3
manuel de l’élève volume
Le 3e volume de la collection Visions 3e année du 2e cycle du secondaire, séquence Culture, société et technique, a été conçu dans l’esprit du Programme de formation de l’école québécoise et répond à la nouvelle mise à jour de cette séquence. Manuel, volume 3
• Supplément Vision 1, incluant notamment les inéquations • Supplément Vision 2, incluant notamment la loi des cosinus • Vision 5, un chapitre sur les mathématiques financières, incluant notamment
les logarithmes, les intérêts simples et les intérêts composés dans différents contextes financiers
• Vision 6, un chapitre sur les probabilités, incluant notamment les probabilités subjectives, les chances pour et contre et l’espérance mathématique
Claude Boivin • Dominique Boivin • Richard Cadieux • Antoine Ledoux • Étienne Meyer Dominic Paul • François Pomerleau • Nathalie Ricard • Vincent Roy
Culture, société et technique
Enrichissement, Portrait)
• SAÉ incluant les carnets et les grilles d’évaluation • Tests et leurs corrigés
mathématique
• Notes pédagogiques pour chacun des chapitres, incluant la planification détaillée • Nombreuses fiches reproductibles et leurs corrigés (Soutien, Consolidation,
3 e année du 2 e cycle du secondaire
Guide d’enseignement, volume 3
mathématique 3 e année du 2 e cycle du secondaire Dominique Boivin Richard Cadieux Claude Boivin Antoine Ledoux Étienne Meyer Dominic Paul Nathalie Ricard Vincent Roy
9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5 Téléphone : 514-351-6010 • Télécopieur : 514-351-3534
9 782761 791083
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volume
Ex
CODE DE PRODUIT : xxxxxx
Culture, société et technique
• Manuel de l’élève, volume 1 • Manuel de l’élève, volume 2 • Manuel de l’élève, volume 3 • Guide d’enseignement, volumes 1 et 2 • Guide d’enseignement, volume 3
3
Les composantes de la collection Visions
volume
3 1
SECTION 5.4 SUPPLÉMENT
Les systèmes d’équations et d’inéquations..........IV Arithmétique et algèbre
• Valeur finale, valeur initiale, durée et taux
CHRONIQUE DU PASSÉ
SECTION 1.0
Quelques mathématiciens de la finance............. 70
Les demi-plans dans le plan cartésien.................. 1 • Inéquation du premier degré à deux variables • Demi-plan
2
Les autres contextes financiers........................... 61
LE MONDE DU TRAVAIL Les gestionnaires de portefeuille........................ 72
VUE D’ENSEMBLE................................. 74 SUPPLÉMENT
BANQUE DE PROBLÈMES........... 82
Les figures équivalentes et la loi des cosinus...... 12
6
Géométrie
SECTION 2.5 La loi des cosinus............................................... 13 • Relation trigonométrique dans le triangle : loi des cosinus
5 Les logarithmes et les mathématiques financières......................................................... 20 Arithmétique et algèbre
RÉVISION.......................................................... 22 • Exposants • Fonction exponentielle • Réciproque
Des expériences aléatoires aux probabilités....... 84 Probabilités
RÉVISION.......................................................... 86 • Expérience aléatoire • Événements : compatibles, incompatibles et complémentaires • Probabilité d’un événement • Expérience aléatoire à plusieurs étapes
SECTION 6.1 Les méthodes de dénombrement...................... 92 • Factorielle • Expérience aléatoire avec ordre ou sans ordre • Permutation, arrangement et combinaison
SECTION 5.1
SECTION 6.2
Les logarithmes................................................. 30
La probabilité subjective et les chances............ 104
• Logarithme • Équivalence entre forme d’écriture exponentielle et forme logarithmique • Logarithmes particuliers • Logarithme décimal, logarithme naturel et changement de base • Résolution d’une équation exponentielle ou logarithmique
SECTION 5.2 Les intérêts simples............................................ 40 • Vocabulaire financier • Capitalisation, actualisation, durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts simples • Taux d’intérêt simple
SECTION 5.3 Les intérêts composés........................................ 48 • Capitalisation, actualisation, durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés • Taux d’intérêt composé • Période d’intérêt incomplète
• Probabilités théorique, fréquentielle et subjective • Chances pour et chances contre • Distinction entre chance et probabilité
SECTION 6.3 L’espérance mathématique.............................. 116 • Espérance mathématique • Équité
CHRONIQUE DU PASSÉ Pierre-Simon de Laplace.................................. 126
LE MONDE DU TRAVAIL Les analystes financiers.................................... 128
VUE D’ENSEMBLE...............................130 BANQUE DE PROBLÈMES.........137 INDEX.................................................................139
Table des matières
III
SUPPLÉMENT
Les systèmes d’équations et d’inéquations Quelle est la quantité minimale de véhicules à réserver pour un voyage afin de minimiser les coûts ? Comment détermine-t-on les valeurs qui optimisent les ventes d’un commerce ? Quelles contraintes influencent une décision et comment les traduire mathématiquement ? Dans Vision 1, vous apprendrez à traduire une situation par une inéquation pour ensuite être capable de préciser les contraintes applicables à un cas particulier. Ainsi, vous obtiendrez un système d’inéquations et vous serez en mesure d’en déterminer la ou les solutions optimales tenant compte du contexte.
Arithmétique et algèbre • Inéquation du premier degré à deux variables • Système d’inéquations du premier degré à deux variables • Polygone de contraintes • Fonction à optimiser • Optimisation d’une situation et prise de décision à l’aide de la programmation linéaire
Géométrie
Graphes
Probabilités
1.0
Les demi-plans dans le plan cartésien
problème La consommation d’électricité Pour une famille moyenne, la facture d’électricité représente une part importante du budget. Cependant, la modification de certaines habitudes de vie liées à la consommation d’électricité peut entraîner des économies substantielles. On utilise principalement le kilowattheure (kWh) pour mesurer la consommation d’électricité. Un kilowattheure correspond à 1000 watts consommés pendant une heure. Voici des renseignements sur la consommation d’électricité de la famille Tremblay : Consommation du mois de juillet
Appareil
Puissance (W)
Temps d’utilisation (h)
3500
120
Éclairage
15
280
Réfrigérateur
300
744
Cuisinière
4500
30
Appareils de lavage
2650
15
Téléviseur
300
95
Autres
350
100,75
Chauffe-eau
La règle C 5 0,0824k 1 17 indique le coût C (en $) de l’électricité en fonction du nombre k de kilowattheures consommés au mois de juillet.
?
Les Tremblay ont-ils respecté leur budget s’ils ont alloué moins de 90 $/mois pour l’électricité ?
La quantité d’énergie produite par une éolienne dépend principalement de la force du vent, de la surface balayée par les pales et de la densité de l’air. Pour commencer à produire de l’électricité, il faut un apport minimal de vent de 12 à 14 km / h. Des vents de 50 à 60 km / h permettent de produire à pleine puissance, mais au-delà de 90 km / h, la production doit être interrompue sous peine de bris d’équipement.
Section 1.0
1
activité 1 Une situation, plusieurs solutions Dans la vie quotidienne, une situation peut souvent être décrite à l’aide d’une inéquation. Voici quatre de ces situations : Situation 1 Lors d,un duathlon, la distance v parcourue en vélo est supérieure au triple de la distance p parcourue à la course à pied.
v . 3p Situation 2 La quantité l de lipides et la quantité g de glucides contenues dans un éclair au chocolat sont d,au moins 53,2.
l 1 g $ 53,2 Situation 3 En 2015, le quadruple de la population q du Québec était inférieur à la population c du Canada. 4q , c
Situation 4 Chaque seconde, la différence entre le nombre n de naissances et le nombre d de décès dans le monde est inférieure ou égale à 3.
n2d#3
a.
Selon la situation 1 , une personne qui participe à un duathlon peut-elle parcourir 15 km à vélo et 5 km à la course à pied ? Expliquez votre réponse.
b.
Selon la situation 2 , quelle quantité de lipides peut-il y avoir dans un éclair au chocolat contenant 40 g de glucides ?
c.
Selon la situation 3 , quelle était la population minimale du Canada si le Québec comptait 7 700 000 personnes ?
d.
Selon la situation 4 , est-il possible d’enregistrer au même moment dans le monde 8 naissances et 2 décès ? Expliquez votre réponse.
e.
Combien y a-t-il de solutions pour chacune de ces situations ?
2
Vision 1 • Supplément
activité 2 Une distance sécuritaire En combattant un incendie, les pompiers et pompières doivent respecter des règles de sécurité afin d’éviter d’être blessés par l’effondrement d’un mur extérieur d’un bâtiment en flammes. Ainsi, la distance séparant les pompiers et pompières du bâtiment doit être supérieure aux 4 de la hauteur du bâtiment. 3
a. Si x correspond à la hauteur du bâtiment et y, à la distance sécuritaire à respecter par les pompiers et pompières, traduisez cette situation par une inéquation.
b.
c.
Si la hauteur d’un bâtiment en flammes est de 6 m, une pompière est-elle en sécurité si elle se tient : 1)
à 6 m du bâtiment ?
2)
à 8 m du bâtiment ?
3)
à 10 m du bâtiment ?
4)
à 12 m du bâtiment ?
Un pompier se tient à 12 m d’un bâtiment en flammes. Quelle est la hauteur possible du bâtiment s’il est en sécurité à cet endroit ?
Voici la représentation graphique de cette situation :
d.
e.
Quel lien peut-on établir entre : 1)
le demi-plan coloré et le symbole d’inégalité de l’inéquation représentant cette situation ?
2)
la droite en pointillé et le symbole d’inégalité de l’inéquation représentant cette situation ?
Prévention de l’effondrement Distance sécuritaire à respecter (m) 14
Peut-on dire que : 1)
les coordonnées des points situés au-dessous de la droite en pointillé sont des solutions de cette situation ? Expliquez votre réponse.
12 10 8 6 4 2
2)
les coordonnées des points situés au-dessus de la droite en pointillé sont des solutions de cette situation ? Expliquez votre réponse.
3)
les coordonnées des points situés sur la droite en pointillé sont des solutions de cette situation ? Expliquez votre réponse.
0
2
4
6
8
10
12
14 Hauteur du bâtiment (m)
À la suite de certaines études, des spécialistes arrivent à la conclusion que la distance séparant les pompiers et pompières d’un bâtiment en flammes doit être supérieure ou égale aux 4 de la hauteur du bâtiment. 3
f.
Quel est l’effet de ce changement : 1)
sur l’inéquation représentant cette situation ?
2)
sur la représentation graphique ?
3)
sur l’ensemble-solution ?
Section 1.0
3
Une calculatrice graphique permet de représenter dans le plan cartésien la région associée à l’ensemble-solution d’une inéquation. Cet écran permet d’éditer les équations d’une ou de plusieurs courbes. Le type de trait utilisé pour tracer une courbe est modifiable.
Écran 1
Écran 2 10
10
10
–
: trait normal : trait en pointillé
10
–
: trait gras Il est possible de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation en hachurant la région située d’un côté ou de l’autre d’une courbe. Écran 3
Écran 5 : hachures de la région au-dessus de la courbe
: hachures de la région au-dessous de la courbe
Écran 4
Écran 6
31
–
47
31
47
En déplaçant le curseur à l’écran graphique, il est possible d’afficher les coordonnées d’un couple de valeurs faisant partie ou non de l’ensemble-solution.
47
31
31
–
a.
c.
d.
aux écrans 3 et 4 ?
2)
aux écrans 5 et 6 ?
Montrez algébriquement que le couple de valeurs affichées : 1)
à l’écran 4 n’appartient pas à l’ensemble-solution de l’inéquation ;
2)
à l’écran 6 appartient à l’ensemble-solution de l’inéquation.
Déterminez les coordonnées d’un point situé : 1)
dans le 3e quadrant de l’écran 4 et qui n’appartient pas à la région hachurée ;
2)
dans le 2e quadrant de l’écran 6 et qui appartient à la région hachurée.
À l’aide d’une calculatrice graphique, affichez l’ensemble-solution de chacune de ces inéquations. 1)
4
–
Quelle est l’inéquation associée : 1)
b.
47
–
y $ 2x 1 3
Vision 1 • Supplément
2)
y # –0,25x 1 1
3)
y $ –3x 1 8
1.0
INÉQUATION du premier degré à deux variables Pour traduire une information par une inéquation du premier degré à deux variables, on procède de la façon suivante. 1. Identifier la ou les variables dans la situation.
Ex. : Dans un cinéma, le prix d’un billet pour adulte est de 12,75 $ et celui d’un enfant est de 7,25 $. On veut déterminer combien d’adultes et d’enfants on peut espérer recevoir dans ce cinéma si les ventes totales enregistrées n’ont jamais dépassé 5271,50 $. Les variables sont : • x : le nombre d’adultes ; • y : le nombre d’enfants.
2. Établir les expressions à comparer.
Expression représentant : • les ventes enregistrées au cinéma : 12,75x 1 7,25y ; • les ventes totales maximales enregistrées : 5172,50.
3. Écrire l’inéquation en choisissant le symbole d’inégalité approprié. Une fois l’inéquation posée, il est possible de vérifier son exactitude en remplaçant la ou les variables par des valeurs numériques.
Inéquation : 12,75x 1 7,25y # 5172,50 Validation : Ce cinéma peut, par exemple, espérer recevoir 150 adultes et 195 enfants. En substituant 150 à x et 195 à y, on obtient 12,75 3 150 1 7,25 3 195 # 5172,50, soit 3326,25 # 5172,50.
