Point de mire 5 SN

Mathématique 5e secondaire

SCIENCES NATURELLES (SN)

Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy

CONFORME À LA PROGRESSION DES APPRENTISSAGES

Mathématique 5e secondaire

SCIENCES NATURELLES (SN)

POINT DE MIRE

Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes

Claude Boivin Dominique Boivin Richard Cadieux Dominic Paul Vincent Roy

9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5 Téléphone : 514 351-6010 • Télécopieur : 514 351-3534

Direction de l’édition Julie Duchesne Direction de la production Danielle Latendresse Direction de la coordination Rodolphe Courcy Charge de projet Marguerite Champagne-Desbiens Annie Dupré Révision linguistique Marguerite Champagne-Desbiens Isabelle Renaud Correction d’épreuves Katie Delisle Conception graphique (couverture, coloration) et production Pige communication Conception graphique

Remerciements Les auteurs et l’Éditeur tiennent à remercier les personnes suivantes pour leur collaboration au projet.

Consultation pédagogique François Pomerleau, enseignant, c. s. de la Beauce-Etchemin Consultation scientifique Antoine Ledoux Validation Guy Charbonneau, enseignant, c. s. de Saint-Hyacinthe Yanick L’Ecuyer, enseignant, Collège Champagneur

Source des photos Couvertures © agsandrew/Shutterstock.com © Media Union/Shutterstock.com © natrot/Shutterstock.com © Senoldo/Shutterstock.com © pikepicture/Shutterstock.com © Kraphix/Shutterstock.com En-têtes des rubriques Test diagnostique, Révision et Banque de problèmes © avNY/Shutterstock.com En-têtes des rubriques Méli-mélo, SP et SR © kanate/Shutterstock.com Pages d’ouverture et en-têtes de sections © Ozerina Anna/Shutterstock.com Onglets Chapitre 1 © Marina Sun/Shutterstock.com Chapitre 4 © RFV/Shutterstock.com Chapitre 5 © m.ekzarkho/Shutterstock.com Chapitre 6 © GoldenMaya/Shutterstock.com

La Loi sur le droit d’auteur interdit la reproduction d’œuvres sans l’autorisation des titulaires des droits. Or, la photocopie non autorisée – le photocopillage – a pris une ampleur telle que l’édition d’œuvres nou­velles est mise en péril. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, du pré­­sent ­ouvrage est inter­dite sans l’autorisation écrite de l’Éditeur.

Point de mire mathématique, séquence SN – Cahier d’apprentissage 5 © 2018, Les Éditions CEC inc.

9001, boul. Louis-H.-La Fontaine Anjou (Québec) H1J 2C5 Tous droits réservés. Il est interdit de reproduire, d’adapter ou de tra­duire l’en­semble ou toute partie de cet ouvrage sans l’autorisation écrite du propriétaire du copyright.

Dépôt légal : 2018 Bibliothèque et Archives nationales du Québec Bibliothèque et Archives Canada ISBN 978-2-7617-8235-7 (Cahier d’apprentissage) ISBN 978-2-7617-9277-6 ( Cahier d’apprentissage, ensemble, version MaZoneCEC)

Chapitres et Banque de problèmes 52 © Kletr/Shutterstock.com 54 © Napat/Shutterstock.com 56 © S_E/Shutterstock.com 124 © Arthimedes/Shutterstock.com 126 © Carlos Wunderlin/Shutterstock.com 128 © Vadim Sadovski/Shutterstock.com 142 © denniro/Shutterstock.com 142 © MBadnjar/Shutterstock.com 160 © Ellegant/Shutterstock.com 191 © Motorama/Shutterstock.com 192 © Motorama/Shutterstock.com 196 © Dmitry Kalinovsky/Shutterstock.com 260 © Julia_Lelija/Shutterstock.com 262 © PRESSLAB/Shutterstock.com 264 © wutzkohphoto/Shutterstock.com 277 © Aleks Melnik/Shutterstock.com 277 © Mingirov Yuriy/Shutterstock.com 322 © Jacek Chabraszewski/Shutterstock.com 335 © Howard Klaaste/Shutterstock.com 338 © WDG Photo/Shutterstock.com 340 © Rawpixel.com/Shutterstock.com 356 © Colorlife/Shutterstock.com 356 © aarrows/Shutterstock.com 356 © grynold/Shutterstock.com 382 © Egret77/Shutterstock.com 382 © flowerstock/Shutterstock.com 382 © Pavel Petrov UA/Shutterstock.com 390 © Blan-k/Shutterstock.com 396 © NASA images/Shutterstock.com 398 © Kostenko Maxim/Shutterstock.com 400 © Suzanne Tucker/Shutterstock.com 424 © pingebat/Shutterstock.com

TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION DU CAHIER....................

VI

TEST DIAGNOSTIQUE..................................

1

CHAPITRE 1 OPTIMISATION.................................................

9

Rappel : Inéquation et système d’équations................

9 1 Inéquation......................................................... 9 2 Inéquation du premier degré à deux variables..... 10 3 Pente d’une droite............................................. 13 4 Système d’équations du premier degré à deux variables................................................ 14 1.1 Système d’inéquations..........................................

17

1.2 Polygone de contraintes.......................................

24 1.2.1 Description.................................................. 24 1.2.2 Contraintes de positivité.............................. 24 1.2.3 Sommet d’un polygone de contraintes........ 24 1.3 Résolution de problèmes......................................

31 1.3.1 Fonction à optimiser et solution optimale...... 31 1.3.2 Résolution d’un problème d’optimisation...... 32 Méli-mélo.......................................................................

39

CHAPITRE 2 FONCTIONS RÉELLES.................................

2.2.6 Résolution d’une inéquation racine carrée à une variable.............................................. 81 2.3 Fonction rationnelle...............................................

87 2.3.1 Fonction rationnelle de base....................... 87 2.3.2 Fonction rationnelle transformée................. 87 2.3.3 Recherche de la règle d’une fonction rationnelle.................................................... 91 2.3.4 Résolution d’une équation rationnelle à une variable et zéro d’une fonction rationnelle.................................................... 92 2.3.5 Résolution d’une inéquation rationnelle à une variable.............................................. 92 2.4 Fonction définie par parties..................................

57

2.1 Fonction valeur absolue........................................

65 2.1.1 Propriétés des valeurs absolues................. 65 2.1.2 Fonction valeur absolue de base................ 66 2.1.3 Fonction valeur absolue transformée.......... 66 2.1.4 Recherche de la règle d’une fonction valeur absolue............................................. 69 2.1.5 Résolution d’une équation valeur absolue à une variable et zéro d’une fonction valeur absolue............................................. 71 2.1.6 Résolution d’une inéquation valeur absolue à une variable................................. 71

97

2.5 Opérations sur les fonctions.................................

103 2.5.1 Composition de fonctions........................... 103 2.5.2 Opérations sur les fonctions........................ 103 Méli-mélo.......................................................................

Rappel : Réciproque, fonction, paramètres et propriétés..................................................................

57 1 Réciproque et fonction...................................... 57 2 Paramètres multiplicatifs et additifs.................. 59 3 Propriétés des fonctions................................... 63

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2.2 Fonction racine carrée..........................................

75 2.2.1 Propriétés des radicaux............................... 75 2.2.2 Fonction racine carrée de base................... 76 2.2.3 Fonction racine carrée transformée............ 77 2.2.4 Recherche de la règle d’une fonction racine carrée................................................ 80 2.2.5 Résolution d’une équation racine carrée à une variable et zéro d’une fonction racine carrée................................................ 81

111

CHAPITRE 3 VECTEUR.............................................................. 129 Rappel : Trigonométrie et géométrie analytique..........

129 1 Loi des sinus..................................................... 129 2 Loi des cosinus................................................. 130 3 Distance entre deux points............................... 132 4 Position relative de deux droites....................... 132 3.1 Introduction aux vecteurs.....................................

135 3.1.1 Grandeur scalaire et grandeur vectorielle.... 135 3.1.2 Vecteur......................................................... 135 3.1.3 Norme et orientation d’un vecteur............... 136 3.1.4 Composantes d’un vecteur......................... 136 3.1.5 Relations entre les vecteurs........................ 140

TABLE DES MATIÈRES

III

3.2 Projection d’un vecteur, addition et soustraction de vecteurs............................................................

143 3.2.1 Projection d’un vecteur sur une droite........ 143 3.2.2 Addition et soustraction de vecteurs........... 145 3.2.3 Décomposition d’un vecteur dans le plan....... 151 3.3 Multiplication d’un vecteur par un scalaire..........

155

3.4 Coordonnées d’un point de partage....................

161

3.5 Combinaison linéaire.............................................

169 3.5.1 Combinaison linéaire................................... 169 3.5.2 Vecteur unitaire............................................ 169 3.6 Produit scalaire......................................................

176

Méli-mélo.......................................................................

183

CHAPITRE 4 FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGARITHMIQUE.................................... 201 Rappel : Exposant..........................................................

201 1 Puissance.......................................................... 201 2 Lois des exposants........................................... 201 4.1 Fonction exponentielle..........................................

207 4.1.1 Fonction exponentielle de base.................. 207 4.1.2 Fonction exponentielle transformée............ 208 4.1.3 Résolution d’une équation exponentielle à une variable et zéro d’une fonction exponentielle............................................... 211 4.1.4 Résolution d’une inéquation exponentielle à une variable et signe d’une fonction exponentielle............................................... 212 4.1.5 Recherche de la règle d’une fonction exponentielle............................................... 215 4.2 Propriétés des logarithmes...................................

220 4.2.1 Logarithme................................................... 220 4.2.2 Équivalence entre la forme d’écriture exponentielle et la forme d’écriture logarithmique............................................... 220 4.2.3 Logarithmes particuliers.............................. 220 4.2.4 Logarithme décimal et logarithme naturel.... 220 4.2.5 Lois des logarithmes................................... 222 4.3 Fonction logarithmique.........................................

226 4.3.1 Fonction logarithmique de base.................. 226 4.3.2 Fonction logarithmique transformée........... 227 4.3.3 Résolution d’une équation logarithmique à une variable et zéro d’une fonction logarithmique............................................... 229 4.3.4 Résolution d’une inéquation logarithmique à une variable et signe d’une fonction logarithmique................................................ 230 4.3.5 Recherche de la règle d’une fonction logarithmique............................................... 233

IV

TABLE DES MATIÈRES

4.4 Situations exponentielles et logarithmiques........

238 4.4.1 Recherche de la règle de la réciproque d’une fonction exponentielle ou logarithmique.......................................... 238 4.4.2 Résolution d’une équation exponentielle à une variable................................................ 238 Méli-mélo.......................................................................

247

CHAPITRE 5 CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES..... 265 Rappel : Rapports trigonométriques et factorisation.....

265 1 Rapports trigonométriques............................... 265 2 Mise en évidence simple................................... 268 3 Mise en évidence double.................................. 268 4 Différence de deux carrés................................. 268 5.1 Fonctions et phénomènes périodiques................

271

5.2 Cercle trigonométrique.........................................

275 5.2.1 Angle trigonométrique................................. 275 5.2.2 Radian......................................................... 275 5.2.3 Relation entre degré et radian..................... 276 5.2.4 Cercle trigonométrique................................ 278 5.3 Fonction sinus.......................................................

282 5.3.1 Fonction sinus de base............................... 282 5.3.2 Fonction sinus transformée......................... 282 5.3.3 Fonction arc sinus....................................... 284 5.3.4 Résolution d’une équation se ramenant à un sinus à une variable et zéros de la fonction sinus..................................... 285 5.3.5 Résolution d’une inéquation se ramenant à un sinus à une variable............................. 288 5.3.6 Recherche de la règle d’une fonction sinus............................................................ 289 5.4 Fonction cosinus...................................................

293 5.4.1 Fonction cosinus de base........................... 293 5.4.2 Fonction cosinus transformée..................... 293 5.4.3 Fonction arc cosinus................................... 295 5.4.4 Résolution d’une équation se ramenant à un cosinus à une variable et zéros de la fonction cosinus................................. 296 5.4.5 Résolution d’une inéquation se ramenant à un cosinus à une variable......................... 299 5.4.6 Recherche de la règle d’une fonction cosinus........................................................ 300

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5.5 Fonction tangente.................................................

304 5.5.1 Fonction tangente de base.......................... 304 5.5.2 Fonction tangente transformée................... 304 5.5.3 Fonction arc tangente.................................. 306 5.5.4 Résolution d’une équation se ramenant à une tangente à une variable et zéros de la fonction tangente................................ 306 5.5.5 Résolution d’une inéquation se ramenant à une tangente à une variable..................... 309 5.5.6 Recherche de la règle d’une fonction tangente....................................................... 310 5.6 Identités trigonométriques....................................

314 5.6.1 Description.................................................. 314 5.6.2 Formules d’une somme ou d’une différence de deux angles............................................ 319 Méli-mélo.......................................................................

323

CHAPITRE 6 CONIQUES.......................................................... 341 Rappel : Fonction polynomiale du second degré........

341 1 Règle d’une fonction polynomiale du second degré................................................................. 341 2 Transformation de la forme d’écriture............... 341 3 Système d’équations composé d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré à deux variables........................................ 344

6.1 Cercle.....................................................................

347 6.1.1 Description.................................................. 347 6.1.2 Recherche de l’équation d’un cercle........... 347 6.1.3 Région intérieure ou extérieure d’un cercle.... 350 6.2 Ellipse.....................................................................

353 6.2.1 Description.................................................. 353 6.2.2 Recherche de l’équation d’une ellipse........ 357 6.2.3 Région intérieure ou extérieure d’une ellipse................................................ 359 6.3 Hyperbole..............................................................

362 6.3.1 Description.................................................. 362 6.3.2 Recherche de l’équation d’une hyperbole.... 365 6.3.3 Région intérieure ou extérieure d’une hyperbole........................................... 368 6.4 Parabole et intersection de coniques...................

371 6.4.1 Description.................................................. 371 6.4.2 Recherche de l’équation d’une parabole..... 374 6.4.3 Région intérieure ou extérieure d’une parabole............................................. 377 6.4.4 Points d’intersection entre des coniques..... 379 Méli-mélo.......................................................................

