Point de mire 5 by Les Éditions CEC

Mathématique 5e secondaire

Nouveau PRoGRaMMe CultuRe, soCIété et teChNIque (Cst)

Point de mire Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes

eXtRaIt

noUVeAU

CONFORME À LA MISE À JOUR DU PROGRAMME CST 2016

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy François Pomerleau

TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION DU CAHIER .................. IV TEST DIAGNOSTIQUE ................................... 1

Chapitre 1

Chapitre 4

LOGARITHME ET MATHÉMATIQUE FINANCIÈRE ............................................... 143 Rappel : Exposants, fonction exponentielle et réciproque ............................................................. 143

OPTIMISATION ................................................9

4.1 Logarithme .......................................................... 151

Rappel : Systèmes d’équations et géométrie analytique ................................................. 9

4.2 Intérêts simples ................................................... 159

1.1 Inéquations du premier degré à deux variables .... 15

4.4 Autres contextes monétaires............................... 179

1.2 Systèmes d’inéquations ........................................ 21

Méli-mélo................................................................... 185

4.3 Intérêts composés ............................................... 167

1.3 Polygone de contraintes........................................ 29 1.4 Résolution de problèmes ...................................... 33 Méli-mélo..................................................................... 43

Chapitre 5

PROBABILITÉS ......................................... 199

Chapitre 2

Rappel : Tableaux, diagrammes et probabilités ......... 199 5.1 Probabilités et chances pour, chances contre .... 209

GÉOMÉTRIE ...................................................57

5.2 Espérance mathématique et équité .................... 217

Rappel : Trigonométrie, Pythagore et aire et volume de solides ................................................... 57

5.3 Probabilités conditionnelles ................................ 225

2.1 Loi des cosinus ..................................................... 63 2.2 Lignes, figures et solides équivalents.................... 68

5.4 Procédures de votes ........................................... 233 Méli-mélo................................................................... 241

2.3 Propriétés des figures et des solides équivalents ..................................... 73

BANQUE DE PROBLÈMES ................. 255

Méli-mélo..................................................................... 81

RÉVISION ....................................................... 285

Chapitre 3

GRAPHES ....................................................... 95

ANNEXES ....................................................... 305 INDEX ................................................................ 312

Rappel : Réseau........................................................... 95 3.1 Caractéristiques des graphes et vocabulaire utilisé .............................................. 97

SOURCE DES PHOTOS......................... 314

3.2 Chaînes et cycles ................................................ 105 3.3 Types de graphes ................................................ 113 3.4 Optimisation à l’aide de graphes......................... 121 Méli-mélo................................................................... 129

TABLE DES MATIÈRES

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

TESTDI

GROUPE ________________

DATE _________________

GNOSTIQUE

Questions à choix multiple

Quel est le couple-solution du système d’équations a) (3, 27)

b) (12, 3)

y 5 2x 1 6 ? y 5 23x 1 21

c) (12, 27)

d) (3, 12)

c) 8

d) 16

2 Quelle valeur de x vérifie l’équation x 4 5 2 ? a) 2

b) 4

3 Quelle ou quelles situations décrivent un tirage sans remise ? a) On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 à quatre reprises. On s’intéresse à la somme des résultats obtenus. b) On tire simultanément trois noms d’une urne contenant les noms de toutes les personnes inscrites à un tirage afin de déterminer les trois gagnants. c) On tire une boule d’une urne qui contient une boule rouge, une boule jaune et deux boules vertes, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. On tire ensuite une autre boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. d) On choisit 10 personnes au hasard dans un groupe de 25 personnes. On s’intéresse au sexe des personnes choisies.

4 Quel système d’équations admet plusieurs solutions ? a) y 5 5x 1 4 y 5 25x 1 11

b) 8x 2 2y 2 6 5 0 3y 2 12x 5 29

c) y 5 3x 2 8 y 5 4x 1 8

d) y 5 26x 1 5 y 5 26x 1 7

5 Quelle représentation graphique correspond à une fonction exponentielle ? b)

2 0

d) 10

2 0 2

10 x

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

6 Quel rapport relatif au triangle rectangle ABC représente : a) le sinus de l’angle B ? 1)

3 4

3 5

4 5

4 3

4 5

4 3

b) le cosinus de l’angle C ? 1)

3 4

3 5

3 cm

c) la tangente de l’angle B ? 3 1) 4

3 2) 5

4 3) 5

4 cm

4 4) 3

7 Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le côté pile à la suite de trois lancers successifs d’une pièce de monnaie ? a)

1 8

1 6

1 4

1 2

8 Quel système d’équations peut être représenté dans un plan cartésien par deux droites parallèles distinctes ? a) y 5 7x 2 3 y 5 27x 1 12

b) 4x 2 y 1 5 5 0 3y 1 4x 5 1

c) y 5 22x 1 1 y 5 5x 1 1

( a)

