Point de mire 3, 2e Éd. - Fascicule SP

Mathématique

Nouveau

3e secondaire

CLASSE BRANCHÉE

Fascicule de situations-problèmes

8 situations-problèmes (SP) Une démarche Un exemple de modélisation Un glossaire Un aide-mémoire

Annie Dupré Antoine Ledoux Étienne Meyer

MATHÉMATIQUE

3e secondaire

Table des matières Glossaire

II

Démarche de résolution d’une situation-problème

1

Exemple de résolution d’une situation-problème

2

SP 1 Le laboratoire informatique

Fascicule de situations-problèmes Annie Dupré Antoine Ledoux Étienne Meyer

4

SP 2 La chasse aux créatures virtuelles

6

SP 3 Un éclairage brillant

8

SP 4 Pourvu que ça vole !

11

SP 5 Le module de ski

14

SP 6 Une bonne mise en marché

18

SP 7 Le jeu vidéo

22

SP 8

9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5 Téléphone : 514 351-6010 • Télécopieur : 514 351-3534

La fête foraine

26

Aide-mémoire

30

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Glossaire aléatoire

moyenne

Se dit d’un événement dont l’apparition ou la valeur relève du hasard.

Somme des données divisée par le nombre total de données.

Exemple : Carla a reçu ses résultats à trois examens de mathématique : 76 %, 84 % et 71 %.

budget Ensemble des revenus et des dépenses liés à un projet ou à une période donnée.

contrainte Restriction imposée à une ou des variables, et se traduisant par une équation ou une inéquation.

Exemple : L’énoncé « La hauteur h de cet immeuble ne doit pas dépasser 40 m. » peut se traduire par l’inéquation h  40.

expression algébrique Formule ou expression composée de constantes et de variables reliées entre elles par des symboles d’opérations mathématiques. Une expression algébrique ne comprend pas de signe d’égalité ni de signe d’inégalité.

Exemple : 3ab 1 4a 2 5 est une expression algébrique, alors que 3ab 1 4a 2 5 5 4 est une équation.

figures semblables Deux figures sont semblables si l’une est un agrandissement (k . 1), une réduction (0 , k , 1) ou la reproduction exacte (k 5 1) de l’autre. Si deux figures sont semblables, leurs angles homologues sont isométriques et les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles.

Exemple : D ABC  D A'B'C' et k 5 0,75.

A 2 cm 2,8 cm A' 2,1 cm B C' 1,5 cm 4 cm C 3 cm B'

frais fixes Dans une entreprise, les frais fixes sont des dépenses qui ne dépendent pas de sa production.

harnais Équipement permettant à une personne de s’attacher.

histogramme Diagramme à bandes verticales collées les unes aux autres permettant de représenter graphiquement des données groupées en classes.

Exemple : La répartition des habitants d’une ville selon leur âge est présentée dans l’histogramme suivant.

Répartition des habitants selon l’âge Nombre d’habitants 8000 4000

II

GLOSSAIRE

3

paramètre Élément d’information à considérer afin de prendre une décision ou d’effectuer un calcul.

profit Différence positive entre les revenus et les dépenses d’une personne ou d’une entreprise, ou gain réalisé sur un investissement ou un placement.

Exemple : Une entreprise fabrique un jouet. Il lui en coûte 15,50 $ pour le fabriquer et elle le vend 35 $. Son profit pour chaque jouet vendu est de 35 $ 2 15,50 $ 5 19,50 $.

quille Tube métallique fixé à chacune des ailes d’un deltaplane qui contribue à la rigidité de la voilure.

règle Égalité ou inégalité traduisant une régularité entre deux variables ou plus.

relation Lien entre deux variables.

solide décomposable Solide pouvant être fractionné en plusieurs solides plus simples.

Exemple : Le solide suivant se décompose en un cylindre et un cône.

solides semblables Deux solides sont semblables si l’un est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l’autre. Dans deux solides semblables, les angles homologues sont isométriques et les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles.

Exemple : Les deux prismes droits suivants sont semblables et k 5 1,2.

E' F' E F B' B C' 4,5 dm C 3,75 dm H A

5 dm

D

H'

G 3,4 dm A'

6 dm

D'

G' 4,08 dm

vitesse Rapport entre la distance parcourue par un objet et le temps écoulé.

