Calcul différentiel 2e Éd. by Les Éditions CEC

2e ÉDITION Éric Brunelle Marc-André Désautels

2e édition De l’intuition à la maîtrise des notions

Calcul dif fférentiel différentiel x2 + y2 = 11,932 y = mx + b

dy - x m = dx = y

dv = g dt

v(t) = -gt + 1,55 r V(r) = vmax 1- 0,006 2 2

_CV_CalculDifferentiel_C1-4-F.indd All Pages

2016-03-30 11:02 AM

AVANT-PROPOS Les applications du calcul différentiel sont multiples et variées. Nous y faisons appel en sciences et dans la vie courante pour modéliser le comportement de cellules cancéreuses ou le fonctionnement de circuits électriques, pour comprendre la vitesse des réactions chimiques dans la transformation des aliments, pour calculer des tendances démographiques ou pour étudier des phénomènes économiques… Tout objet qui varie en fonction d’un ou de plusieurs paramètres connexes est susceptible d’être approché par le calcul différentiel. Notre souci, dans ce manuel, est donc de rendre cette branche des mathématiques aussi concrète et accessible que possible. Par son approche intuitive appuyée d’une démarche rigoureuse, Calcul différentiel invite les lecteurs à délaisser l’apprentissage de techniques de résolution désincarnées, présentant peu de liens avec des applications réelles. Les situations et les exemples proposés amènent d’abord les lecteurs à percevoir par intuition la manière de résoudre un problème, pour ensuite mieux domestiquer les notions théoriques et les techniques de résolution proposées. Ce manuel s’adresse tout autant aux étudiants de sciences humaines qu’à ceux de sciences de la nature. La difficulté des exercices ainsi que la variété des applications ont été choisies afin de pouvoir s’adapter aux besoins des étudiants de ces deux programmes. Un modèle de planification sur 15 semaines pour ces deux programmes est d’ailleurs offert sur MaZoneCEC. Le premier chapitre est un résumé des notions de base nécessaires à la compréhension des chapitres suivants. Il s’agit d’un outil de référence et de consolidation des savoirs et des techniques qui devraient être acquis et maîtrisés avant d’entreprendre l’étude du calcul différentiel. Chacun des chapitres suivants s’ouvre sur une application du calcul différentiel qui introduit, de façon intuitive, la notion clé du chapitre. Par la suite, des mises en situation et différents types de problèmes permettent aux lecteurs de s’approprier des méthodes de résolution de problèmes qu’ils pourront appliquer à des situations ou à des contextes liés aux cours de sciences naturelles (biologie, chimie, physique), mais aussi de sciences humaines (économie, administration, sociologie). Les exercices de fin de section et de fin de chapitre sont variés et d’un degré de difficulté approprié. Enfin, vous trouverez sur MaZoneCEC un solutionnaire détaillé de tous les exercices, une autoévaluation des connaissances en mathématiques, des exercices supplémentaires en sciences humaines et en sciences de la nature, des animations, des problèmes à résoudre avec les logiciels Maxima et Maple ainsi que des laboratoires à effectuer avec le logiciel GeoGebra. Nous espérons que cet ouvrage vous permettra de comprendre les notions essentielles du calcul différentiel.

Éric Brunelle Marc-André Désautels

Avant-propos iii

STRUCTURE DES CHAPITRES DU MANUEL

■■ Ouverture L’ouverture énonce les principaux éléments qui seront abordés dans le chapitre.

Chaque chapitre débute par un problème initial que l’on aborde intuitivement et qui fait intervenir les éléments clés du chapitre.

Problème

initial

Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869) Les travaux de ce médecin français ont porté sur le système circulatoire. La loi de Poiseuille permet de mesurer le débit d’un liquide en fonction de la viscosité et de la chute de pression, par unité de longueur.

CHAPITRE

LA LImITE d’unE fonCTIon

Malgré les avancées de la médecine, les accidents vasculaires cérébraux (AVC) frappent des milliers de personnes au Québec. Les AVC se produisent lorsque des vaisseaux sanguins du cerveau se bloquent ou éclatent. La recherche en médecine fait appel à la simulation de l’écoulement sanguin dans un vaisseau pour trouver des traitements pour cette maladie. La loi de Poiseuille permet de mettre en relation la vitesse V d’un globule rouge en fonction de sa distance r par rapport au centre du vaisseau sanguin : r2 V (r) = vmax c1 - 2 m R où R est le rayon du vaisseau (considéré comme cylindrique) et vmax, la vitesse maximale du sang, qui dépend de plusieurs facteurs (voir la figure 2.1). FiGURE

2.1

Supposons que nous étudiions l’écoulement du sang dans une artériole de rayon 0,006 mm et où le sang atteint une vitesse maximale de 25 mm/s. Ainsi, la vitesse d’un globule rouge en fonction de sa distance par rapport au centre de l’artériole est donnée par : r2 V (r) = 25c 1 m 0, 0062

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 2.2 Le calcul algébrique des limites 0 2.3 L’indétermination de la forme 0 2.4 Les limites à l’infini et les limites infinies

tablEaU

2.5 Le théorème des gendarmes 2.6 Les asymptotes

Une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d’être utiles, dans une situation où personne ne pouvait savoir dans quels domaines elles deviendraient utiles. Il n’y avait aucune indication qu’elles deviendraient utiles.

2.1

r (en mm)

V(r) (en mm/s)

0,005 9

. 0,826 39

0,005 99

. 0,083 26

0,005 999

. 0,008 33

0,005 999 9

. 0,000 83

…

… REMARQUE

Pour comprendre le phénomène de l’écoulement du sang, il faut connaître la vitesse d’un globule rouge le long de la paroi de l’artériole. La première approche serait de remplacer r par 0,006 dans la fonction donnant la vitesse. Cette approche est cependant fausse, car dom V = [0, 0,006[, puisqu’à une distance de 0,006 mm du centre, se trouve la paroi du vaisseau. Un globule rouge ne peut donc pas s’y trouver. Plutôt que de remplacer directement r par 0,006 mm, nous pourrions étudier le comportement de V pour des valeurs de plus en plus près de 0,006 mm (voir le tableau 2.1). Nous observons que la valeur de V semble s’approcher de 0 lorsque r se rapproche de 0,006 mm par des valeurs plus petites que 0,006 mm. En mathématiques, cette phrase s’écrit : lim - V(r) = 0 r " 0,006

Du point de vue de la physique, la vitesse d’un liquide près des parois doit être presque nulle, car les parois ne bougent pas.

John von Neumann (1903-1957)

et se lit : « La limite, lorsque r tend vers 0,006 par la gauche de V(r), est 0. » La valeur de cette limite signifie que la vitesse des globules rouges s’approche de 0 mm/s près de la paroi.

Chapitre 2 – la limite d’une fonction

CalCul différenTiel

■■ Présentation des notions 4.1

Le taux de variation moyen

La présentation des notions est synthétique et les éléments importants, comme les définitions, les propositions, les théorèmes et leurs corollaires, sont bien identifiés. D(3) - D(0)

Dans le problème initial, nous avons calculé une vitesse moyenne sur l’intervalle [0, 3] à l’aide de la formule suivante.

Vmoy = 3-0 Si nous analysons cette formule, nous observons qu’il s’agit du rapport entre la variation de la fonction sur un intervalle et la variation de la variable indépendante sur ce même intervalle. Cela nous donne la variation moyenne de la fonction sur cet intervalle. 4.1 Le taux de variation moyen Nous parlerons donc d’un taux de variation moyen.

THÉORÈME 3.3

Soit f(x) une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et f(a) 1 c 1 f(b) ou

DÉMONSTRATION

Vmoy = D(3) - D(0) 3-0 Si nous analysons cette formule, nous observons qu’il s’agit du rapport entre la variation de la fonction sur un intervalle et la variation de la variable indépendante sur ce même intervalle. Cela nous donne la variation moyenne de la fonction sur cet intervalle. Nous parlerons donc d’un taux de variation moyen.

4.1.1 Le calcul d’un taux de variation moyen

La preuve est plus avancée que le niveau de ce cours.

Soit f(x) une fonction continue surDans l’intervalle [a, b] et f(a) 1 c 1 f(b) ou le cadre du cours de calcul différentiel, nous n’utiliserons pas le théorème 3.3 DÉMONSTRATION la forme énoncée précédemment. Nous ferons appel à une autre forme de ce f(a) 2 c 2 f(b). Alors, 7 x d [a, b] telsous que théorème, quif(x) = c. permet de trouver les zéros d’une fonction, et l’appliquerons dans un cas particulier, celui où c = 0. La preuve est plus avancée que le niveau de ce cours.

Définissons d’abord le concept de taux de variation moyen.

4.1.1 Le calcul d’un taux de variation moyen Définissons d’abord le concept de taux de variation moyen.

FIGURE

Soit f(x), une fonction, et x1, x2 d dom f. Le taux de variation moyen de f(x) 1

6x1, x2@

TVM6x , x @ f = 1

6x1, x2@

Ty y - y1 Tf f (x2) - f (x1) = 2 et TVM6x1, x2@ f = = Tx x2 - x1 Tx x2 - x1

En réalité, TVM6x1, x2@ f correspond à la pente de la droite passant par les points (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)) (voir la figure 4.2).

Nous remarquons une certaine ressemblance entre la formule du taux de variation moyen et celle utilisée pour déterminer la pente a d’une droite qui passe par les points (x1, y1) et (x2, y2) (voir le chapitre 1, à la page 23) : FIGURE

f(x)

f(x1) f(x2)

Ty y - y1 Tf f (x2) - f (x1) = 2 et TVM6x , x @ f = = Tx x2 - x1 Tx x2 - x1 1

I M P O R TA N T

TVM[x1, x2] f correspond à la pente d’une droite sécante à la courbe de la fonction f(x) passant par les points (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)).

de la droite passant par les points En réalité, TVM6x , x @ f correspond à la pente Soit une fonction f(x) et x , x d dom f. Nous appelons droite sécante à la (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)) (voir la figure 4.2). courbe de f(x) la droite passant par les points (x , f(x )) et (x , f(x )). Droite sécante

FIGURE

4.2

4.1 Le taux de variation moyen

CalCul différenTiel

149

TVM[x , x ] f correspond à la pente d’une droite sécante à la courbe de la fonction f(x) passant par les points (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)). 1

CalCul différenTiel

I M P O R TA N T

f(x) f(x1) f(x2)

Le corollaire ci-contre signifie que, si la courbe d’une fonction continue débute au-dessous de l’axe des x et se termine au-dessus de celui-ci, alors elle doit obligatoirement croiser l’axe des x en au moins un point.

Définition 2

REMARQUE

3.4.1 La méthode de la bissectrice

Définition 2

Droite sécante

La méthode de la bissectrice est une application intéressante du théorème la Calcul de différenTiel 3.4.1 méthodeEn deeffet, la bissectrice valeur La intermédiaire. elle permet de trouver les zéros d’une fonction par

Soit une fonction f(x) et x1, x2 d dom f. Nous appelons droite sécante à la courbe de f(x) la droite passant par les points (x1, f(x1)) et (x2, f(x2)).

CalCul différenTiel

4.1 Le taux de variation moyen

REMARQUE

Le corollaire ci-contre signifie que, si la courbe d’une fonction REMARQUE continue débute au-dessous de figure 3.9 à la page suivante). Étape 1 : Trouver a et b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. des x et se termine Soit sur l’intervalle [a, b] et f(a) 1 0 1 f(b) y Lel’axe corollaire ci-contre signifie 3.8 fonction continue F I G Uf(x) R E une a + b , le point milieu de l’intervalle. 2 : Calculer c = 2 au-dessus de celui-ci, elle que, si la courbe d’une alors fonction (ou f(b) 1 0 1 f(a)), alors il existe x dÉtape [a, b] tel que f(x) = 0 (voir la figure 3.8). Étape 3 : Si f(a) et f (c) sont de signes opposés, poser b = c. Sinon, poser a = c. doit obligatoirement croiserde l’axe continue débute au-dessous Étape 4 : Recommencer l’étape 2. des x en au moins un point. l’axe des x et se termine y F I G U R E 3.8 au-dessus de celui-ci, alors elle doit obligatoirement croiser l’axe 3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire 139 des x en au moins un point. a b x

4.2

3.8

- f (x1une) certaine ressemblance entre la formule du taux de variation f (Nous x2)remarquons moyen et celle utilisée pour déterminer la pente a d’une droite qui passe par les x -x points2 (x , y ) et1(x , y ) (voir le chapitre 1, à la page 23) : 1

du théorème 3.3

Soit f(x) une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et f(a) 1 0 1 f(b) (ou f(b) 1 0 1 f(a)), alors il existe x d [a, b] tel que f(x) = 0 (voir la figure 3.8).

Dans le cadre cours de calcul n’utiliserons pas le théorème 3.3 La preuve estdu plus avancée que différentiel, le niveau denous ce cours. sous la forme énoncée précédemment. Nous ferons appel à une autre forme de ce théorème, qui permet de trouver les zéros d’une fonction, et l’appliquerons dans Dans le cadre du cours deoù calcul nous n’utiliserons pas le théorème 3.3 un cas particulier, celui c = différentiel, 0. sous la forme énoncée précédemment. Nous ferons appel à une autre forme de ce théorème, qui permet de trouver les zéros d’une fonction, et l’appliquerons dans du théorème 3.4.1 La méthode de la bissectrice unCOROLLAIRE cas particulier, celui où c3.3= 0. La méthode de la bissectrice est une application intéressante du théorème de la Soit f(x) une fonction continue sur l’intervalle [a, deb]trouver etles f(a) 0 par1 f(b) valeur intermédiaire. En effet, elle permet zéros d’une1 fonction (ou f(b) 1 0 1 f(a)), alors il existe x itérations d [a,successives. b] tel que f(x) = 0 (voir la figure 3.8). Soit f(x) une fonction continue. Nous cherchons c tel que f(c) = 0. Pour trouver le COROLLAIRE du théorème 3.3 ou les zéros de f(x), nous devons procéder dans l’ordre suivant (voir aussi la

Taux de variation moyen

f , est ], noté TVM calculé de lade façonf(x) suivante. sur l’intervalle [x , x variation Soit f(x), une fonction, et x1, x2 d dom f. Le taux de moyen f (x ) - f (x ) f= x -x façon suivante. sur l’intervalle [x1, x2], noté TVM6x , x @ f , est calculé de laTVM

COROLLAIRE

DÉMONSTRATION

Définition 1

Taux de variation moyen

Le théorème de la valeur intermédiaire

2 c 2 f(b). Alors, 7 x d[a, [a, b] tel f(x) = c. Soit f(x) une fonction continue surf(a)l’intervalle b]queet f(a) 1 c 1 f(b) ou Le théorème de la valeur intermédiaire THÉORÈME f(a) 2 c 2 3.3 f(b). Alors, 7 x d [a, b] tel que f(x) = c.

Dans le problème initial, nous avons calculé une vitesse moyenne sur l’intervalle [0, 3] à l’aide de la formule suivante.

Définition 1

Le théorème de la valeur intermédiaire

149

itérations successives. La méthode de la bissectrice est une application intéressante du théorème de la Soit f(x) une fonctionEncontinue. cherchons c telles que f(c) d’une = 0. Pour trouver valeur intermédiaire. effet, elleNous permet de trouver zéros fonction parle ou les zéros de f(x), nous devons procéder dans l’ordre suivant (voir aussi la itérations successives. figure 3.9 à la page suivante). Soit f(x) une fonction continue. Nous cherchons c tel que f(c) = 0. Pour trouver le Étape 1 : Trouver a etnous b telsdevons que f(a)procéder et f(b) sont de l’ordre signes opposés. ou les zéros de f(x), dans suivant (voir aussi la

3 3

2.4

Les limites à l’infini et les limites infinies 2.4.1 Les limites à de l’infini (xlorsque " !3) Dans cette section, nous étudierons les limites fonctions x " !3 et les cas où les valeurs de l’image d’une fonction tendent vers l’infini, c’est-à-dire lorsque f(x) " !3.