9 Quelle expression algébrique est équivalente à l’expression a) a2

b) a

1 c) 2 a

d) y 5 3x 1 8 y 5 3x 2 5

10 Quelle représentation graphique correspond à la réciproque d’une fonction exponentielle ? a)

b) 8

d) 4

0 2

11 Quelle équation a pour solution le couple (2100, 501) ? a) y 5 2x 2 3

b) y 5 25x 1 1

c) 2y 1 3x 5 9

d) 4y 2 5x 1 11 5 0 SUITE À VENIR

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

29 Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées. b)

a) 10 8 6 4 2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 4 6 8 10 x

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

30 Déterminez le volume de chacun des solides. a)

Boule

b) Cylindre circulaire droit

Prisme régulier

6,4 mm 15 m

13 cm 11 mm

22 m

19,05 m

31 Déterminez algébriquement le couple-solution de chacun des systèmes d’équations. a) y 5 7x 2 3 y 5 3x 1 8

b) y 5 2x 2 3 3y 2 3x 5 27

c) 2y 2 x 5 28 2y 2 2x 5 12

SUITE À VENIR

TEST DIAGNOSTIQUE

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

R PPEL

CHAPITRE

Logarithme et mathématique financière RAPPEL Exposants, fonction exponentielle et réciproque ... 143

SECTION 4.1

Exposants, fonction exponentielle et réciproque PUISSANCE L’expression an 5 p signifie que an est la ne puissance de a et que cette puissance est égale à p. an 5 a 3 a 3 … 3 a si n Œ N et n  2 n fois Voici quelques cas particuliers de puissances.

a0 5 1 si a  0

60 5 1

a1 5 a

41 5 4

Logarithme ............................ 151

SECTION 4.2 Intérêts simples ..................... 159

SECTION 4.3 Intérêts composés ................. 167

SECTION 4.4 Autres contextes monétaires ............................ 179

MÉLI-MÉLO............. 185

Exemple

Cas particulier

a2m 5 1

an 5

1 si a  0 am n

3 22 5 1

a si a  0 et n  0

83 5

1 1 5 32 9 3

852

LOIS DES EXPOSANTS Les lois des exposants permettent d’effectuer des opérations sur des expressions écrites sous la forme exponentielle.

Exemple

Loi Produit de puissances de même base

43 3 45 5 43 1 5 5 48 5 65 536

am 3 an 5 am 1 n si a  0 Quotient de puissances de même base am 5 am 2 n si a  0 an

56 5 56 2 2 5 54 5 625 52

Puissance d’un produit (ab)m 5 ambm si a  0 et b  0

(3 3 7)2 5 32 3 72 5 9 3 49 5 441

Puissance d’une puissance (am)n 5 amn si a  0 Puissance d’un quotient

() a b

am 5 m si a  0 et b  0 b

(42)3 5 42 3 3 5 46 5 4096

b 5 l 5 52 5 25 5 0,36 3

CHAPITRE 4

RAPPEL

143

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Évaluez chacune des expressions. a) 522

b) 70

e) b l 4 3

f) b l 5 2

c) 05

d) 2,83

g) 122

h) b l 8 1

2 Déterminez si chacun des énoncés est vrai ou faux. c6 5 c3, où c  0 c2

a) c4 3 c3 5 c12

c) (c5)5 5 c25

d) (c4c7)2 5 c22

e) b l 5 3 , où d  0 d d

f) (c8)0 5 c8

3 Récrivez chacune des expressions sous la forme d’une base affectée d’un exposant positif. a) 42 3 45

c) (35)2 3 (34)21

e) b 2 l 7

f) b l b l 3 3

h) b 5 l 6

i) 4b

1126(11)8 1127(11)0

g) b l 4 7

b) 50 3 53 3 521

423 22 l 41

SUITE À VENIR

146

CHAPITRE 4

RAPPEL

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

4.1

GROUPE ________________

DATE _________________

Logarithme

FONCTION LOGARITHMIQUE La réciproque d’une fonction exponentielle f dont la règle est f(x) 5 cx correspond à une fonction logarithmique dont la règle est f 21(x) 5 logc x, où c  0 et c  1.

Exemple : Soit la fonction exponentielle f dont la règle est f(x) 5 2x, et sa réciproque, dont la règle est f 21(x) 5 log2 x.

f(x) 2x

(1, 2) (0, 1) 1

1 b 1, 2 l

f 1(x) log2x (2, 1)

(1, 0) 1

0 Asymptote de f

1 b 2 , 1l

Asymptote de f 1

LOGARITHME Un logarithme est un exposant. Ainsi, dans l’expression n 5 logc m, n correspond à l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir m. L’expression « logc m » se lit « logarithme de m en base c », où m  0, c  0 et c  1. Exemple : Dans l’expression 2 5 log416, 2 est l’exposant qu’il faut attribuer à 4 pour obtenir 16. En effet, 42 5 16. On dit alors que 2 est le logarithme de 16 en base 4. ÉQUIVALENCE ENTRE FORME EXPONENTIELLE ET FORME LOGARITHMIQUE L’équivalence suivante permet de passer d’une expression écrite sous la forme exponentielle à une expression écrite sous la forme logarithmique et vice versa, où m  0, c  0 et c  1. Forme exponentielle Puissance

Base

Forme logarithmique

Exposant

m 5 cn

Logarithme (exposant) ¤

Base

Argument (puissance)

n 5 logc m

Exemples : 1)

81 5 34

103 5 1000 3 est l’exposant qu’il faut attribuer à 10 pour obtenir 1000.

