les prix s’il y a 80 étudiants finissants.

Ainsi, pour n quelconque : C0n + C1n + C2n + C3n + ⋯ + Cnn = 2 n. Dans certains problèmes, cette propriété sera utilisée pour simplifier les calculs. (voir l’exemple-synthèse à la page 123).

3.6.2 LE BINÔME DE NEWTON On s’intéresse maintenant à une formule célèbre appelée formule du binôme de Newton. Elle permet de développer rapidement n’importe quel binôme élevé à une puissance naturelle, par exemple (x + y)6 ou même (x 2 − 5) 3.

Par le principe de multiplication, il existe 80 × 79 × 78 × 77 = 37 957 920 façons. Or 80

Argent

Bronze

Mention

Par le concept d’arrangements, on sélectionne r = 4 étudiants parmi n = 80 étudiants sans répétition où l’ordre est important. Il existe A4

80! 80! = ______ = ___ = 37 957 920 façons. (80 − 4)! 76!

THÉORÈME 3.11

Les remarques apportent des précisions ou des explications.

Formule du binôme de Newton n

(x + y) n = ∑Ci x i=0

n−i

y i ∀ n ∈ ℕ, ∀ x, y ∈ ℝ, où Cin : coefficient binomial

CLIC

Arrangements d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

= (x 2 + xy2 + xy1 + y1y2)(x + y3)

Nombre de façons de choisir 0 y parmi les 3 termes C03 = 1

LES ARRANGEMENTS

THÉORÈME 3.7

(x + y1)(x + y2)(x + y3)

= x 3 + x 2(y1 + y2 + y3) + x 1(y2y3 + y1y3 + y1y2) + x 0(y1y2y3)

Dans le triangle de Pascal, on remarque que : C14 = C03 + C13 = 1 + 3 = 4

Les rubriques POUR ALLER + LOIN offrent des explications complémentaires enrichissantes.

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

1. Une étude a été réalisée sur des femmes qui souffrent de migraines. Deux groupes de 100 femmes âgées

f) si un recensement ou un sondage a été effectué.

Les définitions, les théorèmes et les propriétés sont clairement identifiés afin d’en faciliter le repérage.

Pierre Curie et Marie Curie

Grâce à ces découvertes, le prix Nobel de physique a été décerné en 1903 à Henri

En raison des conditions hivernales québécoises, on procède à l’épandage de sel Becquerel, à Marie Curie et à Pierre Curie pour leurs travaux sur la radioactivité. Marie déglaçant sur les routes et les trottoirs glacés. Une expérience a été réalisée voir le prix Nobel de chimie en 1911 pour la découverte du radium. En 1934, Curiepour a obtenu l’effet néfaste du sel à 3 concentrations différentes dans l’eau d’arrosage : 0,0elle g/L,est 25,0 g/L décédée de complications causées par les radiations. et 50,0 g/L sur la croissance mesurée par la longueur (en cm) de la partie aérienne de la tige des plants de pois jaunes (Pisum sativum).

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

113

119

Présentation de l’ouvrage

III

La section EN RÉSUMÉ offre des schémas notionnels et des tableaux qui résument les notions du chapitre, ce qui en fait un outil de révision utile.

EN RÉSUMÉ Voici un résumé des différents théorèmes étudiés au chapitre 3 :

THÉORÈME 3.1

Principe de multiplication

Si une expérience s’effectue en deux opérations A et B l’une après l’autre et qu’il y a m façons de réaliser l’opération A et n façons de réaliser l’opération B, alors il existe :

Résoudre un problème d’analyse combinatoire peut s’avérer complexe. Pour faciliter sa résolution, il faut se poser plusieurs questions. Voici un diagramme présentant la formule appropriée selon la réponse obtenue :

m × n façons possibles de réaliser les opérations A ET B

FIGURE 3.5 Résolution d’un problème d’analyse combinatoire

THÉORÈME 3.2

Principe de multiplication (version générale)

Remarque

Si k opérations, où k ∈ ℕ *, doivent être effectuées successivement et sont telles qu’il existe n1 façons de réaliser une première opération, n2 façons de réaliser une deuxième opération, n3 façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe :

THÉORÈME 3.3

Le principe d’addition ne figure pas dans le diagramme, mais il pourrait être utilisé dans toutes les situations.

n1 × n2 × n3 × ⋯ × nk façons possibles de réaliser les k opérations

Les objets sont-ils tous choisis ?

Oui

Principe d’addition

Non

Les objets sont-ils tous discernables ? Si k opérations mutuellement exclusives, où k ∈ ℕ *, doivent être effectuées et sont telles qu’il existe n1 façons de réaliser une première opération, n2 façons de réaliser une deuxième Oui Non opération, n3 façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe : Voici un exemple qui permet de faire une synthèse des notions étudiées au chapitre 1. n1 + n2 + n3 + ⋯ + nk façons possibles de réaliser l’une OU l’autre de ces opérations Permutations : Permutations : EXEMPLE-SYNTHÈSE n! _____________ n! n !×n !×⋯×n!

THÉORÈME 3.4

n! Crn = _ r! (n − r)!

Oui

Cette section peut aussi présenter un EXEMPLESYNTHÈSE, permettant d’ancrer les notions abordées dans le chapitre en une ou deux pages. À l’intérieur du cahier, des exemples évolutifs permettent de comprendre comment appliquer différentes notions à partir d’une même situation.

Combinaisons :

Non

L’ordre des objets est-il important ?

Remarque

Les objets peuvent-ils se répéter ?

Oui

Non

Arrangements avec répétitions :

Arrangements sans répétition :

ou ou Une expérience a été réalisée pour déterminer si les individus aux yeux bruns voient mieux Permutations d’objets discernables (avec ordre et sans répétition) Ce projet de ou dans la pénombre que les individus aux yeux bleus. Permutations Permutations recherche est Le nombre de permutations P d’un ensemble de n objets discernables est donné par : circulaires : circulaires : Principe de un exemple L’hypothèse de recherche étant que les individus aux yeux bleus seraient plus sensibles (n − 1)! multiplication ______________ évolutif. En effet, (n – 1)! P = n! où n ∈ ℕà un changement de luminosité que les individus aux yeux bruns. n1! × n2! × ⋯ × nk! les donnéesn Ce sont 60 individus aux yeux bleus et 60 individus aux yeux bruns qui ont été invités à tour récoltées seront n factorielle de rôle dans un local pour réaliser l’expérimentation. Il a été demandé à chaque individu traitées et de l’échantillon de lire à la lumière du jour sur un panneau situé à une distance de 5 m le dansest les définie par Soit n ∈ ℕ, l’expression n!, dite nanalysées factorielle, : Voicipour un exemple nombre maximal de lettres en 15 s. L’expérience s’est répétée à la pénombre le même qui permet de faire une synthèse des notions étudiées au chapitre 3 : chapitres suivants. n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 individu avec un autre panneau et la différence entre le nombre de lettres lues à la lumière EXEMPLE-SYNTHÈSE Par convention, on affirme que 0! = 1. du jour et à la pénombre a été notée.

n! Arn = _____ (n − r)!

ou Principe de multiplication

Voici les éléments statistiques de ce projet de recherche. Lors de l’Expo-sciences du programme Sciences de la nature, des prix sont remis aux meilleurs projets de fin d’études parmi ceux de 45 étudiants finissants. Parmi ces étudiants, 10 ont fait leur projet en physique, 15 l’ont • L’échantillonnage correspond 120: individus : 60 individus aux yeux bleus et chimie, 60 indiet 20 en biologie. Au total, la direction octroie une somme de 1200 $ sous forme de bourses. fait en Le nombre de permutations circulaires d’un ensemble de n objets discernables est donnéàpar vidus aux yeux bruns. a) On s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix si 3 prix identiques de 400 $ sont remis et si chaque n! __ = (n − 1)! où n ∈• ℕ La* variable indépendante est la couleur des yeux. Les modalités de la variable sont étudiant ne peut pas recevoir plus d’un prix. n bleu et brun. Il s’agit d’une variable qualitative nominale à échelle nominale. Si trois prix identiques sont remis, l’ordre n’est pas important. Ainsi, cela revient à choisir 3 étudiants parmi 45! • La variable dépendante est la vision. Le mode de mesure de la variable dépendante = 14 190 façons. 45 sans ordre. Il existe donc C345 = ______ 3! × 42! est le nombre maximal de lettres lues sur un panneau en 15 s. La nature de celleci est direction remet 800 $ pour le prix du jury, 300 $ pour le prix des diplômés et 100 $ pour le prix du public ; quantitative discrète etcombinatoire l’échelle de mesure utilisée correspond à l’échelleb)deLarapports. © 2024, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite Chapitre 3 • L’analyse on s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix dans ce contexte si un étudiant ne peut pas gagner • Une transformation statistique des données doit être effectuée avant de les analyser, plus d’un prix. car les individus ne lisent pas tous à la même vitesse. Cette transformation des données Si trois prix distincts sont remis, l’ordre est alors important. Par le principe de multiplication ou le concept correspond à la différence entre le nombre maximal de lettres lues à la lumière du jour ___ = 85 140 façons. et à la pénombre. C’est avec ces résultats que le traitement et l’analyse des données d’arrangements, il existe 45 × 44 × 43 = A345 = 45! 42! seront effectués. Voici la formule mathématique :

THÉORÈME 3.5

L’unité statistique est un individu. Permutations circulaires d’objets discernables (avec •ordre et sans répétition)

121

D = nombre de lettres lueslumière – nombre de lettres luespénombre Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

© 2024, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite • Le temps de l’expérimentation (15 s) et la distance (5 m) ne sont pas des variables à l’étude et elles doivent demeurer constantes tout au long de l’expérimentation.

Chaque chapitre s’achève sur une MISE EN PRATIQUE qui se compose de trois types d’exercices :

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

MISE EN PRATIQUE Corrigé, p. 399

EXERCICES PAR SECTION

Corrigé, p. 398

Sections 3.1 et 3.2

Section 3.6

1. a) De combien de façons différentes peut-on former un nombre de 7 chiffres à partir des chiffres 0 à 9 si

39. Donnez le développement de (__21 x − y ) . 3

ce nombre ne peut pas commencer par le chiffre 0.

• les exercices par section où chaque section ciblée est clairement identifiée ; • les exercices méli-mélo où la section de référence n’est pas indiquée ; • les exercices-synthèse qui font appel à deux sections ou plus, ou dont le niveau de difficulté est plus élevé que celui des exercices précédents.

40. Dans le développement de (x − __x2 ) , identifiez : 2

b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ?

a) le terme en x 5 s’il existe un tel terme ;

c) Combien de ces nombres sont supérieurs à 7 000 000 ?

2. Combien existe-t-il de façons différentes de répondre à un questionnaire de 25 questions de type vrai

b) le terme indépendant de x s’il existe un tel terme.

ou faux ?

41. Trouvez le terme en x dans le développement de (2√_x + x) s’il existe un tel terme. 7

3. Combien existe-t-il de façons différentes de répondre à un questionnaire à choix multiples de 40 questions

3_ 42. Déterminez le terme constant, s’il existe, dans le développement de (x − _ . √ x3 )

si chaque question a 5 choix de réponses ?

4. Combien de plaques différentes peut-on constituer si l’immatriculation des véhicules se fait de la façon

43. Déterminez le terme en y dans le développement de (2xy + 3z ) s’il existe un tel terme. 9

suivante : trois lettres suivies de trois chiffres dont le premier est différent de 0, ou trois chiffres, dont le premier est différent de 0, suivis de trois lettres ? Les répétitions sont permises.

5. De combien de façons peut-on attribuer 6 récompenses distinctes aux 13 finalistes d’un gala :

2 6

a) si aucun finaliste ne peut recevoir plus d’une récompense ?

EXERCICES MÉLI-MÉLO

b) si chaque finaliste peut recevoir plus d’une récompense ?

44. En recherche biométrique, on doit parfois comparer des couples de caractères. Combien de couples de

6. Combien existe-t-il de façons différentes qu’un chirurgien puisse opérer huit patients :

Corrigé, p. 399

caractères différents peut-on comparer à partir des cinq caractères A, B, C, D et E ? Énumérez-les.

45. Pour commander un sous-marin, le client doit choisir un pain, un fromage, une viande et une sauce. Voici

a) s’il n’y a aucune contrainte ?

les choix possibles de chaque type d’aliment : • Pain : blanc ou blé entier ; • Fromage : suisse, cheddar ou mozzarella ; p. 399 •Corrigé, Viande : poulet, bœuf, dinde ou boulette végane ; • Sauce : césar, italienne, moutarde, mayonnaise ou barbecue.

b) si les patients A et B doivent être opérés l’un après l’autre (pas nécessairement dans cet ordre) ? c) si les patients A et B ne doivent pas être opérés l’un après l’autre (pas nécessairement dans cet ordre) ?

7. a) À partir des chiffres 3 à 8, combien peut-on former de nombres de 6 chiffres distincts ? b) Parmi ces nombres, combien sont : 49. Une entreprise offre 14 modèles de cordons lumineux : 8 ont un circuit en série et les autres, unCombien circuit ende sous-marins différents le client peut-il commander ? parallèle. L’entreprise 1) impairs ? 3) pairs et inférieurs àconstitue 700 000 ?un échantillon de six modèles. De combien de façons différentes peut-elle 46. Quatre filles et quatre garçons doivent être rencontrés lors d’une entrevue pour un stage. De combien de procéder : 2) supérieurs à 500 000 ?

4) impairs ou supérieurs à 600 000 ? a) s’il n’y a aucune contrainte ?

façons différentes peut-on organiser les rencontres :

a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si l’échantillon doit compter autant de cordons lumineux ayant un circuit en série qu’en parallèle ?

Section 3.3

b) si Klara et Gustave doivent être rencontrés l’un après l’autre ? 8. À partir des lettres du mot BOTANIQUE, combien c)peut-on former d’assemblages si l’échantillon doit compter:moins de cordons lumineux ayant un circuit parallèle qu’en série ? a) de neuf lettres différentes ?

b) sidel’échantillon sept lettresdoit différentes ? des cordons lumineux ayant un circuit en série et en parallèle ? d) compter

c) si l’on désire que les filles et les garçons soient rencontrés en alternance ? d) si les garçons doivent être rencontrés l’un après l’autre ?

9. À partir des lettres du mot EMBRYON, combien peut-on former d’assemblages deunité septd’information lettres distinctes 50. En informatique, un octet est une de huit bits. Un bit est une unité binaire qui ne peut 47. Le code génétique définit un acide aminé par une suite de trois nucléotides. Il existe quatre nucléotides commençant par une voyelle et finissant par uneprendre consonne que? deux valeurs : 0 ou 1. Combien d’octets différents peut-on former ? différents : A, T, C ou G. Combien d’acides aminés peut-on coder si les répétions sont permises ? 10. À partir des lettres du mot TOURMALINE, si l’on alterne voyelles et consonnes, combien peut-on former 1 51. Déterminez le terme constant, s’il existe, dans le développement de (x − _ . 48. À partir des lettres du mot LARYNGOSCOPIE, on forme des assemblages de cinq lettres distinctes. x ) d’assemblages : De combien de façons peut-on procéder ? 52. Combien numéros de téléphone différents à 7 chiffres, dont le premier doit être différent dea) 3, peut-on a) de huit lettres différentes ? b) de six de lettres différentes ? 4

constituer avec les chiffres du nombre 3 366 999 ?

Dans cette section, certains exercices sont identifiés à l’aide d’un pictogramme comme étant en lien avec certains profils. Cela permet une sélection plus rapide et ciblée des exercices.

123

b) Parmi celles-ci, combien d’assemblages de lettres :

53. Six étudiants se trouvent dans la même classe. Combien y a-t-il de combinaisons possibles relativement à: 1) ne contiennent que des consonnes ? a) leur sexe à la naissance ?

c) leur groupe sanguin ?