Une solution d’une inéquation à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. L’ensemble des couples qui vérifient une inéquation à deux variables est appelé l’ensemble-solution.
DEMI-PLAN Il est possible de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables dans le plan cartésien. • Tous les points dont les coordonnées vérifient une inéquation sont situés du même côté de la droite correspondant à l’équation formée à partir de cette inéquation. L’ensemble de ces points forme un demi-plan qui représente l’ensemble-solution de cette inéquation. Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan. • La droite frontière d’un demi-plan correspond à un trait plein lorsque l’équation fait partie de l’inéquation (# ou $) et à un trait en pointillé lorsque l’équation en est exclue (, ou .).
Section 1.0
5
Ex. :
1) Représentation
de l’ensemble-solution de l’inéquation y # 2x 1 1.
2) Représentation
de l’ensemble-solution de l’inéquation y . –x 2 2. y
y
2x
1
y x 2
y
y
1 0 1
x
2
1 0 1
x
x
y 2x 1
Pour représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables, on peut procéder de la façon suivante. 1. Écrire l’inéquation sous la forme y , ax 1 b, y . ax 1 b, y # ax 1 b ou y $ ax 1 b.
Ex. : On désire représenter graphiquement l’ensemblesolution de l’inéquation 3x 1 6y . 15. 3x 1 6y . 15 6y . –3x 1 15 y . –0,5x 1 2,5
2. Tracer la droite frontière d’équation y 5 ax 1 b d’un trait plein ou en pointillé selon que l’équation fait partie ou non de l’inéquation.
L’équation de la droite frontière est y 5 –0,5x 1 2,5. y
1 0 1
3. Colorier ou hachurer le demiplan au-dessous de la droite si le symbole est , ou #, ou au-dessus de la droite si le symbole est . ou $.
y
1 0 1
6
Vision 1 • Supplément
x
x
1.0
1 Traduisez chacun des énoncés suivants par une inéquation du premier degré à deux variables. a) La différence entre la longueur L et la largeur l d’un terrain rectangulaire est supérieure ou égale à 250 m. b) Dans une école, le nombre f de filles est supérieur au double du nombre g de garçons. c) Un camion transporte x boîtes de 100 kg et y boîtes de 50 kg. Il ne peut pas transporter plus de 6000 kg. d) Une salle de moins de 500 places contient x enfants et y adultes. e) Dans une ferme, le quotient du nombre v de vaches par le nombre p de poules est supérieur à 12.
2 Écrivez les inéquations suivantes sous la forme y # ax 1 b ou y $ ax 1 b. a) 4x 1 3y 2 6 $ 0 d)
x 2
1
y 3
# 1
y 7
b) 5x 2 10y 1 2 $ 0
c)
–
e) 2(x 2 5y) $ 3x 1 1
f)
12x 2
# –x 1 11 1
32y 5
#
1 2
3 Dans chaque cas : 1)
identifiez les inconnues et représentez-les par des variables différentes ;
2)
traduisez la situation par une inéquation.
a) Monsieur Pinchaud prévoit récolter cette année au moins deux fois plus de blé que d’orge. b) Simon et son père comparent leur âge. Simon affirme que le triple de son âge ajouté à l’âge de son père donne un nombre inférieur à 86. c) La superficie du Canada est au plus 14 fois supérieure à celle de la France. d) Parmi les cinq Grands Lacs, le lac Supérieur a une superficie d’au moins 5000 km2 de plus que le quadruple de la superficie du lac Ontario, le plus petit des Grands Lacs.
Dans l’ensemble, les Grands Lacs contiennent environ 23 000 km3 d’eau et ont une superficie totale de 244 000 km2. Ils constituent la plus vaste réserve d’eau douce de surface au monde et représentent environ 18 % de la réserve mondiale d’eau douce. Le lac Supérieur est le plus vaste, le plus profond et le plus froid des cinq lacs.
Section 1.0
7
4 Associez chacune des inéquations à l’une des représentations graphiques suivantes. A 3x 2 5y 1 20 $ 0 Graphique
-10
-8
-6
-4
-2
-8
-6
-4
x11 2
C y $ 3 x 1 4
D x 2 2y 1 1 . 0
5
Graphique
1
y
y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 -2
2
4
6
8
10 x
-10
-8
-6
-4
-2
0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
Graphique
-10
B y.
-2
y
y 10
8
8
6
6
4
4
2
2 2
2
Graphique
3
10
0 -2
2
4
6
8
10 x
-10
-8
-6
-4
-2
0 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
4
6
8
10 x
4
6
8
10 x
4
2
5 Représentez graphiquement l’ensemble-solution des inéquations ci-dessous. a) x $ 3
b) y , 7
c) 3x 1 y # 8
d) 15x 2 30y 2 60 . 0
e) 12x 2 3y , 15
f)
6 Déterminez l’inéquation associée à chacun des écrans ci-contre sachant que l’équation de la droite frontière est exclue de l’inéquation.
8
Vision 1 • Supplément
Écran 1
x2y 3
$ –1 Écran 2
7 Dans chaque cas, traduisez la situation par une inéquation. a)
b)
y
y
10
90
8 6
60
4
30
2 -10
-8
-6
-4
0 -2
-2
2
4
6
8
-90
10 x
-60
-6
d)
y
-6
-4
-2
x
y
10
50
8
40
6
30
4
20
2
10
0 -2
90
-90
-10
-8
60
-60
-8
-10
30
-30
-4
c)
0
-30
2
4
6
8
10 x
-50 -40 -30 -20 -10 0 -10
-4
-20
-6
-30
-8
-40
-10
-50
8 Une somme a d’argent est investie à un taux annuel de 5 %, tandis qu’une somme b d’argent est investie à un taux annuel de 6 %. Les intérêts annuels combinés sont au plus de 207 $. Voici la représentation graphique correspondant à cette situation : a) Déterminez l’inéquation traduisant cette situation. b) Quelle est l’équation de la droite frontière associée à l’inéquation trouvée en a) ? c) Les points situés sur la droite frontière font-ils partie de l’ensemble-solution ? Expliquez votre réponse.
10
20
30
40
50 x
Placements
Somme b d’argent ($) 4500 3750
Région B
3000 2250 1500 750
0
Région A
750
1500
2250
3000
3750
d) Des régions A et B, laquelle représente l’ensemble-solution de l’inéquation associée à cette situation ?
1.0 3Section mm
4500 Somme a d’argent ($)
9
9 L’aire du trapèze rectangle ci-contre est inférieure à 18 cm2. a) Traduisez cette situation par une inéquation. b) Déterminez trois mesures possibles pour la grande base B et la petite base b de ce trapèze.
b cm 3 cm
c) La grande base B et la petite base b peuvent-elles mesurer respectivement 7 cm et 5 cm ? Expliquez votre réponse.
B cm
10 Dans un camping, la superficie d’un terrain pour une tente ou une tente-caravane est de 50 m2, tandis que celle d’un terrain pour un motorisé est de 150 m2. La superficie maximale de l’ensemble des terrains du camping est de 15 750 m2. Si 151 terrains sont aménagés pour les tentes et les tentes-caravanes, combien de motorisés peut-on accueillir au maximum dans ce camping ?
Dans la plupart des 27 parcs nationaux du Québec, on peut pratiquer le camping sur des sites aménagés, semi-aménagés, ou encore en camping rustique. Dans certains parcs, on peut également s’adonner au camping d’hiver. Tous les parcs nationaux possèdent des sentiers de randonnée et offrent aux visiteurs et visiteuses une interprétation de la nature environnante.
11 Dans chaque cas : 1)
traduisez la situation par une inéquation du premier degré à deux variables ;
2)
représentez graphiquement l’ensemble-solution de cette inéquation.
a) Un monte-charge contient un certain nombre de boîtes pesant chacune 12 kg et un certain nombre de boîtes pesant chacune 20 kg. Sa capacité maximale est de 440 kg. b) Le double de l’âge de Kevin duquel on soustrait l’âge de May est inférieur à 25 ans. c) Le résultat obtenu par Hoang à son dernier examen est supérieur au double du résultat obtenu par Mathis. d) La quantité de neige tombée au cours des mois de février et de mars est d’au moins 150 cm.
12 Déterminez le nombre de solutions de l’inéquation 3x 1 5y 2 45 # 0 dont les coordonnées sont des nombres naturels non nuls.
13 Si (–4, y) fait partie de l’ensemble-solution de l’inéquation 2x 1 3y # 36, quelle est la plus grande valeur possible de y ?
10
Vision 1 • Supplément
14 Mélanie estime que sa piscine contient entre 18 000 L et 24 000 L d’eau. Elle vide celle-ci à l’aide d’une pompe A dont le débit est de 50 L/min et d’une pompe B dont le débit est de 30 L/min. Combien de temps prendra l’opération si les deux pompes fonctionnent toujours simultanément ? En 2009, on comptait près de 300 000 piscines résidentielles au Québec dont 67 % de piscines hors-terre. Même si le nombre de noyades a baissé de 17 % dans les années 2000 comparativement à la décennie 90, la vigilance est de mise.
15 Un terrain est défini dans le plan cartésien par les inéquations suivantes. y # – 2x 1 8 5
y # 5x 2 21 2
y$0
x$0
Déterminez l’aire de ce terrain sachant que les graduations du plan cartésien sont en décamètres.
16 Parmi les inéquations suivantes, déterminez celle dont la
y
représentation graphique englobe le plus de points parmi ceux illustrés ci-contre.
8 6
A y . –3 B x1y21,0
4 2
7x 2 9
C y$ 3 D –3x 2 4y 2 5 # 0
-8
-6
-4
-2
0 -2
2
4
6
8
x
-4 -6 -8
17 Dans chaque cas, déterminez une inéquation dont les couples donnés appartiennent à l’ensemble-solution. a) (0, 0), (5, 2), (7, –1), (12, 9)
b) (–2, 0), (0, –6), (8, –8), (15, 1)
c) (15, 7), (20, 5), (25, 3), (30, 1)
d) (–10, –12), (17, –4), (50, 13), (90, 100)
18 Voici des renseignements concernant le déplacement d’un mobile : • La vitesse entre le point de départ et le point A est de 30 m/s. • La vitesse entre le point A et le point d’arrivée est de 45 m/s. • La distance parcourue est d’au plus 5400 m. a) Identifiez les inconnues associées à cette situation. b) Si le point A correspond au point de départ, pendant combien de temps au maximum le mobile s’est-il déplacé ? c) Si le point A correspond au point d’arrivée, pendant combien de temps au maximum le mobile s’est-il déplacé ? d) Déterminez le temps pris par le mobile pour franchir la distance entre le point A et le point d’arrivée, sachant qu’il lui a fallu 30 s pour franchir la distance entre le point de départ et le point A.
Section 1.0
11
SUPPLÉMENT
Les figures équivalentes et la loi des cosinus Comment peut-on maximiser l’espace habitable d’une tente tout en utilisant le moins de toile possible pour la fabriquer ? De quelle façon calcule-t-on les mesures d’une pièce d’aluminium triangulaire ? Comment détermine-t-on la forme idéale d’un contenant ? Comment mesure-t-on la longueur d’un cadre de vélo ? Un très grand nombre d’activités font appel aux relations trigonométriques et à l’optimisation de surface et de l’espace. Dans Vision 2, vous concevrez des objets dans une perspective d’économie de matériaux et d’optimisation de l’espace occupé. Vous étudierez aussi une loi qui met en relation les mesures des angles et celles des côtés d’un triangle.
Arithmétique et algèbre
Géométrie • Figures équivalentes • Optimisation de surfaces et de l’espace • Relation trigonométrique dans le triangle : loi des cosinus
Graphes
Probabilités
2.5
La loi des cosinus
problème Les chutes Della Situées sur l’île de Vancouver, les chutes Della sont les plus hautes du Canada. Elles sont accessibles par hydravion ou au terme d’une randonnée pédestre relativement difficile. Située à une certaine distance du pied des chutes, Tamara regarde leur sommet selon un angle d’élévation de 59°. Guillaume, placé entre Tamara et le pied des chutes, regarde leur sommet selon un angle d’élévation de 62°.
Chutes Della
59°
62°
30,36 m Tamara
?
Guillaume
Quelle est la hauteur des chutes Della ?
Formées par les eaux du lac Della dans le parc provincial Strathcona, les chutes Della sont huit fois plus hautes que les chutes du Niagara.
Section 2.5
13
activité 1 Le triangle des Bermudes Le triangle des Bermudes est une zone géographique imaginaire située dans l’océan Atlantique où se seraient produites de nombreuses disparitions inexpliquées d’avions et de navires. Depuis, des groupes de chercheurs tentent d’élucider les mystères de cette zone. Selon plusieurs récits, la zone représentant le triangle des Bermudes serait délimitée par un triangle formé par l’archipel des Bermudes, Miami et San Juan à Porto Rico.
Voici une représentation du triangle des Bermudes sur laquelle des chercheurs ont inscrit différentes informations :
a.
Déterminez un rapport trigonométrique permettant de calculer la distance représentée par : 1)
b.
m ;
2)
1695 km
h.
h
Calculez la distance représentée par : 1)
c.
Bermudes
m ;
2)
h ;
Miami
3)
n.
Calculez la distance des Bermudes à San Juan.
59° m
1666 km
n San Juan
Les chercheurs observent les mesures calculées ci-dessus. Je dirais que dans un triangle, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés duquel on soustrait le double du produit des mesures de ces deux côtés par le cosinus de l’angle formé par ces deux côtés.
d.