383

BANQUE DE PROBLÈMES........................ 401 RÉVISION............................................................. 427 ANNEXES............................................................. 447 INDEX..................................................................... 455

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TABLE DES MATIÈRES

V

PRÉSENTATION DU CAHIER Le cahier Point de mire mathématique 5, séquence Sciences naturelles (SN), est divisé en six chapitres.

Tout au début du cahier, une rubrique Test diagnostique permet de vérifier les connaissances acquises des élèves. À la fin du cahier, on trouve une r­ ubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision, des annexes ainsi qu’un index pratique.

TEST DIAGNOSTIQUE

Le Test diagnostique permet de vérifier l’acquisition des connaissances en mathématique chez les élèves à leur arrivée en 5e secondaire. Il comprend huit pages comportant des questions à choix multiple et à réponse courte.

CHAPITRES

Chaque chapitre commence par un Rappel de six à huit pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre.

On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.

Chaque chapitre est divisé en trois à six sections de 4 à 13 pages chacune. Chaque section comporte un ou des encadrés théoriques qui présentent les notions à l’étude. Le plus souvent possible, des exemples illustrent les notions. Lorsque cela est p ­ ertinent, on présente une démarche en lien avec la notion expliquée.

Des exercices ou des problèmes en contexte permettent ensuite aux élèves de vérifier et de consolider leur compréhension des différentes notions fraîchement acquises.

VI

PRÉSENTATION DU CAHIER

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Puis, une récapitulation en 18 pages, le Méli-mélo, vient clore le chapitre.

Les 12 premières pages fournissent des questions à choix multiple, à réponse courte et à développement, tandis que les 6 dernières pages proposent deux situations-problèmes (SP) et une situation de raisonnement (SR).

BANQUE DE PROBLÈMES

Après le dernier chapitre du cahier se trouve une ­rubrique Banque de problèmes de 26 pages qui présente des problèmes en contexte. Ces problèmes portent sur l’ensemble des notions couvertes dans le cahier et, généralement, chacun d’entre eux porte sur des notions abordées dans plus d’un chapitre à la fois.

De plus, les dix derniers numéros permettent d’évaluer des composantes des compétences disciplinaires 1 (CD 1) et 2 (CD 2).

RÉVISION

Après la rubrique Banque de problèmes, une rubrique Révision de 20 pages permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de la 5e secondaire pour la ­séquence SN. On y trouve des questions à choix multiple, à réponse courte et à développement.

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PRÉSENTATION DU CAHIER

VII

ANNEXES

À la suite de la rubrique Révision sont proposées les Annexes, des fiches utiles aux élèves dans leur ­apprentissage des mathématiques.

INDEX

Un index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la fin du cahier.

PICTOGRAMMES

Indique la présence de contenu enrichi ou facultatif et non prescrit par la PDA.

SP Indique la présence d’une situation-problème (SP), qui permet de vérifier

le développement de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

SR Indique la présence d’une situation de raisonnement (SR), qui permet

de vérifier le développement de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

CD 1 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

de la compétence disciplinaire 1 (CD 1).

CD 2 Indique qu’un problème permet de vérifier le développement

VIII

de la compétence disciplinaire 2 (CD 2).

PRÉSENTATION DU CAHIER

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

TESTDI

GROUPE _________________________

DATE _________________________

GNOSTIQUE

QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE

1 Quels sont, dans l’ordre, la valeur initiale et le zéro de la fonction f (x)  2x  8 ? a) 4 et 28

b) 28 et 4

c) 24 et 28

d) 28 et 24

2 Quelle affirmation relative à la fonction f (x)  22(x  4)2  6 est fausse ? a) Cette fonction a deux zéros. b) Le sommet de cette fonction est (4, 6). c) Cette fonction est croissante sur l’intervalle [4, 1[. d) La valeur initiale de cette fonction est 226.

3 L’équation d’une droite représentée dans le plan cartésien est y  22x  4. Quelle est l’équation de la droite passant par le point de coordonnées (2, 5) qui lui est perpendiculaire ? a) y  2x  1

b) y  20,5x  4

c) y  20,5x  4

d) y  0,5x  4

4 Quelle expression correspond à la mesure de l’hypoténuse B

de ce triangle rectangle ? a)

sin 22°

4

c) 4  sin 22°

b) 4  cos 22°

4

4 d) sin 22°

A

22°

C

5 Quel système d’équations n’a pas de solution ? a) y  5x  1 y  25x  4

b) y  4x  3

2 y  0,25x  2

c) y  23x  1

26x  2y  2  0

d) y  x  2 yx2

6 Quels sont les facteurs de l’expression algébrique 8x2  2xy  15y2 ? a) 2x  3y et 4x  5y

b) 2x  3y et 4x  5y

c) 4x  3y et 2x  5y

d) 4x  3y et 2x  5y

7 Sachant que la règle de la fonction représentée est de la forme

f (x )

f (x)  a[b(x  h)]  k, déterminez graphiquement le signe des paramètres a et b. a) a . 0 et b . 0

b) a . 0 et b , 0

c) a , 0 et b . 0

d) a , 0 et b , 0

4 2

4

x

TEST DIAGNOSTIQUE

1

4

0

2

2

2

4

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

8 Quel polynôme est un trinôme carré parfait ? a) x2  8x  64

b) 4x2  5x  9

c) 9x2  30x  25

d) 16x2  7x  9

9 Quelles sont les coordonnées du sommet de la courbe associée à la fonction f dont la règle est f (x)  2x2  4x  5 ? a) (1, 7)

b) (21, 7)

c) (1, 27)

d) (21, 27)

10 Quel nuage de points a le plus grand coefficient de corrélation linéaire ? a) y

b) y

0

c) y

0

x

d) y

0

x

0

x

x

11 Quelle formule s’appliquant à un triangle ne fait pas intervenir de mesure d’angle ? a) La formule trigonométrique

b) La loi des cosinus

c) La loi des sinus

d) La formule de Héron

12 Dans le plan cartésien, quelle est la distance entre les points A(4, 3) et B(26, 2) ? b) 101

a) 101

d) 5

c) 5

13 Quelle équation correspond à la forme symétrique de l’équation y  4x  5 ? yy

yy

xx + = 111 = a) 55 +  55

xx ++ = = 11 b) 44   1 55 55

44

yy

yy

xx ++ == 11 1 c) 44   55

xx ++ = = 111 d) 55  55 44

14 Quel graphique représente l’ensemble-solution de l’inéquation 3x  5y , 2 ? a)

4

4

2

2

0

2

2

4

x

4

4

0

2

2

2

4

4

d)

y

y

4

c)

2

b)

y

4

2

2

0

2

2

4

x

4

0

2

2

2

4

4

TEST DIAGNOSTIQUE

4

x

2

4

x

y

4

2

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

QUESTIONS À RÉPONSE COURTE

31 Résolvez chacun des systèmes d’équations. a) y  3x  7 23x  5y  1

b) 2x  3y  4 4x  y  26

c) y  3x2  5x  7 y  2x  1

32 Représentez graphiquement l’ensemble-solution de chacune des inéquations. a) y . 2,5x  4

b) 2x  y  23 y

0

y

x

0

x

33 L’équation d’une droite d1 représentée dans le plan cartésien est y  4x  7. Établissez l’équation d’une droite d2 qui passe par le point de coordonnées (4, 5) et qui est : a) parallèle à la droite d1 ;

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b) perpendiculaire à la droite d1.

TEST DIAGNOSTIQUE

5

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

34 Dans chaque cas, déterminez la mesure de z. a)

b)

B

B 50 m

7 cm

30 m

5 cm z

A z A

c)

75°

C

6 cm

C

B

d)

B

z

9 dm A

z

40°

11 cm

C 8 cm

30°

44°

A C

35 Déterminez la règle de chacune des fonctions. a)

4

6

b)

f (x )

g (x )

4

4

2

2

0

2

2

4

x

4

2

2

4

TEST DIAGNOSTIQUE

0 2

2

4

x

4

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

R PPEL

CHAPITRE Fonctions réelles

2

Réciproque, fonction, paramètres et propriétés 1 RÉCIPROQUE ET FONCTION • Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables.

• Une fonction est une relation entre deux variables selon laquelle à chaque valeur de la variable indépendante correspond au plus une valeur de la variable dépendante.

RAPPEL Réciproque, fonction, paramètres et propriétés.........57

SECTION 2.1 Fonction valeur absolue..........65

SECTION 2.2 Fonction racine carrée.............75

SECTION 2.3

Exemple : Soit les relations A et B .

Relation A

y

Relation B

y

20

20

16

16

12

12

8

8

4

4

Fonction rationnelle.................87

SECTION 2.4

0

4

Fonction définie par parties.....97

SECTION 2.5 Opérations sur les fonctions..........................103

MÉLI-MÉLO.............111

8

12

16

20

x

0

4

Relation A

8

12

16

x

20

Relation B

x

2

6

10

12

16

20

x

6

6

18

10

10

14

y

6

6

18

10

10

14

y

2

6

10

12

16

20

• La relation B est la réciproque de la relation A et vice versa, car les valeurs des couples de la relation B sont obtenues en intervertissant les valeurs des couples de la relation A et vice versa. Par exemple, le couple (2, 6) de la relation A devient (6, 2) dans la relation B , le couple (10, 18) de la relation A devient (18, 10) dans la relation B , et ainsi de suite.

• La relation A est une fonction puisqu’à chaque valeur de la variable indépendante correspond au plus une valeur de la variable dépendante, ce qui n’est pas le cas pour la relation B .

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CHAPITRE 2

RAPPEL

57

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

• Il est possible de déterminer algébriquement la règle ou l’équation d’une réciproque de la façon suivante.

Exemple : Déterminer la règle ou l’équation de la réciproque de la fonction f (x)  3x  12.

Démarche

1. Intervertir les variables dépendante et indépendante.

2. Isoler la variable dépendante dans

y  3x  12 x  3y  12 x 2 12  3y x

la règle ou l’équation obtenue à l’étape 1.

12 3

y x 2 4 La réciproque est une fonction.

3

y

3. Écrire la règle ou l’équation obtenue.

La règle de la réciproque est f 21(x) 

x 2 4.

3

EXERCICES

1 Dans chaque cas, indiquez si la relation est une fonction. a)

b)

y

8

y

8

8

8

4

4

4

4 0 4

c)

y

4

x

8

8

4 0 4

8

4

x

8

8

4 0 4

8

4

x

8

8

2 Dans chaque cas : 1) remplissez la table de valeurs associée à la réciproque de la relation donnée ; 2) indiquez si cette réciproque est une fonction.

a) x

2

2

y 1)

10

2

0

1

3

6

b) x

2

2

10

22

y

2

1)

x y

3

2

18

1

0

1

3

c) x

2

0

2

18

y

2

1)

x

9

2

2 13

2

3 17

2

4 2

21

5 2

25

x y

y

2)

1

2)

2)

3 Déterminez la règle ou l’équation de la réciproque de chacune des fonctions. a) f (x)  5x 2 9

58

CHAPITRE 2

RAPPEL

b) g (x) 

x  4 3

c) h (x)  27

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

4 Représentez graphiquement la réciproque de la relation donnée et indiquez si cette réciproque est une fonction. a)

10

b)

y

8

6

4

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

2

2

4

6

8

10

x

10

8

6

4

0

2

2

2

4

4

6

6

8

8

2

y

10

2

4

6

8

10

x

10

2 PARAMÈTRES MULTIPLICATIFS ET ADDITIFS • Soit les fonctions de base suivantes et la fonction transformée qui leur correspond.

Fonction de base

Fonction transformée

Fonction polynomiale du premier degré

yx

y  a(b(x 2 h))  k

Fonction partie entière

y  [x]

y  a[b(x 2 h)]  k

Fonction polynomiale du second degré

y  x2

y  a(b(x 2 h))2  k

• Des paramètres caractérisent la règle d’une fonction transformée.

JJ JJ

JJ

JJ

JJ

Les paramètres a et b sont des paramètres multiplicatifs, alors que les paramètres h et k sont des paramètres additifs.

Le paramètre a multiplie l’expression correspondant à la variable dépendante de la fonction de base et il modifie la courbe qui lui est associée de la façon suivante.

–– Étirement vertical si |a|  1 –– Contraction verticale si 0  |a|  1 –– Réflexion par rapport à l’axe des abscisses si a  0 Le paramètre b multiplie l’expression correspondant à la variable indépendante de la fonction de base et il modifie la courbe qui lui est associée de la façon suivante.

–– Étirement horizontal si 0  |b|  1 –– Contraction horizontale si |b|  1 –– Réflexion par rapport à l’axe des ordonnées si b  0 Le paramètre h est soustrait de la variable indépendante de la fonction de base. Cette soustraction se traduit graphiquement par une translation horizontale de la courbe.

Le paramètre k est additionné à l’expression correspondant à la variable dépendante de la fonction de base. Cette addition se traduit graphiquement par une translation verticale de la courbe.

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

RAPPEL

59

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

Exemples :

2

2) Soit la fonction de base y  [x].

1) Soit la fonction de base y  x2. y

y

y x2

10

5

8

4 y (0,5x )2

6

10

8

6

4

y x 2

2

2

1 2

4

6

8

y [x]

3

4

2 0 2

y [x ] 2

x

10

5

4

3

2

1 0 1

4

6

8

10

y [x 3] 1

2

3

4

5

x

2

3

4 5

• Dans la fonction transformée y  2x2, le paramètre a  21, la courbe subit une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.

• Dans la fonction transformée y  [x 2 3], le paramètre h  3, donc h  0, la courbe subit une translation vers la droite.

• Dans la fonction transformée y  (0,5x)2, le paramètre b  0,5, donc 0  |b|  1, la courbe subit un étirement horizontal.

• Dans la fonction transformée y  [x]  2, le paramètre k  2, donc k  0, la courbe subit une translation vers le haut.

• Chaque couple (x, y) d’une fonction de base peut être modifié en chacun des couples d’une fonction transformée de la façon suivante.

(

x b

h, ay

k

)

Exemple : Soit f (x)  x2 la règle d’une fonction de base, et g (x)  2(20,2(x 2 3))2 2 1 la règle d’une fonction transformée dans laquelle a  2, b  20,2, h  3 et k  21.