2.4.1

Rappelons d’abord que l’infini (3) n’est pas un nombre réel. Lorsque nous écrivons x " !3, nous utilisons le symbole de l’infini pour signifier que nous nous intéressons au comportement d’une fonction dans les cas où x peut être aussi grand (x " 3)(x ou" aussi petit (x " -3) que l’on veut. Les limites à l’infini !3)

Rappelons d’abord que l’infini (3) n’est pas un nombre réel. Lorsque nous écrivons x " !3, nous utilisons le symbole de l’infini pour signifier que nous nous

NTUITIVEMENT… Des exemples, intéressons suivis de leur solution, ponctuent présentation, et des Ilaboratoires GeoGebra sont au comportement d’une fonction dans les cas où la x peut être aussi grand (x " 3) ou aussi petit à(xl’infini " 3) que l’on veut. Le calcul de la limite dans Limite proposés pour accompagner l’apprentissage des notions. le cas où x " 3 nous indique • Nous dirons que L d est la limite d’une fonction f (x) dans le cas où x tend Définition 4

si la fonction s’approche d’un

vers l’infini, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L lorsque nombre L ou si elle continue INTUITIV les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, que nous noterons : E M E N T … d’augmenter ou de diminuer

Définition 4

indéfiniment lorsque x devient Le calcul de la limite dans très grand. Il en va de même le cas où x " 3 nous indique dans le cas où x " -3. si la fonction s’approche d’un

lim f(x) = L

Limite à l’infini

x"3

2.4

Les limites à l’infini et les limites infinies

• Nous dirons que L• d est la limite d’une f (x)d’une dans le cas où xf (x) tend est la limite fonction dans le cas où x tend Nous dirons que L d fonction Dans cette section, nous étudierons les limites de fonctions lorsque x " !3 et les cas où vers l’infini, si les valeurs de f(x)l’infini, deviennent plus en plus près les valeurs de l’image d’une fonction tendent vers l’infini, c’est-à-dire lorsquede f(x) "L !3.lorsque L oude si elle vers moins si les de valeurs de f(x) deviennent de plus en nombre plus près L continue les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, que nous noterons : d’augmenter ou de lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus petites, que nous noterons : diminuer 2.4.1

REMARQUE

Les limites à l’infini (x " !3)

indéfiniment lorsque x devient Il est important de comprendre 2 très grand. Il en va de même intéressons au comportement d’une fonction dans les cas où x peut être aussi dans le cas où x " -3. que lorsque nous calculons grand (x " 3) ou aussi petit (x " 3) que l’on veut. d’une fonction f (x) dans le cas où x tend • Nous dirons que L d est la limite des limites à l’infini, nous ne vers moins l’infini, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L INTUITIVEMENT… pouvons plus parler de limites E x E m p l E 2.16 Le calcul de la limite dans l’infini en plus petites, que nous noterons lorsque les valeurs de x deviennentLimite de àplus : R E M A R Q U E à gauche ou à droite. En effet, le cas où x " 3 nous indique • Nous dirons que L d est la limite d’une fonction f (x) dans le cas où x tend si la fonction s’approche d’un - 2 vers l’infini, si lesxvaleurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L lorsque lorsque x " 3, nous pouvons nombre L ou si elle continue Soit la fonction f(x) = e . Calculez les limites suivantes. lim les valeurs f(x)de= L de plus en plus grandes, que nous noterons : x deviennent d’augmenter ou de diminuer Il est important de comprendre x " -3 indéfiniment lorsque x devient nous approcher de 3 par lim f(x) = L grand. Il en va de même que lorsque nous calculons a) xlim f(x) • Nous dirons que L d est la limite d’une fonction f (x) dans le cas où x tend très dans le cas où x " 3. la gauche, mais jamais par la " -3 des limites à l’infini, nous ne vers moins l’infini, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L droite. De même, lorsque lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus petites, que nous noterons : b) lim f(x) pouvons plus parler de limites E x E m p l E 2.16 x"3 lim f(x) = L Il est important de comprendre x " -3, nous pouvons nous que lorsque nous calculons à gauche ou à droite. En effet, des limites à l’infini, nous ne approcher de -3 par la droite, -x 2 pouvons plus parler de limites E x E m p l E 2.16 lorsque x " 3, nous pouvons S o l u t i o n Soit la fonction f(x) = e . Calculez les limites suivantes. à gauche ou à droite. En effet, Étape 2 : Pour simplifier les calculs, nous Soit minimiserons la fonction distance lorsque x " 3, nous pouvons mais jamais par la gauche. la fonction f(x) = e . Calculez les limites suivantes. nous approcher de 3 par nous approcher de 3 par élevée au carré plutôt que la fonction distance d, le résultat étant le a)ne lim f(x) Puisque nous savons pas encore comment calculer ces limites Nous n’utiliserons donc jamais la gauche, mais jamais par la a) xlim f(x) droite. De même, lorsque la gauche, mais jamais par la " -3 b) lim f(x) "(voir 3, nous pouvons même. Par la figure 6.7 et le théorème Pythagore : la notation x " !3!. REM ARQUE algébriquement, nous de utiliserons la méthode graphiquexapprocher la nous figure 2.10). de 3 par la droite,droite. De même, lorsque b) xlim f(x) mais jamais par la gauche. "3 Puisque nous 2ne savons2 pas encore comment calculer ces limites Nous n’utiliserons donc jamaisx " -3, nous pouvons nous - 4) nous +utiliserons y la méthode graphique (voir la figure 2.10). d2 = D = (x a un extremum en la notation x "Si !3d(x) . algébriquement, F i G U R E 2.10 -3 par la droite, x = a, approcher alors D(x)depossède elle S o l uSi t i nous on labORatOiRE 2.2 labORatOiRE 2.2 posons x comme la variable, nous connaissons y, car le y mais jamais par aussi un extremum en xla=gauche. a. Le comportement asymptotique Puisque nesursavons pasy. encore comment Nous n’utiliserons doncLejamais . limites point senous trouve la courbe Nous avons donc y =calculer 2x + 1ces comportement la notation x " !3!. asymptotique algébriquement, nous utiliserons la méthode graphique1 (voir la figure 2.10). Ainsi :

lim f(x) = L

d’abord que l’infini (3) n’est pas un nombre réel. Lorsque nous x "Rappelons 3 écrivons x " !3, nous utilisons le symbole x " -de3l’infini pour signifier que nous nous -

Définition 4

x"3

REMARQUE

-3

-x 2

x " -3 x"3

Solution

F i G U R E 2.10

D = (x - 4)2 + y2

F i G U R E 2.10

CalCul différenTiel

= (x - 4)2y + ( 2x + 1 )2

x 22.4 les limites3à l’infini et les 4 limites infinies

labORatOiRE 2.2

Le comportement asymptotique

= x - 8x1+ 16 + 2x + 1 2

= x2 - 6x + 17

CalCul différenTiel

2.4 les limites à l’infini et les limites infinies

Étape 3 : Déterminons le domaine de la fonction D(x). En raison du contexte, 1 Étape 2 : Pour simplifier nousavons minimiserons 2x + 1 $ 0la&fonction x $ - . distance puisque y = les2xcalculs, + 1 , nous 2 élevée au carré plutôt que la fonction distance d, le résultat étant 1 le Pour respecter la contrainte précédente, dom D = ; - , 3 ; . même. Par la figure 6.7 et le théorème de Pythagore : 2 CalCul Étape 4 : différenTiel Déterminons

= (x - 4) critiques +y d = Dles maintenant valeurs de D(x). 2

Étape 2 : Pour simplifier les calculs, nous minimiserons la fonction distance élevée au carré plutôt que la fonction distance d, le résultat étant le même. Par la figure 6.7 et le théorème de Pythagore :

REMARQUE

2.4 lesSilimites l’infini et les limites d(x) aàun extremum en infinies

x = a, alors D(x) possède elle aussi un extremum en x = a.

Si nous posons xdcomme laune variable, nous connaissons y, car le d Différentes rubriques apportent [D (x)] = [x dimension - 6x + 17] dxla courbe y. dx point se trouve sur Nous avons donc y = 2x + 1 . Ainsi : pratique et pédagogique aux notions = 2x - 6 abordées. 2

= x2 - 8x + 16 + 2x + 1 = x2 - 6x + 17 Étape 3 : Déterminons le domaine de la fonction D(x). En raison du contexte, 1 puisque y = 2x + 1 , nous avons 2x + 1 $ 0 & x $ - . 2 1 Pour respecter la contrainte précédente, dom D = ; - , 3 ; . 2

• La rubrique « Intuitivement… » permet = (x - 4) + ( 2x + 1 ) La valeur critique de D(x) est donc x = 3. aux élèves de faire appel à =leur intuition x - 8x + 16 + 2x + 1 Étape 5 : Construisons un tableau de variation pour trouver le minimum de pour se représenter une la fonction D(x) explication sur=son domaine. 6x + 17 ou x 1 une notion. x f(x)leest 3 l’intervalle Si une fonction croissante sur b[, nousdu utiliserons Étape 3 : Déterminons domaine de la fonction D(x).]a, En3 raison contexte, la 2 2

Étape 4 : Déterminons maintenant les valeurs critiques de D(x). d d 2 [D (x)] = [x - 6x + 17] dx dx

= 2x - 6 = 2 (x - 3)

La valeur critique de D(x) est donc x = 3.

NotatioN

INTUITIVEMENT…

Étape 5 : Construisons un tableau de variation pour trouver le minimum de la fonction D(x) sur son domaine.

• La rubrique « Notation » clarifie la façon d’exprimer mathématiquement un concept max. min. ou d’interpréterAllure les symboles mathématiques. d f(x) 4d 6 x d ]a, b[

dD 2 - 3 60x d ]a,+b[ 1 f(x) Pour dx respecter la contrainte précédente, dom D = ; - , 3 ; . 2 81 décroissante sur l’intervalle ]a, b[, nous utiliserons la Si une fonction f(x) est D(x) 8 4 3 4 Étape 4 : Déterminons les valeurs critiques de D(x). notation suivante : maintenant

5.10valeur F I G U R E La

Étape 5 : Construisons un tableau de variation pour trouver le minimum de Décroissance Si une fonction f(x) estlacroissante sur l’intervalle ]a,surb[, nous laCroissance Si une fonction f(x) est croissante l’intervalle ]a, b[, utiliserons nous utiliserons la fonctionCroissance D(x) sur son domaine. notation suivante : notation suivante : f(x) 3 6 x d ]a, b[ 1Si une fonction f(x) est décroissante sur l’intervalle ]a, b[, nous utiliserons la xf(x) 3- 6notation 3 suivante : 3 2 x d ]a, b[ af(x) 4 6 x d ]a, b[ b

Si une fonction f(x) est décroissante sur l’intervalle ]a, b[, nous utiliserons la dD x 0clarifier la définition nous permettra de -La figure 5.10 + 4 et de distinguer les notation suivante : intervalles de croissance des intervalles de décroissance. dx f(x) 4 f(x) 3 3 ]a, b[ 816f(x) 4 f(x) x d D(x) 8 4 3 Lorsque le graphique d’une 4 Croissance

CalCul différenTiel

Allure

max.

min. a

Croissance

fonction est donné, il est possible d’identifier la croissance stricte et la décroissance stricte. Il suffit de déterminer les endroits où une fourmi se déplaçant de gauche à droite monte une pente (fonction strictement croissante) ou la descend (fonction strictement décroissante).

b x

D(x)

81 4

Allure

max.

Si nous représentons graphiquement la fonction D(x) sur son domaine, nous voyons que le minimum est atteint en x = 3. y

min.

D(x)

10 (3, 8)

5 0 1

2 3 4 5

D(x)

(3, 8)

CalCul différenTiel

0 1

2 3 4 5

6.1 L’optimisation

267

les endroits unevoyons fourmi sur son domaine,oùnous déplaçant de que se le minimum est gauche atteint à droite en x monte = 3. une pente (fonction 6.1croissante) L’optimisation 267 strictement ou y la descend (fonction strictement 20 décroissante).

iNtUitiVEMENt…

Décroissance

graphique d’une Leslerubriques « Remarque » et • Lorsque fonction est donné, il est INTUITIVEMENT… possible d’identifier la croissance « Important » attirent l’attention stricte et la décroissance Si nous représentons stricte. Il suffit de déterminer du lecteur sur des éléments pertinents. graphiquement la fonction D(x)

NotatioN

iNtUitiVEMENt…

F I G U R E 5.10

critique de D(x) est donc x = 3.

INTUITIVEMENT…

1 2

dD dx

Étape 6 : Ainsi, si x = 3, alors y = 2 3 + 1 = 7 , et le point (3, 7) est le point situé sur la courbe de y qui se trouve le plus près du point (4, 0). Il se trouve à une distance de 8 du point (4, 0).

[D (x)] = [x2 - 6x + 17] dx dx y= Étape 6 : Ainsi, si x = 3, alors = 2x -26 3 + 1 = 7 , et le point (3, 7) est le point situé sur la courbe de y qui trouve le 4plus près du point les La figure 5.10 nous permettra de clarifier la se définition et de distinguer = 2distance (x -de3)décroissance. 0). Il se trouve à une de 8 du point (4, 0). intervalles (4, de croissance des intervalles

NotatioN

Si nous représentons graphiquement la fonction D(x) sur son domaine, nous voyons que le minimum est atteint en x = 3.

1 2x + 1 , nous avons 2x + 1 $ 0 & x $ - .

notation suivante puisque y =:

REMARQUE

Si d(x) a un extremum en x = a, alors D(x) possède elle aussi un extremum en x = a.

= (x - 4)2 + ( 2x + 1 )2

d2 = D = (x - 4)2 + y2 Si nous posons x comme la variable, nous connaissons y, car le point se trouve sur la courbe y. Nous avons donc y = 2x + 1 . Ainsi : D = (x - 4)2 + y2

D = (x - 4) + y = 2 (x - 3) 2

44 et de 3distinguer les 3 La figure 5.10 nous permettra de clarifier la définition D(x) 15 intervalles de croissance intervalles décroissance. La fonction est croissante est(3, décroissante y = sur2 ]-33, + 1a[=et ]b, 7 ,3[. 7) est sur 10 Étape 6 : des Ainsi, si donc x = 3,de alors et leElle point fonctionla est courbe donc croissante de sur ] 3, et ]b, 3[. est décroissante ]a, b[. le point situé]a,Lasur y a[qui seElletrouve le surplus près du point i M(3, P o8) R ta N t b[. 5 F I G U R E 5.10 intervalles de croissance (4, 0). Il se trouve à une distance de 8 du point (4, lesLes0). i Nett U i t i V E M E N t …Les intervalles de croissance et intervalles de décroissance f(x)

f(x)

$ -

i M P o R ta N t

THÉORÈME 5.2

sont toujours des intervalles ouverts.

1 les 0 intervalles 1 2 3de 4décroissance 5 x Lorsque le graphique d’une sont toujours des intervalles fonction est donné, il est Lorsque la dérivée première ouverts. est positive sur un intervalle, possible d’identifier la croissance df la fonction est croissante sur • Si # 0 sur ]a, b[, alors f(x) est décroissante sur ]a, b[. dx df et la décroissance intervalle. Soit une fonction f(x)DÉMoNStRatioN continue sur un intervalle [a, b] etcetLorsque telle questricte existe la dérivée première a b iNtUitiVEMENt… est négative sur un intervalle,dx stricte.5Il suffit de déterminer sur ]a, b[. la fonction est décroissante La preuve de ce théorème est plus avancée que le niveau de ce cours. sur cet intervalle. x les endroits où une fourmi df Lorsque la dérivée première • Si $ 0 sur ]a, b[, alors f(x) est croissante sur ]a, b[. se déplaçant de gauche à droite dx est positive sur un intervalle, f(x) 4 graphiquement ce théorème f(x) 3(voir la figure 5.11 à la f(x) 3 Il est possible d’interpréter monte une pente (fonction page suivante). Puisque la dérivée d’une fonction correspond à la pente de la df la fonction est croissante sur droite b[, tangente, si la pentef(x) de la tangente est positive sur un intervalle, la fonction alors est décroissante sur ]a, b[. • Si # 0 sur ]a, strictement croissante) ou est croissante sur cet intervalle, et si elle est négative, alors elle est décroissante. dx cet intervalle. la descend (fonction strictement

Croissance

THÉORÈME 5.2

Décroissance Croissance df existe Soit une fonction f(x) continue sur un intervalle [a, b] et telle que

sur ]a, b[. df • Si $ 0 sur ]a, b[, alors f(x) est croissante sur ]a, b[. dx

iNtUitiVEMENt…

Lorsque la dérivée première 6.1 L’optimisation 267 est négative sur un intervalle, la fonction est décroissante i M P o R ta N surt cet intervalle.

