Intervalle FBD MAT-4173 by Les Éditions CEC

• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Des annexes ; • Le corrigé du cahier.

STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MEESR) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ;

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 218351

ISBN 978-2-7617-7847-3

9 782761 778473

Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

MAT-4173- 2

• Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;

Cahier d’apprentissage

STRUCTURE D’UN CAHIER

Inter va ll e

De plus, la collection Intervalle innove en offrant, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au cahier numérique aux utilisateurs élèves et, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au guide d’enseignement numérique aux utilisateurs enseignants.

Mathématique Séquence Sciences naturelles

2e année du 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux

Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours des séquences Sciences naturelles (SN) et Culture, société et technique (CST) de 4e secondaire.

Mathématique 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

MAT-4173-2

Représentation géométrique en contexte fondamental 1

Cahier d’apprentissage • • • • •

Notions Exercices Problèmes SAÉ-SÉ Tests et examen formatif Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE

MathMatie1(unite36-38)_4.qxp: G-6 Mention ÂŠ

25/03/10

11:18

Page 82

PRÉSENTATION DU CAHIER ................... V TEST DIAGNOSTIQUE ................................... 1

CHAPITRE 1

TRIANGLES ET FIGURES ÉQUIVALENTES ................................................ 5 RAPPEL 1 Relation de Pythagore, triangle, proportion et figures et solides semblables ................................ 7 SECTION 1.1 Triangles isométriques et semblables ..................... 17 1.1.1 Triangles isométriques........................................ 17 1.1.2 Triangles semblables .......................................... 24 1.1.3 Raisonnement déductif ...................................... 31

CHAPITRE 2 TRIGONOMÉTRIE ......................................... 99 RAPPEL 2 Triangle et relation de Pythagore ........................... 101 SECTION 2.1 Rapports trigonométriques .................................... 107 2.1.1 Sinus et son inverse ......................................... 107 2.1.2 Cosinus et son inverse .................................... 112 2.1.3 Tangente et son inverse ................................... 117 2.1.4 Résolution d’un triangle ................................... 122 Consolidation 2.1 ...................................................... 129

Consolidation 1.1 ........................................................ 37 SECTION 1.2 Figures équivalentes et solides équivalents ........... 42

SECTION 2.2 Relations trigonométriques .................................... 135 2.2.1 Loi des sinus .................................................... 135

1.2.1 Lignes équivalentes et périmètre ....................... 42

2.2.2 Loi des cosinus ................................................ 140

1.2.2 Figures équivalentes et aire ................................ 44

2.2.3 Aire d’un triangle quelconque .......................... 145

1.2.3 Solides équivalents et volume ............................ 48

Consolidation 2.2 ...................................................... 151

1.2.4 Propriétés des figures équivalentes et des solides équivalents .................................. 52

SYNTHÈSE 2 ............................................................ 157

Consolidation 1.2 ........................................................ 56

BANQUE DE SA 2 .................................................... 165

SECTION 1.3 Relations métriques .................................................. 60 1.3.1 Première relation métrique ................................. 60 1.3.2 Deuxième relation métrique ............................... 63

SAÉ 2 : L’arpentage.................................................. 171 TEST 2 ...................................................................... 174

GARDER LE CAP CHAPITRES 1 ET 2 .................................... 181

1.3.3 Troisième relation métrique ................................ 66 Consolidation 1.3 ........................................................ 69 SYNTHÈSE 1 .............................................................. 75 BANQUE DE SA 1 ...................................................... 83 SAÉ 1 : Le développement d’un nouveau produit .... 89 TEST 1 ........................................................................ 92

TABLE DES MATIÈRES

III

CHAPITRE 3 MESURES ET POSITIONS ................... 185

RÉVISION ....................................................... 235

RAPPEL 3 Taux de variation et règle d’une fonction polynomiale du premier degré ............................... 187

BANQUE DE SA ......................................... 245 SÉ 1 : L’imagerie par satellite ........ 255

SECTION 3.1 Pente d’une droite ou d’un segment de droite ..... 194

SÉ 2 : Le génie civil ................................ 258

SECTION 3.2 Distance entre deux points..................................... 200

EXAMEN FORMATIF ................................ 261

SYNTHÈSE 3 ............................................................ 207

GLOSSAIRE ....................................................271

BANQUE DE SA 3 .................................................... 215 SAÉ 3 : L’architecture .............................................. 221 TEST 3 ...................................................................... 224

ANNEXES ....................................................... 277 CORRIGÉ ....................................................... 281

GARDER LE CAP CHAPITRES 1 À 3 ...................................... 231

TABLE DES MATIÈRES

Le cahier Intervalle, MAT-4173-2 : Représentation géométrique en contexte fondamental 1 s’adresse aux élèves de la 2e année du 2e cycle du secondaire en mathématique de la Formation de base diversifiée (FBD), séquence Sciences naturelles (SN). Il comporte un Test diagnostique suivi de trois chapitres. Après le chapitre 2 et après le chapitre 3, une rubrique Garder le cap est proposée. À la fin du cahier, on trouve, dans l’ordre, une rubrique Révision, une rubrique Banque de SA, deux situations d’évaluation (SÉ ), un Examen formatif, un glossaire, des annexes et un corrigé du cahier.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique vous permet de vérifier la maîtrise des connaissances préalables à la poursuite de votre parcours en 2e année du 2e cycle du secondaire pour le cours MAT-4173-2. Il comprend quatre pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

CHAPITRES

Chacun des trois chapitres du cahier débute par une page d’introduction où figure une mise en situation qui met en rapport les savoirs à acquérir et leur utilité dans la vie de tous les jours. Une rubrique Programme d’études présente ensuite la liste des énoncés du programme qui sont à l’étude dans le chapitre. Enfin, un sommaire du chapitre est présenté pour faciliter le repérage. Au verso de la page d’introduction se trouve une table des matières détaillée du chapitre. Chaque chapitre commence par une rubrique Rappel de six, sept ou dix pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Chaque chapitre est divisé en deux ou trois sections, certaines étant subdivisées en sous-sections de deux à sept pages présentant la ou les notions à l’étude, étape par étape. Chaque sous-section est composée d’un encadré théorique ou plus comportant cette ou ces notions accompagnées d’un exemple et d’une démarche, s’il y a lieu. Lorsque nécessaire, on trouve également une rubrique En pratique qui permet de modéliser un exercice à effectuer ou un problème à résoudre. Chaque encadré théorique est suivi d’exercices destinés à l’application des nouvelles notions. Dans le texte courant, le gras est utilisé pour mettre en évidence les termes importants. Les mots en bleu et en gras sont définis dans le glossaire situé à la fin du cahier. Le pictogramme indique la présence de contenu enrichi ou facultatif. L’utilisation de ce pictogramme dans les exercices et les problèmes n’exclut pas qu’une démarche utilisant les savoirs prescrits par le programme soit possible. Des exercices et des problèmes vous permettent ensuite de vérifier et de consolider votre compréhension des notions fraîchement acquises. Chaque section, à l’exception des sections 3.1 et 3.2, se termine par une rubrique Consolidation de quatre à six pages qui propose des exercices et des problèmes en contexte visant à réinvestir l’ensemble des notions traitées dans les sous-sections. Une récapitulation en huit pages, appelée Synthèse, vient à la suite de la dernière section d’un chapitre. On y trouve des exercices et des problèmes en contexte portant sur l’ensemble des notions présentées dans le chapitre. À la suite de la Synthèse se trouve la Banque de SA. Il s’agit d’une rubrique de six pages qui comporte de courtes situations d’apprentissage (SA) permettant d’intégrer l’ensemble des connaissances acquises au cours du chapitre. Vient ensuite une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ ) sur trois pages dans laquelle vous devez effectuer trois tâches en lien avec le thème de la SAÉ. Un pictogramme indique le numéro de page où se trouve le corrigé.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Finalement, un Test de sept pages clôt le chapitre. Celui-ci est divisé en deux parties : la partie Évaluation explicite des connaissances, sur un total de 20 points, et la partie Évaluation des compétences, sur un total de 80 points. Ce test, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-4173-2, vous permet d’avoir une rétroaction rapide sur l’état de vos apprentissages et du développement de vos compétences. Le corrigé des tests n’est pas disponible dans le corrigé du cahier.