Couple de la fonction de base

60

CHAPITRE 2

RAPPEL

Couple de la fonction transformée

(23, 9)

⎛ 3 ⎝ 0, 2

3, 2

9

1  (18, 17)

⎞ ⎠

(0, 0)

⎛ 0 ⎝ 0, 2

3, 2

0

1  (3, 21)

(2, 4)

⎛ 2 ⎝ 0, 2

3, 2

4

1  (27, 7)

⎞ ⎠

⎞ ⎠

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

5 Dans chaque cas, déterminez la valeur des paramètres a, b, h et k.

Valeur des paramètres

Règle de la fonction transformée

a

b

h

k

a) f (x)  2(x 2 6)2 2 9

b) g (x)  23|4x 2 8|  1

c) h ( x )

2( x

7

4)

5

d) i (x)  4(10 2 x)2  6

e) j (x)  26 sin (2(x  1)) 2 3

f ) k (x) 

[25  10x] 21 2

g) l (x) 

7(26x  9)2  2 3

y

6 Chacun des graphiques ci-dessous a été obtenu en substituant 2 à la valeur de l’un des paramètres de la fonction de base illustrée ci-contre. Dans chaque cas, indiquez quel paramètre a été modifié.

4 2

4

0

2

2

x

4

2

4

a)

b)

y

4

c)

y

y

4

4

4

2

2

2

0

2

2

4

x

4

0

2

2

4

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

2

4

x

4

0

2

2

4

x

2

2

4

4

CHAPITRE 2

RAPPEL

61

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

y

7 Le graphique représente une fonction de base. Associez chaque énoncé au graphique de la fonction transformée lui correspondant.

2

8

A La valeur du paramètre a est 25.

B La valeur du paramètre a est 0,2.

4

C La valeur du paramètre b est 22.

8

0

4

D La valeur du paramètre b est 8.

4

x

8

4

E Les valeurs des paramètres h et k sont respectivement 0,5 et 3.

F Les valeurs des paramètres h et k sont respectivement 24 et 4.

2

a)

b)

y

8

8

4

4

4

0

4

4

8

x

8

0

4

x

8

0

4

8

8

e)

8

y

4

4

4

8

y

8

c)

y

8

d)

8

f )

y

4

4

4

4

8

x

8

0

4

4

8

4

8

x

y 8

0

x

8

8

4

8

4

8

4

4

8

x

8

0

4

4

4

8

8

8 Soit la fonction de base dont la règle est f (x)  x. Peut-on affirmer que selon ces deux possibilités le résultat de la représentation graphique sera le même ? Utilisez les démonstrations algébriques pour justifier votre réponse.

Possibilité A • La valeur du paramètre a est 210.

• La valeur du paramètre k est 255.

Possibilité B • La valeur du paramètre a est 25.

• La valeur du paramètre b est 2.

• La valeur du paramètre h est 24.

• La valeur du paramètre k est 215.

Réponse :

62

CHAPITRE 2

RAPPEL

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

3 PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS

2

Pour faire l’analyse d’une fonction, on s’intéresse à ses propriétés.

Propriété

Définition

Domaine

Ensemble des valeurs prises par la variable indépendante, généralement représentée par la variable x.

Codomaine ou image

Ensemble des valeurs prises par la variable dépendante, généralement représentée par la variable y.

Zéro ou abscisse à l’origine

Valeur de la variable indépendante lorsque celle de la variable dépendante est zéro.

Graphiquement, un zéro est une abscisse à l’origine, c’est-à-dire l’abscisse d’un point d’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses.

Valeur initiale ou ordonnée à l’origine

Valeur de la variable dépendante lorsque celle de la variable indépendante est zéro.

Graphiquement, la valeur initiale correspond à l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée du point d’intersection de la courbe et de l’axe des ordonnées.

Signe Sur un intervalle du domaine, une fonction est : Positif

• positive si les valeurs de la variable dépendante sont positives ;

Négatif

• négative si les valeurs de la variable dépendante sont négatives.

Variation Sur un intervalle du domaine, une fonction est : Croissance

• croissante lorsqu’une variation positive (ou négative) de la variable indépendante entraîne une variation positive (ou négative) de la variable dépendante ;

Décroissance

• décroissante lorsqu’une variation positive (ou négative) de la variable indépendante entraîne une variation négative (ou positive) de la variable dépendante ;

Constance

• constante lorsqu’une variation de la variable indépendante n’entraîne aucune variation de la variable dépendante.

Extremums Minimum

Plus petite valeur prise par la variable dépendante.

Maximum

Plus grande valeur prise par la variable dépendante.

Exemple : Cette fonction a les propriétés suivantes.

• Codomaine : [26, 6]

f(x)

• Zéros : 210, 20,75 et 12,5.

12

• Valeur initiale : 1

8 ( 12, 4)

12

• Signe : positif sur [212, 210]  [20,75, 12,5] ; négatif sur [210, 20,75]  [12,5, 13].

(9, 6)

4 ( 0,75, 0) 8

4

( 7, 6)

( 3, 6)

(12,5, 0)

(0, 1) 0

4

• Domaine : [212, 13]

4

8

12 (13, 2)

x

• Variation : croissante sur [27, 9] ; décroissante sur [212, 23]  [9, 13] ; constante sur [27, 23].

• Extremums : minimum de 26 ; maximum de 6.

8

12

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

RAPPEL

63

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

9 Pour chaque fonction, s’il y a lieu, déterminez : 1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) le ou les zéros ;

4) la valeur initiale ;

5) le minimum ;

6) le maximum.

a)

b)

f(x) 8 4

( 3, 0) 8

4 0 4

c)

g(x)

h (x) 8

8 (1,5, 4)

4 ( 1, 0) 8 4 0 4 (0, 5) 8

(3, 0) 4

8

x

(4,5, 4)

8

4 (3, 1)

(5, 0) 4

8

x

8

4 0 4

4

8

x

8

x

8

(1, 9)

1)

2)

1)

2)

1)

2)

3)

4)

3)

4)

3)

4)

5)

6)

5)

6)

5)

6)

10 Pour chaque fonction, déterminez : 1) le signe ;

a)

2) la variation.

b)

f(x) 8 4 8

4 0 4

h(x)

8

( 3, 12) 16

4

8

( 7, 0)

( 7, 0)

c)

g(x)

4

8

4 0 4 ( 3, 5) 8

x

8

8

4

8

x

8

(1, 0)

16

1)

1)

2)

2)

2)

PROBLÈME

11 Le graphique représente le niveau d’eau (en m) d’une baie selon le temps a) la durée de l’observation ;

Variation du niveau d’eau d’une baie Niveau d’eau (m) 12 ( 6, 9) ( 2, 9) 8

b) le niveau d’eau maximum atteint ; c) le niveau d’eau minimum atteint ; d) le moment où le niveau d’eau était de 0 m ;

64

CHAPITRE 2

RAPPEL

(10, 11)

4 (2, 3)

( 9, 0)

8

0

4

4

8

e) les moments où le niveau d’eau était croissant ; f ) le moment où le niveau d’eau était positif.

4

1)

écoulé depuis le lever du soleil (en h). Déterminez :

4 0 8

4

8 Temps écoulé depuis le lever du soleil (h)

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.1

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

Fonction valeur absolue

2.1.1 PROPRIÉTÉS DES VALEURS ABSOLUES • La valeur absolue d’un nombre permet de considérer ce nombre sans tenir compte de son signe.

• La valeur absolue d’un nombre x est notée |x|.

• Par définition, |x|  x si x  0 et |x|  2x si x  0.

• Les propriétés des valeurs absolues sont utiles pour la résolution d’équations dans lesquelles interviennent des valeurs absolues.

Propriété

Exemple : |22,7|  2,7 2,7  0

|x|  0

|8,9|  |28,9| 8,9  8,9

|x|  |2x|

|23,2  6,4|  |23,2|  |6,4| |220,48|  3,2  6,4 20,48  20,48

|x  y|  |x|  |y|

3,75  1,5 x x  si y  0 y y

|22,5| 

3,75 1,5 3,75 1,5

2,5  2,5

EXERCICES

1 Déterminez la valeur de chacune des expressions. a) |210|

b) |217,5|

c) |0|

d) 2|0,75|

e) 2|25|

f ) |2(239,1)|

g)

2

3

h) 2|2(22)|

2

2 Indiquez si chaque énoncé est vrai ou faux. a) |0,283|  |20,283|

b) |2127|  0

e) |12  24|  |12|  2|4|

f )

64 8

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

64

8

c) |0,01|  2|3|

d) |5,69|  |25,69|  0

g) |27  28|  2|7|  2|8|

h)

CHAPITRE 2

60 12

5

Fonction valeur absolue

65

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.1.2 FONCTION VALEUR ABSOLUE DE BASE La règle d’une fonction valeur absolue de base est de la forme suivante. f (x)  |x| Règle

Table de valeurs

Représentation graphique f (x) 4

f (x)  |x|

x

2

2

f (x)

2

1

0

1

2

1

0

1

2

2

2

2 0 2

4

2

x

4

4

2.1.3 FONCTION VALEUR ABSOLUE TRANSFORMÉE • La règle d’une fonction valeur absolue peut s’écrire sous la forme suivante, dite canonique. f (x)  a|b(x 2 h)|  k, où a  0 et b  0.

• Les propriétés des valeurs absolues permettent de transformer la règle sous la forme canonique, f (x)  a|b(x 2 h)|  k, et de l’écrire sous la forme suivante. f (x)  a|x 2 h|  k, où a  0.

• Les propriétés de cette fonction sont les suivantes.

Son domaine est R.

JJ

Son codomaine est : 1) [k, [ si a  0 ; 2) ], k] si a  0.

JJ

• La courbe associée à une fonction valeur absolue : JJ

a la forme d’un « V » formé de deux demi-droites issues d’un même point appelé sommet ;

JJ

est ouverte vers le haut si a  0 ou vers le bas si a  0 ;

JJ

est symétrique par rapport à un axe vertical dont l’équation est x  h ;

JJ

a son sommet au point de coordonnées (h, k).

• La valeur du paramètre a de la règle de la fonction correspond à la pente d’une des demi-droites de la courbe qui lui est associée. La pente de l’autre demi-droite correspond à l’opposé de la valeur du paramètre a, soit 2a.

Exemple :

f (x)

Soit la fonction f (x)  0,5|4(x 2 3)|  1. f (x)  0,5|4(x 2 3)|  1

 0,5|4|  |x 2 3|  1

 2|x 2 3|  1

Pente de la demi-droite : 2 9 6

Sommet

3

Ici, a  2, h  3 et k  1.

Son sommet est le point de coordonnées (3, 1), son domaine est R et son codomaine est [1, [.

Pente de la demi-droite : 2

9

6

0

3

3

6

9

x

3

6

9

66

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

3 Déterminez les propriétés la fonction valeur absolue de base

2

f(x)

représentée.

4

a) Règle : b) Domaine :

2

c) Codomaine : d) Zéro(s) :

4

0

2

2

4

x

e) Valeur initiale : 2

f ) Signe :

4

g) Variation :

h) Extremum : y

4 Soit la fonction valeur absolue de base f (x)  |x|. a) Représentez graphiquement la réciproque de la fonction f. b) La réciproque est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

0

x

Fonction valeur absolue

67

5 Pour chaque fonction valeur absolue, déterminez : 1) les coordonnées du sommet de la courbe ; 2) la pente de chacune des demi-droites qui forment la courbe.

a) f (x)  24,3|x 2 9|  11

b) g (x)  7|x  18| 2 32

1)

1)

2)

2)

c)

d)

h (x)

8

8

8

4 (0, 3)

4

0

4

i (x)

4

8

x

8

4

( 1, 7)

8

1)

1)

2)

2)

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

0

4

(9, 5)

4

8

x

4 8

CHAPITRE 2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

6 Déterminez les propriétés de chaque fonction valeur absolue.

2

a)

b)

f (x)

8

f(x)

8

8

4

4

0

4

4

8

x

8

0

4

4

8

x

4 (0, 3)

4

8

8

(2, 9)

1) Domaine :

1) Domaine :

2) Codomaine :

2) Codomaine :

3) Zéro(s) :

3) Zéro(s) :

4) Valeur initiale :

4) Valeur initiale :

5) Signe :

5) Signe :

6) Variation :

6) Variation :

7) Extremum :

7) Extremum :

7 Représentez graphiquement chacune des fonctions. a) f (x)  2,5|x  10| 2 35

b) g (x)  20,5|x 2 1,5| 2 2

f (x)

0

68

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

g (x)

x

0

x

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.1.4 RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION VALEUR ABSOLUE

2

De la façon suivante, il est possible de déterminer la règle d’une fonction valeur absolue, qui s’écrit sous la forme f (x)  a|x 2 h|  k, si on connaît les coordonnées du sommet et d’un autre point de la courbe, ou les coordonnées de trois points de la courbe dont deux sont situés sur la même demi-droite.

Exemples : 2) Déterminer la règle de la fonction valeur absolue g représentée graphiquement. g (x)

Démarche

1. Au besoin, déterminer les coordonnées du sommet de la courbe.

1) Déterminer la règle de la fonction valeur absolue f dont les coordonnées du sommet de la courbe sont (5, 3) et celles d’un point sont (1, 21).

Les coordonnées du sommet sont (5, 3).

B(2, 1)

0

C(5, 4)

A(1, 2)

x

Pente de la demi-droite où sont situés les points A et B : a1 

y2 x2

y1 1  x1 2

2 3 1

Pente de la demi-droite où est situé le point C : a2  2a1  23 Système d’équations formé des équations de ces deux demi-droites : y  a1 x  b1 y  a2 x  b2 22  3  1  b 4  23  5  b 1 2 b1  25 b2  19 y  3x 2 5 y  23x  19 En résolvant le système d’équations, on détermine que les coordonnées du sommet sont (4, 7).

2. Substituer les coordonnées du sommet et d’un autre point connu dans la règle de la fonction.

3. Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur du paramètre a.

4. Écrire la règle de

f (x)  a|x 2 h|  k 21  a|1 2 5|  3

21  a|1 2 5|  3 18  a|24| 18  a  4 a  4,5 f (x)  4,5|x 2 5|  3

g (x)  a|x 2 h|  k 4  a|5 2 4|  7

4  a|5 2 4|  7 3  a|1| 23  a  1 a  23 2

g (x)  23|x 2 4|  7

la fonction.

