Point de mire 4 SN by Les Éditions CEC

Mathématique 4e secondaire

sciences naturelles (SN)

Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes

Dominique Boivin Richard Cadieux Étienne Meyer Dominic Paul François Pomerleau Vincent Roy

Conforme à la progression des apprentissages CEC1414_CouvPM4_EPF-USB.indd 1

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TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION DU CAHIER .................. IV TEST DIAGNOSTIQUE ................................... 1

Chapitre 1 PARAMÈTRES ET FONCTIONS .............. 9 Rappel : Relation, réciproque et fonction ...................... 9 1.1 Propriétés des fonctions ....................................... 16 1.2 Paramètres multiplicatifs et additifs ...................... 22

Chapitre 4

FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ ............................... 139 Rappel : Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré ................................................... 139 4.1 Fonction polynomiale du second degré .............. 145 4.2 Différentes formes d’écriture de la règle ............. 153 4.3 Résolution d’une équation du second degré à une ou à deux variables ................................... 161

1.3 Fonction en escalier .............................................. 28

4.4 Résolution d’une inéquation du second degré à une variable ...................................................... 169

1.4 Fonction partie entière .......................................... 31

Méli-mélo................................................................... 173

Méli-mélo..................................................................... 39

Chapitre 2

Chapitre 5

MANIPULATIONS ALGÉBRIQUES ..... 53

TRIANGLES ET FIGURES ÉQUIVALENTES ...........................................187

Rappel : Opérations sur les expressions algébriques .................................................................. 53

Rappel : Relation de Pythagore et figures et solides semblables ................................................ 187

2.1 Multiplication d’expressions algébriques .............. 59

5.1 Conditions minimales d’isométrie des triangles ....................................................... 193

2.2 Division de polynômes .......................................... 65 2.3 Manipulation d’expressions rationnelles ............... 73 Méli-mélo..................................................................... 79

Chapitre 3 FACTORISATION ........................................... 93 Rappel : Mise en évidence simple ............................... 93 3.1 Mise en évidence double ...................................... 97 3.2 Trinôme carré parfait et différence de deux carrés..................................................... 101 3.3 Complétion du carré ............................................ 106 3.4 Factorisation de trinômes.................................... 110

5.2 Conditions minimales de similitude des triangles ....................................................... 201 5.3 Figures équivalentes : périmètre, aire et volume ............................................................. 208 5.4 Relations métriques dans le triangle rectangle ..... 216 Méli-mélo................................................................... 223

Chapitre 6 TRIGONOMÉTRIE ......................................237 Rappel : Triangle, relation de Pythagore et proportion .............................................................. 237

3.5 Factorisation et expressions rationnelles ............ 117

6.1 Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle .............................................................. 243

Méli-mélo................................................................... 123

6.2 Résolution d’un triangle rectangle....................... 248 6.3 Loi des sinus et loi des cosinus .......................... 255 6.4 Aire d’un triangle quelconque ............................. 263 Méli-mélo .................................................................. 271

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TABLE DES MATIÈRES

III 2015-03-31 1:11 PM

Chapitre 7

Chapitre 9

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.................. 285

STATISTIQUE ................................................375

Rappel : Taux de variation, recherche de la règle et inéquation .............................................................. 285

Rappel : Diagrammes et tableaux, mesures

7.1 Pente et équation d’une droite ............................ 291

9.1 Corrélation, tableau de distribution à double entrée et nuage de points ................................... 381

7.2 Distance entre deux points ................................. 298 7.3 Position relative de deux droites ........................ 304 Méli-mélo................................................................... 311

Chapitre 8

INÉQUATIONS ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS................. 325

de tendance centrale et de dispersion ..................... 375

9.2 Interprétation quantitative de la corrélation et coefficient de corrélation linéaire..................... 390 9.3 Droite de régression ............................................ 398 Méli-mélo................................................................... 407

BANQUE DE PROBLÈMES ................. 423 RÉVISION ....................................................... 453

Rappel : Introduction aux systèmes d’équations du premier degré à deux variables ............................ 325

ANNEXES ........................................................475

8.1 Résolution d’un système d’équations du premier degré à deux variables ........................................ 331

INDEX ............................................................... 483

8.2 Résolution graphique d’une inéquation du premier degré à deux variables ...................... 339

SOURCE DES PHOTOS........................ 486

8.3 Résolution graphique d’une inéquation du second degré à deux variables ...................... 346 8.4 Système d’équations à deux variables composé d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré ................... 352 Méli-mélo................................................................... 359

TABLE DES MATIÈRES

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PRÉSENTATION DU CAHIER Le cahier Point de mire mathématique 4, séquence Sciences naturelles (SN), est divisé en neuf chapitres, chacun correspondant à un champ mathématique. Tout au début du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vérifier les connaissances acquises des élèves. À la fin du cahier, on trouve une rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision, des annexes ainsi qu’un index pratique.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique permet de vérifier l’acquisition des connaissances en mathématique chez les élèves à leur arrivée en 4e secondaire. Il comprend huit pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.

CHAPITRES

Chaque chapitre commence par un Rappel de quatre à sept pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un encadré théorique suivi de quelques exercices et problèmes. Chaque chapitre est divisé en trois à cinq sections de trois à neuf pages chacune. Au début de chaque section, un encadré théorique explique les notions à l’étude. Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est pertinent, on présente une démarche en lien avec la notion expliquée. Des exercices et des problèmes permettent ensuite aux élèves de vérifier et de consolider leur compréhension des notions fraîchement acquises.

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PRÉSENTATION DU CAHIER

V 2015-03-31 1:11 PM

Puis, une récapitulation en 14 ou 16 pages, le Méli-mélo, vient clore le chapitre. Les huit ou dix premières pages fournissent des exercices et des problèmes, tandis que les six dernières pages proposent deux situations-problèmes (SP) et une ou deux situations de raisonnement (SR).

BANQUE DE PROBLÈMES

Après le dernier chapitre du cahier se trouve une rubrique Banque de problèmes de 30 pages qui présente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier et chacun d’entre eux porte sur des notions abordées dans plus d’un chapitre à la fois. De plus, les 10 derniers numéros permettent d’évaluer des composantes des compétences disciplinaires 1 (CD 1) et 2 (CD 2).

RÉVISION

Après la rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision de 22 pages permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 4e secondaire pour la séquence SN. On y trouve des questions à choix multiple, des questions à réponse courte ainsi que des questions à développement.

PRÉSENTATION DU CAHIER

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ANNEXES

À la suite de la rubrique Révision sont proposées les Annexes, des fiches utiles aux élèves dans leur apprentissage des mathématiques.

INDEX

Un index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la fin du cahier.

PICTOGRAMMES

Indique la présence de contenu enrichi ou facultatif et non prescrit par la PDA. SP

Indique la présence d’une situation-problème (SP), qui permet de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

Indique la présence d’une situation de raisonnement (SR), qui permet de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

CD 1 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 1 (CD 1). CD 2 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

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PRÉSENTATION DU CAHIER

VII 2015-03-31 1:11 PM

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

TESTDI

GROUPE ________________

DATE _________________

GNOSTIQUE

Questions à choix multiple

1 Parmi les mesures suivantes, laquelle équivaut à 0,000 125 cm ? a) 1,25 cm

b) 125 3 1023 cm

c) 1,25 3 104 cm d) 1,25 3 1024 cm

2 À combien de décimètres cubes correspond un décamètre cube ? a) 100 dm3

b) 0,01 dm3

c) 1 000 000 dm3

d) 0,000 000 1 dm3

3 Le rapport des aires de deux solides semblables est 9. Quel est le rapport de leurs volumes ? a) 27

b) 18

c) 9

d) 3

4 Lequel des triplets suivants est associé aux mesures des côtés d’un triangle rectangle ? a) 3 cm, 4 cm et 7 cm

b) 11 cm, 12 cm et 13 cm

c) 8 cm, 8 cm et 10 cm

d) 20 cm, 21 cm et 29 cm

5 Le rapport des volumes de deux solides semblables est 216. Quel est le rapport de leurs périmètres ? a) 36

b) 6

c) 9

d) 72

6 Le diagramme de quartiles suivant correspond aux résultats des élèves à un examen. Résultats des élèves

55 60

Résultat (%)

Laquelle des affirmations suivantes à propos de ce diagramme est assurément vraie ? a) Le résultat moyen est de 55. b) 50 % des résultats sont compris entre 35 et 60. c) Le 3e quart comporte moins de résultats. d) L’étendue interquartile est 60.