GARDER LE CAP

Les rubriques Garder le cap vous permettent de garder à jour les connaissances acquises tout au long de votre parcours. On y trouve notamment des exercices et des problèmes en contexte qui portent sur les notions étudiées dans le chapitre que vous venez de terminer et sur celles du ou des chapitres précédents.

RÉVISION

La rubrique Garder le cap est suivie d’une rubrique Révision de dix pages qui permet de survoler l’ensemble des notions vues dans le cours MAT-4173-2. Cette rubrique propose des questions à choix multiple, des questions à réponse courte et des questions à développement, et se veut un retour sur l’ensemble des connaissances, dites explicites, acquises dans le cadre du cours.

BANQUE DE SA

À la suite de la rubrique Révision est proposée une rubrique Banque de SA, comme celles qu’on trouve à la fin de chacun des chapitres. Présentée sur dix pages, elle propose de courtes situations d’apprentissage (SA) en lien avec l’ensemble des notions du cahier.

SITUATIONS D’ÉVALUATION (SÉ)

Deux situations d’évaluation (SÉ ) sont offertes, chacune comportant trois tâches réparties sur trois pages. Les SÉ vous permettent d’évaluer l’état du développement des compétences à acquérir dans le cadre du cours MAT-4173-2 en plus de vous préparer à la partie Évaluation des compétences telle qu’on la trouve dans l’épreuve édictée pour ce cours. Contrairement aux SAÉ de fin de chapitre, les corrigés des SÉ ne sont pas disponibles dans le corrigé du cahier. © 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

PRÉSENTATION DU CAHIER

VII

EXAMEN FORMATIF

Un Examen formatif de dix pages, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-4173-2, est offert à la fin du cahier. Il comporte deux parties distinctes. La partie Évaluation explicite des connaissances comporte cinq questions de connaissances et représente 20 % de la note de l’examen. La partie Évaluation des compétences comporte quatre tâches, la dernière demandant de confirmer ou de réfuter une affirmation. Cette partie représente 80 % de la note de l’examen. Ici aussi, le corrigé de l’examen formatif n’est pas disponible dans le corrigé du cahier. GLOSSAIRE

Un glossaire de six pages se trouve à la suite de l’examen formatif. Chaque mot en bleu et en gras dans le texte courant du cahier y est défini. ANNEXES

À la suite du glossaire sont proposées des annexes de quatre pages, des fiches utiles dans votre apprentissage des mathématiques. CORRIGÉ

Le corrigé des exercices, des problèmes, des SA et des SAÉ est présenté à la fin du cahier, à la suite des annexes. On y trouve les réponses ainsi que les principaux calculs et démarches permettant de résoudre les problèmes en contexte, les SA et les SAÉ.

VERSION NUMÉRIQUE

Un code à gratter donnant accès à la version numérique du cahier est disponible au tout début du cahier. Accessible à partir du site MaZoneCEC, cette version vous permet : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’écrire vos réponses dans votre cahier ; • de travailler dans votre cahier sans connexion Internet ; • d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic.

VIII

PRÉSENTATION DU CAHIER

p. 281

Questions à choix multiple

Parmi les mesures suivantes, laquelle équivaut à 0,000 125 cm ? a) 1,25 cm

b) 125 10 3 cm

c) 1,25 104 cm

d) 1,25 10 4 cm

2 À combien de décimètres cubes correspond un décamètre cube ? a) 100 dm3

b) 0,01 dm3

c) 1 000 000 dm3

d) 0,000 000 1 dm3

3 Le rapport des aires de deux solides semblables est de 9. Quel est le rapport de leurs volumes ? a) 27

b) 18

c) 9

d) 3

4 Lequel des triplets suivants est associé aux mesures des côtés d’un triangle rectangle ? a) 3 cm, 4 cm et 7 cm

b) 11 cm, 12 cm et 13 cm

c) 8 cm, 8 cm et 10 cm

d) 20 cm, 21 cm et 29 cm

5 Le rapport des volumes de deux solides semblables est 216. Quel est le rapport de leurs périmètres ? a) 36

b) 6

c) 9

d) 72

6 Si l’hypoténuse et l’une des cathètes d’un triangle rectangle mesurent respectivement 34 mm et 18 mm, quelle est la mesure de la seconde cathète ? a) 16 mm

b) 26 mm

c) 28,8 mm

d) 38,5 mm

7 Quelle est la hauteur d’un cône circulaire droit dont la mesure de l’apothème est de 20 cm et celle du diamètre de la base, de 18 cm ? a) 8,7 cm

b) 17,9 cm

c) 21,9 cm

d) 26,9 cm

8 Quelle est la capacité d’un contenant dont le volume est de 341 cm3 ? a) 341 ml

b) 341 cl

c) 34,1 dl

d) 0,0341 L

9 Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ? a) Un triangle rectangle peut avoir un angle obtus. b) La relation de Pythagore peut être vérifiée dans n’importe quel triangle. c) Tous les carrés sont semblables entre eux. d) Si deux solides sont semblables, le rapport de leurs arêtes est égal au rapport de leurs aires. © 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

TEST DIAGNOSTIQUE

p. 281

19 Dans chaque cas, déterminez la mesure manquante. b)

a) 38,52 mm

15,03 cm

33,41 mm 7,01 cm

4,89 dm

11,23 dm

26,56 hm 38,58 hm

20 Déterminez, en décimètres carrés, l’aire totale de chacun des solides suivants. a) Une boule dont le volume est de 209,952 cm3.

b) Un cube dont la capacité est de 551,368 L.

TEST DIAGNOSTIQUE

Triangles et figures équivalentes Dans ce chapitre, vous étudierez différents concepts concernant les triangles. Vous explorerez les conditions minimales qui vous permettront de distinguer les triangles isométriques et les triangles semblables. Ces conditions minimales vous permettront, ensuite, d’aborder le raisonnement déductif, essentiel à la notion de preuve mathématique. Par la suite, les notions de lignes, de figures et de solides équivalents seront exposées. Finalement, vous découvrirez trois relations métriques permettant de déterminer les mesures dans un triangle rectangle. Notre quotidien est rempli de figures semblables ou isométriques. En effet, une photo, par exemple, est constituée de plusieurs figures semblables à celles de la réalité dans laquelle elle a été prise. Plusieurs métiers ou professions, comme arpenteurgéomètre, spécialiste en animation 2D ou 3D et concepteur de jeux vidéo, font appel au quotidien à la réalité des figures semblables.

Programme d’études RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE • Détermination de mesures à l’aide de relations métriques dans le triangle TRIANGLES SEMBLABLES ET ISOMÉTRIQUES • Détermination des conditions minimales d’obtention de triangles isométriques ou semblables FIGURES ÉQUIVALENTES • Détermination de mesures

RAPPEL 1 Relation de Pythagore, triangle, proportion et figures et solides semblables................. 7

SECTION 1.1 Triangles isométriques et semblables.......................... 17 SECTION 1.2 Figures équivalentes et solides équivalents.............. 42

SECTION 1.3 Relations métriques................. 60

SYNTHÈSE 1.............. 75 BANQUE DE SA 1.... 83 SAÉ 1.............................. 89 TEST 1........................... 92

CHAPITRE 1

TRIANGLES ET FIGURES ÉQUIVALENTES ..................................................................................

RAPPEL 1 Relation de Pythagore, triangle, proportion et figures et solides semblables ..................

SECTION 1.1 Triangles isométriques et semblables ...................................................................................

1.1.1 Triangles isométriques .....................................................................................................

1.1.2 Triangles semblables .......................................................................................................

1.1.3 Raisonnement déductif ....................................................................................................

Consolidation 1.1 ......................................................................................................................

SECTION 1.2 Figures équivalentes et solides équivalents .........................................................................

1.2.1 Lignes équivalentes et périmètre .....................................................................................

1.2.2 Figures équivalentes et aire .............................................................................................

1.2.3 Solides équivalents et volume .........................................................................................

1.2.4 Propriétés des figures équivalentes et des solides équivalents ......................................

Consolidation 1.2 ......................................................................................................................

SECTION 1.3 Relations métriques ................................................................................................................

1.3.1 Première relation métrique ...............................................................................................

1.3.2 Deuxième relation métrique .............................................................................................

1.3.3 Troisième relation métrique ..............................................................................................

Consolidation 1.3 ......................................................................................................................

SYNTHÈSE 1 ............................................................................................................................