4 est le logarithme de 81 en base 3.

4 est l’exposant qu’il faut attribuer à 3 pour obtenir 81. 3)

4 5 log381

3 5 log101000 3 est le logarithme de 1000 en base 10.

32 5 25

5 est le logarithme de 32 en base 2.

5 est l’exposant qu’il faut attribuer à 2 pour obtenir 32. 322 5

1 9

2 est l’exposant qu’il faut attribuer 2

1 à 3 pour obtenir . 9

5 5 log232

2 5 log3

1 9

2 est le

logarithme de 9 en base 3.

CHAPITRE 4

Logarithme

151

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

LOGARITHMES PARTICULIERS Voici certaines relations particulières en lien avec les logarithmes, pour lesquelles c  0 et c  1. • logc1 5 0 , car 0 est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir 1. • logcc 5 1 , car 1 est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir c. • logcct 5 t , car t est l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir ct. • Si m  0, la valeur du logarithme qu’il faut attribuer à l’expression logc m n’existe pas. Exemples : 1) log81 5 0, car 80 5 1 3)

log553 5 3, car 53 5 53

log77 5 1, car 71 5 7

log422 n’existe pas.

LOGARITHME DÉCIMAL, LOGARITHME NATUREL ET CHANGEMENT DE BASE Le logarithme en base 10, appelé logarithme décimal, ainsi que le logarithme en base e, appelé logarithme naturel (ou népérien), peuvent s’écrire sans la base. Exemples : 1) log10 m 5 log m

loge m 5 ln m

On peut effectuer un changement de base à l’aide de l’équivalence suivante, ce qui permet de calculer le logarithme d’un nombre dans n’importe quelle base. Généralement, on choisira 10 ou e, qui vaut environ 2,7183, comme valeur de d afin de pouvoir calculer la valeur d’un logarithme à l’aide d’une calculatrice. logc m 5

Exemples : 1) log1001000 5 2)

log38 5

logd m , où m  0, c  0, c  1, d  0 et d  1. logd c

log101000 log 1000 3 5 5 5 1,5 log10100 log 100 2

loge8 ln 8 5  1,8928 loge3 ln 3

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION EXPONENTIELLE OU LOGARITHMIQUE Il est possible de résoudre une équation exponentielle ou logarithmique en passant d’une expression écrite sous la forme exponentielle à une expression écrite sous la forme logarithmique et vice versa. Exemples : On veut résoudre les équations exponentielles ou logarithmiques suivantes. 1)

7(1,06)n 5 1400 1,06n 5 200 n 5 log1,06200 5

log 200 log 1,06

5t 5

 90,9287 3)

152

CHAPITRE 4

log 22,3 log 3

5t  2,8259 t  0,5652 4)

5 log64x 5 20 log64x 5 4 4x 5 64 4x 5 1296 x 5 324

4,5(3)5t 5 100,35 35t 5 22,3 5t 5 log322,3

8 log5250s log 5250s 250s 250s

5 24 5 3 5 53 5 125

Logarithme

1 2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Dans chaque cas, déterminez la règle de la réciproque de la fonction exponentielle. a) f(x) 5 5x

b) g(x) 5 4,8x

c) h(x) 5 b l 5

d) i(x) 5 10x

e) j(x) 5 b l 8

f) k(x) 5 px

2 Déterminez quelle ou quelles expressions sont fausses. A

log77 5 7

log 10 5 1

log381 5 27

log 1 5 0

1 log12111 5 2

log292 5 9

3 Déterminez quelle ou quelles expressions sont vraies. A

2 5 32 ¤ 5 5 log322

1 1 4 5 ¤ 4 5 log23 64 64

1 1 7 5 ¤ 22 5 log7 49 49

4 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme logarithmique. a) 32 5 9

b) 53 5 125

c) 103 5 1000

d) 80 5 1

e) b l 5 3 27

f) 144 2 5 12

g) 256 5 b l 4

h) 6x 5 216

i) t 5 2,5s

j) y 5 b l 7

k) 10v 5 w

l) b 5 b l c

5 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme exponentielle. a) log636 5 2

b) log71 5 0

c) log381 5 4

d) log 0,001 5 23

e) log5 5 21

1 5

f) log 10 5 1

g) log443 5 3

h) log232 5 5

i) log 100 5 p

j) log0,75 y 5 x

k) logt s 5 r

l) logd

CHAPITRE 4

1 1 5 c e

Logarithme

153

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

6 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacun des logarithmes.

a) log749

e) log3

1 9

i) log 1 1

b) log464

c) log232

d) log 1000

f) log164

g) log77

h) log11112

k) log 100

l) log 0,01

o) logp p3

p) logx

j) log2

m) logc1

1 8

n) logt t

1 x

7 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log24 2 log381 1 log55

b) log39 2 log81 1 log7723 2 log2

c) log 1000 1 log525 2 log 1 3

1 1 log61 9

1 4

d) logx x 1 logvv3 2 logw1 1 log 10

8 À l’aide d’une calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions.