7 Parmi les expressions algébriques ci-dessous, laquelle correspond au développement du produit de 4x 2 3 par 5x 1 2 ? a) 20x 2 6

b) 9x 2 1

c) 20x2 2 7x 2 6

d) 20x2 2 6

8 Quel est le plus grand facteur commun des expressions algébriques 18a8 et 216a2 ? a) 2a

b) 18a2

c) 6a2

d) 2a2

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

9 Sachant que x  R, déterminez la représentation graphique qui correspond à l’ensemble-solution de l’inéquation 4x 1 5 , 17. b)

4 5 34

12 01 10

4 5 34

12 01 10

10 Parmi les couples ci-dessous, lequel représente la solution du système d’équations a) (22, 22)

b) (3, 7)

y 3x 2 y 5 x 22

c) (2, 12) d) (3, 25)

11 Si l’hypoténuse et l’une des cathètes d’un triangle rectangle mesurent respectivement 34 mm et 18 mm, quelle est la mesure de la seconde cathète ? a) 16 mm

c)  28,8 mm

b) 26 mm

d)  38,5 mm

12 Laquelle des égalités suivantes est vraie ? a)

b b2 3

1 b4 b4

b5 b    c c5

d) ( b5 )2 b25

13 Parmi les nombres ci-dessous, lequel correspond au nombre 0,000 657 8 écrit en notation scientifique ? a) 65,78 3 1025

b) 6578 3 1027

c) 6,578 3 104

d) 6,578 3 1024

14 Sachant que h  R, déterminez l’ensemble-solution de l’inéquation 24(2h 1 3)  260. a) ]2, 6]

b) [6, 1[

c) ]2, 6[

d) ]6, 1[

15 Quelle est la hauteur d’un cône circulaire droit dont la mesure de l’apothème est de 20 cm et celle du diamètre de la base, de 18 cm ? a)  8,7 cm

b)  17,9 cm

c)  21,9 cm

d)  26,9 cm

16 Parmi les systèmes d’équations suivants, lequel n’admet comme solution que l’ensemble vide ? a)

y 5 6x 1 2 y 5 5x 1 2

y 5 4x 1 7 b) y 5 28x 2 11 c) 2 y 5 24x 1 7 y 5 8x 1 23

y 5 3x 2 9 y 5 2x 1 9

17 Parmi les mesures suivantes, laquelle n’est pas une mesure de tendance centrale ? a) Étendue

b) Médiane

c) Mode

d) Moyenne

18 Parmi les énoncés suivants, lequel n’est pas une source de biais ? a) Un questionnaire trop long b) Une mauvaise représentation des résultats c) Une utilisation d’un échantillon non-représentatif d) Une mauvaise attitude du sondeur

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

27 Pour chacune des fonctions suivantes, indiquez : 1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) la valeur initiale ;

4) les zéros ;

5) la variation ;

6) le signe.

10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 x

20 0 10 20 30 40 50

28 Déterminez les facteurs de chacune des expressions algébriques suivantes. b) 12y6z5 2 72y4z3 1 18y2z4

a) 16a4b2 2 4ab3

29 Calculez le volume de chacun des solides suivants. a) Cône circulaire droit

10 cm

Boule

Prisme régulier

7,5 dm

5 cm 2,6 m

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

30 Récrivez chaque expression à l’aide d’une puissance de la plus petite base possible. 4 37 a) 3 2 9

2 3 45  48   c)  2  2  2 47   2 2 23 

5 3 (54 3 56 )2 3 511

31 Réduisez chacune des expressions algébriques suivantes. a) (3a3b2 1 4a4)(2ab 2 7b3)

b) (5x6y4 2 8x4y3)(6xy5 1 3x3y6)

32 Déterminez une expression algébrique réduite qui représente l’aire totale de chacun des solides suivants. a)

b) Cône circulaire droit

Boule

Pyramide régulière

(2x 1) mm (3x 2) m (3x 5) cm

(5x 4) mm

(6x 7) m

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

R PPEL

CHAPITRE

Fonction polynomiale du second degré RAPPEL

Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré.... 139

SECTION 4.1 Fonction polynomiale du second degré.................... 145

SECTION 4.2 Différentes formes d’écriture de la règle .............................. 153

SECTION 4.3 Résolution d’une équation du second degré à une ou à deux variables................ 161

Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré FONCTION POLYNOMIALE DE DEGRÉ 0 • Fonction pour laquelle des variations de la variable indépendante entraînent des variations nulles de la variable dépendante. • La règle est de la forme : f(x) 5 a, où a est une constante. • Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses qui croise l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0, a). • Une fonction polynomiale de degré 0 est aussi appelée fonction de variation nulle. Exemple : Soit une fonction polynomiale de degré 0. Description verbale

Règle

Peu importe f(x) 5 2 la variation de la variable x, la valeur de f(x) est toujours la même, soit 2.

Table de valeurs x

f(x)

0 1

11 11

Graphique f(x)

10 10 10

1 0 1

FONCTION POLYNOMIALE DU PREMIER DEGRÉ

SECTION 4.4 Résolution d’une inéquation du second degré à une variable......................... 169

MÉLI-MÉLO.............. 173

• Fonction pour laquelle des variations constantes de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante. • La règle est de la forme : f(x) 5 ax 1 b, où a  0. • Dans cette règle : 2 a représente le taux de variation. On peut calculer le taux de variation à l’aide des coordonnées de deux points P1(x1, y1) et P2 (x2, y2) de la façon suivante ;

y 2 y1 x 2 x1

2 b représente l’ordonnée à l’origine (valeur initiale). • Sa représentation graphique est une droite oblique qui croise l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0, b).

CHAPITRE 4

RAPPEL

139

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

• Parmi les fonctions polynomiales du premier degré, on trouve la fonction de variation directe et la fonction de variation partielle. Fonction de variation directe 2 La règle s’écrit f (x) 5 ax, où a  0.

Exemple : f (x) 5 22x Table de valeurs

2 Sa représentation graphique est une droite oblique qui passe par (0, 0). 2 Elle traduit une situation de proportionnalité.

Fonction de variation partielle 2 La règle s’écrit f (x) 5 ax 1 b, où a  0 et b  0. 2 Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe pas par (0, 0), mais par (0, b). 2 Elle ne traduit pas une situation de proportionnalité.

f(x)

2 0

Graphique f(x)

22 22 22

1 0 1

Exemple : f (x) 5 3x 2 1 Table de valeurs x

f(x)

Graphique

4 1

13 13 13

1 0 1

1 Chaque paire de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale du premier degré. Dans chaque cas, déterminez la règle de cette fonction.