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

69

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

8 Déterminez la règle de chaque fonction valeur absolue. a)

b)

f(x)

g(x) ( 9, 9)

8

( 3, 5)

4 8

0

4

( 4, 3) 4

8

(6, 3) 0

x

x

4

8

(4, 9)

9 Déterminez la règle de la fonction valeur absolue qui correspond à chacune des tables de valeurs. a) x 1 4 9 14 19 24 2

70

f (x) 95 55 15 55 95 135

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

b) x 4 3 1 2 5 6

2 2

g (x) 2 1 5 8 17 20 2

c)

x 2 0 2 4 6 8

2

h (x) 214 26 2 2 26 214

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.1.5 RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION VALEUR ABSOLUE À UNE VARIABLE ET ZÉRO D’UNE FONCTION VALEUR ABSOLUE

2

• Il est possible de résoudre une équation valeur absolue à une variable de la façon suivante.

Démarche

1. Obtenir une équation formée d’une valeur absolue pour un des membres et d’un terme constant pour l’autre membre. Ici, on doit s’assurer que le terme constant est supérieur à zéro avant de poursuivre la résolution.

2. Éliminer la valeur absolue en appliquant la définition de la valeur absolue. On obtient alors une ou deux équations à résoudre.

3. Résoudre la ou les équations obtenues à l’étape précédente.

4. Énoncer l’ensemble-solution.

Exemple : Résoudre l’équation 3|2x  1|  39.

3|2x  1|  39 3|2x  1|  39 3 3

|2x  1|  13 La résolution peut se poursuivre car 13  0.

Puisque la valeur absolue égale 13, on a : 2x  1  13 ou 2x  1  213 2x  1  213 2x  214 x  27

2x  1  13 2x  12 x6 x  27 et x  6 ou x  {27, 6}

• Pour déterminer, si possible, le ou les zéros d’une fonction valeur absolue f, il suffit de poser f (x)  0. Ensuite, on peut résoudre l’équation.

Exemple : Déterminer le ou les zéros de la fonction f (x)  5|x  4| 2 7.

0  5|x  4| 2 7 7  5|x  4| 1,4  |x  4|

La résolution peut se poursuivre car 1,4  0.

x  4  21,4 x  25,4

x  4  1,4 x  22,6

Les zéros de la fonction f sont 25,4 et 22,6.

2.1.6 RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION VALEUR ABSOLUE À UNE VARIABLE • Il est possible de résoudre une inéquation valeur absolue à une variable de la façon suivante.

Démarche

1. Substituer un symbole d’égalité au symbole d’inégalité de l’inéquation. Obtenir une équation formée d’une valeur absolue pour un des membres et d’un terme constant pour l’autre membre. Ici, on doit s’assurer que le terme constant est supérieur à zéro avant de poursuivre.

2. Éliminer la valeur absolue en appliquant la définition de la valeur absolue. On obtient alors une ou deux équations à résoudre.

3. Résoudre la ou les équations obtenues à l’étape précédente.

4. Énoncer l’ensemble-solution à l’aide d’une droite numérique ou en extension.

Exemple : Résoudre l’inéquation 4|2x 2 3|  84.

4|2x 2 3|  84 4|2x  3|  84 4 4

|2x 2 3|  21 La résolution peut se poursuivre car 21  0.

Puisque la valeur absolue égale 21, on a : 2x 2 3  21 ou 2x 2 3  221 2x 2 3  221 2x  218 x  29

2x 2 3  21 2x  24 x  12

• Sur une droite numérique, les nombres compris entre 29 et 12 vérifient l’inéquation.

• Les nombres 29 et 12 font aussi partie de l’ensemble-solution puisque le symbole d’inégalité associé à l’inéquation est «  ».

15

12

9

6

3

0

3

6

9

12

15

x  [29, 12]

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

71

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

• Dans le cas d’une inéquation qui peut se ramener à une forme où la valeur absolue est strictement supérieure à un nombre inférieur à 0, l’ensemble-solution est alors ℜ.

Exemple : |3x  7|  10  8 |3x  7|  22 Puisque par définition, une valeur absolue est toujours positive, ici, toutes les valeurs de x dans ℜ rendront cette inéquation vraie.

EXERCICES

10 Résolvez chacune des équations. a) 8|x  11|  15  39

b) 5|x 2 8|  18  12

c) 210|4x  7|  6  6

d) 22|3x  9|  19  13

e) 3|x 2 5| 2 28  27

f ) 26|x 2 3| 2 11  220

11 Déterminez, si possible, le ou les zéros de chaque fonction.

72

a) f (x)  2|x 2 10| 2 14

b) g (x)  24|x 2 1|  10

c) h (x)  3|x  4|  6

d) i (x)  2|7x  6|  8

e) j (x)  1,5|x 2 12|  4,5

f ) k (x)  2

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

2x 2

1

5

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

12 Résolvez chacune des inéquations.

2

a) 2|x  3|  16  30

b) 8|x 2 5|  11  9

c) 3|x 2 1|  13  19

d) 22|5 2 x |  8  210

e) 25|4x  7|  18  6

f ) 10|2x  6|  15  4

PROBLÈMES

13 Le graphique montre la quantité de neige accumulée au sol dans une région du Québec depuis le début de l’hiver. Pendant combien de jours la quantité de neige accumulée est-elle d’au moins 89 cm ?

Quantité de neige accumulée (cm) 140

Quantité de neige accumulée au sol depuis le début de l’hiver

(50, 125) 120 100 80

(10, 77)

60 40 20 0

20

40

60

80

100

120

140 Temps écoulé (jours)

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

73

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

14 Dans le cadre d’un projet de construction d’une centrale électrique marémotrice, on étudie la variation du niveau de l’eau. On a observé que le niveau N (t) de l’eau (en m) varie selon la règle N (t)  20,85|t 2 4|  5,1, où t représente le temps écoulé (en h) depuis la dernière marée basse. Quelle a été la variation du niveau de l’eau au cours des trois premières heures d’observation ?

2

Réponse :

15 Un système mesure l’indice UV, I, dans une ville à l’aide de capteurs situés à différents endroits. La règle I  20,9|t 2 7|  9 permet de calculer l’indice UV au cours d’une même journée selon le temps écoulé t (en h) depuis 6 h le matin. Le système est programmé pour émettre une mise en garde lorsque l’indice UV est supérieur ou égal à 7,5. À quelle heure de la journée la mise en garde est-elle retirée ?

Réponse :

16 Un moteur thermique est doté d’un thermostat qui permet de contrôler sa chaleur. La température interne T (x) du moteur (en K) est donnée par la règle T (x)  21,1|x 2 120|  424,6, où x correspond au temps écoulé (en min) depuis son démarrage. Par mesure de sécurité, le thermostat coupe l’alimentation du moteur dès que sa température interne est supérieure ou égale à 374,66 K. Pendant combien de temps l’alimentation du moteur a-t-elle été coupée depuis son démarrage ?

Réponse :

74

CHAPITRE 2

Fonction valeur absolue

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

Fonction racine carrée

2.2.1 PROPRIÉTÉS DES RADICAUX • Les propriétés des radicaux permettent de manipuler des expressions algébriques comportant des radicaux.

Propriété

( a) n

2

a

a a a

Exemple :

a 2 a pour a  0

m

am a n , sauf si n est pair, am  0 et n  0 ab a  b

a b pour a  0 et b  0

(

25

3

85

)

2

100 49  25

a pour a  0 et b  0 b

25 5

( 8 )3 4

25

25

25

25 2

25

32 25

4

25

2

5

10

49 7  5 25

• Une expression formée de la somme (ou différence) de deux radicaux possède un conjugué qui correspond à la différence (ou somme) de ces deux mêmes radicaux.

Exemples : 1) Le conjugué de 5

3 est 5

2) Le conjugué de 2 6

3.

2 est 2 6

2.

• Rationaliser une expression écrite sous la forme fractionnaire consiste à transformer le dénominateur irrationnel en un nombre rationnel. Pour ce faire, il faut multiplier l’expression fractionnaire par une fraction-unité appropriée.

Rationalisation a a

b b Conjugué a

de b c

b a b pour b  0

b b

(

Exemple :

)

a b c a b c

b c b c b c a b c a a b c

b c b c b c b c

(

)

3 3

2 2

2 3 2

2 2

9

8 5

9

8 5

pour b  0, c  0 et b  c Conjugué a

de b c

(

(

pour b  0, c  0 et b  c

(

9

8 5

)

4

10 3

Conjugué 4

de 10 3

4 10

)

3

(

4 10 3 4 10 3

10 3 10 3 10 3

9 8 5

)

3( 8 5 )

)

a b c a b c

b c b c b c a b c a a b c

b c b c b c b c

(

9 8 5 8 5

8 5 8 5

Conjugué 9

de 8 5

(

4 10 3

) )

7

• Dans une expression simplifiée, le radicande est généralement présenté de façon qu’il ne peut s’exprimer comme un produit de nombres naturels dont au moins un est un nombre carré supérieur à 1.

Exemple :

180  36  36

5 5

6 5

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

75

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

1 Exprimez chacune des expressions à l’aide d’un seul radical, puis simplifiez le radicande au besoin. a)

b) 35

3 5

c) 144

7

d) 21 15

2

2 Écrivez chacune des expressions suivantes de façon à éliminer le ou les radicaux au dénominateur. a)

e)

7

5

b)

5 19

11

f )

4

2

c)

1 13

7

g)

2

6

d)

2 3

5

1

h)

3 3

10 6 2

2.2.2 FONCTION RACINE CARRÉE DE BASE La règle d’une fonction racine carrée de base est de la forme suivante.

x , où x  0.

f (x)  Règle

f (x) 

Table de valeurs

x

Représentation graphique

x

0

1

4

9

16

f (x)

0

1

2

3

4

f (x) 10 8 6 4 2 0

76

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

4 8 12 16 20 x

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

2.2.3 FONCTION RACINE CARRÉE TRANSFORMÉE

Fonction polynomiale y du second degré 10 f (x) x 2

• La réciproque d’une fonction polynomiale du second degré correspond à une relation définie par deux fonctions racines carrées.

a b( x

h)

a b( x f ( x)

h) a

4 2 10

8

6

4

k, et de l’écrire sous la forme suivante. (x

h)

Fonction racine carrée g(x) x

6

k , où a  0 et b  0.

• Les propriétés des radicaux permettent de transformer la règle sous la forme canonique, f ( x)

Axe de symétrie y x

8

• La règle d’une fonction racine carrée peut s’écrire sous la forme suivante, dite canonique. f ( x)

DATE _________________________

2 0 2

2

6

8

x

10

Fonction racine carrée h(x) x

4

6

k, où a  0.

4

8

10

• Les propriétés de cette fonction sont les suivantes.

JJ JJ

JJ

Les coordonnées du sommet de la courbe qui lui est associée sont (h, k).

Son domaine est : 1) [h, [ si la règle est de la forme f ( x)

a x

2) ], h] si la règle est de la forme f ( x)

a

Son codomaine est : 1) [k, [ si a  0 ;

h (x

k ; h)

k.

2) ], k] si a  0.

Exemples : 1) Soit la fonction f ( x)

2 x

f(x) 8

( 6, 5)

4 8

0

4

4

4

8

x

6

5.

2) Soit la fonction g(x )

Ici, a  22, h  26, k  5 et la règle de la fonction est de la forme f ( x) a x h k. Le domaine de la fonction est [6, [ et son codomaine est ], 5].

8

(x

2

g (x) (4, 7)

8 4 8

0

4

4

8

x

4

8

4)

7.

Ici, a  22, h  4, k  7 et la règle de la fonction est de la forme fg ( (xx)) a ( x h)

k.

Le domaine de la fonction est ], 4] et son codomaine est ], 7].

EXERCICES

3 Déterminez les propriétés la fonction racine carrée de base représentée.

f (x) 10

a) Règle : b) Domaine : c) Codomaine :

8 6

d) Zéro : e) Valeur initiale : f ) Signe :

4 2

g) Variation : h) Extremum : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

0

4 CHAPITRE 2

8

12

16

Fonction racine carrée

20 x

77

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

4 Pour chaque fonction racine carrée, déterminez :

2

1) les coordonnées du sommet de la courbe ; 2) le signe du paramètre a ; 3) le signe devant le radicande dans la règle.

a)

b)

f (x)

8

h(x)

8

8

4

4

4

2

0

4

c)

g (x)

4

x

8

8

0

4

x

4

0

2

8

8

2

4

x

2

8

4

4

4

4

1)

1)

1)

2)

2)

2)

3)

3)

3)

5 Déterminez les propriétés de chaque fonction racine carrée. a)

b)

f (x)

g (x)

8 4

16

( 3, 0) 8

( 77, 0) 0

4

( 4, 3)

4

8

x

80

0

40

4

x

16

1) Domaine :

1) Domaine :

2) Codomaine :

2) Codomaine :

3) Zéro :

3) Zéro :

4) Valeur initiale :

4) Valeur initiale :

5) Signe :

5) Signe :

6) Variation :

6) Variation :

7) Extremum :

7) Extremum :

Fonction racine carrée

80

8

CHAPITRE 2

40

8

78

(0, 14)

8

(0, 3)

(4, 18)

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

6 Sachant que les règles des fonctions f, g et h sont f ( x) et h ( x)

6 x

7

7 x

6

GROUPE _________________________

13, g ( x)

(x

3

4)

DATE _________________________

23

11, calculez, si possible :

2

a) f (10) b) g (20) c) h (2)

f ) h (13)

g (0) d) f (23) e)

7 Représentez graphiquement chaque fonction. b) g ( x)

a) f ( x) 2 x 9 8

3 x

x

0

(x

16)

12

g (x)

f (x)

c) h ( x )

6,25

d) i ( x )

4

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

2

(x

4)

10

i(x)

h(x)

0

x

0

x

0

CHAPITRE 2

x

Fonction racine carrée

79

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.2.4 RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION RACINE CARRÉE Il est possible de déterminer la règle d’une fonction racine carrée, qui s’écrit sous la forme f ( x) les coordonnées du sommet et d’un autre point de la courbe de la façon suivante.