BANQUE DE SA 1 ....................................................................................................................

SAÉ 1 : Le développement d’un nouveau produit ................................................................

TEST 1 ......................................................................................................................................

Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................

Évaluation des compétences ....................................................................................................

CHAPITRE 1

TABLE DES MATIÈRES

Relation de Pythagore, triangle, proportion et figures et solides semblables RELATION DE PYTHAGORE • Dans un triangle rectangle :

– l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long des trois côtés ;

Hyp

otén

Cathète

– une cathète est un côté de l’angle droit.

use

Cathète

• Dans un triangle rectangle, on peut appliquer la relation de Pythagore : Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes, c’est-à-dire que : (mesure d’une cathète)2 (mesure de l’autre cathète)2 (mesure de l’hypoténuse)2 Exemples :

1) (m DE )2 (m DF )2 (m EF )2

7 2 42 49 16

7 cm

4 cm

65 m DE

8,06 cm 2 2 2 2) ( m HI ) ( m GH ) ( m GI )

54 2 422 ( m GI )2 2916 1764 ( m GI )2 1152 ( m GI )2 m GI 1152 33,94 dm

42 dm

? 54 dm I

• Si les mesures des côtés d’un triangle vérifient la relation de Pythagore, alors il est rectangle. Exemple : Les côtés du triangle ABC mesurent respectivement 12 cm, 5 cm et 13 cm. 122 52 132 144 25 169 169 169 Le triangle ABC est donc rectangle.

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

p. 281

Déterminez la mesure manquante de chacun des triangles rectangles ci-dessous. a)

5,47 cm

2,38 cm

c) ?

4,02 cm

7,38 cm

? 4,02 cm

52,28 cm

11,47 cm

2,53 cm

0,94 cm

6,75 cm ?

? ?

39,11 cm

67,82 cm 49,26 cm

21,72 cm

0,27 cm

16,85 cm

14,37 cm

20,32 cm

? 9,63 cm 15,41 cm

1,29 cm

1,37 cm

0,68 cm 0,76 cm

CHAPITRE 1

RAPPEL 1

Triangles isomĂŠtriques et semblables 1.1.1

Triangles isomĂŠtriques

CONDITIONS MINIMALES Dâ&#x20AC;&#x2122;ISOMĂ&#x2030;TRIE DES TRIANGLES Deux triangles sont isomĂŠtriques sâ&#x20AC;&#x2122;ils vĂŠrifient lâ&#x20AC;&#x2122;une ou lâ&#x20AC;&#x2122;autre des trois conditions ci-dessous. 1. Deux triangles qui ont leurs cĂ´tĂŠs homologues isomĂŠtriques sont isomĂŠtriques (CCC). Lâ&#x20AC;&#x2122;abrĂŠviation CCC, signifiant CĂ´tĂŠ-CĂ´tĂŠ-CĂ´tĂŠ, peut ĂŞtre utilisĂŠe pour reprĂŠsenter cet ĂŠnoncĂŠ. Exemple :

AB DF

A 5 cm

D 5 5cmcm

D 5 cm

BC FE AC DE

B 7 cm

7 cm

Donc, ABC DFE.

F 7 cm

6 cm 6 cm

6 cm C

7 cm

6 cm

2. Deux triangles qui ont un cĂ´tĂŠ isomĂŠtrique compris entre deux angles homologues isomĂŠtriques sont isomĂŠtriques (ACA). Lâ&#x20AC;&#x2122;abrĂŠviation ACA, signifiant Angle-CĂ´tĂŠ-Angle, peut ĂŞtre utilisĂŠe pour reprĂŠsenter cet ĂŠnoncĂŠ. Exemple :

â&#x2C6; CAB â&#x2C6; EDF

AC DE 4 cm 20Â°

â&#x2C6; ACB â&#x2C6; DEF Donc, ABC DFE.

130Â°

130Â° B

20Â° 4 cm E

3. Deux triangles qui ont un angle isomĂŠtrique compris entre deux cĂ´tĂŠs homologues isomĂŠtriques sont isomĂŠtriques (CAC). Lâ&#x20AC;&#x2122;abrĂŠviation CAC, signifiant CĂ´tĂŠ-Angle-CĂ´tĂŠ, peut ĂŞtre utilisĂŠe pour reprĂŠsenter cet ĂŠnoncĂŠ. Exemple : AC FE

â&#x2C6; CAB â&#x2C6; EFD

5 cm

AB FD Donc, ABC FDE.

ÂŠ 2016, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

120Â°

D E 6 cm

6 cm

C B

CHAPITRE 1

120Â°

5 cm

Triangles isomĂŠtriques et semblables

Voici un premier exercice à effectuer. Montrez que les deux triangles ci-contre sont isométriques.

D 4m

F A

Voici un exemple de démarche possible. Repérez chaque paire de côtés homologues en associant les côtés dont les mesures sont les plus petites et ainsi de suite. Vérifiez que chaque paire de côtés homologues est isométrique.

Nommez la condition minimale d’isométrie qui permet d’affirmer que les triangles sont isométriques, ici CCC.

AB est homologue à EF . BC est homologue à FD . AC est homologue à ED . mA AB = m EF = 3 m m BC = m FD = 4 m m AC = m EED = 2 m Donc, ∆ ABC = ˜ ∆ EFD par la condition minimale CCC.

Voici un deuxième exercice à effectuer. Montrez que les deux triangles ci-contre sont isométriques.

30° A

70° 35 m

35 m

30° C

70° F

Voici un exemple de démarche possible.

Repérez deux paires d’angles homologues entre lesquelles est comprise une paire de côtés homologues.

∠ BAC est homologue à ∠ EFD. AC est homologue à FD. ∠ ACB est homologue à ∠ FDE.

Vérifiez que les deux paires d’angles homologues sont isométriques et que la paire de côtés homologues est isométrique.

m ∠ BBAC AC = m ∠ EFD = 70° m AC = m FD = 35 m m ∠ ACB ACB = m ∠ FDE = 30°

Nommez la condition minimale d’isométrie qui permet d’affirmer que les triangles sont isométriques, ici ACA.

Donc, ∆ ABC = ˜ ∆ FED par la condition minimale ACA.

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 283

Voici un troisième exercice à effectuer. B

Montrez que les deux triangles ci-contre sont isométriques.

4,1 m

50° E

4,5 m 4,5 m

50° C

4,1 m

Voici un exemple de démarche possible. Repérez les deux paires de côtés homologues entre lesquelles est comprise une paire d’angles homologues.

AB est homologue à EF . ∠ ABC est homologue à ∠ EFD. BC est homologue à FD .

Vérifiez que les paires des côtés homologues sont isométriques et que la paire d’angles homologues est isométrique.

mA AB = m EF = 4,1 m m∠A ABC BC = m ∠ EFD = 50° m BC = m FD = 4,5 m

Nommez la condition minimale d’isométrie qui permet d’affirmer que les triangles sont isométriques, ici CAC.

Donc, ∆ ABC = ˜ ∆ EFD par la condition minimale CAC.

Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les triangles sont isométriques. a)

B A

f) A A

C E B

A C

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 284

2 Déterminez la mesure de chacun

6 cm

des côtés des deux triangles isométriques ci-contre.

4 cm

3 cm E

3 Marc-Oliver et Nathan ont chacun trois bâtonnets mesurant respectivement 5 cm, 7 cm et 10 cm. Chacun construit un triangle à l’aide de ses trois bâtonnets. Par quelle condition ces deux triangles sont-ils isométriques ?

4 Parmi les triangles ci-dessous, regroupez ceux qui sont nécessairement isométriques.

7 cm

4 60°

7 cm 7 cm

7 cm 7 cm 60°

45°

60° 60° 7 cm

7 cm

60°

45° 7 cm

5 Expliquez pourquoi on ne peut pas conclure que ces triangles sont nécessairement isométriques. 5 cm

74°

74° 5 cm

60°

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

60°

p. 284

6 Dans le cadre d’un devoir de mathématique, Mathis doit tracer un triangle quelconque. Il trace donc un triangle isocèle dont la longueur des deux côtés isométriques est de 6,5 cm. Le lendemain, Mathis constate qu’un autre élève a aussi tracé un triangle isocèle dont la longueur des deux côtés isométriques est de 6,5 cm. A-t-il raison de conclure que ces deux triangles sont isométriques ? Expliquez votre réponse.

