Panoramath 2e Éd._Cahier B

Dominique Boivin Yves Corbin Isabelle Gendron Antoine Ledoux Franรงois Pomerleau Patrick St-Cyr

Présentation du cahier Ce cahier comporte huit Panoramas, quatre Carrefours placés après les Panoramas 10, 12, 14 et 16, le tout suivi d’une Révision générale.

Les Panoramas Chaque Panorama commence par un Rappel de trois pages qui permet de réactiver des connaissances qui seront utiles pour l’acquisition de nouvelles connaissances.

Chaque Panorama se divise en quelques sections qui débutent chacune par un encadré théorique où sont résumées les notions à l’étude. Des exemples accompagnent ces énoncés théoriques afin de favoriser la compréhension des différentes notions.

Des exercices et des problèmes invitent ensuite les élèves à consolider les notions à l’étude.

Un Défi termine chaque section. Les élèves y appliqueront les notions et les stratégies qu’ils connaissent déjà dans de nouveaux contextes stimulants.

Les quatre dernières pages de chaque Panorama présentent une Synthèse qui permet de faire le point sur les habiletés et les concepts développés au cours du Panorama.

Révision La Révision donne aux élèves l’occasion d’intégrer et de réinvestir l’ensemble des notions acquises et des stratégies développées tout au long des Panoramas.

Carrefour À tous les deux Panoramas, un Carrefour de deux pages présente quatre problèmes qui permettent aux élèves de réinvestir les concepts acquis dans tous les Panoramas qui le précèdent.

III

Table des matières Des tables de valeurs aux représentations graphiques Rappel Somme et différence de nombres entiers, et plan cartésien ........

9.1 La réduction d’expressions algébriques : addition et soustraction ............

9.2 Les modes de représentation ........

9.3 La représentation graphique d’une situation ....................

9.4 Le passage d’un mode de représentation à un autre .......................

Synthèse ...........................

De l’inconnue à la résolution d’équations 1 4 8 12 16 20

Des formules d’aire à l’algèbre Rappel Produit et quotient de nombres entiers et périmètre des quadrilatères ....

10.1 L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme ............

10.2 L’aire du triangle, du losange et du trapèze ...................

10.3 La racine carrée et la résolution d’équations .......................

10.4 La réduction d’expressions algébriques : multiplication et division ...........

Synthèse ...........................

Panoramas 9 et 10 . . . . . . . . .

24 27

35 39 43 47

49 52

IV

104 108 112 116

Du cercle aux corps ronds Rappel Cercle, périmètre et aire ........

14.1 Le cercle et la circonférence ........

14.2 L’angle au centre et l’arc ..........

14.3 Le disque et le secteur ............

14.4 Le cylindre .....................

Synthèse ...........................

Panoramas 9 à 14 . . . . . . . . . .

120 123 127 131 135 139 143

De l’expérience aléatoire au jeu de hasard Rappel Dénombrement et opérations sur les fractions ...............

15.1 Les probabilités ..................

15.2 Le langage ensembliste et les événements complémentaires, compatibles et incompatibles .................

15.3 L’expérience aléatoire à plusieurs étapes avec ou sans remise ..............

15.4 L’expérience aléatoire avec ou sans ordre 15.5 La probabilité d’un événement composé de plusieurs événements complémentaires ................

Synthèse ...........................

145 148 152 156 160 164 168

56 60 64 68 72

Des polygones aux polyèdres Rappel Les polygones ayant plus de quatre côtés ...............

12.1 Les unités d’aires, l’aire d’un polygone régulier et l’aire d’un polygone décomposable 12.2 Les solides, les polyèdres, les prismes et les pyramides .................

12.3 L’aire d’un prisme, d’une pyramide et d’un solide décomposable .......

12.4 La recherche d’une mesure manquante Synthèse ...........................

Panoramas 9 à 12 . . . . . . . . . .

101

31

Des rapports aux figures semblables Rappel Les diagrammes à ligne brisée et les fractions équivalentes ......

11.1 Les rapports et les taux ............

11.2 Les proportions, les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles .......

11.3 La résolution d’une situation de proportionnalité ...............

11.4 L’homothétie ...................

11.5 Les figures semblables ............

Synthèse ...........................

Rappel La résolution d’une équation et la règle d’une suite ..........

13.1 La construction d’une expression algébrique ......................

13.2 Les équations équivalentes .........

13.3 La résolution d’équations du premier degré à une inconnue .................

Synthèse ...........................

76 79 83 87 91 95 99

Des pourcentages pour les sondages Rappel Le pourcentage d’un nombre ....

16.1 Le calcul du cent pour cent ........

16.2 Le sondage : caractères, tableaux et diagrammes ..................

16.3 Les méthodes d’échantillonnage et les sources de biais .............

16.4 Les diagrammes circulaires .........

Synthèse ...........................

Panoramas 9 à 16 . . . . . . . . . .

172 175 179 183 187 191 195

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

NOM

10

GROUPE

DATE

Des formules d’aire à l’algèbre Rappel

Produit et quotient de nombres entiers et quadrilatères Multiplication et division de nombres entiers • Les règles des signes de la multiplication et de la division sont les mêmes.

– Le produit ou le quotient de deux nombres entiers de même signe est positif.