154

a) log78

b) log526

c) log315

d) log212

e) log 60

f) log8

g) log 31 1 log40,28

h) log 0,001 2 log254

i) log240 3 log 2

CHAPITRE 4

Logarithme

1 3

7 8 3

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

9 Récrivez chacune des expressions à l’aide d’un seul logarithme. a)

log 5 log 2

log 16 log 3

log 27 log 8

log s log t

log u2 log v

10 Résolvez chacune des équations exponentielles. a) 2x 5 120

b) 5x 5 100

c) 3x 5 75

d) 2(7)x 5 36

e) 4(0,9)x 5 82

f) 100(1,05)x 5 3832

g) 43x 5 28

h) 64x 5 512

i) 7 2 5 80

11 Résolvez chacune des équations logarithmiques. 1 3

a) log3 x 5 2

b) log7 x 5 3

c) log8 x 5

d) 2 log 5x 5 4

e) 3 log62x 5 12

f) 6 log48x 5 30

CHAPITRE 4

Logarithme

155

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

12 En 2014-2015, une importante épidémie de maladie à virus Ebola a sévi en Afrique de l’Ouest. Au total, près de 30 000 personnes ont été infectées. De mars 2014 à mars 2015, le nombre N(t) de personnes infectées a suivi un modèle exponentiel dont la règle est N(t) 5 180(1,63)t, où t est le temps (en mois) écoulé depuis mars 2014.

a) Combien y avait-il de personnes infectées en septembre 2014 ?

Réponse : b) À quel moment y a-t-il eu 25 000 personnes infectées ?

Réponse :

13 Certaines espèces de bactéries ont une reproduction fulgurante. Dans des conditions favorables, l’une de ces espèces de bactéries se reproduit de telle sorte que le nombre de bactéries triple toutes les heures. a) Sachant qu’une culture contient au départ 500 bactéries, quel sera le nombre de bactéries 10 h après le début de la reproduction ?

Réponse : b) À quel moment y aura-t-il 1 000 000 de bactéries ?

Réponse :

156

CHAPITRE 4

Logarithme

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

14 Le carbone 14, noté 14C, est un élément radioactif qui se désintègre très lentement et qui se trouve dans tous les organismes vivants. Un organisme contient 2 mg de 14C à sa mort. La quantité Q(t) de 14C restant dans cet organisme est donnée par une fonction exponentielle dont la règle est Q(t)  2(0,999 876)t, où t est le temps écoulé (en années) depuis la mort de l’organisme.

a) Quelle sera la quantité de 14C contenue dans cet organisme dans 1000 ans ?

Réponse : b) À quel moment cet organisme contiendra-t-il 1 mg de 14C ?

Réponse :

15 Au cours d’une canicule, la quantité d’eau dans une piscine diminue de 2 % par jour en raison de l’évaporation. Si, au début d’une canicule, une piscine contient 50 000 L d’eau : a) combien de litres d’eau restera-t-il dans la piscine après 4,5 jours de canicule ?

Réponse : b) après combien de jours de canicule la quantité d’eau dans la piscine aura-t-elle diminué de 6000 L ?

CHAPITRE 4

Logarithme

157

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

16 Une ville comptait 48 000 habitants en 2000. Depuis ce temps, la population a augmenté de 1,5 % par année à la suite de l’implantation d’entreprises œuvrant dans le domaine de l’aérospatiale et dans celui des jeux vidéo.

a) Combien y avait-il d’habitants dans cette ville en 2010 ?

Réponse : b) En quelle année y avait-il 58 500 habitants dans cette ville ?

Réponse :

17 Généralement, la quantité d’air dans un ballon gonflé à l’hélium diminue de 7 % chaque heure. Si un ballon contient 1500 cm3 d’hélium : a) quelle quantité d’hélium y aura-t-il dans le ballon dans 12 h ?

Réponse : b) à quel moment, la quantité d’hélium dans le ballon sera-t-elle de 400 cm3 ?

Réponse : SUITE À VENIR

158

CHAPITRE 4

Logarithme

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

4.3

GROUPE ________________

DATE _________________

Intérêts composés

VOCABULAIRE FINANCIER Voici la signification de quelques termes propres aux mathématiques financières. • Intérêts : Somme d’argent calculée sur un capital. • Taux d’intérêt (i ) : Pourcentage utilisé pour calculer de l’intérêt sur un capital. • Capital initial (C0) : Somme d’argent placée ou empruntée initialement.

• Période d’intérêt : Intervalle de temps entre deux calculs consécutifs des intérêts. • Semestre : Période de six mois consécutifs. • Trimestre : Période de trois mois consécutifs.