2) ne contiennent que des voyelles ? d) leur couleur de cheveux s’il existe 8 couleurs naturelles ? 3) commencent par la lettre L et se terminent par la lettre E ?

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

b) leur mois de naissance ?

125

54. Un sachet contient 24 graines de concombres, dont 6 ne germeront pas.

4) sont constitués de trois consonnes suivies de deux voyelles ?

a) Combien y a-t-il de façons possibles de choisir 8 graines ?

5) sont constitués de deux voyelles et de trois consonnes ?

b) Combien parmi ces possibilités ne contiendront que de bonnes graines ? Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

EXERCICES-SYNTHÈSE

129

Corrigé, p. 400

55. À partir des lettres du mot RADIOLOGISTE : a) combien d’assemblages de 12 lettres peut-on former si l’on utilise chacune des lettres de ce mot une et une seule fois ? b) combien d’assemblages de six lettres distinctes peut-on former : 1) en alternant voyelles et consonnes ? 2) en commençant par trois consonnes et en finissant par trois voyelles ? 3) avec trois voyelles et trois consonnes ?

: Sciences de la santé

4) en commençant et en terminant par une consonne ?

56. Combien y a-t-il de façons de répondre à un examen à choix multiples de 30 questions si chaque question a 4 choix de réponses ?

57. De combien de façons différentes peut-on aligner sept chênes, six érables, cinq pins et quatre peupliers si les arbres d’une même essence sont placés côte à côte ?

58. De combien de façons peut-on disposer sept personnes sur un banc de parc :

: Sciences pures et appliquées

a) si Enzo et Patricia désirent être côte à côte ? b) si Marie et Alex ne peuvent être côte à côte ?

130

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

CHAPITRE 3

ANNEXES

c) 65 536x 8

MISE EN PRATIQUE EXERCICES PAR SECTION

EXERCICES 3.1 1. a) 3 000 000 codes b) 453 600 codes

Sections 3.1 et 3.2

2. 168 façons

1. a) 9 000 000 façons

3. a) 6720 mots

b) 4 500 000 façons

b) 8640 mots

Les annexes sont divisées en trois catégories : les différentes tables de loi (normale, Student, khi-deux, Fisher), l’échantillonnage et les autres tests d’hypothèses.

c) 2 999 999 façons

EXERCICES 3.2

2. 33 554 432 façons

1. 5040 mots

3. 5 40 façons

2. 780 nombres

4. 31 636 800 plaques

EXERCICES 3.3

5. a) 1 235 520 façons

1. a) 2 370 937 800

6. a) 40 320 façons

b) 4 826 809 façons

b) n(n + 1)(n − 1)

b) 10 080 façons

2. 399 168 00 façons

c) 30 240 façons 7. a) 720 nombres

3. a) 40 320 mots

b) 1) 360 nombres

b) 1 814 400 mots

CORRIGÉ

2) 480 nombres

4. a) 59 049 façons

3) 240 nombres

b) 2520 façons

4) 528 nombres

EXERCICES 3.4

Section 3.3

1. a) 16 façons

8. a) 362 880 mots

b) 1 028 160 façons

b) 181 440 mots

c) 111 649façons

9. 1440 mots

d) 154 440 façons

10. a) 28 800 mots

2. a) 39 270 façons

Le corrigé court de chaque exercice se retrouve à la fin du manuel.

b) 42 875 façons

b) 7200 mots

c) 9900 façons

11. a) 3 628 800 façons b) 50 803 200 façons

d) 32 430 façons

12. a) 26 ! façons

EXERCICES 3.5

b) 1 011 316 948 992 000 façons

1. a) 20 020 façons

c) 4 904 730 448 484 106 240 000 façons

b) 116 272 façons

INDEX À la fin du manuel, l’index facilite le repérage des différents concepts étudiés.

Présentation de l’ouvrage

13. 967 680 façons

EXERCICES 3.6

14. a) 39 916 800 façons

1. a) x 4 + 12x 3 + 54x 2 + 108x + 81 3x − __ 1 b) 8x 3 − 6x 2 + __ 2

c) x 6 + 24x 5 + 240x 4 + 1280x 3 + 3840x 2

+ 6144x + 4096 2. a) x

b) -3584x 13

398

Corrigé

b) 7 257 600 façons c) 2 177 280 façons 15. 2002 façons 16. 756 756 façons 17. 14 façons 18. a) 1260 nombres

TABLE DES MATIÈRES

: dans cet extrait

CHAPITRE 1

2.2 Le traitement d’une variable quantitative discrète ........................................... 39

L’INTRODUCTION À LA STATISTIQUE ..........

MISE EN SITUATION La découverte de la radioactivité ..............................

1.1 La démarche scientifique ....................................

2.3 Le traitement d’une variable quantitative continue .......................................... 42

Étape 1 : La planification .......................................................

2.3.1 Le tableau de fréquences ...................................... 42

Étape 2 : La collecte des données ...................................

2.3.2 L’histogramme .............................................................. 44

Étape 3 : L’analyse des données .......................................

2.3.3 Le polygone de fréquences ................................. 45

1.2 Des définitions ......................................................

2.4 Les mesures de tendance centrale .................... 46

1.3 Les échelles de mesure ........................................ 12

2.4.1 Le mode ........................................................................... 46

1.3.1 L’échelle nominale .................................................... 13

2.4.2 La médiane ..................................................................... 48

1.3.2 L’échelle ordinale ....................................................... 13

2.4.3 La moyenne ................................................................... 52

1.3.3 L’échelle d’intervalles ............................................... 14

2.5 Les mesures de dispersion ................................. 55

1.3.4 L’échelle de rapports ................................................ 15

2.5.1 L’étendue ......................................................................... 55

1.4 Le questionnaire d’enquête ............................... 17

2.5.2 La variance et l’écart type ...................................... 56

1.4.1 Les types de questions............................................. 18

2.5.3 Le coefficient de variation ..................................... 60

2.2.1 Le tableau de fréquences ...................................... 39 2.2.2 Le diagramme à bâtons .......................................... 39

– La question fermée................................................. 18

2.6 Les mesures de position ...................................... 61

– La question ouverte .............................................. 19

2.6.1 Les quartiles ...................................................................

1.4.2 La formulation des questions .............................. 20

2.6.2 La cote Z ........................................................................... 65

EN RÉSUMÉ ..................................................................... 21

2.7 Le traitement simultané de deux variables ..... 66

MISE EN PRATIQUE ........................................................ 23

2.7.1 Le tableau à double entrée ................................... 66

Exercices par section ........................................................................ 23

– La distribution marginale ................................... 67

Exercices méli-mélo .......................................................................... 27

– La distribution conditionnelle ......................... 68

Exercices-synthèse ............................................................................. 29

2.7.2 Le diagramme à bandes chevauchées .......... 68 2.7.3 La régression et la corrélation linéaire ............ 70

CHAPITRE 2

– Le nuage de points ................................................ 70

LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE ...................... 32

– Le coefficient de corrélation linéaire ........... 72

– Le coefficient de détermination linéaire ...... 73

– La droite de régression ........................................

MISE EN SITUATION La modélisation ........................................................... 33 2.1 Le traitement d’une variable qualitative ......... 34 2.1.1 Le tableau de fréquences ...................................... 34 2.1.2 Les graphiques ............................................................. 36

2.7.4 Les autres tableaux et graphiques .................... 77 EN RÉSUMÉ ..................................................................... 82 MISE EN PRATIQUE ........................................................ 84

– Le diagramme circulaire ..................................... 36

Exercices par section ........................................................................ 84

– Le diagramme à bandes horizontales ou verticales ............................................................... 37

Exercices méli-mélo .......................................................................... 98

Exercices-synthèse ............................................................................. 101

Table des matières

CHAPITRE 3 L’ANALYSE COMBINATOIRE ............................ 102 MISE EN SITUATION Collecter des échantillons à partir d’une population ......................................................... 103 3.1 Le principe de multiplication ............................. 104 3.2 Le principe d’addition ......................................... 107

Exercices par section ........................................................................ 164 Exercices méli-mélo .......................................................................... 171 Exercices-synthèse ............................................................................. 173

CHAPITRE 5 LES VARIABLES ALÉATOIRES ......................... 174

3.3 Les permutations ................................................. 109

MISE EN SITUATION Le test de Wechsler ...................................................... 175

3.4 Les arrangements ................................................ 113

5.1 Introduction .......................................................... 176

3.5 Les combinaisons ................................................. 115

5.2 La variable aléatoire discrète ............................. 178

3.6 Le triangle de Pascal et le binôme de Newton ............................................................. 118

5.2.1 La distribution de probabilités d’une variable aléatoire discrète ........................ 178

EN RÉSUMÉ ..................................................................... 121 MISE EN PRATIQUE ........................................................ 125

5.2.2 L’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire discrète ........................ 181

Exercices par section ........................................................................ 125

5.2.3 La variable aléatoire de Bernoulli ....................... 187

Exercices méli-mélo .......................................................................... 129

5.2.4 La variable aléatoire binomiale ........................... 189

Exercices-synthèse ............................................................................. 130

5.2.5 La variable aléatoire de Poisson ......................... 193

CHAPITRE 4 LES PROBABILITÉS ............................................... 132 MISE EN SITUATION Des probabilités sur la santé...................................... 133

5.3 La variable aléatoire continue ........................... 197 5.3.1 La variable aléatoire uniforme ............................. 201 5.3.2 La loi normale ............................................................... 204 EN RÉSUMÉ ..................................................................... 217 MISE EN PRATIQUE ........................................................ 219

4.1 Introduction .......................................................... 134

Exercices par section ........................................................................ 219

4.1.1 Des définitions .............................................................. 134

Exercices méli-mélo .......................................................................... 226

4.1.2 La théorie des ensembles et des opérations sur les événements ............ 136

Exercices-synthèse ............................................................................. 227

4.1.3 Les propriétés des opérations sur les événements .................................................... 139 4.2 Le calcul des probabilités ................................... 141 4.2.1 La probabilité subjective ........................................ 141 4.2.2 La méthode classique .............................................. 141

CHAPITRE 6 L’INFÉRENCE STATISTIQUE : L’ESTIMATION ......................................................... 228

4.2.3 La méthode empirique ........................................... 143

MISE EN SITUATION La conservation des aliments .................................... 229

4.2.4 Les axiomes et les propriétés ............................... 144

6.1 Des définitions ...................................................... 230

4.3 La probabilité conditionnelle ............................ 148

6.2 La distribution d’échantillonnage d’une moyenne ..................................................... 232

4.4 L’indépendance d’événements ......................... 151 4.5 Le principe de multiplication et d’addition pour les probabilités ........................................... 153

6.3 L’intervalle de confiance ..................................... 238

4.5.1 Le diagramme en arbre ........................................... 153

6.3.1 L’intervalle de confiance sur une moyenne pour : ................................................. 239

4.5.2 Le principe de multiplication ............................... 154

– un grand échantillon ............................................ 239

4.5.3 Le principe d’addition .............................................. 156

– un petit échantillon ............................................... 246

4.6 Le théorème de Bayes ......................................... 158

6.3.2 Le choix du type de barre d’erreur ................... 252

EN RÉSUMÉ ..................................................................... 161

6.3.3 L’intervalle de confiance sur une proportion pour un grand échantillon .................................... 254

MISE EN PRATIQUE ........................................................ 164

Table des matières

EN RÉSUMÉ ..................................................................... 264

7.3 Les tests d’hypothèses non paramétriques ...... 324

MISE EN PRATIQUE ........................................................ 265

7.3.1 Le test d’indépendance .......................................... 325

Exercices par section ........................................................................ 265

7.3.2 Le test d’ajustement .................................................. 334

Exercices méli-mélo .......................................................................... 272

7.4 Le choix d’un test d’hypothèse .......................... 338

Exercices-synthèse ............................................................................. 274

EN RÉSUMÉ ..................................................................... 340

CHAPITRE 7 L’INFÉRENCE STATISTIQUE : LES TESTS D’HYPOTHÈSES .............................. 276 MISE EN SITUATION La confirmation ou l’infirmation ............................... 277

MISE EN PRATIQUE ........................................................ 343 Exercices par section ........................................................................ 343 Exercices méli-mélo .......................................................................... 351 Exercices-synthèse ............................................................................. 353

ANNEXES ................................................................... 356 1. La table de la loi normale centrée réduite .......... 356

7.1 L’introduction à la notion de test d’hypothèse ............................................. 278

2. La table de la loi de Student .................................. 357

7.2 Les tests d’hypothèses paramétriques ............ 283

4. Des tables de la loi de Fisher ................................. 359

7.2.1 Le test sur une moyenne pour : .......................... 283

5. L’échantillonnage ................................................... 362

3. La table de la loi du khi-deux ................................ 358

– un grand échantillon ............................................ 283

6. Les autres tests d’hypothèses .............................. 371

– un petit échantillon ............................................... 289

CORRIGÉ ..................................................................... 380

7.2.2 Le test sur une proportion pour un grand échantillon ................................................ 292 7.2.3 Le test sur la différence de deux moyennes pour : ............................................. 298

– de grands échantillons ........................................ 298

– de petits échantillons ........................................... 303

7.2.4 Le test sur des données appariées pour de petits et de grands échantillons ................. 306

Chapitre 1 ...................................................................... 380 Chapitre 2 ...................................................................... 385 Chapitre 3 ...................................................................... 398 Chapitre 4 ...................................................................... 400 Chapitre 5 ...................................................................... 406 Chapitre 6 ...................................................................... 410 Chapitre 7 ...................................................................... 416

7.2.5 Le test sur la différence de deux proportions pour de grands échantillons ................................ 312

INDEX ........................................................................... 423

7.2.6 L’ANOVA à un facteur intersujets ........................ 318

MÉDIAGRAPHIE ...................................................... 426

Table des matières

CHAPITRE

L’INTRODUCTION À LA STATISTIQUE OBJECTIF Utiliser le vocabulaire propre à la statistique.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 LES ÉCHELLES DE MESURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

La découverte de la radioactivité

• Échelle nominale • Échelle ordinale • Échelle d’intervalles • Échelle de rapports Exercices 1.3

1.1 LA DÉMARCHE SCIENTIFIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

• Étape 1 : La planification • Étape 2 : La collecte des données • Étape 3 : L’analyse des données Exercices 1.1 1.2 DES DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 LE QUESTIONNAIRE D’ENQUÊTE. . . . . . . . . . . . . . . . 17

• Types de questions • La formulation des questions Exercices 1.4 EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

MISE EN SITUATION LA DÉCOUVERTE DE LA RADIOACTIVITÉ La découverte de la radioactivité par les physiciens Henri Becquerel, Marie Curie et Pierre Curie est un bel exemple de mise en œuvre de la démarche scientifique. Tout débute par une observation faite par Henri Becquerel. En 1896, en réalisant une expérience avec une plaque photographique et des sels d’uranyle, celui-ci découvre que l’uranium émet continuellement des rayonnements sans qu’une exposition à la lumière du soleil soit nécessaire. Cette observation constitue alors la base de la planification de leur recherche scientifique. En 1897, Marie Curie commence alors un doctorat sur ce sujet. Collaborant avec son mari, Pierre Curie, au laboratoire de l’École municipale de Physique et de Chimie de Paris, ils réussissent, à travers leurs nombreuses expériences, à extraire de la pechblende, un minerai, des éléments radioactifs tels l’uranium et le radium. Ce travail colossal réalisé en laboratoire se nomme la collecte des données de recherche, deuxième étape de la démarche scientifique. Les conclusions de leurs recherches sont étonnantes, car les résultats obtenus lors de l’analyse des données de recherche, troisième étape de la démarche scientifique, diffèrent de ce qui était alors connu dans la littérature scientifique à ce moment concernant l’uranium. Les rayonnements émis par ces éléments sont beaucoup plus puissants, soit « radioactifs » ! Grâce à ces découvertes, le prix Nobel de physique a été décerné en 1903 à Henri Becquerel, à Marie Curie et à Pierre Curie pour leurs travaux sur la radioactivité. Marie Curie a obtenu le prix Nobel de chimie en 1911 pour la découverte du radium. En 1934, elle est décédée de complications causées par les radiations.