140

a) (2, 1) et (4, 7)

b) (4, 48) et (7, 84)

c) (23, 6) et (0, 4)

d) (1, 8) et (3, 28)

e) (24, 0) et (3, 214)

f) (10, 0) et (0, 5)

CHAPITRE 4

RAPPEL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

2 Déterminez la règle de chaque fonction représentée ci-dessous. a)

f(x)

800

400

800

f(x)

400 0 400

800

f(x)

3 Représentez graphiquement chaque fonction suivante. a) f(x) 5 4x 2 3

b) g(x) 5 22x g(x)

f(x)

c) h(x) 5 20,5x 1 60

h(x)

CHAPITRE 4

RAPPEL

141

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

4 Dans chaque cas, déterminez s’il s’agit d’une fonction polynomiale de variation nulle, directe ou partielle. a)

2 2

e) 2

2 2

5 Le taux de variation et un couple associés à une fonction polynomiale du premier degré sont donnés ci-dessous. Dans chaque cas, déterminez l’ordonnée à l’origine de cette fonction. a) 5 et (4, 27)

b) 22 et (3, 28)

c) 8 et (7, 56)

e) 220 et (0, 0)

f) 250 et (10, 2000)

h) 22 et  1 , 2  8 3

12 et (0, 4)

g) 0,4 et (9, 14)

142

CHAPITRE 4

RAPPEL

5 et  3, 2 4  6 3

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

6 Voici les règles de quelques fonctions polynomiales du premier degré : f(x) 5 3x 1 6

g(x) 5 20,2x 2 5

h(x) 5

1 x 2 3 9

i(x) 5 15x

a) Calculez : 1) f(8)

2) g(212)

3) h(5)

4) i(25)

3) h(x) 5 2

4) i(x) 5 105

b) Calculez la valeur de x lorsque : 1) f(x) 5 42

2) g(x) 5 0,3

7 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction associée à la table de valeurs. a)

f(x)

g(x)

100

150

210

8 Pour se déplacer en métro, il faut acheter un droit de passage p(d ) qui coûte 3 $, peu importe la distance d (en km) à parcourir.

a) Complétez la table de valeurs qui correspond à cette situation.

Coût d’un transport en métro Distance (km)

2,5

4,9

5,3

Coût ( $)

b) Déterminez la règle de cette fonction. c) De quel type de fonction s’agit-il ? d) Décrivez le graphique de cette fonction.

CHAPITRE 4

RAPPEL

143

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

9 Un bécher contient initialement 400 ml

d’une solution. Lorsqu’on la chauffe, elle s’évapore à raison de 25 ml/min. On s’intéresse à la fonction q permettant d’associer la quantité q(t) de solution (en ml) qui reste dans le bécher au temps écoulé t (en min). a) Déterminez la règle de cette fonction. b) Représentez graphiquement cette fonction dans le plan cartésien ci-contre. c) Quelle quantité de solution reste-t-il dans le bécher après 10 min 15 s ?

Réponse : d) Après combien de temps reste-t-il 87,5 ml de solution dans le bécher ?

Réponse :

10 Le salaire S (en $) d’un ingénieur en mécanique

évolue selon son ancienneté a (en années) d’après la fonction représentée ci-contre. a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation et que représente-t-elle dans le contexte ?

Salaire d’un ingénieur en mécanique Salaire ($) 75 000 65 000 55 000

b) Quel est le taux de variation dans cette situation et que représente-t-il dans le contexte ?

45 000 35 000 25 000

c) Combien de temps après son embauche un ingénieur en mécanique gagnera-t-il 75 000 $ ?

20 Ancienneté (années)

Réponse :

144

CHAPITRE 4

RAPPEL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

4.1

GROUPE ________________

DATE _________________

Fonction polynomiale du second degré

La fonction polynomiale du second degré se nomme aussi fonction quadratique. FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ DE BASE La règle de cette fonction est de la forme :

f(x) 5 x2 Règle de la fonction

Table de valeurs

Graphique f(x)

f(x) 5 x2

f(x)

1 0 1

FONCTION POLYNOMIALE DU SECOND DEGRÉ TRANSFORMÉE • La règle de la fonction transformée est de la forme : f(x) 5 a(b(x 2 h))2 1 k, où a  0 et b  0. • Les propriétés de cette fonction sont les suivantes. 2 Le domaine est ℝ. 2 Le codomaine est : 1) [k, 1[ si a . 0 ;

Exemple : Soit la fonction f ( x ) 5 1 ( 2( x 2 3))2 2 4.

2 1  22 ( x 2 3)2 2 4 2 1 5  4( x 2 3)2 2 4 2

2) ]2, k] si a  0.

2 Sa représentation graphique est une parabole

ouverte vers le haut (si a . 0) ou vers

le bas (si a , 0).

2 La parabole est symétrique par rapport à un axe vertical.

5 2( x 2 3)2 2 4

Voici la représentation graphique de cette fonction. f(x)

2 L’équation de l’axe de symétrie est x 5 h. 2 Les coordonnées de son sommet sont (h, k).

Axe de symétrie x 3

• Les lois des exposants permettent d’écrire la règle d’une fonction transformée sous la forme

1 0

f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k.

(3, 4)

CHAPITRE 4

Fonction polynomiale du second degré

145

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

PARAMÈTRES MULTIPLICATIFS • Le paramètre a modifie le graphique de la fonction de base de la façon suivante. 2 Étirement vertical si |a| . 1 ; 2 Contraction verticale si 0  |a|  1 ; 2 Réflexion par rapport à l’axe des abscisses si a  0. Exemples : 1)

Étirement vertical : a 5 2

Contraction verticale : a5

1 3

Réflexion par rapport à l’axe des abscisses : a 5 21

g(x) 2x 2 f(x) x 2

f(x) x 2 g(x)

f(x) x 2 1

x2 3

1 g(x) x 2

• Le paramètre b modifie le graphique de la fonction de base de la façon suivante. 2 Étirement horizontal si 0 , |b| , 1 ; 2 Contraction horizontale si |b| . 1 ; 2 Réflexion par rapport à l’axe des ordonnées si b , 0. Exemples : 1)

Étirement horizontal :

b 5 0,5

Contraction horizontale :

des ordonnées : b 5 21

b52 y

Réflexion par rapport à l’axe

g(x) (2x)2

f(x) x 2

f(x) x 2 ( x)2

g(x) (0,5x)2 1 0

f(x) x 2 1

1 1

PARAMÈTRES ADDITIFS • Le paramètre h correspond à une translation horizontale et le paramètre k correspond à une translation verticale de la parabole. • Les paramètres h et k sont les coordonnées du sommet de la parabole. Ils modifient le graphique de la fonction de base de la façon suivante :

Exemple :

y P

f(x) x 2 1 0

P' 1

x g(x) (x 2)2 3

(x, y)  (x 1 h, y 1 k) Les coordonnées (2, 4) du point P sont devenues (2 1 2, 4 2 3), soit P'(4, 1).

146

CHAPITRE 4

F onction polynomiale du second degré

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

1 Le graphique ci-contre représente la fonction du second

DATE _________________

f(x )

degré de base. Pour cette fonction, déterminez :

a) la règle ; b) le domaine ; c) le codomaine ; d) l’abscisse à l’origine ; 1

e) l’ordonnée à l’origine ;

f) le signe ;

g) la variation ; h) l’extremum.

2 a) Représentez la réciproque de la fonction du second

degré de base dans le graphique ci-contre.

b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse. 1 0

3 Chaque graphique ci-dessous représente une fonction du second degré dont la règle est de la forme f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k. Déterminez le signe (positif ou négatif ) des paramètres a, h et k. a)

f (x )

a :

h :

k :

CHAPITRE 4

Fonction polynomiale du second degré

147

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

4 Soit les règles des fonctions f(x) 5 2(3(x 1 5))2 2 4 et g(x) 5 18(x 1 5)2 2 4. Montrez à l’aide de manipulations algébriques que f(x) 5 g(x).

5 Dans chaque cas, transformez à l’aide de manipulations algébriques la règle de la forme f(x) 5 a(b(x 2 h))2 1 k en une règle de la forme f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k.

a) f(x) 5 3(4(x 2 2))2

b) f(x) 5 28(0,5x)2 1 4

c) f(x) 5 4(25x 2 15)2 2 2

6 a) Représentez la fonction : 1) f(x) 5 2(0,5(x 1 3))2 2 4

2) g(x) 5 0,5(x 1 3)2 2 4

f(x )

g(x )

2 0 2

b) En comparant les graphiques en a), que remarquez-vous ? c) Qu’est-ce qui explique votre remarque en b) ?

148

CHAPITRE 4

F onction polynomiale du second degré

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

7 Représentez chaque fonction. a) f(x) 5 0,5x2 2 3 f(x )

g(x )

h(x )

0 1

d) i(x) 5 (x 1 4)2 2 8

k(x )

1 x

f) k(x) 5 0,05(2x 1 40)2 1 10

j(x )

1 0 1

0 5

e) j(x) 5 (x 2 4)2 2 8

i(x )

c) h(x) 5 3(x 2 20)2 2 40

b) g(x) 5 20,2(x 1 3)2

0 1

0 5

8 Le graphique ci-dessous représente la fonction du second degré transformée dont la règle est f(x) 5 21,5(x 2 1)2 1 6. Pour cette fonction, déterminez :

f(x )

a) le domaine ; b) le codomaine ; c) les abscisses à l’origine ; d) l’ordonnée à l’origine ;

e) le signe ; 0

f) la variation ; g) l’extremum.

