Point de mire 4 CST

Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 4e secondaire.

Structure du cahier

• Un Test diagnostique ; • Sept chapitres comprenant chacun : – un Rappel de quatre à sept pages, – deux à cinq sections comportant chacune un encadré théorique, des exercices et des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des exercices et des problèmes en contexte, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2) ; • Une Banque de problèmes de 32 pages comportant des conjectures et se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ;

Cahier d’apprentissage 4

Le cahier d’apprentissage 4 de la collection Point de mire mathématique, séquence Culture, société et technique (CST), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 4e secondaire selon la dernière mise à jour du Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA).

Dominique Boivin Richard Cadieux Étienne Meyer

Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

Point de mire

• Une Révision de 20 pages ;

Structure du GUIDE-CORRIGÉ

• Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 230 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, tests, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), encadrés théoriques, bilans) ; – deux versions d’examen de fin d’année pour préparer les élèves à l’examen administré par le MELS. Versions numériques

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 218352 ISBN 978-2-7617-7848-0

CEC1414_CouvPM4_EPF.indd 1

Point de mire

• Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier.

Mathématique 4e secondaire Culture, société et technique (CST)

• Une section Annexes ;

Mathématique 4e secondaire

NOUVEAU PROGRAMME CUlture, société et technique (CST)

Cahier d’apprentissage

Point de mire Dominique Boivin Richard Cadieux Étienne Meyer Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

Notions Exercices Problèmes

NOUVEAU CONFORME À LA MISE À JOUR DU PROGRAMME CST 2015

15-04-02 21:02

TABLE DES MATIÈRES Présentation du cahier.................... V Test diagnostique.................................... 1

Chapitre 1

Propriétés des fonctions, fonction en escalier et fonction périodique.............. 9 Rappel : Relation, réciproque et fonction....................... 9 1.1 Propriétés des fonctions........................................ 16 1.2 Fonction en escalier............................................... 22 1.3 Fonction périodique............................................... 27 Méli-mélo...................................................................... 31

Chapitre 2

Fonctions polynomiale du second degré, exponentielle et définie par parties................................... 45

Chapitre 4

Trigonométrie.......................... 135 Rappel : Triangle, relation de Pythagore et proportion............................................................... 135 4.1 Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle............................................................... 141 4.2 Résolution d’un triangle rectangle........................ 146 4.3 Loi des sinus........................................................ 153 4.4 Aire d’un triangle quelconque et formule de Héron............................................................... 159 Méli-mélo.................................................................... 167

Chapitre 5

Géométrie analytique.............. 181 Rappel : Taux de variation et règle d’une équation du premier degré........................................................ 181 5.1 Pente et équation d’une droite............................. 186 5.2 Distance entre deux points.................................. 191

Rappel : Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré et lois des exposants................... 45

5.3 Position relative de deux droites.......................... 197

2.1 Fonction polynomiale du second degré................. 51

Méli-mélo.................................................................... 211

2.2 Règle d’une fonction polynomiale du second degré.................................................... 55 2.3 Fonction exponentielle........................................... 61 2.4 Règle d’une fonction exponentielle........................ 65 2.5 Fonction définie par parties.................................... 73 Méli-mélo...................................................................... 79

Chapitre 3

Triangles...................................... 93 Rappel : Relation de Pythagore et figures et solides semblables................................................... 93 3.1 Conditions minimales d’isométrie des triangles........................................................... 98

5.4 Coordonnées d’un point de partage.................... 203

Chapitre 6

Système d’équations du premier degré à deux variables....................... 227 Rappel : Introduction aux systèmes d’équations du premier degré à deux variables............................. 227 6.1 Résolution à l’aide de la méthode de substitution...................................................... 233 6.2 Résolution à l’aide de la méthode de réduction......................................................... 237 6.3 Système d’équations particulier........................... 242 Méli-mélo.................................................................... 245

3.2 Conditions minimales de similitude des triangles......................................................... 106 3.3 Relations métriques dans le triangle rectangle............................................................... 114 Méli-mélo.................................................................... 121

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

PDM4-CST_limimaires.indd 3

Table des matières

III

15-04-01 4:42 PM

Chapitre 7

Statistique.................................259

Banque de problèmes.................. 323

Rappel : Diagrammes et tableaux, mesures de tendance centrale et de dispersion....................... 259

Révision........................................................ 355

7.1 Diagramme à tige et à feuilles.............................. 267 7.2 Écart moyen et rang centile................................. 271

AnnexeS.........................................................375

7.3 Corrélation, tableau de distribution à double entrée et nuage de points..................... 279

Index................................................................ 389

7.4 Interprétation quantitative de la corrélation et coefficient de corrélation linéaire..................... 288

Source des photos.......................... 391

7.5 Droite de régression............................................. 296

Méli-mélo.................................................................... 305

IV

Table des matières

PDM4-CST_limimaires.indd 4

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

15-04-01 4:42 PM

Présentation du cahier Le cahier Point de mire mathématique 4, séquence Culture, société et technique (CST), est divisé en sept chapitres, chacun correspondant à un champ mathématique. Tout au début du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vérifier les connaissances acquises des élèves. À la fin du cahier, on trouve une ­rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision, des annexes ainsi qu’un index pratique.

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

27 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez :

Test diagnostique

NOM _______ ______________

______________

______________

2) le codomaine ;

4) les zéros ;

5) la variation ;

______________

Questions

______________

GROU

PE _______ _______

__

GNOSTI

à choix mul

tiple

DATE

______________

___

QUE

10 8 6 4 2 0 2 4

1

25

35

55 60

© 2015,

Les Éditio

ns CEC inc.

Reproduc tion

Résultat (%)

50 40 30 20 100 10 20

10 20 30 40 50 x

c)

Boule

Prisme régulier

7,5 dm

4m

5 cm 3m

2,6 m

TEST DIAGNOSTIQUE

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

5

d) 2a 2

interdite TEST

Chaque chapitre commence par un Rappel de cinq à huit pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre.

On y trouve un encadré théorique suivi de quelques exercices et problèmes.

b)

10 cm 85

des affirmat

ions suiv antes à prop a) Le résu os de ce ltat moyen diagramme est de 55. est assu b) 50 % rément vraie des résu ltats sont ? compris c) Le 3 e entre 35 quart com et 60. porte moin s de résultats d) L’étendu . e interqua rtile est 60.

7 Parmi les expressi ons algé de 4x 2 briques ci-d 3 par 5x essous, 1 2? laquelle correspo a) 20x 2 nd au déve 6 loppeme b) 9x 2 nt du prod 1 8 Quel est uit c) 20x 2 2 le plus gran 7x 2 6 d facteur commun d) 20x 2 2 a) 2a des expr 6 essions algé b) 18a 2 briques 18a 8 et 216a 2 ? c) 6a 2

DIAGNO

STIQUE

1

NOM _____________ _____________

__________________________

__________________________

__________________________

___________________

1

1.1

GROUPE _____________ ___

DATE _____________ ____

Propriétés des fonct

ions

La description des propriétés d’une fonction permet on s’intéresse à d’en faire l’analyse son domaine, son . Pour faire l’analyse codomaine, ses d’une fonction, et son ou ses extremu coordonnées à l’origine ms. , son signe, sa variation

Propriétés

Graphiquement

Domaine : ensemb le des valeurs prises par la variable indépen dante, x.

_______________ NOM _______________

______________________________

Dom f : ]2, 4]

R PP EL

2

Chaque chapitre est divisé en trois à cinq sections de trois à neuf pages chacune.

Au début de chaque section, un encadré théorique explique les notions à l’étude.

Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est ­pertinent, on présente une démarche en lien avec la notion expliquée.

12

10

8

6

2 0

2

4

f

2

4

4

6

x

y

12

10

8

6

2 0

2

4

f

2

4

6

Abscisse à l’origine : abscisse de chaque point d’interse ction de la courbe de la fonction g avec l’axe des abscisses. Il s’agit de la ou des valeurs de x pour lesquelles g(x) 5 0. On l’appelle aussi zéro de la fonction .

y 6

10

8

6

2

g

2

e Relation, réciproqu .9 ..............................

6 et fonction x

4

4

SECTION 1.1

6

Propriétés des fonctions

Ordonnée à l’origine : ordonnée du point d’interse ction de la courbe de la fonction g avec l’axe des ordonnées. Il s’agit de la valeur de y qui correspond à g(0). On l’appelle aussi valeur initiale.

y

4

10

g

8

6

4

2 0

2

2

4

Fonction périodiqu x

1

1

MÉLI-MÉLO ..............3

0

Propriétés des fonctions © 2015, Les Éditions

(1, 2) (3, 2)

CEC inc. • Reproduc

tion interdite

x 5 2y 1 4 x 2 4 5 2y x 22 5 y 2

La règle de la réciproqu

(2, 1)

1

x

0

x

1

x 5 2y 1 4 x 2 4 5 2y x 2.5 y e est y 5 2 2 2 CHAPITRE 1

© 2015, Les Éditions

(7, 4)

(6, 4)

1

versa. relation A et vice la réciproque de la La relation B est (2, 1), celles point (1, 2) sont devenues de suite.

Les coordonnées du (9, 8), (8, 9), et ainsi 3), celles du point du point (3, 2), (2, B n’est pas une fonction fonction. La relation y.

La relation A est une valeurs possibles de plusieurs a on 2, 5 x car, par exemple, pour suivante. réciproque de la fonction 2) Déterminer la y 2x 4

6

CHAPITRE 1

(8, 9)

(4, 6) (2, 3)

16

Relation B

y

(9, 8)

(4, 7)

e ................27

6

4

s.