• Capital accumulé (Cn) : Somme d’argent placée ou empruntée qui comprend le capital initial auquel s’ajoutent les intérêts. INTÉRÊTS COMPOSÉS Les intérêts sont dits composés si, à la fin de chaque période, les intérêts générés au cours de celle-ci sont ajoutés au capital pour un prochain calcul d’intérêts. Les intérêts générés rapportent alors eux-mêmes des intérêts. CAPITALISATION À INTÉRÊTS COMPOSÉS • La capitalisation est une opération qui permet de déterminer la valeur future d’un capital. Elle consiste à intégrer des intérêts au capital afin d’obtenir un capital accumulé après un certain temps. • La capitalisation à intérêts composés peut être calculée à l’aide de la formule suivante. • Cn est le capital accumulé ; • C0 est le capital initial ; Cn 5 C0(1 1 i )n , où :

• i est le taux d’intérêt composé ; • n est la durée (c’est-à-dire le nombre de capitalisations). Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.

Exemples : 1) On place un capital initial de 1000 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 6 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 10 ans.

On emprunte un capital initial de 800 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 2 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans un an.

Ici, n 5 10 ans, i = 6 % et C0 5 1000 $.

Ici, i 5 2 % et C0 5 800 $.

Cn 5 C0(1 1 i ) C10 5 1000(1 1 6 %)10 5 1000(1,06)10  1790,85

Durée en mois : n 5 1 3 12 5 12 mois

Dans 10 ans, le capital accumulé sera de 1790,85 $.

Cn 5 C0(1 1 i )n C12 5 800(1 1 2 %)12 5 800(1,02)12  1014,59 Dans un an, le capital accumulé sera de 1014,59 $.

CHAPITRE 4

Intérêts composés

167

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

ACTUALISATION À INTÉRÊTS COMPOSÉS • L’actualisation est une opération qui permet de déterminer la valeur initiale d’un capital connaissant sa valeur accumulée après un certain temps. Elle est l’opération inverse de la capitalisation. • L’actualisation à intérêts composés peut être calculée à l’aide de la formule suivante. • C0 est le capital initial ; • Cn est le capital accumulé ; C0 5 Cn(1 1 i )2n , où :

Exemples : 1) Quatre ans après avoir contracté une dette, on l’a remboursée à l’aide d’une somme de 3939,28 $. Sachant que le taux d’intérêt composé annuel était de 3 %, on veut déterminer à combien s’élevait le capital initial emprunté.

Un placement d’une durée de 7 ans à un taux d’intérêt composé semestriel de 5 % permet d’obtenir un capital accumulé de 3959,86 $. On veut déterminer à combien s’élevait le capital initial placé. Ici, i 5 5 % et Cn 5 3959,86 $.

Ici, n 5 4 ans, i 5 3 % et C4 5 3939,28 $.

Durée en semestres : n 5 7 3 2 5 14 semestres

C0 5 Cn(1 1 i ) C0 5 3939,28(1 1 3 %)24 5 3939,28(1,03)24  3500

C0 5 Cn(1 1 i )2n C0 5 3959,86(1 1 5 %)214 5 3959,86(1,05)214  2000

Le capital initial était de 3500 $.

Le capital initial était de 2000 $.

DURÉE D’UN PRÊT OU D’UN EMPRUNT À INTÉRÊTS COMPOSÉS Il est possible de déterminer la durée d’un prêt ou d’un emprunt à intérêts composés en isolant, à l’aide des logarithmes, la variable n dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Exemple : On a placé 500 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2,5 %. On veut déterminer dans combien d’années le capital accumulé sera de 579,85 $. Ici, C0 5 500 $, i 5 2,5 % et Cn 5 579,85 $.

On peut valider ce résultat de la façon suivante.

Cn 5 C0(1 1 i ) 579,85 5 500(1 1 2,5 %)n 579,85 5 500(1,025)n

Cn 5 C0(1 1 i )n C6 5 500(1 1 2,5 %)6 5 500(1,025)6  579,85

579,85 5 1,025n 500

1,1597 5 1,025n n 5 log1,0251,1597 5

Dans 6 ans, le capital accumulé sera de 579,85 $.

log 1,1597 log 1,025

 6 Le capital accumulé sera de 579,85 $ dans 6 ans.

168

CHAPITRE 4

Intérêts composés

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

TAUX D’INTÉRÊT COMPOSÉ

Il est possible de déterminer le taux d’intérêt composé d’un prêt ou d’un emprunt en isolant la variable i dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Exemple : On a emprunté 5800 $ et, après 4 ans, le capital accumulé s’élève à 7103,80 $. On veut déterminer à quel taux d’intérêt composé annuel cet emprunt a été contracté. Ici, n 5 4 ans, C0 5 5800 $ et C4 5 7103,80 $. Cn 5 C0(1 1 i )n 7103,80 5 5800(1 1 i )4 7103,80 5 (1 1 i )4 5800 1 7103,80 b 5800 l 4 5 1 1 i

i 5 b

7103,80 4 l 21 5800

On peut valider ce résultat de la façon suivante. Cn 5 C0(1 1 i )n C4 5 5800(1 1 5,2 %)4 5 5800(1,052)4  7103,80 À un taux d’intérêt composé annuel de 5,2 %, l’emprunt de 5800 $ s’élève à 7103,80 $ après 4 ans.