CHAPITRE 4

Fonction polynomiale du second degré

149

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

9 Le graphique ci-contre représente la fonction

f(x )

du second degré transformée dont la règle est f(x) 5 0,008(5x 2 125)2 2 45. Pour cette fonction, déterminez :

50 40 30

a) le domaine ;

b) le codomaine ;

c) les abscisses à l’origine ;

DATE _________________

d) l’ordonnée à l’origine ;

10 0 10

e) le signe ; f) la variation ;

g) l’extremum.

10 Déterminez la variation de chaque fonction. a) f(x) 5 8(x 2 30)2 1 50 b) g(x) 5 20,5(22x 2 10)2 c) h(x) 5 x2 1 100 d) i(x) 5 20,25(x 2 12)2 2 24 e) j(x) 5 26(x 2 4)2 1 27 f) k(x) 5 2100x2 g) l(x) 5 5000(x 1 100)2 2 3000 h) m(x) 5 0,25(x 2 12)2 1 24

11 Le graphique ci-contre représente la fonction

f(x )

du second degré transformée dont la règle est f(x) 5 20,125(x 1 4)2 1 8. Pour cette fonction, déterminez :

10 8 6

a) le domaine ;

b) le codomaine ;

c) les abscisses à l’origine ; d) l’ordonnée à l’origine ; e) le signe ; f) la variation ;

4 0 2

g) l’extremum.

150

CHAPITRE 4

F onction polynomiale du second degré

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

12 Le graphique ci-contre représente la fonction du second

DATE _________________

degré de base. Associez chaque énoncé au graphique de la fonction transformée lui correspondant.

A La valeur du paramètre a est 2. B La valeur du paramètre b est 4. 2

C La valeur du paramètre a est 22. D La valeur du paramètre b est 1 .

E Les valeurs des paramètres h et k sont respectivement 2 et 23.

F Les valeurs des paramètres h et k sont respectivement 22 et 3.

2 0

2 2

2 0

13 Déterminez le codomaine de chacune de ces fonctions. a) f(x) 5 8(x 2 30)2 1 50

b) f(x) 5 22(x 1 5)2

c) f(x) 5 x2 1 100

d) f(x) 5 20,25(x 2 12)2 2 24

e) f(x) 5 26(x 2 4)2 1 27

f) f(x) 5 2100x2

g) f(x) 5 5000(x 1 100)2 2 3000

h) f(x) 5 0,25(x 1 12)2 1 24

CHAPITRE 4

Fonction polynomiale du second degré

151

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

14 Un récipient d’eau se vide et se remplit selon la

GROUPE ________________

DATE _________________

Quantité d’eau dans un récipient

fonction du second degré représentée ci-contre.

Quantité d’eau (L)

a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation et que représente-t-elle dans le contexte ?

300

200

100

b) Déterminez l’abscisse à l’origine et sa signification dans le contexte.

8 Temps (min)

c) Déterminez le moment où le récipient contient la même quantité d’eau qu’au départ.

Réponse :

15 La hauteur du saut d’un dauphin h (en m) évolue selon le temps t (en s) d’après la fonction représentée ci-contre.

a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation et que représente-t-elle dans le contexte ?

Hauteur (m)

Hauteur du saut d’un dauphin

2 1 0 1

Temps (s)

b) Déterminez les abscisses à l’origine et leur signification dans le contexte.

c) Déterminez l’intervalle sur lequel la fonction est positive et ce qu’il représente dans le contexte.

d) Déterminez la variation de cette fonction et ce qu’elle représente dans le contexte.

e) Déterminez l’extremum de cette fonction et ce qu’il représente dans le contexte.

152

CHAPITRE 4

F onction polynomiale du second degré

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

4.2

GROUPE ________________

DATE _________________

Différentes formes d’écriture de la règle

DIFFÉRENTES FORMES D’ÉCRITURE DE LA RÈGLE • Il existe différentes formes d’écriture de la règle d’une fonction polynominale du second degré. 2 La forme canonique : f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k, où a  0. 2 La forme générale : f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, où a  0. 2 La forme factorisée : f(x) 5 a(x 2 x1)(x 2 x2), où a  0. • Voici les caractéristiques de chaque forme d’écriture. Forme

Règle

Caractéristiques

Exemple

Canonique

f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k

• Coordonnées du sommet : (h, k) • Équation de l’axe de symétrie : x 5 h

f(x) 5 2(x 2 4)2 2 2 • Coordonnées du sommet : (4, 22) • Équation de l’axe de symétrie : x 5 4

Générale

f(x) 5 ax2 1 bx 1 c

• Coordonnées du

f(x) 5 3x2 1 18x 1 26

sommet :  b , f  2a

( )

b  2a 

• Équation de l’axe

de symétrie : x 5 2

b 2a

• Ordonnée à l’origine : c

• Coordonnées du sommet : b 5 2a

18 5 23 233

f(23) 5 3(23)2 1 18 3 23 1 26 5 27 2 54 1 26 5 21 Donc (23, 21) • Équation de l’axe de symétrie : x 5

218 5 23 233

• Ordonnée à l’origine : 26 Factorisée

f(x) 5 a(x 2 x1)(x 2 x2) Forme d’écriture possible seulement si la fonction possède un ou deux zéros.

• Zéros de la fonction : x1 et x2 • Coordonnées du sommet :

(

)

 x1 x 2 , f x1 x 2    2

f(x) 5 20,5(x 2 6)(x 1 2) • Zéros de la fonction : 6 et 22 • Coordonnées du sommet :

x1 1 x 2 6 1 22 5 52 2 2

f(2) 5 20,5(2 2 6)(2 1 2) x 5⎞20,5 3 24 3 4 ⎛x x2 x1 2 ⎞ ⎟ symétrie : x 5⎜ 1 , f ⎛⎝ 2 2 5⎠ ⎠8 ⎝ Donc (2, 8) • Équation de l’axe de

• Équation de l’axe de

( 6 12 2 ,5f (26 +2 2 ))

symétrie : x 5

CHAPITRE 4

Différentes formes d’écriture de la règle

153

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

TRANSFORMATION DE LA FORME D’ÉCRITURE • Il est possible d’exprimer la règle d’une fonction du second degré sous différentes formes. Peu importe la forme de la règle, le paramètre a reste le même. Exemple : Les formes d’écriture suivantes sont équivalentes : f(x) 5 20,5(x 2 2)2 1 8

f(x) 5 20,5x2 1 2x 1 6

f(x) 5 20,5(x 2 6)(x 1 2)

• Voici comment passer d’une forme d’écriture à une autre. Forme canonique → forme générale On développe l’expression algébrique. Exemple : f(x) 5 0,5(x 2 2) 1 8 2

Forme générale → forme canonique On utilise la complétion du carré*. Exemple : f(x) 5 20,5x2 1 2x 1 6

5 20,5(x2 2 4x 1 4) 1 8

5 20,5(x2 2 4x 2 12)

5 20,5x2 1 2x 2 2 1 8

5 20,5(x2 2 4x 1 4 2 4 2 12)

5 20,5x 1 2x 1 6

5 20,5((x2 2 4x 1 4) 2 16)

5 20,5((x 2 2)2 2 16)

5 20,5(x 2 2)2 1 8

Forme factorisée → forme générale On développe l’expression algébrique. Exemple : f(x) 5 20,5(x 2 6)(x 1 2)

Forme générale → forme factorisée On factorise l’expression algébrique. Exemple : f(x) 5 20,5x2 1 2x 1 6

5 20,5(x2 2 4x 2 12)

5 20,5x2 1 2x 1 6

5 20,5(x 2 6)(x 1 2)

Forme factorisée → forme canonique On détermine d’abord les coordonnées du sommet et la valeur du paramètre a. On écrit ensuite la règle sous la forme f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k. Exemple : f(x) 5 20,5(x 2 6)(x 1 2) x1 1 x 2 6 1 22 5 52 2 2 x 1 x  1 2  2 k 5 f  5 f(2) 5 0,5(2 2 6)(2 1 2) 2

h 5

5 20,5 3 24 3 4 5 8

Forme canonique → forme factorisée On détermine d’abord la forme générale, puis on passe à la forme factorisée. Cela est possible seulement si la fonction possède un ou deux zéros. Exemple : f(x) 5 20,5(x 2 2)2 1 8

5 20,5x2 1 2x 1 6

5 20,5(x2 2 4x 2 12)

5 20,5(x 2 6)(x 1 2)

a 5 20,5 La règle est : f(x) 5 20,5(x 2 2)2 1 8 * Voir page 106.