Pierre Curie et Marie Curie

Chapitre 1 • L’introduction à la statistique

CHAPITRE

LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE OBJECTIFS Représenter une distribution de fréquences sous forme de tableau et de représentation graphique. Calculer des mesures de tendance centrale, de dispersion et de position. Interpréter des tableaux, des graphiques et des mesures. Déterminer l’équation de la droite de régression. Interpréter des coefficients. Résoudre des problèmes faisant intervenir le concept de droite de régression.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 La modélisation 2.1 LE TRAITEMENT D’UNE VARIABLE QUALITATIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 • Tableau de fréquences et graphiques Exercices 2.1 2.2 LE TRAITEMENT D’UNE VARIABLE QUANTITATIVE DISCRÈTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 • Tableau de fréquences et graphique Exercices 2.2 2.3 LE TRAITEMENT D’UNE VARIABLE QUANTITATIVE CONTINUE .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 • Tableau de fréquences et graphiques Exercices 2.3 2.4 LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE . 46 • Mode • Médiane • Moyenne Exercices 2.4

2.5 LES MESURES DE DISPERSION . . . . . . . . . . . . . . 55 • Étendue • Variance et écart type • Coefficient de variation Exercices 2.5 2.6 LES MESURES DE POSITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 • Quartiles • Cote Z Exercices 2.6 2.7 LE TRAITEMENT SIMULTANÉ DE DEUX VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 • Tableaux et graphiques • Régression et corrélation linéaire Exercices 2.7 EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

La statistique est la grammaire des sciences. Karl Pearson (1857-1936) Mathématicien et statisticien britannique

Chapitre 2 • La statistique descriptive

MISE EN SITUATION LA MODÉLISATION Dans le cadre d’une étude, on s’intéresse à la distance parcourue 32 des véhicules complètement électriques selon la durée de chargement de leur batterie (en h). Pour chaque véhicule étudié, le chargement a débuté au moment où la batterie avait atteint un seuil de 20 %. Le nuage de points suivant représente les données récoltées pour les 32 véhicules. FIGURE 2.1 Distance parcourue par un véhicule électrique selon la durée de chargement de la batterie 240,0 220,0

Distance parcourue (km)

200,0 180,0 160,0

(4,5, 150,0)

140,0 120,0 100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

Durée de chargement de la batterie (h)

Le lien entre les deux variables peut être décrit par un modèle linéaire, puisqu’on peut déceler un certain alignement dans les points du nuage. Plus la durée de chargement de la batterie augmente, plus la distance parcourue augmente également. Ainsi, après une étude de la corrélation linéaire entre ces deux variables quantitatives à échelle de rapports, la modélisation de cette situation permet d’estimer qu’avec une durée de chargement de 4,5 h, on peut parcourir une distance d’environ 150 km.

Chapitre 2 • La statistique descriptive

Après avoir été collectées à l’étape 2 de la démarche scientifique, les données peuvent être codées dans un logiciel statistique et transformées pour faciliter leur interprétation. Cette dernière est possible grâce aux tableaux et aux graphiques qui peuvent être tracés et aux calculs de mesures de tendance centrale, de dispersion et de position qui peuvent être effectués. Le présent chapitre traite de ces notions.

2.1

LE TRAITEMENT D’UNE VARIABLE QUALITATIVE 2.1.1 LE TABLEAU DE FRÉQUENCES

• Un tableau de fréquences (ou tableau de distribution) permet de classer et d’organiser des données d’une série statistique (ou série de données brutes) après les avoir récoltées. • Ce type de tableau permet de synthétiser et de dégager plus facilement l’information recueillie dans un échantillon ou une population. • Pour le construire, il faut dénombrer le nombre d’unités statistiques de la série correspondant à chacune des modalités de la variable. C’est ce que l’on appelle les fréquences absolues (ou effectifs). • Dans un tel tableau, il est possible de présenter les fréquences relatives (en %), c’est-à-dire la proportion des unités statistiques correspondant à chacune des modalités de la variable. Les fréquences relatives sont calculées comme suit : Effectif

i modalité Fréquence relative i modalité = ___________ × 100 % n e

Les pourcentages sont généralement arrondis au dixième près. Si le total n’est pas exactement de 100 % en raison de l’arrondissement, il est suggéré d’ajouter une note au bas du tableau : « En raison de l’arrondissement des pourcentages, le total n’est pas exactement de 100,0 %. » Voici les normes de présentation d’un tableau de fréquences : 1. Le titre peut s’écrire : Répartition d’un échantillon (ou d’une population) de n (ou N) unités statistiques selon la variable, le lieu, la période ou la date.

Remarque Lorsqu’un organisme biologique est étudié, on mentionne son nom latin en italique dans le titre. Lorsque l’être humain est l’objet d’une étude, son nom latin est omis.

2. La première colonne est réservée aux modalités de la variable. Son titre correspond à la variable. 3. La deuxième colonne est généralement réservée aux fréquences absolues. Son titre dépend du contexte de l’étude : Nombre d’unités statistiques. 4. S’il y a lieu, les fréquences relatives sont inscrites dans la troisième colonne. Son titre dépend du contexte de l’étude : Pourcentage d’unités statistiques. 5. La dernière ligne correspond au Total, si celle-ci a un sens. 6. La source de l’expérience est indiquée sous le tableau, si elle est connue. 7. Un commentaire, une note ou une courte interprétation sur un ou des renseignements représentés peut être ajouté sous le tableau. 8. Dans un rapport de recherche complet, les tableaux sont généralement numérotés l’un à la suite de l’autre.

Chapitre 2 • La statistique descriptive

• On insère généralement, en annexe, les tableaux des séries statistiques, chacun accompagné d’un titre approprié : Série statistique de la variable d’un échantillon (ou d’une population) de n (ou N) unités statistiques, le lieu, la période ou la date. • Pour faciliter la construction du tableau de fréquences, un tableau de dénombrement peut être utile. Il permet, entre autres, de comptabiliser les résultats obtenus.

EXEMPLE 2.1 Voici la série statistique obtenue après avoir interrogé, en 2023, des résidents de la ville de Montréal sur la couleur de leurs yeux : Vert

Brun

Vert

Bleu

Vert

Brun

Bleu

Vert

Bleu

Vert

Bleu

Vert

Bleu

Vert

Bleu

Voici les éléments statistiques de l’étude : • Unité statistique : un résident de la ville de Montréal • Taille de l’échantillon : n = 25 • Variable étudiée : la couleur des yeux (variable qualitative nominale à échelle de mesure nominale)

TABLEAU 2.1

Remarque

Modèle d’un tableau de dénombrement

Modalité

Dénombrement

Fréquence absolue

Fréquence relative

Vert

|||| |||| ||||

14 × 100 % = 56,0 % _ 25

Bleu

|||| |||

8 _ 25 × 100 % = 32,0 %

Brun

|||

3 _ 25 × 100 % = 12,0 %

100,0 %

Total

TABLEAU 2.2 Modèle d’un tableau de fréquences pour une variable qualitative Répartition d’un échantillon de 25 résidents de la ville de Montréal selon la couleur de leurs yeux, Montréal, 2023 Couleur des yeux

Nombre de résidents

Pourcentage de résidents

Vert

56,0

Bleu

32,0

Brun

12,0

100,0

Total

Comme le tableau de dénombrement n’est pas destiné à être publié, il n’est pas nécessaire de suivre les normes de présentation.

RÉFÉRENCE

CLIC Sur , consultez le matériel complémentaire pour réaliser cette action à l’aide d’un logiciel statistique. Visionnez la capsule vidéo pour savoir comment construire ce tableau de fréquences avec Excel.

Source : Sondage sur les résidents de la ville de Montréal, 2023

Commentaire : Une majorité de résidents dans l’échantillon ont les yeux pâles (88,0 %).

Chapitre 2 • La statistique descriptive

CHAPITRE

L’ANALYSE COMBINATOIRE OBJECTIF Utiliser des techniques de dénombrement.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5 LES COMBINAISONS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Collecter des échantillons à partir d’une population

Exercices 3.5

3.1 LE PRINCIPE DE MULTIPLICATION . . . . . . . . . . 104

3.6 LE TRIANGLE DE PASCAL ET LE BINÔME DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Exercices 3.1

Exercices 3.6

3.2 LE PRINCIPE D’ADDITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Exercices 3.2

MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.3 LES PERMUTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Exercices 3.3 3.4 LES ARRANGEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Exercices 3.4

Dieu fit le nombre entier, le reste est l’œuvre de l’homme. Leopold Kronecker (1823-1891) Mathématicien et logicien allemand

102

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

MISE EN SITUATION COLLECTER DES ÉCHANTILLONS À PARTIR D’UNE POPULATION Pour être en mesure de généraliser les résultats d’un échantillon à l’ensemble de la population, l’inférence statistique, il faut tirer un échantillon aléatoire d’une population étudiée et prendre des mesures appropriées. On cherche à tirer tous les échantillons possibles d’une population finie. Combien y en a-t-il au total ? On peut répondre à cette question à l’aide de l’analyse combinatoire, qui sera étudiée dans ce chapitre. Avant de procéder, il faut se demander si l’ordre des unités statistiques dans l’échantillon est important et si les répétitions sont permises, c’est-à-dire s’il est permis de tirer plus d’une fois la même unité statistique pour faire partie de l’échantillon. Observons deux situations où la taille de la population étudiée est finie et de taille N = 4, et les échantillons tirés sont de taille n = 2. Situation 1

Situation 2

Dans les échantillons :

- l’ordre des unités statistiques n’est pas important ;

- l’ordre des unités statistiques est important ; - les répétitions sont permises.

- les répétitions ne sont pas permises.

FIGURE 3.1

FIGURE 3.2

Échantillons sans remise où l’ordre n’est pas important

Échantillons avec remise où l’ordre est important

Il existe 6 échantillons possibles de taille n = 2 unités statistiques tirées sans remise de la population de taille N = 4 et où l’ordre n’est pas important.

Il existe 4 × 4 = 16échantillons possibles de taille n = 2 unités statistiques tirées avec remise de la population de taille N = 4 et où l’ordre est important.

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

103

L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui permet de dénombrer et d’étudier le nombre de façons différentes de configurer un ensemble fini d’objets. Il s’avère parfois très long d’énumérer tous les résultats possibles d’une expérience. Les grands principes de dénombrement abordés dans ce chapitre vont permettre de calculer de façon efficace le nombre de résultats possibles sans les énumérer.

3.1

LE PRINCIPE DE MULTIPLICATION

Le principe de multiplication permet de calculer le nombre de façons possibles de réaliser une expérience dans laquelle deux opérations consécutives sont effectuées. Ce principe est généralement représenté par un tableau à deux cases. La première case donne le nombre de façons d’effectuer la première opération, la seconde case, le nombre de façons d’effectuer la deuxième opération.

THÉORÈME 3.1 Principe de multiplication

Si une expérience s’effectue en deux opérations A et B l’une après l’autre et qu’il y a m façons de réaliser l’opération A et n façons de réaliser l’opération B, alors il existe : m × n façons possibles de réaliser les opérations A ET B

EXEMPLE 3.1 Dans le programme Sciences de la nature d’un cégep, il faut choisir un cours complémentaire parmi trois options en Arts ET un deuxième cours complémentaire parmi cinq options en Langue. On s’intéresse au nombre de façons différentes dont un étudiant peut choisir ses deux cours complémentaires.

Remarque La notion de diagramme en arbre sera étudiée plus en détail au chapitre 4 (voir la page 153).

Il est possible de construire un diagramme en arbre comme celui ci-contre pour faciliter la résolution du problème. Le premier cours choisi peut être n’importe lequel parmi les 3 options en Arts (A1, A2 ou A3) et le deuxième cours, n’importe lequel parmi les 5 options en Langue (L1, L2, L3, L4 ou L5). Il existe donc 3 × 5 = 15 façons possibles pour choisir les deux cours complémentaires. Il est aussi possible de représenter cette situation avec un tableau à deux cases.

1er cours 2e cours 3

104

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

FIGURE 3.3

1er cours

2e cours

L1 L2 L3 L4 L5

THÉORÈME 3.2 Principe de multiplication (version générale)

Si k opérations, où k ∈ ℕ *, doivent être effectuées successivement et sont telles qu’il existe n1façons de réaliser une première opération, n 2façons de réaliser une deuxième opération, n3 façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe : n1 × n2 × n3 × ⋯ × nk façons possibles de réaliser les k opérations

EXEMPLE 3.2 Dans un restaurant, chaque client a le choix entre deux boissons, cinq entrées, quatre pizzas et trois desserts. On s’intéresse au nombre de façons différentes dont un client peut choisir son repas s’il commande une boisson, une entrée, une pizza et un dessert. Un client choisit une boisson parmi 2 choix ET une entrée parmi 5 choix ET une pizza parmi 4 choix ET un dessert parmi 3 choix.

Boisson Entrée 2

Pizza

Dessert

Il existe donc 2 × 5 × 4 × 3 = 120 repas différents.

EXEMPLE 3.3

Remarque

On s’intéresse au nombre de façons différentes dont on peut tirer un échantillon avec remise d’une population finie.

Puisque le tirage s’effectue avec remise, une unité statistique peut faire partie de l’échantillon plus d’une fois.

a) Un échantillon de 6 unités statistiques d’une population de taille N = 15. Il existe donc : 1 5 × 15 ×   15 × 15 × 15 × 15    = 156 = 11 390 625 échantillons possibles 6 fois b) Un échantillon de 30 unités statistiques d’une population de taille N = 32. Il existe donc : 3 2 × 32 × 32 × 32 × 32 × ⋯ × 32        = 3230échantillons possibles 30 fois

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

105

EXEMPLE 3.4 Remarque Généralement, les chiffres peuvent être répétés dans un numéro de billet de tirage.

Le cégep organise un tirage. Les numéros des billets sont composés de cinq chiffres dont le premier est différent de 0. a) Combien y a-t-il de combinaisons différentes ? Il y a 9 possibilités (1 à 9) pour la première position ET 10 possibilités (0 à 9) pour la deuxième position ET 10 possibilités (0 à 9) pour la troisième position et ainsi de suite.

1re position

2e position

3e position

4e position

5e position

Il existe donc 9 × 104 = 90 000 combinaisons différentes. b) Combien y a-t-il de combinaisons dont les trois derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant ? Par exemple, si le numéro gagnant est 12345, on s’intéresse aux billets dont les numéros se terminent par 345 et dont le chiffre à la deuxième position est différent de 2. Il y a toujours 9 possibilités (1 à 9) pour la première position. Il n’y a que 9 chiffres possibles pour la deuxième position, car seuls les trois derniers chiffres du billet doivent correspondre à ceux du numéro gagnant, et non les quatre derniers chiffres. Il n’existe que 1 seul chiffre possible pour les trois dernières positions.

1re position

2e position

3e position

4e position

5e position

Il existe donc 9 × 9 × 1 × 1 × 1 = 81 combinaisons différentes.

EXERCICES 3.1

Corrigé, p. 398

1. Pour coder des échantillons lors d’une expérience, on utilise trois chiffres suivis d’une lettre parmi A, B ou C que l’on fait suivre à nouveau de trois chiffres. Combien de codes différents peut-on former si : a) les répétitions sont permises ? b) les répétitions ne sont pas permises ?