(x

a

h)

k, si on connaît

Exemple : Déterminer la règle de la fonction racine carrée f représentée graphiquement. f(x) 16

Démarche

12 (1, 8)

8 4 8

4

(5, 2)

0

4

x

8

1. D’après l’orientation de la courbe, déduire si le radicande est multiplié par un facteur 1 ou 21.

Puisque la courbe est orientée vers la gauche par rapport au sommet, le radicande est multiplié par un facteur 21. La règle a ( x h) k . est de la forme f ( x)

2. Substituer les coordonnées du sommet et d’un autre point connu dans la règle de la fonction.

f ( x)

a

(x

h)

k

8

a

(1 5)

2

3. Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur du paramètre a.

8

a

(1 5)

6

a

( 4)

6 a

a 4 3

4. Écrire la règle de la fonction.

f ( x)

(x

3

2

5)

2

EXERCICE

8 Déterminez la règle de chaque fonction racine carrée. a)

b)

f (x) 32

c)

g (x)

h(x) 16

32

(5, 33)

16

16

(2, 19)

8

(11, 7)

( 20, 8)

32

0

16

16

32

32

0

16

16

32

CHAPITRE 2

16

80

x

Fonction racine carrée

32

16 32 (18, 5)

x

16

0

8

8

8 (2, 5)

16

x

16

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.2.5 RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION RACINE CARRÉE À UNE VARIABLE ET ZÉRO D’UNE FONCTION RACINE CARRÉE

2

• Il est possible de résoudre une équation racine carrée à une variable de la façon suivante.

Démarche

Exemple : Résoudre l’équation 2 x

1. Obtenir une équation dans laquelle l’un des deux

2 x

membres est formé d’un radical et l’autre, d’un terme constant. Ici, on doit s’assurer que le terme constant est supérieur ou égal à zéro avant de poursuivre la résolution.

11

1

9

2 x

11

8

x

11

4

11

1

9.

La résolution peut se poursuivre car 4  0.

2. Puisque le radicande doit toujours être supérieur ou égal

x  11  0 x  211

à zéro, déterminer la restriction qui doit s’appliquer.

(

3. Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 en élevant chaque membre de l’équation au carré. S’assurer que la solution ne soit pas contradictoire à la restriction déterminée à l’étape précédente.

x

)

11

2

42

x  11  16 x  5 et 5  211.

• Pour déterminer, si possible, le zéro d’une fonction racine carrée f, il suffit de poser f (x)  0. Ensuite, on peut résoudre l’équation.

Exemple : Déterminer le zéro de la fonction f (x)  4 ( x 1) 2 12.

Restriction : 0  4 ( x 1) 2 12 2(x  1)  0 12  4 ( x 1) x  21 3 ( x 1)

(

)

2

3322  ( x 1) 9  2(x  1) x  210 et 210  21.

La résolution peut se poursuivre car 3  0.

Le zéro de la fonction f est 210.

2.2.6 RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION RACINE CARRÉE À UNE VARIABLE Il est possible de résoudre une inéquation racine carrée à une variable de la façon suivante.

Exemples :

1. Obtenir une inéquation dans laquelle le radical est isolé. Ici, on doit s’assurer que le terme constant est supérieur ou égal à zéro avant de poursuivre la résolution. S’il ne l’est pas, mais que le symbole de l’inéquation est  ou  que ce nombre, alors la solution sera déterminée à l’étape 2.

2. Puisque le radicande doit toujours être supérieur ou égal à zéro, déterminer la restriction qui doit s’appliquer.

3. Résoudre l’inéquation obtenue à l’étape 1 en élevant chaque membre de l’inéquation au carré.

4. Déduire l’ensemble-solution en comparant l’ensemble-solution obtenu à l’étape 3 et la restriction obtenue à l’étape 2.

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

2) Résoudre l’inéquation

1) Résoudre l’inéquation

Démarche

2 x

9

9

17

2 x

7

2 x

9

10

x

9

5

7

0,5 x

17.

6

3

10 .

0,5 x 6  3  10 20,5 x 6  13

x 6  226

2

La résolution peut se poursuivre car 5  0.

La résolution ne peut se poursuivre, car 226  0. Toutefois, le radical doit être supérieur ou égal à 226, donc on poursuit à l’étape 2.

x290 x9

x60 x  26

(

x

9

)

2

52

Ne s’applique pas.

x 2 9  25 x  34 Puisque x  34 et x  9, on déduit que l’ensemble-solution est [9, 34].

Puisque x  26, on déduit que l’ensemble-solution est [26, [.

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

81

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

9 Résolvez chacune des équations. a) 5

3

(x

d) 228  25

82

CHAPITRE 2

7)

(x

2

12)  2

Fonction racine carrée

b) 4 2x

9

e) 26 x

15  4  13

5

27

c) 2 x

11 18

10

f ) 14  3 8 x  2

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

10 Déterminez, si possible, le zéro de chaque fonction. a) f ( x)

d) i (x) 

(x

3

(x

2)

4,5

6) 2 4

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

b) g ( x)

4 x

e) j (x)  20,5

5

(2 x

12

3)  1

c) h ( x)

2 6

x

2

10

f ) k (x)  7 5 x 2 17,5

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

83

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

11 Déterminez l’ensemble-solution de chaque inéquation.

2

a) 2 11

d) 7

84

x

3

CHAPITRE 2

29  27

(x

6)

5

Fonction racine carrée

b) 3

(x

e) 4 x

7)

8

33

19  1

42

c) 18

5 x

f ) 2 x

14

1

3

13  5

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

PROBLÈMES

12 La valeur V(n) (en $) d’un placement en bourse varie selon la règle V(n)

15 000 n

150 000, où n représente

le temps écoulé (en mois) depuis l’achat des actions. a) Quelle est la valeur de la somme investie ?

Réponse : b) Voulant minimiser les pertes possibles, l’investisseur décide de vendre ses actions dès qu’elles atteindront la moitié de leur valeur initiale. À quel moment vendra-t-il ses actions ?

Réponse :

13 Les valeurs marchandes V1 et V2 (en k$) de deux propriétés varient respectivement selon les règles f (Vt)1  10 t 350 etg(Vt)2  5 10 t 300 , où t représente le temps écoulé (en années) depuis l’achat de ces propriétés. a) Après combien d’années les deux propriétés auront-elles la même valeur ?

Réponse : b) Quelle sera la valeur des propriétés à ce moment ?

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

85

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

14 Isaac Newton a été le premier scientifique à formuler la théorie de la gravitation universelle. Aujourd’hui, grâce à ses travaux, on sait que la relation entre la distance parcourue d (en m) par un corps en chute libre sur la Terre

2

d

et le temps t (en s) est donnée par la règle t  4,9 . a) Quel est le temps de chute d’un objet tombant en chute libre sur une distance de 234 cm ?

Réponse : b) De quelle hauteur est tombé un objet qui a chuté pendant 3,2 s ?

Réponse : c) Au cours d’une expérience en physique, un élève, dont la taille est d (en m), monte sur un comptoir situé à 1,2 m du sol afin d’y laisser tomber une balle d’une certaine hauteur. Si on cherche à connaître le temps t (en s) de la chute jusqu’au sol, quelle est la règle associée à cette situation ?

15 Lors d’un événement, on utilise des drones pour filmer et photographier les spectateurs présents. La règle A(t)  4,8 t  4 représente l’altitude A (en m) atteinte par un drone au cours de sa montée selon le temps écoulé t (en s) depuis le début de son utilisation. Pour des raisons de sécurité, ces appareils doivent avoir une altitude inférieure ou égale à 100 m. Après combien de temps le drone devient-il un danger ?

Réponse :

16 Une technicienne de laboratoire doit s’assurer de contrôler le pH de cultures bactériennes. Les conditions de 1,2 t 4 permet prolifération d’une bactérie sont optimales lorsque le pH est de 5,4 à 6,8. Si la règle P (t ) d’évaluer l’évolution du pH d’une culture, P (t), en fonction du temps t (en h), déterminez pendant combien de temps les conditions de prolifération étaient optimales.

Réponse :

86

CHAPITRE 2

Fonction racine carrée

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2.3

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

Fonction rationnelle

2.3.1 FONCTION RATIONNELLE DE BASE La règle d’une fonction rationnelle de base est de la forme suivante.

1 x

f (x)  , où x  0.

Règle

Table de valeurs

Représentation graphique f (x) 4

f (x) 

x

1 x

f (x)

4

2

0,25

2

2 2

1 1

2

0,5

0,1

1

2

2

10

1

0,5

2

2

4

2 0 2

2

x

4

4

2.3.2 FONCTION RATIONNELLE TRANSFORMÉE • La règle d’une fonction rationnelle transformée peut s’exprimer sous les formes suivantes. f (x) 

a  k, où a  0, b  0 et x  h. b( x h)

f (x) 

a1 x a2 x

b1 , où a1x  b1, a2x  b2 et a2  0. b2 a

• Des manipulations algébriques permettent de transformer la règle sous la forme canonique, f (x)  b( x et de l’écrire sous la forme suivante. f (x) 

a x

h

 k,

h)

 k, où a  0 et x  h.

• Il est possible de passer d’une forme à une autre de la règle, selon le cas, de la façon suivante.

Cas

a k b( x h) a k ⇒ f (x)  x h

1) f (x) 

2) f (x) 

⇒ f (x) 

Effectuer une division par b au numérateur et au dénominateur Démarche de l’expression rationnelle.

Soit la fonction f (x)  f (x)  Exemple :



10  6.

4( x 1)

10 4 6 4( x 1) 4 2,5 6 x 1

La règle peut s’écrire f (x) 

a1 x a2 x

2,5  6. x 1

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

b1 b2 a

x

h

3) f (x) 

a

k

x

h a1 x ⇒ f (x)  a2 x

k

b1 b2

Utiliser des expressions équivalentes ayant le même numérateur de l’expression rationnelle par son dénominateur. dénominateur.

2. Écrire la règle et se référer au cas 1) au besoin.

1. Effectuer la division du

Soit la fonction f (x)  18x 2 5 2 (18x 2 144) 139 La règle peut s’écrire 139  18. f (x)  x 8

18x 5 . x 8

x28 18

Soit la fonction f (x)  f (x)  

2



x

5

3x x

13 5

3( x x

2 x

5

5) 5

La règle peut s’écrire f (x) 

CHAPITRE 2

 3.

3x x

Fonction rationnelle

13 .

5

87

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

• Dans la représentation graphique d’une fonction rationnelle dont la règle s’écrit f (x) 

a x

h

DATE _________________________

 k :

JJ

la courbe, nommée hyperbole, est formée de deux branches symétriques ;

JJ

les droites d’équation x  h et y  k constituent respectivement l’asymptote verticale et l’asymptote horizontale de la courbe ;

JJ

le point d’intersection des deux asymptotes correspond au centre de l’hyperbole et ses coordonnées sont (h, k).

• Les propriétés d’une fonction rationnelle dont la règle est sous sa forme canonique sont : JJ

Domaine : ℜ\{h}

JJ

Codomaine : ℜ\{k}

JJ

Zéro :   h, si k  0.

JJ

Valeur initiale :   k, si h  0.

JJ

Variation : Croissante ou décroissante sur ℜ\{h}.

JJ

Extremum : Aucun.

a k

a h

Exemple : Dans la représentation graphique de la fonction f (x) 

f (x)

3 x

2

 1 :

• les droites x  2 et y  1 représentent respectivement les asymptotes verticale et horizontale de la courbe ;

Asymptote : y 1

Asymptote : x 2

4

• les coordonnées du centre de l’hyperbole sont (2, 1) ;

8

0

4

• le domaine est ℜ\{2} et le codomaine, ℜ\{1} ;

4

x

8

4

• la fonction est décroissante sur ℜ\{2} ; • le zéro est 

8

Centre de l’hyperbole (2, 1)

8

3 3  2  1 et la valeur initiale,   1  0,5.

1 2

EXERCICES

1 Voici la représentation graphique de la fonction rationnelle de base.

f(x)

a) Déterminez ses propriétés.

4

1) Règle :

2

2) Domaine : 3) Codomaine : 4) Zéro :

4

0

2

2

4

x

2

5) Valeur initiale : 4

6) Signe :

7) Variation :

8) Extremum :

b) Quelle est la règle de sa réciproque ?

88

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

2 Selon le cas, récrivez chaque règle de la fonction rationnelle sous la forme f (x)  a) f (x) 

8x 9

x 1

d) i (x)  28  4

g) l (x) 

b) g (x) 

9  1 x6

6x

1

x 7

e) j (x)  4x 10

32  5 x  13

h) m (x)  6x 5

12x

1

a x

h

DATE _________________________

 k ou f (x) 

c) h (x) 

18x 70 x 8

f ) k (x) 

17 3 x  35

i ) n (x) 

16  10 3x 5

3 Déterminez les propriétés de la fonction rationnelle.

a1 x a2 x

b1 . b2

f (x)

a) Domaine : 8

b) Codomaine : c) Zéro : ( 3, 2)

d) Valeur initiale : e) Signe :

8

4

0

4

4

8

(0, 23 ) 4 ( 1, 0)

8

x

f ) Variation :

g) Extremum : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

89

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

4 Représentez graphiquement chaque fonction.

2

a) f (x)  x

1 2

b) g (x)  x

 3

3 4

g (x)

f (x)

0

5x

c) h (x)  x

22

0

x

6x

3

4

x

1

d) i (x)  2x 5

i(x)

h(x)

0

0

x

x

5 Pour la courbe associée à chaque fonction rationnelle, déterminez : 1) les équations des asymptotes ; 2) les coordonnées du centre de l’hyperbole.

3,4

a) f (x)  x 7 2 9

90

b) g (x) 

4x x

3

5

12x

c) h (x)  2x

1)

1)

1)

2)

2)

2)

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

5 1

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.3.3 RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION RATIONNELLE Il est possible de déterminer la règle d’une fonction rationnelle, qui s’écrit sous la forme f (x) 

a x

h

2

 k,

si on connaît les coordonnées d’un point de la courbe et les coordonnées du centre de l’hyperbole de la façon suivante.

Exemple : Déterminer la règle de la fonction rationnelle représentée graphiquement. f (x) x 4 y 2

8

Démarche

4

8

4 0 4

4

8

(7, 1) x

8

1. Déterminer les coordonnées (h, k) du centre de l’hyperbole.

Puisque les équations des asymptotes sont x  4 et y  2, les coordonnées (h, k) du centre de l’hyperbole sont (4, 2).