A et B ci-dessou

y

SECTION 1.3

2 12

les relations Exemples : 1) Soit Relation A

.........16

1.2 SECTIO OrdonnéN e .22 à l’origine en escalier : 23 ...............

Fonction

6

ET FONCTION RÉCIPROQUE chacun sant les valeurs de s’obtient en intervertis • Une réciproque variables. relation entre deux des couples d’une variables selon laquelle une relation entre deux plus • Une fonction est ante correspond au la variable indépend à chaque valeur de dépendante. une valeur de la variable

10, 2 RAPPEL 4, 3

2 0

2

4

1

à l’origine :

4 2 12

et fonction

E LE INDÉPENDANT RELATION, VARIAB DÉPENDANTE ET VARIABLE ent, dans une relation. Généralem variables est appelé Un lien entre deux variables : deux entre variable relation de l’autre est appelée entraîne la variation • celle dont la variation variable indépendante ; de l’autre est appelée variation la à réagit • celle dont la variation nte. dépenda pour recouvrir un plancher de peinture utilisée Exemple : La quantité la superficie du plancher . Dans cette situation, dépend de sa superficie quantité de peinture, indépendante et la correspond à la variable te. à la variable dépendan

Codom f : ]2, 1]

Propriétés des fonctions, en 4 fonct 6 x ion escalier et fonction périodique Abscisses

6 4 2

Relation, réciproque

CHAPITRE

6

Codomaine ou image : ensemble des valeurs prises par la variable dépendante, y.

__ DATE _______________

_ GROUPE _______________

___

______________________________

Notation écrite

______________________________

y 6 4

PDM4-CST_limimaires.indd 5

2 4 6 8 10 x

a) Cône circulaire droit

0

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

y 50 40 30 20 10

6 30 Parmi les mesures 8 suivante 40 s, laquelle a) 1,25 équivaut 10 50 cm à 0,000 125 b) 125 3 2 cm ?

10 3 cm 2 À com 1) 1) bien de déc c) 1,25 3 10 4 cm imètres cub 2) 2) es correspo d) 1,25 a) 100 dm 3 2 3 10 4 cm nd un déc 3) 3) amètre cub b) 0,01 3 e dm ?

3 Le rapp 4) 4) ort des aires c) 1 000 000 dm 3 de deux solides sem d) 0,000 5) 5) a) 27 000 1 dm 3 blables est 9. Quel est b) 18 le rapport 4 Lequel de leurs des triplets c) 9 volumes 6) 6) ? suivants est asso d) 3 a) 3 cm, cié aux mes 4 cm et 7 ures des cm. côtés d’un c) 8 cm, triangle rect 8 cm et 10 angle ? b) 11 cm, 28 Déterminez les facteurs de chacune des expressions algébriques suivantes. cm.

12 cm et 13 cm.

5 Le rapp b) 12y6z5 2 72y4z3 1 18y2z4 a) 16a4b2 2 4ab3 ort des volu d) 20 cm, 21 cm et mes de deu 29 cm. x solides a) 36 semblab les est 216 b) 6 . Quel est le rapport 6 Le diag de leurs ramme de c) 9 périmètres quartiles ? suivant corr d) 72 espond aux résultats des élèv es à un exam Résultats en. des élève 29 Calculez le volume de chacun des solides suivants. s

Laquelle

Des exercices et des problèmes permettent ensuite aux élèves de vérifier et de consolider leur compréhension des notions fraîchement acquises.

3) la valeur initiale ;

b)

10 8 6 4 2

______________

____

6) le signe.

y

a)

______________

TESTDI

Le Test diagnostique permet de vérifier l’acquisition des connaissances en mathématique chez les élèves à leur arrivée en 4e secondaire.

Il comprend huit pages comportant des questions à choix multiple et des ­questions à réponse courte.

chapitres

1) le domaine ; ______________

RAPPEL

9

ion interdite

CEC inc. • Reproduct

Présentation du cahier

V

15-04-08 9:47 AM

NOM ________ ________

________________

________________

________________

________________

________________

________________

___________

ÉLI1

a) Faites l’étud

e complète

1) Domaine

Puis, une récapitulation en 14, 16 ou 18 pages, le Méli-mélo, vient clore le chapitre.

:

________________

DATE ________ ________

_

de la fonc

tion repré

1

sentée ci-co

2) Codo main 3) Absc isses 4) Ordo nnée 5) Signe :

GROUPE

ÉL0 ntre. y

e:

à l’origine

à l’origine

4

:

2

:

8

6

4

2 0 2

2

4

6

8 10

4

x

6) Variation

6

:

8

10

7) Extre mum

s:

b) La récip roqu ____ GROUPE ____________

_______________

de valeurs

1

La route à péage

une fonction

____ GROUPE ____________

?

la fonction associée à la table ci-dessou s. x

f (x)

]0, 10] _____ DATE ____________ ]10, 25] ]25, 40] ]40, 80] ]80, 1[

5

15 _______________ un véhicule________________________________________________ Tarif pour____________ 30 ____________ t à 4 roues ________________________ le gouvernemen 40 NOM ____________ nouvelle route, Tarif Pour financer une 45 e de péage selon le ($) b) Détermin urer un systèm cette route. ez le type propose d’insta SP 8 le empruntant de cette fonc véhicu du mode tion. nombre de roues e 19 ous indiquent le tarif d’un passag graphiques ci-dess re représente le le chevreuil. Les c) Détermin 6 lle Le graphique ci-cont e région, on chasse ez la valeu l’heure à laque Dans une certain r de y pour le à 4 roues selon : 1) x 5 33 pour un véhicu permis. d’attribution des route.

Attribution des permis 4 il passe sur cette 2) x 5 40 ils Nombre Population de chevreu de permis 3) x 5 80 40 2Nombre de chevreuils 800 4) x 5 80,1

L’attribution des

700 6 600

0

24 Heure (h)

18

12

1

permis

200

]4, 8]

100

]8, 12]

:

f(x) 100

2) Codo main 4) Ordo nnée

1,5 2 3

e:

3) Absc isses

10

1

0

plète de la fonction repré hique ci-co sentée ntre.

dans le grap

1) Domaine

20

2032

]0, 4]

3 a) Faite s l’étude com

30

500 cation Facteur de multipli 400 de roues selon le nombre Facteur 300 Nombre de roues

le, e d’un autre véhicu le tarif du passag Pour déterminer re. Selon le nombre de valeurs ci-cont le à 4 roues on utilise la table ie le tarif d’un véhicu de roues, on multipl ondant. par le facteur corresp

2028

SR

21

2024

NOM

e est-elle

2 a) Représen tez

_____ DATE ____________

________________________

________________________

________________________

____________ ________________________

2020

Les huit, dix ou douze premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les six dernières pages proposent deux situations-problèmes (SP) et une situation de raisonnement (SR).

0

100

Temps (années)

à l’origine

à l’origine 400

5) 200 Signe 300

:

80

:

60 40

:

20

Nombre de chevreuils

6) Variation

100 80 60 40 20 0 20

: une fonction 7) Extre s selon attribué à l’entrée mum : Les permis sont les tarifs exigés n le u indicateur avec une fonctio b) La récip du véhicu rouesselon devarie en escalier. installer un pannea roque est-e nombretion le popula La péage, on prévoit lle une fonc possibles, selon © 2015, Les Pour faciliter le tion ? Éditions CEC ra tous les coûts périodique. inc. • Repro panneau indique duction de la route. Ce 2062 et 2071. cette route. interdite s en 2052, 2055, ndamment de passage sur attribué indépe heures les seront route, qui et selon e sur cette de permis ? le nombre A-t-il raison moyen d’un passag à 8 $. urinez Déterm supérie affirme que le tarif de passage est Un journaliste le et de l’heure roues du véhicu calculs et du nombre de Démarche e.

Justifie ta répons ]12, 1[

20 40 60 80 100 x

40

60

80

100

CHAPITRE

1

MÉLI-MÉ

31

LO

Démarche et calculs

CHAPITRE 1 © 2015, Les Éditions

43

MÉLI-MÉLO

ction interdite

CEC inc. • Reprodu

39

MÉLI-MÉLO

CHAPITRE 1 CEC © 2015, Les Éditions

ction interdite

inc. • Reprodu

Banque de problèmes

NOM _______ _______

______________

______________

______________

Après le dernier chapitre du cahier se trouve une ­rubrique Banque de problèmes de 32 pages qui présente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier et chacun d’entre eux porte sur des notions abordées dans plus d’un chapitre à la fois.

B NQUE DE

______________

______________

______________

______________

___________

PROBL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

1

23 Pour sa récolte d’automne, un agriculteur installe un convoyeur afin d’entreposer ses grains dans un silo, comme le montre le plan cartésien ci-dessous, dont les graduations sont en mètres. y Silo

PE _______ _______

__

______________

C

Convoyeur M

0

3°

1°

B

9,3 m

J

x

Sachant que la longueur du convoyeur est de 13,2 m, déterminez : a) la mesure de l’angle d’élévation formé par le sol et le convoyeur ;

Réponse :

2 En prév isio

n de la prod présenté uction de s à un sou pièces mét deur. Celu alliques qu’il a rais i-ci affirme triangula on. ires, les que ces deux plan deux pièc s suivants es sont iden sont Pièce A tiques. Dém ontrez

Réponse : b) la distance qui sépare le pied du convoyeur et la base du silo ;

Pièce B 60°

30°

20 cm

De plus, les douze derniers numéros permettent d’évaluer des composantes des compétences disciplinaires 1 (CD 1) et 2 (CD 2).

Réponse : c) la pente de la droite qui supporte le convoyeur.

Réponse : © 2015,

Les Éditio

ns CEC

inc. • Repr oduction

interdite BANQUE

Réponse :

340

Après la rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision de 20 pages permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 4e secondaire pour la ­séquence CST.

DATE

___

Sachant que sur l’illu stration ci-c qui sépare ontre, la le point B distance du point détermin C est de ez la dist 150 m, ance qui du point sépare le M. point J

40 cm

Révision

GROU

ÈMES

BANQUE DE PROBLÈMES

DE PRO BLÈ

MES

323

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

RÉ ISION Questions à choix multiple f (x )

1

On a tracé ci-contre une fonction périodique sur l’intervalle [28, 8].

8 6

a) Quel est l’intervalle de décroissance de cette fonction ?

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

2) ]28, 8[

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

4) [25, 5]

4 2 8

6

4

2) ]28, 18[

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

4) [25, 5]

2

4

6

8

x

2

b) Quel est l’intervalle de positivité de cette fonction ?

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

0

2

4

6

8

c) Quel est le codomaine de cette fonction ?

On y trouve des questions à choix multiple, des ­questions à réponse courte ainsi que des questions à développement.

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

2) ]28, 8[

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

4) [25, 5]

d) Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette fonction ?