2. Dans une salle d’entraînement, il y a quatre vélos stationnaires et sept elliptiques. De combien de façons différentes deux clients peuvent-ils utiliser le même vélo stationnaire, mais deux elliptiques différents ?

3. En utilisant les lettres du mot PHYSIQUE, sans répétition de lettres, combien d’assemblages de lettres différents peut-on composer si on forme des assemblages : a) de cinq lettres ? b) de huit lettres commençant et se terminant par une voyelle ?

106

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

3.2

LE PRINCIPE D’ADDITION

Le principe d’addition est utilisé lorsque deux opérations mutuellement exclusives, c’est-àdire qu’elles ne peuvent pas se produire en même temps, font partie des choix. Ce principe est appliqué si on cherche le nombre de façons d’effectuer l’opération A OU l’opération B, sachant qu’elles ne peuvent se produire en même temps.

THÉORÈME 3.3 Principe d’addition

Si k opérations mutuellement exclusives, où k ∈ ℕ*, doivent être effectuées et sont telles qu’il existe n 1façons de réaliser une première opération, n 2 façons de réaliser une deuxième opération, n3façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe : n1 + n2 + n3 + ⋯ + nk façons possibles de réaliser l’une OU l’autre de ces opérations

EXEMPLE 3.5 Dans le programme Sciences de la nature d’un cégep, il est nécessaire de choisir un cours complémentaire parmi trois options en Arts OU un cours complémentaire parmi cinq options en Langue. On s’intéresse au nombre de façons différentes dont un étudiant peut choisir un cours complémentaire. Le cours complémentaire choisi peut être n’importe lequel parmi les 3 options en Arts OU n’importe lequel parmi les 5 options en Langue. Il existe donc 3 + 5 = 8façons différentes de choisir un cours complémentaire.

EXEMPLE 3.6

Remarque

Dans un restaurant, chaque client a le choix entre deux boissons, cinq entrées, quatre pizzas et trois desserts. Pour la somme de 20 $, on peut avoir une boisson et une pizza OU une pizza et un dessert OU une entrée et une pizza. On s’intéresse au nombre de repas possibles à 20 $.

Dans un problème d’analyse combinatoire, le mot ET fait référence au principe de multiplication et le mot OU, au principe d’addition. Puisque la multiplication est prioritaire par rapport à l’addition, le principe de multiplication est prioritaire par rapport au principe d’addition.

Il est possible de résoudre ce problème en quatre étapes. 1. Par le principe de multiplication, il existe 2 × 4 = 8 façons de choisir une boisson ET une pizza. 2. Par le principe de multiplication, il existe 4 × 3 = 12 façons de choisir une pizza ET un dessert. 3. Par le principe de multiplication, il existe 5 × 4 = 20 façons de choisir une entrée ET une pizza. 4. Par le principe d’addition, il existe 8 + 12 + 20 = 40 façons de choisir une boisson et une pizza OU une pizza et un dessert OU une entrée et une pizza.

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

107

EXERCICES 3.2

Corrigé, p. 398

1. Avec le mot CHAPITRE, combien peut-on former d’assemblages de huit lettres différents sans répétition,

commençant par une consonne, se terminant par une voyelle, et dont la lettre R est l’une des trois premières lettres ?

EXEMPLE 3.7 En se servant des chiffres 5, 6, 7, 8 et 9, on s’intéresse à savoir combien de nombres de 5 chiffres distincts inférieurs à 60 000 OU impairs qu’on peut former. Il est possible de résoudre ce problème en quatre étapes. 1. Pour former des nombres de 5 chiffres distincts inférieurs à 60 000, il y a : • 1 possibilité de chiffre pour la première position (5) ET ; • 4 possibilités de chiffres parmi les chiffres restants pour la deuxième position ET ; • 3 possibilités de chiffres parmi les chiffres restants pour la troisième position et ainsi de suite.

1re position 2e position 3e position 4e position 5e position 1

Par le principe de multiplication, il existe : 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 nombres 2. Pour former des nombres de 5 chiffres distincts impairs, il faut que le nombre se termine par un des 3 chiffres impairs (5, 7, 9). Il y a : • 3 possibilités de chiffres pour la dernière position ET ; • 4 possibilités de chiffres parmi les chiffres restants pour la première position ET ; • 3 possibilités de chiffres parmi les chiffres restants pour la deuxième position et ainsi de suite.

1re position 2e position 3e position 4e position 5e position 4

Par le principe de multiplication, il existe : 4 × 3 × 2 × 1 × 3 = 72 nombres

Remarque Il est important de retirer les répétitions, c’est‑à-dire les nombres comptés en double, soit les nombres inférieurs à 60 000 ET impairs.

108

3. Pour former des nombres de 5 chiffres distincts inférieurs à 60 000 ET impairs, il faut que le premier chiffre soit un 5 (1 possibilité) ET que le dernier chiffre soit un 7 ou un 9 (2 possibilités).

1re position 2e position 3e position 4e position 5e position 1

Par le principe de multiplication, il existe : 1 × 3 × 2 × 1 × 2 = 12 nombres 4. Donc, il existe : 24 + 72 − 12 = 84 nombres de 5 chiffres distincts inférieurs à 60 000 OU impairs

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

EXERCICES 3.2

Corrigé, p. 398

2. En se servant des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7, combien peut-on former de nombres de 4 chiffres distincts supérieurs à 2000 ou pairs ?

3.3

LES PERMUTATIONS

Le concept de permutations utilise la notation factorielle. La factorielle d’un nombre entier positif est le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à ce nombre. Soit n ∈ ℕ, l’expression n !, dite n factorielle, est définie par :

Remarque n! = n × ( n – 1)!

n! = n × ( n − 1) × ( n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 Par convention, on affirme que 0! = 1.

EXEMPLE 3.8

Remarque

a) 1! = 1

Les factorielles se prêtent bien à des simplifications.

b) 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 _ c) 3! 9! = _____________________     9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = _ 9 × 8 × 7 = 84 × 6! 3 × 2 × 1 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 3 × 2 × 1

Une permutation est une disposition ordonnée de tous les objets d’un ensemble. Dans une permutation, on considère que la répétition n’est pas permise.

THÉORÈME 3.4 Permutations d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations P d’un ensemble de nobjets discernables est donné par : Pn = n! où n ∈ ℕ

Remarque Lorsque l’on dit que des objets sont discernables, cela signifie qu’on peut les différencier, c’est-à-dire les distinguer entre eux.

EXEMPLE 3.9 On s’intéresse au nombre de façons différentes de permuter les lettres du mot AXE. Cela revient à déterminer le nombre de permutations possibles des 3 éléments de l’ensemble {A, X, E}. Il existe 3! = 3 × 2 × 1 = 6façons : AXE ; AEX ; XAE ; XEA ; EAX et EXA. Il est possible de résoudre ce problème avec le principe de multiplication. La première lettre peut être n’importe laquelle des 3 lettres ET la deuxième lettre peut être choisie parmi les 2 lettres restantes ET la troisième lettre ne peut faire l’objet d’aucun choix, car il reste 1 seule lettre. Il existe 3 × 2 × 1 = 6façons.

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

109

EXEMPLE 3.10 Remarque Une permutation rectiligne s’observe lorsque les objets sont placés en ligne de manière à ce qu’il y ait un premier objet à une extrémité et un dernier objet à l’autre extrémité.

Sur la tablette d’une bibliothèque sont disposés trois livres de chimie, quatre livres de physique, deux livres de biologie et cinq livres de mathématiques. On s’intéresse au nombre de façons différentes de permuter tous les livres sur la tablette, si tous les livres de chaque matière doivent rester ensemble. Pour résoudre ce problème, on peut envisager six étapes. 1. Permutation des 3 livres de chimie : 3! façons différentes ET 2. Permutation des 4 livres de physique : 4! façons différentes ET 3. Permutation des 2 livres de biologie : 2! façons différentes ET 4. Permutation des 5 livres de mathématiques : 5! façons différentes ET 5. Permutation des 4 matières : 4! façons différentes 6. Par le principe de multiplication, il existe 3! × 4! × 2! × 5! × 4! = 829 440 façons.

EXEMPLE 3.11 La première rangée d’une salle de spectacle est composée de 10 places. a) On s’intéresse au nombre de façons différentes d’asseoir 10 personnes pour combler la première rangée, s’il y a un couple, parmi les 10 personnes, qui souhaite s’asseoir ensemble. Pour résoudre ce problème, on peut envisager trois étapes. 1. Permutation des 2 personnes dans le couple : 2!façons différentes ET 2. Permutation des 9 objets (8 personnes et 1 couple) : 9!façons différentes 3. Par le principe de multiplication, il existe 2! × 9! = 725 760 façons. b) On s’intéresse au nombre de façons différentes d’asseoir 10 personnes pour combler la première rangée, s’il y a 2 personnes, parmi les 10 personnes, qui ne doivent pas s’asseoir côte à côte. Ici, il est plus simple de soustraire au nombre total de possibilités d’asseoir les 10 personnes sans contrainte le nombre total de possibilités où 2 personnes sont côte à côte, c’est-à-dire 10! − 2! × 9! = 2 903 040 façons.

Remarque Dans une permutation circulaire, les objets sont placés en cercle. Le premier objet et le dernier objet sont voisins.

Dans certains problèmes, on demande de permuter des objets distincts d’un ensemble (avec ordre) placés en cercle. On parle ici du nombre de dispositions des nobjets distincts les uns par rapport aux autres et non de l’emplacement physique sur le sol. L’idée derrière ces permutations circulaires est de fixer la position d’un objet et de permuter les autres. Par exemple, si on fixe la position d’Ariane (A) autour d’une table ronde, la position de Benjamin (B) et celle de Claude (C) pourraient être les suivantes : A C

110

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

A B B

THÉORÈME 3.5 Permutations circulaires d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations circulaires d’un ensemble de n objets discernables est donné par : __ n! * n = (n − 1)! où n ∈ ℕ

EXEMPLE 3.12 Une famille comportant six personnes s’assoit autour d’une table ronde. a) On s’intéresse au nombre de façons différentes dont ces six personnes peuvent s’asseoir autour de cette table sans contrainte. Il existe ( 6 − 1)! = 5! = 120 façons.

Remarque La division par n représente le nombre de dispositions équivalentes par rotation. Par exemple : B A C

b) On s’intéresse au nombre de façons différentes dont ces six personnes peuvent s’asseoir autour de cette table si les parents souhaitent s’asseoir côte à côte. Pour résoudre ce problème, on peut envisager trois étapes. 1. Permutation des 2 parents : 2! = 2façons différentes ET 2. Permutation des 5 objets (4 enfants et 1 couple de parents) : ( 5 − 1)! = 4! = 24façons différentes 3. Par le principe de multiplication, il existe 2 × 24 = 48 façons.

Dans d’autres problèmes, on demande de permuter des objets d’un ensemble (avec ordre) dans lequel certains de ces objets sont identiques. Par exemple, si on veut permuter trois objets (O1, O2, O3) différents sur une tablette, il existerait P3 = 3! = 6façons de les placer : O1 O2 O3 , O1 O3 O2 , O2 O1 O3 , O2 O3 O1 , O3 O1 O2 et O3 O2 O1 . Si les objets O1 et O2 sont identiques et que nous les notons donc maintenant O , alors O1O2O3 et O2O1O3 deviennent OOO3, O1O3O2 et O2O3O1 deviennent OO3O, et O3O1O2 et O3O2O1 deviennent O3OO. Donc, il n’existe plus que trois façons différentes de les placer sur la tablette : OOO3 , OO3 Oet O3 OO. La difficulté est liée au fait que l’ordre dans lequel les objets O sont placés n’a pas d’importance.

THÉORÈME 3.6 Permutations d’objets partiellement indiscernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations discernables d’un ensemble de n objets parmi lesquels il y a n1éléments de type 1 identiques, n2éléments de type 2 identiques, n3éléments de type 3 identiques…, nkéléments de type k identiques est donné par : n! ______________    où n ∈ ℕ et n = n1 + n2 + n3 + ⋯ + nk n1! × n2! × n₃! × ⋯ × nk!

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

111

Remarque Il est possible d’inscrire au dénominateur 1! = 1 puisque les lettres B, L, G et E ne sont présentes qu’une seule fois, mais ceci ne change rien au calcul effectué.

EXEMPLE 3.13 On s’intéresse au nombre de façons différentes de permuter les lettres du mot BIOLOGIE. 320 ________ ____ = 40 = 10 080 façons. On divise 2 fois par 2!, car les deux lettres I Il existe 2! × 2! × 1! 8! 2×2 × 1! × 1! × 1! et les deux lettres O sont identiques.

EXEMPLE 3.14 Sur un présentoir rotatif, on veut placer six béchers dont les capacités sont les suivantes : 50 ml, 100 ml, 100 ml, 400 ml, 500 ml, 1 L. Les deux béchers de 100 ml sont identiques. On s’intéresse au nombre de façons différentes dont on peut placer les béchers sur le présentoir. Comme il y a 2 béchers identiques, il faut diviser le nombre de permutations circulaires des 6 béchers sans contrainte par le nombre de permutations de 2 objets. (

)

6 − 1 ! 5! ___ = 60 façons. = __ = 120 Il existe _____ 2 2 2!

EXEMPLE 3.15 Soit le nombre 546 454. En se servant des chiffres de ce nombre, on s’intéresse au nombre de façons de former des nombres : a) de six chiffres ; Puisque, dans ce nombre, il y a 2 chiffres 5 indiscernables, 3 chiffres 4 indiscernables 6! _________ et 1 chiffre 6, il existe 2! = 60 nombres. × 3! × 1! b) de 6 chiffres supérieurs à 500 000. Pour résoudre ce problème, on peut envisager trois étapes. 1. Si le nombre débute par le chiffre 5, il reste 5 chiffres à permuter, dont 1 chiffre 5, 5! _________ 3 chiffres 4 indiscernables et 1 chiffre 6 : 1! = 20 nombres OU × 3! × 1! 2. Si le nombre débute par le chiffre 6, il reste 5 chiffres à permuter, dont 2 chiffres 5 5! indiscernables et 3 chiffres 4 indiscernables : ______ = 10 nombres. 2! × 3! 3. Par le principe d’addition, il existe 20 + 10 = 30 nombres.

EXERCICES 3.3

Corrigé, p. 398

1. Simplifiez chaque expression. 77! a)  ___ 72!

(n + 1)!

b)  _____   (n − 2)!

2. Treize satellites gravitent autour d’une planète. Sachant que deux d’entre eux ne peuvent pas se retrouver côte à côte, de combien de façons différentes les satellites peuvent-ils être placés autour de cette planète ?

3. Avec toutes les lettres de chacun des mots ci-dessous, combien peut-on composer d’assemblages différents (sans répétition) ? a) PHYSIQUE

112

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

b) ASTRONOMIE

4. L’équipe de hockey d’un cégep a joué 10 matchs à l’extérieur durant sa saison. À chaque match, l’équipe peut gagner, perdre ou faire un match nul.

3.4

LES ARRANGEMENTS

Un arrangement est une disposition ordonnée d’une partie des objets discernables d’un ensemble. Il existe deux types d’arrangements : sans répétition, et avec répétitions. Dans les arrangements sans répétition, chacun des objets n’apparaît qu’une seule fois.

THÉORÈME 3.7

CLIC

Arrangements d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre d’arrangements A d’un ensemble de robjets choisis parmi nobjets discernables est donné par : Arn = _____ (n n! où r, n ∈ ℕ tels que 0 ≤ r ≤ n − r)!

