Calcul différentiel

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AVANT-PROPOS Les applications du calcul différentiel sont multiples et variées. Nous y faisons appel en science et dans la vie courante pour modéliser le comportement de cellules cancéreuses ou le fonctionnement de circuits électriques, pour comprendre la vitesse des réactions chimiques dans la transformation des aliments ou pour calculer des tendances démographiques… Tout objet qui varie en fonction d’un ou de plusieurs paramètres connexes est susceptible d’être approché par le calcul différentiel.

Notre souci, dans ce manuel, est donc de rendre cette branche des mathématiques aussi concrète et accessible que possible. Par son approche intuitive appuyée d’une démarche rigoureuse, Calcul différentiel invite les lecteurs à délaisser l’apprentissage de techniques de résolution désincarnées, présentant peu de liens avec des applications réelles. Les situations et les exemples proposés amènent d’abord les lecteurs à « avoir une intuition » de la manière de résoudre un problème, pour ensuite mieux domestiquer les notions théoriques et les techniques de résolution proposées.

Le premier chapitre est un résumé des notions de base nécessaires à la compréhension des chapitres suivants. Il s’agit un outil de référence et de consolidation des savoirs et des techniques qui devraient être acquis et maîtrisés avant d’entreprendre l’étude du calcul différentiel.

Chacun des chapitres suivants s’ouvre sur une application du calcul différentiel qui introduit, de façon intuitive, la notion clé du chapitre. Par la suite, des mises en situation et différents types de problèmes permettent aux lecteurs de s’approprier des méthodes de résolution de problèmes qu’ils pourront appliquer à des situations ou à des contextes liés aux cours de sciences naturelles (biologie, chimie, physique), mais aussi de sciences humaines (économie, administration, sociologie). Les exercices de fin de section et de fin de chapitre sont variés et d’un degré de difficulté approprié.

Calcul différentiel consacre également une section complète à l’utilisation de logiciels de calcul symbolique (tels Maxima et Maple) pour la résolution de problèmes. un solutionnaire Enfin, vous trouverez sur notre complément numérique détaillé, un test de dépistage des connaissances acquises, des exercices supplémentaires, des animations et des problèmes à résoudre avec les logiciels Maxima et Maple.

Nous espérons que cet ouvrage vous permettra de comprendre les notions essentielles du calcul différentiel.

Éric Brunelle Marc-André Désautels

Calcul différenTiel

Avant-propos

v

STRUCTURE DES CHAPITRES DU MANUEL

Ouverture

L’ouverture énonce les principaux éléments qui seront abordés dans le chapitre.

Chaque chapitre débute par un problème initial que l’on aborde intuitivement et qui fait intervenir les éléments clés du chapitre.

Présentation des notions

La présentation des notions est synthétique et les éléments importants, comme les définitions, les propositions, les théorèmes et leurs corollaires, sont bien identifiés.

vi

Calcul différenTiel

Des exemples, suivis de leur solution, ponctuent la présentation.

Différentes rubriques apportent une dimension pratique et pédagogique aux notions abordées.

• La rubrique « Intuitivement… » permet aux élèves de faire appel à leur intuition pour se représenter une explication ou une notion.

• La rubrique « Notation » clarifie la façon d’exprimer mathématiquement un concept ou d’interpréter les symboles mathématiques.

• Les rubriques « Remarque » et « Important » attirent l’attention du lecteur sur des éléments pertinents.

Calcul différenTiel

Structure des chapitres du manuel

vii

Des figures et des tableaux viennent appuyer la présentation de la matière.

Chaque section se termine par une série d’exercices de mise en forme ou d’application.

Fin de chapitre

Le chapitre se termine par : • la proposition de stratégies, qui permettent d’avoir une vue d’ensemble des notions abordées dans un chapitre ou qui suggèrent des démarches et des cheminements types pour la résolution de problèmes ; • une série d’exercices récapitulatifs de mise en forme et d’application.

Signification des pictogrammes

Des pictogrammes permettent de déterminer le domaine d’application d’un exercice, de mettre en évidence les problèmes les plus difficiles et de donner des pistes pour la résolution.