Exemple : Corinne prend 2 h 24 pour parcourir les 220 km qui séparent les villes de Lévis et de Chicoutimi. Sa vitesse moyenne est de 220 km 4 2,4 h  91,67 km/h.

12 000

0

Sa moyenne est de 76 % 1 84 % 1 71 % 5 77 %.

20

40

60

80

100 Âge © 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Démarche de résolution d’une situation-problème Pour résoudre une situation-problème, tu peux utiliser la démarche suivante.

1. Lire et décoder • Lis une première fois la situation-problème, sans t’arrêter et sans annoter la mise en situation et les informations données.

• Fais une deuxième lecture, mais cette fois-ci : − surligne les mots importants ; − repère les données pertinentes et élimine celles qui sont superflues. Si tu ne peux prendre cette décision à cette étape, mets une étoile à côté des données retenues qui te semblent essentielles ; − note l’information qui provient des tables de valeurs, des graphiques, des figures et des tableaux ; − mets en évidence la tâche à réaliser ou le problème à résoudre.

2. Modéliser • Fais un schéma, un diagramme, un tableau ou un dessin qui illustre le problème à résoudre.

• Si possible, associe la tâche à réaliser, ou le problème à résoudre, à une situation-problème semblable que tu aurais déjà eu à réaliser ou à résoudre.

3. Résoudre • Découpe le problème en plusieurs étapes plus courtes comportant une ou quelques opérations.

• Détermine les principales opérations mathématiques requises à chacune des étapes.

• Sépare clairement les différentes étapes de ta résolution (que calcules-tu ?) et organise ton travail le mieux possible.

• Estime le genre de réponse que tu devrais obtenir à la toute fin, mais également à chacune des étapes.

• Fais les calculs et laisse des traces de ta démarche.

4. Valider • Révise ta démarche et refais tes calculs.

• Vérifie si la réponse obtenue a du sens en fonction des données de départ, des unités de mesure et de la question posée ou de la tâche à réaliser. Au besoin, retourne aux étapes précédentes.

5. Conclure • Fournis une réponse complète. S’il y a lieu, n’oublie pas d’ajouter les unités de mesure.

• Assure-toi que ta réponse correspond à la tâche demandée.

En tout temps, sois critique envers les résultats que tu obtiens ! © 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

DÉMARCHE DE RÉSOLUTION D’UNE SITUATION-PROBLÈME

1

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Exemple de résolution d’une situation-problème Le projet de technologie Mise en situation Dans le cadre de la portion technologie de leur cours de science, des élèves doivent concevoir une horloge en équipe.

Le cadran Le cadran doit être taillé dans la pièce de bois illustrée ci-contre. Les tiges de métal qui serviront à fabriquer les aiguilles se vendent 0,85 $/dm.

5 cm 30 cm

Voici quelques contraintes à respecter.

• Chaque équipe dispose d’une pièce de bois carrée.

• La petite aiguille doit correspondre au plus à 65 % de la longueur de la grande aiguille.

• La surface balayée par la grande aiguille lors d’une rotation complète autour du cadran doit être supérieure à 75 % de la surface totale du cadran, mais inférieure à 85 %.

Note l’information provenant d’une illustration.

Repère les données jugées pertinentes.

Le mécanisme

Chaque équipe peut choisir son mécanisme entre deux modèles dont les caractéristiques sont décrites ci-dessous.

Modèle A

Modèle B

Mécanisme fonctionnant avec une batterie 9 V

Mécanisme à énergie solaire

12,95 $

17,95 $

Une pile AA se vend en paquet de 4/9,99 $ et une batterie 9 V se vend 4,95 $.

La finition

Donnée jugée non pertinente.

Surligne les mots importants.

Deux couches de vernis doivent être appliquées sur toutes les faces du cadran lorsque l’horloge sera terminée. Le vernis utilisé se vend 12,50 $/L et 250 ml de vernis peuvent couvrir une surface de 0,8 m2.

Sachant que chaque équipe dispose d’un budget de 25 $ pour ce projet, décris les caractéristiques (diamètre du cadran, longueur de chacune des aiguilles, mécanisme choisi et coût total du projet) d’une l’horloge qui pourrait être conçue.

Tous les prix sont assujettis aux taxes en vigueur, qui sont de 15 %.

2

EXEMPLE DE RÉSOLUTION D’UNE SITUATION-PROBLÈME

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Démarche et calculs Modélise la situation.