Ex. :

1)

4 ⫻ 8 ⫽ 32

2) ⫺6

⫼ ⫺2 ⫽ 3

– Le produit ou le quotient de deux nombres entiers de signes contraires est négatif.

Ex. :

1) ⫺4

⫻ 8 ⫽ ⫺32

2) ⫺6

⫼ 2 ⫽ ⫺3

Exponentiation • Pour l’exponentiation, on applique les règles des signes de la multiplication. On convient de toujours placer un nombre négatif entre parenthèses si l’on désire l’affecter d’un exposant.

Ainsi, le carré de ⫺3 s’écrit (⫺3)2 et sa puissance est 9.

Ex. :

1)

(⫺4)2 ⫽ ⫺4 ⫻ ⫺4 ⫽ 16

Périmètre • On détermine le périmètre d’un polygone en faisant la somme des mesures de tous ses côtés.

2) ⫺42

⫽ ⫺(4 ⫻ 4) = ⫺16

A

Ex. :

1

8 cm

B

D

C

• Losange : parallélogramme

ayant tous ses côtés isométriques et tous ses angles isométriques.

ayant tous ses côtés isométriques.

Ex. :

Ex. :

Calcule les produits et les quotients suivants. a) 7 ⫻ 9 ⫽

24

B C

A

Ex. : AB B B // CD BB

• Carré : quadrilatère

ayant quatre angles droits et deux paires de côtés opposés isométriques.

7 cm

9 cm

une paire de côtés parallèles.

C

• Rectangle : quadrilatère

A

• Trapèze : quadrilatère ayant

B

D

(⫺4)3 ⫽ ⫺4 ⫻ ⫺4 ⫻ ⫺4 ⫽ ⫺64

Ex. : Périmètre ⌬ ABC ⫽ m AB B B ⫹ m BC BB ⫹ m AC BB ⫽ 7 cm ⫹ 8 cm ⫹ 9 cm ⫽ 24 cm

Quadrilatères • Parallélogramme : quadrilatère ayant deux paires de côtés opposés parallèles.

Ex. : AB B B // CD BB B AD B // BC BB

3)

Panorama 10

b) 20 ⫼ ⫺4 ⫽ Rappel

c)

⫺1

⫻ 13 ⫽

d)

⫺21

⫼7⫽

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NOM

2

3

4

GROUPE

DATE

Dans chaque cas, détermine les quadrilatères possédant les caractéristiques énoncées. a) Quatre côtés isométriques

Réponse :

b) Quatre angles isométriques

Réponse :

c) Deux paires de côtés parallèles

Réponse :

d) Quatre angles différents

Réponse :

e) Deux côtés opposés isométriques

Réponse :

f ) Deux diagonales isométriques

Réponse :

g) Deux diagonales se coupant en leur milieu

Réponse :

10

Détermine le signe associé au résultat de chaque chaîne d’opérations, où (⫹) correspond à un nombre positif et (⫺), à un nombre négatif. a) (⫹) ⫻ (⫹) ⫻ (⫹)

b) (⫺) ⫻ (⫹) ⫻ (⫹) ⫻ (⫺)

c) (⫹) ⫻ (⫺) ⫻ (⫺) ⫻ (⫹) ⫻ (⫺)

d) (⫹) ⫼ (⫺) ⫼ (⫹)

e) (⫺) ⫼ (⫹) ⫼ (⫺) ⫼ (⫺)

f ) (⫺) ⫼ (⫺) ⫼ (⫹) ⫼ (⫹) ⫻ (⫺)

g) (⫹)9

h) (⫺)8

i ) (⫺)5

j ) (⫺) ⫻ (⫺)4

Dans chaque cas : 1)

donne le nom du polygone ;

a)

2)

calcule son périmètre.

b)

4m

c)

4,3 m

7,7 m

6,8 m

6,7 m

8m Réponse :

Réponse :

1) 2)

8m Réponse :

1) 2)

d)

6,1 m

1) 2)

e)

f) 4 cm

5 dm

8,9 m 12 m

7 cm Réponse :

Réponse :

1) 2)

5

Réponse :

1) 2)

1) 2)

Détermine le résultat de chaque opération. a) 6 ⫻ 5 ⫽ d)

⫺12

⫼ ⫺4 ⫽

g) (⫺4)2 ⫽

⫻8⫽

b)

⫺7

e)

⫺36

⫼9⫽

h) (⫺2)5 ⫽

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c) 9 ⫻ ⫺6 ⫽ f ) 24 ⫼ ⫺8 ⫽ i ) 63 ⫽ Rappel Panorama 10

25

NOM

6

GROUPE

Dans chaque cas : 1)

10

DATE

trace le polygone décrit ;

2)

calcule le périmètre du polygone décrit.

a) Carré de 2 cm de côté

b) Rectangle de 1,5 cm sur 4 cm

Réponse :

1)

Réponse : 1)

2)

2)

c) Losange dont les diagonales mesurent 3 cm et 4 cm

d) Triangle dont les côtés mesurent 2 cm, 3 cm et 4 cm

Réponse :

1)

Réponse : 1)

2)

2)

7

Détermine le nombre manquant. a) 7 ⫻ d)

⫺132

⫽ ⫺42 ⫼

g) (⫺7)

8

⫽ ⫺11 ⫽ 49

b)

⫻ 12 ⫽ 108

c)

⫻

⫽ 36

e)

⫼ ⫺4 ⫽ 12

f ) 27 ⫼

⫽ ⫺3

h)

3

⫽ ⫺273

⫺6

3

i)

⫽ 343

a) Place les points suivants dans le plan cartésien.