DÉMoNStRatioN CalCul différenTiel CalCul différenTiel

5.2 Les extremums, la croissance et la décroissance d’une fonction

225

La fonction est donc croissante sur ]-3, a[ et ]b, 3[. Elle est décroissante sur La preuve de ce théorème est plus avancée que le niveau de ce cours. ]a, b[.

Les intervalles de croissance et les intervalles de décroissance sont toujours des intervalles ouverts. Il est possible d’interpréter graphiquement ce théorème (voir la figure 5.11 à la

THÉORÈME 5.2

df pagef(x) suivante). la dérivée à la pente de la existe Soit une fonction continuePuisque sur un intervalle [a,d’une b] et fonction telle que correspond i N la t Ufonction itiVEMENt… droite tangente, si la pente de la tangente est positive dx sur un intervalle, sur ]a, b[. est croissante sur cet intervalle, et si elle est négative, alors elle est décroissante. df Lorsque la dérivée première • Si $ 0 sur ]a, b[, alors f(x) est croissante sur ]a, b[. dx • Si

décroissante).

df # 0 sur ]a, b[, alors f(x) est décroissante sur ]a, b[. dx

est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle.

5 Structure des chapitres du manuel

4.1

MisE En foRME

EXERCICES dE la SECtIon

1. Soit la fonction f(x) définie par le graphique suivant. y 6 4

5. Soit la fonction suivante. Z z 2, ] ]0, ] f (z) = [ ] z - 1 + 1, ] ]\ z + 4,

si z 1 1 si z = 1 si 1 1 z 1 3 si z 2 3

a) Déterminez : dom f

f(3)

3) TVM 4) lim f(z) Des figures et des tableaux viennent appuyer ff Chaque section se termine par une série 5) TVM 6) TVM f la présentation de la matière. de mise en forme ou d’application. d’exercices 7) l’équation de la sécante passant par 4

[0, 1]

Déterminez :

b) f(0)

b) Est-ce que f(z) est continue en z = 1 ?

d) f( f(-6))

e) lim f(x)

f ) lim- f(x)

c) Soit a 2 3 et b 2 a. Déterminez TVM[a, b] f, puis expliquez le résultat. MisE En foRME

ExEMpLE

g) 3.14 TVM[-2, 2] f

h) TVM[4, 8] f

avec des méthodes algébriques la bissectrice en posant a = 0,5 tes itérations.

x" 6

SolutIon

TVM[2, 6] f

j) lim+ TVM[-4, -4 + h] f y

h"0

Il est impossible de trouver les zéros de f(x) avec des méthodes algébriques (voir la figure 3.11). Utilisons la méthode de la bissectrice en posant a = 0,5 et b = 1,5. Le tableau 3.1 montre les différentes itérations.

2. Déterminez le taux de variation moyen des fonctions suivantes sur l’intervalle [ -2, 4]. Si 1 Les premières itérations de la méthode deexpliquez la bissectrice où l’intervalle c’est impossible, pourquoi. de départ est [0,5, 1,5] i FIGURE Itération a b f(a) f(b) f(c) E x E M p L E 0 3.14 2 c a) f(x) = x 4 j(i) 1 0,5 1,5 1 0,752 583 3,304b) 263 0,459 698 = 8 2 1 x 1 2 4 2 0,5 1 0,75 0,752 583 0,459 698 0,309 814 1 3 30,309 814 0,459 698 0,028 925 3 0,75 1 0,875 Trouvez x tel que cos (x) = x , en posant4 f(x) (x)0,812 -p5 x 0,309 . 814 0,028d) c) 0,75=k (cos g(i) = cos (rq) p0,875 )= 925 0,151 309 2

TAbLEAU

3.1

1 0 1

f(b)

f(c)

0,752 583

-3,304 263 -0,459 698

0,752 583

-0,459 698

0,309 814

-0,459 698 -0,028 925

0,309 814

-0,028 925

0,151 309

-0,028 925

0,063 988

0,309 814

0,812 5

0,875

0,843 75

0,151 309

-0,028 925

0,063 988

La méthode de la L’itération 5 donne une estimation du le zéro de la fonction f(x) : xvariation . 0,843 75. 3. Déterminez taux de moyen sur bissectrice l’intervalle 4] pour lesalgébriques fonctions suivantes. Il est impossible de trouver les zéros de f(x) avec des[1,méthodes 2 1 a= (voir la figure 3.11). Utilisons la méthodea) de la bissectrice en posant 0,5 le théorème de la valeur intermé + a) Utilisez f(x) = 2(x - 2) pour démontrer que l’équation a une 3 diaire 3 et b = 1,5. Le tableau 3.1 montre les différentes itérations. 1 solution si = . 1. Utilisez la méthode de la bissectrice pour trouver 3 une valeur de x telle que cos (x) = x sur l’intervalle 2 x 1 r x r méthode de la bissectrice 2 b) Faites appel [0, 1], b)avec une g (précision x) =au dixième+près. + sin bpour estimer - àlalavaleur 3 3 l de h si ρ = 13 à une 3 T A b L E A U 3.1 5 3 2. Soit la fonction f(x) = - 1. Un étudiant précision de 2 chiffres après la virgule. MISE En FoRME

2x - 1 désire utiliser la méthode de la bissectrice pour trouver le zéro de f (x). Il commence avec l’intervalle [0, 2]. Expliquez pourquoi la méthode de la bissectrice ne fonctionne pas dans ce cas.

La probabilité P qu’une joueuse de pingpong A (xbissectrice ) = 2 x - 1où 5.l’intervalle Les premières itérations de la méthodec)de hla remporte une victoire sur son adversaire B par la

de départ est [0,5,3.3 1,5] LAbORATOIRE

3.11

marque de 11 à 0 est donnée par :

Que remarquez-vous ? Utilisez pun outil P(p) = 1 + p b l 2 1-p+p informatique pour trois courbes où pces est f(c) la probabilité que la joueuse Aafin gagne f(a) f(b)tracer le point lors d’un échange avec la joueuse B. de visualiser la situation.a) Quelle doit être la valeur (à 4 décimales

MisE En foRME

y d)

x"2

a) dom f

3.4

z"1

l’équation de la sécante passant par (2, f(2)) et (4, f(4))

TVM[2, 4] f

f(3)

Soit a 2 3 et b 2 a. Déterminez TVM[a, b] f, puis expliquez le résultat.

lim f(z)

1 . u+1 a) Déterminez dom g.

6. Soit laz fonction " 1 g(u) =

j) lim+ TVM[-4, -4 + h] f

TVM[2, 4] f

TVM -

l’équation de la sécante passant par c) Déterminez TVM g pour u 2 0 et h 2 0. (2, f(2)) et (4, f(4))d) Calculez lim TVM g pour h constant.

h"0

6)b)

Trouvez l’équation de la droite sécante à la courbe de f(x) passant par (3, g(3)) et (7, g(7)). [u, u + h]

[u, u + h]

u"3

Interprétez ce résultat graphiquement. 2

a avons-nous TVM[2, a] j = 8 ?

c) Soit a 2 3 et b 2 a. 8.Déterminez TVM domf, f. Soit une fonction f (x) et x , x[a,db] Déterminez l’équation de la droite sécante à puis expliquez le résultat. la courbe de f(x) passant par (x , f (x )) et 1

c) h (x) = 2 x - 1

(x2, f(x2)).

Que remarquez-vous ? Utilisez un outil informatique pour tracer ces trois courbes afin de visualiser la situation.

1 . u9.+Déterminez 1 les unités du taux de variation 4. Soit la fonction r(y) = 3y - 4y. des fonctions suivantes. a) Déterminez dom g. moyen a) Déterminez dom r. a) A(r) = r , où A : aire d’un disque (en cm )

6. Soit la fonction g(u) =

ApplicAtions

et r, son rayon (en cm).

b) Trouvez TVM[y, y + h] r.

b) Trouvez l’équation de la oùdroite sécante b) v(t), v est la vitesse d’une voitureà(en c) En utilisant le résultat obtenu en b), km/h) et t, le temps (en h). déterminez : la courbe de TVM f(x) r passant par (3, g(3)) et c) V(t), où V est la valeur d’une action (en $) et TVM r TVM ] ] r t, le temps (en mois). (7, lag(7)). d) Esquissez courbe de r(y). Expliquez, à 1)

[-1, 3]

0, 43

[0, 5]

d) C(t), où C est la concentration d’un acide (en mol/L) et t, le temps (en s).

l’aide du graphique, ce que représente

r. c)TVMDéterminez TVM[u, u + h] g pour u 2 0 et h 2 0. [0, 2]

154

141

Chapitre 4 – Les dérivées

CalCul différenTiel

d) Calculez ulim TVM[u, u + h] g pour h constant. "3 Interprétez ce résultat graphiquement. 7. Soit la fonction j(w) = w2. Pour quelle valeur de a avons-nous TVM[2, a] j = 8 ?

8. Soit une fonction f (x) et x 1 , x 2 d dom f. 1 rx r b) g (x) = + + sin b - lCalCul différenTiel Déterminez l’équation de la droite sécante à 3 3 3 3 2 aStratégieS… diaire pour démontrer que l’équation une la courbe de f(x) passant par (x 1, f (x 1)) et 1 c) h (x) = 2 x - 1 solution si t = . (x2, f(x2)). 3 Que remarquez-vous ? Utilisez un Le cheminement type suivant présente une démarche pour évalueroutil une limite. b) Faites appel à la méthode de la bissectrice 4. Soit la fonction suivante. ApplicAtions Z z - 4, si z 1 0 informatique pour tracer ces trois courbes afin 1 ] pour estimer la valeur de h si ρ = à une ] z - 4, si 0 1 z 1 2 1. Soit la fonction y(x) définie par le graphique 3 de visualiser la situation. g (z ) = [ ln (z), si 2 # z # e suivant. ]e ] , précision de 2 chiffres après la virgule. si z 2 e 9. Déterminez les unités \ z du taux de variation 2 Déterminez : 4. Soit la fonction r(y) = 3y - 4y. moyen des fonctions suivantes. a) dom g b) g(2) Déterminez : 21. Nous avons vu précédemment que la courbe 5. La probabilité P qu’une joueuse de pingpong A d) g(1) d'une fonction f(x) peut avoir asymptotes 2 c)desg(0) 2 dom f b) (en f(2) a) Déterminez a) A(r) = rrhorizontales ,e) où Aou :desaire a)d’un f) limdisque g(z) lim g(z) verticales, des asymptotes remporte une victoire sur son adversaire B par la dom r. 2 cm ) c) f( f( 6)) d) lim f(x) asymptotes obliques. Elle peutg)même lim avoir g(z) des h) lim g(z) et r, son rayon (en cm). asymptotes curvilignes. Soit une fonction f(x), marque de 11 à 0 est donnée par : b) Trouvez TVM[y, y + h] r. e) lim f(x) f ) lim f(x) n d \ {0, 1} et L , L d \ {0}. Nous disons que g) lim f(x) h) lim f(x) la courbe de f (x) possède une asymptote Déterminez : b) v(t), est la lesvitesse d’une voiture (en 11 curviligne de degréoù n si : v 5. Déterminez limites suivantes, elles existent. i) lim sif(x) j) lim f(x) p c) b),y dom b) ima y P(p) = 1 + p b l En utilisant le résultat obtenu enc)a) lim 2x - 5x - 3 k) les équations des asymptotes f(x)y(x) f(x)lim y(x) d)limkm/h) lim et t, a)le temps (en h). 2 1 - p + p2 x = L ou lim x = L3x - 8x - 3 déterminez : e) lim y(x) f) lim y(x) x 6x + 9 Montrez que les courbes b)deslim fonctions 2x 5x 3 g) l’ordonnée à l’origine h) les zéros suivantes possèdent ou plus c) V(t), où une V est la d’une valeur d’une action (en $) et où p est la probabilité que la joueuse gagne 1) A TVM 2) TVM ]0, 43 ] r 3) TVMi)[0,y(5]4)r asymptote curviligne du degré indiqué. 1 - 1 24. La valeur limite d’un capital A , placé pendant j) y(y(3)) [ 1, 3] r c) lim z 5x + 3x + 2 t années à un taux d’intérêt i capitalisé n fois 1 1 (en mois). l) t, y(2) k) y(5) ; degré 3 a) f(x) = le temps le point lors d’un échange avec la joueuse B. 3x + 1 par année, est donnée par : d) Esquissez la courbe de r(y). Expliquez, à suivante.b) h(i) = 8ii +- 127 ; degré 2 d) lim 16z- y 2. Soit la fonction i $ y + 4concentration A (t) = A d’un b1 + l acide la n si x 1 3C(t), où C est 2x a) Quelle doit être la valeur (à 4 l’aide décimales 3x 2x + 3 du graphique, ce que représente ]Z] x - 4,d) c) R (w) = w 3 + w ; degrée)2 lim x - 1 Supposons qu’un montant de 1 $ soit placé à un f (x) = [ 3x - 4, si 3 # x # 5 mol/L) et t,d’un le temps (en s). près) de p pour que la probabilitéTVM de gagner ]] 22. Évaluez(en taux d’intérêt de 100 % durant un an. Nous nous w [0, 2]r. e, si x 2 5 les limites suivantes àf)l’aide lim 1 -outil \ intéressons à la valeur de notre investissement w -1 informatique. 11 à 0 soit de 0,5 ? après un an selon le nombre de fois où ce montant g) lim 2z - 16 Déterminez : 154 Chapitre 4 – Les dérivées CalCul différenTiel

Chapitre 4 – Les dérivées

CHaPitre

Le chapitre se termine par :

MiSe en FoRMe paR Section

a est-il une valeur frontière ?

oUi

Calcul de lim f (x) x"a

est-ce que

f (x) =

oUi

non

Remplacer x par a dans l’expression de la limite

Calcul de lim f(x) et/ou lim +f (x)

x " a-

Fonction définie par parties ?

x"a

4 2

Nombre réel

qui correspond la 3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire à141

distance entre le point le plus bas de la sphère et la ligne de l’eau. Si nous supposons que la densité de l’eau est de 1, l’équation suivante permet de trouver la hauteur de la partie immergée de la boule. 2

• Factorisation

La réponse est la valeur obtenue.