Surface maximale balayée par la grande aiguille = 85 % de la surface du cadran

Surface minimale balayée par la grande aiguille = 75 % de la surface du cadran

Cadran

Présente clairement les étapes de résolution.

Aiguilles

d = 28 cm

Longueur de la grande aiguille : 80 %

A = r 2 =  × 142 ≈ 615,75 cm2

?

≈ 100 % 615,75 cm2 ? ≈ 492,6 cm2 LG ≈

A  ≈

492, 6 ≈ 12,52 cm ≈ 1,252 dm, donc 1,25 dm 

Longueur de la petite aiguille : 0,65 × 12,52 ≈ 8,14 cm ≈ 0,814 dm, donc 0,8 dm

Mécanisme Modèle A : 12,95 $

Batterie 9 V : 4,95 $

Finition

Coût du projet

Cadran ⇒ cylindre circulaire droit

AT = 2r 2 + 2rh ≈ 2 × 615,75 + 2 ×  × 14 × 5 ≈ 1671,33 cm2 1671,33 cm2 = 0,17 m2

?

Tiges de métal (aiguilles) : (1,25 + 0,8) × 0,85 ≈ 1,74 $ Mécanisme : 12,95 + 4,95 = 17,90 $ Vernis : 1,31 $ Total avant taxes : 1,74 + 17,90 + 1,31 ≈ 20,95 $

Deux couches de vernis : 2 × 0,17 ≈ 0,33 m2 0,33 m2

Petite aiguille : au plus 65 % de la longueur de la grande aiguille

Total avec taxes : 20,95 × 1,15 ≈ 24,09 $

0,8 m2

≈ 250 ml

24,09 $ < 25 $

? ≈ 104,46 ml

Valide ton résultat.

Prix du vernis : 104,46 ml ?

1000 ml

≈ 12,50 $

? ≈ 1,31 $

Fournis une réponse complète.

Réponse Plusieurs réponses possibles. Exemple : Diamètre du cadran : 28 cm Longueur de la petite aiguille : 8 cm

Longueur de la grande aiguille : 12,5 cm

Mécanisme choisi : mécanisme fonctionnant avec une batterie 9 V

Coût total du projet : environ 24,09 $ Assure-toi que ta réponse correspond à la tâche demandée.

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

EXEMPLE DE RÉSOLUTION D’UNE SITUATION-PROBLÈME

3

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Le laboratoire informatique Mise en situation L’école veut actualiser son laboratoire informatique en achetant du nouveau matériel : des moniteurs, des tours, des logiciels et des imprimantes. Emma doit planifier ces achats en respectant les directives de l’école.

Le local Le local rectangulaire mesure 10 m sur 22 m. Des tables pouvant accueillir chacune trois ordinateurs occupent près de 40 % de l’espace. Sur l’une d’elles, on disposera deux imprimantes et aucun ordinateur. Les tables, déjà disponibles à l’école, ont la forme illustrée ci-contre.

2,4 m 2m

4,1 m

Le matériel

Moniteurs : Quatre modèles de moniteurs sont offerts. Emma doit choisir le modèle qui a la plus haute définition. La définition est le nombre de pixels (px) qui forment l’image affichée sur le moniteur.

Description des moniteurs Moniteur

A

B

C

D

Définition

(4,74 3 106) px

2,4 Mpx

(1,7 3 104) hpx

(4,1 3 107) dpx

350

325

285

375

Coût ($)

Ordinateurs : Trois magasins vendent des tours d’ordinateurs.

• Au magasin 1 , 13 ordinateurs coûtent 5057 $. Aucuns frais de livraison ne sont facturés.

• Au magasin 2 , 10 ordinateurs se vendent 5615 $. Ce prix comprend des frais fixes de livraison de 65 $.

• Au magasin 3 , un ordinateur coûte 450 $. Des frais de livraison de 5 $ par ordinateur s’ajoutent.

Logiciels : Emma doit choisir au moins deux logiciels parmi les suivants.

Prix des logiciels pour l’installation sur un seul ordinateur Logiciel

Achat

Abonnement de 3 ans

Suite bureautique

250 $

70 $/an

Lecteur de documents PDF

220 $

5 $/mois

Correcteur orthographique et grammatical

130 $

Dessin

115 $

Imprimantes : Trois modèles d’imprimantes sont offerts. Emma doit choisir le modèle le plus performant, soit celui dont le temps d’impression pour un caractère est le plus court.

