Développement de la pensée mathématique

Diane Biron, Ph. D. avec la collaboration d’Élaine Caron et de Louis Côté

Comment accompagner le jeune enfant dans ses découvertes mathématiques ?

Comment traiter les notions et concepts fondamentaux de ce domaine en classe ?

Quelles sont les principales difficultés associées à son apprentissage et à son enseignement ? De quelle manière maintenir le gout de la découverte de cet univers chez l’enfant de 4 à 8 ans ?

En plus de répondre à ces questions, cet ouvrage propose : • une présentation des notions prévues au programme de formation du préscolaire au premier cycle du primaire, en particulier sur l’arithmétique, la géométrie, la mesure, la statistique et la probabilité ; • des indications sur le développement du raisonnement et des compétences mathématiques chez l’enfant ; • des conseils sur l’intervention éducative et l’observation des stratégies mobilisées par l’enfant ; • des pistes pour comprendre les difficultés et les erreurs observées ; • des précisions sur l’évaluation et la progression des appren­tissages ; • des démonstrations de pratiques enseignantes mettant l’accent sur l’éveil de l’enfant à la mathématique et sur ses ressources personnelles.

Cet ouvrage de référence se veut aussi une source d’inspiration pour les enseignants du préscolaire et du premier cycle du primaire, en formation et en exercice, afin de favoriser le développement de la pensée mathématique chez l’enfant.

L’auteure, Diane Biron, est professeure agrégée à la Faculté d’éducation de l’Université de Sherbrooke. Élaine Caron et Louis Côté, chargés de cours à l’Université de Sherbrooke, ont collaboré à la rédaction de cet ouvrage.

CODE DE PRODUIT : 251682 ISBN 978-2-7617-3885-9

Diane Biron DÉVELOPPEMENT DE LA PENSÉE MATHÉMATIQUE CHEZ L’ENFANT Du préscolaire au premier cycle du primaire

Du préscolaire au premier cycle du primaire

VERS DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT

DÉVELOPPEMENT DE LA PENSÉE MATHÉMATIQUE CHEZ L’ENFANT

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Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Chapitre 1 : Le programme de formation et l’enseignement-apprentissage des mathématiques au préscolaire et au premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’entrée de l’enfant dans le système d’éducation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le curriculum de mathématiques au préscolaire et au premier cycle du primaire . . . 3 Les mathématiques au préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Les stratégies cognitives et métacognitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Les connaissances se rapportant au développement cognitif . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Les mathématiques au premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 À propos de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Arithmétique : sens et écriture des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Arithmétique : sens des opérations et opérations sur des nombres . . . . . . . . . . . . 9 À propos de la géométrie et de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 La géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 La mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 À propos de la probabilité et de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 La probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 La statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 À propos des repères culturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chapitre 2 : L’arithmétique : le concept de nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Du préscolaire au primaire : un développement progressif du concept de nombre . . 18 Qu’est-ce qu’un nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Principaux sens du concept de nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Observer et analyser la compréhension du concept de nombre naturel . . . . . . . . . . . 23 Stratégies et habiletés à développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 TABLE DES MATIÈRES

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S’initier à observer et à analyser le concept de nombre naturel . . . . . . . . . . . . . . 27 Évaluer le développement du nombre naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Préparation des tâches d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Difficultés associées à l’apprentissage du concept de nombre naturel . . . . . . . . . . . . 33 Contexte et matériel pour développer le concept de nombre naturel . . . . . . . . . . . . . 35 Pistes d’activés sur le concept de nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chapitre 3 : L’arithmétique : la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 À propos des systèmes de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exemples de systèmes de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Caractéristiques de notre système de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Nombre restreint de symboles numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Système positionnel de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Position et valeur de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Groupements, regroupements et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Enseignement et apprentissage de la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Limites et difficultés liées à notre système de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Difficultés liées à l’écriture et à la nomenclature des nombres . . . . . . . . . . . . . . . 46 Difficultés de calculs liées à un manque de maitrise du système de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Difficultés liées au zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Pistes pour prévenir les difficultés en numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Activités de codage et de décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Principes importants à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Difficultés associées à l’apprentissage de la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Erreurs liées aux principes de groupements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Erreurs liées au principe de position et de valeur de position . . . . . . . . . . . . . . . 53 Contexte et matériel pour développer la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Pistes d’activités sur la numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chapitre 4 : L’arithmétique : les opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 À propos des opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Sens des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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Le développement de la pensée mathématique chez l’enfant

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Les sens de l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Les sens de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Les sens de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Les sens de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Autres aspects à aborder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Propriétés des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Relations entre les opérations et sens des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Opérations sur les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Approximation, arrondissement et estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Calcul mental, processus personnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Répertoire mémorisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Calcul écrit, processus personnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Difficultés associées à l’apprentissage des opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . 79 Pistes d’activités sur les opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Chapitre 5 : La géométrie et la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 La géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 L’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Les figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Les frises et les dallages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 La mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 La mesure de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 La mesure du temps et de la durée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 La mesure de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Difficultés associées à l’apprentissage de la géométrie et de la mesure . . . . . . . . . . 110 Pistes d’activités sur la géométrie et la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Chapitre 6 : La probabilité et la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 La probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Le jeu de hasard : expérimentation d’activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Un long cheminement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Des conceptions erronées parfois persistantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 TABLE DES MATIÈRES

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Expérimentation d’activités et prédiction d’un résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Difficultés associées à l’apprentissage de la probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Mener une enquête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Développement de la pensée statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Sur quoi portera l’enquête et l’art de questionner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Collecte et présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Analyse et interprétation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Difficultés associées à l’apprentissage de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Pistes d’activités sur la probabilité et la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Chapitre 7 : Dimensions de l’intervention éducative dans l’enseignementapprentissage des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 La didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Contrat didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Situation didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Situation adidactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Transposition didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Processus de résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Phases de résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Place du questionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Le rôle de l’enseignant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Rôle de penseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Rôle de preneur de décisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Rôle de motivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Rôle de modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Rôle de médiateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Rôle d’entraineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Les types de connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Connaissances déclaratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Connaissances procédurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Connaissances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

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Le développement de la pensée mathématique chez l’enfant

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Chapitre 8 : L’erreur dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Le rôle et de la place de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Les erreurs en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Cadre d’analyse des erreurs selon une perspective constructiviste . . . . . . . . . . . 159 Difficultés en résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Facteurs qui influent sur le processus de résolution de problèmes . . . . . . . . . . 163 Les facteurs de l’énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Diversité des situations-problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Exemples de situations-problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Pour le préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Pour le premier cycle du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Chapitre 9 : Les compétences professionnelles liées à l’enseignement des mathématiques au préscolaire et au primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Concevoir des situations d’enseignement-apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Planification de l’intervention éducative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Actualisation d’une intervention éducative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Évaluation des apprentissages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Matériel didactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Le manuel scolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Le matériel de manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Analyse de pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exemple d’une pratique au préscolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exemple d’une pratique en première année du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Exemple d’une pratique en deuxième année du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Pour en savoir plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Références bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

TABLE DES MATIÈRES

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C H A P I T R E

2

L’arithmétique : le concept de nombre Quels contextes permettent à l’enfant de développer le concept de nombre ?

Quelles sont les principales difficultés associées à son apprentissage ?

Quel rôle et quelle place occupe la récitation de la comptine numérique ?

Comment réaliser une entrevue diagnostique avec l’enfant ?

Comment situer l’évolution du concept de nombre chez l’enfant ?

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F I G U R E

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2.1

Schéma des ensembles de nombres R (nombres réels) Q’ (nombres irrationnels)

Q (nombres rationnels) –

√2

6

–1,19

5

Z (nombres entiers) 5 e

7 N (nombres naturels) 458,23

π

–71

–3

1

8 3 461

PRINCIPAUX SENS DU CONCEPT DE NOMBRE On s’entend généralement pour dire que le concept de nombre comporte deux grands sens : cardinal et ordinal.

Sens cardinal du nombre Le sens cardinal du nombre est relié à l’idée de quantité et permet de répondre à la question « Combien ? ». Ainsi, quand on dit « il y a 4 pommes », c’est le sens cardinal du nombre qui intervient. Van Nieuwenhoven (1999, p. 35) définit ainsi le sens cardinal du nombre : « Le cardinal est la propriété commune à tous les ensembles pouvant être mis en correspondance terme à terme. Dégager l’aspect cardinal du nombre, c’est dégager l’aspect quantité. » Même si le concept peut paraitre banal et simple à apprendre, plusieurs études, dont celle de Kamii (1985), montrent que l’enfant doit comprendre plusieurs choses avant de pouvoir déterminer un nombre d’objets. L’enfant pourra manifester son aisance dans la connaissance du sens cardinal en démontrant qu’il peut, par exemple : • procéder par comptage ou dénombrement pour déterminer une quantité ou pour comparer des collections ; • s’appuyer sur ce comptage pour dire la quantité (le dernier mot correspond à la quantité de la collection) et déterminer là où il y en a le plus et le moins ; • dire combien il y a d’objets et combien de plus ou de moins.