• Simplification • Technique du conjugué • T héorème des gendarmes

x " -4

3 IND 3 ou IND 3 - 3

IND 0 3

k Forme 0

x"3

2 2

applicationS

z"1

t n

y " 4-

x"1

w"1

x"a

• U tilisation de l’algèbre de l’infinia S t U c e

e) Esquissez la courbe de f(x). Section f) 2.2

sin ^rxh - cos ^rxh lim ima f b) 16x2 - 1 1 x" d) 4 lim y(x) x "3 5- 3 ( x + 5x2 - x) lim xf) " 3 lim y(x) x"5 6. -x h)limles zéros x e x"3 j) f(f(3)) x lim x " 3 ln ^xh x2 lim+ 2 (3 - 2 ln (x)) + 1

x"0

lim

x"0

x sin (x) ; x ;

x"5

c) lim- (x2 - 4x + 5) x" 2

z +1 - 3 h) lim 3x - 8 x"4 3- x z"8

u"8

= 2, 00 $ = 2, 25 $

elles nous permettront d’estimer le nombre e, un nombre très

z"0

e) lim+ tan (i) i"

r 2

2 4

1 1 3 b) Selon la réponse obtenuenen=a), 3, A (1) = 1 b1 + l = 2, 37 $ 3 f(8 + k) - f(8) déduisez lim k k"0 Note : Bien que ces données soient loin d’être vraisemblables,

y 4

h"0

en mathématiques. Section important 2.4

d) lim 7w-+114 cos (3x) i) lim w " -2 3 3x + 5x 2 x"0

1 1 n = 1, A (1) = 1 b1 + l 1 Soit la fonction f(x) = 3x2 - 4x + 7. 1 1 2, A (1) = 1 b1 + l f(x + h)n-=f(x) 2 . h

a) Déterminez lim

8 23. Soit la fonction f(x) définie par g) le limgraphique x"2 x - 2 suivant.

sera capitalisé. Par exemple :

Si l’institution 7. Déterminez les limites suivantes, si elles financière existent. permet de capitaliser x le montant initial aussi souvent que souhaité, 1 a) lim b) lim ln (z) quelle z " 3sera la valeur de l’investissement après x " -3 4 un an c) lim ln (z) d) lim? tan (i)

CalCul différenTiel

x " -6

g) l’ordonnée à l’originec)

z"r

x " -4-

x " -4+

x"3

i)+ f(x)f(3) et/ou lim

e) lim esin (z)

n x"3

x"3

x " 5-

• Calcul de lim - f(x)

141

x"4

x " -3

Section 2.3

x " -x3" 2-

x"0

z"3

1-x g) lim les avec nd 3. Déterminez algébriquement limites x"1 1 - x CalCul différenTiel suivantes. sin (x) h) b) lim lim 7cos2 (ru) a) lim+ 3 x " 0 4x - 3x

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

z"e -

z"2

x" 3

• Technique du conjugué

z"0

x"5

• T ransformation de l’expression de la limite pour revenir 3 à une forme IND 3 0 ou IND 0

e) lim+ y(x) • Mise en évidence du terme dominant

a) dom f c) lim- f(x)

MéThodeS de réSolUTion poSSibleS

aStuCE

112

près) de p pour que la probabilité de gagner

• une série d’exercices 11 à 0 soit de 0,75 ? récapitulatifs de mise en #p# 1, car il s’agit d’une probabilité. h - 3hforme + 4t = 0 par section, 0de mise en forme toutes sections 3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire confondues et d’application. 3

CaLCuL différenTieL

0 IND 0

x " 2+

aStuCE

Section 2.1

• la proposition de stratégies, qui permettent d’avoir une vue d’ensemble des notions abordées dans un 3. Utilisez théorème de la valeur intermédiaire b) Quelle doit être la valeur (à 4 le décimales pour démontrer, sans calculer, qu’ilou existequi un x suggèrent près) de p pour que la probabilité de gagner chapitre tel que sin (x) + x - 1 = 0. 11 à 0 soit de 0,75 ? des démarches et des applICatIonS cheminements types pour 0 # p # 1, car il s’agit d’une 4. probabilité. Selon sa densité t, une boule sphérique de rayon unitaire flottera dans à une profondeur h, lal’eau résolution de problèmes ; b) Quelle doit être la valeur (à 4 décimales

eXerciceS Récapitulatifs du chapitre

e de rayon ondeur h, e point le u. Si nous est de 1, la hauteur

[4, 8]

TVM[-2, 7] f

b) Est-ce que f(z) est continue en z = 1 ? 7. Soit la fonction j(w) = w . Pour quelle valeur de

x" 6

eXerciceS Récapitulatifs du chapitre

rmédiaire xiste un x

[0, 2]

x" 6

TVM[2, 6] f

[0, 1]

b) Est-ce que f(z) est continue en z = 1 ?

2) c)

f ) lim- f(x)

3. Déterminez le taux de variation moyen sur l’intervalle [1, 4] pour les fonctions suivantes. 2 1 a) f(x) = 2(x - 2) + 3 3 b) g (x) = 2x + 1 + sin b rx - r l 3 3 3 3

■■ Fin de chapitre 2x a) Utilisez le théorème de la valeur intermé MISE En FoRME 154

TVM 1] f h) [0, TVM

5. La probabilité P qu’une joueuse de pingpong A remporte une victoire sur son adversaire B par la 1. par Utilisez la méthode de la bissectrice pour trouver marque de 11 à 0 est donnée : une valeur de x telle que cos (x) = x sur l’intervalle p[0, 1], 11avec une précision au dixième près. 1 + p P(p) = b l 2 1 - p + p2 5 2. la Soit la fonction f(x) = - 1. Un étudiant où p est la probabilité que joueuse A gagne 2x - 1 le point lors d’un échange avec la joueuse désire utiliserB.la méthode de la bissectrice pour trouver le zéro de f (x). Il commence avec a) Quelle doit être la valeur (à 4 décimales l’intervallede[0,gagner 2]. Expliquez pourquoi la méthode près) de p pour que la probabilité de la bissectrice ne fonctionne pas dans ce cas. 11 à 0 soit de 0,5 ?

domd)f f( f( 6))

[ 2, 7] moyen des 2. Déterminez le taux de variation fonctions suivantes sur l’intervalle [ -2, 4]. Si c’est impossible, expliquez pourquoi. i a) f(x) = x2 - 4 b) j(i) = 8 4 c) k (p) = p d) g(i) = cos (rq)

aStuCE

EXERCICES dE la SECtIon

trice pour ence avec a méthode s ce cas.

b) f(0)

x"2

g) TVM[-2, 2] f

3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire

e) lim f(x)

c) f(2)

a) Déterminez :

applICatIonS

Déterminez :

CaLCuL différenTieL

g) TVM[-2, 2] f ApplicAtions h) TVM[4, 8] f a b c LaItération méthode de la de la fonction f(x) : x . 0,843 75. i) TVM[2, 6] f j) lim+ TVM[-4, -4 + h] f h"0 0,459 698que la probabilité de gagner 1 0,5 1,5 1 0,752 583 -3,304 263 -près) bissectrice de p pour 9. Déterminez les unités du taux de variation 4. Selon sa densité , une boule sphérique de rayon 11 à 0 soit de 0,5 ? flottera dans l’eau à uneprofondeur h, 2 2 0,5 1 0,75 0,752 583 entre 0,459 698 2. moyen Déterminez le tauxsuivantes. de variation moyen des 4y.doit814 4.unitaire la àfonction r(y) Quelle être la valeur (à 4 décimales des fonctions qui Soit correspond la distance le point= le 3yb) 0,309 près) de p pour que la probabilité de gagner plus bas de la sphère et la ligne de l’eau. Si nous à 0 soit de 0,75 ? fonctions suivantes sur l’intervalle [ -2, 4]. Si que la densité est de 698 1, -0,459 -11 3 0,75 1 0,875supposons 0,309 814 de l’eau 0,028 925 a) suivante Déterminez l’équation permet de trouverdom la hauteurr. a) = rr2, où A : aire d’un disque (en cm2) c’estA(r) impossible, expliquez pourquoi. de la partie immergée de la boule. -0,028 925 0,151 309 4 0,75 0,875 0,812 5 b) 0,309 814 et r, son rayon (en cm). 0 # p # 1, car il s’agit d’une probabilité. h - 3h + 4 = 0 Trouvez TVM[y, y + h] r. i 2 a) f(x) = x - 4 b) j(i) = 8 a) Utilisez le théorème de5 la valeur intermé 0,812 5 0,875 0,843 75 0,151 309 -0,028 925 0,063 988 4 LAbORATOIRE b) v(t),3.3 où v est la vitesse d’une voiture (en c) En utilisant le résultat obtenu en b), diaire pour démontrer que l’équation a une km/h) et t, le temps (en d) h). g(i) = cos (rq) déterminez : 1 La méthodec)de kla(p) = p solution si t = . L’itération 5 donne une estimation du zéro de la fonction f(x) : x . 0,843 75. ur trouver 3 bissectrice V(t), où V est la valeur d’une action (en $) et 1) TVM[-1, 3] r 2) TVM ]0, 43 ] r 3) TVM[0, 5] r 3. c) l’intervalle Déterminez le taux de variation moyen sur t, le temps (en mois). b) Faites appel à la méthode de la bissectrice rès. l’intervalle [1, 4] pour les fonctions suivantes. d) Esquissez la courbe de r(y). Expliquez, à 1 pour estimer la valeur de h si ρ = à une d) C(t), où C est2)la 2 concentration d’un acide l’aide du graphique, ce que représente 1 3 + a) f(x)mol/L) = 2(x n étudiant (en (en s). précision de 2 chiffres après la virgule. 3 3et t, le temps TVM r.

7.2 Soit la fonction 2j(w) = w2. Pour quelle valeur de 1 a avons-nous TVM[2, a] j = 8 ? Déterminez : 8. 0Soit une fonction f (x) et x 1 , x 2 d dom f. 1 x 1 2f a) dom b) f(0) 1 Déterminez l’équation de la droite sécante à c) courbe f(2) de f(x) passant d) f(par f(-6)) la (x 1, f (x 1)) et 2 f(x2)). (x e)2, lim f(x) f ) lim- f(x)

3. Utilisez le théorème de la valeur intermédiaire pour démontrer, sans calculer, qu’il existe un x tel que sin (x) + x - 1 = 0.

2 TVM Calculez ulim [u, u + h] g pour h constant. "3 Interprétez ce résultat graphiquement.

c) Déterminez TVM[u, u + h] g pour u 2 0 et h 2 0.

5. Soit la fonction suivante. 5. Soit la fonction suivante. Z z 2, si z Z1 1 si z 1 1 z, ] par le graphique ] 1. Soit la fonction f(x) définie ]0, si z = 1 suivant. ]0, f (z) = si z ]][=z -11 + 1, si 1 1 z 1 3 ] ] f (z) = [ ] si z 2 3 \ z + 4, si 1 1: z 1 3 ] z - 1 + 1, a) Déterminez ] dom f f(3) ]TVM f lim f(z) si z 2 3 \ z + 4, 2

y b) Trouvez l’équation de la droite sécante à la courbe de 6 f(x) passant par (3, g(3)) et (7, g(7)).

LAbORATOIRE 3.3

S o l u t I o n 3

3.4

f(a)

EXERCICES dE la SECtIon

e la bissectrice où l’intervalle

1 . 6. Soit la fonction g(u) = u + 1 par le graphique 1. Soit la fonction f(x) définie a) Déterminez dom g. suivant.

F I G U R E 3.11

Trouvez x tel que cos (x) = x3, en posant f(x) = cos (x) - x3.

4.1

a) dom f c) f(2) x"2

= cos (x) - x3.

[2, 4]

(2, f(2)) et (4, f(4))

EXERCICES dE la SECtIon

F I G U R E 3.11

z"1

[-2, 7]

4.1

EXERCICES dE la SECtIon

r 2

25. f) Uneulim solution e-u saline de 0,03 kg/L, avec un débit "3 de 25 L/min, est ajoutée dans un réservoir qui 5 20 kg de sel dissous dans 5 000 L contient h) lim déjà 2 2 w " 2 (w - 4) d’eau. Le robinet du réservoir est ouvert et la solution saline en sort avec un taux de 25 L/min. Il est possible de démontrer que la quantité de exercices récapitulatifs 113 sel q (en kg) en fonction du temps t (en min) -t est donnée par l’équation q(t) = 150 - 130e200. 2

a) Déterminez le domaine de cette fonction.

116

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

CalCul différenTiel

■■ Signification des pictogrammes Des pictogrammes permettent de déterminer le domaine d’application d’un exercice, de mettre en évidence les problèmes les plus faciles et les plus difficiles et de donner des pistes pour la résolution.

Sciences de la vie

Physique

Chimie

Économie

Statistique

Sciences humaines

Exercice facile

Exercice difficile

Outil informatique vi

ASTUCE

Calcul différenTiel

Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Structure des chapitres du manuel CHAPITRE

UNE MISE À JOUR

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv 1

1.1 Les manipulations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Les opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 L’ordre de priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 La manipulation des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Les propriétés des exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Les expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7 La factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.8 Les fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.9 La résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.10 La résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices de la section 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Le concept de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Les opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 La recherche du domaine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Exercices de la section 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Quelques fonctions importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1 La fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 La fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.3 La fonction définie par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.4 La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exercices de la section 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 La résolution d’équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Les fonctions et les équations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.4 La représentation graphique des fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . 36 1.4.5 La résolution d’équations contenant des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercices de la section 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5.1 Les rapports trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5.3 La représentation graphique des fonctions trigonométriques . . . . . . . . 42 1.5.4 Les relations trigonométriques réciproques et les fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5.5 La résolution d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercices de la section 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Table des matières

vii

CHAPITRE

LA LIMITE D’UNE FONCTION

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1.1 Une approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Exercices de la section 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2 Le calcul algébrique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.1 Les propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.2 Les limites de fonctions définies par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Exercices de la section 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 L’indétermination de la forme 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 0 2.3.1 La technique de factorisation-simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.2 La technique du conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Exercices de la section 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4 Les limites à l’infini et les limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.1 Les limites à l’infini (x " !3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.2 Le comportement à l’infini de quelques fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3 Les limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 2.4.4 L’indétermination de la forme 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.5 L’indétermination de la forme 3 - 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4.6 L’indétermination de la forme 0 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exercices de la section 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.5 Le théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Exercices de la section 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.6 Les asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Les asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Les asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Les asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 La recherche des asymptotes d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de la section 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 2

CHAPITRE

LA CONTINUITÉ D’UNE FONCTION

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 101 105 107 111

112 113

121

3.1 Une définition intuitive de la continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.1.1 La continuité et la discontinuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Exercices de la section 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.2 La continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.2.1 La définition formelle de la continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.2.2 Les types de discontinuités de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Exercices de la section 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

viii

Calcul différenTiel

3.3 La continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.3.1 Une méthode de vérification graphique de la continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.3.2 Une méthode de vérification algébrique de la continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Exercices de la section 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 Le théorème de la valeur intermédiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.4.1 La méthode de la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Exercices de la section 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 3

CHAPITRE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LES DÉRIVÉES

142 143

147

4.1 Le taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.1.1 Le calcul d’un taux de variation moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Exercices de la section 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.2 Une définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2.1 La représentation graphique de la dérivée d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Exercices de la section 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.3 Les règles de dérivation de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.3.1 Les formules de dérivation des fonctions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.3.2 Les formules de dérivation des opérations sur les fonctions . . . . . . . . . 166 4.3.3 Les dérivées d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.3.4 Les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Exercices de la section 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.4 La dérivation en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.4.1 La règle de dérivation en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Exercices de la section 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5 Le domaine, la dérivabilité et la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.5.1 La dérivabilité et la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.5.2 La dérivée à gauche et la dérivée à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.5.3 Le domaine de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Exercices de la section 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.6 La dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.6.1 La règle de dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.6.2 La pente de la tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.6.3 La démonstration de formules de dérivation de base pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques réciproques . . . . . . . 200 4.6.4 La dérivation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Exercices de la section 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206 207

Table des matières

CHAPITRE

L’ANALYSE DE FONCTIONS

5.1 Les valeurs critiques d’une fonction

213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 219

5.2 Les extremums, la croissance et la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.2.1 Les extremums d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.2.2 La croissance et la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Exercices de la section 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.3 Les intervalles de concavité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.3.1 Le concept de concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.3.2 La différence entre la concavité et la croissance ou la décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Exercices de la section 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.4 Une technique pour esquisser la courbe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Exercices de la section 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 5

CHAPITRE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DES APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

6.1 L’optimisation

259

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Les taux de variation liés

254 255

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices de la section 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261 271 274 279

6.3 Les applications du calcul différentiel en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.3.1 Les coûts de production, les revenus et les profits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.3.2 Le coût de production moyen, le revenu moyen et le profit moyen . . . 283 6.3.3 La marginalité d’un agent économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 6.3.4 L’élasticité de la demande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 6.3.5 Les courbes d’indifférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Exercices de la section 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Stratégies…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices RÉCAPITULATIFS du chapitre 6

ANNEXES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292 293

301

Annexe A – Réponses des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Annexe B – Aide-mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Annexe C – Répertoire des théorèmes, des corollaires et des propositions du manuel . 350 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Sources iconographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 x

Calcul différenTiel

CHAPITRE

La limite d’une fonction 2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 2.2 Le calcul algébrique des limites 0 2.3 L’indétermination de la forme 0 2.4 Les limites à l’infini et les limites infinies 2.5 Le théorème des gendarmes 2.6 Les asymptotes

Problème

initial

2.1

R r

2.1

r (en mm)

V(r) (en mm/s)

0,005 9

. 0,826 39

0,005 99

. 0,083 26

0,005 999

. 0,008 33

0,005 999 9

. 0,000 83

…

… REMARQUE

Du point de vue de la physique, la vitesse d’un liquide près des parois doit être presque nulle, car les parois ne bougent pas.

et se lit : « La limite, lorsque r tend vers 0,006 par la gauche de V(r), est 0. » La valeur de cette limite signifie que la vitesse des globules rouges s’approche de 0 mm/s près de la paroi.