ASTUCE

viii

Sciences de la vie

Physique

Chimie

Économie

Statistique

Sciences humaines

Outils informatiques

Exercices difficiles

Calcul différenTiel

Table des matières

CHAPITRE

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Structure des chapitres du manuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1

UNE MISE À JOUR

1

1.1 Les manipulations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Les propriétés des opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 L’ordre de priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 La manipulation des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.5 Les propriétés des exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.6 Les expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.7 La factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.8 Les fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.9 La résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.10 La résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 4 6 6 8 8 9 11 13 14 16

1.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Le concept de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Les opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 La recherche du domaine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 20 22

1.3 Quelques fonctions importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 La fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 La fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 La fonction définie par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 25 28 31 32

1.4 Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 La résolution d’équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Les fonctions et les équations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 La représentation graphique des fonctions logarithmiques . . . . . . . . . .

1.4.5 La résolution d’équations contenant des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 34 34 36 37 38

1.5 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.1 Les rapports trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.3 La représentation graphique des fonctions trigonométriques . . . . . . . .

1.5.4 Les relations trigonométriques inverses

et les fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.5 La résolution d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 41 42

Calcul différenTiel

44 46 48 49

Table des matières

ix

CHAPITRE

2

La limite d’une fonction

51

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1 Une approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Exercices de la section 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Le calcul algébrique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Les propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Les limites de fonctions définies par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 60 64 66

2.3 L’indétermination de la forme 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 0 2.3.1 La technique de factorisation-simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.2 La technique du conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Exercices de la section 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 Les limites à l’infini et les limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Les limites à l’infini (x " !3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Le comportement à l’infini de quelques fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Les limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2.4.4 L’indétermination de la forme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.5 L’indétermination de la forme 3 - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.6 L’indétermination de la forme 0 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 78 80 84 86 88 88

2.5 Le théorème des Gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exercices de la section 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.6 Les asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.6.1 Les asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.6.2 Les asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.6.3 Les asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.6.4 La recherche des asymptotes d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Exercices de la section 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 2

3

La continuité d’une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110 111

117

3.1 Une définition intuitive de la continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.1 La continuité et la discontinuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Exercices de la section 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2 La continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.1 Une définition formelle de la continuité

d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.2 Les types de discontinuités de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Exercices de la section 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

x

Calcul différenTiel

3.3 La continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.1 Une méthode de vérification graphique de la continuité

d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.2 Une méthode de vérification algébrique de la continuité

d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Exercices de la section 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.4.1 La méthode de la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Exercices de la section 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 3

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les dérivées

138 139

141

4.1 Le taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1.1 Le calcul d’un taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Exercices de la section 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2 Une définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.2.1 La représentation graphique de la dérivée d’une fonction

en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Exercices de la section 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3 Les règles de dérivation de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.3.1 Les formules de dérivation des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.3.2 Les formules de dérivation des opérations sur les fonctions . . . . . . . . . 160 4.3.3 Les dérivées d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3.4 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Exercices de la section 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.4 La dérivation en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.4.1 La règle de dérivation en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Exercices de la section 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.5 Le domaine, la dérivabilité et la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.5.1 La dérivabilité et la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.5.2 La dérivée à gauche et la dérivée à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5.3 La dérivabilité aux extrémités d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Exercices de la section 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.6 La dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.6.1 La règle de dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.6.2 La pente de tangentes à des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.6.3 La démonstration de formules de dérivation de base pour

les fonctions logarithmiques et trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . 194 4.6.4 La dérivation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Exercices de la section 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 4

Calcul différenTiel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 201

Table des matières

xi

CHAPITRE

5

L’analyse de fonctions

205

5.1 L es valeurs critiques d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Exercices de la section 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.2 Les extremums, la croissance et la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2.1 Les extremums d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2.2 La croissance et la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Exercices de la section 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.3 Les intervalles de concavité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.3.1 Le concept de concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.3.2 La différence entre la concavité et la croissance

ou la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Exercices de la section 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.4 Une technique pour faire l’esquisse d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Exercices de la section 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 5

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Des applications du calcul différentiel

6.1 L’optimisation

249

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 6.1 . .

246 247

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251 261

6.2 Les taux de variation liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exercices de la section 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 6

Annexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272 273

278

Annexe A – Les applications du calcul différentiel en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Annexe B – L ’utilisation de logiciels de calcul symbolique en calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Annexe C – R éponses des exercices des sous-sections et des exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Annexe D – Aide-mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

xii

Calcul différenTiel

CHAPITRE

© Shutterstock Images LLC / Alex Mit

2 LA limite d’une fonction 2.1 Qu’est-ce qu’une limite ?

Une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d’être utiles, dans une situation où personne ne pouvait savoir dans quels domaines elles deviendraient utiles.