A(2, 6)

B(2, ⫺4)

C(⫺6, ⫺4)

b) Quel polygone peut-on former en reliant dans l’ordre les points A, B, C et D ?

D(⫺6, 6) y

Réponse :

c) Détermine les coordonnées des sommets du polygone A'B'C'D' obtenu en divisant par deux les coordonnées des points A, B, C et D. Réponse :

1 0 1

x

d) Calcule le périmètre du polygone ABCD. Réponse :

e) Calcule le périmètre du polygone A'B'C'D'.

Réponse :

26

Panorama 10

Rappel

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NOM

GROUPE

DATE

10.1 L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme • L’aire ou la superficie est la mesure

Ex. : L’aire de la figure ci-contre est de 9 unités carrées, notée 9 u2.

d’une surface délimitée par une figure.

On exprime l’aire d’une figure en unités carrées.

Ex. : L’aire du rectangle ci-contre est 4 3 12, donc 12 u2.

b h

Base (b)

• Aire d’un carré (côté) (côté) c c

Côté (c)

Ex. : L’aire du carré ci-contre est 4 4 16, donc 16 u2.

Hauteur (h)

• Aire d’un rectangle (base) (hauteur)

10

Côté (c)

Ex. : L’aire du parallélogramme ci-contre est 4 3 12, donc 12 u2.

b h

Hauteur (h)

• Aire d’un parallélogramme (base) (hauteur)

Base (b)

1

Complète le tableau suivant en sachant que les informations données à chacune des lignes sont celles d’un carré, d’un rectangle ou d’un parallélogramme.

Quadrilatère

Base (cm)

Carré

6

Rectangle

8

Parallélogramme

6

Rectangle

Hauteur (cm)

Aire (cm2)

34 8

35

3

12

Carré

81 4

8

32

40

5

7

35

24

Carré

52 15

Parallélogramme

2

Périmètre (cm)

6

225

60

72

50

Détermine le périmètre et l’aire d’un carré dont chaque côté mesure : a) 3 cm ; Réponse :

c) 4 cm ; Réponse :

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b) 8 cm ; Réponse :

d) 11 cm.

Réponse : L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme Panorama 10

27

NOM

GROUPE

3

DATE

b)

c) m 8,2

10

d) 7m

5 cm

a)

13 cm

4 hm

Calcule le périmètre P et l’aire A des figures suivantes.

11 hm

11 m

7 dm

P⫽

P⫽

A⫽

A⫽

A⫽

A⫽

e)

f)

g)

h)

9,5

9 cm

8 dam

P⫽

cm

P⫽

4 mm 9 mm

15 dam 8 km

6 cm

5,

5

m

m

P⫽

P⫽

P⫽

P⫽

A⫽

A⫽

A⫽

A⫽

4

Dans chaque cas, détermine : 1)

28

le périmètre du polygone ;

2)

l’aire du polygone.

a) Carré dont le côté mesure 6 cm

Réponse : 1)

2)

b) Rectangle dont les côtés mesurent 4 cm et 8 cm

Réponse : 1)

2)

c) Parallélogramme dont les côtés mesurent 5 cm et 9 cm, et la hauteur relative au côté de 9 cm est 4 cm

Réponse : 1)

2)

d) Carré dont le côté mesure 7 cm

Réponse : 1)

2)

e) Rectangle dont les côtés mesurent 7 cm et 12 cm

Réponse : 1)

2)

f ) Parallélogramme dont les côtés mesurent 6 cm et 11 cm, et la hauteur relative au côté de 11 cm est 5 cm

Réponse : 1)

2)

Panorama 10

L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme

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NOM

5

GROUPE

DATE

Une infographiste doit réaliser une affiche rectangulaire mesurant 6 dm sur 8,5 dm. a) Quel est le périmètre de l’affiche ?

10 Réponse :

b) Quelle est la superficie de l’affiche ?

Réponse :

6

On doit remplacer une vitre en forme de parallélogramme.

Sachant que la vitre se vend 0,05 $/cm2, calcule le prix de la vitre.

70 cm 15 cm

Réponse :

On veut recouvrir l’avant de deux enceintes acoustiques telles que celle illustrée ci-contre. Calcule l’aire du tissu nécessaire.

18 cm

7

Réponse :

9 cm

8

Janie utilise un logiciel de dessin pour concevoir les étiquettes des boîtiers de ses DVD. Calcule l’aire disponible sur une face carrée du boîtier, dont le côté mesure 12,7 cm.

Réponse :

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L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme Panorama 10

29

NOM

DATE

L’enseigne tournante d’une boucherie doit être repeinte.

Un litre de peinture couvre 11 m2. Calcule la quantité de peinture nécessaire si l’on veut recouvrir l’enseigne de deux couches de peinture sur les deux faces.

Boucherie

0,92 m

9

GROUPE

1,78 m

10

Réponse :

10 Sur le croquis ci-contre, les trois rectangles verts sont isométriques et la longueur du grand carré orange correspond à la moitié de la longueur du meuble représenté.