Pour arriver à exprimer la quantité d’une collection ou d’un ensemble d’objets, l’enfant doit aussi développer différentes stratégies et diverses habiletés, en plus de pouvoir dégager certaines conclusions des actions qu’il pose ou qu’il observe. Par exemple, l’enfant doit pouvoir : • coordonner le geste au mot, c’est-à-dire toucher un objet et énoncer le mot numérique correspondant ;

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• s’organiser afin de retirer les objets comptés de ceux à compter pour ne pas compter deux fois le même objet ; • comprendre que le dernier mot prononcé correspond à la quantité d’objets dans une collection ; • se détacher des caractéristiques physiques des objets (taille, couleur, forme, etc.) et de leur emplacement pour conclure que même si les objets sont différents ou ont été déplacés, la quantité n’a pas changé (conservation du nombre).

Dans cette perspective, la connaissance des mots numériques en ordre, qu’on appelle bien souvent la comptine numérique, ou des nombres, n’est pas suffisante pour affirmer que l’enfant maitrise le sens cardinal. Toutefois, la connaissance de la comptine numérique aide grandement l’enfant dans la construction de l’idée de nombre car, sans elle, il éprouvera des difficultés dans ses conclusions relatives au sens cardinal du nombre, tout comme dans celles reliées au sens ordinal. Différentes difficultés caractérisent l’apprentissage de la comptine des nombres, comme le souligne Poirier (2001), dont le nombre de mots à mémoriser et leur ordre. Un progrès significatif dans l’apprentissage de cette comptine surviendra lorsque l’enfant pourra anticiper la suite des nombres parce qu’il en perçoit une règle de construction.

Sens ordinal du nombre Le sens ordinal du nombre concerne l’idée d’ordre et de rang et permet de répondre à la question suivante : « Où se situe le nombre ou l’objet ? » Savoir que deux vient avant trois, c’est savoir dans quel ordre les choses sont placées entre elles (le précédent et le suivant).

Comprendre que lorsque je dis « deux », c’est le deuxième objet compté, c’est l’idée de rang dans la suite des nombres qui est en jeu (Van Nieuwenhoven, 1999).

L’enfant manifeste son aisance dans sa connaissance du sens ordinal du nombre s’il peut, par exemple : • prédire le nombre qui vient après un autre ; • trouver le nombre suivant ou précédent ; • commencer sa comptine des nombres à n’importe quel endroit, selon des intervalles, compter et décompter ; • déterminer ce qui vient en premier, en deuxième ou en troisième ; • déterminer, à la suite d’un dénombrement, l’ensemble dans lequel il y a plus ou moins d’objets parce qu’une quantité vient avant ou après une autre.

Mettre des objets en ordre du plus petit au plus grand est une situation souvent présentée aux enfants pour développer le sens ordinal du nombre. La capacité d’ordonner se développe petit à petit. Au départ, l’enfant aura du mal à placer en ordre trois objets de tailles différentes, mais l’acquisition de la transitivité marquera un progrès (si a = b et b = c, alors a = c ; ou si a > b et b > c, alors a > c) dans la réalisation de ces tâches, qu’on appelle plus précisément « sériation ». Lorsqu’on série, on ordonne des objets dont il faut prendre en compte certaines caractéristiques physiques. Toutefois, on ordonne des collections selon leur quantité, ce qui exige de comprendre à la fois les sens cardinal et ordinal du nombre puisqu’il faut dénombrer la quantité (cardinalité), puis déduire l’ordre des quantités de ces collections (ordinalité).

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Tout comme nous l’avons souligné précédemment pour le sens cardinal, la connaissance de la comptine numérique en ordre n’est pas suffisante pour dire que l’enfant maitrise le sens ordinal. Cependant, la connaissance de la comptine aide grandement l’enfant dans la construction de l’idée de nombre ordinal. Bref, connaitre la comptine des nombres, en ordres croissant et décroissant, est nécessaire mais non suffisant pour déterminer la compréhension et assurer le développement du concept global de nombre.

E N C A D R É

2.1

Caractéristiques de la comptine Saviez-vous que dans la langue française, avec seulement 25 mots (un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent, mille, million, milliard) et 3 agencements spéciaux de quelques-uns de ces mots (soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix), il est possible d’exprimer oralement les nombres jusqu’aux milliards ? Avez-vous remarqué aussi que notre système de mots est plus complexe que notre système d’écriture des nombres ? En effet, pour écrire des nombres, nous avons besoin de mémoriser seulement dix symboles, appelés « chiffres » : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Certains enfants apprennent facilement dès le départ plusieurs mots de la comptine alors que d’autres en retiennent moins, mais recherchent davantage à en saisir le sens. Un procédé n’apparait pas, à priori, meilleur qu’un autre ; il s’agit d’une manière différente de saisir l’idée de nombre.

Intégration des notions 2 .2

Récitation de la comptine numérique

Il y a quelques années déjà, une équipe de chercheurs, sous la direction de Karen C. Fuson, explorait l’aisance d’enfants avec la comptine des nombres. Après avoir placé les enfants dans diverses situations de récitation de la comptine numérique, ils ont conclu que certaines tâches semblaient plus complexes que d’autres à réaliser pour les enfants ; ceci leur a donné des pistes d’activités à concevoir pour mettre à l’épreuve la connaissance de la suite des nombres naturels chez les enfants. Lisez les tâches soumises aux élèves et formulez une question pour chacune d’elles.

Tâches

Questions ou situations à proposer

A. Récitation à reculons à partir d’un nom numérique donné.

Par exemple, on joue à la cachette en décomptant à partir de 20.

B. Récitation à reculons à partir d’un nom numérique donné et arrêt à un autre nom numérique donné.

Par exemple, pouvez-vous relever le défi de décompter à partir du nombre 17 et d’arrêter au nombre 12 ?

Allez-y !

C. Récitation à reculons de B à A en ne perdant pas de vue le nombre de noms numériques prononcés.

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cartes à jouer n’est pas étrangère à l’intention de faciliter la reconnaissance globale de certaines quantités. D’ailleurs, il arrive que des enfants recherchent ces dispositions particulières, ou configurations spatiales, pour éviter le comptage ou encore parce qu’ils ont appris ainsi à déterminer le nom d’une quantité. De manière générale, les jeunes enfants reconnaissent très tôt certaines petites quantités : un, deux et trois, par exemple. Cela ne nous assure toutefois pas qu’ils ont l’idée de nombre ou de quantité.

S’INITIER À OBSERVER ET À ANALYSER LE CONCEPT DE NOMBRE NATUREL C’est à l’aide d’une entrevue de type diagnostique comportant six tâches que Bednarz et Janvier (1988), s’inspirant des travaux de Comiti (1980), proposent d’observer et d’analyser le développement du concept de nombre chez l’enfant. Chacune de ces tâches permet de mettre en évidence comment l’enfant met en œuvre ses connaissances reliées au sens cardinal et au sens ordinal, parfois les deux en interrelation, ainsi que les stratégies et les habiletés qu’il peut utiliser pour accomplir les tâches. Le tableau 2.1 présente ces tâches.

T A B L E A U

2.1

Tâches permettant d’observer et d’analyser le développement du concept de nombre naturel (inspiré de Bednarz et Janvier, 1988)

Tâches

Sens

Stratégies et habiletés

Remarques sur la tâche

1. Récitation de la comptine :

Pas prédictif de la maitrise des sens cardinal ou ordinal du nombre.

On remarquera si l’enfant a mémorisé dans l’ordre les noms numériques, s’il peut prédire la suite des nombres, etc.

Cette tâche a pour but de cerner le domaine numérique familier de l’enfant pour permettre un choix plus judicieux des quantités à présenter dans les autres tâches.

Cardinal.

• Coordonner geste-mot.

• Organiser.

• Pointer.

• Reconnaitre globalement.

• La tâche est réussie si l’enfant peut dire le nombre exact d’objets.

• Même si l’enfant reconnait globalement la quantité, cela ne signifie pas qu’il en comprend la cardinalité.

Cardinal.

Abstraire.

• La tâche est réussie si l’enfant n’a pas à recompter.

• L’enfant doit pouvoir se détacher de l’emplacement et de l’apparence de la collection.

