Point de mire 2_2e Ed by Les Éditions CEC

MATHÉMATIQUE

2e édition

2e secondaire

CLASSE BRANCHÉE Le cahier d’apprentissage 2 de la collection Point de mire mathématique couvre l’ensemble des notions de la 2e secondaire du Programme de formation de l’école québécoise, tout en tenant compte de la Progression des apprentissages (PDA). Il s’agit d’un cahier tout-en-un qui permet aux enseignants et aux élèves d’avoir une grande autonomie et qui préconise une approche notionnelle autorisant un enseignement flexible.

Guide-corrigé • Des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation • Le corrigé, page par page, du cahier d’apprentissage • Le corrigé du cahier en version reproductible • Des notes pédagogiques pour chacun des chapitres N O U V EA U • Un Bilan de fin de cycle de 48 pages

VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : • de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; • d’afficher le corrigé du cahier question par question ; • d’accéder à tout le matériel reproductible ; • de partager des notes et des documents avec vos élèves qui utilisent la version numérique du cahier ; • de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; • d’accéder à un contenu enrichi (vidéos, animations et activités de manipulation) ; • d’accéder à des exercices interactifs qui couvrent tous les concepts prescrits ; • d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; • de travailler dans votre matériel sans connexion Internet.

• • • • •

Fascicule de situations-problèmes NO U V EAU 11 situations-problèmes (SP) réparties en fonction des trois étapes de l’année Une démarche de résolution Un exemple de modélisation Un glossaire Un aide-mémoire mathématique

• Plus de 250 fiches reproductibles et leur corrigé (Savoirs du cahier, fiches Renforcement, fiches Enrichissement, fiches Carnet, tests de chapitres et de fin d’année, situationsproblèmes (SP), situations de raisonnement (SR) et bilans) N O U V EA U • Un fascicule d’exploitation numérique avec pistes pédagogiques adaptées U Le corrigé du fascicule de situations-problèmes • N O U V EA

Pour l’élève La version numérique du cahier permet à l’élève : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’écrire ses réponses dans son cahier ; • de travailler dans son cahier même sans connexion Internet.

CLASSE BRANCHÉE Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes Yves Corbin Annie Dupré

GR ATU

Fascicule de situations-problèmes inclus

CLASSE BRANCHÉE

• • •

Cahier d’apprentissage Une rubrique Test diagnostique 8 chapitres, comprenant théorie, exercices, problèmes, une situation-problème (CD1) et une situation de raisonnement (CD2) Une rubrique Révision Une rubrique Réinvestissement Une annexe portant sur la notation et les symboles mathématiques

Cahier d’apprentissage

• •

De plus, à l’achat du cahier, vous recevez gratuitement le Fascicule de situations-problèmes de 32 pages en couleur.

POINT DE MIRE

NOUVEAU

CODE DE PRODUIT : 217062 ISBN 978-2-7617-9147-2

CONFORME À LA PROGRESSION DES APPRENTISSAGES

Table des matières Présentation du cahier

Test diagnostique

L’aire des figures

151

Rappel : L es polygones, le périmètre et l’aire d’une surface 151

Les expressions algébriques

Rappel : Les propriétés et la priorité des opérations

Section 1.1 : Les variables et les expressions algébriques

Section 1.2 : L’addition et la soustraction d’expressions

algébriques 20

Section 1.3 : La multiplication et la division d’expressions

algébriques 27

Section 1.4 : La valeur d’une expression algébrique

Méli-mélo

Les rapports et les proportions Rappel : L es fractions, les pourcentages

et le plan cartésien

53 53

Section 2.1 : Les divers modes de représentation

Section 2.2 : Les rapports, les taux et les proportions

Section 2.3 : Les situations de proportionnalité et

les situations inversement proportionnelles

Section 2.4 : Les pourcentages

Méli-mélo

Les équations

111

Rappel : Les suites

111

Section 3.1 : La construction d’une équation

du premier degré à une variable

Section 3.2 : Les équations équivalentes Section 3.3 : La résolution d’une équation du premier

degré à une variable et la validation

Méli-mélo

Section 4.1 : Le système international d’unités (SI) Section 4.2 : L’aire d’un triangle, d’un rectangle

et d’un parallélogramme

Section 4.3 : L’aire d’un trapèze et d’un losange Section 4.4 : Le carré et la racine carrée d’un nombre

et l’aire d’un carré

Section 4.5 : L’aire de polygones réguliers

et de polygones décomposables

155 161 167 173 179

Méli-mélo

187

Le cercle

201

Rappel : L e cercle et ses composantes

201

Section 5.1 : Le cercle et la circonférence

205

Section 5.2 : L’aire d’un disque

211

Section 5.3 : L’angle au centre, l’arc de cercle

et le secteur circulaire

217

Section 5.4 : Le périmètre et l’aire de figures

décomposables 225

Méli-mélo

231

Les solides

245

Rappel : Les solides

245

Section 6.1 : Les polyèdres et les corps ronds

249

116

Section 6.2 : L’aire d’un prisme

257

123

Section 6.3 : L’aire d’une pyramide

263

Section 6.4 : L’aire d’un cylindre

269

126

Section 6.5 : L’aire de solides décomposables

275

137

Méli-mélo

281

TABLE DES MATIÈRES

III

La similitude Rappel : L es éléments homologues

et les fractions équivalentes

Section 7.1 : Les figures semblables

et les rapports de similitude

Section 7.2 : L’homothétie Section 7.3 : Le rapport de similitude,

le périmètre et l’aire

Méli-mélo

La statistique et la probabilité

295

377

405

423

295 299 305

311 317

331

Rappel : Les ensembles et le dénombrement

331

Section 8.1 : Les tableaux et l’interprétation graphique

335

Section 8.2 : Les diagrammes circulaires

340

Section 8.3 : Les événements et les probabilités

347

Section 8.4 : Le calcul de la probabilité

355

Méli-mélo

363

TABLE DES MATIÈRES

Présentation du cahier Le cahier Point de mire mathématique est divisé en huit chapitres. Au tout début du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vérifier les connaissances acquises des élèves. À la fin du cahier, on trouve une rubrique Réinvestissement, une rubrique Révision ainsi qu’un index pratique.

Test diagnostique Le Test diagnostique permet de vérifier l’acquisition des connaissances en mathématique chez les élèves à leur arrivée en 2e secondaire. Il comprend 8 pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

Les chapitres Chaque chapitre commence par un Rappel de quatre ou cinq pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un encadré théorique suivi de quelques exercices. Chaque chapitre est divisé en quelques sections de 3 à 12 pages chacune. Un ou plusieurs encadrés théoriques expliquent les notions à l’étude. Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est pertinent, on présente une démarche rattachée à la notion expliquée. Des exercices et quelques problèmes permettent ensuite aux élèves de vérifier et de consolider leur compréhension des différentes notions fraîchement acquises.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Puis, une récapitulation en 14 ou 15 pages, appelée Méli-mélo, vient clore le chapitre. Les 10 ou 11 premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les 4 dernières pages proposent, quant à elles, une situation-problème et une situation de raisonnement. De plus, les 4 derniers problèmes du Méli-mélo permettent d’évaluer des composantes des compétences disciplinaires 1 et 2.

Réinvestissement À la suite du chapitre 8, on trouve une rubrique Réinvestissement de 28 pages qui présente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur des notions provenant généralement d’au moins deux chapitres.

Révision Après la rubrique Réinvestissement, une rubrique Révision de 18 pages permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 2e secondaire. On y trouve des questions à choix multiple, des questions à réponse courte ainsi que des questions à développement.

PRÉSENTATION DU CAHIER

Index Un index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la toute fin du cahier.

Annexe Une annexe sur les notations et les symboles mathématiques figure dans le couvert intérieur, à la fin du cahier.

Pictogrammes SP La situation-problème (SP) permet de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 1 (CD1).

SR La situation de raisonnement (SR) permet de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 2 (CD2).

PRÉSENTATION DU CAHIER

VII

NOM

GROUPE

DATE

Questions à choix multiple Pour chaque question, encercle la bonne réponse.

Détermine le résultat de la suite d’opérations. 21 ( 30 14) 3358 73 50

a) 420

b) 332

b) 8

c) 4

d) 32

Quel est le prochain terme de la suite 12, 25, 51, 103, 207, … ? a) 331

d) 482

Si le quart d’un nombre est 16, quel est ce nombre ? a) 64

c) 640

b) 415

c) 312

d) 414

Pourquoi peut-on affirmer que les angles 1 et 2 de l’illustration ci-dessous sont isométriques ? a) Parce que ce sont deux angles alternes-internes supportés par deux droites parallèles et une sécante.

b) Parce que ce sont deux angles correspondants supportés par deux droites parallèles et une sécante.

d1 // d2

c) Parce que ce sont deux angles alternes-externes supportés par deux droites parallèles et une sécante.

2 d3

d) Parce que ce sont deux angles supplémentaires supportés par deux droites parallèles et une sécante.

Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par 3 ? 54

129

349

543

1295

9521

12 841

a) 54, 129, 543, 18 894

b) 349, 1295, 9521, 12 841

c) 129, 349, 543, 9521

d) 54, 129, 349, 543, 9521

18 894

Quelle flèche de translation permet d’associer la figure image et la figure initiale de l’illustration ci-contre ? a) t1

b) t2 c) t3 d) t4

Figure image t2 Figure initiale

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM

GROUPE

Quelle est la mesure de chaque angle dâ&#x20AC;&#x2122;une paire dâ&#x20AC;&#x2122;angles isomĂŠtriques dâ&#x20AC;&#x2122;un parallĂŠlogramme, sachantÂ que les deux autres angles mesurent chacun 42,18Â° ? a) 137,82Â°

DATE

b) 275,64Â°

c) 84,36Â°

d) 47,82Â°

DĂŠtermine le rĂŠsultat de lâ&#x20AC;&#x2122;opĂŠration suivante.

(21) 83 245 83 2 2

a) 1 24

b) 1

d) 16

c) 3

Quelle propriĂŠtĂŠ des opĂŠrations est illustrĂŠe par lâ&#x20AC;&#x2122;exemple suivant ? 8 (12 147) (8 12) 147

a) La commutativitĂŠ.

b) La distributivitĂŠ.

c) Lâ&#x20AC;&#x2122;associativitĂŠ.

d) Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlĂŠment neutre.

Dans le triangle ci-dessous, quel segment reprĂŠsente une mĂŠdiane ? a) Le segment rouge. b) Le segment bleu. c) Le segment orange. d) Le segment vert.

On lance deux dĂŠs numĂŠrotĂŠs de 1 Ă 6. Quelle est la probabilitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir deux nombres identiques ? 1

d) 3

Rang

â&#x20AC;Ś

Terme

19,5

24,5

29,5

â&#x20AC;Ś

b) 16

c) 18

d) 15

Simon participe Ă une course dâ&#x20AC;&#x2122;une distance de 42 km. AprĂ¨s 2 heures de course, il a franchi 4 les 7 duÂ parcours. Combien de kilomĂ¨tres lui reste-t-il alors Ă parcourir ? 3

a) 7 km

c) 12

Dans cette suite, quel est le rang du terme 62 ?

a) 22

b) 36

a) 6

TEST DIAGNOSTIQUE

b) 24 km

c) 18 km

d) 21 km

ÂŠ 2017, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

NOM

GROUPE

Justine a reprĂŠsentĂŠ un parc dans le plan cartĂŠsien illustrĂŠ ci-contre. SiÂ Justine se trouveÂ au chalet et seÂ dĂŠplace de 5 cases versÂ la gauche et de 2 cases vers le bas, quelles sont lesÂ coordonnĂŠes de sa nouvelle position ?

y 10 Â Â 8 6 4 2 10

a) (3, 7)

2 0 2

b) ( 1, 4,5)

10 x Â Â

4 Chalet

d) ( 2, 3)

Si je paie une taxe de 10 % sur un outil qui coĂťte 310 $, quel sera le prix total de mon achat ? a) 31 $

c) ( 2, 7)

DATE

b) 310 $

c) 279 $

d) 341 $

RĂŠsous lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation. 10,2 0,4x 30 a) x 49,5

b) 60 points.

c) 16 points.

d) 24 points.