14
Dans la représentation du triangle des Bermudes, nous connaissons la mesure de deux côtés et celle de l’angle compris entre ces côtés.
À l’aide de l’hypothèse émise par la chercheuse et du commentaire de son assistant, validez la distance des Bermudes à San Juan trouvée en c.
Vision 2 • Supplément
Une calculatrice graphique permet de concevoir et d’utiliser des programmes afin d’automatiser certains calculs. Écran 2
Écran 1 L’écran 1 permet d’exécuter, de modifier ou de créer un nouveau programme.
Cet écran permet de choisir certaines instructions de programmation. Par exemple, l’instruction Prompt permet de saisir une valeur et l’instruction Disp, d’afficher des caractères à l’écran.
Cet écran montre les commandes d’un programme destiné à calculer la mesure d’un angle d’un triangle quelconque à partir des mesures de ses trois côtés. Écran 4
Écran 3
Écrans 5 et 6
Écran 7
Ces écrans montrent l’exécution du programme à partir des mesures saisies.
a.
b.
c.
D’après l’écran 7 : 1)
quelle est la mesure des trois côtés du triangle ?
2)
quel côté est opposé à l’angle dont on a trouvé la mesure ?
À l’aide d’une calculatrice graphique, déterminez les mesures des angles d’un triangle dont les côtés A, B et C mesurent respectivement : 1)
10 cm, 8 cm et 12 cm ;
2)
3 cm, 6 cm et 8 cm.
En observant le programme de l’écran 4, créez un programme pour calculer la mesure d’un côté C d’un triangle connaissant les mesures des deux autres côtés A et B et celle de l’angle C compris entre ces deux côtés.
Section 2.5
15
2.5
LOI DES COSINUS Dans un triangle quelconque, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, moins le double du produit des mesures de ces deux autres côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces deux côtés. Dans le triangle suivant, on a : B
a 2 5 b 2 1 c 2 2 2bc cos A
a
b 2 5 a 2 1 c 2 2 2ac cos B
c
c 2 5 a 2 1 b 2 2 2ab cos C C b A
La loi des cosinus permet de résoudre un triangle quelconque si l’on connaît : • les mesures de deux côtés et de l’angle compris entre eux ; Ex. : Dans le triangle suivant, la mesure du côté JK peut être calculée de la façon suivante.
• les mesures des trois côtés.
Ex. : Dans le triangle suivant, la mesure de l’angle N peut être calculée de la façon suivante.
J
M
7 cm N
9 cm
5 cm 9 cm
50° L
11 cm
K
(m JK)2 5 (m JL)2 1 (m KL)2 2 2(m JL)(m KL) cos L (m JK)2 5 92 1 112 2 2 3 9 3 11 cos 50° (m JK)2 5 202 2 198 cos 50° m JK 74,73 cm m JK 8,64 cm
16
Vision 2 • Supplément
O
(m MO)2 5 (m MN)2 1 (m NO)2 2 2(m MN)(m NO) cos N 52 5 72 1 92 2 2 3 7 3 9 cos N 25 5 130 2 126 cos N
cos N 5
105 126
m ∠ N 5 arc cos m ∠ N 33,56°
105 126
2.5
1 Dans chaque cas, calculez la valeur de x. a) x 2 5 52 1 72 2 2 3 5 3 7 cos 40° b) 92 5 42 1 112 2 2 3 4 3 11 cos x° c) 82 5 42 1 102 2 2 3 4 3 10 cos x° d) x 2 5 7,692 1 9,272 2 2 3 7,69 3 9,27 cos 20° e) x 2 5 2,272 1 11,862 2 2 3 2,27 3 11,86 cos 118° f) 132 5 152 1 72 2 2 3 15 3 7 cos x°
2 Calculez la mesure manquante dans chacun des triangles ci-dessous. a)
b) B
B ?
?
12 cm
3 cm
8 cm 49°
A
5,08 cm
A
C
6,5 cm C
c)
A
d)
5,48 cm
?
B 8,58 cm
B
112,4° 12,08 cm
A
5,31 cm 5,1 cm
?
C
C
e)
f)
A
A 8,45 cm
?
5,28 cm
B
7,09 cm
65,5° C
8,39 cm
?
B
7,44 cm
C
Section 2.5
17
3 Résolvez chacun des triangles ci-dessous. a)
b) B 35 cm
B
C
A
4m
27 cm
7m
22°
56 cm
C
A B
c)
d)
B 80°
31 dm
24 m
14 m
22 dm
C
A
C 15 dm
A
4 Calculez la mesure de chacune des diagonales desAquadrilatères ci-dessous. B a) Parallélogramme 38 cm
38° b) Losange B
A 12 cm 38 cm
B
16 dm 21 cm
C
B
38°
x°
79° 7 cm
A
(x 40)°
C
C
(x 70)°
x° C A
D D
5 Sachant que les deux figures sont équivalentes, déterminez dans chaque cas la valeur de x. a) Carré Triangle
b) Losange Triangle
x cm 135° 6 cm
14 m
5 cm xm
18
Vision 2 • Supplément
12 m
11 m
7 cm
34,78°
6 PONT DE CAPILANO Situé au nord de Vancouver, le pont suspendu de Capilano est perché à une hauteur de 70 m au-dessus de la rivière du même nom. D’après les renseignements ci-dessous, quelle est la longueur de ce pont ? 160 m 36°
233 m
Le pont suspendu de Capilano attire près de 800 000 visiteurs chaque année.
Pont de Capilano
7 Comme le montre l’illustration, une pilote d’avion observe le début d’une piste d’atterrissage selon un angle de dépression BAC. A
550 m
B
132°
825 m Début de la piste C
a) Quelle distance sépare la pilote du début de la piste ? b) Quelle est la mesure de l’angle de dépression BAC ?
8 Une entreprise offrant le service de
15 cm
A
découpe de pièces d’aluminium au laser doit découper la pièce triangulaire BDF illustrée sur ce plan.
C
7 cm
Afin de compléter ce plan de découpe, calculez les mesures :
36°
F
a) des côtés BF et BD ;
26,5 cm E
b) des angles FBD et BDF.
9 FIBRE DE CARBONE Une
B
A
D 45 cm
entreprise fabriquant des vélos offre des cadres composés de tubes en fibres de carbone, un matériau composite alliant légèreté, flexibilité et résistance. On a représenté ci-contre un modèle de cadre en fibres de carbone dans lequel les triangles ABD et BCD sont équivalents. Quelle est la longueur de tige de fibres de carbone nécessaire à la fabrication de ce cadre de vélo ?
B 80°
35 cm
C
60° D
Pédalier
Section 2.5
19
Les logarithmes et les mathématiques financières Comment peut-on déterminer la valeur d’un REER dans quelques années ? De quelle façon calcule-t-on la variation du prix des biens au fil du temps ? Comment peut-on déterminer la durée d’un prêt ou d’un placement ? Par quel moyen peut-on déterminer le taux d’intérêt dans des situations où s’appliquent les mathématiques financières ? Un très grand nombre de contextes financiers peuvent être modélisés au moyen de formules exponentielles. Dans Vision 5, vous aurez à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques. Vous aborderez également les concepts d’intérêt simple et d’intérêt composé afin de calculer la capitalisation et l’actualisation des placements ou des emprunts.
Arithmétique et algèbre • Puissance et logarithme • Résolution d’équations expo- nentielle ou logarithmique • Calcul, interprétation et analyse de situations financières • Intérêt simple et composé • Période d’intérêt • Actualisation (valeur actuelle) • Capitalisation (valeur future)
Géométrie
Graphes
Probabilités
La planification financière
Quelques mathématiciens de la finance
Les gestionnaires de portefeuille
5 réactivation 1 Le virus Zika Le virus Zika a été signalé pour la première fois chez l’être humain dans les années 1950 en Afrique et en Asie. En 2015, ce virus est apparu en Amérique du Sud et plus particulièrement au Brésil où de vastes éclosions ont été signalées. À la fin de l’année 2015, 1 500 000 Brésiliens étaient infectés par le virus Zika. En effet, dans ce pays, la propagation du virus a suivi un modèle où le nombre de personnes infectées a augmenté de 50 % par mois depuis le 1er janvier 2015. Le graphique suivant illustre le nombre de Brésiliens infectés par le virus Zika selon le temps écoulé depuis le 1er janvier 2015 (en mois). Nombre de Brésiliens infectés
Propagation du virus Zika au Brésil en 2015
1 600 000 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a.
Quel modèle fonctionnel la propagation du virus a-t-elle suivi ?
b.
Déterminez la règle de la fonction qui permet de connaître le nombre N de Brésiliens infectés par le virus Zika selon le temps m écoulé (en mois) depuis le 1er janvier 2015.
c.
Combien de Brésiliens étaient déjà infectés le 1er janvier 2015 ?
d.
Combien de Brésiliens étaient infectés :
e.
22
1)
à la fin de juin 2015 ?
2)
à la fin de septembre 2015 ?
En 2016, le Brésil comptait environ 206 millions d’habitants. Est-il vrai de dire que, si la propagation du virus avait continué à progresser de la même façon, plus de 90 % de la population aurait été infectée à la fin de l’année 2016 ? Justifiez votre réponse.
Vision 5
11 12 Temps écoulé depuis le 1er janvier 2015 (mois)
Le virus Zika a été détecté pour la première fois en Ouganda en 1947 chez un singe. Zika est le nom d’une forêt située au sud de la capitale Kampala. Comme d’autres infections tropicales, le virus Zika se transmet par une piqûre de moustique. La plupart des personnes infectées ignorent qu’elles sont porteuses du virus. Le virus Zika est à l’origine de malformations congénitales comme la microcéphalie. Le bébé naît alors avec une petite boîte crânienne qui altère son développement intellectuel.
réactivation 2 L’aéroport Montréal-Trudeau L’aéroport international Pierre-Elliot-Trudeau de Montréal joue un rôle important dans l’économie de la grande région de Montréal et du Québec. En 2003, cet aéroport a accueilli 9 millions de passagers. Depuis, ce nombre a augmenté chaque année de façon exponentielle de sorte qu’en 2015, pour la première fois de son histoire, l’aéroport a accueilli 15,5 millions de passagers.
a.
Déterminez la règle de la fonction exponentielle permettant de connaître le nombre de passagers annuels (en millions) selon le temps écoulé (en années) depuis 2003.
b. Représentez graphiquement cette fonction pour la période de 2003 à 2015. c.
Déterminez les propriétés de la fonction représentée en b et ce qu’elles représentent dans ce contexte. 1)
Le domaine.
2)
Le codomaine.
3)
L’abscisse à l’origine.
4)
L’ordonnée à l’origine.
5)
La variation.
6)
Le signe.
d.
La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ? Justifiez votre réponse.
e.
Quel était le nombre de passagers à l’aéroport Montréal-Trudeau
f.
1)
en 2010 ?
2)
en 2013 ?
Si la tendance se maintient, est-il vrai de dire que le nombre de passagers à l’aéroport Montréal-Trudeau dépassera : 1)
20 millions en 2020 ?
2)
30 millions en 2030 ?
L’aéroport Montréal-Trudeau est une infrastructure essentielle pour les affaires, le commerce et le tourisme. Environ 200 entreprises et organismes sont établis sur le site de l’aéroport offrant 27 000 emplois directs auxquels s’ajoutent 28 000 emplois indirects, soit un total de 55 000. Les activités économiques de ces entreprises représentent 5,5 milliards de dollars annuellement. L’aéroport Montréal-Trudeau est le deuxième aéroport canadien pour la richesse de sa desserte aérienne : 140 destinations avec des vols directs, dont 80 internationales.
Révision
23
Exposants, fonction exponentielle et réciproque Puissance L’égalité a n 5 p signifie que a n est la n e puissance de a et que cette puissance est égale à p. a n 5 a 3 a 3 … 3 a si n ∈ N et n 2 n fois
Voici quelques cas particuliers de puissances : Cas particulier
Exemple
a 0 5 1 si a 0
90 5 1
a1 5 a
71 5 7
a m 5 1 n
1 si a 0 am
53 5 1 4
n
a 5 a si a 0 et n 0
1 1 5 53 125 4
16 5 16 5 2
Lois des exposants Les lois des exposants permettent d’effectuer des opérations sur des expressions écrites sous la forme exponentielle. Loi
Exemple
Produit de puissances de même base a m 3 a n 5 a m 1 n si a 0
83 3 84 5 83 1 4 5 87 5 2 097 152
Quotient de puissances de même base am 5 a m 2 n si a 0 an
67 5 67 2 3 5 64 5 1296 63
Puissance d’un produit (ab)m 5 a mb m si a 0 et b 0
(4 3 3)2 5 42 3 32 5 16 3 9 5 144
Puissance d’une puissance (a m )n 5 a mn si a 0 Puissance d’un quotient
() a b
24
m
am 5 m si a 0 et b 0 b
Vision 5
(23 )5 5 23 3 5 5 215 5 32 768
()5 24 5
24 16 5 5 0,0256 54 625
Fonction exponentielle • Une fonction exponentielle est une fonction définie par une règle dans laquelle la variable indépendante est un exposant. • Graphiquement, la courbe associée à une fonction exponentielle se rapproche de plus en plus d’une asymptote horizontale. • La règle d’une fonction exponentielle de base peut s’écrire sous la forme f(x) 5 cx, où c 0 et c 1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, 1). Ex. : f(x) 5 4x
Table de valeurs x
f (x )
2
0,0625
1
0,25
0
1
1
4
2
16
Graphique
Propriétés Domaine : R
f(x ) 16
Codomaine : ]0, 1[ Abscisse à l’origine : Aucune.