1)

2

6

2)

2

4

3) 0

4) 5

2 Parmi les valeurs ci-dessous, laquelle correspond au rang centile le plus élevé ? a) 1

b) 50

c) 25

d) 97

3 Lequel des nombres suivants indique une corrélation linéaire forte entre deux variables statistiques ? a)

2

0,84

b)

0,63

2

c) 0,27

d) 0,76

4 À laquelle des équations suivantes correspond une droite perpendiculaire à la droite d’équation y 5 4x 2 2 ? a) y 5 24x 1 2

b) y 5

x 2 4

x 4

c) y 5 2

d) y 5 4x 1 2

5 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous n’admet que l’ensemble vide comme solution ? a)

y 3x 4 y 3x 4

b)

y 7x 12 y 7x 22

c)

y 5x 11 x 23 5

y

6 Quelle est la valeur de la tangente de l’angle A

d)

y

x 5 6

y 6x 19

A

du triangle ABC suivant ? a) tan A < 0,4134

b) tan A < 2,203

c) tan A < 2,419

d) tan A < 0,4533

32,9 cm 13,6 cm

C © 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

VI

Présentation du cahier

PDM4-CST_limimaires.indd 6

B RÉVISION

355

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

15-04-01 4:42 PM

Annexes

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

NNEXE 1

À la suite de la rubrique Révision sont proposées les Annexes, des fiches utiles aux élèves dans leur ­apprentissage des mathématiques.

Ensembles de nombres ENSEMBLES DE NOMBRES

Ensemble de nombres

Symbole

Description

Exemples

N

Nombres naturels

Nombres qui appartiennent à l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, …}.

z

Nombres entiers

Nombres qui appartiennent à l’ensemble {…, 22, 21, 0, 1, 2, …}.

q

Nombres rationnels

Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme b , où a et b sont des entiers, b étant différent de 0.

Le développement décimal d’un nombre rationnel est fini ou infini et périodique.

q'

Nombres irrationnels

Nombres qui ne peuvent pas être exprimés comme un quotient d’entiers. Le développement décimal d’un nombre irrationnel est infini et non périodique.

r

Nombres réels

Nombres qui appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ou à l’ensemble des nombres irrationnels.

5, 99, 101, 1298 2

218, 2403, 43, 734

a

2

6 , !36 , 20,567, 6,998, 20,124 11

p

p, 2!5, 2!2, 2 3

38, !101, 9 , 9,1267

2

4

Le schéma ci-dessous illustre les relations entre ces différents ensembles de nombres.

r q

q' z

N

Exemples : 1)

Le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre 13 appartient est l’ensemble des nombres naturels, N. 3 appartient est l’ensemble 7

2)

Le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre

3)

Le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre 0,183 appartient est l’ensemble

des nombres rationnels, q. des nombres rationnels, q.

4)

Le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre 21 appartient est l’ensemble des nombres irrationnels, q'.

5)

Le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre 2

6)

Tous les nombres illustrés dans les exemples ci-haut appartiennent à l’ensemble

des nombres entiers, z.

4 appartient est l’ensemble 2

des nombres réels, r.

376

ANNEXES

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

Index INDEX

Un index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la fin du cahier.

A Abscisse à l’origine 16 52 62 186 Accroissem 378 ent des abscisses 186 des ordonnées 186 Aire de figures planes 382 de solides 383 d’un triang le 159 Amplitude 260 Angle Aigu 135 Angles compléme ntaires 135 homologue s 94 isométriqu es 94 Asymptote 61 Arc cosinus 146 Arc sinus 146 Arc tangente 146 Arêtes homo logues 94

D

Décroissan ce d’une fonct ion 17 379 Démonstra tion 99 Diagramme 259 à bandes 259 à tige et à feuilles 267

© 2015,

Les Éditio

ns CEC inc.

• Reproduc

Zéro d’une 16 Forme d’écr iture d’une droite canonique 186 générale 186 Forme exponentielle 46 Formule d’aire de figure s planes 382 d’aire de solide s de Héron 159 383 384 de volume des solides 383 trigonomét rique 159 384

H Héron 159 384 Histogramme 259 Hypoténus e 93

E

C

Cathète 93 Centile 271 Circonférence 382 Codomaine 16 52 62 378 Coefficient de corrélation linéaire 288 296 Conditions minimales de similitude des triangles 106 d’isométrie des triangles Conjecture 98 99 Constance 17 Contre-exe mple 99 Coordonné es d’un point de partage Corrélation 203 linéaire 279 280 288 Cosinus 141 384 Croissance d’une fonct ion 17 379

de quartiles 261 Distance entre deux points 191 Distribution

à deux carac tères 279 à un carac tère 267 Domaine 16 52 62 378 Donnée aberr ante 288 Droite de régression 296 Équation d’une 186 Pente d’une 186 Droites parallèles 197 parallèles confo ndues 197 242 parallèles distin ctes 197 242 perpendicu laires Position relati 197 ve entre deux sécantes 197 197

I

Écart moye n 271 Effectif 260 Ensemble de nombres 376 Équation d’une droite Forme cano nique 186 Forme géné rale 186 Étendue 261 Étude statis tique 260 Extremum 17 52 62 379

F

Figures semb lables 94 Fonction 9 définie par parties 73 de variation directe 46 de variation nulle 45 de variation partielle 46 en escalier 22 exponentielle 61 65 périodique 27 polynomiale de degré 0 45 polynomiale du premier degré 45 181 polynomiale du second degré 51 55 Propriétés d’une 16 quadratiqu e 51 Signe d’une 17

tion inter dite

Image 16 378 Intensité de la corrélation linéaire 280 Intervalle 17

L Loi des exposants 46 380 des sinus 153 384

M Maximum 17 52 62 379 Médiane 260 Mesure de dispersion 259 261 271 de tendance centrale 259 Méthode 260 de comparais on 228 de la droite de Mayer 296 de la droite médiane-m édiane 297 de réduction 237 de substitutio n 233 du rectangle 288 Minimum 17 52 62 379 Modalité 260 Mode 260 Moyenne 260 INDEX

389

Pictogrammes

Indique la présence de contenu enrichi ou facultatif et non prescrit par la PDA.

SP Indique la présence d’une situation-problème (SP), qui permet de vérifier

le développement de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

SR Indique la présence d’une situation de raisonnement (SR), qui permet

de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

CD 1 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

CD 2 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

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Présentation du cahier

VII

15-04-01 4:42 PM

PDM4-CST_limimaires.indd 8

15-04-01 4:42 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Testdi

Groupe ________________

DATE _________________

gnostique

Questions à choix multiple

1 Parmi les mesures suivantes, laquelle équivaut à 0,000 125 cm ? a) 1,25 cm

b) 125 3 1023 cm

c) 1,25 3 104 cm d) 1,25 3 1024 cm

2 À combien de décimètres cubes correspond un décamètre cube ? a) 100 dm3

b) 0,01 dm3

c) 1 000 000 dm3

d) 0,000 000 1 dm3

3 Le rapport des aires de deux solides semblables est 9. Quel est le rapport de leurs volumes ? a) 27

b) 18

c) 9

d) 3

4 Lequel des triplets suivants est associé aux mesures des côtés d’un triangle rectangle ? a) 3 cm, 4 cm et 7 cm.

b) 11 cm, 12 cm et 13 cm.

c) 8 cm, 8 cm et 10 cm.

d) 20 cm, 21 cm et 29 cm.

5 Le rapport des volumes de deux solides semblables est 216. Quel est le rapport de leurs périmètres ? a) 36

b) 6

c) 9

d) 72

6 Le diagramme de quartiles suivant correspond aux résultats des élèves à un examen.

Résultats des élèves

0

25

35

55 60

85

Résultat (%)

Laquelle des affirmations suivantes à propos de ce diagramme est assurément vraie ? a) Le résultat moyen est de 55. b) 50 % des résultats sont compris entre 35 et 60. c) Le 3e quart comporte moins de résultats. d) L’étendue interquartile est 60.

7 Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle correspond au développement du produit de 4x 2 3 par 5x 1 2 ? a) 20x 2 6

b) 9x 2 1

c) 20x2 2 7x 2 6

d) 20x2 2 6

8 Quel est le plus grand facteur commun des expressions algébriques 18a8 et 216a2 ? a) 2a

b) 18a2

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PDM4-CST_test-diagn.indd 1

c) 6a2

d) 2a2

test diagnostique

1

15-04-01 4:43 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

9 Sachant que x  R, déterminez la représentation graphique qui correspond à l’ensemble-solution de l’inéquation 4x 1 5 , 17. b)

a)

5

5

4 5 34

4 5 34

c)

23

12 01 10

21

32

43

54

5

23

12 01 10

21

32

43

54

5

5

5

d)

4 5 34

23

4 5 34

12 01 10

21

32

43

54

5

23

12 01 10

21

32

43

54

5

10 Parmi les couples ci-dessous, lequel représente la solution du système d’équations a) (22, 22)

b) (3, 7)

y 3x 2 y 5 x 22

?

c) (2, 12) d) (3, 25)

11 Si l’hypoténuse et l’une des cathètes d’un triangle rectangle mesurent respectivement 34 mm et 18 mm, quelle est la mesure de la seconde cathète ? a) 16 mm

c)  28,8 mm

b) 26 mm

12 Laquelle des égalités suivantes est vraie ? a)

3

b b2 3

b)

1

1 b4 b4

c)

()

5

b5 b

5 c c

d)  38,5 mm

d) (b5 )2 b25

13 Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 0,000 657 8 écrit en notation ­scientifique ? a) 65,78 3 1025

b) 6578 3 1027

c) 6,578 3 104

14 Combien de solutions possède ce système d’équations a) Aucune.

b) Une.

y1 = 6x + 15 y 2 = 3 (2x + 5)

c) Deux.

d) 6,578 3 1024 ?

d) Une infinité.

15 Quelle est la hauteur d’un cône circulaire droit dont la mesure de l’apothème est de 20 cm et celle du diamètre de la base, de 18 cm ? a)  8,7 cm

b)  17,9 cm

c)  21,9 cm

d)  26,9 cm

16 Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel n’admet comme solution que l’ensemble vide ? a)

y 5 6x 1 2 y 5 5x 1 2

y 5 4x 1 7 b) y 5 28x 2 11 c) 2 y 5 24x 1 7 y 5 8x 1 23

d)

y 5 3x 2 9 y 5 2x 1 9

17 Parmi les mesures suivantes, laquelle n’est pas une mesure de tendance centrale ? a) Étendue.

b) Médiane.

c) Mode.

d) Moyenne.