154

CHAPITRE 4

D ifférentes formes d’écriture de la règle

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ

Il est possible de déterminer la règle d’une fonction du second degré si l’on connaît certaines informations. On utilise la forme canonique ou la forme factorisée. Forme canonique

Démarche

Forme factorisée

On connaît les coordonnées du sommet et celles d’un autre point.

On connaît les zéros de la fonction et les coordonnées d’un autre point.

Exemple : On connaît : • le sommet S(3, 2) • le point P(7, 10).

Exemple : On connaît : • les zéros : x1 5 24 et x2 5 2 • le point P(23, 10).

1. Substituer les valeurs connues dans la forme d’écriture appropriée.

f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k

2. Substituer les coordonnées du point connu.

f(x) 5 a(x 2 3)2 1 2

f(x) 5 a(x 1 4)(x 2 2)

10 5 a(7 2 3)2 1 2

10 5 a(23 1 4)(23 2 2)

3. Déterminer la valeur du paramètre a.

10 5 a(7 2 3)2 1 2

10 5 a(23 1 4)(23 2 2)

10 5 16a 1 2 8 5 16a a 5 0,5

10 5 1 3 25a 10 5 25a a 5 22

f(x) 5 0,5(x 2 3)2 1 2

f(x) 5 22(x 1 4)(x 2 2)

4. Écrire la règle sous la forme appropriée.

f(x) 5 a(x 2 x1)(x 2 x2)

5 a(x 2 3)2 1 2

5 a(x 2 24)(x 2 2)

5 a(x 1 4)(x 2 2)

1 Dans chaque cas, identifiez la forme d’écriture de la règle de la fonction du second degré. a) f(x) 5 2(x 1 8)(x 2 2)

b) g(x) 5 25(x 1 3)2 2 14

c) h(x) 5 2x2 2 2x 2 3

d) i(x) 5 8x2 1 2x

e) j(x) 5 (x 2 7)2 1 25

f) k(x) 5 27x(x 1 5)

2 Associez la règle de la colonne de gauche à la règle équivalente de la colonne de droite. a) y 5 4x2 2 16x 1 19

1 y 5 4(x 2 2)2 2 3

b) y 5 4x2 1 16x 1 13

2 y 5 4(x 1 2)2 1 3

c) y 5 4x2 1 16x 1 19

3 y 5 4(x 2 2)2 1 3

d) y 5 4x2 2 16x 1 13

4 y 5 4(x 1 2)2 2 3

CHAPITRE 4

Différentes formes d’écriture de la règle

155

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

3 Associez la règle de la colonne de gauche à la règle équivalente de la colonne de droite. a) y 5 3x2 1 6x 2 45

1 y 5 3(x 1 3)(x 2 5)

b) y 5 3x2 1 24x 1 45

2 y 5 3(x 2 3)(x 2 5)

c) y 5 3x2 2 6x 2 45

3 y 5 3(x 1 3)(x 1 5)

d) y 5 3x2 2 24x 1 45

4 y 5 3(x 2 3)(x 1 5)

4 Écrivez la règle de chaque fonction sous la forme factorisée. a)

f(x )

f) f(x )

500

400

300

200

100

CHAPITRE 4

D ifférentes formes d’écriture de la règle

e) f(x )

d) f(x )

156

f(x )

(7, 3,2)

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

5 Associez la règle de la colonne de gauche à la règle équivalente de la colonne de droite. a) y 5 0,5(x 1 3)2 2 8

1 y 5 0,5(x 1 1)(x 1 7)

b) y 5 0,5(x 1 4)2 2 4,5

2 y 5 0,5(x 1 1)(x 2 7)

c) y 5 0,5(x 2 3)2 2 8

3 y 5 0,5(x 2 1)(x 2 7)

d) y 5 0,5(x 2 4)2 2 4,5

4 y 5 0,5(x 2 1)(x 1 7)

6 Écrivez la règle de chaque fonction sous la forme canonique. a)

f(x )

f(x ) 4 2

(2, 2)

( 2, 1) 4

(1, 1)

(2, 1)

2 4

f(x )

f(x ) 80

(0, 80)

Sommet : (30, 50) (40, 40)

40 80

CHAPITRE 4

Différentes formes d’écriture de la règle

157

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

7 Soit la règle f(x) 5 250x2 1 2200x 2 24 000. Écrivez cette règle sous la forme :

a) factorisée ;

b) canonique.

8 Complétez le tableau suivant. Forme générale

Forme canonique

Forme factorisée

f(x) 5 2x2 2 40x 1 192 g(x) 5 2(x 1 13)2 1 36 h(x) 5 0,7(x 1 9)(x 2 9) i(x) 5 4x2 2 56x

9 Écrivez les règles suivantes sous la forme canonique.

158

a) f(x) 5 26(x 1 3)(x 1 7)

b) g(x) 5 4(x 2 2)(x 1 8)

c) h(x) 5 (x 2 6)(x 2 5)

d) i(x) 5 3(x 1 2)(x 1 2)

CHAPITRE 4

D ifférentes formes d’écriture de la règle

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

10 Parmi les différentes formes d’écriture ci-dessous, encerclez les règles qui sont équivalentes. f(x) 5 2(x 1 1)(x 2 3)

g(x) 5 2(x 2 1)(x 1 3)

h(x) 5 2(x 2 1)2 2 8

i(x) 5 2x2 2 2x 2 3

j(x) 5 2x2 2 4x 2 6

k(x) 5 2(x 2 1)2 1 8

11 Gary affirme qu’il est impossible de transformer

la règle f(x) 5 3(x 2 4)2 1 1 sous la forme factorisée. A-t-il raison ? Expliquez votre réponse.

f(x ) 10

Réponse : 2

12 Une ornithologue a observé un pélican alors

qu’il attrapait un poisson. Le graphique ci-contre représente la relation entre l’altitude du pélican et le temps. Calculez la profondeur maximale à laquelle il a plongé.

Altitude du pélican

Altitude (m) 4

(0, 2,4)

10 Temps (s)

CHAPITRE 4

Différentes formes d’écriture de la règle

159

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

13 Au cours de la dernière année, la valeur d’une action a varié selon la règle d’une fonction du second degré. Au début du 3e mois, l’action valait 5,70 $. Au début du 5e mois, elle a atteint une valeur maximale de 6,50 $. Calculez la valeur de l’action au début de l’année et au début du 6e mois.

Réponse :

14 Un nouveau type de lance-balles est mis en marché. Le graphique ci-dessous représente la relation entre la hauteur de la balle et le temps. Calculez la hauteur maximale atteinte par la balle. Hauteur (m) 2,5

Hauteur d’une balle

2 1,5

(2, 1,5)

1 0,5 0

10 Temps (s)

Réponse :

15 On doit programmer une valve d’un réservoir d’eau potable. Le graphique ci-dessous représente

la relation entre la hauteur de l’eau dans le réservoir et le temps. Déterminez la règle de la fonction représentant cette situation sous la forme factorisée. Hauteur de l’eau dans un réservoir Hauteur (m) 5 4

Sommet : (7,5, 4,5) (5, 4)

3 2 1 0

20 Temps (min)

Réponse :

160

CHAPITRE 4

D ifférentes formes d’écriture de la règle

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

ÉLI-

GROUPE ________________

DATE _________________

ÉL0

1 Le graphique ci-contre représente une fonction

f(x )

du second degré. Pour cette fonction, déterminez :

a) la règle ;

b) le domaine ;

c) le codomaine ; 40

d) les abscisses à l’origine ;

e) l’ordonnée à l’origine ; f) le signe ; g) la variation ; h) l’extremum.