7 Dans la figure ci-contre, l’angle DAB mesure 48° et le segment AC

est la bissectrice de l’angle DAB.

3,66 cm

a) Expliquez pourquoi le triangle ABC est isométrique au triangle ADC.

9 cm

b) Déterminez la mesure du segment CD. Justifiez votre réponse.

c) Déterminez la mesure du segment AD. Justifiez votre réponse.

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 284

8 Dans chacune des situations ci-dessous, déterminez la valeur de x. a)

6,2 dm x A

2,4 dm

28°

c) A

4,5 mm

40°

32° E

3 mm

x 4,5 mm

C 52°

8,1 cm

52° 8,1 cm

B E

10,4 cm

9 Voici des renseignements concernant une cascade devant être effectuée lors du tournage d’un film d’action. • Le cascadeur quitte le point C à la course et saute entre les immeubles 1 et 2 du point V au point M.

1 M ?

• Le point V est au milieu de la façade AB. • Les façades des immeubles 1 et 2 sont parallèles.

Sachant que le cascadeur ne peut effectuer un saut d’une longueur supérieure à 9 m, cette cascade est-elle sécuritaire ?

7,49 m V

B 5,92 m C

Réponse :

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 284-285

10 Déterminez le périmètre de la voile illustrée ci-contre sachant

qu’elle est constituée de deux triangles rectangles isométriques.

D E

Réponse :

11 Par quelle condition minimale peut-on affirmer que deux triangles rectangles ayant chacun une cathète de 20 cm et une hypoténuse de 29 cm sont nécessairement isométriques ? Expliquez votre réponse.

12 Un athlète qui participe à une compétition de cross en planche

Tracé 1

Tracé 2

37°

à neige sur le parcours représenté ci-contre refuse de descendre sur le tracé 2 , affirmant qu’il est plus long que le tracé 1 . Cet athlète a-t-il raison de se plaindre ? Justifiez votre réponse.

17 m

110°

33°

Réponse :

13 Kassandra affirme que les deux triangles suivants

sont isométriques par la condition minimale CAC. A-t-elle raison ? Expliquez votre réponse.

50°

E 27 cm

61 cm

27 cm 50°

61 cm

C D A

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

1.1.2

Triangles semblables

CONDITIONS MINIMALES DE SIMILITUDE DES TRIANGLES Deux triangles sont semblables s’ils vérifient l’une ou l’autre des trois conditions ci-dessous. 1. Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). L’abréviation CCC, signifiant Côté-Côté-Côté, peut être utilisée pour représenter cet énoncé. Exemple : m DF 12 6 m BA

6 cm

5 cm

m FE 10 5 m AC C

14 cm

10 cm

12 cm B

7 cm

m DE 14 7 m BC

2 Donc, ABC FDE. 2. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). L’abréviation AA, signifiant Angle-Angle, peut être utilisée pour représenter cet énoncé. Exemple :

m ∠ CAB m ∠ FED 40 ° m ∠ ABC m ∠ EDF

40°

90 ° Donc, ABC EDF.

40°

3. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre deux côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). L’abréviation CAC, signifiant Côté-Angle-Côté, peut être utilisée pour représenter cet énoncé. Exemple :

m DF 15 10 m AC

1,5 m ∠ ACB m ∠ DFE 125°

10 cm

m FE 6 4 m CB

15 cm

125°

B 4 cm

125° F

E 6 cm

1,5 Donc, ABC DEF.

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

Voici un premier exercice à effectuer. Montrez que les deux triangles ci-contre sont semblables.

D 2 cm

8 cm

4 cm

E 3 cm

6 cm

C F

Voici un exemple de démarche possible. Repérez les paires de côtés homologues.

Vérifiez que les mesures des paires de côtés homologues sont proportionnelles.

Nommez la condition minimale de similitude qui permet d’affirmer que les triangles sont semblables, ici CCC.

AB est homologue à FD . BC est homologue à DE . AC est homologue à FE . m FD mA AB

4 8

1 2

m DE m BC

2 4

1 2

m FE m AC

3 6

1 2

Donc, ∆ ABC ~ ∆ FDE par la condition minimale CCC.

Voici un deuxième exercice à effectuer. E

Montrez que les deux triangles ci-contre sont semblables.

A 36°

36°

32°

32° F

Voici un exemple de démarche possible. Repérez les deux paires d’angles homologues.

∠ CAB CA est homologue à ∠ FDE. ∠ BCA est homologue à ∠ EFD.

Vérifiez que les paires d’angles homologues sont isométriques.

m ∠ CAB = m ∠ FDE = 36° m ∠ BCA = m ∠ EFD = 32°

Nommez la condition minimale de similitude qui permet d’affirmer que les triangles sont semblables, ici AA.

Donc, ∆ ABC ~ ∆ DEF par la condition minimale AA.

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 285

Voici un troisième exercice à effectuer. B

Montrez que les deux triangles ci-contre sont semblables.

D 6m 4m A

4,5 m

F 3m E

Voici un exemple de démarche possible. Repérez les paires de côtés homologues entre lesquelles est comprise une paire d’angles homologues.

AB est homologue à EF. ∠ BCA est homologue à ∠ DFE. BC est homologue à DF.

Vérifiez que les mesures des paires de côtés homologues sont proportionnelles et que la paire d’angles homologues est isométrique.

m EF m AC

3 4,5

2 3

m ∠ BCA BCA = m ∠ DFE = 90° m DF m BC

Nommez la condition minimale de similitude qui permet d’affirmer que les triangles sont semblables, ici CAC.

4 6

2 3

Donc, ∆ ABC ~ ∆ EDF par la condition minimale CAC.

Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les triangles sont semblables. a)

135° 135°

2,1 dm

25°

2,9 dm

2,52 dm

127°

3,48 dm

d) 28 mm

28 mm

14 mm

67,2 mm

33,6 mm 16 cm

f) 70°

8 cm

24 cm 70°

12 cm

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 285

2 Remplissez le tableau ci-dessous, sachant que les triangles 1 , 2 ‚ 3 et 4 sont semblables. m AB Triangle 1

23°

m BC

m CA

26 cm

10 cm

Triangle 2

4 cm

Triangle 3

67°

13 cm

Triangle 4

36 cm

15 cm

3 Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les deux triangles sont semblables. a)

33,35 mm

60° 6 cm

14,5 mm

27 mm E

4 cm

B 13 mm 60°

9 cm

6 cm 8,2 cm

B 6 cm

E 4,8 cm 3,6 cm D

7,68 cm

4,92 cm C

4 « Tous les triangles équilatéraux sont semblables entre eux. » Après avoir entendu cette affirmation, Guillaume fait la déduction suivante : « Puisque les triangles équilatéraux sont des cas particuliers des triangles isocèles, puisqu’ils n’ont pas seulement deux côtés isométriques, mais trois, on peut conclure que tous les triangles isocèles sont également semblables. ». L’affirmation de Guillaume est-elle juste ? Expliquez votre réponse.

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 285

5 Pour chacune des paires de triangles semblables ci-dessous, déterminez les mesures associées à x et à y. a)

b) A

A 32,2 m B

13 m

14 m

55 cm

48 cm

34,5 m y

x 99 cm

6,6 cm

4,2 cm

D y

B 2,1 cm

6 Les côtés d’un triangle ABC mesurent respectivement 3,2 cm, 4,4 cm et 6,8 cm. Le périmètre d’un triangle DEF semblable au triangle ABC est de 18 cm. Déterminez la mesure de chacun des côtés du triangle DEF.

7 À l’aide des informations fournies sur le trapèze isocèle ABCD

12 cm

suivant, déterminez la longueur de la diagonale AC. 7,5 cm E

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

8 cm

p. 285

8 Dans la figure ci-dessous, G est le point au milieu du segment AD et le segment AD est parallèle au segment FE. Déterminez le nombre de triangles semblables qu’elle contient et nommez-les. C

D G

9 Une vue de côté de deux tremplins de ski acrobatique est E

représentée ci-contre. Comme la hauteur du tremplin 2 est plus grande, Maude affirme que son inclinaison est nécessairement plus grande. A-t-elle raison ? Expliquez votre réponse.

B 4m 3,26 m

Tremplin 1

1,7 m

Tremplin 2

Réponse :

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 286

10 Dans la figure ci-contre : • • • •

D F

AFG CGD m ∠ GAF 25° m ∠ CGD 29° m ∠ CGA 28°

E B A

À l’aide de ces informations, déterminez la mesure de l’angle DGF.