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

2.1

Qu’est-ce qu’une limite ? La notion de limite est essentielle à l’introduction du concept central du calcul différentiel, la dérivée, que nous verrons dans le chapitre 4. Avant d’aborder le concept de limite de manière formelle, nous en donnerons d’abord une définition intuitive.

2.1.1 Une approche intuitive

Avant d’étudier en détail la limite d’une fonction, tentons d’abord d’en définir le concept. Définition 1

Définition intuitive de la limite

Nous dirons que L est la limite d’une fonction f(x) lorsque x tend vers a, si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus près de L à mesure que les valeurs de x se rapprochent de plus en plus de a, sans toutefois l’atteindre et tout en demeurant dans le domaine de f(x). Voici comment cette définition s’écrit sous forme mathématique :

INTUITIVEMENT…

« x tend vers a » ou « x s’approche de a » signifie que la distance entre x et a est aussi près que l’on veut de 0.

lim f(x) = L

x"a

I M P O R TA N T

La définition de la limite proposée dans certains manuels du collégial ne contient pas la restriction de s’approcher tout en demeurant dans le domaine de la fonction. Nous avons donc choisi une définition légèrement différente, plus complète et plus intuitive, qui correspond également à celle utilisée dans les cours universitaires.

Pour illustrer le concept de limite, imaginons la courbe d’une fonction sur laquelle se déplace une fourmi. Exemple

2.1

Soit la fonction f (x) définie par le graphique de la figure 2.2. Déterminez lim f(x). x"1

FIGURE

2.2

y 4

INTUITIVEMENT…

Lorsque nous cherchons une limite en x = a, nous voulons déterminer la hauteur à laquelle la fourmi se trouve lorsqu’elle s’approche de x = a.

3 2 1

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 55

Solution

Comme dom f = [1, 3[, x peut s’approcher de 1 seulement par des valeurs plus grandes que 1. Graphiquement, nous observons que si x s’approche de 1, alors f(x) s’approche de 2. D’où lim f(x) = 2. x"1

Exemple

2.2

Déterminez la limite de la fonction f(x) = sin (x) + 1 lorsque x s’approche de r. Tableau

2.2

Solution

sin(x) + 1

3,1

1,041 6…

3,14

1,001 6…

3,141

1,000 6…

3,141 5

1,000 1…

…

3,141 6

0,999 9…

3,142

0,999 6…

3,15

0,991 6…

3,2

0,941 6…

Notons d’abord que dom f = . Ainsi, il y a deux façons de s’approcher de x = r : par des valeurs plus petites que r ou par des valeurs plus grandes (voir le tableau 2.2). Nous observons que f(x) = sin (x) + 1 s’approche de 1 lorsque x s’approche de r (voir la figure 2.3). FIGURE

2.3

2r x

Lorsque x s’approche de r par la gauche (flèche bleue), la valeur de la fonction (qui correspond à la hauteur de la fourmi de gauche) s’approche de la valeur 1. De même, lorsque x s’approche de r par la droite (flèche rouge), la valeur de la fonction s’approche elle aussi de 1. Mathématiquement, nous pouvons donc écrire que : lim (sin (x) + 1) = 1

x"r

L’exemple 2.2 nous permet de constater qu’il existe parfois deux façons pour x de s’approcher d’une valeur a. N otation

Nous notons x " a- le fait que x s’approche de plus en plus près de a par des valeurs inférieures à a. De manière similaire, nous notons x " a+ le fait que x s’approche de plus en plus près de a par des valeurs supérieures à a.

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

Définition 2

INTUITIVEMENT…

Limite à gauche et limite à droite

• Nous appelons limite à gauche de la fonction f(x), la limite de la fonction f(x) lorsque x s’approche de a par la gauche, que nous notons : lim f(x)

Représentation intuitive des façons pour x de s’approcher de a. a

x " a-

• Nous appelons limite à droite de la fonction f(x), la limite de la fonction f(x) lorsque x s’approche de a par la droite, que nous notons :

lim f(x)

x " a+

I M P O R TA N T

Lorsque x ne peut pas s’approcher de a par la gauche, car ces valeurs ne font pas partie du domaine de la fonction, nous considérons alors que la limite à gauche n’existe pas. De même, nous disons que la limite à droite n’existe pas lorsque x ne peut pas s’approcher de a par la droite.

Cette définition de limite à gauche et limite à droite est très importante, car elle est à l’origine d’un théorème qui nous permettra de déterminer l’existence et la valeur d’une limite lorsqu’il y a deux façons pour x de s’approcher de a.

THÉORÈME 2.1

INTUITIVEMENT…

Soit une fonction f(x), L d et a d telle qu’il existe deux façons pour x de s’approcher de a. Alors, la limite d’une fonction f(x) lorsque x " a existe et est égale à L, si et seulement si la limite à gauche est égale à la limite à droite, et est égale à L. Voici comment cette affirmation s’écrit sous la forme mathématique :

Ce théorème affirme que la limite existe si et seulement si la fourmi de gauche et la fourmi de droite, en s’approchant de x = a, se retrouvent à la même hauteur.

f (x) = L + lim- f (x) = L = lim+ f (x) lim x"a x"a

x"a

Le théorème 2.1 nous permet donc d’établir si une limite existe ou non en calculant la limite à gauche et la limite à droite, lorsque ces dernières existent. Exemple

2.3

Soit la fonction f (x), représentée graphiquement par la figure 2.4. Déterminez lim f(x). x"1

FIGURE

2.4

y 4 3 2 1

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 57

Solution

Puisque dom f = , il existe deux façons pour x de s’approcher de 1. Nous devons alors considérer les valeurs de la limite à gauche et de la limite à droite (voir la figure 2.5). Pour déterminer la limite à gauche, nous devons seulement considérer les valeurs de x 1 1. Cela signifie que toutes les valeurs de la fonction, lorsque x $ 1, ne sont pas prises en compte dans le calcul de la limite. C’est pourquoi une partie de la courbe à la figure 2.5 A est tracée en pâle. Ainsi, nous remarquons que la hauteur de la fourmi de gauche se rapproche de 2 lorsque cette dernière s’approche de x = 1 par la gauche (flèche bleue). D’où lim f(x) = 2. -

x"1

FIGURE A

2.5

lim - f(x) = 2

x"1

lim f(x) = 3 + x"1

De la même manière, nous pouvons déterminer la hauteur limite de la fourmi de droite en ne tenant pas compte des valeurs de x # 1 (voir la f(x) = 3. figure 2.5 B ). Cela signifie que lim + x"1

Puisque la limite à gauche est différente de la limite à droite, nous dirons que la limite de la fonction n’existe pas en x = 1, et nous noterons : lim f(x) b

x"1

I M P O R TA N T

Dans la définition intuitive de la limite, x s’approche de a sans jamais être égal à a. Nous ne nous intéressons pas à la valeur de la fonction en x = a, ni même au fait que cette fonction existe ou non à cet endroit. Il suffit de savoir que, pour que la limite existe, f(x) doit s’approcher de L lorsque x est aussi près que possible de a.

Pour bien comprendre cette notion, esquissons le graphique de trois fonctions qui ont la même limite L en x = a, c’est-à-dire que : lim f(x) = L = xlim f(x) " a+

x " a-

mais qui ont un comportement différent en ce point (voir la figure 2.6 à la page suivante).

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

FIGURE A

2.6

dom f = dom g = \ {a} dom h = f(a) = L g(a) b h (a) ! L lim f(x) = L lim g (x) = L lim h (x) = L x"a x"a x"a

Bien que la limite soit égale à L pour chacune des fonctions, nous remarquons que la fonction en x = a peut être égale à L A , ne pas être définie B ou être différente de L C . C’est pour cette raison que nous ne nous intéressons pas à la valeur de la fonction en x = a, mais seulement à la valeur vers laquelle la fonction se rapproche lorsque x s’approche de a. 2.4

Exemple

Soit la fonction définie par parties suivante. Z 2x + 2, si x 1 0 ]] si 0 # x # 1 f (x) = [ -x + 2, ]] 2x - 2, si x 2 1 \ Déterminez : a) lim f(x) x"0

b) lim f(x) x"1

Solution

Représentons graphiquement la fonction (voir la figure 2.7 que dom f = . FIGURE

). Nous notons

2.7

3 2 1

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 59

a) Calculons lim f(x). Selon le théorème 2.1, il faut que la limite à gauche et x"0 la limite à droite existent et soient égales pour que la limite existe. f(x) = 2 xlim " 0-

lim f(x) = 2 +

x"0

Si la fourmi se rapproche de x = 0 par la gauche (flèche bleue), nous observons que sa hauteur limite est 2, et donc : lim f(x) = 2 (voir la x " 0figure 2.7 B ). De la même façon, si la fourmi se rapproche de x = 0 par la droite (flèche rouge), sa hauteur limite est 2, et donc : lim f(x) = 2 (voir x " 0+ la figure 2.7 C ). Puisque la limite à gauche et la limite à droite de la fonction lorsque x " 0 sont égales, alors la limite de la fonction lorsque x " 0 existe et est égale à 2, c’est-à-dire que lim f(x) = 2. x"0

b) Calculons lim f(x). Encore une fois, le théorème 2.1 nous permet de x"1 déterminer si la limite existe. lim f(x) = 1 -

x"1

lim f(x) = 0 + x"1

Si la fourmi se rapproche de x = 1 par la gauche (flèche bleue), sa hauteur limite est 1, et donc : lim f(x) = 1 (voir la figure 2.7 D ). De même, x " 1si la fourmi se rapproche de x = 1 par la droite (flèche rouge), sa hauteur limite est 0, et donc : lim f(x) = 0 (voir la figure 2.7 E ). + x"1

Puisque la limite à gauche et la limite à droite de la fonction lorsque x " 1 ne sont pas égales, la limite de la fonction lorsque x " 1 n’existe pas, c’est-à-dire que lim f(x) b. x"1

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

2.1 EXERCICES de la section

4. Soit les trois fonctions suivantes.

MISE EN FORME

1) f(x) = x 2 - 2x + 1

1. Soit la fonction f(x) représentée par le graphique suivant.

2) f (x) =

y 4 2 6

10 x

x+1 Z x , si x 1 0 ]] 3) f (x) = [ x + 1, si 0 # x # 1 ]] 3, si x 2 1 \ Esquissez la courbe de chacune des fonctions précédentes afin de déterminer les limites suivantes. a) lim f(x) b) lim f(x) x"0

f(x) c) lim - +

Déterminez : x" 4

5. Les huiles pour moteur sont classées selon leur efficacité à s’écouler. Plus une huile est visqueuse, moins elle s’écoule facilement, et vice-versa. Étudions la viscosité d’une huile en déposant une couche d’huile d’épaisseur d entre deux grandes plaques planes. Ensuite, attachons la plaque inférieure à un ressort fixé à un mur, puis déplaçons la plaque supérieure dans la direction opposée au ressort jusqu’à ce que ce dernier ne s’étire plus. Notons alors la vitesse U 0 de la plaque supérieure.

x"1

e) lim f(x) f) lim f(x) x" 5

x"0

g) f(0) h) f(5) i) lim f(x) j) lim f(x) - + x"5

x" 2

2. Soit la fonction f(x) représentée par le graphique suivant. y

Évaluez : a) dom f

b) f(-3)

c) f(-1) d) lim f(x) x" 3

e) lim f(x) f) lim f(x) x"2

Pour déterminer la viscosité, il faut connaître la vitesse d’une particule d’huile en fonction de sa distance par rapport à la plaque inférieure. Dans cette situation, la vitesse v(y) d’une particule d’huile en fonction de sa distance avec la plaque inférieure est donnée par l’écoulement de Couette : Uy v(y) = 0 d Une modélisation de l’écoulement de Couette Huile

x"1

g) lim + f(x) h) lim f(x) x"1

x"6

3. Soit la fonction y(t), représentée par une parabole qui passe par le point (0, 2) et dont les zéros sont 1 et 5. Déterminez : a) lim y(t) b) lim y(t) + t"1

t"0

c) lim y(t) d) lim y(t) t"4

t" 1

A S TU C E

x"2

Application

b) lim f(x) -

c) lim f(x) d) f(1) +

d) lim f(x)

x" 1

a) dom f

x"1

a) Déterminez dom v. b) Esquissez la courbe de v(y). c) Déterminez lim v(y) et expliquez votre y " 0+ réponse par rapport au contexte.

Maurice Couette (1858-1943) Les travaux de ce physicien français ont porté principalement sur la mécanique des fluides.

Déterminez l’équation de la parabole et tracez-la.

Calcul différenTiel

2.1 Qu’est-ce qu’une limite ? 61

2.2

Le calcul algébrique des limites Dans cette section, nous introduirons des méthodes algébriques qui permettent de calculer la limite d’une fonction en un point. Ainsi, il ne sera plus nécessaire d’esquisser un graphique pour déterminer une limite.

2.2.1 Les propriétés des limites Pour calculer algébriquement certaines limites, il faut connaître leurs propriétés.

THÉORÈME 2.2

Les propriétés des limites

Soit deux fonctions f(x) et g(x) telles que xlim f(x) = L1 et xlim g(x) = L2, où "a "a L1, L2, a et K sont des constantes réelles. Alors, les propriétés suivantes sont vérifiées. 1) Limite d’une constante lim K = K

x"a

2) Limite de x lim x = a

x"a

3) Limite d’une somme lim [f(x) + g(x)] = xlim f(x) + xlim g(x) = L1 + L2 "a "a

x"a

La limite d’une somme de fonctions est la somme des limites des fonctions.

4) Limite d’une différence lim [f(x) - g(x)] = xlim f(x) - xlim g(x) = L1 - L2 "a "a

x"a

La limite d’une différence de fonctions est la différence des limites des fonctions.

5) Limite d’un produit

(

)(

)

f(x) xlim g(x) = L1 L2 lim [f(x) g(x)] = xlim "a "a

x"a

La limite d’un produit de fonctions est le produit des limites des fonctions.

6) Limite d’un multiple d’une fonction

lim [K f(x)] = K xlim f(x) = K L1 "a

x"a

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

La limite d’un multiple d’une fonction est le produit de la constante par la limite de la fonction.

Calcul différenTiel

7) Limite d’un quotient lim ; x"a

lim f (x) f (x) L = 1 , si L2 ! 0 E = x"a g ( x ) g (x) lim L2 x"a

La limite d’un quotient de fonctions est le quotient des limites des fonctions.

8) Limite d’une puissance Soit n d , alors :

n f (x)@ n = Ln1 lim 6 f (x)@ = 6xlim x"a "a

La limite d’une puissance est la puissance de la limite.

9) Limite d’une racine impaire Soit n d

et impair, alors :

lim 6 f (x)@ n = lim x"a 1

x"a

f (x) =

lim f (x) =

x"a

La limite de la racine nième impaire d’une fonction est la racine nième de la limite de la fonction.

10) Limite d’une racine paire Soit n d

et pair, alors :

lim 6 f (x)@ n = xlim x"a "a 1

f (x) =

lim f (x) =

x"a

L1 , si L1 $ 0

La limite de la racine nième paire d’une fonction est la racine nième de la limite de la fonction, si cette limite est supérieure ou égale à zéro.