2 Déterminez la règle de chaque fonction sous la forme factorisée. a)

( 40, 40)

f(x )

b) g(x )

40 80

(6, 6)

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

173

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

3 Déterminez la règle de chaque fonction sous la forme canonique. b) g(x )

a) f(x ) 50

(25, 45)

(9, 17,6)

4 Résolvez les équations suivantes.

174

a) x2 2 14x 1 48 5 0

b) 3x2 2 48x 1 200 5 56

d) 4(x 2 11)2 1 176 5 500

e) 100(x 2 12,5)2 2 20 5 220

h) 0,04x(x 2 1000) 1 100 5 100

0,01(x 1 10)(x 2 4) 1 4 5 5

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

2x2 1 60x 1 300 5 350

2,5(x 2 12)2 1 300 5 100

4(x 2 8)(x 2 30) 5 400

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

13 La table de valeurs ci-dessous représente le nombre de poissons n(t) observés dans un lac

en fonction du temps t (en mois).

Nombre de poissons du lac Gamara Temps (mois) Nombre de poissons

1950

1700

1500

1550

1950

2750

Sachant que le nombre de poissons varie selon une fonction du second degré, calculez le nombre de poissons observés au début de l’étude et au 12e mois.

Réponse :

14 On s’intéresse à la suite de rectangles ci-dessous : 2m

1m 4m

3m 7m

10 m

Sachant que la mesure de la base est formée à partir d’une suite arithmétique liée à la mesure de la hauteur, formulez une conjecture concernant l’aire du ne rectangle.

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

179

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

15 Le pilote d’un hélicoptère effectue un sauvetage au sommet d’un immeuble. Il décolle d’une hauteur

de 300 m avec les personnes en détresse à son bord. Neuf minutes après son décollage, il se trouve de nouveau à 300 m d’altitude et 6 minutes plus tard, il atterrit pour confier les blessés à une équipe médicale. Sachant que l’altitude de l’hélicoptère varie selon une fonction du second degré, déterminez la hauteur maximale atteinte par l’hélicoptère en fonction du temps.

Réponse :

16 Le célèbre mathématicien Carl Friedrich Gauss a énoncé plusieurs théorèmes mathématiques. Il a découvert un lien entre une suite arithmétique et la somme de cette suite. Il est possible de déterminer la règle qui unit le ne terme et la somme des n premiers termes de cette suite de la façon suivante. s(n) 5

n(règle de la suite 1 premier terme) , où s(n) correspond à la somme des n premiers termes 2

de la suite et n, au rang du terme dans la suite. a) Déterminez la règle qui permet de calculer la somme des n premiers termes de la suite 8, 14, 20, 26, 32, …

Réponse : b) Calculez la somme des 50 premiers termes.

Réponse : c) Donnez le rang du terme de la suite dont la somme est 13 000.

Réponse :

180

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

L’alarme Un ingénieur travaille à l’installation d’un réservoir pour un liquide explosif. Le graphique ci-contre, formé de deux courbes correspondant à des fonctions du second degré, représente le niveau du liquide n(t) (en m) dans le réservoir en fonction du temps t (en h) par rapport à un niveau standard correspondant à 0 m. Une alarme retentit dès que le niveau de liquide atteint 5 m. Déterminez l’intervalle de temps pendant lequel l’alarme résonne.

Niveau de liquide 10 (m)

Réservoir de liquide explosif

5 (8, 3,2) 0 (0, 5,4)

15 (18, 0)

20 Temps (h)

(2, 7,2)

Démarche et calculs

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

181

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Réponse

182

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

La valeur du discriminant

Il est possible de déterminer les zéros, s’il en existe, d’une fonction du second degré à l’aide de la formule quadratique : x 5

b b 4 ac 2a

. Dans cette formule, on appelle discriminant

l’expression b 2 4ac. Après avoir complété le tableau ci-dessous, formulez une conjecture sur la valeur du discriminant et du nombre de zéros d’une fonction du second degré. 2

Règle

Valeur du discriminant

Nombre de zéros

a(x) 5 2x2 2 14x 1 20 b(x) 5 23x2 2 48x 2 192 c(x) 5 0,3x2 1 0,5x 1 2 d(x) 5 5x2 2 60x e(x) 5 20,25x2 1 9 f(x) 5 x2 1 6x 2 10 g(x) 5 27x2 1 12x 2 20 h(x) 5 8x2 2 240x 1 1800 i(x) 5 0,1x2 1 2 j(x) 5 100x2 k(x) 5 220x2 2 14 l(x) 5 20,5x2 1 20x 2 200

Démarche et calculs

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

185

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Hypothèse

186

CHAPITRE 4

M ÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

B NQUE DE

PROBLÈMES

1 Sachant que les deux lingots d’argent ci-dessous sont équivalents, déterminez la hauteur du lingot B . Lingot A Lingot A Aire totale : 66 cm2

Lingot B B 20 cm2 Aire de Lingot la base :

(x 3) cm

(x 2) cm (2x 1) cm

Réponse :

2 Le graphique ci-contre montre les prévisions

d’experts en économie quant à la valeur d’une action pour les années à venir. Selon eux, la valeur de l’action devrait se situer dans la région hachurée du graphique. Dix-sept ans après sa mise en marché, est-il possible que la valeur de l’action soit de 11 $ ?

Prévision du prix d’une action

Valeur ($) 10

Sommet de la parabole

(0, 2,80) 2

8 10 Temps écoulé depuis la mise en marché de l’action (années)

BANQUE DE PROBLÈMES

423

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

3 En prévision de la production de pièces métalliques triangulaires, les deux plans suivants sont présentés à un soudeur. Celui-ci affirme que ces deux pièces sont équivalentes. Démontrez qu’il a raison. Pièce B

Pièce A

60°

40 cm

20 cm

30°

Réponse :

4 Voici des renseignements concernant le profit

de deux entreprises œuvrant dans le domaine de la téléphonie cellulaire au cours des vingt derniers mois. Au cours de cette période, pendant combien de temps le profit de l’entreprise B est-il supérieur ou égal à celui de l’entreprise A ?

Profit de deux entreprises Profit ($) 20 000

Entreprise A

18 000 16 000

Entreprise B

(8, 15 000)

14 000 (16, 13 000)

12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0

18 20 Temps écoulé (mois)

Réponse :

424

BANQUE DE PROBLÈMES

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

9 La multiplication de deux fonctions polynomiales du premier degré engendre une fonction polynomiale du second degré. On remarque alors que les zéros de la fonction polynomiale du second degré obtenue correspondent aux zéros de chacune des fonctions polynomiales du premier degré. Démontrez cette conjecture à l’aide d’un exemple.

10 Un entrepreneur doit recouvrir la façade du pignon décoratif illustré

ci-contre à l’aide de deux types de matériaux. Sachant que les segments BD et AE sont parallèles, déterminez la superficie devant être recouverte par chacun des matériaux.

(x 3) m B

(x 1) m 60° A

BANQUE DE PROBLÈMES

427

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

11 Un enseignant demande Ă ses ĂŠlĂ¨ves dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠmettre une conjecture mettant en relation les mesures des cĂ´tĂŠs CD et BD de la figure suivante.

AprĂ¨s avoir utilisĂŠ certains rapports trigonomĂŠtriques, une ĂŠlĂ¨ve affirme que la mesure du cĂ´tĂŠ BD correspond au triple de celle du cĂ´tĂŠ CD.

30Â°

DĂŠmontrez que cette conjecture est vraie.