Description des imprimantes Imprimante Temps d’impression Coût ($)

A

B

C

(5 3 1024) s/caractère

(2,4 3 1022) s/6 caractères

(6 3 1021) s/100 caractères

655

725

690

Le budget accordé La valeur du matériel diminue de 20 % par année suivant l’achat. L’école payera tout le matériel à condition que sa valeur, taxes incluses, soit comprise entre 23 000 $ et 26 000 $ 3 ans après l’achat.

4

SITUATION-PROBLÈME

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Sachant qu’on doit ajouter une taxe de 15 % à tous les montants, détermine le matériel à acheter et le budget nécessaire. Vérifie que la condition émise par l’école est respectée.

Démarche et calculs

Réponse

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SITUATION-PROBLÈME

5

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Le module de ski Mise en situation Une compétition de sauts à ski doit se tenir mercredi prochain sur une piste de ski. La veille, Sandrine doit faire construire le module de sauts qui sera utilisé pendant cette compétition.

La forme et les dimensions du module Le module est fabriqué en neige et a la forme d’un solide décomposable en deux prismes droits. Alors que la longueur totale du module est fixe, sa hauteur h doit être comprise entre 300 et 600 cm.

h

5m 4m

3m

Plus le module est haut, plus la longueur des sauts est grande et plus les sauts sont spectaculaires.

Ce graphique montre la longueur moyenne d’un saut en fonction de la hauteur du module.

Longueur des sauts (m) 10

Longueur moyenne d’un saut selon la hauteur du module

(7, 8,8)

8 6 4 2

0

2

4

6

8

10 Hauteur du module (m)

5,8

6,2

La sécurité Les risques de blessures augmentent avec la hauteur du module. Cet histogramme présente des statistiques à ce sujet.

Nombre de personnes blessées 16 (pour 1000 sauts) 14 12 10 8 6 4 2 0

14

SITUATION-PROBLÈME 

Risques de blessures selon la hauteur du module

3

3,4

3,8

4,2

4,6

5

5,4

Hauteur du module (m)

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

La neige Le module est fait de 40 à 50 % de neige naturelle et le reste est en neige artificielle. Ces graphiques montrent les prévisions de précipitations de neige naturelle pour mardi ainsi que la vitesse de production de trois canons à neige artificielle.

Quantité de neige accumulée ( 107 cm3) 10

Précipitations de neige naturelle prévues

8

Quantité de neige accumulée ( 107 cm3) 10

6

4

4

2

2 2

4

6

0

10 Temps (h)

8

Canon C

8

(6, 7,44)

6

0

Production de neige artificielle

Canon B

Canon A (7, 1,96) 2

4

6

8

10 Temps (h)

Sandrine prévoit que la construction du module nécessitera au moins 108 m3 de neige.

La vitesse de sortie du module En raison de sa forme, plus la hauteur du module est élevée, plus la vitesse des skieurs à la sortie du module est faible. Ce graphique montre la vitesse des skieurs au moment où ils s’élancent dans les airs en fonction de la hauteur du module.

Vitesse (m/s) 20

Vitesse à la sortie du module en fonction de sa hauteur

16 12 8

(16, 5)

4 0

4

8

12

16

20 Hauteur (m)

Sandrine planifie la construction du module en tenant compte de plusieurs aspects.

• Elle dispose de 5 h pour l’accumulation de la neige nécessaire au module.

• La longueur moyenne des sauts faits à partir du module doit être d’au moins 4,04 m.

• Les risques de blessures pendant un saut doivent être d’au plus 1 %.

Détermine le temps d’utilisation détaillé des canons à neige artificielle, la hauteur du module, la hauteur moyenne des sauts, les risques de blessures ainsi que la vitesse à laquelle les skieurs s’élanceront dans les airs.