2. Substituer les coordonnées du centre de l’hyperbole et d’un point connu de la courbe dans la règle de la fonction.

f (x)  1

a x

h a

7

4

k 2

a 2 7 4 a 1 2 3 a 21  3

3. Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur du paramètre a.

1

a  23 4. Écrire la règle de la fonction.

3

f (x) 

x

4

2

EXERCICE

6 Déterminez la règle de chaque fonction rationnelle. a)

b)

f (x)

g(x)

c) h (x)

16

4

8

2

16 8 (2, 5)

( 4, 3)

16

0

8

8

16

x

8

16

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

16

8 0 (1, 4) 8

16

8

16

(5, 6)

x

0

(7, 0,5) 2

4

6

8

10 x

2

4

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

91

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

2

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2.3.4 RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE ET ZÉRO D’UNE FONCTION RATIONNELLE • Il est possible de résoudre une équation rationnelle à une variable de la façon suivante.

Démarche

Exemple : Résoudre l’équation

1. Obtenir une équation dans laquelle un membre est formé d’une expression rationnelle et l’autre, d’un terme constant. Ici, on doit s’assurer que le dénominateur de l’expression rationnelle est différent de zéro.

2. Résoudre l’équation obtenue en tenant compte des règles de transformation des équations. Ne pas oublier de considérer la restriction.

6x 2x

1  2  7.

3

Restriction : 2x  3  0 x  21,5

1 27 3 6x 2x

6x 2x

1 5 3

6x  1  5(2x  3) 6x  1  10x  15 24x  14 x  23,5 et 23,5  21,5.

• Pour déterminer, si possible, le zéro d’une fonction rationnelle f, il suffit de poser f (x)  0. Ensuite, on peut résoudre l’équation.

Exemple : Déterminer le zéro de la fonction f (x)  0 2

5 x

6

22

5 x

6

Restriction : x60 x  26

5 x

6

2 2.

2(x  6)  25 2x  12  25 x  28,5 et 28,5  26.

Le zéro de la fonction f est 28,5.

2.3.5 RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION RATIONNELLE À UNE VARIABLE Il est possible de résoudre une inéquation rationnelle à une variable de la façon suivante.

Démarche

1. Remplacer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité.

2. Obtenir une équation dans laquelle un membre est formé d’une expression rationnelle et l’autre, d’un terme constant. Ici, on doit s’assurer que le dénominateur de l’expression rationnelle est différent de zéro.

Exemple : Résoudre l’inéquation 12  12 

18  3. x 6

18 3 x 6

18 3 x 6 18 9 x 6

12 

Restriction : x60 x  26

3. Résoudre l’équation obtenue en tenant compte des règles habituelles de transformation des équations.

9(x  6)  18 9x  54  18 9x  236 x  24

4. Représenter les valeurs critiques obtenues aux étapes 2 et 3 sur une droite numérique par des points pleins ou vides selon le cas. Ou déduire l’ensemble-solution en substituant à x dans l’inéquation de départ une valeur quelconque autre que les valeurs critiques.

92

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

6

5

4

3

2

1

0

ou x  ]26, 24]

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

EXERCICES

2

7 Résolvez chacune des équations. a) x

32

7x

d) 2x

2

 9  25

12  5 3

b) 2x

3x

e) 3

2 3,5

 15  19

2  28 x

4

c) x 9  7  11

f )

14x 4x

2

13 6 1

8 Déterminez, si possible, le zéro de chaque fonction.

6

a) f (x)  x 9  5

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16

b) g (x)  2x 1 2 4

3x

11

c) h (x)  7x 5

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

93

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

d) i (x) 

2

2 3x

1

 1

e) j (x) 

x 5x

0,5  1,5 8

GROUPE _________________________

f ) k (x) 

6x 3x

DATE _________________________

17 27 4

9 Déterminez l’ensemble-solution de chaque inéquation. a) x

36  8  2 4

d) 8 

94

7 x

1

CHAPITRE 2

 2

Fonction rationnelle

3

b) x 5  6  4

e)

3 x

6

 5  10

10x

c) 3x

f ) 1 

1 5 4

2x 9x

3 5

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

PROBLÈMES

10 En chimie, il existe plusieurs relations entre les caractéristiques des gaz. Par exemple, la température finale T2 (en °C) d’un gaz peut être calculée à l’aide de la formule T2 

P2 (T1

273)

P1

 273, où T1 représente la température

initiale (en °C) du gaz, et P1 et P2 représentent respectivement la pression initiale et finale (en kPa) du gaz.

Quelle est la température finale d’un gaz dont la température initiale est de 25 °C et dont la pression passe de 124 kPa à 225 kPa ?

Réponse :

11 Marianne fabrique des produits d’artisanat qu’elle désire vendre dans un salon d’exposants. Le coût de location d’un kiosque pour toute la durée de l’événement est de 350 $. Elle prévoit faire un profit de 15 $ par article vendu. La règle P (n)  nombre n d’articles vendus.

15n

350 n

permet de calculer le profit moyen P (n) par article (en $) en fonction du

a) Quelles sont les équations des asymptotes de la courbe et que représentent-elles dans ce contexte ?

Réponse : b) Combien Marianne doit-elle vendre d’articles afin que le profit moyen soit de 6,25 $ par article ?

Réponse :

12 Une équipe sportive désire faire fabriquer des t-shirts comme moyen promotionnel. La fabrication du logo et du lettrage pour l’ensemble des t-shirts coûte un prix fixe de 336 $. Chacun des t-shirts coûte 6 $ à l’exception des 20 premiers t-shirts qui sont gratuits à l’achat d’un minimum de 21 t-shirts.

Combien de t-shirts doivent être commandés pour que le coût moyen par t-shirt soit de 12 $ sachant que la promotion pourra s'appliquer ?

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

95

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

13 Pour une sortie scolaire dans un parc d’attractions, chaque élève doit défrayer sa part du coût du transport. La location d’un autobus coûte 550 $. De plus, les élèves doivent payer un coût d’entrée de 35 $ chacun. Sachant qu’un autobus ne peut pas transporter plus de 48 élèves, combien d’élèves doivent participer à l’activité pour que le coût de la sortie soit d’au maximum 50 $ par élève ?

2

Réponse :

14 La relation C1V1  C2V2 est utile lorsqu’on veut modifier la concentration initiale C1 (en mol/L) d’un volume initial V1 (en ml) d’une solution en lui ajoutant une quantité x de solvant ajouté (en ml). La relation peut alors s’écrire C1V1

C2  x V , où C2 est la concentration finale (en mol/L) de la solution.

1 a) Quelle quantité de solvant faut-il ajouter à une solution de 250 ml de NaOH dont la concentration est de 2,8 mol/L afin d’obtenir une concentration de 2,1 mol/L ?

Réponse : b) Tracez le graphique représentant cette relation pour une concentration de départ de 0,25 mol/L et un volume initial de 500 ml.

96

CHAPITRE 2

Fonction rationnelle

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

ÉLI-

GROUPE _________________________

DATE _________________________

ÉL0

2

QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE

1 Quelle expression représente la forme rationalisée de l’expression a) 2

b) 2

3

c) 6

3

2 ?

3

d) 3

3

2

2 Quelles sont les équations des asymptotes associées à la représentation graphique de la fonction f (x) 

6

x

5

2 4 ?

a) x  25 et y  24

b) x  5 et y  26

c) x  26 et y  24

d) x  5 et y  24

3 Quelle expression est fausse ? a) |7|  |8|  |256|

b) |7|  |28|  2|56|

c) |27|  |8|  |56|

d) |27|  |28|  |256|

4 Quel point n’appartient pas à la courbe de la fonction f dont la règle est f ( x) a) A(21, 22)

b) B(7, 18)

5 x

3

c) C(3, 8)

8 ?

d) D(11, 10 2

8)

5 Quel est l’ensemble-solution de l’équation 23|x 2 8|  33  12 ? a) x  { }

b) x  {1}

6 Soit les fonctions f (x)  5x 2 4 et g ( x) a) (g  f )(x)  2 5x

12

c) (g  f )(x)  10 x

8

11 7

c) x  {15} 2 x

8

d) x  {1, 15}

11. Quelle est la règle de la fonction composée g  f ? b) (g  f )(x)  2 6x

12

d) (g  f )(x)  10 x

8

11 51 f (x )

7 Quels sont les signes des paramètres a et b de cette fonction racine carrée ?

8

a) a  0 et b  0

4

b) a  0 et b  0

c) a  0 et b  0

8

0

4

4

8

x

4

d) a  0 et b  0 8

8 Quelle est la valeur de f (10) sachant que f (x)  7,2|x 2 14|  9 ? a) f (10)  219,8

b) f (10)  14,14

c) f (10)  37,8

d) f (10) n’a aucune solution dans R.

9 Quelle fonction n’a pas de zéro ?

6,9

a) f (x)  x 12 2 8 3x

5,1

c) h (x)  4x 1,8

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

b) g ( x) d) i ( x)

2,4 x 3,9 x

13

7,1

6

9,5

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

111

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

10 Quelle est la règle de cette fonction rationnelle ?

2

f (x)

4

16

5

8

a) f (x)  x 5  3 b) f (x)  x 9  2 4

16

c) f (x)  x 5  3 d) f (x)  x

4

0

8

8

8

5 3

6x x

(5, 3)

(9, 2)

16

40

7

8

b) h (x)  x 7

2 x

7

 6 ?

2

c) i (x)  x 6  7

12 Laquelle de ces solutions en est une possible pour l’équation 2 x 15 a) x  31

b) x  1

16

32

(x

3

2)

16

8

8

0

8

16

x

16

8

d)

16

x

f (x) 16

8

8

0

8

16

16

8

x

f (x)

16

8

16

16

8

24 ?

4 ?

0

8

c)

8

16

x

16

0

8

8

8

16

16

14 Quel est le domaine de la fonction correspondant à f  g sachant que f (x)  a) R

b) R\{3}

a) f (38)  26

b) f (38)  251

7x 4x

16 et g (x)  5x 2 10 ?

12

c) R\{2, 3}

15 Quelle est la valeur de f (38) si la règle de la fonction f est f ( x)

4

d) R\{2} (x

13)

6 ?

c) f (38)  34,57

d) f (38) n'a aucune solution dans R.

16 Quelle fonction n’a pas de valeur initiale ?

4,1

a) f (x)  x 17  32 5x

2,4

c) h (x)  2x 6,1

112

CHAPITRE 2

42 7

f (x)

16

8

6x x

d) Aucune de ces réponses

b)

f (x)

d) j (x) 

c) x  231

13 Quelle représentation graphique correspond à la fonction f ( x) a)

x

16

11 Quelle règle est équivalente à la règle f (x)  a) g (x) 

DATE _________________________

MÉLI-MÉLO

b) g( x)

8

(x

3,7)

19

d) i (x)  27,2|x  15| 2 12 © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

QUESTIONS À RÉPONSE COURTE

2

17 Rationalisez le dénominateur de chaque expression. a)

d)

9 20 15 b) c) 2 3 5

5 2 2

4 10 7

e)

f )

15 6 5

18 Selon le cas, écrivez la règle de chaque fonction rationnelle sous la forme f (x)  a) f (x)  16  4 x 9

15x 6

d) i (x)  x 7

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b) g (x) 

e) j (x) 

7x 15

2x 6

18  6 4x 12

a1 x a2 x

c) h (x) 

b1 ou f (x)  a kk. x h b2 23 2x

5

3x

7

6

f ) k (x)  12x 8

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

113

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

19 Soit les règles des fonctions f, g et h.

2

f (x)  8|x 2 4|  1 g( x)

5 x

3

2

11 h (x)  x 5 2 6

Calculez : g (12) a) f (7,2) b) h (22) c)

d) h (0) e) f (29) f) g (26)

20 Déterminez la règle de chaque fonction. a)

b)

f(x)

16

16

16

8

( 2, 8) 8

( 3, 3) 0

8

8

8

16

114

CHAPITRE 2

g(x)

MÉLI-MÉLO

16

x

16

0

8

8

16

x

8

16

(14, 12)

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

c)

GROUPE _________________________

d)

h (x)

i (x)

16

16

0

8

2

16 ( 16, 6)

8

DATE _________________________

8

16

x

8

16

8

0

8

8

16

8

x

16

(9, 9)

16

21 Déterminez le ou les zéros de chaque fonction. a) f (x) 

8 x

1

 4 b) g ( x) 3,5 x 12

14 c) h ( x) 2 4x

5

6,8

22 Soit les règles des fonctions f, g et h. f (x)  3x  2 g (x)  24|x  6| 2 11 h (x)  2x2  5x 2 1 Déterminez la règle de la fonction k qui correspond à : a) f  g b) h (f (x)) c) hf

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CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

115

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

23 Déterminez les propriétés de chaque fonction.

2

a)

g(x)

b)

f (x)

80

8

40

4 ( 5, 0) 8

( 40, 30)

(3, 0)

0

4

4

8

x

80

( 35, 0) 40

4 (0, 4,5)

40 (0, 25)

8

80

( 1, 6)

0

40

1) Domaine :

1) Domaine :

2) Codomaine :

2) Codomaine :

3) Zéro(s) :

3) Zéro :

4) Valeur initiale :

4) Valeur initiale :

5) Signe :

5) Signe :

6) Variation :

6) Variation :

7) Extremum :

7) Extremum :

c)

d)

h(x)

i(x)

40

40

20

20

(20, 25)

( 10, 15)

40

0

20

( 36, 40)

116

x

80

20

40

20

40

x

40

(31, 0)

0

20

20

(35, 20)

40

20

(5, 0)

40

x (45, 20)

1) Domaine :

1) Domaine :

2) Codomaine :

2) Codomaine :

3) Zéro :

3) Zéro(s) :

4) Valeur initiale :

4) Valeur initiale :

5) Signe :

5) Signe :

6) Variation :

6) Variation :

7) Extremum :

7) Extremum :

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

24 Représentez graphiquement chaque fonction. g ( x) 2 x 5 3 c) h ( x) 3 x 7 a) f (x)  10 2 4 b) x

6

f(x)

0

h(x)

g(x)

x

2

4

x

0

0

x

25 Soit les règles des fonctions f, g et h. f (x)  25x  9 g( x)

4 x

3

24

8 h (x)  x 7 2 2

Déterminez le domaine de la fonction k sachant que : a) k (x)  g (x)  h (x) b) k (x)  h (x)  f (x) c) k (x)  f (x)  g (x)

26 Déterminez la ou les solutions de chaque équation.

8

a) 7|x 2 11|  14  42 b)  21  23 c) 3 x 6 17 20 2x 5

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CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

117

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

27 Déterminez la règle ou l’équation de la réciproque de chacune des fonctions.

2

17

a) f (x)  4(x  10)2  6 b) g (x)  x 5  8 c) h (x)  0,2 x 4

3

⎧ 20 4 si x ] , 15] ⎪ x 10 ⎪ 28 Soit la fonction définie par parties f ( x) ⎨1,5 x 5 7 si x [ 15, 3] . ⎪⎪ ⎩2 x 3 5 si x [ 3, [ Quelles sont les coordonnées des points appartenant à la courbe de cette fonction dont l’ordonnée est 7 ?