Calcule : a) l’aire totale des pièces orange.

81 cm

108 cm

Réponse :

b) l’aire totale des pièces vertes.

Réponse :

11 On trace dans un carré quatre rectangles isométriques de telle sorte que l’aire du carré est égale à la somme des aires des quatre rectangles. Que peut-on dire de la base et de la hauteur de chacun des rectangles ?

Réponse :

30

Panorama 10

L’aire du rectangle, du carré et du parallélogramme

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NOM

GROUPE

DATE

10.2 L’aire du triangle, du losange et du trapèze • Aire d’un triangle (base) 2(hauteur)

• Aire d’un losange (grande diagonale) 2 (petite diagonale)

Base (b)

Ex. : L’aire du losange ci-contre est 4 3 2 6, donc 6 u2.

D d 2

10 Grande diagonale (D)

Hauteur (h)

Ex. : L’aire du triangle ci-contre est 5 4 2 10, donc 10 u2.

b h 2

Petite diagonale (d) base)) (hauteur) • Aire d’un trapèze ((grande base) (petite 2

Hauteur (h)

Petite base (b) Ex. : L’aire du trapèze ci-contre est (5 2) 4 14, 2 donc 14 u2.

(B b) h 2

Grande base (B)

Calcule le périmètre P et l’aire A des figures suivantes.

10 mm

8 dm

P

P

P

A

A

A

2

Calcule l’aire totale de la figure ci-contre.

6,1 mm

dm

6,5 mm 6 mm

10

5,2 dm

cm

5 cm

12 cm

6,5

c) mm

b)

6,7

a)

5,4 dm

1

0,9 m

4,2 m

3,3 m 5,1 m 0,9 m 6m

Réponse :

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L’aire du triangle, du losange et du trapèze Panorama 10

31

NOM

3

GROUPE

DATE

Dans chaque cas, calcule l’aire du triangle sachant que b correspond à la base du triangle et h, à sa hauteur. a) b 3 cm et h 6 cm

b) b 4 dm et h 5 dm

c) b 6 m et h 7 m

10 Réponse :

4

Réponse :

Calcule l’aire des losanges suivants, sachant que les mesures données correspondent respectivement à celle de la grande diagonale et à celle de la petite diagonale. a) 35 mm et 4 mm

Réponse :

5

b) 28 km et 5 km

Réponse :

c) 12 hm et 11 hm

Réponse :

Calcule l’aire des trapèzes suivants sachant que les mesures données correspondent respectivement à celle de la grande base, à celle de la petite base et à celle de la hauteur. a) 5 cm, 3 cm et 6 cm

Réponse :

6

Réponse :

b) 8 dm, 4 dm et 5 dm

Réponse :

c) 6 m, 2 m et 7 m

Réponse :

Un blanchisseur veut déterminer la quantité de papier requise pour couvrir ses cintres. Il doit coller deux triangles de papier sur la surface formée par le triangle de métal pour protéger les vêtements.

Calcule l’aire du papier nécessaire pour couvrir ce cintre.

12,7 cm 40,5 cm

Réponse :

7

On veut fixer un miroir en forme de losange sur un mur rectangulaire tel qu’illustré ci-contre. Quelle est l’aire du plus grand miroir qu’il est possible d’installer de cette façon ?

9 dm

6 dm Réponse :

32

Panorama 10

L’aire du triangle, du losange et du trapèze

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NOM

8

GROUPE

2m 1,5 m

Un menuisier dispose de 45 m2 de contreplaqué pour fabriquer les 6 supports d’un toit. On a illustré ci-contre un de ces supports.

Chacun des supports est renforcé par un morceau de contreplaqué ayant la forme d’un trapèze.

Le menuisier aura-t-il suffisamment de contreplaqué pour fabriquer les 6 supports ?

DATE

10 7m

Réponse :

9

On a illustré ci-dessous le modèle de l’entrée du garage d’une résidence qu’on veut faire asphalter. Les losanges disposés à l’intérieur ne sont pas asphaltés et on y place des pierres décoratives. Les dimensions des petits losanges correspondent à la moitié de celles du grand.

Calcule la mesure de la surface asphaltée.

600 cm 12 m

180 cm

Réponse :

6,5 m

10 Le panneau routier « Cédez le passage » a la forme d’un triangle

36 cm 31,2 cm

équilatéral. Les dimensions du triangle blanc sont trois fois plus petites que celles du grand triangle. Calcule l’aire de la bande colorée en rouge.

Réponse :

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L’aire du triangle, du losange et du trapèze Panorama 10

33

NOM

GROUPE

DATE

11 Le schéma ci-contre montre la lunette arrière d’une camionnette

15 dm

10

8 dm

sur laquelle on veut installer un grillage protecteur. On dispose d’un grillage rectangulaire mesurant 8,5 dm sur 16 dm.

Détermine si l’on aura assez de grillage. Si c’est le cas, calcule l’aire du grillage disponible qui ne sera pas utilisé. Si ce n’est pas le cas, calcule l’aire du grillage manquant.

18 dm

Réponse :

12 Myriam fabrique un nichoir pour les oiseaux. Pour ce faire, elle 28 cm

22 cm

doit calculer l’aire des morceaux de bois suivants : un losange dont la grande diagonale mesure une fois et demie la petite diagonale et un trapèze.