 0,052, donc 5,2 %

Le taux d’intérêt composé annuel était de 5,2 %. PÉRIODE D’INTÉRÊT INCOMPLÈTE Si la durée d’un prêt ou d’un emprunt à intérêts composés correspond à une ou plusieurs périodes d’intérêt complètes et à une période d’intérêt incomplète, il est possible de déterminer le capital accumulé à l’aide de la démarche suivante. Démarche 1. Calculer le capital accumulé à intérêts composés pour les périodes d’intérêt complètes à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 i )n.

Exemple : On place un capital initial de 9000 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 3 %. On veut déterminer le capital accumulé dans 4 ans et 9 mois. Il y a 4 années complètes où les intérêts composés s’appliquent. Ici, n 5 4 ans, i 5 3 % et C0 5 9000 $. Cn 5 C0(1 1 i )n C4 5 9000(1 1 3 %)4 5 9000(1,03)4  10 129,58 Après 4 années complètes, le capital accumulé sera de 10 129,58 $.

2. À partir du résultat obtenu à l’étape précédente, calculer le capital accumulé à intérêts simples pour la période d’intérêt incomplète à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 n 3 i ).

Il y a 9 mois, soit 0,75 année, où les intérêts simples s’appliquent. Ici, n 5 0,75 année, i 5 3 % et C0 5 10 129,58 $. Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C0,75 5 10 129,58(1 1 0,75 3 3 %) 5 10 129,58(1,0225)  10 357,50 Après 4 ans et 9 mois, le capital accumulé sera de 10 357,50 $.

CHAPITRE 4

Intérêts composés

169

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place un capital initial de 4000 $ pendant 6 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 5 %.

b) On investit une somme de 2500 $ sur une période de 5 ans à un taux d’intérêt composé mensuel de 1,5 %.

Réponse :

Réponse : c) On emprunte une somme de 4500 $ pour une période de 6 ans à un taux d’intérêt composé semestriel de 4 %.

d) On emprunte une somme de 3000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,2 %.

Réponse :

2 Dans chaque cas, déterminez le capital initial. a) Dans 5 ans, le capital accumulé d’un placement à un taux d’intérêt composé annuel de 3 % aura une valeur de 5796,37 $.

Réponse :

Réponse : c) Dans 8 ans, le remboursement total d’un emprunt à un taux d’intérêt composé annuel de 6,5 % s’élèvera à 7612,98 $.

CHAPITRE 4

d) À un taux d’intérêt composé semestriel de 2,25 %, le remboursement total d’une dette sera de 7574,63 $ après 4,5 ans.

Réponse :

170

b) À un taux d’intérêt composé trimestriel de 2 %, le capital accumulé d’un prêt atteindra 4618,18 $ dans 3 ans et 6 mois.

Intérêts composés

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

3 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un capital initial de 5000 $ génère un capital accumulé de 6842,85 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 4 %.

Réponse :

c) Le remboursement total d’une dette de 700 $ à un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,1 % est de 907,73 $.

Réponse :

b) Un placement de 1200 $ rapporte 1713,90 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 2 %.

Réponse :

d) Le remboursement total d’un emprunt de 12 800 $ à un taux d’intérêt quotidien de 0,027 % est de 18 983,91 $.

Réponse :

CHAPITRE 4

Intérêts composés

171

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

4 Dans chaque cas, déterminez le taux d’intérêt composé.

a) Un placement de 2600 $ à un taux d’intérêt composé annuel rapporte 3197,67 $ après 7 ans.

Réponse :

c) Le remboursement total d’un emprunt de 3100 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel est de 4399,45 $ après 8 ans.

CHAPITRE 4

d) Le remboursement total d’un capital initial de 6300 $ à un taux d’intérêt composé semestriel est de 9783,71 $ après 5 ans.

Réponse :

172

b) Un capital initial de 1500 $ à un taux d’intérêt composé mensuel génère un capital accumulé de 2306,53 $ après 4,5 ans.

Intérêts composés

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

5 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place un capital de 9200 $ pendant 5 ans et 6 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 4 %.

Réponse :

b) On emprunte 6600 $ pour 4 ans et 9 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 7 %.

Réponse :

6 Une personne reçoit 300 $ en cadeau, qu’elle place à un taux d’intérêt composé annuel de 4 %. Quelle sera la valeur de ce placement dans 5 ans ?

Réponse :

7 En prévision d’un voyage qu’il veut faire dans 5 ans, Martin estime qu’il aura besoin de 3000 $. Quelle somme doit-il placer maintenant à un taux d’intérêt composé annuel de 7 % afin d’amasser l’argent nécessaire pour ce voyage ?

CHAPITRE 4

Intérêts composés

173

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

8 Nicole emprunte 2000 $ pour s’acheter un ordinateur. Sachant que le taux d’intérêt composé mensuel est de 1 %, dans combien de temps la dette de Nicole s’élèvera-t-elle à 3355,38 $ ?

Réponse :

9 Une étudiante reçoit une bourse d’études de 2400 $. Elle décide d’investir cette somme dans un dépôt à terme. Dans 5 ans, la valeur de son placement sera de 3211,74 $. Quel est le taux d’intérêt composé annuel de ce dépôt à terme ?