France veut acheter une toile qui couvrira complĂ¨tement sa piscine en forme dâ&#x20AC;&#x2122;octogone rĂŠgulier, dontÂ chaque cĂ´tĂŠ mesure 1,124 m. Quel sera le pĂŠrimĂ¨tre de la toile ? a) 6,744 m

d) x 19,1

Tammy nâ&#x20AC;&#x2122;a pas donnĂŠ la bonne rĂŠponse pour les 5 des 40 questions de son test de mathĂŠmatique. Si chaque bonne rĂŠponse vaut 2,5 points, quel rĂŠsultat a-t-elle obtenu ? a) 40 points.

c) x 100,5

On dĂŠsire mettre une figure symĂŠtrique sur la page couverture dâ&#x20AC;&#x2122;un cahier de mathĂŠmatique. Parmi les quatre figures suivantes, laquelle ne convient pas ? a)

b) x 19,8

b) 9,124 m

c) 5,62 m

d) 8,992 m

Le dessin ci-dessous est lâ&#x20AC;&#x2122;emblĂ¨me dâ&#x20AC;&#x2122;une nouvelle marque de voiture. Comment lâ&#x20AC;&#x2122;infographiste a-t-il pu obtenir les triangles AOB et BOC Ă partir du triangle AOC ?

a) Par une rotation. O

b) Par une rĂŠflexion. c) Par une translation ou une rĂŠflexion.

d) Par une rotation ou une rĂŠflexion. ÂŠ 2017, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM

GROUPE

Isabella a une table rectangulaire de 1,56 m de longueur sur 1,02 m de largeur. Elle veut acheter une nappe qui dépassera d’une longueur de 15 cm de chaque côté de la table. Quelles seront les dimensions de la nappe ? a) 1,71 m sur 1,17 m

b) 16,56 m sur 16,02 m

c) 1,86 m sur 1,32 m

d) 1,71 m sur 1,02 m

Emin dîne chaque jour au même restaurant. Si le menu du midi comporte un choix de 4 entrées, de 5 plats principaux et de 3 desserts, pendant combien de jours consécutifs Emin peut-il manger un menu différent ? a) Pendant 12 jours.

b) Pendant 60 jours.

c) Pendant 20 jours.

d) Pendant 120 jours. 3

Si on choisit au hasard un chien dans un chenil donné, la probabilité qu’il soit noir est de 7 . Si on y compte 42 chiens noirs, combien de chiens y a-t-il au total dans ce chenil ? a) 98 chiens.

DATE

b) 18 chiens.

c) 24 chiens.

d) 42 chiens.

Eliott interroge 10 élèves de sa classe pour connaître le temps moyen de transport pour se rendre à l’école. Voici les résultats, en minutes, obtenus des 9 premiers élèves interrogés. 3,5

17,75

6,2

4,5

12,4

10,5

Quel est le temps de transport du dixième élève, sachant que la moyenne de toutes les données recueillies est de 11,6 min ? a) 5,55 min

b) 17 min

c) 5,45 min

d) 17,15 min

Questions à réponse courte

Pour chaque paire de nombres : 1) décompose chaque nombre en facteurs premiers ; 2) calcule le PGCD ; 3) calcule le PPCM.

a) 42 et 70.

b) 72 et 126.

TEST DIAGNOSTIQUE

Les propriétés et la priorité des opérations Les propriétés des opérations

Les expressions algébriques

• L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication qui permet de modifier l’ordre des calculs sans en changer le résultat. Exemples : 1 ) (52 1 26) 1 14 5 52 1 (26 1 14) 5 92 2) 25 3 (24 3 12) 5 (25 3 24) 3 12 5 240 • La commutativité est une propriété de l’addition et de la multiplication qui permet de modifier l’ordre des termes sans en changer le résultat.

Rappel Les propriétés et la priorité des opérations...... 9

Section 1.1 Les variables et les expressions algébriques...... 13

Section 1.2 L’addition et la soustraction d’expressions algébriques.... 20

Section 1.3 La multiplication et la division d’expressions algébriques.......................... 27

Section 1.4 La valeur d’une expression algébrique........... 35

Méli-mélo ......................... 39

Exemples : 1 ) 39 1 76 1 51 5 39 1 51 1 76 5 166 2) 6 3 215 3 5 5 6 3 5 3 215 5 2450 • La distributivité est une propriété de la multiplication qui permet de passer du produit d’une somme (ou d’une différence) à la somme (ou à la différence) des produits. Exemples : 1) 11 3 (26 1 9) 5 11 3 26 1 11 3 9 1 99 5 266 5 33 2) 225 3 (9 2 2) 5 225 3 9 2 225 3 2

5 2225 5

2 250 2175

• L’élément neutre de l’addition est un nombre qui, additionné à un autre nombre, donne cet autre nombre pour résultat. L’élément neutre de l’addition est 0. Exemple : 2173 1 0 5 0 1 2173 5 2173 • L’élément neutre de la multiplication est un nombre qui, multiplié par un autre nombre, donne cet autre nombre pour résultat. L’élément neutre de la multiplication est 1. Exemple : 281 3 1 5 1 3 281 5 281 • L’élément absorbant de la multiplication est un nombre qui, multiplié par un autre nombre, donne 0 pour résultat. L’élément absorbant de la multiplication est 0. Exemple : 2704 3 0 5 0 3 2704 5 0

CHAPITRE 1

Rappel

NOM

GROUPE

DATE

Exercice 1

Dans chaque cas, indique la ou les propriétés utilisées. a) 4 1 6 5 6 1 4 b) 2 3 (3 3 8) 5 (2 3 3) 3 8 c) 4 3 (6 1 8) 5 (8 1 6) 3 4 d) 3 3 (4 1 6) 5 3 3 4 1 3 3 6 e) 4 3 8 1 0 5 8 3 4 f ) 1 3 (6 1 (4 1 3)) 5 (6 1 4) 1 3 g) 2 3 (3 1 2) 3 0 5 0 h) (212 1 59) 1 11 5 212 1 (59 1 11) 5 58

La priorité des opérations Pour effectuer les calculs d’une chaîne d’opérations, on doit respecter les règles qui déterminent l’ordre de certaines d’entre elles. En effet, certaines opérations doivent être effectuées avant d’autres. Voici l’ordre à respecter : 1. les opérations placées entre parenthèses ; 2. les exponentiations ; 3. les multiplications et les divisions, dans l’ordre d’apparition de gauche à droite ; 4. les additions et les soustractions, dans l’ordre d’apparition de gauche à droite. Exemple :

4 1 5 3 (7 2 1)2 2 12

5 4 1 5 3

2 12 (priorité à l’opération entre parenthèses)

5 4 1 5 3

2 12 (priorité à l’exponentiation)

5 4 1 180

5 172

184

2 12 (priorité à la multiplication)

2 12 (Les additions et les soustractions doivent être effectuées de gauche à droite.)

• Lorsqu’aucune opération n’a priorité, on effectue les calculs dans leur ordre d’apparition, soit de gauche à droite. • Il est préférable d’effectuer une seule opération à chaque étape de la résolution.

CHAPITRE 1

Rappel

NOM

GROUPE

DATE

Exercices 2

Dans chaque cas, détermine la valeur de l’expression en respectant la priorité des opérations. a) 8 2 26 3 3 5

b) 48 4 6 3 22 5

c) 3(7 1 1) 2 9 5

d) (7 1 3)(4 2 2) 5

e) (8 2 2)2 4 3 1 4 5

f ) 54 4 9 2 (6 1 1)2 5

1 1 1 g) 2 4 8

3 1 1 5 10 2

4 3 2 9 5 10

26 9

2 1 1 3 6 2

4 2 1 k) 9 5 3

7 4 1 10 5 2

Dans chaque cas, place une ou plusieurs paires de parenthèses afin d’obtenir une égalité vraie. a) 2 3 3 1 5 5 16 b) 4 1 5 3 3 2 1 5 18 c) 4 1 2 3 5 2 6 4 2 5 27

d) 3 2 4 3 6 1 2 5

e) 5 3 6 1 6 4 6 2 1 5 9

f ) 62 1 4 4 2 1 8 4 4 5 1

g) 5 1 1 3 3 2 9 4 3 1 4 5 7

h) 3 3 6 1 10 4 2 2 3 3 10 5

i) 9 1 1 3 8 1 6 4 2 2 4 5 2

j) 4 1 2 1 5 3 3 1 2 3 2 5 37

CHAPITRE 1

Rappel

NOM

GROUPE

Dans chaque cas, écris le signe d’opération manquant afin d’obtenir une égalité vraie. a) 7 2 9 8 5 265 b) 9 3 4 6 5 42 c) 5 3 (8 2) 5 30 d) 4 3 3 g) (7 1 6)

DATE

2 5 6 (9 1 2) 5 2

e) (6

2) 3 (4 1 9) 5 52

h) 2 3 (18 1 12)

3 5 20

f ) 3 3 9 1 18 i)

36 4 23

6 5 30 35 5 223

Dans chaque cas, traduis la phrase à l’aide de symboles mathématiques, puis effectue les opérations en respectant la priorité des opérations. b) 8 de plus que le quintuple de 6 moins 3. a) La somme du produit de 6 par 9 et de 3.

c) Le quotient de 3 ajouté à 7, par 5 soustrait de 15.

d) Le quotient de 36 par la différence entre 18 et 12.

e) Le quadruple de la somme de 5 et 6, soustrait de 100.

f ) Le tiers du quotient de la somme de 8 et 28 par 2.

g) Le double de la somme du produit de 4 par 6 et de 10.

h) Le quotient du triple de la somme de 7 et 8 par le carré de 3.

Problème 6

Pour chaque situation, écris une chaîne d’opérations qui permet de calculer le résultat recherché, puis détermine ce résultat. a) Un élève a 326 $ dans son compte de banque. Il fait 5 retraits de 15 $, puis 4 dépôts de 20 $. Quelle somme a-t-il maintenant dans son compte ?

Réponse :

b) Il y a un certain nombre de billes dans un sac. Judith et Mary en prennent quelques-unes. Il reste maintenant dans le sac autant de billes que la somme de celles entre les mains des deux amies. Judith a 6 billes dans sa main droite et 4 dans sa main gauche, alors que Mary en a 3 dans chaque main. Au départ, combien y avait-il de billes dans le sac ?