Remarque 1) Cette section ne constitue pas de nouvelle matière par rapport aux sections précédentes, car les problèmes d’arrangements peuvent être résolus grâce au principe de multiplication (voir le théorème 3.2 à la page 105). 2) Lorsque le nombre d’objets choisis rest égal au nombre total d’objets discernables dans l’ensemble n, l’arrangement correspond à une permutation d’objets discernables avec ordre et sans répétition (voir le théorème 3.4 à la page 109) : n = n !. lorsque r = n ⇒ Ann = P

Argent

Bronze

Mention

Par le concept d’arrangements, on sélectionne r = 4étudiants parmi n = 80 étudiants sans répétition où l’ordre est important. 80! (8080! = ___ = 37 957 920 façons. Il existe A480 = ______ − 4)! 76!

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

113

Dans les arrangements avec répétitions, chacun des objets peut apparaître plus d’une fois.

THÉORÈME 3.8 Arrangements d’objets discernables (avec ordre et avec répétitions)

Le nombre d’arrangements avec répétitions d’un ensemble de robjets choisis parmi n objets discernables est donné par : nr où r, n ∈ ℕ tels que 0 ≤ r ≤ n En statistique, il est fréquent de se questionner sur le nombre total d’échantillons possibles avec ordre et avec remise que l’on peut tirer d’une population finie. Ce problème, qui sera étudié plus en détail au chapitre 6, constitue un problème d’analyse combinatoire, plus particulièrement un problème d’arrangements d’objets discernables avec ordre et avec répétitions, ou un problème pouvant être aussi résolu par le principe de multiplication.

EXEMPLE 3.17 On souhaite connaître le nombre de façons différentes de tirer un échantillon de 3 0 unités statistiques avec ordre et avec remise d’une population finie de taille N = 32. Il existe nr = 3230 échantillons possibles où r = 30 et n = 32.

EXERCICES 3.4

Corrigé, p. 398

1. Pour chacune des situations ci-dessous, détermine le nombre d’arrangements possibles. a) On lance une pièce de monnaie quatre fois de suite. On note le résultat après chaque lancer : pile ou face. b) Dans un groupe de 18 minéraux, on en choisit 4 différents. Pour chacun, on étudie une propriété différente : l’éclat, la transparence, l’indice de réfraction ou la couleur du trait. c) On forme le code d’un cadenas qui comporte six roulettes, chacune numérotée de 1 à 7. Un même numéro peut être utilisé pour former un code. d) On choisit 5 légumes parmi un groupe de 13 légumes différents. On place chaque légume choisi dans une pièce différente où la température varie : 5 °C, 10 °C, 15 °C, 20 °C ou 25 °C.

2. Lors d’un congrès où 20 ingénieurs et 15 physiciens sont présents, il faut nommer pour la rencontre un président, un secrétaire et un porte-parole. De combien de façons peuvent-ils former ce comité : a) si chaque membre ne peut occuper plus d’un poste ? b) si chaque membre peut occuper plus d’un poste ? c) si on désire un président ingénieur et un secrétaire physicien et que chaque membre ne peut occuper plus d’un poste ? d) si au moins un physicien est présent sur le comité et que chaque membre ne peut occuper plus d’un poste ?

114

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

3.5

LES COMBINAISONS

Une combinaison est une disposition d’une partie des objets d’un ensemble dans laquelle on ne tient pas compte de l’ordre et où la répétition n’est pas permise. Ainsi, deux combinaisons se distinguent uniquement par les objets qu’elles contiennent. Pour obtenir le nombre de combinaisons possibles, on doit diviser le nombre d’arrangements des objets choisis par le nombre de permutations de cet arrangement.

EXEMPLE 3.18 Cinq personnes A, B, C, Det Esont éligibles pour recevoir une seule des trois paires de billets pour assister à un spectacle de musique. On s’intéresse au nombre de façons de les attribuer selon la situation. Situation 1

Situation 2

Une paire de billets dans la zone rouge, une paire dans la zone jaune et une paire dans la zone bleue sont attribuées.

Trois paires de billets de type Admission générale sont attribuées.

Ce problème porte sur un choix ordonné (les trois paires de billets sont différentes) de trois personnes choisies parmi cinq personnes.

Ce problème porte sur un choix non ordonné (les trois paires de billets sont identiques) de trois personnes choisies parmi cinq personnes.

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

ABC

ABD ADB BAD BDA DAB DBA

ABD

ABE AEB BAE BEA EAB EBA

ABE

ACD ADC CAD CDA DAC DCA

ACD

ACE AEC CAE CEA EAC ECA

ACE

ADE AED DEA DAE EAD EDA

ADE

BCD BDC CBD CDB DBC DCB

BCD

BCE BEC CBE CEB ECB EBC

BCE

BDE BED DBE DEB EDB EBD

BDE

CDE CED DCE DEC ECD EDC

CDE

ABC signifie que A a gagné la paire de billets dans la zone rouge, B la paire dans la zone jaune et C la paire dans la zone bleue. 5! Il existe : A35 = __ 2!

5×4×3×2×1 ___________ = 2×1 = 60résultats possibles ce qui correspond à 10 groupes de 3 personnes, chacun comportant 6 permutations selon l’ordre des prix.

Remarque

Il est aussi possible de trouver la solution de la situation 2 avec un diagramme en arbre ou un tableau.

Les résultats de la situation 2 sont aussi des résultats possibles de la situation 1. Cependant, puisque l’ordre n’a pas d’importance dans la situation 2, les résultats ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA représentent la même combinaison.

Il existe 6 fois moins de possibilités que dans la situation 1, ce qui correspond au nombre de façons de permuter 3 personnes dans un groupe : 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Ainsi : 10 résultats possibles A  5 

60 _ 4×3 _ = 5 × 3! = 3! 5! = _3 = _ 6 × 2! 3!

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

115

THÉORÈME 3.9

CLIC Sur les calculatrices, il est possible de calculer le nombre de combinaisons d’objets discernables (sans ordre et sans répétition) avec la touche nCr .

Combinaisons d’objets discernables (sans ordre et sans répétition)

Le nombre de combinaisons C d’un ensemble de robjets choisis parmi n objets discernables est donné par : Crn = __ r!r = ______ r! ( nn!− r)! = (       nr ) où r, n ∈ ℕ tels que 0 ≤ r ≤ n n A

rn est nommé le cœfficient binomial. C

Remarque 1) Les notations Crnet (rn )sont équivalentes. Dans cet ouvrage, la notation Crnsera utilisée pour les combinaisons. 2) C0n = Cnn = 1 3) C1n = n rn 4) Arn = r! × C

EXEMPLE 3.19 5! 120 a) C35 = _______ = ____ = 10 3! ( 5 − 3)! 6 × 2

b) C15 = 5 c) C05 = 1

EXEMPLE 3.20 On s’intéresse au nombre de façons différentes de tirer 6 nombres parmi 49 au Lotto 6/49. Comme les répétitions sont impossibles et l’ordre n’est pas important, il faut utiliser le concept de combinaisons. 49! _______ = 13 983 816 combinaisons. Il existe C649 = 6! ( 49 − 6)!

EXEMPLE 3.21 La commission des études comprend 3 directeurs, 5 conseillers pédagogiques et 15 enseignants. On s’intéresse au nombre de façons de former un comité sur la réussite composé de deux directeurs des études, deux conseillers pédagogiques et trois enseignants. Dans un comité, l’ordre n’est pas important. Il y a trois étapes à suivre pour la formation d’un comité, ensuite il faut utiliser le principe de multiplication. 3! 1. Choisir 2 directeurs parmi 3 sans ordre : C23 = _____ = 3possibilités ET 2! × 1! 5! = 10possibilités ET 2. Choisir 2 conseillers pédagogiques parmi 5 sans ordre : C25 = _____ 2! × 3! 15! = 455 possibilités. 3. Choisir 3 enseignants parmi 15 sans ordre : C315 = ______ 3! × 12!

4. Par le principe de multiplication, il existe C23 × C25 × C315 = 3 × 10 × 455 = 13 650façons.

116

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

Plusieurs problèmes d’analyse combinatoire, où l’ordre est important, peuvent se résoudre en utilisant les combinaisons (où l’ordre n’est pas important) dans lesquelles on permute les objets avec les factorielles pour tenir compte de l’ordre. Il n’est pas toujours évident de déterminer si l’ordre est important ou non dans un problème d’analyse combinatoire. Si cette information n’est pas explicitement précisée, on doit se fier au contexte pour la déduire. Par exemple, ces contextes réfèrent régulièrement à une situation sans ordre : • la distribution de cartes à jouer pour former une main ; • le tirage de différents prix de même valeur ; • la formation d’une équipe où le rôle de chaque personne choisie est le même.

EXEMPLE 3.22 Une main au poker est composée de 5 cartes tirées d’un jeu ordinaire de 52 cartes. On s’intéresse au nombre de mains comportant 5 cartes d’une même catégorie (trèfle, carreau, pique, cœur). Il existe C14 = 4façons de choisir une catégorie de cartes et C513 = 1287façons de choisir 5 cartes d’une même catégorie. Par le principe de multiplication, on peut d’abord choisir 1 catégorie ET ensuite 5 cartes de cette catégorie. Il existe donc 4 × 1287 = 5148 mains comportant 5 cartes de même catégorie.

EXEMPLE 3.23 On s’intéresse au nombre de façons différentes de choisir 3 nageurs parmi 12 pour recevoir la médaille d’or, d’argent et de bronze. On peut résoudre ce problème, où l’ordre est important, de deux façons différentes. Solution 1 : Le principe de multiplication On choisit 1 nageur parmi 12 pour la médaille d’or ET 1 nageur parmi les 11 non encore choisis pour la médaille d’argent ET 1 nageur parmi les 10 non encore choisis pour la médaille de bronze. Or

Argent

Bronze

Remarque Un jeu ordinaire compte 52 cartes organisées en 4 catégories (trèfle, carreau, pique, cœur) de 13 cartes chacune. Chaque carte a une valeur différente (as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi).

Solution 2 : Les combinaisons et les factorielles On choisit 3 gagnants parmi 12 nageurs ET on permute les 3 gagnants pour tenir compte de l’ordre. Il existe donc :

Parfois, on considère deux jokers. Dans ce cas, le jeu compte 54 cartes.

12! C312 × 3! = _____ × 3! 3! × 9! = 220 × 6 = 1320 façons

Il existe donc 12 × 11 × 10 = 1320 façons.

EXERCICES 3.5

Corrigé, p. 398

1. À partir d’un groupe de 13 femmes et 8 hommes, on veut former un échantillon de 7 personnes. De combien de façons différentes peut-on le former si :

a) quatre hommes doivent en faire partie ? b) au moins une femme doit en faire partie ?

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

117

3.6

LE TRIANGLE DE PASCAL ET LE BINÔME DE NEWTON 3.6.1 LE TRIANGLE DE PASCAL

Le triangle de Pascal est utile pour déterminer les coefficients intervenant dans le développement d’un binôme élevé à une puissance naturelle. Par ailleurs, il est également utile pour justifier certains résultats faisant intervenir les combinaisons. Voici le développement du binôme (x + y)élevé à des puissances naturelles nsupérieures ou égales à 0. n = 0 : (x + y)0 = 1 n = 1 : ( x + y)1 = x + y n = 2 : ( x + y)2 = x2 + 2xy + y2 n = 3 : ( x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 n = 4 : ( x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 n = 5 : (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 etc. Si on isole le coefficient de chaque terme dans les décompositions, on obtient le triangle de Pascal suivant :

FIGURE 3.4

Crn

1 2 3

4 5

C01

= 3

= 4

1 1

C00

C11

2 3

6 10

C22

4 10

1 5

etc. Dans le triangle de Pascal, il est possible d’obtenir les coefficients en effectuant de simples additions. Cette propriété se nomme la règle de Pascal.

THÉORÈME 3.10 Règle de Pascal

Crn = Crn−−11 + Crn − 1 ∀ r, n ∈ ℕtels que 1 ≤ r < n

118

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

POUR ALLER LOIN… Voici une explication concernant les coefficients dans le développement du binôme (x + y)3. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Si on suppose que les y sont distincts les uns des autres, on a : (x + y1)(x + y2)(x + y3) = ( x2 + xy2 + xy1 + y1y2)(x + y3) = x3 + x2y3 + x2y2 + xy2y3 + x2y1 + xy1y3 + xy1y2 + y1y2y3 = x3 + x2(y1 + y2 + y3) + x1(y2y3 + y1y3 + y1y2) + x0(y1y2y3) Nombre de façons de choisir 0 y parmi les 3 termes C03= 1

Nombre de façons de choisir 1 y parmi les 3 termes C13= 3

Nombre de façons de choisir 2 y parmi les 3 termes C23= 3

Nombre de façons de choisir 3 y parmi les 3 termes C33= 1

Dans le triangle de Pascal, on remarque que : C14 = C03 + C13 = 1 + 3 = 4 Dans le triangle de Pascal, il est aussi possible de voir que pour : n = 1 : C01 + C11 = 2 = 21 n = 2 : C02 + C12 + C22 = 4 = 2 2 n = 3 : C03 + C13 + C23 + C33 = 8 = 2 3 n = 4 : C04 + C14 + C24 + C34 + C44 = 16 = 2 4 etc. Ainsi, pour n quelconque : C0n + C1n + C2n + C3n + ⋯ + Cnn = 2n. Dans certains problèmes, cette propriété sera utilisée pour simplifier les calculs. (voir l’exemple-synthèse à la page 123).

THÉORÈME 3.11 Formule du binôme de Newton n

(x + y)n = ∑   Cin xn − i yi ∀ n ∈ ℕ, ∀ x, y ∈ ℝ, où Cin : coefficient binomial i=0

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

119

EXEMPLE 3.24 Voici le développement de (x + y)6 : 6

Ci6 x6 − i yi (x + y)6 = ∑ i=0

= C06x6y0 + C16x5y1 + C26x4y2 + C36x3y3 + C46x2y4 + C56x1y5 + C66x0y6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

EXEMPLE 3.25 Voici le développement de ( x2 − 5)3: 3

( x2 − 5)3 = ∑ Ci3 (x2)3 − i (-5)i i=0

= C03(x2) 3( -5)0 + C13(x2) 2( -5)1 + C23(x2) 1( -5)2 + C33(x2) 0( -5)3 = x6 − 15x4 + 75x2 − 125

Remarque

EXEMPLE 3.26

Il n’était pas nécessaire de déterminer tout le développement de (-3x2 + 4x)5. La formule du binôme de Newton permet de simplifier la résolution du problème.

Voici le terme en x8dans le développement de ( -3x2 + 4x)5 : 5

  i  5  (-3x2)  5 − i (4x)  i (-3x2 + 4x)5 = ∑ C i=0 5

  i  5  (-3)  5 − i x  10 − 2i 4ix  i = ∑ C i=0 5

= ∑ (  -3)  5 − i 4  i C  5i  x  10 − i i=0

Ainsi, si on pose 1 0 − i = 8 ⇒ i = 2. Le terme en x8est donc obtenu en remplaçant ipar 2 dans la formule du binôme de Newton précédente. (-3)5 − 242C25x10 − 2 = (-27 × 16 × 10)x8 = -4320x8 Le terme en x8dans le développement de ( -3x2 + 4x)5est -4320x8.