18 Parmi les énoncés suivants, lequel n’est pas une source de biais ? a) Un questionnaire trop long. b) Une mauvaise représentation des résultats. c) Une utilisation d’un échantillon non-représentatif. d) Une mauvaise attitude du sondeur.

2

test diagnostique

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15-04-01 4:43 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

27 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez : 1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) la valeur initiale ;

4) les zéros ;

5) la variation ;

6) le signe.

y

a)

y

b)

10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

50 40 30 20 10

2 4 6 8 10 x

1)

1)

2)

2)

3)

3)

4)

4)

5)

5)

6)

6)

50 40 30 20 100 10 20 30 40 50

10 20 30 40 50 x

28 Déterminez les facteurs de chacune des expressions algébriques suivantes. b) 12y6z5 2 72y4z3 1 18y2z4

a) 16a4b2 2 4ab3

29 Calculez le volume de chacun des solides suivants. a) Cône circulaire droit

b)

10 cm

Boule

c)

Prisme régulier

7,5 dm

4m

5 cm 2,6 m

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PDM4-CST_test-diagn.indd 5

3m

test diagnostique

5

15-04-10 11:11 AM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

30 Récrivez chaque expression à l’aide d’une puissance de la plus petite base possible. a)

34 37

3 2 39

5  (54  56 )2 5  511

b)

c)

28

( 22

3 2

45 47

) (2 2

2

48 223

)

3

y 5 22x 1 5 .

2 5 5x 2 9

31 Résolvez graphiquement ce système d’équations y1 y 10 8 6 4 2 10

8

6

4

2 0 2

4

6

8

2

4

6

8

10 x

10

32 Déterminez une expression algébrique réduite qui représente l’aire totale de chacun des solides suivants. a)

b) Cône circulaire droit

Boule

c)

Pyramide régulière

(2x 1) mm (3x 2) m (3x 5) cm

(5x 4) mm

(6x 7) m

6

test diagnostique

PDM4-CST_test-diagn.indd 6

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

15-04-10 11:11 AM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

r ppel

Chapitre

2

Fonctions polynomiale du second degré, exponentielle et définie par parties Rappel Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré et lois des exposants...............45

Section 2.1 Fonction polynomiale du second degré......................51

Section 2.2 Règle d’une fonction polynomiale du second degré...........................55

Section 2.3 Fonction exponentielle.............61

Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré et lois des exposants fonction polynomiale de degré 0 • Fonction pour laquelle des variations de la variable indépendante entraînent des variations nulles de la variable dépendante.

• La règle est de la forme : f(x) 5 a, où a est une constante.

• Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses qui croise l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0, a).

• Une fonction polynomiale de degré 0 est aussi appelée fonction de variation nulle.

Exemple : Soit une fonction polynomiale de degré 0.

Description verbale

Règle

Peu importe f(x) 5 2 la variation de la variable x, la valeur de f(x) est toujours la même, soit 2.

Table de valeurs x

f(x)

2

2

2

11

11

1

2

0 1

2

2

2

11 11

2

Graphique f(x)

10 10 10

2

1 0 1

x

10

fonction polynomiale du premier degré • Fonction pour laquelle des variations constantes de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante.

• La règle est de la forme :

Section 2.4 Règle d’une fonction exponentielle............................65

Section 2.5

f(x) 5 ax 1 b, où a  0.

• Dans cette règle : 2 a représente le taux de variation. On peut calculer le taux de variation à l’aide des coordonnées de deux points P1(x1, y1)

Fonction définie par parties......73

et P2 (x2, y2) de la façon suivante ;

Méli-mélo ...............79

a

y 2 y1 x 2 x1

2 b représente l’ordonnée à l’origine (valeur initiale).

• Sa représentation graphique est une droite oblique qui croise l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0, b). © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_Chap2_book.indb 45

Chapitre 2

Rappel

45

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

• Parmi les fonctions polynomiales du premier degré, on trouve la fonction de variation directe et la fonction de variation partielle.

Fonction de variation directe

Exemple : f (x) 5 22x

2 La règle s’écrit f (x) 5 ax, où a  0.

Table de valeurs

2 Sa représentation graphique est une droite oblique qui passe par (0, 0).

x

f(x)

2

4

1

2 0

2

2 Elle traduit une situation de proportionnalité.

Fonction de variation partielle

11

11

11

0

2

11

1

2

2

2

Graphique f(x)

22 1 0 1

22 22

2

x

22

4

Exemple : f (x) 5 3x 2 1

2 La règle s’écrit f (x) 5 ax 1 b, où a  0 et b  0.

Table de valeurs

2 Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe pas par (0, 0), mais par (0, b).

x

f(x)

f(x)

2

2

1

2

7

2

2 Elle ne traduit pas une situation de proportionnalité.

Graphique

11

11

11

0

11

1

2

2

5

4

2

1

2

13 1 0 1

13 13

x

13

lois des exposants Les lois des exposants permettent d’effectuer des opérations qui font intervenir des expressions écrites sous la forme exponentielle.

Loi Produit de puissances Pour a  0 :

46

Exemple am 3 an 5 am 1 n

Quotient de puissances Pour a  0 :

am 5 am 2 n an

Puissance d’un produit Pour a  0 et b  0 :

(ab) m 5 ambm

54 × 53 5 54 1 3 5 57 5 78 125 96 5 96 2 2 5 94 5 6561 92

(3 × 8)2 5 32 × 82 5 9 × 64 5 576

Puissance d’une puissance Pour a  0 :

(a m) n 5 amn

(43)2 5 43 × 2 5 46 5 4096

Puissance d’un quotient Pour a  0 et b  0 :

 ba 

( 56 ) 5 56

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 46

Rappel

m

5

am bm

4

4 4

5

625 , soit ≈ 0,48.

1296

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

1 Chaque paire de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale du premier degré.

Dans chaque cas, déterminez la règle de cette fonction. a) (2, 1) et (4, 7)

b) (4, 48) et (7, 84)

2

c) (23, 6) et (0, 4)

2 Déterminez la règle de chaque fonction représentée ci-dessous. a)

b)

f(x)

4

f(x)

4

4

80

2

2

40

0

2

c)

f(x)

2

4

x

4

0

2

x

80

0

40

4

4

4

2

2

2

40

80

x

40 80

3 Représentez graphiquement chaque fonction suivante. a) f(x) 5 4x 2 3

b) g(x) 5 22x g(x)

f(x)

0

x

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 47

c) h(x) 5 20,5x 1 60

0

h(x)

0

x

Chapitre 2

Rappel

x

47

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

4 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la base donnée. a) 139 3 132

11 d)  4 3 

2

b) (123)5

c) 54 4 57

3 5 e) 6 312 6

f)

6

4

( 34 3 33 )2 ( 35 ) 22

5 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible. a) 1252

b) 216 4 364

d) 163 3 82 4 49

2 e)  815 

c) 162 3 43

3

4 f)  49 2  343

 9 

23

6 Réduisez chaque expression algébrique à sa plus simple expression. a) x4x3

d)

48

( xy ) 3

4

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 48

Rappel

b) (y8)2

c) z5 4 z

e) (a4b3)2

f) e3 4 e9

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15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

7 Voici les règles de quelques fonctions polynomiales du premier degré : f(x) 5 3x 1 6

g(x) 5 20,2x 2 5

h(x) 5

1 x 2 3 9

2

i(x) 5 15x

a) Calculez : 1) f(8)

2) g(212)

3) h(5)

4) i(25)

3) h(x) 5 2

4) i(x) 5 105

b) Calculez la valeur de x lorsque : 1) f(x) 5 42

2) g(x) 5 0,3

8 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction associée à la table de valeurs. a)

x

f(x)

6

b)

x

g(x)

0

20

8

10

8

100

40

15

18

150

60

22

32

210

84

9 Pour se déplacer en métro, il faut acheter un droit de passage p(d ) qui coûte 3 $, peu importe la distance d (en km) à parcourir.

a) Remplissez la table de valeurs qui correspond à cette situation. b) Déterminez la règle de cette fonction.

Coût d’un transport en métro Distance (km)

1

2,5

4

4,9

5,3

Droit de passage ( $)

c) De quel type de fonction s’agit-il ?

d) Décrivez le graphique de cette fonction.

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 49

Chapitre 2

Rappel

49

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

10 Un bécher contient initialement 400 ml

d’une solution. Lorsqu’on la chauffe, elle s’évapore à raison de 25 ml/min.

On s’intéresse à la fonction q permettant d’associer la quantité q(t) de solution (en ml) qui reste dans le bécher au temps écoulé t (en min). a) Déterminez la règle de cette fonction.

b) Représentez graphiquement cette fonction dans le plan cartésien ci-contre. c) Quelle quantité de solution reste-t-il dans le bécher après 10 min 15 s ?

Réponse : d) Après combien de temps reste-t-il 87,5 ml de solution dans le bécher ?

Réponse :

11 Le salaire S (en $) d’un ingénieur en mécanique

évolue selon son ancienneté a (en années) d’après la fonction représentée ci-contre. a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation et que représente-t-elle dans le contexte ?

Salaire d’un ingénieur en mécanique Salaire ($) 75 000 65 000 55 000

b) Quel est le taux de variation dans cette situation et que représente-t-il dans le contexte ?

45 000 35 000 25 000

c) Combien de temps après son embauche un ingénieur en mécanique gagnera-t-il 75 000 $ ?

0

4

8

12

16

20 Ancienneté (années)

Réponse :

50

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 50

Rappel

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.1

Groupe ________________

DATE _________________

2

Fonction polynomiale du second degré

La fonction polynomiale du second degré se nomme aussi fonction quadratique. fonction polynomiale du second degré de base • La règle de cette fonction est de la forme :

f(x) 5 x2 • Sa représentation graphique est une parabole ouverte vers le haut ayant son sommet à l’origine du plan cartésien.