11 Dans l’illustration suivante, déterminez la mesure du côté EF.

B 64 mm

52 mm

24°

30°

E 52 mm

126° 30°

24°

12 Comme le montre l’illustration suivante, il est possible de déterminer la hauteur d’un édifice à l’aide d’un miroir disposé sur le sol à un endroit précis. Déterminez la hauteur de l’édifice illustré.

Miroir 1,65 m 1,4 m

144,3 m

Réponse :

CHAPITRE 1

Triangles isométriques et semblables

p. 289

Dans chaque cas, énoncez la condition minimale qui permet d’affirmer que les deux triangles sont isométriques. a)

12 cm

15 cm

18 cm

12 cm

2 Dans chaque cas, énoncez la condition minimale qui permet d’affirmer que les deux triangles sont semblables. a)

16 mm

7 dm

12 mm

8 dm

6 mm 1,5 mm

4 mm

9 dm

6 dm

3 mm

5 cm

f) 12,5 m 8m

4 cm

6,25 cm

5,12 m

3 Expliquez pourquoi les triangles ABC et DEF

ci-contre ne sont pas isométriques.

5 cm D

35°

6 cm

35°

6 cm

5 cm F

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

p. 289

4 Dans chaque cas : 1) énoncez la condition minimale qui permet d’affirmer que les deux triangles sont semblables ; 2) déterminez la mesure associée à x.

c) A

1,9 cm 1,9 cm B

C 14 dm

16 dm

26,4 cm 22 cm

B 10 dm

D 5 dm E

6,6 cm

34 cm

18 dm

5 Sachant que dans chacune des situations ci-dessous les triangles sont semblables, calculez la mesure demandée. a) La hauteur du lampadaire

b) La largeur du canal maritime

1,72 m 1,3 m

1,2 m

c) La largeur d’un boulevard

0,96 m 7,44 m

14 m

1,14 m 21 m

CHAPITRE 1

CONSOLIDATION 1.1

p. 298-299

Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les triangles sont isométriques. A

B D

C F

B D

3 A

5 3

2 Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les triangles sont semblables. a)

2 cm D

7 mm

8 cm

4 cm

10 mm E

3 cm B

6 cm

10,5 mm 15 mm

112° A

25°

112° 43°

6 dm

18 dm

15 dm

5 dm

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 299

3 Effectuez chacune des démonstrations à l’aide

de l’illustration suivante.

a) ABC ADB

Hypothèse Conclusion Affirmation

Justification

b) ABC BDC Hypothèse Conclusion Affirmation

Justification

c) ABD BCD Hypothèse Conclusion Affirmation

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

Justification

p. 300

15 Dans l’illustration ci-contre, le segment BD est le prolongement du côté BC

jusqu’au point D de façon à ce que les triangles ADB et CDA soient semblables. Déterminez la mesure des côtés AD et CD.

b A

20 cm B

24 cm

22 cm C

16 L’illustration ci-contre montre deux triangles rectangles inscrits à l’intérieur d’un disque de 56 cm de diamètre que l’on a séparé en huit parties isométriques. Quelle est l’aire de la surface bleue ?

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 301

17 Démontrez que les triangles DEF et ABC sont semblables. B

Hypothèse

E 12,6 cm 9 cm

11 cm

Conclusion

A 3,2 cm D

16 cm

F 3,2 cm

Justification

Affirmation

18 Pour une compétition de plongeon, on a aménagé une plateforme en forme de trapèze isocèle comme celle illustrée ci-dessous. Elle comprend un escalier de 3 m de long de chaque côté. Déterminez la hauteur de cette plateforme. B

E 135°

45° A

Réponse :

CHAPITRE 1

SYNTHÈSE 1

p. 230 301

B NQUE DE SA 1 1

Une question d’équivalence Comme on peut le voir dans la figure 1 ci-dessous, on obtient un cône circulaire droit par rotation d’un triangle ABC autour de l’axe AB. On veut insérer une boule équivalente au cône ainsi obtenu à l’intérieur d’un cylindre circulaire droit comme le montre la figure 2 . Déterminez le volume inoccupé dans le cylindre. Figure 1 B

Figure 2

2,24 cm 8,94 cm C

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

p. 302

Des renforts En raison de son âge, on doit stabiliser la structure inclinée illustrée ci-contre à l’aide des renforts métalliques 1 et 2 . Selon le devis de l’entrepreneur, le renfort 1 doit être fixé à la structure inclinée en un point B situé à 8,5 % de sa longueur totale. Quelle est la longueur de chacun des renforts métalliques ?

C 16,8 m

1 B A

2 4,18 m

Réponse :

CHAPITRE 1

BANQUE DE SA 1

p. 302

Lorsqu’une entreprise veut concevoir un nouveau produit, elle doit réaliser plusieurs étapes avant sa conception finale. C’est le cas d’une entreprise qui veut commercialiser un nouveau modèle de porte-document. Avant d’aller de l’avant, elle doit valider certains renseignements concernant la conception, le transport et la mise en marché du produit. Cette situation d’apprentissage et d’évaluation vous permettra d’en apprendre davantage sur les différentes tâches en lien avec le développement d’un nouveau produit. TÂCHE 1 :

Plan

La conception

L’entreprise doit fabriquer un porte-document semblable à celui dont une vue de côté est présentée dans le plan ci-contre.

33° 9,57 cm 8 cm

Voici une vue de côté de trois modèles de porte-documents fabriqués par l’entreprise. Modèle 1

Modèle 2

16 cm

26,34 cm

57° 34 cm

Modèle 3 57,41 cm

40 cm 21 cm

5,25 cm

10,5 cm

48 cm

Déterminez lequel des modèles de porte-documents est semblable à celui du plan. Expliquez votre choix ainsi que les raisons de chacun des deux autres refus.

Modèle 1 :

Modèle 2 :

Modèle 3 :

CHAPITRE 1

SAÉ 1

p. 303

TÂCHE 2 :

Le transport

Afin d’empêcher la torsion des porte-documents lors du transport, l’équipe responsable de l’expédition insère dans chaque porte-document deux supports en styromousse ayant chacun la forme d’un prisme droit à base triangulaire. Ces prismes épouseront les surfaces triangulaires ABD et ACD, telles qu’illustrées dans le croquis suivant. Croquis

16,98 cm

14 cm

9,6 cm

Sachant que, pour chaque support, la longueur réelle du côté AB est de 70 cm et que l’épaisseur des deux prismes triangulaires est la même, déterminez si les deux supports en format réel sont équivalents.

Réponse :

CHAPITRE 1

SAÉ 1

p. 303

TÂCHE 3 :

L’assemblage

L’entreprise fabrique aussi des porte-documents qui sont entièrement constitués de tiges d’acier de 1 cm de diamètre. Le porte-document illustré ci-dessous est constitué de cinq triangles rectangles isométriques distants de 8 cm et permettant d’y placer quatre types de dossiers. 1 cm

32 cm

21 cm

8 cm

Sachant que la tige d’acier est vendue 0,12 $/cm, déterminez le coût de l’acier nécessaire à la fabrication de ce porte-document.

CHAPITRE 1

SAÉ 1

QUESTION 1

Dans chaque cas, nommez la condition minimale qui permet d’affirmer que les triangles sont : a) isométriques ; 1)

D A D

Réponse :

b) semblables. 1)

2) 3 dm

4 dm

Réponse :

CHAPITRE 1

4,5 dm

6 dm

Réponse :

TEST 1

QUESTION 2

Dans chaque cas, déterminez la mesure associée à x. a)

b) AB // DE 9 cm

2,04 cm

4 cm

Réponse : F

12 cm

x I

J 18 cm

B 2,76 cm

E 1,7 cm

Réponse : c)

8,36 cm

E 24 cm

9 cm

Réponse : CHAPITRE 1

TEST 1

La cartographie Lors d’un défi en forêt, des apprentis arpenteurs-géomètres doivent trouver des moyens d’arpenter divers sentiers et obstacles naturels afin de pouvoir baliser un futur sentier de randonnée pédestre. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec la cartographie.