Réponse :

CHAPITRE 1

Rappel

NOM

GROUPE

DATE

Les variables et les expressions algébriques • Un terme est un élément d’une expression mathématique. Il peut être : 2 composé d’un nombre seulement (un scalaire), on l’appelle terme constant ; 2 le produit de variables et d’un coefficient (nombre). 3

Exemples : 32, 21,2ab, y et 8 sont tous des termes. De plus, 32 et 8 sont constants. • Une variable est habituellement une lettre à laquelle on peut attribuer différentes valeurs. • Un coefficient est un facteur placé devant la ou les variables d’un terme. Exemple : Dans 12xy2, le coefficient est 12 et les variables sont x et y. • Pour exprimer le produit d’un nombre et d’une ou plusieurs variables, on convient d’éliminer le symbole de multiplication. Exemple : 3 3 x 5 3x • Une expression algébrique est composée de termes reliés entre eux par des symboles d’addition (1) et de soustraction (2). Exemple : Dans l’expression algébrique 3x 1 xy 2 12, il y a 3 termes, soit 3x, xy et 212. • Pour former une expression algébrique, tu peux utiliser la démarche suivante. Démarche

Exemple : Détermine l’expression algébrique qui traduit la situation suivante, soit le triple d’un nombre diminué de 15.

1. Définis la ou les variables.

x : un nombre.

2. Détermine les symboles mathématiques

Le « triple » réfère à une multiplication (3), alors qu’« un nombre diminué de 15 » renvoie à une soustraction (2).

qui traduisent les opérations mathématiques exprimées en mots.

3. Respecte la priorité des opérations qui est sous-entendue dans l’énoncé.

4. Écris l’expression algébrique

Ce dont on calcule le triple, c’est le résultat obtenu par le « nombre diminué de 15 ». 3(x 2 15)

appropriée. • Une expression algébrique ne comportant qu’un seul terme est appelée monôme.

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

• On détermine le degré d’un monôme en faisant la somme des exposants des variables qui le composent. Pour déterminer le degré d’une expression algébrique, on prend le degré du monôme de plus haut degré parmi tous les monômes qui la composent. Exemple : On veut déterminer le degré de l’expression algébrique suivante : 4a2b 2 6ab 1 5a. – Le degré du monôme 4a2b est 3. En effet, 4a2b 5 4a2b1 et 2 1 1 5 3. – Le degré du monôme 26ab est 2. En effet, 26ab 5 26a1b1 et 1 1 1 5 2. – Le degré du monôme 5a est 1. En effet, 5a 5 5a1. – Le degré de l’expression algébrique 4a2b 2 6ab 1 5a est donc 3.

Exercices 1

Pour chacun des monômes suivants, détermine : 1) la ou les variables utilisées ;

2) le coefficient ;

a) 3x

b) 22ab 2)

c) 12x3

j) 2 a2x 3 z 4 3

Pour chacune des expressions algébriques suivantes, détermine : 1) le nombre de termes qui la composent ;

2) son degré.

a) 5x 1 9

b) 28ab2c

c) 7x2y 1 3y 2 16

h) 26,1c5e

i) 3,5xyz5

f ) j4k2x2

g) 31

d) 2c3g2h

e) 27a2y4

3) le degré.

1) CHAPITRE 1

d) 7x3 2 9xy 1 12x 2 22 2)

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

e) 3x 2 2y 1 8

f ) 6xyz 1 5xy

g) 8x4y3 1 12xy 2 6x 1 5y 2 15

h) 5bcd 2 3abcd 1 abc 2 9 1 b 2 a

i) 135

DATE

j) 26x2 1 6y3 2 5 2 abcd

Forme les expressions algébriques demandées en puisant dans la banque de lettres et de nombres ci-dessous et avec les signes d’opérations « 1 » et « 2 ». Attention, pour chaque expression, tu peux utiliser au maximum une fois chaque lettre et chaque nombre de la banque. 2

a) Une expression algébrique de 2 termes dont les coefficients sont 3 et 4. b) Un monôme de degré 9 dont les variables sont x et z. c) Une expression algébrique de 4 termes, de degré 5, dont le terme constant est 3. d) Une expression algébrique de 2 termes, de degré 8.

Dans chaque cas, écris l’expression algébrique à l’aide de symboles mathématiques. a) La somme de x et 15.

b) Le produit de 5 et a.

c) La différence entre 8 et y.

d) Le quotient de 6 par c.

e) Le carré de b.

f ) x plus quinze.

g) Cinq fois la valeur de a.

h) Huit diminué de y.

i) Six sur c. k) 5 multiplié par a.

j) b au carré.

l) 8 diminué de y.

m) Quinze de plus que x.

n) y de moins que 8.

o) Le double de c, augmenté de 3.

p) 17 augmenté du tiers de a.

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

Dans chaque cas, associe l’expression algébrique à l’énoncé qu’elle représente. 3x 1 6 • • 5 de moins que le triple de la somme d’un nombre et de 7. x 4 2 8

•

• Le quart de la différence entre un nombre et 2, augmenté de 1.

1 (x 2 2) 1 1 4

•

• 9 de plus que le produit d’un nombre par 23.

3x 1 9

• • 8 de moins que le quart d’un nombre.

3(x 1 7) 2 5

• • Le triple d’un nombre, augmenté de 6.

DATE

Sachant que la variable x représente un nombre, écris en mots chaque expression algébrique suivante. a) 2x b) x2 c) x 1 23 d)

x 4

e) 4x 2 12 f ) 59 2 3x g) 5 x 9 4

h) (2x 2 6)2

À l’aide d’une expression algébrique où x représente le nombre inconnu, représente chaque situation suivante. a) Le quadruple d’un nombre.

b) Le double d’un nombre et de six.

c) Le tiers de la différence entre dix-neuf d) La somme d’un nombre et du double et le triple d’un nombre. de ce nombre augmenté de 7.

e) Le produit d’un nombre et de la somme f ) Le carré d’un nombre multiplié par 6, du triple du nombre et de 12. duquel on soustrait 9.

g) Le triple d’un nombre divisé par la h) Le quotient de la somme d’un nombre et 4 différence entre ce nombre et 5. par la différence entre ce nombre et 7.

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Représente chaque situation par une expression algébrique. a) Joshua reçoit une allocation de 5 $ par semaine. Quelle somme a-t-il reçue après x semaines ?

b) Un père a 8 ans de plus que le triple de l’âge de sa fille. Si x est l’âge de la fille, quel est l’âge du père ?

c) On vide une piscine contenant 22 000 kl d’eau à l’aide d’une pompe dont le débit est de 1,2 kl/h. Quelle est la quantité d’eau restante dans la piscine si la pompe fonctionne x heures ?

d) Un plombier charge 85 $ pour son déplacement et 55 $/h. Quel est le coût d’une réparation qui demande x heures de travail, excluant les matériaux ?

e) Un élève a obtenu 83 % et x %. Quelle est la moyenne de ses résultats ?

f ) La somme d’un nombre et du double de ce nombre diminué de 6.

g) Une équipe a disputé x matchs. Si la saison compte 61 matchs, quel est le nombre de matchs restant à disputer ?

h) On a réduit le côté d’un carré de x cm alors qu’il mesurait 15 cm initialement. Quelle est l’aire de ce carré, sachant qu’on l’obtiendra en élevant la mesure du côté au carré ?

i) Un randonneur marche à une vitesse moyenne de 3 km/h. Si sa dernière randonnée a duré x heures, quelle distance a-t-il parcourue ?

j) Combien d’enfants compte une famille, sachant qu’il y a 4 filles et x garçons de moins que le nombre de filles ?

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Exprime chaque somme ci-dessous à l’aide d’une expression algébrique appropriée. a) La somme de trois nombres consécutifs dont celui du milieu est x.

Réponse :

b) La somme de trois nombres impairs consécutifs dont le plus petit est représenté par x.

Réponse :

c) La somme de quatre nombres pairs consécutifs dont le plus grand est représenté par 3x 1 2.

Réponse :

d) La somme de trois nombres consécutifs dont celui du milieu est représenté par 4x 2 3.

Réponse :

Problèmes 10 Amanda, qui a 13 ans, va au parc aquatique avec sa famille. Le prix d’un billet pour les enfants

de moins de 12 ans est deux fois moins élevé que celui d’un billet pour les personnes âgées de 12 à 60 ans, alors que le billet pour les personnes de plus de 60 ans coûte 5 $ de plus que celui d’un billet pour enfant. Écris l’expression algébrique qui permet de déterminer le prix que les parents d’Amanda doivent débourser sachant qu’elle a un frère de 9 ans, un autre de 7 ans et que sa grand-mère de 67 ans les accompagne.

Réponse :

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Léa, Ismaël et Jade partagent leur album de photos sur leur téléphone intelligent. Léa a 32 photos de plus que le double des photos dans l’album d’Ismaël, et Jade en a 52 de moins que Léa. Quelle expression algébrique représente le nombre total de photos des trois amis ?

Réponse :

12 Neil, Gabriel et Emmy font une excursion scolaire dont les frais sont de 350 $. Neil a accumulé 30 $

de plus que le double des économies de Gabriel, alors qu’Emmy a amassé 40 $ de moins que le tiers de la somme amassée par Neil. Quelle expression algébrique représente la différence entre les économies de Neil et celles d’Emmy ?

Réponse :

13 Un groupe d’alpinistes fait l’ascension du mont Washington (1710 m) en quatre étapes. À la première étape, ils atteignent une altitude qui est moins élevée de 50 m que la moitié de l’altitude atteinte à la deuxième étape. À la fin de la troisième étape, ils arrivent à une altitude de 80 m de plus qu’une fois et demie l’altitude atteinte à la deuxième étape. Pour chacune des étapes, représente l’altitude atteinte (en m) à l’aide d’une expression algébrique.

CHAPITRE 1

Les variables et les expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques 1.2.1 Les conventions d’écriture en algèbre 1. Dans un terme, on place le coefficient devant les variables. Lorsque le coefficient d’un terme est 1 ou 21, il est convenu de ne pas écrire le « 1 ». Exemples : 1) Le terme 4a2b respecte la convention d’écriture. 2) Le terme c5d ne respecte pas la convention d’écriture.

On devrait plutôt écrire : 5cd.

2. Pour écrire un terme, il est convenu de placer les variables, affectées de leur exposant respectif, en respectant l’ordre alphabétique. Exemples : 1) Le terme 4x2y3z4 respecte la convention d’écriture. 2) Le terme 5xzy2 ne respecte pas la convention d’écriture.

On devrait plutôt écrire : 5xy2z.

3. Dans une expression algébrique, on place les termes dans l’ordre décroissant de degré. Si deux termes sont de même degré, on applique alors l’ordre alphabétique. Exemples : 1) L’expression algébrique 2x2 1 3x 2 2y 1 7 respecte la convention d’écriture. 2) L’expression algébrique 6y 2 12 1 4x ne respecte pas la convention d’écriture.

On devrait plutôt écrire : 4x 1 6y 2 12.

1.2.2 L’addition et la soustraction • Des termes semblables sont des termes composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants. Les termes constants sont tous semblables entre eux. 5

Exemple : Soit les 4 termes suivants : 3,4xy2, 27xy, 7 xy2 et 0,1x2y. 5

Seuls les termes 3,4xy2 et 7 xy2 sont semblables. • Pour additionner ou soustraire des termes semblables, on fait la somme ou la différence de leurs coefficients. Exemples : 1) 23x 1 5x 5 2x

2) 2,5ab 2 4ab 1 0,5ab 5 2ab

3) 3 x 2 6 x 5 2 6 x

• Pour réduire une expression algébrique, tu peux utiliser la démarche suivante. Exemple : Réduis 3x 1 9 2 8 1 4x à sa plus simple expression.