Règle de la fonction

Table de valeurs

Graphique f(x)

f(x) 5 x2

x

f(x)

22

4

21

1

0

0

1

1

2

4

1 0 1

x

FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ TRANSFORMÉE • La règle de cette fonction est de la forme :

f(x) 5 ax2, où a ? 0.

• Le paramètre a modifie le graphique de la fonction de base de la façon suivante : – étirement vertical si |a| .1 ; – contraction verticale si 0  |a|  1 ; – réflexion par rapport à l’axe des abscisses si a  0.

Exemples : 1)

2)

Étirement vertical : a 5 2 y

3)

Contraction verticale : a5

1 3

Réflexion par rapport à l’axe des abscisses : a 5 21

y

y

g(x) 2x 2 f(x) x 2

f(x) x 2 g(x)

f(x) x 2 1

1

0

0

1

x

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_Ch2.indd 51

x2 3

1 0

x

1 g(x) x 2

1

x

Chapitre 2

Fonction polynomiale du second degré

51

15-04-02 12:22 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

PROPRIÉTÉS D’UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ Les propriétés de la fonction du second degré de la forme f(x) 5 ax2, où a ? 0, sont les suivantes.

Domaine

ℝ

Signe

Si a . 0, positif sur ℝ ; négatif en 0.

Si a , 0, positif en 0 ; négatif sur ℝ.

Codomaine

Si a . 0, [0, 1`[.

Si a , 0, ]2`, 0].

Variation

Si a > 0, décroissante sur ]2`, 0] ; croissante sur [0, 1`[.

Si a , 0, croissante sur ]2`, 0] ; décroissante : [0, 1`[.

Abscisse à l’origine

0

Ordonnée à l’origine

0

Extremum

Si a . 0, minimum : 0.

Si a , 0, maximum : 0.

1 a) Représentez la réciproque de la fonction du second

y

degré de base dans le graphique ci-contre.

b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

1 0

2 Indiquez si chaque énoncé est vrai ou faux. S’il est faux, corrigez-le.

1

x

Vrai Faux

a) Le codomaine de la fonction f(x) 5 0,5x2 est .

b) Le domaine d’une fonction de la forme g(x) 5 ax2 est [0, 1`[ si a . 0 et ]2`, 0] si a , 0.

c) Pour une fonction h(x) 5 ax2, où a ? 0, la représentation graphique sera une parabole ouverte vers le haut si a . 0 et une parabole ouverte vers le bas si a , 0.

d) L’abscisse à l’origine de la fonction i(x) 5 3x2 est 3.

52

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 52

F onction polynomiale du second degré

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

3 Le graphique ci-contre représente une fonction du second

DATE _________________

f(x )

degré. Pour cette fonction, déterminez :

2

a) le domaine ; b) le codomaine ; c) l’abscisse à l’origine ; d) l’ordonnée à l’origine ; e) le signe ; 1

0

f) la variation ;

x

1

g) l’extremum.

4 Le graphique ci-contre représente la quantité d’eau (en L)

contenue dans une citerne selon le temps écoulé (en min) depuis le début du remplissage. Dans chaque cas, déterminez la valeur de la propriété et ce qu’elle représente dans le contexte.

Remplissage d’une citerne

Quantité d’eau (L)

a) Domaine.

20

b) Codomaine.

0

2

Temps (min)

c) Abscisse à l’origine.

d) Ordonnée à l’origine.

e) Variation.

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_Chap2_book.indb 53

Chapitre 2

Fonction polynomiale du second degré

53

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

5 Lors d’une soudure, on observe la différence entre la température finale et la température initiale

d’un objet à souder. Il est possible de mesurer cette différence avec la règle T(x) 5 2,5x2, où T(x) représente la différence entre les températures (en °C), et x, le temps écoulé (en s) depuis le début de la soudure. Une soudure effectuée sur cet objet dure 15 s. a) Déterminez le codomaine de cette situation.

Réponse : b) Déterminez la variation de cette situation et ce qu’elle représente dans le contexte.

6 Le plongeon d’un dauphin dans un bassin naturel

de 200 m de profondeur est modélisé par la fonction suivante f(x) 5 22x2 et est représenté dans le graphique ci-contre.

Profondeur (m)

Plongeon d'un dauphin 0 2

4

6

8

40

Pour cette fonction, déterminez :

10 Temps (s)

80

a) le domaine ;

120

c) l’abscisse à l’origine ;

160

d) l’ordonnée à l’origine ;

200

b) le codomaine ;

(10, 200)

e) le signe et sa signification dans le contexte ;

f) la variation et sa signification dans le contexte ;

g) les extremums.

54

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 54

F onction polynomiale du second degré

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.2

Groupe ________________

DATE _________________

2

Règle d’une fonction polynomiale du second degré

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ Il est possible de déterminer la règle d’une fonction du second degré si l’on connaît les coordonnées d’un point (autre que le sommet) associé à cette fonction.

Exemple : Déterminez la règle d’une fonction du second degré dont les coordonnées d’un point sont (3, 245).

Méthode 1. Substituer les coordonnées du point connu dans la règle f(x) 5 ax2.

f(x) 5 ax2 245 5 a(3)2

2. Déterminer la valeur du paramètre a.

2

45 5 9a a 5 25

3. Écrire la règle sous la forme f(x) 5 ax2.

f(x) 5 25x2

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À deux VARIABLEs • Il est possible de résoudre une équation du second degré de la forme y 5 ax2 en déterminant la ou les valeurs de x qui vérifient l’équation.

• Une équation du second degré peut admettre 0, 1 ou 2 solutions.

• Diverses stratégies permettent de résoudre ce type d’équation. En voici une.

Exemple : Pour l’équation y 5 6x2, déterminez les valeurs de x pour lesquelles y 5 150.

Méthode 1. Substituer la valeur donnée de y dans l’équation.

y 5 6x2 150 5 6x2

2. Isoler le terme x2.

x2 5 25

3. Extraire la racine carrée.

x 5 6 25 x 5 6 5 x1 5 25, x2 5 5

1 Représentez chaque fonction. b) g(x) 5 22x2

a) f(x) 5 2x2 f(x)

g(x)

h(x)

8 6

8 6

8 6

4

4

4

2

2

2

8 6 4 2 0 2 4

2 4 6 8

x

8 6 4 2 0 2 4

6

8

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_Chap2_book.indb 55

c) h(x) 5 0,25x2

2 4 6 8

x

8 6 4 2 0 2 4

6

8

Chapitre 2

2 4 6 8

x

6 8

Règle d’une fonction polynomiale du second degré

55

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

2 Déterminez la règle de chaque fonction.

2

a)

b)

f(x) 50

4

2

d)

2

g)

4

56

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 56

2

6

12

4

16

2

20

x

e) 4

6

4

2 4

2

4

h)

x

4

0

2

20

10

40

20

60

30

80

40

100

50

i)

m(x) 250

200

0,8

200

160

0,6

150

120

0,4

100

80

0,2

50

40

2

4

x

40

20

R ègle d’une fonction polynomiale du second degré

0

20

40

x

4

x

2

4

x

400

800

x

n (x)

1

0

2

k (x)

x

0

2

f) 0

2

8

2

4

j(x)

l (x)

8

10

0

10

x

4

4

8

20

2

2

h(x)

4

30

10

4

0

2

i(x)

4

40

0

c)

g(x)

800

400

0

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

3 Dans chaque cas, à partir des coordonnées du point donné, écrivez la règle de la fonction du second degré. a) (6, 216)

b) (24, 128)

c) (7, 2490)

d) (0,5, 8)

e) (24,5, 240,5)

f) (8, 16)

h) (9, 275,4)

i) (10, 248)

g)

(8(8, ,2121))

2

4 Écrivez la règle de chaque fonction quadratique à l’aide de la table de valeurs. a)

f (x )

1

7

0

0

0

1

7

2

2

28

4

2

x

i (x )

x

j (x )

0

0

0

0

10

380

4

15

855

8

2

30

3420

12

2

2

d)

b)

x

5

2

e)

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 57

x

g (x ) 2

c)

375

x

h (x )

8

8

2

2

0,5

60

2

0,5

240

8

8

x

k (x )

0 2

2

f)

5

2

800

2

3200

2

7200

2

2

Chapitre 2

2

100

4

2

3

2

64

2

2

36 16

Règle d’une fonction polynomiale du second degré

57

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

5 Voici les règles de certaines fonctions du second degré :

2

f(x) 5 6x2

g(x) 5 26x2

i(x) 5 27,8x2

h(x) 5 0,5x2

a) Calculez : 1) f(5)

2) g(25)

3) h(100)

4) i(2,5)

b) Calculez la valeur de x lorsque : 1) f(x) 5 384

2) g(x) 5 21200

3) h(x) 5 8

4) i(x) 5 2100

6 Le graphique ci-contre représente l’altitude (en m) d’une fusée en fonction du temps écoulé (en s) depuis le lancement.

Lancement de la fusée

Altitude de la fusée (m) 500

a) Déterminez la règle associée à cette situation.

400 300 200 100

Réponse :

0

2

4

b) Déterminez l’altitude de la fusée : 1) 8 s après le lancement ;

2) 17,5 s après le lancement.

6

8 10 Temps écoulé depuis le lancement (s)

Réponse :

Réponse :

c) Déterminez le moment où la fusée atteint une altitude de : 1) 400 m

2) 1000 m

Réponse :

Réponse :

58

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 58

R ègle d’une fonction polynomiale du second degré

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

7 La table de valeurs ci-contre représente

Groupe ________________

DATE _________________

Coût d’un plancher de céramique

le coût (en $) d’un plancher de céramique de forme carrée.

Mesure d’un côté du plancher (m)

0

2

5

12

a) Écrivez la règle associée à cette situation, sachant qu’elle correspond à une fonction quadratique.

Coût ($)

0

26

162,50

936

2

Réponse : b) Déterminez le coût du plancher de céramique pour une pièce carrée mesurant 7 m de côté.

c) Déterminez la mesure d’un côté d’une pièce carrée, si le coût est de 416 $.

Réponse :

Réponse :

8 Voici des informations concernant la distance

de freinage d’une automobile dans différentes conditions selon sa vitesse. La fonction polynomiale du second degré permet de modéliser ces situations.