Calcule l’aire totale de ces deux morceaux de bois.

11 cm 12,5 cm

Réponse :

13 Marco affirme que s’il connaît la mesure d’une des diagonales d’un carré, mais pas la mesure d’un côté, il peut en calculer l’aire. Carolanne affirme que c’est impossible. Qui a raison ?

Explique ta réponse.

Réponse :

34

Panorama 10

L’aire du triangle, du losange et du trapèze

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NOM

GROUPE

DATE

10.3 La racine carrée et la résolution d’équations • Soit le nombre positif a. Le nombre positif qui, multiplié par lui-même ou élevé au carré, a. donne a est appelé la racine carrée de a. La racine carrée de a se note 兹苶 Ex. :

1)

La racine carrée de 49, notée 兹苶 49, est 7, car 7 ⫻ 7 ⫽ 72 ⫽ 49.

2)

兹苶苶 10,24 ⫽ 3,2 car 3,2 ⫻ 3,2 ⫽ 3,22 ⫽ 10,24.

10

• Pour résoudre certaines équations, on peut utiliser la méthode du recouvrement, qui consiste à recouvrir successivement chaque partie de l’équation afin d’en déduire sa valeur.

Exemple : Résolution de l’équation 4x ⫺ 7 ⫽ 5 par recouvrements successifs

Démarche

4x ⫺ 7 ⫽ 5 On peut déduire que 4x ⫽ 12, car 12 ⫺ 7 ⫽ 5

1. Recouvrir, s’il y a lieu, la partie de l’addition ou de la soustraction dont on ne connaît pas la valeur.

4 x ⫽ 12 On peut déduire que x ⫽ 3, car 4 ⫻ 3 ⫽ 12

2. Recouvrir, s’il y a lieu, la partie de la multiplication dont on ne connaît pas la valeur.

x⫽3

3. Résoudre l’équation.

4x ⫺ 7 ⫽ 4⫻ 3 ⫺7⫽ 12 ⫺ 7 ⫽ 5⫽

4. Valider la solution obtenue en la substituant à x dans l’équation de départ.

1

2

5 5 5 5

Dans chaque cas, donne le ou les nombres manquants. a)

冢

冣

d)

⫺252

g)

兹苶苶 ⫽

2

⫽ 225

⫽

b) 兹苶 576 苶⫽ e)

⫺7,2

冢

冣

2

⫽ ⫺256

h) (⫺9)2 ⫽

c)

兹苶苶 ⫽ 5,8

f)

⫺兹苶 256 苶

i)

冢

⫽

冣

5

⫽ ⫺32

Complète le tableau suivant.

Polygone

Aire

Base

Rectangle

45 km2

9 km

Parallélogramme

72 hm2

Triangle

14 cm2

7 cm

144 mm2

12 mm

Parallélogramme Carré

289 m2

Triangle

29 hm2

Carré

484 dm2

Hauteur

9 hm

14,5 hm

Rectangle

52 cm2

8 cm

Triangle

28,8 m2

18 m

Carré

64 dm2

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La racine carrée et la résolution d’équations Panorama 10

35

NOM

3

GROUPE

DATE

Calcule la mesure manquante dans les figures suivantes.

a) Aire 441 dm2

10

b) Aire 19,2 cm2

c) Aire 21,6 m2

6 cm

d) Aire 169 hm2

?

9m

?

?

?

Réponse :

Réponse :

Réponse :

Réponse :

e) Aire 49 cm2

f ) Aire 161,5 km2

g) Aire 25,6 dam2

h) Aire 45 mm2

?

Réponse :

4

?

8 dam

17 km

Réponse :

Réponse :

Réponse :

Associe un élément de chaque colonne afin de former 6 relations exactes. a)

36

?

9,8 mm

9 cm

5,2 mm

7 cm

?

b) 5苶 7苶 6 兹苶

32

1苶 5苶 0 兹苶

13

8

24

28

4苶 8苶 4 兹苶

11

2苶 0苶 0 兹苶

22

1苶 2苶 0 兹苶

Panorama 10

La racine carrée et la résolution d’équations

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

5

GROUPE

DATE

Francis confectionne un rideau pour une fenêtre rectangulaire d’une hauteur de 2,2 m.

La hauteur du rideau est la même que celle de la fenêtre et sa largeur est 2,5 fois plus grande que celle de la fenêtre. Sachant que le rideau a une aire de 10,45 m2, détermine la largeur de la fenêtre.

10

Réponse :

6

Chacune des planches de la table de patio illustrée ci-contre a une largeur de 14 cm. La plus grande planche de la table a une aire de 3234 cm2. Sachant que la grande base mesure 28 cm de plus que la petite base b, calcule la mesure de cette grande base.

b

Réponse :

7

Quatre tables identiques en forme de trapèze et une table carrée ont été placées de manière à former une grande table carrée, comme illustrée ci-contre. L’aire de la petite table carrée au centre est 324 dm2. Une fois réunies, les cinq tables ont une aire qui est quatre fois plus grande que celle de la petite table au centre.