EXERCICES 3.6

Corrigé, p. 398

1. À l’aide de la formule du binôme de Newton, développez chaque expression. a) (x + 3)⁴

  12 )  b) ( 2x − __

c) (4 + x)⁶

2. À l’aide de la formule du binôme de Newton, déterminez chaque terme indiqué pour l’expression (x2 – 4x)⁸. a) x16

120

b) x13

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

c) x8

EN RÉSUMÉ Voici un résumé des différents théorèmes étudiés au chapitre 3 :

THÉORÈME 3.1

Principe de multiplication

Si une expérience s’effectue en deux opérations A et B l’une après l’autre et qu’il y a m façons de réaliser l’opération A et n façons de réaliser l’opération B, alors il existe : m × nfaçons possibles de réaliser les opérations A ET B

THÉORÈME 3.2

Principe de multiplication (version générale)

Si kopérations, où k ∈ ℕ*, doivent être effectuées successivement et sont telles qu’il existe n1 façons de réaliser une première opération, n2 façons de réaliser une deuxième opération, n3 façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe : n1 × n2 × n3 × ⋯ × nk façons possibles de réaliser les k opérations

THÉORÈME 3.3

Principe d’addition

Si k opérations mutuellement exclusives, où k ∈ ℕ*, doivent être effectuées et sont telles qu’il existe n1 façons de réaliser une première opération, n2 façons de réaliser une deuxième opération, n3façons de réaliser une troisième opération et ainsi de suite, alors il existe : n1 + n2 + n3 + ⋯ + nk façons possibles de réaliser l’une OU l’autre de ces opérations

THÉORÈME 3.4

Permutations d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations P d’un ensemble de nobjets discernables est donné par : Pn = n! où n ∈ ℕ n factorielle Soit n ∈ ℕ, l’expression n!, dite nfactorielle, est définie par : n! = n × ( n − 1) × ( n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 Par convention, on affirme que 0! = 1.

THÉORÈME 3.5

Permutations circulaires d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations circulaires d’un ensemble de n objets discernables est donné par : __ n! * n = (n − 1)! où n ∈ ℕ

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

121

THÉORÈME 3.6

Permutations d’objets partiellement indiscernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre de permutations discernables d’un ensemble de nobjets parmi lesquels il y a n1 éléments de type 1 identiques, n2 éléments de type 2 identiques, n3 éléments de type 3 identiques…, nkéléments de type k identiques est donné par : n! _____________ n   où n ∈ ℕ et n = n1 + n2 + n3 + ⋯ + nk 1! × n2! × n3! × ⋯ × nk!

THÉORÈME 3.7

Arrangements d’objets discernables (avec ordre et sans répétition)

Le nombre d’arrangements A d’un ensemble de robjets choisis parmi n objets discernables est donné par : Arn = _____ (n n! où r, n ∈ ℕ tels que 0 ≤ r ≤ n − r)!

THÉORÈME 3.8

Arrangements d’objets discernables (avec ordre et avec répétitions)

Le nombre d’arrangements avec répétitions d’un ensemble de robjets choisis parmi n objets discernables est donné par : nr où r, n ∈ ℕtels que 0 ≤ r ≤ n

THÉORÈME 3.9

Combinaisons d’objets discernables (sans ordre et sans répétition)

Le nombre de combinaisons C d’un ensemble de robjets choisis parmi nobjets discernables est donné par : Crn = __ r!r = ______ r! ( nn!− r)! = (     nr ) où r, n ∈ ℕtels que 0 ≤ r ≤ n n A

THÉORÈME 3.10

Règle de Pascal

Crn = Crn−−11 + Crn − 1 ∀ r, n ∈ ℕtels que 1 ≤ r < n

THÉORÈME 3.11

Formule du binôme de Newton n

(x + y)n = ∑   Cin xn − i yi ∀ n ∈ ℕ, ∀ x, y ∈ ℝ, où Cin : coefficient binomial i=0

122

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

FIGURE 3.5 Résolution d’un problème d’analyse combinatoire

Remarque

Le principe d’addition ne figure pas dans le diagramme, mais il pourrait être utilisé dans toutes les situations.

Non

Les objets sont-ils tous discernables ?

Oui

Permutations :

n!    _____________ n1! × n2! × ⋯ × nk!

ou Permutations circulaires :

(n – 1)!

Les objets peuvent-ils se répéter ?

Non

Permutations :

Permutations circulaires :

r! ( nn!− r)! Crn = _

Les objets sont-ils tous choisis ?

Oui

Combinaisons :

Oui

2 3

Non

L’ordre des objets est-il important ?

(n − 1)! ______________    n1! × n2! × ⋯ × nk!

Non

Arrangements avec répétitions :

Arrangements sans répétition :

r n

n! Arn = _____ (n − r)!

ou Principe de multiplication

Voici un exemple qui permet de faire une synthèse des notions étudiées au chapitre 3 : EXEMPLE-SYNTHÈSE Lors de l’Expo-sciences du programme Sciences de la nature, des prix sont remis aux meilleurs projets de fin d’études parmi ceux de 45 étudiants finissants. Parmi ces étudiants, 10 ont fait leur projet en physique, 15 l’ont fait en chimie, et 20 en biologie. Au total, la direction octroie une somme de 1200 $ sous forme de bourses. a) On s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix si 3 prix identiques de 400 $ sont remis et si chaque étudiant ne peut pas recevoir plus d’un prix. Si trois prix identiques sont remis, l’ordre n’est pas important. Ainsi, cela revient à choisir 3 étudiants parmi 45! = 14 190façons. 45 sans ordre. Il existe donc C345 = ______ 3! × 42! b) La direction remet 800 $ pour le prix du jury, 300 $ pour le prix des diplômés et 100 $ pour le prix du public ; on s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix dans ce contexte si un étudiant ne peut pas gagner plus d’un prix. Si trois prix distincts sont remis, l’ordre est alors important. Par le principe de multiplication ou le concept ___ = 85 140 façons. d’arrangements, il existe 45 × 44 × 43 = A345 = 45! 42!

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

123

c) La direction remet 800 $ pour le prix du jury, 300 $ pour le prix des diplômés et 100 $ pour le prix du public ; on s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix dans ce contexte si un étudiant peut gagner plus d’un prix. Si trois prix distincts sont remis, l’ordre est alors important. De plus, si un étudiant peut recevoir plus d’un prix, le principe de multiplication ou le concept d’arrangements avec répétitions permet de déterminer qu’il existe 45 × 45 × 45 = 4 53 = 91 125 façons. d) On s’intéresse au nombre de façons d’attribuer les prix si un étudiant ne peut gagner plus d’un prix et que 5 prix égaux de 240 $ sont remis OU 2 grands prix, soit l’un de 700 $ et un autre de 500 $, sont remis. 1. Si cinq prix identiques sont remis, l’ordre n’est pas important. Ainsi, cela revient à choisir 5 étudiants 45! parmi 45 sans ordre. Il existe donc C545 = ______ = 1 221 759 façons. 5! × 40! 2. Si deux prix distincts sont remis, l’ordre est alors important. Par le principe de multiplication ou le 45! concept d’arrangements, il existe 4 5 × 44 = A245 = ___ = 1980 façons. 43! 3. Finalement, par le principe d’addition, il existe C545 + A245 = 1 221 759 + 1980 = 1 223 739 façons d’attribuer les prix dans ce contexte. e) La direction remet 800 $ pour le prix du jury, 300 $ pour le prix des diplômés et 100 $ pour le prix du public. On s’intéresse au nombre de façons de distribuer les prix si un prix doit être remis par discipline. 1. Il faut tout d’abord choisir un étudiant gagnant dans chacune des disciplines. Il y a C110 = 10 façons en physique ET C115 = 15façons en chimie ET C120 = 20façons en biologie. Ainsi, par le principe de multiplication, il existerait 1 0 × 15 × 20 = 3000façons d’attribuer les prix s’ils étaient tous identiques. 2. Comme les 3 prix sont distincts, l’ordre est important et il existe 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6façons de permuter les 3 disciplines entre elles. 3. Finalement, par le principe de multiplication, il existe C110 × C115 × C120 × 3! = 3000 × 6 = 18 000 façons d’attribuer les prix dans ce contexte. f) Un grand prix de 600 $ est remis au meilleur projet, toutes disciplines confondues, et 2 prix identiques de 300 $ sont remis à des étudiants des 2 autres disciplines. Une discipline peut ainsi ne pas gagner de prix. On s’intéresse au nombre de façons possibles de remettre ces trois prix. 1. Si le grand prix est remis en physique, 2 prix de 300 $ sont remis à 2 des 35 étudiants en chimie et en biologie. Ainsi, il existe C110 × C235 = 10 × 595 = 5950 façons. 2. Si le grand prix est remis en chimie, 2 prix de 300 $ sont remis à 2 des 30 étudiants en physique et en biologie. Ainsi, il existe C115 × C230 = 15 × 435 = 6525 façons. 3. Si le grand prix est remis en biologie, 2 prix de 300 $ sont remis à 2 des 25 étudiants en physique et en chimie. Ainsi, il existe C120 × C225 = 20 × 300 = 6000 façons. 4. Finalement, le grand prix peut être gagné en physique OU en chimie OU en biologie. Par le principe d’addition, il existe C110 × C235 + C115 × C230 + C120 × C225 = 5950 + 6525 + 6000 = 18 475 façons. g) Il a été décidé de distribuer la somme de 1200 $ également à autant d’étudiants méritants que nécessaire. S’il y a au moins un gagnant, on s’intéresse au nombre de façons possibles de diviser la somme. Chacun des 45 étudiants peut gagner un prix ou non. 1. Si 1 seul prix de 1200 $ est remis, il existe C145 = 45façons de le remettre. 2. Si 2 prix sont remis, il existe C245 = 990façons de les remettre. 3. Si 3 prix sont remis, il existe C345 = 14 190façons de les remettre et ainsi de suite. 4. Par le principe d’addition, il existe : C145 + C245 + C345 + ⋯ + C45 45 = 2 45 − C045 = 245 − 1 = 35 184 372 088 831 façons

124

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

MISE EN PRATIQUE EXERCICES PAR SECTION

Corrigé, p. 398

Sections 3.1 et 3.2

1. a) De combien de façons différentes peut-on former un nombre de 7 chiffres à partir des chiffres 0 à 9 si ce nombre ne peut pas commencer par le chiffre 0.

b) Parmi ces nombres, combien sont pairs ? c) Combien de ces nombres sont supérieurs à 7 000 000 ?

2. Combien existe-t-il de façons différentes de répondre à un questionnaire de 25 questions de type vrai ou faux ?

3. Combien existe-t-il de façons différentes de répondre à un questionnaire à choix multiples de 40 questions si chaque question a 5 choix de réponses ?

4. Combien de plaques différentes peut-on constituer si l’immatriculation des véhicules se fait de la façon

5. De combien de façons peut-on attribuer 6 récompenses distinctes aux 13 finalistes d’un gala : a) si aucun finaliste ne peut recevoir plus d’une récompense ? b) si chaque finaliste peut recevoir plus d’une récompense ?

6. Combien existe-t-il de façons différentes qu’un chirurgien puisse opérer huit patients : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) si les patients A et B doivent être opérés l’un après l’autre (pas nécessairement dans cet ordre) ? c) si les patients A et B ne doivent pas être opérés l’un après l’autre (pas nécessairement dans cet ordre) ?

7. a) À partir des chiffres 3 à 8, combien peut-on former de nombres de 6 chiffres distincts ? b) Parmi ces nombres, combien sont : 1) impairs ?

3) pairs et inférieurs à 700 000 ?

2) supérieurs à 500 000 ?

4) impairs ou supérieurs à 600 000 ?

Section 3.3

8. À partir des lettres du mot BOTANIQUE, combien peut-on former d’assemblages : a) de neuf lettres différentes ?

b) de sept lettres différentes ?

9. À partir des lettres du mot EMBRYON, combien peut-on former d’assemblages de sept lettres distinctes commençant par une voyelle et finissant par une consonne ?

10. À partir des lettres du mot TOURMALINE, si l’on alterne voyelles et consonnes, combien peut-on former d’assemblages :

a) de huit lettres différentes ?

b) de six lettres différentes ?

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

125

Corrigé, p. 398

11. Le soir du lancement d’un court métrage, sur le tapis rouge, on veut faire défiler les acteurs vedettes en alternant les femmes et les hommes. De combien de façons peut-on faire défiler : a) sept femmes et six hommes ?

b) sept femmes et sept hommes ?

12. Pour la remise des méritas, on aligne 26 étudiants dont 8 étudiants en Sciences de la nature, 9 étudiants en Sciences humaines, 5 étudiants en Arts et lettres et 4 étudiants en Musique. De combien de façons peut-on les aligner : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) si les étudiants d’un même programme doivent être placés côte à côte ? c) si seuls les étudiants en Sciences de la nature doivent être placés côte à côte ?

13. Dans un laboratoire de botanique, certains végétaux ont besoin de lumière et d’autres moins. De combien de façons peut-on disposer 12 végétaux dont 4 ont besoin d’être devant une fenêtre s’il y a quatre places disponibles devant cette fenêtre.

14. Dans un parc d’attractions, on veut disposer 12 personnes dans un manège rond de 12 places. a) De combien de façons différentes peut-on les disposer ? b) Combien y a-t-il de dispositions différentes si Youssef et Henri sont côte à côte ? c) Combien y a-t-il de dispositions différentes si Alice, Liam et Tamara sont placés de façon consécutive ?

15. De combien de façons différentes peut-on distribuer 9 béchers de 100 ml et 5 cylindres gradués de 100 ml à 14 étudiants ?

16. Le magasinier a cinq unités de trois types de balances. De combien de façons différentes peut-il placer ces balances sur une tablette ?

17. Une clinique de fertilité offre à des futurs parents de choisir certaines caractéristiques de leur futur bébé à naître. Ils peuvent choisir le sexe du bébé (garçon ou fille) et la couleur des yeux (bleu, brun ou vert), ou choisir le sexe du bébé et la couleur des cheveux (blond, châtain, brun ou noir). De combien de façons différentes peuvent-ils faire leur choix ?

18. En utilisant les chiffres du nombre 223 334 444, combien peut-on former de nombres : a) de neuf chiffres ? b) de 9 chiffres supérieurs à 300 000 000 ? c) de neuf chiffres si les quatre chiffres 4 sont placés de façon consécutive ? d) de neuf chiffres qui commencent et se terminent par un nombre pair ?

19. Combien d’assemblages de lettres différents peut-on former avec les lettres du mot EMPOISONNEMENT : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) si les trois lettres N sont consécutives ? c) si les lettres identiques ne peuvent être séparées ?

20. Si la partie de soccer se termine 5 à 3 en faveur des visiteurs, de combien de façons différentes les buts ontils pu être comptés ?

21. On lance une pièce de monnaie 18 fois de suite. On note le résultat après chaque lancer : pile ou face. a) Combien de résultats différents peut-on obtenir ? b) Combien de résultats différents comptent autant de pile de de face ?

126

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

Corrigé, p. 399 c) Combien de résultats différents comptent plus de pile que de face ?

Section 3.4

22. Cinq personnes entrent dans un espace de cotravail où se trouvent 12 postes de travail. De combien de façons peuvent-elles prendre place ?

23. Quinze personnes entrent dans une salle de conférence où se trouvent six chaises.

De combien de façons les chaises peuvent-elles être occupées (par une seule personne à la fois) ?

24. De combien de façons différentes peut-on distribuer huit revues scientifiques distinctes aux 34 étudiants d’un cours de physique :

a) si personne ne peut recevoir plus d’une revue ? b) si chacun peut recevoir plus d’une revue ?

25. La capacité d’une fourgonnette est de 15 passagers. Sept sièges sont placés près d’une fenêtre, dont le

siège du conducteur. De combien de façons 10 personnes peuvent-elles y prendre place sachant que 2 d’entre elles détiennent un permis pour conduire ce type de véhicule et que 3 refusent de s’asseoir près d’une fenêtre ?

Section 3.5

26. Un comité étudiant compte 13 membres. Si quatre membres s’occupent du déroulement des réunions, de combien de façons différentes peut-on attribuer les neuf autres tâches ?