12
Ordonnée à l’origine : 1
8 Asymptote
4 4
2
Signe : Positif sur R. Variation : Croissante sur R.
0
2
Extremum : Aucun.
x
4
• La règle d’une fonction exponentielle transformée peut s’écrire sous la forme f(x) 5 acx, où a 0, c 0 et c 1. Graphiquement, la courbe qui lui est associée passe par le point de coordonnées (0, a). Ex. : f(x) 5 3(4)x
Table de valeurs
Graphique
f (x )
2
0,1875
1
0,75
10
0
3
20
1
12 48
Domaine : R
f(x )
x
2
Propriétés
4
2
0
2
x
4
Codomaine : ]2, 0[ Abscisse à l’origine : Aucune.
Asymptote
Ordonnée à l’origine : 3 Signe : Négatif sur R.
30
Variation : Décroissante sur R.
40
Extremum : Aucun.
• Pour déterminer la règle d’une fonction exponentielle f (x) 5 acx, on remplace a par la valeur initiale et on détermine la valeur de c en substituant à x et à f (x) les coordonnées d’un point appartenant à la fonction.
Réciproque • Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables.
Ex. : f(x) 5 3x et sa réciproque y f (x ) 3x
• Les courbes d’une relation et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y 5 x. • La réciproque peut être ou non une fonction. Si la réciproque de la fonction f est une fonction, alors on la note f 1.
4
Axe de symétrie
2 4
2
0 2
2
4
x
Réciproque
4
Révision
25
1 Évaluez chacune des expressions. b) 82
a) 73 1
c) 6,23
d) 90
e) 07
27 g) 13 h) 56 i) 45 j) 29
f)
4
2
1
3
2 Dans chacun des cas, déterminez la valeur de x. 1 9
a) x 3 5 8
b) x 5 5 1024
c) x 4 5 1296
d) x 2 5
e) 3x 5 27
f) 8x 5 64
g) 9 x 5 3
h) 8x 5 2
12
i)
x
5
1 1 x 5 27 j) 16 3
k)
161
x
1 4
1 25
x
5 l) 55
3 Déterminez si chacun des énoncés est vrai ou faux. a8 a
4 a) a 2 3 a 7 5 a 9 b) 2 5 a , où a 0.
d) (a 2a 9)3 5 a 33 g)
a 6 3 a 3 a 4 3 a 2
5 a 5, où a 0.
c) (a 3)3 5 a 6 a5 b
5
a b
e) (a 6)0 5 a 6 f ) 5 5 , où b 0. h) ((a 4a 5)2)3 5 a 14 i) a 5 3 b 5 5 (ab)5
4 Récrivez chacune des expressions sous la forme d’une base affectée d’un exposant positif. a) 3 3 35 3 33
b) 74 3 7 2 3 70
c) (52)4 3 (53)1
d)
90(9)894 27 5 50 3 5 2 e) 3 f ) 9(9) (9) 2 54
g)
95
3 8
3 8
4
h)
4
6
i) 3
36 32
1
5 Récrivez chaque expression sous la forme d’une puissance de la plus petite base possible. a) 274
b) 4 3 83 3 162
c) 812 3 34 3 93
3433 49
642 8
5122 2
43n 1 2 2
93a 3
274a 81
d) 362 3 65 3 2161 e) 3 f ) 5 3 9 g) 252a 1 5 3 1254a 2 3 h) n 1 4 i) 2a 3 a
6 Simplifiez chacune des expressions algébriques. Exprimez votre réponse à l’aide d’exposants positifs. c 0 3 (c 4)2 a) b 4 3 b 3 b 3 b) a5 a
a0 a
d) (a 3b 4)5 e) 3 3 2 , où a 0. g)
26
e5 f3
2
, où e 0 et f 0.
Vision 5
h)
n4 3 n1 3 n0 , n6 3 n4 3 n2
c) 32n 1 3 3 3n 1 5 3
dc , où d 0.
i)
m
2 3
où n 0.
5
f )
m4 1 4
8
, où m 0.
7 Dans chaque cas : 1)
représentez la réciproque de la fonction ;
2)
indiquez si la réciproque est une fonction. y
a)
10 8
6
4
2
y
b)
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 2
2
4
6
8
10 x
10 8
6
4
2
0 2
4
4
6
6
8
8
10
10
2
4
6
10 x
8
8 Pour chacune des fonctions exponentielles : 1) calculez
f (5) et f(22) ;
2)
représentez la fonction f ;
3)
représentez la réciproque de la fonction f ;
4)
déterminez si la réciproque est une fonction. Expliquez votre réponse. 1 4
x
f(x) 5 a) f(x) 5 4x b)
9 Dans chaque cas : 1)
représentez la fonction ;
2)
déterminez les propriétés de la fonction : • domaine ;
• codomaine ;
• abscisse à l’origine ;
• ordonnée à l’origine ;
• signe ;
• variation ;
b) g(x) 5 4
a) f(x) 5 2(3)x
2 3
x
h(x) 5 3,4(0,6)x c)
• extremum. d) i(x) 5 3(2,5)x
10 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle associée à la table de valeurs. a) b) c) x f (x ) x g(x)
x
h(x )
1
7 12
1
0,4
1
4
0
3,5
0
2
0
3
1
21
1
10
1
2,25
2
126
2
50
2
1,6875
Révision
27
11 Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction exponentielle. a) b) c) g(x) f (x) 0 (0, 3,2)
x
h(x ) ( 1, 10)
(2, 45,9)
0
(0, 4)
x
(1, 19,2)
(0, 5,1) 0
x
12 MALADIE D’ALZHEIMER La maladie d’Alzheimer est une pathologie neurodégénérative. Progressive, elle peut se révéler mortelle à plus ou moins long terme. L’âge est le plus grand facteur de risque de cette maladie. Au Canada, on considère que le risque d’en être atteint à 65 ans est de 2 %. À partir de ce moment, le risque d’être touché augmente de 15 % par an jusqu’à l’âge de 90 ans. a) Déterminez la règle de la fonction permettant de connaître le risque R (en %) de développer la maladie d’Alzheimer selon le temps écoulé t (en années) depuis l’âge de 65 ans. b) Déterminez le risque de développer la maladie à l’âge de : 1)
75 ans ;
2)
85 ans.
c) Représentez graphiquement la fonction déterminée en a) pour des âges allant de 65 à 90 ans. d) Est-il juste de dire que le risque de développer de la maladie double environ tous les 5 ans pour des âges allant de 65 à 90 ans ? Justifiez votre réponse. e) Au Canada, en 2016, il y avait environ 305 000 personnes âgées de 71 ans. Combien de ces personnes ont probablement développé la maladie d’Alzheimer ?
13 INDUSTRIE DU JEU VIDÉO L’industrie québécoise du jeu vidéo a pris naissance dans les années 1980. De 2002 à 2012, le nombre d’emplois dans ce secteur a connu une croissance exponentielle. En 2002, 1200 personnes y occupaient un emploi et 10 ans plus tard, soit en 2012, 9000 personnes travaillaient dans ce domaine au Québec. a) Déterminez la règle de la fonction permettant de connaître le nombre d’emplois N dans l’industrie du jeu vidéo selon le temps écoulé t (en années) depuis 2002. b) Représentez graphiquement la fonction déterminée en a) pour les années 2002 à 2012. c) Est-il vrai de dire que le nombre d’emplois a triplé de 2005 à 2010 ? d) Si la croissance du nombre d’emplois dans l’industrie du jeu vidéo avait continué de la même façon, combien d’emplois aurait-on comptés au Québec en 2016 ?
28
Vision 5
En 2016, le Québec compte 230 entreprises dans le domaine du jeu vidéo. La plupart d’entre elles sont situées dans la grande région de Montréal. La métropole possède une excellente réputation mondiale dans le domaine du multimédia. En effet, Montréal est le cinquième pôle du jeu vidéo après Tokyo, Londres, San Francisco et Austin. Au Québec, depuis 2012, le nombre d’emplois dans ce secteur s’est stabilisé autour de 10 000.
14 Une ville comptait 80 000 habitants en 2006. Depuis cette date, la population a augmenté en moyenne de 2,4 % par an. En 2016, quelle était la population de cette ville ?
15 Voici des renseignements concernant trois modèles de motocyclettes : Modèle A
Modèle B
Modèle C
• Coût d’achat : 16 000 $
• Coût d’achat : 31 000 $
• Coût d’achat : 24 000 $
• Taux de dépréciation annuel moyen : 12 %
• Taux de dépréciation annuel moyen : 16 %
• Taux de dépréciation annuel moyen : 14 %
Quel modèle aura la meilleure valeur de revente 15 ans après son achat ?
16 CONCENTRATION PLASMATIQUE
Concentration plasmatique (mg/L) 10
Au moment de la prise d’un médicament par voie intraveineuse, sa concentration dans le sang, appelée concentration plasmatique, est aussitôt optimale. Ensuite, elle diminue selon un modèle exponentiel. Le graphique ci-contre illustre la concentration plasmatique (en mg/L) d’un médicament selon le temps écoulé (en h) après une injection par voie intraveineuse.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 Temps écoulé (h)
Lorsque la concentration d’un médicament diminue de moitié au cours d’une période de temps donnée, celle-ci est appelée demi-vie. Est-il vrai de dire que la demi-vie de ce médicament est de 12 h ? Sinon, déterminez sa demi-vie.
17 FACTEUR D’ÉLASTICITÉ Les différents ballons utilisés dans les sports ont la capacité de rebondir grâce à leur élasticité. Voici des renseignements concernant trois types de ballons dont la capacité de rebondir suit un modèle exponentiel : Ballon de type A
On laisse tomber ce ballon d’une hauteur de 25 m. Il rebondit 3 aux 4 de la hauteur du rebond précédent.
Ballon de type B
Ballon de type C
Nombre de rebonds
Hauteur du rebond (m)
0
28
1
19,6
15
2
13,72
10
3
9,604
5
Le 6e rebond de quel ballon est-il le plus haut ?
Hauteur du rebond 25 (m) (0, 22) 20
0
(2, 12,7072)
1
2
3
4
5 Nombre de rebonds
Révision
29
5.1
Les logarithmes
problème Le troc L’Égypte antique fait partie des civilisations les plus fascinantes. La monnaie y étant pratiquement inexistante, l’économie était principalement basée sur le troc. À cette époque, la culture des céréales était la principale richesse. Les travailleurs recevaient, entre autres, des céréales en guise de rémunération. Voici une conversation entre un roi et un ouvrier de l’époque : Je te donnerai un grain de blé pour ta 1re journée de travail, puis chaque jour de travail supplémentaire, je te donnerai le double du nombre de grains de blé reçu la fois précédente.
? 30
Marché conclu !
Quel est l’écart entre le nombre de jours travaillé par un ouvrier qui a reçu un total de 1 073 741 823 grains de blé et celui d’un ouvrier qui en a reçu 1 099 511 627 775 ? Vision 5
activité 1 D’une forme à une autre Les mathématiciens John Neper et Henry Briggs ont été parmi les premiers à manipuler des expressions logarithmiques et exponentielles. Ce faisant, ils ont remarqué certaines équivalences et énoncé quelques lois. Voici une équivalence : Forme exponentielle Puissance
Base
Forme logarithmique
Exposant
Logarithme
⇔
9 5 32
a.
Base
Argument
2 5 log3 9
À l’aide de l’équivalence ci-dessus, écrivez chacun des énoncés sous la forme exponentielle ou logarithmique. 1) 125
5 53
5) log9 3
2) log3 81
1 2
5
6) 1296
5 4
3) 27
5 64
5
7) log6 x
13
3
4) 5
5 2
5 625x
8) logc m
5n
Voici trois égalités comportant des expressions logarithmiques ainsi qu’un tableau de logarithmes : Égalité
Égalité
1
log2 7
Égalité
2
loge 7
log4 7 5 log 4 2
3
log10 7
log4 7 5 log 4 e
log4 7 5 log 4 10
Tableau de logarithmes
b.
d.
loga 7
2
1,585
2
2,8074
e*
1,0986
1,3863
1,9459
4
0,7925
1
1,4037
10
0,4771
0,6021
0,8451
* Le nombre e est irrationnel. Sa valeur est d’environ 2,7183.
2)
droite de chaque symbole d’égalité ?
1) À
l’aide du tableau de logarithmes, calculez la valeur de l’expression située à droite du symbole d’égalité.
2)
Que remarquez-vous ?
3)
Quelle conclusion tirez-vous de vos observations ?
Après avoir repéré les touches LOG et LN sur votre calculatrice, effectuez ces opérations. 3
2) LOG
4
3) LOG
7
4)
LN
3
5)
LN
4
6)
LN
7
remarquez-vous en comparant les valeurs calculées en d avec celles indiquées dans le tableau de logarithmes ?
1) Que 2)
f.
loga 4
gauche de chaque symbole d’égalité ?
1) LOG
e.
loga 3
Que remarquez-vous dans chaque égalité en comparant les membres situés à : 1)
c.
Valeur de a
Quelle conclusion tirez-vous sur l’utilisation des touches LOG et LN ?
Calculez mentalement la valeur de chaque expression. 1) log 100 2)
ln e4
Section 5.1
31
activité 2 Des situations exponentielles et logarithmiques La résolution d’équations exponentielles et logarithmiques a été, au fil du temps, un outil indispensable pour l’analyse de multiples phénomènes démographiques, sociaux, astronomiques et même musicaux. La règle P 5 100 000(0,96)t permet de déterminer la population P d’une région en fonction du temps écoulé t (en années) depuis janvier 2016. En résolvant l’équation 100 000(0,96)t 5 96 000, on détermine le moment où la population de cette région est de 96 000 habitants.
a.