Freinage sur une chaussée sèche

Distance de freinage (m) 100 80

Freinage sur une chaussée mouillée Vitesse (km/h)

0

20

60

90

Distance de freinage (m)

0

6

54

121,5

Déterminez la différence entre la distance nécessaire pour freiner à 80 km/h sur une chaussée mouillée par rapport à celle nécessaire sur une chaussée sèche.

60 40 20

(50, 25) 0

20

40

60

80

100 Vitesse (km/h)

Réponse :

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 59

Chapitre 2

Règle d’une fonction polynomiale du second degré

59

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

9 La table de valeurs ci-dessous donne des informations sur l’énergie cinétique de plusieurs automobiles (en kilojoules) selon leur vitesse (en m/s).

Énergie cinétique Vitesse (m/s)

Énergie cinétique d’une voiture de 1000 kg (kJ)

Énergie cinétique d’une voiture de 2000 kg (kJ)

Énergie cinétique d’une voiture de 5000 kg (kJ)

0

0

0

0

5

12 500

25 000

62 500

10

50 000

100 000

250 000

15

112 500

225 000

562 500

20

200 000

400 000

1 000 000

25

312 500

625 000

1 562 500

30

450 000

900 000

2 250 000

Sachant qu’il est possible d’exprimer l’énergie cinétique e(v) d’une automobile en fonction de sa vitesse v à l’aide d’une règle de la forme e(v) 5 av2, émettez une conjecture sur la valeur du paramètre a et la masse d’une automobile.

Réponse :

10 Du haut d’une échelle de 4,8 m, vous laissez tomber un objet au sol. Vous vous intéressez

à la distance parcourue (en m) par l’objet en fonction du temps écoulé (en s) depuis le début de la chute. Vous savez qu’après 0,5 s, un même objet devrait avoir parcouru une distance de 2,45 m. Sachant que cette situation peut être modélisée à l’aide d’une règle de la forme f(x) 5 ax2, déterminez le moment où l’objet touchera le sol.

Réponse :

60

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 60

R ègle d’une fonction polynomiale du second degré

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.3

Groupe ________________

DATE _________________

2

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie par une règle dans laquelle la variable indépendante figure en exposant.

FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE • La règle de cette fonction est de la forme : f(x) 5 cx, où c . 0 et c  1.

• Sa représentation graphique est une courbe dont l’une des extrémités tend vers une asymptote horizontale, qui est la droite d’équation y 5 0. L’asymptote est une droite de laquelle une courbe se rapproche de plus en plus.

Exemples :

Règle de la fonction

Table de valeurs

1) f(x) 5 2x 11

x

f(x)

2

2

0,25

2

1

0,5

11

11

0

1

11

1

2

2

4

Graphique f(x)

32 32 32 32

Facteur multiplicatif qui est la base de la fonction.

Asymptote 1 0

( 2)

2) g(x) 5 1

x

x

g(x)

2

4

1

2

2

11

2

11

11

0

1

1

0,5

2

0,25

11

1

x

1

x

g(x) 1

32 1

32 1

32 1

32

Facteur multiplicatif qui est la base de la fonction.

Asymptote 1 0

FONCTION EXPONENTIELLE TRANSFORMÉE • La règle de cette fonction est de la forme : f(x) 5 acx, où a ? 0, c . 0 et c ? 1.

• Le paramètre a correspond à la valeur initiale (ordonnée à l’origine) et c, à la base.

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 61

Chapitre 2

Fonction exponentielle

61

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

Groupe ________________

DATE _________________

• Le paramètre a modifie le graphique de la fonction de base de la façon suivante : –– étirement vertical si |a| . 1 ; –– contraction verticale si 0 , |a| , 1 ; –– réflexion par rapport à l’axe des abscisses si a , 0.

Exemple :

Règle de la fonction

Table de valeurs

f(x) 5 23(2)x

x 2

2

11

2

1

0,75

2

2

1,5

0

2

11

3

1

2

6

2

f(x)

f(x)

11 11

Graphique

12

2

32 32 32 32

Facteur multiplicatif qui est la base de la fonction.

Fonction de base Asymptote

2 0

2

x

PROPRIÉTÉS D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE Les propriétés de la fonction exponentielle de la forme f(x) 5 acx, où a ? 0, c . 0 et c ? 1 sont les suivantes.

Domaine Codomaine

ℝ Si a  0, ]0, 1`[.

Si a , 0,]2`, 0[.

Signe Variation

Si a . 0, positif sur ℝ.

Si a , 0, négatif sur ℝ.

Si a > 0 et c > 1 ou si a , 0 et 0 , c , 1, croissante sur ℝ.

Si a , 0 et c . 1 ou si a . 0 et 0 , c , 1, décroissante sur ℝ.

62

Abscisse à l’origine

Aucune.

Ordonnée à l’origine

a

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 62

F onction exponentielle

Extremum

Aucun.

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15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

1 Soit la fonction exponentielle dont la règle est f(x) 5 3x.

g (x )

a) Représentez sa réciproque dans le graphique ci-contre.

DATE _________________

2

4

b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

2

4

0

2

2

4

2 Indiquez si chaque énoncé est vrai ou faux. S’il est faux, corrigez-le.

2

x

4

Vrai Faux

a) La fonction f(x) 5 0,2(3)x est croissante sur .

b) Le minimum de la fonction g(x) 5 22(2)x est la valeur du paramètre a, soit 22.

c) Le signe d’une fonction de la forme h(x) 5 acx, où a ? 0, c . 0 et c ? 1 est le même que celui du paramètre a.

d) L’abscisse à l’origine d’une fonction de la forme i(x) 5 acx, où a ? 0, c . 0 et c ? 1 est 0.

f(x)

3 Le graphique ci-contre représente la fonction

exponentielle f(x) = 0,25x. Pour cette fonction, déterminez :

5

a) le domaine ;

4

b) le codomaine ;

3

c) l’abscisse à l’origine ;

2

d) l’ordonnée à l’origine ; e) le signe ; f) la variation ;

1

2

g) l’extremum.

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_Chap2_book.indb 63

1

Chapitre 2

0

1

2

Fonction exponentielle

x

63

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

4 Le graphique ci-contre représente la valeur d’un

placement (en $) selon le temps écoulé (en années) depuis le début du placement. Dans chaque cas, déterminez la valeur du paramètre et ce qu’il représente dans le contexte.

Groupe ________________

Évolution d’un placement

Valeur d’un placement ($) 4000

a) Domaine.

DATE _________________

(8, 3441)

3200 2400

b) Codomaine.

1600 800

c) Ordonnée à l’origine.

0

2

4

6

8

10 Temps écoulé (années)

d) Variation.

5 On a observé sur une période de 25 ans la population

P(t) des insulaires d’une île dans le Pacifique en fonction du temps écoulé t (en années). L’étude se poursuivra encore pendant 25 ans. Aujourd’hui, l’île compte 15 700 habitants, mais sa population a connu une décroissance de 1 % par année ces 25 dernières années et on prévoit que cette tendance se poursuivra encore pour le reste de l’étude. La fonction exponentielle est représentée ci-contre et sa règle est P(t) 5 15 700(0,99)t.

Évolution de la population Population des insulaires 30 000 ( 25, 20 185)

20 000 15 000

(25, 12 212)

10 000

Pour cette fonction, déterminez :

5000

a) le domaine ; b) le codomaine ; c) l’abscisse à l’origine et sa signification dans le contexte ;

20

10

0

10

20 Temps écoulé (années)

d) l’ordonnée à l’origine ; e) le signe et sa signification dans le contexte ;

f) la variation et sa signification dans le contexte ;

g) les extremums.

64

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 64

F onction exponentielle

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:52 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

éli-

Groupe ________________

DATE _________________

él0

2

1 Déterminez la règle de chaque fonction. f(x)

a)

4

2

d)

50

50

48

40

40

36

30

30

24

20

20

12

10

10

0

2

4

x

40

40

10 000

40

20

40

8

30

0 2 4 (0, 20) 200 400

4

1000

2

4

x

8

x

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

2

4

x

n(x) 4

0

2

16

(2, 320)

32

600

800

1000

4

2

i)

48

(4, 1600)

x

(0, 2) 0

2000

4

10

m(x)

2

20

( 2, 18)

h)

x

50

x

20

x

4

2

k(x)

3000

0

f) 20

0

2

16

4000

4

12

20 000

4

x

40

20

4

4

30 000

5000

PDM4-CST_Ch2_meli-melo.indd 79

0

20

0

2

j(x)

l(x)

8

0

2

40 000

g)

4

e)

50 000

h(x)

c)

60

i(x)

g(x)

b)

64 80

Chapitre 2

Méli-mélo

79

15-04-02 12:21 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

6 Le graphique ci-contre représente

le salaire S(t) (en $) de Raphaël selon le nombre d’heures travaillées t. a) Déterminez son salaire initial.

Groupe ________________

DATE _________________

Salaire de Raphaël

Salaire ($) 1000

(45, 875)

800 600 400 200 0

5

10

15

20

25

30

35

40 45 Nombre d’heures travaillées

Réponse : b) Déterminez les différents salaires horaires qu’il peut recevoir selon le nombre d’heures travaillées.

1) Il travaille de 0 à 35 h.

Réponse : 2) Il travaille de 35 à 40 h.

Réponse : 3) Il travaille 40 h et plus.

Réponse : c) La semaine passée, il a travaillé 55 h. Déterminez le salaire qu’il a reçu.

Réponse :

82

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 82

M éli-mélo

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15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

7 Lors d’un test de résistance sur un pneu, on a analysé la température du caoutchouc.

Voici des informations concernant ce test en condition hivernale où T(m) correspond à la température (en °C) et m, au temps écoulé (en min) depuis le début du test.

2

• Pendant les 6 premières minutes, la température varie selon la règle T(m) 5 20,5(2)m.

• Pour les 4 minutes suivantes, la température varie selon la règle T(m) 5 5,5m 2 65.

• Pour les 10 dernières minutes, la température varie selon la règle T(m) 5 20,1m2. a) Représentez cette situation dans le plan cartésien ci-dessous. b) Déterminez la température du pneu : 1) 4 min après le début du test ;

Réponse : 2) 8 min après le début du test ;

Réponse : 3) à la fin du test.