27. Combien de comités différents peut-on former s’ils sont composés de 3 professeurs et 9 étudiants choisis au hasard parmi les 245 professeurs et les 2350 étudiants du cégep ?

28. Une liste de lecture comprend 136 chansons, dont 5 de musique électronique. À partir de cette liste, de combien de façons différentes peut-on former une nouvelle liste de lecture de sept chansons sachant qu’elle doit inclure une seule chanson de musique électronique ?

29. Près du cégep, il y a 19 appartements semi-meublés à louer et 15 appartements non meublés. On veut former un échantillon de huit appartements. Sur tous les échantillons possibles, combien comportent : a) le même nombre d’appartements de chaque type ? b) au plus trois appartements semi-meublés ?

30. Un examen comporte 18 questions. L’étudiant doit choisir 10 questions parmi les 18 questions et y répondre. De combien de façons différentes peut-il faire ce choix : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) s’il doit répondre à la première question ou à la seconde, mais pas aux deux ? c) s’il doit répondre obligatoirement aux trois dernières questions ? d) s’il doit répondre à au moins trois des cinq premières questions ?

31. En utilisant les lettres du mot BRONCHITE, combien d’assemblages différents peut-on former si ceux-ci doivent être composés de quatre consonnes différentes et de deux voyelles différentes ?

32. Aki a 13 amis. Il désire en inviter 7 pour souligner son 20 anniversaire de naissance. De combien de façons e

différentes peut-il le faire si :

a) deux de ses amis sont en couple et doivent être invités tous les deux ? b) deux de ses amis ont un différend et ne peuvent être invités en même temps ?

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

127

Corrigé, p. 399

33. On tire 4 cartes d’un jeu ordinaire de 52 cartes. Combien existe-t-il de mains : a) de quatre cartes ? b) comportant trois as et un roi ? c) comportant quatre cartes de même valeur (ex. : quatre as, quatre 8) ? d) comportant quatre cartes de valeurs différentes (ex. : 3 de cœur, 6 de carreau, 8 de pique et valet de trèfle) ? e) comportant au moins un 10 ?

34. Une main au poker est composée de 5 cartes tirées d’un jeu ordinaire de 52 cartes. Combien existe-t-il de mains : a) de cinq cartes ? b) comportant trois rois et deux dames ? c) comportant quatre cartes de même valeur et une autre carte ? d) comportant cinq cartes de valeurs différentes ? e) comportant au moins deux as ?

35. L’alphabet compte 26 lettres, dont 6 voyelles. On veut former des assemblages de sept lettres. a) Combien d’assemblages sont composés de quatre consonnes et trois voyelles différentes ? b) Combien d’assemblages commencent par la lettre b et finissent par la lettre n ? c) Combien d’assemblages contiennent les lettres e, m, o et s ? d) Combien d’assemblages contiennent la lettre d et commencent par la lettre a ?

36. À la demande du conseil d’administration, les professeurs ont recommandé 12 étudiants dans cinq profils différents. Le conseil désire choisir trois profils au hasard parmi les cinq profils, puis trois étudiants dans chacun des trois profils choisis. Combien de groupes de neuf étudiants peut-on former ?

37. Livia, Jacob et Victor ont réservé chacun une table pour assister à un spectacle d’humour de la relève.

En tout, ils invitent neuf amis pour les accompagner. Livia et Jacob ont chacun trois places de disponibles à leur table et Victor, quatre. De combien de façons différentes peuvent-ils répartir les places disponibles entre leurs neuf amis ?

38. La Lotto 6/49 fonctionne comme suit : le client fait un choix de 6 nombres sur une fiche où sont listés tous les nombres de 1 à 49. L’ordre du choix des nombres n’est pas important. Lors du tirage, six numéros sont tirés, plus un septième numéro qu’on appelle numéro complémentaire. Calculez le nombre de façons différentes qui donnent droit aux lots : a) trois sur six (trois des nombres choisis par le client font partie des six numéros tirés) ; b) quatre sur six (quatre des nombres choisis par le client font partie des six numéros tirés) ; c) cinq sur six (cinq des nombres choisis par le client font partie des six numéros tirés et le dernier n’est pas le numéro complémentaire) ; d) cinq sur six plus (cinq des nombres choisis par le client font partie des six numéros tirés et le dernier est le numéro complémentaire) ; e) six sur six (le gros lot : les six nombres choisis par le client sont les six numéros tirés).

128

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

Corrigé, p. 399

Section 3.6

39. Donnez le développement de ( __ 21  x  − y )  . 3

40. Dans le développement de ( x  − __ x2  )  , identifiez : 2

a) le terme en x5s’il existe un tel terme ; b) le terme indépendant de x s’il existe un tel terme.

41. Trouvez le terme en x dans le développement de (2√_x  + x)  s’il existe un tel terme. 7

42. Déterminez le terme constant, s’il existe, dans le développement de (x − _ 3_ ) . √ x3 2

43. Déterminez le terme en y dans le développement de (2xy + 3z ) s’il existe un tel terme. 9

2 6

EXERCICES MÉLI-MÉLO

Corrigé, p. 399

44. En recherche biométrique, on doit parfois comparer des couples de caractères. Combien de couples de caractères différents peut-on comparer à partir des cinq caractères A, B, C, D et E ? Énumérez-les.

45. Pour commander un sous-marin, le client doit choisir un pain, un fromage, une viande et une sauce. Voici les choix possibles de chaque type d’aliment : • Pain : blanc ou blé entier ; • Fromage : suisse, cheddar ou mozzarella ; • Viande : poulet, bœuf, dinde ou boulette végane ; • Sauce : césar, italienne, moutarde, mayonnaise ou barbecue.

Combien de sous-marins différents le client peut-il commander ?

46. Quatre filles et quatre garçons doivent être rencontrés lors d’une entrevue pour un stage. De combien de façons différentes peut-on organiser les rencontres : a) s’il n’y a pas de contrainte ? b) si Klara et Gustave doivent être rencontrés l’un après l’autre ? c) si l’on désire que les filles et les garçons soient rencontrés en alternance ? d) si les garçons doivent être rencontrés l’un après l’autre ?

47. Le code génétique définit un acide aminé par une suite de trois nucléotides. Il existe quatre nucléotides différents : A, T, C ou G. Combien d’acides aminés peut-on coder si les répétions sont permises ?

48. À partir des lettres du mot LARYNGOSCOPIE, on forme des assemblages de cinq lettres distinctes. a) De combien de façons peut-on procéder ? b) Parmi celles-ci, combien d’assemblages de lettres : 1) ne contiennent que des consonnes ? 2) ne contiennent que des voyelles ? 3) commencent par la lettre L et se terminent par la lettre E ? 4) sont constitués de trois consonnes suivies de deux voyelles ? 5) sont constitués de deux voyelles et de trois consonnes ? © 2024, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

129

Corrigé, p. 399

49. Une entreprise offre 14 modèles de cordons lumineux : 8 ont un circuit en série et les autres, un circuit en parallèle. L’entreprise constitue un échantillon de six modèles. De combien de façons différentes peut-elle procéder : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) si l’échantillon doit compter autant de cordons lumineux ayant un circuit en série qu’en parallèle ? c) si l’échantillon doit compter moins de cordons lumineux ayant un circuit parallèle qu’en série ? d) si l’échantillon doit compter des cordons lumineux ayant un circuit en série et en parallèle ?

50. En informatique, un octet est une unité d’information de huit bits. Un bit est une unité binaire qui ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Combien d’octets différents peut-on former ?

51. Déterminez le terme constant, s’il existe, dans le développement de (x − _x1 ) . 52. Combien de numéros de téléphone différents à 7 chiffres, dont le premier doit être différent de 3, peut-on 4

constituer avec les chiffres du nombre 3 366 999 ?

53. Six étudiants se trouvent dans la même classe. Combien y a-t-il de combinaisons possibles relativement à : a) leur sexe à la naissance ?

c) leur groupe sanguin ?

b) leur mois de naissance ?

d) leur couleur de cheveux s’il existe 8 couleurs naturelles ?

54. Un sachet contient 24 graines de concombres, dont 6 ne germeront pas. a) Combien y a-t-il de façons possibles de choisir 8 graines ? b) Combien parmi ces possibilités ne contiendront que de bonnes graines ?

EXERCICES-SYNTHÈSE

Corrigé, p. 400

56. Combien y a-t-il de façons de répondre à un examen à choix multiples de 30 questions si chaque question a 4 choix de réponses ?

57. De combien de façons différentes peut-on aligner sept chênes, six érables, cinq pins et quatre peupliers si les arbres d’une même essence sont placés côte à côte ?

58. De combien de façons peut-on disposer sept personnes sur un banc de parc : a) si Enzo et Patricia désirent être côte à côte ? b) si Marie et Alex ne peuvent être côte à côte ?

130

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

Corrigé, p. 400

59. Si on alterne les étudiants en Sciences de la nature et ceux en Sciences humaines, de combien de façons peut-on aligner :

a) huit étudiants en Sciences de la nature et sept étudiants en Sciences humaines ? b) huit étudiants en Sciences de la nature et huit étudiants en Sciences humaines ?

60. Un professeur de biologie demande à ses étudiants de répondre à 15 questions parmi 25 questions. Sachant que l’ordre du choix des questions n’a pas d’importance, de combien de façons différentes peut-on faire ce choix : a) s’il n’y a aucune contrainte ? b) si on doit répondre obligatoirement aux cinq premières questions ? c) si on doit répondre à au moins quatre des six dernières questions ?

61. L’alphabet compte 26 lettres, dont 6 voyelles. On veut former des assemblages de neuf lettres. a) Combien d’assemblages sont composés de cinq consonnes différentes et quatre voyelles différentes ? b) Parmi ces assemblages, combien : 1) commencent par la lettre r et se terminent par la lettre e ? 2) contiennent les lettres a, b, i, l et s ? 3) commencent par la lettre p, finissent par la lettre t et contiennent la lettre o ?

62. En utilisant les chiffres du nombre 6 555 577 : a) combien peut-on former de nombres de sept chiffres ? b) combien de ces nombres sont supérieurs à 6 000 000 ? c) combien de ces nombres se terminent par un nombre impair ?

63. Dans une serre, il y a 10 plants de maïs sucré, 12 plants de maïs denté, 8 plants de maïs popcorn et 6 plants

de maïs à farine. On désire former un échantillon de six plants de maïs. Comment peut-on choisir trois groupes de deux plants de maïs représentant trois variétés différentes ?

64. Une ingénieure doit choisir 5 matériaux différents parmi 16 pour former un alliage métallique. De combien de façons différentes, ce choix peut-il se faire :

a) si trois matériaux ne peuvent pas être utilisés ensemble dans l’alliage ? b) si deux matériaux doivent absolument être utilisés dans l’alliage ?

65. Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. De combien de façons peut-on y prélever un échantillon de taille 7 si :

a) les boules sont tirées l’une après l’autre avec remise ? b) les boules sont tirées l’une après l’autre sans remise ? c) les boules sont tirées simultanément ? (n + 2)! 66. Résolvez l’équation : _ 5 = 4! (n − 1)!

Chapitre 3 • L’analyse combinatoire

131

CHAPITRE

LES PROBABILITÉS OBJECTIF Calculer la probabilité d’un événement.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Des probabilités sur la santé

4.4 L’INDÉPENDANCE D’ÉVÉNEMENTS . . . . . . . . 151 Exercices 4.4

4.1 INTRODUCTION .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 • Définitions • Théorie des ensembles et des opérations sur les événements • Propriétés des opérations sur les événements Exercices 4.1

4.5 LE PRINCIPE DE MULTIPLICATION ET D’ADDITION POUR LES PROBABILITÉS .. 153 • Diagramme en arbre • Principe de multiplication • Principe d’addition Exercices 4.5

4.2 LE CALCUL DES PROBABILITÉS . . . . . . . . . . . . . . . 141 • Probabilité subjective • Méthode classique • Méthode empirique • Axiomes et propriétés Exercices 4.2

4.6 LE THÉORÈME DE BAYES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Exercices 4.6

4.3 LA PROBABILITÉ CONDITIONNELLE . . . . . . . 148 Exercices 4.3

EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Les questions les plus importantes de la vie ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Mathématicien, astronome, physicien et homme politique français

132

Chapitre 4 • Les probabilités

MISE EN SITUATION DES PROBABILITÉS SUR LA SANTÉ Le langage probabiliste fait partie du langage courant. Tous les jours, on utilise des pourcentages ou on entend des termes comme probable, impossible ou certain pour parler de sports, de la météo ou d’un facteur de risque pour notre santé. Une probabilité situe les chances relatives qu’un événement donné se produise. Un événement impossible se verra associer une probabilité nulle (ou 0 %) et un événement certain, une probabilité de 1 (ou 100 %). Les probabilités respectives de tous les autres événements dont la réalisation n’est ni une impossibilité ni une certitude se situent entre 0 et 1. Les médecins utilisent les probabilités pour mieux évaluer la santé de leurs patients, mais aussi pour les informer sur les chances de guérison ou sur les facteurs de risque les plus probables ayant mené à un diagnostic. Voici des données d’enquête concernant le nombre de cas déclarés de diabète au Canada de 2016 à 2019 selon le groupe d’âge et le sexe de chacun des patients : TABLEAU 4.1 Répartition de 2 138 000 cas de diabète selon le genre et l’âge, Canada, 2016 à 2019 Groupe d’âge

Sexe

Total

Hommes

Femmes

40 à 59 ans

499 000

434 500

933 500

60 à 79 ans

791 800

412 700

1 204 500

1 290 800

847 200

2 138 000

Total

Source : Statistique Canada, tableau 13-10-0873-01 : Prévalence, conscience, traitement et contrôle du diabète, cycles combinés, par groupe d’âge et sexe, Canada (sauf les territoires), 2023. Reproduit et diffusé « tel quel » avec la permission de Statistique Canada. [https://www150.statcan.gc.ca/t1/tbl1/fr/tv.action?pid=1310087301&pickMembers%5B0%5D =2.3&cubeTimeFrame.startYear=2016+-+2019&cubeTimeFrame.endYear=2016+-+2019&referencePeriods=201601 01%2C20160101] (Page consultée le 8 janvier 2024).

On choisit un individu au hasard parmi tous ceux ayant déclaré un diabète entre 2016 et 2019. Il est moins probable que cet individu soit âgé entre 40 et 59 ans qu’entre 60 et 79 ans, car la probabilité que cet individu soit âgé entre 40 et 59 ans est de : 933 500 × 100 % ≈ 43,7 % _______ 2 138 000

Si l’individu choisi est un homme, il est plus probable qu’il soit âgé entre 60 et 79 ans, car la probabilité est de : 800 _______ × 100 % ≈ 61,3 % 1791 290 800

Dans ce chapitre, les outils pour calculer des probabilités empiriques et des probabilités conditionnelles seront approfondis.

Cette probabilité empirique est obtenue par l’approche fréquentiste.

Cette probabilité est une probabilité conditionnelle.