TÂCHE 1 :

La traverse du matériel

En raison de l’instabilité d’une passerelle, un apprenti arpenteur-géomètre doit faire traverser du matériel d’un côté à l’autre d’un ravin, qui suit un tracé parallèle, à l’aide d’une corde. Il attache donc un bout de la corde à un arbre, traverse la passerelle et attache l’autre bout de la corde à un second arbre, comme le montre l’illustration ci-contre.

/25

1,47 m

9m 2,2 m

L’apprenti arpenteur-géomètre affirme que la longueur de corde séparant les deux arbres est inférieure à 10 m. A-t-il raison ?

Réponse :

CHAPITRE 1

TEST 1

Trigonométrie Dans ce chapitre, vous manipulerez les rapports trigonométriques dans les triangles. Vous découvrirez les rapports trigonométriques de base dans le triangle rectangle pour ensuite utiliser ces rapports dans le but de représenter et d’interpréter des situations dans toutes les formes de triangles. Ces concepts et processus vous serviront à représenter plusieurs situations de la vie courante telles que des structures architecturales et des plans d’aménagement.

RAPPEL 2 Triangle et relation de Pythagore .........................101

SECTION 2.1 Rapports trigonométriques....107 SECTION 2.2 Relations trigonométriques....135

SYNTHÈSE 2............157

Programme d’études

BANQUE DE SA 2...165

RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE

SAÉ 2............................171

• Représentation et interprétation de situations à l’aide de triangles • Détermination de mesures à l’aide de relations trigonométriques dans le triangle

TEST 2.........................174

CHAPITRE 2 TRIGONOMÉTRIE ........................................................................................................................................... 99

RAPPEL 2 Triangle et relation de Pythagore ............................................................................................ 101 SECTION 2.1 Rapports trigonométriques ..................................................................................................... 107 2.1.1 Sinus et son inverse .......................................................................................................... 107 2.1.2 Cosinus et son inverse ...................................................................................................... 112 2.1.3 Tangente et son inverse .................................................................................................... 117 2.1.4 Résolution d’un triangle .................................................................................................... 122 Consolidation 2.1 ....................................................................................................................... 129 SECTION 2.2 Relations trigonométriques .................................................................................................... 135 2.2.1 Loi des sinus ..................................................................................................................... 135 2.2.2 Loi des cosinus ................................................................................................................. 140 2.2.3 Aire d’un triangle quelconque ........................................................................................... 145 Consolidation 2.2 ....................................................................................................................... 151 SYNTHÈSE 2 ............................................................................................................................. 157 BANQUE DE SA 2 ..................................................................................................................... 165 SAÉ 2 : L’arpentage................................................................................................................... 171 TEST 2 ....................................................................................................................................... 174 Évaluation explicite des connaissances .................................................................................... 174 Évaluation des compétences ..................................................................................................... 178

100

CHAPITRE 2

TABLE DES MATIÈRES

Mesures et positions Dans ce chapitre, vous aborderez certains concepts de mesure et de position liés au plan cartésien. Vous y étudierez en premier lieu le concept de pente, soit le rapport entre l’accroissement des ordonnées et celui des abscisses. Par la suite, vous apprendrez à calculer la distance entre deux points. L’apprentissage de ces notions vous permettra de comprendre comment les mathématiques peuvent être employées pour la recherche de solutions ou des mesures dans des domaines aussi variés que la construction, l’architecture, l’urbanisme ou encore la cartographie.

Programme d’études RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE • Détermination de la pente • Détermination de mesures (distance entre deux points)

RAPPEL 3 Taux de variation et règle d’une fonction polynomiale du premier degré....................187 SECTION 3.1 Pente d’une droite ou d’un segment de droite..........194

SECTION 3.2 Distance entre deux points......200

SYNTHÈSE 3............207 BANQUE DE SA 3... 215 SAÉ 3............................221 TEST 3.........................224

CHAPITRE 3 MESURES ET POSITIONS ..................................................................................................................... 185

RAPPEL 3 Taux de variation et règle d’une fonction polynomiale du premier degré ......................... 187 SECTION 3.1 Pente d’une droite ou d’un segment de droite .................................................................... 194 SECTION 3.2 Distance entre deux points .................................................................................................... 200 SYNTHÈSE 3 ........................................................................................................................... 207 BANQUE DE SA 3 ................................................................................................................... 215 SAÉ 3 : L’architecture ............................................................................................................. 221 TEST 3 ..................................................................................................................................... 224 Évaluation explicite des connaissances ................................................................................... 224 Évaluation des compétences ................................................................................................... 228

186

CHAPITRE 3

TABLE DES MATIÈRES

p. 336-337

1 Dans chaque cas, déterminez : 1) la mesure de x ; 2) la mesure de l’angle B.

12 cm

12,6 cm

37°

20 cm

60°

4 cm

6 cm A

c) E

18 cm

2,5 cm

2 Voici des triangles. Triangle 1 A

5 cm 38°

Triangle 2 5 cm

38°

Triangle 5 M

Triangle 6 P

14 cm

82°

N 82°

K O

14 cm

Triangle 4

10 cm

60° C

38°

82°

7 cm

5 cm

Triangle 3 G

28 cm Q

82° 20 cm

10 cm R

a) À partir des triangles ci-dessus, trouvez deux triangles isométriques et indiquez l’énoncé géométrique qui permet d’affirmer qu’ils sont isométriques.

b) À partir des triangles ci-dessus, trouvez deux triangles semblables et indiquez l’énoncé géométrique qui permet d’affirmer qu’ils sont semblables.

GARDER LE CAP

Chapitres 1 à 3

231

p. 337

3 Dans chaque cas, déterminez l’aire du triangle ABC. a)

5 cm

7 cm 12 cm

40°

C 10 cm C

80° 25 m

70°

12 mm

4 mm

232

GARDER LE CAP

Chapitres 1 à 3

p. 338

Questions à choix multiple

Parmi les conditions minimales ci-dessous, laquelle ne permet pas d’affirmer que deux triangles sont semblables ? a) AA

b) CAC

c) CCA

d) CCC

2 On a représenté ci-contre un triangle ABC rectangle en C.

a) Quelle est la valeur de sin A ? 1)

13 15

2) 0,6549

3) 0,7557

15 13

3) 0,7557

15 13

3) 0,7557

19,85 cm

b) Quelle est la valeur de tan B ? 1)

13 15

2) 0,6549

13 cm

15 cm

c) Quelle est la valeur de cos B ? 1)

13 15

2) 0,6549

15 13

d) Déterminez la mesure de l’angle BAC. 1) 49,1°

2) 40,9°

4) 85,6°

3) 90°

3 Dans le triangle ABC ci-contre, quelle est la mesure

de la hauteur issue du sommet B ? a) 7,66 m

14,2 m

9,1 m

b) 23,31 m c) 10,8 m A

d) 4,1 m

4 Quelle est l’aire du triangle ABC ci-contre ? a) 27,46 mm2

b) 32,04 mm2

c) 54,93 mm2

d) 38,77 mm2

16,86 m

7,2 mm

121°

8,9 mm

A C

5 Quelle est l’aire du triangle ci-contre ? a) 20,66 dm2

b) 285,18 dm2

c) 20,49 dm2

d) 21 dm2

7 dm

6 dm

10 dm

6 Laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie ? a) cos x cos (180° x)

b) cos x sin (180° x)

c) sin x sin (180° x)

d) tan x tan (180° x)

@ 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

RÉVISION

235

p. 338

Questions à réponse courte

18 Résolvez chacun des triangles suivants. a)

28°

22°

17 cm

E 4 dm

65° D

238

5,6 mm

63° 8m

RÉVISION

K 5,3 mm

71° G

6 dm

L I

7,3 mm

@ 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 339-340

Questions à développement

23 On a représenté ci-contre une vue latérale de l’armature d’une rampe

0,5 m

pour planches à roulettes. Déterminez la longueur totale des tiges métalliques nécessaires pour construire cette armature.

F 1,9 m

46° D

E 2,4 m

Réponse :

24 a) Démontrez, en justifiant chacune de vos affirmations, que les triangles ABE et CBD illustrés ci-dessous sont semblables. A

120 cm

Hypothèse

100 cm B

Conclusion

72 cm E

Affirmation

99 cm

60 cm D

Justification

b) Déterminez la mesure du segment AE dans la figure ci-dessus.