Démarche

1. Regroupe les termes semblables.

3x 1 9 2 8 1 4x 5 3x 1 4x 1 9 2 8

2. Additionne ou soustrais les termes semblables.

3x 1 4x 1 9 2 8 5 7x 1 1

CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Exercices 1

Réécris chaque terme convenablement, s’il y a lieu. a) 5yx b) 26ba2c c) y2x412

e) 27x2y3z5

f ) 9b5c2a

g) x48y4z

h) 25c3b5a32

Réécris chaque expression algébrique convenablement, s’il y a lieu. a) 6y 1 5x 1 9 b) 6 1 9x

c) 3x 2 2x2 1 8

e) 7axy 1 3ay 2 16abx

g) 0,5x2 1 12 2 6x4 2 15x3

i) 2a2b3 2 4a3b2 1 8a4b 2 45a3b3

d) 3cbbccbaba

d) 6x2 1 5x4 2 16x3

f ) 7xy2 1 8x2y 2 9xya 1 10xyz

h) 5xy 2 3x2 2 9y2 1 7x

j) 2a5b4 2 9a4b5 1 12a2b2 2 22a3b

Dans chaque cas, indique les termes semblables. a) 5a, 6x, 7x, 23x, 4y b) 2a, 3x, 5a2, 8x c) 0,5x2, 12, 6x4, 15x3, 7 e) y2b, 2y2b, by2, b2y, 6b2y, 4y2b2 g) 4x3y2, 5x4y3, 6x3y2, 27x4y3, 2x3y2 i) 42x4y7, 51y4x, 36xy7, 247xy7, 14y7x

d) 2a5, 9a4, 12a5, 22a3, 2a4 f ) 3xy, xy, x2y, 4xy, 2x2y h) 6x4z, 27yx3, 5x3y, 3yx4, 29xy3 j) x2y4, x4y2, x4y, y4x2, x2y CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

Dans chaque cas, détermine le terme qui n’est pas semblable aux autres. a) 2a, 8a, 214a, 5a, 6ab b) 7x2, 3x2, 23x2, 8y2, 5x2

c) 212a3, 9a3, a3, 3a2, 4a3

d) 5x2y2, 2y2x2, 4x2y2, 26x2z2, x2y2

e) 8xy2, 9x2y, 7y2x, 2xy2

f ) 2a4b, 5b4a4, 6a4b, 3ba4

g) x2y2, 2y2x2, xy2, 2x2y2

h) 2a4b7, 5b7a4, 6b7a4, 3b7

i) 125a8, 128a8, 124a4, 135a8, 146a8

j) 24x2y2, 34y2x2, 4x4y2, 134y2x2

S’il y a lieu, réduis à sa plus simple expression chaque expression suivante en respectant les conventions d’écriture. a) 5a 1 7b 1 3b 1 8a 1 6b

b) 9x2 1 2y2 1 27x2 1 3y2 1 4x2

c) 215a3 2 7a2 1 6a3 1 2a2 1 8a2

d) 5y2x2 2 7x2y2 1 28x2z2 2 2x2z2

e) 4xy2 2 3x2y 1 2y2x 2 2x2y

f ) 23a4b 1 7b4a4 1 a4b4 1 2b4a4

g) 3xy2 2 5y2x2 1 6xy2 1 5x2y2

h) 25a4b7 1 4b7a4 1 b7 1 11b7

i) 2a8 1 8a8 1 24a4 2 5a8 1 6a4

j) 4x2y2 1 4y2x2 2 4x4y2 2 4y2x4

Détermine la portion manquante de chaque expression algébrique. a) 2a 1 1 5b 5 10a 1 14b b) 3x2 1 2 1

1 4 5 5x2 2 3

c) 9yx2 2 6xy2 1

DATE

5 8x2y 2 4xy2

1 5y2a 2 2ay 5 12ay2 2 ay

CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

Réduis les expressions algébriques suivantes. a) 3x 1 4y 2 2x

b) 5y 1 6x 2 7 1 8y

c) 9xy 1 2y 2 3x 1 xy

d) 4x 2 xy 1 8xy 1 8x

e) 4x 2 (3x 1 8y 2 2)

f ) 5y 1 2y 1 3x

g) 4x 2 6y 2 3 1 3x 2 2y

h) 4xy 1 5y 2 (3y 1 2x 2 7 2 xy)

j) 7x 2 3xy 1 4y 2 (26x 2 3y)

(3x 1 4xy) 2 (6xy 2 3y)

k) 3x 1 2y 2 (6x 2 2y) 1 3y 2 2x

DATE

l) 4x 2 7y 1 3xy 1 6z 2 (3y 1 5xy 2 6x 2 4z)

Pour chacune des situations suivantes : 1) traduis l’énoncé par une expression algébrique ; 2) réduis cette expression algébrique, s’il y a lieu.

a) Le triple de x, duquel on soustrait le double de x. 1)

b) Le quadruple de x, duquel on soustrait la somme du double de x et du triple de y. 1)

c) La différence entre le double de x et le quadruple de y, de laquelle on soustrait la somme du triple de x et du double de y. 1)

d) L’opposé du triple de x, additionné à la différence entre le quadruple de x et le double de y. 1)

CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Détermine l’expression algébrique réduite qui représente le périmètre P de chaque figure ci-dessous. a) b) 3y

7x 9x

Réponse :

5x 3

6y 8

6x 4 4x 10

6y 8

6x 4 x 2

5x 3

6x 4

Réponse :

6x 4

Réponse :

f )

8y 7

4y 1

4y 2

2x 6

4y 2x 5

3x 2x 4

2x 2 2x

Réponse :

CHAPITRE 1

Réponse :

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Problèmes 10 Stephano achète un livre qu’il paie (3x 1 4) $, un film à (4x 2 6) $, une affiche à (

2x 1 19) $, un jeu vidéo à (5x 2 8) $ et des piles à (x 1 23) $. Quelle expression algébrique réduite représente le coût de ses achats, avant taxes ? 2

Réponse :

Il y a 12 ans, Joshua avait x ans. Quelle expression algébrique représente l’âge de Joshua : a) dans 15 ans ?

b) il y a 5 ans ?

Réponse :

c) dans (4x 2 13) ans ?

Réponse :

d) il y a 2x ans ?

Réponse :

12 Un marchand de tissu possède (38x 1 45) m de tissu en inventaire au début d’une journée. Au cours de cette journée, il fait les ventes de tissu suivantes : (2x 2 8) m, (3x 1 12) m, (4x 2 2) m, (x 1 7) m, (5x 2 23) m et (12x 1 18) m. En fin de journée, il reçoit une commande de (6x 1 14) m de tissu. Quelle expression algébrique réduite représente son inventaire de tissu en fin de journée ?

CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

13 Un réservoir d’eau contient x L. Il connaît les variations suivantes : ajout de (5x

1 6x) L, perte de (8x 2 9) L, ajout de (3x 1 7) L, ajout de (10x 1 12) L, perte de (x 2 3) L et, finalement, ajout de (4x2 1 2x) L. Quelle expression algébrique réduite représente le contenu du réservoir à la fin de la journée ? 2

Réponse :

14 Lou a un cadre dont les dimensions extérieures sont de (2x 2 3) dm sur (4x 1 1) dm. Si l’épaisseur du morceau de bois utilisé pour la bordure du cadre est de 0,1x dm, quelles sont les dimensions de la photo que ce cadre pourra accueillir ?

Réponse :

15 Janick, Véronique et Katie, trois sœurs, ont décidé de réunir leurs économies afin de s’acheter une console de jeux. Sachant que Janick a 10 $ de moins que le double des économies de Katie et que Véronique a 15 $ de plus que la moitié des économies de Katie, quelle est l’expression algébrique réduite qui représente le total des économies des trois sœurs ?

Réponse :

CHAPITRE 1

L’addition et la soustraction d’expressions algébriques

NOM

GROUPE

DATE

Questions à choix multiple

1 2 3

Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle n’est pas du même degré que les autres ? a) 4xy 1 8 b) 3x2 c) 5x 1 8y2 2 9 d) 2x 2 4y 1 13 e 2 2 2 2 Quel est le coefficient du 3 terme de l’expression algébrique 3,5x y 2 5xy 2 x ? a) 1 b) 21 c) 2 d) Aucune de ces réponses. 2 Quelle est la valeur de l’expression algébrique suivante lorsque x 5 3 ?

4x2 2 5x 1 2 a) 219

4 5

b) 53

c) 23

d) 28

2 2 2 Détermine la valeur de l’expression algébrique 3xy 1 4y 2 5x lorsque x 5 2 et y 5 7. a) 248 b) 144 c) 108 d) 4

Quelle expression algébrique correspond à la description suivante ? Expression algébrique formée de 4 termes, de degré 6, dont 2 termes sont semblables et dont le terme constant est 21. a) x6y6 1 3x3y3 1 xy 2 1

b) 3x4y2 1 5x2y4 1 xy 2 1

c) 2x6 1 3x4 1 2y4 2 1

d) 12x5y 1 3yx 2 2,5xy 2 25

Dans chaque cas, quelle expression algébrique simplifiée correspond à : a) 3x 1 4x 1 5y 2 2y ? 1) 7x 1 3y

2) 7x2 1 3y2

3) 10xy

4) 10x2y2

3) 2x 1 8y 2 6

4) 8y 2 6

b) 2(3x 2 2y 1 6) 1 5x 1 6y 2 2x ? 1) 8x 1 4y 1 4

2) 6x 1 4y 1 6

c) 4x2y 2 6yx 1 3xy2 2 (12xy2 1 5xy 2 9x2y) ?

9xy2 2 11xy 1 13x2y

7x4y4

4) 15xy2 2 11xy 1 13x2y

9xy2 2 xy 2 5x2y

Dans chaque cas, quelle expression algébrique simplifiée correspond à : a) 8x 3 3x ? 1) 24x

2) 11x

3) 24x2

4) 11x2

3) 20xy

4) 20x2y2

b) 4xy 3 25 ? 1)

4xy 3 5

20xy

CHAPITRE 1

Méli-mélo

NOM

GROUPE

DATE

Quelle expression algébrique représente celle décrite en mots, sachant que x représente le nombre inconnu ? La somme du double d’un nombre et du quart de ce même nombre.

(

)

a) 2 x 1 x

b) 2x 1 0,25

c) 2x 1

x 4

(

)

d) 2 x 1 1 4

Dans chaque cas, quelle expression représente le quotient ? a) 32x4y6 4 2 1) 16x4y6

x4 y6 16

3) 16x2y3

4) 64x4y6

20 x 16 y 4 1 12 x 12 y 4 2 36 x 8 y 4 4 1) 5x16y4 1 12x12y4 2 36x8y4

2) 5x16y4 1 3x12y 4 2 9x8y4

3) 5x4y 1 12x3y 2 36x2y

4) 5x4y 1 3x3y 2 9x2y

10 Dans chaque cas, quelle expression simplifiée correspond à : a) 5xy 3 4 1 3x(27x) ? 1) 20xy 2 21x2

4) 20xy 1 21x2

6 (4 x 2 1 6 y 2 12 x 2) 2 12 x (28 x) ? 4 xy 2 1) 24x2 1 36y 2 72x2 1 108x2 3)

420x2y

156x2 1 36y

96x2y6

4) 60x2 1 36y

Le périmètre d’un rectangle est (4xy 2 5y 1 4) cm. Si la largeur du rectangle est (2xy 2 8) cm, quelle expression algébrique représente sa hauteur ? a) 22,5y 1 10

b) 25y 1 20

c) 2xy 2 5y 1 12

d) xy 2 2,5y 1 6

12 Quelle expression algébrique peut représenter la situation suivante ? La moyenne de 3 nombres pairs consécutifs. x 1 x 11 1 x 1 2 3

b) x 1 x 1 1 1 x 1 2

x 1 x 12 1 x 14 3

d) x 1 x 1 2 1 x 1 4

13 Dans un cinéma, le prix d’entrée pour un enfant correspond aux deux tiers du prix d’entrée

pour un adulte, moins 2 dollars. Quelle expression simplifiée représente la somme à débourser pour 2 adultes et 3 enfants ? a) 4x 2 4

CHAPITRE 1

Méli-mélo

5x 2 4 3

5x 2 2 3

d) 4x 2 6

NOM

GROUPE

DATE

Questions à réponse courte

14 Pour chacun des monômes suivants : 1) énumère les variables utilisées ; 2) indique le coefficient ; 3) détermine le degré du monôme.

a) 5xyz

b) 26a2b 2)

c) c2d4k

d) 22,3a3bc3 2)

15 Pour chacune des expressions algébriques suivantes, détermine : 1) le nombre de termes ; 2) son degré.

a) 2x3

b) 23x4y 1 2x2y2 2)

c) 6xy 2 2x 1 6y 2 12

f ) 2axyz 1 4bxy 2 6x 1 3y 2 4 2)

g) 2x 2 1

d) 4a3b2 1 11ab 1 6a

e) 18

h) 45a2b2 1 a3 2 ab 2)

16 Dans chaque cas, écris l’expression algébrique qui correspond à la situation donnée. a) Le double de la somme de x et 15. c) La différence entre 2a et y, additionnée à 6b.

b) Le produit de 5 par la différence entre 2a et 9.

d) Le quotient de la somme de x et y par 6.

e) Le carré de la somme de 2a, 3b et 5c. f ) x réduit de 8, augmenté de 6 multiplié par la somme de 4x et 9.