Détermine la mesure qui correspond à h dans l’illustration.

h

Réponse :

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

La racine carrée et la résolution d’équations Panorama 10

37

NOM

8

10

GROUPE

Une cour arrière, illustrée sur le plan ci-contre, a la forme d’un rectangle qui est deux fois plus long que large. Le patio, d’une aire de 36 m2, occupe un huitième de la superficie de la cour. La petite base et la hauteur du trapèze correspondant au jardin équivalent chacun à la moitié de la largeur du terrain.

La grande base du trapèze qui correspond au jardin mesure la moitié de la longueur de la cour.

Quelle est l’aire du jardin ?

DATE

Jardin

Piscine

y Patio

Réponse :

9

On a créé une suite de motifs à l’aide de carreaux.

Chaque motif est créé en ajoutant une rangée de carreaux autour du motif précédent.

Voici les quatre premiers motifs de cette suite.

Détermine la mesure d’un des côtés du motif , qui suit celui formé de 529 carreaux.

,

,

, ...

Réponse :

38

Panorama 10

La racine carrée et la résolution d’équations

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

GROUPE

DATE

10.4 La réduction d’expressions algébriques :

multiplication et division

• Un monôme est une expression algébrique formée d’un seul terme.

Ex. : 15

⫺9x

18x 2

y

10

⫺5bc

• Le degré d’un monôme correspond à la somme des exposants des variables qui le composent.

Ex. :

1) 2) 3)

Le degré du monôme ⫺57xy, qui peut aussi s’écrire ⫺57x 1y 1, est 2.

Le degré du monôme 6a 2 est 2.

Le degré du monôme 9, qui peut aussi s’écrire 9x 0, est 0.

• En utilisant les propriétés de la multiplication, on peut réduire l’expression algébrique correspondant à un produit.

Ex. :

1) 2)

4b ⫻ 3b ⫽ 4 ⫻ 3 ⫻ b ⫻ b ⫽ 12b 2 (commutativité) 4(6a 2 ⫹ 7b) ⫽ 4 ⫻ 6a 2 ⫹ 4 ⫻ 7b ⫽ 24a 2 ⫹ 28b (distributivité)

• En utilisant les propriétés des fractions, on peut réduire l’expression algébrique correspondant à un quotient.

Ex. :

1

2

3

12b 2 3

1)

12b 2 ⫼ 3 ⫽

⫽ 4b 2

2)

(20a 2 ⫺ 15b) ⫼ 5 ⫽

20a2 ⫺ 15b 5

⫽

20a2 5

⫺

15b 5

⫽ 4a 2 ⫺ 3b

Complète le tableau suivant.

Monôme

Variable

Degré du monôme

14

Aucune

0

8x

x

1

⫺3ac

a et c

2

14c 2

c

2

Réduis les expressions algébriques suivantes. a) 4 ⫻ 5a ⫽

Réponse :

b) 7b ⫻ 9x ⫽

Réponse :

c) 2b ⫻ 19b ⫽

Réponse :

d) 15c ⫻ 3b ⫽

Réponse :

e) 24x 2 ⫼ 6 ⫽

Réponse :

f ) 52bc ⫼ 4 ⫽

Réponse :

g) 36c 2 ⫼ 9 ⫽

Réponse :

h) 8(2x 2 ⫹ 5) ⫽

Réponse :

Calcule les produits et les quotients suivants. a) 3(14 ⫺ 4x 2) ⫽

Réponse :

b) 5(7a ⫺ 3x) ⫽

Réponse :

c) 6(5b 2 ⫹ 3bc) ⫽

Réponse :

d) (14b 2 ⫺ 7) ⫼ 7 ⫽

Réponse :

e) (36a ⫹ 24bx) ⫼ 6 ⫽

Réponse :

f ) (108ax ⫹ 27bx) ⫼ 9 ⫽

Réponse :

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

La réduction d’expressions algébriques… Panorama 10

39

NOM

4

GROUPE

DATE

Complète le tableau ci-dessous.

Monôme

Degré

Variable

Coefficient

2

x

6

1

y

2

3xy

10

9

19x

5

Détermine le polynôme qui résulte des opérations suivantes. a) 2 11x c)

6

8

b) 5x 6y

6x 2

f)

g) 5(12x 3y)

h) 6(8xy 3x 2)

i ) (18xy 36y) 9

j ) (72y 60x 2) 6

72xy

Donne le coefficient et le degré des monômes suivants.

a)

3b

c)

Coefficient

Degré

Monôme

b)

8c

7bc 2

d)

5abcd

e)

34b 2

f)

36c 2

g)

23qr

h)

12x

i)

7ax

j)

65b 2c

2

Coefficient

Degré

Détermine les opérateurs manquants. a) (16x 2 24xy)

40

6x

e) 35y 7

Monôme

7

d) 24x 2 8x

’

b)

(9ab 6)

c)

(4z 2 5z)

d)

(60xy 20)

e)

(3y 2x) Panorama 10

’

8

’ ’ ’

( 2x 2 3xy) (36ab 24) (24z 2 30z) (3xy 1) ( 54y 36x)

La réduction d’expressions algébriques…

’ ’ ’ ’ ’

6x 2

9xy

12ab 8 8z 2

10z

45xy 15 6y 4x © 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

8

9

GROUPE

DATE

Donne l’expression algébrique manquante afin d’obtenir le résultat désiré.