Réponse : @ 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

RÉVISION

241

p. 341

29 En prévision de la production de pièces métalliques triangulaires, les deux plans suivants sont présentés à un soudeur. Celui-ci affirme que ces deux pièces sont équivalentes. Démontrez qu’il a raison. Pièce A

Pièce B 60°

40 cm

20 cm

30°

Réponse :

30 Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en B et sa base correspond au diamètre d’un cercle qui mesure 8x 4. Sachant que l’angle BCO mesure 30°, déterminez une expression algébrique qui correspond à la mesure de la hauteur DB. B

Réponse :

244

RÉVISION

@ 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

p. 341-342

Le pignon décoratif Un entrepreneur doit recouvrir la façade du pignon décoratif illustré ci-contre à l’aide de deux types de matériaux. Sachant que les segments BD et AE sont parallèles, déterminez la superficie devant être recouverte par chacun des matériaux.

(x 3) m 3m

(x 1) m 60° A

BANQUE DE SA

245

Le génie civil est une discipline professionnelle touchant le design, la conception, la construction et l’entretien d’infrastructures civiles telles que, entre autres, les routes, les ponts, les usines et les gratte-ciel. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec le génie civil.

TÂCHE 1 :

Les haubans

L’illustration ci-contre montre le plan d’une partie des haubans d’un pont à haubans.

? ?

Complétez ce plan en y ajoutant les mesures manquantes.

60 m

C A

40 m

Réponse :

258

SÉ 2

QUESTION 1

Dans chaque cas, déterminez la mesure assocée à x. a)

400 m

300 m

32 cm 500 m

x 64 cm

Réponse : EXAMEN FORMATIF

261

Le génie forestier L’ingénieur forestier est un spécialiste des écosystèmes forestiers qui travaille dans des domaines aussi variés que la gestion, l’aménagement, la protection et la conservation du patrimoine forestier. Cette personne est, entre autres, responsable de la réalisation des travaux de sylviculture, de la planification forestière, de l’inventaire forestier et de la protection des forêts contre les insectes, les maladies et les incendies. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec le génie forestier. TÂCHE 1 :

Les travaux de sylviculture

/20

On a illustré ci-dessous la vue de dessus d’un secteur forestier où se feront prochainement des travaux de sylviculture. Des conifères seront plantés dans le secteur ACD et des feuillus, dans le secteur ABC. Chaque conifère nécessite un espace de 4,3 m2 et chaque feuillu, un espace de 4,5 m2. A

14,1 dam

135° D

C 10 dam

À partir de l’aire d’un secteur forestier, un ingénieur peut établir le nombre d’arbres nécessaires à la plantation. Déterminez le nombre de conifères qui seront plantés dans le secteur ACD et le nombre de feuillus qui seront plantés dans le secteur ABC.

266

EXAMEN FORMATIF

abscisse

angle

Première coordonnée d’un point dans le plan cartésien.

Figure géométrique formée de deux demi-droites, appelées côtés, ceux-ci ayant la même origine, appelée sommet de l’angle. Un angle peut se mesurer en degrés (°).

Exemple : L’abscisse du point P( 2, 3) est 2. y

Exemple :

P( 2, 3)

Côté Sommet

1 0

Angle

Côté

angle aigu

Angle dont la mesure est strictement comprise entre 0° et 90°. Exemple : L’angle A est un angle aigu, car m ∠ A 30°. accroissement

Changement de valeur d’une variable entre deux points, sur un intervalle donné. Soit les points A(x1, y1) et B(x2, y2). • L’accroissement des abscisses de A vers B est ∆ x x2 x1. • L’accroissement des ordonnées de A vers B est ∆ y = y2 y1. Exemple : Soit les points A(1, 2) et B(5, 4). L’accroissement des abscisses est de 4, alors que l’accroissement des ordonnées est de 2. x x 2 x 1 5 1 4 y y 2 y 1 4 2 2

30°

angle de dépression

Angle formé par l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’objet observé est plus bas que la personne qui observe. Exemple :

Horizontale Angle de dépression

y B(5, 4) A(1, 2)

Ligne de visée

y 4 2 2 x 5 1 4

1 0

angle d’élévation

Angle formé par l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’objet observé est plus haut que la personne qui observe. Exemple :

aire

Mesure de la surface délimitée par une figure ou une courbe. L’aire, A, se mesure en unités carrées. Exemple : L’aire de ce rectangle est de 12 cm2. A b h 4 3

Ligne de visée Angle d’élévation Horizontale

3 cm

12 cm2 4 cm

GLOSSAIRE

271

angle dâ&#x20AC;&#x2122;inclinaison

angles homologues

Angle formĂŠ par lâ&#x20AC;&#x2122;horizontale et la ligne de visĂŠe de lâ&#x20AC;&#x2122;objet. Les angles dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlĂŠvation et de dĂŠpression sont des angles dâ&#x20AC;&#x2122;inclinaison.

Angles qui se correspondent dans deux figures isomĂŠtriques ou semblables.

angle droit

Exemple : Dans les triangles semblables ci-dessous, les angles A et F sont homologues, comme les angles B et D et les angles C et E. B

Angle mesurant 90Â°. Exemple : Lâ&#x20AC;&#x2122;angle A est un angle droit, car m â&#x2C6; A 90Â°.

D C

angles supplĂŠmentaires

A angle intĂŠrieur

Paire dâ&#x20AC;&#x2122;angles dont la somme des mesures est 180Â°.

Angle formĂŠ par deux cĂ´tĂŠs consĂŠcutifs dâ&#x20AC;&#x2122;un polygone et situĂŠ Ă lâ&#x20AC;&#x2122;intĂŠrieur de ce polygone.

Exemple : La somme des mesures des angles ABC et CBD est de 35Â° 145Â° 180Â°. Les angles ABC et CBD sont donc suplĂŠmentaires.

â&#x20AC;&#x201D; â&#x20AC;&#x201D; â&#x20AC;&#x201D; Exemple : La figure ABC est un polygone. AB, BC et AC sont les cĂ´tĂŠs de ce polygone. A, B et C sont ses sommets. â&#x2C6; BAC ou â&#x2C6; A, â&#x2C6; ABC ou â&#x2C6; B et â&#x2C6; ACB ou â&#x2C6; C sont les angles intĂŠrieurs de ce polygone.

C 145Â° A

35Â°

B arĂŞte

Dans un solide, ligne dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de deux faces. Exemple :

angle obtus

Angle dont la mesure est strictement comprise entre 90Â° et 180Â°.

ArĂŞte

Exemple : Lâ&#x20AC;&#x2122;angle A est un angle obtus, car m â&#x2C6; A 145Â°. arĂŞtes homologues

145Â°

ArĂŞtes occupant la mĂŞme position dans des solides semblables.

Exemple :

ArĂŞtes homologues

angles complĂŠmentaires

Paire dâ&#x20AC;&#x2122;angles dont la somme des mesures est 90Â°. Exemple : La somme des mesures des angles ABC et CBD est de 57Â° 33Â° 90Â°. Les angles ABC et CBD sont donc complĂŠmentaires. A

Produit de deux facteurs ĂŠgaux. Exemples : 1) 3 au carrĂŠ sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrit 32 et est ĂŠgal Ă 3 3. Donc 32 3 3 9, 9 est donc le carrĂŠ de 3.

C 57Â° B

272

carrĂŠ de

GLOSSAIRE

33Â°

2) 6,25 est le carrĂŠ de 2,5. D

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NOTATIONS ET SYMBOLES MATHĂ&#x2030;MATIQUES

Notation et symbole

Signification

mâ&#x2C6; A

Signification

â&#x20AC;Ś est ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;est pas ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś est diffĂŠrent deâ&#x20AC;Ś

Â°

DegrĂŠ

â&#x20AC;Ś est approximativement ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś ou â&#x20AC;Ś est Ă peu prĂ¨s ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś est parallĂ¨le Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś est semblable Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś est perpendiculaire Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś est isomĂŠtrique Ă â&#x20AC;Ś

DĂŠsigne un angle droit.

â&#x20AC;Ś appartient Ă â&#x20AC;Ś

DĂŠsigne lâ&#x20AC;&#x2122;image du point A

â&#x20AC;Ś nâ&#x20AC;&#x2122;appartient pas Ă â&#x20AC;Ś

|a|

Valeur absolue de a

â&#x20AC;Ś est supĂŠrieur Ă â&#x20AC;Ś

Nombre irrationnel approximativement ĂŠgal Ă Â 3,14. Se lit ÂŤ pi Âť.