Il n’y avait aucune indication qu’elles deviendraient utiles.

2.2 Le calcul algébrique des limites

John von Neumann

2.6 Les asymptotes

(1903-1957)

2.3 L’indétermination de la forme

0 0

2.4 Les limites à l’infini et les limites infinies 2.5 Le théorème des Gendarmes

51

CHAPITRE

2

Malgré les avancées de la médecine, les accidents vasculaires cérébraux (AVC) frappent des milliers de personnes au Québec. Les AVC se produisent lorsque des vaisseaux sanguins du cerveau se bloquent ou éclatent. La recherche en médecine fait appel à la simulation de l’écoulement sanguin dans un vaisseau pour trouver des traitements pour cette maladie. La loi de Poiseuille permet de mettre en relation la vitesse d’un globule rouge, V, en fonction de sa distance r par rapport au centre du vaisseau sanguin : r2 V (r) = vmax c1 - 2 m R

Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869) Les travaux de ce médecin français ont porté sur le système circulatoire.

La loi de Poiseuille permet de mesurer le débit d’un liquide en fonction de la viscosité et de la chute de pression, par unité de longueur.

où R est le rayon du vaisseau (considéré comme cylindrique) et vmax, la vitesse maximale du sang, qui dépend de plusieurs facteurs (voir la figure 2.1).

FIGURE

2.1

r

R r

Supposons que nous étudiions l’écoulement du sang dans une artériole de rayon 0,006 mm et où le sang atteint une vitesse maximale de 25 mm/s. Ainsi, la vitesse d’un globule rouge en fonction de sa distance par rapport au centre de l’artériole est donnée par : r2 V (r) = 25c 1 m 0, 0062 T a b lea u

2.1

r

V(r)

0,005 9

0,826 39

0,005 99

0,083 26

0,005 999

0,008 33

0,005 999 9

0,000 83

…

…

RE MARQU E

Du point de vue de la physique, la vitesse d’un liquide près des parois doit être presque nulle, car les parois ne bougent pas.

52

Pour comprendre le phénomène de l’écoulement du sang, il faut connaître la vitesse d’un globule rouge le long de la paroi de l’artériole. La première approche serait de remplacer r par 0,006 dans la fonction donnant la vitesse. Par contre, cette approche est fausse, car dom V = [0, 0,006[, puisqu’il ne peut pas y avoir du sang à une distance de 0,006 mm du centre, car c’est la paroi du vaisseau. Plutôt que de remplacer directement r par 0,006 mm, nous pourrions étudier le comportement de V pour des valeurs de plus en plus près de 0,006 mm (voir le tableau 2.1).

Nous observons que la valeur de V semble s’approcher de 0 lorsque r se rapproche de 0,006 mm pour des valeurs plus petites que 0,006 mm. En mathématique, cette phrase s’écrit : lim - V(r) = 0 r " 0,006

et se lit : « La limite, lorsque r tend vers 0,006 par la gauche de V(r), est 0. » La réponse de cette limite signifie que la vitesse des globules rouges s’approche de 0 mm/s près de la paroi.

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

Qu’est-ce qu’une limite ?

2.1

2.1.1

La notion de limite est essentielle à l’introduction du concept central du calcul différentiel, la dérivée, que nous verrons dans le chapitre 4. Avant d’aborder le concept de limite de manière formelle, nous débuterons notre étude par une définition intuitive.

Une approche intuitive

2

Pour introduire le concept de limite, imaginons la courbe d’une fonction sur laquelle se déplace une fourmi. Avant d’étudier en détail la limite de cette fonction, tentons d’abord de définir le concept.

Définition 1

Définition intuitive de la limite

Nous dirons que L est la limite d’une fonction f(x) lorsque x tend vers a, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus près de a, tout en restant dans le domaine de f(x), sans atteindre a.

Voici comment cette définition s’écrit sous forme mathématique : lim f(x) = L

x"a

RE MARQU E

La définition de la limite proposée dans certains manuels du collégial ne contient pas la restriction de s’approcher tout en restant dans le domaine de la fonction. Nous avons donc choisi une définition légèrement différente, plus complète et plus intuitive, qui correspond également à celle utilisée dans les cours universitaires.