Chapitre 4 • Les probabilités

133

CHAPITRE

LES VARIABLES ALÉATOIRES OBJECTIFS Étudier la distribution de probabilités de variables discrètes et continues. Résoudre des problèmes faisant intervenir les lois de probabilité.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Le test de Wechsler 5.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Exercices 5.1 5.2 LA VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

• Distribution de probabilités d’une variable aléatoire discrète • Espérance mathématique et variance d’une variable aléatoire discrète • Variable aléatoire de Bernoulli • Variable aléatoire binomiale • Variable aléatoire de Poisson Exercices 5.2

5.3 LA VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

• Variable aléatoire uniforme • Loi normale Exercices 5.3 EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Toute connaissance dégénère en probabilité. David Hume (1711-1776) Scientifique, philosophe, historien écossais

174

Chapitre 5 • Les variables aléatoires

MISE EN SITUATION LE TEST DE WECHSLER Dans la population, les résultats à un test de quotient intellectuel sont normalement distribués. Le test de Wechsler (Wechsler Adult Intelligence Scale) est un test de quotient intellectuel mesurant l’intelligence chez l’adulte. La moyenne des résultats au test correspond à μ = 100 et l’écart type des résultats dans la population correspond à σ = 15. La douance, condition que présentent les individus à haut potentiel intellectuel, serait détectable, entre autres, chez les individus ayant un résultat au test de Wechsler supérieur à plus de deux écarts types de la moyenne. En se basant sur cet unique critère, on cherche à savoir quel pourcentage d’individus dans la population sont considérés comme « doués ». Grâce à la loi de probabilité la plus utilisée et la plus connue en statistique, c’est-à-dire la loi normale, notion qui sera étudiée dans ce chapitre, il sera possible de répondre à la question. FIGURE 5.1 Les tests de QI

2,27 %

100 μ

115

130

145

2σ

Résultat au test de Wechsler

Le pourcentage d’individus doués dans la population, c’est-à-dire le pourcentage d’individus ayant obtenu un résultat au test de quotient intellectuel de Wechsler de plus de 130, est de 2,27 %. Ce résultat correspond à l’aire sous la courbe normale représentée en rouge dans le graphique ci-dessus. Source : Camille Givet. Les tests de QI - Site de psyenfanceado ! [https://www.psychologue-tdah-paris.fr/bilan-neuropsychologique/ test-de-qi] (Page consultée le 12 janvier 2024).

Chapitre 5 • Les variables aléatoires

175

CHAPITRE

L’INFÉRENCE STATISTIQUE : L’ESTIMATION OBJECTIFS Reconnaître les conditions d’application du théorème central limite. Interpréter la marge d’erreur. Estimer par un intervalle de confiance. Résoudre des problèmes faisant intervenir les méthodes d’inférence statistique.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 La conservation des aliments 6.1 DES DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 • Paramètre • Statistique • Estimation ponctuelle • Estimation par intervalle de confiance • Barre d’erreur • Test d’hypothèse 6.2 LA DISTRIBUTION D’ÉCHANTILLONNAGE D’UNE MOYENNE .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Exercices 6.2

6.3 L’INTERVALLE DE CONFIANCE . . . . . . . . . . . . . . 238 • Intervalle de confiance sur une moyenne pour : – un grand échantillon – un petit échantillon • Choix du type de barre d’erreur • Intervalle de confiance sur une proportion pour un grand échantillon Exercices 6.3 EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Par [un petit] échantillon, nous jugerons de la pièce [entière]. Adaptation de Miguel de Cervantes (1547-1616) Romancier, poète et dramaturge espagnol

228

Chapitre 6 • L’inférence statistique : l’estimation

MISE EN SITUATION LA CONSERVATION DES ALIMENTS L’analyse de données, l’étape 3 de la démarche scientifique, permet de déterminer si une hypothèse de recherche est confirmée ou infirmée à partir d’une analyse inférentielle. L’objectif de cette dernière est de généraliser les résultats d’un échantillon à l’ensemble de la population. L’inférence statistique débute généralement par l’estimation de paramètres comme la moyenne. Ainsi, à partir des notions étudiées dans ce chapitre, il sera par exemple possible de lancer une réflexion pour répondre à cette question de recherche : On s’intéresse à la croissance de la moisissure Penicillium chrysogenum sur une purée de framboises. Le diamètre de la pousse de la moisissure (en mm) sera mesuré à une température de 25 °C, à 90 % d’humidité et au bout d’un temps d’incubation de 7 jours. Entre le jus de citron concentré à 5 %, l’aloe vera concentré à 15 % et aucune utilisation d’agent de conservation (témoin), quelle technique est la plus efficace contre la croissance de la moisissure ? À partir des données de recherche, il est possible de tracer un graphique de moyennes avec barres d’erreur qui permet de visualiser à quelle distance de la statistique présentée pourrait se trouver la vraie moyenne. FIGURE 6.1

Moyenne du diamètre de la pousse de la moisissure (mm)

Moyenne du diamètre de la pousse de la moisissure Penicillium chrysogenum selon l’agent de conservation d’un échantillon de 108 pétris contenant de la purée de framboises après 7 jours d’incubation, 2022 14

Barre d'erreur 12 10 8 6 4 2 0

Jus de citron

Aloe vera

Aucun agent

Agent de conservation

C’est à partir des estimations par intervalle de confiance calculées et ajoutées à ce graphique que l’on suppose que l’agent de conservation aloe vera ajouté à la purée de framboises semble être le plus efficace pour freiner la croissance de la moisissure Penicillium chrysogenum.

Chapitre 6 • L’inférence statistique : l’estimation

229

CHAPITRE

L’INFÉRENCE STATISTIQUE : LES TESTS D’HYPOTHÈSES OBJECTIFS Utiliser un test d’hypothèse. Résoudre des problèmes faisant intervenir les méthodes d’inférence statistique. Déterminer un lien de dépendance entre deux variables qualitatives. Résoudre des problèmes faisant intervenir le test d’indépendance du khi-carré.

SOMMAIRE MISE EN SITUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

La confirmation ou l’infirmation 7.1 L’INTRODUCTION À LA NOTION DE TEST D’HYPOTHÈSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.2 LES TESTS D’HYPOTHÈSES PARAMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 • Test sur une moyenne pour : – un grand échantillon – un petit échantillon • Test sur une proportion pour un grand échantillon • Test sur la différence de deux moyennes pour : - de grands échantillons - de petits échantillons • Test sur des données appariées pour de petits et de grands échantillons • Test sur la différence de deux proportions pour de grands échantillons

• ANOVA à un facteur inter-sujets Exercices 7.2 7.3 LES TESTS D’HYPOTHÈSES NON PARAMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 • Test d’indépendance • Test d’ajustement Exercices 7.3 7.4 LE CHOIX D’UN TEST D’HYPOTHÈSE . . . . . 338 Exercices 7.4 EN RÉSUMÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 MISE EN PRATIQUE.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Exercices par section Exercices méli-mélo Exercices-synthèse

Le jugement statistique sera un jour aussi nécessaire à l’exercice efficace des fonctions du citoyen que la capacité de lire et d’écrire. Herbert George Wells (1866-1946) Romancier, nouvelliste et essayiste anglais

276

Chapitre 7 • L’inférence statistique : les tests d’hypothèses

MISE EN SITUATION LA CONFIRMATION OU L’INFIRMATION La rédaction d’un rapport scientifique se termine généralement par la réalisation de tests d’hypothèses. Il s’agit du deuxième volet de l’inférence statistique. On se base sur ces tests pour déterminer si une hypothèse de recherche est confirmée ou infirmée. Voici la description d’une expérience : Le nombre de cellules vivantes fibroblastes BJ CRL-2522 provenant d’Homo sapiens mâle néonatal devrait être plus faible pour les cellules exposées aux rayons UVA d’une longueur d’onde de 365 nanomètres à une intensité lumineuse de 18,33 J/ cm2 comparativement aux cellules qui n’ont pas été exposées aux rayons UVA. En effet, cette hypothèse est attribuée aux différents mécanismes d’actions discutés préalablement dans le contexte théorique. Source : Karran, P. ; Brem, R. Protein oxidation, UVA and human DNA repair. DNA repair, 2016, 44, 178 -185. [https://doi.org/10.1016/j.dnarep.2016.05.024] (Page consultée le 14 février 2024)

Dans cette expérience, pour déterminer si l’hypothèse est confirmée ou infirmée, il faut confronter les hypothèses statistiques suivantes : Hypothèse nulle (H0) : μcellules vivantes exposées UVA = μcellules vivantes non exposées UVA Hypothèse alternative (H1) : μcellules vivantes exposées UVA < μcellules vivantes non exposées UVA À la lumière des résultats de recherche obtenus, il sera possible de réaliser un test d’hypothèse sur la différence de deux moyennes, test d’hypothèse qui sera étudié dans ce chapitre. Voici les résultats donnés, par un logiciel statistique, du test d’hypothèse de cette expérience : TABLEAU 7.1 Test des échantillons indépendants Test de Levene sur l’égalité des variances

Hypothèse de variances égales Hypothèse de variances inégales

Intervalle de confiance de la différence à 95 %

Test t pour égalité des moyennes

Sig.

Sig. p unilatéral

Sig. p bilatéral

Différence moyenne

Erreur standard

14,312

< 0,001

-8,031

< 0,001 < 0,001 -49,5700 6,1725

-61,9256 -37,2144

30,306 < 0,001 < 0,001 -49,5700 6,1725

-62,1706 -36,9694

Inférieur

Supérieur

Valeur p

-8,031

Selon ces résultats, la valeur p est inférieure à 0,001. Comme la valeur p est inférieure à α = 5 %, on rejettera H0. À un seuil de signification de 5 %, on peut donc conclure que l’hypothèse de recherche est confirmée.

Chapitre 7 • L’inférence statistique : les tests d’hypothèses

277

CHAPITRE 3

c) 65 536x8

MISE EN PRATIQUE EXERCICES PAR SECTION

EXERCICES 3.1 1. a) 3 000 000 codes b) 453 600 codes

Sections 3.1 et 3.2

2. 168 façons

1. a) 9 000 000 façons

3. a) 6720 mots

b) 4 500 000 façons

b) 8640 mots

c) 2 999 999 façons

EXERCICES 3.2

2. 33 554 432 façons

1. 5040 mots

3. 540façons

2. 780 nombres

4. 31 636 800 plaques

EXERCICES 3.3

5. a) 1 235 520 façons

1. a) 2 370 937 800

6. a) 40 320 façons

b) n( n + 1)(n − 1)

b) 10 080 façons

2. 399 168 000 façons

c) 30 240 façons

b) 4 826 809 façons

7. a) 720 nombres

3. a) 40 320 mots b) 1 814 400 mots

b) 1) 360 nombres

4. a) 59 049 façons

2) 480 nombres

b) 2520 façons

3) 240 nombres 4) 528 nombres

EXERCICES 3.4

Section 3.3

1. a) 16 façons

8. a) 362 880 mots

b) 1 028 160 façons

b) 181 440 mots

c) 111 649 façons

9. 1440 mots

d) 154 440 façons

10. a) 28 800 mots

2. a) 39 270 façons b) 42 875 façons

b) 7200 mots

c) 9900 façons

11. a) 3 628 800 façons b) 50 803 200 façons

d) 32 430 façons

12. a) 26 !façons

EXERCICES 3.5

b) 1 011 316 948 992 000 façons

1. a) 20 020 façons

c) 4 904 730 448 484 106 240 000 façons

b) 116 272 façons

13. 967 680 façons

EXERCICES 3.6

14. a) 39 916 800 façons

1. a) x + 12x + 54x + 108x + 81 4

b) 8x3 − 6x2 + __ 3x − __ 1 2

c) x6 + 24x5 + 240x4 + 1280x3 + 3840x2

+ 6144x + 4096 2. a) x16 b) -3584x13

398

Corrigé

b) 7 257 600 façons c) 2 177 280 façons 15. 2002 façons 16. 756 756 façons 17. 14 façons 18. a) 1260 nombres

b) 980 nombres

c) 3 084 480 mots

c) 60 nombres

d) 6 976 800 mots

d) 525 nombres

36. 106 480 000 mots

19. a) 605 404 800 mots b) 19 958 400 mots c) 40 320 mots

37. 4200 façons 38. a) 246 820 façons b) 13 545 façons

20. 56 façons

c) 252 façons

21. a) 262 144 résultats

d) 6 façons

b) 48 620 résultats

e) 1 façon

c) 106 762 résultats

Section 3.4 22. 95 040 façons 23. 3 603 600 façons 24. a) 732 058 145 280 façons b) 1 785 793 904 896 façons 25. 223 534 080 façons

Section 3.5 26. 715 façons 27. 14 361 427 289 496 735 388 722 387 028 500 comités 28. 31 248 278 880 listes 29. a) 5 290 740 échantillons b) 3 894 462 échantillons 30. a) 43 758 façons b) 22 880 façons c) 6435 façons d) 27 027 façons 31. 32 400 mots

Section 3.6 1 x12 − ___ 39. ___ 16 12 x9y4 + __ 32 x6y8 − 2x3y12 + y16

40. a) -960x5 b) 3360 41. 42 240x7 42. Aucun terme constant 43. 4320x3y9z6

EXERCICES MÉLI-MÉLO 44. 10 couples ; AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE 45. 120 sous-marins 46. a) 40 320 façons b) 10 080 façons c) 1152 façons d) 2880 façons 47. 64 acides aminés 48. a) 95 040 mots b) 1) 2520 mots 2) 120 mots

32. a) 792 façons

3) 720 mots

b) 1254 façons

4) 4200 mots

33. a) 270 725 mains b) 16 mains c) 13 mains d) 183 040 mains e) 76 145 mains 34. a) 2 598 960 mains b) 24 mains

5) 42 000 mots 49. a) 3003 façons b) 1120 façons c) 1414 façons d) 2974 façons 50. 256 octets

c) 624 mains

51. 35

d) 1 317 888 mains

52. 150 nombres

e) 108 336 mains

53. a) 64 combinaisons

35. a) 488 376 000 mots b) 367 200 mots

b) 2 985 984 combinaisons c) 4096 combinaisons Corrigé

399

d) 262 144 combinaisons 54. a) 735 471 choix b) 43 758 choix

EXERCICES-SYNTHÈSE 55. a) 119 750 400 mots b) 1) 5760 mots 2) 2880 mots 3) 57 600 mots 4) 50 400 mots 56. 430façons

b) 184 756 façons c) 1 780 376 façons 61. a) 84 391 372 800 mots b) 1) 195 350 400 mots 2) 296 110 080 mots 3) 4 126 400 mots 62. a) 105 nombres b) 45 nombres c) 90 nombres 63. 174 330 façons

57. 250 822 656 000 façons

64. a) 4290 façons b) 2266 façons

58. a) 1440 façons b) 3600 façons

65. a) 170 859 375 façons b) 32 432 400 façons

59. a) 203 212 800 façons b) 3 251 404 800 façons

c) 6435 façons 66. n = 4

60. a) 3 268 760 façons

400

Corrigé

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE EN SCIENCES DE LA NATURE

Conçu pour vous accompagner dans l’exploration approfondie des concepts de probabilités et des méthodes statistiques, cet ouvrage vous permettra de développer vos compétences critiques en pensée analytique et de renforcer votre capacité à évaluer et à interpréter des données scientifiques dans divers contextes liés à votre domaine d’étude : les sciences de la nature. S’appuyant sur les étapes de la démarche scientifique, ce manuel vous donnera des outils essentiels pour planifier une recherche ainsi qu’organiser, traiter, analyser et interpréter des données de recherche obtenues dans une discipline expérimentale : biologie, chimie ou physique. Voici les principales caractéristiques de cet ouvrage : • une structure favorisant un apprentissage autonome ; • un vocabulaire accessible et adapté au domaine d’étude ; • des notions claires et illustrées au moyen de multiples exemples, certains évolutifs ; • des exercices nombreux permettant de mettre les notions en pratique ; • des rubriques technologiques pertinentes ; • des schémas notionnels et des exemples-synthèse facilitant la révision des notions ; • un corrigé court de tous les exercices.

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Stéphanie Morneau détient un baccalauréat en mathématiques (avec des orientations en statistique et en actuariat) de l’Université de Montréal. Depuis 2011, elle est enseignante en mathématiques au Cégep André-Laurendeau, à Montréal (arrondissement de LaSalle). Enseignante dévouée, elle est reconnue pour avoir à cœur le succès et le bien-être de ses étudiants.