’

a)

6

b)

5

c)

5

d)

2

e)

3

’ ’ ’ ’

36y 2 24xy 9xy

3x 2

10

40x 2 50xz 24ab 16 2xy

3x 2

On veut placer six bandes dessinées de mêmes dimensions dans une page d’un journal.

L’aire totale disponible pour les bandes dessinées correspond à l’expression algébrique 36y 2 48x 2 72yz. Donne l’expression algébrique qui représente l’aire qu’occupera une seule bande dessinée.

Réponse :

10 Le plancher d’une douche a la forme d’un trapèze. La grande base B de ce trapèze mesure 10 cm de plus que le triple de la petite base. La mesure de la petite base b correspond à l’expression 5y et la hauteur h du trapèze est 5. Donne l’expression qui représente l’aire du plancher.

Réponse :

11 La mesure de la base b d’un triangle est 3, et celle de sa hauteur h correspond à l’expression 6x 2 14xy. Écris l’expression algébrique la plus simple qui représente l’aire de ce triangle.

Réponse :

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La réduction d’expressions algébriques… Panorama 10

41

NOM

GROUPE

DATE

12 L’hexagone régulier ci-contre est divisé en 6 triangles isométriques.

L’aire de l’hexagone correspond à l’expression 54ab 18a 2 78b 2.

Donne l’expression qui correspond à : a) l’aire d’un des triangles.

10

Réponse :

b) l’aire d’un losange formé de deux triangles consécutifs.

Réponse :

13 Le rectangle ci-contre est formé de 8 triangles rectangles isométriques.

L’aire du rectangle correspond à l’expression algébrique 32x 2 72ab.

Donne l’expression algébrique qui représente : a) l’aire de l’un de ces triangles.

Réponse :

b) l’aire du losange.

Réponse :

14 Jean-François installe des carrés de céramique dans une salle de bain.

La mesure d’un côté d’un carré correspond à l’expression 4a. Il doit couper un carré à partir du milieu d’un côté jusqu’à un coin opposé.

Donne l’expression algébrique qui représente la différence entre l’aire du trapèze et celle du triangle.

4a

Réponse :

42

Panorama 10

La réduction d’expressions algébriques…

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

GROUPE

DATE

Synthèse 1

Résous les équations suivantes.

a) 7x 2 23

b)

Réponse :

Réponse :

4x

8 12

c) 2x 7 4x 14 49

Réponse :

d) 5(4x 7) 295

e) (x 4) 6 36

f ) (12x 24) 4 9 g) 4(3x 9) 3 12

Réponse :

Réponse :

Réponse :

Réponse :

h) 2( 4x 8) 3(x 5) 4

i ) 3(x 9 4x 1) 2(9 x) 65

Réponse :

Réponse :

2

Réduis les expressions suivantes.

a) 3(x 6)

b) 5x 6(x 2) 9

c) 12x 7(x 3) 4(2 6x)

Réponse :

Réponse :

Réponse :

d) (60x 12) 6 (42x 39) 3

e)

Réponse :

Réponse :

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

2(8x

6) (33x 77) 11 3(9x 1)

Synthèse Panorama 10

43

10

NOM

3

GROUPE

DATE

Guillermo veut commander du gazon pour son terrain en forme de trapèze illustré ci-contre. Sa maison de forme rectangulaire mesure 11 m sur 13 m. Son stationnement pour les véhicules en forme de parallélogramme est représenté ci-dessous.

10

17 m

15 m

31 m

26 cm

47 m

26 m

Quelle est la quantité de gazon nécessaire pour recouvrir tout son terrain, sauf son stationnement et la surface occupée par sa maison ?

Réponse :

4

Pour une œuvre en arts plastiques, Joëlle utilise des carrés et des rectangles. La mesure du plus petit côté du rectangle correspond à celle d’un côté du carré. La mesure du plus grand côté du rectangle correspond au triple de la mesure de son plus petit côté. Pour réaliser cette œuvre, elle utilise des carrés dont l’aire est de 4 cm2. Elle emploie des feuilles de papier de couleur de 22 cm sur 28 cm. Si elle utilise une feuille de papier de couleur pour chaque format de polygone, combien de carrés et de rectangles peut-elle produire au maximum ?

Réponse :

44

Panorama 10

Synthèse

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

5

GROUPE

DATE

La hauteur d’un triangle vaut cinq de plus que le double de la mesure de sa base.

Complète la table de valeurs suivante correspondant à cette situation.

Mesure de la base (cm)

1

2

3

4

…

x

Hauteur (cm)

10 6

Un artiste crée l’illusion d’optique illustrée ci-dessous. Pour les figures semblables, les dimensions des polygones sont réduites de moitié chaque fois qu’on change de région représentée par des couleurs différentes. Calcule l’aire de chaque région colorée.

A 180 mm B

A' B B'

B'

A B

A'

A"

A"

A'

A

B'

A"

B'

A"

B A'

A

90 mm

Réponse :

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

Synthèse Panorama 10

45

NOM

7

GROUPE

DATE

L’aire d’un miroir rectangulaire est 578 dm2. La mesure de sa base est le double de celle de sa hauteur. Un vitrier coupe ce miroir de manière à former un trapèze, tel qu’illustré ci-contre.