11) Limite d’une fonction trigonométrique lim sin (x) = sin (a) lim cos (x) = cos (a) x"a x"a

Les autres fonctions trigonométriques étant obtenues à l’aide des fonctions sinus et cosinus, alors leurs limites peuvent être obtenues avec les propriétés précédentes.

12) Limite d’une fonction exponentielle et d’une fonction logarithmique

lim b x = b a, si b 2 0 lim log b (x) = log b (a), si b 2 0 et a 2 0 x"a

x"a

13) Limite d’une composition de fonctions Si xlim f(x) = L1 et lim g(x) = L2, alors : "a x " L1

lim g % f(x) = xlim g ( f(x)) = L 2 x"a "a DÉMONSTRATION

La preuve de ce théorème est plus avancée que le niveau de ce cours.

2.2 Le calcul algébrique des limites 63

Exemple

2.5

Utilisez les propriétés du théorème 2.2 pour déterminer lim (3x 2 - 2x + 5). x"4

Solution

lim (3x2 - 2x + 5) = lim 3x2 - lim 2x + lim 5 x"4

x"4

(propriétés 3 et 4)

= 3 lim x2 - 2 lim x + lim 5

(propriété 6)

= 3 (lim x) 2 - 2 lim x + lim 5

(propriété 8)

x"4

(propriétés 1 et 2)

= 3 (4) 2 - 2 4 + 5 = 45

Exemple

2.6

À l’aide des propriétés du théorème 2.2, déterminez : d lim x"a

f 2 (x) + g (x)

f (x) + x n , si lim f(x) = 4 et lim g(x) = -8 x"a

x"a

Solution

f 2(x) b lim x"a g (x) +

f 2(x) b l f (x) + xl = lim x"a "a g (x) + xlim lim f 2(x) = + lim g (x) x"a x"a

( lim f (x)) = x"a

lim g (x)

42 + -8 =a

x lim f (x) + xlim "a

x"a

(propriété 3) (propriétés 7 et 10)

x"a

f (x) + xlim x "a

4 +a

x (propriété 8) lim f (x) + xlim "a

x"a

(propriété 2)

Le théorème 2.2 nous permet de simplifier le calcul des limites dans de nombreux cas. En général, pour trouver xlim f(x), il suffit de remplacer x par a dans la fonction. "a Cependant, il faut utiliser cette méthode prudemment, car parfois la limite en x = a ne vaut pas f(a), même lorsque la limite existe. Ces différents cas seront détaillés plus loin (voir la page 112).

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

Exemple

2.7

Revenons à l’exemple 2.2 de la page 56, où il s’agissait de déterminer lim (sin (x) + 1).

x"r

Solution

Pour calculer cette limite, il suffit de remplacer x par r dans la fonction sin(x). Nous obtenons : lim (sin (x) + 1) = sin ]rg + 1 (propriétés 1, 3 et 11)

x"r

= 0+1

Exemple

2.8 INTUITIVEMENT…

Déterminez les limites suivantes, si elles existent. a) lim

x-1

b) lim

x-1

c) lim

x-1

x"2

x"1 x"0

Graphique de f ( x) =

x-1

y 2

lim

x"2

x-1 = 1

Solution

Déterminons d’abord le domaine de la fonction f(x)lim = x"0

x - 1 :Y 7dom f = [1, 3[.

a) Puisque x = 2 appartient au domaine, nous pouvons nous en approcher par la gauche et par la droite. Pour calculer cette limite, il suffit de remplacer x par 2 dans la fonction (par la propriété 10). x-1 =

lim x"2

2-1 =

x"1

x-1 =

Graphique de f ( x) =

1 =1

x-1

y 2

lim

x"1

x-1 = 0

0 =0

c) Puisqu’il n’existe pas de façon de s’approcher de x = 0 tout en demeurant 7b. à l’intérieur du domaine, alors lim x - 1 Y

INTUITIVEMENT…

x"0

Ainsi, comme nous l’avons mentionné précédemment, il existe des cas où il n’est pas possible de remplacer x par a dans la fonction pour obtenir la limite, par x (x + 1)2 . Le domaine de la fonction f(x) = x (x + 1)2 est exemple xlim " -1 [0, 3[ j {- 1}. Il n’existe pas de façon pour x de s’approcher de - 1 tout en demeurant dans le domaine. Pourtant, f(- 1) = -1(-1 + 1)2 = 0. Il faut donc toujours tenir compte du domaine de la fonction.

S’il n’y pas de façon de s’approcher de x = 0, et que nous remplaçons tout de même x par 0 dans la fonction, il est possible que le résultat obtenu n’existe pas (la racine paire d’un nombre inférieur à 0, par exemple) : lim

x"0

INTUITIVEMENT…

b) Dans le cas de x = 1, il n’y a qu’une seule façon de s’approcher de x = 1, soit par la droite. Pour calculer la limite, il suffit encore une fois d’utiliser la propriété 10 en remplacant x par 1 dans la fonction. lim

x-1 =

0-1 =

2.2 Le calcul algébrique des limites 65

2.2.2 Les limites de fonctions définies par parties Les fonctions définies par parties servent à résoudre des problèmes dans des domaines aussi divers que l’économie, la chimie, la biologie et la physique. Dans le cas où une fonction est définie par parties, il est important de s’intéresser aux valeurs frontières lorsque nous nous approchons de celles-ci, car l’équation à gauche de la valeur frontière n’est pas la même que celle à droite. Par le fait même, il n’est parfois pas possible de simplement remplacer x par a. Il faut donc déterminer la limite à gauche et la limite à droite. Pour clarifier le tout, reprenons la fonction de l’exemple 2.4 (voir la page 59). Exemple

INTUITIVEMENT…

Graphique de f(x)

Soit f(x), une fonction définie par parties, telle que : Z 2x + 2, si x 1 0 ]] si 0 # x # 1 f (x) = [ -x + 2, ]] 2x - 2, si x 2 1 \ Déterminez algébriquement les limites suivantes.

y 2 0

2.9

a) lim f(x) x"0

b) lim f(x) x"1

c) lim f(x) x"2

Solution

a) Déterminons lim f(x). Puisque 0 est une valeur frontière entre deux x"0 parties de la fonction, il n’est pas possible de remplacer x par 0 dans f(x). Ce qu’il faut faire, c’est déterminer la limite à gauche et la limite à droite de f(x) si x " 0.

Déterminons d’abord la limite à gauche de la fonction lorsque nous nous approchons de x = 0, c’est-à-dire lorsque lim f(x). -

Puisque nous sommes à gauche de x = 0, nous suivons donc la courbe f(x) = 2x + 2. Ainsi :

x"0

lim f(x) = lim (2x + 2) -

x " 0-

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

x"0

Déterminons maintenant la limite à droite de la fonction lorsque nous nous approchons de x = 0. -x + 2) = -0 + 2 = 2 lim f(x) = lim ( +

lim f(x) = lim (2x + 2) = 2 0 + 2 = 2 -

x"0

Nous pouvons alors remplacer x par 0, car nous avons résolu le problème du choix de la courbe. Ainsi :

Puisque :

alors :

x " 0+

x"0

lim f(x) = 2 = lim+ f(x)

x " 0-

x"0

lim f(x) = 2

x"0

Calcul différenTiel

b) Déterminons lim f(x). Puisque x = 1 est une valeur frontière, alors : x"1

lim f (x) = lim- ^-x + 2h (car 0 # x 1 1)

x " 1-

x"1

= -1 + 2 = 1 lim f (x) = lim+ ^2x - 2h (car x 2 1)

x " 1+

x"1

= 2-2 = 0

Puisque la limite à gauche n’égale pas la limite à droite, alors lim f(x) b. x"1

c) Puisque x = 2 n’est pas une valeur frontière, nous pouvons la remplacer dans la fonction :

lim f(x) = lim (2x - 2) = 2 2 - 2 = 2

x"2

Exemple

x"2

2.10

LABORATOIRE 2.1

Supposons que la Terre est une sphère de rayon RT = 6 371 000 m et ayant une densité constante de t = 5,515 # 10 3 kg m 3 (voir la figure 2.8). L’accélération gravitationnelle exercée sur un objet de masse m situé à une distance r du centre de la Terre est donnée par : Z - 4rtGr , si 0 1 r 1 RT ]] 3 a (r) = [ 3 ]]- 4rtGRT , si r $ RT 3r2 \ où G est la constante gravitationnelle universelle dont la valeur est de 6,674 2 # 10 11 m3 kg 1 s 2.

FIGURE

Les limites d’une fonction définie par parties

2.8

a) Est-ce que l’accélération gravitationnelle de la Terre sur un objet se rapprochant de sa surface est la même, selon qu’il s’en approche de l’intérieur ou de l’extérieur ? b) Déterminez l’accélération gravitationnelle à la surface de la Terre et indiquez à quelle autre valeur connue correspond votre réponse.

2.2 Le calcul algébrique des limites 67

Solution

INTUITIVEMENT…

Physiquement, nous ne percevons pas de variation de l’accélération gravitationnelle de la Terre lorsque nous pénétrons sous terre pour aller prendre le métro ou lorsque nous empruntons l’escalier pour monter plusieurs étages. Nous devrions alors nous attendre à ce que les limites à gauche et à droite soient égales, et donc, à ce que la limite existe.

a) Traduisons cette question en langage mathématique. Calculez lim a(r). r " RT

Puisque a(r) est une fonction définie par parties, et que r = RT, la surface de la Terre, est une valeur frontière, nous devons calculer la limite à gauche et la limite à droite. 4rtGr lim -a (r) = lim -b- 3 l r " RT r " RT =-

lim +a (r) = lim +b-

r " RT

INTUITIVEMENT…

Graphique de la force gravitationnelle de la Terre sur un objet situé à une distance r de son centre y

4rtGRT 3

r " RT

4rtGR3T l 3r 2

4rtGR3T 3R2T

4rtGRT 3

4rtGRT . 3 Du point de vue de la physique, cela signifie que, lorsqu’un objet est proche de la surface de la Terre, l’accélération gravitationnelle de la Terre est la même, peu importe qu’il s’en approche de l’intérieur ou de l’extérieur.

Puisque les deux limites sont égales, nous avons lim a(r) = r " RT

4rtGRT , nous obtenons approximativement -9,81 m/s 2, 3 ce qui correspond à la valeur de la constante de l’attraction terrestre g.

b) Si nous calculons

EXERCICES de la section

2.2

MISE EN FORME

1. Soit f(x), g (x) et h(x), trois fonctions telles que lim f(x) = 4, xlim g(x) = 3, xlim h(x) = -1. Faites x"a "a "a appel aux propriétés des limites pour déterminer : f(x) + g(x) - h(x)) a) xlim ( "a

2. Déterminez algébriquement les limites suivantes, si elles existent. 2x 2 lim a) lim + b) 3 x"2 y " 2- 3y v - 2 d) lim 3

c) lim v"2

t"5

( f(x)) b) xlim "a f (x) c m c) lim x"a g (x)

e) lim (x 2 - 3x + 4) f ) lim sin (ri) cos2 (ri)

d) xlim e f(x) "a

i) limr z cot( z)

1 2

f) lim x"a

g (x) + 1

g) xlim (h(x) + x)2 "a

- 2

g) ulim (ln(u) + eu) h) lim e 2 "e t"0

e) xlim (f(x) h(x)) "a

3 i"4

x"r

k) lim k"4

j) lim ((s + 9)2 + 4 s ) s"0

z-4 (k - 5) 5 l) lim - z z"2 2 - 6

m) lim (a + b) (a - b) , si a 2 0 b"0

n) lim log ( n + 4 ) n"5

Chapitre 2 – La limite d’une fonction

Calcul différenTiel

4 EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

5. La position d’un objet p(t) au temps t est donnée par p(t) = 4t 2 + 1. Déterminez :

MISE EN FORME par section Section 4.1

a) la vitesse instantanée de l’objet au temps t = 2 ;

1. Soit la fonction f(x) = x2. a) Calculez TVM[x, x + h] f. b) Utilisez le résultat obtenu en a) pour calculer TVM[1, 3] f. 1 2. Soit la fonction f(x) = x + . x a) Calculez TVM[x, x + h] f. b) Utilisez le résultat obtenu en a) pour calculer TVM[1, 3] f.

b) la vitesse instantanée de l’objet au temps t. 6. Soit f une fonction qui satisfait à la relation f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy pour tout x, y d et f(h) = 4. supposons que lim h"0 h a) Calculez f(0). b) Utilisez la définition de la dérivée pour calculer f '(x).

3. Quelques valeurs d’une fonction f sont données dans le tableau suivant. x

1,9

1,97

2,02

2,2

f(x)

2,5

6,6

6,905

7,059

7,5

3,9

3,99

4,01

4,1

f(x)

8,82

8,98

9,2

Utilisez ce tableau pour calculer : a) TVM[1, 4] f

b) TVM[1, 3] f

c) TVM[2, 3] f

d) TVM[3,99 ; 4,01] f

Section 4.3

7. Dérivez les fonctions suivantes et simplifiez le résultat le plus possible. a) h(t) = 18t-14 + 13t-8 + 6 sin (t) + 15t b) f(w) = (18w-14 + 13w)(-8w6 + 15) c) g(x) = -18x + 4 14x + 9 d) f(x) = log (x) + ln (x) 8. Dans chaque cas, vérifiez que la fonction est une solution de l’équation différentielle correspondante. Fonction

Section 4.2

4. De l’eau est versée dans une cuve sphérique à un taux constant. Soit V(t) le volume d’eau (en m3) dans la cuve et H(t), la hauteur du niveau d’eau (en m) dans la cuve au temps t (en s). dV a) Donnez une interprétation physique de dt dH . et de dt dV b) Est-ce que est positif, négatif ou nul dt lorsque la cuve est remplie au quart ? Justifiez votre réponse. dH est positif, négatif ou nul c) Est-ce que dt lorsque la cuve est remplie au quart ? Justifiez votre réponse. dV dH ou ? d) Lequel de ces taux est constant, dt dt Justifiez votre réponse.

Calcul différenTiel

Équation différentielle

y = x2 + 3

dy = 2x dx

y = 3x2

dy = 2y dx x

y = sin (x) + cos (x)

d2y +y=0 dx2

y = ex + e x

d2y -y=0 dx2

y = xtan (x)

x dy = y + x2 + y2 dx

y=1+ 1 x

y+x

dy dy 2 = x4b l dx dx

Section 4.4

d 9. Calculez [sin (|x|)] pour tous les x où cette dx fonction est différentiable.

Exercices récapitulatifs

207

4 EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

10. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables telles que : (i) f(0) = 0 et g(0) = 1 (ii) f '(x) = g(x) et g'(x) = -f(x) a) Soit h(x) = f 2(x) + g 2(x). Déterminez h'(x) et utilisez ce résultat pour montrer que :

f 2(x) + g 2(x) = 1 pour tout x

b) Soit F(x) et G(x) deux autres fonctions dérivables qui satisfont aux propriétés (i) et (ii) et soit : k(x) = (F(x) - f (x))2 + (G(x) - g(x))2 Déterminez k'(x) et utilisez ce résultat pour établir la relation entre f (x) et F(x) et la relation entre g(x) et G(x). c) Trouvez une paire de fonctions f (x) et g(x) qui satisfont aux propriétés (i) et (ii). Peutil en exister d’autres ? Justifiez votre réponse. Section 4.5

11. Soit la fonction f(x) = ln^ x2 - 25h. Déterminez : df df c) dom a) dom f b) dx dx Section 4.6

12. Considérez la courbe définie par l'équation y5 - y - x2 = -1. a) Trouvez les équations de trois droites différentes tangentes à la courbe en x = 1. b) Déterminez les coordonnées des points de la courbe où la tangente est verticale. Exprimez les coordonnées numériquement en conservant trois chiffres après la virgule. c) Déterminez la coordonnée x où la tangente à la courbe est horizontale. d) Déterminez les coordonnées y où la courbe croise l’axe des x. 13. La courbe d’Alain est donnée par l’équation suivante : (x 2 - y 2)2 = a2x 2 - b2y 2 dy sachant que a et b sont des Déterminez dx constantes.