Est-ce que tu sais compter ?

Montre-moi pour voir.

2. Dénombrement : Peux-tu me dire combien il y a d’objets ?

3. Conservation : Et maintenant (après avoir déplacé les objets devant l’enfant), combien y en a-t-il ?

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CHAPITRE 2 • L’arithmétique : le concept de nombre

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(SUITE) Tâches permettant d’observer et d’analyser le développement du concept de nombre naturel (inspiré de Bednarz et Janvier, 1988)

Tâches

Sens

Stratégies et habiletés

Remarques sur la tâche

4. Formation d’une collection :

Cardinal et ordinal.

• Coordonner geste-mot.

• Mémoriser.

• Organiser.

• La tâche est réussie si l’enfant forme la collection demandée.

• Comme cette tâche est exigeante, il arrive souvent que l’enfant oublie la quantité demandée.

• Pour retenir la quantité, la compréhension de la suite des nombres est utile.

Ordinal.

• Mémoriser.

• Ordonner, sérier.

• Pointer.

• Reconnaitre globalement.

• La tâche est réussie si l’enfant peut déterminer le nombre d’objets, sans recompter, après avoir ajouté ou enlevé des objets.

• Lorsque l’enfant doit recompter, cela indique qu’il n’a pas encore complètement acquis la maitrise de l’ordre des nombres.

Cardinal et ordinal.

• Coordonner geste-mot.

• Mémoriser.

• Organiser.

• Pointer.

• Faire correspondre terme à terme.

• La tâche est réussie si l’enfant utilise le dénombrement et peut en déduire la bonne conclusion.

• Le recours à la correspondance terme à terme est souvent efficace, mais comporte des limites qui obligeront à procéder autrement.

• Plusieurs jeunes enfants se fient à l’apparence.

Maintenant, c’est toi qui vas mettre X objets…

5. Précédent/suivant (N+, N-) : Tu vois, j’en mets X autre(s), maintenant, dis-moi, combien il y en a ?

Comment le sais-tu ?

Et si j’enlève X objets, combien y en a-t-il maintenant ?

Comment le sais-tu ?

6. Conservation : Montre-moi de quel côté il y a plus d’objets.

Qu’est-ce que tu peux faire pour qu’il y ait la même quantité d’objets ? À ton avis, est-ce qu’il y a plus de... ou plus de... ?

ÉVALUER LE DÉVELOPPEMENT DU NOMBRE NATUREL L’entrevue diagnostique est un moyen approprié pour situer l’évolution des notions des concepts mathématiques. Elle n’est pas un examen ni un test ; il s’agit plutôt d’une occasion privilégiée pour prendre le temps d’observer et d’analyser le développement conceptuel d’un enfant. On demande à l’enfant de faire de son mieux, tout en fournissant des efforts pour nous démontrer son savoir-faire. De manière générale, lorsqu’on se prépare à diriger une entrevue diagnostique, on doit penser à différents aspects, tels que présentés dans l’encadré ci-après.

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2.2

Entrevue diagnostique sur le nombre naturel Quelques éléments à prendre en considération : • S’approprier le protocole d’entrevue (ordre des questions, sens et formulation des questions).

• Préparer une feuille d’observation ou de notes (idéalement, on doit enregistrer l’entrevue).

• Préparer le matériel de manipulation nécessaire. Il convient de s’assurer de sa facilité d’utilisation, d’en avoir en quantité suffisante (en général, ne pas dépasser 35 ou 40 objets).

• Réaliser l’entrevue dans des conditions favorables (endroit calme, isolé, etc.).

• Établir un bon contact avec l’enfant, préciser les règles, les attentes (il doit faire de son mieux, ce n’est pas un examen, etc.).

• Demeurer neutre et à l’écoute de l’enfant tout en évitant de montrer comment faire ou de suggérer des manières de faire (éviter d’enseigner, de donner les réponses, etc.).

• Inviter l’élève à se concentrer sur la tâche et éviter les jugements sur ce qu’il fait.

Voici quelques phrases utiles à employer durant l’entrevue : – « Tu es prêt ? » – « On continue ? » – « Tu fais comme tu penses. » – « Tu fais de ton mieux. » – « Explique-moi pour voir. » – « Ce n’est pas la réponse qui est importante, mais comment tu fais. » • Il faut éviter des phrases du type : – « Tu vas voir, c’est facile. » – « On va jouer à des jeux ensemble. » – « Tu as juste à faire comme ça. » – « Ce n’est pas du tout cela. » – « Donne-moi la réponse. » – « Cela irait mieux si tu te concentrais plus. »

Lors d’une entrevue diagnostique, l’enfant doit percevoir que la personne qui questionne est intéressée par les actions, les raisonnements et les explications de celui-ci, et qu’il n’est pas jugé comme étant « bon » ou « mauvais ».

PRÉPARATION DES TÂCHES D’OBSERVATION Voici des informations utiles et quelques conseils pour guider les enseignants dans la préparation de l’entrevue diagnostique sur le concept de nombre naturel avec l’élève.

Observer la récitation de la comptine Cette tâche vise à connaitre le domaine numérique de l’enfant ; ceci est très important pour la suite des tâches afin de proposer des quantités d’objets qui permettront à l’enfant de démontrer sa compréhension du nombre (bien que, parfois, il y ait des surprises...). On peut CHAPITRE 2 • L’arithmétique : le concept de nombre

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Jusqu’à présent, nous avons vu les éléments fondamentaux qui permettent d’accompagner les enfants dans le développement du concept de nombre naturel. En pouvant mieux observer et analyser leur conduite, il est possible de dégager leurs forces et leurs faiblesses, et ainsi de mieux prévoir les interventions en classe. Les composantes à prendre en compte pour élaborer une intervention didactique appropriée seront présentées aux chapitres 7 à 9.

Cependant, des pistes d’activités peuvent déjà être suggérées en prenant appui sur les aspects traités précédemment. Des situations à mettre en œuvre en classe sont donc proposées pour valider la compréhension des notions abordées dans ce chapitre ainsi que la compétence à analyser les stratégies et les procédés des élèves en lien avec le concept de nombre naturel en réalisant l’activité d’intégration ci-après.

Intég ration d es notions 2.4

Entrevue diagnostique : 2 e partie

Voi c i de c our t s rap p or t s d ’ e nt r e vues réalisées avec des enfant s. Placez ces enfants du plus avanc é au m oi ns avanc é .

A. B. C. D.

Le plus avancé est : Le suivant est : Le suivant est : Le moins avancé est :

________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

D éc r i ve z e nsui t e l es asp ec t s, st r at égies et habi letés reli é s au concept de nombre naturel à d é vel op p e r p our l ’ e nfant l e m oi ns avancé.

Entrevue avec Philippe Philippe récite la comptine jusqu’à 27. Il a acquis la conservation du nombre. Pour comparer deux collections, il utilise la correspondance terme à terme et ses conclusions sont toujours vraies.

Si on retire un objet d’une collection ou si on en ajoute un, il doit chaque fois recompter le nombre d’objets dans la collection. Il peut former les collections d’objets demandées et peut également dénombrer correctement une collection d’objets. Philippe utilise alors une stratégie de pointage, coordonne bien le geste au mot et écarte les objets comptés de ceux qui restent à compter.

Entrevue avec Marilou Marilou sait réciter sa comptine jusqu’à 11. Elle peut dénombrer une collection d’objets de son domaine numérique familier en utilisant une stratégie de pointage et en coordonnant le geste au mot. Elle procède avec méthode en écartant les objets comptés de ceux à compter. Elle peut aussi former n’importe quelle collection de son domaine numérique familier. Marilou a aussi la conservation du nombre. Toutefois, lorsque l’on ajoute ou enlève un ou plusieurs objets d’une collection, elle doit recompter chaque fois. Pour comparer deux collections d’objets, elle procède par comptage et utilise les résultats pour déterminer dans quelle collection il y a le plus ou le moins d’objets. (suite p. 33)

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(SUITE) Entrevue avec William William sait compter jusqu’à neuf. Il peut dénombrer à l’aide d’une stratégie de pointage n’importe quel ensemble contenant dix éléments ou moins : lorsqu’il y a correspondance entre le geste et le mot, il retire les objets comptés de ceux à compter. Si on change l’ordre des objets ou leur position, il sait que la quantité n’a pas changé. Il peut également former une collection d’objets selon la quantité demandée. Quand on lui demande de comparer une collection de huit objets avec une collection de dix objets, il compte chaque collection et affirme qu’il y en a plus dans la deuxième. Si on retire un objet d’une collection de neuf objets, il recompte les éléments et conclut qu’il y en a huit. Par contre, lorsque l’on ajoute un objet à une collection de six, William peut dire immédiatement qu’il y en a sept, sans procéder par comptage ni par reconnaissance globale.