29 Déterminez l’ensemble-solution de chaque inéquation. a)

118

6 x

2

25|x  11|  4  19 c)  9  4 b) 6 2 x 5

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

12

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

QUESTIONS À DÉVELOPPEMENT

30 Avant la réfection d’une écluse, des analyses d’efficacité sont menées. Les experts remarquent qu’à l’activation des pompes, la hauteur de l’eau dans l’écluse varie selon une fonction valeur absolue. Lorsque l’écluse est remplie au maximum, le niveau de l’eau est de 10,5 m. Un cycle complet de remplissage et de vidage dure 15 min. a) Quelle est la règle de la fonction qui permet de déterminer le niveau de l’eau H (t) (en m) dans l’écluse selon le temps écoulé t (en min) depuis l’activation des pompes au moment où un cycle commence ?

Réponse : b) Après la réfection de l’écluse, le niveau maximal de l’eau peut atteindre 11,9 m. Si les mêmes pompes sont toujours utilisées, quelle est la durée d’un cycle complet ?

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

119

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

31 Lorsqu’un congélateur brise, sa température interne augmente, ce qui peut causer la perte de son contenu.

19 5

La règle f (t) 3,8 t

2

10 permet de calculer la température intérieure f (t) (en °C) d’un congélateur en fonction

du temps écoulé t (en h) depuis un bris jusqu’à ce que la température du congélateur atteigne celle de l’air ambiant. a) Dans ce contexte, à quoi correspondent les valeurs des paramètres h et k dans la règle de cette fonction ?

b) Quelle est la règle de la fonction qui permet de calculer le temps écoulé (en h) depuis le bris en fonction de la température interne (en °C) du congélateur ?

Réponse :

c) Pour des raisons de salubrité, il faut éviter que la température interne du congélateur soit supérieure à 4 °C. Dans ces conditions, combien de temps au maximum les aliments peuvent-ils être conservés après un bris ?

Réponse :

120

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

32 Les points A(15, 24) et B(5, 22) appartiennent à la courbe d’une fonction rationnelle dont la règle est de la forme f (x) 

a

x

h

. Quelle est la règle de cette fonction ?

2

Réponse :

33 Des travaux doivent être effectués sur un quai donnant sur la mer. Pour des raisons de sécurité, ces travaux doivent être effectués lorsque le niveau de la mer est de 4,5 m ou moins. À cet endroit, il y a deux cycles de marées par jour et le niveau de l’eau N (t) (en m) au cours d’un cycle varie selon le temps écoulé t (en h) depuis le début du cycle selon la règle N (t)  20,6|x 2 8|  6,9. Pendant combien de temps les travaux doivent-ils être interrompus chaque jour ?

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

121

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

34 Dans une entreprise, le salaire de la directrice générale est de 125 000 $ et celui d’un directeur adjoint est de 85 000 $.

2

a) Si l’entreprise compte n directeurs adjoints, quelle est la règle de la fonction qui permet de calculer le salaire S (n) (en $) moyen de tous les membres de la direction ?

b) Combien l’entreprise compte-t-elle de directeurs adjoints si le salaire moyen de l’équipe de direction est de 89 000 $ ?

Réponse :

35 Deux oiseaux poursuivent une proie en vol. Les règles suivantes permettent de calculer la hauteur h (t) (en m) de l’oiseau A, de l’oiseau B et de la proie en fonction du temps écoulé t (en s) depuis le début de la poursuite.

Quel oiseau rejoindra la proie le premier ?

Oiseau A h1 (t) t 7

h2 (t)

Oiseau B t 3

9

Proie h3(t)  5

Réponse :

122

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

SP

36

GROUPE _________________________

DATE _________________________

La démographie urbaine Une démographe spécialisée dans l’analyse démographique urbaine a analysé la variation de la population de trois villes de la Montérégie. Elle a ensuite modélisé la variation de la population, pour les 20 prochaines années, de chacune des villes à l’aide d’une fonction.

Ville

A

B

C

Type de fonction

Racine carrée

Rationnelle

Valeur absolue

Caractéristiques

Coordonnées du sommet de la courbe : (0, 20) Quatre ans après le début de l’étude, la population sera de 28 000 habitants.

Équations des asymptotes de la courbe : x  210 y  35

Coordonnées du sommet de la courbe : (10, 45)

20

31

15

Population au début de l’étude (en milliers)

À l’aide de ces modèles, déterminez quel sera l’écart de la population entre la ville la plus populeuse et la ville la moins populeuse 15 ans après le début de l’étude.

DÉMARCHE ET CALCULS

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CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

123

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

RÉPONSE

124

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

SP

37

GROUPE _________________________

DATE _________________________

Les avions de chasse Les avions de chasse volant à très grande vitesse doivent constamment lutter contre la friction exercée par l’air sur l’appareil. Lorsque la vitesse d’un avion de chasse est plus grande que celle du son, on mesure v sa vitesse en Mach. La vitesse Ma (en Mach) peut se calculer à l’aide de la relation Ma  a , où va et vs vs représentent respectivement la vitesse (en m/s) de l’avion et du son.

En altitude, la température est souvent différente de celle mesurée au niveau de la mer et la vitesse de propagation du son dans l’air est influencée par la température. La fonction vs  331,3 1

T , 273,15

où T représente la température de l’air (en °C) permet de calculer la vitesse de propagation du son en fonction de la température de l’air. La friction F de l’air (en N) exercée sur l’avion peut être obtenue à l’aide 2F

de la fonction va  1,293 .

Pendant une journée où la température est de 25 °C, un avion de chasse effectue un vol de reconnaissance en se déplaçant à une vitesse de Mach 3. Quelle est la friction de l’air exercée sur cet avion ?

DÉMARCHE ET CALCULS

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CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

125

2

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

RÉPONSE

126

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

SR

38

GROUPE _________________________

DATE _________________________

Le pendule

2

À la suite d’une défaillance du système de guidage de son appareil, une astronaute s’est échouée sur une planète inconnue. En fouillant dans le cahier de bord, elle trouve un pendule de 125 cm de long et les renseignements suivants.

g

6,67

10 r2

11

M

⎧ g est l’accélération gravitationnelle sur la planète (en m/s 2 ) ; ⎪ , où ⎨ M est la masse de la planète (en kg ) ; ⎪ r est le rayon de la planète (en m). ⎩ ⎧P est la période du pendule (en s ) ;

P

2

⎪ L , où ⎨ L est la longueur du pendule (en m ) ; g

⎪ g est l’accélération gravitationnelle sur la planète (en m/s 2 ). ⎩

Le pendule est un instrument utilisé pour mesurer le temps, mais qui peut aussi servir à comparer la masse et le rayon des corps célestes. Voici des renseignements sur quatre planètes.

Mercure M  3,3  1023 kg r  2440 km

Mars M  6,4  1023 kg r  3389 km

Vénus M  4,9  1024 kg r  6052 km

Jupiter M  1,9  1027 kg r  69 911 km

Sur la planète où elle se trouve, l’astronaute détermine que la période du pendule est d’environ 2,4 s. Elle conclut qu’elle ne s’est posée sur aucune de ces quatre planètes. Montrez qu’il y a des raisons de croire qu’elle a tort.

DÉMARCHE ET CALCULS

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CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

127

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

2

RÉPONSE

128

CHAPITRE 2

MÉLI-MÉLO

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

B NQUE DE

PROBLÈMES

1 Lors de la révision de fin d’année, des élèves sont amenés à représenter dans le plan cartésien le point C(12, 5) qui correspond à l’origine d’un vecteur associé au diamètre CD du cercle d’équation x2  y2  169.

On leur demande également de représenter les vecteurs OA et OB associés à des rayons du cercle et dont les extrémités correspondent aux points A(12, 5) et B(7,8, 10,4).

Noémie affirme que les valeurs de k1 et de k2, telles que CD k1OA et supérieures à 1. Confirmez ou réfutez l’affirmation de Noémie.

k 2 OB, seront toutes deux positives

Réponse :

2 Afin d’améliorer la qualité de l’eau d’un lac, on fait varier la concentration en ions H dans le lac à l’aide de produits chimiques. La concentration C des ions H (en mol/L) varie en fonction du temps écoulé t (en jours) depuis l’ajout des produits chimiques selon la règle C 

10 –6 . Le pH du lac peut être calculé à l’aide de la formule t

pH  log C. Combien de temps après l’ajout des produits chimiques le pH du lac sera-t-il de 7,3 ?

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

BANQUE DE PROBLÈMES

401

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

3 Dans le plan cartésien gradué en mètres, on a illustré la vue de dessus de la zone d’atterrissage possible d’une sonde spatiale.

Les sommets de cette zone trapézoïdale correspondent aux points d’intersection d’un cercle de 10 m de diamètre et de la courbe associée à une fonction valeur absolue dont la règle est y  3|x|  9. Déterminez l’aire de la zone d’atterrissage possible.

DATE _________________________

Zone d’atterrissage y

A

B

x

0

D

C

Zone d’atterrissage possible

Réponse :

402

BANQUE DE PROBLÈMES

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 2

20

GROUPE _________________________

DATE _________________________

L’intensité d’un son Lorsque les sons se propagent dans l’atmosphère, leur vitesse dépend de la température de l’air ambiant et leur atténuation dépend de leur vitesse et de la distance parcourue. Voici deux formules en lien avec cette situation.

• v  20 T , où v est la vitesse (en m/s) du son et T, la température (en K). v

• I  100 (0,35) d  100, où I est l’atténuation d’un son (en %), v, la vitesse (en m/s) du son, et d, la distance (en m) parcourue par le son.

Démontrez que la température de l’air ambiant doit être inférieure à 272,5 K pour que l’intensité d’un son diminue d’au moins 50 % après avoir parcouru une distance de 500 m.

Réponse :

CD 1

21

Le chapiteau La représentation graphique du chapiteau prend la forme de deux courbes, chacune associée à la règle d’une fonction racine carrée, et de barres de renforcement. La largeur du chapiteau est de 18 m et sa hauteur, de 6 m.

Sachant que le chapiteau est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, que la hauteur de la barre HI est de 2 m et que les points d’attache G et F sont respectivement au quart et aux trois quarts de la longueur de la barre HE, déterminez la longueur de la barre DG.

Coupe transversale d’un chapiteau y E D

F

C

G

B

H

A

I 0

x

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

BANQUE DE PROBLÈMES

417

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

CD 1

22

GROUPE _________________________

DATE _________________________

Le contrôle de qualité Un technicien en contrôle de la qualité doit analyser la production d’un lot de fromages. Le mélange servant à produire le fromage doit être incubé pendant 24 h. La responsable de la production fournit les informations suivantes au technicien.

• La température initiale et finale du mélange est de 16 °C. • La température du mélange varie de 16 à 18 °C selon une fonction sinusoïdale.

• La température maximale est atteinte trois fois au cours de la journée.

• Le nombre initial de bactéries lactiques est de 2  109 et augmente de 5 % chaque 30 minutes.

Sachant qu’un lot de fromages peut être commercialisé si, lors du processus d’incubation, la température du mélange n’a pas excédé 17,5 °C pendant plus de 2,75 h consécutives et si le nombre de bactéries lactiques a été supérieur à 1,8  1010 pendant au moins 1,5 h, déterminez si le lot vérifié par ce technicien peut être commercialisé.

Réponse :

418

BANQUE DE PROBLÈMES

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

RÉ ISION QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE

1 Parmi les énoncés suivants, lesquels sont vrais en ce qui a trait à la fonction f dont la règle est f (x)  3|6 2 2x|  9 ?

1 Les coordonnées du sommet de la courbe de cette fonction sont (6, 9).

2 Le maximum de cette fonction est 9.

3 La valeur initiale de cette fonction est 9.

4 L’axe de symétrie de la courbe associée à cette fonction est x  3.

5 Cette fonction n’a pas de minimum.

a) Tous ces énoncés sont vrais.

b) Seuls les énoncés 2 , 4 et 5 sont vrais.

c) Seuls les énoncés 1 et 3 sont vrais.

d) Aucun des énoncés n’est vrai.

2 Lequel de ces systèmes d’inéquations est représenté par ce polygone

y

de contraintes ?

16

a) x  0

y0 9x  7y  63 5x  16y  80

b) x  0 y0 9x  7y  63 5x  16y  80

c) x  0

y0 9x  7y  63 5x  16y  80

d) x  0 y0 9x  7y  63 5x  16y  80

14 12 10 8 6 4 2 0

2

4

6

8

10 12 14 16 x

3 Quelle valeur de x vérifie l’équation 72x 2 3  5x ? a) x  2,56

b) x  0,3

d) x  2,56

c) x  0

4 Sachant que ABCD est un parallélogramme, quel est le résultat de BA

B

C

BC ?

a) CA

b) AC

c) BD

d) DB

A

D

(

5 Quelle est la période de la fonction sinusoïdale f dont la règle est f (x)  2 sin 2x 2 a) 1

b) 2

c) 2

6 À quel modèle de fonction peut-on associer cette représentation

4

( 2 1 ? d)  y

graphique ? a) Une fonction racine carrée

b) Une fonction exponentielle

c) Une fonction polynomiale du second degré

d) Une fonction tangente

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0

x

RÉVISION

427

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

7 Quelles sont les coordonnées du foyer de la parabole d’équation ( y 2 4)2  8(x  6) ? a) (8, 4)

b) (4, 4)

c) (2, 6) ⎧x 3 ⎪ ⎨0,5 x 2 ⎪9,5 x ⎩

8 Soit la fonction définie par parties f dont la règle est f ( x) Quelle valeur est la plus grande ? a) f (2)

b) f (5)

d) (2, 6) 6x 12

23 6

si x si x si x

c) f (11)

] , 4] [4, 10] .