CHAPITRE 1

Méli-mélo

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DATE

17 Dans chaque cas, écris l’expression algébrique qui est décrite en mots. a) Expression algébrique de 2 termes formée seulement des variables x et y, de degré 3, dont le coefficient d’un des termes est 23, dont l’exposant affecté à la variable x n’est pas 1 et dont le terme constant est 16.

b) Expression algébrique de 4 termes non semblables dont la seule variable, x, n’est affectée que d’exposants pairs positifs, et dont le coefficient de chaque terme est égal au degré du terme. Le degré de l’expression algébrique est minimal.

c) Expression algébrique de 2 termes dans laquelle on trouve les variables a, b et y, dont le degré est 4, dont tous les coefficients sont 22, dont tous les exposants des variables sont des nombres impairs et dont la variable b n’est utilisée qu’une fois, seule dans un des termes.

18 Dans chaque cas, détermine si les deux expressions algébriques sont équivalentes en remplaçant la variable x par le nombre 5. a) 2(x 1 4) et 2x 1 4

Réponse :

b) 5x 1 10 2 x 1 6 et 2(2x 1 8)

Réponse :

19 Évalue chaque expression algébrique en remplaçant la variable x par

a) 5x2 2 6x 1 12

b) 22x3 1 4x2 1 26

c) 0,6x4 2 5x2 1 7x 1 11

d) 4(2x 2 9) 2 5x 1 17

CHAPITRE 1

Méli-mélo

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20 Évalue chacune des expressions algébriques suivantes, sachant que a 5 2, b 5 a) 3a 2 7b 1 9c

b) b2 2 3abc 1 5d

c) 4a2 2 bc 2 9d

d) b(ab 2 2c2) 2 8a

e) (3b 1 2c)2 4 3

f ) (d 2 c)(a 1 b) 2 5(a 2 b)

g) (1,6ab 2 d)2

5, c 5 3 et d 5 210.

a bd a2

CHAPITRE 1

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21 Dans chaque cas, réduis l’expression. a) 9a 2 5b 1 7b 1 3a 1 2b b) 212a3 1 a2 1 8a3 1 8a2 1 22a2 c) 6x2 1 3y2 1 29x2 1 2y2 1 5x2 d) 24x2y2 1 2xy2 1 27xy2 2 2y2x2 e) 3a 2 6b 1 4a 2 9b 1 a f ) 4x2 2 2 2 (6y2 1 7 2 5x2) g) 4(3x 1 5y) h) 6(6x2 2 7xy) i) 1,5(28x2 1 5x) j) 5(7a2b4 1 9a7) k) (28a 1 22y) 4 2 l) (81x2y2 2 27x) 4 9 m) (264ab3 1 36a3b) 4 28

22 Dans chaque cas, détermine une expression équivalente réduite.

7(4x 2 8y) 2 4(2x 1 9y) 5

3(7x2 1 9x) 1 8(5x2 2 3x 2 2y) 1 (4y 2 12x) 5

8(12ab4 1 6a7) 4 3 5

CHAPITRE 1

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23 Sachant que toutes les mesures sont en mètres, détermine l’expression algébrique qui représente le périmètre de chaque lot.

b) Lot no 7381

a) Lot no 2589

9x 5y 80

4y 2

4xy 3 5x 2 y

4y 2

9x 5y

Réponse :

c) Lot no 6275

d) Lot no 9766 12x 7y

9a 2 4 70

50 4x y

3a 2 5

3x 5y 6a 2 11

Réponse :

Questions à développement

24 Durant un après-midi, Nicolas, Maïka et Dany ont joué à divers jeux vidéo. Maïka a remporté

13 victoires de plus que le double des victoires remportées par Nicolas, alors que Dany en a remporté 4 de moins que le triple des victoires de Nicolas. On suppose que Nicolas a remporté x victoires. a) Quelle expression algébrique réduite représente le nombre moyen de victoires de ces trois joueurs ?

CHAPITRE 1

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24 (Suite) b) Si Nicolas a remporté 12 victoires, quel est le nombre total de parties jouées durant cet après-midi ?

Réponse :

25 Durant un samedi de magasinage, Léa, Jordan et Naïma achètent plusieurs articles dans

une boutique. Léa achète 2 jupes, 3 chandails, 6 gilets et 3 vestes, Jordan choisit un chandail, 4 gilets et 2 vestes, et, finalement, Naïma se procure 5 chandails, 2 gilets et une veste. Le prix des jupes est (3a 2 6) $, celui des chandails est (2a 1 3b) $, les gilets coûtent (24b 2 5) $ et les vestes, (7a 2 b) $. a) Quel est le total de la facture de ces trois amis ?

Réponse :

b) Quelle est la différence entre le total des achats de Léa et de Naïma ?

Réponse :

CHAPITRE 1

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26 Le lundi, un cycliste parcourt 8 km de plus que le double de la distance parcourue la veille.

Mardi et jeudi, il roule 15 km de moins que la distance parcourue le lundi. Le mercredi, il franchit 5 km de moins que le quadruple de la distance parcourue le dimanche. Le vendredi, il parcourt une distance équivalente à la somme des distances du lundi et du mardi. Le samedi, il pédale une distance représentée par la distance parcourue le mercredi de laquelle on retranche celle parcourue le mardi. a) Si x représente la distance parcourue le dimanche, donne une expression algébrique réduite représentant la distance totale parcourue par le cycliste durant cette semaine.

Réponse :

b) Sachant qu’il a parcouru 24 km le dimanche, peut-on affirmer que la distance moyenne de ses randonnées de dimanche, lundi, mardi et mercredi est supérieure à 55 km ?

Réponse :

CHAPITRE 1

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DATE

27 Une charcuterie vend ses viandes au kilogramme. Le salami se vend 3 $ de plus que le double du prix du jambon, et le capicollo coûte 5 $ de moins que le quadruple du prix du pepperoni. Quant au saucisson de bologne, il est vendu à un prix correspondant à la moitié de la moyenne des prix du salami et du capicollo. Un client demande 250 g de jambon, 200 g de capicollo, 500 g de pepperoni, 300 g de salami et 750 g de saucisson de bologne. Quelle expression algébrique réduite représente le prix de la commande du client si x représente le prix, au kilogramme, du jambon et y, le prix, au kilogramme, du pepperoni ?

Réponse :

28 Le prix d’une tablette tactile dépend de sa capacité de stockage. Pour la tablette VRX, le modèle de 32 Go coûte 20 % de plus que celle de 16 Go, et celle de 64 Go coûte 40 % de plus que celle de 16 Go. Est-il vrai de prétendre que le prix de la capacité de stockage représente 20 % du prix de la tablette par tranche de 16 Go ?

Réponse :

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SP 29 Les souvenirs de vacances Au cours de leurs vacances, Alain, Sandra et leurs trois enfants ont pris plusieurs photos. Anthony a pris 12 photos de plus que le triple des photos prises par Noémie, alors que Jade en a pris 6 de plus que le double de Noémie. Sandra a pris le double du nombre de photos prises par les trois enfants, alors qu’Alain n’a pris que la moitié des photos prises par sa conjointe. Un problème technique touche la carte mémoire de l’appareil. Le technicien a besoin de savoir le nombre exact de fichiers ou de photos dans la mémoire de l’appareil pour solutionner le problème. L’appareil était vide avant les vacances et Alain se souvient d’avoir, à un certain moment, pris la 170e photo. La carte mémoire ne permet pas plus de 200 photos. Combien y a-t-il de photos sur la carte mémoire ?

CHAPITRE 1

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CHAPITRE 1

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SR 30 De la moutarde ? Un fabricant de condiments offre de la moutarde préparée en format de 100 ml, 250 ml et 600 ml. Le coût en $/ml de chacun de ces formats doit être établi de sorte que le client épargne s’il achète un plus grand format. Les prix pratiqués sont les suivants : • prix du format de 250 ml : 90 % du rapport entre la capacité de ce format et celui de 100 ml ; • prix du format de 600 ml : 90 % du rapport entre la capacité de ce format et celui de 100 ml. Est-ce que le client épargne plus s’il achète le format de 600 ml par rapport au format de 250 ml ?

CHAPITRE 1

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CHAPITRE 1

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DATE

Les fractions, les pourcentages et le plan cartésien Les fractions • Une fraction est une expression de la forme

Les rapports et les proportions

a , b

où a et b sont

des nombres entiers, b étant différent de 0. On appelle a le numérateur et b, le dénominateur. • Deux fractions sont dites équivalentes si elles représentent la même quantité ou encore le même nombre. Ainsi, deux fractions a et c sont équivalentes lorsque a c . b

Exemple : Les fractions 23 et 69 sont équivalentes, 3

ce qui veut dire que 2 6 , car 2 6 . 3

Rappel Les fractions, les pourcentages et le plan cartésien................. 53

• Une fraction est dite irréductible lorsque le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1. On dit alors que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

Section 2.1

Les pourcentages

Les divers modes de représentation................. 57

• Un pourcentage est un rapport (une écriture sous forme de fraction, mais dont le numérateur est un nombre rationnel) dont le dénominateur est 100. On peut alors écrire le numérateur et substituer le dénominateur par le symbole « % », qui se lit pour cent.

Section 2.2 Les rapports, les taux et les proportions................. 69

Exemple :

Section 2.3 Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles...................... 79

Section 2.4 Les pourcentages................ 89

Méli-mélo ......................... 96

25 5 25 % ou 0,25 5 25 % 100

• Pour calculer le tant pour cent d’un nombre, on multiplie le pourcentage par le nombre dont on veut calculer le tant pour cent. Exemple : 15 % de 200 se traduit par l’opération 15 % 3 200. 15 % 3 200 5 15 3 200 5 15 200 5 3000 5 30 100

100

ou 15 % 3 200 5 0,15 3 200 5 30

CHAPITRE 2

Rappel

NOM

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Le plan cartésien

DATE

Exemple :

• Le plan cartésien est un plan muni d’un système de repérage formé de deux droites graduées appelées axe des abscisses, soit l’axe horizontal, et axe des ordonnées, soit l’axe vertical, qui se coupent perpendiculairement en un point appelé origine.