Entrevue avec Claudie Claudie sait réciter sa comptine jusqu’à 18. Lorsqu’elle dénombre une collection d’objets, elle ne retire pas toujours les objets comptés de ceux à compter, ce qui entraine parfois des erreurs.

Toutefois, elle coordonne bien le geste au mot et utilise une stratégie de pointage. Si on change l’ordre des objets ou leur position, Claudie doit recompter chaque fois. Lorsqu’elle forme une collection, elle a tendance à oublier la quantité à donner, mais elle coordonne bien le geste au mot et s’organise bien. De plus, lorsque l’on ajoute ou enlève un ou plusieurs objets d’une collection, Claudie recompte chaque fois. Pour comparer deux collections, elle se fie à leur apparence.

DIFFICULTÉS ASSOCIÉES À L’APPRENTISSAGE DU CONCEPT DE NOMBRE NATUREL Les différents éléments que nous venons de présenter permettent de repérer quelques difficultés associées à l’apprentissage du concept de nombre naturel. Il va de soi que tous les enfants ne s’approprient pas au même rythme ni au même moment les stratégies et les habiletés nécessaires pour acquérir un concept de nombre naturel riche et opérationnel. Tous les enfants n’éprouvent pas les mêmes difficultés et certaines d’entre elles peuvent parfois nuire à la réussite de certaines tâches. Par exemple, la difficulté à coordonner le geste au mot numérique peut nuire à la formation d’une collection d’objets correspondant à la quantité demandée, même si l’enfant démontre qu’il a pu mémoriser de manière efficace et pertinente cette quantité. Il s’avère donc important d’examiner de manière à la fois fine et globale comment l’enfant aborde et met en œuvre les stratégies et les habiletés liées au concept de nombre naturel. L’encadré 2.3 permet de retracer certaines difficultés associées à l’apprentissage du nombre naturel, en lien avec la compréhension des sens cardinal et ordinal. En connaissant mieux ces difficultés, il est possible d’imaginer des situations pour favoriser leur développement.

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2.3

Développement des sens cardinal et ordinal du nombre naturel Voici les principales difficultés éprouvées par les enfants de 4 à 8 ans lors de l’apprentissage des sens cardinal et ordinal du nombre.

Sens cardinal • Comprendre que, dans une collection d’objets, ceux-ci peuvent être de même nature (par exemple, des pommes vertes) ou de natures différentes (par exemple, des fruits divers : oranges, poires, bananes). Dans les deux cas, il est possible de déterminer la quantité totale et, au besoin, de déterminer la quantité de chacun des sous-ensembles.

• Comprendre que le dernier mot prononcé lors d’un dénombrement correspond à la quantité d’objets d’une collection (par exemple, lorsqu’on a dénombré dix objets, le dernier objet ne s’appelle pas dix). Il y a inclusion des quantités précédentes à la suivante (1, 1 et 1, 1 et 1 et 1 [ou 2 et 1], etc.).

• Coordonner le geste au mot numérique dans une tâche de dénombrement (par exemple, chaque mot prononcé doit correspondre à un objet touché).

• Conclure qu’une collection d’objets n’a pas changé de quantité après un simple déplacement des objets (par exemple, recompter les objets après les avoir déplacés exprime qu’il n’y a pas encore conservation de la quantité).

• Déterminer par le dénombrement quelle collection d’objets contient le plus ou le moins d’objets sans se fier à l’apparence des objets dans les collections (par exemple, un enfant qui conclut, après avoir dénombré cinq et sept objets, qu’il y en a plus dans la collection de cinq objets parce que c’est plus grand ou étendu, n’a pas encore acquis le sens cardinal du nombre).

• Trouver la différence de quantité entre deux collections à partir du dénombrement des objets (par exemple, s’il y a 13 et 8 objets, de 8 à 13 il y a 5 de différence et non pas 6, parce que 8, 9, 10, 11, 12 13).

Sens ordinal • Comprendre que la suite des mots numériques correspond à l’ordre de grandeur (par exemple, deux vient après un, donc il exprime un de plus que un, et vice versa).

• Mémoriser, à partir de la suite des nombres, la quantité d’objets à donner lors d’une tâche de formation d’une collection (par exemple, neuf objets à donner, c’est un objet de moins que dix, mais c’est plus que cinq et ça vient après huit).

• Déterminer la quantité d’une collection d’objets à la suite d’un ajout ou d’un retrait d’une certaine quantité d’objets en s’appuyant sur la comptine des nombres (par exemple, en ajoutant une perle à un collier qui en contient déjà quatre, on aura cinq perles, puisque après quatre, c’est cinq).

(suite p. 35)

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(SUITE) • Déterminer quelle collection d’objets a le plus ou le moins d’objets en s’appuyant sur la suite des nombres (par exemple, s’il y a 14 et 11 objets, il y en a moins dans celle où il y en a 11 parce que 11 vient avant 14).

• Déterminer le nombre qui précède ou qui suit un autre, ou encore qui se situe entre deux autres nombres, en s’appuyant sur la suite des nombres (par exemple, avant cinq c’est quatre et après cinq c’est six ; aussi, cinq est entre quatre et six).

• Commencer à compter à partir de n’importe quel nombre, en ordre croissant ou décroissant (en décomptant ou à rebours).

• Comprendre que certains mots correspondent à un rang (premier, deuxième, etc.) et d’autres à un ordre et non pas à une quantité (par exemple, les numéros de page d’un livre ne correspondent pas nécessairement à la quantité de pages dans le livre).

CONTEXTE ET MATÉRIEL POUR DÉVELOPPER LE CONCEPT DE NOMBRE NATUREL À partir de contextes significatifs et réalistes, l’enseignant crée des situations qui vont favoriser le questionnement et le raisonnement chez l’enfant. Il importe aussi de mettre ces situations dans un contexte de résolution de problèmes tout en tenant compte des champs d’intérêt des enfants. Des questions sont soulevées, que ce soit par l’enseignant ou par un enfant. Le raisonnement mathématique prend alors tout son sens. « Je me demande s’il y a toujours le même nombre de pépins dans une pomme... hum... Qu’est-ce que l’on pourrait faire pour savoir ça ? » Les enfants vont proposer des actions et voilà la démarche enclenchée.

Par modélisation, les enfants vont apprendre, par la suite, à poser eux-mêmes des questions.

L’enseignant reste ouvert aux situations spontanées qui se présentent, car elles sont nombreuses et souvent sous-exploitées et peu valorisées. Par exemple, lorsque l’enfant apporte ses collections (bracelets, cartes de hockey, voitures, etc.), le dénombrement est possible ainsi que les comparaisons (autant, plus, moins, etc.).

En plus de contextes significatifs, il y a beaucoup de matériel de manipulation en classe. Le matériel est accessible, peu couteux et polyvalent, car il provient d’objets recyclés que les enfants apportent de la maison. Par exemple, des contenants de yogourt se remplissent de boutons, d’attaches à pain, d’animaux en plastique, de coquillages, de cailloux, etc. Les enfants pourront utiliser ce matériel dans divers contextes de comptage. Les pistes d’activités proposées aux pages suivantes s’inspirent de ces principes.

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PISTES D’ACTIVITÉS SUR LE CONCEPT DE NOMBRE

POUR LE PRÉSCOLAIRE Les barquettes d’animaux Au début de l’année scolaire, il est fort précieux d’observer les enfants qui arrivent au préscolaire. Certains d’entre eux seront plus avancés que d’autres en ce qui concerne le développement de la pensée mathématique. L’activité des barquettes d’animaux 1 permet d’observer des éléments du concept du nombre.

Pour ce faire, on utilise des barquettes de plastique (par exemple, des contenants de petits fruits) et, sur chacune d’elles, on colle ou dessine des petits ronds. Le but de l’activité est de mettre dans la barquette le même nombre d’animaux que de petits ronds collés. L’enseignant observe ici le dénombrement et la comptine numérique. Jusqu’où peuvent-ils dénombrer ? Comment le font-ils ? Les animaux sont maintenant dans les enclos (les barquettes). L'enseignant peut demander de mettre les barquettes en ordre croissant selon leur contenu. Les enfants pourraient regrouper ensemble celles de même quantité. Pour la maitrise de l’ordre des nombres, l’enseignant peut demander de dire combien il y en aurait si on ajoutait un animal ou si on en enlevait un. Il s’agit d’utiliser la situation en questionnant les enfants et en les invitant à inventer leurs propres règles et à se questionner.