208

Chapitre 4 – Les dérivées

14. L’atriphthaloïde est une courbe étudiée par Haughton et Townsend en 1882 pour modéliser la forme de la surface des mers recouvrant une sphère attractive. Son équation est donnée par : x 4(x 2 + y 2) = (bx 2 - a3)2 où a et b sont des constantes. dy de façon implicite. a) Exprimez dx b) Exprimez explicitement y(x). c) Utilisez le résultat obtenu en b) pour dy de façon explicite. déterminer dx MISE EN FORME Toutes les sections

15. Pour chacune de ces fonctions, trouvez la pente de la droite sécante à la courbe passant par les points P1 et P2 et déterminez son équation. a) f(x) = 1 - 3x et P1 = (-2, 7), P2 = (1, -2) b) g(x) = 2x2 - 3x + 4 et P1 = (1, 3), P2 = (-5, 69) 2 c) T(x) = 1 + x et P1 = b-3, - l, 5 2-x P2 = (-1, 0) d) s (x) = 2 - x et P1 = (-2, 2), P2 = ( -1, 3 ) e) V(x) = sin (5x + 4) et P1 = (r, -sin(4)), P2 = (2r, sin(4)) 16. Trouvez la dérivée de chacune des fonctions suivantes à l’aide de la formule : df = lim f(x + h) - f(x) dx h " 0 h a) f(x) = 7x + 2 b) f(x) = 9 + 2x - 3x2 c) f (x) =

2-x 3 d) f(x) = x+1 e) f(x) = x + 3 x-3 f ) f(x) = ax + b, où a, b d g) f(x) = ax2 + bx + c, où a, b, c d a , où a, b, c d h) f(x) = bx + c i) f(x) = ax + b , où a, b, c, d d cx + d Calcul différenTiel

4 EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

o) g(i) = sin (i) cos2 (i)

17. Soit f(x), une fonction dérivable. Évaluez la limite suivante et exprimez le résultat en df termes de . dx x = a lim x"a

2 p) H(z) = 10(z + 1)3 (2 + z) 5 q) T(u) = 2 + 8e-0,75u

f (x) - f (a) , si a 2 0 x- a

x2 + x + 7 r) Y(x) y= 2x + 1

A S TUCE

s) g(t) = 3t + 5 4t - 7

Utilisez la technique du conjugué (voir le chapitre 2, à la page 72).

t ) f(x) = Arcsin b x + 1 l x-1 u) H(y) = (ay + b)10(cy + d)9, où a, b, c et d sont des constantes

18. La fonction dérivée peut aussi être définie de la façon suivante.

df = lim f(x + h) - f(x - h) dx h " 0 2h Expliquez graphiquement pourquoi cette définition est aussi valide que la définition 5.

19. Dérivez les fonctions suivantes. b) g(y) = b y + y l 2y + 1

ey +

22. Soit l’équation sin (x) cos (y) = 3x2 + ey. dy . Trouvez dx

3 3 c) h(i) = (1 + i 3) 1-i

x2 4 - x2

d) f(x) =

1 - 16x2 = x Arc sin (-4x) + tan (y) 4 dy . Trouvez dx

21. Soit l’équation w ln (sec z) = cot (w − z). dz Trouvez . dw

a) f(x) = (x2 − 5x + 3)3 (6x + 1)4 3

20. Soit l’équation suivante.

23. Soit la courbe décrite par u3 = u2 − v2 + 2uv et représentée par le graphique suivant.

e) r(s) = cos (s2) - sin (s2)

f ) y(x) = ln (1 + 25x ) + 10x Arc tan ( 5x) + erx + erx 2

2 g) s(t) = ln b sin (3t) sec (3t) l csc (3t)

( 2, 2)

h) g(~) = Arc sin b ~2 - 4 l ~ +4 1 2 2 i) v(z) = tan (z ) - ln (sec (z2)) 2

4 2

j) k(v) = k) f(t) f (t ) =

4 - 3v 2 5 + 7v 2 t-1 t+1

f (x)==Arc tan Arctan^ x2 - 1 h + l) f(x) m) y(x) = ln d

dv . du b) Trouvez la pente de la tangente à la courbe au point (-2, 2).

a) Déterminez x2 - 1

(3x - 7) 3 r ln (2x) n 3x 3x2 + 8

n) k(x) = (x2 - 3x + 1)8 (3 - x2)6

Calcul différenTiel

c) Donnez l’équation de la droite normale à la courbe au point (-2, 2). d) Expliquez le comportement de la dérivée au point (0, 0). Exercices récapitulatifs

209

Applications

EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

24. Des triangles peints sur l’accotement de certaines autoroutes, et visibles du haut des airs, servent de points de repère aux policiers pour estimer la vitesse des voitures. Si la distance entre deux triangles est de 250 m et que vous parcourez cette distance en 8 s, quelle est votre vitesse moyenne en km/h ? 25. Les polynômes de Hermite ont été étudiés dans le cadre de travaux sur les probabilités. Leur principale caractéristique est qu’ils sont définis comme des dérivées successives d’une fonction de base. En effet, le polynôme de Hermite de degré n, noté Hn(x), est défini de la manière suivante. Hn (x) = ( -1 ) n ex

dn -x2 [e ] dxn

Pour calculer le polynôme de Hermite de degré 1, il suffit de remplacer n par 1 dans l’expression et de calculer la dérivée. Nous obtenons ainsi H 1 (x) = 2x. Calculez les polynômes de Hermite H2(x) et H3(x).

Charles Hermite (1822-1901) Les travaux de ce mathématicien français ont porté sur la théorie des nombres, les polynômes orthogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles.

26. Les polynômes de Laguerre sont utilisés en physique dans la solution de l’équation de Schrödinger d’un atome ne possédant qu’un seul électron. Le polynôme de Laguerre de degré n, noté L n(x), est défini de la façon suivante. ex dn -x n Ln(x) = [e x ] n! dxn Calculez les polynômes de Laguerre L 0(x), L1(x) et L2(x). 27. Démontrez que les polynômes de Hermite H0(x), H1(x), H2(x) et H3(x) sont des solutions de l’équation différentielle suivante. d2y dy + 2ny(x) = 0 - 2x dx2 dx

210

Chapitre 4 – Les dérivées

28. Démontrez que les polynômes de Laguerre L 0(x), L 1(x) et L 2(x) sont des solutions de l’équation différentielle suivante. d2y dy + ny(x) = 0 x 2 + (1 - x) dx dx 29. La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de perte de chaleur d’un corps est proportionnel à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant. Voici cet énoncé sous une forme mathématique : dT = k(TA - T(t)) dt où T(t) est la température du corps au temps t (en min), T A est la température supposée constante du milieu (en °C), et k est une constante qui dépend du corps étudié. La solution de cette équation différentielle est donnée par T(t) = TA + (T0 − TA)e kt, où T0 est la température initiale du corps (en °C). Supposons que la température de votre café, au moment où vous arrivez en classe, est de 100 °C, alors que celle de la classe est de 22 °C. a) Si après 15 min, le café se trouve à une température de 50 °C, quelle est la valeur de k ? b) Quelle sera la température du café après 50 min ? c) Vérifiez que T(t) est une solution de l’équation différentielle. d) Quelle sera la température du café après 75 min ? e) Quelle sera la température du café après un temps très long ? f) À quel moment la température du café sera-t-elle de 85 °C ? 30. En physique, la dérivée première de la position par rapport au temps est la vitesse, la dérivée seconde est l’accélération et la dérivée troisième est appelée la secousse. Il faut que cette secousse soit minimale pour assurer le bon fonctionnement de certains appareils de précision, mais aussi le confort des passagers dans les trains et les voitures de montagnes russes. Si la fonction x(t) = (t − 1)2 (t − 3)2 représente la position en fonction du temps d’une voiture de montagnes russes, calculez la secousse ressentie par les passagers. Calcul différenTiel

4 EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

31. Si une somme de P $ est déposée dans une banque au taux d’intérêt annuel de k %, capitalisé n fois par année, alors après t années, le montant accumulé sera de :

33. À la lumière du jour, nous pouvons observer au fond de certains récipients une courbe de la forme présentée à la figure suivante.

k nt A = Pb1 + l n

Si la valeur de n est augmentée indéfiniment, de telle sorte que l’intérêt est capitalisé de plus en plus souvent, alors nous approchons le cas limite d’un intérêt capitalisé de façon continue, c’est-à-dire : A = Pekt Si vous placez une somme de 100 $ pour une période d’une année : a) déterminez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation de deux fois par année ;

Cette forme est causée par le trajet des rayons provenant du Soleil, tous parallèles, qui pénètrent dans le récipient, tel que modélisé dans les illustrations suivantes. A

b) calculez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation de douze fois par année ; c) déterminez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation à chaque jour de l’année ; d) calculez le montant obtenu avec un taux d’intérêt de 5 % et une capitalisation continue, et indiquez la différence entre cette réponse et celle obtenue eny c) ;

e) démontrez que le capital obtenu en capitalisation continue est la solution de l’équation différentielle : dA = kA dt

32. Dans un moteur, le mouvement d’un piston peut être modélisé à l’aide d’une fonction sinusoïdale : X(t) = P sin (~t + z) où P est l’amplitude du mouvement, ~ est la fréquence et z est une certaine valeur de déphasage. a) Déterminez la vitesse du piston. b) Trouvez l’accélération du piston.

Dans l’illustration A , l’enveloppe des rayons semble former une courbe particulière, une néphroïde, qui est représentée graphiquement dans l’illustration B . En fait, la courbe observée dans le récipient est une deminéphroïde.

c) Expliquez pourquoi plus la fréquence du piston augmente, plus le risque que le piston se brise augmente.

Calcul différenTiel

Exercices récapitulatifs

211

EXERCICES Récapitulatifs du chapitre

Voici l’équation d’une néphroïde :

4 x 2 = 1 + 3 3 y 2 - 4y 2 Déterminez : dy a) dx dy dy b) et dx (0,1) dx c)

dy dx

dy d) dx dy dx

1 b , 0l 2

dy dx

1 , 1 m 2 2 2

1, 1 m 2 2 2

(0, -1)

1 b- , 0 l 2

dy dx et

dy dx

1 ,- 1 m 2 2 2

34. Nous avons vu à l’exercice précédent la figure formée lorsque des rayons lumineux tous parallèles provenant d’une source située à une grande distance éclairent un récipient. Que se passe-t-il lorsque la source lumineuse se trouve très près d’un récipient, comme nous pouvons le voir ci-dessous ?

Voici une modélisation de cette situation : A

Dans l’illustration A , nous observons que les rayons lumineux ne suivent pas une trajectoire parallèle au récipient. L’illustration B est une représentation graphique de la courbe obtenue, une cardioïde. Voici l’équation d’une cardioïde : (x2 + y2 - x)2 = (x2 + y2) Déterminez : a)

dy dx

c 3, 3 3 m 4 4

(2, 0)

dy dx

c3,- 3 3 m 4 4

c- 1 , 3 m 4 4

dy dx

c- 1 , - 3 m 4 4

35. La propagation d’une activité (par exemple, l’achat d’un véhicule) dans une très grande y population dépend habituellement de circonstances externes (prix, qualité, fréquence des réparations) et de la tendance qu’ont les gens à imiter ce que les autres ont fait. Dans ce cas, le taux de variation de la proportion y(t) de personnes qui ont fait cette activité est donné par : dy x = (1 - y)(s(t) - Iy) dt où s(t) est la mesure du stimulus externe, et I, une constante nommée coefficient d’imitation. a) Montrez que y = 1 est une solution de l’équation différentielle. b) Interprétez votre réponse trouvée en a).

212

Chapitre 4 – Les dérivées

Calcul différenTiel

Annexes Annexe A

Réponses des exercices

Annexe B Aide-mémoire Annexe C

Répertoire des théorèmes, des corollaires et des propositions du manuel

301

Réponses des exercices

-2u -u dv = 3 = 11. La démonstration vous est laissée. du 4v - 2v v(2v2 - 1) Pente nulle : (0, !1) dy = 2x - 6y - 1 12. a) dx 6x + 2y - 3 1 1 1 1 1 1 1 Pente infinie : c 1 , m m c-- , -m, c , -m , c-- , dy 2 2 1 2 2 2 2 2 b) 2 = dx (-1, 0 ) 3 11,, -- 11 , --11,, -- 11 1,, 11 11,, 11 -1 mm mm cc mm cc mm cc cc dy 22 22 22 22 22 22 22 22 =7 c) dx (0, 1) Pente non définie : (0, 0) dy dy - 3 y = -13 = d) dx b) dx x (0 , 2) dy Pente nulle : aucun point e) dx - = 7 (1 , 1) Pente infinie : aucun point dy 1 f) = Pente non définie : (!1, 0) et (0, !1) 3 dx ( 2 , 0 ) 2 dt t s = 2 c) 13. h = 20 m ds t -s 3 3 Pente nulle : ( 2 , 4 )

2. a)

Exercices récapitulatifs du chapitre 4

3 3 Pente infinie : ( 4 , 2 ) Pente non définie : (0, 0) dy = 22- 2xy2 d) dx x + 3y Pente nulle : (-1,-1), (1, 1) Pente infinie : (0, 0) Pente b : aucun point

1. a) TVM[x, x + h] f = 2x + h b) TVM[1, 3] f = 4 2 2. a) TVM[x, x + h] f = x +2 hx - 1 x + hx 2 b) TVM[1, 3] f = 3

3. a) TVM[1, 4] f = 2,167 b) TVM[1, 3] f = 2,75

3. La démonstration vous est laissée. 4. a) et b) La démonstration vous est laissée. 5. a) x 2 + by -

17 2 l =1 8 b) La démonstration vous est laissée.

6. xmin. =

8 , xmax. = 15 8 15

ymax. =

8 , ymin. = 15

8 , 15

7. (0, 2) 8. La démonstration vous est laissée. 9. a) y = mx b) x 2 + y2 = R2 R mR R mR l et , c) bb 22 , 2 l 11 + m 1 +m 1+ m2 +m R mR b-R , -- mR 2 ll b 22 , 11 + 11 + +m +m m m2 1 d) m e) La démonstration vous est laissée.

c) TVM[2, 3] f = 1

d) TVM[3,99 ; 4,01] f = 11

dV correspond à la variation du volume 4. a) dt dH , à la d’eau en fonction du temps et dt variation de la hauteur du liquide dans la cuve en fonction du temps. dV b) est positif, car le volume d’eau augmente dt dans la cuve. dH c) est positif, car, puisque le volume d’eau dt augmente, la hauteur de l’eau augmente aussi. dV d) est constant, car il est dit que l’eau coule dt dans la cuve à un taux constant. 5. a)

dp = 16 dt t = 2

6. a) f(0) = 0

dp = 8t dt

b) f '(x) = 2x + 4

7. a) h'(t) = -252t-15 - 104t-9 + 6 cos (t) + 15t ln (15) b) f '(w) = 1152w-9 - 728w6 - 3 780w-15 + 195

10. a) à c) La démonstration vous est laissée.