P(23, 4)

Axe des ordonnées

Origine

Axe des abscisses

1 0

• Dans le plan cartésien, un point P de coordonnées x et y se note P(x, y).

Exercices 1

Associe chaque fraction de la ligne du haut à la fraction équivalente de la ligne du bas. 3 4 24 1 36

35 42 56 2 88

2 3 4 3 5

32 40 25 4 45

7 F

5 9 33 5 44

11 5 6 6

Dans chaque cas, complète la fraction afin d’obtenir une fraction équivalente. 1

a) 2 5 b) 5 c) 5 5 8 18 35 48 25

g) 7 5 5

5 15 45

h) 5 i) 5 5 9 4

n) 4 5

o) 7 5

Dans chaque cas, détermine la fraction irréductible équivalente. a) 6

6 5 9 5 b) c) 8

g) 36 5

45 5 28 5 h) i)

j) 63 5

40 5 64 5 k) l)

108

CHAPITRE 2

e) 42 5

d) 18 5 27

f )

5 84 k) 5 75 l) 5 78

m) 10 5

5 30 e) 5 36 9

Rappel

f ) 54 5 72

112

NOM

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DATE

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles 2.3.1 Les situations de proportionnalité • Une situation de proportionnalité, aussi appelée situation de variation directe, est une situation à deux variables dans laquelle les rapports entre les valeurs associées des deux variables – à l’exception du couple (0, 0) – sont toujours équivalents. • Lorsqu’une situation de proportionnalité est représentée par une table de valeurs, les valeurs de la deuxième ligne (ou deuxième colonne lorsque la table est présentée à la verticale) sont obtenues en multipliant les valeurs de la première ligne (ou première colonne) par une constante appelée coefficient de proportionnalité. • On peut obtenir le coefficient de proportionnalité en divisant une valeur de la deuxième ligne (ou deuxième colonne) par la valeur de la première ligne (ou première colonne) qui lui correspond. Exemple :

…

6 4 2 5 3

Coefficient de proportionnalité : 3

• Pour y 5  / 0, le rapport entre les valeurs de la première coordonnée et de la deuxième coordonnée d’un point, soit x , est constant et est appelé rapport de proportionnalité. y

Exemple :

…

x 4 3 2 1 y 12 9 6 3

Le rapport de proportionnalité est 3 .

• Une situation de proportionnalité peut être modélisée graphiquement au moyen d’une droite oblique passant par l’origine du plan cartésien ou par des points appartenant à une droite oblique passant par l’origine du plan cartésien. y Exemples : 1) 2)

• Dans une situation de proportionnalité, si l’une des variables est égale à zéro, alors l’autre variable l’est aussi.

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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DATE

Exemple : Un cycliste roule à une vitesse constante de 18 km/h. On s’intéresse à la distance d (en km) parcourue en fonction du temps t (en h). Distance parcourue en fonction du temps

Distance parcourue en fonction du temps 11

Distance (km) 54

Temps (h)

Distance (km)

1 18

3 18

1 18

Des variations constantes de la variable t entraînent des variations constantes de la variable d.

Temps (h)

La situation se représente par une droite qui passe par l’origine du plan cartésien.

Lorsque la variable t vaut 0, la variable d vaut aussi 0. Coefficient de proportionnalité 5 18. 1

Rapport de proportionnalité 5 18 . Cette situation est bel et bien une situation de proportionnalité.

2.3.2 Les situations inversement proportionnelles • Une situation inversement proportionnelle, aussi appelée situation de variation inverse, est une situation à deux variables dans laquelle le produit des valeurs associées des deux variables est constant. Exemple :

…

0,8

…

xy 5 1 3 4 5 2 3 2 5 4 3 1 5 5 3 0,8 5 … 5 4 • Une situation inversement proportionnelle peut être modélisée par une courbe ou des points appartenant à une courbe qui tend à s’approcher des axes sans jamais les toucher. y Exemples : 1) 2) 12

4 0

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

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Exemple : Les frais de location d’un autobus pouvant accueillir un maximum de 24 passagers s’élèvent à 480 $ par jour. On s’intéresse au coût c (en $) par passager p. Le coût total de 480 $ sera réparti également entre tous les passagers, peu importe leur nombre. Coût par passager Nombre de passagers

Coût ($)

Coût par passager Coût ($) 96 64 32 0

30 Nombre de passagers

5 3 96 5 10 3 48 5 15 3 32 5 20 3 24 5 24 3 20 5 480 Le produit de chaque couple de valeurs est le même, soit 480. Les points appartiennent à une courbe qui tend à s’approcher des deux axes sans y toucher. Cette situation est bel et bien une situation de proportionnalité.

Exercices 1

Pour chacune des tables de valeurs ci-dessous, détermine : 1) s’il s’agit d’une situation de proportionnalité (P) ou d’une situation inversement proportionnelle (IP) ; 2) son coefficient de proportionnalité ou le produit constant.

14,4

7,2

38,4

f )

CHAPITRE 2

2) Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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DATE

Pour chacun des graphiques ci-dessous, détermine s’il s’agit d’une situation de proportionnalité, d’une situation inversement proportionnelle ou de ni l’une ni l’autre. a) y

c) y

d) y

e) y

f )

g) y

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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DATE

Dans chaque cas, à partir de la règle : 1) remplis la table de valeurs ; 2) trace la courbe la mieux ajustée aux points de la table de valeurs ; 3) indique s’il s’agit d’une situation de proportionnalité ou d’une situation inversement proportionnelle.

32 x

a) y 5 2x b) y5

d) y 5 2

72 x

c) y 5 7x

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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Parmi les graphiques ci-dessous, détermine celui ou ceux qui représentent une situation inversement proportionnelle. A

Réponse :

Parmi les situations ci-dessous, laquelle ou lesquelles ne représentent pas une situation de proportionnalité ? Situation 1 Les bonbons se vendent 2,50 $/kg.

Situation 2 Une course en taxi coûte 3,50 $ plus 2,25 $/km.

Situation 3 Une nageuse parcourt 500 m toutes les 10 minutes.

Situation 4 Le salaire d’un employé est de 15,25 $/h.

Situation 5 Le nombre de personnes infectées par un virus double tous les jours.

Situation 6 Un lot de 10 000 $ est partagé entre tous les gagnants.

Réponse :

Pour chaque cas, détermine de quel type de situation il s’agit. a) Le responsable d’une réception calcule le nombre de boissons à acheter selon le nombre de convives. Il prévoit un nombre moyen de 5,5 boissons par convive.

b) Un pâtissier calcule le nombre de petits gâteaux que chaque personne pourra manger au cours d’une réception. Il en a préparé 1280.

c) L’organisatrice d’un voyage détermine le prix du transport pour chaque passager à partir du prix total du transport qu’elle répartit également entre eux.

d) Un crêpier calcule le nombre d’œufs dont il a besoin selon le nombre de tasses de farine dont il dispose, sachant que sa recette nécessite deux œufs par tasse de farine.

e) Dans une loterie, le gros lot a été remporté par un groupe qui se sépare le lot également.

f ) Le caissier à la billetterie détermine le prix total d’entrée d’un groupe selon le nombre de personnes le composant.

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

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Problèmes 7

Chaque participant et participante à une corvée de nettoyage d’un parc reçoit une bouteille d’eau, dont le coût est de 1,25 $. Remplis la table de valeurs ci-dessous et indique de quel type de situation il s’agit. Coût total des bouteilles d’eau selon le nombre de participants Nombre de participants

Coût ($)

Charles travaille comme pompiste. La table de valeurs ci-dessous présente le salaire qui lui a été versé ces 6 dernières semaines. Salaire de Charles Temps de travail (h) Salaire ($)

67,50

78,75

112,50

135

123,75

Détermine le coefficient de proportionnalité et explique ce qu’il représente dans cette situation.

Julia organise une soirée pour l’Halloween, pendant laquelle elle prévoit servir de la tarte à la citrouille. Elle a préparé 3 tartes de 8 pointes chacune. a) Remplis la table de valeurs et trace la courbe la mieux ajustée à cette table. Répartition des pointes de tartes pendant la soirée d’Halloween Nombre de personnes

Nombre de pointes de tarte par personne

2 4 6 8 10 12 0

Nombre de personnes

b) De quel type de situation s’agit-il ? c) Détermine le coefficient de proportionnalité ou le produit constant selon la réponse donnée en b).

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

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2.3.3 La résolution d’une situation de proportionnalité • Pour résoudre une situation de proportionnalité, on se sert d’une proportion dont trois des quatre valeurs sont connues. Exemple : Au cours d’une randonnée pédestre, Magalie parcourt 2,5 km en 50 min. Si elle poursuit sa randonnée au même rythme, quelle distance aura-t-elle parcourue en 75 min ? 2,5 km

Proportion : 50 min 5 75 min Ici, seul le moyen du 2e taux est manquant, les trois autres valeurs étant connues. • Pour résoudre une situation de proportionnalité, tu peux utiliser différentes méthodes, dont les quatre suivantes. 1. Le retour à l’unité À partir du rapport (ou taux) connu de la proportion, on calcule le rapport unitaire (ou taux unitaire). Ensuite, pour la 3e valeur connue, qui appartient au 2e rapport (ou 2e taux), on procède comme suit : –– s’il s’agit du dénominateur, on le multiplie par le rapport unitaire (ou taux unitaire) calculé ; –– s’il s’agit du numérateur, on le divise par le rapport unitaire (ou taux unitaire) calculé. 2,5 km

Exemple : Dans le cas de la randonnée pédestre de Magalie, le taux connu est de 50 min et la 3e valeur connue est le dénominateur du 2e taux. Taux unitaire : 2,5 4 50 5 0,05 km/min, donc 75 min 3 0,05 km/min 5 3,75 km. Magalie aura parcouru 3,75 km en 75 min. 2. Le coefficient de proportionnalité

À partir du rapport (ou taux) connu de la proportion, on calcule le coefficient de proportionnalité en divisant le dénominateur par le numérateur. Ensuite, pour la 3e valeur connue, qui appartient au 2e rapport (ou 2e taux), on procède comme suit : –– s’il s’agit du dénominateur, on le divise par le coefficient de proportionnalité calculé ; –– s’il s’agit du numérateur, on le multiplie par le coefficient de proportionnalité calculé. 2,5 km

Exemple : Dans le cas de la randonnée pédestre de Magalie, le taux connu est de 50 min . Coefficient de proportionnalité : 50 4 2,5 5 20, donc 75 min 4 20 5 3,75 km. Magalie aura parcouru 3,75 km en 75 min. 3. Le facteur de changement À partir des valeurs correspondantes connues des deux rapports (ou taux), on calcule le facteur de changement en divisant ces valeurs l’une par l’autre. On applique ensuite ce facteur de changement à la 3e valeur connue, qui appartient au 2e rapport (ou 2e taux). Exemple : Dans le cas de la randonnée pédestre de Magalie, les valeurs correspondantes connues sont les dénominateurs des deux taux, soit 50 min et 75 min. Facteur de changement : 75 4 50 5 1,5, donc 2,5 km 3 1,5 5 3,75 km. Magalie aura parcouru 3,75 km en 75 min.

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

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4. L’égalité entre le produit des extrêmes et le produit des moyens À partir de la proportion, on applique la règle suivante : le produit des extrêmes égale le produit des moyens. 2,5 km

Exemple : Dans le cas de la randonnée pédestre de Magalie, la proportion est de 50 min 5 75 min . 2,5 km 3 75 min 5 50 min 3 ? 187,5 5 50 3 ? ? 5 187,5 4 50 5 3,75 min Magalie aura parcouru 3,75 km en 75 min.