Le bingo des nombres Le bingo des nombres est une activité bien connue. Il s’agit de placer un jeton sur la case qui correspond au nombre qui est nommé par une personne qui mène le jeu. Il y a différentes variantes pour ce jeu. Lorsque l’on met sur la carte de jeu le nombre en chiffres, comme « douze » écrit « 12 », on entre alors dans l’univers de la numération (abordé au chapitre 3). Il y a tout lieu de s’en tenir à des objets ou à des dessins sur la carte de jeu lorsqu’il s’agit d’aborder le concept de nombre naturel. Toutefois, il y a une façon intéressante et simple d’enrichir cette activité en demandant aux enfants de vérifier s’ils reçoivent le nombre nécessaire de jetons pour remplir toutes les cases de leur carte de bingo. Ainsi, l’enseignant distribue, de manière aléatoire et en vrac, plus, moins ou la bonne quantité de jetons à chacun des enfants. L’enfant doit justifier s’il a la bonne quantité de jetons, s’il lui en manque, ou encore s’il en a trop. Ici, il faut observer les enfants, car ils utiliseront des procédés différents qu'il sera utile de connaitre pour les accompagner dans leur développement. Par exemple, certains enfants vont d’abord dénombrer les cases sur la carte de jeu, puis ils feront la même chose pour les jetons ; ainsi, s’il y a le même nombre de cases que de jetons, ils en déduiront qu’ils ont la bonne quantité de jetons. D’autres feront de la correspondance terme à terme en associant un jeton à une case ; ils pourront conclure s’ils ont ou non la quantité requise. Lorsque l’enfant n’a pas la quantité requise, il doit dire combien il en a de plus ou de moins, puis il remet le surplus de jetons ou il en demande d’autres. Cet ajout au jeu, qui peut sembler bien anodin, contient pourtant tout ce qu’il faut pour apprécier les stratégies et les habiletés des enfants en lien avec le concept de nombre, leur méthode de travail et leur capacité à démontrer leur point de vue 2. Il est donc précieux d’exploiter ce que l’on fait déjà et surtout de développer sa compétence à observer les enfants.

1. Cet exemple est légèrement adapté de celui présenté dans un article de Caron et Lamontagne paru dans la Revue préscolaire, automne 2010.

2. Cet exemple est tiré d’une expérience vécue par les élèves de la classe de Louise Biron, enseignante au préscolaire, à l’école Émile-Nelligan, Commission scolaire Marguerite-Bourgeoys.

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PISTES D’ACT IVIT ÉS MAT HÉMAT IQ UES

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A 3

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A

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POUR LE PREMIER CYCLE DU PRIMAIRE Sur la route des Incas Certains livres jeunesse peuvent inspirer des activités intéressantes sur le plan du développement du concept de nombre naturel. Il en est ainsi, par exemple, du livre Maya et Maïpo (Joannaert, 2000) qui peut être utilisé comme mise en situation pour réfléchir à notre façon de dénombrer.

Saviez-vous que certaines personnes en Bolivie et au Pérou utilisent encore aujourd’hui des nœuds et des cordes (ou quipu inca) pour déterminer si tous leurs animaux sont de retour à l’enclos ? Placer les élèves en situation de découverte à propos d’autres façons de faire stimule leur curiosité et leur intérêt, en plus de mettre en perspective les caractéristiques de leur façon de dénombrer.

L’enseignant peut inviter les élèves à faire comme les personnages de l’histoire, par exemple, sous forme de pièce de théâtre ou de spectacle de marionnettes. Trois personnages, un grandpère, une petite fille et un petit garçon, des figurines de moutons, des cruches, des cailloux, des bâtons et des cordes sont requis pour recréer l’histoire et en faire la mise en scène. Costumes, maquettes, etc., tout peut être occasion pour aborder d’autres contenus disciplinaires (arts, français, univers social, etc.) et pour approfondir l’idée de nombre. Il s’agit de scénariser les principaux événements de l’histoire. Par exemple, comment fait-on pour s’assurer que tous les moutons sont de retour ? D’abord en mettant un caillou dans la cruche au passage de chacun des moutons. Mais la cruche deviendra bientôt trop lourde et encombrante à transporter. Alors que faiton ? Le bâton est une solution intéressante, mais il y aura aussi celle de la ceinture en corde. À la découverte de techniques et d’outils anciens Il est aussi possible de fournir des livres de référence adaptés aux jeunes élèves qui abordent les nombres, dont celui de Ganeri (1997), Les nombres. Cet ouvrage présente notamment des photos et des dessins d’instruments qui ont servi ou servent encore pour réaliser le dénombrement par correspondance biunivoque ou terme à terme. Il aborde aussi d’autres procédés de comptage, dont celui d’une tribu de Papouasie-Nouvelle-Guinée avec différentes parties du corps : à partir du petit doigt de la main droite, en passant par le poignet droit, le coude droit, l’épaule droite, l’oreille droite, l’œil droit puis l’œil gauche et ainsi de suite en descendant du côté gauche jusqu’au petit doigt de la main gauche, ce qui fait 20. Il s’agit donc d’une occasion intéressante pour aborder les repères culturels proposés dans le programme (MELS, 2006) et pour comprendre notamment que l’être humain a développé des façons de faire pour faciliter la réalisation de certaines tâches devenues fastidieuses ou désuètes au fil du temps.

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C H A P I T R E

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L’arithmétique : la numération Quelles sont les particularités de notre système de numération ?

Comment favoriser l’acquisition de la numération chez les enfants de 4 à 8 ans ?

Quelles difficultés les enfants peuvent-ils éprouver dans l’apprentissage de la numération ?

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INTRODUCTION La numération est un système de codage des nombres. Ainsi, on peut avoir une idée du nombre sans connaitre le système de numération, tel que précisé dans le chapitre 2. Savoir lire les chiffres de 0 à 9 ou réciter la comptine numérique ne garantit pas une compréhension des nombres, tout comme connaitre l’idée du nombre n’implique pas la compréhension du système de numération. Mais d’où vient notre système de numération et quelles en sont les principales caractéristiques ? Le présent chapitre fait la lumière sur ces deux aspects.

À PROPOS DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION Parmi les systèmes de numération, certains sont plus pratiques que d’autres (Ifrah, 1994 ; Roegiers, 1998a). Par exemple, un système de numération, dans lequel on se contente d’aligner des barres pour exprimer des quantités, ne permet pas facilement de décoder le nombre et de le situer par rapport à d’autres, sauf par un comptage fastidieux. Le système de numération romain est plus pratique sur ce plan, mais ne permet pas d’intercaler des nombres entre XIV et XV, par exemple, ou d’effectuer avec efficacité des opérations comme « XVII x XXIV ».

De manière générale, on s’entend pour dire que ce n’est pas le code ou le système de numération qui fait naitre le nombre, car la nécessité d’exprimer des quantités est apparue bien avant son écriture (Ifrah, 1994). Cependant, c’est le système de numération qui permet, plus ou moins facilement, par le nom ou l’écriture qu’il confère aux nombres, de décoder les nombres, de les situer, de les intercaler, de les comparer et de trouver le résultat d’un calcul écrit.

Dans le même ordre d’idées, ce n’est pas le système de numération qui fait exister l’opération, mais c’est lui qui permet d’en calculer plus ou moins efficacement le résultat.

Plusieurs civilisations ont éprouvé des difficultés à donner un nom aux représentations du nombre. Le défi de nommer les grands nombres ainsi que d’autres obstacles ont donné lieu à la recherche d’un système comprenant un nombre limité de symboles pour exprimer les quantités. En outre, au cours des diverses tentatives de représenter un nombre, on s’est vite rendu compte des difficultés d’associer chaque nombre à un nom et à un symbole différent, comme dans l’exemple A de la figure 3.1 ou, à l’inverse, des problèmes que crée la répétition d’un signe unique pour représenter un nombre, comme dans l’exemple B. F I G U R E

3.1

Exemples de difficultés liées au développement des systèmes de numération Exemple A

Exemple B

40

0 zéro

1 un

2 deux

3 trois

... ...

I un

II deux

III trois

IIII ... quatre ...

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9 neuf

dix

onze...

IIIIIIIIII dix

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(80) et «nonante» (90) en usage en Belgique ou en Suisse. Il est aussi intéressant d’examiner la manière dont les nombres sont formés en anglais et en allemand (Roy, 1979). Selon la langue maternelle d’origine des élèves qui fréquentent la classe, on peut faire la même démarche comparative.