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SITUATION-PROBLÈME

15

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Démarche et calculs

16

SITUATION-PROBLÈME 

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Réponse Temps d’utilisation (h)

Canon A

Canon B

Canon C

Hauteur du module Longueur moyenne des sauts Risques de blessures Vitesse de sortie

© 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

SITUATION-PROBLÈME

17

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE ________________

Aide-mémoire 1. Formules d’aire Triangle hh hCarré

hh h

cc c h

bb b

b b3h A5 2

hh h Rectangle

bb b

bb b

h

c

b

A 5 c2

A5b3h

h

Trapèze DD D

BB B b

Prisme droit hh h

bb b

Parallélogramme hh h

A T 5 2 3 AB 1 A L aa a 5 2 3 AB 1 PB 3 h h

h

Pyramide droite A T 5 AB 1 A L 5 AB 1 a

PB 3 a 2

Polygone régulier

aa a D

b dd d

B (B 1 b) A5 3h 2

A5b3h

cc c

Losange

c a

d D3d 2

A5

A5

c3a3n 2

Cylindre circulaire droit hh h

rr

r

A T 5 2 3 AB 1 AL 5 2 3 pr 2 1 2prh h

r

2. Formules de volume Prisme droit

Cylindre circulaire droit

hh h

V 5 AB 3 h

hh h

rr r

V 5 pr 2h

Pyramide droite

Cône circulaire droit

hh h

Boule rr r

hh h

V5

AB 3 h 3

V5

pr 2h 3

V5

4pr 3 3

3. Diagramme de quartiles Pour construire un diagramme de quartiles, il faut déterminer les valeurs suivantes.

• Minimum et maximum de la distribution Résultats à un examen de mathématique • Q1 5 médiane des données situées à gauche de la médiane, une fois les données ordonnées • Q2 5 médiane 0 60 65 70 75 80 85 90 95 Résultat • Q3 5 médiane des données situées à droite Min 63 Q1 70,5 Max 94 (%) Q3 80,5 Q2 78 de la médiane, une fois les données ordonnées

4. Dénombrement Permutation : Disposition de tous les éléments d’un ensemble, sans répétition, où l’ordre a de l’importance.

Nombre de permutations 5 n 3 (n 2 1) 3 (n 2 2) 3 … 3 1 Arrangement : Disposition d’une partie r des éléments d’un ensemble de n éléments où l’ordre a de l’importance.

• Si la répétition est permise : Nombre d’arrangements 5 nr • Si la répétition n’est pas permise : Nombre d’arrangements 5 n 3 (n 2 1) 3 (n 2 2) 3 … 3 (n 2 r 1 1) Combinaison : Disposition d’une partie r des éléments d’un ensemble de n éléments, sans remise et où l’ordre n’a pas d’importance.

Nombre d’arrangements Nombre de combinaisons 5 Nombre de permutations d’un arrangement

5. Règle d’une fonction Fonction polynomiale du premier degré y 5 ax 1 b, où a est le taux de variation et b, la valeur initiale. Δx y 2 y1 Taux de variation : a 5 5 2 Δy x2 2 x1

30

Fonction rationnelle k x

y 5 , où x  0 et k  0, et où k correspond au produit des valeurs de chacun des couples (x, y) appartenant à la fonction. © 2017, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

POINT DE MIRE CLASSE BRANCHÉE Le cahier d’apprentissage 3 de la collection Point de mire mathématique couvre l’ensemble des concepts à étudier en 3e secondaire selon le Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA).

Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 3e secondaire.

NOUVEAU

De plus, à l’achat du cahier, vous recevez gratuitement le Fascicule de situations-problèmes de 32 pages en couleurs.

CAHIER D’APPRENTISSAGE

FASCICULE DE SITUATIONS-PROBLÈMES

• Un Test diagnostique

• Huit situations-problèmes (SP) réparties en fonction des étapes de l’année

• Huit chapitres offrant de la théorie, des exercices et problèmes, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2)

• Une démarche de résolution • Un exemple de modélisation

• Une Banque de problèmes

• Un glossaire

• Une Révision

• Un aide-mémoire mathématique

• Une section Annexes • Un index STRUCTURE DU GUIDE-CORRIGÉ • Des tableaux d’adéquation • Le corrigé, page par page, du cahier d’apprentissage • Le corrigé du cahier en version reproductible • Des notes pédagogiques pour chacun des chapitres VERSIONS NUMÉRIQUES

Pour l’enseignant

• Plus de 250 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Savoirs, Renforcement, Enrichissement, et Carnet, tests de fin de chapitres, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR) et bilans) • Deux versions d’examen de type CD 2 et une version d’examen de type CD 1 pour préparer les élèves aux examens de fin d’année

N O U V EA U

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, • la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves qui utilisent la version numérique du cahier ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à plus de 1500 exercices interactifs ; – d’accéder à plus de 30 capsules numériques ; N O U V EAU – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 217038 ISBN 978-2-7617-9132-8