Exercice 10 Pour chaque proportion, détermine la valeur manquante en utilisant la méthode indiquée. a) Le retour à l’unité. 1)

3,6 ? 5 54 48

Réponse :

6 2,2 5 ? 15

Réponse :

? 309,4 5 182 84

Réponse :

b) Le coefficient de proportionnalité. 1)

15 0,8 5 ? 24

Réponse :

11 9,1 5 63,7 ?

Réponse :

64,2 ? 5 6,912 11,556

Réponse :

c) Le facteur de changement. 1)

? 12 5 27 21,6

Réponse :

15,4 5 58 ?

Réponse :

185 74 5 ? 81

Réponse :

d) L’égalité entre le produit des extrêmes et le produit des moyens. 1)

115 1350 5 450 ?

12 15 5 ? 0,8

Réponse :

470 ? 5 233 250

Réponse : CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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Problème 11

Résous chacune des situations proportionnelles décrites ci-dessous en utilisant la méthode de ton choix. a) Les haricots se vendent 0,65 $ les 100 g. Pour faire une recette, Christopher en a besoin de 360 g. Combien cet achat lui coûtera-t-il ?

Réponse :

b) Pour remplir une piscine vide, on se sert d’un boyau d’arrosage. On note que le niveau d’eau dans la piscine est de 12 cm après 1,5 h. Pendant combien de temps faudra-t-il laisser le boyau dans la piscine pour faire monter le niveau de l’eau de 64 cm ?

Réponse :

c) Sacha économise de l’argent pour faire un voyage qui lui coûtera 2340 $. Si elle a économisé 135 $ en 3 semaines, dans combien de temps aura-t-elle l’argent nécessaire à son voyage ?

Réponse :

d) Au cours d’une tempête de neige, on note qu’il y a 4,5 cm de neige accumulée au sol après 90 min. Si la tempête dure 3,25 h, quelle sera la quantité de neige accumulée ?

Réponse :

CHAPITRE 2

Les situations de proportionnalité et les situations inversement proportionnelles

NOM

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Les pourcentages Le calcul du cent pour cent Pour calculer le cent pour cent d’un nombre, soit le 100 %, on peut utiliser différentes méthodes, dont les quatre suivantes. 1. Le retour à l’unité Il suffit de déterminer le nombre qui représente le 1 %. Ensuite, on multiplie ce nombre par 100 pour déterminer la valeur du 100 %. Exemple : Isidora a obtenu une note de 80 % dans son examen. Elle a eu 24 bonnes réponses. Combien de questions y avait-il dans l’examen si chacune valait 1 point ? 3 100 4 80 Nombre

…

0,3

…

Pourcentage ( %)

…

100

…

4 80 3 100

2. Le coefficient de proportionnalité Il suffit de calculer le rapport entre le pourcentage et le nombre connu qui lui correspond. Ensuite, on divise 100 par ce coefficient pour déterminer le 100 %. Exemple : Nombre

… …

Pourcentage ( %)

24 80

… …

…

100

…

10 3

80 10 10 5 , donc 100 4 5 30. 24 3 3

3. Le facteur de changement Il suffit de calculer le rapport entre 100 % et le pourcentage connu et de multiplier ce rapport par le nombre associé au pourcentage connu pour déterminer le 100 %. Exemple :

3 1,25

Nombre

…

Pourcentage ( %)

…

100

…

100 ,25 donc 1,25 3 24 5 30. 5 11,25, 80

3 1,25

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

4. Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens Il suffit de poser la proportion et d’utiliser le fait que dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Exemple : Nombre Pourcentage ( %)

…

100

…

24 ? , donc 24 3 100 5 80 3 ?. 80 100

? 5 30

Exercices 1

Dans chacune des situations suivantes, détermine la valeur manquante en utilisant la méthode indiquée. a) Le retour à l’unité : calcule le cent pour cent, si 6 % d’un nombre est 72.

Nombre

…

Pourcentage (%)

…

… 100

…

b) Le facteur de changement : calcule le cent pour cent, si 108 % d’un nombre est 51,84.

Nombre

…

Pourcentage (%)

…

51,84

…

108

…

Pour chaque expression, détermine la valeur manquante en utilisant la méthode de ton choix. 44

4,4

5,6

126

0,16

62,6

a) 100 5 ?

b) 100 5 ?

c) 100 5 ?

Réponse :

100

…

135

0,05

97,36 304,25 5 100 ?

d) ? 5 100

e) 100 5 ?

f )

Réponse :

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

Dans chaque cas, détermine le cent pour cent du nombre en utilisant la méthode de ton choix. a) 4 est 25 % de ce nombre.

b) 10 est 50 % de ce nombre.

c) 36 est 75 % de ce nombre.

d) 33 est 220 % de ce nombre.

e) 63 est 30 % de ce nombre.

f ) 42 est 60 % de ce nombre.

g) 3,5 est 70 % de ce nombre.

h) 4,25 est 170 % de ce nombre. i) 12 est 4,8 % de ce nombre.

j) 7,2 est 3,6 % de ce nombre.

k) 0,56 est 0,5 % de ce nombre.

l) 1,53 est 2,55 % de ce nombre.

m) 75,84 est 118,5 % de ce nombre.

n) 53,774 est 80,5 % de ce nombre.

o) 27,95 est 3,25 % de ce nombre.

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

Dans chaque cas, détermine le pourcentage représenté par le nombre lorsque le 100 % est connu. a) 16 si 80 est le 100 %.

b) 45 si 50 est le 100 %.

c) 12 si 15 est le 100 %.

d) 48 si 40 est le 100 %.

e) 23 si 92 est le 100 %.

f ) 51 si 68 est le 100 %.

g) 28,8 si 64 est le 100 %.

h) 171,6 si 52 est le 100 %.

i) 20,16 si 72 est le 100 %.

j) 10,5 si 84 est le 100 %.

k) 9,92 si 64 est le 100 %.

l) 0,0516 si 8,6 est le 100 %.

Pour chaque situation, détermine le montant de l’achat avant taxes considérant que les taxes sont de 15 %. a) Taxes payées 5 36 $

b) Taxes payées 5 45,60 $

c) Taxes payées 5 50,40 $

d) Taxes payées 5 0,45 $

e) Taxes payées 5 3,75 $

f ) Taxes payées 5 8,70 $

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

Problèmes 6

Une consommatrice a acheté des articles, soldés ou non, dans un magasin. Elle désire calculer le prix courant de ces articles, soit le prix sans les taxes ou les rabais. a) Un bâton de hockey dont le prix est réduit de 35 % coûte 61,75 $.

Réponse :

b) Un maillot de bain coûte 59,15 $ après une réduction de prix de 30 %.

Réponse :

c) Après les taxes de 15 %, le prix d’un tapis roulant est de 649,75 $.

Réponse :

d) 290,16 $ est le prix d’une planche à neige dont le prix courant est réduit de 38 %.

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

(Suite) e) Les taxes de 5 % sur un livre représentent 2,10 $.

Réponse :

f ) Le prix d’un gant de baseball est de 59,28 $ après une réduction de 52 %.

Réponse :

g) La réduction de 16 % appliquée au prix d’une raquette de tennis représente 20,20 $.

Réponse :

Gabrielle paie 604,90 $ pour un ordinateur portable. Un rabais de 20 % lui a été accordé parce qu’elle est étudiante. Quel était le prix affiché de cet ordinateur si 15 % de taxes sont incluses dans le prix payé ?

Note : On accorde d’abord le rabais et on calcule ensuite le prix final avec taxes.

Réponse :

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

Saïd veut se procurer une tablette graphique. Il a économisé l’équivalent de 18 % de la somme dont il a besoin. De plus, pour son anniversaire, il reçoit 16 % de la valeur de la tablette en argent. Il calcule ainsi qu’il lui reste 409,20 $, avant taxes, à trouver pour se procurer la tablette. Quel est le prix de vente de la tablette qu’il désire ?

Réponse :

Au cours d’une évaluation, un enseignant pose une question bonus à ses élèves. Ils doivent trouver un nombre en ayant pour seul indice que 25 % de 60 % de ce nombre est 81. Quel est ce nombre ?

Réponse :

10 Lina prépare de la limonade qu’elle met en bouteilles de 355 ml. Supposons qu’elle désire réduire de 23 % la quantité de sucre contenue dans chaque bouteille et que cela représente une baisse de 9,66 g de sucre pour 355 ml de limonade. Plutôt que de diminuer la quantité de sucre dans chaque bouteille, elle utilise une nouvelle bouteille de plus grand volume et arrive au même résultat. Quel serait alors le volume de la nouvelle bouteille ?

Réponse :

CHAPITRE 2

Les pourcentages

NOM

GROUPE

DATE

Questions à choix multiple

Parmi les égalités ci-dessous, lesquelles sont des proportions ? A 52

B 72,8

84 5 134,4

100 5 50

E 4

4 5 3

4,9

240

9 5 6,3

c) C , D et F

80 5 0,8

d) C et F

Quel est le taux unitaire correspondant à 3 t-shirts vendus à 35,67 $ ? b) < 0,08 $/t-shirt

c) 11,89 t-shirts/$

d) 107,01 $/t-shirt

Quel graphique représente une situation de proportionnalité ? a) y

b) B et E

a) 11,89 $/t-shirt

106,5

45 5 67,5

a) A et E

b) y

c) y

d) y

Parmi les affirmations ci-dessous, en lien avec la proportion 9 5 81 , laquelle est nécessairement vraie ? a) Le coefficient de proportionnalité est 9. b) Chacune des expressions qui forment la proportion représente un taux. c) Les extrêmes sont 9 et 27. d) L’égalité suivante s’applique : 3 3 81 5 9 3 27.

Quelle situation décrit le mieux le graphique ci-contre ?

a) Chaque semaine, x, la taille, y, d’une plante double.

b) Le solde en banque, y, augmente de 2 $ chaque jour, x.

c) Le prix de la viande, y, est de 0,50 $ le kilo, x. d) On partage 4 pommes, y, entre 2 amis, x.

Lili fait le trajet Trois-Rivières 2 Roberval en voiture. Après 1 h et 24 min, elle a parcouru 124 km. Si elle poursuit sa route au même rythme, combien de temps mettra-t-elle pour arriver à destination si la distance entre les deux villes est de 310 km ? a) 3 h 10 min b) 3,1 h c) 3 h 30 min d) 0,56 h

CHAPITRE 2

Méli-mélo

NOM

GROUPE

DATE

Voici les divers prix des oranges vendues dans un marché public. Marchand A Il en coûte 1,50 $ pour 1,4 kg d’oranges. Marchand B Prix des oranges Prix ($)

Marchand C Prix des oranges Quantité (kg)

Prix ($)

2,04

4,08

6,12

8,16

6,30 4,20 2,10

Quantité (kg)

Détermine l’écart entre l’offre la plus avantageuse et l’offre la moins avantageuse pour un kilogramme d’oranges.

Réponse :

RÉINVESTISSEMENT

377

NOM

GROUPE

DATE

Antoine paie 281,75 $, incluant les taxes de 15 %, pour une tablette numérique dont l’étiquette indique un rabais de 40 %. Le prix courant de la tablette est de 350 $. Antoine a-t-il payé le montant juste ? Sinon, détermine le pourcentage de rabais dont il a bénéficié.