DIFFICULTÉS DE CALCULS LIÉES À UN MANQUE DE MAITRISE DU SYSTÈME DE NUMÉRATION Plusieurs difficultés de compréhension de notre système de numération se répercutent dans les calculs (voir chapitre 4). Par exemple, certains enfants vont effectuer les calculs suivants ainsi : • 26 + 37 = 513 (2 + 3 = 5 et 6 + 7 = 13) • 20 + 5 = 205 • 1,5 + 2,5 = 3,10 Ces enfants n’ont pas nécessairement de difficultés de calcul (ils savent que 6 + 7 = 13, que 5 + 5 = 10, ...), mais ils éprouvent probablement des difficultés à propos du code utilisé pour représenter les nombres, c’est-à-dire dans l’utilisation du système de numération, notamment dans la position des chiffres dans le nombre.

DIFFICULTÉS LIÉES AU ZÉRO Dans l’histoire et l’évolution de la numération, le zéro est arrivé assez tardivement (Ifrah, 1994 ; Roegiers, 1998a). Ce n’est pas parce que le zéro est le premier nombre naturel dans la suite numérique qu’il doit être introduit ou abordé en premier avec les enfants. D’ailleurs, il est rare que l’on commence à compter à partir de zéro, car ne dénombre-t-on pas une collection d’objets à partir de un ? Zéro est en fait un nombre qu’on ne peut amener de façon significative qu’en comparaison avec d’autres nombres ; demander aux enfants de former des collections de six objets, cinq objets, quatre objets, trois objets, deux objets, un objet est pertinent et intéressant pour eux, alors que faire un ensemble ne comprenant aucun objet semble plutôt bizarre... La seule approche du nombre zéro à travers des collections vides apparait en outre insuffisante pour développer une idée riche et fonctionnelle du zéro dans notre système numérique. Elle doit être complétée par l’utilisation adéquate et fréquente de ce chiffre dans notre système d’écriture des nombres et par de nombreuses opérations qui mettent en jeu le zéro dans des additions, des soustractions et des multiplications.

En fait, comme le zéro est un symbole à multiples usages, il peut devenir très ambigu pour plusieurs enfants. Il symbolise une collection vide et, tout à la fois, il a une existence de nombre semblable aux autres. Il a une place sur la droite des nombres au même titre que les autres nombres. Il y joue même un rôle important, puisqu’il est le seul nombre à être à la fois positif et négatif. Zéro est aussi le seul nombre à être multiple de tous les autres. Sans parler de tous les enfants qui sont perdus quand apparait dans un calcul écrit un chiffre en plus, une virgule imprévue ou un zéro à une place qui leur semble inusitée. Faut-il s’étonner que, pour certains enfants, on peut enlever le zéro « puisqu’un zéro ça ne change rien », même si le résultat d’un calcul est 40 317,256 !

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Zéro n’est donc pas rien. Introduire le nombre zéro comme « rien » peut même avoir des conséquences perverses dans l’esprit des enfants (Roegiers, 1998a). Par exemple, l’enfant pour qui « zéro c’est rien » pourra avoir tendance à dire « 5 x 0 = 5 ». En effet, pour lui, multiplier 5 par 0, c’est le multiplier par rien, donc ne pas le multiplier et, par conséquent, le laisser inchangé. Un enfant qui arrive à « 20 000 » dans son résultat, à la suite d’une addition de nombres, peut-il ignorer les zéros à la fin du nombre ? Il faudra donc présenter aux élèves le zéro comme un nombre à part entière. La meilleure façon d’y arriver semble être de varier les approches. En voici quelques exemples : • • • • •

construire différentes collections dont des collections vides ; effectuer des opérations mettant le zéro en œuvre ; situer le zéro sur la droite des nombres ; observer sa présence systématique dans la suite des multiples d’un nombre ; discuter de l’usage du zéro dans la langue d’usage courant, comme « Il n’y a pas de chat ici », « Aucuns frais », « Je ne vois rien » ; • observer différents usages du zéro dans la vie de tous les jours. Sur le thermomètre, zéro indique le changement d’état de l’eau (solide à liquide ou liquide à solide). Sur la règle à mesurer, zéro devient le point de départ à partir duquel on prend la mesure de longueur.

Sur la droite numérique, zéro sert de point repère pour séparer les nombres négatifs des nombres positifs, etc.

Intégration des notions 3 .3

Erreurs liées à la numération

Exam i ne z l e s r é p onses d e s é l ève s. D écr ivez leur erreur et fournissez une hypothèse explicat ive.

A. Jérémie, un élève de deuxième année, fait souvent l’erreur suivante. Écris le nombre de dizaines dans chacun des nombres suivants. a) 385 ? 8

b) 204 ? 0

c) 170 ? 7

d) 666 ? 6

Description de l’erreur : Explication de l’erreur : B. Lorsque l’on demande à Katia, une élève de première année, d’écrire le nombre dix-sept, elle écrit « 71 » ; elle fait la même chose pour n’importe quel nombre de deux chiffres.

Description de l’erreur : Explication de l’erreur : C. On demande à Mathilde de mettre des nombres en ordre croissant. Elle ordonne les nombres ainsi : 1230, 264, 576.

Description de l’erreur : Explication de l’erreur :

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PISTES POUR PRÉVENIR LES DIFFICULTÉS EN NUMÉRATION Tel que présenté précédemment, l’apprentissage de la numération met en jeu plusieurs aspects plus ou moins complexes à développer. L’enfant peut éprouver des difficultés à : • faire des groupements en différentes bases ; • faire des groupements de groupements : dès le départ, faire au moins deux niveaux de groupement, et ainsi de suite ; • défaire des groupements ; • défaire des groupements de groupements, par exemple ; • échanger un ensemble d’éléments contre une unité d’ordre supérieur (par exemple, 10 unités contre 1 dizaine) ; • coder (écrire les symboles) ; • décoder (former une collection à partir de la lecture du symbole) ; • trouver la règle de groupement ; • etc.

ACTIVITÉS DE CODAGE ET DE DÉCODAGE Plusieurs activités préparées pour les élèves du primaire sont des activités de codage, c’est-àdire des activités qui amènent les élèves à relier une activité concrète (par exemple, classer des objets) à une activité semi-concrète (par exemple, dessiner les classements) ou encore à une activité abstraite (par exemple, écrire la quantité d’objets dans chaque classement). On verra aussi beaucoup, dans les manuels scolaires, des activités où l’élève doit relier une activité semi-abstraite à une activité abstraite. Voici deux exemples typiques d’activité de codage : • Écrire le nombre d’objets de chaque ensemble. Ce type d’activité exige que l’élève passe d’une représentation semi-concrète (le dessin d’objets) à une représentation abstraite (le symbole numérique correspondant à la quantité d’objets).

• Dessiner les groupements réalisés avec des blocs. Ici, l’élève doit effectuer le passage entre ce qu’il a réalisé de manière concrète avec les blocs, à une activité semi-concrète qui est ici le dessin de ce qu’il a fait.

Les activités de décodage, souvent moins exploitées en classe, amènent les élèves à relier une activité abstraite (par exemple, un symbole numérique) à une activité semi-concrète (par exemple, dessiner des quantités d’objets) ou encore à une activité concrète (par exemple, donner la quantité d’objets correspondant au symbole numérique). Voici deux exemples d’activité de décodage : • Dessiner le nombre d’objets demandé dans chaque ensemble. Dans ce type d’activité, l’enfant doit dessiner le nombre d’objets correspondant au symbole numérique. Il y a donc passage d’une représentation abstraite (le symbole numérique) à une représentation semiconcrète (le dessin).

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• Donner le nombre d’objets selon le nombre demandé. Ici, l’élève doit effectuer le passage entre l’abstrait (ce qu’il lit, le symbole numérique) et le concret (les objets à donner).

Varier les activités offertes aux élèves contribue à les amener à faire le passage du concret vers l’abstrait (codage) et de l’abstrait vers le concret (décodage). En outre, en maitrisant différentes sortes de situations à proposer en classe, l’enseignant se dote de moyens pour enrichir la compréhension de la numération de ses élèves.

Intégration des notions 3 .4

Codage et décodage

Pour chacune des situations suivantes, dites s’il s’agit d’une activité de codage ou de décodage et spécifiez les niveaux de passage (concret, semi-concret ou abstrait).

Situations

Codage ou décodage

A. Rosie vient de classer une collection d’animaux divers. Elle a fait trois catégories.

Elle doit maintenant écrire combien il y a d’animaux par catégorie.

B. Lucas doit mettre le nombre exact de boutons dans chacun des six sacs qu’il a devant lui, et ce, à partir des symboles numériques indiqués sur chacun des sacs.

C. Après avoir fait une activité de classification, une enseignante de première année fait placer les étiquettes suivantes aux élèves : un, quatre, sept, dix.

D. Julien vient de terminer une page de travail sur laquelle il devait dessiner la bonne figure géométrique. Pour chaque figure, il y avait des instructions de ce type : trois côtés dont deux côtés égaux.