Quelle équation obtient-on en isolant la base et son exposant ?
b.
En observant l’équation trouvée en a :
c.
d.
1)
que remarquez-vous en comparant les deux membres de l’équation ?
2)
pourquoi est-il possible de conclure que le temps écoulé depuis janvier 2016 est de 1 an ?
Cette démarche permet de déterminer la valeur de t dans l’équation 100 000(0,96)t 5 75 000. Indiquez le plus précisément possible comment obtenir : 1) l’équation 2
à partir de l’équation
1
;
2) l’équation 3
à partir de l’équation
2
;
3) l’équation 4
à partir de l’équation
3
.
1
100 000(0,96)t 5 75 000
2
0,96t 5 0,75
3
log0,96 0,75 5 t
4
t 5 log 0,96
5
t 7,0472
log 0,75
Selon le contexte, que représente la valeur de t calculée en c ?
On veut connaître la valeur de x qui vérifie l’équation 4 log2 2x 5 12.
e.
Que remarquez-vous à propos de la position de la variable x ?
f.
La démarche ci-contre permet de résoudre cette équation. Indiquez le plus précisément possible comment obtenir :
32
1) l’équation 2
à partir de l’équation
1
;
2) l’équation 3
à partir de l’équation
2
;
3) l’équation 4
à partir de l’équation
3
Vision 5
.
1
4 log2 2x 5 12
2
log2 2x 5 3
3
23 5 2x
4
x 5 4
Sur une calculatrice, les touches LN et LOG permettent de calculer directement un logarithme dans une base donnée. La touche LN permet de calculer un logarithme en base e et la touche LOG , un logarithme en base 10. logd m
Dans les écrans 1, 2 et 3, on a utilisé l’équivalence logc m 5 log c pour calculer un logarithme d à l’aide de la touche LN . Écran 1
Écran 2
Écran 3
logd m
Dans les écrans 4, 5 et 6, on a utilisé l’équivalence logc m 5 log c pour calculer un logarithme d à l’aide de la touche LOG . Écran 4
a. b.
Écran 5
Écran 6
1)
Pour chaque écran, exprimez le résultat sous la forme logc m.
2)
Que remarquez-vous ?
Que remarquez-vous en comparant les résultats des écrans : 1)
1 et 4 ?
2)
2 et 5 ?
3)
3 et 6 ?
c.
Que concluez-vous sur le choix du bouton à utiliser pour calculer un logarithme dans une base donnée ?
d.
À l’aide d’une calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions logarithmiques. 1) log9 7
2) loge 15
1 3) log4 3
Section 5.1
33
5.1
FONCTION LOGARITHMIQUE La réciproque d’une fonction exponentielle f, dont la règle est f(x) 5 c x, correspond à une fonction logarithmique dont la règle est f 1(x) 5 logc x, où c 0 et c 1.
Ex. :
Fonction exponentielle
y 3 2 1
Fonction logarithmique
f (x ) c x 3 2 Axe de symétrie
0
1
1
2
x
3
1
2
3
f 1(x ) logc x
LOGARITHME Un logarithme est un exposant. Dans l’expression n 5 logc m, n correspond à l’exposant qu’il faut attribuer à c pour obtenir m. L’expression « logc m » se lit « logarithme de m en base c », où m 0, c 0 et c 1. Ex. : Dans l’expression 4 5 log3 81, 4 est l’exposant qu’il faut attribuer à 3 pour obtenir 81. On dit alors que 4 est le logarithme de 81 en base 3.
ÉQUIVALENCE ENTRE FORME D’ÉCRITURE EXPONENTIELLE ET FORME LOGARITHMIQUE L’équivalence suivante permet de passer d’une forme d’écriture exponentielle à une forme d’écriture logarithmique et vice versa, où m > 0, c > 0 et c ≠ 1. Forme exponentielle Puissance
Base
m 5 cn
Ex. :
1)
16 5 24
4 est l’exposant qu’il faut attribuer à 2 pour obtenir 16.
34
Vision 5
⇔
Forme logarithmique
Exposant
4 5 log2 16 4 est le logarithme de 16 en base 2.
Logarithme
⇔
Base
Argument
n 5 logc m
2)
1 16
5 42
2 est l’exposant qu’il faut attribuer à 4 pour 1 obtenir . 16
⇔
1 16
2 5 log4
2 est le 1 logarithme de 16 en base 4.
LOGARITHMES PARTICULIERS Voici certaines relations logarithmiques particulières pour lesquelles c 0 et c 1 : • logc 1 5 0, car 0 est l’exposant à donner à c pour obtenir 1. • logc c 5 1, car 1 est l’exposant à donner à c pour obtenir c. • logc ct 5 t, car t est l’exposant à donner à c pour obtenir c t. • Si m 0, la valeur du logarithme associé à l’expression logc m n’existe pas. Ex. :
1)
3)
log7 1 5 0, car 70 5 1.
2)
log2 2 5 1, car 21 5 2.
log6 62 5 2, car 62 5 62.
4)
log5 3 n’existe pas.
LOGARITHME DÉCIMAL, LOGARITHME NATUREL ET CHANGEMENT DE BASE • Le logarithme en base 10, appelé logarithme décimal, ainsi que le logarithme en base e, appelé logarithme naturel (ou népérien), peuvent s’écrire sans la base. log10 m 5 log m, où m 0.
loge m 5 ln m, où m 0.
• On peut changer de base à l’aide de l’équivalence ci-dessous, ce qui permet de calculer le logarithme d’un nombre dans n’importe quelle base. Généralement, on choisira 10 ou e, qui vaut environ 2,7183, comme valeur de d afin de calculer la valeur d’un logarithme à l’aide d’une calculatrice. On utilise alors la touche LOG pour la base 10 et la touche LN pour la base e. logd m
logc m 5 log c , où m 0, c 0 et c 1, d 0 et d 1. d
Ex. :
1)
log1000 100 5
log10 100 log10 1000
5
log 100 log 1000
2 3
5
2)
log7 9 5
loge 9 loge 7
5
ln 9 ln 7
1,1292
RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION EXPONENTIELLE OU LOGARITHMIQUE Il est possible de résoudre une équation exponentielle ou logarithmique en passant d’une expression écrite sous la forme exponentielle à une expression écrite sous la forme logarithmique et vice versa. Ex. :
1) 5(1,07)n 5
2425
n
2) 4(3)5t 5
60
5t
3)
2 log4 7x 5 4
1,07 5 485
3 5 15
log4 7x 5 2
n 5 log1,07 485
5t 5 log3 15
7x 5 42
n 5
log 485 log 1,07
n 91,4022
t 5
log 15 5 log 3
t 0,493
7x 5 16 x 5
16 7
x 2,2857
Section 5.1
35
5.1
1 Dans chaque cas, déterminez la règle de la réciproque de la fonction exponentielle. x
3 7
a) f(x) 5 2x b) g(x) 5 9,3x c) h(x) 5 7 3
x
d) i(x) 5 e x e) j(x) 5 f) k(x) 5 π x 1 2
x
g) l(x) 5 25x h) m(x) 5 i) n(x) 5 (2π )x
2 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme exponentielle. 1 7
a) log2 8 5 3
b) log7 5 1
c) log3 81 5 4
d) log12 1 5 0
e) loge e 5 1
f) logc 5
g) logt 1000 5 t
h) log 0,000 01 5 {5
i) logx y 5 z
1 m
1 n
3 Dans chaque cas, récrivez l’expression sous la forme logarithmique. a) 42 5 16 d)
13
3
5
g) a 5
b) 73 5 343
1 27
c) 105 5 100 000
1
f) 110 5 1
e) 273 5 3
c
x
5 y5 1b h) 4
i) 125 5
15
3
4 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacun des logarithmes. a) log6 36
b) log9 9
c) log 0,0001
1 d) log8 512
e) log81 9
f) log5 625
g) log1 1
h) log3 33
i) log 10 000
7
5 À l’aide d’une calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log6 7
b) log4 17
c) log6 3
d) log2 13
e) log 20
f) log5
g) log 21 2 log2 0,13
h) log 0,0001 1 log15 2
i) log3 10 3 log4
1 4
3
11 3
6 Récrivez chacune des expressions à l’aide d’un seul logarithme. log 7
log 12
log 20
log 13
log 9
log 100
log t 5
ln u
log m
a) log 3 b) log 7 c) log 5 d) log 4 e) log 2 f) log 10 g) log u h) ln v i) log n
7 Sans utiliser de calculatrice, déterminez la valeur de chacune des expressions. a) log2 8 1 log4 2 2 log6 6
b) logm m 2 logw 1 1 logv v 5
c) log6 36 2 log1
d) logv v 7 2 log4 1 1 log2 2{5 2 log3
1 16 4
36
Vision 5
1 log7 1 2 log 1000
1 9
8 Résolvez chacune des équations exponentielles. a) 3x 5 14
b) 7x 5 50
c) 4x 5 78
d) 3(7)x 5 27
e) 5(0,7)x 5 125
f) 1000(1,09)x 5 4200
g) 64x 5 29
h) 73x 5 256
i) 53 5 72
x
9 Résolvez chacune des équations logarithmiques. 1 3
a) log2 x 5 5
b) log5 x 5 3
c) log27 x 5
d) 3 log 2x 5 9
e) log8 4x 5 3
f) 100 log5 125x 5 200
g) 2 ln 4x 5 2
h) 18 log6 2x 5 36
i) 6 ln2 8x 5 72
10 La grippe est une infection des voies respiratoires causée par le virus de l’influenza. À une certaine période de l’année, le nombre N de personnes infectées par l’influenza varie selon la règle N 5 278(1,18)t, où t représente le temps écoulé (en jours) depuis le début de l’éclosion du virus. a) Combien y aura-t-il de personnes infectées 37 jours après le début de l’éclosion du virus ? b) À quel moment y aura-t-il 8986 personnes infectées ?
11 VAPORISATION Dans notre
Fus
sa t
ide
ion
liqu
Soli
on
d i fi
ati
ca
ns
tio
n
de
ori
ion
a) établissez la règle de la fonction exponentielle permettant de déterminer la quantité d’eau Q (en L) dans la piscine en fonction du temps écoulé t (en jours) depuis le début de la canicule.
V
État liquide
ap
Au cours d’une canicule, la quantité d’eau dans une piscine diminue de 1,5 % par jour en raison de la vaporisation. Si, au début de la canicule, cette piscine contenait 75 000 L d’eau :
C on
environnement, l’eau se trouve sous trois états : solide, liquide et gazeux. La vaporisation correspond au passage de l’état liquide à l’état gazeux.
Co
nden
id sation sol
e
État gazeux
État solide Sublimation
b) quelle quantité d’eau restera-t-il dans la piscine après 5 jours de canicule ? c) à quel moment la quantité d’eau dans la piscine aura-t-elle diminué de 3500 L ?
12 Une espèce de bactéries se reproduit de telle sorte que son nombre double toutes les demi-heures. Sachant qu’une culture contient au départ 200 bactéries : a) quel sera le nombre de bactéries 7 h après le début de la reproduction ? b) à quel moment y aura-t-il 819 200 bactéries dans cette culture ?
Section 5.1
37
13 Le carbone 14, noté 14C, est un élément radioactif présent dans tous les organismes vivants et qui se désintègre très lentement. La quantité Q de 14C restant (en mg) dans un organisme, qui en contenait 3 mg à sa mort, est donnée par une fonction exponentielle dont la règle est Q 5 3(0,999 876)t, où t est le temps écoulé (en années) depuis la mort de l’organisme. a) Quelle sera la quantité de 14C contenue dans cet organisme dans 805 ans ? b) À quel moment cet organisme contiendra-t-il 0,25 mg de 14C ?
14 Les feux de forêt sont évalués d’après leur intensité. Elle correspond à la vitesse de production d’énergie par unité de longueur de la ligne de front du feu. Ce graphique indique l’intensité en kilowatts par mètre (kW/m) de deux feux de forêt selon le temps écoulé (en jours) depuis le début des observations.
Intensité du feu (kW/m) 1000
800
600
a) À quel moment l’intensité des deux feux est-elle la même ?
400
b) Déterminez approximativement le moment où l’intensité :
200
1)
du feu A est de 200 kW/m ;
2)
du feu A est de 900 kW/m ;
3)
du feu B est de 80 kW/m ;
4)
du feu B est de 400 kW/m.
La table de valeurs suivante représente cette situation. c) Déterminez l’intensité initiale de chaque feu. d) À quel moment l’intensité du feu B est-elle égale au double de celle du feu A ?
Intensité de deux feux de forêt selon le temps
Feu A
Feu B 0
2
4
Vision 5
8
10 Temps écoulé (jours)
Intensité de deux feux de forêt selon le temps Temps écoulé (jours)
Intensité du feu A (kW/m)
Intensité du feu B (kW/m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
40 69,64 121,26 211,12 367,58 640 1114,3 1940,12 3377,94 5881,34 10 240 17 828,88 31 041,88
20 40 80 160 320 640 1280 2560 5120 10 240 20 480 40 960 81 920
Au printemps 2016, la ville de Fort McMurray, en Alberta, s’est trouvée sur la route d’un gigantesque feu de forêt. Au plus fort de la lutte, l’intensité de ce feu a atteint 100 000 kW/m. Des milliers de personnes ont été évacuées pendant plus d’un mois.