Réponse :

10 Un entrepreneur emprunte une somme d’argent à un taux d’intérêt composé semestriel de 6 % afin de moderniser certains équipements de son entreprise. S’il est prévu qu’il rembourse la totalité de sa dette en 3 ans après avoir versé une somme de 5200 $, quelle somme a-t-il empruntée ?

Réponse :

174

CHAPITRE 4

Intérêts composés

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GROUPE ________________

DATE _________________

11 Alexandrine a reçu 20 000 $ en héritage, qu’elle veut investir dans un certificat de placement garanti pour lequel on lui garantit un taux d’intérêt composé mensuel de 0,42 %.

a) Quelle sera la valeur de ce placement dans : 1) 3 ans ?

Réponse :

2) 7 ans ?

Réponse :

3) 11 ans ?

Réponse :

b) L’écart de la valeur de ce placement sera-t-il le même entre la 3e et la 7e année qu’entre la 7e et la 11e année ? Expliquez votre réponse.

Réponse :

12 Jérémy emprunte 4300 $ à un taux d’intérêt composé semestriel de 2 % pour l’achat d’une moto. Au moment de rembourser son emprunt, Jérémy devra verser une somme de 5453,44 $. Dans combien de temps Jérémy remboursera-t-il son emprunt ?

CHAPITRE 4

Intérêts composés

175

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GROUPE ________________

DATE _________________

13 Afin que sa nièce de 7 ans puisse s’acheter une voiture à sa majorité, Yannick place une somme de 4000 $ dans une fiducie. Quel doit être le taux d’intérêt composé trimestriel de la fiducie pour que cette somme ait triplé à l’anniversaire de 18 ans de sa nièce ?

Réponse :

14 Deux personnes empruntent 5000 $ pour préparer leur mariage. On leur offre un taux d’intérêt composé annuel de 7 %. À combien s’élèvera leur dette s’ils la remboursent dans 6 ans et 3 mois ?

Réponse :

15 Sonia veut cotiser à un REER pour une somme maximale de 7000 $. Dans une première banque, on lui suggère de placer ce 7000 $ afin d’obtenir une somme de 10 700 $ dans 6 ans. Dans une seconde banque, on lui offre un taux d’intérêt composé mensuel de 0,65 % pour cette même durée de 6 ans. Quelle offre Sonia devrait-elle accepter ?

Réponse :

176

SUITE À VENIR CHAPITRE 4

Intérêts composés

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

ÉLI1

GROUPE ________________

DATE _________________

ÉL0

Selon le cas, récrivez l’expression sous la forme logarithmique ou sous la forme exponentielle. a) 73 5 343

b) 84 5 4096

c) log67776 5 5

d) log

1 5 23 1000

2 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log39 1 2 log71 1 3 log216 2 log5125

b) 2 log464 1 log 105 2 6 log28 1 log 1 3

1 9

3 Selon le cas, résolvez l’équation exponentielle ou l’équation logarithmique. a) 2(6)x 5 26

b) 5 log4256x 5 20

4 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place 7000 $ pendant 5,75 ans à un taux d’intérêt simple annuel de 8 %.

Réponse :

b) On emprunte 4800 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,35 %.

Réponse :

5 Dans chaque cas, déterminez le capital initial. a) Dans 7 ans, le capital accumulé d’un placement à un taux d’intérêt simple semestriel de 4,3 % aura une valeur de 3764,70 $.

Réponse :

b) Dans 2 ans, le remboursement total d’une dette sera de 9409,84 $ à un taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,15 %.

Réponse : SUITE À VENIR

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

185

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

12 Une personne place une somme d’argent à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,8 % sur une période de 3 ans et 4 mois. Sachant que le capital accumulé sera de 172 $ à l’échéance de ce placement, quelle est cette somme d’argent ?

Réponse :

13 Afin de rénover sa cuisine, Jean a emprunté 12 500 $ qu’il a remboursés 6 ans plus tard à l’aide d’une somme de 19 400 $. À quel taux d’intérêt simple trimestriel a-t-il contracté cet emprunt ?

Réponse :

14 France dispose de 4000 $ qu’elle place à un taux d’intérêt simple semestriel de 4 %. Dans combien d’années son capital initial aura-t-il doublé ?

Réponse :

15 Arthur veut placer 2000 $ dans un REER à un taux d’intérêt annuel de 12 % sur une période de 5 ans. Il affirme que si les intérêts sont composés, ce placement lui rapportera au moins 300 $ de plus que si les intérêts sont simples. A-t-il raison ? Justifiez votre réponse.

Réponse : SUITE À VENIR

188

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

L’œuvre de charité Au cours d’un tirage pour une œuvre de charité, divers prix sont offerts : un bateau d’une valeur de 25 000 $, un placement d’une valeur de 30 000 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,6 %, un placement d’une valeur 40 000 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 0,4 % et un chalet d’une valeur de 125 000 $. La valeur d’un bateau diminue en moyenne de 15 % par année tandis que celle d’un chalet augmente en moyenne de 3,25 % par année. Lorsque la valeur du bateau atteindra 4921,86 $, quelle sera la valeur totale des quatre prix ?