Réponse : c) Déterminez le ou les moments où la température du pneu est de 216 °C :

Réponse :

8 Voici des informations concernant deux modèles d’automobiles pour lesquelles la valeur (en $) de revente V(t) se calcule selon le temps écoulé t (en années) depuis l’achat.

Modèle A

Modèle B

V(t) 5 12 000(0,65)

t

V(t) 5 15 000(0,75)t

Un acheteur prévoit revendre son véhicule dans 5 ans et il aimerait que le coût de son achat sur 5 ans soit minimal. Quel véhicule doit-il acheter ?

Réponse :

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 83

Chapitre 2

Méli-mélo

83

15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

13 Le graphique ci-contre représente le volume (en ml) d’un prisme à base carrée en fonction de la mesure d’un côté de sa base (en cm.)

Groupe ________________

DATE _________________

Volume d’un prisme

Volume (ml) 100 80

a) Déterminez la règle associée à cette situation.

60 40 20 0

2

4

6

8 10 Mesure d’un côté de la base (cm)

Réponse : b) Selon ce contexte, à quoi correspond la valeur du paramètre a ?

Réponse : c) Déterminez la mesure d’un côté de la base si le volume du prisme est de 1 L.

Réponse :

14 Voici des informations concernant le nombre de personnes infectées par l’influenza dans deux villes différentes.

Ville B Nombre de personnes 50

Ville A

40

• Initialement, 12 personnes sont infectées.

• Le nombre de personnes infectées augmente de 25 % par jour.

30

Fonction du second degré

20 10 0

Déterminez le nombre total de personnes infectées après dix jours dans ces deux villes.

1

2

3

4

5 Temps (jours)

Réponse :

86

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 86

M éli-mélo

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15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

SP

16

Groupe ________________

DATE _________________

Le cadeau

2

Des parents offrent à leur fille et à son conjoint de choisir parmi trois options qui rapporteront un certain montant d’argent qui sera remis à leur enfant à naître à la fin de ses études.

Voici des informations concernant ces trois options.

Option A

Option B

Option C

• Les 10 premières années de sa vie, investir 250 $ par année dans un compte bancaire.

• Les 10 années suivantes, ajouter 500 $ par année.

• Les 10 années suivantes, investir 1000 $ par année.

• Les montants placés se cumuleront chaque année.

• À sa naissance, déposer 500 $ dans un compte bancaire.

• Un an plus tard, ajouter 15 % à ce montant, soit 75 $, pour un total de 575 $.

• L’année suivante, ils ajouteront 15 % à ce montant, soit 86,25 $, pour un total de 661,25 $.

• Et ainsi de suite.

• Le montant remis correspondra à la règle M(t) 5 35t2, où M(t) correspond au montant (en $) qui sera remis, et t, au temps écoulé (en années) depuis la naissance.

Sachant qu’on prévoit que l’enfant terminera ses études lorsqu’il aura entre 25 et 30 ans, déterminez l’option que la fille et son conjoint devraient choisir afin d’obtenir le montant d’argent le plus élevé.

Démarche et calculs

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 89

Chapitre 2

Méli-mélo

89

15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

2

Réponse

90

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 90

M éli-mélo

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

SR

17

Groupe ________________

DATE _________________

Le virus Voici des informations concernant la propagation d’une certaine maladie dans trois villes différentes.

Ville A • Initialement, 8 personnes sont malades.

• La journée suivante, 24 personnes supplémentaires sont malades.

• La journée suivante, 72 personnes supplémentaires sont malades.

• Et ainsi de suite.

Ville B

Ville C

Nombre de malades supplémentaires 800 (3, 540) 400

0

Temps Nombre écoulé de malades (jours) supplémentaires

(0, 20)

2

2

4

0

25

2

225

4

2025

6

18 225

Temps écoulé (jours)

Sachant que la propagation de cette maladie se modélise à l’aide d’une fonction exponentielle, formulez une conjecture concernant cette propagation chaque jour dans une autre ville où 12 personnes sont malades initialement.

Démarche et calculs

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PDM4-CST_Chap2_book.indb 91

Chapitre 2

Méli-mélo

91

15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

2

Réponse

92

Chapitre 2

PDM4-CST_Chap2_book.indb 92

M éli-mélo

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:53 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

B nque de

problèmes

1 Sachant que sur l’illustration ci-contre, la distance

C

qui sépare le point B du point C est de 150 m, déterminez la distance qui sépare le point J du point M.

3°

M 1°

J

B

Réponse :

2 En prévision de la production de pièces métalliques triangulaires, les deux plans suivants sont présentés à un soudeur. Celui-ci affirme que ces deux pièces sont identiques. Démontrez qu’il a raison.

Pièce A

Pièce B 60°

40 cm

20 cm

30°

Réponse : © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_bq_problemes.indd 323

Banque de problèmes

323

15-04-01 3:57 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

27 Le bobsleigh est une discipline des Jeux olympiques d’hiver depuis 1924. Au cours d’une descente, l’équipage peut atteindre une vitesse de 140 km/h. Pendant un entraînement, une entraîneuse mesure la vitesse du bobsleigh à différents moments après le départ.

Descente d’un bobsleigh Temps (s)

0

1

2

4

Vitesse (m/s)

0

0,44

1,78

7,11

a) Sachant que cette situation est associée à une fonction polynomiale du second degré, déterminez la vitesse du bobsleigh à la 5e seconde.

Réponse : b) Les athlètes de haut niveau ont la capacité de maintenir une fréquence cardiaque élevée sur une longue période.

Les coureurs de bobsleigh atteignent dès les premiers mètres une fréquence cardiaque maximale de 204,8 battements/min. La table de valeurs ci-contre fournit des renseignements à ce sujet.

Fréquence cardiaque des athlètes Temps (s)

0

1

2

Fréquence cardiaque (battements/min)

50

80

128

Sachant que cette situation est associée à une fonction exponentielle, déterminez la vitesse du bobsleigh au moment où les athlètes atteignent leur fréquence cardiaque maximale.

Réponse :

c) Le point de départ de la course est situé 176,6 m plus haut que l’arrivée. La vitesse moyenne du bobsleigh tout au long de la descente est d’environ 24 m/s et le temps requis pour franchir toute la piste est de 65 secondes. Dans ces conditions, quelle est l’inclinaison moyenne de la piste ?

Réponse :

344

Banque de problèmes

PDM4-CST_bq_problemes.indd 344

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:57 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD2

28

Une question de diagonales

Démontrez que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Groupe ________________

DATE _________________

C B E

D A

Hypothèses Conclusion Affirmation

CD2

29

Justification

E

Le triangle rectangle

En attribuant différentes valeurs au côté DE de la figure ci-contre, formulez une conjecture quant à la valeur du i rapport dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°.

j

j

D

30°

F i

C

Réponse :

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_bq_problemes.indd 345

Banque de problèmes

345

15-04-01 3:57 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD1

35

Groupe ________________

DATE _________________

La valeur d’un investissement

Mathilde veut investir 10 000 $ pour 5 ans. Elle a le choix entre les trois options suivantes.

Option 1 La valeur de l’investissement évolue selon la fonction exponentielle ci-dessous.

Valeur ($)

Valeur de l’investissement

Option 2

Option 3

Les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque année.

Le taux d’intérêt évolue selon la fonction ci-dessous.

Taux (%)

Évolution du taux d’intérêt

Les intérêts sont capitalisés tous les 6 mois.

Le taux d’intérêt initial est de 0,2 % et augmente de 0,2 % tous les 6 mois.

1,6 1,2 0,8 (3, 10 927) (0, 10 000) 0

0,4 0

1

Temps (années)

2

3

4 5 Temps (années)

Quelle option Mathilde devrait-elle choisir ?

Réponse :

350

Banque de problèmes

PDM4-CST_bq_problemes.indd 350

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-01 3:57 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD1

38

La trajectoire d’une météorite

Des astronomes ont repéré une météorite qui se déplace sur une trajectoire inclinée de 30° par rapport au sol. Le plan ci-contre, gradué en milliers de kilomètres, fournit des renseignements à ce sujet. Sur ce schéma :

Groupe ________________

Trajectoire d'une météorite

y

F

• l’axe des abscisses correspond au sol ; B

• le point E est au milieu de BC.

DATE _________________

1

Déterminez l’altitude (en km) de la météorite lorsqu’elle arrivera au point F.

E 30° 0 A

D

C

x

Réponse : © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

PDM4-CST_bq_problemes.indd 353

Banque de problèmes

353

15-04-01 3:58 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 2

39

Groupe ________________

DATE _________________

La modélisation

On abaisse la hauteur issue de l’angle droit d’un triangle rectangle dont la plus grande des cathètes mesure 1 m. On abaisse ensuite la hauteur issue de l’angle droit du plus grand des deux triangles rectangles ainsi formés. En répétant cette procédure un certain nombre de fois, on obtient la suite de figures ci-dessous.

Rang n

Figure

1

30˚ 30˚ B B 30˚30˚ B B

Rang n

2

C C C C

d1 d1 d1 d1

A A A A

30˚ 30˚ B B 30˚30˚ B B d2 d2 d2 d2

3

A A A A

4

…

C C C C

C C C C

Figure

C C C C

d3 d3 d3 d3 30˚ 30˚ B B 30˚30˚ B B

…

A A A A

30˚ 30˚ B B 30˚30˚ B B d4 d4 d4 d4

A A A A

On émet la conjecture que le modèle quadratique permet de modéliser la relation entre le rang n et la distance d. Démontrez que cette conjecture est fausse.

354

Banque de problèmes

PDM4-CST_bq_problemes.indd 354

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

15-04-10 11:12 AM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

RÉ ISION Questions à choix multiple f (x )

1 On a tracé ci-contre une fonction périodique

8

sur l’intervalle [ 8, 8].

2

6

a) Quel est l’intervalle de décroissance de cette fonction ?

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

2) ]28, 8[

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

4) [25, 5]

4 2

8

6

4

2) ]28, 18[

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

4) [25, 5]

2

4

6

8

x

2

b) Quel est l’intervalle de positivité de cette fonction ?

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

0

2

4

6

8

c) Quel est le codomaine de cette fonction ?

1) [28, 24] ∪ [0, 4]

3) [26, 22] ∪ [2, 6]

2) ]28, 8[

4) [25, 5]

d) Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette fonction ?