EE x e m ple

INTUITIVEMENT…

2.1

Soit la fonction f (x) définie par le graphique de la figure 2.2.

Déterminez lim f(x). x"1

FIGURE

2.2

f(x)

Lorsque nous cherchons une limite en x = a, nous voulons en réalité déterminer vers quelle hauteur se déplace la fourmi lorsqu’elle s’approche de x = a.

© SHUTTERSTOCK IMAGES LLC / CIDEPIX

4 3 2 1

3

Calcul différenTiel

2

1

0

1

2

3

x

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ?

53

S o l u ti o n

Comme dom f = [1, 3[, x peut s’approcher de 1 seulement par des valeurs plus grandes. Graphiquement, nous observons que si x s’approche de 1, alors f(x) s’approche de 2. D’où lim f(x) = 2. x"1

E x e m ple

2.2

Déterminez la limite de la fonction f(x) = sin (x) + 1 lorsque x s’approche de r.

T a b lea u

S o l u ti o n

2.2

x

sin(x) + 1

3,1

1,041 6…

3,14

1,001 6…

3,141

1,000 6…

3,141 5

1,000 1…

…

…

r

?

…

…

3,141 6

0,999 9…

3,142

0,999 6…

3,15

0,991 6…

3,2

0,941 6…

Notons d’abord que dom f = . Ainsi, il y a deux façons de s’approcher de x = r : par des valeurs plus petites que r ou par des valeurs plus grandes (voir le tableau 2.2).

Nous observons que f(x) = sin (x) + 1 s’approche de 1 lorsque x s’approche de r (voir la figure 2.3).

FIGURE

2.3

f(x) 2

1

0

r

2r x

Lorsque x s’approche de r par la gauche (flèche bleue), la valeur de la fonction (qui correspond à la hauteur de la fourmi de gauche) s’approche de la valeur 1. De même, lorsque x s’approche de r par la droite (flèche rouge), la valeur de la fonction s’approche elle aussi de 1. Mathématiquement, nous pouvons donc écrire que : lim (sin (x) + 1) = 1

x"r

L’exemple 2.2 nous permet de constater qu’il existe parfois deux façons pour x de s’approcher de a.

N o tati o n

Nous notons x " a- le fait que x s’approche de plus en plus près de a par des valeurs inférieures à a. De manière similaire, nous notons x " a+ le fait que x s’approche de plus en plus près de a par des valeurs supérieures à a.

54

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

INTUITIVEMENT…

Définition 2

Limite à gauche et limite à droite

• Nous appelons limite à gauche de la fonction f(x), la limite de la fonction f(x) lorsque x s’approche de a par la gauche, que nous notons : lim f(x) x " a• Nous appelons limite à droite de la fonction f(x), la limite de la fonction f(x) lorsque x s’approche de a par la droite, que nous notons :

a

a a

x

RE MARQU E

lim f(x)

x " a+

Cette définition est très importante, car elle est à l’origine d’un théorème qui nous permettra de déterminer l’existence et la valeur d’une limite lorsqu’il y a deux façons pour x de s’approcher de a.

THÉORÈME

Représentation intuitive des façons pour x de s’approcher de a.

2.1

Soit une fonction f(x), L d et a d tel qu’il existe deux façons pour x de s’approcher de a. Alors, la limite d’une fonction f(x) lorsque x " a existe et est égale à L, si et seulement si la limite à gauche est égale à la limite à droite, et est égale à L. Voici comment cette affirmation s’écrit sous forme mathématique : f (x) = L + lim- f (x) = L = lim+ f (x) lim x"a x"a

x"a

Lorsque x ne peut pas s’approcher de a par la gauche, car ces valeurs ne sont pas dans le domaine de la fonction, nous considérons alors que la limite à gauche n’existe pas. De même, nous disons que la limite à droite n’existe pas lorsque x ne peut pas s’approcher de a par la droite.

INTUITIVEMENT…

Ce théorème exprime que la limite existe, si et seulement si la fourmi de gauche et la fourmi de droite se rapprochent de la même hauteur.

Le théorème 2.1 nous donne donc un moyen de décider si une limite existe ou non en calculant la limite à gauche et la limite à droite, lorsque ces dernières existent.