PRINCIPES IMPORTANTS À RETENIR La maitrise des mécanismes de construction de notre système de numération assure la compréhension qu’un élève aura de n’importe quel nombre, y compris des nombres à virgule, des algorithmes du calcul écrit et d’une grande partie des procédés de calcul mental. Bednarz et Janvier (1985) suggèrent quatre façons ou approches qui favorisent la compréhension de la numération : • L’enfant doit manipuler et effectuer les démarches l’amenant à découvrir, voire à construire un système de numération.

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• L’enfant doit pouvoir développer des habiletés fondamentales en numération (grouper, dégrouper, etc.).

• Les situations d’apprentissage doivent être graduées et diversifiées (codage, décodage, etc.).

• L’enfant doit pouvoir réinvestir sa compréhension de la numération dans son apprentissage simultané des opérations arithmétiques.

Les façons d’aborder la numération énoncées par Bednarz et Janvier (1985) illustrent que les enfants du préscolaire et du premier cycle du primaire ont besoin de voir les situations et d’agir sur elles. On gagne aussi à les placer dans des situations de jeu, de questionnement, de communication et de résolution de problèmes. Ces chercheuses proposent également une hiérarchie, dans la présentation du matériel, centrée sur la nature des groupements et des activités pour l’enseignement et l’apprentissage de la numération.

• Représentation apparente. La règle de regroupement des objets est visible. Il est plus facile de travailler si les groupements peuvent se dégrouper ou se grouper facilement (par exemple, les centicubes) que si cela est plus complexe et exige des échanges (par exemple, les blocs en différentes bases).

• Représentation cachée. La règle de groupement n’est pas visible, mais peut facilement être retrouvée (par exemple, les contenants d’œufs).

• Représentation donnée par une convention liée à la position. La règle de groupement est donnée par une position, comme les tiges d’un abaque.

• Représentation donnée par une convention non liée à la position. Le regroupement n’est plus visible ni accessible, tels les jetons de couleurs différentes (par exemple, les jetons rouges représentent les unités, les bleus sont les dizaines et les verts sont les centaines).

Il est aussi possible de regrouper autrement le matériel (Poirier, 2001). Cependant, une constante demeure, celle de prendre soin d’articuler les situations proposées et le matériel d’accompagnement autour des principes de groupement énoncés ci-après.

• Matériel aux groupements apparents et accessibles. Ce matériel est souvent constitué d’objets de tous les jours, tels des boutons que l’on place dans des sacs transparents (petits, moyens, grands). On privilégie ce type de matériel pour aborder la numération, car il permet de former et de modifier facilement les groupements et d’en comprendre la composition (par exemple, inclusion d’un groupement dans un autre et présence de toutes les unités qui les composent ; autrement dit, on voit les boutons dans les sacs transparents).

• Matériel aux groupements apparents mais non accessibles. Les blocs en base dix en sont un exemple. Ce matériel permet de voir le type de groupement, mais toutes les unités ne sont pas toujours apparentes comme c’est le cas, par exemple, pour les unités de mille. De plus, il faut procéder à des échanges pour pouvoir représenter différents nombres.

Cette caractéristique du matériel, l’échange, sera fort utile pour traiter les opérations arithmétiques tout en permettant de continuer à se familiariser avec les groupements et leur composition.

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• Matériel aux groupements symboliques. Les abaques, les bouliers, les jetons, l’argent sont des exemples de ce type de matériel. Celui-ci exige que l’enfant ait compris la règle de groupement, parce qu’il n’y a plus d’indices liés à ceux-ci, car tous les jetons sont de même grosseur ou parfois seule la couleur peut rappeler le niveau de groupement. D’autre part, ce matériel exige la maitrise de l’échange, dès que l’on modifie les nombres par l’ajout ou le retrait de certaines quantités. Toutefois, il permet aussi de se centrer sur la valeur positionnelle des nombres. Si certains enfants peuvent apprécier son caractère mystérieux et être stimulés à en comprendre le fonctionnement, d’autres pourront être déstabilisés par son usage complexe et abstrait et ne pas en retirer le plein potentiel. Il convient donc de juger s’il est approprié ou non de l’utiliser de manière systématique avec tous les élèves et à quel moment l’introduire à toute la classe.

Intégration des notions 3 .5

Apprentissage de la numération

Pour chacun des types de matériel, fournissez un exemple de situation et du matériel requis pour faire comprendre notre système de numération (groupement, valeur de position, etc.).

Types de matériel

Exemples de situation

Matériel aux groupements apparents et accessibles.

Matériel aux groupements apparents mais non accessibles.

Matériel aux groupements symboliques.

DIFFICULTÉS ASSOCIÉES À L’APPRENTISSAGE DE LA NUMÉRATION Sans reprendre en détail les différents éléments abordés dans les sections précédentes, il faut certes convenir que, contrairement à ce que l’on peut penser, l’apprentissage de la numération doit être abordé sous plusieurs aspects, dont le sens accordé à son usage (représenter, opérer). Certaines difficultés rencontrées par les élèves résultent parfois d’un enseignement de règles et de techniques qui ne donnent pas toujours sens au système que nous utilisons ni aux propriétés qui le caractérisent (groupements et position). Par exemple, si l’on dit que les unités se trouvent à droite du nombre et que les centaines sont à gauche, qu’arrivera-t-il lorsque l’élève devra écrire un nombre décimal (par exemple, le prix d’un article à 15,98 $) ou plus grand que 999 ? Les sections suivantes présentent certaines difficultés qui se manifestent parfois en lien avec les principes de groupements et de valeur positionnelle de notre système de numération, et aussi en lien avec le vocabulaire utilisé pour désigner les nombres et leurs caractéristiques.

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ERREURS LIÉES AUX PRINCIPES DE GROUPEMENTS Pour aborder la numération, les enfants sont souvent invités à grouper des objets selon certaines règles, par exemple en groupant les objets par dix. Dans ce cas, si les quantités sont inférieures à 100, ils n’ont jamais à réaliser deux niveaux de groupements (dizaines et centaines), c’est-à-dire que les enfants font peu souvent l’expérience de l’inclusion d’un groupement dans un autre (mettre 10 dizaines pour former 1 centaine). Ainsi, lorsque l’enfant a 283 objets à placer en paquets de 10, il ne pense pas toujours à grouper 10 paquets de 10 objets ensemble pour former la centaine, et encore moins à former les 2 centaines nécessaires pour les 283 objets à grouper. L’usage de bases plus petites, comme trois, cinq ou six, peut contribuer à faire vivre des expériences de groupements et groupements de groupements avec moins d’objets à manipuler.

Lorsque les groupements sont faits, en centaines et en dizaines, certains enfants ne pensent plus aux unités qu’ils contiennent. Ils oublient aussi parfois les dizaines que contiennent les centaines. De sorte que, lorsqu’on enlève des objets, par exemple 34 objets d’un ensemble de 2 centaines, 1 dizaine et 8 unités, ils peuvent retirer les 4 unités des 8 unités disponibles et non regroupées, mais ne savent pas comment enlever les 3 dizaines. Ils ne voient que 1 dizaine alors qu’il y en a 21 complètes.

Composer des nombres avec des groupements différents de ceux que l’enfant connait peut devenir complexe si l’enfant ne comprend pas le système de groupement. Ainsi, si l’enfant est invité à écrire le nombre qui contient 2 centaines et 54 dizaines, il sera tenté d’écrire 254. Ou bien encore, des enfants pourraient penser que 18 unités et 4 dizaines représentent le nombre 184.

ERREURS LIÉES AU PRINCIPE DE POSITION ET DE VALEUR DE POSITION Certaines difficultés rencontrées par les élèves résultent des termes utilisés. Par exemple, pour un nombre naturel, le mot « unité » désigne au moins trois idées : • une position (pour le nombre 354, 4 est à la position des unités), • un groupement d’unités (pour le nombre 7 839, 7 désigne les unités de mille) • et une quantité d’unités (pour le nombre 423, il y a quatre-cent-vingt-trois unités).

Ainsi, pour certains élèves, il n’est pas simple de distinguer les deux questions suivantes : • Combien y a-t-il d’unités dans le nombre 247 ?

• Quel chiffre est en position des unités dans le nombre 247 ?

Par ailleurs, dans un nombre, il peut y avoir des groupements dans d’autres groupements.

Par exemple, pour le nombre 579, il y a 5 centaines complètes et 57 dizaines complètes. Il faut donc que l’élève distingue une position de la valeur positionnelle et qu’il saisisse l’inclusion d’un groupement dans un autre. Ainsi, pour certains élèves, il n’est pas simple de répondre aux questions suivantes : • Combien y a-t-il de dizaines complètes dans le nombre 835 ?