â&#x20AC;Ś est infĂŠrieur Ă â&#x20AC;Ś

ABC

â&#x20AC;Ś est supĂŠrieur ou ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

â&#x20AC;Ś est infĂŠrieur ou ĂŠgal Ă â&#x20AC;Ś

Triangle ABC

Infini

OpposĂŠ de a

1 a 1 ou a

Inverse de a

Segment AB

Mesure de lâ&#x20AC;&#x2122;angle A

m AB

Mesure du segment AB

Variation ou accroissement en x

â&#x2C6; A

Angle A

Variation ou accroissement en y

FORMULES Dâ&#x20AC;&#x2122;AIRE DES FIGURES PLANES ET CIRCONFĂ&#x2030;RENCE Dâ&#x20AC;&#x2122;UN CERCLE

Principales figures planes Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un carrĂŠ

Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un losange

Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un parallĂŠlogramme d

D d 2 Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un trapĂ¨ze A

A c2 Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un rectangle

A b h Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un triangle

b h

h B

A b h

(B b) h A 2

b h A 2

Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un polygone rĂŠgulier Ă n cĂ´tĂŠs

Aire dâ&#x20AC;&#x2122;un disque

CirconfĂŠrence dâ&#x20AC;&#x2122;un cercle

r a

PĂŠrimĂ¨tre a n c a A 2 2

ÂŠ 2016, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

A rayon2 r 2

C 2 rayon 2 r ou C diamĂ¨tre d

ANNEXES

277

Exemple

Ă&#x2030;noncĂŠ 11. Si une droite coupe deux droites parallĂ¨les, alors les angles alternesinternes, alternes-externes et correspondants sont respectivement isomĂŠtriques.

Si d1 // d2, alors les angles 1, 3, 5 et 7 sont isomĂŠtriques, de mĂŞme que les angles 2, 4, 6 et 8.

d3 2

5 8

12. Dans le cas dâ&#x20AC;&#x2122;une droite qui coupe deux droites, si deux angles correspondants (ou alternes-internes ou encore, alternes-externes) sont isomĂŠtriques, alors ils sont formĂŠs par des droites parallĂ¨les coupĂŠes par une sĂŠcante.

Comme les angles alternes-internes 1 et 2 sont isomĂŠtriques, alors d1 // d2.

13. Si une droite coupe deux droites parallĂ¨les, alors les paires dâ&#x20AC;&#x2122;angles internes situĂŠes du mĂŞme cĂ´tĂŠ de la sĂŠcante sont supplĂŠmentaires.

Si d1 // d2, alors les angles 1 et 4 sont supplĂŠmentaires, de mĂŞme que les angles 2 et 3.

d3 1 2 d1 d2

2 3

1 4

14. La somme des mesures des angles intĂŠrieurs dâ&#x20AC;&#x2122;un triangle est 180Â°.

m â&#x2C6; 1 m â&#x2C6; 2 m â&#x2C6; 3 180Â° 2 3

15. La mesure dâ&#x20AC;&#x2122;un angle extĂŠrieur Ă un triangle est ĂŠgale Ă la somme des mesures des angles intĂŠrieurs qui ne lui sont pas adjacents.

mâ&#x2C6; 1 mâ&#x2C6; 2 mâ&#x2C6; 3 2 3

UNITĂ&#x2030;S Dâ&#x20AC;&#x2122;AIRE, DE VOLUME ET DE CAPACITĂ&#x2030;

Chaque unitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;aire a une valeur qui est 100 fois plus ĂŠlevĂŠe que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa droite et 100 fois plus petite que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa gauche. Chaque unitĂŠ de volume a une valeur qui est 1000 fois plus ĂŠlevĂŠe que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa droite et 1000 fois plus petite que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa gauche.

100 100 km22 km

100 100 hm22 hm

100 100

dam22 dam

100 100

100 100 m22 m

100 100

100 100 dm22 dm

100 100

100 100 cm22 cm

100 100

mm22 mm 100 100

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 km33 km

Chaque unitĂŠ de capacitĂŠ a une valeur qui est 10 fois plus ĂŠlevĂŠe que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ placĂŠe immĂŠdiatement Ă sa gauche.

hm33 hm

dam33 dam

m33 m

1000 1000

hl 10

dal 10

dm33 dm

mm33 mm

1000 1000 1000 1000 1000 1000 10 L

cm33 cm

10 dl

10 cl

ml 10

CONVERSION Dâ&#x20AC;&#x2122;UNITĂ&#x2030; DE MESURE

1 ml 1 cm3

1 L 1 dm3

1 kl 1 m3

1 kg 2,2 livres

1 pied 12 pouces

1 m 3,28 pieds

280

ANNEXES

1 cm 2,54 pouces

ÂŠ 2016, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

TEST DIAGNOSTIQUE p. 1

1. d)

2. c)

3. a)

4. d)

6. c)

7. b)

8. a)

9. c)

18. c2 a2 b2

5. b)

a 292 212

11. c)

12. d)

13. a)

14. a)

15. d)

V2 k3 V1 2,53

50 20

2,5

20 cm 15,625 Le rapport des volumes est de 15,625.

p. 2

10. c)

p. 4

19. a) c2 a2 b2

p. 3

b) c2 a2 b2 2

c 15,032 7,012

a 38,52 33,41

r 2 h 16. a) V = 3 52 8,66 3 226,72 cm3

19,17

3 b) V 4 r 3 4 (7,5)3 3 1767,15 dm3

16,58

x 19,17 mm

x 16,58 cm d) c2 a2 b2

c) c2 a2 b2 2

c 4,89 11,23

a 38,58 2 26,56 2

12,25

c) V can h 2 3 2,6 6 4 2 93,6 m3

27,98

x 12,25 dm

x 27,98 hm

4 r 3 V 20. a) 3 4 r 3 209,952 3

AT 4 r 2 4 (5,4 )2

116,64 cm2 16,64 cm 1,1664 dm22 157,464 r 3 116,64 cm 1,1664 dm r 5,4 cm

17. a) AT 4 (3x 5)2

4 (9x2 30x 25) (36 x2 120 x 100 ) cm2

L’aire totale de la boule est de 1,1664 dm2.

b) AT 2 (2x 1)2 2 (2x 1)(5x 4)

b) 1 L = 1 dm3, donc 551,368 L 551,368 dm3.

2 (4x2 4x 1) 2 (10x2 3x 4)

AT 6 c 2

V c3

(28 x2 2 x 6 ) mm2

551,368 c c 8,2 dm

6(8,2)2

4(6x 7)(3x 2) c) AT (6x 7) 2 2

36x2 84x 49 2(18x2 9x 14)

403,44 dm2

L’aire totale du cube est de 403,44 dm2.

(72x 102x 21) m 2

CHAPITRE 1

TRIANGLES ET FIGURES ÉQUIVALENTES

RAPPEL 1

Relation de Pythagore, triangle, proportion et figures et solides semblables

p. 8

1. a) ?

b) ?

2,38 2 5,472

5,97 cm e) ? 11,47 6,75 2

5,69 cm f) ?

9,27 cm i) ?

20,32 14,37 2

14,37 cm

c) ?

4,022 4,022 0,94 0,27 2

7,8 cm g) ?

0,9 cm 2

j) ?

18,17 cm

67,82 49,26

k) ? 1,29 0,68 2

1,1 cm

39,112 52,28 2

65,29 cm 2

46,62 cm

9,63 15,41 2

d) ?

2,532 7,38 2 2

h) ?

21,722 16,852

13,71 cm 2

l) ?

0,76 2 1,372

1,57 cm

CORRIGÉ

281

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :

• La version numérique du cahier permet à l’élève :

– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;

– de feuilleter et d’annoter chaque page ;

– d’accéder à tout le matériel reproductible ;

– d’écrire ses réponses dans son cahier ;

– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;

– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ;

– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 218351

ISBN 978-2-7617-7847-3

9 782761 778473

Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

MAT-4173- 2

Cahier d’apprentissage

STRUCTURE D’UN CAHIER

Inter va ll e

Mathématique Séquence Sciences naturelles

2e année du 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux

Mathématique 2e cycle du secondaire

Inter va ll e

MAT-4173-2

Représentation géométrique en contexte fondamental 1

Cahier d’apprentissage • • • • •