[10, [ d) f (14)

9 On s’attend à ce qu’un maximum de 200 architectes et ingénieurs participent à un congrès. Au moins 75 personnes ont déjà confirmé leur participation. Parmi les participants, on s’attend à ce qu’il y ait au moins 60 ingénieurs. On sait qu’il y aura au moins deux fois plus d’architectes que d’ingénieurs. Si x représente le nombre d’architectes et y, le nombre d’ingénieurs, lequel de ces systèmes d’inéquations représente cette situation ? a) x  0

x  y  200 x  y  75 y  60 x  2y

b) x  0

x  y  200 x  y  75 y  60 x  2y

c) x  0

x  y  200 x  y  75 y  60 2x  y

d) x  0 x  y  200 x  y  75 y  60 2x  y

10 La température d’un alliage sortant d’un four diminue de 18 % par minute. Quelle expression permet de déterminer le moment où la température de cet alliage aura perdu 80 % de sa valeur initiale ? a)

log 0,8

log 0,18

b)

log 0,2

log 0,82

c)

log 0,82

log 0,2

d)

log 0,18 log 0,8

11 Dans le plan cartésien, les coordonnées des points A et B sont respectivement (3, 8) et (7, 9) et les composantes du vecteur v sont (6, 10). Quel est le produit scalaire des vecteurs AB et v ? a) (24, 10)

b) 14

c) 110

d) (60, 170)

12 Lequel des énoncés suivants est vrai pour toute valeur de x ? a) sec x 2 1  tan x

b) sin x  cos x  1

c) 1 2 cos2 x  sin2 x

x 13 Quelles sont les coordonnées des foyers de l’hyperbole d’équation 36 2 2

( ) ( 3 13, 0) c) ( 0, 3 5 ) et ( 0, 3 5 )

( d) ( 3

a) 3 13, 0 et

d) 1 2 cot2 x  cosec2 x

y2  1 ?

81

) ( 5, 0 ) et ( 3

b) 0, 3 13 et 0, 3 13 5, 0

)

)

14 Soit u  (2, 8), v  (7, 21) et w  (29, 129). Quels sont les scalaires k1 et k2 tels que w a) k1  3 et k2  5

b) k1  5 et k2  3

k1u

k 2 v ?

c) k1  3 et k2  5

d) k1  5 et k2  3

c) cos x  sin (p 2 x)

d) sin x  sin (p 2 x)

15 Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ? a) cos x  cos (p 2 x)

b) sin x  sin 2x

16 Parmi les fonctions, laquelle est équivalente à f (x)  3 cos 2x  1 ? a) g (x)  23 sin 2x  1

(

c) g (x)  23 sin 2 x

428

RÉVISION

4

)  1

(

b) g (x)  23 sin 2 x

4

)1

d) g (x)  23 cos 2x  1

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

QUESTIONS À RÉPONSE COURTE

53 Sachant que la règle d’une fonction f estf (f x(x))  2 3

x

5, déterminez les valeurs de x pour lesquelles f (x)  3.

54 À la suite d’un sondage mené auprès d’un échantillon de 2500 à 5000 répondants afin de déterminer le nombre de personnes s’étant procuré un nouveau téléphone au cours des 12 derniers mois, au moins 350 personnes ont répondu « oui », mais pas plus de 2000 personnes ont répondu « non ». Au moins quatre fois plus de personnes ont répondu « non » que de personnes ont répondu « oui ».

Si x représente le nombre de personnes ayant répondu « oui » et y, le nombre de personnes ayant répondu « non », quel système d’inéquations représente les contraintes liées à ce sondage ?

55 La courbe d’une fonction exponentielle f passe par les points A(0, 8) et B(3, 60). De plus, l’équation de son asymptote est y  6. Quelle est la règle de la fonction ?

56 Soit les vecteurs u  (17, 3) et v  (6, 18). Déterminez les composantes du vecteur résultant des opérations vectorielles demandées. a) 2u

v

b) u

3v

57 Quelle est la règle de la fonction représentée dans ce plan cartésien ?

c) ( u • v ) u

f (x) 4 2

0

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2

3

4

RÉVISION

x

433

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

58 Démontrez chacune des identités trigonométriques suivantes. a) 1 2 sin4 x 2 sin2 x cos2 x  cos2 x

b)

1

1  tan x 1

1  22 cos2 x tan x

59 Dans chaque cas, si la réciproque de la fonction est une fonction, déterminez sa règle. b) f (x)  

a) f (x)  2|x  7| 2 1

d) ff ((xx))  0,5

(x

2)

6

7 x

8

2 5

e) f (x)  3 tan (x  0,25)

c) f (x)  2(1,5)x  4

f ) f (x)  ln 2(x  1)

60 Déterminez les composantes de chacun des vecteurs représentés. a) t  218

b) u  31

c) v  456 212°

t

434

RÉVISION

u 109°

33°

v

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NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

QUESTIONS À DÉVELOPPEMENT

71 Au cours d’une tempête de neige, l’accumulation de neige (en cm) évolue en fonction du temps (en h) selon une fonction racine carrée. On a établi que l’accumulation de neige était nulle au début de la tempête et qu’elle était de 50 cm 4 heures après son début.

Pendant combien de temps (en h) l’accumulation de neige était-elle inférieure à 20 cm ?

Réponse :

72 Les trois courants illustrés agissent sur une bouée. Quelles sont la norme et l’orientation de la force résultante si celle-ci correspond à la somme des forces agissant sur cet objet ?

215°

f 1  90 N f 2  110 N f 3  95 N

f3

f2 f1 28°

117°

Réponse : © 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

RÉVISION

439

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

73 Un laboratoire de microbiologie effectue des tests sur deux types de microorganismes : les mycètes et les bacilles. Chaque échantillon de mycètes requiert 5 h d’incubation et 1 h d’analyse. Chaque échantillon de bacilles requiert 3 h d’incubation et 3 h d’analyse. Les incubateurs sont disponibles un maximum de 30 h par semaine, et les appareils d’analyse ne peuvent pas fonctionner plus de 18 h par semaine. Le laboratoire teste au moins un échantillon de mycètes par semaine.

Le laboratoire exige des frais de 143 $ pour l’analyse d’un échantillon de mycètes et de 200 $ pour l’analyse d’un échantillon de bacilles.

Combien d’échantillons de chaque type de microorganisme ce laboratoire devrait-il tester hebdomadairement afin de maximiser ses revenus ?

Réponse :

440

RÉVISION

© 2018, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

GROUPE _________________________

DATE _________________________

NNEXES 1 NOTATIONS ET SYMBOLES MATHÉMATIQUES Notation et symbole a2 a

3

Signification

Notation et symbole

Deuxième puissance de a ou a au carré

⇒

Implication. Se lit « si…, alors… ».

Troisième puissance de a ou a au cube

⇔

Équivalence logique. Se lit « … si et seulement si… ».

n e puissance de a ou a exposant n

a n 1 2

a

a

3

a

a3

n

a

an

1

1

Signification

Radical a ou racine carrée de a, où a  0.

Racine cubique de a Racine n e de a, où n  0 et a  0.

Désigne un angle droit.

AB

Segment AB

m AB

Mesure du segment AB

∠A

Angle A

m∠A

Mesure de l’angle A

1 ou a1 a

Inverse de a

v

Vecteur v



a

Opposé de a

AB

Norme du vecteur dont A est l’origine et B, l’extrémité

|a|

Valeur absolue de a

[a ]

Partie entière de a

v

Norme du vecteur v

f (x )

Image de x par la fonction f. Se lit « f de x ».

x → f (x ) f

1

f  g

x a pour image f (x ).

Réciproque de la fonction f Composée de la fonction g suivie de la fonction f.

Se lit « f rond g ».



… n’est pas égal à…



… est approximativement égal à…



… appartient à…



… n’appartient pas à…

a:b

Rapport de a à b

Dx

Variation ou accroissement en x

AB

v •u

Orientation du vecteur AB Produit scalaire du vecteur v et du vecteur u

d (A, B)

Distance entre les points A et B

logc a

Logarithme de a en base c

log a

Logarithme de a en base 10. Se lit « logarithme décimal de a ».

ln a

Logarithme de a en base e. Se lit « logarithme naturel (ou népérien) de a ».

e

Nombre irrationnel approximativement égal à 2,7183



Lettre grecque utilisée pour représenter la valeur d’un angle. Se lit « thêta ».

|

… tel que…

sin A

Sinus de l’angle A

 ou { }

Ensemble vide

cos A

Cosinus de l’angle A

tan A

Tangente de l’angle A

sec A

Sécante de l’angle A



Infini

[a, b ]

Intervalle incluant a et b

[a, b [

Intervalle incluant a et excluant b

]a, b ]

Intervalle excluant a et incluant b

]a, b [

Intervalle excluant a et b



Union d’ensembles. Se lit « union » ou « réunion ».

N

Ensemble des nombres naturels

Z

Ensemble des nombres entiers

Q

Ensemble des nombres rationnels

Q'

Ensemble des nombres irrationnels

R

Ensemble des nombres réels

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cosec A

Cosécante de l’angle A

cotan A

Cotangente de l’angle A

P()

Point trigonométrique

sin x

Arc sinus de x

cos1 x

Arc cosinus de x

tan1 x

Arc tangente de x

1

°

Degré

rad

Radian

p

Nombre irrationnel approximativement égal à 3,14.

Se lit « pi ».

ANNEXES

447

NOM ___________________________________________________________________________________________________________________________

Cathète b

Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes.

Cette relation est appelée relation de Pythagore.

2) Dans le triangle ABC, on a : a2 1 b2 5 c2 102 1 (m AC) 5 132

(m AC)

C

Hypoténuse c a Cathète

c2 5 a2 1 b2 B

B

29 cm

A

20 cm

21 cm

C

A 13 cm

2 2

DATE _________________________

A

2 RELATION DE PYTHAGORE

Exemples : 1) Dans le triangle ABC, on a : c2 5 a2 1 b2 292 5 202 1 212 841 5 400 1 441 841 5 841

GROUPE _________________________

?

5 169 2 100

m AC 5 69 cm

C

10 cm

B

3 RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS Les règles de transformation des inéquations permettent d’obtenir des inéquations équivalentes, c’est-à-dire des inéquations ayant le même ensemble-solution.

Voici ces règles.

1. L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres de l’inéquation conserve le sens de cette inéquation.

Exemples : 1) 14x 2 9 # 5 14x 1 2 # 16

14x 2 9 1 11 # 5 1 11

2) 8x 1 2  13 8x 2 3  8

8x 1 2 2 5  13 2 5

2. La multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inéquation.

Exemples : 1) 2x 1 1  23 8x 1 4  12

(2x 1 1) 3 4  23 3 4

2) 27 1 21x  6 9 1 7x  2

2

(27 1 21x) 4 3  6 4 3

3. La multiplication ou la division des deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif inverse le sens de cette inéquation.

Exemples : 1) 3x 2 1 , 4 6x 1 2 . -8

2

448

ANNEXES

(3x 2 1) 3 22 . 4 3 22

2) 18x 2 6 $ 12 3x 1 1 # 22

(18x 2 6) 4 26 # 12 4 26

2

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Le cahier d’apprentissage 5 de la collection Point de mire mathématique, séquence Sciences naturelles (SN), couvre l’ensemble des concepts à étudier en 5e secondaire selon le Programme de formation de l’école québécoise, en plus de respecter la Progression des apprentissages (PDA).

Le cahier utilise une approche notionnelle par chapitre, rendant ceux-ci indépendants les uns des autres. Ainsi, ce matériel peut être utilisé seul, en combinaison avec du matériel maison, ou encore avec n’importe quel manuel de mathématique de 5e secondaire de la séquence SN.

STRUCTURE DU CAHIER D’APPRENTISSAGE

• Un Test diagnostique ; • Six chapitres comprenant chacun : – un Rappel de six à huit pages, – trois à six sections comportant chacune un ou des encadrés théoriques, des exercices ou des problèmes en contexte, – un Méli-mélo comportant des questions à choix multiple, à réponse courte et à développement, deux situationsproblèmes (SP) et une situation de raisonnement (SR) ; • Une Banque de problèmes de 26 pages se terminant par dix numéros de type CD 1 et CD 2 ; • Une Révision de 20 pages ; • Une section Annexes ; • Un index facilitant le repérage des notions abordées dans le cahier.

STRUCTURE DU GUIDE-CORRIGÉ

• Le guide-corrigé contient des ressources pour les enseignants, notamment : – le corrigé complet du cahier d’apprentissage, page par page et en couleurs, mais également en vrac et en format reproductible ; – des tableaux d’adéquation avec le Programme de formation ; – des notes pédagogiques ; – plus de 200 fiches reproductibles et leur corrigé (fiches Renforcement, fiches Enrichissement, situations-problèmes (SP), situations de raisonnement (SR), tests, encadrés théoriques (Savoirs), bilans) ; – deux versions d’examen préparatoire à l’examen de fin d’année.

VERSIONS NUMÉRIQUES

Pour l’enseignant

Pour l’élève

• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet : – de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ; – d’accéder à tout le matériel reproductible ; – de partager des notes et des documents avec vos élèves ; – de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – d’accéder à près de 1200 exercices interactifs qui couvrent tous les concepts prescrits ; – d’accéder à 20 animations portant sur des concepts prescrits ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.

• La version numérique du cahier permet à l’élève : – de feuilleter et d’annoter chaque page ; – d’écrire ses réponses dans son cahier ; – d’accéder à près de 1200 exercices interactifs qui couvrent tous les concepts prescrits ; – d’accéder à 20 animations portant sur des concepts prescrits ; – de travailler dans son cahier même sans connexion Internet.