38
6
15 En 2016, une ville comptait 12 400 habitants. En raison de la décroissance démographique, on prévoit que la population de cette ville diminuera de 1,75 % par an. a) Combien y aura-t-il d’habitants en 2019 ? b) En quelle année y aura-t-il 10 750 habitants ?
16 HÉLIUM L’hélium est un gaz incolore, inodore, incombustible et non toxique. Plus léger que l’air ambiant, on l’utilise sous la forme gazeuse dans le commerce pour gonfler des ballons. On gonfle un ballon avec 3500 cm3 d’hélium. Sachant que la quantité d’hélium dans le ballon diminue de 4 % chaque demiheure, déterminez : a) le moment où le ballon contiendra 400 cm3 d’hélium ; b) la quantité d’hélium que contiendra le ballon dans 10 h. Dans l’univers, l’hélium est l’élément chimique le plus abondant après l’hydrogène. Il est 7 fois plus léger que l’air et 50 fois plus compressible que l’eau.
17 Le compostage est un processus naturel qui transforme la matière organique en un produit appelé compost ou humus. La règle Q 5 1050(0,85)t donne la quantité Q restante (en kg) de matière organique d’un amas de compost en fonction du temps t (en mois). a) Quelle quantité de matière organique y a-t-il : 1)
au début du processus ?
2)
après 5 mois ?
3)
après 2 ans ?
b) Déterminez le moment où : 1)
la quantité initiale de matière organique sera réduite de moitié ;
2)
la quantité de matière organique sera de 455 kg.
18 Pour calculer des intérêts composés de façon continue, on utilise la règle A 5 Pe rt, où A est la valeur finale (en $) d’un placement P à un taux d’intérêt composé annuel r (en %) selon un certain temps t (en années). a) À quel taux d’intérêt doit-on placer un montant de 3000 $ pour qu’il : 1)
atteigne 6000 $ en 2 ans ?
2)
triple en 10 ans ?
3)
quadruple en 20 ans ?
b) Pendant combien de temps doit-on placer un montant de 5000 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 3,5 % pour qu’il : 1)
atteigne 8000 $ ?
2)
triple ?
3)
quadruple ?
Section 5.1
39
5.2
Les intérêts simples
problème En avoir pour son argent Médéric veut faire fructifier son avoir. Il décide de placer une somme de 4500 $ pendant 5 ans. Voici les offres de trois conseillers financiers où, dans chacune, les intérêts sont calculés uniquement sur la somme de 4500 $ :
Conseillère A
Je vous suggère un placement à un taux d’intérêt de 4,8 %. Les intérêts sont calculés tous les 6 mois.
Conseillère B
Je pense qu’une meilleure option serait de placer votre avoir à un taux d’intérêt de 0,8 %. Les intérêts sont calculés tous les mois.
Conseiller C
Croyez-moi, vous allez être gagnant avec un taux d’intérêt de 9,6 %. Les intérêts sont calculés chaque année.
?
Laquelle de ces offres Médéric devrait-il choisir ?
Un conseiller financier ou une conseillère financière guide les gens et gère leurs avoirs afin de les faire fructifier. Cette personne doit être compétente, à l’écoute des besoins de ses clients et apprécier de façon juste leur tolérance aux risques. Elle doit être honnête, intègre et posséder un bon sens de la communication.
40
Vision 5
activité 1 Des intérêts, c’est simple ! Noémie possède un capital de 1000 $ qu’elle souhaite faire fructifier. Elle le place à un taux d’intérêt simple annuel de 8 %.
a.
Remplissez le tableau suivant qui montre l’évolution du placement de Noémie. Placement de Noémie Période écoulée (années)
Capital initial ($)
Intérêts simples ($)
Capital accumulé ($)
1 2 3
1000 1000
1000 3 8 % 5 80 1000 3 8 % 5 80
1000 1 1 3 80 5 1080 1000 1 2 3 80 5 1160
4 5
b.
À chaque période, quel est le montant obtenu en intérêts simples ?
c.
Quel sera le montant obtenu en intérêts simples après : 1)
d.
1 an ?
2)
5 ans ?
3)
8 ans ?
3)
20 ans ?
4)
n ans ?
Quel sera le capital accumulé de Noémie après : 1)
10 ans ?
2)
15 ans ?
e.
Quelle expression permet de calculer le capital accumulé Cn de Noémie après un certain nombre d’années n ?
f.
Que deviendrait l’expression obtenue en e si Noémie avait placé un montant de : 1)
g.
2)
4500 $ ?
3)
10 000 $ ?
4)
C0 $ ?
Que deviendrait l’expression obtenue en e si le taux d’intérêt simple annuel était de : 1)
h.
2000 $ ?
5 % ?
2)
7 % ?
3)
11 % ?
4)
i % ?
Quel capital accumulé obtiendrait Noémie si elle plaçait une somme de 3700 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 8 % pendant 6 ans ?
Section 5.2
41
Une calculatrice graphique permet d’entrer des données sous la forme de tableaux et d’effectuer des calculs sur ces données à l’aide de formules. Écran 1
Écran 2
Les écrans 1 et 2 permettent d’éditer des données dans des listes en appuyant sur le bouton STAT .
Les écrans 3 à 6 montrent qu’en déplaçant le curseur au haut des colonnes, il est possible d’éditer un calcul à l’aide de données provenant d’une autre liste. Écran 3
Écran 4
Écran 5
Écran 7
Écran 6
Écran 8
Les écrans 7 et 8 montrent que cette façon de faire peut être utilisée dans plusieurs listes.
Les écrans ci-dessus permettent de calculer les montants en intérêts simples ainsi que le capital accumulé d’un placement.
a. b.
c. d.
42
Que représentent les nombres édités dans la liste L1 ? D’après les écrans 3 à 6 : 1)
quel est le capital initial de ce placement ?
2)
quel est le taux d’intérêt simple de ce placement ?
3)
que représentent les nombres affichés dans la liste L2 ?
À l’écran 8, que représentent les nombres affichés dans la liste L3 ? À l’aide d’une démarche similaire, faites afficher sur une calculatrice graphique les montants en intérêts simples obtenus et le capital accumulé d’un placement de 4800 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 10,4 % pour les années 10 à 15 du placement.
Vision 5
5.2
VOCABULAIRE FINANCIER Voici la signification de quelques termes propres aux mathématiques financières. • Intérêts : Somme d’argent calculée sur un capital. • Taux d’intérêt (i ) : Pourcentage utilisé pour calculer de l’intérêt sur un capital. • Capital initial (C0 ) : Somme d’argent placée ou empruntée initialement. • Capital accumulé (Cn ) : Somme d’argent placée ou empruntée, durant une durée n, qui comprend le capital initial auquel s’ajoutent les intérêts. • Période d’intérêt : Intervalle de temps entre deux calculs consécutifs des intérêts. • Semestre : Période de 6 mois consécutifs. Dans une année, il y a 2 semestres. • Trimestre : Période de 3 mois consécutifs. Dans une année, il y a 4 trimestres.
INTÉRÊTS SIMPLES Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial, et ce, durant toute la durée d’un placement ou d’un emprunt. Cela signifie qu’à la fin de chaque période, les intérêts générés pendant celle-ci ne sont pas ajoutés au capital pour le prochain calcul des intérêts.
CAPITALISATION À INTÉRÊTS SIMPLES • La capitalisation est une opération qui permet de déterminer la valeur future d’un capital. Elle consiste à intégrer des intérêts au capital afin d’obtenir un capital accumulé après un certain temps. • La capitalisation à intérêts simples peut être calculée à l’aide de la formule suivante. – Cn est le capital accumulé ; – C0 est le capital initial ; Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) , où :
– n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes) ; – i est le taux d’intérêt simple.
Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Section 5.2
43
Ex. :
1)
On investit 1000 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 5 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 6 ans.
2)
On emprunte 500 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,5 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 4 ans et 6 mois.
Ici, C0 5 1000 $, n 5 6 ans et i 5 5 %.
Ici, C0 5 500 $ et i 5 1,5 %.
Cn 5 C0(1 1 n 3 i )
n 5 4 3 12 1 6 5 48 1 6 5 54 mois
C6 5 1000(1 1 6 3 5 %)
Cn 5 C0(1 1 n 3 i )
C6 5 1000(1,3)
C54 5 500(1 1 54 3 1,5 %)
C6 5 1300
C54 5 500(1,81)
Dans 6 ans, le capital accumulé sera de 1300 $.
C54 5 905 Dans 4 ans et 6 mois, le capital accumulé sera de 905 $.
ACTUALISATION À INTÉRÊTS SIMPLES • L’actualisation est une opération qui permet de déterminer la valeur initiale d’un capital connaissant sa valeur accumulée après un certain temps. Elle est l’opération inverse de la capitalisation. • L’actualisation à intérêts simples peut être calculée à l’aide de la formule suivante. – C0 est le capital initial ; – Cn est le capital accumulé ; C0 5 Cn(1 1 n 3 i )1 , où :
– n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes) ; – i est le taux d’intérêt simple. Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Ex. :
44
1)
Un capital accumulé de 1869 $ est obtenu après un placement de 6,5 ans à un taux d’intérêt simple trimestriel de 3 %. On veut déterminer à combien s’élevait le capital initial placé.
2)
On a remboursé un emprunt en payant 5929 $ après 6 ans. Sachant que le taux d’intérêt simple semestriel était de 4,5 %, on veut déterminer à combien s’élevait le capital initial emprunté.
Ici, Cn 5 1869 $ et i 5 3 %.
Ici, Cn 5 5929 $ et i 5 4,5 %.
n 5 6,5 3 4 5 26 trimestres
n 5 6 3 2 5 12 semestres
C0 5 Cn(1 1 n 3 i )1
C0 5 Cn(1 1 n 3 i )1
C0 5 1869(1 1 26 3 3 %)1
C0 5 5929(1 1 12 3 4,5 %)1
C0 5 1869(1,78)1
C0 5 5929(1,54)1
C0 5 1050
C0 5 3850
Le capital initial était de 1050 $.
Le capital initial était de 3850 $.
Vision 5
DURÉE D’UN PLACEMENT OU D’UN EMPRUNT À INTÉRÊTS SIMPLES Il est possible de déterminer la durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts simples en isolant la variable n dans la formule de capitalisation à intérêts simples. Ex. : On a placé 6500 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 8 %. On veut déterminer dans combien d’années le capital accumulé sera de 8580 $. Ici, Cn 5 8580 $, C0 5 6500 $ et i 5 8 %. Cn 5 C0(1 1 n 3 i )
On peut valider ce résultat de la façon suivante.
8580 5 6500(1 1 n 3 8 %)
Cn 5 C0(1 1 n 3 i )
C4 5 6500(1 1 4 3 8 %)
8580 5 6500
1 + 0,08n
1,32 2 1 5 0,08n
C4 5 6500(1,32)
n 5
C4 5 8580
n = 4
0,32 0,08
Dans 4 ans, le capital accumulé sera de 8580 $.
Le capital accumulé sera de 8580 $ dans 4 ans.
TAUX D’INTÉRÊT SIMPLE Il est possible de déterminer le taux d’intérêt simple d’un placement ou d’un emprunt en isolant la variable i dans la formule de capitalisation à intérêts simples. Ex. : On a emprunté 1700 $ et, après 4 ans, le capital accumulé s’élève à 3128 $. On veut déterminer à quel taux d’intérêt simple mensuel cet emprunt a été contracté. Ici, Cn 5 3128 $ et C0 5 1700 $. n 5 4 3 12 5 48 mois Cn 5 C0(1 1 n 3 i )
3128 5 1700(1 1 48 3 i ) 3128 5 1700
1 1 48i
1,84 2 1 5 48i
0,84 48
i 5
On peut valider ce résultat de la façon suivante. Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C48 5 1700(1 1 48 3 1,75 %) C48 5 1700(1,84)
i 5 0,0175
C48 5 3128
i 5 1,75 %
À un taux d’intérêt simple mensuel de 1,75 %, l’emprunt de 1700 $ s’élève à 3128 $ après 4 ans.
Le taux d’intérêt simple mensuel était de 1,75 %.
Section 5.2
45
5.2
1 Dans chaque cas, déterminez le capital accumulé. a) On place un capital initial de 3600 $
pendant 7 ans à un taux d’intérêt simple mensuel de 0,45 %.
b) On investit 8000 $ pendant 5 ans à un taux d’intérêt simple annuel de 7 %.
c) On emprunte 4200 $ pour une période de
4 ans et 6 mois à un taux d’intérêt simple de 3 % par trimestre.
d) On emprunte 7500 $ pendant 4 ans
à un taux d’intérêt simple de 0,2 % par semaine.
2 Dans chaque cas, déterminez le capital initial. a) Dans 11 ans, le capital accumulé d’un
placement sera de 7890,90 $. Le taux d’intérêt simple est de 7,4 % par année.
c) Dans 2,5 ans, le remboursement d’une
dette sera de 11 770,75 $ à un taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,15 %.
b) À un taux d’intérêt simple trimestriel
de 3,5 %, le capital accumulé d’un prêt atteindra 6810,65 $ dans 4 ans et 3 mois.
d) À un taux d’intérêt simple de 3,8 %
par semestre, l’emprunt coûtera 4199,75 $ après 7,5 ans.
3 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un capital initial de 9300 $ génère un
capital accumulé de 14 322 $ à un taux d’intérêt simple annuel de 8 %.
c) Le remboursement d’une dette de 5500 $
à un taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,25 % est de 8717,50 $.
b) Un placement de 1800 $ rapporte 3420 $
à un taux d’intérêt simple mensuel de 2,25 %.
d) Le remboursement d’un emprunt de
3700 $ à un taux d’intérêt simple quotidien de 0,02 % est de 4780,40 $.