30Â°

12 DĂŠterminez deux valeurs de x qui vĂŠrifient lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ suivante. ( 2x 2 3x 2)( x 3 6x 2 5x ) 2x 2 9x 4 x 2 16 2 12 2 2 3x 14x 8 3x 11x 6 x 5x 6x 3

RĂŠponseâ&#x20AC;&#x2030;:

428

BANQUE DE PROBLĂ&#x2C6;MES

ÂŠ 2015, Les Ă&#x2030;ditions CEC inc. â&#x20AC;˘ Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 1

GROUPE ________________

DATE _________________

Les types de sol

Au cours d’un test en laboratoire, des chercheurs ont soumis deux types de sol au rayonnement d’une lampe infrarouge, puis ont noté la température à différents moments. Chacune des tables de valeurs ci-dessous fournit des renseignements à ce sujet. Température d’un sol limoneux Temps (min)

Température (°C)

Température d’un sol argileux

Temps (min)

Température (°C)

À quel moment la température de chacun des sols pourrait-elle être la même ?

Réponse :

BANQUE DE PROBLÈMES

449

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 2

GROUPE ________________

DATE _________________

Les placements

Le graphique ci-dessous représente l’évolution de la valeur (en k$) d’un placement en fonction des années. Une personne affirme qu’un placement B de 4000 $ dont la valeur augmente linéairement de 1000 $ par année aura la même valeur que le placement A à 6 ans, 8,5 ans, 11 ans, 13,5 ans et 16 ans. Démontrez que cette personne n’a pas raison. Variation du placement A

Prix (k$) 25

Temps (années)

Réponse :

450

BANQUE DE PROBLÈMES

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

RÉ ISION Questions à choix multiple

1 On a tracé ci-contre une fonction polynomiale

du second degré.

a) Quel est l’intervalle de croissance de cette fonction ? 1) ]2, 22] ∪ [6, 1[

2) [22, 6]

3) [2, 1[

4) ]2, 2]

24 16 8 10

b) Quel est l’intervalle de positivité de cette fonction ? 1) ]2, 22] ∪ [6, 1[

2) [22, 6]

3) [2, 1[

4) ]2, 2]

2 0 8

c) Parmi les couples suivants, lequel correspond aux coordonnées du sommet de la parabole ?

1) (22, 26)

2) (0, 22)

3) (22, 6)

4) (2, 26)

d) Quelle est la règle de cette fonction ?

1) f(x) 5

3 (x 2 2)2 1 6 8

2) f(x) 5

3 (x 2 2)2 2 6 8

3) f(x) 5

3 (x 1 2)2 1 6 8

4) f(x) 5

3 (x 1 2)2 2 6 8

2 Pour quelle valeur de x l’expression rationnelle a) Pour x 5 8

b) Pour x 5 3

x 3 n’est-elle pas définie ? 2x 8

c) Pour x 5 23

d) Pour x 5 24

3 Lequel des nombres suivants indique une corrélation linéaire forte entre deux variables statistiques ? a) 20,84

b) 20,63

c) 0,27

d) 0,76

4 À laquelle des équations suivantes correspond une droite perpendiculaire à la droite d’équation y 5 4x 2 2 ?

a) y 5 24x 1 2

b) y 5

x 2 4

x 4

c) y 5 2

d) y 5 4x 1 2

5 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous n’admet que l’ensemble vide comme solution ? a)

y 3x 4 y 3x 4

y 7x 12 y 7x 22

y 5x 11 y

x 23 5

x 5 6

y 6x 19 RÉVISION

453

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

6 Comment peut-on qualifier la corrélation linéaire entre les deux variables du tableau à double entrée suivant ?

Taille et âge de 39 enfants Âge de l’enfant

[4, 6[

Taille de l’enfant (cm)

[6, 8[

[8, 10[

[10, 12[

[12, 14[

Total

[130, 135[

[135, 140[

[140, 145[

[145, 150[

[150, 155]

Total

a) Forte et positive

b) Forte et négative

c) Faible et positive d) Faible et négative

7 Parmi les conditions minimales ci-dessous, laquelle ne permet pas d’affirmer que deux triangles sont semblables ?

b) CAC

a) AA

c) CCA

d) CCC

8 Laquelle des affirmations suivantes est fausse ? a) De tous les solides ayant la même aire totale, c’est la boule qui a le plus grand volume. b) De tous les polygones réguliers et convexes équivalents, c’est le polygone ayant le plus grand nombre de côtés qui a le plus petit périmètre. c) Tous les carrés sont équivalents. d) De tous les prismes rectangulaires équivalents, c’est le cube qui a la plus petite aire totale.

9 Lequel des graphiques ci-dessous représente l’ensemble-solution de l’inéquation y 2x 5 ? a)

2 0 2

10 Lequel des polynômes suivants correspond à un trinôme carré parfait ? a) x2 1 16

b) x2 2 16

c) x2 1 4x 1 16

d) x2 2 8x 1 16

11 Lequel des systèmes d’équations ci-dessous admet une infinité de solutions ? a)

y 3x 21 y 3(x 7)

y 5x 14 y 5(x 14 )

y 6x 11 y 13x 8

1 4

y (x 2) y 4x 8

12 Sachant que les solides suivants sont équivalents, déterminez celui qui a la plus petite aire totale. a) Le cube

454

RÉVISION

b) Le cône

c) La boule

d) La pyramide

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

39 Dans chaque cas, déterminez la distance entre les deux points. a) A(11, 14) et B(17, 5)

b) C(21, 26) et D(13, 1)

d ( A, B) ( x 2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 (17 11)2 (5 14 )2 10,82 u

c) E(0, 24) et F(29, 3)

d ( C, D ) ( x 2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 (13 21)2 (1 6 )2 10,63 u

d (E, F ) ( x 2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 ( 9 0 )2 ( 3 4 )2 11,4 u

40 Dans chaque cas, déterminez le ou les zéros de la fonction. a) f(x) 5 5(x 2 1)2 2 20

b) g(x) 5 2x2 2 16x 1 14

0 5( x 1)2 20 4 ( x 1)2

b 2 4ac 2a

16 ( 16 )2 4 2 14 2 2 16 144 4

4 ( x 1)2 2 x 1 x1 1 et x 2 3

x1 1 et x2 7

41 À l’aide de la méthode du rectangle, estimez le coefficient de corrélation linéaire de chacun des nuages de points ci-dessous.

y b)

y a) y

57 mm 57 mm 57 mm 20 mm 20 mm 20 mm

c) y

51 mm 51 mm 51 mm 28 mm 28 mm 28 mm

61 mm 61 mm 61 mm

18 mm 18 mm 18 mm 0

x 0

20 r  1 57 

28 r  1 51

x 0

18 r  1 61

0,45

0,65

0,7

42 Réduisez chacune des expressions rationnelles suivantes. a) 10x 15

4x 9 5( 2x 3) 10x 15 4x 2 9 ( 2x 3)( 2x 3) 2

3 3 5 si x et x 2x + 3 2 2

3x 2 15x 12 12x 2 18x 120 ( 3x 12)( x 1) 3x 2 15x 12 12x 2 18x 120 ( 3x 12)( 4x 10 ) 5 x 1 si x et x 4 4x 10 2

x 1 5 si x et x 4. 4x 10 2 RÉVISION

459

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

43 Factorisez chacun des polynômes suivants en utilisant la méthode appropriée. a) 18x3 1 42x2 1 15x 1 35

b) 20x2 1 14x 2 12

c) 9x2 2 24x 1 16

d) 16y2 2 100

e) x2 1 12x 2 13

f) 3x2 2 18x 2 21

44 Faites l’étude complète de la fonction

représentée ci-contre.

a) Règle :

48 36

b) Domaine :

c) Codomaine : d) Abscisses à l’origine : e) Ordonnée à l’origine : f) Signe : g) Variation : h) Extremums :

460

RÉVISION

50 40 30 20 10 0 12

10 20 30 40 50 x

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à développement

55 On a représenté ci-contre une vue latérale de l’armature d’une rampe

0,5 m

pour planches à roulettes. Déterminez la longueur totale des tiges métalliques nécessaires pour construire cette armature.