• Quel chiffre est en position des dizaines dans le nombre 835 ?

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PISTES D’ACTIVITÉS SUR L A N UMÉRAT IO N

POUR LE PREMIER CYCLE DU PRIMAIRE Les boites de céréales Cette activité 3 requiert du matériel fabriqué en carton qui comporte des boites (pour représenter les unités), des caisses (pour représenter un premier niveau de groupement : des boites dans des caisses) et des paniers (pour représenter un deuxième niveau de groupement : des caisses dans des paniers). Ce matériel familier, peu couteux et facile à manipuler, rend accessible la règle de groupement tout en permettant d’ajouter ou d’enlever les objets. Après avoir sensibilisé les élèves aux différentes façons de grouper les objets dans la vie courante (par exemple, les boites à jus sont groupées par 3 ou par 6 ; les œufs, par 6, 12, 18, 24, etc.) et à l’utilité de le faire, on les invite à simuler une usine où on emballe des boites de céréales. Pour ce faire, on organise une chaine de montage. Certains élèves sont désignés pour exécuter les différentes tâches de la chaine de montage et les autres observent ce qui se passe. Ainsi, après cinq minutes, trois paniers et deux caisses ont été remplis. La règle de groupement est régulière d’un groupement à l’autre (par exemple, six boites par caisses, six caisses par panier), mais la règle peut varier d’une équipe à l’autre. Les enfants peuvent déterminer cette règle. Elle peut être énoncée avant de commencer la chaine de montage ou encore être secrète, c’est-à-dire à faire découvrir par les observateurs une fois les emballages terminés. On pourra demander combien de boites de céréales ont été nécessaires pour réaliser le montage, quelle règle de groupement a été utilisée, etc. Par la suite, on invite les élèves à compléter des commandes écrites. Ces commandes peuvent être écrites selon différents procédés (par exemple, par dessins) par l’enseignant, ou encore par les élèves eux-mêmes.

Bien entendu, on peut varier le matériel et trouver d’autres contextes et variantes à l’activité des boites de céréales (par exemple, des boutons, des bâtonnets, des crayons, etc.). Cependant, ce qui doit être préservé, c’est l’importance de placer l’enfant en contexte où il est fréquemment mis en situation de résolution de problèmes et où il a recours au matériel naturellement. À travers ces différentes explorations, il se questionne, il modifie ou raffine ses conceptions. Il apprend aussi que les mathématiques ne sont pas un ensemble de règles, de lois à retenir ou de consignes à suivre, mais qu’elles se construisent et surtout se comprennent.

Tout en s’assurant de mettre en action les élèves, il importe d’aborder la notion de groupement (au moins deux niveaux de groupement) ainsi que les dégroupements, en faisant mettre et enlever des quantités d’objets. On prendra soin de donner du sens à l’écriture et à la lecture des nombres en engageant l’élève dans un véritable processus de réflexion sur les groupements et la position des chiffres dans un nombre. Par exemple, on explorera différentes façons d’écrire les nombres de manière moins traditionnelle, comme 258 peut s’écrire : 4 dizaines, 2 centaines et 18 unités. On prendra soin de trouver des contextes réalistes (par exemple, la fabrication de chocolats ou de biscuits) dans lesquels les élèves ont à communiquer et à opérer (par exemple, répondre à une commande téléphonique ou à un courriel). Approfondir le sens de l’écriture et de la lecture des nombres contribuera à mieux faire comprendre les opérations sur les nombres dont il sera question au chapitre 4.

3. Activité inspirée d’une expérimentation de Bednarz et Janvier (1986).

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POUR LE PREMIER CYCLE DU PRIMAIRE On joue au magasin Dans cette activité 4, les élèves ont l’opportunité d’acheter des objets de la classe à des prix ne dépassant pas 20 dollars. Chaque enfant a deux faux billets de 10 dollars en papier. Un élève joue le rôle du banquier et a devant lui un panier rempli d’attaches à pain qui remplacent les pièces de 1 dollar. L’enseignante reçoit le paiement final mais impose une contrainte : elle veut recevoir le montant exact. Tour à tour, les élèves choisissent un objet préalablement étiqueté. Par exemple, un élève achète un boulier étiqueté à 8 dollars. L’élève doit demander au banquier d’échanger son 10 dollars contre 10 pièces de 1 dollar. Il peut ensuite remettre 8 dollars (8 attaches à pain) à l’enseignante. Pour un objet coutant 14 dollars, l’élève doit comprendre qu’il peut payer avec un billet de 10 dollars, mais qu’il devra avoir 4 pièces de 1 dollar pour compléter le montant. Il doit donc échanger son deuxième billet de 10 dollars contre 10 pièces de 1 dollar.

Le compte est bon : 14 dollars, c’est un billet de 10 dollars avec 4 pièces de 1 dollar. En langage mathématique, nous avons là un groupe de 10 (ou 1 dizaine) et 4 unités. Les situations avec l’argent exigent des adaptations et occasionnent parfois des difficultés aux élèves, car le système monétaire repose tantôt sur le dollar comme unité, tantôt sur les cents (5, 10, 25) qui ne suivent pas le principe de la base 10. C’est pourquoi, dans le jeu proposé, les objets ont une valeur entière, en dollars. Il faut aussi souligner que les jeux avec l’argent comportent une certaine abstraction parfois difficile à saisir, puisqu’il faut procéder à des échanges pour passer, par exemple, du billet de 10 aux pièces de 1 et vice versa.

4. Activité réalisée par France Lamontagne, enseignante, à l’école Marie-Reine, Commission scolaire de Sherbrooke.

CHAPITRE 3 • L’arithmétique : la numération

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CONCLUSION Contrairement à ce que l’on peut penser, l’apprentissage de la numération s’avère ardue pour certains enfants, de là l’importance de l’aborder en s’appuyant sur du matériel et des activités qui permettent d’en comprendre le sens et la portée. En outre, cet apprentissage se déroulera sur plusieurs années car, une fois les nombres naturels compris, suivront les nombres fractionnaires et décimaux qui représentent à eux seuls d’autres défis pour l’enseignement. Aussi, il convient de rappeler que le système de numération ne sert pas uniquement à représenter les quantités, il a aussi son importance dans le traitement des opérations, ainsi que nous le verrons au chapitre 4.

Pour en savoir plus Guedj, D. (1996). L’empire des nombres. Paris : Gallimard.

Site sur l’histoire des mathématiques, dont celle de la numération à la rubrique « Des hommes et des maths » : http://www.pratiquemath.org

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Le développement de la pensée mathématique chez l’enfant

Diane Biron, Ph. D. avec la collaboration d’Élaine Caron et de Louis Côté

Comment accompagner le jeune enfant dans ses découvertes mathématiques ?

Comment traiter les notions et concepts fondamentaux de ce domaine en classe ?

Quelles sont les principales difficultés associées à son apprentissage et à son enseignement ? De quelle manière maintenir le gout de la découverte de cet univers chez l’enfant de 4 à 8 ans ?

En plus de répondre à ces questions, cet ouvrage propose : • une présentation des notions prévues au programme de formation du préscolaire au premier cycle du primaire, en particulier sur l’arithmétique, la géométrie, la mesure, la statistique et la probabilité ; • des indications sur le développement du raisonnement et des compétences mathématiques chez l’enfant ; • des conseils sur l’intervention éducative et l’observation des stratégies mobilisées par l’enfant ; • des pistes pour comprendre les difficultés et les erreurs observées ; • des précisions sur l’évaluation et la progression des appren­tissages ; • des démonstrations de pratiques enseignantes mettant l’accent sur l’éveil de l’enfant à la mathématique et sur ses ressources personnelles.

Cet ouvrage de référence se veut aussi une source d’inspiration pour les enseignants du préscolaire et du premier cycle du primaire, en formation et en exercice, afin de favoriser le développement de la pensée mathématique chez l’enfant.

L’auteure, Diane Biron, est professeure agrégée à la Faculté d’éducation de l’Université de Sherbrooke. Élaine Caron et Louis Côté, chargés de cours à l’Université de Sherbrooke, ont collaboré à la rédaction de cet ouvrage.

CODE DE PRODUIT : 251682 ISBN 978-2-7617-3885-9

Diane Biron DÉVELOPPEMENT DE LA PENSÉE MATHÉMATIQUE CHEZ L’ENFANT Du préscolaire au premier cycle du primaire

Du préscolaire au premier cycle du primaire

VERS DES PRATIQUES D’ENSEIGNEMENT

DÉVELOPPEMENT DE LA PENSÉE MATHÉMATIQUE CHEZ L’ENFANT