4 Dans chaque cas, déterminez le taux d’intérêt simple. a) Un placement de 2400 $ à un taux
d’intérêt simple annuel rapporte 4646,40$ après 9 ans.
c) Le remboursement d’un emprunt de
7350 $ à un taux d’intérêt simple trimestriel est de 14 891,10 $ après 9 ans.
b) Un capital initial de 9000 $ à un taux
d’intérêt simple mensuel génère 18 504 $ après 7 ans et 4 mois.
d) Le remboursement d’un capital initial
de 16 000 $ à un taux d’intérêt simple semestriel est de 26 208 $ après 5,5 ans.
5 La propriétaire d’un immeuble est incapable de payer ses taxes foncières qui s’élèvent à 5100 $. Elle emprunte donc cette somme à une amie et rembourse son emprunt 100 jours plus tard en payant 5253 $. Quel était le taux d’intérêt simple quotidien de cet emprunt ?
46
Vision 5
6 Afin de rénover la toiture de son chalet, une personne emprunte une certaine somme d’argent. L’emprunt est contracté à un taux d’intérêt simple annuel de 6,75 %. Au bout de 5 ans, cette personne devra rembourser 5617,50 $. Quelle somme a-t-elle empruntée ?
7 Il y a 5,5 ans, Georges a vendu sa motoneige. Il avait alors placé l’argent de la vente à un taux d’intérêt simple semestriel de 4,7 %. Il a ainsi obtenu 12 591,10 $. À combien se montent les intérêts de ce placement ?
8 Afin d’effectuer des réparations urgentes à sa voiture, Marie-Anne emprunte 3400 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 0,92 %. Pour rembourser cette dette, elle débourse 5151,68 $. Quelle est la durée de l’emprunt ?
9 Un amateur de plein air dispose de 4000 $ pour faire une croisière-expédition dans l’Arctique. Cependant, une telle croisière coûte 7600 $. Cette personne décide alors de faire fructifier son avoir afin d’obtenir le montant nécessaire pour ce voyage. À quel taux d’intérêt simple mensuel cette personne doit-elle placer son argent pour obtenir 7600 $ dans 1 an ?
10 Nathalie prête 2800 $ à sa fille pour acheter un nouvel ordinateur portable. Sa fille remboursera sa dette dans 3 ans. Nathalie offre les deux options de prêt suivantes. Option A
Option B
Taux d’intérêt simple trimestriel de 2,6 %.
Taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,2 %.
Quelle option de remboursement devrait choisir la fille de Nathalie ? Justifiez votre réponse.
11 RÉGIME ENREGISTRÉ D’ÉPARGNEÉTUDES (REEE) Un couple investit 2000 $ dans un REEE dès la naissance de leur enfant. Le taux d’intérêt simple annuel de l’investissement est de 9,5 %. Les parents pensent que cette somme aura triplé quand leur enfant aura 20 ans. Ont-ils raison ?
Le REEE est conçu pour aider à financer les études postsecondaires d’un ou d’une enfant nommé ou nommée par le souscripteur ou la souscriptrice. Lorsque l’enfant s’inscrit à des études postsecondaires, il ou elle peut commencer à retirer l’argent du régime.
12 Youssef place 3400 $ à un taux d’intérêt simple trimestriel de 3,7 % pendant 5 ans et 3 mois. Ensuite, il place le capital accumulé pour une durée de 4,5 ans. Son objectif est d’obtenir 10 000 $ après ce 2e placement. À quel taux d’intérêt simple semestriel Youssef doit-il faire le 2e placement ?
13 Pour le 50e anniversaire de mariage de ses parents qui aura lieu dans quelques années, Maïka veut amasser 9000 $ afin de leur offrir un voyage en Indonésie. Elle fait donc deux placements simultanés de même durée. • Pour le 1er placement, elle investit un montant de 2247,19 $ à un taux d’intérêt simple mensuel de 1,3 %. À terme, le capital amassé sera de 4000 $. • Le 2e placement est effectué à un taux d’intérêt simple hebdomadaire de 0,3 %. Quelle somme Maïka a-t-elle investie dans le 2e placement ?
Section 5.2
47
5.3
Les intérêts composés
problème Les trois propositions Plusieurs facteurs influencent la valeur à échéance d’un placement financier, dont la fréquence de calcul des intérêts. Voici une conversation entre un épargnant et une conseillère financière : Voici trois propositions. Sachez que les intérêts générés au cours de chaque période sont, à la fin de celle-ci, ajoutés au capital pour le prochain calcul des intérêts.
Je désire placer un montant de 5000 $ pendant 2 ans.
Proposition A
Proposition B
On place le montant à un taux d’intérêt annuel de 6 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 1 an.
On place le montant à un taux d’intérêt semestriel de 2 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 6 mois.
Je vais accepter la proposition C. Selon moi, pour une période donnée, plus la fréquence de calcul des intérêts est élevée, plus la valeur à échéance du placement est élevée.
? 48
Que pensez-vous de cette affirmation ?
Vision 5
Proposition C On place le montant à un taux d’intérêt trimestriel de 0,5 % et les intérêts sont calculés à la fin de chaque période de 3 mois.
activité 1 Des intérêts qui génèrent des intérêts On place un montant de 10 000 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 4 %. La démarche ci-dessous permet de calculer le capital accumulé à la fin de chacune des quatre premières années.
a.
1
Capital accumulé dans 1 an : 10 000 3 1,04 5 10 400 Donc, 10 400 $.
2
Capital accumulé dans 2 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 5 10 816 Donc, 10 816 $.
3
Capital accumulé dans 3 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 3 1,04 11 248,64 Donc, 11 248,64 $.
4
Capital accumulé dans 4 ans : 10 000 3 1,04 3 1,04 3 1,04 3 1,04 11 698,59 Donc, 11 698,59 $.
À quel montant correspond le calcul écrit en bleu de l’étape : 1)
2
?
2)
3
?
3)
4
?
b.
À quoi correspond chaque montant calculé en a ?
c.
Sachant que l’expression 10 000(1,04)4 permet de calculer le capital accumulé dans 4 ans, déterminez une expression pour calculer le capital accumulé dans : 1)
1 an ou après 1 période de capitalisation ;
2)
2 ans ou après 2 périodes de capitalisation ;
3)
3 ans ou après 3 périodes de capitalisation.
d. Quel lien faites-vous entre le nombre de périodes de capitalisation et l’exposant de chaque expression déterminée en c ?
e.
Déterminez le capital accumulé de ce placement dans : 1)
8 ans ;
2)
12 ans ;
3)
25 ans.
Section 5.3
49
activité 2 De retour à la case départ Il y a 25 ans, pour démarrer son entreprise, Philippe a contracté un prêt à un taux d’intérêt composé semestriel de 1,45 %. La démarche suivante permet de déterminer le montant emprunté.
2
513 502,52 5 C0(1 1 1,45 %)50
3
C0 5
4
C0 5 513 502,52(1,0145)50
5
C0 250 000
a.
Selon le contexte, dans l’équation
b.
c.
Cn 5 C0(1 1 i)n
1
513 502,52 (1,0145)50
Donc, 250 000 $.
2
, à quoi correspond :
1)
le montant associé au membre de gauche ?
2)
l’exposant 50 ?
Indiquez le plus précisément possible comment obtenir : 1) l’équation 3
à partir de l’équation
2
;
2) l’équation 4
à partir de l’équation
3
.
Quel est le montant emprunté par Philippe il y a 25 ans ?
Pour financer l’achat de nouveaux équipements, Philippe contracte un nouveau prêt à un taux d’intérêt composé trimestriel de 0,9 %.
d.
En utilisant l’équation 4 comme modèle, déterminez la somme empruntée s’il est prévu un remboursement dans 10 ans de : 1)
71 551,16 $ ;
2)
97 309,57 $ ;
3)
264 739,28 $.
D’après l’Institut de la statistique du Québec, en 2014, environ 17 % des propriétaires de petites ou moyennes entreprises (PME) du Québec étaient âgés de moins de 40 ans. Ce sont ces jeunes propriétaires qui demandent le plus souvent du financement pour favoriser la croissance de leur entreprise. L’emprunt est parmi les types de financement le plus demandé, mais le crédit commercial et le crédit-bail sont aussi possibles. Des subventions gouvernementales peuvent aussi être accordées aux PME qui répondent à certains critères.
50
Vision 5
Certaines calculatrices comportent une application pour calculer différentes valeurs financières. Écran 1 Ces écrans permettent de sélectionner l’application Finance… et de calculer différentes valeurs.
Écran 2
Écran 3
Écran 4
Cet écran donne le capital accumulé d’un placement de 2500 $ pour 5 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 3,5 %.
Cet écran donne la durée d’un placement de 3000 $ qui génère un capital accumulé de 3312,24 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %. Écran 5
Cet écran donne le taux d’intérêt composé annuel d’un placement de 5600 $ qui rapporte 7085,79 $ après 6 ans.
a.
b.
c.
D’après l’écran 3, déterminez : 1)
le capital accumulé ;
2)
les trois nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_Vacq pour calculer le capital accumulé d’un placement de 6900 $ pendant 9 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 1,75 % et la valeur de ce capital accumulé.
D’après l’écran 4, déterminez : 1)
la durée du placement ;
2)
les quatre nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_N pour calculer la durée d’un placement de 5000 $ qui génère un capital accumulé de 6948,83 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 4,2 % et cette durée.
D’après l’écran 5, déterminez : 1)
le taux d’intérêt ;
2)
les quatre nombres à utiliser dans l’ordre avec la fonction vat_I% pour calculer le taux d’intérêt composé annuel d’un placement de 25 000 $ qui rapporte 38 106,97 $ après 15 ans et ce taux d’intérêt.
Section 5.3
51
5.3
INTÉRÊTS COMPOSÉS Les intérêts sont dits composés si, à la fin de chaque période, les intérêts générés au cours de celle-ci sont ajoutés au capital pour un prochain calcul d’intérêts. Les intérêts générés rapportent alors eux-mêmes des intérêts.
Capitalisation à intérêts composés La capitalisation à intérêts composés s’obtient de la façon suivante. Après une durée d’une période :
C1 5 C0(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )1
Après une durée de deux périodes : C2 5 C0(1 1 i )(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )2 Après une durée de trois périodes : C3 5 C0(1 1 i )(1 1 i )(1 1 i ) 5 C0(1 1 i )3 Après une durée de n périodes :
...
...
Cn 5 C0(1 1 i )(1 1 i ) … (1 1 i ) 5 C0(1 1 i )n
n fois
On obtient alors la formule suivante. – Cn est le capital accumulé ; – C0 est le capital initial ; Cn 5 C0(1 1 i )n , où :
– i est le taux d’intérêt composé ; – n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes). Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Ex. : On emprunte un capital initial de 700 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 1,5 %. On veut déterminer à combien s’élèvera le capital accumulé dans 2 ans.
Ici, i 5 1,5 % et C0 5 700 $. n 5 2 3 12 5 24 mois Cn 5 C0(1 1 i )n C24 5 700(1 1 1,5 %)24 C24 5 700(1,015)24 C24 1000,65 Donc, 1000,65 $. Dans 2 ans, le capital accumulé sera de 1000,65 $.
52
Vision 5
Actualisation à intérêts composés L’actualisation à intérêts composés s’obtient de la formule de capitalisation à intérêts composés. Cn 5 C0(1 1 i )n
Cn 5 C0 (1 1 i )n
Cn(1 1 i )n 5 C0
On obtient alors la formule suivante. – C0 est le capital initial ; – Cn est le capital accumulé ; C0 5 Cn(1 1 i )n , où :
– i est le taux d’intérêt composé ; – n est la durée (c’est-à-dire le nombre de périodes). Note : Au besoin, on transforme la durée n de façon à obtenir la même unité de temps que le taux d’intérêt i.
Ex. : On contracte une dette que l’on rembourse 3 ans plus tard avec 5436,28 $. Sachant que le taux d’intérêt composé annuel était de 4 %, on veut déterminer le capital initial emprunté.
Ici, n 5 3 ans, i 5 4 % et C3 5 5436,28 $. C0 5 Cn(1 1 i )n C0 5 5436,28(1 1 4 %)3 C0 5 5436,28(1,04)3 C0 4832,83 Donc, 4832,83 $. Le capital initial était de 4832,83 $.
Durée D’UN PLACEMENT ou d’un emprunt à intérêts composés Il est possible de déterminer la durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés en isolant, à l’aide des logarithmes, la variable n dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Ex. : On place 1200 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 1,75 %. On veut déterminer dans combien d’années le capital accumulé sera de 1264,11 $.
Ici, C0 5 1200 $, i 5 1,75 % et Cn 5 1264,11 $. Cn 5 C0(1 1 i )n 1264,11 5 1200(1 1 1,75 %)n 1264,11 5 1200(1,0175)n
1264,11 5 1200
1,0175n
1,0534 1,0175n n log0,175 1,0534 log1,0534 log1,0175
n n 3 Donc, 3 ans.
Le capital accumulé sera de 1264,11 $ dans 3 ans.
Section 5.3
53
Taux d’intérêt composé Il est possible de déterminer le taux d’intérêt composé d’un placement ou d’un emprunt en isolant la variable i dans la formule de capitalisation à intérêts composés. Ex. : On a emprunté 108 000 $ et, après 5 ans, le capital accumulé s’élève à 135 880,51 $. On veut déterminer à quel taux d’intérêt composé annuel cet emprunt a été contracté.