F m BE sin 46° 1, 9

1,9 m

m BE 1, 37 m A

m BD 1, 92 2, 42 2 1, 9 2, 4 cos 46° 1, 74 m

46° D

E 2,4 m

0,5 m BC 1,74 m BC

m FD 1, 74 0 , 5 1, 24 m

m BC 0, 93 m CD 1, 742 0 , 932 1, 47 m

0,5 m FC 1,24 m FC

m FC 0,79 m Réponse :

56 La propagation d’une maladie contagieuse évolue selon la fonction f dont la règle est

f(t) 5 29t2 1 72t 1 12, où t représente le temps (en semaines) écoulé depuis la découverte des premières personnes infectées et f(t), le nombre de personnes atteintes. Les responsables de la santé publique ont établi que le seuil critique avant la mise en place de mesures de vaccination est fixé à 100 personnes infectées. a) Combien y a-t-il de personnes infectées au début de l’épidémie ? b) Quel est le nombre maximal de personnes infectées ? 2 2 f  b  9  72  72  72  12 2a 2 9 2 9 2 9 4 72 4 12 144 288 12

156 Réponse : c) Pendant combien de temps la situation atteint ou dépasse-t-elle le seuil critique ? x

b 2 4ac 2a

722 4 × 9 × 88 2 × 9 72 2016 18

RÉVISION

465

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

57 a) Démontrez, en justifiant chacune de vos affirmations, que les triangles ABE et CBD illustrés ci-dessous sont semblables.

A 120 cm

Hypothèse

100 cm B 60 cm

Conclusion E

Affirmation

72 cm

C 120 cm D

Justification

m AB

m AE

AE dans la figure ci-dessus. b) Déterminez la mesure dumsegment CB m CD m AB m AE m CB m CD 120 m AE 100 120

120 m AE 100 120

m AE 144 cm

Réponse : m AE 144 cm B

58 Un service de police organise une battue afin de retrouver

une personne perdue dans un secteur boisé que l’on a illustré ci-contre par le quadrilatère ABCD. Déterminez le nombre de bénévoles nécessaires sachant que, pour réaliser efficacement le travail, on estime avoir besoin de 7 bénévoles par kilomètre carré.

2,4 km A

2,1 km 113° D

3,3 km

Réponse :

466

RÉVISION

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

NNEXE 3 Relation de Pythagore, circonférence, aire et volume RELATION DE PYTHAGORE Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes. Cette relation est appelée relation de Pythagore.

Hypoténuse c A

b Cathète

c2 5 a2 1 b2

a Cathète C

Exemple : Dans le triangle rectangle ci-contre, on a : 32,5 mm

32,52  12,52  302 1056,25  156,25  900 1056,25  1056,25

30 mm

12,5 mm C

FORMULES D’AIRE DES FIGURES PLANES ET CIRCONFÉRENCE D’UN CERCLE

Principales figures planes Aire d’un carré

Aire d’un parallélogramme

Aire d’un losange d

A 5 c2

D3d 2

Aire d’un trapèze

Aire d’un rectangle

A5b3h Aire d’un triangle

b h

h B

A5b3h

(B 1 b) 3 h A5 2

Aire d’un polygone régulier à n côtés

Aire d’un disque

r a

b3h 2

Circonférence d’un cercle

P3a n3c3a 5 A5 2 2

A 5 p 3 rayon2 5 pr 2

C 5 2 3 p 3 rayon 5 2pr ou C 5 p 3 diamètre 5 pd

ANNEXES

477

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

FORMULES D’AIRE DES SOLIDES

Principaux solides Aire d’un prisme droit

Aire d’une pyramide droite

Aire d’un cylindre circulaire droit r

Aire latérale périmètre de la base 3 apothème A L 5 2 P 3a 5 B 2 Aire totale A T 5 aire latérale 1 aire de la base

Aire latérale A L 5 périmètre de la base 3 hauteur

5 PB 3 h

Aire totale A T 5 aire latérale 1 2 3 aire d’une base

5 AL 1 2 3 AB

5 PB 3 h 1 2 3 A B

Aire latérale A L 5 circonférence d’une base 3 hauteur 5 2pr 3 h Aire totale A T 5 aire latérale 1 2 3 aire d’une base

5 AL 1 AB

5 AL 1 2 3 AB

P 3a 5 B 1 AB 2

5 2pr 3 h 1 2 3 pr 2

5 2pr h 1 2pr 2

Aire d’un cône circulaire droit

Aire d’une sphère

Aire latérale périmètre de la base 3 apothème A L 5 2

P 3a 5 B 2 a

Aire totale A T 5 4 3 aire d’un disque 5 4pr 2

2 pr 3 a 2

5 pra Aire totale A T 5 aire latérale 1 aire de la base 5 A L 1 A B 5 pra 1 pr 2

FORMULES DE VOLUME DES SOLIDES

Principaux solides Volume d’une pyramide droite

Volume d’un prisme droit

Volume d’un cylindre circulaire droit r

h h

aire de la base 3 hauteur 3 AB 3 h 5 3

V 5 aire de la base 3 hauteur 5 A B 3 h

V 5

Volume d’un cône circulaire droit

V 5 aire de la base 3 hauteur 5 A B 3 h 5 pr 2 3 h 5 pr 2h Volume d’une boule

V 5 aire de la base 3 hauteur 3

5 A B 3 h 3

2 5 pr 3 h

478

ANNEXES

3 2 pr h 5 3

4pr 3 3

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

NNEXE 4 Trigonométrie RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES Soit le triangle rectangle ABC ci-contre.

Rapports trigonométriques

tangente A

Notation abrégée

mesure du côté opposé à l’angle A mesure de l’hypoténuse

cosinus A

b C

Les rapports trigonométriques sont :

sinus A

mesure du côté adjacent à l’angle A mesure de l’hypoténuse mesure du côté opposé à l’angle A mesure du côté adjacent à l’angle A

sin A 5

a c

cos A 5

b c

tan A

a b

LOI DES SINUS Dans un triangle quelconque, les mesures des côtés sont proportionnelles au sinus des mesures des angles opposés à chacun des côtés. Dans le triangle ABC quelconque ci-dessous, on a : A a b c sin A sin B sin C

b C

a LOI DES COSINUS Dans un triangle quelconque, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des autres côtés moins le double du produit des mesures de ces autres côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés. Dans le triangle ABC ci-dessous, on a : A

a2 5 b2 1 c2 2 2bc cos A b2 5 a2 1 c2 2 2ac cos B c2 5 a2 1 b2 2 2ab cos C

b C

FORMULE TRIGONOMÉTRIQUE On peut calculer l’aire A d’un triangle quelconque si l’on connaît les mesures de deux de ses côtés et la mesure de l’angle compris entre ces deux côtés. L’aire est obtenue en faisant le demi-produit des mesures de ces deux côtés par le sinus de l’angle compris entre ces côtés. Pour le triangle ABC ci-dessous, on a : A

ab sin C ac sin B bc sin A A 2 2 2

C FORMULE DE HÉRON a On peut calculer l’aire A d’un triangle quelconque dont on connaît les mesures des trois côtés à l’aide de la formule de Héron. Pour le triangle ABC ci-dessous, on a : A

p ( p a )( p b )( p c ) , où p est le demi-périmètre

a b c du triangle, c’est-à-direPp . 2

b C

ANNEXES

479

Le cahier d’apprentissage 4 de la collection Point de mire mathématique, séquence Sciences naturelles (SN), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 4e secondaire selon le Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA). Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 4e secondaire.

Structure du cahier • Un Test diagnostique ; • Neuf chapitres comprenant chacun : – un Rappel de quatre à sept pages, – trois à cinq sections comportant chacune un encadré théorique, des exercices et des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des exercices et des problèmes en contexte, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2) ; • Une Banque de problèmes de 30 pages comportant des conjectures et se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ; • Une Révision de 22 pages ; • Une section Annexes ; • Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier. Structure du GUIDE-CORRIGÉ • Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 250 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, tests, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), encadrés théoriques, bilans) ; – deux versions d’examen de fin d’année pour préparer les élèves à l’examen administré par le MELS. Versions numériques

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

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