Réponse :

À l’Halloween, une famille veut distribuer également les 1200 friandises dont elle dispose. On veut que chaque enfant reçoive de 6 à 15 friandises. Détermine, à l’aide d’un graphique représentant cette situation, le nombre d’enfants à qui l’on pourrait distribuer les bonbons en respectant la contrainte. Donne le type de variation dont il s’agit, et complète une table de valeurs pour t’aider à tracer le graphique.

Réponse :

378

RÉINVESTISSEMENT

NOM

GROUPE

DATE

Un enseignant organise un voyage thématique pour ses élèves. Le prix de la location d’un autobus pouvant transporter 48 personnes est de 630 $. Le budget prévoit un coût de transport par élève maximal de 20 $. Combien d’élèves doivent participer au voyage pour respecter le budget ?

Réponse :

Olivier travaille à la cueillette des petits fruits pour un agriculteur. La rémunération est basée sur un taux horaire de 9,50 $. Une journée de travail dure de 4 h à 9 h selon la récolte à faire. L’agriculteur paie Olivier à la fin de chacune de ses journées de travail et le nombre d’heures payées est toujours complété à l’entier supérieur. Construis une table de valeurs qui donne le salaire potentiel d’Olivier pour une journée de travail.

RÉINVESTISSEMENT

379

Un menuisier doit réutiliser le dessus d’une grande table de réunion, illustré ci-contre, pour fabriquer des dessus de table plus petits qui lui seront semblables. Leurs dimensions équivaudront à 30 % de celles du dessus de la table de réunion. Montre que la perte de matériel encourue sera inférieure à 1 m2.

DATE

GROUPE

6 ,8 m

NOM

12 m

Réponse :

Au cours d’une collecte de denrées non périssables, on a récolté 119 boîtes de soupe, soit 35 % de la quantité des produits en conserve reçus. On souhaite augmenter de 15 % le nombre de boîtes de conserve données l’an prochain. Montre qu’il est impossible que les dons de boîtes de soupe équivalent à exactement 35 % de toutes les boîtes de conserve amassées l’an prochain, si l’objectif est atteint.

Réponse :

380

RÉINVESTISSEMENT

NOM

GROUPE

DATE

Questions à choix multiple Encercle la bonne réponse à chaque question.

Parmi les rapports suivants, lequel n’est pas équivalent aux autres ? a) 6 : 15

2 5

c) 34 : 85

44 125

Parmi le choix de réponses, laquelle est la réduction de l’expression algébrique suivante ? 4ab 4a2b 9ab (4a2b 2ab 9ab2)

a) 11ab 8a2b 9ab2

b) 11ab 17a2b

c) 15ab a2b

d) 15ab 8a2b 9ab2

Quelle est l’aire d’un losange dont les demi-diagonales mesurent 3,8 km et 4,1 km ? a) 15,58 km2

b) 62,32 km2

c) 7,79 km2

d) 31,16 km2

Parmi les expressions algébriques suivantes, choisis celle qui permet de calculer l’aire latérale du solide ci-dessous. a) AL

( a b c) d 2

b) AL ad bd cd

c) AL ( a b c ) d c b

( a b c) d c b d) AL 2 2

Choisis parmi les tables de valeurs suivantes celle qui est associée au graphique ci-dessous. a)

…

1,4

1,6

…

1,4

2,6

…

y 1,6 1,2 0,8

0,4

RÉVISION

10 x

405

NOM

GROUPE

Calcule l’aire d’un cercle dont le diamètre est de 13,5 cm. a) 143,14 cm2

b) 572,56 cm2

c) 42,41 cm2

d) 21,21 cm2

Détermine la valeur du nombre manquant dans 72 : 132 ? : 99. a) 181,5

DATE

b) 54

c) 96

d) 66

Parmi les centres d’homothétie M, N, O, P ci-dessous, quel est celui qui unit la figure ABCD à la figure image A'B'C'D' ? A B A'

O N

D' D

a) M

c) O

d) P

Un boisé est composé de conifères et de feuillus. Jeanne affirme que 68,75 % des arbres recensés sont des conifères. S’il y a 35 feuillus dans le boisé, combien y a-t-il de conifères ? a) 112 conifères.

b) N

b) 77 conifères.

c) 24 conifères.

d) 101 conifères.

Choisis la réponse qui résout l’équation suivante. 9,5x 41,8 4x 1,3

a) x 3

b) x 7,36

c) x 2,83

d) x 7

Soit la règle y 2x 15. Quelle situation, parmi les suivantes, peut être représentée par cette règle ? a) Le compte bancaire de Josianne a un découvert de 2 $ et la jeune fille y fait un dépôt de 15 $ chaque semaine. b) Le compte bancaire de Josianne a un découvert de 15 $ et la jeune fille y fait un dépôt de 2 $ chaque semaine. c) Josianne a une somme de 15 $ dans son compte bancaire et elle en retire 2 $ chaque semaine. d) Josianne a une somme de 2 $ dans son compte bancaire et elle en retire 15 $ chaque semaine.

Détermine la hauteur d’un parallélogramme ayant une aire de 28, 29 cm2 et dont la base mesure 41 mm. a) 0,69 mm

406

b) 69 mm

c) 138 mm

d) 1,38 mm

De combien de façons différentes peut-on placer 6 chandelles de couleurs différentes sur une tablette ? a) De 1440 façons différentes.

b) De 180 façons différentes.

c) De 720 façons différentes.

d) De 360 façons différentes.

RÉVISION

NOM

GROUPE

DATE

Questions à réponse courte

Détermine la valeur de chaque expression algébrique, sachant que a 1, b 2 et c 3. a) 4ac2 ab 2c

b) 12,5a3b 5bc

c) a3b2c ab2c3

Réponse :

Représente chacune des situations suivantes à l’aide d’une équation, où x représente le nombre inconnu. a) La moyenne de 4 nombres consécutifs est 23,5.

b) Les deux tiers de la différence entre un nombre et son quart valent 12.

c) La somme d’un nombre et de son double est égale au carré de ce nombre.

d) Le produit du quotient de 5 fois un nombre par 2 et des trois quarts de ce nombre vaut 112.

Prisme régulier

Détermine la valeur de x dans le solide illustré ci-contre. 3 cm 7,5 cm

x Cylindre circulaire droit

10 cm A T 597,07 cm2 RÉVISION

411

NOM

GROUPE

DATE

Pour chacune des règles suivantes : 1) indique s’il s’agit d’une situation de proportionnalité ou d’une situation

inversement proportionnelle ; 2) complète la table de valeurs ; 3) trace le graphique correspondant.

a) y 3,5x

b) y

10 x

1,5

y 3)

cm2 3,21 mm2

d) 3,0036 km2 30 036

412

2,5

Dans chaque cas, écris le terme manquant. a)

b) e)

691,69 2

5041

111 123 27

: 164 18 130

Dans chaque cas, détermine le nombre recherché sachant que : a) 44 % de ce nombre est 1413,28 ;

b) 100 % de ce nombre est 75,2 ;

c) 320 % de ce nombre est 218 ;

d) 0,075 % de ce nombre est 8,1.

RÉVISION

NOM

GROUPE

DATE

Questions à développement

Dans une usine, on produit des emballages pour deux modèles semblables de boîtes dont la forme est celle d’un prisme droit. Quel est le coût de 250 emballages pour le modèle 1 et de 175 emballages pour le modèle 2 , sachant que la matière plastique utilisée revient à 2,35 $/m2 ? Modèle 2

Modèle 1

12 cm

8 cm

A T 2700 cm2

Réponse :

Soit le graphique ci-contre, illustrant la somme reçue par chaque gagnant lors du tirage d’un lot. L’un des gagnants a déposé sa part dans un compte bancaire durant une année et a réalisé un profit équivalent à 12,5 % de son dépôt. Sachant que cette personne a maintenant 281,25 $ dans ce compte bancaire, détermine le nombre de gagnants qui s’étaient partagé la cagnotte.

Tirage d’un lot Somme reçue ($) 400 300 200 100 0

Nombre de gagnants

RÉVISION

417

NOM

GROUPE

Gaëlle souhaite traiter sa tente avec un enduit imperméabilisant. Celui-ci se vend en contenant aérosol de 275 ml, qui permet de traiter une surface de 525 dm2. La tente de Gaëlle a la forme d’une pyramide régulière à base hexagonale, comme celle illustrée ci-contre, et son aire totale est de 19,66 m2. Combien de contenants aérosols Gaëlle doit-elle acheter pour imperméabiliser sa tente, sachant qu’elle appliquera deux couches d’enduit ?

DATE

2,23 m

3,03 m

1,75 m

Réponse :

Jorgue réaménage sa cour arrière. À l’endroit où il y avait une grande terrasse rectangulaire de 4,5 m sur 3,6 m, il décide d’installer une piscine ronde dont la circonférence sera de 14,14 m. Le centre de la piscine coïncidera avec le centre de l’ancienne terrasse. Ensuite, il sèmera du gazon autour de la piscine, sur le terrain qui se trouvait sous la terrasse. Quelle surface devra-t-il ensemencer ?

Réponse :

418

RÉVISION

Les notations et les symboles mathématiques Notation et symbole a2 a

Notation et symbole

Signification Deuxième puissance de a ou a au carré

Signification Segment AB

Radical a ou racine carrée de a

m AB

Mesure du segment AB

Union d’ensembles. Se lit « union » ou « réunion ».

∠A

Angle A

Intersection d’ensembles. Se lit « intersection ».

m∠A

… est approximativement égal à…

Degré



… est semblable à…

Infini

… est isométrique à…

… est parallèle à…

Pourcentage. Se lit « pour cent ».

… est perpendiculaire à…

Univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Se lit « oméga ».

Désigne un angle droit.

Ensemble vide

P(A)

Probabilité de l’événement A

Opposé de a

a : b

Rapport de a à b

1 a

Inverse de a

Nombre irrationnel approximativement égal à 3,1416. Se lit « pi ».

)a )

Valeur absolue de a

Arc AB

En probabilité, complément de l’événement A. En géométrie, image du point A. Se lit « A prime ».

[ ou { } 2

m AB D

Mesure de l’angle A

Mesure de l’arc AB Triangle

Les ensembles de nombres Symbole

Ensemble de nombres

Nombres naturels

Nombres qui appartiennent à l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, …}

Nombres entiers

Nombres qui appartiennent à l’ensemble {…, 22, 21, 0, 1, 2, …}

Nombres rationnels

Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme b , où a et b sont des entiers, b étant différent de 0. Le développement décimal d’un nombre rationnel est fini ou infini et périodique.

Nombres irrationnels

Nombres qui ne peuvent être exprimés comme un quotient d’entiers. Le développement décimal d’un nombre irrationnel est infini et non périodique.

Nombres réels

Nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ou à l’ensemble des nombres irrationnels.

Description

Exemples

5, 99, 101, 1298

403, 2218, 0, 43, 734

6 , 36, 20,567, 6,998 , 20,124 11

p, 2 5, 2 2, 2 3

38, 101, 9 , 9,1267

ANNEXE

MATHÉMATIQUE

2e édition

2e secondaire

• • • • •

CLASSE BRANCHÉE Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes Yves Corbin Annie Dupré

GR ATU

Fascicule de situations-problèmes inclus

CLASSE BRANCHÉE

• • •

Cahier d’apprentissage

• •

De plus, à l’achat du cahier, vous recevez gratuitement le Fascicule de situations-problèmes de 32 pages en couleur.

POINT DE MIRE

NOUVEAU

CODE DE PRODUIT : 217062 ISBN 978-2-7617-9147-2

CONFORME À LA PROGRESSION DES APPRENTISSAGES