E x e m ple

2.3

Soit la fonction f (x), représentée graphiquement par la figure 2.4.

Déterminez lim f(x). x"1

FIGURE

2.4

f(x) 4 3 2 1

Calcul différenTiel

3

2

1

0

1

2

3

x

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ?

55

2

S o l u ti o n

Puisque dom f = , il existe deux façons pour x de s’approcher de 1. Nous devons alors considérer les valeurs de la limite à gauche et de la limite à droite (voir la figure 2.5).

Commençons par la limite à gauche. Puisque nous nous intéressons seulement aux valeurs de x 1 1, cela signifie que toutes les valeurs de la fonction, lorsque x $ 1, ne sont pas prises en compte dans le calcul de la limite. C’est pourquoi une partie de la courbe à la figure 2.5 A est tracée en pâle.

Ainsi, nous remarquons que la hauteur de la fourmi de gauche se rapproche de 2 lorsque cette dernière s’approche de x = 1 par la gauche (flèche bleue). D’où lim - f(x) = 2.

x"1

FIGURE A

2.5

lim - f(x) = 2

B

x"1

3

2

1

lim + f(x) = 3 x"1

f(x)

f(x)

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

x

3

2

1

0

1

2

3

x

De la même manière, nous pouvons déterminer la hauteur limite de la fourmi de droite en oubliant toutes les valeurs de x plus petites ou égales à 1 (voir la figure 2.5 B ). Ceci signifie que lim + f(x) = 3. x"1

Puisque la limite à gauche est différente de la limite à droite, nous dirons que la limite de la fonction n’existe pas en x = 1, et nous noterons : lim f(x) b

x"1

Dans la définition intuitive de la limite, x s’approche de a sans jamais être égal à a.

Nous ne nous intéressons pas à la valeur de la fonction en x = a, ni même au fait que cette fonction existe ou non à cet endroit. Il suffit de savoir que, pour que la limite existe, f(x) doit s’approcher de L lorsque x est aussi près que possible de a.

56

Pour bien comprendre cet aspect, esquissons trois fonctions qui ont la même limite L en x = a, c’est-à-dire que : lim f(x) = L = xlim f(x) " a+

x " a-

mais qui ont un comportement différent en ce point (voir la figure 2.6 à la page suivante).

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

© ISTOCKPHOTO.COM / ARLINDO71

I M P O R TA N T

Calcul différenTiel

FIGURE A

2.6

f(x)

B

g(x)

L

L

x

a

L

a

dom f = f(a) = L lim f(x) = L x"a

h(x)

C

x

dom g = \ {a} g(a) b lim g(x) = L x"a

a

x

dom h = h (a) ! L lim h (x) = L x"a

2

Bien que la limite soit égale à L dans les trois fonctions, nous remarquons que la fonction en x = a peut être égale à L A , ne pas être définie B ou, tout simplement, être différente de L C . C’est pour cette raison que nous ne nous intéressons pas à la valeur de la fonction en x = a, mais seulement à la valeur dont la fonction se rapproche lorsque x s’approche de a.

E x e m ple

2.4

Soit la fonction définie par parties suivante.

Z 2x + 2, si x 1 0 ]] si 0 # x # 1 f (x) = [ -x + 2, ]] 2x - 2, x21 \ Déterminez les limites suivantes. a) lim f(x) x"0

b) lim f(x) x"1

S o l u ti o n

Représentons graphiquement la fonction (voir la figure 2.7 FIGURE

A

).

2.7

f(x)

A

3 2 1

3

2

0

1

1

2

3

x

1

2

3

Calcul différenTiel

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ?

57

a) Calculons lim f(x). Selon le théorème 2.1, il faut que la limite à gauche et x"0 la limite à droite existent pour que la limite existe. f(x) = 2 xlim " 0-

B

lim + f(x) = 2

C

x"0

f(x)

3

2

f(x)

3

3

2

2

1

1

0

1

1

2

3

x

3

2

0

1

1

2

3

1

2

x

3

1

2

3

Si la fourmi se rapproche de x = 0 par la gauche (flèche bleue), nous observons que sa hauteur limite est 2, ce qui indique que lim - f(x) = 2 (voir x"0 la figure 2.7 B ). De la même façon, nous constatons que si la fourmi qui se rapproche de x = 0 par la droite (flèche rouge) a une hauteur limite de 2, cela indique que lim + f(x) = 2 (voir la figure 2.7 C ). x"0