Ici, n 5 5 ans, C0 5 108 000 $ et C5 5 135 880,51 $. Cn 5 C0(1 1 i )n 135 880,51 5 108 000(1 1 i )5 135 880,51 5 108 000 1 135 880,51 5 5 108 000
(1 1 i )5 11i
135108880,51 000
i 5
1 5
21
i 0,047 i 4,7 % Donc, 4,7 %. Le taux d’intérêt composé annuel est de 4,7 %.
Période d’intérêt incomplète Si la durée d’un placement ou d’un emprunt à intérêts composés correspond à une ou plusieurs périodes d’intérêt complètes et à une période d’intérêt incomplète, il est possible de déterminer le capital accumulé à l’aide de la démarche suivante.
Démarche 1. Calculer le capital accumulé à intérêts composés pour les périodes d’intérêt complètes à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 i )n.
Ex. : On place un capital initial de 11 500 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %. On veut calculer le capital accumulé dans 5 ans et 9 mois. Ici, n 5 5 ans, i 5 2 % et C0 5 11 500 $. Cn 5 C0(1 1 i )n C5 5 11 500(1 1 2 %)5 C5 5 11 500(1,02)5 C5 12 696,93 Donc, 12 696,93 $. Après 5 ans, le capital accumulé sera de 12 696,93 $.
2. À partir du résultat obtenu à l’étape précédente, calculer le capital accumulé à intérêts simples pour la période d’intérêt incomplète à l’aide de la formule Cn 5 C0(1 1 n 3 i ).
Les intérêts simples s’appliquent durant 9 mois. 9 n5 5 0,75 an 12
Cn 5 C0(1 1 n 3 i ) C0,75 5 12 696,93(1 1 0,75 3 2 %) C0,75 5 12 696,93(1,015) C0,75 12 887,38 Donc, 12 887,38 $. Après 5 ans et 9 mois, le capital accumulé sera de 12 887,38 $.
54
Vision 5
5.3
1 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On emprunte 4500 $ pendant 2 ans à
un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,15 %.
c) On investit 7000 $ pendant 10 ans à
un taux d’intérêt composé mensuel de 0,2 %.
e) On investit 21 000 $ pendant 11 ans à
un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,3 %.
b) On emprunte 12 000 $ pendant 4 ans
à un taux d’intérêt composé semestriel de 3 %.
d) On place un capital initial de 2000 $
pendant 7 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 3,75 %.
f) On place un capital initial de 6500 $
pendant 9 ans à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,15 %.
2 Dans chaque cas, calculez le capital initial. a) À un taux d’intérêt composé semestriel de
3,5 %, le remboursement d’une dette sera de 10 559,92 $ après 3,5 ans.
c) À un taux d’intérêt composé trimestriel
de 2,75 %, le capital accumulé d’un prêt atteindra 14 115,01 $ dans 4 ans et 3 mois.
e) À un taux d’intérêt composé
hebdomadaire de 0,08 %, le remboursement d’une dette sera de 10 341,34 $ après 5 ans.
b) Dans 4 ans, le remboursement d’un
emprunt à un taux d’intérêt composé annuel de 5 % s’élèvera à 6563,73 $.
d) Dans 8 ans, le capital accumulé d’un
placement à taux d’intérêt composé annuel de 2 % aura une valeur de 7029,96 $.
f) Dans 20 ans, le remboursement
d’un emprunt à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,4 % s’élèvera à 625 608,04 $.
3 Dans chaque cas, déterminez la durée du placement ou de l’emprunt. a) Un capital initial de 3000 $ génère un
capital accumulé de 3312,24 $ à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %.
c) Le remboursement d’une dette de 500 $ à
un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,15 % est de 727,29 $.
e) Un capital initial de 7600 $ génère un
capital accumulé de 10 610,23 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,4 %.
b) Un placement de 1400 $ rapporte
2691,50 $ à un taux d’intérêt composé mensuel de 3,5 %.
d) Le remboursement d’un emprunt de
13 500 $ à un taux d’intérêt composé quotidien de 0,024 % est de 18 665,01 $.
f) Le remboursement d’une dette de
13 000 $ à un taux d’intérêt composé semestriel de 2,4 % est de 18 999,53$.
Section 5.3
55
4 Dans chaque cas, calculez le taux d’intérêt composé. a) Le remboursement d’un capital initial de
25 300 $ à un taux d’intérêt composé semestriel est de 35 035,03 $ après 6 ans.
b) Le remboursement d’un capital initial de
c) Le remboursement d’un emprunt de
7100 $ à un taux d’intérêt composé trimestriel est de 8729,90 $ après 4 ans.
d) Un placement de 4700 $ à un taux
e) Un capital initial de 7800 $ à un taux
d’intérêt composé hebdomadaire génère un capital accumulé de 13 045,74 $ après 5,5 ans.
17 546 $ à un taux d’intérêt composé annuel est de 25 950,21 $ après 7 ans.
d’intérêt composé annuel rapporte 8699,37 $ après 8 ans.
f) Un capital initial de 3500 $ à un taux
d’intérêt composé mensuel génère un capital accumulé de 4064,90 $ après 2,5 ans.
5 Dans chaque cas, calculez le capital accumulé. a) On place un capital de 10 100 $ pendant
4 ans et 6 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 2 %.
c) On investit 12 000 $ pendant 10 ans
et 3 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 4,25 %.
e) On place un capital de 11 800 $ pendant
7 ans et 3 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 2,4 %.
b) On emprunte 17 800 $ pendant 6 ans
et 9 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 3,55 %.
d) On place un capital initial de 40 000 $
pendant 17 ans et 5 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 5,75 %.
f) On emprunte 200 000 $ pendant 25 ans
et 4 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 4,15 %.
6 En prévision des rénovations qu’elle veut faire dans quelques années, Emmanuelle estime avoir besoin de 15 000 $. a) Quelle somme doit-elle placer maintenant afin d’amasser l’argent nécessaire pour des rénovations dans 2 ans si le taux d’intérêt composé annuel est de : 1)
2,5 % ?
2)
3,5 % ?
3)
5 % ?
b) Quelle somme doit-elle placer maintenant à un taux d’intérêt composé annuel de 4,55 % afin d’amasser l’argent nécessaire pour des rénovations dans :
56
1)
3 ans ?
2)
7 ans ?
3)
10 ans ?
Vision 5
7 Léonie emprunte 24 500 $ pour acheter une voiture. Sachant que le taux d’intérêt composé mensuel est de 0,9 %, quelle est la durée de l’emprunt si la dette de Léonie s’élève à 33 825,80 $ ?
8 FONDS D’ACTIONS Un fonds d’actions est un type de placement financier dont l’actif est composé d’actions de différentes sociétés. Un épargnant investit 6700 $ dans un fonds d’actions. a) Déterminez le taux d’intérêt composé annuel moyen de ce fonds si, dans 8 ans, la valeur de son placement est de : 1)
9528,07 $ ;
2)
8055,62 $ ;
3)
10 050,81 $.
b) Si le taux d’intérêt composé trimestriel moyen de ce fonds est de 0,9 %, déterminez la valeur de son placement dans : 1)
3 ans ;
2)
5 ans ;
3)
10 ans.
Un fonds d’actions est destiné aux épargnants ayant une tolérance au risque relativement élevée et à la recherche d’une croissance à long terme.
9 Au travail, une personne reçoit une gratification de 500 $, qu’elle place à un taux d’intérêt composé annuel de 3 %. Quelle sera la valeur de ce placement dans 4 ans ?
10 La table de valeurs suivante indique la valeur d’un placement à intérêts composés annuels selon le temps. Valeur d’un placement Temps (années) Valeur ($)
0
2
4
6
15 000
16 380,38
17 887,78
19 533,90
Sachant que la valeur V de ce placement (en $) varie selon une règle de la forme V 5 C0(1 1 i )t , où C0 est la valeur initiale et t, le temps (en années), déterminez le taux d’intérêt composé annuel i de ce placement.
Section 5.3
57
11 CERTIFICAT DE PLACEMENT GARANTI (CPG) Le certificat de placement garanti (CPG) est un placement sûr dans lequel le montant investi et le versement des intérêts sont garantis. Sophie investit 12 000 $ dans un CPG à un taux d’intérêt composé mensuel de 0,58 %. a) Quelle sera la valeur de ce placement dans : 1)
9 mois ?
2)
5 ans ?
3)
10 ans ?
b) La différence de valeur de ce placement entre la 4e et la 6e année sera-t-elle la même qu’entre la 8e et la 10e année ? Expliquez votre réponse.
Le CPG, généralement offert pour différentes durées, est destiné aux épargnants ayant une faible tolérance au risque.
12 David et Anaïs aiment le plein air et le camping. Ils décident donc d’emprunter 12 000 $ pour l’achat d’une caravane. On leur offre un taux d’intérêt composé annuel de 4,5 %. À combien s’élèvera leur dette s’ils la remboursent dans 2 ans et 9 mois ?
13 Julien a hérité de 35 000 $. Il place cette somme durant 9 ans à un taux d’intérêt composé trimestriel de 1,25 %. Après ces 9 ans, il a l’intention de réinvestir son capital accumulé pour 9 ans de plus à un taux d’intérêt composé hebdomadaire de 0,2 %. À combien s’élèveront les intérêts générés après ces 18 années ?
14 Olivier place 2000 $ dans une institution financière pour permettre à son fils de 5 ans d’acheter une voiture à sa majorité. Quel doit être le taux d’intérêt composé trimestriel du placement pour que cette somme soit triplée au 18e anniversaire de son fils ?
15 Myriam contracte un prêt à un taux d’intérêt composé semestriel de 2,66 %. S’il est prévu qu’elle remboursera son prêt en 14 ans et qu’elle versera un montant de 252 000 $, quelle somme a-t-elle empruntée ?
16 Amina veut cotiser à un REER pour un maximum de 3000 $. Voici l’offre de deux banques :
• À la banque A , on lui suggère de placer 3000 $ afin d’obtenir 5800 $ dans 5 ans.
• À la banque B , on lui offre un taux d’intérêt composé mensuel de 0,35 % pour une durée de 5 ans.
Quelle offre Amina devrait-elle accepter ? Expliquez votre réponse.
58
Vision 5
Le Régime de rentes du Québec est un régime d’assurance public. Il est obligatoire pour la plupart des travailleurs et permet d’obtenir une protection financière à la retraite. Si une personne veut amasser un capital supplémentaire en vue de la retraite, alors elle peut épargner dans un régime enregistré d’épargne-retraite (REER).
17 Âgée de 18 ans, Florence rêve de faire un voyage autour du monde pour son 30e anniversaire. Afin d’amasser 20 000 $ pour son voyage, elle effectue un premier placement pendant 8 ans à un taux d’intérêt composé annuel de 4,65 % grâce auquel elle compte atteindre 35 % de son objectif. Elle investira ensuite son capital accumulé dans un deuxième placement pour les années restantes. Déterminez : a) le capital initial placé par Florence ; b) le taux d’intérêt composé mensuel du deuxième placement qui lui permettra d’atteindre son objectif.
Cette illustration représente des monuments parmi les plus célèbres au monde.
18 Félix fait l’achat d’un bateau. Pour ce faire, il emprunte 7700 $ à un taux d’intérêt composé semestriel de 3 %. Au moment de rembourser son emprunt, Félix devra verser 10 658,60 $. Dans combien de temps Félix remboursera-t-il son emprunt ?
19 Alex emprunte 23 000 $ à sa mère à un taux d’intérêt composé annuel de 5,5 %. Il a l’intention de rembourser son prêt dans 5 ans et 6 mois. À ce moment, combien devra-t-il verser à sa mère ?
20 Afin de payer ses impôts, Christophe emprunte 8000 $ pour une période de 6 ans. On lui offre les deux options suivantes. Option A
Option B
Taux d’intérêt composé mensuel de 0,9 %
Taux d’intérêt composé annuel de 11,350 96 %
Quelle option Christophe doit-il choisir ? Justifiez votre réponse.
21 À la naissance de sa fille, Valérie investit 4800 $ dans des Obligations d’épargne du Québec dont le taux d’intérêt composé quotidien est de 0,04 %. Si on considère que chaque année compte 365 jours, quel âge aura l’enfant lorsque cette somme aura quadruplé ?
Section 5.3
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22 Le graphique ci-dessous indique la valeur de deux placements à intérêts composés annuels selon le temps. Valeur ($)
Valeur de deux placements
(18, 9227,96) Placement A
(9, 3998,09)
Placement B
(0, 2000) (0, 1200) 0
Temps (années)
a) Sachant que la valeur V de chaque placement varie selon une règle de la forme V 5 C0(1 1 i )t , où C0 est la valeur initiale, i le taux d’intérêt composé et t, le temps en années, déterminez la règle de la fonction correspondant : 1)
au placement A ;
2)
au placement B .
2)
du placement B ?
b) Quelle est la valeur initiale : 1)
du placement A ?
c) Déterminez l’écart entre les valeurs de ces deux placements après : 1)
12 ans ;
2)
15 ans ;
3)
20 ans.
23 Léa désire placer une somme de 4800 $ à un taux d’intérêt composé annuel. Un gestionnaire de portefeuille lui fait les deux propositions suivantes. Proposition A
Proposition B
Placer cette somme pendant 5 ans et 6 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 2,65 %.
Placer cette somme pendant 4 ans et 9 mois à un taux d’intérêt composé annuel de 3,1 %.
Quelle option Léa devrait-elle choisir ? Justifiez votre réponse.
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