Calcule l’aire de ce trapèze.

y

2y

y

10

Réponse :

8

Deux entrepreneurs sont en désaccord sur la forme des terrains d’un projet de développement résidentiel. Tous deux présentent des propositions de terrains ayant des aires égales. Le premier affirme que ses terrains rectangulaires sont plus grands que ceux du second dont les terrains sont en forme de parallélogramme.

Le second affirme le contraire. Qui a raison ? Explique ta réponse.

A

F

B

C

D

E

Réponse :

46

Panorama 10

Synthèse

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NOM

GROUPE

DATE

Carrefour 1

LA RECETTE DE CRÊPES Pour fabriquer quatre portions de crêpes, il faut 250 mL de farine et 315 mL de lait. Construis un graphique qui représente les quantités de farine et de lait selon le nombre de portions.

0

2

LES SOUS-VERRES Une entreprise fabrique des sous-verres carrés. Chaque modèle est vendu dans une boîte de rangement ayant la forme d’un prisme à base rectangulaire dans laquelle on dispose un certain nombre de sous-verres en deux piles côte à côte. On sait que l’aire d’une base de la boîte de rangement est 162 cm2. Détermine la mesure du côté d’un sous-verre.

Réponse :

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Carrefour Panoramas 9 • 10

47

NOM

3

GROUPE

DATE

LE DEVOIR Dans son devoir de mathématiques, Marianne doit calculer l’aire et le périmètre des deux figures ci-dessous. Elle dit que c’est impossible à faire, car il lui manque des renseignements. Montre-lui le contraire en effectuant son devoir.

Aire ⫽ 156,25 cm2 Périmètre ⫽ ?

Aire ⫽ ?

Périmètre ⫽ 24x

7x

6,25x

2,2y

2y

Réponse :

4 LE TROTTOIR L’aménagement paysager du jardin rectangulaire illustré ci-contre est composé d’une plantation de fleurs et d’un trottoir en ciment de x m de largeur. Montre que l’expression algébrique correspondant à l’aire du trottoir est 42x 2.

9x

14x

Réponse :

48

Panoramas 9 • 10 Carrefour

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM

GROUPE

DATE

Révision 1

Calcule l’aire A et le périmètre P des polygones suivants.

a) Rectangle

b) Carré

c) Parallélogramme 14 m

5 dm

8,5 m

8m

9 dm 9 cm

P⫽ A⫽

P⫽ A⫽

P⫽ A⫽

d) Losange

e) Trapèze isocèle

f ) Triangle

10

10 km

5 cm 7,6 km

6 cm

9 hm 7 km

6,4 hm

6 hm

16 km 8 cm

7 hm

P⫽ A⫽

2

P⫽ A⫽

P⫽ A⫽

Pour chaque polygone, détermine la mesure manquante.

a) Aire du parallélogramme : 54,78 m2

b) Aire du triangle : 36,75 mm2

c) Aire du trapèze : 36 m2

?

?

6,6 m

4,5 m

?

15 mm

Réponse :

3

11 m

Réponse :

Réponse :

Dans chaque cas, donne les nombres manquants. a) 兹苶 121 ⫽

b)

兹苶 ⫽ 16

e) 72 ⫽

f)

⫺82

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⫽

⫺36 ⫽ c) 兹苶

g) (

⬍

)2 ⫽ 16

兹苶 ⫽ ⫺9

d)

⫺

h)

兹苶 ⫽ 24

Révision Panorama 10

199

NOM

GROUPE

DATE

4 Résous les équations suivantes. a) 4x ⫺ 5 ⫽ 11 c)

5

4h ⫺ 6 ⫽9 5

Réponse :

b) 7a ⫹ 4 ⫽ 21,5

Réponse :

Réponse :

d) a 2 ⫺ 12 ⫽ 26,44

Réponse :

Réduis les expressions algébriques suivantes.

Réponse :

b) 36b 2 ⫼ 4 ⫽

Réponse :

d)

Réponse :

f ) 18a ⫼ 3 ⫽

Réponse :

Réponse :

h) (22x 2 ⫺ 77xy) ⫼ 11 ⫽

Réponse :

⫹ 13x 2) ⫽

Réponse :

j ) (51ab ⫹ 9a) ⫼ ⫺3 ⫽

Réponse :

k) 8(11y 2 ⫹ 7xy) ⫽

Réponse :

l ) (76c 2 ⫹ 88cd ) ⫼ 4 ⫽

Réponse :

a)

⫺3a

⫻ 2b ⫽

c) 9a ⫻ 3z ⫽ e)

⫺6b

⫻ 4b ⫽

g) 7(6ab ⫺ 4cd ) ⫽

10

i)

6

7

⫺3(5x

⫼2⫽

Réponse :

Détermine le degré des monômes suivants. a) 4xy

Réponse :

b) 8x 2

Réponse :

c) 9c2d

Réponse :

d) 14

Réponse :

e) 10x

Réponse :

f ) w3

Réponse :

Dans chaque cas, détermine la mesure de la surface colorée. a)

b)

Réponse :

8

⫺56xy

Réponse :

Réponse :

Un trapèze et un carré ont la même aire, soit 8100 cm2. La petite base b et la hauteur h du trapèze ont la même mesure que celle d’un côté c du carré.

Ce trapèze a une particularité, laquelle ?

Réponse :

200

Panorama 10

Révision

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