Puisque la limite à gauche et la limite à droite de la fonction lorsque x " 0 sont égales, alors la limite de la fonction lorsque x " 0 existe et est égale à 2, c’est-à-dire que lim f(x) = 2. x"0

b) Calculons lim f(x). Le théorème 2.1 nous permet encore une fois de x"1 déterminer si la limite existe. lim - f(x) = 1

D

x"1

3

E

f(x)

2

lim + f(x) = 0 x"1

f(x)

3

3

2

2

1

1

0

1

1

2

3

x

3

2

0

1

1

2

3

x

1

1

2

3

2

3

Si la fourmi se rapproche de x = 1 par la gauche (flèche bleue), sa hauteur limite est 1, ce qui indique que lim - f(x) = 1 (voir la figure 2.7 D ). De même, x"1 si la fourmi se rapproche de x = 1 par la droite (flèche rouge), sa hauteur limite est 0, ce qui indique que lim + f(x) = 0 (voir la figure 2.7 E ). x"1

Puisque la limite à gauche et la limite à droite de la fonction lorsque x " 1 ne sont pas égales, la limite de la fonction lorsque x " 1 n’existe pas, c’est-à-dire que lim f(x) b. x"1

58

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

EXERCICES de la section 2.1

4. Soit les trois fonctions suivantes.

MISE EN FORME

1) f(x) = x 2 - 2x + 1

1. Soit la fonction f(x) représentée par le graphique suivant.

2) f (x) =

f(x) 4 2 6

4

-

0

2

-

-

4

2

6

10 x

8

2

-

x+1

Z x , si x 1 0 ]] 3) f (x) = [ x + 1, si 0 # x # 1 ]] 3, si x 2 0 \ Esquissez les fonctions précédentes afin de déterminer les limites suivantes. a) lim f(x)

b) lim - f(x)

c) lim f(x) - +

d) lim f(x)

x"0

x" 1

Déterminez : a) dom f

b) lim f(x) -

c) lim + f(x)

d) f(1)

e) lim f(x) -

f) lim f(x)

g) f(0)

h) f(5)

x" 5

x"0

i) lim - f(x) j) lim f(x) - + x"5

x" 2

2. Soit la fonction f(x) représentée par le graphique suivant. f(x) 4

6

-

4

0

2

-

-

2

4

6

x

2

Évaluez : a) dom f

b) f(-3)

c) f(-1)

d) lim f(x) -

e) lim f(x)

f) lim - f(x)

g) lim + f(x)

h) lim f(x)

x" 3

x"2

x"1

x"1

x"6

3. Soit la fonction y(t), une parabole ayant pour zéros 1 et 5, et passant par le point (0, 2). Déterminez : a) lim y(t)

b) lim y(t) +

c) lim y(t)

d) lim y(t) -

t"1

t"0

t"4

t" 1

ASTUCE

Déterminez l’équation de la parabole et dessinez-la.

Calcul différenTiel

5. Les huiles pour moteur sont classées selon leur efficacité à s’écouler. Plus une huile est visqueuse, moins elle s’écoule facilement, et vice-versa. Étudions la viscosité d’une huile en déposant une couche d’huile d’épaisseur d entre deux grandes plaques planes. Ensuite, attachons la plaque inférieure à un ressort fixé à un mur, puis déplaçons la plaque supérieure dans la direction opposée au ressort jusqu’à ce que ce dernier ne s’étire plus. Notons alors la vitesse U 0 de la plaque supérieure.

2

-

x"2

Application

x" 4

x"1

2

x"1

Pour déterminer la viscosité, il faut connaître la vitesse d’une particule d’huile en fonction de sa distance par rapport à la plaque inférieure.

Dans cette situation, la vitesse v(y) d’une particule d’huile en fonction de sa distance avec la plaque inférieure est donnée par l’écoulement de Couette : Uy v(y) = 0 d Une modélisation de l’écoulement de Couette Huile

a) Déterminez dom v. b) Esquissez v(y). c) Déterminez lim v(y) et expliquez votre y " 0+ réponse par rapport au contexte.

Maurice Couette (1858-1943) Les travaux de ce physicien français ont porté principalement sur la mécanique des fluides.

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ?