Démarche et calculs

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

193

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Réponse

SUITE À VENIR

194

CHAPITRE 4

MÉLI-MÉLO

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

B NQUE DE

PROBLÈMES

La valeur d’un placement à un taux d’intérêt simple de 6 % par année est de 8800 $ à l’échéance d’un terme de 10 ans. Quel serait le capital accumulé de ce placement s’il avait été effectué à un taux d’intérêt composé de 6 % par année ?

Réponse : B

2 Sachant que l’aileron arrière d’un avion est formé des deux triangles équivalents ABD et DBC, déterminez la mesure du segment BD.

6m A

100º D 4m

BANQUE DE PROBLÈMES

255

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

3 On a installé une roue dans un kiosque d’une foire agricole afin d’amasser des fonds pour un organisme de charité. S’il en coûte 6 $ pour jouer et que les responsables prévoient que la roue sera tournée 2000 fois, quelle somme peut-on espérer amasser au cours de cette activité ?

9$ 7$

Réponse :

4 Démontrez que la mesure de l’angle C dans le triangle ABC

( ).

correspond à l’expression cos21

b 2a

SUITE À VENIR

256

BANQUE DE PROBLÈMES

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GROUPE ________________

DATE _________________

RÉ ISION Questions à choix multiple

Quel couple constitue la solution la plus avantageuse si l’objectif est de maximiser la fonction à optimiser dont la règle est z 5 4x 1 y 2 10 ? a) (13, 214)

b) (8, 3)

c) (7, 9)

d) (6, 15)

2 Au regard de la figure, déterminez la relation qui est vraie. a) (m AB)

5 (m AC) 1 (m BC) 2 2(m AC) (m BC) cos 40°

b) (m DC)

5 (m BD) 1 (m BC) 2 2(m BD) (m BC) cos 100°

c) (m BC)

5 (m AB) 1 (m AC) 2 2(m AB) (m AC) cos 60°

d) (m AB)

5 (m AD) 1 (m BD) 2 2(m AD) (m BD) cos 120° 2

40°

60°

3 Quel graphe est complet ? a)

B C

B F

A D

A B

4 Un placement effectué il y a 12 ans à un taux d’intérêt annuel composé de 5 % vaut actuellement 12 000 $. Quelle expression permet de calculer la valeur du placement initial, C0 ? a) C0 5 12 000(1 1 0,05)12

b) 12 000 5 C0(1 1 0,05)12

c) C0 5 12 000(1 1 0,05)212

d) 12 000 5 C0(1 1 0,05)212

5 On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. On s’intéresse aux deux événements suivants. A : Obtenir un as.

B : Obtenir une carte de cœur.

Quelle probabilité est fausse ? a) P(A « B) 5

1 52

b) P(A | B) 5

1 4

c) P(B | A) 5

1 4

d) P(A » B) 5

17 52

6 Quelle représentation graphique correspond à l’ensemble-solution de l’inéquation 2x 1 3y  5 ? a)

1 0 1

RÉVISION

285

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE ________________

DATE _________________

Questions à réponse courte

30 Dans chaque cas, déterminez la mesure associée à x. a)

10 cm

35°

B 12 cm

C 10 m

11 cm x C

31 Dans chaque cas, écrivez une expression qui permet de calculer le capital accumulé Cn du placement selon la durée n. a) Une somme de 4000 $ placée à un taux d’intérêt simple de 4 %.

b) Une somme de 7500 $ placée à un taux d’intérêt composé mensuel de 1 %.

c) Une somme de 12 000 $ placée à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %.

32 Représentez graphiquement l’ensemble-solution de chacune des inéquations. a) y  2x 2 3

b) 2x 1 3y  4

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

x  4y 1 12

10 8 6 4 2

2 4 6 8 10 x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 x

SUITE À VENIR

290

RÉVISION

Point de mire

Nouveauté

Mathématique

financière

Le cahier d’apprentissage 5 de la collection Point de mire mathématique, séquence Culture, société et technique (CST), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 5e secondaire selon la dernière mise à jour du Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA). Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, avec son propre matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 5e secondaire.

Structure du cahier • Un Test diagnostique ; • Cinq chapitres comprenant chacun : – un Rappel de deux à dix pages, – trois ou quatre sections comportant chacune un encadré théorique, des exercices et des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des exercices et des problèmes en contexte, deux situations-problèmes (CD 1) et une situation de raisonnement (CD 2) ; • Une Banque de problèmes de 30 pages comportant des conjectures et se terminant par des problèmes de type CD 1 et CD 2 ; • Une Révision de 20 pages ; • Une section Annexes ; • Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier. Structure du Guide-cOrriGÉ • Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 170 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, tests, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), encadrés théoriques, bilans) ; – deux versions d’examen de fin d’année pour préparer les élèves à l’examen de fin d’année. VerSiOnS numÉriqueS

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – de travailler dans son cahier sans connexion Internet.

C10950