330

Annexe C

Calcul différenTiel

Réponses des exercices

218 (-14x + 9)2 1 1 + d) f '(x) = x ln (10) x c) g'(x) =

8. a) à f) La démonstration vous est laissée. 9.

cos (x), si x 2 0 d [sin (|x|)] = * dx -cos (-x), si x 1 0

10. a) h'(x) = 0, la démonstration vous est laissée. b) k'(x) = 0, f(x) = F(x) et g(x) = G(x) c) f(x) = sin (x) et g(x) = cos (x). Il ne peut pas exister d’autres paires de fonctions par b), car f(x) = F(x) et g(x) = G(x). 11. a) dom f = ]-3, -5[ , ]5, 3[ df x b) = 2 dx x - 25 df = ]-3, -5[ , ]5, 3[ c) dom dx 12. a) Point (1, 0), y = -2x + 2 1 1 Point (1, 1), y = x + 2 2 1 3 Point (1, -1), y = x 2 2 b) (0,682 ; 0,669), (-0,682 ; 0,669), (1,239 ; -0,669) et (-1,239 ; -0,669) c) x=0 d) x = -1 et x = 1 13.

dy 2a2x - 4x(x 2 - y 2) = dx 2b2x - 4y(x 2 - y 2)

1 c) La pente est de et l’équation de la droite 5 1 1 est y = x + . 5 5 d) La pente est de 3 - 2 et l’équation de la droite est y = ( 3 - 2) x + 2 3 - 2. 2 sin (4) e) La pente est de et l’équation de la r 2 sin (4) droite est y = x - 3 sin (4).

df =7 dx df b) = 2 - 6x dx df 1 c) = dx 2 2-x df 3 d) = dx (x + 1)2 df 6 e) = dx (x - 3)2 df =a f ) dx df g) = 2ax + b dx df ab = h) dx (bx + c)2 df = ad - bc i) dx (cx + d)2 df 17. 2 a dx x = a 16. a)

18. Puisque h " 0, la droite bleue se rapproche de plus en plus de la droite noire, qui est la droite tangente. y

f(x)

2 3 dy 6x 5 - 4x 3y 2 = 4bx(bx - a ) 14. a) 4 dx 2x y

(bx 2 - a 3)2 - x2 x4 2 a 3)2 et y2 = - (bx - x2 4 x

b) y1 =

dy1 x 6 - 2a 3bx 2 + 2a 6 = 3 dx x (-x 3 - bx 2 + a 3)(x 3 - bx 2 + a 3) dy x 6 - 2a 3bx 2 + 2a 6 et 2 = - 3 dx x (-x 3 - bx 2 + a 3)(x 3 - bx 2 + a 3)

15. a) La pente est de -3 et l’équation de la droite est y = -3x + 1.

b) La pente est de 11 et l’équation de la droite est y = -11x + 14.

Calcul différenTiel

x-h

x+h

19. a) df = 3(x 2 - 5x + 3)2(6x + 1)3[20x 2 - 68x + 19] dx

3 3 3 2 dg + 1) = b) = 4 (y + y) (4y + 3y 5 dy (2y + 1) 3 2 3 2 - y + 1) 4y (y + 1)(y + 1) (4y 5 (2y + 1)

Réponses des exercices

331

Réponses des exercices

2 3 2 dh - i3) = c) = 6i (1 + i ) (2 3 2 di (1 - i ) 6 i2(i + 1)2(i2 - i + 1)2(2 - i3) (1 - i)2(i2 + i + 1)2 df x (8 - x 2) = d) 3 dx (4 - x 2) 2 dr e) = -2s(sin (s2) + cos (s2)) ds dy = 10 Arc tan (-5x) + rerx + er f ) dx 9 cos (3t) 3 sin (3t) ds g) = + sin (3t) 2 cos (3t) dt 3 = 9 cot (3t) + tan (3t) 2 dg 1 16~ = h) 2 2 = d~ ~ ~2 - 4 2 ( ~ + 4) 1-b 2 l ~ +4 1 16~ 4~ 2 2 = ~ ( ~2 + 4) ~2 - 4 2 ( ~ + 4) 1-b 2 l ~ +4 dv = 2z tan3 (z2) i) dz -86v dk = j) 2 4 dv 3 (4 - 3v 2 ) 3 (5 + 7v 2 ) 3 df t+1 1 = k) dt t - 1 (t + 1)2 df x2 + 1 l) dx = x x2 - 1 9 1 1 1 3x dy m) = + - dx 3x - 7 ln (2x) x x 3x2 + 8 dk n) = dx 4(x2 - 3x + 1)7(3 - x2)5(-7x3 + 15x2 + 9x - 18) dg o) = cos (i) (cos2 (i) - 2 sin2 (i)) di 2 dH p) = 10(1 - z4 ) dz (2 + z) dT 30e-0,75u q) = du (2 + 8e-0,75u)2 dY 3 (x + 2) (x - 1) r) = 3 dx (2x + 1) 2 dg 41 s) = dt (4t - 7)2 1 df = t ) dx (x -1) - x dH u) = dy (ay + b)9(cy + d)8(19acy + 10ad + 9bc)

22.

dv 3u2 - 2u - 2v = du 2(u - v) dv 3 = b) du ^-2, 2h 2 2 10 c) v= u+ 3 3 d) La dérivée n’est pas définie en (0, 0), car le numérateur et le dénominateur de la dérivée trouvée en a) sont nuls au point étudié. 23. a)

24. 4~ 112,5 km/h ( ~2 + 4) 25. H2(x) = 4x 2 - 2 et H3(x) = 8x3 - 12x 26. L0(x) = 1, L1(x) = -x + 1 et 1 L2(x) = (x 2 - 4x + 2) 2 27. La démonstration vous est laissée. 28. La démonstration vous est laissée. 28 log b l 78 . 0,0683 29. a) k = 15 b) T(50) . 24,56°

20.

dy Arc sin (-4x) = 2 y3 dx 3y e - sec2 (y)

21.

dz + csc2(w - z) = ln (sec (z)) 2 dw csc (w - z) - w tan (z)

332

Annexe C

dy = cos (x) cos (y) - 6x dx sin (x) sin (y) + ey

c) La démonstration vous est laissée. d) T(75) = 22,46 °C e) tlim T(t) = 22 °C "3 f ) Au bout d’environ 3,13 min 30.

d3 [x(t)] = 24t - 48 = 24(t - 2) dt3

31. a) A(1) . 105,062 5 $ b) A(12) . 105,116 2 $ c) A(365) . 105,126 7 $ d) . 105,127 1 $. La différence est . 0,000 4 $. e) La démonstration vous est laissée. dX = P~ cos (~t + z) dt dv - 2 = P~ sin (~t + z) b) a(t) = dt c) Puisque l’accélération du piston est proportionnelle au carré de la fréquence, une augmentation par un facteur 2 de la fréquence augmente l’accélération par un facteur 4.

32. a) v(t) =

Calcul différenTiel

Réponses des exercices

4x 3 y dy 33. a) dx = 1 - 4 3 y4 dydy dydy == == 0 0 etetet 0 0 b) dxdx(0, 1)(0, 1) dxdx(0, -(0,1) -1) dy dy dy dy Y Y c) et et -1 Y 7 1 etY 7ne sont 7 7 pas définies dx 12dx dx dx -21 , 0 ,0 2 ,0 2, 0 dy dy d) dx 1 1 = 3, = 3, dx 1 ,- 1 , c m c m e

2 2 2

dy dx

1, 1 m 2 2 2

o e

dy = 3 et dx

2 2

1 ,- 1 m 2 2 2

3 2 2 2 dy = 2x3 + 3x2 + y - 2xy dx 2y + 2x y - 2xy - y dy dy b) = 0 et =0 dx c 3 , 3 3 m dx c 3 , - 3 3 m 4 4 4 4 dy dy c) = 3 et = 3 , dx dx (2, 0) c- 1 , 3 m 4 4 dy =3 dx c- 1 , - 3 m 4

35. a) La démonstration vous est laissée. b) Si la proportion est de 1, alors tout le monde effectue la même activité. Le taux de variation est donc nul, car cette quantité ne change pas.

Chapitre 5 Exercices de la section 5.1

1. a) g'(z) = 0 en z = -5, z = 0 et z = 7

g'(z) b en z = -4, z = -2, z = 2, z = 5 et z = 6

b) h'(k) = 0 en k = 2 h'(k) b en k = 7 2. a) Valeurs critique de f(x) 3 x = -5, x = 0 et x = 5 Valeurs critiques de f '(x) 33 - 1689 , x = 0 et 20 -33 + 1689 x= 20 b) Valeurs critiques de g(t) 1 t = 0 et t = 5 Valeurs critiques de g'(t) 1 t = - et t = 0 10

Calcul différenTiel

s = -1 - 2 et s = -1 + Valeurs critiques de h'(s) Aucune.

34. a)

c) Valeurs critiques de h(s)

d) Valeurs critiques de K(y) y = 0 Valeurs critiques de K'(y) y = - 1 et y = 1 2 2 e) Valeurs critiques de U(x) 1 x = e Valeurs critiques de U'(x) Aucune. f ) Valeurs critiques de f(z) z = 0 Valeurs critiques de f '(z) Aucune. g) Valeurs critiques de y(x) x = -3 Valeurs critiques de y'(x) 19 x = - et x = -3 3 h) Valeurs critiques de T(z) 4r 16r z = - 8r, z = - 8r, 3 3 4r 16r et z = z= 3 3 Valeurs critiques de T'(z) 20r 20r - 8r, z = , z = 6 6 44r 44r - 8r et z = z= 6 6 i ) Valeurs critiques de f(x) Aucune. Valeurs critiques de f '(x) r

x = - et x = 2 2 j ) Valeurs critiques de g(t) t = -4 Valeurs critiques de g'(t) t = -4 3. a) lim + H2(x) = 0 x"0

b) lim - H2(x) = 0 x"1 1 c) x = est une valeur critique de H2(x). 2 Réponses des exercices

333

Réponses des exercices

d) Il n’y a pas de valeur critique de H2'(x). 4. a) Nous avons environ 12 h d’ensoleillement. b) Pour k3 : t = 0 s, t = 21 600 s et t = 43 200 s. c) Pour k4 : t = 0 s, t = 21 600 s et t = 43 200 s. Exercices de la section 5.2

1. a) Maximum relatif en x = a, minimum relatif en x = b, minimum absolu en x = c et maximum absolu en x = d. x a c d b f '(x) - - 0 + 0 - f(x) f(a) 4 f(c) 3 f(d) 4 f(b) Allure max. min. max. min. b) Minimum absolu en x = a, minimum relatif en x = b et maximum absolu en x = c. x a f '(x) + f(x) 0 Allure min.

+ 3

c 0 f(c) max.

b f(b) min.

b b b

c) Maximum absolu en x = c. x f '(x) f(x) Allure

a b b

+ 3

c b f(c) max.

d) Minimum relatif en x = c. x f '(x) f(x) Allure

a b b

+ 3

c b f(c)

b b b

e) Minimum absolu en x = a, minimum relatif en x = b et maximum absolu en x = c. x a f '(x) + f(x) f(a) Allure min.

+ 3

c b f(c) max.

b f(b) min.

f ) Maximum absolu en x = a, maximum relatif en x = b et minimum absolu en x = c. x a f '(x) b f(x) f(a) Allure max.

334

Annexe C

c b f(c) min.

+ 3

b + f(b) max.

2. a) f (x) 3 6 x d ]-3, 1[ et 6 x d ]3, 3[ et f(x) 4 6 x d ]1, 3[ 2 b) f(x) 3 6 x d E-3, ; et 3 2 f(x) 4 6 x d E , 1; 3 c) f(x) 3 6 x d ]0, 2[ et f(x) 4 6 x d ]-2, 0[ d) f(x) 3 6 x d ]0, e[ et f(x) 4 6 x d ]e, 3[ e) f(x) 3 6 x d E -3, - 3 ; et 6 x d E0, 3 ; 2 2 3 3 , 0; et 6 x d E et f(x) 4 6 x d E, 3; 2 2 f ) f(x) 3 6 x d ]0, 3[ et f(x) 4 6 x d ]-3, 0[ g) f(x) 3 6 x d ]-1, 0[ et 6 x d ]1, 3[ et f(x) 4 6 x d ]-3, -1[ et 6 x d ]0, 1[ r r r 5r ; et h) f(x) 3 6 x d E , ; et 6 x d E , 6 2 2 6 r 5r f(x) 4 6 x d E0, ; et 6 x d E , r; 6 6 i) f(x) 3 6 x d ]0, 2r[ j) f(x) 3 6 x d ]-2, 1[ et f(x) 4 6 x d ]1, 4[ 5r r k) f(x) 3 6 x d E-2r, - ; et 6 x d E- , 0; 4 4 5 r r et f(x) 4 6 x d E- , - ; 4 4 1 l) f(x) 3 6 x d E0, ;et 6 x d ]1, 3[ et 2 1 f(x) 4 6 x d ] 3, 0[ et 6 x d E , 1; 2 m) f(x) 3 6 x d ]1, 3[ et f(x) 4 6 x d ]-1, 1[ 3. a) Minimum absolu en x = -1 et maximum absolu en x = 4. b) Minimum absolu en x = 0, maximum absolu en x = 4 et minimum relatif en x = 5. c) Maximum absolu en x = -5 et minimum absolu en x = -1. 1 d) Minimum relatif en x = - , maximum absolu 2 1 en x = et minimum absolu en x = 2. 2 e) Minimum relatif en x = 0, maximum absolu r 4r en x = , minimum absolu en x = et 3 3 5r maximum relatif en x = . 3 r

f ) Minimum relatif en x = , maximum relatif 2 3r 5r en x = et minimum relatif en x = . 2 2 1 g) Maximum absolu en x = , minimum absolu 4 en x = 1 et maximum relatif en x = 5.

Calcul différenTiel

Les exemples proposés amènent d’abord les étudiants à percevoir par intuition la manière de résoudre un problème. Les notions théoriques et les techniques de résolution présentées leur permettent ensuite de trouver la solution. Cette nouvelle édition apporte nombre d’améliorations, dont : • un contenu revu et corrigé pour qu’il soit plus clair et concis ; • un premier chapitre centré sur les notions essentielles qui fait un retour sur les contenus de base nécessaires à la compréhension des chapitres suivants ; • l’ajout d’une centaine d’exercices supplémentaires de mise en forme variés à la fin de chaque chapitre ; • l’identification des exercices faciles et des exercices difficiles ; • l’ajout d’une section sur les applications du calcul différentiel en économie ; • l’ajout d’un répertoire des théorèmes, des corollaires et des propositions ; • l’ajout d’activités de laboratoire pouvant s’effectuer au moyen d’un logiciel libre, tel GeoGebra, pour accompagner l’apprentissage des notions.

Éric Brunelle détient une maîtrise en mathématiques appliquées de l’Université de Montréal. Il a travaillé, entre autres, sur la simulation par ordinateur de la propagation des feux de forêt. Il enseigne les mathématiques au Cégep Saint-Jean-sur-Richelieu depuis 2007. Marc-André Désautels est détenteur d’un baccalauréat en mathématiques et physique et d’une maîtrise en mathématiques appliquées de l’Université de Montréal. Il a travaillé sur la détection de contours dans des images médicales à l’aide des méthodes iso-niveaux et des ondelettes. Il enseigne les mathématiques au Cégep Saint-Jean-sur-Richelieu depuis 2002.

Éric Brunelle • Marc-André Désautels

Grâce à son approche intuitive soutenue par une démarche rigoureuse, Calcul différentiel offre une présentation claire et simplifiée des notions propres au calcul différentiel, en mettant l’accent sur des exercices variés et la résolution de problèmes concrets et réalistes qui illustrent les liens étroits entre le calcul différentiel et des situations rencontrées dans la vie de tous les jours.

Calcul fférentiel

2e ÉDITION

2e édition De l’intuition à la maîtrise des notions

dy - x = dx y

Versions numériques accessibles avec ou sans connexion Internet

L’accès 6 mois à la version numérique sur MaZoneCEC est offert gratuitement avec le manuel papier. L’accès 1 an au manuel numérique uniquement est aussi disponible pour achat en ligne au www.editionscec.com. La version numérique permet aux enseignants de projeter, d’annoter et de partager des notes avec les étudiants, qui peuvent, eux aussi, annoter leur propre version numérique. Elle donne également accès aux ressources complémentaires suivantes : • des laboratoires sur l’utilisation • un test d’autoévaluation des de logiciels de calcul symbolique connaissances en mathématiques ; en calcul différentiel (Maple et Maxima) ; • un solutionnaire détaillé des exercices • des laboratoires à effectuer du manuel, présenté par chapitre ; à l’aide du logiciel GeoGebra • des exercices supplémentaires (manuel d’utilisation inclus). avec solutionnaire ; • des animations permettant de visualiser certains problèmes ;

dv = g dt

CODE DE PRODUIT : 216369 978-2-7617-8880-9

v(t) = -gt + 1,55 r V(r) = vmax 1- 0,006 2 2

782761 788809

_CV_CalculDifferentiel_C1-4-F.indd All Pages

2016-03-30 11:02 AM