59

4 du chapitre

c) Vérifiez que T(t) est une solution de l’équation différentielle.

EXERCICES

R ÉCA P IT U LATI FS

b) Quelle sera la température du café après 50 min ?

16. En physique, la dérivée première de la position par rapport au temps est la vitesse, la dérivée seconde est l’accélération et la dérivée troisième est appelée la secousse. Il faut que cette secousse soit minimale pour assurer le bon fonctionnement de certains appareils de précision, mais aussi le confort des passagers dans les trains et les voitures de montagnes russes.

Si la fonction x(t) = (t − 1)2 (t − 3)2 représente la position en fonction du temps d’une voiture de montagnes russes, calculez la secousse ressentie par les passagers.

17. Si une somme de P $ est déposée dans une banque au taux d’intérêt annuel de k %, capitalisé n fois par année, alors après t années, le montant accumulé sera de : k nt A = Pb1 + l n

e) démontrez que le capital obtenu en capitalisation continue est la solution de l’équation différentielle : dA = kA dt

18. Dans un moteur, le mouvement d’un piston peut être modélisé à l’aide d’une fonction sinusoïdale : X(t) = P sin (~t + z) où P est l’amplitude du mouvement, ~ est la fréquence et z est une certaine valeur de déphasage. a) Déterminez la vitesse du piston. b) Trouvez l’accélération du piston. c) Expliquez pourquoi plus la fréquence du piston augmente, plus il y a de chance que le piston se brise.

19. À la lumière du jour, nous pouvons observer au fond de certains récipients une courbe de la forme présentée à la figure suivante.

© Alexandre Lanthier

Si la valeur de n est augmentée indéfiniment, de telle sorte que l’intérêt est capitalisé de plus en plus souvent, alors nous approchons le cas limite d’un intérêt capitalisé de façon continue, c’est-à-dire : A = Pekt Si vous placez une somme de 100 $ pour une période d’une année : a) déterminez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation de deux fois par année.

4

Cette forme est causée par le trajet des rayons provenant du Soleil, tous parallèles, qui pénètrent dans le récipient, tel que modélisé dans les illustrations suivantes.

A

y

b) calculez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation de douze fois par année. c) déterminez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation à chaque jour de l’année.

x

d) calculez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation continue, et indiquez la différence entre cette réponse et celle obtenue en c).

Calcul différenTiel

Exercices récapitulatifs

203

4 du chapitre

R ÉCA P IT U LATI FS EXERCICES

Voici une modélisation de cette situation :

y

B

y

A

x

x

Dans l’illustration A à la page précédente, l’enveloppe des rayons semble former une courbe particulière, une néphroïde, qui est y représentée graphiquement dans l’illustration B . En réalité, la courbe observée dans le récipient est une demi-néphroïde.

y

B

Voici l’équation d’une néphroïde : 4x2 = 1 + 3 3 y2 - 4y2 a) Déterminez b) Trouvez

dy dx

c) Déterminez dy d) Trouvez dx

dy dx

f

, p 2 2 2

-1

1

dy . dx (0,1)

dy dx

x

et

dy dx et

f 1 , 0p 2

1 , 1 f p 2 2 2

et

dy dx

f

,

dy dx

dy dx

f- 1 , 0p 2

f

, 1 p 2 2 2

-1

x

.

(0, -1)

.

1 , -1 p 2 2 2

,

.

20. Nous avons vu à l’exercice précédent la figure formée lorsque des rayons lumineux tous parallèles en provenance d’une grande distance éclairent un récipient. Qu’arrive-t-il lorsque la source lumineuse est très près d’un récipient comme nous pouvons le voir ci-dessous ?

Dans l’illustration A , nous observons que les rayons lumineux ne suivent pas une trajectoire parallèle au récipient. L’illustration B est une représentation graphique de la courbe obtenue, une cardioïde.

Voici l’équation d’une cardioïde : (x2 + y2 - x)2 = (x2 + y2) a) Déterminez b) Trouvez

204

y

x

© Alexandre Lanthier

y

Chapitre 4 – Les dérivées

dy dx

dy . dx

dy c) Déterminez dx dy et dx f -1 , - 3 p 4

et

f 3, 3 3 p 4 4

(2, 0)

,

dy dx

dy dx

f 3, 3 3 p 4 4

f 1, 3 p 4 4

4

Calcul différenTiel