1) 26

2) 24

3) 0

4) 5

2 Parmi les valeurs ci-dessous, laquelle correspond au rang centile le plus élevé ? a) 1

b) 50

c) 25

d) 97

3 Lequel des nombres suivants indique une corrélation linéaire forte entre deux variables statistiques ? a) 20,84

b) 20,63

c) 0,27

d) 0,76

4 À laquelle des équations suivantes correspond une droite perpendiculaire à la droite d’équation y 5 4x 2 2 ?

a) y 5 24x 1 2

b) y 5

x 2 4

x 4

c) y 5 2

d) y 5 4x 1 2

5 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous n’admet que l’ensemble vide comme solution ? a)

y 3x 4 y 3x 4

b)

y 7x 12 y 7x 22

c)

y 5x 11 x 23 5

y

6 Quelle est la valeur de la tangente de l’angle A

d)

y

x 5 6

y 6x 19

A

du triangle ABC suivant ? a) tan A < 0,4134

b) tan A < 2,203

c) tan A < 2,419

d) tan A < 0,4533

32,9 cm 13,6 cm

C © 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

PDM4-CST_revision.indd 355

B Révision

355

15-04-01 4:45 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

29 Dans chaque cas, déterminez la distance entre les deux points. a) A(11, 14) et B(17, 5)

b) C(21, 26) et D(13, 1)

c) E(0, 24) et F(29, 3)

30 À l’aide de la méthode du rectangle, estimez le coefficient de corrélation linéaire de chacun des nuages de points ci-dessous.

y b)

y a) y

y

57 mm 57 mm 57 mm 20 mm 20 mm 20 mm

y

c) y

y

y

y

51 mm 51 mm 51 mm 28 mm 28 mm 28 mm

61 mm 61 mm 61 mm

18 mm 18 mm 18 mm 0

0

0

x

x

x 0

0

0

x

x

x 0

0

0

x

x

x

31 Dans chaque cas, déterminez les coordonnées du point P sachant qu’il partage les segments AB, CD et EF dans un rapport de 2 : 3. a) A(2, 1) et B(17, 26)

360

Révision

PDM4-CST_revision.indd 360

b) C(8, 26) et D(43, 4)

c) E(27, 9) et F(13, 221)

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

15-04-10 11:14 AM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

38 Chacun des couples suivants indique le nombre de joueurs d’une équipe de volleyball et le temps moyen de jeu (en min) par athlète pour une manche.

(6, 20,32)

(6, 18,01)

(6, 17,54)

(7, 18,63)

(7, 17,04)

(8, 15,81)

(8, 16,0)

(9, 14,22)

(9, 13,33)

(9, 13,78)

(10, 12,05)

(10, 13,17)

(10, 14,11)

(11, 11,34)

(11, 10,91)

(12, 10,41)

(12, 9,23)

(12, 11,02)

(12, 10,85)

(13, 9,12)

a) Remplissez le tableau à double entrée suivant.

b) Cette corrélation linéaire est-elle positive ou négative ? Expliquez votre réponse.

c) Qualifiez la corrélation linéaire entre ces deux variables. Expliquez votre réponse.

39 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle. a)

x

f (x )

0 1 2 3 4 5

2 8 32 128 512 2048

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

PDM4-CST_revision.indd 363

b)

x

f (x )

0 2 3 4 6 7

3 12 224 248 2192 2384 2

2

Révision

363

15-04-01 4:46 PM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

Questions à développement

45 On a représenté ci-contre une vue latérale de l’armature d’une rampe

C

0,5 m

pour planches à roulettes. Déterminez la longueur totale des tiges métalliques nécessaires pour construire cette armature.

B

F 1,9 m

A

46° D

E 2,4 m

Réponse :

46 Au cours des 16 premières heures d’une journée,

le niveau d’eau h (en m) d’un bassin hydroélectrique varie selon la règle h(t) 5 0,05t 1 1,6, où t représente le temps écoulé (en h). Pendant les quatre heures suivantes, le niveau du bassin reste stable. a) Quel est le niveau d’eau du bassin à la 16e heure ?

Hauteur (m) 5

Niveau d’eau d’un bassin hydroélectrique

4 3 2 1 0

4

8

12

16

20 Temps (h)

Réponse : b) Représentez graphiquement cette situation. c) À la vingtième heure, les responsables de la sécurité publique ouvrent les vannes du barrage afin de diminuer le niveau d’eau du bassin à raison de 0,03 m/h. Déterminez le temps écoulé entre le début de la journée et le moment où le niveau d’eau du bassin est de 1,5 m.

Réponse :

366

Révision

PDM4-CST_revision.indd 366

© 2015, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

15-04-10 11:14 AM

nnexes annexe 1

Ensembles de nombres..............................................................................376

annexe 2

Notations et symboles mathématiques.............................................. 377

annexe 3

Propriétés des fonctions..................................................................... 378

annexe 4

Notation exponentielle et lois des exposants..................................... 380

annexe 5

Préfixes du système international d’unités et unités de mesure........ 381

annexe 6

Relation de Pythagore, circonférence, aire et volume........................ 382

annexe 7

Trigonométrie...................................................................................... 384

annexe 8

Principaux énoncés de géométrie...................................................... 385

PDM4-CST_Annexes.indd 375

15-04-08 9:54 AM

Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Groupe ________________

DATE _________________

nnexe 3 Propriétés des fonctions Propriétés

Graphiquement

Notation écrite

y

Domaine : ensemble des valeurs prises par la variable indépendante, x.

Dom f : ]2, 4]

6 4 2 12

10

8

6

4

2 0 2

f

2

4

6

x

4

6

y

Codomaine ou image : ensemble des valeurs prises par la variable dépendante, y.

Codom f : ]2, 1]

6 4 2 12

10

8

6

4

2 0 2

f

2

4

6

x

4

6

Abscisse à l’origine : abscisse de chaque point d’intersection de la courbe de la fonction g avec l’axe des abscisses. Il s’agit de la ou des valeurs de x pour lesquelles g(x) 5 0. On l’appelle aussi zéro de la fonction.

y

Abscisses à l’origine : 210, 24, 3

6 4 2

12

10

8

6

4

g

2 0 2

2

4

6

x

4

6

Ordonnée à l’origine : ordonnée du point d’intersection de la courbe de la fonction g avec l’axe des ordonnées. Il s’agit de la valeur de y qui correspond à g(0). On l’appelle aussi valeur initiale.

y

4 2 12

10

g

378

Annexes

PDM4-CST_Annexes.indd 378

Ordonnée à l’origine : 23

6

8

6

4

2 0 2

4

6

2

4

6

x

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

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Nom ___________________________________________________________________________________________________________________________

Graphiquement

Propriétés

Signe : Une fonction peut être de signe positif ou négatif.

Variation : Accroissement positif, nul ou négatif de la variable dépendante sur un intervalle donné de la variable indépendante d’une fonction.

Extremum : Valeur maximale ou minimale d’une fonction.

Positif : intervalle du domaine de la fonction où les valeurs de la variable dépendante sont positives. Il s’agit du ou des intervalles où h(x)  0.

Négatif : intervalle du domaine de la fonction où les valeurs de la variable dépendante sont négatives. Il s’agit du ou des intervalles où h(x)  0.

Fonction 4 positive 2

h

12

10

8

6

2 0 2 Fonction négative 4 4

2

4

6

x

La fonction est négative sur [28, 1] ∪ [5, 1[.

6

La fonction est croissante sur [25, 3]. De plus, elle est strictement croissante sur [0, 3].

y 6 Décroissance

4

h 12

10

2

8

6

4

2 0 2

2

4

6

x

Croissance

4

Constance 6

Constance : intervalle du domaine de la fonction associé à une droite hori­zontale, c’est-à-dire parallèle à l’axe des abscisses.

Maximum : plus grande valeur prise par la variable dépendante d’une fonction.

La fonction est contante sur [25, 0].

Le maximum de la fonction est 5.

y 6 4

La fonction est décroissante sur [211, 0] ∪ [3, 1[.

De plus, elle est strictement décroissante sur [211, 25] ∪ [3, 1[.

Maximum

2

Minimum : plus petite valeur prise par la variable dépendante d’une fonction.

© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite

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La fonction est positive sur [211, 28] ∪ [1, 5].

6

DATE _________________

Notation écrite

y

Croissance : intervalle du domaine de la fonction associé à une courbe qui, de gauche à droite, est ascendante ou horizontale.

Décroissance : intervalle du domaine de la fonction associé à une courbe qui, de gauche à droite, est descendante ou horizontale.

Groupe ________________

12

10

8

6

i

4

2 0 2

2

4

6

x

Le minimum de la fonction est 26.

4

Minimum

6

Annexes

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Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 4e secondaire.

Structure du cahier

• Un Test diagnostique ; • Sept chapitres comprenant chacun : – un Rappel de quatre à sept pages, – deux à cinq sections comportant chacune un encadré théorique, des exercices et des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des exercices et des problèmes en contexte, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2) ; • Une Banque de problèmes de 32 pages comportant des conjectures et se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ;

Cahier d’apprentissage 4

Le cahier d’apprentissage 4 de la collection Point de mire mathématique, séquence Culture, société et technique (CST), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 4e secondaire selon la dernière mise à jour du Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA).

Dominique Boivin Richard Cadieux Étienne Meyer

Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

Point de mire

• Une Révision de 20 pages ;

Structure du GUIDE-CORRIGÉ

• Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 230 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, tests, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), encadrés théoriques, bilans) ; – deux versions d’examen de fin d’année pour préparer les élèves à l’examen administré par le MELS. Versions numériques

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

CODE DE PRODUIT : 218352 ISBN 978-2-7617-7848-0

CEC1414_CouvPM4_EPF.indd 1

Point de mire

• Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier.

Mathématique 4e secondaire Culture, société et technique (CST)

• Une section Annexes ;

Mathématique 4e secondaire

NOUVEAU PROGRAMME CUlture, société et technique (CST)

Cahier d’apprentissage

Point de mire Dominique Boivin Richard Cadieux Étienne Meyer Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

Notions Exercices Problèmes

NOUVEAU CONFORME À LA MISE À JOUR DU PROGRAMME CST 2015

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